Mathematics In Education

# Het CSA-model voor wiskundeonderwijs Het CSA-model beschrijft een driedelige opbouw voor het aanbrengen van nieuwe wiskundige begrippen, gericht op de overgang tussen de concrete, schematische en abstracte fasen, met de nadruk op het belang van materialen [4](#page=4). ### 1.1 Inleiding tot het CSA-model Bij het introduceren van een nieuw wiskundig begrip wordt een consistente opbouw gehanteerd die bestaat uit drie fasen: de concrete, de schematische en de abstracte fase, samengevat als het CSA-model [4](#page=4). Er gelden twee fundamentele regels bij het doorlopen van deze fasen: * Elke fase moet een voorbereiding zijn op de volgende, waarbij opdrachten specifiek worden gekozen om de overgang naar de volgende fase te ondersteunen [4](#page=4). * Bij moeilijkheden of fouten in een bepaalde fase moet er teruggeschakeld worden naar het niveau waarop de leerling de oplossing wel kan vinden. Leerlingen moeten na verloop van tijd de vaardigheid ontwikkelen om zelf terug te gaan naar een lager niveau bij uitdagingen [4](#page=4). ### 1.2 De concrete fase In de concrete fase voeren leerlingen zelf handelingen uit met behulp van materiaal. Dit materiaal kan afkomstig zijn uit de leefwereld van de leerlingen, zoals auto's of blokjes, of bestaan uit gestructureerde materialen zoals MAB-materiaal [4](#page=4). Aanvankelijk worden de materiële handelingen zeer gedetailleerd uitgevoerd, waarbij alle deelhandelingen achter elkaar plaatsvinden. Door te manipuleren met het materiaal vinden leerlingen vaak zelf manieren om de opdracht sneller of korter uit te voeren, of uiteindelijk zelfs zonder het materiaal. Indien een leerling niet uit zichzelf begint te verkorten, kan de leerkracht stimuleren of een verkorte werkwijze voorstellen [4](#page=4) [5](#page=5). > **Voorbeelden van de concrete fase:** > * "Je krijgt per bank acht kastanjes. Verdeel de kastanjes zodat jij en je buur er evenveel hebben." [5](#page=5). > * Leerlingen vullen een fles van twee liter met een beker van vijfentwintig centiliter [5](#page=5). **Aandachtspunten bij de concrete fase:** * Het is belangrijk om met diverse soorten materialen te werken, niet alleen met één type. Eerst wordt er vaak gewerkt met materialen uit de leefwereld van de leerlingen voor herkenbaarheid en motivatie, daarna met meer gestructureerde materialen [5](#page=5). * Het gelijktijdig verwoorden van de handeling is essentieel; de leerling zegt wat hij doet terwijl hij het doet. Dit helpt de leerkracht de denkwijze te volgen en is cruciaal voor de leerling om los te komen van het materiaal en over te gaan naar de volgende fase [5](#page=5). * Gebrekkig inzicht in een begrip op latere momenten is vaak te herleiden tot deze fase, waarbij de materiële handeling weliswaar werd uitgevoerd, maar er te snel werd overgestapt naar de volgende fase [5](#page=5). * De materiële handeling mag niet als doel op zich worden overbeklemtoond; het is de handeling zelf die essentieel is, niet zozeer het resultaat. Een leermiddel is pas waardevol als het de overgang naar mentaal rekenen ondersteunt [5](#page=5). * Jonge leerlingen kunnen geneigd zijn met het materiaal te spelen. Het kan zinvol zijn om hen eerst de tijd te geven het materiaal te verkennen voordat een opdracht wordt gegeven [5](#page=5). * Werkbladen horen niet thuis in deze fase; de focus ligt op het manipuleren van tastbare materialen. Het noteren van tussenresultaten is wel mogelijk [5](#page=5). * Het laatste stadium van deze fase, dat overgaat naar het volgende niveau, is het perceptief handelen, waarbij een leerling een deel van het materiaal legt en de rest "erbij denkt" of "wegdenkt" [5](#page=5). ### 1.3 De schematische fase In de schematische fase wordt het handelen met concreet materiaal, dat in de vorige fase steeds meer verkort werd, weggelaten. Deze fase is een cruciale tussenfase tussen de materiële en de mentale handeling [6](#page=6). Leerlingen voeren in deze fase geen handelingen meer uit met concreet materiaal, maar verwoorden wat ze doen, ondersteund door schematische voorstellingen. Schematische voorstellingen zijn doorgaans tweedimensionale representaties zoals foto's, tekeningen of schema's [6](#page=6). Net als in de concrete fase zullen leerlingen ook hier verkortingen doorvoeren. Eerst worden alle stappen luidop gezegd, later worden ze stil (voor zichzelf) gezegd, waarbij steeds meer tussenstappen worden weggelaten. De tussenstappen worden verinnerlijkt en komen los van de aanschouwelijke steun, en handelingen worden steeds meer geautomatiseerd. Werkbladen en schema's kunnen in deze fase worden ingezet [6](#page=6). > **Voorbeelden van de schematische fase:** > * "Verdeel de vissen zodat Suske en Wiske er elk evenveel krijgen." [6](#page=6). > * "Hassan raapt 's morgens acht eitjes bij de kippen van oma. Namiddag gebruikt oma drie eitjes om een taart te bakken. Hoeveel eitjes zijn er nog over?" [7](#page=7). > * Illustraties met figuren die koekjes bakken [7](#page=7). **Aandachtspunten bij de schematische fase:** * Bij de minste aarzeling of mislukking moet de leerkracht terugvallen op het concrete materiaal. Het materiaal dient zichtbaar aanwezig te zijn, zodat leerlingen het zelf kunnen gebruiken indien nodig [7](#page=7). * Deze fase mag niet te snel worden verkort; leerlingen zullen dit uit zichzelf doen wanneer ze er klaar voor zijn. Enkel bij langdurige moeilijkheden kan voorzichtig geprobeerd worden deze fase te verkorten [7](#page=7). * De schematische fase is van groot belang als verbindingsweg tussen de concrete handeling en het gewenste eindgedrag (mentale handeling). Het is echter geen doel op zich en de tijd en aandacht die eraan besteed wordt, hangt af van de klas en de leerlingen [7](#page=7). ### 1.4 De abstracte fase In de abstracte fase zijn de oorspronkelijke, materiële handelingen zodanig verkort en verinnerlijkt dat het oplossen van een probleem een denkactiviteit wordt, waarbij inzicht en geheugen een belangrijke rol spelen. Het oplossen van een probleem wordt hierdoor een 'mentale' handeling [8](#page=8). > **Voorbeelden van de abstracte fase:** > * $3 + 2 = \dots$ [8](#page=8). > * Het dubbel van vier is.. [8](#page=8). > * Reken uit en vereenvoudig: $\frac{5}{12} + \frac{4}{8} = \dots$ [8](#page=8). > * Vul aan: $350 \text{ cl} + 120 \text{ ml} = \dots \text{ dl}$ [8](#page=8). > * Hoeveel is twee komma vijf procent van tweeduizend [8](#page=8)? **Aandachtspunten bij de abstracte fase:** * Hoewel deze fase steunt op het geheugen, mag ze niet worden gezien als "indrillen". Ingedrilde bewerkingen (bv. vijf maal vijf is vijfentwintig) bieden geen inzicht en leiden ertoe dat de bewerking niet kan worden opgelost als deze vergeten wordt [8](#page=8). * Splitsingen, bewerkingen en oefeningen moeten in deze fase in de meest diverse vormen worden aangeboden. Het doel is om de leerstof flexibel te kunnen gebruiken in verschillende situaties [8](#page=8). * Er mag niet te snel worden vooruitgegaan; leerlingen moeten voldoende tijd krijgen om hun pas verworven kennis in te oefenen [8](#page=8). --- # Didactische materialen in wiskundeonderwijs Didactische materialen vormen een essentieel onderdeel van het wiskundeonderwijs en ondersteunen de leerlingen in verschillende fasen van het leerproces, van concreet handelen tot abstract denken. Het gebruik van deze materialen is nauw verbonden met het Concrete-Schematisch-Abstract (CSA)-model [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17). ### 2.1 Fasen van het CSA-model en didactische materialen Het CSA-model beschrijft de ontwikkeling van wiskundig inzicht via drie fasen: de concrete, de schematische en de abstracte fase. In elke fase spelen specifieke soorten didactische materialen een rol. #### 2.1.1 Concrete fase In de concrete fase ligt de nadruk op het handelen met voorwerpen om wiskundige concepten te ervaren. ##### 2.1.1.1 Concrete materialen uit de leefwereld Dit zijn alledaagse voorwerpen die leerlingen kennen en kunnen gebruiken om wiskundige ervaringen op te doen. Ze zijn niet specifiek ontworpen voor onderwijsdoeleinden [15](#page=15). * **Voorbeelden:** poppen, autootjes, knikkers, Legoblokjes, stoelen, potloden, flesjes, appels [15](#page=15). * **Zelfs leerlingen:** kunnen als concreet materiaal fungeren, bijvoorbeeld door zich te ordenen op grootte of aantallen [15](#page=15). * **Belang:** Ondanks dat leerkrachten het soms als tijdrovend ervaren, is het werken met deze materialen een rijke en noodzakelijke bron voor het leggen van verbanden met de leefwereld van de leerlingen [15](#page=15). ##### 2.1.1.2 Concrete gestructureerde materialen Deze materialen zijn specifiek ontwikkeld om mee te leren rekenen en bevatten een vooropgestelde structuur die het leren structureren van hoeveelheden en getallen ondersteunt [16](#page=16). * **Voorbeelden:** MAB-materiaal, breukstokken, rekenrek (abacus), lus-abacus [16](#page=16). #### 2.1.2 Schematische fase In deze fase worden abstractere representaties gebruikt, meestal in een tweedimensionaal vlak. * **Materialen:** Afbeeldingen, tekeningen en schema's op bord, schoolbank of papier [16](#page=16). * **Voorbeelden uit leefwereld:** Tekeningen van objecten uit de leefwereld, zoals een tekening van appels waarvan de helft rood gekleurd moet worden [17](#page=17). * **Schematische vorm van gestructureerde materialen:** * Magnetisch MAB-materiaal voor aan het bord [17](#page=17). * Kaartjes met getalbeelden [17](#page=17). * Tekeningen van breuken, bijvoorbeeld in taartvorm [17](#page=17). #### 2.1.3 Abstracte fase In de abstracte fase worden wiskundige concepten zonder directe materiële of visuele ondersteuning behandeld. * **Materialen:** Oefeningen in werkboekjes of werkblaadjes komen hier het meest voor [17](#page=17). * **Spelletjes:** Sommige spelletjes bieden ook abstracte oefeningen [17](#page=17). ### 2.2 Twee voorbeelden van gestructureerde materialen #### 2.2.1 Het MAB-materiaal MAB staat voor Multibase Arithmetic Blocks en is ontworpen om het tiendelig talstelsel te visualiseren [19](#page=19). * **Opbouw:** Bestaat uit blokjes voor eenheden, staafjes voor tientallen, plakken voor honderdtallen en een grote kubus voor duizendtallen [19](#page=19). * **Inzicht in grotere getallen:** De materialen hebben inkepingen die tonen hoe eenheden, tientallen en honderdtallen zijn opgebouwd, wat helpt bij het voorstellen van grotere getallen [19](#page=19). * **Wiskundige handelingen met MAB-materiaal:** * **Getallen leggen:** Alle getallen van 1 tot en met 1999 kunnen gelegd worden [19](#page=19). * **Hoeveelheden vergelijken:** Leerlingen kunnen hoeveelheden naast elkaar leggen en vergelijken, waarbij het inzicht in de waarde van de materialen essentieel is (bv. 18 kan meer materiaal vereisen dan 21, maar 21 is groter) [19](#page=19). * **Bewerkingen uitvoeren:** * Optellen: door blokjes bij te leggen [20](#page=20). * Aftrekken: door blokjes weg te nemen [20](#page=20). * Vermenigvuldigen: door een hoeveelheid meerdere keren te leggen [20](#page=20). * Delen: door een hoeveelheid te verdelen over hoopjes [20](#page=20). * **Inwisselen:** Tijdens bewerkingen is inwisselen cruciaal voor het begrijpen van het tientallig stelsel: * 10 eenheden worden ingewisseld voor 1 tiental [20](#page=20). * 1 honderdtal wordt omgewisseld in 10 tientallen bij aftrekken [20](#page=20). * 10 honderdtallen worden ingewisseld voor 1 duizendtal bij vermenigvuldigen [20](#page=20). * Een honderdtal wordt ingewisseld voor 10 tientallen bij delen [20](#page=20). * **Toepassing in fasen:** * Concrete fase: Handelen met het fysieke MAB-materiaal [20](#page=20). * Schematische fase: Gebruik van magnetisch MAB-materiaal [20](#page=20). * Abstracte fase: Vormen van een mentaal beeld van de getallen en handelingen [20](#page=20). #### 2.2.2 De kwadratische getalbeelden van Lay Deze getalbeelden zijn een basis voor het werken met kleine hoeveelheden en ondersteunen het aanbrengen, verinnerlijken en automatiseren van splitsen, optellen en aftrekken tot 10 [20](#page=20). * **Kenmerken:** * **Opbouw:** Elk getalbeeld bouwt voort op het vorige door de toevoeging van één bolletje volgens een vast patroon [20](#page=20). * **Flexibiliteit:** De vaste structuur maakt flexibel splitsen en combineren mogelijk, wat niet het geval is bij bijvoorbeeld dobbelsteenbeelden [20](#page=20). * **Kwadratische vorm:** Gekenmerkt door een kleine spatie tussen blokken van vier bolletjes, omdat de hoeveelheid vier makkelijk herkenbaar is [21](#page=21). * **Totaalstructuur van 10:** Alle getalbeelden zijn opgenomen in het kwadraatbeeld van 10, wat de aanvulling tot 10 direct zichtbaar maakt en essentieel is voor rekenen met overschrijding [21](#page=21). * **Dubbele rij ordening:** De ordening in een dubbele rij komt veel voor in het dagelijks leven (bv. klassenrijen, eierverpakkingen) [21](#page=21). * **Toepassing in fasen:** * Concrete fase: Gebruik van eierdozen van tien of inlegborden [21](#page=21). * Schematische fase: Gebruik van kleurplaten [21](#page=21). * Overgang naar abstracte fase: 'Flitskaarten' waarop getalbeelden kort getoond worden om het mentale beeld te versterken [22](#page=22). > **Tip:** De getalstructuur van 10 is belangrijk omdat deze de basis vormt voor ons tientallig stelsel en het rekenen met overschrijding vergemakkelijkt door de directe zichtbaarheid van de aanvulling tot 10. Bijvoorbeeld, om 7 + 5 te berekenen, kan de 7 gezien worden als 3 + 4. De 3 wordt dan gebruikt om de 7 aan te vullen tot 10, en het overgebleven deel wordt opgeteld, wat resulteert in 10 + 4 = 14. Dit wordt efficiënter met getalbeelden die de splitsing van 7 en 10 direct zichtbaar maken [4](#page=4). > **Voorbeeld:** Het kwadraatbeeld van 10 toont direct dat 7 bestaat uit 5 bolletjes en 2 bolletjes, of uit 3 bolletjes en 4 bolletjes. Dit helpt bij het splitsen en aanvullen, zoals bij de som 8 + 6. Met het getalbeeld van 8 is direct zichtbaar dat er nog 2 nodig zijn om tot 10 te komen. De 6 kan dan gesplitst worden in 2 en 4. De 2 wordt bij de 8 gevoegd om 10 te maken, en de resterende 4 wordt erbij opgeteld, wat resulteert in 10 + 4 = 14 [22](#page=22). --- # Leerdoelen en vakdidactiek Dit hoofdstuk focust op de leerdoelen met betrekking tot vakdidactiek, met specifieke aandacht voor het CSA-model en didactische materialen [3](#page=3). ### 3.1 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek De leerdoelen met betrekking tot vakdidactiek omvatten het begrijpen en toepassen van pedagogische en didactische principes in de context van het wiskundeonderwijs [3](#page=3). #### 3.1.1 Het CSA-model Het CSA-model is een didactisch raamwerk dat helpt bij het structureren van de aanbreng van nieuwe wiskundige begrippen [3](#page=3). ##### 3.1.1.1 Fasen van het CSA-model Het CSA-model bestaat uit verschillende fasen die sequentieel worden doorlopen om de leerervaring te optimaliseren [3](#page=3). * **C - Concretiseren:** Deze fase richt zich op het verbinden van het nieuwe wiskundige begrip met concrete, tastbare materialen en situaties. Het doel is om de abstracte concepten te verankeren in de belevingswereld van de leerling [3](#page=3). * **S - Schematiseren:** Na de concrete fase wordt het begrip geschematiseerd. Dit houdt in dat de essentie van het begrip wordt weergegeven in een meer abstracte vorm, zoals tekeningen, diagrammen of symbolen. Hierbij wordt de link gelegd tussen de concrete handelingen en de wiskundige representatie [3](#page=3). * **A - Abstractiseren:** De laatste fase is het abstractiseren, waarbij het begrip volledig in symbolische, wiskundige taal wordt gehanteerd. De leerling kan nu het concept zelfstandig en flexibel toepassen in diverse wiskundige contexten [3](#page=3). ##### 3.1.1.2 Belang van de CSA-fasen Het belang van de verschillende fasen van het CSA-model ligt in het faciliteren van een dieper en duurzamer begrip van wiskundige concepten [3](#page=3). * Het **concretiseren** maakt de wiskunde toegankelijk en betekenisvol door aansluiting te zoeken bij de leefwereld van de leerling [3](#page=3). * Het **schematiseren** helpt bij het ontwikkelen van het vermogen om verbanden te leggen en de structuur van wiskundige problemen te herkennen [3](#page=3). * Het **abstractiseren** stelt leerlingen in staat om wiskundige kennis flexibel en efficiënt toe te passen en te generaliseren [3](#page=3). ##### 3.1.1.3 Toepassing van het CSA-model Het aanbrengen van een nieuw wiskundig begrip moet worden opgebouwd volgens de verschillende fasen van het CSA-model. Dit betekent dat elke nieuwe leerstof eerst wordt voorgesteld met concrete materialen, vervolgens wordt verwerkt met schematische representaties en tot slot wordt geabstraheerd naar symbolische wiskunde [3](#page=3). > **Tip:** Het zorgvuldig doorlopen van elke fase van het CSA-model is cruciaal voor het voorkomen van misconcepties en het bevorderen van een robuust wiskundig begrip bij leerlingen. #### 3.1.2 Didactische materialen Naast een effectief didactisch model is de keuze en het gebruik van geschikte didactische materialen essentieel voor een geslaagde wiskundeles [3](#page=3). ##### 3.1.2.1 Soorten didactische materialen Er bestaan diverse soorten didactische materialen die ingezet kunnen worden in het wiskundeonderwijs, variërend van tastbare voorwerpen tot digitale hulpmiddelen [3](#page=3). ##### 3.1.2.2 Voor- en nadelen van didactische materialen Elk type didactisch materiaal heeft specifieke voor- en nadelen die in acht genomen moeten worden bij de lesvoorbereiding [3](#page=3). * **Voordelen** kunnen onder meer zijn: het verhogen van de betrokkenheid van leerlingen, het visualiseren van abstracte concepten, het bevorderen van actief leren en het differentiëren van instructie [3](#page=3). * **Nadelen** kunnen zijn: de kosten van aanschaf, de voorbereidingstijd, de mogelijkheid tot afleiding, en de noodzaak van gedegen vakkennis bij de leerkracht om het materiaal effectief te kunnen gebruiken [3](#page=3). > **Voorbeeld:** Een set blokjes (concretisering) kan helpen bij het introduceren van breuken. Het nadeel kan zijn dat niet elke leerling direct de stap kan maken naar de abstracte notatie ($\frac{1}{2}$). Het schematiseren (bijvoorbeeld met een cirkeldiagram) kan hierbij een brugfunctie vervullen [3](#page=3). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | CSA-model | Een didactisch model voor het aanbrengen van wiskundige begrippen, bestaande uit drie fasen: de concrete fase, de schematische fase en de abstracte fase. Dit model begeleidt leerlingen van tastbaar handelen naar mentaal begrip. | | Concrete fase | De eerste fase binnen het CSA-model, waarin leerlingen wiskundige handelingen uitvoeren met tastbaar materiaal. Dit materiaal kan afkomstig zijn uit de leefwereld van de leerling of speciaal ontworpen gestructureerd materiaal zijn. | | Schematische fase | De tussenfase in het CSA-model die de overgang vormt tussen het concrete handelen en het abstracte denken. In deze fase worden handelingen ondersteund door tweedimensionale voorstellingen zoals tekeningen, schema's en foto's. | | Abstracte fase | De laatste fase van het CSA-model, waarin wiskundige begrippen en bewerkingen volledig mentaal worden uitgevoerd. Leerlingen vertrouwen hierbij op hun inzicht, geheugen en verworven kennis, zonder directe materiële of schematische ondersteuning. | | Didactische materialen | Hulpmiddelen die ingezet worden in het onderwijs om leerlingen te helpen wiskundige concepten te begrijpen en te beheersen. Deze kunnen variëren van alledaagse voorwerpen tot specifiek ontworpen leermiddelen. | | Concrete materialen uit de leefwereld | Voorwerpen uit de directe omgeving van de leerling die gebruikt kunnen worden om wiskundige ervaringen op te doen en wiskundige handelingen uit te voeren, zonder dat deze specifiek voor educatieve doeleinden zijn ontworpen. | | Gestructureerde materialen | Leermiddelen die speciaal zijn ontwikkeld om wiskundige structuren en concepten te visualiseren en te faciliteren. Deze materialen bevatten een vooropgestelde structuur die leerlingen helpt bij het leren structureren van hoeveelheden en getallen. | | MAB-materiaal | (Multibase Arithmetic Blocks) Gestructureerd materiaal dat bestaat uit blokken van verschillende afmetingen die eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen visualiseren. Het helpt leerlingen inzicht te krijgen in het tiendelige talstelsel en wiskundige bewerkingen. | | Kwadratische getalbeelden van Lay | Visuele representaties van getallen, vaak opgebouwd uit bolletjes, die de structuur van getallen en de relaties tussen getallen tot 10 visualiseren. Ze zijn ontworpen om het splitsen, optellen en aftrekken te ondersteunen. | | Perceptief handelen | Het stadium binnen de concrete fase waarbij een leerling een deel van het materiaal nog fysiek legt, maar de rest van de hoeveelheid mentaal 'erbij denkt' of 'wegdenkt'. Dit is een voorbereiding op het loskomen van het fysieke materiaal. |

# Introductie tot wiskundige initiatie in de kleuterklas Dit topic biedt een overzicht van de cursus wiskundige initiatie, inclusief algemene afspraken, benodigde materialen en de fundamentele principes van wiskundeonderwijs in de kleuterklas. ### 1.1 Algemene afspraken en cursusmateriaal De cursus vereist actieve betrokkenheid van de studenten. Dit betekent dat afleidingen beperkt moeten worden, vragen gesteld en opmerkingen gemaakt moeten worden, en er een luisterbereidheid moet zijn. Aanwezigheid is aanbevolen en verplicht bij praktijkoefeningen. Het is belangrijk om de leerstof en opdrachten bij te houden. Cursusmateriaal is beschikbaar op Canvas onder de modules 'WI1'. Daarnaast is het handboek 'Alle kleuters tellen mee' essentieel. ### 1.2 Wat leren kleuters bij wiskundige initiatie? Wiskundige initiatie geeft inzicht in de minimumdoelen voor wiskunde op het einde van het derde kleuterjaar. Concrete voorbeelden van wiskundige activiteiten zijn het tellen van knikkers, het toevoegen of wegnemen van knikkers, en het eerlijk verdelen van knikkers over bakjes. #### 1.2.1 De zes domeinen van wiskunde in de kleuterklas De wiskundige leerstof in de kleuterklas is onderverdeeld in zes domeinen: 1. **Getallenkennis**: (1 Bako) 2. **Bewerkingen**: (1 Bako) 3. **Meten en metend rekenen**: Omvat lengte, oppervlakte, inhoud/volume, massa (gewicht), tijdstip en tijdsduur. (1+2 Bako) 4. **Meetkunde**: Omvat vormleer, plaatsbepaling, meetkundige relaties en transformaties, logica en verzamelingen. (1+2 Bako) 5. **Kansrekenen en statistiek**: (2 Bako) 6. **Probleemoplossend denken en vraagstukken**: (1+2 Bako) Het is belangrijk te realiseren dat deze deeldomeinen in de praktijk vaak samen aan bod komen. #### 1.2.2 Woordverklaringen * **Groeilijnen**: Deze geven de stapsgewijze ontwikkeling van een inzicht of vaardigheid weer. Een voorbeeld is de groeilijn van getalbegrip die de ontwikkeling van het inzicht in getallen beschrijft. * **Didactiek**: De didactiek richt zich op hoe een inzicht of vaardigheid het best ontwikkeld of geleerd kan worden, inclusief het gebruik van materialen, activiteiten en het nastreven van doelen, en wat belangrijk is bij de begeleiding van een wiskunde-activiteit. #### 1.2.3 Minimumdoelen wiskunde De Vlaamse minimumdoelen voor kleuters omvatten de zes eerder genoemde domeinen. Voor het domein getallenkennis moeten de doelen op populatieniveau bereikt worden. Voor de overige domeinen zijn de doelen na te streven op populatieniveau. ### 1.3 Wiskunde in de kleuterklas: waarom? De relevantie van wiskunde in de kleuterklas kan worden onderbouwd door diverse redenen: 1. **Voorspellende waarde**: Hoe goed kinderen wiskundig denken in de kleuterklas is een significante voorspeller voor hun latere schoolsucces, beroepskeuze en sociaaleconomische status. 2. **Synergie met andere ontwikkelingsgebieden**: Tijd besteed aan wiskunde in de kleuterklas gaat niet ten koste van andere gebieden; uitdagend wiskundeonderwijs draagt juist bij aan de ontwikkeling van andere gebieden, zoals taalontwikkeling en sociaal-emotionele ontwikkeling. 3. **Praktische en algemeen vormende waarde**: Wiskunde heeft een grote praktische waarde voor dagelijkse situaties en een algemeen vormende waarde door bij te dragen aan de ontwikkeling van algemene kennis, vaardigheden en houdingen (zoals nauwkeurigheid, probleemoplossend vermogen, aandacht en geheugen). 4. **Positieve houding**: Het is essentieel dat kinderen positieve gevoelens en opvattingen over wiskunde ontwikkelen. Dit wordt bevorderd door wiskunde op een positieve en speelse manier te ontdekken, bijvoorbeeld via spel. ### 1.4 Wiskunde in de kleuterklas: hoe? De implementatie van wiskundeonderwijs in de kleuterklas vereist een doordachte aanpak: #### 1.4.1 Wanneer kan wiskunde aan bod komen? Wiskunde kan op diverse momenten in de dag integreren: * Tijdens het vrij spelen. * Tijdens een door de leerkracht begeleide instructie-activiteit. * Tijdens routines (bv. eetmoment, opruimmoment). * Geïntegreerd in activiteiten met een andere focus (bv. tikspel, kookactiviteit, prentkijken). De leerkracht moet zowel instructie geven als spontaan spel begeleiden, en wiskundekansen gedurende de hele dag benutten. #### 1.4.2 Aansluiten bij voorkennis en belevingswereld * **Aansluiten bij de voorkennis**: Het wiskunde-aanbod moet aansluiten bij wat kinderen al weten, met leerdoelen die net een stapje verder gaan dan hun huidige niveau, terwijl de vorige stap herhaald wordt. Activiteiten mogen niet te moeilijk gemaakt worden om succes te garanderen. * **Betekenisvol aansluiten bij de belevingswereld**: Wiskunde moet op een levensechte en realistische manier aangeboden worden, gebruikmakend van materialen die de kinderen aanspreken (bv. thema's als eenhoorns, snoepjes, dino's). Voorbeelden zijn het kopen van appels in een winkelspel, kleding sorteren, of het vinden van een plank die precies past. #### 1.4.3 Feedback en begripsvorming * **Ondersteunende feedback**: Geef kort op de bal ondersteunende feedback. Als een kind een fout maakt, bijvoorbeeld één schelp te veel pakt, is een reactie als "Zijn dat er evenveel? Kijk nog eens goed?" gepast, met indien nodig ondersteuning of herhaling door de leerkracht. * **Procesgerichte feedback**: Benoem de processen (de aanpak) die van belang zijn, niet enkel of het antwoord juist of fout is. Voorbeeld: "Je telde de schelpen heel precies. Je was niet helemaal zeker en telde ze nog een keer. Dat was een goed idee." * **Bevorderen van begripsvorming**: Nieuwe wiskundige begrippen (zoals groot-klein, op-onder, langste-kortste, breder-smaller) worden het best geïntroduceerd via concrete materialen, beweging en het eigen lichaam, met gebruik van zintuigen en manipulatie, in plaats van via grote prenten of werkblaadjes. #### 1.4.4 Stimuleren van probleemoplossend denken Het is cruciaal om het zelfstandig nadenken en problemen oplossen van kleuters te stimuleren. Een impuls die hierbij helpt in een bloemenwinkeltje is bijvoorbeeld: "Welke bloemen horen samen? Hoe kunnen we groepjes maken?" Dit stimuleert creativiteit meer dan instructies zoals "Leg hier al de blauwe bloemen." #### 1.4.5 Veilig klimaat Zorg voor een veilig klimaat waarin kleuters fouten durven maken en uitdagingen aangaan. #### 1.4.6 Samenvatting van 'Hoe?' * Geef instructie en begeleid spontaan spel. * Benut wiskundekansen de hele dag door. * Sluit aan bij de voorkennis en belevingswereld. * Geef kort op de bal ondersteunende feedback en procesgerichte feedback. * Bevorder begripsvorming met concrete materialen, beweging en gebaren. * Stimuleer zelfstandig nadenken en probleemoplossing. * Zorg voor een veilig klimaat waarin fouten maken mag. * Laat wiskunde aan bod komen via begeleid aanbod, vrij spel, routines en geïntegreerd in andere activiteiten. * Vertrek vanuit concrete ervaringen met echte materialen. ### 1.5 Wiskunde en taal Wiskunde heeft een specifieke vaktaal, de wiskundetaal, met begrippen als 'meer', 'patroon', 'zwaarder'. #### 1.5.1 Stimuleren van wiskundetaal * **Expliciet aanleren en veel laten klinken**: Leer de begrippen expliciet aan en laat ze veelvuldig voorkomen in wiskunde- en niet-wiskunde activiteiten. Voorbeelden van begrippen zijn: op, onder, voor, achter, meer, minder, evenveel, zwaar, licht, langer, smal, cirkel, vierkant. Herhaal begrippen in verschillende betekenisvolle contexten. * **Kleuters de taal laten gebruiken**: Laat kleuters zelf de wiskundetaal hanteren, bijvoorbeeld door te vertellen aan een handpop, aan elkaar of aan de leerkracht. * **Vroeg beginnen**: Begin hier al vroeg mee bij alle kinderen, ook bij kinderen met taalproblemen of meertalige kleuters. #### 1.5.2 Kennismaken met symbolen en visuele representaties Kleuters kunnen kennismaken met symbolen en visuele voorstellingen. Zinvolle activiteiten zijn: * Wiskundige symbolen natekenen, zoals `\%`, `x`, `+`. * Pen en papier aanbieden in hoeken (bv. huishoek, winkelhoek) om de voorraad bij te houden met tekeningen of turven. * Oudere kleuters een plan laten tekenen van hoe ze iets willen bouwen. #### 1.5.3 Samenvatting 'Wiskunde en taal' * Stimuleer wiskundetaal door begrippen expliciet aan te leren en veel te laten klinken in diverse activiteiten. * Herhaal begrippen in betekenisvolle contexten. * Laat kleuters zelf de wiskundetaal gebruiken. * Begin hier vroeg mee bij alle kinderen. * Laat kleuters kennismaken met symbolen (cijfers, pijl) en visuele representaties (bv. bouwplan tekenen). ### 1.6 Intro classificeren en seriëren * **Classificeren**: Het verzamelen van objecten volgens één of meerdere eigenschappen. Dit valt onder het domein 'Meetkunde' bij 'Logica en verzamelingen'. Een visueel hulpmiddel hierbij is het **Venndiagram**, dat de logische relaties tussen verzamelingen illustreert. Voorbeelden van classificatie-activiteiten zijn het sorteren van zaden of tonnetjes, en het ordenen van taarten in groepjes. * **Seriëren**: Het rangschikken van objecten volgens toenemende of afnemende mate van een eigenschap of aantal. Voorbeelden hiervan zijn logiset ordenen of taarten inpakken met symbooldobbelstenen. #### 1.6.1 Hoe komt classificeren en seriëren aan bod in de kleuterklas? Deze concepten kunnen op verschillende manieren aan bod komen: * Mentaal niveau. * Met speciaal ontworpen materiaal (bv. logiset). * Met materiaal uit het dagelijkse leven (bv. zaden sorteren, taarten in een bakkerijspel). > **Tip:** Bij het werken met taarten in een spel kan de moeilijkheidsgraad worden opgebouwd door bijvoorbeeld te werken met symbooldobbelstenen voor het inpakken. ### 1.7 Wat moet je kennen/kunnen? * Je kent de 6 domeinen van wiskunde en kunt hiervan een voorbeeld geven. * Je kunt bij voorbeelden aangeven welk domein van wiskunde aan bod komt (voor toepassingen die vergelijkbaar zijn met die in de les). * Je kunt het belang van wiskunde in de kleuterklas uitleggen. * Je kunt uitleggen hoe wiskunde in de kleuterklas vorm moet krijgen en dit toepassen. * Je kunt uitleggen hoe je aan wiskundetaal kunt werken en dit toepassen. * Je kunt de begrippen classificeren, seriëren, verzameling en venndiagram uitleggen en illustreren. * Je kunt voorbeelden geven van hoe classificeren en seriëren in de klas aan bod kan komen (mentaal, met speciaal ontworpen materiaal, met materiaal uit het dagelijkse leven). --- # De zes domeinen van wiskunde en minimumdoelen Dit topic behandelt de zes kerngebieden binnen de wiskunde voor kleuters: getallenkennis, bewerkingen, meten, meetkunde, kansrekenen en statistiek, en probleemoplossend denken, met daarbij de Vlaamse minimumdoelen voor deze domeinen. ### 2.1 De zes domeinen van wiskunde Wiskundige initiatie in de kleuterklas omvat zes centrale domeinen die de basis leggen voor verder wiskundig leren. Deze domeinen zijn: * **Getallenkennis**: Dit domein focust op het ontwikkelen van inzicht in getallen en het tellen. * **Bewerkingen**: Hieronder vallen basisbegrippen van optellen, aftrekken, en andere rekenkundige bewerkingen in een context die passend is voor kleuters. * **Meten en metend rekenen**: Dit omvat het verkennen van grootheden zoals lengte, oppervlakte, inhoud/volume, massa (gewicht), en het begrijpen van tijdstippen en tijdsduren. Dit domein wordt vaak onderverdeeld in de eerste en tweede kleuterklas. * **Meetkunde**: Dit domein bestrijkt vormleer, plaatsbepaling, het begrijpen van meetkundige relaties en transformaties, en logica en verzamelingen. Dit wordt eveneens vaak gedifferentieerd over de eerste en tweede kleuterklas. * **Kansrekenen en statistiek**: Dit domein introduceert kleuters tot basisconcepten van waarschijnlijkheid en het verzamelen en interpreteren van data. Dit wordt typisch aangereikt in de tweede kleuterklas. * **Probleemoplossend denken en vraagstukken**: Dit domein is gericht op het ontwikkelen van vaardigheden om problemen te analyseren, strategieën te bedenken en oplossingen te vinden. Dit domein is relevant voor zowel de eerste als de tweede kleuterklas. Het is belangrijk op te merken dat deze deeldomeinen in de praktijk vaak met elkaar verweven zijn en samen aan bod komen tijdens activiteiten. > **Tip:** De Vlaamse minimumdoelen voor kleuters integreren deze zes domeinen. Voor het domein getallenkennis dienen de doelen op populatieniveau bereikt te worden, terwijl voor de overige domeinen de doelen op populatieniveau nagestreefd worden. ### 2.2 Belang en Didactiek van Wiskunde in de Kleuterklas Wiskundige initiatie is cruciaal omdat het wiskundig denken op jonge leeftijd een belangrijke voorspeller is voor later schoolsucces, beroepskeuze en sociaaleconomische status. Uitdagend wiskundeonderwijs draagt bovendien bij aan de ontwikkeling van andere gebieden, zoals taal- en sociaal-emotionele ontwikkeling. Wiskunde heeft zowel een grote praktische waarde in het dagelijks leven als een algemeen vormende waarde, door het ontwikkelen van algemene kennis, vaardigheden en houdingen zoals nauwkeurigheid en probleemoplossend vermogen. Het is essentieel dat kleuters positieve gevoelens en opvattingen over wiskunde ontwikkelen door het op een positieve en speelse manier te ontdekken. De didactiek van wiskunde in de kleuterklas omvat verschillende aspecten: * **Momenten voor wiskunde**: Wiskunde kan op diverse momenten aan bod komen: tijdens vrij spel, specifieke instructie-activiteiten, routines (zoals eet- of opruimmomenten) en geïntegreerd in activiteiten met een andere focus (bijvoorbeeld een tikspel of een prentbekijk-activiteit). Leerkrachten geven instructie en begeleiden spontaan spel, waarbij ze de hele dag door wiskundekansen benutten. * **Aansluiten bij voorkennis en belevingswereld**: Het wiskundeaanbod sluit aan bij de voorkennis van kleuters door te werken rond leerdoelen die net een stapje verder gaan dan wat ze al beheersen, met herhaling van eerdere stappen. Het aanbod is betekenisvol en sluit aan bij de belevingswereld van kleuters door gebruik te maken van levensechte, realistische situaties en herkenbare materialen (zoals snoepjes, dino's of eenhoorns). * **Feedback**: Ondersteunende feedback is kort en gericht op de kern. Er wordt ook gebruik gemaakt van procesgerichte feedback, waarbij niet enkel het juiste of foute antwoord wordt benoemd, maar ook de aanpak of het proces dat het kind heeft gevolgd. Dit stimuleert het nadenken over strategieën. * **Begripsvorming**: Begrippen worden bevorderd door concreet materiaal, beweging en gebaren te gebruiken. Dit omvat het verkennen met zintuigen en het manipuleren van materialen, in plaats van enkel met prentjes te werken. * **Probleemoplossend denken stimuleren**: Kleuters worden aangemoedigd om zelf na te denken en problemen op te lossen. De leerkracht doet dit niet te veel voor hen, maar biedt ondersteuning via feedback en stimuleert zelfstandig denken. Een veilig klimaat waarin fouten maken mag, is essentieel om uitdagingen aan te gaan. #### 2.2.1 Wiskundetaal en Symbolen Wiskunde heeft een eigen vaktaal met specifieke begrippen (bijvoorbeeld meer, patroon, zwaarder). Het stimuleren van deze wiskundetaal gebeurt door de begrippen expliciet aan te leren, ze veel te laten 'klinken' in verschillende contexten (zowel wiskunde- als niet-wiskundeactiviteiten), en kleuters zelf de taal te laten gebruiken. Kleuters kunnen ook kennismaken met symbolen en visuele representaties. Dit kan door wiskundige symbolen na te tekenen, pen en papier ter beschikking te stellen voor het bijhouden van voorraden met tekeningen of turven, of door oudste kleuters een plan te laten tekenen van hoe ze iets willen bouwen. Het is cruciaal om wiskundetaal te stimuleren bij *alle* kinderen, inclusief kinderen met taalproblemen of anderstalige kleuters. > **Voorbeeld:** Begrippen die kleuters leren omvatten onder andere: meer, minder, evenveel, groter, kleiner, langer, korter, breder, smaller, op, onder, voor, achter, zwaar, licht, cirkel, vierkant, patroon. ### 2.3 Classificeren en Seriëren Classificeren en seriëren zijn belangrijke denkvaardigheden die bij kleuters ontwikkeld kunnen worden, met name binnen het domein van meetkunde (logica en verzamelingen). * **Classificeren**: Dit houdt in dat voorwerpen worden verzameld volgens één of meerdere eigenschappen. Hierbij kunnen venndiagrammen worden gebruikt om de logische relaties tussen verzamelingen te illustreren. Activiteiten zoals het sorteren van zaden of logische spelletjes bevorderen dit. > **Voorbeeld:** "Welke bloemen horen samen? Hoe kunnen we groepjes maken?" of het scheiden van blauwe en rode bloemen. * **Seriëren**: Dit betekent het rangschikken van voorwerpen volgens een toenemende of afnemende mate van een eigenschap of aantal. Dit kan bijvoorbeeld door tonnetjes te ordenen of door een reeks te leggen. > **Voorbeeld:** Het ordenen van een reeks objecten van klein naar groot. Deze concepten kunnen in de klas worden aangeboden via mentale oefeningen, speciaal ontworpen materiaal, of materiaal uit het dagelijkse leven. Dit kan zowel op een directe manier als geïntegreerd in spelactiviteiten, zoals een bloemenwinkeltje of een taartenbakactiviteit. De opbouw van moeilijkheid kan bijvoorbeeld door gebruik te maken van symbooldobbelstenen bij het inpakken van taarten. --- # Het belang en de implementatie van wiskundeonderwijs in de kleuterklas Dit topic verklaart waarom wiskunde belangrijk is in de kleuterklas, hoe het effectief kan worden aangeboden en hoe wiskundetaal kan worden gestimuleerd, met concrete voorbeelden voor de praktijk. ### 3.1 Het belang van wiskunde in de kleuterklas Wiskundig inzicht op jonge leeftijd is een significante voorspeller voor het latere schoolsucces, de loopbaan en de sociaaleconomische status van een kind. Uitdagend wiskundeonderwijs in de kleuterklas draagt niet alleen bij aan de wiskundige ontwikkeling, maar stimuleert ook de taal- en sociaal-emotionele ontwikkeling. Wiskunde bezit een grote praktische waarde, omdat het noodzakelijk is in dagelijkse situaties, en een algemeen vormende waarde, door bij te dragen aan de ontwikkeling van algemene kennis, vaardigheden en houdingen zoals nauwkeurigheid, probleemoplossend vermogen, aandachtsgerichtheid en geheugen. Het is cruciaal dat kleuters positieve gevoelens en opvattingen over wiskunde ontwikkelen door het op een speelse en positieve manier te ontdekken. > **Tip:** Wiskunde is niet slechts een apart vakgebied, maar integreert ook met andere ontwikkelingsgebieden, wat het belang ervan in de vroege kinderjaren onderstreept. ### 3.2 Implementatie van wiskunde in de kleuterklas Effectieve implementatie van wiskundeonderwijs in de kleuterklas vereist een doordachte aanpak waarbij kansen doorheen de dag worden benut. #### 3.2.1 Wanneer kan wiskunde aan bod komen? Wiskunde kan op diverse momenten in de klasdag worden geïntegreerd: * Tijdens het vrij spelen. * Tijdens een specifieke instructie-activiteit begeleid door de leerkracht. * Tijdens routines, zoals het eet- of opruimmoment. * Tijdens activiteiten met een andere primaire focus, zoals tikspelen, kookactiviteiten of prenten bekijken. De leerkracht dient zowel directe instructie te geven als het spontane spel te begeleiden, en wiskundekansen gedurende de hele dag te benutten. #### 3.2.2 Aansluiten bij voorkennis en belevingswereld Het wiskundeaanbod dient aan te sluiten bij de voorkennis van de kleuters, wat betekent dat leerdoelen net iets uitdagender zijn dan wat de kinderen al beheersen, maar tegelijkertijd de vorige stap herhalen. Daarnaast is het essentieel dat het aanbod betekenisvol aansluit bij de belevingswereld van de kleuters. Dit houdt in dat wiskunde op een levensechte of realistische manier wordt aangeboden, bijvoorbeeld door het kopen van appels in een winkelspel, het sorteren van kleding, of het zoeken van een plank die precies past. Het gebruik van materialen die de kinderen aanspreken, zoals eenhoorns, snoepjes of dino's, verhoogt de betrokkenheid. > **Tip:** Start met concrete ervaringen en het handelen met echte materialen in plaats van enkel met afbeeldingen. #### 3.2.3 Feedback geven Bij het begeleiden van wiskundeactiviteiten is de manier van feedback geven cruciaal: * **Ondersteunende feedback:** Geef korte, gerichte feedback om kinderen te ondersteunen wanneer ze een taak niet direct beheersen. Dit kan inhouden dat de leerkracht de taak voordoet of ondersteuning biedt. * **Procesgerichte feedback:** Benoem de processen (de aanpak) die belangrijk zijn, niet enkel of een antwoord juist of fout is. Benadruk bijvoorbeeld de nauwkeurigheid waarmee werd geteld of de doordachte aanpak bij het kiezen van een passende plank. > **Example:** In plaats van enkel te zeggen "Dat is goed, er liggen 9 schelpen", kan procesgerichte feedback luiden: "Je telde de schelpen heel precies. Je was niet helemaal zeker en besloot ze nog een keer te tellen. Dat was een goed idee." #### 3.2.4 Bevorderen van begripsvorming Begripsvorming wordt bevorderd door het gebruik van concrete materialen, beweging en gebaren. Bij het introduceren van nieuwe wiskundige begrippen zoals 'groot-klein', 'op-onder' of 'langste-kortste', is het effectiever om te werken met echte materialen, het eigen lichaam en zintuiglijke exploratie, in plaats van enkel met grote prenten of werkblaadjes. #### 3.2.5 Stimuleren van probleemoplossend denken Het stimuleren van het zelfstandig nadenken en problemen oplossen bij kleuters is van groot belang. Dit kan door hen zelf problemen te laten oplossen en hen hierover te laten nadenken, in plaats van het te veel voor hen te doen. Een veilige leeromgeving waarin fouten maken mag en uitdagingen durven aangaan wordt aangemoedigd, is hierbij essentieel. > **Example:** Bij een bloemenwinkeltje-spel kan een impuls die probleemoplossend denken uitlokt zijn: "Welke bloemen horen samen? Hoe kunnen we groepjes maken?", in plaats van enkel te instrueren: "Leg hier al de blauwe bloemen. Leg hier al de rode bloemen." ### 3.3 Wiskundetaal in de kleuterklas Wiskunde kent een eigen vaktaal, de wiskundetaal, met begrippen als 'meer', 'patroon' of 'zwaarder'. #### 3.3.1 Stimuleren van wiskundetaal Wiskundetaal wordt gestimuleerd door: * **Expliciet aanleren en veel laten klinken:** De begrippen moeten expliciet worden aangeleerd en veelvuldig worden gebruikt, zowel binnen als buiten wiskundige activiteiten, de hele dag door. Voorbeelden van deze begrippen zijn 'op', 'onder', 'voor', 'achter', 'meer', 'minder', 'evenveel', 'zwaar', 'licht', 'langer', 'smal', 'cirkel', 'vierkant'. * **Herhaling in context:** Begrippen moeten in verschillende betekenisvolle contexten worden herhaald. * **Vroege introductie:** Dit proces moet vroeg bij alle kinderen beginnen, inclusief kinderen met taalproblemen of meertalige kleuters. * **Kleuters zelf laten gebruiken:** Kinderen moeten de wiskundetaal zelf actief gebruiken, bijvoorbeeld door te vertellen aan een handpop, elkaar of de leerkracht. #### 3.3.2 Kennismaken met symbolen en visuele representaties Kleuters kunnen al kennismaken met symbolen en visuele representaties. Dit is zinvol door: * Wiskundige symbolen zoals %, x, + te laten natekenen. * Pen en papier beschikbaar te stellen in huishoeken of winkelhoeken om de voorraad bij te houden met tekeningen of turven. * Oudere kleuters een plan te laten tekenen van hoe ze iets willen bouwen. > **Tip:** Vermijd het vermijden van wiskundetaal bij kinderen met taalproblemen of anderstalige kinderen; juist zij hebben baat bij een duidelijke en herhaalde blootstelling aan deze taal. ### 3.4 De zes domeinen van wiskunde in de kleuterklas De minimumdoelen voor wiskunde in de kleuterklas omvatten zes domeinen, hoewel deze in de praktijk vaak samen aan bod komen: 1. **Getallenkennis:** Inzicht in getallen en tellen. 2. **Bewerkingen:** Eenvoudige rekenkundige bewerkingen. 3. **Meten en metend rekenen:** Werken met lengte, oppervlakte, inhoud/volume, massa (gewicht), tijdstip en tijdsduur. 4. **Meetkunde:** Vormleer, plaatsbepaling, meetkundige relaties en transformaties, logica en verzamelingen. 5. **Kansrekenen en statistiek:** Kennismaking met kans en data. 6. **Probleemoplossend denken en vraagstukken:** Strategieën ontwikkelen om problemen op te lossen. *Opmerking:* In de Vlaamse minimumdoelen moeten de doelen voor getallenkennis op populatieniveau bereikt worden, terwijl de doelen voor de overige domeinen nagestreefd worden op populatieniveau. #### 3.4.1 Classificeren en seriëren Classificeren en seriëren zijn belangrijke concepten binnen het domein 'meetkunde' (logica en verzamelingen) en worden op verschillende manieren in de klas geïntroduceerd: * **Classificeren:** Het sorteren van objecten volgens één of meerdere eigenschappen. Dit kan met speciaal ontworpen materiaal (bv. logiset) of materiaal uit het dagelijkse leven (bv. zaden sorteren, tonnetjes ordenen). Venndiagrammen kunnen gebruikt worden om logische relaties tussen verzamelingen te illustreren. * **Seriëren:** Het rangschikken van objecten volgens een toenemende of afnemende mate van een eigenschap of aantal (bv. van klein naar groot, van kort naar lang). > **Example:** Activiteiten zoals het lied "Toppie toppie bakker zijn is toppie" waarbij taarten worden gemaakt en verwerkt, of het groeperen van bloemen in een bloemenwinkeltje, bieden concrete mogelijkheden voor classificatie en seriëring. Het inpakken van taarten met symbooldobbelstenen kan de moeilijkheidsgraad geleidelijk opbouwen. --- # Specifieke wiskundige concepten en vaardigheden voor kleuters Dit onderdeel focust op specifieke wiskundige concepten zoals classificeren en seriëren, en hoe deze begrippen worden geïllustreerd met materialen en activiteiten die geschikt zijn voor kleuters. ### 4.1 Classificeren en seriëren Classificeren en seriëren zijn fundamentele wiskundige concepten die binnen het domein 'meetkunde' vallen, specifiek onder 'logica en verzamelingen'. Deze vaardigheden helpen kinderen om de wereld om hen heen te structureren en te begrijpen. #### 4.1.1 Classificeren Classificeren houdt in het verzamelen van objecten volgens één of meerdere gemeenschappelijke eigenschappen. Dit kan geïllustreerd worden met behulp van hulpmiddelen zoals venndiagrammen, die de logische relaties tussen verschillende verzamelingen in kaart brengen. > **Voorbeeld:** Een activiteit waarbij kleuters taarten sorteren op basis van kenmerken zoals kleur en grootte. Zo kunnen ze bijvoorbeeld gevraagd worden om alle gele en kleine taarten te selecteren, of om te bepalen welke taarten niet rood zijn. **Materialen en activiteiten voor classificeren:** * **Logiset/Logispel:** Dit speciaal ontworpen materiaal stelt kinderen in staat om objecten te ordenen op basis van verschillende eigenschappen zoals kleur, vorm, grootte en dikte. * **Zaden sorteren:** Kleuters kunnen zaden sorteren op basis van hun uiterlijk, zoals grootte of kleur. * **Tonnetjes ordenen:** Het sorteren van tonnetjes kan gebaseerd zijn op verschillende kenmerken. * **Taartenbakkerij-activiteit:** In een rollenspel rond een bakkerij kunnen kleuters verschillende soorten taarten herkennen en sorteren. * **Taarten inpakken met symbooldobbelstenen:** Dit kan de moeilijkheidsgraad geleidelijk opbouwen door kinderen verschillende kenmerken te laten combineren. #### 4.1.2 Seriëren Seriëren is het rangschikken van objecten volgens een toenemende of afnemende mate van een bepaalde eigenschap, zoals grootte, lengte of aantal. > **Voorbeeld:** Kinderen vragen om de langste tot de kortste latten te rangschikken, of om blokken van klein naar groot te ordenen. **Materialen en activiteiten voor seriëren:** * **Zelfstudie seriëren:** Dit kan variëren van het rangschikken van afbeeldingen tot het ordenen van fysieke objecten. * **Kleuren sorteren:** Het sorteren van kleuren kan bijvoorbeeld van licht naar donker. * **Afbeeldingen ordenen:** Het plaatsen van afbeeldingen in een logische volgorde, bijvoorbeeld de stappen van een proces. ### 4.2 Groeilijnen en didactiek * **Groeilijnen:** Deze geven de stapsgewijze ontwikkeling van een inzicht of vaardigheid weer. Een voorbeeld is de groeilijn van getalbegrip, die de evolutie van het inzicht in getallen beschrijft. * **Didactiek:** Dit omvat de methoden en strategieën die gebruikt worden om wiskundige inzichten en vaardigheden te ontwikkelen. Het gaat hierbij om de keuze van geschikte materialen, activiteiten en doelen, evenals de manier waarop wiskundeactiviteiten begeleid worden. ### 4.3 Waarom wiskunde in de kleuterklas? De introductie van wiskunde in de kleuterklas is om verschillende redenen cruciaal: 1. **Voorspellende waarde voor later succes:** Kinderen die in de kleuterklas goed ontwikkelen in wiskundig denken, presteren later beter op school, in hun beroepskeuze en qua sociaaleconomische status. 2. **Brede ontwikkeling:** Stimulerend wiskundeonderwijs beperkt de ontwikkeling in andere gebieden niet, maar draagt er juist aan bij, met name aan de taal- en sociaal-emotionele ontwikkeling. 3. **Praktische en algemeen vormende waarde:** Wiskunde is essentieel in dagelijkse situaties (praktische waarde) en draagt bij aan de ontwikkeling van algemene kennis, vaardigheden en houdingen zoals nauwkeurigheid, probleemoplossend vermogen en aandacht (algemeen vormende waarde). 4. **Positieve houding:** Het is belangrijk dat kleuters positieve gevoelens en opvattingen over wiskunde ontwikkelen door deze op een speelse en ontdekkende manier te ervaren. ### 4.4 Hoe wiskunde aanbieden in de kleuterklas? De didactiek van wiskunde in de kleuterklas omvat diverse aspecten: * **Integratie in de dag:** Wiskunde kan aan bod komen tijdens vrij spel, instructieactiviteiten, routines (zoals eet- of opruimmomenten) en activiteiten met een andere focus (zoals een tikspel of een kookactiviteit). Het is belangrijk om wiskundekansen de hele dag door te benutten. * **Aansluiten bij voorkennis en belevingswereld:** Het aanbod moet aansluiten bij wat kinderen al weten en hun leefwereld. Dit betekent activiteiten aanbieden die net een stapje uitdagender zijn, maar ook herhaling bieden van reeds gekende concepten. * **Betekenisvolle contexten:** Wiskunde moet worden aangeboden in levensechte of realistische situaties, met materialen die kinderen aanspreken (bijvoorbeeld winkelspelletjes, sorteren van kleding, of een plank zoeken die past). * **Feedback:** * **Ondersteunende feedback:** Geef korte, directe feedback die het kind helpt om de taak te volbrengen. * **Procesgerichte feedback:** Benoem niet alleen of een antwoord juist of fout is, maar ook de aanpak van het kind. Benadruk de processen die belangrijk zijn, zoals nauwkeurigheid of het herhalen van stappen. * **Begripsvorming:** Bevorder het begrip door concrete materialen, beweging en gebaren te gebruiken. Laat kinderen wiskundige begrippen verkennen met hun zintuigen en door te manipuleren. * **Probleemoplossend denken stimuleren:** Moedig kinderen aan om zelf na te denken en problemen op te lossen. Doe dit niet te veel voor hen. * **Veilig klimaat:** Creëer een veilige omgeving waarin kinderen fouten durven maken en uitdagingen durven aangaan. ### 4.5 Wiskunde en taal Wiskunde kent een eigen vaktaal, bestaande uit begrippen zoals 'meer', 'patroon' en 'zwaarder'. De stimulering van deze wiskundetaal gebeurt door: * **Expliciet aanleren en veelvuldig gebruiken:** Benoem de wiskundige begrippen consequent, zowel in wiskunde- als in niet-wiskundeactiviteiten. * **Kinderen de taal laten gebruiken:** Laat kleuters zelf de wiskundetaal toepassen, bijvoorbeeld door te vertellen aan een handpop, medeleerlingen of de leerkracht. > **Voorbeeld van wiskundige begrippen:** meer, minder, evenveel, groter, kleiner, langer, korter, zwaarder, lichter, op, onder, voor, achter, cirkel, vierkant, patroon, reeks. Daarnaast kunnen kleuters kennismaken met symbolen en visuele representaties. Het is zinvol om hen wiskundige symbolen te laten natekenen, pen en papier aan te bieden voor het bijhouden van voorraad (met tekeningen of turven), of oudere kleuters een plan te laten tekenen voor een bouwwerk. > **Tip:** Wiskundetaal mag niet vermeden worden bij kinderen met taalproblemen of anderstalige kinderen; juist bij hen is het belangrijk om de taal expliciet aan te bieden en te herhalen in verschillende contexten. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Wiskundige initiatie | Het proces van het introduceren van wiskundige concepten en vaardigheden bij jonge kinderen, specifiek in de kleuterklas, om een sterke basis voor toekomstig wiskundeonderwijs te leggen. | | Groeilijnen | Deze geven aan hoe een bepaald inzicht of een specifieke vaardigheid zich stapsgewijs ontwikkelt bij een kind. Een voorbeeld is de groeilijn van getalbegrip, die de ontwikkeling van het inzicht in getallen beschrijft. | | Didactiek | Het onderwijsleerproces dat zich richt op de methoden en technieken die het meest effectief zijn voor het ontwikkelen of aanleren van inzichten en vaardigheden. Dit omvat de keuze van materialen, activiteiten en de begeleiding. | | Minimumdoelen | Specifieke leerresultaten die gesteld worden voor het kleuteronderwijs, waarbij voor sommige domeinen de doelen bereikt moeten worden op populatieniveau en voor andere doelen nagestreefd worden. | | Getallenkennis | Een wiskundig domein dat zich bezighoudt met het begrijpen van getallen, hun volgorde, hoeveelheden en het uitvoeren van eenvoudige rekenkundige bewerkingen. | | Bewerkingen | Het wiskundige domein dat betrekking heeft op rekenkundige operaties zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, aangepast aan het begripsniveau van kleuters. | | Meten en metend rekenen | Een wiskundig domein dat zich richt op het kwantificeren van eigenschappen zoals lengte, oppervlakte, inhoud, massa, tijdstip en tijdsduur met behulp van meetinstrumenten of vergelijkingen. | | Meetkunde | Het wiskundige domein dat zich bezighoudt met vormen (vormleer), de ruimtelijke plaatsbepaling, de relaties en transformaties tussen meetkundige objecten, en de logische concepten die hierbij horen. | | Kansrekenen en statistiek | Dit domein behandelt de principes van waarschijnlijkheid en de verzameling, analyse, interpretatie en presentatie van gegevens, aangepast aan de leeftijd van kleuters. | | Probleemoplossend denken en vraagstukken | Het wiskundige domein dat zich richt op het ontwikkelen van strategieën om uitdagingen te analyseren, oplossingen te bedenken en toe te passen. | | Voorkennis | De kennis en ervaringen die een kind al heeft opgedaan vóór een nieuwe leersituatie, waarop het onderwijs kan voortbouwen om de leerstof beter te laten aansluiten. | | Belevingswereld | De leefwereld en de directe ervaringen van het kind, die als basis dienen om leerstof betekenisvol en relevant te maken. | | Procesgerichte feedback | Feedback die zich richt op de aanpak, strategieën en inspanningen van een kind tijdens het oplossen van een taak, in plaats van enkel op het uiteindelijke resultaat (juist of fout). | | Begripsvorming | Het proces waarbij een kind betekenis geeft aan wiskundige concepten door actieve manipulatie, verkennen met zintuigen, beweging en het gebruik van concrete materialen. | | Wiskundetaal | De specifieke terminologie en woordenschat die binnen de wiskunde wordt gebruikt, zoals ‘meer’, ‘patroon’, ‘zwaarder’, welke expliciet aangeleerd en gebruikt moet worden. | | Symbolen en visuele representaties | De weergave van wiskundige ideeën en concepten door middel van cijfers, tekens, grafieken, tekeningen of plannen. | | Classificeren | Het vermogen om objecten te ordenen en te groeperen op basis van gemeenschappelijke eigenschappen. | | Seriëren | Het proces van het rangschikken van objecten volgens een bepaalde orde, zoals op grootte, lengte of aantal (van klein naar groot of omgekeerd). | | Verzameling | Een groep objecten of elementen die een gemeenschappelijke eigenschap delen. | | Venndiagram | Een grafische voorstelling die de logische relaties tussen twee of meer verzamelingen illustreert, vaak gebruikt om overlap en onderscheid te tonen. |

# Brede basiszorg voor wiskunde Brede basiszorg voor wiskunde omvat de algemene ondersteuning en organisatie van wiskundeonderwijs binnen een school, gericht op het optimaal ondersteunen van alle leerlingen [8](#page=8). ### 1.1 Kenmerken van effectief wiskundeonderwijs Effectief wiskundeonderwijs kenmerkt zich door een aantal samenhangende aspecten die essentieel zijn voor een zorgzame aanpak. Hoe sterker de samenhang tussen deze interventies, hoe krachtiger de leeromgeving wordt [9](#page=9). #### 1.1.1 Doelgerichtheid en hoge verwachtingen Leerplandoelen vormen het uitgangspunt voor wiskundeonderwijs, waarbij voor alle leerlingen hoge verwachtingen worden gesteld [8](#page=8). #### 1.1.2 Beredeneerd aanbod Dit omvat alle middelen die ingezet worden om leerlingen te begeleiden bij het behalen van wiskundedoelen, waaronder de inhoud, lesmethoden, materialen, en de didactische kennis, vaardigheden en ervaring van de leerkracht. Goede instructiekwaliteiten van de leerkracht zijn hierbij van direct belang, en wiskundelessen dienen zowel instructie als voldoende oefenkansen te bieden [9](#page=9). #### 1.1.3 Tijd en extra tijd Zowel de effectieve tijd die leerlingen aan wiskunde besteden als de totale leer- en instructietijd voor wiskunde zijn van belang voor betere leerprestaties. Meer geplande lestijd, extra tijd voor zwakke rekenaars en efficiënt tijdsgebruik hebben een positief effect [9](#page=9). #### 1.1.4 Differentiatie Adequaat omgaan met verschillen zorgt ervoor dat leerlingen optimaal leren uit de wiskundeles. Een rijk en gevarieerd aanbod komt tegemoet aan diverse onderwijsbehoeften, zoals verlengde instructie of extra uitdaging. Ook de manier van evalueren kan gedifferentieerd worden, bijvoorbeeld door aan te geven wat een leerling al kan of door deze met zichzelf te vergelijken [9](#page=9). #### 1.1.5 Een ‘goede rekenstart’ In de kleuterklas en beginnende lagere school creëren leerkrachten een rijke leeromgeving voor exploratie en wiskundige ervaringen. Hierbij worden voorbereidende wiskundige vaardigheden (tellen, getalbegrip, meten, relaties, patronen, ruimtelijke oriëntatie, tijd) aangereikt en geoefend. Leerkrachten verwoorden hun handelingen en redeneringen, wat cruciaal is voor leerlingen uit kansengroepen [9](#page=9). #### 1.1.6 Monitoren Monitoring van het leerproces op school-, klas- en individueel niveau is onderdeel van de kwaliteitszorg. Een grondige analyse van de output kan lacunes in het curriculum aanpakken of accenten in het wiskundeonderwijs bijsturen [10](#page=10). ### 1.2 Organisatie van het zorgbeleid en gelijkekansenbeleid Scholen hanteren een systematisch en transparant beleid rond wiskundeonderwijs, gedragen door het gehele schoolteam. Er wordt gereflecteerd over de kwaliteit van het wiskundeonderwijs, met een streven naar wetenschappelijke onderbouwing. Bij het gebruik van wiskundemethodes wordt nagegaan welke mogelijkheden deze bieden voor stimulering, differentiatie en remediëring. Het is essentieel om goed geïnformeerd te zijn over de eigen leerplannen [10](#page=10). > **Tip:** Maak concrete afspraken over welke wiskundige (oplossings)strategieën worden aangeleerd en hoe er gedifferentieerd wordt. Voorbeelden hiervan zijn het hanteren van dezelfde referentiematen bij metend rekenen, het voorzien van stappenplannen, en het leren werken met aanschouwelijk materiaal en visuele voorstellingen [10](#page=10) [11](#page=11). Pedagogische begeleidingsdiensten en het CLB kunnen scholen ondersteunen door informatie te verstrekken over de aanpak van rekenproblemen, wiskundevoorsprong, en de theoretische achtergrond van wiskundeproblemen en dyscalculie [11](#page=11). #### 1.2.1 Basisonderwijs In het basisonderwijs zorgt een transparant beleid ervoor dat wiskundeonderwijs voldoende aandacht krijgt. Dit kan door het monitoren van didactisch materiaal en wiskundeonderwijs, mede vanuit het zorgteam, met een analyse van evaluatiegegevens. Het verhogen van vaardigheden op het gebied van stimuleren, differentiëren en remediëren bij leerkrachten speelt hierbij een rol. Er is een duidelijke leerlijn voor wiskundige initiatie en wiskunde, met een gedeelde visie en opbouw van het leerplan [11](#page=11). #### 1.2.2 Secundair onderwijs Een transparant beleid rond wiskundeonderwijs in het secundair onderwijs vereist goede informatie-uitwisseling binnen het schoolteam. Het zorgbeleid komt alle leerlingen ten goede, met name die met leerproblemen of -stoornissen, aangezien deze invloed hebben op diverse vakken. De vakwerkgroep wiskunde is cruciaal voor het vakinhoudelijke en didactische beleid, waarbij zij kwaliteitsvolle methoden en didactiek kiest en mogelijke maatregelen voor differentiatie, remediëring, compensatie en dispensatie opstelt. Een verticale vakwerking voor wiskunde zorgt voor afstemming door de jaren heen [11](#page=11) [12](#page=12). > **Tip:** Leerlingen met wiskundeproblemen hebben baat bij een zorgondersteunend beleid met duidelijke afspraken voor 'leren leren' die door alle betrokkenen (leerkrachten, ouders, leerlingen) gekend zijn en nagestreefd worden. Een transparant en laagdrempelig systeem van remediëring is eveneens belangrijk [12](#page=12). ### 1.3 Vorming en ondersteuning van het schoolteam De professionalisering van het team is essentieel voor degelijk wiskundeonderwijs. Dit omvat differentiatie in de les en effectief omgaan met leerproblemen en leervoorsprong. Leerkrachten dienen inzicht te hebben in de leerplannen en deze te integreren binnen de gehanteerde methoden, met regelmatige reflectie op de leerdoelen [12](#page=12). > **Tip:** Pedagogische begeleidingsdiensten kunnen ondersteunend werken door reflectie- en bijsturingsmomenten te organiseren via vorming, intervisies en collegiale ondersteuning [12](#page=12). #### 1.3.1 Basisonderwijs Leerkrachten verwerven competenties in wiskundedidactiek tijdens hun opleiding en blijven zich bekwamen via professionaliseringsinitiatieven. Specialisatie van één of meerdere leerkrachten kan ondersteuning bieden aan het team, waarbij zij recente ontwikkelingen opvolgen [13](#page=13). #### 1.3.2 Secundair onderwijs Regelmatige reflectie en bijsturing zijn mogelijk via vorming en collegiale ondersteuning binnen de vakwerkgroep wiskunde. De vakwerkgroep draagt bij aan een goede zorg door te kiezen voor kwaliteitsvolle methodieken en aangepaste didactiek, met oog voor differentiatie en remediëring [13](#page=13). ### 1.4 Onthaal- en inschrijvingsbeleid Bij schoolverandering worden de onderwijsbehoeften, effectieve maatregelen, en gegevens van het leerlingvolgsysteem doorgegeven en besproken. Dit gebeurt idealiter met een overdrachtsdocument, in samenspraak met ouders en, indien mogelijk, de leerling. Externe onderzoeks- en therapieverslagen worden besproken, en indien nodig volgt een vervolggesprek. Hulpmiddelen van externe therapieën worden opgevraagd [13](#page=13) [14](#page=14). > **Tip:** Vraag bij schoolverandering na welke wiskundemethode werd gebruikt en tot waar de leerling met de leerstof is gekomen. Een beginsituatie-analyse voor wiskunde kan nodig zijn [14](#page=14). Tijdens het inschrijvingsgesprek wordt gepeild naar sterke wiskundige competenties en mogelijke problemen. Leerlingen met ernstige wiskundeproblemen worden aangemeld op het zorgoverleg voor het vaststellen van passende maatregelen [14](#page=14). ### 1.5 Zorgzaam handelen in de klas Het uitgangspunt is dat alle leerlingen maximaal profiteren van het klassikale aanbod. Een positief, veilig en rijk leerklimaat stimuleert actieve deelname. De inspanningen van leerlingen worden erkend, iedereen krijgt kansen en mag fouten maken. Feedback ondersteunt het leerproces [14](#page=14). Leerplandoelen staan centraal, met gepaste didactische werkvormen en aandacht voor differentiatie en remediëring. De manier van lesgeven en omgaan met de methode is bepalend voor de wiskundevorderingen [14](#page=14). > **Tip:** Brede basiszorg besteedt aandacht aan executieve functies en metacognitieve vaardigheden, zoals het organiseren van schrift, agenda, bank en boekentas, en het onderscheiden van hoofd- en bijzaken [15](#page=15). Mogelijke kapstokken voor een wiskundeles zijn: * Vaste lesstructuur (bv. Activerend Direct Instructiemodel - ADI) [15](#page=15). * Oefenen en automatiseren van basisvaardigheden [15](#page=15). * Cognitieve veiligheid, betrokkenheid en ‘growth mindset’ [15](#page=15). Naast klassikale opdrachten zijn gedifferentieerde wiskundeopdrachten voor subgroepen noodzakelijk. Interne differentiatie kan plaatsvinden op het gebied van aanbod (handelingsniveaus, complexiteit van problemen), instructie (pre-teaching, verlengde/groepsinstructie, sturende/banende instructie), en tijd (extra tijd voor risicoleerlingen) [15](#page=15) [16](#page=16). Er kan onderscheid gemaakt worden tussen: * **Convergente differentiatie:** Gericht op het bereiken van eindtermgerelateerde leerplandoelen en het dichten van de kloof tussen leerlingen [16](#page=16). * **Divergente differentiatie:** Leerlingen werken op eigen tempo aan eigen wiskundedoelen, aansluitend op individuele niveoms en behoeften [16](#page=16). Onderzoek toont aan dat bij groepswerk lage presteerders het meest profiteren van heterogene groepjes, terwijl gemiddelde presteerders het meest gebaat zijn bij homogene groepjes. Aandacht voor rekentaal is voor alle leerlingen belangrijk, in het bijzonder voor leerlingen met een andere thuistaal [16](#page=16). ### 1.6 Opvolgen van alle leerlingen Het zorgcontinuüm omvat een gefaseerde, procesmatige opvolging van alle leerlingen, met een kind- en/of leerlingvolgsysteem. Het RTI-model kan hierbij gehanteerd worden [17](#page=17). #### 1.6.1 Basisonderwijs * **Kleuteronderwijs (ontluikende gecijferdheid):** Een degelijk kindvolgsysteem helpt bij de opvolging van kleuters. Kennis van de normale ontwikkeling van ontluikende gecijferdheid is cruciaal. Leerkrachten kunnen achterstanden bij kansengroepen voorkomen en verminderen. Een ‘goede rekenstart’ is essentieel voor doorgaande leerlijnen. Kinderen moeten ervaren dat ze iets kunnen leren; telactiviteiten in spelvorm zijn belangrijk om de 'circle of failure' te voorkomen. Tellen is een belangrijke vaardigheid om op te volgen. Mogelijke signalen van nood aan extra zorg zijn moeilijkheden met classificeren, seriëren, een-op-eenrelatie, vergelijken van hoeveelheden, benoemen van hoeveelheden, kennen van de telrij, vlot tellen, reken- en instructietaal, visuele discriminatie, visueel-ruimtelijke vaardigheden, auditief geheugen, en zwakke taalontwikkeling [17](#page=17) [18](#page=18). > **Tip:** Hardnekkige uitval op meerdere voorbereidende vaardigheden, ondanks extra aandacht, kan een marker zijn voor latere rekenproblemen of dyscalculie. Vroegtijdige signalering van risicokleuters is daarom van groot belang [19](#page=19). * **Lager onderwijs (van aanvankelijk tot gevorderd rekenen):** Het leerlingvolgsysteem en leerlingendossier verzamelen gegevens over rekenen. Naast het evalueren van leerplandoelen, wordt het gebruik van genormeerde, methode-onafhankelijke toetsen aanbevolen. Observaties en toetsresultaten worden gebruikt voor herhaling, differentiatie en, indien nodig, remediëring. Bij systematische tekorten kan het schoolbeleid worden bijgestuurd [19](#page=19). Mogelijke signalen die erop wijzen dat extra zorg nodig is: * Lezen en interpreteren van getallen en symbolen [20](#page=20). * Schrijven van getallen [20](#page=20). * Telhandelingen [20](#page=20). * Opslaan en oproepen (automatisatie) van rekenfeiten (splitsingen, tafels, formules) [20](#page=20). * Rekenprocedures hanteren [20](#page=20). * Getallenkennis [20](#page=20). * Rekentaalbegrippen [20](#page=20). * Lezen van analoge klok [20](#page=20). * Schatten van tijdsduur [20](#page=20). Vanaf de hoogste leerjaren van het basisonderwijs steunen rekenprocessen steeds meer op inzicht en strategisch denken. Het belang van inzichtelijk wiskundeonderwijs, ook in de beginjaren, is hierbij cruciaal [20](#page=20). #### 1.6.2 Secundair onderwijs Leerlingvorderingen in het secundair onderwijs moeten goed worden opgevolgd om tijdig bij te sturen. Laagdrempelige remediëring kan voorkomen dat leerlingen grotere leerachterstanden ontwikkelen. Bij de opvolging wordt rekening gehouden met de functies van wiskundeonderwijs: algemeen vormend, brugfunctie en cashfunctie [20](#page=20). Mogelijke signalen van ernstige rekenproblemen in het secundair onderwijs: * Moeite met (inprenten van) formules en algebraïsch denken [21](#page=21). * Meer fouten bij het werken met getallen met nullen, komma's, breuken en procenten [21](#page=21). * Last met combi- of snelle rekentaken [21](#page=21). * Frequenter maken van procedurele fouten bij hoofdrekenen [21](#page=21). * Bij meetkunde: visueel-ruimtelijke problemen [21](#page=21). * Bij economie en boekhouden: cijfers niet juist onder elkaar plaatsen, cijfers met fouten overschrijven [21](#page=21). * Bij aardrijkskunde: moeilijkheden met schaalberekening, tabel en grafiek lezen [21](#page=21). * Bij geschiedenis: last met jaartallen situeren op tijdsband, jaartallen onthouden [21](#page=21). * Bij wetenschappen: moeite met formules en berekeningen, werken met millimeterpapier [21](#page=21). * Bij technologische opvoeding: informaticatechnologie, beslissingsschema's [21](#page=21). Goede organisatie van overgangsbesprekingen en informatieoverdracht bij veranderingen van klas of niveau is essentieel [21](#page=21). ### 1.7 Betrekken van alle leerlingen Leerlingen bewust maken van hun (leer)doelen, vorderingen, moeilijkheden en leerweg is cruciaal voor motivatie en leervorderingen. Informele gesprekken tussen leerkrachten en leerlingen, en tussen leerlingen onderling, zijn van wezenlijk belang. Leerkrachten dienen rekening te houden met de belevingswereld en attributies van de leerling. Het betrekken van leerlingen draagt bij aan hogere tevredenheid, verantwoordelijkheid en intrinsieke motivatie [21](#page=21) [22](#page=22). ### 1.8 Samenwerken met ouders De thuissituatie heeft invloed op het functioneren op school, inclusief hoe leerlingen omgaan met succes en falen, en hun concentratie tijdens de wiskundeles. Een positieve houding van ouders draagt bij aan de motivatie en het leerrendement van hun kind. De school blijft verantwoordelijk voor het leerproces en de zorg voor leerlingen met rekenproblemen [22](#page=22). #### 1.8.1 Basisonderwijs * **Huiswerk:** Het beleid rond huiswerk moet duidelijk zijn, met focus op motivatie en succesbeleving. Leerlingen met leerproblemen worden niet extra belast met huiswerk [22](#page=22). * **Informatie:** Ouders maken kennis met methodes en aanpak via informatiemomenten of opendeurdagen. Er wordt rekening gehouden met ouders uit kansengroepen, door duidelijke communicatie en respect voor cultuurverschillen. In de kleuterklas wordt wiskundige initiatie getoond, en ouders kunnen thuis voorbereidende rekenvaardigheden stimuleren. In het lager onderwijs wordt getoond wat wiskunde inhoudt en hoe de werking in de klas is. Uitleg op maat van ouders kan verwarring bij het kind voorkomen [22](#page=22) [23](#page=23). * **Leren leren:** Dit beperkt zich niet tot school. Samen met ouders en leerling wordt het belang van plannen, opdrachten en bijsturen van het leerproces besproken. Een ordelijke boekentas, agenda en mappen ondersteunen deze vaardigheden [23](#page=23). #### 1.8.2 Secundair onderwijs De betrokkenheid van ouders blijft essentieel bij de opvolging van leermoeilijkheden en de leerevolutie van hun kind. Er wordt gezocht naar een balans tussen opvolging van ouders en de groeiende zelfstandigheid van de leerling [23](#page=23). * **Aanspreekpunt:** Ouders en leerlingen worden geïnformeerd over wie aangesproken kan worden bij vragen of nood aan een gesprek [23](#page=23). * **Leren leren:** Ouders worden geïnformeerd over de begeleiding op school en aanvullende ondersteuning voor leerlingen met leerproblemen of -stoornissen. Het belang van plannen en bijsturen wordt besproken [23](#page=23). --- # Verhoogde zorg voor wiskundeproblemen Wanneer de brede basiszorg voor wiskundeproblemen niet meer volstaat, wordt overgegaan naar de fase van verhoogde zorg, waarbij in het zorgoverleg de onderwijsbehoeften worden bepaald en maatregelen worden aangepast of toegevoegd [24](#page=24). ### 2.1 Zorgoverleg Een transparant zorgbeleid op schoolniveau is essentieel voor de begeleiding van leerlingen met wiskundeproblemen of dyscalculie. De leerkracht meldt wiskundige initiatie- of wiskundeproblemen bij een leerling of groep aan het interne zorgoverleg, gebaseerd op systematisch bijgehouden informatie in een leerlingendossier en een brede kijk op de leerling [24](#page=24) [25](#page=25). #### 2.1.1 Basisonderwijs In het kleuteronderwijs worden kleuters aangemeld bij moeilijkheden met voorbereidende rekenvaardigheden. In de lagere school betreft dit leerlingen met moeite in het aanvankelijk rekenen, begrijpen van reken- en instructietaal, of trage ontwikkeling van executieve functies zoals organisatie, planning, aandacht en metacognitie [25](#page=25). #### 2.1.2 Secundair onderwijs In het secundair onderwijs worden leerlingen besproken voor wie de ondersteuning van vakleerkrachten wiskunde en wetenschappen ontoereikend is. Alle relevante informatie, inclusief welbevinden, succesbeleving en thuissituatie, wordt verzameld. Er wordt een balans opgemaakt van sterktes en zwaktes en doelgericht gezocht naar ondersteuningsmogelijkheden. Het is wenselijk om de leerling en ouders bij dit overleg uit te nodigen [25](#page=25). ### 2.2 Verzamelen van informatie #### 2.2.1 Gesprekken met leerkrachten Gesprekken binnen het zorgteam met leerkrachten bieden antwoorden over specifieke wiskundige competenties en tekorten, het functioneren van de leerling, de interactie en de benodigde ondersteuning voor de leerkracht [26](#page=26). > **Tip:** Overweeg vragen zoals: "Wat gaat er goed en wat loopt er moeilijk bij het rekenen?" en "Wat is de impact van de problemen op het totale functioneren van de leerling?" [26](#page=26). #### 2.2.2 Gesprekken met leerlingen Het is belangrijk om leerlingen hun problemen te laten verwoorden zoals zij ze ervaren, inclusief hun gevoelens en omgang hiermee. Een leerling kan vaak zelf aangeven wat lukt, waarom, en welke hulp nodig is. Het bespreken van toetsen met open vragen zoals "Vertel eens. Hoe heb je dat uitgerekend?" kan inzicht geven in het rekenwerk van de leerling en hun eigen oplossingsvaardigheden bevorderen (#page=26, page=27) [26](#page=26) [27](#page=27). > **Tip:** Gebruik open vragen om inzicht te krijgen in het denkproces van de leerling en hun zelfbewustzijn te vergroten (#page=26, page=27) [26](#page=26) [27](#page=27). #### 2.2.3 Gesprekken met ouders Tijdens gesprekken met ouders wordt aanvullende informatie verzameld om gezamenlijk tot een geschikte aanpak te komen. Transparante communicatie over wiskundedoelen en werkwijzen is cruciaal. Ouders kunnen gevraagd worden naar hun behoeften om hun kind te ondersteunen [27](#page=27). > **Voorbeeld:** Vragen als "Heeft jullie kleuter thuis interesse voor cijfers en tellen?" of "Hoe gaat het thuis met huiswerk en studeren?" kunnen waardevolle inzichten opleveren [28](#page=28). #### 2.2.4 Observatie Individuele of klasobservaties kunnen inzicht geven in de ontwikkeling van gecijferdheid, aanvankelijk en gevorderd rekenen. Denk hierbij aan observaties van hoe kleuters hoeveelheden voorstellen, hoe leerlingen te werk gaan bij optellen en aftrekken, of hoe zij contextrijke opgaven oplossen. Het inkijken van werkschriften en huiswerk levert ook nuttige informatie op [28](#page=28). #### 2.2.5 Nagaan van effecten van aanpassingen Het nagaan van de effecten van intensiteits- en kwaliteitsaanpassingen in het leerproces is belangrijk. Dit omvat het evalueren van de impact van interventies op korte en lange termijn [29](#page=29). #### 2.2.6 Leerlingvolgsysteem In het lager onderwijs kan naast methodegebonden toetsen een genormeerd, methodeonafhankelijk leerlingvolgsysteem (LVS) worden ingezet om leervorderingen te volgen. Bij onvoldoende scores kunnen bijhorende materialen voor verdere analyse en handelen worden geraadpleegd [29](#page=29). ### 2.3 Onderwijs-, opvoedings- en ondersteuningsbehoeften en aanpak bepalen Leerkrachten en het zorgteam formuleren gezamenlijk doelen en behoeften, en stemmen interventies hierop af, steeds in lijn met leerplandoelen. Langetermijndoelen kunnen worden opgesplitst in haalbare tussendoelen [30](#page=30). Factoren die de aanpak bepalen zijn: eerdere remediëring, socio-emotioneel functioneren, contextfactoren, de hulpvraag van de leerling, motivatie en verwachtingen van leerling en ouders, en de ondersteuningsbehoeften van ouders en leerkrachten [30](#page=30). > **Tip:** De hulpzinnen uit het Algemeen Diagnostisch Protocol kunnen ondersteunen bij het formuleren van onderwijs-, opvoedings- en ondersteuningsbehoeften [30](#page=30). De aanpak wordt gekozen op basis van de best passende, maar minst ingrijpende maatregel die participatie aan het klas- en schoolgebeuren maximaliseert. Er wordt gezocht naar aanpakken die ook grotere groepen leerlingen ten goede kunnen komen [31](#page=31). #### 2.3.1 Leerkrachtenperspectief versus leerlingperspectief In het basisonderwijs ligt de nadruk op een leerkrachtenperspectief, waarbij de leerkracht verantwoordelijk is voor interventies. In het secundair onderwijs kan dit verschuiven naar een leerlingperspectief, waarbij de leerling meer verantwoordelijkheid krijgt in probleemoplossing en metacognitieve ontwikkeling. Het succes van de aanpak wordt vaak bepaald door de gezamenlijke inzet van alle betrokkenen [31](#page=31). #### 2.3.2 Maatregelen De aanpak van leerlingen met wiskundeproblemen omvat vaak differentiërende, remediërende, compenserende en eventueel dispenserende maatregelen [31](#page=31). * **Stimuleren en differentiëren:** Stimulerende maatregelen ondersteunen de affectieve component, motiveren leerlingen en waarderen hun inzet. Differentiërende maatregelen bouwen voort op de brede basiszorg [32](#page=32). * **Remediëren:** Bij remediëring wordt extra leerhulp geboden door expliciete instructie van strategieën, reflectie op strategiegebruik en aangepaste oefeningen. Directe instructie is het meest effectief voor basisvaardigheden. Effectieve remediëring principes omvatten isoleren, oriënteren, herhalen, verkorten, versnellen, leren identificeren, integreren en generaliseren [32](#page=32) [33](#page=33). * **Compenseren:** Compenseren maximaliseert wiskundige vaardigheden via hulpmiddelen om een toenemende achterstand te voorkomen en zelfstandigheid te bevorderen. Het lost het probleem niet op, maar maakt er goed mee omgaan mogelijk. Leerlingen moeten leren deze compenserende maatregelen te gebruiken [34](#page=34). * **Dispenseren:** Dispenserende maatregelen zijn een laatste optie wanneer remediëren, differentiëren en compenseren onvoldoende zijn of niet relevant. Afspraken over het vrijstellen of toevoegen van doelen aan het curriculum worden gemaakt na grondig overleg. Het vrijstellen van leerplandoelen is een verregaande maatregel en vereist overleg met pedagogische begeleiding [34](#page=34). ### 2.4 Plannen, handelen en evalueren Het zorgteam volgt gemaakte afspraken en handelingsplannen op en evalueert deze, waarbij alle partners betrokken zijn. De evaluatie kan leiden tot het afbouwen of behouden van maatregelen, of tot bijsturing wanneer deze onvoldoende effect hebben. Bij bijsturing kunnen betrokkenen beroep doen op het CLB, waarbij het formuleren van nieuwe aanbevelingen centraal staat. De focus ligt hierbij op de vraag "Wat heeft deze leerling nodig?" in plaats van enkel een diagnostische vraag [35](#page=35). --- # Handelingsgericht diagnostisch traject (HGD) Een handelingsgericht diagnostisch traject (HGD) is een systematisch proces binnen het CLB dat gericht is op het analyseren van de onderwijs- en opvoedingsbehoeften van een leerling en het formuleren van passende ondersteuningsmaatregelen. Het traject omvat verschillende fasen, beginnend bij de intake en eindigend met advies en evaluatie. Het doel is om handelingsgerichte adviezen te formuleren met het oog op het optimaliseren van het onderwijs- en opvoedingsaanbod op de zorgvraag van de leerling [36](#page=36). ### 3.1 Fases van het HGD-traject Het HGD-traject kent de volgende opeenvolgende fasen: #### 3.1.1 Intakefase De intakefase is gericht op het breed verkennen van het functioneren van de leerling binnen zijn context, zonder voorafgaande hypotheses of probleemspecifieke instrumenten. De CLB-medewerker treedt op als begeleider en vertrekt vanuit het algemeen diagnostisch protocol [37](#page=37). ##### 3.1.1.1 Vraagverheldering De vragen van ouders, leerling en school worden verhelderd en gecategoriseerd als onderkennend, verklarend of indicerend [37](#page=37). * **Onderkennende hulpvragen:** Deze vragen richten zich op het identificeren van specifieke problemen of kenmerken, zoals: "Welke soort wiskundefouten maakt deze leerling?" of "Is er inzicht in het tiendelig getalstelsel?". De vraag "Heeft onze zoon/dochter dyscalculie?" is ook een voorbeeld van een onderkennende vraag [37](#page=37) [38](#page=38). * **Verklarende hulpvragen:** Deze vragen zoeken naar de oorzaak van de problemen, zoals: "Hoe komt het dat ik zo’n lage punten haal voor wiskunde?" of "Waarom maakt onze zoon/dochter zoveel fouten bij het maken van bewerkingen?". Attributies van de betrokkenen kunnen hierbij als inspiratiebron dienen [38](#page=38) [40](#page=40). * **Indicerende hulpvragen:** Deze vragen zijn gericht op het formuleren van adviezen en mogelijke oplossingen, zoals: "Kan de leerling in de klas zelfstandig de wiskunde-oefeningen maken als hij een formularium gebruikt?" of "Wat heeft ons kind nodig om de wiskunde-oefeningen te kunnen maken?" [38](#page=38). Het labelen van een leerling kan nuttig zijn indien het leidt tot inzicht, realistische doelen, passende ondersteuning of een gerichte doorverwijzing. Echter, uit onderzoek van Hattie blijkt dat niet-labelen een positief effect heeft op leerwinst [37](#page=37). ##### 3.1.1.2 Wensen en verwachtingen bevragen De wensen en verwachtingen van alle betrokkenen worden serieus genomen en gedurende het hele traject meegenomen. Ook als de wens een categoriale diagnose is, krijgt deze plaats binnen een ruimer HGD-traject met focus op onderwijs- en opvoedingsbehoeften [38](#page=38) [39](#page=39). ##### 3.1.1.3 Overzicht krijgen In deze fase wordt informatie verzameld uit diverse bronnen: * **Probleemanalyse en positieve aspecten:** Een breed beeld wordt gevormd door gesprekken met leerling, ouders en zorgteam, en door het verzamelen van informatie over wiskundige competenties, leerproces en samenhangende factoren [39](#page=39). * **CLB-dossier en schoolleerdossier:** Relevante gegevens uit het multidisciplinair CLB-dossier (incl. audiologische, visuele, neurologische gegevens) en het schoolleerdossier worden geraadpleegd [39](#page=39). * **Specifieke informatie voor lager onderwijs:** Toetsgegevens (LVS-wiskunde), schoolrapporten, methodegebonden/onafhankelijke toetsen, genomen maatregelen (differentiërende, remediërende, compenserende, dispenserende) en hun effecten, en signalen uit vorige schooljaren worden betrokken [39](#page=39). * **Specifieke informatie voor secundair onderwijs:** Gegevens uit het lager onderwijs (Baso-fiche, oriëntatieadvies), toets-/examen-/observatiegegevens van wiskunde en andere vakken, genomen maatregelen en hun effecten, signalen uit vorige schooljaren, en verslaggeving van externe diensten worden geraadpleegd [39](#page=39). * **Functioneren binnen de context:** De wisselwerking tussen leerling en omgeving wordt verkend, met aandacht voor veranderbare factoren in de leerling, de onderwijsleeromgeving of de gezinscontext [40](#page=40). * **Attributies bevragen:** Mogelijke verklaringen voor de problemen vanuit de betrokkenen worden bevraagd [40](#page=40). * **Relevante voorgeschiedenis en ondernomen activiteiten:** De ontwikkeling van gecijferdheid tot de huidige wiskundeontwikkeling wordt in kaart gebracht, inclusief mentale, visuele, cognitieve en psychomotorische functies. Ook de effectiviteit van reeds ondernomen activiteiten, met name buitenschoolse remediëring, wordt bevraagd [41](#page=41). #### 3.1.2 Strategiefase In deze fase worden de verzamelde gegevens geclusterd en worden hypotheses geformuleerd. ##### 3.1.2.1 Clusteren van functioneren Informatie wordt geclusterd volgens de componenten van de ICF-CY (Internationale Classificatie van het Menselijk Functioneren) om het totale functioneren van de leerling binnen zijn context in kaart te brengen [42](#page=42). ##### 3.1.2.2 Diagnostisch traject kiezen Het verdere diagnostische traject wordt bepaald door de hulpvragen en de reeds beschikbare gegevens. Indien de hulpvraag niet beantwoord kan worden, is een onderzoeksfase noodzakelijk. De focus ligt op het bepalen van aangepaste ondersteuning [42](#page=42). ##### 3.1.2.3 Hypotheses en onderzoeksvragen formuleren Er worden verschillende soorten hypotheses geformuleerd: * **Onderkennende hypotheses:** Beschrijvend (bv. "Deze leerling vindt de correcte oplossing... maar heeft een trager tempo" ), niveaubepalend (bv. "Het hoofdrekenen... situeert zich op niveau midden 3e leerjaar" ), of classificerend (bv. "Deze leerling voldoet aan de criteria van dyscalculie" ) [43](#page=43). * **Verklarende hypotheses:** Deze zoeken naar de oorzaken van de problemen (bv. "De leerling heeft problemen met wiskunde omdat hij zijn aandacht niet kan richten..." ) [43](#page=43). * **Indicerende hypotheses:** Deze zijn gericht op verandering of advies (bv. "Wanneer de leerkracht het gebruik van de HTE-tabellen stap voor stap aanleert, zal deze leerling de oefeningen zelfstandig kunnen maken" ) [44](#page=44). Bij elke hypothese worden duidelijke onderzoeksvragen geformuleerd, vaak met een 'als-dan'-redenering om de relevantie voor het handelen te toetsen [45](#page=45). ##### 3.1.2.4 Betrokkenen informeren en afstemmen De CLB-medewerker informeert de betrokkenen over het traject en de mogelijke vervolgstappen, waarbij de onderzoeksvragen worden besproken [47](#page=47). #### 3.1.3 Onderzoeksfase Het onderzoek richt zich op het beantwoorden van de geformuleerde onderzoeksvragen. ##### 3.1.3.1 Wat onderzoeken? Dit hangt af van de hypotheses en onderzoeksvragen. * **Dimensionele classificatie:** Gericht op het krijgen van een overzicht van het functioneren gerelateerd aan rekenen, gebruikmakend van de ICF-CY. Aandacht wordt besteed aan rekenen zelf, maar ook aan gerelateerde domeinen zoals lezen, schrijven, taalontwikkeling, motorische ontwikkeling, intellectuele functies, aandacht en executieve functies. Het schema geeft een gedetailleerd overzicht van aspecten van rekenen die onderzocht kunnen worden, gekoppeld aan ICF-CY domeinen [47](#page=47) [48](#page=48). * **Categoriale classificatie:** Bij een classificerende onderzoeksvraag (bv. dyscalculie) wordt onderzocht wat nodig is om de criteria te toetsen: achterstandscriterium, hardnekkigheidscriterium en exclusiviteitscriterium (milde vorm) [49](#page=49). * **Achterstandscriterium:** Een score beneden percentiel 10 op een gestandaardiseerde rekentest [49](#page=49). * **Hardnekkigheidscriterium:** Problemen die blijven bestaan ondanks adequate instructie en oefening. Dit wordt ook wel 'didactische resistentie' of RTI-criterium genoemd [49](#page=49). * **Exclusiviteitscriterium (milde vorm):** De leerproblemen zijn ernstiger dan verklaard kan worden door andere condities [49](#page=49). ##### 3.1.3.2 Hoe onderzoeken? Verschillende methoden worden ingezet: * **Gesprek:** * **Met de leerling:** Over sterke en zwakke kanten, beleving van problemen, zelfbedachte oplossingen, gewenste ondersteuning, schoolverloop, impact op dagelijks leven, gevoelens, attitudes en attributies [50](#page=50). * **Met de ouders:** Over het (school)verloop van de rekenontwikkeling, vroege ontwikkeling (spraak, taal, psychomotoriek), studeergedrag, thuiswerk, effectiviteit van aanpakken, attributies, beleving van problemen, welbevinden, sociale interacties, vrije tijd, stresssignalen, medische antecedenten en eigen ervaringen met rekenproblemen [51](#page=51) [52](#page=52). * **Met de leerkracht:** Over sterke/zwakke kanten van de leerling, beheersing van leerplandoelen, evolutie, foutenanalyse, werkhouding, motivatie, reactie van klasgenoten, effectiviteit van uitgeprobeerde aanpakken, timing van opdrachten, ondersteuning van de methode, instructie, differentiatie, sociaal-emotioneel functioneren, taalbegrip, taalgebruik, fijn- en grofmotorische taken, executieve functies en geheugen [52](#page=52) [53](#page=53) [54](#page=54). * **Observatie:** In de klas (tijdens wiskundeles en andere vakken) om het leerproces en de handelingen aan te pakken. Bij kleuters is observatie cruciaal, met gebruikmaking van instrumenten zoals het Groeiboek. Observatie kan zich richten op klassfeer, aandacht, behoefte aan instructie, hulp en feedback, aanpak leerkracht en interactie. Bij het afnemen van tests kan gelijktijdig geobserveerd worden hoe de leerling rekent, de tijd die nodig is, het herkennen van procedures en zelfcorrectie [54](#page=54) [55](#page=55). * **Analyse van beschikbare gegevens:** Beoordelen van bestaande analyses (bv. LVS-wiskunde) of uitvoeren van aanvullende analyses van taken, werkblaadjes, schriften en toetsen [56](#page=56). * **Bepaalde aanpak uitproberen en effect nagaan:** Een methode om veranderingsgerichte hypotheses te toetsen door een andere aanpak aan te leren en het effect ervan te evalueren [56](#page=56). * **Meting:** Gebruik van gestandaardiseerd diagnostisch materiaal (niveautoetsen en criteriumtoetsen) om het wiskundeniveau en de evolutie in kaart te brengen. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen instrumenten van 1e keuze, 2e keuze en enkel indicerende waarde, gebaseerd op de recentheid van Vlaamse normen en psychometrische kwaliteit. Een schema geeft een overzicht van aanbevolen instrumenten per niveau (basisonderwijs/secundair onderwijs) en per domein (rekenfeiten, rekenprocedures/getallenkennis, overige). Bij het testen wordt rekening gehouden met eindtermen, leerplannen en de aangeboden leerstof [56](#page=56) [57](#page=57) [58](#page=58) [59](#page=59) [60](#page=60). * **Medisch onderzoek / klinisch neurologisch onderzoek:** Indien onderzoeksvragen betrekking hebben op gezondheidsaspecten die het leren beïnvloeden [61](#page=61). ##### 3.1.3.3 Onderzoek uitvoeren, onderzoeksresultaten verwerken Deze stappen omvatten het daadwerkelijk uitvoeren van het onderzoek en het systematisch verwerken van de resultaten. #### 3.1.4 Integratie- en aanbevelingsfase In deze fase worden de onderzoeksresultaten samengevoegd en vertaald naar concrete adviezen. ##### 3.1.4.1 Integratief beeld schetsen Alle resultaten worden samengebracht tot een overkoepelend beeld, met aandacht voor sterktes, wisselwerking en het samen voorkomen van componenten binnen het functioneren van de leerling in zijn context. Bij het hanteren van ICF-CY wordt rekening gehouden met de eisen van de context aan de rekenvaardigheden [62](#page=62). ##### 3.1.4.2 Formuleren van doelen Doelen worden geformuleerd om de leerkansen te bevorderen, rekening houdend met het onderwijsloopbaanperspectief en de algemene ontwikkelingsmogelijkheden van de leerling. Wiskundeproblemen mogen geen reden zijn om doelen lager te leggen. Er wordt ingezet op remediëring, verhoging van activiteiten en participatie, en beïnvloeding van externe en persoonlijke factoren. Voorbeelden van doelen zijn: "De leerling kan zelfstandig de rekenopdrachten in de klas afwerken" of "De leerling kijkt op een positievere manier naar zijn schoolprestaties" [62](#page=62) [63](#page=63). ##### 3.1.4.3 Formuleren van onderwijs-, opvoedings-, en ondersteuningsbehoeften en komen tot een overzicht van aanbevelingen Vanuit de doelen worden specifieke behoeften geformuleerd en vertaald naar concrete aanbevelingen voor de leerling, ouders en leerkrachten. Hierbij wordt gesteund op het integratief beeld, praktijkervaring, regelgeving, vakliteratuur en wetenschappelijk onderzoek [63](#page=63) [64](#page=64) [65](#page=65). ##### 3.1.4.4 Aanbevelingen beoordelen De aanbevelingen worden beoordeeld op hun belang voor de leerling en hun mogelijke invloed op de onderwijsloopbaan [66](#page=66). #### 3.1.5 Adviesfase Deze fase omvat het informeren, overleggen en afspreken omtrent interventies, en de verslaggeving. Het HGD-verslag wordt opgenomen in het multidisciplinair dossier en, met toestemming, bezorgd aan het zorgteam en externe betrokkenen [66](#page=66). #### 3.1.6 Handelen en evalueren Na de HGD wordt de aanpak, zoals vastgelegd in de fase van verhoogde zorg, verder aangepast. Het gericht handelen en evalueren sluit aan bij de adviezen. De concrete uitwerking van adviezen is een gedeelde verantwoordelijkheid [66](#page=66) [67](#page=67). ##### 3.1.6.1 Rol van de betrokkenen en onderlinge samenwerking * **School:** De school heeft een actieve rol in het leerproces, het bevorderen van talenten en het bieden van extra zorg. Erkenning en begrip voor wiskundeproblemen zijn cruciaal [67](#page=67) [68](#page=68). * **Leerling en medeleerlingen:** Stimuleren van vaardigheden om zelfstandiger om te gaan met problemen, betrekken bij adviezen en inzicht geven in het gebruik van sterktes ter compensatie van zwaktes. Bespreking met klasgenoten is belangrijk voor begrip en inclusie [68](#page=68). * **Ouders:** Begrip en ondersteuning van ouders zijn cruciaal. Krachtbronnen uit de context worden benut en er wordt aandacht besteed aan ontspanning thuis [69](#page=69). * **CLB:** Biedt psycho-educatie, versterkt eigenwaarde en legt uit wat dyscalculie inhoudt. Begeleiding is gericht op oplossingsgericht omgaan met socio-emotionele problemen [69](#page=69). * **Externe partners:** Bij hardnekkige problemen kan externe begeleiding ingeschakeld worden, met goede afstemming tussen externe begeleiding, school en thuissituatie [70](#page=70). ##### 3.1.6.2 Globale evaluatie en cyclisch verloop Evaluatie van interventies gebeurt in overleg met alle betrokkenen. Regelmatige evaluatie is belangrijk om de aanpak tijdig bij te sturen [70](#page=70). ### 3.2 Individueel aangepast curriculum – Fase 3 In uitzonderlijke gevallen kunnen aanpassingen aan het gemeenschappelijk curriculum disproportioneel of onvoldoende blijken. Dan wordt een individueel aangepast curriculum opgesteld, wat kan leiden tot een overstap naar buitengewoon onderwijs of specifieke aanpassingen binnen het gewoon onderwijs. Een terugkeer naar het gemeenschappelijk curriculum blijft het perspectief [71](#page=71). --- # Theoretisch deel: Ontwikkeling en problemen Dit gedeelte biedt een theoretische onderbouwing van de wiskundige ontwikkeling, de diverse verschijningsvormen van problemen, definities, classificatie, etiologie en ondersteunende factoren met betrekking tot rekenproblemen en dyscalculie. ### 5.1 Relevante ontwikkelingsaspecten en verschijningsvorm Het hoofddoel van wiskundeonderwijs is het ontwikkelen van wiskundige competenties om te kunnen functioneren in de maatschappij, een opleiding te volgen en een beroep uit te oefenen. Om tijdig problemen te signaleren en bij te sturen, is inzicht in de normale wiskundige ontwikkeling essentieel. De wiskundige ontwikkeling kent drie fasen die in elkaar kunnen overlopen: ontluikende gecijferdheid, aanvankelijk rekenen en gevorderd rekenen . #### 5.1.1 Ontluikende gecijferdheid Al vóór het formele wiskundeonderwijs ontwikkelt zich 'number sense' of getalgevoeligheid. Baby's kunnen zeer snel objecten tot vier schatten en rond 10 maanden onderscheiden ze zeer snel hoeveelheden. Rond 24 maanden is er een belangrijke periode voor de ontwikkeling van de telvaardigheid. Peuters hebben een besef van hoeveelheid en kunnen kleine aantallen direct herkennen zonder te tellen (subitizing). Vanaf 3 jaar ontwikkelen de telvaardigheden en andere voorbereidende rekenvaardigheden zich wederzijds beïnvloedend . ##### Voorbereidende rekenvaardigheden Deze vaardigheden dragen bij aan het getalbegrip en de rekenontwikkeling : * **Conservatie**: Inzicht dat verschillende hoeveelheden, gewichten of volumes toch gelijk kunnen zijn . * **Correspondentie**: De vaardigheid om hoeveelheden te vergelijken op basis van een een-op-eenrelatie . * **Classificatie**: Het vermogen om verzamelingen te maken door voorwerpen te groeperen op basis van kenmerken . * **Seriatie**: Het ordenen van elementen van klein naar groot, zwaar naar licht, etc. . * **Maatbegrip**: Inzicht dat hoeveelheden vergeleken kunnen worden met een afgesproken maat . * **Subitiseren**: Gevoeligheid voor hoeveelheden en het snel overzien van hoeveelheden kleiner dan vier . * **Tellen**: De belangrijkste eerste rekenalgoritme, onderscheiden in procedureel (weten hoe te tellen) en conceptueel tellen (achterliggende telprincipes beheersen) . * **Deel en geheel inzicht**: Begrijpen dat twee delen een geheel vormen . * **Patronen**: Het leggen van patronen . Bij de instap in het kleuteronderwijs variëren de rekenvaardigheden sterk tussen kinderen. Individuele verschillen in ontluikende gecijferdheid beïnvloeden de latere wiskundige ontwikkeling. Ongeveer 60% van de kleuters beheerst de onderliggende telprincipes nog niet bij de start van het eerste leerjaar. Verhoogd risico op dyscalculie is aanwezig bij meerdere signalen die niet verdwijnen met extra instructie en remediëring. Taalvaardigheid en getalbegrip zijn sterk met elkaar verbonden . #### 5.1.2 Aanvankelijk rekenen De rekenontwikkeling wordt vanaf het einde van de kleuterperiode en begin lager onderwijs meer intentioneel. Voortbouwend op voorbereidende vaardigheden en getalbegrip, leren leerlingen vanaf het eerste leerjaar eenvoudige rekenhandelingen. Hierbij staan inzicht, rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten en automatisering centraal. Het leerproces verloopt volgens het CSA-principe: concreet, schematisch, abstract . ##### Begripsvorming, wiskundetaal en -kennis * **Basiskennis**: Leerlingen leren getallen tot 20 lezen en schrijven, inclusief het flexibel tellen en het werken met cijfers, getallen en hoeveelheden. Vanaf het tweede leerjaar worden getallen op het honderdveld of in het HTE-schema gesitueerd. Basisoperatiesymbolen ('=', '+', '-', '>' en '<') worden aangeleerd . * **Rekentaal en Contextrijke opgave**: Leerlingen leren bewerkingen verwoorden en begrijpen dat opgaven als formule of talige opgave aangeboden kunnen worden. Contextrijke opgaven of rekenverhalen komen vanaf de eerste graad aan bod, waarbij het negeren van irrelevante informatie belangrijk is . * **Tijd en kloklezen**: Het aanleren van kloklezen, zowel analoog als digitaal, vraagt veel tijd en hangt samen met taalontwikkeling. Begrippen als 'gisteren', 'morgen' en het inschatten van tijdsduur worden aangeleerd . ##### Procedures en rekenfeiten * **Rekenalgoritmes, Procedures en Regels**: Het algoritme 'splitsen' wordt aangeleerd voor optellen met brug . * **'Brug'**: Bij het overschrijden van het tiental zijn minstens twee bewerkingsstappen nodig ('optellen met brug over tiental'). Dit vereist kennis van splitsingen . * **Rekenfeiten**: De opbouw verloopt gefaseerd via tellen, vingertellen, verbaal tellen, kennen en noteren van splitsingen, en uiteindelijk automatisering. Beheersing betekent het vlot en moeiteloos kennen van de oplossing. Splitsingen worden aan het einde van de eerste graad geautomatiseerd. Optellen en aftrekken tot 20 moeten ook geautomatiseerd zijn . #### 5.1.3 Gevorderd rekenen Gevorderd rekenen start bij getallen boven de twintig . ##### Begripsvorming, wiskundetaal en -kennis * **Omgaan met getallen boven de 20**: In de tweede graad worden het HTE-stelsel en de duizendtallen aangeleerd . * **Contextrijke opgave**: Naast enkelvoudige, komen samengestelde contextrijke opgaven (vraagstukken) aan bod, die gradueel opgebouwd worden . * **Breuk**: Vanaf de tweede graad wordt het concept 'breuk' geïntroduceerd, gebaseerd op inzicht in deling. Leerlingen leren breuken nemen van een eenheid en ermee rekenen . * **Decimaal getal**: Vanaf de tweede graad worden decimale getallen aangeboden, meestal binnen metingen. De strikte regelmaat in de getalstructuur en de relatie tussen breuken, procenten en decimale getallen worden aangeleerd . ##### Procedures en rekenfeiten * **Rekenalgoritmes, Procedures en Regels**: Optellen en aftrekken tot honderd gebeurt in doordachte stappen met verschillende oplossingsmethodes zoals de 'jump'-strategie, splitsstrategie, afronden, commutativiteit en associativiteit. Flexibele strategieën worden aangeleerd . * **Rekenfeiten / Maaltafel en deeltafel**: Vanaf het tweede leerjaar starten leerlingen met vermenigvuldigen en delen, als verkorte notatie van herhaalde optelling en aftrekking. De maaltafels moeten in de loop van de tweede graad vlot toegepast kunnen worden, aangezien veel onderdelen van gevorderd rekenen hierop steunen . * **Cijferen**: Vanaf de tweede graad kan overgegaan worden naar cijferend rekenen, mits voldoende inzicht in het getalsysteem. Het algoritme ontlast het werkgeheugen . * **Schattend rekenen**: Het schattend rekenen krijgt meer aandacht met de realistische visie op wiskundeonderwijs, vergroot maatschappelijke redzaamheid en ondersteunt precies rekenen. Leerlingen leren in welke situaties schatten zinvol is en hoe nauwkeurig te schatten . #### 5.1.4 Wiskunde in de 1e graad van het secundair onderwijs Naast verbreding en verdieping van rekenvaardigheden, leren leerlingen in de A-stroom meer abstracte wiskunde, zoals algebra en functies. In de B-stroom wordt gefocust op het remediëren van basisvaardigheden, voorbereiding op de A-stroom en functioneel gebruik van wiskunde in praktijkgerichte vakken . #### 5.1.5 Mogelijke problemen bij het (leren) rekenen Zwakke scores op seriatie en classificatie kunnen een voorbode zijn van rekenproblemen. Problemen met de telrij, rekentaal en visueel-ruimtelijke vaardigheden kunnen leiden tot een minder evidente rekenontwikkeling. Het vergelijken van hoeveelheden in de kleuterperiode hangt samen met rekenprestaties in het tweede leerjaar . Signalen in het lager onderwijs zijn divers: * Het vergelijken van getallen ("Wat is het grootste, 5 of 9?") is voorspellend voor rekenprestaties . * Leerlingen kunnen cijfers en symbolen verwarren of omkeringen maken bij het lezen van getallen . * Leerlingen met rekenproblemen maken frequenter en minder accuraat gebruik van telstrategieën, en vaker concrete dan abstracte strategieën . * Problemen duiken meer op bij lange opgaven met veel gegevens of 'onbruikbare gegevens' . * Inzicht in de tiendelige getalstructuur kan verstoord zijn, wat problemen geeft met decimale getallen, breuken en procenten . * Bij procedureel rekenen kunnen fouten gemaakt worden bij algoritmes . * Flexibel toepassen van strategieën kan lastig zijn . * Twijfel aan splitsingen of eenvoudige sommen komt voor, evenals moeite met het onthouden van tafels . * Er is een sterke relatie tussen rekenen en kloklezen bij leerlingen met rekenproblemen . #### 5.1.6 Dyscalculie Dyscalculie is een hardnekkige achterstand in het vlot/accuraat oproepen van rekenfeiten en/of het leren en vlot/accuraat toepassen van rekenprocedures. Het kent verschillende verschijningsvormen en kan zich uiten op de volgende gebieden : * Problemen met getallenkennis . * Problemen met automatiseren van rekenfeiten . * Problemen met het onthouden en accuraat uitvoeren van rekenprocedures . Vaak treden samenhangende problemen op bij schattend rekenen en meetkunde. Sommige leerlingen hebben problemen met de visueel-ruimtelijke representatie van wiskundige informatie. Er is een 46% kans op geïsoleerde dyscalculie zonder lees- en spellingsproblemen . Er worden twee subtypes onderscheiden : * **Procedurele dyscalculie**: Moeilijkheden met procedures, gebruik van weinig leeftijdsadequate procedures, en fouten bij langere berekeningen . * **Semantische geheugendyscalculie**: Problemen met het oproepen van rekenfeiten uit het geheugen, trager en meer fouten, vaak met 'startfouten' en 'telrijfouten' . Bijna alle leerlingen met dyscalculie hebben problemen met getallenkennis, waaronder het gebrek aan inzicht in het getallenstelsel en het vergelijken en ordenen van getallen. Bij kleuters met een familiale predispositie wordt gelet op tellen, logisch denken en vergelijken van hoeveelheden. Dyscalculie kan zich manifesteren vanaf het begin van het leren rekenen en wordt gekenmerkt door een blijvende achterstand ondanks extra ondersteuning . #### 5.1.7 Meertalige leerlingen en rekenontwikkeling Rekenproblemen bij meertalige leerlingen kunnen samenhangen met kind- en contextfactoren, zoals een ongunstige start, lage verwachtingen, en de houding ten opzichte van de onderwijstaal en thuistaal. Allochtone kleuters met anderstalige ouders scoren lager voor taal en rekenbegrip. Meertalige kinderen hebben vaak een achterstand in basiswoordenschat en problemen met instructietaal. Begrijpend lezen is een groot struikelblok, wat impact heeft op vraagstukken en realistisch wiskundeonderwijs . #### 5.1.8 Rekenproblemen en het sociaal-emotioneel functioneren Leerlingen met een rekenstoornis ervaren al snel dat rekenen niet vanzelfsprekend is. Gedrags- en emotionele problemen komen frequent voor. Moeilijkheden kunnen demotiverend werken, angst en stress veroorzaken, en het zelfvertrouwen aantasten. Een aangepaste didactische aanpak en pedagogische benadering zijn cruciaal om het welbevinden te ondersteunen en negatieve competentiebeleving te voorkomen . ### 5.2 Definities en begrippen * **Wiskunde**: De studie van structuur, ruimte, kwantiteit en verandering, gericht op het abstraheren van de werkelijkheid en het deduceren van waarheden . * **Rekenen**: Het deelgebied van wiskunde dat de eigenschappen van bewerkingen op natuurlijke en rationale getallen bestudeert; het uitrekenen van deze bewerkingen . * **Gecijferdheid**: Het vermogen om met getallen en wiskundige begrippen om te gaan; de combinatie van kennis, vaardigheden en kwaliteiten om met de kwantitatieve kant van de wereld om te gaan . * **Getalbegrip**: Begrijpen dat een getal meerdere betekenissen kan hebben (hoeveelheid, volgorde, meting, naam, relatie). Een getal kan worden voorgesteld als hoeveelheid, getalwoord of Arabisch cijfer. Het kunnen wisselen tussen deze representaties (transcoderen) is cruciaal . * **Conceptueel en procedureel tellen**: * **Conceptueel tellen**: Omvat vijf principes: een-op-een, stabiele orde, kardinaliteit, abstractie en irrelevante volgorde . * **Procedureel tellen**: Verloopt in stappen, van akoestisch tellen tot flexibel tellen (tellen met opgegeven onder- en bovengrens, in omgekeerde volgorde) . * **Rekentaal**: Taal waarmee voorwerpen en gebeurtenissen met getallen en hoeveelheden benoemd en beschreven worden . * **Leerproblemen**: Problemen die leerlingen ondervinden met cognitieve schoolse vaardigheden (lezen, spellen, wiskunde) . * **Leerstoornis**: Een ernstige en hardnekkige achterstand in de ontwikkeling van schoolse vaardigheden, zoals dyslexie of dyscalculie . * **Dyscalculie of rekenstoornis**: Een stoornis gekenmerkt door hardnekkige problemen met het vlot/accuraat oproepen van rekenfeiten en/of het leren en vlot/accuraat toepassen van rekenprocedures . ### 5.3 Classificatie #### Dimensionele classificatie De ICF-CY classificatie biedt een breed beeld van het functioneren van een leerling met wiskundeproblemen, inclusief mentale functies (intellectueel, aandacht, geheugen, psychomotorisch, denken, hogere cognitieve functies), sensorische functies, activiteiten en participatie (leren, toepassen van kennis, communicatie, intermenselijke interacties, levensgebieden), externe factoren (producten, technologie, ondersteuning, attitudes, diensten, systemen, beleid) en persoonlijke factoren (#page=93-97) . #### Categoriale classificatie Volgens het Netwerk Leerproblemen Vlaanderen zijn de diagnostische criteria voor dyscalculie: 1. **Achterstandscriterium**: Een ernstige achterstand op een gestandaardiseerde rekentest (score beneden percentiel 10) . 2. **Hardnekkigheidscriterium**: Aantoonbare hulp die onvoldoende resultaten oplevert, ondanks adequate instructie en oefening. Het 'response to instruction' (RTI) model onderscheidt drie niveaus van zorg . 3. **Exclusiviteitscriterium**: Geen afdoende alternatieve verklaring voor de achterstand en hardnekkigheid door andere condities . ##### Comorbiditeit en differentiaaldiagnose Comorbiditeit met andere leer-, taal-, gedrags- of ontwikkelingsstoornissen kan de impact van dyscalculie verhogen. Er is een significante samenhang tussen dyscalculie en dyslexie, ADHD en ontwikkelingsstoornissen zoals DCD. Rekenen en intelligentie hangen matig samen, maar problemen met getalgevoel zijn onafhankelijk van intelligentie . ##### Prevalentie Ongeveer 2 tot 8% van de leerlingen heeft dyscalculie wat neerkomt op gemiddeld één leerling per klas. Dyscalculie komt voor bij de gehele intelligentierange, met een gelijke of iets hogere prevalentie bij meisjes . ##### Prognose en verloop Comorbiditeit beïnvloedt de prognose negatief. Dyscalculie kan beperkingen en participatieproblemen met zich meebrengen in het verdere schoolse leren en de professionele loopbaan . ### 5.4 Etiologie De oorzaak van dyscalculie is multifactorieel en wordt beïnvloed door genetische, persoonlijke en omgevingsfactoren . * **Genetische invloed**: Ongeveer de helft van de ouders van een kind met dyscalculie ervaart zelf rekenmoeilijkheden. 40-64% van de broers en zussen hebben ook dyscalculie . * **Neurologische correlaten**: Rekenopgaven activeren een neuraal netwerk in de prefrontale en pariëtale hersenzones . * **Cognitieve verklaringsmodellen**: * **'Number sense'-hypothese**: Dyscalculie hangt samen met een verstoorde representatie en verwerking van hoeveelheden, en een minder goede connectie tussen Arabische getallen en hun voorstelling . * Andere mogelijke verklaringen omvatten tekorten in metacognitieve kennis, problemen in werkgeheugen en executieve functies, stoornissen in het langetermijngeheugen, verstoringen van visueel-ruimtelijk functioneren en problemen met verwerkingssnelheid. Het werkgeheugen is een belangrijke voorspeller van rekenniveau . ### 5.5 Positieve aspecten en ondersteunende factoren #### Bij de leerling * Sterke mentale functies (intellectueel, aandacht, geheugen, hogere cognitieve functies, doorzettingsvermogen) . * Creativiteit, zoals het bedenken van 'ezelsbruggetjes' . * Goede taalvaardigheid . * Toepassen van metacognitieve vaardigheden en adequate leerstijlen . * Stressbestendigheid . #### Bij het gezin * Realistische, gedoseerde eisen stellen . * Acceptatie en omgaan met rekenproblemen . * Ondersteunende aanpak bij huiswerk en leren . * Mogelijkheid tot computerondersteunend leren thuis . * Rustig en veilig opvoedingsklimaat . * Tegemoetkomen aan de behoefte aan autonomie, competentie en relaties . * Bereidheid tot samenwerken met de school . #### Bij de school * Training van voorschoolse rekenvaardigheden bij risicokinderen . * Stimulerende, motiverende en differentiërende begeleiding door leerkrachten . * Acceptatie van niveauverschillen en actieve omgang ermee . * Benoemen van positieve prestaties en competenties . * Aandacht voor het welbevinden van de leerling . * Klasclimaten waar fouten gemaakt mogen worden en diversiteit wordt toegelaten . * Duidelijk beleid voor rekenen met goede afspraken op schoolniveau . * Positief en rijk klimaat rond omgaan met kwantitatieve gegevens in de leefwereld . * Snelle signalering en tijdige ondersteuning voorkomen escalatie van problemen . * Transparante communicatie en constructieve samenwerking met ouders, leerlingen en externen . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Specifiek Diagnostisch Protocol (SDP) | Een document dat specifiek inzoomt op een bepaalde problematiek binnen het bredere kader van diagnostiek in het onderwijs, als aanvulling op het Algemeen Diagnostisch Protocol (ADP). | | Algemeen Diagnostisch Protocol (ADP) | Een protocol dat de algemene denkkaders, het zorgcontinuüm, en de belangrijkste opdrachten, taakverdelingen en afspraken binnen CLB en onderwijs beschrijft. | | Zorgcontinuüm | Een gefaseerd en procesmatig proces van opvolging van alle leerlingen, waarbij verschillende gradaties van zorg en begeleiding worden geboden, afhankelijk van de onderwijs- en opvoedingsbehoeften. | | Handelingsgericht werken (HGW) | Een werkwijze binnen de diagnostiek die gericht is op het formuleren van concrete handelingsplannen en adviezen die direct toepasbaar zijn in de onderwijspraktijk. | | Ontluikende gecijferdheid | Het proces van ontwikkeling van getalgevoeligheid en getalbegrip bij jonge kinderen, voorafgaand aan formeel wiskundeonderwijs, inclusief vaardigheden zoals tellen, tellen zonder te tellen (subitizing) en het herkennen van hoeveelheden. | | Aanvankelijk rekenen | De fase van rekenontwikkeling vanaf einde kleuter- en begin lager onderwijs, waarbij kinderen verder bouwen op voorbereidende rekenvaardigheden en getalbegrip, en leren omgaan met eenvoudige rekenhandelingen. | | Gevorderd rekenen | De fase van rekenontwikkeling vanaf de tweede graad van het lager onderwijs, waarbij leerlingen leren omgaan met grotere getallen, breuken, decimale getallen, en complexere rekenprocedures en contextrijke problemen. | | Dyscalculie | Een stoornis gekenmerkt door hardnekkige problemen met het vlot en accuraat oproepen van rekenfeiten en/of het leren en vlot en accuraat toepassen van rekenprocedures, ondanks adequate instructie en oefening. | | Etiologie | De studie naar de oorzaken of de oorsprong van een fenomeen, in dit geval, de mogelijke oorzaken van dyscalculie, zoals genetische, neurologische, cognitieve en omgevingsfactoren. | | Comorbiditeit | Het gelijktijdig optreden van twee of meer stoornissen of aandoeningen bij dezelfde persoon, zoals de combinatie van dyscalculie met dyslexie of ADHD. | | Remediëren | Het proces van gerichte hulpverlening om leerachterstanden of problemen aan te pakken, door middel van extra instructie, oefening of aangepaste methodieken. | | Compenseren | Het inzetten van hulpmiddelen of strategieën om de gevolgen van een leerprobleem te verminderen of te omzeilen, zodat de leerling toch kan participeren aan het leerproces. | | Dispenseren | Het vrijstellen van bepaalde leerdoelen of taken, als laatste redmiddel wanneer andere vormen van ondersteuning onvoldoende effect hebben, rekening houdend met de onderwijsloopbaan van de leerling. | | Werkgeheugen | Een cognitief systeem dat verantwoordelijk is voor het tijdelijk opslaan en manipuleren van informatie die nodig is voor complexe cognitieve taken, zoals rekenen. | | Executieve functies | Een reeks cognitieve processen die betrekking hebben op zelfregulatie, planning, organisatie, flexibiliteit en inhibitie, essentieel voor het aansturen van gedrag en het oplossen van problemen. | | Vraagverheldering | Het proces van het nauwkeurig in kaart brengen van de specifieke hulpvraag van de leerling, ouders en school, om een gerichte aanpak te kunnen ontwikkelen. | | Hypotheses | Voorlopige aannames of verklaringen die worden geformuleerd op basis van beschikbare informatie, om vervolgens nader onderzocht te worden in het diagnostisch proces. | | ICF-CY (Internationale Classificatie van het Menselijk Functioneren, Kind en Jeugd) | Een classificatiesysteem dat het menselijk functioneren en de beperkingen ervan beschrijft vanuit een bio-psychosociaal model, rekening houdend met lichaamsfuncties, activiteiten, participatie, en omgevings- en persoonlijke factoren. |

# De realistische visie op wiskundeonderwijs De realistische visie op wiskundeonderwijs legt de nadruk op het leren van wiskunde vanuit authentieke, herkenbare situaties, waarbij de leerling actief betrokken wordt bij het ontdekkingsproces. ## 1 De realistische visie op wiskundeonderwijs ### 1.1 Een stukje geschiedenis De visie op wiskundeonderwijs heeft een aanzienlijke evolutie doorgemaakt sinds de oprichting van basisscholen in de 19e eeuw. Tot de jaren 60 van de 20e eeuw lag de focus primair op het aanleren van praktische rekenvaardigheden via het memoriseren en oefenen van rekenregels. Kinderen gingen tot hun 14e naar school ter voorbereiding op praktische beroepen. In de jaren 70 en 80 van de 20e eeuw deed de 'moderne wiskunde' zijn intrede, gekenmerkt door abstracte concepten zoals verzamelingen en logische operatoren die vervolgens in concrete situaties werden toegepast. Deze abstracte en theoretische benadering stuitte echter op kritiek. Vanaf de jaren 90 evolueerde dit naar de huidige realistische visie op wiskundeonderwijs. ### 1.2 Kenmerken van de realistische visie op wiskundeonderwijs #### 1.2.1 Het belang van realistische probleemsituaties In de realistische visie worden wiskundelessen ingebed in realistische en authentieke situaties die representatief zijn voor de contexten waarin leerlingen hun wiskundige kennis en vaardigheden later zullen moeten toepassen. Dit omvat zowel alledaagse situaties (zoals boodschappen doen, taart verdelen, lengtes meten) als fantasievolle scenario's (zoals heksen die ingrediënten afwegen of spookjes die hun weg zoeken). Realistisch betekent hierbij dat de situaties begrijpelijk en voorstelbaar moeten zijn voor de leerling, niet noodzakelijk dat ze letterlijk waar gebeurd zijn. Het aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen met herkenbare situaties heeft meerdere voordelen: * **Betrokkenheid en zelfontdekking:** Het bevordert actieve betrokkenheid en stimuleert leerlingen om nieuwe kennis te ontdekken vanuit hun bestaande intuïtieve kennis. * **Inzicht:** Leerlingen passen rekenregels niet zomaar toe, maar gebruiken ze om oplossingen te bieden voor concrete problemen, waarbij ze rekening houden met de context en de gevraagde uitkomst. * **Motivatie:** De leerlingen zien de bruikbaarheid van wiskunde in hun dagelijks leven, wat de motivatie verhoogt. * **Transfer:** Realistische situaties dienen als zinvolle oefencontexten om transfer te maken tussen wiskundige kennis opgedaan in de klas en problemen in de echte wereld. #### 1.2.2 Aandacht voor zelfontdekkend en zelfsturend leren Volgens de realistische visie moeten leerlingen zelf actief kennis en vaardigheden verwerven en ontwikkelen, voortbouwend op hun reeds bestaande kennis. Dit impliceert dat de leerkracht niet altijd de enige is die rekenregels introduceert. Leerlingen worden gestimuleerd om zelf bepaalde regels of kennis te 'ontdekken'. > **Tip:** Observeer oefeningen en hun volgorde om te identificeren welke handige rekenregels leerlingen hierdoor zelf zouden kunnen ontdekken. #### 1.2.3 Interactief onderwijs Interactief onderwijs is essentieel om leerlingen te ondersteunen bij het zelfstandig opbouwen van wiskundige vaardigheden en inzichten. Dit omvat interactie tussen leerkracht en leerling, maar ook interactie tussen leerlingen onderling. Door ideeën uit te wisselen, inzichten te verwoorden en te verantwoorden, en oplossingswijzen te vergelijken, leren leerlingen beter. > **Voorbeelden:** > * Leerlingen schrijven per tweetal een rekenverhaal bij een bewerking en toetsen vervolgens elkaars verhaal. > * Leerlingen discussiëren over de juistheid van een wiskundige stelling en proberen elkaar te overtuigen van hun standpunt. > * Groepjes leerlingen lossen een vraagstuk op en presenteren hun oplossing aan de klas. #### 1.2.4 Leren is zelfgestuurd of zelfgereguleerd Het faciliteren van zelfstandige kennisconstructie en strategieontwikkeling brengt het risico met zich mee dat leerlingen inadequate of foute constructies ontwikkelen. Om dit tegen te gaan, is het cruciaal om leerlingen aan te zetten tot reflectie op hun eigen handelen. Dit metacognitieve aspect, waarbij leerlingen kritisch nadenken over hun uitkomsten en werkwijzen, wordt deels verschoven naar de leerlingen zelf. Het sturen van het eigen leerproces is een langlopend leerproces dat aangeleerd moet worden. > **Voorbeeld:** Leerlingen krijgen een vraagstuk voorgeschoteld met meerdere oplossingen en worden gevraagd deze kritisch te bekijken en te bespreken in groep. > **Tip:** Moedig leerlingen aan om zichzelf vragen te stellen zoals: "Kan deze uitkomst wel?", "Had ik een veel groter getal verwacht?", "Had ik dit eenvoudiger kunnen oplossen?", "Is mijn redenering wel correct?". --- # Het CSA-model en didactische materialen ## 2. Het CSA-model en didactische materialen Dit hoofdstuk introduceert het Concrete-Schematisch-Abstracte (CSA) model als een didactische opbouw voor het aanleren van wiskundige begrippen en beschrijft de rol en types van didactische materialen. ### 2.1 Inleiding tot het CSA-model Het CSA-model is een driedelige aanpak voor het aanbrengen van nieuwe wiskundige begrippen. De fases zijn: concreet, schematisch en abstract. Bij het doorlopen van deze fasen gelden twee belangrijke basisregels: * Elke fase moet de volgende fase voorbereiden. * Opdrachten in elke fase moeten een overgang naar de volgende fase ondersteunen. Bij moeilijkheden of fouten in een bepaalde fase moet teruggegrepen worden naar een vorige fase waar de leerling de stof wel beheerst. Het is belangrijk dat leerlingen dit zelf ook leren doen. ### 2.2 Het belang van de verschillende fasen van het CSA-model De fasen van het CSA-model bieden een gestructureerde weg van handelen naar denken: * **Concrete fase:** Leerlingen voeren handelingen uit met tastbaar materiaal. * **Schematische fase:** Leerlingen gebruiken tweedimensionale voorstellingen (tekeningen, schema's) ter ondersteuning van hun handelen en verwoorden. * **Abstracte fase:** Leerlingen lossen problemen louter mentaal op, waarbij inzicht en geheugen centraal staan. ### 2.3 Het aanbrengen van een nieuw wiskundig begrip volgens de fasen van het CSA-model Het aanbrengen van een nieuw begrip doorloopt systematisch de drie fasen: #### 2.3.1 De concrete fase In deze fase manipuleren leerlingen met fysiek materiaal. Dit materiaal kan afkomstig zijn uit de leefwereld van de leerling (bv. autootjes, blokjes) of uit speciaal ontworpen, gestructureerd materiaal (bv. MAB-materiaal). Aanvankelijk wordt de handeling zeer gedetailleerd uitgevoerd. Het is cruciaal dat leerlingen hun handelingen verwoorden terwijl ze deze uitvoeren. Dit helpt bij de overgang naar de volgende fase. Werkbladen horen hier niet thuis; er wordt gemanipuleerd met tastbare objecten. > **Tip:** Jonge leerlingen kunnen geneigd zijn om te spelen met het materiaal. Geef hen eerst de ruimte om het materiaal te verkennen alvorens de eerste opdracht te geven. > **Voorbeeld:** > * "Je krijgt per bank acht kastanjes. Verdeel de kastanjes zodat jij en je buur er evenveel hebben." (Hierbij wordt het begrip deling met een concreet, herkenbaar materiaal ingeleid.) > * "De leerlingen vullen een fles van 2 liter met een beker van 25 centiliter." (Dit leidt de begrippen inhoud en maateenheden in.) Het laatste stadium in deze fase is het 'perceptief handelen', waarbij leerlingen een deel van het materiaal leggen en de rest 'erbij denken' of 'wegdenken'. #### 2.3.2 De schematische fase Deze fase dient als overgang tussen de materiële handeling en de mentale handeling. Leerlingen doen geen handelingen meer met concreet materiaal, maar verwoorden wat ze doen, ondersteund door tweedimensionale voorstellingen zoals foto's, tekeningen of schema's. Leerlingen zullen hier ook zelf gaan verkorten in hun handelingen en verwoordingen. Werkbladen en schema's kunnen hier ingezet worden. > **Tip:** Bij twijfel of fouten in deze fase, grijp terug naar het concrete materiaal. Maak het materiaal zichtbaar aanwezig in de klas, zodat leerlingen er zelf naar kunnen teruggrijpen. Verkort deze fase niet te snel, leerlingen doen dit vanzelf wanneer ze er klaar voor zijn. > **Voorbeeld:** > * "Verdeel de vissen zodat Suske en Wiske er elk evenveel krijgen." (Hierbij wordt een tekening van vissen gebruikt om de verdeling te visualiseren.) > * "Hassan raapt 's morgens 8 eitjes bij de kippen van oma. Namiddag gebruikt oma drie eitjes om een taart te bakken. Hoeveel eitjes zijn er nog over?" (Een getekende situatie met eitjes en taarten kan hier gebruikt worden.) #### 2.3.3 De abstracte fase In deze fase zijn de oorspronkelijke materiële handelingen zodanig verkort en verinnerlijkt dat het oplossen van een probleem een puur mentale activiteit wordt, waarbij inzicht en geheugen een belangrijke rol spelen. > **Tip:** Hoewel in deze fase gesteund wordt op het geheugen, mag het niet gereduceerd worden tot 'indrillen'. Het gaat om het flexibel toepassen van verworven inzichten. Bied oefeningen aan in diverse vormen om flexibiliteit te bevorderen. > **Voorbeeld:** > * `3 + 2 =` > * `Het dubbel van 4 is ...` > * `Reken uit en vereenvoudig: 5 x 3 + 10` > * `Vul aan: 350 cl + 120 ml = ..... dl` > * `Hoeveel is 2,5% van 2000?` ### 2.4 Didactische materialen Didactische materialen ondersteunen het leerproces in de verschillende fasen van het CSA-model. #### 2.4.1 Didactische materialen in de concrete fase In de concrete fase worden materialen gebruikt waarmee leerlingen direct kunnen handelen. * **Concrete materialen uit de leefwereld:** Dit zijn voorwerpen die leerlingen kennen uit hun dagelijkse omgeving. Ze zijn niet speciaal ontworpen voor wiskundeonderwijs, maar worden gebruikt om wiskundige ervaringen op te doen. * Voorbeelden: poppen, autootjes, knikkers, Legoblokjes, stoelen, potloden, flesjes, snoepjes, appels. * Leerlingen zelf kunnen ook als concreet materiaal dienen (bv. "Ga van klein naar groot staan"). * Het gebruik van diverse materialen is belangrijk. * **Concrete gestructureerde materialen:** Deze materialen zijn speciaal ontworpen voor wiskundeonderwijs en bevatten een vooraf bepaalde structuur die het leren structureren van hoeveelheden en getallen ondersteunt. * Voorbeelden: MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks), breukstokken, rekenrek (abacus), lus-abacus. #### 2.4.2 Didactische materialen in de schematische fase In de schematische fase wordt voornamelijk gewerkt met tweedimensionale voorstellingen op papier, het bord, etc. Gestructureerde materialen kunnen hier in hun schematische vorm worden gebruikt. * Voorbeelden: afbeeldingen van materiaal, tekeningen, schema's, magnetisch MAB-materiaal voor aan het bord, kaartjes met getalbeelden, tekeningen van breuken (bv. in taartvorm). #### 2.4.3 Didactische materialen in de abstracte fase In de abstracte fase worden voornamelijk oefeningen in werkboeken of op werkblaadjes aangeboden. Ook sommige educatieve spellen bieden oefeningen op abstract niveau. #### 2.4.4 Twee voorbeelden van gestructureerde materialen * **Het MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks):** * Visualiseert rekenkundige verhoudingen en ondersteunt het inzicht in het tiendelig talstelsel. Bestaat uit eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen. * Leerlingen kunnen hiermee getallen leggen, hoeveelheden vergelijken, en basisbewerkingen uitvoeren zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. * Het materiaal ondersteunt het inwisselen van eenheden voor tientallen en vice versa, wat essentieel is voor het begrijpen van getalstructuren en bewerkingen. * **De kwadratische getalbeelden van Lay:** * Vormen de basis voor het werken met kleine hoeveelheden en ondersteunen het aanleren van splitsen, optellen en aftrekken tot 10. * De getalbeelden zijn systematisch opgebouwd en kwadratisch geordend (vaak in blokken van vier), wat helpt bij het direct herkennen van hoeveelheden. * Ze bevorderen het flexibel splitsen en combineren van getallen en zijn nuttig voor het visueel maken van de aanvulling tot 10 (belangrijk voor rekenen met overschrijding). * De ordening in een dubbele rij komt vaak voor in de leefwereld. ### 2.5 Conclusie over het CSA-model en didactische materialen Het CSA-model biedt een pedagogische leidraad voor het opbouwen van wiskundig begrip, van concreet manipuleren naar abstract denken. Didactische materialen zijn hierbij onmisbaar om de verschillende fasen te ondersteunen en leerlingen te helpen bij het ontwikkelen van diepgaand inzicht. De keuze en het gebruik van gepaste materialen zijn cruciaal voor een effectief wiskundeonderwijs. --- # Natuurlijke getallen: systemen, bewerkingen en methoden Dit hoofdstuk biedt een gedetailleerd overzicht van de concepten en methoden rond natuurlijke getallen, beginnend bij historische getalsystemen en eindigend bij flexibele hoofdrekenstrategieën. ### 2. Getalsystemen in de oudheid In de loop van de geschiedenis hebben diverse culturen verschillende getalsystemen ontwikkeld. #### 2.1 De Egyptenaren (ca. 3000 – 300 v. Chr.) De Egyptenaren gebruikten een hierogliefensysteem met specifieke symbolen voor eenheden (streepjes) en machten van tien. Ze herhaalden symbolen naar behoefte en schreven van rechts naar links of van boven naar onder, beginnend met de grootste waarden. Er was geen symbool voor nul. #### 2.2 De Romeinen (ca. 500 v. Chr tot 1300 n. Chr.) Het Romeinse cijfersysteem gebruikte symbolen zoals I, V, X, L, C, D, M. De regels omvatten optelling van gelijke cijfers (maximaal driemaal na elkaar), optelling van kleinere cijfers rechts van grotere, en aftrekking van een kleiner cijfer geplaatst voor een groter cijfer (enkel voor I, X, C onder specifieke voorwaarden). Getallen werden ontleed in eenheden, tientallen, honderdtallen, etc., en omgezet naar Romeinse cijfers van groot naar klein. #### 2.3 De Indiërs en de Arabieren (ca 2de eeuw voor Christus) De cijfers die we vandaag gebruiken, zijn waarschijnlijk van Indische oorsprong en werden via de Arabische wereld in Europa geïntroduceerd. ### 3. Het decimaal of tiendelig talstelsel – inzicht in het plaatswaardesysteem Het tientallig stelsel, met een plaats-waardesysteem, is essentieel voor het begrijpen van getallen groter dan negen. #### 3.1 Inleiding Leerlingen ervaren moeilijkheden bij het uitbreiden van de getallenrij voorbij tien, vooral door het concept van groeperen per tien en de bijbehorende notatie. Een ander talstelsel (bv. viertallig) kan helpen deze concepten te verduidelijken. #### 3.2 Aanbrengen van de structuur van getallen die uit twee of meer cijfers bestaan. Het begrijpen van getallen groter dan negen vereist inzicht in: * **Hoeveelheden:** De concrete aantallen die door getallen worden aangeduid. * **Groepering:** Het groeperen per tien is cruciaal en verklaart de notatie. * **Notatie:** De plaats van een cijfer bepaalt de waarde (eenheden rechts, tientallen links). Het getal tien wordt genoteerd als '10', wat betekent 1 tiental en 0 eenheden. * **Lezen:** Het correct lezen van getallen, met speciale aandacht voor uitzonderingen zoals elf tot twaalf. #### 3.2.1 Beginsituatie Leerlingen hebben vaak fragmentaire voorkennis over getallen tot honderd, opgedaan via paginanummers, huisnummers of spelletjes. Een duidelijk overzicht van de getallenrij tot honderd ontbreekt vaak. #### 3.2.2 Uitbreiden van de telrij tot 100 Leerlingen moeten de systematiek van de telrij begrijpen: de terugkerende eenheden en de sprong in het tiental na negen. #### 3.2.3 Structurerend tellen Om efficiënt te tellen, moeten leerlingen structuur aanbrengen in grote hoeveelheden door te groeperen (bv. per twee, drie, tien). Dit verkort het tellen en voorkomt fouten. Concrete en schematische voorbeelden, zoals het groeperen van blokken of sterren, illustreren dit. #### 3.2.4 Groeperen per tien Het groeperen per tien, met aandacht voor de handeling, de verwoording van de handeling en het resultaat, is essentieel voor het begrijpen van het tientallig stelsel. Dit moet gebeuren met hoeveelheden tot negentig-negen om het concept van meerdere tientallen te omvatten. #### 3.2.5 Noteren en lezen van tweecijferige getallen (abstract niveau) Nadat het groeperen op concreet en schematisch niveau beheerst wordt, volgt de abstracte notatie. De afspraak is dat eenheden rechts en tientallen links worden genoteerd. Een tabel kan aanvankelijk helpen, waarna de getalnotatie (bv. '24' voor twee groepjes van tien en vier losse eenheden) en het lezen ervan (bv. vierentwintig) worden aangeleerd, met aandacht voor uitzonderingen zoals elf tot twintig. #### 3.2.6 Materialen- leermiddelen om getallen met twee of meer cijfers voor te stellen * **Concreet materiaal:** MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks) en de (lus)abacus zijn bruikbaar voor het visualiseren van eenheden, tientallen, honderdtallen, etc. * **Leermiddelen in de schematische en abstracte fase:** Getallenlijnen, getallenhallen en honderdvelden ondersteunen het inzicht in de getallenrij, de positie van getallen en de structuur van tien-sprongen. Het honderdveld visualiseert de decimale getalstructuur en maakt verbanden tussen plaats en grootte duidelijk. ### 4. Getallenverzamelingen Getallen kunnen geordend worden in verschillende verzamelingen: * **Natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$):** Bevatten optelling en vermenigvuldiging die inwendig zijn. * **Gehele getallen ($\mathbb{Z}$):** Breiden natuurlijke getallen uit met negatieve getallen, waardoor aftrekking ook inwendig is. * **Rationale getallen ($\mathbb{Q}$):** Breiden gehele getallen uit met breuken en decimale getallen, waardoor deling (behalve door nul) inwendig is. * **Reële getallen ($\mathbb{R}$):** Breiden rationale getallen uit met irrationale getallen. ### 5. Begrippen en eigenschappen van de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen #### 5.1 Vakinhoudelijke leerdoelen Het correct gebruiken van termen, verwoorden en illustreren van eigenschappen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en het vlot hoofdrekenen met correcte notatie van tussenstappen. #### 5.2 Optellen * **Basisbegrippen:** Samenvoegen of erbij doen van termen, resulterend in een som. Symbolische notatie: $a + b = c$. * **Eigenschappen:** * **Inwendig:** De som van twee natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal ($5 + 3 = 8$). * **Neutraal element:** Nul is het neutrale element ($a + 0 = 0 + a = a$). * **Commutatief:** Volgorde van termen verandert de som niet ($5 + 3 = 3 + 5$). * **Associatief:** Groepering van termen verandert de som niet ($(4 + 2) + 3 = 4 + (2 + 3)$). * **Elementaire optellingen:** Optellingen met termen kleiner dan of gelijk aan 10. #### 5.3 Aftrekken * **Basisbegrippen:** Wegnemen, vergelijken. Symbolische notatie: $a - b = c$. * **Eigenschappen:** * **Niet inwendig:** Het verschil is niet altijd een natuurlijk getal ($3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N}$). * **Geen neutraal element:** Er bestaat geen natuurlijk getal $n$ zodat $a - n = n - a = a$. * **Niet commutatief:** Volgorde van termen is belangrijk ($5 - 3 \neq 3 - 5$). * **Niet associatief:** Groepering van termen is belangrijk ($(5 - 3) - 1 \neq 5 - (3 - 1)$). * **Elementaire aftrekkingen:** Aftrekkingen met aftrektal en aftrekker tot 20. #### 5.4 De vermenigvuldiging * **Basisbegrippen:** Herhaaldelijk nemen van dezelfde hoeveelheid, combineren van keuzes. Symbolische notatie: $a \times b = c$. * **Eigenschappen:** * **Inwendig:** Het product van twee natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal ($3 \times 2 = 6$). * **Neutraal element:** Eén is het neutrale element ($a \times 1 = 1 \times a = a$). * **Commutatief:** Volgorde van factoren verandert het product niet ($2 \times 3 = 3 \times 2$). * **Associatief:** Groepering van factoren verandert het product niet ($(3 \times 2) \times 4 = 3 \times (2 \times 4)$). * **Opslorpend element:** Nul is het opslorpend element ($a \times 0 = 0 \times a = 0$). * **Distributief t.o.v. optelling:** $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$. In de lagere school wordt dit 'splitsen en verdelen' genoemd. * **Elementaire vermenigvuldigingen:** Vermenigvuldigingen met factoren tot 10 (maaltafels). #### 5.5 De deling * **Basisbegrippen:** Verdelen in gelijke delen, bepalen hoeveel groepjes van een bepaalde grootte er in een hoeveelheid passen. Symbolische notatie: $a : b = c$. * **Eigenschappen:** * **Niet inwendig:** Het quotiënt is niet altijd een natuurlijk getal ($3 : 2 = 1.5 \notin \mathbb{N}$). * **Geen neutraal element:** Er bestaat geen natuurlijk getal $n$ zodat $a : n = n : a = a$. * **Niet commutatief:** Volgorde van deeltal en deler is belangrijk ($4 : 2 \neq 2 : 4$). * **Niet associatief:** Groepering van deeltal en deler is belangrijk ($(10 : 2) : 5 \neq 10 : (2 : 5)$). * **Delen door nul is ongedefinieerd.** * **Rechtsdistributief t.o.v. optelling en aftrekking:** $(a + b) : c = (a : c) + (b : c)$ (mits de deling opgaat). Linksdistributief is niet geldig. * **Elementaire delingen:** Deeltafels. #### 5.6 Volgorde van de bewerkingen De volgorde is: haakjes, vermenigvuldiging en deling (van links naar rechts), optelling en aftrekking (van links naar rechts). #### 5.7 Noteren van tussenstappen Bij hoofdrekenen mogen tussenstappen genoteerd worden, mits correct gebruik van het gelijkheidsteken. ### 6. Standaard – en flexibele methoden voor hoofdrekenen met natuurlijke getallen #### 6.1 Vakdidactische leerdoelen Het verschil tussen flexibel en gestandaardiseerd hoofdrekenen kunnen uitleggen en herkennen in methodes. #### 6.2 Vakinhoudelijke leerdoelen Hoofdrekenoefeningen oplossen volgens zowel standaard- als flexibele methoden. #### 6.3 Voortaak Flexibel en gestandaardiseerd hoofdrekenen. #### 6.4 Flexibel en gestandaardiseerd hoofdrekenen * **Gestandaardiseerd hoofdrekenen:** Volgen van een vaste rekenprocedure, onafhankelijk van de getallen. * **Flexibel hoofdrekenen:** Een aanpak die afhankelijk is van de specifieke getallen en bewerkingen, gebruikmakend van inzicht en creativiteit. #### 6.4.1 Standaardmethodes * **Optellen/aftrekken:** Eerste term intact laten, tweede term splitsen in tientallen en eenheden (bv. $36 + 12 = 36 + 10 + 2$). * **Vermenigvuldigen:** Splitsen en verdelen (bv. $4 \times 213 = (4 \times 200) + (4 \times 10) + (4 \times 3)$). * **Delen:** Deeltal splitsen in getallen die gemakkelijk te delen zijn (bv. $78 : 6 = (60 : 6) + (18 : 6)$). #### 6.4.2 Flexibele methodes * **Optellen/aftrekken:** Van plaats wisselen (commutativiteit), schakelen (associativiteit), werken met 'mooie' getallen (compenseren). * **Vermenigvuldigen/delen:** Van plaats wisselen, schakelen, splitsen van factoren/delers, rekenen naar analogie, werken met 'mooie' getallen (compenseren). Toepassen van de 'vermenigvuldigingswip' en 'delingshalter'. #### 6.4.3 Kanttekeningen bij flexibele methodes Flexibel rekenen vereist inzicht en probleemoplossend vermogen. Te sterke nadruk op flexibiliteit kan zwakkere leerlingen overbelasten. Gestandaardiseerde methoden en parate kennis vormen een basis voor flexibel rekenen. ### 7. Optellen en aftrekken met natuurlijke getallen #### 7.3 Optellen en aftrekken: aandachtspunten Bij het aanbrengen van optellingen en aftrekkingen tot 100 wordt vaak gelijktijdig gewerkt met en zonder overschrijding van de tientallen. Het intact houden van de uitgangshoeveelheid bij aftrekkingen en het beginnen met de eenheden wordt benadrukt. #### 7.4 Optellen en aftrekken tot 20 * **Zonder overschrijding:** Gebruik maken van automatismen tot 10 (bv. $19 - 3$ analoog aan $9 - 3$). * **Met overschrijding:** De "brug over tien"-techniek (bv. $8 + 5 = (8 + 2) + 3$). #### 7.5 Optellen en aftrekken boven 20 * **Zonder overschrijding:** Werken met zuivere tientallen (bv. $50 + 20$) en tientallen met eenheden (bv. $72 - 30$, $32 + 5$). * **Met overschrijding:** Toepassen van de "brug over tien"-techniek (bv. $38 + 7$, $54 - 7$, $67 + 25$, $37 - 19$). ### 8. Vermenigvuldigen met natuurlijke getallen #### 8.3 Inzicht in de betekenis van de vermenigvuldiging * **Handelen op concreet niveau:** Nadruk op handelen en verwoorden (bv. "vijf keer drie knikkers"). Belang van het onderscheid tussen vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal. * **Schematisch niveau:** Groepjes en elementen tekenen. * **Bepalen van het resultaat:** Herhaalde optelling gebruiken. * **Aanbrengen van het symbool 'x':** Vervangen van "keer" door 'x'. #### 8.3.6 Vermenigvuldigingen buiten de vermenigvuldigingstafels Gebruikmaken van parate kennis van tafels en rekenstrategieën, bv. $10 \times 23 = 230$, $25 \times 32 = 25 \times 4 \times 8 = 100 \times 8 = 800$. ### 9. Delen met natuurlijke getallen #### 9.3 Beginsituatie Informele kennis van delen, zoals "helft nemen", als startpunt. #### 9.4 Aanbrengen van de deling * **Verdelingsdeling:** Gegeven totaal aantal elementen, bekend aantal groepjes, zoeken naar aantal elementen per groepje (bv. 6 bloemen verdelen over 2 vazen). * **Verhoudingsdeling:** Gegeven totaal aantal elementen, bekend aantal elementen per groepje, zoeken naar aantal groepjes (bv. 6 bloemen per vaas, hoeveel vazen?). * **Delen op concreet en schematisch niveau:** Zowel delingen met rest als zonder rest. * **Aanbrengen van het symbool ':':** Vervangen van "gedeeld door" door ':'. * **Bepalen van de uitkomst:** Gebruik van herhaalde aftrekking of relatie met vermenigvuldiging. #### 9.4.5 Delingen met getallen buiten de delingstafels Gebruik van parate kennis van tafels en rekenstrategieën, bv. $60 : 4$ via $40 : 4$ en $20 : 4$. ### 3. Cijferen met natuurlijke getallen #### 2.2 Hoofdrekenen vergelijken met cijferrekenen * **Cijferen:** Werken met onder elkaar geplaatste getallen, van boven naar onder, met losse cijfers. Standaard algoritme, vereist pen en papier. * **Hoofdrekenen:** Werken met volledige getallen, van links naar rechts, flexibele strategieën, kan zonder papier. #### 3.1 Didactische aandachtspunten bij het cijferen Inzichtelijk aanbrengen met MAB-materiaal, legschema's, schrijfschema's, nadruk op correcte wiskundige handeling (bij optellen: bij elkaar voegen; bij aftrekken: wegnemen). #### 3.2 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen Een stapsgewijze opbouw volgens moeilijkheidsgraad (zonder overschrijding/ontlening, éénmaal overschrijden/ontlenen, tweemaal overschrijden/ontlenen), met aandacht voor nullen in termen en uitkomst. #### 3.3 De optelling Stapsgewijze aanpak met MAB-materiaal, legschema en schrijfschema, waarbij het "overschrijden" (carry-over) wordt gemanipuleerd en genoteerd. #### 3.4 De aftrekking Stapsgewijze aanpak met MAB-materiaal, legschema en schrijfschema, waarbij het "ontlenen" (borrowing) wordt gemanipuleerd en genoteerd. #### 3.5 De vermenigvuldiging Stapsgewijze aanpak met MAB-materiaal en schrijfschema, met aandacht voor deelproducten en het optellen daarvan, inclusief overbrugging. #### 3.6 De deling Stapsgewijze aanpak met MAB-materiaal, legschema en schrijfschema, met aandacht voor het verdelen van deeltal en het bepalen van het quotiënt en de rest. #### 3.7 De algoritmen inoefenen Inzichtelijk aanleren van algoritmen, met voldoende oefening, controle door schattingen of omgekeerde bewerkingen, en gebruik van hulpmiddelen zoals een ruitjesschrift. #### 3.8 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen in het 4de leerjaar Uitbreiding met meermaals overschrijden/ontlenen, meerdere nullen in termen, vermenigvuldigen met getallen van twee cijfers, en delen door getallen van twee of meer cijfers. ### 6. Cijferen met kommagetallen #### 6.2 Optellen en aftrekken Correct onder elkaar plaatsen van de komma, eventueel aanvullen met nullen. #### 6.3 Vermenigvuldigen Het bepalen van de plaats van de komma in het product door te schatten en het aantal decimalen in vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal op te tellen. #### 6.4 Delen Het wegwerken van de komma in de deler door te vermenigvuldigen met 10, 100, etc., of het plaatsen van de komma in het quotiënt door middel van schatting. --- Dit studiemateriaal biedt een gestructureerd overzicht van de kernconcepten, procedures en didactische benaderingen met betrekking tot natuurlijke getallen, essentieel voor een grondig begrip van de basis van wiskunde. --- # Cijferen met natuurlijke en kommagetallen Dit deel behandelt de algemene principes van cijferen, de inzichten bij de vier hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen en de specifieke aanpak van cijferen met kommagetallen, inclusief de plaats van de komma. ## 5. Cijferen met natuurlijke getallen ### 5.1 Inleiding tot cijferen Cijferen, ook wel schriftelijk rekenen genoemd, is een methode om berekeningen systematisch uit te voeren met pen en papier, waarbij getallen onder elkaar geplaatst worden. Dit staat in contrast met hoofdrekenen, dat flexibeler is en minder afhankelijk van de beschikbaarheid van papier. ### 5.2 Hoofdrekenen versus cijferen * **Werkwijze:** Bij hoofdrekenen wordt van links naar rechts gewerkt met volledige getallen, terwijl bij cijferen van boven naar onder met losse cijfers wordt gerekend. * **Flexibiliteit vs. Standaardisatie:** Hoofdrekenen maakt gebruik van flexibele, getalspecifieke aanpakken die inzicht vereisen. Cijferen hanteert een vaste, standaardprocedure die houvast biedt, vooral voor zwakkere leerlingen, maar minder ruimte laat voor individuele flexibiliteit en inzicht. * **Voordelen en Nadelen:** * **Cijferen:** * Voordelen: Universeel toepasbaar, ook bij grote getallen; biedt houvast voor zwakkere leerlingen. * Nadelen: Vereist papier en pen; risico op fouten door het manipuleren van losse cijfers zonder diepgaand inzicht; verlies van flexibiliteit. * **Hoofdrekenen:** * Voordelen: Flexibel, kan overal worden toegepast; stimuleert inzicht en probleemoplossend vermogen; kan efficiënter zijn bij bepaalde getallencombinaties. * Nadelen: Kan omslachtig worden bij zeer grote getallen; vereist meer rekeninzicht en een brede rekenstrategieënkennis. ### 5.3 De cijferalgoritmen inzichtelijk maken Het aanleren van cijferalgoritmen verloopt stapsgewijs volgens het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract), met aandacht voor de plaats- en groeperingswaarde van cijfers. #### 5.3.1 Didactische aandachtspunten bij cijferen * **Inzichtelijkheid:** Het algoritme moet niet enkel technisch worden aangeleerd, maar ook inzichtelijk worden verklaard, waarbij het verband met materiaal en de getalstructuur duidelijk wordt. * **Materialen:** Gebruik van MAB-materiaal of een lusabacus in de concrete fase, en schrijfschema's met plaatsaanduidingen (eenheden, tientallen, honderdtallen) in de schematische fase. * **Opbouw:** Werk in stappen, beginnend zonder overschrijding/ontlening, daarna met één overschrijding/ontlening, en vervolgens met meerdere overschrijdingen/ontleningen. * **Vaktaal:** Gebruik specifieke wiskundige termen correct (bv. optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, overschrijden, ontlenen, deeltal, deler, quotiënt, product, som). #### 5.3.2 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen (3de leerjaar) 1. **Eerste stap: Zonder overschrijding of ontlening:** * Voorbeelden: $512 + 376$, $728 - 214$, $448 \times 2$, $48 : 4$. 2. **Tweede stap: Eén keer overschrijden of ontlenen:** * Voorbeelden: $517 + 214$, $642 - 323$, $214 \times 3$, $484 : 2$ (met een mogelijke ontlening). 3. **Derde stap: Twee keer overschrijden of ontlenen:** * Voorbeelden: $235 + 189$, $645 - 257$, $236 \times 4$, $936 : 3$ (met ontlening van honderdtallen naar tientallen). 4. **Moeilijkheden:** * Een nul in de uitkomst ($714 + 276$). * Een nul in een van de termen ($570 + 358$). * Twee nullen in het aftrektal bij aftrekken ($600 - 127$). #### 5.3.3 De optelling * **Aanbreng:** Begin met oefeningen zonder overschrijding ($263 + 154$). MAB-materiaal wordt gebruikt om de eenheden, tientallen en honderdtallen samen te voegen. Nadien wordt dit overgezet naar een schrijfschema. * **Met overschrijding:** Oefeningen zoals $263 + 184$ vereisen het omwisselen van tien eenheden voor één tiental. Dit wordt eerst concreet met MAB-materiaal getoond en vervolgens in het schrijfschema genoteerd (bovenaan de kolom tientallen). #### 5.3.4 De aftrekking * **Zonder ontlening:** * **Concreet niveau:** Gebruik MAB-materiaal om het aftrektal te leggen en vervolgens het aantal eenheden, tientallen en honderdtallen van de aftrekker weg te nemen. * **Schematisch niveau:** Gebruik een legschema en/of magnetisch MAB-materiaal aan het bord. * **Abstract niveau:** Gebruik een schrijfschema met plaatsaanduidingen. * Voorbeeld: $439 - 216$. * **Met ontlening:** * **Concreet niveau:** Bij $265 - 187$, wanneer er bij de eenheden te weinig zijn om weg te nemen, wordt een tiental omgewisseld voor tien eenheden. * **Schematisch/Abstract niveau:** Dit wordt genoteerd in het schrijfschema door een 'ontleende' tiental te doorstrepen en een 1 voor de eenheden te schrijven, en het te doorstrepen tiental te vervangen door 10 in de kolom van de eenheden. #### 5.3.5 De vermenigvuldiging * **Aanbreng (3de leerjaar):** * **Zonder overbrugging:** Begin met het vermenigvuldigen van een getal met één cijfer, waarbij er geen overbrugging is (bv. $2 \times 134$). De handeling wordt uitgelegd als herhaalde optelling en gematerialiseerd met MAB-materiaal. * **Met overbrugging:** Bij $3 \times 251$ moeten de 15 tientallen worden omgewisseld voor 1 honderdtal en 5 tientallen, wat zichtbaar wordt gemaakt met MAB-materiaal en genoteerd in het schrijfschema (het 'overgedragen' getal wordt bovenaan de volgende kolom geschreven). * **Inoefenen:** Herhaaldelijk oefenen met steeds complexere getallen, waarbij het belang van het nauwkeurig plaatsen van de deelproducten wordt benadrukt. #### 5.3.6 De deling * **Aanbreng (3de leerjaar):** * **Zonder ontlening:** Bij $48 : 4$ worden eerst de tientallen verdeeld, en daarna de eenheden. Dit gebeurt met MAB-materiaal en een schematische voorstelling, waarna het abstract genoteerd wordt. Het quotiënt wordt van links naar rechts opgebouwd. * **Met ontlening:** Bij $342 : 3$ moeten de 4 tientallen eerst worden omgewisseld voor 40 eenheden, zodat er in totaal 42 eenheden zijn die verdeeld kunnen worden. * **Delen door een getal van twee of meer cijfers (4de leerjaar):** * Dit vereist eerst het schatten van het aantal keren dat de deler in het deeltal past. * Men laat telkens één cijfer uit het deeltal 'dalen', niet zo veel cijfers als de deler telt. * Voorbeeld: $9318 : 37$. Eerst schatten we $9000 : 30 \approx 300$. Vervolgens bepalen we hoeveel keer $37$ in $93$ past (2 keer), schrijven dit als het eerste cijfer van het quotiënt, vermenigvuldigen $2 \times 37$ en trekken dit af van $93$. Daarna laten we het volgende cijfer dalen en herhalen we het proces. ### 5.4 Cijferen met kommagetallen Bij het cijferen met kommagetallen gelden dezelfde algoritmen als bij natuurlijke getallen, maar met specifieke aandachtspunten voor de plaats van de komma en het correct uitlijnen van de getallen. #### 5.4.1 Beginsituatie Leerlingen kennen reeds de cijferalgoritmen voor natuurlijke getallen. De focus ligt nu op de nieuwe moeilijkheden die kommagetallen introduceren. #### 5.4.2 Optellen en aftrekken * **Kernpunt:** Het correct onder elkaar plaatsen van de getallen, met de komma's op één lijn. * **Aanpak:** * Vul 'open plekken' aan met nullen om de getallen visueel gelijkwaardig te maken (bv. $1890,115 + 12,25$ wordt $1890,115 + 12,250$). * De komma in de uitkomst wordt op dezelfde plaats gezet als in de opgave. * Bij aftrekken, als het aftrektal minder decimalen heeft dan de aftrekker, worden de ontbrekende decimalen aangevuld met nullen (bv. $1576 - 258,75$ wordt $1576,00 - 258,75$). #### 5.4.3 Vermenigvuldigen * **Nieuwe moeilijkheid:** Het bepalen van de plaats van de komma in het product. * **Aanpak:** 1. **Schatting:** Maak eerst een schatting van het resultaat. 2. **Cijferen:** Voer de vermenigvuldiging uit zonder rekening te houden met de komma. 3. **Kommaplaatsing:** Tel het aantal cijfers achter de komma in de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal. Het product heeft evenveel cijfers achter de komma als de som van de cijfers achter de komma in de oorspronkelijke getallen. * Voorbeeld: $5,3 \times 5$ -> schatting $5 \times 5 = 25$. Cijferen: $53 \times 5 = 265$. Eén cijfer achter de komma in $5,3$, dus één cijfer achter de komma in het product: $26,5$. #### 5.4.4 Delen * **Nieuwe moeilijkheid:** Het plaatsen van de komma in het quotiënt, vooral wanneer de deling niet direct opgaat. * **Aanpak algemeen:** 1. **Schatting:** Maak een schatting van het resultaat. 2. **Komma in deler wegwerken:** Als de deler een kommagetal is, vermenigvuldig deeltal en deler met hetzelfde getal (10, 100, ...) om de komma in de deler weg te werken. Dit verandert het quotiënt niet. 3. **Cijferen:** Voer de deling uit. 4. **Kommaplaatsing in quotiënt:** Plaats de komma in het quotiënt op de plaats die overeenkomt met de schatting. Als het deeltal ook een komma bevat, wordt deze doorgetrokken naar het quotiënt. 5. **Rest:** Bij delingen die niet opgaan, moet de rest correct worden afgelezen, rekening houdend met de oorspronkelijke plaats van de komma in het deeltal. * **Specifieke gevallen:** * **Deeltal is een kommagetal, deling gaat op:** Bij $5,4 : 9$ wordt gerekend als $54$ tienden gedeeld door $9$, wat $6$ tienden is ($0,6$). * **Deeltal is een natuurlijk getal, de deling gaat niet op:** Om $1:2$ te delen, wordt $1$ omgezet naar $10$ tienden, waarna $10$ tienden gedeeld door $2$ resulteert in $5$ tienden ($0,5$). * **Delen door 10, 100, 1000:** De komma verschuift respectievelijk één, twee of drie plaatsen naar links. * **Delen door een kommagetal:** De komma in de deler wordt weggewerkt door deeltal en deler met hetzelfde getal te vermenigvuldigen (bv. $7,2 : 0,8 = 72 : 8 = 9$). ## 6. Cijferen met breuken (Geen specifieke pagina's meegeleverd voor dit deel van het onderwerp) Hoewel dit deel niet expliciet wordt behandeld binnen de gevraagde pagina's, is het belangrijk te vermelden dat het werken met breuken kan leiden tot nieuwe inzichten in getalbegrip en relaties tussen getallen, wat aansluit bij de basisprincipes van cijferen. De overgang van natuurlijke getallen naar rationale getallen (breuken) introduceert de noodzaak van nieuwe rekenregels en notaties. --- Dit overzicht biedt een gestructureerde samenvatting van de kernconcepten met betrekking tot cijferen met natuurlijke en kommagetallen, zoals behandeld in de documentatie. Het legt de nadruk op de didactische aanpak, de verschillende fases van begripsvorming en de veelvoorkomende moeilijkheden. --- # Breuken en procenten: concept, bewerkingen en toepassingen Dit document biedt een gedetailleerd overzicht van breuken en procenten, hun concepten, bewerkingen en diverse toepassingen, met specifieke aandacht voor didactische strategieën en leerplandoelen. ## 5. Breuken en procenten: concept, bewerkingen en toepassingen Dit onderwerp behandelt de introductie van breuken, hun verschillende verschijningsvormen, het vergelijken en vereenvoudigen van breuken, en de bewerkingen met breuken en procenten. ### 5.1 Het breukconcept en de overgang naar rationale getallen Het introduceren van breuken is essentieel om de verzameling van rationale getallen uit te breiden, aangezien niet alle delingen tussen gehele getallen resulteren in een geheel getal. Breuken, zoals $\frac{10}{4}$, bestaan uit een teller (het deeltal van de deling), een noemer (de deler) en een breukstreep. Leerlingen kunnen moeite hebben met breuken door onvoldoende begripsvorming of te snelle overgang naar abstract rekenen. Voorkennis over breuken, zoals het nemen van de helft van een hoeveelheid, kan worden benut. #### 5.1.1 Soorten breuken Breuken kunnen op verschillende manieren worden gecategoriseerd: * **Echte breuk:** De teller is kleiner dan de noemer (bv. $\frac{2}{3}$). * **Onechte breuk:** De teller is groter dan of gelijk aan de noemer (bv. $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{7}$). * **Gemengd getal:** Een geheel getal gecombineerd met een breuk (bv. $1\frac{1}{4}$). * **Stambreuk:** De teller is 1 (bv. $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$). * **Decimale breuk:** De noemer is een macht van tien ($10^n$, bv. $\frac{6}{10}$, $\frac{25}{100}$). * **Vereenvoudigbare breuk:** De teller en noemer zijn deelbaar door een gemeenschappelijke factor groter dan 1 (bv. $\frac{6}{10}$). #### 5.1.2 Wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten van breuken Een goed begrip van breuken vereist het onderscheiden van wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten: * **Wezenlijke aspecten:** * Het geheel wordt verdeeld in gelijke delen. * De noemer geeft het aantal gelijke delen aan. * De teller geeft het aantal van die delen aan dat genomen wordt. * **Niet-wezenlijke aspecten:** * De aard van het materiaal (discreet of continu). * De aard van de grootheden (lengte, gewicht, tijd, geld, etc.). * De grootte van het geheel. * De manier van verdelen. Het variëren van de niet-wezenlijke aspecten helpt leerlingen te beseffen dat de breukwaarde gelijk blijft, ongeacht deze kenmerken. #### 5.1.3 Verschijningsvormen van breuken Breuken komen in verschillende contexten voor, elk met een specifieke betekenis: * **Deel-geheel:** Het eerlijk verdelen van een hoeveelheid (continu of discreet) en het benoemen van het deel dat elk krijgt. * *Voorbeeld (continu):* Een taart verdelen in 4 gelijke delen; elk deel is $\frac{1}{4}$ van de taart. * *Voorbeeld (discreet):* 20 snoepjes verdelen onder 5 kinderen; elk kind krijgt $\frac{1}{5}$ van de snoepjes, wat neerkomt op 4 snoepjes. * **Operator:** De breuk wordt gebruikt om een handeling op een hoeveelheid aan te geven. * *Voorbeeld:* $\frac{2}{3}$ van 12 betekent 12 delen door 3 en het resultaat vermenigvuldigen met 2. Schematisch kan dit worden voorgesteld met stroken of pijlen: $12 \xrightarrow{:\,3} 4 \xrightarrow{\times\,2} 8$. * *Omgekeerde bewerking:* Als $\frac{3}{4}$ van een figuur wordt gegeven, moet de leerling het geheel reconstrueren. * **Maat:** De breuk wordt gebruikt om een meetresultaat nauwkeuriger te noteren, vaak als een restant na het meten. * *Voorbeeld:* Een lessenaar is 3 keer een strook papier lang, met een restant van $\frac{1}{2}$ strook. De totale lengte is dan $3\frac{1}{2}$ strook. * **Verhouding/Kans:** De breuk drukt de relatie tussen twee hoeveelheden uit of de kans op een bepaalde uitkomst. * *Verhouding:* Bij een kralenketting met 1 witte en 3 zwarte kralen is de verhouding witte kralen tot zwarte kralen $\frac{1}{3}$. De verhouding witte kralen tot het totaal is $\frac{1}{4}$. * *Kans:* De kans op het gooien van een specifieke zijde met een eerlijke munt is $\frac{1}{2}$. Bij het gooien met twee dobbelstenen is de kans op een som van 5 $\frac{4}{36}$ of $\frac{1}{9}$. * **Getal:** Breuken worden geïntroduceerd als rationale getallen die een plaats op de getallenas innemen. * *Voorbeeld:* Plaats $\frac{3}{4}$ op de getallenas. Dit betekent de afstand tussen 0 en 1 verdelen in 4 gelijke delen en 3 van die delen nemen. Vereenvoudiging naar $\frac{3}{4} = \frac{12}{16}$ kan helpen bij het plaatsen op een fijnere schaal. #### 5.1.4 Gelijkwaardige breuken en vereenvoudiging Gelijkwaardige breuken hebben dezelfde waarde, ook al zien ze er anders uit. Dit kan worden aangetoond door de teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of te delen. * **Tip:** Het vereenvoudigen van breuken gebeurt door teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler (GGD). Een breuk die niet verder vereenvoudigd kan worden, is een 'onvereenvoudigbare breuk'. #### 5.1.5 Breuken vergelijken en ordenen Het vergelijken van breuken kan op verschillende manieren: * **Stambreuken:** Bij stambreuken met een grotere noemer is de breuk kleiner, omdat het geheel in meer delen wordt verdeeld (bv. $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$). * **Gelijknamige breuken:** Bij breuken met dezelfde noemer is de breuk met de grootste teller het grootst (bv. $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$). * **Breuken met dezelfde teller:** Bij breuken met dezelfde teller is de breuk met de kleinste noemer het grootst, omdat het geheel in minder, dus grotere, delen wordt verdeeld (bv. $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$). * **Ongelijknamige breuken met verschillende tellers:** Vaak is het handig om de breuken eerst gelijknamig te maken door ze om te zetten naar gelijkwaardige breuken met dezelfde noemer. * **Referentiepunten:** Breuken kunnen worden vergeleken met bekende breuken zoals $\frac{1}{2}$, 0 of 1. * **Kloofdenken:** Sommige leerlingen vergelijken het verschil tussen de teller en de noemer, wat niet altijd correct is. ### 5.2 Bewerkingen met breuken Bewerkingen met breuken worden inzichtelijk aangeleerd, beginnend met concrete situaties en materialen. #### 5.2.1 Optellen en aftrekken * **Gelijknamige breuken:** De tellers worden opgeteld of afgetrokken, terwijl de noemer behouden blijft (bv. $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$). Dit wordt ondersteund door stroken, breukentafels of een getallenas. * **Ongelijknamige breuken:** Eerst moeten de breuken gelijknamig gemaakt worden door ze om te zetten naar gelijkwaardige breuken met dezelfde noemer. Daarna volgt de optelling of aftrekking zoals bij gelijknamige breuken. * *Voorbeeld:* Om $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ op te lossen, maak je ze gelijknamig: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. #### 5.2.2 Vermenigvuldigen * **Natuurlijk getal x breuk:** Dit kan worden gezien als herhaalde optelling. * *Voorbeeld:* $3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. De regel is: vermenigvuldig het natuurlijke getal met de teller en behoud de noemer. * **Breuk x natuurlijk getal:** Hier fungeert de breuk als operator. * *Voorbeeld:* $\frac{2}{3} \times 6$ betekent $\frac{2}{3}$ van 6 nemen. Dit kan worden opgelost door 6 te delen door 3 en te vermenigvuldigen met 2, wat resulteert in 4. * **Breuk x breuk:** Teller maal teller en noemer maal noemer. * *Voorbeeld:* $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$. Dit kan visueel worden voorgesteld met rechthoekmodellen of stroken. #### 5.2.3 Delen * **Breuk : natuurlijk getal:** * Als de teller deelbaar is door het natuurlijke getal, deel je de teller door het getal en behoud je de noemer (bv. $\frac{2}{5} : 2 = \frac{1}{5}$). * Als de teller niet deelbaar is, vermenigvuldig je de noemer met het natuurlijke getal en behoud je de teller (bv. $\frac{3}{5} : 2 = \frac{3}{5 \times 2} = \frac{3}{10}$). * **Natuurlijk getal : breuk:** Dit is een verhoudingsdeling. Om dit op te lossen, vermenigvuldig je het natuurlijke getal met de omgekeerde breuk (de breuk met verwisselde teller en noemer). * *Voorbeeld:* $5 : \frac{1}{2} = 5 \times \frac{2}{1} = 10$. * **Breuk : breuk:** Vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. * *Voorbeeld:* $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = 1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}$. ### 5.3 Procenten Procenten, wat staat voor 'per honderd', worden gebruikt om verhoudingen, veranderingen of delen van een geheel uit te drukken. Leerlingen kunnen concepten als 50% ($\frac{1}{2}$), 25% ($\frac{1}{4}$) en 100% (het geheel) vaak al informeel. #### 5.3.1 Invoeren van het begrip procent * **Visualisatie:** Hulpmiddelen zoals het honderdveld, MAB-materiaal, stroken, procentmeters en dubbele getallijnen helpen om het begrip procent visueel te maken. * **Omzetting:** Procenten kunnen worden omgezet naar breuken (met noemer 100, vereenvoudigde breuken) en kommagetallen (door te delen door 100). * *Voorbeeld:* $60\% = \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = 0,6$. #### 5.3.2 Situaties waar procenten voorkomen * **Operator:** Een procent wordt gebruikt om een deel van een getal of hoeveelheid te berekenen (bv. 25% korting op €20). * *Berekening:* $25\% \text{ van } €20 = \frac{25}{100} \times €20 = €5$. Dit kan worden voorgesteld met honderdvelden, stroken of verhoudingstabellen. * **Verhouding:** Procenten kunnen worden gebruikt om verhoudingen te vergelijken. * *Voorbeeld:* Toon scoorde 20 van 25 voor Nederlands en 30 van 40 voor wiskunde. Om te bepalen voor welk vak hij het best scoorde, zet je de scores om naar percentages: Nederlands: $\frac{20}{25} = \frac{80}{100} = 80\%$; Wiskunde: $\frac{30}{40} = \frac{75}{100} = 75\%$. Hij scoorde dus beter voor Nederlands. * **Deel-geheel:** Bij deze situaties zijn het geheel, het deel en het percentage gegeven of gevraagd. * *Voorbeeld:* 28 van 35 eerste opslagen zijn goed geslagen. Wat is het percentage geslaagde opslagen? $\frac{28}{35} = \frac{4}{5} = \frac{80}{100} = 80\%$. * **Geheel plus of min deel:** Procenten worden gebruikt om veranderingen aan te duiden (toename of afname). * *Voorbeeld:* Een fiets van €500 kost nu €420. Wat is de procentuele korting? Eerst bereken je de korting: €500 - €420 = €80. Dan bereken je welk percentage dit is van de oorspronkelijke prijs: $\frac{80}{500} = \frac{16}{100} = 16\%$. #### 5.3.3 Procentberekeningen met de zakrekenmachine (ZRM) Leerlingen moeten leren hoe ze procentberekeningen correct uitvoeren met een ZRM, inclusief het gebruik van de procenttoets. Het is belangrijk dat ze eerst een schatting maken van de uitkomst om de nauwkeurigheid van de ZRM te controleren en blindelings vertrouwen te vermijden. * *Voorbeeld:* 10% van 200. * Schattingsstrategie: 10% van 100 is 10, dus 10% van 200 zal 20 zijn. * ZRM-invoer: `200 x 10 %` geeft 20. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Realistische visie op wiskundeonderwijs | Een onderwijsvisie waarbij wiskunde wordt aangeleerd via authentieke, herkenbare situaties die aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen, met de nadruk op zelfontdekkend en interactief leren. | | CSA-model | Een didactisch model dat de fasen van het leerproces bij het aanbrengen van nieuwe wiskundige begrippen beschrijft: Concreet (materiaalgebruik), Schematisch (tekeningen, schema's) en Abstract (mentale handelingen, symbolen). | | Didactische materialen | Hulpmiddelen die gebruikt worden om wiskundige concepten tastbaar en begrijpelijk te maken, zoals MAB-materiaal, breukstokken, rekenrekken, honderdvelden, etc., onderverdeeld in materiaal voor de concrete, schematische en abstracte fase. | | Natuurlijke getallen | De verzameling van de positieve gehele getallen, inclusief nul (soms ook gedefinieerd zonder nul, afhankelijk van de conventie). Dit zijn de getallen die we gebruiken om te tellen. | | Getalsystemen in de oudheid | Verschillende manieren waarop oude beschavingen, zoals de Egyptenaren en Romeinen, getallen en bewerkingen noteerden en uitvoerden, vaak met unieke symbolen en regels voor representatie en calculatie. | | Tiendelig talstelsel (Decimaal stelsel) | Een getalsysteem gebaseerd op het grondtal tien, waarbij de plaats van een cijfer de waarde ervan bepaalt (plaatswaardesysteem) en getallen worden opgebouwd met tien verschillende cijfers (0-9). | | Hoofdbewerkingen | De vier basisoperaties in de rekenkunde: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. | | Flexibel hoofdrekenen | Een aanpak van hoofdrekenen waarbij de leerling opgave- of getalspecifieke strategieën kiest om een berekening efficiënt uit te voeren, gebaseerd op inzicht en kennis van wiskundige eigenschappen. | | Gestandaardiseerd hoofdrekenen | Een aanpak van hoofdrekenen waarbij een vaste rekenprocedure wordt gevolgd voor een bepaald type oefening, onafhankelijk van de specifieke getallen, wat kan leiden tot een systematische, zij het minder flexibele, manier van werken. | | Cijferen | Een methode om rekenkundige bewerkingen uit te voeren met behulp van een gestandaardiseerd algoritme, waarbij getallen onder elkaar geplaatst worden en de berekening van rechts naar links (of van boven naar onder) plaatsvindt, vaak met tussenstappen zoals ‘lenen’ of ‘overdragen’. | | Kommagetallen | Getallen die een deel van een geheel uitdrukken, geschreven met een decimale komma die de gehele getallen scheidt van de fractionele delen (tienden, honderdsten, enz.). | | Breuken | Getallen die een deel van een geheel representeren, geschreven als een teller boven een breukstreep en een noemer onder de breukstreep, die respectievelijk het aantal genomen delen en het totale aantal gelijke delen aanduiden. | | Procenten | Een manier om een deel van een geheel uit te drukken als een fractie van honderd, weergegeven met het symbool '%'. Het staat voor 'per honderd'. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken die, hoewel verschillend geschreven, dezelfde numerieke waarde vertegenwoordigen, verkregen door de teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of te delen. | | Vereenvoudigen van breuken | Het proces waarbij een breuk wordt herschreven in zijn eenvoudigste vorm door de teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler, zodat geen verdere deling mogelijk is. | | Verhouding | Een relatie tussen twee getallen die aangeeft hoe vaak het ene getal in het andere voorkomt, vaak uitgedrukt als een breuk of een percentage. | | Kans | De waarschijnlijkheid dat een bepaalde gebeurtenis zal plaatsvinden, uitgedrukt als een verhouding tussen het aantal gunstige uitkomsten en het totaal aantal mogelijke uitkomsten. | | Operator | Een wiskundig symbool of een getal dat een bewerking op een ander getal of een uitdrukking aanduidt, zoals een breuk die 'van' een ander getal neemt. | | Maat | Het gebruik van breuken om meetresultaten nauwkeuriger weer te geven, bijvoorbeeld lengtes of gewichten die niet exact uitgedrukt kunnen worden in gehele eenheden. | | Vermenigvuldigingswip | Een strategie om berekeningen te vereenvoudigen door factoren te herschikken of te splitsen, bijvoorbeeld om te werken met 'mooie getallen'. | | Delingshalter | Een methode om delingen te vereenvoudigen door het deeltal en de deler te vermenigvuldigen of te delen met hetzelfde getal, zonder de uitkomst te veranderen. | | Negenproef | Een controlemethode om de juistheid van rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) te controleren door de som van de cijfers van de getallen en de resultaten te vergelijken. | | Plaatswaardesysteem | Een systeem waarin de waarde van een cijfer in een getal wordt bepaald door zijn positie ten opzichte van de decimale komma of de eenhedenpositie. | | Breuk als operator | Het toepassen van een breuk als een bewerking die een handeling aangeeft, zoals het 'nemen van' een deel van een hoeveelheid of een ander getal. | | Breuk als maat | Het gebruik van breuken om meetresultaten nauwkeuriger te specificeren, waarbij de breuk een deel van een meeteenheid vertegenwoordigt. | | Breuk als verhouding | Het uitdrukken van de relatie tussen twee hoeveelheden of delen van een geheel als een breuk. | | Breuk als kans | Het kwantificeren van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, uitgedrukt als een breuk van de mogelijke uitkomsten. | | Breuk als getal | Het plaatsen van breuken op de getallenas, waarbij ze als rationele getallen worden beschouwd met een specifieke positie tussen gehele getallen. | | Lineaire interpolatie | Een wiskundige techniek die wordt gebruikt om een waarde te schatten tussen twee bekende datapunten, die hier impliciet gebruikt kan worden bij het plaatsen van breuken op een getallenas. | | CSA-model | (Zie eerder) Concreet, Schematisch, Abstract model voor het aanleren van concepten. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, een set van houten of plastic blokken die eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen representeren om inzicht te geven in ons tiendelig talstelsel. | | Honderdveld | Een visueel hulpmiddel dat de getallen van 1 tot 100 weergeeft in een raster van 10x10, nuttig voor het ontwikkelen van getalbegrip en het visualiseren van relaties tussen getallen. | | Stambreuk | Een breuk waarbij de teller gelijk is aan 1, zoals 1/2, 1/3, 1/4, etc. | | Gelijknamige breuken | Breuken die dezelfde noemer hebben, waardoor ze directe vergelijking of bewerking mogelijk maken. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers, die eerst gelijknamig gemaakt moeten worden om ze te kunnen vergelijken of bewerken. | | Verhoudingstabel | Een tabel die wordt gebruikt om de relaties tussen verschillende hoeveelheden of getallen weer te geven, vaak gebruikt bij het werken met breuken, procenten en verhoudingen. | | Procentmeter | Een visueel hulpmiddel (vaak een strook met markeringen) om percentages te representeren en te vergelijken, vergelijkbaar met een getallenlijn voor procentuele waarden. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat aangeeft hoe een handeling of verandering op een bepaald geheel van toepassing is, zoals korting of prijsverhoging. | | Deel-geheel (in procenten) | Het uitdrukken van een deel van een geheel als een percentage, bijvoorbeeld het aantal geslaagden op een examen als percentage van het totale aantal leerlingen. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Het beschrijven van veranderingssituaties, zoals toename of afname in prijs of aantal, uitgedrukt als een percentage van het oorspronkelijke geheel. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Een elektronisch apparaat voor het uitvoeren van rekenkundige berekeningen, dat ook gebruikt kan worden voor procentberekeningen. | | Cijferalgoritme | Een stap-voor-stap procedure voor het uitvoeren van een rekenkundige bewerking (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) op schriftelijke wijze. | | Ontlening (bij aftrekken) | Het proces waarbij een tiental of honderdtal wordt 'geleend' van een hogere plaatswaarde om een aftrekking mogelijk te maken wanneer het cijfer in de te aftrekken positie groter is dan het cijfer in de aftrekker. | | Overbrugging / Overdragen (bij optellen) | Het proces waarbij tien eenheden worden omgewisseld voor een tiental, of tien tientallen voor een honderdtal, wanneer de som van de cijfers in een kolom tien of meer bedraagt. | | Product (in vermenigvuldiging) | Het resultaat van een vermenigvuldiging. | | Quotiënt (in deling) | Het resultaat van een deling. | | Rest (in deling) | Het deel van het deeltal dat niet volledig deelbaar is door de deler. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld in een deling. | | Deler | Het getal waardoor wordt gedeeld in een deling. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen die worden genoteerd om het verloop van een berekening, met name bij hoofdrekenen, te verduidelijken. | | Flexibele oplossingsmethoden | Verschillende, op de specifieke opgave afgestemde manieren om een rekenkundige bewerking uit te voeren. | | Standaardmethodes | Vaste, algemeen toepasbare procedures voor het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen. | | Rekenverhaal | Een probleem dat in een verhaalvorm wordt gepresenteerd, om het inzicht in een wiskundige bewerking te vergroten en de relevantie ervan aan te tonen. | | Verwerkingsopdracht | Een opdracht die bedoeld is om de opgedane kennis en vaardigheden toe te passen en te versterken. | | Breukvraagjes | Hulpmiddelen in de vorm van vragen om leerlingen te begeleiden bij het begrijpen en oplossen van problemen met breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model voor de opbouw van wiskundige concepten. | | Vereenvoudigen | Het proces van het reduceren van een breuk tot zijn eenvoudigste vorm door teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken die dezelfde waarde vertegenwoordigen, ook al hebben ze verschillende tellers en noemers. | | Stambreuk | Een breuk met teller 1. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Deel-geheel | Een relatie waarbij een breuk een deel van een grotere hoeveelheid of eenheid vertegenwoordigt. | | Operator | Een factor die een bewerking of transformatie op een ander getal of uitdrukking aangeeft. | | Maat | Het gebruik van breuken om meetresultaten te kwantificeren, vaak als een deel van een eenheid. | | Verhouding/Kans | Het uitdrukken van relaties tussen aantallen of de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis als een breuk. | | Getal (als breuk) | De representatie van een breuk op de getallenas, waardoor breuken als reële getallen worden beschouwd. | | Vermeerderen (breuken) | Het optellen van breuken of het vergroten van een hoeveelheid met een breuk. | | Verminderen (breuken) | Het aftrekken van breuken of het verkleinen van een hoeveelheid met een breuk. | | Vergroten (breuken) | Het optellen van breuken of het vergroten van een hoeveelheid met een breuk. | | Verkleinen (breuken) | Het aftrekken van breuken of het verkleinen van een hoeveelheid met een breuk. | | Herhaalde optelling | Het proces van het optellen van hetzelfde getal meerdere keren, wat equivalent is aan vermenigvuldiging. | | Verhoudingsdeling | Een type deling waarbij wordt gezocht naar het aantal keren dat een deler in een deeltal past. | | Verdelingsdeling | Een type deling waarbij een hoeveelheid wordt verdeeld in gelijke groepen. | | Omgekeerde bewerking | Een bewerking die de effecten van een oorspronkelijke bewerking ongedaan maakt, zoals aftrekken de tegenhanger van optellen is. | | Vermenigvuldigen met een breuk | Het proces van het nemen van een deel van een breuk, of het toepassen van een breuk als operator. | | Delen door een breuk | Het proces van het bepalen hoe vaak een breuk in een ander getal of breuk past, wat equivalent is aan vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler. | | Procent | Een uitdrukking van een deel van honderd, vaak gebruikt om verhoudingen of veranderingen aan te geven. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie tussen twee hoeveelheden als een percentage. | | Gemengd getal | Een getal dat bestaat uit een geheel getal en een breuk, zoals 3 ½. | | Breukvereenvoudiging | Het proces van het reduceren van een breuk tot zijn eenvoudigste vorm door teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler. | | Breuken vergelijken | Het bepalen welke van twee breuken groter, kleiner of gelijk is aan de andere, vaak door ze op gelijke noemer te brengen of te vergelijken met referentiepunten. | | Breuken ordenen | Het plaatsen van breuken op volgorde van grootte, van klein naar groot of omgekeerd. | | Vergelijkingsstrategieën (breuken) | Methoden die leerlingen spontaan of aangeleerd gebruiken om breuken te vergelijken, zoals het gebruik van referentiepunten of het gelijknamig maken. | | Operator (met breuken) | Een breuk die een bewerking aangeeft, zoals het nemen van een deel van een ander getal. | | Procentberekening | Het uitvoeren van berekeningen waarbij procenten worden gebruikt, zoals het berekenen van een percentage van een getal, een deel als percentage uitdrukken, of het geheel berekenen gegeven een deel en percentage. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model voor de opbouw van wiskundige concepten. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, een set van blokken die helpen bij het visualiseren van getallen en bewerkingen. | | Honderdveld | Een raster van 10x10 dat de getallen van 1 tot 100 weergeeft, nuttig voor het visualiseren van percentages. | | Procentmeter | Een strook met markeringen van 0% tot 100%, gebruikt om percentages te visualiseren en te vergelijken. | | Verhoudingstabel | Een tabel die wordt gebruikt om verhoudingen tussen getallen weer te geven en te manipuleren. | | Dubbele getallenlijn | Twee getallenlijnen die naast elkaar worden geplaatst om relaties tussen getallen, zoals bij procenten, te visualiseren. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Een elektronisch hulpmiddel voor rekenkundige berekeningen, inclusief procentberekeningen. | | Operator (met procenten) | Een percentage dat een deel van een geheel aangeeft, zoals 25% korting. | | Verhouding (met procenten) | Het uitdrukken van een relatie tussen twee hoeveelheden als een percentage. | | Deel-geheel (met procenten) | Het relateren van een deel aan een totaal, uitgedrukt als een percentage van het geheel. | | Geheel plus of min deel (met procenten) | Het beschrijven van veranderingen (toename of afname) als percentages van een oorspronkelijke hoeveelheid. | | Cijferen | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen op schrift met behulp van gestandaardiseerde algoritmes. | | Hoofdrekenen | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen in het hoofd, eventueel met behulp van pen en papier voor tussenstappen. | | Flexibel rekenen | Een aanpak waarbij de leerling verschillende strategieën toepast om een berekening uit te voeren, afhankelijk van de specifieke opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Een systematische, stap-voor-stap benadering van rekenkundige bewerkingen. | | Ontlening | Het lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken om een berekening mogelijk te maken. | | Overbrugging | Het overdragen van een tiental, honderdtal, etc. bij optellen wanneer de som van de eenheden of tientallen tien of meer bedraagt. | | Operator | Een symbool of getal dat een bewerking aangeeft. | | Getalbeelden | Visuele representaties van getallen, zoals die op dobbelstenen of in patronen, die helpen bij het begrijpen van getalstructuur en bewerkingen. | | Breukentafel | Een didactisch hulpmiddel dat bestaat uit stroken die verschillende breuken representeren en die gebruikt kunnen worden om breuken te vergelijken en te manipuleren. | | Getallenas | Een lijn waarop getallen zijn geordend volgens hun numerieke waarde, gebruikt om breuken en andere getallen te plaatsen en te vergelijken. | | Rechthoekmodel | Een visuele voorstelling van breuken en vermenigvuldigingen met breuken, waarbij een rechthoek wordt verdeeld in secties die de breuken representeren. | | Pijlenvoorstelling | Een visuele methode om bewerkingen te tonen door pijlen te gebruiken die de transformatie van getallen aangeven. | | Breuk : natuurlijk getal | Een deling waarbij een breuk wordt gedeeld door een geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Een deling waarbij een geheel getal wordt gedeeld door een breuk. | | Breuk : breuk | Een deling waarbij een breuk wordt gedeeld door een andere breuk. | | Omgekeerde van een breuk | Een breuk waarbij de teller en de noemer van de oorspronkelijke breuk zijn omgewisseld. | | Verhoudingsdeling | Een type deling dat focust op het aantal keren dat een deler in een deeltal past. | | Verdelingsdeling | Een type deling dat focust op het verdelen van een hoeveelheid in gelijke groepen. | | Negenproef | Een methode om de juistheid van rekenkundige bewerkingen te controleren. | | Cijferalgoritmen | Gestandaardiseerde procedures voor het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen op schrift. | | Operator (algemeen) | Een symbool of uitdrukking die een bewerking aangeeft. | | Soepele kennis van het tientallig talstelsel | Het diepgaande begrip van de structuur en de waarden van de cijfers binnen het decimale getalsysteem. | | Parate kennis | Vlug beschikbare kennis, zoals de tafels van vermenigvuldiging, die essentieel is voor efficiënt rekenen. | | Schematisch niveau | De fase van begripsvorming waarbij abstracte concepten worden voorgesteld met behulp van tekeningen, diagrammen of schema's. | | Concreet niveau | De fase van begripsvorming waarbij tastbaar materiaal wordt gebruikt om concepten te demonstreren en te begrijpen. | | Abstract niveau | De fase van begripsvorming waarbij concepten worden begrepen en toegepast op een puur mentale of symbolische manier. | | Deel-geheel relatie | De relatie tussen een deel en het geheel waar het deel van afkomstig is. | | Veranderingssituaties | Situaties die een toename of afname van een hoeveelheid beschrijven, vaak uitgedrukt in procenten. | | Operator | Een factor die een bewerking of transformatie op een ander getal of uitdrukking aangeeft. | | Verhouding | Een relatie tussen twee getallen die aangeeft hoe vaak het ene getal in het andere voorkomt, vaak uitgedrukt als een breuk of een percentage. | | Kans | De waarschijnlijkheid dat een bepaalde gebeurtenis zal plaatsvinden. | | Getal (in breukencontext) | De representatie van een breuk als een punt op de getallenas, waardoor breuken als reële getallen worden beschouwd. | | Wegnemend model | Een model voor aftrekken waarbij elementen uit een oorspronkelijke hoeveelheid worden verwijderd. | | Vergelijkingsmodel | Een model voor aftrekken waarbij het verschil tussen twee hoeveelheden wordt bepaald. | | Samenvoegen | Het proces van het combineren van twee of meer hoeveelheden, wat leidt tot optelling. | | Erbij doen | Het toevoegen van een hoeveelheid aan een bestaande hoeveelheid, wat leidt tot optelling. | | Wegnemen | Het verwijderen van een hoeveelheid uit een bestaande hoeveelheid, wat leidt tot aftrekking. | | Vergelijken | Het bepalen van het verschil of de relatie tussen twee hoeveelheden, wat kan leiden tot aftrekking of een verhouding. | | Vermenigvuldiger | Het getal waarmee wordt vermenigvuldigd in een vermenigvuldiging. | | Vermenigvuldigtal | Het getal dat wordt vermenigvuldigd in een vermenigvuldiging. | | Factoren | De getallen die met elkaar worden vermenigvuldigd. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld in een deling. | | Deler | Het getal waardoor wordt gedeeld in een deling. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. | | Rest | Het overblijfsel bij een deling wanneer het deeltal niet volledig deelbaar is door de deler. | | Deeltafels | De memorisatie van de resultaten van delingen, analoog aan de tafels van vermenigvuldiging. | | Vermenigvuldigingstafels | De memorisatie van de resultaten van vermenigvuldigingen, cruciaal voor efficiënt rekenen. | | Commutatieve eigenschap | Een eigenschap van bewerkingen waarbij de volgorde van de operanden de uitkomst niet verandert (bv. a + b = b + a). | | Associatieve eigenschap | Een eigenschap van bewerkingen waarbij de groepering van operanden de uitkomst niet verandert (bv. (a + b) + c = a + (b + c)). | | Distributieve eigenschap | Een eigenschap die de relatie tussen vermenigvuldigen en optellen of aftrekken beschrijft (bv. a x (b + c) = (a x b) + (a x c)). | | Neutraal element | Een getal dat, wanneer het met een ander getal wordt gecombineerd door een bewerking, het andere getal onveranderd laat (bv. 0 bij optellen, 1 bij vermenigvuldigen). | | Opslorpend element | Een getal dat, wanneer het met een ander getal wordt gecombineerd door een bewerking, altijd nul als resultaat oplevert (bv. 0 bij vermenigvuldigen). | | Rationale getallen | Getallen die kunnen worden uitgedrukt als een breuk p/q, waarbij p en q gehele getallen zijn en q niet nul is. Dit omvat gehele getallen en breuken. | | Gehele getallen | De verzameling van positieve en negatieve gehele getallen, inclusief nul. | | Irrationale getallen | Reële getallen die niet als een eenvoudige breuk kunnen worden uitgedrukt, zoals pi of de wortel van 2. | | Reële getallen | De verzameling van alle rationale en irrationale getallen. | | Operator (wiskunde) | Een symbool of uitdrukking die een wiskundige bewerking aangeeft. | | Verschijningsvormen van breuken | De verschillende manieren waarop breuken kunnen worden geïnterpreteerd en gebruikt, zoals deel-geheel, operator, maat, verhouding/kans, en getal. | | Wezenlijke aspecten van breuken | De kernkenmerken van breuken die essentieel zijn voor hun definitie en betekenis, zoals het principe van gelijke delen en de rol van teller en noemer. | | Niet-wezenlijke aspecten van breuken | Kenmerken van breuken die kunnen variëren zonder de waarde van de breuk te veranderen, zoals het materiaal, de grootte van het geheel, of de manier van verdelen. | | Leerdoelen | Specifieke uitkomsten of competenties die een leerling aan het einde van een leerproces moet bereiken. | | Vakdidactiek | De studie van de methoden en technieken voor het onderwijzen van een specifiek schoolvak, in dit geval wiskunde. | | Voortaak | Een opdracht die leerlingen voor een les moeten voorbereiden, vaak om voorkennis te activeren of te verdiepen. | | Natuurlijk getal | Getallen die gebruikt worden om te tellen (1, 2, 3, ...), soms inclusief nul. | | Breuken | Getallen die een deel van een geheel voorstellen. | | Kommagetallen | Getallen die een decimaal deel van een geheel voorstellen, gescheiden door een komma. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Deel-geheel | De relatie tussen een deel en het geheel waar het deel van afkomstig is. | | Operator | Een factor of symbool dat een bewerking aangeeft. | | Maat | Een eenheid van meting, vaak gebruikt in combinatie met breuken of procenten. | | Verhouding / Kans | De relatie tussen twee getallen of de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis. | | Getal (als breuk) | De representatie van een breuk op de getallenas. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken die dezelfde waarde hebben, ondanks verschillende tellers en noemers. | | Breuken vereenvoudigen | Het proces om een breuk in zijn meest eenvoudige vorm te zetten. | | Breuken vergelijken | Het bepalen van de relatieve grootte van breuken. | | Breuken ordenen | Het plaatsen van breuken op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden die worden gebruikt om breuken te vergelijken. | | Bewerkingen met breuken | Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van breuken. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Natuurlijk getal x breuk | Vermenigvuldigen van een geheel getal met een breuk. | | Breuk x natuurlijk getal | Vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal. | | Breuk x breuk | Vermenigvuldigen van twee breuken. | | Breuk : natuurlijk getal | Delen van een breuk door een geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Delen van een geheel getal door een breuk. | | Breuk : breuk | Delen van een breuk door een andere breuk. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie tussen twee hoeveelheden als een percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Het relateren van een deel aan een totaal, uitgedrukt als een percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Het beschrijven van veranderingen als percentages. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Een elektronisch hulpmiddel voor rekenkundige berekeningen. | | Cijferen | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen op schrift. | | Hoofdrekenen | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Een aanpak waarbij de leerling verschillende strategieën toepast. | | Gestandaardiseerd rekenen | Een systematische, stap-voor-stap benadering van rekenkundige bewerkingen. | | Ontlening | Het lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Het overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Het resultaat van een vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. | | Rest | Het overblijfsel bij een deling. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld. | | Deler | Het getal waardoor wordt gedeeld. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen die het verloop van een berekening verduidelijken. | | Rekenverhaal | Een probleem dat in een verhaalvorm wordt gepresenteerd. | | Verwerkingsopdracht | Een opdracht om de opgedane kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Vragen die leerlingen helpen bij het begrijpen van breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model voor conceptopbouw. | | Operator | Een factor die een bewerking aangeeft. | | Verhouding | Een relatie tussen twee getallen. | | Kans | De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van een vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van een deling. | | Rest | Overblijfsel bij een deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, didactisch materiaal. | | Honderdveld | Visueel hulpmiddel voor getallen van 1-100. | | Stambreuk | Breuk met teller 1. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Vereenvoudigen | Reduceren tot eenvoudigste vorm. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken met dezelfde waarde. | | Vergelijken | Bepalen van de relatieve grootte. | | Ordenen | Plaatsen op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden om breuken te vergelijken. | | Bewerkingen met breuken | Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen van breuken. | | Natuurlijk getal x breuk | Vermenigvuldigen van geheel getal met breuk. | | Breuk x natuurlijk getal | Vermenigvuldigen van breuk met geheel getal. | | Breuk x breuk | Vermenigvuldigen van twee breuken. | | Breuk : natuurlijk getal | Delen van breuk door geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Delen van geheel getal door breuk. | | Breuk : breuk | Delen van breuk door breuk. | | Operator | Een factor die een bewerking aangeeft. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie als percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Een deel van een totaal als percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Veranderingen uitgedrukt als percentage. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Elektronisch rekentuig. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van deling. | | Rest | Overblijfsel bij deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | Operator | Een factor die een bewerking aangeeft. | | Breuken vergelijken | Bepalen van de relatieve grootte van breuken. | | Breuken ordenen | Plaatsen van breuken op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden om breuken te vergelijken. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie als percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Een deel van een totaal als percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Veranderingen uitgedrukt als percentage. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Elektronisch rekentuig. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van deling. | | Rest | Overblijfsel bij deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, didactisch materiaal. | | Honderdveld | Visueel hulpmiddel voor getallen van 1-100. | | Stambreuk | Breuk met teller 1. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Vereenvoudigen | Reduceren tot eenvoudigste vorm. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken met dezelfde waarde. | | Vergelijken | Bepalen van de relatieve grootte. | | Ordenen | Plaatsen op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden om breuken te vergelijken. | | Bewerkingen met breuken | Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen van breuken. | | Natuurlijk getal x breuk | Vermenigvuldigen van geheel getal met breuk. | | Breuk x natuurlijk getal | Vermenigvuldigen van breuk met geheel getal. | | Breuk x breuk | Vermenigvuldigen van twee breuken. | | Breuk : natuurlijk getal | Delen van breuk door geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Delen van geheel getal door breuk. | | Breuk : breuk | Delen van breuk door breuk. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie als percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Een deel van een totaal als percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Veranderingen uitgedrukt als percentage. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van deling. | | Rest | Overblijfsel bij deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | Operator | Een factor die een bewerking aangeeft. | | Negenproef | Controle op juistheid van rekenkundige bewerkingen. | | Vermenigvuldigen met een breuk | Het nemen van een deel van een breuk of een hoeveelheid. | | Delen door een breuk | Het bepalen hoe vaak een breuk in een getal past. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie als percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Een deel van een totaal als percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Veranderingen uitgedrukt als percentage. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van deling. | | Rest | Overblijfsel bij deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, didactisch materiaal. | | Honderdveld | Visueel hulpmiddel voor getallen van 1-100. | | Stambreuk | Breuk met teller 1. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Vereenvoudigen | Reduceren tot eenvoudigste vorm. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken met dezelfde waarde. | | Vergelijken | Bepalen van de relatieve grootte. | | Ordenen | Plaatsen op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden om breuken te vergelijken. | | Bewerkingen met breuken | Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen van breuken. | | Natuurlijk getal x breuk | Vermenigvuldigen van geheel getal met breuk. | | Breuk x natuurlijk getal | Vermenigvuldigen van breuk met geheel getal. | | Breuk x breuk | Vermenigvuldigen van twee breuken. | | Breuk : natuurlijk getal | Delen van breuk door geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Delen van geheel getal door breuk. | | Breuk : breuk | Delen van breuk door breuk. |

# Cognitieve en behavioristische inzichten in leren en ontwikkeling ### Kernideeën * Leren en ontwikkeling worden vanuit verschillende theoretische perspectieven benaderd, waaronder behaviorisme en cognitivisme. * De ontwikkeling van rekenvaardigheden begint met prenumerieke competenties en verloopt via voorbereidend, aanvankelijk en gevorderd rekenen. * Dyscalculie wordt beschouwd als een neurobiologische ontwikkelingsstoornis, die gepaard kan gaan met comorbiditeiten en heterogeniteit in uiting. ### Kernconcepten * **Translatie:** Het omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Prenumerieke ontwikkeling:** Omvat getalgevoeligheid (getaldiscriminatie, ordinale relaties) en protonumerische competenties. * **Voorbereidend rekenen:** Vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal en patronen herkennen zijn cruciaal. * **Fasen van rekenontwikkeling (Aanvankelijk rekenen):** Gericht op het aanbrengen van basiskennis, rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten en automatiseren van rekenfeiten. * **CSA-principe (Concreetheid – Schematisering – Abstractie):** Een didactisch model waarbij geleidelijk aan abstractie wordt opgebouwd. * **IJsbergdidactiek (Handelingsmodel):** Structurele modellen en schematische denkmodellen als ondersteuning voor formele bewerkingen. * **Dyscalculie (DC):** Ernstige, hardnekkige rekenproblemen met een oorzaak in kindkenmerken, zonder andere volledige verklaringen. * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** Criteria omvatten problemen vanaf vroege kinderjaren, stabiel verloop, en aanwijzingen voor genetische/neurobiologische bepaaldheid. * **Diagnostische criteria dyscalculie (verouderde):** Normaliteitscriterium (gemiddelde intelligentie) en discrepantiecriterium (problemen groter dan verwacht op basis van IQ). * **Comorbiditeit:** Het samen voorkomen van dyscalculie met andere stoornissen (bv. taalproblemen, dyslexie, ADHD). * **Heterogeniteit:** Variatie in de uiting en oorzaken van dyscalculie. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Aanbevelingen op vaardigheids-, psychologisch, fysiek en orthopedagogisch niveau. * **Zorgcontinuüm:** Fasen van brede basiszorg tot individueel aangepast curriculum. * **Evidence-based handelen:** Gebruik van wetenschappelijk onderbouwde interventies en zorglandschappen (CLB, leersteuncentra). * **Inzichten in leren:** * **Behaviorisme:** Nadruk op consequenties, beheersingsleren, directe instructie, foutenanalyse. * **Cognitivisme:** Aandacht voor mentale processen, voorbereidende vaardigheden, zone van naaste ontwikkeling, metacognitie. ### Implicaties * Vroege identificatie van prenumerieke tekorten is belangrijk. * Een multidisciplinaire aanpak, afgestemd op de individuele behoeften van het kind, is essentieel. * Hulpmiddelen, psycho-educatie en het bevorderen van een constructief zelfbeeld zijn cruciaal voor kinderen met rekenproblemen. * Het creëren van een inclusieve leeromgeving met redelijke aanpassingen is noodzakelijk voor optimale participatie. * Verschillende didactische principes (CSA, directe instructie, modelleren) ondersteunen het leerproces. ### Belangrijke concepten in rekenontwikkeling ### Aanpak bij rekenproblemen --- ### Kernidee * De focus ligt op hoe cognitieve en behavioristische theorieën ons begrip van leren en ontwikkeling, specifiek in rekenen, beïnvloeden. * Behaviorisme focust op observeerbaar gedrag en consequenties, terwijl cognitivisme mentale processen meeneemt. ### Kernfeiten * **Behaviorisme:** Grondleggers zijn Pavlov, Thorndike, en Watson (klassieke conditionering), met Skinner's operante conditionering (focus op consequenties). * **Behavioristische invloeden:** Analyse van wat aan rekenproblemen voorafgaat, gevolgen van problemen, beheersingsleren, directe instructie, en foutenanalyse. * **Cognitivisme:** Ontstond als reactie op behaviorisme, benadrukt mentale processen zoals waarneming, geheugen, en denken. * **Cognitieve invloeden:** Analyseren van mentale processen, psycho-educatie, kijken naar voorbereidende rekenvaardigheden, en zelfstandig oefenen in de zone van actuele ontwikkeling. * **Eclectische aanpak:** Combineert inzichten uit verschillende theorieën voor een brede diagnostiek en behandeling. * **Klassieke conditionering:** Leren door associatie tussen een neutrale prikkel en een natuurlijke prikkel. * **Operante conditionering:** Leren door de consequenties (bekrachtiging of straf) van gedrag. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Cognitieve en perceptuele vaardigheden die nodig zijn voor het aanleren van rekenen (bv. tellen, sorteren, ordenen). * **Zone van Actuele Ontwikkeling (ZPD):** Het niveau van ontwikkeling waarbij een kind taken zelfstandig kan uitvoeren. * **Zone van Naast Ontwikkeling (ZPD):** Het niveau van taken dat een kind kan uitvoeren met hulp van een meer competente ander. * **Handleringsgericht werken:** Een aanpak die uitgaat van de onderwijs- en opvoedingsbehoeften van het kind en de omgeving. * **Zorgcontinuüm:** Een gelaagde aanpak van zorg, beginnend bij brede basiszorg en oplopend naar individueel aangepaste curricula. * **SFON (Spontaneous Focusing On Numbers):** Spontane interesse voor cijfers en numerieke informatie. * **Subitiseren:** Snel en accuraat waarnemen van kleine hoeveelheden zonder te tellen. * **Object-file systeem & Exact systeem:** Systemen voor het verwerken van kleine exacte hoeveelheden. * **Approximate Number Sense (ANS):** Schattingssysteem voor grotere hoeveelheden, ratio-afhankelijk. * Gedragsmatige inzichten helpen bij het identificeren van leerpatronen en het aanpassen van instructie aan de hand van consequenties. * Cognitieve theorieën benadrukken het belang van het begrijpen van het denkproces van het kind en het bieden van passende ondersteuning. * Een gecombineerde benadering resulteert in een meer holistische en effectieve aanpak van leerproblemen. * Het is cruciaal om niet alleen naar de fouten te kijken, maar ook naar de sterktes en het denkproces van het kind. * Handelingsgericht werken en een zorgcontinuüm bevorderen participatie en gelijke kansen voor alle leerlingen. ### Voorbereidende rekenvaardigheden (Gedetailleerd) * **Conversatie:** Inzicht dat verschillende hoeveelheden of volumes gelijk kunnen zijn (bv. door omkeren of compenseren). * **Correspondentie:** Vaardigheid om hoeveelheden te vergelijken via een 1-op-1 relatie. ### Ontwikkeling van tellen ### Getalbegrip --- * Leren is een complex proces waarbij zowel observeerbaar gedrag als interne mentale processen een rol spelen. * Behavioristische inzichten focussen op waarneembaar gedrag en de invloed van consequenties. * Cognitivistische inzichten leggen de nadruk op mentale processen zoals geheugen, aandacht en probleemoplossing. ### Belangrijke concepten * **Klassieke conditionering (Pavlov, Thorndike, Watson):** Leren door associatie tussen prikkels. * **Operante conditionering (Skinner):** Leren door bekrachtiging en straf van gedrag. * Bekrachtiging vergroot de kans op herhaling van gedrag. * Straf verkleint de kans op herhaling van gedrag. * **Consequentie:** Wat volgt op gedrag en de invloed daarvan op toekomstig gedrag. * **Directe instructie:** Expliciete uitleg en begeleiding bij het aanleren van vaardigheden. * **Foutenanalyse:** Analyseren van gemaakte fouten om leerprocessen te begrijpen en aan te passen. * **Mentale processen (cognitivisme):** Denkprocessen die leiden tot leren en probleemoplossing. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Competenties die noodzakelijk zijn voor de ontwikkeling van rekenbegrip. * **Zone van naaste ontwikkeling (Vygotsky):** Het niveau waarop een kind zelfstandig kan leren, ondersteund door anderen. * **Eclectische aanpak:** Integreren van inzichten uit verschillende theoretische stromingen. ### Implicaties voor rekenonderwijs * **Gedragsanalyse:** Analyseren van wat voorafgaat aan en wat de gevolgen zijn van rekenproblemen. * **Beheersingsleren:** Gericht op het correct uitvoeren van rekenhandelingen en procedures. * **Conventie en feedback:** Gebruik van bekrachtiging en directe feedback bij correcte en incorrecte rekenpogingen. * **Gedetailleerde taak- en foutenanalyses:** Identificeren van specifieke denkprocessen en foutenpatronen. * **Aandacht voor mentale processen:** Onderzoeken van werkgeheugen, motivatie, zelfbeeld en metacognitie. * **Handelingsgericht werken:** Focus op de onderwijs- en opvoedingsbehoeften van het kind. * **Zorgcontinuüm:** Verschillende fasen van ondersteuning, van brede basiszorg tot individueel aangepast curriculum. * **Participatie:** Streven naar gelijke kansen en maximale participatie door het wegwerken van drempels. * **Rol van de omgeving:** Belang van interactie, feedback en betekenisvolle taken voor het leerproces. * **Holistische aanpak:** Rekening houden met zowel het kind als de context (ouders, school). --- * Behaviorisme focust op observeerbaar gedrag en de rol van consequenties (Skinner), terwijl cognitivisme mentale processen en tussenliggende stadia meeneemt in de analyse van leren. * Beide perspectieven beïnvloeden huidig handelen door analyse van factoren voorafgaand aan en na problemen, en door aandacht voor mentale processen. * Een eclectische aanpak, met grondige intake en brede taak- en foutenanalyses, is essentieel. ### Belangrijke inzichten * **Behavioristische benadering:** * Nadruk op consequenties van gedrag (operante conditionering). * Belang van beheersingsleren (correct uitvoeren van rekenhandelingen). * Contingentie en directe instructie zijn cruciaal. * Observeren van correcte en foute handelingen, met foutenanalyse bij problemen. * **Cognitieve benadering:** * Focus op mentale processen, niet enkel observeerbaar gedrag. * Belang van tussenliggende stadia in leerprocessen. * Aandacht voor voorbereidende rekenvaardigheden. * Zelfstandig oefenen in de zone van actuele ontwikkeling en samen oefenen in de zone van naaste ontwikkeling. * **Eclectische benadering:** * Grondige intake en breed onderzoek (werkgeheugen, motivatie, zelfbeeld, metacognitie). * Brede taak- en foutenanalyses. * Benutten van krachten en sterktes van elk kind. * Handelingsgericht werken met focus op participatie en het wegwerken van drempels. * Diagnose als middel voor een passende aanpak. * Zorgcontinuüm met fases van brede basiszorg tot individueel aangepast curriculum. ### Handelingsgericht werken * **7 uitgangspunten:** Doelgericht, transactioneel (wisselwerking), onderwijs- en opvoedingsbehoeften centraal, belang van leerkracht en ouders, benutten van positieve aspecten, constructief samenwerken, systematisch en transparant. * Vraagt om grondige bevraging van basiszorg en verhoogde zorg. ### Kernbegrippen in rekenontwikkeling * **SFON (Spontaneous Focusing on Numbers):** Spontane interesse voor numerieke informatie. * **Subitiseren:** Snel en accuraat beoordelen van kleine aantallen. * **Object-file systeem:** Exacte representatie voor kleine hoeveelheden (max 3). --- # Strategieën voor leesbegrip en tekstinterpretatie ### Kernidee * Tekstbegrip is een actief, strategisch proces van mentale constructie. * Effectieve lezers gebruiken cognitieve en metacognitieve strategieën om hun begrip te ondersteunen en te monitoren. ### Kernconcepten * **Vooraf lezen (tekstoriëntatie):** * Activeren van voorkennis op basis van uiterlijke kenmerken (titel, afbeeldingen). * Voorspellen van de inhoud om verwachtingen op te bouwen. * Het belangrijkste is het activeren van voorkennis, niet de juistheid van de voorspelling. * **Verbaal begrip:** * Begrip van betekenis op woord-, zins- en tekstniveau. * Omvat woordenschatkennis, betekenis van complexe woorden, zinsstructuren en beeldspraak. * Woorden afleiden uit de context is een essentiële strategie. * **Interpreteren op mesoniveau (paragraafniveau):** * **Elaboratieve inferenties:** Toevoegen van voorkennis aan de tekst (causale, logische inferenties). * **Overbruggingsinferenties:** Leggen van verbanden tussen zinnen (given-new, anaforische inferenties). * **Interpreteren op macroniveau (tekstniveau):** * Verbanden leggen tussen verschillende delen van de tekst (begin, midden, slot). * Het creëren van een coherent mentaal model van de tekst. * **Extrapolatie:** * Relaties leggen tussen tekstgegevens en kennis buiten de tekst. * Toepassen van geleerde concepten in nieuwe situaties. * **Metacognitieve leesstrategieën:** * Het sturen, bewaken en herstellen van het eigen leesbegrip. * Bewust nadenken over de aanpak en het gebruik van leesstrategieën. ### Belangrijke feiten * Strategie-instructie is de meest effectieve aanpak voor het verbeteren van leesbegrip. * Directe instructie met modelleren en feedback op maat is cruciaal. * Leesmotivatie is een sleutelfactor die gestimuleerd moet worden door betekenisvolle taken en inspraak. ### Didactische sleutels ### Hulpmiddelen en oefeningen --- * Focus op de strategieën die de lezer toepast om de betekenis van een tekst te begrijpen, te bewaken en te herstellen. * Het mentale model van een tekst creëren is een actief en strategisch denkproces. * Tekstkenmerken (soort, organisatie, structuur) beïnvloeden de verwerking van de tekst. * **Cognitieve leesstrategieën:** * Tekstinhoud visualiseren (via tekening of schema). * Verbinden met voorkennis. * Samenvatten. * Tekststructuur herkennen (signaalwoorden). * Tekstoriëntatie: voorkennis activeren, leesdoelen stellen. * Begrip bewaken en onduidelijkheden verhelderen (herstelstrategieën). * **Herstelstrategieën:** * Op woordniveau: betekenis achterhalen uit context of via woordanalyse. * Op tekstniveau: stukken opnieuw lezen, verder lezen voor verduidelijking. * **Voorspellen voor het lezen:** * Belang van durven voorspellen en interactie over voorspellingen. * Begrijpen van woordenschat, zinnen en beeldspraak binnen de tekstcontext. * Woordbetekenissen afleiden uit de context. * Begrijpen van complexe zinsstructuren en verwijswoorden. * **Elaboratieve inferenties:** voorkennis toevoegen aan de tekst (bv. causale, logische). * **Overbruggingsinferenties:** verbanden leggen binnen de tekst (bv. 'given-new', anaforisch). ### Sleutels voor aanpak begrijpend lezen ### Tip ### Voorbeeld --- * Focus op het ontwikkelen van strategieën die verder gaan dan technisch lezen om een dieper begrip van teksten te bewerkstelligen. * Nadruk op het actief en strategisch betrekken van de lezer bij de tekst. ### Kernfeiten * Begrijpend lezen (BL) is een complex, actief en strategisch proces dat mentaal een "film" creëert. * BL omvat zowel taakspecifieke (tekstkenmerken) als kindgebonden factoren (voorkennis, woordenschat). * Vroege interventie, reeds bij aanvankelijk lezen, is cruciaal voor de ontwikkeling van BL. * Vijf didactische sleutels voor BL: Functionaliteit, Leesmotivatie, Interactie, Transfer en Strategie-instructie. * Strategie-instructie richt zich op het expliciet aanleren en oefenen van cognitieve en metacognitieve strategieën. * **Cognitieve strategieën**: * Tekstinhoud visualiseren (tekening, schema). * **Metacognitieve strategieën**: * Tekstoriëntatie (activeren voorkennis, leesdoelen stellen). * **Herstelstrategieën**: * **Op woordniveau**: Verbaal begrip, betekenis uit context afleiden. * **Op tekstniveau**: Opnieuw lezen, verder lezen voor verduidelijking, teruglezen. * **Interpretatie op mesoniveau (paragraafniveau)**: * **Elaboratieve inferenties**: Toevoegen van voorkennis aan de tekst (bv. causale inferenties, logische inferenties). * **Overbruggingsinferenties**: Verbanden leggen binnen de tekst (bv. given-new, anaforische inferenties). * **Interpretatie op macroniveau (tekstniveau)**: * Relaties leggen tussen tekstgegevens (bv. begin-midden-slot, titel verklaren). * **Extrapolatie**: Relaties leggen tussen tekstgegevens en gegevens buiten de tekst (voorspellen van vervolg, toepassen in andere situaties). * **Tekstkenmerken**: Titels, subtitels, illustraties, signaalwoorden, tekststructuur. ### Implicaties ### Tips --- * Tekstinterpretatie omvat het leggen van verbanden tussen impliciete informatie in de tekst en voorkennis. * Het proces van leesbegrip is actief en strategisch, waarbij lezers mentale modellen creëren. * Strategie-instructie voor begrijpend lezen heeft een groot en duurzaam effect. * Tekstkenmerken (tekstsoort, organisatie, structuur) beïnvloeden hoe een tekst verwerkt wordt. * Uiterlijke kenmerken zoals titels, subtitels en signaalwoorden helpen bij oriëntatie. * Tekststructuur verwijst naar de inhoudelijke ordening van gedachten en de samenhang van de tekst. * Problemen bij begrijpend lezen kunnen voorkomen bij dyslexie, autisme, ADHD en dyscalculie. * De aanpak van begrijpend lezen kan al bij aanvankelijk lezen geïntegreerd worden. * Vijf didactische sleutels voor begrijpend lezen zijn: functionaliteit, leesmotivatie, interactie, transfer en strategie-instructie. ### Belangrijke concepten * Tekstoriëntatie en leesdoelen stellen. * Op woordniveau: betekenis uit context afleiden. * Op tekstniveau: opnieuw lezen, verder lezen voor verduidelijking. * Activeren van voorkennis op basis van uiterlijke kenmerken. * Durven voorspellen, ook al is de voorspelling niet altijd juist. * Begrijpen van woordenschatnuances en gradatieverschillen. ### Voorbeelden --- * Focus op de ontwikkeling van leesbegrip en tekstinterpretatie vanaf de kleuterklas tot en met de basisschool. * Centraal staan de cognitieve en metacognitieve strategieën die nodig zijn om teksten te begrijpen. * De aanpak is gericht op het stimuleren van actieve en strategische lezers, met aandacht voor individualisatie en transfer. * **Zingeving:** Inzicht in de betekenis van geschreven taal en de wens om een verhaal te begrijpen. * Tekstinhoud visualiseren. * Op woordniveau (bv. context gebruiken om betekenis af te leiden). * Op tekstniveau (bv. opnieuw lezen, verder lezen). * **Voorspellen voor het lezen:** Activeren van voorkennis en verwachtingen opbouwen op basis van uiterlijke kenmerken (titels, afbeeldingen). * **Verbaal begrip:** Begrijpen van woordbetekenissen, betekenisnuances en complexe zinsstructuren. * **Interpretatie op mesoniveau (paragraafniveau):** * Elaboratieve inferenties: Toevoegen van voorkennis aan de tekst. * Causale inferenties (oorzaak-gevolg). * Logische inferenties (logisch denken rond tekstinhoud). * Instrumentele inferenties (middel-doel relaties). * Categorale inferenties (indelen in klassen). * Overbruggingsinferenties: Verbanden leggen tussen zinnen (gegeven-nieuwe informatie, anaforische inferenties/verwijswoorden). * **Interpretatie op macroniveau (tekstniveau):** Verbanden leggen tussen begin, midden en slot; titels verklaren. ### Aanpak en Implementatie ### Specifieke Problemen en Strategieën --- # Ontwikkeling van rekenvaardigheden en getalbegrip ### Kernidee * Het begrijpen van getallen en het ontwikkelen van rekenvaardigheden is een geleidelijk proces dat start vanaf de vroege kinderjaren. * Verschillende ontwikkelingsfasen, van prenumerische competenties tot gevorderd rekenen, zijn essentieel voor een solide rekenbasis. * Voorbereidende rekenvaardigheden, zoals tellen en vergelijken van hoeveelheden, zijn cruciaal voor toekomstig rekenonderwijs. ### Kernfeiten * **Translatie** is het omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten: getalwoord, hoeveelheid en Arabisch cijfer. * **Prenumerische ontwikkeling** omvat getalgevoeligheid, zoals het onderscheiden van hoeveelheden (getaldiscriminatie) vanaf 6 maanden met een 1:2 ratio, en vanaf 10 maanden met een 2:3 ratio. * Prenumerische getalgevoeligheid voorspelt toekomstig rekenen; getaldiscriminatie op 24 maanden verklaart een deel van de variantie in rekenvaardigheid. * **Voorbereidend rekenen** (na Piaget) omvat vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen en translatie. * **Aanvankelijk rekenen** (1e lj) focust op het inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten en het automatiseren van rekenfeiten. * Het **CPA-model** (Concreet, Schematisch, Abstract) of **CSA-principe** begeleidt de overgang van concrete handelingen naar abstract denken in rekenonderwijs. * **Basis_kennis** in het 1e lj omvat getallen lezen/schrijven (tot 20), koppelen aan waarde, plaatswaarde, tiental-/eenheidsstructuur en kennis van operatiesymbolen. * **Procedures** in het 1e lj omvatten tellen, splitsen van getallen tot 10 en optellen/aftrekken via materialen en kennis van splitsingen. * **Afgeleide rekenfeiten** (rekenvoordelen) helpen bij het oplossen van sommen door bekende feiten te gebruiken. * **Gevorderd rekenen** (vanaf 2e lj) omvat inzicht in het tiendelige talstelsel (tot 10.000-100.000), decimale getallen, de vier hoofdbewerkingen en contextrijke toepassingen. ### Kernconcepten * **Getalbegrip** omvat het onderscheiden van het kardinale (aantal), ordinale (telgetal), meet- en rekenaspect van getallen. * **Tellen** bestaat uit procedurele kennis (de telrij kennen) en conceptuele kennis (begrijpen wat tellen inhoudt, bv. 1-1 correspondentie, kardinaliteit). * **Maatbegrip** ontwikkelt zich van natuurlijke maten (stappen, bekers) naar standaardmaten (m, g, l) en omvat het inzicht in relatieve getallen. * **Wiskundige wereldoriëntatie** is het toepassen van wiskunde in het dagelijks leven. * **Structuurmodellen** en **schematische denkmodellen** (bv. getallenas) ondersteunen het wiskundig denken. * **Handelingsmodel (IJsdidactiek)** doorloopt vier fasen: wiskundige wereldoriëntatie, motorisch handelen, schematische denkmodellen en formele bewerking. * **Tien- en eenheidsstructuur** is fundamenteel voor getalbegrip en rekenen tot 100. * **CPA/CSA-principe** (Concreet, Schematisch, Abstract) is een leidraad voor het lesgeven. * **Brugoefeningen** (optellen/aftrekken met overschrijding van tientallen) vereisen sterk getalbegrip en automatisering. * **Afgeleide rekenfeiten** zijn een procedurele strategie om sommen efficiënter op te lossen. ### Implicaties * De ontwikkeling van rekenvaardigheden is een continu proces waarbij vroege interventies en gerichte ondersteuning cruciaal zijn. * Het belang van **prenumerische ontwikkeling** voor toekomstig rekenen benadrukt de noodzaak van vroege stimulatie van getalgevoeligheid. --- * De ontwikkeling van rekenvaardigheden en getalbegrip is een complex proces dat begint vóór de schoolleeftijd en zich gedurende de hele schoolloopbaan voortzet. * Een sterke basis in prenumerische vaardigheden en getalgevoeligheid voorspelt succes in rekenen. * Er zijn verschillende fasen en onderliggende vaardigheden die essentieel zijn voor de ontwikkeling van rekenbegrip. * **Translatiemodaliteiten:** Getal kan worden omgezet tussen getalwoord (twee), hoeveelheid (2 knikkers) en Arabisch cijfer (2). * **Prenumerische ontwikkeling:** * Baby's kunnen vanaf 6 maanden onderscheid maken tussen hoeveelheden (1:2 ratio). * Vanaf 10 maanden kunnen ze kleinere verschillen waarnemen (2:3 ratio). * Protonumerische getalgevoeligheid voorspelt toekomstig rekenen. * **Voorbereidend rekenen:** * Omvat vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen en translatie. * Post-Piagetiaanse inzichten benadrukken het belang van deze voorbereidende vaardigheden. * **Aanvankelijk rekenen (1e lj):** * Visueel en inzichtelijk aanbrengen van basiskennis. * Ondersteunen van rekentaal en visueel-ruimtelijke aspecten. * Automatiseren van rekenfeiten. * CSA-principe (Concreet-Schematisch-Abstract) is een belangrijk didactisch model. * **Gevorderd rekenen (vanaf 2e lj):** * Inzicht in het tientallig stelsel tot 1000 en hoger. * Beheersing van de vier hoofdbewerkingen. * Hoofdrekenen, cijferen en contextrijke toepassingen. * **Getalbegrip:** Het vermogen om de eigenschappen van getallen te begrijpen en te manipuleren. * **Getalgevoeligheid (Numerosity):** Het intuïtieve besef van hoeveelheden en getalrelaties. * **Subitizeren:** Snel en accuraat overzien van kleine hoeveelheden (max. 3-4). * **Approximate Number System (ANS):** Schattingssysteem voor grotere hoeveelheden, ratio-afhankelijk. * **Prenumerische competenties:** Vaardigheden die voorafgaan aan formeel rekenen, zoals getaldiscriminatie en seriëren. --- * De ontwikkeling van rekenvaardigheden en getalbegrip omvat de transitie tussen getalwoorden, hoeveelheden en Arabische cijfers. * Vroege getalgevoeligheid bij baby's voorspelt toekomstige rekenvaardigheden, met verschillen die groter zijn dan bij geletterdheid. * De ontwikkeling kent fasen: prenumeriek, voorbereidend, aanvankelijk en gevorderd rekenen. * Prenumerische competenties omvatten getaldiscriminatie (onderscheid maken tussen hoeveelheden) en ordinale relaties. * Vanaf 6 maanden kunnen baby's een 1:2 ratio onderscheiden; vanaf 10 maanden een 2:3 ratio. * Voorbereidend rekenen omvat vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal en patronen herkennen. * Aanvankelijk rekenen (1e leerjaar) richt zich op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, rekentaal en visueel-ruimtelijke aspecten. * Het CSA-principe (Concreet, Schematisch, Abstract) en het Handelingsmodel (ijsbergdidactiek) ondersteunen het leerproces. * Basisvaardigheden zijn onder andere getallen lezen en schrijven tot 20, koppelen aan waarde, plaatswaarde, tiental- en eenheidsstructuur, en kennis van operatiesymbolen. * Gevorderd rekenen (vanaf 2e leerjaar) omvat inzicht in het tientallig stelsel tot 100.000, decimale getallen, de vier hoofdbewerkingen, hoofdrekenen en contextrijke toepassingen. * Dyscalculie wordt gedefinieerd als een ernstig en hardnekkig rekenprobleem met oorzaak in kindkenmerken, zonder andere volledige verklaring. * **Translatie:** Het omzetten van getal tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, cijfer). * **Getalgevoeligheid:** Het vermogen om hoeveelheden te onderscheiden en te vergelijken. * **Prenumerische ontwikkeling:** De vroege stadia van getalbegrip bij baby's en peuters. * **Voorbereidend rekenen:** Vaardigheden die nodig zijn voordat formeel rekenen begint. * **Aanvankelijk rekenen:** De focus op basiskennis en procedureel begrip in de eerste leerjaren. * **Gevorderd rekenen:** De ontwikkeling van complexere rekenkundige concepten en procedures. * **CPA-model (Concreet-Picturaal-Abstract):** Een didactisch model dat de leerling door verschillende representatieniveaus leidt. * **Afgeleide rekenfeiten (Rekenvordelen):** Sommen die door middel van bekende rekenfeiten efficiënter opgelost kunnen worden. * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** Classificatie van dyscalculie vanwege vroege aanvang, brede ontwikkelingsproblemen en stabiel verloop. * **Beschrijvende diagnose:** Dyscalculie als een categorisering gebaseerd op primaire kenmerken. * **Kwantitatief en kwalitatief oordeel:** Bij diagnostiek wordt zowel het rekenniveau als de manier van denken geanalyseerd. * Een vroege focus op prenumerische vaardigheden kan bijdragen aan een betere latere rekenontwikkeling. * Het aanleren van rekenen vereist een stapsgewijze opbouw van concreet naar abstract. * Dyscalculie is een specifieke leerstoornis die een aangepaste, handelingsgerichte aanpak vereist. --- * De ontwikkeling van rekenvaardigheden en getalbegrip omvat diverse fasen, van protonumerische competenties bij baby's tot gevorderd rekenen en problematiek zoals dyscalculie. * Essentieel is de translatiemogelijkheid tussen getalvormen: getalwoord, hoeveelheid en Arabisch cijfer. ### Belangrijke feiten * Protonumerische competenties (vanaf 6 maanden) voorspellen toekomstig rekenen; 1:2 ratio (2 vs 4) en later 2:3 ratio (bij 10 maanden) zijn indicatoren van getalgevoeligheid. * Voorbereidend rekenen omvat vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken, rekentaal en patronen herkennen, naast Piaget's rekenvoorwaarden. * Aanvankelijk rekenen (1e lj) focust op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten en automatiseren van rekenfeiten. * Gevorderd rekenen (vanaf 2e lj) omvat inzicht in het tientallig stelsel, getallenkennis tot 100.000, de vier hoofdbewerkingen, hoofdrekenen, cijferen en contextrijke toepassingen. * Dyscalculie is een ernstig en hardnekkig rekenprobleem met oorzaak in kindkenmerken, zonder andere volledige verklaring. * De diagnose van dyscalculie is beschrijvend en handelingsgericht, met criteria zoals achterstand en hardnekkigheid. * Comorbiditeit met taalproblemen, dyslexie, ADHD, ASS en fobieën komt frequent voor bij dyscalculie. * **Translatie:** Omzetten van een getal tussen modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Getalgevoeligheid:** Protonumerische competenties zoals getaldiscriminatie en vergelijken van hoeveelheden. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Vaardigheden die essentieel zijn voor de ontwikkeling van getalbegrip, waaronder tellen, maatbegrip en rekentaal. * **CSA-principe (Concreetheid – Schematisch – Abstract):** Een didactische aanpak waarbij geleidelijk van concreet materiaal naar abstracte concepten wordt gegaan. * **Handelingsmodel (IJsdidactiek):** Een model dat de overgang van wiskundige wereldoriëntatie naar formele bewerkingen schetst. * **Afgeleide rekenfeiten/rekenvoordelen:** Sommen die uit bekende rekenfeiten worden afgeleid, wat niet altijd helpt bij kinderen met dyscalculie. * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** Dyscalculie valt hieronder door vroege aanvang, stabiliteit, comorbiditeit en genetische/neurobiologische aanwijzingen. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Een diagnostische aanpak die aanbevelingen doet op vaardigheids-, psychologisch, fysiek en orthopedagogisch niveau. * **Foutenanalyse:** Cruciaal voor het begrijpen van denkprocessen en het identificeren van specifieke problemen bij rekenen. * **Redelijke aanpassingen:** Juridisch verankerde aanpassingen om gelijke kansen te garanderen, zoals extra tijd bij toetsen en het toelaten van hulpmiddelen. * Vroege herkenning van protonumerische vaardigheden is belangrijk voor het voorspellen van rekenontwikkeling. * Een gedifferentieerde aanpak die rekening houdt met de fasen van rekenontwikkeling is noodzakelijk. * Het aanleren van strategisch rekenen en het stimuleren van metacognitie zijn cruciaal voor kinderen met rekenproblemen. * De impact van dyscalculie op zelfbeeld en motivatie vereist psychosociale ondersteuning. * Samenwerking tussen school, ouders en therapeuten is essentieel voor een effectieve begeleiding. * Het creëren van een inclusieve leeromgeving met universeel ontwerp voor leren (UDL) is van belang. --- * De ontwikkeling van rekenvaardigheden en getalbegrip is een complex proces dat al vroeg in de kinderjaren begint. * Numerieke competenties zijn essentieel voor dagelijkse participatie en functioneren. ### Belangrijke concepten * **Translatie:** Het omzetten van getalinformatie tussen verschillende representaties (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Prenumerieke competenties:** Vroege vaardigheden die onderscheid maken tussen hoeveelheden, zoals getaldiscriminatie. * Baby's vanaf 6 maanden kunnen een 1:2 ratio onderscheiden (bv. 2 vs. 4 stippen). * Vanaf 10 maanden kunnen ze een 2:3 ratio waarnemen. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Vaardigheden die nodig zijn voor getalbegrip, zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal en patronen herkennen. * **Handelingsmodel (CSA/CIS/CPA):** Een didactische benadering die leert door concreet te handelen, te schematiseren en mentaal uit te voeren. * Getaldiscriminatie op jonge leeftijd voorspelt toekomstig rekenen. * Aanvankelijk rekenen (1e lj.) richt zich op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, rekentaal en visueel-ruimtelijke aspecten. * Gevorderd rekenen (vanaf 2e lj.) omvat inzicht in het tientallig stelsel, de vier hoofdbewerkingen en contextrijke toepassingen. * Dyscalculie is een ernstige en hardnekkige rekenproblematiek die gerelateerd is aan kindkenmerken, zonder andere volledige verklaringen. * De ontwikkeling van tellen omvat zowel procedurele (telrij kennen) als conceptuele (principes van tellen) kennis. * Principes van tellen: stabiele volgorde, 1-1 correspondentie, kardinaliteit, irrelevante volgorde, abstractie. * Splitsen van getallen is cruciaal voor optellen en aftrekken, met name bij brugoefeningen. * Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen) kunnen helpen bij het oplossen van sommen. * Breuken en procenten worden vanaf het 4e tot 6e leerjaar aangeboden, met nadruk op inzicht en representaties. * Metend rekenen en meetkunde vereisen inzicht in eenheden, omzettingen en ruimtelijke concepten. * Geldbegrip omvat het verkennen van munten en biljetten, inwisselen en omgaan met de komma. * Vroege identificatie en ondersteuning van prenumerieke vaardigheden is belangrijk voor toekomstig rekenonderwijs. * Een didactische aanpak die vertrekt van concreet handelen en naar abstractie evolueert (CSA-principe) is effectief. * Het aanleren van strategieën en het bevorderen van metacognitie zijn cruciaal voor zowel rekenvaardigheden als begrijpend lezen. * Gepersonaliseerde ondersteuning, rekening houdend met de individuele leerbehoeften en mogelijke comorbiditeiten, is essentieel. * Het belang van foutloze leermethoden en het vermijden van te veel "trucjes" die het werkgeheugen belasten. * Het bevorderen van een positief zelfbeeld, autonome motivatie en metacognitieve vaardigheden is van groot belang voor de leerling. --- * Ontwikkeling van rekenvaardigheden en getalbegrip is een complex proces dat zich ontvouwt vanaf de vroege kinderjaren, beïnvloed door zowel aangeboren factoren als omgevingsfactoren. * Prenumerische competenties, zoals getaldiscriminatie (onderscheid maken tussen hoeveelheden), zijn vroege indicatoren van toekomstig rekenvermogen. * Tellen omvat zowel procedurele kennis (het correct opzeggen van de telrij) als conceptuele kennis (begrip van de principes van tellen). * De ontwikkeling van getalbegrip verloopt via verschillende fasen, van concreet handelen naar abstract denken (CSA-principe). * Afgeleide rekenfeiten, of rekenvoordelen, zijn methoden om sommen op te lossen door te steunen op reeds bekende rekenfeiten. * Dyscalculie is een ernstige en hardnekkige rekenprobleem dat niet volledig verklaard kan worden door andere oorzaken en wordt beschouwd als een neurobiologische ontwikkelingsstoornis. * Comorbiditeit met andere leer- en gedragsproblemen, zoals dyslexie, ADHD en ASS, komt frequent voor bij dyscalculie. * **Translatie:** Het omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten: getalwoord, hoeveelheid, en Arabisch cijfer. * **Prenumerische ontwikkeling:** De vroege, proto-numerieke vaardigheden die een basis vormen voor getalbegrip, zoals het onderscheiden van hoeveelheden en het vergelijken van grotere en kleinere hoeveelheden. * **Voorbereidend rekenen:** Vaardigheden die essentieel zijn voor rekenen, zoals tellen, maatbegrip, het vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen en translatie. * **Aanvankelijk rekenen:** De fase waarin basiskennis, regels en rekentaal worden aangebracht, met de nadruk op inzicht en het visueel-ruimtelijke aspect. * **Gevorderd rekenen:** Vanaf het tweede leerjaar, met inzicht in het tientallig stelsel, de vier hoofdbewerkingen en contextrijke toepassingen. * **Dyscalculie (DC):** Een beschrijvende diagnose die ernstige rekenproblemen indiceert, waarbij de oorzaak primair in de kindkenmerken ligt. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Een aanpak die aanbevelingen doet op vier niveaus: vaardigheidsniveau, psychologisch niveau, fysiek niveau en orthopedagogisch niveau. * **Foutenanalyse:** Het classificeren van rekenfouten om de onderliggende oorzaak van het probleem te achterhalen, met verschillende categorieën zoals nulfouten, lokalisatiefouten en basisfouten. * **Strategie-instructie:** Het expliciet aanleren van cognitieve en metacognitieve leesstrategieën ter ondersteuning van leesbegrip. * Vroegtijdige detectie en ondersteuning van prenumerische vaardigheden zijn cruciaal voor de verdere rekenontwikkeling. * Een grondige analyse van rekenfouten is essentieel om de juiste begeleiding te kunnen bieden. * Interdisciplinaire samenwerking is van groot belang voor een integrale aanpak van rekenproblemen. * Het aanleren van strategieën voor begrijpend lezen is essentieel voor schoolsucces, ook bij kinderen met dyscalculie. * Het recht op redelijke aanpassingen, zoals extra tijd en hulpmiddelen, is wettelijk verankerd om participatie en gelijke kansen te waarborgen. - > **Tip:** De ontwikkeling van getalbegrip is een continu proces dat start met concrete ervaringen en geleidelijk evolueert naar abstractere concepten - > **Tip:** Maatwerk is cruciaal; de aanpak moet worden afgestemd op de specifieke behoeften en het profiel van het kind --- ### Kernideeën * Translatie is het omzetten van een getal van de ene modaliteit (getalwoord, hoeveelheid, cijfer) naar de andere. * Protonumerische competenties, zoals getaldiscriminatie, zijn voorspellend voor toekomstig rekenen. * De ontwikkeling van rekenvaardigheden kent verschillende fasen, van prenumerisch tot gevorderd rekenen. * Effectieve rekenondersteuning vereist een grondige diagnostiek en een handelingsgerichte aanpak, met aandacht voor zowel cognitieve als psychosociale factoren. * Vanaf 6 maanden kunnen baby's onderscheid maken tussen hoeveelheden met een 1:2 ratio. * Vanaf 10 maanden kunnen baby's kleinere verschillen waarnemen met een 2:3 ratio. * Ontluikende gecijferdheid vertoont meer verschillen tussen kinderen dan ontluikende geletterdheid. * Het C-SA-principe (Concreet-Schematisch-Abstract) is een belangrijk didactisch model voor rekenonderwijs. * 'Afgeleide rekenfeiten' of 'rekenvoordelen' helpen bij het oplossen van sommen door bekende feiten te gebruiken. * Dyscalculie wordt beschouwd als een neurobiologische ontwikkelingsstoornis. * Comorbiditeiten bij dyscalculie omvatten taalproblemen, dyslexie, ADHD en ASS. * Handelingsgerichte diagnostiek omvat analyses op vaardigheids-, psychologisch, fysiek en orthopedagogisch niveau. * Tests voor diagnostiek moeten genormeerd, valide, betrouwbaar en recent zijn. * Foutenanalyse helpt bij het identificeren van specifieke rekenproblemen. * **Getalbegrip:** Omvat de kardinale, ordinale, meet-, reken-, coderings- en relationele aspecten van getallen. * **Translatie:** Het vermogen om getalinformatie tussen verschillende representaties (getalwoorden, hoeveelheden, cijfers) om te zetten. * **Prenumerische competenties:** Vroege vaardigheden zoals getaldiscriminatie en het vergelijken van hoeveelheden. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden en patronen herkennen. * **Handelingsmodel/IJsbergdidactiek:** Een model dat de opbouw van wiskundige concepten van concreet naar abstract beschrijft. * **Dyscalculie:** Een ernstige en hardnekkige rekenstoornis met oorzaak in de kindkenmerken, zonder andere volledige verklaringen. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Een aanpak die gericht is op het formuleren van adviezen voor begeleiding en behandeling. * **Foutenanalyse:** Het systematisch classificeren van rekenfouten om de aard van het probleem te achterhalen. * **Metacognitie:** Het vermogen om het eigen denken en leerproces te monitoren en te sturen, essentieel voor zelfregulerend leren. * **Psycho-educatie:** Het vergroten van inzicht in de stoornis, het ontwikkelen van copingstrategieën en het versterken van het zelfvertrouwen. * **Universal Design for Learning (UDL):** Een didactische benadering die streeft naar inclusief onderwijs door flexibiliteit en variatie centraal te stellen. ### Tip ### Voorbeeld --- # Strategieën en interventies bij rekenproblemen ### Kernidee * Focus op de ontwikkeling van rekenvaardigheden en specifieke interventies voor rekenproblemen. * Onderscheid tussen normale ontwikkeling, leerstoornissen en leeruitdagingen. * Belang van vroege detectie en een handelingsgerichte aanpak. ### Sleutelconcepten * **Translatie:** Het omzetten van getalrepresentaties tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Prenumerieke ontwikkeling:** Baby's' vermogen om hoeveelheden te onderscheiden (getaldiscriminatie, 1:2 ratio vanaf 6 maanden, 2:3 ratio vanaf 10 maanden). * **Voorbereidend rekenen:** Vaardigheden die leiden tot getalbegrip, waaronder tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal en patronen herkennen. * **Aanvankelijk rekenen (1e lj):** Inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, ondersteunen van rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten en automatiseren van rekenfeiten. * **Handelingsmodel (CSA/CPA):** Concreet-Schematisch-Abstract principe voor het aanleren van wiskundige concepten. * **IJsbergdidactiek:** Van wiskundige wereldoriëntatie naar formele bewerkingen. * **Afgeleide rekenfeiten/rekenvoordelen:** Sommen die efficiënt afgeleid kunnen worden uit gekende rekenfeiten. * **Dyscalculie (DC):** Ernstige, hardnekkige rekenproblemen met oorzaak in kindkenmerken, zonder volledige verklaring elders. * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** DC voldoet aan criteria zoals vroege start, stabiel verloop en blijvende tekorten. * **Beschrijvende diagnose:** DC wordt omschreven aan de hand van primaire kenmerken, niet door een oorzaak. * **Comorbiditeit:** Vaak samengaand met taalproblemen, dyslexie, ADHD, ASS, fobieën, angststoornissen, ODD en CD. * **Heterogeniteit:** Rekenenproblemen manifesteren zich op diverse manieren bij verschillende individuen. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Aanbevelingen op vaardigheids-, psychologisch, fysiek en orthopedagogisch niveau. * **Foutenanalyse:** Classificeren van rekenfouten om de aanpak te bepalen (bv. nulfout, doortellen, basisfout, substitutiefout, lokalisatiefout). * **Screeners:** Taakspecifieke risicosignalen detecteren voor dyscalculie. * **Consolidatie en Transfer:** Het inzetten van geleerde vaardigheden in nieuwe contexten en dagelijkse situaties. ### Sleutelfeiten * Prenumerieke getalgevoeligheid voorspelt toekomstig rekenen. * Kinderen met DC hebben vaak moeite met subitiseren (snel overzien van kleine hoeveelheden). * De ernst van rekenproblemen kan variëren, met een grotere variatie in ontluikende gecijferdheid dan in ontluikende geletterdheid. * Dyscalculie is een beschrijvende diagnose die leidt tot handelingsgerichte adviezen. * Vroegtijdige interventie en gerichte ondersteuning zijn cruciaal. * Het belang van een brede basiszorg en verhoogde zorg binnen het onderwijs. ### Implicaties --- * Kernidee is het aanreiken van een breed scala aan interventies en strategieën om rekenproblemen aan te pakken, rekening houdend met de heterogeniteit van de problematiek en de individuele leerbehoeften. ### Belangrijke feiten * Interventies moeten evidence-based zijn en passen binnen een handelingsgericht kader. * Het zorgcontinuüm omvat brede basiszorg, verhoogde zorg, uitbreiding van zorg via het CLB, en individueel aangepast curriculum. * Handelingsgericht werken vertrekt vanuit 7 uitgangspunten, waaronder doelgericht werken, transactionele benadering, en het centraal stellen van onderwijs- en opvoedingsbehoeften. * Zowel procedurele als conceptuele rekenkennis zijn cruciaal voor de verdere rekenontwikkeling. * Maatwerk en individuele aanpak zijn essentieel, rekening houdend met sterke en zwakke punten van het kind. * Het belang van de omgeving (ouders, leerkrachten) voor de aanpak wordt benadrukt. ### Kernconcepten * **Evidence-based handelen:** Gebruik maken van interventies die wetenschappelijk onderbouwd zijn voor hun effectiviteit. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Een breed beeld vormen van de uitdagingen en ondersteuningsbehoeften, niet enkel focussen op de stoornis. * **Zorgcontinuüm:** Een gelaagd systeem van ondersteuning dat varieert in intensiteit en setting. * **CSA-principe (Concreet - Schematisch - Abstract):** Een didactisch model dat het leerproces opbouwt van tastbare materialen naar abstracte concepten. * **Interne en externe factoren:** Factoren die rekenproblemen kunnen beïnvloeden, zoals kindkenmerken en omgevingsfactoren. * **Transfer:** Het toepassen van geleerde vaardigheden in nieuwe situaties en contexten. * **Foutloze leerprincipes:** Streven naar correcte uitvoering om positieve neurale verbindingen te versterken. * **Metacognitie:** Het denkproces over het eigen denken, inclusief plannen, monitoren en evalueren. * Individuele aanpak is noodzakelijk, rekening houdend met de specifieke leerstijl en moeilijkheden van het kind. * Samenwerking tussen verschillende professionals (therapeuten, leerkrachten, ouders) is cruciaal voor een effectieve aanpak. * Het bevorderen van een constructief zelfbeeld en autonome motivatie is even belangrijk als het aanpakken van rekenvaardigheden. * Ondersteuning moet niet enkel gericht zijn op het compenseren van tekorten, maar ook op het wegwerken van drempels en het zorgen voor gelijke kansen. * Tijdige interventie, met name in de prenumerieke fase, kan de ontwikkeling van rekenvaardigheden positief beïnvloeden. * De nadruk ligt op het ontwikkelen van inzicht en strategieën in plaats van op pure automatisering of trucs. ### Tips - > **Tip:** Het is cruciaal om bij interventies het CSA-principe (Concreet, Schematisch, Abstract) toe te passen om een dieper begrip van wiskundige concepten te bevorderen - > **Tip:** Werk met kleine, behapbare stappen en bied veel herhaling en positieve feedback om het zelfvertrouwen van het kind te vergroten - > **Tip:** Houd rekening met de beperkte capaciteit van het werkgeheugen bij kinderen met dyscalculie en vermijd het gebruik van te veel mentale belasting door trucs of complexe instructies - > **Tip:** Betrek het kind actief bij het leerproces door hen inspraak te geven in de keuze van hulpmiddelen en aanpak, wat de motivatie en autonomie bevordert --- * Interventies bij rekenproblemen (dyscalculie) beogen een gestructureerde en individueel aangepaste aanpak. * De aanpak is evidence-based en focust op zowel de rekenvaardigheden als psychosociale factoren. * Er wordt gestreefd naar het verlagen van drempels en het bevorderen van participatie en gelijke kansen. ### Kernfeiten * Onderwijsleerplannen benadrukken het belang van zowel procedurele als conceptuele rekenkennis. * De ontwikkeling van rekenvaardigheden is leeftijdgebonden en kent verschillende fasen. * Dyscalculie wordt beschouwd als een neurobiologische ontwikkelingsstoornis. * Comorbiditeit met taalproblemen, dyslexie en ADHD komt frequent voor. * Diagnostiek is cruciaal voor het bepalen van een handelingsgericht advies. * De aanpak moet rekening houden met de heterogeniteit van rekenproblemen. ### Belangrijke concepten * **CSA-principe (Concreet – Schematisch – Abstract):** Materiële handelingen, schematische representaties en mentale operaties. * **Handelingsmodel/IJsbergdidactiek:** Van concrete ervaring naar formele bewerking, met een ondersteunende basis. * **Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen):** Gebruikmaken van reeds gekende sommen om nieuwe sommen op te lossen. * **Foutenanalyse:** Systematisch analyseren van rekenfouten om de oorzaak te achterhalen. * **Metacognitie:** Het bewustzijn en de controle over eigen denkprocessen tijdens het rekenen. * **Universal Design for Learning (UDL):** Ontwerpen van didactische maatregelen die voor alle leerlingen voordelig zijn. * **Redicodi-maatregelen:** Stimuleren, remediëren, differentiëren, compenseren en dispenseren. ### Implicaties voor de aanpak * **Pre numerieke ondersteuning:** Vroege stimulatie van getalgevoeligheid (bv. hoeveelheden vergelijken). * **Numerieke ondersteuning:** Gestructureerd aanbrengen van getallenkennis, procedures en algoritmen. * **Hulpmiddelen:** Zorgvuldig selecteren en aanleren van compenserende hulpmiddelen. * **Psycho-educatie:** Kennis over dyscalculie vergroten bij kind, ouders en leerkrachten. * **Sociale en emotionele ondersteuning:** Inzetten op een positief zelfbeeld, motivatie en omgaan met faalangst. * **Samenwerking:** Nauwe samenwerking met school, ouders en andere betrokken professionals. * **Gestructureerde instructie:** Directe instructie, modelleren en het bieden van veel expliciete feedback. * **Foutloos leren:** Streven naar het minimaliseren van fouten om sterke hersenverbindingen te bevorderen. --- * Strategieën en interventies bij rekenproblemen richten zich op het aanpakken van zowel de kwantitatieve als kwalitatieve aspecten van rekenmoeilijkheden. * Een brede, handelingsgerichte diagnostiek is essentieel om de specifieke behoeften van het kind te identificeren. * De aanpak is multidisciplinair en streeft naar het verlagen van drempels en het bevorderen van participatie voor alle kinderen. * **Pre-numerieke ondersteuning**: Vroege interventie is cruciaal, met focus op getalgevoeligheid (vergelijken van hoeveelheden) en voorbereidende rekenvaardigheden. * **Numerieke ondersteuning**: Gerichte aanpak van rekenvaardigheden, beginnend bij basiskennis en procedures, met systematische opbouw. * **Aanpak rekenalgoritmes en procedures**: Vingertellen mag als tijdelijk hulpmiddel, splitsen en automatiseren van rekensommen zijn belangrijk. * **Aanpak breuken en procenten**: Starten met inzicht via concrete materialen, geleidelijk naar abstractie, en het koppelen aan bekende breuken. * **Aanpak metend rekenen en meetkunde**: Beginnen met natuurlijke maten, koppelen aan standaardmaten, en dit visueel maken. * **Aanpak kloklezen en tijdsduur**: Focus op de draairichting van wijzers, verschil tussen uur en halfuur, en betekenisvolle referentiepunten. * **Aanpak omgaan met geld**: Verkennen van biljetten en munten, functie van de komma, en het teruggeven van wisselgeld. * **Psycho-educatie**: Belangrijk voor het kind, ouders en leerkrachten om inzicht te geven in dyscalculie en de aanpak. * **Redelijke aanpassingen**: Wettelijk verankerd recht op aanpassingen om gelijke kansen te garanderen. * **CSA/CIS/CPA-principe**: Concreet, Schematisch, Abstract / Concreet, Iconisch, Symbolisch / Concrete handeling, Picturaal, Abstract. Dit principe begeleidt de overgang van tastbare objecten naar mentale voorstellingen. * **Handelingsmodel/IJsbergdidactiek**: Starten met de wiskundige wereldoriëntatie, via structuurmodellen en schematische denkmodellen naar formele bewerkingen. * **Afgeleide rekenfeiten/rekenvoordelen**: Sommen die efficiënt kunnen worden opgelost door gebruik te maken van reeds gekende rekensommen. * **Foutenanalyse**: Essentieel om de aard van de rekenfouten te begrijpen en de interventie daarop af te stemmen. * **SNARC-effect**: Het Spatial Numerical Association of Response effect, waarbij getallen ruimtelijk geassocieerd worden. * **Zone van naaste ontwikkeling (ZNO)**: Het niveau waarop een kind een taak kan uitvoeren met hulp van een meer bekwame ander. * **Universal Design for Learning (UDL)**: Ontwerpen van onderwijs dat toegankelijk is voor alle leerlingen, ongeacht hun behoeften. * **Communicatie met diverse partijen**: Essentieel om de aanpak af te stemmen met kind, ouders, leerkrachten en andere betrokkenen. * **Vroegtijdige interventie**: Hoe vroeger problemen worden gesignaleerd en aangepakt, hoe groter de kans op succes. * **Individualisatie**: Elke aanpak moet aangepast zijn aan de specifieke behoeften, sterktes en zwaktes van het kind. * **Samenwerking**: Een nauwe samenwerking tussen school, ouders en eventuele externe hulpverleners is cruciaal voor een effectieve aanpak. * **Focus op begrip en strategieën**: De nadruk ligt niet enkel op het automatiseren van feiten, maar vooral op het ontwikkelen van rekeninzicht en strategieën. * **Rol van metacognitie**: Het kind moet leren nadenken over zijn eigen leerproces en strategieën kunnen toepassen. ### Veelvoorkomende valkuilen --- * Interventies voor rekenproblemen richten zich op het verbeteren van zowel procedurele als conceptuele rekenvaardigheden. * Effectieve aanpakken zijn handelingsgericht en stemmen de interventie af op de individuele behoeften van het kind, rekening houdend met zowel de leerling als de omgeving. * Vroege detectie en interventie bij prenumerische vaardigheden, zoals getal discriminatie en vergelijken van hoeveelheden, voorspellen toekomstig rekenen. * Translatie (omzetten van getal tussen modaliteiten zoals getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer) is een cruciale vaardigheid. * De CSA-methode (Concreet, Schematisch, Abstract) en het handelingsmodel (ijsbergdidactiek) bieden een gestructureerde aanpak voor het leren van rekenconcepten. * Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen) kunnen kinderen helpen bij het automatiseren, maar zijn niet altijd intuïtief voor kinderen met dyscalculie. * Dyscalculie is een neurobiologische ontwikkelingsstoornis die gekenmerkt wordt door ernstige en hardnekkige rekenproblemen zonder andere duidelijke verklaringen. * **Prenumerische ontwikkeling:** Baby's onderscheiden hoeveelheden (getaldiscriminatie); de 1:2 ratio wordt vanaf 6 maanden waargenomen, 2:3 ratio vanaf 10 maanden. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen, translatie. * **Aanvankelijk rekenen (1e lj):** Inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, ondersteunen van rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten, automatiseren van rekenfeiten. * **Gevorderd rekenen (vanaf 2e lj):** Inzicht in het tientallig stelsel, getalnotatie, de vier hoofdbewerkingen, hoofdrekenen, rekenen met breuken en procenten, contextrijke toepassingen. * **Foutenanalyse:** Classificeren van fouten (bv. nulfout, lokalisatiefout, basisfout, instellingsfout, S-taak, G-fout) is essentieel voor gerichte interventie. * **Metacognitie:** Het bewustzijn en de controle over eigen denkprocessen; bij rekenproblemen kan dit deficiënt zijn (bv. planning, evaluatie). * Een handelingsgerichte diagnostiek is cruciaal om een breed beeld te vormen en passende interventies te ontwikkelen. * Ondersteuning dient plaats te vinden binnen een zorgcontinuüm, met nauwe samenwerking tussen ouders, school en hulpverleners. * Psycho-educatie, het bevorderen van autonome motivatie en het versterken van een constructief zelfbeeld zijn belangrijke componenten van de psychosociale ondersteuning. * Het verlagen van drempels en zorgen voor optimale participatie, conform het principe van Universal Design for Learning (UDL), is essentieel voor gelijke kansen. * Interventies voor rekenproblemen dienen evidence-based te zijn en systematisch te worden geëvalueerd op zowel product als proces. - > **Tip:** Het principe van 'foutloos leren' is belangrijk - Dit betekent dat men zoveel mogelijk wil voorkomen dat kinderen fouten maken, om zo sterke, correcte verbindingen in het brein te leggen - > **Tip:** Hulpmiddelen (zoals tafelkaarten, rekenmachines) moeten passen bij de cliënt en samen met de cliënt worden ingezet - Het 'onthoudboekje' kan leerlingen helpen om niet-geautomatiseerde kennis op te zoeken - > **Tip:** Bij het aanleren van nieuwe concepten is het cruciaal om te starten met concrete materialen, vervolgens over te gaan naar schematische representaties en uiteindelijk naar abstracte begrippen (CSA-principe) - > **Tip:** Het inzetten op "transfers" (toepassen van geleerde stof in nieuwe contexten) is essentieel voor het integreren van rekenvaardigheden in dagelijkse situaties - > **Tip:** Directe instructie, waarbij de therapeut voordoet, samen met het kind oefent en vervolgens het kind zelfstandig laat werken, is een effectieve aanpak --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Translatie | Het omzetten van een getal van de ene modaliteit naar de andere, zoals van een getalwoord naar een hoeveelheid of een Arabisch cijfer. | | Getalgevoeligheid | Het vermogen om onderscheid te maken tussen verschillende hoeveelheden, zelfs bij zeer jonge kinderen, wat een belangrijke basis vormt voor verdere rekenontwikkeling. | | Protonumerische competenties | De aangeboren vaardigheden van baby's om onderscheid te maken tussen hoeveelheden, zoals getaldiscriminatie, waarbij ze al vanaf zes maanden een 1:2 ratio kunnen waarnemen. | | Ordinale relaties | Het begrijpen van de volgorde of rangschikking van hoeveelheden, bijvoorbeeld weten dat vier meer is dan twee. | | Voorbereidende rekenvaardigheden | Vaardigheden die nodig zijn om tot een goed getalbegrip te komen, zoals tellen, maatbegrip, het vergelijken van hoeveelheden en het begrijpen van rekentaal. | | Aanvankelijk rekenen | Het proces van het inzichtelijk aanbrengen van basiskennis en regels in het eerste leerjaar, waarbij de nadruk ligt op rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten en het automatiseren van rekenfeiten. | | Inzicht | Het leren rekenen door eerst de concepten te ervaren, te verwoorden, te schematiseren en mentaal uit te voeren, wat de basis vormt voor dieper begrip. | | Concreteness Fading (CSA-principe of CPA-model) | Een didactische aanpak waarbij de concreetheid van het materiaal geleidelijk wordt afgebouwd naarmate het begrip van de leerling toeneemt. | | IJsbergdidactiek | Een model dat de verschillende fasen van wiskundeonderwijs weergeeft, van de brede basis van wiskundige wereldoriëntatie tot de top van formele bewerkingen. | | Basiskennis | De fundamentele kennis die nodig is voor rekenen, zoals het lezen en schrijven van getallen, het koppelen aan waarde, en kennis van operatiesymbolen. | | Procedures | De methoden en stappen die worden gevolgd om rekenopgaven op te lossen, zoals tellen, splitsen, optellen en aftrekken. | | Tellen en splitsen | Essentiële procedures in het rekenonderwijs; tellen is zowel procedurele als conceptuele kennis, en splitsen van getallen tot tien is cruciaal voor brugoefeningen. | | Getalbegrip | Het fundamentele begrip van getallen, hun betekenis, relaties en toepassingen, wat essentieel is voor het ontwikkelen van rekenvaardigheden. | | Prenumerische ontwikkeling | De vroege fase van rekenontwikkeling die zich richt op protonumerische competenties, zoals het vermogen om hoeveelheden te onderscheiden en ordinale relaties te leggen, nog voordat formeel getalbegrip aanwezig is. | | Getaldiscriminatie | Het vermogen om onderscheid te maken tussen verschillende hoeveelheden, zelfs zonder expliciet te tellen. | | Voorbereidend rekenen | Vaardigheden die voorafgaan aan formeel rekenen en die essentieel zijn voor het ontwikkelen van een solide getalbegrip, zoals tellen, maatbegrip en het herkennen van patronen. | | Voorwaarden voor rekenen | Concepten en vaardigheden die volgens bepaalde theorieën (zoals die van Piaget) noodzakelijk zijn voor de ontwikkeling van rekenbegrip, zoals conservatie en classificatie. | | Inzichtelijk aanbrengen | Het aanleren van wiskundige concepten op een manier die begrip bevordert, in plaats van enkel procedures uit het hoofd te leren. | | CSA-principe (Concreetheid, Schematisch, Abstract) | Een didactisch principe waarbij de leerstof geleidelijk minder concreet wordt gemaakt, van handelen met echte objecten naar schematische voorstellingen en uiteindelijk abstracte concepten. | | Basiskennis (rekenen) | De fundamentele kennis die nodig is voor rekenen, waaronder het lezen en schrijven van getallen, het koppelen aan de waarde van getallen (plaats- en tiental-eenheidsstructuur) en kennis van operatiesymbolen. | | Procedures (rekenen) | De stappen en methoden die worden gebruikt om rekenkundige taken uit te voeren, zoals tellen, splitsen, optellen en aftrekken. | | Splitsen van getallen | Het opdelen van een getal in kleinere delen, wat een belangrijke vaardigheid is voor het begrijpen van getalstructuren en het uitvoeren van optellingen en aftrekkingen. | | Prenumerieke ontwikkeling | De fase van rekenontwikkeling die voorafgaat aan formeel rekenen, gericht op protonumerieke competenties zoals getalgevoeligheid, het vergelijken van grote en kleine hoeveelheden, en ordinale relaties. | | CSA-principe (Concreetheid-Schematisch-Abstract) | Een didactisch principe waarbij leerstof steeds minder concreet wordt aangeboden, beginnend met tastbaar materiaal, vervolgens via schematische voorstellingen, en eindigend met abstracte symbolen. | | Basiskennis (L-, K-, S-taken) | Fundamentele wiskundige kennis, waaronder het lezen en schrijven van getallen (L-taak), kennis van de waarde van getallen en plaatswaarde (K-taak), en kennis van operatiesymbolen (+, -, =, <, >) (S-taak). | | Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen) | Sommen die efficiënt opgelost kunnen worden door gebruik te maken van reeds bekende rekenfeiten, wat helpt bij het vergroten van de rekenvaardigheid. | | Prenumerische competenties | Vaardigheden die aanwezig zijn bij baby's en jonge kinderen, zoals het vermogen om onderscheid te maken tussen verschillende hoeveelheden (getaldiscriminatie). | | Concreteness Fading (CSA-principe) | Een didactische aanpak waarbij de mate van concreetheid geleidelijk wordt afgebouwd, van tastbaar materiaal naar abstracte representaties. | | Handelingsmodel | Een model dat de verschillende stappen in het leerproces van rekenen beschrijft, vaak beginnend bij concrete handelingen. | | Term | Definitie | | Basiskennis rekenen | Fundamentele kennis die nodig is om te kunnen rekenen, zoals het lezen en schrijven van getallen, kennis van plaatswaarde en kennis van operatiesymbolen. | | Procedures rekenen | De methoden en stappen die worden gebruikt om rekenkundige bewerkingen uit te voeren, zoals tellen, splitsen, optellen en aftrekken. | | Gevorderd rekenen | De fase in de rekenontwikkeling vanaf het tweede leerjaar, gericht op inzicht in het tientallige talstelsel, getalnotatie tot grote getallen en de vier hoofdbewerkingen. | | Begrijpend lezen (BL) | Een actief en strategisch denkproces waarbij de lezer een persoonlijke verwerking en synthese van de tekst maakt, vergelijkbaar met het creëren van een mentaal model, zoals een film. Het omvat het toepassen van verschillende leesstrategieën om de tekst te begrijpen. | | Cognitieve leesstrategieën | Mentale hulpmiddelen die lezers gebruiken om hun begrip van een tekst te ondersteunen. Voorbeelden zijn het stellen van vragen over de tekstinhoud, het visualiseren van de tekst via tekeningen of schema's, het verbinden met voorkennis, het samenvatten van de tekst en het herkennen van de tekststructuur met behulp van verbindings- of signaalwoorden. | | Metacognitieve leesstrategieën | Strategieën die gericht zijn op het bewaken en sturen van het eigen leesproces. Dit omvat tekstoriëntatie (het activeren van voorkennis en het stellen van leesdoelen), het bewaken van het begrip en het toepassen van herstelstrategieën op woord- en tekstniveau wanneer er onduidelijkheden ontstaan. | | Tekstkenmerken | Aspecten van een tekst die invloed hebben op hoe deze verwerkt wordt. Dit omvat de tekstsoort (bv. gedicht, verhaal, informatieve tekst), de tekstorganisatie (uiterlijke kenmerken zoals titels, afbeeldingen, en signaalwoorden) en de tekststructuur (de inhoudelijke ordening van gedachten door de schrijver). | | Tekstorganisatie | De uiterlijke kenmerken van een tekst die visueel waarneembaar zijn voordat men begint met lezen. Dit omvat elementen zoals titels, subtitels, tekeningen, grafieken, foto's en signaalwoorden. Deze kenmerken helpen bij het reproduceren van een verhaal en het achteraf vertellen van informatie. | | Tekststructuur | De manier waarop een schrijver zijn gedachten inhoudelijk ordent. Een goed gestructureerde tekst is inhoudelijk samenhangend, wat het begrip ervan vergemakkelijkt. Dit aspect is niet visueel zichtbaar. | | Interactie bij begrijpend lezen | Het proces van instructies en feedback op maat geven, zowel tussen de begeleider en het kind als tussen kinderen onderling, voor, tijdens en na het lezen. Dit is essentieel voor het aanleren van leesstrategieën en het bevorderen van begrip. | | Leesmotivatie | De drijfveer om te lezen, die wordt bevorderd door aan te sluiten bij de interesses van het kind, betekenisvolle taken aan te bieden (waarbij duidelijk is waarom men leest) en inspraak en keuze te geven. | | Transfer bij begrijpend lezen | Het toepassen van aangeleerde leesvaardigheden en strategieën in andere contexten, zoals thuis (ouderbegeleiding), in de bibliotheek, of bij andere tekstsoorten dan die specifiek geoefend zijn. | | Strategie-instructie | Het expliciet aanleren en inoefenen van cognitieve en metacognitieve leesstrategieën. Dit gebeurt bij voorkeur via een direct instructiemodel, waarbij de strategieën gemodelleerd en hardop voorgedaan worden, gevolgd door interactie en feedback op maat. | | Functionaliteit bij begrijpend lezen | Het werken met betekenisvolle taken waarbij het duidelijk is waarom de tekst gelezen wordt. Dit kan leiden tot het oplossen van problemen door aanwijzingen te volgen, een stappenplan uit te voeren, of informatie te reconstrueren, wat zeer motiverend werkt. | | Hardnekkigheidscriterium | Een van de criteria voor het diagnosticeren van dyscalculie, waarbij de rekenproblemen langdurig aanwezig moeten zijn en niet van voorbijgaande aard mogen zijn. | | Basiskennis (L-taak, K-taak, S-taak) | De fundamentele kennis die nodig is voor rekenen, waaronder het lezen en schrijven van getallen (L-taak), het koppelen aan de waarde van getallen en plaatswaarde (K-taak), en kennis van operatiesymbolen (S-taak). | | Procedures (P-taak) | De stappen en methoden die worden gebruikt om rekenkundige bewerkingen uit te voeren, zoals tellen, splitsen, optellen en aftrekken. |

# Wiskunde in de kleuterklas: concepten en aanpak Dit document biedt een gedetailleerde uiteenzetting over wiskunde in de kleuterklas, gericht op de concepten en didactische aanpak van wiskundige onderwerpen zoals ordenen, seriëren, en spiegelen/symmetrie, met specifieke aandacht voor de ontwikkelingslijnen per leeftijd. ## 1. Wiskunde in de kleuterklas: concepten en aanpak Wiskunde is een integraal onderdeel van het dagelijks leven van kleuters en de kleuterklas speelt een cruciale rol bij het leggen van een wiskundige basis voor verdere ontwikkeling en functioneren in de wereld. Wiskunde in de kleuterklas kan worden aangeboden als specifieke wiskunde-activiteiten, geïntegreerd in andere activiteiten, of door in te spelen op spontaan spel. Wiskunde omvat niet alleen de aanleren van specifieke onderwerpen, maar ook logisch redeneren, problemen oplossen, vragen stellen, reflecteren en zelf ontdekken. ### 1.1 Ordenen: sorteren en classificeren Ordenen omvat verzamelen (voorwerpen samenbrengen tot een geheel) en het creëren van klassen (verzamelingen met gemeenschappelijke eigenschappen). * **Sorteren** is het groeperen van voorwerpen volgens gemeenschappelijke eigenschappen, waarbij gelijkenissen worden herkend. * **Classificeren** gaat verder door het creëren van hiërarchische ordeningssystemen, waarbij subklassen ontstaan door het doorsorteren. Dit vereist inzicht in **klasse-inclusie**, de deel-geheelverhouding. Kleuters leren dit door het herkennen van termen als 'alle', 'sommige', 'niet alle'. #### 1.1.1 Ontwikkelingslijnen bij sorteren en classificeren * **2,5-jarigen:** Nog niet in staat tot sorteren. Focus ligt op het herkennen en benoemen van basisbegrippen en eigenschappen (kleuren, groot/klein, dik/dun). Dit gebeurt door actieve exploratie en verwoording door de leerkracht. * **3-jarigen:** Kunnen sorteren met 3D-materiaal. Belangrijk is het beschrijven en vergelijken van eigenschappen. Sorteren gebeurt meestal op één waarneembare eigenschap (bv. kleur, soort). Verschillen tussen voorwerpen moeten duidelijk zijn. * **4- en 5-jarigen:** Kunnen met 2D-materiaal werken. Ze benoemen en vergelijken meerdere eigenschappen tegelijk. 4-jarigen kunnen sorteren met twee eigenschappen, 5-jarigen met drie of vier. 5-jarigen kunnen ook sorteren op niet-eigenschappen en krijgen aanzetten tot classificeren (klasse-inclusie). Oudste kleuters kunnen zelf ordeningen bedenken en verantwoorden, en zelfs mentaal sorteren. #### 1.1.2 Didactiek en activiteiten voor ordenen * **Materialen:** * **Klassieke logiblokken:** Gestructureerd materiaal met zuivere eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte). Kan abstract zijn. * **Logifiguren:** Zelfgemaakt of gekocht materiaal met herkenbare figuren, gebaseerd op de structuur van logiblokken maar betekenisvoller. * **Andere materialen:** Poppenhoek, losse materialen (loose parts) die spontaan sorteren en seriëren uitlokken. * **Keuze van eigenschappen:** Moeten zuiver, realistisch en variërend in moeilijkheidsgraad zijn. * **Opbouw van een wiskunde-activiteit (BA WI) rond sorteren:** * **Oriëntering:** Materiaal aanbrengen en de bedoeling van de activiteit (een probleem oplossen) duidelijk maken op een speelse, betekenisvolle manier. * **Kern:** Focus op eigenschappen, gelijkenissen en verschillen. Dit omvat: * Spelen en ontdekken van eigenschappen. * Begrijpen en herkennen/verwoorden van eigenschappen. * Sorteren naar één eigenschap (met visuele hulpmiddelen voor jongere kinderen). * Sorteren naar meerdere eigenschappen (met symboolkaartjes voor oudere kinderen). * Sorteren op niet-eigenschappen (voor 5-jarigen). * **Afronding:** Opruimen en ervaringen verwoorden. * **Gebruik van bestaande spellen:** Ontwikkelingsmaterialen en gezelschapsspelen kunnen worden ingezet, waarbij de leerkracht de didactische doelen begeleidt. * **Ordenen in hoeken:** Structuur aanbrengen met dozen, bakken en symbolen (foto's, pictogrammen) helpt kinderen bij het spelen en opruimen. ### 1.2 Seriëren: rangschikken Seriëren is een vorm van ordenen gebaseerd op onderlinge verschillen tussen voorwerpen. Het vereist het zien van deze verschillen en het begrijpen van **transitiviteit** (als A kleiner is dan B en B kleiner dan C, dan is A kleiner dan C). #### 1.2.1 Ontwikkelingslijnen bij seriëren * **2,5-jarigen:** Beginnen met sensomotorisch rangschikken (bv. potjes stappelen). * **3-jarigen:** Beperkt seriëren met 3D-voorwerpen. Nadruk op benoemen, beschrijven en vergelijken van eigenschappen, en het herkennen van relatieve begrippen (groter/kleiner). Seriëren met 3 voorwerpen op een rijtje met duidelijke visuele verschillen. * **4- en 5-jarigen:** Kunnen met 3D en 2D materiaal werken. Seriëren wordt uitgebreider, ook als de visuele verschillen kleiner worden. 5-jarigen kunnen met meer voorwerpen seriëren en natuurlijke maten gebruiken. Oudste kleuters kunnen hun seriaties verantwoorden en zelf bedachte rijtjes maken. Mentaal seriëren is mogelijk voor de oudste kleuters. #### 1.2.2 Didactiek en activiteiten voor seriëren * **Opbouw van een wiskunde-activiteit (BA WI) rond seriëren:** * **Oriëntering:** Materiaal aanbrengen, bedoeling uitleggen, probleemstelling formuleren. * **Kern:** Focus op eigenschappen, gelijkenissen en verschillen. Dit omvat: * Spelen en ontdekken van eigenschappen. * Begrijpen en herkennen/verwoorden van (verschillen in) eigenschappen. * Sorteren op soort. * Seriëren per soort op toenemende of afnemende eigenschap, met opbouwende moeilijkheidsgraad. * **Afronding:** Opruimen en ervaringen verwoorden. * **Variatie:** Mogelijk om eerst uitgebreid te sorteren en daarna met de kleinere groepen te seriëren. ### 1.3 Spiegelen en symmetrie Dit concept betreft het herkennen van spiegelbeelden en symmetrische figuren. * **Spiegelen in de ruimte:** Een ruimtefiguur voor een spiegel plaatsen resulteert in een spiegelbeeld dat van plaats en richting verandert ten opzichte van het origineel, maar vorm, grootte en afstand tot de spiegel behoudt. * **Spiegelen in het vlak:** Een vlakke figuur voor een spiegel plaatsen resulteert in een spiegelbeeld dat in hetzelfde vlak ligt, met behoud van vorm, grootte en afstand. * **Spiegelas:** Een rechte waarop een vlakke figuur gevouwen kan worden zodat de twee helften elkaar overlappen. Punten die elkaars spiegelbeeld zijn, liggen op gelijke afstand van de spiegelas en de verbindingslijn staat loodrecht op de as. * **Symmetrie bij vlakke figuren:** Een symmetrische figuur heeft een symmetrie-as die het in twee spiegelbeeldhelften verdeelt. * **Symmetrie bij ruimtefiguren:** Symmetrische ruimtefiguren hebben één of meerdere symmetrie-vlakken. #### 1.3.1 Spiegelen en symmetrie in de kleuterklas Deze concepten kunnen op alle leeftijden worden aangeboden door middel van diverse activiteiten. ### 1.4 Algemene didactiek wiskunde in de kleuterklas De didactiek biedt houvast om wiskunde in de kleuterklas aan te pakken, waarbij rekening wordt gehouden met de specifieke groeilijnen, de klasgroep en de leerkracht. De focus ligt op maximale ontwikkelingskansen voor elk kind. #### 1.4.1 Didactische aandachtspunten * **Doelen:** Wat wil ik bereiken met deze wiskunde-activiteit? * **Zinvol, betekenisvol werken (Aanbod):** Hoe bied ik de wiskunde aan? Realistische context, spel, experimenteren. * **Soorten activiteiten (Klasmanagement):** Organisatie (ruimte, groepering) en inhoud. * **Materialen (Aanbod):** Welke materialen zijn nodig? Hoe kunnen kleuters ermee handelen? (3D voor jongste, 2D, papier/apps, mentaal voor oudere kleuters). * **Opbouw (Didactische aanpak):** Duidelijke oriëntatie, stapsgewijze opbouw in de kern met gradatie (stijgende moeilijkheidsgraad). * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten met meerdere oplossingen en oplossingsmethoden, die op verschillende niveaus kunnen worden aangepakt. * **Wiskundetaal (Didactische aanpak):** * **Visualiseren:** Ondersteunt verwoorden. * **Verwoorden:** Om denken te volgen, wiskundetaal te leren, spreekkansen te vergroten. * **Reflecteren:** Op antwoorden, oplossingen en redeneringen. * **Vragen/opdrachten/begeleiding (KO) en antwoorden/oplossingen (kls) verwoorden én visualiseren.** * **Stimuleren en belonen (Didactische aanpak):** Stimuleren van nadenken, tijd geven, feedback, waarderen van moeite en ideeën. * **Differentiëren (Didactische aanpak):** Rekening houden met individuele verschillen door aanpassing van de activiteit (gradatie, materialen, opdrachten, begeleiding). * **Leren met en van elkaar:** Samen zoeken naar oplossingen, redeneringen delen, reflecteren. Deze aandachtspunten dragen bij aan een "mathematical mindset" of "growth mindset" bij kleuters, waarbij wiskunde als leuk en leerzaam wordt ervaren, zelfs bij fouten. ### 1.5 Overzicht wiskunde-onderwerpen in de kleuterklas | Wiskunde-onderwerp | Kleuters leren… | | :----------------- | :------------------------------------------------------------------------------- | | **Ordenen** | Kennen van eigenschappen, vergelijken van eigenschappen, sorteren, rangschikken. | | **Ruimte (meetkunde)** | Vormen, ruimtelijke oriëntatie, ruimtelijke relaties, spiegelen/symmetrie. | | **Getallen** | Vergelijken van hoeveelheden, tellen, uitvoeren van bewerkingen, voorstellen van getallen. | | **Meten** | Kennen van lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht; vergelijken en meten van deze grootheden. | | **Tijd** | Tijdsvolgorde, tijdsduur, tijdstippen/tijdsmomenten/tijdskader. | --- # Ordenen: sorteren en classificeren Dit onderdeel behandelt de wiskundige concepten van sorteren en classificeren, zoals die relevant zijn voor kleuters, inclusief het herkennen van gelijkenissen en verschillen, het vormen van klassen en de ontwikkeling van klasse-inclusie. ### 2.1 Wat is sorteren en classificeren? * **Verzamelen:** Het bijeenbrengen van allerlei voorwerpen die samen één geheel vormen. * **Klasse:** Een verzameling van dingen die gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen hebben. * **Sorteren:** Het maken van klassen binnen een verzameling voorwerpen door ze te groeperen op basis van gemeenschappelijke eigenschappen. Dit houdt in dat men gelijkenissen tussen voorwerpen ziet. * **Classificeren:** Het ontstaan van verschillende klassen door middel van doorsorteren. Dit veronderstelt het creëren van hiërarchische ordeningssystemen of verzamelingen van deelverzamelingen. ### 2.2 Klasse-inclusie en deel-geheelverhouding * **Klasse-inclusie:** Het inzicht in de verhouding tussen een deel en het geheel. Het houdt in dat men tegelijkertijd een deel en het geheel in gedachten kan nemen. Kleuters ontwikkelen dit inzicht door het correct gebruiken van termen als "alle", "niet alle", "sommige", "enkele", "er zijn meer", en "er zijn minder". * Het niet correct kunnen gebruiken van deze termen duidt op een nog onvolledig inzicht in de deel-geheelverhouding, waarbij men niet aan zowel het deel als het geheel tegelijkertijd kan denken. ### 2.3 Ordeningssystemen in de leefwereld De directe leefwereld van kleuters zit vol met geordende systemen, zoals huizen, supermarkten, bibliotheken en de kleuterklas zelf. Ordeningen zijn voor kleuters aanvankelijk nog niet of slechts gedeeltelijk gekend en moeten geleidelijk worden aangeleerd, beginnend in hun directe omgeving en vervolgens uitgebreid naar ruimere contexten. Door activiteiten aan te bieden die gericht zijn op sorteren en classificeren met concrete materialen, leren kleuters de ordeningssystemen in hun leefwereld beter kennen en kunnen ze zelf systemen construeren. Uiteindelijk leren ze classificeren op een concreet niveau en later ook op een meer mentaal niveau (denkniveau, verbaal niveau, zonder materiaal). ### 2.4 Ontwikkelingsdoelen bij sorteren en classificeren In de kleuterklas wordt gewerkt aan de volgende inzichten met betrekking tot ordenen: * Gelijkenissen en verschillen tussen dingen opmerken. * Bij een aantal dingen een gemeenschappelijke eigenschap opmerken. * Sorteren in groepjes volgens een gemeenschappelijke eigenschap. * Dingen op verschillende manieren indelen. * Gevormde groepjes verder sorteren. * Aanzetten doen rond inclusie-inzicht. * Onderzoeken wat niet tot een klasse behoort (bv. de niet-blauwe parels). * Onderzoeken wat tot twee (of meer) klassen behoort (bv. de parels die blauw en rond zijn). * Onderzoeken wat wel tot de ene klasse en niet tot de andere klasse behoort (bv. de parels die blauw en niet-rond zijn). * Een omvattende klasse bepalen (bv. de parels die blauw of geel zijn, of de parels die blauw of rond zijn, wat moeilijker is voor kleuters). ### 2.5 Wat is seriëren? * **Seriëren:** Het rangschikken van voorwerpen op basis van onderlinge verschillen. Dit houdt in dat men verschillen tussen eigenschappen van voorwerpen ziet en deze rangschikt. * **Transitieve redenering:** Bij volwassenen is de wet van transitiviteit (als A kleiner is dan B en B kleiner is dan C, dan is A ook kleiner dan C) een verworven inzicht. Oudere kleuters kunnen dit wel met visuele ondersteuning, maar zonder dit houvast wordt het moeilijker. * Net als bij sorteren is het doel dat kleuters seriaties in hun leefwereld herkennen en zelf leren construeren door middel van serieeractiviteiten. Dit bevordert transitief redeneren, aanvankelijk op concreet niveau met visuele verschillen, wat later leidt tot seriëren op mentaal niveau (zonder materiaal of met minder zichtbare verschillen). ### 2.6 Groeilijn voor sorteren De groeilijn voor sorteren geeft aan wat een kleuter op een bepaalde leeftijd kan en vormt de leidraad voor activiteiten. * **2,5-jarigen:** Nog niet in staat om te sorteren. Ze focussen op het vormen van de eerste eigenschappen die de basis leggen voor sorteren en classificeren. * **Basisbegrippen:** Rood, blauw, groen, geel, zwart, wit (kleuren); groot, klein, dik, dun, lang, kort; zwaar, licht; warm, koud; hard, zacht; vol, leeg; snel, traag. Deze begrippen worden verworven door actieve exploratie en door de kleuterleidster die ervaringen en handelingen verwoordt. * **Moeilijke eigenschappen:** Vormen, moeilijkere kleuren, materiaal, functie zijn nog niet haalbaar. * **3-jarigen:** In staat om te sorteren met 3D-materiaal. * **Voorbereiding:** Belangrijk is dat ze voldoende kansen krijgen om eigenschappen van dingen te beschrijven en te benoemen. Het benoemen van meer dan één eigenschap tegelijk is nog moeilijk. Ze kunnen eigenschappen van voorwerpen vergelijken, met de nadruk op gelijkenissen. * **Activiteiten:** Werken met eenvoudige, direct waarneembare eigenschappen. Sorteren volgens één eigenschap (soorten of gelijkaardige voorwerpen op één eigenschap). Visuele hulpmiddelen kunnen helpen bij het wisselen van eigenschappen. Verschillen tussen voorwerpen moeten duidelijk zijn. Ze kunnen nog geen ordeningen bedenken, maar stellen wel vragen waarom dingen samenhoren. * **4- en 5-jarigen:** Kunnen werken met 2D-materiaal. * **Eigenschappen:** Beschrijven, benoemen en vergelijken van eigenschappen. Accent op het benoemen van meerdere eigenschappen tegelijk. * **Activiteiten:** Werken met direct waarneembare, en soms moeilijkere, eigenschappen. Aanzetten tot sorteren op mentaal niveau. * 4-jarigen: Sorteren met 2 eigenschappen. * 5-jarigen: Sorteren met 3 of 4 eigenschappen. Kunnen aanzetten doen tot classificeren met aandacht voor relaties tussen deelklassen (klasse-inclusie), wat nog steeds moeilijk blijft. Kunnen sorteren op niet-eigenschappen (wat er niet in de klasse behoort). * **Zelfstandigheid:** Oudste kleuters kunnen zelf ordeningen bedenken en verantwoorden. Ze kunnen nadenken over verschillende manieren om voorwerpen te ordenen (mentaal handelen). Ze kunnen het begrip "of" leren gebruiken en het verschil tussen "en" en "of" ervaren. Ze kunnen op mentaal niveau sorteren via taal, zonder materiaal. ### 2.7 Groeilijn voor seriëren * **2,5-jarigen:** Beginnen met seriëren op sensomotorisch niveau (bv. potjes stappelen, inlegpuzzels). * **3-jarigen:** Beperkt seriëren met 3D-voorwerpen. * **Focus:** Eigenschappen benoemen, beschrijven en vergelijken. Aandacht voor duidelijke verschillen, ook bij identieke voorwerpen met één ander kenmerk. Ontdekken van relatieve begrippen zoals groot en klein. * **Activiteiten:** Seriëren met 3 voorwerpen op een rijtje met toenemende of afnemende eigenschappen, eerst door de kleuterleidster, daarna zelfstandig. Vereist duidelijke, visuele verschillen. * **4- en 5-jarigen:** Kunnen werken met 3D- en eventueel 2D-materiaal. * **Activiteiten:** * 4-jarigen: Kunnen vergelijken en rijtjes bouwen met enkele voorwerpen bij duidelijke visuele verschillen. Moeilijker wordt het met minder duidelijke verschillen of een groter aantal voorwerpen. Seriëren op eigenschappen waar verschillen niet duidelijk zijn, is lastig door gebrek aan transitief inzicht. * 5-jarigen: Kunnen met 3 voorwerpen seriëren, met meer voorwerpen hulp van de kleuterleidster nodig. Kunnen natuurlijke maten gebruiken (bv. schoenen, potloden). Kunnen verklaren waarom een rij voorwerpen juist of fout ligt. Kunnen zelf rijtjes bedenken op basis van zelfgekozen eigenschappen en deze verantwoorden. Kunnen op mentaal niveau vergelijkingen maken in gesprekken over interessegebieden. Ruimtebegrippen en rangtelwoorden komen aan bod. ### 2.8 Didactiek en activiteiten bij ordenen * **Doel van ordenen:** Activiteiten moeten gericht zijn op specifieke doelen die voortkomen uit de groeilijnen. * **Didactiek:** De manier waarop kleuterwiskunde wordt aangeboden, is afhankelijk van de kleuters, de klasgroep en de leerkracht. Belangrijke voorwaarden zijn het beheersen van de groeilijn en het creëren van maximale ontwikkelingskansen voor elke kleuter. #### 2.8.1 Materialen voor ordenen * **Klassieke logiblokken:** Gestructureerd ontwikkelingsmateriaal met zuivere eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte). Kan abstract zijn en te weinig betekenis hebben voor kleuters. * **Logifiguren:** Zelfgemaakt of aangekocht materiaal (bv. ijsjes, beertjes) dat gebaseerd is op de structuur van logiblokken maar minder abstract is door herkenbare figuren uit de leefwereld. * 3-jarigen: 3D-materiaal (bv. 24 figuren). * 4- en 5-jarigen: 2D-materiaal (bv. 36 figuren). * **Andere materialen:** Materialen met meerdere eigenschappen, vaak zonder zuivere eigenschappen of duidelijke structuur (bv. poppenhoekmateriaal, losse materialen). Deze bieden ook kansen voor seriëren. #### 2.8.2 Kiezen van eigenschappen * Zuivere eigenschappen * Realistisch * Variëren in moeilijkheidsgraad #### 2.8.3 Opbouw van een BA WI ordenen Een activiteit (Ba WE = Begeleide Activiteit Wiskunde) rond ordenen kan zich richten op sorteren/classificeren, seriëren, of een combinatie van beide. **Sorteren:** 1. **Oriëntering:** Materiaal aanbrengen en de bedoeling uitleggen op een speelse manier, gericht op een probleem dat in de activiteit wordt opgelost. 2. **Kern:** * **Spelen en ontdekken:** Kleuters spelen vrij met het materiaal om eigenschappen, gelijkenissen en verschillen te ontdekken. Vragen stellen als: "Zijn alle beren hetzelfde?" * **Begrijpen van eigenschappen:** Controleren of kleuters de eigenschappen begrijpen wanneer ze benoemd worden (bv. "Wie een rode auto heeft, steekt hem in de lucht"). * **Herkennen en verwoorden van eigenschappen:** Kleuters laten zelf de eigenschappen herkennen en benoemen (bv. "Ik ben rood, ik ben groot"). Dit is cruciaal bij nieuw materiaal of onbekende eigenschappen. * **Sorteren naar één eigenschap:** Op een speelse manier sorteren naar één eigenschap. Gebruik van visuele hulpmiddelen voor jongere kleuters. * **Sorteren naar meerdere eigenschappen:** Met oudere kleuters sorteren aan de hand van symboolkaartjes (één eigenschap per kaartje) of verbale instructies. * **Niet-eigenschappen:** 5-jarigen kunnen sorteren op niet-eigenschappen (bv. "Leg de niet-rode bij elkaar"). 3. **Afronding:** Materiaal opruimen en ervaringen verwoorden. **Seriëren:** 1. **Oriëntering:** Materiaal aanbrengen en de bedoeling uitleggen, vaak met een op te lossen probleem. 2. **Kern:** * **Spelen en ontdekken:** Ontdekken van eigenschappen, gelijkenissen en verschillen. * **Begrijpen en herkennen/verwoorden van verschillen:** Controleren of kleuters de verschillen herkennen en benoemen (bv. "Kun je een potlood nemen dat langer is dan dit potlood?"). * **Sorteren op soort:** Materialen eerst op soort leggen. * **Seriëren per soort op toenemende of afnemende eigenschap:** Verschillende spelletjes met oplopende moeilijkheidsgraad, aangepast aan de leeftijd. 3. **Afronding:** Opruimen en ervaringen verwoorden. **Combinatie van sorteren en seriëren:** Het is mogelijk om eerst uitgebreider te sorteren en daarna met de gevormde groepen te seriëren. #### 2.8.4 BA ordenen gebaseerd op een bestaand spelletje Activiteiten kunnen worden opgebouwd rond bestaande spellen (ontwikkelingsmaterialen, gezelschapsspelen) die gericht zijn op ordenen. * **Oriëntering:** Materiaal van het spel voorstellen en het doel uitleggen (het spel spelen, maar ook de onderliggende wiskundige doelen). * **Kern:** * **Materialen verkennen:** Eigenschappen, gelijkenissen en verschillen ontdekken. * **Ondersteunen van speldoelen:** Oefenen met sorteren en/of seriëren. * **Spelen van het spel:** Het spel stap voor stap opbouwen, inclusief varianten. * **Afronding:** Opruimen, waarderen en ervaringen verwoorden. #### 2.8.5 BA ordenen opgebouwd uit losse spelletjes Meerdere korte spelletjes kunnen klassikaal als tussendoortje worden aangeboden. #### 2.8.6 Ordenen in hoeken Structuur aanbrengen in hoeken met kastjes, rekjes, dozen met symbolen (foto's, pictogrammen) en plattegronden helpt bij het organiseren, opruimen en het ontwikkelen van een gevoel voor orde. Tijdens het spelen en opruimen in de hoeken kunnen kleuters worden gestimuleerd om pictogrammen te gebruiken. ### 2.9 Algemene didactiek wiskunde De didactische aandachtspunten geven houvast bij het voorbereiden en realiseren van wiskundeactiviteiten, met als doel de maximale wiskundige ontwikkeling van elk kind te bevorderen. * **Doelen:** Wat wil ik bereiken met deze activiteit? * **Zinvol, betekenisvol werken:** Via realistische contexten, spel of experimenteren met materialen. * **Soorten activiteiten:** Organisatie, ruimte, groeperingsvorm. * **Materialen:** Welke materialen zijn nodig en wat kunnen kleuters ermee doen (3D, 2D, mentaal handelen). * **Opbouw:** Hoe wordt de activiteit opgebouwd, met gradatie in moeilijkheidsgraad. * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten met meerdere oplossingen en niveaus, die probleemoplossend en onderzoekend werken stimuleren. * **Wiskundetaal:** * **Visualiseren:** Met materialen, tekeningen, symbolen. * **Verwoorden:** Gebruik van wiskundebegrippen, kleuters hun denken laten verwoorden en visualiseren. * **Vragen/opdrachten/begeleiding en antwoorden/oplossingen:** Stimuleren van nadenken, voldoende tijd geven, feedback, waarderen van moeite en ideeën. * **Differentiëren:** Activiteiten aanpassen aan het niveau van de kleuters door middel van gradatie, materialen, opdrachten, vragen en begeleiding. * **Leren met en van elkaar:** Samen oplossingen zoeken, redeneringen en oplossingen delen, reflecteren op oplossingsmethodes. Het doel is het creëren van een positieve mindset voor wiskunde, waarbij ieder kind kan leren en problemen als leuk ervaart, zelfs als het fout gaat. ### 2.10 Spiegelen en symmetrie Dit concept, hoewel niet primair sorteren of classificeren, is nauw verwant aan het herkennen van patronen en gelijkenissen. * **Spiegelen in de ruimte:** Vorm, grootte en afstanden tot de spiegel blijven behouden. Het spiegelbeeld staat achter de spiegel en in de tegenovergestelde richting. * **Spiegelen in het vlak:** Het spiegelbeeld ligt in hetzelfde vlak. Vorm, grootte en afstanden blijven behouden. Het spiegelbeeld staat in de tegenovergestelde richting. * **Spiegelas:** Een rechte waarop een spiegeling wordt uitgevoerd. Punten die elkaars spiegelbeeld zijn, liggen op een rechte die loodrecht op de spiegelas staat en er even ver van verwijderd is. * **Symmetrie bij vlakke figuren:** Een symmetrische figuur heeft een symmetrie-as die het in twee helften verdeelt die elkaars spiegelbeeld zijn. * **Symmetrie bij ruimtefiguren:** Symmetrische ruimtefiguren hebben één of meerdere symmetrievlakken die het figuur in twee helften verdelen die elkaars spiegelbeeld zijn. * **Spiegelen en symmetrie in de kleuterklas:** Dit kan op alle leeftijden worden aangeboden. --- # Ordenen: seriëren en de groeilijnen Dit onderwerp behandelt het proces van seriëren (rangschikken) bij kleuters, inclusief de bijbehorende groeilijnen per leeftijdscategorie (2,5-jarigen, 3-jarigen, 4-5-jarigen) en de didactische aanpak. ## 3.1 Ordenen, sorteren en classificeren ### 3.1.1 Wat is sorteren en classificeren? * **Verzamelen:** Het bijeenbrengen van voorwerpen tot één geheel. * **Klasse:** Een verzameling voorwerpen met gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen. * **Sorteren:** Het maken van klassen door voorwerpen te groeperen op basis van gemeenschappelijke eigenschappen; het zien van gelijkenissen. Dit kan op twee manieren: * **Classificeren:** De verschillende klassen ontstaan door doorsorteren, wat leidt tot een systeem van deelverzamelingen. * **Ordeningssystemen:** Het inzicht in de ordening binnen de klassen en de relaties tussen de deelklassen. * **Klasse-inclusie (deel-geheelverhouding):** Het inzicht in de verhouding van een deel tot het geheel, waarbij deel en geheel gelijktijdig in gedachten genomen kunnen worden. Het correct gebruiken van termen als 'alle', 'sommige', 'enkele' is hierbij cruciaal. Onze leefwereld zit vol met geordende systemen (huis, supermarkt, bibliotheek). Kleuters moeten deze systemen nog leren kennen en gebruiken, beginnend in hun directe omgeving. Door het aanbieden van concrete activiteiten rond sorteren en classificeren, leren kleuters deze systemen beter kennen en zelf construeren, eerst op concreet niveau en later ook mentaal. In de kleuterklas werken we rond de volgende inzichten: * Gelijkenissen en verschillen tussen dingen opmerken. * Een gemeenschappelijke eigenschap bij een aantal dingen opmerken. * Sorteren in groepjes volgens een gemeenschappelijke eigenschap. * Dingen op verschillende manieren indelen. * Gevormde groepjes verder sorteren. * Aanzetten tot inzicht in klasse-inclusie. * Onderzoeken wat niet tot een klasse behoort (uitsluiting). * Onderzoeken wat tot twee of meer klassen behoort (intersectie). * Onderzoeken wat tot de ene klasse behoort en niet tot de andere (complement). * Een omvattende klasse bepalen (unïe). ### 3.1.2 Wat is seriëren? * **Seriëren:** Een vorm van ordenen gebaseerd op onderlinge verschillen; het rangschikken van voorwerpen volgens een bepaalde eigenschap. Dit vereist het zien van verschillen. * **Transitiviteit:** Het principe dat als A kleiner is dan B, en B kleiner is dan C, dan is A ook kleiner dan C. Volwassenen passen dit intuïtief toe, terwijl oudere kleuters dit wel kunnen met visueel houvast, maar dit moeilijker wordt zonder. Het doel is dat kleuters seriaties in hun leefwereld leren herkennen en zelf leren construeren, door serieeractiviteiten te organiseren die het transitief redeneren opbouwen. Aanvankelijk gebeurt dit op concreet niveau, gebaseerd op visuele verschillen, om later over te kunnen gaan naar een mentaal niveau (zonder materiaal). ## 3.2 Groeilijnen voor ordenen ### 3.2.1 Groeilijn voor sorteren De groeilijn voor sorteren geeft aan wat een kleuter op een bepaalde leeftijd kan en vormt de leidraad voor activiteiten en het inspelen op spontaan spel. #### 3.2.1.1 2,5-jarigen * Kleuters van deze leeftijd zijn nog niet in staat om te sorteren. Ze zijn bezig met het vormen van de eerste eigenschappen, die de basis leggen voor sorteren en classificeren. * Focus ligt op basisbegrippen zoals kleuren (rood, blauw, groen, geel, zwart, wit), groot/klein, dik/dun, lang/kort, zwaar/licht, warm/koud, hard/zacht, vol/leeg, snel/traag. Dit gebeurt door actieve wereldverkenning en het benoemen van ervaringen door de leerkracht. * Begrippen als vormen, moeilijkere kleuren, materiaal en functie zijn nog niet haalbaar. * Kinderen leren ook veel eigenschappen indirect, door het zien van voorbeelden. #### 3.2.1.2 3-jarigen * Kleuters van deze leeftijd zijn in staat om te sorteren met 3D-materiaal. * Voorbereiding op sorteren: kansen bieden om eigenschappen te beschrijven en benoemen. Meer dan één eigenschap benoemen is nog moeilijk. * Accent ligt op gelijkenissen en overeenkomsten. * Er wordt gesorteerd op één, direct waarneembare eigenschap. Sorteren op soort is het makkelijkst. * Visuele hulpmiddelen kunnen helpen bij het verwijzen naar eigenschappen. Wisselen van eigenschappen is lastig. * Verschillen tussen voorwerpen moeten duidelijk zijn. * Kleuters kunnen nog niet zelf ordeningen bedenken, maar stellen wel vragen. Duidelijke instructies zijn nodig. #### 3.2.1.3 4- en 5-jarigen * Ze kunnen met 2D-materiaal werken. * Belangrijk is het beschrijven, benoemen en vergelijken van eigenschappen, inclusief meerdere eigenschappen tegelijk. * Er wordt gewerkt met direct waarneembare eigenschappen, en bij 4-5-jarigen ook met indirect waarneembare eigenschappen, wat aanzet tot mentaal sorteren. * **4-jarigen:** Kunnen sorteren met 2 eigenschappen. Sorteren op niet-eigenschappen is nog moeilijk. * **5-jarigen:** Kunnen sorteren met 3 tot 4 eigenschappen. Ze kunnen aanzetten doen tot classificeren met aandacht voor relaties tussen deelklassen (klasse-inclusie), hoewel dit moeilijk blijft. Ze kunnen ook sorteren op niet-eigenschappen. * Oudere kleuters kunnen zelf ordeningen bedenken en verantwoorden. Ze kunnen mentaal handelen, waarbij ze nadenken over verschillende indelingsmanieren voordat ze met materiaal aan de slag gaan. * Ze kunnen het begrip 'of' leren gebruiken (exclusief en inclusief). * De oudste kleuters kunnen op mentaal niveau via taal (zonder materiaal) sorteren, bijvoorbeeld met raadsels. ### 3.2.2 Groeilijn voor seriëren #### 3.2.2.1 2,5-jarigen * Nog niet in staat tot seriëren, maar wel beginnende tekenen zichtbaar: potjes stappelen van groot naar klein, inlegpuzzels maken, voorwerpen van groot naar klein ordenen op sensomotorisch niveau. Het kind zoekt/voelt tot de voorwerpen passen. #### 3.2.2.2 3-jarigen * Beperkt seriëren, voornamelijk met 3D-voorwerpen. * Belangrijk: eigenschappen van voorwerpen benoemen, beschrijven en vergelijken. * Aandacht voor verschillende verschillen tussen ogenschijnlijk identieke voorwerpen. * Ontdekken van relatieve begrippen als groot/klein (afhankelijk van vergelijkingsobject). Begrippen 'grootste' en 'kleinste' komen aan bod. * Seriëren start met 3 voorwerpen op een rij, met afnemende of toenemende eigenschappen. De leerkracht modelleert eerst, daarna gaat het kind zelf proberen. * Dit gebeurt enkel met duidelijke, visuele verschillen. #### 3.2.2.3 4- en 5-jarigen * Kunnen met 3D- en eventueel 2D-materiaal werken. * Eigenschappen benoemen, beschrijven en vergelijken blijft belangrijk. * **4-jarigen:** Kunnen vergelijken en rijtjes bouwen met enkele voorwerpen bij duidelijke visuele verschillen. Moeilijkheid neemt toe als verschillen subtieler worden (bv. lichtrood naar donkerrood) of het aantal voorwerpen groter wordt. Ze kunnen de vergelijkingen nog niet coördineren voor een oplossing (niet transitief redeneren). * **5-jarigen:** Kunnen met 3 voorwerpen seriëren; met meer voorwerpen is hulp van de leerkracht nodig. Ze kunnen gebruik maken van natuurlijke maatstaven (schoenen, potloden, gewichten), wat nog begeleiding vereist. * Oudere kleuters kunnen verklaren waarom een rij voorwerpen juist of fout ligt. Ze kunnen zelf rijtjes bedenken op basis van zelfgekozen eigenschappen en deze verantwoorden. * Mentaal seriëren (zonder materiaal) is mogelijk bij de oudsten, met name in gesprekken over onderwerpen waar ze interesse in hebben. * Ruimtebegrippen en rangtelwoorden komen aan bod bij seriëren. ## 3.3 Didactiek en activiteiten rond ordenen ### 3.3.1 Doel van ordenen en didactische principes Bij het plannen van wiskundeactiviteiten start je vanuit de groeilijnen. Didactiek gaat over hoe je met deze groeilijnen aan de slag gaat in de klas. Er is geen pasklaar antwoord, omdat dit afhangt van de kleuters, de klasgroep en de leerkracht. Belangrijk is het beheersen van de groeilijn en het bieden van maximale ontwikkelingskansen voor elke kleuter. De didactische aandachtspunten voor het ontwerpen en realiseren van wiskundeactiviteiten zijn: * **Doelen:** Bepalen welke wiskundige doelen centraal staan. * **Zinvol aanbod:** Werken via realistische contexten, spel, experimenteren met materialen. * **Soorten activiteiten:** Kiezen van de organisatie (ruimte, groeperingsvorm) en het soort activiteit. * **Materialen:** Kiezen van passende materialen (3D voor jongste kleuters, 2D voor oudere, later ook mentaal handelen). * **Opbouw:** Duidelijk maken van de bedoeling, opbouwen van de kern met gradatie (stijgende moeilijkheidsgraad). * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten die meerdere oplossingen en oplossingswegen toelaten, op verschillende niveaus. Stimuleren van probleemoplossend en onderzoekend denken. * **Wiskundetaal:** Visualiseren (tonen met materialen, gebaren, symbolen) en verwoorden (begrippen benoemen, leren van wiskundetaal, denken van kleuters volgen). Stimuleren van gebruik van wiskundebegrippen en reflectie. * **Stimuleren en belonen:** Kleuters stimuleren om na te denken, oplossingen te zoeken en te delen. Waarderen van moeite en ideeën, fouten maken mag. Feedback geven over de juistheid. * **Differentiëren:** Rekening houden met cognitieve verschillen door de activiteit aan te passen (makkelijker/moeilijker maken) via gradatie, materialen, opdrachten, vragen en begeleiding. * **Leren met en van elkaar:** Kleuters stimuleren om samen oplossingen te zoeken, redeneringen en oplossingen te delen en te reflecteren. Dit alles draagt bij aan een positieve wiskundige mindset. ### 3.3.2 Materialen om te werken rond ordenen * **Klassieke logiblokken:** Gestructureerd ontwikkelingsmateriaal met zuivere eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte). Kan abstract zijn en te weinig betekenis hebben. * **Logifiguren (zelfgemaakt of gekocht):** Materialen met betekenis (ijsjes, beertjes), gebaseerd op de structuur van logiblokken maar minder abstract en herkenbaar in de leefwereld. * 3-jarigen: 3D-materiaal (bv. 24 stuks). * 4- en 5-jarigen: 2D-materiaal (bv. 36 stuks). * **Andere materialen:** Poppenhoek, bestek, servies, losse materialen (loose parts) die spontaan sorteren en seriëren uitlokken. Belangrijk is dat er meerdere eigenschappen aanwezig zijn, die niet altijd zuiver of gestructureerd zijn. ### 3.3.3 Keuze van eigenschappen * **Zuivere eigenschappen:** Eigenschappen waarover geen discussie kan ontstaan. * **Realistisch:** Eigenschappen die aansluiten bij de leefwereld van de kleuters. * **Variëren in moeilijkheidsgraad:** Zorgen voor een uitdaging die past bij de leeftijd en ontwikkeling. ### 3.3.4 Opbouw van een BA (Begeleide Activiteit) rond ordenen #### 3.3.4.1 Sorteren 1. **Oriëntering:** * Materiaal aanbrengen en de bedoeling uitleggen op een speelse manier. * Bedoeling: een probleem dat in de activiteit wordt opgelost, de activiteit zinvol maken. 2. **Kern:** * **Spelen en ontdekken van eigenschappen, gelijkenissen en verschillen:** Vrij spel met materiaal, stellen van vragen (bv. "Zijn alle beren hetzelfde?"). * **Bespreken van ontdekte eigenschappen:** Leerkracht benoemt eigenschappen indien nodig. Bij jongere kleuters materiaal in stukjes laten ontdekken. * **Begrijpen van de eigenschappen:** Nagaan of elk kind de eigenschappen begrijpt als de leerkracht ze benoemt. * **Herkennen en verwoorden van de eigenschappen:** Kleuters zelf eigenschappen laten herkennen en verwoorden (bv. "Ik ben rood, ik ben groot"). Dit is cruciaal bij nieuw materiaal of onbekende eigenschappen. * **Sorteren naar 1 eigenschap:** Speelse manier van sorteren, met visuele hulpmiddelen voor jongere kleuters. * **Sorteren naar meerdere eigenschappen:** Met oudere kleuters, eventueel met symboolkaartjes. Deze kaartjes kunnen ook een taalondersteuning zijn. Sorteren aan de hand van verbale instructie is ook mogelijk. * **Niet-eigenschappen:** 5-jarigen kunnen ook sorteren op wat er *niet* bij hoort. 3. **Afronding:** * Materiaal op een speelse manier opruimen. * Ervaringen met de activiteiten verwoorden. #### 3.3.4.2 Seriëren 1. **Oriëntering:** * Materiaal aanbrengen en bedoeling uitleggen. Het doel is het spel te spelen en een probleem op te lossen. 2. **Kern:** * **Focussen op eigenschappen, gelijkenissen en verschillen:** Vrij spelen, vragen stellen, bespreken van ontdekte eigenschappen. * **Begrijpen en herkennen/verwoorden van (verschillen in) eigenschappen:** Controleren of kinderen verschillen herkennen en begrippen begrijpen. Opdrachten zoals "Neem een potlood dat langer is dan dit" of "Welk potlood is het langst?". * **Sorteren op soort:** Eerst materialen op soort leggen. * **Seriëren per soort op toenemende of afnemende eigenschap:** Verschillende spelletjes met oplopende moeilijkheidsgraad, aangepast aan leeftijd. 3. **Afronding:** * Materiaal opruimen en ervaringen verwoorden. #### 3.3.4.3 Ordenen in hoeken * Structuur aanbrengen in hoeken met kastjes, bakken en symbolen (foto's, pictogrammen) geeft duidelijkheid, houdt de hoek ordelijk en vergemakkelijkt opruimen. * Plattegronden of foto's van de hoek kunnen houvast bieden. * Tijdens begeleid spelmomenten kunnen pictogrammen gebruikt worden. ### 3.3.5 Opbouw van een BA gebaseerd op een bestaand spelletje * **Ontwikkelingsmaterialen/speelleermiddelen:** Gericht op vaardigheden, vaak met opdrachtkaarten, differentiëren mogelijk. * **Gezelschapsspelen:** Gericht op gezellig samen zijn, met nevendoelen op ontwikkeling. Verwoorden stimuleren, differentiëren mogelijk. Kunnen als zelfstandige activiteit aangeboden worden na begeleiding. De opbouw van een BA rond een gezelschapsspel: 1. **Oriëntering:** Materiaal en spel introduceren, doel uitleggen. 2. **Kern:** Stap voor stap het spel opbouwen. Verkennen van materialen, werken rond de doelen die nodig zijn om het spel vlot te spelen (eigenschappen, vergelijken, sorteren/seriëren). Het spelen van het spel, eventueel met varianten. 3. **Afronding:** Opruimen, waarderen, ervaringen verwoorden. ### 3.3.6 Algemene didactiek wiskunde De didactische aandachtspunten bieden houvast bij het werken met wiskunde in de kleuterklas, met als doel de wiskundige ontwikkeling van elk kind maximaal te stimuleren. De leerkracht moet zelf overtuigd zijn van het belang van wiskunde en wiskundeangst overwinnen. De aandachtspunten zijn niet los van elkaar te zien en kunnen variëren in nadruk per activiteit. --- # Didactiek en materialen voor wiskunde in de kleuterklas Hier is een gedetailleerde samenvatting voor het onderwerp "Didactiek en materialen voor wiskunde in de kleuterklas", opgesteld als een examenklare studiegids. ## 4. Didactiek en materialen voor wiskunde in de kleuterklas Dit deel behandelt de didactische benaderingen, de opbouw van wiskundeactiviteiten en de rol van diverse materialen bij het onderwijzen van wiskunde aan kleuters. ### 4.1 Wiskunde in de kleuterklas: context en belang Wiskunde is een integraal onderdeel van het dagelijks leven, zowel voor volwassenen als voor kleuters. Het begrijpen en toepassen van wiskundige concepten helpt kinderen om de wereld beter te begrijpen, erin te functioneren en legt een essentiële basis voor de overgang naar het lager onderwijs en voor levenslang leren. Wiskunde kan op verschillende manieren worden aangeboden: * **Wiskunde-activiteit:** Door activiteiten waarbij wiskundige doelen centraal staan. * **Wiskunde geïntegreerd in…:** Door kansen te zien en te benutten in andere bestaande activiteiten (individueel, in kleine of grote groepen). * **Inspelen op spontaan spel:** Door aan te sluiten bij het natuurlijke spelgedrag van kleuters. Wiskunde is meer dan enkel het behandelen van specifieke onderwerpen; het omvat ook logisch redeneren, problemen oplossen, vragen stellen, reflecteren en zelf ontdekken. ### 4.2 Wiskunde-onderwerpen in de kleuterklas De kleuterklas houdt zich bezig met vijf kernonderwerpen binnen wiskunde: #### 4.2.1 Ordenen Ordenen omvat sorteren, classificeren en seriëren. ##### 4.2.1.1 Sorteren en classificeren * **Verzamelen:** Het bijeenbrengen van voorwerpen tot één geheel. * **Klasse:** Een verzameling voorwerpen met gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen. * **Sorteren:** Het creëren van klassen door voorwerpen te groeperen op basis van gemeenschappelijke eigenschappen; het zien van gelijkenissen. * **Classificeren:** Het ontstaan van verschillende klassen door middel van doorsorteren, wat leidt tot het vormen van deelverzamelingen en ordeningssystemen. * **Klasse-inclusie (deel-geheelverhouding):** Het inzicht in de relatie tussen deelklassen en de relatie van een deel tot het geheel. Dit omvat het gelijktijdig kunnen bedenken van zowel het deel als het geheel. Kleuters die termen als "sommige", "alle", "niet alle" nog niet correct gebruiken, hebben nog geen volledig inzicht in deze verhouding. De leefwereld van kleuters is rijk aan geordende systemen (huis, supermarkt, bibliotheek). Door activiteiten aan te bieden rond sorteren en classificeren met concrete materialen, leren kleuters deze systemen kennen, gebruiken en zelf construeren. Dit kan op concreet niveau beginnen en later uitbreiden naar een meer mentaal (denk-, verbaal) niveau. **Inzichten rond sorteren en classificeren:** * Gelijkenissen en verschillen tussen dingen opmerken. * Een gemeenschappelijke eigenschap bij een aantal dingen opmerken. * Sorteren in groepjes volgens een gemeenschappelijke eigenschap. * Dingen op verschillende manieren indelen. * Gevormde groepjes verder sorteren. * Aanzetten tot inclusie-inzicht. * Onderzoeken wat wel/niet tot een klasse behoort (bv. niet-blauwe parels, blauwe en ronde parels, blauwe en niet-ronde parels). * Een omvattende klasse bepalen (bv. blauwe of gele parels). ##### 4.2.1.2 Seriëren * **Seriëren:** Het rangschikken van voorwerpen op basis van onderlinge verschillen. Dit vereist het zien van verschillen in eigenschappen. * **Transitiviteit:** Het logisch gevolg trekken bij het ordenen. Indien A kleiner is dan B en B kleiner dan C, dan is A kleiner dan C. Kleuters hebben hier vaak visueel houvast voor nodig. Net als bij sorteren is het de bedoeling dat kleuters seriaties in hun leefwereld herkennen en zelf leren construeren. Dit gebeurt door het aanbieden van seriaties en het organiseren van serieeractiviteiten, met als doel het transitief redeneren op te bouwen. Aanvankelijk wordt er geserieerd op concreet niveau, gebaseerd op visuele verschillen, om later op mentaal niveau (zonder materiaal, op verbaal niveau) te kunnen seriëren. #### 4.2.2 Groeilijnen voor sorteren en seriëren **2,5-jarigen:** Nog niet in staat tot sorteren of seriëren, maar leggen de basis door eigenschappen te vormen. Focus op basisbegrippen (kleuren, groot/klein, dik/dun, etc.) door actieve exploratie en verwoording door de leerkracht. **3-jarigen:** In staat tot sorteren met 3D-materiaal. Belangrijk om eigenschappen te benoemen, te beschrijven en te vergelijken, met accent op gelijkenissen. Sorteren gebeurt op één waarneembare eigenschap. Visuele hulpmiddelen kunnen ondersteunen. Bij seriëren wordt beperkt geserreerd met 3D-voorwerpen, met focus op het benoemen en vergelijken van eigenschappen. **4- en 5-jarigen:** Kunnen werken met 2D-materiaal. Accent op het benoemen en vergelijken van meerdere eigenschappen tegelijk. 4-jarigen kunnen sorteren op 1 tot 2 eigenschappen; 5-jarigen op 3 tot 4 eigenschappen. 5-jarigen kunnen ook aanzetten doen tot classificeren (klasse-inclusie) en sorteren op niet-eigenschappen. Oudste kleuters kunnen zelf ordeningen bedenken en verantwoorden, en ook mentaal sorteren. Bij seriëren kunnen 4-jarigen rijtjes bouwen met duidelijke visuele verschillen. 5-jarigen kunnen met meer voorwerpen helpen en gebruik maken van natuurlijke maten. Oudste kleuters kunnen verantwoorden waarom een rij juist of fout ligt en zelf rijtjes bedenken. ### 4.3 Didactiek: De manier waarop wiskunde wordt aangeboden #### 4.3.1 Algemene didactische aandachtspunten Om wiskunde effectief aan te bieden in de kleuterklas, is het cruciaal om te vertrekken vanuit de groeilijnen en didactische aandachtspunten. Er is geen pasklaar antwoord, de aanpak is afhankelijk van de kleuters, de klasgroep, de leerkracht en de context. **Kernprincipes:** * **Doelen:** Werken met duidelijke, gerichte wiskundige doelen. * **Zinvol en betekenisvol aanbod:** Wiskunde aanbieden via realistische contexten, spel, experimenteren en het spelen met materialen. * **Activiteitentypen en organisatie:** Verschillende soorten activiteiten en organisaties (ruimte, groeperingsvorm) kiezen. * **Materialen:** Kiezen van geschikte materialen waarmee kleuters kunnen handelen (3D voor jongste, 2D voor oudere, en op papier/apps of mentaal voor de oudsten). * **Opbouw (didactische aanpak):** Duidelijke oriëntering, een geleidelijke opbouw in de kern met gradatie (stijgende moeilijkheidsgraad) en een afronding. * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten die meerdere oplossingen en/of methodes toelaten, en op verschillende denkniveaus opgelost kunnen worden. Dit stimuleert probleemoplossend en onderzoekend gedrag. * **Wiskundetaal:** Gebruik maken van visualisatie (met materialen, tekeningen, gebaren, symbolen) en verwoording om het denken van kleuters te ondersteunen en te volgen. * **Vragen, opdrachten en begeleiding:** Open vragen en opdrachten stimuleren denkprocessen en bieden meer spreekkansen. * **Stimuleren en belonen:** Nadruk leggen op de moeite en de ideeën, fouten maken mag. Feedback geven op de juistheid is belangrijk. * **Differentiëren:** Rekening houden met individuele cognitieve verschillen door de activiteit aan te passen (makkelijker/moeilijker maken via gradatie, materialen, opdrachten, vragen, begeleiding). * **Leren met en van elkaar:** Kleuters stimuleren om samen oplossingen te zoeken, redeneringen te delen en te reflecteren op verschillende methodes. Het is essentieel om een **mathematical mindset** te bevorderen: geloven dat iedereen wiskunde kan leren en dat het aangaan van wiskundige uitdagingen leuk is, zelfs als het soms fout gaat. #### 4.3.2 Opbouw van een Begeleide Activiteit (BA) Wiskunde **BA rond sorteren/classificeren:** * **Oriëntatie:** Materiaal en bedoeling (een probleem dat opgelost moet worden) op een speelse manier aanbrengen. * **Kern:** * **Spelen en ontdekken:** Vrij spelen met materiaal om eigenschappen, gelijkenissen en verschillen te ontdekken. Vragen stellen als: "Zijn alle beren hetzelfde?". * **Begrip van eigenschappen:** Controleren of kleuters de eigenschappen begrijpen als de leerkracht ze benoemt (bv. "Wie een rode auto heeft, steekt hem in de lucht."). * **Herkennen en verwoorden van eigenschappen:** Kleuters zelf de eigenschappen laten herkennen en verwoorden (bv. "Ik ben rood, ik ben groot."). * **Sorteren naar één eigenschap:** Speelse activiteiten met sorteren op één eigenschap, eventueel met visuele hulpmiddelen. * **Sorteren naar meerdere eigenschappen:** Met oudere kleuters sorteren op meerdere eigenschappen, eventueel met symboolkaartjes. * **Sorteren op niet-eigenschappen:** Voor 5-jarigen (bv. "Leg de niet-rode bij elkaar."). * **Afronding:** Materiaal opruimen en ervaringen verwoorden. **BA rond seriëren:** * **Oriëntatie:** Materiaal en bedoeling (een probleem dat opgelost moet worden) op een speelse manier aanbrengen. * **Kern:** * **Spelen en ontdekken:** Eigenschappen, gelijkenissen en verschillen ontdekken door vrij spel. * **Begrip en herkenning van verschillen:** Controleren of kleuters de verschillen herkennen en begrippen begrijpen (bv. "Welk potlood is het langst?"). * **Sorteren op soort:** Eerst de materialen sorteren op soort. * **Seriëren op toenemende of afnemende eigenschap:** Speelse activiteiten met seriëren, aangepast aan de leeftijd en met stijgende moeilijkheidsgraad. * **Afronding:** Materiaal opruimen en ervaringen verwoorden. **BA gebaseerd op een bestaand spel:** * **Oriëntatie:** Materiaal van het spel aanbrengen en het doel uitleggen (het spel spelen). * **Kern:** * **Voorbereiding op het spel:** Verkennen van de materialen en werken rond de doelen die nodig zijn om het spel vlot te spelen (eigenschappen ontdekken, sorteren/seriëren). * **Spelen van het spel:** Het spel uitleggen, eventueel in stappen, met varianten. * **Afronding:** Opruimen, waarderen en ervaringen met het spel verwoorden. **BA opgebouwd uit losse spelletjes:** * Vaak klassikaal te spelen als tussendoortje. #### 4.3.3 Ordenen in hoeken Structuur aanbrengen in hoeken door middel van kastjes, rekjes, dozen met symbolen (foto's, afbeeldingen, pictogrammen) van de inhoud. Dit helpt kleuters bij het sorteren en opruimen. Plattegronden of foto's van de hoek kunnen houvast bieden. ### 4.4 Materialen voor wiskunde in de kleuterklas De materialen moeten meerdere eigenschappen bevatten en idealiter zuivere eigenschappen hebben met duidelijke verschillen. * **Klassieke logiblokken:** Logisch gestructureerd ontwikkelingsmateriaal met 4 eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte) en variaties. Ze bevatten 48 blokken ($3 \times 4 \times 2 \times 2 = 48$). Hoewel abstract, kunnen ze ook voor andere doeleinden gebruikt worden. * **Logifiguren:** Zelfgemaakte of gekochte materialen met betekenis (bv. ijsjes, beertjes). Ze zijn gebaseerd op de structuur van logiblokken maar zijn minder abstract en meer betekenisvol. * 3-jarigen: 3D-materiaal (bv. 24 stuks). * 4-5-jarigen: 2D-materiaal (bv. 36 stuks, $3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36$). * **Andere materialen:** Materialen die niet noodzakelijk gestructureerd zijn maar wel meerdere eigenschappen hebben en kansen bieden voor sorteren en seriëren (bv. speelgoed uit de poppenhoek). * **Losse materialen (Loose Parts):** Materialen zonder een vastomlijnd doel die spontaan sorteren en seriëren uitlokken. **Keuze van eigenschappen voor materialen:** * Zuivere eigenschappen. * Realistisch en herkenbaar. * Variëren in moeilijkheidsgraad. **Voorontwerp van materialen:** * Tekenen/schetsen. * Beschrijving van de eigenschappen en varianten. * Boomdiagram om het aantal te maken figuren te bepalen. ### 4.5 Spiegelen en symmetrie * **Spiegelen in de ruimte:** Vorm, grootte en afstanden tot de spiegel blijven behouden. Het spiegelbeeld verandert van plaats ten opzichte van de spiegel en staat in tegengestelde richting. * **Spiegelen in het vlak:** Het spiegelbeeld ligt in hetzelfde vlak. Vorm, grootte en afstanden tot de spiegel blijven behouden. Het spiegelbeeld verandert van plaats en staat in tegengestelde richting. * **Spiegelas:** Een rechte waarop een spiegeling plaatsvindt; wanneer gevouwen langs de as, vallen de figuren samen. Punten die elkaars spiegelbeeld zijn, liggen op een rechte die loodrecht op de spiegelas staat en op gelijke afstand daarvan. * **Symmetrie bij vlakke figuren:** Een figuur met een symmetrie-as die het in twee spiegelbeelden helften verdeelt. * **Symmetrie bij ruimtefiguren:** Hebben één of meerdere symmetrie-vlakken die het figuur in twee spiegelbeelden helften verdelen. Spiegelen en symmetrie kunnen op alle leeftijden in de kleuterklas aangeboden worden. ### 4.6 Samenvatting wiskunde-onderwerpen voor kleuters | Wiskunde-onderwerp | Wat kleuters leren… | | :----------------------- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | **Ordenen** | Kennen van eigenschappen, vergelijken van eigenschappen, sorteren op eigenschappen, rangschikken op eigenschappen. | | **Ruimte (meetkunde)** | Vormen, ruimtelijke oriëntatie (waar ben ik?), ruimtelijke relaties (waar is de ander?), spiegelen/symmetrie. | | **Getallen** | Vergelijken van hoeveelheden, tellen, uitvoeren van bewerkingen, voorstellen van getallen. | | **Meten** | Kennen van lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht; vergelijken op basis hiervan; meten van deze grootheden. | | **Tijd** | Tijdsvolgorde, tijdsduur, tijdstippen/tijdsmomenten/tijdskader. | --- # Ruimte en symmetrie in de kleuterklas Dit onderwerp verkent de concepten van spiegelen en symmetrie in de ruimte en in het vlak, en de toepassing ervan in de kleuterklas, inclusief didactische aandachtspunten voor wiskunde. ### 5.1 Spiegelen en symmetrie #### 5.1.1 Spiegelen in de ruimte Wanneer een driedimensionaal (ruimte)figuur voor een spiegel geplaatst wordt die loodrecht op het tafelvlak staat, zijn de volgende observaties te maken: * De vorm, grootte en afstanden tot de spiegel blijven behouden. * Het spiegelbeeld bevindt zich achter de spiegel. * Er is een verandering van plaats ten opzichte van de spiegel. * Het spiegelbeeld staat in de tegenovergestelde richting van het ruimtelijke figuur zelf. #### 5.1.2 Spiegelen in het vlak Bij het spiegelen van een tweedimensionale (vlakke) figuur, met de spiegel loodrecht op het vlak waarin de figuur ligt, gelden de volgende waarnemingen: * Het spiegelbeeld ligt ook in het vlak van het vlakke figuur. * Vorm, grootte en afstand tot de spiegel blijven behouden. * Het spiegelbeeld bevindt zich achter de spiegel, met een verandering van plaats ten opzichte van de spiegel. * Het spiegelbeeld ligt in de tegenovergestelde richting. De **spiegelas** is een specifieke spiegeling van een rechte lijn. Wanneer men langs deze as vouwt, vallen de twee helften van het figuur perfect samen. Punten die elkaars spiegelbeeld zijn, liggen op een rechte die loodrecht op de spiegelas staat en op gelijke afstand van de as. Bij figuren die gespiegeld worden, kan men zien dat de richting verandert ten opzichte van de spiegelas. #### 5.1.3 Symmetrie bij vlakke figuren Een **symmetrische figuur** in het vlak bezit een symmetrie-as. Dit is een rechte lijn die het figuur in twee helften verdeelt die elkaars spiegelbeeld zijn. Symmetrische figuren kunnen zodanig verschoven en gedraaid worden dat ze volledig samenvallen met hun spiegelbeeld. **Asymmetrische figuren** daarentegen kunnen nooit samenvallen met hun spiegelbeeld, ongeacht verschuivingen of draaiingen. #### 5.1.4 Symmetrie bij ruimtefiguren **Symmetrische ruimtefiguren** beschikken over één of meerdere symmetrievlakken. Een symmetrievlak deelt het figuur in twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn. Net als bij vlakke figuren, kunnen symmetrische ruimtefiguren na verplaatsing volledig samenvallen met hun spiegelbeeld. **Asymmetrische ruimtefiguren** kunnen dit niet. ### 5.2 Spiegelen en symmetrie in de kleuterklas Concepten rond spiegelen en symmetrie kunnen bij alle leeftijden in de kleuterklas worden aangereikt. In de context van wiskunde in de kleuterklas, dragen deze onderwerpen bij aan het leren over: * Vormen. * Ruimtelijke oriëntatie (hoe sta ik, waar ben ik: op, onder, naast). * Ruimtelijke relaties (hoe staat iemand anders, waar zijn zij: op, onder, naast). > **Tip:** Bij het werken met symmetrie en spiegelen is het essentieel om concrete materialen te gebruiken die de kinderen kunnen manipuleren en ervaren. Denk aan het vouwen van papier, het gebruik van spiegels, of het natekenen van figuren. > **Voorbeeld:** Een activiteit kan bestaan uit het laten spiegelen van handelingen (bijvoorbeeld een hand opsteken en de kinderen laten spiegelen), het nabootsen van patronen met blokken achter een denkbeeldige spiegel, of het herkennen van symmetrische vormen in natuurlijke objecten en in de klas. ### 5.3 Didactische aandachtspunten voor ordenen en ruimte in de kleuterklas De algemene didactische aandachtspunten voor het aanbieden van wiskunde in de kleuterklas zijn ook van toepassing op de onderwerpen spiegelen en symmetrie. Deze aandachtspunten bieden houvast bij het voorbereiden en realiseren van activiteiten met als doel maximale ontwikkelingskansen voor elk kind. * **Doelen:** Formuleren welke wiskundige doelen rond spiegelen en symmetrie nagestreefd worden. * **Zinvol en betekenisvol aanbod:** De concepten aanbieden in een realistische context, via spel, experimenteren en manipulatie van materialen. * **Soorten activiteiten en klasmanagement:** Bepalen welke soorten activiteiten (individueel, in kleine groepen, klassikaal) en waar deze plaatsvinden, rekening houdend met de beschikbare ruimte. * **Materialen:** Kiezen van geschikte materialen (bv. spiegels, legoblokken, vouwblaadjes, natuurlijke materialen) die passen bij de leeftijd en het ontwikkelingsniveau van de kleuters. Voor jongere kleuters is 3D materiaal, en voor oudere kleuters kan dit uitbreiden naar 2D materiaal of zelfs mentaal handelen. * **Opbouw (Didactische aanpak):** De activiteit stapsgewijs opbouwen met een duidelijke oriëntatie, een kern met eventueel gradatie (stijgende moeilijkheidsgraad), en een afronding. * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten aanbieden die meerdere oplossingen toelaten en op verschillende niveoms kunnen worden aangepakt, om het denkproces te stimuleren. * **Wiskundetaal:** Zowel visualiseren (tonen met materialen, gebaren) als verwoorden (begrippen benoemen, redeneringen laten formuleren) van wiskundige concepten. Dit is cruciaal voor taalverwerving en het volgen van het denkproces van de kinderen. * **Vragen, opdrachten, begeleiding en antwoorden:** De leerkracht stelt open vragen, geeft stimulansen en tijd, en moedigt kinderen aan om hun oplossingen en redeneringen te tonen en te reflecteren, met nadruk op de moeite en ideeën, en niet enkel op het correcte antwoord. * **Differentiëren:** Rekening houden met de cognitieve verschillen tussen kleuters door de activiteit, opdrachten, materialen of begeleiding aan te passen. * **Leren met en van elkaar:** Kinderen stimuleren om samen te werken, oplossingen en redeneringen te delen en te bespreken. Deze didactische aandachtspunten dragen bij aan het ontwikkelen van een positieve wiskundige mindset bij kleuters, waarbij ze geloven in hun eigen kunnen en plezier beleven aan wiskundige uitdagingen. ### 5.4 Wiskunde-onderwerpen in de kleuterklas: een overzicht Het document schetst een breder beeld van wiskunde in de kleuterklas, waarbij ordenen en ruimte (meetkunde) slechts twee van de vele gebieden zijn. | Wiskunde-onderwerp | Kleuters leren… | |---|---| | Ordenen | Kennen van eigenschappen – vergelijken van eigenschappen, sorteren op eigenschappen, rangschikken op eigenschappen. | | Ruimte (meetkunde) | Vormen, ruimtelijke oriëntatie (hoe sta ik, waar ben ik), ruimtelijke relaties (hoe staat iemand anders, waar zijn zij), spiegelen/symmetrie. | | Getallen | Vergelijken van hoeveelheden, tellen, uitvoeren van bewerkingen, voorstellen van getallen. | | Meten | Kennen van lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht; vergelijken op 'meten van'. | | Tijd | Tijdsvolgorde, tijdsduur, tijdstippen/tijdsmomenten/tijdskader. | --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Wiskunde | Een breed vakgebied dat zich bezighoudt met getallen, hoeveelheden, ruimte, structuur, verandering en relaties, en dat essentieel is voor het begrijpen en functioneren in de wereld. | | Kleuterklas | Een onderwijsomgeving voor jonge kinderen, doorgaans van 2,5 tot 6 jaar, gericht op spelend leren en de vroege ontwikkeling. | | Activiteit | Een georganiseerde gebeurtenis of taak, vaak in de context van het onderwijs, die ontworpen is om leerlingen bepaalde vaardigheden of kennis bij te brengen. | | Ordenen | Het proces van het structureren of rangschikken van objecten of concepten op basis van bepaalde criteria, zoals eigenschappen of relaties. | | Sorteren | Een vorm van ordenen waarbij objecten worden gegroepeerd op basis van gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen, waardoor verschillende klassen worden gevormd. | | Classificeren | Het proces van het indelen van objecten in groepen of categorieën op basis van hun eigenschappen; dit kan verdergaan dan eenvoudig sorteren door het herkennen van hiërarchische relaties tussen de groepen. | | Klasse | Een verzameling objecten die gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen delen, gevormd tijdens het proces van sorteren of classificeren. | | Gemeenschappelijke kenmerken/eigenschappen | De gedeelde kwaliteiten of attributen van objecten die hen in staat stellen tot een bepaalde klasse te behoren. | | Klasse-inclusie | Het inzicht dat een klasse (bijvoorbeeld de klasse van rode objecten) tegelijkertijd deel kan uitmaken van een grotere, omvattende klasse (bijvoorbeeld de klasse van alle objecten), en het vermogen om zowel het deel als het geheel gelijktijdig te overzien. | | Seriëren | Een vorm van ordenen waarbij objecten worden gerangschikt op basis van onderlinge verschillen in een specifieke eigenschap, zoals grootte, lengte of kleurintensiteit, wat leidt tot een opeenvolgende reeks. | | Transitieve wet | Een principe in logisch redeneren waarbij, als een relatie geldt tussen A en B, en tussen B en C, deze relatie ook geldt tussen A en C (bijvoorbeeld: als A kleiner is dan B en B kleiner is dan C, dan is A kleiner dan C). | | Groeilijn | Een ontwikkelingsschema dat aangeeft welke vaardigheden of concepten een kind op verschillende leeftijden kan verwachten te ontwikkelen of te beheersen, dient als leidraad voor onderwijsactiviteiten. | | Didactiek | De wetenschap en kunst van het onderwijzen; de methoden en principes die worden toegepast om kennis en vaardigheden effectief over te dragen. | | Logiblokken | Een gestructureerd educatief materiaal dat wordt gebruikt voor het leren sorteren en logisch denken, meestal met blokken die verschillende combinaties van eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte) hebben. | | Logifiguren | Zelfgemaakte of gekochte materialen die de structuur van logiblokken volgen, maar met herkenbare, betekenisvolle figuren uit de leefwereld van kinderen, zoals ijsjes of beertjes. | | Losse materialen (loose parts) | Materiaal zonder een vastomlijnd doel, dat spontaan sorteren en seriëren uitlokt en de creativiteit en probleemoplossende vaardigheden van kinderen stimuleert. | | Zuivere eigenschappen | Eigenschappen van materialen die duidelijk en ondubbelzinnig zijn, waardoor er geen discussie kan ontstaan over de classificatie van een object op basis van die eigenschap. | | Boomdiagram | Een hiërarchische grafische weergave die de structuur van een systeem of probleem toont, vaak gebruikt om de relaties tussen verschillende eigenschappen en varianten te visualiseren bij het ontwerpen van materialen. | | Oriëntering | De fase in een lesvoorbereiding waarin het materiaal wordt geïntroduceerd, de bedoeling van de activiteit wordt uitgelegd en de kleuters worden betrokken bij het oplossen van een probleem. | | Kern | Het centrale deel van een lesactiviteit waar de leerlingen actief bezig zijn met het materiaal, eigenschappen ontdekken, begrijpen, herkennen en toepassen. | | Afronding | Het afsluitende deel van een lesactiviteit, waarbij materiaal wordt opgeruimd, ervaringen worden verwoord en geleerde concepten worden gereflecteerd. | | Open opdrachten | Opgaven of problemen die meerdere oplossingen of benaderingen toestaan, waardoor de creativiteit en het probleemoplossend vermogen van kleuters worden gestimuleerd. | | Wiskundetaal | De specifieke woordenschat, symbolen en uitdrukkingen die worden gebruikt om wiskundige concepten te communiceren, inclusief het visualiseren en verwoorden van wiskundige ideeën. | | Differentiëren | Het aanpassen van onderwijsactiviteiten om tegemoet te komen aan de individuele behoeften, niveaus en leerstijlen van leerlingen. | | Spiegellen | Een geometrische transformatie die een punt of figuur omzet in een spiegelbeeld ten opzichte van een spiegel of spiegelas. | | Symmetrie | Een eigenschap van een figuur of object waarbij het symmetrisch is ten opzichte van een punt, lijn of vlak, wat betekent dat het zichzelf bedekt na een reflectie, rotatie of translatie. | | Symmetrie-as | Een lijn in het vlak waarlangs een figuur gespiegeld kan worden zodat de twee helften elkaar perfect bedekken. | | Symmetrie-vlak | Een vlak in de ruimte waarlangs een driedimensionaal object gespiegeld kan worden zodat de twee helften elkaar perfect bedekken. | | Ruimtefiguur | Een driedimensionaal geometrisch object, zoals een kubus, bol of cilinder. | | Vlakke figuur | Een tweedimensionaal geometrisch object, zoals een cirkel, vierkant of driehoek. | | Wiskunde-onderwerpen | Specifieke gebieden binnen de wiskunde die centraal staan in het kleuteronderwijs, zoals ordenen, ruimte, getallen, meten en tijd. | | Meten | Het proces van het bepalen van de omvang, lengte, inhoud, gewicht of duur van een object of gebeurtenis met behulp van gestandaardiseerde of niet-gestandaardiseerde eenheden. | | Tijd | Een fundamenteel concept dat de opeenvolging van gebeurtenissen, de duur en de tijdstippen beschrijft; in het kleuteronderwijs gaat het om tijdsvolgorde, tijdsduur en het begrijpen van tijdsmomenten. |

# De aard van wiskunde en effectief wiskundeonderwijs Dit onderwerp verkent de definitie van wiskunde vanuit een constructivistisch perspectief, benadrukt de rol van vragen stellen en reflectie, en schetst de principes van goed wiskundeonderwijs gericht op zelfstandige kennisopbouw door leerlingen. ### 1.1 Wat is wiskunde? Wiskunde wordt niet primair gezien als het memoriseren van formules en structuren, maar als een zinvolle menselijke activiteit die draait om het stellen van vragen, het ontleden van problemen, het zien van verbanden en het verhelderen van situaties. Een cruciaal aspect is reflectie op het eigen geestelijke activiteit. Wiskunde is dus meer dan het maken van sommetjes; het is observeren en bevragen waarom iets zo is. ### 1.2 Principes van goed wiskundeonderwijs Goed wiskundeonderwijs creëert een onderwijsleersituatie waarin leerlingen gestimuleerd worden om zelf hun wiskundige kennis op te bouwen. Dit gebeurt door hen te begeleiden bij het ontdekken van deze kennis, uitgaande van hun intuïtieve begrippen en informele strategieën. De kennis wordt vervolgens ingeoefend in betekenisvolle probleemsituaties. Het onderwijs is niet het louter overdragen van kant-en-klare begrippen en regels, maar het faciliteren van een constructief leerproces. #### 1.2.1 Betekenisvolle situaties Het plaatsen van wiskunde in betekenisvolle situaties is essentieel. Dit betekent dat leerlingen het nut en de relevantie van wiskunde leren ontdekken, zowel praktisch als maatschappelijk. Het betrekt de leefwereld van de leerlingen, wat de motivatie verhoogt. > **Tip:** Problemen leren analyseren houdt in dat levensechte situaties vertaald worden naar wiskundige problemen. ##### 1.2.1.1 Verwiskundigen Verwiskundigen is het proces waarbij verbanden worden gelegd tussen het leergebied wiskunde en de realiteit. Hierbij kan informatie verloren gaan: * **Verarming:** Niet-essentiële informatie uit de realiteit wordt weggelaten om zich te kunnen focussen op de wiskundige kern. Bijvoorbeeld, de kleur of kromming van een banaan is irrelevant voor het bepalen van het aantal bananen in een tros. * **Verlies van essentiële informatie:** Soms kan er ook essentiële informatie verloren gaan bij het verwiskundigen. Een voorbeeld hiervan is wanneer leerlingen bij het berekenen van het aantal benodigde bussen, de rest (0,2 bus) letterlijk interpreteren en 3,2 bussen bestellen, zonder rekening te houden met de realiteit dat je geen halve bussen kunt bestellen. > **Voorbeeld:** Het berekenen van het aantal bussen voor 96 personen als op een bus maximaal 30 personen passen, leidt tot $96 \div 30 = 3,2$. De leerlingen moeten dan redeneren dat er 4 bussen nodig zijn. ##### 1.2.1.2 Aandachtspunten bij betekenisvolle situaties * Betrek de leefwereld van leerlingen. * Leer leerlingen problemen te analyseren en levensechte situaties te vertalen naar wiskundeproblemen. * Stimuleer het ontdekken van praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde. * Bevorder het verwerven van inzicht in wiskundige begrippen. ### 1.3 Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model Dit model beschrijft de fasen die leerlingen doorlopen bij het leren van nieuwe wiskundige concepten. #### 1.3.1 Concrete fase In deze fase worden nieuwe leerinhouden aangebracht met behulp van aanschouwelijke voorstellingen om inzicht te creëren. Dit kan met tastbare voorwerpen die gemanipuleerd worden. * **Materiaal bestaat uit natura:** Gebruik van alledaagse voorwerpen (bloemen, stenen). * **Materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid:** Gebruik van bijvoorbeeld fiches of blokjes om aantallen voor te stellen. * **Materiaal is gestructureerd rekenmateriaal:** Speciaal ontworpen materiaal zoals MAB-materiaal (materiaal met eenheden, tientallen, honderdtallen, etc.). > **Aandachtspunt:** Niet alle materialen die je kunt vastnemen, zijn concrete materialen. Een kaartje met de letter 'H' om honderd voor te stellen, is bijvoorbeeld een abstracte voorstelling. #### 1.3.2 Schematische fase Hierbij wordt de werkelijkheid voorgesteld met behulp van tekeningen, schema's en stappenplannen, zonder het gebruik van concreet materiaal. Dit helpt bij het verduidelijken van redeneringen. De opbouw binnen de keuze van afbeeldingen kan variëren van een directe afbeelding van de werkelijkheid tot afbeeldingen van gestructureerd rekenmateriaal. Een getallenlijn of tabellen kunnen hierbij ondersteunend zijn. > **Aandachtspunt:** Een tekening die enkel als illustratie dient, is geen schematische ondersteuning. #### 1.3.3 Abstracte fase In deze fase wordt er gewerkt zonder concreet materiaal of schematische voorstellingen, waarbij symbolen, tekens en getallen centraal staan. Consistente verwoordingen fungeren hierbij als verbindend element. > **Tip:** Het triple code model van Dehaene suggereert dat de concrete, schematische en abstracte fases gelijktijdig kunnen worden doorlopen voor dezelfde oefening, in plaats van sequentieel te wachten tot de ene fase volledig beheerst is. #### 1.3.4 Aandachtspunten bij het CSA-model * De leerkracht moet nagaan op welk niveau leerlingen functioneren en waar eventuele moeilijkheden optreden. * Differentiatie en remediëring zijn cruciaal. * Er is een constante wisselwerking tussen de verschillende niveaus. * Een abacus is een gematerialiseerde abstracte voorstelling die inzicht in het positiesysteem vereist. ### 1.4 Handelingsniveaus van Galperin Deze theorie, ontwikkeld door de Russische psycholoog Galperin, beschrijft vier niveaus in het proces van internalisatie van handelingen bij kinderen. Het doel is te voorkomen dat leerlingen vast blijven hangen aan materiële voorstellingen. De opbouw zit in het proces van transformatie van externe, materiële handelingen naar interne, mentale handelingen. ### 1.5 Inzichtelijke aanpak Een inzichtelijke aanpak vermijdt 'trucjes' en zorgt ervoor dat de betekenis van begrippen en alle deelhandelingen duidelijk zijn. Leerlingen begrijpen wat ze doen. Bijvoorbeeld, wanneer het geheugen faalt bij een vermenigvuldiging, kan de leerling terugvallen op rekenstrategieën. Het aanbrengen van nieuwe vaardigheden gebeurt door voorkennis aan te spreken en de leerstof te kaderen. Herhaling en visuele voorstellingen bevorderen transfer. De opbouw van lessen volgt het CSA-model en de handelingsniveaus, met correcte verwoordingen en vakterminologie. ### 1.6 Belang van correct wiskundig verwoorden Het correct verwoorden is een fundamentele brug tussen het manipuleren met materiaal en het werken zonder materiaal. Het gebruik van de juiste vaktaal en terminologie is essentieel. Leerlingen moeten van 'spreektaal' overschakelen naar 'vaktaal'. Het is belangrijk om te controleren of leerlingen de juiste invulling geven aan wiskundige termen en om de vakterminologie consequent te hanteren. ### 1.7 Automatiseren en memoriseren Automatiseren betekent dat bepaalde procedures 'paraat' gekend zijn, zoals optellingen en aftrekkingen tot 20, of maal- en deeltafels. Leerlingen steunen hierbij op onderliggende, inzichtelijke berekeningen. Veel oefenen, variatie aanbieden en geleidelijk het tempo opdrijven, leiden tot automatisatie. Het is hierbij belangrijk om ondersteuning te bieden met materiaal, schema's, het verwoorden van denkstappen en het noteren van tussenstappen. ### 1.8 Inductief werken Inductief werken houdt in dat men van het bijzondere naar het algemene redeneert. Dit begint met het vertrekken van goed gekozen concrete voorbeelden. Deze voorbeelden worden onderzocht en geanalyseerd, waardoor leerlingen patronen en wetmatigheden ontdekken en formuleren. Op basis hiervan wordt een algemeen begrip, regel of principe omschreven. In deze fase worden uitzonderingen nog niet behandeld. > **Voorbeeld:** Leerlingen onderzoeken getallen die eindigen op nul en vijf. Door te oefenen met delen door vijf, ontdekken ze dat al deze getallen eindigen op nul of vijf. --- # Het concreet-schematisch-abstract (CSA) model en handelingsniveaus Dit gedeelte behandelt de fasen van het CSA-model voor het aanleren van wiskundige concepten, van tastbare voorwerpen tot abstracte symbolen, en de vier handelingsniveaus volgens Galperin ter verdieping van begrip en het voorkomen van koppeling aan materiële voorstellingen. ### 2.1 Het concreet-schematisch-abstract (CSA) model Het CSA-model is een didactische benadering die leraren helpt bij het aanbrengen van nieuwe wiskundige concepten en vaardigheden. Het model doorloopt drie fasen: concreet, schematisch en abstract. #### 2.1.1 De concrete fase In de concrete fase wordt gebruikgemaakt van tastbare voorwerpen om nieuwe leerinhouden te introduceren en inzicht te verwerven. Dit materiaal kan op verschillende manieren worden ingezet: 1. **Materiaal bestaat uit natura:** Hierbij wordt gebruikgemaakt van alledaagse, natuurlijke voorwerpen. 2. **Materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid:** Het materiaal representeert iets anders, bijvoorbeeld blokjes die appels voorstellen. 3. **Materiaal is gestructureerd rekenmateriaal:** Speciaal ontworpen materiaal, zoals MAB-materiaal (Mille, Eenheden, Tienheden, Honderdtallen), wordt gebruikt. > **Tip:** Het is belangrijk te differentiëren, omdat niet alle voorwerpen die men kan vastnemen ook werkelijk concrete materialen zijn. Een kaartje met de letter 'H' voor honderd is bijvoorbeeld al een abstracte voorstelling. #### 2.1.2 De schematische fase De schematische fase bouwt voort op de concrete fase en maakt gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen. Dit helpt bij het verduidelijken van redeneringen zonder het gebruik van concreet materiaal. De opbouw binnen de keuze van afbeeldingen kan variëren: * Afbeelding van de werkelijkheid (bv. een foto van appels). * Afbeeldingen in de plaats van de werkelijkheid (bv. een tekening van appels). * Afbeeldingen van gestructureerd rekenmateriaal (bv. een tekening van MAB-materiaal). * Getallenlijn of getallenas. * Tabellen en/of schema's. * Positietabellen. > **Opmerking:** Een tekening die louter dient ter illustratie of 'opfleuring' van de tekst, is geen schematische ondersteuning in de zin van het CSA-model. #### 2.1.3 De abstracte fase In de abstracte fase wordt er gewerkt zonder concreet materiaal of schematische voorstellingen. De leerlingen maken gebruik van symbolen, tekens en getallen om wiskundige problemen op te lossen. Het triple code model (van Stanislas Dehaene) stelt voor om tijdens hetzelfde leermoment de oefening zowel concreet, schematisch als abstract aan te bieden. Dit voorkomt dat leerlingen te lang blijven hangen in een bepaalde fase. Consequente verwoording dient hierbij als verbindende factor. > **Voorbeeld:** Bij het aanleren van het getal vijf kan men beginnen met vijf tastbare voorwerpen (concreet), daarna dit voorstellen met een tekening (schematisch), om uiteindelijk te werken met het cijfer 5 (abstract). #### 2.1.4 Aandachtspunten bij het CSA-model * **Differentiatie en Remediation:** De leerkracht moet nagaan op welk niveau elke leerling werkt en waar eventuele moeilijkheden optreden binnen het CSA-model. Dit is cruciaal voor effectieve differentiatie en remediëring. * **Wisselwerking tussen niveaus:** Er is een constante wisselwerking tussen de verschillende niveaus. Zo kan een abacus gezien worden als een gematerialiseerde abstracte voorstelling, waarbij inzicht in het plaatsingssysteem nodig is om de kralen correct te interpreteren. * **Verwoording:** Correcte wiskundige verwoording is essentieel om de verschillende niveaus te verbinden en begrip te versterken. ### 2.2 Handelingsniveaus van Galperin De handelingstheorie van de Russische psycholoog Galperin biedt een methode om het wiskundig begrip van kinderen te verdiepen en te voorkomen dat zij vast blijven hangen aan materiële voorstellingen. Dit proces wordt ook wel *interiorisatie* genoemd. Galperin beschrijft vier handelingsniveaus: #### 2.2.1 Niveau 1: De algemene handeling als materieel object Kinderen voeren de handeling uit met tastbaar materiaal. De handeling is nog volledig extern en zichtbaar. > **Voorbeeld:** Het maken van een boeket met 8 bloemen en daarna 5 bloemen toevoegen om de som $8 + 5$ uit te voeren, waarbij de bloemen fysiek worden gemanipuleerd. #### 2.2.2 Niveau 2: De handeling als gesproken externe handeling De handeling wordt nu uitgesproken, nog steeds extern, maar in de vorm van verbale instructies of het verwoorden van de stappen. Dit niveau is cruciaal voor het verbinden van de materiële handeling met de abstracte betekenis. > **Voorbeeld:** Bij de som $8 + 5$ zegt het kind hardop: "Ik heb acht bloemen, en ik tel er vijf bij. Dat zijn negen, tien, elf, twaalf, dertien bloemen in totaal." #### 2.2.3 Niveau 3: De handeling als gesproken innerlijke handeling De gesproken handeling wordt van buiten naar binnen verplaatst. Het kind spreekt de handeling in gedachten uit, zonder de materie nog fysiek te manipuleren. > **Voorbeeld:** Het kind denkt: "Oké, acht en vijf erbij. Ik weet dat acht plus twee tien is, en dan nog drie erbij is dertien." #### 2.2.4 Niveau 4: De handeling als gegeneraliseerde innerlijke handeling De handeling wordt een geautomatiseerd, innerlijk proces. Het kind kan de handeling toepassen op verschillende situaties, met minder bewuste inspanning. Dit is het stadium van ware abstractie en automatisering. > **Voorbeeld:** Bij het zien van de som $8 + 5$ kan het kind direct het antwoord 13 geven, gebaseerd op reeds geautomatiseerde wiskundige kennis. Door deze vier niveaus te doorlopen, wordt ervoor gezorgd dat leerlingen niet alleen materiële objecten manipuleren, maar ook de onderliggende wiskundige concepten begrijpen en kunnen generaliseren. ### 2.3 Toepassingen van CSA en handelingsniveaus Beide modellen, het CSA-model en de handelingsniveaus van Galperin, zijn nauw met elkaar verbonden en bieden een raamwerk voor een inzichtelijke wiskundeles. Ze worden toegepast bij diverse leerstofonderdelen, zoals: * Splitsen van getallen. * Breuken (bv. ¾ van 12). * Optellingen en aftrekkingen (bv. $8 + 7$). * Probleemoplossing waarbij het omgaan met breuken in een realistische context centraal staat. Een inzichtelijke lesopbouw combineert het CSA-model met de handelingsniveaus, aangevuld met correcte wiskundige verwoordingen en vakterminologie. Dit bevordert transfer van kennis en zorgt voor diepgaand begrip. --- # Belang van inzicht, verwoording en automatisering in wiskundeonderwijs Dit thema benadrukt de fundamentele rol van het ontwikkelen van wiskundig inzicht, het correct verwoorden van wiskundige gedachten en het automatiseren van procedures om efficiënt wiskundeonderwijs te realiseren. ### 3.1 Wiskunde als zinvolle menselijke activiteit Wiskunde wordt niet primair gezien als een verzameling van formules en structuren die efficiënt overgedragen moeten worden, maar als een zinvolle menselijke activiteit die gepaard gaat met vragen stellen, problemen ontleden, verbanden zien en reflecteren over het eigen denken. Goed wiskundeonderwijs creëert een leeromgeving waarin leerlingen actief hun wiskundige kennis opbouwen en inoefenen in betekenisvolle situaties, uitgaande van hun intuïtieve begrippen en informele strategieën. ### 3.2 Concreet – schematisch – abstract (CSA-model) Het CSA-model beschrijft de progressieve ontwikkeling van wiskundig begrip, van tastbare ervaringen naar abstracte representaties. #### 3.2.1 Concrete fase Deze fase introduceert nieuwe leerinhouden met behulp van aanschouwelijke voorstellingen en tastbare voorwerpen. Het materiaal kan variëren van natuurlijke objecten tot speciaal ontworpen rekenmateriaal. Het handelen met dit materiaal helpt leerlingen om inzicht te krijgen. * **Materiaal uit de natuur:** Verschillende natuurlijke materialen kunnen gebruikt worden. * **Materiaal ter vervanging van de werkelijkheid:** Objecten die een deel van de werkelijkheid representeren. * **Gestructureerd rekenmateriaal:** Speciaal ontworpen materiaal, zoals MAB-materiaal. #### 3.2.2 Schematische fase In deze fase worden de begrippen voorgesteld met behulp van tekeningen, schema's en stappenplannen. Leerlingen verduidelijken hun redeneringen met visuele ondersteuning, zonder direct met concreet materiaal te werken. De opbouw binnen de keuze van afbeeldingen kan variëren van een realistische afbeelding tot afbeeldingen van gestructureerd rekenmateriaal, zoals een getallenlijn, tabellen of positietabellen. > **Tip:** Een tekening die louter ter illustratie dient, wordt niet beschouwd als een schematische ondersteuning. #### 3.2.3 Abstracte fase Hier werken leerlingen zonder concreet materiaal of schematische voorstellingen. Ze maken gebruik van symbolen, tekens en getallen. De consequentie in de verwoording van denkstappen fungeert als een verbindende factor tussen de verschillende fasen. > **Tip:** Het Triple Code Model, dat voorstelt om een oefening steeds concreet, schematisch en abstract aan bod te laten komen tijdens hetzelfde aanleermoment, kan hierbij ondersteunend werken. #### 3.2.4 Aandachtspunten bij het CSA-model De leerkracht dient te observeren op welk niveau elke leerling werkt en waar eventuele moeilijkheden zich voordoen, om zo te kunnen differentiëren en remediëren. Materialen die men kan vastnemen zijn niet altijd concreet; een kaartje met 'H' voor honderd is bijvoorbeeld een abstracte voorstelling. Een abacus is een gematerialiseerde abstracte voorstelling waarbij inzicht in het positionaliteitssysteem essentieel is. Er is een voortdurende wisselwerking tussen de verschillende niveaus. ### 3.3 Handelingsniveaus van Galperin De handelingsniveaus van Galperin, een theorie van de Russische psycholoog, beschrijven een proces van interiorisatie waarbij kinderen handelen met materiaal of tekeningen om een begrip te verwerven. Om te voorkomen dat leerlingen blijven vastzitten aan materiële voorstellingen, is er een opbouw voorzien in vier handelingsniveaus. ### 3.4 Inzichtelijke aanpak Een inzichtelijke aanpak in het wiskundeonderwijs betekent dat de betekenis van begrippen en alle deelhandelingen duidelijk zijn voor de leerling. Het gaat erom te begrijpen *wat* men doet, in plaats van enkel 'trucjes' toe te passen. * **Ondersteuning bij rekenstrategieën:** Wanneer het geheugen faalt, kan men terugvallen op inzichtelijke rekenstrategieën. * **Aanbrengen van nieuwe vaardigheden:** Dit gebeurt door aan te sluiten bij voorkennis en de nieuwe stof te kaderen. * **Transfer bevorderen:** Herhaling en visuele voorstellingen helpen bij het bevorderen van transfer. * **Integrale lesopbouw:** Een inzichtelijke lesopbouw combineert het CSA-model, de handelingsniveaus, correcte verwoordingen en vakterminologie. ### 3.5 Belang van correct wiskundig verwoorden Het correct verwoorden van wiskundige gedachten is cruciaal en vormt de brug tussen het manipuleren met materiaal en het werken zonder materiaal. * **Gebruik van correcte vaktaal/vakterminologie:** Dit impliceert de overschakeling van spreektaal naar vaktaal. Het is belangrijk om te controleren of leerlingen de juiste betekenis toekennen aan wiskundige termen. * **Consequent gebruiken van vakterminologie:** Het systematisch en uniform hanteren van wiskundige termen in de les is essentieel voor het begrip en de ontwikkeling van een wiskundige taal. ### 3.6 Automatiseren en memoriseren Automatiseren betekent dat bepaalde procedures 'paraat' zijn, zoals optellingen en aftrekkingen tot 20, of de maal- en deeltafels. Leerlingen steunen hierbij op onderliggende, inzichtelijke berekeningen. * **Ondersteuning bij automatisering:** Gebruik maken van materiaal, schema's, het verwoorden van denkstappen en het noteren van tussenstappen zijn nuttige methoden. * **Veel oefening en variatie:** Het aanbieden van veel oefeningen met voldoende variatie en het geleidelijk opdrijven van het tempo leidt tot automatisatie. ### 3.7 Inductief werken Inductief werken betekent van het bijzondere naar het algemene gaan. * **Vertrekken van concrete voorbeelden:** De keuze van de voorbeelden is hierbij zeer belangrijk. * **Analyseren van voorbeelden:** Door voorbeelden te onderzoeken en te analyseren, ontdekken leerlingen patronen en wetmatigheden, wat leidt tot het formuleren van een algemeen begrip, regel of principe. * **Uitsluiting van uitzonderingen:** In deze fase worden uitzonderingen nog niet behandeld om de focus op het algemene principe te behouden. --- # Inductief werken in wiskunde Inductief werken in de wiskunde is een methode waarbij men van specifieke voorbeelden naar een algemeen principe of regel werkt. ### 7.1 Het proces van inductief werken Het inductieve proces bestaat uit de volgende stappen: 1. **Vertrekken van concrete voorbeelden:** Het begint met het presenteren van specifieke, concrete gevallen of problemen. De keuze van deze voorbeelden is cruciaal voor het succes van het inductieve proces. 2. **Voorbeelden onderzoeken en analyseren:** Leerlingen onderzoeken en analyseren deze voorbeelden grondig. Het doel is om patronen, verbanden en wetmatigheden te ontdekken die in de voorbeelden aanwezig zijn. 3. **Ontdekken en formuleren van patronen en wetmatigheden:** Op basis van de analyse worden de geïdentificeerde patronen en wetmatigheden expliciet geformuleerd. 4. **Omschrijven van een algemeen begrip, regel of principe:** De ontdekte patronen worden samengevat in een algemeen geldende definitie, regel of principe. In deze fase worden nog geen uitzonderingen op de regel behandeld. > **Tip:** Het is belangrijk dat de leerkracht zorgvuldig voorbeelden selecteert die duidelijk de te ontdekken regel illustreren, zonder direct uitzonderingen te introduceren die het leerproces kunnen compliceren. ### 7.2 Voorbeeld van inductief werken Een illustratief voorbeeld van inductief werken is het bestuderen van getallen die eindigen op nul of vijf. * **Concrete voorbeelden:** Men neemt een reeks getallen die eindigen op nul of vijf, bijvoorbeeld 10, 15, 20, 25, 30, 35, etc. * **Onderzoek en analyse:** Leerlingen onderzoeken deze getallen, bijvoorbeeld door te kijken naar hun deelbaarheid door vijf. Ze kunnen dit doen door te splitsen of te verdelen. * **Patronen ontdekken:** Leerlingen ontdekken dat alle getallen in deze reeks deelbaar zijn door vijf. Ze zien ook dat deze getallen altijd eindigen op een nul of een vijf. * **Algemene regel:** De algemene regel die hieruit voortvloeit is: "Een getal is deelbaar door vijf als het eindigt op een nul of een vijf." --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Betekenisvolle situaties | Situaties in het wiskundeonderwijs die aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen en waarin het nut van wiskunde wordt ontdekt, wat leidt tot meer inzicht in wiskundige begrippen. | | Verwiskundigen | Het proces waarbij een situatie uit de realiteit wordt vertaald naar een wiskundig probleem, waarbij verbanden worden gelegd tussen het leergebied wiskunde en de werkelijkheid. | | Concreet-schematisch-abstract (CSA) model | Een didactisch model dat de ontwikkeling van wiskundig begrip beschrijft in drie fasen: de concrete fase met tastbare voorwerpen, de schematische fase met tekeningen en schema's, en de abstracte fase met symbolen en getallen. | | Handelingsniveaus van Galperin | Vier niveaus van handelen volgens de Russische psycholoog Galperin, die kinderen doorlopen bij het verwerven van een begrip door middel van materiaal of tekeningen, om te voorkomen dat ze blijven hangen aan materiële voorstellingen. | | Inzichtelijke aanpak | Een onderwijsaanpak in wiskunde waarbij de betekenis van begrippen en alle deelhandelingen duidelijk zijn, zodat leerlingen begrijpen wat ze doen en kunnen terugvallen op rekenstrategieën indien nodig. | | Automatiseren | Het proces waarbij wiskundige vaardigheden zo geoefend worden dat ze 'paraat' zijn, zoals het kennen van optellingen en aftrekkingen tot 20, of maal- en deeltafels, door veel oefening en variatie aan te bieden. | | Memoriseren | Het van buiten leren van wiskundige feiten of procedures, wat een onderdeel kan zijn van automatisering maar waarbij inzichtelijke onderbouwing cruciaal blijft. | | Inductief werken | Een onderwijsmethode in wiskunde die vertrekt van concrete, specifieke voorbeelden om patronen, wetmatigheden en uiteindelijk algemene regels of principes te ontdekken en te formuleren. | | Vakterminologie | De specifieke taal en technische termen die binnen het vakgebied wiskunde worden gebruikt, essentieel voor correcte communicatie en begrip van wiskundige concepten. | | Triple code model | Een model, mede gebaseerd op werk van Stanislas Dehaene, dat stelt dat een oefening idealiter de concrete, schematische en abstracte fasen (CSA) aan bod laat komen tijdens hetzelfde aanleermoment, zonder te wachten tot een fase volledig beheerst is. | | Abacus | Een rekenhulpmiddel met kralen op stangen, dat als een gematerialiseerde abstracte voorstelling kan dienen en inzicht in het positiesysteem vereist om de waarde van de kralen correct te interpreteren. |