Hoofdstuk 1 Visie op wiskundeonderwijs (1).pdf

# De realistische visie op wiskundeonderwijs De realistische visie op wiskundeonderwijs legt de nadruk op het aanleren van wiskundige kennis en vaardigheden door middel van authentieke, realistische problemen en een leeromgeving die zelfontdekkend, interactief en zelfgestuurd leren stimuleert [3](#page=3). ### 1.1 Kenmerken van de realistische visie #### 1.1.1 Een stukje geschiedenis De visie op wiskundeonderwijs heeft sinds het begin van de 19e eeuw een aanzienlijke evolutie doorgemaakt. Vóór de jaren 70 van de 20e eeuw lag de focus op het verwerven van praktische rekenvaardigheden door middel van memorisatie en oefening, ter voorbereiding op het latere beroepsleven. De "moderne wiskunde" introduceerde vanaf de jaren 70 en 80 abstracte concepten, wat leidde tot kritiek op de theoretische en abstracte aanpak. Vanaf de jaren 90 ontwikkelde zich de huidige realistische visie op wiskundeonderwijs [3](#page=3). #### 1.1.2 Het belang van realistische probleemsituaties Realistische probleemsituaties vormen de kern van de realistische visie. Deze situaties zijn authentiek en representatief voor de contexten waarin leerlingen hun wiskundige kennis en vaardigheden later zullen toepassen. Ze kunnen zowel dagelijkse situaties omvatten (zoals betalen in de winkel of taart verdelen) als fantasierijke scenario's (zoals heksen die ingrediënten afwegen). Belangrijk is dat leerlingen zich de situaties kunnen voorstellen, en bij voorkeur sluiten ze aan bij hun leefwereld [3](#page=3). **Voordelen van het werken met realistische situaties:** * **Actieve betrokkenheid en ontdekking:** Ze sluiten aan bij de leefwereld en intuïtieve kennis van leerlingen, wat zelfontdekking stimuleert [3](#page=3). * **Bevordering van inzicht:** Leerlingen passen rekenregels toe om realistische problemen op te lossen, rekening houdend met de context en mogelijke oplossingen [3](#page=3). * **Motivatie:** Leerlingen zien de bruikbaarheid van wiskunde in het dagelijks leven [3](#page=3). * **Zinvolle oefencontexten:** Ze faciliteren de transfer van geleerde kennis naar reële probleemsituaties [3](#page=3). > **Voorbeeld:** > > 100 leerlingen gaan met minibusjes op zomerkamp. Elke bus kan maximaal 8 kinderen vervoeren. Hoeveel bussen zijn nodig? > > De context bepaalt dat hier sprake is van een deling met een rest, waarbij de uitkomst naar boven moet worden afgerond om alle kinderen te vervoeren. Een simpele deling van 100 door 8, $100 / 8 = 12.5$, leidt tot de conclusie dat 13 bussen nodig zijn [4](#page=4). > > Leerlingen moeten bij dergelijke opgaven rekening houden met de specifieke context om de juiste wiskundige bewerking en interpretatie van het antwoord te bepalen [4](#page=4). #### 1.1.3 Aandacht voor zelfontdekkend en zelfsturend leren De realistische visie pleit ervoor dat leerlingen zelf kennis en vaardigheden verwerven en ontwikkelen, voortbouwend op bestaande kennis. Dit betekent dat de leerkracht niet altijd de enige bron is van nieuwe regels; leerlingen worden aangemoedigd om zelf deze regels te "ontdekken" [4](#page=4). > **Voorbeeld:** > > Een reeks oefeningen kan leerlingen helpen om zelf regels te ontdekken. Bijvoorbeeld, na oefeningen zoals $12 - 3$ en $12 - 5$, kunnen leerlingen de regel ontdekken dat bij het aftrekken van kleinere getallen van een groter getal, het resultaat kleiner wordt. Door oefeningen als $23 + 5$ en $23 + 10$ te presenteren, kunnen leerlingen de regel van het optellen bij tientallen ontdekken. > > De volgorde van de oefeningen is cruciaal om dit zelfontdekkend leerproces te faciliteren [5](#page=5). #### 1.1.4 Interactief onderwijs Interactief onderwijs is essentieel om leerlingen te ondersteunen bij het zelfstandig opbouwen van hun wiskundige vaardigheden en inzichten. Dit omvat rijke interactie tussen leerkracht en leerling, maar ook tussen leerlingen onderling. Leerlingen leren beter wanneer ze ideeën kunnen uitwisselen, hun inzichten moeten verwoorden en verantwoorden, en hun oplossingswijzen kunnen vergelijken met klasgenoten [5](#page=5). **Voorbeelden van interactief onderwijs:** * Leerlingen schrijven per twee een rekenverhaal bij een bewerking en controleren elkaars werk [6](#page=6). * Leerlingen reageren op een stelling over wiskundige concepten door naar een bepaalde kant van het lokaal te gaan en proberen elkaar te overtuigen [6](#page=6). * Groepjes lossen verschillende vraagstukken op, waarna één leerling per groepje de oplossing aan het bord uitlegt aan de klas [6](#page=6). #### 1.1.5 Leren is zelfgestuurd of zelfgereguleerd Het laten opbouwen van kennis en het ontwikkelen van eigen oplossingsstrategieën brengt het risico met zich mee dat deze constructies inadequaat of incorrect zijn [6](#page=6). > **Voorbeeld:** > > Een leerling voert een aftrekking uit: > > `5 4 3 - 1 7 5 ----- 4 3 2` > > De leerling maakt hier een fout bij het "lenen" van getallen van de hogere plaatswaarde. Dit leidt tot een incorrect antwoord van 432 in plaats van 368. > > Om dit te voorkomen of te verhelpen, is het cruciaal om leerlingen te leren reflecteren op hun eigen handelen, zowel over de uitkomst ("Kan deze uitkomst wel?") als over de gebruikte oplossingswijze ("Had ik niet veel gemakkelijker en sneller tot die oplossing kunnen komen?"). Dit metacognitieve aspect verschuift de verantwoordelijkheid gedeeltelijk van de leerkracht naar de leerling [6](#page=6). Leerlingen leren om oplossingen en methoden kritisch te bekijken door middel van opdrachten waarbij ze meerdere oplossingen moeten beoordelen [7](#page=7). > **Voorbeeld:** > > Een winkelier moet 200 doosjes lampen verpakken in een kist van 8x8x4 doosjes. > > * **Oplossing 1:** $8 + 8 + 4 = 20$. Conclusie: er kunnen maar 20 doosjes in de kist. Dit is fout omdat de ruimtelijke indeling een vermenigvuldiging vereist. > > * **Oplossing 2:** $8 \\times 8 \\times 4 = 256$. De berekening wordt deels correct uitgevoerd ($8 \\times 8 = 64$), maar $64 \\times 4$ wordt foutief berekend als 116. Conclusie: er kunnen maar 116 doosjes in de kist. > > * **Oplossing 3:** $8 \\times 8 \\times 4 = 256$. De berekening is correct. Conclusie: Neen, want 256 is meer dan 200. Dit is de enige correcte redenering die tot de juiste conclusie leidt dat alle 200 doosjes in de kist passen. > > > Leerlingen moeten deze drie oplossingen kritisch bespreken om te leren hoe ze verschillende benaderingen kunnen analyseren en evalueren [7](#page=7). ### 1.2 Voordelen en aandachtspunten van het realistisch rekenonderwijs **Voordelen:** * Hoge betrokkenheid door het werken met realistische contexten [7](#page=7). * Wiskunde krijgt betekenis in het dagelijks leven [7](#page=7). * Stimuleert creatief en probleemoplossend denken [7](#page=7). **Aandachtspunten:** * Risico op oppervlakkige kennis als de context te veel de aandacht krijgt [7](#page=7). * Risico op fouten door het zelfontdekkend leren [7](#page=7). * Moeilijker om leerdoelen systematisch te bereiken zonder sterke structuur [7](#page=7). * * * # Het kennisrijk wiskundeonderwijs Het kennisrijk wiskundeonderwijs streeft ernaar leerlingen een stevige wiskundige basis te bieden door een combinatie van context en abstractie, waarbij begrip centraal staat en automatisering essentieel is voor het aanpakken van complexere problemen [8](#page=8). ### 3.1 Waarom? Internationale peilingen zoals PIRLS en TIMSS tonen aan dat leerlingen minder goed presteren voor taal en wiskunde. De hervorming van de minimumdoelen beoogt het curriculum te versterken om elk kind maximale kansen te bieden voor ontwikkeling, zowel binnen als buiten het onderwijs [8](#page=8). ### 3.2 Doel van kennisrijk wiskundeonderwijs Het doel is om leerlingen een stevige wiskundige basis te geven die ze kunnen toepassen in verschillende situaties [8](#page=8). ### 3.3 Kenmerken van kennisrijk wiskundeonderwijs #### 3.3.1 Combinatie van context en abstractie Dit onderwijsmodel hecht belang aan zowel betekenisvolle contexten als aan de ontwikkeling van een abstract denksysteem. Leerlingen moeten niet alleen een winkelprijs kunnen berekenen, maar ook de onderlinge samenhang tussen breuken, decimale getallen en procenten begrijpen. Tevens moeten ze abstract met procenten kunnen rekenen, onafhankelijk van de specifieke context [8](#page=8). #### 3.3.2 Begrijpen (inzicht) boven het toepassen van regeltjes Het is cruciaal dat leerlingen begrijpen \_waarom een regel werkt, en niet enkel \_hoe deze toe te passen. Een voorbeeld hiervan is de regel voor deelbaarheid door 4: dat een getal deelbaar is door 4 als het getal gevormd door de twee laatste cijfers deelbaar is door 4. Leerlingen moeten niet alleen weten of een getal deelbaar is, maar ook de herkomst van deze regel begrijpen [8](#page=8). #### 3.3.3 Zowel kennen als kunnen In het kennisrijk wiskundeonderwijs wordt onderscheid gemaakt tussen "kennen" (wat je weet) en "kunnen" (wat je met die kennis kunt doen, inclusief vaardigheden en procedures) [8](#page=8). Kennis kan verder worden onderverdeeld in: * **Inzichtelijke kennis:** Begrijpen hoe iets werkt. Bijvoorbeeld, snappen dat $6 \\times 7$ gelijk is aan 6 groepjes van 7, en dat dit ook berekend kan worden als $(5 \\times 7) + (1 \\times 7)$ [9](#page=9). * **Feitelijke kennis:** Kennis die uit het hoofd geleerd is, zoals tafels of sommen. Bijvoorbeeld, direct weten dat $6 \\times 7 = 42$ zonder uit te rekenen [9](#page=9). Het onderscheid tussen inzichtelijke, feitelijke en procedurele kennis is niet strikt, maar de soorten kennis hangen samen. Het correct en efficiënt uitvoeren van vaardigheden is belangrijk, omdat dit leerlingen in staat stelt complexere problemen aan te pakken zonder het werkgeheugen te overbelasten [9](#page=9). De doelen geven soms een extra aanduiding aan bij 'kennen': * \[I voor inzicht * \[F voor feiten * \[I/F voor beide Dit voorkomt herhaling en benadrukt dat het niet altijd nodig is om eerst alles te begrijpen voordat men iets kan doen; oefening bevordert zowel begrip als kunnen [9](#page=9). #### 3.3.4 Automatiseren als basis voor complexere problemen Automatiseren is anders dan memoriseren. Het opbouwen van kennis (kennen en kunnen) gebeurt door te automatiseren, wat inhoudt dat een strategie eigen wordt gemaakt, verkort en veelvuldig wordt geoefend totdat het antwoord direct bekend is [9](#page=9). > **Voorbeeld van automatiseren:** Een leerling oefent dagelijks de splitsingen van 10 (bv. 7+3, 6+4). Na verloop van tijd geeft de leerling direct het juiste antwoord zonder te twijfelen [9](#page=9). Geautomatiseerde feiten en procedures ontlasten het werkgeheugen bij complexere problemen [9](#page=9). > **Voorbeeld:** Als een leerling vlot breuken kan optellen, kan deze leerling zich bij een tekstvraag concentreren op de probleemstelling zelf, in plaats van op de berekening [9](#page=9). #### 3.3.5 Duidelijke, geleide instructie In dit curriculum krijgt zelfontdekkend leren een minder prominente rol dan in een realistische visie. Heldere instructie door de leerkracht is essentieel; de leerkracht stuurt het leerproces, legt de bedoeling duidelijk uit, modelleert de aanpak en controleert de voortgang van de leerlingen [10](#page=10). ### 3.4 Voordelen en aandachtspunten bij het kennisrijk wiskundeonderwijs #### Voordelen: * **Sterke kennisbasis:** Leerlingen bouwen een solide fundament van begrippen, feiten en procedures op, wat latere aanpak van complexere wiskundige problemen mogelijk maakt [10](#page=10). * **Duidelijke instructie en structuur:** De leerkracht biedt de leerstof stapsgewijs aan, wat leidt tot minder verwarring en een kleinere kans op fouten bij leerlingen [10](#page=10). * **Begrip én toepassing:** Leerlingen leren niet alleen hoe iets werkt, maar ook waarom, wat wiskunde betekenisvol en toepasbaar maakt in nieuwe situaties [10](#page=10). * **Ondersteuning van alle leerlingen:** Deze aanpak is effectief, met name voor leerlingen die gebaat zijn bij structuur en duidelijke uitleg [10](#page=10). #### Aandachtspunten: * **Risico op minder motivatie:** Als de leerstof te abstract of te ver van de leefwereld van leerlingen staat, kunnen zij afhaken. Contexten zijn noodzakelijk om de leerstof betekenis te geven [10](#page=10). * **Minder ruimte voor exploratie:** Zelfontdekkend leren en creativiteit komen minder aan bod. Sommige leerlingen leren effectiever via eigen strategieën en experimenteren [10](#page=10). * **Afhankelijkheid van leerkrachtkwaliteit:** De aanpak vereist sterke didactische vaardigheden van de leerkracht. Slechte instructie kan leiden tot verwarring of oppervlakkig leren [10](#page=10). * * * # Minimumdoelen en leerplannen wiskunde Dit onderdeel behandelt de wettelijk vastgelegde minimumdoelen voor wiskunde in het lager onderwijs en de rol van de leerplannen die door de onderwijsnetten worden opgesteld om deze doelen te realiseren. ### 3.1 De eindtermen en minimumdoelen wiskunde De eindtermen/minimumdoelen voor het lager onderwijs worden opgelegd door de Vlaamse Overheid en geven aan waar elke school minimaal naar moet streven voor elk kind. In het Decreet Basisonderwijs worden minimumdoelen omschreven als een minimum aan kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes, noodzakelijk en bereikbaar geacht voor de leerlingenpopulatie. Elke school heeft de maatschappelijke opdracht om deze minimumdoelen op populatieniveau te bereiken. Voor het einde van het lager onderwijs worden op individueel niveau te bereiken minimumdoelen vastgelegd voor Nederlands en wiskunde, die elke leerling moet bereiken voor het verkrijgen van het getuigschrift basisonderwijs [11](#page=11). Tot voor kort werden de eindtermen gebruikt, die aangeven wat leerlingen op het einde van het zesde leerjaar moeten bereiken qua kennis, attitudes en vaardigheden. Deze eindtermen zijn momenteel 'uitdovend'. De nieuwe minimumdoelen werden in juli 2025 goedgekeurd door het Vlaams Parlement en scholen kunnen ervoor kiezen om hiermee te werken vanaf schooljaar 2025-2026. Vanaf schooljaar 2026-2027 worden de minimumdoelen wiskunde verplicht voor het 1e tot 3e leerjaar, vanaf 2027-2028 voor het 4e en 5e leerjaar, en vanaf 2028-2029 voor de ganse lagere school [11](#page=11). De minimumdoelen wiskunde zijn de basisdoelen die elk kind in het gewoon lager onderwijs aangeboden moet krijgen, wat belangrijk is voor gelijke kansen. Scholen mogen eigen accenten leggen of extra doelen toevoegen, maar de minimumdoelen blijven voor iedereen gelijk. De minimumdoelen wiskunde voor de lagere school (4de en 6de leerjaar) geven aan welke minimumdoelstellingen haalbaar en noodzakelijk zijn voor kinderen. Hierbij is het belangrijk dat basisvaardigheden zoals hoofdrekenen, cijferen, schatten, toepassingen van rekenvaardigheden in de dagelijkse realiteit, praktijkgericht metend rekenen en ruimtelijke oriëntatie, in ruime mate aan bod kunnen komen [11](#page=11). #### 3.1.1 Domeinen binnen de minimumdoelen wiskunde Volgende domeinen worden onderscheiden binnen de minimumdoelen wiskunde: * **Getallenkennis**: Dit domein omvat kennis en inzichten in hoeveelheden en getallen. In de lagere school komen natuurlijke getallen, gehele getallen, breuken, procenten en kommagetallen aan bod [12](#page=12). * **Bewerkingen**: Dit domein gaat over optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen [12](#page=12). * **Meten en metend rekenen**: Dit domein bestudeert het inzicht in de grootheden lengte, oppervlakte, inhoud/volume, massa, geld, tijdstip & tijdsduur, temperatuur en hoekgrootte [12](#page=12). * **Meetkunde**: Dit domein bestudeert vlakke en ruimtelijke objecten. Binnen dit domein worden vier grote onderdelen onderscheiden: vormleer, plaatsbepaling, transformaties en meetkundige relaties. Daarnaast bevat het domein een aanvullend onderdeel logica en verzamelingen, dat bewust bij meetkunde is geplaatst om structuur aan te brengen in redeneringen en bij te dragen aan inzicht [12](#page=12). * **Kansrekenen en statistiek**: * Leerlingen leren over kans (hoe waarschijnlijk iets is); dit kansbegrip wordt later uitgebouwd en in verband gebracht met kennis over breuken en procenten [12](#page=12). * Statistiek richt zich op het verzamelen, ordenen, interpreteren en voorstellen van gegevens, waarbij tabellen, diagrammen en centrummaten worden ingezet om inzichten te verwerven uit data en er conclusies uit te trekken [12](#page=12). * **Probleemoplossend denken en vraagstukken**: Dit domein omvat het oplossen van (niet-)routineuze opgaven [12](#page=12). * Probleemoplossend denken richt zich op opgaven waarbij de oplossingsweg niet meteen voor de hand ligt, er soms meerdere oplossingswegen zijn en meerdere oplossingen [12](#page=12). * Het onderdeel vraagstukken omvat contextopgaven die nauw aansluiten bij de leerinhouden zoals procenten, recht/omgekeerd evenredige grootheden, ongelijke verdeling en schaal [12](#page=12). ### 3.2 De leerplannen wiskunde De leerplannen worden opgesteld door de verschillende onderwijsnetten in Vlaanderen, zoals het GO! (Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap), KOV (Katholiek Onderwijs Vlaanderen) en OVSG (Onderwijs voor Steden en Gemeenten). In een leerplan moeten de minimumdoelen die de overheid heeft vastgelegd op herkenbare wijze worden opgenomen. Elk onderwijsnet kan doelen toevoegen vanuit het eigen opvoedingsproject of de eigen visie op het vak. Er moet ook voldoende ruimte zijn voor de inbreng van scholen, lerarenteams en leerlingen. Om de kwaliteit van het onderwijs te waarborgen, moeten alle leerplannen worden goedgekeurd door de Vlaamse Overheid volgens bepaalde criteria en op advies van de onderwijsinspectie [13](#page=13). De leerplannen die momenteel in gebruik zijn, zijn nog niet aangepast aan de nieuwe minimumdoelen, die pas op 16 juli 2025 werden goedgekeurd. De onderwijskoepels gaan nu aan de slag om leerplannen te maken die overeenkomen met de nieuwe minimumdoelen [13](#page=13). * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Realistische visie | Een onderwijsaanpak waarbij wiskundige concepten worden aangeboden via authentieke en herkenbare situaties die aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen, met nadruk op zelfontdekking en probleemoplossend vermogen. | | Kennisrijk wiskundeonderwijs | Een onderwijsvisie gericht op het opbouwen van een solide wiskundige basis door een combinatie van contextuele toepassingen en abstracte denksystemen, waarbij zowel begrip als vaardigheden centraal staan. | | Minimumdoelen | Wettelijk vastgestelde leerdoelen die elke school moet nastreven voor alle leerlingen, met betrekking tot kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes, met name op het gebied van Nederlands en wiskunde in het basisonderwijs. | | Leerplannen | Documenten opgesteld door onderwijsnetten die de minimumdoelen van de overheid integreren en verder uitwerken, met ruimte voor eigen accenten en visies op het vak, en die goedgekeurd moeten worden door de Vlaamse Overheid. | | Zelfontdekkend leren | Een leerproces waarbij leerlingen gestimuleerd worden om zelfstandig nieuwe kennis en vaardigheden te verwerven, vaak door te experimenteren en te ontdekken, voortbouwend op bestaande intuïtieve kennis. | | Interactief onderwijs | Een vorm van onderwijs die veel interactie tussen leerkracht en leerlingen, en tussen leerlingen onderling, bevordert, om leerlingen te ondersteunen bij het opbouwen van inzichten door het uitwisselen van ideeën en het vergelijken van oplossingswijzen. | | Zelfgestuurd/zelfgereguleerd leren | Een leerproces waarbij leerlingen de verantwoordelijkheid dragen voor hun eigen leerproces, inclusief het ontwikkelen van oplossingsstrategieën en het reflecteren op hun eigen handelen en de resultaten daarvan. | | Inzichtelijke kennis | Het begrip van hoe iets werkt en waarom bepaalde wiskundige concepten of procedures correct zijn, in tegenstelling tot het enkel toepassen van regels zonder begrip. | | Feitelijke kennis | Het uit het hoofd kennen van wiskundige feiten, zoals tafels of eenvoudige sommen, die direct beschikbaar zijn zonder tussenliggende berekening. | | Procedurele kennis | De vaardigheid om wiskundige procedures en algoritmen nauwkeurig en efficiënt uit te voeren, wat nodig is voor het oplossen van complexere problemen. | | Automatiseren | Het proces waarbij feiten en procedures zo vaak worden geoefend dat ze zonder veel denkwerk direct beschikbaar zijn, wat de belasting van het werkgeheugen vermindert voor complexere taken. |