Wiskunde theorie.docx

# Basisbegrippen in de meetkunde Hieronder vind je een gedetailleerd overzicht van de basisbegrippen in de meetkunde, essentieel voor je studie. ## 1. Basisbegrippen in de meetkunde De meetkunde bestudeert de eigenschappen van figuren en de relaties daartussen in de ruimte en op een plat vlak. Dit overzicht behandelt de fundamentele concepten zoals punten, lijnen, oppervlakken, rechte lijnen, halfrechten en lijnstukken. ### 1.1 Punten, lijnen en oppervlakken * **Punt:** * Een punt wordt gebruikt om een specifieke plaats aan te duiden. * Punten worden benoemd met een hoofdletter. * Meetkundige punten hebben geen afmetingen (ze zijn nuldimensionaal). Een getekend punt is dus een voorstelling. * **Lijn:** * Een lijn is een oneindige, eendimensionale verzameling van punten. * Lijnen kunnen recht, gebogen (krom) of gebroken zijn. * **Oppervlak:** * Een oppervlak is een oneindige, tweedimensionale verzameling van punten. * Oppervlakken kunnen plat of gebogen zijn, en begrensd of onbegrensd. * Een onbegrensd plat oppervlak wordt een **vlak** genoemd. * Een begrensd plat oppervlak wordt een **vlakke figuur** genoemd. ### 1.2 Rechte lijnen, halfrechten en lijnstukken * **Rechte:** * Een rechte is een onbegrensde, rechte lijn. * Een rechte wordt benoemd met een kleine letter of met twee punten die op de rechte liggen. De rechte a kan ook worden aangeduid als rechte AB. * De rechte AB is de drager van het lijnstuk [AB]. * **Lijnstuk:** * Een lijnstuk is een begrensde, rechte lijn. Het is het kortste pad tussen twee eindpunten. * Een lijnstuk wordt benoemd met zijn twee eindpunten, tussen vierkante haakjes geplaatst, bijvoorbeeld [AB]. * **Halfrechte (of halve rechte):** * Een halfrechte is een rechte die begrensd is aan één kant. * Het heeft één grenspunt en loopt oneindig door in één richting. * Een halfrechte wordt benoemd met het grenspunt en een ander punt op de halfrechte. Bij het grenspunt wordt een vierkant haakje geplaatst, en bij het andere punt een rond haakje (of geen haakje). Bijvoorbeeld de halfrechte [AB. ### 1.3 Gebogen en gebroken lijnen * **Gebogen lijn:** * Een gebogen lijn kan open of gesloten zijn. * **Gebroken lijn:** * Een gebroken lijn bestaat uit een aaneenschakeling van lijnstukken. * Deze kan open of gesloten zijn. * Een open, onbegrensde gebroken lijn heeft twee halfrechten aan de uiteinden. * Een open, begrensde gebroken lijn heeft twee lijnstukken aan de uiteinden. ### 1.4 Hoeken * **Definitie:** Een hoek is een deel van het vlak, begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt (het hoekpunt). De halfrechten worden de benen van de hoek genoemd. * **Benoeming:** * Met het hoekpunt en een punt op elk been (bv. de hoek BÂC of hoek CÂB). * Met alleen het hoekpunt (bv. de hoek Â). * **Grootte van een hoek:** * De grootte wordt bepaald door de spreiding van de benen, niet door de lengte van de benen. * De maateenheid is de graad ($^{\circ}$). * **Soorten hoeken op basis van grootte:** * **Nulhoek:** Benen vallen samen; hoekgrootte is $0^{\circ}$. * **Scherpe hoek:** Groter dan een nulhoek, kleiner dan een rechte hoek; $0^{\circ} < \text{hoekgrootte} < 90^{\circ}$. * **Rechte hoek:** Benen staan loodrecht op elkaar; hoekgrootte is $90^{\circ}$. * **Stompe hoek:** Groter dan een rechte hoek, kleiner dan een gestrekte hoek; $90^{\circ} < \text{hoekgrootte} < 180^{\circ}$. * **Gestrekte hoek:** Benen liggen in elkaars verlengde; hoekgrootte is $180^{\circ}$. * **Overstrekte hoek:** Groter dan een gestrekte hoek, kleiner dan een volle hoek; $180^{\circ} < \text{hoekgrootte} < 360^{\circ}$. * **Volle hoek:** Benen vallen na een omwenteling weer samen; hoekgrootte is $360^{\circ}$. ### 1.5 Veelhoeken * **Definitie:** Een veelhoek is een vlakke figuur die uitsluitend begrensd wordt door een gesloten gebroken lijn (lijnsegmenten). * **Benoeming:** Door de hoekpunten in wijzerzin (of tegenwijzerzin) te noteren. * **Onderdelen:** * **Hoekpunten:** De punten waar de lijnstukken samenkomen (bv. A, B, C, D, E). * **Zijden:** De lijnstukken die de veelhoek begrenzen (bv. [AB], [BC]). * **Hoeken:** De hoeken gevormd door de zijden (bv. Â, B). * **Opeenvolgende/aanliggende elementen:** Hoekpunten of zijden die direct op elkaar volgen. * **Niet-opeenvolgende/niet-aanliggende/overstaande elementen:** Hoekpunten of zijden die niet direct op elkaar volgen. * **Soorten veelhoeken:** * **Convexe veelhoek:** Alle diagonalen vallen volledig binnen de veelhoek. De verbindingslijn tussen twee willekeurige punten op de omtrek valt altijd binnen de veelhoek. * **Concave (niet-convexe) veelhoek:** Minstens één diagonaal valt (deels) buiten de veelhoek. De verbindingslijn tussen twee willekeurige punten op de omtrek valt (deels) buiten de veelhoek. * **Indeling naar aantal zijden/hoeken:** * **Driehoek:** 3 zijden, 3 hoeken. * **Vierhoek:** 4 zijden, 4 hoeken. * **Vijfhoek:** 5 zijden, 5 hoeken. * **Meerhoeken:** Zeshoek, zevenhoek, etc. * **Specifieke veelhoeken:** * **Driehoek:** * **Indeling naar hoeken:** Scherphoekig, rechthoekig, stomphoekig. * **Indeling naar zijden:** Ongelijkbenig, gelijkbenig, gelijkzijdig. * **Eigenschappen:** Som van de hoeken is $180^{\circ}$. Altijd minstens twee scherpe hoeken. * **Vierhoek:** * **Eigenschappen:** Som van de hoeken is $360^{\circ}$. * **Specifieke vierhoeken:** Vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, trapezium, gelijkbenig trapezium, rechthoekig trapezium, vlieger. ### 1.6 Diagonalen * **Definitie:** Een diagonaal is een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten in een veelhoek verbindt. * **Berekening aantal diagonalen in een veelhoek:** $$ \text{Aantal diagonalen} = \frac{n \times (n - 3)}{2} $$ waarbij $n$ het aantal hoekpunten is. ### 1.7 Loodrechte en evenwijdige lijnen * **Snijdende rechten:** Rechten die één punt gemeenschappelijk hebben. * **Evenwijdige rechten:** Rechten die samenvallen of geen enkel punt gemeenschappelijk hebben en in hetzelfde vlak liggen. Genoteerd als $a \parallel b$. * **Loodrechte rechten:** Snijdende rechten die een rechte hoek vormen. Genoteerd als $a \perp b$. ### 1.8 Loodlijn en middelloodlijn * **Loodlijn:** Een rechte die door een punt gaat en loodrecht staat op een andere rechte. * **Middelloodlijn:** Een rechte die door het midden van een lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. ### 1.9 Hoogtelijn, zwaartelijn en deellijn * **Hoogtelijn:** Een rechte die door een hoekpunt van een veelhoek gaat en loodrecht staat op de overstaande zijde (of het verlengde daarvan). Driehoeken hebben 3 hoogtelijnen die elkaar snijden in het **hoogtepunt**. * **Zwaartelijn:** Een rechte die door een hoekpunt van een veelhoek gaat en door het midden van de overstaande zijde. Driehoeken hebben 3 zwaartelijnen die elkaar snijden in het **zwaartepunt**. * **Deellijn (bissectrice):** Een rechte door het hoekpunt die de hoek in twee gelijke delen verdeelt. Driehoeken hebben 3 deellijnen die elkaar snijden in het **middelpunt van de ingeschreven cirkel**. ### 1.10 Rechte van Euler * De rechte van Euler is de lijn die door het zwaartepunt, het hoogtepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek loopt. Dit overzicht vormt de basis voor het begrijpen van meer complexe meetkundige concepten. Zorg ervoor dat je deze definities en eigenschappen grondig beheerst. --- # Classificatie en eigenschappen van vlakke figuren Hier is een gedetailleerde studiehandleiding over de classificatie en eigenschappen van vlakke figuren, specifiek gericht op de stof die wordt behandeld op pagina's 115-130. ## 2 Classificatie en eigenschappen van vlakke figuren Dit gedeelte focust op het indelen en beschrijven van veelhoeken, waaronder driehoeken en vierhoeken, met hun specifieke eigenschappen en definities. ### 2.1 Basisbegrippen In de meetkunde zijn precieze definities essentieel. We onderscheiden onder andere punten, lijnen en oppervlakken. #### 2.1.1 Punten, lijnen en oppervlakken * **Punt:** Een plaatsaanduiding zonder afmetingen. Punten worden benoemd met een hoofdletter. * **Lijn:** Een oneindige, eendimensionale aaneenschakeling van punten. Lijnen kunnen recht, gebogen of gebroken zijn. * **Rechte:** Een onbegrensde rechte lijn. Benoemd met een kleine letter of twee punten op de lijn. * **Lijnstuk:** Een begrensde rechte lijn, de kortste weg tussen twee punten. Benoemd met de twee grenspunten tussen vierkante haakjes. * **Halfrechte (halve rechte):** Een rechte begrensd aan één kant, met één grenspunt en lopend in één richting. Benoemd met het grenspunt en een ander punt, met een vierkant haakje bij het grenspunt. * **Gebogen lijn:** Kan open of gesloten zijn. * **Gebroken lijn:** Bestaat uit een aaneenschakeling van lijnstukken. Kan open of gesloten zijn. * **Oppervlak:** Een oneindige, tweedimensionale aaneenschakeling van punten. Kan plat of gebogen, begrensd of onbegrensd zijn. Een begrensd plat oppervlak wordt een **vlakke figuur** genoemd. #### 2.1.2 Hoeken Een hoek is een deel van het vlak, begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk hoekpunt (het **hoekpunt**). De halfrechten worden de **benen** van de hoek genoemd. * **Benoeming:** Met het hoekpunt en een punt op elk been, of enkel met het hoekpunt. * **Grootte:** Bepaald door de spreiding van de benen, niet door de lengte van de benen. * **Maateenheid:** Graad ($^\circ$). **Classificatie van hoeken naar grootte:** * **Nulhoek:** Benen vallen samen. Grootte $0^\circ$. * **Scherpe hoek:** Groter dan een nulhoek, kleiner dan een rechte hoek ($0^\circ < \text{hoekgrootte} < 90^\circ$). * **Rechte hoek:** Benen staan loodrecht op elkaar. Grootte $90^\circ$. * **Stompe hoek:** Groter dan een rechte hoek, kleiner dan een gestrekte hoek ($90^\circ < \text{hoekgrootte} < 180^\circ$). * **Gestrekte hoek:** Benen liggen in elkaars verlengde. Grootte $180^\circ$. * **Overstrekte hoek:** Groter dan een gestrekte hoek, kleiner dan een volle hoek ($180^\circ < \text{hoekgrootte} < 360^\circ$). * **Volle hoek:** Benen vallen na omwenteling weer samen. Grootte $360^\circ$. #### 2.1.3 Diagonalen Een diagonaal is een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten in een veelhoek verbindt. Een driehoek heeft geen diagonalen. * **Formule voor het aantal diagonalen in een veelhoek:** $$ \text{Aantal diagonalen} = \frac{\text{aantal hoekpunten} \times (\text{aantal hoekpunten} - 3)}{2} $$ * **Convexe vs. Concave veelhoeken:** * **Convexe veelhoek:** Alle diagonalen vallen binnen de veelhoek. De verbindingslijn tussen twee willekeurige punten op de omtrek valt altijd binnen de veelhoek. * **Concave (niet-convexe) veelhoek:** Minstens één diagonaal valt gedeeltelijk buiten de veelhoek. Minstens één verbindingslijn tussen twee willekeurige punten op de omtrek valt gedeeltelijk buiten de veelhoek. #### 2.1.4 Hoogtelijn Een hoogtelijn is een rechte die door een hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht staat op de overstaande zijde (of het verlengde daarvan). Elke driehoek heeft drie hoogtelijnen die elkaar snijden in het **hoogtepunt**. Het hoogtepunt kan buiten de driehoek vallen (bij een stomphoekige driehoek). #### 2.1.5 Middelloodlijn Een middelloodlijn van een lijnstuk is een rechte die door het midden van dat lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. Elke driehoek heeft drie middelloodlijnen die elkaar snijden in het **middelpunt van de omgeschreven cirkel**. Net als het hoogtepunt, kan het middelpunt van de omgeschreven cirkel buiten een stomphoekige driehoek vallen. #### 2.1.6 Zwaartelijn Een zwaartelijn is een rechte die door een hoekpunt van een veelhoek en door het midden van de overstaande zijde gaat. Elke driehoek heeft drie zwaartelijnen die elkaar snijden in het **zwaartepunt**. Het zwaartepunt valt altijd binnen de driehoek. Het zwaartepunt, hoogtepunt en middelpunt van de omgeschreven cirkel liggen op de **rechte van Euler**. #### 2.1.7 Deellijn of bissectrice Een deellijn of bissectrice van een hoek is een rechte door het hoekpunt die de hoek in twee gelijke delen verdeelt. Elke driehoek heeft drie deellijnen die elkaar snijden in het **middelpunt van de ingeschreven cirkel**, dat altijd binnen de driehoek valt. ### 2.2 Vlakke figuren Een vlakke figuur is een plat oppervlak begrensd door een gesloten lijn. Deze lijn kan gebogen, gebroken of een combinatie van beide zijn. Vlakke figuren worden onderverdeeld in veelhoeken (uitsluitend begrensd door gebroken lijnen) en niet-veelhoeken (minstens één gebogen lijn). #### 2.2.1 Veelhoeken Veelhoeken zijn vlakke figuren die uitsluitend begrensd zijn door een gesloten gebroken lijn. * **Benoeming:** Door de hoekpunten in wijzerzin te noteren. * **Onderdelen:** Hoekpunten, zijden, hoeken. * **Indeling:** * **Convexe veelhoeken:** Alle diagonalen binnen de figuur. * **Concave (niet-convexe) veelhoeken:** Minstens één diagonaal buiten de figuur. * **Classificatie op basis van aantal zijden/hoeken:** * **Driehoek:** 3 zijden, 3 hoeken. * **Vierhoek:** 4 zijden, 4 hoeken. * **Vijfhoek:** 5 zijden, 5 hoeken. * **Meerhoek/Zeshoek/Zevenhoek, etc.** ##### 2.2.1.1 Driehoeken Een driehoek is een veelhoek met 3 zijden en 3 hoeken. * **Onderdelen:** Hoekpunten, zijden, hoeken, basis ($b$), hoogte ($h$). De hoogte is de loodrechte afstand van een hoekpunt tot de overstaande zijde (de basis). **Indeling van driehoeken:** * **Volgens de grootte van de hoeken:** * **Scherphoekige driehoek:** 3 scherpe hoeken. * **Rechthoekige driehoek:** 1 rechte hoek (en 2 scherpe hoeken). * **Stomphoekige driehoek:** 1 stompe hoek (en 2 scherpe hoeken). * **Volgens de lengte van de zijden:** * **Ongelijkbenige (ongelijkzijdige) driehoek:** 3 zijden met verschillende lengtes. * **Gelijkbenige driehoek:** Minstens 2 gelijke zijden. De hoeken tegenover de gelijke zijden zijn gelijk (**basishoeken**); de derde hoek is de **tophoek**. * **Gelijkzijdige driehoek:** 3 gelijke zijden. Alle hoeken meten $60^\circ$. **Eigenschappen van driehoeken:** * De som van de hoeken in elke driehoek is $180^\circ$. * Elke driehoek heeft minstens 2 scherpe hoeken. * Een driehoek kan niet meer dan 1 rechte of 1 stompe hoek hebben. * Een gelijkzijdige driehoek is altijd scherphoekig en heeft drie hoeken van $60^\circ$. **Tekenen/construeren van driehoeken:** * **Volgens de hoeken:** Eerst de hoeken tekenen, dan de zijden. * **Volgens de zijden:** Gebruik maken van de geodriehoek en/of passer. ##### 2.2.1.2 Vierhoeken Een vierhoek is een veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken. * **Onderdelen:** Hoekpunten, zijden, hoeken. * **Soorten hoeken/zijden:** Overstaande (niet-aanliggende) hoeken/zijden en aanliggende hoeken/zijden. * **Eigenschappen die onderzocht kunnen worden:** * **Zijden:** Overstaande zijden evenwijdig, overstaande zijden even lang, aanliggende zijden even lang, alle zijden even lang. * **Hoeken:** Overstaande hoeken even groot, aanliggende hoeken even groot, alle hoeken even groot. * **Diagonalen:** Delen elkaar middendoor, zijn even lang, staan loodrecht op elkaar. **Classificatie van vierhoeken (van meest specifiek naar algemeen):** * **Vierkant:** 4 gelijke zijden, 4 rechte hoeken. * Eigenschappen: Overstaande zijden evenwijdig en even lang, aanliggende zijden even lang, alle hoeken recht, diagonalen delen elkaar middendoor, zijn even lang en staan loodrecht op elkaar. * **Rechthoek:** 4 rechte hoeken. * Eigenschappen: Overstaande zijden evenwijdig en even lang, alle hoeken recht, diagonalen delen elkaar middendoor en zijn even lang. * **Ruit:** 4 gelijke zijden. * Eigenschappen: Overstaande zijden evenwijdig, alle zijden even lang, overstaande hoeken even groot, diagonalen delen elkaar middendoor en staan loodrecht op elkaar (maar zijn niet noodzakelijk even lang). * **Parallellogram:** 2 paar evenwijdige zijden. * Eigenschappen: Overstaande zijden evenwijdig en even lang, overstaande hoeken even groot. De som van de aanliggende hoeken is $180^\circ$. Diagonalen delen elkaar middendoor. * **Trapezium:** Minstens 1 paar evenwijdige zijden. * **Gelijkbenig trapezium:** Overstaande zijden zijn evenwijdig; overstaande zijden zijn even lang; aanliggende hoeken die niet bij dezelfde evenwijdige zijde horen, zijn gelijk. Diagonalen zijn even lang. * **Rechthoekig trapezium:** Minstens 1 paar evenwijdige zijden; aanliggende hoeken aan een niet-evenwijdige zijde zijn recht. * **Vlieger:** 2 paar gelijke aanliggende zijden. * Eigenschappen: Aanliggende zijden zijn even lang; overstaande hoeken zijn even groot (één paar). Diagonalen delen elkaar niet altijd middendoor, maar staan wel loodrecht op elkaar. Eén diagonaal deelt de andere middendoor. * **Vierhoek:** Algemene term voor een vierhoek met 4 zijden en 4 hoeken. De som van de hoeken is $360^\circ$. **Belangrijke relatie:** Een figuur met meer eigenschappen (bv. vierkant) is ook een figuur met minder eigenschappen (bv. rechthoek, ruit, parallellogram). ##### 2.2.1.3 Meerhoeken Veelhoeken met meer dan vier zijden worden meerhoeken genoemd (vijfhoeken, zeshoeken, etc.). * **Regelmatige veelhoek:** Alle zijden zijn gelijk, en alle hoeken zijn gelijk. Een gelijkzijdige driehoek en een vierkant zijn voorbeelden van regelmatige veelhoeken. * **Regelmatige zeshoek:** Kan geconstrueerd worden door 6 gelijke driehoeken rond een middelpunt te tekenen met hoeken van $60^\circ$ aan het middelpunt. * **Som van de hoeken in een meerhoek:** $$ \text{Som van de hoeken} = (n-2) \times 180^\circ $$ waar $n$ het aantal zijden (of hoeken) is. #### 2.2.2 Niet-veelhoeken Niet-veelhoeken zijn vlakke figuren met minstens één gebogen lijn in de grenslijn. De cirkel is een bijzonder niet-veelhoek. * **Cirkel:** * **Middelpunt:** Het centrum van de cirkel. * **Straal ($r$):** De afstand van het middelpunt tot een punt op de cirkel. * **Koorde:** Lijnstuk met eindpunten op de cirkel. * **Middellijn/Diameter ($d$):** Een koorde door het middelpunt. $d = 2r$. * **Apothema:** De loodrechte afstand van het middelpunt tot het midden van een koorde. * **Middelpuntshoek:** Hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de cirkel. ### 2.3 Gelijkvormigheid en congruentie * **Gelijkvormige figuren:** Figuren die een verkleining of vergroting van elkaar zijn, met dezelfde vorm maar andere afmetingen volgens dezelfde verhouding. De verhouding van overeenkomstige zijden is gelijk; de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. * **Congruente figuren:** Figuren die gelijkvormig zijn én dezelfde grootte hebben. Ze zijn identiek en bedekken elkaar volledig. ### 2.4 Spiegeling en symmetrie * **Spiegeling:** Een transformatie waarbij een figuur een spiegelbeeld krijgt ten opzichte van een spiegelas. De figuur en het spiegelbeeld hebben dezelfde vorm en grootte, liggen even ver van de spiegelas, en de verbindingslijn van een punt en zijn spiegelbeeld staat loodrecht op de spiegelas. * **Symmetrie:** Een figuur heeft symmetrie als deze kan worden verdeeld door een **symmetrieas** (een speciale spiegelas) in twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn. * **Vierkant:** 4 symmetrieassen (middelloodlijnen en diagonalen). * **Rechthoek (geen ruit):** 2 symmetrieassen (middelloodlijnen). * **Ruit (geen rechthoek):** 2 symmetrieassen (diagonalen). * **Gelijkbenige driehoek:** 1 symmetrieas (middelloodlijn op de basis). * **Gelijkzijdige driehoek:** 3 symmetrieassen (middelloodlijnen op de zijden). * **Cirkel:** Oneindig veel symmetrieassen (middellijnen). ### 2.5 Toepassingen: Vormleer in de praktijk #### 2.5.1 Schaal Schaal drukt de verhouding uit tussen afstanden op een afbeelding en in werkelijkheid. * **Formule:** $$ \text{Schaal} = \frac{\text{getekende afstand}}{\text{werkelijke afstand}} $$ * **Notatie:** Vaak als $1:n$ (verkleining) of $n:1$ (vergroting). * **Lijnschaal:** Een visuele voorstelling van de schaal. #### 2.5.2 Oppervlakte van vlakke figuren De oppervlakte geeft aan hoe groot een oppervlak is. * **Rechthoek:** $$ \text{Oppervlakte} = \text{lengte} \times \text{breedte} $$ of $oppervlakte = b \times h$ (basis $\times$ hoogte) * **Vierkant:** $$ \text{Oppervlakte} = \text{zijde} \times \text{zijde} = z^2 $$ * **Parallellogram:** $$ \text{Oppervlakte} = \text{basis} \times \text{hoogte} = b \times h $$ * **Driehoek:** $$ \text{Oppervlakte} = \frac{1}{2} \times \text{basis} \times \text{hoogte} = \frac{1}{2} \times b \times h $$ * **Ruit:** $$ \text{Oppervlakte} = \frac{1}{2} \times \text{grote diagonaal} \times \text{kleine diagonaal} = \frac{1}{2} \times D \times d $$ * **Trapezium:** $$ \text{Oppervlakte} = \frac{1}{2} \times (\text{grote basis} + \text{kleine basis}) \times \text{hoogte} = \frac{1}{2} \times (B + b) \times h $$ * **Cirkel:** $$ \text{Oppervlakte} = \pi \times r^2 $$ waar $r$ de straal is en $\pi \approx 3.14$. #### 2.5.3 Omtrek van vlakke figuren De omtrek is de totale lengte van de lijn waardoor de figuur begrensd is. * **Algemeen:** Som van de lengtes van alle zijden. * **Rechthoek:** $$ \text{Omtrek} = 2 \times (\text{lengte} + \text{breedte}) = 2 \times (l + b) $$ * **Vierkant:** $$ \text{Omtrek} = 4 \times \text{zijde} = 4 \times z $$ * **Driehoek:** $$ \text{Omtrek} = \text{som van de lengtes van de zijden} $$ * **Ruit:** $$ \text{Omtrek} = 4 \times \text{zijde} = 4 \times z $$ * **Trapezium:** $$ \text{Omtrek} = \text{som van de lengtes van de zijden} $$ * **Cirkel:** $$ \text{Omtrek} = \pi \times \text{diameter} = \pi \times d $$ of $$ \text{Omtrek} = 2 \times \pi \times \text{straal} = 2 \times \pi \times r $$ #### 2.5.4 Gelijkvormige veelhoeken Bij gelijkvormige veelhoeken zijn de overeenkomstige hoeken gelijk en de verhouding van de overeenkomstige zijden constant. Dit betekent dat elke zijde met dezelfde factor wordt vergroot of verkleind. * **Voorbeeld:** Als je de zijden van een rechthoek verdubbelt, verviervoudigt de oppervlakte. #### 2.5.5 Vlakke figuren en rooster De oppervlakte van grillige figuren kan benaderd worden door deze te bedekken met een rooster en het aantal volledige en gedeeltelijk gevulde hokjes te tellen. > **Tip:** De oppervlakte van een vlakke figuur verandert niet als je deze verknipt en de stukken herschikt (omstructureren). Dit overzicht biedt een gestructureerde basis voor het bestuderen van de classificatie en eigenschappen van vlakke figuren. Succes met studeren! --- # Ruimtefiguren en hun eigenschappen Dit hoofdstuk definieert en classificeert ruimtefiguren, waaronder veelvlakken zoals prisma's en piramides, en niet-veelvlakken zoals omwentelingslichamen, op basis van hun kenmerken. ## 3.1 Ruimtefiguren (lichamen) Een ruimtefiguur is een deel van de ruimte dat begrensd wordt door een gesloten oppervlak. Dit oppervlak kan plat, gebogen of een combinatie van beide zijn. Ruimtefiguren worden ingedeeld in twee hoofdcategorieën: veelvlakken en niet-veelvlakken. ### 3.1.1 Veelvlakken Veelvlakken zijn ruimtefiguren die uitsluitend begrensd worden door platte oppervlakken, die zelf veelhoeken zijn. * **Zijvlak:** Elk van de begrenzende veelhoeken van een veelvlak. * **Ribbe:** Een gemeenschappelijke zijde van twee zijvlakken. * **Hoekpunt:** Een gemeenschappelijk punt van drie of meer zijvlakken. #### 3.1.1.1 Indeling van veelvlakken Veelvlakken kunnen worden ingedeeld op basis van het aantal zijvlakken: * **Viervlakken:** Hebben 4 zijvlakken en 4 hoekpunten. Alle viervlakken zijn piramides. * **Vijfvlakken:** Hebben 5 zijvlakken. * **Zesvlakken:** Hebben 6 zijvlakken. Hierin wordt onderscheid gemaakt tussen zesvlakken die uitsluitend begrensd zijn door vierhoeken (zoals balken en kubussen) en andere zesvlakken. * **Meer v;lakken:** Hebben meer dan 6 zijvlakken (bijvoorbeeld zevenvlakken, achtvlakken). Er is een verband tussen het aantal hoekpunten ($V$), het aantal zijvlakken ($Z$) en het aantal ribben ($R$) in een veelvlak, beschreven door de **formule van Euler**: $$V + Z - R = 2$$ #### 3.1.1.2 Veelvlakken ingedeeld naar eigenschappen Naast het aantal zijvlakken, kunnen veelvlakken ook worden ingedeeld op basis van hun geometrische eigenschappen: * **Prisma's:** * Hebben minstens twee evenwijdige zijvlakken, die grondvlak en bovenvlak worden genoemd. * De ribben die niet tot het grond- of bovenvlak behoren, zijn opstaande ribben. * De zijvlakken waartoe de opstaande ribben behoren, zijn opstaande zijvlakken. * Een prisma is een veelvlak waarbij de opstaande ribben onderling evenwijdig zijn. * **Eigenschappen van prisma's:** * Het aantal opstaande zijvlakken is gelijk aan het aantal zijden van het grondvlak. * Grond- en bovenvlak zijn congruente veelhoeken. * Alle opstaande zijvlakken zijn parallellogrammen. * Alle opstaande ribben zijn even lang. * **Rechte prisma's:** Prisma's waarbij de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Alle opstaande zijvlakken zijn rechthoeken. Elke balk is een recht prisma. * **Regelmatige prisma's:** Rechte prisma's waarvan grond- en bovenvlak regelmatige veelhoeken zijn. Alle opstaande zijvlakken zijn congruente veelhoeken. Elke kubus is een regelmatig prisma. * **Piramides:** * Hebben geen evenwijdige zijvlakken, maar zijn opgebouwd uit één veelhoek (het grondvlak) en meerdere driehoeken die samenkomen in één hoekpunt (de top). * Een piramide is een veelvlak waarvan één zijvlak een willekeurige veelhoek is en alle andere zijvlakken driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt. * **Eigenschappen van piramides:** * Het aantal opstaande zijvlakken is gelijk aan het aantal zijden van het grondvlak. * Het aantal hoekpunten is altijd gelijk aan het aantal zijvlakken. * **Indeling van piramides:** * **Driezijdige piramide:** 3 opstaande zijvlakken + grondvlak = 4 zijvlakken (een viervlak). * **Vierzijdige piramide:** 4 opstaande zijvlakken + grondvlak = 5 zijvlakken (een vijfvlak). * **Vijfzijdige piramide:** 5 opstaande zijvlakken + grondvlak = 6 zijvlakken (een zesvlak). * **Regelmatige piramides:** Piramides waarvan het grondvlak een regelmatige veelhoek is en alle opstaande ribben even lang zijn. Alle opstaande zijvlakken zijn congruente driehoeken. * **Scheve piramides:** Piramides waarbij het grondvlak geen regelmatige veelhoek is, of de opstaande ribben niet even lang zijn. #### 3.1.1.3 Bijzondere zesvlakken (alleen begrensd door vierhoeken) * **Parallellepipedum:** Een zesvlak uitsluitend begrensd door parallellogrammen. * Heeft 6 zijvlakken, 8 hoekpunten en 12 ribben. * Heeft 3 groepen van 4 onderling evenwijdige en even lange ribben. * Overstaande zijvlakken zijn evenwijdig en congruent. * **Balk:** Een zesvlak uitsluitend begrensd door rechthoeken. * Heeft 6 zijvlakken, 8 hoekpunten en 12 ribben. * Heeft 3 groepen van 4 onderling evenwijdige en even lange ribben. * Overstaande zijvlakken zijn evenwijdig en congruent. * **Kubus:** Een zesvlak uitsluitend begrensd door vierkanten. * Heeft 6 zijvlakken, 8 hoekpunten en 12 ribben. * Heeft 3 groepen van 4 onderling evenwijdige ribben. * Alle ribben zijn even lang. * Overstaande zijvlakken zijn evenwijdig. * Alle zijvlakken zijn congruent. > **Tip:** Een kubus is ook een balk, een parallellepipedum, een recht prisma en een regelmatig prisma, omdat deze figuren voldoen aan de definities van deze meer algemene categorieën. ### 3.1.2 Niet-veelvlakken Niet-veelvlakken zijn ruimtefiguren die begrensd worden door minstens één gebogen oppervlak. * **Omwentelingslichamen:** Dit zijn bijzondere niet-veelvlakken die ontstaan door een vlakke figuur om een as te wentelen. * **Cilinder:** Ontstaat door wenteling van een rechthoek om één van de zijden. * **Kegel:** Ontstaat door wenteling van een rechthoekige driehoek om één van de rechthoekszijden. * **Bol:** Ontstaat door wenteling van een halve cirkel om de middellijn. ## 3.2 Vormleer ### 3.2.1 Vlakke figuren Een vlakke figuur is een plat oppervlak dat begrensd wordt door een gesloten lijn. Deze lijn kan gebogen, gebroken of een combinatie van beide zijn. Vlakke figuren worden onderverdeeld in veelhoeken (uitsluitend begrensd door gebroken lijnen) en niet-veelhoeken (met minstens één gebogen lijn). **Veelhoeken:** * **Veelhoeken** zijn begrensd door een gesloten gebroken lijn. * **Veelhoeken** kunnen **convex** (alle diagonalen vallen binnen de figuur) of **concaaf** (minstens één diagonaal valt buiten de figuur) zijn. * Ze worden ingedeeld naar het aantal zijden en hoeken (bv. driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, meerhoeken). * **Driehoeken:** * Veelhoeken met 3 zijden en 3 hoeken. * Ingedeeld naar hoeken (scherphoekig, rechthoekig, stomphoekig) en zijden (ongelijkbenig, gelijkbenig, gelijkzijdig). * **Eigenschap:** De som van de hoeken in elke driehoek is $180^\circ$. * **Gelijkbenige driehoek:** Twee basishoeken (tegenover de gelijke zijden) zijn gelijk. * **Gelijkzijdige driehoek:** Alle zijden en hoeken zijn gelijk ($60^\circ$). * **Vierhoeken:** * Veelhoeken met 4 zijden en 4 hoeken. * Ingedeeld op basis van eigenschappen van zijden en hoeken (bv. vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, trapezium). * **Eigenschap:** De som van de hoeken in elke vierhoek is $360^\circ$. * **Meerhoeken:** Veelhoeken met meer dan 4 zijden (vijfhoeken, zeshoeken, etc.). * **Regelmatige veelhoeken:** Veelhoeken met alle zijden en hoeken gelijk. **Niet-veelhoeken:** * **Niet-veelhoeken** zijn vlakke figuren met minstens één gebogen lijn in de grenslijn. * De **cirkel** is een belangrijke niet-veelhoek. ### 3.2.2 Ruimtefiguren (lichamen) Een ruimtefiguur (of lichaam) is een deel van de ruimte, begrensd door een gesloten oppervlak. Net als bij vlakke figuren, onderscheidt men **veelvlakken** (begrensd door platte veelhoekige oppervlakken) en **niet-veelvlakken** (met minstens één gebogen oppervlak). #### 3.2.2.1 Veelvlakken * Zie sectie 3.1.1. #### 3.2.2.2 Niet-veelvlakken * **Omwentelingslichamen:** Dit zijn de belangrijkste niet-veelvlakken. * **Cilinder:** Ontstaat door de omwenteling van een rechthoek om een zijde. Heeft twee ronde grondvlakken en een gebogen mantel. * **Kegel:** Ontstaat door de omwenteling van een rechthoekige driehoek om een rechthoekszijde. Heeft één rond grondvlak en een gebogen mantel die naar een punt (de top) toeloopt. * **Bol:** Ontstaat door de omwenteling van een halve cirkel om de middellijn. ### 3.2.3 Ontwikkelingen van ruimtefiguren Een ontwikkeling (of ontvouwing) is de tweedimensionale weergave van de zijvlakken van een ruimtefiguur, plat uitgespreid. * **Ontwikkeling van een kubus:** Bestaat uit 6 congruente vierkanten. * **Ontwikkeling van een balk:** Bestaat uit 3 paren congruente rechthoeken. * **Ontwikkeling van een piramide:** Bestaat uit het grondvlak (een veelhoek) en de driehoekige opstaande zijvlakken. * **Ontwikkeling van een cilinder:** Bestaat uit twee cirkels (grond- en bovenvlak) en een rechthoek (de mantel, wanneer deze openge 'knipt'). ## 3.3 Meetkundige relaties ### 3.3.1 Evenwijdigheid en loodrechte stand * **Snijdende rechten:** Rechten die precies één punt gemeenschappelijk hebben. * **Evenwijdige rechten:** Rechten die samenvallen of geen enkel punt gemeenschappelijk hebben (en in hetzelfde vlak liggen). * **Kruisende rechten:** Rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben en niet in hetzelfde vlak liggen. Komen enkel voor in de ruimte. * **Loodrechte rechten:** Snijdende rechten die een rechte hoek ($90^\circ$) vormen. ### 3.3.2 Gelijkvormigheid en congruentie * **Gelijkvormige figuren:** Figuren die een verkleining of vergroting van elkaar zijn. Ze hebben dezelfde vorm, maar kunnen verschillen in grootte. De verhouding van overeenkomstige zijden is constant, en overeenkomstige hoeken zijn gelijk. * **Congruente figuren:** Figuren die gelijkvormig zijn én dezelfde grootte hebben. Ze zijn identiek. ### 3.3.3 Spiegeling en symmetrie * **Spiegeling:** Een transformatie waarbij elk punt van een figuur wordt afgebeeld op een ander punt, zodanig dat de spiegelas de loodrechte bissectrice is van het lijnstuk tussen een punt en zijn spiegelbeeld. * De figuur en zijn spiegelbeeld hebben dezelfde vorm en grootte, maar een andere oriëntatie. * **Symmetrie:** Een figuur heeft symmetrie als het kan worden opgedeeld door een **symmetrieas** (een rechte) zodanig dat de ene helft het spiegelbeeld is van de andere helft. ## 3.4 Ruimtelijke oriëntatie ### 3.4.1 Positie en richting Termen als 'binnen', 'buiten', 'naast', 'onder', 'verticaal' beschrijven positie en richting in de ruimte. **Pictogrammen** zijn niet-talige aanwijzingen die vaak een plaats of richting aangeven. * **Vakcoördinaten:** Gebruikt een rooster met letters en cijfers om locaties aan te duiden (bv. E3). * **Puntcoördinaten:** Gebruikt een assenstelsel met x- en y-assen om precieze punten te lokaliseren (bv. P(3,4)). ### 3.4.2 Kijklijnen en schaduwen * **Kijklijnen:** Denkbeeldige rechte lijnen van waar je kijkt naar waar je kijkt. Ze visualiseren wat zichtbaar is. Obstakels onderbreken kijklijnen. * **Schaduwen:** Ontstaan wanneer lichtstralen een ondoorzichtig voorwerp tegenkomen. * **Schaduw gevormd door een lamp (nabije lichtbron):** Centrale projectie. * **Schaduw gevormd door de zon (verre lichtbron):** Parallelle projectie. De richting van de schaduw verandert met de stand van de zon. De lengte van de schaduw kan gebruikt worden om de hoogte van objecten te bepalen via gelijkvormige driehoeken (stelling van Thales). ### 3.4.3 Aanzichten en plattegronden * **Aanzichten:** Tweedimensionale weergaven van een bouwsel vanuit verschillende standpunten (voor-, achter-, zij- en bovenaanzicht). * **Plattegrond met hoogtegetallen (grondplan):** Geeft in elk vakje van een rooster aan hoeveel blokjes er op elkaar gestapeld zijn. Hiermee kan het bouwsel gereconstrueerd worden en het totale aantal blokken berekend worden. Dit overzicht omvat de kernconcepten van ruimtefiguren en hun eigenschappen zoals gepresenteerd in de documentatie. --- # Meetkundige relaties en transformaties Dit onderwerp behandelt de onderlinge relaties tussen meetkundige objecten zoals lijnen, hoeken en figuren, evenals de transformaties die deze objecten kunnen ondergaan. ## 4. Relaties tussen rechten en lijnen Een **rechte** is een oneindige, eendimensionale aaneenschakeling van punten die zich in één richting oneindig voortzet. Rechten worden aangeduid met een kleine letter of met twee punten die erop liggen. ### 4.1 Lijnstukken en halfrechten * Een **lijn- of lijnstuk** is een begrensd deel van een rechte, de kortste weg tussen twee punten. Het wordt genoteerd met vierkante haken rond de twee grenspunten, bijvoorbeeld $[AB]$. De rechte die het lijnstuk bevat, wordt de drager genoemd. * Een **halfrechte** of **halve rechte** is een rechte die aan één kant begrensd is. Het heeft een grenspunt en loopt in één richting oneindig door. De notatie is een vierkant haakje bij het grenspunt en een rond haakje bij een ander punt op de halfrechte, bijvoorbeeld $[AB)$. ### 4.2 Gebogen en gebroken lijnen * Een **gebogen lijn** kan open of gesloten zijn. * Een **gebroken lijn** bestaat uit een aaneenschakeling van lijnstukken en kan eveneens open of gesloten zijn. Een open, onbegrensde gebroken lijn heeft aan de uiteinden halfrechten. ### 4.3 Hoeken Een hoek is een deel van het vlak, begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt (het hoekpunt). De halfrechten worden de benen van de hoek genoemd. * **Indeling naar grootte:** * **Nulhoek:** $0^{\circ}$ (benen vallen samen). * **Scherpe hoek:** $0^{\circ} < \text{hoek} < 90^{\circ}$. * **Rechte hoek:** $90^{\circ}$ (benen staan loodrecht). * **Stompe hoek:** $90^{\circ} < \text{hoek} < 180^{\circ}$. * **Gestrekte hoek:** $180^{\circ}$ (benen liggen in elkaars verlengde). * **Overstrekte hoek:** $180^{\circ} < \text{hoek} < 360^{\circ}$. * **Volle hoek:** $360^{\circ}$ (benen vallen na een omwenteling samen). De grootte van een hoek wordt bepaald door de spreiding van de benen, niet door hun lengte. ### 4.4 Loodrechte stand Twee rechten zijn **loodrecht** als ze elkaar snijden en een rechte hoek vormen. Dit wordt genoteerd als $a \perp b$. ### 4.5 Evenwijdigheid Twee rechten zijn **evenwijdig** als ze samenvallen of geen enkel punt gemeenschappelijk hebben én in hetzelfde vlak liggen. Dit wordt genoteerd als $a \parallel b$. ### 4.6 Snijdende en kruisende rechten * **Snijdende rechten** hebben precies één punt gemeenschappelijk. Dit punt is het snijpunt. * **Kruisende rechten** hebben geen enkel punt gemeenschappelijk en liggen niet in hetzelfde vlak. Dit kan alleen in de ruimte. ### 4.7 Loodlijnen, hoogtelijnen en middelloodlijnen * Een **loodlijn** is een rechte die door een bepaald punt gaat en loodrecht staat op een gegeven rechte. * Een **hoogtelijn** van een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gaat en loodrecht staat op de overstaande zijde (of het verlengde ervan). Elke driehoek heeft drie hoogtelijnen, die elkaar snijden in het **hoogtepunt**. * Een **middelloodlijn** van een lijnstuk is een rechte die door het midden van dat lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. Elke driehoek heeft drie middelloodlijnen, die elkaar snijden in het **middelpunt van de omgeschreven cirkel**. ### 4.8 Deellijn of bissectrice Een **deellijn** of **bissectrice** van een hoek is een rechte door het hoekpunt die de hoek in twee gelijke delen verdeelt. Elke driehoek heeft drie deellijnen, die elkaar snijden in het **middelpunt van de ingeschreven cirkel**. ### 4.9 Zwaartelijn Een **zwaartelijn** is een rechte die door een hoekpunt van een veelhoek gaat en door het midden van de overstaande zijde. Elke driehoek heeft drie zwaartelijnen, die elkaar snijden in het **zwaartepunt**. ### 4.10 De rechte van Euler De **rechte van Euler** is een rechte die door het zwaartepunt, het hoogtepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek gaat. ## 5. Vormleer: Vlakke figuren Een **vlakke figuur** is een vlak oppervlak begrensd door een gesloten lijn. ### 5.1 Veelhoeken Een **veelhoek** is een vlakke figuur die uitsluitend begrensd wordt door een gesloten gebroken lijn. Veelhoeken worden benoemd naar het aantal zijden/hoeken. * **Driehoeken:** Veelhoeken met 3 zijden en 3 hoeken. * **Indeling naar hoeken:** Scherphoekig, rechthoekig, stomphoekig. * **Indeling naar zijden:** Ongelijkbenig, gelijkbenig, gelijkzijdig. * **Eigenschappen:** De som van de hoeken is altijd $180^{\circ}$. * **Vierhoeken:** Veelhoeken met 4 zijden en 4 hoeken. * **Classificatie (van meest specifiek naar algemeen):** * **Vierkant:** 4 gelijke zijden, 4 rechte hoeken. * **Rechthoek:** 4 rechte hoeken. * **Ruit:** 4 gelijke zijden. * **Parallellogram:** 2 paar evenwijdige zijden. * **Trapezium:** Minstens 1 paar evenwijdige zijden. * **Vlieger:** 2 paar gelijke aanliggende zijden. * **Vierhoek:** Algemene definitie. * **Eigenschappen:** De som van de hoeken is altijd $360^{\circ}$. * **Meerhoeken:** Vijfhoeken, zeshoeken, etc. * **Regelmatige veelhoek:** Alle zijden en alle hoeken zijn gelijk. ### 5.2 Niet-veelhoeken Een **niet-veelhoek** is een vlakke figuur met minstens één gebogen lijn in de grenslijn. Een **cirkel** is een belangrijk voorbeeld. ## 6. Gelijkvormigheid en congruentie * **Gelijkvormige figuren** hebben dezelfde vorm maar niet noodzakelijk dezelfde grootte. De verhouding van overeenkomstige zijden is constant, en de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. * **Congruente figuren** zijn gelijkvormig én hebben dezelfde grootte. Ze zijn identiek en bedekken elkaar volledig. ## 7. Spiegeling en symmetrie * **Spiegeling** is een transformatie waarbij een figuur wordt omgezet in zijn spiegelbeeld ten opzichte van een spiegelas. De figuur en het spiegelbeeld zijn congruent en hebben een tegengestelde oriëntatie. * Een **symmetrieas** is een rechte spiegelas die een figuur in twee identieke helften verdeelt. * **Voorbeelden van symmetrieassen:** * Vierkant: 4 (middelloodlijnen en diagonalen). * Rechthoek (geen ruit): 2 (middelloodlijnen). * Ruit (geen rechthoek): 2 (diagonalen). * Gelijkbenige driehoek: 1 (middelloodlijn op de basis). * Gelijkzijdige driehoek: 3 (middelloodlijnen). * Cirkel: Oneindig veel (middellijnen). ## 8. Ruimtelijke oriëntatie en positie * **Pictogrammen** zijn niet-talige aanwijzingen voor plaats of richting. * **Coördinaten** beschrijven een positie: * **Vakcoördinaten:** Gebruiken letters en cijfers in een rooster (bv. E3). * **Puntcoördinaten:** Gebruiken getallenparen $(x, y)$ ten opzichte van assen. ## 9. Kijklijnen en schaduwen * **Kijklijnen** zijn denkbeeldige rechte lijnen van het oog naar een object, die zichtbaarheid aangeven. Ze worden onderbroken door obstakels. * **Schaduwen** ontstaan wanneer lichtstralen door een ondoorzichtig object worden geblokkeerd. De schaduw is een projectie van het object. De vorm en grootte van de schaduw hangen af van de lichtbron (nabij of ver weg, zoals de zon). De stelling van Thales kan gebruikt worden om de hoogte van objecten te bepalen aan de hand van hun schaduwlengte. ## 10. Aanzichten en plattegronden * **Aanzichten** zijn tweedimensionale weergaven van een driedimensionaal object vanuit verschillende standpunten (voor-, achter-, zij-, boven-, onderaanzicht). * Een **plattegrond met hoogtegetallen** (grondplan) toont de basisvorm en de hoogte van elk blokje in een constructie. ## 11. Meetkundige relaties in de ruimte ### 11.1 Loodrechte stand in de ruimte Net als in het vlak kunnen rechten in de ruimte loodrecht op elkaar staan. ### 11.2 Gelijkvormigheid en congruentie in de ruimte De begrippen gelijkvormigheid en congruentie gelden ook voor driedimensionale figuren (ruimtefiguren). ### 11.3 Spiegeling in de ruimte Spiegeling kan ook toegepast worden op driedimensionale objecten. --- Dit document biedt een gedetailleerde uitleg van de basisbegrippen in de meetkunde, met een focus op relaties tussen lijnen en figuren, en transformaties. De nadruk ligt op het begrijpen van definities, eigenschappen en constructies. --- # Ruimtelijke oriëntatie, aanzichten en plattegronden Hieronder volgt een gedetailleerde studiehandleiding voor het onderwerp "Ruimtelijke oriëntatie, aanzichten en plattegronden", gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 5 Ruimtelijke oriëntatie, aanzichten en plattegronden Dit gedeelte behandelt de concepten van positie en richting in de ruimte, het gebruik van coördinaten, kijklijnen, schaduwen, aanzichten en plattegronden voor ruimtelijke representatie. ### 5.1 Positie en richting Het aanduiden van een plaats of beweging in de ruimte maakt gebruik van diverse meetkundige termen. Sommige van deze termen zijn plaats-onafhankelijk (logische begrippen), zoals 'binnen' of 'boven', terwijl andere plaats-afhankelijk zijn, zoals 'dichtbij' of 'links van'. #### 5.1.1 Pictogrammen Pictogrammen zijn non-verbale, meestal internationale aanwijzingen voor een plaats of richting. Ze worden vaak gebruikt als geboden of verboden, zoals 'verboden te roken'. #### 5.1.2 Coördinaten Posities kunnen beschreven worden met behulp van coördinaten, vergelijkbaar met kaarten en plattegronden. Er zijn twee soorten coördinaten: * **Vakcoördinaten:** Wereldkaarten en stadsplannen worden vaak onderverdeeld in vakjes of een raster. De horizontale as wordt aangeduid met letters (beginnend bij A), en de verticale as met cijfers (beginnend bij 1). Deze worden tussen de rasterlijnen geplaatst. Een positie wordt aangegeven door eerst de letter en dan het cijfer te vermelden, bijvoorbeeld vakje E3. Dit systeem wordt ook gebruikt in gezelschapsspellen zoals schaken en zeeslag. > **Voorbeeld:** Op een stadsplan bevindt het Belfort van Gent zich in vakje E3. * **Puntcoördinaten:** Puntcoördinaten worden gebruikt om bewegingen op een plattegrond preciezer aan te duiden. Ze maken gebruik van een assenstelsel met een horizontale (x-as) en verticale (y-as) as, waarop getallen bij de rasterlijnen worden geplaatst. Het snijpunt van de assen is de oorsprong ($0$). Om de positie van een punt te bepalen, telt men het aantal kruispunten rechts van ($0$) (horizontaal) en vervolgens het aantal kruispunten boven ($0$) (verticaal). De coördinaten worden genoteerd als $(x, y)$, waarbij $x$ het eerste getal op de horizontale as en $y$ het tweede getal op de verticale as is. Dit systeem biedt een grotere nauwkeurigheid dan vakcoördinaten. > **Voorbeeld:** Het punt P met coördinaten $(3,4)$ bevindt zich 3 eenheden naar rechts en 4 eenheden naar boven vanaf de oorsprong. ### 5.2 Kijklijnen en schaduwen #### 5.2.1 Kijklijnen Kijklijnen (of viseerlijnen) zijn denkbeeldige rechte lijnen vanuit het oogpunt van een waarnemer naar een punt dat wordt bekeken. Ze helpen visualiseren wat iemand kan zien. * **Toepassing:** Als een ononderbroken rechte lijn getekend kan worden van de ogen van een persoon naar een object, is dat object zichtbaar. * **Beperkingen:** Kijklijnen kunnen niet door muren kijken, maar wel door transparante objecten zoals glas. * **Gebruik op plattegronden:** Kijklijnen kunnen op plattegronden gebruikt worden om af te leiden wat zichtbaar is vanuit een bepaald standpunt, rekening houdend met obstakels. > **Voorbeeld:** Een voetganger kan een juf in de schoolpoort zien omdat er een ononderbroken kijklijn mogelijk is. De voetganger kan kinderen op een schommel niet zien als een bus de kijklijn onderbreekt. #### 5.2.2 Schaduwen Schaduwen ontstaan wanneer lichtstralen op een ondoorzichtig voorwerp vallen. De lichtstralen worden geabsorbeerd, teruggekaatst of opgeslorpt, waardoor er geen licht op het oppervlak achter het voorwerp valt. Een schaduw is de projectie van een figuur of voorwerp op een oppervlak, waarbij het voorwerp zich tussen de lichtbron en het scherm bevindt. * **Schaduw gevormd door een lamp (nabije lichtbron):** Lichtstralen vormen een divergerende bundel. De schaduw is een centrale projectie. * Hoe dichter het voorwerp bij de lichtbron staat, hoe korter de schaduw. * Het voorwerp staat altijd tussen de lichtbron en de schaduw. * De schaduw wijst weg van de lichtbron. * Hoe lager de lichtbron, hoe langer de schaduw. * **Schaduw gevormd door de zon (verre lichtbron):** Lichtstralen zijn vrijwel evenwijdig. De schaduw is een evenwijdige projectie. * Schaduwen hebben dezelfde richting op hetzelfde tijdstip en plaats. * De richting van de schaduw varieert gedurende de dag: west (zonsopgang), noord (middag), oost (zonsondergang). * Even grote voorwerpen hebben even grote schaduwen op hetzelfde tijdstip en plaats. * Hoe lager de zon, hoe langer de schaduw. * **Schaduw gebruiken om hoogte te bepalen:** Door de lengte van schaduwen te meten die door de zon worden veroorzaakt, kan de hoogte van een voorwerp worden bepaald (stelling van Thales). Gelijkvormige driehoeken ontstaan, waarbij de verhouding tussen de lengte van een voorwerp en zijn schaduw constant is op een bepaald tijdstip en plaats. > **Voorbeeld:** Een persoon van 1,80 m werpt een schaduw van 2 m. Een kerk werpt een schaduw van 54 m. Met de verhouding $\frac{1,80 \text{ m}}{2 \text{ m}} = \frac{x}{54 \text{ m}}$ kan de hoogte van de kerk ($x$) berekend worden als 54 m. > **Tip:** De schaduw wordt gemeten vanaf het voetpunt van de verticale lijn vanuit het hoogste punt van het voorwerp. ### 5.3 Aanzichten en plattegronden Bij het werken met blokkenbouwsels is het belangrijk om driedimensionale objecten tweedimensionaal weer te geven. #### 5.3.1 Aanzichten Aanzichten zijn tweedimensionale beelden van een bouwsel vanuit verschillende standpunten. * **Vooraanzicht:** Het beeld van voren. * **Linkerzijaanzicht:** Het beeld van links. * **Achteraanzicht:** Het beeld van achteren. Dit is het spiegelbeeld van het vooraanzicht. * **Rechterzijaanzicht:** Het beeld van rechts. Dit is het spiegelbeeld van het linkerzijaanzicht. #### 5.3.2 Plattegronden (bovenaanzicht met hoogtegetallen) Het bovenaanzicht geeft de plattegrond van het bouwsel weer. Om dit volledig weer te geven, noteert men in elk vakje van de plattegrond het aantal opgestapelde blokjes (hoogtegetallen). Dit wordt ook wel een grondplan genoemd. * **Bouwen vanuit een grondplan:** Met een grondplan kan het bouwsel volledig worden gereconstrueerd. * **Tellen van blokken:** Het totale aantal blokken kan worden berekend door de hoogtegetallen in de plattegrond op te tellen. > **Voorbeeld:** Een grondplan met de volgende hoogtegetallen: > $$ > \begin{array}{|c|c|c|} > \hline > 3 & 2 & 1 \\ > \hline > 1 & 1 & 0 \\ > \hline > \end{array} > $$ > Het totale aantal blokken is $3+2+1+1+1+0 = 8$. > **Tip:** De onderste rij van het grondplan is de eerste rij van de voorkant van het bouwsel. **Samenvattend:** Ruimtelijke oriëntatie, aanzichten en plattegronden zijn essentiële concepten om de positie, richting en de driedimensionale vorm van objecten te begrijpen en te representeren. Coördinaten bieden een nauwkeurige manier om posities te beschrijven, terwijl kijklijnen en schaduwen helpen bij het visualiseren van zichtbaarheid en de invloed van licht. Aanzichten en plattegronden transformeren driedimensionale objecten naar tweedimensionale weergaven, wat cruciaal is voor planning en constructie. --- # Meten, maateenheden en omrekeningen Hieronder volgt een gedetailleerde studiehandleiding over meten, maateenheden en omrekeningen, gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 6. Meten, maateenheden en omrekeningen Meten omvat het kwantificeren van eigenschappen van objecten of verschijnselen met behulp van getallen en maateenheden. ### 6.1 Basisbegrippen van meten Meten is het proces waarbij de grootte van een eigenschap (een **grootheid**) van iets wordt uitgedrukt met een getal. Dit resultaat is de **maat**, die bestaat uit een **maatgetal** en een **maateenheid** (of eenheid). Eigenschappen die niet of moeilijk te meten zijn, zoals kleur of lekker, worden **kwalitatieve eigenschappen** genoemd. Er zijn twee hoofdtypen metingen: * **Verhoudingsmeting:** Hierbij wordt een eenheid gekozen en wordt gemeten hoe vaak deze eenheid in de te meten grootheid past. De verhoudingen tussen de metingen zijn betekenisvol. Voorbeelden zijn lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en tijdsduur. Kenmerken zijn: een eenheid, elk meetresultaat heeft één maatgetal, nul is een absolute ondergrens (negatieve waarden bestaan niet voor de grootheid zelf), gelijke grootheden hebben hetzelfde maatgetal, en verdubbeling van de grootheid leidt tot verdubbeling van het maatgetal. * **Intervalmeting:** Hierbij wordt niet een specifieke toestand als eenheid genomen, maar het verschil tussen twee toestanden. De verhoudingen tussen de uitkomsten zijn niet direct betekenisvol, wel het verschil. Een voorbeeld is temperatuurmeting. Kenmerken zijn: een eenheid, elk meetresultaat heeft één maatgetal, nul is geen absolute ondergrens (negatieve waarden bestaan), gelijke grootheden hebben hetzelfde maatgetal, en de meting respecteert de verhoudingen niet (bv. 20 graden Celsius is niet twee keer zo warm als 10 graden Celsius). ### 6.2 Grootheden en eenheden **Grootheden** zijn de eigenschappen die gemeten worden (bv. lengte, snelheid, temperatuur). **Eenheden** zijn de specifieke benamingen waarin deze grootheden worden uitgedrukt (bv. meter, kilometer per uur, graden Celsius). **Metricatie** is het proces van het vervangen van traditionele eenheidsstelsels door het metrieke stelsel, wat vanaf 1960 het SI-stelsel werd. Dit stelsel is gebaseerd op het tientallig stelsel. #### 6.2.1 Lengtematen Lengtematen zijn tiendelige maten. * Basis eenheid: meter (m) * Afgeleide eenheden met voorvoegsels: * kilometer (km): $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ * hectometer (hm): $1 \text{ hm} = 100 \text{ m}$ * decameter (dam): $1 \text{ dam} = 10 \text{ m}$ * decimeter (dm): $1 \text{ dm} = \frac{1}{10} \text{ m}$ * centimeter (cm): $1 \text{ cm} = \frac{1}{100} \text{ m}$ * millimeter (mm): $1 \text{ mm} = \frac{1}{1000} \text{ m}$ **Referentiematen (ijzeren maten)** zijn bekende maten die helpen bij het inschatten van afmetingen. Voorbeelden zijn: * 1 km: afstand die je op een kwartier kunt wandelen. * 100 m: lengte van een voetbalveld. * 1 m: lengte van een staaf of breedte van een schoolbord/deur. * 1 dm: breedte van een dvd-doosje. * 1 cm: breedte van een vingernagel van de duim. * 1 mm: dikte van een muntstuk van 10 cent. #### 6.2.2 Oppervlakte- en landmaten Oppervlaktematen zijn honderddelige maten. * Basis eenheid: vierkante meter ($m^2$) * Afgeleide eenheden: * vierkante kilometer ($km^2$): $1 \text{ km}^2 = 10000 \text{ m}^2$ * vierkante hectometer ($hm^2$): $1 \text{ hm}^2 = 100 \text{ m}^2$ * vierkante decameter ($dam^2$): $1 \text{ dam}^2 = 100 \text{ m}^2$ * vierkante decimeter ($dm^2$): $1 \text{ dm}^2 = \frac{1}{100} \text{ m}^2$ * vierkante centimeter ($cm^2$): $1 \text{ cm}^2 = \frac{1}{10000} \text{ m}^2$ * vierkante millimeter ($mm^2$): $1 \text{ mm}^2 = \frac{1}{1000000} \text{ m}^2$ **Landmaten** zijn speciale oppervlaktematen: * 1 hectare (ha): $1 \text{ ha} = 100 \text{ are} = 10.000 \text{ m}^2$. Referentie: oppervlakte van 2 voetbalvelden. * 1 are (a): $1 \text{ a} = 100 \text{ ca} = 100 \text{ m}^2$. Referentie: oppervlakte van een klaslokaal. * 1 centiare (ca): $1 \text{ ca} = 1 \text{ m}^2$. Referentie: oppervlakte van 4 grote terrastegels. #### 6.2.3 Volume- en inhoudsmaten Volumematen (hoeveel plaats een lichaam inneemt) zijn duizenddelige maten. Inhoudsmaten (hoeveelheid die een ruimtefiguur kan bevatten) zijn nauw verwant. * Basis eenheid volume: kubieke meter ($m^3$) * Basis eenheid inhoud: liter (l) * Verband: $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ liter}$ * Afgeleide eenheden: * kubieke decameter ($dam^3$): $1 \text{ dam}^3 = 1000 \text{ m}^3$ * kubieke decimeter ($dm^3$): $1 \text{ dm}^3 = \frac{1}{1000} \text{ m}^3$ * kubieke centimeter ($cm^3$): $1 \text{ cm}^3 = \frac{1}{1000000} \text{ m}^3$ * milliliter (ml): $1 \text{ ml} = \frac{1}{1000} \text{ l}$ * deciliter (dl): $1 \text{ dl} = \frac{1}{10} \text{ l}$ * centiliter (cl): $1 \text{ cl} = \frac{1}{100} \text{ l}$ Referentiematen: * 1 $cm^3$: volume van een kleine dobbelsteen. * 1 $dm^3$ of 1 liter: volume van een MAB-kubus of een doos melk. * 1 $m^3$: volume van een vaatwasmachine. #### 6.2.4 Gewicht/massa In het dagelijks taalgebruik wordt 'gewicht' vaak gebruikt waar 'massa' bedoeld wordt. Massa is de hoeveelheid materie, gewicht is de kracht waarmee de aarde een voorwerp aantrekt. * Basis eenheid massa: kilogram (kg) * Afgeleide eenheden: * ton (t): $1 \text{ ton} = 1000 \text{ kg}$ * gram (g): $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ * milligram (mg): $1 \text{ g} = 1000 \text{ mg}$ Referentiematen: * 1 kg: gewicht van een personenauto of stier. * 100 g: gewicht van een pakje koffie. * 10 g: gewicht van een doos suikerklontjes. * 1 g: gewicht van 2 papierklemmetjes. #### 6.2.5 Tijd De standaard maateenheden zijn gebaseerd op het zestigdelig stelsel. * Basis eenheden: seconde (s), minuut (min), uur (u of h). * Verbanden: * 1 minuut = 60 seconden * 1 uur = 60 minuten * 1 dag = 24 uur * Overige tijdsbegrippen: * 1 week = 7 dagen * 1 maand = 30 of 31 dagen (februari: 28/29) * 1 jaar = 12 maanden = 52 weken = 365/366 dagen * 1 trimester / kwartaal = 3 maanden * 1 semester = 6 maanden * 1 eeuw = 100 jaar **Schrikkeljaar:** Deelbaar door 4, behalve deelbaar door 100 tenzij ook deelbaar door 400. **Kloklezen:** * **Analoog:** Korte wijzer (uren, 12-uurschaal, 2 rondes per dag), lange wijzer (minuten, 60-delige schaal, 1 ronde per uur). * **Digitaal:** 24-uurschaal (bv. 08:00, 20:00). * **Leeswijzen:** * **Absoluut:** Exacte aanduiding (bv. 8 uur 30 minuten). * **Relatief:** Gebaseerd op uur of halfuur als referentiepunt (bv. half 9, kwart voor 9). #### 6.2.6 Hoekgrootte * Eenheid: graden (°). * Definitie: 1 graad is $\frac{1}{90}$ deel van een rechte hoek. * Meten en tekenen gebeurt met de geodriehoek. #### 6.2.7 Gemiddelde en mediaan Dit zijn centrummaten om gegevens samen te vatten. * **Gemiddelde:** De som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden. Het gemiddelde ligt tussen de laagste en hoogste waarde en wordt beïnvloed door extreme waarden. $$ \text{Gemiddelde} = \frac{\text{som van de delen}}{\text{aantal delen}} $$ * **Mediaan:** De middelste waarde in een gesorteerde reeks getallen. Bij een oneven aantal getallen is het de middelste waarde. Bij een even aantal getallen is het het gemiddelde van de twee middelste waarden. De mediaan wordt niet beïnvloed door uitschieters. * **Modus:** De waarde die het vaakst voorkomt in een reeks. ### 6.3 Herleiden van maateenheden Herleidingen gebeuren bij voorkeur in een zinvolle context. Er zijn drie methoden: 1. **Via redenering:** Gebaseerd op het principe dat bij een verandering van de maateenheid, het maatgetal proportioneel verandert om de waarde gelijk te houden. * Om de maateenheid kleiner te maken, moet het maatgetal groter worden. * Om de maateenheid groter te maken, moet het maatgetal kleiner worden. * Voor lengte, gewicht en inhoud: tiendelige schaal (factor 10). * Voor oppervlakte: honderddelige schaal (factor 100). * Voor volume: duizenddelige schaal (factor 1000). * Voor tijd en hoeken: zestigdelige schaal (factor 60). 2. **Via de verhoudingstabel:** Een tabel met twee kolommen waarin de relatie tussen twee eenheden wordt weergegeven. 3. **Via de herleidingstabel:** Een tabel met kolommen voor verschillende maateenheden, waarbij de cijfers van het maatgetal op de juiste plaats worden gezet. **Voorbeelden van herleidingstabellen:** * **Lengte:** $$ \begin{array}{ccccccccc} \text{km} & \text{hm} & \text{dam} & \text{m} & \text{dm} & \text{cm} & \text{mm} \\ \hline \end{array} $$ Voorbeeld: $0,5 \text{ m} = 50 \text{ cm}$. Plaats de 0 bij 'm', de 5 bij 'dm', en vul aan tot 'cm'. * **Oppervlakte:** Honderddelige schaal, dus twee kolommen per eenheid. $$ \begin{array}{ccccccccc} \text{km}^2 & & \text{hm}^2 & & \text{dam}^2 & & \text{m}^2 & & \text{dm}^2 & & \text{cm}^2 & & \text{mm}^2 \\ \hline \end{array} $$ Voorbeeld: $4 \text{ cm}^2 = 0,04 \text{ dm}^2$. Plaats de 4 in de 'cm$^2$' kolom, en de komma na de 'dm$^2$' kolom. * **Volume/Inhoud:** Duizenddelige schaal, dus drie kolommen per eenheid. $$ \begin{array}{ccccccccc} \text{m}^3 & & \text{dm}^3 & & \text{cm}^3 & & \text{mm}^3 \\ \hline \end{array} $$ Voorbeeld: $6 \text{ dm}^3 = 6000 \text{ cm}^3$. Plaats de 6 bij 'dm$^3$', vul aan met nullen tot de 'cm$^3$' kolom. * **Gewicht/Massa:** Tiendelige schaal (factor 1000). $$ \begin{array}{ccccccccc} \text{ton} & & \text{kg} & & \text{g} & & \text{mg} \\ \hline \end{array} $$ Voorbeeld: $0,25 \text{ kg} = 250 \text{ g}$. Plaats de 0 bij 'kg', de 2 bij 'hg' (niet aanwezig in deze tabel, dus impliciet) en de 5 bij 'g'. #### 6.3.1 Herleiden van oppervlakte- en landmaten * **Oppervlaktematen:** Honderddelige schaal. * $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2$ * $1 \text{ m}^2 = 10.000 \text{ cm}^2$ * $1 \text{ dm}^2 = 100 \text{ cm}^2$ * **Landmaten:** * $1 \text{ ha} = 100 \text{ a} = 10.000 \text{ m}^2$ * $1 \text{ a} = 100 \text{ ca} = 100 \text{ m}^2$ * $1 \text{ ca} = 1 \text{ m}^2$ Bij landmaten mag men geen kommagetallen gebruiken; men herleidt naar het kleinste vereiste oppervlaktemaat (bv. 1,02 ha wordt 102 are). #### 6.3.2 Herleiden van volume- en inhoudsmaten * Volumematen zijn duizenddelige maten (factor 1000). * $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$ * $1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ * Verband met inhoud: $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ liter}$ (l). * $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ cc}$ (cubic centimeter). #### 6.3.3 Herleiden van gewichtsmaten * Gewichtsmaten zijn tiendelige maten (factor 1000). * $1 \text{ ton} = 1000 \text{ kg}$ * $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ #### 6.3.4 Herleiden van tijd * Zestigdelige schaal (factor 60). * 1 minuut = 60 seconden * 1 uur = 60 minuten * 1 dag = 24 uur (niet 60, dus een uitzondering) ### 6.4 Bruto, netto en tarra Deze begrippen worden gebruikt om gewichten (of soms andere hoeveelheden) te beschrijven in relatie tot verpakking of lading. * **Nettogewicht:** Het gewicht van het product zelf (bv. de suiker in de doos, de lading van de vrachtwagen). * **Tarragewicht:** Het gewicht van de verpakking (bv. de doos, de vrachtwagen zelf). * **Brutogewicht:** Het totale gewicht, inclusief product en verpakking (netto + tarra). Het verband kan worden weergegeven met een deel-geheelschema: $$ \text{Brutogewicht} = \text{Nettogewicht} + \text{Tarragewicht} $$ * Nettogewicht = Brutogewicht - Tarragewicht * Tarragewicht = Brutogewicht - Nettogewicht Vaak is het nettogewicht groter dan het tarragewicht, maar niet altijd (bv. vrachtwagen met lege kussens). Tarra kan ook als percentage van het brutogewicht worden uitgedrukt (bv. 5% tarra betekent 5 kg verpakking per 100 kg bruto). In de context van lonen spreekt men van brutoloon (totaal inkomen) en nettoloon (loon na aftrek van belastingen en bijdragen), waarbij de aftrekkingen analoog zijn aan tarra. ### 6.5 Formules voor omtrek en oppervlakte van vlakke figuren #### 6.5.1 Omtrek De omtrek is de lengte van de begrenzing van een vlakke figuur. * **Rechthoek:** Omtrek $= 2 \times (l + b)$ (waarbij $l$ = lengte, $b$ = breedte) * **Vierkant:** Omtrek $= 4 \times z$ (waarbij $z$ = zijde) * **Parallellogram:** Omtrek $= 2 \times (a + b)$ (waarbij $a$ en $b$ de lengtes van aanliggende zijden zijn) * **Ruit:** Omtrek $= 4 \times z$ (waarbij $z$ = zijde) * **Driehoek:** Omtrek = som van de lengtes van de zijden. * **Trapezium:** Omtrek = som van de lengtes van de zijden. * **Cirkel:** * Omtrek $= \pi \times d$ (waarbij $d$ = diameter) * Omtrek $= 2 \times \pi \times r$ (waarbij $r$ = straal) #### 6.5.2 Oppervlakte De oppervlakte geeft aan hoe groot een vlak is. * **Rechthoek:** Oppervlakte $= l \times b$ * **Vierkant:** Oppervlakte $= z \times z$ of $z^2$ * **Parallellogram:** Oppervlakte $= b \times h$ (waarbij $b$ = basis, $h$ = hoogte) * **Driehoek:** Oppervlakte $= \frac{1}{2} \times b \times h$ * **Ruit:** Oppervlakte $= \frac{1}{2} \times D \times d$ (waarbij $D$ = grote diagonaal, $d$ = kleine diagonaal) * **Trapezium:** Oppervlakte $= \frac{1}{2} \times (B + b) \times h$ (waarbij $B$ = grote basis, $b$ = kleine basis, $h$ = hoogte) * **Cirkel:** Oppervlakte $= \pi \times r^2$ Voor grillige figuren kan de oppervlakte benaderd worden met een rooster. ### 6.6 Samengestelde grootheden Dit zijn grootheden die uit de relatie tussen twee of meer andere grootheden voortkomen. #### 6.6.1 Schaal Schaal drukt de verhouding uit tussen afstanden op een afbeelding en de werkelijke afstanden. * **Formule:** $\text{Schaal} = \frac{\text{getekende afstand}}{\text{werkelijke afstand}}$ * Een schaal van 1:5 betekent dat 1 eenheid op de tekening overeenkomt met 5 dezelfde eenheden in werkelijkheid (verkleining). * Een schaal van 10:1 betekent dat 10 eenheden op de tekening overeenkomen met 1 eenheid in werkelijkheid (vergroting). * **Lijnschaal:** Een grafische weergave van de schaal. * Bij het werken met schaal is het cruciaal om dezelfde maateenheden te gebruiken voor zowel de getekende als de werkelijke afstand. #### 6.6.2 Snelheid Snelheid is de verhouding tussen afgelegde afstand en tijd. * **Formule:** $\text{Snelheid} = \frac{\text{Afstand}}{\text{Tijd}}$ * Eenheden zijn bijvoorbeeld km/u of m/s. * Bij constante snelheid: * Afstand en tijd zijn recht evenredig. * Hoe groter de snelheid, hoe groter de afgelegde afstand in gelijke tijd. #### 6.6.3 Massadichtheid (Soortelijk gewicht) De dichtheid is de verhouding van de massa tot het volume van een stof. * **Formule:** $\text{Dichtheid} = \frac{\text{Massa}}{\text{Volume}}$ * Elke stof heeft een specifieke dichtheid. Stoffen met een hogere dichtheid dan water zinken, stoffen met een lagere dichtheid drijven. #### 6.6.4 Debiet Debiet geeft de hoeveelheid vloeistof of gas weer die per tijdseenheid passeert. * **Formule:** $\text{Debiet} = \frac{\text{Inhoud}}{\text{Tijd}}$ * Eenheden zijn bijvoorbeeld liters per uur (l/u). #### 6.6.5 Bevolkingsdichtheid Bevolkingsdichtheid is de verhouding tussen het aantal inwoners en de oppervlakte. * **Formule:** $\text{Bevolkingsdichtheid} = \frac{\text{Aantal inwoners}}{\text{Oppervlakte}}$ * Eenheden zijn bijvoorbeeld inwoners per vierkante kilometer (inw./$km^2$). ### 6.7 Volume van ruimtefiguren Het volume is de hoeveelheid ruimte die een lichaam inneemt. * **Balk:** Volume $= l \times b \times h$ (lengte x breedte x hoogte) of oppervlakte grondvlak $\times$ hoogte. * **Kubus:** Volume $= z^3$ (zijde tot de derde macht) * **Cilinder:** Volume $= \pi \times r^2 \times h$ (oppervlakte grondvlak $\times$ hoogte) Het volume van onregelmatige vormen kan bepaald worden door onderdompeling in water en het meten van het verplaatste volume. --- # Formules voor omtrek, oppervlakte en volume Hier volgt een gedetailleerde samenvatting over de formules voor omtrek, oppervlakte en volume, gebaseerd op de verstrekte documentinhoud. ## 7 Formules voor omtrek, oppervlakte en volume Dit onderwerp behandelt de formules voor het berekenen van de omtrek van diverse vlakke figuren, de oppervlakte van vlakke figuren en het volume van ruimtefiguren. ### 7.1 Omtrek van vlakke figuren De omtrek van een vlakke figuur is de totale lengte van de lijn die de figuur begrenst. Bij grillige figuren kan de omtrek benaderd worden door een touwtje langs de omtrek te leggen en vervolgens de lengte van het touwtje te meten. Aspecten die de omtrek *niet* bepalen, zijn: * De aard van het object (kleur, materiaal, etc.). * De stand in de ruimte (horizontaal, verticaal, etc.). * Of de begrenzing rechtlijnig of gebogen is (een touwtje behoudt zijn lengte ongeacht de vorm). * Het verknippen van de begrenzing (de totale lengte blijft gelijk). Formules voor de omtrek van specifieke vlakke figuren: * **Rechthoek:** De omtrek wordt berekend door de som van de lengtes van alle zijden te nemen. Formeel: $$ \text{Omtrek}_{\text{rechthoek}} = 2 \times (l + b) $$ waarbij $l$ de lengte en $b$ de breedte is. * **Vierkant:** Een vierkant is een speciaal geval van een rechthoek waarbij alle zijden even lang zijn. $$ \text{Omtrek}_{\text{vierkant}} = 4 \times z $$ waarbij $z$ de lengte van een zijde is. * **Parallellogram:** De omtrek is de som van de lengtes van alle zijden. Omdat overstaande zijden even lang zijn, geldt: $$ \text{Omtrek}_{\text{parallellogram}} = 2 \times (a + b) $$ waarbij $a$ en $b$ de lengtes van twee aangrenzende zijden zijn. * **Ruit:** Een ruit heeft vier even lange zijden. $$ \text{Omtrek}_{\text{ruit}} = 4 \times z $$ waarbij $z$ de lengte van een zijde is. * **Driehoek:** De omtrek is de som van de lengtes van de drie zijden. $$ \text{Omtrek}_{\text{driehoek}} = \text{zijde}_1 + \text{zijde}_2 + \text{zijde}_3 $$ * **Trapezium:** De omtrek is de som van de lengtes van alle vier zijden. $$ \text{Omtrek}_{\text{trapezium}} = \text{zijde}_1 + \text{zijde}_2 + \text{zijde}_3 + \text{zijde}_4 $$ * **Cirkel:** De omtrek van een cirkel, ook wel de omgang genoemd, wordt berekend met de diameter of de straal. $$ \text{Omtrek}_{\text{cirkel}} = \pi \times d $$ $$ \text{Omtrek}_{\text{cirkel}} = 2 \times \pi \times r $$ waarbij $d$ de diameter is en $r$ de straal. $\pi$ is een wiskundige constante met een waarde van ongeveer 3,14. ### 7.2 Oppervlakte van vlakke figuren De oppervlakte geeft aan hoe groot een plat vlak is. Aspecten die de oppervlakte *niet* bepalen, zijn: * De vorm (een driehoek kan een grotere oppervlakte hebben dan een rechthoek). * De omtrek (figuren met dezelfde omtrek kunnen verschillende oppervlaktes hebben, en vice versa). * De stand in de ruimte (buigen, verplaatsen, etc. verandert de oppervlakte niet). Aspecten die de oppervlakte *wel* bepalen, zijn: * **Bedekken:** Een figuur met een grotere oppervlakte kan een andere volledig bedekken. * **Omstructureren:** De oppervlakte verandert niet als een figuur wordt verknipt en de stukken anders worden herschikt. * **Samenstellen:** De oppervlakte van een nieuwe figuur gevormd door samenvoeging van vlakke figuren (zonder overlapping) is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de oorspronkelijke figuren. Voor het benaderen van de oppervlakte van grillige figuren kan men een rooster gebruiken en het aantal volledig gevulde en gedeeltelijk gevulde hokjes tellen. Het gemiddelde van deze twee aantallen geeft een goede benadering. Formules voor de oppervlakte van specifieke vlakke figuren: * **Rechthoek:** De oppervlakte wordt berekend door de lengte te vermenigvuldigen met de breedte. $$ \text{Oppervlakte}_{\text{rechthoek}} = l \times b $$ waarbij $l$ de lengte en $b$ de breedte is. * **Vierkant:** De oppervlakte wordt berekend door de zijde met zichzelf te vermenigvuldigen. $$ \text{Oppervlakte}_{\text{vierkant}} = z \times z \quad \text{of} \quad z^2 $$ waarbij $z$ de lengte van een zijde is. * **Parallellogram:** De oppervlakte wordt berekend door de basis te vermenigvuldigen met de bijbehorende hoogte. $$ \text{Oppervlakte}_{\text{parallellogram}} = b \times h $$ waarbij $b$ de basis en $h$ de hoogte is. * **Driehoek:** De oppervlakte wordt berekend door de basis te vermenigvuldigen met de bijbehorende hoogte, gedeeld door twee. $$ \text{Oppervlakte}_{\text{driehoek}} = \frac{1}{2} \times b \times h $$ waarbij $b$ de basis en $h$ de bijbehorende hoogte is. * **Ruit:** De oppervlakte wordt berekend door de twee diagonalen met elkaar te vermenigvuldigen en het resultaat door twee te delen. $$ \text{Oppervlakte}_{\text{ruit}} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 $$ waarbij $d_1$ en $d_2$ de lengtes van de diagonalen zijn. * **Trapezium:** De oppervlakte wordt berekend door de som van de twee evenwijdige zijden (de bases) te vermenigvuldigen met de hoogte, en het resultaat door twee te delen. $$ \text{Oppervlakte}_{\text{trapezium}} = \frac{1}{2} \times (B + b) \times h $$ waarbij $B$ de lengte van de grote basis, $b$ de lengte van de kleine basis en $h$ de hoogte is. * **Cirkel:** De oppervlakte wordt berekend met de straal. $$ \text{Oppervlakte}_{\text{cirkel}} = \pi \times r^2 $$ waarbij $r$ de straal is en $\pi$ de constante $\pi$ (ongeveer 3,14). ### 7.3 Volume van ruimtefiguren Het volume van een ruimtefiguur geeft de hoeveelheid ruimte aan die het inneemt. De vorm van een ruimtefiguur is niet bepalend voor het volume; twee figuren met een andere vorm kunnen hetzelfde volume hebben. Het volume van bepaalde ruimtefiguren kan berekend worden door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte van de figuur. Formules voor het volume van specifieke ruimtefiguren: * **Balk:** Het volume is het product van lengte, breedte en hoogte. $$ \text{Volume}_{\text{balk}} = l \times b \times h $$ waarbij $l$ de lengte, $b$ de breedte en $h$ de hoogte is. Dit kan ook geschreven worden als: $$ \text{Volume}_{\text{balk}} = \text{Oppervlakte}_{\text{grondvlak}} \times h $$ * **Kubus:** Een kubus is een balk waarbij alle zijden even lang zijn. $$ \text{Volume}_{\text{kubus}} = z \times z \times z \quad \text{of} \quad z^3 $$ waarbij $z$ de lengte van een ribbe is. Dit kan ook geschreven worden als: $$ \text{Volume}_{\text{kubus}} = \text{Oppervlakte}_{\text{grondvlak}} \times h $$ * **Cilinder:** Het volume wordt berekend door de oppervlakte van het cirkelvormige grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte. $$ \text{Volume}_{\text{cilinder}} = \pi \times r^2 \times h $$ waarbij $r$ de straal van het grondvlak is en $h$ de hoogte. Dit kan ook geschreven worden als: $$ \text{Volume}_{\text{cilinder}} = \text{Oppervlakte}_{\text{grondvlak}} \times h $$ Voor niet-veelvlakken of grillige vormen kan het volume bepaald worden door middel van onderdompeling. Hierbij wordt het volume van het verplaatste water gemeten wanneer het object in een maatbeker met water wordt geplaatst. ### 7.4 Oppervlakte van ruimtefiguren De oppervlakte van ruimtefiguren betreft de totale oppervlakte van alle zijvlakken die de figuur begrenzen. * **Oppervlakte Balk:** De totale oppervlakte is de som van de oppervlaktes van de zes rechthoekige zijvlakken. Aangezien overstaande zijvlakken congruent zijn, geldt: $$ \text{Oppervlakte}_{\text{balk}} = 2 \times (l \times b) + 2 \times (b \times h) + 2 \times (l \times h) $$ waarbij $l$ de lengte, $b$ de breedte en $h$ de hoogte is. Voor een balk met een vierkant grondvlak ($l=b=z$) geldt: $$ \text{Oppervlakte}_{\text{balk (vierkant grondvlak)}} = 2 \times (z \times z) + 4 \times (z \times h) $$ * **Oppervlakte Kubus:** Omdat een kubus uit zes congruente vierkanten bestaat, is de totale oppervlakte: $$ \text{Oppervlakte}_{\text{kubus}} = 6 \times z^2 $$ waarbij $z$ de lengte van een zijde is. * **Oppervlakte Cilinder:** De totale oppervlakte bestaat uit de oppervlakte van de mantel (het gebogen zijvlak) en de oppervlaktes van de twee cirkelvormige grond- en bovenvlakken. $$ \text{Oppervlakte}_{\text{cilinder}} = \text{Oppervlakte}_{\text{mantel}} + 2 \times \text{Oppervlakte}_{\text{grondvlak}} $$ $$ \text{Oppervlakte}_{\text{cilinder}} = (\text{omtrek}_{\text{grondvlak}} \times h) + 2 \times (\pi \times r^2) $$ $$ \text{Oppervlakte}_{\text{cilinder}} = (2 \times \pi \times r \times h) + 2 \times (\pi \times r^2) $$ waarbij $r$ de straal van het grondvlak is en $h$ de hoogte. ### 7.5 Schaalaanduidingen Schaal drukt de verhouding uit tussen afstanden op een afbeelding en de corresponderende afstanden in werkelijkheid. * **Breukschaal:** Wordt weergegeven als een breuk, bijvoorbeeld $1:n$ of $\frac{1}{n}$. Dit betekent dat 1 eenheid op de afbeelding overeenkomt met $n$ eenheden in werkelijkheid. $$ \text{Schaal} = \frac{\text{getekende afstand}}{\text{werkelijke afstand}} $$ Bij een schaal van $1:100$ betekent $1 \text{ cm}$ op de kaart $100 \text{ cm}$ (of $1 \text{ m}$) in werkelijkheid. * **Lijnschaal:** Een grafische weergave van de schaal, vaak als een lijnstuk met markeringen. * **Vergroting:** Indien de schaal $n:1$ is met $n>1$, is er sprake van een vergroting. Bij het werken met schaal is het cruciaal om consequent dezelfde maateenheid te gebruiken voor zowel de getekende als de werkelijke afstand. #### Voorbeeld met schaal Op een kaart is de schaal $1:100.000$. De afstand tussen twee steden op de kaart is $5 \text{ cm}$. Hoe groot is de werkelijke afstand? $$ \frac{1 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm}} = \frac{5 \text{ cm}}{x \text{ cm}} $$ Hieruit volgt: $x = 5 \times 100.000 = 500.000 \text{ cm}$. Omgezet naar kilometers: $500.000 \text{ cm} = 5 \text{ km}$. De werkelijke afstand tussen de twee steden bedraagt $5 \text{ km}$. --- # Samengestelde groothheden en toepassingen Dit gedeelte verklaart samengestelde groothheden zoals schaal, snelheid, massadichtheid, debiet en bevolkingsdichtheid, met toepassingen in het dagelijks leven. ## 8 Samengestelde groothheden en toepassingen Samengestelde groothheden zijn groothheden die zijn afgeleid van andere, meer fundamentele groothheden. Ze worden vaak gebruikt om complexe relaties of verhoudingen te beschrijven en vinden talloze toepassingen in wetenschap, techniek en het dagelijks leven. ### 8.1 Schaal Schaal drukt de verhouding uit tussen afstanden op een afbeelding en de werkelijke afstanden in de realiteit. Het wordt gebruikt bij kaarten, plattegronden, modellen en tekeningen om een verkleining of vergroting van de werkelijkheid weer te geven. * **Definitie:** Schaal is de verhouding tussen een getekende afstand en de werkelijke afstand. $$ \text{Schaal} = \frac{\text{getekende afstand}}{\text{werkelijke afstand}} $$ * **Notatie:** * **Breukschaal:** Wordt uitgedrukt als een breuk, bijvoorbeeld $1/100$ of $1:100$. Dit betekent dat 1 eenheid op de tekening overeenkomt met 100 dezelfde eenheden in werkelijkheid. * **Lijnschaal:** Een visuele weergave van de schaal met behulp van een lijnstuk, waarbij een bepaalde lengte op de tekening overeenkomt met een specifieke werkelijke afstand. * **Vergroting:** Een schaal groter dan $1:1$ (bijvoorbeeld $10:1$) geeft aan dat het object op de tekening groter is dan in werkelijkheid. * **Toepassingen:** * **Kaarten en plattegronden:** Om afstanden tussen locaties op een kaart te relateren aan de werkelijke afstanden op de grond. Een schaal van $1:100.000$ betekent dat $1$ cm op de kaart $100.000$ cm (of $1$ km) in werkelijkheid vertegenwoordigt. * **Modellen:** Bij het bouwen van schaalmodellen van bijvoorbeeld auto's, vliegtuigen of gebouwen. Een schaal $1:43$ betekent dat het model $43$ keer kleiner is dan het origineel. * **Relatie met afmetingen:** Bij het gelijkvormig vergroten of verkleinen van een oppervlakte spelen twee dimensies een rol. Als de lengte van de zijden verdubbelt, verviervoudigt de oppervlakte ($2^2 = 4$). Bij een verdrievoudiging van de zijden, vertienvoudigt de oppervlakte ($3^2 = 9$). > **Tip:** Zorg ervoor dat de eenheden van de getekende afstand en de werkelijke afstand hetzelfde zijn bij het omzetten tussen breuk- en lijnschaal. ### 8.2 Snelheid Snelheid is een samengestelde groothheid die de verhouding tussen de afgelegde afstand en de benodigde tijd uitdrukt. * **Definitie:** Snelheid meet hoe snel een object beweegt en wordt uitgedrukt als afstand per tijdseenheid. $$ \text{Snelheid} = \frac{\text{afstand}}{\text{tijd}} $$ * **Eenheden:** Gangbare eenheden zijn kilometers per uur (km/u of km/h), meters per seconde (m/s). * **Verbanden:** * Bij een **gelijke afstand** zijn snelheid en tijd **omgekeerd evenredig**. Hoe sneller je beweegt, hoe minder tijd je nodig hebt om dezelfde afstand af te leggen. * Bij een **gelijke tijd** zijn snelheid en afstand **recht evenredig**. Hoe hoger de snelheid, hoe groter de afgelegde afstand in een bepaalde tijd. * Bij een **gelijke snelheid** zijn afstand en tijd **recht evenredig**. Hoe groter de afstand, hoe meer tijd je nodig hebt om deze af te leggen met een constante snelheid. > **Voorbeeld:** Als een auto met een gemiddelde snelheid van $120$ km/u rijdt, legt deze in $1$ uur tijd een afstand van $120$ km af. Om dezelfde afstand van $120$ km af te leggen met een snelheid van $60$ km/u, zou men $2$ uur nodig hebben. ### 8.3 Massadichtheid (Soortelijk gewicht) Massadichtheid is een maat voor de hoeveelheid massa per volume-eenheid van een stof. Het drukt uit hoeveel massa er in een bepaald volume van die stof aanwezig is. * **Definitie:** Massadichtheid is de verhouding tussen de massa en het volume van een stof. $$ \text{Massadichtheid} = \frac{\text{massa}}{\text{volume}} $$ * **Eenheden:** Gangbare eenheden zijn kilogram per kubieke decimeter (kg/dm$^3$) of kilogram per kubieke meter (kg/m$^3$). * **Verbanden:** * Bij een **gelijk volume** is de massadichtheid **recht evenredig** met de massa. Hoe hoger de dichtheid, hoe groter de massa van die stof in hetzelfde volume. * Bij een **gelijke massa** is de massadichtheid **omgekeerd evenredig** met het volume. Hoe hoger de dichtheid, hoe kleiner het volume dat die massa inneemt. * **Toepassingen:** * **Drijven en zinken:** Stoffen met een hogere dichtheid dan water zullen zinken, terwijl stoffen met een lagere dichtheid zullen drijven. Stoffen met een dichtheid vergelijkbaar met water zweven. * **Materiaalkarakterisering:** Elk materiaal heeft een specifieke dichtheid die kan worden gebruikt voor identificatie. * **Voorbeelden van dichtheden (bij benadering, in kg/dm$^3$):** * Water: $1$ * Benzine: $0,810$ * Aluminium: $2,715$ * Glas: $2,500$ * Lood: $11,352$ > **Voorbeeld:** Als een balk van 2 dm lengte, 3 dm breedte en 5 dm hoogte 340,5 kg weegt, kunnen we de dichtheid berekenen: > Volume = $2 \text{ dm} \times 3 \text{ dm} \times 5 \text{ dm} = 30 \text{ dm}^3$ > Dichtheid = $\frac{340,5 \text{ kg}}{30 \text{ dm}^3} = 11,35 \text{ kg/dm}^3$. Deze dichtheid komt overeen met die van lood. ### 8.4 Debiet Debiet is een samengestelde groothheid die de hoeveelheid vloeistof (of gas) die per tijdseenheid door een bepaald punt stroomt, weergeeft. * **Definitie:** Debiet is de verhouding tussen de inhoud (volume) en de tijd. $$ \text{Debiet} = \frac{\text{inhoud}}{\text{tijd}} $$ * **Eenheden:** Gangbare eenheden zijn liters per uur (L/u), liters per minuut (L/min), kubieke meter per seconde (m$^3$/s). * **Verbanden:** * Bij een **constant debiet** zijn inhoud en tijd **recht evenredig**. Hoe groter de inhoud die door een punt stroomt, hoe meer tijd er nodig is. * Bij een **constante tijd** is het debiet **recht evenredig** met de inhoud. Hoe groter het debiet, hoe meer inhoud er in een vaste tijdsperiode passeert. * Bij een **constante inhoud** is het debiet **omgekeerd evenredig** met de tijd. Hoe groter het debiet, hoe minder tijd er nodig is om een bepaalde hoeveelheid te laten passeren. > **Voorbeeld:** Als een pomp een debiet heeft van $1500$ liter per uur, betekent dit dat er in $1$ uur tijd $1500$ liter water passeert. Als pomp 2 een debiet heeft van $100$ liter per uur, duurt het veel langer om dezelfde hoeveelheid te pompen. ### 8.5 Bevolkingsdichtheid Bevolkingsdichtheid is een samengestelde groothheid die het aantal inwoners per oppervlakte-eenheid van een bepaald gebied aangeeft. * **Definitie:** Bevolkingsdichtheid is de verhouding tussen het aantal inwoners en de oppervlakte. $$ \text{Bevolkingsdichtheid} = \frac{\text{aantal inwoners}}{\text{oppervlakte}} $$ * **Eenheden:** Gangbare eenheden zijn inwoners per vierkante kilometer (inwoners/km$^2$). * **Verbanden:** * Bij een **gelijke bevolkingsdichtheid** zijn het aantal inwoners en de oppervlakte **recht evenredig**. Hoe groter het gebied, hoe meer inwoners er wonen. * Bij een **gelijk aantal inwoners** is de bevolkingsdichtheid **omgekeerd evenredig** met de oppervlakte. Hoe kleiner het gebied, hoe hoger de dichtheid. * Bij een **gelijke oppervlakte** is de bevolkingsdichtheid **recht evenredig** met het aantal inwoners. Hoe meer inwoners, hoe hoger de dichtheid in dat gebied. > **Voorbeeld:** Een regio met een bevolkingsdichtheid van $234$ inwoners per km$^2$ betekent dat er gemiddeld $234$ mensen wonen op elke vierkante kilometer van die regio. Dit kan sterk variëren tussen stedelijke gebieden (hoge dichtheid) en landelijke gebieden (lage dichtheid). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Rechte | Een onbegrensde rechte lijn. Een rechte benoem je met een kleine letter of met behulp van twee punten op de rechte. | | Lijnstuk | Een begrensde rechte lijn, gedefinieerd door twee eindpunten. Het is de kortste weg tussen deze twee punten en vormt de drager van de rechte waarop het zich bevindt. | | Halfrechte | Een rechte die aan één kant begrensd is door een grenspunt en zich in slechts één richting oneindig voortzet. Het wordt benoemd met het grenspunt en een ander willekeurig punt. | | Gebogen lijn | Een lijn die niet recht is en een kromming vertoont. Deze kan open of gesloten zijn. | | Gebroken lijn | Een lijn die bestaat uit een aaneenschakeling van meerdere lijnstukken. Deze kan zowel open als gesloten zijn. | | Punt | Een basisbegrip in de meetkunde dat een specifieke plaats aanduidt. Punten hebben geen afmetingen en worden met een hoofdletter benoemd. | | Oppervlak | Een oneindige, tweedimensionale aaneenschakeling van punten. Een oppervlak kan plat of gebogen zijn, en begrensd of onbegrensd. | | Hoek | Een deel van een vlak, gevormd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt (het hoekpunt). De grootte van een hoek wordt bepaald door de spreiding van de benen. | | Scherpe hoek | Een hoek waarvan de grootte groter is dan 0° maar kleiner dan 90°. | | Rechte hoek | Een hoek waarbij de benen loodrecht op elkaar staan. De grootte is exact 90°. | | Stompe hoek | Een hoek waarvan de grootte groter is dan 90° maar kleiner dan 180°. | | Gestrekte hoek | Een hoek waarbij de benen in elkaars verlengde liggen. De grootte is exact 180°. | | Volle hoek | Een hoek waarbij de benen na een volledige omwenteling opnieuw samenvallen. De grootte is exact 360°. | | Diagonaal | Een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten in een veelhoek verbindt. Een driehoek heeft geen diagonalen. | | Veelhoek | Een vlakke figuur die uitsluitend begrensd wordt door een gesloten gebroken lijn (een opeenvolging van lijnstukken). | | Convexe veelhoek | Een veelhoek waarbij alle diagonalen volledig binnen de veelhoek vallen. De verbindingslijn tussen twee willekeurige punten op de omtrek valt ook altijd binnen de veelhoek. | | Concave veelhoek | Een veelhoek waarbij minstens één diagonaal gedeeltelijk buiten de veelhoek valt. De verbindingslijn tussen twee willekeurige punten op de omtrek kan ook gedeeltelijk buiten de veelhoek vallen. | | Driehoek | Een veelhoek met precies drie zijden en drie hoeken. De som van de hoeken in elke driehoek is altijd 180°. | | Vierhoek | Een veelhoek met precies vier zijden en vier hoeken. De som van de hoeken in elke vierhoek is altijd 360°. | | Hoogtelijn | Een rechte die door een hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht staat op de overstaande zijde of het verlengde daarvan. Elke driehoek heeft drie hoogtelijnen die elkaar snijden in het hoogtepunt. | | Middelloodlijn | Een rechte die door het midden van een lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. Het is de verzameling van alle punten die even ver liggen van de twee eindpunten van het lijnstuk. | | Zwaartelijn | Een rechte die door een hoekpunt van een veelhoek en het midden van de overstaande zijde gaat. Elke driehoek heeft drie zwaartelijnen die elkaar snijden in het zwaartepunt. | | Deellijn (bissectrice) | Een rechte die door het hoekpunt van een hoek gaat en de hoek verdeelt in twee gelijke delen. | | Prisma | Een veelvlak met ten minste twee evenwijdige zijvlakken (grond- en bovenvlak) waarvan de opstaande ribben onderling evenwijdig zijn. | | Piramide | Een veelvlak waarvan één zijvlak een willekeurige veelhoek is (het grondvlak) en alle andere zijvlakken driehoeken zijn die samenkomen in één gemeenschappelijk hoekpunt (de top). | | Cilinder | Een omwentelingslichaam dat ontstaat door de wenteling van een rechthoek om een van zijn zijden. Het heeft twee parallelle cirkelvormige grondvlakken en een gebogen mantel. | | Kegel | Een omwentelingslichaam dat ontstaat door de wenteling van een rechthoekige driehoek om een van zijn rechthoekszijden. Het heeft een cirkelvormig grondvlak en een gebogen mantel die naar een top toeloopt. | | Bol | Een omwentelingslichaam dat ontstaat door de wenteling van een halve cirkel om zijn middellijn. Het is een volledig symmetrisch object. | | Ontwikkeling (net) | De tweedimensionale uitvouwbare vorm van een ruimtefiguur, waarmee deze op een plat vlak kan worden weergegeven en vervolgens weer tot het ruimtefiguur kan worden opgevouwen. | | Rechte | Een object in de meetkunde dat een oneindige, eendimensionale verzameling punten vertegenwoordigt zonder breedte of dikte. Rechten kunnen snijdend, evenwijdig of kruisend zijn in de ruimte. | | Evenwijdige rechten | Twee rechten die in hetzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben, of die samenvallen. Ze lopen parallel aan elkaar. | | Loodrechte stand | De relatie tussen twee rechten die elkaar snijden onder een hoek van 90 graden. | | Gelijkvormigheid | Een geometrische relatie tussen twee figuren waarbij de vormen hetzelfde zijn, maar de afmetingen kunnen verschillen. Alle corresponderende hoeken zijn gelijk en de verhouding van de lengtes van corresponderende zijden is constant. | | Congruentie | Een geometrische relatie waarbij twee figuren exact dezelfde vorm en grootte hebben. Ze zijn identiek en bedekken elkaar volledig wanneer ze op elkaar worden gelegd. | | Spiegeling | Een transformatie die een punt of een figuur spiegelt om een as (spiegelas), resulterend in een spiegelbeeld dat een omkering van de oriëntatie heeft maar dezelfde vorm en grootte behoudt. | | Symmetrie | Het bezit van symmetrieassen, rechte lijnen die een figuur in twee identieke helften verdelen, waarbij de ene helft het spiegelbeeld is van de andere. | | Coördinaten | Een systeem van getallen dat wordt gebruikt om de positie van een punt op een plattegrond of in de ruimte aan te geven. Dit kan gebeuren via vakcoördinaten of puntcoördinaten (met assenstelsels). | | Kijklijn (viseerlijn) | Een denkbeeldige rechte lijn vanuit het oogpunt van een waarnemer naar een punt dat wordt bekeken, gebruikt om zichtbaarheid te bepalen. | | Schaduw | De projectie van een voorwerp op een oppervlak wanneer lichtbronnen worden geblokkeerd. De vorm en grootte van de schaduw hangen af van de lichtbron en het voorwerp. | | Maat | Het resultaat van een meting, uitgedrukt als een getal met een bijbehorende maateenheid. | | Grootheid | Een eigenschap van een object of fenomeen die gemeten kan worden, zoals lengte, gewicht, temperatuur of tijd. | | Metrisch stelsel | Een gestandaardiseerd systeem van maateenheden gebaseerd op het tientallig stelsel, zoals het SI-stelsel. | | Lengtemaat | Een eenheid om lengte te meten, zoals meter (m), centimeter (cm) of kilometer (km). Deze maten zijn tiendelig. | | Oppervlaktemaat | Een eenheid om oppervlakte te meten, zoals vierkante meter (m²), vierkante decimeter (dm²) of vierkante centimeter (cm²). Deze maten zijn honderddelig. | | Landmaat | Een specifieke eenheid voor oppervlaktematen die vooral in de context van landbouwgrond wordt gebruikt, zoals hectare (ha), are (a) en centiare (ca). | | Volumemaat | Een eenheid om volume te meten, zoals kubieke meter (m³), kubieke decimeter (dm³) of kubieke centimeter (cm³). Deze maten zijn duizenddelig. | | Inhoudsmaat | Een eenheid om de hoeveelheid ruimte binnen een vat of container aan te geven, zoals liter (l), deciliter (dl) of milliliter (ml). Vaak is 1 dm³ gelijk aan 1 liter. | | Gewicht/Massa | De hoeveelheid materie in een voorwerp (massa) of de kracht waarmee de aarde dat voorwerp aantrekt (gewicht). In het dagelijks taalgebruik worden deze termen vaak door elkaar gebruikt. Eenheden zijn onder andere kilogram (kg) en gram (g). | | Tijdsduur | De lengte van een periode, uitgedrukt in eenheden zoals seconden (s), minuten (min) of uren (u). Gebaseerd op het 60-tallig stelsel. | | Kloklezen | Het aflezen van de tijd op zowel analoge als digitale klokken, met begrip van zowel absolute als relatieve tijdsindicaties. | | Hoekgrootte | De mate van opening tussen twee benen van een hoek, uitgedrukt in graden (°). | | Gemiddelde | De som van alle waarden in een reeks, gedeeld door het aantal waarden. Het is een centrummaat die de centrale tendens van een dataset aangeeft. | | Mediaan | Het middelste getal in een geordende reeks getallen. Als het aantal getallen even is, is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste getallen. Het wordt niet beïnvloed door uitschieters. | | Modus | De waarde of waarneming in een reeks die het vaakst voorkomt. Het is de waarneming met de hoogste frequentie. | | Omtrek | De totale lengte van de lijn die een vlakke figuur begrenst. | | Oppervlakte | De grootte van het oppervlak van een vlakke figuur, gemeten in vierkante eenheden. | | Volume | De hoeveelheid ruimte die een ruimtefiguur inneemt, gemeten in kubieke eenheden. | | Schaal | De verhouding tussen afstanden op een afbeelding en de werkelijke afstanden. Het kan worden uitgedrukt als een breukschaal (bv. 1:100) of een lijnschaal. | | Snelheid | Een samengestelde grootheid die de verhouding uitdrukt tussen afgelegde afstand en de benodigde tijd (bv. km/u). | | Massadichtheid (Soortelijk gewicht) | De verhouding tussen de massa van een stof en het volume dat deze stof inneemt. | | Debiet | Een samengestelde grootheid die de verhouding uitdrukt tussen inhoud en tijd, aangevend hoeveel volume per tijdseenheid passeert. | | Bevolkingsdichtheid | Een samengestelde grootheid die het aantal inwoners per oppervlakte-eenheid van een gebied weergeeft. | | Bruto | Het totale gewicht of de totale waarde, inclusief verpakking, kosten of inhoud. | | Netto | Het gewicht of de waarde van de inhoud of lading zelf, exclusief verpakking of extra kosten. | | Tarra | Het gewicht van de verpakking, het transportmiddel of de extra kosten die van het brutogewicht worden afgetrokken om het nettogewicht te verkrijgen. |