Samenvatting Wiskunde.pdf

# cijferen van delingen Dit onderdeel behandelt het proces van cijferend delen, inclusief de voorbereidende stappen en de negenproef om de juistheid van de bewerking te controleren [79](#page=79). ### 1.1 Voorbereidende vaardigheden en begrippen Voordat men kan beginnen met cijferend delen, is het essentieel dat een aantal basisvaardigheden paraat zijn. Deze omvatten [79](#page=79) [81](#page=81): * Getallen leggen met MAB-materiaal [79](#page=79) [81](#page=81). * Getallen noteren in een schrijfschema [79](#page=79) [81](#page=81). * Schatten van de uitkomst [79](#page=79) [81](#page=81). * De tafels van vermenigvuldiging en deling paraat kennen [79](#page=79) [81](#page=81). * Splitsen en verdelen bij hoofdrekeningen [79](#page=79). * Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen [79](#page=79). * Cijferend aftrekken met inwisselen [81](#page=81). * Deling kunnen verwoorden als verdelingsdeling [81](#page=81). ### 1.2 De negenproef bij delingen De negenproef is een controlemechanisme om de juistheid van een cifferende deling te verifiëren. Het proces bestaat uit drie stappen [79](#page=79): #### 1.2.1 Stap 1: Negenproef van de getallen * **De deler en het deeltal:** Bereken de negensom van zowel de deler als het deeltal [79](#page=79). * Voorbeeld: Het getal 489 wordt getransformeerd naar 4 + 8 + 9 = 21, en vervolgens naar 2 + 1 = 3. De negensom van 489 is dus 3 [79](#page=79). #### 1.2.2 Stap 2: Bewerking * **Vermenigvuldiging:** Vermenigvuldig de negensom van de deler met de negensom van het deeltal [79](#page=79). * Voorbeeld: Als de negensom van de deler 2 is en de negensom van het deeltal 3, dan is de bewerking 2 x 3 = 6 [79](#page=79). #### 1.2.3 Stap 3: Negenproef van het antwoord * **Controle:** Bereken de negensom van de uitkomst (het quotiënt) van de cifferende deling [79](#page=79). * Voorbeeld: Voor het antwoord 978, berekenen we 9 + 7 + 8 = 24, en vervolgens 2 + 4 = 6. De negensom van 978 is dus 6 [79](#page=79). * **Vergelijking:** Als de uitkomst van Stap 2 gelijk is aan de negensom van het antwoord (Stap 3), dan is de deling waarschijnlijk correct uitgevoerd. In het gegeven voorbeeld is 6 gelijk aan 6, wat de correctheid van de deling suggereert [79](#page=79). > **Tip:** De negenproef is een handige snelle controle, maar garandeert geen absolute zekerheid. Een fout kan soms onopgemerkt blijven als de fout in de oorspronkelijke deling en de fout in de negenproef elkaar opheffen. ### 1.3 Opgaande deling en rest * Een deling waarbij de rest 0 is, wordt een **opgaande deling** genoemd. Dit betekent dat het deeltal precies deelbaar is door de deler zonder rest [81](#page=81). --- # Ontwikkeling van ruimtefiguren De ontwikkeling van ruimtefiguren onderzoekt hoe driedimensionale vormen kunnen worden uitgevouwen tot platte figuren [35](#page=35). ### 2.1 Concept van ontwikkeling (ontvouwing) Een ontwikkeling van een veelvlak, ook wel een ontvouwing genoemd, is de platte figuur die ontstaat wanneer een driedimensionaal object wordt opengevouwen. Dit proces vereist dat er minstens één ribbe verbonden blijft tussen de zijvlakken om ervoor te zorgen dat geen enkel zijvlak volledig loskomt. Het doel is om de zes zijvlakken van een doosje te behouden nadat deze zijn opengevouwen [35](#page=35). ### 2.2 Ontwikkeling van specifieke ruimtefiguren #### 2.2.1 Kubus Een kubus heeft zes zijvlakken. De vorm van elk zijvlak van een kubus is een vierkant. Dit kan gecontroleerd worden door de zijden na te meten [36](#page=36). > **Voorbeeld:** Als je een kubusvormige doos uit elkaar vouwt, zul je ontdekken dat er zes vierkante zijvlakken zijn die aan elkaar vastzitten langs de randen. #### 2.2.2 Balk Een balk heeft ook zes zijvlakken. De vorm van deze zijvlakken is een rechthoek. Net als bij de kubus, kan de vorm van de zijvlakken van een balk gecontroleerd worden door de afmetingen na te meten [37](#page=37). > **Voorbeeld:** Een verpakkingsdoos van bijvoorbeeld een schoen is een voorbeeld van een balk. Wanneer deze wordt opgevouwen, toont het de zes rechthoekige zijvlakken. #### 2.2.3 Piramide De aanpak om de ontwikkeling van een piramide te onderzoeken, is vergelijkbaar met die van een kubus en een balk [38](#page=38). #### 2.2.4 Cilinder De methode om de ontwikkeling van een cilinder te bestuderen, is eveneens vergelijkbaar met die van een kubus en een balk [38](#page=38). > **Tip:** Bij het analyseren van de ontwikkeling van ruimtefiguren is het nuttig om daadwerkelijke verpakkingen mee te nemen om de concepten te visualiseren en te begrijpen hoe de zijvlakken met elkaar verbonden zijn. ### 2.3 Verband met andere meetkundige concepten De bespreking van de ontwikkeling van ruimtefiguren sluit aan bij het hoofdstuk over meetkundige relaties, specifiek over evenwijdigheid en loodrechte stand. Hierin worden ook begrippen als snijdende rechten (rechten die precies één punt gemeenschappelijk hebben) en evenwijdige rechten (rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben) gedefinieerd [38](#page=38). --- # Evenwijdigheid en loodrechte stand Dit hoofdstuk behandelt de geometrische relaties van evenwijdigheid en loodrechte stand tussen rechten. ### 3.1 Evenwijdige rechten Snijdende rechten zijn rechten die precies één gemeenschappelijk punt hebben. Evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel gemeenschappelijk punt hebben [38](#page=38). #### Strategieën om evenwijdigheid te herkennen en te tekenen * **Praktische observatie:** Op een speelplaats kunnen leerlingen worden uitgenodigd om lijnen te tekenen. Door te observeren welke lijnen elkaar nooit zullen snijden (treinsporen), kunnen de concepten van evenwijdige rechten worden geïntroduceerd. De reden hiervoor is dat deze rechten steeds op dezelfde afstand van elkaar liggen [39](#page=39). * **Gebruik van de geodriehoek:** De geodriehoek kan worden gebruikt om evenwijdige rechten te ontdekken en te controleren [39](#page=39). * **Tekenen met de geodriehoek:** 1. Teken een rechte lijn met de tekenzijde van de geodriehoek [40](#page=40). 2. Leg de geodriehoek met de hulplijnen op deze lijn [40](#page=40). 3. Teken vervolgens een nieuwe rechte lijn parallel aan de eerste [40](#page=40). 4. Benoem de rechten, bijvoorbeeld als $f \parallel g$ [40](#page=40). * **Construeren met de passer:** Het construeren van evenwijdige rechten met een passer kan worden vergeleken met het construeren van een parallellogram. De methode omvat het meten van afstanden met de passer en het tekenen van halve cirkels om zo de gelijke afstand tussen de rechten te waarborgen [40](#page=40). #### Kruisende rechten Bij driedimensionale objecten zoals een kubus zijn niet alle rechten coplanair (liggen niet op hetzelfde vlak). Hierdoor kunnen rechten elkaar nooit snijden en worden ze kruisende rechten genoemd [40](#page=40). > **Tip:** Zoek in de klas naar voorbeelden van evenwijdige rechten om het concept te verduidelijken [40](#page=40). ### 3.2 Loodrechte stand Loodrechte rechten zijn snijdende rechten die een rechte hoek (90 graden) met elkaar vormen [40](#page=40). #### Strategieën om loodrechte stand te herkennen en te tekenen * **Praktische observatie:** Werkbladen kunnen worden gebruikt om de aanwezigheid van rechte hoeken te observeren en te controleren met een geodriehoek. Voorbeelden uit de leefwereld, zoals lijnen op een blad papier of vloertegels, kunnen helpen bij het herkennen van loodrechte lijnen [41](#page=41). * **Tekenen met de geodriehoek:** 1. Leg de loodlijn (de 90-graden lijn) van de geodriehoek op de bestaande rechte [41](#page=41). 2. Teken met de tekenzijde een nieuwe rechte lijn [41](#page=41). 3. Benoem de rechten, waarbij het symbool voor loodrechte stand (een omgekeerde T) kan worden gebruikt, bijvoorbeeld: $a \perp b$ [41](#page=41). * **Construeren met de passer:** Het construeren van de middelloodlijn van een lijnstuk is een methode om loodrechte rechten te construeren [41](#page=41). 1. Teken een lijnstuk AB [41](#page=41). 2. Plaats het passerpunt op B en teken een halve cirkel [41](#page=41). 3. Met dezelfde passeropening plaats je het passerpunt op A en teken je opnieuw een halve cirkel [41](#page=41). 4. Het snijpunt van deze halve cirkels, samen met de snijpunten op het lijnstuk, definieert de middelloodlijn [41](#page=41). #### Middelloodlijn De middelloodlijn is een rechte die loodrecht door het midden van een lijnstuk gaat. Een belangrijke eigenschap van de middelloodlijn is dat elk punt op de middelloodlijn even ver van de grenspunten van het lijnstuk ligt [41](#page=41). --- # Gelijkvormigheid en congruentie Dit onderwerp behandelt de concepten van gelijkvormigheid en congruentie, waarbij de relatie tussen figuren met dezelfde vorm en grootte wordt onderzocht, evenals het spiegelen en symmetrie van figuren [41](#page=41) [43](#page=43). ### 4.1 Gelijkvormigheid Gelijkvormige figuren zijn figuren die een verkleining of vergroting van elkaar zijn en dus dezelfde vorm behouden, maar waarbij alle afmetingen vergroot of verkleind worden. Dit betekent dat hoewel de afmetingen kunnen verschillen, de proporties hetzelfde blijven [41](#page=41). #### 4.1.1 Gelijkvormige veelhoeken Bij gelijkvormige veelhoeken worden alle afmetingen volgens dezelfde verhouding vergroot of verkleind. Dit impliceert dat [42](#page=42): * Elke zijde is vergroot of verkleind [42](#page=42). * De grootte van overeenkomstige hoeken is gelijk [42](#page=42). Het is belangrijk om te onthouden dat "gelijkvormig" niet hetzelfde is als "gelijk van vorm" in de zin van identiek. Het klemtoont op het herkennen van gelijkvormige figuren, waarbij op een eenvoudige manier vergroting en verkleining kan worden uitgevoerd op papier om het bewustzijn van leerlingen te vergroten [42](#page=42). ### 4.2 Congruentie Congruentie treedt op wanneer twee figuren niet alleen dezelfde vorm hebben, maar ook precies even groot zijn. Dit betekent dat twee congruente figuren identiek zijn [43](#page=43). #### 4.2.1 Relatie tussen gelijkvormigheid en congruentie Alle congruente figuren zijn gelijkvormig, maar niet alle gelijkvormige figuren zijn congruent. Een gelijkvormige figuur hoeft immers niet even groot te zijn [43](#page=43). ### 4.3 Spiegeling en symmetrie #### 4.3.1 Spiegeling Spiegeling is een geometrische transformatie waarbij een figuur een spiegelbeeld creëert. **Eigenschappen van spiegeling:** * De vorm en grootte van een figuur blijven bij spiegeling hetzelfde [43](#page=43). * Hoe dichterbij men bij de spiegel komt, hoe dichter het spiegelbeeld komt [43](#page=43). * Links bij de figuur komt overeen met rechts bij het spiegelbeeld en omgekeerd [43](#page=43). **Begrippen gerelateerd aan spiegeling:** * **Spiegelschrift:** Letters die in spiegelbeeld worden weergegeven, wat nuttig kan zijn bij het lezen in een achteruitkijkspiegel [44](#page=44). * **Spiegelbeeld:** Het beeld dat men in een spiegel ziet [44](#page=44). * **Spiegelas:** De lijn waar de spiegel wordt geplaatst en die de figuur verdeelt in zichzelf en zijn spiegelbeeld [44](#page=44). **Tekenen van spiegelingen:** Bij het tekenen van een spiegelbeeld van een figuur om een spiegelas, worden de hoekpunten van de oorspronkelijke figuur doorprikt en vervolgens de overeenkomstige punten op het spiegelbeeld gecreëerd. De zijden en hoeken van de figuur en het spiegelbeeld worden gemeten om aan te tonen dat ze identiek zijn. De afstand van een punt tot de spiegelas is gelijk aan de afstand van zijn spiegelbeeld tot de spiegelas [44](#page=44). #### 4.3.2 Verschuivingen en draaiingen Bij verschuivingen verandert de oriëntatie van de figuur niet [45](#page=45). #### 4.3.3 Symmetrie Een symmetrieas is een rechte lijn en spiegelas die een figuur in twee gelijke delen verdeelt, waarbij de ene helft het spiegelbeeld is van de andere helft [46](#page=46). **Symmetrie in vlakke figuren:** Symmetrie kan worden ontdekt door middel van het vouwen van origami patronen of het werken met uitgeknipte vlakke figuren [46](#page=46). > **Tip:** Het is belangrijk om het verschil te onthouden tussen gelijkvormigheid (zelfde vorm, mogelijk andere grootte) en congruentie (zelfde vorm én zelfde grootte). > **Voorbeeld:** Russische poppetjes zijn een goed voorbeeld van gelijkvormige figuren, waarbij elke opeenvolgende poppetje een verkleining is van de vorige, maar de vorm behouden blijft. Twee identieke foto's van hetzelfde object zijn congruente figuren [41](#page=41). --- # Positie en richting Dit onderwerp behandelt hoe objecten en personen worden gelokaliseerd en beschreven vanuit verschillende gezichtspunten, inclusief de concepten van kijklijnen en gezichtsvelden. ### 5.1 Positie De beschrijving van de positie van objecten en personen evolueert door verschillende fasen, waarbij de complexiteit van het perspectief toeneemt. #### 5.1.1 Fasen in het beschrijven van posities * **Fase 1: Beschrijven vanuit eigen standpunt** * Leerlingen beschrijven posities uitsluitend vanuit hun eigen gezichtspunt. * Ze zijn zich er niet van bewust dat de relatieve positie (voor, achter, links, rechts) voor een ander anders kan zijn [47](#page=47). * Voorbeelden: "De pop zit rechts van mij". "De knikker rolt weg van mij" [47](#page=47). * **Fase 2: Beschrijven ten opzichte van personen vanuit eigen standpunt** * Leerlingen beschrijven de positie van objecten ten opzichte van andere personen, maar nog steeds vanuit hun eigen gezichtspunt [47](#page=47). * Voorbeelden: "De pop zit links van Laura". "De knikker rolt naar Arne" [47](#page=47). * **Fase 3: Beschrijven vanuit het standpunt van een andere leerling** * Leerlingen kunnen de positie van voorwerpen verwoorden vanuit het standpunt van een andere leerling [47](#page=47). * Voorbeeld: "De pop zit aan Laura's rechterkant" [47](#page=47). #### 5.1.2 Activiteiten om perspectief te ontwikkelen Om leerlingen inzicht te geven in het innemen van een ander standpunt, kunnen diverse activiteiten worden ingezet [47](#page=47): * Ga in de klas staan zodat een voorwerp niet zichtbaar is [47](#page=47). * Verstop je in de klas waar de leerkracht je niet kan zien [47](#page=47). #### 5.1.3 Gebruik van aanzichten * Vier leerlingen kunnen aan een bank staan en verwoorden hoe zij een voorwerp zien [48](#page=48). * Hierbij worden begrippen als vooraanzicht, rechteraanzicht, linkeraanzicht en achteraanzicht gebruikt [48](#page=48). #### 5.1.4 Pictogrammen * Leerlingen kunnen pictogrammen zoeken op school ter oefening van ruimtelijke oriëntatie [48](#page=48). * Voorbeelden van oefeningen zijn te vinden op pagina 90-92 [48](#page=48). #### 5.1.5 Coördinaten Coördinaten worden gebruikt om specifieke locaties te bepalen, vergelijkbaar met spellen zoals zeeslag [48](#page=48). * **Vakcoördinaten** * Deze maken gebruik van cijfers langs twee kanten (assen) [48](#page=48). * Er is een afspraak nodig over welke as eerst wordt genoemd [48](#page=48). * De afspraak is om eerst de horizontale as en dan de verticale as te noemen, omdat 'H' voor 'V' komt in het alfabet [48](#page=48). * Soorten oefeningen: * Geef de coördinaten van het vakje waarin een object (bv. Belfort) zich bevindt (bv. in een atlas) [49](#page=49). * Welk object (bv. gebouw) vind je in een specifiek vakje (bv. C3) [49](#page=49). * **Puntcoördinaten** * De aanpak van puntcoördinaten is vergelijkbaar met die van vakcoördinaten [49](#page=49). > **Tip:** Bij het gebruik van coördinaten is het essentieel om duidelijke afspraken te maken over de volgorde van de assen om misinterpretatie te voorkomen. ### 5.2 Kijklijnen en schaduwen Dit gedeelte gaat over wat we kunnen zien en hoe obstakels dit beïnvloeden. #### 5.2.1 Kijklijnen * Als een leerling in de gang staat, kunnen we deze persoon mogelijk niet zien omdat er een muur tussen staat [50](#page=50). * Als een andere leerling achter glas gaat staan, kunnen we deze wel zien omdat we door het glas heen kunnen kijken [50](#page=50). #### 5.2.2 Gezichtsveld * Alle mogelijke kijklijnen vanuit onze ogen bepalen ons gezichtsveld [50](#page=50). * De hoek waaronder je iets ziet, wordt de gezichtshoek genoemd [50](#page=50). > **Voorbeeld:** Om het gezichtsveld te ervaren, kijk je recht vooruit en spreid je je armen zo ver mogelijk uit totdat je ze net nog kunt zien [50](#page=50). #### 5.2.3 Schaduwen * Schaduwen worden gevormd wanneer een object licht blokkeert. Het gebied achter het object, waar geen licht komt, is de schaduw. (Impliciet door context van visuele waarneming, geen directe vermelding van definitie op de pagina's). --- # cijferen van optellingen en aftrekkingen Dit onderwerp behandelt het gestructureerd toepassen van algoritmes voor optellingen en aftrekkingen, met speciale aandacht voor het omgaan met getallen die te groot zijn om direct te hanteren [74](#page=74). ### 6.1 Wat is cijferen? Cijferen verwijst naar het toepassen van een vast stappenplan, een algoritme, om bewerkingen zoals optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen uit te voeren. Het doel is om leerlingen de methode te laten automatiseren, zodat ze niet meer hoeven na te denken over het proces zelf [74](#page=74). ### 6.2 Wanneer cijferen we? Cijferen is noodzakelijk wanneer de te bewerken getallen te groot zijn om direct te kunnen hanteren [74](#page=74). ### 6.3 Het CSA-model en MAB-materiaal Het aanleren van cijferen verloopt vaak via het Concrete-Symbool-Abstract (CSA)-model, waarbij Materiaal voor Abstracte Basisbewerkingen (MAB) een belangrijke rol speelt. Dit model doorloopt verschillende fasen [74](#page=74): * **Fase 1:** Leerlingen leggen MAB-materiaal in een legschema en de leerkracht noteert dit in een schrijfschema op het bord [74](#page=74). * **Fase 2:** De leerkracht legt het materiaal voor en de leerlingen noteren in hun eigen schrijfschema [74](#page=74). * **Fase 3:** Leerlingen leggen deels zelf materiaal en iedereen noteert in het schrijfschema [74](#page=74). * **Fase 4:** Leerlingen noteren zelfstandig in het schrijfschema [74](#page=74). * **Fase 5:** Leerlingen werken op ruitjespapier zonder visueel materiaal [74](#page=74). Een goede verwoording is cruciaal om de overgang van materiaal naar abstracte notatie te vergemakkelijken [74](#page=74). ### 6.4 Optellen Optellingen kunnen worden onderverdeeld in: * **Zonder inwisselen:** De som van de cijfers in een kolom komt niet boven de 9 uit [74](#page=74). * **Met één keer inwisselen:** Er is één keer een overdracht nodig van een kolom naar de volgende hogere waarde [74](#page=74). * **Met meerdere keren inwisselen:** Er zijn meerdere overdrachten nodig [74](#page=74). #### 6.4.1 Optellen zonder inwisselen Bij het optellen zonder inwisselen doorloopt men de volgende stappen: 1. Maak eerst een schatting van de uitkomst [74](#page=74). 2. Leg het MAB-materiaal in het legschema [74](#page=74). 3. Noteer tegelijkertijd de getallen in het schrijfschema [74](#page=74). 4. Schuif de eenheden samen en noteer de som van de eenheden in het schrijfschema [74](#page=74). 5. Herhaal dit voor de tientallen en eventuele hogere waarden [74](#page=74). 6. Vergelijk de uiteindelijke som met de gemaakte schatting [74](#page=74). #### 6.4.2 Optellen met inwisselen Bij optellen met inwisselen ontstaat er een situatie waarbij meer dan één cijfer in een kolom terechtkomt, wat niet toegestaan is. Dit vereist 'inwisselen' [76](#page=76): * **In het schrijfschema:** Er wordt een 'inwisselvak' toegevoegd om de overgedragen waarde te noteren [76](#page=76). * **In het legschema:** De werkwijze kan variëren. Een veelgebruikte methode is om 10 blokjes bij de eenheden te leggen en deze vervolgens om te wisselen voor een rij van 10 bij de tientallen, of andersom (bij aftrekken) ] [76](#page=76). > **Tip:** Bij de allereerste aanbreng van het cijferend optellen, kan het nuttig zijn om een tweecijferig getal in het schrijfschema te plaatsen en direct te bespreken waarom dit niet correct is, om het belang van het inwisselen te benadrukken [77](#page=77). ### 6.5 Aftrekken Aftrekken heeft zowel nadelen als voordelen in de cijfermethode: * **Nadeel:** De oorspronkelijke termen zijn niet meer direct zichtbaar nadat de aftrekking is uitgevoerd [76](#page=76). * **Voordeel:** Er zijn geen problemen met nullen in het cijferproces [76](#page=76). #### 6.5.1 Beginsituatie voor optellen en aftrekken met inwisselen Om te starten met cijferen, zowel met als zonder inwisselen, is een solide beginsituatie vereist [76](#page=76): * **Algemeen:** * Goed inzicht in basisbewerkingen [76](#page=76). * Optellingen en aftrekkingen met brug kunnen uitvoeren [76](#page=76). * Parate kennis van de maal- en deeltafels [76](#page=76). * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem [76](#page=76). * Het vermogen om te schatten [76](#page=76). * **Optellen en aftrekken zonder inwisselen:** * Getallen leggen met MAB-materiaal [76](#page=76). * Getallen noteren in een schrijfschema [76](#page=76). * Optellen en aftrekken tot 20 zonder brug kunnen uitvoeren [76](#page=76). * Een passende schatting kunnen maken [76](#page=76). * **Optellen en aftrekken met inwisselen:** * Getallen leggen met MAB-materiaal [77](#page=77). * Getallen noteren in een schrijfschema [77](#page=77). * Optellen en aftrekken tot 20 met brug kunnen uitvoeren [77](#page=77). * Een passende schatting kunnen maken [77](#page=77). * Cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen beheersen [77](#page=77). > **Denk oplossingsgericht bij problemen:** Een nuttige strategie bij aftrekken is om problemen met een rond aftrekgetal te vermijden door de bewerking om te bouwen tot een aftrekking zonder brug [77](#page=77). --- # kijklijnen en schaduwen Kijklijnen en schaduwen worden bepaald door de manier waarop licht zich voortplant en hoe objecten de doorgang van licht belemmeren of beïnvloeden [50](#page=50). ### 7.1 Kijklijnen De kijklijnen vanuit onze ogen bepalen ons gezichtsveld [50](#page=50). * **Gezichtsveld:** Dit is het gebied dat je kunt zien. De hoek waaronder je iets ziet, wordt de gezichtshoek genoemd [50](#page=50). * **Obstakels en zichtbaarheid:** Een muur vormt een obstakel waardoor we iemand in de gang niet kunnen zien. Als iemand achter glas staat, kunnen we die persoon wel zien omdat licht door glas kan gaan [50](#page=50). * **Touw als visualisatie:** Een touwtje kan gebruikt worden om te visualiseren wat iemand kan zien. Als de lijn van het touwtje onderbroken wordt door een obstakel, kan de persoon het object achter het obstakel niet meer zien [51](#page=51). * **Factoren die zichtbaarheid beïnvloeden:** De volgende elementen spelen een rol bij het al dan niet zien van een voorwerp: * Afstand van de persoon tot het obstakel [51](#page=51). * Afstand van het obstakel tot het voorwerp [51](#page=51). * Hoogte van de persoon [51](#page=51). * Hoogte van het voorwerp [51](#page=51). > **Tip:** Oefeningen op pagina's 96-100 bieden verdere toepassing van deze concepten [51](#page=51). ### 7.2 Schaduwen Schaduwen kunnen ontstaan door verschillende lichtbronnen, zoals een lamp of de zon. Om schaduwen te begrijpen, is het essentieel om te onderzoeken hoe licht zich voortbeweegt [51](#page=51). #### 7.2.1 Lichtstralen en soorten voorwerpen Lichtstralen bewegen zich rechtlijnig voort. De interactie van lichtstralen met verschillende soorten voorwerpen bepaalt het ontstaan van schaduwen [52](#page=52): * **Ondoorzichtige voorwerpen:** Voorwerpen waar licht niet doorheen kan, zoals een muur, blokkeren lichtstralen en veroorzaken een schaduw [52](#page=52). * **Spiegelende voorwerpen:** Voorwerpen die licht weerkaatsen, zoals een spiegel, kaatsen lichtstralen terug [52](#page=52). * **Doorzichtige voorwerpen:** Voorwerpen waar licht wel doorheen kan, zoals een raam, laten lichtstralen ongehinderd passeren, waardoor er geen schaduw ontstaat [52](#page=52). > **Tip:** Een schaduw ontstaat wanneer licht op een ondoorzichtig voorwerp valt [52](#page=52). #### 7.2.2 Schaduw begrippen * **Definitie van schaduw:** Een schaduw is de projectie van een voorwerp of figuur op een oppervlak, wanneer het voorwerp zich tussen de lichtbron en het oppervlak bevindt [52](#page=52). #### 7.2.3 Vorm en grootte van schaduwen De vorm en grootte van een schaduw kunnen congruent of gelijkvormig zijn aan het oorspronkelijke voorwerp [52](#page=52). * **Invloed van afstand tot de lichtbron:** * Hoe kleiner de afstand tussen het voorwerp en de lichtbron, hoe groter de schaduw [53](#page=53). * Hoe groter de afstand tussen het voorwerp en de lichtbron, hoe kleiner de schaduw [53](#page=53). #### 7.2.4 Schaduw richting * De schaduw van een voorwerp wijst altijd weg van de lichtbron [53](#page=53). * Bij meerdere lichtbronnen kunnen er meerdere schaduwen ontstaan [53](#page=53). #### 7.2.5 Schaduwlijnen Een schaduwlijn visualiseert de straal van het licht dat de rand van de schaduw bepaalt [53](#page=53). * **Visualisatie:** Door een touw van de lichtbron naar het einde van de schaduw van een voorwerp te houden, wordt de schaduwlijn gevisualiseerd [53](#page=53). * **Losse schaduwen:** Een schaduw hangt niet vast aan een voorwerp als het voorwerp de grond niet raakt [53](#page=53). #### 7.2.6 Schaduw gevormd door de zon Vanwege de grote afstand van de zon tot de aarde lopen de lichtstralen die ons bereiken vrijwel evenwijdig aan elkaar [54](#page=54). * **Evenwijdige projectie:** De schaduw die een voorwerp door de zon wordt veroorzaakt, is een evenwijdige projectie [54](#page=54). * **Veranderende schaduw:** Door de beweging van de zon gedurende de dag draait de schaduw [54](#page=54). * **Hoogte bepalen met schaduwen:** Door de lengte van schaduwen die door de zon worden veroorzaakt te meten, kan de hoogte van een voorwerp worden bepaald [54](#page=54). --- # Aanleren van vermenigvuldigings- en deeltafels Dit onderwerp behandelt de methoden en principes voor het aanleren van vermenigvuldigings- en deeltafels bij kinderen, met een focus op inzichtelijk leren en het gebruik van strategieën ter ondersteuning van automatisering. ### 8.1 Principes voor het aanleren van tafels Het aanleren van vermenigvuldigings- en deeltafels kan zowel reconstructief als acquisitief plaatsvinden. Een reconstructieve fase richt zich op het inzichtelijk aanbrengen van de tafels, waarbij steun wordt gezocht bij gemakkelijkere vermenigvuldigingen (steunpunten). Deze aanpak vergt mogelijk een langere aanleertijd, maar leidt tot een duurzamer effect [65](#page=65). ### 8.2 Aanbrengen van de eerste maaltafels Bij het aanbrengen van de eerste maaltafels wordt gestart met een zeer concrete aanpak, waarbij concreet materiaal wordt gebruikt. Naarmate de tafels vorderen, wordt het gebruik van concreet materiaal afgebouwd en worden bijvoorbeeld kaartjes ingezet. De opbouw van de tafels gebeurt vanuit herhaalde optelling, vaak gemodelleerd met een "trap"-structuur [67](#page=67). ### 8.3 Inzetten van rekenstrategieën Nadat de tafels met de "trap"-methode zijn aangeleerd, worden rekenstrategieën ingezet om de automatisering te vergemakkelijken. Zelfs na het aanleren van enkele tafels kan men ervoor kiezen om verder te werken met de trap-methode of zich te steunen op rekenstrategieën en tafelliedjes [68](#page=68). ### 8.4 Aanbrengen van de deeltafels De deeltafels worden idealiter onmiddellijk na de corresponderende maaltafel aangeboden. Dit gebeurt door middel van verhoudingsdeling, waarbij intensief geoefend wordt met het verband tussen vermenigvuldigen en delen. Een alternatieve methode is om eerst alle maaltafels en daarna alle deeltafels aan te bieden, maar dit kan de link tussen vermenigvuldigen en delen bemoeilijken [67](#page=67). #### 8.4.1 Verhoudingsdeling Bij het aanbrengen van een deeltafel via verhoudingsdeling, zijn het totaal aantal objecten en het aantal per groepje bekend. Het doel is om het aantal groepjes te achterhalen. De link met de corresponderende maaltafel is hierbij duidelijk, waardoor de deeltafel uit de maaltafel kan worden afgeleid. Deze strategie wordt vaak gebruikt in het tweede leerjaar, waarbij de denkstrategieën niet altijd actief worden toegepast [68](#page=68). #### 8.4.2 Verdelingsdeling Bij het aanbrengen van een deeltafel via verdelingsdeling, zijn het totaal aantal objecten en het aantal groepjes bekend. Het doel is om te bepalen hoeveel er in elk groepje zit. De link met de maaltafel is aanwezig, maar het kan een andere maaltafel betreffen dan bij verhoudingsdeling [69](#page=69). ### 8.5 Kritische reflectie op handleidingen Bij het beoordelen van handleidingen voor het aanleren van tafels wordt aangeraden om de oefeningen zelf in te vullen en elke oefening te controleren door deze te koppelen aan de maaltafel. Belangrijke overwegingen zijn of er sprake is van verhoudingsdeling of verdelingsdeling, of er een geleidelijke opbouw van eenvoudig naar moeilijk is, en of figuren en tekeningen de oefening ondersteunen of overbodig zijn. Voldoende afwisseling in de oefeningen is eveneens een punt van aandacht [69](#page=69). --- # eigenschappen van specifieke veelvlakken: kubus, balk, parallellepipedum Dit onderwerp verkent de definitie, classificatie en specifieke eigenschappen van een aantal veelvoorkomende veelvlakken, waaronder de kubus, balk en het parallellepipedum [29](#page=29) [30](#page=30). ### 9.1 Algemene principes van veelvlakken Veelvlakken zijn driedimensionale figuren die uitsluitend begrensd worden door platte oppervlakken, ook wel zijvlakken genoemd. Ze kunnen alleen schuiven en niet rollen [27](#page=27). * **Vakttaal:** * **Zijvlak:** Een begrenzend veelvlak [27](#page=27). * **Hoekpunt:** Een punt waar 3 of meer zijvlakken samenkomen [27](#page=27). * **Ribbe:** Een gemeenschappelijke zijde van twee zijvlakken [27](#page=27). #### 9.1.1 Classificatie van veelvlakken Veelvlakken kunnen worden ingedeeld op basis van het aantal zijvlakken [28](#page=28). * **Viervlak:** Een veelvlak met 4 zijvlakken [28](#page=28). * **Vijfvlak:** Een veelvlak met 5 zijvlakken [28](#page=28). * **Zesvlak:** Een veelvlak met 6 zijvlakken [28](#page=28). * **Meer vlak:** Een veelvlak met meer dan 6 zijvlakken [28](#page=28). Het is niet mogelijk om een gesloten oppervlak te vormen met slechts 2 of 3 zijvlakken. Zesvlakken vormen een belangrijke groep in het basisonderwijs vanwege de link met vierhoeken. Er is een verband tussen het aantal hoekpunten, zijvlakken en ribben bij veelvlakken [28](#page=28) [29](#page=29). #### 9.1.2 Prisma's Een prisma is een veelvlak met minstens 2 evenwijdige zijvlakken, waarbij de opstaande ribben onderling evenwijdig zijn [31](#page=31). * **Opstaande ribben:** De zijkanten van een prisma [31](#page=31). **Indeling van prisma's:** * **Driezijdig prisma:** Een prisma met 3 opstaande zijvlakken, wat resulteert in een vijfvlak [32](#page=32). * **Vierzijdig prisma:** Een prisma met 4 opstaande zijvlakken, wat resulteert in een zesvlak [32](#page=32). **Eigenschappen van prisma's:** * Het aantal opstaande zijvlakken is gelijk aan het aantal zijden van het grondvlak [32](#page=32). * Het grond- en bovenvlak zijn congruente veelhoeken [32](#page=32). * Alle opstaande zijvlakken zijn parallellogrammen [32](#page=32). * Alle opstaande ribben zijn even lang [32](#page=32). ##### 9.1.2.1 Rechte prisma's Een recht prisma is een prisma waarbij de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan [32](#page=32). **Eigenschappen van rechte prisma's:** * Het aantal opstaande zijvlakken is gelijk aan het aantal zijden van het grondvlak [32](#page=32). * Grond- en bovenvlak zijn congruente veelhoeken [32](#page=32). * Alle opstaande ribben zijn even lang [32](#page=32). Elke balk en elke kubus zijn rechte prisma's [32](#page=32). ##### 9.1.2.2 Regelmatige prisma's Een regelmatig prisma is een recht prisma waarvan het grond- en bovenvlak regelmatige veelhoeken zijn [32](#page=32). **Eigenschappen van regelmatige prisma's:** * Het aantal opstaande zijvlakken is gelijk aan het aantal zijden van het grondvlak [33](#page=33). * Alle opstaande ribben zijn even lang [33](#page=33). Elke kubus is een regelmatig prisma [33](#page=33). #### 9.1.3 Piramides Een piramide is een veelvlak waarvan één zijvlak een willekeurige veelhoek is en alle andere zijvlakken samenkomen in een gemeenschappelijk hoekpunt [33](#page=33). Alle viervlakken zijn piramides [33](#page=33). ### 9.2 Specifieke veelvlakken: Kubus, Balk en Parallellepipedum #### 9.2.1 De kubus Een kubus is een zesvlak dat uitsluitend begrensd wordt door vierkanten [30](#page=30). **Eigenschappen van de kubus:** * **Zijvlakken:** 6, allen vierkanten [30](#page=30). * **Evenwijdigheid:** Overstaande zijvlakken zijn evenwijdig. Dit kan gecontroleerd worden door de kubus langs een zijvlak te tekenen [30](#page=30). * **Ribben:** 12, allen even lang. Dit kan gecontroleerd worden door ze na te meten [30](#page=30). * **Hoekpunten:** 8 [30](#page=30). #### 9.2.2 De balk Een balk is een zesvlak dat uitsluitend begrensd wordt door rechthoeken. Een balk is geen kubus omdat niet alle zijvlakken vierkanten zijn [30](#page=30). **Eigenschappen van de balk:** * **Zijvlakken:** 6, allen rechthoeken [30](#page=30). * **Evenwijdigheid:** Overstaande zijvlakken zijn evenwijdig. Dit kan gecontroleerd worden door de balk langs een zijvlak te tekenen [30](#page=30). * **Ribben:** 12, allen even lang. Dit kan gecontroleerd worden door ze na te meten [30](#page=30). * **Hoekpunten:** 8 [30](#page=30). #### 9.2.3 Het parallellepipedum Een parallellepipedum is een veelvlak met 6 zijvlakken, waarbij alle zijvlakken parallellogrammen zijn [30](#page=30). **Eigenschappen van een parallellepipedum:** * **Zijvlakken:** 6, allen parallellogrammen [30](#page=30). * **Evenwijdigheid:** Overstaande zijvlakken zijn evenwijdig. Dit kan gecontroleerd worden door het parallellepipedum langs een zijvlak te tekenen [30](#page=30). * **Ribben:** 12, allen even lang. Dit kan gecontroleerd worden door ze na te meten [30](#page=30). * **Hoekpunten:** 8 [30](#page=30). Elk parallellepipedum, elke balk en elke kubus zijn prisma's [31](#page=31). ### 9.3 Verbanden tussen vlakke figuren en veelvlakken Er is een directe relatie tussen de eigenschappen van vlakke figuren en de zijvlakken van veelvlakken [29](#page=29). * Een veelvlak waarvan alle zijvlakken vierkanten zijn, is een **kubus** [29](#page=29). * Een veelvlak waarvan alle zijvlakken rechthoeken zijn, is een **balk** [29](#page=29). * Een veelvlak waarvan alle zijvlakken parallellogrammen zijn, is een **parallellepipedum** [29](#page=29). #### 9.3.1 Eigenschappen van diagonalen in vierhoeken Diagonalen zijn lijnstukken die van een hoekpunt naar een ander niet-aanliggend hoekpunt gaan. De eigenschappen van diagonalen variëren per type vierhoek [22](#page=22) [23](#page=23). * **Vierkant:** * Diagonalen delen elkaar middendoor [23](#page=23). * Diagonalen zijn even lang [23](#page=23). * Diagonalen staan loodrecht op elkaar [23](#page=23). * **Rechthoek (geen vierkant):** * Diagonalen delen elkaar middendoor [23](#page=23). * Diagonalen zijn even lang [23](#page=23). * Diagonalen staan niet loodrecht op elkaar [23](#page=23). * **Ruit (geen vierkant):** * Diagonalen delen elkaar middendoor [23](#page=23). * Diagonalen zijn niet even lang [23](#page=23). * Diagonalen staan loodrecht op elkaar [23](#page=23). * **Parallellogram (geen rechthoek of ruit):** * Diagonalen delen elkaar middendoor [23](#page=23). * Diagonalen zijn niet even lang [23](#page=23). * Diagonalen staan niet loodrecht op elkaar [23](#page=23). * **Trapezium (geen parallellogram):** * Diagonalen delen elkaar nooit middendoor [23](#page=23). * Diagonalen zijn nooit even lang [23](#page=23). * Diagonalen staan nooit loodrecht op elkaar [23](#page=23). * **Gelijkbenig trapezium (geen parallellogram):** * Diagonalen delen elkaar nooit middendoor [23](#page=23). * Diagonalen zijn altijd even lang [23](#page=23). * Diagonalen staan soms loodrecht op elkaar [23](#page=23). * **Rechthoekig trapezium (geen parallellogram):** * Diagonalen delen elkaar nooit middendoor [23](#page=23). * Diagonalen zijn nooit even lang [23](#page=23). * Diagonalen staan soms loodrecht op elkaar [23](#page=23). * **Vlieger:** * Diagonalen delen elkaar nooit middendoor [24](#page=24). * Diagonalen zijn soms even lang [24](#page=24). * Diagonalen staan altijd loodrecht op elkaar [24](#page=24). * **Willekeurige vierhoek (geen trapezium):** * Diagonalen delen elkaar nooit middendoor [23](#page=23). * Diagonalen zijn soms even lang [24](#page=24). * Diagonalen staan soms loodrecht op elkaar [24](#page=24). --- # Basisbewerkingen vermenigvuldigen en delen Dit hoofdstuk behandelt de basisprincipes en didactiek rondom het aanleren van vermenigvuldigen en delen, met een focus op het ontwikkelen van inzicht en flexibiliteit bij leerlingen. ### 10.1 Basisbegrippen van rekenen Er zijn vier basisbewerkingen: optellen (+), aftrekken (-), vermenigvuldigen (x) en delen (:). Er zijn ook vier soorten berekeningswijzen: hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen en rekenen met een zakrekenmachine. Het doel van rekenonderwijs is om leerlingen zowel de oplossingsmethode inzichtelijk te laten aanleren en correct te verwoorden, als de meest efficiënte berekeningswijze te laten kiezen afhankelijk van de situatie [56](#page=56). #### 10.1.1 Hoofdrekenen Hoofdrekenen is niet uit het hoofd leren, maar rekenen met het hoofd door na te denken over een berekeningswijze. Het doel is flexibel en inzichtelijk een doelmatige oplossingsmethode toe te passen. Automatisatie van rekenfeiten is hiervoor noodzakelijk. Doelmatige oplossingsmethodes zijn standaardmethoden (altijd bruikbaar) en handige methodes (vereisen meer inzicht in de getalstructuur) [57](#page=57). #### 10.1.2 Cijferen Cijferen is een algoritme of recept dat een gegarandeerd juist eindresultaat oplevert bij het volgen van de regels. Het wordt toegepast bij grote getallen, waarbij de cijfers in hun rangen worden bekeken en niet meer als een volledig getal [58](#page=58). #### 10.1.3 Schattend rekenen Schattend rekenen betekent ongeveer rekenen. Het is meer dan afronden; het houdt vlot rekenen met ronde getallen en inzicht in de eigenschappen van bewerkingen in. Dit kan moeilijk zijn voor zwakke rekenaars [58](#page=58). #### 10.1.4 Rekenen met de zakrekenmachine De zakrekenmachine (ZRM) dient als controlemiddel en hulpmiddel, en beperkt het cijferwerk [58](#page=58). ### 10.2 Aanbreng basisbewerkingen #### 10.2.1 Vermenigvuldigen en delen Het leren van tafels is een veelvoorkomend probleem in het rekenonderwijs. Kinderen kunnen moeite hebben met het onder de knie krijgen van tafels, of ze wel kennen maar niet kunnen toepassen in contextsituaties. Onvoldoende beheerste tafels leiden tot grote problemen met hoofdrekenen en cijferen. Mogelijke oorzaken van moeilijkheden zijn: te vroeg starten, te weinig tijd besteed aan optellen en aftrekken, te weinig diepgaande verkenning van begrippen, te weinig tijd voor automatisatie, te weinig aanbod van rekenstrategieën en te veel nadruk op memoriseren [58](#page=58). De huidige rekendidactiek hecht belang aan zowel het proces als het product van het leren van tafels [58](#page=58). ##### 10.2.1.1 Het proces van leren van tafels Het proces bestaat uit vier fasen: 1. **Oriëntatiefase:** Inzichtelijk werken aan de betekenis van vermenigvuldiging en deling vanuit levensechte situaties [59](#page=59). 2. **Reconstructiefase:** Tafel per tafel inzichtelijk opbouwen. Leerlingen die moeite hebben met automatiseren, zullen de tafel steeds opnieuw moeten opbouwen met rekenstrategieën [59](#page=59). 3. **Consolidatiefase:** Oefenmateriaal aanbieden ter ondersteuning van het inslijpen van de tafels, bijvoorbeeld met spelletjes zoals bingo [59](#page=59). 4. **Uitbreidingsfase:** Kennis van de tafels uitbreiden. Dit omvat vermenigvuldigen en delingen boven de maal- en deeltafels, waarbij de strategie 'splitsen en verdelen' wordt toegepast (bv. 12 x 3). Ook verdelingsdeling, als aanloop naar breuken, en delingen met rest komen hier aan bod [59](#page=59). De beginsituatie voor het aanbrengen van vermenigvuldigen en delen is: * Vlot optellen en aftrekken tot 100. Bij het aanbrengen wordt gewerkt met herhaald optellen en aftrekken, oftewel tellen met sprongen [59](#page=59). * Bekendheid met concreet gestructureerd rekenmateriaal (bv. MAB-materiaal) [59](#page=59). * Bekendheid met schematische voorstellingen, zoals de getallenlijn [59](#page=59). Vanuit de oriëntatiefase wordt inzicht in het begrip verworven door kennis te maken met de begrippen en te werken van concreet naar abstract, en omgekeerd [59](#page=59). ##### 10.2.1.2 Vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan worden uitgelegd als herhaalde optelling. Het begint met het laten tellen van concreet materiaal, waarbij wordt benadrukt dat het maken van groepjes efficiënter werkt dan 1-per-1 tellen [61](#page=61). > **Voorbeeld:** > 6 + 6 + 6 + 6 kan genoteerd worden als 4 keer 6, of $4 \times 6$ [61](#page=61). Vervolgens worden oefeningen aangeboden met onzichtbare hoeveelheden [61](#page=61). ##### 10.2.1.3 Delen Delingen kunnen op twee manieren worden gelezen: verhoudingsdeling en verdelingsdeling [62](#page=62). * **Verhoudingsdeling:** Kan worden voorgesteld op de getallenlijn. Leerlingen oefenen ook de omgekeerde richting, waarbij ze een rekenverhaal verzinnen bij een abstract geformuleerde deling. Dit verwerft inzicht in het begrip deling [62](#page=62). * **Verdelingsdeling:** Het voorstellen van verdelingsdeling op de getallenlijn is problematisch, tenzij het quotiënt al bekend is. Leerlingen oefenen ook hier de omgekeerde richting door een rekenverhaal te verzinnen bij een abstract geformuleerde deling [63](#page=63). Gebruikte modellen in de oriëntatiefase zijn onder andere het groepjesmodel, het rechthoekmodel en de getallenlijn [63](#page=63). * **Groepjesmodel:** Sluit het dichtst aan bij het handelen met concreet materiaal en koppelt verhoudingsdeling aan de bijhorende vermenigvuldiging met dezelfde schematische voorstelling. Een nadeel is dat de wisseleigenschap niet wordt gevisualiseerd [63](#page=63). * **Rechthoekmodel:** Is rijker dan het groepjesmodel en maakt de wisseleigenschap zichtbaar [64](#page=64). * **Getallenlijn:** Hierbij wordt de context meer losgelaten en wordt er met getallen gewerkt. De wisseleigenschap wordt ook hier zichtbaar [64](#page=64). #### 10.2.2 (Re)constructiefase: tafels inzichtelijk aanbrengen Deze fase steunt op gemakkelijke vermenigvuldigingen (steunpunten). Dit vereist een langere aanleertijd, maar heeft een blijvender effect [65](#page=65). ### 10.3 Rekenstrategieën Diverse rekenstrategieën worden aangeboden om het begrip en de flexibiliteit bij vermenigvuldigen en delen te vergroten [66](#page=66). --- # Basisbegrippen van meetkunde: punten, lijnen en oppervlakken Dit hoofdstuk introduceert de fundamentele concepten van meetkunde, waaronder punten, lijnen en oppervlakken, als bouwstenen voor verdere geometrische studie [7](#page=7). ### 11.1 Punten, lijnen en oppervlakken #### 11.1.1 Punten Een punt in de meetkunde is een abstract begrip met geen dikte, volume of definitie, dat dient om een plaats aan te duiden. Punten worden genoteerd met een hoofdletter [7](#page=7). #### 11.1.2 Lijnen Een lijn is een verzameling van punten. Er zijn verschillende soorten lijnen [7](#page=7): * **Rechte lijnen:** Onbegrensde lijnen, genoteerd met een kleine letter [8](#page=8). * **Lijnstukken:** Een deel van een rechte lijn dat begrensd is aan twee kanten, met twee grenspunten. Notatie is bijvoorbeeld $\{AB\}$. Een lijnstuk bevindt zich op de rechte $AB$ [8](#page=8). * **Halve rechten (of halflijnen):** Een rechte die aan één kant begrensd is. Notatie is bijvoorbeeld $\{CD$ [8](#page=8). * **Gebogen lijnen:** Lijnen die niet recht zijn [7](#page=7). * **Gebroken lijnen:** Lijnen die uit meerdere rechte lijnstukken bestaan [7](#page=7). Lijnen kunnen ook worden geclassificeerd als open of gesloten. In de realiteit komen we vooral lijnstukken tegen [7](#page=7) [8](#page=8). #### 11.1.3 Oppervlakken Een oppervlak in de meetkunde wordt ervaren door beplakken, beschilderen of voelen. Een oppervlak heeft geen dikte en kan vlak of gebogen zijn [8](#page=8) [9](#page=9). #### 11.1.4 Hoeken Een hoek is een figuur gevormd door twee halve rechten met hetzelfde beginpunt, de "benen", en het gemeenschappelijke grenspunt, de "hoekpunt". De grootte van een hoek wordt bepaald door de spreiding van de benen [9](#page=9). Soorten hoeken: * **Nulhoek:** Benen vallen samen ($0^{\circ}$) [10](#page=10). * **Scherpe hoek:** Kleiner dan $90^{\circ}$ [10](#page=10). * **Rechte hoek:** Gelijk aan $90^{\circ}$ [10](#page=10). * **Stompe hoek:** Groter dan $90^{\circ}$ [10](#page=10). * **Gestrekte hoek:** Gelijk aan $180^{\circ}$ [11](#page=11). * **Overstrekte hoek:** Groter dan $180^{\circ}$ maar kleiner dan $360^{\circ}$ [11](#page=11). * **Volle hoek:** Gelijk aan $360^{\circ}$ [11](#page=11). Hoeken kunnen ook worden vergeleken door uitknippen en inpassen, en vanaf het vijfde leerjaar worden ze gemeten in graden met een geodriehoek [10](#page=10). #### 11.1.5 Diagonalen en andere lijnen in veelhoeken * **Diagonalen:** Een lijnstuk dat van een hoekpunt naar een ander niet-aanliggend hoekpunt gaat. Bij vierhoeken is dit een lijnstuk van een hoekpunt naar een overstaand hoekpunt [11](#page=11). * **Hoogtelijn:** Een rechte die door een hoekpunt van een driehoek gaat. Elke driehoek heeft drie hoogtelijnen; het snijpunt is het hoogtepunt [11](#page=11). * **Middelloodlijn:** Een rechte die door het midden van een lijnstuk gaat [11](#page=11). * **Zwaartelijn:** Een rechte die door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde van een veelhoek gaat. Het snijpunt van zwaartelijnen is het zwaartepunt [11](#page=11). ### 11.2 Vormleer: vlakke figuren Vlakke figuren zijn vlakke oppervlakken begrensd door een gesloten lijn, die gebogen, gebroken of een combinatie daarvan kan zijn [12](#page=12). #### 11.2.1 Veelhoeken en niet-veelhoeken * **Veelhoek:** Een vlakke figuur begrensd door een gesloten, gebroken lijn. Veelhoeken hebben evenveel zijden als hoeken [13](#page=13). * **Niet-veelhoek:** Een vlakke figuur begrensd door minstens één gebogen lijn [13](#page=13). Veelhoeken kunnen verder worden ingedeeld als convex (alle diagonalen vallen binnen de figuur) of concaaf (minstens één diagonaal valt niet volledig binnen de figuur) [13](#page=13). #### 11.2.2 Driehoeken Een driehoek is een veelhoek met 3 zijden en 3 hoeken [14](#page=14). Classificatie van driehoeken: * **Naar hoeken:** * Acute driehoek: alle hoeken zijn scherp [15](#page=15). * Rechtse driehoek: één rechte hoek [15](#page=15). * Stompe driehoek: één stompe hoek [15](#page=15). * **Naar zijden:** * Gelijkzijdige driehoek: alle drie zijden zijn even lang [16](#page=16). * Gelijkbenige driehoek: twee zijden zijn even lang [16](#page=16). * Ongelijkzijdige driehoek: geen enkele zijde is even lang [16](#page=16). Belangrijke eigenschap van driehoeken: de som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan een gestrekte hoek ($180^{\circ}$) [17](#page=17). #### 11.2.3 Vierhoeken Een vierhoek is een veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken [17](#page=17). Belangrijke vierhoeken: * **Vierkant:** Een vierhoek met 4 gelijke zijden en 4 gelijke hoeken. De diagonalen delen elkaar middendoor, zijn even lang en staan loodrecht op elkaar [19](#page=19) [23](#page=23). * **Rechthoek:** Een vierhoek met 4 gelijke hoeken. De diagonalen delen elkaar middendoor en zijn even lang [19](#page=19) [23](#page=23). * **Ruit:** Een vierhoek met 4 gelijke zijden. De diagonalen delen elkaar middendoor en staan loodrecht op elkaar [20](#page=20) [23](#page=23). * **Parallellogram:** Een vierhoek met 2 paar evenwijdige zijden. De diagonalen delen elkaar middendoor [21](#page=21) [23](#page=23). * **Trapezium:** Een vierhoek met 1 paar evenwijdige zijden [21](#page=21). * **Gelijkbenig trapezium:** Een trapezium waarvan de niet-evenwijdige zijden even lang zijn. De diagonalen zijn even lang [23](#page=23). * **Rechthoekig trapezium:** Een trapezium met minstens één rechte hoek [23](#page=23). * **Vlieger:** Een vierhoek waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan en één diagonaal de andere middendoor deelt [24](#page=24). #### 11.2.4 Meerhoeken Een meerhoek is een veelhoek met meer dan vier hoeken [24](#page=24). * **Regelmatige veelhoek:** Een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn. Een regelmatige n-hoek kan verdeeld worden in n gelijke driehoeken [24](#page=24). #### 11.2.5 Niet-veelhoeken * **Cirkel:** Een vlakke figuur begrensd door een gebogen lijn, waarbij alle punten op de rand even ver van het middelpunt liggen [25](#page=25). * **Middellijn (Diameter):** Een lijnstuk dat door het middelpunt gaat en de rand van de cirkel verbindt met twee punten [26](#page=26). * **Straal:** Een lijnstuk van het middelpunt naar de rand van de cirkel. De middellijn is twee keer zo lang als de straal [26](#page=26). ### 11.3 Ruimtefiguren Ruimtefiguren zijn delen van de ruimte begrensd door een gesloten oppervlak [26](#page=26). #### 11.3.1 Veelvlakken Een veelvlak is een ruimtefiguur uitsluitend begrensd door platte oppervlakken (zijvlakken). Ze kunnen enkel schuiven [27](#page=27). Belangrijke termen bij veelvlakken: * **Zijvlak:** De begrenzende veelhoeken [27](#page=27). * **Hoekpunt:** Waar 3 of meer zijvlakken samenkomen [27](#page=27). * **Ribbe:** Een gemeenschappelijke zijde van twee zijvlakken [27](#page=27). Indeling van veelvlakken op basis van het aantal zijvlakken: * **Viervlak:** 4 zijvlakken [28](#page=28). * **Vijfvlak:** 5 zijvlakken [28](#page=28). * **Zesvlak:** 6 zijvlakken [28](#page=28). * **Meer vlak:** Meer dan 6 zijvlakken [28](#page=28). #### 11.3.2 Specifieke veelvlakken * **Kubus:** Een zesvlak uitsluitend begrensd door vierkanten [30](#page=30). * **Balk:** Een zesvlak uitsluitend begrensd door rechthoeken [30](#page=30). * **Parallellepipedum:** Een zesvlak waarvan alle zijvlakken parallellogrammen zijn. Elke balk en elke kubus is een parallellepipedum [30](#page=30) [31](#page=31). #### 11.3.3 Prisma's Een prisma is een veelvlak met ten minste 2 evenwijdige zijvlakken (grond- en bovenvlak) waarvan de opstaande ribben onderling evenwijdig zijn [31](#page=31). * **Recht prisma:** Een prisma waarbij de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Elke balk en elke kubus is een recht prisma [32](#page=32). * **Regelmatig prisma:** Een recht prisma waarbij het grond- en bovenvlak regelmatige veelhoeken zijn. Elke kubus is een regelmatig prisma [32](#page=32). #### 11.3.4 Piramides Een piramide is een veelvlak waarvan één zijvlak een willekeurige veelhoek is en alle andere zijvlakken samenkomen in een gemeenschappelijk hoekpunt. Alle viervlakken zijn piramides [33](#page=33). * **Rechte piramide:** De top ligt recht boven het midden van de basis. Hierbij zijn alle opstaande ribben even lang, en alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken [34](#page=34). * **Regelmatige piramide:** Een piramide met een regelmatige veelhoek als grondvlak. Alle opstaande zijvlakken zijn congruente (gelijkbenige) driehoeken [34](#page=34). #### 11.3.5 Niet-veelvlakken Een niet-veelvlak is een ruimtefiguur begrensd door minstens één gebogen oppervlak. Ze kunnen rollen en schuiven. Omwentelingslichamen zoals de bol worden hier ook toe gerekend [34](#page=34) [35](#page=35). #### 11.3.6 Ontwikkelingen van ruimtefiguren De ontwikkeling of ontvouwing van een veelvlak is de vlakke figuur die ontstaat wanneer het veelvlak wordt 'uitgevouwen'. Verschillende ruimtefiguren hebben unieke ontwikkelingen [35](#page=35) [36](#page=36). ### 11.4 Meetkundige relaties #### 11.4.1 Evenwijdigheid en loodrechte stand * **Snijdende rechten:** Rechten die één punt gemeenschappelijk hebben [38](#page=38). * **Evenwijdige rechten:** Rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. Ze liggen steeds even ver van elkaar [38](#page=38) [39](#page=39). * **Kruisende rechten:** Rechten die niet op hetzelfde vlak liggen en elkaar dus nooit snijden [40](#page=40). * **Loodrechte rechten:** Snijdende rechten die een rechte hoek ($90^{\circ}$) vormen. De geodriehoek is een hulpmiddel om loodrechte hoeken te controleren. De middelloodlijn is een rechte die loodrecht door het midden van een lijnstuk gaat. Elk punt op de middelloodlijn ligt even ver van de grenspunten van het lijnstuk [40](#page=40) [41](#page=41). #### 11.4.2 Gelijkvormigheid en congruentie * **Gelijkvormige figuren:** Figuren die dezelfde vorm behouden maar vergroot of verkleind zijn ten opzichte van elkaar. Alle afmetingen worden volgens dezelfde verhouding vergroot of verkleind. Bij gelijkvormige veelhoeken zijn de overeenkomstige zijden vergroot of verkleind, en de overeenkomstige hoeken zijn gelijk [41](#page=41) [42](#page=42). * **Congruente figuren:** Figuren die niet alleen dezelfde vorm hebben, maar ook precies even groot zijn. Ze zijn identiek. Alle congruente figuren zijn gelijkvormig, maar niet alle gelijkvormige figuren zijn congruent [43](#page=43). #### 11.4.3 Spiegeling en symmetrie * **Spiegeling:** Een transformatie waarbij een figuur wordt gespiegeld ten opzichte van een spiegelas. De vorm, grootte en afstand tot de spiegelas blijven behouden. Links wordt rechts en omgekeerd. Het beeld in de spiegel heet het spiegelbeeld [43](#page=43) [44](#page=44). * **Spiegelas:** De lijn waar de spiegel staat [44](#page=44). * **Symmetrieas:** Een rechte spiegelas die een figuur in twee gelijke delen verdeelt, waarbij de ene helft het spiegelbeeld is van de andere [46](#page=46). #### 11.4.4 Verschuivingen en draaiingen Bij een verschuiving verandert de oriëntatie van de figuur niet [45](#page=45). ### 11.5 Ruimtelijke oriëntatie: positie en richting Het beschrijven van posities kan vanuit verschillende standpunten gebeuren: vanuit het eigen standpunt, ten opzichte van andere personen, of vanuit het standpunt van een andere leerling. Inzicht hierin kan worden ontwikkeld door activiteiten waarbij leerlingen verschillende perspectieven innemen [47](#page=47). --- Dit gedeelte van de studiegids focust op de fundamentele concepten binnen de meetkunde die relevant zijn voor het begrijpen van ruimtelijke voorstellingen, zoals aanzichten en schaduwen. ### 11.1 Kijklijnen en schaduwen Kijklijnen bepalen wat we kunnen zien en hoe we objecten waarnemen. Schaduwen worden gevormd wanneer licht wordt geblokkeerd door ondoorzichtige objecten. #### 11.1.1 Kijklijnen * Kijklijnen zijn de lijnen die onze ogen naar de buitenwereld trekken [50](#page=50). * Het geheel van alle mogelijke kijklijnen vanuit onze ogen vormt ons gezichtsveld [50](#page=50). * De hoek waaronder we iets zien, wordt de gezichtshoek genoemd [50](#page=50). * Obstakels, zoals muren, kunnen de zichtbaarheid van objecten belemmeren, terwijl doorzichtige materialen zoals glas dit niet doen [50](#page=50). * De elementen die een rol spelen bij het al dan niet zien van een voorwerp zijn: * Afstand van de persoon tot het obstakel [51](#page=51). * Afstand van het obstakel tot het voorwerp [51](#page=51). * Hoogte van de persoon [51](#page=51). * Hoogte van het voorwerp [51](#page=51). #### 11.1.2 Schaduwen Schaduwen ontstaan door de interactie van licht met objecten. * Er zijn twee soorten lichtbronnen die schaduwen kunnen veroorzaken: een lamp en de zon [51](#page=51). * Licht beweegt zich altijd in rechte lijnen, ook wel lichtstralen genoemd [52](#page=52). * **Soorten voorwerpen in relatie tot licht:** * **Ondoorzichtige voorwerpen:** Licht kan er niet doorheen, waardoor er een schaduw ontstaat [52](#page=52). * **Spiegelende voorwerpen:** Kaatsen licht terug [52](#page=52). * **Doorzichtige voorwerpen:** Licht kan erdoorheen schijnen zonder dat er een schaduw ontstaat [52](#page=52). * Een schaduw is een projectie van een voorwerp of figuur op een oppervlak wanneer het voorwerp zich tussen de lichtbron en het scherm bevindt [52](#page=52). * **Vorm en grootte van de schaduw:** * De vorm van de schaduw kan congruent of gelijkvormig zijn aan het oorspronkelijke voorwerp [52](#page=52). * De afstand tussen de lichtbron en het voorwerp bepaalt de grootte van de schaduw. Een kleinere afstand resulteert in een grotere schaduw, en een grotere afstand resulteert in een kleinere schaduw [52](#page=52) [53](#page=53). * **Richting van de schaduw:** * De schaduw wijst altijd weg van de lichtbron [53](#page=53). * Bij meerdere lichtbronnen kunnen er ook meerdere schaduwen ontstaan [53](#page=53). * **Schaduwlijnen:** Dit zijn de lijnen die de randen van de schaduw aangeven, getrokken van de lichtbron naar de uiteinden van de schaduw. Een schaduw hangt niet vast aan een voorwerp als het voorwerp de grond niet raakt [53](#page=53). * **Schaduw gevormd door de zon:** Vanwege de grote afstand van de zon tot de aarde, lopen de lichtstralen bijna evenwijdig aan elkaar. Dit resulteert in een evenwijdige projectie [54](#page=54). * **Schaduwen gebruiken om hoogte te bepalen:** Door de lengte van de schaduwen die door de zon worden veroorzaakt te meten, kan de hoogte van een voorwerp worden bepaald [54](#page=54). ### 11.2 Aanzichten en plattegronden Aanzichten en plattegronden zijn manieren om driedimensionale objecten in een tweedimensionaal vlak weer te geven. #### 11.2.1 Aanzichten Aanzichten beschrijven hoe een object eruitziet vanuit verschillende perspectieven. * De basale aanzichten zijn: * Bovenaanzicht [54](#page=54). * Vooraanzicht [54](#page=54). * Achteraanzicht [54](#page=54). * Linkeraanzicht [54](#page=54). * Rechteraanzicht [54](#page=54). * Deze begrippen krijgen invulling wanneer leerlingen bouwwerken nabouwen of bouwen, en foto's van deze bouwwerken worden besproken [54](#page=54). * Het achteraanzicht is vaak het spiegelbeeld van het vooraanzicht [55](#page=55). #### 11.2.2 Plattegronden en grondplannen Een plattegrond is een tweedimensionale weergave van de omtrek van objecten of ruimtes. Een grondplan voegt hier hoogte-informatie aan toe. * Een plattegrond ontstaat door de omtrek van de verschillende ruimtes van een gebouw of de omtrek van blokken van een bouwwerk te tekenen. Wat overblijft als het object zelf wordt weggenomen, zijn de lijnen van de plattegrond [54](#page=54) [55](#page=55). * Een grondplan is een plattegrond van een bouwwerk met hoogtegetallen. Dit is nodig omdat een plattegrond zelf niet aangeeft hoe hoog de torens waren [55](#page=55). * Het maken van een plattegrond kan door de omtrek van de blokken te tekenen en de torens één voor één te verplaatsen [55](#page=55). * Om van 3D naar 2D te gaan, kunnen blokken op een draaiplateau worden gezet. Door een lamp achter een blad te schijnen terwijl dit voor het aanzicht wordt gehouden, ontstaat een schaduw die het aanzicht representeert [55](#page=55). * Leerlingen kunnen getraind worden om aanzichten te tekenen bij gegeven bouwwerken of grondplannen. Het nabouwen van het bouwwerk kan hierbij helpen [55](#page=55). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Term | Definitie | | Negenproef | Een methode om de juistheid van een rekenkundige bewerking te controleren door de som van de cijfers van de getallen te nemen, herhaaldelijk tot een enkel cijfer, en dit te vergelijken met de som van de cijfers van het resultaat. | | Bewerking | De rekenkundige handeling die wordt uitgevoerd, zoals vermenigvuldigen, in de context van de negenproef om de resultaten van de negenproeven te combineren. | | Schrijfschema | Een gestructureerd format of een tabel waarin getallen en berekeningen worden genoteerd tijdens het leerproces, wat helpt bij het organiseren van de stappen van een bewerking. | | MAB-materiaal | Een didactisch hulpmiddel, waarschijnlijk staafjes of blokken, dat gebruikt wordt om getallen visueel voor te stellen en te manipuleren, met name bij het leggen van getallen. | | Verdelingsdeling | Een type deelsom waarbij een hoeveelheid gelijkmatig verdeeld wordt over een bepaald aantal groepen, of waarbij bepaald wordt hoeveel groepen van een bepaalde grootte er gemaakt kunnen worden. | | Opgaande deling | Een deling waarbij de rest gelijk is aan nul, wat betekent dat het deeltal exact deelbaar is door de deler. | | Deeltafels | Een reeks van sommen die de relatie tussen vermenigvuldiging en deling illustreren, vergelijkbaar met maaltafels, maar dan gericht op de omgekeerde bewerking. | | Omwentelingslichaam | Een driedimensionaal object dat ontstaat door een tweedimensionaal figuur, zoals een halve cirkel, te laten roteren om een as. | | Ontvouwing (van een veelvlak) | Een platte figuur die ontstaat door een driedimensionaal veelvlak open te vouwen, waarbij alle zijvlakken in één vlak liggen en nog steeds met elkaar verbonden zijn. | | Ontwikkeling (van een veelvlak) | Een synoniem voor de ontvouwing van een veelvlak; de platte figuur die verkregen wordt door het veelvlak open te vouwen. | | Veelvlak | Een driedimensionaal object waarvan alle zijvlakken platte veelhoeken zijn. | | Zijvlak | Een van de platte veelhoeken die de grenzen van een veelvlak vormen. | | Ribbe | De lijn die de snijpunten van twee zijvlakken van een veelvlak vormt. | | Kubus | Een veelvlak met zes identieke vierkante zijvlakken, twaalf gelijke ribben en acht hoekpunten. | | Balk | Een veelvlak met zes rechthoekige zijvlakken, waarbij tegenoverliggende zijvlakken congruent zijn. | | Piramide | Een veelvlak met een veelhoekige basis en driehoekige zijvlakken die samenkomen in één enkel punt, de top. | | Cilinder | Een omwentelingslichaam dat wordt gevormd door een rechthoek te laten roteren om een van zijn zijden, resulterend in twee cirkelvormige bases en een gebogen zijvlak. | | Snijdende rechten | Twee of meer rechten die elkaar precies in één enkel punt kruisen. | | Evenwijdige rechten | Twee of meer rechten in hetzelfde vlak die elkaar nooit snijden en dus geen gemeenschappelijk punt hebben. | | Kruisende rechten | Dit zijn rechten die niet op hetzelfde vlak liggen en elkaar daardoor nooit snijden. Ze lopen langs elkaar heen zonder elkaar te raken. | | Loodrechte rechten | Dit zijn snijdende rechten die een rechte hoek van 90 graden met elkaar vormen. Ze staan haaks op elkaar. | | Middelloodlijn | Dit is een rechte die loodrecht door het midden van een gegeven lijnstuk gaat. Elk punt op de middelloodlijn ligt even ver van de eindpunten van het lijnstuk. | | Gelijkvormige figuren | Dit zijn figuren die een verkleining of vergroting van elkaar zijn, waarbij de vorm behouden blijft, maar alle afmetingen proportioneel worden aangepast. Dit betekent dat overeenkomstige zijden in dezelfde verhouding worden vergroot of verkleind en overeenkomstige hoeken even groot zijn. | | Gelijkvormige veelhoeken | Dit zijn veelhoeken waarbij alle zijden volgens dezelfde verhouding worden vergroot of verkleind, en de grootte van de overeenkomstige hoeken gelijk is. De nadruk ligt op het herkennen van deze proportionele relaties tussen de zijden en de gelijkheid van de hoeken. | | Congruentie | Twee figuren zijn congruent als ze niet alleen dezelfde vorm hebben, maar ook precies even groot zijn. Dit betekent dat de figuren identiek zijn en volledig op elkaar passen als ze worden over elkaar gelegd. Alle congruente figuren zijn gelijkvormig, maar het omgekeerde is niet altijd waar. | | Spiegeling | Een transformatie waarbij een figuur wordt omgezet in zijn spiegelbeeld ten opzichte van een spiegelas. Bij een spiegeling blijven de vorm en de grootte van de figuur behouden, maar de oriëntatie wordt omgekeerd (links wordt rechts en vice versa). | | Spiegelbeeld | Het beeld dat ontstaat wanneer een object wordt weerkaatst in een spiegel. Het spiegelbeeld heeft dezelfde vorm en grootte als het originele object, maar is gespiegeld ten opzichte van de spiegelas. | | Spiegelas | De lijn waarlangs de spiegel wordt geplaatst en die dient als de scheidingslijn tussen een figuur en zijn spiegelbeeld. De spiegelas is de middelloodlijn van het lijnstuk dat een punt in de figuur verbindt met zijn corresponderende punt in het spiegelbeeld. | | Symmetrieas | Een rechte lijn die een figuur verdeelt in twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn. Wanneer de figuur langs deze as wordt gevouwen, vallen de twee helften precies op elkaar. | | Positie | De plaats van een object of persoon in de ruimte, beschreven vanuit een specifiek referentiepunt of gezichtspunt. Dit kan variëren afhankelijk van de waarnemer. | | Ruimtelijke oriëntatie | Het vermogen om de eigen positie en die van objecten in de ruimte te bepalen en te beschrijven, rekening houdend met verschillende gezichtspunten en relaties tussen objecten. | | Vooraanzicht | De weergave van een object of scène zoals deze gezien wordt vanaf de voorkant. Dit is een van de standaard aanzichten die gebruikt worden bij het beschrijven van ruimtelijke posities. | | Achteraanzicht | De weergave van een object of scène zoals deze gezien wordt vanaf de achterkant. Dit aanzicht is tegengesteld aan het vooraanzicht. | | Linkeraanzicht | De weergave van een object of scène zoals deze gezien wordt vanaf de linkerzijde. Dit is een van de zijdelingse aanzichten. | | Rechteraanzicht | De weergave van een object of scène zoals deze gezien wordt vanaf de rechterzijde. Dit is het andere zijdelingse aanzicht. | | Coördinaten | Een systeem van getallen of symbolen die gebruikt worden om de precieze locatie van een punt of object op een kaart, grafiek of in de ruimte aan te duiden. | | Vakcoördinaten | Een type coördinatensysteem waarbij de ruimte wordt verdeeld in rechthoekige vakken, aangeduid met een combinatie van een letter en een cijfer, zoals in een raster. | | Puntcoördinaten | Een systeem dat de exacte locatie van een punt in de ruimte bepaalt door middel van een set getallen, vaak gerelateerd aan assen, vergelijkbaar met de aanpak van vakcoördinaten. | | Horizontale as | De lijn die de breedte van een grafiek of coördinatensysteem weergeeft, meestal aangeduid met de x-as. Bij het bepalen van coördinaten wordt deze vaak als eerste gebruikt. | | Verticale as | De lijn die de hoogte van een grafiek of coördinatensysteem weergeeft, meestal aangeduid met de y-as. Bij het bepalen van coördinaten wordt deze vaak na de horizontale as gebruikt. | | Kijklijnen | De denkbeeldige lijnen die aangeven vanuit welk punt en in welke richting een object of gebied waargenomen kan worden. Deze lijnen bepalen mede het gezichtsveld. | | Cijferen | Een gestandaardiseerd stappenplan (algoritme) dat gebruikt wordt om berekeningen met getallen uit te voeren, vooral wanneer de getallen te groot zijn om direct te overzien. | | Algoritme | Een vast, systematisch stappenplan dat gevolgd wordt om een specifieke taak of berekening uit te voeren, zoals optellen of aftrekken. | | Legschema | Een visueel hulpmiddel, vaak met behulp van materiaal zoals MAB-blokjes, om getallen en hun plaatswaarden weer te geven tijdens het leerproces van rekenkundige bewerkingen. | | CSA-model | Een didactische aanpak die de overgang van concreet materiaal (legschema) naar abstracte notatie (schrijfschema) begeleidt, met verschillende fasen van samenwerking tussen leerling en leerkracht. | | Optellen zonder inwisselen | Een optelling waarbij de som van de cijfers in elke plaatswaarde (eenheden, tientallen, etc.) niet groter is dan 9, waardoor er geen overdracht naar de volgende plaatswaarde nodig is. | | Optellen met inwisselen | Een optelling waarbij de som van de cijfers in een bepaalde plaatswaarde groter is dan 9, wat vereist dat er "ingewisseld" wordt (bijvoorbeeld 10 eenheden voor 1 tiental), en dit wordt genoteerd in het schrijfschema. | | Aftrekken | Een rekenkundige bewerking waarbij het verschil tussen twee getallen wordt bepaald, wat kan gebeuren met of zonder het lenen van eenheden van de hogere plaatswaarden. | | Inwisselen (bij optellen) | Het proces waarbij 10 eenheden worden omgezet in 1 tiental, of 10 tientallen in 1 honderdtal, wanneer de som in een plaatswaarde 9 overschrijdt, om de berekening voort te zetten. | | Inwisselvak | Een extra ruimte in het schrijfschema die wordt gebruikt om de "ingewisselde" eenheden of tientallen te noteren wanneer een optelling of aftrekking met brug wordt uitgevoerd. | | Schatting | Een benaderende berekening van het resultaat van een optelling of aftrekking, die helpt om de nauwkeurigheid van de uiteindelijke cijfermatige uitkomst te controleren. | | Brug (bij optellen/aftrekken) | Verwijst naar het proces van inwisselen of lenen tussen plaatswaardes bij optellingen en aftrekkingen, waarbij een getal van de ene plaatswaarde wordt omgezet naar de andere om de bewerking mogelijk te maken. | | Kijklijn | Een denkbeeldige lijn die aangeeft vanuit welke richting een waarnemer een object kan zien. Alle mogelijke kijklijnen vanuit onze ogen bepalen ons gezichtsveld. | | Gezichtsveld | Het totale gebied dat een persoon kan zien vanuit een bepaalde positie, bepaald door alle mogelijke kijklijnen. | | Gezichtshoek | De hoek waaronder een object wordt waargenomen door een persoon. | | Obstakel | Een voorwerp dat het zicht op een ander object blokkeert, waardoor een schaduw kan ontstaan of de kijklijn onderbroken wordt. | | Lichtstraal | De baan die licht volgt, welke altijd rechtdoor gaat. Lichtstralen bepalen hoe objecten worden verlicht en hoe schaduwen ontstaan. | | Ondoorzichtig voorwerp | Een voorwerp waar licht niet doorheen kan schijnen en dat daardoor een schaduw werpt wanneer het door een lichtbron wordt beschenen. | | Spiegelend voorwerp | Een voorwerp dat licht weerkaatst in plaats van het door te laten of te absorberen. | | Doorzichtig voorwerp | Een voorwerp waar licht wel doorheen kan schijnen, waardoor er geen schaduw ontstaat. | | Schaduw | De projectie van een voorwerp op een oppervlak, veroorzaakt doordat het voorwerp het licht van een lichtbron blokkeert. | | Schaduwlijn | Een denkbeeldige lijn die de rand van een schaduw aangeeft, vaak getrokken van de lichtbron naar het einde van de schaduw. | | Evenwijdige projectie | Een type schaduw, zoals die veroorzaakt wordt door de zon, waarbij de lichtstralen als evenwijdig aan elkaar kunnen worden beschouwd vanwege de grote afstand van de lichtbron. | | (Re)constructiefase | Een fase in het aanleren van tafels waarbij het inzichtelijk aanbrengen centraal staat, steunend op gemakkelijke vermenigvuldigingen (steunpunten), wat leidt tot een langere aanleertijd maar een duurzamer effect. | | Steunpunten | Gemakkelijke vermenigvuldigingen waarop leerlingen kunnen steunen bij het aanleren van complexere tafels, wat helpt bij het opbouwen van inzicht. | | Verhoudingsdeling | Een type deelsom waarbij het totaal en het aantal per groepje bekend zijn, en het aantal groepjes gezocht moet worden, met een duidelijke link naar de corresponderende maaltafel. | | Trap (aanleren met de trap) | Een didactische methode om de eerste tafels aan te leren door concreet materiaal te gebruiken en op te bouwen vanuit herhaalde optelling, waarbij het concrete materiaal geleidelijk wordt afgebouwd. | | Rekenstrategieën | Methoden die worden ingezet na het aanleren van tafels met de trap om de automatisering te vergemakkelijken en het begrip te verdiepen. | | Automatisering | Het proces waarbij leerlingen vermenigvuldigings- en deeltafels zo goed beheersen dat ze deze zonder nadenken kunnen toepassen, wat vergemakkelijkt wordt door rekenstrategieën. | | Veelhoek | Een gesloten vlakke figuur die begrensd wordt door drie of meer zijden. | | Vierhoek | Een veelhoek met vier zijden en vier hoeken. | | Vierkant | Een vierhoek met vier gelijke zijden en vier rechte hoeken. | | Rechthoek | Een vierhoek met vier rechte hoeken. | | Ruit | Een vierhoek met vier gelijke zijden. | | Parallellogram | Een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. | | Trapezium | Een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden. | | Diagonaal | Een lijnstuk dat twee niet-aangrenzende hoekpunten van een veelhoek verbindt. | | Hoekpunt | Een punt waar drie of meer zijvlakken van een veelvlak samenkomen. | | Vermenigvuldigen | Vermenigvuldigen kan worden gezien als een herhaalde optelling, waarbij een getal een bepaald aantal keren bij zichzelf wordt opgeteld. Het wordt genoteerd met het symbool `X`. | | Delen | Delen is een bewerking die op twee manieren kan worden geïnterpreteerd: als verhoudingsdeling (hoe vaak past een getal in een ander) of als verdelingsdeling (een hoeveelheid verdelen in gelijke groepen). Het wordt genoteerd met het symbool `:`. | | Hoofdrekenen | Hoofdrekenen is het flexibel en inzichtelijk toepassen van doelmatige oplossingsmethoden met het eigen hoofd, waarbij nadenken over de berekeningswijze centraal staat. Automatisatie van rekenfeiten is hierbij noodzakelijk. | | Schattend rekenen | Schattend rekenen, ook wel ongeveer rekenen genoemd, houdt in dat men vlot rekent met ronde getallen en inzicht heeft in de eigenschappen van bewerkingen, wat verder gaat dan enkel afronden. | | Groepjesmodel | Het groepjesmodel is een visuele voorstelling die nauw aansluit bij het werken met concreet materiaal en de koppeling legt tussen verhoudingsdeling en de bijbehorende vermenigvuldiging. | | Rechthoekmodel | Het rechthoekmodel is een rijkere visuele voorstelling dan het groepjesmodel, waarbij de wisseleigenschap van vermenigvuldigen en delen zichtbaar wordt gemaakt. | | Getallenlijn | De getallenlijn is een schematische voorstelling die gebruikt kan worden om zowel vermenigvuldigingen als delingen te visualiseren, waarbij de context meer losgelaten wordt en men zich op de getallen concentreert. | | Punt | Een abstract begrip in de meetkunde dat geen dikte of volume heeft en gebruikt wordt om een specifieke locatie aan te duiden. Het is een grondbegrip van de meetkunde en wordt genoteerd met een hoofdletter. | | Lijn | Een verzameling van punten die zich in een rechte of gebogen vorm uitstrekt. Lijnen kunnen recht, gebogen, open, gesloten of gebroken zijn. | | Lijnstuk | Een deel van een rechte lijn dat aan beide kanten begrensd is door twee eindpunten. Het lijnstuk {AB} bevindt zich op de rechte AB. | | Rechte | Een onbegrensde lijn die zich in één richting oneindig uitstrekt. Een rechte wordt genoteerd met een kleine letter. | | Halve rechte (of halflrecht) | Een rechte die aan één kant begrensd is door een beginpunt. | | Oppervlak | Een plat of gebogen gebied dat geen dikte heeft en ervaren kan worden door te beplakken, te beschilderen of te voelen. | | Hoek | Een figuur gevormd door twee halve rechten met hetzelfde beginpunt, het hoekpunt. De grootte van een hoek wordt bepaald door de spreiding van de benen. | | Diagonalen | Een lijnstuk dat van een hoekpunt van een veelhoek naar een ander, niet-aanliggend hoekpunt loopt. Bij vierhoeken loopt een diagonaal naar een overstaand hoekpunt. | | Vlakke figuur | Een plat oppervlak dat begrensd wordt door een gesloten lijn. Deze lijn kan gebogen, gebroken of een combinatie van beide zijn. | | Niet-veelhoek | Een vlakke figuur die begrensd wordt door minstens één gebogen lijn. |