CÁLCULO TEORÍA 4.pdf

# El espacio R y sus generalizaciones Este tema introduce el espacio Rn, sus operaciones vectoriales básicas, y conceptos como producto escalar, norma y distancia, además de sistemas de coordenadas alternativos en R2 y R3. ### 1.1 El espacio Rn: Primeras definiciones El conjunto $R^n$ para un número natural $n$ es el producto cartesiano de $n$ copias de los números reales $R \times \dots \times R$. Sus elementos son $n$-uplas de la forma $(x_1, \dots, x_n)$, donde cada $x_i \in R$ para $i = 1, \dots, n$. Se utiliza la notación $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$ para referirse a un elemento de $R^n$ [2](#page=2). #### 1.1.1 Operaciones en Rn En $R^n$, se definen las siguientes operaciones: * **Suma de elementos**: Para $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$ y $\vec{y} = (y_1, \dots, y_n)$, la suma es $\vec{x} + \vec{y} = (x_1+y_1, \dots, x_n+y_n)$ [3](#page=3). * **Producto por escalares**: Para un escalar $\lambda \in R$ y $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$, el producto es $\lambda\vec{x} = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$ [3](#page=3). Con estas operaciones, $R^n$ tiene la estructura de un espacio vectorial. Los elementos de $R^n$ se denominan vectores [3](#page=3). #### 1.1.2 Base canónica y dimensión Los elementos de la base canónica en $R^n$ son $\vec{e}_1 = (1,0, \dots, 0)$, $\vec{e}_2 = (0,1, \dots, 0)$,..., $\vec{e}_n = (0,0, \dots, 1)$. Estos $n$ elementos forman la base canónica y definen la dimensión de $R^n$ como $n$. Cualquier vector $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$ puede expresarse como una combinación lineal de la base canónica [3](#page=3): $$ (x_1, x_2, \dots, x_n) = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + \dots + x_n\vec{e}_n $$ Los coeficientes $x_1, x_2, \dots, x_n$ son las coordenadas cartesianas del vector $\vec{x}$ [3](#page=3). #### 1.1.3 Producto escalar, norma y distancia **Definición 4.1**: El producto escalar de dos vectores $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ y $\vec{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ en $R^n$ se define como: $$ \vec{x} \cdot \vec{y} = (x_1, \dots, x_n) \cdot (y_1, \dots, y_n) = x_1y_1 + \dots + x_ny_n = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$ El resultado es un escalar [3](#page=3). La **norma** de un vector $\vec{x}$ se define a partir del producto escalar: $$ \|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2} $$ La norma representa intuitivamente la "longitud" del vector. Los vectores con norma uno se denominan vectores unitarios [3](#page=3). La **distancia** entre dos vectores (o puntos) $\vec{x}$ e $\vec{y}$ en $R^n$ se define utilizando la norma: $$ d(\vec{x}, \vec{y}) = \|\vec{y} - \vec{x}\| = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + \dots + (y_n - x_n)^2} $$ [3](#page=3). > **Tip:** La norma de un vector es su distancia al origen, y la distancia entre dos vectores es la norma de su diferencia. ##### 1.1.3.1 Ejemplos de operaciones y distancias **Ejemplo 4.1 (En $R^2$)**: Sean los vectores $\vec{x} = (1,2)$ e $\vec{y} = (3,1)$. Suma: $\vec{z} = \vec{x} + \vec{y} = (1+3, 2+1) = (4,3)$ [4](#page=4). Producto por escalar: $\vec{w} = 2\vec{x} = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2,4)$ [4](#page=4). Norma de $\vec{y}$: $\|\vec{y}\| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ [4](#page=4). Distancia entre $\vec{x}$ e $\vec{y}$: $d(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$ [4](#page=4). **Ejemplo 4.2 (En $R^3$)**: Sea el vector $\vec{v} = (1,2,1)$. Norma de $\vec{v}$: $\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ [4](#page=4). Distancia entre $(0,1,3)$ y $(1,2,1)$: $d((0,1,3), (1,2,1)) = \sqrt{(1-0)^2 + (2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$ [5](#page=5). ### 1.2 Conjuntos y puntos destacados en $R^n$ Para extender conceptos de funciones de una variable a varias variables, es fundamental comprender ciertos tipos de conjuntos y puntos en $R^n$. #### 1.2.1 Disco y bola * **Disco abierto en $R^2$**: Un disco abierto de centro $(a, b)$ y radio $r$ es el conjunto $\{(x, y) \in R^2: d((a, b), (x, y)) < r\}$ [5](#page=5). * **Disco cerrado en $R^2$**: Un disco cerrado de centro $(a, b)$ y radio $r$ es el conjunto $\{(x, y) \in R^2: d((a, b), (x, y)) \le r\}$ [5](#page=5). * En $R^3$ o $R^n$ en general, se habla de **bola abierta** (o cerrada) de centro $(x_1, \dots, x_n)$ y radio $r$, con definiciones análogas [6](#page=6). #### 1.2.2 Puntos interiores y frontera * Un punto $(a, b) \in R^2$ es un **punto interior** a un conjunto $C$ si existe un disco abierto de centro $(a, b)$ que está completamente contenido en $C$ [5](#page=5). * Un punto $(a, b)$ es un **punto frontera** de $C$ si cualquier disco abierto de centro $(a, b)$ contiene tanto puntos de $C$ como puntos fuera de $C$ [6](#page=6). * La **frontera** de un conjunto $C$ es el conjunto de todos sus puntos frontera [6](#page=6). #### 1.2.3 Conjuntos abiertos y cerrados * Un conjunto $C \subseteq R^2$ es **abierto** si es vacío o todos sus puntos son interiores. Por ejemplo, $R^2$ es un conjunto abierto [6](#page=6). * Un conjunto $C$ es **cerrado** si contiene a su frontera. Si un conjunto no tiene puntos frontera (como $R^2$), también es cerrado [6](#page=6). #### 1.2.4 Conjuntos acotados Un conjunto es **acotado** si puede ser incluido dentro de un disco (o bola en dimensiones superiores), lo que significa que su extensión es finita [6](#page=6). **Ejemplo 4.3 (Conjunto en $R^2$)**: Consideremos el conjunto $C = \{(x,y) \in R^2 : (x-1)^2+(y+2)^2 < 9\}$. Este conjunto es un disco abierto de radio 3 centrado en $(1, -2)$ [7](#page=7). Su **frontera** es la circunferencia $\{(x,y) \in R^2: (x-1)^2 +(y +2)^2 =9\}$ [7](#page=7). Todos los puntos del conjunto son **interiores**, por lo que el conjunto es **abierto** [7](#page=7). #### 1.2.5 Ortogonalidad de vectores A partir del producto escalar, se puede definir el **ángulo $\alpha$** entre dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$: $$ \cos \alpha = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|} $$ [7](#page=7). Dos vectores son **ortogonales** si y solo si su producto escalar es cero [7](#page=7). ### 1.3 Sistemas de coordenadas alternativos #### 1.3.1 Coordenadas polares en $R^2$ En $R^2 \setminus \{(0,0)\}$, cualquier punto $(x, y)$ puede definirse de forma única mediante un radio $p > 0$ y un ángulo $\theta \in [0, 2\pi)$ [8](#page=8). * $p$ es la distancia del punto al origen, $p = \sqrt{x^2+y^2} = \|(x,y)\|$ [8](#page=8). * $\theta$ es el ángulo formado por el vector $(x, y)$ y el eje $x$ positivo, medido en sentido antihorario [8](#page=8). Las ecuaciones de transformación son: * **Cartesianas a polares**: $x = p \cos \theta$ $y = p \sin \theta$ $p = \sqrt{x^2+y^2}$ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ (con atención a los signos de $x$ e $y$ para determinar el cuadrante) [8](#page=8). * **Polares a cartesianas**: $x = p \cos \theta$ $y = p \sin \theta$ [8](#page=8). **Ejemplo 4.4**: Coordenadas polares de $(2, 2\sqrt{3})$ [9](#page=9). $p = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12} = 4$. $\tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Como $x>0, y>0$, $\theta = \frac{\pi}{3}$. Coordenadas polares: $(4, \frac{\pi}{3})$. **Ejemplo 4.5**: Coordenadas cartesianas de $(2, \frac{\pi}{4})$ [9](#page=9). $x = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. $y = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Coordenadas cartesianas: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. #### 1.3.2 Coordenadas cilíndricas en $R^3$ Son una generalización de las polares a $R^3 \setminus \{(0,0,0)\}$. Se representan $(x, y)$ en polares y se mantiene la coordenada $z$. La terna es $(p, \theta, z)$ [9](#page=9). * **Cartesianas a cilíndricas**: $x = p \cos \theta$ $y = p \sin \theta$ $z = z$ $p = \sqrt{x^2+y^2}$ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ [9](#page=9). * **Cilíndricas a cartesianas**: $x = p \cos \theta$ $y = p \sin \theta$ $z = z$ [9](#page=9). **Ejemplo 4.6**: Coordenadas cartesianas de $(2, \frac{\pi}{3}, -1)$ en cilíndricas [9](#page=9). $x = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. $y = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. $z = -1$. Coordenadas cartesianas: $(1, \sqrt{3}, -1)$. #### 1.3.3 Coordenadas esféricas en $R^3$ Una terna $(p, \theta, \phi)$ donde $p > 0$, $\theta \in [0, 2\pi)$ y $\phi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ [10](#page=10). * $p$ es la distancia del punto al origen $(0,0,0)$, $p = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ [10](#page=10). * $\theta$ es el ángulo de la proyección sobre el plano $xy$ con el eje $x$ positivo (igual que en cilíndricas) [10](#page=10). * $\phi$ es el ángulo que forma el vector $(x, y, z)$ con su proyección sobre el plano $xy$ [10](#page=10). * **Cartesianas a esféricas**: $x = p \cos \phi \cos \theta$ $y = p \cos \phi \sin \theta$ $z = p \sin \phi$ $p = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ $\sin \phi = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ [10](#page=10). * **Esféricas a cartesianas**: $x = p \cos \phi \cos \theta$ $y = p \cos \phi \sin \theta$ $z = p \sin \phi$ [10](#page=10). **Ejemplo 4.7**: Coordenadas cilíndricas y esféricas de $(3, -4, -1)$ [11](#page=11). * **Cilíndricas**: $p = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$. $\tan \theta = \frac{-4}{3}$. Como $x>0, y<0$, $\theta$ está en el cuarto cuadrante, $\theta \approx 5.3559$ radianes. $z = -1$. Coordenadas cilíndricas: $(5, 5.3559, -1)$. * **Esféricas**: $p = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+16+1} = \sqrt{26}$. $\theta \approx 5.3559$ radianes (mismo que en cilíndricas). $\sin \phi = \frac{-1}{\sqrt{26}}$. $\phi = \arcsin(\frac{-1}{\sqrt{26}}) \approx -0.1974$ radianes. Coordenadas esféricas: $(\sqrt{26}, 5.3559, -0.1974)$. **Ejemplo 4.8**: Coordenadas cartesianas de $(1, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$ en esféricas [12](#page=12). $p=1, \theta=\frac{\pi}{6}, \phi=\frac{\pi}{3}$. $x = 1 \cos(\frac{\pi}{3}) \cos(\frac{\pi}{6}) = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. $y = 1 \cos(\frac{\pi}{3}) \sin(\frac{\pi}{6}) = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. $z = 1 \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Coordenadas cartesianas: $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Cada punto de $R^3 \setminus \{(0,0,0)\}$ puede expresarse en coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas [11](#page=11). --- # Funciones de varias variables: límites y continuidad Este tema extiende los conceptos de funciones de una variable a funciones de dos o más variables, centrándose en la definición formal, el cálculo y las propiedades de sus límites y continuidad. ### 2.1 Funciones de varias variables Una función de dos variables es una aplicación $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, donde $D$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ llamado dominio, y para cada par $(x, y) \in D$, la función asigna un único número real $f(x, y)$. El conjunto de valores que toma la función se denomina imagen, $f(D) \subset \mathbb{R}$. Si el dominio no se especifica explícitamente, se considera el mayor conjunto posible donde la expresión $f(x, y)$ tiene sentido [13](#page=13). #### 2.1.1 Dominio y ejemplos El dominio de una función de varias variables se determina considerando las mismas restricciones que para funciones de una variable: el argumento de una raíz par debe ser no negativo, el argumento de un logaritmo debe ser positivo, y los denominadores no pueden ser cero [13](#page=13). > **Ejemplo:** Para la función $f(x, y) = \sqrt{1+x^2 - y}$, el dominio se define por $1+x^2 - y \ge 0$, lo que implica $y \le 1+x^2$ [13](#page=13) [14](#page=14). La notación $z = f(x, y)$ se utiliza comúnmente para funciones de dos variables, donde $x$ e $y$ son variables independientes y $z$ es la variable dependiente. Este concepto se extiende a funciones de $n$ variables, $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, donde $D \subset \mathbb{R}^n$ y $f(x_1, \dots, x_n)$ es un único número real [14](#page=14). #### 2.1.2 Representación gráfica La gráfica de una función de dos variables $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es el conjunto de puntos $(x, y, f(x, y))$ en $\mathbb{R}^3$. La proyección de esta gráfica sobre el plano $xy$ coincide con el dominio, y la proyección sobre el eje $z$ coincide con la imagen [15](#page=15). Las **curvas de nivel** o curvas de contorno son conjuntos de puntos $(x, y)$ en el plano $xy$ tales que $f(x, y) = k$ para una constante $k$. Estas curvas proporcionan información sobre la forma de la superficie definida por la función. Ejemplos cotidianos incluyen mapas topográficos (altitud constante) o mapas meteorológicos (presión constante) [15](#page=15). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = x^2 + y^2 + 1$, las curvas de nivel $x^2 + y^2 = k-1$ (para $k>1$) son circunferencias centradas en el origen con radio $\sqrt{k-1}$. La gráfica de esta función es un paraboloide de revolución [16](#page=16). #### 2.1.3 Operaciones con funciones Las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y multiplicación por una constante se extienden a funciones de varias variables de manera análoga a las funciones de una variable [17](#page=17). * $(c f)(x, y) = c f(x, y)$ * $(f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y)$ * $(f \cdot g)(x, y) = f(x, y) \cdot g(x, y)$ * $(\frac{f}{g})(x, y) = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$, si $g(x, y) \neq 0$ Para que estas operaciones tengan sentido, los dominios de las funciones deben coincidir [17](#page=17). #### 2.1.4 Composición de funciones La composición de funciones de varias variables también se define. Si $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y $g: D' \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, la composición $g \circ f$ está definida si la imagen de $f$ está contenida en el dominio de $g$ [17](#page=17) [18](#page=18). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = x^2 - y^2 + xy$ y $g(x) = \cos x$, la composición $g \circ f$ es $g(f(x,y)) = \cos(x^2 - y^2 + xy)$ [18](#page=18). La composición de funciones es particularmente útil para cambios de variable. Si $h: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, entonces $h \circ g$ es una composición de funciones de varias variables [18](#page=18). ### 2.2 Límite de una función en un punto El concepto de límite para funciones de varias variables extiende la idea de aproximación. Para que el límite de $f(x, y)$ exista cuando $(x, y)$ tiende a $(a, b)$, los valores de $f(x, y)$ deben aproximarse a un valor $l$ independientemente del camino que siga $(x, y)$ para acercarse a $(a, b)$ [18](#page=18) [19](#page=19). #### 2.2.1 Definición formal de límite Formalmente, el límite de una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ en un punto $(a, b)$ es $l$, denotado como $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = l$, si para cada $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que si $0 < d((a,b), (x,y)) < \delta$ y $(x,y) \in D$, entonces $|f(x,y) - l| < \epsilon$. Aquí, $d((a,b), (x,y))$ es la distancia euclidiana entre los puntos [19](#page=19). Esta definición se puede generalizar para funciones de $n$ variables: $\lim_{(x_1, \dots, x_n) \to (a_1, \dots, a_n)} f(x_1, \dots, x_n) = l$ si para cada $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que si $0 < d((a_1, \dots, a_n), (x_1, \dots, x_n)) < \delta$ y $(x_1, \dots, x_n) \in D$, entonces $|f(x_1, \dots, x_n) - l| < \epsilon$ [19](#page=19) [20](#page=20). #### 2.2.2 Álgebra de límites Las reglas del álgebra de límites para funciones de una variable también aplican a funciones de varias variables: * $\lim_{(x,y) \to (a,b)} c f(x, y) = c \cdot l$ [20](#page=20). * $\lim_{(x,y) \to (a,b)} (f(x,y) + g(x,y)) = l + m$ [20](#page=20). * $\lim_{(x,y) \to (a,b)} (f(x,y) \cdot g(x,y)) = l \cdot m$ [20](#page=20). * $\lim_{(x,y) \to (a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \frac{l}{m}$, si $m \neq 0$ [20](#page=20). #### 2.2.3 Estrategias para el cálculo de límites Si los límites reiterados coinciden, no garantiza la existencia del límite. Si no coinciden, el límite no existe [21](#page=21). * **Límites reiterados:** Se calcula el límite fijando una variable y luego se calcula el límite de la expresión resultante con la otra variable [21](#page=21). $$ \lim_{y \to b} \left( \lim_{x \to a} f(x, y) \right) \quad \text{y} \quad \lim_{x \to a} \left( \lim_{y \to b} f(x, y) \right) $$ * **Aproximación por rectas:** Se evalúa el límite a lo largo de rectas de la forma $y = mx + k$ o $x = m'y + k'$. Si el límite depende de $m$ o $k$, entonces el límite no existe [21](#page=21) [22](#page=22). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \frac{y - x + 2xy}{1}$ evaluando en $(1,1)$ por $y=1$ y $x=1$ se obtienen límites iguales, pero esto no prueba la existencia del límite [22](#page=22). * **Aproximación por curvas:** De forma más general, se pueden usar curvas $y = g(x)$ o $x = h(y)$. Si el límite depende de la curva elegida, no existe [21](#page=21). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \frac{x^3y}{x^6 + y^2}$ en $(0,0)$, si se toma la curva $y=x^3$, el límite difiere de otros caminos, indicando que el límite no existe. La elección de la curva $y=x^3$ se debe a la estructura de las potencias en la función [22](#page=22) [23](#page=23). * **Regla del emparedado:** Si $g(x, y) \le f(x, y) \le h(x, y)$ en un disco alrededor de $(a, b)$ y $\lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x, y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} h(x, y) = l$, entonces $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = l$ [23](#page=23). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^4}$ en $(0,0)$, utilizando la regla del emparedado se demuestra que el límite es $0$ [24](#page=24). * **Propiedad del producto:** Si $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = 0$ y $g$ es una función acotada cerca de $(a,b)$, entonces $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)g(x,y) = 0$ [25](#page=25). * **Coordenadas polares:** Para funciones de dos variables, se puede realizar un cambio a coordenadas polares centradas en $(a,b)$: $x = a + \rho \cos \theta$, $y = b + \rho \sin \theta$. Se evalúa el límite cuando $\rho \to 0$ [25](#page=25). 1. Si el límite de $F(\rho, \theta)$ depende de $\theta$, el límite no existe. 2. Si $0 \le |F(\rho, \theta) - l| \le h(\rho)$ y $h(\rho) \to 0$ cuando $\rho \to 0$, entonces el límite es $l$. 3. En otros casos, no se puede concluir nada [25](#page=25). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ en $(0,0)$, el cambio a polares resulta en $f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) = \rho \cos^3 \theta$. Como $\rho \to 0$ y $\cos \theta$ está acotado, el límite es $0$ [25](#page=25). ### 2.3 Continuidad de funciones de varias variables Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es continua en un punto $(a, b) \in D$ si $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = f(a,b)$. Si esta condición no se cumple, la función es discontinua en $(a, b)$. Una función es continua en un conjunto $A \subset D$ si es continua en cada punto de $A$ [26](#page=26). Las propiedades de los límites y la definición de continuidad implican que el producto por una constante, la suma, el producto, el cociente (donde el denominador no se anula) y la composición de funciones continuas son también continuas en sus respectivos dominios de definición [26](#page=26). * Los monomios $c x^n y^m$ son continuos en $\mathbb{R}^2$. * Los polinomios (suma de monomios) son continuos en $\mathbb{R}^2$. * Las funciones racionales $\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}$ son continuas donde $Q(x, y) \neq 0$. * Funciones como exponenciales, raíces, logaritmos y trigonométricas son continuas donde están definidas y cumplen las condiciones de continuidad de sus argumentos [26](#page=26) [27](#page=27). > **Ejemplo:** $f(x, y) = e^{x^2+y}$ es continua en $\mathbb{R}^2$ porque $x^2+y$ y la función exponencial son continuas [27](#page=27). > **Ejemplo:** La función $f(x, y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ es continua en $(0,0)$ porque su límite en $(0,0)$ es $0$, que coincide con $f(0,0)$ [27](#page=27). > **Ejemplo:** La función $f(x, y) = \frac{x^2}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ es discontinua en $(0,0)$ porque el límite depende del camino de aproximación. Sin embargo, es continua en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ [27](#page=27). --- # Derivadas parciales, gradiente y derivadas de orden superior Aquí tienes un resumen detallado y completo del tema "Derivadas parciales, gradiente y derivadas de orden superior", basado en el contenido proporcionado. ## 3. Derivadas parciales, gradiente y derivadas de orden superior Este tema generaliza el concepto de derivada a funciones de varias variables, explorando las derivadas parciales, la interpretación geométrica, el gradiente y las derivadas de orden superior. ### 3.1 Derivada parcial Las derivadas parciales extienden el concepto de derivada de funciones de una variable a funciones de varias variables [28](#page=28). #### 3.1.1 Definición y notación Para una función $g: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definida en un conjunto abierto $D$, la derivada parcial con respecto a $x$ en un punto $(a, b) \in D$ se define como el límite: $$ \frac{\partial g}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a + h, b) - g(a, b)}{h} $$ siempre que el límite exista. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva formada por la intersección de la gráfica de $g$ con el plano $y = b$ [29](#page=29). De manera análoga, la derivada parcial con respecto a $y$ en el punto $(a, b) \in D$ es: $$ \frac{\partial g}{\partial y}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a, b + h) - g(a, b)}{h} $$ siempre que exista. Esta derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva formada por la intersección de la gráfica de $g$ con el plano $x = a$ en el punto $(a, b, g(a, b))$ [30](#page=30). Existen diversas notaciones para las derivadas parciales: * Con respecto a la primera variable (generalmente $x$): $\frac{\partial g}{\partial x}$, $g_x$, $D_1 g$ [30](#page=30). * Con respecto a la segunda variable (generalmente $y$): $\frac{\partial g}{\partial y}$, $g_y$, $D_2 g$ [30](#page=30). #### 3.1.2 Cálculo de derivadas parciales El cálculo de derivadas parciales se simplifica al tratar la variable respecto a la cual se deriva como la variable principal y las demás como constantes [31](#page=31). > **Tip:** Para calcular derivadas parciales, aplica las reglas de derivación habituales, pero considera las variables no involucradas en la derivación como constantes. **Ejemplo:** Para $f(x, y) = x^2 y^3$: * $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2x y^3$ (tratando $y$ como constante) [31](#page=31). * $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 (3y^2) = 3x^2 y^2$ (tratando $x$ como constante) [31](#page=31). #### 3.1.3 Derivadas parciales para funciones de más de dos variables El concepto de derivada parcial se extiende a funciones de tres o más variables. Para una función $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, la derivada parcial con respecto a $x_k$ en un punto $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ se define como la derivada de la función de una variable $h(x_k) = f(a_1, \ldots, a_{k-1}, x_k, a_{k+1}, \ldots, a_n)$ en $x_k = a_k$ [33](#page=33). **Ejemplo:** Para $f(x, y, z) = xyz^2$: * $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) = yz^2$ [33](#page=33). * $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) = xz^2$ [33](#page=33). * $\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) = 2xyz$ [33](#page=33). #### 3.1.4 Continuidad y existencia de derivadas parciales Es importante notar que una función puede tener derivadas parciales en un punto sin ser continua en él, a diferencia de las funciones de una variable donde la diferenciabilidad implica continuidad [32](#page=32). **Ejemplo:** La función $f(x, y) = \begin{cases} \frac{\arctan(xy)}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x, y) = (0,0) \end{cases}$ no es continua en $(0,0)$, pero sus derivadas parciales existen en $(0,0)$ y son ambas cero [32](#page=32). ### 3.2 Gradiente Si una función $f$ de dos variables admite derivadas parciales en un punto $(a, b)$, el vector gradiente de $f$ en $(a, b)$ se define como el vector formado por sus derivadas parciales en ese punto [33](#page=33). #### 3.2.1 Definición y notación El gradiente de $f$ en $(a, b)$ se denota como $\nabla f(a, b)$ y se define: $$ \nabla f(a, b) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(a, b), \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) \right) $$ Este vector existe en los puntos donde existen ambas derivadas parciales [33](#page=33). #### 3.2.2 Gradiente para funciones de n variables Para una función $f$ de $n$ variables $x_1, x_2, \ldots, x_n$, el gradiente en el punto $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ es un vector de $n$ componentes: $$ \nabla f(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, \ldots, a_n), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1, \ldots, a_n) \right) $$ [34](#page=34). **Ejemplo:** Para $f(x, y) = e^{x+y} + \arctan(x^2+1)$: * $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = e^{x+y} + \frac{2x}{x^2+1}$ [34](#page=34). * $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = e^{x+y}$ [34](#page=34). * El gradiente en $(0,0)$ es $\nabla f(0,0) = (1, 1)$ [34](#page=34). #### 3.2.3 Propiedad del gradiente y curvas de nivel El vector gradiente en un punto es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto [34](#page=34). ### 3.3 Derivadas de orden superior Se pueden calcular derivadas de las derivadas parciales, dando lugar a derivadas de orden superior. #### 3.3.1 Derivadas parciales segundas Si una función $f(x, y)$ tiene derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$, esta es a su vez una función que puede tener sus propias derivadas parciales. La derivada de $\frac{\partial f}{\partial x}$ con respecto a $x$ es la derivada parcial segunda $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, y la derivada de $\frac{\partial f}{\partial x}$ con respecto a $y$ es la derivada parcial mixta $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ [35](#page=35). Para una función de dos variables, existen cuatro derivadas parciales segundas posibles: * $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ * $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ * $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ * $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ . La notación para estas derivadas también varía, incluyendo $f_{xx}, f_{yx}, f_{xy}, f_{yy}$ [36](#page=36). #### 3.3.2 Matriz Hessiana Para una función que admite todas las derivadas parciales de segundo orden en un punto, se puede definir la matriz Hessiana. Para una función $f$ de dos variables en el punto $(a, b)$, la matriz Hessiana $H_f(a,b)$ es: $$ H_f(a,b) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a, b) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a, b) \end{pmatrix} $$ . La matriz Hessiana proporciona información sobre el comportamiento local de la función, similar a cómo la segunda derivada lo hace para funciones de una variable [37](#page=37). **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \ln(x^2 + e^y)$: * $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \frac{2x}{x^2 + e^y}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + e^y}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) = \frac{2(x^2 + e^y) - 2x(2x)}{(x^2 + e^y)^2} = \frac{2e^y - 2x^2}{(x^2 + e^y)^2}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y) = \frac{e^y(x^2 + e^y) - e^y(e^y)}{(x^2 + e^y)^2} = \frac{x^2 e^y}{(x^2 + e^y)^2}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y) = \frac{-2x e^y}{(x^2 + e^y)^2}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) = \frac{-2x e^y}{(x^2 + e^y)^2}$ [37](#page=37). * La matriz Hessiana en $(1,0)$ es: $$ H_f(1,0) = \begin{pmatrix} -1/4 & -1/4 \\ -1/4 & 1/4 \end{pmatrix} $$ [37](#page=37). #### 3.3.3 Teorema de Clairaut (Igualdad de derivadas cruzadas) El teorema de Clairaut establece condiciones bajo las cuales las derivadas parciales mixtas son iguales. **Teorema:** Sea $f$ una función con derivadas parciales continuas en un conjunto abierto $D$. Si existen $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ y $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ en todos los puntos de $D$, y $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ es continua en $(a,b) \in D$, entonces existe $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)$ y además: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b) $$ [38](#page=38). **Ejemplo:** Si se sabe que para una función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, las derivadas parciales son continuas y $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) = \sin(xy)$, entonces para calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,1)$, se aplica el teorema: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,1) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,1) = \sin(0 \cdot 1) = 0 $$ [38](#page=38). --- # Derivada direccional y tasas de cambio La derivada direccional extiende el concepto de tasa de cambio de una función de varias variables a direcciones arbitrarias, permitiendo analizar el comportamiento de la función en cualquier sentido y determinando las direcciones de máximo ascenso y descenso a través del gradiente [39](#page=39) [41](#page=41). ### 4.1 Definición de derivada direccional La derivada direccional de una función de dos variables $f(x, y)$ en un punto $(a, b)$ y en la dirección de un vector unitario $\vec{v} = (v_1, v_2)$ se define como el límite de la razón de cambio de la función a lo largo de esa dirección: $$D_{\vec{v}}f(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + hv_1, b + hv_2) - f(a, b)}{h}$$ siempre que el límite exista [39](#page=39). Esta definición es una generalización de las derivadas parciales. Específicamente, para los vectores unitarios canónicos $\vec{e}_1 = (1, 0)$ y $\vec{e}_2 = (0, 1)$: * $D_{\vec{e}_1}f(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ [40](#page=40). * $D_{\vec{e}_2}f(a, b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)$ [40](#page=40). Geométricamente, la derivada direccional representa la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la gráfica de la función $f(x, y)$ con un plano que contiene al punto $(a, b, f(a, b))$ y es paralelo al vector $\vec{v} = (v_1, v_2, 0)$ en el espacio tridimensional. El vector director de esta recta tangente es $(v_1, v_2, D_{\vec{v}}f(a, b))$ [40](#page=40). > **Tip:** La definición formal de la derivada direccional requiere que el límite exista. Sin embargo, existen métodos más sencillos para calcularla si se cumplen ciertas condiciones sobre las derivadas parciales de la función. ### 4.2 Cálculo de derivadas direccionales mediante el gradiente Si una función $f$ admite derivadas parciales en un entorno del punto $(a, b)$ y estas derivadas parciales son continuas en $(a, b)$, entonces la derivada direccional en la dirección de un vector unitario $\vec{v} = (v_1, v_2)$ puede calcularse eficientemente mediante el producto escalar del gradiente de $f$ en $(a, b)$ por $\vec{v}$: $$D_{\vec{v}}f(a, b) = \nabla f(a, b) \cdot \vec{v}$$ donde $\nabla f(a, b) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(a, b), \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)\right)$ es el vector gradiente de $f$ en $(a, b)$ [40](#page=40) [41](#page=41). Esta relación se generaliza fácilmente a funciones de $n$ variables, donde el gradiente es un vector con $n$ componentes y $\vec{v}$ es un vector unitario en $\mathbb{R}^n$ [40](#page=40). > **Tip:** La continuidad de las derivadas parciales es una condición *suficiente* para aplicar esta fórmula del gradiente, pero no es *necesaria*. Existen funciones que admiten derivadas direccionales en todas las direcciones sin que sus derivadas parciales sean continuas en el punto [41](#page=41). #### Ejemplo de cálculo Calcular la derivada direccional $D_{\vec{v}}f(1, 0)$ para $f(x, y) = x^2y + y^3$, donde $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$ [40](#page=40). 1. **Calcular las derivadas parciales:** $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy$ $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + 3y^2$ Estas derivadas parciales son continuas en todo $\mathbb{R}^2$ [40](#page=40) [41](#page=41). 2. **Evaluar las derivadas parciales en el punto (1, 0):** $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 0) = 2 = 0$ [1](#page=1). $\frac{\partial f}{\partial y}(1, 0) = ^2 + 3 ^2 = 1$ [1](#page=1). 3. **Formar el vector gradiente en (1, 0):** $\nabla f(1, 0) = (0, 1)$ 4. **Calcular el producto escalar con el vector dirección unitario:** $D_{\vec{v}}f(1, 0) = \nabla f(1, 0) \cdot \vec{v} = (0, 1) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right) = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ [41](#page=41). > **Example:** Para $f(x, y) = x^2y + y^3$ y $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$ en el punto $(1, 0)$, la derivada direccional es $\frac{2}{\sqrt{5}}$ [41](#page=41). ### 4.3 Direcciones de máxima variación Un concepto fundamental relacionado con la derivada direccional es la determinación de las direcciones en las que una función cambia más rápidamente (máximo ascenso) o menos rápidamente (máximo descenso) [41](#page=41). #### Teorema sobre la dirección de máxima variación Si una función $f$ admite derivadas parciales continuas en $(a, b)$ y el gradiente $\nabla f(a, b)$ es distinto del vector nulo [42](#page=42): 1. **Máxima derivada direccional:** La derivada direccional máxima de $f$ en $(a, b)$ ocurre en la dirección del vector gradiente $\nabla f(a, b)$, es decir, en la dirección del vector unitario $\frac{\nabla f(a, b)}{\|\nabla f(a, b)\|}$. El valor de esta derivada direccional máxima es la norma del gradiente, $\|\nabla f(a, b)\|$ [42](#page=42). 2. **Mínima derivada direccional:** La derivada direccional mínima de $f$ en $(a, b)$ ocurre en la dirección opuesta al gradiente, es decir, en la dirección del vector unitario $-\frac{\nabla f(a, b)}{\|\nabla f(a, b)\|}$. El valor de esta derivada direccional mínima es el negativo de la norma del gradiente, $-\|\nabla f(a, b)\|$ [42](#page=42). Si el gradiente $\nabla f(a, b)$ es el vector nulo, entonces todas las derivadas direccionales en $(a, b)$ son nulas [42](#page=42). > **Tip:** Piense en el gradiente como una flecha que señala la dirección de la subida más pronunciada en la superficie definida por la función $f$. Su magnitud indica la rapidez de esa subida. #### Ejemplo de cálculo de máximos y mínimos direccionales Calcular las direcciones de las derivadas direccionales máxima y mínima y sus valores para $f(x, y, z) = x^2 - y^2 + z$ en el punto $(1, 1, 1)$ [42](#page=42). 1. **Calcular el gradiente de $f$:** $\nabla f(x, y, z) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) = (2x, -2y, 1)$ 2. **Evaluar el gradiente en el punto (1, 1, 1):** $\nabla f(1, 1, 1) = (2 -2 1) = (2, -2, 1)$ [1](#page=1). 3. **Calcular la norma del gradiente:** $\|\nabla f(1, 1, 1)\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ [42](#page=42). 4. **Dirección de máxima derivada direccional:** La dirección es $\frac{\nabla f(1, 1, 1)}{\|\nabla f(1, 1, 1)\|} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ [42](#page=42). El valor máximo de la derivada direccional es $\|\nabla f(1, 1, 1)\| = 3$ [43](#page=43). 5. **Dirección de mínima derivada direccional:** La dirección es $-\frac{\nabla f(1, 1, 1)}{\|\nabla f(1, 1, 1)\|} = -\left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ [42](#page=42). El valor mínimo de la derivada direccional es $-\|\nabla f(1, 1, 1)\| = -3$ [43](#page=43). > **Example:** Para la función $f(x, y, z) = x^2 - y^2 + z$ en el punto $(1, 1, 1)$, la dirección de máximo ascenso es $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ con una tasa de cambio de $3$ unidades por unidad de distancia, y la dirección de máximo descenso es $(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ con una tasa de cambio de $-3$ unidades por unidad de distancia [42](#page=42) [43](#page=43). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Espacio R" | El conjunto R" es el producto cartesiano de n copias de los números reales (R x R x ... x R). Sus elementos son n-uplas de la forma (x1, x2, ..., xn), donde cada x¡ pertenece a R. Este espacio generaliza la recta (R) y el plano (R2) a dimensiones superiores y se utiliza para representar puntos o vectores en n dimensiones. | | Base canónica | La base canónica de R" está formada por n vectores unitarios, donde cada vector tiene un 1 en una posición y 0 en las demás. Por ejemplo, en R3, la base canónica es e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). Cualquier vector en R" puede expresarse como una combinación lineal de estos vectores base. | | Producto escalar | El producto escalar de dos vectores 7 = (x1, ..., xn) y j = (y1, ..., yn) en R" es un número real dado por la suma de los productos de sus componentes correspondientes: 7 · j = x1y1 + ... + xnyn = Σ(i=1 hasta n) xiyi. Es fundamental para definir la norma y la distancia entre vectores. | | Norma de un vector | La norma de un vector ī = (x1, ..., xn) en R" es su longitud o magnitud, definida como ||x|| = sqrt(x · x) = sqrt(x1^2 + ... + xn^2). Los vectores con norma uno se denominan vectores unitarios. | | Distancia entre puntos | La distancia entre dos puntos o vectores x e y en R" se define utilizando la norma de su diferencia: d(x, y) = ||x - y|| = sqrt((y1-x1)^2 + ... + (yn-xn)^2). Esta definición generaliza la noción de distancia euclidiana. | | Disco abierto | Un disco abierto en R2 con centro (a, b) y radio r es el conjunto de puntos (x, y) tales que la distancia al centro es menor que el radio: {(x, y) E R2 : d((a, b), (x, y)) < r}. Representa una región circular sin incluir su borde. | | Conjunto abierto | Un conjunto C en R" es abierto si para cada punto en C existe una bola abierta centrada en ese punto que está completamente contenida en C. Los discos abiertos y R" son ejemplos de conjuntos abiertos. | | Conjunto cerrado | Un conjunto C en R" es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. El complemento de un conjunto abierto es un conjunto cerrado, y viceversa. El conjunto vacío y R" son tanto abiertos como cerrados. | | Coordenadas polares | Un sistema de coordenadas en R2 que utiliza la distancia (p) a un punto de referencia (el origen) y el ángulo (0) con un eje fijo (generalmente el eje x). Permite describir puntos mediante (p, 0) en lugar de (x, y). | | Coordenadas cilíndricas | Una extensión de las coordenadas polares a R3, utilizando la distancia y el ángulo en el plano xy (p, 0) y manteniendo la coordenada z sin cambios. Son útiles para describir cilindros y superficies de revolución. | | Coordenadas esféricas | Un sistema de coordenadas en R3 que utiliza la distancia (p) al origen, un ángulo azimutal (0) en el plano xy y un ángulo polar (y) con el eje z. Son adecuadas para describir esferas y conos. | | Función de varias variables | Una función f : D C R" -> R que asigna a cada n-upla (x1, ..., xn) en un subconjunto D de R" un único número real f(x1, ..., xn). | | Límite de una función en un punto | El límite de una función f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es l si los valores de f(x, y) se aproximan arbitrariamente a l a medida que (x, y) se acerca a (a, b) por cualquier camino. | | Continuidad de una función | Una función f es continua en un punto (a, b) si el límite de f cuando (x, y) tiende a (a, b) existe y es igual a f(a, b). | | Derivada parcial | La derivada parcial de una función g(x, y) con respecto a x en un punto (a, b) mide la tasa de cambio de g al variar x, manteniendo y constante. Se calcula como el límite de la diferencia del cociente o, más comúnmente, derivando g(x, b) respecto a x. | | Gradiente | El gradiente de una función f(x, y) en un punto (a, b), denotado por Vf(a, b), es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f en ese punto: Vf(a, b) = (∂f/∂x(a, b), ∂f/∂y(a, b)). Indica la dirección de máximo crecimiento de la función. | | Derivadas de orden superior | Son las derivadas de las derivadas parciales. Por ejemplo, la segunda derivada parcial con respecto a x se denota como ∂²f/∂x². Las derivadas parciales cruzadas (como ∂²f/∂x∂y y ∂²f/∂y∂x) son iguales si se cumplen ciertas condiciones de continuidad. | | Matriz Hessiana | Para una función f(x, y), la matriz Hessiana Hf(a,b) es una matriz cuadrada cuyas entradas son las segundas derivadas parciales de f en el punto (a, b). Es útil para clasificar puntos críticos. | | Derivada direccional | La derivada direccional de una función f en un punto (a, b) en la dirección de un vector unitario v mide la tasa de cambio de f en esa dirección específica. Se puede calcular como el producto escalar del gradiente de f por el vector direccional. | | Curvas de nivel | Las curvas de nivel de una función f(x, y) son las curvas en el plano xy donde la función toma un valor constante, es decir, f(x, y) = k. El vector gradiente en un punto es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. |