Elektriciteit_gelijkstroom_theorie_uitbreiding_5.pdf

# Wetten van Kirchhoff en hun toepassing De wetten van Kirchhoff bieden een systematische methode voor de analyse van elektrische netwerken, met name wanneer deze complexer worden dan eenvoudige gemengde schakelingen. Deze twee fundamentele wetten, de stroomwet en de spanningswet, maken het mogelijk om onbekende stromen en spanningen in een netwerk te bepalen [2](#page=2). ### 1.1 De eerste wet van Kirchhoff: stroomwet De stroomwet van Kirchhoff, ook wel de knooppuntwet genoemd, stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenstromen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Alternatief kan men stellen dat de algebraïsche som van alle stromen in een knooppunt nul is. Conventioneel worden stromen die een knooppunt benaderen als positief beschouwd, terwijl stromen die het knooppunt verlaten negatief worden genomen, of vice versa [3](#page=3). Wiskundig kan dit worden uitgedrukt als: $I_1 + I_2 + I_4 = I_3 + I_5$ [3](#page=3). Of, als de algebraïsche som nul is, met toevloeiende stromen positief en wegvloeiende stromen negatief: $I_1 + I_2 - I_3 + I_4 - I_5 = 0$ [3](#page=3). ### 1.2 De tweede wet van Kirchhoff: spanningswet De spanningswet van Kirchhoff, ook wel de maaswet genoemd, stelt dat in elke gesloten lus (maas) van een elektrisch netwerk, de som van de spanningen van de bronnen gelijk is aan de som van de spanningsvallen over de weerstanden. Een andere formulering is dat de algebraïsche som van alle spanningen rond een gesloten lus nul is [4](#page=4). Om deze wet toe te passen, wordt een specifieke werkwijze gevolgd: 1. De spanningsreferenties van de bronnen worden correct aangeduid, van de minpool naar de pluspool [5](#page=5). 2. Bij elke weerstand wordt een willekeurige stroomzin gekozen [5](#page=5). 3. In de maas wordt een positieve omgangszin gekozen, die willekeurig bepaald wordt (met de klok mee of tegen de klok in). De wijzerzin wordt hierbij als positief beschouwd [5](#page=5). 4. Spanningsbronnen worden als positief beschouwd als hun polariteit overeenkomt met de positieve omgangszin. Stromen door weerstanden worden als positief beschouwd als hun zin overeenkomt met de positieve omgangszin [5](#page=5). De wiskundige uitdrukking voor de spanningswet, rekening houdend met de gekozen zin, is: $E_1 + E_2 - E_3 = R_1 \cdot I_1 - R_4 \cdot I_4 - R_2 \cdot I_2 + R_3 \cdot I_3$ [4](#page=4) [5](#page=5). Hierbij vertegenwoordigen $E$ de spanningen van de bronnen en $R \cdot I$ de spanningsvallen over de weerstanden, waarbij de tekens afhangen van de gekozen stromen- en omgangszinnen [4](#page=4) [5](#page=5). ### 1.3 Toepassing en analyse van netwerken Om alle stromen of spanningen in een netwerk te bepalen met behulp van de wetten van Kirchhoff, is het aantal onafhankelijke vergelijkingen gelijk aan het aantal onbekende stromen. In de praktijk past men eerst zoveel mogelijk de stroomwet toe op knooppunten om onafhankelijke vergelijkingen te verkrijgen. Vervolgens wordt de spanningswet gebruikt voor de resterende onbekenden om het systeem van vergelijkingen te completeren [6](#page=6). Het oplossen van dit systeem van $n$ vergelijkingen met $n$ onbekenden levert de gewenste waarden op [6](#page=6). > **Tip:** Als bij de berekening een negatieve stroomwaarde wordt verkregen, betekent dit dat de oorspronkelijk gekozen stroomzin voor die tak omgekeerd moest worden [6](#page=6). ### 1.4 Kirchhoff voorbeeld 1 Gegeven een netwerk met de volgende componenten: * $E_1 = 16$V [7](#page=7). * $E_2 = 12$V [7](#page=7). * $R_1 = 1.8 \Omega$ [7](#page=7). * $R_2 = 4 \Omega$ [7](#page=7). * $R_3 = 0.65 \Omega$ [7](#page=7). Het doel is om de stromen door iedere weerstand te berekenen [7](#page=7). #### 1.4.1 Oplossing via stroom- en spanningswet Na het voorbereidende werk, waarbij stroom- en omgangszinnen worden aangeduid, worden de wetten van Kirchhoff toegepast [8](#page=8). **Stroomwet in punt A en B:** In punt A geldt: $I_2 = I_1 + I_3$ [1](#page=1) [8](#page=8). In punt B geldt: $I_1 + I_3 = I_2$ [8](#page=8). Dit toont aan dat de vergelijkingen afhankelijk zijn en slechts één bruikbare stroomwetvergelijking resulteert [8](#page=8). **Spanningswet voor de kringen:** Voor de eerste kring: $E_1 = R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2$ [2](#page=2) [8](#page=8). Voor de tweede kring: $-E_2 = -R_2 \cdot I_2 - R_3 \cdot I_3$ [3](#page=3) [8](#page=8). Dit resulteert in een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden: 1. $I_1 - I_2 + I_3 = 0$ [8](#page=8) [9](#page=9). 2. $1.8 \cdot I_1 + 4 \cdot I_2 = 16$ [8](#page=8) [9](#page=9). 3. $-4 \cdot I_2 - 0.65 \cdot I_3 = -12$ [8](#page=8) [9](#page=9). Het oplossen van dit stelsel, bijvoorbeeld met behulp van matrices of substitutie, leidt tot de waarden van de stromen [9](#page=9). #### 1.4.2 Oplossingsmogelijkheid 1 (Matrixmethode) Het stelsel kan in matrixvorm worden gezet en opgelost. Door rijoperaties op de matrix toe te passen, kunnen de onbekende stromen bepaald worden. Een voorbeeld van de stappen om de matrix te vereenvoudigen [11](#page=11): De initiële matrix kan er als volgt uitzien (voor de vergelijkingen $1.8 I_1 + 4 I_2 + 0 I_3 = 16$, $0 I_1 - 4 I_2 - 0.65 I_3 = -12$, $I_1 - I_2 + I_3 = 0$): $$ \begin{pmatrix} 1.8 & 4 & 0 \\ 0 & -4 & -0.65 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Door rijoperaties kan de matrix worden gereduceerd tot een trapvorm, wat leidt tot: $1.89 \cdot I_3 = 0.96 \implies I_3 = 0.51$ A [11](#page=11). Vervolgens kan $I_2$ berekend worden: $-4 I_2 - 0.65 \cdot 0.51 = -12 \implies -4 I_2 - 0.33 = -12 \implies I_2 = 2.92$ A [11](#page=11). Ten slotte wordt $I_1$ berekend: $I_1 - 2.92 + 0.51 = 0 \implies I_1 = 2.41$ A [11](#page=11). #### 1.4.3 Oplossingsmogelijkheid 2 (Substitutie) Een alternatieve methode is het oplossen door substitutie. Hierbij worden vergelijkingen herrangschikt om variabelen uit te drukken in termen van andere variabelen [12](#page=12). Vanaf $I_1 - I_2 + I_3 = 0$ en $1.8 I_1 + 4 I_2 = 16$, kunnen we uitdrukkingen afleiden [12](#page=12). Uit $1.8 I_1 + 4 I_2 = 16$ volgt $4 I_2 = 16 - 1.8 I_1$, dus $I_2 = 4 - 0.45 I_1$ [12](#page=12) [2](#page=2). Gebruikmakend van de derde vergelijking: $-4 I_2 - 0.65 I_3 = -12$ [12](#page=12). Door substitutie van $I_3 = I_2 - I_1$ en de uitdrukking voor $I_2$, kan $I_1$ berekend worden [12](#page=12). Na substitutie en vereenvoudiging: $2.74525 I_1 = 6.6 \implies I_1 = 2.40$ A [12](#page=12). Vervolgens: $I_2 = 4 - 0.45 \cdot 2.40 = 2.92$ A [12](#page=12). En ten slotte: $I_3 = I_2 - I_1 = 2.92 - 2.40 = 0.52$ A [12](#page=12). ### 1.5 Kirchhoff voorbeeld 2 Gegeven een netwerk met: * $E_1 = 30$V [13](#page=13). * $E_2 = 20$V [13](#page=13). * $E_3 = 6$V [13](#page=13). * $R_1 = 21 \Omega$ [13](#page=13). * $R_2 = 1 \Omega$ [13](#page=13). * $R_3 = 3 \Omega$ [13](#page=13). Het doel is om de stroom door iedere weerstand te berekenen [13](#page=13). > **Tip:** Voor dit voorbeeld wordt geadviseerd om de positieve omgangszin telkens in wijzerzin te kiezen. De stroomzin door $R_1$ en $R_3$ wordt van links naar rechts gekozen, en de stroomzin door $R_2$ van rechts naar links [13](#page=13). De drie onafhankelijke vergelijkingen die uit de wetten van Kirchhoff voortkomen zijn [14](#page=14): 1. $E_1 + E_2 = R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2$ [14](#page=14). 2. $-E_2 - E_3 = -I_2 \cdot R_2 - I_3 \cdot R_3$ [14](#page=14). 3. $I_1 + I_3 = I_2$ [14](#page=14). De resultaten van de berekeningen, eventueel geverifieerd met software zoals Multisim, kunnen de stromen door elke weerstand verschaffen [15](#page=15). --- # Superpositie methode voor het berekenen van netwerken De superpositiemethode is een techniek om elektrische netwerken met meerdere bronnen te analyseren door elke bron afzonderlijk te beschouwen en de resultaten achteraf algebraïsch op te tellen [16](#page=16). ### 2.1 Principe van de superpositiemethode Wanneer een elektrisch netwerk meer dan één spannings- of stroombron bevat, kan de superpositie methode worden toegepast. Het kernprincipe is dat de bijdrage van elke bron aan de totale stroom of spanning in een bepaald deel van het netwerk afzonderlijk wordt berekend. Hierbij wordt telkens slechts één bron actief beschouwd, terwijl alle andere bronnen worden geneutraliseerd en vervangen door hun interne weerstand [16](#page=16). #### 2.1.1 Het neutraliseren van bronnen * **Spanningsbronnen:** Een actieve spanningsbron wordt vervangen door een kortgesloten kring (0 Ohm weerstand) wanneer deze buiten beschouwing wordt gelaten [17](#page=17). * **Stroombronnen:** Een actieve stroombron wordt vervangen door een open kring (oneindige weerstand) wanneer deze buiten beschouwing wordt gelaten [22](#page=22). * **Interne weerstanden:** Indien de bronnen interne weerstanden hebben, worden deze behouden en meegenomen in de berekeningen van de betreffende deelcircuits [16](#page=16). #### 2.1.2 Stappenplan voor de superpositie methode 1. **Selecteer een bron:** Kies één bron die actief zal zijn in het netwerk. 2. **Neutraliseer andere bronnen:** Vervang alle andere spanningsbronnen door kortgesloten kringen en alle andere stroombronnen door open kringen. Houd rekening met eventuele interne weerstanden van de bronnen [17](#page=17). 3. **Bereken deelresultaten:** Analyseer het resulterende netwerk (met slechts één actieve bron) en bereken de gewenste stromen of spanningen. 4. **Herhaal voor elke bron:** Herhaal stap 1 t/m 3 voor elke andere bron in het oorspronkelijke netwerk. 5. **Tel deelresultaten op:** Tel algebraïsch (rekening houdend met de richting) alle berekende deelstromen of -spanningen op om de totale stromen of spanningen in het oorspronkelijke netwerk te verkrijgen [16](#page=16). > **Tip:** Het correct bepalen van de richting van de deelstromen is cruciaal voor een accurate algebraïsche optelling aan het einde. ### 2.2 Voorbeeld van de superpositie methode Gegeven een netwerk met de volgende componenten: * $E_1 = 16\text{V}$ * $E_2 = 12\text{V}$ * $R_1 = 2\Omega$ * $R_2 = 0,8\Omega$ * $R = 4\Omega$ Gevraagd is de stroom door elke weerstand te berekenen met behulp van de superpositiemethode [17](#page=17). #### 2.2.1 Deelberekening met bron $E_1$ actief Wanneer $E_1$ actief is, wordt $E_2$ kortgesloten. De weerstand $R_2$ staat parallel aan $R$, en deze combinatie staat in serie met $R_1$ [17](#page=17). * De totale weerstand van de parallelle tak ($R_{2R}$): $$R_{2R} = \frac{R_2 \cdot R}{R_2 + R} = \frac{0,8\Omega \cdot 4\Omega}{0,8\Omega + 4\Omega} = \frac{3,2}{4,8}\Omega = 0,67\Omega$$ [18](#page=18). * De totale weerstand van het netwerk ($R_{v\text{totaal}}$): $$R_{v\text{totaal}} = R_1 + R_{2R} = 2\Omega + 0,67\Omega = 2,67\Omega$$ [18](#page=18). * De stroom geleverd door $E_1$ ($I'_1$): $$I'_1 = \frac{E_1}{R_{v\text{totaal}}} = \frac{16\text{V}}{2,67\Omega} = 6,00\text{A}$$ [18](#page=18). * De spanning over de parallelle tak ($U_{R2R}$): $$U_{R2R} = R_{2R} \cdot I'_1 = 0,67\Omega \cdot 6,00\text{A} = 4,02\text{V}$$ [18](#page=18). * De stroom door weerstand $R$ ($I'_R$): $$I'_R = \frac{U_{R2R}}{R} = \frac{4,02\text{V}}{4\Omega} = 1\text{A}$$ [18](#page=18). * De stroom door weerstand $R_2$ ($I'_2$): $$I'_2 = \frac{U_{R2R}}{R_2} = \frac{4,02\text{V}}{0,8\Omega} = 5,03\text{A}$$ [18](#page=18). #### 2.2.2 Deelberekening met bron $E_2$ actief Wanneer $E_2$ actief is, wordt $E_1$ kortgesloten. De weerstand $R_1$ staat parallel aan $R$, en deze combinatie staat in serie met $R_2$ [19](#page=19). * De totale weerstand van de parallelle tak ($R_{1R}$): $$R_{1R} = \frac{R_1 \cdot R}{R_1 + R} = \frac{2\Omega \cdot 4\Omega}{2\Omega + 4\Omega} = \frac{8}{6}\Omega = 1,33\Omega$$ [19](#page=19). * De totale weerstand van het netwerk ($R_{v\text{totaal}}$): $$R_{v\text{totaal}} = R_2 + R_{1R} = 0,8\Omega + 1,33\Omega = 2,13\Omega$$ [19](#page=19). * De stroom geleverd door $E_2$ ($I''_2$): $$I''_2 = \frac{E_2}{R_{v\text{totaal}}} = \frac{12\text{V}}{2,13\Omega} = 5,63\text{A}$$ [19](#page=19). * De spanning over de parallelle tak ($U_{R1R}$): $$U_{R1R} = R_{1R} \cdot I''_2 = 1,33\Omega \cdot 5,63\text{A} = 7,49\text{V}$$ [19](#page=19). * De stroom door weerstand $R$ ($I''_R$): $$I''_R = \frac{U_{R1R}}{R} = \frac{7,49\text{V}}{4\Omega} = 1,87\text{A}$$ [19](#page=19). * De stroom door weerstand $R_1$ ($I''_1$): $$I''_1 = \frac{U_{R1R}}{R_1} = \frac{7,49\text{V}}{2\Omega} = 3,75\text{A}$$ [19](#page=19). #### 2.2.3 Totale stromen Deelstromen worden algebraïsch opgeteld om de totale stromen te verkrijgen. De richting van de deelstromen vanuit de bronnen moet hierbij correct worden toegepast [16](#page=16). * Totale stroom door $R_1$ ($I_1$): $I_1 = I'_1 + I''_1 = 6,00\text{A} + 3,75\text{A} = 9,75\text{A}$ (De richtingen in het voorbeeld document wijken af van de som. Volgens het document is de stroom 2.25A, wat impliceert dat een van de deelstromen tegengesteld is gericht. De berekening hier is een directe optelling van de berekende deelstromen.) [20](#page=20). Correctie op basis van het document: $I_1 = 6,00\text{A} - 3,75\text{A} = 2,25\text{A}$ (aannemende dat de deelstroom $I''_1$ een tegengestelde richting heeft t.o.v. $I'_1$ in het referentiepunt) [20](#page=20). * Totale stroom door $R_2$ ($I_2$): $I_2 = I'_2 + I''_2 = 5,03\text{A} - 5,63\text{A} = -0,60\text{A}$ (De deelstroom $I''_2$ is groter en gericht in tegenovergestelde richting) [20](#page=20). Correctie op basis van het document: $I_2 = 5,03\text{A} - 5,63\text{A} = -0,60\text{A}$ (aannemende dat de deelstroom $I''_2$ een tegengestelde richting heeft t.o.v. $I'_2$ in het referentiepunt) [20](#page=20). Het document geeft aan dat de totale stroom 0,6A is, wat impliceert dat de richting van $I_2$ tegengesteld is aan de som van $I'_2$ en $I''_2$, of dat de richting van $I''_2$ in het document tegengesteld is aan de richting van $I'_2$. Volgens de berekeningen is de meest waarschijnlijke interpretatie: $I_2 = 5,03\text{A} \text{ (richting 1)} + (-5,63\text{A}) \text{ (richting 2)} = -0,60\text{A}$. De totale stroom is dan 0,60A in de tegengestelde richting van de eerste deelstroom [20](#page=20). * Totale stroom door $R$ ($I$): $I = I'_R + I''_R = 1\text{A} + 1,87\text{A} = 2,87\text{A}$ [20](#page=20). > **Tip:** Let goed op de aangenomen stromingsrichtingen. Als een berekende totale stroom negatief uitvalt, betekent dit dat de werkelijke stroom in de tegenovergestelde richting vloeit dan aanvankelijk aangenomen. ### 2.3 Extra oefeningen #### 2.3.1 Opgave 1 Gegeven: * $E_1 = 25\text{V}$ * $E_2 = 50\text{V}$ * $R_1 = 20\Omega$ * $R_2 = 40\Omega$ * $R_3 = 20\Omega$ * $R_4 = 20\Omega$ * $R = 50\Omega$ Gevraagd: Bereken de stroom door iedere weerstand [21](#page=21). Oplossing: 0,8 A; 0,23 A; 1,53 A; 0,97 A; 0,57 A [21](#page=21). #### 2.3.2 Opgave 2 Gegeven: * $I = 2\text{A}$ (stroombron) * $E = 4\text{V}$ * $R_1 = 2\Omega$ * $R_2 = 0,5\Omega$ * $R_3 = 10\Omega$ Gevraagd: Bereken de stroom door iedere weerstand [22](#page=22). Oplossing: 2 A; 1,52 A; 0,48 A [22](#page=22). --- # Ster-driehoek transformatie De ster-driehoek transformatie is een techniek om complexe elektrische schakelingen te vereenvoudigen door configuraties van drie weerstanden, die ofwel een ster- of een driehoekvorming creëren, om te zetten naar een equivalente configuratie, zodat de schakeling verder gereduceerd kan worden tot eenvoudige serie- en parallelschakelingen. Dit is essentieel wanneer directe vereenvoudiging via serieschakelingen en parallelschakelingen niet mogelijk is [23](#page=23) [24](#page=24). ### 3.1 Het nut van de ster-driehoek transformatie Bij het analyseren van elektrische netwerken is het doel vaak het vinden van de vervangingsweerstand van de gehele schakeling. In gemengde schakelingen worden eerst serieschakelingen opgelost en vervolgens parallelschakelingen. Echter, er zijn situaties waarin deze aanpak vastloopt, met name wanneer er groepen weerstanden voorkomen die in een ster- of driehoekconfiguratie zijn geschakeld. De ster-driehoek transformatie biedt hier een oplossing door een dergelijke configuratie om te zetten naar een equivalente vorm, waardoor de schakeling herleidbaar wordt tot enkel serie- en parallelschakelingen [23](#page=23) [24](#page=24). ### 3.2 Omzetting van driehoek naar ster Om een driehoekschakeling bestaande uit weerstanden $R_{ab}$, $R_{ac}$, en $R_{bc}$ te vervangen door een equivalente sterschakeling met weerstanden $R_a$, $R_b$, en $R_c$ tussen dezelfde knooppunten (a, b, c), worden de volgende formules gebruikt. De formules zelf hoeven niet van buiten geleerd te worden, maar zijn te vinden op het formuleblad [25](#page=25) [26](#page=26). De equivalente weerstanden van de sterschakeling worden berekend als: $$R_a = \frac{R_{ab} \cdot R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$ $$R_b = \frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$ $$R_c = \frac{R_{ac} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$ **Voorbeeld 1: Driehoek naar ster** [28](#page=28). Gegeven een driehoekschakeling met weerstanden: * $R_1 = 5 \Omega$ * $R_2 = 10 \Omega$ * $R_3 = 20 \Omega$ Hierbij is $R_1$ de weerstand tussen de knooppunten a en b ($R_{ab}$), $R_2$ tussen a en c ($R_{ac}$), en $R_3$ tussen b en c ($R_{bc}$). Echter, de notatie in het voorbeeld ($R_1, R_2, R_3$) wordt geïnterpreteerd als de drie weerstanden in de driehoek. We relateren deze aan de algemene formules: $R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_2$, $R_{bc} = R_3$ [28](#page=28). * $R_a = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{5 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28). * $R_b = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{5 \Omega \cdot 10 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28). * $R_c = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28). Hierbij wordt de notatie voor de weerstanden in het voorbeeld waarschijnlijk geïnterpreteerd als volgt: $R_{ab}=R_3$, $R_{ac}=R_2$, $R_{bc}=R_1$. Laten we dit corrigeren met de correcte koppeling van de gegeven waarden aan de algemene formule, uitgaande van de typische vertex-notatie: $R_{ab} = R_1$, $R_{bc} = R_2$, $R_{ca} = R_3$. Correcte berekening met de verstrekte waarden ($R_1 = 5 \Omega$, $R_2 = 10 \Omega$, $R_3 = 20 \Omega$) en de logische toewijzing aan de zijden van de driehoek: * Aanname: $R_{ab} = 5 \Omega$, $R_{bc} = 10 \Omega$, $R_{ca} = 20 \Omega$. * $R_a = \frac{R_{ab} \cdot R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{5 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28). * $R_b = \frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{5 \Omega \cdot 10 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28). * $R_c = \frac{R_{bc} \cdot R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28). Dit komt overeen met de uitkomst in het document, wat suggereert dat $R_1$, $R_2$, en $R_3$ in het voorbeeld respectievelijk $R_{ab}$, $R_{bc}$, en $R_{ac}$ (of een permutatie daarvan) vertegenwoordigen in de berekening van de sterpunten. De verstrekte berekeningen impliceren dat de weerstanden in het document gekoppeld zijn als: $R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_3$, $R_{bc} = R_2$. Hierbij: * $R_a$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'a' (dus tegengesteld aan de $R_{bc}$ weerstand) [25](#page=25). * $R_b$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'b' (dus tegengesteld aan de $R_{ac}$ weerstand) [25](#page=25). * $R_c$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'c' (dus tegengesteld aan de $R_{ab}$ weerstand) [25](#page=25). Om de berekeningen in het document te repliceren: * $R_a$ (verbonden aan knooppunt a) = $\frac{R_{ab} \cdot R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$ * $R_b$ (verbonden aan knooppunt b) = $\frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$ * $R_c$ (verbonden aan knooppunt c) = $\frac{R_{ac} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$ Met $R_1=5 \Omega, R_2=10 \Omega, R_3=20 \Omega$. De berekening in het document lijkt de weerstanden te hebben toegewezen als: $R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_3$, $R_{bc} = R_2$. Dan: * $R_a = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{5 \cdot 20}{5 + 20 + 10} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28). * $R_b = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{5 \cdot 10}{5 + 20 + 10} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28). * $R_c = \frac{R_3 \cdot R_2}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{20 \cdot 10}{5 + 20 + 10} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28). ### 3.3 Omzetting van ster naar driehoek Om een sterschakeling met weerstanden $R_a$, $R_b$, en $R_c$ te vervangen door een equivalente driehoekschakeling met weerstanden $R_{ab}$, $R_{bc}$, en $R_{ca}$ tussen dezelfde knooppunten (a, b, c), worden de volgende formules toegepast. Deze formules hoeven niet van buiten geleerd te worden [27](#page=27). De equivalente weerstanden van de driehoekschakeling worden berekend als: $$R_{ab} = R_a + R_b + \frac{R_a \cdot R_b}{R_c}$$ $$R_{bc} = R_b + R_c + \frac{R_b \cdot R_c}{R_a}$$ $$R_{ca} = R_c + R_a + \frac{R_c \cdot R_a}{R_b}$$ > **Tip:** Let op de notatie in de formules. $R_{ab}$ is de weerstand tussen knooppunt a en b. De sterweerstanden die de andere twee knooppunten (c in dit geval) verbinden, delen de som van de twee direct aan $R_{ab}$ verbonden sterweerstanden. **Voorbeeld 2: Ster naar driehoek** [29](#page=29). Gegeven een sterschakeling met weerstanden: * $R_1 = 25 \Omega$ * $R_2 = 15 \Omega$ * $R_3 = 40 \Omega$ Hierbij zijn $R_1$, $R_2$, en $R_3$ de weerstanden van de ster. We koppelen deze aan de algemene notatie: $R_a = R_1$, $R_b = R_2$, $R_c = R_3$. * $R_{ab} = R_a + R_b + \frac{R_a \cdot R_b}{R_c} = 25 \Omega + 15 \Omega + \frac{25 \Omega \cdot 15 \Omega}{40 \Omega} = 40 + \frac{375}{40} = 40 + 9.375 = 49.375 \Omega$ [29](#page=29). * $R_{bc} = R_b + R_c + \frac{R_b \cdot R_c}{R_a} = 15 \Omega + 40 \Omega + \frac{15 \Omega \cdot 40 \Omega}{25 \Omega} = 55 + \frac{600}{25} = 55 + 24 = 79 \Omega$ [29](#page=29). * $R_{ca} = R_c + R_a + \frac{R_c \cdot R_a}{R_b} = 40 \Omega + 25 \Omega + \frac{40 \Omega \cdot 25 \Omega}{15 \Omega} = 65 + \frac{1000}{15} = 65 + 66.666... \approx 131.67 \Omega$ [29](#page=29). De berekeningen in het document wijzen op een andere toewijzing van $R_1, R_2, R_3$ aan $R_a, R_b, R_c$. De formule in het document is: $R_{ab} = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_1 \cdot R_3}{R_3}$ Dit is een alternatieve (en correcte) formulering voor de omzetting van ster naar driehoek, namelijk: $R_{ab} = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_c}$ En analoog voor $R_{bc}$ en $R_{ca}$. Laten we de berekeningen in het document volgen met $R_1=25 \Omega, R_2=15 \Omega, R_3=40 \Omega$. De teller is $R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_1 \cdot R_3 = 25 \cdot 15 + 15 \cdot 40 + 25 \cdot 40 = 375 + 600 + 1000 = 1975$. * $R_{ab} = \frac{1975}{R_3} = \frac{1975}{40} = 49.375 \Omega$ [29](#page=29). * $R_{bc} = \frac{1975}{R_2} = \frac{1975}{15} = 131.666... \Omega$ [29](#page=29). * $R_{ac} = \frac{1975}{R_1} = \frac{1975}{25} = 79 \Omega$ [29](#page=29). De berekeningen in het document zijn dus correct, mits de toewijzing $R_a = R_1$, $R_b = R_2$, $R_c = R_3$ is, en de formules voor de driehoekweerstanden worden berekend met de som van de twee gerelateerde sterweerstanden gedeeld door de derde sterweerstand. ### 3.4 Complexe voorbeelden met ster-driehoek transformatie **Oefening 3: Gemengde schakeling met driehoek** [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32). Gegeven een schakeling met een bron van 100 volt diverse weerstanden, waarbij een driehoekschakeling aanwezig is. Het doel is de totale stroom $I$ te berekenen die door de bron wordt geleverd [30](#page=30) [32](#page=32). **Oplossing met stappen:** 1. **Identificeer een vereenvoudigbare parallelle schakeling binnen de driehoek:** De twee middelste weerstanden (15 $\Omega$ en 5 $\Omega$) staan parallel geschakeld. Deze worden vervangen door één vervangingsweerstand $R_v$ [31](#page=31). $$R_v = \frac{15 \Omega \cdot 5 \Omega}{15 \Omega + 5 \Omega} = \frac{75}{20} = 3.75 \Omega$$ [31](#page=31). 2. **Transformeer de driehoek naar een ster:** Nu kan de driehoek tussen de knooppunten A, B, C worden vervangen door een ster. De weerstanden in de oorspronkelijke driehoek zijn 10 $\Omega$, 20 $\Omega$, en $R_v = 3.75 \Omega$. Laten we aannemen dat de weerstanden in de driehoek $R_{AB}=10 \Omega$, $R_{AC}=20 \Omega$, en $R_{BC}=3.75 \Omega$ zijn. De sterweerstanden $R_a$ (bij knooppunt A), $R_b$ (bij knooppunt B), en $R_c$ (bij knooppunt C) worden berekend met de formules uit sectie 3.2. * $R_a = \frac{R_{AB} \cdot R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{200}{33.75} \approx 5.93 \Omega$ [31](#page=31). * $R_b = \frac{R_{AB} \cdot R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{10 \Omega \cdot 3.75 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{37.5}{33.75} \approx 1.11 \Omega$ [31](#page=31). * $R_c = \frac{R_{AC} \cdot R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{20 \Omega \cdot 3.75 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{75}{33.75} \approx 2.22 \Omega$ [31](#page=31). 3. **Vereenvoudig de resterende schakeling:** Na de transformatie staan er weerstanden in serie en parallel. * De weerstand van 10 $\Omega$ staat nu in serie met de sterweerstand $R_b$ (1.11 $\Omega$). Deze gecombineerde weerstand noemen we $R_1$. $R_1 = 1.11 \Omega + 10 \Omega = 11.11 \Omega$ [32](#page=32). * De weerstand van 30 $\Omega$ staat nu in serie met de sterweerstand $R_c$ (2.22 $\Omega$). Deze gecombineerde weerstand noemen we $R_2$. $R_2 = 2.22 \Omega + 30 \Omega = 32.22 \Omega$ [32](#page=32). 4. **Bereken de parallelle weerstand:** $R_1$ en $R_2$ staan parallel ten opzichte van elkaar. Deze worden samengevoegd tot $R_3$. $$R_3 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{11.11 \Omega \cdot 32.22 \Omega}{11.11 \Omega + 32.22 \Omega} = \frac{357.8542}{43.33} \approx 8.26 \Omega$$ [32](#page=32). 5. **Bereken de totale vervangingsweerstand:** $R_3$ staat in serie met de sterweerstand $R_a$ (5.93 $\Omega$). Dit geeft de totale vervangingsweerstand $R_{totaal}$. $R_{totaal} = R_a + R_3 = 5.93 \Omega + 8.26 \Omega = 14.19 \Omega$ [32](#page=32). 6. **Bereken de totale stroom:** Met de totale vervangingsweerstand en de bronspanning kan de totale stroom $I$ worden berekend. $I = \frac{V_{bron}}{R_{totaal}} = \frac{100 \text{ volt}}{14.19 \Omega} \approx 7.05 \text{ A}$ [32](#page=32). --- # Maasstroommethode voor netwerkanalyse De maasstroommethode is een techniek die wordt gebruikt om de stromen in elektrische netwerken te bepalen door de spanningswet van Kirchhoff toe te passen op de mazen van het netwerk [33](#page=33). ### 4.1 Introductie tot de Maasstroommethode De kern van de maasstroommethode ligt in het identificeren van gesloten kringen, mazen genoemd, binnen een elektrisch netwerk, zonder daarbij knooppunten te doorkruisen. Elk netwerk met $N$ onafhankelijke mazen zal resulteren in $N$ maasstromen, die willekeurig gekozen worden qua richting. Deze methode wordt toegepast door de tweede wet van Kirchhoff, ook wel de spanningswet genoemd, op elke maas toe te passen. Dit resulteert in een stelsel van $N$ vergelijkingen met $N$ onbekenden, wat de basis vormt voor het oplossen van de netwerkstromen. De werkelijke stroom door een specifieke weerstand wordt vervolgens berekend als de algebraïsche som van de maasstromen die door die weerstand vloeien [33](#page=33). ### 4.2 Toepassing van de Maasstroommethode Om de maasstroommethode correct toe te passen, worden de volgende stappen gevolgd [35](#page=35): 1. **Spanningswet van Kirchhoff:** De som van alle spanningen binnen een gesloten maas is gelijk aan nul [35](#page=35). 2. **Bronspanningen aanduiden:** De polariteit van de spanningsbronnen moet correct worden aangegeven, van de negatieve naar de positieve pool [35](#page=35). 3. **Maasstromen kiezen:** Een willekeurige stroomzin wordt gekozen voor elke maasstroom ($I_1, I_2,..., I_N$). Deze zin kan willekeurig zijn, bijvoorbeeld met de klok mee of tegen de klok in [33](#page=33) [35](#page=35). 4. **Omgangszin kiezen:** Een positieve omgangszin wordt gekozen voor elke maas. Deze keuze is ook willekeurig (wijzerzin of tegenwijzerzin) [35](#page=35). 5. **Spanningen en stromen positief definiëren:** Spanningsreferenties van bronnen worden als positief beschouwd als ze dezelfde zin hebben als de gekozen positieve omgangszin. Stromen door weerstanden worden eveneens als positief beschouwd als ze dezelfde zin hebben als de positieve omgangszin [35](#page=35). De methode is voltooid wanneer de spanningen over alle weerstanden in het netwerk worden bepaald door een maasstroom [33](#page=33). #### 4.2.1 Voorbeeld van de Maasstroommethode **Gegeven:** Een elektrisch netwerk met de volgende componenten en waarden [34](#page=34): * $E_1 = 50$V * $E_2 = 40$V * $R_1 = 6 \Omega$ * $R_2 = 18 \Omega$ * $R_3 = 5 \Omega$ * $R_4 = 4 \Omega$ * $R_5 = 4 \Omega$ **Gevraagd:** Bepaal de stroom door elke weerstand met behulp van de maasstroommethode [34](#page=34). **Oplossing:** We passen de tweede wet van Kirchhoff toe op de drie mazen in het netwerk, waarbij we maasstromen $I_1$, $I_2$ en $I_3$ introduceren [33](#page=33). **Vergelijkingen opstellen:** 1. **Maas 1:** Door de toepassing van de spanningswet van Kirchhoff op de eerste maas, waarbij we een bepaalde omgangszin kiezen, krijgen we de volgende vergelijking: $E_1 = I_1 \cdot R_3 + I_1 \cdot R_1 - I_2 \cdot R_3$ [36](#page=36). $50 = I_1 \cdot (5 \Omega + 6 \Omega) - I_2 \cdot 5 \Omega$ [36](#page=36). $50 = 11 I_1 - 5 I_2$ [37](#page=37). 2. **Maas 2:** Voor de tweede maas, rekening houdend met de stromen door de gemeenschappelijke weerstanden, geldt: $-E_2 = I_2 \cdot R_5 + I_2 \cdot R_3 + I_2 \cdot R_2 - I_1 \cdot R_3 - I_3 \cdot R_5$ [36](#page=36). $-40 = I_2 \cdot (4 \Omega + 5 \Omega + 18 \Omega) - I_1 \cdot 5 \Omega - I_3 \cdot 4 \Omega$ [36](#page=36). $-40 = 27 I_2 - 5 I_1 - 4 I_3$ [37](#page=37). 3. **Maas 3:** Voor de derde maas, met een specifieke omgangszin: $E_2 = I_3 \cdot R_4 + I_3 \cdot R_5 - I_2 \cdot R_5$ [36](#page=36). $40 = I_3 \cdot (4 \Omega + 4 \Omega) - I_2 \cdot 4 \Omega$ [36](#page=36). $40 = 8 I_3 - 4 I_2$ [37](#page=37). **Oplossen van het stelsel:** We herschrijven de vergelijkingen om ze gemakkelijker op te lossen. Uit vergelijking 1: $50 = 11 I_1 - 5 I_2 \implies 50 + 5 I_2 = 11 I_1 \implies I_1 = \frac{50 + 5 I_2}{11} \approx 4,55 + 0,45 I_2$ [37](#page=37). Uit vergelijking 3: $40 = 8 I_3 - 4 I_2 \implies 40 + 4 I_2 = 8 I_3 \implies I_3 = \frac{40 + 4 I_2}{8} = 5 + 0,5 I_2$ [37](#page=37). Nu substitueren we de uitdrukkingen voor $I_1$ en $I_3$ in vergelijking 2: $-40 = 27 I_2 - 5 I_1 - 4 I_3$ [37](#page=37). $-40 = 27 I_2 - 5 (4,55 + 0,45 I_2) - 4 (5 + 0,5 I_2)$ [37](#page=37). $-40 = 27 I_2 - 22,75 - 2,25 I_2 - 20 - 2 I_2$ [37](#page=37). $-40 = (27 - 2,25 - 2) I_2 - 22,75 - 20$ [37](#page=37). $-40 = 22,75 I_2 - 42,75$ [37](#page=37). $42,75 - 40 = 22,75 I_2$ [37](#page=37). $2,75 = 22,75 I_2$ [37](#page=37). $I_2 = \frac{2,75}{22,75} \approx 0,12$ A [37](#page=37). Nu we $I_2$ kennen, kunnen we $I_1$ en $I_3$ berekenen: $I_1 = 4,55 + 0,45 I_2 = 4,55 + 0,45 \cdot 0,12 = 4,55 + 0,054 \approx 4,6$ A [37](#page=37). $I_3 = 5 + 0,5 I_2 = 5 + 0,5 \cdot 0,12 = 5 + 0,06 = 5,06$ A [37](#page=37). **Resultaten:** De berekende maasstromen zijn: * $I_1 = 4,6$ A [37](#page=37). * $I_2 = 0,12$ A [37](#page=37). * $I_3 = 5,06$ A [37](#page=37). **Berekening van de werkelijke stromen door de weerstanden:** * **$R_1$:** De stroom door $R_1$ is gelijk aan $I_1$ [38](#page=38). $I_{R1} = I_1 = 4,6$ A [38](#page=38). * **$R_2$:** De stroom door $R_2$ is gelijk aan $I_2$ [38](#page=38). $I_{R2} = I_2 = 0,12$ A [38](#page=38). * **$R_3$:** De stroom door $R_3$ is de algebraïsche som van $I_1$ en $I_2$ (afhankelijk van de gekozen zin). In dit geval is de stroom $I_1 - I_2$. $I_{R3} = I_1 - I_2 = 4,6$ A $- 0,12$ A $= 4,48$ A [38](#page=38). * **$R_4$:** De stroom door $R_4$ is gelijk aan $I_3$ [38](#page=38). $I_{R4} = I_3 = 5,06$ A [38](#page=38). * **$R_5$:** De stroom door $R_5$ is de algebraïsche som van $I_3$ en $I_2$. In dit geval is de stroom $I_3 - I_2$. $I_{R5} = I_3 - I_2 = 5,06$ A $- 0,12$ A $= 4,49$ A [38](#page=38). > **Tip:** Controleer bij het toepassen van de spanningswet van Kirchhoff altijd zorgvuldig de zin van de stromen en spanningen ten opzichte van de gekozen omgangszin in de maas. Een kleine fout hierin kan leiden tot incorrecte resultaten. > **Example:** De maasstroommethode is bijzonder nuttig voor complexe netwerken met meerdere lussen waar het toepassen van de stroomwet van Kirchhoff op knooppunten snel onoverzichtelijk kan worden. Door het aantal onbekenden te koppelen aan het aantal mazen, reduceert deze methode de complexiteit van de berekening aanzienlijk. --- # Theorema van Thévenin en Norton Deze sectie behandelt de methoden om complexe elektrische netwerken te vereenvoudigen tot equivalente schakelingen met behulp van de theorema's van Thévenin en Norton [39](#page=39). ### 5.15 Theorema van Thévenin Het theorema van Thévenin stelt dat elk lineair elektrisch netwerk, bekeken tussen twee punten, vervangen kan worden door een eenvoudigere equivalente schakeling. Deze vervangschakeling, het Thévenin-equivalent, bestaat uit een spanningsbron en een weerstand in serie [39](#page=39) [40](#page=40). #### 5.15.1 Het Thévenin-equivalent Het Thévenin-equivalent wordt gekarakteriseerd door twee parameters: * **Thévenin-spanning ($U_{Th}$)**: Het potentiaalverschil tussen de open klemmen van het oorspronkelijke netwerk [40](#page=40). * **Thévenin-weerstand ($R_{Th}$)**: De weerstand die gemeten zou worden tussen de open klemmen na het uitschakelen van alle interne bronnen [40](#page=40). #### 5.15.2 Methode van Thévenin Om het Thévenin-equivalent te bepalen, worden de volgende stappen gevolgd: 1. **Bepalen van de Thévenin-spanning ($U_{Th}$)**: * Identificeer de twee klemmen (bijvoorbeeld 'a' en 'b') waartussen het netwerk geanalyseerd wordt [41](#page=41). * Verwijder de belasting (indien aanwezig) tussen deze klemmen, waardoor de klemmen open komen te staan [41](#page=41). * Bereken het potentiaalverschil tussen deze open klemmen. Als er spanningsbronnen aanwezig zijn, kan dit vaak gedaan worden met behulp van wetten zoals de wet van Ohm of Kirchhoff's wetten. Als de klemmen open staan, vloeit er geen stroom door de takken die direct aan de klemmen zijn verbonden [42](#page=42). * Voorbeeld: Als een spanningsbron $E$ in serie staat met weerstanden $R_1$ en $R_3$, en de klemmen 'a' en 'b' staan parallel over $R_3$, dan is de stroom $I = \frac{E}{R_1 + R_3}$ en de Thévenin-spanning is $U_{Th} = U_{ab} = I \cdot R_3 = \frac{E}{R_1 + R_3} \cdot R_3$ [42](#page=42). 2. **Bepalen van de Thévenin-weerstand ($R_{Th}$)**: * Schakel alle spanningsbronnen in het oorspronkelijke netwerk kort (vervang ze door een draad) en alle stroombronnen open (verwijder ze) [43](#page=43). * Bereken de equivalente weerstand die gezien wordt vanuit de open klemmen 'a' en 'b'. Dit is de weerstand die een ohmmeter zou meten [43](#page=43). * Voorbeeld: Als $R_1$ en $R_3$ parallel staan, en dit parallele netwerk staat dan in serie met $R_2$, dan is de Thévenin-weerstand $R_{Th} = (\frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3}) + R_2$ [43](#page=43). 3. **Het Thévenin-equivalent opstellen**: * Het equivalente circuit bestaat uit de berekende Thévenin-spanning $U_{Th}$ in serie met de berekende Thévenin-weerstand $R_{Th}$ [44](#page=44). * Dit equivalente netwerk gedraagt zich qua stroom en spanning op de klemmen 'a' en 'b' identiek aan het oorspronkelijke, complexere netwerk [44](#page=44). > **Tip:** Het opstellen van het Thévenin-equivalent kan zeer tijdbesparend zijn wanneer de stroom of spanning over verschillende belastingen berekend moet worden, omdat de $U_{Th}$ en $R_{Th}$ constant blijven en enkel de belasting $R_L$ verandert. #### 5.15.3 Voorbeeld van Thévenin Beschouw een netwerk met een spanningsbron $E$ van 20 volt, $R_1 = 200 \Omega$, $R_3 = 800 \Omega$ in serie, en $R_2 = 240 \Omega$ parallel aan $R_3$. De klemmen 'a' en 'b' bevinden zich aan weerszijden van $R_3$. We willen dit netwerk vervangen door een Thévenin-equivalent [42](#page=42) [43](#page=43). 1. **$U_{Th}$**: Klemmen 'a' en 'b' open. Geen stroom door $R_2$. De totale stroom is $I = \frac{E}{R_1 + R_3} = \frac{20V}{200\Omega + 800\Omega} = \frac{20}{1000}A = 0,02A$. De spanning over $R_3$ is $U_{Th} = U_{ab} = I \cdot R_3 = 0,02A \cdot 800\Omega = 16V$ [42](#page=42). 2. **$R_{Th}$**: Spanningsbron $E$ kortgesloten. $R_1$ en $R_3$ staan parallel. Hun vervangingsweerstand is $R_{1||3} = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} = \frac{200\Omega \cdot 800\Omega}{200\Omega + 800\Omega} = \frac{160000}{1000}\Omega = 160\Omega$. Deze staat in serie met $R_2$. Dus $R_{Th} = R_{1||3} + R_2 = 160\Omega + 240\Omega = 400\Omega$ [43](#page=43). 3. **Thévenin-equivalent**: Een spanningsbron van $16V$ in serie met een weerstand van $400\Omega$. ### 5.17 Theorema van Norton Net als Thévenin laat het theorema van Norton toe om elk lineair elektrisch netwerk te vervangen door een equivalent netwerk. Dit Norton-equivalent bestaat uit een ideale stroombron en een inwendige weerstand parallel geschakeld [45](#page=45). #### 5.17.1 Het Norton-equivalent Het Norton-equivalent wordt bepaald door: * **Nortonstroom ($I_N$)**: De waarde van de stroom die door de stroombron wordt geleverd. Dit is gelijk aan de kortsluitstroom tussen de twee analysenpunten [45](#page=45) [46](#page=46). * **Nortonweerstand ($R_N$)**: De inwendige weerstand van de stroombron die parallel staat met de stroombron [45](#page=45). #### 5.17.2 Methode van Norton De stappen om het Norton-equivalent te bepalen zijn vergelijkbaar met die van Thévenin: 1. **Bepalen van de Nortonstroom ($I_N$)**: * Identificeer de twee klemmen (bijvoorbeeld 'a' en 'b') [46](#page=46). * Kortsluit de klemmen 'a' en 'b' [46](#page=46). * Bereken de stroom die door deze kortsluiting vloeit. Dit is de Nortonstroom $I_N$ [46](#page=46). * Voorbeeld: Voor een netwerk met bron $E$, en weerstanden $R_1$, $R_2$, $R_3$, waarbij de kortsluiting tussen 'a' en 'b' parallel staat aan $R_3$. Eerst wordt de totale stroom $I_{totaal} = \frac{E}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}$ berekend. Vervolgens wordt de stroom door de kortsluiting (parallel aan $R_3$) berekend met de stroomdelerregel, waarbij $R_2$ de weerstand is die de stroom verdeelt met de kortsluiting (effectief $0 \Omega$ weerstand). De stroom door de kortsluiting is dan $I_N = I_{totaal} \cdot \frac{R_3}{R_3 + R_2}$ [46](#page=46). 2. **Bepalen van de Nortonweerstand ($R_N$)**: * Schakel alle bronnen uit (spanningsbronnen kortsluiten, stroombronnen openlaten) [47](#page=47). * Bereken de equivalente weerstand gezien vanuit de klemmen 'a' en 'b' [47](#page=47). * Belangrijk: De Nortonweerstand $R_N$ is identiek gelijk aan de Thévenin-weerstand $R_{Th}$. Dezelfde methode voor het berekenen van $R_{Th}$ kan hier gebruikt worden [47](#page=47). 3. **Het Norton-equivalent opstellen**: * Het equivalente circuit bestaat uit de berekende Nortonstroom $I_N$ parallel geschakeld met de berekende Nortonweerstand $R_N$ [48](#page=48). * Als een belasting $R_L$ wordt aangesloten tussen de klemmen 'a' en 'b', kan de stroom door $R_L$ berekend worden met de stroomdelerregel: $I = I_N \cdot \frac{R_N}{R_N + R_L}$ [48](#page=48). #### 5.17.3 Relatie tussen Thévenin en Norton Er bestaat een directe relatie tussen het Thévenin-equivalent en het Norton-equivalent: * De Thévenin-weerstand is gelijk aan de Nortonweerstand: $R_{Th} = R_N$ [47](#page=47). * De Thévenin-spanning is gerelateerd aan de Nortonstroom via de Thévenin-weerstand: $U_{Th} = I_N \cdot R_{Th}$ (of $I_N = \frac{U_{Th}}{R_{Th}}$) [48](#page=48). > **Tip:** Als je één van de equivalenten hebt berekend, kun je het andere equivalent direct afleiden door deze relaties te gebruiken. Dit bespaart rekenwerk. #### 5.17.4 Voorbeeld van Norton Beschouw een netwerk met een spanningsbron $E$ van 60 volt, $R_1 = 50 k\Omega$, $R_3 = 20 k\Omega$, en $R_2 = 20 k\Omega$. De klemmen 'a' en 'b' bevinden zich aan weerszijden van $R_3$. We willen dit netwerk vervangen door een Norton-equivalent. 1. **$I_N$**: Kortsluiting tussen 'a' en 'b'. De weerstand $R_2$ en de kortsluiting staan parallel aan $R_3$. We moeten de stroom door de kortsluiting berekenen. De totale weerstand in het netwerk is $R_{totaal} = R_1 + \frac{R_2 \cdot 0}{R_2 + 0} = R_1 = 50 k\Omega$. De totale stroom uit de bron is $I_{totaal} = \frac{E}{R_1} = \frac{60V}{50 k\Omega} = 1,2 mA$. Met de stroomdelerregel, de stroom door de kortsluiting (die een weerstand van $0\Omega$ heeft) is $I_N = I_{totaal} \cdot \frac{R_3}{R_3 + R_2}$ indien de kortsluiting parallel staat aan $R_3$. Echter, in het specifieke voorbeeld wordt de formule $I_N = \frac{E}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}} \cdot \frac{R_3}{R_3+R_2}$ gebruikt, wat impliceert dat de kortsluiting parallel staat aan $R_3$. Dit leidt tot $I_N = \frac{60V}{50 k\Omega + \frac{20 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{20 k\Omega + 20 k\Omega}} \cdot \frac{20 k\Omega}{20 k\Omega + 20 k\Omega} = \frac{60V}{50 k\Omega + 10 k\Omega} \cdot \frac{20 k\Omega}{40 k\Omega} = \frac{60V}{60 k\Omega} \cdot 0,5 = 1 mA \cdot 0,5 = 0,5 mA$ [46](#page=46). 2. **$R_N$**: Bron $E$ kortsluiten. $R_1$ en $R_2$ staan parallel. Dit parallele netwerk staat in serie met $R_3$. $R_N = R_3 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 20 k\Omega + \frac{50 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{50 k\Omega + 20 k\Omega} = 20 k\Omega + \frac{1000}{70} k\Omega \approx 20 k\Omega + 14,29 k\Omega = 34,29 k\Omega$ [47](#page=47). 3. **Norton-equivalent**: Een stroombron van $0,5 mA$ parallel geschakeld met een weerstand van $34,29 k\Omega$. ### 5.19 Oefeningen Deze sectie bevat diverse oefeningen die betrekking hebben op het toepassen van de theorema's van Thévenin en Norton, evenals andere methoden voor netwerkanalyse, zoals superpositie en de maasstroommethode. Specifieke voorbeelden zijn het berekenen van stromen met de methode van Thévenin [49](#page=49) [50](#page=50) [51](#page=51) [52](#page=52) [53](#page=53). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Knooppunt | Een punt in een elektrisch netwerk waar twee of meer geleiders samenkomen. Dit is een essentieel concept bij de toepassing van de wetten van Kirchhoff. | | Stroomwet van Kirchhoff (Eerste wet) | Stelt dat de som van de elektrische stromen die een knooppunt binnenkomen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Dit principe is gebaseerd op het behoud van lading. | | Spanningswet van Kirchhoff (Tweede wet) | Stelt dat de som van de spanningsverschillen over alle componenten in een gesloten kring gelijk is aan de som van de spanningen van de bronnen in die kring. Dit principe is gebaseerd op het behoud van energie. | | Maas | Een gesloten pad of kring in een elektrisch netwerk dat geen andere gesloten paden of knooppunten bevat. De maasstroommethode analyseert het netwerk door stromen toe te kennen aan elke maas. | | Maasstroom | Een hypothetische stroom die door een maas in een elektrisch netwerk vloeit. De werkelijke stroom door een component is de algebraïsche som van de maasstromen die erdoorheen lopen. | | Superpositie methode | Een analysemethode voor lineaire elektrische netwerken met meerdere bronnen. Hierbij wordt elke bron afzonderlijk beschouwd om de bijdrage aan de totale stroom of spanning te bepalen, waarna deze bijdragen algebraïsch worden opgeteld. | | Ster-driehoek transformatie | Een techniek om bepaalde configuraties van weerstanden in een elektrisch netwerk te vereenvoudigen. Een sterschakeling (Y) kan worden omgezet in een driehoekschakeling (Δ), en vice versa, om het netwerk te reduceren tot serie- en parallelschakelingen. | | Vervangweerstand | De totale weerstand van een complex netwerk die gelijk is aan de weerstand van een enkele weerstand die dezelfde stroom zou laten lopen bij dezelfde aangelegde spanning. Dit is essentieel voor het vereenvoudigen van schakelingen. | | Thévenin-equivalent | Een methode om een lineair tweepoortnetwerk te vervangen door een equivalente schakeling die bestaat uit een enkele spanningsbron ($V_{Th}$) en een in serie geschakelde weerstand ($R_{Th}$). Dit vereenvoudigt de analyse van complexe netwerken. | | Thévenin-spanning ($V_{Th}$) | De open-klemspanning gemeten over de twee punten van het netwerk dat wordt vervangen door het Thévenin-equivalent. Het is het spanningsverschil wanneer er geen externe belasting is aangesloten. | | Thévenin-weerstand ($R_{Th}$) | De equivalente weerstand van het netwerk gemeten tussen de twee punten, nadat alle interne spanningsbronnen kortgesloten en stroombronnen opengelaten zijn. | | Norton-equivalent | Een methode om een lineair tweepoortnetwerk te vervangen door een equivalente schakeling die bestaat uit een enkele stroombron ($I_N$) en een parallel geschakelde weerstand ($R_N$). De Nortonstroom ($I_N$) is gelijk aan de kortsluitstroom van de twee punten. | | Nortonstroom ($I_N$) | De stroom die vloeit wanneer de twee klemmen van het netwerk worden kortgesloten. Dit is de stroomwaarde van de Nortonstroombron in het Norton-equivalent. | | Nortonweerstand ($R_N$) | De equivalente weerstand van het netwerk gemeten tussen de twee punten, nadat alle interne spanningsbronnen kortgesloten en stroombronnen opengelaten zijn. Deze is identiek aan de Thévenin-weerstand ($R_{Th}$). |