HS1 slides.pdf

# Lineaire kinematica en vectoren Dit onderwerp introduceert de fundamentele concepten van lineaire kinematica, beginnend bij de definitie van beweging en de rol van een referentiestelsel, en gaat vervolgens dieper in op plaatsbepaling en de onderscheiding tussen scalaire en vectoriële grootheden, inclusief vectorrekening [3](#page=3). ### 1.1 Beweging en referentiestelsels Kinematica is de tak van de fysica die zich bezighoudt met het beschrijven van beweging. In de context van lineaire kinematica wordt aangenomen dat alle delen van een object dezelfde afstand afleggen tijdens de beweging. Om beweging te kunnen beschrijven, is het essentieel om eerst een referentiestelsel te kiezen [3](#page=3) [4](#page=4). ### 1.2 Plaatsbepaling Plaatsbepaling is het proces van het vaststellen van de locatie van een object in de ruimte. Dit gebeurt altijd in relatie tot een gekozen referentiestelsel [5](#page=5) [6](#page=6) [7](#page=7). ### 1.3 Scalaire grootheden Een scalaire grootheid wordt gekarakteriseerd door een getal en een eenheid. Gangbare rekenregels kunnen worden toegepast op scalaire grootheden [8](#page=8). Voorbeelden van scalaire grootheden zijn: * Lengte, bijvoorbeeld 1,70 meter [8](#page=8). * Massa, bijvoorbeeld 65 kilogram [8](#page=8). * Temperatuur, bijvoorbeeld -10 graden Celsius [8](#page=8). ### 1.4 Vectoren Een vector daarentegen wordt gedefinieerd door zijn lengte, richting en zin. Dit kan worden voorgesteld als een pijl met een specifieke lengte. Voor vectoren gelden geen gewone rekenregels [9](#page=9). #### 1.4.1 Componenten van een vector Vectoren kunnen worden ontleed in componenten, die vervolgens gebruikt kunnen worden voor berekeningen [10](#page=10). #### 1.4.2 Som en verschil van vectoren De som en het verschil van vectoren kunnen worden berekend, waarbij de resulterende componenten kunnen worden bepaald met formules zoals: $$c\_x = a\_x + b\_x$$$$c\_y = a\_y + b\_y$$ De lengte van de resulterende vector $c$ kan vervolgens worden berekend met de stelling van Pythagoras: $$c = \\sqrt{c\_x^2 + c\_y^2}$$ en de hoek $\\phi$ wordt gegeven door: $$\\tan \\phi = \\frac{c\_y}{c\_x}$$[11](#page=11). #### 1.4.3 Product van vectoren Er zijn verschillende soorten producten die met vectoren kunnen worden uitgevoerd: ##### 1.4.3.1 Product van een scalair met een vector Het product van een scalair met een vector, genoteerd als $k \\vec{a}$, resulteert in een nieuwe vector. Dit concept is toepasbaar bij grootheden zoals veerkracht, zwaartekracht en wrijvingskracht [12](#page=12). ##### 1.4.3.2 Scalair product (inproduct) Het scalair product (of inproduct) van twee vectoren, genoteerd als $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}$, resulteert in een scalair (een getal). De definitie hiervan is [13](#page=13): $$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = ab \\cos \\phi$$ waarbij $\\phi$ de hoek tussen de twee vectoren is [13](#page=13). Speciale gevallen: * Als $\\phi = 0^{\\circ}$, dan is $\\cos \\phi = 1$. * Als $\\phi = 90^{\\circ}$, dan is $\\cos \\phi = 0$. Dit product is toepasbaar bij het berekenen van arbeid. Bij het scalair product wordt alleen rekening gehouden met de evenwijdige componenten van de vectoren [13](#page=13). ##### 1.4.3.3 Vectorproduct Het vectorproduct van twee vectoren, genoteerd als $\\vec{a} \\times \\vec{b}$, resulteert eveneens in een vector [14](#page=14). * **Grootte:** De grootte van het vectorproduct is $ab \\sin \\phi$, waarbij $\\phi$ de kleinste hoek tussen $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ is [14](#page=14). * **Richting:** De richting van de resulterende vector is loodrecht op het vlak waarin $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ liggen [14](#page=14). * **Zin:** De zin wordt bepaald door de regel van de kurkentrekker bij het draaien over de kleinste hoek van $\\vec{a}$ naar $\\vec{b}$ [14](#page=14). Speciale gevallen: * Als $\\phi = 0^{\\circ}$, dan is $\\sin \\phi = 0$. * Als $\\phi = 90^{\\circ}$, dan is $\\sin \\phi = 1$. Dit concept is toepasbaar bij het berekenen van krachtmomenten. Bij het vectorproduct wordt alleen rekening gehouden met de loodrechte componenten van de vectoren [14](#page=14). * * * # Snelheid en versnelling Dit onderdeel van het document introduceert de fundamentele concepten van snelheid en versnelling, zowel gemiddeld als ogenblikkelijk, inclusief hun vectoriële aard, dimensies en grafische interpretaties, met een focus op ééndimensionale beweging. ### 2.1 Snelheid Snelheid is een maat voor hoe snel een object van positie verandert en heeft zowel een grootte als een richting. De dimensie van snelheid is meters per seconde (m/s) [15](#page=15). #### 2.1.1 Gemiddelde snelheid De gemiddelde snelheid wordt gedefinieerd als de verandering in positie ($\\Delta \\vec{r}$) gedeeld door de verandering in tijd ($\\Delta t$). Dit kan grafisch worden weergegeven als de helling van de lijn die twee punten op een positie-tijd grafiek verbindt [15](#page=15) [21](#page=21). $$ \\vec{v}\_{gem} = \\frac{\\Delta \\vec{r}}{\\Delta t} $$ #### 2.1.2 Ogenblikkelijke snelheid De ogenblikkelijke snelheid is de snelheid van een object op een specifiek moment. Wiskundig wordt dit verkregen door de afgeleide van de positievector ($\\vec{r}$) naar de tijd ($t$) te nemen. In ééndimensionale beweging kan de ogenblikkelijke snelheid grafisch worden geïnterpreteerd als de helling van de raaklijn aan de positie-tijd grafiek op dat specifieke punt [15](#page=15) [22](#page=22). $$ \\vec{v} = \\frac{d\\vec{r}}{dt} $$ ### 2.2 Versnelling Versnelling beschrijft de mate waarin de snelheid van een object verandert. Net als snelheid is versnelling een vectorgrootheid. De dimensie van versnelling is meters per seconde kwadraat (m/s²) [17](#page=17). #### 2.2.1 Gemiddelde versnelling De gemiddelde versnelling is de verandering in snelheid ($\\Delta \\vec{v}$) gedeeld door de verandering in tijd ($\\Delta t$) [17](#page=17) [23](#page=23). $$ \\vec{a}\_{gem} = \\frac{\\Delta \\vec{v}}{\\Delta t} $$ #### 2.2.2 Ogenblikkelijke versnelling De ogenblikkelijke versnelling is de versnelling van een object op een specifiek moment. Dit wordt berekend als de afgeleide van de snelheid ($\\vec{v}$) naar de tijd ($t$), wat ook de tweede afgeleide van de positie ($\\vec{r}$) naar de tijd is [17](#page=17) [23](#page=23). $$ \\vec{a} = \\frac{d\\vec{v}}{dt} = \\frac{d^2\\vec{r}}{dt^2} $$ Op een snelheids-tijd grafiek kan de ogenbliklijke versnelling grafisch worden geïnterpreteerd als de helling van de raaklijn op dat specifieke punt [25](#page=25). ### 2.3 Ééndimensionale beweging Bij ééndimensionale beweging wordt een referentiestelsel gekozen en de positie vaak aangeduid met $x$ [20](#page=20). #### 2.3.1 Relatie tussen snelheid en versnelling in 1D In ééndimensionale beweging is het belangrijk om te onderscheiden of de snelheid toeneemt ("versnelling") of afneemt ("vertraging"), en hoe de tekens van snelheid ($v$) en versnelling ($a$) zich tot elkaar verhouden [24](#page=24). * Als de snelheid positief is en toeneemt, of negatief is en afneemt (naar nul toe), is er sprake van versnelling (de magnitude van de snelheid neemt toe) [24](#page=24). * Als de snelheid positief is en afneemt (naar nul toe), of negatief is en toeneemt (naar nul toe), is er sprake van vertraging (de magnitude van de snelheid neemt af) [24](#page=24). * Als de snelheid constant is en niet nul, is er geen versnelling [24](#page=24). Snelheid ($v$)Versnelling ($a$)Beweging++Snelheid neemt toe+-Snelheid neemt af (vertraging)--Snelheid neemt toe-+Snelheid neemt af (vertraging)$\\pm 0$$\\pm 0$Constante snelheid #### 2.3.2 Grafische interpretaties in 1D * **Positie-tijd grafiek:** De helling van de lijn die twee punten verbindt, geeft de gemiddelde snelheid. De helling van de raaklijn op een punt geeft de ogenblikkelijke snelheid [21](#page=21) [22](#page=22). * **Snelheid-tijd grafiek:** De helling van de lijn die twee punten verbindt, geeft de gemiddelde versnelling. De helling van de raaklijn op een punt geeft de ogenblikkelijke versnelling [25](#page=25). * **Versnelling-tijd grafiek:** De oppervlakte onder de curve tussen twee tijdstippen geeft de verandering in snelheid [26](#page=26). #### 2.3.3 Onderlinge relaties De positie, snelheid en versnelling van een object zijn allemaal functies van de tijd. Vanuit één van deze drie grootheden kunnen de andere twee worden afgeleid door middel van differentiëren of integreren [27](#page=27). > **Tip:** Begrijp de relatie tussen de hellingen van de grafieken en de afgeleiden/integralen van de functies. Dit is cruciaal voor het oplossen van problemen in ééndimensionale beweging. Toepassingen hiervan omvatten de eenparig rechtlijnige beweging (ERB) en de eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) [27](#page=27). * * * # Eendimensionale beweging en toepassingen Dit onderwerp behandelt specifieke gevallen van eendimensionale beweging, waaronder de eenparig rechtlijnige beweging (ERB) en de eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB), met een focus op toepassingen zoals vrije val en verticale worpen [27](#page=27). ### 3.1 Eendimensionale beweging (1-D) Eendimensionale beweging beschrijft de beweging van een object langs een rechte lijn. De positie, snelheid en versnelling van het object kunnen worden gemeten als functies van de tijd. Door kennis van één van deze drie grootheden kunnen de andere twee worden bepaald [27](#page=27). #### 3.1.1 Eenparig rechtlijnige beweging (ERB) Bij ERB is de snelheid constant en de versnelling is nul. De bewegingsvergelijkingen voor ERB langs de 𝑥-as zijn [28](#page=28): * Snelheid: $v\_x = \\text{constant}$ [28](#page=28). * Versnelling: $a\_x = 0 , \\text{m/s}^2$ [28](#page=28). * Positie: $x = x\_0 + v\_x t$ [28](#page=28). Hierbij is $x\_0$ de beginpositie en $t$ de tijd. #### 3.1.2 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) Bij EVRB is de versnelling constant. De bewegingsvergelijkingen voor EVRB langs de 𝑥-as zijn [29](#page=29): * Versnelling: $a\_x = \\text{constant}$ [29](#page=29). * Snelheid: $v\_x = v\_{0,x} + a\_x t$ [29](#page=29). * Positie: $x = x\_0 + v\_{0,x} t + \\frac{1}{2} a\_x t^2$ [29](#page=29). * Een alternatieve vergelijking, zonder tijd: $v\_x^2 = v\_{0,x}^2 + 2 a\_x (x - x\_0)$ [29](#page=29). Hierbij is $x\_0$ de beginpositie, $v\_{0,x}$ de beginsnelheid en $t$ de tijd. > **Tip:** Bij EVRB-problemen is het cruciaal om te bepalen of de versnelling positief of negatief is, afhankelijk van de gekozen positieve richting. ##### 3.1.2.1 Voorbeeld 1: Skiër op een helling Een skiër daalt een helling af met een constante versnelling van $2 , \\text{m/s}^2$. De beginsnelheid in positie 0 is $10 , \\text{m/s}$ [30](#page=30). * **Bereken de snelheid na 100 meter:** We gebruiken de vergelijking $v\_x^2 = v\_{0,x}^2 + 2 a\_x (x - x\_0)$ [29](#page=29). Gegeven: $a\_x = 2 , \\text{m/s}^2$, $v\_{0,x} = 10 , \\text{m/s}$, $x\_0 = 0 , \\text{m}$, $x = 100 , \\text{m}$. $v\_x^2 = (10 , \\text{m/s})^2 + 2 (2 , \\text{m/s}^2) (100 , \\text{m} - 0 , \\text{m})$$v\_x^2 = 100 , \\text{m}^2/\\text{s}^2 + 400 , \\text{m}^2/\\text{s}^2 = 500 , \\text{m}^2/\\text{s}^2$$v\_x = \\sqrt{500} , \\text{m/s} \\approx 22.36 , \\text{m/s}$ [31](#page=31). * **Bereken de tijd die hiervoor nodig was:** We kunnen $v\_x = v\_{0,x} + a\_x t$ gebruiken met de berekende snelheid, of de positievergelijking $x = x\_0 + v\_{0,x} t + \\frac{1}{2} a\_x t^2$ oplossen voor $t$ [29](#page=29). Met de positievergelijking: $100 , \\text{m} = 0 , \\text{m} + (10 , \\text{m/s}) t + \\frac{1}{2} (2 , \\text{m/s}^2) t^2$$100 = 10t + t^2 \\implies t^2 + 10t - 100 = 0$ Deze vierkantsvergelijking heeft een positieve oplossing $t \\approx 6.18 , \\text{s}$ [31](#page=31). > **Voorbeeld:** Een skiër daalt een rechte helling af met een constante versnelling van 2 m/s². De snelheid van de skiër in positie 0 is 10 m/s. Bereken de snelheid van de skiër als hij 100 m afgelegd heeft vanaf zijn positie 0 en bereken de tijd die hij daarvoor nodig had. De snelheid is dan 22,36 m/s en de tijd is 6,18 s [30](#page=30) [31](#page=31). ##### 3.1.2.2 Voorbeeld 2: Auto op de snelweg (grafiekanalyse) De beweging van een auto wordt beschreven door een snelheids-tijdgrafiek, opgedeeld in drie fasen [32](#page=32). * **Fase 1 (0s tot 30s):** EVRB [33](#page=33). Beginsnelheid $v\_0 = 0 , \\text{m/s}$, eindsnelheid $v\_1 = 20 , \\text{m/s}$ [33](#page=33). Versnelling: $a\_1 = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{20 , \\text{m/s} - 0 , \\text{m/s}}{30 , \\text{s} - 0 , \\text{s}} = \\frac{20}{30} , \\text{m/s}^2 \\approx 0.667 , \\text{m/s}^2$ [33](#page=33). Afgelegde weg in fase 1: $x\_1 = x\_0 + v\_0 t + \\frac{1}{2} a\_1 t^2 = 0 + 0 \\cdot 30 + \\frac{1}{2} (0.667 , \\text{m/s}^2) (30 , \\text{s})^2 = 300 , \\text{m}$ [33](#page=33). * **Fase 2 (30s tot 120s):** ERB [34](#page=34). De snelheid is constant: $v = 20 , \\text{m/s}$ [34](#page=34). Versnelling: $a\_2 = 0 , \\text{m/s}^2$ [34](#page=34). Afgelegde weg in fase 2: $\\Delta x\_2 = v \\Delta t = (20 , \\text{m/s}) (120 , \\text{s} - 30 , \\text{s}) = 20 \\cdot 90 , \\text{m} = 1800 , \\text{m}$. Totale afgelegde weg na fase 2: $x\_2 = x\_1 + \\Delta x\_2 = 300 , \\text{m} + 1800 , \\text{m} = 2100 , \\text{m}$ [34](#page=34). * **Fase 3 (120s tot 180s):** EVRB [35](#page=35). Beginsnelheid $v\_2 = 20 , \\text{m/s}$, eindsnelheid $v\_3 = 0 , \\text{m/s}$ [35](#page=35). Versnelling: $a\_3 = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{0 , \\text{m/s} - 20 , \\text{m/s}}{180 , \\text{s} - 120 , \\text{s}} = \\frac{-20}{60} , \\text{m/s}^2 \\approx -0.333 , \\text{m/s}^2$ [35](#page=35). Afgelegde weg in fase 3: $x\_3 = x\_2 + v\_2 \\Delta t + \\frac{1}{2} a\_3 (\\Delta t)^2 = 2100 , \\text{m} + (20 , \\text{m/s}) (180 , \\text{s} - 120 , \\text{s}) + \\frac{1}{2} (-0.333 , \\text{m/s}^2) (60 , \\text{s})^2$$x\_3 = 2100 , \\text{m} + 1200 , \\text{m} + \\frac{1}{2} (-0.333) , \\text{m} = 2100 + 1200 - 600 = 2700 , \\text{m}$ [35](#page=35) . De grafieken van positie tegen tijd ($x,t$) en versnelling tegen tijd ($a,t$) kunnen nu geconstrueerd worden op basis van deze berekeningen [36](#page=36). ### 3.2 Toepassingen van EVRB #### 3.2.1 Vrije val Vrije val is een speciaal geval van EVRB waarbij de enige versnellende kracht de zwaartekracht is. De zwaartekrachtsversnelling wordt aangeduid met $g$ en heeft een waarde van ongeveer $9.81 , \\text{m/s}^2$. We kiezen de positieve richting naar boven of naar beneden, afhankelijk van de context. In de volgende voorbeelden wordt de positieve richting naar boven gekozen en is de zwaartekrachtsversnelling dus negatief ($a\_y = -g$) [37](#page=37). * **Voorbeeld 1: Een object dat van een hoogte valt** Stel $t=0$ op het moment dat het object wordt losgelaten, met beginpositie $y\_0 = h$ en beginsnelheid $v\_0 = 0$ [38](#page=38). Snelheid na tijd $t$: $v = v\_0 - g t = 0 - g t = -gt$. De snelheid is negatief, wat naar beneden wijst [38](#page=38). Positie na tijd $t$: $y = y\_0 + v\_0 t - \\frac{1}{2} g t^2 = h + 0 \\cdot t - \\frac{1}{2} g t^2 = h - \\frac{1}{2} g t^2$ [38](#page=38). Tijd om de grond te bereiken (wanneer $y=0$): $0 = h - \\frac{1}{2} g t^2 \\implies \\frac{1}{2} g t^2 = h \\implies t^2 = \\frac{2h}{g} \\implies t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}$ [38](#page=38). Snelheid waarmee de grond wordt bereikt (bij $t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}$): $v = -g \\sqrt{\\frac{2h}{g}} = -\\sqrt{g^2 \\frac{2h}{g}} = -\\sqrt{2gh}$. De grootte van de snelheid is $\\sqrt{2gh}$ [38](#page=38). #### 3.2.2 Verticale worp Een verticale worp betreft een object dat met een beginsnelheid omhoog wordt gegooid. We kiezen de positieve richting naar boven, dus de zwaartekrachtsversnelling is $a\_y = -g$. * **Voorbeeld 2: Maximale hoogte bij een verticale worp** Stel op $t=0$: $y\_0 = 0$ en de beginsnelheid is $v\_0$ (positief, want naar boven gericht) [39](#page=39). Snelheid na tijd $t$: $v = v\_0 - g t$ [39](#page=39). Positie na tijd $t$: $y = y\_0 + v\_0 t - \\frac{1}{2} g t^2 = 0 + v\_0 t - \\frac{1}{2} g t^2$ [39](#page=39). Het hoogste punt wordt bereikt wanneer de snelheid nul is ($v=0$) [39](#page=39). $0 = v\_0 - g t \\implies t\_{\\text{top}} = \\frac{v\_0}{g}$ [39](#page=39). Maximale hoogte ($y\_{\\text{max}}$) op $t\_{\\text{top}}$: $y\_{\\text{max}} = v\_0 \\left(\\frac{v\_0}{g}\\right) - \\frac{1}{2} g \\left(\\frac{v\_0}{g}\\right)^2 = \\frac{v\_0^2}{g} - \\frac{1}{2} g \\frac{v\_0^2}{g^2} = \\frac{v\_0^2}{g} - \\frac{v\_0^2}{2g} = \\frac{v\_0^2}{2g}$ [39](#page=39). > **Tip:** Bij opgaven met vrije val of verticale worpen is het essentieel om de gekozen positieve richting consequent te gebruiken en de juiste tekens voor snelheid en versnelling toe te passen. Het moment waarop de snelheid nul is, markeert het hoogste punt bij een verticale worp. * * * # Projectielbeweging Projectielbeweging is een type tweedimensionale beweging waarbij de versnelling constant is en specifiek gericht is op objecten die door de lucht vliegen onder invloed van de zwaartekracht [41](#page=41). ### 4.1 Inleiding tot projectielbeweging Tweedimensionale beweging (2-D) wordt gekenmerkt door een constante versnelling die niet nul is, maar waarvan de bewegingsrichting verschilt van de richting van de versnelling. Projectielbeweging is hier een specifieke vorm van. Bij projectielbeweging wordt de beweging ontbonden in componenten langs de x- en y-as [40](#page=40) [41](#page=41). * **Horizontale component (x-as):** De horizontale versnelling is nul ($a\_x = 0$), wat resulteert in een eenparige rechtlijnige beweging (ERB) [41](#page=41). * **Verticale component (y-as):** De verticale versnelling is constant en gelijk aan de zwaartekrachtsversnelling, naar beneden gericht ($a\_y = -g$), wat resulteert in een eenparig versnelde of vertraagde rechtlijnige beweging (EVRB). De waarde van $g$ is ongeveer $9,81 \\text{ m/s}^2$ [41](#page=41). ### 4.2 Beginvoorwaarden Voor een projectielbeweging op tijdstip $t=0$ worden de beginvoorwaarden gedefinieerd door de beginpositie $\\vec{r}\_0$ en de beginsnelheid $\\vec{v}\_0$ [42](#page=42). * **Beginpositie $\\vec{r}\_0$:** Vaak wordt het startpunt van het projectiel als oorsprong van het coördinatensysteem gekozen, dus $x\_0 = 0$ en $y\_0 = 0$. Echter, in toepassingen kan de beginhoogte ($y\_0$) ook significant zijn [42](#page=42) [55](#page=55). * **Beginsnelheid $\\vec{v}\_0$:** De beginsnelheid wordt ontbonden in horizontale en verticale componenten [42](#page=42): * Horizontale component: $v\_{0x} = v\_0 \\cos(\\theta\_0)$ * Verticale component: $v\_{0y} = v\_0 \\sin(\\theta\_0)$ Hierbij is $v\_0$ de grootte van de beginsnelheid en $\\theta\_0$ de beginhoek ten opzichte van de horizontale as [42](#page=42). ### 4.3 Snelheid en positie op tijdstip $t$ #### 4.3.1 Snelheid De snelheid van het projectiel op een willekeurig tijdstip $t$ wordt bepaald door de componenten langs de x- en y-as [43](#page=43): * Horizontale snelheidscomponent: $v\_x = v\_{0x} = v\_0 \\cos(\\theta\_0)$ (blijft constant) [43](#page=43). * Verticale snelheidscomponent: $v\_y = v\_{0y} - gt = v\_0 \\sin(\\theta\_0) - gt$ [43](#page=43). #### 4.3.2 Positie De positie van het projectiel op tijdstip $t$ wordt gegeven door: * Horizontale positie: $x(t) = x\_0 + v\_{0x}t$ * Verticale positie: $y(t) = y\_0 + v\_{0y}t - \\frac{1}{2}gt^2$ ### 4.4 De baanvergelijking De baan van een projectiel is een parabool. Door de bewegingsvergelijkingen te combineren, kan de y-coördinaat uitgedrukt worden als functie van de x-coördinaat [44](#page=44): $$y(x) = y\_0 + (\\tan \\theta\_0) x - \\frac{g}{2(v\_0 \\cos \\theta\_0)^2} x^2$$ Dit is de algemene vergelijking van een parabool [44](#page=44). > **Tip:** De vorm van de baan (zuivere parabool, halve parabool, verticale lijn) hangt af van de beginhoek $\\theta\_0$. Bij hoeken tussen $0^\\circ$ en $90^\\circ$ is de baan een zuivere parabool [51](#page=51). ### 4.5 Kenmerken van de baan #### 4.5.1 Het hoogste punt Het hoogste punt van de baan wordt bereikt wanneer de verticale snelheidscomponent nul is ($v\_y = 0$). Dit gebeurt op een specifiek tijdstip $t\_{\\text{top}}$, waaruit de maximale hoogte kan worden berekend [44](#page=44). #### 4.5.2 De reikwijdte ($R$) De reikwijdte ($R$) is de horizontale afstand die het projectiel aflegt vanaf het startpunt tot het punt waar het de grond raakt (of een ander referentieniveau). Dit wordt berekend met $R = v\_{0x}T$, waarbij $T$ de totale vluchttijd is [44](#page=44). #### 4.5.3 Vluchttijd ($T$) De totale vluchttijd $T$ is de som van de tijd om het hoogste punt te bereiken ($t\_{\\text{top}}$) en de tijd om vanaf dat punt terug te keren naar het horizontale niveau van de startpositie ($t\_{\\text{neer}}$) [44](#page=44). $T = t\_{\\text{top}} + t\_{\\text{neer}}$. > **Tip:** Als de start- en landingshoogte gelijk zijn ($y\_0 = y\_{\\text{landings}}$), is de baan symmetrisch, met $t\_{\\text{top}} = t\_{\\text{neer}}$ en de totale vluchttijd $T = 2t\_{\\text{top}}$ [45](#page=45). ### 4.6 Invloed van beginvoorwaarden op de baan De belangrijkste factoren die de projectielbeweging beïnvloeden, zijn de beginhoek ($\\theta\_0$), de beginsnelheid ($v\_0$) en de beginhoogte ($y\_0$) [50](#page=50). #### 4.6.1 De beginhoek ($\\theta\_0$) De beginhoek bepaalt de richting ten opzichte van de horizontale van de beginsnelheid en beïnvloedt voornamelijk de **vorm** van de projectielbaan [51](#page=51). * **$\\theta\_0 = 0^\\circ$:** Horizontale worp. Het projectiel heeft geen verticale beginsnelheid en valt direct naar beneden door de zwaartekracht. De baan is de helft van een parabool [51](#page=51). * **$\\theta\_0 = 90^\\circ$:** Verticale worp. Er is geen horizontale snelheidscomponent, dus de beweging is puur verticaal. De baan is een verticale rechte lijn [51](#page=51). * **$0^\\circ < \\theta\_0 < 90^\\circ$:** Zuivere parabool [51](#page=51). Voor een maximale reikwijdte bij een symmetrische baan (start- en landingshoogte gelijk) is de optimale beginhoek $45^\\circ$. Echter, wanneer de start- en landingshoogte verschillen, kan de optimale hoek afwijken van $45^\\circ$ [47](#page=47) [55](#page=55). #### 4.6.2 De beginsnelheid ($v\_0$) De grootte van de beginsnelheid bepaalt zowel het **hoogste punt** als de **reikwijdte** van de projectielbaan [52](#page=52). * Een hogere beginsnelheid leidt tot een grotere maximale hoogte en een grotere reikwijdte [57](#page=57). * De verticale component van de beginsnelheid ($v\_{0y}$) bepaalt de maximale hoogte, de tijd tot het hoogste punt en de totale vluchttijd (vergelijkbaar met een verticale worp) [52](#page=52). * De horizontale component van de beginsnelheid ($v\_{0x}$) blijft constant en is direct bepalend voor de reikwijdte [52](#page=52). #### 4.6.3 De beginhoogte ($y\_0$) De beginhoogte beïnvloedt primair de **reikwijdte** van de projectielbaan [55](#page=55). * Als de starthoogte hoger is dan de landingshoogte, wordt de maximale reikwijdte bereikt bij een beginhoek kleiner dan $45^\\circ$ [55](#page=55). * Als de starthoogte lager is dan de landingshoogte, is een hoek groter dan $45^\\circ$ vereist voor maximale reikwijdte [55](#page=55). > **Voorbeeld:** Een kogelstoter die een kogel met een beginsnelheid van $10 \\text{ m/s}$ onder een hoek van $40^\\circ$ lanceert vanaf $2,0 \\text{ m}$ boven de grond, bereikt een reikwijdte van ongeveer $12,04 \\text{ m}$. Een hogere beginsnelheid heeft over het algemeen een grotere invloed op de reikwijdte dan een verandering in hoek of beginhoogte [56](#page=56) [57](#page=57) [58](#page=58). ### 4.7 Luchtweerstand In veel praktische situaties wordt luchtweerstand verwaarloosd om de analyse te vereenvoudigen. Echter, in werkelijkheid kan luchtweerstand de baan van een projectiel aanzienlijk beïnvloeden, waardoor de werkelijke reikwijdte kleiner is dan voorspeld zonder deze factor. Voor een kogelstoter met een worplengte van $19,8 \\text{ m}$ (met luchtweerstand) was de reikwijdte zonder luchtweerstand $20,1 \\text{ m}$, een reductie van $1,46%$ [41](#page=41) [59](#page=59). ### 4.8 Voorbeelden #### 4.8.1 Voorbeeld 3: Verspringer Een atleet springt $8 \\text{ m}$ ver en blijft $1 \\text{ s}$ in de lucht [60](#page=60). * **Beginsnelheid bij afsprong:** * Horizontale snelheidscomponent: $v\_{0x} = \\frac{x}{t} = \\frac{8 \\text{ m}}{1 \\text{ s}} = 8 \\text{ m/s}$ [61](#page=61). * Verticale snelheidscomponent: Door de bewegingsvergelijking $y\_2 = y\_0 + v\_{0y}t\_2 - \\frac{1}{2}gt\_2^2$ toe te passen met $y\_0=0$, $y\_2=0$ en $t\_2=1\\text{ s}$: $0 = 0 + v\_{0y} - \\frac{1}{2}(9,81) ^2$. Hieruit volgt $v\_{0y} = 4,9 \\text{ m/s}$ [1](#page=1) [61](#page=61). * Totale beginsnelheid: $v\_0 = \\sqrt{v\_{0x}^2 + v\_{0y}^2} = \\sqrt{8^2 + 4,9^2} = \\sqrt{64 + 24,01} = \\sqrt{88,01} \\approx 9,38 \\text{ m/s}$ [62](#page=62). * **Hoek van de afsprong:** * $\\theta\_0 = \\arctan\\left(\\frac{v\_{0y}}{v\_{0x}}\\right) = \\arctan\\left(\\frac{4,9}{8}\\right) \\approx 31,3^\\circ$ [62](#page=62). * **Maximale hoogte:** * De maximale hoogte wordt bereikt als $v\_y = 0$. Gebruikmakend van $v\_y = v\_{0y} - gt$, met $v\_{0y} = 4,9 \\text{ m/s}$ en $t\_{\\text{top}}$ waar $v\_y=0$: $0 = 4,9 - 9,81 t\_{\\text{top}}$, dus $t\_{\\text{top}} \\approx 0,5 \\text{ s}$ [63](#page=63). * Maximale hoogte $y\_{\\text{max}} = y\_0 + v\_{0y}t\_{\\text{top}} - \\frac{1}{2}gt\_{\\text{top}}^2 = 0 + (4,9)(0,5) - \\frac{1}{2}(9,81)(0,5)^2 = 2,45 - 0,61375 \\approx 1,84 \\text{ m}$ [63](#page=63). #### 4.8.2 Voorbeeld 4: Kogelstoten Een kogelstoter stoot een kogel $6 \\text{ m}$ ver, met een beginhoogte van $1,8 \\text{ m}$ en een beginhoek van $30^\\circ$ [64](#page=64). * **Snelheid bij de afstoot ($v\_0$):** * Gebruik de bewegingsvergelijkingen $x\_2 = x\_0 + v\_{0x}t\_2$ en $y\_2 = y\_0 + v\_{0y}t\_2 - \\frac{1}{2}gt\_2^2$. * $6 = 0 + v\_0 \\cos(30^\\circ) t\_2 \\Rightarrow t\_2 = \\frac{6}{v\_0 \\cos(30^\\circ)}$ [65](#page=65). * $0 = 1,8 + v\_0 \\sin(30^\\circ) t\_2 - \\frac{1}{2}(9,81)t\_2^2$ [65](#page=65). * Substitutie van $t\_2$ in de tweede vergelijking en oplossen voor $v\_0$ geeft $v\_0 \\approx 6,69 \\text{ m/s}$ [65](#page=65). * Hieruit volgt de vluchttijd $t\_2 = \\frac{6}{6,69 \\cos(30^\\circ)} \\approx 1,04 \\text{ s}$ [65](#page=65). * **Snelheid van de kogel bij het raken van de grond ($v\_2$):** * Horizontale snelheidscomponent: $v\_{2x} = v\_{0x} = v\_0 \\cos(30^\\circ) = 6,69 \\cos(30^\\circ) \\approx 5,79 \\text{ m/s}$ [66](#page=66). * Verticale snelheidscomponent: $v\_{2y} = v\_{0y} - gt\_2 = v\_0 \\sin(30^\\circ) - gt\_2 = 6,69 \\sin(30^\\circ) - 9,81(1,04) \\approx 3,345 - 10,2024 \\approx -6,86 \\text{ m/s}$ [66](#page=66). * Totale snelheid: $v\_2 = \\sqrt{v\_{2x}^2 + v\_{2y}^2} = \\sqrt{(5,79)^2 + (-6,86)^2} = \\sqrt{33,5241 + 47,0596} = \\sqrt{80,5837} \\approx 8,98 \\text{ m/s}$ [66](#page=66). * **Totale tijd in de lucht ($t\_2$):** Dit is reeds berekend als $1,04 \\text{ s}$ [65](#page=65). * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kinematica | Het deel van de mechanica dat de beweging van lichamen beschrijft zonder rekening te houden met de oorzaken van die beweging, zoals krachten. | | Lineaire beweging | Beweging waarbij alle punten van een object dezelfde afstand afleggen in dezelfde richting en zin. | | Referentiestelsel | Een wiskundig concept dat wordt gebruikt om de positie en beweging van een object te beschrijven, gekenmerkt door een oorsprong en assen. | | Scalaire grootheid | Een grootheid die volledig gespecificeerd wordt door een getal en een eenheid, zoals lengte, massa of temperatuur. | | Vector | Een grootheid die niet alleen een magnitude (lengte) en een eenheid heeft, maar ook een richting en een zin. | | Componenten van een vector | De projecties van een vector op de assen van een gekozen referentiestelsel, die gebruikt kunnen worden om met de vector te rekenen. | | Scalair product (inproduct) | Een bewerking tussen twee vectoren die als resultaat een scalair oplevert, berekend als het product van hun groottes en de cosinus van de hoek ertussen. | | Vectorproduct (uitproduct) | Een bewerking tussen twee vectoren die als resultaat een nieuwe vector oplevert, loodrecht op het vlak van de oorspronkelijke vectoren. | | Gemiddelde snelheid | De totale verplaatsing gedeeld door de totale tijd die nodig was voor die verplaatsing. | | Ogenblikkelijke snelheid | De snelheid van een object op een specifiek tijdstip, berekend als de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd. | | Gemiddelde versnelling | De verandering in snelheid gedeeld door de tijdsduur van die verandering. | | Ogenblikkelijke versnelling | De versnelling van een object op een specifiek tijdstip, berekend als de afgeleide van de snelheid naar de tijd. | | Eendimensionale beweging (1-D) | Beweging langs een rechte lijn, waarbij slechts één coördinaat nodig is om de positie te beschrijven. | | Eenparig rechtlijnige beweging (ERB) | Een beweging met constante snelheid langs een rechte lijn, wat betekent dat de versnelling nul is. | | Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) | Een beweging langs een rechte lijn met een constante versnelling, wat resulteert in een lineair veranderende snelheid. | | Vrije val | Een speciaal geval van eenparig versnelde beweging waarbij de enige kracht die op een object werkt de zwaartekracht is. | | Verticale worp | Een beweging langs een verticale lijn waarbij een object met een initiële snelheid omhoog of omlaag wordt geworpen en onderhevig is aan de zwaartekracht. | | Tweedimensionale beweging (2-D) | Beweging in een vlak, waarbij twee coördinaten nodig zijn om de positie te beschrijven. | | Projectielbeweging | Een vorm van 2-D beweging die optreedt wanneer een object wordt gegooid of geschoten en vervolgens alleen onder invloed staat van de zwaartekracht. | | Reikwijdte | De horizontale afstand die een projectiel aflegt vanaf het lanceerpunt totdat het terugkeert naar dezelfde hoogte of de grond raakt. | | Beginhoek | De hoek waaronder een projectiel wordt gelanceerd ten opzichte van de horizontale lijn. | | Beginsnelheid | De snelheid waarmee een projectiel op het lanceerpunt wordt gelanceerd. | | Beginhoogte | De verticale positie van het lanceerpunt van een projectiel ten opzichte van het referentievlak (vaak de grond). |