fysica deel 1 H4,5.pdf

# Hoeveelheid van beweging en impuls Dit hoofdstuk introduceert de concepten van hoeveelheid van beweging (lineair moment) en impuls, hun behoudswetten en toepassingen bij botsingen. ## 1\. Hoeveelheid van beweging en impuls ### 1.1 Soorten bewegingen * **Translatie:** De beweging van een lichaam waarbij elk punt een gelijke verschuiving ondergaat, ongeacht of de baan rechtlijnig of kromlijnig is. De beweging van elk punt is representatief voor de beweging van het totale lichaam [3](#page=3). * **Rotatie:** Een lichaam roteert als er op elk moment een as bestaat waarrond alle punten concentrische cirkels beschrijven [4](#page=4). * Alle bewegingen van een star (onvervormbaar) lichaam kunnen beschreven worden als de samenstelling van een translatie en een rotatie [4](#page=4). ### 1.2 Het massamiddelpunt Het massamiddelpunt (MM) is het punt waarin de volledige massa van een systeem geconcentreerd kan worden gedacht. Dit punt beweegt op dezelfde manier als een stoffelijk punt met de totale massa van het lichaam, onder invloed van de som van alle uitwendige krachten die op het lichaam inwerken. Voor een systeem van twee deeltjes met massa $m\_1$ en $m\_2$, onderworpen aan krachten $F\_1$ en $F\_2$, beweegt het massamiddelpunt $P$ alsof een puntmassa $M = m\_1 + m\_2$ onderworpen is aan de totale kracht $F = F\_1 + F\_2$ [5](#page=5). #### 1.2.1 Het massamiddelpunt bij ééndimensionale verdeling van puntmassa's Voor twee puntmassa's $m\_1$ en $m\_2$ met coördinaten $x\_1$ en $x\_2$ wordt de coördinaat van het massamiddelpunt gegeven door: $$x\_{mm} = \\frac{m\_1 x\_1 + m\_2 x\_2}{m\_1 + m\_2}$$ [5](#page=5). Voor meerdere puntmassa's $m\_i$ met coördinaten $x\_i$: $$x\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{M}$$ [5](#page=5). waarbij $M$ de totale massa van het systeem is ($M = \\sum\_{i=1}^{n} m\_i$) [5](#page=5). #### 1.2.2 Het massamiddelpunt bij een ruimtelijke verdeling van puntmassa's De coördinaten van het massamiddelpunt $(x\_{mm}, y\_{mm}, z\_{mm})$ van een systeem van $n$ puntmassa's $m\_i$ op positie $r\_i = x\_i \\vec{i} + y\_i \\vec{j} + z\_i \\vec{k}$ zijn: $$x\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{M}$$ [6](#page=6). $$y\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i y\_i}{M}$$ [6](#page=6). $$z\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i z\_i}{M}$$ [6](#page=6). In vectornotatie is de plaatsvector van het massamiddelpunt: $$\\vec{r}\_{mm} = \\frac{\\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{r}\_i}{M}$$ [6](#page=6). Dit is onafhankelijk van de keuze van het assenstelsel en afhankelijk van de massa's en relatieve afstanden van de deeltjes [6](#page=6). #### 1.2.3 Het massamiddelpunt van onvervormbare lichamen (continue massaverdeling) Voor een continu lichaam kan de coördinaat van het massamiddelpunt worden berekend via integralen. Voor een lichaam met totale massa $M$: $$x\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int x , dm$$ [7](#page=7). $$y\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int y , dm$$ [7](#page=7). $$z\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int z , dm$$ [7](#page=7). In vectornotatie: $$\\vec{r}\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int \\vec{r} , dm$$ [7](#page=7). Indien het lichaam homogeen is met massadichtheid $\\rho$, dan is $dm = \\rho , dV$, en: $$\\vec{r}{mm} = \\frac{1}{M} \\int \\rho \\vec{r} , dV$$ [7](#page=7). * **Bijzondere gevallen:** * Bij puntsymmetrie is het massamiddelpunt het symmetriepunt [8](#page=8). * Bij lijnsymmetrie ligt het massamiddelpunt op de symmetrielijn [8](#page=8). ### 1.3 Beweging van het massamiddelpunt De beweging van het massamiddelpunt van een systeem van deeltjes of een vast lichaam wordt bepaald door de totale massa en de \_uitwendige krachten. Als $M$ de totale massa is en $\\vec{a}\_{mm}$ de versnelling van het massamiddelpunt, dan geldt [9](#page=9): $$M \\vec{a}{mm} = \\sum\_{i} \\vec{F}\_{i, \\text{uitw}}$$ [9](#page=9). Dit betekent dat het massamiddelpunt beweegt alsof de totale massa in dat punt is geconcentreerd en alle uitwendige krachten daar aangrijpen. In het zwaartekrachtveld valt het massamiddelpunt samen met het zwaartepunt [9](#page=9). > **Tip:** Bij sporten zoals schoonspringen, duiken of hoogspringen, beschrijft het massamiddelpunt van de atleet een parabolische baan. Een correcte techniek maximaliseert de prestatie door de beweging van het massamiddelpunt optimaal te sturen. Bij hoogspringen kan het massamiddelpunt zelfs onder de lat door bewegen [10](#page=10) [15](#page=15) [9](#page=9). ### 1.4 Hoeveelheid van beweging of lineair moment Het lineair moment (of hoeveelheid van beweging, impuls) van een deeltje is een vectoriële grootheid gedefinieerd als: $$\\vec{p} = m\\vec{v}$$ [10](#page=10). waarbij $m$ de massa en $\\vec{v}$ de snelheid is. De tweede wet van Newton kan worden geformuleerd in termen van het lineair moment: de afgeleide van het lineair moment naar de tijd is gelijk aan de netto kracht die op het deeltje inwerkt: $$\\frac{d\\vec{p}}{dt} = m\\vec{a} = \\vec{F}$$ [10](#page=10). Voor een systeem van $n$ deeltjes is het totale lineaire moment $P$ de som van de individuele momenten: $$\\vec{P} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{p}\_i = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{v}\_i$$ [10](#page=10). Dit totale moment kan ook geschreven worden als $P = M \\vec{v}{mm}$, waarbij $M$ de totale massa is en $\\vec{v}\_{mm}$ de snelheid van het massamiddelpunt [10](#page=10). De afgeleide van het totale lineaire moment naar de tijd is gelijk aan de som van de uitwendige krachten: $$\\frac{d\\vec{P}}{dt} = \\sum{i} \\vec{F}\_{i, \\text{uitw}}$$ [10](#page=10). ### 1.5 Wet van behoud van lineair moment of van hoeveelheid van beweging De wet van behoud van lineair moment stelt dat indien de som van alle uitwendige krachten die op een systeem inwerken gelijk is aan nul ($\\sum \\vec{F}\_{i, \\text{uitw}} = 0$), het lineair moment van het systeem constant blijft [11](#page=11). $$\\text{Als } \\sum \\vec{F}{i, \\text{uitw}} = 0, \\text{ dan is } \\vec{P} = \\text{constant}$$ [11](#page=11). Dit impliceert dat de snelheid van het massamiddelpunt constant is ($\\vec{v}\_{mm} = \\text{constant}$). Inwendige krachten heffen elkaar op volgens de derde wet van Newton en hebben geen invloed op het totale moment van het systeem [11](#page=11). > **Voorbeeld:** Een passagier verplaatst zich op een boot. Het systeem (passagier + boot) heeft een totaal lineair moment van nul als er geen uitwendige horizontale krachten zijn. Hoewel de passagier zich verplaatst, blijft het massamiddelpunt van het systeem op dezelfde positie. De boot beweegt tegengesteld aan de passagier om dit te compenseren [11](#page=11) [12](#page=12). ### 1.6 Botsingen: stoot van een kracht Een botsing is een fysisch verschijnsel waarbij lichamen elkaar ontmoeten, wat leidt tot een plotselinge verandering in hun beweging. Tijdens een botsing werken er gedurende een korte tijd grote krachten, de zogenaamde impulsieve krachten of stootkrachten [13](#page=13). #### 1.6.1 Stoot van een kracht De stoot van een kracht is gedefinieerd als de integraal van de kracht over de tijd van de botsing. Als de netto uitwendige kracht op een systeem nul is tijdens een botsing, dan is de verandering in het lineair moment gelijk aan nul. Voor een tijdsinterval $dt$ tijdens de botsing geldt $dp = F , dt$. De totale verandering van het lineair moment ($p\_f - p\_i$) gedurende de gehele botsing is de stoot [13](#page=13): $$p\_f - p\_i = \\int\_{t\_i}^{t\_f} \\vec{F} , dt = \\text{Stoot}$$ [13](#page=13). De verandering van het lineair moment onder invloed van een stootkracht is dus gelijk aan de stoot van die kracht [13](#page=13). ### 1.7 Behoud van hoeveelheid van beweging bij botsing tussen lichamen Bij een botsing tussen twee lichamen 1 en 2 werken er interne krachten $F\_{12}$ (kracht van 1 op 2) en $F\_{21}$ (kracht van 2 op 1). Volgens de derde wet van Newton geldt $F\_{12} = -F\_{21}$. De impuls van deze krachten tijdens de botsing is dan [14](#page=14): $$\\int\_{t\_i}^{t\_f} \\vec{F}\_{12} , dt = -\\int{t\_i}^{t\_f} \\vec{F}\_{21} , dt$$ [14](#page=14). Dit betekent dat de verandering in lineair moment van de lichamen door interne krachten elkaar opheffen: $\\Delta \\vec{p}\_1 = -\\Delta \\vec{p}\_2$, zodat $\\Delta \\vec{p}\_1 + \\Delta \\vec{p}\_2 = 0$ [14](#page=14). Als de som van de uitwendige krachten verwaarloosbaar klein is gedurende de korte duur van de botsing, blijft de totale hoeveelheid van beweging van het systeem behouden [14](#page=14). #### 1.7.1 Classificatie van botsingsverschijnselen Botsingen worden geclassificeerd op basis van het behoud van kinetische energie: * **Elastische botsingen:** Kinetische energie blijft behouden [15](#page=15). * **Niet-elastische botsingen:** Kinetische energie is niet behouden; deze wordt omgezet in warmte, geluid of vervorming [15](#page=15). * **Volkomen inelastische botsingen:** De deeltjes kleven na de botsing aan elkaar en bewegen verder als één lichaam. Een groot deel van de kinetische energie gaat verloren [15](#page=15). ### 1.8 De ééndimensionale botsing van 2 lichamen Bij een ééndimensionale botsing bewegen twee lichamen langs dezelfde lijn. Voor een elastische botsing zijn zowel het lineair moment als de kinetische energie behouden. De snelheden na de botsing kunnen berekend worden met behulp van deze twee behoudswetten [16](#page=16) [17](#page=17). Voor de botsing geldt: 1. Behoud van lineair moment: $m\_1 v\_{1i} + m\_2 v\_{2i} = m\_1 v\_{1f} + m\_2 v\_{2f}$ [16](#page=16). 2. Behoud van kinetische energie: $\\frac{1}{2} m\_1 v\_{1i}^2 + \\frac{1}{2} m\_2 v\_{2i}^2 = \\frac{1}{2} m\_1 v\_{1f}^2 + \\frac{1}{2} m\_2 v\_{2f}^2$ [16](#page=16). Uit deze vergelijkingen kan worden afgeleid dat de relatieve verwijderingssnelheid na de botsing gelijk is aan de relatieve naderingssnelheid vóór de botsing: $v\_{1i} - v\_{2i} = v\_{2f} - v\_{1f}$ [16](#page=16). De snelheden na de botsing kunnen berekend worden als: $$v\_{1f} = \\frac{m\_1 - m\_2}{m\_1 + m\_2} v\_{1i} + \\frac{2 m\_2}{m\_1 + m\_2} v\_{2i}$$ [17](#page=17). $$v\_{2f} = \\frac{2 m\_1}{m\_1 + m\_2} v\_{1i} + \\frac{m\_2 - m\_1}{m\_1 + m\_2} v\_{2i}$$ [17](#page=17). #### 1.8.1 Bijzondere gevallen van elastische botsingen: * **Gelijke massa's ($m\_1 = m\_2$):** De snelheden worden uitgewisseld: $v\_{1f} = v\_{2i}$ en $v\_{2f} = v\_{1i}$ [17](#page=17). * **Zware massa botst met lichte massa in rust ($m\_2 \\gg m\_1$, $v\_{2i}=0$):** De lichte massa kaatst terug met bijna dezelfde snelheid ($v\_{1f} \\approx -v\_{1i}$), de zware massa blijft bijna in rust ($v\_{2f} \\approx 0$) [18](#page=18). * **Lichte massa botst met zware massa in rust ($m\_2 \\ll m\_1$, $v\_{2i}=0$):** De lichte massa gaat door met vrijwel dezelfde snelheid ($v\_{1f} \\approx v\_{1i}$), de zware massa krijgt een snelheid die twee keer de oorspronkelijke snelheid van de lichte massa is ($v\_{2f} \\approx 2v\_{1i}$) [18](#page=18). #### 1.8.2 Niet-elastische botsing Bij een niet-elastische botsing gaat kinetische energie verloren. Bij een **volkomen inelastische botsing** is het verlies aan kinetische energie maximaal en bewegen de lichamen na de botsing als één geheel verder met een gemeenschappelijke snelheid $v\_f$. Het lineair moment blijft behouden: $m\_1 v\_{1i} + m\_2 v\_{2i} = (m\_1 + m\_2) v\_f$ [18](#page=18). De gemeenschappelijke snelheid is: $$v\_f = \\frac{m\_1 v\_{1i} + m\_2 v\_{2i}}{m\_1 + m\_2}$$ [18](#page=18). ### 1.9 Twee- en driedimensionale botsingen Bij botsingen in twee of drie dimensies blijft de totale hoeveelheid van beweging behouden langs elke coördinaatrichting afzonderlijk [19](#page=19). Voor een botsing tussen twee lichamen met initiële momenten $\\vec{p}\_{1i}$ en $\\vec{p}{2i}$ geldt: $$\\vec{P}\_i = \\vec{p}{1i} + \\vec{p}\_{2i} = \\vec{p}{1f} + \\vec{p}\_{2f} = \\vec{P}\_f$$ [19](#page=19). Bij een tweedimensionale botsing met $m\_1, m\_2, v{1i}, v{2i}$ bekend, zijn er vier onbekenden ($v\_{1f}, v\_{2f}$ en hun richtingen). Twee vergelijkingen (momentbehoud in x- en y-richting) zijn niet voldoende om deze vier onbekenden te bepalen. Extra informatie, zoals het behoud van kinetische energie bij een elastische botsing, is nodig [19](#page=19). #### 1.9.1 Speciaal geval: elastische botsing met een vaste wand * **Loodrecht op de wand:** Dit is equivalent aan een ééndimensionale botsing met een zeer zware, stilstaande massa, waarbij de snelheid tegengesteld wordt aan de oorspronkelijke richting ($v\_{1f} = -v\_{1i}$) [19](#page=19) [20](#page=20). * **Onder een hoek met de normaal:** De component van de snelheid parallel aan de wand blijft behouden. De component loodrecht op de wand keert om ($v\_{\\perp,f} = -v\_{\\perp,i}$). Hierdoor is de invalshoek gelijk aan de terugkaatsingshoek ($\\alpha = \\beta$). De grootte van de snelheid blijft gelijk na de botsing [20](#page=20). > **Voorbeeld:** Een auto botst met een trein op een overweg. De botsing wordt als volkomen inelastisch beschouwd omdat de auto wordt meegesleurd door de trein. Door behoud van lineair moment in de x- en y-richtingen kan de onbekende snelheid van de trein voor de botsing berekend worden [21](#page=21). * * * # Dynamica van de rotatiebeweging Dit hoofdstuk behandelt de principes die ten grondslag liggen aan de rotatiebeweging van objecten, inclusief krachten die rotatie veroorzaken, de weerstand tegen rotatie, de energie die aan rotatie is gerelateerd, en het behoud van draai-impuls [22](#page=22). ### 5.1 Krachtmoment Het moment van een kracht, ook wel krachtmoment genoemd, is de maat voor het rotatie-effect dat een kracht uitoefent [22](#page=22). * **Definitie:** Het moment van een kracht $\\vec{F}$ met aangrijpingspunt bepaald door de plaatsvector $\\vec{r}$ ten opzichte van een punt O is gedefinieerd als: $$ \\vec{\\tau} = \\vec{r} \\times \\vec{F} $$ [23](#page=23). * **Vectoriële grootheid:** Het krachtmoment is een vector die loodrecht staat op het vlak bepaald door $\\vec{r}$ en $\\vec{F}$ [23](#page=23). * **Grootte:** De grootte van het krachtmoment wordt gegeven door: $$ \\tau = r F \\sin\\theta $$ [23](#page=23). waarbij $\\theta$ de kleinste hoek is tussen $\\vec{r}$ en $\\vec{F}$ [23](#page=23). Dit kan ook geschreven worden als $\\tau = r\_{\\perp} F$ of $\\tau = r F\_{\\perp}$, waarbij $r\_{\\perp}$ de momentarm is (de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht) en $F\_{\\perp}$ de component van de kracht loodrecht op $\\vec{r}$ [24](#page=24). * **Richting:** De richting wordt bepaald door de rechterhandregel (kurkentrekkerregel) [23](#page=23). * **Eenheid:** Newtonmeter (Nm) [23](#page=23). * **Effect:** Een krachtmoment veroorzaakt een hoekversnelling [22](#page=22). * **Speciale gevallen:** Als $\\vec{r} = 0$, $F = 0$, of $\\theta = 0^\\circ$ of $180^\\circ$, dan is het krachtmoment nul [24](#page=24). > **Tip:** Het krachtmoment is cruciaal om te begrijpen hoe een kracht een object doet draaien. De effectiviteit hangt af van zowel de grootte van de kracht als waar deze wordt uitgeoefend ten opzichte van het draaipunt. ### 5.2 Het traagheidsmoment Het traagheidsmoment ($I$) is de rotatie-analogon van massa bij translatie. Het is een maat voor de weerstand van een object tegen verandering in zijn rotatietoestand (hoekversnelling) [25](#page=25). #### 5.2.1 Rotatie van een puntmassa rond een vaste as Voor een puntmassa $m$ die met straal $R$ rond een as cirkelt: $$ F = ma $$ [25](#page=25). De tangentiële versnelling is $a\_t = R\\alpha$ [25](#page=25). Het krachtmoment is $\\tau = R F = R(ma\_t) = R(mR\\alpha) = mR^2\\alpha$ [25](#page=25). Hieruit volgt de relatie $\\tau = I\\alpha$, waarbij $I = mR^2$ het traagheidsmoment is [25](#page=25). #### 5.2.2 Rotatie van een onvervormbaar lichaam om een vaste as Voor een systeem van discrete puntmassa's: $$ I = \\sum\_{i=1}^{n} m\_i R\_i^2 $$ [26](#page=26). Voor een continu verdeelde massa: $$ I = \\int R^2 dm $$ [27](#page=27). waarbij $R$ de afstand is van het massadeeltje $dm$ tot de rotatie-as [27](#page=27). De tweede wet van Newton voor rotatie is: $$ \\sum \\vec{\\tau} = I \\vec{\\alpha} $$ (#page=26, 27) [26](#page=26) [27](#page=27). waarbij $\\sum \\vec{\\tau}$ het totale uitwendige krachtmoment is om de rotatie-as [27](#page=27). #### 5.2.3 Berekening van traagheidsmomenten Het traagheidsmoment hangt af van de massa én van de ruimtelijke verdeling van de massa ten opzichte van de rotatie-as [27](#page=27). * **Volle cilinder (rotatie-as door het midden):**$$ I = \\frac{1}{2}MR^2 $$ (#page=28, 29) [28](#page=28) [29](#page=29). * **Ring (rotatie-as loodrecht op het vlak door het midden):**$$ I = MR^2 $$ [29](#page=29). * **Dunwandige holle bol (rotatie-as door het midden):**$$ I = \\frac{2}{3}MR^2 $$ [29](#page=29). * **Volle bol (rotatie-as door het midden):**$$ I = \\frac{2}{5}MR^2 $$ [29](#page=29). * **Balk (rotatie-as door het midden, evenwijdig aan zijde a):**$$ I = \\frac{1}{12}M(b^2+c^2) $$ [29](#page=29). > **Tip:** Een groot traagheidsmoment betekent dat het moeilijker is om een object te laten roteren of te stoppen met roteren. #### 5.2.4 Hoofdtraagheidsassen Hoofdtraagheidsassen zijn onderling loodrechte assen door het massamiddelpunt van een object waarvoor de componenten van het traagheidsmoment het eenvoudigst zijn. Voor het menselijk lichaam in anatomische houding zijn dit de longitudinale, transversale en frontale/anteroposterior assen [27](#page=27). > **Voorbeeld:** Een object met alle massa dicht bij de rotatie-as heeft een kleiner traagheidsmoment dan een object met dezelfde massa maar met de massa verder verspreid [27](#page=27). ### 5.3 Regel van Steiner (Parallelle-as theorema) De regel van Steiner stelt dat het traagheidsmoment van een star lichaam om elke willekeurige as gelijk is aan het traagheidsmoment om een evenwijdige as door het massamiddelpunt, plus een term die afhangt van de massa van het lichaam en het kwadraat van de afstand tussen de assen [32](#page=32). * **Formule:**$$ I\_P = I\_{MM} + Md^2 $$ [32](#page=32). waarbij: * $I\_P$ het traagheidsmoment is om de willekeurige as. * $I\_{MM}$ het traagheidsmoment is om de evenwijdige as door het massamiddelpunt. * $M$ de totale massa van het lichaam is. * $d$ de afstand is tussen de twee evenwijdige assen. > **Tip:** Dit theorema is essentieel om het traagheidsmoment om elke as te berekenen, mits het traagheidsmoment om een parallelle as door het massamiddelpunt bekend is. > **Voorbeeld:** De berekening van het traagheidsmoment van het hoofd t.o.v. de laatste cervicale wervel, benaderd als een bol [33](#page=33). ### 5.4 De kinetische rotatie-energie De kinetische rotatie-energie is de energie die een object bezit als gevolg van zijn rotatie [33](#page=33). * **Definitie:** Voor een star lichaam dat roteert rond een vaste as met hoeksnelheid $\\omega$, verdeeld in massa-elementen $m\_i$ met baansnelheden $v\_i$: $$ K = \\sum\_{i=1}^{n} \\frac{1}{2} m\_i v\_i^2 $$ [33](#page=33). * **Relatie met hoeksnelheid:** Aangezien $v\_i = r\_i \\omega$, geldt: $$ K = \\sum\_{i=1}^{n} \\frac{1}{2} m\_i (r\_i \\omega)^2 = \\frac{1}{2} \\omega^2 \\sum\_{i=1}^{n} m\_i r\_i^2 $$ [34](#page=34). * **Formule:** In de limiet van continu verdeelde massa: $$ K = \\frac{1}{2} I \\omega^2 $$ [34](#page=34). waarbij $I$ het traagheidsmoment van het lichaam is om de beschouwde rotatie-as [34](#page=34). ### 5.5 Kinetische energie bij rollende beweging Een rollende beweging kan worden beschouwd als een combinatie van translatie van het massamiddelpunt en zuivere rotatie rond een as door het massamiddelpunt [35](#page=35). * **Totale kinetische energie van een rollend lichaam:** De kinetische energie van een rollend lichaam is de som van de kinetische energie van de translatie van het massamiddelpunt en de kinetische energie van de rotatie rond het massamiddelpunt [35](#page=35). $$ K\_{totaal} = K\_{translatie} + K\_{rotatie} = \\frac{1}{2} M v\_{MM}^2 + \\frac{1}{2} I\_{MM} \\omega^2 $$ [35](#page=35). waarbij: * $M$ de massa is. * $v\_{MM}$ de snelheid van het massamiddelpunt is. * $I\_{MM}$ het traagheidsmoment is rond de as door het massamiddelpunt. * $\\omega$ de hoeksnelheid is. > **Toepassing:** Deze benadering wordt gebruikt om de snelheid van een rollende cilinder die van een helling afrolt te bepalen met behulp van energiewetgeving. (#page=31, 36) [31](#page=31) [36](#page=36). ### 5.6 Het angulair moment (impulsmoment) Het angulair moment, ook wel impulsmoment genoemd, is het rotatie-analoog van het lineaire momentum [37](#page=37). #### 5.6.1 Angulair moment van een deeltje * **Definitie:** Het angulair moment $\\vec{l}$ van een deeltje met lineair momentum $\\vec{p}$ en plaatsvector $\\vec{r}$ ten opzichte van een punt O is: $$ \\vec{l} = \\vec{r} \\times \\vec{p} $$ [37](#page=37). * **Grootte:** $l = r p \\sin\\theta$, waarbij $\\theta$ de hoek is tussen $\\vec{r}$ en $\\vec{p}$ [37](#page=37). * **Momentarm:** $l = p r\_{\\perp}$, waarbij $r\_{\\perp}$ de component van $\\vec{r}$ loodrecht op de actielijn van $\\vec{p}$ is [37](#page=37). * **Eenheid:** kg m²/s [37](#page=37). #### 5.6.2 Verband tussen angulair moment en krachtmoment De verandering van het angulair moment van een deeltje per tijdseenheid is gelijk aan het krachtmoment dat op het deeltje inwerkt [38](#page=38). * **Vectoriële relatie:**$$ \\frac{d\\vec{l}}{dt} = \\vec{\\tau}\_{ext} $$ [38](#page=38). waarbij $\\vec{\\tau}{ext}$ het uitwendige krachtmoment is [38](#page=38). > **Tip:** Dit verband is analoog aan $\\frac{d\\vec{p}}{dt} = \\vec{F}$ voor translatie. #### 5.6.3 Angulair moment van een star lichaam Voor een star lichaam dat roteert om een vaste as, is de component van het angulair moment langs die as gelijk aan: $$ L\_{as} = I \\omega $$ (#page=40, 46, 47) [40](#page=40) [46](#page=46) [47](#page=47). waarbij $I$ het traagheidsmoment is ten opzichte van die as [47](#page=47). ### 5.7 Het angulair moment van een systeem van deeltjes * **Totaal angulair moment:** Het totale angulair moment $\\vec{L}$ van een systeem van deeltjes ten opzichte van een vast punt O is de vectoriële som van de angulaire momenten van de individuele deeltjes: $$ \\vec{L} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{l}\_i $$ [42](#page=42). * **Verband met uitwendige krachtmomenten:** De verandering per tijdseenheid van het totale angulair moment van een systeem van deeltjes is gelijk aan de som van de uitwendige krachtmomenten om dat punt: $$ \\frac{d\\vec{L}}{dt} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{\\tau}\_{uitw, i} $$ (#page=42, 44) [42](#page=42) [44](#page=44). De krachtmomenten van inwendige krachten heffen elkaar paarsgewijs op [42](#page=42). > **Toepassing:** Dit principe is van toepassing op systemen van twee deeltjes en meer-deeltjes systemen. (#page=43, 44, 45) [43](#page=43) [44](#page=44) [45](#page=45). ### 5.8 Wet van behoud van angulair moment De wet van behoud van angulair moment stelt dat als het totale uitwendige krachtmoment op een systeem nul is, het totale angulair moment van het systeem constant blijft [46](#page=46). * **Formulering:** Indien $\\sum \\vec{\\tau}\_{uitw} = 0$, dan is $\\frac{d\\vec{L}}{dt} = 0$, wat impliceert dat $\\vec{L} = \\text{constant}$ [46](#page=46). * **Voor rotatie om een as:** Voor rotatie om een vaste as geldt: Als $\\sum \\tau\_{uitw} = 0$, dan is $I \\omega = \\text{constant}$ [47](#page=47). > **Tip:** Deze wet is zeer krachtig en verklaart veel natuurkundige fenomenen. Zorg dat je het verschil tussen $\\tau$ (krachtmoment) en $I$ (traagheidsmoment) goed begrijpt. #### 5.8.1 Toepassingen * **Schaatsen/Ballet (pirouette):** Door de armen en benen in te trekken, verkleint een schaatser of ballerina zijn/haar traagheidsmoment ($I$), waardoor de hoeksnelheid ($\\omega$) toeneemt om het angulair moment constant te houden ($I\_1\\omega\_1 = I\_2\\omega\_2$) [48](#page=48). * **Salto:** Een turner kan door het intrekken van de benen het traagheidsmoment verkleinen, wat leidt tot een hogere hoeksnelheid en dus een snellere rotatie tijdens de salto [49](#page=49). * **Val van een kat:** Een kat kan zijn lichaam zo manipuleren dat het, ondanks een initieel angulair moment van nul, toch op zijn poten landt door de rotatie van verschillende lichaamsdelen in tegengestelde richtingen te coördineren [50](#page=50). * * * # Massamiddelpunt en zijn beweging Het massamiddelpunt is een conceptueel punt dat de beweging van een complex systeem of lichaam vereenvoudigt, en zijn beweging onder invloed van uitwendige krachten wordt beschreven alsof de totale massa in dit punt geconcentreerd is. ### 3.1 Het massamiddelpunt Het massamiddelpunt (MM) is een punt dat zich op dezelfde manier gedraagt als een enkelvoudige puntmassa met de totale massa van het systeem, wanneer het onderworpen is aan de som van alle uitwendige krachten die op het systeem inwerken. Dit concept is nuttig om de beweging van samengestelde objecten, zoals een kind op een slee, te analyseren door het systeem voor te stellen als één enkel puntmassa waarop alle relevante krachten aangrijpen [5](#page=5). #### 3.1.1 Het massamiddelpunt bij ééndimensionale verdeling van puntmassa's Voor een systeem van discrete puntmassa's ($m\_i$) langs een lijn met coördinaten ($x\_i$), wordt de coördinaat van het massamiddelpunt ($x\_{mm}$) gegeven door de som van de producten van elke massa en zijn coördinaat, gedeeld door de totale massa ($M$) van het systeem [5](#page=5). $$ x\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i} $$ Waarbij $M = \\sum\_{i=1}^{n} m\_i$ de totale massa is [5](#page=5). #### 3.1.2 Het massamiddelpunt bij een ruimtelijke verdeling van puntmassa's Voor een systeem van puntmassa's in drie dimensies, worden de coördinaten van het massamiddelpunt ($x\_{mm}, y\_{mm}, z\_{mm}$) berekend met de volgende formules [6](#page=6): $$ x\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{M} $$$$ y\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i y\_i}{M} $$$$ z\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i z\_i}{M} $$ In vectornotatie wordt de plaatsvector van het massamiddelpunt ($\\vec{r}\_{mm}$) gegeven door: $$ \\vec{r}\_{mm} = \\frac{\\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{r}\_i}{M} $$ Waarbij $\\vec{r}\_i$ de plaatsvector is van de $i$\-de massa $m\_i$. De positie van het massamiddelpunt is onafhankelijk van de keuze van het assenstelsel en is afhankelijk van de massa's van de deeltjes en hun relatieve afstanden [6](#page=6). #### 3.1.3 Het massamiddelpunt van onvervormbare lichamen (continue massaverdeling) Voor lichamen met een continue massaverdeling kan het massamiddelpunt worden berekend door het lichaam te beschouwen als een stapeling van infinitesimale massa-elementen ($dm$). De coördinaten van het massamiddelpunt worden gegeven door integralen over het gehele lichaam [7](#page=7): $$ x\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int x , dm $$$$ y\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int y , dm $$$$ z\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int z , dm $$ In vectornotatie: $$ \\vec{r}\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int \\vec{r} , dm $$ Als het lichaam homogeen is met een constante massadichtheid ($\\rho$), dan is $dm = \\rho , dV$, en de formules worden: $$ x\_{mm} = \\frac{\\int x \\rho , dV}{M} $$$$ y\_{mm} = \\frac{\\int y \\rho , dV}{M} $$$$ z\_{mm} = \\frac{\\int z \\rho , dV}{M} $$ > **Tip:** Voor homogene lichamen met symmetrie valt het massamiddelpunt samen met het symmetriepunt (bij puntsymmetrie) of ligt het op de symmetrielijn (bij lijnsymmetrie) [8](#page=8). ### 3.2 Beweging van het massamiddelpunt De beweging van het massamiddelpunt van een systeem van deeltjes kan worden afgeleid door de plaatsvector van het massamiddelpunt tweemaal naar de tijd af te leiden [8](#page=8). De plaatsvector van het massamiddelpunt ($\\vec{r}\_{mm}$) voor een systeem van $n$ deeltjes met massa's $m\_i$ en plaatsvectoren $\\vec{r}\_i$ is: $$ M \\vec{r}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{r}\_i $$ Waarbij $M = \\sum\_{i=1}^{n} m\_i$ de totale massa is [8](#page=8). De snelheid van het massamiddelpunt ($\\vec{v}\_{mm}$) is: $$ M \\vec{v}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{v}\_i $$ De versnelling van het massamiddelpunt ($\\vec{a}\_{mm}$) is: $$ M \\vec{a}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{a}\_i $$ Volgens de tweede wet van Newton is $m\_i \\vec{a}\_i = \\vec{F}\_i$, de totale kracht op deeltje $i$. Dus: $$ M \\vec{a}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} \\vec{F}\_i $$ Dit kan worden opgesplitst in uitwendige krachten ($\\vec{F}\_{i,uitw}$) en inwendige krachten ($\\vec{F}{i,inw}$): $$ M \\vec{a}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} \\vec{F}\_{i,uitw} + \\sum{i=1}^{n} \\vec{F}\_{i,inw} $$ Volgens de derde wet van Newton heffen inwendige krachten elkaar paarsgewijs op. Daarom vereenvoudigt de vergelijking tot: $$ M \\vec{a}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} \\vec{F}\_{i,uitw} $$ **Conclusie:** Het massamiddelpunt van een systeem van deeltjes beweegt alsof de totale massa geconcentreerd is in dat massamiddelpunt, en alle uitwendige krachten in dat punt aangrijpen. Alleen uitwendige krachten bepalen de bewegingsrichting van het massamiddelpunt. Dit geldt voor zowel systemen van deeltjes met complexe interne bewegingen als voor solide lichamen [9](#page=9). > **Tip:** In een zwaartekrachtveld is het massamiddelpunt gelijk aan het zwaartepunt, het aangrijpingspunt van de zwaartekracht op het lichaam [9](#page=9). > **Voorbeeld:** Bij een schoonspringer beschrijft het massamiddelpunt een parabolische baan, onafhankelijk van de rotaties of sprongtechniek van de springer. Dit betekent dat het massamiddelpunt de baan volgt van een projectiel met dezelfde beginsnelheid en massa als de springer. Hetzelfde principe geldt voor atleten in sporten zoals hoogspringen, waar de techniek erop gericht is het massamiddelpunt onder de lat door te leiden, zelfs als delen van het lichaam boven de lat zijn [10](#page=10) [9](#page=9). ### 3.3 Hoeveelheid van beweging of lineair moment Het lineair moment (ook wel impuls genoemd) van een deeltje met massa $m$ en snelheid $\\vec{v}$ is een vectorgrootheid: $$ \\vec{p} = m \\vec{v} $$ De verandering van het lineair moment naar de tijd is gelijk aan de netto kracht die op het deeltje werkt (tweede wet van Newton): $$ \\frac{d\\vec{p}}{dt} = m \\vec{a} = \\vec{F} $$ Voor een systeem van $n$ deeltjes met constante massa's, is het totale lineaire moment $P$ de vectoriële som van de individuele lineaire momenten: $$ \\vec{P} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{p}\_i = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{v}\_i $$ Dit kan ook worden uitgedrukt in termen van de totale massa $M$ en de snelheid van het massamiddelpunt $\\vec{v}\_{mm}$: $$ \\vec{P} = M \\vec{v}\_{mm} $$ De afgeleide van het totale lineaire moment naar de tijd is gelijk aan de som van de uitwendige krachten die op het systeem inwerken: $$ \\frac{d\\vec{P}}{dt} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{F}\_{i,uitw} $$ * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Hoeveelheid van beweging (Lineair moment) | De hoeveelheid van beweging van een deeltje, gedefinieerd als het product van zijn massa en zijn snelheid ($p = mv$). Het is een vectoriële grootheid die grootte, richting en zin heeft. | | Impuls | De verandering van de hoeveelheid van beweging van een deeltje onder invloed van een kracht gedurende een tijdsinterval. Impuls wordt berekend als de integraal van de kracht over de tijd ($J = \int F dt$). | | Wet van behoud van lineair moment | Stelt dat indien de netto uitwendige kracht op een systeem nul is, het totale lineaire moment van het systeem constant blijft. Dit is een fundamenteel principe in de mechanica. | | Botsing | Een fysisch verschijnsel waarbij twee of meer lichamen elkaar ontmoeten en hun beweging plotseling verandert. Botsingen kunnen elastisch of niet-elastisch zijn, afhankelijk van de behoud van kinetische energie. | | Elastische botsing | Een botsing waarbij zowel de hoeveelheid van beweging als de kinetische energie behouden blijven. Er treedt geen energieverlies op door vervorming of warmteontwikkeling. | | Niet-elastische botsing | Een botsing waarbij de hoeveelheid van beweging behouden blijft, maar de kinetische energie niet. Een deel van de kinetische energie wordt omgezet in andere vormen van energie, zoals warmte of potentiële energie van vervorming. | | Volkomen inelastische botsing | Een extreem geval van een niet-elastische botsing waarbij de botsende lichamen na de botsing aan elkaar kleven en met een gemeenschappelijke snelheid bewegen. Hierbij gaat het grootste deel van de kinetische energie verloren. | | Krachtmoment (Moment van een kracht) | De draaiende invloed van een kracht op een voorwerp, bepaald door het product van de kracht en de loodrechte afstand tot het draaipunt (momentarm). Het is een vectoriële grootheid ($\tau = r \times F$). | | Traagheidsmoment | De maat voor de inertie van een voorwerp bij een rotatiebeweging. Het hangt af van de massa van het voorwerp en de verdeling van die massa ten opzichte van de rotatie-as. | | Regel van Steiner (Parallelle-as theorema) | Een stelling die het mogelijk maakt het traagheidsmoment van een voorwerp om een willekeurige as te berekenen, indien het traagheidsmoment om een parallelle as door het massamiddelpunt bekend is. De formule is $I_p = I_{MM} + Md^2$. | | Kinetische rotatie-energie | De energie die een voorwerp bezit als gevolg van zijn rotatiebeweging. Het wordt berekend als de helft van het product van het traagheidsmoment en het kwadraat van de hoeksnelheid ($K_{rotatie} = \frac{1}{2}I\omega^2$). | | Angulair moment (Impulsmoment) | Het analogon van lineair moment voor rotatiebewegingen. Het is de vectoriële grootheid die de draaiende bewegingstoestand van een deeltje of systeem beschrijft, gedefinieerd als $L = r \times p$. | | Wet van behoud van angulair moment | Stelt dat indien het netto krachtmoment op een systeem nul is, het totale angulair moment van het systeem constant blijft. Dit principe is cruciaal voor het begrijpen van rotatiebewegingen zonder externe draaiende invloeden. | | Massamiddelpunt (MM) | Het punt in een systeem waar de gehele massa van het systeem geconcentreerd kan worden beschouwd voor de beschrijving van de translatiebeweging. Het beweegt alsof het onderworpen is aan de som van alle uitwendige krachten op het systeem. | | Rotatiebeweging | Beweging waarbij alle punten van een lichaam concentrische cirkels beschrijven rondom een gemeenschappelijke as. | | Translatiebeweging | Beweging waarbij elk punt van een lichaam dezelfde verplaatsing ondergaat. |