Hoofdstuk 8 Breuken.pdf

# Rationale getallen en hun representaties Dit topic behandelt de definitie en verschillende representaties van rationale getallen, inclusief de overgang van natuurlijke getallen naar rationale getallen en de bijbehorende verschillen in representatie, vergelijking, ordening en bewerkingen, en introduceert kort irrationale en reële getallen. ## 1.1 De verzameling van de rationale getallen De verzameling van de natuurlijke getallen is aangeduid met ℕ en omvat {1, 2, 3, 4, 5,...}. De verzameling van de gehele getallen, aangeduid met ℤ, omvat {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,...} [5](#page=5). Een rationaal getal is een getal dat kan worden uitgedrukt als een breuk $\frac{a}{b}$, waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn ( $a, b \in \mathbb{Z}$ ) en $b$ niet gelijk is aan nul ($b \neq 0$). De verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld door de letter ℚ. In het basisonderwijs worden voornamelijk positieve breuken gebruikt [5](#page=5). Hoewel rationale getallen kunnen worden weergegeven als een breuk, is "breuk" niet synoniem met "rationaal getal". Rationale getallen kunnen ook voorkomen als kommagetallen (bijvoorbeeld 0,5; 0,75; 1,5) of als percentages (bijvoorbeeld 50%; 75%; 150%). Ze kunnen groter zijn dan 1 (bijvoorbeeld $\frac{6}{4}$) en kleiner dan 0 (bijvoorbeeld $-\frac{1}{2}$). Niet alle rationale getallen zijn natuurlijke getallen, maar alle natuurlijke getallen zijn wel rationale getallen. Een breuk is dus slechts één mogelijke representatie van een rationaal getal. Net als natuurlijke getallen kunnen rationale getallen ook worden voorgesteld op een getallenas [5](#page=5) [6](#page=6). > **Tip:** Het is belangrijk om te onthouden dat een breuk slechts één van de representaties is voor een rationaal getal. ## 1.2 De overgang van natuurlijke naar rationale getallen Leerlingen kunnen moeite hebben met het toepassen van voorkennis van natuurlijke getallen op rationale getallen, wat leidt tot misvattingen. Dit komt doordat de rekenregels voor natuurlijke getallen niet altijd direct overdraagbaar zijn naar rationale getallen. Het is cruciaal voor leerkrachten om expliciet de verschillen tussen natuurlijke en rationale getallen te benadrukken en te waarschuwen voor het onterecht toepassen van regels voor natuurlijke getallen op rationale getallen [6](#page=6). ### 1.2.1 Verschillen in representaties De representatie van een getal kan sterk verschillen bij de overgang van natuurlijke naar rationale getallen. Een natuurlijk getal zoals '2' kan als rationaal getal ook worden genoteerd als $\frac{2}{1}$, 2,0, of 200%. Een kwart, dat als natuurlijk getal niet direct bestaat, kan worden voorgesteld als $\frac{1}{4}$, 0,25, of 25%. Bovendien kan $\frac{1}{4}$ op oneindig veel manieren worden geschreven met andere breuken zoals $\frac{3}{12}$ of $\frac{5}{20}$, en ook op oneindig veel manieren als kommagetal of percentage (bijvoorbeeld 0,250; 0,2500; 25,0%; 25,00%) [7](#page=7). ### 1.2.2 Verschillen in vergelijken en ordenen Bij natuurlijke getallen zijn getallen met meer cijfers altijd groter, maar dit geldt niet altijd voor rationale getallen. Leerlingen beschouwen bij breuken vaak de teller en noemer als afzonderlijke gehelen, terwijl ze als één geheel bekeken moeten worden. Om rationale getallen met verschillende representaties te vergelijken, moeten ze eerst worden omgezet naar dezelfde representatie [8](#page=8). > **Tip:** Om breuken te vergelijken, zet ze om naar een gemeenschappelijke noemer of zet ze om naar decimale getallen. ### 1.2.3 Discreet versus dicht De structuur van de getallenverzameling verschilt: natuurlijke getallen zijn discreet, terwijl rationale getallen dicht zijn. Dit betekent dat er tussen twee opeenvolgende natuurlijke getallen geen ander natuurlijk getal ligt, maar tussen twee rationale getallen oneindig veel andere rationale getallen liggen [8](#page=8). **Voorbeeld:** Hoeveel getallen liggen er tussen 35 en 37? Bij de natuurlijke getallen is het antwoord "één, namelijk 36". Bij de rationale getallen is het antwoord "oneindig veel", bijvoorbeeld 35,83; 36; 36,042;... [8](#page=8). Beide leerlingen denken dat er een eindig aantal getallen ligt tussen 0,5 en 0,6, maar in werkelijkheid zijn het er oneindig veel (bijvoorbeeld 0,513; 0,5378;...) [8](#page=8). ### 1.2.4 Verschillen in bewerkingen De rekenregels voor bewerkingen met natuurlijke getallen gelden niet altijd voor rationale getallen [9](#page=9). * **Optellen:** Voor natuurlijke getallen geldt: $1 + 5 = 6$ [9](#page=9). Voor rationale getallen geldt *niet* dat $\frac{1}{3} + \frac{5}{4} = \frac{1+5}{3+4} = \frac{6}{7}$ [9](#page=9). * **Aftrekken:** Voor natuurlijke getallen geldt: $4 - 1 = 3$ [9](#page=9). Voor rationale getallen geldt *niet* dat $\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4-1}{5-2} = \frac{3}{3} = 1$ [9](#page=9). * **Vermenigvuldigen:** Bij het vermenigvuldigen van twee natuurlijke getallen is het product altijd groter dan of gelijk aan één van beide getallen. Bijvoorbeeld: $6 \times 4 = 24$, waarbij $24 > 6$ en $24 > 4$ [10](#page=10). Bij het vermenigvuldigen van twee rationale getallen kan het product echter kleiner zijn dan één van beide getallen. Bijvoorbeeld: $4 \times 0,5 = 2$, waarbij $2 > 0,5$ maar $2 < 4$ [10](#page=10). * **Delen:** Bij het delen van twee natuurlijke getallen is het quotiënt altijd kleiner dan of gelijk aan het deeltal. Bijvoorbeeld: $12: 3 = 4$, waarbij $4 < 12$ [10](#page=10). Bij het delen van twee rationale getallen kan het quotiënt echter groter zijn dan of gelijk aan het deeltal. Bijvoorbeeld: $12: 0,3 = 40$, waarbij $40 > 12$ [10](#page=10). > **Voorbeeld:** Een veelvoorkomende misvatting bij optellen van breuken is het optellen van tellers en noemers apart, wat leidt tot incorrecte resultaten zoals $\frac{1}{3} + \frac{5}{4} = \frac{6}{7}$. De juiste methode vereist een gemeenschappelijke noemer. ## 1.3 De verzameling van de irrationale getallen Niet alle getallen kunnen worden uitgedrukt als een breuk $\frac{a}{b}$ waarbij $a, b \in \mathbb{Z}$ en $b \neq 0$. Voorbeelden hiervan zijn niet-repeterende oneindige kommagetallen. Deze getallen, die niet als een breuk kunnen worden geschreven, worden irrationale getallen genoemd. De verzameling van rationale getallen en de verzameling van irrationale getallen vormen samen de verzameling van de reële getallen, aangeduid met ℝ [11](#page=11). ## 1.4 Wil je meer weten? Er zijn aanvullende video's beschikbaar op Toledo die de "continuïteit" van de rationale getallen illustreren, wat verklaart hoe men kinderen kan laten zien dat er oneindig veel breuken liggen tussen twee willekeurige breuken. Deze video's kunnen helpen bij het analyseren van leerlingreacties en het ontwikkelen van effectievere onderwijsstrategieën [11](#page=11). --- # Het breukconcept en zijn aspecten Dit onderwerp behandelt de opbouw van het breukconcept in het basisonderwijs, met specifieke aandacht voor het CSA-model, diverse breuksoorten, en het onderscheid tussen wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten van breuken, inclusief de vijf verschijningsvormen. ### 2.1 Leerdoelen m.b.t. rekenvaardigheden Leerlingen dienen in staat te zijn verschillende soorten breuken te definiëren en voorbeelden te geven. Daarnaast moeten ze breuken kunnen afbeelden op een getallenas, gelijkwaardige breuken bepalen, breuken vereenvoudigen, vergelijken en ordenen [12](#page=12). ### 2.2 Vakdidactische leerdoelen Docenten moeten kunnen aantonen hoe het breukconcept stapsgewijs wordt opgebouwd in het basisonderwijs en de relatie ervan met natuurlijke getallen. Het is essentieel om de vijf verschijningsvormen van breuken (deel-geheel, operator, maat, verhouding/kans, en getal) te onderscheiden, beschrijven en herkennen. Leerlingen moeten breukvraagjes kunnen analyseren en zelf opstellen binnen een gegeven context. Tevens moeten wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten van breuken beschreven kunnen worden, en moeten misvattingen van leerlingen over gelijkwaardige breuken, vereenvoudigen, vergelijken en ordenen begrepen en verklaard kunnen worden. Het hanteren en beschrijven van diverse voorstellingswijzen voor breuken (zoals stroken, getallenas, cirkel, maatbeker) is ook een leerdoel [12](#page=12). ### 2.3 Inleiding Delingen tussen gehele getallen leveren niet altijd gehele getallen op. Om dit op te lossen, zijn breuken geïntroduceerd. Een breuk, zoals $\frac{10}{4}$, bestaat uit een teller (het deeltal, hier 10), een noemer (de deler, hier 4) en een breukstreep. Veel leerlingen vinden breuken lastig door onvoldoende aandacht voor begripsvorming en te snelle abstractie. Kinderen hebben echter al voorkennis over breuken vanuit de dagelijkse omgangstaal, wat als bouwsteen kan dienen [12](#page=12) [13](#page=13). ### 2.4 Het CSA-model Het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) is cruciaal bij het aanleren van breuken. De onderwijsmethodiek dient te vertrekken vanuit reële, betekenisvolle contexten waarbij leerlingen handelen en verwoorden. Handelingen met breuken kunnen het resultaat of het uitgangspunt van een handeling uitdrukken. Verwoorden betekent niet alleen de activiteit benoemen, maar ook op verschillende manieren kunnen uitdrukken, wat begrip garandeert. Concreet waargenomen zaken, via materialen, vertalen leerlingen met hulp van de leerkracht naar schematische voorstellingen. Deze schematische voorstellingen vormen de basis voor abstracte redeneringen. Bij falen op een bepaald niveau, grijpt men terug naar een eerdere fase [13](#page=13) [14](#page=14). > **Tip:** Het CSA-model is essentieel voor een diepgaand begrip van breuken en wordt gedurende dit hoofdstuk frequent toegepast. ### 2.5 Soorten breuken Er worden zes soorten breuken onderscheiden [14](#page=14): | Naam | Omschrijving | Voorbeelden | | :---------------- | :---------------------------------------------------------------------------------------- | :----------------------- | | Echte breuk | De teller is kleiner dan de noemer. | $\frac{2}{5}, -\frac{3}{7}, \frac{1}{9}$ | | Onechte breuk | De absolute waarde van de teller is groter of gelijk aan de noemer. | $\frac{3}{2}, -\frac{17}{5}, \frac{9}{3}$ | | Oneigenlijke breuk | De teller is een veelvoud van de noemer ($\frac{na}{a}$ met $n \in \mathbb{Z}$). Vereenvoudigbaar tot gehele getallen. | $-\frac{9}{3}, \frac{49}{7}, \frac{60}{5}$ | | Stambreuk | De absolute waarde van de teller is gelijk aan 1. | $-\frac{1}{7}, \frac{1}{17}, -\frac{1}{145}$ | | Decimale breuk | De noemer is van de vorm $10^n$ met $n \in \mathbb{N}$. | $\frac{125}{100}, -\frac{7}{10}, \frac{615}{1000}$ | | Gemengd getal | Samenstelling van een geheel getal en een breuk. | $2\frac{1}{3}, -8\frac{1}{2}, 13\frac{5}{6}$ | Een breuk kan tot meerdere soorten behoren. Bijvoorbeeld, $\frac{1}{10}$ is een echte breuk, een stambreuk en een decimale breuk [14](#page=14). ### 2.6 Wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten Voor een goed breukbegrip moeten leerlingen onderscheid maken tussen wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten [15](#page=15). #### 2.6.1 Wezenlijke aspecten De wezenlijke aspecten zijn essentieel; wijziging hiervan verandert de breuk [15](#page=15): 1. **Gelijke delen:** Het geheel wordt verdeeld in "gelijke" delen, die bij samenvoeging het geheel vormen [15](#page=15). 2. **Noemer:** Geeft het aantal gelijke delen aan waarin het geheel is verdeeld. (bv. in $\frac{2}{5}$ geeft 5 aan dat het geheel in 5 gelijke delen wordt verdeeld) [15](#page=15). 3. **Teller:** Geeft het aantal delen aan dat van het geheel wordt genomen. (bv. in $\frac{8}{\dots}$ geeft 8 aan dat we acht van de gelijke delen nemen) [15](#page=15). #### 2.6.2 Niet-wezenlijke aspecten De aard van het materiaal, de aard van de grootheden, de grootte van het geheel en de manier van verdelen zijn niet-wezenlijke aspecten. Wijziging hiervan verandert de breuk niet. Het is belangrijk deze aspecten in lessen te variëren en expliciet te benoemen [15](#page=15). 1. **De aard van het materiaal (discreet of continu):** * **Discreet:** Een aantal losse voorwerpen (bv. potloden, knikkers). Hierbij moet het aantal voorwerpen een veelvoud zijn van de noemer [16](#page=16). * **Continu:** Een samenhangende grootheid (bv. water, tijd, pizza). De noemer kan hier willekeurig zijn, mits de afmetingen van het materiaal aangepast zijn aan de noemer [16](#page=16). > **Voorbeeld:** Bij discreet materiaal met zes knikkers, kunnen deze verdeeld worden in één, twee, drie of zes gelijke delen. Bij continu materiaal, zoals een rechthoek, kleurt men $\frac{5}{7}$ door deze in zeven gelijke delen te verdelen [16](#page=16). 2. **De aard van de grootheden:** Breuken kunnen betrekking hebben op diverse grootheden zoals lengte, tijd, inhoud, gewicht, geldwaarde, of figuren [16](#page=16). > **Voorbeeld:** $\frac{1}{2}$ kg aardappelen kan zowel betrekking hebben op het aantal aardappelen als op het gewicht [16](#page=16). 3. **De grootte van het geheel:** De grootte van het geheel moet variëren om te voorkomen dat leerlingen een specifieke grootte met een breuk associëren. Het geheel moet duidelijk aangegeven zijn [17](#page=17). > **Voorbeeld:** $\frac{1}{2}$ van een groot geheel kan groter zijn dan $\frac{3}{4}$ van een kleiner geheel [17](#page=17). 4. **De manier van verdelen:** Gehelen kunnen op verschillende manieren in gelijke delen worden verdeeld [18](#page=18). > **Voorbeeld 1:** Een vierkant kan op verschillende manieren in vier gelijke delen verdeeld worden [18](#page=18). > **Voorbeeld 2:** Drie pizza's verdelen onder vier personen [18](#page=18). ### 2.7 Verschijningsvormen van breuken Breuken kennen vijf verschijningsvormen die geïntegreerd aangeboden moeten worden voor een volledig breukbegrip [20](#page=20). 1. **Deel-geheel:** Het eerlijk verdelen van een geheel in gelijke delen [20](#page=20). > **Voorbeeld:** Een taart eerlijk verdelen onder acht personen, waarbij ieder $\frac{1}{8}$ van de taart krijgt. Bij het verdelen van een blad papier onder twee kinderen krijgt elk een "half blad" of $\frac{1}{2}$ blad. Bij het verdelen van een taart onder vier kinderen krijgt elk $\frac{1}{4}$ taart. Een zakje met 20 snoepjes eerlijk verdelen onder vijf kinderen betekent dat elk kind $\frac{1}{5}$ van de snoepjes krijgt, wat neerkomt op 4 snoepjes. Men kan ook meerdere delen nemen van één geheel, zoals $\frac{3}{4}$ van een taart [20](#page=20) [22](#page=22) [23](#page=23) [24](#page=24). * **Breukvraagjes:** Een gestructureerd hulpmiddel voor dit concept [22](#page=22). * Wat is het geheel? * In hoeveel gelijke delen verdeel je het geheel? * Hoeveel gelijke delen neem je? * Welk deel is dit van het geheel? 2. **Operator:** De breuk is het uitgangspunt van een handeling (#page=20, 29). Dit kan toegepast worden op continue grootheden of op aantallen [20](#page=20) [29](#page=29). > **Voorbeeld (continue grootheid):** Neem $\frac{1}{2}$ van een blad papier. Teken $\frac{6}{5}$ van een rechthoek, wat betekent dat het geheel in 5 delen wordt verdeeld en er 6 delen worden genomen. Als $\frac{6}{5}$ van een figuur gegeven is, moet de oorspronkelijke figuur getekend worden; dit is moeilijker omdat het de omgekeerde bewerking vereist [29](#page=29) [30](#page=30). > **Voorbeeld (aantal):** $\frac{2}{3}$ van 12 handpopjes kiezen. Dit kan berekend worden als $12 \div 3 = 4$ en $2 \times 4 = 8$ [31](#page=31) [32](#page=32). * **Bewerking:** $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ [32](#page=32). 3. **Maat:** De breuk wordt gebruikt om een meetresultaat nauwkeuriger te noteren (#page=20, 34). Het kan het eindresultaat van een handeling zijn of het uitgangspunt [20](#page=20) [34](#page=34). > **Voorbeeld:** De lengte van een lessenaar wordt gemeten met een strookje papier. Als het strookje er drie keer in past en een restant overblijft van $\frac{1}{2}$ strook, is de lengte $3\frac{1}{2}$ keer de strook, of $\frac{7}{2}$ strook [34](#page=34). 4. **Verhouding/Kans:** Breuken geven verhoudingen weer in het dagelijks leven, zoals de verhouding van een deel ten opzichte van het geheel, tussen twee delen, bij verkleining/vergroting, op schaal, of in mengsels (#page=20, 35, 36) [20](#page=20) [35](#page=35) [36](#page=36). * **Breuk als verhouding:** Bij kralenkettingen met witte en zwarte kralen, kan men de verhouding uitdrukken als $\frac{\text{aantal witte kralen}}{\text{aantal zwarte kralen}} = \frac{1}{3}$ of $\frac{\text{aantal witte kralen}}{\text{totaal aantal kralen}} = \frac{1}{4}$ [37](#page=37). * **Typen verhoudingen:** * **Deel-deel vergelijkingen:** Vergelijkt de grootte van een deel met een ander deel [38](#page=38). * **Deel-geheel vergelijkingen:** Vergelijkt de grootte van een deel met het totaal [38](#page=38). * **Breuk als kans:** De kans op een gebeurtenis wordt uitgedrukt als een breuk. Bij het opwerpen van een muntstuk is de kans op kruis $\frac{1}{2}$. Bij het gooien met twee dobbelstenen is de kans op een som van 5 $\frac{4}{36}$ of $\frac{1}{9}$ [38](#page=38) [39](#page=39). 5. **Getal:** Vanaf het vierde leerjaar krijgt de breuk betekenis als een rationaal getal op de getallenas, waarbij de afstand tussen 0 en 1 het abstracte geheel is (#page=20, 40) [20](#page=20) [40](#page=40). > **Voorbeeld:** $\frac{3}{4}$ wordt geplaatst op de getallenas door de afstand tussen 0 en 1 in 4 gelijke delen te verdelen en er 3 van te nemen. Het vereenvoudigen van breuken kan het plaatsen op de getallenas vergemakkelijken, bv. $\frac{12}{60}$ wordt $\frac{1}{5}$. Onechte breuken liggen buiten het interval [1](#page=1) [40](#page=40) [41](#page=41). ### 2.8 Gelijkwaardige breuken Breuken met dezelfde waarde hebben dezelfde eenvoudigste vorm. Om een reeks gelijkwaardige breuken te bepalen, vermenigvuldigt men de teller en noemer van de eenvoudigste vorm met hetzelfde getal. Het vermeerderen of verminderen van de teller en noemer met eenzelfde getal is fout; enkel vermenigvuldigen of delen met eenzelfde getal behoudt de verhouding [43](#page=43). ### 2.9 Breuken vereenvoudigen Vereenvoudigen gebeurt door teller en noemer door een gemeenschappelijke deler te delen. De breuk is in zijn eenvoudigste vorm wanneer teller en noemer geen gemeenschappelijke delers meer hebben (onvereenvoudigbare breuk). Voor grotere getallen zoekt men de grootste gemeenschappelijke deler (GGD) [45](#page=45) [46](#page=46). > **Formule:** Om de onvereenvoudigbare breuk te vinden, deel je teller en noemer door de GGD van teller en noemer [46](#page=46). > **Voorbeeld:** $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$. Voor $\frac{75}{125}$ is de GGD 25, dus $\frac{75 \div 25}{125 \div 25} = \frac{3}{5}$ [45](#page=45) [46](#page=46). ### 2.10 Breuken vergelijken en ordenen * **Stambreuken:** Bij stambreuken is de breuk met de grootste noemer de kleinste breuk, omdat het geheel in meer delen is verdeeld (#page=47, 48). Bijvoorbeeld, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ [47](#page=47) [48](#page=48). * **Gelijknamige breuken:** De breuk met de grootste teller is de grootste breuk. Bijvoorbeeld, $\frac{5}{6} > \frac{3}{6}$ [48](#page=48). * **Breuken met dezelfde teller:** De breuk met de kleinste noemer is de grootste breuk, omdat het geheel in minder delen is verdeeld, waardoor elk deel groter is. Bijvoorbeeld, $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ [49](#page=49). * **Breuken met verschillende teller en noemer:** Maak de breuken gelijknamig om ze te vergelijken (#page=50, 51). Bijvoorbeeld, om $\frac{3}{5}$ en $\frac{2}{3}$ te vergelijken, maak je ze gelijknamig tot $\frac{9}{15}$ en $\frac{10}{15}$. Dan is $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$, dus $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ [50](#page=50) [51](#page=51). > **Let op:** Het verschil tussen teller en noemer of de grootte van teller en noemer afzonderlijk bepalen niet de grootte van de breuk [51](#page=51). ### 2.11 Vergelijkingsstrategieën Naast het vereenvoudigen, vergelijken van tellers/noemers en gelijknamig maken, gebruiken leerlingen vaak spontane strategieën [53](#page=53): 1. **Referentiepunten:** Vergelijken met een bekende breuk zoals $\frac{1}{2}$ of 1. Dit werkt goed als de breuken aan verschillende kanten van het referentiepunt liggen [53](#page=53). 2. **Hoeveelheid tot het geheel:** Verwijzen naar de hoeveelheid die nog nodig is om het geheel te bereiken [53](#page=53). Uit onderzoek blijkt dat deze spontane strategieën vaak succesvol zijn, terwijl "op gelijke noemer zetten" minder effectief kan zijn. Kloofdenken, gebaseerd op het verschil tussen teller en noemer, is een foute strategie [53](#page=53) [54](#page=54). --- # Bewerkingen met breuken Dit topic behandelt de verschillende rekenkundige bewerkingen met breuken, waaronder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, met nadruk op inzichtelijke aanbrenging vanuit realistische contexten [55](#page=55). ## 3.1 Leerdoelen ### 3.1.1 Rekenvaardigheden * Optellen en aftrekken van zowel gelijknamige als ongelijknamige breuken [55](#page=55). * Vermenigvuldigen van breuken en natuurlijke getallen met elkaar, en delen door elkaar [55](#page=55). * Vermenigvuldigen en delen van breuken met elkaar [55](#page=55). ### 3.1.2 Vakdidactische leerdoelen * Hanteren, beschrijven en toepassen van verschillende voorstellingswijzen voor bewerkingen met breuken (bv. stroken, getallenas, cirkel, maatbeker, breukenladder, pijlenvoorstelling) [55](#page=55). * Zelf contexten bedenken bij gegeven bewerkingen met breuken [55](#page=55). * Begrijpen en verklaren van misvattingen van leerlingen omtrent bewerkingen met breuken [55](#page=55). ## 3.2 Inleiding tot bewerkingen met breuken Bewerkingen met breuken worden in de lagere school aangereikt vanuit realistische contexten, die vervolgens schematisch worden voorgesteld. De bijbehorende rekenregel wordt pas geformuleerd nadat leerlingen voldoende hebben gehandeld en gematerialiseerd. De nadruk ligt niet op het abstract uitvoeren van bewerkingen, maar op inzichtelijk oplossen in praktische situaties, vaak ondersteund door visuele representaties [56](#page=56). > **Tip:** Het is belangrijk om de nadruk te leggen op begrip en inzicht, in plaats van enkel het toepassen van abstracte regels. ## 3.3 Optellen en aftrekken Optellen en aftrekken van breuken worden doorgaans gelijktijdig aangeboden in het vierde leerjaar. Een belangrijk onderscheid in moeilijkheid is het verschil tussen gelijknamige en ongelijknamige breuken. Bij het optellen of aftrekken van breuken mag men de tellers en noemers niet zomaar bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken [56](#page=56). ### 3.3.1 Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken Bij gelijknamige breuken worden de overeenkomstige delen (tellers) bij elkaar opgeteld of van elkaar afgetrokken, terwijl de noemer behouden blijft. Dit concept kan worden verduidelijkt met materialen zoals stroken, getallenas, breukenladder of breukentafel [57](#page=57) [58](#page=58). **Concept:** Alleen gelijknamige breuken kunnen direct opgeteld of afgetrokken worden, omdat ze dezelfde grootte van delen representeren [58](#page=58). #### Voorbeeld: Optellen Op weg naar school eet een kind $\frac{1}{4}$ van zijn broodje, en geeft nog eens $\frac{1}{4}$ aan zijn broertje. Welk deel is er nu kwijt? Representatie met stroken: ``` |---|---|---|---| |---|---|---|---| 1/4 1/4 ``` Samen is dit $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ van het broodje [57](#page=57). #### Voorbeeld: Aftrekken Oma brengt $\frac{3}{4}$ van een taart. Mama eet $\frac{1}{4}$ op. Welk deel blijft er over? Representatie met cirkel: ``` (hele taart) o /|\ / | \ / | \ / | \ -----*----- / \ / \ / \ / V V \ 0 1/4 2/4 3/4 1 ``` Van de $\frac{3}{4}$ wordt $\frac{1}{4}$ weggenomen, wat resulteert in $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ van de taart die overblijft [58](#page=58). > **Tip:** Het werken met concrete materialen zoals een echt broodje of een taart helpt het begrip van de bewerking [57](#page=57) [58](#page=58). ### 3.3.2 Optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken Om ongelijknamige breuken op te tellen of af te trekken, moeten ze eerst gelijknamig worden gemaakt. Dit betekent dat ze worden omgezet naar gelijkwaardige breuken met een gemeenschappelijke noemer. Daarna kan de optelling of aftrekking plaatsvinden zoals bij gelijknamige breuken [60](#page=60) [61](#page=61). **Concept:** Je kunt alleen delen bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken als die delen even groot zijn [61](#page=61). #### Voorbeeld: Optellen Tuur knipt $\frac{1}{4}$ meter van een papierstrook en Saar knipt $\frac{1}{2}$ meter. Hoeveel meter slinger hebben ze samen gemaakt? Eerst maak je de breuken gelijknamig: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Daarna tel je op: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ meter [61](#page=61). #### Voorbeeld: Optellen Van een reep chocolade eet zusje $\frac{1}{3}$ en jij $\frac{1}{2}$. Welk deel van de reep hebben jullie samen opgegeten? Om deze breuken op te tellen, maak je ze eerst gelijknamig: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ en $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. De som is $\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ van de reep [62](#page=62) [63](#page=63). > **Tip:** Het is cruciaal om stil te staan bij het proces van gelijknamig maken en waarom dit nodig is, om te voorkomen dat leerlingen de regel zonder inzicht toepassen [61](#page=61). ## 3.4 Vermenigvuldigen Bij vermenigvuldigen met breuken ligt de nadruk op de betekenis van de bewerking, waarbij de context centraal staat. De betekenis verschilt afhankelijk van de volgorde (bv. $\frac{1}{4} \times 5$ versus $5 \times \frac{1}{4}$). Wanneer een breuk de vermenigvuldiger is, wordt de vermenigvuldiging gelezen als "van" [64](#page=64). > **Tip:** Vermijd het te snel aanreiken van rekenregels; besteed voldoende aandacht aan de juiste verwoording en betekenis [64](#page=64). ### 3.4.1 Natuurlijk getal x breuk Dit type vermenigvuldiging kan worden geïnterpreteerd als herhaalde optelling en geschematiseerd met stroken, getallenassen of pijlenvoorstellingen [65](#page=65). **Regel:** Om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, vermenigvuldig je het getal met de teller en behoud je de noemer. Een alternatieve methode is om de noemer te delen door het getal, maar dit is enkel mogelijk als de noemer deelbaar is [67](#page=67). #### Voorbeeld Ingrediënten voor wafels voor 4 personen zijn: $\frac{1}{8}$ liter water, $\frac{1}{5}$ liter melk, $\frac{4}{3}$ kop bloem. Hoeveel is nodig voor 12 personen (dus 3 keer zoveel)? Water: $3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ liter [65](#page=65). ### 3.4.2 Breuk x natuurlijk getal Hierbij fungeert de breuk als operator; het maalteken betekent "van". Bijvoorbeeld, $\frac{2}{5} \times 3$ betekent "twee vijfde van 3 nemen" [67](#page=67). ### 3.4.3 Breuk x breuk Bij de vermenigvuldiging van twee breuken zijn er drie mogelijke situaties, die geschematiseerd kunnen worden met rechthoekmodellen, getallenassen en pijlenvoorstellingen [68](#page=68). **Regel:** Om een breuk te vermenigvuldigen met een breuk, vermenigvuldig je de teller met de teller en de noemer met de noemer [71](#page=71). #### Situatie 1: Stambreuk x stambreuk Loesje mag $\frac{1}{2}$ van $\frac{1}{3}$ van een reep chocolade eten. De bewerking is $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$. Dit betekent $\frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$ [68](#page=68). #### Situatie 2: Stambreuk x niet-stambreuk Er is $\frac{3}{4}$ van een pizza over. Papa geeft daarvan $\frac{1}{3}$ aan zijn zoon. Welk deel van de pizza krijgt de zoon? De bewerking is $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$. Dit betekent $\frac{1 \times 3}{3 \times 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ van de pizza [69](#page=69). #### Situatie 3: Niet-stambreuk x niet-stambreuk Evi koopt $\frac{2}{5}$ kg tomaten en gebruikt daarvan $\frac{3}{4}$ voor soep. Hoeveel kg tomaten gebruikt ze? De bewerking is $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}$. Dit betekent $\frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ kg tomaten [70](#page=70) [71](#page=71). > **Waarschuwing:** Vermenigvuldigen maakt niet altijd het vermenigvuldigtal groter en delen het deeltal niet altijd kleiner, zoals bij natuurlijke getallen. Bij breuken kan $\times \frac{1}{2}$ gelijk zijn aan $: 2$ [71](#page=71). ## 3.5 Delen Het delen door een breuk moet inzichtelijk worden onderbouwd, en de betekenis van "delen door een breuk" moet voldoende aandacht krijgen [73](#page=73). ### 3.5.1 Breuk : natuurlijk getal Er zijn twee situaties mogelijk: 1. **Teller deelbaar door deler:** De teller van het deeltal is deelbaar door het natuurlijke getal. Voorbeeld: $\frac{4}{5}$ van een perk wordt verdeeld in twee gelijke delen. De bewerking is $\frac{4}{5}: 2 = \frac{4:2}{5} = \frac{2}{5}$ [73](#page=73) [74](#page=74). 2. **Teller niet deelbaar door deler:** De teller van het deeltal is niet deelbaar door het natuurlijke getal. Voorbeeld: $\frac{1}{4}$ van een pizza wordt eerlijk verdeeld in 3. De bewerking kan worden opgelost door een gelijkwaardige breuk te vinden waarvan de teller deelbaar is, of door de noemer te vermenigvuldigen met het getal: $\frac{1}{4}: 3 = \frac{1}{12}$ [74](#page=74) [75](#page=75). **Regel:** Om een breuk te delen door een natuurlijk getal: * Vermenigvuldig de noemer van de breuk met het natuurlijke getal en behoud de teller. Deze werkwijze is altijd mogelijk [75](#page=75). * Deel de teller van de breuk door het natuurlijke getal en behoud de noemer. Dit is slechts mogelijk indien de teller deelbaar is of indien een gelijkwaardige breuk wordt gevonden [75](#page=75). ### 3.5.2 Natuurlijk getal : breuk Dit is uitbreidingsleerstof. Bij het delen van een natuurlijk getal door een stambreuk, vermenigvuldig je het natuurlijke getal met de noemer van de stambreuk [76](#page=76). #### Voorbeeld $5 : \frac{1}{2}$ betekent "hoeveel keer gaat $\frac{1}{2}$ in 5?". In 1 geheel gaat $\frac{1}{2}$ twee keer. In 5 gehelen gaat $\frac{1}{2}$ dus $5 \times 2 = 10$ keer. De bewerking is $5 \times 2 = 10$ [76](#page=76). ### 3.5.3 Breuk : breuk Dit is eveneens uitbreidingsleerstof. **Regel:** Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk [77](#page=77). #### Voorbeeld Tuur koopt $\frac{1}{2}$ kg snoepjes en verdeelt deze over zakjes van $\frac{1}{8}$ kg. Hoeveel zakjes kan hij vullen? De bewerking is $\frac{1}{2}: \frac{1}{8}$. Dit kan worden opgelost door te vermenigvuldigen met het omgekeerde: $\frac{1}{2} \times 8 = 4$. Tuur kan dus 4 zakjes vullen [77](#page=77). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Rationale getallen | Rationale getallen zijn getallen die uitgedrukt kunnen worden als een breuk $a/b$, waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn en $b$ niet nul is. Deze verzameling wordt aangeduid met het symbool $\mathbb{Q}$. | | Irrationale getallen | Irrationale getallen zijn reële getallen die niet als een breuk $a/b$ kunnen worden geschreven, waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn en $b$ niet nul is. Voorbeelden zijn $\pi$ en $\sqrt{2}$. | | Reële getallen | De verzameling van de reële getallen, aangeduid met $\mathbb{R}$, omvat zowel de rationale als de irrationale getallen. Deze getallen kunnen op een continue getallenas worden geplaatst. | | Breuk | Een breuk is een wiskundige uitdrukking die bestaat uit een teller en een noemer, gescheiden door een breukstreep. Het representeert een deel van een geheel of een uitkomst van een deling. | | Teller | De teller is het bovenste getal in een breuk en geeft aan hoeveel delen van het geheel worden beschouwd of genomen. | | Noemer | De noemer is het onderste getal in een breuk en geeft aan in hoeveel gelijke delen het geheel is verdeeld. | | CSA-model | Het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) is een didactische aanpak die leerlingen helpt wiskundige concepten te begrijpen door eerst te handelen met concrete materialen, vervolgens dit te visualiseren met schema's, en uiteindelijk over te gaan naar abstracte wiskundige notatie. | | Verschijningsvormen van breuken | Dit verwijst naar de verschillende manieren waarop breuken in de praktijk voorkomen en geïnterpreteerd kunnen worden, zoals deel-geheel, operator, maat, verhouding/kans en als een getal op de getallenas. | | Wezenlijke aspecten van een breuk | Dit zijn de fundamentele kenmerken van een breuk die, indien gewijzigd, de breuk zelf veranderen. Dit omvat het principe van gelijke delen, de rol van de noemer en de rol van de teller. | | Niet-wezenlijke aspecten van een breuk | Dit zijn aspecten van de voorstelling van een breuk die kunnen variëren zonder de waarde van de breuk te beïnvloeden. Voorbeelden zijn de aard van het materiaal, de grootte van het geheel en de manier van verdelen. | | Gelijkwaardige breuken | Gelijkwaardige breuken zijn breuken die dezelfde waarde vertegenwoordigen, ook al hebben ze een verschillende teller en noemer. Ze kunnen worden verkregen door de teller en noemer van een breuk met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of te delen. | | Vereenvoudigen van breuken | Het proces van het omzetten van een breuk naar zijn eenvoudigste vorm, waarbij de teller en de noemer van de breuk worden gedeeld door hun grootste gemeenschappelijke deler. | | Gelijknamige breuken | Gelijknamige breuken zijn breuken die dezelfde noemer hebben. | | Ongelijknamige breuken | Ongelijknamige breuken zijn breuken die verschillende noemers hebben. | | Operator | In de context van breuken, wanneer een breuk fungeert als een operator, geeft het aan welke handeling moet worden uitgevoerd, bijvoorbeeld '2/3 van' betekent delen door 3 en vermenigvuldigen met 2. | | Verhouding | Een verhouding beschrijft de relatie tussen twee of meer getallen of hoeveelheden. Breuken kunnen gebruikt worden om verhoudingen weer te geven, zoals 'deel-geheel' of 'deel-deel'. | | Kans | Kans is de waarschijnlijkheid dat een bepaalde gebeurtenis plaatsvindt. Het wordt vaak uitgedrukt als een breuk, waarbij de teller het aantal gunstige uitkomsten is en de noemer het totale aantal mogelijke uitkomsten. | | Getal als quotiënt | Een breuk kan ook worden geïnterpreteerd als de uitkomst van een deling, waarbij de teller het deeltal is en de noemer de deler. Dit representeert de positie van het getal op de getallenas. | | Omgekeerde van een breuk | Het omgekeerde van een breuk $a/b$ is $b/a$. Dit concept is essentieel voor het delen door breuken. |