Probability Statistics

# Inleiding tot niet-parametrische testen voor centrale waarden Dit hoofdstuk introduceert niet-parametrische testen als alternatief voor parametrische testen wanneer de aannames van normaliteit niet voldaan zijn, met een focus op het toetsen van de populatiemediaan [1](#page=1). ### 1.1 Waarom niet-parametrische testen? Parametrische testen, zoals de z-test en t-test, vereisen dat de populatie normaal verdeeld is. Wanneer deze aanname geschonden wordt, of wanneer de focus ligt op de mediaan in plaats van het gemiddelde, bieden niet-parametrische testen een uitkomst. Deze testen zijn met name geschikt voor data op ordinaal niveau, waarbij enkel de rangorde van de waarden van belang is [1](#page=1) [2](#page=2). ### 1.2 De tekentest De tekentest is een eenvoudige niet-parametrische test die gebruikt wordt om de populatiemediaan te toetsen. Het principe is dat de mediaan een populatie in twee gelijke helften verdeelt: 50% van de waarden zijn kleiner dan de mediaan, en 50% zijn groter [2](#page=2). #### 1.2.1 Hypothesen en teststatistiek De nulhypothese (Ho) stelt dat de populatiemediaan gelijk is aan een gespecificeerde waarde ($m_0$), terwijl de alternatieve hypothese (H1) aangeeft dat de mediaan kleiner is, groter is, of ongelijk is aan $m_0$ [2](#page=2). De teststatistiek, N, telt het aantal waarnemingen in de steekproef dat groter is dan $m_0$. Een alternatieve teststatistiek, N\_, telt het aantal waarnemingen kleiner dan $m_0$. Waarnemingen die exact gelijk zijn aan $m_0$ worden uit de steekproef weggelaten [2](#page=2). #### 1.2.2 Verdeling van de teststatistiek Onder de nulhypothese, dat de populatiemediaan gelijk is aan $m_0$, volgt de teststatistiek N+ (aantal waarnemingen > $m_0$) een binomiale verdeling met parameters $n$ (steekproefgrootte) en $p=0.5$. Dus, $N_+ \sim B(n, 0.5)$. Hetzelfde geldt voor N\_ [3](#page=3). #### 1.2.3 p-waarde berekening De p-waarde wordt berekend op basis van de geobserveerde teststatistiek en de binomiale verdeling [3](#page=3). * **Rechtseenzijdige test:** $p\text{-waarde} = P(N_+ \ge n_+)$, waarbij $n_+$ de geobserveerde waarde van N+ is. Dit kan ook berekend worden als $P(N_- \le n_-)$, omdat onder $H_0$ geldt dat $P(N_+ \ge n_+) = P(N_- \le n_-)$. De formule is [3](#page=3): $$p\text{-waarde} = \sum_{k=n_+}^{n} \binom{n}{k} 0.5^n = \sum_{k=0}^{n_-} \binom{n}{k} 0.5^n$$ [3](#page=3). * **Linkseenzijdige test:** $p\text{-waarde} = P(N_+ \le n_+)$, waarbij $n_+$ de geobserveerde waarde van N+ is [4](#page=4). $$p\text{-waarde} = \sum_{k=0}^{n_+} \binom{n}{k} 0.5^n$$ [4](#page=4). * **Tweezijdige test:** $p\text{-waarde} = 2 \times \min \{ P(N_+ \le n_+), P(N_+ \ge n_+) \}$ [4](#page=4). > **Voorbeeld:** Een postorderbedrijf vermoedt dat meer dan de helft van de orders niet binnen een uur verwerkt is. Voor een steekproef van 18 orders werden 13 waarnemingen > 60 minuten ($n_+=13$) en 5 waarnemingen < 60 minuten ($n_-=5$) geteld. Met $H_0$: Med = 60 en $H_1$: Med > 60, is de p-waarde: > $$p\text{-waarde} = P(N_+ \ge 13) = \sum_{k=13}^{18} \binom{18}{k} 0.5^{18} \approx 0.048$$ [5](#page=5). > Aangezien $0.048 < 0.05$, wordt de nulhypothese verworpen, wat suggereert dat de mediaan verwerkingsduur significant groter is dan 60 minuten [5](#page=5). #### 1.2.4 De binomiaaltest De tekentest kan gezien worden als een speciaal geval van de binomiaaltest. De binomiaaltest wordt gebruikt om een proportie ($p$) te toetsen die slechts twee uitkomsten kan aannemen (bijv. "succes" of "falen"). Als het aantal successen ($N_1$) in een steekproef van grootte $n$ onder de nulhypothese ($H_0: p=p_0$) wordt geteld, dan volgt $N_1 \sim B(n, p_0)$ [5](#page=5). > **Voorbeeld:** Een winkel wil weten of meer dan 25% van de klanten op zondag inkopen doet. Voor een steekproef van 14 klanten bleken er 6 te zijn die op zondag inkopen deden. Met $H_0: p = 0.25$ en $H_1: p > 0.25$, is onder $H_0$ de teststatistiek $N_1 \sim B(14, 0.25)$. De p-waarde is: > $$p\text{-waarde} = P(N_1 \ge 6) = 1 - P(N_1 \le 5) = 0.112$$ [6](#page=6). > Omdat $0.112 > 0.05$, wordt de nulhypothese niet verworpen [6](#page=6). ### 1.3 De Wilcoxon rangtekentest De Wilcoxon rangtekentest is een krachtigere test dan de tekentest omdat deze niet alleen rekening houdt met het teken van de afwijking ten opzichte van de mediaan, maar ook met de grootte van deze afwijkingen. Deze test vereist echter wel de aanname van een continue verdeling met een symmetrische kansdichtheid [6](#page=6). #### 1.3.1 Procedure en teststatistiek 1. Bereken de verschillen $D_i = X_i - m_0$ voor elke waarneming $X_i$ [7](#page=7). 2. Rangschik de absolute waarden $|D_i|$ en ken een rang toe. Bij identieke waarden wordt het gemiddelde van de rangen toegekend [7](#page=7). 3. Verwijder waarnemingen met een verschil van 0 uit de steekproef [7](#page=7). 4. Bereken de som $R_+$ van de rangen van de positieve verschillen en de som $R_-$ van de rangen van de negatieve verschillen. De som van alle rangen is gelijk aan $\frac{n(n+1)}{2}$, waarbij $n$ de steekproefgrootte is na het verwijderen van nullen [7](#page=7). #### 1.3.2 Verdeling van de teststatistiek Onder de nulhypothese ($Med = m_0$), waarbij de verdeling symmetrisch is rond $m_0$, verwacht men dat de sommen van de rangen voor positieve en negatieve afwijkingen ongeveer gelijk zijn. De verwachte waarde voor zowel $R_+$ als $R_-$ is $\frac{n(n+1)}{4}$ [8](#page=8). * Als de populatiemediaan groter is dan $m_0$ ($Med > m_0$), dan worden er meer en grotere rangen toegekend aan positieve afwijkingen, wat resulteert in $R_+ > \frac{n(n+1)}{4}$ [8](#page=8). * Als de populatiemediaan kleiner is dan $m_0$ ($Med < m_0$), dan worden er meer en grotere rangen toegekend aan negatieve afwijkingen, wat resulteert in $R_+ < \frac{n(n+1)}{4}$ [8](#page=8). De nulhypothese wordt verworpen als $R_+$ (of $R_-$) te ver afwijkt van de verwachte waarde $\frac{n(n+1)}{4}$. Statistische software wordt doorgaans gebruikt om de benaderende p-waarde te berekenen [8](#page=8). > **Voorbeeld (postorderbedrijf vervolg):** Voor de 18 orders uit het vorige voorbeeld, met $m_0 = 60$, werden de rangen berekend. De som van de rangen van de positieve verschillen ($R_+$) bleek 140.5 te zijn [7](#page=7). > De verwachte som onder $H_0$ is $\frac{18(18+1)}{4} = 76.5$. Aangezien $140.5$ significant groter is dan $76.5$, wordt de nulhypothese verworpen. De software geeft een benaderende p-waarde van 0.00879. Dit leidt tot de conclusie dat de mediaan verwerkingsduur significant groter is dan 60 minuten [8](#page=8). #### 1.3.3 Gepaarde waarnemingen De Wilcoxon rangtekentest kan ook worden toegepast op gepaarde waarnemingen (X, Y). Hierbij wordt de nulhypothese geformuleerd als $H_0: Med_{X-Y} = 0$, en worden de verschillen $D_i = X_i - Y_i$ geanalyseerd op dezelfde manier als bij de test voor één mediaan [9](#page=9). > **Voorbeeld (communicatietraining):** Om te onderzoeken of een communicatietraining de verkoopcijfers beïnvloedt, werden verkoopcijfers voor en na de training verzameld voor 8 verkopers. De verschillen werden berekend en gerangschikt. De som van de rangen van de positieve verschillen ($R_+$) was 26. Met 8 waarnemingen is de verwachte som onder $H_0$ $\frac{8(8+1)}{4} = 18$. De software gaf een p-waarde van 0.3125, wat leidt tot het niet verwerpen van de nulhypothese. Er is onvoldoende bewijs om aan te tonen dat de mediane wijziging in verkoopcijfer afwijkt van 0 [10](#page=10) [9](#page=9). ### 1.4 De Wilcoxon rangsomtest (en Mann-Whitney U test) Deze testen worden gebruikt om twee onafhankelijke populaties te vergelijken. De onderliggende aanname is dat de continue verdelingen van beide populaties dezelfde vorm hebben. De nulhypothese stelt dat de medianen van de twee populaties gelijk zijn ($Med_1 = Med_2$), terwijl de alternatieve hypothese stelt dat ze verschillen. De Mann-Whitney U test is equivalent aan de Wilcoxon rangsomtest [10](#page=10) [12](#page=12). #### 1.4.1 Procedure en teststatistiek 1. Breng alle waarnemingen van beide steekproeven samen en orden ze van klein naar groot [11](#page=11). 2. Ken een rang toe aan elke waarneming van 1 tot $n_1 + n_2$, waarbij $n_1$ en $n_2$ de groottes van de steekproeven zijn. Bij identieke waarden wordt het gemiddelde van de rangen toegekend [11](#page=11) [12](#page=12). 3. Bereken de som $R_1$ van de rangen van de waarnemingen uit de eerste steekproef en de som $R_2$ van de rangen uit de tweede steekproef [11](#page=11). 4. De som van alle rangen is $\frac{n(n+1)}{2}$, met $n = n_1 + n_2$ [11](#page=11). Onder de nulhypothese ($Med_1 = Med_2$) verwachten we dat de gemiddelde rangen voor beide groepen ongeveer gelijk zijn aan $\frac{n+1}{2}$. Meer specifiek, de verwachte som $R_1$ onder $H_0$ is $\frac{n_1(n+1)}{2}$ [11](#page=11). * Als de mediaan van de eerste populatie kleiner is dan de tweede ($Med_1 < Med_2$), dan zal $R_1 < \frac{n_1(n+1)}{2}$ [11](#page=11). * Als de mediaan van de eerste populatie groter is dan de tweede ($Med_1 > Med_2$), dan zal $R_1 > \frac{n_1(n+1)}{2}$ [11](#page=11). De teststatistiek U kan ook berekend worden uit de som van de rangen: $$U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1 + 1)}{2}$$ [12](#page=12). en analoog voor $U_2$ [12](#page=12). > **Voorbeeld (MP3-spelers):** Het vergelijken van de levensduur van dure en goedkope MP3-spelers. Steekproef X1 (goedkoop) had $n_1 = 8$ en $R_1 = 40$. Steekproef X2 (duur) had $n_2 = 10$ en $R_2 = 131$. De verwachte som voor $R_1$ onder $H_0$ is $\frac{8(8+1)}{2} = 36$. Aangezien $R_1 = 40 > 36$, duidt dit op een mogelijk grotere levensduur voor goedkope spelers in deze steekproef, hoewel dit met de berekening van $U_1$ en $U_2$ verder wordt geanalyseerd [11](#page=11) [12](#page=12). > Met behulp van software (zoals `wilcox.test` in R, die de Mann-Whitney test uitvoert) wordt een p-waarde van 0.001591 berekend. Dit leidt tot het verwerpen van de nulhypothese, wat suggereert dat er een significant verschil is in de mediane levensduur [13](#page=13). ### 1.5 De Kruskal-Wallis test De Kruskal-Wallis test is het niet-parametrische equivalent van de one-way ANOVA en wordt gebruikt om meer dan twee onafhankelijke groepen te vergelijken. De aanname is dat de continue verdelingen van de populaties dezelfde vorm hebben. De nulhypothese stelt dat de medianen van alle $g$ groepen gelijk zijn ($Med_1 = Med_2 = \dots = Med_g$), terwijl de alternatieve hypothese stelt dat minstens één mediaan verschilt [13](#page=13). #### 1.5.1 Teststatistiek 1. Breng alle waarnemingen van alle $g$ groepen samen en rangschik ze van 1 tot $n = \sum n_i$ [14](#page=14). 2. Bereken voor elke groep de gemiddelde rang ($\bar{R}_i$) en de globale gemiddelde rang ($R = \frac{n+1}{2}$) [14](#page=14). 3. De teststatistiek $K$ wordt berekend als: $$K = \frac{12}{n(n+1)} \sum_{i=1}^{g} n_i (\bar{R}_i - R)^2$$ [14](#page=14). Een alternatieve formulering is: $$K = \frac{12}{n(n+1)} \sum_{i=1}^{g} \frac{R_i^2}{n_i} - 3(n+1)$$ [14](#page=14). #### 1.5.2 Kritieke waarde en p-waarde Voor grote steekproeven ($n_i \ge 5$ voor alle groepen wordt als vuistregel genomen), volgt de teststatistiek $K$ onder de nulhypothese een chi-kwadraat verdeling met $g-1$ vrijheidsgraden ($\chi^2_{g-1}$). De test is rechtseenzijdig omdat een grotere waarde van $K$ aangeeft dat de ranggemiddelden verder afwijken van de globale ranggemiddelde, wat duidt op een verschil tussen de medianen. De nulhypothese wordt verworpen als $K$ groter is dan de kritieke waarde uit de $\chi^2_{g-1}$ verdeling [14](#page=14). > **Voorbeeld (kostprijs verwarming):** Onderzocht wordt of het type verwarming invloed heeft op de jaarlijkse verwarmingskost. Vier groepen (gas condensatie, gas klassiek, stookolie, elektriciteit) werden vergeleken. De berekende teststatistiek $K$ was 14.83. Met 3 vrijheidsgraden ($g-1 = 4-1=3$), is de kritieke waarde $\chi^2_{3, 0.95} = 7.81$. Omdat $14.83 > 7.81$, wordt de nulhypothese verworpen op een significantieniveau van 5%. De p-waarde is 0.002. Dit suggereert dat het type verwarming een significante invloed heeft op de mediane verwarmingskost. Post-hoc testen (zoals de Wilcoxon rangsomtest met Bonferroni correctie) kunnen gebruikt worden om te bepalen welke medianen precies verschillen [15](#page=15). --- # Tekentest en binomiaaltest Deze sectie behandelt de tekentest, een niet-parametrische methode om de populatiemediaan te toetsen tegen een hypothetische waarde, en de binomiaaltest als een generalisatie daarvan. ### 2.1 De tekentest De tekentest is een eenvoudige niet-parametrische statistische test die wordt gebruikt om de populatiemediaan te vergelijken met een hypothetische waarde. Het bijzondere aan deze test is dat er enkel gekeken wordt naar de tekens (positief of negatief) van de afwijkingen van de steekproefwaarden ten opzichte van de hypothetische mediaan, in plaats van naar de absolute grootte van de afwijkingen. Dit maakt de test geschikt voor data op ordinaal meetniveau [2](#page=2). #### 2.1.1 Hypothesen en teststatistiek Bij de tekentest worden de volgende hypothesen geformuleerd [2](#page=2): * **Nulhypothese ($H_0$):** De populatiemediaan ($Med$) is gelijk aan een hypothetische waarde ($m_0$). Formeel: $H_0: Med = m_0$. * **Alternatieve hypothesen ($H_1$):** * Linkseenzijdig: $H_1: Med < m_0$ * Rechtseenzijdig: $H_1: Med > m_0$ * Tweezijdig: $H_1: Med \neq m_0$ De teststatistiek wordt gedefinieerd als het aantal waarnemingen in de steekproef dat groter is dan de hypothetische mediaan ($m_0$). Dit wordt vaak aangeduid met $N^+$. Een alternatieve teststatistiek is het aantal waarnemingen kleiner dan $m_0$, aangeduid met $N^-$ [2](#page=2). Indien een observatie exact gelijk is aan de hypothetische mediaan ($m_0$), wordt deze observatie uit de steekproef weggelaten voor de berekening van de teststatistiek [2](#page=2). #### 2.1.2 Verdeling van de teststatistiek Onder de nulhypothese ($H_0$), waarbij de populatiemediaan gelijk is aan $m_0$, en aangenomen dat de waarnemingen onafhankelijk zijn, volgt zowel $N^+$ als $N^-$ een binomiale verdeling. Specifiek geldt [3](#page=3): * $N^+ \sim B(n, 0.5)$ * $N^- \sim B(n, 0.5)$ Hierbij is $n$ het totale aantal waarnemingen in de steekproef (na het eventueel verwijderen van waarnemingen die gelijk zijn aan $m_0$). De parameter $0.5$ in de binomiale verdeling geeft aan dat, onder $H_0$, de kans dat een individuele waarneming groter is dan $m_0$ gelijk is aan 0.5, en de kans dat deze kleiner is, eveneens 0.5 [3](#page=3). #### 2.1.3 p-waarde berekening De p-waarde geeft de kans aan om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de gevonden waarde, gegeven dat de nulhypothese waar is. * **Rechtseenzijdige test ($H_1: Med > m_0$):** De p-waarde is de kans om een $N^+$ te observeren die groter of gelijk is aan de gevonden waarde $n^+$ [3](#page=3). $p\text{-waarde} = P(N^+ \ge n^+) \text{ met } N^+ \sim B(n, 0.5)$ Vanwege de symmetrie van de binomiale verdeling met $p=0.5$, geldt dat $P(N^+ \ge n^+) = P(N^- \le n-n^+)$. Dus kan de p-waarde ook berekend worden als: $$p\text{-waarde} = \sum_{k=n^+}^{n} \binom{n}{k} (0.5)^k (0.5)^{n-k} = \sum_{k=n^+}^{n} \binom{n}{k} (0.5)^n$$ [3](#page=3). * **Linkseenzijdige test ($H_1: Med < m_0$):** De p-waarde is de kans om een $N^+$ te observeren die kleiner of gelijk is aan de gevonden waarde $n^+$ [4](#page=4). $p\text{-waarde} = P(N^+ \le n^+) \text{ met } N^+ \sim B(n, 0.5)$ $$p\text{-waarde} = \sum_{k=0}^{n^+} \binom{n}{k} (0.5)^k (0.5)^{n-k} = \sum_{k=0}^{n^+} \binom{n}{k} (0.5)^n$$ [4](#page=4). * **Tweezijdige test ($H_1: Med \neq m_0$):** De p-waarde is tweemaal de kleinsten van de rechtseenzijdige of linkseenzijdige kans [4](#page=4). $p\text{-waarde} = 2 \times \min \{P(N^+ \le n^+), P(N^+ \ge n^+)\}$ $$p\text{-waarde} = 2 \times \min \left\{ \sum_{k=0}^{n^+} \binom{n}{k} (0.5)^n, \sum_{k=n^+}^{n} \binom{n}{k} (0.5)^n \right\}$$ [4](#page=4). #### 2.1.4 Voorbeeld: postorderbedrijf Een postorderbedrijf vermoedt dat meer dan de helft van de orders niet binnen een uur verwerkt wordt. Dit vertaalt zich naar de vraag of de mediaan verwerkingsduur groter is dan 60 minuten. * **Hypothesen:** * $H_0:$ Med = 60 minuten * $H_1:$ Med > 60 minuten (rechtseenzijdige test) * **Gegevens:** Een steekproef van 18 orders met verwerkingsduren in minuten wordt verzameld. Na het aftrekken van de observaties die gelijk zijn aan 60, worden er 13 waarnemingen groter dan 60 ($n^+=13$) en 5 waarnemingen kleiner dan 60 ($n^-=5$) geteld. De totale steekproefgrootte is dus $n = 18$ [4](#page=4) [5](#page=5). * **p-waarde berekening:** Onder $H_0$ volgt $N^+$ een binomiale verdeling $B(18, 0.5)$ [5](#page=5). De p-waarde voor de rechtseenzijdige test is: $$p\text{-waarde} = P(N^+ \ge 13) = P(N^- \le 18-13) = P(N^- \le 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{18}{k} (0.5)^{18}$$ Dit resulteert in een p-waarde van $0.048$ [5](#page=5). * **Conclusie:** Met een significantieniveau ($\alpha$) van 5% wordt de nulhypothese verworpen, wat aangeeft dat er bewijs is dat de mediaan verwerkingsduur groter is dan 60 minuten [5](#page=5). ### 2.2 De binomiaaltest De binomiaaltest is een algemenere vorm van de tekentest. Deze test wordt gebruikt wanneer een variabele slechts twee mogelijke uitkomsten kan aannemen, bijvoorbeeld 'succes' en 'mislukking', of 'wel' en 'niet'. De test richt zich op de parameter $p$, de kans op één van deze twee uitkomsten. #### 2.2.1 Hypothesen en teststatistiek Voor de binomiaaltest worden de volgende hypothesen geformuleerd: * **Nulhypothese ($H_0$):** De kans op de eerste uitkomst ($p$) is gelijk aan een hypothetische waarde ($p_0$). Formeel: $H_0: p = p_0$. * **Alternatieve hypothese ($H_1$):** $H_1: p \neq p_0$. De test kan ook eenzijdig worden uitgevoerd ($H_1: p > p_0$ of $H_1: p < p_0$). De teststatistiek is het aantal waarnemingen ($N_1$) dat de eerste uitkomst (bijvoorbeeld 'a') aanneemt in een steekproef van grootte $n$. Onder de nulhypothese ($H_0$) dat $p = p_0$, volgt $N_1$ een binomiale verdeling: $N_1 \sim B(n, p_0)$ [5](#page=5). Net als bij de tekentest wordt de nulhypothese verworpen als de geobserveerde waarde van de teststatistiek ($n_1$) te groot (of te klein) is ten opzichte van de verwachte waarde onder $H_0$. Waarnemingen worden hierbij enkel geteld, wat impliceert dat de meetschaal nominaal is [5](#page=5). #### 2.2.2 Voorbeeld: open op zondag Een winkel overweegt om op zondagvoormiddag open te blijven als meer dan 25% van de klanten dan inkopen doet. * **Variabele en kansen:** * $X$: Klant doet inkopen op zondag. * $p$: Kans dat een klant inkopen doet op zondag. * $1-p$: Kans dat een klant geen inkopen doet op zondag. * **Hypothesen:** * $H_0: p = 0.25$ * $H_1: p > 0.25$ (rechtseenzijdige test) * **Gegevens:** In een steekproef van 14 klanten geven 6 klanten aan inkopen te willen doen op zondag. Dus $n=14$ en $N_1 = 6$ [6](#page=6). * **p-waarde berekening:** Onder $H_0$ is $N_1$ binomiaal verdeeld met parameters $n=14$ en $p_0=0.25$, dus $N_1 \sim B(14, 0.25)$ [6](#page=6). De p-waarde voor de rechtseenzijdige test is: $p\text{-waarde} = P(N_1 \ge 6) = 1 - P(N_1 \le 5)$ $$p\text{-waarde} = 1 - \sum_{k=0}^{5} \binom{14}{k} (0.25)^k (0.75)^{14-k} = 0.112$$ [6](#page=6). * **Conclusie:** De p-waarde van 0.112 is groter dan het significantieniveau van 5%. Daarom wordt de nulhypothese niet verworpen. Er is onvoldoende bewijs om te concluderen dat meer dan 25% van de klanten inkopen doet op zondag [6](#page=6). ### 2.3 Vergelijking met Wilcoxon rangtekentest De tekentest is ruim toepasbaar, maar kan een relatief lage power hebben omdat het enkel kijkt naar de richting van het verschil en niet naar de grootte. De Wilcoxon rangtekentest is een alternatief dat wel rekening houdt met de grootte van de afwijkingen, naast het teken ervan, en vereist als onderstelling dat de verdeling continu en symmetrisch is [6](#page=6). --- # Wilcoxon rangtekentest voor één populatie en gepaarde waarnemingen De Wilcoxon rangtekentest is een non-parametrische toets die, in tegenstelling tot de tekentest, niet alleen rekening houdt met het teken van de afwijkingen ten opzichte van een mediane waarde, maar ook met de grootte van deze afwijkingen. Deze test is geschikt voor continue verdelingen met een symmetrische kansdichtheid [6](#page=6). ### 3.1 Toepassing voor één populatiemediaan Bij het testen van één populatiemediaan wordt de test toegepast op waarnemingen $X_i$ ($i = 1, \dots, n$) uit de steekproef [7](#page=7). #### 3.1.1 Berekening van de teststatistiek 1. **Bereken de verschillen:** Bereken voor elke waarneming het verschil $D_i = X_i - m_0$, waarbij $m_0$ de mediane waarde onder de nulhypothese is [7](#page=7). 2. **Rangschik de absolute waarden:** Neem de absolute waarden $|D_i|$ en rangschik deze van klein naar groot. Geef de rangen toe. Bij identieke waarden wordt de gemiddelde rang toegekend [7](#page=7). 3. **Behandel nulverschillen:** Waarnemingen met een verschil van 0 worden weggelaten uit de steekproef. De steekproefgrootte $n$ wordt dan aangepast [7](#page=7). 4. **Bereken de sommen van de rangen:** Bereken de som $R^+$ van de rangen van de positieve verschillen $D_i$, en de som $R^-$ van de rangen van de negatieve verschillen $D_i$ [7](#page=7). 5. **Verificatie van de som:** De som van alle rangen, $R^+ + R^-$, is gelijk aan de som van de reeks gehele getallen van 1 tot en met de (aangepaste) steekproefgrootte $n$. Dit kan worden gecontroleerd met de formule: $$R^+ + R^- = \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$ [7](#page=7). #### 3.1.2 Teststatistiek en nulhypothese Onder de nulhypothese dat de kansdichtheid symmetrisch is rond $m_0$ en de mediaan gelijk is aan $m_0$, wordt verwacht dat de waarden links en rechts van $m_0$ ongeveer gelijk verspreid zijn. Dit impliceert dat de sommen van de rangen ongeveer gelijk verdeeld zijn [8](#page=8): $$R^+ \approx \frac{n(n+1)}{4}$$ $$R^- \approx \frac{n(n+1)}{4}$$ [8](#page=8). * Als de mediaan van de populatie groter is dan $m_0$ ($Med > m_0$), worden meer en grotere rangen verwacht in $R^+$, dus $R^+ > \frac{n(n+1)}{4}$ [8](#page=8). * Als de mediaan van de populatie kleiner is dan $m_0$ ($Med < m_0$), worden meer en grotere rangen verwacht in $R^-$, dus $R^+ < \frac{n(n+1)}{4}$ [8](#page=8). De nulhypothese ($H_0$) wordt verworpen als $R^+$ te ver afwijkt van $\frac{n(n+1)}{4}$. De p-waarde wordt vaak benaderend berekend met statistische software [8](#page=8). > **Voorbeeld:** Een postorderbedrijf wil testen of de mediaan verwerkingsduur van bestellingen groter is dan 60 minuten [7](#page=7). > > * $H_0$: $Med = 60$ > * $H_1$: $Med > 60$ > > Gegeven de waarnemingen voor verwerkingsduur $X_i$: > `postorder <- c(124, 105, 43, 69, 88, 79, 33, 59, 77, 58, 121, 63, 76, 56, 69, 89, 71, 76)` [8](#page=8). > > Na het berekenen van de verschillen $D_i = X_i - 60$, de absolute waarden $|D_i|$, en het toekennen van de rangen, wordt $R^+ = 140.5$ gevonden. De steekproefgrootte is $n=18$ [7](#page=7). > > Met statistische software wordt de p-waarde berekend als 0.00879. Aangezien deze p-waarde kleiner is dan het significantieniveau van 5%, wordt de nulhypothese verworpen. De mediaan verwerkingsduur is significant groter dan 60 minuten [8](#page=8). ### 3.2 Toepassing voor gepaarde waarnemingen De Wilcoxon rangtekentest is ook zeer geschikt voor het analyseren van gepaarde waarnemingen $(X, Y)$ [9](#page=9). #### 3.2.1 Opzet van de test Bij gepaarde waarnemingen is het doel om te toetsen of het verschil tussen de twee metingen een mediaan van nul heeft. De nulhypothese is $H_0: Med_{X-Y} = 0$, en de alternatieve hypothese is $H_1: Med_{X-Y} \neq 0$ [9](#page=9). De berekening verloopt vervolgens vergelijkbaar met de test voor één populatiemediaan, waarbij $m_0 = 0$ wordt gehanteerd: 1. **Bereken de verschillen:** Bereken $D_i = X_i - Y_i$ voor elk paar [9](#page=9). 2. **Rangschik en sommeer:** Rangschik de absolute waarden $|D_i|$ en bereken de som van de rangen van de positieve verschillen ($R^+$) en de som van de rangen van de negatieve verschillen ($R^-$) [9](#page=9). 3. **Toetsstatistiek:** De interpretatie van $R^+$ ten opzichte van $\frac{n(n+1)}{4}$ blijft hetzelfde, waarbij $n$ de steekproefgrootte van de paren is [8](#page=8) [9](#page=9). > **Voorbeeld:** Een communicatietraining wordt geëvalueerd door te kijken of verkoopcijfers veranderen na de training [9](#page=9). > > * $H_0$: $Med_{verkoop\_na - verkoop\_voor} = 0$ > * $H_1$: $Med_{verkoop\_na - verkoop\_voor} \neq 0$ > > Voor 8 verkopers worden de verkoopcijfers voor ($Y_i$) en na ($X_i$) de training geregistreerd [9](#page=9). > > | verkoper | verkoop voor ($Y_i$) | verkoop na ($X_i$) | verschil ($D_i$) | $|D_i|$ | rang | teken | > | :------- | :------------------ | :--------------- | :------------- | :---- | :--- | :---- | > | 1 | 95 | 121 | 26 | 26 | 7 | + | > | 2 | 102 | 136 | 34 | 34 | 8 | + | > | 3 | 88 | 87 | -1 | 1 | 1 | - | > | 4 | 111 | 99 | -12 | 12 | 3 | - | > | 5 | 102 | 122 | 20 | 20 | 5 | + | > | 6 | 116 | 102 | -14 | 14 | 4 | - | > | 7 | 131 | 129 | -2 | 2 | 2 | - | > | 8 | 90 | 111 | 21 | 21 | 6 | + | > > De som van de rangen voor positieve verschillen is $R^+ = 7 + 8 + 5 + 6 = 26$ [9](#page=9). > De som van de rangen voor negatieve verschillen is $R^- = 1 + 3 + 4 + 2 = 10$ [9](#page=9). > De steekproefgrootte is $n=8$ [9](#page=9). > De verwachte som van rangen onder $H_0$ is $\frac{8(8+1)}{4} = \frac{72}{4} = 18$. > Aangezien $R^+=26$ significant afwijkt van 18 (dit zou verder geanalyseerd worden met kritieke waarden of een p-waarde), zou men kunnen concluderen dat de communicatietraining een significant effect heeft op de verkoopcijfers. --- # Wilcoxon rangsomtest en Mann-Whitney U test voor twee onafhankelijke populaties Deze niet-parametrische testen worden gebruikt om te bepalen of de medianen van twee onafhankelijke populaties van elkaar verschillen, door de ranks van de gecombineerde data te analyseren [10](#page=10) [11](#page=11). ### 4.1 Concept en toepassingen De Wilcoxon rangsomtest en de Mann-Whitney U test zijn equivalente niet-parametrische methoden die worden ingezet om de medianen van twee onafhankelijke populaties te vergelijken. Ze zijn met name nuttig wanneer de aannames van parametrische testen, zoals de t-test, niet voldaan zijn, bijvoorbeeld bij niet-normaal verdeelde data of data op ordinaal niveau [10](#page=10). * **Doel:** Het testen of twee continue verdelingen, met de aanname van gelijke vorm, samenvallen of verschoven zijn ten opzichte van elkaar [10](#page=10). * **Nulhypothese ($H_0$):** De medianen van de twee populaties zijn gelijk ($Med_1 = Med_2$) [10](#page=10). * **Alternatieve hypothese ($H_1$):** De medianen van de twee populaties verschillen ($Med_1 \neq Med_2$), of eenzijdig ($Med_1 < Med_2$ of $Med_1 > Med_2$) [10](#page=10). ### 4.2 De Wilcoxon rangsomtest De Wilcoxon rangsomtest werkt door alle waarnemingen van beide steekproeven samen te voegen, deze te ordenen, en vervolgens rangen toe te kennen aan elke waarneming [11](#page=11). #### 4.2.1 Stappen voor de Wilcoxon rangsomtest 1. **Voeg steekproeven samen:** Combineer alle waarnemingen uit de twee onafhankelijke steekproeven ($X_1$ en $X_2$). 2. **Orden de gecombineerde waarnemingen:** Sorteer alle waarnemingen van klein naar groot. 3. **Ken rangen toe:** Geef elke geordende waarneming een rang van 1 tot $n_1 + n_2$, waarbij $n_1$ en $n_2$ de groottes van respectievelijk steekproef 1 en steekproef 2 zijn. Bij gelijke waarden worden gemiddelde rangen toegekend [11](#page=11). 4. **Bereken sommen van rangen:** Bereken de som van de rangen voor steekproef 1 ($R_1$) en de som van de rangen voor steekproef 2 ($R_2$). De som van alle rangen is gelijk aan $\frac{(n_1 + n_2)(n_1 + n_2 + 1)}{2}$ [11](#page=11). 5. **Vergelijk gemiddelde rangen:** Onder de nulhypothese ($Med_1 = Med_2$), worden gemiddelde rangen verwacht die dicht bij $\frac{n_1 + n_2 + 1}{2}$ liggen. Dit impliceert dat de sommen van de rangen ongeveer gelijk zijn aan $R_1 \approx \frac{n_1(n_1 + n_2 + 1)}{2}$ en $R_2 \approx \frac{n_2(n_1 + n_2 + 1)}{2}$ [11](#page=11). 6. **Bepaal de teststatistiek:** De teststatistiek $W$ (vaak gelijk aan $R_1$ of $R_2$) wordt gebruikt om te toetsen. > **Tip:** Bij het werken met R, kan de functie `wilcox.test()` gebruikt worden. Bijvoorbeeld, `wilcox.test(x, y)` vergelijkt de twee vectoren `x` en `y` [13](#page=13). #### 4.2.2 Voorbeeld van de Wilcoxon rangsomtest Stel we hebben de volgende waarnemingen voor twee groepen X1 en X2 [11](#page=11): * $X_1$: 3, 17, 10, 4, 6 * $X_2$: 19, 11, 36, 8 **Stap 1 & 2:** Gecombineerd en geordend: 3, 4, 6, 8, 10, 11, 17, 19, 36. **Stap 3:** Rangen toekennen: | Waarneming | Rangen | | :--------- | :----- | | 3 | 1 | | 4 | 2 | | 6 | 3 | | 8 | 4 | | 10 | 5 | | 11 | 6 | | 17 | 7 | | 19 | 8 | | 36 | 9 | Hier is $n_1=4$ en $n_2=5$, dus $n_1+n_2=9$. **Stap 4:** Sommen van rangen berekenen: * $R_1$ (rangen van X1: 3, 17, 10, 4): $1 + 7 + 5 + 2 = 15$ * $R_2$ (rangen van X2: 19, 11, 36, 8): $8 + 6 + 9 + 4 = 27$ De som van alle rangen is $\frac{9(9+1)}{2} = 45$. $R_1 + R_2 = 15 + 27 = 42$. (Let op: in het document wordt een andere berekening getoond met 5 waarnemingen voor X1 en 4 voor X2, wat leidde tot $R_1=15$ en $R_2=27$ ) [11](#page=11). Onder $H_0$ verwachten we $R_1 \approx \frac{4(9+1)}{2} = 20$ en $R_2 \approx \frac{5(9+1)}{2} = 25$. Aangezien $R_1 < 20$ en $R_2 > 25$, suggereert dit dat $Med_1 < Med_2$. #### 4.2.3 Interpretatie van de Wilcoxon rangsomtest De uitkomst van de test wordt beoordeeld aan de hand van de p-waarde. * Als de p-waarde kleiner is dan het gekozen significantieniveau (bv. 0.05), wordt de nulhypothese verworpen en is er voldoende bewijs om aan te nemen dat de medianen van de twee populaties verschillen [10](#page=10). * Als de p-waarde groter is dan het significantieniveau, wordt de nulhypothese niet verworpen. Dit betekent dat er onvoldoende bewijs is om te concluderen dat de medianen verschillen [10](#page=10). **Voorbeeld uit document:** Bij een communicatietraining werd het verschil in verkoopcijfers voor en na de training geanalyseerd. De resultaten gaven een p-waarde van 0.3125, wat leidde tot het niet verwerpen van de nulhypothese [10](#page=10). ### 4.3 De Mann-Whitney U test De Mann-Whitney U test is een alternatieve formulering van de Wilcoxon rangsomtest en leidt tot dezelfde conclusies. De teststatistiek $U$ is gebaseerd op het aantal keren dat een waarneming uit de ene groep kleiner is dan een waarneming uit de andere groep [12](#page=12). #### 4.3.1 Berekening van de Mann-Whitney U teststatistiek De teststatistiek $U_1$ kan worden berekend door voor elke waarneming in steekproef 1 te tellen hoeveel waarnemingen in steekproef 2 kleiner zijn [12](#page=12). Een meer directe berekening van $U_1$ kan worden gedaan met behulp van de som van de rangen ($R_1$) uit de Wilcoxon rangsomtest: $$U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1 + 1)}{2}$$ Op een vergelijkbare manier kan $U_2$ worden berekend: $$U_2 = R_2 - \frac{n_2(n_2 + 1)}{2}$$ De som van de twee U-statistieken is gelijk aan $n_1 \times n_2$: $$U_1 + U_2 = n_1 n_2$$ #### 4.3.2 Equivalentie met de Wilcoxon rangsomtest De verdeling van de teststatistiek $U$ vertoont dezelfde verschuiving als de rangsomtest, waardoor de conclusies identiek zijn. De functie `wilcox.test()` in R voert in feite de Mann-Whitney test uit [12](#page=12). #### 4.3.3 Voorbeeld van de Mann-Whitney U test (MP3-spelers) Beschouw een voorbeeld waarbij de levensduur van goedkope (X1) en dure (X2) MP3-spelers wordt vergeleken [12](#page=12). * $n_1 = 8$ (goedkope) met $R_1 = 40$ * $n_2 = 10$ (dure) met $R_2 = 131$ De Mann-Whitney U statistieken worden berekend als volgt [13](#page=13): $$U_1 = 40 - \frac{8(8 + 1)}{2} = 40 - \frac{8 \times 9}{2} = 40 - 36 = 4$$ $$U_2 = 131 - \frac{10(10 + 1)}{2} = 131 - \frac{10 \times 11}{2} = 131 - 55 = 76$$ Controle: $U_1 + U_2 = 4 + 76 = 80$, wat gelijk is aan $n_1 \times n_2 = 8 \times 10 = 80$. De p-waarde die uit deze test komt, bepaalt de conclusie. In het voorbeeld met de MP3-spelers was de p-waarde 0.001591. Dit is kleiner dan een significantieniveau van 0.05, wat leidt tot het verwerpen van de nulhypothese dat de medianen van de levensduur van goedkope en dure MP3-spelers gelijk zijn [13](#page=13). > **Tip:** Houd er rekening mee dat bij aanwezigheid van gelijke waarden (ties) in de data, software zoals R mogelijk geen exacte p-waarde kan berekenen en een benadering zal gebruiken met een continuïteitscorrectie [13](#page=13). ### 4.4 Aannames * De data komt uit twee onafhankelijke populaties [10](#page=10). * De verdelingen van de twee populaties zijn continu [10](#page=10). * De verdelingen hebben dezelfde vorm. Als deze aanname niet geldt, testen de tests in feite of de cumulatieve distributiefuncties verschillen [10](#page=10). ### 4.5 Relatie tot andere testen * **Wilcoxon signed rank test:** Gebruikt voor gepaarde waarnemingen, niet voor twee onafhankelijke populaties [10](#page=10). * **Kruskal-Wallis test:** Een niet-parametrisch alternatief voor ANOVA, gebruikt om medianen van *meer dan twee* onafhankelijke groepen te vergelijken [13](#page=13). --- # Kruskal-Wallis test voor meerdere onafhankelijke populaties De Kruskal-Wallis test is een niet-parametrisch alternatief voor de variantieanalyse (ANOVA) dat wordt gebruikt om de medianen van meer dan twee onafhankelijke groepen te vergelijken [13](#page=13). ### 5.1 Introductie en toepassingsgebied De test wordt toegepast wanneer men de medianen van drie of meer onafhankelijke groepen wil vergelijken. Het is een niet-parametrisch alternatief voor de eenweg ANOVA [13](#page=13). #### 5.1.1 Onderstellingen De Kruskal-Wallis test maakt de volgende onderstellingen [13](#page=13): * De verdelingen van de populaties zijn continu [13](#page=13). * De verdelingen hebben dezelfde vorm [13](#page=13). #### 5.1.2 Hypothesen De te toetsen hypothesen zijn als volgt [13](#page=13): * **Nulhypothese ($H_0$):** De populatiemedianen van alle $g$ groepen zijn gelijk. $$H_0: Med_1 = Med_2 = \dots = Med_g$$ * **Alternatieve hypothese ($H_1$):** Ten minste één populatiemedian verschilt van de andere. $$H_1: \exists i,j \text{ s.t. } Med_i \neq Med_j$$ ### 5.2 De teststatistiek Om de teststatistiek te berekenen, worden alle waarnemingen uit alle groepen samengevoegd en gerangschikt van laag naar hoog [14](#page=14). #### 5.2.1 Berekeningsstappen 1. **Combineer alle waarnemingen:** Breng alle waarnemingen $X_{ij}$ (waarbij $i$ staat voor de groep en $j$ voor de waarneming binnen die groep) samen [14](#page=14). 2. **Rangschikken:** Geef alle gecombineerde waarnemingen een rang ($R_{ij}$) van 1 tot $n = n_1 + n_2 + \dots + n_g$, waarbij $n$ het totale aantal waarnemingen is [14](#page=14). 3. **Bereken gemiddelde rangen:** Bepaal voor elke groep de gemiddelde rang ($\bar{R}_i$) [14](#page=14). 4. **Bereken de teststatistiek (K):** De teststatistiek $K$ wordt berekend met de volgende formule [14](#page=14): $$K = \frac{12}{n(n+1)} \sum_{i=1}^{g} n_i (\bar{R}_i - \bar{R})^2$$ waarbij $\bar{R} = \frac{n+1}{2}$ de globale gemiddelde rang is [14](#page=14). Een alternatieve vorm is: $$K = \frac{12}{n(n+1)} \sum_{i=1}^{g} \sum_{j=1}^{n_i} (R_{ij} - \bar{R})^2$$ #### 5.2.2 Verdeling van de teststatistiek Voor grote steekproeven heeft de teststatistiek $K$ onder de nulhypothese een chi-kwadraatverdeling ($\chi^2$) met $g-1$ vrijheidsgraden [14](#page=14). > **Tip:** Een veelgebruikte vuistregel voor het toepassen van de chi-kwadraatbenadering is dat de steekproefgrootte per groep ($n_i$) minimaal 5 moet zijn ($n_i \ge 5$ voor alle $i$) [14](#page=14). ### 5.3 Kritieke waarde en p-waarde #### 5.3.1 Beslissingsregel * Als de nulhypothese waar is, zijn alle gemiddelde rangen ($\bar{R}_i$) vergelijkbaar met de globale gemiddelde rang ($\bar{R}$) [14](#page=14). * Als de alternatieve hypothese waar is (dus één verdeling is verschoven), zullen de gemiddelde rangen ($\bar{R}_i$) verder afwijken van de globale gemiddelde rang ($\bar{R}$), waardoor de teststatistiek $K$ groter wordt [14](#page=14). * De test is daarom een rechtseenzijdige test [14](#page=14). * De nulhypothese $H_0$ wordt verworpen als de berekende teststatistiek $k$ groter is dan de kritieke waarde uit de $\chi^2$-verdeling met $g-1$ vrijheidsgraden voor het gekozen significantieniveau $\alpha$ [14](#page=14). $$k > \chi^2_{g-1, 1-\alpha}$$ #### 5.3.2 P-waarde De p-waarde is de kans om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de berekende teststatistiek $k$, onder de aanname dat de nulhypothese waar is [14](#page=14). $$p\text{-waarde} = P(K > k) \quad \text{met } K \sim \chi^2_{g-1}$$ ### 5.4 Praktisch voorbeeld: kostprijs verwarming Stel dat we willen onderzoeken of het type verwarming invloed heeft op de "gemiddelde" verwarmingskost. We hebben een steekproef bij 27 gezinnen met vier verschillende soorten verwarming (Gas condensatie, Gas klassiek, Stookolie, Elektriciteit) en hun jaarlijkse kostprijs in dollars [15](#page=15). * **Gegevens:** * Gas (condensatie): 1708, 1849, 2225, 1512, 1538, 1391 dollar (mediaan: 1623 dollar) * Gas (klassiek): 1863, 2199, 1865, 2236, 2046, 2011, 2177, 1922 dollar (mediaan: 2028.5 dollar) * Stookolie: 2005, 2323, 2450, 1829, 1935, 2187, 1867, 1885, 2246 dollar (mediaan: 2005 dollar) * Elektriciteit: 2615, 2685, 2519, 3115 dollar (mediaan: 2650 dollar) * **Resultaten:** * De berekende teststatistiek is $k = 14.83$ [15](#page=15). * Het aantal groepen is $g=4$, dus het aantal vrijheidsgraden is $g-1 = 3$ [15](#page=15). * Voor een significantieniveau van $\alpha = 0.05$ is de kritieke waarde $\chi^2_{3, 0.95} = 7.81$ [15](#page=15). * Omdat $k = 14.83 > 7.81$, wordt de nulhypothese verworpen op een significantieniveau van 5% [15](#page=15). * De p-waarde is $P(K \ge 14.83) = 0.002$ [15](#page=15). * **Conclusie:** Er is een sterke aanwijzing dat het soort verwarmingsketel invloed heeft op de mediane verwarmingskost [15](#page=15). > **Tip:** Indien de nulhypothese wordt verworpen, kunnen post-hoc testen, zoals de Wilcoxon rangsomtest met Bonferroni correctie, gebruikt worden om na te gaan welke specifieke medianen van elkaar verschillen [15](#page=15). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Niet-parametrische testen | Statistische methoden die geen aannames doen over de verdeling van de populatie, zoals normaliteit. Ze zijn vaak gebaseerd op rangen in plaats van op de feitelijke waarden, en zijn daarom geschikt voor ordinale data of wanneer parametrische aannames geschonden zijn. | | Centrale waarden | Kengetallen die de typische of centrale positie van een dataset samenvatten. De meest voorkomende centrale waarden zijn het gemiddelde (mean), de mediaan (median) en de modus (mode). | | Populatiemediaan | De mediaan van de gehele populatie. Dit is de middelste waarde in een geordende dataset, of het gemiddelde van de twee middelste waarden als er een even aantal waarnemingen is. Het verdeelt de populatie in twee gelijke helften. | | Tekentest | Een eenvoudige niet-parametrische test die de mediaan van een populatie vergelijkt met een hypothetische waarde door het aantal positieve en negatieve verschillen tussen de waarnemingen en de hypothetische mediaan te tellen. | | Binomiaaltest | Een statistische test die wordt gebruikt om de kans op een bepaald aantal successen in een reeks van onafhankelijke experimenten te evalueren, waarbij elk experiment slechts twee mogelijke uitkomsten heeft (succes of falen). | | Wilcoxon rangtekentest | Een niet-parametrische test voor gepaarde waarnemingen of voor één populatie om te bepalen of de mediaan significant verschilt van een hypothetische waarde. Het houdt rekening met zowel de richting als de grootte van de verschillen door middel van rangen. | | Wilcoxon rangsomtest | Een niet-parametrische test die wordt gebruikt om de medians van twee onafhankelijke groepen te vergelijken. Het combineert alle waarnemingen, rangschikt ze, en vergelijkt de sommen van de rangen binnen elke groep. | | Mann-Whitney U test | Een niet-parametrische test die equivalent is aan de Wilcoxon rangsomtest en ook wordt gebruikt om de medians van twee onafhankelijke groepen te vergelijken. De teststatistiek U is gebaseerd op het aantal keren dat een waarneming uit de ene groep kleiner is dan een waarneming uit de andere groep. | | Kruskal-Wallis test | Een niet-parametrische test die wordt gebruikt om de medians van drie of meer onafhankelijke groepen te vergelijken. Het is een uitbreiding van de Wilcoxon rangsomtest naar meerdere groepen en is een alternatief voor de eenweg ANOVA. | | p-waarde | De waarschijnlijkheid om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de gevonden teststatistiek, aangenomen dat de nulhypothese waar is. Een lage p-waarde (< significantieniveau) leidt tot verwerping van de nulhypothese. | | Nulhypothese (Ho) | Een stelling die de afwezigheid van een effect, een verschil of een relatie postuleert. Het is de hypothese die getoetst wordt en die, indien er voldoende bewijs is, verworpen kan worden. | | Alternatieve hypothese (H1) | Een stelling die een effect, een verschil of een relatie postuleert, als tegenhanger van de nulhypothese. Dit kan een eenzijdige (groter dan of kleiner dan) of een tweezijdige (niet gelijk aan) hypothese zijn. | | Steekproef | Een subset van een populatie die wordt gebruikt om conclusies te trekken over de gehele populatie. De representativiteit van de steekproef is cruciaal voor de geldigheid van de statistische inferentie. | | Populatie | De gehele verzameling van individuen, objecten of metingen waarover men een conclusie wil trekken. | | Rang | De positie van een waarneming in een geordende reeks van waarden. Waarnemingen worden gesorteerd van klein naar groot en krijgen een nummer toegewezen dat hun relatieve positie aangeeft. | | Symmetrische kansdichtheid | Een kansverdeling waarbij de kansdichtheidsfunctie om een centrale waarde (meestal de mediaan of het gemiddelde) gespiegeld kan worden. Een normale verdeling is een voorbeeld van een symmetrische kansdichtheid. |

# Introductie tot testen voor afhankelijkheid Dit gedeelte introduceert het concept van het testen van de afhankelijkheid tussen variabelen, waarbij de nulhypothese van onafhankelijkheid en de alternatieve hypothese van afhankelijkheid worden geformuleerd. ### 1.1 Hypothesen bij het testen van afhankelijkheid Bij het testen van afhankelijkheid tussen twee variabelen, X en Y, worden de volgende hypothesen geformuleerd [1](#page=1) [2](#page=2): * **Nulhypothese ($H_0$)**: X en Y zijn onafhankelijk [1](#page=1) [2](#page=2). * **Alternatieve hypothese ($H_1$)**: X en Y zijn afhankelijk [1](#page=1) [2](#page=2). ### 1.2 Onafhankelijkheid van kansvariabelen Beschouw een kansvariabele (X, Y) met een gezamenlijke kansverdeling $p_{X,Y}$ en marginale verdelingen $p_X$ en $p_Y$. X en Y zijn onafhankelijk als hun gezamenlijke kansverdeling het product is van hun marginale kansverdelingen [1](#page=1): $p_{X,Y}(x, y) = p_X(x)p_Y(y)$ voor alle mogelijke waarden van x en y [1](#page=1). Dit principe geldt analoog voor kansdichtheden ($f_{X,Y}, f_X, f_Y$) in het continue geval [1](#page=1). ### 1.3 De $\chi^2$-test voor afhankelijkheid De $\chi^2$-test kan worden aangepast om de afhankelijkheid tussen variabelen te testen. In deze context test de $\chi^2$-test of de gezamenlijke kansverdeling $p_{X,Y}$ gelijk is aan het product van de marginale kansverdelingen [2](#page=2). De hypothesen voor de $\chi^2$-test voor afhankelijkheid zijn: * **Nulhypothese ($H_0$)**: $p_{X,Y}(x, y) = p_X(x)p_Y(y)$ voor alle $(x, y)$ [2](#page=2). * **Alternatieve hypothese ($H_1$)**: $p_{X,Y}(x, y) \neq p_X(x)p_Y(y)$ voor minstens één $(x, y)$ [2](#page=2). Een uitdaging bij deze test is dat de marginale verdelingen $p_X$ en $p_Y$ vaak niet bekend zijn. In dergelijke gevallen worden de marginale verdelingen geschat aan de hand van relatieve frequenties [2](#page=2). #### 1.3.1 Kruistabellen (Contingency Tables) Wanneer er $r$ mogelijke waarden voor variabele X ($x_j$) en $k$ mogelijke waarden voor variabele Y ($y_j$) zijn, kunnen de frequenties van de waarnemingen worden samengevat in een kruistabel (contingency table). Hierbij kunnen $x_j$ en $y_j$ ook klassen voorstellen [2](#page=2). * $n_{ij}$: het aantal observaties waarbij X de waarde $x_i$ aanneemt en Y de waarde $y_j$ aanneemt [2](#page=2). * $n$: het totaal aantal observaties [2](#page=2). De geschatte marginale relatieve frequenties kunnen worden berekend als volgt [2](#page=2): * Geschatte relatieve frequentie voor $x_i$: $\hat{p}_X(x_i) = \frac{\sum_{j=1}^{k} n_{ij}}{n}$ * Geschatte relatieve frequentie voor $y_j$: $\hat{p}_Y(y_j) = \frac{\sum_{i=1}^{r} n_{ij}}{n}$ --- # De chikwadraat (x2) test voor afhankelijkheid De chikwadraat (x²) test voor afhankelijkheid wordt gebruikt om te bepalen of er een statistisch significant verband bestaat tussen twee categorische variabelen [2](#page=2). ### 2.1 Concept van de x²-test voor afhankelijkheid De test evalueert de gezamenlijke verdeling van twee categorische variabelen, $P_{X,Y}(x, y)$, en vergelijkt deze met het product van hun marginale verdelingen, $P_X(x)P_Y(y)$ [2](#page=2). * **Nulhypothese ($H_0$):** De twee variabelen zijn onafhankelijk. Dit betekent dat de gezamenlijke kansverdeling gelijk is aan het product van de marginale kansverdelingen: $P_{X,Y}(x, y) = P_X(x)P_Y(y)$ voor alle $(x, y)$ [2](#page=2). * **Alternatieve hypothese ($H_1$):** De twee variabelen zijn afhankelijk. Dit betekent dat de gezamenlijke kansverdeling niet gelijk is aan het product van de marginale kansverdelingen voor ten minste één combinatie van $(x, y)$ [2](#page=2). Een belangrijk aspect is dat de marginale verdelingen $P_X(x)$ en $P_Y(y)$ vaak niet bekend zijn en geschat moeten worden uit de steekproefgegevens, meestal via relatieve frequenties [2](#page=2). ### 2.2 De kruistabel (contingency table) Om de frequenties van de observaties voor twee categorische variabelen samen te vatten, wordt een kruistabel gebruikt [2](#page=2). * Stel dat variabele $X$ $r$ mogelijke waarden ($x_1, \ldots, x_r$) heeft en variabele $Y$ $k$ mogelijke waarden ($y_1, \ldots, y_k$). Deze waarden kunnen ook categorieën of klassen voorstellen [2](#page=2). * $n_{ij}$ staat voor het aantal observaties dat overeenkomt met de combinatie van $X=x_i$ en $Y=y_j$ [2](#page=2). * $n$ is het totaal aantal observaties in de steekproef [2](#page=2). De relatieve frequenties kunnen worden berekend als: $P_X(x_i) \approx \sum_{j=1}^{k} \frac{n_{ij}}{n}$ $P_Y(y_j) \approx \sum_{i=1}^{r} \frac{n_{ij}}{n}$ ### 2.3 Berekening van de teststatistiek Onder de nulhypothese van onafhankelijkheid, wordt de verwachte aantal observaties in cel $(i, j)$ berekend als $n \cdot P_X(x_i) \cdot P_Y(y_j)$. Aangezien de marginale kansen geschat worden, wordt dit verwachte aantal geschat met $n \cdot \hat{P}_X(x_i) \cdot \hat{P}_Y(y_j)$ [3](#page=3). De chikwadraat ($x^2$) teststatistiek wordt berekend als de som van de gekwadrateerde verschillen tussen de waargenomen frequenties ($n_{ij}$) en de verwachte frequenties, gedeeld door de verwachte frequenties, over alle cellen van de kruistabel [3](#page=3): $$x^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{k} \frac{(n_{ij} - n\hat{P}_X(x_i)\hat{P}_Y(y_j))^2}{n\hat{P}_X(x_i)\hat{P}_Y(y_j)}$$ #### 2.3.1 Voorbeeld: regio vs. belastingschaal Stel we onderzoeken of de regio (Vlaanderen vs. Wallonië) en de belastingschaal afhankelijk zijn bij 400 gezinnen [3](#page=3). | belastingschaal Y | 0-20% | 20-30% | 30-40% | >40% | Totaal | $\hat{P}_X$ | | :---------------- | :---- | :----- | :----- | :--- | :----- | :---------- | | **Regio X** | | | | | | | | Wallonië | 28 | 42 | 30 | 24 | 124 | 0.31 | | Vlaanderen | 44 | 78 | 78 | 76 | 276 | 0.69 | | Totaal | 72 | 120 | 108 | 100 | 400 | | De geschatte marginale kansen zijn: $\hat{P}_X(\text{Wallonië}) = 124/400 = 0.31$, $\hat{P}_X(\text{Vlaanderen}) = 276/400 = 0.69$. En $\hat{P}_Y(0-20\%) = 72/400 = 0.18$, $\hat{P}_Y(20-30\%) = 120/400 = 0.30$, etc. [3](#page=3). Het verwachte aantal voor Wallonië en belasting 0-20% onder $H_0$ is $400 \times 0.31 \times 0.18 = 22.32$ [3](#page=3). De verwachte aantallen onder $H_0$ zijn: | belastingschaal Y | 0-20% | 20-30% | 30-40% | >40% | | :---------------- | :----- | :----- | :----- | :---- | | **Regio X** | | | | | | Wallonië | 22.32 | 37.20 | 33.48 | 31.00 | | Vlaanderen | 49.68 | 82.80 | 74.52 | 69.00 | De berekende $x^2$ teststatistiek is $5.8075$ [3](#page=3). ### 2.4 Vrijheidsgraden Voor de $x^2$-test voor afhankelijkheid wordt de verdeling van de teststatistiek benaderd door een $x^2$-verdeling met een bepaald aantal vrijheidsgraden ($df$) [4](#page=4). De vrijheidsgraden worden berekend als: $df = (\text{aantal rijen} - 1) \times (\text{aantal kolommen} - 1)$. In symbolen, voor een $r \times k$ kruistabel: $df = (r - 1)(k - 1)$ Dit aantal volgt uit het feit dat we $r-1$ parameters schatten voor de marginale verdeling van $X$ en $k-1$ parameters voor de marginale verdeling van $Y$. Het totale aantal cellen is $rk$. Dus de vrijheidsgraden zijn $rk - 1 - (r - 1) - (k - 1) = rk - r - k + 1 = (r - 1)(k - 1)$ [4](#page=4). #### 2.4.1 Voorbeeld: regio vs. belastingschaal In het voorbeeld van regio vs. belastingschaal hebben we 2 rijen (regio's) en 4 kolommen (belastingschalen). $df = (2 - 1)(4 - 1) = 1 \times 3 = 3$ [4](#page=4). ### 2.5 Interpretatie van de resultaten De nulhypothese ($H_0$) wordt verworpen als de berekende teststatistiek groter is dan de kritieke waarde uit de $x^2$-verdeling voor een gegeven significantieniveau ($\alpha$) en het berekende aantal vrijheidsgraden [4](#page=4). * **Kritieke waarde:** Dit is de waarde uit de $x^2$-verdeling die overeenkomt met het gekozen significantieniveau (bv. $\alpha=0.05$) en de berekende vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen als $x^2_{berekend} > x^2_{\text{kritiek}}(\alpha, df)$ [4](#page=4). * **p-waarde:** Dit is de kans om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de berekende waarde, aangenomen dat de nulhypothese waar is. $H_0$ wordt verworpen als de p-waarde kleiner is dan het significantieniveau ($\alpha$) [4](#page=4). #### 2.5.1 Voorbeeld: regio vs. belastingschaal * Teststatistiek: $x^2 = 5.8075$ [4](#page=4). * Vrijheidsgraden: $df = 3$ [4](#page=4). * Kritieke waarde voor $\alpha = 0.05$: $x^2_{3, 0.95} = 7.81$ [4](#page=4). * p-waarde: $P(x^2 > 5.8075) = 0.121$ [4](#page=4). Omdat de berekende teststatistiek ($5.8075$) kleiner is dan de kritieke waarde ($7.81$) en de p-waarde ($0.121$) groter is dan het significantieniveau van $5\%$, wordt de nulhypothese niet verworpen. Er is onvoldoende statistisch bewijs om aan te tonen dat de regio en de belastingschaal afhankelijk zijn in deze steekproef [4](#page=4). ### 2.6 Voorwaarden en aanpassingen De $x^2$-verdeling als benadering voor de teststatistiek is geldig voor grote steekproeven [5](#page=5). * **Vuistregel:** Een veelgebruikte vuistregel is dat het verwachte aantal observaties ($n\hat{P}_X(x_i)\hat{P}_Y(y_j)$) in elke cel van de kruistabel minstens 5 moet zijn. Als deze voorwaarde niet is voldaan voor een aanzienlijk deel van de cellen, kan de $x^2$-benadering onbetrouwbaar worden [5](#page=5). * **Continuïteitscorrectie (Yates' correctie):** Bij 2x2 kruistabellen kan soms een continuïteitscorrectie worden toegepast om de discrete aard van de data te accommoderen. Dit houdt in dat de absolute verschillen tussen waargenomen en verwachte frequenties met 0.5 worden verminderd voordat ze gekwadrateerd worden: $$x^2_{\text{gecorrigeerd}} = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{k} \frac{(|n_{ij} - n\hat{P}_X(x_i)\hat{P}_Y(y_j)| - 0.5)^2}{n\hat{P}_X(x_i)\hat{P}_Y(y_j)}$$ Deze correctie leidt tot een kleinere teststatistiek en dus een hogere p-waarde, wat de nulhypothese minder snel zal verwerpen. Echter, de continuïteitscorrectie wordt soms als te conservatief beschouwd en niet altijd toegepast [5](#page=5). #### 2.6.1 Voorbeeld: Coke Zero vs. Light afhankelijkheid van geslacht Stel we willen weten of de voorkeur voor Coke Zero of Light afhankelijk is van geslacht bij 20 personen [5](#page=5). * $H_0$: Geslacht en voorkeur zijn onafhankelijk. * $H_1$: Geslacht en voorkeur zijn afhankelijk. | light | zero | Totaal | | :---- | :--- | :----- | | **Geslacht** | | | | Man | 1 | 5 | 6 | | Vrouw | 11 | 3 | 14 | | Totaal | 12 | 8 | 20 | Het verwachte aantal mannen met voorkeur voor Light onder $H_0$ is $20 \times (6/20) \times (12/20) = 3.6$. Aangezien dit aantal kleiner is dan 5, is de vuistregel voor de geldigheidsvoorwaarde voor de $x^2$-verdeling mogelijk niet voldaan in deze kleine steekproef. Voor een accurate analyse zou de continuïteitscorrectie kunnen worden overwogen, of een exacte test zoals Fisher's exact test indien de steekproef klein genoeg is [5](#page=5). --- # Fisher's exacte test Fisher's exacte test is een statistische test die wordt gebruikt om de significantie van de associatie tussen categorische variabelen te beoordelen, met name wanneer de verwachte aantallen in de cellen van een contingentietabel te klein zijn voor de chikwadraat test [6](#page=6). ### 3.1 Introductie en toepassingsgebied De chikwadraat test heeft als voorwaarde dat de verwachte aantallen in de cellen van de contingentietabel voldoende groot moeten zijn. Wanneer deze voorwaarde niet voldaan is, is de chikwadraat benadering mogelijk incorrect. In dergelijke gevallen biedt Fisher's exacte test een uitkomst door de exacte verdeling van de teststatistiek onder de nulhypothese te bepalen [6](#page=6). > **Tip:** Fisher's exacte test is met name geschikt voor 2x2 tabellen, maar kan ook worden uitgebreid naar grotere tabellen. De R-functie `fisher.test()` ondersteunt standaard 2x2 tabellen, maar kan ook grotere tabellen aan met behulp van simulaties. #### 3.1.1 Voorwaarden voor Fisher's exacte test De primaire voorwaarde voor het correct toepassen van Fisher's exacte test is dat de rij- en kolomtotalen van de contingentietabel vastliggen. Dit betekent dat, gegeven de marginale totalen, we de kans berekenen op het observeren van een specifieke indeling van de waarden binnen de tabel [6](#page=6). #### 3.1.2 Contingentietabel en de nulhypothese Voor een 2x2 tabel met variabelen ingedeeld volgens bijvoorbeeld geslacht en productvoorkeur, kan een contingentietabel als volgt worden weergegeven: | | Light | Zero | Totaal | | :---------- | :---- | :--- | :----- | | Man | $a$ | $b$ | $a+b$ | | Vrouw | $c$ | $d$ | $c+d$ | | Totaal | $a+c$ | $b+d$| $n$ | De centrale vraag is of er een associatie bestaat tussen deze indelingen. De nulhypothese ($H_0$) stelt dat de variabelen onafhankelijk zijn, terwijl de alternatieve hypothese ($H_1$) stelt dat er een afhankelijkheid is [6](#page=6) [7](#page=7) [9](#page=9). ### 3.2 Berekening van de exacte p-waarde #### 3.2.1 Kansberekening bij vastliggende marginalen Onder de aanname dat de rij- en kolomtotalen vast zijn, volgt de kans op een specifieke contingentietabel een hypergeometrische verdeling. De formule voor de kans op een bepaalde celverdeling, gegeven de marginalen, is [7](#page=7): $$ P(\text{specifieke tabel} | \text{marginalen}) = \frac{\binom{a+b}{a} \binom{c+d}{c}}{\binom{n}{a+c}} $$ waarbij $a, b, c, d$ de aantallen in de cellen zijn, $a+b$ en $c+d$ de rijtotalen, $a+c$ en $b+d$ de kolomtotalen, en $n$ het totaal aantal observaties [7](#page=7). #### 3.2.2 Exacte p-waarde bij eenzijdige test De exacte p-waarde voor een eenzijdige test wordt berekend door de kans op alle kruistabellen op te tellen die minstens even onwaarschijnlijk zijn als de geobserveerde tabel, en in de richting van de alternatieve hypothese wijzen [7](#page=7). **Voorbeeld van een eenzijdige test:** Stel de nulhypothese is dat geslacht en productvoorkeur onafhankelijk zijn ($H_0$), en de alternatieve hypothese is dat mannen de voorkeur geven aan Coke Zero ($H_1$). Een geobserveerde steekproef levert de volgende tabel op: | | Light | Zero | Totaal | | :---- | :---- | :--- | :----- | | Man | 1 | 5 | 6 | | Vrouw | 11 | 3 | 14 | | Totaal| 12 | 8 | 20 | Als we aannemen dat het aantal mannen en het aantal blikjes Light vastliggen, wordt de kans dat 1 op de 6 mannen voor Light kiest als volgt berekend [6](#page=6): $$ P(a=1) = \frac{\binom{6}{1} \binom{14}{11}}{\binom{20}{12}} = 0.0173 $$ Een nog extremere uitkomst (in de richting van $H_1$) zou zijn dat 0 mannen voor Light kiezen: $$ P(a=0) = \frac{\binom{6}{0} \binom{14}{12}}{\binom{20}{12}} = 0.0007 $$ De p-waarde voor deze eenzijdige test is de som van deze kansen: $0.0173 + 0.0007 = 0.0180$. Als deze p-waarde lager is dan het significantieniveau (bijvoorbeeld 0.05), wordt $H_0$ verworpen [8](#page=8). #### 3.2.3 Exacte p-waarde bij tweezijdige test Voor een tweezijdige test ($H_1$: geslacht en voorkeur zijn afhankelijk) worden de kansen van alle kruistabellen die in beide richtingen van de nulhypothese extremere uitkomsten geven, bij elkaar opgeteld. Men bekijkt dus de tabellen die zowel extremere waarden voor $a$ (minder mannen die Light kiezen) als voor $a$ (meer mannen die Light kiezen) vertegenwoordigen, in verhouding tot de marginale totalen [9](#page=9). In het voorbeeld van Coke Zero vs. Light, worden de kansen voor verschillende waarden van $a$ (aantal mannen met voorkeur voor Light) onder $H_0$ gegeven: | $a$ | Kans | | :-- | :--------- | | 0 | 0.0007 | | 1 | 0.0173 | | 2 | 0.1192 | | 3 | 0.3179 | | 4 | 0.3576 | | 5 | 0.1635 | | 6 | 0.0238 | Om de tweezijdige p-waarde te berekenen, worden de kansen van de minst waarschijnlijke uitkomsten aan beide zijden van de distributie opgeteld. In dit specifieke voorbeeld, als de geobserveerde waarde $a=1$ is, dan zijn de extremere waarden $a=0$ en $a=1$. De p-waarde wordt dan $P(a \leq 1 \text{ of } a \geq \text{een corresponderende waarde die minstens zo extreem is})$. De exacte berekening kan complex zijn, maar de software berekent dit. Voor dit voorbeeld resulteert de tweezijdige p-waarde in 0.01806 [9](#page=9). ### 3.3 Implementatie in R De functie `fisher.test()` in R kan worden gebruikt om Fisher's exacte test uit te voeren. **Voorbeeld met R code:** Voor een eenzijdige test waarbij de alternatieve hypothese is dat de odds ratio kleiner is dan 1 (wat impliceert dat mannen minder geneigd zijn Light te kiezen dan vrouwen in dit scenario): ```R > fisher.test(kruistabel, alternative="less") ``` Voor een tweezijdige test (standaardinstelling als `alternative` niet gespecificeerd is): ```R > fisher.test(kruistabel) ``` De output van `fisher.test()` geeft de p-waarde, de geobserveerde odds ratio, en een betrouwbaarheidsinterval voor de odds ratio [8](#page=8) [9](#page=9). > **Tip:** Bij het interpreteren van de odds ratio is het belangrijk om de richting van de associatie te overwegen. Een odds ratio kleiner dan 1 duidt op een andere associatie dan een odds ratio groter dan 1. De `alternative` parameter in `fisher.test()` stelt u in staat om te specificeren of u geïnteresseerd bent in een "less", "greater", of "two.sided" alternatieve hypothese. --- # Spearman en Kendall rangcorrelatietesten Deze sectie verkent niet-parametrische methoden om de sterkte en richting van de associatie tussen twee rangorde variabelen te meten, namelijk de Spearman en Kendall rangcorrelatietests [10](#page=10). ### 4.1 Spearman rangcorrelatietest De Spearman rangcorrelatietest, ook wel bekend als de Spearman's rho ($\rho_s$), is een methode om de sterkte en richting van de associatie tussen twee gekoppelde continue variabelen te meten, waarbij de rangordes van deze variabelen worden gebruikt. Deze test vereist enkel een ordinale meetschaal [10](#page=10). #### 4.1.1 Concept en berekening De Spearman rangcorrelatie is equivalent aan de Pearson correlatie berekend op de rangen van de variabelen. Gegeven een steekproef van gekoppelde continue variabelen $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ [10](#page=10): 1. Rangschik de $x_j$ waarden van klein naar groot om de rang $u_j$ te verkrijgen [10](#page=10). 2. Rangschik de $y_i$ waarden van klein naar groot om de rang $v_i$ te verkrijgen [10](#page=10). 3. De Spearman rangcorrelatie $r_s$ wordt berekend als de Pearson correlatie van de rangen $(u, v)$ [10](#page=10): $$ r_s = \text{corr}(u, v) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (u_i - \bar{u})(v_i - \bar{v})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (u_i - \bar{u})^2 \sum_{i=1}^{n} (v_i - \bar{v})^2}} $$ Een perfecte positieve correlatie ($r_s = 1$) treedt op wanneer alle rangen gelijk zijn. Een perfecte negatieve correlatie ($r_s = -1$) treedt op wanneer alle rangen tegengesteld zijn [10](#page=10). #### 4.1.2 Hypothesen en interpretatie Voor de populatie Spearman rangcorrelatie $\rho_s$, worden de volgende hypothesen getest [11](#page=11): * Nulhypothese ($H_0$): $\rho_s = 0$ (geen verband) * Alternatieve hypothese ($H_1$): $\rho_s \neq 0$ (een verband, of eenzijdig $\rho_s > 0$ of $\rho_s < 0$) [11](#page=11). Als er een monotoon stijgend verband is tussen de variabelen $X$ en $Y$, dan is $\rho_s = 1$. Bij een monotoon dalend verband is $\rho_s = -1$. Als de variabelen onafhankelijk zijn, dan is $\rho_s = 0$. De nulhypothese wordt verworpen als de berekende $r_s$ significant afwijkt van 0 [11](#page=11). > **Tip:** De test is gebaseerd op de aanname dat de observaties onafhankelijk zijn en de populaties symmetrisch verdeeld zijn, hoewel de test minder gevoelig is voor schendingen van normaliteit dan de Pearson correlatie [10](#page=10). #### 4.1.3 Voorbeeld: BEL20 vs. AEX rendementen Het is relevant om te onderzoeken of de rendementen van de BEL20 en AEX beursindices afhankelijk zijn [11](#page=11). De hypothesen zijn $H_0: \rho_s = 0$ versus $H_1: \rho_s \neq 0$ [11](#page=11). De berekening met behulp van software levert de volgende resultaten op [11](#page=11): * Spearman rangcorrelatie: $r_s = 0.6406015$ [11](#page=11). * p-waarde = 0.002943 [11](#page=11). Aangezien de p-waarde kleiner is dan 0.05, wordt de nulhypothese verworpen op een significantieniveau van 5%. Dit duidt op een significant positief verband tussen de rendementen van de BEL20 en AEX. De tabel met de rangen toont de $x_i$, $u_i$, $y_i$ en $v_i$ voor deze analyse [11](#page=11) [12](#page=12). #### 4.1.4 Voorbeeld: Masterproeven beoordelingen Een andere toepassing is het vergelijken van beoordelingen van masterproeven door academici en bedrijfsleiders. De vraag is of deze beoordelingen gelijkaardig zijn en positief afhankelijk [12](#page=12). De hypothesen zijn $H_0: \rho_s = 0$ versus $H_1: \rho_s > 0$ [12](#page=12). De resultaten van de test zijn [13](#page=13): * Spearman rangcorrelatie: $r_s = 0.8424242$ [13](#page=13). * p-waarde = 0.00223 [13](#page=13). Met een p-waarde van 0.0022, wordt de nulhypothese verworpen op een significantieniveau van 5%. Dit suggereert dat de beoordelingen van masterproeven door academici en bedrijfsleiders significant positief afhankelijk zijn [13](#page=13). ### 4.2 Kendall rangcorrelatietest De Kendall rangcorrelatietest, vaak aangeduid met $\tau$ (tau) of $r_k$, is een andere niet-parametrische methode om de sterkte en richting van de associatie tussen twee variabelen te meten, gebaseerd op de rangordes. In tegenstelling tot Spearman, vergelijkt Kendall de rangordes over alle mogelijke paren van observaties [13](#page=13). #### 4.2.1 Concept en berekening Bij de Kendall rangcorrelatietest wordt gekeken naar paren van observaties $(x_i, y_i)$ en $(x_j, y_j)$. Er wordt bepaald of deze paren **concordant** of **discordant** zijn [13](#page=13). * Een **concordant paar** treedt op als de rangordes van de twee variabelen voor beide paren in dezelfde richting gaan. Dat wil zeggen, als $x_i < x_j$ en tegelijkertijd $y_i < y_j$, of als $x_i > x_j$ en $y_i > y_j$ [13](#page=13). * Een **discordant paar** treedt op als de rangordes van de twee variabelen voor de paren tegengesteld zijn. Dat wil zeggen, als $x_i < x_j$ en $y_i > y_j$, of als $x_i > x_j$ en $y_i < y_j$ [13](#page=13). Laat $c$ het aantal concordante paren zijn en $d$ het aantal discordante paren. Het totale aantal mogelijke paren van observaties is $\frac{n(n-1)}{2}$ [14](#page=14). De Kendall rangcorrelatie $r_k$ wordt berekend als: $$ r_k = \frac{c - d}{\frac{n(n-1)}{2}} $$ Als alle paren concordant zijn, is $c = \frac{n(n-1)}{2}$ en $d = 0$, wat resulteert in $r_k = 1$ [14](#page=14). Als alle paren discordant zijn, is $c = 0$ en $d = \frac{n(n-1)}{2}$, wat resulteert in $r_k = -1$ [14](#page=14). Als de variabelen onafhankelijk zijn, dan is $c \approx d$, en dus $r_k \approx 0$ [14](#page=14). #### 4.2.2 Hypothesen en interpretatie Voor de populatie Kendall rangcorrelatie $\tau$ (of $\rho_k$), worden de volgende hypothesen getest [14](#page=14): * Nulhypothese ($H_0$): $\rho_k = 0$ (geen verband) * Alternatieve hypothese ($H_1$): $\rho_k \neq 0$ (een verband, of eenzijdig $\rho_k > 0$ of $\rho_k < 0$) [14](#page=14). Net als bij Spearman, impliceert een monotoon stijgend verband $\rho_k = 1$, en een monotoon dalend verband $\rho_k = -1$. Onafhankelijkheid impliceert $\rho_k = 0$. De nulhypothese wordt verworpen als de berekende $r_k$ significant afwijkt van 0 [14](#page=14). > **Tip:** De Kendall tau correlatie is een robuuste maat voor associatie, vooral nuttig wanneer er veel gelijke waarden of uitschieters zijn, omdat het werkt met rangen [13](#page=13). #### 4.2.3 Voorbeeld: BEL20 vs. AEX rendementen Voor de BEL20 en AEX rendementen wordt de Kendall correlatie getest met de hypothesen $H_0: \rho_k = 0$ versus $H_1: \rho_k \neq 0$ [15](#page=15). Er worden $\frac{20 \times 19}{2} = 190$ paren van observaties vergeleken [15](#page=15). Een voorbeeld van een concordant paar is wanneer observatie 1 (BEL20 rendement: -1.63, AEX rendement: -0.83) wordt vergeleken met observatie 2 (BEL20 rendement: 0.12, AEX rendement: -0.17). Hier is $1 < 7$ en $1 < 5$ (rangen), wat een concordant paar aangeeft [15](#page=15). Een voorbeeld van een discordant paar is wanneer observatie 4 (BEL20 rendement: 1.67, AEX rendement: 1.51) wordt vergeleken met observatie 7 (BEL20 rendement: 1.02, AEX rendement: 1.37). Hier is $4 > 7$ (rangen BEL20) maar $16 < 19$ (rangen AEX), wat een discordant paar aangeeft [15](#page=15). De resultaten van de test met software zijn [16](#page=16): * Aantal concordante paren: 142, aantal discordante paren: 48 [16](#page=16). * Kendall rangcorrelatie: $r_k = \frac{142 - 48}{190} = 0.4947$ [16](#page=16). * p-waarde = 0.00184 [16](#page=16). Met een p-waarde van 0.0018, wordt de nulhypothese verworpen op een significantieniveau van 5%. Dit bevestigt een significant positief verband tussen de rendementen van de BEL20 en AEX [16](#page=16). #### 4.2.4 Voorbeeld: Masterproeven beoordelingen Voor de beoordelingen van masterproeven door academici en bedrijfsleiders, met hypothesen $H_0: \rho_k = 0$ versus $H_1: \rho_k > 0$ [16](#page=16): * Observatie A (bedrijfsleider rang 5, academicus rang 4) en observatie B (bedrijfsleider rang 1, academicus rang 2) vormen een concordant paar omdat $5 > 1$ en $4 > 2$ [16](#page=16). * Observatie A (bedrijfsleider rang 5, academicus rang 4) en observatie C (bedrijfsleider rang 3, academicus rang 6) vormen een discordant paar omdat $5 > 3$ maar $4 < 6$ [16](#page=16). De resultaten van de test met software zijn [17](#page=17): * Totaal aantal paren te vergelijken: $\frac{10 \times 9}{2} = 45$ [17](#page=17). * Aantal concordante paren: 36, aantal discordante paren: 9 [17](#page=17). * Kendall rangcorrelatie: $r_k = 0.6$ [17](#page=17). * p-waarde = 0.008333 [17](#page=17). Met een p-waarde van 0.0083, wordt de nulhypothese verworpen op een significantieniveau van 5%. De beoordelingen van masterproeven door academici en bedrijfsleiders zijn dus significant positief afhankelijk [17](#page=17). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Onafhankelijkheid | Twee variabelen worden als onafhankelijk beschouwd als de verdeling van de ene variabele niet wordt beïnvloed door de waarden van de andere variabele. Wiskundig geldt dan $P(X, Y) = P(X)P(Y)$. | | Afhankelijkheid | Twee variabelen worden als afhankelijk beschouwd als er een relatie bestaat tussen hun waarden, wat betekent dat de verdeling van de ene variabele verandert afhankelijk van de waarde van de andere variabele. | | Gezamenlijke kansverdeling | Een kansverdeling die de kansen beschrijft voor combinaties van uitkomsten van twee of meer willekeurige variabelen. | | Marginale verdeling | De kansverdeling van een enkele willekeurige variabele binnen een gezamenlijke verdeling, zonder rekening te houden met de waarden van de andere variabelen. | | Kruistabel (Contingency table) | Een tabel die de frequentieverdeling van variabelen toont. Bij het testen van afhankelijkheid wordt deze gebruikt om de waargenomen frequenties van combinaties van uitkomsten van twee categorische variabelen weer te geven. | | Verwachte frequentie | Het aantal observaties dat verwacht wordt in een cel van een kruistabel onder de aanname van onafhankelijkheid tussen de variabelen. Dit wordt berekend als $n \times P(X=x) \times P(Y=y)$. | | Teststatistiek | Een waarde berekend uit steekproefgegevens die wordt gebruikt om de nulhypothese te testen. De chikwadraat ($x^2$) teststatistiek meet het verschil tussen waargenomen en verwachte frequenties. | | Vrijheidsgraden | Het aantal onafhankelijke waarden dat vrij kan variëren in een statistische berekening. Bij de $x^2$-test voor afhankelijkheid van een $r \times k$ tabel is dit $(r-1)(k-1)$. | | p-waarde | De kans om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de berekende waarde, gegeven dat de nulhypothese waar is. Een lage p-waarde (typisch < 0.05) leidt tot het verwerpen van de nulhypothese. | | Fisher's exacte test | Een statistische test die wordt gebruikt om de afhankelijkheid tussen twee categorische variabelen te evalueren, vooral nuttig wanneer de verwachte celgroottes klein zijn. Het berekent de exacte kans van de waargenomen resultaten onder de nulhypothese van onafhankelijkheid. | | Hypergeometrische verdeling | Een discrete kansverdeling die de kans berekent op een bepaald aantal successen in trekkingen zonder teruglegging uit een eindige populatie waarin elke trekking een succes of mislukking is. Wordt gebruikt in Fisher's exacte test. | | Rangcorrelatie | Een statistische maat die de sterkte en richting van een monotone relatie tussen twee rangschikkingen aangeeft. Spearman's rho en Kendall's tau zijn voorbeelden. | | Spearman rangcorrelatie ($r_s$) | Een niet-parametrische maat voor de sterkte en richting van de associatie tussen twee rangschikkingen. Het is de Pearson-correlatiecoëfficiënt toegepast op de rangen van de gegevens. | | Kendall rangcorrelatie ($r_k$ of $T$) | Een niet-parametrische maat voor de associatie tussen twee rangschikkingen, gebaseerd op het aantal concordante en discordante paren in de gegevens. | | Concordant paar | Een paar observaties waarbij de rangschikking van de ene variabele dezelfde richting heeft als de rangschikking van de andere variabele voor beide observaties. | | Discordant paar | Een paar observaties waarbij de rangschikking van de ene variabele tegengesteld is aan de rangschikking van de andere variabele voor de twee observaties. |

# Inleiding tot associatiematen op ordinaal niveau Dit hoorcollege introduceert associatiematen voor variabelen gemeten op ordinaal niveau, waarbij de nadruk ligt op de keuze van de juiste maat op basis van het meetniveau en de aard van het verband, alsook de interpretatie van de richting van een verband. ### 1.1 Situering en inhoud van het hoorcollege Dit onderdeel schetst de plaats van het hoorcollege binnen de bredere statistische context en introduceert de belangrijkste leerdoelen. #### 1.1.1 Formules en hulpmiddelen De formules die in dit hoorcollege worden behandeld, kunnen qua notatie enigszins afwijken van die in het boek of de online documentatie, maar komen conceptueel op hetzelfde neer. Alle relevante formules staan op het formularium dat beschikbaar is op Blackboard onder 'evaluatie' -> 'hulpmiddelen'. Dit formularium mag gebruikt worden tijdens het examen, waardoor het niet noodzakelijk is om de formules van buiten te leren. Het is wel essentieel om ermee te kunnen werken. Bij berekeningen dient altijd te worden afgerond tot twee cijfers na de komma. Kleine verschillen in uitkomsten door afrondingen tijdens tussenstappen of het ontbreken daarvan worden op het examen meegenomen binnen een foutenmarge. #### 1.1.2 Doel van associatiematen Associatiematen, ook wel samenhangmaten genoemd, geven aan of er een samenhang bestaat tussen twee variabelen. #### 1.1.3 Keuze van de juiste associatiemaat De keuze voor de geschikte associatiemaat wordt bepaald door twee hoofdfactoren: 1. **Meetniveau van de variabelen:** * Indien minstens één variabele van nominaal meetniveau is, wordt een associatiemaat op nominaal niveau gekozen. * Wanneer één variabele ordinaal is en de andere niet-nominaal, wordt een associatiemaat op ordinaal niveau gebruikt. * Als beide variabelen minimaal van intervalniveau zijn, wordt een associatiemaat op interval/ratio niveau toegepast. 2. **Verondersteld verband tussen de variabelen:** * Bij een symmetrisch verband zijn asymmetrische associatiematen niet mogelijk. * Bij een asymmetrisch verband zijn symmetrische associatiematen wel mogelijk, hoewel dit niet de volledige asymmetrie van de analyse benut. Binnen Statistiek 1 ligt de focus op symmetrische associatiematen op verschillende meetniveaus. ### 1.2 De richting van een verband In tegenstelling tot maten op nominaal niveau, die enkel de sterkte van een verband aangeven, duiden maten op ordinaal niveau zowel de sterkte als de richting van een verband aan. #### 1.2.1 Sterkte en richting * **Sterkte van een verband:** Geeft de mate van samenhang aan, variërend van geen verband tot een perfect verband. * **Richting van een verband:** Kan positief of negatief zijn. * **Positief verband:** Hogere waarden van de ene variabele gaan samen met hogere waarden van de andere variabele (hoog-hoog en laag-laag). * **Negatief verband:** Hogere waarden van de ene variabele gaan samen met lagere waarden van de andere variabele (laag-hoog en hoog-laag). Bij nominale variabelen is er geen rangordening, waardoor het niet mogelijk is om te spreken van 'hogere' of 'lagere' waarden en dus ook niet over de richting van het verband. #### 1.2.2 Oefeningen richting van een verband * **Oefening 1:** * TV/PC en beweging: negatief verband. * TV/PC en BMI: positief verband. * **Oefening 2:** Verwachtingen over positieve/negatieve samenhang: * Pestgedrag: Vaak negatief samenhangend met slaapkwaliteit en positief met eenzaamheid en faalangst. * Slaapkwaliteit: Vaak positief samenhangend met pestgedrag (negatief) en negatief met eenzaamheid en faalangst. * Eenzaamheid: Vaak positief samenhangend met pestgedrag en faalangst, en negatief met slaapkwaliteit. * Faalangst: Vaak positief samenhangend met pestgedrag en eenzaamheid, en negatief met slaapkwaliteit. ### 1.3 Samenhang onderzoeken op ordinaal niveau Op ordinaal niveau kan de samenhang tussen variabelen op verschillende manieren worden onderzocht. #### 1.3.1 Eerste indicatie via de kruistabel Een eerste, voorzichtige indicatie van het verband kan worden verkregen aan de hand van een kruistabel. Door kolom- of rijpercentages te analyseren, kan men nagaan of de verdeling van de ene variabele verschilt binnen de categorieën van de andere variabele. Een verschil tussen de marginale verdelingen van de kolompercentages duidt op samenhang. * **Voorbeeld vraagstelling:** Hoe vaak heeft u ruzie met uw partner? versus Hoe vaak hebt u overwogen de relatie te beëindigen? Als de marginale verdeling van de kolompercentages verschilt (bijvoorbeeld 34.13% ≠ 72.55% ≠ 10.53% ≠ 7.14%), duidt dit op samenhang. Bovendien kunnen celpercentages in een kruistabel een eerste inzicht geven in de richting van het verband. Een positief verband wordt gekenmerkt doordat hogere waarden op de ene variabele samengaan met hogere waarden op de andere variabele. #### 1.3.2 Definitieve conclusie met associatiematen Voor een definitieve en betrouwbaardere conclusie over de samenhang wordt een geschikte associatiemaat berekend. ##### 1.3.2.1 Associatiematen op ordinaal niveau Op ordinaal niveau kunnen diverse maten worden berekend. > **Tip:** Raadpleeg de kennisclip van vorig academiejaar op Blackboard voor gedetailleerde berekeningsstappen van deze maten. ##### 1.3.2.2 Omgaan met gelijke waarden (rangnummers) Wanneer meerdere respondenten dezelfde waarde hebben (bijvoorbeeld bij IQ-scores), wordt het gemiddelde van de rangnummers toegekend aan deze respondenten. * **Voorbeeld:** Sarah en Mo scoren 111 en staan daarmee op een gedeelde 2e en 3e plaats. Cindy, Grace en Ruth scoren 103 en staan daarmee op een gedeelde 5e, 6e en 7e plaats. ##### 1.3.2.3 Interpretatie van associatiematen De interpretatie van de berekende associatiemaat gebeurt op basis van twee componenten: * **Sterkte:** Wordt afgeleid uit de numerieke waarde van de maat: * 0: geen verband * 0.01 – 0.10: Zeer zwak verband * 0.11 – 0.30: Zwak verband * 0.31 – 0.50: Medium verband * 0.51 – 0.80: Sterk verband * 0.81 – 0.99: Zeer sterk verband * 1: Perfect verband * **Richting:** Wordt afgeleid uit het teken van de maat: * Een negatieve maat duidt op een negatieve samenhang. * Een positieve maat duidt op een positieve samenhang. * Een maat van 0 duidt op geen samenhang. > **Belangrijk:** De interpretatierichtlijnen voor de sterkte en richting van het verband moeten vanbuiten geleerd worden. * **Voorbeeld interpretatie:** Een berekende maat van 0.65 duidt op een positieve sterke samenhang. --- # Het onderzoeken van samenhang op ordinaal niveau met kruistabellen Dit gedeelte legt uit hoe een eerste indicatie van de samenhang tussen ordinale variabelen verkregen kan worden met behulp van kruistabellen, inclusief de interpretatie van kolompercentages en celpercentages. ### 2.1 Introductie tot associatiematen Associatiematen geven aan of er een samenhang (of verband) bestaat tussen twee variabelen. De keuze voor de juiste associatiemaat hangt af van het meetniveau van de variabelen en het veronderstelde verband (symmetrisch of asymmetrisch). Voor statistiek 1 ligt de focus op symmetrische associatiematen op verschillende meetniveaus. #### 2.1.1 Symmetrische versus asymmetrische associatiematen * **Symmetrische verbanden:** Hierbij maakt het niet uit welke variabele als onafhankelijk en welke als afhankelijk wordt beschouwd. De associatiemaat berekent de sterkte van de relatie tussen de twee variabelen. * **Asymmetrische verbanden:** Hierbij wordt wel een onderscheid gemaakt tussen een onafhankelijke en een afhankelijke variabele. Asymmetrische associatiematen zijn niet mogelijk als minstens één variabele nominaal is. Als beide variabelen minimaal interval zijn, zijn asymmetrische associatiematen wel mogelijk, maar het gebruik ervan kan betekenen dat men de asymmetrie in de analyse niet ten volle benut. #### 2.1.2 Richting van een verband In tegenstelling tot maten op nominaal niveau, die enkel de sterkte van een verband aangeven, duiden maten op ordinaal niveau naast de sterkte ook de richting van een verband aan: * **Positief verband:** Hogere waarden van de ene variabele gaan samen met hogere waarden van de andere variabele (hoog-hoog, laag-laag). * **Negatief verband:** Hogere waarden van de ene variabele gaan samen met lagere waarden van de andere variabele (laag-hoog, hoog-laag). ### 2.2 Samenhang onderzoeken op ordinaal niveau Op ordinaal niveau kan samenhang op verschillende manieren worden onderzocht. Een eerste, voorzichtige indicatie van het verband kan worden verkregen met behulp van kruistabellen. Voor een definitieve en meer betrouwbare conclusie is het berekenen van een gepaste associatiemaat noodzakelijk. #### 2.2.1 Een eerste indicatie met kruistabellen Kruistabellen, in combinatie met kolom- of rijpercentages, kunnen een eerste indruk geven van een mogelijke samenhang tussen twee ordinale variabelen. * **Samenhang vaststellen:** Er is sprake van samenhang als de verdeling van de ene variabele significant verschilt binnen de categorieën van de andere variabele. Dit kan worden waargenomen wanneer de marginale verdelingen van de kolompercentages niet gelijk zijn. > **Tip:** Als de kolompercentages binnen elke kolom sterk van elkaar verschillen, duidt dit op een mogelijke samenhang. * **Richting van het verband met celpercentages:** De celpercentages in een kruistabel kunnen een eerste indicatie geven van de richting van het verband. > **Voorbeeld:** Stel, we onderzoeken de samenhang tussen "Frequentie ruzie met partner" en "Overwegen relatie te beëindigen". Als in de cel waar "vaak ruzie" en "vaak overwegen relatie te beëindigen" zich bevinden, een relatief hoog celpercentage wordt gevonden, kan dit wijzen op een positief verband (meer ruzie hangt samen met vaker overwegen de relatie te beëindigen). #### 2.2.2 Interpretatie van kolom- en celpercentages * **Kolompercentages:** Deze laten zien hoe de ene variabele verdeeld is binnen de categorieën van de andere variabele. Als deze verdelingen significant van elkaar verschillen, is er waarschijnlijk sprake van samenhang. > **Voorbeeld:** Als 70% van de respondenten die "vaak ruzie" aangeven ook "vaak relatie overwegen te beëindigen", terwijl slechts 10% van de respondenten die "nooit ruzie" aangeven dit doen, is er een duidelijk verschil in verdeling en dus een mogelijke samenhang. * **Celpercentages:** Deze geven het percentage aan van de totale steekproef dat in een specifieke cel van de kruistabel valt. Ze kunnen helpen bij het inschatten van de sterkte en richting van het verband. #### 2.2.3 Associatiematen op ordinaal niveau Voor een definitieve conclusie over de samenhang op ordinaal niveau, worden specifieke associatiematen berekend. Deze maten kwantificeren zowel de sterkte als de richting van het verband. * **Sterkte van het verband:** De sterkte wordt beoordeeld aan de hand van de numerieke waarde van de associatiemaat: * $0$: geen verband * $0.01$ – $0.10$: zeer zwak verband * $0.11$ – $0.30$: zwak verband * $0.31$ – $0.50$: medium verband * $0.51$ – $0.80$: sterk verband * $0.81$ – $0.99$: zeer sterk verband * $1$: perfect verband * **Richting van het verband:** De richting wordt bepaald door het teken van de associatiemaat: * Een positief teken ($+$) duidt op een positieve samenhang. * Een negatief teken ($-$) duidt op een negatieve samenhang. * Een waarde van $0$ duidt op geen samenhang. > **Tip:** De interpretatierichtlijnen voor de sterkte van het verband op ordinaal niveau moeten vanbuiten geleerd worden. #### 2.2.4 Omgaan met gelijke waarden (ties) Bij het berekenen van associatiematen op ordinaal niveau, kan het voorkomen dat meerdere respondenten dezelfde waarde hebben op een variabele. In dergelijke gevallen krijgen de respondenten met dezelfde waarde het gemiddelde van hun rangnummers toegewezen. > **Voorbeeld:** Als twee respondenten de score $111$ hebben en daarmee op een gedeelde $2^{e}$ en $3^{e}$ plaats staan, krijgen ze beiden het gemiddelde rangnummer $\frac{2+3}{2} = 2.5$. > Als drie respondenten de score $103$ hebben en daarmee op een gedeelde $5^{e}$, $6^{e}$ en $7^{e}$ plaats staan, krijgen ze allen het gemiddelde rangnummer $\frac{5+6+7}{3} = 6$. Het is aan te raden de specifieke kennisclips en het formularium te raadplegen voor de precieze berekeningsstappen van de associatiematen op ordinaal niveau. Bij alle berekeningen wordt afgerond tot twee cijfers na de komma. --- # Associatiematen op ordinaal niveau: sterkte en richting Dit gedeelte behandelt de berekening en interpretatie van associatiematen voor variabelen op ordinaal niveau, waarbij zowel de sterkte als de richting van het verband worden geanalyseerd, inclusief de omgang met gelijke scores. ### 3.1 Inleiding tot associatiematen Associatiematen, ook wel samenhangmaten genoemd, geven aan of er een verband bestaat tussen twee variabelen. De keuze van de juiste associatiemaat hangt af van het meetniveau van de variabelen en het veronderstelde verband. Voor de analyse binnen Statistiek 1 focussen we op symmetrische associatiematen. #### 3.1.1 Het kiezen van de geschikte associatiemaat De keuze voor een specifieke associatiemaat is gebaseerd op twee criteria: * **Meetniveau van de variabelen:** * Indien minstens één variabele nominaal is, wordt een associatiemaat op nominaal niveau gebruikt. * Als één variabele ordinaal is en de andere niet-nominaal, wordt een associatiemaat op ordinaal niveau toegepast. * Wanneer beide variabelen minimaal intervalniveau hebben, worden associatiematen op interval- of rationiveau gebruikt. * **Verondersteld verband tussen de variabelen:** * Bij een symmetrisch verband zijn enkel symmetrische associatiematen mogelijk. * Bij een asymmetrisch verband zijn zowel symmetrische als asymmetrische associatiematen mogelijk. Binnen Statistiek 1 wordt echter gefocust op symmetrische maten. ### 3.2 De richting van een verband Associatiematen op ordinaal niveau bieden, in tegenstelling tot maten op nominaal niveau, informatie over zowel de sterkte als de richting van een verband. * **Sterkte van een verband:** Geeft de mate van samenhang aan, variërend van geen verband tot een perfect verband. * **Richting van een verband:** * **Positief verband:** Hogere waarden van de ene variabele gaan samen met hogere waarden van de andere variabele (hoog-hoog en laag-laag). * **Negatief verband:** Hogere waarden van de ene variabele gaan samen met lagere waarden van de andere variabele (laag-hoog en hoog-laag). Bij nominale variabelen is er geen rangordening, waardoor de begrippen "hogere" en "lagere" waarden niet van toepassing zijn en er geen uitspraak gedaan kan worden over de richting van het verband. ### 3.3 Samenhang onderzoeken op ordinaal niveau Op ordinaal niveau kan samenhang op verschillende manieren worden onderzocht, beginnend met een voorlopige analyse van een kruistabel en gevolgd door de berekening van een specifieke associatiemaat voor een meer betrouwbare conclusie. #### 3.3.1 Samenhang onderzoeken a.d.h.v. de kruistabel Een eerste indicatie van de samenhang kan verkregen worden door de kolom- of rijpercentages in een kruistabel te analyseren. Er is sprake van samenhang wanneer de verdeling van de ene variabele significant verschilt binnen de categorieën van de andere variabele, wat tot uiting komt in verschillen tussen de marginale verdelingen van de kolom- of rijpercentages. > **Voorbeeld:** Als de kolompercentages van de variabele Y sterk verschillen binnen de categorieën van variabele X, duidt dit op samenhang. Bijvoorbeeld, als 34.13% in de ene kolom anders is dan 72.55% in een andere kolom, is er sprake van samenhang. Celpercentages in een kruistabel kunnen tevens een eerste indicatie geven van de richting van het verband. Een positief verband is zichtbaar wanneer hogere waarden op beide variabelen samengaan. #### 3.3.2 Overzicht associatiematen op ordinaal niveau Voor een definitieve en betrouwbare conclusie over de samenhang op ordinaal niveau, wordt een specifieke associatiemaat berekend. Deze maten geven zowel de sterkte als de richting aan. ##### 3.3.2.1 Omgaan met gelijke scores Bij variabelen op ordinaal niveau kan het voorkomen dat meerdere respondenten dezelfde score behalen. Dit vereist een specifieke aanpak bij het toekennen van rangnummers: * Wanneer meerdere respondenten dezelfde waarde hebben, wordt aan hen het gemiddelde van de toe te wijzen rangnummers toegekend. * **Voorbeeld:** Als Sarah en Mo beiden de score 111 hebben, en dit hen respectievelijk de 2e en 3e plaats zou geven, krijgen zij beiden het gemiddelde rangnummer $(2+3)/2 = 2.5$. * **Voorbeeld:** Als Cindy, Grace en Ruth allen de score 103 hebben, en dit hen respectievelijk de 5e, 6e en 7e plaats zou geven, krijgen zij allen het gemiddelde rangnummer $(5+6+7)/3 = 6$. ##### 3.3.2.2 Interpretatie van de associatiemaat De berekende associatiemaat op ordinaal niveau wordt geïnterpreteerd op basis van zijn numerieke waarde en teken: * **Sterkte (het getal):** * $0$: Geen verband * $0.01$ – $0.10$: Zeer zwak verband * $0.11$ – $0.30$: Zwak verband * $0.31$ – $0.50$: Medium verband * $0.51$ – $0.80$: Sterk verband * $0.81$ – $0.99$: Zeer sterk verband * $1$: Perfect verband * **Richting (het teken):** * Een negatief teken ($−$) duidt op een negatieve samenhang. * Een positief teken ($+$) duidt op een positieve samenhang. * Een teken van $0$ duidt op geen samenhang. > **Tip:** De interpretatierichtlijnen voor zowel de sterkte als de richting van het verband moeten gememoriseerd worden voor het examen. > **Tip:** Gebruik het formularium dat beschikbaar is op het examen. Het is essentieel om te weten hoe je hiermee kunt werken, aangezien de formules niet uit het hoofd geleerd hoeven te worden. Rond bij berekeningen altijd af tot twee cijfers na de komma. Kleine verschillen in de uitkomst door afrondingen tijdens tussenstappen worden op het examen meegenomen in een foutenmarge. > **Voorbeeld van een interpretatie:** Een berekende maat van $0.65$ duidt op een **sterke positieve samenhang**. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Associatiemaat | Een maat die aangeeft of er sprake is van samenhang tussen twee variabelen. Associatiematen worden ook wel samenhangmaten genoemd en helpen bij het kwantificeren van de relatie tussen variabelen. | | Meetniveau | De schaal waarop een variabele gemeten wordt, wat bepaalt welke statistische analyses mogelijk zijn. De belangrijkste meetniveaus zijn nominaal, ordinaal, interval en ratio. | | Nominaal niveau | Een meetniveau waarbij variabelen worden ingedeeld in categorieën zonder inherente volgorde of rangorde. Voorbeelden zijn geslacht of haarkleur. | | Ordinaal niveau | Een meetniveau waarbij variabelen worden ingedeeld in categorieën die een logische volgorde hebben, maar de afstanden tussen de categorieën zijn niet noodzakelijk gelijk. Voorbeelden zijn opleidingsniveau of tevredenheidsschaal. | | Intervalniveau | Een meetniveau waarbij variabelen een geordende schaal hebben met gelijke afstanden tussen opeenvolgende punten. Er is echter geen absoluut nulpunt. Een voorbeeld is temperatuur in Celsius. | | Rationiveau | Een meetniveau waarbij variabelen een geordende schaal hebben met gelijke afstanden en een absoluut nulpunt. Hierdoor zijn alle rekenkundige bewerkingen mogelijk. Een voorbeeld is lengte of gewicht. | | Kruistabel | Een tabel die de frequentieverdeling van twee of meer categorische variabelen weergeeft. Het helpt bij het visueel inspecteren van de relatie tussen variabelen door de frequenties in de cellen te tonen. | | Kolompercentages | Percentages berekend ten opzichte van het totaal van een kolom in een kruistabel. Deze worden gebruikt om de verdeling van de ene variabele te vergelijken binnen de categorieën van de andere variabele. | | Celpercentages | Percentages berekend ten opzichte van het totaal aantal observaties in de gehele kruistabel. Deze geven de proportie van het totale monster weer die tot een specifieke cel behoort. | | Symmetrisch verband | Een verband tussen twee variabelen waarbij de relatie in beide richtingen gelijk is. De analyse verandert niet, ongeacht welke variabele als afhankelijk of onafhankelijk wordt beschouwd. | | Asymmetrisch verband | Een verband tussen twee variabelen waarbij de ene variabele de andere beïnvloedt of voorspelt. De analyse is afhankelijk van welke variabele als afhankelijk en welke als onafhankelijk wordt beschouwd. | | Positief verband | Een verband waarbij hogere waarden van de ene variabele de neiging hebben samen te gaan met hogere waarden van de andere variabele, en lagere waarden samen met lagere waarden. | | Negatief verband | Een verband waarbij hogere waarden van de ene variabele de neiging hebben samen te gaan met lagere waarden van de andere variabele, en vice versa. |

# Concepten van kansen, universum en gebeurtenissen Dit onderdeel introduceert de fundamentele elementen van kansrekening: experimenten, het universum van mogelijke uitkomsten en de definitie van gebeurtenissen als specifieke deelverzamelingen van dit universum [4](#page=4). ### 1.1 Experimenten Een experiment is een proces dat wordt uitgevoerd om situaties te onderzoeken die aan het toeval onderhevig zijn. Voorbeelden van experimenten zijn [4](#page=4): * Het gooien van een dobbelsteen [4](#page=4). * Het gooien van twee dobbelstenen [4](#page=4). * Het tellen van het aantal patiënten met rugpijn bij een dokter op een dag [4](#page=4). * Het kiezen van een getal tussen 0 en 1 [4](#page=4). * Het meten van de bloeddruk van een patiënt [4](#page=4). ### 1.2 Het universum van uitkomsten Het universum, aangeduid met het symbool $\Omega$ (Omega), is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een gegeven experiment [4](#page=4). **Voorbeelden van universa:** * Bij het gooien van een dobbelsteen is het universum $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ [5](#page=5). * Bij het gooien van twee dobbelstenen is het universum $\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), \dots, (6,6) \}$ [5](#page=5). * Bij het tellen van patiënten met rugpijn op een dag is het universum $\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}$. Dit is een oneindige verzameling [5](#page=5). * Bij het kiezen van een getal tussen 0 en 1 is het universum $\Omega = $. Dit is een continu interval [1](#page=1) [5](#page=5). ### 1.3 Gebeurtenissen Een gebeurtenis, aangeduid met een hoofdletter zoals $A$, is een deelverzameling van het universum $\Omega$ waarin men geïnteresseerd is. Met andere woorden, een gebeurtenis bestaat uit één of meerdere specifieke uitkomsten van het experiment [5](#page=5). **Voorbeelden van gebeurtenissen:** * Bij het gooien van een dobbelsteen, de gebeurtenis $A$ "een even getal gooien" is $A = \{2, 4, 6 \}$ [5](#page=5). * Bij het gooien van twee dobbelstenen, de gebeurtenis $A$ "de som van de worpen is 12" is $A = \{(6,6) \}$ [5](#page=5). * Bij het tellen van patiënten met rugpijn, de gebeurtenis $A$ "5 of minder patiënten" is $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ [5](#page=5). * Bij het kiezen van een getal tussen 0 en 1, de gebeurtenis $A$ "kleiner dan een half" is $A = [0, 0.5[$ [5](#page=5). #### 1.3.1 De complementaire gebeurtenis Het complement van een gebeurtenis $A$, aangeduid met $A^c$ of $\Omega^c$, is de verzameling van alle uitkomsten in het universum $\Omega$ die **niet** tot gebeurtenis $A$ behoren. Formeel wordt dit geschreven als $A^c = \Omega \setminus A$ [6](#page=6). * Als een gebeurtenis $A$ het volledige universum omvat ($A = \Omega$), dan is het complement de lege verzameling: $A^c = \Omega^c = \emptyset$ [6](#page=6). > **Tip:** Denk aan het complement als "alles behalve A". Als $A$ is "een even getal gooien" met een dobbelsteen, dan is $A^c$ "een oneven getal gooien". #### 1.3.2 Doorsnede en vereniging van twee gebeurtenissen Gegeven twee gebeurtenissen, $A_1$ en $A_2$, binnen hetzelfde universum $\Omega$, kunnen we nieuwe gebeurtenissen construeren: * **Doorsnede ($A_1 \cap A_2$):** De doorsnede van $A_1$ en $A_2$ is de deelverzameling van uitkomsten waarbij **beide** gebeurtenissen tegelijkertijd optreden [7](#page=7). * **Voorbeeld:** Als $A_1$ "5 of minder rugpijnpatiënten" is en $A_2$ "minstens 3 en ten hoogste 8 rugpijnpatiënten", dan is de doorsnede $A_1 \cap A_2$ de gebeurtenis dat er precies 3, 4 of 5 patiënten zijn: $\{3, 4, 5 \}$ [7](#page=7). * **Vereniging ($A_1 \cup A_2$):** De vereniging van $A_1$ en $A_2$ is de deelverzameling van uitkomsten waarbij **ten minste één** van de gebeurtenissen optreedt (dus $A_1$ of $A_2$ of beide) [7](#page=7). * **Voorbeeld:** Met dezelfde gebeurtenissen $A_1$ en $A_2$ als hierboven, is de vereniging $A_1 \cup A_2$ de gebeurtenis dat er 0 tot en met 8 patiënten zijn: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ [7](#page=7). > **Tip:** Visualiseer de doorsnede als de overlappende delen van twee cirkels in een Venn-diagram, en de vereniging als het totale gebied dat door beide cirkels wordt bedekt. Het concept van gebeurtenissen als deelverzamelingen van het universum is cruciaal voor het definiëren en berekenen van kansen. $A \subset \Omega$ [6](#page=6). $A^c = \Omega \setminus A$ [6](#page=6). $A^c = \Omega^c = \emptyset$ [6](#page=6). Voorbeelden met diagrammen zijn te vinden op en [6](#page=6) [7](#page=7). --- # Het intuïtieve begrip en basiseigenschappen van kansen Dit deel verkent de intuïtieve betekenis van kans en de fundamentele regels die kansen beheersen. ### 2.1 Wat is een kans? Intuïtieve benaderingen De intuïtieve definitie van kans kan op verschillende manieren worden benaderd, gebaseerd op de aard van het experiment. #### 2.1.1 De klassieke benadering: verhouding van uitkomsten Bij experimenten waarbij alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, kan de kans op een gebeurtenis worden berekend als de verhouding van het aantal gunstige uitkomsten tot het totale aantal mogelijke uitkomsten [10](#page=10). Beschouw het gooien van een dobbelsteen als een eenvoudig experiment met een uitkomstenuniversum $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Als we de kans willen weten om een getal te gooien dat deelbaar is door 3 (gebeurtenis A = {3, 6}), dan is het aantal gunstige uitkomsten 2 en het totale aantal mogelijke uitkomsten 6. De kans P(A) wordt dan berekend als [9](#page=9): $$P(A) = \frac{\text{aantal gunstige gevallen voor A}}{\text{aantal mogelijke gevallen}}$$ Voor A = {3, 6} geldt: $$P(A) = \frac{2}{6}$$ [10](#page=10). #### 2.1.2 De frequentistische benadering: limiet van relatieve frequentie Wanneer uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn, of wanneer het aantal mogelijke uitkomsten te groot is om direct te tellen, biedt de frequentistische benadering een alternatief. Hierbij wordt een experiment een groot aantal keren herhaald en wordt de kans benaderd door de relatieve frequentie waarmee een gebeurtenis zich voordoet [11](#page=11). Als een experiment met een dobbelsteen $n$ keer wordt herhaald en gebeurtenis A zich $n(A)$ keer voordoet, dan benadert de kans op A de volgende limiet: $$P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n}$$ [11](#page=11). Dit betekent dat naarmate het aantal herhalingen $n$ toeneemt, de verhouding $\frac{n(A)}{n}$ steeds dichter bij de werkelijke kans op gebeurtenis A komt [11](#page=11). > **Tip:** De klassieke benadering is nuttig voor theoretische berekeningen bij eerlijke kansmodellen, terwijl de frequentistische benadering meer praktisch is voor het schatten van kansen in reële situaties waar eerlijkheid niet gegarandeerd is. ### 2.2 Basiseigenschappen van kansen Kansen volgen specifieke wiskundige regels die hun gedrag bepalen. #### 2.2.1 De range van kansen De kans op elke gebeurtenis A, aangeduid als $P(A)$, ligt altijd tussen 0 en 1, inclusief deze grenzen [16](#page=16). * $P(A) = 0$ betekent dat de gebeurtenis onmogelijk is. Dit is bijvoorbeeld het geval bij het gooien van een dobbelsteen en het verkrijgen van een getal dat niet tussen 1 en 6 ligt ($A = \emptyset$) [16](#page=16). * $P(A) = 1$ betekent dat de gebeurtenis zeker is. Dit is het geval bij het gooien van een dobbelsteen en het verkrijgen van een getal tussen 1 en 6 ($A = \Omega$) [16](#page=16). Kansen kunnen ook worden uitgedrukt als percentages, variërend van 0% tot 100% [16](#page=16). #### 2.2.2 Optelregels voor kansen De manier waarop kansen worden opgeteld, hangt af van of de gebeurtenissen elkaar uitsluiten (disjunct zijn) of niet. ##### 2.2.2.1 Disjuncte gebeurtenissen Twee gebeurtenissen $A_1$ en $A_2$ zijn disjunct als ze niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, wat betekent dat hun doorsnede leeg is ($A_1 \cap A_2 = \emptyset$). Voor disjuncte gebeurtenissen geldt de volgende optelregel [17](#page=17): $$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$$ [17](#page=17). * **Voorbeeld:** Gooien met een dobbelsteen. Gebeurtenis $A_1$: een even aantal ogen gooien ($A_1 = \{2, 4, 6\}$) en gebeurtenis $A_2$: een 5 gooien ($A_2 = \{5\}$). Deze gebeurtenissen zijn disjunct. De kans om een even getal of een 5 te gooien is: $$P(A_1 \cup A_2) = P(\text{even of } 5) = P(\text{even}) + P = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$$ [17](#page=17) [5](#page=5). ##### 2.2.2.2 Niet-disjuncte gebeurtenissen Als gebeurtenissen $A_1$ en $A_2$ niet disjunct zijn, hebben ze een niet-lege doorsnede ($A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$), wat betekent dat ze wel tegelijkertijd kunnen plaatsvinden. De optelregel wordt dan uitgebreid met een aftrekterm voor de overlappende kans: $$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$$ [18](#page=18). * **Voorbeeld:** Gooien met een dobbelsteen. Gebeurtenis $A_1$: een even aantal ogen gooien ($A_1 = \{2, 4, 6\}$) en gebeurtenis $A_2$: minder dan 3 ogen gooien ($A_2 = \{1, 2\}$). De doorsnede is $A_1 \cap A_2 = \{2\}$. De kans om een even getal of minder dan 3 te gooien is: $$P(A_1 \cup A_2) = P(\text{even of } < 3) = P(\text{even}) + P(<3) - P(\text{even en } <3)$$ $$P(A_1 \cup A_2) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$$ [18](#page=18). #### 2.2.3 Monotoniciteit van kansen Als een gebeurtenis $A_1$ volledig is vervat in een andere gebeurtenis $A_2$ (genoteerd als $A_1 \subseteq A_2$), dan is de kans op $A_1$ kleiner dan of gelijk aan de kans op $A_2$ [19](#page=19). * **Voorbeeld:** Gooien met een dobbelsteen. Gebeurtenis $A_1$: een 2 of een 6 gooien ($A_1 = \{2, 6\}$) en gebeurtenis $A_2$: een even aantal ogen gooien ($A_2 = \{2, 4, 6\}$). Hierbij geldt $A_1 \subseteq A_2$. $$P(A_1) = \frac{2}{6}$$ en $$P(A_2) = \frac{3}{6}$$ Duidelijk is dat $P(A_1) \le P(A_2)$ [19](#page=19). #### 2.2.4 De kans op het complement van een gebeurtenis Het complement van een gebeurtenis A, genoteerd als $A^c$, omvat alle uitkomsten in het universum $\Omega$ die niet in A zitten. De kans op het complement is gelijk aan 1 min de kans op de gebeurtenis zelf [20](#page=20). $$P(A^c) = 1 - P(A)$$ [20](#page=20). * **Voorbeeld:** Gooien met een dobbelsteen. Gebeurtenis A: een 1 of een 2 gooien ($A = \{1, 2\}$). Het complement $A^c$ is dan het gooien van een 3, 4, 5 of 6 ($A^c = \{3, 4, 5, 6\}$). $$P(A) = \frac{2}{6}$$ $$P(A^c) = \frac{4}{6} = 1 - \frac{2}{6} = 1 - P(A)$$ [20](#page=20). > **Tip:** Het concept van het complement is vaak handig om de kans op "iets anders dan" een bepaalde gebeurtenis te berekenen, wat soms eenvoudiger is dan direct de kans op die "iets anders dan" gebeurtenissen te berekenen. --- # Voorwaardelijke kans en de regel van Bayes Dit onderdeel introduceert het concept van voorwaardelijke kans en de toepassing ervan met de regel van Bayes en de wet van de totale kans, met een focus op diagnostische toepassingen [21](#page=21). ### 3.1 Voorwaardelijke kans Voorwaardelijke kans, genoteerd als $P(A|B)$, vertegenwoordigt de kans op gebeurtenis A, gegeven dat gebeurtenis B reeds is opgetreden [28](#page=28). #### 3.1.1 Definitie van voorwaardelijke kans De definitie van voorwaardelijke kans luidt als volgt [28](#page=28): $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ waarbij $P(A \cap B)$ de kans is dat zowel gebeurtenis A als gebeurtenis B tegelijkertijd optreden, en dit geldt indien $P(B) > 0$ [28](#page=28). #### 3.1.2 Rekenregels voor kansen Door de definitie van voorwaardelijke kans om te vormen, kunnen we de volgende rekenregels voor kansen afleiden [29](#page=29): * $P(A \cap B) = P(A|B) P(B)$ * $P(A \cap B) = P(B|A) P(A)$ * $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ * $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ > **Tip:** Deze regels zijn fundamenteel voor het berekenen van kansen in complexere scenario's en vormen de basis voor de wet van de totale kans en de regel van Bayes. #### 3.1.3 Voorbeeld: Twee dobbelstenen Bij het gooien van twee dobbelstenen na elkaar is het universum $\Omega$ van alle mogelijke uitkomsten 36, en elke uitkomst heeft een kans van $\frac{1}{36}$ [22](#page=22). Beschouw de gebeurtenis A: de som van de ogen is 10. De kans hierop is $P(A) = \frac{3}{36}$ [24](#page=24). Beschouw de gebeurtenis B: de eerste dobbelsteen toont meer ogen dan de tweede. De kans hierop is $P(B) = \frac{15}{36}$ [26](#page=26). De voorwaardelijke kans $P(A|B)$, de kans dat de som van de ogen 10 is, gegeven dat de eerste dobbelsteen meer ogen toont dan de tweede, is $\frac{1}{15}$ [27](#page=27). ### 3.2 Wet van de totale kans De wet van de totale kans maakt het mogelijk de kans op een gebeurtenis te berekenen door deze te partitioneren op basis van een reeks disjuncte gebeurtenissen die het gehele universum omvatten. #### 3.2.1 Algemene formulering Indien $\Omega = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ en $A_i \cap A_j = \emptyset$ voor alle $i \neq j$, dan geldt voor elke gebeurtenis B [33](#page=33): $$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)P(A_i)$$ #### 3.2.2 Voorbeeld: Mexicaanse griep vaccin Bij het testen van een vaccin voor de Mexicaanse griep bij kinderen en jongeren werden de volgende gegevens verzameld: * Kinderen van 0,5 tot 3 jaar (groep 1): 21% hoofdpijn ($P(H|g1) = 0.21$). * Kinderen van 3 tot 12 jaar (groep 2): 16% hoofdpijn ($P(H|g2) = 0.16$). * Jongeren van 12 tot 18 jaar (groep 3): 15% hoofdpijn ($P(H|g3) = 0.15$). De verdeling van de groepen in de onderzochte populatie is: * Groep 1: 12% ($P(g1) = 0.12$). * Groep 2: Onbekend uit de tekst, maar uit de rest van de informatie kan worden afgeleid dat $P(g2) = 1 - P(g1) - P(g3) = 1 - 0.12 - 0.40 = 0.48$. * Groep 3: 40% ($P(g3) = 0.40$). De kans op hoofdpijn bij een willekeurig kind/jongere is $P(H)$: $P(H) = P(H|g1)P(g1) + P(H|g2)P(g2) + P(H|g3)P(g3)$ [32](#page=32). $P(H) = (0.21 \times 0.12) + (0.16 \times 0.48) + (0.15 \times 0.40) = 0.0252 + 0.0768 + 0.06 = 0.162$ [32](#page=32). Dus, 16.2% van de kinderen/jongeren ervaart hoofdpijn [32](#page=32). De kans dat iemand die hoofdpijn kreeg, tussen 12 en 18 jaar oud is, is $P(g3|H)$. Dit wordt berekend met de regel van Bayes, die later in detail wordt besproken. > **Tip:** De groepen (kinderen/jongeren van verschillende leeftijden) vormen een partitie van het universum. De wet van de totale kans laat ons toe de totale kans op hoofdpijn te berekenen door de kansen binnen elke groep te middelen, gewogen naar de grootte van elke groep. ### 3.3 Regel van Bayes De regel van Bayes is een krachtige methode om de kans van een gebeurtenis te actualiseren wanneer nieuwe informatie beschikbaar komt. Het stelt ons in staat om "omgekeerde" conditionele kansen te berekenen. #### 3.3.1 Algemene formulering Als $\Omega = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ met $A_i \cap A_j = \emptyset$ voor alle $i \neq j$, en B is een gebeurtenis met $P(B) > 0$, dan geldt voor $i = 1, 2, \dots, n$ [35](#page=35): $$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) P(A_i)}{\sum_{k=1}^{n} P(B|A_k) P(A_k)}$$ De noemer is de wet van de totale kans voor gebeurtenis B [35](#page=35). #### 3.3.2 Voorbeeld: Mexicaanse griep vaccin (vervolg) Om de kans te berekenen dat iemand die hoofdpijn kreeg, tussen 12 en 18 jaar oud is ($P(g3|H)$): $$P(g3|H) = \frac{P(H|g3) P(g3)}{P(H)}$$ [34](#page=34). $$P(g3|H) = \frac{0.15 \times 0.40}{0.162} = \frac{0.06}{0.162} \approx 0.3704$$ [34](#page=34). Dus, ongeveer 37.04% van de mensen die hoofdpijn kregen, behoort tot de groep van 12 tot 18 jaar [34](#page=34). #### 3.3.3 Toepassing: diagnostiek De regel van Bayes is cruciaal bij het evalueren van medische tests. We willen niet alleen de sensitiviteit ($P(T+|Z+)$) en specificiteit ($P(T-|Z-)$) van een test weten, maar ook de voorspellende waarde van een positieve test ($P(Z+|T+)$) en een negatieve test ($P(Z-|T-)$) [36](#page=36) [37](#page=37). De voorspellende waarden kunnen worden berekend met de regel van Bayes en de wet van de totale kans [38](#page=38): * **Voorspellende waarde van een positieve test:** $$P(Z+|T+) = \frac{P(T+|Z+) P(Z+)}{P(T+)} = \frac{P(T+|Z+) P(Z+)}{P(T+|Z+) P(Z+) + P(T+|Z−) P(Z−)}$$ [38](#page=38). * **Voorspellende waarde van een negatieve test:** $$P(Z−|T−) = \frac{P(T−|Z−) P(Z−)}{P(T−)} = \frac{P(T−|Z−) P(Z−)}{P(T−|Z−) P(Z−) + P(T−|Z+) P(Z+)}$$ [38](#page=38). Hierbij zijn: * $P(T+|Z+)$: Sensitiviteit van de test [36](#page=36). * $P(T−|Z−)$: Specificiteit van de test [36](#page=36). * $P(Z+)$: Prevalentie van de ziekte in de populatie [38](#page=38). * $P(Z−) = 1 - P(Z+)$ [38](#page=38). * $P(T−|Z+) = 1 - P(T+|Z+)$ [38](#page=38). * $P(T+|Z−) = 1 - P(T−|Z−)$ [38](#page=38). ##### 3.3.3.1 Voorbeeld: ELISA test voor HIV Gegeven: * Sensitiviteit: 99.7% ($P(T+|Z+) = 0.997$). * Specificiteit: 98.5% ($P(T-|Z-) = 0.985$). Voor België: * Prevalentie: 0.2% ($P(Z+) = 0.002$). * $P(Z-) = 1 - 0.002 = 0.998$. * $P(T+|Z−) = 1 - P(T−|Z−) = 1 - 0.985 = 0.015$. * $P(T−|Z+) = 1 - P(T+|Z+) = 1 - 0.997 = 0.003$. Voorspellende waarde positieve test in België: $$P(Z+|T+) = \frac{0.997 \times 0.002}{0.997 \times 0.002 + 0.015 \times 0.998} \approx 0.1175$$ [39](#page=39). Voorspellende waarde negatieve test in België: $$P(Z−|T−) = \frac{0.985 \times 0.998}{0.985 \times 0.998 + 0.003 \times 0.002} \approx 0.99999$$ [39](#page=39). Voor Zambia: * Prevalentie: 15.2% ($P(Z+) = 0.152$). * $P(Z-) = 1 - 0.152 = 0.848$. Voorspellende waarde positieve test in Zambia: $$P(Z+|T+) = \frac{0.997 \times 0.152}{0.997 \times 0.152 + 0.015 \times 0.848} \approx 0.9226$$ [39](#page=39). Voorspellende waarde negatieve test in Zambia: $$P(Z−|T−) = \frac{0.985 \times 0.848}{0.985 \times 0.848 + 0.003 \times 0.152} \approx 0.9995$$ [39](#page=39). > **Tip:** De prevalentie van een ziekte in een populatie heeft een significant effect op de voorspellende waarde van een diagnostische test. In populaties met een lage prevalentie kan een positieve testuitslag zelfs bij een zeer nauwkeurige test, nog steeds een relatief lage kans op de daadwerkelijke ziekte betekenen. --- # Onafhankelijkheid van gebeurtenissen en introductie tot toevalsvariabelen Dit deel behandelt het concept van onafhankelijkheid tussen gebeurtenissen en definieert toevalsvariabelen als meetbare uitkomsten die afhankelijk zijn van toeval. ### 4.1 Onafhankelijkheid van gebeurtenissen Onafhankelijkheid van gebeurtenissen in de kansrekening houdt in dat de uitkomst van de ene gebeurtenis geen invloed heeft op de waarschijnlijkheid van de andere gebeurtenis [42](#page=42). #### 4.1.1 Definitie van onafhankelijkheid Twee gebeurtenissen, A1 en A2, worden als onafhankelijk beschouwd als aan een van de volgende equivalente voorwaarden is voldaan [42](#page=42): * De conditionele kans van A1 gegeven A2 is gelijk aan de kans van A1: $P(A1 | A2) = P(A1)$ [42](#page=42). * De kans op de doorsnede van A1 en A2 is gelijk aan het product van hun individuele kansen: $P(A1 \cap A2) = P(A1)P(A2)$ [42](#page=42). * De conditionele kans van A2 gegeven A1 is gelijk aan de kans van A2: $P(A2 | A1) = P(A2)$ [42](#page=42). #### 4.1.2 Illustratie van afhankelijkheid Als de kans op het optreden van een gebeurtenis significant verschilt tussen verschillende groepen, duidt dit op afhankelijkheid. Bijvoorbeeld, als de kans op hoofdpijn na vaccinatie varieert per leeftijdsgroep (0.21 voor groep 1, 0.16 voor groep 2, en 0.15 voor groep 3), is het hebben van hoofdpijn afhankelijk van de leeftijdsgroep [41](#page=41). > **Tip:** De formule $P(A1 \cap A2) = P(A1)P(A2)$ is een krachtige definitie van onafhankelijkheid, omdat deze direct de kans op het gelijktijdig optreden van twee gebeurtenissen koppelt aan hun individuele kansen. ### 4.2 Introductie tot toevalsvariabelen Een toevalsvariabele, ook wel een stochastische variabele genoemd, is een meetbare grootheid waarvan de uitkomst afhankelijk is van toeval en die zich voordoet met een specifieke waarschijnlijkheid [45](#page=45). #### 4.2.1 Notatie en concept Toevalsvariabelen worden meestal aangeduid met hoofdletters, zoals $X$ [45](#page=45). #### 4.2.2 Voorbeelden van toevalsvariabelen * **Experiment:** Willekeurig 100 personen uit een groep kiezen. **Toevalsvariabele $X$:** Het aantal personen met rugpijn in de gekozen groep [46](#page=46). **Voorbeelden van kansen:** $P(X \le 40)$, $P(50 < X < 60)$ [47](#page=47). * **Experiment:** Willekeurig een pasgeboren kind kiezen. **Toevalsvariabele $X$:** De lengte van het kind bij geboorte [46](#page=46). **Voorbeelden van kansen:** $P(X > Q3)$, $P(48 < X \le 50)$ [46](#page=46) [47](#page=47). * **Experiment:** Eén worp met een dobbelsteen. **Toevalsvariabele $X$:** De uitkomst van de worp [47](#page=47). **Voorbeelden van kansen:** $P(X = 6)$, $P(X > 3)$, $P(2 \le X \le 4)$ [47](#page=47). * **Experiment:** Willekeurig een getal kiezen uit het interval [1](#page=1). **Toevalsvariabele $X$:** Het gekozen getal [47](#page=47). **Voorbeelden van kansen:** $P(\frac{1}{4} \le X \le \frac{3}{4})$ [47](#page=47). #### 4.2.3 Classificatie van toevalsvariabelen Toevalsvariabelen kunnen worden onderverdeeld in twee hoofdcategorieën [47](#page=47): * **Discreet:** Variabelen die telbare waarden kunnen aannemen. Dit zijn vaak gehele getallen. * **Continu:** Variabelen die elke waarde binnen een bepaald interval kunnen aannemen. > **Tip:** Begrijpen of een toevalsvariabele discreet of continu is, is cruciaal voor het kiezen van de juiste analysemethoden en het berekenen van kansen. Continue variabelen vereisen vaak integratie om kansen over een bereik te bepalen. --- # Discrete en continue kansverdelingen Dit onderwerp introduceert de concepten van discrete en continue kansverdelingen, inclusief hun definities, eigenschappen en hoe kansen berekend worden voor beide typen. ### 5.1 Discrete kansverdelingen Een discrete toevalsvariabele $X$ kan verschillende, telbare waarden aannemen. De kansverdeling van een discrete toevalsvariabele geeft voor elke mogelijke waarde $k$ van $X$, de bijbehorende kans $P(X=k)$ weer [48](#page=48). #### 5.1.1 Voorwaarden voor een discrete kansverdeling Een discrete kansverdeling moet voldoen aan twee cruciale voorwaarden [48](#page=48): 1. De afzonderlijke kansen voor elke mogelijke waarde van de toevalsvariabele moeten liggen tussen 0 en 1, inclusief de grenzen: $0 \leq P(X = k) \leq 1$ [48](#page=48). 2. De som van alle afzonderlijke kansen voor alle mogelijke waarden van $X$ moet gelijk zijn aan 1: $\sum_{k} P(X=k) = 1$ [48](#page=48). #### 5.1.2 Notatie en representatie Discrete kansverdelingen worden vaak weergegeven in een tabel [48](#page=48). > **Voorbeeld:** Het gooien van twee dobbelstenen [49](#page=49). > Laat $X$ de som zijn van de ogen van de twee dobbelstenen. De mogelijke waarden voor $X$ zijn 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, en 12 [49](#page=49). > De bijbehorende kansen worden weergegeven in de volgende tabel: > > | $k$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | > | :------------ | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | > | $P(X=k)$ | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 | > > De som van deze kansen is: > $$ \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1 $$ [49](#page=49). > **Voorbeeld:** Het gooien van een correct muntstuk [50](#page=50). > Het universum $\Omega$ is {kop, munt}. Laten we een discrete toevalsvariabele $X$ definiëren waarbij $X=1$ bij kop en $X=0$ bij munt [50](#page=50). > De mogelijke waarden voor $X$ zijn 0 en 1 [50](#page=50). > De kansverdeling is: > > | $k$ | 0 | 1 | > | :------- | :-- | :-- | > | $P(X=k)$ | 0.5 | 0.5 | > > Dit volgt uit de definitie van een correct muntstuk, waarbij: > $$ P(X=0) = P(\text{munt}) = \frac{1}{2} $$ > $$ P(X=1) = P(\text{kop}) = \frac{1}{2} $$ [50](#page=50). ### 5.2 Continue kansverdelingen Een continue toevalsvariabele $X$ kan elke waarde aannemen binnen een bepaald interval $[x_{min}, x_{max}]$, of zelfs in het gehele interval $]-\infty, +\infty[$ [51](#page=51). #### 5.2.1 De nul-kans voor unieke uitkomsten Bij continue toevalsvariabelen is de kans dat $X$ *exact* een specifieke waarde $k$ aanneemt gelijk aan nul: $P(X=k) = 0$. Dit komt omdat er oneindig veel mogelijke waarden zijn binnen een interval, waardoor de kans op elk individueel punt oneindig klein wordt [53](#page=53). > **Tip:** Dit is een fundamenteel verschil met discrete kansverdelingen. Bij discrete variabelen is $P(X=k)$ zinvol en kan deze groter zijn dan nul, terwijl dit bij continue variabelen niet het geval is. #### 5.2.2 Kansen op deelintervallen In plaats van de kans op een exacte waarde te berekenen, berekenen we bij continue kansverdelingen de kans op een bepaald deelinterval [53](#page=53). > **Voorbeeld:** Kies willekeurig een getal tussen 0 en 1 [53](#page=53). > Als we de kans willen berekenen dat een willekeurig gekozen getal $X$ tussen 0.5 en 0.75 ligt, dan is dit een kans op een interval. > $$ P(0.5 \leq X \leq 0.75) = \frac{0.75 - 0.5}{1 - 0} = \frac{0.25}{1} = 0.25 $$ > In het document wordt dit vereenvoudigd weergegeven als $P(0.5 \leq X \leq 0.75) = \frac{1}{4}$ [53](#page=53). #### 5.2.3 De dichtheidsfunctie Formeel wordt de kansverdeling van een continue toevalsvariabele $X$ gekarakteriseerd door een dichtheidsfunctie, aangeduid met $f(x)$ [54](#page=54). > **Voorwaarden voor een dichtheidsfunctie $f(x)$:** > 1. $f(x) \geq 0$ voor alle $x$. De dichtheidsfunctie kan geen negatieve waarden aannemen [54](#page=54). > 2. De integraal van de dichtheidsfunctie over het gehele domein is gelijk aan 1: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$. Dit vertegenwoordigt de totale kans, die altijd 1 moet zijn [54](#page=54). #### 5.2.4 Kansen berekenen met de dichtheidsfunctie De kans dat een continue toevalsvariabele $X$ een waarde aanneemt tussen $x_0$ en $x_1$ wordt berekend door de integraal van de dichtheidsfunctie over dat interval: $$ P(x_0 \leq X \leq x_1) = \int_{x_0}^{x_1} f(x) dx $$ [54](#page=54). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Experiment | Een proces of procedure waarvan de uitkomst niet zeker is en die aan het toeval onderhevig is, uitgevoerd om situaties te onderzoeken. | | Universum (Ω) | De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een experiment. | | Gebeurtenis (A) | Een deelverzameling van het universum, die een specifiek resultaat of een reeks resultaten van een experiment vertegenwoordigt waarin men geïnteresseerd is. | | Complement van een gebeurtenis (Ac) | De verzameling van alle uitkomsten in het universum die niet tot gebeurtenis A behoren. Dit wordt genoteerd als $A^c$ of $\Omega \setminus A$. | | Doorsnede van gebeurtenissen (A ∩ B) | De verzameling van uitkomsten die zowel tot gebeurtenis A als tot gebeurtenis B behoren. | | Vereniging van gebeurtenissen (A U B) | De verzameling van uitkomsten die tot gebeurtenis A, of tot gebeurtenis B, of tot beide behoren. | | Kans (P(A)) | Een numerieke waarde tussen 0 en 1 die de waarschijnlijkheid aangeeft dat een bepaalde gebeurtenis A zich voordoet. | | Kans van een gebeurtenis (Frequentistische benadering) | De limiet van de relatieve frequentie van het optreden van een gebeurtenis wanneer een experiment een oneindig aantal keren wordt herhaald. Genoteerd als $P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n}$. | | Disjuncte gebeurtenissen | Gebeurtenissen die geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben; hun doorsnede is de lege verzameling (∅). | | Voorwaardelijke kans (P(A|B)) | De kans dat gebeurtenis A optreedt, gegeven dat gebeurtenis B reeds is opgetreden. Gedefinieerd als $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, mits $P(B) > 0$. | | Onafhankelijke gebeurtenissen | Twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als het optreden van de ene gebeurtenis geen invloed heeft op de kans van de andere. Dit is equivalent aan $P(A|B) = P(A)$ of $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. | | Toevalsvariabele (X) | Een variabele waarvan de waarde een numerieke uitkomst is van een willekeurig verschijnsel of experiment. | | Discrete toevalsvariabele | Een toevalsvariabele die een aftelbaar aantal waarden kan aannemen, vaak gehele getallen. | | Continue toevalsvariabele | Een toevalsvariabele die elke waarde binnen een bepaald interval kan aannemen. | | Kansverdeling | Een functie die de kans specificeert die een toevalsvariabele toekent aan elke mogelijke waarde die deze kan aannemen. | | Dichtheidsfunctie f(x) | Een functie die de relatieve waarschijnlijkheid beschrijft van een continue toevalsvariabele op elk gegeven punt. De integraal van de dichtheidsfunctie over een interval geeft de kans dat de variabele binnen dat interval valt. |

# Gemiddelde en variantie van een stochastische veranderlijke Dit gedeelte behandelt de berekening van het gemiddelde en de variantie voor zowel discrete als continue stochastische veranderlijken, inclusief de bijbehorende definities en notaties [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.1 Gemiddelde van een discrete stochastische veranderlijke Het gemiddelde van een discrete stochastische veranderlijke (s.v.) vertegenwoordigt de verwachte waarde van de uitkomsten wanneer een experiment herhaaldelijk wordt uitgevoerd. De notatie hiervoor is $E(X)$ [4](#page=4). #### 1.1.1 Berekening met gelijke kansen Als alle mogelijke uitkomsten van een discrete s.v. dezelfde kans hebben, kan het gemiddelde worden berekend door de som van de mogelijke uitkomsten te delen door het aantal uitkomsten [4](#page=4). * **Voorbeeld:** Bij het gooien met één dobbelsteen, waarbij elke uitkomst $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ een kans $P(X=x) = 1/6$ heeft [4](#page=4). Het gemiddelde wordt berekend als: $$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$$ [4](#page=4). #### 1.1.2 Berekening met ongelijke kansen Wanneer de uitkomsten van een discrete s.v. niet met dezelfde kans voorkomen, moet elke waarde worden vermenigvuldigd met zijn respectievelijke kans voordat ze worden opgeteld [5](#page=5). * **Voorbeeld:** Bij het gooien met twee dobbelstenen, waarbij $X$ de som van de ogen representeert [5](#page=5). De kansverdeling is niet uniform. De berekening van het gemiddelde is: $$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)$$ [7](#page=7). Voor het voorbeeld van twee dobbelstenen: $$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + \dots + 12 \cdot \frac{1}{36} = 7$$ [5](#page=5). #### 1.1.3 Definitie van het gemiddelde De algemene definitie voor het gemiddelde van een discrete s.v. is: $$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)$$ [7](#page=7). ### 1.2 Variantie van een discrete stochastische veranderlijke De variantie, genoteerd als $\text{Var}(X)$, meet de spreiding van de uitkomsten van een discrete s.v. rond het gemiddelde [6](#page=6) [7](#page=7). #### 1.2.1 Definitie van de variantie De variantie kan worden berekend met behulp van de volgende definities: $$ \text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X=x_i) $$ [7](#page=7). Een alternatieve en vaak handigere formule is: $$ \text{Var}(X) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(X=x_i) - [E(X)]^2 $$ [7](#page=7). * **Voorbeeld:** Voor het gooien met één dobbelsteen ($E(X) = 3.5$) [6](#page=6). Met de tweede formule: $$ \text{Var}(X) = \left(1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}\right) - (3.5)^2 $$ $$ \text{Var}(X) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} - 12.25 = \frac{91}{6} - 12.25 = 15.1667 - 12.25 = 2.9167 $$ [6](#page=6). #### 1.2.2 Standaardafwijking De standaardafwijking is de positieve vierkantswortel van de variantie en geeft de typische afwijking van de uitkomsten ten opzichte van het gemiddelde aan [7](#page=7). #### 1.2.3 Oefening Gegeven de volgende kansverdeling voor een discrete s.v. $X$ [8](#page=8): $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 ------- | -------- | -------- | -------- | -------- $P(X=x)$ | 3/8 | 1/8 | 1/8 | 3/8 * **Berekening van het gemiddelde:** $$E(X) = 0 \cdot \frac{3}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{0+1+2+9}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$ [8](#page=8). * **Berekening van de variantie:** $$ \text{Var}(X) = \left(0^2 \cdot \frac{3}{8} + 1^2 \cdot \frac{1}{8} + 2^2 \cdot \frac{1}{8} + 3^2 \cdot \frac{3}{8}\right) - \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$ $$ \text{Var}(X) = \left(0 \cdot \frac{3}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{8} + 9 \cdot \frac{3}{8}\right) - \frac{9}{4} $$ $$ \text{Var}(X) = \frac{0+1+4+27}{8} - \frac{9}{4} = \frac{32}{8} - \frac{9}{4} = 4 - 2.25 = 1.75 $$ [8](#page=8). De oefening in het document geeft $\frac{7}{4}$ wat overeenkomt met $1.75$ [8](#page=8). ### 1.3 Gemiddelde en variantie van een continue stochastische veranderlijke Net als bij discrete stochastische veranderlijken, kunnen ook voor continue stochastische veranderlijken een gemiddelde en een variantie worden berekend. Hierbij worden sommaties vervangen door integralen [9](#page=9). > **Tip:** Hoewel de documentatie dit gedeelte introduceert, worden de specifieke formules voor continue s.v.'s niet gedetailleerd uitgewerkt op de betreffende pagina's. De kernprincipes van het concept blijven echter hetzelfde: integratie vervangt sommatie [9](#page=9). --- # Binomiale verdeling De binomiale verdeling is een kansverdeling die wordt gebruikt om het aantal successen te beschrijven in een vast aantal onafhankelijke experimenten, waarbij elk experiment slechts twee mogelijke uitkomsten heeft (succes of falen) en de kans op succes bij elk experiment constant is [18](#page=18). ### 2.1 Voorwaarden voor een binomiale verdeling Een stochastische variabele volgt een binomiale verdeling indien aan de volgende vier voorwaarden is voldaan [18](#page=18): * **Herhaalde experimenten:** Het experiment wordt meerdere keren op dezelfde manier uitgevoerd [18](#page=18). * **Onafhankelijkheid:** De experimenten zijn onafhankelijk van elkaar. Dit betekent dat de uitkomst van het ene experiment geen invloed heeft op de uitkomst van een ander experiment [18](#page=18). * **Constante succeskans:** Elk experiment heeft dezelfde kans op succes. Deze kans wordt aangeduid met $p$ [18](#page=18) [19](#page=19). * **Aantal successen:** De stochastische variabele telt het aantal successen in deze reeks experimenten [18](#page=18). #### 2.1.1 Notatie Als een stochastische variabele $X$ een binomiale verdeling volgt, wordt dit genoteerd als $X \sim B(n, p)$. Hierbij staat [19](#page=19): * $n$: Het totale aantal experimenten [19](#page=19). * $p$: De kans op succes in één enkel experiment [19](#page=19). #### 2.1.2 De kansformule De kans op exact $x$ successen in $n$ experimenten, waarbij de succeskans $p$ is, wordt berekend met de volgende formule [19](#page=19): $$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$ waarbij $\binom{n}{x}$ (de binomiaalcoëfficiënt) wordt berekend als: $$\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$$ Hierbij staat $n!$ voor de faculteit van $n$ ($n \times (n-1) \times \dots \times 1$) [19](#page=19). > **Tip:** De binomiaalcoëfficiënt $\binom{n}{x}$ staat voor het aantal manieren waarop $x$ successen kunnen worden behaald in $n$ experimenten. De formule $p^x (1-p)^{n-x}$ vertegenwoordigt de kans op één specifieke volgorde van $x$ successen en $n-x$ mislukkingen. Door deze met de binomiaalcoëfficiënt te vermenigvuldigen, tellen we alle mogelijke volgordes mee. ##### 2.1.2.1 Voorbeeld van de kansformule Stel we hebben een groep van 5 bloeddonoren ($n=5$) en de kans op bloedgroep O is 0.46 ($p=0.46$). Wat is de kans dat er precies 3 donoren met bloedgroep O zijn ($x=3$) [13](#page=13) [19](#page=19)? $P(X=3) = \binom{5}{3} (0.46)^3 (1-0.46)^{5-3}$ [19](#page=19). Eerst berekenen we de binomiaalcoëfficiënt: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = 10$ [19](#page=19). Vervolgens passen we de volledige formule toe: $P(X=3) = 10 \times (0.46)^3 \times (0.54)^2$ $P(X=3) = 10 \times 0.097336 \times 0.2916$ $P(X=3) \approx 0.2838$ [20](#page=20). De kans dat er 3 donoren met bloedgroep O zijn in een groep van 5 is dus ongeveer 0.2838 of 28.38%. > **Voorbeeld:** In België heeft 46% van de bevolking bloedgroep O. Als we willekeurig 5 personen selecteren, kunnen we de binomiale verdeling gebruiken om de kans op het aantal personen met bloedgroep O te berekenen. $X \sim B(5, 0.46)$ [13](#page=13). > > * Kans op 0 personen met bloedgroep O ($X=0$): $P(X=0) = \binom{5}{0} (0.46)^0 (0.54)^5 \approx 0.0459$ [15](#page=15). > * Kans op 1 persoon met bloedgroep O ($X=1$): $P(X=1) = \binom{5}{1} (0.46)^1 (0.54)^4 \approx 0.1956$ [16](#page=16). > * Kans op 2 personen met bloedgroep O ($X=2$): $P(X=2) = \binom{5}{2} (0.46)^2 (0.54)^3 \approx 0.3332$ [17](#page=17). > * Kans op 3 personen met bloedgroep O ($X=3$): $P(X=3) = \binom{5}{3} (0.46)^3 (0.54)^2 \approx 0.2838$ [17](#page=17) [20](#page=20). > * Kans op 4 personen met bloedgroep O ($X=4$): $P(X=4) = \binom{5}{4} (0.46)^4 (0.54)^1 \approx 0.1209$ [17](#page=17). > * Kans op 5 personen met bloedgroep O ($X=5$): $P(X=5) = \binom{5}{5} (0.46)^5 (0.54)^0 \approx 0.0206$ [17](#page=17). ### 2.2 Gebruik van tabellen voor kansberekeningen Voor bepaalde waarden van $n$ en $p$ kunnen de kansen ook worden opgezocht in specifieke tabellen van de binomiale verdeling. Deze tabellen vermelden de cumulatieve kansen of individuele kansen voor specifieke parameters [21](#page=21). > **Voorbeeld met tabel:** Gegeven is een binomiale verdeling met $n=14$ en $p=0.45$. We willen de kans weten op $X=3$. Door in de juiste tabel op te zoeken voor $n=14$, $p=0.45$ en $x=3$, kunnen we de bijbehorende kans aflezen [23](#page=23). > > **Voorbeeld met tabel:** Gegeven is een binomiale verdeling met $n=10$ en $p=0.15$. We willen de kans weten op $X > 5$. Dit betekent dat we de som van de kansen voor $X=6, X=7, X=8, X=9$ en $X=10$ moeten berekenen. Vaak bieden tabellen cumulatieve kansen, bijvoorbeeld $P(X \le k)$, wat het berekenen van $P(X > 5)$ vereenvoudigt tot $1 - P(X \le 5)$ [25](#page=25). ### 2.3 Gemiddelde en variantie van de binomiale verdeling Voor een stochastische variabele $X$ die een binomiale verdeling volgt met parameters $n$ en $p$, gelden de volgende formules voor het gemiddelde (verwachtingswaarde) en de variantie [26](#page=26): * **Gemiddelde (verwachtingswaarde):** $E(X) = np$ [26](#page=26). * **Variantie:** $Var(X) = npq$, waarbij $q = 1-p$ [26](#page=26). > **Tip:** Het gemiddelde $E(X)$ geeft het verwachte aantal successen aan in $n$ experimenten. De variantie $Var(X)$ geeft een maat voor de spreiding van de mogelijke uitkomsten rondom het gemiddelde. Een grotere variantie betekent een grotere spreiding. --- # Multinomiale verdeling Dit gedeelte breidt de binomiale verdeling uit naar situaties met meer dan twee uitkomstcategorieën, met behulp van de multinomiale verdeling. ### 3.1 Introductie tot de multinomiale verdeling De multinomiale verdeling is een uitbreiding van de binomiale verdeling wanneer er meer dan twee mogelijke uitkomsten zijn voor een experiment. Waar de binomiale verdeling het aantal successen in $n$ onafhankelijke Bernoulli-experimenten telt, beschrijft de multinomiale verdeling het aantal keren dat elk van $k$ mogelijke uitkomsten voorkomt in $n$ onafhankelijke experimenten [28](#page=28) [29](#page=29) [30](#page=30). ### 3.2 Voorwaarden voor de multinomiale verdeling Een set van $k$ stochastische variabelen $X_1, X_2, \ldots, X_k$ volgen gezamenlijk een multinomiale verdeling als aan de volgende voorwaarden wordt voldaan [30](#page=30): * **Herhaalde experimenten:** Hetzelfde experiment wordt meerdere keren uitgevoerd [30](#page=30). * **Onafhankelijkheid:** De experimenten worden onafhankelijk van elkaar uitgevoerd [30](#page=30). * **Vaste categorieën en kansen:** Elk experiment heeft $k$ uitkomstcategorieën, met voor elke categorie constante kansen $p_1, p_2, \ldots, p_k$ die optellen tot 1 [30](#page=30). * **Aantal per categorie:** De stochastische variabelen $X_1, X_2, \ldots, X_k$ beschrijven het aantal observaties dat in de respectievelijke categorieën valt [30](#page=30). ### 3.3 Notatie Als $n$ het totale aantal keren is dat een experiment wordt uitgevoerd en $p_1, p_2, \ldots, p_k$ de kansen zijn om in de respectievelijke categorieën te vallen, dan wordt een multinomiale verdeling genoteerd als: $(X_1, X_2, \ldots, X_k) \sim MN(n, (p_1, p_2, \ldots, p_k))$ [31](#page=31). Hierin geldt dat $\sum_{i=1}^{k} x_i = n$ en $\sum_{i=1}^{k} p_i = 1$ [32](#page=32). ### 3.4 Kansberekening De kans om exact $x_1$ observaties in categorie 1, $x_2$ in categorie 2, ..., en $x_k$ in categorie $k$ te hebben, wordt gegeven door de volgende formule: $$ P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \ldots, X_k = x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \ldots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \ldots p_k^{x_k} $$ [32](#page=32). Hierbij moeten de aantallen observaties optellen tot het totale aantal experimenten, dus $\sum_{i=1}^{k} x_i = n$ [32](#page=32). > **Voorbeeld:** Beschouw een groep van 10 donoren, waarbij de kansen op bloedgroepen O, A, B en AB respectievelijk 0.46, 0.42, 0.09 en 0.03 zijn. De kans om 4 donoren met bloedgroep O, 3 met bloedgroep A, 2 met bloedgroep B en 1 met bloedgroep AB te hebben, is [28](#page=28): > > $$ P(X_O = 4, X_A = 3, X_B = 2, X_{AB} = 1) = \frac{10!}{4!3!2!1!} (0.46)^4 (0.42)^3 (0.09)^2 (0.03)^1 $$ > > Dit resulteert in een kans van ongeveer 0.0102 of 1.02% [29](#page=29). ### 3.5 Gemiddelde en variantie Voor een multinomiale verdeling met parameters $n$ en $(p_1, p_2, \ldots, p_k)$, geldt voor elke individuele stochastische variabele $X_i$ het volgende: * **Verwachtingswaarde (gemiddelde):** $E[X_i = n p_i$ [33](#page=33). * **Variantie:** $Var(X_i) = n p_i q_i$, waarbij $q_i = 1 - p_i$ [33](#page=33). > **Voorbeeld:** Voor de bloedgroepenverdeling met $n=10$ en kansen $(0.46, 0.42, 0.09, 0.03)$: > > * Het verwachte aantal donoren met bloedgroep O is: > $E[X_1 = 10 \times 0.46 = 4.6$ [33](#page=33). > * De variantie van het aantal donoren met bloedgroep O is: > $Var(X_1) = 10 \times 0.46 \times (1 - 0.46) = 10 \times 0.46 \times 0.54 = 2.48$ [33](#page=33). --- # Normale verdeling De normale verdeling is een fundamentele continue kansverdeling die wijdverbreid wordt gebruikt vanwege haar frequentie in natuurlijke verschijnselen en haar vermogen om andere verdelingen te benaderen [35](#page=35). ### 4.1 De dichtheidsfunctie van de normale verdeling De kansverdeling van een continue stochastische variabele wordt beschreven door een dichtheidsfunctie. Voor een normale verdeling wordt deze dichtheidsfunctie bepaald door twee parameters: $\mu$ (het gemiddelde) en $\sigma$ (de standaardafwijking). De algemene formule voor de dichtheidsfunctie is [35](#page=35) [36](#page=36): $$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} \quad -\infty < x < \infty $$ De parameter $\mu$ bepaalt de locatie van de piek van de curve, terwijl $\sigma$ de breedte van de grafiek beïnvloedt. Een normale verdeling wordt genoteerd als $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ [38](#page=38). #### 4.1.1 Kenmerken van de parameters $\mu$ en $\sigma^2$ Indien $X \sim N(\mu, \sigma^2)$: * $\mu$ vertegenwoordigt het gemiddelde van de stochastische variabele $X$ [39](#page=39). * $\sigma^2$ vertegenwoordigt de variantie van de stochastische variabele $X$ [39](#page=39). De mogelijke waarden voor deze parameters zijn: * $-\infty < \mu < +\infty$ [39](#page=39). * $\sigma^2 > 0$ [39](#page=39). > **Tip:** De variantie ($\sigma^2$) is altijd groter dan nul, aangezien een standaardafwijking ($\sigma$) een positieve waarde is die de spreiding aangeeft. ### 4.2 De standaard normale verdeling De standaard normale verdeling is een speciaal geval van de normale verdeling waarbij het gemiddelde $\mu = 0$ en de standaardafwijking $\sigma = 1$. Een stochastische variabele die standaard normaal verdeeld is, wordt vaak aangeduid met de letter $Z$ [42](#page=42). De cumulatieve verdelingsfunctie (CDF) van de standaard normale verdeling, die de kans $P(Z \le x)$ aangeeft, wordt genoteerd als $\Phi(x)$ [42](#page=42). #### 4.2.1 Eigenschappen van de standaard normale verdeling De standaard normale verdeling bezit de volgende belangrijke eigenschappen: * $P(Z = x) = 0$, wat betekent dat $P(Z \le x) = P(Z < x)$ [43](#page=43). * De totale oppervlakte onder de curve is gelijk aan 1 [43](#page=43). * $P(Z > x) = 1 - P(Z < x)$ [43](#page=43). * De curve is symmetrisch rond $x = 0$. Hieruit volgt [43](#page=43): * $P(Z < -x) = P(Z > x)$ [43](#page=43). * $P(Z > x) = 1 - P(Z < x)$ [43](#page=43). * $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ [43](#page=43). * De kans op een interval kan berekend worden als: * $P(x_1 < Z < x_2) = P(Z < x_2) - P(Z < x_1)$ [44](#page=44). * $P(x_1 < Z < x_2) = \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$ [44](#page=44). > **Tip:** Door deze symmetrie-eigenschappen hoeft u slechts de kansen voor positieve waarden van $Z$ te kennen. Kansen voor negatieve waarden kunnen hieruit worden afgeleid. ### 4.3 Het berekenen van kansen met de standaard normale verdeling Kansen voor de standaard normale verdeling kunnen worden afgelezen uit tabellen die de waarden van $\Phi(x)$ weergeven voor verschillende $x$-waarden [45](#page=45). #### 4.3.1 Voorbeelden met de standaard normale verdeling Gegeven dat $Z \sim N(0,1)$: * $P(Z < 0.23) = \Phi(0.23) = 0.5910$ [45](#page=45). * $P(Z < 0.46) = 0.6772$ [46](#page=46). * $P(Z > 0.46) = 1 - P(Z < 0.46) = 1 - 0.6772 = 0.3228$ [46](#page=46). * $P(Z < 0.05) = 0.5199$ [46](#page=46). * $P(0.05 < Z < 0.46) = P(Z < 0.46) - P(Z < 0.05) = 0.6772 - 0.5199 = 0.1573$ [46](#page=46). * $P(Z < -0.46) = 0.3228$ (gebruikmakend van $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$) [46](#page=46). * $P(Z > -0.46) = 1 - P(Z < -0.46) = 1 - 0.3228 = 0.6772$ [46](#page=46). * $P(-0.46 < Z < 0.05) = P(Z < 0.05) - P(Z < -0.46) = 0.5199 - 0.3228 = 0.1971$ [46](#page=46). #### 4.3.2 Oefeningen met de standaard normale verdeling Gegeven dat $Z \sim N(0,1)$: * $P(Z < 2.05) = 0.9798$ [47](#page=47). * $P(Z > 1.96) = 1 - P(Z < 1.96) = 1 - 0.9750 = 0.0250$ [47](#page=47). * $P(1.96 < Z < 2.05) = P(Z < 2.05) - P(Z < 1.96) = 0.9798 - 0.9750 = 0.0048$ [47](#page=47). * $P(Z < -2.05) = 1 - P(Z < 2.05) = 1 - 0.9798 = 0.0202$ [47](#page=47). ### 4.4 Willekeurige normale verdeling omzetten naar standaard normale verdeling Elke normale verdeling $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ kan worden herleid tot de standaard normale verdeling $Z \sim N(0,1)$ met behulp van de volgende transformatie: $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$ Deze transformatie maakt het mogelijk om kansen te berekenen voor elke normale verdeling door gebruik te maken van de standaard normale verdelingstabellen. #### 4.4.1 Kansen berekenen voor een willekeurige normale verdeling De kans $P(X \le x)$ voor een willekeurige normale verdeling kan worden omgerekend naar een kans met de standaard normale verdeling als volgt: $$ P(X \le x) = P\left(Z \le \frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $$ Voor een interval geldt: $$ P(x_0 \le X \le x_1) = P\left(\frac{x_0 - \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{x_1 - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{x_1 - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{x_0 - \mu}{\sigma}\right) $$ ##### 4.4.1.1 Voorbeeld: Cadmiumconcentratie in bloed Beschouw de cadmiumconcentratie $X$ in bloed (in $\mu g/l$) met $X \sim N(0.15; 0.00005)$. We willen de volgende kansen berekenen: 1. **Kans dat de concentratie kleiner is dan 0.14:** $P(X < 0.14) = P\left(Z < \frac{0.14 - 0.15}{\sqrt{0.00005}}\right) = P\left(Z < \frac{-0.01}{0.007071}\right) \approx P(Z < -1.41)$ [49](#page=49). Met behulp van de standaard normale tabel is $P(Z < -1.41) = 1 - \Phi(1.41) = 1 - 0.9207 = 0.0793$ [49](#page=49). 2. **Kans dat de concentratie groter is dan 0.16:** $P(X > 0.16) = P\left(Z > \frac{0.16 - 0.15}{\sqrt{0.00005}}\right) = P\left(Z > \frac{0.01}{0.007071}\right) \approx P(Z > 1.41)$ [49](#page=49). $P(Z > 1.41) = 1 - P(Z < 1.41) = 1 - 0.9207 = 0.0793$ [49](#page=49). 3. **Kans dat de concentratie tussen 0.14 en 0.16 ligt:** $P(0.14 < X < 0.16) = P(-1.41 < Z < 1.41)$ [49](#page=49). $P(-1.41 < Z < 1.41) = P(Z < 1.41) - P(Z < -1.41) = 0.9207 - 0.0793 = 0.8414$ [49](#page=49). > **Voorbeeld:** De standaardafwijking van de cadmiumconcentratie is $\sigma = \sqrt{0.00005} \approx 0.007071$. Bij het omrekenen van de waarden 0.14 en 0.16 naar $Z$-scores, worden deze getransformeerd naar -1.41 en 1.41 respectievelijk. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Stochastische veranderlijke | Een observeerbare grootheid waarvan de uitkomst afhankelijk is van toeval en die zich voordoet met een bepaalde kans. | | Gemiddelde (verwachtingswaarde) | De verwachte waarde van een stochastische veranderlijke, berekend door elke mogelijke uitkomst te vermenigvuldigen met zijn kans en deze producten op te tellen. | | $E(X)$ | Notatie voor de verwachtingswaarde of het gemiddelde van een stochastische veranderlijke $X$. | | Kansverdeling | Een functie die de kans specificeert dat een stochastische veranderlijke een bepaalde waarde aanneemt. Voor discrete variabelen is dit een kansmassafunctie, voor continue variabelen een kansdichtheidsfunctie. | | Discrete toevalsvariabele | Een variabele die een aftelbaar aantal waarden kan aannemen, vaak gehele getallen. | | Continue toevalsvariabele | Een variabele die elke waarde kan aannemen binnen een bepaald interval. | | Variantie | Een maat voor de spreiding van de waarden van een stochastische veranderlijke rond het gemiddelde. Het is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde. | | $Var(X)$ | Notatie voor de variantie van een stochastische veranderlijke $X$. | | Standaardafwijking | De positieve vierkantswortel van de variantie. Het geeft een indicatie van de typische afwijking van de waarden ten opzichte van het gemiddelde. | | Binomiale verdeling | Een kansverdeling die het aantal successen in een vast aantal onafhankelijke experimenten beschrijft, waarbij elk experiment slechts twee mogelijke uitkomsten heeft (succes of mislukking) en de succeskans constant is. | | $B(n,p)$ | Notatie voor een binomiale verdeling met $n$ experimenten en een succeskans $p$. | | $nCx$ | De binomiale coëfficiënt, ook wel 'n kies x' genoemd, die het aantal manieren aangeeft om $x$ successen te kiezen uit $n$ experimenten. Formule: $\frac{n!}{x!(n-x)!}$. | | Multinomiale verdeling | Een uitbreiding van de binomiale verdeling naar situaties met meer dan twee mogelijke uitkomsten per experiment, waarbij het aantal successen in elke categorie wordt geteld over een vast aantal onafhankelijke experimenten. | | $MN(n, (p1, p2, ..., pk))$ | Notatie voor een multinomiale verdeling met $n$ experimenten en kansen $(p1, p2, ..., pk)$ voor respectievelijk $k$ categorieën. | | Normale verdeling | Een continue kansverdeling die klokvormig en symmetrisch is, gedefinieerd door een gemiddelde ($\mu$) en een variantie ($\sigma^2$). Veel natuurlijke verschijnselen volgen deze verdeling. | | $\mu$ | Parameter van de normale verdeling die het gemiddelde of de locatie van de piek van de curve aangeeft. | | $\sigma^2$ | Parameter van de normale verdeling die de variantie aangeeft en de breedte van de curve bepaalt. | | $N(\mu, \sigma^2)$ | Notatie voor een normale verdeling met gemiddelde $\mu$ en variantie $\sigma^2$. | | Standaard normale verdeling | Een speciale normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een variantie van 1, genoteerd als $N(0,1)$ of $Z$. | | $\Phi(x)$ | De cumulatieve distributiefunctie van de standaard normale verdeling, die de kans aangeeft dat een standaard normaal verdeelde variabele kleiner of gelijk is aan $x$. | | Dichtheidsfunctie | Een functie die voor een continue toevalsvariabele de relatieve waarschijnlijkheid van elke uitkomst specificeert. De oppervlakte onder de curve over een interval geeft de kans op die uitkomst. |

# Populatie en steekproef Dit deel van de cursus introduceert de fundamentele concepten van populatie en steekproef, met de nadruk op de representativiteit van een steekproef voor de populatie, en onderscheidt het theoretische model van een steekproef van de daadwerkelijke waargenomen steekproefwaarden [1](#page=1) [3](#page=3) [9](#page=9). ### 1.1 Populatie De populatie is de volledige verzameling van alle individuen, objecten of gebeurtenissen waarover men informatie wil verkrijgen. In veel gevallen is het niet praktisch of mogelijk om de gehele populatie te observeren of te meten [3](#page=3). ### 1.2 Steekproef Een steekproef is een deelverzameling van de populatie die wordt geselecteerd om informatie over de populatie te verzamelen. Het primaire doel bij het trekken van een steekproef is dat deze representatief is voor de populatie. Dit betekent dat de kenmerken van de steekproef zo goed mogelijk de kenmerken van de populatie moeten weerspiegelen [3](#page=3) [4](#page=4). #### 1.2.1 De rol van de populatieverdeling Stel dat we geïnteresseerd zijn in een bepaalde eigenschap of variabele binnen de populatie. Deze variabele kan worden gemodelleerd als een toevalsvariabele, de zogenaamde populatie-toevalsvariabele $X$. De verdeling van deze toevalsvariabele wordt de populatieverdeling genoemd [5](#page=5). > **Voorbeeld:** In een labokoelkast bevinden zich 1000 bloedstalen. Deze kunnen worden gecodeerd op basis van de biomarkerwaarde: 500 met een lage waarde (code 1), 300 met een normale waarde (code 2), en 200 met een hoge waarde (code 3). De populatie is hier de verzameling van alle 1000 stalen. De toevalsvariabele $X$ vertegenwoordigt de biomarkercode van een willekeurig getrokken staal, en de bijbehorende verdeling is de populatieverdeling [5](#page=5). #### 1.2.2 Het trekken van een steekproef Wanneer we herhaaldelijk een experiment uitvoeren (bijvoorbeeld het trekken van een bloedstaal), verkrijgen we een reeks observaties. Elke observatie kan worden gemodelleerd als een toevalsvariabele die dezelfde verdeling heeft als de populatie-toevalsvariabele $X$. Dus, voor het $i$-de getrokken staal, is de biomarkercode $X_i$, en de kansverdeling van $X_i$ is gelijk aan die van $X$: $P(X_i = x) = P(X = x)$ voor elke mogelijke waarde $x$ [6](#page=6) [7](#page=7). Een steekproef van grootte $n$ uit een populatie, gemodelleerd door de populatie-toevalsvariabele $X$, is formeel gedefinieerd als een rij van $n$ toevalsvariabelen $X_1, X_2, \dots, X_n$ die voldoen aan twee voorwaarden [7](#page=7) [8](#page=8): 1. **Dezelfde verdeling:** Elke $X_i$ heeft dezelfde verdeling als $X$, d.w.z., $P(X_i = x) = P(X = x)$ voor alle $i=1, \dots, n$ [7](#page=7). 2. **Onafhankelijkheid:** De toevalsvariabelen $X_1, X_2, \dots, X_n$ zijn onderling onafhankelijk. Dit betekent dat de uitkomst van het trekken van het ene staal geen invloed heeft op de uitkomst van het trekken van een ander staal ($P(X_i = x_i, X_j = x_j) = P(X_i = x_i) \cdot P(X_j = x_j)$ voor $i \neq j$) [7](#page=7). De grootte van de steekproef wordt aangeduid met $n$ [8](#page=8). ### 1.3 Theoretisch model versus steekproefwaarden Het is cruciaal om onderscheid te maken tussen het theoretische model van een steekproef en de feitelijke waarden die we observeren [9](#page=9). * **Theoretische steekproef ($X_1, \dots, X_n$):** Dit vertegenwoordigt het wiskundige model van wat er *kan* gebeuren wanneer men $n$ trekkingen uitvoert uit de populatie. Het beschrijft de mogelijke uitkomsten en hun waarschijnlijkheden [9](#page=9). * **Steekproefwaarden ($x_1, \dots, x_n$):** Dit zijn de specifieke, geobserveerde waarden die we daadwerkelijk vinden wanneer we een steekproef trekken in de praktijk. Elke set van steekproefwaarden is een mogelijke realisatie van het theoretische steekproefmodel. Het is goed mogelijk om meerdere steekproeven te trekken en telkens andere steekproefwaarden te verkrijgen, omdat de observaties gebaseerd zijn op toeval [9](#page=9). > **Tip:** Dit onderscheid is essentieel voor statistische inferentie. Het theoretische model stelt ons in staat om waarschijnlijkheden te berekenen en conclusies te trekken over de populatie, terwijl de steekproefwaarden de empirische basis vormen voor onze analyses. --- # Statistieken en steekproefgemiddelde Dit gedeelte introduceert statistieken als berekeningen gebaseerd op steekproeven, met een focus op het steekproefgemiddelde en de steekproefvariantie, inclusief hun basiseigenschappen en de t-verdeling [10](#page=10) [11](#page=11). ### 2.1 Statistieken Statistieken zijn berekeningen die worden uitgevoerd op basis van een steekproef, in tegenstelling tot parameters die betrekking hebben op de gehele populatie [11](#page=11). * **Populatie:** De gehele groep waarover men informatie wil verzamelen (bijvoorbeeld alle eerstejaarsstudenten aan de UHasselt). Een toevalsvariabele kan bijvoorbeeld de lengte van een willekeurige student uit deze populatie zijn [11](#page=11). * **Steekproef:** Een subset van de populatie die wordt geselecteerd voor analyse (bijvoorbeeld 𝑛 eerstejaarsstudenten). De gerealiseerde waarden van de steekproef kunnen specifieke metingen zijn, zoals lengtes in centimeters [11](#page=11). * **Statistiek:** Elke waarde die berekend kan worden op basis van de steekproefgegevens. Voorbeelden hiervan zijn het minimum, maximum, gemiddelde, mediaan en de variantie [11](#page=11). Het is belangrijk te realiseren dat steekproefwaarden niet uniek zijn en dat een statistiek kan veranderen bij elke nieuwe steekproef die wordt getrokken [14](#page=14). #### 2.1.1 Steekproefgemiddelde en steekproefvariantie Gegeven een steekproef $X_1, \dots, X_n$ uit een populatie $X$, worden de volgende statistieken gedefinieerd [13](#page=13): * **Steekproefgemiddelde ($\overline{X}$):** $$ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $$ Dit is het gemiddelde van de waarnemingen in de steekproef [13](#page=13). * **Steekproefvariantie ($S^2$):** $$ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 $$ Dit is een maat voor de spreiding van de steekproefgegevens rondom het steekproefgemiddelde. De deling door $n-1$ in plaats van $n$ zorgt voor een zuivere schatter van de populatievariantie [13](#page=13). > **Tip:** De waarden $x_1, x_2, \dots, x_n$ zijn de *realisaties* van de toevalsvariabelen $X_1, X_2, \dots, X_n$. De statistiek $\overline{X}$ leidt tot een gerealiseerde waarde $\overline{x}$ [14](#page=14). ### 2.2 Basiseigenschappen van het steekproefgemiddelde Het steekproefgemiddelde $\overline{X}$ is zelf een toevalsvariabele, waarvan de verdeling interessant is om te bestuderen [15](#page=15) [16](#page=16). #### 2.2.1 Gemiddelde en variantie van het steekproefgemiddelde Als de populatie $X$ een gemiddelde $\mu$ en een variantie $\sigma^2$ heeft, dan gelden de volgende eigenschappen voor het steekproefgemiddelde $\overline{X}$ [17](#page=17): * **Verwachtingswaarde van het steekproefgemiddelde:** $$ E(\overline{X}) = \mu $$ Het gemiddelde van het steekproefgemiddelde is gelijk aan het populatiegemiddelde. Dit betekent dat het steekproefgemiddelde een zuivere schatter is voor het populatiegemiddelde [17](#page=17). * **Variantie van het steekproefgemiddelde:** $$ Var(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} $$ De variantie van het steekproefgemiddelde is gelijk aan de populatievariantie gedeeld door de steekproefgrootte $n$. Dit impliceert dat naarmate de steekproefgrootte toeneemt, de variantie van het steekproefgemiddelde afneemt, wat betekent dat de schatting nauwkeuriger wordt [17](#page=17). #### 2.2.2 Verdeling van het steekproefgemiddelde De verdeling van het steekproefgemiddelde $\overline{X}$ hangt af van de steekproefgrootte $n$ en de vorm van de populatieverdeling [18](#page=18). * **Grote steekproef ($n \geq 30$):** Volgens de Centrale Limietstelling zal $\overline{X}$ bij benadering normaal verdeeld zijn, ongeacht de oorspronkelijke populatieverdeling [18](#page=18). * **Kleine steekproef ($n < 30$) en normaal verdeelde populatie:** Als de populatie $X$ normaal verdeeld is, dan is $\overline{X}$ ook exact normaal verdeeld [18](#page=18). Wanneer de populatieverdeling onbekend is en $n$ klein is, komt de t-verdeling in beeld [18](#page=18). ##### 2.2.2.1 De t-verdeling De t-verdeling, of Student's t-verdeling, wordt gebruikt voor inferentie over het populatiegemiddelde $\mu$ wanneer de populatievariantie $\sigma^2$ onbekend is en de steekproefgrootte klein is, of wanneer de populatie niet noodzakelijk normaal verdeeld is maar we toch een uitspraak willen doen over $\mu$. * **Relatie met de normale verdeling:** Voor zeer grote aantallen vrijheidsgraden benadert de t-verdeling de standaard normale verdeling $N(0,1)$ [19](#page=19). $$ t_{\infty} = N(0,1) $$ * **Gekwadrateerde standaardisatie met onbekende variantie:** Als de populatie $X$ een gemiddelde $\mu$ en een variantie $\sigma^2$ heeft, dan is de gestandaardiseerde variabele $\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ t-verdeeld met $n-1$ vrijheidsgraden, mits de populatie normaal verdeeld is. Als $\sigma^2$ bekend is, gebruiken we de Z-verdeling. Hier wordt echter gekeken naar de verdeling van $\frac{\overline{X} - \mu}{S^2 / n}$ wat een misinterpretatie is in de documentatie. De correcte relatie is dat als de populatie $X$ normaal verdeeld is met gemiddelde $\mu$ en variantie $\sigma^2$, dan is [18](#page=18): $$ \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) $$ Hierbij is $S$ de standaarddeviatie van de steekproef, afgeleid van de steekproefvariantie $S^2$. De $t$-verdeling met $k$ vrijheidsgraden wordt genoteerd als $t(k)$ [18](#page=18) [19](#page=19). * **Vrijheidsgraden:** Het aantal vrijheidsgraden $(n-1)$ bepaalt de specifieke vorm van de t-verdeling. Meer vrijheidsgraden leiden tot een verdeling die dichter bij de standaard normale verdeling ligt [19](#page=19). > **Voorbeeld t-verdeling:** Als we werken met een $t$-verdeling met 5 vrijheidsgraden ($t $) en we zoeken de waarde $x$ waarvoor $P(X > x) = 0.05$, dan vinden we uit de tabel dat $x = 2.015$ [20](#page=20) [5](#page=5). * **Tabellen van de t-verdeling:** Deze tabellen geven kritische waarden voor verschillende aantallen vrijheidsgraden en waarschijnlijkheden (P-waarden), wat cruciaal is voor het uitvoeren van hypothesestoetsen [20](#page=20). > **Fact:** $t_{\infty} = N(0,1)$ [19](#page=19). Het is nog te bespreken wat er gebeurt als de steekproefgrootte klein is en de populatieverdeling niet bekend is [18](#page=18). --- # Schatten van populatieparameters Dit deel behandelt puntschattingen en intervalschattingen voor zowel populatiegemiddelden als populatieproporties, inclusief methoden voor het construeren en interpreteren van betrouwbaarheidsintervallen en hun toepassing in R [22](#page=22). ## 3. Schatten van populatieparameters ### 3.1 Puntschatten Puntschatten is het proces waarbij een enkele waarde wordt gebruikt om een populatieparameter te benaderen. Bijvoorbeeld, om de gemiddelde geboortelengte van alle kinderen (populatiegemiddelde $\mu$) te schatten, wordt een steekproef van 30 geboortelengtes genomen, en het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ wordt berekend [23](#page=23). Het steekproefgemiddelde $\bar{X}$ is een schatter van het populatiegemiddelde $\mu$, en de concrete waarde $\bar{x}$ van een steekproef is een schatting van $\mu$. Het is belangrijk om te weten dat een puntschatting niet exact gelijk is aan de populatieparameter; elke nieuwe steekproef levert een andere schatting op. Een "goede schatter" is een onvertekende schatter, wat betekent dat het gemiddelde van alle mogelijke schattingen gelijk is aan de populatieparameter [24](#page=24) [25](#page=25). ### 3.2 Intervalschatten voor het populatiegemiddelde Intervalschatten bouwt voort op puntschatten door een interval te construeren waarvan men met een bepaalde waarschijnlijkheid kan zeggen dat de populatieparameter erin ligt. Dit geeft een indicatie van de nauwkeurigheid van de puntschatting [26](#page=26). #### 3.2.1 Betrouwbaarheidsinterval voor $\mu$ (standaarddeviatie populatie onbekend) Wanneer de populatiestandaarddeviatie ($\sigma$) onbekend is en de steekproefgrootte $n$ groot is (of de populatie normaal verdeeld is), kunnen we gebruik maken van de $t$-verdeling om een betrouwbaarheidsinterval (BI) voor het populatiegemiddelde $\mu$ te construeren [27](#page=27). De formule voor een $(1-\alpha) \times 100\%$ betrouwbaarheidsinterval voor $\mu$ is: $$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} $$ waarbij: * $\bar{x}$ het steekproefgemiddelde is [31](#page=31). * $s$ de steekproefstandaarddeviatie is [30](#page=30). * $n$ de steekproefgrootte is [30](#page=30). * $t_{\alpha/2}(n-1)$ de kritische waarde is uit de $t$-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden, die overeenkomt met de gekozen betrouwbaarheid (bijvoorbeeld, voor een 95% BI is $\alpha = 0.05$, dus $\alpha/2 = 0.025$ en de kritische waarde is $t_{0.025}(n-1)$) [32](#page=32). **Voorbeeld:** Voor een steekproef van $n=30$ met $\bar{x}=50.3$ en $s^2=28$ (dus $s \approx 5.29$), is een 95% BI: $$ 50.3 \pm 2.045 \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{30}} \approx 50.3 \pm 2.045 \times 0.966 = 50.3 \pm 1.975 $$ Dit resulteert in het interval $[48.325, 52.275]$. De kritische waarde $2.045$ is de $t$-waarde voor $n-1=29$ vrijheidsgraden en een $\alpha/2 = 0.025$ [30](#page=30) [33](#page=33). > **Tip:** De kritische waarde $t_{\alpha/2}(n-1)$ verandert met de steekproefgrootte en het gewenste betrouwbaarheidsniveau [32](#page=32). #### 3.2.2 Interpretatie van een betrouwbaarheidsinterval voor $\mu$ De interpretatie van een 95% betrouwbaarheidsinterval is cruciaal: als men 100 steekproeven zou nemen en telkens een 95% BI zou berekenen, dan zouden 95 van die 100 intervallen de werkelijke waarde van het populatiegemiddelde $\mu$ bevatten. Het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ ligt altijd in het midden van het betrouwbaarheidsinterval voor $\mu$ [38](#page=38). #### 3.2.3 Toepassing in R R kan gebruikt worden om betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde te berekenen. **Voorbeeld (Obesitasstudie):** Voor de variabele 'Wpiek' uit de obesitasstudie met $n=66$: * Een 95% BI wordt berekend met de R-code, wat resulteert in het interval $[151.922, 173.381]$ [42](#page=42). * Een 99% BI wordt berekend, wat resulteert in het interval $[148.3952, 176.9079]$ [43](#page=43). ### 3.3 Schatten van de populatieproportie Net als bij het populatiegemiddelde kunnen we ook een populatieproportie schatten. Een proportie kan worden gezien als de fractie, het percentage, of de kans op een bepaalde uitkomst. Een voorbeeld is de proportie vrouwen in de wereldbevolking of de proportie Belgen met bloedgroep AB [45](#page=45). #### 3.3.1 Puntschatten van de populatieproportie Een goede schatter voor de populatieproportie $\pi$ is de steekproefproportie $\hat{p}$. Deze wordt berekend als het aantal successen in de steekproef gedeeld door de steekproefgrootte [46](#page=46): $$ \hat{p} = \frac{\text{Aantal successen in de steekproef}}{n} $$ Het aantal successen in een steekproef volgt een binomiale verdeling $B(n; \pi)$, waarbij $\pi$ de succeskans is [47](#page=47). #### 3.3.2 Intervalschatten voor de populatieproportie Bij een voldoende grote steekproef kunnen we de normale benadering van de binomiale verdeling gebruiken. De voorwaarden voor een voldoende grote steekproef zijn: * $n \cdot \hat{p} \geq 5$ (minstens 5 successen in de steekproef) [49](#page=49). * $n \cdot (1-\hat{p}) \geq 5$ (minstens 5 mislukkingen in de steekproef) [49](#page=49). Indien aan deze voorwaarden is voldaan, wordt een $(1-\alpha) \times 100\%$ betrouwbaarheidsinterval voor $\pi$ gegeven door: $$ \hat{p} \pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} $$ waarbij: * $\hat{p}$ de steekproefproportie is [51](#page=51). * $n$ de steekproefgrootte is [51](#page=51). * $z_{1-\alpha/2}$ de kritische waarde uit de standaard normale verdeling is. Voorbeelden van kritische waarden zijn [51](#page=51): * 90% BI $\implies z_{0.95} = 1.645$ * 95% BI $\implies z_{0.975} = 1.960$ * 99% BI $\implies z_{0.995} = 2.576$ **Voorbeeld:** Voor een steekproef van $n=54$ studenten, waarbij 23 bloedgroep O hebben ($\hat{p} = 23/54 \approx 0.4259$), is een 95% BI: $$ 0.4259 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.4259(1-0.4259)}{54}} \approx 0.4259 \pm 1.96 \times 0.0676 $$ $$ \approx 0.4259 \pm 0.1325 $$ Dit resulteert in het interval $[0.2934, 0.5584]$. De voorwaarden $n\hat{p} = 23 \geq 5$ en $n(1-\hat{p}) = 31 \geq 5$ zijn voldaan [52](#page=52). > **Tip:** De voorwaarden $n \hat{p} \geq 5$ en $n(1-\hat{p}) \geq 5$ zijn essentieel voor de betrouwbaarheid van het interval berekend met de normale benadering [49](#page=49). #### 3.3.3 Interpretatie van een betrouwbaarheidsinterval voor $\pi$ De interpretatie van een 95% betrouwbaarheidsinterval voor een proportie is vergelijkbaar met die voor een gemiddelde: als we 100 steekproeven zouden nemen, zouden 95 van de 100 intervallen de werkelijke populatieproportie $\pi$ bevatten. De steekproefproportie $\hat{p}$ ligt altijd in het midden van het betrouwbaarheidsinterval voor $\pi$ [54](#page=54). #### 3.3.4 Toepassing in R R kan ook gebruikt worden om betrouwbaarheidsintervallen voor populatieproporties te berekenen. **Voorbeeld (Obesitasstudie):** Om een 95% BI te geven voor de proportie jongens (waarvoor 1=jongen codeert) in de populatie: * Gegeven is dat er 38 jongens zijn op $n=66$ kinderen [57](#page=57). * De R-code levert een 95% BI op van $[0.4556, 0.6876]$ [57](#page=57). **Voorbeeld met niet-voldane voorwaarden:** Voor een studie met 16 patiënten waarbij 4 neveneffecten ondervonden, is $n=16$ en $\hat{p}=4/16=0.25$. De voorwaarden zijn niet volledig voldaan, aangezien $n\hat{p}=4 < 5$. Desondanks kan een 90% BI worden berekend met R, wat resulteert in een specifiek interval. Dit benadrukt het belang van het controleren van de voorwaarden voor de gebruikte formules [55](#page=55) [58](#page=58). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Populatie | De volledige verzameling van alle elementen of individuen waarover een onderzoek of analyse gaat. Dit kan bijvoorbeeld alle inwoners van een land zijn, of alle bloedstalen in een labokoelkast. | | Steekproef | Een subset van de populatie die wordt geselecteerd om de populatie te vertegenwoordigen. De kenmerken van de steekproef worden geanalyseerd om conclusies te trekken over de populatie. | | Representatief | Een steekproef wordt als representatief beschouwd wanneer de kenmerken van de steekproef de kenmerken van de populatie weerspiegelen, zodat conclusies die op de steekproef gebaseerd zijn, gegeneraliseerd kunnen worden naar de populatie. | | Toevalsvariabele | Een variabele waarvan de waarde wordt bepaald door een willekeurig proces of experiment. De mogelijke waarden en hun kansen worden beschreven door een kansverdeling. | | Steekproefgrootte | Het aantal elementen of observaties dat deel uitmaakt van een steekproef. Dit wordt vaak aangeduid met de letter $n$. | | Onafhankelijk | Twee of meer gebeurtenissen of variabelen zijn onafhankelijk als de uitkomst van de ene de uitkomst van de andere niet beïnvloedt. In een steekproef betekent dit dat elke trekking van een element niet afhankelijk is van voorgaande of volgende trekkingen. | | Statistiek | Een waarde die wordt berekend op basis van de gegevens in een steekproef. Statistieken worden gebruikt om populatieparameters te schatten. Voorbeelden zijn het steekproefgemiddelde en de steekproefvariantie. | | Steekproefgemiddelde | Het gemiddelde van de waarden in een steekproef. Het is een schatter voor het populatiegemiddelde en wordt berekend door de som van de steekproefwaarden te delen door de steekproefgrootte. Formule: $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$. | | Steekproefvariantie | Een maat voor de spreiding van de gegevens in een steekproef rondom het steekproefgemiddelde. De populatievariantie wordt geschat met behulp van de steekproefvariantie. Formule: $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$. | | Populatiegemiddelde ($\mu$) | Het theoretische gemiddelde van de waarden in de gehele populatie. Dit is een parameter die vaak wordt geschat met behulp van het steekproefgemiddelde. | | Populatievariantie ($\sigma^2$) | De theoretische variantie van de waarden in de gehele populatie. Dit is een parameter die vaak wordt geschat met behulp van de steekproefvariantie. | | T-verdeling | Een kansverdeling die vergelijkbaar is met de normale verdeling, maar die wordt gebruikt bij het schatten van populatiegemiddelden wanneer de populatievariantie onbekend is en de steekproefgrootte klein is. De vorm van de t-verdeling hangt af van het aantal vrijheidsgraden. | | Vrijheidsgraden | Een parameter die de vorm van de t-verdeling bepaalt. Bij het schatten van een populatiegemiddelde met een kleine steekproef is het aantal vrijheidsgraden gelijk aan $n-1$, waarbij $n$ de steekproefgrootte is. | | Puntschatting | Een enkele waarde die wordt gebruikt om een populatieparameter te benaderen. Het steekproefgemiddelde is een puntschatting voor het populatiegemiddelde. | | Intervalschatten | Het proces van het construeren van een interval dat naar verwachting de populatieparameter bevat met een bepaalde mate van zekerheid. | | Betrouwbaarheidsinterval (BI) | Een reeks waarden die waarschijnlijk een populatieparameter bevat. Het wordt gedefinieerd door een onder- en bovengrens, en een betrouwbaarheidsniveau. | | Betrouwbaarheidsniveau | De kans dat het betrouwbaarheidsinterval de werkelijke populatieparameter bevat. Gangbare niveaus zijn 90%, 95% en 99%. | | Kritische waarde | Een waarde uit een kansverdeling die wordt gebruikt om de grenzen van een betrouwbaarheidsinterval te bepalen. Voor de t-verdeling wordt deze aangeduid als $t_{\alpha/2}(n-1)$ en voor de standaard normale verdeling als $z_{\alpha/2}$. | | Populatieproportie ($\pi$) | Het aandeel of percentage van de populatie dat een bepaalde eigenschap bezit. Dit wordt vaak geschat met behulp van de steekproefproportie. | | Steekproefproportie ($\overline{p}$) | Het aandeel of percentage van de steekproef dat een bepaalde eigenschap bezit. Het is een schatter voor de populatieproportie. Formule: $\overline{p} = \frac{\text{Aantal successen in de steekproef}}{\text{steekproefgrootte}}$. | | Succes | In de context van proportieschatting verwijst 'succes' naar het voorkomen van de eigenschap waarin men geïnteresseerd is in een individu of observatie. | | Mislukking | In de context van proportieschatting verwijst 'mislukking' naar het niet voorkomen van de eigenschap waarin men geïnteresseerd is in een individu of observatie. | | Normale benadering | Een techniek die wordt gebruikt om een binomiale verdeling te benaderen met een normale verdeling, wanneer de steekproefgrootte voldoende groot is. Dit vereenvoudigt de berekening van betrouwbaarheidsintervallen voor proporties. | | Onvertekende schatter (unbiased estimator) | Een schatter waarvan de verwachte waarde gelijk is aan de te schatten populatieparameter. Dit betekent dat de schatter gemiddeld genomen de parameter correct inschat. | | $t$-verdeling met $k$ vrijheidsgraden | Een continue kansverdeling die lijkt op de normale verdeling, maar met zwaardere staarten, wat betekent dat extremere waarden waarschijnlijker zijn. De parameter $k$ geeft het aantal vrijheidsgraden aan, dat de vorm van de verdeling bepaalt. | | $N(0,1)$ | Standaard normale verdeling, een normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1. | | $z_{1-\alpha/2}$ | De kritische waarde uit de standaard normale verdeling die een oppervlakte van $1-\alpha/2$ naar links heeft. Deze waarde wordt gebruikt om betrouwbaarheidsintervallen te berekenen. |

# Het opstellen van hypothesen Dit deel van de studiehandleiding richt zich op het formuleren van de nulhypothese en de alternatieve hypothese, die voortkomen uit een onderzoeksvraag en essentieel zijn voor het opzetten van statistisch onderzoek [2](#page=2). ### 1.1 De relatie tussen onderzoeksvraag en hypothesen Een onderzoeksvraag introduceert een vermoeden, verwachting of een specifieke vraag die onderzocht moet worden. Deze onderzoeksvraag wordt vertaald naar twee concurrerende hypothesen: de alternatieve hypothese ($H_A$) en de nulhypothese ($H_0$) [6](#page=6) [7](#page=7). #### 1.1.1 De alternatieve hypothese ($H_A$) De alternatieve hypothese vertegenwoordigt de stelling die de onderzoeker hoopt te bewijzen, oftewel het vermoeden, de verwachting of de vraag die men wil aantonen [7](#page=7). > **Voorbeelden van alternatieve hypothesen:** > * Gemiddelde tijd tot progressie bij nieuwe behandeling langer dan 24 maanden? ($H_A: \mu > 24$) [6](#page=6). > * Is de gemiddelde geboortelengte bij meisjes kleiner dan 51 cm? ($H_A: \mu < 51$) [6](#page=6). > * Is het gemiddelde gewicht bij hartpatiënten verschillend van 77kg? ($H_A: \mu \neq 77$) [6](#page=6). #### 1.1.2 De nulhypothese ($H_0$) De nulhypothese is het tegenovergestelde van de alternatieve hypothese en stelt doorgaans dat er geen effect, geen verschil of geen verband is. Het is de hypothese die we proberen te weerleggen [7](#page=7). > **Voorbeelden van nulhypothesen (in relatie tot de alternatieve hypothesen hierboven):** > * $H_0: \mu \leq 24$ [7](#page=7). > * $H_0: \mu \geq 51$ [7](#page=7). > * $H_0: \mu = 77$ [7](#page=7). ### 1.2 Essentiële principes bij het opstellen van hypothesen Het correct opstellen van hypothesen is cruciaal voor een valide statistische analyse. Er zijn twee belangrijke principes die hierbij in acht genomen moeten worden [8](#page=8). #### 1.2.1 Opstellen vóór steekproeftrekking Het is van fundamenteel belang dat zowel de nulhypothese als de alternatieve hypothese worden geformuleerd op basis van de onderzoeksvraag, *voordat* er gegevens uit een steekproef worden verzameld. Dit voorkomt dat de hypothesen worden beïnvloed door de resultaten van de steekproef, wat kan leiden tot subjectiviteit en onbetrouwbare conclusies [8](#page=8). > **Tip:** Zie het opstellen van hypothesen als het vastleggen van de spelregels voordat het spel begint. De uitkomst van het spel (de steekproef) mag de spelregels niet beïnvloeden [8](#page=8). #### 1.2.2 Testen met focus op de nulhypothese Bij het toetsen van hypothesen ligt de focus op het beoordelen van de geldigheid van de nulhypothese. Het doel is om te bepalen of er voldoende statistisch bewijs is om de nulhypothese te verwerpen. Indien de nulhypothese verworpen kan worden, wordt de alternatieve hypothese als waarschijnlijk correct beschouwd [8](#page=8). > **Voorbeeld:** Als we $H_0: \mu = 77$ willen toetsen tegen $H_A: \mu \neq 77$, zullen we kijken of de data uit de steekproef sterk genoeg afwijkt van 77 om de nulhypothese te verwerpen. Als dat zo is, ondersteunt dit de alternatieve hypothese dat het gemiddelde gewicht verschillend is van 77kg [5](#page=5) [7](#page=7). --- # Het testen van hypothesen voor een populatiegemiddelde Dit onderdeel behandelt het proces van het toetsen van hypothesen met betrekking tot een populatiegemiddelde, inclusief de criteria voor het verwerpen van de nulhypothese, het concept van type I en type II fouten, en de stappen die gevolgd moeten worden tijdens het testen [9](#page=9). ### 2.1 Het verwerpen van de nulhypothese De beslissing om de nulhypothese ($H_0$) te verwerpen, hangt af van de aard van de alternatieve hypothese ($H_A$) en de relatie tussen het steekproefgemiddelde ($\bar{x}$) en een kritieke waarde ($c$ of $c_1, c_2$) [10](#page=10) [11](#page=11) [12](#page=12). * **Voorbeeld 1: Rechtseenzijdige toets** ($H_0: \mu \le 24$ versus $H_A: \mu > 24$) [10](#page=10) [18](#page=18). De nulhypothese wordt verworpen wanneer het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ groter is dan een bepaalde waarde $c$. Dit betekent dat de geobserveerde waarde in het rechterdeel van de verdeling ligt, wat bewijs levert tegen $H_0$ ten gunste van $H_A$ [10](#page=10) [19](#page=19). * **Voorbeeld 2: Linkseenzijdige toets** ($H_0: \mu \ge 51$ versus $H_A: \mu < 51$) [11](#page=11) [23](#page=23). De nulhypothese wordt verworpen wanneer het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ kleiner is dan een bepaalde waarde $c$. Dit suggereert dat de geobserveerde waarde zich in het linkermidden van de verdeling bevindt, wat bewijs is tegen $H_0$ [11](#page=11) [23](#page=23). * **Voorbeeld 3: Tweezijdige toets** ($H_0: \mu = 77$ versus $H_A: \mu \ne 77$) [12](#page=12) [27](#page=27). De nulhypothese wordt verworpen wanneer het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ kleiner is dan een bepaalde waarde $c_1$ of groter is dan een bepaalde waarde $c_2$. Dit houdt in dat zowel extreem lage als extreem hoge steekproefgemiddelden redenen zijn om $H_0$ te verwerpen [12](#page=12) [27](#page=27). #### 2.1.1 De teststatistiek Voor het bepalen van de kritieke waarden $c$, $c_1$ en $c_2$ maken we gebruik van een teststatistiek. Indien de steekproefomvang ($n$) voldoende groot is, of indien $n$ klein is maar de populatie normaal verdeeld, dan wordt de volgende uitdrukking gebruikt als teststatistiek (ook wel toetsingsgrootheid genoemd) [17](#page=17): $$ T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $$ waarbij: * $\bar{x}$ het steekproefgemiddelde is. * $\mu_0$ de hypothesische populatiegemiddelde onder de nulhypothese. * $s$ de standaarddeviatie van de steekproef. * $n$ de steekproefomvang is. Deze teststatistiek volgt een $t$-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden, genoteerd als $T \sim t(n-1)$ [17](#page=17). > **Tip:** De kritieke waarden ($c, c_1, c_2$) worden bepaald op basis van de verdeling van de teststatistiek onder de aanname dat de nulhypothese waar is, en dit moet gebeuren op een bepaald significantieniveau $\alpha$ [18](#page=18). ### 2.2 Type I en type II fouten Bij het nemen van een statistische beslissing over een hypothese zijn er twee soorten fouten mogelijk [13](#page=13): * **Type I fout:** Het verwerpen van de nulhypothese terwijl deze in werkelijkheid waar is. De kans hierop wordt aangeduid met $\alpha$, het significantieniveau [13](#page=13) [15](#page=15). * **Type II fout:** Het niet verwerpen van de nulhypothese terwijl deze in werkelijkheid onwaar is. De kans hierop wordt aangeduid met $\beta$ [13](#page=13). Er is een omgekeerde relatie tussen de kans op een type I fout en de kans op een type II fout: als de kans op een type I fout daalt, stijgt de kans op een type II fout, en vice versa. Vaak wordt de focus gelegd op het minimaliseren van de 'ergste' fout [13](#page=13) [14](#page=14). #### 2.2.1 Het significantieniveau ($\alpha$) Het significantieniveau ($\alpha$) is de vastgelegde maximale kans op een type I fout. Een veelgebruikte waarde voor $\alpha$ is 0.05 (of 5%). Dit betekent dat in 5% van de gevallen waarin de nulhypothese waar is, we ten onrechte besluiten deze te verwerpen [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Als er 100 onschuldigen voor de rechtbank verschijnen en de nulhypothese is dat de man onschuldig is, dan zullen bij een $\alpha = 0.05$ gemiddeld 5 van hen ten onrechte schuldig worden bevonden en mogelijk de doodstraf krijgen [15](#page=15). #### 2.2.2 Bepalen van kritieke waarden met $\alpha$ Het significantieniveau $\alpha$ wordt gebruikt om de kritieke waarden ($c$, $c_1$, $c_2$) te bepalen, zodanig dat de kans op een type I fout gelijk is aan $\alpha$ [17](#page=17). * **Rechtseenzijdige toets** ($H_A: \mu > \mu_0$): We verwerpen $H_0$ als de teststatistiek groter is dan de kritieke waarde $k.p.$, waarbij $P(T > k.p. | H_0 \text{ waar}) = \alpha$. Bij $\alpha = 0.05$ en $n-1 = 99$ vrijheidsgraden, is de kritieke waarde ongeveer 1.658 [19](#page=19) [20](#page=20). * **Linkseenzijdige toets** ($H_A: \mu < \mu_0$): We verwerpen $H_0$ als de teststatistiek kleiner is dan de kritieke waarde $k.p.$, waarbij $P(T < k.p. | H_0 \text{ waar}) = \alpha$. Bij $\alpha = 0.05$ en $n-1 = 40$ vrijheidsgraden, is de kritieke waarde ongeveer -1.684 [23](#page=23) [24](#page=24). * **Tweezijdige toets** ($H_A: \mu \ne \mu_0$): We verwerpen $H_0$ als de teststatistiek kleiner is dan $-k.p.$ of groter is dan $+k.p.$, waarbij $P(T < -k.p. | H_0 \text{ waar}) = \alpha/2$ en $P(T > k.p. | H_0 \text{ waar}) = \alpha/2$. Bij $\alpha = 0.05$ (dus $\alpha/2 = 0.025$) en $n-1 = 22$ vrijheidsgraden, zijn de kritieke waarden ongeveer -2.074 en +2.074 [27](#page=27) [28](#page=28). ### 2.3 Het toetsen van hypothesen: stappenplan Het proces van het testen van hypothesen kan worden gestructureerd aan de hand van de volgende stappen [22](#page=22): 1. **Stel je hypotheses op:** Formuleer duidelijk de nulhypothese ($H_0$) en de alternatieve hypothese ($H_A$). Bepaal of het een rechtseenzijdige, linkseenzijdige of tweezijdige toets betreft [22](#page=22) [30](#page=30). 2. **Ga de voorwaarden na:** Controleer of de aannames voor de gekozen statistische test (zoals normaliteit van de populatie of voldoende grote steekproefomvang) voldaan zijn [22](#page=22). 3. **Bepaal wanneer je de hypothese (niet) zult verwerpen:** Stel de kritieke waarden vast op basis van het gekozen significantieniveau ($\alpha$) en de verdeling van de teststatistiek [22](#page=22). 4. **Doe een steekproef en bereken de gepaste statistieken:** Verzamel data uit een steekproef en bereken het steekproefgemiddelde ($\bar{x}$), de steekproefstandaarddeviatie ($s$) en de waarde van de teststatistiek [22](#page=22). 5. **Trek je conclusie:** Vergelijk de berekende teststatistiek met de kritieke waarden. Formuleer de conclusie in statistische termen (verwerpen of niet verwerpen van $H_0$ op een bepaald significantieniveau) en in de context van de onderzoeksvraag [22](#page=22). #### 2.3.1 Voorbeeld 1: Tijd tot progressie Onderzoekers onderzoeken de tijd tot progressie bij 100 patiënten na een experimentele behandeling. De nulhypothese is dat de gemiddelde tijd tot progressie $\mu \le 24$ maanden ($H_0: \mu \le 24$ versus $H_A: \mu > 24$) [21](#page=21). * **Stap 1:** Hypotheses zijn $H_0: \mu \le 24$ en $H_A: \mu > 24$. Dit is een rechtseenzijdige toets [21](#page=21). * **Stap 2:** Voorwaarden: $n=100 \ge 30$, dus de teststatistiek volgt een $t$-verdeling [21](#page=21). * **Stap 3:** We bepalen de kritieke waarde op basis van $\alpha = 0.05$ en $n-1 = 99$ vrijheidsgraden. De kritieke waarde is ongeveer 1.658. We verwerpen $H_0$ als $\frac{\bar{x}-24}{s/\sqrt{n}} > 1.658$ [20](#page=20) [21](#page=21). * **Stap 4:** Het steekproefgemiddelde is $\bar{x} = 27$ maanden en de steekproefvariantie is $s^2 = 81$. De teststatistiek is: $$ \frac{27 - 24}{\sqrt{81} / \sqrt{100}} = \frac{3}{9 / 10} = \frac{3}{0.9} = 3.333 $$ [21](#page=21). * **Stap 5:** De berekende teststatistiek (3.333) is groter dan de kritieke waarde (1.658). **Conclusie:** Op een significantieniveau van 5% verwerpen we de nulhypothese. De tijd tot progressie bij de experimentele behandeling is significant meer dan 24 maanden [21](#page=21). #### 2.3.2 Voorbeeld 2: Geboortelengte bij meisjes Onderzocht wordt of de gemiddelde geboortelengte van meisjes significant kleiner is dan 51 cm. Een steekproef van 41 meisjes levert een gemiddelde van 50.8 cm en een variantie van 1.6 op [25](#page=25). * **Stap 1:** Hypotheses zijn $H_0: \mu \ge 51$ en $H_A: \mu < 51$. Dit is een linkseenzijdige toets [23](#page=23). * **Stap 2:** Voorwaarden: $n=41 \ge 30$, dus de teststatistiek volgt een $t$-verdeling met 40 vrijheidsgraden [23](#page=23). * **Stap 3:** Bij $\alpha = 0.05$ en 40 vrijheidsgraden is de kritieke waarde ongeveer -1.684. We verwerpen $H_0$ als $\frac{\bar{x}-51}{s/\sqrt{n}} < -1.684$ [24](#page=24) [25](#page=25). * **Stap 4:** De teststatistiek is: $$ \frac{50.8 - 51}{\sqrt{1.6} / \sqrt{41}} = \frac{-0.2}{\sqrt{1.6 / 41}} \approx \frac{-0.2}{0.198} \approx -1.012 $$ [25](#page=25). * **Stap 5:** De berekende teststatistiek (-1.012) is groter dan de kritieke waarde (-1.684). **Conclusie:** Op een significantieniveau van 5% verwerpen we de nulhypothese niet. De gemiddelde geboortelengte van meisjes is niet significant kleiner dan 51 cm [26](#page=26). #### 2.3.3 Voorbeeld 3: Gewicht bij hartpatiënten Er wordt onderzocht of het gemiddelde gewicht bij hartpatiënten significant verschilt van 77 kg. Uit een steekproef van 23 patiënten blijkt het gemiddelde gewicht 83 kg en de variantie 64 kg² [27](#page=27) [29](#page=29). * **Stap 1:** Hypotheses zijn $H_0: \mu = 77$ en $H_A: \mu \ne 77$. Dit is een tweezijdige toets [27](#page=27). * **Stap 2:** Voorwaarden: $n=23 < 30$, maar de populatie komt uit een normaal verdeelde populatie, dus de teststatistiek volgt een $t$-verdeling met 22 vrijheidsgraden [27](#page=27). * **Stap 3:** Bij $\alpha = 0.05$ (dus $\alpha/2 = 0.025$) en 22 vrijheidsgraden zijn de kritieke waarden ongeveer -2.074 en +2.074. We verwerpen $H_0$ als $\frac{\bar{x}-77}{s/\sqrt{n}} < -2.074$ of $\frac{\bar{x}-77}{s/\sqrt{n}} > 2.074$ [28](#page=28) [29](#page=29). * **Stap 4:** De teststatistiek is: $$ \frac{83 - 77}{\sqrt{64} / \sqrt{23}} = \frac{6}{8 / \sqrt{23}} \approx \frac{6}{8 / 4.796} \approx \frac{6}{1.668} \approx 3.5969 $$ [29](#page=29). * **Stap 5:** De berekende teststatistiek (3.5969) ligt buiten het interval [-2.074, +2.074. **Conclusie:** Op een significantieniveau van 5% verwerpen we de nulhypothese. Het gemiddelde gewicht bij hartpatiënten is significant verschillend van 77 kg [29](#page=29). #### 2.3.4 Soorten hypothesetesten Er zijn drie algemene soorten hypothesetesten voor het populatiegemiddelde [30](#page=30): * **Rechtseenzijdige toets:** $H_0: \mu \le \mu_0$ versus $H_A: \mu > \mu_0$. * **Linkseenzijdige toets:** $H_0: \mu \ge \mu_0$ versus $H_A: \mu < \mu_0$. * **Tweezijdige toets:** $H_0: \mu = \mu_0$ versus $H_A: \mu \ne \mu_0$. --- # De p-waarde en de interpretatie ervan Dit deel behandelt de p-waarde als een instrument voor hypothesetoetsing, inclusief de berekening en interpretatie ervan voor verschillende eenzijdige en tweezijdige toetsen. ## 3 De p-waarde en de interpretatie ervan De p-waarde is een cruciale maatstaf binnen de statistiek om nulhypothesen te toetsen. Het vertegenwoordigt de waarschijnlijkheid om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de geobserveerde waarde, uitgaande van de geldigheid van de nulhypothese. De interpretatie en berekening van de p-waarde variëren afhankelijk van het type toets dat wordt uitgevoerd: rechtseenzijdig, linkseenzijdig of tweezijdig [31](#page=31) [44](#page=44). ### 3.1 De p-waarde bij een rechtseenzijdige test Bij een rechtseenzijdige test wordt de p-waarde gedefinieerd als de kans om een teststatistiek te observeren die groter is dan of gelijk is aan de geobserveerde waarde, aangenomen dat de nulhypothese waar is [34](#page=34). De formule voor de p-waarde bij een rechtseenzijdige test is: $$ p = P(T_{n-1} \geq \text{geobserveerde waarde}) $$ Hierbij is $T_{n-1}$ de teststatistiek met $n-1$ vrijheidsgraden [34](#page=34). De beslissingsregel is als volgt: * Verwerp de nulhypothese ($H_0$) als $p < \alpha$, waarbij $\alpha$ het significantieniveau is (meestal 0.05) [34](#page=34). * Verwerp de nulhypothese ($H_0$) niet als $p \geq \alpha$ [34](#page=34). Op de grafieken wordt dit geïllustreerd door de oppervlakte onder de kansdichtheidsfunctie vanaf de geobserveerde waarde naar rechts. Als de geobserveerde waarde aan of onder het kritische punt (k.p.) ligt, is de p-waarde groter dan of gelijk aan 0.05, en wordt de nulhypothese niet verworpen. Ligt de geobserveerde waarde boven het kritische punt, dan is de p-waarde kleiner dan 0.05 en wordt de nulhypothese verworpen [32](#page=32) [33](#page=33). > **Tip:** Bij een rechtseenzijdige test zoek je naar bewijs in de richting van een grotere waarde dan de nulhypothese suggereert. De p-waarde kwantificeert hoe onwaarschijnlijk de geobserveerde resultaten zijn onder de nulhypothese. ### 3.2 De p-waarde bij een linkseenzijdige test Voor een linkseenzijdige test wordt de p-waarde gedefinieerd als de kans om een teststatistiek te observeren die kleiner is dan of gelijk is aan de geobserveerde waarde, onder de aanname dat de nulhypothese waar is [37](#page=37). De formule voor de p-waarde bij een linkseenzijdige test is: $$ p = P(T_{n-1} \leq \text{geobserveerde waarde}) $$ Hierbij is $T_{n-1}$ de teststatistiek met $n-1$ vrijheidsgraden [37](#page=37). De beslissingsregel is identiek aan die van de rechtseenzijdige test: * Verwerp $H_0$ als $p < \alpha$ [37](#page=37). * Verwerp $H_0$ niet als $p \geq \alpha$ [37](#page=37). Grafisch wordt dit weergegeven door de oppervlakte onder de kansdichtheidsfunctie vanaf de geobserveerde waarde naar links. Als de geobserveerde waarde aan of boven het kritische punt ligt, is de p-waarde groter dan of gelijk aan 0.05, wat leidt tot het niet verwerpen van de nulhypothese. Wanneer de geobserveerde waarde kleiner is dan het kritische punt, is de p-waarde kleiner dan 0.05 en wordt de nulhypothese verworpen [35](#page=35) [36](#page=36). > **Tip:** Een linkseenzijdige test wordt gebruikt wanneer je geïnteresseerd bent in bewijs voor een kleinere waarde dan de nulhypothese stelt. ### 3.3 De p-waarde bij een tweezijdige test Bij een tweezijdige test wordt de p-waarde berekend op een manier die extremen in beide staarten van de verdeling meeneemt. Dit om de beslissingsregel consistent te houden voor elke test [42](#page=42) [43](#page=43). Er zijn twee manieren om de p-waarde voor een tweezijdige test te definiëren, afhankelijk van het teken van de geobserveerde waarde: 1. **Indien de geobserveerde waarde negatief is:** De p-waarde, vaak aangeduid als $p^*$, wordt berekend als de kans om een teststatistiek te observeren die kleiner is dan of gelijk is aan de geobserveerde waarde. De uiteindelijke p-waarde ($p$) wordt vervolgens verkregen door dit te vermenigvuldigen met 2 om rekening te houden met extremen in beide staarten [42](#page=42) [43](#page=43). $$ p^* = P(T_{n-1} \leq \text{geobserveerde waarde}) $$ $$ p = 2 \times P(T_{n-1} \leq \text{geobserveerde waarde}) $$ Beslissingsregel: Verwerp $H_0$ als $p < \alpha$ [42](#page=42) [43](#page=43). 2. **Indien de geobserveerde waarde positief is:** De p-waarde, $p^*$, wordt berekend als de kans om een teststatistiek te observeren die groter is dan of gelijk is aan de geobserveerde waarde. De uiteindelijke p-waarde ($p$) is tweemaal deze kans [42](#page=42) [43](#page=43). $$ p^* = P(T_{n-1} \geq \text{geobserveerde waarde}) $$ $$ p = 2 \times P(T_{n-1} \geq \text{geobserveerde waarde}) $$ Beslissingsregel: Verwerp $H_0$ als $p < \alpha$ [42](#page=42) [43](#page=43). Voor een tweezijdige test wordt de nulhypothese verworpen als de berekende p-waarde kleiner is dan $\alpha/2$ wanneer $p^*$ wordt gebruikt of als de berekende p-waarde kleiner is dan $\alpha$ wanneer $p$ (de verdubbelde waarde) wordt gebruikt. De tweede benadering met de verdubbelde kans ($p$) maakt de beslissingsregel identiek ($p < \alpha$) voor alle soorten toetsen [42](#page=42) [43](#page=43) [44](#page=44). Op de bijbehorende figuren wordt voor negatieve geobserveerde waarden de linkerstaart ($ \leq \text{geobs. waarde}$) met een oppervlakte van $\alpha/2$ getoond, en voor positieve geobserveerde waarden de rechterstaart ($ \geq \text{geobs. waarde}$) met een oppervlakte van $\alpha/2$. Als de geobserveerde waarde buiten de intervallen ($-\text{k.p.}, +\text{k.p.}$) valt, wordt de nulhypothese verworpen [38](#page=38) [39](#page=39) [40](#page=40) [41](#page=41). ### 3.4 Overzicht van de p-waarde en verwerpingsregel De p-waarde is een samenvattende statistiek die de mate van ondersteuning voor de nulhypothese weergeeft. De berekening ervan hangt af van de richting van de alternatieve hypothese [44](#page=44): * **Linkseenzijdige test:** $ p = P(T_{n-1} \leq \text{geobserveerde waarde}) $ [44](#page=44). * **Rechtseenzijdige test:** $ p = P(T_{n-1} \geq \text{geobserveerde waarde}) $ [44](#page=44). * **Tweezijdige test:** * Indien de geobserveerde waarde negatief is: $ p = 2 \times P(T_{n-1} \leq \text{geobserveerde waarde}) $ [44](#page=44). * Indien de geobserveerde waarde positief is: $ p = 2 \times P(T_{n-1} \geq \text{geobserveerde waarde}) $ [44](#page=44). De algemene regel voor het verwerpen van de nulhypothese ($H_0$) op basis van de p-waarde is: * Verwerp $H_0$ als $p < \alpha$ [44](#page=44). * Verwerp $H_0$ niet als $p \geq \alpha$ [44](#page=44). ### 3.5 Voorbeelden van p-waarde berekening #### 3.5.1 Voorbeeld 1 Gegeven is de nulhypothese $H_0: \mu \leq 24$ tegen de alternatieve hypothese $H_A: \mu > 24$ met een steekproefgrootte $n=100$. De geobserveerde waarde is 3.33 [45](#page=45). Dit betreft een rechtseenzijdige test, dus de p-waarde wordt berekend als: $$ p = P(T_{n-1} \geq \text{geobserveerde waarde}) = P(T_{99} \geq 3.33) $$ Aangezien deze waarde niet direct in de standaard t-verdelingstabellen staat, wordt deze benaderd. De p-waarde is kleiner dan 0.001 [45](#page=45). **Besluit:** Omdat de berekende p-waarde ($p < 0.001$) kleiner is dan het significantieniveau $\alpha = 0.05$, wordt de nulhypothese verworpen op een significantieniveau van 5% [45](#page=45). #### 3.5.2 Voorbeeld 2 en 3 Pagina 46 en 47 bevatten verder geen specifieke uitgewerkte voorbeelden van p-waarde berekeningen die hier expliciet samengevat kunnen worden [46](#page=46) [47](#page=47). > **Tip:** De p-waarde geeft de kans op de geobserveerde data (of extremere data) onder de nulhypothese. Een lage p-waarde (< $\alpha$) suggereert dat de data onwaarschijnlijk zijn onder $H_0$, wat leidt tot verwerping van $H_0$. Een hoge p-waarde ($\geq \alpha$) betekent dat de data plausibel zijn onder $H_0$, dus er is onvoldoende bewijs om $H_0$ te verwerpen. --- # Hypothesetesten voor een proportie Dit deel introduceert de procedure voor het testen van hypothesen met betrekking tot een populatieproportie, inclusief de voorwaarden, berekening van de teststatistiek, en interpretatie van resultaten zoals de p-waarde [52](#page=52). ### 4.1 Algemene principes Net als bij het testen van gemiddelden, is het testen van proporties gebaseerd op de verdeling van een toetsingsgrootheid. De procedure omvat het formuleren van hypothesen, het controleren van de voorwaarden voor de test, het berekenen van de toetsingsgrootheid, en het trekken van een conclusie op basis van de p-waarde of een kritieke waarde [54](#page=54) [55](#page=55). ### 4.2 Formuleren van hypothesen Hypothesen worden geformuleerd in termen van de populatieproportie, aangeduid met $\pi$. De nulhypothese ($H_0$) stelt een specifieke waarde of een bereik van waarden voor de populatieproportie voor, terwijl de alternatieve hypothese ($H_A$) het tegenovergestelde stelt [53](#page=53). * **Voorbeeld:** Bij het evalueren van een nieuwe therapie voor Alzheimer, is de klassieke behandeling geassocieerd met 21% van de patiënten die na 12 maanden in een verder stadium van de ziekte zitten. Voor de nieuwe therapie worden de hypothesen geformuleerd als $H_0: \pi \geq 0.21$ versus $H_A: \pi < 0.21$. Dit is een links-eenzijdig toetsingsprobleem omdat men wil weten of de nieuwe therapie *lager* is dan 21% [53](#page=53). ### 4.3 Voorwaarden voor de test Om de toetsingsgrootheid te kunnen benaderen met een normale verdeling, moeten de volgende voorwaarden voldaan zijn: * $n\pi_0 \geq 5$ * $n(1-\pi_0) \geq 5$ Hierbij is $n$ de steekproefgrootte en $\pi_0$ de proportie onder de nulhypothese [54](#page=54). > **Tip:** Als deze voorwaarden niet voldaan zijn, kan de test enkel betrouwbaar worden uitgevoerd met behulp van statistische software zoals R [57](#page=57). ### 4.4 Berekening van de teststatistiek Wanneer de voorwaarden voldaan zijn, volgt de toetsingsgrootheid bij benadering een standaard normale verdeling, $N(0,1)$. De formule voor de teststatistiek ($Z$) is [54](#page=54): $$Z = \frac{\bar{p} - \pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}$$ Hierbij is $\bar{p}$ de steekproefproportie [54](#page=54). * **Voorbeeld (vervolg):** Gegeven $n=100$ patiënten en $\bar{p} = \frac{16}{100} = 0.16$. De teststatistiek wordt berekend als: $$Z = \frac{0.16 - 0.21}{\sqrt{\frac{0.21(1-0.21)}{100}}} = \frac{-0.05}{\sqrt{\frac{0.21 \ast 0.79}{100}}} = \frac{-0.05}{\sqrt{\frac{0.1659}{100}}} = \frac{-0.05}{0.04073} \approx -1.228$$ ### 4.5 Interpretatie van de resultaten De interpretatie gebeurt op basis van de p-waarde of door de berekende teststatistiek te vergelijken met een kritieke waarde. #### 4.5.1 Kritieke waarde benadering Voor een links-eenzijdig toetsingsprobleem met een significantieniveau $\alpha = 0.05$, is de kritieke waarde voor een $N(0,1)$ verdeling -1.645. Als de berekende teststatistiek kleiner is dan de kritieke waarde, wordt de nulhypothese verworpen [55](#page=55). * **Voorbeeld (vervolg):** De berekende teststatistiek is ongeveer -1.2276. Aangezien -1.2276 niet kleiner is dan -1.645, wordt de nulhypothese $H_0$ niet verworpen op een significantieniveau van 5%. Dit betekent dat we niet kunnen concluderen dat de proportie in een volgend stadium na 12 maanden significant kleiner is dan 21% [56](#page=56). #### 4.5.2 P-waarde benadering De p-waarde is de kans om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de geobserveerde waarde, aannemende dat de nulhypothese waar is [57](#page=57). * **Voorbeeld (vervolg):** Voor een links-eenzijdig test is de p-waarde: $p = P(Z \leq \text{geobserveerde waarde}) = P(Z \leq -1.2276)$ [57](#page=57). Met behulp van een standaard normale verdelingstabel of software: $P(Z \leq -1.2276) \approx 1 - 0.8907 = 0.1093$ [57](#page=57). Aangezien de p-waarde (0.1093) groter is dan het significantieniveau van 0.05, wordt de nulhypothese niet verworpen [57](#page=57). ### 4.6 Hypothesetest voor een proportie in R Statistische software zoals R kan worden gebruikt om hypothesetesten voor proporties uit te voeren. De functie vereist het aantal successen ($x$), de steekproefgrootte ($n$), de proportie onder de nulhypothese ($p = \pi_0$), en de specificatie van de alternatieve hypothese (`alternative = “two.sided”`, `“left”` of `“right”`) [58](#page=58). * **Voorbeeld (vervolg) in R:** * De input zou zijn: $x=16$, $n=100$, $p=0.21$, `alternative = "left"` (#page=53 58) [53](#page=53) [58](#page=58). * De output in R kan de teststatistiek en de p-waarde opleveren. In een gerelateerd voorbeeld met een tweezijdige test, wordt vermeld dat de teststatistiek $\frac{\bar{p} - \pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}$ weliswaar een chi-kwadraatverdeling met 1 vrijheidsgraad volgt (wat equivalent is aan $N(0,1)^2$), maar dat voor de oorspronkelijke links-eenzijdige test de $N(0,1)$ teststatistiek directer is. De p-waarde voor de alternatieve hypothese $H_a: \pi > 0.21$ wordt gegeven als 0.1098 [60](#page=60). * **Besluit:** De p-waarde (0.1098) is groter dan 0.05, dus $H_0$ wordt niet verworpen op 5% significantieniveau. De proportie patiënten die met de nieuwe therapie na 12 maanden in een volgend stadium zitten, is niet significant kleiner dan 21% [61](#page=61). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Nulhypothese (H0) | De hypothese die het tegenovergestelde beweert van wat men wil aantonen of vermoeden. In de statistiek wordt deze hypothese gebruikt als uitgangspunt om te testen of er voldoende bewijs is om deze te verwerpen ten gunste van de alternatieve hypothese. | | Alternatieve hypothese (HA) | De hypothese die men verwacht, vermoedt of wil aantonen. Bij het testen van hypothesen wordt getracht voldoende statistisch bewijs te vinden om de nulhypothese te verwerpen en de alternatieve hypothese te ondersteunen. | | Steekproefgemiddelde (ҧx) | Het gemiddelde dat wordt berekend op basis van een steekproef uit een populatie. Dit is een schatting van het werkelijke populatiegemiddelde en wordt gebruikt om conclusies te trekken over de populatie. | | Steekproefproportie (ҧp) | Het percentage of aandeel van een bepaalde kenmerk binnen een steekproef. Dit is een schatting van de populatieproportie en wordt gebruikt in hypothesestoetsen voor proporties. | | Populatiegemiddelde (μ) | Het gemiddelde van een bepaald kenmerk over de gehele populatie. Dit is een theoretische waarde die vaak onbekend is en wordt geschat met behulp van steekproefgemiddelden. | | Populatieproportie (π) | Het werkelijke aandeel van een bepaald kenmerk in de gehele populatie. Net als het populatiegemiddelde is dit een theoretische waarde die meestal onbekend is. | | Significantieniveau (α) | De kans op het maken van een Type I fout, oftewel het verwerpen van de nulhypothese terwijl deze waar is. Meestal wordt een significantieniveau van 0.05 (of 5%) gehanteerd. | | Type I fout | Een fout die optreedt wanneer de nulhypothese ten onrechte wordt verworpen, terwijl deze in werkelijkheid waar is. De kans hierop is gelijk aan het significantieniveau (α). | | Type II fout | Een fout die optreedt wanneer de nulhypothese ten onrechte niet wordt verworpen, terwijl deze in werkelijkheid onwaar is. De kans hierop wordt aangeduid met β. | | Teststatistiek of toetsingsgrootheid | Een statistiek berekend uit steekproefgegevens die wordt gebruikt om de nulhypothese te testen. Afhankelijk van de situatie kan dit een z-statistiek of een t-statistiek zijn. | | Kritisch punt (k.p.) | Een waarde uit de verdeling van de teststatistiek die de grens bepaalt tussen het gebied waar de nulhypothese niet wordt verworpen en het gebied waar deze wel wordt verworpen. | | p-waarde | De kans om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de geobserveerde waarde, aangenomen dat de nulhypothese waar is. Een lage p-waarde (< α) leidt tot het verwerpen van de nulhypothese. | | Rechtseenzijdige toets | Een hypothesetest waarbij de alternatieve hypothese een "groter dan" relatie aangeeft (bv. H A: μ > μ0). Het kritieke gebied ligt aan de rechterkant van de verdeling. | | Linkseenzijdige toets | Een hypothesetest waarbij de alternatieve hypothese een "kleiner dan" relatie aangeeft (bv. H A: μ < μ0). Het kritieke gebied ligt aan de linkerkant van de verdeling. | | Tweezijdige toets | Een hypothesetest waarbij de alternatieve hypothese een "ongelijk aan" relatie aangeeft (bv. H A: μ ≠ μ0). Het kritieke gebied is verdeeld over beide staarten van de verdeling. | | t-verdeling (t(n-1)) | Een kansverdeling die lijkt op de normale verdeling, maar met dikkere staarten. Deze wordt gebruikt bij het testen van hypothesen over populatiegemiddelden wanneer de populatiestandaarddeviatie onbekend is en de steekproefomvang klein is of de populatie niet normaal verdeeld is. | | N(0,1) verdeling | De standaard normale verdeling, met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1. Deze wordt gebruikt bij het testen van hypothesen over populatieproporties wanneer bepaalde voorwaarden zijn voldaan. | | Chi-kwadraatverdeling (χ²) | Een kansverdeling die wordt gebruikt in statistische tests, waaronder hypothesetesten voor proporties wanneer de teststatistiek gekwadrateerd wordt. |

# Hypothesetoetsen voor gemiddelden en proporties in twee populaties Dit onderwerp behandelt de principes en toepassingen van het toetsen van hypothesen wanneer men twee populatiegemiddelden of twee populatieproporties met elkaar vergelijkt [3](#page=3). ### 1.1 Inleiding tot het toetsen van hypothesen in twee populaties Net zoals bij hypothesetoetsen in één populatie, is het doel bij het vergelijken van twee populaties het formuleren en toetsen van hypothesen over hun parameters (gemiddelden of proporties). De kernconcepten van nulhypothese ($H_0$) en alternatieve hypothese ($H_A$) blijven van kracht, maar worden nu toegepast op de relatie tussen twee populaties [2](#page=2) [3](#page=3). #### 1.1.1 Hypothesenvormen voor twee gemiddelden Bij het vergelijken van twee populatiegemiddelden ($\mu_1$ en $\mu_2$) kunnen de hypothesen worden geformuleerd als: * $H_0: \mu_1 \le \mu_2$ versus $H_A: \mu_1 > \mu_2$ (éénzijdige toets) [3](#page=3). * $H_0: \mu_1 \ge \mu_2$ versus $H_A: \mu_1 < \mu_2$ (éénzijdige toets) [3](#page=3). * $H_0: \mu_1 = \mu_2$ versus $H_A: \mu_1 \ne \mu_2$ (tweezijdige toets) [3](#page=3). #### 1.1.2 Hypothesenvormen voor twee proporties Voor het vergelijken van twee populatieproporties ($\pi_1$ en $\pi_2$) gelden vergelijkbare vormen: * $H_0: \pi_1 \le \pi_2$ versus $H_A: \pi_1 > \pi_2$ (éénzijdige toets) [3](#page=3). * $H_0: \pi_1 \ge \pi_2$ versus $H_A: \pi_1 < \pi_2$ (éénzijdige toets) [3](#page=3). * $H_0: \pi_1 = \pi_2$ versus $H_A: \pi_1 \ne \pi_2$ (tweezijdige toets) [3](#page=3). #### 1.1.3 Voorbeelden van het opstellen van hypothesen * **Voorbeeld 1 (Gekoppeld):** Onderzoek naar de impact van yoga op ademhalingscapaciteit. $H_0: \mu_{yoga} \le \mu_{geen\_yoga}$ versus $H_A: \mu_{yoga} > \mu_{geen\_yoga}$, waarbij $\mu$ staat voor de gemiddelde ademhalingscapaciteit [5](#page=5). * **Voorbeeld 2 (Onafhankelijk):** Vergelijking van ademhalingscapaciteit tussen studenten die wel en geen yoga beoefenen. $H_0: \mu_{yoga} \le \mu_{geen\_yoga}$ versus $H_A: \mu_{yoga} > \mu_{geen\_yoga}$ [6](#page=6). * **Voorbeeld 3 (Onafhankelijk):** Effectiviteit van een nieuwe Alzheimer-behandeling. $H_0: \mu_{klassiek} \ge \mu_{nieuw}$ versus $H_A: \mu_{klassiek} < \mu_{nieuw}$, waarbij $\mu$ staat voor de gemiddelde tijd tot progressie [7](#page=7). * **Voorbeeld 4 (Gekoppeld):** Verschil in lichaamsgewicht tussen 12-jarige jongens en meisjes, waarbij tweelingen worden gebruikt. $H_0: \mu_{jongens} = \mu_{meisjes}$ versus $H_A: \mu_{jongens} \ne \mu_{meisjes}$ [8](#page=8). ### 1.2 Gekoppelde versus onafhankelijke metingen Een cruciaal onderscheid bij het toetsen van gemiddelden in twee populaties is of de metingen gekoppeld of onafhankelijk zijn [10](#page=10) [9](#page=9). * **Gekoppelde metingen:** De observaties in de twee groepen zijn niet onafhankelijk. Dit kan komen doordat dezelfde subjecten op twee verschillende momenten worden gemeten (pre-test/post-test), of doordat de subjecten in de twee groepen op een andere manier aan elkaar gerelateerd zijn (bv. tweelingen, gematchte paren) [10](#page=10). * **Onafhankelijke metingen:** De observaties in de twee groepen zijn volledig onafhankelijk van elkaar. Dit betekent dat de keuze van subjecten in de ene groep geen invloed heeft op de keuze van subjecten in de andere groep [10](#page=10). #### 1.2.1 Herschrijven van hypothesen voor gekoppelde metingen Bij gekoppelde metingen kan de hypothese vaak worden gereduceerd tot een één-steekproef probleem door te kijken naar de verschillen tussen de gekoppelde waarden [13](#page=13) [14](#page=14). * **Voorbeeld 1:** $H_0: \mu_{yoga} \le \mu_{geen\_yoga}$ wordt herschreven als $H_0: \mu_{yoga - geen\_yoga} \le 0$. De toets wordt dan uitgevoerd op het gemiddelde van de verschillen [13](#page=13) [16](#page=16). #### 1.2.2 Twee gemiddelden: gekoppelde metingen Voor gekoppelde metingen wordt de toetsingsgrootheid berekend op basis van de verschillen tussen de gepaarde observaties [17](#page=17). * **Voorwaarden:** Als de steekproefgrootte klein is ($n < 30$), wordt verondersteld dat de verschillen normaal verdeeld zijn [17](#page=17). * **Teststatistiek:** De teststatistiek volgt een $t$-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden, waarbij $n$ het aantal paren is. De formule is: $$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s_x / \sqrt{n}}$$ waarbij $\bar{x}$ het gemiddelde verschil is, $\mu_0$ de waarde onder de nulhypothese (vaak 0), en $s_x$ de standaardafwijking van de verschillen [17](#page=17) [18](#page=18). #### 1.2.3 Twee gemiddelden: onafhankelijke metingen Bij onafhankelijke metingen is de situatie complexer, vooral wat betreft de vrijheidsgraden van de $t$-verdeling [24](#page=24). * **Werkwijze in R:** Vanwege de complexiteit van het berekenen van het aantal vrijheidsgraden, wordt de hypothesetest bij onafhankelijke metingen doorgaans in R uitgevoerd [25](#page=25). 1. **Hypothese opstellen:** Formuleer de nul- en alternatieve hypothesen [28](#page=28). 2. **Aannames controleren:** Controleer de aannames, zoals normaliteit van de populaties als de steekproeven klein zijn [28](#page=28). 3. **Varianties vergelijken:** Test of de populatievarianties gelijk zijn of niet (bv. met `var.test()` in R) [25](#page=25) [29](#page=29). 4. **Hypothese toetsen:** Voer de hypothesetest uit, rekening houdend met de conclusie over de gelijkheid van varianties [25](#page=25) [30](#page=30). * **Voorbeeld 2 (Yoga):** De toets voor de gemiddelden ($H_0: \mu_{yoga} - \mu_{geen\_yoga} \le 0$ vs $H_A: \mu_{yoga} - \mu_{geen\_yoga} > 0$) wordt uitgevoerd. Als uit de variantietest blijkt dat de varianties gelijk zijn, wordt een andere $t$-test gebruikt dan wanneer ze ongelijk zijn. De p-waarde (0.2941) is groter dan het significantieniveau (0.05), waardoor $H_0$ niet wordt verworpen [29](#page=29) [30](#page=30). ### 1.3 Twee onafhankelijke proporties Het vergelijken van twee proporties uit onafhankelijke populaties is een veelvoorkomende statistische taak [31](#page=31). * **Voorbeeld:** Onderzoek naar de effectiviteit van een nieuwe Alzheimer-behandeling [32](#page=32) [39](#page=39). * $H_0: \pi_{klassiek} \le \pi_{nieuw}$ versus $H_A: \pi_{klassiek} > \pi_{nieuw}$ * Herschreven als: $H_0: \pi_{klassiek} - \pi_{nieuw} \le 0$ versus $H_A: \pi_{klassiek} - \pi_{nieuw} > 0$ [32](#page=32). #### 1.3.1 Verdeling van de toetsingsgrootheid voor proporties Wanneer de nulhypothese waar is en aan bepaalde voorwaarden wordt voldaan (minstens 5 successen en 5 falen in beide steekproeven), volgt de toetsingsgrootheid een normale verdeling [33](#page=33). * **Voorwaarden:** min $n_1 \hat{p} \ge 5$ en min $n_2 \hat{p} \ge 5$ [33](#page=33) [34](#page=34). * **Teststatistiek:** $$\frac{\hat{p}_2 - \hat{p}_1}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}} \sim N(0,1)$$ Hierbij zijn: * $\hat{p}_1, \hat{p}_2$: de steekproefproporties in de twee groepen [33](#page=33). * $\hat{p}$: de gepoolde proportie, berekend als: $$\hat{p} = \frac{n_1 \hat{p}_1 + n_2 \hat{p}_2}{n_1 + n_2} = \frac{\text{aantal successen in totaal}}{n_1 + n_2}$$ [33](#page=33) [34](#page=34). * $n_1, n_2$: de steekproefgroottes [33](#page=33) [34](#page=34). #### 1.3.2 Berekening en interpretatie Bij het berekenen van de teststatistiek voor de Alzheimer-behandeling wordt de waarde 0.9110 verkregen [35](#page=35). * **Beslissing:** Omdat 0.9110 niet groter is dan het kritische punt voor een éénzijdige toets op 5% significantieniveau (ca. 1.645), wordt $H_0$ niet verworpen [34](#page=34) [35](#page=35). * **Conclusie:** De proportie patiënten die een volgend stadium bereiken is niet significant kleiner bij de nieuwe behandeling. De p-waarde is 0.1814 [35](#page=35). > **Tip:** Bij het toetsen van twee proporties is het essentieel om de voorwaarden voor de normale benadering te controleren. Indien deze niet voldaan is, kunnen andere methoden zoals de exacte toets (Fisher's exact test) nodig zijn, hoewel deze buiten het bestek van dit specifieke college vallen. #### 1.3.3 Twee proporties vergelijken met R Software zoals R biedt functies om deze toetsen efficiënt uit te voeren [36](#page=36) [37](#page=37) [38](#page=38) [39](#page=39). > **Tip:** Het is altijd aan te raden om software te gebruiken voor complexe statistische toetsen, vooral als het gaat om het bepalen van vrijheidsgraden of het uitvoeren van variantietests bij onafhankelijke metingen. Dit vermindert de kans op rekenfouten en zorgt voor een correcte toepassing van de statistische methoden. --- # Gekoppelde versus onafhankelijke metingen Dit hoofdstuk introduceert en vergelijkt het concept van gekoppelde metingen met dat van onafhankelijke metingen, met een focus op hoe deze verschillende meetmethoden de formulering en analyse van hypothesen beïnvloeden. ### 2.1 Inleiding tot gekoppelde en onafhankelijke metingen Het onderscheid tussen gekoppelde en onafhankelijke metingen is cruciaal voor het correct uitvoeren van statistische hypothesestoetsen. Gekoppelde metingen doen zich voor wanneer dezelfde subjecten meerdere keren worden gemeten, bijvoorbeeld voor en na een interventie. Onafhankelijke metingen vinden plaats wanneer verschillende groepen subjecten worden vergeleken, waarbij er geen verband is tussen de individuen in de ene groep en de individuen in de andere [10](#page=10) [9](#page=9). ### 2.2 Gekoppelde metingen Bij gekoppelde metingen is er een directe relatie tussen de observaties binnen een studie. Dit is typisch het geval bij een pre-test/post-test design, waarbij dezelfde groep subjecten wordt gemeten vóór en na een bepaalde interventie [10](#page=10). #### 2.2.1 Herschrijven van hypothesen voor gekoppelde metingen Het voordeel van gekoppelde metingen is dat de analyse kan worden herleid tot een 1-steekproef toets door te kijken naar de verschillen tussen de metingen per subject. Als we bijvoorbeeld de ademhalingscapaciteit vóór en na yoga meten, kunnen we de hypothese formuleren over het gemiddelde verschil (𝛍_yoga - 𝛍_geen_yoga) [13](#page=13) [14](#page=14). * **Voorbeeld 1:** Het vermoeden bestaat dat yoga de ademhalingscapaciteit verhoogt. Tien studenten meten hun ademhalingscapaciteit, beoefenen vervolgens een maand yoga en meten hun capaciteit opnieuw [10](#page=10) [16](#page=16). * Hypothese: 𝐻₀:𝜇_yoga ≤ 𝜇_geen_yoga versus 𝐻𝐴:𝜇_yoga > 𝜇_geen_yoga [10](#page=10). * Herschreven hypothese: 𝐻₀:𝜇_yoga - 𝜇_geen_yoga ≤ 0 versus 𝐻𝐴:𝜇_yoga - 𝜇_geen_yoga > 0 [13](#page=13) [16](#page=16). #### 2.2.2 Toetsingsprocedure voor gekoppelde metingen De analyse van gekoppelde metingen volgt de stappen van een 1-steekproef toets op de *verschillen* tussen de metingen [17](#page=17). 1. **Stel de hypothese op:** Formuleer de nulhypothese (𝐻₀) en de alternatieve hypothese (𝐻𝐴) met betrekking tot het gemiddelde verschil. 2. **Controleer de voorwaarden:** Beoordeel de steekproefgrootte (n) en de veronderstelling van normale verdeling van de verschillen. Voor kleine steekproeven (n < 30), is de normale verdeling van de verschillen cruciaal. De teststatistiek volgt dan een t-verdeling met n-1 vrijheidsgraden: $\frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$ [17](#page=17). 3. **Bepaal het kritisch gebied:** Identificeer het kritieke punt op basis van het significantieniveau (s.n.) en de verdeling van de teststatistiek. 4. **Bereken de teststatistiek:** Bereken het steekproefgemiddelde van de verschillen (ҧ𝑥) en de steekproefstandaardafwijking (s) van de verschillen. Gebruik deze om de teststatistiek te berekenen: $\frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ [18](#page=18). 5. **Neem een beslissing:** Vergelijk de berekende teststatistiek met het kritieke punt. Als de teststatistiek in het verwerpingsgebied valt, verwerp dan 𝐻₀. * **Voorbeeld 1 (vervolg):** * Gemiddelde verschil (ҧ𝑥) = 62 [18](#page=18). * Variantie van de verschillen ($s^2$) = 4017.78 [18](#page=18). * Teststatistiek = $\frac{62 - 0}{\sqrt{4017.78 / 10}} = 3.0931$ [18](#page=18). * Kritisch punt bij 5% s.n. voor een eenzijdige toets met 9 vrijheidsgraden is 1.833 [17](#page=17). * Omdat 3.0931 > 1.833, wordt 𝐻₀ verworpen [18](#page=18). * **Besluit:** Yoga verbetert de ademhalingscapaciteit [18](#page=18). #### 2.2.3 Voorbeeld met tweelingen Een ander scenario met gekoppelde metingen betreft tweelingen, waarbij een jongen en een meisje uit dezelfde tweeling met elkaar worden vergeleken. Dit elimineert veel genetische en omgevingsfactoren die anders voor ruis zouden zorgen [20](#page=20). * **Voorbeeld 4:** Het vermoeden is dat er een verschil is in het gemiddelde lichaamsgewicht tussen 12-jarige jongens en meisjes. 61 tweelingen (jongen-meisje) worden geselecteerd, dus 122 kinderen in totaal [20](#page=20). * Hypothese: 𝐻₀:𝜇_jongens - 𝜇_meisjes = 0 versus 𝐻𝐴:𝜇_jongens - 𝜇_meisjes ≠ 0 [14](#page=14) [21](#page=21). * De teststatistiek volgt een t-verdeling met 60 vrijheidsgraden (n-1, waarbij n=61 paren) [21](#page=21). * De p-waarde voor de tweezijdige toets (𝐻𝐴:𝜇 ≠ 0) is 0.0002156 [21](#page=21). * **Besluit:** 𝐻₀ wordt verworpen op 5% s.n. Er is een significant verschil in gewicht tussen jongens en meisjes [21](#page=21). ### 2.3 Onafhankelijke metingen Bij onafhankelijke metingen worden de steekproeven uit twee (of meer) populaties getrokken die volledig los van elkaar staan. Er is geen direct verband tussen de individuen in de ene steekproef en de individuen in de andere [10](#page=10). #### 2.3.1 Toetsingsprocedure voor onafhankelijke metingen De analyse van twee gemiddelden uit onafhankelijke metingen is complexer en vereist een andere teststatistiek. De teststatistiek hangt af van de grootte van de steekproeven (n1 en n2) en de gelijkheid van de populatievarianties (𝜎²_1 en 𝜎²_2) [24](#page=24). * **Formule voor de teststatistiek:** Wanneer 𝑛₁ en 𝑛₂ beide groot zijn (≥ 30), of wanneer één van beide klein is maar de populaties normaal verdeeld zijn, kan de teststatistiek ongeveer een t-verdeling volgen: $$ \frac{\bar{Y} - \bar{X}}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} \sim t(\nu) $$ waarbij $\nu$ het aantal vrijheidsgraden vertegenwoordigt. Het berekenen van $\nu$ is afhankelijk van of de populatievarianties gelijk worden verondersteld of niet [24](#page=24) [25](#page=25). * **Werkwijze voor een hypothesetest met onafhankelijke metingen:** a. **Stel de hypothese op:** Formuleer de nul- en alternatieve hypothese over het verschil tussen de populatiegemiddelden (𝜇₁ - 𝜇₂) [25](#page=25). b. **Check assumpties:** Controleer of de data uit normaal verdeelde populaties komen, met name als de steekproefgroottes klein zijn [25](#page=25). c. **Test of varianties gelijk zijn:** Voer een variantietest uit (bv. F-test) om te bepalen of 𝜎²₁ = 𝜎²₂ [25](#page=25) [29](#page=29). * Als de varianties gelijk worden verondersteld, wordt een gepoolde variantie gebruikt voor de berekening van de teststatistiek en de vrijheidsgraden. * Als de varianties ongelijk zijn (Welch's t-test), wordt een complexere formule gebruikt voor de vrijheidsgraden en de teststatistiek. d. **Test de hypothese:** Voer de t-toets uit voor twee onafhankelijke steekproeven, rekening houdend met het resultaat van stap c [25](#page=25). #### 2.3.2 Voorbeeld met onafhankelijke metingen * **Voorbeeld 2 (contrast met Voorbeeld 1):** Dezelfde vraag: verhoogt yoga de ademhalingscapaciteit? Nu worden echter 10 studenten die geen yoga beoefenen vergeleken met 10 *andere* studenten die wel yoga beoefenen [10](#page=10) [23](#page=23). * Hypothese: 𝐻₀:𝜇_yoga - 𝜇_geen_yoga ≤ 0 versus 𝐻𝐴:𝜇_yoga - 𝜇_geen_yoga > 0 [23](#page=23) [28](#page=28). * Steekproefgroottes: 𝑛₁ = 10 en 𝑛₂ = 10. Beide zijn klein, dus de normale verdeling van de populaties wordt verondersteld [23](#page=23) [28](#page=28). * **Variantietest (stap c):** De p-waarde voor 𝐻₀:𝜎²_yoga = 𝜎²_geen_yoga versus 𝐻𝐴:𝜎²_yoga ≠ 𝜎²_geen_yoga is 0.7257. Aangezien dit groter is dan 5% s.n., worden de varianties als gelijk beschouwd [29](#page=29). * **Hypothesetest (stap d):** De p-waarde voor 𝐻₀:𝜇_yoga - 𝜇_geen_yoga ≤ 0 versus 𝐻𝐴:𝜇_yoga - 𝜇_geen_yoga > 0 is 0.2941 [30](#page=30). * **Besluit:** Aangezien 0.2941 > 0.05, wordt 𝐻₀ niet verworpen. De studenten die yoga beoefenen hebben geen significant hogere ademhalingscapaciteit in vergelijking met de studenten die geen yoga beoefenen [30](#page=30). > **Tip:** De keuze tussen gekoppelde en onafhankelijke metingen heeft een grote impact op de statistische analyse. Gekoppelde metingen zijn vaak krachtiger omdat ze individuele verschillen tussen subjecten controleren, wat leidt tot een kleinere standaardfout en een grotere kans om een significant effect te detecteren, mits de effecten consistent zijn binnen subjecten. > **Tip:** Vanwege de complexiteit van het berekenen van de vrijheidsgraden bij onafhankelijke metingen met ongelijke varianties, worden deze tests vaak uitgevoerd met statistische software zoals R. De software kan de juiste teststatistiek en p-waarde berekenen [25](#page=25). --- # Hypothesetoetsen voor twee gemiddelden Dit onderwerp behandelt de methodologie voor het toetsen van hypothesen over de gemiddelden van twee populaties, met een onderscheid tussen gekoppelde en onafhankelijke metingen. ### 3.1 Gekoppelde metingen Bij gekoppelde metingen worden metingen gedaan bij dezelfde proefpersonen onder twee verschillende omstandigheden, of worden proefpersonen gepaard op basis van relevante kenmerken. Het doel is om het verschil tussen deze metingen te analyseren [15](#page=15). #### 3.1.1 De aanpak bij gekoppelde metingen De toetsing bij gekoppelde metingen wordt gereduceerd tot een hypothesetoets voor één gemiddelde, waarbij de steekproef bestaat uit de verschillen tussen de paren. **Stappenplan voor hypothesetoets bij gekoppelde metingen:** 1. **Stel de hypothesen op:** * Nulhypothese ($H_0$): Het gemiddelde verschil is kleiner dan of gelijk aan een bepaalde waarde (vaak 0). * Alternatieve hypothese ($H_A$): Het gemiddelde verschil is groter dan, kleiner dan, of ongelijk aan die waarde. * Voorbeeld: $H_0: \mu_{yoga-geenYoga} \le 0$ versus $H_A: \mu_{yoga-geenYoga} > 0$ [16](#page=16). 2. **Controleer de voorwaarden:** * De steekproefgrootte ($n$) wordt bepaald door het aantal paren. * Als $n$ klein is (bv. < 30), wordt verondersteld dat de verschillen normaal verdeeld zijn [17](#page=17). * Als $n$ groot is ($\ge 30$), kan de centrale limietstelling worden toegepast. 3. **Bepaal het kritieke punt of de p-waarde:** * Afhankelijk van het significantieniveau (s.n.) en de richting van de alternatieve hypothese, wordt een kritiek punt bepaald [17](#page=17). * De teststatistiek volgt een t-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden. De formule voor de teststatistiek is [17](#page=17): $$ \frac{\bar{X} - \mu_0}{S^2/n} $$ waarbij $\bar{X}$ het gemiddelde verschil is, $\mu_0$ de gemiddelde waarde onder de nulhypothese, $S^2$ de variantie van de verschillen, en $n$ het aantal paren [18](#page=18). 4. **Bereken de teststatistiek:** * Gebruik de gegevens uit de steekproef om de gemiddelde en de variantie van de verschillen te berekenen [18](#page=18). * Vul deze waarden in de formule voor de teststatistiek [18](#page=18). 5. **Trek een conclusie:** * Vergelijk de berekende teststatistiek met het kritieke punt. Als de teststatistiek buiten het acceptatiegebied valt, wordt $H_0$ verworpen [17](#page=17). * Of vergelijk de berekende p-waarde met het significantieniveau. Als de p-waarde kleiner is dan het s.n., wordt $H_0$ verworpen [18](#page=18). * Formuleer de conclusie in de context van het probleem [18](#page=18). > **Voorbeeld:** Bij een studie naar het effect van yoga op ademhalingscapaciteit werden 10 studenten gevolgd. De verschillen in capaciteit voor en na yoga werden berekend. De gemiddelde verschil was 62 met een variantie van 4017.78. Met $H_0: \mu_{yoga-geenYoga} \le 0$ en $H_A: \mu_{yoga-geenYoga} > 0$ (s.n. 5%), werd de teststatistiek berekend als $\frac{62-0}{\sqrt{4017.78/10}} \approx 3.0931$. Het kritieke punt voor een t-verdeling met 9 vrijheidsgraden bij 5% is 1.833. Aangezien $3.0931 > 1.833$, wordt $H_0$ verworpen, wat suggereert dat yoga de ademhalingscapaciteit verbetert [16-18](#page=16,17,18). #### 3.1.2 Hypothesetoets bij gekoppelde metingen in R Software zoals R kan gebruikt worden om hypothesetoetsen bij gekoppelde metingen uit te voeren. Dit automatiseert de berekeningen en maakt de analyse efficiënter. Bij tweelingen kan men bijvoorbeeld het gewicht van jongens en meisjes vergelijken, waarbij de paren bestaan uit een jongen en een meisje uit dezelfde tweeling [19](#page=19) [20](#page=20). > **Voorbeeld:** Bij een analyse van het lichaamsgewicht van 61 tweelingen (jongen-meisje), werd de nulhypothese $H_0: \mu_{jongen-meisje} = 0$ getoetst. De steekproef was groot ($n=61 \ge 30$). De berekende waarde van de teststatistiek was -3.9394. De p-waarde voor de tweezijdige test ($H_A: \mu \ne 0$) was 0.0002156. Aangezien deze p-waarde significant lager is dan 5% s.n., wordt $H_0$ verworpen en concludeert men dat er een significant verschil is in gewicht tussen jongens en meisjes [21](#page=21). ### 3.2 Onafhankelijke metingen Bij onafhankelijke metingen worden de steekproeven uit twee verschillende populaties getrokken, waarbij er geen verband is tussen de individuele observaties in de ene steekproef en de andere. Het doel is hier om de gemiddelden van deze twee onafhankelijke populaties te vergelijken [22](#page=22). #### 3.2.1 De aanpak bij onafhankelijke metingen De analyse bij onafhankelijke metingen is complexer dan bij gekoppelde metingen, omdat rekening moet worden gehouden met de varianties van beide populaties. **Voorwaarden en teststatistiek:** * **Grote steekproeven:** Als beide steekproefgroottes ($n_1$ en $n_2$) groot zijn ($\ge 30$), of als één van beide klein is maar de populaties normaal verdeeld zijn, volgt de teststatistiek een t-verdeling [24](#page=24). * **Variantie gelijkheid:** Het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling hangt af van de vraag of de populatievarianties gelijk worden verondersteld of niet [24](#page=24). * Wanneer de populatievarianties gelijk zijn (homoscedasticiteit), wordt de formule voor de teststatistiek als volgt: $$ t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} $$ met gepoolde variantie $S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$ en $n_1+n_2-2$ vrijheidsgraden. * Wanneer de populatievarianties ongelijk zijn (heteroscedasticiteit, Welch's t-test), is de formule complexer en wordt het aantal vrijheidsgraden benaderd. #### 3.2.2 Werkwijze voor hypothesetoets met onafhankelijke metingen Vanwege de complexiteit van het berekenen van het aantal vrijheidsgraden, wordt de hypothesetoets bij onafhankelijke metingen vaak uitgevoerd met statistische software [25](#page=25). **Stappenplan:** a. **Stel de hypothese op:** Zoals bij gekoppelde metingen, definieer de nul- en alternatieve hypothesen over de populatiegemiddelden, bv. $H_0: \mu_{yoga} - \mu_{geenYoga} \le 0$ versus $H_A: \mu_{yoga} - \mu_{geenYoga} > 0$ (#page=25,28) [25](#page=25) [28](#page=28). b. **Check de assumpties:** Veronderstel normaliteit van de populaties als de steekproeven klein zijn, of controleer de steekproeven op normaliteit [28](#page=28). c. **Test of de varianties gelijk zijn:** Voer een variantietest uit (bv. F-test) om te bepalen of de populatievarianties gelijk zijn. De p-waarde van deze test bepaalt welke t-test (met gelijke of ongelijke varianties) gebruikt moet worden [29](#page=29). * Als de p-waarde van de variantietest groter is dan het s.n., wordt $H_0$ (varianties zijn gelijk) niet verworpen en veronderstelt men gelijke varianties [29](#page=29). d. **Test de hypothese over de gemiddelden:** Voer de t-toets uit, rekening houdend met het resultaat van de variantietest (gelijke of ongelijke varianties). De p-waarde van deze test wordt vergeleken met het significantieniveau [30](#page=30). > **Voorbeeld:** In een studie naar het effect van yoga op ademhalingscapaciteit bij twee groepen studenten (yoga vs. geen yoga), met $n_1 = 10$ en $n_2 = 10$, werd eerst getest of de varianties gelijk waren. De p-waarde van de variantietest was 0.7257, wat > 0.05 is. Men veronderstelde dus gelijke varianties. Vervolgens werd de hypothese over de gemiddelden getoetst met $H_0: \mu_{yoga} - \mu_{geenYoga} \le 0$ en $H_A: \mu_{yoga} - \mu_{geenYoga} > 0$. De p-waarde was 0.2941. Aangezien dit groter is dan 5% s.n., wordt $H_0$ niet verworpen. De conclusie is dat studenten die yoga beoefenen geen hogere ademhalingscapaciteit hebben vergeleken met studenten die geen yoga beoefenen [29](#page=29) [30](#page=30). ### 3.3 Hypothesetoetsen voor twee gemiddelden in R Statistische softwarepakketten zoals R bieden functies om deze hypothesetoetsen efficiënt uit te voeren, zowel voor gekoppelde als onafhankelijke metingen (#page=19,26,27). Dit omvat het selecteren van de juiste toets (bv. `t.test()` met de `paired=TRUE` optie voor gekoppelde metingen, of de standaard t-test voor onafhankelijke metingen waarbij R automatisch de vrijheidsgraden aanpast bij ongelijke varianties) en het interpreteren van de output, inclusief de p-waarde (#page=19,21,26,27,29,30) [19](#page=19) [21](#page=21) [26](#page=26) [27](#page=27) [29](#page=29) [30](#page=30). --- # Hypothesetoetsen voor twee proporties Dit deel van de stof behandelt de procedures voor het toetsen van hypothesen met betrekking tot proporties in twee onafhankelijke populaties, inclusief de benodigde berekeningen en voorwaarden [31](#page=31). ### 4.1 Procedures en formulering van hypothesen Hypothesetoetsen voor twee proporties worden gebruikt om te bepalen of er een significant verschil bestaat tussen de proporties van een bepaalde uitkomst in twee onafhankelijke populaties. De nulhypothese ($H_0$) stelt typisch dat er geen verschil is, of dat de proportie in de ene populatie kleiner of gelijk is aan die in de andere. De alternatieve hypothese ($H_A$) stelt daarentegen dat er wel een verschil is, of dat de proportie in de ene populatie groter is dan in de andere [32](#page=32) [39](#page=39). #### 4.1.1 Voorbeeld: effectiviteit van een nieuwe behandeling Een veelvoorkomend scenario is het vergelijken van de effectiviteit van een nieuwe behandeling met een klassieke behandeling. Bijvoorbeeld, men kan vermoeden dat een nieuwe behandeling voor de ziekte van Alzheimer de tijd tot progressie verlengt [32](#page=32) [39](#page=39). * **Hypothesen:** * $H_0: \pi_{klassiek} \le \pi_{nieuw}$ of equivalent $H_0: \pi_{klassiek} - \pi_{nieuw} \le 0$. Dit stelt dat de klassieke behandeling niet slechter is dan de nieuwe qua effectiviteit (langere tijd tot progressie) [32](#page=32) [39](#page=39). * $H_A: \pi_{klassiek} > \pi_{nieuw}$ of equivalent $H_A: \pi_{klassiek} - \pi_{nieuw} > 0$. Dit stelt dat de klassieke behandeling slechter is dan de nieuwe, oftewel de nieuwe behandeling verlengt de tijd tot progressie [32](#page=32) [39](#page=39). ### 4.2 De toetsingsgrootheid en voorwaarden Om de nulhypothese te toetsen, wordt een toetsingsgrootheid gebruikt. Wanneer de nulhypothese waar is en aan bepaalde voorwaarden is voldaan, volgt deze toetsingsgrootheid een standaard normale verdeling ($N(0,1)$) [33](#page=33). #### 4.2.1 Voorwaarden voor de normale verdeling De belangrijkste voorwaarde is dat het product van het aantal waarnemingen en de proportie succes (en falen) in beide groepen voldoende groot is. Specifiek, de volgende voorwaarden moeten gelden: * $\min(n_1, n_2) \times \bar{p} \ge 5$ [33](#page=33). * $\min(n_1, n_2) \times (1 - \bar{p}) \ge 5$ [33](#page=33). Hierbij geldt: * $n_1$ en $n_2$ zijn de steekproefgroottes van de twee groepen [33](#page=33). * $\bar{p}_1$ en $\bar{p}_2$ zijn de steekproefproporties in de respectievelijke groepen [33](#page=33). * $\bar{p}$ is de gepoolde proportie, die wordt berekend als het totale aantal successen gedeeld door het totale aantal waarnemingen [33](#page=33): $$ \bar{p} = \frac{n_1 \bar{p}_1 + n_2 \bar{p}_2}{n_1 + n_2} = \frac{\text{# successen in totaal}}{n_1 + n_2} $$ #### 4.2.2 Formule van de toetsingsgrootheid Wanneer aan de voorwaarden is voldaan, wordt de toetsingsgrootheid als volgt berekend: $$ Z = \frac{\bar{p}_2 - \bar{p}_1}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} $$ Hierbij wordt de teller gevormd door het verschil tussen de steekproefproporties, en de noemer is de standaardfout van dit verschil, berekend onder aanname van de gepoolde proportie [33](#page=33). > **Tip:** Zorg ervoor dat je de gepoolde proportie correct berekent voordat je de standaardfout en de toetsingsgrootheid berekent. De gepoolde proportie is essentieel voor de berekening onder de nulhypothese. ### 4.3 Beslissingsregel en interpretatie De beslissing om de nulhypothese te verwerpen of niet, hangt af van de berekende toetsingsgrootheid en het gekozen significantieniveau (vaak 5%). #### 4.3.1 Kritieke waarden en p-waarde Voor een eenzijdige toets, zoals bij het testen of een nieuwe behandeling beter is, wordt de nulhypothese verworpen als de berekende toetsingsgrootheid groter is dan de kritieke waarde die correspondeert met het gekozen significantieniveau. Bij een significantieniveau van 5% is deze kritieke waarde voor een standaard normale verdeling $Z_{\alpha} = 1.645$ [34](#page=34). Alternatief kan de p-waarde worden berekend. De p-waarde is de kans op het observeren van een toetsingsgrootheid die minstens zo extreem is als de berekende waarde, aannemende dat de nulhypothese waar is [35](#page=35). * Als $p\text{-waarde} < \alpha$ (significantieniveau), dan wordt $H_0$ verworpen. * Als $p\text{-waarde} \ge \alpha$, dan wordt $H_0$ niet verworpen. #### 4.3.2 Interpretatie van het resultaat De conclusie moet altijd in de context van de onderzoeksvraag worden geformuleerd [35](#page=35). * **Voorbeeld interpretatie:** Als de nulhypothese niet wordt verworpen, betekent dit dat er op het gekozen significantieniveau geen statistisch significant bewijs is om aan te nemen dat de nieuwe behandeling beter is dan de klassieke behandeling. De proportie van patiënten die een volgend stadium bereiken binnen 12 maanden is niet significant kleiner bij de nieuwe behandeling [35](#page=35). ### 4.4 Gebruik van software (R) Hypothesetoetsen voor twee proporties kunnen efficiënt worden uitgevoerd met statistische software zoals R. Deze software kan de berekeningen van de toetsingsgrootheid en de p-waarde automatiseren, wat de kans op rekenfouten vermindert en de analyse versnelt [36](#page=36) [37](#page=37) [38](#page=38). > **Tip:** Leer de basiscommando's in R voor het uitvoeren van proportietests. Dit is een waardevolle vaardigheid voor de praktijk en kan je veel tijd besparen tijdens tentamens en bij het analyseren van data. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Hypothesetoets | Een statistische procedure om te bepalen of er voldoende bewijs is in een steekproef om een nulhypothese te verwerpen ten gunste van een alternatieve hypothese. | | Nulhypothese ($H_0$) | Een stelling over de populatie die we proberen te weerleggen. Het is de status quo of de aanname van geen effect of verschil. | | Alternatieve hypothese ($H_A$) | Een stelling die het tegenovergestelde beweert van de nulhypothese. Het vertegenwoordigt wat we proberen te bewijzen. | | Populatiegemiddelde ($\mu$) | Het rekenkundig gemiddelde van een variabele over de gehele populatie die wordt bestudeerd. | | Populatieproportie ($\pi$) | Het deel van de populatie dat een bepaalde eigenschap bezit of zich in een bepaalde categorie bevindt. | | Gekoppelde metingen | Gegevens verzameld uit dezelfde eenheden onder verschillende omstandigheden, of uit gekoppelde eenheden (bv. tweelingen), waardoor een verband ontstaat tussen de metingen. | | Onafhankelijke metingen | Gegevens verzameld uit verschillende en niet-gerelateerde eenheden, waarbij de metingen in de ene groep geen invloed hebben op de metingen in de andere groep. | | T-verdeling ($t$-verdeling) | Een continue kansverdeling die veel wordt gebruikt bij het testen van hypothesen over gemiddelden, vooral wanneer de steekproefgrootte klein is en de populatievariantie onbekend is. | | Vrijheidsgraden | Het aantal waarden in de uiteindelijke berekening van een statistiek dat vrij kan variëren. Dit is een parameter van de t-verdeling. | | Significantieniveau (s.n.) | Het maximale risico dat men bereid is te nemen om de nulhypothese onterecht te verwerpen (ook wel Type I fout genoemd). Vaak ingesteld op 0.05 of 5%. | | Kritisch punt | De grenswaarde in de steekproefverdeling van de toetsingsgrootheid, waaronder of daarboven de nulhypothese wordt verworpen. | | Steekproefgemiddelde ($\bar{x}$) | Het rekenkundig gemiddelde van de waarden in een steekproef. | | Standaarddeviatie ($s$) | Een maat voor de spreiding van gegevens rond het gemiddelde in een steekproef. | | Gestandaardiseerde teststatistiek | Een toetsingsgrootheid die is omgezet naar een standaardverdeling (bv. N(0,1) of t(df)) om vergelijking en besluitvorming te vergemakkelijken. | | P-waarde | De kans om een toetsingsgrootheid te observeren die minstens zo extreem is als de waargenomen waarde, ervan uitgaande dat de nulhypothese waar is. | | Gepoolde proportie ($\bar{p}$) | Een gewogen gemiddelde van twee steekproefproporties, gebruikt bij het toetsen van hypothesen over proporties wanneer de nulhypothese stelt dat de populatieproporties gelijk zijn. | | Z-verdeling (standaard normaalverdeling) | Een continue kansverdeling met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1, vaak gebruikt bij het toetsen van hypothesen over proporties of gemiddelden wanneer de steekproefgrootte groot is. |

# Inleiding tot niet-parametrische methoden Niet-parametrische methoden zijn statistische technieken die gebruikt worden wanneer de aannames van parametrische methoden, zoals normaliteit van de populatieverdeling, niet voldaan zijn [6](#page=6). ### 1.1 De noodzaak van niet-parametrische methoden Parametrische methoden vereisen specifieke aannames over de populatieparameters, zoals de gemiddelde waarde en de standaarddeviatie, en gaan er vaak van uit dat de gegevens uit een normale verdeling komen. Echter, in de praktijk zijn deze aannames niet altijd realistisch of verifieerbaar [3](#page=3). Situaties waarin parametrische methoden ontoereikend zijn: * **Kleine steekproeven met een niet-normale populatie:** Wanneer de steekproefgrootte klein is ($n$ klein) en er geen reden is om aan te nemen dat de populatie normaal verdeeld is, zijn de standaard t-testen niet toepasbaar. De exacte verdeling van de toetsingsgrootheid is dan onbekend [3](#page=3) [4](#page=4). * **Kwalitatieve of ordinale data:** Parametrische toetsen zijn primair ontworpen voor numerieke, interval- of ratio-schaal gegevens. Voor kwalitatieve (nominale) of ordinale gegevens, waar alleen rangordes of categorieën relevant zijn, zijn niet-parametrische methoden noodzakelijk [6](#page=6). * **Ontbrekende of extreme data:** Wanneer de data sterk afwijkt van een normale verdeling, bijvoorbeeld door uitschieters, kunnen niet-parametrische methoden robuuster zijn [6](#page=6). #### 1.1.1 Illustratie van de beperkingen van parametrische methoden Bij het testen van hypothesen over gemiddelden, zoals $H_0: \mu = \mu_0$ of $H_0: \mu_1 = \mu_2$, worden parametrische methoden (zoals de t-test) gebruikt onder specifieke voorwaarden. Als deze voorwaarden, met name de normaliteit van de populatie bij kleine steekproeven, niet voldaan zijn, ontstaat er een '???' situatie, wat aangeeft dat de gebruikelijke methoden niet volstaan en niet-parametrische alternatieven overwogen moeten worden [3](#page=3) [4](#page=4). ### 1.2 Algemene kenmerken van niet-parametrische methoden Niet-parametrische methoden, ook wel "distribution-free" methoden genoemd, maken minder stringente aannames over de verdeling van de onderliggende populatie(s). Dit maakt ze flexibeler en breder toepasbaar [6](#page=6). Belangrijke kenmerken: * **Minder aannames:** Ze veronderstellen geen specifieke verdelingsvorm, zoals de normale verdeling [6](#page=6). * **Brede toepasbaarheid:** Geschikt voor zowel numerieke als kwalitatieve (ordinale en nominale) gegevens [6](#page=6). * **Minder krachtig:** Het nadeel van niet-parametrische methoden is dat ze doorgaans minder statistische kracht hebben dan hun parametrische tegenhangers wanneer aan de aannames van de parametrische tests voldaan zou zijn. Dit betekent dat de kans op een Type II fout (het niet verwerpen van een onjuiste nulhypothese) groter is [6](#page=6). #### 1.2.1 Wanneer niet-parametrische methoden te verkiezen zijn Het gebruik van niet-parametrische methoden is dus primair gerechtvaardigd wanneer de voorwaarden voor parametrische toetsen geschonden worden. Ze dienen als een essentieel hulpmiddel in de statistische analyse wanneer de data niet voldoet aan de vereisten van parametrische technieken [6](#page=6). > **Tip:** Gebruik niet-parametrische methoden alleen wanneer dit strikt noodzakelijk is. Als de aannames van een parametrische test wel voldaan zijn, biedt de parametrische test meer statistische kracht om een effect te detecteren. ### 1.3 Voorbeeld van een situatie die niet-parametrische methoden vereist Een experimentele studie vergelijkt twee zonnecrèmes, A en B, door ze op verschillende armen van proefpersonen aan te brengen. De observaties zijn de subjectieve beoordelingen van roodheid: "arm A minder rood dan arm B", "arm A meer rood dan arm B", of "arm A en B even rood" [5](#page=5). In dit scenario zijn de gegevens niet numeriek, maar eerder ordinaal of zelfs categorisch. Er zijn geen kwantitatieve metingen van roodheid (bv. een schaal van 0-10). Daarom kunnen gebruikelijke parametrische toetsen die gemiddelden vergelijken, niet direct worden toegepast, wat de noodzaak voor niet-parametrische methoden illustreert [5](#page=5) [6](#page=6). --- # De sign-test De sign-test is een non-parametrische statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verschil is tussen twee gerelateerde (afhankelijke) steekproeven, gebaseerd op het teken van de verschillen tussen paren van waarnemingen. Deze test is vooral nuttig wanneer de exacte magnitude van de verschillen niet bekend is of niet relevant is, maar enkel de richting van het verschil (beter dan, slechter dan, of gelijk) [13](#page=13) [8](#page=8) [9](#page=9). ### 2.1 Beschrijving van de sign-test De sign-test analyseert de tekens (positief of negatief) van de verschillen tussen gepaarde waarnemingen. Het gaat ervan uit dat de verschillen afkomstig zijn uit een populatie met een mediane waarde van nul, indien de nulhypothese waar is [9](#page=9). #### 2.1.1 Opstellen van hypothesen Voor de sign-test worden de nul- en alternatieve hypothesen opgesteld met betrekking tot de mediaan van de verschillen tussen de twee gerelateerde metingen. * **Nulhypothese ($H_0$)**: Er is geen verschil tussen de twee gerelateerde metingen, wat betekent dat de mediaan van de verschillen nul is ($\Delta = 0$). Beide groepen of condities zijn evenwaardig [9](#page=9). * **Alternatieve hypothese ($H_A$)**: Er is een verschil tussen de twee gerelateerde metingen. Dit kan eenrichtingsverkeer zijn ($\Delta \neq 0$) of meer specifiek: * $\Delta > 0$: De eerste meting is groter dan de tweede. * $\Delta < 0$: De eerste meting is kleiner dan de tweede [9](#page=9). Het is belangrijk om metingen waarbij het verschil nul is ($d_i = 0$) niet mee te nemen in de analyse, omdat deze geen informatie geven over de richting van het verschil [10](#page=10). #### 2.1.2 De statistische grootheid De statistische grootheid voor de sign-test wordt berekend op basis van het aantal positieve verschillen in de steekproef. * Laat $n$ het totale aantal waarnemingen zijn waarbij het verschil niet nul is. * Laat $C$ het aantal waarnemingen zijn waarbij het verschil groter is dan nul ($d_i > 0$). Voor grote steekproeven (typisch $n \ge 30$), kan de volgende statistische grootheid worden benaderd met een standaard normaalverdeling: $$Z = \frac{C - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}$$ Als de nulhypothese ($H_0: \Delta = 0$) waar is, dan wordt verwacht dat $C$ ongeveer gelijk is aan $n/2$. De formule kan ook worden herschreven als: $$Z = \frac{C - n/2}{\sqrt{n}/2}$$ Deze $Z$-waarde kan vervolgens worden vergeleken met de kritieke waarden van de standaard normaalverdeling om een beslissing te nemen over het verwerpen van de nulhypothese [10](#page=10). > **Tip:** De R-implementatie van de sign-test kan iets andere (ingewikkeldere) formules gebruiken, maar de interpretatie van de resultaten blijft hetzelfde. Voor kleine steekproeven ($n < 30$) is het aan te raden om de sign-test in R te gebruiken [13](#page=13). #### 2.1.3 Toepassing en voorbeeld De sign-test is geschikt voor situaties met afhankelijke steekproeven waarbij men enkel informatie heeft over ‘beter dan’ of ‘slechter dan’, maar niet over de precieze omvang van het verschil. De test kan ook worden toegepast op continue gegevens [13](#page=13). **Voorbeeld: Zonnecrèmes** Stel dat men de effectiviteit van twee zonnecrèmes, A en B, wil vergelijken op basis van de roodheid van de arm na blootstelling aan de zon. Roodheid van de arm is hier een kwantitatief gegeven, maar de analyse focust op of arm A minder rood is dan arm B, arm A roder is dan arm B, of dat ze even rood zijn. * Voor patiënt $i$ noteren we $a_i$ als de roodheid van arm A en $b_i$ als de roodheid van arm B. * Het verschil is $d_i = a_i - b_i$. * $d_i < 0$ betekent dat arm A minder rood is dan arm B [1](#page=1). * $d_i > 0$ betekent dat arm A roder is dan arm B [2](#page=2). * $d_i = 0$ betekent dat arm A en B even rood zijn [3](#page=3). In een steekproef van 45 patiënten worden de volgende resultaten verkregen: | Verschil in roodheid | Aantal | Categorie | | :----------------------------------- | :----- | :-------- | | Arm A minder rood dan arm B | 22 | $d_i < 0$ | | Arm A roder dan arm B | 18 | $d_i > 0$ | | Arm A en arm B even rood | 5 | $d_i = 0$ | Hierbij is de exacte meting van roodheid niet bekend, enkel de categorische informatie over het verschil [8](#page=8). **Stap 1: Opstellen van de hypothesen** We willen aantonen dat er een verschil is tussen zonnecrème A en B. * $H_0: \Delta = 0$ (A en B zijn evenwaardig) * $H_A: \Delta \neq 0$ (A en B zijn verschillend) [9](#page=9). **Stap 2: Kies de test en bepalen van $n$ en de statistische grootheid** De steekproefgrootte $n$ (aantal metingen waarbij het verschil niet nul is) is $22 + 18 = 40$. Aangezien $n = 40 \ge 30$, gebruiken we de normale benadering. De statistische grootheid is: $Z = \frac{C - n/2}{\sqrt{n/4}}$ [10](#page=10). **Stap 3: Bepalen van de kritieke regio** Op een significantieniveau van 5% (s.n.), zijn de kritieke waarden voor een tweezijdige test voor de standaard normaalverdeling $\pm 1.96$. We verwerpen $H_0$ als de geobserveerde $Z$-waarde buiten het interval $[-1.96, 1.96]$ ligt [11](#page=11). **Stap 4: Berekenen van de geobserveerde teststatistiek** Het aantal gevallen met een positief verschil ($d_i > 0$) is $C = 18$. Het totale aantal niet-nul verschillen is $n = 40$. De geobserveerde $Z$-waarde is: $$Z = \frac{18 - \frac{40}{2}}{\sqrt{\frac{40}{4}}} = \frac{18 - 20}{\sqrt{10}} = \frac{-2}{3.162} \approx -0.6325$$ [12](#page=12). **Stap 5: Conclusie trekken** De geobserveerde $Z$-waarde van $-0.6325$ ligt binnen de kritieke regio $[-1.96, 1.96]$. Daarom verwerpen we de nulhypothese niet op een significantieniveau van 5%. Er is geen significant verschil gevonden tussen zonnecrème A en B wat betreft de roodheid van de arm [12](#page=12). De p-waarde wordt berekend als $2P(Z \le -0.6325)$. Met behulp van een standaard normaalverdelingstabel of software is $P(Z \le -0.6325) \approx 0.2643$. De p-waarde is dus $2 \times 0.2643 = 0.5286$. Aangezien de p-waarde (0.5286) groter is dan het significantieniveau van 0.05, wordt $H_0$ niet verworpen [12](#page=12). > **Voorbeeld in R (met vermelding van context uit de documentatie):** > * **Voorbeeld 1 (oogdruppels):** Vergelijken van twee oogdruppels A en B. 15 personen. > * Gegevens: 8 keer A minder rood dan B ($d_i < 0$), 2 keer A roder dan B ($d_i > 0$), 5 keer even rood ($d_i = 0$). > * $n = 8 + 2 = 10$. $C = 2$ (aantal keren dat A roder is dan B, dus $d_i > 0$). > * Hypothese: Wil nagaan of B beter is dan A. A werd aan één oog toegediend, B aan het andere. > * Oog A = 0, Oog B = 1: A minder rood dan B. > * Oog A = 1, Oog B = 0: B minder rood dan A. > * Oog A = 0, Oog B = 0: A en B even rood. > * Als men wil nagaan of B beter is dan A, en A hogere waarden heeft dan B (dus A is roder), dan is dit $d_{A-B} > 0$. Als we echter de verschillen interpreteren als $d_{A-B} = \text{roodheid}_A - \text{roodheid}_B$, dan is B beter als roodheid$_A$ lager is dan roodheid$_B$, dus $d_{A-B} < 0$. > * In dit voorbeeld is de indeling "A minder rood dan B" vertaald als $d_i < 0$, en "A roder dan B" als $d_i > 0$. Als de vraag is "is B beter dan A", en een lagere roodheid is beter, dan willen we weten of er meer gevallen zijn van "A minder rood dan B" ($d_i < 0$) dan "A roder dan B" ($d_i > 0$). > * De R-output voor een rechts-éénzijdige test ($\Delta_{A-B} \le 0$ vs $\Delta_{A-B} > 0$) gaf een p-waarde van 0.9893. Dit betekent dat we $H_0$ niet verwerpen, en er is geen significant bewijs dat B beter is dan A (of dat A roder is dan B) [15](#page=15) [16](#page=16). > * **Voorbeeld 2 (multitasking):** Vergelijken van multitasking vaardigheden tussen mannen en vrouwen. 38 koppels. > * Vrouw snelst: vrouw=0, man=1. Man snelst: vrouw=1, man=0. > * Als de vrouw sneller is, is het verschil Vrouw-Man negatief. Als de man sneller is, is het verschil Vrouw-Man positief. > * $H_0: \Delta_{Man-Vrouw} < 0$ (man is minder goed dan vrouw) > * $H_A: \Delta_{Man-Vrouw} \ge 0$ (man is beter of gelijk aan vrouw) [17](#page=17). > * De R output voor dit voorbeeld wordt vervolgens geanalyseerd om een besluit te trekken [18](#page=18). #### 2.1.4 Wanneer de sign-test gebruiken? De sign-test wordt aanbevolen onder de volgende omstandigheden: * Wanneer er sprake is van afhankelijke (gepaarde) steekproeven [13](#page=13). * Wanneer de beschikbare gegevens enkel de richting van het verschil aangeven (beter, slechter, gelijk) en niet de exacte kwantitatieve verschillen [13](#page=13). * Bij continue gegevens, hoewel parametrische methoden de voorkeur hebben bij grote steekproeven [13](#page=13). * Vooral wanneer de aannames van parametrische toetsen (zoals normaliteit van de residuen) niet voldaan zijn, of wanneer de steekproefgrootte klein is [13](#page=13). Als $n \ge 30$, kan de test met de normale benadering worden uitgevoerd. Voor kleinere steekproeven wordt het gebruik van software zoals R aangeraden [13](#page=13). --- # De signed-rank test De signed-rank test is een non-parametrische statistische test die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verschil is tussen twee gerelateerde metingen, of om te testen of de mediaan van een populatie gelijk is aan nul. Dit kan worden toegepast op afhankelijke steekproeven of op één steekproef met gepaarde metingen. De test is geschikt voor ordinale en continue gegevens. Bij grote, continue steekproeven wordt echter de voorkeur gegeven aan een parametrische methode [26](#page=26). ### 3.1 Het idee achter de signed-rank test Het centrale idee van de signed-rank test is het onderzoeken of 50% van de observaties links van nul ligt en 50% rechts daarvan. De test werkt niet direct met de gemeten verschillen ($d_i$), maar met de rangnummers van de absolute waarden van deze verschillen ($|d_i|$) [22](#page=22). #### 3.1.1 Berekening van de rangnummers De procedure omvat de volgende stappen: 1. Bereken de verschillen ($d_i$) tussen de gepaarde observaties voor elke eenheid [20](#page=20). 2. Negeer observaties waarbij het verschil nul is [21](#page=21). 3. Neem de absolute waarden van de overgebleven verschillen ($|d_i|$) [22](#page=22). 4. Rangschik deze absolute waarden van klein naar groot [22](#page=22). 5. Wanneer er gelijke waarden ($|d_i|$) zijn, wordt het gemiddelde van hun rangposities toegekend [22](#page=22). 6. Wijs vervolgens aan de oorspronkelijke verschillen ($d_i$) de rangnummers toe die overeenkomen met hun absolute waarden. Positieve verschillen ($d_i > 0$) krijgen de positieve rangen, en negatieve verschillen ($d_i < 0$) krijgen de negatieve rangen (dit gebeurt impliciet door de toekenning van rangen aan de oorspronkelijke getekende verschillen) [22](#page=22) [23](#page=23). #### 3.1.2 De statistische grootheid $R^+$ De teststatistiek wordt gebaseerd op de som van de rangnummers van de positieve verschillen. Dit wordt aangeduid als $R^+$. De berekening van $R^+$ gebeurt door de gemiddelde rangnummers te vermenigvuldigen met het aantal waarnemingen dat tot die rangnummers behoort, en deze producten op te tellen voor alle positieve verschillen [23](#page=23) [24](#page=24). * **Interpretatie van $R^+$:** * Een grote waarde van $R^+$ suggereert dat de rangnummers voor positieve verschillen groot zijn, wat kan duiden op een significant verschil [24](#page=24). * Een kleine waarde van $R^+$ suggereert dat de rangnummers voor positieve verschillen klein zijn, wat eveneens kan duiden op een significant verschil [24](#page=24). #### 3.1.3 De verdeling van de teststatistiek Wanneer de steekproefgrootte $n$ groot is (typisch $n \geq 16$), kan de teststatistiek benaderd worden door een normale verdeling. De formule voor de teststatistiek in de benadering is [25](#page=25): $$ Z = \frac{R^+ - \frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}} $$ Hierbij is $n$ het aantal waarnemingen waarvoor het verschil niet nul is. De teller is het verschil tussen de geobserveerde som van de positieve rangen en de verwachte som onder de nulhypothese, en de noemer is de standaardafwijking van deze som. De noemer kan ook worden geschreven als [25](#page=25) [28](#page=28): $$ \sigma_{R^+} = \sqrt{\frac{1}{24} \sum_{j=1}^n r_j^2} $$ waar $r_j$ de rangen zijn van de absolute verschillen [25](#page=25). ### 3.2 Toepassingen in R met voorbeelden De signed-rank test wordt in R uitgevoerd met de functie `wilcox.test()`. #### 3.2.1 Voorbeeld 1: Verschil in zonnecrème effectiviteit Stel dat het verschil in roodheid tussen arm A en arm B (gedefinieerd als roodheid van A min roodheid van B) voor 45 personen is genoteerd. De nulhypothese is dat er geen verschil is tussen de zonnecrèmes ($H_0: \Delta = 0$), en de alternatieve hypothese is dat er wel een verschil is ($H_A: \Delta \neq 0$) [28](#page=28). * **Gegevens:** De gemeten verschillen ($d_i$) kunnen variëren van -8 tot 3 [21](#page=21). * **Berekeningen:** Voor een steekproef van $n=40$ (na verwijdering van 5 observaties met een verschil van 0) is de berekende $R^+$ waarde 248 [28](#page=28). * **Output R:** De p-waarde die door R wordt verkregen is 0.02869 [28](#page=28). * **Conclusie:** Op een significantieniveau van 5% wordt de nulhypothese verworpen. Dit betekent dat de zonnecrèmes A en B significant van elkaar verschillen in effectiviteit [28](#page=28). > **Tip:** Let op dat R interne formules kan gebruiken die iets afwijken van de theoretische benadering, wat kan leiden tot kleine verschillen in de uitkomst, vooral bij het gebruik van `exact=TRUE` [30](#page=30). #### 3.2.2 Voorbeeld 2: Behandeling van een oogprobleem Bij 19 patiënten met een oogprobleem wordt de verandering in elektrische activiteit voor en na een behandeling gemeten. De steekproef is klein en komt uit een niet-normaal verdeelde populatie, wat de signed-rank test een geschikte methode maakt [29](#page=29). * **Hypothesen:** * $H_0: \Delta_{scoreverandering} = 0$ (Er is geen verandering in elektrische activiteit) * $H_A: \Delta_{scoreverandering} \neq 0$ (Er is een verandering in elektrische activiteit) * **Gegevens:** De dataset bevat de verschillen (na-voor) [29](#page=29). * **Toepassing in R:** De `wilcox.test()` functie kan worden gebruikt. De optie `exact=TRUE` kan worden overwogen voor kleine steekproeven als de normale benadering niet volstaat, wat kan leiden tot een exacte p-waarde zonder gebruik te maken van de normale benadering [30](#page=30). #### 3.2.3 Voorbeeld 3: Multitasking (uit een tussentijdse test) In een vraagstuk over multitasking werden de effectieve tijden (in minuten) bijgehouden van 38 koppels. De vraag is welke p-waarde gebruikt moet worden uit de output om na te gaan of vrouwen sneller zijn in het uitvoeren van 5 taken dan mannen. Dit scenario impliceert een gekoppelde t-test of een signed-rank test, afhankelijk van de verdeling van de verschillen. Als de vraag is "of vrouwen sneller zijn", dan is dit een éénzijdige test. De correcte p-waarde uit de output moet worden geselecteerd, die aangeeft of het verschil significant is op een bepaald significantieniveau [31](#page=31). --- # De rank-sum test De rank-sum test, ook bekend als de Mann-Whitney U-test, is een non-parametrische statistische test die wordt gebruikt om te bepalen of twee onafhankelijke groepen significant van elkaar verschillen op het niveau van de mediane waarde [35](#page=35). ### 4.1 Toepassingsgebieden van de rank-sum test De rank-sum test wordt toegepast in de volgende situaties [36](#page=36): * Wanneer er twee onafhankelijke steekproeven zijn. * Wanneer de gegevens van ordinaal of continu van aard zijn. * Bij grote, continue steekproeven heeft een parametrische methode de voorkeur. * Wanneer in één van de groepen minder dan tien observaties zijn, dient de exacte rank-sum test te worden uitgevoerd. ### 4.2 Werkwijze en hypotheses De rank-sum test is, analoog aan de signed-rank test, gebaseerd op rangnummers. Het idee is dat indien er veel en/of grote rangnummers in één groep voorkomen in vergelijking met de andere groep, er waarschijnlijk een verschil is tussen de groepen [35](#page=35). De hypotheses die getoetst worden zijn doorgaans: $H_0: \Delta_1 = \Delta_2$ (Er is geen verschil in de mediane waarden van de twee groepen) $H_A: \Delta_1 \neq \Delta_2$ (Er is een verschil in de mediane waarden van de twee groepen) [35](#page=35). Of, wanneer een richting van het verschil wordt verwacht: $H_0: \Delta_1 - \Delta_2 = 0$ $H_A: \Delta_1 - \Delta_2 \neq 0$ of $H_A: \Delta_1 - \Delta_2 > 0$ of $H_A: \Delta_1 - \Delta_2 < 0$ [38](#page=38) [41](#page=41). ### 4.3 De rank-sum test in R De rank-sum test kan met behulp van R worden uitgevoerd. Het is belangrijk dat R de ordening van de gegevens correct interpreteert. Wanneer gegevens bijvoorbeeld een ordinale schaal vertegenwoordigen die R niet direct herkent als geordend (zoals 'gezichtsscherpte' van beste naar slechtste), kan het nodig zijn om een continue variabele te definiëren die deze ordening wel weergeeft [38](#page=38). > **Tip:** De rank-sum test hoeft niet handmatig uitgerekend te worden; de interpretatie van de resultaten in R is het belangrijkst [35](#page=35). #### 4.3.1 Voorbeeld 1: Gezichtsscherpte bij retinitis pigmentosa **Probleem:** Verschil in gezichtsscherpte tussen patiënten met de dominante (D) en de geslachtsgebonden (SL) vorm van retinitis pigmentosa [34](#page=34). **Gegevens:** | Gezichtsscherpte | Dominant (D) | Geslachtsgebonden (SL) | | :--------------- | :----------- | :--------------------- | | 20-20 (beste) | 5 | 1 | | 20-25 | 9 | 5 | | 20-30 | 6 | 4 | | 20-40 | 3 | 4 | | 20-50 | 2 | 8 | | 20-60 | 0 | 5 | | 20-70 | 0 | 2 | | 20-80 (slechtste)| 0 | 1 | **Hypotheses:** $H_0: \Delta_D = \Delta_{SL}$ $H_A: \Delta_D \neq \Delta_{SL}$ [35](#page=35). **R-code en interpretatie:** Wanneer de data is ingevoerd in R, en de 'gezichtsscherpte' als een continue variabele is gedefinieerd (bijvoorbeeld door een nummer toe te kennen aan elke categorie van beste naar slechtste zicht) kan de rank-sum test worden uitgevoerd [38](#page=38). Stel dat de output van de test een p-waarde van 0.0001513 oplevert voor de alternatieve hypothese $H_A: \Delta_D - \Delta_{SL} \neq 0$ [40](#page=40). Aangezien deze p-waarde kleiner is dan het significantieniveau van 0.05, wordt de nulhypothese verworpen [40](#page=40). **Conclusie:** Er is een significant verschil in de mediane gezichtsscherpte tussen patiënten met retinitis pigmentosa met de geslachtsgebonden vorm en de dominante vorm [40](#page=40). > **Opmerking:** De rank-sum test is hier geschikt omdat voor de t-test de aannames (zoals normaliteit of voldoende grote steekproeven) mogelijk niet voldaan zijn. Hier geldt $n_D = 25 < 30$ en er is geen informatie over normaliteit. Aangezien $n_D \ge 10$ en $n_{SL} \ge 10$, kan `exact=FALSE` worden gebruikt in R [40](#page=40). #### 4.3.2 Voorbeeld 2: Scores van twee klassen in het lager onderwijs **Probleem:** Nagaan of klas 1 (met een ervaren leraar) beter scoort dan klas 2 (met een jonge leerkracht) [41](#page=41). **Gegevens:** * Klas 1: 18 leerlingen * Klas 2: 21 leerlingen * Resultaten in klas 1 zijn niet normaal verdeeld. **Hypotheses:** $H_0: \Delta_1 = \Delta_2$ $H_A: \Delta_1 > \Delta_2$ [41](#page=41). **R-code en interpretatie:** De aannames voor een t-test zijn hier niet voldaan: $n_1 = 18 < 30$ en $n_2 = 21 < 30$, en er is geen normaliteit. Daarom wordt de rank-sum test met `exact=FALSE` gebruikt [41](#page=41). Stel dat de p-waarde voor de alternatieve hypothese $H_A: \Delta_1 - \Delta_2 > 0$ 0.02787 is [41](#page=41). Aangezien deze p-waarde kleiner is dan het significantieniveau van 0.05, wordt de nulhypothese verworpen [41](#page=41). **Conclusie:** Er is een significant hogere mediane score in klas 1 ten opzichte van klas 2 [41](#page=41). --- # Overzicht van niet-parametrische en parametrische methoden Deze sectie biedt een overzicht van statistische tests en hun toepassingen, rekening houdend met het datatype en de kenmerken van de steekproef [42](#page=42). ### 5.1 Continue gegevens Voor continue gegevens worden de volgende tests onderscheiden op basis van het aantal steekproeven en de voorwaarden voor de distributie [43](#page=43). #### 5.1.1 Eén steekproef of gepaarde metingen * **Voorwaarden:** De steekproefgrootte moet $n \geq 30$ zijn, of de populatie moet normaal verdeeld zijn [43](#page=43). * **Voldaan aan voorwaarden:** * Manueel: Gebruik de $t$-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden [43](#page=43). * In R: Gebruik `t.test()` met één variabele of `paired=TRUE` [43](#page=43). * **Niet voldaan aan voorwaarden:** * Manueel: Gebruik de signed-rank test, mits $n \geq 16$ [43](#page=43). * In R: Gebruik `wilcox.test()` met één variabele of `paired=TRUE` [43](#page=43). #### 5.1.2 Twee steekproeven * **Voorwaarden:** De minimale steekproefgrootte van de twee groepen moet $\min(n_1, n_2) \geq 30$ zijn, of beide populaties moeten normaal verdeeld zijn [43](#page=43). * **Voldaan aan voorwaarden:** * De test kan enkel in R worden uitgevoerd met `t.test()` (met `paired=FALSE`) [43](#page=43). * Voer eerst `var.test()` uit om de gelijkheid van varianties te controleren [43](#page=43). * Bij gelijkheid van varianties: Gebruik `var.equal=TRUE` voor de 2-sample $t$-test [43](#page=43). * Bij ongelijkheid van varianties: Gebruik `var.equal=FALSE` voor de Welch 2-sample $t$-test [43](#page=43). * **Niet voldaan aan voorwaarden:** * De rank-sum test kan enkel in R worden uitgevoerd met `wilcox.test()` (met `paired=FALSE`) [43](#page=43). ### 5.2 Binaire gegevens Voor binaire gegevens worden proportietests gebruikt, waarbij de voorwaarden afhangen van de steekproefgrootte en de te verwachten proporties [44](#page=44). #### 5.2.1 Eén steekproef * **Voorwaarden:** $n\pi_0 \geq 5$ en $n(1-\pi_0) \geq 5$, waarbij $\pi_0$ de verwachte proportie onder de nulhypothese is [44](#page=44). * **Voldaan aan voorwaarden:** * Manueel: Gebruik de normale verdeling [44](#page=44). * In R: Gebruik `prop.test()` [44](#page=44). * **Niet voldaan aan voorwaarden:** * De test kan enkel in R worden uitgevoerd met `binom.test()` [44](#page=44). #### 5.2.2 Twee steekproeven * **Voorwaarden:** $\min(n_1, n_2)\bar{p} \geq 5$ en $\min(n_1, n_2)(1-\bar{p}) \geq 5$, waarbij $\bar{p}$ de gepoolde proportie is [44](#page=44). * **Voldaan aan voorwaarden:** * Manueel: Gebruik de normale verdeling [44](#page=44). * In R: Gebruik `prop.test()` [44](#page=44). * **Niet voldaan aan voorwaarden:** * De test kan enkel in R worden uitgevoerd met `fisher.test()` [44](#page=44). ### 5.3 Ordinale gegevens Voor ordinale gegevens worden uitsluitend niet-parametrische methoden gebruikt [45](#page=45). #### 5.3.1 Eén steekproef of gepaarde metingen * **Sign test:** * Deze test vergelijkt of observatie A beter is dan B, of vice versa, zonder rekening te houden met de mate van verschil [45](#page=45). * Manueel: Gebruik de normale verdeling indien $n \geq 30$ [45](#page=45). * In R: Gebruik `SIGN.test()` [45](#page=45). * **Signed-rank test:** * Deze test neemt ook de gradatie van het verschil mee (hoeveel beter is A dan B?) [45](#page=45). * In R: Gebruik `wilcox.test()` met één variabele of `paired=TRUE` [45](#page=45). #### 5.3.2 Twee steekproeven * **Rank-sum test:** * Deze test is enkel uit te voeren in R [45](#page=45). * In R: Gebruik `wilcox.test()` met `paired=FALSE` [45](#page=45). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Niet-parametrische methoden | Statistische methoden die minder strikte aannames doen over de verdeling van de data dan parametrische methoden. Ze zijn nuttig bij kleine steekproeven, niet-normaal verdeelde data, of ordinale data. | | Parametrische methoden | Statistische methoden die aannames maken over de parameters van de populatie, zoals de normale verdeling. Ze zijn over het algemeen krachtiger dan niet-parametrische methoden wanneer de aannames voldaan zijn. | | Power (Statistiek) | De kans om de nulhypothese te verwerpen wanneer deze onwaar is (dus de kans om een werkelijk effect te detecteren). Een hogere power is wenselijk. | | Type II fout | Het niet verwerpen van de nulhypothese wanneer deze onwaar is. Dit wordt ook wel een "fout van de tweede soort" genoemd. | | Sign-test | Een niet-parametrische test voor gepaarde metingen of één steekproef, die alleen kijkt naar het teken (positief of negatief) van de verschillen en niet naar de grootte ervan. | | Mediaan | De middelste waarde in een geordende dataset. 50% van de data ligt onder de mediaan en 50% erboven. | | Hypothese | Een uitspraak die getest wordt. De nulhypothese ($H_0$) stelt meestal dat er geen effect of verschil is, terwijl de alternatieve hypothese ($H_A$) stelt dat er wel een effect of verschil is. | | Signed-rank test | Een niet-parametrische test voor gepaarde metingen of één steekproef die rekening houdt met zowel het teken als de rangorde van de absolute verschillen. | | Rangnummers | De volgorde van de waarden in een dataset, waarbij de kleinste waarde rang 1 krijgt, de volgende rang 2, enzovoort. | | Rank-sum test | Een niet-parametrische test voor twee onafhankelijke groepen, die de rangnummers van de data in beide groepen vergelijkt om te bepalen of er een significant verschil is tussen de medianen. | | Steekproef | Een deelverzameling van een populatie die wordt onderzocht om conclusies te trekken over de gehele populatie. | | Populatie | De gehele groep waarover een uitspraak wordt gedaan. | | Afhankelijke steekproeven | Steekproeven waarbij de metingen binnen de ene groep gerelateerd zijn aan de metingen in de andere groep, bijvoorbeeld herhaalde metingen bij dezelfde personen. | | Onafhankelijke steekproeven | Steekproeven waarbij de metingen in de ene groep geen invloed hebben op de metingen in de andere groep. | | Continue gegevens | Data die elke waarde binnen een bepaald bereik kunnen aannemen, zoals lengte, gewicht of temperatuur. | | Ordinale gegevens | Data die een natuurlijke volgorde hebben, maar waarbij de afstanden tussen de waarden niet noodzakelijk gelijk zijn, zoals ranglijsten of beoordelingen (bijv. "goed", "matig", "slecht"). | | Binaire gegevens | Data die slechts twee mogelijke uitkomsten hebben, zoals "ja/nee" of "geslaagd/gezakt". | | Significantieniveau (s.n.) | Het risico dat wordt aanvaard om de nulhypothese te verwerpen terwijl deze waar is (type I fout). Vaak ingesteld op 5% (0.05). | | P-waarde | De kans om de geobserveerde resultaten of extremere resultaten te verkrijgen, aannemende dat de nulhypothese waar is. Een lage p-waarde (typisch < significantieniveau) leidt tot verwerping van de nulhypothese. | | Normaal verdeelde populatie | Een populatie waarvan de waarden een symmetrische, klokvormige verdeling volgen, de zogenaamde Gauss-curve. | | Variantie | Een maat voor de spreiding van data rondom het gemiddelde. Het is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde. |

# Verdelingstesten Dit gedeelte behandelt het gebruik van chi-kwadraat verdelingstesten om te bepalen of waargenomen frequenties overeenkomen met verwachte frequenties, met een focus op de 𝜒2-test voor een multinomiale verdeling [2](#page=2). ## 1.1 De 𝜒2-test voor een multinomiale verdeling De 𝜒2-test voor een multinomiale verdeling wordt gebruikt om te toetsen of de waargenomen frequenties van categorische data overeenkomen met verwachte frequenties, die gebaseerd zijn op een specifieke hypothetische verdeling [2](#page=2). ### 1.1.1 Toepassingsvoorbeeld: Bloedgroepen Stel dat uit eerder onderzoek de kansen voor bloedgroepen in België als volgt waren [3](#page=3): * Bloedgroep O: 0.46 * Bloedgroep A: 0.42 * Bloedgroep B: 0.09 * Bloedgroep AB: 0.03 Er wordt een steekproef genomen van 200 willekeurige Belgen, waarbij de volgende aantallen worden geobserveerd [4](#page=4): * Bloedgroep O: 96 * Bloedgroep A: 79 * Bloedgroep B: 13 * Bloedgroep AB: 12 De vraag is of deze waargenomen frequenties significant afwijken van de verwachte frequenties gebaseerd op de oude kansen, wat zou impliceren dat de kansen veranderd zijn [4](#page=4). ### 1.1.2 Hypothesen formuleren De nulhypothese ($H_0$) stelt dat de kansen voor de bloedgroepen onveranderd zijn ten opzichte van de oudere schattingen. De alternatieve hypothese ($H_A$) stelt dat minstens één van de kansen is veranderd [5](#page=5). * $H_0$: De kansen zijn respectievelijk 0.46, 0.42, 0.09 en 0.03. * $H_A$: Minstens één van de kansen is veranderd. ### 1.1.3 Verwachte frequenties berekenen Als de nulhypothese waar is, kunnen de verwachte frequenties ($E_i$) voor elke categorie berekend worden door de totale steekproefgrootte ($n$) te vermenigvuldigen met de hypothetische kans ($p_i$) voor die categorie [5](#page=5): $E_i = n \times p_i$ Voor het bloedgroepvoorbeeld, met $n=200$ en de kansen uit de nulhypothese [7](#page=7): * Verwacht O: $200 \times 0.46 = 92$ * Verwacht A: $200 \times 0.42 = 84$ * Verwacht B: $200 \times 0.09 = 18$ * Verwacht AB: $200 \times 0.03 = 6$ ### 1.1.4 De toetsingsgrootheid: Chi-kwadraat (𝜒2) Om te bepalen hoe groot de afwijking tussen de geobserveerde ($O_i$) en verwachte ($E_i$) frequenties mag zijn zonder de nulhypothese te verwerpen, wordt de chi-kwadraat toetsingsgrootheid gebruikt. Deze grootheid is gedefinieerd als [9](#page=9): $$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$ waarbij $k$ het aantal categorieën is [10](#page=10). * De term $\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ meet de gekwadrateerde afwijking voor categorie $i$, gewogen door de verwachte frequentie. Het kwadrateren zorgt ervoor dat zowel positieve als negatieve afwijkingen bijdragen aan de totale afwijking [10](#page=10). ### 1.1.5 Verdelingskenmerken van de toetsingsgrootheid Onder de nulhypothese en mits de steekproef voldoende groot is, volgt de toetsingsgrootheid een chi-kwadraat verdeling met $k-1$ vrijheidsgraden [10](#page=10). > **Tip:** De vuistregel voor een "voldoende grote" steekproef is dat de verwachte frequentie ($E_i$) in elke categorie minstens 5 moet zijn. Indien deze regel niet voldaan is, kunnen categorieën worden samengenomen [14](#page=14). In het bloedgroepvoorbeeld zijn er $k=4$ categorieën, dus de toetsingsgrootheid volgt een $\chi^2$-verdeling met $4-1 = 3$ vrijheidsgraden [15](#page=15). ### 1.1.6 Het verwerpingsgebied bepalen Om een beslissing te nemen over de nulhypothese, wordt de berekende 𝜒2-waarde vergeleken met een kritische waarde uit de 𝜒2-verdelingstabel, bij een bepaald significantieniveau (bv. 5%) en het berekende aantal vrijheidsgraden [16](#page=16). * Voor een significantieniveau van 5% en 3 vrijheidsgraden is de kritische waarde 7.81 [16](#page=16). * Als de berekende 𝜒2-waarde groter is dan de kritische waarde, wordt de nulhypothese verworpen [16](#page=16). > **Tip:** Een alternatieve benadering is het berekenen van de p-waarde. Als de p-waarde kleiner is dan het significantieniveau, wordt de nulhypothese verworpen. ### 1.1.7 Berekeningen en besluit (bloedgroepvoorbeeld) De geobserveerde en verwachte frequenties zijn: * O: Geobserveerd 96, Verwacht 92 * A: Geobserveerd 79, Verwacht 84 * B: Geobserveerd 13, Verwacht 18 * AB: Geobserveerd 12, Verwacht 6 [17](#page=17). De bijdragen aan de 𝜒2-toetsingsgrootheid per categorie zijn: * O: $\frac{(96-92)^2}{92} = \frac{16}{92} \approx 0.1739$ * A: $\frac{(79-84)^2}{84} = \frac{25}{84} \approx 0.2976$ * B: $\frac{(13-18)^2}{18} = \frac{25}{18} \approx 1.3889$ * AB: $\frac{(12-6)^2}{6} = \frac{36}{6} = 6.0000$ [17](#page=17). De totale 𝜒2-waarde is de som van deze bijdragen: $$ \chi^2 = 0.1739 + 0.2976 + 1.3889 + 6.0000 = 7.8604 $$ [17](#page=17). Vergelijking met de kritische waarde: * De berekende 𝜒2-waarde (7.8604) is groter dan de kritische waarde (7.81) [18](#page=18). * De p-waarde is $P(\chi^2_{3} > 7.8604)$, wat kleiner is dan 0.05 [18](#page=18). **Besluit:** Op een significantieniveau van 5% wordt de nulhypothese verworpen. Er is voldoende bewijs om te concluderen dat minstens één van de bloedgroepkansen significant is veranderd ten opzichte van 20 jaar geleden [18](#page=18). > **Opmerking:** De kritische waarde en de berekende toetsingsgrootheid liggen erg dicht bij elkaar, wat aangeeft dat het een randgeval is. De grote bijdrage van de AB-bloedgroep aan de 𝜒2-waarde (6.0000) suggereert dat dit de categorie is die het meest afwijkt [18](#page=18). ### 1.1.8 Voorwaarden voor de 𝜒2-test De 𝜒2-test voor een multinomiale verdeling vereist dat de steekproef voldoende groot is, met als vuistregel dat de verwachte frequenties ($E_i$) voor alle categorieën minstens 5 moeten zijn. Indien dit niet het geval is, moeten categorieën gecombineerd worden. De vrijheidsgraden voor de 𝜒2-verdeling zijn het aantal categorieën minus 1 ($k-1$) [14](#page=14) [15](#page=15). ### 1.1.9 De 𝜒2-verdelingstabel De 𝜒2-verdelingstabel toont kritische waarden voor verschillende aantallen vrijheidsgraden en cumulatieve kansen. Deze tabel wordt gebruikt om de p-waarde te bepalen of om direct de nulhypothese te verwerpen door de berekende toetsingsgrootheid te vergelijken met de kritische waarde [12](#page=12). > **Voorbeeld oefening:** Stel dat $X \sim \chi^2 $. Zoek $x$ zodat $P(X < x) = 0.95$. Dit betekent dat we de waarde zoeken die 95% van de verdeling links van zich heeft bij 8 vrijheidsgraden. Door de tabel te raadplegen, vinden we deze waarde [12](#page=12) [8](#page=8). --- # Nagaan van normaliteit Het nagaan van normaliteit is een cruciale stap in de statistische analyse om te bepalen of een steekproef afkomstig is uit een normaal verdeelde populatie, wat essentieel is voor de correcte toepassing van parametrische testen [20](#page=20). ### 7.2.1 Waarom normaliteit nagaan? Het controleren op normaliteit is met name belangrijk in de volgende situaties: * **Hypothesetesten:** Normaliteit is een voorwaarde voor veel parametrische testen, vooral wanneer de populatieomvang klein is [20](#page=20). * **Onzekerheid over populatieverdeling:** Als er geen voorkennis is over de verdeling van de populatie waaruit de steekproef afkomstig is, is het raadzaam om de normaliteit te controleren [20](#page=20). * **Besluitvorming over testtype:** Op basis van de resultaten van normaliteitstesten kan worden besloten of een parametrische of een niet-parametrische test de meest geschikte analysemethode is [20](#page=20). ### 7.2.2 Methoden voor het nagaan van normaliteit Er zijn verschillende manieren om de normaliteit van gegevens te onderzoeken: * **Classificatie in klassen:** Hoewel gegevens in klassen kunnen worden ingedeeld om ze te analyseren op een vergelijkbare manier als bij de multinomiale verdeling, gaat hierbij informatie verloren [21](#page=21). * **Informeel (grafisch):** De QQ-plot (quantile-quantile plot), ook wel bekend als een normal probability plot, biedt een visuele indicatie van de normaliteit [21](#page=21) [22](#page=22). * **Formeel (statistisch):** De Shapiro-Wilk test is een statistische test die formeel de hypothese van normaliteit toetst [21](#page=21). ### 7.2.3 De QQ-plot De QQ-plot is een grafische methode om te beoordelen of een steekproef normaal verdeeld is [22](#page=22). * **Constructie:** De exacte berekening van de plot wordt doorgaans niet zelf uitgevoerd, maar het onderliggende principe is belangrijk [22](#page=22). * **Idee:** De plot vergelijkt de geobserveerde waarden in de steekproef met de waarden die theoretisch verwacht zouden worden als de populatie normaal verdeeld was [22](#page=22). * **Grafische weergave:** De verwachte kwantielen onder normaliteit worden uitgezet op de x-as en de geobserveerde kwantielen van de steekproef op de y-as [22](#page=22). * **Interpretatie:** Als de gegevens inderdaad normaal verdeeld zijn, zullen de punten in de QQ-plot ongeveer op de rechte lijn $y=x$ liggen. In de praktijk wordt vaak gekeken naar gestandaardiseerde verwachte en geobserveerde waarden [22](#page=22) [24](#page=24). > **Tip:** Een kwantiel is equivalent aan een percentiel en vertegenwoordigt de waarde waarbinnen een bepaald percentage van de gegevens valt [22](#page=22). * **Beoordeling:** De beoordeling van een QQ-plot is subjectief en vereist visuele inspectie van de afwijking van de punten ten opzichte van de rechte lijn [25](#page=25) [26](#page=26). ### 7.2.4 De Shapiro-Wilk test De Shapiro-Wilk test is een statistische toets voor normaliteit die een meer objectieve beoordeling biedt dan de QQ-plot [28](#page=28). * **Hypotheses:** * $H_0$: De steekproef komt uit een normaal verdeelde populatie. * $H_A$: De steekproef komt niet uit een normaal verdeelde populatie. * **Berekening en interpretatie:** De test zelf hoeft niet handmatig berekend te worden. De belangrijkste stap is het correct interpreteren van de p-waarde die door software (zoals R) wordt gegenereerd [28](#page=28). * **Beslissingsregel (bij een significantieniveau van 5%):** * Als $p < 0.05$: verwerp $H_0$. Dit betekent dat er onvoldoende bewijs is om aan te nemen dat de steekproef normaal verdeeld is [28](#page=28). * Als $p \geq 0.05$: verwerp $H_0$ niet. Dit suggereert dat er geen significant bewijs is tegen de normaliteit van de steekproef [28](#page=28). ### 7.2.5 Normaliteit nagaan in R Softwarepakketten zoals R bieden functies om normaliteitstesten uit te voeren en visualisaties te genereren [29](#page=29) [30](#page=30). #### 7.2.5.1 De obesitasstudie: voorbeeld Een voorbeeld dat de toepassing van deze methoden illustreert, is de obesitasstudie uit 2013 in het Jessa ziekenhuis. In deze studie wordt onderzocht of het gemiddelde belastingsniveau van meisjes (n=28) bij uitputting lager is dan 150. Om dit te kunnen toetsen met parametrische methoden, moet eerst de normaliteit van het belastingsniveau ($Wpiek$) bij de meisjes worden nagegaan. Dit kan visueel worden gedaan met een QQ-plot en formeel met de Shapiro-Wilk test [31](#page=31) [32](#page=32) [34](#page=34). --- # Onafhankelijkheidstesten Dit gedeelte behandelt methoden om te toetsen of twee categorische variabelen onafhankelijk zijn, met een focus op de chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid en de interpretatie van de resultaten [36](#page=36). ### 7.3.1 Het concept van onafhankelijkheid Onafhankelijkheid tussen twee variabelen betekent dat de verdeling van de ene variabele niet afhangt van de categorie van de andere variabele. Anders gezegd, de kans op een bepaalde uitkomst in de ene variabele is hetzelfde, ongeacht de uitkomst van de andere variabele [40](#page=40). **Voorbeeld: HPV-virus en baarmoederhalskanker** [37](#page=37). Stel dat we willen onderzoeken of er een verband is tussen het type HPV-virus (type 6 of 11) en de ernst van baarmoederhalskanker (licht, gevorderd, metastasen). De nulhypothese ($H_0$) zou zijn dat het type HPV en de ernst van de kanker onafhankelijk zijn. De alternatieve hypothese ($H_A$) stelt dat ze niet onafhankelijk zijn. Als $H_0$ waar is, zou de kans op een meer kwaadaardige kanker hetzelfde moeten zijn voor patiënten met type 6 en type 11 virus [40](#page=40). ### 7.3.2 De chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid De chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid wordt gebruikt om te bepalen of de geobserveerde aantallen in een kruistabel significant afwijken van de verwachte aantallen onder de aanname van onafhankelijkheid [45](#page=45). #### 7.3.2.1 Stappen in de toets 1. **Opstellen van een kruistabel (contingentietabel):** Dit is een tabel die de geobserveerde frequenties weergeeft voor de combinaties van de categorieën van de twee variabelen [39](#page=39). **Voorbeeld (HPV-virus en kanker-ernst):** [39](#page=39). | Type HPV | Licht | Gevorderd | Metastasen | Totaal | | :------- | :---- | :-------- | :--------- | :----- | | 6 | 95 | 32 | 8 | 135 | | 11 | 86 | 42 | 8 | 136 | | Totaal | 181 | 74 | 16 | 271 | 2. **Berekenen van de verwachte aantallen ($E_{ij}$) onder de aanname van onafhankelijkheid:** Als de twee variabelen onafhankelijk zijn, kan het verwachte aantal in een cel $(i,j)$ berekend worden met de volgende formule: $$E_{ij} = \frac{\text{rijtotaal} \times \text{kolomtotaal}}{\text{algemeen totaal}}$$ **Voorbeeld (verwachte aantallen):** [43](#page=43). | Type HPV | Licht | Gevorderd | Metastasen | Totaal | | :------- | :------- | :-------- | :--------- | :----- | | 6 | 90.1661 | 36.8635 | 7.9705 | 135 | | 11 | 90.8340 | 37.1365 | 8.0295 | 136 | | Totaal | 181 | 74 | 16 | 271 | 3. **Berekenen van de chi-kwadraat teststatistiek ($\chi^2$):** De teststatistiek wordt berekend door de gekwadrateerde verschillen tussen geobserveerde ($O_{ij}$) en verwachte ($E_{ij}$) aantallen te wegen met de verwachte aantallen, en dit vervolgens te sommeren over alle cellen van de tabel: $$\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$ waarbij $r$ het aantal rijen en $c$ het aantal kolommen is [45](#page=45). **Voorbeeld (chi-kwadraat bijdragen per cel):** [47](#page=47). | Type HPV | Licht | Gevorderd | Metastasen | | :------- | :----- | :-------- | :--------- | | 6 | 0.2592 | 0.6417 | 0.0001 | | 11 | 0.2573 | 0.6369 | 0.0001 | De som van deze bijdragen is de $\chi^2$-teststatistiek: $1.7952$ [47](#page=47). 4. **Bepalen van de vrijheidsgraden:** De vrijheidsgraden voor de chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid zijn $(r-1)(c-1)$. In het HPV-voorbeeld is dit $(2-1)(3-1) = 1 \times 2 = 2$ vrijheidsgraden [45](#page=45) [50](#page=50). 5. **Vergelijken met de kritieke waarde of interpreteren van de p-waarde:** De berekende $\chi^2$-statistiek wordt vergeleken met een kritieke waarde uit de $\chi^2$-verdeling bij een gekozen significantieniveau ($\alpha$, vaak 0.05) en het berekende aantal vrijheidsgraden [46](#page=46). * Als de berekende $\chi^2$-statistiek groter is dan de kritieke waarde, wordt de nulhypothese verworpen. * Als de p-waarde kleiner is dan $\alpha$, wordt de nulhypothese verworpen. **Voorbeeld (vergelijking met kritieke waarde):** [48](#page=48) [50](#page=50). Voor $\alpha = 0.05$ en 2 vrijheidsgraden is de kritieke waarde van de $\chi^2$-verdeling $5.99$. De berekende $\chi^2$-statistiek is $1.7952$. Omdat $1.7952 < 5.99$, wordt de nulhypothese niet verworpen op een significantieniveau van 5%. Dit betekent dat er geen statistisch significant bewijs is om te concluderen dat het type HPV en de ernst van baarmoederhalskanker afhankelijk zijn [50](#page=50). #### 7.3.2.2 Voorwaarden voor de chi-kwadraat toets * Alle verwachte aantallen ($E_{ij}$) moeten groter zijn dan of gelijk zijn aan 5. Als deze voorwaarde niet voldaan is, bijvoorbeeld in kleine tabellen of wanneer er weinig frequenties zijn, kan Fisher's exact test gebruikt worden voor 2x2 tabellen [45](#page=45) [51](#page=51). * De data moet uit een willekeurige steekproef komen. * De variabelen moeten categorisch zijn. > **Tip:** Als de verwachte waarden lager zijn dan 5, kan de chi-kwadraat toets onbetrouwbaar zijn. Overweeg dan andere toetsen zoals Fisher's exact test [51](#page=51). ### 7.3.3 Onafhankelijkheidstesten in R R biedt functies om onafhankelijkheidstesten uit te voeren [51](#page=51). 1. **Kruistabel opstellen:** Dit kan handmatig of met de functie `table()`. 2. **Voorwaarden nagaan:** De verwachte waarden kunnen gecontroleerd worden met `chisq.test(tabel)USDexpected`. 3. **Chi-kwadraat toets uitvoeren:** Als de voorwaarden voldaan zijn, kan de toets uitgevoerd worden met `chisq.test(tabel)`. 4. **Alternatief bij niet-voldane voorwaarden:** Indien de voorwaarden niet voldaan zijn, kan `fisher.test(tabel)` gebruikt worden voor 2x2 tabellen [51](#page=51). **Voorbeeld: Ziek zijn en garnalen eten in een restaurant** [52](#page=52) [53](#page=53). * $H_0$: Ziek zijn en garnalen eten zijn onafhankelijk. * $H_A$: Ziek zijn en garnalen eten zijn afhankelijk. * Als de p-waarde 0.2832 is en we een significantieniveau van 5% hanteren, verwerpen we $H_0$ niet. Er is geen statistisch significant verband tussen ziek zijn en garnalen eten [53](#page=53). **Correctie voor continuïteit (Yates' correctie):** Voor 2x2 tabellen wordt standaard een correctie uitgevoerd. Om dichter bij de handmatige berekening te komen, kan `correct = FALSE` gebruikt worden in de `chisq.test()` functie [54](#page=54). **Voorbeeld: Geslacht en beginletter van familienaam** [55](#page=55). Stel dat we onderzoeken of het beginnen van de familienaam met een 'V' onafhankelijk is van het geslacht van de student. | | V | Geen V | Totaal | | :----- | :--- | :----- | :----- | | Meisje | 17 | 103 | 120 | | Jongen | 9 | 49 | 58 | | Totaal | 26 | 152 | 178 | $H_0$: Geslacht en beginletter V zijn onafhankelijk [56](#page=56). $H_A$: Geslacht en beginletter V zijn niet onafhankelijk [56](#page=56). **Voorbeeld: Overgewicht en geslacht in een obesitasstudie** [57](#page=57) [58](#page=58). In een obesitasstudie wordt onderzocht of de overgewichtcategorie (geen, matig, ernstig) onafhankelijk is van het geslacht van het kind. * $H_0$: Geslacht en overgewicht categorie zijn onafhankelijk. * $H_A$: Geslacht en overgewicht categorie zijn niet onafhankelijk. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Verdelingstesten | Statistieke toetsen die worden gebruikt om te beoordelen of de waargenomen verdeling van gegevens overeenkomt met een theoretische verdeling of om verschillen tussen verwachte en geobserveerde frequenties te analyseren. | | Multinomiale verdeling | Een kansverdeling die de kans op een bepaald aantal uitkomsten van een reeks onafhankelijke experimenten beschrijft, waarbij elk experiment meer dan twee mogelijke uitkomsten heeft. | | Nulhypothese (H0) | Een stelling die stelt dat er geen significant verschil of verband is tussen variabelen, of dat een bepaalde parameter gelijk is aan een specifieke waarde. | | Alternatieve hypothese (HA) | Een stelling die het tegenovergestelde beweert van de nulhypothese en die wordt aangenomen als de nulhypothese wordt verworpen. | | Geobserveerde frequentie (Oi) | Het aantal keren dat een bepaalde gebeurtenis of categorie voorkomt in een steekproef. | | Verwachte frequentie (Ei) | Het aantal keren dat een bepaalde gebeurtenis of categorie naar verwachting zou voorkomen in een steekproef als de nulhypothese waar zou zijn. | | Chi-kwadraat (𝜒2) verdeling | Een continue kansverdeling die vaak wordt gebruikt bij het testen van hypothesen, met name voor het analyseren van variantie of het vergelijken van verwachte en geobserveerde frequenties. | | Vrijheidsgraden | Het aantal waarden in de laatste berekening van een statistische toets dat vrij kan variëren. Dit bepaalt de specifieke vorm van de kansverdeling. | | QQ-plot (Quantile-Quantile plot) | Een grafische methode om te beoordelen of een steekproef afkomstig is uit een theoretische populatieverdeling, door de kwantielen van de steekproef te vergelijken met de kwantielen van de theoretische verdeling. | | Normaliteitstest | Een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of een dataset is getrokken uit een normaal verdeelde populatie. | | Shapiro-Wilk test | Een specifieke normaliteitstest die de gelijkenis van de kwantielen van de geordende steekproefdata met de verwachte kwantielen van een normaal verdeelde populatie evalueert. | | Onafhankelijkheidstest | Een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verband bestaat tussen twee categorische variabelen in een populatie. | | Contingentietabel (Kruistabel) | Een tabel die de frequentieverdeling van twee of meer categorische variabelen weergeeft, waarbij de rijen en kolommen de categorieën van de variabelen vertegenwoordigen. | | P-waarde | De kans om resultaten te observeren die minstens zo extreem zijn als de waargenomen resultaten, onder de aanname dat de nulhypothese waar is. | | Significantieniveau (s.n.) | Het drempelniveau (vaak 0.05 of 5%) dat wordt gebruikt om te beslissen of de nulhypothese wordt verworpen; als de p-waarde kleiner is dan het significantieniveau, wordt de nulhypothese verworpen. | | Parametrische test | Een statistische toets die aannames doet over de verdeling van de populatieparameters, zoals normaliteit en homogeniteit van varianties. | | Niet-parametrische test | Een statistische toets die geen sterke aannames doet over de verdeling van de populatieparameters en daarom kan worden gebruikt wanneer de aannames van parametrische tests niet worden voldaan. |