HC2_LP_2024.pdf

# Gemiddelde en variantie van een stochastische veranderlijke Dit gedeelte behandelt de berekening van het gemiddelde en de variantie voor zowel discrete als continue stochastische veranderlijken, inclusief de bijbehorende definities en notaties [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.1 Gemiddelde van een discrete stochastische veranderlijke Het gemiddelde van een discrete stochastische veranderlijke (s.v.) vertegenwoordigt de verwachte waarde van de uitkomsten wanneer een experiment herhaaldelijk wordt uitgevoerd. De notatie hiervoor is $E(X)$ [4](#page=4). #### 1.1.1 Berekening met gelijke kansen Als alle mogelijke uitkomsten van een discrete s.v. dezelfde kans hebben, kan het gemiddelde worden berekend door de som van de mogelijke uitkomsten te delen door het aantal uitkomsten [4](#page=4). * **Voorbeeld:** Bij het gooien met één dobbelsteen, waarbij elke uitkomst $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ een kans $P(X=x) = 1/6$ heeft [4](#page=4). Het gemiddelde wordt berekend als: $$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$$ [4](#page=4). #### 1.1.2 Berekening met ongelijke kansen Wanneer de uitkomsten van een discrete s.v. niet met dezelfde kans voorkomen, moet elke waarde worden vermenigvuldigd met zijn respectievelijke kans voordat ze worden opgeteld [5](#page=5). * **Voorbeeld:** Bij het gooien met twee dobbelstenen, waarbij $X$ de som van de ogen representeert [5](#page=5). De kansverdeling is niet uniform. De berekening van het gemiddelde is: $$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)$$ [7](#page=7). Voor het voorbeeld van twee dobbelstenen: $$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + \dots + 12 \cdot \frac{1}{36} = 7$$ [5](#page=5). #### 1.1.3 Definitie van het gemiddelde De algemene definitie voor het gemiddelde van een discrete s.v. is: $$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)$$ [7](#page=7). ### 1.2 Variantie van een discrete stochastische veranderlijke De variantie, genoteerd als $\text{Var}(X)$, meet de spreiding van de uitkomsten van een discrete s.v. rond het gemiddelde [6](#page=6) [7](#page=7). #### 1.2.1 Definitie van de variantie De variantie kan worden berekend met behulp van de volgende definities: $$ \text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X=x_i) $$ [7](#page=7). Een alternatieve en vaak handigere formule is: $$ \text{Var}(X) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(X=x_i) - [E(X)]^2 $$ [7](#page=7). * **Voorbeeld:** Voor het gooien met één dobbelsteen ($E(X) = 3.5$) [6](#page=6). Met de tweede formule: $$ \text{Var}(X) = \left(1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}\right) - (3.5)^2 $$ $$ \text{Var}(X) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} - 12.25 = \frac{91}{6} - 12.25 = 15.1667 - 12.25 = 2.9167 $$ [6](#page=6). #### 1.2.2 Standaardafwijking De standaardafwijking is de positieve vierkantswortel van de variantie en geeft de typische afwijking van de uitkomsten ten opzichte van het gemiddelde aan [7](#page=7). #### 1.2.3 Oefening Gegeven de volgende kansverdeling voor een discrete s.v. $X$ [8](#page=8): $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 ------- | -------- | -------- | -------- | -------- $P(X=x)$ | 3/8 | 1/8 | 1/8 | 3/8 * **Berekening van het gemiddelde:** $$E(X) = 0 \cdot \frac{3}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{0+1+2+9}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$ [8](#page=8). * **Berekening van de variantie:** $$ \text{Var}(X) = \left(0^2 \cdot \frac{3}{8} + 1^2 \cdot \frac{1}{8} + 2^2 \cdot \frac{1}{8} + 3^2 \cdot \frac{3}{8}\right) - \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$ $$ \text{Var}(X) = \left(0 \cdot \frac{3}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{8} + 9 \cdot \frac{3}{8}\right) - \frac{9}{4} $$ $$ \text{Var}(X) = \frac{0+1+4+27}{8} - \frac{9}{4} = \frac{32}{8} - \frac{9}{4} = 4 - 2.25 = 1.75 $$ [8](#page=8). De oefening in het document geeft $\frac{7}{4}$ wat overeenkomt met $1.75$ [8](#page=8). ### 1.3 Gemiddelde en variantie van een continue stochastische veranderlijke Net als bij discrete stochastische veranderlijken, kunnen ook voor continue stochastische veranderlijken een gemiddelde en een variantie worden berekend. Hierbij worden sommaties vervangen door integralen [9](#page=9). > **Tip:** Hoewel de documentatie dit gedeelte introduceert, worden de specifieke formules voor continue s.v.'s niet gedetailleerd uitgewerkt op de betreffende pagina's. De kernprincipes van het concept blijven echter hetzelfde: integratie vervangt sommatie [9](#page=9). --- # Binomiale verdeling De binomiale verdeling is een kansverdeling die wordt gebruikt om het aantal successen te beschrijven in een vast aantal onafhankelijke experimenten, waarbij elk experiment slechts twee mogelijke uitkomsten heeft (succes of falen) en de kans op succes bij elk experiment constant is [18](#page=18). ### 2.1 Voorwaarden voor een binomiale verdeling Een stochastische variabele volgt een binomiale verdeling indien aan de volgende vier voorwaarden is voldaan [18](#page=18): * **Herhaalde experimenten:** Het experiment wordt meerdere keren op dezelfde manier uitgevoerd [18](#page=18). * **Onafhankelijkheid:** De experimenten zijn onafhankelijk van elkaar. Dit betekent dat de uitkomst van het ene experiment geen invloed heeft op de uitkomst van een ander experiment [18](#page=18). * **Constante succeskans:** Elk experiment heeft dezelfde kans op succes. Deze kans wordt aangeduid met $p$ [18](#page=18) [19](#page=19). * **Aantal successen:** De stochastische variabele telt het aantal successen in deze reeks experimenten [18](#page=18). #### 2.1.1 Notatie Als een stochastische variabele $X$ een binomiale verdeling volgt, wordt dit genoteerd als $X \sim B(n, p)$. Hierbij staat [19](#page=19): * $n$: Het totale aantal experimenten [19](#page=19). * $p$: De kans op succes in één enkel experiment [19](#page=19). #### 2.1.2 De kansformule De kans op exact $x$ successen in $n$ experimenten, waarbij de succeskans $p$ is, wordt berekend met de volgende formule [19](#page=19): $$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$ waarbij $\binom{n}{x}$ (de binomiaalcoëfficiënt) wordt berekend als: $$\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$$ Hierbij staat $n!$ voor de faculteit van $n$ ($n \times (n-1) \times \dots \times 1$) [19](#page=19). > **Tip:** De binomiaalcoëfficiënt $\binom{n}{x}$ staat voor het aantal manieren waarop $x$ successen kunnen worden behaald in $n$ experimenten. De formule $p^x (1-p)^{n-x}$ vertegenwoordigt de kans op één specifieke volgorde van $x$ successen en $n-x$ mislukkingen. Door deze met de binomiaalcoëfficiënt te vermenigvuldigen, tellen we alle mogelijke volgordes mee. ##### 2.1.2.1 Voorbeeld van de kansformule Stel we hebben een groep van 5 bloeddonoren ($n=5$) en de kans op bloedgroep O is 0.46 ($p=0.46$). Wat is de kans dat er precies 3 donoren met bloedgroep O zijn ($x=3$) [13](#page=13) [19](#page=19)? $P(X=3) = \binom{5}{3} (0.46)^3 (1-0.46)^{5-3}$ [19](#page=19). Eerst berekenen we de binomiaalcoëfficiënt: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = 10$ [19](#page=19). Vervolgens passen we de volledige formule toe: $P(X=3) = 10 \times (0.46)^3 \times (0.54)^2$ $P(X=3) = 10 \times 0.097336 \times 0.2916$ $P(X=3) \approx 0.2838$ [20](#page=20). De kans dat er 3 donoren met bloedgroep O zijn in een groep van 5 is dus ongeveer 0.2838 of 28.38%. > **Voorbeeld:** In België heeft 46% van de bevolking bloedgroep O. Als we willekeurig 5 personen selecteren, kunnen we de binomiale verdeling gebruiken om de kans op het aantal personen met bloedgroep O te berekenen. $X \sim B(5, 0.46)$ [13](#page=13). > > * Kans op 0 personen met bloedgroep O ($X=0$): $P(X=0) = \binom{5}{0} (0.46)^0 (0.54)^5 \approx 0.0459$ [15](#page=15). > * Kans op 1 persoon met bloedgroep O ($X=1$): $P(X=1) = \binom{5}{1} (0.46)^1 (0.54)^4 \approx 0.1956$ [16](#page=16). > * Kans op 2 personen met bloedgroep O ($X=2$): $P(X=2) = \binom{5}{2} (0.46)^2 (0.54)^3 \approx 0.3332$ [17](#page=17). > * Kans op 3 personen met bloedgroep O ($X=3$): $P(X=3) = \binom{5}{3} (0.46)^3 (0.54)^2 \approx 0.2838$ [17](#page=17) [20](#page=20). > * Kans op 4 personen met bloedgroep O ($X=4$): $P(X=4) = \binom{5}{4} (0.46)^4 (0.54)^1 \approx 0.1209$ [17](#page=17). > * Kans op 5 personen met bloedgroep O ($X=5$): $P(X=5) = \binom{5}{5} (0.46)^5 (0.54)^0 \approx 0.0206$ [17](#page=17). ### 2.2 Gebruik van tabellen voor kansberekeningen Voor bepaalde waarden van $n$ en $p$ kunnen de kansen ook worden opgezocht in specifieke tabellen van de binomiale verdeling. Deze tabellen vermelden de cumulatieve kansen of individuele kansen voor specifieke parameters [21](#page=21). > **Voorbeeld met tabel:** Gegeven is een binomiale verdeling met $n=14$ en $p=0.45$. We willen de kans weten op $X=3$. Door in de juiste tabel op te zoeken voor $n=14$, $p=0.45$ en $x=3$, kunnen we de bijbehorende kans aflezen [23](#page=23). > > **Voorbeeld met tabel:** Gegeven is een binomiale verdeling met $n=10$ en $p=0.15$. We willen de kans weten op $X > 5$. Dit betekent dat we de som van de kansen voor $X=6, X=7, X=8, X=9$ en $X=10$ moeten berekenen. Vaak bieden tabellen cumulatieve kansen, bijvoorbeeld $P(X \le k)$, wat het berekenen van $P(X > 5)$ vereenvoudigt tot $1 - P(X \le 5)$ [25](#page=25). ### 2.3 Gemiddelde en variantie van de binomiale verdeling Voor een stochastische variabele $X$ die een binomiale verdeling volgt met parameters $n$ en $p$, gelden de volgende formules voor het gemiddelde (verwachtingswaarde) en de variantie [26](#page=26): * **Gemiddelde (verwachtingswaarde):** $E(X) = np$ [26](#page=26). * **Variantie:** $Var(X) = npq$, waarbij $q = 1-p$ [26](#page=26). > **Tip:** Het gemiddelde $E(X)$ geeft het verwachte aantal successen aan in $n$ experimenten. De variantie $Var(X)$ geeft een maat voor de spreiding van de mogelijke uitkomsten rondom het gemiddelde. Een grotere variantie betekent een grotere spreiding. --- # Multinomiale verdeling Dit gedeelte breidt de binomiale verdeling uit naar situaties met meer dan twee uitkomstcategorieën, met behulp van de multinomiale verdeling. ### 3.1 Introductie tot de multinomiale verdeling De multinomiale verdeling is een uitbreiding van de binomiale verdeling wanneer er meer dan twee mogelijke uitkomsten zijn voor een experiment. Waar de binomiale verdeling het aantal successen in $n$ onafhankelijke Bernoulli-experimenten telt, beschrijft de multinomiale verdeling het aantal keren dat elk van $k$ mogelijke uitkomsten voorkomt in $n$ onafhankelijke experimenten [28](#page=28) [29](#page=29) [30](#page=30). ### 3.2 Voorwaarden voor de multinomiale verdeling Een set van $k$ stochastische variabelen $X_1, X_2, \ldots, X_k$ volgen gezamenlijk een multinomiale verdeling als aan de volgende voorwaarden wordt voldaan [30](#page=30): * **Herhaalde experimenten:** Hetzelfde experiment wordt meerdere keren uitgevoerd [30](#page=30). * **Onafhankelijkheid:** De experimenten worden onafhankelijk van elkaar uitgevoerd [30](#page=30). * **Vaste categorieën en kansen:** Elk experiment heeft $k$ uitkomstcategorieën, met voor elke categorie constante kansen $p_1, p_2, \ldots, p_k$ die optellen tot 1 [30](#page=30). * **Aantal per categorie:** De stochastische variabelen $X_1, X_2, \ldots, X_k$ beschrijven het aantal observaties dat in de respectievelijke categorieën valt [30](#page=30). ### 3.3 Notatie Als $n$ het totale aantal keren is dat een experiment wordt uitgevoerd en $p_1, p_2, \ldots, p_k$ de kansen zijn om in de respectievelijke categorieën te vallen, dan wordt een multinomiale verdeling genoteerd als: $(X_1, X_2, \ldots, X_k) \sim MN(n, (p_1, p_2, \ldots, p_k))$ [31](#page=31). Hierin geldt dat $\sum_{i=1}^{k} x_i = n$ en $\sum_{i=1}^{k} p_i = 1$ [32](#page=32). ### 3.4 Kansberekening De kans om exact $x_1$ observaties in categorie 1, $x_2$ in categorie 2, ..., en $x_k$ in categorie $k$ te hebben, wordt gegeven door de volgende formule: $$ P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \ldots, X_k = x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \ldots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \ldots p_k^{x_k} $$ [32](#page=32). Hierbij moeten de aantallen observaties optellen tot het totale aantal experimenten, dus $\sum_{i=1}^{k} x_i = n$ [32](#page=32). > **Voorbeeld:** Beschouw een groep van 10 donoren, waarbij de kansen op bloedgroepen O, A, B en AB respectievelijk 0.46, 0.42, 0.09 en 0.03 zijn. De kans om 4 donoren met bloedgroep O, 3 met bloedgroep A, 2 met bloedgroep B en 1 met bloedgroep AB te hebben, is [28](#page=28): > > $$ P(X_O = 4, X_A = 3, X_B = 2, X_{AB} = 1) = \frac{10!}{4!3!2!1!} (0.46)^4 (0.42)^3 (0.09)^2 (0.03)^1 $$ > > Dit resulteert in een kans van ongeveer 0.0102 of 1.02% [29](#page=29). ### 3.5 Gemiddelde en variantie Voor een multinomiale verdeling met parameters $n$ en $(p_1, p_2, \ldots, p_k)$, geldt voor elke individuele stochastische variabele $X_i$ het volgende: * **Verwachtingswaarde (gemiddelde):** $E[X_i = n p_i$ [33](#page=33). * **Variantie:** $Var(X_i) = n p_i q_i$, waarbij $q_i = 1 - p_i$ [33](#page=33). > **Voorbeeld:** Voor de bloedgroepenverdeling met $n=10$ en kansen $(0.46, 0.42, 0.09, 0.03)$: > > * Het verwachte aantal donoren met bloedgroep O is: > $E[X_1 = 10 \times 0.46 = 4.6$ [33](#page=33). > * De variantie van het aantal donoren met bloedgroep O is: > $Var(X_1) = 10 \times 0.46 \times (1 - 0.46) = 10 \times 0.46 \times 0.54 = 2.48$ [33](#page=33). --- # Normale verdeling De normale verdeling is een fundamentele continue kansverdeling die wijdverbreid wordt gebruikt vanwege haar frequentie in natuurlijke verschijnselen en haar vermogen om andere verdelingen te benaderen [35](#page=35). ### 4.1 De dichtheidsfunctie van de normale verdeling De kansverdeling van een continue stochastische variabele wordt beschreven door een dichtheidsfunctie. Voor een normale verdeling wordt deze dichtheidsfunctie bepaald door twee parameters: $\mu$ (het gemiddelde) en $\sigma$ (de standaardafwijking). De algemene formule voor de dichtheidsfunctie is [35](#page=35) [36](#page=36): $$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} \quad -\infty < x < \infty $$ De parameter $\mu$ bepaalt de locatie van de piek van de curve, terwijl $\sigma$ de breedte van de grafiek beïnvloedt. Een normale verdeling wordt genoteerd als $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ [38](#page=38). #### 4.1.1 Kenmerken van de parameters $\mu$ en $\sigma^2$ Indien $X \sim N(\mu, \sigma^2)$: * $\mu$ vertegenwoordigt het gemiddelde van de stochastische variabele $X$ [39](#page=39). * $\sigma^2$ vertegenwoordigt de variantie van de stochastische variabele $X$ [39](#page=39). De mogelijke waarden voor deze parameters zijn: * $-\infty < \mu < +\infty$ [39](#page=39). * $\sigma^2 > 0$ [39](#page=39). > **Tip:** De variantie ($\sigma^2$) is altijd groter dan nul, aangezien een standaardafwijking ($\sigma$) een positieve waarde is die de spreiding aangeeft. ### 4.2 De standaard normale verdeling De standaard normale verdeling is een speciaal geval van de normale verdeling waarbij het gemiddelde $\mu = 0$ en de standaardafwijking $\sigma = 1$. Een stochastische variabele die standaard normaal verdeeld is, wordt vaak aangeduid met de letter $Z$ [42](#page=42). De cumulatieve verdelingsfunctie (CDF) van de standaard normale verdeling, die de kans $P(Z \le x)$ aangeeft, wordt genoteerd als $\Phi(x)$ [42](#page=42). #### 4.2.1 Eigenschappen van de standaard normale verdeling De standaard normale verdeling bezit de volgende belangrijke eigenschappen: * $P(Z = x) = 0$, wat betekent dat $P(Z \le x) = P(Z < x)$ [43](#page=43). * De totale oppervlakte onder de curve is gelijk aan 1 [43](#page=43). * $P(Z > x) = 1 - P(Z < x)$ [43](#page=43). * De curve is symmetrisch rond $x = 0$. Hieruit volgt [43](#page=43): * $P(Z < -x) = P(Z > x)$ [43](#page=43). * $P(Z > x) = 1 - P(Z < x)$ [43](#page=43). * $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ [43](#page=43). * De kans op een interval kan berekend worden als: * $P(x_1 < Z < x_2) = P(Z < x_2) - P(Z < x_1)$ [44](#page=44). * $P(x_1 < Z < x_2) = \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$ [44](#page=44). > **Tip:** Door deze symmetrie-eigenschappen hoeft u slechts de kansen voor positieve waarden van $Z$ te kennen. Kansen voor negatieve waarden kunnen hieruit worden afgeleid. ### 4.3 Het berekenen van kansen met de standaard normale verdeling Kansen voor de standaard normale verdeling kunnen worden afgelezen uit tabellen die de waarden van $\Phi(x)$ weergeven voor verschillende $x$-waarden [45](#page=45). #### 4.3.1 Voorbeelden met de standaard normale verdeling Gegeven dat $Z \sim N(0,1)$: * $P(Z < 0.23) = \Phi(0.23) = 0.5910$ [45](#page=45). * $P(Z < 0.46) = 0.6772$ [46](#page=46). * $P(Z > 0.46) = 1 - P(Z < 0.46) = 1 - 0.6772 = 0.3228$ [46](#page=46). * $P(Z < 0.05) = 0.5199$ [46](#page=46). * $P(0.05 < Z < 0.46) = P(Z < 0.46) - P(Z < 0.05) = 0.6772 - 0.5199 = 0.1573$ [46](#page=46). * $P(Z < -0.46) = 0.3228$ (gebruikmakend van $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$) [46](#page=46). * $P(Z > -0.46) = 1 - P(Z < -0.46) = 1 - 0.3228 = 0.6772$ [46](#page=46). * $P(-0.46 < Z < 0.05) = P(Z < 0.05) - P(Z < -0.46) = 0.5199 - 0.3228 = 0.1971$ [46](#page=46). #### 4.3.2 Oefeningen met de standaard normale verdeling Gegeven dat $Z \sim N(0,1)$: * $P(Z < 2.05) = 0.9798$ [47](#page=47). * $P(Z > 1.96) = 1 - P(Z < 1.96) = 1 - 0.9750 = 0.0250$ [47](#page=47). * $P(1.96 < Z < 2.05) = P(Z < 2.05) - P(Z < 1.96) = 0.9798 - 0.9750 = 0.0048$ [47](#page=47). * $P(Z < -2.05) = 1 - P(Z < 2.05) = 1 - 0.9798 = 0.0202$ [47](#page=47). ### 4.4 Willekeurige normale verdeling omzetten naar standaard normale verdeling Elke normale verdeling $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ kan worden herleid tot de standaard normale verdeling $Z \sim N(0,1)$ met behulp van de volgende transformatie: $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$ Deze transformatie maakt het mogelijk om kansen te berekenen voor elke normale verdeling door gebruik te maken van de standaard normale verdelingstabellen. #### 4.4.1 Kansen berekenen voor een willekeurige normale verdeling De kans $P(X \le x)$ voor een willekeurige normale verdeling kan worden omgerekend naar een kans met de standaard normale verdeling als volgt: $$ P(X \le x) = P\left(Z \le \frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $$ Voor een interval geldt: $$ P(x_0 \le X \le x_1) = P\left(\frac{x_0 - \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{x_1 - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{x_1 - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{x_0 - \mu}{\sigma}\right) $$ ##### 4.4.1.1 Voorbeeld: Cadmiumconcentratie in bloed Beschouw de cadmiumconcentratie $X$ in bloed (in $\mu g/l$) met $X \sim N(0.15; 0.00005)$. We willen de volgende kansen berekenen: 1. **Kans dat de concentratie kleiner is dan 0.14:** $P(X < 0.14) = P\left(Z < \frac{0.14 - 0.15}{\sqrt{0.00005}}\right) = P\left(Z < \frac{-0.01}{0.007071}\right) \approx P(Z < -1.41)$ [49](#page=49). Met behulp van de standaard normale tabel is $P(Z < -1.41) = 1 - \Phi(1.41) = 1 - 0.9207 = 0.0793$ [49](#page=49). 2. **Kans dat de concentratie groter is dan 0.16:** $P(X > 0.16) = P\left(Z > \frac{0.16 - 0.15}{\sqrt{0.00005}}\right) = P\left(Z > \frac{0.01}{0.007071}\right) \approx P(Z > 1.41)$ [49](#page=49). $P(Z > 1.41) = 1 - P(Z < 1.41) = 1 - 0.9207 = 0.0793$ [49](#page=49). 3. **Kans dat de concentratie tussen 0.14 en 0.16 ligt:** $P(0.14 < X < 0.16) = P(-1.41 < Z < 1.41)$ [49](#page=49). $P(-1.41 < Z < 1.41) = P(Z < 1.41) - P(Z < -1.41) = 0.9207 - 0.0793 = 0.8414$ [49](#page=49). > **Voorbeeld:** De standaardafwijking van de cadmiumconcentratie is $\sigma = \sqrt{0.00005} \approx 0.007071$. Bij het omrekenen van de waarden 0.14 en 0.16 naar $Z$-scores, worden deze getransformeerd naar -1.41 en 1.41 respectievelijk. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Stochastische veranderlijke | Een observeerbare grootheid waarvan de uitkomst afhankelijk is van toeval en die zich voordoet met een bepaalde kans. | | Gemiddelde (verwachtingswaarde) | De verwachte waarde van een stochastische veranderlijke, berekend door elke mogelijke uitkomst te vermenigvuldigen met zijn kans en deze producten op te tellen. | | $E(X)$ | Notatie voor de verwachtingswaarde of het gemiddelde van een stochastische veranderlijke $X$. | | Kansverdeling | Een functie die de kans specificeert dat een stochastische veranderlijke een bepaalde waarde aanneemt. Voor discrete variabelen is dit een kansmassafunctie, voor continue variabelen een kansdichtheidsfunctie. | | Discrete toevalsvariabele | Een variabele die een aftelbaar aantal waarden kan aannemen, vaak gehele getallen. | | Continue toevalsvariabele | Een variabele die elke waarde kan aannemen binnen een bepaald interval. | | Variantie | Een maat voor de spreiding van de waarden van een stochastische veranderlijke rond het gemiddelde. Het is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde. | | $Var(X)$ | Notatie voor de variantie van een stochastische veranderlijke $X$. | | Standaardafwijking | De positieve vierkantswortel van de variantie. Het geeft een indicatie van de typische afwijking van de waarden ten opzichte van het gemiddelde. | | Binomiale verdeling | Een kansverdeling die het aantal successen in een vast aantal onafhankelijke experimenten beschrijft, waarbij elk experiment slechts twee mogelijke uitkomsten heeft (succes of mislukking) en de succeskans constant is. | | $B(n,p)$ | Notatie voor een binomiale verdeling met $n$ experimenten en een succeskans $p$. | | $nCx$ | De binomiale coëfficiënt, ook wel 'n kies x' genoemd, die het aantal manieren aangeeft om $x$ successen te kiezen uit $n$ experimenten. Formule: $\frac{n!}{x!(n-x)!}$. | | Multinomiale verdeling | Een uitbreiding van de binomiale verdeling naar situaties met meer dan twee mogelijke uitkomsten per experiment, waarbij het aantal successen in elke categorie wordt geteld over een vast aantal onafhankelijke experimenten. | | $MN(n, (p1, p2, ..., pk))$ | Notatie voor een multinomiale verdeling met $n$ experimenten en kansen $(p1, p2, ..., pk)$ voor respectievelijk $k$ categorieën. | | Normale verdeling | Een continue kansverdeling die klokvormig en symmetrisch is, gedefinieerd door een gemiddelde ($\mu$) en een variantie ($\sigma^2$). Veel natuurlijke verschijnselen volgen deze verdeling. | | $\mu$ | Parameter van de normale verdeling die het gemiddelde of de locatie van de piek van de curve aangeeft. | | $\sigma^2$ | Parameter van de normale verdeling die de variantie aangeeft en de breedte van de curve bepaalt. | | $N(\mu, \sigma^2)$ | Notatie voor een normale verdeling met gemiddelde $\mu$ en variantie $\sigma^2$. | | Standaard normale verdeling | Een speciale normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een variantie van 1, genoteerd als $N(0,1)$ of $Z$. | | $\Phi(x)$ | De cumulatieve distributiefunctie van de standaard normale verdeling, die de kans aangeeft dat een standaard normaal verdeelde variabele kleiner of gelijk is aan $x$. | | Dichtheidsfunctie | Een functie die voor een continue toevalsvariabele de relatieve waarschijnlijkheid van elke uitkomst specificeert. De oppervlakte onder de curve over een interval geeft de kans op die uitkomst. |