Calculus

# Introducción a los números reales y sus propiedades Este tema aborda la definición y propiedades de los conjuntos numéricos básicos (naturales, enteros, racionales) para sentar las bases del estudio de los números reales, destacando sus propiedades como cuerpo ordenado y la importancia del axioma del extremo superior. ### 1.1. Números naturales, enteros y racionales Se definen los conjuntos de números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ (sin incluir el cero) enteros $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ y racionales $\mathbb{Q} = \{p/q \mid p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}$ [5](#page=5). #### 1.1.1. Propiedades de cuerpo ordenado para los racionales El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$, junto con las operaciones de suma (+) y producto (·), y la relación de orden (>), forma un cuerpo ordenado. Esto implica las siguientes propiedades [5](#page=5): * **Propiedades de cuerpo:** 1. **Asociativa y conmutativa:** * Suma: $a + (b + c) = (a + b) + c$ y $a + b = b + a$ * Producto: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ y $a \cdot b = b \cdot a$ 2. **Distributiva:** $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ 3. **Elementos neutros:** * Suma: Existe $0$ tal que $a + 0 = a$ para todo $a \in \mathbb{Q}$. * Producto: Existe $1$ tal que $a \cdot 1 = a$ para todo $a \in \mathbb{Q}$. 4. **Elementos inversos:** * Suma: Para todo $a \in \mathbb{Q}$, existe $-a$ tal que $a + (-a) = 0$. * Producto: Para todo $a \in \mathbb{Q}, a \neq 0$, existe $a^{-1}$ tal que $a \cdot a^{-1} = 1$. * **Propiedades de orden:** Existe una relación ">" que satisface: 5. **Tricotomía:** Dado $a \in \mathbb{Q}$, solo una de las siguientes es cierta: $a > 0$, $-a > 0$, o $a = 0$. 6. **Cierre bajo suma y producto:** Si $a > 0$ y $b > 0$, entonces $a + b > 0$ y $a \cdot b > 0$. A partir de estas propiedades, se definen otras operaciones y relaciones [5](#page=5): * Diferencia: $a - b = a + (-b)$ * Cociente: Si $b \neq 0$, $a/b = a \cdot b^{-1}$ * Potencia: Si $n \in \mathbb{N}$, $a^n = a \cdot \ldots \cdot a$ ($n$ veces) * Mayor que: $b > a$ si $b - a > 0$ * Menor que: $b < a$ si $a > b$ * Mayor o igual que: $b \geq a$ si $b > a$ o $b = a$ * Menor o igual que: $b \leq a$ si $a \geq b$ Los conjuntos $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ no son cuerpos ya que $\mathbb{N}$ no posee inverso aditivo y $\mathbb{Z}$ no posee inverso multiplicativo [5](#page=5). #### 1.1.2. Demostraciones por inducción Para demostrar una afirmación $P(n)$ que depende de un número natural $n$, se utiliza el principio de inducción matemática: i) Demostrar $P $ (caso base) [1](#page=1). ii) Probar que $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ para todo $n$ (paso inductivo). Si ambas condiciones se cumplen, $P(n)$ es cierta para todo $n \in \mathbb{N}$ [6](#page=6). **Ejemplo:** Probar por inducción que $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ [6](#page=6). * Caso base ($n=1$): $1 = \frac{1(1+1)}{2}$ [6](#page=6). * Paso inductivo: Suponiendo $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, se demuestra que $\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ [6](#page=6). #### 1.1.3. Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm) * Un número natural $n$ es múltiplo de $d$ si $n/d$ es un número natural, es decir, $d$ es divisor de $n$ [6](#page=6). * Un número natural es primo si sus únicos divisores son 1 y él mismo [6](#page=6). * El **máximo común divisor (mcd)** de un conjunto de enteros $n_1, \ldots, n_k$ es el mayor número natural que divide a todos ellos [6](#page=6). * El **mínimo común múltiplo (mcm)** de un conjunto de enteros $n_1, \ldots, n_k$ es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos [6](#page=6). Para hallar el mcd de dos números $m, n$ ($m>n$), se puede usar el algoritmo de Euclides: $m = q_1n + r_1$, $n = q_2r_1 + r_2$, etc., hasta obtener resto cero. El último resto no nulo es el mcd [6](#page=6). El mcm de dos números puede calcularse usando la relación: $\text{mcm}[m, n = \frac{m \cdot n}{\text{mcd}[m, n]}$ [6](#page=6). **Ejemplo:** Para 2340 y 6798, con factorizaciones $2340 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 13$ y $6798 = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 103$, el mcd es $2 \cdot 3 = 6$ y el mcm es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 103 = 2651220$ [6](#page=6). #### 1.1.4. Factoriales, números combinatorios y binomio de Newton * **Factorial:** Para $n \in \mathbb{N}$, $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. Se define $0! = 1$ [7](#page=7). * **Número combinatorio (coeficiente binomial):** Para $0 \leq k \leq n$, se define $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$ [7](#page=7). * $\binom{n}{k}$ representa el número de formas distintas de elegir $k$ elementos de un conjunto de $n$ elementos sin importar el orden [7](#page=7). * Propiedades: $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$, $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$ [7](#page=7). * **Binomio de Newton:** Para $n \in \mathbb{N}$, $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ [7](#page=7). * La demostración se basa en la inducción y la identidad $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ [7](#page=7). **Ejemplo:** $(1+x)^6 = 1 + 6x + 15x^2 + 20x^3 + 15x^4 + 6x^5 + x^6$ [7](#page=7). ### 1.2. Números irracionales y el conjunto de los números reales #### 1.2.1. Números irracionales Existen números que no pueden ser expresados como una fracción de dos enteros, es decir, no son racionales. Estos son los números irracionales [7](#page=7). * Su expresión decimal tiene infinitos decimales no periódicos [7](#page=7). * Ejemplos: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$ [7](#page=7). * Demostración de la irracionalidad de $\sqrt{2}$: Se asume que $\sqrt{2} = p/q$ es una fracción irreducible. Si $p^2 = 2q^2$, entonces $p^2$ es par, lo que implica que $p$ es par ($p=2m$). Sustituyendo, $(2m)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4m^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2m^2$. Esto significa que $q^2$ es par, por lo tanto $q$ también es par, lo cual contradice la suposición de que $p/q$ era irreducible [7](#page=7). * Suma de un racional y un irracional: Si $p \in \mathbb{Q}$ y $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, entonces $p+x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ [8](#page=8). * Producto de un racional no nulo y un irracional: Si $p \in \mathbb{Q}, p \neq 0$ y $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, entonces $p \cdot x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ [8](#page=8). * La suma o producto de dos irracionales puede ser racional (ej: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$) [8](#page=8). #### 1.2.2. El conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) Los números reales $\mathbb{R}$ son un conjunto que incluye tanto a los números racionales como a los irracionales [9](#page=9). * **Definición axiomática:** $\mathbb{R}$ es un conjunto con operaciones "+" y "·" y una relación ">" que satisface las propiedades de cuerpo ordenado (similares a $\mathbb{Q}$) y además el **axioma del extremo superior** [9](#page=9). * Representación: Los números reales pueden representarse como una recta, llamada la recta real, donde cada punto corresponde a un número real [9](#page=9). #### 1.2.3. Propiedades de las desigualdades en $\mathbb{R}$ Se repasan algunas propiedades de las desigualdades, aplicables a los números reales [9](#page=9): * $a < b \Rightarrow a+c < b+c$ y $a-c < b-c$. * $a < b$ y $c < d \Rightarrow a+c < b+d$ y $a-d < b-c$. * $a < b$ y $c > 0 \Rightarrow ac < bc$ y $a/c < b/c$. * $a < b$ y $c < 0 \Rightarrow ac > bc$ y $a/c > b/c$. * Si $a, b, c, d > 0$: $ac < bd \Leftrightarrow ad < bc$. * Si $a, b > 0$: $1 < a \Rightarrow a < a^2$; $0 < a < 1 \Rightarrow a > a^2$. * Si $a, b > 0$: $a < b \Leftrightarrow 1/a > 1/b$, $a^2 < b^2$, $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. **Nota:** La notación $\sqrt{a}$ se refiere siempre a la raíz cuadrada positiva de $a \geq 0$ [9](#page=9). **Ejemplo:** Determinar $x$ tal que $\frac{x^2+2}{x} > 3$ [9](#page=9). La desigualdad se puede reescribir como $\frac{x^3-3x+2}{x} > 0$. Se factoriza el numerador como $(x-1)^2(x+2)$. Analizando los signos se obtienen las soluciones $\{x: x < -2 \text{ o } 0 < x < 1 \text{ o } x > 1\}$ [9](#page=9). #### 1.2.4. Valor absoluto El valor absoluto de $x \in \mathbb{R}$, denotado por $|x|$, se define como: $|x| = \sqrt{x^2} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$ [10](#page=10). * $|x|$ representa la distancia de $x$ al origen [10](#page=10). * $|x-y|$ representa la distancia entre $x$ e $y$ [10](#page=10). Propiedades del valor absoluto [10](#page=10): * $|x|^2 = x^2$ * $|x| = |-x|$ * $|xy| = |x||y|$ * $-|x| \leq x \leq |x|$ Teoremas importantes [10](#page=10): * Para $a > 0$: $|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$. * Para $a > 0$: $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$. * Desigualdad triangular: $|x+y| \leq |x|+|y|$. * Otras: $|x|-|y| \leq |x-y| \leq |x|+|y|$, y $\left| |x|-|y| \right| \leq |x-y|$. **Ejemplo:** Resolver $| \sqrt{x} - 2 | = x$ [10](#page=10). Se considera la definición de valor absoluto para $\sqrt{x}-2$. Si $x \geq 4$, $\sqrt{x} - 2 \geq 0$, entonces $\sqrt{x}-2 = x$. La ecuación $x^2+3x+4=0$ no tiene soluciones reales [10](#page=10). Si $0 \leq x \leq 4$, $\sqrt{x} - 2 \leq 0$, entonces $2-\sqrt{x} = x$. La ecuación $x^2-5x+4=0$ tiene soluciones $x=1$ y $x=4$. De estas, solo $x=1$ satisface la igualdad $| \sqrt{1} - 2 | = |1-2| = 1$, que es igual a $x=1$ [10](#page=10). **Ejemplo:** Resolver $\left| x^2-1 \right| \leq 3$ [10](#page=10). Esto es equivalente a $-3 \leq x^2-1 \leq 3$, lo que implica $-2 \leq x^2 \leq 4$. Dado que $x^2 \geq 0$, la condición se reduce a $x^2 \leq 4$, que es $|x| \leq 2$. Por lo tanto, las soluciones son $-2 \leq x \leq 2$ [10](#page=10). ### 1.3. El axioma del extremo superior #### 1.3.1. Conjuntos acotados * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **acotado superiormente** si existe $k \in \mathbb{R}$ tal que $a \leq k$ para todo $a \in A$. A $k$ se le llama cota superior [11](#page=11). * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **acotado inferiormente** si existe $k \in \mathbb{R}$ tal que $a \geq k$ para todo $a \in A$. A $k$ se le llama cota inferior [11](#page=11). * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **acotado** si está acotado superior e inferiormente (es decir, si existe $k \in \mathbb{R}$ tal que $|a| \leq k$ para todo $a \in A$) [11](#page=11). **Ejemplo:** $A = \{x: 0 \leq x < 7\}$ está acotado superiormente (ej: por 7, $\sqrt{93}$) e inferiormente (ej: por 0, -13) [11](#page=11). #### 1.3.2. Extremo superior (supremo) e inferior (ínfimo) * El **extremo superior (o supremo)** de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$, denotado por $\sup A$, es la menor de sus cotas superiores. Formalmente, $s = \sup A$ si [11](#page=11): i) $s$ es cota superior de $A$. ii) Si $k$ es cualquier cota superior de $A$, entonces $s \leq k$. * El **extremo inferior (o ínfimo)** de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$, denotado por $\inf A$, es el mayor de sus cotas inferiores [11](#page=11). * Si el supremo de un conjunto pertenece al propio conjunto, se le llama **máximo** ($\max A$). De forma análoga, si el ínfimo pertenece al conjunto, se le llama **mínimo** ($\min A$) [11](#page=11). **Ejemplo:** Para $A = \{x: 0 \leq x < 7\}$, $\sup A = 7$. Sin embargo, $7 \notin A$, por lo que no tiene máximo. $\inf A = 0$, y como $0 \in A$, $0$ es también el mínimo de $A$ [11](#page=11). #### 1.3.3. Axioma del extremo superior **Axioma:** Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee extremo superior [11](#page=11). * Este axioma distingue a $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$. En $\mathbb{Q}$, existen conjuntos acotados superiormente que no tienen supremo en $\mathbb{Q}$ (ej: $\{x \in \mathbb{Q}: x^2 < 2\}$) [11](#page=11). * Los números reales "llenan por completo" la recta real, sin "huecos" como los que dejan los irracionales en la recta racional [11](#page=11). #### 1.3.4. Intervalos y entornos Se definen varios tipos de intervalos en $\mathbb{R}$: * Intervalo abierto: $(a,b) = \{x : a < x < b\}$ * Intervalo cerrado: $[a,b = \{x : a \leq x \leq b\}$ * Intervalos semiabiertos/semicerrados: $[a,b) = \{x : a \leq x < b\}$, $(a,b = \{x : a < x \leq b\}$ * Intervalos infinitos: $(a, \infty)$, $[a, \infty)$, $(-\infty, b)$, $(-\infty, b]$ [11](#page=11). Un **entorno** de centro $a$ y radio $r > 0$ es $B(a,r) = \{x: |x-a| < r\} = (a-r, a+r)$ [12](#page=12). #### 1.3.5. Conjuntos abiertos y cerrados * Un punto $a \in A$ es **punto interior** a $A$ si existe $r > 0$ tal que $B(a,r) \subset A$ [12](#page=12). * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **abierto** si todos sus puntos son interiores [12](#page=12). * Un punto $p$ es **punto de acumulación** de $A$ si en todo entorno de $p$ existen puntos de $A$ distintos de $p$. Matemáticamente, para todo $r > 0$, $A \cap B^*(p,r) \neq \emptyset$, donde $B^*(p,r) = B(p,r) - \{p\}$ [12](#page=12). * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **cerrado** si contiene a todos sus puntos de acumulación [12](#page=12). **Teorema:** Un conjunto $A$ es cerrado si y solo si su complementario $R-A$ es abierto [12](#page=12). **Ejemplos:** * $[a,b]$ es cerrado pero no abierto [12](#page=12). * $(0, \infty)$ es abierto pero no cerrado (su punto de acumulación 0 no está en el conjunto) [12](#page=12). * $\{1/n: n \in \mathbb{N}\}$ no es abierto ni cerrado [12](#page=12). * $\{n \in \mathbb{N}: n \text{ es divisor de } 12\}$ es cerrado pero no abierto [12](#page=12). --- # Funciones, límites y continuidad El estudio de las funciones reales de variable real sienta las bases para la comprensión del cálculo infinitesimal, abarcando sus operaciones, propiedades fundamentales, el concepto de límite para funciones y sucesiones, y la noción de continuidad. ### 2.1 Funciones reales de variable real Una función $f$ es una regla que asigna a cada número $x$ de un conjunto $D \subset \mathbb{R}$, llamado dominio de $f$ ($\text{dom } f$), un único número real $f(x)$, su valor en $x$. El conjunto de todos los valores $f(x)$ para $x \in D$ se denomina imagen o recorrido de $f$ ($f(D)$, $\text{im } f$) [13](#page=13). > **Definición:** Una función $f$ es un conjunto de pares ordenados que no contiene dos pares distintos con el mismo primer elemento [13](#page=13). Geométricamente, una función se representa mediante su gráfica en el plano $xy$. Por ejemplo, la gráfica de $f(x) = mx+b$ es una recta [13](#page=13). #### Operaciones con funciones Dadas dos funciones $f$ y $g$, se pueden definir las siguientes operaciones: * Suma: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ [13](#page=13). * Resta: $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$ [13](#page=13). * Producto: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ [13](#page=13). * Cociente: $(f/g)(x) = f(x)/g(x)$, definido para $x$ tal que $g(x) \neq 0$ [13](#page=13). * Composición: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, definido para $x$ tal que $x \in \text{dom } g$ y $g(x) \in \text{dom } f$ [13](#page=13). La suma y el producto son conmutativos y asociativos, y satisfacen la propiedad distributiva. La composición es asociativa pero no conmutativa [13](#page=13). #### Propiedades de las funciones * **Inyectividad:** Una función $f$ es inyectiva en un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ si $f(x) = f(x^*) \implies x = x^*$ para todo $x, x^* \in A$. Gráficamente, la gráfica de una función inyectiva no corta a ninguna recta horizontal más de una vez [13](#page=13). * **Función Inversa:** Si $f$ es inyectiva en $A$, existe su función inversa $f^{-1}: f(A) \to A$, definida por $f^{-1}(y) = x \iff y = f(x)$. Se cumple que $\text{dom } f^{-1} = \text{im } f$, $\text{im } f^{-1} = \text{dom } f$, y $(f^{-1} \circ f)(x) = (f \circ f^{-1})(x) = x$. Las gráficas de $f$ y $f^{-1}$ son simétricas respecto a la recta $y=x$ [13](#page=13) [14](#page=14). * **Monotonía:** Una función es: * Estrictamente creciente en $A$ si $\forall x, x^* \in A$, $x < x^* \implies f(x) < f(x^*)$ [14](#page=14). * Estrictamente decreciente en $A$ si $\forall x, x^* \in A$, $x < x^* \implies f(x) > f(x^*)$ [14](#page=14). * Creciente en $A$ si $\forall x, x^* \in A$, $x < x^* \implies f(x) \le f(x^*)$ [14](#page=14). * Decreciente en $A$ si $\forall x, x^* \in A$, $x < x^* \implies f(x) \ge f(x^*)$ [14](#page=14). Una función monótona es estrictamente creciente o estrictamente decreciente [14](#page=14). **Teorema:** Una función estrictamente monótona en $A$ es inyectiva en $A$ y posee inversa [14](#page=14). #### Funciones elementales Se describen gráficas y propiedades de diversas funciones elementales: * **Potencias:** $y = x^n$, $y = x^{1/n} = \sqrt[n]{x}$, $y = x^{-n}$, $y = x^{-1/n}$, y $y = x^{m/n}$ [14](#page=14). * **Cónicas:** Circunferencias, elipses e hipérbolas. Algunas de estas ecuaciones no definen una única función (ej. la elipse) [15](#page=15). * **Trigonométricas:** Seno, coseno y tangente. Se definen sus propiedades de paridad (par/impar) y periodicidad. Se introducen las identidades trigonométricas fundamentales como $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ y las fórmulas de adición y sustracción para seno y coseno [15](#page=15) [16](#page=16). * **Funciones trigonométricas inversas:** Arcoseno ($\arcsin x$), arcocoseno ($\arccos x$), y arcotangente ($\arctan x$), que requieren la restricción del dominio de las funciones trigonométricas originales para asegurar su inyectividad [17](#page=17). * **Exponenciales y logaritmos:** Se define el logaritmo neperiano ($\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$) y a partir de él, la función exponencial ($e^x$) y las funciones $b^x$, $x^b$, y $\log_b x$. Se establecen propiedades como $b^{x+y} = b^x b^y$ y $(b^x)^y = b^{xy}$ [17](#page=17) [18](#page=18). * **Hiperbólicas:** Seno hiperbólico ($\sinh x$), coseno hiperbólico ($\cosh x$), y tangente hiperbólica ($\tanh x$), definidas a partir de las exponenciales. Tienen propiedades análogas a las trigonométricas [18](#page=18). ### 2.2 Sucesiones de números reales Una sucesión de números reales $\{a_n\}$ es una función de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ [19](#page=19). #### Convergencia de sucesiones * **Límite:** Una sucesión $\{a_n\}$ tiene límite $a$ si para todo $\varepsilon > 0$, existe un número natural $N$ tal que para todo $n \ge N$, se cumple $|a_n - a| < \varepsilon$. Se denota como $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ o $a_n \to a$ [19](#page=19). * **Divergencia:** Si una sucesión no es convergente, se dice que es divergente [19](#page=19). * **Acotación:** Una sucesión convergente es acotada. El recíproco no es cierto; una sucesión acotada no es necesariamente convergente (ej. $\{(-1)^n\}$) [20](#page=20). * **Divergencia a infinito:** Una sucesión diverge a $+\infty$ si para todo $K > 0$, existe $N$ tal que $\forall n \ge N$, $a_n \ge K$. De forma análoga se define la divergencia a $-\infty$ [20](#page=20). * **Monotonía:** Una sucesión es creciente si $a_n \le a_{n+1}$ para todo $n$, y decreciente si $a_n \ge a_{n+1}$ para todo $n$ [20](#page=20). **Teorema:** Una sucesión creciente y acotada superiormente converge. Una sucesión decreciente y acotada inferiormente converge [20](#page=20). * **Subsucesiones:** Una subsucesión de $\{a_n\}$ se obtiene seleccionando un número infinito de términos de $\{a_n\}$ en el mismo orden. Si $\{a_n\} \to a$, entonces cualquier subsucesión $\{a_{n_j}\} \to a$ [20](#page=20). * **Operaciones con límites de sucesiones:** Si $\{a_n\} \to a$ y $\{b_n\} \to b$, entonces: * $\{a_n + b_n\} \to a+b$ [21](#page=21). * $\{a_n - b_n\} \to a-b$ [21](#page=21). * $\{a_n b_n\} \to ab$ [21](#page=21). * Si $b \ne 0$, $\{a_n / b_n\} \to a/b$ [21](#page=21). * **Límites con infinito:** Se definen las operaciones con sucesiones que tienden a $\pm\infty$ [21](#page=21). * **Indeterminaciones:** Las formas indeterminadas en el cálculo de límites de sucesiones incluyen $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $0/0$, $\infty/\infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$. Su resolución requiere manipulación algebraica o técnicas más avanzadas [22](#page=22). #### Teoremas fundamentales sobre sucesiones * **Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones:** Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente [23](#page=23). * **Sucesión de Cauchy:** Una sucesión $\{a_n\}$ es de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$, existe $N$ tal que para todo $n, m \ge N$, $|a_n - a_m| < \varepsilon$ [23](#page=23). **Teorema:** Una sucesión en $\mathbb{R}$ converge si y solo si es de Cauchy [23](#page=23). * **Conjuntos completos:** Un conjunto es completo si toda sucesión de Cauchy en él converge a un elemento del propio conjunto. $\mathbb{R}$ es completo, mientras que $\mathbb{Q}$ no lo es [24](#page=24). * **Teorema:** Si $\{a_n\} \to a$ y $\{a_n\} \subset A$ con $A$ cerrado, entonces $a \in A$ [24](#page=24). ### 2.3 Límites de funciones y funciones continuas #### Límites de funciones * **Definición:** Una función $f$ tiende a $L$ cuando $x$ tiende a $a$ si para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$. Se denota como $\lim_{x\to a} f(x) = L$. Es importante notar que el valor de $f$ en $a$ no afecta la existencia del límite [25](#page=25). * **Límites laterales:** * Límite por la derecha: $\lim_{x\to a^+} f(x) = L$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ tal que si $0 < x - a < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$ [25](#page=25). * Límite por la izquierda: $\lim_{x\to a^-} f(x) = L$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ tal que si $0 < a - x < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$ [25](#page=25). **Teorema:** $\lim_{x\to a} f(x) = L$ si y solo si existen $\lim_{x\to a^+} f(x)$ y $\lim_{x\to a^-} f(x)$ y ambos son iguales a $L$ [26](#page=26). * **Relación con sucesiones:** $\lim_{x\to a} f(x) = L$ si y solo si para toda sucesión $\{a_n\}$ en el dominio de $f$ tal que $a_n \ne a$ y $a_n \to a$, se tiene que $f(a_n) \to L$ [26](#page=26). * **Límites en el infinito y asíntotas:** Se definen límites cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$, y cuando $f(x) \to \infty$ o $f(x) \to -\infty$ cuando $x \to a$ o $x \to \pm\infty$ [27](#page=27). #### Continuidad de funciones * **Definición:** Una función $f$ es continua en un punto $a$ (interior a su dominio) si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Esto implica que el límite existe, $f(a)$ está definido, y ambos coinciden [28](#page=28). * **Continuidad en intervalos:** * Continua en un intervalo abierto $(a,b)$ si es continua en cada punto $x \in (a,b)$ [29](#page=29). * Continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ si es continua en $(a,b)$ y $\lim_{x\to a^+} f(x) = f(a)$ y $\lim_{x\to b^-} f(x) = f(b)$ [29](#page=29). * **Continuidad de funciones elementales:** Se afirma que todas las funciones elementales (polinomios, racionales, raíces, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas) son continuas en sus respectivos dominios [29](#page=29). * **Teoremas de continuidad:** * Si $f$ y $g$ son continuas en $a$, entonces $f+g$, $f-g$, y $f \cdot g$ son continuas en $a$. Si $g(a) \ne 0$, entonces $f/g$ es continua en $a$ [28](#page=28). * Si $g$ es continua en $a$ y $f$ es continua en $g(a)$, entonces $f \circ g$ es continua en $a$ [28](#page=28). * Si $f$ es continua en $a$ y estrictamente monótona en un entorno de $a$, entonces $f^{-1}$ es continua en $f(a)$ [28](#page=28). **Teoremas importantes asociados:** * **Teorema de Bolzano (o de los valores intermedios):** Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $k$ es un valor entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f(c) = k$ (este teorema está implícito en la discusión de continuidad en intervalos cerrados) . * **Teorema de Weierstrass (o de los extremos):** Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en $[a,b]$ (este teorema está implícito en la discusión de continuidad en intervalos cerrados) . --- # Derivadas y sus aplicaciones El estudio de las derivadas se enfoca en la tasa de cambio instantánea de una función y sus amplias aplicaciones para analizar el comportamiento de las mismas. ### 3.1 La definición y cálculo de la derivada La derivada de una función $f$ en un punto $a$, denotada por $f'(a)$, se define como el límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero [34](#page=34): $$f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Este límite representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $a$. Si la derivada existe en un punto, la función es continua en dicho punto [34](#page=34) [35](#page=35). #### 3.1.1 La función derivada La función derivada, $f'(x)$, asigna a cada punto $x$ en el dominio de $f$ donde esta es derivable, el valor de su derivada en $x$. Las derivadas sucesivas se denotan como $f''(x)$, $f'''(x)$, y en general $f^{(n)}(x)$, representando la $n$-ésima derivada de $f$. En la notación de Leibniz, se usa $\frac{df}{dx}$ para la primera derivada y $\frac{d^n f}{dx^n}$ para la $n$-ésima derivada [34](#page=34). #### 3.1.2 Derivadas laterales Se definen las derivadas por la derecha ($f'(a+)$) y por la izquierda ($f'(a-)$) como los límites laterales del cociente incremental [34](#page=34): $$f'(a+) = \lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ $$f'(a-) = \lim_{h\to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Una función es derivable en $a$ si y solo si ambas derivadas laterales existen y coinciden [34](#page=34). #### 3.1.3 Reglas de derivación Existen reglas fundamentales para calcular derivadas de funciones compuestas: * **Derivada de una constante por una función:** $(c \cdot f)'(a) = c \cdot f'(a)$ [35](#page=35). * **Derivada de una suma/resta:** $(f \pm g)'(a) = f'(a) \pm g'(a)$ [35](#page=35). * **Derivada de un producto:** $(f \cdot g)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$ [35](#page=35). * **Derivada de un cociente:** $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{[g(a)]^2}$, siempre que $g(a) \neq 0$ [35](#page=35). * **Regla de la cadena (composición de funciones):** Si $f$ es derivable en $g(a)$ y $g$ es derivable en $a$, entonces $f \circ g$ es derivable en $a$ y $(f \circ g)'(a) = f'[g(a)]g'(a)$ [35](#page=35). * **Derivada de la función inversa:** Si $f$ es derivable en $f^{-1}(b)$ y $f'[f^{-1}(b)] \neq 0$, entonces $f^{-1}$ es derivable en $b$ y $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'[f^{-1}(b)]}$ [35](#page=35). #### 3.1.4 Derivadas de funciones elementales Se listan las derivadas de funciones comunes, muchas de las cuales se demuestran por inducción o usando las reglas de derivación [36](#page=36): * $(x^b)' = b x^{b-1}$ para $b \in \mathbb{R}, x > 0$ [36](#page=36). * $(\log|x|)' = \frac{1}{x}$, $x \neq 0$ [36](#page=36). * $(e^x)' = e^x$ [36](#page=36). * $(b^x)' = b^x \log b$, $b > 0$ [36](#page=36). * $(\log_b x)' = \frac{1}{x \log b}$, $x > 0, b > 0, b \neq 1$ [36](#page=36). * Derivadas de funciones trigonométricas: $(\sen x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sen x$, $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ [36](#page=36). * Derivadas de funciones trigonométricas inversas: $(\arcsen x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$ [36](#page=36). #### 3.1.5 Clase $C^n$ de funciones Una función $f$ es derivable en un intervalo abierto $I$ si lo es en todos sus puntos. Se dice que $f$ es de clase 1 en $I$ ($f \in C^1(I)$) si su derivada $f'$ es continua en $I$. Generalizando, $f \in C^n(I)$ si $f$ posee $n$ derivadas en $I$ y la $n$-ésima derivada es continua en $I$. $f \in C^\infty(I)$ si existen derivadas de cualquier orden en $I$ [36](#page=36). ### 3.2 Teoremas sobre funciones derivables Estos teoremas relacionan la derivada de una función con sus propiedades de crecimiento, extremos y concavidad. #### 3.2.1 Extremos locales y puntos críticos Si una función $f$ tiene un extremo local (máximo o mínimo) en un punto $x$ interior a su dominio y es derivable en $x$, entonces $f'(x) = 0$. A estos puntos se les llama **puntos críticos**. Sin embargo, $f'(x)=0$ no garantiza un extremo local (ej: $f(x)=x^3$ en $x=0$) [38](#page=38). Para encontrar los extremos absolutos de una función continua $f$ en un intervalo cerrado $[a, b]$, se deben evaluar los valores de $f$ en: * Los extremos del intervalo ($a$ y $b$). * Los puntos $x \in (a,b)$ donde $f'(x)=0$. * Los puntos $x \in (a,b)$ donde $f'(x)$ no existe [38](#page=38). #### 3.2.2 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio * **Teorema de Rolle:** Si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$, y $f(a)=f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$ [39](#page=39). * **Teorema del Valor Medio (TVM):** Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Este teorema tiene una interpretación geométrica: la pendiente de la recta tangente en $c$ es paralela a la recta secante que une los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ [39](#page=39). #### 3.2.3 Crecimiento y decrecimiento La monotonía de una función se determina por el signo de su primera derivada: * Si $f'(x) > 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es estrictamente creciente en $[a,b]$ [39](#page=39). * Si $f'(x) < 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es estrictamente decreciente en $[a,b]$ [39](#page=39). * Si $f'(x) = 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es constante en $[a,b]$ [39](#page=39). #### 3.2.4 Criterios de extremo local (segunda derivada) * Si $f$ es de clase $C^2$ en un entorno de $c$, $f'(c)=0$, y $f''(c) > 0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$ [40](#page=40). * Si $f$ es de clase $C^2$ en un entorno de $c$, $f'(c)=0$, y $f''(c) < 0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$ [40](#page=40). * Si $f'(c)=0$ y $f''(c)=0$, el criterio no es concluyente y se requiere un análisis adicional [40](#page=40). #### 3.2.5 Concavidad y convexidad La forma de la gráfica de una función se describe mediante su concavidad y convexidad, relacionadas con la segunda derivada: * **Convexa (hacia abajo):** Una función $f$ es convexa en un intervalo $I$ si el segmento que une dos puntos cualesquiera de su gráfica en $I$ se encuentra por encima de la gráfica. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f''(x) \ge 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es convexa en $[a,b]$ [40](#page=40). * **Cóncava (hacia arriba):** Una función $f$ es cóncava si $-f$ es convexa. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f''(x) \le 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es cóncava en $[a,b]$ [40](#page=40). * **Punto de inflexión:** Un punto donde la gráfica de $f$ cambia de convexa a cóncava o viceversa. Si $(c, f(c))$ es un punto de inflexión y $f$ es de clase $C^2$, entonces $f''(c)=0$ [40](#page=40). #### 3.2.6 Relación entre el límite de $f'$ y $f'$ Si $f$ es continua en $a$ y existe el límite de su derivada $f'(x)$ cuando $x \to a$, entonces $f'(a)$ existe y es igual a dicho límite. Esto es particularmente útil para determinar la derivada en puntos donde la definición directa resulta complicada [40](#page=40). #### 3.2.7 Regla de L'Hôpital Esta regla es fundamental para el cálculo de límites indeterminados de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$. Si $f(x)$ y $g(x)$ tienden a 0 (o a $\pm \infty$) cuando $x \to a$ (o $a^+$, $a^-$, $\pm \infty$), y existe el límite $\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, entonces: $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ Para su demostración se utiliza el Teorema del Valor Medio de Cauchy [41](#page=41). ### 3.3 Polinomios Los polinomios son funciones fundamentales, y sus propiedades de raíces y derivadas son de gran interés. #### 3.3.1 Raíces de polinomios * **Teorema Fundamental del Álgebra:** Todo polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas (reales o no, repetidas o no) [42](#page=42). * **Raíces de coeficientes reales:** Si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz compleja $p+qi$, entonces su conjugada $p-qi$ también es raíz [42](#page=42). * **Raíces múltiples:** Una raíz $x_k$ de un polinomio $P(x)$ es múltiple si y solo si también es raíz de su derivada $P'(x)$. Las raíces múltiples de $P(x)$ son las raíces del máximo común divisor (MCD) de $P(x)$ y $P'(x)$ [42](#page=42). * **Raíces enteras:** Si un polinomio con coeficientes enteros tiene raíces enteras, estas deben ser divisores del término independiente [43](#page=43). * **Fórmulas para raíces:** Existen fórmulas para las raíces de polinomios de grado 2, 3 y 4. Sin embargo, para grados mayores que 5, no existen fórmulas generales expresadas en radicales. #### 3.3.2 Cálculo de raíces de polinomios cúbicos y bicuadrados * **Polinomios cúbicos:** Se presentan fórmulas complejas para calcular las raíces de $P_3(x) = px^3 + qx^2 + rx + s$, involucrando el discriminante $\Delta$ y una cantidad $S$ [43](#page=43). * **Polinomios bicuadrados:** Las raíces de $P(x) = ax^4 + bx^2 + c$ se encuentran fácilmente resolviendo $at^2 + bt + c = 0$ y luego $x^2 = t$ [43](#page=43). #### 3.3.3 Localización de raíces * **Cotas para raíces reales:** Si $c$ es una raíz real de $P_n(x)$, entonces $|c| \le \max\left\{1, \frac{1}{|a_n|} \sum_{k=0}^{n-1} |a_k|\right\}$ [44](#page=44). * **Ley de Descartes de los signos:** El número de raíces reales positivas de un polinomio $P(x)$ es menor o igual al número de cambios de signo en la sucesión de sus coeficientes, y la diferencia entre ambos es un número par. Esta ley se aplica también a las raíces negativas cambiando $x$ por $-x$ [44](#page=44). ### 3.4 Ceros de funciones Hallar los ceros de una función ($f(x^*)=0$) puede ser difícil, especialmente para funciones trascendentes. Se recurre a métodos numéricos para aproximar estos ceros. #### 3.4.1 Método de Newton Este método iterativo aproxima un cero $x^*$ utilizando la tangente a la gráfica de la función. Dada una aproximación inicial $x_n$, la siguiente aproximación se calcula como: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ La convergencia es rápida si $f'(x) \neq 0$ cerca del cero y si el cociente $\left| \frac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2} \right| < 1$ en un entorno del cero [45](#page=45). #### 3.4.2 Punto fijo contractivo Si una función $f: [a,b \to [a,b]$ es contractiva (es decir, $|f(x)-f(y)| \le c|x-y|$ con $c < 1$ para todo $x,y \in [a,b]$), entonces existe un único punto fijo $x^*$ tal que $f(x^*) = x^*$. Las sucesiones generadas por $x_{n+1} = f(x_n)$ convergen a $x^*$. Una forma de verificar si una función es contractiva es comprobar si el máximo de $|f'(x)|$ en $[a,b]$ es menor que 1 [46](#page=46). ### 3.5 Representación de funciones El análisis de la gráfica de una función se realiza sistemáticamente considerando diversos aspectos: * **Dominio y continuidad:** Identificar el dominio de la función y los puntos donde pueda ser discontinua. * **Simetrías:** Determinar si la función es par ($f(-x)=f(x)$, simetría respecto al eje $y$) o impar ($f(-x)=-f(x)$, simetría respecto al origen) [47](#page=47). * **Periodicidad:** Identificar si la función se repite cada cierto intervalo $T$ [47](#page=47). * **Asíntotas:** * **Verticales:** Ocurren donde la función tiende a $\pm \infty$. * **Horizontales:** Ocurren cuando la función tiende a un valor finito cuando $x \to \pm \infty$. * **Oblicuas:** Si la función se comporta como una recta $y=mx+b$ para $x \to \pm \infty$. * **Información de las derivadas:** * $f'$: Crecimiento/decrecimiento, extremos locales, puntos críticos. * $f''$: Concavidad/convexidad, puntos de inflexión. * **Valores clave:** * Intersección con el eje $y$ ($f $) . * Intersección con el eje $x$ (ceros de la función, $f(x)=0$). * Puntos donde $f'(x)=0$ o no existe. * Puntos donde $f''(x)=0$. Se deducen también las gráficas de funciones a partir de transformaciones de funciones conocidas, como traslaciones, estiramientos, compresiones y reflexiones [48](#page=48). --- # Series, Taylor y cálculo de límites Este tema introduce las series numéricas y de funciones, la convergencia puntual y uniforme, las series de potencias y sus desarrollos de Taylor, así como técnicas para el cálculo de límites indeterminados utilizando Taylor y L'Hôpital. ### 4.1 Series de números reales Se define una serie numérica como la suma infinita de una sucesión de números reales: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. La convergencia de una serie se determina por el límite de su sucesión de sumas parciales, $S_k = \sum_{n=1}^{k} a_n$. Si este límite existe y es finito, la serie converge a ese valor; de lo contrario, diverge [53](#page=53). #### 4.1.1 Convergencia de series * **Serie convergente:** Si la sucesión de sumas parciales $\{S_k\}$ converge [53](#page=53). * **Serie divergente:** Si la sucesión de sumas parciales $\{S_k\}$ diverge [53](#page=53). * Una propiedad fundamental es que si $\sum a_n$ converge, entonces $a_n \to 0$. Sin embargo, lo recíproco no es cierto; es decir, que $a_n \to 0$ no garantiza la convergencia de la serie [54](#page=54). #### 4.1.2 Casos especiales de series sumables * **Series geométricas:** $\sum_{n=0}^{\infty} r^n$. Converge a $\frac{1}{1-r}$ si $|r| < 1$, y diverge si $|r| \ge 1$ [54](#page=54). * **Series telescópicas:** $\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1})$. Converge si $\{b_n\}$ converge, y su suma es $b_1 - \lim_{n\to\infty} b_n$ [54](#page=54). #### 4.1.3 Criterios de convergencia para series de términos positivos * **Criterio integral:** Si $f(x)$ es una función positiva y decreciente para $x \ge 1$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ converge si y solo si $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ converge. Este criterio también proporciona una cota para el error cometido al aproximar la suma [55](#page=55). * Aplicación: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ converge si $s > 1$ y diverge si $s \le 1$ [55](#page=55). * **Criterio de comparación por desigualdades:** Si $0 \le a_n \le b_n$, entonces la convergencia de $\sum b_n$ implica la convergencia de $\sum a_n$. La divergencia de $\sum a_n$ implica la divergencia de $\sum b_n$ [56](#page=56). * **Criterio de comparación por paso al límite:** Sean $a_n, b_n \ge 0$ y $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c$. * Si $c > 0$, $\sum a_n$ converge $\iff \sum b_n$ converge. * Si $c = 0$, $\sum b_n$ converge $\implies \sum a_n$ converge. * Si $c = \infty$, $\sum b_n$ diverge $\implies \sum a_n$ diverge. El símbolo "∼" se usa cuando $c > 0$, indicando que las series se comportan de manera similar en cuanto a convergencia [56](#page=56). * **Criterio del cociente:** Sea $r = \lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$. * Si $r < 1$, $\sum a_n$ converge absolutamente. * Si $r > 1$ (o $r=\infty$), $\sum a_n$ diverge. * Si $r = 1$, el criterio no decide [58](#page=58). * **Criterio de la raíz:** Sea $r = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. * Si $r < 1$, $\sum a_n$ converge absolutamente. * Si $r > 1$ (o $r=\infty$), $\sum a_n$ diverge. * Si $r = 1$, el criterio no decide [58](#page=58). #### 4.1.4 Series de términos cualesquiera * **Convergencia absoluta:** $\sum a_n$ es absolutamente convergente si $\sum |a_n|$ converge. El teorema clave es que si $\sum |a_n|$ converge, entonces $\sum a_n$ converge [57](#page=57). * **Convergencia condicional:** $\sum a_n$ es condicionalmente convergente si converge, pero no absolutamente [57](#page=57). * **Criterio de Leibniz (para series alternadas):** Si $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente de términos no negativos y $a_n \to 0$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n$ converge. Además, el error absoluto $|S - S_N| \le a_{N+1}$ [57](#page=57). ### 4.2 Sucesiones y series de funciones Se consideran sucesiones de funciones $\{f_n(x)\}$ definidas en un dominio común $A$. #### 4.2.1 Convergencia puntual $\{f_n\}$ converge puntualmente hacia $f$ en $A$ si para cada $x \in A$, $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)$ [60](#page=60). #### 4.2.2 Convergencia uniforme $\{f_n\}$ converge uniformemente hacia $f$ en $A$ si para todo $\epsilon > 0$, existe un $N$ tal que para todo $x \in A$, si $n \ge N$, entonces $|f(x) - f_n(x)| < \epsilon$. La convergencia uniforme implica la convergencia puntual, pero no a la inversa [60](#page=60). * **Teorema:** Si $|f_n(x) - f(x)| < a_n$ para todo $x \in A$ y $a_n \to 0$, entonces $f_n(x) \to f(x)$ uniformemente en $A$ [61](#page=61). * **Propiedad:** Si $f_n$ son continuas en un intervalo $I$ y $\{f_n\} \to f$ uniformemente en $I$, entonces $f$ es continua en $I$ [61](#page=61). #### 4.2.3 Convergencia de series de funciones Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ converge puntualmente o uniformemente hacia $f$ si la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{k=1}^{n} f_k$ lo hace [62](#page=62). * **Criterio de Weierstrass:** Si existen $\{M_n\}$ tal que $|f_n(x)| \le M_n$ para todo $x \in A$ y $\sum M_n$ converge, entonces $\sum f_n$ converge uniformemente en $A$ [62](#page=62). ### 4.3 Series de potencias Una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$ se llama serie de potencias en $(x-a)$. Por simplicidad, se suele considerar $a=0$: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$. #### 4.3.1 Radio de convergencia A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia $R > 0$ tal que: * Si $R = 0$, la serie solo converge en $x=0$. * Si $R$ es finito, la serie converge para $|x| < R$ y diverge para $|x| > R$. * Si $R = \infty$, la serie converge para todo $x$. * Si $0 < x_0 < R$, la serie converge uniformemente en $[-x_0, x_0]$ [63](#page=63). El radio de convergencia se puede calcular a menudo usando los criterios del cociente o la raíz aplicados a los coeficientes $a_n$ [64](#page=64). #### 4.3.2 Propiedades de las series de potencias * Una función definida por una serie de potencias es infinitamente derivable dentro de su intervalo de convergencia $|x| < R$ [64](#page=64). * Se pueden derivar término a término: $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ para $|x| < R$ [64](#page=64). * Se pueden sumar, multiplicar y dividir (con ciertas condiciones) como si fueran polinomios [65](#page=65). ### 4.4 Polinomios y series de Taylor Los polinomios de Taylor aproximan una función $f(x)$ cerca de un punto $a$. * **Polinomio de Taylor de grado $n$ en $a$:** $$P_{n,a}(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Este polinomio coincide con la función y sus $n$ primeras derivadas en $a$ [66](#page=66). * **Resto de Lagrange:** El error $R_{n,a}(x) = f(x) - P_{n,a}(x)$ se puede acotar mediante: $$R_{n,a}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ para algún $c$ entre $a$ y $x$ [66](#page=66). * **Fórmula de McLaurin:** Para $a=0$: $$f(x) = P_n(x) + R_n(x) = f + f' x + \dots + \frac{f^{(n)} }{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}$$ . [67](#page=67). * **Series de Taylor:** Si $f$ tiene infinitas derivadas en $a$ y el resto $R_n(x) \to 0$ cuando $n \to \infty$ para $x$ en un entorno de $a$, entonces $f(x)$ coincide con su serie de Taylor: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ [68](#page=68). Algunas series de Taylor notables incluyen: * $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ * $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ * $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ * $\log(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1}$ para $|x|<1$. * $(1+x)^r = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{r}{n} x^n$ para $|x|<1$ (#page=68, page=69) [68](#page=68) [69](#page=69). * **Polinomios de interpolación:** Aproximan una función $f$ mediante un polinomio $Q_n$ que coincide con $f$ en $n+1$ puntos distintos. La fórmula de Newton y la de Lagrange son métodos para construirlos [71](#page=71). ### 4.5 Cálculo de límites indeterminados Se utilizan desarrollos de Taylor y la regla de L'Hôpital. #### 4.5.1 Notación "o pequeña" $f(x) = o(g(x))$ cuando $x \to a$ si $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$. Esto permite expresar el resto de Taylor como $R_{n,a}(x) = o([x-a]^n)$ [72](#page=72). #### 4.5.2 Uso de Taylor para límites Sustituir las funciones en el límite por sus desarrollos de Taylor hasta un orden suficiente para que el numerador o denominador dejen de ser indeterminados (#page=72, page=73) [72](#page=72) [73](#page=73). #### 4.5.3 Regla de L'Hôpital Si $\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0$ o $\pm \infty$, y existe $\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, entonces $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ [73](#page=73). * **Comparación Taylor vs. L'Hôpital:** Taylor suele ser más directo y menos propenso a errores para límites indeterminados que involucran funciones con desarrollos conocidos, especialmente cuando se requiere aplicar L'Hôpital múltiples veces. L'Hôpital es útil cuando los desarrollos de Taylor no son fácilmente aplicables (por ejemplo, límites en el infinito o cuando no se conocen los desarrollos) [73](#page=73). #### 4.5.4 Transformación de indeterminaciones Muchas indeterminaciones (como $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$) pueden transformarse en $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ mediante manipulaciones algebraicas o tomando logaritmos, para luego aplicar L'Hôpital o Taylor (#page=72, page=74) [72](#page=72) [74](#page=74). * **Cambios de variable:** Sustituir $t = g(x)$ o $t = 1/x$ puede simplificar la expresión del límite y facilitar su cálculo [74](#page=74). --- # Integración y sus aplicaciones ¡Claro! Aquí tienes una guía de estudio detallada sobre "Integración y sus aplicaciones" basada en el contenido proporcionado, siguiendo todas las directrices de formato y contenido. ## 5. Integración y sus aplicaciones Este tema explora la integral de Riemann, sus propiedades y los teoremas fundamentales del cálculo, proporcionando herramientas para calcular primitivas, manejar integrales impropias y aproximar valores numéricamente, culminando en aplicaciones prácticas como el cálculo de áreas, longitudes y volúmenes. ### 5.1. Definición y propiedades La integral de una función acotada $f$ en un intervalo $[a,b]$ se define a través de sumas inferiores ($L_n$) y superiores ($U_n$), basadas en la división del intervalo en subintervalos de igual longitud $\Delta x$. Si ambas sucesiones de sumas convergen a un mismo límite cuando $n \to \infty$, la función es integrable en $[a,b]$ y dicho límite es la integral de $f$. Geométricamente, si $f \ge 0$, la integral representa el área bajo la curva; si $f \le 0$, su valor absoluto representa el área por debajo del eje x; y si $f$ tiene partes positivas y negativas, la integral es la diferencia entre estas áreas [78](#page=78). **Propiedades de la integral:** * **Linealidad:** Para funciones integrables $f$ y $g$, y constante $c$: * $\int_a^b c f(x) dx = c \int_a^b f(x) dx$ [79](#page=79). * $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$ [79](#page=79). * **Monotonía:** Si $m \le f(x) \le M$ en $[a,b]$, entonces $m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$ [79](#page=79). * Si $f(x) \le g(x)$ en $[a,b]$, entonces $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$ [79](#page=79). * $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \le \int_a^b |f(x)| dx$ [79](#page=79). * Si $f$ es impar, $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$. Si $f$ es par, $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ [79](#page=79). * **Aditividad del intervalo:** Si $a < c < b$, entonces $f$ integrable en $[a,b]$ implica $f$ integrable en $[a,c]$ y $[c,b]$, y $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ [79](#page=79). **Integrabilidad:** * Una función continua en $[a,b]$ es integrable en $[a,b]$ [80](#page=80). * Una función continua a trozos en $[a,b]$ es integrable en $[a,b]$ [80](#page=80). * Funciones acotadas con un número finito de discontinuidades son integrables [78](#page=78) [80](#page=80). > **Tip:** Las funciones no integrables deben ser "patológicas", como la función de Dirichlet ($f(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$, $f(x) = 0$ si $x \notin \mathbb{Q}$) [78](#page=78). ### 5.2. Teoremas fundamentales del cálculo Estos teoremas establecen la conexión crucial entre derivación e integración. * **Primer Teorema Fundamental del Cálculo (TFCI):** Si $f$ es integrable en $[a,b]$, entonces la función $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ es continua en $[a,b]$. Si además $f$ es continua en $c \in (a,b)$, entonces $F$ es derivable en $c$ y $F'(c) = f(c)$. Si $f$ es continua en todo $[a,b]$, entonces $F'(x) = f(x)$ para todo $x \in [a,b]$ [81](#page=81). > **Tip:** El TFCI muestra que la integral de una función $f$ produce una función $F$ que es "más suave" que $f$. Si $f$ es continua, $F$ es derivable; si $f$ tiene "picos", $F$ puede tener picos continuos pero sin picos agudos. En general, si $f \in C^n$, entonces $F \in C^{n+1}$ [81](#page=81). * **Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (TFCI):** Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $g$ es una primitiva de $f$ (es decir, $g' = f$), entonces $\int_a^b f(x) dx = g(b) - g(a)$ [81](#page=81). > **Tip:** El segundo TFCI permite calcular integrales definidas simplemente encontrando una primitiva de la función integrando, lo que evita el uso directo de las sumas de Riemann. El conjunto de todas las primitivas de $f$ se denota como $\int f(x) dx$ (integral indefinida) [82](#page=82). **Aplicaciones de los TFCI:** * **Cálculo de integrales definidas:** Se calculan encontrando una primitiva $G$ de $f$ y evaluando $G(b) - G(a)$ [81](#page=81). * **Derivación de funciones definidas por integrales con límites variables:** Si $H(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt$, entonces $H'(x) = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$ [83](#page=83). > **Ejemplo:** Para hallar la tangente a $F(x) = \int_x^{-1} \frac{t^3}{t^4-4} dt$ en $x=1$, calculamos $F'(x) = \frac{x^3}{x^4-4}$ y $F = \int_1^{-1} \frac{t^3}{t^4-4} dt = 0$ (la integral de una función impar en un intervalo simétrico). La tangente es $y = F' (x-1) + F = -\frac{1}{3}(x-1) + 0 = -\frac{1}{3}x$ [1](#page=1) [83](#page=83). ### 5.3. Cálculo de primitivas El cálculo de primitivas es fundamental para aplicar el segundo TFCI. * **Primitivas inmediatas:** Se obtienen directamente de las reglas de derivación conocidas (ej: $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x$, $\int \frac{2x dx}{x^2-1} = \log|x^2-1|$). A menudo, solo faltan constantes multiplicativas [85](#page=85). * **Linealidad de la primitiva:** $\int [f(x)+g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ y $\int c f(x) dx = c \int f(x) dx$ [85](#page=85). * **Integración por partes:** Derivada de la regla del producto: $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$. Se usa a menudo para reducir la complejidad del integrando, especialmente cuando la derivación simplifica una parte del integrando (ej: $\int x \sin x dx$, $\int \log x dx$) [85](#page=85). > **Tip:** La notación $u = f(x), dv = g'(x)dx \implies du = f'(x)dx, v = g(x)$ es muy útil para aplicar la integración por partes: $\int u dv = uv - \int v du$. * **Primitivas de funciones racionales:** $\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx$, donde $P, Q$ son polinomios. Si $\text{grado}(P) \ge \text{grado}(Q)$, se realiza la división para obtener un polinomio más un resto $R(x)$ de menor grado. Luego, $Q(x)$ se factoriza en potencias de factores lineales $(x-a)^m$ y cuadráticos irreducibles $(x^2+cx+d)^n$. La fracción $\frac{R(x)}{Q(x)}$ se descompone en una suma de fracciones simples, cuya integración es conocida [86](#page=86). > **Ejemplo:** Para $\int \frac{4x^4-6x^3+5x^2-11x+4}{x^5-x^4+x^3-3x^2+2x} dx$, se factoriza el denominador $Q(x) = x(x-1)^2(x^2+x+2)$ y se descompone la fracción en simples: $\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{Dx+E}{x^2+x+2}$. Integrar estas formas (polinomios, logaritmos, arcotangentes) completa la primitiva [86](#page=86). * **Cambios de variable:** * **Forma $f(g(x))g'(x)$:** $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$ donde $u=g(x)$, $du=g'(x)dx$ [87](#page=87). * **Sustitución general:** Si el integrando sugiere una sustitución $u=g(x)$, se despeja $x$, se calcula $dx$, y se sustituye todo en la integral. Los límites de integración también se transforman: $x=a \to u=g(a), x=b \to u=g(b)$ [87](#page=87). > **Ejemplo:** Para $\int \sqrt{e^x-1} dx$, se puede hacer $u = \sqrt{e^x-1}$, lo que implica $u^2 = e^x-1$, $e^x = u^2+1$, $x = \log(u^2+1)$, $dx = \frac{2u}{u^2+1} du$. La integral se transforma a $\int \frac{2u^2}{u^2+1} du$, que es una racional [87](#page=87). * **Primitivas de funciones trigonométricas:** Se manejan casos como $\int \sin^m x \cos^n x dx$, usando identidades trigonométricas y sustituciones como $u=\cos x$ o $u=\sin x$. Para $\int R(\sin x, \cos x) dx$, existen cambios de variable canónicos ($u=\tan(x/2)$) que la transforman en una integral racional [88](#page=88). * **Primitivas de irracionales:** * $\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) dx$: Sustitución $u = \sqrt[n]{ax+b}$ [89](#page=89). * $\int R(x, \sqrt{a^2-x^2}) dx$: Sustitución trigonométrica $x = a \sin u$ [89](#page=89). * $\int R(x, \sqrt{x^2+a}) dx$: Sustitución $u = x + \sqrt{x^2+a}$ [89](#page=89). > **Tip:** Siempre es aconsejable revisar si un integrando irracional puede resolverse mediante una sustitución simple o incluso si es una primitiva inmediata (ej: $\int \frac{x dx}{\sqrt{x^2+1}}$) [89](#page=89). ### 5.4. Integrales impropias Se extienden el concepto de integral a intervalos no acotados o a funciones no acotadas. * **Integrales impropias de primera especie (intervalo no acotado):** * $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x) dx$ [90](#page=90). * $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a\to-\infty} \int_a^b f(x) dx$ [90](#page=90). * $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx$ (para algún $c \in \mathbb{R}$). La integral es convergente solo si ambas sumas convergen [93](#page=93). > **Tip:** Para $\int_a^\infty \frac{1}{x^s} dx$, converge si $s > 1$ y diverge si $s \le 1$ [90](#page=90). * **Integrales impropias de segunda especie (función no acotada):** * $\int_a^b f(x) dx$, si $f$ no está acotada en $a$: $\lim_{t\to a^+} \int_t^b f(x) dx$ [92](#page=92). * $\int_a^b f(x) dx$, si $f$ no está acotada en $b$: $\lim_{t\to b^-} \int_a^t f(x) dx$ [92](#page=92). > **Tip:** Para $\int_a^b \frac{1}{(x-a)^s} dx$, converge si $s < 1$ y diverge si $s \ge 1$ [92](#page=92). **Criterios de Convergencia:** * **Para funciones positivas:** * **Criterio de comparación:** Si $0 \le f(x) \le g(x)$ en $[a, \infty)$, entonces $\int_a^\infty g(x) dx$ convergente $\implies \int_a^\infty f(x) dx$ convergente [90](#page=90). * **Criterio de comparación por límite:** Si $f, g \ge 0$ y $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = c$ finito: * Si $c > 0$, $\int_a^\infty g(x) dx$ converge $\iff \int_a^\infty f(x) dx$ converge [91](#page=91). * Si $c = 0$, $\int_a^\infty g(x) dx$ converge $\implies \int_a^\infty f(x) dx$ converge [91](#page=91). * **Para funciones de signo arbitrario:** Si $\int_a^\infty |f(x)| dx$ converge (absolutamente integrable), entonces $\int_a^\infty f(x) dx$ converge [91](#page=91). > **Ejemplo:** $\int_0^\infty e^{-x^2} dx$ converge porque $e^{-x^2} \le e^{-x}$ para $x \ge 1$, y $\int_1^\infty e^{-x} dx$ converge [91](#page=91). * **Valor Principal de Cauchy:** Para integrales de la forma $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx$, el límite $\lim_{b\to\infty} \int_{-b}^b f(x) dx$ se llama Valor Principal de Cauchy. Este límite puede existir incluso si la integral impropia diverge [93](#page=93). ### 5.5. Integración aproximada Cuando las primitivas son complicadas o inexistentes, se recurre a métodos numéricos. * **Integración de series de Taylor:** Si una función $f(x)$ tiene un desarrollo en serie de potencias convergente uniformemente en $[a,b]$, su integral se puede calcular integrando la serie término a término [94](#page=94). > **Ejemplo:** $\int_0^1 \sin(x^2) dx$ se aproxima sumando los primeros términos de la serie de Taylor de $\sin(t^2)$ integrada: $\int_0^1 (\frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^{11}}{1320} - \dots) dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} - \dots$ [95](#page=95). * **Fórmula de los trapecios:** Aproxima la integral dividiendo $[a,b]$ en $n$ trapecios de ancho $h=(b-a)/n$: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [f(a) + 2f(a+h) + \dots + 2f(a+(n-1)h) + f(b)]$ [96](#page=96). El error es $\le \frac{1}{12}(b-a) M_2 h^2$, donde $M_2 = \sup|f''(x)|$ [96](#page=96). * **Fórmula de Simpson:** Aproxima la integral usando parábolas que interpolan tres puntos consecutivos. Requiere un número par de subintervalos $n=2m$: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h) + \dots + 4f(a+(n-1)h) + f(b)]$ [96](#page=96). El error es $\le \frac{1}{180}(b-a) M_4 h^4$, donde $M_4 = \sup|f^{ }(x)|$ [4](#page=4) [96](#page=96). > **Tip:** La fórmula de Simpson es generalmente más precisa que la de los trapecios para el mismo $h$, ya que el error disminuye más rápidamente con $h$ (dependencia de $h^4$ vs $h^2$) [96](#page=96). ### 5.6. Aplicaciones La integración tiene aplicaciones fundamentales en diversas áreas de las matemáticas y la física. * **Áreas planas:** El área entre el eje x y $f(x)$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |f(x)| dx$. El área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ [99](#page=99). > **Ejemplo:** El área encerrada por $f(x) = x^3-x$ y el eje horizontal se calcula como $\int_{-1}^1 |x^3-x| dx = \int_{-1}^0 (x^3-x) dx - \int_0^1 (x^3-x) dx = -2 \int_0^1 (x^3-x) dx = 1/2$ [99](#page=99). * **Áreas en coordenadas polares:** El área de una región acotada por $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$ y $r=f(\theta)$ es $\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta [f(\theta)]^2 d\theta$ [100](#page=100). > **Ejemplo:** El área de la región acotada por $r = 3+\cos\theta$ es $\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (3+\cos\theta)^2 d\theta = \frac{19\pi}{2}$ [100](#page=100). * **Longitud de una curva:** La longitud de la gráfica de $f(x)$ en $[a,b]$ es $L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx$ [100](#page=100). > **Ejemplo:** La longitud del tramo de $y=x^2$ entre $(0,0)$ y $(1,1)$ es $\int_0^1 \sqrt{1+(2x)^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1+4x^2} dx$, que requiere un cambio de variable o integración por partes [100](#page=100). * **Volúmenes (no detallado en estas páginas, pero es una aplicación común):** Los volúmenes de sólidos de revolución se calculan mediante la integración de áreas de discos, arandelas o capas cilíndricas. * **Cálculo de primitivas de funciones racionales e irracionales:** (Cubierto en la sección 5.3 y 5.4). * **Integrales impropias:** (Cubierto en la sección 5.4). --- # Cálculo en el conjunto de los números complejos Este tema introduce el conjunto de los números complejos, sus operaciones, representación geométrica y propiedades, para luego definir funciones de variable compleja, su límite, continuidad, derivabilidad, así como series de potencias complejas y sus aplicaciones. ### 6.1 Funciones de variable compleja El conjunto de los números complejos, denotado por $\mathbb{C}$, se introduce para resolver ecuaciones como $x^2 + 1 = 0$, que no tienen solución en $\mathbb{R}$. $\mathbb{C}$ se define como $\{z = a + ib \mid a, b \in \mathbb{R}\}$, donde $i$ es la unidad imaginaria con $i^2 = -1$ . #### 6.1.1 Operaciones y propiedades de los números complejos En $\mathbb{C}$, las operaciones de suma y producto están definidas como: * Suma: $(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)$ . * Producto: $(a + ib) \cdot (c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$ . Con estas operaciones, $\mathbb{C}$ forma un cuerpo, poseyendo propiedades asociativa, conmutativa, distributiva, elementos neutros (0 y 1) e inversos para la suma y la multiplicación (para $z \neq 0$) . La diferencia y el cociente se definen análogamente a $\mathbb{R}$: * Diferencia: $z - w = z + (-w)$ . * Cociente: $\frac{z}{w} = z \cdot w^{-1}$ si $w \neq 0$ . No es posible definir un orden en $\mathbb{C}$ compatible con estas operaciones . Para un número complejo $z = x + iy$: * **Conjugado:** $\bar{z} = x - iy$ . * **Módulo:** $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . #### 6.1.2 Representación geométrica de los números complejos Cada número complejo $z = x + iy$ puede representarse como el punto $(x, y)$ en el plano cartesiano . * La suma $z + w$ corresponde al cuarto vértice de un paralelogramo cuyos lados son los segmentos $Oz$ y $Ow$ . * El conjugado $\bar{z}$ es la reflexión de $z$ respecto al eje $x$ . * El módulo $|z|$ es la distancia del punto $z$ al origen $O$ . * La distancia entre dos complejos $z$ y $w$ es $|z - w|$ . Propiedades del conjugado y módulo: * $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$ . * $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$ . * $\overline{z^{-1}} = (\bar{z})^{-1}$ . * $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$ . * $|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$ . * $|z + w| \leq |z| + |w|$ (desigualdad triangular) . #### 6.1.3 Forma polar y exponencial de los números complejos Un número complejo $z = x + iy$ puede expresarse en coordenadas polares como $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, donde $r = |z|$ y $\theta$ es el argumento de $z$. El argumento principal es aquel tal que $0 \leq \theta < 2\pi$. Se puede calcular usando $\tan\theta = \frac{y}{x}$ y observando el cuadrante donde se encuentra $z$ . La relación de Euler, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, permite una notación más compacta: $z = re^{i\theta}$ . #### 6.1.4 Operaciones con formas polares La forma polar es muy útil para productos, cocientes y potencias: * Producto: Si $z = re^{i\theta}$ y $w = se^{i\alpha}$, entonces $z \cdot w = rse^{i(\theta+\alpha)}$ . * Cociente: $\frac{z}{w} = \frac{r}{s}e^{i(\theta-\alpha)}$ . * Potencia: $z^n = r^n e^{in\theta}$ . #### 6.1.5 Raíces de números complejos Todo número complejo no nulo $z = re^{i\theta}$ tiene $n$ raíces $n$-simas distintas, dadas por: $$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1 $$ Estas raíces se encuentran en los vértices de un polígono regular . #### 6.1.6 Ejemplos de operaciones y resolución de ecuaciones * **Cálculo de módulos:** $|i(3-4i)/(2+i)| = |i||3-4i|/|2+i| = 1 \cdot \sqrt{3^2+(-4)^2}/\sqrt{2^2+1^2} = 5/\sqrt{5} = \sqrt{5}$ . * **Potencias:** $(1-i)^6$ se puede calcular directamente o en forma polar. En polar, $1-i = \sqrt{2}e^{-i\pi/4}$, entonces $(1-i)^6 = (\sqrt{2})^6 e^{-i6\pi/4} = 8e^{-i3\pi/2} = 8i$ . * **Raíces cúbicas:** Las raíces cúbicas de $z = \frac{7+i}{1-i} = 3+4i = 5e^{i\arctan(4/3)}$ son $\sqrt {5}e^{i(\arctan(4/3)+2k\pi)/3}$ para $k=0,1,2$ [3](#page=3). * **Factorización de polinomios:** El polinomio real $x^4+1$ se factoriza usando sus raíces complejas, que son las cuartas raíces de $-1$: $x^4+1 = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$ . * **Resolución de ecuaciones cuadráticas:** La fórmula cuadrática es válida en $\mathbb{C}$. Para $z^2 - iz - 1 - i = 0$, las raíces son $z = \frac{1}{2}[i \pm \sqrt{3+4i}]$. El cálculo de $\sqrt{3+4i}$ da $\pm(2+i)$, llevando a las raíces $z=1+i$ y $z=-1$ . #### 6.1.7 Representación de conjuntos en el plano complejo El conjunto de complejos $z$ que cumplen $|z - i| < 2$ corresponde a los puntos dentro del círculo de centro $(0,1)$ y radio 2, excluyendo la circunferencia . #### 6.1.8 Funciones trigonométricas y exponenciales (relación) Las identidades trigonométricas como $\cos(3\theta)$ y $\sin(3\theta)$ pueden derivarse usando potencias de números complejos y la fórmula de Euler . #### 6.1.9 Funciones de variable compleja Una función de variable compleja $f(z)$ asigna a cada complejo $z$ de un dominio un único complejo $f(z)$ . * Se pueden definir funciones reales de variable compleja (donde $f(z)$ es real) o funciones complejas de variable real (donde $z$ es real) . * Funciones importantes reales de variable compleja son el módulo $|z|$, el argumento $\text{Arg}(z)$, la parte real $\text{Re}(z)$ y la parte imaginaria $\text{Im}(z)$ . * Cualquier función compleja $f$ se puede escribir como $f = u + iv$, donde $u = \text{Re}(f)$ y $v = \text{Im}(f)$ son funciones reales . #### 6.1.10 Límite y continuidad de funciones complejas El límite y la continuidad se definen de manera análoga a $\mathbb{R}$, utilizando el módulo en lugar del valor absoluto . * **Límite:** $\lim_{z\to a} f(z) = L$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ tal que si $0 < |z-a| < \delta$, entonces $|f(z)-L| < \varepsilon$ . * **Continuidad:** $f$ es continua en $a$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ tal que si $|z-a| < \delta$, entonces $|f(z)-f(a)| < \varepsilon$ . > **Tip:** La continuidad en $a$ significa que para cualquier entorno de $f(a)$ de radio $\varepsilon$, podemos encontrar un entorno de $a$ de radio $\delta$ cuya imagen esté contenida en el entorno de $f(a)$ . #### 6.1.11 Propiedades de continuidad * Las sumas, diferencias, productos y cocientes (donde el denominador no se anula) de funciones continuas son continuas . * Una función $f = u + iv$ es continua en $a$ si y solo si sus partes real $u$ y $v$ son continuas en $a$ . * Las funciones polinómicas y racionales son continuas en sus dominios . * Las funciones $\text{Re}(z)=x$ e $\text{Im}(z)=y$ son continuas en todo $\mathbb{C}$ . * La función $f(z)=z$ es continua en todo $\mathbb{C}$ . > **Tip:** La composición de funciones continuas es continua. Esto facilita demostrar la continuidad de funciones complejas complejas, como $f(x+iy) = y\arctan(xy) + ix\cos(x+y)$ . Existen funciones discontinuas, como $\text{Arg}(z)$ en el semieje real positivo . #### 6.1.12 Derivabilidad de funciones complejas Una función $f(z)$ es derivable en $a \in \mathbb{C}$ si existe el límite: $$ f'(a) = \lim_{z\to 0} \frac{f(a+z) - f(a)}{z} $$ . * La derivabilidad implica continuidad . * Las reglas de derivación para sumas, productos, cocientes y composiciones son las mismas que en $\mathbb{R}$ . > **Tip:** Las funciones no son arbitrarias para ser derivables. Por ejemplo, $f(z) = \bar{z}$ no es derivable porque $\lim_{z\to 0} \frac{\bar{z}}{z}$ toma valores diferentes (1 y -1) para distintos caminos de aproximación a 0 . Las **ecuaciones de Cauchy-Riemann** son una condición necesaria para la derivabilidad de $f = u + iv$: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ . ### 6.2 Series complejas de potencias Se estudian sucesiones $\{a_n\}$ de números complejos y series $\sum a_n$. #### 6.2.1 Convergencia de sucesiones y series complejas * **Convergencia de sucesiones:** $\{a_n\} \to L$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N$ tal que si $n \geq N$, entonces $|a_n - L| < \varepsilon$ . * **Relación con sucesiones reales:** Si $a_n = b_n + ic_n$ y $L = p + iq$, entonces $\{a_n\} \to L \iff \{b_n\} \to p$ y $\{c_n\} \to q$ . * **Convergencia de series:** Una serie $\sum a_n$ converge si su sucesión de sumas parciales $S_n$ converge . * **Suma de series:** Si $\sum b_n$ y $\sum c_n$ convergen, entonces $\sum (b_n + ic_n) = \sum b_n + i \sum c_n$ . * **Convergencia absoluta:** $\sum a_n$ es absolutamente convergente si $\sum |a_n|$ converge. Los criterios de convergencia de series reales (cociente, raíz) se aplican a series complejas usando $|a_n|$ . > **Tip:** Si una serie compleja converge absolutamente, entonces converge. Esto se debe a que $|b_n| \leq |a_n|$ y $|c_n| \leq |a_n|$, por lo que la convergencia de $\sum |a_n|$ implica la convergencia de $\sum |b_n|$ y $\sum |c_n|$, y consecuentemente de $\sum b_n$ y $\sum c_n$ . #### 6.2.2 Series de potencias complejas Una serie de potencias compleja tiene la forma: $$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \ldots, \quad a_n, z \in \mathbb{C} $$ . * **Radio de convergencia:** A cada serie de potencias se asocia un radio de convergencia $R \in [0, \infty]$ . * Si $R=0$, la serie solo converge en $z=0$. * Si $R=\infty$, la serie converge para todo $z \in \mathbb{C}$. * Si $R$ es un número real positivo, la serie converge para $|z| < R$ y diverge para $|z| > R$ . > **Tip:** El intervalo de convergencia en $\mathbb{R}$ se convierte en un círculo de convergencia $|z| < R$ en $\mathbb{C}$. La convergencia sobre la circunferencia $|z|=R$ debe ser analizada por separado . * **Propiedades de las series de potencias:** Dentro del círculo de convergencia, las series de potencias pueden sumarse, multiplicarse y dividirse de manera similar a las series reales . #### 6.2.3 Derivabilidad de funciones definidas por series de potencias Si $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ converge para $|z| < R$, entonces $f(z)$ es derivable para $|z| < R$ y su derivada es: $$ f'(z) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1} $$ . Las funciones definidas por series de potencias son infinitamente derivables y continuas dentro de su círculo de convergencia . > **Teorema Importante:** Una función $f(z)$ derivable en una región $A$ del plano complejo es infinitamente derivable en $A$. Además, en todo círculo contenido en $A$, $f(z)$ coincide con su serie de Taylor . #### 6.2.4 Definición de funciones exponenciales y trigonométricas complejas Se definen tres funciones complejas fundamentales mediante series de potencias: * **Exponencial:** $e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ . * **Seno:** $\text{sen } z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ . * **Coseno:** $\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ . Estas funciones tienen $R=\infty$ . Propiedades y relaciones: * $(\text{sen } z)' = \cos z$, $(\cos z)' = -\text{sen } z$, $(\text{e}^z)' = \text{e}^z$ . * $\text{e}^{z+w} = \text{e}^z \text{e}^w$ . * Relación de Euler: $e^{iz} = \cos z + i \text{sen } z$ . * $\text{sen } z = \frac{1}{2i}(e^{iz} - e^{-iz})$ . * $\cos z = \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-iz})$ . * Para $z = x+iy$, $e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i \text{sen } y)$ . > **Observación:** A diferencia de las funciones trigonométricas reales, las funciones complejas $\text{sen } z$ y $\cos z$ no están acotadas. Por ejemplo, en el eje imaginario: $\text{sen}(iy) = i\text{shy}$ y $\cos(iy) = \text{chy}$ . Las únicas funciones analíticas (infinitamente derivables) en todo $\mathbb{C}$ que están acotadas son las funciones constantes . --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Números naturales | El conjunto $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ... \}$ que representa las cantidades enteras positivas. | | Números enteros | El conjunto $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \}$ que incluye los números naturales, sus opuestos y el cero. | | Números racionales | El conjunto $Q = \{p/q \mid p, q \text{ son enteros, } q \neq 0 \}$ que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. | | Cuerpo ordenado | Un conjunto con dos operaciones (suma y producto) que cumplen propiedades de asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de neutros e inversos, y una relación de orden compatible con las operaciones. | | Demostración por inducción | Un método de demostración para proposiciones que dependen de un número natural $n$, que consiste en probar la proposición para $n=1$ y luego demostrar que si es cierta para $n$ implica que es cierta para $n+1$. | | Máximo común divisor (mcd) | El mayor número natural que divide a un conjunto de números naturales dados sin dejar resto. | | Mínimo común múltiplo (mcm) | El menor número natural que es múltiplo de todos los números dados. | | Factorial de $n$ ($n!$) | El producto de todos los números naturales desde 1 hasta $n$, definido como $n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$, con $0! = 1$. | | Número combinatorio ($\binom{n}{k}$) | El número de formas distintas de escoger $k$ elementos de un conjunto de $n$ elementos sin importar su orden, calculado como $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. | | Binomio de Newton | La fórmula que expresa la potencia $n$-ésima de un binomio $(a+b)^n$ en términos de coeficientes binomiales y potencias de $a$ y $b$: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$. | | Número irracional | Un número real que no es racional, cuya expresión decimal tiene infinitos decimales no periódicos. | | Axioma del extremo superior | Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee un extremo superior (supremo). | | Conjunto abierto | Un subconjunto de R donde cada punto es un punto interior, es decir, existe un entorno de ese punto completamente contenido en el subconjunto. | | Conjunto cerrado | Un subconjunto de R que contiene a todos sus puntos de acumulación. | | Función real de variable real | Una regla que asigna a cada número $x$ de un conjunto $D \subset R$ un único número real $f(x)$. | | Función inyectiva | Una función $f$ en un conjunto $A$ tal que si $f(x) = f(x^*)$ para $x, x^* \in A$, entonces $x = x^*$. | | Función monótona | Una función que es o bien creciente (no decreciente) o bien decreciente (no creciente) en todo su dominio. | | Límite de una sucesión | El valor al que se aproximan los términos de una sucesión a medida que el índice $n$ tiende a infinito. Formalmente, $\{a_n\} \to a$ si para todo $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que para todo $n \geq N$, $|a_n - a| < \epsilon$. | | Sucesión convergente | Una sucesión que tiene un límite finito. | | Sucesión divergente | Una sucesión que no converge a un límite finito; puede tender a infinito, menos infinito, o oscilar. | | Sucesión de Cauchy | Una sucesión $\{a_n\}$ tal que para todo $\epsilon > 0$, existe un $N$ tal que para todo $n, m \geq N$, $|a_n - a_m| < \epsilon$. En R, una sucesión es de Cauchy si y solo si es convergente. | | Límite de una función | El valor $L$ al que se aproxima $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a un valor $a$. Formalmente, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \epsilon$. | | Continuidad de una función | Una función $f$ es continua en un punto $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. | | Teorema de Bolzano | Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. | | Teorema del valor medio (para funciones) | Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. | | Derivada de una función | La tasa de cambio instantánea de una función, representada por $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto $a$. | | Regla de la cadena | Si $g$ es derivable en $a$ y $f$ es derivable en $g(a)$, entonces la función compuesta $f \circ g$ es derivable en $a$ y $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$. | | Polinomio de Taylor | Un polinomio que aproxima una función $f$ cerca de un punto $a$, coincidiendo con $f$ y sus $n$ primeras derivadas en $a$. $P_{n,a}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$. | | Serie de potencias | Una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$, que representa una función en un intervalo de convergencia. | | Radio de convergencia ($R$) | Un número asociado a una serie de potencias que determina el intervalo $|x-a| < R$ donde la serie converge. | | Integración por partes | Una técnica para calcular primitivas basada en la regla del producto de la derivación: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. | | Cambio de variable (en integración) | Una técnica para simplificar integrales mediante la sustitución de una variable por una función de otra: $\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$. | | Integral impropia | Una integral definida donde el intervalo de integración es infinito o el integrando no está acotado en algún punto del intervalo. | | Criterio de comparación (para series/integrales) | Métodos para determinar la convergencia de una serie o integral comparándola con otra cuya convergencia se conoce, usualmente mediante desigualdades o límites. | | Criterio de Leibniz | Para series alternadas ($a_n \ge 0$ decreciente y $a_n \to 0$), la serie $\sum (-1)^n a_n$ converge. | | Criterio del cociente/raíz | Métodos para determinar la convergencia de series utilizando el límite del cociente o la raíz de los términos consecutivos de la serie. | | Convergencia puntual | Una sucesión de funciones $\{f_n\}$ converge puntualmente a $f$ en un conjunto $A$ si para cada $x \in A$, $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$. | | Convergencia uniforme | Una sucesión de funciones $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$ en un conjunto $A$ si para todo $\epsilon > 0$, existe un $N$ tal que para todo $n \geq N$ y para todo $x \in A$, $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$. | | Criterio de Weierstrass | Si $|f_n(x)| \leq M_n$ para todo $x \in A$ y $\sum M_n$ converge, entonces $\sum f_n$ converge uniformemente en $A$. | | Número complejo ($z$) | Un número de la forma $z = a + ib$, donde $a, b \in R$ e $i^2 = -1$. $a$ es la parte real (Re(z)) e $b$ es la parte imaginaria (Im(z)). | | Módulo de un número complejo ($|z|$) | La distancia de $z$ al origen en el plano complejo, dado por $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. | | Argumento de un número complejo ($\theta$) | El ángulo formado por el segmento que une el origen con $z$ y el semieje real positivo en el plano complejo. | | Forma polar de un número complejo | La representación de $z = a + ib$ como $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ o $z = re^{i\theta}$, donde $r = |z|$ y $\theta = \text{Arg}(z)$. | | Derivada de una función compleja | Similar a la derivada real: $f'(a) = \lim_{z \to 0} \frac{f(a+z) - f(a)}{z}$, si este límite existe. | | Ecuaciones de Cauchy-Riemann | Condiciones necesarias para que una función $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ sea derivable en $z = x+iy$: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$. | | Serie de potencias compleja | Una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$, donde $a_n$ y $z$ son números complejos. | | Radio de convergencia complejo ($R$) | Determina el círculo $|z| < R$ en el plano complejo dentro del cual una serie de potencias compleja converge. |

# El espacio R y sus propiedades El espacio de los números reales ($R$) es fundamental en cálculo, extendiendo las propiedades de los números racionales ($Q$) para incluir cantidades como longitudes irracionales, y se caracteriza por propiedades de orden, valor absoluto, intervalos y, crucialmente, el axioma del supremo [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.1. Motivación y los números reales Los números naturales ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$) se usan para contar; los enteros ($Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$) permiten sustracciones; y los racionales ($Q = \{\frac{p}{q} \mid p, q \in Z, q \neq 0\}$) introducen las proporciones. Sin embargo, existen magnitudes que no pueden ser descritas por estos conjuntos. Por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo con base y altura 1, cuya longitud es $\sqrt{2}$, no es un número racional. De manera similar, $\pi$ (la relación entre la circunferencia y su diámetro) es otro ejemplo de número no racional. El conjunto de los números reales ($R$) incluye tanto a los racionales ($Q$) como a los irracionales ($I$), formándose la cadena de inclusiones $N \subset Z \subset Q \subset R$. La unión de los racionales e irracionales es $R$ ($Q \cup I = R$), y su intersección es vacía ($Q \cap I = \emptyset$). Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos en una recta, conocida como la recta real [2](#page=2) [3](#page=3) [4](#page=4). > **Tip:** Es importante recordar que la construcción formal de $R$ a partir de $Q$ (a menudo mediante sucesiones de Cauchy o cortaduras de Dedekind) está ligada al cálculo infinitesimal, pero para este estudio, nos centramos en sus propiedades [3](#page=3). ### 1.2. Operaciones y propiedades del orden En $R$, se definen las operaciones de suma y producto, dotándolo de una estructura algebraica similar a $Q$. Además, los números reales pueden ser ordenados. Intuitivamente, $x \le y$ si la representación de $x$ en la recta real está a la izquierda o coincide con la de $y$. Si la representación de $x$ está estrictamente a la izquierda de $y$, se escribe $x < y$. Los números menores que 0 se denominan negativos, y los mayores que 0, positivos [4](#page=4). Las propiedades del orden en $R$ son: 1. **Orden total:** $x \le y$ o $y \le x$ [5](#page=5). 2. **Reflexiva:** $x \le x$ [5](#page=5). 3. **Antisimétrica:** Si $x \le y$ y $y \le x$, entonces $x = y$ [5](#page=5). 4. **Transitiva:** Si $x \le y$ y $y \le z$, entonces $x \le z$ [5](#page=5). 5. **Relación con la suma:** Si $x \le y$, entonces $x + z \le y + z$ para cualquier $z \in R$ [5](#page=5). 6. **Relación con el producto (no negativo):** Si $x \le y$ y $0 \le z$, entonces $xz \le yz$ [5](#page=5). 7. **Relación con el producto (negativo):** Si $x \le y$ y $z < 0$, entonces $xz \ge yz$ [5](#page=5). > **Ejemplo:** Usando estas propiedades, si $x \le y$ y $z \le w$, podemos demostrar que $x + z \le y + w$. Sumando $z$ a la primera desigualdad obtenemos $x + z \le y + z$. Sumando $y$ a la segunda desigualdad obtenemos $z + y \le w + y$. Dado que la suma es conmutativa ($y + z = z + y$), por transitividad, concluimos $x + z \le y + w$ [5](#page=5). ### 1.3. Valor absoluto El valor absoluto de un número real $x$, denotado por $|x|$, se define como: $$ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} $$ El valor absoluto de un número no nulo es siempre positivo. Gráficamente, $|x|$ representa la distancia entre $x$ y el origen en la recta real. La distancia entre dos números reales $x$ e $y$ se define como $|x - y|$ [5](#page=5). Propiedades clave del valor absoluto: 1. $|x| = 0 \implies x = 0$ [6](#page=6). 2. **Desigualdad triangular:** $|x + y| \le |x| + |y|$ [6](#page=6). 3. $||x| - |y|| \le |x - y|$ [6](#page=6). > **Contraejemplo:** La afirmación "$x < y$ implica $|x| < |y|$" es falsa. Por ejemplo, si $x = -2$ e $y = 1$, tenemos $-2 < 1$, pero $|-2| = 2 > |1| = 1$ [6](#page=6). ### 1.4. Intervalos Los intervalos son subconjuntos continuos de la recta real. Para $a, b \in R$ con $a < b$, se definen: * **Intervalo abierto:** $(a, b) = \{x \in R: a < x < b\}$ [6](#page=6). * **Intervalo cerrado:** $[a, b = \{x \in R: a \le x \le b\}$ [6](#page=6). * **Intervalos semiabiertos (o semicerrados):** $[a, b) = \{x \in R: a \le x < b\}$ y $(a, b = \{x \in R: a < x \le b\}$ [6](#page=6). Los números $a$ y $b$ son los extremos del intervalo [6](#page=6). También se definen intervalos que representan semirrectas: * $(a, \infty) = \{x \in R: a < x\}$ (Intervalo abierto) [6](#page=6). * $[a, \infty) = \{x \in R: a \le x\}$ (Intervalo cerrado) [6](#page=6). * $(-\infty, a) = \{x \in R: x < a\}$ (Intervalo abierto) [6](#page=6). * $(-\infty, a = \{x \in R: x \le a\}$ (Intervalo cerrado) [6](#page=6). * $(-\infty, \infty) = R$ [7](#page=7). El **punto medio** (o centro) de un intervalo $(a, b)$ con $a < b$ es $c = \frac{a+b}{2}$, y el **radio** es $r = \frac{b-a}{2}$. Utilizando el valor absoluto, los intervalos con centro $c$ y radio $r > 0$ pueden describirse como [7](#page=7): * $(c-r, c+r) = \{x \in R: |x - c| < r\}$ [7](#page=7). * $[c-r, c+r = \{x \in R: |x - c| \le r\}$ [7](#page=7). * $(c-r, c+r = \{x \in R: |x - c| \le r \text{ y } x \neq c+r \}$ [7](#page=7). * $[c-r, c+r) = \{x \in R: |x - c| \le r \text{ y } x \neq c-r \}$ [7](#page=7). > **Ejemplo:** El intervalo abierto $(1, 4)$ tiene centro $c = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}$ y radio $r = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}$. Se puede describir como $\{x \in R: |x - \frac{5}{2}| < \frac{3}{2}\}$ [7](#page=7). > **Ejemplo:** Los puntos a distancia menor o igual que $\frac{2}{3}$ del punto $-1$ forman el intervalo $[-1 - \frac{2}{3}, -1 + \frac{2}{3}] = [-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}]$ [8](#page=8). ### 1.5. Conjuntos acotados y el Axioma del supremo Se introducen las siguientes definiciones para caracterizar conjuntos en $R$: * Una **cota superior** $c$ para un conjunto $A \subset R$ es un número real tal que $a \le c$ para todo $a \in A$ [8](#page=8). * Un conjunto $A$ está **acotado superiormente** si posee al menos una cota superior [9](#page=9). * Una **cota inferior** $c$ para un conjunto $A \subset R$ es un número real tal que $a \ge c$ para todo $a \in A$ [9](#page=9). * Un conjunto $A$ está **acotado inferiormente** si posee al menos una cota inferior [9](#page=9). * Un conjunto $A$ está **acotado** si está acotado superior e inferiormente [9](#page=9). > **Ejemplo:** El conjunto de los números naturales $N$ no tiene cotas superiores (está acotado inferiormente por 0 o 1, pero no superiormente). El intervalo $[7, 3e^2]$ es acotado superiormente por $3e^2$ (y cualquier número mayor) e inferiormente por $7$ (y cualquier número menor) [10](#page=10) [9](#page=9). Si un conjunto $A$ tiene una cota superior, entonces existe la **menor de todas las cotas superiores**, llamada **supremo** de $A$, denotado por $\sup A$ [10](#page=10). * $\sup A$ es una cota superior para $A$ [10](#page=10). * Si $c$ es cualquier otra cota superior de $A$, entonces $\sup A \le c$ [10](#page=10). De manera análoga, si un conjunto $A$ tiene cotas inferiores, existe la **mayor de todas las cotas inferiores**, llamada **ínfimo** de $A$, denotado por $\inf A$ [10](#page=10). * $\inf A$ es una cota inferior para $A$ [10](#page=10). * Si $c$ es cualquier otra cota inferior de $A$, entonces $c \le \inf A$ [10](#page=10). El supremo y el ínfimo de un conjunto, si existen, son únicos [10](#page=10). > **Ejemplo:** Los intervalos $(-1,1), (-1, 1, [-1,1), [-1,1]$ tienen $\sup = 1$ e $\inf = -1$. Para $A = \{x \in Q: x^2 \le 7\}$, $\inf A = -\sqrt{7}$ y $\sup A = \sqrt{7}$ (ninguno de estos pertenece a $A$). Para $N$, $\inf N = 1$, pero $\sup N$ no existe [10](#page=10) [11](#page=11). El **Axioma del supremo** es una propiedad fundamental de los números reales: * **Todo subconjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene supremo.** Es decir, si $A \subset R$, $A \neq \emptyset$ y $A$ está acotado superiormente, entonces $\sup A \in R$ [11](#page=11). Este axioma distingue a $R$ de $Q$, ya que existen subconjuntos acotados superiormente de números racionales que no tienen un supremo en $Q$ [11](#page=11). Una propiedad análoga para el ínfimo es: * **Si $A \subset R$ está acotado inferiormente, entonces $\inf A \in R$.** [11](#page=11). > **Tip:** El Axioma del supremo es crucial para demostrar muchos resultados en cálculo infinitesimal, garantizando la existencia de límites y la completitud de los números reales [11](#page=11). --- # Sucesiones y series de números reales Este tema aborda el estudio de las sucesiones y series de números reales, centrándose en sus propiedades fundamentales como la convergencia, acotación y monotonicidad, así como en los criterios para determinar la convergencia de series [12](#page=12). ### 2.1 Sucesiones Una sucesión de números reales es una aplicación de los números naturales en los números reales. Los términos de la sucesión se suelen denotar como $a_1, a_2, a_3, \dots$, y la fórmula que los genera se conoce como término general [12](#page=12) [13](#page=13). #### 2.1.1 Convergencia de sucesiones Una sucesión $\{a_n\}$ tiene límite $l \in \mathbb{R}$ si para cada $\varepsilon > 0$, existe un número natural $N$ tal que $|a_n - l| < \varepsilon$ para todo $n > N$. Esto significa que, a partir de un cierto término, todos los demás términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente al límite [13](#page=13). * **Unicidad del límite:** Si una sucesión converge, su límite es único [14](#page=14). * **Sucesiones constantes:** Toda sucesión constante $\{a_n\} = \{c\}$ es convergente y su límite es $c$ [13](#page=13). * **Ejemplo de convergencia:** La sucesión $a_n = \frac{1}{n}$ converge a $0$, ya que para cualquier $\varepsilon > 0$, podemos encontrar un $N > \frac{1}{\varepsilon}$ tal que para $n \ge N$, $|a_n - 0| = \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \varepsilon$ [14](#page=14). #### 2.1.2 Acotación de sucesiones Una sucesión $\{a_n\}$ es acotada si existe un número $c > 0$ tal que $|a_n| \le c$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [14](#page=14). * **Relación con la convergencia:** Toda sucesión convergente es acotada. Sin embargo, el recíproco no es cierto; una sucesión acotada no necesariamente converge (ejemplo: $\{(-1)^n\}$) [14](#page=14). #### 2.1.3 Monotonicidad de sucesiones * Una sucesión $\{a_n\}$ es **creciente** si $a_n \le a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [21](#page=21). * Es **estrictamente creciente** si $a_n < a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [21](#page=21). * Una sucesión $\{a_n\}$ es **decreciente** si $a_n \ge a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [21](#page=21). * Es **estrictamente decreciente** si $a_n > a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [21](#page=21). * Una sucesión es **monótona** si es creciente o decreciente [21](#page=21). #### 2.1.4 Operaciones con límites de sucesiones Si $\lim_{n\to\infty} a_n = l$ y $\lim_{n\to\infty} b_n = m$ existen, entonces: * $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = l + m$ [16](#page=16). * $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = l \cdot m$ [16](#page=16). * Si $b_n \ne 0$ para todo $n$ y $m \ne 0$, entonces $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{l}{m}$ [16](#page=16). > **Tip:** Para límites de cocientes de polinomios, dividir el numerador y el denominador por el monomio de mayor grado del denominador simplifica el cálculo [17](#page=17). #### 2.1.5 Límites infinitos Se escribe $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ si para cada $k > 0$, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que $a_n \ge k$ para todo $n \ge N$. De manera similar se define $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$. Las sucesiones con límite infinito o menos infinito no son convergentes [18](#page=18). * **Recta real ampliada:** Se define $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}$ para facilitar el cálculo de límites [17](#page=17). * **Sustitución por $\infty$:** Si al sustituir $n$ por $\infty$ en el término general de una sucesión se obtiene un valor definido en $\overline{\mathbb{R}}$ (distinto de las indeterminaciones), este coincide con el límite de la sucesión [18](#page=18). #### 2.1.6 Indeterminaciones Al calcular límites, algunas expresiones no están definidas y se denominan indeterminaciones. Estas incluyen: * $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ [19](#page=19). * $\infty - \infty$ [19](#page=19). * $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ [20](#page=20). Para resolverlas, se suelen aplicar técnicas como multiplicar y dividir por el conjugado, o utilizar la relación entre límites de exponenciales y logaritmos [19](#page=19). #### 2.1.7 Teoremas y criterios importantes para sucesiones * **Regla del emparedado:** Si $a_n \le b_n \le c_n$ para todo $n$, y $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = l$, entonces $\lim_{n\to\infty} b_n = l$ [15](#page=15). * **Teorema:** Si $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ y $\{b_n\}$ es acotada, entonces $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = 0$ [15](#page=15). * **Proposición:** Si $\lim_{n\to\infty} a_n = l$, entonces $\lim_{n\to\infty} |a_n| = |l|$ [15](#page=15). * **Teorema de convergencia para sucesiones monótonas:** Si $\{a_n\}$ es monótona, entonces $\{a_n\}$ es convergente si y solo si es acotada [21](#page=21). * **Criterio de Stolz:** Si $\{b_n\}$ es monótona y $\lim_{n\to\infty} b_n = \pm\infty$ (o $\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} a_n = 0$), y existe $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = l$, entonces $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = l$ [22](#page=22). ### 2.2 Series de números reales Una serie de números reales es una suma infinita de los términos de una sucesión $\{a_n\}$, denotada como $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Se define a través de la sucesión de sumas parciales $\{s_n\}$, donde $s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ [24](#page=24). #### 2.2.1 Convergencia de series Una serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es **convergente** o sumable si su sucesión de sumas parciales $\{s_n\}$ es convergente. El límite de $\{s_n\}$ es la **suma** de la serie, denotada como $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Si $\{s_n\}$ no converge, la serie es **divergente** [25](#page=25) [26](#page=26). * **Condición necesaria para la convergencia:** Si $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es convergente, entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Sin embargo, el recíproco no es cierto (ejemplo: la serie armónica $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$) [26](#page=26) [27](#page=27). #### 2.2.2 Operaciones con series Si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ son series sumables y $c \in \mathbb{R}$, entonces: * $\sum (a_n + b_n)$ es sumable y $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ [27](#page=27). * $\sum (c \cdot a_n)$ es sumable y $\sum_{n=1}^{\infty} (c \cdot a_n) = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ [27](#page=27). #### 2.2.3 Criterios de convergencia para series de términos no negativos Estos criterios se aplican a series donde $a_n \ge 0$ para todo $n$ [28](#page=28). * **Criterio de comparación:** Si existe un $n_0$ tal que $a_n \le b_n$ para $n \ge n_0$: * Si $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$ converge [28](#page=28). * Si $\sum a_n$ diverge, entonces $\sum b_n$ diverge [28](#page=28). * **Criterio del cociente:** Sea $a_n > 0$ y $l = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ [28](#page=28). * Si $l < 1$, la serie converge [28](#page=28). * Si $l > 1$, la serie diverge [28](#page=28). * Si $l = 1$, el criterio no decide [28](#page=28). * **Criterio de la raíz:** Sea $a_n > 0$ y $l = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}$ [28](#page=28). * Si $l < 1$, la serie converge [28](#page=28). * Si $l > 1$, la serie diverge [28](#page=28). * Si $l = 1$, el criterio no decide [28](#page=28). > **Tip:** Si el Criterio del cociente decide, entonces el de la raíz también [30](#page=30). #### 2.2.4 Series de términos sin signo constante * **Convergencia absoluta:** Una serie $\sum a_n$ es **absolutamente convergente** si la serie de sus valores absolutos $\sum |a_n|$ es convergente [30](#page=30). * Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente [30](#page=30). * **Series alternadas:** Una serie es alternada si sus términos cambian de signo alternativamente [31](#page=31). * **Criterio de Leibniz:** Sea $\sum a_n$ una serie alternada tal que la sucesión $\{|a_n|\}$ es decreciente y $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Entonces la serie es convergente [31](#page=31). --- # Límites de funciones, continuidad y asíntotas Este apartado se centra en la generalización del concepto de límite para funciones reales de variable real, sentando las bases para el estudio de la continuidad y la identificación de comportamientos asintóticos de una función [32](#page=32). ### 3.1. Límites de funciones #### 3.1.1. Definición y motivación Las funciones reales de variable real son aplicaciones $f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, donde $D$ es el dominio y $f(D)$ es la imagen. Si el dominio no se especifica, se considera el mayor conjunto de números reales para el que la función está definida. El dominio de funciones construidas mediante suma, producto y división es el dominio de partida, excepto para la división, donde se excluyen los puntos que anulan el denominador. Una función es acotada si su imagen es un conjunto acotado [33](#page=33). La gráfica de una función es la representación de los puntos $(x, f(x))$ en el plano $xy$ [33](#page=33). #### 3.1.2. Límite de una función en un punto La definición formal de límite de una función $f$ en un punto $a$ es análoga a la de las sucesiones: **Definición 1.18:** La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiene límite $l$ en $a$ (se escribe $\lim_{x \to a} f(x) = l$) si para todo $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que si $x \in D \setminus \{a\}$ y $|x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - l| < \epsilon$ [33](#page=33). Para que el límite en $a$ tenga sentido, cualquier conjunto de la forma $(a - \delta, a) \cup (a, a + \delta)$ para $\delta > 0$ debe tener intersección no vacía con el dominio de $f$. Gráficamente, esto significa que para cualquier banda horizontal $\epsilon$-cercana a $l$, existe un intervalo $(a - \delta, a + \delta)$ tal que la gráfica de la función restringida a este intervalo (excluyendo $a$) se encuentra dentro de la banda horizontal [33](#page=33). **Proposición 1.9:** Si $\lim_{x \to a} f(x) > 0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que $f(x) > 0$ para todo $x \in D \cap ((a - \delta, a + \delta) \setminus \{a\})$. Similarmente, si el límite es negativo, la función tomará valores negativos cerca de $a$ [34](#page=34). El límite de una función en un punto, si existe, es único [34](#page=34). **Ejemplo 1.43:** La función $f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 2, & x = 0 \\ -x+1, & x>0 \end{cases}$ tiene límite $1$ en $0$ [34](#page=34). **Ejemplo 1.44:** La función $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ definida en $(0, \infty)$ no tiene límite en $0$ porque oscila con amplitud constante a medida que $x$ se acerca a $0$ [34](#page=34) [35](#page=35). **Regla del emparedado:** Si $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = l$ y $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ para todo $x$ en el dominio de $h$, entonces $\lim_{x \to a} h(x) = l$ [35](#page=35). **Proposición 1.10:** Si $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ y $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función acotada, entonces $\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = 0$. Esta propiedad se generaliza a funciones acotadas en un intervalo abierto $I$ que contiene a $a$ [35](#page=35). **Proposición 1.11:** Si $\lim_{x \to a} f(x) = l$ y $\lim_{x \to a} g(x) = m$, entonces: * $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = l + m$ [36](#page=36). * $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = l \cdot m$ [36](#page=36). * Si además $g(x) \neq 0$ en $D$ y $m \neq 0$, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l}{m}$ [36](#page=36). #### 3.1.3. Límites infinitos, límites laterales y límites en el infinito **Límites infinitos:** * Escribimos $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ si para todo $k > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq k$ para todo $x \in (a - \delta, a + \delta) \setminus \{a\}$ [36](#page=36). * Escribimos $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ si $\lim_{x \to a} -f(x) = \infty$ [36](#page=36). **Ejemplo 1.45:** La función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ verifica $\lim_{x \to 0} f(x) = \infty$ [36](#page=36). **Límites laterales:** Para definir límites laterales, se considera la restricción de la función a subconjuntos del dominio. **Definición 1.19:** Dada $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ y $J \subset D$, la restricción de $f$ a $J$ se denota por $f|_J$ y se define como $f|_J(x) = f(x)$ para $x \in J$ [37](#page=37). * La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiene límite por la derecha $l \in \mathbb{R}$ en $a$ (se escribe $\lim_{x \to a^+} f(x) = l$) si $\lim_{x \to a} f|_{D \cap (a, \infty)}(x) = l$ [37](#page=37). * La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiene límite por la izquierda $l \in \mathbb{R}$ en $a$ (se escribe $\lim_{x \to a^-} f(x) = l$) si $\lim_{x \to a} f|_{D \cap (-\infty, a)}(x) = l$ [37](#page=37). Una función puede tener límites laterales sin tener un límite en el punto [37](#page=37). **Ejemplo 1.46:** La función $f(x) = \frac{1}{x}$ verifica $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty$ y $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$. La función no tiene límite en $0$ [37](#page=37). **Teorema 1.4:** Si $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ y $l \in \mathbb{R}$, entonces $\lim_{x \to a} f(x) = l$ si y solo si $\lim_{x \to a^+} f(x) = l$ y $\lim_{x \to a^-} f(x) = l$ [37](#page=37). **Límites en el infinito:** * La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiende a $l \in \mathbb{R}$ cuando $x$ tiende a infinito (se escribe $\lim_{x \to \infty} f(x) = l$) si para todo $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $x \in D$ y $x > \delta$ garantizan que $|f(x) - l| < \epsilon$ [37](#page=37). * La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiende a $l \in \mathbb{R}$ cuando $x$ tiende a $-\infty$ (se escribe $\lim_{x \to -\infty} f(x) = l$) si $\lim_{x \to \infty} f(-x) = l$ [37](#page=37). **Ejemplo 1.47:** Para la función $f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1}$, se tiene que $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ [38](#page=38). #### 3.1.4. Asíntotas Las asíntotas son rectas a las que la gráfica de una función se aproxima arbitrariamente [38](#page=38). * **Asíntota horizontal:** La recta $y = b$ es una asíntota horizontal si y solo si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ [39](#page=39). * **Asíntota vertical:** Una condición necesaria y suficiente para que $x = a$ sea una asíntota vertical para $f(x)$ es que $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ o $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ [39](#page=39). **Ejemplo:** Tanto $f(x) = \frac{1}{x}$ como $f(x) = \frac{1}{x^2}$ tienen a $x = 0$ como asíntota vertical [39](#page=39). * **Asíntota oblicua:** La recta $y = mx + b$ con $m \neq 0$ es una asíntota oblicua si y solo si $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (mx + b)) = 0$ o $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (mx + b)) = 0$ [39](#page=39). **Proposición 1.12:** Si $f$ tiene como asíntota oblicua a la recta $y = mx + b$ con $m \neq 0$, entonces $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = m$ y $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = m$ [39](#page=39). Para calcular $m$, se evalúa el límite de $\frac{f(x)}{x}$ cuando $x \to \infty$ (o $x \to -\infty$). Una vez obtenido $m$, se calcula $b$ evaluando el límite de $f(x) - mx$ cuando $x \to \infty$ (o $x \to -\infty$) [39](#page=39) [40](#page=40). **Ejemplo 1.48:** Para la función $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2 + 1}$: * No hay asíntotas verticales porque el denominador nunca se anula [39](#page=39). * No hay asíntotas horizontales, ya que $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ [40](#page=40). * Para las asíntotas oblicuas: * $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x(x^2 + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^3 + x} = 1$ [40](#page=40). * $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2 + 1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x^2 + 1 - x^3 - x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1} = 1$ [40](#page=40). Por lo tanto, la recta $y = x + 1$ es una asíntota oblicua para la función [40](#page=40). ### 3.2. Funciones continuas #### 3.2.1. Continuidad en un punto **Definición 1.20:** Una función $f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $a \in D$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Si esta condición no se cumple, la función es discontinua en $a$ [41](#page=41). **Proposición 1.13:** Si $f$ y $g$ son continuas en $a$, entonces $f+g$ y $f \cdot g$ son continuas en $a$. Además, si $g(a) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es continua en $a$ [41](#page=41). **Proposición 1.14:** Si $f$ es continua en $a$ y $g$ es continua en $f(a)$, entonces la composición $g \circ f$ es continua en $a$ [41](#page=41). #### 3.2.2. Continuidad en un intervalo y propiedades **Definición 1.21:** Una función $f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se dice continua en $A \subset D$ si es continua en cada punto $a \in A$. Si el conjunto $A$ no se especifica, se asume que la función es continua en su dominio de definición [41](#page=41) [42](#page=42). **Teorema de Bolzano:** Si $f: [a, b \rightarrow \mathbb{R}$ es continua y $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$ [42](#page=42). **Teorema de los valores intermedios:** Si $f: [a, b \rightarrow \mathbb{R}$ es continua y $f(a) < d < f(b)$ o $f(a) > d > f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = d$. En otras palabras, una función continua en un intervalo toma todos los valores intermedios entre dos valores que toma [42](#page=42). Los teoremas anteriores pueden adaptarse a intervalos no cerrados y acotados modificando las hipótesis sobre los valores en los extremos por condiciones sobre los límites infinitos o laterales [42](#page=42). **Proposición 1.15 (Teorema de Weierstrass):** Si $f: [a, b \rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces existen $c, d \in [a, b]$ tales que $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$ para todo $x \in [a, b]$. Esto significa que una función continua en un intervalo cerrado y acotado es acotada y alcanza sus valores máximo y mínimo en dicho intervalo. La imagen de una función continua con dominio un intervalo cerrado y acotado es también un intervalo cerrado y acotado [42](#page=42). #### 3.2.3. Método de bisección El método de bisección es una técnica numérica para aproximar soluciones de ecuaciones de la forma $f(x) = 0$, basándose en el Teorema de Bolzano [43](#page=43). Si $f$ es continua en un intervalo $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$, garantizando la existencia de al menos una solución en $(a, b)$: 1. Se calcula el punto medio del intervalo: $c_1 = \frac{a+b}{2}$. 2. Se evalúa la función en $c_1$. Si $f(c_1) = 0$, $c_1$ es la solución exacta. 3. Si $f(c_1) \cdot f(a) < 0$, la solución está en el intervalo $[a, c_1]$. 4. Si $f(c_1) \cdot f(b) < 0$, la solución está en el intervalo $[c_1, b]$. 5. Se repite el proceso en el nuevo intervalo, que tiene la mitad de longitud que el anterior [44](#page=44). Este método construye una sucesión de puntos medios $\{c_n\}$ que converge a una solución de la ecuación [43](#page=43). El error tras $n$ iteraciones se puede estimar como $|c_n - \text{solución}| < \frac{b-a}{2^n}$. Esto permite determinar de antemano el número de iteraciones necesarias para alcanzar un error menor que un valor $\epsilon$ dado, utilizando la fórmula $n > \log_2\left(\frac{b-a}{\epsilon}\right)$ [44](#page=44). **Ejemplo 1.49:** Para resolver la ecuación $e^{-x} = x$ en el intervalo $ $ con un error menor de $0.1$ [1](#page=1): * La función es $f(x) = e^{-x} - x$. Es continua en $ $ y $f = 1 > 0$, $f \approx -0.632 < 0$ [1](#page=1). * Se necesitan $n > \log_2\left(\frac{1-0}{0.1}\right) = \log_2 \approx 3.32$, por lo que se requieren $4$ iteraciones [10](#page=10) [45](#page=45). * Iteración 1: $c_1 = 0.5$, $f(0.5) \approx 0.107 > 0$. Nuevo intervalo: $[0.5, 1]$. * Iteración 2: $c_2 = 0.75$, $f(0.75) \approx -0.278 < 0$. Nuevo intervalo: $[0.5, 0.75]$. * Iteración 3: $c_3 = 0.625$, $f(0.625) \approx -0.0898 < 0$. Nuevo intervalo: $[0.5, 0.625]$. * Iteración 4: $c_4 = 0.5625$. Tras esta iteración, el error es menor que $0.1$, y $c_4$ es una solución aproximada [45](#page=45). --- # Sucesiones y series de funciones Este tema introduce el concepto de sucesiones y series de funciones, explorando las nociones de convergencia puntual y uniforme, y dedicando especial atención a las series de potencias y sus dominios de convergencia. ### 4.1 Sucesiones de funciones Una sucesión de funciones, también llamada sucesión funcional, es una aplicación que asigna a cada número natural $n$ una función $f_n$ con un dominio común $D \subset \mathbb{R}$. El término general de la sucesión proporciona la fórmula para cada $f_n(x)$ [47](#page=47). > **Tip:** Es común utilizar la notación $\{f_n(x)\}_{x \in D}$ para referirse a una sucesión de funciones, aunque $f_n(x)$ sea un número para un $x$ fijo [47](#page=47). #### 4.1.1 Convergencia puntual Una sucesión de funciones $\{f_n\}$ converge puntualmente en un dominio $D$ a una función $f$, denominada función límite, si para cada $x \in D$, la sucesión numérica $\{f_n(x)\}$ converge a $f(x)$. Formalmente [48](#page=48): $$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \quad \forall x \in D $$ Un punto crucial es que la convergencia puntual no garantiza la conservación de la continuidad. Es decir, si todas las $f_n$ son continuas, su límite puntual $f$ podría no serlo [48](#page=48) [49](#page=49). > **Ejemplo:** La sucesión $f_n(x) = x^n$ en $ $ converge puntualmente a $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1) \\ 1, & x = 1 \end{cases}$. Las funciones $f_n(x)$ son continuas, pero su límite puntual $f(x)$ no lo es en $x=1$ [1](#page=1) [48](#page=48). #### 4.1.2 Convergencia uniforme La convergencia uniforme es una noción de convergencia más estricta que la puntual. Se dice que una sucesión de funciones $\{f_n\}$ converge uniformemente en $D$ a una función $f$ si el supremo de la diferencia absoluta entre $f_n(x)$ y $f(x)$ tiende a cero cuando $n \to \infty$ [49](#page=49). $$ \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0 $$ La convergencia uniforme es una condición más fuerte que la convergencia puntual; si una sucesión converge uniformemente, entonces también converge puntualmente [50](#page=50). > **Teorema:** Si $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$ en $D$, entonces también converge puntualmente a $f$ en $D$ [50](#page=50). Una propiedad fundamental de la convergencia uniforme es que sí conserva la continuidad: > **Teorema:** Si las funciones $f_n$ que conforman una sucesión son continuas en $D$ y convergen uniformemente en $D$ a la función límite $f$, entonces $f$ es continua en $D$ [51](#page=51). > **Tip:** Para estudiar la convergencia uniforme, primero se puede analizar la convergencia puntual. Si esta no existe, tampoco habrá convergencia uniforme. Si existe, se procede a analizar la convergencia uniforme de la sucesión límite encontrada [50](#page=50). > **Interpretación gráfica:** La convergencia uniforme de $f_n \to f$ significa que para cualquier $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n \geq n_0$, las gráficas de $f_n(x)$ están contenidas dentro de una banda $(\epsilon-f, \epsilon+f)$ centrada en la gráfica de $f(x)$ [53](#page=53). > **Ejemplo:** La sucesión $f_n(x) = \frac{\sin x}{n^2}$ converge uniformemente a $f(x) = 0$ en $\mathbb{R}$. El supremo de $|\frac{\sin x}{n^2}|$ en $\mathbb{R}$ es $\frac{1}{n^2}$, y su límite cuando $n \to \infty$ es 0 [50](#page=50) [51](#page=51). > **Ejemplo:** La sucesión $f_n(x) = \arctan\left(\frac{x}{n}\right)$ converge puntualmente a $f(x) = 0$ en $\mathbb{R}$, pero no uniformemente. El supremo de $\left|\arctan\left(\frac{x}{n}\right)\right|$ en $\mathbb{R}$ es $\frac{\pi}{2}$, cuyo límite cuando $n \to \infty$ no es cero [51](#page=51) [52](#page=52). ### 4.2 Series de funciones Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ se define a partir de una sucesión de funciones $\{f_n(x)\}$ mediante su sucesión de sumas parciales $\{F_n(x)\}$, donde $F_n(x) = \sum_{i=1}^{n} f_i(x)$ [53](#page=53) [54](#page=54). #### 4.2.1 Convergencia puntual de series Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge puntualmente en $D$ a una función $F$, llamada función suma, si la sucesión de sumas parciales $\{F_n(x)\}$ converge puntualmente a $F$ en $D$. Esto implica que para cada $x \in D$, la serie numérica $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge a $F(x)$ [54](#page=54). #### 4.2.2 Convergencia absoluta de series Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ es absolutamente convergente en $D$ si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} |f_n(x)|$ converge para todo $x \in D$. La convergencia absoluta implica la convergencia puntual [54](#page=54). > **Teorema:** Si $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ es absolutamente convergente en $D$, entonces es puntualmente convergente en $D$ [54](#page=54). #### 4.2.3 Convergencia uniforme de series Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge uniformemente en $D$ a una función $F$ si su sucesión de sumas parciales $\{F_n(x)\}$ converge uniformemente en $D$ a $F$ [54](#page=54). Si una serie de funciones converge uniformemente en $D$, entonces también converge puntualmente en $D$. Además, si las funciones $f_n$ son continuas en un punto $a \in D$ y la serie converge uniformemente a $F$, entonces $F$ es continua en $a$ [54](#page=54) [55](#page=55). #### 4.2.4 Criterio de la mayorante (Weierstrass) Este criterio proporciona una condición suficiente para la convergencia absoluta y uniforme de una serie de funciones. Si existe una sucesión de números $\{M_n\}$ tal que $|f_n(x)| \leq M_n$ para todo $x \in D$ y la serie numérica $\sum_{n=1}^{\infty} M_n$ converge, entonces la serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge absoluta y uniformemente en $D$ [55](#page=55). > **Ejemplo:** Dada $f_n(x) = e^{-nx^2}$, si consideramos el intervalo $[1/2, 1]$, tenemos que $|f_n(x)| \leq e^{-n/4}$. Como $\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n/4}$ es una serie geométrica convergente, la serie $\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx^2}$ converge uniformemente en $[1/2, 1]$ [56](#page=56). ### 4.3 Series de potencias Una serie de potencias es un tipo particular de serie funcional de la forma: $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \dots $$ donde $x_0$ es el centro de la serie y $a_n$ son los coeficientes constantes. Un cambio de variable $y = x - x_0$ permite reducir el estudio a series centradas en 0: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n y^n$ [57](#page=57). Las series de potencias centradas en 0 pueden clasificarse en tres tipos según su convergencia: 1. **Tipo 1:** Convergen solo para $x = 0$. El radio de convergencia es $R=0$. 2. **Tipo 2:** Convergen en un intervalo $(-R, R)$ (o similar), con $R \in (0, \infty)$. Son absolutamente y uniformemente convergentes en cualquier intervalo $[-k, k]$ con $k < R$. La convergencia en los extremos $x = -R$ y $x = R$ debe ser estudiada por separado. El radio de convergencia es $R$. 3. **Tipo 3:** Convergen para todo $x \in \mathbb{R}$. Son absolutamente y uniformemente convergentes en cualquier intervalo cerrado y acotado de $\mathbb{R}$. El radio de convergencia es $R=\infty$. El intervalo donde una serie de potencias converge puntualmente se denomina **intervalo de convergencia**, y la mitad de su longitud (si es finito) es el **radio de convergencia** [58](#page=58). > **Proposición:** Si $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x_p^n$ converge para un $x_p \neq 0$, y $0 < k < |x_p|$, entonces la serie converge absoluta y uniformemente en $[-k, k]$ [57](#page=57). #### 4.3.1 Criterios para el radio de convergencia Los siguientes criterios, basados en el comportamiento de los coeficientes $a_n$, ayudan a determinar el radio de convergencia $R$: * **Criterio de la raíz:** Sea $S = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. * Si $S \in (0, \infty)$, entonces $R = \frac{1}{S}$. * Si $S = 0$, entonces $R = \infty$. * Si $S = \infty$, entonces $R = 0$. * **Criterio del cociente:** Sea $S = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. * Si $S \in (0, \infty)$, entonces $R = \frac{1}{S}$. * Si $S = 0$, entonces $R = \infty$. * Si $S = \infty$, entonces $R = 0$. > **Tip:** La elección del criterio más adecuado depende de la forma de los coeficientes $a_n$. > **Ejemplo:** Para la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|} = 0$. Por el criterio de la raíz, $S=0$, lo que implica $R=\infty$. La serie converge en todo $\mathbb{R}$ [58](#page=58). > **Ejemplo:** Para la serie $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(x-2)^n$, $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{n+2}{n+1}\right| = 1$. Por el criterio del cociente, $S=1$, lo que implica $R=1$. El intervalo de convergencia es $|x-2| < 1$, es decir, $(1, 3)$ [60](#page=60). La función suma de una serie de potencias es continua en el interior de su intervalo de convergencia, ya que la convergencia allí es uniforme [59](#page=59). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Axioma del supremo | El axioma que establece que todo subconjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo (la menor de sus cotas superiores). Es una propiedad fundamental que distingue a los números reales de los racionales. | | Convergencia puntual | Un tipo de convergencia para sucesiones de funciones donde, para cada punto específico en el dominio, la sucesión numérica de los valores de las funciones en ese punto converge a un límite. | | Convergencia uniforme | Un tipo de convergencia más estricto para sucesiones de funciones donde la sucesión converge a la función límite de manera que la diferencia máxima entre cualquier término de la sucesión y la función límite se acerca a cero uniformemente en todo el dominio. | | Cota superior | Un número real `c` es una cota superior para un conjunto `A` si todos los elementos `a` en `A` son menores o iguales que `c` (`a ≤ c` para todo `a ∈ A`). | | Cota inferior | Un número real `c` es una cota inferior para un conjunto `A` si todos los elementos `a` en `A` son mayores o iguales que `c` (`a ≥ c` para todo `a ∈ A`). | | Divergente | Una sucesión o serie se dice divergente si no converge a un límite finito o si su suma infinita no está definida. | | Dominio | El conjunto de todos los valores de entrada posibles para una función. En el contexto de funciones de una variable real, es un subconjunto de los números reales. | | Función continua | Una función `f` es continua en un punto `a` si el límite de `f(x)` cuando `x` se aproxima a `a` es igual a `f(a)`, y además `f(a)` está definido. | | Intervalo abierto | Un conjunto de números reales de la forma `(a, b)` que incluye todos los números entre `a` y `b`, pero no incluye `a` ni `b`. | | Intervalo cerrado | Un conjunto de números reales de la forma `[a, b]` que incluye todos los números entre `a` y `b`, así como `a` y `b`. | | Indeterminación | Una expresión matemática que surge al calcular límites y que no puede resolverse directamente, requiriendo técnicas adicionales para determinar el valor del límite. Ejemplos comunes incluyen `0/0`, `∞/∞`, `∞ - ∞`. | | Límite de una función en un punto | El valor al que se aproximan los valores de una función a medida que la entrada se aproxima a un punto específico, sin necesidad de que la función esté definida en ese punto. | | Límite de una sucesión | El valor al que los términos de una sucesión se aproximan a medida que el índice de la sucesión tiende a infinito. | | Monótona | Una sucesión ` {an} ` es monótona si es creciente ( `an ≤ an+1` para todo `n`) o decreciente ( `an ≥ an+1` para todo `n`). | | Número irracional | Un número real que no puede ser expresado como una fracción de dos enteros (`p/q`, donde `p` y `q` son enteros y `q ≠ 0`). Ejemplos incluyen `√2` y `π`. | | Número racional | Un número que puede ser expresado como una fracción de dos enteros (`p/q`, donde `p` y `q` son enteros y `q ≠ 0`). | | Radio de convergencia | Para una serie de potencias, es la mitad del diámetro del intervalo de convergencia. Define el rango de valores para los cuales la serie converge. | | Recta real ampliada | La recta real `R` aumentada con los elementos `−∞` y `+∞`, lo que permite trabajar con límites infinitos de manera más formal. | | Serie de potencias | Una serie de la forma `∑ an(x - x0)ⁿ`, donde `x0` es el centro, `an` son coeficientes constantes y la suma se extiende infinitamente. | | Serie geométrica | Una serie donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada razón. Se expresa como `∑ arⁿ`. | | Serie numérica | Una suma infinita de números reales, de la forma `∑ an`. | | Sucesión de sumas parciales | Para una serie `∑ an`, es la sucesión `sn` donde `sn` es la suma de los primeros `n` términos de la serie. | | Sucesión funcional | Una sucesión cuyos términos son funciones, ` {fn(x)} `. | | Supremo | El supremo de un conjunto no vacío `A` de números reales, denotado `sup A`, es la menor de todas las cotas superiores de `A`. | | Teorema de Bolzano | Si una función `f` es continua en un intervalo cerrado `[a, b]` y `f(a)` y `f(b)` tienen signos opuestos, entonces existe al menos un cero de la función en el intervalo `(a, b)`. | | Valor absoluto | La distancia de un número real a cero en la recta real. Se denota por `|x|`. |

# La derivada de una función en un punto y sus interpretaciones Aquí tienes el resumen de estudio sobre la derivada de una función en un punto y sus interpretaciones, listo para el examen. ## 1. La derivada de una función en un punto y sus interpretaciones Este apartado explora la definición formal de la derivada de una función en un punto específico, su interpretación geométrica como la pendiente de la recta tangente, y analiza la relación crucial entre derivabilidad y continuidad, ejemplificando con funciones constantes y cuadráticas [3](#page=3) [4](#page=4) [5](#page=5). ### 1.1 Definición formal de la derivada La derivada de una función $f$ en un punto $a$, denotada como $f'(a)$, se define formalmente como el límite de la razón de cambio promedio de la función entre dos instantes, cuando el intervalo de tiempo tiende a cero [3](#page=3). **Definición 2.1:** Una función $f$ es derivable en $a \in D$ si el siguiente límite existe y es finito: $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ El cociente $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ para cada valor de $h$ representa la pendiente del segmento de recta que une los puntos $(a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ en la gráfica de la función [3](#page=3). > **Tip:** La notación $\frac{df}{dx}(a)$ o $df(a)$ también se utiliza frecuentemente para referirse a la derivada de $f$ en $a$ [3](#page=3). ### 1.2 Interpretación geométrica de la derivada La interpretación geométrica de la derivada $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto $(a, f(a))$ [3](#page=3). Esto se deduce del hecho de que la derivada es el límite de las pendientes de los segmentos secantes que unen puntos cercanos a $(a, f(a))$ a medida que estos puntos se acercan al punto original [3](#page=3).  *Figura 2.1: Interpretación geométrica de la derivada. * [3](#page=3). ### 1.3 Ejemplos de funciones y su derivabilidad #### 1.3.1 Función constante Una función constante $f(x) = k$, donde $k$ es una constante real, tiene una derivada de cero en todos los puntos [4](#page=4). **Ejemplo 2.1:** Para $f(x) = k$, la derivada en un punto $a$ es: $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{k - k}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 $$ #### 1.3.2 Función cuadrática La función $f(x) = x^2$ es derivable en cualquier punto $a$, y su derivada es $f'(a) = 2a$ [4](#page=4). **Ejemplo 2.2:** Calculando la derivada de $f(x) = x^2$ en un punto $a$: $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^2}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{(x - a)(x + a)}{x - a} = \lim_{x \to a} (x + a) = a + a = 2a $$ ### 1.4 Relación entre derivabilidad y continuidad Existe una relación intrínseca entre la derivabilidad de una función en un punto y su continuidad en ese mismo punto [4](#page=4). **Teorema 2.1:** Si una función $f$ es derivable en un punto $a$, entonces $f$ es continua en $a$ [4](#page=4). Esto significa que la derivabilidad es una condición más fuerte que la continuidad. Una función puede ser continua pero no derivable, pero si es derivable, necesariamente debe ser continua [4](#page=4) [5](#page=5). > **Tip:** La continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad, pero no es suficiente [4](#page=4) [5](#page=5). #### 1.4.1 Ejemplo de función continua pero no derivable **Ejemplo 2.5:** La función $f(x) = x \cos\left(\frac{1}{x}\right)$ para $x \neq 0$ y $f = 0$ es continua en $\mathbb{R}$, pero no es derivable en $0$. Esto se debe a que el límite que define la derivada en $0$ no existe [5](#page=5). $$ \lim_{h \to 0} \frac{h \cos\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \cos\left(\frac{1}{h}\right) $$ Este último límite no existe porque la función $\cos\left(\frac{1}{h}\right)$ oscila entre $-1$ y $1$ cada vez más rápido a medida que $h$ se acerca a cero [5](#page=5). #### 1.4.2 Ejemplo de función discontinua y no derivable **Ejemplo 2.3:** La función escalón o función de Heaviside, definida como $f(x) = 1$ si $x > 0$ y $f(x) = 0$ si $x \le 0$, es discontinua en $x=0$. Por lo tanto, no es derivable en $0$ [4](#page=4). #### 1.4.3 Ejemplo de función derivable en un punto **Ejemplo 2.4:** La función $f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ para $x \neq 0$ y $f = 0$ es derivable en $0$ con $f' = 0$ [4](#page=4). $$ f' = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) $$ . Dado que $\sin\left(\frac{1}{h}\right)$ es una función acotada y $\lim_{h \to 0} h = 0$, el límite es $0$ [5](#page=5). --- # Reglas de derivación y cálculo de derivadas Este tema presenta las reglas fundamentales para calcular derivadas de manera eficiente sin recurrir a la definición formal. ### 2.1 Introducción a las reglas de derivación El cálculo de derivadas es una herramienta esencial en el estudio de funciones, y las reglas de derivación nos permiten obtener estas de forma sistemática. El objetivo es ser capaz de calcular la derivada de cualquier función construida a partir de funciones elementales mediante operaciones algebraicas y composición [7](#page=7). ### 2.2 Reglas de derivación fundamentales Las siguientes proposiciones nos permiten calcular derivadas de funciones combinadas a partir de funciones derivables conocidas. #### 2.2.1 Regla de la suma y del producto Si las funciones $f$ y $g$ son derivables en un punto $a$, entonces: * La suma $f + g$ es derivable en $a$, y su derivada es $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$ [7](#page=7). * El producto $f \cdot g$ es derivable en $a$, y su derivada es $(f \cdot g)'(a) = f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)$ [7](#page=7). #### 2.2.2 Regla del cociente Si las funciones $f$ y $g$ son derivables en un punto $a$ y $g(a) \neq 0$, entonces la función cociente $\frac{f}{g}$ es derivable en $a$, y su derivada es: $$ \left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \cdot g(a) - f(a) \cdot g'(a)}{[g(a)]^2} $$ #### 2.2.3 Regla de la cadena Si $f$ es derivable en $a$ y $g$ es derivable en $f(a)$, entonces la composición $g \circ f$ es derivable en $a$, y su derivada se calcula como: $$ (g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a) $$ > **Tip:** La regla de la cadena es fundamental para derivar funciones compuestas y a menudo se aplica en conjunto con las derivadas de funciones elementales. ### 2.3 Tabla de derivadas de funciones elementales A continuación, se presenta una tabla básica de derivadas de funciones comunes. Se asume que $c \in \mathbb{R}$ y $a \in (0, \infty) \setminus \{1\}$ [7](#page=7). | Función | Derivada | Función | Derivada | | :------------ | :-------------- | :-------- | :--------------- | | $c$ | $0$ | $x^c$ | $c x^{c-1}$ | | $a^x$ | $a^x \ln a$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | | $\log_a x$ | $\frac{1}{x} \log_a e$ | $\sen x$ | $\cos x$ | | $\cos x$ | $-\sen x$ | | | > **Tip:** Dominar esta tabla y las reglas de derivación es suficiente para generar rápidamente la mayoría de las derivadas necesarias en cursos de cálculo. ### 2.4 Derivadas de funciones compuestas (aplicación de la regla de la cadena) Al aplicar la regla de la cadena a las funciones elementales, obtenemos la siguiente tabla para derivar funciones de la forma $f(u(x))$, donde $u(x)$ es una función derivable [8](#page=8). | Función | Derivada | Función | Derivada | | :------------- | :----------------------- | :------------ | :----------------------- | | $c$ | $0$ | $e^{u(x)}$ | $e^{u(x)} u'(x)$ | | $(u(x))^c$ | $c (u(x))^{c-1} u'(x)$ | $a^{u(x)}$ | $a^{u(x)} (\ln a) u'(x)$ | | $\ln u(x)$ | $\frac{1}{u(x)} u'(x)$ | $\log_a u(x)$ | $\frac{1}{u(x)} \log_a e \cdot u'(x)$ | | $\sen u(x)$ | $\cos u(x) u'(x)$ | $\cos u(x)$ | $-\sen u(x) u'(x)$ | > **Ejemplo:** Si tenemos la función $h(x) = \sin(x^2)$, podemos identificar $u(x) = x^2$. La derivada de $u(x)$ es $u'(x) = 2x$. Aplicando la regla de la cadena a la derivada del seno, obtenemos $h'(x) = \cos(u(x)) \cdot u'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$. ### 2.5 Derivadas de funciones trigonométricas inversas Las derivadas de funciones trigonométricas inversas se pueden obtener aplicando la regla de la cadena junto con la tabla de derivadas básicas. > **Ejemplo:** Para calcular la derivada de $f(x) = \operatorname{arc}\sin x$. Sabemos que si $y = \operatorname{arc}\sin x$, entonces $x = \sin y$. Derivando implícitamente ambos lados con respecto a $y$: $\frac{dx}{dy} = \cos y$. Dado que $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}$, tenemos $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$. Usando la identidad $\cos^2 y + \sin^2 y = 1$, obtenemos $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}$. Sustituyendo $\sin y = x$, tenemos $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$. Por lo tanto, la derivada de $\operatorname{arc}\sin x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ [8](#page=8). De manera similar, se pueden obtener las derivadas de $\operatorname{arc}\cos x$, $\operatorname{arc}\tan x$, etc., aplicando las reglas de derivación y las identidades trigonométricas. > **Tip:** La práctica constante es clave para dominar el cálculo de derivadas. Resuelve numerosos ejercicios aplicando estas reglas y tablas. --- # Límites y la Regla de L'Hôpital Este tema explora cómo las derivadas pueden ser aplicadas para calcular límites, introduciendo la Regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones comunes y otras que pueden ser transformadas. ### 3.1 Motivación La conexión entre límites y derivación se establece al notar que la definición misma de la derivada es un límite. En este apartado, se plantea la pregunta inversa: si la existencia de la derivada puede facilitar el cálculo de límites. La respuesta es afirmativa, y esta técnica se conoce como la Regla de L'Hôpital [9](#page=9). ### 3.2 Regla de L'Hôpital La Regla de L'Hôpital, descubierta por John Bernoulli pero atribuida a Guillaume de L'Hôpital, es una herramienta poderosa para el cálculo de límites de cocientes de funciones que resultan en indeterminaciones de los tipos $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ [10](#page=10). #### 3.2.1 Enunciado de la regla Si $f$ y $g$ son funciones derivables en un entorno de $a$, con $g'(x) \neq 0$ cerca de $a$, y se cumple que: * $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ O * $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty$ Entonces, si el límite del cociente de las derivadas existe: $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l $$ donde $l$ puede ser un número real, $\infty$ o $-\infty$ [10](#page=10). > **Tip:** La Regla de L'Hôpital también es válida para límites laterales y límites en el infinito, es decir, se puede reemplazar $a$ por $\infty$, $-\infty$, $a^+$ o $a^-$ en el enunciado [10](#page=10). #### 3.2.2 Aplicación reiterada La Regla de L'Hôpital puede aplicarse de forma reiterada si el cociente de las derivadas sigue resultando en una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ [11](#page=11). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{x}$. > Se trata de una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 $$ [10](#page=10) [11](#page=11). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1 + e^{x^2}}{3x^2}$. > Se trata de una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicando L'Hôpital una vez: > $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + e^{x^2}}{3x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x e^{x^2}}{6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^2}}{3} = \infty $$ [11](#page=11). #### 3.2.3 Transformación de otras indeterminaciones La Regla de L'Hôpital es útil no solo para las indeterminaciones $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty}{\infty}$, sino también para otras, siempre que puedan ser transformadas en alguna de las anteriores. * **Indeterminaciones del tipo $\infty - \infty$**: Se pueden transformar en una indeterminación de cociente realizando la resta. > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\text{sen } x} - \frac{1}{x} \right)$. > Se trata de una indeterminación $\infty - \infty$. Operando: > $$ \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\text{sen } x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - \text{sen } x}{x \text{ sen } x} $$ > Esta es una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{\text{sen } x + x \cos x} $$ > Esto mantiene la indeterminación $\frac{0}{0}$. Volviendo a aplicar L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\text{sen } x}{\cos x + \cos x - x \text{ sen } x} = \frac{0}{1 + 1 - 0} = 0 $$ [11](#page=11) [12](#page=12). * **Indeterminaciones del tipo $0 \cdot \infty$**: Se pueden transformar en una indeterminación de cociente, recordando que $f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} = \frac{g(x)}{1/f(x)}$. > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(x - \frac{\pi}{2}\right) \text{tg } x$. > Se trata de una indeterminación $0 \cdot \infty$. Transformándola: > $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\text{cotg } x} $$ > Esta es una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{-\text{cosec}^2 x} = -\text{sen}^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $$ [12](#page=12). * **Indeterminaciones del tipo $0^0$, $\infty^0$, $1^\infty$**: Para estas indeterminaciones, se recomienda utilizar logaritmos. Si se considera $L = \displaystyle \lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)}$, entonces $\ln L = \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x)$, lo cual puede transformar el problema en una indeterminación $0 \cdot \infty$ o $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ [12](#page=12). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$. > Se trata de una indeterminación $\infty^0$. Sea $L = \displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$. Tomando logaritmos naturales: > $$ \ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln x = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} $$ > Esta es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0 $$ > Por lo tanto, $L = e^0 = 1$ [12](#page=12). > **Ojo:** Un error común es olvidar que se ha aplicado el logaritmo y dar 0 como respuesta en lugar de $e^0 = 1$ [13](#page=13). Para la indeterminación $1^\infty$, aunque el uso de logaritmos es válido, también se puede emplear la siguiente proposición: **Proposición 3.1:** Si $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \infty$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = e$ [13](#page=13). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$. > Se puede reescribir como: > $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x/2}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{x/2}\right)^{x/2} \right]^2 $$ > Aplicando la proposición con $f(x) = x/2$, que tiende a $\infty$ cuando $x \to \infty$: > $$ \left[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x/2}\right)^{x/2} \right]^2 = e^2 $$ [13](#page=13). ### 3.3 Límites de sucesiones y la Regla de L'Hôpital Existe una relación importante entre los límites de funciones y los límites de sucesiones. Si el límite de una función $f(x)$ cuando $x$ tiende a infinito es $l$, entonces el límite de la sucesión $f(n)$ cuando $n$ tiende a infinito también es $l$. **Proposición 3.2:** Si $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = l \in \mathbb{R}$, entonces $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(n) = l$ [13](#page=13). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$. > Primero, consideramos la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ y calculamos su límite cuando $x \to \infty$: > $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} $$ > Esta es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0 $$ > Por la Proposición 3.2, podemos concluir que: > $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0 $$ [13](#page=13). --- # Métodos de aproximación de soluciones de ecuaciones Este tema presenta los métodos de Newton y de punto fijo como herramientas fundamentales para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones de la forma $f(x) = 0$ y $x = g(x)$ respectivamente, analizando sus iteraciones, criterios de convergencia y error [14](#page=14). ### 4.1 Método de Newton El método de Newton, también conocido como método de Newton-Raphson o Newton-Fourier, es una técnica iterativa para encontrar aproximaciones de las raíces o ceros de una función derivable $f(x)$. Se basa en la idea de aproximar la función $f(x)$ localmente por su recta tangente y utilizar el punto de intersección de esta recta con el eje x como la siguiente aproximación de la raíz [14](#page=14) [15](#page=15). #### 4.1.1 Descripción del método Se comienza con una aproximación inicial $x_0$. La siguiente aproximación, $x_1$, se obtiene calculando la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x_0, f(x_0))$ y encontrando dónde esta recta corta al eje x. La ecuación general de la recta tangente es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. Al hacer $y=0$ para encontrar la intersección con el eje x, obtenemos [15](#page=15): $-f(x_0) = f'(x_0)(x_1 - x_0)$ Despejando $x_1$ y asumiendo que $f'(x_0) \neq 0$: $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ Este proceso se repite iterativamente, generando una sucesión de aproximaciones $x_n$ dada por la fórmula de recurrencia: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ [16](#page=16). Esta sucesión de valores $x_n$ converge, bajo ciertas condiciones, a una solución de la ecuación $f(x) = 0$ [17](#page=17). #### 4.1.2 Convergencia y ventajas El método de Newton es conocido por su rapidez de convergencia cuando esta se produce. Una ventaja significativa sobre el método de bisección es que no requiere el conocimiento previo de un intervalo que contenga la solución [14](#page=14). #### 4.1.3 Criterios de parada Para determinar cuándo finalizar el proceso iterativo, se utilizan criterios de parada. Un criterio común es el error relativo aproximado ($E_r$) y el error absoluto aproximado ($E_a$) [17](#page=17): $E_r = \left| \frac{x_n - x_{n-1}}{x_n} \right|$ $E_a = |x_n - x_{n-1}|$ Se suelen tomar valores absolutos para ignorar si el error es por defecto o por exceso. La división entre $|x_n|$ en el error relativo considera la magnitud de la aproximación actual [17](#page=17). Otro criterio de parada es establecer un número máximo de iteraciones previamente definido. Esto es particularmente útil para la implementación computacional del método, previniendo bucles infinitos en casos de no convergencia [18](#page=18). #### 4.1.4 Consideraciones y limitaciones El método de Newton no es infalible. Puede no converger si $f'(x_n) = 0$ en algún punto de la iteración, lo que impediría el cálculo de la siguiente aproximación. También existen casos donde la sucesión de iterantes puede no converger a una raíz. Aunque rigurosamente el criterio de parada debería usar el error relativo exacto (con la solución real), en la práctica se utiliza la aproximación $x_n$ [16](#page=16) [17](#page=17) [18](#page=18). > **Tip:** Si el problema requiere resolver $f(x)=0$, es posible transformarlo a la forma $x=g(x)$ para usar el método de punto fijo. Una transformación sencilla es $g(x) = f(x) + x$ [21](#page=21). #### 4.1.5 Ejemplo ilustrativo **Ejemplo 2.15:** Aproximar una solución de $x^4 - 5 = 0$ comenzando con $x_0 = 2$ [15](#page=15). La función es $f(x) = x^4 - 5$ y su derivada es $f'(x) = 4x^3$ [16](#page=16). La fórmula iterativa es $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 - 5}{4x_n^3}$. Con $x_0 = 2$: $x_1 = 2 - \frac{2^4 - 5}{4 ^3} = 2 - \frac{11}{32} = \frac{53}{32} \approx 1.6563$ [16](#page=16) [2](#page=2). Continuando el proceso: $x_2 \approx 1.5173$ $x_3 \approx 1.4958$ La sucesión converge a la raíz positiva de la ecuación [16](#page=16) [17](#page=17). ### 4.2 Método de punto fijo El método de punto fijo es una técnica iterativa utilizada para encontrar aproximaciones a los puntos fijos de una función $g(x)$. Un punto fijo $a$ de una función $g$ es aquel valor tal que $g(a) = a$. Geométricamente, los puntos fijos son las intersecciones de la gráfica de $g(x)$ con la recta $y=x$. El método de punto fijo resuelve ecuaciones de la forma $x = g(x)$ [18](#page=18). #### 4.2.1 Descripción del método Se parte de una aproximación inicial $x_0$. Las iteraciones subsiguientes se generan mediante la fórmula: $$x_{n+1} = g(x_n)$$ [18](#page=18). Si la sucesión de iterantes $\{x_n\}$ converge a un límite $a$, entonces este límite es un punto fijo de $g$, es decir, $a = g(a)$ [19](#page=19). #### 4.2.2 Criterios de convergencia La convergencia del método de punto fijo no está garantizada para cualquier función $g$ o cualquier $x_0$. El Teorema 2.2 proporciona condiciones suficientes para la convergencia [19](#page=19): **Teorema 2.2:** Si $g$ es una función tal que $g: [a, b \to [a, b]$ y existe una constante $k \in [0, 1)$ tal que $|g'(x)| \leq k$ para todo $x \in (a, b)$, entonces: 1. $g$ tiene un único punto fijo en $[a, b]$. 2. Para cualquier condición inicial $x_0 \in [a, b]$, la sucesión generada por $x_{n+1} = g(x_n)$ converge al único punto fijo de $g$ en $[a, b]$ [19](#page=19). > **Tip:** Para aplicar el Teorema 2.2, es crucial verificar dos condiciones: que la función $g$ mapee el intervalo $[a, b]$ sobre sí mismo ($g([a, b]) \subseteq [a, b]$) y que la norma de su derivada en el interior del intervalo sea estrictamente menor que 1. #### 4.2.3 Estimación del error Bajo las condiciones del Teorema 2.2, es posible acotar el error absoluto cometido al aproximar el punto fijo. El Teorema 2.3 establece: **Teorema 2.3:** Bajo las condiciones del Teorema 2.2, se verifica que $|x_n - \tilde{x}| \leq \frac{k^n}{1-k}(b-a)$, donde $\tilde{x}$ es el único punto fijo de $g$ en $[a, b]$ [19](#page=19). Este teorema permite determinar el número de iteraciones $n$ necesarias para garantizar que el error absoluto sea menor que una tolerancia $\epsilon$ dada, resolviendo la inecuación: $\frac{k^n}{1-k}(b-a) < \epsilon$ #### 4.2.4 Ejemplo ilustrativo **Ejemplo 2.17:** Aproximar una solución de la ecuación $2 \cos x = x$ [20](#page=20). Esta ecuación se puede reescribir como $x = \frac{1}{2} \cos x$. Por lo tanto, $g(x) = \frac{1}{2} \cos x$. a) **Convergencia en $ $:** [2](#page=2). Se verifica que $g: \to $ ya que para $x \in $, $\cos x \in [\cos 2, 1 \approx [-0.416, 1]$, y $\frac{1}{2} \cos x \in [-0.208, 0.5 \subset $ [20](#page=20) [2](#page=2). La derivada es $g'(x) = -\frac{1}{2} \sin x$. Para $x \in (0, 2)$, $|\sin x| \leq 1$, por lo que $|g'(x)| = \frac{1}{2}|\sin x| \leq \frac{1}{2}$. Como $k = \frac{1}{2} < 1$, el Teorema 2.2 garantiza la convergencia del método de punto fijo para cualquier $x_0 \in $ [20](#page=20) [2](#page=2). b) **Aproximación con cuatro iteraciones y $x_0 = 1$**: $x_1 = g = \frac{1}{2} \cos \approx 0.2701$ [1](#page=1). $x_2 = g(0.2701) \approx \frac{1}{2} \cos(0.2701) \approx 0.4819$ $x_3 = g(0.4819) \approx \frac{1}{2} \cos(0.4819) \approx 0.4430$ $x_4 = g(0.4430) \approx \frac{1}{2} \cos(0.4430) \approx 0.4517$ [21](#page=21). c) **Estimación del error absoluto cometido**: Utilizando el Teorema 2.3 con $a=0$, $b=2$, $k=1/2$: $|x_4 - \tilde{x}| \leq \frac{(1/2)^4}{1 - 1/2}(2 - 0) = \frac{1/16}{1/2} = \frac{1}{8} = 0.25$ [21](#page=21) [2](#page=2). d) **Número de iteraciones para un error absoluto menor que $0.01$**: Se busca el menor $n$ tal que $\frac{(1/2)^n}{1 - 1/2}(2 - 0) < 0.01$. $\frac{(1/2)^n}{1/2} < 0.01 \implies (1/2)^{n-1} < 0.01 \implies (1/2)^{n-1} < 0.005$ [2](#page=2). Tomando logaritmos: $(n-1) \ln(1/2) < \ln(0.005) \implies -(n-1) \ln < \ln(0.005)$ [2](#page=2). $n-1 > -\frac{\ln(0.005)}{\ln } \approx 7.2877$ [2](#page=2). $n-1 > 7.2877 \implies n > 8.2877$. Por lo tanto, se necesitan como mínimo nueve iteraciones [21](#page=21). #### 4.2.5 Transformación de $f(x)=0$ a $x=g(x)$ El método de punto fijo puede ser utilizado para aproximar raíces de $f(x)=0$ si esta ecuación se transforma a la forma equivalente $x=g(x)$. Esta transformación no es única; por ejemplo, sumar $x$ a ambos lados de $f(x)=0$ produce $f(x)+x=x$, donde $g(x) = f(x)+x$. La elección de la transformación $g(x)$ es crucial para asegurar la convergencia del método [21](#page=21). --- # Teoremas de Rolle, del Valor Medio y funciones monótonas Aquí tienes un resumen detallado sobre los Teoremas de Rolle, del Valor Medio y funciones monótonas, diseñado para ser un material de estudio completo y listo para exámenes. ## 5. Teoremas de Rolle, del valor medio y funciones monótonas Este tema presenta teoremas fundamentales que relacionan la continuidad, derivabilidad y el comportamiento de una función, estableciendo la existencia de puntos con derivada nula o una tasa de cambio específica, y proporcionando criterios para determinar la monotonía de una función. ### 5.1 Teorema de Rolle El Teorema de Rolle es un resultado crucial que establece condiciones suficientes para la existencia de un punto donde la derivada de una función se anula [23](#page=23). **Enunciado formal:** Sea $f : [a, b \to \mathbb{R}$ una función que cumple las siguientes hipótesis: 1. $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ [23](#page=23). 2. $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$ [23](#page=23). 3. $f(a) = f(b)$ [23](#page=23). **Tesis:** Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$ [23](#page=23). **Interpretación geométrica:** Si una función es continua en un intervalo cerrado, derivable en su interior y toma el mismo valor en los extremos, entonces debe existir al menos un punto intermedio donde la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal (paralela al eje $x$) [25](#page=25). **Ejemplos:** * La función $f(x) = x^2$ en el intervalo $[-1, 1]$ cumple las hipótesis: es continua y derivable en $\mathbb{R}$, y $f(-1) = (-1)^2 = 1$ y $f = 1^2 = 1$, por lo tanto $f(-1) = f $. Su derivada es $f'(x) = 2x$, que se anula en $c=0 \in (-1, 1)$ [1](#page=1) [23](#page=23). * La función $f(x) = \sin(x)$ en cualquier intervalo de la forma $[a, a + 2n\pi]$, con $n \in \mathbb{N}$, satisface las condiciones, ya que $\sin(a) = \sin(a + 2n\pi)$ y es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ [23](#page=23). **Contraejemplos (importancia de las hipótesis):** * Si la hipótesis $f(a) = f(b)$ falla, el teorema no se cumple necesariamente. Por ejemplo, $f(x) = x+1$ en $ $. Es continua y derivable, pero $f = 1$ y $f = 2$. Su derivada es $f'(x) = 1$, que nunca se anula en $(0,1)$ [1](#page=1) [23](#page=23). * Si la función no es derivable en todo el intervalo abierto, el teorema puede no cumplirse. Por ejemplo, $f(x) = |x|$ en $[-1,1]$. Es continua y $f(-1)=f =1$, pero no es derivable en $x=0$. Su derivada es $f'(x) = 1$ para $x>0$ y $f'(x) = -1$ para $x<0$, y no se anula en $(0,1)$ [1](#page=1) [23](#page=23). * Si la función no es continua en algún punto del intervalo, el teorema no se aplica. Por ejemplo, $f(x) = \begin{cases} x & x > 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ en $ $. Es derivable en $(0,1)$ y $f =1, f =1$, pero no es continua en $0$. Su derivada $f'(x)=1$ no se anula en $(0,1)$ [1](#page=1) [23](#page=23). **Advertencia importante:** Es posible que una función no cumpla todas las hipótesis del Teorema de Rolle, pero su derivada se anule en algún punto del intervalo. Por ejemplo, $f(x) = x^3$ en $[-1,1]$ es continua y derivable, pero $f(-1)=-1 \neq f =1$. Sin embargo, $f'(x) = 3x^2$ se anula en $c=0 \in (-1,1)$ [1](#page=1) [24](#page=24). ### 5.2 Teorema del valor medio El Teorema del Valor Medio es una generalización del Teorema de Rolle y establece que, bajo ciertas condiciones, la tasa de cambio promedio de una función en un intervalo es igual a su tasa de cambio instantánea en algún punto dentro de ese intervalo [24](#page=24). **Enunciado formal:** Si $f : [a, b \to \mathbb{R}$ es una función que cumple las siguientes hipótesis: 1. $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ [24](#page=24). 2. $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$ [24](#page=24). **Tesis:** Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ **Demostración:** La demostración se basa en la aplicación del Teorema de Rolle a una función auxiliar $h(x)$ definida como: $$h(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$$ Se verifica que $h(x)$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$. Además, se comprueba que $h(a) = 0$ y $h(b) = 0$. Al cumplirse las hipótesis del Teorema de Rolle para $h(x)$, existe un $c \in (a, b)$ tal que $h'(c) = 0$. Al derivar $h(x)$, se obtiene $h'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Igualando $h'(c)$ a cero, se llega a la tesis del teorema [24](#page=24) [25](#page=25). **Interpretación geométrica:** El término $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ representa la pendiente de la recta secante que une los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ en la gráfica de la función $f$. El Teorema del Valor Medio afirma que existe al menos un punto $c$ en el intervalo $(a, b)$ donde la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ (es decir, $f'(c)$) es igual a la pendiente de esa recta secante [25](#page=25). > **Tip:** La interpretación geométrica es fundamental para visualizar el significado de este teorema: siempre hay un punto en el que la velocidad instantánea coincide con la velocidad promedio. ### 5.3 Implicaciones del Teorema del Valor Medio El Teorema del Valor Medio tiene varias consecuencias importantes, incluyendo la caracterización de las funciones constantes y el establecimiento de criterios para la monotonía. #### 5.3.1 Caracterización de las funciones constantes Una consecuencia directa del Teorema del Valor Medio es la siguiente caracterización: **Teorema 2.4 (Caracterización de las funciones constantes):** Una función $f$ es constante en un intervalo $(a, b)$ si y solo si $f'(x) = 0$ para todo $x \in (a, b)$ [25](#page=25). **Explicación:** Si $f$ es constante, su derivada es cero. Recíprocamente, si $f'(x) = 0$ en todo $(a, b)$, tomemos dos puntos cualesquiera $x_1, x_2 \in (a, b)$ con $x_1 < x_2$. Al aplicar el Teorema del Valor Medio en $[x_1, x_2]$, existe un $c \in (x_1, x_2)$ tal que $f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. Como $f'(c)=0$, se tiene que $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = 0$, lo que implica $f(x_2) - f(x_1) = 0$, es decir, $f(x_1) = f(x_2)$. Como esto se cumple para cualquier par de puntos, la función es constante en $(a, b)$ [25](#page=25). **Relación entre funciones con la misma derivada:** Si dos funciones $f$ y $g$ tienen la misma derivada en un intervalo $(a, b)$, es decir, $f'(x) = g'(x)$ para todo $x \in (a, b)$, entonces la función $h(x) = f(x) - g(x)$ tiene derivada $h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$. Por el Teorema 2.4, $h(x)$ debe ser una función constante en $(a, b)$. Esto significa que $f(x) - g(x) = k$ para alguna constante $k$, o equivalentemente, $f(x) = g(x) + k$ [25](#page=25). ### 5.4 Funciones monótonas Las condiciones de monotonía de una función están intrínsecamente ligadas al signo de su derivada. **Definición 2.5 (Monotonía):** * Una función $f$ es **creciente** en un intervalo $I$ si para todo $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple $f(a) \leq f(b)$ [26](#page=26). * Una función $f$ es **decreciente** en un intervalo $I$ si para todo $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple $f(b) \leq f(a)$ [26](#page=26). * Una función $f$ es **estrictamente creciente** en $I$ si para todo $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple $f(a) < f(b)$ [26](#page=26). * Una función $f$ es **estrictamente decreciente** en $I$ si para todo $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple $f(b) < f(a)$ [26](#page=26). * Una función $f$ es **monótona** en $I$ si es creciente o decreciente en $I$ [26](#page=26). **Proposición 2.4 (Condiciones de monotonía basadas en la derivada):** Sea $I$ un intervalo. * Si $f'(x) > 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es **estrictamente creciente** en $I$ [26](#page=26). * Si $f'(x) < 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es **estrictamente decreciente** en $I$ [26](#page=26). * Si $f'(x) \geq 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es **creciente** en $I$ [26](#page=26). * Si $f'(x) \leq 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es **decreciente** en $I$ [26](#page=26). **Demostración (para $f'(x)>0$):** Para cualesquiera $a, b \in I$ con $a < b$, el Teorema del Valor Medio garantiza la existencia de un $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ [26](#page=26). Si $f'(x) > 0$ en $I$, entonces $f'(c) > 0$. Dado que $b - a > 0$, tenemos que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0$, lo que implica $f(a) < f(b)$. Por lo tanto, $f$ es estrictamente creciente en $I$ [26](#page=26). > **Tip:** Las condiciones de la Proposición 2.4 son **suficientes** para la monotonía. Una función puede ser monótona sin ser continua o derivable en todo el intervalo, como se ve en el Ejemplo 2.21 [27](#page=27). **Ejemplos:** * La función $f(x) = x^3$. Su derivada es $f'(x) = 3x^2$. Para $x \neq 0$, $f'(x) > 0$, por lo que $f$ es estrictamente creciente en $(-\infty, 0)$ y en $(0, \infty)$. Aunque $f' =0$, la función es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ porque para $x>0$, $f(x)=x^3>0=f $, y para $x<0$, $f(x)=x^3<0=f $. Este ejemplo demuestra que el recíproco de la Proposición 2.4 no es siempre cierto, incluso para funciones con derivada continua [27](#page=27). * Estudio de monotonía de $f(x) = x e^{(1-x)}$ [28](#page=28). La derivada es $f'(x) = e^{(1-x)} + x e^{(1-x)}(-1) = e^{(1-x)}(1-x)$ [28](#page=28). La exponencial $e^{(1-x)}$ es siempre positiva. Por lo tanto, el signo de $f'(x)$ depende del signo de $(1-x)$. * Si $1-x > 0 \implies x < 1$, entonces $f'(x) > 0$ y $f$ es estrictamente creciente en $(-\infty, 1)$ [28](#page=28). * Si $1-x < 0 \implies x > 1$, entonces $f'(x) < 0$ y $f$ es estrictamente decreciente en $(1, \infty)$ [28](#page=28). > **Advertencia:** El recíproco de la Proposición 2.4 no es generalmente cierto. Es decir, que una función sea creciente (o decreciente) en un intervalo $I$ no implica necesariamente que $f'(x) > 0$ (o $f'(x) < 0$) en todo $I$. Podría haber puntos donde la derivada sea cero, como en el caso de $f(x)=x^3$. Sin embargo, si una función es creciente en $I$, sí se cumple que $f'(x) \geq 0$ para todo $x \in I$, asumiendo que $f$ es derivable en $I$ [27](#page=27) [29](#page=29). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Term | Definition | |------|------------| | Derivada en un punto | El valor límite de la razón de incremento de la función y el incremento de la variable independiente cuando este último tiende a cero. Representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. | | Función derivable | Una función que posee derivada en todos los puntos de su dominio o en un subconjunto específico de este, lo que implica que su gráfica es continua y no presenta aristas. | | Recta tangente | La recta que toca a una curva en un punto dado, compartiendo la misma dirección que la curva en ese punto. Su pendiente es igual a la derivada de la función en ese punto. | | Continuidad | Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe, es igual al valor de la función en ese punto, y está definida en ese punto. | | Derivadas laterales | Las derivadas calculadas considerando los límites por la derecha y por la izquierda. Si ambas existen y son iguales, la derivada en el punto existe. | | Regla de la cadena | Un teorema que permite calcular la derivada de una función compuesta. Establece que la derivada de una composición de funciones es el producto de las derivadas de las funciones externas e internas evaluadas apropiadamente. | | Regla de L'Hôpital | Un método para calcular límites de cocientes de funciones que resultan en indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Consiste en calcular el límite del cociente de las derivadas de las funciones. | | Método de Newton | Un algoritmo iterativo para encontrar aproximaciones de las raíces de una función, utilizando la tangente a la gráfica de la función en cada iteración. La fórmula de iteración es $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$. | | Punto fijo | Un valor $x$ en el dominio de una función $g$ tal que $g(x) = x$. Gráficamente, son las intersecciones de la gráfica de la función con la recta $y=x$. | | Método de punto fijo | Un método iterativo para aproximar puntos fijos de una función. La sucesión se genera mediante la fórmula $x_{n+1} = g(x_n)$, donde se espera que la sucesión converja al punto fijo. | | Teorema de Rolle | Establece que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b), y toma el mismo valor en los extremos ($f(a)=f(b)$), entonces existe al menos un punto $c$ en (a, b) tal que $f'(c) = 0$. | | Teorema del valor medio | Generaliza el Teorema de Rolle. Si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al menos un punto $c$ en (a, b) tal que $f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)$. | | Función monótona | Una función que es consistentemente creciente o decreciente en un intervalo dado. Si su derivada es positiva o negativa en un intervalo, la función es estrictamente monótona en ese intervalo. | | Derivada | El resultado de aplicar el proceso de diferenciación a una función, que representa la tasa de cambio instantánea de la función. | | Continuidad en un punto | Una función $f$ es continua en un punto $a$ si el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ existe, es igual a $f(a)$, y $f(a)$ está definido. | | Cociente incremental | La expresión $(f(x) - f(a))/(x - a)$, que representa la pendiente de la recta secante que une dos puntos de la gráfica de una función. | | Función escalón unitario (Heaviside) | Una función definida como 1 para valores positivos de la variable y 0 para valores no positivos. Es discontinua en 0. | | Regla de suma para derivadas | La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas: $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$. | | Regla del producto para derivadas | La derivada del producto de dos funciones es $(f \cdot g)'(a) = f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)$. | | Regla del cociente para derivadas | La derivada del cociente de dos funciones es $(f/g)'(a) = (f'(a) \cdot g(a) - f(a) \cdot g'(a)) / [g(a)]^2$, siempre que $g(a) \neq 0$. | | Indeterminación | Una forma que resulta al evaluar un límite, como $0/0$ o $\infty/\infty$, que no permite determinar el valor del límite directamente y requiere métodos adicionales como la Regla de L'Hôpital. | | Error absoluto | La diferencia entre el valor verdadero de una cantidad y su valor aproximado, tomada en valor absoluto $|x_n - \tilde{x}|$. | | Error relativo | El error absoluto dividido por el valor verdadero, tomado en valor absoluto $|x_n - \tilde{x}| / |\tilde{x}|$. | | Función creciente | Una función $f$ es creciente en un intervalo $I$ si para cualquier par de puntos $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple que $f(a) \leq f(b)$. | | Función estrictamente creciente | Una función $f$ es estrictamente creciente en un intervalo $I$ si para cualquier par de puntos $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple que $f(a) < f(b)$. |

# Derivadas sucesivas y polinomio de Taylor Este tema explora cómo las derivadas de orden superior proporcionan información sobre el comportamiento local y global de una función, permitiendo su aproximación mediante polinomios de Taylor [1](#page=1). ### 1.1 Derivadas sucesivas Las derivadas sucesivas de una función son el resultado de aplicar el proceso de derivación de forma reiterada. Si una función $f$ es derivable en un conjunto $D$, su derivada primera, $f'$, puede ser a su vez derivable en un subconjunto $C \subseteq D$, dando lugar a la derivada segunda, $f''$. Este proceso puede continuar indefinidamente, generando la derivada tercera $f'''$, la cuarta $f^{ }$, y así sucesivamente. Todas estas derivadas reciben el nombre de derivadas sucesivas o de orden superior [2](#page=2) [4](#page=4). #### 1.1.1 Notación para derivadas sucesivas Además de la notación con apóstrofes ($f', f'', f'''$), las derivadas de orden superior se pueden denotar utilizando números romanos para órdenes bajos (por ejemplo, $f^{(iv)}$ para la cuarta derivada) o, más comúnmente, utilizando un superíndice entre paréntesis para indicar el orden de la derivada ($f^{(n)}(x)$ para la $n$-ésima derivada) [2](#page=2). #### 1.1.2 Ejemplos de cálculo de derivadas sucesivas **Ejemplo 3.1:** Calculando las derivadas sucesivas de $f(x) = 3x^3$: * $f'(x) = 9x^2$ * $f''(x) = 18x$ * $f'''(x) = 18$ * $f^{ }(x) = 0$ [4](#page=4). * $f^{ }(x) = 0$ [5](#page=5). Para cualquier $n \geq 4$, $f^{(n)}(x) = 0$ [3](#page=3). **Ejemplo 3.2:** Calculando las derivadas primera a tercera de $f(x) = xe^{x^2}$: * $f'(x) = e^{x^2} + 2x^2e^{x^2}$ * $f''(x) = 2xe^{x^2} + 4xe^{x^2} + 4x^3e^{x^2} = 6xe^{x^2} + 4x^3e^{x^2}$ * $f'''(x) = 6e^{x^2} + 12x^2e^{x^2} + 12x^2e^{x^2} + 8x^4e^{x^2} = 6e^{x^2} + 24x^2e^{x^2} + 8x^4e^{x^2}$ [3](#page=3). **Ejemplo 3.3:** Calculando las derivadas sucesivas de $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ x^3 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ con $x > 0$ en la definición original. La función es continua en $x=0$. Para $x \neq 0$, $f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 0 \\ 3x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$. Se verifica que $f' = 0$. Así, $f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ 3x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$ [3](#page=3) [4](#page=4). Para la derivada segunda, para $x \neq 0$, $f''(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x < 0 \\ 6x & \text{si } x > 0 \end{cases}$. Las derivadas laterales de $f'$ en $x=0$ no coinciden ($f''(0^-) = 2$ y $f''(0^+) = 0$). Por lo tanto, la derivada segunda de $f$ no está definida en $x = 0$ [4](#page=4). > **Tip:** Es importante notar que la existencia de derivadas sucesivas puede estar limitada en ciertos puntos, como se ilustra en el Ejemplo 3.3, donde la segunda derivada no existe en $x=0$ debido a un cambio abrupto en la pendiente de la primera derivada. #### 1.1.3 Conjuntos de funciones Los conjuntos de funciones continuas en un intervalo $(a, b)$, denotado por $C(a, b)$, y aquellos con derivadas de orden $k$ continuas, denotados por $C^k(a, b)$, forman espacios vectoriales importantes en matemáticas [4](#page=4). ### 1.2 El Teorema de Taylor El Teorema de Taylor permite aproximar funciones, especialmente aquellas que son difíciles de evaluar directamente (como las funciones trigonométricas o exponenciales), utilizando polinomios. Los polinomios son ventajosos porque su evaluación es computacionalmente sencilla, requiriendo solo sumas y multiplicaciones [5](#page=5). #### 1.2.1 Polinomios centrados en $x_0$ Un polinomio está centrado en $x_0$ si está expresado en potencias de $(x - x_0)$. Cualquier polinomio puede ser reescrito en esta forma sustituyendo $x$ por $(x - x_0) + x_0$ [5](#page=5). **Ejemplo 3.4:** Escribir $p(x) = x^2 + x + 2$ en potencias de $(x-2)$: Sustituyendo $x = (x-2) + 2$: $p(x) = ((x-2)+2)^2 + ((x-2)+2) + 2$ $p(x) = (x-2)^2 + 4(x-2) + 4 + (x-2) + 2 + 2$ $p(x) = (x-2)^2 + 5(x-2) + 8$ [5](#page=5). #### 1.2.2 Relación entre derivadas de un polinomio y su expresión centrada Un polinomio $p(x)$ de orden $n$ puede ser expresado de forma única en potencias de $(x-x_0)$ como: $$p(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{p^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$$ donde $p^{ }(x_0) = p(x_0)$ [6](#page=6). **Ejemplo 3.5:** Si $p$ es un polinomio de orden 3 tal que $p =1$, $p' =0$, $p'' =6$, y $p''' =-6$, su expresión es : $p(x) = p + p' x + \frac{p'' }{2!}x^2 + \frac{p''' }{3!}x^3$ . $p(x) = 1 + x + \frac{6}{2}x^2 + \frac{-6}{6}x^3$ . $p(x) = 1 + 3x^2 - x^3$ [6](#page=6). #### 1.2.3 Definición del polinomio de Taylor Si conocemos los valores de las $n$ primeras derivadas de una función $f$ en un punto $x_0$, podemos construir un polinomio $P_n(x)$ de orden menor o igual que $n$ tal que $P_n^{(i)}(x_0) = f^{(i)}(x_0)$ para $0 \leq i \leq n$. Este polinomio, único, es el polinomio de Taylor de $f$ centrado en $x_0$ de orden $n$: $$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$$ [6](#page=6). El polinomio de Taylor centrado en el origen ($x_0=0$) se conoce a menudo como polinomio de Maclaurin [6](#page=6). **Ejemplo 3.6:** Polinomio de Taylor de $f(x) = e^x$ centrado en el origen de orden 5. Dado que $f^{(n)}(x) = e^x$ para todo $n$, y $f^{(n)} = 1$ para todo $n$ : $P_5(x) = 1 + 1x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120}$ [7](#page=7). El polinomio de Taylor de $e^x$ centrado en el origen de orden $n$ es: $$P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{x^i}{i!}$$ [7](#page=7). **Ejemplo 3.7:** Polinomio de Taylor de $g(x) = \sin x$ centrado en el origen de orden 5. Evaluando las derivadas en $x=0$: $g =0$, $g' =1$, $g'' =0$, $g''' =-1$, $g^{ } =0$, $g^{ } =1$ [4](#page=4) [5](#page=5). $P_5(x) = 0 + 1x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ [7](#page=7). Para $g(x) = \sin x$, las derivadas en $0$ son $0$ si $n$ es par, y $(-1)^k$ si $n=2k+1$. Los polinomios de Taylor de órdenes $2n+1$ y $2n+2$ son: $$P_{2n+1}(x) = P_{2n+2}(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ [7](#page=7). **Ejemplo 3.8:** Polinomio de Taylor de $f(x) = \sin x$ centrado en $\pi/4$ de orden 3. $f(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $f'(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $f''(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $f'''(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $P_3(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{4}(x-\frac{\pi}{4})^2 - \frac{\sqrt{2}}{12}(x-\frac{\pi}{4})^3$ [8](#page=8). #### 1.2.4 Aproximación de polinomios de Taylor mediante manipulación En algunos casos, el polinomio de Taylor de una función compuesta puede obtenerse sustituyendo la variable en el polinomio de Taylor de otra función [8](#page=8). **Ejemplo 3.9:** Polinomio de Taylor de $f(x) = e^{x^2}$ centrado en el origen de orden 7. Sustituyendo $x$ por $x^2$ en el polinomio de Taylor de $e^x$: $e^{x^2} = 1 + (x^2) + \frac{(x^2)^2}{2!} + \frac{(x^2)^3}{3!} + \dots$ $e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6} + \dots$ El polinomio de Taylor de orden 7 es $P_7(x) = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6}$ [8](#page=8). #### 1.2.5 El resto de Lagrange El Teorema de Taylor también proporciona una forma de estimar el error cometido al aproximar una función $f(x)$ por su polinomio de Taylor $P_n(x)$ en un punto $x$. El error, conocido como el resto de Lagrange $R_n(x)$, es: $$R_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$ para algún $c$ entre $x_0$ y $x$ [9](#page=9). **Ejemplo 3.10:** Calcular $\sin(\frac{1}{2})$ con un error absoluto menor que $0.001$. Se utiliza el polinomio de Taylor de $\sin x$ centrado en $0$. Las derivadas superiores de $\sin x$ son $\sin x, \cos x, -\sin x, -\cos x$, cuyos valores absolutos oscilan entre $0$ y $1$. El error es $|R_n(\frac{1}{2})| \leq \frac{1}{(n+1)!}(\frac{1}{2})^{n+1}$ [9](#page=9). Se busca el menor $n$ tal que $|R_n(\frac{1}{2})| < 0.001$. * Para $n=0$, $|R_0(\frac{1}{2})| \leq 0.5$. * Para $n=1$, $|R_1(\frac{1}{2})| \leq 0.125$. * Para $n=2$, $|R_2(\frac{1}{2})| \leq 0.020$. * Para $n=3$, $|R_3(\frac{1}{2})| \leq 0.0026$. * Para $n=4$, $|R_4(\frac{1}{2})| \leq 0.00026$. Por lo tanto, $n=4$ es suficiente. El valor aproximado es $P_4(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{(1/2)^3}{3!} + \frac{(1/2)^5}{5!} = 0.5 - \frac{1/8}{6} + \frac{1/32}{120} = 0.5 - 0.0104166 + 0.0000416 \approx 0.489625$. (El documento muestra $p_4(1/2) = 0.5 - 0.020833 = 0.479166$, lo cual parece ser un cálculo intermedio de $p_3(1/2)$ sin el término de $x^5$, y la aproximación final en el texto podría tener un error tipográfico o ser un cálculo diferente). La aproximación con $P_4(x)$ centrada en el origen de orden 4 es $\frac{1}{2} - \frac{(1/2)^3}{3!} + \frac{(1/2)^5}{5!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{48} + \frac{1}{3840} \approx 0.5 - 0.020833 + 0.00026 = 0.479427$ [10](#page=10) [9](#page=9). #### 1.2.6 Propiedad del polinomio de Taylor para polinomios Si $f(x)$ es un polinomio, su polinomio de Taylor centrado en $x_0$ de orden $n$ coincide con los monomios de $f(x)$ de orden menor o igual que $n$, siempre que esté centrado en el origen. Por ejemplo, el polinomio de Taylor de $f(x) = x^5 + 3x^4 - x^2 + 1$ de orden 3 centrado en el origen es $P_3(x) = -x^2 + 1$ [10](#page=10). --- # Aplicaciones a series y sucesiones de funciones Claro, aquí tienes el resumen detallado sobre "Aplicaciones a series y sucesiones de funciones", estructurado según tus indicaciones y listo para un examen. ## 2. Aplicaciones a series y sucesiones de funciones Esta sección explora cómo la derivación se comporta al tomar el límite de sucesiones y series funcionales, así como la derivación de series de potencias [11](#page=11). ### 2.1 Derivación de sucesiones de funciones La convergencia uniforme de una sucesión de funciones preserva la continuidad de sus elementos en la función límite. Para la derivabilidad, se establece una proposición que relaciona la convergencia uniforme de las derivadas con la derivabilidad de la función límite [11](#page=11). #### 2.1.1 Proposición sobre convergencia uniforme y derivabilidad Dada una sucesión de funciones $\{f_n\}$ definidas en un intervalo acotado $(a, b)$, se deben cumplir las siguientes condiciones para asegurar la derivabilidad de la función límite $f$: 1. Las funciones $f_n$ son derivables en $(a, b)$ [12](#page=12). 2. La sucesión de derivadas $\{f'_n\}$ converge uniformemente en $(a, b)$ [12](#page=12). 3. Existe algún $x_0 \in (a, b)$ tal que la sucesión numérica $\{f_n(x_0)\}$ es convergente [12](#page=12). Si estas condiciones se cumplen, entonces $\{f_n\}$ converge uniformemente a una función límite $f$ en $(a, b)$, la cual es derivable en $(a, b)$ y satisface: $$f'(x) = \lim_{n\to\infty} f'_n(x), \quad \forall x \in (a, b)$$ [12](#page=12). > **Tip:** Es crucial notar que la convergencia uniforme de $\{f'_n\}$ es una condición *suficiente* para la derivabilidad de la función límite, pero no es una condición *necesaria* [12](#page=12). #### 2.1.2 Ejemplo de convergencia uniforme y derivabilidad Consideremos la sucesión de funciones $f_n(x) = \frac{1}{1 + n^2x^2}$ para $x \in (-1,1)$ [12](#page=12). La convergencia puntual a $f(x) = 0$ se verifica calculando $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$ [12](#page=12). Para la convergencia uniforme, se analiza el supremo de $|f_n(x) - f(x)|$ en $(-1,1)$, que resulta ser $\frac{1}{2n}$ para $n \ge 1$. Dado que $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} = 0$, la sucesión converge uniformemente a $f(x) = 0$ en $(-1,1)$ [13](#page=13). Sin embargo, al derivar $f_n(x)$, se obtiene $f'_n(x) = \frac{-2n^2x}{(1+n^2x^2)^2}$ [13](#page=13). El límite de estas derivadas es: $$ \lim_{n\to\infty} f'_n(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x = 0 \\ 0, & \text{si } x \ne 0 \end{cases} $$ [13](#page=13). Observamos que $f'(x)$ (la derivada de la función límite $f(x)=0$) es $0$ para todo $x$. Por lo tanto, $f'(x) \ne \lim_{n\to\infty} f'_n(x)$ cuando $x \ne 0$. Esto confirma que la sucesión de derivadas $\{f'_n\}$ no converge uniformemente en $(-1,1)$ [13](#page=13). #### 2.1.3 Derivación de series de funciones La propiedad de transmisión de la derivabilidad mediante convergencia uniforme se extiende a las series de funciones. Si $\sum_{n=1}^\infty f_n$ es una serie de funciones derivables en $(a, b)$, con derivadas finitas, y si para un $x_0 \in (a, b)$ la serie numérica $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)$ converge, y la serie de las derivadas $\sum_{n=1}^\infty f'_n$ converge uniformemente en $(a, b)$, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converge uniformemente a una función derivable $F$ en $(a, b)$, cumpliéndose: $$F'(x) = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x), \quad \forall x \in (a, b)$$ [13](#page=13). ### 2.2 Derivación de series de potencias En el caso particular de las series de potencias, el intercambio entre derivación y el paso al límite está garantizado si la serie es convergente. #### 2.2.1 Proposición sobre derivación de series de potencias Si una función $f(x)$ se representa por una serie de potencias $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ para todo $x \in (-c, c)$, entonces $f$ es derivable en $(-c, c)$ y su derivada es $f'(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (n x^{n-1})$ para todo $x \in (-c, c)$ [14](#page=14). #### 2.2.2 Teorema de derivación término a término para series de potencias Aplicando reiteradamente el resultado anterior, se obtiene que una serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ define una función infinitamente derivable en su intervalo de convergencia. Las derivadas de esta función pueden obtenerse derivando término a término: $$ \frac{d^p}{dx^p} \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{d^p}{dx^p} (a_n x^n) = \sum_{n=p}^\infty a_n n(n-1)\cdots(n-p+1) x^{n-p} $$ [14](#page=14). #### 2.2.3 Ejemplo de derivación de series de potencias Para calcular la derivada de la serie de potencias $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ (que converge en $\mathbb{R}$), se deriva término a término: $$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \right) $$ $$ = 1 - \frac{3x^2}{3!} + \frac{5x^4}{5!} - \frac{7x^6}{7!} + \dots $$ $$ = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $$ [14](#page=14). Esta serie resultante corresponde a la función $\cos(x)$ [14](#page=14). ### 2.3 Funciones analíticas Una familia especialmente importante de series de potencias son las series de Taylor, definidas como: $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $$ donde $f$ es una función con derivadas de todos los órdenes en $x_0$. Estas series representan a $f$ si, en un intervalo que contiene a $x_0$, se cumple [15](#page=15): $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $$ [16](#page=16). Las funciones que poseen esta propiedad se denominan funciones analíticas. Las funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones analíticas [16](#page=16). #### 2.3.1 Serie de Taylor de $e^{2x}$ Para calcular la serie de Taylor de $f(x) = e^{2x}$ en $x_0 = 0$, se determina que $f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$, por lo que $f^{(n)} = 2^n$ [15](#page=15). La serie de Taylor es: $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!} x^n $$ [15](#page=15). Utilizando el criterio del cociente para el radio de convergencia: $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{2^{n+1}x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n x^n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{2x}{n+1}\right| = 0 $$ [15](#page=15). Como el límite es $0$ para todo $x$, el radio de convergencia es infinito [15](#page=15). #### 2.3.2 Serie de Taylor de $\cos x$ Para $f(x) = \cos x$ en $x_0 = 0$, las derivadas de orden impar en $0$ son nulas, y las de orden par valen alternativamente $-1$ y $1$ [15](#page=15). La serie de Taylor correspondiente es: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots $$ [15](#page=15). #### 2.3.3 Relación entre series de potencias y series de Taylor En su intervalo de convergencia, una serie de potencias define una función analítica y es la serie de Taylor de dicha suma. Para demostrar esto, se puede derivar la serie de potencias $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + \dots$ término a término. Al hacerlo, se comprueba que $f^{(n)} = n!a_n$, lo que implica $a_n = \frac{f^{(n)} }{n!}$, confirmando que la serie de potencias es la serie de Taylor de su suma [16](#page=16). #### 2.3.4 Ejemplo de desarrollo en serie de potencias Para desarrollar $x^2 \cos(x^3)$ en serie de potencias de $x$: Se parte de la serie de $\cos x$: $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots $$ [16](#page=16). Sustituyendo $x$ por $x^3$: $$ \cos(x^3) = 1 - \frac{(x^3)^2}{2!} + \frac{(x^3)^4}{4!} - \frac{(x^3)^6}{6!} + \dots = 1 - \frac{x^6}{2!} + \frac{x^{12}}{4!} - \frac{x^{18}}{6!} + \dots $$ [16](#page=16). Finalmente, multiplicando por $x^2$: $$ x^2 \cos(x^3) = x^2 \left(1 - \frac{x^6}{2!} + \frac{x^{12}}{4!} - \frac{x^{18}}{6!} + \dots \right) = x^2 - \frac{x^8}{2!} + \frac{x^{14}}{4!} - \frac{x^{20}}{6!} + \dots $$ [16](#page=16). Este desarrollo es válido para todo $x$ [16](#page=16). --- # Interpolación polinómica La interpolación polinómica es un método para encontrar un polinomio que pase exactamente por un conjunto dado de puntos, útil cuando la función subyacente es desconocida o se desea una representación más simple [18](#page=18). ### 3.1 Motivación para la interpolación polinómica En diversas situaciones, se dispone de datos experimentales o mediciones en puntos discretos, pero no se conoce la función analítica que los describe. Por ejemplo, se pueden tener registros de temperatura en distintos momentos o concentraciones de sustancias en instantes específicos. Para poder realizar operaciones como derivación, integración o evaluar la función en otros puntos, es necesario construir una representación funcional. Si bien una poligonal que une los puntos puede ser una aproximación, se busca una curva suave, fácil de construir y evaluar, lo que lleva al uso de polinomios [18](#page=18). ### 3.2 El problema de la interpolación polinómica Dado un conjunto de $n+1$ puntos $(x_k, f_k)$, para $k = 0, 1, \dots, n$, donde $x_k$ son los nodos y $f_k$ son los valores de una función desconocida $f(x)$ en esos nodos, el objetivo es encontrar un polinomio $P_n(x)$ de grado a lo sumo $n$ tal que $P_n(x_k) = f_k$ para todo $k$ [18](#page=18). Este polinomio, llamado polinomio de interpolación o interpolador, se expresa generalmente como: $$ P_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n $$ Las condiciones de interpolación se traducen en un sistema de $n+1$ ecuaciones lineales con $n+1$ incógnitas (los coeficientes $a_i$) [19](#page=19): $$ \begin{aligned} a_0 + a_1x_0 + a_2x_0^2 + \dots + a_nx_0^n &= f_0 \\ a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2 + \dots + a_nx_1^n &= f_1 \\ &\vdots \\ a_0 + a_1x_n + a_2x_n^2 + \dots + a_nx_n^n &= f_n \end{aligned} $$ Este sistema se puede resolver utilizando métodos de álgebra lineal. Es importante destacar que el polinomio de interpolación es único para un conjunto dado de nodos distintos [19](#page=19). > **Tip:** Antes de aplicar un método de interpolación, es recomendable graficar los datos para anticipar el comportamiento del polinomio. También es crucial verificar el resultado obtenido, ya que los cálculos de interpolación involucran diversas operaciones y son propensos a errores [18](#page=18). #### 3.2.1 Métodos de interpolación Si bien resolver el sistema lineal es una opción, puede ser computacionalmente costoso para una gran cantidad de datos. Por ello, se estudian métodos alternativos para construir el polinomio de interpolación de manera más eficiente [19](#page=19). ##### 3.2.1.1 Método de diferencias divididas de Newton Este es uno de los métodos más populares y ventajosos. Se basa en la construcción recursiva de diferencias divididas [19](#page=19). **Definición de diferencias divididas:** * **Orden 0:** $$ f[x_k = f_k $$ * **Orden 1:** $$ f[x_k, x_{k+1}] = \frac{f[x_{k+1}] - f[x_k]}{x_{k+1} - x_k} = \frac{f_{k+1} - f_k}{x_{k+1} - x_k} $$ * **Orden $m$ (recursiva):** $$ f[x_k, x_{k+1}, \dots, x_{k+m}] = \frac{f[x_{k+1}, \dots, x_{k+m}] - f[x_k, \dots, x_{k+m-1}]}{x_{k+m} - x_k} $$ Geométricamente, las diferencias divididas de orden $m$ son una aproximación de la $m$-ésima derivada de la función $f(x)$ [21](#page=21). La forma más eficiente de calcular estas diferencias es mediante una **tabla de diferencias divididas**: | $x_k$ | $f[x_k]$ (Orden 0) | $f[x_k, x_{k+1}]$ (Orden 1) | $f[x_k, \dots, x_{k+2}]$ (Orden 2) | $f[x_k, \dots, x_{k+3}]$ (Orden 3) | | :---: | :----------------: | :-------------------------: | :--------------------------------: | :---------------------------------: | | $x_0$ | $f_0$ | | | | | | | $f[x_0, x_1]$ | | | | $x_1$ | $f_1$ | | $f[x_0, x_1, x_2]$ | | | | | $f[x_1, x_2]$ | | $f[x_0, x_1, x_2, x_3]$ | | $x_2$ | $f_2$ | | $f[x_1, x_2, x_3]$ | | | | | $f[x_2, x_3]$ | | | | $x_3$ | $f_3$ | | | | El polinomio de interpolación de Newton se construye utilizando las diferencias divididas de la diagonal superior de la tabla: $$ P_n(x) = f[x_0 + f[x_0, x_1](x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x-x_0)(x-x_1) + \dots + f[x_0, x_1, \dots, x_n](x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{n-1}) $$ > **Tip:** Una ventaja significativa del método de Newton es que, al añadir un nuevo punto $(x_{n+1}, f_{n+1})$, el polinomio de interpolación de grado $n+1$ se obtiene a partir del polinomio de grado $n$ ($P_{n+1}(x) = P_n(x) + f[x_0, \dots, x_{n+1}](x-x_0)\dots(x-x_n)$) sin tener que recalcular todo desde cero [22](#page=22). ##### 3.2.1.2 Ejemplo de cálculo de diferencias divididas y polinomio de Newton Consideremos los siguientes datos de temperatura en grados centígrados: | $k$ | $x_k$ (hora) | $f_k$ (Temperatura) | | :--: | :-----------: | :------------------: | | 0 | 0 | 15 | | 1 | 1 | 18 | | 2 | 2 | 20 | | 3 | 4 | 23 | Construcción de la tabla de diferencias divididas: | $x_k$ | $f[x_k]$ | $f[x_k, x_{k+1}]$ | $f[x_k, \dots, x_{k+2}]$ | $f[x_k, \dots, x_{k+3}]$ | | :---: | :-------: | :---------------: | :--------------------: | :--------------------: | | 0 | 15 | | | | | | | $\frac{18-15}{1-0} = 3$ | | | | 1 | 18 | | $\frac{2-3}{2-0} = -\frac{1}{2}$ | | | | | $\frac{20-18}{2-1} = 2$ | | $\frac{3/2 - 2}{4-0} = -\frac{1}{8}$ | | 2 | 20 | | $\frac{3-2}{4-1} = \frac{1}{3}$ | | | | | $\frac{23-20}{4-2} = \frac{3}{2}$ | | | | 4 | 23 | | | | El polinomio de interpolación de grado 3 es: $$ P_3(x) = f[x_0 + f[x_0, x_1](x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x-x_0)(x-x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) $$ Sustituyendo los valores de la tabla: $$ P_3(x) = 15 + 3(x-0) + (-\frac{1}{2})(x-0)(x-1) + (-\frac{1}{8})(x-0)(x-1)(x-2) $$ $$ P_3(x) = 15 + 3x - \frac{1}{2}x(x-1) - \frac{1}{8}x(x-1)(x-2) $$ Expandiendo y simplificando: $$ P_3(x) = 15 + 3x - \frac{1}{2}(x^2 - x) - \frac{1}{8}(x^3 - 3x^2 + 2x) $$ $$ P_3(x) = 15 + 3x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^3 + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{4}x $$ Agrupando términos: $$ P_3(x) = -\frac{1}{8}x^3 + (-\frac{1}{2} + \frac{3}{8})x^2 + (3 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4})x + 15 $$ $$ P_3(x) = -\frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + \frac{13}{4}x + 15 $$ Este es el polinomio que interpola los cuatro puntos dados [22](#page=22). --- # Optimización: Extremos relativos y absolutos Este tema se centra en los conceptos de extremos relativos y absolutos de una función, puntos críticos y las condiciones para su cálculo, aplicados al campo de la optimización [23](#page=23). ### 4.1 Introducción y motivación La optimización es una rama de las matemáticas dedicada a la toma de decisiones para minimizar costos y maximizar beneficios. Es fundamental para el desarrollo académico y profesional, y se abordará nuevamente al estudiar funciones de varias variables. Este tema proporcionará una base sólida en conceptos como extremos relativos y absolutos para funciones de una variable, puntos críticos y las condiciones suficientes para calcular extremos de funciones derivables [23](#page=23). ### 4.2 Extremos absolutos Los extremos absolutos de una función continua definida sobre un intervalo cerrado corresponden a sus valores máximo y mínimo en dicho intervalo [23](#page=23). #### 4.2.1 Definiciones * **Mínimo absoluto:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ tiene un mínimo absoluto en $c$ si $f(c) \leq f(x)$ para todo $x \in D$ [24](#page=24). * **Máximo absoluto:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ tiene un máximo absoluto en $c$ si $f(c) \geq f(x)$ para todo $x \in D$ [24](#page=24). * **Extremo absoluto:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ tiene un extremo absoluto en $c$ si alcanza un máximo o un mínimo absoluto en $c$ [24](#page=24). #### 4.2.2 Puntos críticos Un punto $c \in (a, b)$ es un punto crítico de una función continua $f: [a, b \to \mathbb{R}$ si $f'(c) = 0$ o si $f$ no es derivable en $c$ [24](#page=24). #### 4.2.3 Proposición de localización de extremos absolutos Los extremos absolutos de una función continua $f: [a, b \to \mathbb{R}$ se alcanzan en los extremos del intervalo o en los puntos críticos de $f$. La continuidad de la función es una hipótesis crucial para esta proposición [24](#page=24). > **Tip:** Es común confundir el punto donde se alcanza un extremo con el valor del extremo mismo. Por ejemplo, si $f = -3$ es el mínimo y $f = 10$ es el máximo, el mínimo se alcanza en $x=1$ y el máximo en $x=2$, no al revés [1](#page=1) [25](#page=25) [2](#page=2). #### 4.2.4 Ejemplos de cálculo de extremos absolutos **Ejemplo 3.19:** Estudiar los extremos absolutos de $f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 6x + 2$ en el intervalo $ $ [24](#page=24) [2](#page=2). 1. **Continuidad:** $f(x)$ es continua por ser un polinomio. 2. **Puntos críticos:** Se calcula la derivada: $f'(x) = 12x^2 - 6x - 6$. Se iguala a cero: $12x^2 - 6x - 6 = 0 \implies 2x^2 - x - 1 = 0$. Las soluciones son $x = 1$ y $x = -1/2$. El punto $x = -1/2$ no pertenece al intervalo $(0, 2)$, por lo que solo se considera $x=1$ [24](#page=24). 3. **Evaluación:** Se comparan los valores de la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos: * $f = 2$ . * $f = 4 ^3 - 3 ^2 - 6 + 2 = -3$ [1](#page=1). * $f = 4 ^3 - 3 ^2 - 6 + 2 = 32 - 12 - 12 + 2 = 10$ [2](#page=2). 4. **Conclusión:** El valor mínimo absoluto es $-3$, alcanzado en $x=1$. El valor máximo absoluto es $10$, alcanzado en $x=2$ [25](#page=25). **Ejemplo 3.20:** Estudiar los extremos absolutos de $f(x) = |\sin x|$ en $[0, 2\pi]$ [25](#page=25). 1. **Definición por partes:** $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \in [0, \pi \\ -\sin x, & x \in (\pi, 2\pi \end{cases}$ 2. **Puntos críticos:** La derivada es: $f'(x) = \begin{cases} \cos x, & x \in [0, \pi) \\ -\cos x, & x \in (\pi, 2\pi \end{cases}$ Los puntos críticos son $x = \pi/2$ (donde $f$ no es derivable) y $x = \pi/2, x = 3\pi/2$ (donde la derivada se anula) [25](#page=25). 3. **Evaluación:** Se comparan los valores en $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$: * $f = |\sin 0| = 0$ . * $f(\pi/2) = |\sin(\pi/2)| = 1$ * $f(\pi) = |\sin \pi| = 0$ * $f(3\pi/2) = |\sin(3\pi/2)| = |-1| = 1$ * $f(2\pi) = |\sin(2\pi)| = 0$ 4. **Conclusión:** El valor máximo absoluto es $1$, alcanzado en $x = \pi/2$ y $x = 3\pi/2$. El valor mínimo absoluto es $0$, alcanzado en $x = 0$, $x = \pi$, y $x = 2\pi$ [26](#page=26). #### 4.2.5 Extremos absolutos en intervalos no cerrados Para intervalos abiertos o infinitos, no se pueden evaluar los extremos del intervalo directamente. En su lugar, se consideran los límites de la función cuando la variable tiende a los extremos del intervalo. Sin embargo, no se puede garantizar a priori que la función alcance sus valores máximos y mínimos [26](#page=26). **Ejemplo 3.21:** Estudiar los extremos absolutos de $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ en $(0, \infty)$ [26](#page=26). 1. **Derivada:** $f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ [26](#page=26). 2. **Punto crítico:** La derivada se anula cuando $1-x^2 = 0$, lo que da $x=1$ (ya que estamos en $(0, \infty)$) [27](#page=27). 3. **Límites:** Se calculan los límites en los extremos del intervalo: * $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x^2+1} = 0$ [27](#page=27). * $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2+1} = 0$ (usando L'Hôpital o dividiendo por $x^2$) [27](#page=27). 4. **Evaluación:** $f = \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2}$ [1](#page=1) [27](#page=27). 5. **Conclusión:** La función alcanza un máximo absoluto de $1/2$ en $x=1$. No existe un punto donde se alcance el mínimo absoluto, ya que los valores se acercan a $0$ pero nunca lo alcanzan en el intervalo abierto [27](#page=27). ### 4.3 Extremos relativos Los extremos relativos (o locales) son puntos donde la función alcanza un valor máximo o mínimo en un intervalo cercano. Son útiles para identificar oportunidades de beneficio al comprar bajo y vender alto [28](#page=28). #### 4.3.1 Definiciones * **Mínimo relativo:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ alcanza un mínimo relativo en $c$ si existe un intervalo $I \subseteq D$ tal que $f(c) \leq f(x)$ para todo $x \in I$ [28](#page=28). * **Máximo relativo:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ alcanza un máximo relativo en $c$ si existe un intervalo $I \subseteq D$ tal que $f(c) \geq f(x)$ para todo $x \in I$ [28](#page=28). * **Extremo relativo:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ alcanza un extremo relativo en $c$ si alcanza un mínimo o máximo relativo en $c$ [28](#page=28). #### 4.3.2 Proposiciones para identificar extremos relativos * Si una función $f$ es decreciente en $(c-\epsilon, c)$ y creciente en $(c, c+\epsilon)$, entonces $f$ alcanza un mínimo relativo en $c$ [29](#page=29). * Si una función $f$ es creciente en $(c-\epsilon, c)$ y decreciente en $(c, c+\epsilon)$, entonces $f$ alcanza un máximo relativo en $c$ [29](#page=29). > **Tip:** La continuidad es esencial para estas proposiciones [29](#page=29). #### 4.3.3 Localización de extremos relativos * Los extremos relativos de una función continua $f: [a, b \to \mathbb{R}$ se alcanzan en los extremos del intervalo o en los puntos críticos [29](#page=29). * Los extremos relativos de una función continua $f: (a,b) \to \mathbb{R}$ se alcanzan, si existen, en los puntos críticos [29](#page=29). #### 4.3.4 Puntos de silla Un punto $c$ es un punto de silla para $f$ si es un punto crítico de $f$ pero $f$ no alcanza un extremo relativo en $c$ [29](#page=29). #### 4.3.5 Criterios de clasificación de extremos relativos **Proposición 3.7 (Criterio de la Segunda Derivada):** Sea $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ dos veces derivable y $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$ [29](#page=29). * Si $f''(c) > 0$, entonces $f$ alcanza un mínimo relativo en $c$ [29](#page=29). * Si $f''(c) < 0$, entonces $f$ alcanza un máximo relativo en $c$ [29](#page=29). **Proposición 3.8 (Criterio de las Derivadas Superiores):** Si el orden de la primera derivada que no se anula en un punto crítico $c$ es par, entonces $f$ alcanza un máximo si la derivada es negativa y un mínimo si es positiva. Si el orden es impar, entonces $f$ tiene un punto de silla en $c$ [30](#page=30). **Ejemplo 3.24:** Estudiar los extremos relativos de $f(x) = x^4 - 2x^3$ [30](#page=30). 1. **Puntos críticos:** $f'(x) = 4x^3 - 6x^2$. Igualando a cero: $x^2(4x - 6) = 0 \implies x = 0, x = 3/2$ [30](#page=30). 2. **Segunda derivada:** $f''(x) = 12x^2 - 12x$. * $f'' = 0$. No se puede usar el criterio de la segunda derivada . * $f''(3/2) = 12(3/2)^2 - 12(3/2) = 12(9/4) - 18 = 27 - 18 = 9 > 0$. Por lo tanto, $f$ tiene un mínimo relativo en $x=3/2$ [30](#page=30). 3. **Análisis de $x=0$:** Se calculan derivadas superiores: * $f'''(x) = 24x - 12 \implies f''' = -12 \neq 0$ . Dado que la primera derivada no nula ($f'''$) es de orden impar, $x=0$ es un punto de silla [30](#page=30). #### 4.3.6 Ejemplos de optimización **Ejemplo 3.25:** Construir un recinto rectangular cerrado con 100 metros de tela metálica para maximizar el área [30](#page=30). * Sea $x$ la longitud de un lado. El otro lado mide $\frac{100-2x}{2} = 50-x$ [31](#page=31). * El área es $A(x) = x(50-x) = 50x - x^2$, con $x \in $ [31](#page=31) . * Derivada: $A'(x) = 50 - 2x$. El punto crítico es $x=25$ [31](#page=31). * Segunda derivada: $A''(x) = -2 < 0$. Por lo tanto, hay un máximo relativo en $x=25$. * Evaluación en los extremos: $A = 0$, $A = 0$ . * **Conclusión:** El máximo absoluto es $A = 25(50-25) = 625$. El recinto debe ser un cuadrado de $25$ metros por lado [25](#page=25) [31](#page=31). **Ejemplo 3.26:** Construir a lo sumo dos recintos (uno circular y uno cuadrado) con 100 metros de tela metálica para maximizar el área total [31](#page=31). * Sea $x$ el lado del cuadrado. Se usan $4x$ metros de tela. Quedan $100-4x$ metros para el círculo [31](#page=31). * Radio del círculo: $r = \frac{100-4x}{2\pi} = \frac{50-2x}{\pi}$ [32](#page=32). * Área del círculo: $A_{circulo} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{50-2x}{\pi}\right)^2 = \frac{(50-2x)^2}{\pi}$ [32](#page=32). * Área total: $A(x) = x^2 + \frac{(50-2x)^2}{\pi}$, con $x \in $ [25](#page=25) [32](#page=32). * Derivada: $A'(x) = 2x - \frac{4(50-2x)}{\pi}$. Igualando a cero: $2\pi x - 200 + 8x = 0 \implies (2\pi+8)x = 200 \implies x = \frac{100}{\pi+4}$ [32](#page=32). * Segunda derivada: $A''(x) = 2 + \frac{8}{\pi} > 0$. Esto indica un mínimo relativo en el punto crítico. * Evaluación en los extremos: * $A = 0^2 + \frac{(50-0)^2}{\pi} = \frac{2500}{\pi} \approx 795.77$ [32](#page=32). * $A = 25^2 + \frac{(50-50)^2}{\pi} = 625$ [25](#page=25) [32](#page=32). * **Conclusión:** El máximo absoluto se alcanza en $x=0$, lo que significa que se debe dedicar toda la tela metálica para construir el recinto circular, obteniendo un área máxima de $\frac{2500}{\pi}$ [32](#page=32). --- # Concavidad y convexidad El estudio de la concavidad y convexidad de una función, junto con otros aspectos gráficos como asíntotas, monotonía, extremos y puntos críticos, permite dibujar gráficos aproximados e interpretar las características de las funciones. Este tema se centra en definir la convexidad y concavidad, su interpretación geométrica y las condiciones suficientes para determinarlas a partir de las derivadas de orden superior [33](#page=33). ### 5.1 Definiciones de concavidad y convexidad Una función $f: D \to \mathbb{R}$ es **convexa** en un intervalo $I \subseteq D$ si satisface la siguiente desigualdad para todo $x, y \in I$ y $t \in $ [1](#page=1) [33](#page=33): $$f((1-t)x + ty) \le (1-t)f(x) + tf(y)$$ Geométricamente, esto significa que la gráfica de la función entre dos puntos $x$ e $y$ se encuentra por debajo del segmento de recta que une los puntos $(x, f(x))$ y $(y, f(y))$. Intuitivamente, una función convexa tiene forma de "U" en el intervalo dado [33](#page=33). Una función $f: D \to \mathbb{R}$ es **cóncava** en un intervalo $I \subseteq D$ si $-f$ es convexa en $I$. Gráficamente, la gráfica de la función entre dos puntos se encuentra por encima del segmento de recta que une esos puntos. Intuitivamente, una función cóncava tiene forma de "n" [33](#page=33). > **Tip:** Es importante notar que una función puede no ser cóncava ni convexa en un intervalo particular. #### 5.1.1 Ejemplos de concavidad y convexidad * Las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \ln x$ son ejemplos clásicos. $f(x) = x^2$ es convexa, mientras que $g(x) = \ln x$ es cóncava [33](#page=33). * La función $f(x) = x^3$ no es ni convexa ni cóncava en el intervalo $[-1, 1]$, ya que no satisface la desigualdad en ningún sentido para todos los $t \in $ [1](#page=1) [34](#page=34). ### 5.2 Relación con las derivadas La relación entre la concavidad/convexidad y las derivadas de una función proporciona herramientas prácticas para su análisis. #### 5.2.1 Primera derivada Una función $f$ derivable en un intervalo $I$ es convexa si y solo si su primera derivada, $f'$, es creciente en $I$. De manera análoga, $f$ es cóncava en $I$ si y solo si $f'$ es decreciente en $I$ [34](#page=34). #### 5.2.2 Segunda derivada Utilizando las condiciones de crecimiento y decrecimiento de la primera derivada, podemos establecer condiciones suficientes basadas en la segunda derivada: * Si $f''(x) \ge 0$ en un intervalo $I$, entonces $f$ es convexa en $I$ [34](#page=34). * Si $f''(x) \le 0$ en un intervalo $I$, entonces $f$ es cóncava en $I$ [34](#page=34). > **Tip:** Estas condiciones de la segunda derivada son las más utilizadas para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función. ### 5.3 Puntos de inflexión Los puntos de inflexión son aquellos puntos donde una función cambia su concavidad, pasando de ser cóncava a convexa o viceversa [35](#page=35). #### 5.3.1 Definición y condiciones Un punto $c$ es un punto de inflexión para una función $f$ si existe un $\epsilon > 0$ tal que $f$ es convexa en $(c-\epsilon, c)$ y cóncava en $(c, c+\epsilon)$, o viceversa [35](#page=35). Si una función $f$ es dos veces derivable en $I$ y $c \in I$ es un punto de inflexión, entonces se debe cumplir que $f''(c) = 0$. Sin embargo, $f''(c) = 0$ es una condición necesaria pero no siempre suficiente para que $c$ sea un punto de inflexión [35](#page=35). Una condición más completa para identificar puntos de inflexión, si la función admite derivada segunda: * Si $f''(c) = 0$ y la primera derivada de orden superior a dos que no se anula en $c$ es de orden impar, entonces $f$ tiene un punto de inflexión en $c$. Si esta derivada impar es positiva, la función pasa de cóncava a convexa; si es negativa, pasa de convexa a cóncava [35](#page=35). #### 5.3.2 Ejemplos de puntos de inflexión * **Para $f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 10x + 1$**: * Calculamos las derivadas: $f'(x) = 4x^3 - 3x^2 - 6x + 10$ y $f''(x) = 12x^2 - 6x - 6$ [35](#page=35). * Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar candidatos: $12x^2 - 6x - 6 = 0$, que simplifica a $2x^2 - x - 1 = 0$. Las raíces son $x = -1/2$ y $x = 1$ [35](#page=35). * Analizando los intervalos $(-\infty, -1/2)$, $(-1/2, 1)$ y $(1, \infty)$ con valores de prueba para $f''(x)$, encontramos que $f''(x) > 0$ en $(-\infty, -1/2)$ (convexa), $f''(x) < 0$ en $(-1/2, 1)$ (cóncava), y $f''(x) > 0$ en $(1, \infty)$ (convexa) [35](#page=35). * Los puntos de inflexión son $x = -1/2$ y $x = 1$ [35](#page=35). * **Para $f(x) = \tan x$ en $(-2, 2)$**: * $f'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ y $f''(x) = \frac{2 \sin x}{\cos^3 x}$ [36](#page=36). * Los puntos donde $f''(x) = 0$ son aquellos donde $\sin x = 0$, lo que ocurre en $x = 0$ dentro del intervalo dado [36](#page=36). * Al evaluar la tercera derivada en $x=0$, $f''' = 2$, que es una derivada impar y positiva. Por lo tanto, $x=0$ es un punto de inflexión donde la función pasa de cóncava a convexa [36](#page=36). * **Para $g(x) = -x^5$**: * $g'(x) = -5x^4$, $g''(x) = -20x^3$. El candidato a punto de inflexión es $x=0$ [36](#page=36). * Continuando con las derivadas: $g'''(x) = -60x^2$, $g^{ }(x) = -120x$, $g^{ }(x) = -120$. La primera derivada que no se anula en $x=0$ es $g^{ } = -120$, que es de orden impar y negativa [37](#page=37) [4](#page=4) [5](#page=5). * Esto indica que $x=0$ es un punto de inflexión donde la función $g$ pasa de convexa a cóncava [37](#page=37). ### 5.4 Aplicaciones en la representación gráfica Conocer el dominio, continuidad, asíntotas, intervalos de crecimiento/decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad/convexidad y puntos de inflexión es fundamental para realizar representaciones gráficas aproximadas de funciones [37](#page=37). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Term | Definition | |------|------------| | Derivadas Sucesivas | Son las derivadas de orden superior de una función. Si una función $f$ es derivable en un conjunto $D$, su derivada primera es $f'$. Si $f'$ es derivable en un subconjunto $C \subset D$, su derivada se denota como $f''$ y se llama derivada segunda, y así sucesivamente para órdenes mayores. | | Polinomio de Taylor | Un polinomio que aproxima una función $f$ en un punto $x_0$ utilizando los valores de las derivadas de $f$ en $x_0$. La fórmula general para el polinomio de Taylor de orden $n$ centrado en $x_0$ es $P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} (x-x_0)^i$. | | Polinomio de Mac Laurin | Un caso particular del polinomio de Taylor centrado en el origen, es decir, con $x_0 = 0$. Su fórmula es $P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(0)}{i!} x^i$. | | Resto de Lagrange | El término que representa el error cometido al aproximar una función $f(x)$ por su polinomio de Taylor $P_n(x)$ de orden $n$. Se expresa como $R_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$ para cierto $c$ entre $x_0$ y $x$. | | Convergencia Uniforme | Un tipo de convergencia de sucesiones de funciones donde la diferencia máxima entre las funciones de la sucesión y la función límite es uniformemente pequeña en todo el dominio. Es una condición importante para la transmisión de la derivabilidad. | | Serie de Potencias | Una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$, donde $a_n$ son coeficientes y $x_0$ es el centro de la serie. Estas series definen funciones analíticas en su intervalo de convergencia. | | Funciones Analíticas | Funciones que pueden ser representadas localmente por una serie de potencias convergente. Las funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones analíticas. | | Interpolación Polinómica | El proceso de encontrar un polinomio que pasa exactamente por un conjunto dado de puntos $(x_k, f_k)$. El polinomio resultante se denomina polinomio interpolador. | | Nodos | Los valores $x_k$ de la variable independiente para los cuales se conocen los valores correspondientes de la función $f_k$. | | Diferencias Divididas | Una técnica para calcular coeficientes de polinomios de interpolación. Las diferencias divididas de orden $m$ aproximan la derivada de orden $m$ de la función. | | Punto Crítico | Un punto $c$ en el dominio de una función $f$ donde la derivada $f'(c) = 0$ o donde $f$ no es derivable. Los extremos (máximos y mínimos) de una función continua en un intervalo cerrado ocurren en los extremos del intervalo o en los puntos críticos. | | Extremo Absoluto | El valor máximo o mínimo que una función alcanza en todo su dominio o en un intervalo específico. | | Extremo Relativo (o Local) | Un valor que una función alcanza en un punto si este valor es el máximo o mínimo en un intervalo cercano alrededor de ese punto. | | Punto de Silla | Un punto crítico de una función donde la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo. | | Función Convexa | Una función $f$ en un intervalo $I$ tal que para cualesquiera $x, y \in I$ y $t \in [0,1]$, se cumple $f((1-t)x + ty) \le (1-t)f(x) + tf(y)$. Geométricamente, su gráfica tiene forma de "U". | | Función Cóncava | Una función $f$ en un intervalo $I$ tal que $-f$ es convexa en $I$. Geométricamente, su gráfica tiene forma de "n". | | Punto de Inflexión | Un punto en la gráfica de una función donde la concavidad cambia de convexa a cóncava, o viceversa. |

# El espacio R y sus generalizaciones Este tema introduce el espacio Rn, sus operaciones vectoriales básicas, y conceptos como producto escalar, norma y distancia, además de sistemas de coordenadas alternativos en R2 y R3. ### 1.1 El espacio Rn: Primeras definiciones El conjunto $R^n$ para un número natural $n$ es el producto cartesiano de $n$ copias de los números reales $R \times \dots \times R$. Sus elementos son $n$-uplas de la forma $(x_1, \dots, x_n)$, donde cada $x_i \in R$ para $i = 1, \dots, n$. Se utiliza la notación $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$ para referirse a un elemento de $R^n$ [2](#page=2). #### 1.1.1 Operaciones en Rn En $R^n$, se definen las siguientes operaciones: * **Suma de elementos**: Para $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$ y $\vec{y} = (y_1, \dots, y_n)$, la suma es $\vec{x} + \vec{y} = (x_1+y_1, \dots, x_n+y_n)$ [3](#page=3). * **Producto por escalares**: Para un escalar $\lambda \in R$ y $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$, el producto es $\lambda\vec{x} = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$ [3](#page=3). Con estas operaciones, $R^n$ tiene la estructura de un espacio vectorial. Los elementos de $R^n$ se denominan vectores [3](#page=3). #### 1.1.2 Base canónica y dimensión Los elementos de la base canónica en $R^n$ son $\vec{e}_1 = (1,0, \dots, 0)$, $\vec{e}_2 = (0,1, \dots, 0)$,..., $\vec{e}_n = (0,0, \dots, 1)$. Estos $n$ elementos forman la base canónica y definen la dimensión de $R^n$ como $n$. Cualquier vector $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$ puede expresarse como una combinación lineal de la base canónica [3](#page=3): $$ (x_1, x_2, \dots, x_n) = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + \dots + x_n\vec{e}_n $$ Los coeficientes $x_1, x_2, \dots, x_n$ son las coordenadas cartesianas del vector $\vec{x}$ [3](#page=3). #### 1.1.3 Producto escalar, norma y distancia **Definición 4.1**: El producto escalar de dos vectores $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ y $\vec{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ en $R^n$ se define como: $$ \vec{x} \cdot \vec{y} = (x_1, \dots, x_n) \cdot (y_1, \dots, y_n) = x_1y_1 + \dots + x_ny_n = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$ El resultado es un escalar [3](#page=3). La **norma** de un vector $\vec{x}$ se define a partir del producto escalar: $$ \|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2} $$ La norma representa intuitivamente la "longitud" del vector. Los vectores con norma uno se denominan vectores unitarios [3](#page=3). La **distancia** entre dos vectores (o puntos) $\vec{x}$ e $\vec{y}$ en $R^n$ se define utilizando la norma: $$ d(\vec{x}, \vec{y}) = \|\vec{y} - \vec{x}\| = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + \dots + (y_n - x_n)^2} $$ [3](#page=3). > **Tip:** La norma de un vector es su distancia al origen, y la distancia entre dos vectores es la norma de su diferencia. ##### 1.1.3.1 Ejemplos de operaciones y distancias **Ejemplo 4.1 (En $R^2$)**: Sean los vectores $\vec{x} = (1,2)$ e $\vec{y} = (3,1)$. Suma: $\vec{z} = \vec{x} + \vec{y} = (1+3, 2+1) = (4,3)$ [4](#page=4). Producto por escalar: $\vec{w} = 2\vec{x} = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2,4)$ [4](#page=4). Norma de $\vec{y}$: $\|\vec{y}\| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ [4](#page=4). Distancia entre $\vec{x}$ e $\vec{y}$: $d(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$ [4](#page=4). **Ejemplo 4.2 (En $R^3$)**: Sea el vector $\vec{v} = (1,2,1)$. Norma de $\vec{v}$: $\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ [4](#page=4). Distancia entre $(0,1,3)$ y $(1,2,1)$: $d((0,1,3), (1,2,1)) = \sqrt{(1-0)^2 + (2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$ [5](#page=5). ### 1.2 Conjuntos y puntos destacados en $R^n$ Para extender conceptos de funciones de una variable a varias variables, es fundamental comprender ciertos tipos de conjuntos y puntos en $R^n$. #### 1.2.1 Disco y bola * **Disco abierto en $R^2$**: Un disco abierto de centro $(a, b)$ y radio $r$ es el conjunto $\{(x, y) \in R^2: d((a, b), (x, y)) < r\}$ [5](#page=5). * **Disco cerrado en $R^2$**: Un disco cerrado de centro $(a, b)$ y radio $r$ es el conjunto $\{(x, y) \in R^2: d((a, b), (x, y)) \le r\}$ [5](#page=5). * En $R^3$ o $R^n$ en general, se habla de **bola abierta** (o cerrada) de centro $(x_1, \dots, x_n)$ y radio $r$, con definiciones análogas [6](#page=6). #### 1.2.2 Puntos interiores y frontera * Un punto $(a, b) \in R^2$ es un **punto interior** a un conjunto $C$ si existe un disco abierto de centro $(a, b)$ que está completamente contenido en $C$ [5](#page=5). * Un punto $(a, b)$ es un **punto frontera** de $C$ si cualquier disco abierto de centro $(a, b)$ contiene tanto puntos de $C$ como puntos fuera de $C$ [6](#page=6). * La **frontera** de un conjunto $C$ es el conjunto de todos sus puntos frontera [6](#page=6). #### 1.2.3 Conjuntos abiertos y cerrados * Un conjunto $C \subseteq R^2$ es **abierto** si es vacío o todos sus puntos son interiores. Por ejemplo, $R^2$ es un conjunto abierto [6](#page=6). * Un conjunto $C$ es **cerrado** si contiene a su frontera. Si un conjunto no tiene puntos frontera (como $R^2$), también es cerrado [6](#page=6). #### 1.2.4 Conjuntos acotados Un conjunto es **acotado** si puede ser incluido dentro de un disco (o bola en dimensiones superiores), lo que significa que su extensión es finita [6](#page=6). **Ejemplo 4.3 (Conjunto en $R^2$)**: Consideremos el conjunto $C = \{(x,y) \in R^2 : (x-1)^2+(y+2)^2 < 9\}$. Este conjunto es un disco abierto de radio 3 centrado en $(1, -2)$ [7](#page=7). Su **frontera** es la circunferencia $\{(x,y) \in R^2: (x-1)^2 +(y +2)^2 =9\}$ [7](#page=7). Todos los puntos del conjunto son **interiores**, por lo que el conjunto es **abierto** [7](#page=7). #### 1.2.5 Ortogonalidad de vectores A partir del producto escalar, se puede definir el **ángulo $\alpha$** entre dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$: $$ \cos \alpha = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|} $$ [7](#page=7). Dos vectores son **ortogonales** si y solo si su producto escalar es cero [7](#page=7). ### 1.3 Sistemas de coordenadas alternativos #### 1.3.1 Coordenadas polares en $R^2$ En $R^2 \setminus \{(0,0)\}$, cualquier punto $(x, y)$ puede definirse de forma única mediante un radio $p > 0$ y un ángulo $\theta \in [0, 2\pi)$ [8](#page=8). * $p$ es la distancia del punto al origen, $p = \sqrt{x^2+y^2} = \|(x,y)\|$ [8](#page=8). * $\theta$ es el ángulo formado por el vector $(x, y)$ y el eje $x$ positivo, medido en sentido antihorario [8](#page=8). Las ecuaciones de transformación son: * **Cartesianas a polares**: $x = p \cos \theta$ $y = p \sin \theta$ $p = \sqrt{x^2+y^2}$ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ (con atención a los signos de $x$ e $y$ para determinar el cuadrante) [8](#page=8). * **Polares a cartesianas**: $x = p \cos \theta$ $y = p \sin \theta$ [8](#page=8). **Ejemplo 4.4**: Coordenadas polares de $(2, 2\sqrt{3})$ [9](#page=9). $p = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12} = 4$. $\tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Como $x>0, y>0$, $\theta = \frac{\pi}{3}$. Coordenadas polares: $(4, \frac{\pi}{3})$. **Ejemplo 4.5**: Coordenadas cartesianas de $(2, \frac{\pi}{4})$ [9](#page=9). $x = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. $y = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Coordenadas cartesianas: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. #### 1.3.2 Coordenadas cilíndricas en $R^3$ Son una generalización de las polares a $R^3 \setminus \{(0,0,0)\}$. Se representan $(x, y)$ en polares y se mantiene la coordenada $z$. La terna es $(p, \theta, z)$ [9](#page=9). * **Cartesianas a cilíndricas**: $x = p \cos \theta$ $y = p \sin \theta$ $z = z$ $p = \sqrt{x^2+y^2}$ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ [9](#page=9). * **Cilíndricas a cartesianas**: $x = p \cos \theta$ $y = p \sin \theta$ $z = z$ [9](#page=9). **Ejemplo 4.6**: Coordenadas cartesianas de $(2, \frac{\pi}{3}, -1)$ en cilíndricas [9](#page=9). $x = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. $y = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. $z = -1$. Coordenadas cartesianas: $(1, \sqrt{3}, -1)$. #### 1.3.3 Coordenadas esféricas en $R^3$ Una terna $(p, \theta, \phi)$ donde $p > 0$, $\theta \in [0, 2\pi)$ y $\phi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ [10](#page=10). * $p$ es la distancia del punto al origen $(0,0,0)$, $p = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ [10](#page=10). * $\theta$ es el ángulo de la proyección sobre el plano $xy$ con el eje $x$ positivo (igual que en cilíndricas) [10](#page=10). * $\phi$ es el ángulo que forma el vector $(x, y, z)$ con su proyección sobre el plano $xy$ [10](#page=10). * **Cartesianas a esféricas**: $x = p \cos \phi \cos \theta$ $y = p \cos \phi \sin \theta$ $z = p \sin \phi$ $p = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ $\sin \phi = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ [10](#page=10). * **Esféricas a cartesianas**: $x = p \cos \phi \cos \theta$ $y = p \cos \phi \sin \theta$ $z = p \sin \phi$ [10](#page=10). **Ejemplo 4.7**: Coordenadas cilíndricas y esféricas de $(3, -4, -1)$ [11](#page=11). * **Cilíndricas**: $p = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$. $\tan \theta = \frac{-4}{3}$. Como $x>0, y<0$, $\theta$ está en el cuarto cuadrante, $\theta \approx 5.3559$ radianes. $z = -1$. Coordenadas cilíndricas: $(5, 5.3559, -1)$. * **Esféricas**: $p = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+16+1} = \sqrt{26}$. $\theta \approx 5.3559$ radianes (mismo que en cilíndricas). $\sin \phi = \frac{-1}{\sqrt{26}}$. $\phi = \arcsin(\frac{-1}{\sqrt{26}}) \approx -0.1974$ radianes. Coordenadas esféricas: $(\sqrt{26}, 5.3559, -0.1974)$. **Ejemplo 4.8**: Coordenadas cartesianas de $(1, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$ en esféricas [12](#page=12). $p=1, \theta=\frac{\pi}{6}, \phi=\frac{\pi}{3}$. $x = 1 \cos(\frac{\pi}{3}) \cos(\frac{\pi}{6}) = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. $y = 1 \cos(\frac{\pi}{3}) \sin(\frac{\pi}{6}) = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. $z = 1 \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Coordenadas cartesianas: $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Cada punto de $R^3 \setminus \{(0,0,0)\}$ puede expresarse en coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas [11](#page=11). --- # Funciones de varias variables: límites y continuidad Este tema extiende los conceptos de funciones de una variable a funciones de dos o más variables, centrándose en la definición formal, el cálculo y las propiedades de sus límites y continuidad. ### 2.1 Funciones de varias variables Una función de dos variables es una aplicación $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, donde $D$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ llamado dominio, y para cada par $(x, y) \in D$, la función asigna un único número real $f(x, y)$. El conjunto de valores que toma la función se denomina imagen, $f(D) \subset \mathbb{R}$. Si el dominio no se especifica explícitamente, se considera el mayor conjunto posible donde la expresión $f(x, y)$ tiene sentido [13](#page=13). #### 2.1.1 Dominio y ejemplos El dominio de una función de varias variables se determina considerando las mismas restricciones que para funciones de una variable: el argumento de una raíz par debe ser no negativo, el argumento de un logaritmo debe ser positivo, y los denominadores no pueden ser cero [13](#page=13). > **Ejemplo:** Para la función $f(x, y) = \sqrt{1+x^2 - y}$, el dominio se define por $1+x^2 - y \ge 0$, lo que implica $y \le 1+x^2$ [13](#page=13) [14](#page=14). La notación $z = f(x, y)$ se utiliza comúnmente para funciones de dos variables, donde $x$ e $y$ son variables independientes y $z$ es la variable dependiente. Este concepto se extiende a funciones de $n$ variables, $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, donde $D \subset \mathbb{R}^n$ y $f(x_1, \dots, x_n)$ es un único número real [14](#page=14). #### 2.1.2 Representación gráfica La gráfica de una función de dos variables $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es el conjunto de puntos $(x, y, f(x, y))$ en $\mathbb{R}^3$. La proyección de esta gráfica sobre el plano $xy$ coincide con el dominio, y la proyección sobre el eje $z$ coincide con la imagen [15](#page=15). Las **curvas de nivel** o curvas de contorno son conjuntos de puntos $(x, y)$ en el plano $xy$ tales que $f(x, y) = k$ para una constante $k$. Estas curvas proporcionan información sobre la forma de la superficie definida por la función. Ejemplos cotidianos incluyen mapas topográficos (altitud constante) o mapas meteorológicos (presión constante) [15](#page=15). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = x^2 + y^2 + 1$, las curvas de nivel $x^2 + y^2 = k-1$ (para $k>1$) son circunferencias centradas en el origen con radio $\sqrt{k-1}$. La gráfica de esta función es un paraboloide de revolución [16](#page=16). #### 2.1.3 Operaciones con funciones Las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y multiplicación por una constante se extienden a funciones de varias variables de manera análoga a las funciones de una variable [17](#page=17). * $(c f)(x, y) = c f(x, y)$ * $(f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y)$ * $(f \cdot g)(x, y) = f(x, y) \cdot g(x, y)$ * $(\frac{f}{g})(x, y) = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$, si $g(x, y) \neq 0$ Para que estas operaciones tengan sentido, los dominios de las funciones deben coincidir [17](#page=17). #### 2.1.4 Composición de funciones La composición de funciones de varias variables también se define. Si $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y $g: D' \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, la composición $g \circ f$ está definida si la imagen de $f$ está contenida en el dominio de $g$ [17](#page=17) [18](#page=18). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = x^2 - y^2 + xy$ y $g(x) = \cos x$, la composición $g \circ f$ es $g(f(x,y)) = \cos(x^2 - y^2 + xy)$ [18](#page=18). La composición de funciones es particularmente útil para cambios de variable. Si $h: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, entonces $h \circ g$ es una composición de funciones de varias variables [18](#page=18). ### 2.2 Límite de una función en un punto El concepto de límite para funciones de varias variables extiende la idea de aproximación. Para que el límite de $f(x, y)$ exista cuando $(x, y)$ tiende a $(a, b)$, los valores de $f(x, y)$ deben aproximarse a un valor $l$ independientemente del camino que siga $(x, y)$ para acercarse a $(a, b)$ [18](#page=18) [19](#page=19). #### 2.2.1 Definición formal de límite Formalmente, el límite de una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ en un punto $(a, b)$ es $l$, denotado como $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = l$, si para cada $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que si $0 < d((a,b), (x,y)) < \delta$ y $(x,y) \in D$, entonces $|f(x,y) - l| < \epsilon$. Aquí, $d((a,b), (x,y))$ es la distancia euclidiana entre los puntos [19](#page=19). Esta definición se puede generalizar para funciones de $n$ variables: $\lim_{(x_1, \dots, x_n) \to (a_1, \dots, a_n)} f(x_1, \dots, x_n) = l$ si para cada $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que si $0 < d((a_1, \dots, a_n), (x_1, \dots, x_n)) < \delta$ y $(x_1, \dots, x_n) \in D$, entonces $|f(x_1, \dots, x_n) - l| < \epsilon$ [19](#page=19) [20](#page=20). #### 2.2.2 Álgebra de límites Las reglas del álgebra de límites para funciones de una variable también aplican a funciones de varias variables: * $\lim_{(x,y) \to (a,b)} c f(x, y) = c \cdot l$ [20](#page=20). * $\lim_{(x,y) \to (a,b)} (f(x,y) + g(x,y)) = l + m$ [20](#page=20). * $\lim_{(x,y) \to (a,b)} (f(x,y) \cdot g(x,y)) = l \cdot m$ [20](#page=20). * $\lim_{(x,y) \to (a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \frac{l}{m}$, si $m \neq 0$ [20](#page=20). #### 2.2.3 Estrategias para el cálculo de límites Si los límites reiterados coinciden, no garantiza la existencia del límite. Si no coinciden, el límite no existe [21](#page=21). * **Límites reiterados:** Se calcula el límite fijando una variable y luego se calcula el límite de la expresión resultante con la otra variable [21](#page=21). $$ \lim_{y \to b} \left( \lim_{x \to a} f(x, y) \right) \quad \text{y} \quad \lim_{x \to a} \left( \lim_{y \to b} f(x, y) \right) $$ * **Aproximación por rectas:** Se evalúa el límite a lo largo de rectas de la forma $y = mx + k$ o $x = m'y + k'$. Si el límite depende de $m$ o $k$, entonces el límite no existe [21](#page=21) [22](#page=22). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \frac{y - x + 2xy}{1}$ evaluando en $(1,1)$ por $y=1$ y $x=1$ se obtienen límites iguales, pero esto no prueba la existencia del límite [22](#page=22). * **Aproximación por curvas:** De forma más general, se pueden usar curvas $y = g(x)$ o $x = h(y)$. Si el límite depende de la curva elegida, no existe [21](#page=21). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \frac{x^3y}{x^6 + y^2}$ en $(0,0)$, si se toma la curva $y=x^3$, el límite difiere de otros caminos, indicando que el límite no existe. La elección de la curva $y=x^3$ se debe a la estructura de las potencias en la función [22](#page=22) [23](#page=23). * **Regla del emparedado:** Si $g(x, y) \le f(x, y) \le h(x, y)$ en un disco alrededor de $(a, b)$ y $\lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x, y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} h(x, y) = l$, entonces $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = l$ [23](#page=23). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^4}$ en $(0,0)$, utilizando la regla del emparedado se demuestra que el límite es $0$ [24](#page=24). * **Propiedad del producto:** Si $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = 0$ y $g$ es una función acotada cerca de $(a,b)$, entonces $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)g(x,y) = 0$ [25](#page=25). * **Coordenadas polares:** Para funciones de dos variables, se puede realizar un cambio a coordenadas polares centradas en $(a,b)$: $x = a + \rho \cos \theta$, $y = b + \rho \sin \theta$. Se evalúa el límite cuando $\rho \to 0$ [25](#page=25). 1. Si el límite de $F(\rho, \theta)$ depende de $\theta$, el límite no existe. 2. Si $0 \le |F(\rho, \theta) - l| \le h(\rho)$ y $h(\rho) \to 0$ cuando $\rho \to 0$, entonces el límite es $l$. 3. En otros casos, no se puede concluir nada [25](#page=25). > **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ en $(0,0)$, el cambio a polares resulta en $f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) = \rho \cos^3 \theta$. Como $\rho \to 0$ y $\cos \theta$ está acotado, el límite es $0$ [25](#page=25). ### 2.3 Continuidad de funciones de varias variables Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es continua en un punto $(a, b) \in D$ si $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = f(a,b)$. Si esta condición no se cumple, la función es discontinua en $(a, b)$. Una función es continua en un conjunto $A \subset D$ si es continua en cada punto de $A$ [26](#page=26). Las propiedades de los límites y la definición de continuidad implican que el producto por una constante, la suma, el producto, el cociente (donde el denominador no se anula) y la composición de funciones continuas son también continuas en sus respectivos dominios de definición [26](#page=26). * Los monomios $c x^n y^m$ son continuos en $\mathbb{R}^2$. * Los polinomios (suma de monomios) son continuos en $\mathbb{R}^2$. * Las funciones racionales $\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}$ son continuas donde $Q(x, y) \neq 0$. * Funciones como exponenciales, raíces, logaritmos y trigonométricas son continuas donde están definidas y cumplen las condiciones de continuidad de sus argumentos [26](#page=26) [27](#page=27). > **Ejemplo:** $f(x, y) = e^{x^2+y}$ es continua en $\mathbb{R}^2$ porque $x^2+y$ y la función exponencial son continuas [27](#page=27). > **Ejemplo:** La función $f(x, y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ es continua en $(0,0)$ porque su límite en $(0,0)$ es $0$, que coincide con $f(0,0)$ [27](#page=27). > **Ejemplo:** La función $f(x, y) = \frac{x^2}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ es discontinua en $(0,0)$ porque el límite depende del camino de aproximación. Sin embargo, es continua en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ [27](#page=27). --- # Derivadas parciales, gradiente y derivadas de orden superior Aquí tienes un resumen detallado y completo del tema "Derivadas parciales, gradiente y derivadas de orden superior", basado en el contenido proporcionado. ## 3. Derivadas parciales, gradiente y derivadas de orden superior Este tema generaliza el concepto de derivada a funciones de varias variables, explorando las derivadas parciales, la interpretación geométrica, el gradiente y las derivadas de orden superior. ### 3.1 Derivada parcial Las derivadas parciales extienden el concepto de derivada de funciones de una variable a funciones de varias variables [28](#page=28). #### 3.1.1 Definición y notación Para una función $g: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definida en un conjunto abierto $D$, la derivada parcial con respecto a $x$ en un punto $(a, b) \in D$ se define como el límite: $$ \frac{\partial g}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a + h, b) - g(a, b)}{h} $$ siempre que el límite exista. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva formada por la intersección de la gráfica de $g$ con el plano $y = b$ [29](#page=29). De manera análoga, la derivada parcial con respecto a $y$ en el punto $(a, b) \in D$ es: $$ \frac{\partial g}{\partial y}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a, b + h) - g(a, b)}{h} $$ siempre que exista. Esta derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva formada por la intersección de la gráfica de $g$ con el plano $x = a$ en el punto $(a, b, g(a, b))$ [30](#page=30). Existen diversas notaciones para las derivadas parciales: * Con respecto a la primera variable (generalmente $x$): $\frac{\partial g}{\partial x}$, $g_x$, $D_1 g$ [30](#page=30). * Con respecto a la segunda variable (generalmente $y$): $\frac{\partial g}{\partial y}$, $g_y$, $D_2 g$ [30](#page=30). #### 3.1.2 Cálculo de derivadas parciales El cálculo de derivadas parciales se simplifica al tratar la variable respecto a la cual se deriva como la variable principal y las demás como constantes [31](#page=31). > **Tip:** Para calcular derivadas parciales, aplica las reglas de derivación habituales, pero considera las variables no involucradas en la derivación como constantes. **Ejemplo:** Para $f(x, y) = x^2 y^3$: * $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2x y^3$ (tratando $y$ como constante) [31](#page=31). * $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 (3y^2) = 3x^2 y^2$ (tratando $x$ como constante) [31](#page=31). #### 3.1.3 Derivadas parciales para funciones de más de dos variables El concepto de derivada parcial se extiende a funciones de tres o más variables. Para una función $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, la derivada parcial con respecto a $x_k$ en un punto $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ se define como la derivada de la función de una variable $h(x_k) = f(a_1, \ldots, a_{k-1}, x_k, a_{k+1}, \ldots, a_n)$ en $x_k = a_k$ [33](#page=33). **Ejemplo:** Para $f(x, y, z) = xyz^2$: * $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) = yz^2$ [33](#page=33). * $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) = xz^2$ [33](#page=33). * $\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) = 2xyz$ [33](#page=33). #### 3.1.4 Continuidad y existencia de derivadas parciales Es importante notar que una función puede tener derivadas parciales en un punto sin ser continua en él, a diferencia de las funciones de una variable donde la diferenciabilidad implica continuidad [32](#page=32). **Ejemplo:** La función $f(x, y) = \begin{cases} \frac{\arctan(xy)}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x, y) = (0,0) \end{cases}$ no es continua en $(0,0)$, pero sus derivadas parciales existen en $(0,0)$ y son ambas cero [32](#page=32). ### 3.2 Gradiente Si una función $f$ de dos variables admite derivadas parciales en un punto $(a, b)$, el vector gradiente de $f$ en $(a, b)$ se define como el vector formado por sus derivadas parciales en ese punto [33](#page=33). #### 3.2.1 Definición y notación El gradiente de $f$ en $(a, b)$ se denota como $\nabla f(a, b)$ y se define: $$ \nabla f(a, b) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(a, b), \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) \right) $$ Este vector existe en los puntos donde existen ambas derivadas parciales [33](#page=33). #### 3.2.2 Gradiente para funciones de n variables Para una función $f$ de $n$ variables $x_1, x_2, \ldots, x_n$, el gradiente en el punto $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ es un vector de $n$ componentes: $$ \nabla f(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, \ldots, a_n), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1, \ldots, a_n) \right) $$ [34](#page=34). **Ejemplo:** Para $f(x, y) = e^{x+y} + \arctan(x^2+1)$: * $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = e^{x+y} + \frac{2x}{x^2+1}$ [34](#page=34). * $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = e^{x+y}$ [34](#page=34). * El gradiente en $(0,0)$ es $\nabla f(0,0) = (1, 1)$ [34](#page=34). #### 3.2.3 Propiedad del gradiente y curvas de nivel El vector gradiente en un punto es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto [34](#page=34). ### 3.3 Derivadas de orden superior Se pueden calcular derivadas de las derivadas parciales, dando lugar a derivadas de orden superior. #### 3.3.1 Derivadas parciales segundas Si una función $f(x, y)$ tiene derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$, esta es a su vez una función que puede tener sus propias derivadas parciales. La derivada de $\frac{\partial f}{\partial x}$ con respecto a $x$ es la derivada parcial segunda $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, y la derivada de $\frac{\partial f}{\partial x}$ con respecto a $y$ es la derivada parcial mixta $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ [35](#page=35). Para una función de dos variables, existen cuatro derivadas parciales segundas posibles: * $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ * $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ * $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ * $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ . La notación para estas derivadas también varía, incluyendo $f_{xx}, f_{yx}, f_{xy}, f_{yy}$ [36](#page=36). #### 3.3.2 Matriz Hessiana Para una función que admite todas las derivadas parciales de segundo orden en un punto, se puede definir la matriz Hessiana. Para una función $f$ de dos variables en el punto $(a, b)$, la matriz Hessiana $H_f(a,b)$ es: $$ H_f(a,b) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a, b) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a, b) \end{pmatrix} $$ . La matriz Hessiana proporciona información sobre el comportamiento local de la función, similar a cómo la segunda derivada lo hace para funciones de una variable [37](#page=37). **Ejemplo:** Para $f(x, y) = \ln(x^2 + e^y)$: * $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \frac{2x}{x^2 + e^y}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + e^y}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) = \frac{2(x^2 + e^y) - 2x(2x)}{(x^2 + e^y)^2} = \frac{2e^y - 2x^2}{(x^2 + e^y)^2}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y) = \frac{e^y(x^2 + e^y) - e^y(e^y)}{(x^2 + e^y)^2} = \frac{x^2 e^y}{(x^2 + e^y)^2}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y) = \frac{-2x e^y}{(x^2 + e^y)^2}$ [37](#page=37). * $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) = \frac{-2x e^y}{(x^2 + e^y)^2}$ [37](#page=37). * La matriz Hessiana en $(1,0)$ es: $$ H_f(1,0) = \begin{pmatrix} -1/4 & -1/4 \\ -1/4 & 1/4 \end{pmatrix} $$ [37](#page=37). #### 3.3.3 Teorema de Clairaut (Igualdad de derivadas cruzadas) El teorema de Clairaut establece condiciones bajo las cuales las derivadas parciales mixtas son iguales. **Teorema:** Sea $f$ una función con derivadas parciales continuas en un conjunto abierto $D$. Si existen $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ y $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ en todos los puntos de $D$, y $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ es continua en $(a,b) \in D$, entonces existe $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)$ y además: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b) $$ [38](#page=38). **Ejemplo:** Si se sabe que para una función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, las derivadas parciales son continuas y $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) = \sin(xy)$, entonces para calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,1)$, se aplica el teorema: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,1) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,1) = \sin(0 \cdot 1) = 0 $$ [38](#page=38). --- # Derivada direccional y tasas de cambio La derivada direccional extiende el concepto de tasa de cambio de una función de varias variables a direcciones arbitrarias, permitiendo analizar el comportamiento de la función en cualquier sentido y determinando las direcciones de máximo ascenso y descenso a través del gradiente [39](#page=39) [41](#page=41). ### 4.1 Definición de derivada direccional La derivada direccional de una función de dos variables $f(x, y)$ en un punto $(a, b)$ y en la dirección de un vector unitario $\vec{v} = (v_1, v_2)$ se define como el límite de la razón de cambio de la función a lo largo de esa dirección: $$D_{\vec{v}}f(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + hv_1, b + hv_2) - f(a, b)}{h}$$ siempre que el límite exista [39](#page=39). Esta definición es una generalización de las derivadas parciales. Específicamente, para los vectores unitarios canónicos $\vec{e}_1 = (1, 0)$ y $\vec{e}_2 = (0, 1)$: * $D_{\vec{e}_1}f(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ [40](#page=40). * $D_{\vec{e}_2}f(a, b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)$ [40](#page=40). Geométricamente, la derivada direccional representa la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la gráfica de la función $f(x, y)$ con un plano que contiene al punto $(a, b, f(a, b))$ y es paralelo al vector $\vec{v} = (v_1, v_2, 0)$ en el espacio tridimensional. El vector director de esta recta tangente es $(v_1, v_2, D_{\vec{v}}f(a, b))$ [40](#page=40). > **Tip:** La definición formal de la derivada direccional requiere que el límite exista. Sin embargo, existen métodos más sencillos para calcularla si se cumplen ciertas condiciones sobre las derivadas parciales de la función. ### 4.2 Cálculo de derivadas direccionales mediante el gradiente Si una función $f$ admite derivadas parciales en un entorno del punto $(a, b)$ y estas derivadas parciales son continuas en $(a, b)$, entonces la derivada direccional en la dirección de un vector unitario $\vec{v} = (v_1, v_2)$ puede calcularse eficientemente mediante el producto escalar del gradiente de $f$ en $(a, b)$ por $\vec{v}$: $$D_{\vec{v}}f(a, b) = \nabla f(a, b) \cdot \vec{v}$$ donde $\nabla f(a, b) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(a, b), \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)\right)$ es el vector gradiente de $f$ en $(a, b)$ [40](#page=40) [41](#page=41). Esta relación se generaliza fácilmente a funciones de $n$ variables, donde el gradiente es un vector con $n$ componentes y $\vec{v}$ es un vector unitario en $\mathbb{R}^n$ [40](#page=40). > **Tip:** La continuidad de las derivadas parciales es una condición *suficiente* para aplicar esta fórmula del gradiente, pero no es *necesaria*. Existen funciones que admiten derivadas direccionales en todas las direcciones sin que sus derivadas parciales sean continuas en el punto [41](#page=41). #### Ejemplo de cálculo Calcular la derivada direccional $D_{\vec{v}}f(1, 0)$ para $f(x, y) = x^2y + y^3$, donde $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$ [40](#page=40). 1. **Calcular las derivadas parciales:** $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy$ $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + 3y^2$ Estas derivadas parciales son continuas en todo $\mathbb{R}^2$ [40](#page=40) [41](#page=41). 2. **Evaluar las derivadas parciales en el punto (1, 0):** $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 0) = 2 = 0$ [1](#page=1). $\frac{\partial f}{\partial y}(1, 0) = ^2 + 3 ^2 = 1$ [1](#page=1). 3. **Formar el vector gradiente en (1, 0):** $\nabla f(1, 0) = (0, 1)$ 4. **Calcular el producto escalar con el vector dirección unitario:** $D_{\vec{v}}f(1, 0) = \nabla f(1, 0) \cdot \vec{v} = (0, 1) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right) = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ [41](#page=41). > **Example:** Para $f(x, y) = x^2y + y^3$ y $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$ en el punto $(1, 0)$, la derivada direccional es $\frac{2}{\sqrt{5}}$ [41](#page=41). ### 4.3 Direcciones de máxima variación Un concepto fundamental relacionado con la derivada direccional es la determinación de las direcciones en las que una función cambia más rápidamente (máximo ascenso) o menos rápidamente (máximo descenso) [41](#page=41). #### Teorema sobre la dirección de máxima variación Si una función $f$ admite derivadas parciales continuas en $(a, b)$ y el gradiente $\nabla f(a, b)$ es distinto del vector nulo [42](#page=42): 1. **Máxima derivada direccional:** La derivada direccional máxima de $f$ en $(a, b)$ ocurre en la dirección del vector gradiente $\nabla f(a, b)$, es decir, en la dirección del vector unitario $\frac{\nabla f(a, b)}{\|\nabla f(a, b)\|}$. El valor de esta derivada direccional máxima es la norma del gradiente, $\|\nabla f(a, b)\|$ [42](#page=42). 2. **Mínima derivada direccional:** La derivada direccional mínima de $f$ en $(a, b)$ ocurre en la dirección opuesta al gradiente, es decir, en la dirección del vector unitario $-\frac{\nabla f(a, b)}{\|\nabla f(a, b)\|}$. El valor de esta derivada direccional mínima es el negativo de la norma del gradiente, $-\|\nabla f(a, b)\|$ [42](#page=42). Si el gradiente $\nabla f(a, b)$ es el vector nulo, entonces todas las derivadas direccionales en $(a, b)$ son nulas [42](#page=42). > **Tip:** Piense en el gradiente como una flecha que señala la dirección de la subida más pronunciada en la superficie definida por la función $f$. Su magnitud indica la rapidez de esa subida. #### Ejemplo de cálculo de máximos y mínimos direccionales Calcular las direcciones de las derivadas direccionales máxima y mínima y sus valores para $f(x, y, z) = x^2 - y^2 + z$ en el punto $(1, 1, 1)$ [42](#page=42). 1. **Calcular el gradiente de $f$:** $\nabla f(x, y, z) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) = (2x, -2y, 1)$ 2. **Evaluar el gradiente en el punto (1, 1, 1):** $\nabla f(1, 1, 1) = (2 -2 1) = (2, -2, 1)$ [1](#page=1). 3. **Calcular la norma del gradiente:** $\|\nabla f(1, 1, 1)\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ [42](#page=42). 4. **Dirección de máxima derivada direccional:** La dirección es $\frac{\nabla f(1, 1, 1)}{\|\nabla f(1, 1, 1)\|} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ [42](#page=42). El valor máximo de la derivada direccional es $\|\nabla f(1, 1, 1)\| = 3$ [43](#page=43). 5. **Dirección de mínima derivada direccional:** La dirección es $-\frac{\nabla f(1, 1, 1)}{\|\nabla f(1, 1, 1)\|} = -\left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ [42](#page=42). El valor mínimo de la derivada direccional es $-\|\nabla f(1, 1, 1)\| = -3$ [43](#page=43). > **Example:** Para la función $f(x, y, z) = x^2 - y^2 + z$ en el punto $(1, 1, 1)$, la dirección de máximo ascenso es $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ con una tasa de cambio de $3$ unidades por unidad de distancia, y la dirección de máximo descenso es $(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ con una tasa de cambio de $-3$ unidades por unidad de distancia [42](#page=42) [43](#page=43). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Espacio R" | El conjunto R" es el producto cartesiano de n copias de los números reales (R x R x ... x R). Sus elementos son n-uplas de la forma (x1, x2, ..., xn), donde cada x¡ pertenece a R. Este espacio generaliza la recta (R) y el plano (R2) a dimensiones superiores y se utiliza para representar puntos o vectores en n dimensiones. | | Base canónica | La base canónica de R" está formada por n vectores unitarios, donde cada vector tiene un 1 en una posición y 0 en las demás. Por ejemplo, en R3, la base canónica es e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). Cualquier vector en R" puede expresarse como una combinación lineal de estos vectores base. | | Producto escalar | El producto escalar de dos vectores 7 = (x1, ..., xn) y j = (y1, ..., yn) en R" es un número real dado por la suma de los productos de sus componentes correspondientes: 7 · j = x1y1 + ... + xnyn = Σ(i=1 hasta n) xiyi. Es fundamental para definir la norma y la distancia entre vectores. | | Norma de un vector | La norma de un vector ī = (x1, ..., xn) en R" es su longitud o magnitud, definida como ||x|| = sqrt(x · x) = sqrt(x1^2 + ... + xn^2). Los vectores con norma uno se denominan vectores unitarios. | | Distancia entre puntos | La distancia entre dos puntos o vectores x e y en R" se define utilizando la norma de su diferencia: d(x, y) = ||x - y|| = sqrt((y1-x1)^2 + ... + (yn-xn)^2). Esta definición generaliza la noción de distancia euclidiana. | | Disco abierto | Un disco abierto en R2 con centro (a, b) y radio r es el conjunto de puntos (x, y) tales que la distancia al centro es menor que el radio: {(x, y) E R2 : d((a, b), (x, y)) < r}. Representa una región circular sin incluir su borde. | | Conjunto abierto | Un conjunto C en R" es abierto si para cada punto en C existe una bola abierta centrada en ese punto que está completamente contenida en C. Los discos abiertos y R" son ejemplos de conjuntos abiertos. | | Conjunto cerrado | Un conjunto C en R" es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. El complemento de un conjunto abierto es un conjunto cerrado, y viceversa. El conjunto vacío y R" son tanto abiertos como cerrados. | | Coordenadas polares | Un sistema de coordenadas en R2 que utiliza la distancia (p) a un punto de referencia (el origen) y el ángulo (0) con un eje fijo (generalmente el eje x). Permite describir puntos mediante (p, 0) en lugar de (x, y). | | Coordenadas cilíndricas | Una extensión de las coordenadas polares a R3, utilizando la distancia y el ángulo en el plano xy (p, 0) y manteniendo la coordenada z sin cambios. Son útiles para describir cilindros y superficies de revolución. | | Coordenadas esféricas | Un sistema de coordenadas en R3 que utiliza la distancia (p) al origen, un ángulo azimutal (0) en el plano xy y un ángulo polar (y) con el eje z. Son adecuadas para describir esferas y conos. | | Función de varias variables | Una función f : D C R" -> R que asigna a cada n-upla (x1, ..., xn) en un subconjunto D de R" un único número real f(x1, ..., xn). | | Límite de una función en un punto | El límite de una función f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es l si los valores de f(x, y) se aproximan arbitrariamente a l a medida que (x, y) se acerca a (a, b) por cualquier camino. | | Continuidad de una función | Una función f es continua en un punto (a, b) si el límite de f cuando (x, y) tiende a (a, b) existe y es igual a f(a, b). | | Derivada parcial | La derivada parcial de una función g(x, y) con respecto a x en un punto (a, b) mide la tasa de cambio de g al variar x, manteniendo y constante. Se calcula como el límite de la diferencia del cociente o, más comúnmente, derivando g(x, b) respecto a x. | | Gradiente | El gradiente de una función f(x, y) en un punto (a, b), denotado por Vf(a, b), es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f en ese punto: Vf(a, b) = (∂f/∂x(a, b), ∂f/∂y(a, b)). Indica la dirección de máximo crecimiento de la función. | | Derivadas de orden superior | Son las derivadas de las derivadas parciales. Por ejemplo, la segunda derivada parcial con respecto a x se denota como ∂²f/∂x². Las derivadas parciales cruzadas (como ∂²f/∂x∂y y ∂²f/∂y∂x) son iguales si se cumplen ciertas condiciones de continuidad. | | Matriz Hessiana | Para una función f(x, y), la matriz Hessiana Hf(a,b) es una matriz cuadrada cuyas entradas son las segundas derivadas parciales de f en el punto (a, b). Es útil para clasificar puntos críticos. | | Derivada direccional | La derivada direccional de una función f en un punto (a, b) en la dirección de un vector unitario v mide la tasa de cambio de f en esa dirección específica. Se puede calcular como el producto escalar del gradiente de f por el vector direccional. | | Curvas de nivel | Las curvas de nivel de una función f(x, y) son las curvas en el plano xy donde la función toma un valor constante, es decir, f(x, y) = k. El vector gradiente en un punto es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. |

# La diferencial de una función Este tema generaliza el concepto de derivada para funciones de varias variables, introduciendo la noción de diferenciabilidad y el plano tangente como aproximación local de la gráfica de la función [2](#page=2). ### 1.1 Motivación e introducción Para funciones de una variable, la existencia de la derivada en un punto implica continuidad en dicho punto, debido a que la gráfica de la función puede ser aproximada localmente por una recta tangente. Esta idea se extiende a funciones de varias variables, donde la aproximación local por una recta se generaliza a un plano tangente para funciones de dos variables [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.2 Función diferenciable. Plano tangente Para una función $f$ de dos variables, la existencia de derivadas parciales en un punto $(a, b)$ garantiza la posibilidad de aproximar localmente la gráfica por una recta en la dirección de los ejes coordenados. Sin embargo, para funciones de varias variables, esto no es suficiente. Se busca una aproximación local que independientemente de la dirección [3](#page=3). Para funciones de dos variables, el papel de la recta tangente lo desempeña un plano tangente. Si una función $f$ admite derivadas parciales en $(a, b)$, se puede definir un plano que pasa por el punto $(a, b, f(a, b))$ y contiene las rectas tangentes a las curvas de la gráfica de $f$ en la dirección de los ejes $x$ e $y$. Los vectores directores de estas rectas tangentes son $(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}(a,b))$ y $(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}(a,b))$ [3](#page=3). La ecuación de este plano puede obtenerse mediante la ecuación paramétrica vectorial: $$(x, y, z) = (a, b, f(a,b)) + \lambda (1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)) + \mu (0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$ [3](#page=3). Alternativamente, utilizando la dependencia lineal de los vectores $(x-a, y-b, z-f(a,b))$, $(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}(a,b))$ y $(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}(a,b))$, se obtiene el determinante nulo: $$ \begin{vmatrix} x-a & y-b & z-f(a,b) \\ 1 & 0 & \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \\ 0 & 1 & \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \end{vmatrix} = 0 $$ [4](#page=4). Desarrollando este determinante, se llega a la ecuación del plano: $$ \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) (x-a) - \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b) + z - f(a,b) = 0 $$ [4](#page=4). Reordenando, se obtiene: $$ z = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) (x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b) $$ [4](#page=4). Esta ecuación se puede expresar de forma compacta usando el producto escalar del gradiente: $$ z = f(a,b) + \nabla f(a,b) \cdot (x-a, y-b) $$ [4](#page=4). ### 1.3 Definición de diferenciabilidad La existencia de derivadas parciales en un punto no garantiza la existencia del plano tangente, ya que una función puede tener derivadas parciales en un punto y ser discontinua en él. Si el plano tangente existe, debe ser el definido por las derivadas parciales, ya que contiene al menos dos rectas tangentes a curvas de la superficie [4](#page=4) [5](#page=5). **Definición 5.1** Una función de dos variables $f$ es diferenciable en $(a, b)$ si: $$ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(a+h,b+k) - f(a,b) - \nabla f(a,b) \cdot (h,k)}{||(h, k)||} = 0 $$ [5](#page=5). Este límite indica que el numerador tiende a cero más rápidamente que el denominador. La expresión $f(a, b) + \nabla f(a,b) \cdot (h,k)$ coincide con la $z$ del plano (5.1) si tomamos $(x, y) = (a+h, b+k)$. Por lo tanto, si el límite es cero, la gráfica de $f$ y el plano (5.1) se aproximan de forma más rápida en el punto $(a,b)$ que la distancia del vector al origen. A un plano con esta propiedad se le llama plano tangente [5](#page=5). **Ecuación del plano tangente:** $$ z = f(a, b) + \nabla f(a, b) \cdot (x -a, y -b) $$ [5](#page=5). **Definición 5.2** Una función de $n$ variables $f$ es diferenciable en $(a_1, \dots, a_n)$ si: $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1 + h_1, \dots, a_n + h_n) - f(a_1, \dots, a_n) - \nabla f(a_1, \dots, a_n) \cdot h}{||h||} = 0 $$ [6](#page=6). donde $h = (h_1, h_2, \dots, h_n)$. Para que una función sea diferenciable en un punto, es necesario que existan todas sus derivadas parciales en ese punto, ya que el gradiente $\nabla f$ está compuesto por ellas. La diferenciabilidad también implica continuidad, ya que la aproximación lineal local exige continuidad [7](#page=7). **Teorema 5.1** Si $f$ es diferenciable en un punto, entonces: * Admite derivadas parciales en ese punto [7](#page=7). * Es continua en ese punto [7](#page=7). > **Tip:** La continuidad y la existencia de derivadas parciales son condiciones necesarias pero no suficientes para la diferenciabilidad. #### 1.3.1 Ejemplo de no diferenciabilidad * **Función $f(x,y)$:** $$ f(x,y) = \begin{cases} xy+1, & x>0 \\ x-y, & x \le 0 \end{cases} $$ Esta función no es diferenciable en $(0,0)$ porque es discontinua en ese punto. Al acercarse por el semiplano $x>0$, el límite de $f(x,y)$ es 1, mientras que $f(0,0)=0$ [7](#page=7). * **Función $g(x,y) = x + |y|$** Esta función es continua en $(0,0)$ ($\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+|y|) = 0 = g(0,0)$). Sin embargo, no es diferenciable en $(0,0)$ porque la derivada parcial con respecto a $y$ no existe en ese punto. El límite para calcular $\frac{\partial g}{\partial y}(0,0)$ difiere si se acerca por la derecha o por la izquierda (-1) [1](#page=1) [7](#page=7). ### 1.4 Condición suficiente de diferenciabilidad Una condición importante para garantizar la diferenciabilidad y la existencia del plano tangente se basa en la continuidad de las derivadas parciales. **Condición suficiente de diferenciabilidad:** Si una función de $n$ variables $f$ admite derivadas parciales cerca de $(a_1, \dots, a_n)$ y estas derivadas parciales son continuas en $(a_1, \dots, a_n)$, entonces $f$ es diferenciable en $(a_1, \dots, a_n)$ [8](#page=8). Se considera una función **regular** si es continua y tiene derivadas parciales continuas [8](#page=8). #### 1.4.1 Ejemplo de diferenciabilidad * **Función $f(x,y) = \sin(\frac{1}{x^2+y^2})$** Esta función es una composición de una función racional y una función trigonométrica. Por lo tanto, admite derivadas parciales en todo su dominio ($\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$), y estas derivadas parciales son continuas en su dominio. Según la condición suficiente, $f$ es diferenciable en cualquier punto de su dominio. No se puede hablar de su diferenciabilidad en $(0,0)$ por no pertenecer este punto a su dominio [8](#page=8). ### 1.5 La diferencial de una función Para funciones de $n$ variables, la aproximación lineal se generaliza. Para $n=2$, la aproximación lineal es un plano. Para $n>2$, la aproximación lineal es un espacio tangente de dimensión $n$ [8](#page=8). La ecuación del espacio tangente a la gráfica de una función diferenciable $f$ de $n$ variables en el punto $(a_1, \dots, a_n)$ es: $$ x_{n+1} = f(a_1, \dots, a_n) + \nabla f(a_1, \dots, a_n) \cdot (x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n) $$ [9](#page=9). **Definición 5.3** La **diferencial** de una función diferenciable $f$ en un punto $(a_1, \dots, a_n)$, denotada como $Df(a_1, \dots, a_n)$, es la aplicación lineal que define la ecuación (5.3) [9](#page=9). Para una función de dos variables $f$ diferenciable en $(a, b)$: $$ Df(a,b)(x,y) = \nabla f(a,b) \cdot (x,y) $$ [9](#page=9). Para una función de $n$ variables $f$ diferenciable en $(a_1, \dots, a_n)$: $$ Df(a_1, \dots, a_n)(x_1, \dots, x_n) = \nabla f(a_1, \dots, a_n) \cdot (x_1, \dots, x_n) $$ [9](#page=9). Por lo tanto, la matriz asociada a la aplicación lineal que define la diferencial es el gradiente de la función [9](#page=9). #### 1.5.1 Ejemplo de cálculo de la diferencial * **Calcular la diferencial en el punto (1, 2) de $f(x, y) = x^2 + y$.** La función es polinómica, por lo que tiene derivadas parciales continuas en todo su dominio y es diferenciable en todos los puntos de $\mathbb{R}^2$ [9](#page=9). Necesitamos calcular las derivadas parciales en $(1,2)$: $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = 2x |_{(1,2)} = 2 = 2$ [1](#page=1). $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = 1 |_{(1,2)} = 1$ El gradiente en $(1,2)$ es $\nabla f(1,2) = (2,1)$. La diferencial en $(1,2)$ es: $Df(1,2)(x,y) = \nabla f(1,2) \cdot (x,y) = (2,1) \cdot (x,y) = 2x + y$ [9](#page=9). **Definición 5.4** Si una función es diferenciable en todos los puntos de un subconjunto $A$ de su dominio, se dice que es diferenciable en $A$ [9](#page=9). --- # Regla de la cadena y teorema del valor medio Este tema extiende la regla de la cadena a funciones de varias variables, introduce el teorema del valor medio generalizado, y discute sus aplicaciones, junto con los conceptos de segmento y conjuntos convexos. ### 2.1 Regla de la cadena La regla de la cadena se refiere a cómo se comporta la diferenciabilidad bajo la composición de funciones, permitiendo calcular derivadas o gradientes de funciones compuestas a partir de las derivadas o gradientes de las funciones que las componen [12](#page=12) [14](#page=14). #### 2.1.1 Propiedades de las funciones diferenciables Las funciones constantes son diferenciables y su diferencial es la aplicación lineal nula. Las sumas, productos y productos por escalares de funciones diferenciables también son diferenciables, siguiendo reglas análogas a las de una sola variable [10](#page=10) [11](#page=11): * $D(f + g)(\bar{a}) = Df(\bar{a}) + Dg(\bar{a})$ [10](#page=10). * $D(cf)(\bar{a}) = cDf(\bar{a})$ [10](#page=10). * $D(f \cdot g)(\bar{a}) = Df(\bar{a})g(\bar{a}) + f(\bar{a})Dg(\bar{a})$ [10](#page=10). El cociente $f/g$ de funciones diferenciables es diferenciable si $g(\bar{a}) \neq 0$ y se cumple: $$D(f/g)(\bar{a}) = \frac{Df(\bar{a})g(\bar{a}) - f(\bar{a})Dg(\bar{a})}{(g(\bar{a}))^2}$$ > **Tip:** Estas reglas son fundamentales para el desarrollo teórico en el que intervienen funciones arbitrarias, aunque a veces el cálculo directo del gradiente sea más sencillo [11](#page=11). #### 2.1.2 Cálculo de derivadas de funciones compuestas El cálculo de las derivadas parciales para una composición de funciones se puede visualizar mediante diagramas de dependencia. * **Composición de una función de dos variables con funciones de una variable:** Para $f(g(t), h(t))$, la derivada con respecto a $t$ es: $$\frac{df}{dt}(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(g(t), h(t)) g'(t) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(t), h(t)) h'(t)$$ donde $x$ e $y$ son variables mudas que representan las variables de $f$. > **Example:** Calcular la derivada con respecto a $t$ de $f(e^t, 1+t^2)$ donde $f(x, y) = \sqrt{x} + 2y$. > Aquí, $g(t) = e^t$ y $h(t) = 1+t^2$. Las derivadas parciales de $f$ son $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 2$. Las derivadas de $g$ y $h$ son $g'(t) = e^t$ y $h'(t) = 2t$. > Aplicando la fórmula: > $\frac{df}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{e^t}} (e^t) + 2 (2t) = \frac{e^t}{2e^{t/2}} + 4t = \frac{1}{2}e^{t/2} + 4t$. > En el punto $(e^t, 1+t^2)$: $\frac{df}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{e^t+2(1+t^2)}} e^t + 2(2t) = \frac{e^t}{2\sqrt{e^t+2(1+t^2)}} + 4t$. El ejemplo del documento aplica la fórmula directamente sin calcular explícitamente las variables mudas [13](#page=13). * **Composición de una función de dos variables con funciones de dos variables:** Para $f(g(u, v), h(u, v))$, las derivadas parciales son: $$\frac{\partial f}{\partial u}(g(u, v), h(u, v)) = \frac{\partial f}{\partial x}(g(u, v), h(u, v)) \frac{\partial g}{\partial u}(u, v) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(u, v), h(u, v)) \frac{\partial h}{\partial u}(u, v)$$ $$\frac{\partial f}{\partial v}(g(u, v), h(u, v)) = \frac{\partial f}{\partial x}(g(u, v), h(u, v)) \frac{\partial g}{\partial v}(u, v) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(u, v), h(u, v)) \frac{\partial h}{\partial v}(u, v)$$ #### 2.1.3 Regla de la cadena generalizada La regla de la cadena se extiende a funciones $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ y $g_1, \dots, g_m: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciables. Si $f$ es diferenciable en $(g_1(\bar{a}), \dots, g_m(\bar{a}))$ y $g_i$ son diferenciables en $\bar{a} \in \mathbb{R}^n$, entonces la composición $F(\bar{a}) = f(g_1(\bar{a}), \dots, g_m(\bar{a}))$ es diferenciable en $\bar{a}$, y su gradiente se calcula como: $$\nabla(f(g_1, \dots, g_m))(\bar{a}) = \nabla f(g_1(\bar{a}), \dots, g_m(\bar{a})) \begin{pmatrix} \nabla g_1(\bar{a}) \\ \vdots \\ \nabla g_m(\bar{a}) \end{pmatrix}$$ Esto puede expresarse como: $$\nabla(f(g_1, \dots, g_m))(\bar{a}) = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_i}(g_1(\bar{a}), \dots, g_m(\bar{a})) \nabla g_i(\bar{a})$$ > **Tip:** El gradiente de la composición es un producto matricial donde la primera matriz es el gradiente de $f$ y la segunda matriz contiene los gradientes de las funciones $g_i$ como filas. Si $n=m=1$, esta regla se reduce a la derivada de una función de una variable [14](#page=14) [16](#page=16). > **Example:** Calcular la derivada con respecto a $x$ de $f(x, h(x))$, donde $g(x)=x$. > Aplicando la regla de la cadena: > $\frac{d}{dx} f(x, h(x)) = \nabla f(x, h(x)) \cdot (1, h'(x))$ > $\frac{d}{dx} f(x, h(x)) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, h(x)) \cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x, h(x)) \cdot h'(x)$ > Para $f(x, y) = xy^2$ y $h(x) = e^x$: > $\nabla f(x, y) = (y^2, 2xy)$. Así, $\nabla f(x, h(x)) = ((e^x)^2, 2x e^x) = (e^{2x}, 2xe^x)$. > $h'(x) = e^x$. > $\frac{d}{dx} f(x, e^x) = (e^{2x}) \cdot 1 + (2xe^x) \cdot e^x = e^{2x} + 2xe^{2x} = (2x+1)e^{2x}$ [15](#page=15). > **Example:** Calcular el gradiente en $(0,0)$ de $f(g(u,v), h(u,v))$ para $f(x,y) = 2x+2y$, $g(u,v) = uv$, $h(u,v) = \sin u + 3$. > $\nabla f(x, y) = (2,2)$. > $\nabla g(u,v) = (v, u)$. > $\nabla h(u,v) = (\cos u, 0)$. > $g(0,0) = 0$, $h(0,0) = \sin + 3 = 3$ . > $\nabla(f(g,h))(0,0) = \nabla f(g(0,0), h(0,0)) \begin{pmatrix} \nabla g(0,0) \\ \nabla h(0,0) \end{pmatrix}$ > $\nabla(f(g,h))(0,0) = (2,2) \begin{pmatrix} (0,0) \\ (\cos 0, 0) \end{pmatrix} = (2,2) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ > $\nabla(f(g,h))(0,0) = (2 \cdot 0 + 2 \cdot 1, 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0) = (2,0)$ [15](#page=15). ### 2.2 Teorema del valor medio Este teorema generaliza el teorema del valor medio para funciones de una variable a funciones de varias variables, requiriendo el concepto de segmento y conjunto convexo. #### 2.2.1 Segmento y conjuntos convexos * **Segmento:** El segmento que une dos puntos $\bar{a} = (a_1, \dots, a_n)$ y $\bar{b} = (b_1, \dots, b_n)$ en $\mathbb{R}^n$ es el conjunto de puntos $\bar{x}$ de la forma: $$\bar{x} = (1-\lambda)\bar{a} + \lambda\bar{b}, \quad \lambda \in $$ [1](#page=1). En $\mathbb{R}^2$, esto describe la línea recta que conecta los dos puntos [17](#page=17). * **Conjunto convexo:** Un subconjunto $D \subseteq \mathbb{R}^n$ es convexo si para cualquier par de puntos en $D$, el segmento que los une está completamente contenido en $D$ [17](#page=17). * Ejemplos de conjuntos convexos: discos, bolas, rectas, planos. * Ejemplos de conjuntos no convexos: una circunferencia (el borde de un disco) [17](#page=17). > **Example:** Una región que es un círculo completo es un conjunto convexo. Si tomas dos puntos cualesquiera dentro del círculo, la línea recta que los une permanecerá completamente dentro del círculo. Una región con una hendidura o un agujero en el medio no sería un conjunto convexo si pudieras seleccionar dos puntos de tal manera que el segmento que los une pase por el área vacía. #### 2.2.2 Teorema del valor medio generalizado Sea $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una función continua y con derivadas parciales continuas en $D$. Si el segmento que une dos puntos $\bar{a}$ y $\bar{b}$ de $D$ está contenido en $D$, entonces existe un punto $\bar{c}$ en ese segmento tal que: $$f(\bar{a}) - f(\bar{b}) = \nabla f(\bar{c}) \cdot (\bar{a} - \bar{b})$$ #### 2.2.3 Aplicaciones del teorema del valor medio Este teorema permite obtener resultados similares a los de funciones de una variable sobre el crecimiento y decrecimiento de una función. * Si en un conjunto convexo $A$, las componentes del gradiente de $f$ son estrictamente positivas, entonces $f(\bar{a}) > f(\bar{b})$ si $a_i > b_i$ para todo $i$. Esto implica que $f$ crece al moverse en la dirección de un vector del primer cuadrante [18](#page=18). * Si en un conjunto convexo $A$, las componentes del gradiente de $f$ son estrictamente negativas, entonces $f(\bar{a}) < f(\bar{b})$ si $a_i > b_i$ para todo $i$. Esto implica que $f$ decrece al moverse en la dirección de un vector del primer cuadrante [18](#page=18). > **Example:** La función $f(x,y) = x^3 + y^3$ tiene gradiente $\nabla f(x, y) = (3x^2, 3y^2)$. En cualquier punto donde $xy \neq 0$ (es decir, fuera de los ejes), ambas componentes del gradiente son estrictamente positivas. Por lo tanto, en un conjunto convexo (como $\mathbb{R}^2$ excluyendo los ejes), la función crece si aumentan ambas componentes de las variables, siguiendo la dirección de un vector del primer cuadrante [19](#page=19). --- # Teorema de la función implícita y derivación implícita Este apartado introduce el teorema de la función implícita, que establece las condiciones bajo las cuales una ecuación implícita puede ser resuelta explícitamente para una variable, y presenta la técnica de derivación implícita para calcular derivadas sin necesidad de despejar la función [20](#page=20). ### 3.1. Motivación y concepto de ecuación implícita Una ecuación de dos variables, como $x^2 + y^2 = 1$, describe una relación entre ellas. Cuando una de las variables se expresa directamente en términos de la otra, como $y = \sqrt{1-x^2}$, se tiene una ecuación explícita. En contraste, una ecuación de la forma $f(x_1, \ldots, x_n) = 0$ se denomina ecuación implícita, ya que no siempre permite despejar una variable explícitamente [20](#page=20) [21](#page=21). El objetivo principal es determinar cuándo es posible pasar de una forma implícita a una explícita y, adicionalmente, obtener información sobre la derivada de la función resultante [21](#page=21). > **Tip:** Pasar de una ecuación explícita a una implícita es sencillo, por ejemplo, $y = x^2$ se puede escribir como $f(x,y) = x^2 - y = 0$ [21](#page=21). ### 3.2. Teorema de la función implícita El teorema de la función implícita proporciona las condiciones necesarias para garantizar la existencia de una solución explícita y su derivabilidad. #### 3.2.1. Para funciones de dos variables Sea $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una función continua con derivadas parciales continuas en un abierto $D$. Si $(a,b) \in D$ es un punto tal que $f(a,b) = 0$ y la derivada parcial de $f$ respecto a $y$ en $(a,b)$ no es cero, es decir, $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$ entonces [22](#page=22): * Existen intervalos abiertos $U$ (conteniendo a $a$) y $V$ (conteniendo a $b$) tales que para cada $x \in U$, existe una única función $g: U \to V$ que satisface $f(x, g(x)) = 0$ [22](#page=22). * Se cumple que $b = g(a)$ [22](#page=22). * La función $g$ es continua y tiene derivada continua [22](#page=22). * La derivada de $g$ se puede calcular mediante la fórmula: $$ \frac{dg}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} $$ para todo $x \in U$ y $y \in V$ [22](#page=22). Si en lugar de $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$, se cumple $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \neq 0$, entonces se puede despejar $x$ en función de $y$ [22](#page=22). > **Example:** Para la circunferencia $f(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$, las derivadas parciales son $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$. Podemos despejar $y$ en función de $x$ donde $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y \neq 0$, es decir, $y \neq 0$. En puntos como $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $y$ se puede despejar como $y = \sqrt{1-x^2}$. Sin embargo, en $(1,0)$, donde $y=0$, no podemos despejar $y$, pero sí podemos despejar $x$ ya que $\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = 2 = 2 \neq 0$ [1](#page=1) [22](#page=22) [23](#page=23). #### 3.2.2. Derivación implícita Una consecuencia directa del teorema de la función implícita es la posibilidad de calcular derivadas sin conocer la expresión explícita de la función. Si la ecuación $f(x,y) = 0$ define implícitamente a $y$ como una función de $x$, denotada por $y(x)$, entonces podemos derivar la ecuación $f(x, y(x)) = 0$ respecto a $x$ usando la regla de la cadena: $$ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 $$ Dado que $\frac{dx}{dx} = 1$ y que $f(x, y(x)) = 0$, su derivada también es cero. Esto nos lleva a la fórmula de derivación implícita: $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} $$ Este proceso es conocido como **derivación implícita**. Si las condiciones son adecuadas, se pueden calcular derivadas de orden superior de manera sucesiva [23](#page=23) [25](#page=25). > **Example:** Consideremos el Folium de Descartes, $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$. Las derivadas parciales son $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x$. Para poder escribir $y$ en función de $x$, se requiere $\frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$, es decir, $3y^2 - 3x \neq 0$, o $x \neq y^2$. La derivada de $y$ respecto a $x$ es: > > $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 - 3y}{3y^2 - 3x} = \frac{y - x^2}{y^2 - x} $$ > > Para calcular la segunda derivada, se deriva implícitamente la ecuación $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} - 3y - 3x\frac{dy}{dx} = 0$ [25](#page=25). #### 3.2.3. Aplicaciones a curvas de nivel El teorema de la función implícita y la derivación implícita son útiles para calcular la pendiente de las curvas de nivel de una función $z = f(x,y)$. Para una curva de nivel $f(x,y) = k$, la pendiente de la recta tangente viene dada por: $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} $$ Esto significa que la pendiente es el negativo del cociente de las componentes del gradiente $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$ en ese punto [26](#page=26). > **Example:** Para la función $f(x,y) = x^2 + 3xy - y^2$, consideramos la curva de nivel que pasa por el punto $(1,0)$. Como $f(1,0) = 1^2 + 3 - 0^2 = 1$, la curva de nivel es $x^2 + 3xy - y^2 = 1$. Las derivadas parciales son $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 3x - 2y$. En el punto $(1,0)$, ambas derivadas parciales son distintas de cero. La pendiente de la recta tangente en $(1,0)$ es [1](#page=1): > > $$ \frac{dy}{dx}\bigg|_{(1,0)} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)}{\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)} = -\frac{2 + 3 }{3 - 2 } = -\frac{2}{3} $$ [1](#page=1). > > Si bien la fórmula general da $-\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}$, el ejemplo en la página usa $\frac{-(\partial f/\partial x)}{\partial f/\partial y}$ que es $-\frac{2x+3y}{3x-2y}$, y evaluado en (1,0) da $-\frac{2}{3}$. Sin embargo, la derivación implícita directa en el ejemplo resulta en $\frac{dy}{dx} = \frac{3x-2y}{2x+3y}$, que evaluado en $(1,0)$ es $\frac{3}{2}$. La confusión parece estar en la aplicación de la fórmula. La fórmula correcta derivada del teorema es $\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}$. Si calculamos implícitamente $2x + 3y + 3x\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx} = 0$, entonces $\frac{dy}{dx}(3x-2y) = -(2x+3y)$, lo que resulta en $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+3y}{3x-2y}$. Evaluado en $(1,0)$, esto es $-\frac{2}{3}$. El ejemplo en la página parece tener un error de signo o en la aplicación de la fórmula. Revisando, la fórmula presentada en es $\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$ (en forma de cociente de derivadas parciales), pero luego en el ejemplo calcula $\frac{3x-2y}{2x+3y}$. Si usamos la fórmula del teorema: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+3y}{3x-2y}$. En el punto (1,0): $\frac{dy}{dx} = -\frac{2 +3 }{3 -2 } = -\frac{2}{3}$. El ejemplo proporciona $\frac{3}{2}$ como resultado, que es el inverso del negativo. Asumiendo que la intención es la aplicación correcta del teorema, el resultado debería ser -2/3 [1](#page=1) [26](#page=26). #### 3.2.4. Para funciones de varias variables El teorema de la función implícita se generaliza a funciones de $n+1$ variables. Sea $f: D \subset \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}$ una función con derivadas parciales continuas en un abierto $D$. Si $(a_1, \ldots, a_n, b) \in D$ es un punto tal que $f(a_1, \ldots, a_n, b) = 0$ y $\frac{\partial f}{\partial z}(a_1, \ldots, a_n, b) \neq 0$, entonces: * Existen un entorno $U$ de $(a_1, \ldots, a_n)$ y un intervalo abierto $V$ de $b$ tales que existe una única función $g: U \to V$ con derivadas parciales continuas, satisfaciendo $f(x_1, \ldots, x_n, g(x_1, \ldots, x_n)) = 0$ para todo $(x_1, \ldots, x_n) \in U$ [27](#page=27). * La derivada parcial de $z = g(x_1, \ldots, x_n)$ respecto a $x_j$ se calcula como: $$ \frac{\partial z}{\partial x_j} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x_j}}{\frac{\partial f}{\partial z}} $$ para todo $(x_1, \ldots, x_n) \in U$ y $z \in V$ [27](#page=27). Por comodidad, se suele tomar la última variable ($z$) como la que se expresa en función de las otras, pero el resultado es válido para cualquier variable [27](#page=27). > **Example:** Para la ecuación $x^2 - xy + 3z^2 = 3$, definimos $f(x,y,z) = x^2 - xy + 3z^2 - 3$. Las derivadas parciales son $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y$, $\frac{\partial f}{\partial y} = -x$, y $\frac{\partial f}{\partial z} = 6z$. En el punto $(0,1,1)$, $f(0,1,1) = 0$ y $\frac{\partial f}{\partial z}(0,1,1) = 6 = 6 \neq 0$. Por lo tanto, $z$ puede expresarse como una función de $x$ e $y$, $z = g(x,y)$, cerca de $(0,1)$. Las derivadas parciales de $z$ en $(0,1)$ son [1](#page=1): > > $$ \frac{\partial z}{\partial x}(0,1) = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,1,1)}{\frac{\partial f}{\partial z}(0,1,1)} = -\frac{2 - 1}{6} = -\frac{-1}{6} = \frac{1}{6} $$ . > > $$ \frac{\partial z}{\partial y}(0,1) = -\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,1,1)}{\frac{\partial f}{\partial z}(0,1,1)} = -\frac{- }{6} = 0 $$ . > > En este caso, se puede despejar $z$ explícitamente como $z = \sqrt{\frac{3 - x^2 + xy}{3}}$. El cálculo de las derivadas parciales de $z$ usando la fórmula implícita se verifica con el despeje explícito [28](#page=28). --- # Valores extremos y optimización condicional Este tema aborda la identificación y clasificación de los valores máximos y mínimos de funciones de varias variables, tanto absolutos como relativos, y presenta el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización bajo restricciones. ### 4.1 Extremos absolutos y relativos #### 4.1.1 Definiciones de extremos Se definen los extremos absolutos y relativos de una función $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ [29](#page=29) [30](#page=30). * **Máximo absoluto:** Un punto $(a_1, \dots, a_n) \in D$ es un máximo absoluto si $f(x_1, \dots, x_n) \leq f(a_1, \dots, a_n)$ para todo $(x_1, \dots, x_n) \in D$ [29](#page=29). * **Mínimo absoluto:** Un punto $(a_1, \dots, a_n) \in D$ es un mínimo absoluto si $f(x_1, \dots, x_n) \geq f(a_1, \dots, a_n)$ para todo $(x_1, \dots, x_n) \in D$ [29](#page=29). * Los máximos y mínimos absolutos se denominan **extremos absolutos** [29](#page=29). * **Máximo relativo:** Un punto $(a, b)$ es un máximo relativo si existe un disco abierto $A$ tal que $f(x, y) \leq f(a, b)$ para todo $(x, y) \in A \cap D$ [30](#page=30). * **Mínimo relativo:** Un punto $(a, b)$ es un mínimo relativo si existe un disco abierto $A$ tal que $f(x, y) \geq f(a, b)$ para todo $(x, y) \in A \cap D$ [30](#page=30). * Los máximos y mínimos relativos se denominan **extremos relativos** [30](#page=30). Si las desigualdades en las definiciones son estrictas, se habla de extremos absolutos o relativos estrictos [29](#page=29) [30](#page=30). > **Tip:** Es útil visualizar la gráfica de la función para comprender intuitivamente los extremos absolutos y relativos. Los extremos absolutos son los puntos más altos y más bajos en todo el dominio, mientras que los extremos relativos son los puntos más altos o más bajos en su vecindad inmediata. ##### 4.1.1.1 Ejemplo de extremos La función $f(x, y) = x^2 + y^2$ alcanza un mínimo absoluto en $(0, 0)$ porque $f(x, y) \geq 0$ para todo $(x, y)$ y $f(0,0)=0$. Este mínimo es estricto ya que para $(x,y) \neq (0,0)$, $f(x,y) > 0$. La función no alcanza un máximo absoluto, ya que para cualquier valor $t$, se puede encontrar un punto $(a,b)$ tal que $f(a,b) \geq t$ [29](#page=29). ##### 4.1.1.2 Ejemplo de extremos relativos La función $f(x, y) = 15(x^3 + xy^4)e^{-(x^2+y^2)}$ alcanza tres máximos relativos (uno de ellos absoluto) y tres mínimos relativos (uno de ellos absoluto) en el dominio considerado [31](#page=31). #### 4.1.2 Puntos críticos Los puntos críticos son candidatos para la localización de extremos relativos. * **Definición de punto crítico:** Una función regular $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tiene un punto crítico en $(a, b)$ si sus derivadas parciales se anulan en ese punto: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = 0$ y $\frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = 0$. Esto es equivalente a $\nabla f(a, b) = \mathbf{0}$ [32](#page=32). * Para funciones $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, los puntos críticos son aquellos donde $\nabla f(a_1, \dots, a_n) = \mathbf{0}$ [32](#page=32). * Si una función no es regular, los puntos críticos son aquellos donde la función no está definida o no es diferenciable [32](#page=32). > **Tip:** Encontrar puntos críticos implica resolver un sistema de ecuaciones, que no siempre es lineal y puede requerir ingenio e intuición. ##### 4.1.2.1 Ejemplo de puntos críticos Para $f(x,y) = (x^2 + 2y^2)e^{1-(x^2+y^2)}$, los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales, lo que lleva a las soluciones $(0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)$ [32](#page=32). Para $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$, los puntos críticos en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ son aquellos en los que $x=0$ o $y=0$, es decir, cualquier punto en los ejes coordenados [33](#page=33). #### 4.1.3 Condición necesaria y suficiente de extremo relativo * **Condición necesaria de extremo relativo:** Si una función diferenciable $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ alcanza un extremo relativo en $(a, b) \in D$ (abierto), entonces $\nabla f(a, b) = \mathbf{0}$ [34](#page=34). * **Punto de ensilladura (o punto de silla):** Un punto crítico que no es un extremo relativo se denomina punto de ensilladura. Geométricamente, la gráfica de la función cerca de este punto se asemeja a una silla de montar [35](#page=35). * **Condición suficiente de extremo:** Supongamos que $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tiene un punto crítico en $(a, b)$. Sea $H_f(a,b)$ la matriz Hessiana en $(a,b)$, y $d = \det(H_f(a,b))$. Si $r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)$: * Si $d > 0$ y $r > 0$: $f$ alcanza un **mínimo relativo** en $(a, b)$ [36](#page=36). * Si $d > 0$ y $r < 0$: $f$ alcanza un **máximo relativo** en $(a, b)$ [36](#page=36). * Si $d < 0$: $f$ tiene un **punto de silla** en $(a, b)$ [36](#page=36). * Si $d = 0$: el caso es dudoso [36](#page=36). > **Tip:** La matriz Hessiana $H_f(a,b) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a, b) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a, b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & s \\ u & t \end{pmatrix}$ proporciona información crucial sobre la naturaleza de los puntos críticos [36](#page=36). ##### 4.1.3.1 Ejemplo de clasificación de puntos críticos Para $f(x,y) = (x^2 + 2y^2)e^{-(x^2+y^2)}$, se analizan los puntos críticos encontrados previamente: * En $(0,0)$: $d = 8e^2 > 0$ y $r = 2e > 0$, por lo tanto, hay un **mínimo relativo** [37](#page=37). * En $(1,0)$ y $(-1,0)$: $d = -8 < 0$, por lo tanto, son **puntos de silla** [38](#page=38). * En $(0,1)$ y $(0,-1)$: $d = 16 > 0$ y $r = -2 < 0$, por lo tanto, hay **máximos relativos** [38](#page=38). #### 4.1.4 Teorema de los valores extremos * **Teorema de los valores extremos:** Si una función continua $f$ está definida en un subconjunto $S \subset \mathbb{R}^n$ cerrado y acotado, entonces $f$ alcanza el máximo y el mínimo absolutos en $S$. Estos extremos se alcanzan en la frontera de $S$ o en un punto crítico de $f$ en el interior de $S$ [38](#page=38). > **Procedimiento para encontrar extremos absolutos:** > 1. Hallar los puntos críticos de $f$ en el interior de $S$. > 2. Hallar los posibles puntos de extremos absolutos en la frontera de $S$. > 3. Calcular el valor de $f$ en todos los puntos determinados en los pasos anteriores. El valor mayor (menor) corresponde al máximo (mínimo) absoluto [38](#page=38). ##### 4.1.4.1 Ejemplo de aplicación del teorema Para $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ en $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$: * Punto crítico interior: $(0,0)$, donde $f(0,0)=0$ (mínimo absoluto) [39](#page=39). * Frontera ($x^2+y^2=1$): se analizan los puntos $(0, \pm 1)$ con $f=2$ (máximos absolutos) y $(\pm 1, 0)$ con $f=1$ [40](#page=40). El máximo absoluto de $f$ en $S$ se alcanza en $(0,1)$ y $(0,-1)$, y el mínimo absoluto en $(1,0)$ y $(-1,0)$ [40](#page=40). ### 4.2 Optimización condicional: Método de los multiplicadores de Lagrange #### 4.2.1 Motivación Frecuentemente, se busca optimizar una función sujeta a ciertas restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una herramienta fundamental para resolver este tipo de problemas de optimización condicional, especialmente cuando no es posible despejar una variable en función de otra de forma sencilla [39](#page=39) [41](#page=41). #### 4.2.2 Teorema de Lagrange * **Teorema de Lagrange (para dos variables):** Sean $f$ y $g$ funciones continuas y con derivadas parciales continuas. Si $f$ tiene un extremo relativo en $(a, b)$ sobre la curva $g(x, y) = 0$, y $\nabla g(a, b) \neq \mathbf{0}$, entonces existe un número $\lambda$ tal que $\nabla f(a, b) = \lambda \nabla g(a, b)$ [42](#page=42). * El número $\lambda$ se denomina **multiplicador de Lagrange** [42](#page=42). * La función auxiliar $F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$ tiene un punto crítico en $(a, b, \lambda)$ [42](#page=42). > **Interpretación geométrica:** En el punto de extremo condicionado, las curvas de nivel de $f$ y la curva de restricción $g(x,y)=0$ son tangentes. Esto implica que sus gradientes son paralelos, es decir, $\nabla f = \lambda \nabla g$ [43](#page=43). * **Teorema de Lagrange (general):** Para $f, g: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, si $f$ tiene un extremo relativo en $(a_1, \dots, a_n)$ sobre $g(x_1, \dots, x_n) = 0$ y $\nabla g(a_1, \dots, a_n) \neq \mathbf{0}$, entonces existe $\lambda$ tal que $\nabla f(a_1, \dots, a_n) = \lambda \nabla g(a_1, \dots, a_n)$ [44](#page=44). #### 4.2.3 Método de los multiplicadores de Lagrange con una condición Para calcular los extremos de $f(x, y)$ sujeto a $g(x, y) = 0$: 1. Definir la función auxiliar $F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$. 2. Resolver el sistema $\nabla F(x, y, \lambda) = (\mathbf{0}, \mathbf{0}, 0)$, es decir, igualar a cero todas las derivadas parciales de $F$. Esto localiza los puntos críticos de $F$. 3. Si el conjunto definido por $g(x, y) = 0$ es cerrado y acotado, calcular el valor de $f(x, y)$ en los puntos críticos de $F$. El valor mayor (menor) de $f$ corresponde al máximo (mínimo) absoluto [44](#page=44). 4. Si $g(x, y) = 0$ permite expresar $y$ como función implícita de $x$, $y = h(x)$, se puede estudiar el extremo de $f(x, h(x))$ [44](#page=44). ##### 4.2.3.1 Ejemplo de multiplicadores de Lagrange Calcular los extremos de $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ en $C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1\}$: * Función auxiliar: $F(x, y, \lambda) = x^2 + 2y^2 + \lambda(x^2 + y^2 - 1)$. * Sistema de ecuaciones: * $\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + 2\lambda x = 2x(1+\lambda) = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial y} = 4y + 2\lambda y = 2y(2+\lambda) = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0$ * Soluciones: * Si $\lambda = -1$, entonces $2x = 0$ (cualquier $x$) y $2y = 0 \implies y=0$. Con $x^2+y^2=1$, obtenemos $(\pm 1, 0)$, con $\lambda = -1$ [1](#page=1). * Si $\lambda = -2$, entonces $2x(-1) = 0 \implies x=0$ y $2y = 0$ (cualquier $y$). Con $x^2+y^2=1$, obtenemos $(0, \pm 1)$, con $\lambda = -2$ . * Los puntos críticos son $(\pm 1, 0)$ y $(0, \pm 1)$. Comparando los valores de $f$: $f(\pm 1, 0) = 1$ y $f(0, \pm 1) = 2$. Por lo tanto, el máximo es 2 y el mínimo es 1 [45](#page=45). ##### 4.2.3.2 Ejemplo de optimización de producto Encontrar dos números positivos cuya suma sea 9 y su producto sea máximo: * Maximizar $f(x, y) = xy$ sujeto a $x+y-9=0$, con $x \geq 0, y \geq 0$. * Función auxiliar: $F(x, y, \lambda) = xy + \lambda(x+y-9)$. * Sistema de ecuaciones: * $\frac{\partial F}{\partial x} = y + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial y} = x + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x+y-9 = 0$ * Solución: $x=y=\frac{9}{2}$ y $\lambda = -\frac{9}{2}$. En el punto $(\frac{9}{2}, \frac{9}{2})$, el producto es $f(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}) = \frac{81}{4}$. En los extremos del segmento de restricción, $(9,0)$ y $(0,9)$, el producto es 0. Por lo tanto, el producto máximo es $\frac{81}{4}$ para $x=y=\frac{9}{2}$ [46](#page=46). ##### 4.2.3.3 Ejemplo de optimización de producto de tres números Encontrar tres números positivos cuya suma sea 9 y su producto sea máximo: * Maximizar $f(x, y, z) = xyz$ sujeto a $x+y+z-9=0$, con $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$. * Función auxiliar: $F(x,y,z,\lambda) = xyz + \lambda(x+y+z-9)$. * Sistema de derivadas parciales: * $\frac{\partial F}{\partial x} = yz + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial y} = xz + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial z} = xy + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x+y+z-9 = 0$ * Soluciones: * Para $\lambda = 0$, las soluciones son $(9,0,0)$ y sus permutaciones, donde $f=0$. * Para $\lambda \neq 0$, se deduce $x=y=z$. Sustituyendo en la restricción: $3x=9 \implies x=3$. El punto crítico es $(3,3,3)$, con $\lambda=-9$. * El valor de la función es $f(3,3,3) = 27$. El producto máximo es 27 y los números son $x=y=z=3$ [47](#page=47). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Diferencial | La diferencial de una función en un punto es una aplicación lineal que generaliza la idea de la derivada para funciones de varias variables, permitiendo aproximar linealmente la función cerca de dicho punto. | | Derivada parcial | La tasa de cambio instantánea de una función de varias variables con respecto a una de sus variables, manteniendo las demás constantes. | | Gradiente | Un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de una función en un punto dado. Indica la dirección de máximo crecimiento de la función. | | Plano tangente | El plano que mejor aproxima localmente la gráfica de una función de dos variables diferenciable en un punto. Su ecuación se relaciona con el gradiente de la función en ese punto. | | Función diferenciable | Una función de varias variables que admite una aproximación lineal en un punto, es decir, la diferencia entre el valor real de la función y su aproximación lineal es negligible en comparación con la distancia al punto. | | Regla de la cadena | Un teorema que permite calcular la derivada de una función compuesta. Para funciones de varias variables, relaciona las derivadas parciales de la función compuesta con las derivadas parciales de las funciones que la componen. | | Teorema del valor medio | Generalización del teorema del valor medio para funciones de varias variables, que relaciona la diferencia de valor de la función entre dos puntos con el gradiente y el vector que une dichos puntos. | | Conjunto convexo | Un subconjunto de un espacio vectorial en el cual el segmento que une dos puntos cualesquiera del conjunto está completamente contenido dentro del mismo conjunto. | | Teorema de la función implícita | Establece condiciones bajo las cuales una ecuación implícita define una o más variables como funciones explícitas de las otras. Permite calcular las derivadas de estas funciones implícitas. | | Derivación implícita | Un método para calcular la derivada de una función definida implícitamente por una ecuación, sin necesidad de despejar explícitamente la variable dependiente. | | Extremos absolutos | El valor máximo o mínimo que una función alcanza en todo su dominio. | | Extremos relativos | El valor máximo o mínimo que una función alcanza en una vecindad de un punto específico de su dominio. | | Puntos críticos | Puntos de una función donde el gradiente se anula o no está definido. Son candidatos a ser extremos relativos. | | Matriz Hessiana | La matriz cuadrada de segundas derivadas parciales de una función. Se utiliza para clasificar los puntos críticos como máximos, mínimos o puntos de silla. | | Teorema de los valores extremos | Establece que una función continua definida en un conjunto cerrado y acotado alcanza sus extremos absolutos dentro de ese conjunto, ya sea en puntos críticos o en la frontera. | | Extremos condicionados | Problemas de optimización donde se buscan los valores extremos de una función sujeta a una o varias restricciones. | | Multiplicadores de Lagrange | Un método para encontrar los extremos condicionados de una función. Se introduce una nueva función auxiliar y se igualan a cero sus derivadas parciales y las de la función de restricción. | | Curva de nivel | Una curva en el plano donde una función de dos variables toma un valor constante. | | Paraboloide hiperbólico | Una superficie tridimensional que es el gráfico de una función cuadrática de dos variables con un punto de silla. |

# Introducción a la integral de Riemann El cálculo integral unifica la resolución de problemas aparentemente dispares como el cálculo de áreas y volúmenes, la determinación de la posición de un móvil a partir de su velocidad, la inversión del proceso de derivación, y el cálculo de promedios de magnitudes físicas como la temperatura [1](#page=1). ### 1.1 Diagrama conceptual El estudio del cálculo integral se puede visualizar a través de un diagrama que relaciona los siguientes conceptos [1](#page=1): * **Integral definida:** Se obtiene a través de la aproximación de áreas [1](#page=1). * **Integral indefinida (o primitiva):** Representa la operación inversa de la derivación [1](#page=1). * **Teoremas fundamentales:** Establecen la conexión entre la integral definida y la integral indefinida [1](#page=1). * **Integración numérica:** Útil cuando el cálculo de una primitiva no es sencillo [1](#page=1). * **Integrales impropias:** Se utilizan para casos de intervalos no acotados o funciones no acotadas [1](#page=1). ### 1.2 Motivación para el cálculo integral El cálculo integral tiene sus raíces en la antigüedad, con métodos como el de exhaución de Eudoxo, que ya utilizaba la división de figuras en subfiguras para calcular áreas y volúmenes, sentando las bases del principio de la integración definida [2](#page=2). El cálculo integral permite conectar conceptos ya conocidos como las derivadas y las propiedades geométricas de figuras (áreas, volúmenes) con magnitudes y propiedades físicas [2](#page=2). #### 1.2.1 El cálculo de áreas El cálculo de áreas de figuras geométricas es un problema que se ha abordado desde la antigüedad. Si bien el área de figuras simples como rectángulos, triángulos o círculos es conocida, surge la pregunta de cómo calcular el área de figuras de forma arbitraria [1](#page=1) [2](#page=2). #### 1.2.2 La inversión de la derivación Dada una función, si conocemos su derivada, nos preguntamos si es posible realizar el proceso inverso: encontrar una función cuya derivada sea la función dada. Esta operación se conoce como encontrar la primitiva o la integral indefinida [1](#page=1). #### 1.2.3 Cálculo de promedios El cálculo integral también se aplica para determinar magnitudes promedio de una función en un intervalo. Por ejemplo, si se conoce la temperatura en cada punto de una barra, se puede calcular la temperatura media utilizando integrales [1](#page=1). ### 1.3 La integral definida La integral definida se introduce como una herramienta para calcular el área bajo la curva de una función continua [2](#page=2). #### 1.3.1 Aproximación mediante rectángulos Para funciones continuas $f: [a, b \to \mathbb{R}$ donde $f(x) \ge 0$ en el intervalo $[a, b]$, el área comprendida entre la gráfica de $f$, el eje $x$, y las rectas verticales $x = a$ y $x = b$ puede aproximarse sumando las áreas de rectángulos. El proceso implica dividir el intervalo $[a, b]$ en subintervalos, construir rectángulos sobre estos subintervalos y, finalmente, tomar el límite cuando la base de los rectángulos tiende a cero [2](#page=2). > **Tip:** El método de aproximación mediante rectángulos es la base conceptual de la integral de Riemann. La precisión aumenta a medida que el número de rectángulos se incrementa y su base disminuye. #### 1.3.2 Ejemplo de cálculo de área Se plantea el cálculo del área comprendida entre la gráfica de la función $f(x) = e^x$ en el intervalo $ $ y el eje $x$. El procedimiento para resolverlo implica la aproximación mediante rectángulos y la posterior toma de un límite [1](#page=1) [2](#page=2). > **Example:** Para calcular el área bajo $f(x) = x^2$ en $ $ usando rectángulos, se dividiría el intervalo en $n$ subintervalos de igual ancho $\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}$. Si se eligen los extremos derechos de cada subintervalo, se sumarían las áreas de los rectángulos: $\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$, donde $x_i = a + i \Delta x$. Tomando el límite cuando $n \to \infty$ se obtendría el área exacta [2](#page=2). --- # Definición y propiedades de la integral definida La integral definida se define formalmente a través de sumas de Riemann y representa el área neta bajo la curva de una función, teniendo en cuenta tanto las áreas por encima como por debajo del eje x [4](#page=4). ### 2.1 La integral de Riemann #### 2.1.1 Motivación y concepto El cálculo de áreas y volúmenes ha sido abordado desde la antigüedad, utilizando métodos que implican la división de figuras en partes más simples. La integral definida generaliza este principio, permitiendo calcular áreas bajo curvas mediante la aproximación con rectángulos. Si una función $f(x)$ es continua y no negativa en un intervalo $[a, b]$, el área comprendida entre su gráfica, el eje x y las rectas verticales $x=a$ y $x=b$ puede aproximarse sumando las áreas de rectángulos. La precisión de esta aproximación aumenta al refinar la partición del intervalo, es decir, al disminuir la base de los rectángulos. El área exacta se obtiene al tomar el límite de estas sumas cuando la longitud de la base de los rectángulos tiende a cero [2](#page=2) [4](#page=4). #### 2.1.2 La suma de Riemann Para definir formalmente la integral, se considera una partición $P$ del intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos, definidos por puntos $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n =b$. La longitud del $i$-ésimo subintervalo es $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$, y la finura de la partición, denotada $|P|$, es el máximo de estas longitudes. En cada subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$, se elige un punto representativo $c_i$. La altura de cada rectángulo de aproximación es $f(c_i)$, y su área tiene un "signo" asociado: se suma si $f(c_i) \ge 0$ y se resta si $f(c_i) < 0$ [4](#page=4). La suma de Riemann para una partición $P$ y puntos representativos $c_i$ es: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i $$ Esta suma proporciona una aproximación del área neta bajo la curva de $f(x)$ en $[a, b]$ [4](#page=4) [5](#page=5). #### 2.1.3 Definición formal La integral definida de una función continua $f: [a, b \to \mathbb{R}$ se define como el límite de la suma de Riemann cuando la finura de la partición tiende a cero: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{|P| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i $$ Si este límite existe y no depende de la elección de la partición ni de los puntos representativos, se dice que la función es integrable en $[a, b]$ [5](#page=5). > **Tip:** La continuidad de la función $f(x)$ es fundamental para garantizar la existencia de la integral definida y que su valor no dependa de la elección de los puntos $c_i$ [4](#page=4). #### 2.1.4 Ejemplos de cálculo **Ejemplo 6.1 (Página 3):** Cálculo del área bajo la parábola $f(x) = e^x$ en $ $ [1](#page=1). 1. Se divide el intervalo $ $ en $n$ subintervalos de longitud $\Delta x = 1/n$ [1](#page=1). 2. Se elige la altura del $i$-ésimo rectángulo como $f(c_i) = e^{(i-1)/n}$. 3. La suma de las áreas de los $n$ rectángulos es una suma geométrica: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} e^{(i-1)/n} $$ 4. El límite de esta suma cuando $n \to \infty$ es: $$ A = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \frac{e - 1}{e^{1/n} - 1} = e - 1 $$ Se aplicó la regla de L'Hôpital para evaluar el límite [3](#page=3) [4](#page=4). **Ejemplo 6.2 (Página 5):** Cálculo de $\int_{-1}^{2} 2x \, dx$. 1. Se divide el intervalo $[-1, 2]$ en $n$ subintervalos de longitud $\Delta x = 3/n$. 2. Se elige $c_i = x_i = -1 + i(3/n)$ como punto representativo. 3. La función es $f(x) = 2x$. La suma de Riemann es: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( 2 \left(-1 + \frac{3i}{n}\right) \right) \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left( -2 + \frac{6i}{n} \right) \frac{3}{n} $$ $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( -\frac{6}{n} + \frac{18i}{n^2} \right) = -\frac{6n}{n} + \frac{18}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i $$ Usando la fórmula para la suma de los primeros $n$ enteros ($\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$): $$ S_n = -6 + \frac{18}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} = -6 + 9 \frac{n+1}{n} = -6 + 9 \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 3 + \frac{9}{n} $$ 4. El límite cuando $n \to \infty$ es: $$ \int_{-1}^{2} 2x \, dx = \lim_{n \to \infty} \left( 3 + \frac{9}{n} \right) = 3 $$ [5](#page=5). ### 2.2 Propiedades de la integral definida Las propiedades de la integral definida simplifican su cálculo y se derivan directamente de su definición y su interpretación geométrica. Sean $f(x)$ y $g(x)$ funciones continuas en un intervalo $[a, b]$ y $k$ una constante [6](#page=6). * **Integral de una función constante:** $$ \int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0 $$ El área sobre un intervalo de longitud cero es cero [6](#page=6). * **Producto por una constante:** $$ \int_{a}^{b} k f(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$ Si se escala la función por una constante, el área también se escala por esa constante [6](#page=6). * **Suma de funciones:** $$ \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx $$ El área bajo la suma de dos funciones es la suma de las áreas bajo cada función [6](#page=6). * **Monotonía:** Si $f(x) \le g(x)$ en $[a, b]$, entonces: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \le \int_{a}^{b} g(x) \, dx $$ Si una función está por debajo de otra, su integral (área neta) será menor o igual [6](#page=6). * **Valor absoluto:** $$ \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| \le \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $$ Esta propiedad indica que el valor absoluto de la integral definida de una función es menor o igual a la integral de su valor absoluto [6](#page=6). * **Aditividad del intervalo de integración:** Si $c \in [a, b]$: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx $$ El área total sobre un intervalo es la suma de las áreas sobre subintervalos que lo componen [6](#page=6). * **Cambio de orden en los límites de integración:** $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx $$ Invertir los límites de integración cambia el signo de la integral [6](#page=6). #### 2.2.1 Ejemplo de aplicación de propiedades **Ejemplo 6.3 (Página 6):** Cálculo de $\int_{-1}^{2} 2x \, dx$ usando propiedades. Se puede expresar la integral como: $$ \int_{-1}^{2} 2x \, dx = 2 \int_{-1}^{2} x \, dx $$ Interpretando geométricamente $\int_{-1}^{2} x \, dx$: * De $-1$ a $0$, el área es un triángulo debajo del eje x con base $1$ y altura $1$. Su valor es $-\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = -\frac{1}{2}$. * De $0$ a $2$, el área es un triángulo sobre el eje x con base $2$ y altura $2$. Su valor es $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$. Aplicando la propiedad de aditividad: $$ \int_{-1}^{2} x \, dx = \int_{-1}^{0} x \, dx + \int_{0}^{2} x \, dx = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} $$ Finalmente, multiplicando por la constante $2$: $$ \int_{-1}^{2} 2x \, dx = 2 \times \frac{3}{2} = 3 $$ [6](#page=6). ### 2.3 Interpretación geométrica La integral definida $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ se interpreta geométricamente como el **área neta** comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$, el eje x y las rectas verticales $x=a$ y $x=b$. Las áreas por encima del eje x se consideran positivas y se suman, mientras que las áreas por debajo del eje x se consideran negativas y se restan. Si la función es siempre positiva, la integral definida coincide con el área geométrica bajo la curva. Para funciones que toman valores positivos y negativos, la integral representa la diferencia entre el área positiva y la área negativa. Las funciones continuas en un intervalo $[a, b]$ son integrables en dicho intervalo [2](#page=2) [4](#page=4) [5](#page=5) [6](#page=6). --- # Integral indefinida y teoremas fundamentales del cálculo Este tema explora la relación inversa entre derivación e integración, presentando el concepto de primitiva y la integral indefinida, junto con los teoremas fundamentales que formalizan esta conexión. ### 3.1 La integral indefinida La integral indefinida surge como el proceso inverso de la derivación. Para una función continua $f: (a,b) \to \mathbb{R}$, una primitiva de $f$ es cualquier función $F$ tal que $F'(x) = f(x)$ para todo $x \in (a, b)$ [7](#page=7). La notación para una primitiva es: $$ \int f(x) \, dx $$ En esta expresión, $f(x)$ se denomina integrando, $x$ es la variable de integración, y $dx$ indica la variable respecto a la cual se realiza la integración. La integral indefinida de $f$ se define como el conjunto de todas sus primitivas [7](#page=7). Es crucial notar que la primitiva de una función no es única. Si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, entonces cualquier función de la forma $F(x) + k$, donde $k$ es una constante real, también es una primitiva de $f(x)$, ya que la derivada de una constante es cero: $(F(x) + k)' = F'(x) = f(x)$ [7](#page=7). > **Tip:** La diferencia formal entre la integral indefinida y la integral definida radica en los límites de integración. Las integrales definidas presentan límites numéricos, mientras que la integral indefinida representa un conjunto de funciones [7](#page=7). **Ejemplo:** Dada la función $f(x) = 2x - 1$, una primitiva es $F(x) = x^2 - x$. Sin embargo, $F(x) = x^2 - x + 1$ y $F(x) = x^2 - x + 3$ también son primitivas. En general, la integral indefinida se expresa como [7](#page=7): $$ \int (2x - 1) \, dx = x^2 - x + k $$ donde $k$ es una constante real arbitraria [7](#page=7). Si dos funciones $F(x)$ y $G(x)$ tienen la misma derivada en un intervalo, entonces difieren en una constante, es decir, $F(x) - G(x) = k$. Por ello, al escribir una integral indefinida, se suele tomar una primitiva particular y añadirle la constante de integración $k$ [8](#page=8). ### 3.2 Teoremas fundamentales del cálculo Los teoremas fundamentales del cálculo establecen una conexión profunda entre la integración (entendida como suma o área bajo una curva) y la derivación, demostrando que son procesos inversos. Estos teoremas fueron desarrollados independientemente por Newton y Leibniz en el siglo XVII [8](#page=8). #### 3.2.1 Primer teorema fundamental del Cálculo Este teorema establece que si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces la función definida como la integral de $f$ desde $a$ hasta una variable $x$ es derivable en $[a, b]$, y su derivada es la propia función $f(x)$ [9](#page=9). **Teorema 6.1 (Primer teorema fundamental del Cálculo)**. Si $f : [a, b \to \mathbb{R}$ es una función continua, entonces la función $$ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt $$ es derivable en $[a, b]$ y se cumple que $$ F'(x) = f(x) \quad \forall x \in (a, b) $$ [9](#page=9). Este teorema es fundamental porque garantiza que toda función continua en un intervalo posee una primitiva. Además, permite asegurar la existencia de primitivas incluso para funciones cuyas primitivas no pueden expresarse mediante funciones elementales, como es el caso de $f(t) = e^{-t^2}$ [10](#page=10) [8](#page=8) [9](#page=9). **Ejemplo 6.5**. La función error, utilizada en estadística, se define como: $$ \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt $$ . Aunque la primitiva de $e^{-t^2}$ no es una función elemental, la derivada de $\text{erf}(x)$ se puede encontrar directamente. Si $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt$, entonces, según el primer teorema fundamental, $F'(x) = e^{-x^2}$ [9](#page=9). **Ejemplo 6.6**. Para calcular la derivada de $F(x) = \int_a^x (t^2 \sin t + 2t) \, dt$, simplemente sustituimos $t$ por $x$ en el integrando: $$ F'(x) = x^2 \sin x + 2x $$ [10](#page=10). Si la variable de integración se encuentra en el límite inferior, se puede aplicar el teorema invirtiendo el límite de integración y cambiando el signo, como se muestra en el siguiente ejemplo. **Ejemplo 6.7**. Para $G(x) = \int_x^b (t^4 + 2)e^{-t^2} \, dt$: $$ G'(x) = -\frac{d}{dx} \int_b^x (t^4 + 2)e^{-t^2} \, dt = -(x^4 + 2)e^{-x^2} $$ [10](#page=10). #### 3.2.2 Segundo teorema fundamental del Cálculo (Regla de Barrow) El segundo teorema fundamental del Cálculo, también conocido como Regla de Barrow, proporciona un método eficiente para calcular integrales definidas utilizando primitivas. **Teorema 6.2 (Segundo teorema fundamental del Cálculo)**. Si $f(x)$ es una función continua en $[a, b]$ y $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$, entonces: $$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$ [10](#page=10) [11](#page=11). La notación $F(x)|_a^b$ se utiliza para representar $F(b) - F(a)$ [10](#page=10). **Demostración**: Se define $G(x) = \int_a^x f(t) \, dt$. Por el primer teorema fundamental, $G'(x) = f(x)$. Dado que $F(x)$ es también una primitiva de $f(x)$, se tiene que $(F-G)'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$. Esto implica que $F(x) - G(x) = k$ para alguna constante $k$. Evaluando en $x=a$, tenemos $G(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0$. Por lo tanto, $F(a) - G(a) = F(a) - 0 = k$, lo que significa que $k = F(a)$. Sustituyendo en la expresión de $F(x) - G(x)$, obtenemos $F(x) = G(x) + F(a)$. Evaluando en $x=b$, se llega a $F(b) = G(b) + F(a)$, y dado que $G(b) = \int_a^b f(x) \, dx$, se concluye que $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ [11](#page=11). Este teorema simplifica enormemente el cálculo de integrales definidas. En lugar de aproximar el área mediante sumas, basta encontrar una primitiva de la función e evaluar la diferencia de esta primitiva en los límites de integración [11](#page=11). **Ejemplo 6.8**. Para calcular $\int_0^1 e^x \, dx$, encontramos una primitiva de $e^x$, que es $F(x) = e^x$. Aplicando el segundo teorema fundamental: $$ \int_0^1 e^x \, dx = F - F = e^1 - e^0 = e - 1 $$ [1](#page=1). . Este cálculo es considerablemente más sencillo que uno basado en la definición de integral [11](#page=11). **Interpretación intuitiva**: La velocidad $v(t)$ como la derivada de la posición $x(t)$ ofrece una interpretación intuitiva de la Regla de Barrow. Si $v(t) = x'(t)$, entonces la integral definida de la velocidad entre dos instantes $a$ y $b$ representa el cambio en la posición, es decir, el espacio recorrido: $$ \int_a^b v(t) \, dt = x(b) - x(a) $$ . Si se asume que la velocidad no cambia de signo en el intervalo $[a, b]$, el lado derecho de la igualdad es el desplazamiento neto entre $a$ y $b$ [11](#page=11). --- # Técnicas de cálculo de integrales Este apartado repasa y amplía las técnicas fundamentales para el cálculo de primitivas de funciones, desde las más inmediatas hasta métodos más complejos como la integración por partes y la descomposición en fracciones simples. ### 4.1 Introducción y propiedades generales El cálculo de integrales definidas mediante límites es un proceso tedioso y poco práctico. En su lugar, se utilizan técnicas que facilitan la búsqueda de una primitiva. Es importante tener un buen dominio de estas técnicas para resolver integrales con soltura [12](#page=12). La integración, al igual que la derivación, es una operación lineal. Esto se refleja en las siguientes propiedades de la integral indefinida, si $f$ y $g$ son funciones continuas y $c$ es una constante [13](#page=13): * **Producto por una constante:** $$ \int c f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx $$ * **Integral de una suma:** $$ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx $$ **Ejemplo:** $$ \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = 3 \int x^2 \, dx - 2 \int x \, dx + 5 \int 1 \, dx = x^3 - x^2 + 5x + k $$ donde $k$ es la constante de integración [13](#page=13). ### 4.2 Integrales inmediatas Las integrales inmediatas se obtienen directamente de las derivadas de funciones usuales. Es fundamental recordar una tabla de integrales básicas. Las siguientes fórmulas son válidas en los puntos donde las expresiones tienen sentido, e $f'(x)$ representa la derivada de $f(x)$ [14](#page=14): * $$ \int a \, dx = ax + k $$ * $$ \int f(x)^a \cdot f'(x) \, dx = \frac{f(x)^{a+1}}{a+1} + k, \quad \text{si } a \neq -1 $$ * $$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + k $$ * $$ \int e^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = e^{f(x)} + k $$ * $$ \int a^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = \frac{1}{\ln a} a^{f(x)} + k $$ * $$ \int \cos(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = \sin(f(x)) + k $$ * $$ \int \sin(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = -\cos(f(x)) + k $$ * $$ \int \frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))} \, dx = \tan(f(x)) + k $$ * $$ \int \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2} \, dx = \arctan(f(x)) + k $$ * $$ \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}} \, dx = \arcsin(f(x)) + k $$ * $$ \int \frac{-f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}} \, dx = \arccos(f(x)) + k $$ **Ejemplo:** $$ \int 3 \cos^2 x \sin x \, dx = -3 \int (\cos x)^2 (-\sin x) \, dx = -\cos^3 x + k $$ Aquí, $f(x) = \cos x$ y $f'(x) = -\sin x$ [14](#page=14). **Ejemplo:** $$ \int e^x \cos(e^x) \, dx = \sin(e^x) + k $$ ya que $f(x) = e^x$, $f'(x) = e^x$ [15](#page=15). **Ejemplo:** $$ \int \frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^4}} \, dx = \int \frac{4x}{\sqrt{1 - (2x^2)^2}} \, dx = \arcsin(2x^2) + k $$ La manipulación algebraica también puede llevar integrales a ser inmediatas. Por ejemplo: $$ \int \frac{2x}{x^2+3} \, dx = \ln |x^2+3| + k $$ ya que el numerador es la derivada del denominador [15](#page=15). **Ejemplo:** $$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + k $$ Se utiliza el valor absoluto para asegurar que el argumento del logaritmo sea positivo [15](#page=15). ### 4.3 Cambio de variable Esta técnica, derivada de la regla de la cadena, permite simplificar integrales mediante la sustitución de una parte del integrando por una nueva variable, $t$. Si hacemos $x = g(t)$, entonces $dx = g'(t) \, dt$. La integral se transforma en: $$ \int f(x) \, dx = \int f(g(t)) g'(t) \, dt $$ Es crucial deshacer el cambio de variable al final para que el resultado esté en función de $x$ [16](#page=16). > **Tip:** La clave está en elegir el cambio de variable adecuado. Una buena pista es buscar si el integrando se puede descomponer en dos partes, donde una es la derivada de la otra. **Ejemplo:** Para resolver $I = \int \frac{(-3x+2)^2+1}{2} \, dx$, proponemos el cambio $t = -3x+2$. Derivando, obtenemos $dt = -3 \, dx$, por lo que $dx = -\frac{1}{3} dt$. La integral se transforma en: $$ I = \int \frac{t^2+1}{2} \left(-\frac{1}{3}\right) dt = -\frac{1}{6} \int (t^2+1) \, dt = -\frac{1}{6} \left(\frac{t^3}{3} + t\right) + k $$ Deshaciendo el cambio: $$ I = -\frac{1}{6} \left(\frac{(-3x+2)^3}{3} + (-3x+2)\right) + k $$ Otra forma de resolverla sería haberla transformado en una integral arcotangente directamente [16](#page=16). **Ejemplo:** Resolver $I = \int \cos x \sqrt{1+\sin x} \, dx$. Observamos que $\cos x$ es la derivada de $1+\sin x$. Sea $t = 1+\sin x$, entonces $dt = \cos x \, dx$. La integral se convierte en: $$ I = \int \sqrt{t} \, dt = \int t^{1/2} \, dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} + k = \frac{2}{3} (1+\sin x)^{3/2} + k $$ [16](#page=16). Para **integrales definidas**, se puede optar por transformar también los límites de integración de acuerdo con el cambio de variable. Si $x = g(t)$ con $g$ continua y derivable en $[c, d]$, y $a=g(c)$, $b=g(d)$, entonces: $$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_c^d f(g(t)) g'(t) \, dt $$ [17](#page=17). **Ejemplo:** Calcular $I = \int_0^{\pi^2} \sin(\sqrt{x}) \, dx$. Sea $t = \sqrt{x}$, entonces $dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$, o $dx = 2\sqrt{x} dt = 2t \, dt$. Los límites cambian: si $x=0$, $t=0$; si $x=\pi^2$, $t=\pi$. $$ I = \int_0^\pi \sin(t) (2t \, dt) = 2 \int_0^\pi t \sin t \, dt $$ Esta integral se resolverá más adelante [17](#page=17). ### 4.4 Integración por partes Este método se basa en la regla de la derivada de un producto: $(uv)' = u'v + uv'$. Integrando, obtenemos la fórmula de integración por partes: $$ \int uv' \, dx = uv - \int u'v \, dx $$ [18](#page=18). > **Tip:** La clave es elegir $u$ y $v'$ de tal manera que la nueva integral $\int u'v \, dx$ sea más sencilla que la original y que sea fácil derivar $u$ y encontrar una primitiva de $v'$. **Ejemplo:** Calcular $I = \int \ln x \, dx$. Elegimos $u = \ln x$ y $v' = 1$. Entonces, $u' = \frac{1}{x}$ y $v = x$. $$ I = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + k $$ [18](#page=18). A veces, es necesario aplicar la integración por partes varias veces, lo que se conoce como **integración por partes reiterada**. **Ejemplo:** Calcular $I = \int x^2 e^x \, dx$. Aplicamos integración por partes dos veces. Primera aplicación: $u = x^2$, $v' = e^x \implies u' = 2x$, $v = e^x$. $$ I = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx $$ Segunda aplicación para $\int x e^x \, dx$: $u = x$, $v' = e^x \implies u' = 1$, $v = e^x$. $$ \int x e^x \, dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx = x e^x - e^x $$ Sustituyendo de nuevo: $$ I = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + k = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + k $$ [18](#page=18). En ocasiones, la integración por partes conduce a una ecuación donde la integral original puede despejarse. **Ejemplo:** Calcular $I = \int e^x \cos x \, dx$. Primera aplicación: $u = \cos x$, $v' = e^x \implies u' = -\sin x$, $v = e^x$. $$ I = e^x \cos x - \int (-\sin x) e^x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx $$ Segunda aplicación para $\int e^x \sin x \, dx$: $u = \sin x$, $v' = e^x \implies u' = \cos x$, $v = e^x$. $$ \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx $$ Sustituyendo en la primera ecuación: $$ I = e^x \cos x + (e^x \sin x - I) $$ $$ 2I = e^x \cos x + e^x \sin x $$ $$ I = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + k $$ [19](#page=19). La integración por partes también puede generar **fórmulas de recurrencia**. **Ejemplo:** Calcular $I_n = \int \cos^n x \, dx$. Elegimos $u = \cos^{n-1} x$ y $v' = \cos x$. Entonces $u' = -(n-1) \cos^{n-2} x \sin x$ y $v = \sin x$. $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x - \int (-(n-1) \cos^{n-2} x \sin x) \sin x \, dx $$ $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \, dx $$ Usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) \, dx $$ $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \, dx - (n-1) \int \cos^n x \, dx $$ $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n $$ Despejando $I_n$: $$ n I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} $$ $$ I_n = \frac{1}{n} \sin x \cos^{n-1} x + \frac{n-1}{n} I_{n-2} $$ [20](#page=20). Para **integrales definidas**, se aplica el segundo teorema fundamental del cálculo junto con la integración por partes: $$ \int_a^b uv' \, dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'v \, dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'v \, dx $$ [20](#page=20). **Ejemplo:** Resolviendo la integral pendiente $I = \int_0^{\pi^2} \sin(\sqrt{x}) \, dx$ (de Ejemplo 6.17) por partes. Ya habíamos obtenido $I = 2 \int_0^\pi t \sin t \, dt$. Elegimos $u = t$ y $v' = \sin t$. Entonces $u' = 1$ y $v = -\cos t$. $$ I = 2 \left( [-t \cos t]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos t) \, dt \right) $$ $$ I = 2 \left( (-\pi \cos \pi - 0) + \int_0^\pi \cos t \, dt \right) $$ $$ I = 2 \left( \pi + [\sin t]_0^\pi \right) = 2 (\pi + (\sin \pi - \sin 0)) = 2\pi $$ [20](#page=20). ### 4.5 Integración de funciones racionales Se refiere a la integración de funciones de la forma $\frac{p(x)}{q(x)}$, donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios. #### 4.5.1 Descomposición en fracciones simples Si el grado de $p(x)$ es mayor o igual que el de $q(x)$, se realiza la división polinomial para obtener $P(x) + \frac{r(x)}{q(x)}$, donde el grado de $r(x)$ es menor que el de $q(x)$. El objetivo es descomponer el término racional $\frac{r(x)}{q(x)}$ en una suma de fracciones más simples [21](#page=21). La descomposición se basa en la factorización del denominador $q(x)$ en factores lineales $ (x-a_i)^{n_i} $ y factores cuadráticos irreducibles $ (x^2 + b_k x + c_k)^{m_k} $. $$ q(x) = K \prod (x-a_i)^{n_i} \prod (x^2 + b_k x + c_k)^{m_k} $$ La función racional se descompone como: $$ \frac{p(x)}{q(x)} = \sum_{i} \sum_{j=1}^{n_i} \frac{A_{i,j}}{(x-a_i)^j} + \sum_{k} \sum_{l=1}^{m_k} \frac{B_{k,l}x + C_{k,l}}{(x^2 + b_k x + c_k)^l} $$ donde $A_{i,j}$, $B_{k,l}$ y $C_{k,l}$ son constantes reales a determinar [21](#page=21). > **Tip:** Las raíces reales del denominador se identifican fácilmente para formar los primeros términos de la suma. Los factores cuadráticos irreducibles corresponden a raíces complejas o a factores no factorizables en reales. **Ejemplo:** Descomponer $\frac{2x^3 + 13x - 30}{(x+2)(x-1)^2(x^2+4)}$. Las raíces reales son $x=-2$ (multiplicidad 1) y $x=1$ (multiplicidad 2). El factor irreducible es $x^2+4$. La descomposición es: $$ \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{Dx+E}{x^2+4} $$ Igualando numeradores y dando valores a $x$ (especialmente las raíces del denominador) permite calcular los coeficientes. Para $x=1$, se obtiene $C=-1$. Para $x=-2$, se obtiene $A=-1$. Usando otros valores como $x=0, x=-1, x=2$ y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, se obtienen los valores $B=2$, $D=-1$, $E=-1$. La descomposición queda: $$ \frac{-1}{x+2} + \frac{2}{x-1} + \frac{-1}{(x-1)^2} + \frac{-x-1}{x^2+4} $$ [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23). Las integrales de estas fracciones simples son manejables: * Integrales de la forma $ \int \frac{A}{x-a} \, dx = A \ln |x-a| + k $. * Integrales de la forma $ \int \frac{A}{(x-a)^n} \, dx = \frac{A}{-(n-1)(x-a)^{n-1}} + k $ para $n \neq 1$. * Integrales con denominador irreducible de segundo grado, como $ \int \frac{Dx+E}{x^2+b x+c} \, dx $, se resuelven separando en un logaritmo y un arcotangente. **Ejemplo:** Calcular $I = \int \frac{2x^3 + 13x - 30}{(x+2)(x-1)^2(x^2+4)} \, dx$. Usando la descomposición anterior: $$ I = \int \frac{-1}{x+2} \, dx + \int \frac{2}{x-1} \, dx + \int \frac{-1}{(x-1)^2} \, dx + \int \frac{-x-1}{x^2+4} \, dx $$ Las primeras tres son inmediatas: $$ - \ln |x+2| + 2 \ln |x-1| + \frac{1}{x-1} $$ La cuarta integral se separa: $$ \int \frac{-x}{x^2+4} \, dx - \int \frac{1}{x^2+4} \, dx = -\frac{1}{2} \ln |x^2+4| - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) $$ Sumando todas las partes: $$ I = -\ln |x+2| + 2 \ln |x-1| + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2} \ln |x^2+4| - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + k $$ Combinando logaritmos y reordenando: $$ I = \ln \frac{|x-1|^2}{|x+2|\sqrt{x^2+4}} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + k $$ [23](#page=23) [24](#page=24). #### 4.5.2 Método de Hermite Este método es particularmente útil para integrales racionales con raíces múltiples en el denominador. La idea es expresar la integral racional como la suma de una derivada de una fracción racional y una integral racional más simple: $$ \int \frac{p(x)}{q(x)} \, dx = \frac{d}{dx} \left(\frac{g(x)}{q_1(x)}\right) + \int \frac{P_1(x)}{q_1(x)} \, dx $$ donde $q_1(x)$ es el factor obtenido al dividir $q(x)$ por el máximo común divisor de $q(x)$ y $q'(x)$. $q_1(x)$ contiene las mismas raíces que $q(x)$ pero con multiplicidad uno. $g(x)$ es un polinomio con las mismas raíces que $q(x)$ pero con multiplicidad reducida en uno. La integral restante $\int \frac{P_1(x)}{q_1(x)} \, dx$ es una integral racional con denominador de raíces simples. **Ejemplo:** Calcular $I = \int \frac{1}{(x+1)(x^2+1)^2} \, dx$. El denominador es $q(x) = (x+1)(x^2+1)^2$. El método de Hermite propone la forma: $$ I = \frac{d}{dx} \left(\frac{cx+d}{x^2+1}\right) + \int \left(\frac{A}{x+1} + \frac{Mx+N}{x^2+1}\right) \, dx $$ Tras realizar la derivada, igualar coeficientes y resolver el sistema de ecuaciones resultante para $c, d, A, M, N$, se obtienen los valores. Este proceso es laborioso, pero simplifica la integral final. [25](#page=25) [26](#page=26). ### 4.6 Integración de expresiones trigonométricas Muchas integrales que involucran funciones trigonométricas pueden transformarse en integrales racionales mediante el cambio de variable $t = \tan(\frac{x}{2})$. Con este cambio: * $dx = \frac{2 \, dt}{1+t^2}$ * $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ * $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ [27](#page=27). **Ejemplo:** Calcular $I = \int \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx$. Aplicando el cambio $t = \tan(\frac{x}{2})$: $$ I = \int \frac{1}{1 + \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2} \cdot \frac{2 \, dt}{1+t^2} = \int \frac{1}{\frac{(1+t^2)^2 + (2t)^2}{(1+t^2)^2}} \cdot \frac{2 \, dt}{1+t^2} $$ $$ I = \int \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2 + 4t^2} \cdot \frac{2 \, dt}{1+t^2} = \int \frac{2(1+t^2)}{1+2t^2+t^4+4t^2} \, dt = \int \frac{2(1+t^2)}{1+6t^2+t^4} \, dt $$ Esta integral racional puede resolverse. Si se utiliza el cambio $t=\tan x$ en lugar de $t=\tan(x/2)$, la integral se simplifica: $$ I = \int \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x + \sin^2 x + \sin^2 x} \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x + 2\sin^2 x} \, dx $$ Dividiendo numerador y denominador por $\cos^2 x$: $$ I = \int \frac{\sec^2 x}{1 + 2\tan^2 x} \, dx $$ Sea $u = \tan x$, $du = \sec^2 x \, dx$. $$ I = \int \frac{1}{1 + 2u^2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\frac{1}{2} + u^2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + u^2} \, du $$ $$ I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{1/\sqrt{2}}\right) + k = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan(\sqrt{2} u) + k = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\sqrt{2} \tan x) + k $$ [27](#page=27). Cuando el integrando tiene la forma $\sin^m x \cos^n x$, se recurre a identidades trigonométricas para simplificar la integral. * Si $n$ y $m$ son pares: * $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ * $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ **Ejemplo:** Calcular $I = \int \cos^2 x \sin^2 x \, dx$. $$ I = \int \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right) \, dx = \int \frac{1 - \cos^2(2x)}{4} \, dx $$ Usando de nuevo la identidad para $\cos^2$: $$ I = \frac{1}{4} \int \left(1 - \frac{1+\cos(4x)}{2}\right) \, dx = \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos(4x)}{2}\right) \, dx $$ $$ I = \frac{1}{8} \int (1 - \cos(4x)) \, dx = \frac{1}{8} \left(x - \frac{1}{4} \sin(4x)\right) + k = \frac{x}{8} - \frac{1}{32} \sin(4x) + k $$ [28](#page=28). --- # Integración numérica y aproximaciones Este tema aborda la necesidad de aproximar el valor de integrales definidas cuando su cálculo analítico es imposible o cuando solo se conocen los valores de la función en puntos discretos [29](#page=29) [30](#page=30). ### 5.1 Motivación y principios generales La integración numérica se vuelve esencial porque no siempre es posible encontrar una primitiva de una función para aplicar la Regla de Barrow. Además, en escenarios prácticos, a menudo solo se dispone de valores de la función en puntos específicos dentro del intervalo de integración. Los métodos de integración numérica se basan en la idea de que la integral definida de una función sobre un intervalo representa el área bajo su curva. La estrategia general implica dividir el intervalo de integración en subintervalos más pequeños y aplicar fórmulas de aproximación del área en cada uno de ellos, sumando luego los resultados [29](#page=29) [30](#page=30). > **Tip:** Es recomendable representar gráficamente el significado de la integración numérica para una mejor comprensión. Para minimizar errores de cálculo, se aconseja el uso de hojas de cálculo o software de cálculo simbólico [29](#page=29). ### 5.2 Métodos elementales de aproximación Los métodos elementales de integración numérica aproximan la función por polinomios sencillos cuyos valores se conocen en puntos específicos. #### 5.2.1 Fórmulas de los rectángulos Las fórmulas de los rectángulos aproximan la integral utilizando el área de rectángulos [30](#page=30). * **Fórmula del rectángulo izquierdo:** Se aproxima la integral por el área de un rectángulo con base `(b-a)` y altura `f(a)` [30](#page=30). $$ \int_a^b f(x) dx \approx f(a)(b-a) $$ * **Fórmula del rectángulo derecho:** Se aproxima la integral por el área de un rectángulo con base `(b-a)` y altura `f(b)` [30](#page=30). $$ \int_a^b f(x) dx \approx f(b)(b-a) $$ * **Fórmula del rectángulo central:** Se aproxima la integral por el área de un rectángulo con base `(b-a)` y altura `f((a+b)/2)` [30](#page=30). $$ \int_a^b f(x) dx \approx f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a) $$ > **Example:** Para la función $f(x) = x^3 - 3.3x^2 + 3x$ en el intervalo [1, 2.5, la fórmula del rectángulo izquierdo da una aproximación de 1.05, la del derecho de 3.75, y la central de 0.75 [31](#page=31). #### 5.2.2 Fórmulas compuestas de los rectángulos Para reducir el error, el intervalo `[a, b]` se divide en `n` subintervalos iguales de longitud `h = (b-a)/n`. Las fórmulas compuestas aplican el método del rectángulo en cada subintervalo y suman los resultados [32](#page=32). * **Fórmula compuesta del rectángulo izquierdo:** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) $$ donde $x_k = a + kh$. * **Fórmula compuesta del rectángulo derecho:** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) $$ donde $x_k = a + kh$. * **Fórmula compuesta del rectángulo central:** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_k + \frac{h}{2}\right) $$ donde $x_k = a + kh$. > **Example:** Aplicando las fórmulas compuestas de los rectángulos a la integral del Ejemplo 6.29 con tres subintervalos: el izquierdo aproxima la integral a 0.975, el derecho a 1.875, y el central a 1.242 [32](#page=32). #### 5.2.3 Fórmula del trapecio La fórmula del trapecio aproxima la función mediante un polinomio de grado uno (una recta) que une dos puntos consecutivos, y luego integra esta recta [32](#page=32). * **Fórmula del trapecio:** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{f(a) + f(b)}{2} (b-a) $$ Geométricamente, esto corresponde al área de un trapecio con bases $f(a)$ y $f(b)$ y altura $(b-a)$ [33](#page=33). > **Example:** Para la integral del Ejemplo 6.29, la fórmula del trapecio da una aproximación de 2.4 [33](#page=33). #### 5.2.4 Fórmula compuesta del trapecio Similar a las fórmulas compuestas de los rectángulos, el intervalo `[a, b]` se divide en `n` subintervalos iguales. Se aplica la fórmula del trapecio en cada subintervalo y se suman los resultados [33](#page=33). $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} (f_0 + 2f_1 + 2f_2 + \dots + 2f_{n-1} + f_n) $$ donde $h = (b-a)/n$ y $f_k = f(x_k)$ con $x_k = a + kh$. > **Tip:** La fórmula compuesta del trapecio se puede recordar como: $\frac{h}{2} (\text{Extremos} + 2 \times \text{Centrales})$. > **Example:** Aplicando la fórmula compuesta del trapecio con dos subintervalos a la integral del Ejemplo 6.29, se obtiene una aproximación de 1.577 [33](#page=33). #### 5.2.5 Fórmula de Simpson La fórmula de Simpson aproxima la función mediante un polinomio de grado dos (una parábola) que pasa por tres puntos: los extremos del subintervalo y el punto medio [33](#page=33). * **Fórmula de Simpson (para un solo intervalo de la forma `[a, b]` con un punto medio `(a+b)/2`):** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)}{6} (b-a) $$ #### 5.2.6 Regla de Simpson compuesta Para la regla de Simpson compuesta, el intervalo `[a, b]` se divide en `n` subintervalos, lo que requiere que el número total de puntos sea `2n` (incluyendo los extremos y los puntos medios de cada subintervalo) [34](#page=34). $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{6} (f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + \dots + 2f_{2n-2} + 4f_{2n-1} + f_{2n}) $$ donde $h = (b-a)/n$ y $f_k = f(x_k)$ con $x_k = a + kh$. > **Tip:** La regla de Simpson compuesta se puede recordar como: $\frac{h}{6} (\text{Extremos} + 2 \times \text{Pares} + 4 \times \text{Impares})$. > **Example:** Para una tabla de valores dada, la fórmula de Simpson simple aproxima la integral I a 1.23. Utilizando la fórmula compuesta de Simpson en tres subintervalos, la aproximación es 1.2333 [34](#page=34). ### 5.3 Estimaciones del error La estimación del error es crucial en métodos numéricos para evaluar la precisión de las aproximaciones [35](#page=35). #### 5.3.1 Error de la fórmula compuesta del trapecio Si se utiliza la fórmula compuesta del trapecio con `m` subintervalos, el error absoluto `$\epsilon$` satisface la siguiente cota [35](#page=35): $$ |\epsilon| \le \frac{(b-a)^3}{12m^2} M_2 $$ donde $M_2$ es una cota superior del valor absoluto de la segunda derivada de $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$, es decir, $|f''(x)| \le M_2$ para todo $x \in [a, b]$. > **Example:** Al aproximar la integral $\int_0^1 e^{-x^2} dx$ con 10 y 20 subintervalos, y sabiendo que $|f''(x)| \le 2$ en $ $, los errores máximos estimados son $\epsilon_{10} \le 1/600$ y $\epsilon_{20} \le 1/2400$ [1](#page=1) [35](#page=35) [36](#page=36). #### 5.3.2 Error de la regla de Simpson compuesta Si se utiliza la regla de Simpson compuesta con `m` subintervalos, el error absoluto `$\epsilon$` satisface la siguiente cota [36](#page=36): $$ |\epsilon| \le \frac{(b-a)^5}{2880m^4} M_4 $$ donde $M_4$ es una cota superior del valor absoluto de la cuarta derivada de $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$, es decir, $|f^{ }(x)| \le M_4$ para todo $x \in [a, b]$ [4](#page=4). > **Example:** Para aproximar $\int_0^2 f(x) dx$ con $|f^{ }(x)| \le 50$ y un error absoluto deseado menor que 0.0001, se necesita dividir el intervalo en al menos nueve subintervalos [36](#page=36) [4](#page=4). --- # Integrales impropias y paso al límite en integración Este tema explora cómo extender el concepto de integración a intervalos no acotados o funciones no acotadas, analizando su convergencia y divergencia, y estableciendo condiciones para intercambiar el orden del límite y la integral en sucesiones de funciones. ### 6.1 Integrales impropias Las integrales impropias surgen cuando el intervalo de integración no está acotado o la función a integrar no está acotada en dicho intervalo. Su cálculo se basa en la noción de límite [37](#page=37) [38](#page=38). #### 6.1.1 Integrales impropias de primera especie Estas integrales involucran intervalos de integración no acotados [38](#page=38). * **Definición:** Si $f : [a, \infty) \to \mathbb{R}$ es una función continua, la integral impropia de primera especie en $[a, \infty)$ se define como: $$ \int_{a}^{\infty} f(x) dx = \lim_{M \to \infty} \int_{a}^{M} f(x) dx $$ Si el límite existe y es un número real, la integral es **convergente**; de lo contrario, es **divergente** [38](#page=38). * **Extensión a otros intervalos:** La definición se extiende a intervalos $(-\infty, b]$ y $\mathbb{R}$: $$ \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{M \to -\infty} \int_{M}^{b} f(x) dx $$ $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{\infty} f(x) dx $$ para un número real $c$. La integral en $\mathbb{R}$ es convergente si ambas integrales son convergentes [40](#page=40). * **Ejemplos:** * Estudio de $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx$: $$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{M \to \infty} \int_{1}^{M} \frac{1}{x} dx = \lim_{M \to \infty} [\ln x]_{1}^{M} = \lim_{M \to \infty} (\ln M - \ln 1) = \infty $$ La integral es divergente [39](#page=39). * Estudio de $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ para $p \in \mathbb{R}$: * Si $p=1$, diverge (como se vio anteriormente) [39](#page=39). * Si $p \neq 1$: $$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \lim_{M \to \infty} \int_{1}^{M} x^{-p} dx = \lim_{M \to \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{M} = \lim_{M \to \infty} \frac{1}{1-p} (M^{1-p} - 1) $$ * Si $1-p > 0$ (es decir, $p < 1$), el límite es $\infty$, por lo que la integral diverge [39](#page=39). * Si $1-p < 0$ (es decir, $p > 1$), el límite es $-\frac{1}{1-p} = \frac{1}{p-1}$, por lo que la integral converge [39](#page=39). * Estudio de $\int_{0}^{\infty} e^{-kx} dx$: * Si $k=0$, la integral $\int_{0}^{\infty} 1 dx$ es divergente [39](#page=39). * Si $k \neq 0$: $$ \int_{0}^{\infty} e^{-kx} dx = \lim_{M \to \infty} \int_{0}^{M} e^{-kx} dx = \lim_{M \to \infty} \left[ -\frac{1}{k} e^{-kx} \right]_{0}^{M} = \lim_{M \to \infty} -\frac{1}{k} (e^{-kM} - 1) $$ * Si $k > 0$, $\lim_{M \to \infty} e^{-kM} = 0$, por lo que el límite es $\frac{1}{k}$, y la integral converge [40](#page=40). * Si $k < 0$, $\lim_{M \to \infty} e^{-kM} = \infty$, por lo que la integral diverge [40](#page=40). * Estudio de $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$: $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx $$ $$ = \lim_{N \to -\infty} \int_{N}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \lim_{M \to \infty} \int_{0}^{M} \frac{1}{1+x^2} dx $$ $$ = \lim_{N \to -\infty} [\arctan x]_{N}^{0} + \lim_{M \to \infty} [\arctan x]_{0}^{M} = \lim_{N \to -\infty} (0 - \arctan N) + \lim_{M \to \infty} (\arctan M - 0) $$ $$ = 0 - (-\frac{\pi}{2}) + (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi $$ La integral es convergente [40](#page=40). * **Condición necesaria para convergencia:** Si $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ converge, entonces $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$, siempre que el límite exista [40](#page=40). #### 6.1.2 Integrales impropias de segunda especie Estas integrales involucran funciones no acotadas en un intervalo acotado [40](#page=40) [41](#page=41). * **Definición:** Si $f : (a, b \to \mathbb{R}$ es una función continua y no acotada en $(a, b]$, la integral impropia de segunda especie es: $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{c \to a^{+}} \int_{c}^{b} f(x) dx $$ Si el límite es un número real, la integral es **convergente**; de lo contrario, es **divergente** [41](#page=41). De forma análoga, si $f : [a, b) \to \mathbb{R}$ es continua y no acotada en $[a, b)$, se define como: $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{c \to b^{-}} \int_{a}^{c} f(x) dx $$ * **Integrales con asíntota vertical:** Si una función $f: (a, b \to \mathbb{R}$ tiene una asíntota vertical en $x=c$, donde $c \in [a, b]$, la integral se divide en dos integrales de segunda especie [42](#page=42). * **Ejemplos:** * Estudio de $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx$ para $p \in \mathbb{R}$: * Para $c \in (0, 1]$ y $p \neq 1$: $$ \int_{c}^{1} \frac{1}{x^p} dx = \int_{c}^{1} x^{-p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{c}^{1} = \frac{1 - c^{1-p}}{1-p} $$ * Si $1-p > 0$ (es decir, $p < 1$), $\lim_{c \to 0^{+}} c^{1-p} = 0$. El límite es $\frac{1}{1-p}$, por lo que la integral converge [41](#page=41). * Si $1-p < 0$ (es decir, $p > 1$), $\lim_{c \to 0^{+}} c^{1-p} = \infty$. El límite es $\infty$, por lo que la integral diverge [41](#page=41). * Si $p=1$: $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{c \to 0^{+}} \int_{c}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{c \to 0^{+}} [\ln x]_{c}^{1} = \lim_{c \to 0^{+}} (\ln 1 - \ln c) = \lim_{c \to 0^{+}} (-\ln c) = \infty $$ La integral diverge [41](#page=41). * Estudio de $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx$: La función $\frac{1}{x^2}$ tiene una asíntota vertical en $x=0$. Se divide en dos integrales impropias de segunda especie: $$ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx $$ Ambas integrales son divergentes: $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{c \to 0^{+}} \int_{c}^{1} x^{-2} dx = \lim_{c \to 0^{+}} \left[ -x^{-1} \right]_{c}^{1} = \lim_{c \to 0^{+}} (-1 - (-\frac{1}{c})) = \lim_{c \to 0^{+}} (\frac{1}{c} - 1) = \infty $$ $$ \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{c \to 0^{-}} \int_{-1}^{c} x^{-2} dx = \lim_{c \to 0^{-}} \left[ -x^{-1} \right]_{-1}^{c} = \lim_{c \to 0^{-}} (-\frac{1}{c} - (-\frac{1}{-1})) = \lim_{c \to 0^{-}} (-\frac{1}{c} - 1) = \infty $$ Por lo tanto, la integral $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx$ es divergente [42](#page=42). #### 6.1.3 Integrales de tercera especie Son aquellas donde el intervalo de integración es no acotado y la función a integrar no está acotada simultáneamente. Se resuelven dividiéndolas en la suma de una integral de primera especie y una de segunda especie [41](#page=41). ### 6.2 Criterios de convergencia y divergencia Evaluar integrales impropias puede ser complejo, por lo que se utilizan criterios de comparación con integrales conocidas. #### 6.2.1 Criterio de comparación (primera especie) Sean $f(x) \ge 0$ y $g(x) \ge 0$ funciones continuas para $x \in [a, \infty)$. * Si $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ converge, entonces $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ también converge [43](#page=43). * Si $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ también diverge [43](#page=43). * **Ejemplo:** Estudiar la convergencia de $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}} dx$. Para $x \ge 1$, tenemos: $$ 0 \le \frac{1}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}} \le \frac{1}{\sqrt{x^4}} = \frac{1}{x^2} $$ Como $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$ converge (p=2 > 1) por el criterio de comparación, $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}} dx$ también converge [39](#page=39) [43](#page=43). Este criterio tiene un equivalente para integrales de segunda especie [43](#page=43). #### 6.2.2 Criterio de comparación mediante límite Sean $f(x) \ge 0$ y $g(x) > 0$ funciones continuas para $x \in [a, \infty)$. Sea $L = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$. * Si $L \in (0, \infty)$, entonces $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ y $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ son ambas convergentes o ambas divergentes [44](#page=44). * Si $L = 0$ y $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ converge, entonces $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ converge [44](#page=44). * Si $L = \infty$ y $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ diverge [44](#page=44). * **Ejemplo:** Estudiar la convergencia de $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x + 1} dx$. Sabemos que $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ converge (k=1 > 0) [40](#page=40). Consideremos el límite: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^x + 1}}{e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{e^x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + e^{-x}} = 1 $$ Como el límite es $1 \in (0, \infty)$ y $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ converge, la integral $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x + 1} dx$ también converge [44](#page=44). Este criterio también se puede extender a integrales de segunda especie [44](#page=44). ### 6.3 Sucesiones funcionales e integrabilidad La relación entre límite e integral en sucesiones de funciones se establece mediante el concepto de convergencia uniforme. #### 6.3.1 Proposición sobre convergencia uniforme e integrabilidad Sea $\{f_n\}$ una sucesión de funciones que converge uniformemente a la función $f$ en $[a, b]$. Si las funciones $f_n$ son continuas en $[a, b]$, entonces se puede intercambiar el límite y la integral: $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx $$ * **Ejemplo:** Sea $f_n(x) = \frac{2n \cos x + \sin(2nx)}{n}$ en $[0, \pi]$. * Convergencia puntual: $$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 2 \cos x + \frac{\sin(2nx)}{n} \right) $$ Como $0 \le \sin(2nx) \le 1$, $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin(2nx)}{n} = 0$. Por lo tanto, $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x) = 2 \cos x$ [45](#page=45). * Convergencia uniforme: $$ |f_n(x) - f(x)| = \left| \frac{2n \cos x + \sin(2nx)}{n} - 2 \cos x \right| = \left| 2 \cos x + \frac{\sin(2nx)}{n} - 2 \cos x \right| = \left| \frac{\sin(2nx)}{n} \right| \le \frac{1}{n} $$ Entonces, $\sup_{x \in [0, \pi]} |f_n(x) - f(x)| \le \frac{1}{n}$. Dado que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, la convergencia es uniforme [45](#page=45). * Cálculo de la integral del límite: Como la convergencia es uniforme y las $f_n$ son continuas, podemos intercambiar el límite y la integral: $$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\pi} f_n(x) dx = \int_{0}^{\pi} f(x) dx = \int_{0}^{\pi} 2 \cos x dx = [2 \sin x]_{0}^{\pi} = 2 \sin \pi - 2 \sin 0 = 0 - 0 = 0 $$ #### 6.3.2 Integración término a término de series Si una función $f(x)$ se representa como una serie de potencias en $(-c, c)$, $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, entonces su integral también puede calcularse término a término: $$ \int f(x) dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int a_n x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^{n+1}}{n+1} + k $$ donde $k \in \mathbb{R}$ es la constante de integración [46](#page=46). * **Ejemplo:** Calcular una primitiva de $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$ en $(-1, 1)$. $$ \int f(x) dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int (-1)^n x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + k $$ --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Integral de Riemann | Es una forma de definir formalmente la integral definida de una función continua como el límite de una suma ponderada de los valores de la función en puntos de una partición del intervalo de integración, donde la finura de la partición tiende a cero. | | Integral definida | Representa el área neta (o volumen neto) bajo una curva entre dos puntos específicos en el eje horizontal. Se calcula como el límite de las sumas de Riemann. | | Integral indefinida | Se refiere al conjunto de todas las primitivas de una función dada. Es la operación inversa de la derivación y se denota usualmente con la constante de integración 'k'. | | Primitiva | Una función $F(x)$ es una primitiva de otra función $f(x)$ si la derivada de $F(x)$ es igual a $f(x)$ en todo el intervalo considerado, es decir, $F'(x) = f(x)$. | | Suma de Riemann | Es la suma de las áreas de rectángulos que aproximan la región bajo la curva de una función. Se calcula como $\sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i$, donde $c_i$ es un punto en el subintervalo y $\Delta x_i$ es la longitud del subintervalo. | | Teorema fundamental del Cálculo | Un conjunto de dos teoremas que establecen la relación fundamental entre la derivación y la integración, permitiendo calcular integrales definidas evaluando una primitiva en los límites de integración. | | Regla de Barrow | También conocida como el segundo teorema fundamental del Cálculo, establece que la integral definida de una función $f(x)$ desde $a$ hasta $b$ es igual a $F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$. | | Cambio de variable | Una técnica de integración que sustituye la variable de integración por una nueva variable, a menudo para simplificar la integral o transformarla en una forma conocida, utilizando la regla de la cadena de la derivación. | | Integración por partes | Una técnica de integración que deriva de la regla del producto de la derivación, permitiendo integrar el producto de dos funciones mediante la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. | | Fracciones simples | Término utilizado en la descomposición de funciones racionales, donde un cociente de polinomios se expresa como una suma de fracciones con denominadores que son potencias de factores lineales o cuadráticos irreducibles del denominador original. | | Integración numérica | Métodos para aproximar el valor de una integral definida cuando no es posible calcularla analíticamente o cuando solo se conocen valores discretos de la función. | | Fórmulas de los rectángulos | Métodos de integración numérica que aproximan la integral mediante el área de rectángulos. Las fórmulas izquierda, derecha y central utilizan la altura de los rectángulos en los extremos o en el punto medio de cada subintervalo. | | Fórmula del trapecio | Un método de integración numérica que aproxima la integral mediante el área de trapecios formados por conectar puntos adyacentes de la función con líneas rectas. | | Fórmula de Simpson | Un método de integración numérica que aproxima la integral utilizando polinomios de grado dos (parábolas) para interpolar puntos de la función, ofreciendo generalmente una mayor precisión que los métodos anteriores. | | Integrales impropias | Integrales definidas donde el intervalo de integración es infinito o la función a integrar es no acotada en algún punto del intervalo. Se definen como límites de integrales definidas ordinarias. | | Convergencia de una integral | Una integral impropia se dice que es convergente si el límite que la define existe y es un número real finito. | | Divergencia de una integral | Una integral impropia se dice que es divergente si el límite que la define no existe o es infinito. | | Sucesión funcional | Una colección de funciones, indexadas por un número natural, que puede converger a otra función (puntual o uniformemente) bajo ciertas condiciones. | | Convergencia uniforme | Un tipo de convergencia de sucesiones funcionales donde la distancia máxima entre la función de la sucesión y la función límite es uniformemente pequeña en todo el intervalo. |

# Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori Ecco il riassunto di studio per l'argomento "Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori". ## 1. Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori Questo argomento introduce i concetti fondamentali per descrivere la limitatezza degli insiemi numerici, definendo gli elementi che circoscrivono un insieme e quelli che vi appartengono, culminando negli estremi superiori e inferiori. ### 1.1 Limitazione di un insieme #### 1.1.1 Insieme superiormente limitato Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice **superiormente limitato** se esiste un numero reale $M$ tale che per ogni elemento $a$ appartenente ad $A$, si ha $a \le M$. Tale numero reale $M$ è chiamato **maggiorante** dell'insieme $A$ [1](#page=1). Se un insieme non ammette alcun maggiorante, si dice **superiormente illimitato** [1](#page=1). #### 1.1.2 Insieme inferiormente limitato Analogamente, un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice **inferiormente limitato** se esiste un numero reale $m$ tale che per ogni elemento $a$ appartenente ad $A$, si ha $a \ge m$. Tale numero reale $m$ è chiamato **minorante** dell'insieme $A$ [1](#page=1). Se un insieme non ammette alcun minorante, si dice **inferiormente illimitato** [1](#page=1). #### 1.1.3 Insieme limitato Infine, un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice **limitato** se è sia superiormente che inferiormente limitato. Questo significa che esistono due numeri reali, $m$ e $M$, tali che per ogni $a \in A$, si ha $m \le a \le M$ [1](#page=1). Un'osservazione importante è che un insieme $A$ è limitato se e solo se esiste un numero reale $N$ tale che $|a| \le N$ per ogni $a \in A$ [1](#page=1). > **Tip:** La rappresentazione grafica di un insieme su una retta reale può aiutare a visualizzare i maggioranti e i minoranti. Tutti i numeri a destra di un maggiorante sono anch'essi maggioranti, e tutti i numeri a sinistra di un minorante sono anch'essi minoranti. ### 1.2 Massimo e minimo di un insieme #### 1.2.1 Definizione di massimo e minimo Un numero che è un maggiorante di un insieme $A$ e che appartiene all'insieme $A$ stesso è detto **massimo** di $A$, denotato con $\max A$ [2](#page=2). Analogamente, un numero che è un minorante di un insieme $A$ e che appartiene all'insieme $A$ stesso è detto **minimo** di $A$, denotato con $\min A$ [2](#page=2). #### 1.2.2 Proprietà di unicità del massimo e del minimo Se il massimo (o il minimo) di un insieme esiste, allora esso è unico [2](#page=2). * **Dimostrazione (per il massimo):** Supponiamo che $M$ e $M'$ siano entrambi massimi dell'insieme $A \subseteq \mathbb{R}$, con $A \neq \emptyset$. Per definizione di massimo, entrambi appartengono ad $A$ ($M \in A$, $M' \in A$) e sono maggioranti di $A$. Poiché $M$ è un maggiorante, deve valere $M' \le M$ (poiché $M'$ è un elemento di $A$). Poiché $M'$ è un maggiorante, deve valere $M \le M'$ (poiché $M$ è un elemento di $A$). Dalle due disuguaglianze, segue che $M = M'$. La dimostrazione per il minimo è analoga [2](#page=2). > **Tip:** Non tutti gli insiemi ammettono massimo o minimo. Ad esempio, l'intervallo aperto $(0, 1)$ non ammette né massimo né minimo. ### 1.3 Estremo superiore ed estremo inferiore #### 1.3.1 Definizione di estremo superiore ed inferiore Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e superiormente limitato. Un numero reale $S$ è detto **estremo superiore** di $A$, denotato con $\sup A$, se $S$ è il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$. In altre parole, $S = \min \{M \in \mathbb{R} \mid M \text{ è maggiorante di } A\}$ [3](#page=3). Analogamente, sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e inferiormente limitato. Un numero reale $I$ è detto **estremo inferiore** di $A$, denotato con $\inf A$, se $I$ è il massimo dell'insieme dei minoranti di $A$. In altre parole, $I = \max \{m \in \mathbb{R} \mid m \text{ è minorante di } A\}$ [3](#page=3). #### 1.3.2 Proprietà di unicità dell'estremo superiore ed inferiore Se l'estremo superiore (o l'estremo inferiore) di un insieme esiste, allora esso è unico. Questo segue direttamente dall'unicità del massimo e del minimo, poiché l'estremo superiore è il minimo dei maggioranti e l'estremo inferiore è il massimo dei minoranti [3](#page=3). #### 1.3.3 Relazione tra estremi e massimo/minimo Ci sono due osservazioni cruciali riguardo la relazione tra estremi e massimo/minimo: 1. Se $\sup A \in A$, allora $A$ ammette massimo e si ha $\max A = \sup A$ [3](#page=3). 2. Se $\inf A \in A$, allora $A$ ammette minimo e si ha $\min A = \inf A$ [3](#page=3). > **Tip:** È un errore comune confondere la definizione di estremo superiore/inferiore con quelle di massimo/minimo. La definizione di $\sup A$ e $\inf A$ si basa su quelle di $\max$ e $\min$ (dei rispettivi insiemi di maggioranti/minoranti), e non viceversa [3](#page=3). #### 1.3.4 Teorema di completezza (seconda forma) Questo teorema fondamentale afferma che ogni insieme non vuoto di numeri reali che è superiormente limitato ammette un estremo superiore. Analogamente, ogni insieme non vuoto di numeri reali che è inferiormente limitato ammette un estremo inferiore. Questo principio è noto anche come assioma di completezza di $\mathbb{R}$ [3](#page=3). > **Esempio:** Consideriamo l'insieme $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \text{ e } x < 2\}$. Questo insieme è superiormente limitato. L'insieme dei maggioranti di $A$ è $[2, +\infty)$. Il minimo di questo insieme di maggioranti è 2. Quindi, $\sup A = 2$. Poiché $2 \notin A$, l'insieme $A$ non ammette massimo. L'insieme dei minoranti di $A$ è $(-\infty, 0]$. Il massimo di questo insieme di minoranti è 0. Quindi, $\inf A = 0$. Poiché $0 \notin A$, l'insieme $A$ non ammette minimo [3](#page=3). --- # Teorema di completezza e caratterizzazione di sup e inf Questo argomento esplora il Teorema di Completezza di Dedekind e la sua applicazione agli insiemi numerici reali, introducendo contemporaneamente i teoremi che definiscono in modo rigoroso l'estremo superiore e l'estremo inferiore di un insieme. ### 2.1 Definizione di estremo superiore e inferiore Un numero $s$ è definito come estremo superiore (o supremum, $\sup$) di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ se $s$ è il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$. Formalmente, $s = \sup A$ se e solo se [3](#page=3): 1. $s$ è un maggiorante di $A$ (cioè, per ogni $x \in A$, si ha $x \leq s$) [3](#page=3). 2. Per ogni $\epsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a > s - \epsilon$ [4](#page=4). Analogamente, un numero $i$ è definito come estremo inferiore (o infimum, $\inf$) di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ se $i$ è il massimo dell'insieme dei minoranti di $A$. Formalmente, $i = \inf A$ se e solo se [3](#page=3): 1. $i$ è un minorante di $A$ (cioè, per ogni $x \in A$, si ha $x \geq i$) [3](#page=3). 2. Per ogni $\epsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a < i + \epsilon$ [4](#page=4). > **Osservazione:** Se l'estremo superiore o inferiore appartiene all'insieme $A$, allora esso coincide rispettivamente con il massimo o il minimo dell'insieme. Tuttavia, è cruciale ricordare che le definizioni di $\sup A$ e $\inf A$ non dipendono dal fatto che tali elementi appartengano o meno all'insieme $A$ [3](#page=3). > **Tip:** È un errore comune confondere la definizione di massimo/minimo con quella di estremo superiore/inferiore. La definizione di $\sup$ e $\inf$ è più generale e non richiede che tali elementi appartengano all'insieme stesso. ### 2.2 Teorema di completezza (seconda forma) Il Teorema di Completezza, nella sua seconda forma, stabilisce che ogni sottoinsieme non vuoto di numeri reali $\mathbb{R}$, se superiormente limitato, ammette un estremo superiore. Analogamente, ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$, se inferiormente limitato, ammette un estremo inferiore [3](#page=3). **Enunciato:** Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e limitato superiormente (o inferiormente). Allora $A$ ammette un estremo superiore (o inferiore) in $\mathbb{R}$ [3](#page=3). > **Osservazione:** Questo teorema non è valido per l'insieme dei numeri razionali ($\mathbb{Q}$). Ad esempio, l'insieme dei razionali il cui quadrato è minore di 2, pur essendo limitato superiormente in $\mathbb{Q}$ (ad esempio da 2), non ammette un estremo superiore in $\mathbb{Q}$ perché $\sqrt{2}$ non è razionale [4](#page=4). ### 2.3 Teorema di caratterizzazione del sup e dell'inf Questo teorema fornisce un criterio alternativo per verificare se un numero è l'estremo superiore o inferiore di un insieme. **Teorema:** Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto. I) Se $A$ è superiormente limitato, allora $s = \sup A$ se e solo se valgono le seguenti due condizioni: a) $s$ è un maggiorante di $A$ (cioè, $\forall x \in A, x \leq s$) [4](#page=4). b) Per ogni $\epsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a > s - \epsilon$ (equivalente a dire che $s - \epsilon$ non è un maggiorante di $A$) [4](#page=4). II) Se $A$ è inferiormente limitato, allora $i = \inf A$ se e solo se valgono le seguenti due condizioni: a) $i$ è un minorante di $A$ (cioè, $\forall x \in A, x \geq i$) [4](#page=4). b) Per ogni $\epsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a < i + \epsilon$ (equivalente a dire che $i + \epsilon$ non è un minorante di $A$) [4](#page=4). --- # Potenze, radici e logaritmi Questo capitolo definisce rigorosamente potenze (intere, razionali, reali), radici e logaritmi, analizzando le loro proprietà e il teorema di esistenza del logaritmo [4](#page=4). ### 3.1 Potenze intere Siano $a \in \mathbb{R}$ e $p \in \mathbb{Z}$. La potenza intera si definisce come segue [4](#page=4): * Se $p > 0$, $a^p = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ($p$ volte) [4](#page=4). * Se $p < 0$ e $a \neq 0$, $a^p = \frac{1}{a^{-p}}$ [4](#page=4). * Se $p = 0$ e $a \neq 0$, $a^0 = 1$ [4](#page=4). ### 3.2 Radici Siano $y \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$ [4](#page=4). * **Radice n-esima:** Se $n$ è dispari, esiste un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che $x^n = y$. Questo $x$ è la radice n-esima di $y$, denotata $\sqrt[n]{y}$ [5](#page=5). * **Radice n-esima (casi particolari):** * Se $n$ è pari, $\sqrt[n]{y}$ ha senso solo se $y \ge 0$. In questo caso, $\sqrt[n]{y} \ge 0$ [5](#page=5). * $\sqrt {x} = |x|$ è una corretta interpretazione quando si considera la radice quadrata come operazione inversa dell'elevamento al quadrato [2](#page=2) [5](#page=5). > **Tip:** Ricorda che per $n$ pari, la radice n-esima restituisce sempre un valore non negativo. ### 3.3 Potenze razionali Siano $a \in \mathbb{R}, a \ge 0$ e $p, q \in \mathbb{Z}$ con $q > 0$ [5](#page=5). La potenza razionale è definita come: $$a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$$ se $a \neq 0$ oppure $p = 0$ [5](#page=5). ### 3.4 Potenze reali Siano $a \in \mathbb{R}, a > 0$ e $r \in \mathbb{R}$ [5](#page=5). * Se $a > 1$, $a^r = \sup \{a^s: s \in \mathbb{Q}, s < r\}$ [5](#page=5). * Se $a = 1$, $a^r = 1$ [5](#page=5). * Se $a \in (0, 1)$, $a^r = \sup \{a^s: s \in \mathbb{Q}, s > r\}$ [5](#page=5). Analogamente si definisce per $r < 0$ [5](#page=5). **Proprietà grafiche delle potenze:** [5](#page=5) [6](#page=6). 1. Se $a > 1$, la funzione $y = a^x$ è crescente [6](#page=6). 2. Se $a = 1$, la funzione $y = a^x$ è costante e vale 1 [6](#page=6). 3. Se $a \in (0, 1)$, la funzione $y = a^x$ è decrescente [6](#page=6). ### 3.5 Teorema di esistenza del logaritmo Siano $a, y \in \mathbb{R}$ entrambi positivi e con $a \neq 1$ [6](#page=6). Allora, esiste un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che $a^x = y$. Questo $x$ è denotato con $\log_a y$ (logaritmo in base $a$ di $y$) [6](#page=6). L'unicità di $x$ è garantita dal teorema di completezza dei numeri reali, e $x$ è individuato come [6](#page=6): * $x = \sup \{s \in \mathbb{Q}: a^s < y\}$ se $a > 1$ [6](#page=6). * $x = \sup \{s \in \mathbb{Q}: a^s > y\}$ se $a \in (0, 1)$ [6](#page=6). **Regola mnemonica:** $\log_a y$ è l'esponente a cui devo elevare la base $a$ per ottenere $y$ [6](#page=6). **Grafici dei logaritmi:** [7](#page=7). 1. Se $a > 1$, la funzione $y = \log_a x$ ha un grafico crescente [7](#page=7). 2. Se $a \in (0, 1)$, la funzione $y = \log_a x$ ha un grafico decrescente [7](#page=7). ### 3.6 Proprietà dei logaritmi Siano $a > 0, a \neq 1$ e $x, y > 0$. Valgono le seguenti proprietà [7](#page=7): 1. $\log_a a = 1$ [7](#page=7). 2. $\log_a (a^b) = b$ [7](#page=7). 3. $\log_a 1 = 0$ [7](#page=7). 4. $\log_a (xy) = \log_a |x| + \log_a y$ [7](#page=7). 5. $\log_a (x^z) = z \log_a x$ [7](#page=7). * Caso particolare: $\log_a \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_a x$ [7](#page=7). 6. $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a |x| - \log_a y$ [7](#page=7). 7. **Formula del cambio di base:** $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ [7](#page=7). * Caso particolare: $\log_a b = \frac{\log_a b}{\log_a a} = \log_a b$. (Questa è una tautologia che può essere usata per ricordare la formula generale) [7](#page=7). --- # Esercizi di ricapitolazione Questa sezione si concentra sulla risoluzione pratica di equazioni con radici, ponendo un'enfasi particolare sulla determinazione del campo di esistenza e sull'applicazione corretta delle proprietà algebriche [8](#page=8) [9](#page=9). ### 4.1 Risoluzione di equazioni irrazionali La risoluzione di equazioni irrazionali, ovvero quelle contenenti incognite sotto il segno di radice, richiede una procedura attenta che inizia con la definizione del campo di esistenza (C.d.E.) [8](#page=8). #### 4.1.1 Determinazione del campo di esistenza Il campo di esistenza è fondamentale perché garantisce che le espressioni sotto radice siano ben definite (non negative) e che la soluzione trovata sia valida per l'equazione originale [8](#page=8). * Per radici quadrate, il radicando (l'espressione sotto la radice) deve essere maggiore o uguale a zero. Se un'equazione presenta più radici, tutti i rispettivi radicandi devono soddisfare questa condizione simultaneamente [8](#page=8) [9](#page=9). #### 4.1.2 Applicazione delle proprietà algebriche Una volta stabilito il campo di esistenza, è possibile manipolare l'equazione per isolare la radice e procedere alla sua eliminazione, solitamente tramite l'elevamento al quadrato di entrambi i membri [8](#page=8) [9](#page=9). * **Condizione per elevare al quadrato**: È cruciale assicurarsi che entrambi i membri dell'equazione siano non negativi prima di elevarli al quadrato. Se un membro è negativo, elevarlo al quadrato potrebbe introdurre soluzioni estranee. Ad esempio, l'equazione $2 = -5$ è falsa, ma elevando al quadrato si otterrebbe $4 = 25$, che è anch'essa falsa. Tuttavia, se elevassimo al quadrato senza controllare, potremmo considerare valide manipolazioni errate [9](#page=9). > **Tip:** Dopo aver trovato le soluzioni dall'equazione manipolata, è **obbligatorio** verificare che ciascuna soluzione appartenga al campo di esistenza definito inizialmente. Solo le soluzioni che soddisfano sia le condizioni algebriche sia quelle del campo di esistenza sono da considerarsi valide per l'equazione irrazionale originale [8](#page=8) [9](#page=9). #### 4.1.3 Esempi pratici **Esempio 1: Equazione con una radice quadrata** Risolvere $\sqrt{x+1} = 4$ [8](#page=8). 1. **Campo di esistenza**: Il radicando $x+1$ deve essere maggiore o uguale a zero: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$ [8](#page=8). 2. **Elevamento al quadrato**: Poiché entrambi i membri ($ \sqrt{x+1} $ e $4$) sono non negativi nel C.d.E., possiamo elevarli al quadrato: $(\sqrt{x+1})^2 = 4^2$ $x+1 = 16$ $x = 15$ [8](#page=8). 3. **Verifica nel C.d.E.**: La soluzione $x=15$ soddisfa la condizione $x \ge -1$ ($15 \ge -1$). 4. **Soluzione**: Pertanto, $x=15$ è la soluzione valida dell'equazione [8](#page=8). **Esempio 2: Equazione con due radici quadrate e un termine lineare** Risolvere $\sqrt{x^2+x-1} = \sqrt{x}$ [9](#page=9). 1. **Campo di esistenza**: Dobbiamo avere contemporaneamente: * $x^2+x-1 \ge 0$. Le radici di $x^2+x-1=0$ sono $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Quindi, $x^2+x-1 \ge 0$ per $x \le \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ o $x \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ [1](#page=1). * $x \ge 0$. La combinazione di queste condizioni porta a un C.d.E. di $x \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ [8](#page=8) [9](#page=9). 2. **Elevamento al quadrato**: Entrambi i membri sono non negativi nel C.d.E. (poiché $x \ge 0$). Eleviamo al quadrato: $(\sqrt{x^2+x-1})^2 = (\sqrt{x})^2$ $x^2+x-1 = x$ $x^2 - 1 = 0$ $x^2 = 1$ Le soluzioni sono $x = \pm 1$ [9](#page=9). 3. **Verifica nel C.d.E.**: Dobbiamo controllare quali di queste soluzioni appartengono al C.d.E. $x \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (circa $x \ge 0.618$). * $x=1$: $1 \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ è vera. * $x=-1$: $-1 \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ è falsa. 4. **Soluzione**: L'unica soluzione valida è $x=1$ [9](#page=9). > **Osservazione importante:** Quando si eleva al quadrato un'equazione, è fondamentale controllare che entrambi i membri siano non negativi nel campo di esistenza. Ignorare questa condizione può portare all'introduzione di soluzioni spurie [9](#page=9). --- ## Errori comuni da evitare - Rivedete tutti gli argomenti accuratamente prima degli esami - Prestate attenzione alle formule e definizioni chiave - Praticate con gli esempi forniti in ogni sezione - Non memorizzate senza comprendere i concetti sottostanti

| Termine | Definizione | |------|------------| | Maggiorante | Un numero M appartenente all'insieme dei numeri reali è detto maggiorante di un insieme A se ogni elemento di A è minore o uguale a M. | | Minorante | Un numero m appartenente all'insieme dei numeri reali è detto minorante di un insieme A se ogni elemento di A è maggiore o uguale a m. | | Massimo di un insieme | Il massimo di un insieme A, denotato con max A, è un maggiorante di A che appartiene ad A stesso. Se esiste, è unico. | | Minimo di un insieme | Il minimo di un insieme A, denotato con min A, è un minorante di A che appartiene ad A stesso. Se esiste, è unico. | | Estremo superiore (sup A) | L'estremo superiore di un insieme A, denotato con sup A, è il minimo dell'insieme dei maggioranti di A. | | Estremo inferiore (inf A) | L'estremo inferiore di un insieme A, denotato con inf A, è il massimo dell'insieme dei minoranti di A. | | Teorema di completezza (2° forma) | Afferma che ogni sottoinsieme non vuoto di numeri reali che è superiormente limitato ammette un estremo superiore in R. Analogamente per l'estremo inferiore se il sottoinsieme è inferiormente limitato. | | Potenza intera | Per $a \in \mathbb{R}$ e $p \in \mathbb{Z}$: se $p > 0$, $a^p = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ (p volte); se $p < 0$ e $a \neq 0$, $a^p = \frac{1}{a^{-p}}$; se $p = 0$ e $a \neq 0$, $a^0 = 1$. | | Radice n-esima | La radice n-esima di un numero reale y, denotata con $\sqrt[n]{y}$, è quel numero reale x tale che $x^n = y$. Per $n$ pari, si richiede $y \ge 0$ e si assume la radice non negativa; per $n$ dispari, è definita per ogni $y \in \mathbb{R}$. | | Potenza razionale | Per $a \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$ e $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ con $q > 0$, $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$. | | Potenza reale | Per $a \in \mathbb{R}$, $a > 0$, la potenza reale $a^z$ con $z \in \mathbb{R}$ è definita come l'estremo superiore dell'insieme $\{a^q \mid q \in \mathbb{Q}, q \le z\}$ se $a > 1$, come 1 se $a = 1$, e come l'estremo inferiore dell'insieme $\{a^q \mid q \in \mathbb{Q}, q \le z\}$ se $a \in (0, 1)$. | | Logaritmo | Il logaritmo in base a di y, denotato con $\log_a y$, è l'esponente x tale che $a^x = y$. È definito per $a > 0$, $a \neq 1$ e $y > 0$. |

# Introduction aux suites numériques Ce chapitre introduit la notion de suite numérique, ses modes de définition et les concepts de bornes et de variations. ### 1.1 Notion de suite numérique Une suite numérique est une application d'une partie de $\mathbb{N}$ (les entiers naturels) vers $\mathbb{R}$ (les nombres réels). Le terme $u(n)$ est noté $u_n$ et est appelé le $n$-ième terme ou terme général de la suite. Dans ce contexte, le terme "suite" sera utilisé à la place de "suite numérique" pour plus de concision [5](#page=5). Une suite est généralement notée sous la forme $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)$ lorsque l'ensemble des indices $n$ est clair. Si l'indice commence à un rang $n_0$, on note $(u_n)_{n \geqslant n_0}$ [5](#page=5). #### 1.1.1 Modes de définition d'une suite Il existe deux principales manières de définir une suite : 1. **Formule explicite:** La suite est définie par une formule explicite de la forme $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction [6](#page=6). > **Example:** La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 3n - 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est un exemple de suite définie par une formule explicite, où la fonction $f$ est $x \mapsto 3x - 1$ [6](#page=6). 2. **Relation de récurrence:** La suite est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$, accompagnée de la donnée d'un terme initial [6](#page=6). #### 1.1.2 Bornes d'une suite La définition de bornes permet de caractériser le comportement de croissance ou de décroissance d'une suite. * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **majorée** s'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n \leqslant M$ [6](#page=6). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **minorée** s'il existe un nombre réel $m$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $m \leqslant u_n$ [6](#page=6). * Une suite est dite **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée [6](#page=6). > **Example:** La Figure 12.1 illustre des suites majorées et minorées [6](#page=6). ### 1.2 Variations d'une suite L'étude des variations d'une suite permet de décrire sa tendance d'évolution (croissance ou décroissance). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **croissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geqslant u_n$ [6](#page=6). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **strictement croissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} > u_n$ [6](#page=6). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **décroissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leqslant u_n$ [6](#page=6). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **strictement décroissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} < u_n$ [6](#page=6). --- # Étude des variations et limites des suites Ce chapitre explore la croissance, la décroissance et la monotonicité des suites, ainsi que la formalisation rigoureuse des limites finies et infinies et la notion de convergence. ### 2.1 Variations d'une suite L'étude des variations d'une suite permet de comprendre comment ses termes évoluent. **Définition 2.1.1.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite. On dit que cette suite est : * **majorée** si: $\exists M \in \mathbb{R}: \forall n \in \mathbb{N}, u_n \leqslant M$ [6](#page=6). * **minorée** si: $\exists m \in \mathbb{R}: \forall n \in \mathbb{N}, m \leqslant u_n$ [6](#page=6). * **bornée** si elle est majorée et minorée [6](#page=6). **Définition 2.1.2.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite. On dit que cette suite est : * **croissante** si: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \geqslant u_n$ [6](#page=6). * **strictement croissante** si: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} > u_n$ [6](#page=6). * **décroissante** si: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \leqslant u_n$ [6](#page=6). * **strictement décroissante** si: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} < u_n$ [6](#page=6). * **monotone** si elle est croissante ou décroissante [7](#page=7). * **strictement monotone** si elle est strictement croissante ou strictement décroissante [7](#page=7). > **Tip:** La méthode standard pour étudier les variations d'une suite est d'étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ [8](#page=8). **Exemple 2.1.3.** La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = n^2 + 3n + 2$ est strictement croissante. En effet, $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 3(n+1) + 2 - (n^2 + 3n + 2) = 2n + 1$. Comme $n \in \mathbb{N}$, $2n+1 > 0$, donc $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ [7](#page=7). **Exemple 2.1.4.** La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = n^2 - 8n + 15$ n'est ni croissante ni décroissante. En effet, $u_0 = 15$, $u_1 = 8$ (donc $u_0 > u_1$), et $u_4 = -1$, $u_5 = 0$ (donc $u_4 < u_5$). Ceci prouve que la suite n'est pas monotone [7](#page=7). ### 2.2 Limite d'une suite La notion de limite formalise l'idée qu'une suite se stabilise autour d'une valeur lorsque son indice devient très grand. #### 2.2.1 Limite finie Intuitivement, une suite $(u_n)$ tend vers une limite finie $\ell$ si ses termes se rapprochent de plus en plus de $\ell$ à mesure que $n$ augmente. Formellement, cela signifie que pour toute tolérance $\varepsilon > 0$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon[$. **Définition 2.2.1.1.** La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ a pour limite $\ell$ si : $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_0, |u_n - \ell| < \varepsilon $$ On dit aussi que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend (ou converge) vers $\ell$ et on note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ [8](#page=8). > **Tip:** Le rang $n_0$ dépend de $\varepsilon$. Plus $\varepsilon$ est petit, plus $n_0$ est potentiellement grand. Il n'est pas nécessaire de trouver le plus petit $n_0$, mais juste un qui satisfasse la condition [9](#page=9). **Exemple 2.2.1.2.** Considérons la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \frac{n+1}{n}$. Intuitivement, pour $n$ grand, $u_n$ tend vers 1 [9](#page=9). Pour le prouver formellement, soit $\varepsilon > 0$. On cherche $n_0$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$, $|u_n - 1| < \varepsilon$. $$ \left|\frac{n+1}{n} - 1\right| < \varepsilon $$ $$ \left|\frac{n+1 - n}{n}\right| < \varepsilon $$ $$ \left|\frac{1}{n}\right| < \varepsilon $$ Comme $n > 0$, ceci équivaut à $\frac{1}{n} < \varepsilon$, soit $n > \frac{1}{\varepsilon}$. On peut choisir $n_0 = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil + 1$. Ainsi, pour tout $n \geqslant n_0$, on a $n > \frac{1}{\varepsilon}$, ce qui implique $|u_n - 1| < \varepsilon$. La suite converge donc vers 1 [10](#page=10). #### 2.2.2 Limite infinie Une suite peut également tendre vers l'infini, positif ou négatif. **Définition 2.2.2.1.** On dit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ si : $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_0, u_n > \varepsilon $$ Intuitivement, cela signifie que les valeurs de la suite deviennent arbitrairement grandes à mesure que $n$ augmente [11](#page=11). **Exemple 2.2.2.2.** Considérons la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = n^2$. Pour prouver qu'elle tend vers $+\infty$, soit $\varepsilon > 0$. On cherche $n_0$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$, $n^2 > \varepsilon$ [11](#page=11). Ceci équivaut à $n > \sqrt{\varepsilon}$ (car $n > 0$). On peut choisir $n_0 = \lceil \sqrt{\varepsilon} \rceil + 1$. Ainsi, pour tout $n \geqslant n_0$, on a $n > \sqrt{\varepsilon}$, ce qui implique $n^2 > \varepsilon$. La suite $(u_n)$ tend donc vers $+\infty$ [12](#page=12). **Définition 2.2.2.3.** On dit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$ si : $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_0, u_n < -\varepsilon $$ Intuitivement, cela signifie que les valeurs de la suite deviennent arbitrairement petites (grands négatifs) à mesure que $n$ augmente [12](#page=12). #### 2.2.3 Convergence d'une suite La convergence est une propriété fondamentale des suites. **Définition 2.2.3.1.** On dit qu'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est **convergente** si elle admet une limite finie. Dans le cas contraire, on dit que la suite est **divergente** [12](#page=12). **Exemple 2.2.3.2.** * La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ avec $u_n = \frac{n+1}{n}$ est convergente car sa limite est 1 [13](#page=13). * La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $v_n = n^2$ est divergente car sa limite est $+\infty$ [13](#page=13). * La suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $w_n = (-1)^n$ est divergente car elle n'a pas de limite (elle oscille entre -1 et 1) [13](#page=13). #### 2.2.4 Propriétés des limites Les propriétés des limites permettent de simplifier le calcul de limites. **Théorème 2.2.4.1 (Unicité de la Limite).** Si une suite admet une limite, alors cette limite est unique [13](#page=13). **Théorème 2.2.4.2.** Toute suite croissante et majorée converge [13](#page=13). **Théorème 2.2.4.3.** Toute suite décroissante et minorée converge [13](#page=13). **Corollaire 2.2.4.4.** Toute suite monotone et bornée converge [13](#page=13). **Proposition 2.2.4.5.** Supposons que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\ell$ et que la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\ell'$. Nous obtenons : * Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, la suite $(\lambda u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et: $\lim_{n \to +\infty} (\lambda u_n) = \lambda \ell$ [13](#page=13). * La suite $(u_n + v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \ell + \ell'$ [13](#page=13). * La suite $(u_n \times v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et $\lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = \ell \times \ell'$ [13](#page=13). * Si $\ell \neq 0$, alors la suite $(\frac{1}{u_n})_{n \in \mathbb{N}}$ est définie au voisinage de $+\infty$ et converge vers $\frac{1}{\ell}$ [13](#page=13). **Proposition 2.2.4.6.** Supposons que $u_n \leqslant v_n$ pour tout $n$ suffisamment grand. Nous avons : * Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $(v_n)$ converge vers $\ell'$, alors $\ell \leqslant \ell'$ [13](#page=13). * Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(v_n)$ aussi [13](#page=13). * Si $(v_n)$ diverge vers $-\infty$, alors $(u_n)$ aussi [13](#page=13). --- # Familles importantes de suites numériques Voici un résumé détaillé des familles importantes de suites numériques, basé sur le contenu des pages 10 à 18 du document. ## 3 Familles importantes de suites numériques Ce chapitre explore les propriétés et le comportement des suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et récurrentes, en se concentrant sur leurs définitions, leurs formules explicites et leurs limites. ### 3.1 Suites arithmétiques Une suite arithmétique est caractérisée par une différence constante entre deux termes consécutifs. #### 3.1.1 Définition et propriétés **Définition 12.26.** Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite arithmétique s'il existe un réel $r$ appelé raison tel que : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + r $$ **Proposition 12.27.** Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors : * $ \forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N}, u_n = u_p + (n - p) r $ * $ \forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0 + n r $ (formule explicite) [14](#page=14). **Proposition 12.28.** Pour toute suite arithmétique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de raison $r$ : * Si $r > 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante [14](#page=14). * Si $r < 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante [14](#page=14). * Si $r = 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante [14](#page=14). **Proposition 12.29.** Pour toute suite arithmétique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de raison $r$ : * Si $r > 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $ + \infty $ [15](#page=15). * Si $r < 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $ - \infty $ [15](#page=15). * Si $r = 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $u_0$ [15](#page=15). #### 3.1.2 Exemple > **Exemple 12.30.** Considérons les suites arithmétiques : > $u_{n+1} = u_n - 5$, avec $u_0 = 4$. > $v_{n+1} = v_n + 2$, avec $v_0 = -3$. > > Les formules explicites sont : > $u_n = -5n + 4$ [15](#page=15). > $v_n = 2n - 3$ [15](#page=15). > > La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et diverge vers $ - \infty $. > La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante et diverge vers $ + \infty $ [15](#page=15). ### 3.2 Suites géométriques Une suite géométrique est caractérisée par un rapport constant entre deux termes consécutifs. #### 3.2.1 Définition et propriétés **Définition 12.31.** Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite géométrique s'il existe un réel $q$ appelé raison tel que : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = q u_n $$ **Proposition 12.32.** Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q$, alors : * $ \forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N}, u_n = u_p q^{n-p} $ * $ \forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0 q^n $ (formule explicite) [15](#page=15). **Proposition 12.33.** Soit $q$ un nombre réel : * Si $q > 1$, alors $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $ + \infty $ [15](#page=15). * Si $q = 1$, alors $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $1$ (la suite est constante) [15](#page=15). * Si $ -1 < q < 1 $, alors $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$ [15](#page=15). * Si $ q \leqslant -1 $, alors $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge sans limite [16](#page=16). **Remarque 12.34.** Pour déterminer les variations et le comportement à l'infini d'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de raison $q$, il faut utiliser le résultat précédent et prendre en compte la valeur et le signe de $u_0$ (formule explicite) [16](#page=16). #### 3.2.2 Somme des termes d'une suite géométrique **Proposition 12.36.** Si $q \neq 1$ : $$ \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $$ > **Exemple 12.37.** Nous avons : > $ \sum_{k=0}^{10} 2^k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{10+1}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047 $ [16](#page=16). Ce résultat se généralise aux suites géométriques de raison différente de 1. **Proposition 12.38 (Somme des $k+1$ premiers termes).** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$. On a : $$ \sum_{n=0}^{k} u_n = u_0 \frac{1 - q^{k+1}}{1 - q} $$ **Proposition 12.39 (Sommes de termes consécutifs).** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$. On a : $$ \sum_{n=n_0}^{n_1} u_n = u_{n_0} \frac{1 - q^{n_1-n_0+1}}{1 - q} $$ #### 3.2.3 Exemple > **Exemple 12.35.** Considérons les suites : > $ u_{n+1} = -\frac{1}{2} u_n $, avec $u_0 = 4$. > $ v_{n+1} = 2 v_n $, avec $v_0 = -3$. > > Les formules explicites sont : > $ u_n = 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^n $ [16](#page=16). > $ v_n = -3 \times 2^n $ [16](#page=16). > > La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'est ni croissante ni décroissante (elle change de signe constamment – elle est dite alternée) et converge vers $0$. > La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et diverge vers $ - \infty $ [16](#page=16). ### 3.3 Suites arithmético-géométriques Ces suites généralisent les suites arithmétiques et géométriques, impliquant une transformation affine. #### 3.3.1 Définition et propriétés **Définition 12.40.** Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite arithmético-géométrique s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = a u_n + b $$ **Remarque 12.41.** Lorsque $b=0$, la suite est géométrique (de raison $a$). Lorsque $a=1$, la suite est arithmétique (de raison $b$) [17](#page=17). **Proposition 12.42.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmético-géométrique définie par : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = a u_n + b \text{ avec } a \neq 1 $$ Posons $ \ell = \frac{b}{1-a} $ et considérons la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $$ \forall n \in \mathbb{N}, v_n = u_n - \ell $$ Alors, la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $a$ [17](#page=17). > **Exemple 12.43.** Considérons la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : > $ u_{n+1} = 3 u_n + 4 $ [17](#page=17). > Posons $ \ell = \frac{4}{1-3} = -2 $. La suite dont le terme général $v_n$ est : > $ v_n = u_n + 2 $ [17](#page=17). > est une suite géométrique de raison $3$. **Proposition 12.44.** Avec les notations de la proposition précédente, si la suite arithmético-géométrique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, alors sa limite est $ \ell $ [18](#page=18). **Remarque 12.45.** Ce résultat implique la recherche du point fixe de la transformation affine sous-jacente et sera généralisé dans l'étude des suites récurrentes [18](#page=18). ### 3.4 Suites récurrentes Ces suites sont définies par une relation de récurrence impliquant une fonction. #### 3.4.1 Définition **Définition 12.46.** On appelle suite récurrente toute suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle qu'il existe une fonction $f: I \to \mathbb{R}$, où l'intervalle $I$ est stable par $f$, vérifiant : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n) $$ avec $u_0 \in I$ [18](#page=18). #### 3.4.2 Exemples > **Exemple 12.47.** Voici des suites récurrentes : > $ u_{n+1} = u_n^2 $, avec $u_0 = -8$ [18](#page=18). > $ v_{n+1} = \exp(v_n) $, avec $v_0 = 0$ [18](#page=18). > > Pour la suite de gauche, on a $I = \mathbb{R}$ et $f$ est la fonction carrée. Pour la suite de droite, on peut prendre $I = \mathbb{R}^+$ et $f$ est la fonction exponentielle [18](#page=18). --- # Exercices et éléments de correction sur les suites Voici une synthèse détaillée des exercices et éléments de correction sur les suites, basée sur le contenu des pages 15 à 36 du document. ## 4 Exercices et éléments de correction sur les suites Ce chapitre propose des exercices d'application pour étudier les variations, le comportement à l'infini, les limites, et appliquer les formules relatives aux différentes familles de suites, accompagnés d'éléments de correction [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22) [29](#page=29) [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34) [35](#page=35) [36](#page=36). ### 4.1 Étude des variations et comportement à l'infini Les exercices de cette section visent à appliquer les méthodes d'étude des suites pour déterminer leur monotonie et leur limite éventuelle [19](#page=19). #### 4.1.1 Exercice 12.1 : Étude de variations et comportement à l'infini Cet exercice propose d'étudier plusieurs suites en utilisant différentes méthodes [19](#page=19). * **Cas 1: $u_n = 5 - (n+2)^2$** [29](#page=29). * Pour étudier les variations, on calcule la différence $u_{n+1} - u_n$. * $u_{n+1} - u_n = (5 - (n+1+2)^2) - (5 - (n+2)^2) = (n+2)^2 - (n+3)^2$. * Comme la fonction carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, $(n+2)^2 < (n+3)^2$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante [29](#page=29). * Pour le comportement à l'infini, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (5 - (n+2)^2) = -\infty$. La suite diverge vers $-\infty$ [29](#page=29). * **Cas 2: $u_n = \frac{e^{2n}}{5n+2}$** [29](#page=29). * La suite peut être réécrite sous la forme $u_n = \frac{1}{5^2} \times \left(\frac{e^2}{5}\right)^n$. * Il s'agit d'une suite géométrique de raison $q = \frac{e^2}{5}$ et de premier terme $u_0 = \frac{1}{25}$ [29](#page=29). * Comme $e^2 > 5$, la raison $q$ est strictement supérieure à 1 ($q \approx \frac{7.389}{5} \approx 1.478$). * Le premier terme est strictement positif. Donc, la suite $(u_n)$ est strictement croissante et diverge vers $+\infty$ [29](#page=29). * **Cas 3: $u_n = 1 - \frac{2}{n+3}$** [29](#page=29). * La fonction $n \mapsto \frac{2}{n+3}$ tend vers 0 en décroissant strictement lorsque $n$ augmente [29](#page=29). * Par conséquent, $1 - \frac{2}{n+3}$ est strictement croissante. * La suite $(u_n)$ est strictement croissante et converge vers 1 [29](#page=29). * **Cas 4: $u_n = e^n - n$** [29](#page=29) [30](#page=30). * On étudie la fonction associée $f(x) = e^x - x$ sur $\mathbb{R}^+$ [30](#page=30). * La dérivée est $f'(x) = e^x - 1$. * Le tableau de variations de $f$ montre que $f'(x) > 0$ pour $x > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. * De plus, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. * Ces propriétés appliquées à la suite $(u_n)$ impliquent qu'elle est strictement croissante et diverge vers $+\infty$ [30](#page=30). #### 4.1.2 Exercice 12.2 : Modélisation de situations par des suites Cet exercice modélise deux scénarios de diffusion d'informations à l'aide de suites arithmétiques et géométriques [19](#page=19) [20](#page=20) [30](#page=30) [31](#page=31). * **Situation 1: Réception des élèves** [19](#page=19) [30](#page=30). * Le responsable reçoit 2 élèves le premier jour, puis 5 les jours suivants. Soit $u_n$ le nombre d'élèves reçus à la fin du jour $n$ (pour $n \ge 1$) [19](#page=19). * **Nature de la suite:** Pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$, on ajoute 5. C'est une suite arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $u_1 = 2$ [30](#page=30). * **Formule explicite :** Pour $n \ge 1$, $u_n = u_1 + (n-1)r = 2 + (n-1)5 = 5n - 3$. * *Correction:* L'énoncé indique $u_n$ le nombre d'élèves reçus à la fin du jour $n$. Pour le jour 1, 2 élèves. Pour le jour 2, $2+5=7$ élèves. Donc $u_1=2$, $u_2=7$. * La formule $u_n = 5(n-1)+2$ pour $n \ge 1$ donne $u_1 = 5 +2=2$ et $u_2 = 5 +2=7$. La formule est correcte [1](#page=1) [30](#page=30). * **Journées nécessaires :** On cherche le plus petit entier $n_0$ tel que $u_{n_0} \ge 60$. * $5(n_0 - 1) + 2 \ge 60 \implies 5(n_0 - 1) \ge 58 \implies n_0 - 1 \ge \frac{58}{5} = 11.6$. * $n_0 \ge 12.6$. Donc $n_0 = 13$ journées [30](#page=30) [31](#page=31). * **Situation 2: Information des élèves** [20](#page=20) [31](#page=31). * Au départ, 3 dirigeants ($v_0 = 3$). Chaque jour, chaque élève au courant parle à deux nouveaux élèves. Soit $v_n$ le nombre d'élèves au courant à la fin du jour $n$ [20](#page=20). * **Nature de la suite:** Pour passer de $v_n$ à $v_{n+1}$, le nombre d'élèves au courant est multiplié par 3 (les anciens + 2 nouveaux par ancien). Le raisonnement exact est: au jour $n$, il y a $v_n$ élèves au courant. Ces $v_n$ élèves informent $2 v_n$ nouveaux élèves. Donc $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$. C'est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $v_0 = 3$ [31](#page=31). * **Formule explicite :** $v_n = v_0 q^n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$. * *Correction:* L'énoncé précise que "chacun des trois représentants parle à deux nouveaux élèves le premier jour puis, les jours suivants, chacun des élèves au courant ... parle à deux nouveaux élèves". * Jour 0: $v_0 = 3$. * Jour 1: Les 3 dirigeants parlent à 2 nouveaux chacun, donc 6 nouveaux. $v_1 = 3 + 6 = 9$. * Jour 2: Les 9 élèves au courant parlent à 2 nouveaux chacun, donc 18 nouveaux. $v_2 = 9 + 18 = 27$. * Il semble que la relation de récurrence soit $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$. Le premier terme est $v_0=3$. La formule explicite est donc $v_n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$ [31](#page=31). * **Journées nécessaires :** On cherche le plus petit entier $n_0$ tel que $v_{n_0} \ge 60$. * $3^{n_0+1} \ge 60$. * Si $n_0 = 3$, $3^{3+1} = 3^4 = 81 \ge 60$. * Si $n_0 = 2$, $3^{2+1} = 3^3 = 27 < 60$. * Donc $n_0 = 3$ journées [31](#page=31). * *Correction des éléments de correction:* L'élément de correction indique $v_n = 3 \times 2^n$ ce qui correspondrait à $v_{n+1} = 2v_n$. L'énoncé suggère $v_{n+1} = 3v_n$. Il y a une divergence ici. Si on suit l'énoncé qui dit "chacun... parle à deux nouveaux élèves", cela signifie que le nombre de nouveaux élèves informés est le double du nombre d'élèves déjà informés. Donc si $v_n$ élèves sont informés au jour $n$, alors $2v_n$ nouveaux élèves sont informés au jour $n+1$. La relation de récurrence est $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$. L'élément de correction semble erroné pour cette partie. En utilisant $v_n = 3 \times 2^n$ comme indiqué dans la correction: $3 \times 2^{n_0} \ge 60 \implies 2^{n_0} \ge 20$. $2^4=16$, $2^5=32$. Donc $n_0 = 5$ journées. L'interprétation de "parle à deux nouveaux élèves" est ambiguë. Si cela signifie que le nombre d'élèves au courant double à chaque étape, c'est $v_{n+1}=2v_n$. Si cela signifie que chaque élève au courant en informe 2 *nouveaux*, alors $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$. L'élément de correction semble pencher pour la seconde interprétation, mais utilise une formule géométrique de raison 2, ce qui est contradictoire. En considérant la correction comme juste ($v_n = 3 \times 2^n$), la limite est 5 [31](#page=31). #### 4.1.3 Exercice 12.3 : Limites de suites combinées Cet exercice étudie les limites de suites formées par des combinaisons linéaires ou des quotients de suites géométriques [20](#page=20) [31](#page=31). * **Suites $u_n$ et $v_n$** [20](#page=20) [31](#page=31). * $u_n = 0.5^n / 7$. C'est une suite géométrique de raison $q = 0.5$ et de premier terme $u_0 = 1/7$. Comme $-1 < 0.5 < 1$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ [31](#page=31). * $v_n = -2 \times (4/3)^n$. C'est une suite géométrique de raison $q = 4/3$ et de premier terme $v_0 = -2$. Comme $4/3 > 1$ et le premier terme est négatif, $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$ [31](#page=31). * **Suites $w_n = u_n - 3v_n$ et $t_n = u_n / v_n$** [20](#page=20) [31](#page=31). * **Suite $w_n$:** $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} (-3v_n) = +\infty$. Par addition, $\lim_{n \to +\infty} w_n = 0 + (+\infty) = +\infty$ [31](#page=31). * **Suite $t_n$:** $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$. Par quotient, $\lim_{n \to +\infty} t_n = \frac{0}{-\infty} = 0$ [31](#page=31). ### 4.2 Étude des suites arithmético-géométriques Ces exercices appliquent la méthode de transformation en suite géométrique pour étudier les suites arithmético-géométriques [20](#page=20) [21](#page=21) [32](#page=32) [33](#page=33). #### 4.2.1 Exercice 12.4 : Démonstration des propriétés des suites arithmético-géométriques Cet exercice vise à retrouver les résultats du cours sur les suites arithmético-géométriques [20](#page=20) [32](#page=32) [33](#page=33). * **Cas particulier: $a=1$** [20](#page=20) [32](#page=32). * La suite est de la forme $u_{n+1} = u_n + b$. C'est une suite arithmétique de raison $b$ [32](#page=32). * L'expression explicite est $u_n = u_0 + nb$ [32](#page=32). * La limite dépend de $b$ : * Si $b < 0$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ [32](#page=32). * Si $b = 0$, la suite est constante, $\lim_{n \to +\infty} u_n = u_0$ [32](#page=32). * Si $b > 0$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ [32](#page=32). * **Cas général: $a \ne 1$** [21](#page=21) [32](#page=32) [33](#page=33). * La suite est définie par $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \ne 1$ [20](#page=20). * **Point fixe:** L'équation $f(x) = x$, où $f(x) = ax+b$, admet une unique solution $\omega = \frac{b}{1-a}$ (car $a \ne 1$) [32](#page=32). * **Suite auxiliaire:** On pose $v_n = u_n - \omega$ [21](#page=21). * On montre que $v_{n+1} = u_{n+1} - \omega = (a u_n + b) - (a \omega + b) = a(u_n - \omega) = a v_n$. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $a$ [33](#page=33). * **Formule explicite :** $v_n = a^n v_0 = a^n (u_0 - \omega) = a^n \left(u_0 - \frac{b}{1-a}\right)$. * Donc, $u_n = v_n + \omega = a^n \left(u_0 - \frac{b}{1-a}\right) + \frac{b}{1-a}$ [33](#page=33). * **Convergence:** Si $|a| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} a^n = 0$. Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$. La suite $(u_n)$ converge vers $\omega = \frac{b}{1-a}$ [33](#page=33). #### 4.2.2 Exercice 12.7 : Étude d'une suite récurrente via une suite géométrique auxiliaire Cet exercice utilise une suite géométrique auxiliaire pour étudier une suite récurrente plus complexe [22](#page=22) [35](#page=35) [36](#page=36). * **Suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{6u_n}{1+u_n}$** [22](#page=22) [35](#page=35). * **Bornes:** On démontre par récurrence que $0 < u_n \le 5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ [35](#page=35). * Initialisation : $0 < u_0 = 1 \le 5$. Vrai. * Hérédité : Supposons $0 < u_n \le 5$. Alors $1 < 1+u_n \le 6$ et $0 < 6u_n \le 30$. * $u_{n+1} = \frac{6u_n}{1+u_n} > 0$. * $u_{n+1} - 5 = \frac{6u_n}{1+u_n} - 5 = \frac{6u_n - 5(1+u_n)}{1+u_n} = \frac{u_n - 5}{1+u_n}$. Comme $u_n \le 5$ et $1+u_n > 0$, $u_{n+1} - 5 \le 0$, donc $u_{n+1} \le 5$. La propriété est héréditaire [35](#page=35). * **Suite auxiliaire $(v_n)$:** On définit $v_n = \frac{1 - 5}{u_n}$ [22](#page=22) [35](#page=35). * **Nature de $(v_n)$ :** $v_{n+1} = \frac{1 - 5}{u_{n+1}} = \frac{1 - 5}{\frac{6u_n}{1+u_n}} = \frac{1+u_n - 5}{6u_n} = \frac{u_n - 5}{6u_n} = \frac{1}{6} \left(1 - \frac{5}{u_n}\right) = \frac{1}{6} v_n$. * La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1/6$ et de premier terme $v_0 = \frac{1 - 5}{u_0} = \frac{1 - 5}{1} = -4$ [35](#page=35). * **Formule explicite :** * $v_n = v_0 q^n = -4 \left(\frac{1}{6}\right)^n$ [35](#page=35). * On tire $u_n$ de la définition de $v_n$: $v_n = 1 - \frac{5}{u_n} \implies \frac{5}{u_n} = 1 - v_n \implies u_n = \frac{5}{1 - v_n}$. * $u_n = \frac{5}{1 - (-4(1/6)^n)} = \frac{5}{1 + 4(1/6)^n}$ [36](#page=36). * **Limite de $(u_n)$ :** Comme $|1/6| < 1$, $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$. * Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5}{1 - 0} = 5$ [36](#page=36). ### 4.3 Exercices variés sur les suites D'autres exercices abordent différentes facettes de l'étude des suites. #### 4.3.1 Exercice 12.5 : Suite convergente ou divergente Cet exercice analyse une suite récurrente quadratique [21](#page=21) [33](#page=33) [34](#page=34). * **Suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n^2 + u_n$** [21](#page=21). * **Monotonie:** $u_{n+1} - u_n = u_n^2$. Comme $u_0=1>0$, et la suite sera croissante, $u_n>0$ pour tout $n$. Donc $u_{n+1}-u_n = u_n^2 \ge 0$. La suite est croissante [33](#page=33). * **Limite potentielle:** Si $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$, alors $\ell = \ell^2 + \ell$, ce qui implique $\ell^2 = 0$, donc $\ell = 0$ [33](#page=33). * **Divergence vers $+\infty$ :** Raisonnons par l'absurde. Si $(u_n)$ ne diverge pas vers $+\infty$, comme elle est croissante, elle converge vers une limite $\ell$. D'après le point précédent, $\ell=0$. * Cependant, $u_0=1 > 0$. Comme la suite est croissante, $u_n \ge u_0 = 1$ pour tout $n$. * Ceci contredit $\ell=0$. Donc l'hypothèse de convergence est fausse. La suite diverge vers $+\infty$ [33](#page=33) [34](#page=34). #### 4.3.2 Exercice 12.6 : Conjecture et preuve par récurrence Cet exercice combine la formulation d'une conjecture sur une formule explicite et sa démonstration par récurrence [21](#page=21) [34](#page=34). * **Suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$** [21](#page=21). * **Calcul des premiers termes et conjecture :** * $u_0 = 1$ * $u_1 = u_0 + 2 + 3 = 1 + 3 = 4$ . * $u_2 = u_1 + 2 + 3 = 4 + 2 + 3 = 9$ [1](#page=1). * $u_3 = u_2 + 2 + 3 = 9 + 4 + 3 = 16$ [2](#page=2). * $u_4 = u_3 + 2 + 3 = 16 + 6 + 3 = 25$ [3](#page=3). * $u_5 = u_4 + 2 + 3 = 25 + 8 + 3 = 36$ [4](#page=4). * On observe que $u_n = (n+1)^2$ pour $n \in \{0, 1, \dots, 5\}$ [34](#page=34). * **Preuve par récurrence :** Soit $P(n)$ la propriété $u_n = (n+1)^2$. * **Initialisation:** $P $ est vraie car $u_0 = 1 = (0+1)^2$ [34](#page=34). * **Hérédité :** Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n \ge 0$, c'est-à-dire $u_n = (n+1)^2$. Montrons que $P(n+1)$ est vraie : * $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$ (hypothèse de récurrence) * $u_{n+1} = (n+1)^2 + 2n + 3$ * $u_{n+1} = (n^2 + 2n + 1) + 2n + 3$ * $u_{n+1} = n^2 + 4n + 4$ * $u_{n+1} = (n+2)^2 = ((n+1)+1)^2$. * Donc $P(n+1)$ est vraie [34](#page=34). * **Conclusion:** Par le principe de récurrence, $u_n = (n+1)^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ [34](#page=34). --- ## Erreurs courantes à éviter - Révisez tous les sujets en profondeur avant les examens - Portez attention aux formules et définitions clés - Pratiquez avec les exemples fournis dans chaque section - Ne mémorisez pas sans comprendre les concepts sous-jacents

| Term | Definition | |------|------------| | Suite numérique | Une application u : N → R, où u(n) est noté u_n et est appelé le n-ième terme de la suite. | | Suite majorée | Une suite (u_n) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n ∈ N, u_n ⩽ M. | | Suite minorée | Une suite (u_n) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout n ∈ N, m ⩽ u_n. | | Suite bornée | Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. | | Suite croissante | Une suite (u_n) est croissante si pour tout n ∈ N, u_{n+1} ⩾ u_n. | | Suite strictement croissante | Une suite (u_n) est strictement croissante si pour tout n ∈ N, u_{n+1} > u_n. | | Suite décroissante | Une suite (u_n) est décroissante si pour tout n ∈ N, u_{n+1} ⩽ u_n. | | Suite strictement décroissante | Une suite (u_n) est strictement décroissante si pour tout n ∈ N, u_{n+1} < u_n. | | Suite monotone | Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. | | Limite finie | Une suite (u_n) a pour limite ℓ si pour tout ε > 0, il existe un entier naturel n_0 tel que pour tout n ⩾ n_0, on ait |u_n - ℓ| < ε. | | Limite infinie | Une suite (u_n) tend vers +∞ si pour tout ε > 0, il existe un entier naturel n_0 tel que pour tout n ⩾ n_0, on ait u_n > ε. De manière analogue, elle tend vers -∞ si pour tout ε > 0, il existe n_0 tel que pour tout n ⩾ n_0, u_n < -ε. | | Suite convergente | Une suite est dite convergente si elle admet une limite finie. | | Suite divergente | Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si elle tend vers une limite infinie ou si elle n'a pas de limite. | | Suite arithmétique | Une suite (u_n) est arithmétique s'il existe un réel r (raison) tel que pour tout n ∈ N, u_{n+1} = u_n + r. | | Suite géométrique | Une suite (u_n) est géométrique s'il existe un réel q (raison) tel que pour tout n ∈ N, u_{n+1} = q * u_n. | | Suite arithmético-géométrique | Une suite (u_n) est arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que pour tout n ∈ N, u_{n+1} = a * u_n + b. | | Suite récurrente | Une suite (u_n) est récurrente s'il existe une fonction f et un intervalle I stable par f tels que pour tout n ∈ N, u_{n+1} = f(u_n) et u_0 ∈ I. | | Raison d'une suite arithmétique | La constante r ajoutée à un terme pour obtenir le terme suivant dans une suite arithmétique. | | Raison d'une suite géométrique | Le facteur q par lequel on multiplie un terme pour obtenir le terme suivant dans une suite géométrique. | | Point fixe d'une fonction affine | La valeur x telle que f(x) = x, où f(x) = ax + b. Ce point fixe est ω = b / (1 - a) lorsque a ≠ 1. | | Somme des premiers termes d'une suite géométrique | La formule 1 + q + q^2 + ... + q^n = (1 - q^{n+1}) / (1 - q) pour q ≠ 1. |

# De Laplace-transformatie: definities en convergentie Dit onderwerp introduceert de basisdefinities van de Laplace-transformatie en de inverse Laplace-transformatie, met de nadruk op het convergentiegebied van de getransformeerde functie. ### 1.1 Definities van de Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een wiskundige transformatie die een functie van de tijdsdomeinvariabele $t$ omzet naar een functie van de complex-frequentiedomeinvariabele $s$. Dit proces is vooral nuttig voor het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen en systeemanalyses [1](#page=1). #### 1.1.1 De Laplace-transformatie De definitie van de Laplace-transformatie van een functie $x(t)$ wordt gegeven door de integraal: $$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$ [1](#page=1). Hierin is $X(s)$ de Laplace-getransformeerde van $x(t)$, en $s$ is een complexe variabele, meestal geschreven als $s = \sigma + j\omega$, waar $\sigma$ het reële deel is en $\omega$ het imaginaire deel [2](#page=2). #### 1.1.2 De inverse Laplace-transformatie De inverse Laplace-transformatie stelt ons in staat om terug te keren van het $s$-domein naar het tijdsdomein. Deze wordt gedefinieerd door de volgende integraal: $$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s) e^{st} ds$$ [1](#page=1). Hierin moet $\sigma$ zo gekozen worden dat de integraal convergeert. Dit impliceert dat $\sigma$ binnen het convergentiegebied van $X(s)$ moet liggen [1](#page=1). #### 1.1.3 Laplace-paar Een "Laplace-paar" verwijst naar de relatie tussen een tijdsdomeinfunctie $x(t)$ en zijn corresponderende Laplace-getransformeerde $X(s)$ [1](#page=1). ### 1.2 Convergentiegebied (Region of Convergence - ROC) Het convergentiegebied (ROC) is cruciaal voor de unieke definitie van de Laplace-transformatie en zijn inverse [2](#page=2). #### 1.2.1 Definitie van het convergentiegebied Het convergentiegebied is het gebied in het complexe $s$-vlak (het $\sigma j\omega$-vlak) waarin alle waarden van $s$ liggen waarvoor de Laplace-transformatie integraal convergeert [2](#page=2). #### 1.2.2 Voorbeelden van convergentiegebieden * **Voor een rechtshandig signaal:** Beschouw het signaal $x_1(t) = e^{-at}u(t)$, waarbij $u(t)$ de eenheidsstapfunctie is en $a$ een reële constante is. De Laplace-transformatie hiervan is [2](#page=2): $$X_1(s) = \frac{1}{s+a}$$ Het convergentiegebied voor dit signaal is $Re(s) > -a$. Dit betekent dat de transformatie alleen convergeert voor waarden van $s$ waarvan het reële deel groter is dan $-a$. Visueel is dit het gebied rechts van de verticale lijn $Re(s) = -a$ in het $s$-vlak [2](#page=2) [3](#page=3). * **Voor een linkshandig signaal:** Beschouw het signaal $x_2(t) = -e^{-at}u(-t)$, waarbij $u(-t)$ de eenheidsstapfunctie is die nul is voor $t>0$. De Laplace-transformatie hiervan is: $$X_2(s) = \frac{1}{s+a}$$ Het convergentiegebied voor dit signaal is $Re(s) < -a$. Dit betekent dat de transformatie alleen convergeert voor waarden van $s$ waarvan het reële deel kleiner is dan $-a$. Visueel is dit het gebied links van de verticale lijn $Re(s) = -a$ in het $s$-vlak [3](#page=3). > **Tip:** Het teken (minteken) voor $e^{-at}$ bij het linkshandige signaal is essentieel om ervoor te zorgen dat de integralen convergeren en de transformatie gedefinieerd is [3](#page=3). #### 1.2.3 Belang van het convergentiegebied Het convergentiegebied is niet alleen een voorwaarde voor de convergentie van de integraal, maar het bevat ook belangrijke informatie over de causaliteit van het signaal en de stabiliteit van het corresponderende systeem. Voor linkshandige signalen ligt het ROC aan de linkerkant van een verticale lijn, terwijl het voor rechtshandige signalen aan de rechterkant ligt [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22). ### 1.3 Polen en nullen van $X(s)$ Rational functies in $s$ kunnen worden geanalyseerd aan de hand van hun polen en nullen [18](#page=18). #### 1.3.1 Definitie van polen en nullen De Laplace-getransformeerde $X(s)$ wordt vaak uitgedrukt als een rationale functie van $s$: $$X(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \dots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_0}$$ [18](#page=18). Hierin zijn $a_i$ en $b_i$ reële constanten [18](#page=18). * **Nulpunten ($Z_k$):** Dit zijn de waarden van $s$ waarvoor de teller van $X(s)$ gelijk is aan nul. Bij deze waarden is $X(s) = 0$ [18](#page=18). * **Polen ($P_k$):** Dit zijn de waarden van $s$ waarvoor de noemer van $X(s)$ gelijk is aan nul. Bij deze waarden wordt $X(s)$ oneindig (de functie divergeert) [18](#page=18). #### 1.3.2 Visuele representatie in het $s$-vlak Polen en nullen, samen met het convergentiegebied, kunnen compact visueel worden weergegeven in het $s$-vlak (het $\sigma j\omega$-vlak). Nullen worden meestal aangegeven met een 'o' en polen met een 'x' [19](#page=19). > **Voorbeeld:** Beschouw $X(s) = \frac{2s+4}{s^2+4s+3}$ met $Re(s) > -1$ [19](#page=19). > De nullen worden gevonden door de teller gelijk te stellen aan nul: $2s+4=0 \implies s = -2$. > De polen worden gevonden door de noemer gelijk te stellen aan nul: $s^2+4s+3=0 \implies (s+1)(s+3)=0 \implies s = -1, s = -3$. > Het convergentiegebied is $Re(s) > -1$. De nul ligt op $s=-2$. De polen liggen op $s=-1$ en $s=-3$. Aangezien het ROC $Re(s) > -1$ is, ligt de pool op $s=-1$ op de grens van het ROC, en de pool op $s=-3$ ligt buiten het ROC. Dit wijst op een rechtshandig signaal [19](#page=19). > **Voorbeeld 2:** Beschouw $X(s) = \frac{2}{(s+2)(s+1)(s+3)}$ met $Re(s) > -1$ [20](#page=20). > De nul ligt bij $s=0$ (impliciet in de teller). De polen bevinden zich op $s=-1$, $s=-2$, en $s=-3$. Het ROC is $Re(s) > -1$. De polen op $s=-1$ en $s=-2$ liggen binnen of op de grens van het ROC, terwijl de pool op $s=-3$ buiten het ROC ligt [20](#page=20) [21](#page=21). #### 1.3.3 Eigenschappen van het convergentiegebied gerelateerd aan polen en nullen * **Eigenschap 1:** Het convergentiegebied van een Laplace-transformatie bevat nooit polen van $X(s)$. Dit komt doordat de transformatie bij polen divergeert [20](#page=20). * **Eigenschap 2:** Als $x(t)$ een signaal is met een eindige duur, dan is het convergentiegebied het volledige $s$-vlak, met mogelijke uitzondering van $s=0$ of $s=\infty$ [20](#page=20) [21](#page=21). * **Eigenschap 3:** Als $x(t)$ een rechtshandig signaal is (d.w.z. $x(t) = 0$ voor $t \sigma_{max}$, waarbij $\sigma_{max}$ het maximale reële deel van de polen van $X(s)$ is [20](#page=20) [21](#page=21). * **Eigenschap 4:** Als $x(t)$ een linkshandig signaal is (d.w.z. $x(t) = 0$ voor $t>T$ voor enige $T$), dan is het convergentiegebied van de vorm $Re(s) < \sigma_{min}$, waarbij $\sigma_{min}$ het minimale reële deel van de polen van $X(s)$ is [20](#page=20) [22](#page=22). > **Samenvatting:** Het bestuderen van de polen en nullen van $X(s)$ in combinatie met het convergentiegebied biedt diepgaand inzicht in de eigenschappen van het oorspronkelijke tijdsdomeinsignaal $x(t)$ en de stabiliteit van het systeem dat het signaal representeert. --- # Laplace-transformaties van veelvoorkomende signalen Dit gedeelte beschrijft de berekening van de Laplace-transformaties voor standaard signalen zoals de eenheidsimpuls en de eenheidsstap [4](#page=4). ### 3.3.1 Eenheidsimpulsfunctie $\delta(t)$ De eenheidsimpulsfunctie, ook wel de Dirac-deltafunctie genoemd, is een gegeneraliseerde functie die overal nul is behalve op $t=0$, waar de waarde oneindig is, maar de integraal ervan over alle tijden is één. De Laplace-transformatie van de eenheidsimpulsfunctie $\delta(t)$ wordt als volgt berekend [4](#page=4): $$ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-st} dt $$ Vanwege de eigenschappen van de Dirac-deltafunctie is de integraal gelijk aan de waarde van de functie $e^{-st}$ geëvalueerd op $t=0$: $$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^{-s \cdot 0} = e^0 = 1 $$ Dus, de Laplace-transformatie van de eenheidsimpulsfunctie is: $$ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1 $$ > **Tip:** De Dirac-deltafunctie is cruciaal in signaalverwerking en systeemtheorie omdat het helpt bij het analyseren van de respons van een systeem op een zeer korte input. ### 3.3.2 Eenheidsstapfunctie $u(t)$ De eenheidsstapfunctie, ook wel de Heaviside-stapfunctie genoemd, wordt gedefinieerd als: $u(t) = \begin{cases} 0 & \text{voor } t < 0 \\ 1 & \text{voor } t \ge 0 \end{cases}$ De Laplace-transformatie van de eenheidsstapfunctie $u(t)$ wordt berekend met de definitie van de Laplace-transformatie: $$ \mathcal{L}\{u(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st} dt $$ Aangezien $u(t)$ nul is voor $t < 0$, wordt de integraal gedefinieerd vanaf $0$ tot $\infty$: $$ \mathcal{L}\{u(t)\} = \int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt $$ Om deze integraal op te lossen, integreren we $e^{-st}$ met betrekking tot $t$: $$ \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{0}^{\infty} $$ Voor de convergentie van de Laplace-transformatie is het noodzakelijk dat de reële component van $s$ groter is dan nul, oftewel $\text{Re}(s) > 0$. Onder deze voorwaarde geldt dat $\lim_{t \to \infty} e^{-st} = 0$. $$ \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{0}^{\infty} = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{e^{-st}}{-s} \right) - \left( \frac{e^{-s \cdot 0}}{-s} \right) = 0 - \left( \frac{e^0}{-s} \right) = 0 - \left( \frac{1}{-s} \right) = \frac{1}{s} $$ Dus, de Laplace-transformatie van de eenheidsstapfunctie is: $$ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \quad \text{voor } \text{Re}(s) > 0 $$ > **Tip:** De voorwaarde $\text{Re}(s) > 0$ is essentieel voor de convergentie van de integraal. Zonder deze voorwaarde is de integraal niet gedefinieerd. > **Voorbeeld:** Als we de Laplace-transformatie van $5u(t)$ willen vinden, kunnen we de lineariteitseigenschap van de Laplace-transformatie gebruiken: $\mathcal{L}\{c f(t)\} = c \mathcal{L}\{f(t)\}$. Dus, $\mathcal{L}\{5u(t)\} = 5 \mathcal{L}\{u(t)\} = 5 \cdot \frac{1}{s} = \frac{5}{s}$. Dit geldt voor $\text{Re}(s) > 0$ [4](#page=4). --- # Eigenschappen van de Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een krachtig wiskundig instrument met diverse eigenschappen die het mogelijk maken om bewerkingen in het tijdsdomein te vereenvoudigen naar algebraïsche bewerkingen in het s-domein. ### 3.1 Lineariteit De lineariteitseigenschap stelt dat een lineaire combinatie van signalen in het tijdsdomein overeenkomt met dezelfde lineaire combinatie van hun Laplace-transformaties in het s-domein [5](#page=5). Stel dat we twee signalen hebben, $x_1(t)$ met Laplace-transformatie $X_1(s)$ en een bijbehorende convergentieregio $R_1$, en $x_2(t)$ met transformatie $X_2(s)$ en convergentieregio $R_2$. Dan geldt voor een lineaire combinatie $a_1x_1(t) + a_2x_2(t)$ [5](#page=5): $$ \mathcal{L}\{a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\} = a_1X_1(s) + a_2X_2(s) $$ De convergentieregio van de resulterende transformatie is de doorsnede van de individuele convergentieregio's: $R_1 \cap R_2$ [5](#page=5). ### 3.2 Verschuiving in het tijdsdomein Deze eigenschap beschrijft hoe een tijdsvertraging van een signaal zijn Laplace-transformatie beïnvloedt [6](#page=6). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van $x(t-t_0)$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\{x(t-t_0)\} = e^{-st_0}X(s) $$ De convergentieregio blijft $R$. De interpretatie is dat het vertragen van een tijdssignaal overeenkomt met het vermenigvuldigen van zijn Laplace-transformatie met $e^{-st_0}$ [6](#page=6). ### 3.3 Verschuiving in het s-domein Een verschuiving in het s-domein van een Laplace-transformatie correspondeert met een vermenigvuldiging in het tijdsdomein [7](#page=7). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van $e^{s_0t}x(t)$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\{e^{s_0t}x(t)\} = X(s-s_0) $$ De convergentieregio wordt verschoven met $s_0$, dus $R + \text{Re}(s_0)$. Dit betekent dat een verschuiving in het s-domein met $s_0$ equivalent is aan het vermenigvuldigen in het tijdsdomein met $e^{s_0t}$ [7](#page=7). ### 3.4 Tijdschaling De tijdschaaleigenschap relateert het schalen van de tijdsas van een signaal aan de transformatie in het s-domein [8](#page=8). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van $x(at)$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\{x(at)\} = \frac{1}{|a|}X\left(\frac{s}{a}\right) $$ De convergentieregio wordt geschaald met $a$, dus $aR$. De interpretatie is dat het schalen van de tijdsvariabele (compressie of decompressie) leidt tot de inverse schaling van de s-variabele en een amplitudeschaling in het s-domein [8](#page=8). ### 3.5 Convolutie De convolutie-eigenschap is van fundamenteel belang in signaalverwerking en systeemtheorie, omdat het de relatie legt tussen convolutie in het tijdsdomein en vermenigvuldiging in het s-domein [9](#page=9). Als $x_1(t)$ getransformeerd wordt naar $X_1(s)$ met convergentieregio $R_1$, en $x_2(t)$ naar $X_2(s)$ met convergentieregio $R_2$, dan geldt voor hun convolutie $x_1(t) * x_2(t)$: $$ \mathcal{L}\{x_1(t) * x_2(t)\} = X_1(s) \cdot X_2(s) $$ De convergentieregio van het product is een subset van de doorsnede van $R_1$ en $R_2$, aangeduid als $R_1 \cap R_2$. Dit impliceert dat de convolutie van twee tijdsignalen equivalent is aan het vermenigvuldigen van hun Laplace-transformaties in het s-domein [9](#page=9). ### 3.6 Differentiëren in het tijdsdomein Het differentiëren van een signaal in het tijdsdomein heeft een directe analogie in het s-domein [10](#page=10). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van de afgeleide $\frac{dx(t)}{dt}$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\left\{\frac{dx(t)}{dt}\right\} = sX(s) $$ De convergentieregio van $sX(s)$ is een subset van de oorspronkelijke convergentieregio $R$. De interpretatie is dat het afleiden van een tijdssignaal overeenkomt met het vermenigvuldigen van zijn Laplace-transformatie met $s$ [10](#page=10). ### 3.7 Differentiëren in het s-domein Differentiëren in het s-domein correspondeert met vermenigvuldiging met $-t$ in het tijdsdomein [11](#page=11). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan geldt: $$ \mathcal{L}\{-tx(t)\} = \frac{dX(s)}{ds} $$ De convergentieregio van de afgeleide $\frac{dX(s)}{ds}$ is gelijk aan $R$. Dit betekent dat afleiden in het s-domein overeenkomt met het vermenigvuldigen van het corresponderende tijdsignaal met $-t$ [11](#page=11). ### 3.8 Integratie in het t-domein Integratie van een signaal in het tijdsdomein is gerelateerd aan het delen van de Laplace-transformatie door $s$ [12](#page=12). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van de integraal $\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\left\{\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau\right\} = \frac{1}{s}X(s) $$ De convergentieregio van $\frac{1}{s}X(s)$ is de doorsnede van $R$ en het halfvlak $\text{Re}(s) > 0$. De interpretatie is dat het integreren van een tijdssignaal overeenkomt met het delen van zijn Laplace-transformatie door $s$ [12](#page=12). ### 3.9 Toepassingen van de eigenschappen De eigenschappen van de Laplace-transformatie maken het mogelijk om de transformaties van diverse signalen af te leiden, zelfs zonder directe toepassing van de definitie-integraal [13](#page=13). **Voorbeelden van afleidingen:** * **Impulsfunctie $\delta(t)$:** De transformatie van de Dirac-deltafunctie is 1, met een convergentieregio die het hele s-vlak beslaat [14](#page=14). * **Rampfunctie $t u(t)$:** Door gebruik te maken van de eigenschap voor integratie of door de transformatie van $u(t)$ te differentiëren in het s-domein, kan de transformatie van $t u(t)$ worden afgeleid als $\frac{1}{s^2}$ [14](#page=14). * **Exponentiële functie $e^{-at}u(t)$:** Met de s-domein verschuivingseigenschap, uitgaande van de transformatie van $u(t)$ als $\frac{1}{s}$, wordt de transformatie $e^{-at}u(t)$ gelijk aan $\frac{1}{s+a}$ [15](#page=15). * **Getrapte exponentiële functie $t e^{-at}u(t)$:** Deze kan worden verkregen door de transformatie van $e^{-at}u(t)$ te differentiëren in het s-domein [15](#page=15). * **Gecosinusoidaliseerde functie $\cos(\omega_0t)u(t)$:** Deze kan worden afgeleid met behulp van de definitie of door eigenschappen toe te passen op complexe exponentiële functies [16](#page=16). * **Gedempte cosinusfunctie $e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)$:** Verkregen door de s-domein verschuivingseigenschap toe te passen op de transformatie van $\cos(\omega_0t)u(t)$ [16](#page=16). Deze voorbeelden illustreren hoe de eigenschappen, in combinatie met de bekende transformatie van de eenheidsstapfunctie $u(t)$, een breed scala aan signaaltransformaties efficiënt kunnen berekenen (#page=13,14,15,16) [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15) [16](#page=16). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Laplace-transformatie | Een integraaltransformatie die een functie van de tijd, $x(t)$, omzet naar een functie van de complexe frequentie, $X(s)$. Dit wordt gedefinieerd door de integraal $X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$. | | Inverse Laplace-transformatie | De transformatie die een functie van de complexe frequentie, $X(s)$, terug omzet naar de oorspronkelijke functie van de tijd, $x(t)$. Dit wordt gedefinieerd door de complexe integraal $x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} X(s) e^{st} ds$. | | Convergentiegebied (ROC) | Het gebied in het s-vlak waarin de Laplace-transformatie van een signaal convergeert. Dit gebied is cruciaal voor de unieke bepaling van de inverse Laplace-transformatie. | | Eenheidsimpulsfunctie ($\delta(t)$) | Een gegeneraliseerde functie die nul is voor alle $t \neq 0$ en waarvan de integraal over de gehele tijdsas gelijk is aan 1. Het is de afgeleide van de eenheidsstapfunctie. | | Eenheidsstapfunctie ($u(t)$) | Een functie die nul is voor $t < 0$ en één is voor $t \geq 0$. Het vertegenwoordigt een plotselinge toename van nul naar één op tijdstip $t=0$. | | Lineairiteit | Een eigenschap van transformaties waarbij de transformatie van een lineaire combinatie van functies gelijk is aan de lineaire combinatie van de transformaties van die functies. Voor de Laplace-transformatie geldt: $\mathcal{L}\{a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\} = a_1X_1(s) + a_2X_2(s)$. | | Verschuiving in tijdsdomein | De eigenschap die stelt dat het vertragen van een signaal met $t_0$ seconden in het tijdsdomein ($x(t-t_0)u(t-t_0)$) overeenkomt met het vermenigvuldigen van de Laplace-transformatie met $e^{-st_0}$ in het s-domein. | | Verschuiving in s-domein | De eigenschap die aangeeft dat het vermenigvuldigen van een signaal in het tijdsdomein met $e^{s_0t}$ ($e^{s_0t}x(t)$) overeenkomt met het verschuiven van de Laplace-transformatie met $s_0$ in het s-domein ($X(s-s_0)$). | | Tijdschaling | Deze eigenschap beschrijft hoe het schalen van de tijdsvariabele in $x(at)$ de Laplace-transformatie beïnvloedt. Het resulteert in een schaling van de s-variabele en een inversie van de schaalingsfactor ($ \frac{1}{|a|} X(\frac{s}{a}) $). | | Convolutie | De bewerking die de interactie tussen twee signalen beschrijft. De convolutie van twee signalen in het tijdsdomein is equivalent aan de vermenigvuldiging van hun Laplace-transformaties in het s-domein. | | Polen van X(s) | De waarden van $s$ waarvoor de noemer van de rationale functie $X(s)$ nul is, wat resulteert in een oneindige waarde voor $X(s)$. Deze bepalen mede de dynamische eigenschappen van een systeem. | | Nullen van X(s) | De waarden van $s$ waarvoor de teller van de rationale functie $X(s)$ nul is, wat resulteert in een nulwaarde voor $X(s)$. |