Les 7 (1).pptx

# Vergelijken en ordenen van getallen Dit onderwerp behandelt de wiskundige taal en strategieën voor het vergelijken en ordenen van hoeveelheden, inclusief het concept van nul en het gebruik van één-op-één correspondentie. ### 1.1 Wiskundetaal voor het vergelijken en ordenen Kinderen ontwikkelen een wiskundige taal om hoeveelheden te vergelijken en te ordenen. Belangrijke termen en concepten omvatten: * **Vergelijkingen:** * Ik heb meer stenen dan jij. * Vier is minder dan zeven. * Hoeveel is vier en twee samen? * Er zijn evenveel jongens als meisjes vandaag. * Wie heeft de meeste/minste knopen? * **Ordenen:** * Ik leg de cijferkaartjes van weinig naar veel. * Ik leg de knopendoosjes van minder naar meer knopen. * **Correcties op veelvoorkomende taalfouten:** * Meer/minder *als* (correct is meer/minder *dan*) * Evenveel *dan* (correct is evenveel *als*) * Het is gelijk / Het is hetzelfde * **Kernbegrippen:** * (niet) evenveel als * meer dan, minder dan * meeste / minste van * weinig naar veel, van veel naar weinig * van minder naar meer, van meer naar minder * komt voor, komt na * rangschikken, ordenen, in de juiste volgorde #### 1.1.1 Hoe kinderen leren wat evenveel, meer of minder is Het begrijpen van 'evenveel', 'meer' en 'minder' verloopt via specifieke strategieën: 1. **Eén-op-één correspondentie:** * Dit is de basisstrategie om te bepalen of hoeveelheden gelijk zijn. Hierbij wordt elk element van de ene groep gekoppeld aan precies één element van de andere groep. * Als er voor elke witte steen een zwarte steen is, dan zijn er evenveel witte stenen als zwarte. * **Fase 1:** Eerst worden objecten die duidelijk bij elkaar horen vergeleken (eenvoudig). * **Fase 2:** Vervolgens worden willekeurige objecten vergeleken (moeilijker). > **Tip:** De leraar modelleert eerst de 1-1 verbinding en laat het kind vervolgens zelf oefenen met verwoording. > **Voorbeeld:** Een leraar legt witte schelpen op een rij en zegt: "Ik wil evenveel witte schelpen als zwarte. Ik leg nu bij elke witte schelp een zwarte schelp. Zo heb ik er evenveel." Vervolgens vraagt de leraar aan het kind om hetzelfde te doen met andere objecten. 2. **Perceptueel vergelijken:** * Duidelijk verschillende aantallen van hetzelfde materiaal worden op het zicht vergeleken. Dit vindt plaats bij jonge kleuters (ca. 2,5-3 jaar) en omvat begrippen als 'veel', 'weinig', 'meer', 'minder', 'meest', 'minst'. 3. **Vergelijken via meer precieze strategieën:** * **Via de 1-1 verbinding:** Uitzoeken waar er meer, minder of evenveel is door de 1-1 koppeling te gebruiken. * **Via het tellen:** Tellen om uit te zoeken waar meer, minder of (niet) evenveel is. > **Voorbeeld:** "Ik tel 7 koeien en 6 varkens. 7 is meer dan 6, dus er zijn meer koeien dan varkens." * **Via subiteren:** Snelle, intuïtieve herkenning van kleine aantallen om te bepalen waar meer, minder of (niet) evenveel is. > **Voorbeeld:** "Ik zie 2 koeien. Ik zie 3 varkens. Dus er zijn meer varkens, want drie is meer dan twee." 4. **Sorteren en ordenen:** * **(On)gestructureerde aantallen tot en met 10 sorteren door groepjes te maken van evenveel. * **Ordenen (seriëren) naar aantal:** Van weinig naar veel of omgekeerd. Dit kan met tastbare aantallen, afbeeldingen of cijfersymbolen. 5. **Conservatie van aantal:** * Kinderen leren beseffen dat het aantal voorwerpen niet verandert, ongeacht de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen. Dit wordt eerst geschat en vervolgens gecontroleerd via tellen of de 1-1 verbinding. ### 1.2 De rol van nul Nul is een essentieel concept in het vergelijken en ordenen van getallen. Het vertegenwoordigt de afwezigheid van hoeveelheid of 'niets'. * Kinderen leren het concept 'nul' kennen door termen als 'niets' en 'geen'. * Het terugtellen tot nul is een strategie die oudere kleuters al kunnen toepassen. * Nul is cruciaal bij het begrip 'minder dan' en het plaatsen van getallen op een getallenlijn. ### 1.3 Representaties van getallen en het CSA-model Getallen kunnen op verschillende manieren worden gerepresenteerd, wat essentieel is voor het ontwikkelen van wiskundige inzichten. Het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) beschrijft de fasen in dit leerproces: 1. **Concreet (C):** * Representatie met 3D-materiaal (bv. blokjes, schelpen). * Voorbeelden: Tellen van objecten, 1-1 correspondentie met materiaal. * De nadruk in de kleuterschool ligt sterk op deze fase. 2. **Schematisch (S):** * Representatie met afbeeldingen of tekeningen. * Voorbeelden: Getalbeelden (domino, dobbelsteen, kwadraat, vingerbeeld), turven, pictogrammen. 3. **Abstract (A):** * Representatie met cijfersymbolen of telwoorden, zonder directe visuele ondersteuning. * Voorbeelden: Arabische cijfers ($0, 1, 2, ...$), benoemen van getallen. > **Tip:** Het combineren van deze representaties ondersteunt het leren van cijfers. Leg kaartjes met getalbeelden en cijfers bij groepjes materialen. #### 1.3.1 Concrete hoeveelheden structureren Het structureren van concrete hoeveelheden helpt bij het sneller herkennen en tellen van aantallen. * **Manieren van structureren:** * Op één lijn (bv. bij tellen) * Volgens een getalbeeld (bv. domino, dobbelsteen, kwadraat, vingerbeeld) * Eierdoos (gestructureerd in rijen of patronen) * Telraam, rekenrek, kralenketting * **Voordelen van structureren:** * Makkelijker subiteren bij kleine aantallen. * Makkelijker de tel bijhouden of verkort tellen bij grotere aantallen. > **Tip:** Laat verschillende getalbeelden aan bod komen. Voor jongere kleuters is tonen en gebruiken belangrijk, voor oudere kleuters is het vergelijken van getalbeelden een uitdaging. #### 1.3.2 De schematische hoeveelheid Representatie met afbeeldingen of tekeningen, zoals: * Op één lijn * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Vijfstructuur (bv. in een eierdoos) * Turven (voor oudste kleuters) > **Tip:** Gebruik schematische hoeveelheden bij prenten, laat getalbeelden aan bod komen en koppel deze aan realistische contexten (bv. recepten, boodschappenlijstjes). Voor de oudste kleuters is het belangrijk om de voorstellingswijze die in het 1e leerjaar aan bod komt, te oefenen zodat ze getalbeelden vlot op het zicht herkennen. #### 1.3.3 De abstracte representatie: cijfers Dit betreft de weergave van getallen met Arabische cijfers ($0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$). * **Stimuleren van aandacht voor cijfers:** * Cijfers in de klas brengen. * Aandacht voor cijfers waarderen. * Cijfers benoemen. * **Meercijferige getallen:** * Deze zijn geen doel op zich voor kleuters, maar er kan worden ingespeeld op interesse. * Let op de verwoording: niet "1 en 5 is samen vijftien", maar "een 1 en daarnaast een 5 vormt vijftien". * Visuele ondersteuning is belangrijk: cijfers koppelen aan de bijbehorende hoeveelheid (concreet en schematisch). ### 1.4 Functies van getallen Getallen hebben verschillende functies in de wiskunde: * **Getal als hoeveelheid:** Geeft aan 'hoeveel' er is. * **Getal als rangorde:** Geeft de positie aan in een volgorde (bv. eerste, tweede). * **Getal als maatgetal:** Dient om iets te meten (bv. lengte, gewicht, tijd). * **Getal als code:** Dient als herkenningskenmerk (bv. telefoonnummer, huisnummer). ### 1.5 Leerlijn voor vergelijken en ordenen De ontwikkeling van inzicht in getallen verloopt volgens een leerlijn: 1. **Duidelijk verschillende aantallen perceptueel vergelijken** (ca. 2,5-3 jaar). 2. **De 1-1 verbinding ervaren** (ca. 2,5-3 jaar): bij elk één leggen, evenveel/meer/minder/te weinig/te veel ervaren. 3. **Vergelijken via de 1-1 verbinding:** uitzoeken waar er meer/minder/evenveel is. 4. **Vergelijken via het tellen:** tellen om meer/minder/(niet) evenveel te bepalen. 5. **Vergelijken via subiteren:** snelle herkenning van aantallen om meer/minder/(niet) evenveel te bepalen. 6. **(On)gestructureerde aantallen sorteren:** groepjes maken van evenveel. 7. **Ordenen naar aantal (seriëren):** van weinig naar veel of omgekeerd, eerst met tastbare objecten, dan met afbeeldingen, en later met cijfersymbolen. 8. **Conservatie van aantal opbouwen:** beseffen dat aantal niet afhangt van schikking of aard van voorwerpen. ### 1.6 Praktijkvoorbeelden en materialen Verschillende opdrachten en spelvormen kunnen worden ingezet om het vergelijken en ordenen van getallen te oefenen: * Kaart vullen * Potjes vol zaaien * Memory op aantal * Keetje kakel (spel) * Potje schud (spel) * Insey winsey spider (spel) * Evenveel met het rad (spel) * Bolletjesmix (spel) * Zelfstandig spel-aanbod * Liedjes * Dobbelsteen- en domino-activiteiten * Vakjesdoos-activiteiten > **Tip:** Voorzie varianten in moeilijkheidsgraad. Maak het gemakkelijker door slechts één soort materiaal te gebruiken of door matrixsystemen weg te laten. Maak het moeilijker met grotere aantallen of cijfers in plaats van getalbeelden. #### 1.6.1 Cijferkennis bij kleuters Onderzoek toont aan dat: * Ongeveer 40% van de 5-jarigen Arabische getallen tot 10 kan benoemen. * Ongeveer 10% van de kleuters kan dat ook voor getallen boven twintig. * Een klein percentage kleuters kan zelfs getallen boven de honderd correct benoemen. --- # Representaties van getallen Dit deel behandelt de diverse manieren waarop getallen worden weergegeven, van tastbare objecten tot abstracte symbolen, en hoe deze representaties bijdragen aan de opbouw van wiskundig inzicht. ### 2.1 De fasen van het CSA-model De ontwikkeling van wiskundige inzichten bij jonge kinderen verloopt volgens het CSA-model: concreet, schematisch en abstract. In de kleuterschool ligt de nadruk primair op de concrete fase. #### 2.1.1 De concrete fase In deze fase worden getallen voorgesteld met behulp van tastbare 3D-materialen. Dit helpt kinderen om hoeveelheden direct waar te nemen en te manipuleren. * **Concrete hoeveelheden structureren:** Kinderen leren om concrete hoeveelheden te ordenen op verschillende manieren: * **Op één lijn:** Dit is de meest basale manier, vergelijkbaar met tellen. * **Volgens een getalbeeld:** Hierbij wordt gebruikgemaakt van gestructureerde patronen die kinderen snel kunnen herkennen. Voorbeelden hiervan zijn: * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Eierdoos (gestructureerd in groepen van 4 of 6 voor jonge kleuters, 10 voor oudere kleuters, met extra uitdagingen zoals een pallet) * Telraam * Rekenrek * Kralenketting of telketting **Voordeel van structureren:** Het structureren van hoeveelheden maakt het makkelijker om bij kleine aantallen te subiteren (snel herkennen zonder te tellen) en bij grotere aantallen de tel bij te houden of verkort te tellen. **Inzet in de klas:** Verschillende getalbeelden worden aan bod laten komen. Jonge kleuters worden aangemoedigd deze te tonen en te gebruiken, terwijl oudere kleuters verschillende getalbeelden met elkaar kunnen vergelijken om bijvoorbeeld te onderzoeken hoe een bepaald getal op verschillende manieren gevormd kan worden. Het voordeel van structureren wordt met name aan oudere kleuters duidelijk gemaakt. * **Hoeveelheden structureren bij verlies of winst:** Bij taken als "Hoeveel bloemen zijn er geplukt?" of "Hoeveel zijn er weggenomen?" wordt gestimuleerd dat kinderen zelf manieren zoeken om snel te zien hoeveel er verdwenen zijn, wat probleemoplossend denken bevordert. #### 2.1.2 De schematische fase Deze fase omvat representaties met afbeeldingen, die een stap verwijderd zijn van de concrete objecten. * **Getalbeelden met afbeeldingen:** Hierbij worden dezelfde gestructureerde patronen gebruikt als in de concrete fase, maar dan in een 2D-vorm: * Op één lijn * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Vijfstructuur * Eierdoos (gevuld volgens vijfstructuur of kwadraatbeeld) * Turven (voor oudste kleuters) * **Inzet in de klas:** Bij prenten kunnen kinderen hoeveelheden benoemen. Verschillende getalbeelden komen aan bod, met een focus op voorstellingswijzen die in het eerste leerjaar aan bod komen, zodat kinderen deze vlot op het zicht kunnen herkennen. Deze representaties worden ook geïntegreerd in realistische contexten, zoals recepten of boodschappenlijstjes. Kistjes met materialen voor 1, 2, 3 kunnen hierbij ondersteunend zijn. #### 2.1.3 De abstracte fase Dit is de meest abstracte vorm van getalrepresentatie, waarbij gebruik wordt gemaakt van symbolen. * **Arabische cijfers:** De cijfers 0 tot en met 9 vormen de basis van dit systeem. * **Stimuleren van aandacht:** Spontane aandacht voor cijfers wordt bevorderd door ze zichtbaar in de klas te brengen en de aandacht ervoor te waarderen. * **Benoemen van cijfers:** Cijfers worden benoemd om de herkenning te vergroten. * **Meercijferige getallen:** Meercijferige getallen zijn voor kleuters nog geen primair doel, maar er wordt op ingespeeld bij interesse van het kind. * **Correcte verwoording:** Het is belangrijk om de verwoording van meercijferige getallen correct te hanteren. Bijvoorbeeld: niet "een 1 en een 5 is samen vijftien", maar "een 1 en daarnaast een 5 vormt vijftien". * **Visuele ondersteuning:** Het koppelen van cijfers aan de bijbehorende hoeveelheden (concreet, schematisch, abstract) en het aanwijzen ervan tijdens het benoemen, is cruciaal. ### 2.2 Het koppelen van representaties Het leren van de cijfers wordt ondersteund door de verschillende representaties met elkaar te combineren. Kaartjes met getalbeelden en cijfers worden bij groepjes materialen gelegd. ### 2.3 Functies van getallen Getallen hebben diverse functies die kinderen leren herkennen: * **Getal als hoeveelheid:** Geeft een bepaalde grootte aan (bv. drie appels). * **Getal als rangorde:** Duidt de positie in een reeks aan (bv. de eerste, de tweede). * **Getal als maatgetal:** Dient om een meting uit te drukken (bv. 5 meter). * **Getal als code:** Wordt gebruikt als identificatie, zonder kwantitatieve waarde (bv. telefoonnummer). ### 2.4 Oefeningen en praktijkvoorbeelden Er zijn diverse praktische oefeningen en spellen die de verschillende representaties en functies van getallen ondersteunen: * **Kaart vullen:** Kinderen vullen een kaart met het juiste aantal elementen, getalbeelden of cijfers. * **Potjes vol zaaien:** Een spel waarbij hoeveelheden worden gemanipuleerd. * **Memory op aantal:** Een geheugenspel gericht op het herkennen van hoeveelheden. * **Keetje kakel (spel verkennen):** Een spel dat de functies van getallen kan illustreren. * **Potje schud:** Een spel met schudden en tellen. * **Liedjes:** Liedjes zoals "Insey winsey spider" kunnen worden aangepast om met aantallen te werken. * **Evenveel met het rad:** Een spel waarbij kinderen gelijke hoeveelheden moeten creëren. * **Bolletjesmix:** Een spel dat gericht is op het mengen en tellen van hoeveelheden. * **Zelfstandig spel:** Aanbod voor zelfstandig spel met materialen voor getalrepresentatie. **Variaties in moeilijkheid:** * **Gemakkelijker:** Eén soort pitten gebruiken, matrixsysteem weglaten en kinderen de juiste getalbeelden in vakjes laten leggen. * **Moeilijker:** Grotere aantallen gebruiken of cijfers in plaats van getalbeelden. ### 2.5 Percentages van kleuters met getalbegrip Uit onderzoek blijkt het volgende percentage kleuters in staat te zijn om: * Arabische getallen tot 10 te benoemen: 40%, 60%, of 80%. * Arabische getallen boven twintig (bv. 31, 26, 80) te benoemen: 10%, 25%, of 50%. * Verschillende getallen boven de honderd (bv. 107, 164, 270) correct te benoemen: Ja (ongeveer 10%), Ja (ongeveer 5%), of Nee. > **Tip:** Het is cruciaal om te onthouden dat het leren van getalrepresentaties een proces is dat tijd en herhaling vergt, waarbij de overgang van concreet naar abstract geleidelijk moet verlopen. De nadruk in de kleuterklas ligt op de concrete en schematische fasen om een solide basis te leggen. > **Tip:** Bij het introduceren van meercijferige getallen is de precieze taal die gebruikt wordt essentieel. Vermijd samenvoegingen die de waarde van de cijfers vertroebelen. Visuele ondersteuning bij het koppelen van cijfers aan hoeveelheden is onmisbaar. --- # Functies van getallen Functies van getallen onderzoekt de uiteenlopende rollen die getallen vervullen binnen de wiskunde. ## 3. Functies van getallen Getallen kunnen verschillende functies vervullen, waaronder het aanduiden van een hoeveelheid, een rangorde, een maat of een code. ### 3.1 Getal als hoeveelheid Een getal kan gebruikt worden om een concrete hoeveelheid aan te duiden. Dit kan variëren van het aangeven van het aantal objecten in een verzameling tot het beschrijven van een abstracte hoeveelheid. #### 3.1.1 Representaties van hoeveelheden Er zijn verschillende manieren waarop kinderen hoeveelheden leren representeren en begrijpen: * **Concrete hoeveelheid:** Dit gebeurt met tastbaar 3D-materiaal. * **Schematische hoeveelheid:** Hierbij worden afbeeldingen gebruikt om hoeveelheden weer te geven, zoals in getalbeelden (domino-, dobbelsteen-, kwadraatbeeld, vingerbeeld, eierdoosbeeld, telraam, rekenrek, kralenketting). * **Abstracte hoeveelheid:** Dit omvat het gebruik van telwoorden en cijfersymbolen. #### 3.1.2 Ontwikkeling in het begrijpen van hoeveelheden De ontwikkeling van het begrip van hoeveelheden bij jonge kinderen verloopt via verschillende fasen: 1. **Perceptueel vergelijken:** Jonge kinderen (2,5-3 jaar) kunnen duidelijk verschillende aantallen van hetzelfde materiaal op het zicht vergelijken. 2. **De 1-1 verbinding ervaren:** Kinderen ervaren dat er evenveel, meer, minder, te weinig of te veel is door bij elk object één ander object te leggen. 3. **Vergelijken via 1-1 relatie:** Hoeveelheden worden vergeleken door een 1-op-1 correspondentie te leggen om te bepalen waar er meer, minder of evenveel is. 4. **Vergelijken via tellen:** Kinderen leren tellen om te bepalen waar meer, minder of (niet) evenveel is. Bijvoorbeeld, het tellen van koeien en varkens om te zien welke groep groter is. 5. **Vergelijken via subiteren:** Kinderen leren door snelle herkenning van kleine aantallen (subiteren) te bepalen welke hoeveelheid groter is. Bijvoorbeeld, het direct herkennen van twee koeien en drie varkens en concluderen dat er meer varkens zijn. 6. **Sorteren van (on)gestructureerde aantallen:** Kinderen maken groepjes van evenveel, bijvoorbeeld door bakjes met hetzelfde aantal pleisters samen te zetten. 7. **Seriëren naar aantal:** Hoeveelheden worden geordend van weinig naar veel of omgekeerd. Dit kan met tastbare aantallen, afbeeldingen of cijfersymbolen. 8. **Conservatie van aantal:** Kinderen beseffen geleidelijk dat het aantal objecten niet verandert, ongeacht de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen. Dit wordt eerst geschat en vervolgens gecontroleerd door tellen of de 1-1 verbinding. #### 3.1.3 Gestructureerde hoeveelheden Het structureren van concrete hoeveelheden, bijvoorbeeld door het gebruik van een eierdoos, biedt voordelen: * **Voordeel bij kleine aantallen:** Makkelijker subiteren. * **Voordeel bij grote aantallen:** Makkelijker de tel bijhouden of verkort tellen. Verschillende getalbeelden, zoals de eierdoos of het vingerbeeld, kunnen worden ingezet. Voor oudere kleuters is het vergelijken van verschillende getalbeelden nuttig om te zien hoe een getal op verschillende manieren kan worden gevormd. #### 3.1.4 Schematische hoeveelheden Schematische hoeveelheden, weergegeven met afbeeldingen, omvatten diverse getalbeelden zoals domino-, dobbelsteen-, kwadraat-, vinger- en eierdoosbeelden. Ook turven behoort tot deze categorie voor oudste kleuters. Deze worden ingezet bij prenten, waarbij kinderen hoeveelheden benoemen en verschillende getalbeelden door het jaar heen verkennen. #### 3.1.5 Abstracte representatie: cijfers De abstracte representatie van getallen gebeurt via Arabische cijfers (0 tot en met 9). Het stimuleren van spontane aandacht voor cijfers in de klas, door ze te benoemen en te koppelen aan concrete en schematische hoeveelheden, is belangrijk. Bij meercijferige getallen is het cruciaal om de juiste verwoording te gebruiken, zoals "een 1 en daarnaast een 5 vormt vijftien", en visuele ondersteuning te bieden. > **Tip:** Voor jonge kleuters ligt de nadruk op de concrete fase van het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract). ### 3.2 Getal als rangorde Getallen geven ook een positie of rangorde aan binnen een reeks. Dit wordt duidelijk wanneer objecten van weinig naar veel of van meer naar minder worden gerangschikt, of wanneer er gesproken wordt over 'de eerste', 'de tweede', enzovoort. ### 3.3 Getal als maatgetal Getallen kunnen gebruikt worden om maten aan te duiden, zoals lengte, gewicht, tijd of temperatuur. Dit omvat het gebruik van eenheden en meetinstrumenten. ### 3.4 Getal als code Nummers kunnen dienen als code, bijvoorbeeld in telefoonnummers, huisnummers of kentekens. Hierbij is de specifieke volgorde van de cijfers belangrijker dan hun kwantitatieve waarde. > **Voorbeeld:** Bij het benoemen van het cijfer 'vijf' als onderdeel van het telefoonnummer 'vijf-acht-twee', is de functie van het cijfer als onderdeel van de code centraal, niet de hoeveelheid vijf. ### 3.5 Vergelijken en ordenen van getallen Het vergelijken en ordenen van getallen is een fundamenteel wiskundig concept. De wiskundetaal hiervoor omvat termen als 'meer dan', 'minder dan', '(niet) evenveel als', 'meeste', 'minste', en het rangschikken van 'weinig naar veel' of 'veel naar weinig'. #### 3.5.1 Strategieën voor vergelijken Kinderen leren dit begrip ontwikkelen via: * **1-op-1 correspondentie:** Het koppelen van objecten uit twee groepen om te bepalen of de aantallen gelijk zijn, of welke groep groter is. * **Tellen:** Het tellen van de objecten in elke groep om vervolgens de getallen te vergelijken. * **Subiteren:** Het direct herkennen van kleine aantallen om een vergelijking te maken. #### 3.5.2 Verwoording van vergelijkingen Het correct verwoorden van vergelijkingen is essentieel. Correcte formuleringen zijn: "evenveel als", "meer dan", "minder dan", "het is gelijk aan", "het is hetzelfde als". Incorrecte formuleringen zijn: "meer als", "evenveel dan". ### 3.6 Nul als getal Nul vertegenwoordigt het concept 'niets' of 'geen'. Het is belangrijk om nul ook als een getal te behandelen, vooral bij oudere kleuters die kunnen terugtellen tot nul. ### 3.7 Doelen 'Functies van getallen' De verschillende functies van getallen zijn gekoppeld aan concrete leerdoelen die getoetst kunnen worden door middel van spelletjes en opdrachten, zoals: * Het vullen van kaarten. * Het sorteren van objecten (bv. zaadjes in potjes). * Memory-spellen op aantal. * Spelletjes als 'Keetje kakel' en 'Potje schud'. * Opdrachten met een rad of bolletjesmix. * Zelfstandig spelactiviteiten. Bij deze activiteiten is het belangrijk om varianten in moeilijkheidsgraad aan te bieden, zoals het gebruik van grotere aantallen of cijfers in plaats van getalbeelden. --- # Spel en zelfstandige activiteiten met getallen Dit onderwerp beschrijft praktische spelletjes en zelfstandige activiteiten die kinderen kunnen uitvoeren om hun begrip van getallen te versterken, met variaties in moeilijkheidsgraad. ### 4.1 Getalbegrip en vergelijken Het begrijpen van getallen omvat meer dan alleen tellen; het omvat ook het concept van nul, vergelijken, ordenen en het gebruik van wiskundetaal. #### 4.1.1 Nul en aftellen Nul dient ook aandacht te krijgen als een hoeveelheid: niets, geen. Terugtellen kan ook tot nul, wat vooral voor oudere kleuters een geschikte activiteit is. #### 4.1.2 Wiskundetaal voor vergelijken en ordenen Een rijke wiskundetaal is essentieel voor het begrijpen van hoeveelheden. Kernbegrippen en -uitdrukkingen omvatten: * "Ik heb meer stenen dan jij." * "Vier is minder dan zeven." * "Hoeveel is vier en twee samen?" * "Ik leg de cijferkaartjes van weinig naar veel." * "Er zijn evenveel jongens als meisjes vandaag." * "Ik heb de 8 blauwe knopen samen gelegd." * "Wie heeft de minste knopen?" * "Ik leg de knopendoosjes van minder naar meer knopen." * "Wie heeft de meeste/minste kaartjes?" **Te corrigeren taalfouten:** * Meer / minder als (juist is: meer dan / minder dan) * Evenveel dan (juist is: evenveel als) * Het is gelijk / Het is hetzelfde (dit kan, maar het precieze wiskundige 'gelijk aan' is beter) **Kernbegrippen voor vergelijken:** * (niet) evenveel als * meer dan, minder dan * meeste / minste van * weinig naar veel, van veel naar weinig * van minder naar meer, van meer naar minder * komt voor, komt na * rangschikken, ordenen, in de juiste volgorde #### 4.1.3 Hoe kinderen leren vergelijken Kinderen leren het concept van evenveel, meer en minder op verschillende manieren: 1. **Via één-op-één verbinding (1-1 correspodentie):** * Elk element van de ene groep wordt gekoppeld aan precies één element van de andere groep. * Voorbeeld: Als er voor elke witte steen één zwarte steen is, dan zijn er evenveel witte als zwarte stenen. * Eerst: objecten die logisch bij elkaar horen (eenvoudig). * Vervolgens: willekeurige objecten (moeilijker). > **Tip:** Het modelleren en verwoorden door de leerkracht (LK) is cruciaal. Begin met het zelf voordoen en laat het kind daarna zelfstandig uitvoeren met nadruk op het verwoorden. 2. **Perceptueel vergelijken:** * Kinderen (vanaf 2,5-3 jaar) kunnen duidelijk verschillende aantallen van hetzelfde materiaal op het zicht vergelijken. * Ze gebruiken begrippen als veel, weinig, meer, minder, meest, minst. 3. **1-1 verbinding ervaren:** * Kinderen (vanaf 2,5-3 jaar) ervaren zelf het principe van 'bij elk één leggen' en voelen direct wanneer er evenveel, meer, minder, te weinig of te veel is. 4. **Vergelijken via precieze strategieën:** * **Vanuit de 1-1 relatie:** Kinderen ontdekken of er meer, minder of evenveel is door de 1-1 verbinding te leggen. * **Vanuit het tellen:** Kinderen tellen om te bepalen waar meer, minder of (niet) evenveel is. * Voorbeeld: "Ik tel 7 koeien. Ik tel 6 varkens. 7 is meer dan 6, dus er zijn meer koeien dan varkens." * **Vanuit subiteren:** Kinderen gebruiken subitering (het direct zien van kleine aantallen) om te bepalen welk aantal groter is. * Voorbeeld: "Ik zie 2 koeien. Ik zie 3 varkens. Er zijn meer varkens, want 3 is meer dan 2." #### 4.1.4 Andere leerlijnen en concepten * **(On)gestructureerde aantallen tot en met 10 sorteren:** Groepjes maken van evenveel. * **Ordenen (Serialiseren):** Van weinig naar veel of omgekeerd. Dit kan met tastbare aantallen of met cijfersymbolen. Het aanvullen van buurgetallen hoort hier ook bij. * **Conservatie van aantal:** Kinderen ervaren en beseffen dat het aantal objecten niet verandert door de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen. Ze leren schatten en controleren dit via tellen of de 1-1 verbinding. ### 4.2 Representaties van getallen De ontwikkeling van wiskundige inzichten verloopt via het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract). In de kleuterschool ligt de nadruk op de concrete fase. * **Concrete hoeveelheid:** Gemaakt met 3D-materiaal. * **Schematische hoeveelheid:** Gemaakt met afbeeldingen. * **Abstracte hoeveelheid:** Met telwoorden of met cijfers. #### 4.2.1 Concrete hoeveelheden structureren Het structureren van concrete hoeveelheden helpt bij het sneller herkennen van aantallen (subiteren) en het makkelijker bijhouden van het tellen. Verschillende getalbeelden kunnen hierbij worden gebruikt: * Op één lijn (tellen) * Volgens een getalbeeld: * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Eierdoos (met 4 of 6 bij jonge kleuters (JK), met 10 bij oudere kleuters (OK), met pallet als extra uitdaging) * Telraam * Rekenrek * Kralenketting/telketting > **Tip:** Laat verschillende getalbeelden aan bod komen. JK kunnen ze tonen en gebruiken, OK kunnen ze vergelijken. Stimuleer probleemoplossend denken door kinderen zelf manieren te laten zoeken om hoeveelheden snel te herkennen, bijvoorbeeld bij het benoemen van weggenomen voorwerpen. #### 4.2.2 Schematische hoeveelheid Dit omvat het gebruik van afbeeldingen om aantallen weer te geven. * **Getalbeelden:** * Op één lijn * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Vijfstructuur * Eierdoos (volgens vijfstructuur of kwadraatbeeld) * Turven (voor oudste kleuters) > **Tip:** Gebruik afbeeldingen in realistische contexten, zoals recepten of boodschappenlijstjes. #### 4.2.3 Abstracte representatie: cijfers Dit betreft de Arabische cijfers (0-9). * Stimuleer spontane aandacht voor cijfers door ze zichtbaar in de klas te presenteren en de aandacht van kinderen ervoor te waarderen en te benoemen. * Meercijferige getallen zijn geen doel op zich voor kleuters, maar er kan op ingespeeld worden bij interesse. * **Correcte verwoording bij meervoudige cijfers:** Niet "1 en 5 is samen vijftien", maar "een 1 en daarnaast een 5 vormt vijftien". * Visuele ondersteuning is belangrijk: koppel cijfers aan de bijbehorende hoeveelheid (concreet, schematisch, abstract). > **Tip:** Combineer de verschillende representaties om het leren van cijfers te ondersteunen. Leg kaartjes met getalbeelden en cijfers bij groepjes materialen. ### 4.3 Doelen en praktische spelletjes De doelen met betrekking tot getallen representeren en de functies van getallen kunnen worden bereikt door middel van diverse spelletjes en activiteiten. #### 4.3.1 Functies van getallen * **Getal als hoeveelheid:** Het tellen van objecten. * **Getal als rangorde:** De plaats in een reeks (eerste, tweede, etc.). * **Getal als maatgetal:** Bijvoorbeeld bij lengte of gewicht. * **Getal als code:** Bijvoorbeeld een huisnummer of telefoonnummer. #### 4.3.2 Praktijkvoorbeelden en spelletjes Diverse spelletjes kunnen ingezet worden voor zelfstandig spel, met variaties in moeilijkheidsgraad: * **Kaart vullen:** Eenvoudig spel waarbij de kaart met de juiste hoeveelheden of getalbeelden wordt gevuld. * **Gemakkelijker:** Eén soort pitten gebruiken, matrixsysteem weglaten (kinderen leggen het aantal in elk vakje). * **Moeilijker:** Grotere aantallen, cijfers in plaats van getalbeelden. * **Liedje dobbelsteen:** Gebruik van dobbelstenen in liedjes. * **Memory op aantal:** Memorykaarten met matchende hoeveelheden of getalbeelden. * **Zelfstandig bakjes vullen:** Gebruik van bakjes en materialen om specifieke aantallen te vormen. * **Vakjesdoos:** Een raster dat gebruikt kan worden voor het plaatsen van objecten volgens een bepaald aantal of patroon. * **Potjes vol zaaien / Potje schud:** Spelletjes die gericht zijn op het vormen van aantallen. * **Keetje kakel, Insey winsey spider, Bolletjesmix:** Verschillende interactieve spelletjes die tellen en hoeveelheden betrekken. * **Evenveel met het rad:** Gebruik van een rad om de hoeveelheid te bepalen die gematcht moet worden. > **Tip:** Pas de moeilijkheidsgraad aan door variaties in het aantal objecten, de complexiteit van de getalbeelden, of het gebruik van cijfers in plaats van getalbeelden. #### 4.3.3 Statistische inzichten (voor docenten) Uit onderzoek blijkt dat: * Ongeveer 40% van de 5-jarigen Arabische getallen tot 10 kan benoemen. * Ongeveer 10-25% van de kleuters kan dat ook voor getallen boven de twintig. * Een klein percentage (ongeveer 5-10%) kan zelfs getallen boven de honderd correct benoemen. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Nul | Het getal nul vertegenwoordigt de afwezigheid van hoeveelheid, of de lege verzameling, en is essentieel voor het begrip van getallenreeksen en vergelijkingen. | | Eén-op-één correspondentie (1-1 verbinding) | Een strategie waarbij elk element van de ene groep wordt gekoppeld aan precies één element van een andere groep om de gelijkheid van de hoeveelheden vast te stellen of te vergelijken. | | Perceptueel vergelijken | Het direct vergelijken van aantallen zonder te tellen, gebaseerd op visuele waarneming van de grootte of de spreiding van objecten. | | Tellen | Het proces van het systematisch benoemen van getallen in volgorde om de hoeveelheid van een verzameling objecten vast te stellen. | | Subiteren | De vaardigheid om snel en zonder tellen de hoeveelheid van een kleine verzameling objecten te herkennen, meestal tot vijf. | | Sorteren | Het groeperen van objecten op basis van gemeenschappelijke kenmerken, zoals het maken van groepjes met evenveel items. | | Seriëren | Het ordenen van objecten of aantallen op volgorde, meestal van klein naar groot of omgekeerd, gebaseerd op een bepaald criterium zoals hoeveelheid. | | Conservatie van aantal | Het inzicht dat het aantal objecten in een verzameling gelijk blijft, ongeacht veranderingen in de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen. | | Concrete fase | De eerste fase in het opbouwen van wiskundige inzichten, waarbij kinderen werken met tastbare, driedimensionale materialen om concepten te begrijpen. | | Schematische fase | De fase na de concrete fase, waarbij abstracte concepten worden voorgesteld met behulp van afbeeldingen, tekeningen of andere tweedimensionale representaties. | | Abstracte fase | De hoogste fase in het opbouwen van wiskundige inzichten, waarbij kinderen werken met symbolen en getalnamen zonder visuele ondersteuning. | | Getalbeeld | Een mentale voorstelling van een getal, vaak geassocieerd met een specifieke structuur of patroon, zoals een dobbelsteenafbeelding of een vingerbeeld. | | Domino- of dobbelsteenbeeld | Een gestructureerde manier om kleine aantallen te representeren, gebaseerd op de patronen van ogen op een dobbelsteen of de punten op een dominosteen. | | Eierdoos | Een gestructureerd hulpmiddel, vaak met 6 of 10 vakjes, dat gebruikt kan worden om aantallen te organiseren en getalbeelden te visualiseren, bijvoorbeeld de vijfstructuur. | | Turven | Het maken van streepjes om aantallen te registreren, vaak gebruikt als een tussenstap tussen concrete hoeveelheden en abstracte cijfers. | | Arabische cijfers | De cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 die wereldwijd worden gebruikt voor het noteren van getallen. | | Getal als hoeveelheid | De functie van een getal die aangeeft hoe veel van iets er is. | | Getal als rangorde | De functie van een getal die de positie van een object in een reeks aangeeft, zoals eerste, tweede, derde. | | Getal als maatgetal | De functie van een getal die wordt gebruikt om een hoeveelheid te kwantificeren met een eenheid, zoals lengte, gewicht of tijd. | | Getal als code | De functie van een getal die wordt gebruikt om iets te identificeren, zoals een telefoonnummer, een huisnummer of een productcode. |