chapitre 3 new 2025 - copie.pdf

# La notion d’actualisation et de capitalisation Ce sujet traite du calcul de la valeur présente et future des flux monétaires, ainsi que des formules fondamentales de l'actualisation et de la capitalisation [2](#page=2). ### 1.1 Définitions et principes fondamentaux La capitalisation est le processus qui permet de déterminer la valeur future d'une somme d'argent placée aujourd'hui, en tenant compte d'un taux d'intérêt. L'actualisation, quant à elle, consiste à ramener une somme d'argent future à sa valeur d'aujourd'hui, en utilisant un taux d'actualisation. Ces deux notions sont essentielles pour évaluer des investissements et des flux monétaires sur différentes périodes [2](#page=2). ### 1.2 Capitalisation d'une somme d'argent La capitalisation permet de calculer la valeur future (FV) d'une valeur présente (PV) sur une période donnée, en appliquant un taux d'intérêt. La formule de base pour la capitalisation est la suivante : $$FV = PV \times (1+r)$$ où : * $FV$ représente la valeur future. * $PV$ représente la valeur présente. * $r$ représente le taux d'intérêt par période. #### 1.2.1 Exemple de capitalisation Si vous placez 100 dollars sur un compte rémunéré à 6% par an, vous disposerez de 106 dollars dans un an. Le calcul est: $100 \times (1+0,06) = 100 \times 1,06 = 106$ dollars [3](#page=3). ### 1.3 Actualisation d'une somme d'argent L'actualisation permet de déterminer la valeur présente (PV) d'une somme d'argent qui sera reçue dans le futur (FV). La formule de base pour l'actualisation est dérivée de la formule de capitalisation : $$PV = \frac{FV}{(1+r)}$$ où : * $PV$ représente la valeur présente. * $FV$ représente la valeur future. * $r$ représente le taux d'actualisation par période. #### 1.3.1 Exemple d'actualisation Si l'on vous promet 100 dollars dans un an, à condition d'obtenir votre année d'études, et que le taux d'actualisation est de 6%, la valeur actuelle de cette promesse est d'environ 94,34 dollars. Le calcul est: $100 / (1+0,06) = 100 / 1,06 \approx 94,34$ dollars [4](#page=4). ### 1.4 Actualisation de flux monétaires multiples Le principe d'actualisation peut être étendu à une série de flux monétaires reçus à différentes dates futures. La valeur présente totale d'une série de flux est la somme des valeurs présentes de chaque flux individuel. Si le taux d'intérêt est de 6%, la valeur aujourd'hui de deux flux de 100 dollars, l'un reçu dans un an et l'autre dans deux ans, se calcule comme suit : $$PV_{totale} = \frac{100}{(1+0,06)^1} + \frac{100}{(1+0,06)^2}$$ $$PV_{totale} = \frac{100}{1,06} + \frac{100}{1,1236} \approx 94,34 + 89,00 = 183,34 \text{ dollars}$$ Ce calcul démontre l'application de l'actualisation pour des flux répartis dans le temps [5](#page=5). De manière générale, la valeur d'aujourd'hui d'une chaîne de flux à percevoir jusqu'à la date $T$ est la somme des valeurs présentes de chaque flux individuel : $$PV_{totale} = \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t}{(1+r)^t}$$ où : * $PV_{totale}$ est la valeur présente totale. * $CF_t$ est le flux de trésorerie à la période $t$. * $r$ est le taux d'actualisation par période. * $T$ est le nombre total de périodes. > **Tip:** Comprendre la distinction entre capitalisation (vers le futur) et actualisation (vers le présent) est fondamental. Le taux d'intérêt ou d'actualisation est le facteur clé qui détermine la valeur temporelle de l'argent. > **Tip:** Assurez-vous d'aligner la période du taux d'intérêt avec la période des flux monétaires (par exemple, taux annuel pour des flux annuels). --- # Mesurer le taux d’intérêt et les caractéristiques des obligations Cette section explore la détermination des taux d'intérêt sur les marchés financiers, en utilisant les obligations d'État comme référence, et détaille les diverses caractéristiques des obligations qui influencent leur prix et leur rendement [6](#page=6). ### 2.1 Mesurer le taux d’intérêt Le taux d'intérêt est déterminé par les marchés financiers à travers l'offre et la demande d'obligations. Il représente, à un instant donné, le taux de rentabilité actuariel d'une obligation de référence. Par convention, le taux de référence est celui des obligations d'État de maturité dix ans. La rentabilité actuarielle est la rentabilité attendue a priori, et elle ne correspond pas nécessairement à la rentabilité exacte d'un placement, qui n'est calculée qu'a posteriori [6](#page=6). Pour déterminer le taux actuariel d'une obligation, il est essentiel de définir au préalable ses caractéristiques générales [7](#page=7). > **Tip:** Comprendre la distinction entre le taux actuariel (a priori) et la rentabilité réelle (a posteriori) est crucial pour évaluer la performance d'un investissement obligataire. #### 2.1.1 Calcul de la valeur actuelle des flux futurs La valeur aujourd'hui d'une série de flux à percevoir jusqu'à une date $T$ est calculée comme la somme actualisée de ces flux. La formule générale est la suivante [5](#page=5): $$ \text{Valeur actuelle} = \sum_{t=1}^{T} \frac{F_t}{(1+r)^t} $$ où $F_t$ représente le flux de trésorerie à la période $t$, et $r$ est le taux d'actualisation [5](#page=5). #### 2.1.2 Détermination du taux actuariel Le taux actuariel (ou taux de rendement à l'échéance) est le taux qui annule la valeur actuelle nette (VAN) d'une obligation. Autrement dit, c'est le taux pour lequel le prix d'émission de l'obligation est égal à la somme actualisée de tous ses flux futurs (coupons et remboursement du principal). C'est le coût réel avant impôts pour l'émetteur et la rentabilité réelle avant impôts pour le souscripteur [19](#page=19). La relation mathématique est la suivante : $$ P_0 = \sum_{t=1}^{T} \frac{C_t}{(1+r)^t} + \frac{VR}{(1+r)^T} $$ où : * $P_0$ est le prix d'émission de l'obligation [20](#page=20). * $C_t$ est le coupon versé à la période $t$ [20](#page=20). * $VR$ est la valeur de remboursement de l'obligation [20](#page=20). * $T$ est la maturité de l'obligation [20](#page=20). * $r$ est le taux de rentabilité actuariel [20](#page=20). Le taux actuariel d'une obligation est tel que : $$ P_0 = \frac{C_1}{(1+r)^1} + \frac{C_2}{(1+r)^2} + \dots + \frac{C_T}{(1+r)^T} + \frac{VR}{(1+r)^T} $$ Si les coupons sont constants ($C$) et le remboursement est "in fine" (un seul remboursement du principal à l'échéance), la formule se simplifie légèrement : $$ P_0 = C \left( \frac{1 - (1+r)^{-T}}{r} \right) + \frac{VR}{(1+r)^T} $$ Le taux actuariel s'ajuste en fonction de la rentabilité souhaitée par les investisseurs et évolue constamment avec les conditions de marché. Il s'impose aux opérateurs [23](#page=23). #### 2.1.3 Exemple de calcul du taux actuariel Considérons une obligation avec les caractéristiques suivantes : * Valeur nominale: mille euros [21](#page=21). * Valeur de remboursement: mille vingt-cinq euros [21](#page=21). * Taux facial: dix pour cent [21](#page=21). * Remboursement: "in fine" [21](#page=21). * Maturité: dix ans [21](#page=21). * Prix à l'émission: neuf cent quatre-vingt-cinq euros [21](#page=21). Le coupon annuel ($C$) est de $10\%$ de mille euros, soit cent euros. Le prix d'émission ($P_0$) est de neuf cent quatre-vingt-cinq euros. La valeur de remboursement ($VR$) est de mille vingt-cinq euros à $T=10$ ans. On cherche donc $r$ tel que : $$ 985 = \frac{100}{(1+r)^1} + \frac{100}{(1+r)^2} + \dots + \frac{100}{(1+r)^{10}} + \frac{1025}{(1+r)^{10}} $$ Ce taux $r$ est d'environ dix virgule quatre pour cent [22](#page=22). > **Tip:** Le calcul du taux actuariel implique souvent des itérations ou l'utilisation de fonctions financières sur une calculatrice ou un logiciel, car il n'existe pas de solution analytique simple pour la plupart des obligations. #### 2.1.4 Taux de référence et conditions de marché Le taux de l'OAT dix ans (Obligation Assimilable du Trésor) correspond au taux auquel l'État français peut s'endetter et sert de référence sur le marché. Si un opérateur souhaite s'endetter, il doit choisir les caractéristiques de son obligation de manière à ce que son taux actuariel soit au moins égal au taux actuariel des obligations similaires déjà présentes sur le marché [23](#page=23). ### 2.2 Les caractéristiques des obligations Avant de calculer le taux actuariel, il est nécessaire de définir les caractéristiques d'une obligation. Bien que la référence soit les obligations d'État, les caractéristiques présentées sont générales [7](#page=7). #### 2.2.1 Valeur nominale (ou valeur faciale) Il s'agit de la valeur qui sert de base au calcul du montant des coupons [8](#page=8) [9](#page=9). #### 2.2.2 Prix d’émission C'est le prix auquel l'investisseur achète l'obligation lors de son émission. Le prix d'émission peut être [10](#page=10) [8](#page=8): * **Au pair**: égal à la valeur nominale [10](#page=10). * **Au dessus du pair**: supérieur à la valeur nominale [10](#page=10). * **En dessous du pair**: inférieur à la valeur nominale [10](#page=10). L'écart entre la valeur nominale et le prix d'émission lorsqu'il est "en dessous du pair" est appelé **prime d'émission** [10](#page=10). #### 2.2.3 Valeur de remboursement C'est le montant que l'investisseur recevra à la date d'échéance de l'obligation. La valeur de remboursement peut être [11](#page=11) [8](#page=8): * **Au pair**: égale à la valeur nominale [11](#page=11). * **Au dessus du pair**: supérieure à la valeur nominale [11](#page=11). L'écart entre la valeur de remboursement et la valeur nominale lorsqu'elle est "au dessus du pair" est appelé **prime de remboursement** [11](#page=11). #### 2.2.4 Modalités de remboursement (Amortissement de l'emprunt) L'emprunt peut être remboursé de trois manières principales [12](#page=12) [8](#page=8): * **Remboursement "in fine"**: Les intérêts sont payés annuellement, et le remboursement du principal s'effectue intégralement à la fin de l'emprunt [12](#page=12). * **Remboursement constant**: Le remboursement du principal est constant sur chaque période, tandis que les intérêts diminuent au fil du temps [12](#page=12). * **Remboursement par annuités constantes**: L'annuité (somme des intérêts et du remboursement du principal) reste la même sur toute la durée de l'emprunt [12](#page=12). #### 2.2.5 Durée de l'emprunt (Maturité) C'est la période qui sépare la date d'émission de l'obligation de sa date de remboursement [13](#page=13) [8](#page=8). #### 2.2.6 Durée de vie résiduelle (Maturité résiduelle) C'est la période restant à courir entre la date actuelle et la date de remboursement de l'obligation [13](#page=13). #### 2.2.7 Taux nominal ou facial (Taux de coupon) Il sert à calculer le montant des intérêts dus aux prêteurs. Ce taux peut être [16](#page=16) [8](#page=8): * **Taux fixe**: Le taux reste constant pendant toute la durée de l'obligation [8](#page=8). * **Taux révisable**: Le taux d'intérêt est basé sur une référence connue, comme l'EURIBOR trois mois [16](#page=16). * **Taux indexé (variable)**: Le taux d'intérêt varie en même temps que son indice de référence [16](#page=16) [8](#page=8). #### 2.2.8 Périodicité Elle correspond à la fréquence de versement des intérêts (coupons). Elle est généralement annuelle sur le marché de l'euro, semestrielle sur les marchés anglais et américains, mais peut aussi être trimestrielle ou mensuelle [17](#page=17). #### 2.2.9 Garanties L'emprunt peut être assorti de garanties, telles qu'une garantie de l'État, d'une maison mère, une hypothèque, un nantissement ou une caution [14](#page=14). #### 2.2.10 Covenants Il s'agit de clauses qui limitent les actions possibles de la société émettrice pendant la durée de vie de l'emprunt afin de le sécuriser [14](#page=14). #### 2.2.11 Date de jouissance C'est la date à partir de laquelle les intérêts commencent à courir. Elle peut être différente de la date de règlement (jour où les fonds sont versés par les prêteurs) [15](#page=15). #### 2.2.12 Assimilation Plusieurs emprunts émis par le même émetteur peuvent présenter les mêmes caractéristiques (durée résiduelle, coupon, échéancier, prix de remboursement, garantie), permettant ainsi de les assimiler. Les avantages de l'assimilation sont la réduction des frais de gestion et l'augmentation de la liquidité des emprunts. Seul le prix d'émission peut différer [18](#page=18). > **Tip:** Une compréhension approfondie de chaque caractéristique d'une obligation est essentielle pour l'analyse financière et la prise de décision d'investissement. Ces caractéristiques déterminent les flux de trésorerie futurs et, par conséquent, le prix et le rendement de l'obligation. --- # Taux d’intérêt réel et nominal et obligations indexées sur l'inflation This section clarifies the relationship between real and nominal interest rates, emphasizing the role of inflation and introducing inflation-indexed bonds like the OATi. ### 3.1 Taux d'intérêt réel et nominal The distinction between real and nominal interest rates is fundamental to understanding investment returns and the impact of inflation [24](#page=24) [25](#page=25). #### 3.1.1 L'équation de Fisher The relationship between nominal interest rates, real interest rates, and inflation is captured by the Fisher equation. While the precise formulation is not detailed on the provided pages, the core concept is that the nominal interest rate reflects both the desired real return and the expected inflation [24](#page=24) [26](#page=26). #### 3.1.2 Inflation et rentabilité The nominal return on an investment, such as an obligation, must meet the investors' required return, which inherently includes anticipated inflation over the investment period. If the cash flows of an investment are adjusted to account for inflation, then the required return corresponds to the desired real return, as the risk associated with inflation is mitigated [26](#page=26). ### 3.2 Les obligations indexées sur l'inflation (OATi) Inflation-indexed bonds, specifically the Obligations Assimilables du Trésor indexées sur l'inflation (OATi), are designed to protect investors from the erosion of purchasing power due to inflation [27](#page=27). #### 3.2.1 Définition et fonctionnement An OATi is a debt instrument issued by the public Treasury. Both its principal, which is repaid at maturity, and its annual interest payments are indexed to inflation. These bonds are typically issued with maturities of ten or thirty years [27](#page=27). #### 3.2.2 Exemple d'OATEURi An example illustrates the calculation of coupon payments for an OATEURi. The first issuance by the AFT on July 25, 2001, had an expiry date of July 25, 2012, a coupon rate of 3%, and a nominal value (VN) of 1 euro. At the time of issuance, the Harmonised Index of Consumer Prices (IPCH) was 92.98 (with a base of 100 in 2005) [28](#page=28). * **Scenario:** In July 2010, the IPCH had risen to 108.68 [28](#page=28). * **Calculation:** * The increase in the IPCH between the issuance date and July 2010 was 16.89% [29](#page=29). * Consequently, the nominal value of the OATEURi was adjusted to 1.1689 euros [29](#page=29). * The coupon paid on that date was calculated as 0.03 multiplied by the adjusted nominal value: $0.03 \times 1.1689\text{ euros} = 0.0351\text{ centimes d'euros}$ [29](#page=29). > **Tip:** This example highlights how the principal amount of an OATi is adjusted for inflation, directly impacting the value of the coupon payments. > **Example:** Imagine an OATi with a 1000 euros principal and a 2% coupon rate. If inflation over a year causes the index to rise by 5%, the new principal becomes $1000 \times (1 + 0.05) = 1050$ euros. The coupon payment for that year would then be $1050 \times 0.02 = 21$ euros, an increase from the initial potential coupon of 20 euros if inflation were zero. #### 3.2.3 OATi and anticipated inflation The existence and market behaviour of OATi can provide insights into market expectations of future inflation. The yield on OATi, relative to conventional bonds, reflects the market's consensus on inflation over the bond's maturity [30](#page=30). --- ## Erreurs courantes à éviter - Révisez tous les sujets en profondeur avant les examens - Portez attention aux formules et définitions clés - Pratiquez avec les exemples fournis dans chaque section - Ne mémorisez pas sans comprendre les concepts sous-jacents

| Term | Definition | |------|------------| | Taux d’intérêt | Le prix d'un prêt ou d'un dépôt, généralement exprimé en pourcentage du montant principal, payé par l'emprunteur au prêteur pour l'utilisation des fonds. | | Valeur présente (PV) | La valeur actuelle d'une somme d'argent future ou d'une série de flux de trésorerie, compte tenu d'un taux de rendement spécifié. | | Valeur future (FV) | La valeur d'un actif à une date spécifiée dans le futur, en supposant un taux de croissance constant. | | Actualisation | Le processus de détermination de la valeur présente d'un montant d'argent à recevoir dans le futur. | | Capitalisation | Le processus de calcul de la valeur future d'une somme d'argent présente. | | Taux d’intérêt réel | Le taux d'intérêt d'un prêt après ajustement pour tenir compte de l'inflation ; il représente le coût réel de l'emprunt et le rendement réel des investissements. | | Taux d’intérêt nominal | Le taux d'intérêt annoncé ou affiché, sans tenir compte de l'effet de l'inflation. | | Obligation | Un instrument de dette émis par les gouvernements ou les sociétés pour lever des fonds, qui promet de payer au détenteur des intérêts périodiques (coupons) et de rembourser le principal à une date d'échéance spécifiée. | | Valeur nominale | La valeur faciale d'une obligation, qui est utilisée pour calculer le montant des coupons ; elle est généralement remboursée à l'échéance. | | Taux de coupon | Le taux d'intérêt annuel qu'une obligation paie sur sa valeur nominale, exprimé en pourcentage. | | Taux de rentabilité actuariel (TRA) | Le taux d'actualisation qui égale la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs d'une obligation à son prix actuel sur le marché ; il représente le rendement total attendu d'une obligation si elle est détenue jusqu'à l'échéance. | | Remboursement in fine | Un type de remboursement d'emprunt où tous les intérêts sont payés périodiquement et le principal est remboursé en une seule somme à la fin de la durée de l'emprunt. | | Annuités constantes | Un plan de remboursement de prêt où chaque paiement périodique est le même montant, composé d'une partie des intérêts et d'une partie du principal. | | OATi (Obligation Assimilable du Trésor indexée sur l'inflation) | Un titre de créance émis par le Trésor public dont le capital et les intérêts sont indexés sur l'inflation, offrant une protection contre la hausse des prix. |