Elektriciteit_wisselstroom_theorie_basis_8.pdf

# Inleidende begrippen over elektrische stromen en spanningen Dit onderwerp introduceert de fundamentele soorten elektrische stromen, namelijk gelijkstroom en wisselstroom, en hun eigenschappen [2](#page=2) [3](#page=3) [4](#page=4) [5](#page=5). ### 1.1 Soorten elektrische stromen en spanningen #### 1.1.1 Gelijkstroom (DC - Direct Current) Gelijkstroom wordt gekenmerkt doordat de zin van de stroom in de tijd constant blijft, typisch van de positieve naar de negatieve pool. Hoewel de zin constant is, kan de waarde van de gelijkstroom variëren. Er worden verschillende soorten gelijkstromen onderscheiden [2](#page=2) [3](#page=3): * **Constante gelijkstroom**: De waarde van de stroom blijft onveranderd in de tijd. De stroomsterkte is op elk moment gelijk [2](#page=2). * **Veranderlijke gelijkstroom**: De zin van de stroom blijft gelijk, maar de stroomsterkte verandert voortdurend. Een voorbeeld hiervan is de stroom die door een microfoon wordt opgewekt [2](#page=2) [3](#page=3). * **Periodieke gelijkstroom of pulserende stroomsterkte**: De waarden van de stroomsterkte herhalen zich op identieke wijze over vaste tijdsintervallen [3](#page=3). #### 1.1.2 Wisselende stroom (AC - Alternating Current) Een wisselende stroom verandert voortdurend van zowel zin als waarde in functie van de tijd. Deze stroom vertoont geen specifieke wetmatigheid of periodieke herhaling [4](#page=4). #### 1.1.3 Wisselstroom (AC - Alternating Current) Een wisselstroom is specifiek een stroom die periodiek van zin en waarde verandert. Een belangrijk kenmerk van wisselstroom is dat de gemiddelde waarde over één volledige periode gelijk is aan nul. Dit geldt in het bijzonder voor industriële wisselstroom [5](#page=5). --- # Benamingen en berekeningen in wisselstroom Dit gedeelte van de studiehandleiding vat de belangrijkste termen en berekeningen met betrekking tot wisselstroom samen, inclusief de periode, frequentie, cirkelfrequentie, ogenblikkelijke waarde, amplitude, gemiddelde waarde en effectieve waarde. ## 2. Benamingen en berekeningen in wisselstroom Wisselstroom (AC) kenmerkt zich door periodieke variaties in zowel grootte als richting. Om deze variaties te beschrijven en te analyseren, worden diverse specifieke termen en formules gehanteerd. ### 2.1 Periode (T) De periode is de tijdsduur die nodig is voor één volledige cyclus van de wisselstroom of wisselspanning. Het is de tijd die verstrijkt tussen twee opeenvolgende momenten waarop de waarde van de wisselgrootheid dezelfde is en in dezelfde zin varieert [8](#page=8). * **Voorstelling en eenheid:** `T` (seconden, s) [8](#page=8). * **Voorbeeld:** De periodeduur van de netspanning in veel landen is `T = 1/50` s, wat neerkomt op 0,02 seconden [8](#page=8). * **Relatie tot hoek:** Eén periode komt overeen met een hoek van 360 graden of `2\pi` radialen [8](#page=8). ### 2.2 Frequentie (f) De frequentie is het aantal perioden dat per seconde doorlopen wordt [9](#page=9). * **Voorstelling en eenheid:** `f` (Hertz, Hz) [9](#page=9). * **Voorbeeld:** De netspanning heeft een frequentie van 50 Hz. Draadloze communicatie tussen thermostaten en ontvangers maakt gebruik van een frequentiebereik van 868 MHz [9](#page=9). ### 2.3 Verband tussen periode en frequentie Er is een omgekeerd evenredig verband tussen de periode en de frequentie [10](#page=10): $$f = \frac{1}{T}$$ Hz [10](#page=10). $$T = \frac{1}{f}$$ s [10](#page=10). ### 2.4 De cirkelfrequentie of hoeksnelheid (ω) De cirkelfrequentie, ook wel hoeksnelheid genoemd, geeft aan hoeveel radialen er per seconde worden doorlopen [11](#page=11). * **Voorstelling:** `\omega` (Griekse letter Omega) [11](#page=11). * **Formule:** $$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$ [11](#page=11). * **Relatie met frequentie:** Dit leidt tot de formule `\omega = 2 \pi f`. Hieruit volgt ook weer `T = \frac{1}{f}` [11](#page=11). * **Opmerking:** De hoeksnelheid kan ook in graden worden uitgedrukt, maar dit vereist een correcte omrekening [11](#page=11). ### 2.5 De ogenblikkelijke waarde (u, i) De ogenbliklijke waarde is de waarde van de spanning of stroom op een specifiek tijdstip [12](#page=12). * **Voorstelling:** `e`, `u` (spanning) of `i` (stroom) [12](#page=12). * **Formule:** Voor een sinusvormige wisselgrootheid geldt: $$ u = U_m \cdot \sin(\omega \cdot t) $$ [12](#page=12). $$ i = I_m \cdot \sin(\omega \cdot t) $$ [12](#page=12). Hierin is `U_m` de maximale waarde van de spanning en `I_m` de maximale waarde van de stroom. De formule drukt de waarde uit als functie van de tijd `t`. ### 2.6 De maximumwaarde, topwaarde of amplitude (U_m, I_m) De amplitude is de hoogste waarde die de spanning of stroom bereikt gedurende één periode [13](#page=13). * **Voorstelling:** `U_m` of `\hat{U}` voor spanning, `I_m` of `\hat{I}` voor stroom [13](#page=13). ### 2.7 De gemiddelde waarde De gemiddelde waarde van een wisselende stroom of spanning kan op verschillende manieren worden gedefinieerd en berekend. * **Gemiddelde waarde van een willekeurige wisselende stroom over één periode:** Deze waarde kan worden berekend met behulp van integralen. Het gearceerde oppervlak onder de curve vertegenwoordigt de verplaatste lading `Q`. Door deze oppervlakte te integreren over de betreffende tijdsperiode, kan een gemiddelde stroomwaarde (`I_{av}` of `I_{gem}`) worden bepaald. Het doel is om een gelijkstroom te vinden die over dezelfde tijdsperiode dezelfde lading verplaatst [14](#page=14). > **Tip:** De gemiddelde waarde is conceptueel de gelijkstroom die gedurende een bepaalde tijd dezelfde totale hoeveelheid lading verplaatst als de wisselstroom in diezelfde tijd. * **Gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom over een volledige periode (T):** De gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom of wisselspanning over een volledige periode is altijd nul. Dit komt doordat de positieve en negatieve delen van de sinus elkaar precies opheffen [15](#page=15). * **Gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom over een halve periode (T/2):** In de praktijk wordt de gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom of -spanning vaak berekend over een halve periode [16](#page=16). * **Voorstelling:** `I_{av}` of `I_{gem}` (stroom), `U_{av}` of `U_{gem}` (spanning) [16](#page=16). * **Formule:** $$ I_{av} = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0,6366 \cdot I_m $$ [16](#page=16). $$ U_{av} = \frac{2}{\pi} \cdot U_m \approx 0,6366 \cdot U_m $$ [16](#page=16). ### 2.8 De effectieve waarde of middelbare waarde (I_eff, U_eff) De effectieve waarde (ook wel RMS-waarde genoemd) van een sinusvormige stroom is de waarde van een gelijkstroom die gedurende dezelfde periode en in dezelfde weerstand dezelfde hoeveelheid warmte zou ontwikkelen. RMS staat voor "Root Mean Square" [17](#page=17). * **Voorstelling:** `I_{eff}` of `U_{eff}` (stroom en spanning), `I_{RMS}` of `U_{RMS}` [17](#page=17). * **Formule:** $$ I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} $$ [17](#page=17). $$ U_{eff} = \frac{U_m}{\sqrt{2}} $$ [17](#page=17). * **Toepassing:** Multimeters tonen de effectieve waarde wanneer ze in de AC-stand staan [17](#page=17). ### 2.9 Topfactor en vormfactor van sinusoïdale spanningen en stromen Deze factoren worden gebruikt om de vorm van een wisselspannings- of stroomgolf te karakteriseren ten opzichte van een sinusvorm. #### 2.9.1 Topfactor (k_top) De topfactor is de verhouding tussen de maximale waarde (amplitude) en de effectieve waarde van een sinusvormige spanning of stroom [18](#page=18). * **Voorstelling:** `k_top` [18](#page=18). * **Formule:** $$ k_{top} = \frac{U_m}{U_{eff}} = \frac{I_m}{I_{eff}} $$ [18](#page=18). Voor een sinusvormige golf geldt: $$ k_{top} = \frac{U_m}{U_m / \sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41 $$ [18](#page=18). #### 2.9.2 Vormfactor (k_vorm) De vormfactor is de verhouding tussen de effectieve waarde en de gemiddelde waarde van een sinusvormige spanning of stroom [19](#page=19). * **Voorstelling:** `k_vorm` [19](#page=19). * **Formule:** $$ k_{vorm} = \frac{U_{eff}}{U_{av}} = \frac{I_{eff}}{I_{av}} $$ [19](#page=19). Voor een sinusvormige golf geldt: $$ k_{vorm} = \frac{I_m / \sqrt{2}}{(2/\pi) \cdot I_m} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1,11 $$ [19](#page=19). ### 2.10 Oefeningen Hieronder staan enkele oefeningen die helpen bij het toepassen van de geleerde concepten [20](#page=20). 1. Een wisselstroom heeft als wiskundige uitdrukking van de momentele waarde: $i = 12 \, \text{A} \cdot \sin(314 \cdot t)$ rad. Bepaal de frequentie, de momentele waarde na een tijd van 0,01 s en de gemiddelde stroom over een halve periode [20](#page=20). * **Oplossing:** 50 Hz; 0,02 A; 7,64 A [20](#page=20). 2. Een ohmse weerstand van 20 Ω is aangesloten op een sinusoïdale spanning waarvan de amplitude 65 V bedraagt. Bereken de erin verplaatste hoeveelheid elektriciteit Q in een tijdsinterval van 6 minuten [20](#page=20). * **Oplossing:** 828 C [20](#page=20). 3. Bepaal de effectieve waarde van de sinusoïdale stroom met als wiskundige uitdrukking voor de momentele waarde: $i = 15 \, \text{A} \cdot \sin(628 \cdot t)$ rad [20](#page=20). * **Oplossing:** 10,61 A [20](#page=20). 4. Een sinusoïdale stroom met een maximumwaarde van 9 A vloeit in een ohmse weerstand van 120 Ω gedurende een tijd van 30 minuten. Bereken de ontwikkelde hoeveelheid warmte-energie (maximum en effectief) in joules [20](#page=20). * **Oplossing:** 17,496 MJ; 8,737 MJ [20](#page=20). 5. Een sinusoïdale spanning heeft als uitdrukking: $u = 340 \, \text{V} \cdot \sin(377 \cdot t)$ rad. Bepaal de frequentie, de amplitude, de effectieve waarde van deze spanning en de gemiddelde spanning over een halve periode [20](#page=20). * **Oplossing:** 60 Hz; 340 V; 240,42 V; 216,45 V [20](#page=20). 6. Een wisselstroom voltmeter duidt een spanning aan van 120 V. Bereken de momentele waarde van de spanning 6 milliseconden nadat de spanning nul was. De frequentie is 50 Hz [20](#page=20). * **Oplossing:** 161,40 V [20](#page=20). --- # Faseverschuivingen en vectordiagrammen in wisselstroom Dit onderwerp introduceert het concept van faseverschuivingen tussen wisselstroomgrootheden, de representatie hiervan met vectordiagrammen, en de begrippen voorijlen en naijlen, samen met oefeningen om deze concepten toe te passen. ### 3.1 Vectordiagram * Traditionele grafische weergaven van sinusvormige grootheden worden onoverzichtelijk bij een groot aantal lijnen [21](#page=21). * De vectoriële voorstelling, waarbij wisselstroomgrootheden worden voorgesteld door draaiende vectoren (fazoren) in een vectordiagram, is ontwikkeld om dit probleem op te lossen [21](#page=21). * In plaats van de maximumwaarde wordt voor de lengte van de vectoren in een vectordiagram de effectieve waarde gebruikt. De rotatiesnelheid is constant $\omega$ [21](#page=21). ### 3.2 In fase * Twee wisselstroomgrootheden zijn in fase als ze op dezelfde momenten de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen [22](#page=22). * Ze hebben uiteraard ook dezelfde frequentie [22](#page=22). ### 3.3 Faseverschuiving of faseverschil * Wanneer twee wisselstroomgrootheden, ondanks dezelfde frequentie, niet gelijktijdig de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen, is er sprake van een faseverschil of faseverschuiving [23](#page=23). * Dit faseverschil wordt aangeduid met de Griekse letter $\phi$ [23](#page=23). * De hoek kan worden uitgedrukt in radialen of graden, of in tijd als de frequentie bekend is [23](#page=23). #### 3.3.1 Conventies voor fasehoeken * De fasehoek wordt standaard genomen tussen 0° en 180°. Formeel: $0^\circ \le |\phi| \le 180^\circ$ [24](#page=24). * De positieve X-as dient als referentie [24](#page=24). * Een positieve hoek betekent een rotatie tegen de klok in ten opzichte van de referentie [24](#page=24). * Een negatieve hoek betekent een rotatie met de klok mee ten opzichte van de referentie [24](#page=24). #### 3.3.2 Omrekenen van fasehoeken * Het is mogelijk om fasehoeken om te rekenen naar equivalenten binnen het bereik van -180° tot +180°. * Een faseverschuiving van +270° is equivalent aan -90° [25](#page=25). * Een faseverschuiving van -225° is equivalent aan +135° [25](#page=25). ### 3.4 Voorijlen en naijlen * **Voorijlen:** Als de stroom zijn positieve maximum eerder bereikt dan de spanning, dan zegt men dat de stroom voorijlt op de spanning, of dat de spanning nàijlt op de stroom [26](#page=26). * Wiskundige uitdrukking: * $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$ * $i = I_m \cdot \sin(\omega t + \phi)$ met $\phi > 0$ [26](#page=26). * **Naijlen:** Als de stroom zijn positieve maximum later bereikt dan de spanning, dan zegt men dat de stroom nàijlt op de spanning, of dat de spanning voorijlt op de stroom [26](#page=26). * Wiskundige uitdrukking: * $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$ * $i = I_m \cdot \sin(\omega t - \phi)$ met $\phi > 0$ [26](#page=26). #### 3.4.1 Speciale faseverschuivingen * Indien $\phi = 0^\circ$, zijn de grootheden in fase [27](#page=27). * Indien $\phi = 90^\circ$, zijn de grootheden in kwadratuur [27](#page=27). * Indien $\phi = 180^\circ$, zijn de grootheden in tegenfase of oppositie [27](#page=27). #### 3.4.2 Vectoriële samenstelling en cosinusregel * Bij een vectoriële samenstelling van vectoren kan de resulterende vector grafisch met een bepaalde schaal worden bepaald. De wiskundige berekening met de cosinusregel is nauwkeuriger [28](#page=28). * De cosinusregel voor de resulterende stroomsterkte $I$ van twee stromen $I_1$ en $I_2$ met een fasehoek $\phi$ tussen hen is: $$I = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 + 2 I_1 I_2 \cos(\phi)}$$ [28](#page=28). * Aangezien $\cos(\alpha) = -\cos(\phi)$ wanneer $\alpha$ de hoek is tussen de vectoren in een diagram waar de fasehoek $\phi$ wordt gebruikt in de formules, wordt de formule vaak geschreven als: $$I = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 - 2 I_1 I_2 \cos(\phi)}$$ [28](#page=28). * **Tip:** Let goed op het teken in de cosinusregel, afhankelijk van hoe de fasehoek wordt gedefinieerd in relatie tot de vectoriële sommatie. Vaak wordt de cosinusregel voor het optellen van vectoren gebruikt, waarbij de cosinus van de hoek *tussen* de vectoren wordt ingevuld. Als de formules voor spanning en stroom respectievelijk $U_m \sin(\omega t)$ en $I_m \sin(\omega t - \phi)$ zijn, dan is de fasehoek *tussen* de spanning en stroom $\phi$. Voor de vectoriële som is de hoek dan $180^\circ - \phi$ of $\phi$ afhankelijk van de specifieke opstelling. De formule hier gegeven met $-\cos(\phi)$ impliceert dat $\phi$ de fasehoek is tussen de twee grootheden zelf, en dat de cosinusregel voor vectoroptelling wordt toegepast op een diagram waarbij de hoek anders georiënteerd is. Het is cruciaal om de context van de cosinusregel die je gebruikt te begrijpen. * Om een vector af te trekken, telt men de vector met een tegengesteld teken op [28](#page=28). * Voor de samenstelling van meer dan twee vectoren wordt de cosinusregel herhaaldelijk toegepast. Grafisch worden alle vectoren getekend met hun juiste richting, zin en grootte, waarbij het beginpunt van de ene vector samenvalt met het eindpunt van de voorgaande [28](#page=28). * **Tip:** De cosinusregel en sinusregel voor vectoriële samenstelling worden vaak verstrekt op het examen. Zorg dat je weet hoe je ze correct toepast [29](#page=29). ### 3.5 Oefeningen 1. Een wisselstroom ijlt $T/6$ seconden voor op een wisselspanning. Bereken het faseverschil in seconden, graden en radialen als de frequentie 50Hz is. * Oplossing: 3,3 ms; 60°; 1,047 rad [30](#page=30). 2. Een stroomsterkte met een effectieve waarde van 20A ijlt 45° na op een spanning met een effectieve waarde van 100V. Geef de wiskundige uitdrukking van de stroomsterkte en de spanning. Bereken de waarde van de stroom bij $t=5s$ als $f=50Hz$. * Oplossing: $i = I_m \cdot \sin(\omega t - 45^\circ)$; $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$; -20 A [30](#page=30). 3. Een stroomsterkte met een amplitude van 25A ijlt 40° na op een spanning met een amplitude van 150V. Bereken de momentane waarde van de stroomsterkte op het ogenblik dat de spanning haar amplitude bereikt. * Oplossing: 19,15 A [30](#page=30). 4. Een sinusoïdale stroom met een amplitude van 16A ijlt 60° na op een sinusoïdale spanning met een amplitude van 310V. Bereken de momentane waarde van de stroom en van de spanning op het tijdstip dat op $T/12$ rechts voorbij de nuldoorgang van de spanning ligt. * Oplossing: -8 A; 155 V [30](#page=30). 5. Een sinusoïdale stroom, met een effectieve waarde van 12,5A, ijlt na op een sinusïdale spanning. Op het tijdstip waarop de momentane waarde van de spanning positief maximaal is, bereikt de stroom een ogenblikkelijke waarde van 10A. Bereken de faseverschuiving. * Oplossing: 55,55° [30](#page=30). 6. Twee wisselspanningen van 30V en 50V staan in serie en zijn onderling 30° verschoven. Bereken de waarde van de resulterende spanning. * Oplossing: 77,45 V [30](#page=30). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Gelijkstroom | Een elektrische stroom waarbij de richting constant blijft in de tijd. De waarde kan wel variëren. | | Constante gelijkstroom | Een gelijkstroom waarvan de waarde onveranderlijk is over de tijd; deze blijft op elk moment even groot. | | Veranderlijke gelijkstroom | Een gelijkstroom die weliswaar dezelfde richting behoudt, maar waarvan de stroomsterkte voortdurend verandert. | | Periodieke gelijkstroom | Een wisselende gelijkstroom waarvan het verloop van de stroomsterkte zich op vaste tijdsintervallen op identieke wijze herhaalt. | | Wisselende stroom | Een elektrische stroom die voortdurend zowel van richting als van waarde verandert in de tijd, zonder duidelijke wetmatigheid of periodieke herhaling. | | Wisselstroom | Een elektrische stroom die periodiek van richting en waarde verandert. De gemiddelde waarde over één periode is nul. | | Sinusvormige wisselspanning | Een wisselspanning waarvan de waarde in de tijd een sinusvormig verloop volgt, beschreven door de functie $u = U_m \cdot \sin(\omega \cdot t)$. | | Periode (T) | De tijdsduur tussen twee opeenvolgende momenten waarop een wisselstroom of wisselspanning dezelfde waarde aanneemt in dezelfde richting. De eenheid is seconde (s). | | Frequentie (f) | Het aantal perioden dat per seconde doorlopen wordt. De eenheid is Hertz (Hz). | | Cirkelfrequentie (ω) | Ook wel hoeksnelheid genoemd, dit is het aantal radialen dat per seconde wordt doorlopen. Het verband met de frequentie is $\omega = 2\pi f$. | | Ogenblikkelijke waarde | De waarde van een wisselspanning of -stroom op een specifiek moment in de tijd. Wordt aangeduid met kleine letters zoals $u$ of $i$. | | Maximumwaarde (amplitude) | De hoogste waarde die een wisselspanning of -stroom bereikt binnen één periode. Wordt aangeduid met grote letters met een index m, zoals $U_m$ of $I_m$. | | Gemiddelde waarde | De gemiddelde waarde van een wisselstroom of -spanning over een bepaalde tijdsperiode, berekend met integralen. Voor een sinusvormige wisselstroom over een volledige periode is deze 0. | | Effectieve waarde (RMS) | De waarde van een gelijkstroom die dezelfde hoeveelheid warmte ontwikkelt als een wisselstroom in dezelfde weerstand gedurende dezelfde periode. Wordt ook wel middelbare waarde of RMS-waarde genoemd (Root Mean Square). | | Topfactor | De verhouding tussen de maximumwaarde (amplitude) en de effectieve waarde van een sinusoïdale spanning of stroom. Voor een sinusvorm is dit $\sqrt{2} \approx 1,41$. | | Vormfactor | De verhouding tussen de effectieve waarde en de gemiddelde waarde van een sinusoïdale spanning of stroom. Voor een sinusvorm is dit ongeveer 1,11. | | Vectordiagram (fazoren) | Een grafische methode om sinusoïdale wisselstroomgrootheden voor te stellen met behulp van draaiende vectoren (fazoren), waarbij de lengte van de vector meestal de effectieve waarde voorstelt. | | In fase | Twee wisselstroomgrootheden zijn in fase als ze op hetzelfde moment de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen en dezelfde frequentie hebben. | | Faseverschuiving (ϕ) | Het verschil in fase tussen twee wisselstroomgrootheden met dezelfde frequentie, die niet gelijktijdig hun nul- en topwaarden doorlopen. Wordt uitgedrukt in graden of radialen. | | Voorijlen | Situatie waarbij de stroom een positief maximum eerder bereikt dan de spanning; de stroom 'loopt voor' op de spanning. | | Naijlen | Situatie waarbij de stroom een positief maximum later bereikt dan de spanning; de stroom 'loopt achter' op de spanning. |