UW4003-ict voor algebra wiskunde (1).pdf

# Gebruik van ICT voor remediëring in algebra Dit deel behandelt diverse ICT-tools en functionaliteiten die ingezet kunnen worden ter ondersteuning van het algebraonderwijs, met name voor het tonen van tussenstappen, het uitleggen van technieken en het genereren van extra oefeningen. ## 1. Gebruik van ICT voor remediëring in algebra ICT kan op diverse manieren ingezet worden ter ondersteuning van het algebraonderwijs, waarbij de focus ligt op technologische mogelijkheden met didactische suggesties. Verschillende tools worden besproken om leerlingen te helpen met tussenstappen, uitleg van technieken of het genereren van extra oefeningen [1](#page=1). ### 1.1 Gewenste functionaliteiten van ICT-tools Bij het selecteren van ICT-oplossingen voor algebraonderwijs zijn diverse functionaliteiten wenselijk. Belangrijke eigenschappen zijn [1](#page=1): * **Prijs:** Bij voorkeur gratis, of onderdeel van een bestaand schoolabonnement [1](#page=1). * **Identificatie:** De mogelijkheid om leerlingen te identificeren voor opvolging en individuele feedback, of anonimiteit om de oefendrempel te verlagen [1](#page=1). * **Adaptiviteit:** Oefeningen die gerangschikt zijn naar moeilijkheidsgraad, waarbij leerlingen automatisch oefeningen op hun niveau krijgen [1](#page=1). * **Stap-voor-stap:** Weergave van tussenstappen en aandacht voor alternatieve oplossingsmethodes [1](#page=1). * **Fine-tunen:** Mogelijkheid om specifieke algebraregels te oefenen in plaats van alleen grotere gemengde oefeningen [1](#page=1). * **Correctheid:** De betrouwbaarheid van de tool en de afwezigheid van fouten [1](#page=1). ### 1.2 Het tonen van tussenstapjes Een basale ICT-hulpmiddel voor algebra is software die het eindantwoord controleert en bij voorkeur ook de tussenstapjes toont [1](#page=1). * **WolframAlpha:** Een gebruiksvriendelijke en gratis app/website die tussenstappen laat zien. Bij complexe berekeningen kan een betalende versie vereist zijn. Een gratis afgeleide versie, **WolfreeAlpha**, biedt ook alle tussenstappen zonder betaling; een actueel overzicht van beschikbare websites is te vinden op Reddit [1](#page=1). * **Photomath:** Een app voor smartphones waarmee opgaven gescand kunnen worden met de camera, waarna de app de oplossing met tussenstapjes genereert [2](#page=2). Dergelijke tools kunnen ingezet worden als verbetersleutel, waardoor leerlingen zelfstandig feedback krijgen. Het is wel belangrijk om te communiceren dat deze tools soms andere oplossingsmethodes gebruiken dan de leerling, wat kan leiden tot discussies en dieper inzicht [2](#page=2). ### 1.3 Uitleg van technieken Naast oefenmogelijkheden zijn er digitale cursussen die algebraïsche technieken uitleggen. Dit materiaal kan worden gebruikt voor differentiatie, zowel voor extra herhaling als voor uitdaging [2](#page=2). * **Leerplatform van handboeken:** Biedt vaak veel mogelijkheden en is geïntegreerd in het lesmateriaal, maar de tussenstappen zijn soms beperkt of eenzijdig uitgewerkt [2](#page=2). * **YouTube-kanalen:** Bieden video's die wiskundige concepten introduceren of herhalen. Voorbeelden in het Nederlands zijn WiskundeAcademie en Math with Menno. KhanAcademy is een uitgebreid Engelstalig kanaal met ook een leerplatform en gestructureerde modules met oefeningen. KhanAcademy wordt stelselmatig omgezet naar het Nederlands [2](#page=2). * **Voorbereidingscursussen van universiteiten:** Verschillende Vlaamse universiteiten bieden online cursussen aan voor beginnende studenten, die ook algebraïsche technieken behandelen. Voorbeelden zijn KU Leuven, UHasselt, UGent (met "EleMath" en online oefeningen) en UAntwerpen (met "Aan De Slag" en het zelfstudiepakket "Wiskunde: Voorkennis en opfrissing") [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.4 Genereren van extra oefeningen Tools die automatisch nieuwe oefeningen genereren, gaan verder dan een manuele oefeningenlijst. Een onderliggend Computer Algebra System (CAS) genereert unieke oefeningen [2](#page=2). * **Algebrakit:** Een gratis website waarop oefenthema's geselecteerd, gebundeld en gedeeld kunnen worden met leerlingen via een link. De link houdt de voortgang van de leerling bij. Leerlingen krijgen automatisch gegenereerde oefeningen te zien met de mogelijkheid voor een hint, feedback op het eindantwoord en tussenstappen, en kunnen om nieuwe oefeningen vragen binnen verschillende moeilijkheidsniveaus. Het factoriseeralgoritme is echter niet altijd optimaal. Door de regio op "United States" te zetten, is er meer aanbod beschikbaar in het Engels, wat de taalbarrière vermindert [2](#page=2) [3](#page=3). * **QuickMath.com:** Genereert willekeurige oefeningen en toont tussenstappen. Ontbinden in factoren is beschikbaar onder "Factor" en werken met letters in breuken onder "Simplify". De gratis versie toont niet alle tussenstappen; hiervoor kan gebruik worden gemaakt van PhotoMath of WolframAlpha. QuickMath heeft geen moeilijkheidsinstelling en genereert vaak uitdagende oefeningen. Dit kan echter een leermoment zijn om computeralgoritmes te vergelijken met menselijke methodes [3](#page=3). * **WolframAlpha (Problem Generator):** Biedt een "Problem Generator" waaruit oefeningen gegenereerd kunnen worden. Ontbinden in factoren en werken met letterbreuken zijn hier geen aparte onderwerpen en vereisen wat puzzelwerk. Een betalende versie voor leerkrachten maakt het mogelijk oefenblaadjes te genereren en af te drukken, en biedt toegang tot alle tussenstappen [3](#page=3). * **IXL platform:** Een Brits platform dat willekeurige oefeningen genereert, hints geeft en het juiste antwoord met tussenstappen toont. Het curriculum is onderverdeeld per jaar, waarbij algebraïsche technieken van deze loep te vinden zijn bij "Year 11" (ontbinden in factoren bij "factorize by grouping", werken met letters in breuken bij "simplify rational expressions"). De betalende versie biedt uitgebreide mogelijkheden voor het opvolgen van de leerlingvoortgang en het voorstellen van specifieke oefeningen [3](#page=3) [4](#page=4). Andere tools zijn te vinden op homeschoolmath.net [4](#page=4). ### 1.5 Zelf automatische algebravragen programmeren Het is mogelijk om zelf oefeningen te creëren met behulp van platforms die symbolisch rekenen ondersteunen [4](#page=4). * **NUMBAS:** Een gratis, open-source vragenplatform gericht op wiskunde en wetenschappen. Het maakt het mogelijk om zelf vragen te maken die telkens een andere veelterm genereren, die leerlingen vervolgens moeten factoriseren of vereenvoudigen. Er is een leercurve aan verbonden, maar veel voorbeeldmateriaal is beschikbaar, ontwikkeld door universiteiten en leerkrachten wereldwijd. Opgaven kunnen gekopieerd, aangepast of vertaald worden. Een voorbeeld is een opgave waarbij twee letterbreuken opgeteld moeten worden, waarbij het merkwaardig product $A^2 - B^2$ gebruikt kan worden voor de gemeenschappelijke noemer, wat ontbinden in factoren en werken met letterbreuken combineert. NUMBAS ondersteunt het invoeren van algebraïsche antwoorden [4](#page=4) [5](#page=5). * **STACK:** Een ander populair platform met een rijker CAS, maar minder beschikbaar materiaal [5](#page=5). ### 1.6 Gebruik van AI voor algebra Kunstmatige Intelligentie (AI), zoals chatbots, kan potentieel ingezet worden voor algebraonderwijs, maar brengt ook uitdagingen met zich mee [5](#page=5). * **Beperkingen van chatbots (bv. ChatGPT):** Chatbots gebaseerd op Large Language Models (LLM's) werken statistisch en voorspellen het meest geschikte antwoord op basis van een grote dataset. Ze hebben geen interne definitie van wiskundige begrippen zoals "ontbonden in factoren" en maken soms fouten door subtiele wijzigingen in de vraagstelling. De slaagzekerheid is niet 100% en verbetert slechts logaritmisch met de grootte van het model. LLM's zijn daarom potentieel ongeschikt voor nauwkeurige algebraïsche berekeningen [5](#page=5) [6](#page=6). * **Voordelen van Computer Algebra Systemen (CAS):** CAS-systemen passen letterlijk de algebraïsche rekenregels toe en kunnen 100% zekerheid bieden bij algebraïsche rekenvragen. Ze bevatten definities van wiskundige concepten, waardoor onjuiste labels vermeden worden [6](#page=6). * **Toekomstige mogelijkheden:** Combinaties van AI-typen, zoals ChatGPT die een CAS zoals WolframAlpha gebruikt, worden onderzocht. Websites zoals "MathGPT" of "AI Math Tutor" proberen leerlingantwoorden te scannen, wiskundig te interpreteren, feedback te geven en modelantwoorden te genereren, vaak tegen betaling. Hoewel er veelbelovend onderzoek en commerciële ontwikkelingen zijn, is het nog te vroeg om definitieve conclusies te trekken over de betrouwbaarheid van AI-chatbots voor wiskunde [6](#page=6). * **Dilemma's en ondersteuning:** Het inzetten van AI brengt veel dilemma's met zich mee waar scholen en vakgroepen antwoorden op moeten bedenken. Hulplijnen zijn onder andere de visietekst over AI van het Kenniscentrum Digisprong en de website van de Vlaamse AI Academie [6](#page=6) [7](#page=7). --- # Functionele eisen aan ICT-tools voor algebraonderwijs Dit onderwerp verkent de gewenste eigenschappen van ICT-software die ingezet kan worden ter ondersteuning van algebraonderwijs, met aandacht voor prijs, adaptiviteit en de weergave van tussenstappen [1](#page=1). ### 2.1 Gewenste functionaliteiten van ICT-tools Bij het selecteren van ICT-tools voor algebraonderwijs is het belangrijk om te letten op verschillende gewenste functionaliteiten die de leerling effectief kunnen ondersteunen. Deze functionaliteiten variëren van praktische aspecten zoals de kosten tot didactische kwaliteiten zoals adaptiviteit en de mogelijkheid om tussenstappen te tonen [1](#page=1). #### 2.1.1 Prijs De ideale ICT-tool is bij voorkeur gratis. Alternatief kan een tool deel uitmaken van een reeds bestaand schoolabonnement, wat de financiële drempel verlaagt [1](#page=1). #### 2.1.2 Identificatie van leerlingen De mogelijkheid om leerlingen te identificeren binnen de tool kan op de lange termijn voordelen bieden, zoals het volgen van hun voortgang of het geven van individuele tips. Echter, anoniem oefenen kan de drempel verlagen voor leerlingen om te beginnen met oefenen [1](#page=1). #### 2.1.3 Adaptiviteit Een belangrijke eigenschap is adaptiviteit, waarbij oefeningen gerangschikt zijn naar moeilijkheidsniveau. Idealiter krijgt een leerling automatisch oefeningen voorgeschoteld die passen bij zijn of haar huidige niveau [1](#page=1). #### 2.1.4 Stap-voor-stap uitleg Het tonen van tussenstappen in berekeningen is cruciaal voor het begrip van algebraïsche processen. Een goede tool besteedt ook aandacht aan alternatieve oplossingsmethodes [1](#page=1). #### 2.1.5 Fine-tuning van oefeningen De mate waarin specifieke algebraregels geoefend kunnen worden, is een ander belangrijk aspect. Sommige tools bieden de mogelijkheid om gericht te oefenen op specifieke regels, terwijl andere zich richten op grotere, gemengde oefeningen [1](#page=1). #### 2.1.6 Correctheid Een fundamentele eis is dat de ICT-tool accuraat is en geen fouten maakt in de berekeningen [1](#page=1). ### 2.2 Het tonen van tussenstapjes in algebra Een basale functie van een ICT-hulpmiddel voor algebra is het kunnen controleren van het eindantwoord en, nog belangrijker, het zichtbaar maken van de tussenstappen in een berekening [1](#page=1). #### 2.2.1 Voorbeeld van digitale tussenstappen Software kan, zoals geïllustreerd in een voorbeeld, een berekening zoals $(x+4)(x+6)$ stap voor stap uitwerken. Zelfs een fout antwoord, zoals "x + 1", kan als demonstratie dienen om de werking te illustreren [1](#page=1). #### 2.2.2 Symbolisch rekenen en beschikbare tools Symbolisch rekenen door computers bestaat al decennia, wat resulteert in een breed aanbod aan ICT-tools. Een specifiek voorbeeld van zo'n tool is WolframAlpha. Dit is een gebruiksvriendelijke en gratis app of website die de tussenstappen van berekeningen kan tonen. Echter, bij complexe berekeningen die veel rekentijd vergen, kan de website ervoor kiezen niet alles te tonen en betaling te vragen [1](#page=1). --- # Toepassingen van AI in algebraonderwijs Deze sectie onderzoekt de huidige mogelijkheden en inherente beperkingen van Artificiële Intelligentie, met name Large Language Models (LLM's) zoals ChatGPT, in het algebraonderwijs, met de nadruk op de uitdagingen rond accuraatheid en betrouwbaarheid [5](#page=5). ### 3.1 De werking van Large Language Models (LLM's) LLM's, zoals ChatGPT, functioneren niet op basis van een intern begrepen wiskundige waarheid of logische regels. Ze kunnen worden vergeleken met een statistisch regressiemodel waarbij de output, een tekstueel antwoord, wordt voorspeld op basis van de input (de 'prompt'). Dit model wordt getraind op gigantische datasets aan teksten. Modellen als ChatGPT kunnen meer dan 175 miljard parameters hebben om het meest waarschijnlijke antwoord te voorspellen. Cruciaal is dat een LLM niet de "meest geschikte verhaal" voor de input bedenkt, gebaseerd op de bestudeerde dataset. Fouten die een LLM maakt, zijn vanuit zijn programmering geen fouten, maar antwoorden die meer in lijn liggen met de trainingsdata [5](#page=5). > **Tip:** Het is belangrijk te realiseren dat AI-chatbots, ondanks hun indrukwekkende tekstgeneratievermogen, geen intrinsiek begrip hebben van wiskundige concepten of logica. #### 3.1.1 Beperkingen in accuraatheid en betrouwbaarheid De accuraatheid van LLM's bij algebraïsche vragen kan potentieel verbeteren met grotere datasets en meer parameters, maar zal nooit 100% bereiken. Onderzoek suggereert dat de prestaties slechts logaritmisch stijgen naarmate de grootte van een LLM lineair toeneemt. Dit impliceert dat er een economisch punt kan komen waarop verdere verhoging van de accuraatheid van een LLM niet meer interessant is [5](#page=5). > **Voorbeeld:** Het stellen van lichtjes verschillende vragen over hetzelfde algebraïsche probleem kan leiden tot verschillende, en soms incorrecte, antwoorden van een chatbot. Een voorbeeld hiervan is de ontbinding van $(a + b −c)^2 −(a −b + c)^2$, waar een subtiele wijziging in de vraagstelling kan leiden tot een foutieve uitkomst. Een typische fout kan het verlies van een variabele zijn, of het onjuist labelen van een uitdrukking als ontbonden [5](#page=5). #### 3.1.2 Vergelijking met Computer Algebra Systemen (CAS) Voor algebraïsche rekenvragen zijn Computer Algebra Systemen (CAS) veel geschikter dan LLM's. CAS-systemen passen letterlijk de algebraïsche rekenregels toe en kunnen een slaagzekerheid van 100% halen op dergelijke taken. In deze systemen is er wel een definitie van wat "ontbonden zijn" betekent, en is het onmogelijk om een uitdrukking onterecht als ontbonden te bestempelen [6](#page=6). ### 3.2 Potentiële toepassingen van AI in algebraonderwijs Ondanks de beperkingen zijn er wel degelijk mogelijkheden voor AI binnen het algebraonderwijs [6](#page=6). #### 3.2.1 Combinatie van AI-technologieën Een LLM zoals ChatGPT kan potentieel beter presteren indien het wordt gecombineerd met een CAS, zoals WolframAlpha. In zo'n scenario kan de chatbot de input van een leerling vertalen naar een CAS-commando, waarna het CAS met 100% zekerheid de correcte oplossing geeft. Dit soort gecombineerde software-oplossingen worden momenteel onderzocht in de academische wereld [6](#page=6). #### 3.2.2 AI-gestuurde bijles en feedback Websites en applicaties met namen als "MathGPT" of "AI Math Tutor" schieten als paddenstoelen uit de grond. Deze tools kunnen vaak de antwoorden van leerlingen scannen, wiskundig interpreteren, specifieke feedback op fouten geven en een correct modelantwoord genereren. Hoewel deze diensten doorgaans tegen betaling zijn en potentieel goedkoper dan menselijke bijles, brengt het de leerling wel het risico op een fout antwoord met zich mee [6](#page=6). #### 3.2.3 Dilemma's en ondersteuning voor scholen Het gebruik van AI als ondersteuning voor het algebraonderwijs brengt tal van dilemma's met zich mee waar scholen en vakgroepen antwoorden op moeten formuleren. Voor de eerste stappen in het omgaan met deze uitdagingen kunnen documenten zoals de visietekst over AI van het Kenniscentrum Digisprong en de website van de Vlaamse AI Academie nuttige hulplijnen bieden [6](#page=6). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | ICT | Informatietechnologie en communicatietechnologie, een breed veld dat de ontwikkeling, het beheer en de toepassing van computerhardware, software en netwerken omvat voor het opslaan, ophalen, doorsturen en manipuleren van informatie. | | Remediëring | Het proces van het verbeteren of corrigeren van leerproblemen of tekortkomingen, vaak door middel van gerichte oefening en extra ondersteuning. | | Ontbinden in factoren | Een algebraïsche techniek waarbij een uitdrukking wordt ontleed in een product van eenvoudigere uitdrukkingen, vergelijkbaar met het ontbinden van getallen in priemfactoren. | | Breuken met letters | Algebraïsche breuken die variabelen (letters) bevatten, waarbij vereenvoudigingsregels en eigenschappen van breuken van toepassing zijn. | | Computer Algebra System (CAS) | Software die symbolische wiskundige manipulaties kan uitvoeren, zoals het uitwerken van vergelijkingen, differentiëren, integreren en ontbinden in factoren, met een hoge mate van accuraatheid. | | Adaptiviteit | Het vermogen van een systeem of software om zich aan te passen aan de individuele behoeften, vaardigheden en voortgang van een gebruiker, bijvoorbeeld door oefeningen aan te bieden op het juiste moeilijkheidsniveau. | | Fine-tunen | Het nauwkeurig afstellen of aanpassen van een systeem of proces om specifieke doelen te bereiken, in deze context het oefenen van specifieke algebraregels in plaats van algemene oefeningen. | | Symbolisch rekenen | Een vorm van rekenen waarbij wiskundige uitdrukkingen worden behandeld met behulp van symbolen in plaats van numerieke waarden, wat manipulaties van variabelen en functies mogelijk maakt. | | Large Language Model (LLM) | Een type kunstmatige intelligentie dat is getraind op enorme hoeveelheden tekstgegevens en in staat is om mensachtige tekst te genereren, te begrijpen en te verwerken, vaak gebruikt in chatbots. | | Prompt | De tekstuele invoer of instructie die aan een AI-model wordt gegeven om een reactie of antwoord te genereren. | | Merkwaardig product | Een specifieke algebraïsche identiteit die snelle uitwerkingen van bepaalde vermenigvuldigingen mogelijk maakt, zoals $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ of $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. | | Discriminant | Een waarde die wordt berekend uit de coëfficiënten van een kwadratische vergelijking en die informatie geeft over de aard van de wortels van die vergelijking. Voor $ax^2 + bx + c = 0$, is de discriminant $D = b^2 - 4ac$. | | Kunstmatige Intelligentie (AI) | De simulatie van menselijke intelligentie in machines die geprogrammeerd zijn om te denken, leren en problemen op te lossen, vaak met behulp van algoritmen en grote datasets. |