Slides5_PG_Kostenmin.pdf

# Kostenminimalisatie en het economische optimum Dit onderdeel verkent de principes van kostenminimalisatie door producenten, zowel grafisch als algebraïsch, met een focus op het vinden van het optimale punt van inzet van productiefactoren. Kostenminimalisatie is een noodzakelijke voorwaarde voor winstmaximalisatie [3](#page=3). ### 1.1 De isokostencurve #### 1.1.1 Definitie en vorm De kosten van een producent worden uitgedrukt als $F = \ell L + rK$, waarbij $F$ de totale kosten, $\ell$ de prijs van arbeid ($L$) en $r$ de prijs van kapitaal ($K$) voorstellen. In een ruimte met de productiefactoren arbeid ($L$) op de horizontale as en kapitaal ($K$) op de verticale as, beschrijft deze vergelijking een isokostencurve. Deze isokostencurve is een rechte lijn, die algebraïsch kan worden uitgedrukt als $K = \frac{F}{r} - \frac{\ell}{r} L$ [4](#page=4). #### 1.1.2 Grafische interpretatie De isokostenrechte heeft een snijpunt met de $K$-as op $\frac{F}{r}$ en met de $L$-as op $\frac{F}{\ell}$. De richtingscoëfficiënt van de isokostenrechte is $-\frac{\ell}{r}$ en is gelijk aan de tangens van de hoek $\alpha$ die de lijn maakt met de $L$-as [5](#page=5). #### 1.1.3 Verschuivingen van de isokostenrechte * Een stijging van de totale kosten ($F \uparrow$) resulteert in een opwaartse parallelle verschuiving van de isokostenrechte [6](#page=6). * Een stijging van de prijs van kapitaal ($r \uparrow$) leidt tot een neerwaartse wenteling van de isokostenrechte door het punt $(\frac{F}{\ell}, 0)$ [6](#page=6). * Een stijging van de prijs van arbeid ($\ell \uparrow$) resulteert in een neerwaartse wenteling van de isokostenrechte door het punt $(0, \frac{F}{r})$ [6](#page=6). ### 1.2 Kostenminimalisatie met een gegeven outputniveau #### 1.2.1 Grafische bepaling van het optimum De producent wil een gegeven hoeveelheid output ($y$) produceren tegen zo laag mogelijke kosten. Dit betekent dat de producent een combinatie van arbeid ($L$) en kapitaal ($K$) moet kiezen die op de productiemogelijkhedencurve (isoquant) $Q(y)$ ligt, en tegelijkertijd op de laagst mogelijke isokostenrechte (#page=7, 8) [7](#page=7) [8](#page=8). Het optimale punt wordt bereikt wanneer de isoquant tangentieel is aan de isokostenrechte (#page=8, 9). Op dit punt is de helling van de isoquant gelijk aan de helling van de isokostenrechte, wat algebraïsch wordt uitgedrukt als de marginale substitutieverhouding in product (MSVL,K) gelijk aan de relatieve prijsverhouding van de productiefactoren. Dus [8](#page=8) [9](#page=9): $$ \text{MSVL,K}(L^\ast, K^\ast) = \frac{\ell}{r} $$ en het gekozen punt $(L^\ast, K^\ast)$ moet op de isoquant $Q(y)$ liggen [9](#page=9). > **Tip:** Het optimale punt van kostenminimalisatie is het snijpunt van de isoquant en de isokostenrechte dat het dichtst bij de oorsprong ligt [8](#page=8). #### 1.2.2 Algebraïsche bepaling van het optimum Kostenminimalisatie kan algebraïsch worden geformuleerd als een minimaliseringsprobleem: $$ \min_{L,K} \ell L + rK \quad \text{o.n.v.} \quad y = f(L, K) $$ met de nevenvoorwaarde dat de productiefactoren niet-negatief zijn ($(L, K) \in \mathbb{R}_+^2$) [10](#page=10). Om dit probleem op te lossen, wordt de Lagrange-functie gebruikt: $$ \mathcal{L}(L, K, \lambda) = \ell L + rK + \lambda [y - f(L, K)] $$ waarbij $\lambda$ de Lagrange-multiplicator is. De eerste-orde voorwaarden voor dit minimaliseringsprobleem zijn [11](#page=11): $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 $$ Dit leidt tot het volgende stelsel van vergelijkingen: $$ \ell - \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} = 0 $$ $$ r - \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} = 0 $$ $$ y - f(L, K) = 0 $$ Hieruit volgt: $$ \ell = \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} $$ $$ r = \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} $$ $$ y = f(L^\ast, K^\ast) $$ Door de eerste vergelijking te delen door de tweede, verkrijgen we: $$ \frac{\ell}{r} = \frac{\frac{\partial f(L,K)}{\partial L}}{\frac{\partial f(L,K)}{\partial K}} = \text{MSVL,K}(L^\ast, K^\ast) $$ Dit leidt tot dezelfde voorwaarden als bij de grafische methode: de relatieve prijzen van de productiefactoren moeten gelijk zijn aan de marginale substitutieverhouding, en het gekozen punt moet voldoen aan de outputvereiste [12](#page=12). De oplossing van dit probleem geeft de kostenminimerende vraag naar productiefactoren als functies van hun prijzen en het outputniveau: $L(\ell, r, y)$ en $K(\ell, r, y)$ [13](#page=13). ### 1.3 Classificatie van productiefactoren #### 1.3.1 Op basis van outputeffect Productiefactoren worden ingedeeld op basis van hoe hun vraag verandert bij een verandering in de output ($y$) [14](#page=14). * **Inferieure productiefactor:** De vraag naar de productiefactor neemt af als de output ($y$) stijgt [14](#page=14). * **Normale productiefactor:** De vraag naar de productiefactor stijgt als de output ($y$) stijgt [14](#page=14). * Een **noodzakelijke productiefactor** is een normale productiefactor waarvan de prijselasticiteit van de vraag met betrekking tot $y$ kleiner is dan 1 [14](#page=14). * Een **superieure productiefactor** is een normale productiefactor waarvan de prijselasticiteit van de vraag met betrekking tot $y$ groter is dan 1 [14](#page=14). #### 1.3.2 Op basis van prijseffect Productiefactoren worden ook geclassificeerd op basis van hoe een prijsverandering van de ene factor de vraag naar de andere factor beïnvloedt [15](#page=15). * **Substituten:** Twee productiefactoren zijn substituten indien een prijsstijging van de ene leidt tot een stijging van de kostenminimerende vraag van de andere [15](#page=15). * **Complementen:** Twee productiefactoren zijn complementen indien een prijsstijging van de ene leidt tot een daling van de kostenminimerende vraag van de andere [15](#page=15). Het is aangetoond dat prijseffecten tussen productiefactoren symmetrisch zijn, wat betekent dat de definities van substituten en complementen goed gedefinieerd zijn [15](#page=15). > **Opmerking:** Voor slechts twee productiefactoren zijn deze noodzakelijkerwijs substituten. Bij meer dan twee productiefactoren kunnen ze complementen of substituten zijn [17](#page=17). #### 1.3.3 Comparatieve statica van prijsveranderingen Een daling in de relatieve prijs van arbeid ten opzichte van kapitaal (dus $\frac{\ell}{r}$ daalt) leidt tot een toename in de inzet van arbeid en een afname in de inzet van kapitaal, gegeven een constant outputniveau. Dit illustreert dat arbeid en kapitaal in dit geval substituten zijn [16](#page=16). ### 1.4 Economische interpretatie van de Lagrange-multiplicator #### 1.4.1 De marginale kost Het blijkt dat de Lagrange-multiplicator ($\lambda$) uit het kostenminimeringsprobleem gelijk is aan de marginale kost van de producent [18](#page=18). Laat de totale kostenfunctie $TK^\ast(y) = \ell L^\ast(y) + rK^\ast(y)$ zijn, waarbij $L^\ast(y)$ en $K^\ast(y)$ de kostenminimerende hoeveelheden zijn. De marginale kost ($MK^\ast(y)$) is de afgeleide van de totale kosten naar output: $$ MK^\ast(y) = \frac{\partial TK^\ast(y)}{\partial y} = \ell \frac{\partial L^\ast(y)}{\partial y} + r \frac{\partial K^\ast(y)}{\partial y} $$ Gebruikmakend van de eerste-orde voorwaarden $\ell = \lambda^\ast \frac{\partial f}{\partial L}$ en $r = \lambda^\ast \frac{\partial f}{\partial K}$, kunnen we substitueren: $$ MK^\ast(y) = \lambda^\ast \frac{\partial f}{\partial L} \frac{\partial L^\ast(y)}{\partial y} + \lambda^\ast \frac{\partial f}{\partial K} \frac{\partial K^\ast(y)}{\partial y} $$ $$ MK^\ast(y) = \lambda^\ast \left( \frac{\partial f}{\partial L} \frac{\partial L^\ast(y)}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial K} \frac{\partial K^\ast(y)}{\partial y} \right) $$ Vanwege de productiefunctie $y = f(L^\ast(y), K^\ast(y))$, geldt door impliciet differentiëren naar $y$: $$ 1 = \frac{\partial f}{\partial L} \frac{\partial L^\ast(y)}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial K} \frac{\partial K^\ast(y)}{\partial y} $$ Daarom wordt de marginale kost: $$ MK^\ast(y) = \lambda^\ast $$ Dit betekent dat de Lagrange-multiplicator de extra kosten vertegenwoordigt om één extra eenheid output te produceren (#page=18, 19) [18](#page=18) [19](#page=19). ### 1.5 Voorbeeld: Kostenminimering bij Cobb-Douglas technologie Beschouw de Cobb-Douglas productiefunctie $y = aL^\alpha K^\beta$. Het kostenminimeringsprobleem is: $$ \min_{L,K} \ell L + rK \quad \text{o.n.v.} \quad y = aL^\alpha K^\beta $$ De Lagrange-functie is: $$ \mathcal{L}(L, K, \lambda) = \ell L + rK + \lambda [y - aL^\alpha K^\beta $$ De eerste-orde voorwaarden leiden tot: $$ \ell = \lambda a \alpha L^{\alpha-1} K^\beta $$ $$ r = \lambda a L^\alpha \beta K^{\beta-1} $$ $$ y = aL^\alpha K^\beta $$ Deling van de eerste twee vergelijkingen geeft: $$ \frac{\ell}{r} = \frac{\lambda a \alpha L^{\alpha-1} K^\beta}{\lambda a L^\alpha \beta K^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta} \frac{K}{L} $$ Hieruit volgt de relatie tussen $K$ en $L$: $K = \frac{\beta \ell}{\alpha r} L$ (#page=20, 21) [20](#page=20) [21](#page=21). Substitutie in de productiefunctie geeft de kostenminimerende vraag naar arbeid: $$ L(\ell, r, y) = \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \left(\frac{\beta \ell}{\alpha r}\right)^{\frac{-\beta}{\alpha+\beta}} $$ En de kostenminimerende vraag naar kapitaal: $$ K(\ell, r, y) = \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \left(\frac{\alpha r}{\beta \ell}\right)^{\frac{-\alpha}{\alpha+\beta}} $$ (#page=21, 22) [21](#page=21) [22](#page=22). #### 1.5.1 Comparatieve statische eigenschappen (Cobb-Douglas) Voor de Cobb-Douglas technologie gelden de volgende comparatieve statische eigenschappen: * **Ten opzichte van de prijs van arbeid ($\ell$):** * $\frac{\partial L}{\partial \ell} < 0$: Een hogere prijs van arbeid leidt tot minder vraag naar arbeid [23](#page=23). * $\frac{\partial K}{\partial \ell} > 0$: Een hogere prijs van arbeid leidt tot meer vraag naar kapitaal (substitutie-effect) [23](#page=23). * **Ten opzichte van de prijs van kapitaal ($r$):** * $\frac{\partial L}{\partial r} > 0$: Een hogere prijs van kapitaal leidt tot meer vraag naar arbeid [23](#page=23). * $\frac{\partial K}{\partial r} < 0$: Een hogere prijs van kapitaal leidt tot minder vraag naar kapitaal [23](#page=23). * **Ten opzichte van de output ($y$):** * $\frac{\partial L}{\partial y} > 0$: Een hogere output vereist meer arbeid [23](#page=23). * $\frac{\partial K}{\partial y} > 0$: Een hogere output vereist meer kapitaal [23](#page=23). Deze resultaten bevestigen dat arbeid en kapitaal bij een Cobb-Douglas technologie substituten zijn [23](#page=23). --- # Verschuivingen van het evenwicht door veranderingen Dit onderdeel onderzoekt hoe het economische evenwicht van een producent verschuift door veranderingen in productieomvang, technologie en prijzen van productiefactoren. De analyse is comparatief statisch, wat betekent dat we de effecten van veranderingen in exogene variabelen op het evenwicht onderzoeken [25](#page=25). ### 5.3.1 Veranderingen in productieomvang Een verandering in de productieomvang, aangeduid als `∆y`, leidt tot een verandering in de kostenminimerende vraag naar productiefactoren. Het lange termijn expansiepad (LTE) van een producent verbindt de kostenminimerende combinaties van productiefactoren voor verschillende productieniveaus in de L x K-ruimte [25](#page=25). Het LTE wordt bepaald door de punten waar de marginale technische substitutieverhouding (MTSVL,K) gelijk is aan de relatieve prijzen van de productiefactoren (`ℓ/r`) [27](#page=27). Mathematisch kan dit als volgt worden uitgedrukt: `MSVL,K (L, K) = ∂f(L,K)/∂L / ∂f(L,K)/∂K = MPL / MPK` [27](#page=27). Het lange termijn expansiepad is de verzameling van punten `(L, K)` waarvoor geldt: `MSVL,K (L, K) = ℓ / r` [27](#page=27). **Voorbeeld 2. Lange termijn expansiepad voor de Cobb-Douglas technologie:** Voor een Cobb-Douglas productiefunctie, `y = f(L, K) = aL^α K^β`, is het lange termijn expansiepad een rechte lijn door de oorsprong. Dit komt doordat de MTSVL,K bij deze technologie, `MSVL,K(L, K) = (α/β) * (K/L)`, constant is op elke rechte door de oorsprong [28](#page=28). > **Tip:** Het LTE visualiseert hoe een producent zijn productiefactoren combineert om kosten te minimaliseren bij toenemende productieomvang, aannemende dat alle factoren variabel zijn op de lange termijn. ### 5.3.2 Veranderingen in technologie Veranderingen in technologie hebben invloed op de productiefunctie. Er zijn drie hoofdtypen technologische veranderingen (TV) [29](#page=29): 1. **Arbeidsbesparend:** De TV leidt tot een hogere kapitaalsintensiteit (`K/L`) en een lagere arbeidsintensiteit [29](#page=29). 2. **Kapitaalbesparend:** De TV leidt tot een lagere kapitaalsintensiteit (`K/L`) en een hogere arbeidsintensiteit [29](#page=29). 3. **Neutraal:** De TV verandert de kapitaals- of arbeidsintensiteit niet [29](#page=29). Voor een Cobb-Douglas technologie `y = aL^α K^β`, geldt dat de kapitaalsintensiteit in het optimum `K/L = (β/α) * (ℓ/r)`. Een verandering in de technologie wordt geclassificeerd als [30](#page=30): * Arbeidsbesparend als `β/α` stijgt [30](#page=30). * Kapitaalbesparend als `β/α` daalt [30](#page=30). * Neutraal als `β/α` constant blijft [30](#page=30). Dit heeft gevolgen voor de MTSVL,K. Een verandering in `α/β` beïnvloedt de `MSVL,K(L, K)` in elk punt `(L, K)` [31](#page=31). * Arbeidsbesparende TV: `β/α` stijgt ⇒ `α/β` daalt ⇒ `MSVL,K(L, K)` daalt [31](#page=31). * Kapitaalbesparende TV: `β/α` daalt ⇒ `α/β` stijgt ⇒ `MSVL,K(L, K)` stijgt [31](#page=31). **Illustraties:** * **Arbeidsbesparende TV:** De isoquanten worden vlakker. Het lange termijn expansiepad wentelt in de richting van de K-as, wat duidt op een toename van `K/L` [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34). * **Kapitaalbesparende TV:** De isoquanten worden steiler. Het lange termijn expansiepad wentelt in de richting van de L-as, wat duidt op een afname van `K/L` [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34). * **Neutrale TV:** De MTSVL,K verandert niet, waardoor de isoquanten zelf ongewijzigd blijven. Alleen de productieniveaus die met elke isoquant corresponderen, veranderen. Als het productieniveau stijgt, is de TV efficiënt, omdat de oude productie op een lagere isoquant en dus tegen lagere kosten kan worden gerealiseerd. De LTE blijft gelijk [35](#page=35). > **Tip:** Denk aan technologische veranderingen als een "shift" in de efficiëntie waarmee input (arbeid en kapitaal) wordt omgezet in output. Dit kan de relatieve voorkeur voor het ene productiefactor boven het andere veranderen. ### 5.3.3 Veranderingen in prijzen van productiefactoren De kostenminimerende vraag naar productiefactoren, `L(ℓ, r, y)` en `K(ℓ, r, y)`, is afhankelijk van de prijzen van de productiefactoren (`ℓ` en `r`) en het productieniveau (`y`). Effecten van veranderingen in `ℓ` of `r` op de kostenminimerende vraag naar productiefactoren zijn behandeld in sectie 5.2.2 [36](#page=36). > **Tip:** Prijswijzigingen van productiefactoren (bv. een stijging van de loonvoet) zullen de producent ertoe aanzetten om de inputcombinatie aan te passen om de kosten te blijven minimaliseren voor een gegeven productieniveau, wat kan leiden tot substitutie van de ene productiefactor door de andere. --- # Kosten op korte en lange termijn Dit onderwerp analyseert de kostenstructuren van een producent op korte en lange termijn, waarbij onderscheid wordt gemaakt tussen vaste kapitaalhoeveelheden en flexibele productiefactoren, inclusief de afleiding en het verloop van diverse kostencurven. ### 3.1 Inleiding tot kosten op korte en lange termijn Op korte termijn wordt de hoeveelheid kapitaal ($K$) als vast verondersteld ($K = \bar{K}$). De kostenminimerende vraag naar arbeid wordt bepaald door de productiefunctie te inverteren gegeven deze vaste kapitaalhoeveelheid. De totale kosten op korte termijn ($TKK$) bestaan uit de som van de variabele kosten (afhankelijk van arbeid en output) en de vaste kosten (gerelateerd aan kapitaal). Op lange termijn zijn alle productiefactoren variabel, wat betekent dat de onderneming haar kapitaalhoeveelheid kan aanpassen om de kosten voor een gegeven productieniveau te minimaliseren. Hierdoor zijn de totale kosten op lange termijn ($TKL$) nooit hoger dan de totale kosten op korte termijn ($TKK$) [38](#page=38) [40](#page=40) [41](#page=41) [82](#page=82) [86](#page=86). ### 3.2 Kosten op korte termijn #### 3.2.1 Soorten kosten op korte termijn De totale kosten op korte termijn ($TKK$) worden opgesplitst in vaste kosten ($FK$) en variabele kosten ($VK$) [41](#page=41): $TKK(ℓ, r, y, \bar{K}) = VK(ℓ, y, \bar{K}) + FK(r, \bar{K})$ [41](#page=41). * **Vaste kosten ($FK$)**: Deze kosten zijn onafhankelijk van het outputniveau ($y$) en worden voornamelijk bepaald door de prijs van kapitaal ($r$) en de vaste hoeveelheid kapitaal ($\bar{K}$), dus $FK(r, \bar{K}) = r\bar{K}$. Grafisch worden deze voorgesteld als een horizontale rechte in de $y \times FK$-ruimte [41](#page=41) [44](#page=44). * **Variabele kosten ($VK$)**: Deze kosten zijn afhankelijk van het outputniveau ($y$) en de prijs van arbeid ($ℓ$). Ze worden afgeleid uit de korte termijn productiefunctie $y = f(\bar{K}, L)$ [41](#page=41) [45](#page=45). Daarnaast worden de kosten geanalyseerd op totaal-, gemiddeld- en marginaal niveau: * **Totale kosten ($TK$)**: Totaal bedrag aan uitgaven om een bepaalde output te produceren [42](#page=42). * **Gemiddelde kosten ($GK$)**: Kosten per eenheid product. Dit omvat de gemiddelde vaste kosten ($GFK$), gemiddelde variabele kosten ($GVK$) en gemiddelde totale kosten ($GTK$) [42](#page=42). * $GFK(y) = \frac{FK(r, \bar{K})}{y}$ [48](#page=48). * $GVK(y) = \frac{VK(ℓ, y, \bar{K})}{y}$ [49](#page=49). * $GTK(y) = \frac{TK(ℓ, r, y, \bar{K})}{y} = GVK(y) + GFK(y)$ [43](#page=43) [50](#page=50). * **Marginale kosten ($MK$)**: De extra kosten die gemaakt worden voor de productie van één extra eenheid output. De marginale totale kosten zijn gelijk aan de marginale variabele kosten, omdat de marginale vaste kosten nul zijn [42](#page=42). $MK(y) = \frac{\partial TKK(ℓ, r, y, \bar{K})}{\partial y} = \frac{\partial VK(ℓ, y, \bar{K})}{\partial y}$ [42](#page=42). #### 3.2.2 Relaties tussen soorten kosten op korte termijn Het verloop van de kostenfuncties is nauw verbonden met de productiefunctie. De variabele kosten ($VK(y)$) worden afgeleid uit de omgekeerde productiefunctie, vermenigvuldigd met de factorprijzen. De totale kosten ($TK(y)$) worden verkregen door de vaste kosten ($FK$) bij de variabele kosten op te tellen [45](#page=45) [47](#page=47). **Grafische afleiding:** * **Vaste kosten ($FK$)**: Een horizontale rechte. De gemiddelde vaste kosten ($GFK(y)$) dalen continu naarmate de output toeneemt [48](#page=48). * **Variabele kosten ($VK$)**: De vorm van de $VK(y)$-curve is doorgaans convex, wat volgt uit de aanname van eerst toenemende en daarna afnemende meeropbrengsten in de productiefunctie [46](#page=46). * **Totale kosten ($TK$)**: De $TK(y)$-curve is een verticale verschuiving van de $VK(y)$-curve omhoog met de hoogte van de vaste kosten ($FK$). De helling van de $TK(y)$-curve is gelijk aan de marginale kosten ($MK(y)$) [47](#page=47). * **Gemiddelde variabele kosten ($GVK$)**: De $GVK(y)$-curve bereikt een minimum wanneer de helling van de voerstraal in de $VK(y)$-curve nul is [49](#page=49). * **Gemiddelde totale kosten ($GTK$)**: De $GTK(y)$-curve bereikt een minimum op een hoger outputniveau dan de $GVK(y)$-curve. De $GTK(y)$-curve is de som van de $GVK(y)$ en $GFK(y)$ [43](#page=43) [50](#page=50) [60](#page=60). * **Marginale kosten ($MK$)**: De $MK(y)$-curve is de helling van de raaklijn aan de $TK(y)$ (en $VK(y)$) curve en bereikt een minimum bij een outputniveau lager dan het minimum van de $GVK(y)$- en $GTK(y)$-curven [51](#page=51). #### 3.2.3 Verbanden tussen kosten- en productiviteitscurven Er bestaan belangrijke relaties tussen de marginale en gemiddelde kostenfuncties en de productiviteitsfuncties [53](#page=53) [62](#page=62) [63](#page=63): 1. De $MK(y)$-curve snijdt de $GVK(y)$-curve in haar minimum. De $GVK(y)$-curve daalt wanneer $MK(y) < GVK(y)$ en stijgt wanneer $MK(y) > GVK(y)$ [53](#page=53). 2. Het minimum van de $MK(y)$-curve wordt bereikt bij een lager outputniveau dan het minimum van de $GVK(y)$-curve [53](#page=53). 3. De $MK(y)$-curve snijdt de $GTK(y)$-curve in haar minimum. De $GTK(y)$-curve daalt wanneer $MK(y) < GTK(y)$ en stijgt wanneer $MK(y) > GTK(y)$ [58](#page=58). 4. Het minimum van de $GTK(y)$-curve wordt bereikt bij een hoger outputniveau dan het minimum van de $GVK(y)$-curve [60](#page=60). 5. De $MK(y)$-curve is dalend (stijgend) als en slechts als de MPL-curve stijgend (dalend) is [62](#page=62). 6. De $GVK(y)$-curve is dalend (stijgend) als en slechts als de GPL-curve stijgend (dalend) is [63](#page=63). **Voorbeelden van kostencurven:** * **Cobb-Douglas technologie**: Met $f(L, K) = aL^\alpha K^\beta$ met $0 < \alpha, \beta < 1$, hebben de gemiddelde en marginale kosten doorgaans een U-vormig verloop. De vorm van de $GVK(y)$-curve kan concaaf of convex zijn afhankelijk van de waarde van $\alpha$ [65](#page=65) [68](#page=68) [72](#page=72). * **Lineaire technologie**: Met $f(L, K) = c \cdot K \cdot L$, zijn de gemiddelde variabele en marginale kosten constant. De $MK(y)$-curve valt samen met de $GVK(y)$-curve [73](#page=73) [75](#page=75). * **Panvormig verloop van $GVK(y)$**: Dit kan zich voordoen bij onzekerheid over de output en risicomijdend gedrag van de producent. In dit geval is er een interval waarin de $GVK(y)$ constant is [77](#page=77) [79](#page=79). #### 3.2.4 Gevolgen van kapitaalsuitbreiding op korte termijn kosten Een toename van de kapitaalshoeveelheid ($\bar{K}$) leidt tot: * Een hogere vaste kost ($FK$) . * Een lagere variabele kost ($VK$) voor elke outputniveau (behalve bij $y=0$), omdat er minder arbeid nodig is . * Een lager liggende $VK(y)$-curve en een hoger beginpunt van de $TK(y)$-curve . * Een verschuiving van de $GTK(y)$-curve naar rechts. Het minimum van de nieuwe $GTK(y)$-curve kan hoger, lager of op dezelfde hoogte liggen als het oorspronkelijke minimum, afhankelijk van de relatieve verandering in vaste en variabele kosten . ### 3.3 Kosten op lange termijn #### 3.3.1 Afleiding van het lange termijn expansiepad Op lange termijn kan de onderneming de combinatie van productiefactoren aanpassen om de kosten voor elke productieniveau te minimaliseren. Het lange termijn expansiepad verbindt deze optimale factorcombinaties voor verschillende outputniveaus. Dit pad wordt grafisch bepaald door het snijpunt van de isokostenlijnen en de isoquanten voor verschillende outputniveaus. Op het lange termijn expansiepad zijn de marginale technische substitutievoeten gelijk aan de prijsratio van de productiefactoren: $\frac{MPL}{MPK} = \frac{ℓ}{r}$ [82](#page=82) [83](#page=83) [85](#page=85) [86](#page=86) [88](#page=88). * **Relatie tussen korte en lange termijn expansiepaden**: Het korte termijn expansiepad is een horizontale rechte (vast kapitaal), terwijl het lange termijn expansiepad over het algemeen een glooiende curve is die de optimale mix van arbeid en kapitaal weergeeft voor elk outputniveau. Op lange termijn kan de onderneming van het ene korte termijn expansiepad naar het andere verschuiven om de kosten te optimaliseren [39](#page=39) [86](#page=86) [93](#page=93) [97](#page=97). #### 3.3.2 Grafische afleiding van de lange termijn kostencurve De lange termijn kostencurve ($TKL(y)$) kan grafisch worden afgeleid uit het lange termijn expansiepad. Voor elk punt op het expansiepad wordt de totale kostencombinatie berekend. De totale kosten op lange termijn voor een bepaalde output zijn altijd gelijk aan of lager dan de totale kosten op korte termijn [40](#page=40) [96](#page=96) [98](#page=98). * De lange termijn gemiddelde totale kosten ($GTKL(y)$) vormen de "enveloppe" of "omhullende" curve van de korte termijn gemiddelde totale kosten ($GTKK(y)$) curven . * De snijpunten tussen de korte termijn en lange termijn expansiepaden komen overeen met de snijpunten tussen de bijbehorende $TKK(y)$ en $TKL(y)$ curven, en dus ook tussen de $GTKK(y)$ en $GTKL(y)$ curven . #### 3.3.3 De planningcurve De lange termijn gemiddelde totale kosten ($GTKL(y)$) curve wordt ook wel de **planningcurve** genoemd. Deze curve geeft weer hoe de gemiddelde totale kosten veranderen wanneer de schaal van de onderneming (via de kapitaalhoeveelheid) wordt aangepast . * De planningcurve is de omhullende curve van de korte termijn GTK-curven . * Het verloop van de planningcurve wordt bepaald door de schaalopbrengsten . #### 3.3.4 De planningcurve en schaalopbrengsten De relatie tussen de planningcurve en schaalopbrengsten is cruciaal : * **Toenemende schaalopbrengsten** ($\epsilon_S > 1$): De planningcurve verloopt dalend. Grotere schaal voordelen domineren, wat leidt tot lagere gemiddelde kosten bij hogere output . * **Constante schaalopbrengsten** ($\epsilon_S = 1$): De planningcurve is horizontaal. De gemiddelde kosten blijven constant ongeacht de schaal . * **Afnemende schaalopbrengsten** ($\epsilon_S < 1$): De planningcurve verloopt stijgend. Schaalnadelen domineren, wat leidt tot hogere gemiddelde kosten bij hogere output . **Schaalvoordelen vs. Schaalnadelen:** * **Schaalvoordelen** omvatten voordelen zoals specialisatie, arbeidsverdeling, mechanisering en efficiënter beheer . * **Schaalnadelen** kunnen ontstaan door te verregaande specialisatie, daling van werknemersmotivatie, bureaucratie en communicatieproblemen . #### 3.3.5 De planningcurve en factorprijzen (Lemma van Shephard) Het Lemma van Shephard stelt dat de afgeleide van de lange termijn totale kostenfunctie met betrekking tot de prijs van een productiefactor gelijk is aan de optimale hoeveelheid van die productiefactor die bij die prijs wordt gebruikt . * $\frac{\partial TKL(ℓ, r, y)}{\partial ℓ} = L^*$ (optimale hoeveelheid arbeid) . * $\frac{\partial TKL(ℓ, r, y)}{\partial r} = K^*$ (optimale hoeveelheid kapitaal) . Dit impliceert dat een stijging in de prijs van een productiefactor leidt tot een opwaartse verschuiving van de planningcurve, tenzij er sprake is van een inferieure productiefactor . **Voorbeeld: Cobb-Douglas technologie** Voor de Cobb-Douglas technologie $f(L, K) = aL^\alpha K^\beta$, is de schaalelasticiteit $\epsilon_S = \alpha + \beta$ . * Als $\alpha + \beta > 1$, zijn er toenemende schaalopbrengsten en een dalende planningcurve . * Als $\alpha + \beta = 1$, zijn er constante schaalopbrengsten en een horizontale planningcurve . * Als $\alpha + \beta < 1$, zijn er afnemende schaalopbrengsten en een stijgende planningcurve . De gemiddelde kosten op lange termijn ($GTKL$) zijn gelijk aan de marginale kosten op lange termijn ($MKL$) vermenigvuldigd met de schaalelasticiteit: $GTKL = MKL \cdot \epsilon_S$ . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Isokostencurve | Een curve die alle combinaties van twee productiefactoren weergeeft die een producent kan aanschaffen voor een vastgesteld budget of kostenbedrag. | | Isoquant | Een curve die alle combinaties van twee productiefactoren weergeeft waarmee een producent dezelfde hoeveelheid output kan produceren. | | Lagrange functie | Een hulpmiddel in de wiskunde dat gebruikt wordt om geoptimaliseerde problemen met gelijkheidsbeperkingen op te lossen, zoals kostenminimalisatie bij een gegeven productiehoeveelheid. | | Lagrange multiplicator | De variabele in de Lagrange functie die de marginale waarde van de beperking aangeeft, in dit geval gelijk aan de marginale kost van de producent. | | Marginale substitutieverhouding van de factor (MSVL) | De hoeveelheid van de ene productiefactor die moet worden opgegeven om één extra eenheid van een andere productiefactor te verkrijgen, terwijl de output constant blijft. Het is de absolute waarde van de helling van de isoquant. | | Productiefunctie | Een wiskundige relatie die aangeeft hoe productiefactoren worden omgezet in output; het beschrijft de maximale output die kan worden verkregen met gegeven hoeveelheden inputs. | | Kostenminimering | Het proces waarbij een producent probeert de laagst mogelijke kosten te realiseren voor een bepaald productieniveau, door de meest efficiënte combinatie van productiefactoren te kiezen. | | Lange termijn expansiepad (LTE) | Het pad in de L-K-ruimte dat de optimale combinaties van arbeid (L) en kapitaal (K) verbindt voor verschillende outputniveaus, waarbij alle productiefactoren variabel zijn. | | Korte termijn expansiepad (KTE) | Het pad dat de optimale combinaties van productiefactoren weergeeft voor verschillende outputniveaus, waarbij ten minste één productiefactor vast is (bijvoorbeeld kapitaal op korte termijn). | | Vaste kosten | Kosten die niet veranderen met het productieniveau op korte termijn, zoals de huur van een fabriek. | | Variabele kosten | Kosten die direct variëren met het productieniveau op korte termijn, zoals de kosten van grondstoffen of arbeid. | | Gemiddelde vaste kosten (GFK) | De totale vaste kosten gedeeld door de outputhoeveelheid. | | Gemiddelde variabele kosten (GVK) | De totale variabele kosten gedeeld door de outputhoeveelheid. | | Gemiddelde totale kosten (GTK) | De totale kosten gedeeld door de outputhoeveelheid. | | Marginale kost (MK) | De extra kost die gemaakt wordt om één extra eenheid output te produceren. | | Cobb-Douglas productiefunctie | Een veelgebruikte econometrische productiefunctie die de relatie tussen inputs en output modelleert, met de vorm $y = aL^{\alpha}K^{\beta}$. | | Schaalonebrengsten | De mate waarin de output verandert wanneer alle productiefactoren proportioneel worden verhoogd. Dit kan toenemend, constant of afnemend zijn. | | Planningcurve | De lange termijn gemiddelde kostencurve die aangeeft hoe de gemiddelde kosten veranderen naarmate de schaal van de onderneming toeneemt. | | Lemma van Shephard | Een stelling die een relatie legt tussen de lange termijn totale kostfunctie en de vraag naar productiefactoren; de afgeleide van de totale kostfunctie naar de prijs van een productiefactor geeft de optimale vraag naar die factor. |