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# Insieme dei numeri razionali L'insieme dei numeri razionali ($\mathbb{Q}$) è definito come un campo totalmente ordinato, caratterizzato da due operazioni fondamentali: la somma e il prodotto, entrambe dotate di specifiche proprietà [1](#page=1). ### 1.1 Proprietà della somma nell'insieme dei numeri razionali L'operazione di somma nell'insieme dei numeri razionali soddisfa le seguenti proprietà [1](#page=1): * **51) Commutativa:** $a + b = b + a$ per ogni $a, b \in \mathbb{Q}$. * **52) Associativa:** $(a + b) + c = a + (b + c)$ per ogni $a, b, c \in \mathbb{Q}$. * **53) Esistenza dell'elemento neutro:** Esiste un elemento in $\mathbb{Q}$, denotato con $0$, tale che $a + 0 = 0 + a = a$ per ogni $a \in \mathbb{Q}$. * **54) Esistenza dell'elemento opposto:** Per ogni $a \in \mathbb{Q}$, esiste un elemento in $\mathbb{Q}$, denotato con $-a$, tale che $a + (-a) = (-a) + a = 0$. ### 1.2 Proprietà del prodotto nell'insieme dei numeri razionali L'operazione di prodotto nell'insieme dei numeri razionali soddisfa le seguenti proprietà [1](#page=1): * **p1) Commutativa:** $a \cdot b = b \cdot a$ per ogni $a, b \in \mathbb{Q}$. * **p2) Associativa:** $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ per ogni $a, b, c \in \mathbb{Q}$. * **p3) Esistenza dell'elemento neutro:** Esiste un elemento in $\mathbb{Q}$, denotato con $1$, tale che $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ per ogni $a \in \mathbb{Q}$. * **p4) Esistenza dell'elemento inverso:** Per ogni $a \in \mathbb{Q}$ tale che $a \neq 0$, esiste un elemento in $\mathbb{Q}$, denotato con $a^{-1}$, tale che $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$. * **p5) Distributiva rispetto alla somma:** $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ per ogni $a, b, c \in \mathbb{Q}$. ### 1.3 $\mathbb{Q}$ come campo Le proprietà di somma e prodotto elencate precedentemente conferiscono all'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ la struttura di un **campo** [1](#page=1). ### 1.4 Relazione d'ordine nell'insieme dei numeri razionali Un insieme $A$ è dotato di una **relazione d'ordine** se è definito un sottoinsieme $R$ di $A \times A$ che soddisfa le seguenti condizioni [1](#page=1): 1. **Riflessività:** $(a, a) \in R$ per ogni $a \in A$. 2. **Antisimmetria:** Se $(a, b) \in R$ e $(b, a) \in R$, allora $a = b$. 3. **Transitività:** Se $(a, b) \in R$ e $(b, c) \in R$, allora $(a, c) \in R$. Inoltre, se per ogni coppia di elementi $a, b \in A$ vale che $(a, b) \in R$ oppure $(b, a) \in R$, l'insieme $A$ è detto **totalmente ordinato** [1](#page=1). > **Esempio:** L'insieme $\mathbb{Q}$ con la relazione d'ordine definita da $(a, b) \in R$ se $a > b$ è un insieme totalmente ordinato [2](#page=2). #### 1.4.1 Proprietà della relazione d'ordine rispetto alle operazioni Nell'ambito di un campo totalmente ordinato come $\mathbb{Q}$, la relazione d'ordine soddisfa ulteriori proprietà [2](#page=2): * **o1) Monotonia della somma:** Se $a = b$, allora $a + c = b + c$ per ogni $a, b, c \in \mathbb{Q}$. * **o2) Monotonia del prodotto:** Se $a = b$, allora $a \cdot c = b \cdot c$ per ogni $a, b, c \in \mathbb{Q}$, con $c \neq 0$. Queste proprietà permettono di identificare gli elementi di $\mathbb{Q}$ con i punti di una retta numerica [2](#page=2). ### 1.5 Completezza e limiti dell'insieme dei numeri razionali Nonostante $\mathbb{Q}$ sia un campo totalmente ordinato, non tutti i punti di una retta rappresentano numeri razionali. Un esempio notevole è fornito dal seguente teorema [2](#page=2): > **Teorema:** Non esiste alcun numero razionale $x \in \mathbb{Q}$ tale che $x^2 = 2$ [2](#page=2). **Dimostrazione per assurdo:** Supponiamo per assurdo che esista un tale $x \in \mathbb{Q}$. Allora possiamo scrivere $x = \frac{p}{q}$, dove $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, e $p$ e $q$ sono primi tra loro [2](#page=2). Elevando al quadrato entrambi i lati di $x = \frac{p}{q}$, otteniamo $x^2 = \frac{p^2}{q^2}$. Dato che $x^2 = 2$, si ha $\frac{p^2}{q^2} = 2$. Moltiplicando per $q^2$, otteniamo $p^2 = 2q^2$ [2](#page=2). Da $p^2 = 2q^2$, si evince che $p^2$ è pari. Se il quadrato di un numero è pari, allora anche il numero stesso deve essere pari. Pertanto, $p$ è pari. Possiamo allora scrivere $p = 2m$ per qualche $m \in \mathbb{Z}$. Sostituendo $p = 2m$ nell'equazione $p^2 = 2q^2$: $(2m)^2 = 2q^2$ $4m^2 = 2q^2$ Dividendo entrambi i lati per 2: $2m^2 = q^2$ [2](#page=2). Da $q^2 = 2m^2$, si evince che $q^2$ è pari, il che implica che anche $q$ deve essere pari. Quindi, sia $p$ che $q$ sono pari. Questo contraddice l'assunzione iniziale che $p$ e $q$ fossero primi tra loro. Pertanto, l'assunzione che esista un numero razionale $x$ tale che $x^2 = 2$ è falsa. Questo dimostra che $\sqrt{2}$ non è un numero razionale [2](#page=2). > **Tip:** La dimostrazione dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$ è un classico esempio di come dimostrare l'esistenza di "buchi" nell'insieme dei numeri razionali, evidenziando la necessità di estendere il concetto di numero per includere quelli irrazionali. --- # Insieme dei numeri reali L'insieme dei numeri reali estende il concetto di numeri razionali introducendo gli allineamenti decimali illimitati non periodici e garantendo la completezza delle operazioni e della relazione d'ordine [3](#page=3). ### 2.1 Definizione di numero reale Un numero reale è definito come un allineamento decimale che può essere: * Limitato (proprio) [3](#page=3). * Limitato periodico [3](#page=3). * Non periodico [3](#page=3). ### 2.2 Estensione delle operazioni e della relazione d'ordine Su $\mathbb{R}$ è possibile estendere le operazioni di somma e prodotto, così come la relazione d'ordine definite su $\mathbb{Q}$, ottenendo un campo totalmente ordinato [3](#page=3). ### 2.3 Il teorema di completezza Il teorema di completezza (prima forma) afferma che dati due sottoinsiemi non vuoti $A$ e $B$ di $\mathbb{R}$ tali che: * $\forall a \in A, \forall b \in B$, si ha $a \leq b$ [3](#page=3). Allora esiste un unico $c \in \mathbb{R}$ tale che $\forall a \in A, \forall b \in B$, si ha $a \leq c \leq b$ [3](#page=3). Questo elemento $c$ è detto "elemento separatore" di $A$ e $B$ [3](#page=3). > **Tip:** Il teorema di completezza è fondamentale perché garantisce che non ci sono "buchi" nella retta dei numeri reali, a differenza dei numeri razionali. #### 2.3.1 Esempio di applicazione del teorema di completezza Consideriamo i seguenti insiemi: $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \leq 2 \text{ e } x \leq 2 \}$ [3](#page=3). $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \geq 2 \text{ e } x \geq 0 \}$ [4](#page=4). In questo caso, l'elemento separatore è $c = \sqrt{2}$, che è un numero reale [4](#page=4). Questo esempio illustra come il teorema di completezza valga in $\mathbb{R}$. > **Osservazione:** Lo stesso esempio non sarebbe valido in $\mathbb{Q}$ perché $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, dimostrando che il teorema di completezza non vale nell'insieme dei numeri razionali [4](#page=4). ### 2.4 Notazioni per intervalli Gli insiemi dei numeri reali possono essere rappresentati tramite intervalli: #### 2.4.1 Intervalli limitati * $(a,b):= \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}$ [4](#page=4). * $[a,b):= \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b \}$ [4](#page=4). * $(a,b:= \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b \}$ [4](#page=4). * $[a,b:= \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}$ [4](#page=4). #### 2.4.2 Intervalli illimitati * $(-\infty, a:= \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq a \}$ [4](#page=4). * $(-\infty, a):= \{ x \in \mathbb{R} \mid x < a \}$ [4](#page=4). * $(b, +\infty):= \{ x \in \mathbb{R} \mid x > b \}$ [4](#page=4). * $[b, +\infty):= \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq b \}$ [4](#page=4). > **N.B.:** I simboli $+\infty$ e $-\infty$ sono simboli di "comodo" e non appartengono all'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ [4](#page=4). ### 2.5 Numeri reali estesi Se si aggiungono i simboli $+\infty$ e $-\infty$ all'insieme $\mathbb{R}$, si ottiene l'insieme dei numeri reali estesi, denotato con $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$ [4](#page=4). --- # Modulo di un numero reale Il modulo di un numero reale, anche noto come valore assoluto, rappresenta la sua distanza dall'origine sulla retta numerica e possiede proprietà fondamentali che trovano applicazione, in particolare, nelle disuguaglianze triangolari [5](#page=5). ### 3.1 Definizione di modulo Il modulo di un numero reale $a$, indicato con $|a|$, è definito come segue [5](#page=5): $$ |a| = \begin{cases} a & \text{se } a \ge 0 \\ -a & \text{se } a < 0 \end{cases} $$ **Nota bene:** 1. $|a| = \sqrt{a^2}$ [5](#page=5). 2. $|a| = \max(a, -a)$ [5](#page=5). ### 3.2 Proprietà fondamentali del modulo Le seguenti proprietà sono valide per ogni numero reale $a$ e $b$. #### 3.2.1 Proprietà di limitazione Per ogni $a \in \mathbb{R}$, si ha $|a| \ge 0$. Questa proprietà implica che se $|a| \le M$, allora $-M \le a \le M$ [5](#page=5). ##### Dimostrazione Dobbiamo dimostrare che se $|a| \le M$, allora $-M \le a \le M$. * **Caso 1: $a \ge 0$.** In questo caso, $|a| = a$. Se $|a| \le M$, allora $a \le M$. Poiché $a \ge 0$, abbiamo anche $-M \le 0 \le a$, quindi $-M \le a$. Unendo le due disuguaglianze, otteniamo $-M \le a \le M$. * **Caso 2: $a < 0$.** In questo caso, $|a| = -a$. Se $|a| \le M$, allora $-a \le M$. Moltiplicando per $-1$ (e invertendo il verso della disuguaglianza), otteniamo $a \ge -M$. Poiché $a < 0$, abbiamo anche $a \le 0 \le M$, quindi $a \le M$. Unendo le due disuguaglianze, otteniamo $-M \le a \le M$. Dobbiamo anche mostrare che se $-M \le a \le M$, allora $|a| \le M$. * **Caso 1: $a \ge 0$.** Allora $|a| = a$. Poiché $a \le M$, otteniamo $|a| \le M$. * **Caso 2: $a < 0$.** Allora $|a| = -a$. Poiché $-M \le a$, moltiplicando per $-1$ otteniamo $M \ge -a$. Quindi $|a| \le M$. #### 3.2.2 Proprietà di hermiticità Per ogni $a \in \mathbb{R}$, vale $-|a| \le a \le |a|$ [5](#page=5). ##### Dimostrazione La disuguaglianza $|a| \le |a|$ è ovvia. Per dimostrare $-|a| \le a$, applichiamo la proprietà precedente con $M = |a|$, ottenendo $-|a| \le a \le |a|$ [5](#page=5). #### 3.2.3 La disuguaglianza triangolare (prima forma) Per ogni $x, y \in \mathbb{R}$, vale $|x+y| \le |x| + |y|$ [5](#page=5). ##### Dimostrazione Dalla proprietà di hermiticità, sappiamo che: $-|x| \le x \le |x|$ $-|y| \le y \le |y|$ Sommando termine a termine queste disuguaglianze, otteniamo: $-|x| - |y| \le x+y \le |x| + |y|$ $-( |x| + |y| ) \le x+y \le |x| + |y|$ Applicando la proprietà 3.2.1 con $M = |x| + |y|$, otteniamo direttamente $|x+y| \le |x| + |y|$ [5](#page=5). #### 3.2.4 La disuguaglianza triangolare (seconda forma, o disuguaglianza della differenza) Per ogni $x, y \in \mathbb{R}$, vale $||x| - |y|| \le |x-y|$ [6](#page=6). ##### Dimostrazione Consideriamo la seguente uguaglianza: $|x| = |y + (x-y)|$ Applicando la disuguaglianza triangolare (3.2.3) a questa espressione: $|x| = |y + (x-y)| \le |y| + |x-y|$ Riorganizzando i termini, otteniamo: $|x| - |y| \le |x-y|$ [6](#page=6). Ora, consideriamo $|y|$: $|y| = |x + (y-x)|$ Applicando nuovamente la disuguaglianza triangolare: $|y| = |x + (y-x)| \le |x| + |y-x|$ Poiché $|y-x| = |-(x-y)| = |x-y|$, abbiamo: $|y| \le |x| + |x-y|$ Riorganizzando i termini: $|y| - |x| \le |x-y|$ Moltiplicando per $-1$: $-(|y| - |x|) \ge -|x-y|$ $|x| - |y| \ge -|x-y|$ Abbiamo quindi dimostrato due disuguaglianze: 1. $|x| - |y| \le |x-y|$ 2. $|x| - |y| \ge -|x-y|$ Combinando queste due disuguaglianze, otteniamo: $-|x-y| \le |x| - |y| \le |x-y|$ Applicando la proprietà 3.2.1 con $M = |x-y|$, si conclude che $||x| - |y|| \le |x-y|$ [6](#page=6) [7](#page=7). > **Tip:** Le disuguaglianze triangolari sono estremamente utili per stabilire limiti superiori e inferiori per espressioni che coinvolgono somme o differenze di valori assoluti, ed sono un pilastro in molte dimostrazioni di analisi matematica. --- ## Errori comuni da evitare - Rivedete tutti gli argomenti accuratamente prima degli esami - Prestate attenzione alle formule e definizioni chiave - Praticate con gli esempi forniti in ogni sezione - Non memorizzate senza comprendere i concetti sottostanti

| Term | Definition | |------|------------| | Campo | Un insieme dotato di due operazioni (somma e prodotto) che soddisfano determinate proprietà di associatività, commutatività, esistenza di elementi neutri e inversi, e distributività della moltiplicazione rispetto alla somma. | | Relazione di ordine | Un sottoinsieme R di AXA che definisce una relazione tra gli elementi di un insieme A, con proprietà di riflessività, transitività e antisimmetria. | | Insieme totalmente ordinato | Un insieme in cui per ogni coppia di elementi distinti vale una delle due relazioni d'ordine definite (o l'uno precede l'altro o viceversa). | | Allineamento decimale limitato | Un numero che può essere espresso come una sequenza finita di cifre dopo la virgola, come ad esempio 2.5. | | Allineamento decimale periodico | Un numero la cui parte decimale presenta una sequenza di cifre che si ripete indefinitamente, come ad esempio 1.333... | | Allineamento decimale non periodico | Un numero la cui parte decimale non presenta alcuna sequenza di cifre che si ripete, come ad esempio $\pi$. | | Teorema di completezza | Afferma che dati due sottoinsiemi A e B di R tali che ogni elemento di A sia minore o uguale a ogni elemento di B, esiste un elemento c in R che separa A e B. | | Modulo | Per un numero reale $a$, il modulo $|a|$ è $a$ se $a \ge 0$, e $-a$ se $a < 0$. Corrisponde alla distanza del numero dall'origine sulla retta reale. | | Disuguaglianza triangolare | Una proprietà del modulo che afferma $|a+b| \le |a| + |b|$ per ogni coppia di numeri reali $a$ e $b$. |