CÁLCULO TEORÍA 2.pdf

# La derivada de una función en un punto y sus interpretaciones Aquí tienes el resumen de estudio sobre la derivada de una función en un punto y sus interpretaciones, listo para el examen. ## 1. La derivada de una función en un punto y sus interpretaciones Este apartado explora la definición formal de la derivada de una función en un punto específico, su interpretación geométrica como la pendiente de la recta tangente, y analiza la relación crucial entre derivabilidad y continuidad, ejemplificando con funciones constantes y cuadráticas [3](#page=3) [4](#page=4) [5](#page=5). ### 1.1 Definición formal de la derivada La derivada de una función $f$ en un punto $a$, denotada como $f'(a)$, se define formalmente como el límite de la razón de cambio promedio de la función entre dos instantes, cuando el intervalo de tiempo tiende a cero [3](#page=3). **Definición 2.1:** Una función $f$ es derivable en $a \in D$ si el siguiente límite existe y es finito: $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ El cociente $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ para cada valor de $h$ representa la pendiente del segmento de recta que une los puntos $(a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ en la gráfica de la función [3](#page=3). > **Tip:** La notación $\frac{df}{dx}(a)$ o $df(a)$ también se utiliza frecuentemente para referirse a la derivada de $f$ en $a$ [3](#page=3). ### 1.2 Interpretación geométrica de la derivada La interpretación geométrica de la derivada $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto $(a, f(a))$ [3](#page=3). Esto se deduce del hecho de que la derivada es el límite de las pendientes de los segmentos secantes que unen puntos cercanos a $(a, f(a))$ a medida que estos puntos se acercan al punto original [3](#page=3).  *Figura 2.1: Interpretación geométrica de la derivada. * [3](#page=3). ### 1.3 Ejemplos de funciones y su derivabilidad #### 1.3.1 Función constante Una función constante $f(x) = k$, donde $k$ es una constante real, tiene una derivada de cero en todos los puntos [4](#page=4). **Ejemplo 2.1:** Para $f(x) = k$, la derivada en un punto $a$ es: $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{k - k}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 $$ #### 1.3.2 Función cuadrática La función $f(x) = x^2$ es derivable en cualquier punto $a$, y su derivada es $f'(a) = 2a$ [4](#page=4). **Ejemplo 2.2:** Calculando la derivada de $f(x) = x^2$ en un punto $a$: $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^2}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{(x - a)(x + a)}{x - a} = \lim_{x \to a} (x + a) = a + a = 2a $$ ### 1.4 Relación entre derivabilidad y continuidad Existe una relación intrínseca entre la derivabilidad de una función en un punto y su continuidad en ese mismo punto [4](#page=4). **Teorema 2.1:** Si una función $f$ es derivable en un punto $a$, entonces $f$ es continua en $a$ [4](#page=4). Esto significa que la derivabilidad es una condición más fuerte que la continuidad. Una función puede ser continua pero no derivable, pero si es derivable, necesariamente debe ser continua [4](#page=4) [5](#page=5). > **Tip:** La continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad, pero no es suficiente [4](#page=4) [5](#page=5). #### 1.4.1 Ejemplo de función continua pero no derivable **Ejemplo 2.5:** La función $f(x) = x \cos\left(\frac{1}{x}\right)$ para $x \neq 0$ y $f = 0$ es continua en $\mathbb{R}$, pero no es derivable en $0$. Esto se debe a que el límite que define la derivada en $0$ no existe [5](#page=5). $$ \lim_{h \to 0} \frac{h \cos\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \cos\left(\frac{1}{h}\right) $$ Este último límite no existe porque la función $\cos\left(\frac{1}{h}\right)$ oscila entre $-1$ y $1$ cada vez más rápido a medida que $h$ se acerca a cero [5](#page=5). #### 1.4.2 Ejemplo de función discontinua y no derivable **Ejemplo 2.3:** La función escalón o función de Heaviside, definida como $f(x) = 1$ si $x > 0$ y $f(x) = 0$ si $x \le 0$, es discontinua en $x=0$. Por lo tanto, no es derivable en $0$ [4](#page=4). #### 1.4.3 Ejemplo de función derivable en un punto **Ejemplo 2.4:** La función $f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ para $x \neq 0$ y $f = 0$ es derivable en $0$ con $f' = 0$ [4](#page=4). $$ f' = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) $$ . Dado que $\sin\left(\frac{1}{h}\right)$ es una función acotada y $\lim_{h \to 0} h = 0$, el límite es $0$ [5](#page=5). --- # Reglas de derivación y cálculo de derivadas Este tema presenta las reglas fundamentales para calcular derivadas de manera eficiente sin recurrir a la definición formal. ### 2.1 Introducción a las reglas de derivación El cálculo de derivadas es una herramienta esencial en el estudio de funciones, y las reglas de derivación nos permiten obtener estas de forma sistemática. El objetivo es ser capaz de calcular la derivada de cualquier función construida a partir de funciones elementales mediante operaciones algebraicas y composición [7](#page=7). ### 2.2 Reglas de derivación fundamentales Las siguientes proposiciones nos permiten calcular derivadas de funciones combinadas a partir de funciones derivables conocidas. #### 2.2.1 Regla de la suma y del producto Si las funciones $f$ y $g$ son derivables en un punto $a$, entonces: * La suma $f + g$ es derivable en $a$, y su derivada es $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$ [7](#page=7). * El producto $f \cdot g$ es derivable en $a$, y su derivada es $(f \cdot g)'(a) = f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)$ [7](#page=7). #### 2.2.2 Regla del cociente Si las funciones $f$ y $g$ son derivables en un punto $a$ y $g(a) \neq 0$, entonces la función cociente $\frac{f}{g}$ es derivable en $a$, y su derivada es: $$ \left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \cdot g(a) - f(a) \cdot g'(a)}{[g(a)]^2} $$ #### 2.2.3 Regla de la cadena Si $f$ es derivable en $a$ y $g$ es derivable en $f(a)$, entonces la composición $g \circ f$ es derivable en $a$, y su derivada se calcula como: $$ (g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a) $$ > **Tip:** La regla de la cadena es fundamental para derivar funciones compuestas y a menudo se aplica en conjunto con las derivadas de funciones elementales. ### 2.3 Tabla de derivadas de funciones elementales A continuación, se presenta una tabla básica de derivadas de funciones comunes. Se asume que $c \in \mathbb{R}$ y $a \in (0, \infty) \setminus \{1\}$ [7](#page=7). | Función | Derivada | Función | Derivada | | :------------ | :-------------- | :-------- | :--------------- | | $c$ | $0$ | $x^c$ | $c x^{c-1}$ | | $a^x$ | $a^x \ln a$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | | $\log_a x$ | $\frac{1}{x} \log_a e$ | $\sen x$ | $\cos x$ | | $\cos x$ | $-\sen x$ | | | > **Tip:** Dominar esta tabla y las reglas de derivación es suficiente para generar rápidamente la mayoría de las derivadas necesarias en cursos de cálculo. ### 2.4 Derivadas de funciones compuestas (aplicación de la regla de la cadena) Al aplicar la regla de la cadena a las funciones elementales, obtenemos la siguiente tabla para derivar funciones de la forma $f(u(x))$, donde $u(x)$ es una función derivable [8](#page=8). | Función | Derivada | Función | Derivada | | :------------- | :----------------------- | :------------ | :----------------------- | | $c$ | $0$ | $e^{u(x)}$ | $e^{u(x)} u'(x)$ | | $(u(x))^c$ | $c (u(x))^{c-1} u'(x)$ | $a^{u(x)}$ | $a^{u(x)} (\ln a) u'(x)$ | | $\ln u(x)$ | $\frac{1}{u(x)} u'(x)$ | $\log_a u(x)$ | $\frac{1}{u(x)} \log_a e \cdot u'(x)$ | | $\sen u(x)$ | $\cos u(x) u'(x)$ | $\cos u(x)$ | $-\sen u(x) u'(x)$ | > **Ejemplo:** Si tenemos la función $h(x) = \sin(x^2)$, podemos identificar $u(x) = x^2$. La derivada de $u(x)$ es $u'(x) = 2x$. Aplicando la regla de la cadena a la derivada del seno, obtenemos $h'(x) = \cos(u(x)) \cdot u'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$. ### 2.5 Derivadas de funciones trigonométricas inversas Las derivadas de funciones trigonométricas inversas se pueden obtener aplicando la regla de la cadena junto con la tabla de derivadas básicas. > **Ejemplo:** Para calcular la derivada de $f(x) = \operatorname{arc}\sin x$. Sabemos que si $y = \operatorname{arc}\sin x$, entonces $x = \sin y$. Derivando implícitamente ambos lados con respecto a $y$: $\frac{dx}{dy} = \cos y$. Dado que $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}$, tenemos $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$. Usando la identidad $\cos^2 y + \sin^2 y = 1$, obtenemos $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}$. Sustituyendo $\sin y = x$, tenemos $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$. Por lo tanto, la derivada de $\operatorname{arc}\sin x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ [8](#page=8). De manera similar, se pueden obtener las derivadas de $\operatorname{arc}\cos x$, $\operatorname{arc}\tan x$, etc., aplicando las reglas de derivación y las identidades trigonométricas. > **Tip:** La práctica constante es clave para dominar el cálculo de derivadas. Resuelve numerosos ejercicios aplicando estas reglas y tablas. --- # Límites y la Regla de L'Hôpital Este tema explora cómo las derivadas pueden ser aplicadas para calcular límites, introduciendo la Regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones comunes y otras que pueden ser transformadas. ### 3.1 Motivación La conexión entre límites y derivación se establece al notar que la definición misma de la derivada es un límite. En este apartado, se plantea la pregunta inversa: si la existencia de la derivada puede facilitar el cálculo de límites. La respuesta es afirmativa, y esta técnica se conoce como la Regla de L'Hôpital [9](#page=9). ### 3.2 Regla de L'Hôpital La Regla de L'Hôpital, descubierta por John Bernoulli pero atribuida a Guillaume de L'Hôpital, es una herramienta poderosa para el cálculo de límites de cocientes de funciones que resultan en indeterminaciones de los tipos $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ [10](#page=10). #### 3.2.1 Enunciado de la regla Si $f$ y $g$ son funciones derivables en un entorno de $a$, con $g'(x) \neq 0$ cerca de $a$, y se cumple que: * $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ O * $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty$ Entonces, si el límite del cociente de las derivadas existe: $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l $$ donde $l$ puede ser un número real, $\infty$ o $-\infty$ [10](#page=10). > **Tip:** La Regla de L'Hôpital también es válida para límites laterales y límites en el infinito, es decir, se puede reemplazar $a$ por $\infty$, $-\infty$, $a^+$ o $a^-$ en el enunciado [10](#page=10). #### 3.2.2 Aplicación reiterada La Regla de L'Hôpital puede aplicarse de forma reiterada si el cociente de las derivadas sigue resultando en una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ [11](#page=11). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{x}$. > Se trata de una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 $$ [10](#page=10) [11](#page=11). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1 + e^{x^2}}{3x^2}$. > Se trata de una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicando L'Hôpital una vez: > $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + e^{x^2}}{3x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x e^{x^2}}{6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^2}}{3} = \infty $$ [11](#page=11). #### 3.2.3 Transformación de otras indeterminaciones La Regla de L'Hôpital es útil no solo para las indeterminaciones $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty}{\infty}$, sino también para otras, siempre que puedan ser transformadas en alguna de las anteriores. * **Indeterminaciones del tipo $\infty - \infty$**: Se pueden transformar en una indeterminación de cociente realizando la resta. > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\text{sen } x} - \frac{1}{x} \right)$. > Se trata de una indeterminación $\infty - \infty$. Operando: > $$ \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\text{sen } x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - \text{sen } x}{x \text{ sen } x} $$ > Esta es una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{\text{sen } x + x \cos x} $$ > Esto mantiene la indeterminación $\frac{0}{0}$. Volviendo a aplicar L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\text{sen } x}{\cos x + \cos x - x \text{ sen } x} = \frac{0}{1 + 1 - 0} = 0 $$ [11](#page=11) [12](#page=12). * **Indeterminaciones del tipo $0 \cdot \infty$**: Se pueden transformar en una indeterminación de cociente, recordando que $f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} = \frac{g(x)}{1/f(x)}$. > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(x - \frac{\pi}{2}\right) \text{tg } x$. > Se trata de una indeterminación $0 \cdot \infty$. Transformándola: > $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\text{cotg } x} $$ > Esta es una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{-\text{cosec}^2 x} = -\text{sen}^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $$ [12](#page=12). * **Indeterminaciones del tipo $0^0$, $\infty^0$, $1^\infty$**: Para estas indeterminaciones, se recomienda utilizar logaritmos. Si se considera $L = \displaystyle \lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)}$, entonces $\ln L = \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x)$, lo cual puede transformar el problema en una indeterminación $0 \cdot \infty$ o $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ [12](#page=12). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$. > Se trata de una indeterminación $\infty^0$. Sea $L = \displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$. Tomando logaritmos naturales: > $$ \ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln x = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} $$ > Esta es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0 $$ > Por lo tanto, $L = e^0 = 1$ [12](#page=12). > **Ojo:** Un error común es olvidar que se ha aplicado el logaritmo y dar 0 como respuesta en lugar de $e^0 = 1$ [13](#page=13). Para la indeterminación $1^\infty$, aunque el uso de logaritmos es válido, también se puede emplear la siguiente proposición: **Proposición 3.1:** Si $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \infty$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = e$ [13](#page=13). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$. > Se puede reescribir como: > $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x/2}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{x/2}\right)^{x/2} \right]^2 $$ > Aplicando la proposición con $f(x) = x/2$, que tiende a $\infty$ cuando $x \to \infty$: > $$ \left[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x/2}\right)^{x/2} \right]^2 = e^2 $$ [13](#page=13). ### 3.3 Límites de sucesiones y la Regla de L'Hôpital Existe una relación importante entre los límites de funciones y los límites de sucesiones. Si el límite de una función $f(x)$ cuando $x$ tiende a infinito es $l$, entonces el límite de la sucesión $f(n)$ cuando $n$ tiende a infinito también es $l$. **Proposición 3.2:** Si $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = l \in \mathbb{R}$, entonces $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(n) = l$ [13](#page=13). > **Ejemplo:** Calcular $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$. > Primero, consideramos la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ y calculamos su límite cuando $x \to \infty$: > $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} $$ > Esta es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicando L'Hôpital: > $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0 $$ > Por la Proposición 3.2, podemos concluir que: > $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0 $$ [13](#page=13). --- # Métodos de aproximación de soluciones de ecuaciones Este tema presenta los métodos de Newton y de punto fijo como herramientas fundamentales para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones de la forma $f(x) = 0$ y $x = g(x)$ respectivamente, analizando sus iteraciones, criterios de convergencia y error [14](#page=14). ### 4.1 Método de Newton El método de Newton, también conocido como método de Newton-Raphson o Newton-Fourier, es una técnica iterativa para encontrar aproximaciones de las raíces o ceros de una función derivable $f(x)$. Se basa en la idea de aproximar la función $f(x)$ localmente por su recta tangente y utilizar el punto de intersección de esta recta con el eje x como la siguiente aproximación de la raíz [14](#page=14) [15](#page=15). #### 4.1.1 Descripción del método Se comienza con una aproximación inicial $x_0$. La siguiente aproximación, $x_1$, se obtiene calculando la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x_0, f(x_0))$ y encontrando dónde esta recta corta al eje x. La ecuación general de la recta tangente es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. Al hacer $y=0$ para encontrar la intersección con el eje x, obtenemos [15](#page=15): $-f(x_0) = f'(x_0)(x_1 - x_0)$ Despejando $x_1$ y asumiendo que $f'(x_0) \neq 0$: $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ Este proceso se repite iterativamente, generando una sucesión de aproximaciones $x_n$ dada por la fórmula de recurrencia: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ [16](#page=16). Esta sucesión de valores $x_n$ converge, bajo ciertas condiciones, a una solución de la ecuación $f(x) = 0$ [17](#page=17). #### 4.1.2 Convergencia y ventajas El método de Newton es conocido por su rapidez de convergencia cuando esta se produce. Una ventaja significativa sobre el método de bisección es que no requiere el conocimiento previo de un intervalo que contenga la solución [14](#page=14). #### 4.1.3 Criterios de parada Para determinar cuándo finalizar el proceso iterativo, se utilizan criterios de parada. Un criterio común es el error relativo aproximado ($E_r$) y el error absoluto aproximado ($E_a$) [17](#page=17): $E_r = \left| \frac{x_n - x_{n-1}}{x_n} \right|$ $E_a = |x_n - x_{n-1}|$ Se suelen tomar valores absolutos para ignorar si el error es por defecto o por exceso. La división entre $|x_n|$ en el error relativo considera la magnitud de la aproximación actual [17](#page=17). Otro criterio de parada es establecer un número máximo de iteraciones previamente definido. Esto es particularmente útil para la implementación computacional del método, previniendo bucles infinitos en casos de no convergencia [18](#page=18). #### 4.1.4 Consideraciones y limitaciones El método de Newton no es infalible. Puede no converger si $f'(x_n) = 0$ en algún punto de la iteración, lo que impediría el cálculo de la siguiente aproximación. También existen casos donde la sucesión de iterantes puede no converger a una raíz. Aunque rigurosamente el criterio de parada debería usar el error relativo exacto (con la solución real), en la práctica se utiliza la aproximación $x_n$ [16](#page=16) [17](#page=17) [18](#page=18). > **Tip:** Si el problema requiere resolver $f(x)=0$, es posible transformarlo a la forma $x=g(x)$ para usar el método de punto fijo. Una transformación sencilla es $g(x) = f(x) + x$ [21](#page=21). #### 4.1.5 Ejemplo ilustrativo **Ejemplo 2.15:** Aproximar una solución de $x^4 - 5 = 0$ comenzando con $x_0 = 2$ [15](#page=15). La función es $f(x) = x^4 - 5$ y su derivada es $f'(x) = 4x^3$ [16](#page=16). La fórmula iterativa es $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 - 5}{4x_n^3}$. Con $x_0 = 2$: $x_1 = 2 - \frac{2^4 - 5}{4 ^3} = 2 - \frac{11}{32} = \frac{53}{32} \approx 1.6563$ [16](#page=16) [2](#page=2). Continuando el proceso: $x_2 \approx 1.5173$ $x_3 \approx 1.4958$ La sucesión converge a la raíz positiva de la ecuación [16](#page=16) [17](#page=17). ### 4.2 Método de punto fijo El método de punto fijo es una técnica iterativa utilizada para encontrar aproximaciones a los puntos fijos de una función $g(x)$. Un punto fijo $a$ de una función $g$ es aquel valor tal que $g(a) = a$. Geométricamente, los puntos fijos son las intersecciones de la gráfica de $g(x)$ con la recta $y=x$. El método de punto fijo resuelve ecuaciones de la forma $x = g(x)$ [18](#page=18). #### 4.2.1 Descripción del método Se parte de una aproximación inicial $x_0$. Las iteraciones subsiguientes se generan mediante la fórmula: $$x_{n+1} = g(x_n)$$ [18](#page=18). Si la sucesión de iterantes $\{x_n\}$ converge a un límite $a$, entonces este límite es un punto fijo de $g$, es decir, $a = g(a)$ [19](#page=19). #### 4.2.2 Criterios de convergencia La convergencia del método de punto fijo no está garantizada para cualquier función $g$ o cualquier $x_0$. El Teorema 2.2 proporciona condiciones suficientes para la convergencia [19](#page=19): **Teorema 2.2:** Si $g$ es una función tal que $g: [a, b \to [a, b]$ y existe una constante $k \in [0, 1)$ tal que $|g'(x)| \leq k$ para todo $x \in (a, b)$, entonces: 1. $g$ tiene un único punto fijo en $[a, b]$. 2. Para cualquier condición inicial $x_0 \in [a, b]$, la sucesión generada por $x_{n+1} = g(x_n)$ converge al único punto fijo de $g$ en $[a, b]$ [19](#page=19). > **Tip:** Para aplicar el Teorema 2.2, es crucial verificar dos condiciones: que la función $g$ mapee el intervalo $[a, b]$ sobre sí mismo ($g([a, b]) \subseteq [a, b]$) y que la norma de su derivada en el interior del intervalo sea estrictamente menor que 1. #### 4.2.3 Estimación del error Bajo las condiciones del Teorema 2.2, es posible acotar el error absoluto cometido al aproximar el punto fijo. El Teorema 2.3 establece: **Teorema 2.3:** Bajo las condiciones del Teorema 2.2, se verifica que $|x_n - \tilde{x}| \leq \frac{k^n}{1-k}(b-a)$, donde $\tilde{x}$ es el único punto fijo de $g$ en $[a, b]$ [19](#page=19). Este teorema permite determinar el número de iteraciones $n$ necesarias para garantizar que el error absoluto sea menor que una tolerancia $\epsilon$ dada, resolviendo la inecuación: $\frac{k^n}{1-k}(b-a) < \epsilon$ #### 4.2.4 Ejemplo ilustrativo **Ejemplo 2.17:** Aproximar una solución de la ecuación $2 \cos x = x$ [20](#page=20). Esta ecuación se puede reescribir como $x = \frac{1}{2} \cos x$. Por lo tanto, $g(x) = \frac{1}{2} \cos x$. a) **Convergencia en $ $:** [2](#page=2). Se verifica que $g: \to $ ya que para $x \in $, $\cos x \in [\cos 2, 1 \approx [-0.416, 1]$, y $\frac{1}{2} \cos x \in [-0.208, 0.5 \subset $ [20](#page=20) [2](#page=2). La derivada es $g'(x) = -\frac{1}{2} \sin x$. Para $x \in (0, 2)$, $|\sin x| \leq 1$, por lo que $|g'(x)| = \frac{1}{2}|\sin x| \leq \frac{1}{2}$. Como $k = \frac{1}{2} < 1$, el Teorema 2.2 garantiza la convergencia del método de punto fijo para cualquier $x_0 \in $ [20](#page=20) [2](#page=2). b) **Aproximación con cuatro iteraciones y $x_0 = 1$**: $x_1 = g = \frac{1}{2} \cos \approx 0.2701$ [1](#page=1). $x_2 = g(0.2701) \approx \frac{1}{2} \cos(0.2701) \approx 0.4819$ $x_3 = g(0.4819) \approx \frac{1}{2} \cos(0.4819) \approx 0.4430$ $x_4 = g(0.4430) \approx \frac{1}{2} \cos(0.4430) \approx 0.4517$ [21](#page=21). c) **Estimación del error absoluto cometido**: Utilizando el Teorema 2.3 con $a=0$, $b=2$, $k=1/2$: $|x_4 - \tilde{x}| \leq \frac{(1/2)^4}{1 - 1/2}(2 - 0) = \frac{1/16}{1/2} = \frac{1}{8} = 0.25$ [21](#page=21) [2](#page=2). d) **Número de iteraciones para un error absoluto menor que $0.01$**: Se busca el menor $n$ tal que $\frac{(1/2)^n}{1 - 1/2}(2 - 0) < 0.01$. $\frac{(1/2)^n}{1/2} < 0.01 \implies (1/2)^{n-1} < 0.01 \implies (1/2)^{n-1} < 0.005$ [2](#page=2). Tomando logaritmos: $(n-1) \ln(1/2) < \ln(0.005) \implies -(n-1) \ln < \ln(0.005)$ [2](#page=2). $n-1 > -\frac{\ln(0.005)}{\ln } \approx 7.2877$ [2](#page=2). $n-1 > 7.2877 \implies n > 8.2877$. Por lo tanto, se necesitan como mínimo nueve iteraciones [21](#page=21). #### 4.2.5 Transformación de $f(x)=0$ a $x=g(x)$ El método de punto fijo puede ser utilizado para aproximar raíces de $f(x)=0$ si esta ecuación se transforma a la forma equivalente $x=g(x)$. Esta transformación no es única; por ejemplo, sumar $x$ a ambos lados de $f(x)=0$ produce $f(x)+x=x$, donde $g(x) = f(x)+x$. La elección de la transformación $g(x)$ es crucial para asegurar la convergencia del método [21](#page=21). --- # Teoremas de Rolle, del Valor Medio y funciones monótonas Aquí tienes un resumen detallado sobre los Teoremas de Rolle, del Valor Medio y funciones monótonas, diseñado para ser un material de estudio completo y listo para exámenes. ## 5. Teoremas de Rolle, del valor medio y funciones monótonas Este tema presenta teoremas fundamentales que relacionan la continuidad, derivabilidad y el comportamiento de una función, estableciendo la existencia de puntos con derivada nula o una tasa de cambio específica, y proporcionando criterios para determinar la monotonía de una función. ### 5.1 Teorema de Rolle El Teorema de Rolle es un resultado crucial que establece condiciones suficientes para la existencia de un punto donde la derivada de una función se anula [23](#page=23). **Enunciado formal:** Sea $f : [a, b \to \mathbb{R}$ una función que cumple las siguientes hipótesis: 1. $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ [23](#page=23). 2. $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$ [23](#page=23). 3. $f(a) = f(b)$ [23](#page=23). **Tesis:** Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$ [23](#page=23). **Interpretación geométrica:** Si una función es continua en un intervalo cerrado, derivable en su interior y toma el mismo valor en los extremos, entonces debe existir al menos un punto intermedio donde la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal (paralela al eje $x$) [25](#page=25). **Ejemplos:** * La función $f(x) = x^2$ en el intervalo $[-1, 1]$ cumple las hipótesis: es continua y derivable en $\mathbb{R}$, y $f(-1) = (-1)^2 = 1$ y $f = 1^2 = 1$, por lo tanto $f(-1) = f $. Su derivada es $f'(x) = 2x$, que se anula en $c=0 \in (-1, 1)$ [1](#page=1) [23](#page=23). * La función $f(x) = \sin(x)$ en cualquier intervalo de la forma $[a, a + 2n\pi]$, con $n \in \mathbb{N}$, satisface las condiciones, ya que $\sin(a) = \sin(a + 2n\pi)$ y es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ [23](#page=23). **Contraejemplos (importancia de las hipótesis):** * Si la hipótesis $f(a) = f(b)$ falla, el teorema no se cumple necesariamente. Por ejemplo, $f(x) = x+1$ en $ $. Es continua y derivable, pero $f = 1$ y $f = 2$. Su derivada es $f'(x) = 1$, que nunca se anula en $(0,1)$ [1](#page=1) [23](#page=23). * Si la función no es derivable en todo el intervalo abierto, el teorema puede no cumplirse. Por ejemplo, $f(x) = |x|$ en $[-1,1]$. Es continua y $f(-1)=f =1$, pero no es derivable en $x=0$. Su derivada es $f'(x) = 1$ para $x>0$ y $f'(x) = -1$ para $x<0$, y no se anula en $(0,1)$ [1](#page=1) [23](#page=23). * Si la función no es continua en algún punto del intervalo, el teorema no se aplica. Por ejemplo, $f(x) = \begin{cases} x & x > 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ en $ $. Es derivable en $(0,1)$ y $f =1, f =1$, pero no es continua en $0$. Su derivada $f'(x)=1$ no se anula en $(0,1)$ [1](#page=1) [23](#page=23). **Advertencia importante:** Es posible que una función no cumpla todas las hipótesis del Teorema de Rolle, pero su derivada se anule en algún punto del intervalo. Por ejemplo, $f(x) = x^3$ en $[-1,1]$ es continua y derivable, pero $f(-1)=-1 \neq f =1$. Sin embargo, $f'(x) = 3x^2$ se anula en $c=0 \in (-1,1)$ [1](#page=1) [24](#page=24). ### 5.2 Teorema del valor medio El Teorema del Valor Medio es una generalización del Teorema de Rolle y establece que, bajo ciertas condiciones, la tasa de cambio promedio de una función en un intervalo es igual a su tasa de cambio instantánea en algún punto dentro de ese intervalo [24](#page=24). **Enunciado formal:** Si $f : [a, b \to \mathbb{R}$ es una función que cumple las siguientes hipótesis: 1. $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ [24](#page=24). 2. $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$ [24](#page=24). **Tesis:** Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ **Demostración:** La demostración se basa en la aplicación del Teorema de Rolle a una función auxiliar $h(x)$ definida como: $$h(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$$ Se verifica que $h(x)$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$. Además, se comprueba que $h(a) = 0$ y $h(b) = 0$. Al cumplirse las hipótesis del Teorema de Rolle para $h(x)$, existe un $c \in (a, b)$ tal que $h'(c) = 0$. Al derivar $h(x)$, se obtiene $h'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Igualando $h'(c)$ a cero, se llega a la tesis del teorema [24](#page=24) [25](#page=25). **Interpretación geométrica:** El término $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ representa la pendiente de la recta secante que une los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ en la gráfica de la función $f$. El Teorema del Valor Medio afirma que existe al menos un punto $c$ en el intervalo $(a, b)$ donde la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ (es decir, $f'(c)$) es igual a la pendiente de esa recta secante [25](#page=25). > **Tip:** La interpretación geométrica es fundamental para visualizar el significado de este teorema: siempre hay un punto en el que la velocidad instantánea coincide con la velocidad promedio. ### 5.3 Implicaciones del Teorema del Valor Medio El Teorema del Valor Medio tiene varias consecuencias importantes, incluyendo la caracterización de las funciones constantes y el establecimiento de criterios para la monotonía. #### 5.3.1 Caracterización de las funciones constantes Una consecuencia directa del Teorema del Valor Medio es la siguiente caracterización: **Teorema 2.4 (Caracterización de las funciones constantes):** Una función $f$ es constante en un intervalo $(a, b)$ si y solo si $f'(x) = 0$ para todo $x \in (a, b)$ [25](#page=25). **Explicación:** Si $f$ es constante, su derivada es cero. Recíprocamente, si $f'(x) = 0$ en todo $(a, b)$, tomemos dos puntos cualesquiera $x_1, x_2 \in (a, b)$ con $x_1 < x_2$. Al aplicar el Teorema del Valor Medio en $[x_1, x_2]$, existe un $c \in (x_1, x_2)$ tal que $f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. Como $f'(c)=0$, se tiene que $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = 0$, lo que implica $f(x_2) - f(x_1) = 0$, es decir, $f(x_1) = f(x_2)$. Como esto se cumple para cualquier par de puntos, la función es constante en $(a, b)$ [25](#page=25). **Relación entre funciones con la misma derivada:** Si dos funciones $f$ y $g$ tienen la misma derivada en un intervalo $(a, b)$, es decir, $f'(x) = g'(x)$ para todo $x \in (a, b)$, entonces la función $h(x) = f(x) - g(x)$ tiene derivada $h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$. Por el Teorema 2.4, $h(x)$ debe ser una función constante en $(a, b)$. Esto significa que $f(x) - g(x) = k$ para alguna constante $k$, o equivalentemente, $f(x) = g(x) + k$ [25](#page=25). ### 5.4 Funciones monótonas Las condiciones de monotonía de una función están intrínsecamente ligadas al signo de su derivada. **Definición 2.5 (Monotonía):** * Una función $f$ es **creciente** en un intervalo $I$ si para todo $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple $f(a) \leq f(b)$ [26](#page=26). * Una función $f$ es **decreciente** en un intervalo $I$ si para todo $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple $f(b) \leq f(a)$ [26](#page=26). * Una función $f$ es **estrictamente creciente** en $I$ si para todo $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple $f(a) < f(b)$ [26](#page=26). * Una función $f$ es **estrictamente decreciente** en $I$ si para todo $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple $f(b) < f(a)$ [26](#page=26). * Una función $f$ es **monótona** en $I$ si es creciente o decreciente en $I$ [26](#page=26). **Proposición 2.4 (Condiciones de monotonía basadas en la derivada):** Sea $I$ un intervalo. * Si $f'(x) > 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es **estrictamente creciente** en $I$ [26](#page=26). * Si $f'(x) < 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es **estrictamente decreciente** en $I$ [26](#page=26). * Si $f'(x) \geq 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es **creciente** en $I$ [26](#page=26). * Si $f'(x) \leq 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es **decreciente** en $I$ [26](#page=26). **Demostración (para $f'(x)>0$):** Para cualesquiera $a, b \in I$ con $a < b$, el Teorema del Valor Medio garantiza la existencia de un $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ [26](#page=26). Si $f'(x) > 0$ en $I$, entonces $f'(c) > 0$. Dado que $b - a > 0$, tenemos que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0$, lo que implica $f(a) < f(b)$. Por lo tanto, $f$ es estrictamente creciente en $I$ [26](#page=26). > **Tip:** Las condiciones de la Proposición 2.4 son **suficientes** para la monotonía. Una función puede ser monótona sin ser continua o derivable en todo el intervalo, como se ve en el Ejemplo 2.21 [27](#page=27). **Ejemplos:** * La función $f(x) = x^3$. Su derivada es $f'(x) = 3x^2$. Para $x \neq 0$, $f'(x) > 0$, por lo que $f$ es estrictamente creciente en $(-\infty, 0)$ y en $(0, \infty)$. Aunque $f' =0$, la función es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ porque para $x>0$, $f(x)=x^3>0=f $, y para $x<0$, $f(x)=x^3<0=f $. Este ejemplo demuestra que el recíproco de la Proposición 2.4 no es siempre cierto, incluso para funciones con derivada continua [27](#page=27). * Estudio de monotonía de $f(x) = x e^{(1-x)}$ [28](#page=28). La derivada es $f'(x) = e^{(1-x)} + x e^{(1-x)}(-1) = e^{(1-x)}(1-x)$ [28](#page=28). La exponencial $e^{(1-x)}$ es siempre positiva. Por lo tanto, el signo de $f'(x)$ depende del signo de $(1-x)$. * Si $1-x > 0 \implies x < 1$, entonces $f'(x) > 0$ y $f$ es estrictamente creciente en $(-\infty, 1)$ [28](#page=28). * Si $1-x < 0 \implies x > 1$, entonces $f'(x) < 0$ y $f$ es estrictamente decreciente en $(1, \infty)$ [28](#page=28). > **Advertencia:** El recíproco de la Proposición 2.4 no es generalmente cierto. Es decir, que una función sea creciente (o decreciente) en un intervalo $I$ no implica necesariamente que $f'(x) > 0$ (o $f'(x) < 0$) en todo $I$. Podría haber puntos donde la derivada sea cero, como en el caso de $f(x)=x^3$. Sin embargo, si una función es creciente en $I$, sí se cumple que $f'(x) \geq 0$ para todo $x \in I$, asumiendo que $f$ es derivable en $I$ [27](#page=27) [29](#page=29). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Term | Definition | |------|------------| | Derivada en un punto | El valor límite de la razón de incremento de la función y el incremento de la variable independiente cuando este último tiende a cero. Representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. | | Función derivable | Una función que posee derivada en todos los puntos de su dominio o en un subconjunto específico de este, lo que implica que su gráfica es continua y no presenta aristas. | | Recta tangente | La recta que toca a una curva en un punto dado, compartiendo la misma dirección que la curva en ese punto. Su pendiente es igual a la derivada de la función en ese punto. | | Continuidad | Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe, es igual al valor de la función en ese punto, y está definida en ese punto. | | Derivadas laterales | Las derivadas calculadas considerando los límites por la derecha y por la izquierda. Si ambas existen y son iguales, la derivada en el punto existe. | | Regla de la cadena | Un teorema que permite calcular la derivada de una función compuesta. Establece que la derivada de una composición de funciones es el producto de las derivadas de las funciones externas e internas evaluadas apropiadamente. | | Regla de L'Hôpital | Un método para calcular límites de cocientes de funciones que resultan en indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Consiste en calcular el límite del cociente de las derivadas de las funciones. | | Método de Newton | Un algoritmo iterativo para encontrar aproximaciones de las raíces de una función, utilizando la tangente a la gráfica de la función en cada iteración. La fórmula de iteración es $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$. | | Punto fijo | Un valor $x$ en el dominio de una función $g$ tal que $g(x) = x$. Gráficamente, son las intersecciones de la gráfica de la función con la recta $y=x$. | | Método de punto fijo | Un método iterativo para aproximar puntos fijos de una función. La sucesión se genera mediante la fórmula $x_{n+1} = g(x_n)$, donde se espera que la sucesión converja al punto fijo. | | Teorema de Rolle | Establece que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b), y toma el mismo valor en los extremos ($f(a)=f(b)$), entonces existe al menos un punto $c$ en (a, b) tal que $f'(c) = 0$. | | Teorema del valor medio | Generaliza el Teorema de Rolle. Si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al menos un punto $c$ en (a, b) tal que $f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)$. | | Función monótona | Una función que es consistentemente creciente o decreciente en un intervalo dado. Si su derivada es positiva o negativa en un intervalo, la función es estrictamente monótona en ese intervalo. | | Derivada | El resultado de aplicar el proceso de diferenciación a una función, que representa la tasa de cambio instantánea de la función. | | Continuidad en un punto | Una función $f$ es continua en un punto $a$ si el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ existe, es igual a $f(a)$, y $f(a)$ está definido. | | Cociente incremental | La expresión $(f(x) - f(a))/(x - a)$, que representa la pendiente de la recta secante que une dos puntos de la gráfica de una función. | | Función escalón unitario (Heaviside) | Una función definida como 1 para valores positivos de la variable y 0 para valores no positivos. Es discontinua en 0. | | Regla de suma para derivadas | La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas: $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$. | | Regla del producto para derivadas | La derivada del producto de dos funciones es $(f \cdot g)'(a) = f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)$. | | Regla del cociente para derivadas | La derivada del cociente de dos funciones es $(f/g)'(a) = (f'(a) \cdot g(a) - f(a) \cdot g'(a)) / [g(a)]^2$, siempre que $g(a) \neq 0$. | | Indeterminación | Una forma que resulta al evaluar un límite, como $0/0$ o $\infty/\infty$, que no permite determinar el valor del límite directamente y requiere métodos adicionales como la Regla de L'Hôpital. | | Error absoluto | La diferencia entre el valor verdadero de una cantidad y su valor aproximado, tomada en valor absoluto $|x_n - \tilde{x}|$. | | Error relativo | El error absoluto dividido por el valor verdadero, tomado en valor absoluto $|x_n - \tilde{x}| / |\tilde{x}|$. | | Función creciente | Una función $f$ es creciente en un intervalo $I$ si para cualquier par de puntos $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple que $f(a) \leq f(b)$. | | Función estrictamente creciente | Una función $f$ es estrictamente creciente en un intervalo $I$ si para cualquier par de puntos $a, b \in I$ con $a < b$, se cumple que $f(a) < f(b)$. |