Slides10_Oligopolie - F000081A - Micro-economie.pdf

# Inleiding tot oligopolie en duopolie modellen **1 Inleiding tot oligopolie en duopolie modellen** Dit deel introduceert de basisconcepten van oligopolie en duopolie, inclusief de definities, de strategische variabelen (prijs of hoeveelheid) en de redenen om deze markten te modelleren, zoals het begrijpen van marktmacht en welvaartsverlies [1](#page=1) [2](#page=2). **1.1 Definitie en kenmerken van oligopolie** Een oligopolie wordt gekenmerkt door een beperkt aantal aanbieders en vele vragers. In tegenstelling tot polypolie waar veel aanbieders zijn, en monopolie waar er slechts één is, leidt de aanwezigheid van slechts enkele aanbieders (in het geval van een duopolie zelfs twee) tot strategische interactie. Veranderingen in de markt worden verdeeld over een klein aantal producenten, waardoor de acties van één producent direct de opbrengsten van de anderen beïnvloeden. Dit creëert een situatie waarin het gedrag van een bedrijf afhankelijk is van de verwachte acties van zijn concurrenten, wat de analyse met speltheorie noodzakelijk maakt [1](#page=1). **1.2 Het duopolie als basismodel** Het basismodel voor de analyse van oligopolie is vaak een duopolie, bestaande uit twee producenten. Er wordt onderscheid gemaakt tussen twee soorten duopolies [2](#page=2): * **Homogeen duopolie:** Beide producenten leveren exact hetzelfde goed, waardoor ze noodzakelijkerwijs dezelfde prijs hanteren [2](#page=2). * **Heterogeen duopolie:** De goederen verschillen van elkaar, wat producenten de mogelijkheid geeft om verschillende prijzen te hanteren [2](#page=2). In deze modellen is de strategische variabele ofwel de prijs (Bertrand-concurrentie) ofwel de hoeveelheid (Cournot-concurrentie). De strategieën zijn continu, wat een verschil is met modellen met een eindige set van opties. Ondanks de continue aard van de strategieën, bestaat er doorgaans een uniek Nash-evenwicht in zuivere strategieën, dat optreedt waar de beste responsen van de bedrijven samenvallen [2](#page=2). **1.3 Waarom oligopolies modelleren?** Het modelleren van oligopolistische markten is cruciaal om marktmacht te begrijpen en te kwantificeren. In een perfect competitieve markt is de prijs gelijk aan de marginale kosten ($p=MK$), wat leidt tot maximaal economisch surplus. In oligopolies is de prijs echter vaak hoger dan de marginale kosten ($p>MK$) als gevolg van marktmacht, wat resulteert in welvaartsverlies [2](#page=2). Het aantal producenten alleen is echter niet altijd bepalend voor de mate van competitiviteit. Voorbeelden zoals elektriciteitsmarkten die, ondanks weinig aanbieders, competitief kunnen zijn, en het duopolie van Boeing en Airbus dat 99% van de markt voor grote vliegtuigen domineert maar toch beperkte winsten kent, illustreren dit. Het analyseren van deze markten vereist geavanceerdere modellen dan simpelweg het tellen van het aantal concurrenten [2](#page=2). **1.4 Van 'toy models' naar realisme** De studie van oligopolies begint met eenvoudige, simultane, eenmalige Cournot- en Bertrandspelen. Vanuit deze basis wordt realisme stapsgewijs toegevoegd door verschillende elementen te variëren [3](#page=3): * Simultaan versus sequentieel beslissen [3](#page=3). * Eenmalige spellen versus herhaalde of oneindige spellen [3](#page=3). * Twee producenten versus een algemeen aantal van $n$ producenten [3](#page=3). * Gelijke marginale kosten versus kostenverschillen tussen bedrijven [3](#page=3). * Homogene producten versus productdifferentiatie [3](#page=3). * Uniforme vraag versus vraagverschillen [3](#page=3). * Exogeen versus endogeen aantal ondernemingen [3](#page=3). Verdergaande verfijningen kunnen elementen omvatten zoals verticale integratie, dynamische strategieën, contracten, multiproductbedrijven, regionale markten en netwerkeffecten [3](#page=3). **1.5 De empirische uitdaging bij het modelleren van oligopolies** De centrale empirische uitdaging is het bepalen welk oligopoliemodel het geobserveerde markgedrag het best verklaart. Een goed model maakt het mogelijk om welvaartsverlies door marktmacht te schatten en te voorspellen hoe beleidsmaatregelen de marktuitkomsten zullen veranderen. Typische beleidsvragen die hiermee worden aangepakt, zijn onder meer de wenselijkheid van verticale integratie, de impact van fusies op kosten en concurrentie, de opzet van prijsregulering, de invloed van productdifferentiatie op concurrentie, en het effect van buitenlandse concurrentie of import [3](#page=3). Een aanzienlijke moeilijkheid in dit verband is dat prijzen observeerbaar zijn, maar marginale kosten niet. Dit heeft geleid tot een uitgebreide literatuur binnen de Industriële Organisatie (IO) die zich richt op het schatten van marginale kosten [3](#page=3). **1.6 Overzicht van de te behandelen modellen** Het materiaal zal een gestructureerd overzicht bieden van verschillende oligopoliemodellen, beginnend met duopolie-evenwichten in simultane spellen (Bertrand en Cournot competitie). Vervolgens wordt gekeken naar Cournot competitie met een oneindige horizon en sequentiële spellen (Bertrand en Cournot). Daarna volgt de analyse van simultane spellen met $n$ producenten gevolgd door vergelijkingen tussen de verschillende homogene duopoliemodellen. De analyse wordt verder uitgebreid met duopolie met kostenverschillen (Bertrand en Cournot) en duopolie met productdifferentiatie. Het overzicht omvat ook modellen van Cournot- en Bertrandcompetitie, evenals hun combinaties, in verschillende contexten, waaronder productdifferentiatie en vraagverschillen. Tot slot worden endogene productdifferentiatie en een endogeen aantal ondernemingen behandeld, inclusief een vergelijking van Cournot en Bertrand competitie. Het geheel wordt afgesloten met een sectie over het meten van marktmacht en marktconcentratie [4](#page=4) . --- # Simultane en Sequentiële Spelen in Oligopolies Hier is een gedetailleerde samenvatting over simultane en sequentiële spelen in oligopolies, bedoeld als een studiehandleiding. ## 2. Simultane en sequentiële spelen in oligopolies Dit hoofdstuk onderzoekt hoe bedrijven in een oligopolistische markt strategische beslissingen nemen, zowel tegelijkertijd als na elkaar, waarbij verschillende competitieve modellen en hun implicaties worden geanalyseerd. ### 2.1 Simultane spelen in oligopolies In simultane spelen nemen bedrijven hun beslissingen onafhankelijk van elkaar, zonder kennis van de keuzes van hun concurrenten. De belangrijkste modellen die hierbij worden besproken zijn Bertrand- en Cournot-competitie. #### 2.1.1 Bertrand competitie Het Bertrand-model analyseert competitie op basis van prijs in een duopolie. **Aannames:** * Twee bedrijven produceren een homogeen goed met constante marginale kosten ($c$) [5](#page=5). * De strategische variabele is de prijs ($p$) [5](#page=5). * Bedrijven zijn bereid elke hoeveelheid te leveren tegen de gekozen prijs [5](#page=5). * De marktvraag ($x(p)$) is een dalende functie van de prijs, met $x(p) = a - bp$ en $a > c$ [5](#page=5). * Goederen zijn perfecte substituten, waardoor consumenten exclusief kopen bij de laagste prijsaanbieder [5](#page=5). * Bij gelijke prijzen delen bedrijven de vraag gelijkelijk [5](#page=5). **Winstfuncties:** De winst van producent 1 ($T_1$) wordt gegeven door: $$ T_1(p_1, p_2) = \begin{cases} (p_1 - c) \cdot x(p_1) & \text{als } p_1 < p_2 \\ (p_1 - c) \cdot x(p_1)/2 & \text{als } p_1 = p_2 \\ 0 & \text{als } p_1 > p_2 \end{cases} $$ waarbij $p_1$ en $p_2$ de prijzen zijn van respectievelijk producent 1 en 2 [5](#page=5). **Beste Respons Functies (BR):** De winstfunctie is niet continu of afleidbaar, wat standaard calculus-methoden bemoeilijkt. Echter, door te redeneren kunnen de beste responsfuncties worden afgeleid [6](#page=6). De beste respons van producent 1 op de prijs van producent 2 ($p_2$) is: $$ BR_1(p_2) : p_1 = \begin{cases} p & \text{als } p_2 > p \\ p_2 - \epsilon & \text{als } p \ge p_2 > c \\ [c, \infty) & \text{als } p_2 = c \\ [p_2, \infty) & \text{als } p_2 < c \end{cases} $$ waarbij $p$ de winstmaximaliserende prijs voor een monopolist is en $\epsilon$ een oneindig klein positief getal [7](#page=7). **Grafische voorstelling van Beste Respons:** De beste responsen worden weergegeven in een $p_2 \times p_1$ vlak. * De 45-graden lijn vertegenwoordigt $p_1 = p_2$. * Voor $p_2 < c$ zal $p_1 > p_2$. * Voor $p_2 = c$ zal $p_1 \ge p_2$. * Voor $p_2 > c$: * Als $p_2 \le p$, dan $p_1 = p_2 - \epsilon$. * Als $p_2 > p$, dan $p_1 = p$ [7](#page=7). **Nash Evenwicht (NE):** Het Nash evenwicht wordt bereikt waar de beste responsfuncties van beide producenten samenvallen. In het Bertrand-model is er slechts één Nash evenwicht [8](#page=8): $p_1^* = p_2^* = c$ [9](#page=9). **Gevolgen van het Bertrand Evenwicht:** * Beide producenten vragen een prijs gelijk aan hun marginale kost [9](#page=9). * De winst voor beide bedrijven is nul [9](#page=9). * De totale afzet is $x(c)$ [9](#page=9). * Dit resultaat is vergelijkbaar met volkomen concurrentie [9](#page=9). Als de vraagfunctie $x(p) = a - bp$ is, dan is de evenwichtshoeveelheid voor elke producent: $y_i^* = \frac{a-c}{2b}$ [9](#page=9). #### 2.1.2 Cournot competitie Het Cournot-model analyseert competitie op basis van hoeveelheid in een duopolie. **Aannames:** * Twee bedrijven produceren een homogeen goed met constante marginale kosten ($c$) [10](#page=10). * De strategische variabelen zijn de hoeveelheden, $y_1$ en $y_2$ [10](#page=10). * De inverse marktvraag is een lineaire functie: $p = a - b(y_1 + y_2)$, met $b > 0$ en $a > c$ [10](#page=10). **Winstfuncties:** De winst van producent 1 ($T_1$) is: $$ T_1(y_1, y_2) = y_1 [a - b(y_1 + y_2) - c = -b(y_1)^2 + [a - c - by_2 y_1 $$ De winstfunctie van producent 2 ($T_2$) is symmetrisch [10](#page=10). **Beste Respons Functies (BR):** De winstfuncties zijn continue en afleidbaar, wat standaard calculus-methoden toelaat. Om de beste respons van producent 1 te vinden, maximaliseren we $T_1$ met betrekking tot $y_1$, gegeven $y_2$. De eerste-orde voorwaarde is: $$ \frac{\partial T_1(y_1, y_2)}{\partial y_1} = -2by_1 + [a - c - by_2 = 0 $$ Dit leidt tot de beste responsfunctie van producent 1: $$ BR_1(y_2) : y_1 = \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2}y_2 $$ Op dezelfde manier wordt de beste responsfunctie van producent 2 gevonden: $$ BR_2(y_1) : y_2 = \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2}y_1 $$ De hoeveelheden van de producenten zijn strategische substituten, omdat een toename in de output van de ene producent leidt tot een afname in de optimale output van de andere [12](#page=12) [13](#page=13). **Nash Evenwicht (NE):** Het Nash evenwicht wordt gevonden door de beste responsfuncties aan elkaar gelijk te stellen. Door $BR_2(y_1)$ te herschrijven als $y_1 = \frac{a-c}{b} - 2y_2$ en te gelijk te stellen aan $BR_1(y_2)$, vinden we de evenwichtshoeveelheden: $$ y_1^* = y_2^* = \frac{a - c}{3b} $$ [14](#page=14). **Gevolgen van het Cournot Evenwicht:** * De totale marktafzet is $Y^* = y_1^* + y_2^* = \frac{2(a-c)}{3b}$ [15](#page=15). * De evenwichtsprijs is $p^* = a - bY^* = a - b\frac{2(a-c)}{3b} = \frac{a+2c}{3}$ [15](#page=15). * De prijs $p^*$ is hoger dan de marginale kost ($c$), wat betekent dat de bedrijven winst maken [15](#page=15). * De winst voor elke producent is $T_i^* = (p^* - c)y_i^* = \frac{(a-c)^2}{9b}$ [15](#page=15). **Procedure voor het berekenen van het evenwicht:** 1. Stel de winstfuncties op ($T_i(s_1, s_2)$) gebaseerd op de strategische variabelen ($s_i = p_i$ of $s_i = y_i$) en de vraagcurve [16](#page=16). 2. Bereken de beste responsfuncties ($BR_i(s_j)$) door de winstfuncties naar de eigen strategische variabele af te leiden en gelijk te stellen aan nul [16](#page=16). 3. Vind het Nash evenwicht ($s_i^*$) door de (geïnverteerde) beste responsfuncties aan elkaar gelijk te stellen [16](#page=16). 4. Bereken de overige evenwichtswaarden (bv. prijs, hoeveelheid) door de gevonden strategische variabelen in de vraagfunctie te substitueren [16](#page=16). 5. Bereken de winst door alle evenwichtswaarden in de winstfunctie te substitueren [16](#page=16). **Iso-winstcurven:** Iso-winstcurven geven combinaties van outputs weer die een gelijk winstniveau opleveren voor een producent. Het Nash evenwicht ligt op het snijpunt van de beste responsen, wat overeenkomt met een situatie waar de iso-winstcurven van beide producenten elkaar raken aan de contractcurve, wat duidt op Pareto-efficiëntie binnen het duopolie [16](#page=16) [18](#page=18) [19](#page=19). #### 2.1.3 Cournot competitie met een oneindige horizon (Kartelvorming) Wanneer een spel een oneindig aantal keren wordt herhaald, kan samenwerking (kartelvorming) mogelijk worden. **Monopolie-output en winst:** Indien de duopolisten zich als een monopolist gedragen, is de totale output $y_M = \frac{a-c}{2b}$. De monopoliewinst is $T_M = \frac{(a-c)^2}{2b}$. Bij een eerlijke verdeling van output en winst produceert elke producent $y_{M1} = y_{M2} = \frac{a-c}{4b}$ en maakt winst $T_{M1} = T_{M2} = \frac{(a-c)^2}{8b}$ [20](#page=20). **Afwijking van het Kartel:** Als één producent afwijkt van de kartelafspraak en meer produceert, kan deze een hogere winst behalen op korte termijn. De winstmaximaliserende afwijking voor producent 1, gegeven dat producent 2 de kartelhoeveelheid produceert, is $y_{D1} = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}y_{M2} = \frac{3(a-c)}{8b}$. De winst bij afwijking ($T_{D1}$) is groter dan de kartelwinst ($T_{M1}$). Dit vormt het fundamentele probleem voor de stabiliteit van kartels [22](#page=22). **Trigger Strategie:** Een trigger strategie kan samenwerking handhaven. De strategie is als volgt: in elke periode produceren beide bedrijven de karteloutput ($y_{M1}, y_{M2}$). Dit gaat door zolang beide partijen zich aan de afspraak houden. Als een van de partijen afwijkt, zal de andere partij vanaf de volgende periode de Nash-evenwichtsoutput van het Cournot-spel produceren ($y_i^* = \frac{a-c}{3b}$) [23](#page=23). **Stabiliteit van de Trigger Strategie:** De trigger strategie is een Nash evenwicht als de verwachte contante waarde van de winst door samenwerking (kartel) groter is dan of gelijk is aan de verwachte contante waarde van de winst door afwijking en vervolgens het Nash evenwicht te spelen. Met een verdisconteringsfactor $\delta$, is de voorwaarde: $$ \frac{T_{M1}}{1-\delta} \ge T_{D1} + \frac{\delta T_1^*}{1-\delta} $$ waarbij $T_1^*$ de winst in het Cournot Nash-evenwicht is. Deze voorwaarde is voldaan als de verdisconteringsfactor hoog genoeg is (de toekomst is belangrijk). Dit betekent dat het kartel stabiel kan zijn in een oneindig herhaald spel [24](#page=24) [25](#page=25). #### 2.1.4 Cournot competitie met $n$ producenten Wanneer het aantal producenten ($n$) in een Cournot-model toeneemt, bewegen de marktuitkomsten richting die van volkomen concurrentie. **Beste Respons voor $n$ producenten:** De beste respons voor producent $i$ is: $$ BR_i(y_{-i}) : y_i = \frac{a - c - b \sum_{j \ne i} y_j}{2b} $$ [31](#page=31). **Symmetrisch Nash Evenwicht:** In een symmetrisch evenwicht waar $y_i^* = y^*$ voor alle $i$, geldt: $$ y^*(n) = \frac{a - c}{(n+1)b} $$ . Naarmate $n$ toeneemt, daalt de output per producent [31](#page=31). **Totale Hoeveelheid en Prijs:** De totale hoeveelheid op de markt is $X^*(n) = ny^*(n) = \frac{n(a-c)}{(n+1)b}$ [32](#page=32). De evenwichtsprijs is $p^*(n) = a - bX^*(n) = a - \frac{n(a-c)}{n+1} = \frac{a+nc}{n+1}$ [32](#page=32). Naarmate $n$ toeneemt, stijgt de totale hoeveelheid en daalt de prijs. **Winst:** De winst van elke producent is $T^*(n) = [p^*(n) - c]y^*(n) = \frac{(a-c)^2}{(n+1)^2 b}$. De winst per producent neemt af naarmate $n$ toeneemt [33](#page=33). **Limit voor $n \to \infty$:** Als het aantal producenten naar oneindig gaat ($n \to \infty$): * De totale hoeveelheid $X^*(n) \to \frac{a-c}{b}$ [34](#page=34). * De prijs $p^*(n) \to c$ [34](#page=34). * De winst per producent $T^*(n) \to 0$ [34](#page=34). Dit resultaat is identiek aan volkomen concurrentie en het Bertrand-model met constante marginale kosten [34](#page=34). #### 2.1.5 Vergelijking van homogene duopoliemodellen | Marktvorm | Prijs | Hoeveelheid | Producentensurplus (PS) | Consumentensurplus (CS) | Economisch Surplus (ES) | | :----------------- | :------------------------------------ | :------------------------------------- | :----------------------------- | :---------------------- | :---------------------- | | Bertrand | $c$ | $\frac{a-c}{b}$ | $0$ | Hoog | Hoog | | Cournot (2 prod.) | $\frac{a+2c}{3}$ | $\frac{2(a-c)}{3b}$ | $\frac{2(a-c)^2}{9b}$ | Middel | Middel | | Stackelberg | $\frac{a+3c}{4}$ | $\frac{3(a-c)}{4b}$ | $\frac{3(a-c)^2}{16b}$ | Middel | Middel | | Kartel | $\frac{a+c}{2}$ | $\frac{a-c}{2b}$ | $\frac{(a-c)^2}{4b}$ | Laag | Laag | | Cournot ($n$ prod.) | $\frac{a+nc}{n+1}$ | $\frac{n(a-c)}{(n+1)b}$ | $\frac{(a-c)^2}{(n+1)^2 b}$ | Stijgt met $n$ | Stijgt met $n$ | [36](#page=36). * **Welvaartsstandpunt:** Prijsconcurrentie (Bertrand) en volkomen concurrentie zijn het meest aantrekkelijk voor de maatschappij (hoog CS en ES) [37](#page=37). * Oligopolisten met marktmacht beperken de output om winst te maken, wat ten koste gaat van CS en ES [37](#page=37). * Naarmate het aantal producenten toeneemt in een Cournot-markt, bewegen de uitkomsten zich richting Bertrand/volkomen concurrentie, waarbij PS afneemt en CS en ES toenemen [37](#page=37). #### 2.1.6 Duopolie met kostenverschillen Wanneer producenten verschillende marginale kosten hebben ($c_1 < c_2$), beïnvloedt dit de uitkomsten. We veronderstellen $a > c_2 > c_1$. **Bertrand competitie met kostenverschillen:** * Het model verandert wezenlijk. De producent met de laagste marginale kosten ($c_1$) zal de prijs bepalen [38](#page=38). * Er zijn oneindig veel Nash evenwichten waarbij de prijs van producent 1 net onder die van producent 2 ligt, zolang $p_1 \in (c_1, c_2]$ [38](#page=38). * Producent 1 trekt de gehele markt naar zich toe en maakt winst, terwijl producent 2 niets produceert en geen winst maakt [38](#page=38). * De prijs van producent 1 zal zich bevinden tussen zijn marginale kost ($c_1$) en de laagste marginale kost van de concurrenten plus een kleine marge (of zijn eigen monopolieprijs als $c_1$ zeer laag is) [39](#page=39). **Cournot competitie met kostenverschillen:** * De inverse marktvraag is $p = a - b(y_1 + y_2)$. * De winstfuncties zijn: $$ T_1(y_1, y_2) = [a - b(y_1 + y_2) - c_1 y_1 $$ $$ T_2(y_1, y_2) = [a - b(y_1 + y_2) - c_2 y_2 $$ * De beste responsfuncties zijn: $$ BR_1(y_2) : y_1 = \frac{a - c_1}{2b} - \frac{1}{2}y_2 $$ $$ BR_2(y_1) : y_2 = \frac{a - c_2}{2b} - \frac{1}{2}y_1 $$ [41](#page=41). * In het Nash evenwicht gelden de volgende uitkomsten: * Output: $$ y_1^* = \frac{2(a+c_2) - c_1}{6b}, \quad y_2^* = \frac{2(a+c_1) - c_2}{6b} $$ [40](#page=40). * Prijs: $p_1^* = p_2^* = \frac{a}{3} + \frac{c_1 + c_2}{3}$ [40](#page=40). * Winst: $$ T_1^* = \frac{[2(a+c_2)-c_1]^2}{36b}, \quad T_2^* = \frac{[2(a+c_1)-c_2]^2}{36b} $$ [40](#page=40). * De producent met de laagste marginale kosten produceert meer en heeft een hogere winst. Een stijging van $c_2$ vermindert de output van producent 2 en verhoogt die van producent 1 [40](#page=40) [41](#page=41). #### 2.1.7 Duopolie met productdifferentiatie Wanneer producten gedifferentieerd zijn (heterogeen), kunnen producenten verschillende prijzen vragen. **Cournot competitie met productdifferentiatie:** * De inverse vraagfuncties zijn: $$ p_1 = a - by_1 - \alpha by_2 $$ $$ p_2 = a - \alpha by_1 - by_2 $$ waarbij $\alpha$ de mate van productdifferentiatie aangeeft ($0 \le \alpha \le 1$). $\alpha = 1$ staat voor homogene goederen, $\alpha = 0$ voor volledig gescheiden goederen (monopolie) [42](#page=42). * De winstfuncties zijn: $$ T_1(y_1, y_2) = [a - by_1 - \alpha by_2 - c y_1 $$ $$ T_2(y_1, y_2) = [a - \alpha by_1 - by_2 - c y_2 $$ [42](#page=42). * De beste responsfuncties zijn: $$ BR_1(y_2) : y_1 = \frac{a - c}{2b} - \frac{\alpha}{2}y_2 $$ $$ BR_2(y_1) : y_2 = \frac{a - c}{2b} - \frac{\alpha}{2}y_1 $$ [43](#page=43). * In het symmetrische Nash evenwicht: $$ y_1^* = y_2^* = \frac{a - c}{(2+\alpha)b} $$ [44](#page=44). $$ p_1^* = p_2^* = \frac{a + \alpha c}{2+\alpha} $$ [44](#page=44). $$ T_1^* = T_2^* = \frac{(a-c)^2}{(2+\alpha)^2 b} $$ [44](#page=44). * Naarmate productdifferentiatie toeneemt ($\alpha$ daalt), stijgt de prijs en evolueren de uitkomsten richting monopolie [45](#page=45) [46](#page=46). **Bertrand competitie met productdifferentiatie:** * Met gedifferentieerde producten is de winstfunctie van elke producent een afleidbare functie van de prijs, waardoor het model oplosbaar is met standaardtechnieken [46](#page=46). * De inverse vraagfuncties zijn: $$ p_1 = a - by_1 - \alpha by_2 $$ $$ p_2 = a - \alpha by_1 - by_2 $$ waarbij $y_i$ nu als functie van $p_i$ en $p_j$ wordt uitgedrukt [47](#page=47). * De beste responsfuncties zijn: $$ BR_1(p_2) : p_1 = \frac{a(1-\alpha) + c}{2} + \frac{\alpha}{2}p_2 $$ $$ BR_2(p_1) : p_2 = \frac{a(1-\alpha) + c}{2} + \frac{\alpha}{2}p_1 $$ . Hier zijn prijzen strategische complementen: als de concurrent zijn prijs verhoogt, verhoogt de producent zijn eigen prijs ook [48](#page=48) [49](#page=49). * In het Nash evenwicht: $$ p_1^* = p_2^* = \frac{a(1-\alpha) + c}{2-\alpha} $$ [51](#page=51). $$ y_1^* = y_2^* = \frac{b(1+\alpha)}{2-\alpha} \frac{a-c}{2-\alpha} \quad (\text{correctie: } y_i^* = \frac{b(1+\alpha)}{2-\alpha} \cdot \frac{a-c}{b}) = \frac{b(1+\alpha)(a-c)}{(2-\alpha)^2} $$ . De correcte output is $y_i^* = \frac{a-c}{b(2-\alpha)}$ [51](#page=51). $$ T_1^* = T_2^* = \frac{b(1+\alpha)}{(2-\alpha)^2} \left(\frac{a-c}{2-\alpha}\right)^2 \quad (\text{correctie: } T_i^* = \frac{(a-c)^2}{b(2-\alpha)^2} \text{??}) = \frac{(a-c)^2}{b(2-\alpha)^2} \frac{1}{1-\alpha^2} \quad (\text{correctie: } T_i^* = \frac{a-c}{2-\alpha} \cdot y_i^* - c \cdot y_i^*) = \frac{(a-c)^2}{(2-\alpha)^2 b} $$ . De correcte winst is $T_i^* = \frac{b(1+\alpha)}{(2-\alpha)^2} \cdot \frac{(a-c)^2}{(2-\alpha)^2}$. De correcte formule voor de winst is $T_i^* = \frac{(a-c)^2}{b(2-\alpha)^2}$ [51](#page=51). * Net als bij Cournot met productdifferentiatie, stijgt de prijs naarmate de productdifferentiatie toeneemt ($\alpha$ daalt) [52](#page=52). **Cournot-Bertrand competitie met productdifferentiatie:** * Hier kiest de ene producent zijn hoeveelheid (Cournot), terwijl de andere zijn prijs kiest (Bertrand). * De beste responsen worden bepaald op basis van de strategische variabelen van de andere speler. * In het Nash evenwicht zijn er ongelijkheden in output, prijs en winst tussen de producenten, afhankelijk van hun vraagfuncties en strategische keuzes [57](#page=57). #### 2.1.8 Duopolie met productdifferentiatie en vraagverschillen Wanneer er zowel productdifferentiatie als verschillen in de vraagfuncties zijn (bv. verschillende intercepten $a_1, a_2$), worden de uitkomsten van de producenten asymmetrisch. * In het Cournot-model met vraagverschillen ($a_1 < a_2$) produceert de producent met de hogere vraag ($a_2$) meer en maakt meer winst [59](#page=59) [60](#page=60). * In het Bertrand-model met vraagverschillen, krijgt de producent met de hogere vraag ($a_2$) ook een hogere prijs en maakt meer winst [63](#page=63). ### 2.2 Sequentiële spelen in oligopolies In sequentiële spelen neemt één speler een beslissing, waarna de andere speler deze beslissing observeert en daarop reageert. Deze spellen worden opgelost via achterwaartse inductie. #### 2.2.1 Sequentiële Bertrand competitie * Producent 1 (leider) kiest zijn prijs ($p_L$). Producent 2 (volger) observeert $p_L$ en kiest zijn prijs ($p_V$) [25](#page=25). * Door achterwaartse inductie te gebruiken, wordt de optimale strategie van de volger bepaald voor elke mogelijke prijs van de leider. * Het is aangetoond dat, net als in het simultane Bertrand-spel, het unieke Nash evenwicht leidt tot $p_1 = p_2 = c$, wat betekent dat er geen winst wordt gemaakt. De dynamiek van prijsaanpassingen maakt langdurige prijsverschillen onhoudbaar [26](#page=26). #### 2.2.2 Sequentiële Cournot competitie (Stackelberg-model) Dit model is een sequentiële versie van het Cournot-duopolie. **Aannames:** * Producent 1 (leider) kiest zijn output ($y_L$). * Producent 2 (volger) observeert $y_L$ en kiest zijn output ($y_V$) [26](#page=26). * De inverse vraag is $p = a - b(y_L + y_V)$ en marginale kosten zijn $c$. **Achterwaartse Inductie:** 1. **Volger's Reactie:** De winst van de volger ($T_V$) als functie van zijn output $y_V$, gegeven $y_L$, is: $$ T_V(y_V) = [a - b(y_L + y_V) - c y_V $$ De eerste-orde voorwaarde voor winstmaximalisatie leidt tot de beste responsfunctie van de volger: $$ BR_V(y_L) : y_V = \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2}y_L $$ Dit is identiek aan de beste responsfunctie van producent 2 in het simultane Cournot-spel [27](#page=27). 2. **Leider's Beslissing:** De leider kent de reactie van de volger en maximaliseert zijn eigen winst ($T_L$) rekening houdend met $y_V = BR_V(y_L)$: $$ T_L(y_L) = [a - b(y_L + y_V) - c y_L = \left[a - b\left(y_L + \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}y_L\right) - c\right y_L $$ $$ T_L(y_L) = \left[a - b\left(\frac{a-c}{2b} + \frac{1}{2}y_L\right) - c\right y_L = \left[\frac{a-c}{2} - \frac{b}{2}y_L\right y_L $$ . De eerste-orde voorwaarde voor winstmaximalisatie van de leider leidt tot [27](#page=27): $$ y_L^* = \frac{a - c}{2b} $$ [28](#page=28). **Stackelberg Evenwicht:** * De evenwichtshoeveelheden zijn: $$ y_L^* = \frac{a - c}{2b} $$ $$ y_V^* = BR_V(y_L^*) = \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2}\left(\frac{a - c}{2b}\right) = \frac{a - c}{4b} $$ . De leider produceert twee keer zoveel als de volger [28](#page=28). * De evenwichtsprijs is $p^* = a - b(y_L^* + y_V^*) = a - b\left(\frac{a-c}{2b} + \frac{a-c}{4b}\right) = \frac{3a+c}{4}$ [28](#page=28). * De winsten zijn: $$ T_L^* = [p^* - c y_L^* = \left(\frac{3a+c}{4} - c\right) \frac{a-c}{2b} = \frac{(a-c)^2}{8b} $$ . Dit is gelijk aan de monopoliewinst gedeeld door 2, dus gelijk aan de kartelwinst van de duopolisten uit het simultane spel [28](#page=28). $$ T_V^* = [p^* - c y_V^* = \left(\frac{3a+c}{4} - c\right) \frac{a-c}{4b} = \frac{(a-c)^2}{16b} $$ . De volger maakt de helft van de winst van de leider [28](#page=28). * Het Stackelberg-evenwicht ligt 'linksboven' het Cournot-Nash evenwicht in een $y_V \times y_L$ diagram, wat aangeeft dat het loont om de leider te zijn. De totale output is hoger en de prijs is lager dan in het Cournot-evenwicht (maar hoger dan in Bertrand) [29](#page=29). --- # Productdifferentiatie, endogene variabelen en metingen van marktmacht Dit gedeelte behandelt de strategische keuzes van producenten met betrekking tot productdifferentiatie en het aantal ondernemingen in een markt, en hoe marktmacht en marktconcentratie kunnen worden gekwantificeerd. ### 3.1 Endogene productdifferentiatie Productdifferentiatie heeft een significante impact op de marktmacht van producenten, die deze differentiatie strategisch proberen te beïnvloeden. Het Hoteling-model biedt een raamwerk om dit te analyseren [66](#page=66). #### 3.1.1 Het Hoteling-model Dit model veronderstelt dat producten verschillen op basis van een karakteristiek $x$, waarbij $x \in $. Consumenten hebben uniforme voorkeuren voor variëteit, wat betekent dat hun voorkeur voor de karakteristiek $x$ uniform verdeeld is over $ $. Het totale aantal consumenten is genormaliseerd tot 1. Er zijn twee producenten, die elk constante marginale en gemiddelde kosten $c$ per eenheid hebben [1](#page=1) [66](#page=66). Het spel wordt sequentieel gespeeld: 1. **Fase 1:** Producenten kiezen hun productvariëteit, $v_i$, waarbij $0 \le v_1 \le v_2 \le 1$ [67](#page=67). 2. **Fase 2:** Producenten bepalen hun prijzen en concurreren via Bertrand-competitie [67](#page=67). 3. **Fase 3:** Consumenten beslissen van welke producent ze één eenheid kopen [67](#page=67). Het nut van een consument met voorkeur voor variëteit $x$ die variëteit $v_i$ koopt, wordt gegeven door: $$ \bar{u} - p_i - t |v_i - x|^2 $$ waarbij $\bar{u}$ het nut is van het kopen van het goed, $p_i$ de prijs, $t$ de mate van afkeer van afstand tussen de optimale en gekochte variëteit, en $|v_i - x|$ de afstand in karakteristieke ruimte is [67](#page=67). Een illustratief voorbeeld is een stad met een straat van lengte 1, waar consumenten op verschillende locaties wonen ($x$) en twee pizzaverkopers die hun locatie ($v_i$) kiezen en vervolgens hun prijs bepalen. De kosten voor consumenten nemen toe met de afstand tot de verkoper [67](#page=67). ##### 3.1.1.1 Bepaling van de vraag In fase 3, bij gegeven locaties $v_1$ en $v_2$, wordt de vraag bepaald door de consument die indifferent is tussen de twee aanbieders. Deze consument voldoet aan: $$ \bar{u} - p_1 - t |v_1 - x|^2 = \bar{u} - p_2 - t |v_2 - x|^2 $$ Dit leidt tot de positie van de indifferente consument ($x^*$) als: $$ x^* = \frac{v_1 + v_2}{2} + \frac{p_2 - p_1}{2t(v_2 - v_1)} $$ Consumenten met $x < x^*$ kiezen $v_1$, en consumenten met $x > x^*$ kiezen $v_2$. De vraag naar de goederen van producent 1 en 2 wordt dan [68](#page=68): $$ q_1 = x^* = \frac{v_1 + v_2}{2} + \frac{p_2 - p_1}{2t(v_2 - v_1)} $$ $$ q_2 = 1 - q_1 = 1 - \left( \frac{v_1 + v_2}{2} + \frac{p_2 - p_1}{2t(v_2 - v_1)} \right) = \frac{v_1 + v_2}{2} + \frac{p_1 - p_2}{2t(v_2 - v_1)} $$ ##### 3.1.1.2 Berekening van het Nash-evenwicht (prijscompetitie) De winstfuncties worden opgesteld als functie van de prijzen ($p_1, p_2$): $$ \pi_1(p_1, p_2) = (p_1 - c) q_1 = (p_1 - c) \left( \frac{v_1 + v_2}{2} + \frac{p_2 - p_1}{2t(v_2 - v_1)} \right) $$ De eerste orde voorwaarde door de winstfunctie naar $p_1$ af te leiden en gelijk aan nul te stellen, levert de beste respons functie (BR) voor producent 1 op: $$ \text{BR}_1(p_2): p_1 = \frac{p_2 + c}{2} + \frac{t(v_2 - v_1)}{2} $$ Evenzo voor producent 2: $$ \text{BR}_2(p_1): p_2 = \frac{p_1 + c}{2} + \frac{t(v_2 - v_1)}{2} $$ Door de BR-functies aan elkaar gelijk te stellen, vinden we het Nash-evenwicht in prijzen: $$ p_1^* = p_2^* = \frac{c}{1} + \frac{t(v_2 - v_1)}{1} $$ Dit is echter een vereenvoudiging. Een meer gedetailleerde berekening leidt tot: $$ p_1^* = p_2^* = \frac{2c + t(v_2 - v_1)}{3} + \frac{p_2 - p_1}{3} $$ Correcte Nash evenwichtsprijzen zijn: $$ p_1^* = \frac{c}{1} + \frac{t(v_2 - v_1)}{1} $$ $$ p_2^* = \frac{c}{1} + \frac{t(v_2 - v_1)}{1} $$ In het Nash-evenwicht zijn de prijzen hoger naarmate: * de marginale kosten $c$ hoger zijn [73](#page=73). * de factor $t$ hoger is (consumenten hechten meer waarde aan nabijheid) [73](#page=73). * het verschil in variëteiten ($v_2 - v_1$) groter is, met een constante som ($v_1 + v_2$) [73](#page=73). ##### 3.1.1.3 Bepaling van de productvariëteiten (fase 1) In een symmetrisch evenwicht kiezen producenten variëteiten die op gelijke afstand van de randen van $ $ liggen: $v_1 = v$ en $v_2 = 1 - v$. Dan geldt $v_1 + v_2 = 1$ en $v_2 - v_1 = 1 - 2v$ [1](#page=1). De evenwichtsprijzen worden dan: $$ p_1^* = p_2^* = \frac{c}{1} + \frac{t(1-2v)}{1} $$ Met deze prijzen en productlocaties wordt de vraag $q_1 = q_2 = 1/2$. De winst per producent wordt [74](#page=74): $$ \pi_i = (p_i^* - c) q_i^* = \left( \frac{c}{1} + \frac{t(1-2v)}{1} - c \right) \frac{1}{2} = \frac{1}{2} [t - 2vt $$ Om de winst te maximaliseren met betrekking tot $v$, neemt men de afgeleide naar $v$: $$ \frac{d\pi_i}{dv} = -t $$ Aangezien $-t < 0$, is het optimaal voor producent 1 om $v=0$ te kiezen. In het symmetrische evenwicht kiest producent 2 dan voor $v_2 = 1 - v = 1$ [74](#page=74). **Theorema: Maximale productdifferentiatie** Producenten proberen de gevolgen van prijsconcurrentie te minimaliseren door hun producten zoveel mogelijk van elkaar te onderscheiden. Dit betekent dat ze aan de uitersten van de variëteitenruimte gaan zitten [74](#page=74). **In afwezigheid van prijsconcurrentie:** Als er geen prijsconcurrentie is en de overheid een vaste prijs $p > c$ oplegt, proberen beide producenten hun marktaandeel te maximaliseren. Het Nash-evenwicht voor de locaties is dan $v_1 = v_2 = 1/2$ [75](#page=75). **Theorema: Minimale productdifferentiatie** In de afwezigheid van prijsconcurrentie produceren beide oligopolisten dezelfde variëteit. Ze zullen zich op dezelfde locatie vestigen om het grootste marktaandeel te verwerven [75](#page=75). ##### 3.1.1.4 Sociaal optimum De vraag is welke mate van productdifferentiatie optimaal is voor de consumenten. Als elke consument één eenheid koopt en producenten tegen dezelfde prijs verkopen, komt het maximaliseren van het totale surplus neer op het minimaliseren van de totale onnutskost die voortvloeit uit het niet verkrijgen van de optimale variëteit [76](#page=76). In symmetrische evenwichten ($v_1 = v, v_2 = 1-v$) is de totale nutskost: $$ \text{Totale Onnutskost} = \int_0^1 t|v_i - x|^2 dx $$ Voor het berekenen van het minimum van de totale nutskost wordt aangenomen dat de distributie van consumenten rond $v_1$ en $v_2$ symmetrisch is. De totale onnutskost wordt dan: $$ 2 \int_0^{1/2} t(x-v)^2 dx $$ De eerste orde voorwaarde voor een minimum is: $$ 2v^* - \frac{1}{2} = 0 \implies v^* = 1/4 $$ Het sociale optimum wordt dus bereikt wanneer producent 1 variëteit $v_1 = 1/4$ aanbiedt en producent 2 variëteit $v_2 = 1 - 1/4 = 3/4$. Dit is minder differentiatie dan in het geval van maximale productdifferentiatie (waar $v_1=0, v_2=1$) [77](#page=77). **Samenvatting productdifferentiatie (Hotelling model):** * **Prijsconcurrentie:** Maximale productdifferentiatie ($v_1=0, v_2=1$) [77](#page=77). * **Geen prijsconcurrentie:** Minimale productdifferentiatie ($v_1=v_2=1/2$) [77](#page=77). * **Sociaal optimum:** Gemiddelde productdifferentiatie ($v_1=1/4, v_2=3/4$) [77](#page=77). ### 3.2 Endogeen aantal ondernemingen Dit gedeelte onderzoekt hoe het aantal ondernemingen in een markt wordt bepaald, rekening houdend met productvariëteiten, vaste kosten en concurrentievormen. #### 3.2.1 Vraagmodel met CES-preferenties De markt heeft een omvang $E$ en bedrijven hebben constante marginale kosten $c$ en vaste kosten $F$. Vrije toe- en uittreding zorgt ervoor dat de winst nul is. Het aantal ondernemingen $n$ wordt endogeen bepaald [78](#page=78). De nutsfunctie van consumenten voor $n$ variëteiten $x_j$ wordt beschreven door de CES (Constant Elasticity of Substitution) functie: $$ u(x_1, \dots, x_n) = \left( \sum_{j=1}^n x_j^{\frac{\theta-1}{\theta}} \right)^{\frac{\theta}{\theta-1}} $$ met $\theta > 1$ de substitutie-elasticiteit tussen twee variëteiten [78](#page=78). * Als $\theta \to \infty$, zijn het perfecte substituten. * Als $\theta \to 1$, is het een Cobb-Douglas nutsfunctie. * Een hogere $\theta$ betekent dat het substitueren tussen variëteiten gemakkelijker wordt [78](#page=78). De inverse vraagfunctie voor variëteit $i$ is: $$ p_i = E \left( \frac{x_i}{E} \right)^{-\frac{1}{\theta}} \left( \sum_{j=1}^n \left( \frac{x_j}{E} \right)^{\frac{\theta-1}{\theta}} \right)^{\frac{1}{\theta-1}} $$ Voor een symmetrische markt, waar alle $x_j$ gelijk zijn en de totale vraag naar variëteit $i$ wordt bepaald door de marktprijs $p$, is de vraag: $$ x_i = E \left( \frac{p_i}{E} \right)^{-\theta} \left( \sum_{j=1}^n \left( \frac{p_j}{E} \right)^{1-\theta} \right)^{\frac{\theta}{1-\theta}} $$ In een symmetrische markt, waar $p_i = p$ voor alle $i$: $$ x_i = E \left( \frac{p}{E} \right)^{-\theta} n \left( \frac{p}{E} \right)^{1-\theta} = E \left( \frac{p}{E} \right)^{-1} n = \frac{n E}{p} $$ Hieruit volgt de inverse vraagfunctie: $$ p = \frac{n E}{x_i} $$ De vraagfunctie voor een individuele onderneming in een symmetrische markt is dus: $$ x_i = \frac{n E}{p} $$ Dit kan worden herschreven als: $$ p = \frac{n E}{x_i} $$ waarbij $x_i$ de afzet van onderneming $i$ is [80](#page=80). #### 3.2.2 Cournot competitie In Cournot-competitie concurreren bedrijven op basis van hoeveelheden. De winstfunctie voor onderneming $i$ is: $$ \pi_i = p x_i - c x_i - F $$ Gebruikmakend van de inverse vraag $p = \frac{n E}{x_i}$ (dit is correct als alle bedrijven dezelfde hoeveelheid produceren, wat in een symmetrisch evenwicht het geval is), wordt dit: $$ \pi_i = \frac{n E}{x_i} x_i - c x_i - F = n E - c x_i - F $$ Dit lijkt niet correct voor Cournot. Laten we de totale markt uitdrukken in termen van individuele outputs. Stel $X = \sum x_j$. Dan is de totale prijs $P(X) = E (X/E)^{-\theta} = E^{1+\theta} X^{-\theta}$. Voor een individuele firma $i$, $p_i = E^{1+\theta} (x_i + \sum_{j \neq i} x_j)^{-\theta}$. De winst is $\pi_i = p_i x_i - c x_i - F$. In een symmetrisch Nash-evenwicht is $x_i = x$ voor alle $i$, dus $X=nx$. De prijs wordt $p = E^{1+\theta} (nx)^{-\theta}$. De winst is dan $\pi_i = (E^{1+\theta} (nx)^{-\theta} - c) x - F$. Eerste orde voorwaarde: $\frac{\partial \pi_i}{\partial x} = -\theta E^{1+\theta} (nx)^{-\theta-1} (nx) + E^{1+\theta} (nx)^{-\theta} - c = 0$. $$ -\theta E^{1+\theta} n x^{-\theta-1} + E^{1+\theta} n^{-\theta} x^{-\theta} - c = 0 $$ Om dit te vereenvoudigen: $p = E^{1+\theta} (nx)^{-\theta}$. Dus de voorwaarde wordt $-\theta p/x + p/x - c = 0$, of $p(1-\theta)/x - c = 0$. Dit leidt tot: $$ x = \frac{n E}{p} \implies p = \frac{nE}{x} $$ De prijs als functie van de output van de individuele firma en het totale aantal firma's is: $$ p_i = E \left( \frac{x_i}{E} \right)^{-\frac{1}{\theta}} \left( \sum_{j=1}^n \left( \frac{x_j}{E} \right)^{\frac{\theta-1}{\theta}} \right)^{\frac{1}{\theta-1}} $$ In een symmetrisch evenwicht met $x_i = x$ voor alle $i$, en $\sum x_j = nx$: $$ p = E \left( \frac{x}{E} \right)^{-\frac{1}{\theta}} \left( n \left( \frac{x}{E} \right)^{\frac{\theta-1}{\theta}} \right)^{\frac{1}{\theta-1}} = E \left( \frac{x}{E} \right)^{-\frac{1}{\theta}} n^{\frac{1}{\theta-1}} \left( \frac{x}{E} \right)^{\frac{1}{\theta}} = E n^{\frac{1}{\theta-1}} $$ Dit is ook niet correct. Laten we de formule uit het document volgen: Voor de marginale kosten van de firma geldt $p_i = \frac{E}{x_i^{\frac{1}{\theta}}} \left( \frac{x_i}{E} \right)^{\frac{1}{\theta}} ...$ De vraagfunctie is afgeleid als: $$ x_i = E \left( \frac{p_i}{E} \right)^{-\theta} $$ In een symmetrisch Cournot-evenwicht met $n$ bedrijven, waar elk bedrijf produceert $x_i=x$ en de prijs wordt bepaald door de totale output $nx$: $$ p = E \left( \frac{nx}{E} \right)^{-\theta} $$ De winstfunctie: $\pi_i = p x - c x - F$. Eerste orde voorwaarde voor symmetrisch Cournot-evenwicht: $$ x = \frac{n-1}{n} \frac{E}{c} \left( \frac{p}{E} \right)^{-\theta} $$ Dit impliceert dat de marktprijs in een symmetrisch Cournot-evenwicht is: $$ p = \left( \frac{n}{n-1} \right)^{\frac{1}{\theta}} \left( \frac{E}{c} \right)^{\frac{1}{\theta}} \left(\frac{x}{E}\right)^{\frac{1}{\theta}} $$ Volgens het document geldt voor de productie $x$ in een symmetrisch Cournot-evenwicht [80](#page=80): $$ x = \frac{\theta-1}{n \theta} \frac{E}{c} $$ En de bijbehorende prijs: $$ p = \left( \frac{n \theta}{\theta-1} \right)^{\frac{1}{\theta}} \left( \frac{E}{n} \right) $$ Dit lijkt ook niet overeen te komen. De inverse vraag wordt vaak als volgt gemodelleerd: $P(Q) = A Q^{-\frac{1}{\epsilon}}$, waar $Q=\sum x_i$. In het document wordt de inverse vraag gegeven door: $$ p_i = E \left( x_i \right)^{-\frac{1}{\theta}} \left( \sum_{j=1}^n x_j^{\frac{\theta-1}{\theta}} \right)^{\frac{1}{\theta-1}} $$ De afgeleide van de winstfunctie naar $x_i$ en gelijkstellen aan nul in een symmetrisch Cournot-evenwicht leidt tot: $$ p \left( 1 - \frac{1}{\theta} \right) = c $$ Dit is een vereenvoudigde uitdrukking die de kern raakt. De verhouding tussen prijs en marginale kosten is: $$ \frac{p}{c} = \frac{\theta}{\theta-1} $$ Dit is de mark-up. De mark-up is afhankelijk van de substitutie-elasticiteit $\theta$ [81](#page=81). De prijs in het symmetrische Nash-evenwicht is: $$ p = \frac{\theta}{\theta-1} c $$ De hoeveelheid geproduceerd door elke firma is: $$ x_i = \frac{E}{n} \left( \frac{p}{E} \right)^{-\theta} = \frac{E}{n} \left( \frac{\theta}{\theta-1} \frac{c}{E} \right)^{-\theta} $$ De totale winst voor onderneming $i$ is: $$ \pi_i = (p - c) x_i - F = \left( \frac{\theta}{\theta-1} c - c \right) x_i - F = \frac{c}{\theta-1} x_i - F $$ $$ \pi_i = \frac{c}{\theta-1} \frac{E}{n} \left( \frac{\theta}{\theta-1} \frac{c}{E} \right)^{-\theta} - F $$ De vrije toetreding zorgt ervoor dat $\pi_i = 0$. Dit bepaalt het aantal ondernemingen $n$: $$ n_c = \frac{E}{F} \frac{c}{\theta-1} \left( \frac{\theta}{\theta-1} \frac{c}{E} \right)^{-\theta} $$ Dit kan vereenvoudigd worden tot een uitdrukking voor $n_c$. **Theorema: Mark-up (Cournot)** De mark-up verhouding $\frac{p}{c}$ in een Cournot-model met $n$ producenten is afhankelijk van $\theta$ en $n$: $$ \frac{p}{c} = \frac{\theta}{\theta-1} $$ Dit resultaat is onafhankelijk van $n$, wat betekent dat de mark-up niet daalt met het aantal producenten in dit specifieke CES-vraagmodel. Echter, de literatuur suggereert vaak dat de mark-up wel daalt met $n$. Laten we de formules uit het document preciezer volgen. Het document geeft voor de mark-up de volgende formule: $$ \frac{p}{c} = \frac{\theta-1}{n \theta} \frac{E}{x} \frac{1}{c} $$ Dit klopt niet met de standaard uitkomst. De formules in het document lijken gebaseerd op een iets andere afleiding of aannames. Volgens de tekst: de mark-up is dalend in $n$ en $\theta$ (naarmate $\theta$ daalt, worden producten meer substitueerbaar, wat de mark-up doet dalen) [81](#page=81). De winst wordt gegeven door: $$ \pi = \frac{E}{n^2 \theta} [\theta + n(\theta-1)] - F $$ Onder vrije toetreding $\pi=0$, dus: $$ n_c^2 = \frac{E}{F} \frac{\theta + n(\theta-1)}{\theta} $$ Dit is een impliciete vergelijking voor $n$. De expliciete formule voor $n_c$ uit het document is: $$ n_c = \frac{s}{2\theta} \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{4\theta(\theta-1)}{s}} \right) $$ waarbij $s = E/F$ de relatieve marktomvang is [81](#page=81). **Gevolgtrekking:** In het Cournot-model neemt het aantal producenten af naarmate variëteiten beter substitueerbaar zijn ($\theta$ kleiner) en toe naarmate de relatieve marktomvang groter is ($s$ groter) [81](#page=81). #### 3.2.3 Bertrand competitie In Bertrand-competitie concurreren bedrijven op basis van prijzen. De winstfunctie voor onderneming $i$ is: $$ \pi_i = (p_i - c) x_i - F $$ Gebruikmakend van de vraagfunctie: $$ x_i = E \left( \frac{p_i}{E} \right)^{-\theta} $$ In een symmetrisch Nash-evenwicht, waar $p_i = p$ voor alle $i$, geldt de mark-up: $$ \frac{p}{c} = \frac{\theta (n-1) + 1}{(\theta-1)(n-1)} $$ Deze formule lijkt ook niet direct af te leiden uit de standaard Bertrand-competitie met CES-preferenties. Laten we de uitkomst uit het document aanhouden [82](#page=82). **Theorema: Mark-up (Bertrand)** De mark-up verhouding $\frac{p}{c}$ in een Bertrand-model met $n$ producenten en substitutie-elasticiteit $\theta$ is: $$ \frac{p}{c} = \frac{n\theta - \theta + 1}{(\theta-1)(n-1)} $$ **Gevolgtrekking:** De mark-up in het Bertrand-model is dalend in $n$ en $\theta$ [82](#page=82). De winst per producent: $$ \pi = (p - c) x_i - F $$ Onder vrije toetreding ($\pi=0$), wordt het aantal ondernemingen $n_B$ bepaald door: $$ n_B = 1 + \frac{s-1}{\theta-1} $$ waarbij $s = E/F$ is [83](#page=83). **Gevolgtrekking:** In het Bertrand-model neemt het aantal producenten af naarmate variëteiten beter substitueerbaar zijn ($\theta$ kleiner) en toe naarmate de relatieve marktomvang groter is ($s$ groter) [83](#page=83). #### 3.2.4 Vergelijking van Cournot en Bertrand competitie Kwalitatief hebben beide modellen dezelfde eigenschappen wat betreft de afhankelijkheid van $n$ en $\theta$ op de mark-up en het aantal ondernemingen [83](#page=83). **Theorema: Vergelijking aantal ondernemingen** Er zijn altijd meer producenten actief in de markt bij Cournot competitie dan bij Bertrand competitie: $n_c > n_B$ [84](#page=84). **Theorema: Vergelijking prijzen** De evenwichtsprijs bij Cournot competitie ligt altijd hoger dan bij Bertrand competitie [84](#page=84). Volgens Dixit en Stiglitz worden bij CES-preferenties zowel bij Bertrand als Cournot te veel variëteiten aangeboden omdat elke onderneming te weinig produceert om haar prijs op te drijven, wat leidt tot meer toetreding en dus te veel variëteiten [84](#page=84). ### 3.3 Meten van marktmacht en marktconcentratie Indien een onderneming marktmacht heeft, kan ze de prijs beïnvloeden. De verhouding tussen de prijs en de marginale kost is een indicatie van de graad van marktmacht [84](#page=84). #### 3.3.1 Indicatoren van marktmacht Twee veelgebruikte indicatoren zijn: * **Mark-up verhouding:** $p/c$. Een hogere waarde duidt op meer marktmacht [84](#page=84). * **Lerner index (L):** Dit is de mark-up verhouding minus 1, of de prijs min de marginale kost gedeeld door de prijs. $$ L = \frac{p - c}{p} = 1 - \frac{c}{p} $$ De Lerner index ligt tussen 0 en 1 als $p > c$. Een hogere $L$ duidt op meer marktmacht [84](#page=84). Onderzoek door Loecker et al. naar financiële overzichten van Amerikaanse beursgenoteerde bedrijven toont een stijging van de gemiddelde mark-up van 1.25 in 1980 naar 1.6 in 2016. Terwijl de vaste kosten minder sterk stegen, namen de winsten fors toe, wat gevolgen heeft voor arbeidsinkomen, consumptie, innovatie, economische groei, lonen en inkomensongelijkheid. Wereldwijd onderzoek van Loecker en Eeckhout toont ook een stijging van de gemiddelde mark-up. Het Federaal Planbureau schat de gemiddelde mark-up in België op 1.24 voor 1997-2020. Figuren tonen de mark-ups in de maakindustrie en diensten/netwerkindustrieën, waarbij geen enkele sector volkomen concurrentieel is [86](#page=86) [87](#page=87). #### 3.3.2 Indicatoren van marktconcentratie De meest gebruikte maatstaf van marktconcentratie in een bepaalde markt is de **Herfindahl-Hirschman index (HHI)** [87](#page=87). $$ \text{HHI} = \sum_{j=1}^n s_j^2 $$ waarbij $n$ het aantal ondernemingen is en $s_j$ het marktaandeel (omzet) van onderneming $j$. De HHI varieert tussen 0 en 1 (of 0 en 10000 als $s_j$ in procenten wordt uitgedrukt) [87](#page=87). * HHI = 0 indien $n \to \infty$ (perfecte concurrentie). * HHI = 1 indien $n = 1$ (monopolie). De HHI neemt toe naarmate de markt fijner wordt gedefinieerd. Onderzoek schat de HHI in de Belgische diensten sector [87](#page=87) [88](#page=88). **Samenvatting:** * Strategische variabelen zijn prijs (Bertrand) of hoeveelheid (Cournot) [88](#page=88). * Productdifferentiatie maakt prijzen strategische complementen, en hoeveelheden strategische substituten [88](#page=88). * Endogene productdifferentiatie en het endogene aantal ondernemingen zijn realistischer maar complexere afleidingen [88](#page=88). * Meting van marktmacht gebeurt via de mark-up verhouding en de Lerner index [88](#page=88). * Meting van marktconcentratie gebeurt via de Herfindahl-Hirschman index [88](#page=88). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Oligopolie | Een marktvorm gekenmerkt door een beperkt aantal aanbieders die concurreren met vele vragers, waarbij acties van één aanbieder de opbrengsten van de anderen beïnvloeden en strategische interactie ontstaat. | | Duopolie | Een speciaal geval van een oligopolie waarbij er slechts twee aanbieders op de markt zijn, die ofwel hetzelfde product (homogeen duopolie) ofwel vergelijkbare maar niet identieke producten (heterogeen duopolie) produceren. | | Speltheorie | Een wiskundig analysekader dat gebruikt wordt om strategische interactie tussen rationele besluitvormers te begrijpen, met name in situaties waar de uitkomst van een beslissing afhangt van de beslissingen van anderen. | | Nash-evenwicht | Een situatie in een spel waarbij geen enkele speler zijn uitkomst kan verbeteren door eenzijdig zijn strategie te wijzigen, gegeven de strategieën van de andere spelers. Het is een staat van stabiliteit in strategische interacties. | | Bertrand competitie | Een oligopolimodel waarin bedrijven concurreren door de prijs van hun homogene producten te bepalen. Consumenten kopen altijd bij de aanbieder met de laagste prijs, wat kan leiden tot prijzen gelijk aan de marginale kosten. | | Cournot competitie | Een oligopolimodel waarin bedrijven concurreren door de hoeveelheid te bepalen die zij produceren. De prijs wordt vervolgens bepaald door de totale hoeveelheid die alle bedrijven op de markt aanbieden, en de winst hangt af van de strategische keuzes van alle spelers. | | Beste respons (BR) | De optimale strategie (prijs of hoeveelheid) die een speler kiest als reactie op de strategie van de andere speler(s), met als doel de eigen winst te maximaliseren. | | Productdifferentiatie | Het proces waarbij een bedrijf zijn product aanbiedt met kenmerken die het onderscheiden van die van concurrenten, om zo marktmacht te verkrijgen en zich te distantiëren van pure prijsconcurrentie. | | Sequentieel spel | Een spel waarbij spelers hun beslissingen na elkaar nemen, waarbij latere spelers de beslissingen van eerdere spelers kennen of kunnen observeren voordat ze hun eigen keuze maken. | | Simultaan spel | Een spel waarbij spelers gelijktijdig hun beslissingen nemen zonder kennis van de keuzes van de andere spelers op dat moment. | | Kartel | Een formele of informele overeenkomst tussen bedrijven in een oligopolistische markt om de concurrentie te beperken, vaak door prijzen te coördineren of productiehoeveelheden te beperken, teneinde de winst te maximaliseren, vergelijkbaar met een monopolie. | | Contractcurve | De verzameling van alle Pareto-optimale punten tussen economische agenten in een ruilmodel. In de context van een duopolie, verbindt de contractcurve alle combinaties van outputs die de winst voor beide producenten maximaliseren zonder de winst van de ander te schaden. | | Stackelberg model | Een sequentieel duopolimodel waarin één bedrijf (de leider) zijn productie kiest voordat het andere bedrijf (de volger) zijn productie bepaalt, rekening houdend met de reactie van de leider. | | Marktmacht | Het vermogen van een bedrijf om de prijs van zijn product te beïnvloeden, wat vaak resulteert in prijzen boven de marginale kosten en een welvaartsverlies voor de maatschappij. | | Lerner index | Een economische maatstaf voor de marktmacht van een bedrijf, gedefinieerd als het verschil tussen prijs en marginale kost, gedeeld door de prijs ($L = (P-MC)/P$). Een hogere index geeft meer marktmacht aan. | | Herfindahl-Hirschman index (HHI) | Een maatstaf voor marktconcentratie die wordt berekend door de marktaandelen van alle bedrijven in een markt te kwadrateren en deze resultaten bij elkaar op te tellen. Een hogere HHI duidt op een meer geconcentreerde markt. | | Endogeen aantal ondernemingen | Een situatie waarin het aantal bedrijven in een markt wordt bepaald door economische factoren, zoals toetredingskosten en de winstgevendheid van de markt, in plaats van extern te worden vastgesteld. | | CES nutsfunctie (Constant Elasticity of Substitution) | Een type nutsfunctie dat de substitueerbaarheid tussen verschillende goederen of variëteiten kwantificeert. Het is een veelgebruikte functie om consumentenvoorkeuren in markten met productdifferentiatie te modelleren. | | Hotelsing model | Een economisch model dat productdifferentiatie analyseert door consumenten te plaatsen op een lineaire ruimtelijke continuüm en bedrijven te laten beslissen waar ze zich vestigen om klanten aan te trekken, wat leidt tot prijsconcurrentie. | | Iso-winstcurve | Een curve die alle combinaties van strategische variabelen (zoals hoeveelheden of prijzen) weergeeft die voor een bedrijf tot hetzelfde winstniveau leiden. | | Verdisconteringsfactor ($\delta$) | Een factor die gebruikt wordt om de waarde van toekomstige winsten te berekenen in een dynamische economische context, waarbij toekomstige winsten minder waard zijn dan huidige winsten. | | Strategische complementen | Twee strategische variabelen zijn complementen als een toename van de ene variabele door een speler leidt tot een toename van de optimale waarde van de andere variabele voor de andere speler. | | Strategische substituten | Twee strategische variabelen zijn substituten als een toename van de ene variabele door een speler leidt tot een afname van de optimale waarde van de andere variabele voor de andere speler. | | Pareto-efficiëntie | Een allocatie van middelen waarbij het onmogelijk is om de situatie van één persoon te verbeteren zonder de situatie van een ander te verslechteren. | | Welvaartsverlies | Het verlies aan economisch surplus (consumenten- en producentensurplus) dat optreedt wanneer een markt niet efficiënt opereert, vaak als gevolg van marktmacht of externe effecten. |