Electrical Engineering Telecommunications
Cover
1) PPT Elektrotechniek.pdf
Summary
# Basisbegrippen elektriciteit en het SI-stelsel
Dit deel introduceert de fundamentele concepten van elektriciteit, het internationale eenhedenstelsel (SI), de bijbehorende meetinstrumenten en essentiële elektrische componenten zoals spanning, stroom en weerstand.
### 1.1 Het SI-stelsel
Het SI-stelsel, of "système international d'unités", is een internationaal erkend metrisch systeem dat zorgt voor uniformiteit in de weergave van grootheden en eenheden. Dit bevordert eenvoudige internationale gegevensuitwisseling en is de wettelijke standaard in de EU. Het systeem kent zeven onafhankelijke basiseenheden [4](#page=4):
* **Lengte:** meter (m)
* **Massa:** kilogram (kg)
* **Tijd:** seconde (s)
* **Elektrische stroom:** ampère (A)
* **Absolute temperatuur:** kelvin (K)
* **Hoeveelheid stof:** mol (mol)
* **Lichtsterkte:** candela (cd)
#### 1.1.1 SI-prefixen
Aan SI-basiseenheden kunnen prefixen worden toegevoegd om veelvouden of delen ervan aan te duiden [5](#page=5).
| Prefix | Symbool | Naam | Decimaal |
| :----- | :------ | :----------- | :----------------------------------------------------- |
| Y | Yotta | quadriljoen | 1.000.000.000.000.000.000.000.000 |
| Z | Zetta | triljard | 1.000.000.000.000.000.000.000 |
| E | Exa | triljoen | 1.000.000.000.000.000.000 |
| P | Peta | biljard | 1.000.000.000.000.000 |
| T | Tera | biljoen | 1.000.000.000.000 |
| G | Giga | miljard | 1.000.000.000 |
| M | Mega | miljoen | 1.000.000 |
| k | kilo | duizend | 1.000 |
| h | hecto | honderd | 100 |
| da | deca | tien | 10 |
| d | deci | een tiende | 0.1 |
| c | centi | een honderdste | 0.01 |
| m | milli | een duizendste | 0.001 |
| µ | micro | een miljoenste | 0.000.001 |
| n | nano | een miljardste | 0.000.000.001 |
| p | pico | een biljoenste | 0.000.000.000.001 |
| f | femto | een biljardste | 0.000.000.000.000.001 |
| a | atto | een triljoenste | 0.000.000.000.000.000.001 |
| z | zepto | een triljardste | 0.000.000.000.000.000.000.001 |
| y | yocto | een quadriljoenste | 0.000.000.000.000.000.000.000.001 |
Voorbeeld: 1 kilometer (km) is gelijk aan 1000 meter (m) [5](#page=5).
### 1.2 Elektrische stroom
Elektrische stroom wordt gedefinieerd als de vrije beweging van elektronen die energie wordt toegevoegd. Dit kan gebeuren via een batterij, stopcontact, of zonnepanelen. De stroomsterkte ($I$) wordt wiskundig uitgedrukt als de hoeveelheid lading ($Q$) per tijdseenheid ($t$) [7](#page=7) [8](#page=8):
$$I = \frac{Q}{t}$$
* $I$: Stroomsterkte in ampère (A) [8](#page=8).
* $Q$: Elektrische lading in coulomb (C) [8](#page=8).
* $t$: Tijd in seconden (s) [8](#page=8).
Men kan dit vergelijken met het debiet van water [8](#page=8).
#### 1.2.1 Effecten van stroom
Elektrische stroom kan verschillende effecten veroorzaken:
* **Thermisch effect:** Elektrische verwarming [9](#page=9).
* **Chemisch effect:** Elektrolyse, zoals galvaniseren [9](#page=9).
* **Magnetisch effect:** Afvalscheiding [9](#page=9).
* **Mechanisch effect:** Elektromagneten en elektromotoren [9](#page=9).
* **Visueel effect:** Verlichting, zoals TL-lampen [9](#page=9).
* **Fysiologisch effect:** Elektrocutie [9](#page=9).
### 1.3 Elektrische spanning
Elektrische spanning is het potentiaalverschil tussen twee punten in een circuit. Een elektrische bron heeft een min-klem met een lager potentiaal dan de plus-klem. Spanning wordt uitgedrukt in volt (V) en de grootheid is $U$. Dit is vergelijkbaar met de hoogte waarvan water valt, wat het potentiaalverschil aangeeft [10](#page=10).
#### 1.3.1 Spanningsbronnen
Spanningsbronnen kunnen worden onderverdeeld in verschillende types:
* **Gelijkspanningsbron:** Levert een constante spanning met een vaste polariteit [11](#page=11).
* **Regelbare gelijkspanningsbron:** Maakt het mogelijk de gelijkspanning aan te passen [11](#page=11).
* **Wisselspanningsbron:** Levert een spanning die periodiek van richting en grootte verandert [11](#page=11).
#### 1.3.2 Ontstaan van elektrische spanning
Elektrische spanning kan op diverse manieren ontstaan:
* **Piëzo-elektrisch effect:** Het opwekken van spanning door mechanische druk op bepaalde materialen [12](#page=12).
* **Thermo-elektriciteit:** Het opwekken van spanning door temperatuurverschillen [12](#page=12).
* **Foto-elektrisch effect:** Het opwekken van spanning door lichtinvloed [12](#page=12).
* **Galvanische elektriciteit:** Chemische reacties die spanning genereren (batterijen) [12](#page=12).
* **Mechanische/magnetische energie naar elektrische energie:** Generatoren die bewegingsenergie omzetten in elektrische energie [12](#page=12).
### 1.4 Elektrische weerstand
Elektrische weerstand ($R$) is een maat voor de mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom belemmert. De eenheid is ohm (Ω), en dit is doorgaans een vaste waarde voor een gegeven materiaal. Het symbool voor weerstand is een zigzaglijn. Het inverse van weerstand is geleiding ($G$), uitgedrukt in siemens (S) [13](#page=13):
$$G = \frac{1}{R}$$
#### 1.4.1 Wet van Pouillet
De weerstand van een geleider wordt bepaald door de wet van Pouillet [16](#page=16):
$$R = \rho \cdot \frac{l}{A}$$
* $R$: Weerstand van het materiaal/de geleider in ohm (Ω) [16](#page=16).
* $\rho$: Soortelijke weerstand van het materiaal in ohm-meter (Ω.m) [16](#page=16).
* $l$: Totale lengte van de geleider in meter (m) [16](#page=16).
* $A$: Oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de geleider in vierkante meter (m²) [16](#page=16).
#### 1.4.2 Kleurencodes voor weerstanden
Weerstanden worden vaak gemarkeerd met kleurencodes om hun waarde aan te geven. Een geheugensteuntje hiervoor is "Zij bracht rozen op Gerrits graf bij vies grijs weer" [14](#page=14).
### 1.5 Wet van Ohm
De wet van Ohm beschrijft de relatie tussen spanning ($U$), stroom ($I$) en weerstand ($R$) in een elektrisch circuit [18](#page=18):
$$I = \frac{U}{R}$$
Deze formule kan ook worden herschreven als $U = I \cdot R$ of $R = \frac{U}{I}$ [18](#page=18).
> **Tip:** De wet van Ohm is fundamenteel voor het berekenen van de relatie tussen deze drie basisgrootheden.
### 1.6 Elektrisch vermogen
Elektrisch vermogen ($P$) is de hoeveelheid energie die per tijdseenheid wordt ontwikkeld in een verbruiker of geleverd door een bron. De eenheid is watt (W) [19](#page=19).
$$P = U \cdot I$$
Het vermogen kan ook uitgedrukt worden als $P = I^2 \cdot R$ of $P = \frac{U^2}{R}$. De gegevens op het kenplaatje van een motor geven vaak het benodigde vermogen aan [19](#page=19).
#### 1.6.1 Elektrische arbeid of energie
Elektrische arbeid of energie ($W$) is het resultaat van vermogen dat over een bepaalde tijd wordt geleverd. De eenheid is joule (J) [20](#page=20).
$$W = P \cdot t = U \cdot I \cdot t$$
Met de wet van Ohm kan dit ook geschreven worden als:
$$W = I^2 \cdot R \cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t$$
Elektrische arbeid houdt dus rekening met het vermogen van een installatie in relatie tot de tijd [20](#page=20).
#### 1.6.2 Rendement
Rendement ($\eta$) vergelijkt het nuttig geleverde vermogen met het totaal toegevoerde vermogen. Het is een dimensieloze grootheid [21](#page=21).
$$\eta = \frac{P_{\text{nuttig}}}{P_{\text{toegevoerd}}} = \frac{W_{\text{nuttig}}}{W_{\text{toegevoerd}}}$$
Om het rendement procentueel uit te drukken, wordt het resultaat vermenigvuldigd met 100 [21](#page=21).
> **Tip:** Gloeilampen hebben een zeer slecht rendement, wat heeft geleid tot verboden op hun verkoop [22](#page=22).
### 1.7 Meetinstrumenten
Diverse instrumenten worden gebruikt om elektrische grootheden te meten:
* **Multimeter:** Een veelzijdig instrument dat spanning, stroom en weerstand kan meten [38](#page=38).
* **Analoge multimeter:** Gebruikt een wijzer om de waarde aan te geven [38](#page=38).
* **Digitale multimeter:** Toont de waarde digitaal op een scherm [38](#page=38).
* **Basis functionaliteiten:** Meten van spanning (DC/AC), stroom (DC), weerstand, en continuïteitstest [38](#page=38).
* **Meetprocedure weerstand:** Altijd spanningsloos meten. Een gesloten circuit geeft 0 Ω aan, een onderbroken circuit geeft oneindig (OL - Open Loop) aan [39](#page=39).
* **Meetprocedure continuïteit:** Geeft een 'biepje' bij verbinding en 'OL' bij geen verbinding [41](#page=41).
* **Meetprocedure spanning:** Altijd onder spanning meten, parallel aan de verbruiker (#page=42, 43). Meet effectieve waarde bij AC sinusvormige signalen [42](#page=42) [43](#page=43).
* **Meetprocedure stroom:** Altijd onder spanning meten, in serie met de verbruiker (#page=44, 45). Meet effectieve waarde bij AC sinusvormige signalen [44](#page=44) [45](#page=45).
* **Stroomtang:** Meet stroom zonder de kring te hoeven onderbreken, door het magnetisme rond de geleider te meten. Vereist zorg om over slechts één geleider te meten [46](#page=46).
* **Wattmeter:** Meet vermogen, vereist doorgaans drie aansluitingen [47](#page=47).
* **Energiemeter:** Meet verbruikte energie, vaak terug te vinden in woningen [48](#page=48).
#### 1.7.1 Gebruik van een multimeter
* **Weerstand meten:** Sluit de meetsnoeren aan op de VΩHz en COM-ingangen. Zorg dat het te meten component spanningsloos is [39](#page=39).
* **Continuïteit testen:** Gebruik de continuïteitstestfunctie (vaak aangeduid met een geluidssymbool). Een 'biep' geeft een gesloten circuit aan [41](#page=41).
* **Spanning meten:** Sluit de meetsnoeren aan op de VΩHz en COM-ingangen. Verbind de multimeter parallel aan de spanningsbron of het component [43](#page=43).
* **Stroom meten:** Sluit de meetsnoeren aan op de 10A of mA en COM-ingangen. Verbind de multimeter in serie met het circuit [45](#page=45).
> **Tip:** Bij het meten van een batterij met een multimeter, geeft een hogere spanning dan aangegeven aan dat de batterij nog vol is, en een lagere spanning dat deze (bijna) leeg is [49](#page=49).
### 1.8 Basiscomponenten
* **Breadboard:** Een bord voor het prototyping van circuits zonder solderen. Het heeft interne verbindingsschema's voor het eenvoudig schakelen van componenten [50](#page=50).
### 1.9 Gelijkstroom (DC) en Wisselstroom (AC)
* **Gelijkstroom (DC - Direct Current):** Een stroom met een constante stroomrichting, het gevolg van gelijkspanning. Voorbeelden zijn batterijen en DC-bronnen [70](#page=70).
* **Wisselstroom (AC - Alternating Current):** Een stroom die voortdurend van waarde en richting verandert, vaak op een willekeurige of periodieke wijze. Dit is het gevolg van wisselspanning. Voorbeelden zijn het stopcontact en generatoren [71](#page=71).
#### 1.9.1 Periode en Frequentie
* **Periode ($T$):** De tijd die nodig is voor één volledige cyclus van een periodiek signaal in seconden (s) [73](#page=73).
* **Frequentie ($f$):** Het aantal periodes per seconde, uitgedrukt in hertz (Hz). De relatie is $f = \frac{1}{T}$ [73](#page=73).
#### 1.9.2 Gemiddelde waarde
De gemiddelde waarde van een willekeurig veranderlijke stroom of spanning in een bepaald tijdsinterval is het rekenkundig gemiddelde van de momentane waarden in dat interval. Voor veel AC-signalen (waarbij de positieve en negatieve delen symmetrisch zijn) is de gemiddelde waarde over één periode nul [74](#page=74).
#### 1.9.3 Sinusoïdale spanning en stroom
Een sinusoïdale spanning is een wisselspanning waarvan de momentane waarde een sinusfunctie is van de tijd [75](#page=75):
$$u = \hat{U} \cdot \sin(\omega \cdot t)$$
* $\hat{U}$: Amplitude (maximale waarde) in volt (V) [75](#page=75).
* $\omega$: Cirkelfrequentie, $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$ [75](#page=75).
* $f$: Frequentie in hertz (Hz) [75](#page=75).
* $t$: Tijd in seconden (s) [75](#page=75).
#### 1.9.4 Effectieve (RMS) waarde
De effectieve waarde (RMS - Root Mean Square) van een wisselstroom of -spanning is de waarde die een gelijkstroom of -spanning zou moeten hebben om in dezelfde weerstand dezelfde hoeveelheid warmte te ontwikkelen [77](#page=77).
Voor een sinusvormige spanning geldt de relatie:
$$\hat{U}_{\text{max}} = \sqrt{2} \cdot U_{\text{rms}}$$
Als bij AC-signalen geen specifieke waarde wordt gegeven, wordt standaard de effectieve waarde bedoeld [80](#page=80).
> **Tip:** De RMS-waarde is cruciaal omdat het de waarde is die de thermische impact van de wisselstroom/spanning bepaalt.
### 1.10 Elektromagnetisme en inductie
* **Magnetisme opgewekt in een geleider:** Een stroomvoerende geleider wekt een magnetisch veld ($B$) op rondom zich. De sterkte van dit veld is evenredig met de stroomsterkte. De richting van het magneetveld kan worden bepaald met de kurkentrekkerregel of de rechterhandregel [84](#page=84).
* **Induceren van een spanning in een geleider:** Wanneer een magneet met een bepaalde snelheid langs een geleider beweegt, wordt er een spanning geïnduceerd in de geleider. Dit fenomeen heet elektromagnetische inductie. De geïnduceerde spanning ($e$) kan berekend worden met [85](#page=85):
$$e = B \cdot l \cdot v$$
* $e$: Geïnduceerde spanning in volt (V) [85](#page=85).
* $B$: Magnetische fluxdichtheid in tesla (T) [85](#page=85).
* $l$: Lengte van de geleider [85](#page=85).
* $v$: Snelheid waarmee de magneet en geleider elkaar kruisen [85](#page=85).
* **Sinusoïdale spanning door rotatie:** Door geleiders te laten roteren in een magnetisch veld, wordt een sinusvormige spanning opgewekt, wat een principe is achter AC-generatoren [86](#page=86).
#### 1.10.1 Opwekkingsvormen van elektriciteit
Elektriciteit kan worden opgewekt door middel van verschillende bronnen die de benodigde rotatie of beweging leveren, zoals windturbines, waterkrachtcentrales, kerncentrales en dynamo's [87](#page=87).
### 1.11 Meetprincipes en berekeningen
#### 1.11.1 Spanning, stroom en vermogen in serieschakelingen
Bij een serieschakeling is de stroom door elke component gelijk. De totale spanning over de serieschakeling is de som van de deelspanningen over de individuele componenten.
#### 1.11.2 Spanning, stroom en vermogen in parallelschakelingen
Bij een parallelschakeling is de spanning over elke component gelijk. De totale stroom door de parallelschakeling is de som van de deelstromen door de individuele componenten.
#### 1.11.3 Berekening van vermogen en energie
* **Vermogen:** Kan berekend worden met $P = U \cdot I$. In sporttoepassingen kan het vermogen dat nodig is om de zwaartekracht te overwinnen berekend worden met $E = m \cdot g \cdot h$, waarna het vermogen wordt verkregen door de energie te delen door de tijd [61](#page=61) [63](#page=63).
* **Energie:** Kan berekend worden in joule ($W = P \cdot t$) of kilowattuur ($E = P \cdot t$) [61](#page=61) [62](#page=62).
* **Kostprijs:** De kostprijs van energieverbruik wordt berekend op basis van het verbruik in kilowattuur en het tarief per kWh [67](#page=67).
#### 1.11.4 Niet-ideale spanningsbronnen
In de realiteit hebben spanningsbronnen een interne weerstand. Dit leidt tot een spanningsval over de interne weerstand, waardoor de gemeten spanning lager is dan de opgewekte spanning ($E$). Hoe kleiner de interne weerstand, hoe groter de stroom en hoe kleiner de gemeten spanning [37](#page=37).
#### 1.11.5 Schakelschema's
* **Eéndraadschema:** Geeft de essentiële elektrische componenten en hun verbindingen weer op een vereenvoudigde manier .
* **Principeschema:** Geeft de functionele opbouw van een schakeling weer .
* **Situatieplan:** Geeft de locatie van de elektrische componenten weer in een fysieke ruimte .
> **Tip:** Elektrische schema's worden tegenwoordig vaak digitaal ontworpen met software zoals Trikker, Microsoft Visio of draw.io .
### 1.12 Soorten schakelaars en verbindingen
* **Enkelpolige schakelaar:** Bedient één lichtpunt vanaf één plaats .
* **Dubbelpolige schakelaar:** Zet de verbruiker volledig spanningsloos, toepasbaar in vochtige ruimtes .
* **Serieschakelaar (dubbele ontsteking):** Bediening van twee verschillende lichten vanaf één punt met twee knoppen .
* **Wisselschakelaar:** Bediening van één lichtpunt vanaf twee plaatsen .
* **Kruisschakelaar:** Gebruikt in combinatie met twee wisselschakelaars om een lichtpunt vanaf meer dan twee plaatsen te bedienen .
* **Dubbelpolige wisselschakelaar:** Bediening vanaf twee plaatsen en volledige spanningslooszetting van de verbruiker .
* **Drukknop:** Een monostabiele schakelaar (veert terug na indrukken), vereist een teleruptor voor permanente verlichting .
* **Enkelpolige teleruptor:** Wordt gebruikt met één of meerdere drukknop(pen) om een licht te bedienen .
* **Stopcontact:** Zorgt voor de beschikbaarheid van elektrische energie dicht bij de verbruiker .
### 1.13 Basisbewegingen en hun relatie tot elektriciteit
* **Afstand:** Hoe ver een object zich heeft verplaatst, gemeten in meters (m) .
* **Snelheid:** De verandering van afstand per tijdseenheid, gemeten in meters per seconde (m/s) of kilometers per uur (km/u) .
$$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$$
* **Versnelling:** De verandering van snelheid per tijdseenheid, gemeten in meters per seconde kwadraat (m/s²) .
$$a = \frac{\Delta V}{\Delta t}$$
---
# Schakelingen en de wetten van Kirchhoff
Dit deel behandelt de analyse van elektrische netwerken, inclusief serieschakelingen, parallelschakelingen en gemengde netwerken, met een focus op de wetten van Kirchhoff voor het berekenen van stromen en spanningen.
### 2.1 Serieschakeling
In een serieschakeling zijn componenten achtereenvolgens geschakeld, waardoor er slechts één pad voor de stroom is. De totale weerstand is de som van de individuele weerstanden. De spanning over elke component is afhankelijk van zijn weerstand en de totale stroom [25](#page=25) [26](#page=26).
* **Formule totale weerstand:** $R_s = \sum R = R_1 + R_2 + R_3 +...$ [25](#page=25).
* **Formule spanningswet (voor een serieschakeling):** $U_{totaal} = U_1 + U_2 + U_3 +...$ [25](#page=25).
> **Tip:** Bij het oplossen van oefeningen met serieschakelingen, herken dat de stroom ($I$) door elke component hetzelfde is. De deelspanningen ($U$) over de weerstanden sommeren zich tot de totale spanning.
### 2.2 Parallelschakeling
Bij een parallelschakeling zijn componenten parallel geschakeld, waardoor er meerdere paden voor de stroom zijn. De totale stroom splitst zich over de verschillende takken. De spanning over elke parallel geschakelde component is gelijk [28](#page=28).
* **Formule totale stroom:** $I_{totaal} = I_1 + I_2 + I_3 +...$ [28](#page=28).
* **Formule totale weerstand:** $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} +...$ [28](#page=28).
* **Formule spanningswet (voor een parallelschakeling):** $\frac{U}{R_p} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3} +...$ [28](#page=28).
> **Tip:** In een parallelschakeling is de spanning ($U$) over elke tak gelijk. De totale stroom ($I$) splitst zich over de takken, waarbij de stroom door een tak omgekeerd evenredig is met de weerstand in die tak.
### 2.3 Gemengde netwerken
Gemengde netwerken combineren serieschakelingen en parallelschakelingen. De analyse van deze netwerken vereist een systematische aanpak, waarbij de regels voor serieschakelingen en parallelschakelingen stapsgewijs worden toegepast om het netwerk te vereenvoudigen [34](#page=34).
* **Tip:** Herteken het schema van een gemengd netwerk om het visueel te vereenvoudigen, bijvoorbeeld door complexe parallelle secties te vervangen door hun equivalente weerstand [34](#page=34).
* Voor het berekenen van stromen en spanningen in elk component van een gemengd netwerk, is het essentieel om alle deelstromen en deelspanningen te bepalen [35](#page=35) [36](#page=36).
### 2.4 Componenten in een elektrisch netwerk
Een elektrisch netwerk bestaat uit drie basiselementen:
1. **Spannings- of stroombron:** Levert de elektrische energie (bv. batterij, stopcontact) [31](#page=31).
2. **Verbruiker:** Een component die energie omzet (bv. weerstand, lamp) [31](#page=31).
3. **Verbinding:** Draden die de bron en de verbruikers met elkaar verbinden [31](#page=31).
In schema's worden verschillende zaken met pijlen aangeduid [32](#page=32):
* **Spanning van de bron:** Aangegeven in de richting van de stroom [32](#page=32).
* **Spanning over een weerstand (belasting):** In tegengestelde richting van de stroom [32](#page=32).
* **Stroom door het netwerk:** Van de positieve naar de negatieve klem van de bron [32](#page=32).
### 2.5 Spanningsbron en stroombron
Het is belangrijk om het verschil te kennen tussen spannings- en stroombronnen :
* **Spanningsbron:** Levert een (vrijwel) constante spanning. De geleverde stroom varieert met de belasting volgens de wet van Ohm. Voorbeelden zijn een batterij of een stopcontact .
* **Stroombron:** Levert een (vrijwel) constante stroom. De geleverde spanning varieert met de belasting volgens de wet van Ohm .
### 2.6 De wetten van Kirchhoff
De wetten van Kirchhoff zijn fundamentele regels voor de analyse van elektrische netwerken. Ze stellen ons in staat om onbekende stromen en spanningen te berekenen, zowel handmatig als met behulp van wiskundige methoden zoals matrices .
#### 2.6.1 Eerste wet van Kirchhoff (Stroomwet - KCL)
De eerste wet van Kirchhoff, ook wel de stroomwet genoemd, stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenkomen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Equivalenter, de algebraïsche som van alle stromen in een knooppunt is nul, waarbij toekomende stromen positief worden gerekend en weglopende stromen negatief .
* **Formulering:** $\sum I_{in} = \sum I_{out}$ of $\sum I = 0$ .
#### 2.6.2 Tweede wet van Kirchhoff (Spanningswet - KVL)
De tweede wet van Kirchhoff, de spanningswet, stelt dat in een gesloten elektrische kring de algebraïsche som van alle spanningsveranderingen (potentiaalverschillen) nul is. Dit betekent dat de som van de electromotorische spanningen (bronspanningen) gelijk is aan de som van de producten van de stroomsterkte en de bijbehorende weerstand in de kring .
* **Formulering (potentiaalverschillen):** $\sum E + \sum U = 0$ .
* **Formulering (EMK en weerstand):** $\sum E = \sum I \cdot R$ .
> **Tip:** Bij het toepassen van de spanningswet is het cruciaal om consistent te zijn met de gekozen stroomrichtingen en de conventies voor potentiaalstijgingen en -dalingen over componenten en bronnen .
#### 2.6.3 Combinatie van de wetten van Kirchhoff
De wetten van Kirchhoff bieden een krachtige methode om complexe elektrische netwerken te analyseren. Door de stroomwet (KCL) toe te passen op knooppunten en de spanningswet (KVL) op lussen, kunnen stelsels van lineaire vergelijkingen worden opgesteld om onbekende stromen en spanningen te bepalen .
* **Werkwijze:**
1. Identificeer alle knooppunten in het netwerk .
2. Benoem alle stromen en teken hun richting (een willekeurige richting kiezen als deze onzeker is) .
3. Stel het aantal benodigde onafhankelijke vergelijkingen op:
* Aantal KCL-vergelijkingen: Aantal knopen - 1 .
* Aantal KVL-vergelijkingen: Aantal takken - (Aantal knopen - 1) .
4. Schrijf de KCL-vergelijkingen op voor de knooppunten .
5. Kies een omloopzin voor elke lus en schrijf de KVL-vergelijkingen op, waarbij correct omgegaan wordt met de tekens van spanningsverschillen over weerstanden en bronnen .
* Stroomrichting over weerstand volgens omloopzin: $\Delta U = -IR$ .
* Stroomrichting over weerstand tegen omloopzin: $\Delta U = +IR$ .
* Spanningsbron van - naar + volgens omloopzin: $+U$ .
* Spanningsbron van + naar - volgens omloopzin: $-U$ .
6. Los het stelsel van vergelijkingen op. Een positieve uitkomst voor een stroom betekent dat de gekozen richting correct was; een negatieve uitkomst betekent dat de stroom in de tegenovergestelde richting vloeit .
#### 2.6.4 Berekenen met matrices
Stelsels van lineaire vergelijkingen die voortkomen uit de wetten van Kirchhoff kunnen efficiënt worden opgelost met behulp van matrices .
* **Matrixvermenigvuldiging:** De relatie tussen spanningen, weerstanden en stromen kan worden uitgedrukt in matrixvorm ($A = B \cdot I$). Om de stroomvector ($I$) te vinden, kan de inverse van de weerstands-/coëfficiëntenmatrix ($B$) worden gebruikt: $I = B^{-1} \cdot A$ .
* **Werkwijze met rekenmachine (TI Nspire/TI 84 Plus):**
1. Voer de matrices $A$ (resultaatvector) en $B$ (coëfficiëntenmatrix) in .
2. Bereken $B^{-1} \cdot A$. De resulterende kolomvector bevat de waarden van de stromen ($I_1, I_2,...$) .
#### 2.6.5 Berekenen met Row Reduced Echelon Form (RREF)
Een alternatieve matrixmethode is het gebruik van Row Reduced Echelon Form (RREF). Dit vereenvoudigt de augmented matrix (de matrix die de coëfficiënten en de resultaten bevat) tot een vorm waarin de oplossingen direct afleesbaar zijn .
* **Werkwijze met rekenmachine (TI Nspire/TI 84 Plus):**
1. Definieer een matrix die het stelsel vergelijkingen representeert, inclusief de constante termen .
2. Gebruik de RREF-functie op de rekenmachine. De laatste kolom van de resulterende matrix bevat de oplossingen voor de onbekenden (stromen) .
> **Tip:** Bij het toepassen van de wetten van Kirchhoff en matrixmethoden, vergeet de interne weerstanden ($R_i$) van de bronnen niet indien deze in de opgave zijn gegeven. De juiste opstelling van de vergelijkingen en de matrices is cruciaal voor een correcte uitkomst .
---
# Meetapparatuur en meetmethoden
Deze sectie behandelt de praktische aspecten van het gebruik van multimeters en stroomtangen voor het meten van elektrische grootheden, met nadruk op veilige procedures en de interpretatie van resultaten.
### 3.1 Multimeters: functionaliteiten en gebruik
Een multimeter is een essentieel meetinstrument met basisfunctionaliteiten die nodig zijn voor elektronische metingen [38](#page=38).
#### 3.1.1 Soorten multimeters
Er zijn analoge en digitale multimeters, waarbij de focus in deze cursus ligt op digitale multimeters [38](#page=38).
#### 3.1.2 Essentiële functionaliteiten van een digitale multimeter
Voor basisgebruik voldoet een digitale multimeter aan de volgende criteria [38](#page=38):
* Meting van spanning (DC/AC).
* Meting van stroom (DC is vereist, AC niet per se).
* Meting van weerstand.
* Continuïteitstest.
* Autorange is geen vereiste [38](#page=38).
#### 3.1.3 Aanschaf en gebruik
Indien een individuele aankoop van een digitale multimeter overwogen wordt, ligt de richtprijs tussen 30 en 50 euro. Het is toegestaan om een toestel gedurende zes maanden te gebruiken. Bij het meebrengen van een gebruikte multimeter is het aan te raden een reservebatterij mee te nemen [38](#page=38).
#### 3.1.4 Aansluitingen
Voor de meeste metingen worden de meetsnoeren als volgt aangesloten:
* Rood meetsnoer: in de VΩHz aansluiting [39](#page=39).
* Zwart meetsnoer: in de COM (common) aansluiting [39](#page=39).
### 3.2 Meten van weerstand
Het meten van weerstand moet **altijd spanningsloos** gebeuren [39](#page=39) [40](#page=40).
#### 3.2.1 Principe van weerstandsmeting
* Wanneer de geleidende delen van de meetsnoeren tegen elkaar worden gehouden, wordt een weerstand van 0 Ohm gemeten [39](#page=39).
* Wanneer de meetsnoeren ver van elkaar worden gehouden, wordt een oneindige weerstand (∞ Ohm) gemeten, wat op het meettoestel vaak wordt weergegeven als OL (Open Loop) [39](#page=39).
#### 3.2.2 Nauwkeurig meten
Om weerstanden zo nauwkeurig mogelijk te meten, dient de multimeter ingesteld te worden op de meest geschikte range voor de te meten weerstand [40](#page=40).
#### 3.2.3 Veiligheid bij weerstandsmeting
Het is **NOOIT** toegestaan om weerstand te meten onder spanning [39](#page=39) [40](#page=40).
### 3.3 Continuïteitstest
Een continuïteitstester (ook wel doorgangstester genoemd) controleert op de aanwezigheid van een elektrische verbinding [41](#page=41).
#### 3.3.1 Functionaliteit
* Geeft een "biepje" wanneer er een verbinding wordt gemaakt [41](#page=41).
* Geeft OL (Open Loop) weer als er geen verbinding is [41](#page=41).
#### 3.3.2 Veiligheid bij continuïteitstest
Een continuïteitstest moet **altijd spanningsloos** gebeuren [41](#page=41).
### 3.4 Meten van spanning
Spanningsmetingen gebeuren **onder spanning** [42](#page=42).
#### 3.4.1 Meetmethode
Spanning wordt altijd **parallel** met de verbruiker gemeten [43](#page=43).
#### 3.4.2 Meetwaarden bij AC-spanning
Met een multimeter kan enkel DC- of sinusvormige AC-spanningen gemeten worden. Voor andere golfvormen is een oscilloscoop vereist. De multimeter geeft bij AC-spanning de **effectieve waarde** weer [42](#page=42).
#### 3.4.3 Aansluitingen
* Rood meetsnoer: in de VΩHz aansluiting [42](#page=42).
* Zwart meetsnoer: in de COM aansluiting [42](#page=42).
### 3.5 Meten van stroom
Stroommetingen gebeuren **onder spanning** [44](#page=44).
#### 3.5.1 Meetmethode
Stroom wordt altijd **in serie** met de verbruiker gemeten [45](#page=45).
#### 3.5.2 Meetwaarden bij AC-stroom
Net als bij spanning, kan een multimeter met AC-stroom enkel sinusvormige stromen meten. De multimeter geeft hierbij de **effectieve waarde** weer [44](#page=44).
#### 3.5.3 Aansluitingen
* Rood meetsnoer: in de 10A of mA aansluiting, afhankelijk van de te verwachten stroomsterkte [44](#page=44).
* Zwart meetsnoer: in de COM aansluiting [44](#page=44).
### 3.6 Meten van stroom met een stroomtang
Een stroomtang biedt als voordeel dat de stroomkring niet onderbroken hoeft te worden [46](#page=46).
#### 3.6.1 Principe
De stroomtang meet het magnetisme dat afhankelijk is van de stroomsterkte [46](#page=46).
#### 3.6.2 Aandachtspunt
Het is cruciaal om de stroomtang over slechts **één geleider** te plaatsen en niet over twee of drie geleiders [46](#page=46).
#### 3.6.3 Meetconditie
Meten van stroom met een stroomtang gebeurt **onder spanning** [46](#page=46).
### 3.7 Meten van vermogen
Het meten van vermogen gebeurt **onder spanning** [47](#page=47).
#### 3.7.1 Formule
Vermogen wordt berekend met de formule: $P = U \times I$ [47](#page=47).
#### 3.7.2 Meetinstrumenten
* Een wattmeter heeft 3 aansluitingen [47](#page=47).
* Een combinatie van een voltmeter en een ampèremeter wordt gebruikt voor het meten van vermogen en heeft 4 aansluitingen [47](#page=47).
### 3.8 Meten van energie
Het meten van energie gebeurt **onder spanning** [48](#page=48).
#### 3.8.1 Formule
Energie wordt berekend met de formule: $E = P \times t = U \times I \times t$. De eenheid is kilowattuur (kWh) [48](#page=48).
#### 3.8.2 Toepassing
Een energiemeter, zoals die in huizen wordt teruggevonden, is een voorbeeld van een apparaat voor het meten van energie [48](#page=48).
### 3.9 Praktische oefening met eigen multimeter
Tijdens een praktische oefening kan de student met de eigen multimeter verschillende metingen uitvoeren [49](#page=49).
#### 3.9.1 Te meten zaken
* Weerstandswaarden van gegeven weerstanden (met de juiste range) [49](#page=49).
* Controleren of een gloeilampje defect is [49](#page=49).
* Meting van de spanning van een batterij [49](#page=49).
> **Tip:** Als een batterij niet meer is opgeladen, zal de gemeten spanning lager zijn dan de aangegeven spanning. Als de batterij volledig is opgeladen, kan de gemeten spanning hoger zijn dan de aangegeven spanning [49](#page=49).
#### 3.9.2 Zekeringen
De student dient na te gaan of de zekeringen van de eigen multimeter vervangen kunnen worden en, indien mogelijk, welke zekeringen aangekocht moeten worden [49](#page=49).
---
# Digitale tools voor elektrotechnisch ontwerp
De introductie van softwarepakketten zoals Tinkercad, LTSpice en Microsoft Visio maakt het mogelijk om elektrische schakelingen en netwerken te ontwerpen, simuleren en visualiseren [51](#page=51) [69](#page=69).
### 4.1 Tinkercad
Tinkercad is een gratis softwarepakket dat ingezet kan worden ter voorbereiding op het toepassen van elektrotechnische kennis in het labo. Om met Tinkercad te leren werken, doorloopt men eerst het ingebouwde 'Leercentrum' en daarna worden oefeningen zelfstandig gemaakt [51](#page=51) [52](#page=52).
#### 4.1.1 Tinkercad: Leercentrum
Het leercentrum van Tinkercad biedt tutorials om de software aan te leren. Men dient te klikken op 'Alle Circuits Tutorials' en vervolgens bij 'Circuits basisc.' op 'Alleen weergeven'. Het is cruciaal om alle stappen in de volgende zeven tutorials zelfstandig te begrijpen, omdat dit noodzakelijk is voor het succesvol uitvoeren van de oefeningen. Naast de basiscircuits worden ook 'Micro:bit projects' tutorials aangeraden, waarvan er vijf zijn [52](#page=52) [53](#page=53).
#### 4.1.2 Tinkercad: Oefeningen
Na het voltooien van de tutorials is het tijd om Tinkercad in te oefenen. Elke oefening start met een nieuw project, waarbij gebruik gemaakt wordt van een breadboard. De oefeningen worden benoemd met de titel van de slide waaruit ze komen, wat de terugvindbaarheid ten goede komt [54](#page=54).
##### 4.1.2.1 Oefening 1: Serie schakelen van weerstanden
**Voorbereiding:**
1. Teken op papier de schakeling van twee weerstanden van elk 500 Ω in serie [55](#page=55).
2. Bereken de equivalente weerstand [55](#page=55).
**Uitvoering (Tinkercad):**
3. Schakel op een breadboard twee weerstanden van 500 Ω in serie [55](#page=55).
4. Meet met de multimeter de totale weerstand. Deze zou moeten overeenkomen met de berekende waarde [55](#page=55).
##### 4.1.2.2 Oefening 2: Parallel schakelen van weerstanden
**Voorbereiding:**
1. Teken op papier de schakeling van twee weerstanden van elk 500 Ω in parallel [56](#page=56).
2. Bereken de equivalente weerstand [56](#page=56).
**Uitvoering (Tinkercad):**
3. Schakel op een breadboard twee weerstanden van 500 Ω in parallel [56](#page=56).
4. Meet met de multimeter de totale weerstand. Deze zou moeten overeenkomen met de berekende waarde [56](#page=56).
##### 4.1.2.3 Oefening 3: Weerstand gevoed door een bron
**Voorbereiding:**
1. Teken op papier een schema waarbij een weerstand van 100 Ω gevoed wordt door een gelijkspanningsbron van 10 V [57](#page=57).
2. Bereken de stroom doorheen dit netwerk [57](#page=57).
**Uitvoering (Tinkercad):**
3. Teken de bovenstaande schakeling in Tinkercad [57](#page=57).
4. Meet met de multimeter de stroom doorheen de kring. Deze zou moeten overeenkomen met de berekende waarde [57](#page=57).
##### 4.1.2.4 Oefening 4: Niet-ideale spanningsbron
**Voorbereiding:**
1. Teken op papier een niet-ideale spanningsbron waarbij de interne spanning ($E$) 10 V bedraagt, de interne weerstand ($R_i$) 1 Ohm is en de belastingsweerstand ($R_L$) 9 Ω bedraagt [58](#page=58).
2. Bereken de stroom doorheen de kring, en meet de spanning $U$ (klemspanning) [58](#page=58).
**Uitvoering (Tinkercad):**
3. Teken de bovenstaande schakeling in Tinkercad. Maak gebruik van een breadboard [58](#page=58).
4. Meet met de multimeter de stroom doorheen de kring en meet de klemspanning $U$. Deze zou moeten overeenkomen met de berekende waarde [58](#page=58).
5. Verlaag de belastingsweerstand ($R_L$) van 9 Ω naar 4 Ω, en observeer de verandering in de klemspanning $U$ [58](#page=58).
##### 4.1.2.5 Oefening 5: Spanningsdeler
**Theorie:**
Een spanningsdeler is een serieschakeling van twee of meer weerstanden waarbij over een bepaalde weerstand een gewenste spanning kan worden verkregen [59](#page=59).
**Uitvoering (Tinkercad):**
1. Maak in Tinkercad een spanningsdeler waarbij over een weerstand 12 V wordt gemeten. De voeding die over de volledige schakeling is aangesloten is 90 V [59](#page=59).
### 4.2 LTSpice
LTSpice is een gratis softwarepakket dat tegenwoordig veel gebruikt wordt voor het ontwerpen en uitwerken van elektrische netwerken, in plaats van traditionele papieren schema's [69](#page=69).
> **Tip:** Download LTSpice via de verstrekte link op de website van de opleiding en installeer de software op uw Windows- of Mac-apparaat. Een demonstratie van de software wordt gegeven in de les [69](#page=69).
### 4.3 Microsoft Visio
Hoewel niet specifiek uitgewerkt in de verstrekte tekst, wordt Microsoft Visio vermeld als een softwarepakket dat gebruikt kan worden voor het ontwerpen, simuleren en visualiseren van elektrische schakelingen en netwerken. Dit suggereert dat Visio vergelijkbare functionaliteiten kan bieden voor elektrotechnisch ontwerp [51](#page=51) [69](#page=69).
---
# Normering en veiligheid
Dit onderdeel behandelt Europese richtlijnen en normen, met name de CE-markering, en hun cruciaal belang voor productveiligheid en de vrije handel binnen de EU [88](#page=88).
### 5.1 Richtlijnen
Een richtlijn is een bindend besluit van de Europese Unie dat regels bevat voor lidstaten. Lidstaten zijn verplicht om een richtlijn uit te voeren, maar mogen zelf beslissen hoe ze dit aanpakken. De inhoud van de richtlijn moet door de lidstaat in eigen wetgeving worden geïmplementeerd, wat in België doorgaans gebeurt via een Koninklijk Besluit. Europese richtlijnen zijn gratis te raadplegen via http://eur-lex.europa.eu [88](#page=88) [90](#page=90).
### 5.2 Normen
Een norm biedt praktische en technische invulling om te voldoen aan een richtlijn. Een geharmoniseerde norm is een Europese norm die aangeeft hoe aan een richtlijn kan worden voldaan en is enkel geldig binnen Europa. Hoewel het gebruik van een geharmoniseerde norm niet verplicht is, biedt het wel maximale juridische dekking. (Belgische) normen zijn tegen betaling verkrijgbaar via http://www.nbn.be/ [89](#page=89).
#### 5.2.1 Organisaties die normen opstellen
* **Comité Européen de Normalisation (CEN):** Opgericht in 1961 door nationale standaardiseringscomités in de Europese Economische Gemeenschap en de Europese Vrijhandelsassociatie. Normen van het CEN staan bekend als Europese norm (EN) [91](#page=91).
* **International Organization for Standardization (ISO):** Een internationale organisatie die normen vastlegt en een samenwerkingsverband is van nationale standaardisatieorganisaties in 156 landen wereldwijd [91](#page=91).
* **International Electrotechnical Commission (IEC):** Gevestigd in Genève, Zwitserland, ontwikkelt algemene internationale normen voor de veiligheid van elektrische componenten en apparatuur wereldwijd [92](#page=92).
* **Bureau voor Normalisatie (NBN):** Dit is de Belgische nationale normalisatie-instelling, die in 2003 het Belgisch Instituut voor Normalisatie (BIN) verving [92](#page=92).
#### 5.2.2 Zelf normen opzoeken
Als VIVES-student kunnen normen worden opgezocht via de Limo-databank van de bibliotheek. De stappen omvatten het aanmelden bij Limo, het zoeken naar 'NBN' onder 'Databanken', het selecteren van de MyNBN Normendatabank – Leeszaal en het kiezen van 'Associatie KU Leuven' [93](#page=93).
**Voorbeeld van normopzoeking:**
Een oefening kan bestaan uit het opzoeken van een norm die iets behandelt over 'implantaten', het achterhalen van de kostprijs ervan, en het onderzoeken van de norm NBN EN ISO 9999 (onderwerp, jaartal, aantal uitgaven, mogelijkheid tot opslaan). Verder kan gevraagd worden om codes binnen de norm NBN EN ISO 9999 te interpreteren en een code te vinden die 'assistieve producten voor sporters' behandelt [94](#page=94) [95](#page=95).
### 5.3 CE-markering
#### 5.3.1 Definitie en doel
De CE-markering, die op veel producten te vinden is, geeft aan dat een product voldoet aan de geldende Europese regels binnen de Europese Economische Ruimte (EER). CE staat voor Conformité Européenne. De CE-markering heeft twee hoofddoelen: het mogelijk maken van vrije handel binnen de EU en het garanderen van de veiligheid van producten [96](#page=96).
#### 5.3.2 Verantwoordelijkheid van de fabrikant
De fabrikant brengt zelf de CE-markering aan en verklaart hiermee dat het toestel voldoet aan alle relevante EU-richtlijnen. Indien er een ongeluk gebeurt met het toestel, wordt nagegaan of aan deze eisen is voldaan. Indien niet, is de fabrikant verantwoordelijk; indien wel, is de gebruiker verantwoordelijk wegens een gemaakte fout. De fabrikant draagt de volledige verantwoordelijkheid voor de verklaring dat aan alle eisen is voldaan [97](#page=97).
#### 5.3.3 Aangemelde instantie (Notified Body)
Omdat het voldoen aan de machinerichtlijn complex kan zijn, kan een 'notified body' of aangemelde instantie worden ingeschakeld. Een notified body is een door de overheid aangewezen keurings- of testinstituut dat producten test. Voor bepaalde machines, zoals medische apparatuur, is het inschakelen van een notified body verplicht. Vinçotte is een voorbeeld van een notified body in België [98](#page=98).
#### 5.3.4 Procedure voor het verkrijgen van een CE-markering
De procedure om een CE-markering te verkrijgen omvat de volgende stappen [99](#page=99):
1. Onderzoek aan welke EU-eisen het product moet voldoen.
2. Controleren of het product aan de specifieke eisen voldoet.
3. Nagaan of het product getest moet worden door een aangemelde instantie.
4. Testen van het product.
5. Samenstellen van het technisch dossier.
6. Aanbrengen van de CE-markering en opstellen van een verklaring van overeenstemming.
Meer informatie over de CE-markering is te vinden op https://europa.eu/youreurope/business/product/ce-mark/index_nl.htm [99](#page=99).
#### 5.3.5 Wijzigingen aan producten met CE-markering
Indien een aanpassing wordt gedaan aan een sporttechnologisch toestel met een CE-markering, kan de CE-markering vervallen. Een fundamentele wijziging wordt gedefinieerd. Bij een dergelijke wijziging moeten specifieke procedures worden gevolgd. Na een wijziging kan de verantwoordelijkheid anders komen te liggen [100](#page=100).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| SI-stelsel | Het internationale stelsel van eenheden (Système International d'Unités), een metrisch systeem dat uniformiteit biedt voor het weergeven van grootheden en eenheden, wat internationale gegevensuitwisseling vergemakkelijkt. |
| Basiseenheden | De zeven onderling onafhankelijke eenheden die de fundamentele grootheden van het SI-stelsel vertegenwoordigen, waaronder lengte (meter), massa (kilogram), tijd (seconde), elektrische stroom (ampère), absolute temperatuur (kelvin), hoeveelheid stof (mol) en lichtsterkte (candela). |
| SI-prefixen | Vermenigvuldigingsfactoren die aan SI-eenheden kunnen worden toegevoegd om veelvouden of delen van die eenheden aan te geven, zoals kilo (k, 10³), mega (M, 10⁶) en milli (m, 10⁻³). |
| Stroom | De vrije beweging van elektronen die ontstaat wanneer energie wordt toegevoegd aan een atoom, waardoor elektronen zich kunnen verplaatsen. Wiskundig gedefinieerd als de hoeveelheid elektrische lading (Q) die per tijdseenheid (t) door een doorsnede vloeit, met de formule $I = \frac{Q}{t}$. |
| Elektrische lading | De fundamentele eigenschap van materie die elektrische verschijnselen veroorzaakt, uitgedrukt in Coulomb (C). |
| Coulomb | De eenheid van elektrische lading. |
| Ampère | De eenheid van elektrische stroomsterkte (symbool A). |
| Volt | De eenheid van elektrische spanning (symbool V). |
| Elektrische spanning | Het potentiaalverschil tussen twee punten in een elektrisch circuit, dat de drijvende kracht is achter de stroom. |
| Weerstand | De mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom belemmert, uitgedrukt in Ohm (Ω). |
| Ohm | De eenheid van elektrische weerstand (symbool Ω). |
| Geleiding | Het omgekeerde van weerstand, wat aangeeft hoe goed een materiaal elektrische stroom geleidt. De eenheid is Siemens (S), waarbij $G = \frac{1}{R}$. |
| Siemens | De eenheid van elektrische geleiding. |
| Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektrotechniek die de relatie tussen spanning (U), stroom (I) en weerstand (R) beschrijft: $I = \frac{U}{R}$ of $U = I \cdot R$ of $R = \frac{U}{I}$. |
| Elektrisch vermogen | De snelheid waarmee elektrische energie wordt omgezet of overgedragen, uitgedrukt in Watt (W). Berekend met de formules $P = U \cdot I$, $P = I^2 \cdot R$ of $P = \frac{U^2}{R}$. |
| Watt | De eenheid van elektrisch vermogen. |
| Elektrische arbeid | De totale hoeveelheid elektrische energie die wordt verbruikt of geleverd over een bepaalde periode, uitgedrukt in Joule (J) of kilowattuur (kWh). Berekend met $W = P \cdot t = U \cdot I \cdot t$. |
| Joule | De eenheid van energie of arbeid. |
| Rendement | De verhouding tussen het nuttige vermogen of de nuttige energie en het totaal toegevoerd vermogen of de totaal toegevoerde energie, uitgedrukt in een percentage (η). |
| Serieschakeling | Een schakeling waarbij componenten na elkaar zijn verbonden, zodat de stroom door elk component dezelfde is en de spanningen zich optellen. De totale weerstand is de som van de individuele weerstanden ($R_{s} = \sum R$). |
| Parallelschakeling | Een schakeling waarbij componenten naast elkaar zijn verbonden, zodat de spanning over elk component dezelfde is en de stromen zich optellen. De inverse van de totale weerstand is de som van de inversen van de individuele weerstanden ($\frac{1}{R_{p}} = \sum \frac{1}{R}$). |
| Gemengd netwerk | Een elektrisch netwerk dat een combinatie is van zowel serie- als parallelschakelingen. |
| Spanningbron | Een elektrische component die een (ongeveer) constante spanning levert, waarbij de stroom varieert afhankelijk van de belasting. |
| Stroombron | Een elektrische component die een (ongeveer) constante stroom levert, waarbij de spanning varieert afhankelijk van de belasting. |
| Wetten van Kirchhoff | Een set van twee wetten die de basis vormen voor de analyse van elektrische netwerken: de stroomwet (KCL) en de spanningswet (KVL). |
| Stroomwet van Kirchhoff (KCL) | Stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenstromen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. De algebraïsche som van de stromen in een knooppunt is nul. |
| Spanningswet van Kirchhoff (KVL) | Stelt dat de som van de potentiaalverschillen (spanningen) over de verschillende elementen in een gesloten kring gelijk is aan nul. Of, de som van de elektromotorische spanningen is gelijk aan de som van de spanningsvallen over de weerstanden. |
| Gelijkstroom (DC) | Een elektrische stroom die een constante stroomrichting heeft. |
| Wisselstroom (AC) | Een elektrische stroom die voortdurend van waarde en richting verandert. |
| Periode (T) | De tijd die nodig is voor één volledige cyclus van een periodieke wisselstroom of -spanning. |
| Frequentie (f) | Het aantal periodes per seconde van een wisselstroom of -spanning, uitgedrukt in Hertz (Hz). $f = \frac{1}{T}$. |
| Gemiddelde waarde | Het rekenkundig gemiddelde van de momentane waarden van een stroom of spanning over een bepaald tijdsinterval. Voor periodieke wisselstromen is de gemiddelde waarde over één periode nul. |
| Sinusoïdale spanning | Een wisselspanning waarvan de momentane waarde wordt beschreven door een sinusfunctie, $u = \hat{u} \cdot \sin(\omega \cdot t)$, waarbij $\hat{u}$ de amplitude is en $\omega$ de cirkelfrequentie. |
| Amplitude (Û) | De maximale waarde van een sinusoïdale spanning of stroom. |
| Cirkelfrequentie (ω) | Gerelateerd aan de frequentie (f) door $\omega = 2 \pi f$, en bepaalt de snelheid van de sinusgolf. |
| Effectieve (RMS) waarde | De waarde van een gelijkstroom die in een bepaalde weerstand dezelfde hoeveelheid warmte zou ontwikkelen als de betreffende wisselstroom. Voor een sinus is de effectieve waarde $U_{rms} = \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}$. |
| RMS (Root Mean Square) | De wiskundige berekening voor de effectieve waarde, waarbij de wortel uit het gemiddelde van de kwadraten wordt genomen. |
| CE-markering | Een conformiteitsmarkering die aangeeft dat een product voldoet aan de relevante Europese richtlijnen en normen, wat vrije handel binnen de EU mogelijk maakt en de productveiligheid garandeert. |
| Richtlijn | Een bindend besluit van de Europese Unie dat regels bevat voor lidstaten, die verplicht zijn de richtlijn uit te voeren, maar zelf de implementatiemethode mogen bepalen. |
| Norm | Een praktische of technische invulling die aangeeft hoe aan een richtlijn kan worden voldaan. Een geharmoniseerde norm is een Europese norm die niet verplicht is, maar maximale juridische dekking biedt. |
| Notified body (Aangemelde instantie) | Een door de overheid aangewezen keurings- of testinstituut dat producten test om te controleren of ze voldoen aan specifieke EU-richtlijnen, wat bij bepaalde machines verplicht is. |
| Afstand | De mate waarin een object zich heeft verplaatst, uitgedrukt in meters (m). |
| Snelheid | De verandering van afstand per tijdseenheid, uitgedrukt in meters per seconde (m/s) of kilometers per uur (km/u). |
| Versnelling | De verandering van snelheid per tijdseenheid, uitgedrukt in meters per seconde kwadraat (m/s²). |
| Schakelaar | Een component met twee stabiele standen die wordt gebruikt om een elektrische kring te openen of te sluiten om apparaten te bedienen. |
| Drukknop | Een component met één stabiele stand die alleen een contact maakt zolang de knop wordt ingedrukt. |
| Teleruptor | Een relais dat, in combinatie met een drukknop, wordt gebruikt om verlichting te bedienen, zelfs na het loslaten van de knop. |
| Stopcontact (Wandcontactdoos) | Een contactdoos die wordt gebruikt om elektrische energie beschikbaar te maken voor verbruikers. |
| Eéndraadschema | Een schematische weergave van een elektrische installatie waarbij alle componenten op één lijn worden getekend, vaak gebruikt voor het tonen van de logische verbindingen. |
| Situatieplan | Een plattegrond van een gebouw of locatie waarop de plaatsing van elektrische componenten, zoals stopcontacten en schakelaars, is aangegeven. |
| Elektromagnetische inductie | Het principe waarbij een spanning wordt opgewekt in een geleider wanneer deze wordt blootgesteld aan een veranderend magnetisch veld. |
| Magnetische fluxdichtheid (B) | Een maat voor de sterkte van een magnetisch veld, uitgedrukt in Tesla (T). |
| Lussen (in een netwerk) | Een gesloten pad in een elektrisch netwerk dat kan worden doorlopen zonder hetzelfde punt meer dan eens te passeren. |
| Knooppunten (in een netwerk) | Een punt in een elektrisch netwerk waar drie of meer geleiders samenkomen. |
Cover
2) CURSUS Elektrotechniek.pdf
Summary
# Elektrische grootheden en hun effecten
Dit onderwerp behandelt de fundamentele elektrische grootheden stroom, spanning en weerstand, inclusief de verschillende effecten die elektrische stroom kan hebben en de wet van Ohm.
### 1.1 Elektrische stroom
Elektrische lading werd al in de klassieke oudheid ontdekt door de Grieken, die waarnamen dat opgewreven barnsteen lichte deeltjes kon aantrekken. Het verschijnsel elektriciteit is vernoemd naar het Griekse woord voor barnsteen, 'elektron'. Er zijn twee soorten ladingen: positieve en negatieve. Ladingen van hetzelfde teken stoten elkaar af, terwijl ladingen van verschillend teken elkaar aantrekken [7](#page=7) [8](#page=8).
#### 1.1.1 Elektronen theorie
Atomen, de bouwstenen van materie, bestaan uit een positief geladen kern en negatief geladen elektronen die eromheen cirkelen. In hun normale toestand zijn atomen elektrisch neutraal omdat het aantal protonen en elektronen gelijk is en hun ladingen tegengesteld. Elektrische lading is gekwantificeerd, en de kleinste eenheid is de elementaire ladingseenheid, ontdekt door Robert Millikan. De elektrische lading (Q) wordt uitgedrukt in Coulomb (C). Een definitie van de Coulomb is de lading die in 1 seconde door de dwarsdoorsnede van een geleider vloeit bij een constante stroom van 1 ampère [8](#page=8).
Wanneer een elektron voldoende energie ontvangt, kan het naar een hogere schil springen (excitatie) of zich volledig losmaken van het atoom (ionisatie), waarbij een vrij elektron ontstaat en het atoom een ion wordt. Deze vrije elektronen kunnen zich door de materie verplaatsen [9](#page=9).
Als een elektrisch potentiaalverschil wordt aangelegd over een geleider (bijvoorbeeld een koperen blok), zullen de vrije elektronen zich in een specifieke richting verplaatsen. Deze verplaatsing van vrije elektronen door materie wordt een elektronenstroom of elektrische stroom genoemd [9](#page=9).
Traditioneel wordt elektrische stroom beschouwd als de verplaatsing van positieve lading van positieve naar negatieve zijde, een conventie vastgelegd door Benjamin Franklin. In werkelijkheid is het echter de beweging van elektronen in de tegenovergestelde richting. De stroom (I) is de hoeveelheid elektrische lading per tijdseenheid en wordt uitgedrukt in Ampère (A). De formule hiervoor is [9](#page=9): $$I = \\frac{Q}{t} , \\left\[ \\frac{\\text{C}}{\\text{s}} = \\text{A} \\right\]$$
#### 1.1.2 Effecten van elektrische stroom
Elektrische stroom kan diverse effecten veroorzaken:
* **Thermisch effect:** Een elektronenstroom ontwikkelt warmte in een geleider. Dit wordt toegepast in verwarmingstoestellen, waterkokers, strijkijzers, soldeerbouten, kookplaten en ovens. Het kan echter ook een ongewenst effect zijn, zoals het oververhitten van geleiders [10](#page=10).
* **Chemisch effect:** Bij elektrolyse, waarbij een potentiaalverschil wordt aangelegd over elektroden in een elektrolyt, worden materiedeeltjes uit het elektrolyt vrijgemaakt of afgezet op de elektroden. Dit wordt gebruikt in de elektrochemie (voor de productie van zuurstof en waterstof) en metallurgie (elektroplating voor corrosiebescherming of verfraaiing) [10](#page=10).
* **Magnetisch effect:** Wanneer een elektronenstroom door een geleider vloeit, ontstaan er concentrische magnetische veldlijnen rondom de geleider, waarbij elektrische energie wordt omgezet in magnetische energie. De richting van deze veldlijnen kan bepaald worden met de kurkentrekker-regel. Dit effect wordt toegepast in elektromotoren, generatoren, relais en transformatoren [10](#page=10).
* **Mechanisch effect:** Een geleider met een elektronenstroom ondervindt een interactiekracht (lorentzkracht) in een magnetisch veld. Dit principe ligt ten grondslag aan de werking van elektromotoren, waar elektrische energie wordt omgezet in mechanische energie [11](#page=11).
* **Licht effect:** Wanneer snel bewegende elektronen botsen tegen atomen van een gas, kunnen deze atomen in een geëxciteerde toestand raken. Bij het terugkeren naar hun oorspronkelijke toestand zenden de elektronen elektromagnetische straling uit, die vaak als licht wordt waargenomen (elektroluminescentie). Dit wordt gebruikt in gasontladingsbuizen [11](#page=11).
* **Fysiologisch effect:** Een elektrische stroom door het menselijk lichaam kan leiden tot spierverlamming, elektrolyse van lichaamsvochten, verbranding van weefsels, of zelfs hartstilstand of ademhalingsproblemen. Het gevaar van een elektrische schok hangt af van de stroomsterkte, de duur van blootstelling, het contactpunt en de baan die de stroom door het lichaam volgt [11](#page=11).
De volgende tabel toont de effecten van stroomsterkte op het menselijk lichaam, afhankelijk van de duur van blootstelling [11](#page=11) [12](#page=12):
Stroomsterkte (mA) Fysiologisch effect Duur van de blootstelling
0,01 – 1 Gewaarwordingsdrempel ∞
1 – 5 Gevoel verdwijnt, verstijving van de hand ∞
5 Duidelijk waarneembare elektrische schok ∞
5 – 15 Samentrekking spieren, loslaten problematisch ∞
15 – 25 Loslaten onmogelijk, ademhalingsproblemen, pijndrempel minuten
25 – 50 Samentrekken spieren ademhaling, verhoging bloeddruk, minuten/ seconden
onregelmatige hartslag
50 – 80 Verlies bewustzijn, hartfibrillatie < 1 hartcyclus / > 1 hartcyclus
80 – 500 Hevige schok: verlies bewustzijn, hartfibrillatie, < 1 hartcyclus / > 1 hartcyclus
verbrandingsverschijnselen
De menselijke weerstand varieert met de staat van de huid: droog (ongeveer 2000 Ω), nat (ongeveer 1000 Ω), of doorweekt (ongeveer 500 Ω) [12](#page=12).
#### 1.1.3 Stroomdichtheid
De stroomdichtheid (J) in een geleider is de stroomsterkte (I) per vierkante meter doorsnede van de geleider. De formule is [12](#page=12): $$J = \\frac{I}{A} , \\left\[ \\frac{\\text{A}}{\\text{m}^2} \\right\]$$
### 1.2 Elektrische spanning
Elektrische spanning is het verschil in elektrisch potentiaal tussen twee punten. Een spanning van 1 Volt treedt op tussen twee punten wanneer 1 Joule energie wordt uitgewisseld bij het verplaatsen van een lading van 1 Coulomb. De formule is [12](#page=12): $$U = \\frac{W}{Q} , \\left\[ \\frac{\\text{J}}{\\text{C}} = \\text{V} \\right\]$$
Elektrische bronnen hebben een hoger potentiaal aan de plusklem dan aan de minklem. Een verbinding tussen de polen leidt tot een potentiaalverschil, waardoor elektrische lading zich verplaatst en een elektrische stroom vloeit [13](#page=13).
#### 1.2.1 Spanningsbron
Een ideale spanningsbron levert een constante spanning, ongeacht de hoeveelheid afgenomen elektrische energie. In de praktijk worden voedingen elektronisch geregeld om zich zo ideaal mogelijk te gedragen. Gelijkspanningsbronnen (DC) en wisselspanningsbronnen (AC) worden voorgesteld met specifieke symbolen [13](#page=13).
#### 1.2.2 Niet ideale spanningsbron: Relatie tussen elektromotorische spanning en klemspanning
Een niet-ideale spanningsbron bestaat uit een bron met een elektromotorische spanning (E of emk - elektromotorische kracht) en een interne weerstand ($R\_i$) die in serie staat met de bron. De elektromotorische spanning (ems) is het potentiaalverschil over de klemmen van de bron wanneer deze geen stroom levert [13](#page=13).
Als een spanningsbron met interne weerstand $R\_i$ een lading Q in een kring met weerstand R stuurt, moet de bron totale arbeid W leveren. Een deel van deze arbeid ($W\_u$) wordt gebruikt om de stroom door de verbruiker te verplaatsen, en een ander deel ($W\_i$) is nodig om de ladingen intern door de bron te verplaatsen [14](#page=14). $$W = W\_u + W\_i$$ Uitgedrukt in spanningen is dit: $$E = U + u = U + I \\cdot R\_i$$ De klemspanning (U) wordt dan gegeven door: $$U = E - I \\cdot R\_i$$ De klemspanning is dus gelijk aan de elektromotorische spanning verminderd met het interne spanningsverlies [14](#page=14).
#### 1.2.3 Ontstaan van elektrische energie
Elektrische energie kan op verschillende manieren ontstaan:
* **Omzetting van wrijvingsenergie in elektrische energie:** Dit gebeurt vaak ongewenst, bijvoorbeeld door wrijving van kleding of bewegende onderdelen [14](#page=14).
* **Piezo-elektriciteit:** Kristallen van bepaalde materialen (zoals kwarts) ontwikkelen een potentiaalverschil wanneer ze mechanische druk of trek ondervinden. Dit wordt toegepast in kristalmicrofoons, platenspelers en radiozenders [14](#page=14).
* **Thermo-elektriciteit:** Aan de verbindingsplaats van twee verschillende metalen ontstaat een contactpotentiaalverschil door verschillen in het aantal vrije elektronen. Door warmte toe te voegen aan deze verbinding, kan dit potentiaalverschil vergroot worden. Dit wordt gebruikt in pyrometers en thermo-omvormers [15](#page=15).
* **Foto-elektriciteit:** Wanneer bepaalde materialen lichtenergie absorberen, komen er elektronen vrij. Dit effect vereist dat de lichtenergie een minimale waarde heeft (de frequentie van de straling moet een welbepaalde waarde overschrijden) [15](#page=15).
* **Galvanische elektriciteit:** Dit is de omzetting van chemische energie in elektrische energie, zoals in batterijen (galvanische cellen) en accumulatoren. Een voorbeeld is de zink-koper cel, waar zink meer negatief is dan koper, wat leidt tot een potentiaalverschil en een zink-elektrode als negatieve pool en een koper-elektrode als positieve pool [15](#page=15).
* **Omzetting van magnetisch-mechanische energie in elektrische energie:** Wanneer een geleider magnetische veldlijnen snijdt of wanneer een spoel een magnetische fluxvariatie ondervindt, worden elektrische potentialen geïnduceerd (elektromagnetische inductie). Dit is het principe waarop machinegeneratoren (dynamo's en alternatoren) gebaseerd zijn [16](#page=16).
### 1.3 Elektrische weerstand
Elektrische weerstand is de mate waarin een materiaal de doorstroming van stroom belemmert en wordt uitgedrukt in Ohm (Ω). Een weerstand is niet gepolariseerd en zet elektrische energie om in warmte. Hoewel dit energieverlies vaak ongewenst is, wordt het gebruikt in apparaten zoals koffiezetapparaten en waterkokers [16](#page=16).
#### 1.3.1 Specifieke weerstand van materiaal
De specifieke weerstand of resistiviteit (ρ) van een materiaal is de weerstand van een geleider met een lengte van 1 meter en een doorsnede van 1 vierkante meter. Het wordt uitgedrukt in Ohm-meter (Ωm) [16](#page=16).
MateriaalSoortelijke weerstand ρ bij 20 °C (10⁻⁸ Ωm)aluminium2,70brons30chroom13constantaan45goud2,20grafiet1000koper1,72lood21messing60nikkel7,8platina10,6wolfraam5,5ijzer10,5zilver1,60zink6,2hout3.10¹⁰rubber10¹³
#### 1.3.2 Weerstand van een geleider
De weerstand (R) van een geleider is het product van de resistiviteit (ρ) en de lengte (l), gedeeld door de doorsnede (A). De formule is [17](#page=17): $$R = \\frac{\\rho \\cdot l}{A} , \[\\Omega\]$$
#### 1.3.3 Temperatuurscoëfficiënt
De weerstand van een geleider is over het algemeen temperatuurafhankelijk. De temperatuurscoëfficiënt (α) geeft de weerstandsverandering per ohm beginweerstand en per graad temperatuursverandering aan. De weerstand bij temperatuur $t\_2$ kan worden berekend met de volgende formule, indien de weerstand bij temperatuur $t\_1$ bekend is [17](#page=17): $$R\_{t\_2} = R\_{t\_1} \\left\[ \\frac{1 + \\alpha t\_2}{1 + \\alpha t\_1} \\right\]$$
#### 1.3.4 Geleidbaarheid
Geleidbaarheid (G) is het omgekeerde van elektrische weerstand en wordt uitgedrukt in Siemens (S). Stoffen die stroom goed geleiden worden geleiders genoemd (zoals goud, koper, aluminium), terwijl stoffen die stroom slecht geleiden isolatoren zijn (zoals rubber, PVC, glas) [18](#page=18). $$G = \\frac{1}{R} , \\left\[ \\frac{1}{\\Omega} = \\text{S} \\right\]$$
#### 1.3.5 Een weerstand die licht geeft: de gloeilamp
Wanneer voldoende stroom door een weerstand vloeit, kan deze gaan gloeien. In een gloeilamp wordt de gloeidraad in een zuurstofarme omgeving geplaatst om verbranding te voorkomen. De weerstand van de gloeidraad neemt toe met de temperatuur, waardoor de weerstand onder belasting 2 tot 4 keer groter kan zijn dan de weerstand van een niet-brandende lamp [18](#page=18).
#### 1.3.6 De wet van Ohm
De wet van Ohm stelt dat de elektrische weerstand van een verbruiker de constante verhouding is van de spanning over deze verbruiker en de intensiteit van de stroom die er doorheen vloeit, bij een constante temperatuur. De wet werd in 1827 door Georg Simon Ohm gepubliceerd. De formule is [18](#page=18) [19](#page=19): $$R = \\frac{U}{I} , \\left\[ \\frac{\\text{V}}{\\text{A}} = \\Omega \\right\]$$
### 1.4 Elektrische arbeid en vermogen
#### 1.4.1 Elektrische arbeid of energie
Elektrische energie kan worden omgezet in andere vormen van energie. De elektrische arbeid of energie (W) in een verbruiker is het product van het potentiaalverschil (U) over de klemmen en de hoeveelheid elektriciteit (Q) die erin wordt verplaatst, uitgedrukt in Joule (J) [19](#page=19). $$W = U \\cdot Q \\quad \\text{of} \\quad W = U \\cdot I \\cdot t , \\left\[ \\text{V} \\cdot \\text{C} \\quad \\text{of} \\quad \\text{V} \\cdot \\text{A} \\cdot \\text{s} = \\text{W} \\cdot \\text{s} = \\text{J} \\right\]$$ Door de wet van Ohm te substitueren, krijgen we: $$W = I^2 \\cdot R \\cdot t \\quad \\text{of} \\quad W = \\frac{U^2}{R} \\cdot t$$
#### 1.4.2 Elektrisch vermogen
Het elektrisch vermogen (P), ontwikkeld in een verbruiker of geleverd door een bron, is de elektrische arbeid of energie per seconde en wordt uitgedrukt in Watt (W) [19](#page=19). $$P = \\frac{W}{t} = U \\cdot I \\quad \\text{of} \\quad P = I^2 \\cdot R \\quad \\text{of} \\quad P = \\frac{U^2}{R} , \[W\]$$
#### 1.4.3 Het rendement en maximaal vermogen van een spanningsbron
Het rendement ($\\eta$) van een elektrische spanningsbron is de verhouding van de nuttig geleverde energie tot de totale energie, of het nuttig vermogen tot het totaal vermogen, of de verhouding van de klemspanning tot de elektromotorische spanning [20](#page=20). $$\\eta = \\frac{W\_n}{W\_t} = \\frac{P\_n}{P\_t} = \\frac{U}{E} , \[%\]$$ Het nuttig vermogen ($P\_n$) is: $$P\_n = U \\cdot I = U \\cdot \\frac{E - U}{R\_i} , \[W\]$$ Het nuttig vermogen is maximaal wanneer de belastingsweerstand ($R\_L$) gelijk is aan de interne weerstand ($R\_i$) van de bron. In dit geval is de klemspanning de helft van de elektromotorische spanning ($U = E/2$) [20](#page=20). $$P\_n (\\text{max}) = \\frac{E^2}{4 \\cdot R\_i} , \[W\]$$ Wanneer een spanningsbron zijn maximaal vermogen levert, is het rendement van de bron slechts 50% [20](#page=20).
* * *
# Soorten elektrische stromen en vermogensbij wisselstroom
Dit deel gaat dieper in op de kenmerken van wisselstromen en wisselspanningen, inclusief hun effectieve waarden, faseverschillen, en de berekening van de verschillende soorten vermogens.
### 2.1 Gelijkstroom
Een gelijkstroom is gedefinieerd als een elektrische stroom die een constante stroomrichting heeft. Er wordt onderscheid gemaakt tussen een constante gelijkstroom, waarbij de waarde onveranderd blijft, en een veranderlijke gelijkstroom, waarbij de waarde wel fluctueert. Gelijkstromen worden opgewekt door een gelijkspanning, die doorgaans afkomstig is van een batterij of een voeding met een gelijkrichter [21](#page=21).
### 2.2 Wisselstroom
#### 2.2.1 Definitie
Een wisselende stroom is een stroom die continu verandert van zowel waarde als zin, op een willekeurige wijze. Een specifieke vorm hiervan is de periodieke stroom, waarbij het verloop van de stroomwaarden identiek is in opeenvolgende, gelijke tijdsintervallen [21](#page=21).
Het tijdsinterval waarin dit herhalende patroon plaatsvindt, wordt de periode ($T$) genoemd. De frequentie ($f$) geeft aan hoeveel van deze perioden er per seconde plaatsvinden en wordt berekend met de formule [22](#page=22): $$f = \\frac{1}{T} , \[\\text{Hz}\]$$ [22](#page=22).
De gemiddelde waarde van een willekeurig veranderlijke stroom over een bepaald tijdsinterval is het rekenkundig gemiddelde van alle momentane waarden binnen dat interval [22](#page=22).
Een wisselstroom of wisselspanning wordt specifiek gedefinieerd als een periodieke stroom of spanning waarvan de gemiddelde waarde over één volledige periode nul is [22](#page=22).
#### 2.2.2 De sinusoïdale spanning
Een sinusoïdale spanning is een speciaal type wisselspanning waarbij de momentane waarde algebraïsch kan worden uitgedrukt als het product van een constante waarde (de amplitude) en een sinusfunctie. De formule hiervoor is [23](#page=23): $$e = \\hat{E} \\cdot \\sin(\\omega \\cdot t)$$ [23](#page=23).
In deze uitdrukking staat $\\omega$ voor de cirkelfrequentie, gemeten in s⁻¹, en is gelijk aan $2 \\cdot \\pi \\cdot f$. De amplitude $\\hat{E}$ vertegenwoordigt de hoogst mogelijke momentane waarde die de spanning kan bereiken. Dit geldt analoog voor sinusoïdale stromen [23](#page=23).
##### 2.2.2.1 Induceren van een sinusoïdale spanning
Een zuiver sinusoïdale spanning kan worden geïnduceerd in een rechthoekige winding die met een constante hoeksnelheid ronddraait in een uniform magnetisch veld. Stel een rechthoekige winding met actieve geleiders $a$ en $b$ van lengte $l$, gescheiden door een afstand $d$. Wanneer deze winding ronddraait met een eenparige hoeksnelheid $\\Omega$ in een magnetisch veld met inductie $B$, snijden de geleiders magnetische veldlijnen. Dit induceert een elektromotorische spanning (ems) of elektromotorische kracht (emk) in elke geleider [23](#page=23).
De momentane waarde van de geïnduceerde ems in elke geleider is: $$e\_1 = B \\cdot l \\cdot v \\cdot \\sin(\\omega \\cdot t)$$ [23](#page=23).
Waar $v$ de omtreksnelheid is. De spanningen in de twee geleiders versterken elkaar in de winding, wat resulteert in een totale spanning van: $$e = 2 \\cdot B \\cdot l \\cdot v \\cdot \\sin(\\omega \\cdot t)$$ [23](#page=23).
Wanneer het vlak van de winding de horizontale positie passeert, snijden de geleiders de magnetische krachtlijnen loodrecht, wat resulteert in een maximale geïnduceerde ems. De amplitude $\\hat{E}$ wordt dan [24](#page=24): $$\\hat{E} = 2 \\cdot B \\cdot l \\cdot v$$ [24](#page=24).
De omtreksnelheid $v$ is gerelateerd aan het aantal omwentelingen per seconde $n$ door $v = \\pi \\cdot d \\cdot n$. De magnetische flux $\\Phi$ is gedefinieerd als $\\Phi = B \\cdot l \\cdot d$. Met deze relaties kan de amplitudeformule worden aangepast tot $\\hat{E} = \\Phi \\cdot \\omega$, en de vergelijking voor de momentane waarde wordt dan $e = \\Phi \\cdot \\omega \\cdot \\sin(\\omega \\cdot t)$ [24](#page=24).
#### 2.2.3 Begrippen
##### 2.2.3.1 Effectieve waarde
De effectieve waarde van een sinusoïdale stroom is gedefinieerd als de waarde die een constante gelijkstroom zou moeten hebben om in dezelfde weerstand en over dezelfde tijdsduur dezelfde hoeveelheid warmte te produceren als de betreffende wisselstroom [24](#page=24).
Voor zowel stroom ($I$) als spanning ($E$) gelden de volgende relaties met hun respectievelijke piekaarwaarden ($\\hat{I}$ en $\\hat{E}$): $$I = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\hat{I} = 0.707 \\cdot \\hat{I}$$ [25](#page=25). $$E = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\hat{E} = 0.707 \\cdot \\hat{E}$$ [25](#page=25).
##### 2.2.3.2 Fase
De fase van een elektrische grootheid is de kleinste hoek (positief of negatief) tussen de nulwaarde van die grootheid en de oorsprong van het assenstelsel, waarbij de grootheid na de beschouwde nuldoorgang in positieve zin moet veranderen [25](#page=25).
Om de fase te bepalen, hanteert men de volgende procedure:
* De fase wordt altijd beschouwd vanaf de gespecificeerde nuldoorgang van de elektrische grootheid richting de oorsprong van het assenstelsel [25](#page=25).
* De fase is positief wanneer de hoek naar rechts wordt gemeten en negatief wanneer deze naar links wordt gemeten [26](#page=26).
* Een positieve fase wordt ook wel "voorijlend" genoemd, en een negatieve fase "na-ijlend" [26](#page=26).
De algebraïsche uitdrukking voor een sinusoïdale spanning wordt dan: $$e = \\hat{E} \\cdot \\sin(\\omega \\cdot t + \\varphi)$$ [26](#page=26).
##### 2.2.3.3 Faseverschil of faseverschuiving
Het faseverschil of de faseverschuiving tussen twee elektrische grootheden is het verschil tussen hun fasen. Het faseverschil tussen een spanning en een stroom wordt berekend als de fase van de spanning min de fase van de stroom. Als een spanning een fase van 30 graden heeft en een stroom 45 graden na-ijlt op de spanning, dan heeft de stroom een fase van -15 graden [26](#page=26).
#### 2.2.4 Grafische voorstelling
Het tekenen van sinuslijnen voor meerdere grootheden met verschillende amplitudes en fasen is onpraktisch. Daarom worden sinusoïdale elektrische grootheden meestal vectorieel voorgesteld in een vectordiagram [26](#page=26).
De regels voor een vectordiagram zijn:
* De vectoren worden getekend in de positie die ze innemen op het tijdstip $t=0$ [26](#page=26).
* De fase of hoekaanduiding wordt gemeten vanaf de referentie-as tot aan de vector, en is altijd de kleinste hoek [26](#page=26).
#### 2.2.5 Vermogens bij wisselstroom
##### 2.2.5.1 Definities
* **Actief vermogen ($P$)**: Dit is het vermogen dat daadwerkelijk wordt omgezet in nuttige arbeid (zoals warmte of licht) en wordt berekend als het product van de effectieve waarden van spanning ($U$) en stroom ($I$), vermenigvuldigd met de arbeidsfactor ($\\cos\\varphi$) [27](#page=27). $$P = U \\cdot I \\cdot \\cos\\varphi , \[\\text{W}\]$$ [27](#page=27).
* **Reactief vermogen ($Q$)**: Dit is het vermogen dat wordt uitgewisseld tussen de bron en de reactieve componenten van de belasting (spoelen en condensatoren) en wordt berekend als het product van de effectieve waarden van spanning en stroom, vermenigvuldigd met de blindfactor ($\\sin\\varphi$) [27](#page=27). $$Q = U \\cdot I \\cdot \\sin\\varphi , \[\\text{var}\]$$ [27](#page=27).
* **Schijnbaar vermogen ($S$)**: Dit is het product van de effectieve waarden van spanning en stroom, en vertegenwoordigt het totale vermogen dat door de stroomkring wordt getransporteerd [27](#page=27). $$S = U \\cdot I , \[\\text{VA}\]$$ [27](#page=27).
##### 2.2.5.2 Actieve en reactieve stroom
De wisselstroom ($I$) kan worden opgesplitst in twee componenten:
* **Actieve stroom ($I\_a$)**: Ook wel wattstroom genoemd, is deze component in fase met de spanning en wordt berekend als $I\_a = I \\cdot \\cos\\varphi$ [27](#page=27).
* **Reactieve stroom ($I\_r$)**: Ook wel wattloze stroom genoemd, is deze component 90 graden verschoven ten opzichte van de spanning en wordt berekend als $I\_r = I \\cdot \\sin\\varphi$ [27](#page=27).
De effectieve waarde van de totale stroom kan worden teruggevonden via de stelling van Pythagoras: $$I = \\sqrt{I\_a^2 + I\_r^2}$$ [27](#page=27).
##### 2.2.5.3 Actieve en reactieve spanning
Analogen aan de stroomcomponenten, kan ook de wisselspanning ($U$) worden opgesplitst:
* **Actieve spanning ($U\_a$)**: Deze component is in fase met de stroom en gelijk aan $U\_a = U \\cdot \\cos\\varphi = I \\cdot R$ [27](#page=27).
* **Reactieve spanning ($U\_r$)**: Deze component is 90 graden verschoven ten opzichte van de stroom en gelijk aan $U\_r = U \\cdot \\sin\\varphi = I \\cdot X$ [28](#page=28).
De effectieve waarde van de totale spanning wordt dan gegeven door: $$U = \\sqrt{U\_a^2 + U\_r^2} = I \\cdot Z$$ [28](#page=28). Hierin is $Z$ de impedantie van de schakeling.
##### 2.2.5.4 De vermogensdriehoek
Door de zijden van de "stroomdriehoek" (met $I\_a$, $I\_r$, en $I$) te vermenigvuldigen met de spanning $U$, of de zijden van de "spanningsdriehoek" (met $U\_a$, $U\_r$, en $U$) te vermenigvuldigen met de stroom $I$, ontstaat de vermogensdriehoek. De zijden van deze driehoek representeren de verschillende vermogens: $$P = I^2 \\cdot R$$ [28](#page=28). $$Q = I^2 \\cdot X$$ [28](#page=28). $$S = I^2 \\cdot Z$$ [28](#page=28).
De relatie tussen deze vermogens is: $$S = \\sqrt{P^2 + Q^2}$$ [28](#page=28).
##### 2.2.5.5 Het belang van de arbeidsfactor
De arbeidsfactor ($\\cos\\varphi$) is de verhouding tussen het actief vermogen en het schijnbaar vermogen: $$\\cos\\varphi = \\frac{P}{S}$$ [28](#page=28).
Een lage arbeidsfactor is nadelig voor het energiedistributiesysteem, omdat alleen het actief vermogen nuttige energie levert. Bij een gegeven spanning en stroom is het actief vermogen groter naarmate de arbeidsfactor dichter bij één ligt. Om een bepaald actief vermogen $P$ bij een bepaalde spanning $U$ over te brengen, is een hogere stroomsterkte $I$ nodig naarmate de arbeidsfactor lager is [29](#page=29): $$I = \\frac{P}{U \\cdot \\cos\\varphi}$$ [29](#page=29).
Hoge stromen leiden tot nadelen zoals:
* Grotere resistieve spanningsverliezen in de geleiders [29](#page=29).
* Grotere actieve vermogensverliezen in de geleiders [29](#page=29).
* Meer materiaal nodig voor de geleiders vanwege de vereiste grotere doorsnede [29](#page=29).
Een hogere arbeidsfactor is dus altijd gunstig, zowel voor het te leveren vermogen van generatoren en transformatoren, als voor het minimaliseren van verliezen bij energieoverdracht [29](#page=29).
##### 2.2.5.6 Hoe kunnen we de arbeidsfactor verbeteren?
Veel toepassingen hebben een arbeidsfactor kleiner dan één door de aanwezigheid van inductieve verbruikers. Om de arbeidsfactor te verbeteren, kan parallel aan de inductieve verbruiker een condensator worden geschakeld. De stroom door de condensator ($I\_c = U \\omega C$) loopt vooruit op de aangelegde spanning met 90 graden of $\\pi/2$ radialen. Dit resulteert in een kleinere totale stroom en een kleinere faseverschuiving van de totale stroom ten opzichte van de spanning [30](#page=30).
De berekening van de benodigde capaciteit ($C$) van de parallel te schakelen condensator kan worden uitgevoerd met de volgende formules: $$C = \\frac{I\_0 \\cdot (\\sin\\varphi\_0 - \\cos\\varphi\_0 \\cdot \\tan\\varphi)}{U \\cdot \\omega} , \\text{of} , C = \\frac{P\_0 \\cdot (\\tan\\varphi\_0 - \\tan\\varphi)}{U^2 \\cdot \\omega}$$ [30](#page=30). Hierin zijn $I\_0$ en $P\_0$ de oorspronkelijke stroom en het oorspronkelijke actief vermogen, en $\\varphi\_0$ en $\\varphi$ de oorspronkelijke en de gewenste fasehoeken respectievelijk.
* * *
# Elektrische componenten en hun gedrag
Hieronder volgt een uitgebreide samenvatting van het onderwerp "Elektrische componenten en hun gedrag", opgesteld voor examendoeleinden.
## 3 Elektrische componenten en hun gedrag
Dit onderwerp behandelt de fundamentele elektrische componenten weerstand, condensator en spoel, hun eigenschappen en gedrag onder gelijk- en wisselstroomcondities, evenals de principes van elektrische schakelingen en analyse [31](#page=31).
### 3.1 Algemeen
#### 3.1.1 Weerstand
Weerstand kan op twee manieren worden onderscheiden [31](#page=31):
* **Interne weerstand:** De weerstand die inherent is aan het materiaal waaruit componenten zijn vervaardigd [31](#page=31).
* **Componentweerstand:** Een elektrisch component dat speciaal is ontworpen om weerstand te bieden in een schakeling. Deze worden gemaakt van weerstandsmateriaal (zoals koolstof of metaallegeringen) en zijn verkrijgbaar in gestandaardiseerde reeksen, identificeerbaar via kleurcodes [31](#page=31).
Bij de keuze van een weerstand is niet alleen de weerstandswaarde belangrijk, maar ook het maximale vermogen dat de weerstand mag dissipëren. Veelvoorkomende vermogenswaarden zijn 1/16W, 1/8W, 1/4W, 1/2W, 1W en 2W [31](#page=31).
#### 3.1.2 Condensator
Een condensator is een component dat elektrische lading en energie opslaat. Het is opgebouwd uit twee geleiders met een groot oppervlak, gescheiden door een niet-geleidend materiaal (diëlektricum) of vacuüm. Wanneer een potentiaalverschil wordt aangelegd, verplaatst lading zich in het diëlektricum, wat resulteert in een opslag van lading aan de platen. Condensatoren worden gebruikt voor diverse toepassingen, zoals [32](#page=32):
* Het blokkeren van gelijkstroom terwijl wisselstroom wordt doorgelaten (bv. in audiokanalen of oscilloscopen) [32](#page=32).
* Het filteren van frequenties [32](#page=32).
* Het afvlakken van spanningsschommelingen [32](#page=32).
* Het vormen van afstemkringen in resonantie met spoelen (bv. in radio's) [32](#page=32).
##### 3.1.2.1 Capaciteit van een condensator
De capaciteit ($C$) van een condensator is de verhouding tussen de opgeslagen lading ($Q$) en de aangelegde spanning ($U$), uitgedrukt in Farad (F) [32](#page=32). $$C = \\frac{Q}{U}$$ [32](#page=32). Eenheid: $C$ in Farad (F), $Q$ in Coulomb (C), $U$ in Volt (V). Eén Farad is een grote waarde; gebruikelijk zijn microfarad ($\\mu$F) tot picofarad (pF) [32](#page=32).
##### 3.1.2.2 Factoren die de capaciteit beïnvloeden
De capaciteit hangt af van het oppervlak ($S$) van de platen, de afstand ($e$) tussen de platen en de diëlektrische constante ($\\varepsilon\_r$) van het materiaal tussen de platen [32](#page=32). $$C = \\frac{\\varepsilon\_r \\cdot S}{e}$$ [32](#page=32). Eenheid: $C$ in Farad (F), $\\varepsilon\_r$ in $\\frac{\\text{F}}{\\text{m}}$, $S$ in $\\text{m}^2$, $e$ in m. Voorbeelden van diëlektrische constanten: Glas (5-16), Lucht Nylon (3.5), Papier (2.2-3), Polystyreen (2.55) [1](#page=1) [32](#page=32).
#### 3.1.3 Spoel
Een spoel is een elektrisch component bestaande uit geleidende wikkelingen (meestal koperdraad) rond een spoelvorm, al dan niet met een magnetiseerbare kern. Spoelen worden hoofdzakelijk gebruikt voor filtering van storende signalen en voor afstemming in elektronische circuits, met name in radio- en communicatieapparatuur. Transformatoren zijn een veelvoorkomende toepassing van spoelen [33](#page=33).
##### 3.1.3.1 Zelfinductie van een spoel
De zelfinductie ($L$) van een spoel is de verhouding van het kwadraat van het aantal windingen ($n^2$) tot de magnetische weerstand ($R\_m$) die de spoel ondervindt, uitgedrukt in Henry (H) [33](#page=33). $$L = \\frac{n^2}{R\_m}$$ [33](#page=33). Zelfinductie is het verschijnsel waarbij een veranderende stroom door een geleider een magnetisch veld opwekt, dat op zijn beurt een tegen-EMK induceert die de verandering van de stroom tegenwerkt. Dit effect treedt op bij veranderende stromen en bijbehorende magnetische fluxvariaties [33](#page=33).
#### 3.2 Installatie- en schakelcomponenten
##### 3.2.1 Contactor
Contactoren zijn op afstand bediende schakelaars die grote vermogens kunnen in- of uitschakelen via een elektromagnetisch principe [33](#page=33).
###### 3.2.1.1 Onderdelen
\[Afbeelding van de onderdelen van een contactor, niet beschikbaar in tekstformaat [34](#page=34).
###### 3.2.1.2 Technische gegevens
* **Spoel:** Werkspanning (bv. 24V, 42V, 110V, 220V), verbruikersstroom (bv. 200mA, 300mA, 5mA), en frequentie (bij wisselspanning, bv. 50Hz) [34](#page=34).
* **Contacten:** Maximale toelaatbare spanning en stroom (bv. $U \\le 380$ V, $I\_{max}$ 6A; 380 V $< U <$ 500 V, $I\_{max}$ 4A; $U >$ 500 V, $I\_{max}$ 2A). Aantal bedrijfszekere schakelbewegingen (bv. 1 miljoen) en het aantal normaal open (N.O.) en normaal gesloten (N.C.) contacten (bv. 4 N.O., 1 N.C.) [34](#page=34).
###### 3.2.1.3 Symbolische voorstelling in het elektrische schema
Contactoren worden in schema's aangeduid met de letter 'K' [35](#page=35).
* Aansluitklemmen voor de vermogenkring: twee ééscijferige getallen (bv. 1-2, 3-4, 5-6) [35](#page=35).
* Aansluitklemmen voor hulpcontacten (stuurkring): twee tweecijferige getallen. Het tweede cijfer indiceert de rusttoestand (1-2 voor N.C., 3-4 voor N.O.); het eerste cijfer geeft de volgorde aan [35](#page=35).
* Spoelaansluitklemmen: A1 en A2 [35](#page=35).
###### 3.2.1.4 Extra hulpcontacten of andere hulpmiddelen
Veel contactoren bieden de mogelijkheid om extra hulpcontacten of modules zoals timers aan te klikken [35](#page=35).
##### 3.2.2 Aansluitklemmen of klemmenstrook
Klemmenstroken bevinden zich meestal onderaan schakelkasten en dienen als centraal punt voor alle verbindingen naar buiten de kast of naar componenten op de deur. Ze worden aangeduid met de letter 'X' gevolgd door een volgnummer [36](#page=36).
##### 3.2.3 De hoofdschakelaar (lastscheider)
Lastscheiders zijn schakelaars die een kring onder belasting mogen onderbreken. Ze hebben een tweestandenschakelaar (aan/uit) en worden vooraan in de kring geplaatst. Belangrijk is dat alle fasen en de nulgeleider worden onderbroken; de nulgeleider wordt vertraagd onderbroken om veiligheidsredenen, met name bij installaties met condensatoren of spoelen, om resterende gevaarlijke spanningen af te leiden [36](#page=36). De hoofdschakelaar, vaak herkenbaar aan een rode draaiknop en gele frontplaat, wordt gebruikt om een gehele installatie van het net af te schakelen en biedt de mogelijkheid tot slotvergrendeling voor veilig werken. In schema's wordt de hoofdschakelaar aangeduid met de letter 'Q' [37](#page=37).
##### 3.2.4 Overstroombeveiliging (automaat)
Een beveiliging is de zwakste schakel in een keten en detecteert overstromen om schade te voorkomen. Overstromen worden onderverdeeld in overbelastingsstromen (veroorzaken pas na enige tijd problemen) en kortsluitstromen (direct gevaarlijk en vereisen snelle uitschakeling). Automaten onderbreken beide soorten overstromen, maar met verschillende snelheden [37](#page=37).
* **Kortsluitingdetectie:** Gebruikt een spoel met ijzeren kern; bij te grote stroom wordt de kern aangetrokken, wat de schakelaar activeert. De stroom waarbij dit gebeurt, heet de proefstroom of magnetische drempelstroom ($I\_m$) [37](#page=37).
* **Overbelastingsdetectie:** Gebruikt een bimetaal dat door de stroom opwarmt en buigt door de verschillende uitzettingscoëfficiënten van de twee metaalstrips. Bij voldoende buiging wordt het uitschakelmechanisme geactiveerd [38](#page=38). Overstroombeveiligingen (automaten) worden in schema's aangeduid met de letter 'F' [38](#page=38).
##### 3.2.5 Differentiaalbeveiliging (verliesstroomschakelaar)
Een differentieelschakelaar detecteert of de stroom die naar een belasting gaat, ook volledig terugkeert via de normale weg (fase- en/of nulleider). De 'sensor' is een ringkerntransformatormet een meetspoel. Normaal gesproken is de vectoriële som van de stromen in de geleiders nul. Bij een aardfout kan stroom via de aarde vloeien, waardoor de som van de stromen niet nul is. De resulterende flux in de kern activeert de schakelaar [39](#page=39). De gevoeligheid of aanspreekstroom is de minimale verliesstroom waarbij de schakelaar geactiveerd wordt. De beschermgeleider (PE-geleider) mag NOOIT door de differentieelschakelaar gaan, omdat stroom hierdoor een direct gevaar betekent en gedetecteerd moet worden [39](#page=39).
##### 3.2.6 Thermische beveiliging (thermiek)
Een thermische beveiliging beschermt motoren tegen overbelasting, maar niet tegen kortsluiting. Het bestaat uit drie bimetalen (één per fase), die een nok bedienen die een normaal gesloten contact opent. De stuurkring van een contactor loopt altijd via dit contact. Bij te hoge stroom warmen de bimetalen op, buigen en openen het contact, waardoor de stroom naar de contactorspoel wordt onderbroken en het aangesloten apparaat stopt [40](#page=40). De stroomsterkte wordt ingesteld via een speling die de buigende bimetalen moeten overwinnen. De rode nok dient voor het resetten nadat de bimetalen zijn afgekoeld. Thermische beveiligingen worden aangeduid met de letter 'F' in schema's [40](#page=40). Bij het kiezen van een thermische beveiliging moet de nominale stroom van het te beveiligen apparaat (te vinden op het kenplaatje of te meten met een ampèretang) worden gebruikt. De instelling van de thermiek ligt slechts fractie hoger dan de nominale stroom; een te hoge belasting of een geblokkeerd apparaat kan dit doen afspringen [40](#page=40).
#### 3.3 Het gedrag van elektrische componenten bij gelijkstroom
##### 3.3.1 Weerstand
Bij gelijkstroom veroorzaakt een stroom $I$ in een weerstand $R$ een spanningsval $U = I \\cdot R$, met een polariteit tegengesteld aan de aangelegde spanning [41](#page=41).
###### 3.3.1.1 Weerstanden in serie geschakeld
Bij serieschakeling van weerstanden vloeit dezelfde stroom door alle weerstanden. De totale weerstand ($R\_s$) is de som van de individuele weerstanden [41](#page=41). $$U = U\_1 + U\_2 + U\_3$$ [41](#page=41). $$I \\cdot R\_s = I \\cdot R\_1 + I \\cdot R\_2 + I \\cdot R\_3$$ [41](#page=41). $$R\_s = \\sum R = R\_1 + R\_2 + R\_3$$ [41](#page=41).
###### 3.3.1.2 Weerstanden in parallel geschakeld
Bij parallelle schakeling staat dezelfde spanning over alle weerstanden. De totale stroom is de som van de deelstromen. De inverse van de totale weerstand ($R\_p$) is de som van de inverses van de individuele weerstanden [42](#page=42). $$I = I\_1 + I\_2 + I\_3$$ [42](#page=42). $$\\frac{U}{R\_p} = \\frac{U}{R\_1} + \\frac{U}{R\_2} + \\frac{U}{R\_3}$$ [42](#page=42). $$\\frac{1}{R\_p} = \\sum \\frac{1}{R} = \\frac{1}{R\_1} + \\frac{1}{R\_2} + \\frac{1}{R\_3}$$ [42](#page=42).
###### 3.3.1.3 Complexe netwerken
* **De eerste wet of stromenwet van Kirchhoff:** In elk knooppunt van een elektrisch netwerk is de som van de stromen die toekomen gelijk aan de som van de stromen die vertrekken (of, de som van alle stromen is nul). Dit principe is gebaseerd op het behoud van elektrische ladingen [42](#page=42) [43](#page=43). $$I\_{\\text{in}} = I\_{\\text{uit}}$$ of $$\\sum I = 0$$ [43](#page=43). \_Voorbeeld: $I\_1 + I\_3 = I\_2 + I\_4 \\implies I\_3 = I\_2 + I\_4 - I\_1 = 7 + 4 - 9 = 2$ A [43](#page=43).
* **De tweede wet of spanningswet van Kirchhoff:** In elke gesloten kring van een elektrisch netwerk is de som van de potentiaalstijgingen (EMK's) gelijk aan de som van de potentiaaldalingen (spanningsvallen over weerstanden) [43](#page=43) [44](#page=44). $$\\sum E = \\sum (I \\cdot R)$$ [44](#page=44). Bij het toepassen worden willekeurige stroomrichtingen aangenomen; een negatief resultaat duidt op een omgekeerde stroomzin [44](#page=44). \_Voorbeeld toepassen: Kies een positieve zin voor stromen en spanningen. Schrijf een vergelijking voor elke gesloten kring. $$E\_3 - E\_1 - E\_2 = I\_3 \\cdot (R\_3 + R\_{i3}) + I\_4 \\cdot R\_4 - I\_1 \\cdot (R\_1 + R\_{i1}) - I\_2 \\cdot (R\_2 + R\_{i2})$$ [44](#page=44). \_Voorbeeld berekening: Gegeven een netwerk met bronnen en weerstanden, kan een stelsel van vergelijkingen worden opgelost met de stroomwet en spanningswet van Kirchhoff om de deelstromen te bepalen [45](#page=45).
* **De superpositiemethode van Helmholtz:** In een lineair netwerk met meerdere spanningsbronnen is elke deelstroom gelijk aan de algebraïsche som van de deelstromen die elke spanningsbron afzonderlijk veroorzaakt, terwijl de andere bronnen kortgesloten zijn. Interne weerstanden van bronnen blijven aanwezig [46](#page=46). \_Voorbeeld: Bepaal stromen $I$, $I\_1$, $I\_2$ door eerst bron $E\_2$ uit te schakelen, dan $E\_1$ uit te schakelen, en de resulterende deelstromen op te tellen [46](#page=46) [47](#page=47).
* **De methode van maasstromen (kringloopstromen):** Dit is een efficiënte methode voor het oplossen van complexe netwerken door het opstellen van vergelijkingen gebaseerd op de spanningswet van Kirchhoff toegepast op onafhankelijke gesloten kringen (mazen). Het aantal benodigde vergelijkingen is gelijk aan het aantal gesloten kringen minus (aantal knooppunten min 1) [48](#page=48). \_Voorbeeld: In een netwerk met vijf onbekende stromen, kunnen drie maasstromen $I\_1$, $I\_2$, $I\_3$ worden bepaald om zo alle stromen te vinden [48](#page=48).
* **De methode van knooppuntstromen:** Gebaseerd op de stromenwet van Kirchhoff, waarbij vergelijkingen worden opgesteld voor de stromen in de knooppunten. Spanningsbronnen kunnen worden omgezet naar equivalente stroombronnen [48](#page=48) [49](#page=49). \_Voorbeeld: Omzetting van spanningsbronnen naar stroombronnen en opstellen van vergelijkingen voor knooppunten $a$ en $b$ [49](#page=49) [50](#page=50).
* **De methoden van Thevenin en Norton:**
* **Thevenin-stelling:** Een lineair netwerk, gezien vanuit een last, kan worden vervangen door een equivalente schakeling met één ideale spanningsbron ($U\_T$) in serie met een weerstand ($R\_T$) [50](#page=50) [51](#page=51).
* Werkwijze: Vervang de last door open aansluitpunten $a$ en $b$. Bereken $U\_T$ (de open-klemspanning tussen $a$ en $b$). Sluit spanningsbronnen kort en laat stroombronnen open om $R\_T$ te berekenen. Teken het equivalente netwerk met de last eraan gekoppeld om de stroom te berekenen [51](#page=51).
* **Norton-stelling:** Een lineair netwerk, gezien vanuit een last, kan worden vervangen door een equivalente schakeling met één ideale stroombron ($I\_N$) parallel aan een weerstand ($R\_N$) [52](#page=52).
* Werkwijze: Vervang de last door een kortsluiting tussen $a$ en $b$. Bereken $I\_N$ (de kortsluitstroom door de verbinding tussen $a$ en $b$). Bereken $R\_N$ (idem als $R\_T$ bij Thevenin). Teken het equivalente netwerk met de last eraan gekoppeld om de stroom te berekenen [52](#page=52).
* \_Voorbeeld: Bereken de stroom $I$ in een belastingsweerstand $R$ met behulp van beide methoden. $U\_T = \\frac{92}{7}$ V, $R\_T = \\frac{20}{7}$ $\\Omega$. $I\_N = 4.60$ A, $R\_N = \\frac{20}{7}$ $\\Omega$. In beide gevallen $I = 0.575$ A [53](#page=53).
##### 3.3.2 Condensator
###### 3.3.2.1 Condensatoren in parallel geschakeld
Parallel geschakelde condensatoren gedragen zich als één condensator met een groter plaatsoppervlak. De totale capaciteit ($C\_p$) is de som van de individuele capaciteiten. Dit is vergelijkbaar met de berekening van weerstanden in serie [54](#page=54). $$C\_p = C\_1 + C\_2 + C\_3$$ [54](#page=54).
###### 3.3.2.2 Condensatoren in serie geschakeld
In serie geschakelde condensatoren vergroten de afstand tussen de effectieve platen, wat resulteert in een kleinere totale capaciteit. De berekening hiervan is vergelijkbaar met parallel geschakelde weerstanden [54](#page=54). $$C\_s = \\frac{1}{\\frac{1}{C\_1} + \\frac{1}{C\_2} + \\frac{1}{C\_3}}$$ [54](#page=54).
###### 3.3.2.3 Het laden en ontladen van een condensator
Bij het aansluiten van een condensator op een spanningsbron via een weerstand, laadt de condensator geleidelijk op. De laadstroom neemt af naarmate de spanning over de condensator toeneemt [55](#page=55). $$I = \\frac{U - U\_c}{R}$$ [55](#page=55). De tijdsconstante $\\tau = R \\cdot C$ bepaalt de laadsnelheid. Na $1\\tau$ is de condensator 63% opgeladen, en na $5\\tau$ is deze volledig opgeladen [55](#page=55). \_Voorbeeld: Een weerstand van 47 k$\\Omega$ en een condensator van 22 $\\mu$F geven een tijdsconstante van 1 seconde. Na 5 seconden is de condensator volledig opgeladen [55](#page=55). Bij het ontladen van een opgeladen condensator via een weerstand, neemt de spanning en stroom geleidelijk af. Na $1\\tau$ behoudt de condensator nog 37% van zijn spanning, en na $5\\tau$ is deze volledig ontladen [55](#page=55). $$I = \\frac{U\_c}{R}$$ [55](#page=55).
##### 3.3.3 Spoel
###### 3.3.3.1 Spoelen in serie geschakeld
Bij serieschakeling van spoelen neemt het totale aantal windingen toe, waardoor de zelfinductie toeneemt. De vervangingszelfinductie ($L\_s$) is de som van de individuele zelfinducties [56](#page=56). $$L\_s = L\_1 + L\_2 + L\_3$$ [56](#page=56).
###### 3.3.3.2 Spoelen in parallel geschakeld
Bij parallelle schakeling van spoelen wordt de zelfinductie kleiner. De berekening is vergelijkbaar met parallel geschakelde weerstanden [56](#page=56). $$L\_p = \\frac{1}{\\frac{1}{L\_1} + \\frac{1}{L\_2} + \\frac{1}{L\_3}}$$ [56](#page=56). Dit geldt alleen als er geen onderlinge magnetische beïnvloeding is [56](#page=56).
###### 3.3.3.3 Het laden en ontladen van een spoel
Bij het in- of uitschakelen van een spoel in een circuit met een weerstand, verandert de stroom exponentieel. De spoel probeert aanvankelijk de stroomverandering tegen te werken [56](#page=56). Bij het inschakelen:
* De spanning over de spoel neemt geleidelijk af [57](#page=57).
* De stroom neemt geleidelijk toe [57](#page=57). De tijdsconstante is $\\tau = \\frac{L}{R}$ [57](#page=57). $$U\_L = U \\cdot e^{-\\frac{t}{\\tau}}$$ [57](#page=57). $$I\_L = I \\cdot (1 - e^{-\\frac{t}{\\tau}})$$ [57](#page=57). Bij het uitschakelen (ontladen):
* De spanning over de spoel neemt geleidelijk af [57](#page=57).
* De stroom neemt geleidelijk af [57](#page=57). $$U\_L = - U \\cdot e^{-\\frac{t}{\\tau}}$$ [57](#page=57). $$I\_L = I \\cdot e^{-\\frac{t}{\\tau}}$$ [57](#page=57).
#### 3.4 Het gedrag van elektrische componenten bij wisselstroom
##### 3.4.1 Weerstand
###### 3.4.1.1 Het begrip gelijkstroomweerstand (Ohmse weerstand)
De gelijkstroomweerstand is een weerstand waarvan de waarde primair wordt bepaald door afmetingen en materiaal. Een zuivere Ohmse weerstand gedraagt zich bij wisselspanning enkel als weerstand; inductieve of capacitieve effecten zijn verwaarloosbaar klein. Gloeilampen en verwarmingselementen kunnen als Ohmse weerstanden worden beschouwd [58](#page=58).
###### 3.4.1.2 Het gedrag bij wisselspanning
Bij een sinusoïdale wisselspanning $u = \\hat{U} \\sin(\\omega t)$ over een zuivere Ohmse weerstand $R$, zal een sinusoïdale stroom $i$ vloeien die de wet van Ohm volgt [58](#page=58). $$i = \\frac{u}{R}$$ [58](#page=58). $$I = \\frac{U}{R}$$ [58](#page=58). De weerstandswaarde is zowel bij gelijk- als wisselspanning gelijk [58](#page=58).
###### 3.4.1.3 Faseverschuiving tussen wisselspanning en wisselstroom
Bij een zuivere Ohmse weerstand is de wisselstroom volledig in fase met de wisselspanning. De faseverschuiving $\\phi$ is nul [59](#page=59).
###### 3.4.1.4 Impedantie $Z$
Impedantie ($Z$) is de totale weerstand die een wisselstroom ondervindt in een kring, uitgedrukt in $\\Omega$. Voor een zuivere Ohmse weerstand is de impedantie gelijk aan de weerstandswaarde $R$ [59](#page=59).
###### 3.4.1.5 Het vermogen in een weerstand bij wisselstroom
Bij een zuivere Ohmse weerstand is de faseverschuiving $\\phi = 0$, waardoor de arbeidsfactor $\\cos(\\phi) = 1$ is [59](#page=59).
* **Actief vermogen ($P$):** Het vermogen dat werkelijk wordt omgezet in warmte. $$P = U \\cdot I \\cdot \\cos(\\phi) = U \\cdot I = I^2 \\cdot R = \\frac{U^2}{R}$$ [59](#page=59).
* **Reactief vermogen ($Q$):** Nul voor een zuivere weerstand. $$Q = U \\cdot I \\cdot \\sin(\\phi) = 0$$ [59](#page=59).
* **Schijnbaar vermogen ($S$):** Gelijk aan het actief vermogen voor een zuivere weerstand. $$S = U \\cdot I = P$$ [59](#page=59).
##### 3.4.2 Spoel
###### 3.4.2.1 Het begrip ideale spoel
Een ideale spoel heeft een gelijkstroomweerstand van nul en geen parasitaire capaciteit. Ze bezit enkel een zelfinductiecoëfficiënt $L$. De weerstand van de koperdraad wordt verwaarloosd [59](#page=59).
###### 3.4.2.2 Het gedrag bij wisselspanning
Bij een ideale spoel $L$ zal de sinusoïdale stroom $i$ die erdoor vloeit, de aangelegde sinusoïdale spanning $u = \\hat{U} \\sin(\\omega t)$ met 90° naijlen [60](#page=60). $$i = \\hat{I} \\sin(\\omega t - 90^\\circ)$$ [60](#page=60). De effectieve waarde van de stroom is: $$I = \\frac{U}{\\omega L}$$ [60](#page=60).
###### 3.4.2.3 De faseverschuiving tussen de wisselspanning en wisselstroom
De wisselstroom naijlt de wisselspanning steeds met 90° bij een ideale spoel [60](#page=60).
###### 3.4.2.4 De impedantie $Z$ (Inductieve reactantie $X\_L$)
De impedantie van een ideale spoel wordt de inductieve reactantie ($X\_L$) genoemd [60](#page=60). $$X\_L = 2 \\pi f L = \\omega L$$ [60](#page=60). Bij een praktische spoel met interne weerstand $R$ wordt de impedantie berekend als: $$Z = \\sqrt{R^2 + X\_L^2}$$ [61](#page=61).
###### 3.4.2.5 Het vermogen in een spoel bij wisselstroom
Bij een ideale spoel is de faseverschuiving $\\phi = 90^\\circ$, dus de arbeidsfactor $\\cos(\\phi) = 0$ [61](#page=61).
* **Actief vermogen ($P$):** Nul voor een ideale spoel. $$P = U \\cdot I \\cdot \\cos(\\phi) = 0$$ [61](#page=61).
* **Reactief vermogen ($Q$):** Dit is het vermogen dat heen en weer wordt uitgewisseld. $$Q = U \\cdot I \\cdot \\sin(\\phi) = U \\cdot I$$ [61](#page=61).
* **Schijnbaar vermogen ($S$):** Gelijk aan het reactief vermogen voor een ideale spoel. $$S = U \\cdot I = Q$$ [61](#page=61).
##### 3.4.3 Condensator
###### 3.4.3.1 Het begrip ideale condensator
Een ideale condensator bezit enkel capaciteit ($C$) en vertoont geen Ohmse of inductieve effecten bij wisselspanning [61](#page=61).
###### 3.4.3.2 Het gedrag bij wisselspanning
Bij een ideale condensator $C$ zal de sinusoïdale stroom $i$ die erdoor vloeit, de aangelegde sinusoïdale spanning $u = \\hat{U} \\sin(\\omega t)$ met 90° vooruitlopen [61](#page=61). $$i = \\hat{I} \\sin(\\omega t + 90^\\circ)$$ [61](#page=61). De effectieve waarde van de stroom is: $$I = U \\cdot \\omega \\cdot C$$ [61](#page=61). Een ideale condensator laadt en ontlaadt continu afwisselend in positieve en negatieve richting [62](#page=62).
###### 3.4.3.3 De faseverschuiving tussen de wisselspanning en wisselstroom
De wisselstroom loopt de wisselspanning steeds 90° vooruit bij een ideale condensator [63](#page=63).
###### 3.4.3.4 De impedantie $Z$ (Capacitieve reactantie $X\_C$)
De impedantie van een ideale condensator wordt de capacitieve reactantie ($X\_C$) genoemd [63](#page=63). $$X\_C = \\frac{1}{2 \\pi f C} = \\frac{1}{\\omega C}$$ [63](#page=63). Bij een praktische condensator met interne weerstand $R$ wordt de impedantie berekend als: $$Z = \\sqrt{R^2 + X\_C^2}$$ [63](#page=63).
###### 3.4.3.5 Het vermogen in een condensator bij wisselstroom
Bij een ideale condensator is de faseverschuiving $\\phi = -90^\\circ$, dus de arbeidsfactor $\\cos(\\phi) = 0$ [63](#page=63).
* **Actief vermogen ($P$):** Nul voor een ideale condensator. $$P = U \\cdot I \\cdot \\cos(\\phi) = 0$$ [63](#page=63).
* **Reactief vermogen ($Q$):** Dit is het vermogen dat heen en weer wordt uitgewisseld. $$Q = U \\cdot I \\cdot \\sin(\\phi) = - U \\cdot I$$ [63](#page=63).
* **Schijnbaar vermogen ($S$):** Gelijk aan het reactief vermogen voor een ideale condensator. $$S = - U \\cdot I = Q$$ [63](#page=63).
##### 3.4.4 Gecombineerde schakeling (RLC-kring in parallel)
Bij een parallelle schakeling van een spoel $L$ met interne weerstand $R$ en een condensator $C$:
* De stroom door de spoel ($I\_{RL}$) en de bijbehorende faseverschuiving ($\\phi\_{RL}$) kunnen worden berekend: $$Z\_{RL} = \\sqrt{R^2 + (\\omega L)^2}$$ [64](#page=64). $$I\_{RL} = \\frac{U}{Z\_{RL}} = \\frac{U}{\\sqrt{R^2 + (\\omega L)^2}}$$ [64](#page=64). $$\\phi\_{RL} = \\tan^{-1}\\left(\\frac{\\omega L}{R}\\right)$$ [64](#page=64).
* De stroom door de condensator ($I\_C$) loopt 90° vooruit op de spanning $U$: $$I\_C = U \\cdot \\omega \\cdot C$$ [64](#page=64).
* De totale stroom $I$ is de vectoriële som van $I\_{RL}$ en $I\_C$ [64](#page=64). $$I = \\sqrt{I\_{RL}^2 + I\_C^2 + 2 \\cdot I\_{RL} \\cdot I\_C \\cdot \\cos(90^\\circ + \\phi\_{RL})}$$ [64](#page=64).
* De totale impedantie ($Z$) is: $$Z = \\frac{1}{\\sqrt{\\left(\\frac{1}{Z\_{RL}^2}\\right) + \\left(\\frac{1}{X\_C^2}\\right) - \\frac{2 \\cos(90^\\circ + \\phi\_{RL})}{Z\_{RL} X\_C}}}$$ (Vereenvoudiging van de impedantie van parallelle circuits) [64](#page=64). De vereenvoudigde totale impedantie wordt [64](#page=64): $$Z = \\sqrt{R^2 + \\left(\\omega L - \\frac{1}{\\omega C}\\right)^2}$$ (Dit is de impedantie bij serieschakeling van R, L en C. Voor parallelle schakeling is dit anders) [64](#page=64).
De totale impedantie voor een parallelle schakeling van een spoel met interne weerstand en een condensator: $$Z = \\frac{1}{\\sqrt{\\left(\\frac{R}{R^2 + (\\omega L)^2}\\right)^2 + \\left(\\omega C - \\frac{\\omega L}{R^2 + (\\omega L)^2}\\right)^2}}$$ (Correcte berekening is complexer dan hier direct weergegeven, maar de formule op pag. 64 geeft een alternatieve uitdrukking) [64](#page=64). Een belangrijke uitdrukking voor de totale impedantie is: $$Z = \\frac{1}{\\sqrt{\\left(\\frac{R}{R^2 + \\omega^2 L^2}\\right)^2 + \\left(\\omega C - \\frac{\\omega L}{R^2 + \\omega^2 L^2}\\right)^2}}$$ [64](#page=64).
Er zijn drie mogelijkheden voor de kring [65](#page=65): 1. **Resulterend inductief:** Als $C < \\frac{L}{R^2 + (\\omega L)^2}$. De faseverschuiving is positief. 2. **Resulterend capacitief:** Als $C > \\frac{L}{R^2 + (\\omega L)^2}$. De faseverschuiving is negatief. 3. **Resulterend Ohms:** Als $C = \\frac{L}{R^2 + (\\omega L)^2}$. De faseverschuiving is nul.
Bij **stroomresonantie** kunnen de stromen $I\_{RL}$ en $I\_C$ veel groter zijn dan de totale stroom $I\_0$. Energie wordt continu uitgewisseld tussen de spoel en de condensator [65](#page=65). De resonantiefrequentie ($f\_0$), totale stroom ($I\_0$), en impedantie ($Z\_0$) kunnen worden bepaald met de volgende formules: $$f\_0 = \\frac{1}{2\\pi \\sqrt{\\frac{1}{LC} - \\left(\\frac{R}{L}\\right)^2}}$$ [65](#page=65). $$I\_0 = \\frac{U \\cdot R \\cdot C}{L}$$ [65](#page=65). $$Z\_0 = \\frac{L}{R \\cdot C}$$ [65](#page=65).
* * *
# Meten is weten: meetinstrumenten en technieken
Dit gedeelte behandelt de praktische aspecten van het meten van elektrische grootheden met behulp van multimeters en stroomtangen, inclusief de testprocedures voor componenten en het opsporen van lekstromen [67](#page=67).
### 4.1 Meten met een multimeter
Een multimeter is een essentieel instrument voor elke elektricien, waarmee verschillende elektrische grootheden en componenten gemeten kunnen worden, zoals spanning, stroom en weerstand, zowel voor wisselstroom (AC) als gelijkstroom (DC) [67](#page=67).
#### 4.1.1 Soorten multimeters
Er bestaan digitale en analoge multimeters, waarbij digitale multimeters tegenwoordig de voorkeur genieten vanwege hun betere afleesbaarheid en beschikbaarheid. Digitale multimeters kunnen handmatig instelbaar zijn of beschikken over autoranging. Bij autoranging hoeft enkel ingesteld te worden wat men wil meten, niet de specifieke schaal, wat het proces vereenvoudigt. Geavanceerdere multimeters kunnen naast de basismetingen ook functies bieden voor frequentie, temperatuur, condensatormeting en hFE-meting [66](#page=66).
#### 4.1.2 Eenvoudige metingen
Eenvoudige metingen met een multimeter omvatten de meting van weerstand, stroom en spanning [67](#page=67).
##### 4.1.2.1 Meten van weerstand
Voor het meten van weerstand worden de rode meetpen in de VΩHz-aansluiting en de zwarte meetpen in de COM-aansluiting gestoken. Bij een open circuit (klemmen niet verbonden) geeft de multimeter een oneindig grote weerstand weer, vaak aangeduid met '1' of 'OL'. Wanneer de klemmen elkaar raken, wordt een waarde dicht bij 0 Ω afgelezen. Een gemeten waarde van 11,9 Ω kan bijvoorbeeld duiden op een 12 Ω weerstand uit een E-reeks [67](#page=67) [68](#page=68).
> **Tip:** Weerstand meten of doorgang testen doe je altijd op componenten die niet onder spanning staan! Schakel de spanning steeds af voordat je begint te meten [68](#page=68)!
##### 4.1.2.2 Doorgangstester
Met een ohmmeter kan getest worden of verbindingen nog goed zijn; een goede verbinding zal een weerstand van nagenoeg 0 Ω tonen. Een continuïteitstester is hierbij nog handiger, omdat deze een geluidssignaal geeft (piepje) bij een goede verbinding, wat het continu volgen van het scherm overbodig maakt [68](#page=68).
##### 4.1.2.3 Meten van spanning
Voor het meten van spanning, meestal gelijk- of wisselspanning, worden de rode meetpen in de VΩHz-aansluiting en de zwarte in de COM-aansluiting gestoken. Een voltmeter wordt altijd parallel geschakeld. Het is cruciaal om ervoor te zorgen dat de meter niet op weerstandsmeting staat en dat de pennen niet in de mA- of A-aansluitingen zitten. Bij het meten van wisselspanning geeft de multimeter de effectieve waarde aan [69](#page=69).
> **Tip:** Let bij metingen aan de netspanning of andere hoge spanningen altijd op dat je de contactpunten van de meetsnoeren niet aanraakt tijdens de meting! Dat kan namelijk tot elektrocutie leiden [69](#page=69).
Bij het meten van een spanningsval over een component, zoals een led, wordt de rode pen aan de anode (+) en de zwarte aan de kathode (-) aangesloten. Omgekeerd aansluiten resulteert in een minteken voor de gemeten waarde [69](#page=69).
##### 4.1.2.4 Meten van stroom
Voor het meten van stroom zijn er meestal aparte aansluitingen voor mA en Ampère, met bereiken voor AC en DC. De ampèremeter wordt altijd in serie met de verbruiker geschakeld [70](#page=70).
> **Tip:** De meter is vaak gezekerd op het mA-bereik, maar meestal niet op het ampère-bereik. Het is raadzaam om altijd een reservezekering bij te hebben, aangezien een fout snel gemaakt is [70](#page=70).
Bij het meten van een kleine stroom door een rode LED wordt de meter ingesteld op het mA-bereik, bijvoorbeeld 20mA DC, met de rode pen in de mA-aansluiting. Voor het meten van grotere stromen (ongeveer 1 Ampère) wordt het 10A-bereik gebruikt, met de rode pen in de 10A-aansluiting [70](#page=70).
#### 4.1.3 Componenten testen
Met een multimeter kunnen ook eenvoudige componenten zoals diodes, transistors en kleine condensatoren getest worden [71](#page=71).
##### 4.1.3.1 Een diode testen
Om een diode te testen, wordt de meter op de continuïteitstester gezet. Deze functie geeft zowel een geluidssignaal bij een goede verbinding als de spanningsval over de diode weer. Voor een silicium (SI) diode ligt deze spanningsval rond de 0,6 tot 0,7 Volt. De meetpennen worden in de VΩHz (rood) en COM (zwart) aansluitingen gestoken. Bij correcte aansluiting (rood aan anode, zwart aan kathode) wordt de spanningsval gemeten. Omgekeerd aansluiten resulteert in een "1" (oneindig) op het display [71](#page=71).
> **Hulpmiddel:** KNAP = Kathode is Negatief, Anode is Positief [71](#page=71).
##### 4.1.3.2 Een transistor testen
Voor het testen van een transistor wordt eveneens de continuïteitstester gebruikt. Hiermee kunnen de basis, collector en emitter geïdentificeerd worden. Bij een NPN-transistor worden zes metingen uitgevoerd [72](#page=72):
1. Rood aan basis, zwart aan emitter (ongeveer 0,6-0,7 Volt is goed) [72](#page=72).
2. Zwart aan basis, rood aan emitter (oneindig) [72](#page=72).
3. Rood aan basis, zwart aan collector (ongeveer 0,6-0,7 Volt is goed) [72](#page=72).
4. Zwart aan basis, rood aan collector (oneindig) [72](#page=72).
5. Rood aan collector, zwart aan emitter (oneindig) [72](#page=72).
6. Rood aan emitter, zwart aan collector (oneindig) [72](#page=72).
Voor PNP-transistors gelden vergelijkbare metingen, met omgekeerde polariteiten:
1. Zwart aan basis, rood aan emitter (ongeveer 0,6-0,7 Volt is goed) [72](#page=72).
2. Rood aan basis, zwart aan emitter (oneindig) [72](#page=72).
3. Zwart aan basis, rood aan collector (ongeveer 0,6-0,7 Volt is goed) [72](#page=72).
4. Rood aan basis, zwart aan collector (oneindig) [72](#page=72).
5. Rood aan collector, zwart aan emitter (oneindig) [72](#page=72).
6. Zwart aan collector, rood aan emitter (oneindig) [72](#page=72).
##### 4.1.3.3 Een hFE meting
Veel multimeters beschikken over speciale aansluitingen voor het meten van de hFE-waarde (versterkingsfactor) van NPN- en PNP-transistoren. De transistor wordt in de corresponderende B (basis), E (emitter) en C (collector) aansluitingen gestoken, waarbij rekening gehouden wordt met het type transistor (PNP of NPN) en de correcte aansluitingen (via datasheet of metingen). Een gemeten hFE-waarde van 567 voor een BC548C transistor kan correct zijn, mits deze binnen de gespecificeerde marges van de datasheet valt (bijvoorbeeld minimum 420, typisch 520, maximum 800). Datasheets vermelden ook de meetomstandigheden, zoals de collectorstroom ($I\_C$) en de collector-emitterspanning ($V\_{CE}$) [72](#page=72).
### 4.2 Meten met een stroomtang
Stroomtangen zijn handige meetinstrumenten die het mogelijk maken stroom te meten op een geleider onder spanning, zonder de stroomkring te hoeven onderbreken. In tegenstelling tot een multimeter, die vereist dat de bedrading onderbroken wordt, kan een stroomtang eenvoudig om een geleider geklemd worden. Dit maakt het ook mogelijk om zware stromen te meten zonder het circuit uit te schakelen [73](#page=73).
#### 4.2.1 Meten van de stroom
Om de stroom in een geleider te meten, wordt de stroomtang om deze geleider geplaatst [73](#page=73).
> **Tip:** Zorg ervoor dat je meet over één geleider of draad en niet over een kabel met meerdere geleiders. Bij een kabel met twee geleiders, zoals een netsnoer, heffen de stromen in de ene geleider en de andere elkaar op, wat resulteert in een nulmeting, zelfs als er stroom vloeit [73](#page=73).
#### 4.2.2 Meten van verliesstroom of lekstroom
In elke elektrische installatie vloeit er een kleine hoeveelheid stroom via de aardleiding naar de aarde; dit wordt lekstroom genoemd. Lekstroom ontstaat door de isolatie van geleiders en door filters in elektronische apparatuur [74](#page=74).
##### 4.2.2.1 De oorzaken van lekstroom
Isolatie bezit zowel elektrische weerstand als elektrische capaciteit, wat beide paden voor stroomgeleiding biedt. Een lage weerstand van de isolatie, door ouderdom of beschadiging, kan leiden tot aanzienlijke lekstromen. Langere geleiders hebben een hogere capaciteit, wat eveneens de lekstroom verhoogt. Filters in elektronische apparaten, met ingebouwde condensatoren ter bescherming tegen spanningsstoten, verhogen de totale capaciteit en daarmee het lekstroomniveau [74](#page=74).
##### 4.2.2.2 Minimalisering van de effecten van lekstroom
Om de effecten van lekstroom te minimaliseren, moet deze gekwantificeerd worden met een stroomtang en de bron opgespoord worden. Lekstroomtangen zijn speciaal ontworpen om zeer lage stromen, onder 5 mA, nauwkeurig te meten, iets wat reguliere stroomtangen vaak niet kunnen [74](#page=74).
> **Tip:** Om lage stroomniveaus nauwkeurig te kunnen meten, is het essentieel dat de contactvlakken van de bek van de stroomtang beschermd, schoon gehouden en volledig gesloten worden, zonder luchtspleet. Vermijd verdraaiing van de bek, omdat dit tot foutieve meetresultaten kan leiden [76](#page=76).
Een stroomtang detecteert het magnetische wisselveld rondom geleiders, zoals een eenaderige kabel, een pantserkabel, een waterleiding, of de gecombineerde fase- en nulleiders van een enkelfasig circuit, of alle spanningvoerende geleiders van een driefasig circuit. Bij het meten rond gegroepeerde spanningvoerende geleiders heffen de magnetische velden van de belastingsstromen elkaar op; elke resterende asymmetrische stroom wordt veroorzaakt door lekkage naar aarde. Een lekstroomtang moet stromen van minder dan 0,1 mA kunnen registreren [76](#page=76).
Een lekstroom van bijvoorbeeld 0,02 mA (20 μA) bij 230 V AC, met alle belastingen losgekoppeld, komt overeen met een isolatie-impedantie van: $$R\_{isolatie} = \\frac{230 \\text{ V}}{20 \\times 10^{-6} \\text{ A}} = 11,5 \\text{ M}\\Omega$$ [76](#page=76).
Een isolatietester die een DC-spanning gebruikt, houdt geen rekening met het capaciteitseffect en kan een hogere waarde (bv. 50 MΩ of meer) tonen. De werkelijke isolatie-impedantie onder bedrijfsomstandigheden is echter lager door het capaciteitseffect. Wanneer kantoorapparatuur is aangesloten, kan de capaciteit van de ingangsfilters het meetresultaat aanzienlijk beïnvloeden. Het cumulatieve effect van meerdere apparaten kan leiden tot lekstromen in de milliampère-orde, wat kan resulteren in het onnodig activeren van aardlekschakelaars [76](#page=76).
Bij de aanwezigheid van telecommunicatieapparatuur kan de gemeten lekstroom hoger zijn dan die berekend uit een isolatie-impedantie bij 50 Hz, vanwege functionele aardstromen en harmonischen geproduceerd door deze apparatuur. Om de karakteristieke lekstroom bij 50 Hz te meten, is een stroomtang met een smalbandig doorlaatfilter vereist [77](#page=77).
##### 4.2.2.3 Meten van lekstroom naar aarde
Bij het meten van de lekstroom naar aarde, inclusief de lekstroom in de belastingsapparatuur, wordt de stroomtang rond de fase- en nulleider van enkelfasige circuits geklemd. Om alleen de lekstroom in de bedrading te meten, moeten de belastingen losgekoppeld worden. Voor driefasige circuits worden alle drie de faseleiders, en eventueel de nulleider, in de bek van de stroomtang geklemd [76](#page=76) [77](#page=77).
##### 4.2.2.4 Meten van lekstroom door de aardgeleider
Om de totale lekstroom door de aardverbinding te meten, wordt de bek van de stroomtang rond de aardgeleider geklemd [77](#page=77).
##### 4.2.2.5 Meten van lekstroom naar aarde via onbedoelde paden naar aarde
Door de fase-, nul- en aardgeleiders samen in de bek van de stroomtang te klemmen, wordt een asymmetrische stroom gemeten die correspondeert met lekstromen via onbedoelde paden naar aarde, zoals via een betonnen ondergrond of een aansluiting op een waterleiding [77](#page=77).
##### 4.2.2.6 De bron van lekstroom opsporen
Door opeenvolgende metingen te verrichten, beginnend bij de hoofdgeleider naar een paneel en vervolgens circuits te identificeren die de grootste lekstromen voeren, kan de bron van de lekstroom opgespoord worden [77](#page=77).
* * *
# Opwekking, transport en distributie van elektriciteit
Dit onderwerp behandelt de verschillende methoden van elektriciteitsopwekking, het transport ervan via hoogspanningsnetten en de distributie naar de eindgebruiker [79](#page=79).
### 5.1 Opwekking
Elektriciteit wordt opgewekt in centrales, waar primaire energie wordt omgezet in elektrische energie, soms met thermische of mechanische tussenstappen. De belangrijkste spelers op de elektriciteitsmarkt zijn producenten, transmissienetbeheerders (zoals Elia), distributienetbeheerders (zoals Interelectra), verbruikers en leveranciers. Toezicht wordt gehouden door de CREG en de VREG [79](#page=79).
#### 5.1.1 Categorieën van elektriciteitscentrales
Elektriciteitscentrales worden ingedeeld op basis van de gebruikte primaire energie [80](#page=80):
* **Klassieke thermische centrales**: gebruiken fossiele brandstoffen zoals steenkool, olie en aardgas [80](#page=80).
* **Nucleaire centrales**: maken gebruik van splijtbaar materiaal, zoals uranium [80](#page=80).
* **Hernieuwbare energie**: omvat waterkracht, windenergie, fotovoltaïsche energie (zonne-energie), biomassa en geothermische energie [80](#page=80).
Het geïnstalleerd vermogen in België bedraagt ongeveer 15 gigawatt (GW), maar dit vermogen wordt nooit tegelijkertijd geleverd [80](#page=80).
#### 5.1.1.1 Fossielgestookte centrales
##### 5.1.1.1.1 Klassieke thermische centrales
Deze centrales zijn gebaseerd op de Rankine-stoomcyclus. Water wordt verwarmd, verdampt en oververhit tot stoom (ongeveer 540 °C bij 125 bar) die een meerfasige turbine aandrijft. De turbine drijft een synchrone alternator aan, meestal een tweepolige generator (3000 toeren per minuut). De stoom wordt afgevoerd naar een condensor en het gecondenseerde water wordt teruggepompt naar de ketel [81](#page=81).
Het rendement van de Rankinecyclus is lager dan het Carnot-rendement. In de praktijk bedraagt het rendement van een klassieke thermische centrale ongeveer 40% [81](#page=81).
> **Tip:** De Carnotcyclus is een theoretisch proces dat een maximaal haalbaar rendement aangeeft door warmte toe te voeren bij de hoogste en af te voeren bij de laagste temperatuur [81](#page=81).
Stookolie en steenkool worden in België zelden meer gebruikt in klassieke centrales [81](#page=81).
##### 5.1.1.1.2 Stoom- en gascentrale (STEG)
Om het rendement te verhogen, worden gecombineerde eenheden (STEG) toegepast. Hierbij wordt een gasturbine gecombineerd met een stoomturbine. Aardgas drijft eerst de gasturbine aan, en de restwarmte van het gas wordt gebruikt om stoom op te wekken voor een klassieke Rankinecyclus [82](#page=82).
Dankzij deze gecombineerde cyclus kan met eenzelfde hoeveelheid aardgas meer elektriciteit worden opgewekt, met een rendement dat tot 55% kan bedragen. Belangrijke nieuwe centrales in België zijn STEG-centrales, met een geïnstalleerd vermogen van ongeveer 450 MW [83](#page=83).
##### 5.1.1.1.3 Warmte-kracht-koppeling (WKK)
WKK combineert elektriciteitsproductie met warmteproductie, vaak in de vorm van stoom. Hierbij wordt de restwarmte van een STEG-centrale gebruikt voor industriële processen die warmte op relatief lage temperatuur nodig hebben. Het totale rendement (warmte + elektriciteit) kan tot 90% bedragen [83](#page=83) [84](#page=84).
> **Tip:** Een WKK is alleen rendabel als er een voldoende grote en constante warmtevraag is gedurende het jaar [84](#page=84).
#### 5.1.2 Nucleaire centrales
Nucleaire centrales zijn ook thermische centrales, maar de ketel is vervangen door een reactorhuis [84](#page=84).
##### 5.1.2.1 Werkingsprincipe
In het reactorvat bevindt zich uranium, waarbij het isotoop U235 splijtbaar is. Bij de splijting komen snelle neutronen en veel energie vrij. De snelle neutronen worden vertraagd door een moderator (meestal water) tot thermische neutronen. Een deel van de neutronen wordt geabsorbeerd [84](#page=84).
De vrijgekomen energie verwarmt water in het reactorvat tot 325 °C bij een druk van 150 bar, waardoor het in vloeibare fase blijft. Dit primaire water geeft zijn energie door aan secundair water in een warmtewisselaar. Het secundaire water doorloopt de Rankinecyclus en wordt gekoeld door tertiair water. Door de relatief lage temperatuur is het rendement van deze centrales beperkt tot ongeveer 33% [84](#page=84) [85](#page=85).
Het meest voorkomende type in België is de Pressurized Water Reactor (PWR), beschouwd als het veiligste type. Andere types zijn Boiling Water Reactor (BWR), Gas Cooled Reactor (GCR) en Kweekreactoren [85](#page=85).
##### 5.1.2.2 Radioactiviteit en veiligheid
Radioactieve straling wordt uitgedrukt in Sievert (Sv). Wettelijke normen voor de bevolking zijn maximaal 5 millisievert (mSv) per jaar, en voor werknemers in kerncentrales maximaal 50 mSv. De effecten van blootstelling variëren van misselijkheid bij lage doses tot vrijwel geen overlevingskans bij zeer hoge doses [86](#page=86).
De werkelijke straling van een kerncentrale ligt ruim onder deze normen. In de nabijheid meet men jaarlijks tot 10 microsievert (μSv), vergelijkbaar met natuurlijke aardstraling. Een röntgenfoto levert een dosis van 200 μSv op [86](#page=86).
#### 5.1.3 Hernieuwbare energie
Hernieuwbare energie maakt gebruik van onuitputtelijke bronnen, meestal afkomstig van de zon [86](#page=86).
##### 5.1.3.1 Waterkracht
Waterkrachtcentrales gebruiken de kinetische energie van stromend water om een generator aan te drijven. Belangrijke turbinetypes zijn de Pelton (groot verval, beperkt debiet), Francis (grote debieten) en Kaplan (axiaal, verstelbare schoepen). Door het lagere toerental van deze turbines worden meestal hoogpolige synchrone generatoren gebruikt [86](#page=86) [87](#page=87).
In België is er weinig potentieel voor waterkracht. De centrale van Coo fungeert als pompcentrale om energie te stockeren in plaats van op te wekken; bij een elektriciteitsoverschot pompt het water naar een hoger bekken, en bij een tekort wordt het water gebruikt om elektriciteit op te wekken [87](#page=87).
##### 5.1.3.2 Windenergie
Windenergie wordt benut met windmolens. Het belangrijkste nadeel is de onzekerheid in wind, wat resulteert in een beperkt aantal equivalente vollast-uren per jaar (2000-3000) [87](#page=87).
Het opgewekte vermogen is afhankelijk van de windsnelheid. Het theoretische maximum van het windvangstrendement (coefficient of performance) bedraagt 59,3%. Moderne windturbines gebruiken vaak dubbelgevoede inductiegeneratoren of synchrone generatoren voor direct drive windmolens [88](#page=88).
##### 5.1.3.3 Foto-voltaïsche energie
Foto-voltaïsche cellen zetten zonne-energie direct om in elektrische energie via een diode-effect. Een enkele cel levert een beperkte spanning en stroom, daarom worden ze in panelen geschakeld. Vanwege de hoge kostprijs zijn ze vooral economisch voor afgelegen toepassingen zonder netaansluiting [89](#page=89).
##### 5.1.3.4 Biomassa
Biomassa omvat organisch materiaal van dierlijke of plantaardige oorsprong. Het wordt verbrand om een Rankine-cyclus aan te drijven. Hoewel er CO2 vrijkomt, wordt biomassa beschouwd als een mogelijke oplossing voor Kyoto-protocollen omdat de planten tijdens hun leven CO2 hebben opgenomen, wat resulteert in een netto nul-uitstoot [90](#page=90).
### 5.2 Transport
Transport van elektriciteit omvat het vervoer van elektrische energie van de centrale tot het distributieonderstation. De spanningsniveaus worden onderverdeeld in hoogspanning (> 30 kV tot 780 kV), middenspanning (1 kV < U ≤ 30 kV) en laagspanning (230 V, 400 V, 680 V) [90](#page=90).
Transport gebeurt op hoogspanning om lijnverliezen te beperken. Hogere spanningen leiden tot duurdere componenten (isolatoren, transformatoren) en zijn economisch interessant voor grote afstanden [91](#page=91).
#### 5.2.1 Hoogspanningsnet
Het Belgische hoogspanningsnet verbindt de belangrijkste knooppunten, vaak in de buurt van grote centrales. Grensovergangen maken energie-uitwisseling met het buitenland mogelijk, wat nuttig is voor Europese stabiliteit en de mogelijkheid om nationale reserves te verkleinen. Deze grensovergangen kunnen echter knelpunten vormen door hun beperkte capaciteit [91](#page=91) [92](#page=92).
##### 5.2.1.1 Kabels en luchtlijnen
Transport gebeurt via luchtlijnen of ondergrondse kabels. Kabels worden gebruikt voor spanningen tot 70 kV; hogere spanningen vereisen te dure isolatie. Kabels hebben minder fouten maar zijn moeilijker te repareren, terwijl fouten in luchtlijnen vaker voorkomen door weersomstandigheden of externe factoren zoals omvallende bomen [92](#page=92).
#### 5.2.2 Vraag en aanbod
Aangezien elektrische energie niet kan worden opgeslagen, moet het aanbod (opgewekte elektriciteit) te allen tijde gelijk zijn aan de vraag (verbruikte energie) plus de lijnverliezen [92](#page=92).
Verschillende centrales worden ingezet om aan de vraag te voldoen [93](#page=93):
* **Basisvermogen**: geleverd door kerncentrales en klassieke centrales die continu draaien [93](#page=93).
* **Regelbare centrales**: vangen dagelijkse variaties op door op deellast of vollast te draaien [93](#page=93).
* **Piekcentrales**: vangen plotselinge pieken op en kunnen snel opstarten (enkele minuten), zoals turbojets, gasturbines of de pompcentrale van Coo [93](#page=93).
Onderhoud aan grote centrales wordt meestal in de zomer gepland, wanneer de elektriciteitsvraag lager is dan in de winter [93](#page=93).
### 5.3 Distributie
Distributie zorgt voor de verdeling van elektrische energie vanaf een transformatorstation tot bij de klant. De spanningsniveaus zijn lager dan bij transport, met typische waarden voor middenspanning (36 kV, 10 kV, 3 kV) en laagspanning (400 V, 680 V) [93](#page=93).
Het net is uit mazen of lussen samengesteld om de bedrijfszekerheid te garanderen. Bij een fout of overbelasting kan snel worden ingegrepen door de fout af te zonderen, terwijl de energielevering wordt verzekerd via een andere voedingslijn [93](#page=93).
Een transformatorstation bevat een transformator om de spanning te verlagen en een railsysteem waarvandaan meerdere lijnen vertrekken naar andere stations of naar verbruikers. Aan het begin van elke lijn bevinden zich vermogenschakelaars, scheiders en beveiligingen [94](#page=94).
#### 5.3.1 Elektriciteitsmetingen
Aan het einde van een lijn, bij de gebruiker, bevindt zich de elektriciteitsmeter [94](#page=94).
##### 5.3.1.1 Inductiemeter van Ferraris
De klassieke Ferrarismeter is gebaseerd op inductie. Een aluminium schijf wordt aangedreven door een koppel dat evenredig is met de spanning, stroom en cosinus van de fasehoek. Voor een actieve energiemeter is de hoek zo ingesteld dat het aandrijvende koppel evenredig is met het actieve vermogen ($T\_a = K \\cdot P$). Dit vermogen wordt over de tijd geïntegreerd, en een snelheidsevenredig tegenwerkend koppel zorgt ervoor dat het aantal toeren ($n$) evenredig is met het vermogen. Het aantal omwentelingen ($N$) over tijd geeft de gemeten energie ($W\_{el}$). Een klein traagheidsmoment van de schijf is essentieel voor een snelle evenwichtstoestand [94](#page=94) [95](#page=95).
$$N = \\int n : dt = K' \\int P : dt = W\_{el}$$ [95](#page=95).
##### 5.3.1.2 Elektronische meettoestellen
Elektronische energiemeters meten het ogenblikkelijk vermogen en berekenen het energieverbruik. Ze worden gebruikt voor zeer nauwkeurige metingen en op afstand uitlezen [95](#page=95).
##### 5.3.1.3 Nauwkeurigheid
De benodigde nauwkeurigheid van energiemetingen varieert: 0,5% voor centrales en grote industriële klanten, 1% voor distributiemaatschappijen en 2% voor huishoudelijke meters. Harmonischen kunnen de nauwkeurigheid nadelig beïnvloeden, en hoe nauwkeuriger de meter, hoe gevoeliger deze vaak is voor harmonischen [95](#page=95).
##### 5.3.1.4 Plaatsing
Voor huishoudens volstaat één meter, eventueel aangevuld met een nachttariefmeter. Industriële installaties vereisen vaak meerdere meters om rekening te houden met maximale gemiddelde belasting per kwartier en de arbeidsfactor ($cos : \\varphi$) [95](#page=95) [96](#page=96):
* **Energiemeter met maximumaanwijzing (kwartiervermogenmeter)**: meet de maximale gemiddelde belasting over een kwartier [96](#page=96).
* **Reactieve energiemeter (var-meter)**: meet de reactieve energie, zodat de gemiddelde $cos : \\varphi$ berekend kan worden [96](#page=96).
* **Extra eenfasige meters**: kunnen dienen als controle voor de driefasige meters [96](#page=96).
Deze traditionele meters worden steeds vaker vervangen door hun elektronische equivalenten [96](#page=96).
* * *
# Motoren en hun werking
Dit deel van de studiehandleiding behandelt de werking, eigenschappen en toepassingen van verschillende typen motoren, met specifieke nadruk op synchrone en asynchrone motoren, evenals servo-motoren.
### 6.1 De synchrone motor
Synchrone motoren kenmerken zich door een rotor die met dezelfde snelheid draait als het magnetische draaiveld in de stator.
#### 6.1.1 Principe werking
Het basisprincipe van een synchrone motor is vergelijkbaar met een magneetnaaldje dat meedraait met een draaiende hoefmagneet door magnetische aantrekking, wat resulteert in een magnetische koppeling. Het draaiende magnetische veld in de stator wordt opgewekt door een driefasige spanning op de statorwikkelingen [99](#page=99).
#### 6.1.2 Het draaiveld
Een draaiveld wordt opgewekt in de stator wanneer een driefasenspanning op de statorwikkelingen wordt aangesloten. Dit is de reden waarom driefasestromen ook wel draaistromen worden genoemd en driefasemotoren draaistroommotoren [99](#page=99).
##### 6.1.2.1 Het magnetisch veld voortgebracht door een eenfasige stroom
Bij een eenfasige stroom in een spoel verandert de stroomzin voortdurend. De magnetische flux is recht evenredig met de stroom. Het resulterende magnetische veld heeft steeds dezelfde richting, maar wisselt van zin en sterkte, wat resulteert in een wisselend magnetisch veld. De ogenblikkelijke stroom wordt berekend met $i = \\hat{I} \\cdot \\sin(\\alpha)$, waarbij $\\alpha = \\omega t$ [100](#page=100).
##### 6.1.2.2 Het draaiveld opgewekt door een tweefasige stroom
Bij een tweefasige stroom, met een faseverschuiving van 90 graden tussen de twee fasen en de spoelen 90 graden verschoven over de statoromtrek, ontstaat een draaiveld. De stromen zijn te beschrijven als $i\_1 = \\hat{I} \\cdot \\sin(\\alpha)$ en $i\_2 = \\hat{I} \\cdot \\sin(\\alpha - 90^\\circ)$. Dit draaiveld heeft een constante rotatiefrequentie en een constante sterkte op elk ogenblik .
##### 6.1.2.3 Het draaiveld opgewekt door een driefasige stroom
Bij een driefasige wikkeling, waarbij de spoelen 120 graden ten opzichte van elkaar zijn verschoven, ontstaat bij aansluiting op een driefasenetspanning een draaiveld. De stromen zijn te beschrijven als $i\_1 = \\hat{I} \\cdot \\sin(\\alpha)$, $i\_2 = \\hat{I} \\cdot \\sin(\\alpha - 120^\\circ)$, en $i\_3 = \\hat{I} \\cdot \\sin(\\alpha - 240^\\circ)$. Dit resulterende draaiveld heeft een constante rotatiefrequentie en een constante grootte van de flux .
#### 6.1.3 De rotatiefrequentie van het draaiveld
De rotatiefrequentie van het draaiveld wordt gegeven door de formule: $$n = \\frac{f}{p} \\quad (\\text{in } s^{-1})$$ waarbij $f$ de frequentie van de driefasestroom is en $p$ het aantal poolparen in de statorwikkeling. Voor een toerental in omwentelingen per minuut (tr/min) geldt : $$n = \\frac{60 \\cdot f}{p} \\quad (\\text{in tr/min})$$ Een voorbeeld: voor een zespolige stator ($p=3$) op een 50 Hz net is het toerental 1000 tr/min .
#### 6.1.4 De draaizin van het draaiveld
De draaizin van het draaiveld, en dus ook van de rotor, is afhankelijk van de volgorde waarin de lijndraden van het draaistroomnet worden aangesloten. Het omwisselen van twee van de drie lijndraden keert de draaizin van het draaiveld om .
#### 6.1.5 De samenstelling van een driefasige synchrone motor
Een driefasige synchrone motor bestaat uit een stator met een driefasige wikkeling die een draaiveld opwekt, en een rotor (polenrad of gewikkelde rotor) die bekrachtigd wordt door gelijkstroom. De rotor heeft evenveel magnetische polen als het draaiveld. De gelijkstroom kan afkomstig zijn van een externe bron of een aangebouwde dynamo, geleverd via sleepringen en borstels, of via een aangebouwde generator met gelijkrichterdioden (borstelloze motor) .
#### 6.1.6 Aanlopen
Synchrone motoren kunnen niet uit zichzelf op gang komen vanwege hun massatraagheid en de hoge directe snelheid van het draaiveld bij inschakeling. Ze vereisen hulpmiddelen om de synchrone snelheid te bereiken .
##### 6.1.6.1 Aanloop met hulpmotor
Een gelijkstroommachine, gekoppeld aan dezelfde as, kan als hulpmotor dienen om de synchrone motor op synchrone snelheid te brengen, waarna de bekrachtiging wordt toegepast en de motor parallel aan het net wordt geschakeld .
##### 6.1.6.2 Aanloop als asynchrone motor
Dit is de meest toegepaste methode. De stator wordt via aanzetweerstanden of een transformator op een verlaagde spanning aangesloten. De bekrachtigingswikkelingen worden kortgesloten om inductie van hoge spanningen te voorkomen. De kortgesloten dempingswikkelingen induceren stromen die Lorentz-krachten ondervinden, wat een asynchroon draaikoppel genereert en de motor bijna tot synchrone snelheid brengt. Vervolgens wordt de bekrachtiging toegepast en 'haken' de rotorpolen aan het statordraaiveld .
##### 6.1.6.3 Aanloop met een frequentieomvormer
Door de frequentie geleidelijk van 0 tot 50 Hz te laten toenemen, neemt ook de rotatiefrequentie van het draaiveld toe, waardoor de rotorpolen gemakkelijker kunnen koppelen .
#### 6.1.7 Eigenschappen van de synchrone motor
##### 6.1.7.1 Voordelen
* **Constante snelheid:** De rotatiesnelheid blijft gelijk, ongeacht de belasting .
* **Verbetering arbeidsfactor:** Door de bekrachtiging aan te passen, kan de motor worden ingesteld als een capacitieve verbruiker, wat de arbeidsfactor van een installatie kan verbeteren .
* **Omkeerbaarheid:** Een synchrone motor kan ook als generator functioneren .
##### 6.1.7.2 Nadelen
* **Complexe aanloop:** Vereist hulpmiddelen en is moeilijker in dienst te stellen dan andere elektromotoren .
* **Verlies van synchronisme:** Bij plotselinge of te zware belasting kan de magnetische koppeling verbroken worden, leidend tot hoge statorstromen .
* **Dubbele voeding:** Vaak is een gelijkstroomvoeding voor de rotorbekrachtiging en een driefasewisselstroom voor het statordraaiveld nodig .
#### 6.1.8 Toepassingen van een synchrone motor
Synchrone motoren worden toegepast waar een constante rotatiefrequentie vereist is (bv. compressoren, ventilatoren, extruders), waar de arbeidsfactor verbeterd moet worden, en als servomotor .
#### 6.1.9 Eenfasige synchrone motor
De rotor van een eenfasige synchrone motor is meestal een permanente magneet, en de stator heeft een eenfasewikkeling die een wisselend magnetisch veld opwekt. Deze motoren zijn niet zelfstartend en vereisen vaak constructieve aanpassingen, zoals die van een eenfasige inductiemotor, om zelfstartend te worden .
##### 6.1.9.1 De traagdraaiende eenfasige synchrone motor
Deze motor bestaat uit een stator met spoelen en zachtstalen schijven met tanden, en een rotor met een permanente magneet en tanden die tussen de statortanden bewegen. De werking berust op de aantrekking tussen de polen van de permanente magneetrotor en de gepolariseerde tanden van de stator, waardoor de rotor een hoek $\\alpha$ draait. De rotatiefrequentie is $n = f/p$, waarbij $p$ het aantal poolparen of tandenparen is. Deze motor is niet automatisch startend .
### 6.2 De asynchrone motor of inductiemotor
De driefasige asynchrone motor, ook wel inductiemotor genoemd, is populair vanwege zijn eenvoudige constructie, geringe onderhoud, bedrijfszekerheid en lage kosten .
#### 6.2.1 De samenstelling van een driefasige asynchrone motor
##### 6.2.1.1 De stator
De stator bevat een driefasewikkeling die, bij aansluiting op een driefasespanning, een magnetisch draaiveld opwekt .
##### 6.2.1.2 De rotor
De rotor bestaat uit ankerplaten met gleuven waarin wikkelingen of rotorstaven zijn aangebracht. Er zijn twee typen :
* **De sleepringankermotor:** De rotor heeft een driefasige wikkeling die via sleepringen en borstels verbonden is met een externe aanzetweerstand .
* **De kooianker- of kortsluitmotor:** De rotor bestaat uit koperen of aluminium staven die aan de uiteinden verbonden zijn met koperen of aluminiumringen, waardoor een 'kooi' ontstaat .
Beide rotorvarianten maken gebruik van gelamelleerde ankerplaatjes .
##### 6.2.1.3 Het klemmenbord
De zes uiteinden van de statorwikkelingen worden op het klemmenbord aangesloten, waardoor de wikkeling in ster of driehoek geschakeld kan worden. Een kenplaatje met "230/400 V" betekent dat de motor op 3x230 V of 3x400 V kan worden aangesloten, met een maximale spanning van 230 V per statorwikkeling .
#### 6.2.2 Werking
Bij aansluiting van een driefasespanning op de statorwikkeling ontstaat een magnetisch draaiveld. De rotorengeleiders worden door dit veld gesneden, wat een elektromotorische kracht (emk) induceert. Doordat de rotorengeleiders een gesloten keten vormen, vloeien inductiestromen, die Lorentz-krachten ondervinden. Deze krachten genereren een koppel dat de rotor doet draaien in de zin van het statordraaiveld .
> **Tip:** De zin van de emk wordt bepaald met de rechterhandregel (gebruikmakend van de schijnbare beweging), en de zin van de Lorentz-kracht met de linkerhandregel .
Als de rotor met dezelfde frequentie als het draaiveld zou draaien, zou er geen emk meer worden geïnduceerd, waardoor de motor afremt. Daarom draait de rotor nooit synchroon met het statordraaiveld, wat de term 'asynchroon' verklaart. De naam 'inductiemotor' komt voort uit de werking gebaseerd op inductiestromen .
##### 6.2.2.1 Aanpassen aan de belasting
De elektrische ketens van een asynchrone motor lijken op die van een transformator, met de stator als primaire en de rotor als secundaire wikkeling. Bij toenemende belasting neemt de rotatiefrequentie af, wat leidt tot meer veldlijnen die gesneden worden, een grotere rotor-emk, hogere inductiestromen en Lorentz-krachten, en dus een toename van het motorkoppel. Het motorkoppel compenseert het tegenstandskoppel van de belasting. Bij toenemende belasting verbetert ook de arbeidsfactor .
##### 6.2.2.2 Omkeren van de draaizin van de motor
Het omkeren van de draaizin van een asynchrone motor gebeurt op dezelfde manier als bij een synchrone motor: door twee van de drie lijndraden om te wisselen .
#### 6.2.3 Slip en rotatiefrequentie van het draaiveld
De slip ($s$) is het verschil tussen de rotatiefrequentie van het statordraaiveld ($n\_s$) en de rotatiefrequentie van de rotor ($n\_r$), gedeeld door de rotatiefrequentie van het statordraaiveld: $$s = \\frac{n\_s - n\_r}{n\_s}$$ Hierbij geldt altijd $n\_r < n\_s$ .
#### 6.2.4 Koppel-rotatiefrequentiekarakteristiek
* **Start (nr = 0):** Maximale slip, laag aanzetkoppel .
* **Rond 80% ns:** Motor ontwikkelt zijn maximumkoppel (kipkoppel) .
* **Nominale rotatiefrequentie (n\_nom):** Ongeveer 96% van $n\_s$. Motor ontwikkelt nominaal koppel ($T\_{nom}$) .
* **Nullast:** Rotorfrequentie iets groter dan bij nominale belasting, bijna gelijk aan $n\_s$ .
* **ns = nr:** Geen koppel, motor vertraagt .
* **Minimumkoppel:** Kan aanwezig zijn afhankelijk van de rotorconstructie .
Bij de keuze van een motor moet het werkpunt (snijpunt van de belastingscurve en de motorcurve) zo dicht mogelijk bij het nominale punt liggen en onder de motorcurve blijven voor stabiliteit .
#### 6.2.5 Vermogen en rendement
Het nuttig vermogen aan de as ($P\_n$) wordt berekend als het toegevoerde vermogen ($P\_t$) min de vermogensverliezen ($P\_v$): $$P\_n = P\_t - P\_v$$ Het rendement ($\\eta$) is: $$\\eta = \\frac{P\_n}{P\_t}$$ Het toegevoerd elektrisch vermogen is: $$P\_t = \\sqrt{3} \\cdot U \\cdot I \\cdot \\cos(\\varphi)$$ Het nuttig vermogen aan de as is: $$P\_n = \\omega \\cdot T$$ De vermogensverliezen omvatten:
* Joule-verliezen in de stator: $P\_{js} = 3 \\cdot I\_s^2 \\cdot R\_s$ .
* Joule-verliezen in de rotor: $P\_{jr} = 3 \\cdot I\_r^2 \\cdot R\_r$ .
* IJzerverliezen ($P\_{Fe}$) in rotor en stator .
* Mechanische verliezen ($P\_{mech}$) (wrijving, etc.) .
Het vermogen op het kenplaatje is het nuttig vermogen. Het rendement varieert van 0,6 voor kleine motoren tot 0,9 voor grotere vermogens .
#### 6.2.6 Aanlopen van een driefasige motor
Hoge aanloopstromen kunnen het net belasten en spanningsdalingen veroorzaken, daarom moet de aanloopstroom binnen bepaalde perken worden gehouden .
##### 6.2.6.1 Directe aanloop
De motor wordt rechtstreeks op de netspanning aangesloten. Dit veroorzaakt een grote aanloopstroom en een spanningsval in het net, en een bruuske aanzet die niet altijd gewenst is. Toepasbaar voor beperkt vermogen (bv. tot 2,2 kW voor enkelkooimotoren) .
##### 6.2.6.2 Aanzet met statoraanzetweerstanden
Weerstanden worden in elke aansluitdraad geplaatst en geleidelijk uitgeschakeld, waardoor de motor een verlaagde spanning aangeboden krijgt. Dit verkleint de aanzetstroom, maar vermindert ook sterk het aanloopkoppel .
##### 6.2.6.3 Aanzet met aanzettransformator
Een regelbare draaistroomtransformator kan worden gebruikt om de spanning tijdens het aanzetten te verlagen .
##### 6.2.6.4 Aanzet d.m.v. ster-driehoekaanloop
Tijdens het aanlopen wordt de motor in ster geschakeld om de aangelegde spanning te verlagen. In ster-schakeling bedraagt zowel het aanzetkoppel als de aanzetstroom 1/3 van de waarden bij een driehoekschakeling . Voor een motor op een 230 V net met 30 A lijnstroom bij driehoekschakeling:
* Spanning over statorwikkeling (driehoek): 230 V .
* Stroom door statorwikkeling (driehoek): $I\_{wikkeling} = I\_{lijn} / \\sqrt{3} = 30 \\text{ A} / \\sqrt{3} \\approx 17,3 \\text{ A}$ .
* Spanning over statorwikkeling (ster): $U\_{ster} = U / \\sqrt{3} = 230 \\text{ V} / \\sqrt{3} \\approx 132,8 \\text{ V}$ .
* Stroom door statorwikkeling (ster): $I\_{wikkeling} = U\_{ster} / Z \\approx 132,8 \\text{ V} / Z$ .
* Lijnstroom (ster): $I\_{lijn} = I\_{wikkeling}$ .
#### 6.2.7 Eenfasige asynchrone of inductiemotor
##### 6.2.7.1 Samenstelling
Deze motor heeft een kooirotor en slechts een eenfasewikkeling in de stator, wat resulteert in een wisselveld in plaats van een draaiveld .
##### 6.2.7.2 Werking
Het wisselveld kan worden ontbonden in twee gelijke, tegengesteld draaiende draaivelden. Elk veld induceert koppels ($T\_1$ en $T\_2$) in tegengestelde zin. Bij stilstaande rotor zijn deze koppels gelijk, waardoor het resulterend koppel nul is en de motor niet zelfstartend is. Indien de rotor in een bepaalde zin op gang wordt gebracht, wordt het resulterende koppel niet nul en blijft de motor draaien in de richting waarin hij is gestart .
##### 6.2.7.3 De eenfasige inductiemotor met hulpwikkeling
Naast de hoofdwikkeling beschikt de stator over een aanloopwikkeling (hulpwikkeling) die 90 elektrische graden verschoven is ten opzichte van de hoofdwikkeling. De stromen zijn ook ongeveer 90 graden verschoven, waardoor een draaiveld ontstaat. Er zijn drie schakelingen om de faseverschuiving te creëren :
* **Capacitieve aanloop:** Een condensator in serie met de hulpwikkeling zorgt ervoor dat de stroom door de aanloopfase 90 graden voorijlt op de stroom door de hoofdwikkeling. De hulpwikkeling wordt meestal uitgeschakeld door een centrifugaalschakelaar bij een bepaalde rotatiefrequentie .
* **Inductieve aanloop:** De aanloopwikkeling is inductief uitgevoerd. De stroom in de aanloopwikkeling is meer nagelend dan in de hoofdwikkeling, wat resulteert in een kleiner aanloopkoppel dan bij capacitieve aanloop, omdat de stromen minder dan 90 graden verschoven zijn .
* **Weerstandsaanloop:** De aanloopwikkeling wordt gemaakt van weerstandsdraad om voldoende verschuiving tussen de stromen te verkrijgen .
#### 6.2.7.4 Omkeren van de draaizin
Om de draaizin van de zelfaanlopende eenfasige asynchrone motor om te keren, moet het startdraaiveld worden omgekeerd. Dit kan door de stroom in de hoofd- of hulpwikkeling om te keren; meestal wordt de stroomzin in de hulpwikkeling omgekeerd .
### 6.3 Servo motoren
Servo-aandrijvingen hebben als doel om machineonderdelen binnen een voorgeschreven tijd, over een bepaalde weg en met nauwkeurige positionering te bewegen .
#### 6.3.1 Inductiemotor met veldoriëntatie
Bij inductiemotoren als servomotor moet de ligging van het rotorveld bepaald worden, hetzij direct via meting, hetzij indirect via berekening. Een computer (sturing) is noodzakelijk voor de snelle dynamica en nauwkeurigheid van de veldgeoriënteerde regeling. Afwijkingen van de normbouwvormen zijn noodzakelijk: vermindering van het traagheidsmoment door een hogere lengte/doormeter verhouding, rekening houden met kortstondige overbelastingen en sterke rotoropwarming, meting van de rotorpositie met een impulsgever, en directe of indirecte veldoriëntatie aansturing .
#### 6.3.2 Synchrone motor met permanente magneten
Bij een synchrone servomotor met sinusvormige voeding wordt een driefasige sinusvormige stroom gestuurd, waarvan de frequentie het toerental bepaalt. Een resolver op de motoras meet de rotorpositie voor de aansturing van de IGBT's in de invertor (veldoriëntatie). Door de sinusvormige stroom en aangepaste constructie zijn het toerental en koppel constant, ook bij lage snelheden. Voor maximale koppel is een poolradhoek van 90 graden vereist, wat betekent dat de hoek tussen rotor- en statorflux 90 graden moet zijn. In functie van de gemeten rotorhoek wordt de gewenste positie van het statordraaiveld bepaald, wat leidt tot de waarde van de drie motorstromen .
#### 6.3.3 Stappenmotor
Kenmerkend is dat de rotor slechts in discrete posities kan staan, corresponderend met ingangspulsen aan de sturing. Voor normale werking is geen meting van de rotorpositie nodig, aangezien het aantal ingangspulsen overeenkomt met het aantal motorstappen .
##### 6.3.3.1 Variabele reluctantie stappenmotor
De stator heeft meerdere polen met wikkelingen, en de rotor is gemaakt van magnetisch materiaal met uitspringende polen. Bij het aanleggen van een stroom aan de statorwikkeling ondervindt de rotor een koppel. De stroomzin is van belang voor de koppelzin, waardoor deze motor ook als generator kan werken (afremmen van een last) .
##### 6.3.3.2 Permanente magneet stappenmotor
De constructie lijkt op die van een variabele reluctantie motor, maar de rotorpolen zijn permanente magneten, waardoor een kleefkoppel aanwezig blijft, zelfs zonder bekrachtigde wikkelingen .
##### 6.3.3.3 Hybride stappenmotor
Deze motor combineert elementen van de variabele reluctantie en permanente magneet stappenmotoren. Een cirkelvormige magneet op de as wordt aan weerszijden geflankeerd door weekijzeren klauwpolen. De rotortanden zijn afwisselend N en S gepolariseerd, door de rotor in twee delen te splitsen die over een halve tand verschoven zijn .
* * *
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
* Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
* Let op formules en belangrijke definities
* Oefen met de voorbeelden in elke sectie
* Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Elektrische lading (Q) | De fundamentele eigenschap van materie die elektrische interacties veroorzaakt. De eenheid is Coulomb (C). |
| Coulomb (C) | De eenheid van elektrische lading. Gedefinieerd als de lading die wordt verplaatst in 1 seconde door een stroom van 1 ampère. |
| Elektronen theorie | Beschrijft dat elektrische lading wordt veroorzaakt door de beweging van elektronen, die negatief geladen deeltjes zijn. |
| Ion | Een atoom of molecuul dat een elektrische lading heeft gekregen door het verlies of winnen van elektronen. |
| Elektrische stroom (I) | De stroom van elektrische lading, meestal gemeten in ampère (A). Het is de hoeveelheid lading die per tijdseenheid wordt verplaatst. |
| Ampère (A) | De SI-eenheid van elektrische stroom, gedefinieerd als één coulomb per seconde. |
| Thermisch effect | Het effect van elektrische stroom dat warmte ontwikkelt in een geleider, gebruikt in verwarmingselementen. |
| Chemisch effect | Het effect van elektrische stroom dat chemische reacties veroorzaakt, zoals bij elektrolyse. |
| Magnetisch effect | Het effect van elektrische stroom dat een magnetisch veld opwekt, gebruikt in elektromotoren en generatoren. |
| Mechanisch effect | De kracht die op een geleider werkt in een magnetisch veld wanneer er stroom doorheen loopt, bekend als de lorentzkracht. |
| Licht effect | Het effect waarbij snel bewegende elektronen botsen met atomen, wat leidt tot de emissie van licht, zoals in gasontladingslampen. |
| Fysiologisch effect | De invloed van elektrische stroom op het menselijk lichaam, variërend van lichte sensaties tot levensbedreigende schokken. |
| Stroomdichtheid (J) | De elektrische stroomsterkte per eenheid van dwarsdoorsnede van een geleider, uitgedrukt in ampère per vierkante meter (A/m²). |
| Elektrische spanning (U) | Het potentiaalverschil tussen twee punten, wat de drijvende kracht is achter elektrische stroom. De eenheid is Volt (V). |
| Volt (V) | De SI-eenheid van elektrische spanning, gedefinieerd als de spanning waarbij 1 joule arbeid wordt verricht bij het verplaatsen van 1 coulomb lading. |
| Spanningsbron | Een apparaat dat een elektrische spanning levert, zoals een batterij of een dynamo. |
| Elektromotorische spanning (ems) | De spanning die wordt geproduceerd door een bron in rust, zonder dat er stroom vloeit. Ook wel elektromotorische kracht (emk) genoemd. |
| Klemspanning | De spanning die wordt gemeten over de klemmen van een spanningsbron wanneer er stroom vloeit. Deze is lager dan de ems door interne verliezen. |
| Interne weerstand (Ri) | De weerstand binnenin een spanningsbron die de uitgaande spanning vermindert wanneer er stroom vloeit. |
| Piezo-elektriciteit | Het verschijnsel waarbij bepaalde kristallen een potentiaalverschil ontwikkelen wanneer ze mechanisch worden belast. |
| Thermo-elektriciteit | Het verschijnsel waarbij een potentiaalverschil ontstaat aan de verbinding van twee verschillende metalen, dat verandert met de temperatuur. |
| Foto-elektriciteit | Het vrijkomen van elektronen uit een materiaal wanneer het lichtenergie absorbeert, vereist een minimale energie per foton. |
| Galvanische elektriciteit | De omzetting van chemische energie in elektrische energie, zoals in batterijen en accumulatoren. |
| Elektromagnetische inductie | Het fenomeen waarbij een veranderend magnetisch veld een elektrische spanning induceert in een geleider. |
| Elektrische weerstand (R) | De mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom tegenwerkt. De eenheid is Ohm (Ω). |
| Ohm (Ω) | De SI-eenheid van elektrische weerstand. |
| Specifieke weerstand (ρ) | De weerstand van een materiaal per kubieke meter, een intrinsieke eigenschap van het materiaal. Uitgedrukt in Ohm-meter (Ω·m). |
| Temperatuurscoëfficient (α) | Een factor die aangeeft hoe de weerstand van een materiaal verandert met de temperatuur. |
| Geleidbaarheid (G) | Het omgekeerde van elektrische weerstand, aangevend hoe goed een materiaal stroom geleidt. De eenheid is Siemens (S). |
| Siemens (S) | De SI-eenheid van elektrische geleidbaarheid. |
| Gloeilamp | Een elektrische component die licht produceert door een gloeidraad te verwarmen met elektrische stroom. |
| Wet van Ohm | Een fundamentele wet die stelt dat de spanning over een weerstand evenredig is met de stroom die erdoorheen vloeit en de weerstand zelf ($U = I \cdot R$). |
| Elektrische arbeid (W) | De energie die door een elektrische stroom wordt geleverd of verbruikt, gemeten in Joule (J). |
| Joule (J) | De SI-eenheid van energie en arbeid. |
| Elektrisch vermogen (P) | De snelheid waarmee elektrische energie wordt geleverd of verbruikt, gemeten in Watt (W). |
| Watt (W) | De SI-eenheid van vermogen. |
| Rendement (η) | De verhouding van nuttig geleverd vermogen tot totaal geleverd vermogen, uitgedrukt als een percentage of een decimaal getal. |
| Gelijkstroom (DC) | Elektrische stroom die altijd in dezelfde richting vloeit. |
| Wisselstroom (AC) | Elektrische stroom die periodiek van richting en grootte verandert. |
| Periodieke stroom | Een elektrische stroom waarvan het patroon van waarden zich identiek herhaalt in gelijke tijdsintervallen. |
| Periode (T) | Het tijdsinterval tussen twee opeenvolgende identieke punten in een periodieke stroomgolfvorm. |
| Frequentie (f) | Het aantal perioden per seconde, uitgedrukt in Hertz (Hz). |
| Sinusoïdale spanning | Een wisselspanning waarvan de waarde op elk moment wordt beschreven door een sinusfunctie. |
| Amplitude (Ê) | De maximale waarde die een sinusvormige spanning of stroom bereikt. |
| Cirkelfrequentie (ω) | De hoekfrequentie van een sinusvormige grootheid, gelijk aan $2 \pi f$. |
| Effectieve waarde | De waarde van een wisselstroom of -spanning die hetzelfde verwarmend effect zou hebben als een gelijkstroom of -spanning van die waarde. |
| Fase | De positie van een punt in de cyclus van een periodieke golfvorm ten opzichte van een referentiepunt. |
| Faseverschil (φ) | Het verschil in fase tussen twee periodieke grootheden, zoals spanning en stroom. |
| Vectordiagram | Een grafische voorstelling van wisselende grootheden, waarbij vectoren de grootte en fase van deze grootheden weergeven. |
| Actiefvermogen (P) | Het vermogen dat daadwerkelijk arbeid verricht, uitgedrukt in Watt (W). |
| Reactiefvermogen (Q) | Het vermogen dat nodig is om magnetische of elektrische velden op te bouwen en af te breken, uitgedrukt in VAR (Volt-Ampère Reactief). |
| Schijnbaar vermogen (S) | Het product van de effectieve waarden van spanning en stroom, uitgedrukt in Volt-Ampère (VA). |
| Arbeidsfactor (cos φ) | De verhouding van actiefvermogen tot schijnbaar vermogen, een maat voor de efficiëntie van energiegebruik in een AC-circuit. |
| Blindfactor (sin φ) | De sinus van de fasehoek, gerelateerd aan het reactief vermogen. |
| Weerstand (component) | Een elektrisch component dat bedoeld is om weerstand te bieden aan de stroom. |
| Condensator | Een elektrisch component dat elektrische lading en energie kan opslaan in een elektrisch veld. |
| Capaciteit (C) | De eigenschap van een condensator om lading op te slaan, gemeten in Farad (F). |
| Farad (F) | De SI-eenheid van capaciteit. |
| Diëlektricum | Het niet-geleidende materiaal tussen de platen van een condensator. |
| Spoel | Een elektrisch component dat een magnetisch veld opwekt wanneer er stroom doorheen loopt en dat magnetische energie opslaat. |
| Zelfinductie (L) | De eigenschap van een spoel om een tegen-emk te genereren wanneer de stroom verandert, gemeten in Henry (H). |
| Henry (H) | De SI-eenheid van zelfinductie. |
| Contactor | Een op afstand bediende schakelaar die grote vermogens kan schakelen. |
| Hoofdschakelaar (lastscheider) | Een schakelaar die een elektrische kring onder belasting mag onderbreken, vaak gebruikt als hoofdschakelaar van een installatie. |
| Overstroombeveiliging (automaat) | Een apparaat dat een elektrische kring beschermt tegen overmatige stromen door deze automatisch te onderbreken. |
| Kortsluitstroom | Een extreem hoge stroom die ontstaat bij een kortsluiting. |
| Overbelastingsstroom | Een stroom die hoger is dan de nominale stroom, maar niet zo hoog als een kortsluitstroom. |
| Bimetaal | Een strip van twee verschillende metalen met verschillende uitzettingscoëfficiënten, gebruikt in thermische beveiligingen. |
| Differentiaal beveiliging (aardlekschakelaar) | Een veiligheidsschakelaar die de stroomkring onderbreekt als er een lekstroom naar aarde wordt gedetecteerd. |
| Thermische beveiliging | Een beveiliging die motoren beschermt tegen overbelasting door de stroom te beperken op basis van temperatuur. |
| Kirchhoff's stromenwet | Stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenkomen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. |
| Kirchhoff's spanningswet | Stelt dat de som van de spanningsverhogingen in een gesloten kring gelijk is aan de som van de spanningsverliezen. |
| Superpositiemethode | Een methode om complexe netwerken te analyseren door de bijdrage van elke spanningsbron afzonderlijk te beschouwen. |
| Maasstromenmethode | Een methode om complexe netwerken op te lossen door kringloopstromen te definiëren. |
| Knooppuntstromenmethode | Een methode om complexe netwerken op te lossen door de stromen in de knooppunten te analyseren. |
| Thévenin-stelling | Stelt dat een lineair netwerk, gezien vanuit een belasting, kan worden vervangen door een equivalente spanningsbron in serie met een weerstand. |
| Norton-stelling | Stelt dat een lineair netwerk, gezien vanuit een belasting, kan worden vervangen door een equivalente stroombron parallel met een weerstand. |
| Tijdsconstante (RC) | De tijd die nodig is om een condensator tot ongeveer 63,2% van zijn eindlading op te laden, berekend als het product van R en C. |
| Tijdsconstante (L/R) | De tijd die nodig is om de stroom in een spoel tot ongeveer 63,2% van zijn eindwaarde te laten toenemen, berekend als L gedeeld door R. |
| Impedantie (Z) | De totale weerstand die een wisselstroom ondervindt in een circuit, rekening houdend met weerstand, reactantie en susceptantie. Uitgedrukt in Ohm (Ω). |
| Inductieve reactantie (XL) | De weerstand die een spoel biedt aan wisselstroom, afhankelijk van de frequentie en zelfinductie ($X_L = \omega L$). |
| Capacitieve reactantie (XC) | De weerstand die een condensator biedt aan wisselstroom, afhankelijk van de frequentie en capaciteit ($X_C = 1 / (\omega C)$). |
| Stroomresonantie | Een fenomeen in parallelle LC-circuits waarbij de stroom door de parallel geschakelde spoel en condensator zeer groot kan worden. |
| Multimeter | Een veelzijdig meetinstrument dat spanning, stroom, weerstand en andere elektrische grootheden kan meten. |
| Autoranging | Een functie van een multimeter die automatisch het juiste meetbereik selecteert. |
| Effectieve waarde (spanning/stroom) | De equivalente DC-waarde die hetzelfde verwarmend effect zou produceren. |
| Continuïteitstester | Een functie van een multimeter die aangeeft of er een elektrische verbinding is door een geluidssignaal te geven. |
| Diode | Een halfgeleidercomponent dat stroom in één richting toelaat en in de andere blokkeert. |
| Transistor | Een halfgeleidercomponent dat gebruikt wordt voor versterking en schakeling. |
| HFE meting | Een meting van de gelijkstroomversterkingsfactor van een transistor. |
| Stroomtang | Een meetinstrument dat de stroom in een geleider kan meten zonder de kring te onderbreken, door het magnetische veld rond de geleider te meten. |
| Lekstroom | Een onbedoelde stroom die via een ongewenst pad (bv. isolatie) wegvloeit naar aarde. |
| Aardlekschakelaar | Een beveiligingsinrichting die de stroomkring onderbreekt bij detectie van een lekstroom naar aarde. |
| Fossielgestookte centrales | Elektriciteitscentrales die fossiele brandstoffen (kolen, olie, gas) gebruiken om energie op te wekken. |
| Nucleaire centrales | Elektriciteitscentrales die kernsplijting van uranium gebruiken om energie op te wekken. |
| Hernieuwbare energie | Energiebronnen die zichzelf continu aanvullen, zoals zon, wind, water en biomassa. |
| Waterkracht | Energie gewonnen uit de beweging van water. |
| Windenergie | Energie gewonnen uit de windkracht. |
| Fotovoltaïsche energie | Energie omgezet uit zonlicht met behulp van zonnecellen. |
| Biomassa | Organisch materiaal dat kan worden gebruikt als energiebron. |
| Transport (elektriciteit) | Het vervoer van elektrische energie van de centrale naar het distributieonderstation. |
| Hoogspanningsnet | Het netwerk dat elektriciteit transporteert over lange afstanden met hoge spanningen. |
| Distributienet | Het netwerk dat elektriciteit distribueert vanaf transformatorstations naar de eindgebruikers. |
| Elektriciteitsmeter (Ferraris) | Een klassieke elektriciteitsmeter gebaseerd op het inductieprincipe om energieverbruik te meten. |
| Elektronische meettoestellen | Moderne energiemeters die het ogenblikkelijk vermogen meten met digitale technologie. |
| Harmonischen | Storingen in de sinusvorm van een wisselstroom of -spanning, die de nauwkeurigheid van metingen kunnen beïnvloeden. |
| Vermogenkring schema | Een schema dat de componenten toont die direct de elektrische energie leveren aan een machine of installatie. |
| Stuurkring schema | Een schema dat de componenten toont die de werking en het automatisme van een machine of installatie regelen. |
| Klemmenstroken schema | Een schema dat de verbindingen op een klemmenstrook weergeeft, gebruikt voor de aansluiting van externe componenten. |
| Kabel schema | Een schema dat de route en specificaties van de kabels tussen componenten en schakelkasten weergeeft. |
| Synchrone motor | Een elektromotor waarvan de rotor draait met dezelfde snelheid als het magnetische draaiveld van de stator. |
| Draaiveld | Een roterend magnetisch veld dat ontstaat door een meerfasige stroom in een statorwikkeling. |
| Rotatiefrequentie van het draaiveld | De snelheid waarmee het magnetische draaiveld roteert, afhankelijk van de frequentie van de voeding en het aantal polen. |
| Asynchrone motor (inductiemotor) | Een elektromotor waarvan de rotor langzamer draait dan het magnetische draaiveld van de stator. |
| Rotor | Het draaiende deel van een elektromotor. |
| Stator | Het stilstaande deel van een elektromotor. |
| Kooiankermotor | Een type asynchrone motor met een rotor die bestaat uit staven kortgesloten door ringen, lijkend op een kooi. |
| Sleepringankermotor | Een type asynchrone motor met een rotor die voorzien is van een wikkeling met sleepringen, wat externe weerstanden toelaat aan te sluiten. |
| Slip | Het verschil in snelheid tussen het magnetische draaiveld en de rotor van een asynchrone motor, uitgedrukt als een percentage. |
| Kipkoppel | Het maximale koppel dat een asynchrone motor kan leveren. |
| Servo motor | Een motor ontworpen voor nauwkeurige positionering en snelheidsregeling, vaak gebruikt in geautomatiseerde systemen. |
| Stappenmotor | Een type motor dat de rotor in discrete stappen laat bewegen als reactie op digitale pulsen. |
| Variabele reluctantie stappenmotor | Een stappenmotor die werkt door het magnetisch pad van de rotor te variëren. |
| Permanente magneet stappenmotor | Een stappenmotor die permanente magneten gebruikt in de rotor voor een hoger koppel. |
| Hybride stappenmotor | Een stappenmotor die kenmerken combineert van variabele reluctantie en permanente magneet stappenmotoren. |
Cover
3) PPT Lichtschakelingen.pdf
Summary
# Documenttypes in elektrische installaties
Dit onderwerp behandelt de verschillende documenten die essentieel zijn voor het correct weergeven, plannen en uitvoeren van elektrische installaties.
### 1.1 Situatieschema / Situatieplan
Het situatieschema, ook wel situatieplan genoemd, is een plattegrond die de fysieke ligging van alle onderdelen van een elektrische installatie weergeeft. Dit omvat elementen zoals stopcontacten, lichtpunten, schakelaars, drukknoppen, zekeringskasten, vaste toestellen en aansluitingen voor TV, telefoon en internet. Een situatieschema is verplicht voor elke elektrische installatie die gekeurd wordt en is gekoppeld aan het ééndraadschema. De symbolen die gebruikt worden, zijn dezelfde als in het ééndraadschema en moeten conform de voorschriften van het AREI zijn [2](#page=2) [4](#page=4).
### 1.2 Eendraadschema
Het ééndraadschema fungeert als de universele taal om de volledige elektrische installatie, inclusief leidingen, toestellen en bediening, op een duidelijke en planmatige manier in kaart te brengen. Dit schema is, net als het situatieschema, verplicht voor elke elektrische installatie die gekeurd wordt. Het ééndraadschema dient te worden opgemaakt door de persoon die de installatie heeft uitgevoerd. Er is een directe koppeling met het situatieschema, en beide gebruiken dezelfde symbolen die overeenkomstig het AREI moeten zijn [3](#page=3).
#### 1.2.1 Afspraken in het ééndraadschema
Bij het opstellen van een ééndraadschema gelden specifieke afspraken:
* Elke stroombaan wordt aangeduid met een hoofdletter, bijvoorbeeld A, B, C [3](#page=3).
* Elk lichtpunt en elk stopcontact moet genummerd worden [3](#page=3).
* Personalia, zoals de gegevens van de installateur en het adres van de woning, dienen vermeld te worden [3](#page=3).
> **Tip:** De correcte symbolen voor zowel het situatieschema als het ééndraadschema zijn te vinden in het AREI, hoofdstuk 2.13: Grafische symbolen. Deze informatie is vaak ook beschikbaar via leermateriaal op universitaire leerplatformen. Een voorbeeld van een ééndraadschema is te raadplegen in figuur 3.1 van het AREI, onderafdeling 3.1.2.1 [4](#page=4).
### 1.3 Stroomschema
Een stroomschema biedt een schematische weergave van alle verbindingen en componenten binnen een elektrisch systeem. Dit type schema heeft geen wettelijke basis of verplichting. Een belangrijk kenmerk is dat de aardingsgeleider (PE) niet wordt voorgesteld in een stroomschema. Het stroomschema dient voornamelijk als een visuele hulpmiddel om de werking van het systeem beter te begrijpen [8](#page=8).
### 1.4 Aansluitschema
Een aansluitschema is een tekening die gedetailleerd weergeeft hoe de elektriciteitsdraden en toestellen in de werkelijkheid fysiek met elkaar verbonden worden. Net als het stroomschema, is er geen wettelijke basis of verplichting voor het gebruik van een aansluitschema. Het doel ervan is een visuele voorstelling te bieden die helpt bij het begrijpen van de realisatie van de fysieke aansluitingen [9](#page=9).
---
# Schakelaartypes en hun toepassingen
Dit onderwerp behandelt de diverse types schakelaars en hun specifieke toepassingen in elektrische circuits, met een focus op de functionaliteit en de schakelprincipes [7](#page=7).
### 2.1 Enkelpolige schakelaar
De enkelpolige schakelaar wordt gebruikt om een lichtpunt of verbruiker vanaf één locatie te bedienen. Het is een bistabiele schakelaar, wat betekent dat deze twee stabiele standen heeft [10](#page=10).
> **Tip:** De enkelpolige schakelaar is de meest basale vorm van schakeling en wordt veelvuldig toegepast in situaties waar één bedieningspunt volstaat.
### 2.2 Dubbelpolige schakelaar
Een dubbelpolige schakelaar dient om een lichtpunt of verbruiker vanaf één locatie te bedienen en tegelijkertijd de verbruiker volledig spanningsloos te maken. Dit type schakelaar is bijzonder geschikt voor vochtige ruimtes. Net als de enkelpolige schakelaar is de dubbelpolige schakelaar bistabiel met twee stabiele standen. Vroeger was het gebruik van een dubbelpolige schakelaar verplicht in badkamers, maar dit is heden ten dage niet meer het geval [12](#page=12).
> **Toepassing:** De dubbelpolige schakelaar garandeert een hogere veiligheid door de verbruiker volledig te isoleren van de stroombron.
### 2.3 Serieschakelaar
De serieschakelaar, ook wel 'dubbele ontsteking' genoemd, maakt het mogelijk om twee verschillende lichten vanaf één punt te bedienen met twee aparte knoppen. Dit is eveneens een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen [14](#page=14).
> **Voorbeeld:** In een kamer met twee aparte lampen die beide vanaf dezelfde plek bediend moeten worden, kan een serieschakelaar worden toegepast.
### 2.4 Wisselschakelaar
Wisselschakelaars werken altijd per paar en maken het mogelijk om een lichtpunt vanaf twee verschillende locaties te schakelen. Dit type schakelaar is bistabiel en heeft twee stabiele standen [16](#page=16).
> **Toepassing:** Typische toepassingen zijn trappenhuizen, lange gangen of slaapkamers waar het licht zowel bij de ingang als bij het bed bediend moet kunnen worden.
### 2.5 Kruisschakelaar
Een kruisschakelaar wordt gebruikt in combinatie met twee wisselschakelaars en maakt het mogelijk om een lichtpunt vanaf meer dan twee locaties te bedienen. Deze schakelaar is ook bistabiel met twee stabiele standen [18](#page=18).
> **Voorbeeld:** In grote ruimtes met meerdere ingangen, zoals een open kantoorruimte of een grote vergaderzaal, kan de kruisschakelaar de bediening van de verlichting vergemakkelijken.
### 2.6 Dubbelpolige wisselschakelaar
De dubbelpolige wisselschakelaar combineert de functionaliteit van een wisselschakelaar met die van een dubbelpolige schakelaar. Het doel is om een lichtpunt vanaf twee plaatsen te bedienen en tegelijkertijd de verbruiker volledig spanningsloos te zetten. Deze schakelaar is bistabiel en heeft twee stabiele standen [20](#page=20).
> **Toepassing:** Dit type schakelaar is zeer geschikt voor vochtige ruimtes, zoals badkamers, waar zowel het comfort van bediening vanaf twee punten als de veiligheid van volledige spanningsloosheid gewenst zijn [20](#page=20).
---
# Symbolen en digitale ontwerpsoftware
Dit onderwerp behandelt de grafische symbolen die essentieel zijn voor het opstellen van elektrische schema's volgens de AREI-normen en introduceert de softwarepakketten die gebruikt worden voor het digitaal ontwerpen van deze schema's.
### 3.1 Grafische symbolen volgens de AREI-normen
De correcte grafische symbolen voor elektrische schema's dienen geraadpleegd te worden in het AREI, specifiek in hoofdstuk 2.13: Grafische symbolen. Deze symbolen zijn cruciaal voor een duidelijke en uniforme weergave van elektrische installaties [4](#page=4) [5](#page=5) [6](#page=6).
#### 3.1.1 Belangrijke schakelaars en hun symbolen
* **Enkelpolige schakelaar:** Deze schakelaar wordt gebruikt om één lichtpunt vanaf één locatie te bedienen. Het is een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen [10](#page=10).
* **Dubbelpolige schakelaar:** Deze schakelaar bedient ook één lichtpunt vanaf één locatie, maar zorgt ervoor dat de verbruiker volledig spanningsloos wordt gezet. Dit is met name toepasselijk in vochtige ruimtes. Het is een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen. Vroeger was deze schakelaar verplicht in badkamers, maar dit is tegenwoordig niet meer het geval [12](#page=12).
* **Serieschakelaar (dubbele ontsteking):** Met deze schakelaar kunnen twee verschillende lichtpunten vanaf één punt worden bediend, elk met een eigen knop. Het is een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen [14](#page=14).
* **Wisselschakelaar:** Wisselschakelaars werken altijd per twee en maken het mogelijk om een lichtpunt vanaf twee verschillende plaatsen te schakelen. Het zijn bistabiele schakelaars met twee stabiele standen [16](#page=16).
* **Kruisschakelaar:** Een kruisschakelaar wordt gebruikt in combinatie met twee wisselschakelaars om een lichtpunt vanaf meer dan twee plaatsen te bedienen. Dit is bijvoorbeeld nuttig in trappenhallen. Het is een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen [18](#page=18).
* **Dubbelpolige wisselschakelaar:** Deze schakelaar combineert de functionaliteit van twee wisselschakelaars met het spanningsloos maken van de verbruiker. Hiermee kan een lichtpunt vanaf twee plaatsen bediend worden, terwijl de verbruiker volledig spanningsloos wordt gezet, wat geschikt is voor toepassingen zoals badkamers. Het is een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen [20](#page=20).
#### 3.1.2 Drukknoppen en teleruptoren
* **Drukknop:** Een drukknop wordt gebruikt om een lichtpunt te bedienen vanaf één of meerdere plaatsen. Dit is een monostabiele drukknop met slechts één stabiele stand. Om de verlichting ook na het loslaten van de drukknop te laten werken, is de integratie van een teleruptor noodzakelijk [21](#page=21).
* **Enkelpolige teleruptor:** Een teleruptor wordt gebruikt om, in combinatie met één of meerdere drukknop(pen), het licht te bedienen. Het belangrijkste verschil met een schakelaar is dat de teleruptor terugveert na het induwen van de drukknop [22](#page=22).
#### 3.1.3 Stopcontacten
* **Stopcontact (contactdoos, wandcontactdoos):** Het doel van een stopcontact is om elektrische energie beschikbaar te maken in de nabijheid van de verbruiker [23](#page=23).
> **Tip:** Het is cruciaal om de specifieke symbolen uit het AREI correct toe te passen om misinterpretatie van schema's te voorkomen.
### 3.2 Digitale ontwerpsoftware voor elektrische schema's
Tegenwoordig worden elektrische schema's grotendeels digitaal ontworpen, in plaats van op papier. In deze context worden de volgende softwarepakketten aanbevolen [24](#page=24):
#### 3.2.1 Trikker
Trikker is een softwarepakket dat gebruikt kan worden voor het ontwerpen van elektrische schema's. Gedetailleerde installatie- en activeringsinstructies zijn beschikbaar via een specifieke link [24](#page=24).
#### 3.2.2 Microsoft Visio
Microsoft Visio is een veelzijdig programma dat ook ingezet kan worden voor het digitaal ontwerpen van elektrische schema's [24](#page=24).
* **Installatie en Licentie:** Studenten kunnen Visio Professional 2019 downloaden via Academic Software na in te loggen met hun studenten-ID. Een licentiecode kan op dezelfde pagina worden aangevraagd [24](#page=24).
* **Symbolen importeren:** De benodigde symbolen kunnen van Toledo worden gedownload onder "leermateriaal" ➔ "cursusmateriaal". Deze symbolen moeten vervolgens in Visio worden geïmporteerd via "Shapes" ➔ "meer shapes" ➔ "stencil openen", waarna alle `.vss` bestanden geselecteerd moeten worden [24](#page=24).
* **Overige toepassingen:** Visio kan ook gebruikt worden voor het tekenen van kantoorplattegronden, databasemodellen en andere schematische documenten en diagrammen [24](#page=24).
#### 3.2.3 Draw.io
Een alternatieve online tool is Draw.io. Gebruikers kunnen naar de website surfen en de benodigde symbolen importeren om schema's digitaal te ontwerpen [24](#page=24).
> **Voorbeeld:** Wanneer een nieuw gebouw wordt ontworpen, worden de elektrische schema's waarschijnlijk in Microsoft Visio gemaakt, waarbij de AREI-symbolen voor schakelaars en stopcontacten nauwkeurig worden geplaatst om de installatie duidelijk weer te geven. Vervolgens worden deze digitale schema's gedeeld met de installateurs.
---
# Praktische toepassingen en casestudies
Dit onderwerp illustreert de toepassing van elektrische schakelaars en schema's in realistische scenario's zoals ziekenhuizen en woningen door middel van diverse casestudies [25](#page=25).
### 4.1 Casestudies: ziekenhuizen
#### 4.1.1 Schakelingen in ziekenhuisgangen
In een ziekenhuisgang kan het licht bediend worden vanaf vier verschillende plaatsen met schakelaars. Dit scenario vereist een specifieke schakeling die dit mogelijk maakt [25](#page=25).
* **Type schakeling:** Voor het bedienen van een lichtpunt vanaf vier verschillende plaatsen worden wisselschakelingen gecombineerd met kruisschakelaars. Twee wisselschakelaars worden gebruikt aan de uiteinden, en twee kruisschakelaars worden tussen de wisselschakelaars geplaatst [25](#page=25).
* **Schema:** Het bijbehorende schema toont de verbindingen tussen deze schakelaars om de gewenste functionaliteit te realiseren.
#### 4.1.2 Drukknoppen in ziekenhuisgangen
Een alternatief scenario in een ziekenhuisgang betreft het bedienen van het licht vanaf vier verschillende plaatsen, maar dan met drukknoppen [25](#page=25).
* **Type schakeling:** Dit scenario maakt gebruik van een centrale sturing met drukknoppen. Een klokrelais of een ander type centrale schakelaar ontvangt de signalen van de drukknoppen om het licht aan of uit te schakelen [25](#page=25).
* **Schema:** Het schema zal hier een centrale eenheid tonen die de commando's van de drukknoppen verwerkt.
### 4.2 Casestudies: woningen
#### 4.2.1 Eenvoudige schakeling in een badkamer
In een zorgcentrum kan het licht in de badkamer vanaf één plaats bediend worden [25](#page=25).
* **Type schakeling:** Dit is de meest basale schakeling, namelijk een enkelpolige schakelaar die direct een lichtpunt aanstuurt [25](#page=25).
* **Schema:** Het schema voor deze situatie is eenvoudig en toont één schakelaar die verbonden is met een lamp.
#### 4.2.2 Situatieplan en eendraadschema van een woning
**Case 4:** Het maken van een eendraadschema en een situatieplan van een klaslokaal. Dit illustreert hoe je de elektrische installatie van een ruimte in kaart brengt, zowel op basis van de fysieke locatie van componenten (situatieplan) als op basis van de functionele verbindingen (eendraadschema) [25](#page=25).
**Case 5:** Een situatieplan van een woonst met begeleiding wordt geanalyseerd om elektrische componenten te identificeren en hun functie te bepalen. Vervolgens wordt een eendraadschema opgesteld voor de eerste vijf kringen van deze woning. Dit benadrukt het belang van het begrijpen van de componenten en het correct weergeven van de elektrische kringen in een woning [26](#page=26).
**Case 6:** Delen van een eendraadschema van twee woningen met begeleiding worden gepresenteerd. De taak is om de elektrische componenten op het bijbehorende situatieplan te identificeren en hun functies uit te leggen. Dit versterkt de koppeling tussen het abstracte eendraadschema en de concrete, fysieke installatie in een woning [27](#page=27).
> **Tip:** Bij het interpreteren van situatieplannen en eendraadschema's is het cruciaal om de symbolen te herkennen die de verschillende elektrische componenten vertegenwoordigen.
> **Tip:** Een eendraadschema geeft de elektrische circuits weer met de essentiële componenten, terwijl een situatieplan de fysieke locatie van deze componenten in de ruimte toont. Ze vullen elkaar aan voor een compleet beeld van de installatie.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Situatieschema | Een plattegrond van de elektrische installatie die de werkelijke ligging van alle onderdelen weergeeft, zoals stopcontacten, lichtpunten en de zekeringskast. Dit document is verplicht voor elektrische keuringen en is gekoppeld aan het eendraadschema. |
| Eéndraadschema | Een universele en planmatige weergave van de volledige elektrische installatie, inclusief leidingen, toestellen en bedieningselementen. Dit schema is verplicht voor keuringen en wordt opgemaakt door de installateur. Het gebruikt dezelfde symbolen als het situatieschema en is gekoppeld aan de AREI-normen. |
| AREI | Afkorting voor Algemeen Reglement op de Elektrische Installaties, een set regels en voorschriften die de normen voor elektrische installaties in België bepaalt, inclusief de vereiste grafische symbolen. |
| Stroomschema | Een schematische weergave van alle verbindingen en componenten binnen een elektrisch systeem. Dit type schema heeft geen wettelijke basis of verplichting en stelt de PE (beschermingsgeleider) niet voor, maar dient ter visuele ondersteuning om de werking te begrijpen. |
| Aansluitschema | Een tekening die gedetailleerd laat zien hoe de elektriciteitsdraden en elektrische toestellen fysiek met elkaar worden verbonden. Dit schema is niet wettelijk verplicht en dient om de praktische realisatie van de verbindingen te verduidelijken. |
| Enkelpolige schakelaar | Een schakelaar die gebruikt wordt om een lamp of ander elektrisch apparaat vanaf één locatie te bedienen. Het is een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen en wordt gebruikt in standaard situaties. |
| Dubbelpolige schakelaar | Een schakelaar die wordt gebruikt om een apparaat vanaf één locatie te bedienen en tegelijkertijd de verbruiker volledig spanningsloos te maken door beide polen te onderbreken. Dit type wordt vaak toegepast in vochtige ruimtes, zoals badkamers. |
| Serieschakelaar | Ook wel een dubbele ontsteking genoemd, deze schakelaar bedient twee verschillende lichten vanaf één punt met twee aparte knoppen. Het is een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen. |
| Wisselschakelaar | Een schakelaar die altijd per twee werkt en het mogelijk maakt om een licht vanaf twee verschillende plaatsen te schakelen. Het is een bistabiele schakelaar met twee stabiele standen. |
| Kruisschakelaar | Een schakelaar die altijd samenwerkt met twee wisselschakelaars en het mogelijk maakt om een licht vanaf meer dan twee plaatsen te bedienen. Dit wordt vaak gebruikt in trappenhuizen of grote ruimtes. |
| Drukknop | Een monostabiele schakelaar met één stabiele stand die, na het indrukken, terugveert. Om de verlichting te laten branden na het loslaten van de drukknop, is een teleruptor nodig. |
| Teleruptor | Een apparaat dat de functie van een drukknop uitbreidt, zodat verlichting bediend kan worden met één of meerdere drukknop(pen) die terugveren na gebruik. Het maakt het mogelijk om de verlichting aan of uit te zetten door het kort indrukken van de knop. |
| Stopcontact | Een contactdoos of wandcontactdoos die elektrische energie beschikbaar maakt dicht bij de verbruiker. Het is een essentieel onderdeel van een elektrische installatie voor het aansluiten van apparaten. |
Cover
5) OEFENINGEN Elektriciteit.pdf
Summary
# Inleiding tot elektrische grootheden en basisconcepten
Hier is een gedetailleerde samenvatting voor het onderwerp "Inleiding tot elektrische grootheden en basisconcepten", gericht op het voorbereiden van examens.
## 1. Inleiding tot elektrische grootheden en basisconcepten
Dit gedeelte introduceert de fundamentele elektrische grootheden, hun eenheden en symbolen, de gangbare voorvoegsels en de conventies voor het aanduiden van spanningen en stromen in elektrische schema's.
### 1.1 Tabel met elektrische grootheden en eenheden
De volgende tabel geeft een overzicht van veelgebruikte elektrische grootheden, hun symbolen en de bijbehorende eenheden, inclusief specifieke notaties voor gelijkstroom (DC) en wisselstroom (AC) met hun effectieve (RMS) en momentane waarden [4](#page=4).
| Grootheid | Symbool | Eenheid | Symbool | DC of Eff waarde (RMS waarde) AC |
| :------------------------------- | :------------ | :------ | :------ | :------------------------------- |
| Spanning | U | Volt | V | |
| Spanning momentele waarde | u | Volt | V | u(t) |
| Stroom | I | Ampère | A | |
| Stroom momentele waarde | i | Ampère | A | i(t) |
| Weerstand (Resistance) | R | Ohm | Ω | |
| Frequentie | f | Hertz | HZ (1/s) | |
| Periode | T | Seconde | s | |
| Vermogen (Power) | P | Watt | W | |
| Elektrische Arbeid (Energie) | W (of E) | Joule / kilowattuur | J / kWh | |
| Momentele waarde vermogen | p | Watt | W | p(t) |
| Gemiddeld vermogen | P | Watt | W | |
* **AC (Alternating Current):** Wisselstroom of wisselspanning [4](#page=4).
* **DC (Direct Current):** Gelijkspanning of gelijkstroom [4](#page=4).
### 1.2 Lijst van voorvoegsels
Voorvoegsels worden gebruikt om veelvouden en onderdelen van basiseenheden aan te geven, wat handig is bij het werken met zeer grote of zeer kleine waarden [4](#page=4).
**Veelvouden:**
| Waarde als macht van 10 | Waarde volledig geschreven | Symbool | Benaming |
| :---------------------- | :------------------------- | :------ | :------- |
| $10^1$ | 10 | da | deca |
| $10^2$ | 100 | h | hecto |
| $10^3$ | 1.000 | k | kilo |
| $10^6$ | 1.000.000 | M | mega |
| $10^9$ | 1.000.000.000 | G | giga |
| $10^{12}$ | 1.000.000.000.000 | T | tera |
**Onderdelen:**
| Waarde als macht van 10 | Waarde volledig geschreven | Symbool | Benaming |
| :---------------------- | :------------------------- | :------ | :------- |
| $10^{-1}$ | 0.1 | d | deci |
| $10^{-2}$ | 0.01 | c | centi |
| $10^{-3}$ | 0.001 | m | milli |
| $10^{-6}$ | 0.000.001 | | micro |
| $10^{-9}$ | 0.000.000.001 | n | nano |
| $10^{-12}$ | 0.000.000.000.001 | p | pico |
### 1.3 Afspraken in verband met spanningen en stromen in schema's
In elektrische schema's worden spanningen en stromen vaak aangeduid met pijlen om hun richting of polariteit aan te geven [5](#page=5).
* **Spanningspijlen:** Worden naast de bron of component geplaatst. Ze geven de richting van de spanning aan, meestal van het laagste naar het hoogste potentieel [5](#page=5) [7](#page=7).
* **Stroompijlen:** Worden op de verbinding zelf getekend. Ze geven de conventionele stroomrichting aan, normaal gesproken van plus naar min [5](#page=5) [7](#page=7).
#### 1.3.1 Aanduiding van zin en waarde
De pijl geeft de gekozen zin van de stroom of de polariteit van de spanning aan [5](#page=5).
* Als de berekende waarde **positief** is, komt de richting van de pijl overeen met de werkelijke polariteit of stroomzin [5](#page=5).
* Als de berekende waarde **negatief** is, is de werkelijke polariteit of stroomzin tegengesteld aan de richting van de getekende pijl [5](#page=5).
#### 1.3.2 Kleurafspraken
Hoewel kleuren vrij gekozen mogen worden, wordt in deze cursus de volgende afspraak gehanteerd voor de duidelijkheid [5](#page=5) [6](#page=6):
* **GROEN:** Spanningspijlen [5](#page=5) [7](#page=7).
* **BLAUW:** Stroompijlen [6](#page=6) [7](#page=7).
> **Tip:** Wees alert op uitzonderingen in vakliteratuur of specifieke figuren waar soms andere kleuren (zoals rood voor spanningspijlen) of tekentechnieken (stroompijl naast de geleider) worden gebruikt [6](#page=6).
#### 1.3.3 Indexen voor grootheden
Om verwarring te voorkomen, worden indexen gebruikt om elektrische grootheden nader te specificeren [6](#page=6).
* **Prefix:** De grootheid zelf. Hoofdletters (bv. U, I) worden gebruikt voor gelijkspanningen of effectieve waarden van wisselspanningen, terwijl kleine letters (bv. u, i) worden gebruikt voor momentane waarden van wisselspanningen of -stromen [6](#page=6).
* **Suffix:** Specificeert de component waar de spanning over staat, waar de stroom doorheen loopt, of die energie/vermogen verbruikt/levert. De spanning tussen twee punten A en B wordt bijvoorbeeld aangeduid als $U_{AB}$. De gelijkspanning over weerstand R1 wordt genoteerd als $U_{R1}$ of $U_1$ [6](#page=6).
> **Voorbeeld:**
> * $U_{DC}$ : Gelijkspanning
> * $u(t)$ : Momentane wisselspanning
> * $I_{AC,eff}$ : Effectieve wisselstroom
> * $i(t)$ : Momentane wisselstroom
> * $U_{R1}$ : Spanning over weerstand R1
> * $I_{R1}$ : Stroom door weerstand R1
### 1.4 Overzichtsblad Serie- en Parallel schakelingen
Dit gedeelte geeft een samenvatting van de eigenschappen van serieschakelingen en parallelschakelingen, inclusief de impact op spanning, stroom en vervangingsweerstand [7](#page=7).
#### 1.4.1 Serieschakeling
* **Spanning:** De totale spanning is de som van de deelspanningen over de componenten. De spanning verdeelt zich. $U_{tot,verbr} = U_a + U_b + \dots + U_n$ [7](#page=7).
* **Stroom:** De stroom is overal gelijk. $I_{tot,verbr} = I_a = I_b = \dots = I_n$ [7](#page=7).
* **Weerstand:** De totale vervangingsweerstand is de som van de individuele weerstanden en is altijd groter dan de grootste weerstand. $R_{tot,SERIE} = R_a + R_b + \dots + R_n$ [7](#page=7).
#### 1.4.2 Parallel schakeling
* **Spanning:** De spanning over elke tak is gelijk. $U_{tot,verbr} = U_a = U_b = \dots = U_n$ [7](#page=7).
* **Stroom:** De totale stroom is de som van de deelstromen door de takken. De stroom verdeelt zich: de minste stroom loopt door de grootste weerstand, en de meeste stroom door de kleinste weerstand (de "gemakkelijkste weg"). $I = I_a + I_b + \dots + I_n$ [7](#page=7).
* **Weerstand:** De totale vervangingsweerstand is altijd kleiner dan de kleinste weerstand. De formule voor de totale weerstand is:
$$ \frac{1}{R_{tot}// } = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b} + \dots + \frac{1}{R_n} $$ [7](#page=7).
Voor twee weerstanden in parallel geldt:
$$ R_{v2}// = \frac{R_a \ast R_b}{R_a + R_b} $$ [7](#page=7).
#### 1.4.3 Wet van Ohm
De Wet van Ohm is altijd geldig, met name bij gelijkstroom [7](#page=7).
Spanning over een verbruiker is gelijk aan de stroom door die verbruiker vermenigvuldigd met de weerstand van die verbruiker:
$U_{tot} = I_{tot} \times R_{tot}$ [7](#page=7).
Dit geldt ook voor individuele componenten: $U_a = I_a \times R_a$ en $U_n = I_n \times R_n$ [7](#page=7).
#### 1.4.4 Gemengde schakeling
Bij gemengde schakelingen combineer je de eigenschappen van serie- en parallelschakelingen. Het is essentieel om de schakeling te vereenvoudigen naar een vervangingsschema en eventueel terug te rekenen van dit schema [7](#page=7).
* **Spanningspijltjes (GROEN):** Worden over een component geplaatst, van lage potentiaal (-) naar hoge potentiaal (+). Bij een verbruiker zijn ze tegengesteld aan het stroompijltje [7](#page=7).
* **Stroompijltjes (BLAUW):** Worden op de verbinding getekend. De richting kan zelf gekozen worden. Conventioneel is de stroom positief van + naar –; een andere keuze resulteert in een negatieve stroomwaarde ($I<0$) na berekening [7](#page=7).
---
# Wet van Ohm en schakelingen (serie, parallel, gemengd)
Dit gedeelte behandelt de toepassing van de Wet van Ohm op verschillende elektrische schakelingen, inclusief het berekenen van weerstanden, stromen en spanningen in serief, parallelle en gemengde configuraties [8](#page=8).
### 2.1 De Wet van Ohm
De Wet van Ohm beschrijft het verband tussen spanning ($U$), stroom ($I$) en weerstand ($R$) in een elektrische kring [10](#page=10).
* **Formule:** De relatie wordt wiskundig uitgedrukt als:
$$U = I \times R$$
Hierin is:
* $U$ de spanning, gemeten in volt (V) [8](#page=8).
* $I$ de stroomsterkte, gemeten in ampère (A) [8](#page=8).
* $R$ de weerstand, gemeten in ohm ($\Omega$) [8](#page=8).
* **Verschillende formuleringen:** Vanuit de basisformule kunnen we ook de stroom en weerstand berekenen:
* $$I = \frac{U}{R}$$
* $$R = \frac{U}{I}$$
* **Betekenis van de wet:** De Wet van Ohm stelt dat de stroomsterkte die door een geleider vloeit recht evenredig is met de spanning over die geleider en omgekeerd evenredig met de weerstand ervan [10](#page=10).
* **Toepassing op verbruikers:** Het spanningsverschil of potentiaalverschil over de klemmen van een verbruiker is een maat voor de arbeid die per ladingseenheid door die verbruiker wordt verricht [8](#page=8).
* **Elektrisch vermogen:** Het elektrisch vermogen ($P$) is de hoeveelheid energie die per tijdseenheid wordt geleverd of ontwikkeld. Dit kan berekend worden met de formules [8](#page=8):
* $P = U \times I$
* $P = I^2 \times R$ (afgeleid door $U$ te vervangen door $I \times R$)
* $P = \frac{U^2}{R}$ (afgeleid door $I$ te vervangen door $\frac{U}{R}$)
Vermogen wordt uitgedrukt in watt (W) [8](#page=8).
### 2.2 Serie-, Parallel- en Gemengde Schakelingen
#### 2.2.1 Seriefchakelingen
Bij een seriefchakeling zijn componenten achtereenvolgens geschakeld, zodat de stroom maar één enkel pad heeft om te volgen [10](#page=10).
* **Totale weerstand:** De totale weerstand in een seriefchakeling is gelijk aan de som van de individuele weerstanden:
$$R_{\text{tot}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$$
* **Stroomsterkte:** De stroomsterkte is in elke component van de seriefchakeling gelijk:
$$I_{\text{tot}} = I_1 = I_2 = I_3 = \dots$$
* **Spanning:** De totale spanning over de seriefchakeling is gelijk aan de som van de spanningen over de individuele componenten (deelspanningen):
$$U_{\text{tot}} = U_1 + U_2 + U_3 + \dots$$
> **Tip:** Controleer altijd de berekeningen van deelspanningen door ze op te tellen. De som moet gelijk zijn aan de totale aangelegde spanning [10](#page=10).
* **Voorbeeld (seriefchakeling):** Twee weerstanden van $20 \Omega$ en $30 \Omega$ worden in serie geschakeld op een bron met een stroom van $1 \text{ A}$.
* Totale weerstand: $R_{\text{tot}} = 20 \Omega + 30 \Omega = 50 \Omega$ [10](#page=10).
* Totale spanning: $U_{\text{tot}} = I_{\text{tot}} \times R_{\text{tot}} = 1 \text{ A} \times 50 \Omega = 50 \text{ V}$ [10](#page=10).
* Spanning over $20 \Omega$: $U_{20\Omega} = I_{\text{tot}} \times R_1 = 1 \text{ A} \times 20 \Omega = 20 \text{ V}$ [10](#page=10).
* Spanning over $30 \Omega$: $U_{30\Omega} = I_{\text{tot}} \times R_2 = 1 \text{ A} \times 30 \Omega = 30 \text{ V}$ [10](#page=10).
* Controle: $20 \text{ V} + 30 \text{ V} = 50 \text{ V}$ [10](#page=10).
#### 2.2.2 Parallelle Schakelingen
Bij een parallelle schakeling zijn componenten zo geschakeld dat er meerdere paden zijn voor de stroom [10](#page=10).
* **Totale weerstand:** De inverse van de totale weerstand in een parallelle schakeling is gelijk aan de som van de inversen van de individuele weerstanden. Voor twee weerstanden is dit:
$$\frac{1}{R_{\text{tot}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$
Voor meer weerstanden:
$$\frac{1}{R_{\text{tot}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$$
Voor twee parallel geschakelde weerstanden kan dit ook vereenvoudigd worden tot:
$$R_{\text{tot}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$
> **Tip:** De totale weerstand in een parallelschakeling is altijd kleiner dan de kleinste individuele weerstand [10](#page=10).
* **Stroomsterkte:** De totale stroomsterkte die in de parallelschakeling gaat, is gelijk aan de som van de stroomsterktes die door elke tak vloeien:
$$I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + I_3 + \dots$$
* **Spanning:** De spanning is over elke component van de parallelschakeling gelijk:
$$U_{\text{tot}} = U_1 = U_2 = U_3 = \dots$$
* **Voorbeeld (parallelle schakeling):** Tien gloeilampen met elk een weerstand van $200 \Omega$ worden parallel geschakeld op een spanning van $220 \text{ V}$.
* Spanning over elke lamp: $U_{\text{lamp}} = 220 \text{ V}$ [10](#page=10).
* Stroom door elke lamp: $I_{\text{lamp}} = \frac{U_{\text{lamp}}}{R_{\text{lamp}}} = \frac{220 \text{ V}}{200 \Omega} = 1.1 \text{ A}$ [10](#page=10).
* Totale stroom: $I_{\text{tot}} = 10 \times I_{\text{lamp}} = 10 \times 1.1 \text{ A} = 11 \text{ A}$ [10](#page=10).
* Totale weerstand: $R_{\text{tot}} = \frac{U_{\text{tot}}}{I_{\text{tot}}} = \frac{220 \text{ V}}{11 \text{ A}} = 20 \Omega$ [10](#page=10).
* Controle: $\frac{1}{R_{\text{tot}}} = \frac{1}{200 \Omega} + \frac{1}{200 \Omega} + \dots$ (10 keer) $= \frac{10}{200 \Omega} = \frac{1}{20 \Omega}$, dus $R_{\text{tot}} = 20 \Omega$ [10](#page=10).
#### 2.2.3 Gemengde Schakelingen
Gemengde schakelingen combineren zowel serieschakelingen als parallelschakelingen. De analyse van deze schakelingen vereist het stapsgewijs vereenvoudigen van de schakeling door seriefases en parallelschakels te identificeren en te berekenen [15](#page=15).
* **Analyseprocedure:**
1. Identificeer de kleinste parallelle of seriële sub-schakelingen.
2. Bereken de vervangingsweerstand van deze sub-schakelingen.
3. Vervang de sub-schakeling door zijn vervangingsweerstand om een eenvoudigere schakeling te verkrijgen.
4. Herhaal dit proces totdat er één enkele vervangingsweerstand overblijft.
5. Bereken vervolgens de totale stroom en spanning.
6. Werk terug door de stappen om de stromen en spanningen in de oorspronkelijke componenten te bepalen [15](#page=15).
* **Voorbeeld (gemengde schakeling):** Een gemengde kring met vier zuiver ohmse weerstanden is opgebouwd zoals voorgesteld in een schema. In weerstand $R_2$ vloeit een stroom $I_2=2 \text{ A}$.
* Om de totale aangelegde spanning ($U$) te berekenen, moeten eerst de andere stromen en weerstanden bepaald worden, wat een stapsgewijze analyse van de schakeling vereist. Dit illustreert de noodzaak om de structuur van de schakeling te begrijpen om de analyse correct uit te voeren [15](#page=15).
### 2.3 Elektromotorische Spanning en Klemspanning
* **Elektromotorische spanning (EMK):** De elektromotorische spanning ($E$) is de spanning die door een ideale spanningsbron wordt opgewekt, zonder rekening te houden met inwendige verliezen [8](#page=8).
* **Klemspanning:** De klemspanning ($U_{\text{klem}}$) is de werkelijke spanning over de klemmen van een spanningsbron wanneer deze belast wordt. Deze is lager dan de EMK door het inwendig spanningsverlies [8](#page=8).
* **Relatie:** De wiskundige relatie tussen EMK, klemspanning en inwendig spanningsverlies ($u$) is:
$$E = U_{\text{klem}} + u$$
Het inwendig spanningsverlies wordt berekend als:
$$u = I \times r_{\text{in}}$$
waarin $I$ de stroom is die door de bron vloeit en $r_{\text{in}}$ de inwendige weerstand van de bron is [8](#page=8).
* **Voorbeeld (bron met inwendige weerstand):** Een accumulator met een EMK van $24 \text{ V}$ en een inwendige weerstand van $0.04 \Omega$ wordt belast met een externe weerstand van $2.96 \Omega$.
* Totale weerstand in de kring: $R_{\text{tot}} = R_{\text{extern}} + r_{\text{in}} = 2.96 \Omega + 0.04 \Omega = 3.00 \Omega$ [11](#page=11).
* Stroomsterkte: $I = \frac{E}{R_{\text{tot}}} = \frac{24 \text{ V}}{3.00 \Omega} = 8 \text{ A}$ [11](#page=11).
* Klemspanning: $U_{\text{klem}} = I \times R_{\text{extern}} = 8 \text{ A} \times 2.96 \Omega = 23.68 \text{ V}$ [11](#page=11).
* Inwendig spanningsverlies: $u = I \times r_{\text{in}} = 8 \text{ A} \times 0.04 \Omega = 0.32 \text{ V}$ [11](#page=11).
* Controle: $E = U_{\text{klem}} + u = 23.68 \text{ V} + 0.32 \text{ V} = 24 \text{ V}$ [11](#page=11).
* Kortsluitstroom ($I_k$): Dit is de stroom wanneer de externe weerstand nul is ($R_{\text{extern}} = 0 \Omega$).
$$I_k = \frac{E}{r_{\text{in}}} = \frac{24 \text{ V}}{0.04 \Omega} = 600 \text{ A}$$ [11](#page=11).
### 2.4 Wet van Pouillet
De Wet van Pouillet beschrijft de weerstand van een geleider op basis van zijn fysische eigenschappen [12](#page=12).
* **Formule:** De weerstand ($R$) van een geleider wordt gegeven door:
$$R = \rho \times \frac{L}{A}$$
Hierin is:
* $\rho$ de soortelijke weerstand van het materiaal, uitgedrukt in $\Omega \text{m}$. Deze is temperatuurafhankelijk, vandaar de notatie $\rho_{20}$ voor $20 \text{ °C}$ [12](#page=12).
* $L$ de lengte van de geleider, uitgedrukt in meters (m) [12](#page=12).
* $A$ de dwarsdoorsnede van de geleider, uitgedrukt in vierkante meters ($m^2$) [12](#page=12).
* **Voorbeeld (Wet van Pouillet):** Een verwarmingselement heeft een diameter van $2 \text{ mm}$ en een lengte van $30 \text{ m}$. De soortelijke weerstand is $\rho_{20} = 1.1 \times 10^{-6} \Omega \text{m}$.
* Diameter $d = 2 \text{ mm} = 0.002 \text{ m}$.
* Straal $r = \frac{d}{2} = 0.001 \text{ m}$.
* Dwarsdoorsnede $A = \pi r^2 = \pi \times (0.001 \text{ m})^2 = \pi \times 10^{-6} m^2$ [12](#page=12).
* Weerstand $R = (1.1 \times 10^{-6} \Omega \text{m}) \times \frac{30 \text{ m}}{\pi \times 10^{-6} m^2} \approx 10.5 \Omega$ [12](#page=12).
### 2.5 Vermogen en Energie
* **Elektrische Energie ($W$):** De energie die wordt verbruikt of geleverd door een elektrisch apparaat. Wordt berekend als vermogen maal tijd:
$$W = P \times t$$
Energie wordt vaak uitgedrukt in joule (J) of kilowattuur (kWh) [13](#page=13).
* **Vermogen ($P$):** De snelheid waarmee energie wordt verbruikt of geleverd. De basisformules zijn:
* $P = U \times I$
* $P = I^2 \times R$
* $P = \frac{U^2}{R}$
Vermogen wordt uitgedrukt in watt (W) [8](#page=8).
* **Rendement ($\eta$):** De verhouding van nuttig vermogen tot totaal opgenomen vermogen, vaak uitgedrukt in een percentage.
$$\eta = \frac{P_{\text{nuttig}}}{P_{\text{totaal}}} \times 100\%$$
* **Voorbeeld (Energieverbruik en kosten):** Een verbruiker met een weerstand van $60 \Omega$ heeft een potentiaalverschil van $120 \text{ V}$ gedurende $15 \text{ minuten}$.
* Stroom: $I = \frac{U}{R} = \frac{120 \text{ V}}{60 \Omega} = 2 \text{ A}$ [13](#page=13).
* Vermogen: $P = U \times I = 120 \text{ V} \times 2 \text{ A} = 240 \text{ W}$ [13](#page=13).
* Tijd in seconden: $t = 15 \text{ min} \times 60 \text{ s/min} = 900 \text{ s}$ [13](#page=13).
* Energie in joule: $W = P \times t = 240 \text{ W} \times 900 \text{ s} = 216000 \text{ J}$ [13](#page=13).
* Energie in wattuur: $W = 240 \text{ W} \times (15/60) \text{ h} = 60 \text{ Wh}$ [13](#page=13).
* Kostprijs (op basis van 0.125 EURO per kWh):
* Energie in kWh: $60 \text{ Wh} = 0.060 \text{ kWh}$.
* Kosten: $0.060 \text{ kWh} \times 0.125 \text{ EURO/kWh} = 0.0075 \text{ EURO} = 0.75 \text{ eurocent}$ [13](#page=13).
### 2.6 AC Schakelingen en Vermogen
Bij AC (wisselstroom) circuits, met name die met niet-zuiver-resistieve componenten zoals spoelen en condensatoren, worden begrippen als impedantie, schijnbaar vermogen en blind vermogen geïntroduceerd.
* **Effectieve waarde (RMS):** De effectieve waarde van een AC spanning of stroom is de waarde die dezelfde warmte-ontwikkeling veroorzaakt als een gelijke DC spanning of stroom.
* Voor een sinusvormige spanning: $U_{\text{eff}} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$, waar $\hat{U}$ de amplitude is [15](#page=15).
* Voor een sinusvormige stroom: $I_{\text{eff}} = \frac{\hat{I}}{\sqrt{2}}$, waar $\hat{I}$ de amplitude is [15](#page=15).
* **Faseverschuiving ($\phi$):** Bij niet-resistieve componenten is er een faseverschil tussen spanning en stroom. De cosinus van dit faseverschil, de arbeidsfactor ($\cos(\phi)$), geeft de verhouding aan tussen het actief vermogen en het schijnbaar vermogen [16](#page=16).
* **Actief vermogen ($P$):** Het werkelijk geleverde vermogen dat wordt omgezet in arbeid (bv. warmte, mechanische energie). $P = U_{\text{eff}} \times I_{\text{eff}} \times \cos(\phi)$ [16](#page=16).
* **Schijnbaar vermogen ($S$):** Het product van de effectieve spanning en de effectieve stroom. $S = U_{\text{eff}} \times I_{\text{eff}}$. Het wordt uitgedrukt in voltampère (VA) [16](#page=16).
* **Blind vermogen ($Q$):** Het vermogen dat heen en weer pendelt tussen de bron en de reactieve componenten (spoelen en condensatoren). $Q = U_{\text{eff}} \times I_{\text{eff}} \times \sin(\phi)$. Het wordt uitgedrukt in VAR (VoltAmpère Reactief) [17](#page=17).
* **Verband:** $S^2 = P^2 + Q^2$.
* **Voorbeeld (AC gemengde schakeling):** Een wasmachine op $230 \text{ V}$ (RMS) met een nominaal mechanisch vermogen van $0.55 \text{ kW}$ trekt onder belasting een stroom van $3.36 \text{ A}$ met $\cos(\phi)=0.8$.
* Faseverschuiving: $\phi = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ$ [16](#page=16).
* Schijnbaar vermogen: $S = U_{\text{rms}} \times I_{\text{rms}} = 230 \text{ V} \times 3.36 \text{ A} = 772.8 \text{ VA}$ [16](#page=16).
* Actief vermogen: $P = S \times \cos(\phi) = 772.8 \text{ VA} \times 0.8 = 618.24 \text{ W}$. Echter, het nominale mechanische vermogen is $0.55 \text{ kW} = 550 \text{ W}$. Het verschil kan te wijten zijn aan het rendement van de motor of verliezen in de motor [16](#page=16).
* Rendement: $\eta = \frac{P_{\text{nuttig}}}{S} = \frac{550 \text{ W}}{772.8 \text{ VA}} \approx 0.71$ (of berekend als $\frac{\text{Mechanisch Vermogen}}{\text{Elektrisch Actief Vermogen}}$). Als we uitgaan van een elektrisch actief vermogen $P$ waarvoor $S \times \cos(\phi) = P$, dan is $P = 772.8 \text{ VA} \times 0.8 = 618.24 \text{ W}$. Het rendement is dan $\eta = \frac{550 \text{ W}}{618.24 \text{ W}} \approx 0.89$ [16](#page=16).
### 2.7 Veiligheid en Keuze van Componenten
* **Zekeringen:** Zekeringen beschermen circuits tegen overstroom en kortsluiting. De waarde van de zekering moet gekozen worden op basis van de maximale continue stroom die de installatie mag trekken, met een kleine veiligheidsmarge [17](#page=17).
* **Leidingdiameter:** De doorsnede van de leidingen moet berekend worden op basis van de maximale stroom die erdoorheen zal vloeien, om oververhitting te voorkomen [17](#page=17).
* **Schema's:** Het tekenen van de schakelschema's met spannings- en stroompijlen is essentieel voor het correct analyseren en begrijpen van de circuits [10](#page=10).
---
# Soorten elektrische stromen en AC-begrippen
Dit gedeelte bespreekt de fundamentele verschillen tussen gelijk- en wisselstromen en introduceert belangrijke concepten voor het analyseren van wisselstroomcircuits [24](#page=24).
### 3.1 Gelijkstroom (DC)
* **Definitie:** Gelijkstroom (DC) is een elektrische stroom die in één richting vloeit [24](#page=24).
* **Kenmerken van een constante gelijkstroom:**
* Constant van grootte [24](#page=24).
* Constant van richting [24](#page=24).
### 3.2 Wisselstroom (AC)
* **Definitie:** Een wisselende stroom is een elektrische stroom waarvan de grootte en/of richting periodiek verandert [24](#page=24).
* **Periodieke stroom:** Een wisselende stroom wordt als periodiek beschouwd als zijn patroon zich regelmatig herhaalt in de tijd [24](#page=24).
* **Periode ($T$)**: De periode van een periodieke stroom is de tijd die nodig is om één volledige cyclus van het patroon te voltooien. De eenheid is seconden (s) [24](#page=24).
* **Frequentie ($f$)**: De frequentie van een periodiek veranderlijke grootheid is het aantal periodes dat per seconde plaatsvindt. De formule is $f = \frac{1}{T}$. De eenheid is Hertz (Hz) [24](#page=24).
### 3.3 Sinusoïdale spanning en stroom
Sinusoïdale spanningen en stromen zijn de meest voorkomende vormen van wisselspanning en -stroom in de praktijk.
* **Sinusoïdale spanning:** Een spanning waarvan de ogenblikkelijke waarde beschreven wordt door een sinusfunctie in de tijd [24](#page=24).
* **Wiskundige uitdrukking:** De ogenblikkelijke waarde van een sinusoïdale spanning ($u$) wordt gegeven door:
$$u(t) = U_m \cdot \sin(\omega t + \phi)$$
waarbij:
* $u(t)$ de ogenblikkelijke waarde van de spanning is op tijdstip $t$ [24](#page=24).
* $U_m$ de amplitude (maximale waarde) van de spanning is. De eenheid is Volt (V) [24](#page=24).
* $\omega$ de hoekfrequentie is, uitgedrukt in radialen per seconde (rad/s). $\omega = 2\pi f$ [24](#page=24).
* $t$ de tijd is in seconden (s).
* $\phi$ de fasehoek is, uitgedrukt in radialen (rad) of graden (°), die het beginpunt van de golfvorm aangeeft ten opzichte van een referentie [24](#page=24).
* **Sinusoïdale stroom:** Analogon aan sinusoïdale spanning, beschreven door:
$$i(t) = I_m \cdot \sin(\omega t + \phi)$$
waarbij:
* $i(t)$ de ogenblikkelijke waarde van de stroom is op tijdstip $t$ [24](#page=24).
* $I_m$ de amplitude (maximale waarde) van de stroom is. De eenheid is Ampère (A) [24](#page=24).
* **Amplitude ($U_m$, $I_m$)**: De maximale waarde die de spanning of stroom bereikt tijdens een cyclus [24](#page=24).
* **Effectieve waarde ($U_{eff}$, $I_{eff}$)**: De effectieve waarde van een wisselstroom of -spanning is de waarde die dezelfde hoeveelheid warmte zou ontwikkelen in een weerstand als een gelijkstroom van die grootte. Dit is de waarde die men meestal aanduidt op meetinstrumenten [24](#page=24).
* **Verband met amplitude:** Voor een sinusoïdale stroom of spanning geldt:
$$U_{eff} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$$ [24](#page=24).
$$I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$$ [24](#page=24).
* Dit betekent dat de effectieve waarde ongeveer 0,707 maal de amplitude is.
### 3.4 Faserenatie en Faseverschil
* **Fase ($u(t)$, $i(t)$)**: De fase van een sinusoïdale spanning of stroom verwijst naar het specifieke punt in de cyclus op een bepaald tijdstip, vaak weergegeven door de hoek $\omega t + \phi$ [24](#page=24).
* **Fasegelijkheid:** Twee sinusoïdale grootheden met gelijke frequentie zijn fasegelijk als hun fasehoeken op elk tijdstip gelijk zijn, wat betekent dat ze gelijktijdig hun maximale waarden, nulpunten en minimale waarden bereiken. Dit gebeurt als $\phi_1 = \phi_2$ [24](#page=24).
* **Faseverschil (of faseverschuiving) $\Delta \phi$**: Het faseverschil tussen een spanning en een stroom (met gelijke frequentie) is het verschil in hun fasen. Het geeft aan of de stroom voor- of achterloopt op de spanning [24](#page=24).
$$\Delta \phi = \phi_u - \phi_i$$ [24](#page=24).
* Als $\Delta \phi > 0$, loopt de spanning voor op de stroom.
* Als $\Delta \phi < 0$, loopt de spanning achter op de stroom (de stroom loopt voor op de spanning).
### 3.5 Vermogens in Wisselstroomcircuits
In wisselstroomcircuits zijn er drie soorten vermogens: actief vermogen, reactief vermogen en schijnbaar vermogen.
* **Actief vermogen ($P$)**: Het deel van het vermogen dat daadwerkelijk wordt omgezet in nuttige arbeid (bijvoorbeeld warmte in een weerstand, licht in een lamp) [24](#page=24).
* **Formule:**
$$P = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos(\phi)$$
of
$$P = I_{eff}^2 \cdot R$$
waarbij $R$ de ohmse weerstand is [24](#page=24).
* **Eenheid:** Watt (W).
* **Betekenis:** Dit is het werkelijk geleverde vermogen aan de belasting [24](#page=24).
* **Reactief vermogen ($Q$)**: Het vermogen dat nodig is voor het opbouwen en afbreken van magnetische en elektrische velden in spoelen en condensatoren. Dit vermogen wordt heen en weer gepompt tussen de bron en de componenten en levert geen nuttige arbeid [24](#page=24).
* **Formule:**
$$Q = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \sin(\phi)$$
of
$$Q = I_{eff}^2 \cdot X$$
waarbij $X$ de reactantie is (inductief of capacitief) [24](#page=24).
* **Eenheid:** Volt-Ampère reactief (VAR).
* **Betekenis:** Het vertegenwoordigt de energie die wordt uitgewisseld met de reactieve componenten van een circuit [24](#page=24).
* **Schijnbaar vermogen ($S$)**: Het product van de effectieve spanning en de effectieve stroom. Het vertegenwoordigt het totale vermogen dat door de bron wordt geleverd, ongeacht de faseverschuiving [24](#page=24).
* **Formule:**
$$S = U_{eff} \cdot I_{eff}$$
* **Eenheid:** Volt-Ampère (VA).
* **Arbeidsfactor (cos $\phi$)**: De verhouding tussen het actief vermogen en het schijnbaar vermogen [24](#page=24).
* **Formules:**
$$\cos(\phi) = \frac{P}{S}$$ [24](#page=24).
$$\cos(\phi) = \frac{U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos(\phi)}{U_{eff} \cdot I_{eff}}$$
$$\cos(\phi) = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X^2}}$$ (voor een R-X circuit)
* **Belang:** Een lage arbeidsfactor (dicht bij 0) betekent dat een groot deel van het geleverde vermogen reactief is en geen nuttige arbeid verricht. Dit leidt tot hogere stroomsterktes voor hetzelfde actieve vermogen, wat resulteert in grotere verliezen in de leidingen en extra belasting op de transformatoren en generatoren [24](#page=24).
* **Verbetering:** De arbeidsfactor kan worden verbeterd door het compenseren van de reactieve componenten (bijvoorbeeld door het toevoegen van condensatoren om inductieve belastingen te compenseren). Het doel is om de arbeidsfactor zo dicht mogelijk bij 1 te krijgen (ideale situatie is $\cos(\phi) = 1$, wat betekent dat de stroom en spanning in fase zijn en er geen reactief vermogen is) [24](#page=24).
> **Tip:** De relatie tussen deze vermogens kan worden voorgesteld als een rechthoekige driehoek, de zogenaamde "vermogensdriehoek", waar $S$ de hypotenusa is, $P$ de aanliggende zijde en $Q$ de overstaande zijde ten opzichte van de hoek $\phi$. Hier geldt: $S^2 = P^2 + Q^2$.
### 3.6 Toepassingen en Voorbeelden (AC-begrippen)
* **Voorbeeld 1:** Een sinusoïdale spanning heeft een amplitude van 340 V en een frequentie van 50 Hz. Bereken de tijdruimte waarin de spanning aangroeit van 0 V tot 200 V [25](#page=25).
* De formule voor de spanning is $u(t) = U_m \sin(\omega t)$.
* $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \text{ Hz} = 100\pi \text{ rad/s}$.
* $200 \text{ V} = 340 \text{ V} \cdot \sin(100\pi t)$.
* $\sin(100\pi t) = \frac{200}{340} \approx 0.588$.
* $100\pi t = \arcsin(0.588) \approx 0.63 \text{ rad}$.
* $t = \frac{0.63}{100\pi} \approx 0.002 \text{ s}$.
* **Voorbeeld 3:** Op het tijdstip $t = T/12$ is de momentele waarde van een sinusoïdale stroom 1,25 A. Bereken de amplitude, de gemiddelde waarde en de effectieve waarde van deze stroom [25](#page=25).
* $T = \frac{1}{f}$. $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
* Op $t = T/12$, is de fase $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12} = \frac{\pi}{6}$ radialen (of 30 graden).
* $i(t) = I_m \sin(\omega t)$.
* $1.25 \text{ A} = I_m \sin(\frac{\pi}{6})$.
* $1.25 \text{ A} = I_m \cdot 0.5$.
* $I_m = \frac{1.25 \text{ A}}{0.5} = 2.5 \text{ A}$.
* De gemiddelde waarde van een volledige cyclus van een sinusoïdale stroom is 0. Als echter de "gemiddelde waarde" slaat op de gemiddelde gelijkgerichte waarde (gemiddelde van de absolute waarden), dan is deze $I_{avg} = \frac{2 I_m}{\pi} \approx \frac{2 \cdot 2.5 \text{ A}}{\pi} \approx 1.7677 \text{ A}$.
* De effectieve waarde is $I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{2.5 \text{ A}}{\sqrt{2}} \approx 1.7677 \text{ A}$.
* **Voorbeeld 9:** Twee sinusoïdale spanningen worden grafisch voorgesteld met een periode van 0,02 s. Bepaal de frequentie, de effectieve waarden, en schrijf de algebraïsche uitdrukkingen van de momentele waarden. Bereken de momentele waarden op het tijdstip $t' = (10/3)$ ms [26](#page=26).
* Frequentie $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.02 \text{ s}} = 50 \text{ Hz}$.
* $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 = 100\pi \text{ rad/s}$.
* Uit de grafiek kunnen de amplitudes worden afgelezen: $U_{m1} \approx 150 \text{ V}$ (piek tot piek is 300 V) en $U_{m2} \approx 100 \text{ V}$ (piek tot piek is 200 V).
* Effectieve waarden:
* $U_{1,eff} = \frac{U_{m1}}{\sqrt{2}} = \frac{150 \text{ V}}{\sqrt{2}} \approx 106.05 \text{ V}$.
* $U_{2,eff} = \frac{U_{m2}}{\sqrt{2}} = \frac{100 \text{ V}}{\sqrt{2}} \approx 70.7 \text{ V}$.
* Algebraïsche uitdrukkingen (aannemende specifieke fasen uit de grafiek):
* Voor spanning $u_1$: De golf start op zijn maximale positieve waarde op $t=0$. Dus de faseverschuiving is $\pi/2$ radialen of 90 graden (sinus is cosinus). De formule is $u_1(t) = U_{m1} \cos(\omega t) = U_{m1} \sin(\omega t + \pi/2)$.
* $u_1(t) = 150 \sin(100\pi t + \pi/2) \text{ V}$.
* Voor spanning $u_2$: De golf start op 0 en stijgt. Dus de faseverschuiving is 0.
* $u_2(t) = U_{m2} \sin(\omega t) = 100 \sin(100\pi t) \text{ V}$.
* Momentele waarden op $t' = (10/3) \text{ ms} = (10/3) \times 10^{-3} \text{ s}$.
* $\omega t' = 100\pi \cdot \frac{10}{3} \times 10^{-3} = \frac{\pi}{3}$ radialen.
* $u_1(t') = 150 \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}) = 150 \sin(\frac{5\pi}{6}) = 150 \cdot 0.5 = 75 \text{ V}$.
* $u_2(t') = 100 \sin(\frac{\pi}{3}) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 100 \cdot 0.866 = 86.6 \text{ V}$.
* *Noot: De gegeven antwoorden in het document ( ) voor u1 en u2 effectieve waarden en momentele waarden lijken te wijzen op andere amplitudes of fasen dan hier aangenomen uit een hypothetische grafiek. De antwoorden bij zijn: $f=50$ Hz; $U_1=75$ V; $U_2=50$ V; $u_1=106,05 \cdot \sin(\omega t + \pi/2)$; $u_2=70,7 \cdot \sin \omega t$; $u_{1t'}=53,025$ V; $u_{2t'}=61,23$ V. Dit suggereert dat de gegeven amplitudes voor de effectieve waarden ($U_1=75, U_2=50$) en niet de amplitudes zelf zijn. Als we de effectieve waarden gebruiken, dan zijn de amplitudes $U_{m1} = 75 \sqrt{2} \approx 106.06$ V en $U_{m2} = 50 \sqrt{2} \approx 70.7$ V. Met deze amplitudes en de gegeven formules [26](#page=26):
* $u_1(t') = 106.06 \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}) = 106.06 \cdot 0.5 = 53.03 \text{ V}$. Dit komt overeen met het antwoord.
* $u_2(t') = 70.7 \sin(\frac{\pi}{3}) = 70.7 \cdot 0.866 \approx 61.23 \text{ V}$. Dit komt ook overeen met het antwoord.
* Dus de amplitudes $U_m$ waren kennelijk niet direct leesbaar als 150V en 100V uit de figuur, maar de uitkomst van $U_{eff}$ was 75V en 50V, wat impliceert dat de amplitudes $\approx 106$V en $\approx 70.7$V waren.
* **Voorbeeld 10:** Een sinusoïdale stroom heeft een amplitude van 10 A. Op het nultijdstip ($t=0$) is de momentele waarde ervan 8,66 A. Bepaal de fase, schrijf de uitdrukking van de momentele waarde, en bereken de effectieve waarde [26](#page=26).
* $I_m = 10 \text{ A}$.
* Op $t=0$, $i = 8.66 \text{ A}$ .
* $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi)$.
* $8.66 \text{ A} = 10 \text{ A} \sin(\phi)$.
* $\sin(\phi) = \frac{8.66}{10} = 0.866$.
* $\phi = \arcsin(0.866) = \frac{\pi}{3}$ radialen of 60 graden.
* De uitdrukking van de momentele waarde is $i(t) = 10 \sin(\omega t + 60^\circ)$ A.
* De effectieve waarde is $I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{10 \text{ A}}{\sqrt{2}} \approx 7.071 \text{ A}$.
---
# Driefasesystemen
Dit onderwerp behandelt de opbouw, de werking, de typische kenmerken en de berekeningen binnen driefasesystemen, inclusief de verschillende schakelingen zoals ster en driehoek, en de relaties tussen fasen- en lijnspanningen en -stromen.
### 4.1 Opbouw en kenmerken van driefasesystemen
Een driefasesysteem wordt opgebouwd uit drie afzonderlijke, opgewekte wisselspanningen die elk op elkaar een faseverschuiving van 120 graden hebben ten opzichte van elkaar. Dit type net wordt veel toegepast in de industrie vanwege twee grote voordelen die het biedt ten opzichte van enkelfasige systemen [27](#page=27).
#### 4.1.1 Typische kenmerken
De typische kenmerken van een driefasesysteem omvatten de fasen- en lijnspanningen en -stromen, evenals de mogelijke configuraties van de belasting (ster of driehoek). Courante lijnspanningen in Europa zijn onder andere 3x230V+N en 3x400V+N [27](#page=27).
### 4.2 Spanningen en stromen in driefasesystemen
Er wordt onderscheid gemaakt tussen fasenspanning ($U_f$) en lijnspanning ($U_l$), en tussen fasestroom ($I_f$) en lijnstroom ($I_l$). Deze relaties zijn afhankelijk van de configuratie van de belasting (ster of driehoek).
#### 4.2.1 Sterconfiguratie
In een sterschakeling wordt de spanningswaarde tussen een lijndraad en de nulleider de **fasenspanning** ($U_f$) genoemd. De spanning tussen twee lijndraden is de **lijnspanning** ($U_l$). De relatie tussen deze twee is [27](#page=27):
$$U_l = \sqrt{3} \cdot U_f$$ [27](#page=27).
Wat betreft de stromen in een sterschakeling, geldt dat de stroom door een fase (fasestroom, $I_f$) gelijk is aan de stroom die door de bijbehorende lijndraad loopt (lijn, $I_l$) bij een symmetrische belasting [27](#page=27):
$$I_f = I_l$$ [27](#page=27).
> **Tip:** Bij een symmetrische belasting in een stersysteem is de stroom door de nulleider nul Ampère.
#### 4.2.2 Driehoekconfiguratie
Bij een belasting in driehoek is de **fasespanning** ($U_f$) gelijk aan de **lijnspanning** ($U_l$) van de bron:
$$U_f = U_l$$ [27](#page=27).
De **fasestroom** ($I_f$) is de stroom die door een individueel element van de belasting loopt, terwijl de **lijnspanning** ($I_l$) de stroom is die uit de voedingsdraden wordt opgenomen. De relatie tussen fasestroom en lijnstroom in een driehoekschakeling is [27](#page=27):
$$I_l = \sqrt{3} \cdot I_f$$ [27](#page=27).
### 4.3 Vermogensberekeningen in driefasesystemen
De berekeningen voor het actief vermogen ($P$), reactief vermogen ($Q$) en schijnbaar vermogen ($S$) bij een symmetrische belasting op een driefasig netwerk zijn gebaseerd op de fasen- en lijnspanningen en -stromen, afhankelijk van de ster- of driehoekschakeling [27](#page=27).
Voor het **actief vermogen** ($P$):
$$P = \sqrt{3} \cdot U_l \cdot I_l \cdot \cos(\phi)$$ [27](#page=27).
of, equivalent,
$$P = 3 \cdot U_f \cdot I_f \cdot \cos(\phi)$$
Voor het **schijnbaar vermogen** ($S$):
$$S = \sqrt{3} \cdot U_l \cdot I_l$$ [27](#page=27).
of, equivalent,
$$S = 3 \cdot U_f \cdot I_f$$
Voor het **reactief vermogen** ($Q$):
$$Q = \sqrt{3} \cdot U_l \cdot I_l \cdot \sin(\phi)$$
of, equivalent,
$$Q = 3 \cdot U_f \cdot I_f \cdot \sin(\phi)$$
Hierbij is $\cos(\phi)$ de arbeidsfactor (cosinus van de fasehoek tussen spanning en stroom) en $\sin(\phi)$ de sinus van de fasehoek.
> **Tip:** Bij een zuiver resistieve belasting (zoals een verwarmingselement of gloeilamp) is de arbeidsfactor $\cos(\phi) = 1$ [29](#page=29).
### 4.4 Toepassingsvoorbeelden en berekeningen
De volgende voorbeelden illustreren de toepassing van driefasesystemen in de praktijk.
#### 4.4.1 Aansluitschema's voor verwarmingselementen
Bij een elektrische accumulatiekachel met drie verwarmingselementen van 230V/1000W elk, kunnen verschillende aansluitingen op een 2-fasig of 3-fasig netwerk worden overwogen [27](#page=27).
* **2-fasig net 230V (zonder neutraal):** De elementen worden tussen de twee lijnen geschakeld.
* Totaal actief vermogen: $3 \times 1000\text{W} = 3000\text{W}$ [27](#page=27).
* Stroom door een verwarmingselement: $I_{\text{verw}} = \frac{1000\text{W}}{230\text{V}} = 4,35\text{A}$ [27](#page=27).
* Stroomsterkte in de voedingsdraden: Aangezien de elementen in serie staan tussen de lijnen (en er geen neutraal is, wat een typisch 2-fasig scenario zou kunnen zijn of een 3-fasig net met 2 lijnen gebruikt), is de totale stroom niet direct gespecificeerd als lijnstroom op de typische $\sqrt{3}$ manier, maar de berekening impliceert dat de stroom door de kabels het hoogst is, met 2 kabels à 13A. Dit suggereert een configuratie waarbij de effectieve stroom per kabel hoog is [27](#page=27).
* **Let op:** Deze aansluiting op 2 kabels kan leiden tot nadelige spanningsval en vermogensverliezen [27](#page=27).
* **3-fasig net 3x230V:** De elementen worden in driehoek geschakeld om de belasting te spreiden.
* Totaal actief vermogen: $3 \times 1000\text{W} = 3000\text{W}$ [27](#page=27).
* Stroom door een verwarmingselement: $I_{\text{verw}} = \frac{1000\text{W}}{230\text{V}} = 4,35\text{A}$ [27](#page=27).
* Lijnstroom (stroom door voedingsdraden): $I_l = \sqrt{3} \cdot 4,35\text{A} = 7,53\text{A}$ [27](#page=27).
* Controle: $P_{\text{tot}} = \sqrt{3} \cdot U_l \cdot I_l = \sqrt{3} \cdot 230\text{V} \cdot 7,53\text{A} = 3000\text{W}$ [27](#page=27).
* **Opm.:** De totale stroom in de 3 voedingsdraden is kleiner dan bij een enkelfasige aansluiting (3 kabels à 7,53A resulteert in 22,6A totaal opgenomen door de draden, vergeleken met de 2 kabels à 13A in het 2F net) [27](#page=27).
* **3-fasig net 3x400V:** De elementen worden in ster geschakeld om de belasting te spreiden.
* Totaal actief vermogen: $3 \times 1000\text{W} = 3000\text{W}$ [27](#page=27).
* Fasestroom ($I_f$) / Lijnstroom ($I_l$) in ster: $I_f = I_l = \frac{1000\text{W}}{230\text{V}} = 4,35\text{A}$. Dit is de stroom door de voedingsdraden [27](#page=27).
* Controle: $P_{\text{tot}} = \sqrt{3} \cdot U_l \cdot I_l = \sqrt{3} \cdot 400\text{V} \cdot 4,35\text{A} = 3000\text{W}$ [27](#page=27).
#### 4.4.2 Aansluiting van gloeilampen
Drie gloeilampen van 230V/100W kunnen op verschillende netspanningen worden aangesloten [28](#page=28).
* **3x230V+N:** Aansluiten in driehoek, tussen 2 lijnen [28](#page=28).
* **3x400V+N:** Aansluiten in ster, tussen lijn en neutraal [28](#page=28).
#### 4.4.3 Aansluiting van huishoudelijke installaties
Huishoudelijke installaties die werken op een lagere spanning (bijv. 133V in Spanje of 230V in België) kunnen op een driefasennet van 3x230V+N worden aangesloten [28](#page=28).
* **Spanje (133V):** Tussen lijn en neutraal [28](#page=28).
* **België (230V):** Tussen 2 lijnen [28](#page=28).
#### 4.4.4 Aansluiting van driefasen asynchrone motoren
Driefasen asynchrone motoren worden gespecificeerd met een dubbele spanningsaanduiding, bijvoorbeeld 230/400V of 400/690V. De keuze van de aansluiting (ster of driehoek) hangt af van de netspanning en de specificaties van de motor.
* Een motor van **230/400V** op een net van **3x400V** wordt **in ster** geschakeld. Dit zorgt ervoor dat de spanning over de windingen maximaal 230V bedraagt, wat overeenkomt met de laagste specificatie van de motor [28](#page=28).
* Een motor van **400/690V** op een net van **3x400V** wordt **in driehoek** geschakeld. De 400V op de windingen is een geschikte spanning voor deze configuratie [28](#page=28).
#### 4.4.5 Berekeningen voor een elektrische kachel
Een elektrische kachel met 3 gelijke weerstanden van 25 Ohm, die een maximale spanning van 230V verdragen, wordt aangesloten op een net van 3x230V. Om een optimaal vermogen te bekomen, worden de weerstanden in **driehoek** geschakeld [29](#page=29).
* **Totaal opgenomen actief vermogen ($P$):** De spanning over elk element is de lijnspanning, $U_l = 230\text{V}$. De stroom door elke weerstand is $I_f = \frac{230\text{V}}{25\Omega} = 9,2\text{A}$. Het totale vermogen is $P = 3 \cdot U_f \cdot I_f \cdot \cos(\phi)$. Aangezien het een zuivere weerstand is, is $\cos(\phi) = 1$. $U_f$ is hier gelijk aan de spanning over het element, wat $230\text{V}$ is in de driehoekschakeling. Dus $P = 3 \cdot 230\text{V} \cdot 9,2\text{A} = 6348\text{W}$ [29](#page=29).
* **Totaal opgenomen schijnbaar vermogen ($S$):** Omdat het een zuiver resistieve belasting betreft ($\cos(\phi) = 1$), is het schijnbaar vermogen gelijk aan het actief vermogen, dus $S = P = 6348\text{VA}$ [29](#page=29).
* **Fase- en lijnspanning van de bron:** Lijnspanning $U_l = 230\text{V}$. Fasenspanning $U_f = \frac{U_l}{\sqrt{3}} = \frac{230\text{V}}{\sqrt{3}} = 133\text{V}$. De maximale waarde van de fasenspanning is $133\text{V} \cdot \sqrt{2} \approx 188\text{V}$ [29](#page=29).
* **Stroom door iedere fase en iedere lijn:** De stroom door iedere weerstand (fasestroom) is $I_f = 9,2\text{A}$. De lijnstroom is $I_l = \sqrt{3} \cdot I_f = \sqrt{3} \cdot 9,2\text{A} \approx 15,93\text{A}$. De maximale waarde van de lijnstroom is $15,93 \text{A} \cdot \sqrt{2} \approx 13\text{A}$ (dit lijkt een typo in de bron; de amplitude van de lijnstroom is $\sqrt{2} \times 15.93\text{A}$). Correcte amplitude berekening: $15.93 \times \sqrt{2} \approx 22.5\text{A}$ [29](#page=29).
* **Stroomsterkte door de neutraal:** Bij een symmetrische belasting is de stroom door de neutraal $0\text{A}$ [29](#page=29).
* **Minimaal aantal draden:** Voor de kachel met een metalen behuizing zijn minimaal 4 draden nodig: 3 lijndraden en een aarddraad (voor veiligheid) [29](#page=29).
#### 4.4.6 Aansluiting van een elektrische kachel met metalen behuizing
Een 3F motor (400/690V) met een nuttig vermogen van 5,5kW (toegevoerd vermogen van 6,47kW) en een arbeidsfactor van 0,8 werkt op een spanning van 3x400V+N [30](#page=30).
* **Aansluiting voor optimaal vermogen:** De motor wordt aangesloten op 3x400V. Gezien de specificatie 400/690V, zal deze motor op 400V het best functioneren in een **driehoekschakeling** [28](#page=28).
* **Rendement:** Het rendement ($\eta$) wordt berekend als de verhouding van het nuttige vermogen ($P_{\text{nuttig}}$) tot het toegevoerde vermogen ($P_{\text{toegevoerd}}$):
$$\eta = \frac{P_{\text{nuttig}}}{P_{\text{toegevoerd}}} = \frac{5,5\text{kW}}{6,47\text{kW}} \approx 0,85 \text{ of } 85\%$$ [30](#page=30).
* **Fase- en lijnspanning:** Lijnspanning $U_l = 400\text{V}$. Fasenspanning $U_f = \frac{400\text{V}}{\sqrt{3}} = 230\text{V}$ [30](#page=30).
* **Stroom door iedere fase en iedere lijn:** Het toegevoerde vermogen is $P_{\text{toegevoerd}} = \sqrt{3} \cdot U_l \cdot I_l \cdot \cos(\phi)$. Om de lijnstroom ($I_l$) te berekenen:
$$I_l = \frac{P_{\text{toegevoerd}}}{\sqrt{3} \cdot U_l \cdot \cos(\phi)} = \frac{6470\text{W}}{\sqrt{3} \cdot 400\text{V} \cdot 0,8} \approx 11,7\text{A}$$ [30](#page=30).
Voor een motor in driehoek is de lijnstroom de stroom die uit de bron komt. De fasestroom door de motorwikkelingen kan dan berekend worden met $I_f = I_l / \sqrt{3}$.
* **Stroomsterkte door de neutraal:** Bij een symmetrische belasting van een driefasenmotor is de stroom door de neutraal nul Ampère [30](#page=30).
* **Maximale weerstand van fasedraden en neutraal:** Bij een maximale spanningsval van 4% over de geleiders, is de toegestane spanningsval $0,04 \cdot 400\text{V} = 16\text{V}$. De totale weerstand van de geleiders ($R_{\text{geleiders}}$) kan berekend worden uit de lijnstroom en de spanningsval: $R_{\text{geleiders}} = \frac{\Delta U}{I_l} = \frac{16\text{V}}{11,7\text{A}} \approx 1,37\Omega$. Dit is de totale weerstand van alle geleiders samen (3 fasedraden en neutraal) [30](#page=30).
#### 4.4.7 Aansluiting van lampen op 3x400V+N
Op een net van 3x400V+N worden een lamp van 100W/230V en een leeslamp van 8W/230V aangesloten [31](#page=31).
* **Schema en aansluiting:** De verbruikers, die op 230V werken, worden parallel aangesloten tussen een lijn en de neutraal. Om de belasting zo evenwichtig mogelijk te maken, wordt de 100W lamp tussen L1 en N geplaatst, en de 8W lamp tussen L2 en N [31](#page=31).
* **Fase- en lijnspanning, grafieken u(t):** Lijnspanning $U_l = 400\text{V}$. Fasenspanning $U_f = 230\text{V}$ (de spanning tussen elke lijn en de neutraal). De spanningsgrafieken zijn drie sinusvormige signalen met dezelfde amplitude en frequentie, 120 graden in de tijd verschoven [31](#page=31).
* **Stroom door iedere fase en iedere lijn, grafieken i(t):**
* Lamp 100W/230V: $I_{f1} = \frac{100\text{W}}{230\text{V}} \approx 0,44\text{A}$ (dit is ook de lijnstroom $I_{L1}$). Deze stroom is in fase met de spanningssinus $U_{f1}$ omdat het een zuivere weerstand is. De amplitude is $0,44\text{A} \cdot \sqrt{2} \approx 0,62\text{A}$ [31](#page=31).
* Lamp 8W/230V: $I_{f2} = \frac{8\text{W}}{230\text{V}} \approx 0,035\text{A}$ (dit is ook de lijnstroom $I_{L2}$). De amplitude is $0,035\text{A} \cdot \sqrt{2} \approx 0,049\text{A}$ [31](#page=31).
* Er is geen belasting op L3, dus $I_{L3} = 0\text{A}$ [31](#page=31).
* **Stroom door de neutrale leider:** De stroom door de neutraal is de som van de fasestromen: $I_N = I_{L1} + I_{L2} + I_{L3} \approx 0,44\text{A} + 0,035\text{A} + 0\text{A} = 0,475\text{A}$ [32](#page=32).
* **Spanning en stroom door de neutraal:** De spanning over de neutrale leider is $U_N = R_N \cdot I_N$. Aangezien de weerstand van de neutrale leider verwaarloosbaar is ($R_N \approx 0$), is de spanning $U_N = 0\text{V}$ [32](#page=32).
* **Totaal opgenomen vermogen:** $P_{\text{tot}} = P_{100\text{W}} + P_{8\text{W}} = 100\text{W} + 8\text{W} = 108\text{W}$ [32](#page=32).
* **Beveiliging met een zekering:** Hoewel de grootste stroom door de neutrale kabel loopt, mag deze **nooit** geïsoleerd gezekerd worden. Bij het onderbreken van de neutraal ontstaat een seriekoppeling van de verbruikers tussen de lijnen, wat kan leiden tot overspanning op componenten met de hoogste impedantie. Daarom moeten **alle voedingsdraden** (L1, L2, L3) onderbroken worden met een zekering [32](#page=32).
* **Neutrale leider onderbroken:** Bij onderbreking van de neutraal, worden de twee lampen seriegeschakeld tussen twee lijnen (bijvoorbeeld L1 en L2). De totale spanning tussen L1 en L2 is $U_l = 400\text{V}$.
* Impedanties: Lamp 100W (230V): $R = \frac{U^2}{P} = \frac{230^2}{100} = 529\Omega$. Lamp 8W (230V): $R = \frac{230^2}{8} = 6571\Omega$ [32](#page=32).
* Totale impedantie in serie: $R_{\text{tot}} = 529\Omega + 6571\Omega = 7100\Omega$ [32](#page=32).
* Totale stroom: $I_{\text{tot}} = \frac{400\text{V}}{7100\Omega} \approx 0,056\text{A}$ [32](#page=32).
* Spanning over de lampen:
* Lamp 100W: $U_{100\text{W}} = I_{\text{tot}} \cdot R_{100\text{W}} = 0,056\text{A} \cdot 529\Omega \approx 29,6\text{V}$ [32](#page=32).
* Lamp 8W: $U_{8\text{W}} = I_{\text{tot}} \cdot R_{8\text{W}} = 0,056\text{A} \cdot 6571\Omega \approx 368\text{V}$ [32](#page=32).
* **Gevolg:** De lamp van 8W zal defect gaan door overspanning. Dit illustreert waarom de neutrale geleider niet mag worden weg- of gezekerd. Er ontstaat een spanningsdeling, waarbij de component met de grootste weerstand (kleinste vermogen) de hoogste spanning krijgt [32](#page=32).
#### 4.4.8 Aansluiting van diverse verbruikers op 3x400V+N
Op een net van 3x400V+N worden een lamp van 100W/230V, een lamp van 50W/230V en een croque toestel van 800W/230V aangesloten [32](#page=32).
* **Schema en aansluiting:** De verbruikers, die op 230V werken, worden tussen een lijn en de neutraal aangesloten. Om de belasting zo evenwichtig mogelijk te maken, probeert men elke belasting op een verschillende lijn aan te sluiten, wat resulteert in een sterschakeling van de verbruikers [32](#page=32).
* **Fase- en lijnspanning, grafieken u(t):** Lijnspanning $U_l = 400\text{V}$. Fasenspanning $U_f = 230\text{V}$. De spanningsgrafieken zijn drie identieke sinussen, 120 graden in fase verschoven [32](#page=32).
* **Fase- en lijnstroom per fase en lijn, grafieken i(t):** Omdat de verbruikers tussen lijn en neutraal zijn geschakeld (sterschakeling van de belasting), is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom door de verbruiker.
* Lamp 100W: $I_{L1} = I_{f1} = \frac{100\text{W}}{230\text{V}} \approx 0,435\text{A}$ [32](#page=32).
* Croque toestel 800W: $I_{L2} = I_{f2} = \frac{800\text{W}}{230\text{V}} \approx 3,48\text{A}$ [32](#page=32).
* Lamp 50W: $I_{L3} = I_{f3} = \frac{50\text{W}}{230\text{V}} \approx 0,217\text{A}$ [32](#page=32).
* **Totaal opgenomen vermogen:** De som van de vermogens van de individuele verbruikers: $P_{\text{tot}} = 100\text{W} + 800\text{W} + 50\text{W} = 950\text{W}$ [32](#page=32).
* **Stroom door de neutrale leider:** De stroom door de neutrale leider is de vectoriële som van de fasestromen: $I_N = I_{f1} + I_{f2} + I_{f3} \approx 0,435\text{A} + 3,48\text{A} + 0,217\text{A} = 4,13\text{A}$. Deze stroom kan **niet** worden weggelaten, anders zullen de componenten met het kleinste vermogen (grootste impedantie) defect raken door overspanning [32](#page=32).
---
# Elektrische componenten en hun gedrag
Dit gedeelte onderzoekt het fundamentele gedrag van essentiële elektrische componenten zoals weerstanden, spoelen en condensatoren, zowel onder gelijkstroom- als wisselstroomcondities [34](#page=34).
### 5.1 Weerstanden
#### 5.1.1 Weerstand bij gelijkstroom
Een weerstand gedraagt zich bij gelijkstroom voornamelijk door de wet van Ohm te volgen, waarbij de stroomsterkte omgekeerd evenredig is met de weerstand voor een constante spanning [34](#page=34).
#### 5.1.2 Weerstand bij wisselstroom
Bij wisselstroom gedraagt een zuivere weerstand zich op dezelfde manier als bij gelijkstroom. De stroom en de spanning zijn in fase, wat betekent dat ze tegelijkertijd hun maximale, nul- en minimale waarden bereiken [34](#page=34).
- **Faseverschuiving:** Nul graden.
- **Impedantie:** Gelijk aan de weerstand ($R$) [34](#page=34).
- **Vermogen:** Een zuivere weerstand dissipeert actief vermogen in de vorm van warmte, volgens de formule $P = U \cdot I = I^2 \cdot R = \frac{U^2}{R}$ [34](#page=34).
> **Voorbeeld:** Een weerstand van 8 ohm met een sinusvormige stroom met een amplitude van 14,142 A zal een effectieve spanning van 80 V hebben. De ontwikkelde warmte in 10 minuten is 480 kilojoules [36](#page=36).
### 5.2 Spoelen (Inducties)
#### 5.2.1 Spoel bij gelijkstroom
Bij gelijkstroom gedraagt een ideale spoel zich initieel als een open circuit (wanneer de stroom verandert) en na verloop van tijd als een kortsluiting (wanneer de stroom stabiel is) [34](#page=34).
#### 5.2.2 Spoel bij wisselstroom
Bij wisselstroom introduceert een spoel een inductieve reactantie, die de tegenwerking tegen stroomverandering vertegenwoordigt.
- **Inductieve reactantie ($X_L$):** Deze is afhankelijk van de frequentie ($f$) en de zelfinductiecoëfficiënt ($L$) van de spoel, gegeven door de formule $X_L = 2 \pi f L$ [34](#page=34) [37](#page=37).
- **Faseverschuiving:** De spanning over een spoel loopt 90 graden voor op de stroom [34](#page=34).
- **Impedantie:** De impedantie van een zuivere spoel is gelijk aan zijn inductieve reactantie ($Z = X_L$) [34](#page=34).
- **Vermogen:** Een ideale spoel verbruikt geen actief vermogen; het slaat energie op in een magnetisch veld en geeft deze weer af. De maximale waarde van deze elektromagnetische energie wordt gegeven door $W_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ [34](#page=34) [35](#page=35).
> **Voorbeeld:** Een ideale spoel met een zelfinductiecoëfficiënt van 0,2 H en een aangelegde spanning van 60 V bij 50 Hz heeft een inductieve reactantie van 62,832 ohm en een stroomsterkte van 0,955 A. Bij 60 Hz en dezelfde spanning is de inductieve reactantie 75,398 ohm en de stroomsterkte 0,796 A [37](#page=37).
#### 5.2.3 Spoelen in serieschakeling
Bij serieschakeling van spoelen wordt de totale zelfinductiecoëfficiënt verkregen door de individuele coëfficiënten op te tellen: $L_{eq} = L_1 + L_2 +...$ [35](#page=35).
> **Voorbeeld:** Twee ideale spoelen met $L_1 = 0,04$ H en $L_2 = 0,06$ H in serie geven een equivalente zelfinductie van 0,10 H [35](#page=35).
### 5.3 Condensatoren
#### 5.3.1 Condensator bij gelijkstroom
Bij gelijkstroom gedraagt een condensator zich initieel als een kortsluiting (wanneer de stroom vloeit om deze op te laden) en na verloop van tijd als een open circuit (wanneer de condensator volledig geladen is en de stroom stopt). De hoeveelheid lading ($Q$) op een condensator is evenredig met de spanning ($U$) en de capaciteit ($C$): $Q = C \cdot U$ [34](#page=34) [37](#page=37).
#### 5.3.2 Condensator bij wisselstroom
Bij wisselstroom introduceert een condensator een capacitieve reactantie, die de tegenwerking tegen spanningsverandering vertegenwoordigt.
- **Capacitieve reactantie ($X_C$):** Deze is afhankelijk van de frequentie ($f$) en de capaciteit ($C$) van de condensator, gegeven door de formule $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ [34](#page=34) [37](#page=37).
- **Faseverschuiving:** De stroom door een condensator loopt 90 graden voor op de spanning [34](#page=34).
- **Impedantie:** De impedantie van een zuivere condensator is gelijk aan zijn capacitieve reactantie ($Z = X_C$) [34](#page=34).
- **Vermogen:** Een ideale condensator verbruikt geen actief vermogen; het slaat energie op in een elektrisch veld en geeft deze weer af. De maximale waarde van deze elektrische energie wordt gegeven door $W_{max} = \frac{1}{2} C U_{max}^2 = \frac{Q_{max}^2}{2C}$ [34](#page=34) [37](#page=37).
> **Voorbeeld:** Bij een frequentie van 50 Hz is de capacitieve reactantie van een condensator 177 ohm. De capaciteit is dan 17,984 microfarad. Bij een aangelegde spanning van 220 V, 50 Hz vloeit er een stroom van 1,243 A. Bij 60 Hz stijgt de stroom naar 1,4916 A [37](#page=37).
#### 5.3.3 Condensatoren in serieschakeling
Bij serieschakeling van condensatoren wordt de equivalente capaciteit berekend met de volgende formule: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} +...$ [37](#page=37).
> **Voorbeeld:** Twee ideale condensatoren met capaciteiten van 8 microfarad en 12 microfarad in serie geven een equivalente capaciteit van 4,8 microfarad [37](#page=37).
#### 5.3.4 Condensatoren in parallelschakeling
Bij parallelschakeling van condensatoren wordt de equivalente capaciteit verkregen door de individuele capaciteiten op te tellen: $C_{eq} = C_1 + C_2 +...$ [35](#page=35).
> **Voorbeeld:** Twee ideale condensatoren van 4 microfarad en 6 microfarad in parallel geven een equivalente capaciteit van 10 microfarad [35](#page=35).
### 5.4 Gecombineerde schakelingen bij wisselstroom
Bij gecombineerde schakelingen van weerstanden, spoelen en condensatoren bij wisselstroom zijn er drie hoofdmogelijkheden, afhankelijk van de dominante reactantie of weerstand [34](#page=34).
#### 5.4.1 Stroomresonantie
Stroomresonantie treedt op wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie ($X_L = X_C$). In een parallelschakeling van een spoel en een condensator leidt dit tot een minimale totale stroom [34](#page=34).
#### 5.4.2 Spanningresonantie
Spanningresonantie treedt op wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie ($X_L = X_C$). In een serieschakeling van een spoel en een condensator leidt dit tot een minimale totale impedantie en maximale stroom, waarbij de spanning over de spoel en de condensator groot kan zijn, maar deze compenseren elkaar in hun effect op de totale spanning over de serieschakeling [34](#page=34).
### 5.5 Kennisvragen en Toepassingen
De documenten bevatten een reeks kennisvragen die de studenten aanmoedigen om de concepten van deze componenten in hun eigen woorden uit te leggen evenals toepassingsgerichte vragen die berekeningen vereisen voor verschillende circuits... [34](#page=34) [35](#page=35) [36](#page=36) [37](#page=37) [38](#page=38).
---
# Motoren: principes en toepassingen
Dit gedeelte behandelt de fundamentele principes, opbouw, aanloopmethoden, beveiliging en selectie van diverse motortypen, met een focus op synchrone en asynchrone motoren [40](#page=40).
### 7.1 Synchrone motoren
Synchrone motoren zijn elektrische machines waarbij de rotatie van de rotor exact synchroon loopt met de frequentie van het aangelegde wisselstroomnet [41](#page=41).
#### 7.1.1 Werking en opbouw
Bij een driefasig gewikkelde synchrone motor ontstaat een draaiveld door de opeenvolgende bekrachtiging van de statorspoelen met een driefasige stroom. De draaizin kan gewijzigd worden door de volgorde van de faseaansluitingen te wisselen. De opbouw van een synchrone motor bestaat typisch uit een stator met wikkelingen en een rotor die magnetisch wordt bekrachtigd [40](#page=40).
#### 7.1.2 Aanloopmethoden
Een synchrone motor kan niet zomaar direct worden aangesloten op het net omdat de rotor de benodigde synchrone snelheid niet direct kan bereiken. Hulpmiddelen zoals een externe aandrijving of het gebruik van een kortgesloten wikkeling in de rotor (vergelijkbaar met een asynchrone motor) zijn nodig om de motor op toeren te brengen alvorens de synchrone bekrachtiging wordt ingeschakeld [40](#page=40).
#### 7.1.3 Voordelen en nadelen
Voordelen van een synchrone motor zijn onder andere een constante snelheid, ongeacht de belasting, en de mogelijkheid om het arbeidsfactor te corrigeren. Nadelen zijn de complexere opbouw en de noodzaak van een speciale aanloopmethode [40](#page=40).
### 7.2 Asynchrone motoren
Asynchrone motoren, ook wel inductiemotoren genoemd, zijn de meest voorkomende motortypen waarbij de rotorsnelheid altijd lager ligt dan de synchrone snelheid van het draaiveld [41](#page=41).
#### 7.2.1 Opbouw en werking
Een asynchrone motor heeft een stator met wikkelingen en een rotor die meestal bestaat uit staven (kooirotor) die kortgesloten zijn aan de uiteinden. Het werkingsprincipe berust op het inductieprincipe: het draaiveld van de stator induceert stroom in de rotor, wat resulteert in een koppel dat de rotor doet draaien [40](#page=40).
#### 7.2.2 Slip
De "slip" van een asynchrone motor is het verschil tussen de synchrone snelheid van het draaiveld en de werkelijke rotatiesnelheid van de rotor, uitgedrukt als een percentage van de synchrone snelheid. Een hogere slip betekent een groter verschil tussen beide snelheden [40](#page=40).
#### 7.2.3 Koppel-rotatiefrequentiekarakteristiek
De koppel-rotatiefrequentiekarakteristiek toont de relatie tussen het koppel van de motor en de rotatiesnelheid. Belangrijke punten zijn het maximale koppel, het aanloopkoppel en het koppel bij nominale belasting [40](#page=40).
#### 7.2.4 Motorselectie
Bij de keuze van een asynchrone motor wordt gelet op factoren zoals het vereiste vermogen, de voedingsspanning, het toerental, het startkarakteristiek en de omgevingscondities. Het werkpunt van de motor moet binnen de specificaties liggen [40](#page=40).
#### 7.2.5 Aanloopmethoden voor beperkte opstartstroom
Direct aanlopen van een asynchrone motor leidt tot een hoge opstartstroom, wat nadelig kan zijn voor het net en de motor. Mogelijke methoden om de opstartstroom te beperken zijn [40](#page=40):
* **Ster-driehoekschakeling:** De motor wordt in eerste instantie met een lagere spanning aangesloten (sterschakeling), waardoor de stroom beperkt wordt. Na het bereiken van voldoende snelheid wordt omgeschakeld naar driehoeksschakeling voor normaal bedrijf. Het theoretische verschil in stroom tussen sterschakeling en driehoeksschakeling kan verklaard worden door de spanningsverdeling over de fasewikkelingen. In een sterschakeling is de fase-spanning $\frac{1}{\sqrt{3}}$ maal de lijnspanning, terwijl in een driehoeksschakeling de fase-spanning gelijk is aan de lijnspanning. Dit resulteert in een lagere stroom in sterschakeling [40](#page=40).
* **Softstarter:** Een elektronisch apparaat dat geleidelijk de spanning naar de motor verhoogt, waardoor de opstartstroom en het aanloopkoppel gecontroleerd worden [40](#page=40).
* **Frequentieomvormer:** Hiermee kan zowel de spanning als de frequentie worden aangepast, wat een zeer gecontroleerde aanloop mogelijk maakt en ook de snelheid kan regelen [40](#page=40).
#### 7.2.6 Remmethoden
Asynchrone motoren kunnen op verschillende manieren geremd worden, waaronder:
* **Dynamisch remmen:** De motor wordt losgekoppeld van het net en de wikkelingen worden kortgesloten, waardoor de bewegingsenergie wordt omgezet in warmte [40](#page=40).
* **Regeneratief remmen:** De motor werkt als generator en voedt energie terug naar het net [40](#page=40).
* **Mechanisch remmen:** Met behulp van een externe rem, bijvoorbeeld een schijfrem of trommelrem, zoals vaak toegepast bij hijswerktuigen [40](#page=40).
#### 7.2.7 Snelheidsregeling
De rotatiesnelheid van een asynchrone motor kan op verschillende manieren worden beïnvloed:
* **Veranderen van de voedingsspanning:** Dit beïnvloedt het koppel en dus indirect de snelheid bij een gegeven belasting [40](#page=40).
* **Veranderen van de voedingsfrequentie:** Met een frequentieomvormer kan de snelheid zeer nauwkeurig worden geregeld. Bij lagere frequenties, zoals 5 tot 10 Hz, kunnen specifieke koelingsmaatregelen nodig zijn omdat de ventilator op de motoras langzamer draait [40](#page=40).
* **Veranderen van het aantal polenparen:** Dit is een structurele wijziging van de motor, vaak toegepast in specifieke motoren met meerdere wikkelingsets.
#### 7.2.8 Beveiliging
Motoren dienen beveiligd te worden tegen diverse fenomenen, zoals overbelasting, kortsluiting en onderspanning. Hiervoor worden elektrische componenten zoals thermische overbelastingsrelais, smeltveiligheden en magneetschakelaars gebruikt [40](#page=40).
#### 7.2.9 IP klasse
De IP-klasse (Ingress Protection) geeft de mate van bescherming aan tegen indringing van vaste deeltjes en water. De twee cijfers na de aanduiding IPXX geven respectievelijk de bescherming tegen vaste deeltjes (eerste cijfer) en water (tweede cijfer) aan [40](#page=40).
### 7.3 Eenfasige motoren
Eenfasige motoren lopen niet vanzelf aan omdat er geen initieel draaiveld ontstaat [41](#page=41).
#### 7.3.1 Principes en toepassingen
* **Inductiemotor met capacitieve aanloopfase:** Een extra wikkeling met een condensator wordt parallel aan de hoofdwikkeling geschakeld om een aanloopkoppel te creëren. Na het starten kan de condensator worden uitgeschakeld. De draaizin van een eenfasige motor kan worden omgekeerd door de aansluitingen van de aanloopwikkeling te wisselen [41](#page=41).
* **Universeelmotor:** Dit type motor kan zowel op wisselstroom (AC) als gelijkstroom (DC) werken. Een belangrijk nadeel is de slijtage van de borstels. Universeelmotoren worden vaak toegepast in huishoudelijke apparaten zoals mixers en stofzuigers [41](#page=41).
### 7.4 Stappenmotoren
Stappenmotoren draaien in discrete stappen onder invloed van digitale pulsen, waardoor nauwkeurige positionering mogelijk is [41](#page=41).
#### 7.4.1 Werking en bediening
De principiële werking berust op het sequentiële bekrachtigen van statorspoelen, waardoor de rotor zich stap voor stap verplaatst. Halfstapbedrijf bij een stappenmotor betekent dat de motor tussen twee volledige stappen in kan bewegen, wat resulteert in een fijnere positionering [41](#page=41).
#### 7.4.2 Voor- en nadelen
**Voordelen:** Nauwkeurige positionering, eenvoudige aansturing met digitale signalen, goede houdkoppel in stilstand [41](#page=41).
**Nadelen:** Beperkt toerental, lager rendement bij hogere snelheden, kunnen bij overbelasting stappen verliezen (zonder dat dit direct merkbaar is) [41](#page=41).
### 7.5 DC-motoren
#### 7.5.1 Basiswerking
De basiswerking van een elektrische DC-motor is gebaseerd op de Lorentzkracht die ontstaat wanneer een stroomvoerende geleider in een magnetisch veld wordt geplaatst. Dit principe wordt toegepast om een roterend magnetisch veld te creëren dat de rotor aandrijft [41](#page=41).
### 7.6 Motorkenplaatje
Het motorkenplaatje bevat essentiële gegevens voor het kiezen van een geschikte motor, waaronder het nominale vermogen, het toerental, de spanning, de stroom, de frequentie en de bedrijfstemperatuurklasse [40](#page=40).
### 7.7 Koeling
Het koelen van een elektrische motor is cruciaal om oververhitting te voorkomen, wat de levensduur van de motor kan verkorten en schade kan veroorzaken [40](#page=40).
### 7.8 Steinmetzschakeling
De Steinmetzschakeling wordt gebruikt om een driefasige motor aan te sluiten op een enkelfasig net. Hierbij wordt een condensator gebruikt om een faseverschuiving te creëren en zo een draaiveld op te wekken. De draaizin kan worden omgekeerd door de aansluiting van de condensator te wijzigen. Deze schakeling kan zowel met de motor in sterschakeling als in driehoeksschakeling worden uitgevoerd [40](#page=40).
### 7.9 Asynchrone sleepringmotor
Een asynchrone sleepringmotor is een type asynchrone motor waarbij de rotorwikkelingen via sleepringen en borstels toegankelijk zijn. Dit maakt het mogelijk om externe weerstanden in het rotorcircuit op te nemen, wat voordelen biedt bij het regelen van het aanloopkoppel en de opstartstroom, en ook bij het remmen [40](#page=40).
---
# Transformatoren en wisselstroomvermogen
Dit gedeelte behandelt de werking van transformatoren en diverse oefeningen op AC-vermogen [42](#page=42).
### 7.1 Transformatoren
#### 7.1.1 Ideale transformatoren en transformatieverhoudingen
Een ideale transformator is een theoretisch model dat geen energieverliezen kent, zoals verliezen door weerstand of magnetische flux. De transformatieverhouding ($k$) drukt de relatie uit tussen de spanningen, stromen en windingen van de primaire en secundaire spoel van een transformator [42](#page=42) [43](#page=43).
De verhouding van de spanningen is gelijk aan de verhouding van het aantal windingen:
$$ \frac{U_p}{U_s} = \frac{N_p}{N_s} = k $$ [43](#page=43).
Waarbij:
* $U_p$ = primaire spanning [43](#page=43).
* $U_s$ = secundaire spanning [43](#page=43).
* $N_p$ = aantal windingen op de primaire spoel [43](#page=43).
* $N_s$ = aantal windingen op de secundaire spoel [43](#page=43).
Voor een ideale transformator geldt ook dat het vermogen aan de primaire zijde gelijk is aan het vermogen aan de secundaire zijde:
$$ P_p = P_s $$ [42](#page=42).
En de relatie tussen de stromen is omgekeerd evenredig met de transformatieverhouding:
$$ \frac{I_s}{I_p} = \frac{N_p}{N_s} = k $$ [43](#page=43).
Ofwel:
$$ I_p \cdot U_p = I_s \cdot U_s $$ [42](#page=42).
* $I_p$ = primaire stroomsterkte [42](#page=42).
* $I_s$ = secundaire stroomsterkte [42](#page=42).
De transformatieverhouding ($k$) kan dus worden uitgedrukt in termen van windingen, spanningen en stromen. Als het aantal primaire windingen ($N_p$) toeneemt, zal de secundaire spanning ($U_s$) dalen, aangenomen dat de primaire spanning en het aantal secundaire windingen constant blijven. Omgekeerd, als de stroom in de secundaire spoel stijgt, zal de primaire stroom ook stijgen [43](#page=43).
> **Tip:** Een transformator werkt alleen met wisselspanning (AC). Bij aansluiting op gelijkspanning (DC) zal de transformator niet correct werken; de secundaire spoel zal geen constante spanning leveren, en er kan mogelijk schade ontstaan door de hoge aanloopstromen [42](#page=42).
#### 7.1.2 Oefeningen met transformatoren
**Oefening 1:** Een ideale transformator is aangesloten op 230 V wisselspanning. De secundaire spanning is 12 V en het secundaire aantal windingen is 270. Een gloeilamp neemt 5,0 watt vermogen op. Bereken de primaire stroomsterkte.
* Omdat de transformator ideaal is, is het primaire vermogen gelijk aan het secundaire vermogen, dus 5,0 watt [42](#page=42).
* Met de formule $P = I \times U$ voor het primaire circuit, geldt $5,0 \text{ W} = I_p \times 230 \text{ V}$.
* Hieruit volgt: $I_p = \frac{5,0 \text{ W}}{230 \text{ V}} = 0,022 \text{ A}$ [42](#page=42).
**Oefening 2:** Een bel werkt op 6 V en heeft een weerstand van 20 Ω. Het is aangesloten op het lichtnet (230 V) via een ideale transformator met 40 windingen in de secundaire spoel.
* **Stroom door de bel:** De bel werkt op 6 V en heeft een weerstand van 20 Ω. Volgens de wet van Ohm: $I_s = \frac{U_s}{R_s} = \frac{6 \text{ V}}{20 \text{ Ω}} = 0,3 \text{ A}$ [42](#page=42).
* **Vermogen van de bel:** $P_s = U_s \times I_s = 6 \text{ V} \times 0,3 \text{ A} = 1,8 \text{ W}$. Alternatief: $P_s = I_s^2 \times R_s = (0,3 \text{ A})^2 \times 20 \text{ Ω} = 1,8 \text{ W}$ [42](#page=42).
* **Aantal windingen van de primaire spoel ($N_p$):** De transformatieverhouding is $k = \frac{U_p}{U_s} = \frac{230 \text{ V}}{6 \text{ V}} = 38,33$. We weten dat $k = \frac{N_p}{N_s}$. Dus, $N_p = k \times N_s = 38,33 \times 40 = 1533,2$. Afgerond 1533 windingen [42](#page=42).
* **Stroomsterkte in de primaire spoel ($I_p$):** Voor een ideale transformator geldt $P_p = P_s = 1,8 \text{ W}$. Dus, $I_p = \frac{P_p}{U_p} = \frac{1,8 \text{ W}}{230 \text{ V}} = 0,0078 \text{ A}$ [42](#page=42).
**Oefening 3:** Een voedingstransfo heeft een belasting van 10 Ω. De primaire spanning is 230 V en de transformatieverhouding is 20. Hoe groot is de stroom in de primaire?
* De transformatieverhouding $k = \frac{U_p}{U_s} = \frac{N_p}{N_s} = 20$ [43](#page=43).
* De secundaire spanning $U_s = \frac{U_p}{k} = \frac{230 \text{ V}}{20} = 11,5 \text{ V}$.
* De secundaire stroom $I_s = \frac{U_s}{R_s} = \frac{11,5 \text{ V}}{10 \text{ Ω}} = 1,15 \text{ A}$.
* Voor een ideale transformator: $\frac{I_s}{I_p} = k$. Dus, $I_p = \frac{I_s}{k} = \frac{1,15 \text{ A}}{20} = 0,0575 \text{ A}$ [43](#page=43).
**Oefening 4:** Hoogspanning: Een elektriciteitscentrale wekt 120 MW vermogen op bij 10 kV. Bij de centrale wordt de spanning omhoog getransformeerd naar 200 kV. De primaire spoel heeft 200 windingen. Het verlies in de hoogspanningskabels bedraagt 8,0 %.
* **Aantal windingen secundaire spoel bij de centrale ($N_{s,centrale}$):**
* Primaire spanning bij de centrale $U_{p,centrale} = 10 \text{ kV} = 10000 \text{ V}$ [42](#page=42).
* Secundaire spanning bij de centrale $U_{s,centrale} = 200 \text{ kV} = 200000 \text{ V}$ [42](#page=42).
* Primaire windingen $N_{p,centrale} = 200$ [42](#page=42).
* Transformatieverhouding bij de centrale: $k_{centrale} = \frac{U_{s,centrale}}{U_{p,centrale}} = \frac{200000 \text{ V}}{10000 \text{ V}} = 20$.
* Aantal secundaire windingen: $N_{s,centrale} = k_{centrale} \times N_{p,centrale} = 20 \times 200 = 4000$ [42](#page=42).
* **Stroomsterkte in de hoogspanningskabel ($I_{kabel}$):**
* Primair vermogen aan de centrale is 120 MW [42](#page=42).
* Om het vermogen in de hoogspanningskabel te berekenen, moeten we rekening houden met verliezen. Het vermogen dat aan het verdeelstation wordt geleverd, is 100% - 8% = 92% van het oorspronkelijke vermogen.
* Secundair vermogen aan de centrale (dat de kabel ingaat) is dus 120 MW [42](#page=42).
* De spanning in de hoogspanningskabel is 200 kV [42](#page=42).
* $I_{kabel} = \frac{P_{sec,centrale}}{U_{s,centrale}} = \frac{120 \times 10^6 \text{ W}}{200 \times 10^3 \text{ V}} = 600 \text{ A}$ [42](#page=42).
* **Vermogen dat het verdeelstation bereikt ($P_{verdeel}$):**
* $P_{verdeel} = 0,92 \times P_{centrale} = 0,92 \times 120 \text{ MW} = 110,4 \text{ MW}$ [42](#page=42).
* **Weerstand van de hoogspanningkabels ($R_{kabel}$):**
* De verliezen in de kabel zijn $P_{verlies} = P_{centrale} - P_{verdeel} = 120 \text{ MW} - 110,4 \text{ MW} = 9,6 \text{ MW}$.
* De verliezen in de kabel worden berekend als $P_{verlies} = I_{kabel}^2 \times R_{kabel}$.
* $R_{kabel} = \frac{P_{verlies}}{I_{kabel}^2} = \frac{9,6 \times 10^6 \text{ W}}{(600 \text{ A})^2} = \frac{9,6 \times 10^6}{360000} = 26,67 \text{ Ω}$.
* Dit is de totale weerstand van de kabels. De tekst vermeldt "Rkabel (1 stuk): 13.3 Ω", wat suggereert dat dit de weerstand per kabelstreng is, en de totale weerstand dus twee keer zoveel zou zijn als de kabels in serie staan, of dezelfde als ze parallel staan en dezelfde stroom voeren. Echter, de berekening van het totale verlies geeft 26,67 Ω. Als we uitgaan van de gegeven oplossing van 13,3 Ω per stuk, dan is de totale weerstand $2 \times 13,3 \Omega = 26,6 \Omega$ [42](#page=42).
#### 7.1.3 Fasesnelheid en fasen
In wisselstroomcircuits kan er een faseverschil zijn tussen spanning en stroom. Dit wordt gemeten in graden of radialen [43](#page=43).
* De secundaire spanning kan 180 graden vooruit- of naaijlend zijn ten opzichte van de primaire spanning, afhankelijk van de wikkelrichting [43](#page=43).
* Als de stroom in de secundaire spoel stijgt, stijgt ook de primaire stroom [43](#page=43).
* Als de belastingsweerstand aan de secundaire zijde afneemt (wordt kleiner), zal de secundaire stroom toenemen, en daardoor ook de primaire stroom [43](#page=43).
### 7.2 Wisselstroomvermogen
#### 7.2.1 Soorten vermogen in AC-circuits
In AC-circuits onderscheiden we drie soorten vermogen:
1. **Actief vermogen (P):** Dit is het vermogen dat daadwerkelijk arbeid verricht en wordt uitgedrukt in watt (W). Het wordt gemeten met een wattmeter [48](#page=48).
2. **Reactief vermogen (Q):** Dit vermogen is nodig om magnetische en elektrische velden op te bouwen in spoelen en condensatoren. Het verricht geen arbeid, maar is essentieel voor de werking van deze componenten. Het wordt uitgedrukt in volt-ampère reactief (var) [48](#page=48).
3. **Schijnbaar vermogen (S):** Dit is de vectoriële som van het actieve en reactieve vermogen. Het is het product van de effectieve spanning en de effectieve stroom en wordt uitgedrukt in volt-ampère (VA) [48](#page=48).
De relatie tussen deze vermogens wordt beschreven door de vermogensdriehoek, waarbij $S^2 = P^2 + Q^2$ [48](#page=48).
#### 7.2.2 Arbeidsfactor (cos φ)
De arbeidsfactor, aangeduid met cos φ, is de verhouding van het actieve vermogen tot het schijnbare vermogen:
$$ \cos \phi = \frac{P}{S} $$ [48](#page=48).
Een arbeidsfactor van 1 betekent dat het circuit zuiver resistief is (geen reactieve componenten) en al het geleverde vermogen wordt omgezet in arbeid. Een arbeidsfactor lager dan 1 geeft aan dat er reactieve componenten (spoelen of condensatoren) aanwezig zijn, waardoor een deel van het geleverde vermogen niet direct voor arbeid wordt gebruikt. Het verbeteren van de arbeidsfactor (dichter bij 1 brengen) is vaak economisch wenselijk, omdat het de efficiëntie van de energieoverdracht verhoogt en hogere stromen bij dezelfde actieve vermogensoverdracht vermijdt. Dit kan worden bereikt door condensatoren in parallel te schakelen om het reactieve vermogen van inductieve componenten (zoals motoren) te compenseren [48](#page=48).
#### 7.2.3 Oefeningen op AC-vermogen
**Oefening 1 (pag. 45):** Een sinusoïdale spanning heeft een amplitude van 340 V en een frequentie van 50 Hz. Bereken de tijdruimte waarin de spanning aangroeit van 0 V tot 200 V.
* De effectieve spanning is $U_{eff} = \frac{U_{amp}}{\sqrt{2}} = \frac{340 \text{ V}}{\sqrt{2}} \approx 240,4 \text{ V}$.
* De algemene uitdrukking voor een sinusvormige spanning is $u(t) = U_{amp} \sin(\omega t)$.
* We hebben $200 \text{ V} = 340 \text{ V} \sin(\omega t)$.
* $\sin(\omega t) = \frac{200}{340} \approx 0,5882$.
* $\omega t = \arcsin(0,5882) \approx 0,6279 \text{ rad}$.
* De hoeksnelheid $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 \text{ Hz} = 100 \pi \text{ rad/s} \approx 314,16 \text{ rad/s}$.
* $t = \frac{0,6279 \text{ rad}}{314,16 \text{ rad/s}} \approx 0,00199 \text{ s}$, wat afgerond 0,002 s is [45](#page=45).
**Oefening 2 (pag. 45):** Een sinusoïdale stroom heeft een amplitude van 4,5 A en een weerstand van 120 Ω gedurende 30 minuten. Bereken de ontwikkelde thermische energie.
* De effectieve stroom is $I_{eff} = \frac{I_{amp}}{\sqrt{2}} = \frac{4,5 \text{ A}}{\sqrt{2}} \approx 3,18 \text{ A}$.
* Het gemiddelde vermogen in een ohmse weerstand is $P = I_{eff}^2 \times R = (3,18 \text{ A})^2 \times 120 \text{ Ω} \approx 1217 \text{ W}$.
* De tijd is $t = 30 \text{ minuten} = 30 \times 60 \text{ s} = 1800 \text{ s}$.
* De energie is $W = P \times t = 1217 \text{ W} \times 1800 \text{ s} \approx 2190600 \text{ J} = 2,19 \text{ MJ}$. De gegeven oplossing is 2,187 MJ [45](#page=45).
**Oefening 10 (pag. 45):** Een weerstand van 110 Ω is aangesloten op een sinusoïdale spanning met een amplitude van 311 V. Bereken het joule-effect en de warmteontwikkeling in één uur.
* Effectieve spanning $U_{eff} = \frac{311 \text{ V}}{\sqrt{2}} \approx 220 \text{ V}$.
* Joule-effect (gemiddeld vermogen) $P_j = \frac{U_{eff}^2}{R} = \frac{(220 \text{ V})^2}{110 \text{ Ω}} = \frac{48400}{110} = 440 \text{ W}$ [45](#page=45).
* Tijd $t = 1 \text{ uur} = 3600 \text{ s}$.
* Ontwikkelde warmte $W = P_j \times t = 440 \text{ W} \times 3600 \text{ s} = 1584000 \text{ J} = 1,584 \text{ MJ}$ [45](#page=45).
**Oefening 12 (pag. 45):** In een weerstand van 15 Ω wordt 2,7 kJ warmte ontwikkeld in 20 s. Bereken effectieve waarde, gemiddelde waarde en amplitude van de stroom.
* Vermogen $P = \frac{W}{t} = \frac{2700 \text{ J}}{20 \text{ s}} = 135 \text{ W}$.
* Effectieve stroom $I_{eff}$: $P = I_{eff}^2 \times R \implies I_{eff} = \sqrt{\frac{P}{R}} = \sqrt{\frac{135 \text{ W}}{15 \text{ Ω}}} = \sqrt{9 \text{ A}^2} = 3 \text{ A}$ [45](#page=45).
* Gemiddelde stroom $I_{avg}$: Voor een zuiver ohmse weerstand is de gemiddelde stroom $I_{avg} = 0,9 \times I_{eff}$ als we uitgaan van de algemene formule voor de gemiddelde stroom over een halve periode is $I_{avg} = \frac{2}{\pi} I_{amp}$. Echter, vaak wordt met "gemiddelde stroom" de effectieve waarde bedoeld in de context van vermogen. Als we echter de exacte berekening volgen, $I_{avg} = \frac{2}{\pi} I_{amp}$. Omgekeerd, als $I_{eff} = \frac{I_{amp}}{\sqrt{2}}$, dan $I_{amp} = I_{eff} \sqrt{2} = 3 \text{ A} \times \sqrt{2} \approx 4,243 \text{ A}$. De gemiddelde stroom over een volledige periode is 0. Vaak wordt bij dit soort vragen de gemiddelde stroom over een halve periode bedoeld.
Als de gegeven oplossing $I_{avg} = 2,7 A$ is, dan kan dit verkregen worden door $I_{avg} = \frac{2}{\pi} I_{amp} = \frac{2}{\pi} (3\sqrt{2}) \approx 2.7$ A.
* Amplitude $I_{amp}$: $I_{eff} = \frac{I_{amp}}{\sqrt{2}} \implies I_{amp} = I_{eff} \times \sqrt{2} = 3 \text{ A} \times \sqrt{2} \approx 4,243 \text{ A}$ [45](#page=45).
**Oefening 21 (pag. 48):** Een fluorescentiebuis (230 V, 50 Hz) neemt 40 W actief vermogen op met een arbeidsfactor van 0,445. Bereken de stroomsterkte, de benodigde capaciteit en het reactief vermogen om de arbeidsfactor naar 0,95 te brengen.
* Effectieve spanning $U = 230 \text{ V}$ [48](#page=48).
* Actief vermogen $P = 40 \text{ W}$ [48](#page=48).
* Initiële arbeidsfactor $\cos \phi_1 = 0,445$.
* Initiële schijnbare vermogen $S_1 = \frac{P}{\cos \phi_1} = \frac{40 \text{ W}}{0,445} \approx 89,89 \text{ VA}$.
* Stroomsterkte $I_1 = \frac{S_1}{U} = \frac{89,89 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \approx 0,39 \text{ A}$. De oplossing geeft 0,1684 A. Dit suggereert dat de 40W het actieve vermogen is, en niet het schijnbare vermogen.
* Laten we de berekening herdoen met $P=40W$ en $cos\phi_1=0.445$:
* $I_1 = \frac{P}{U \cos \phi_1} = \frac{40 \text{ W}}{230 \text{ V} \times 0,445} \approx 0,39 \text{ A}$. Er is een discrepantie met de gegeven oplossing.
Laten we de oplossing volgen: $I = 0,1684 \text{ A}$ [48](#page=48).
* Schijnbaar vermogen $S_1 = U \times I_1 = 230 \text{ V} \times 0,1684 \text{ A} \approx 38,73 \text{ VA}$.
* Actief vermogen $P = S_1 \times \cos \phi_1 = 38,73 \text{ VA} \times 0,445 \approx 17,23 \text{ W}$. Dit komt niet overeen met de 40 W.
Er is een mogelijkheid dat de 40W het *actieve* vermogen is, en dat er een reactief vermogen is dat niet expliciet is gegeven.
Als $P = 40 \text{ W}$ en $I = 0,1684 \text{ A}$ (effectieve stroom), dan
$S = U \times I = 230 \text{ V} \times 0,1684 \text{ A} \approx 38,73 \text{ VA}$.
$P = S \cos \phi \implies 40 \text{ W} = 38,73 \text{ VA} \times \cos \phi$. Dit geeft $\cos \phi = \frac{40}{38,73} > 1$, wat onmogelijk is.
Laten we uitgaan van de gegeven oplossingen en proberen terug te rekenen.
$I=0,1684$ A [48](#page=48).
$P=40$ W [48](#page=48).
$\cos \phi_1 = 0,445$ [48](#page=48).
$S_1 = \frac{P}{\cos \phi_1} = \frac{40 \text{ W}}{0,445} \approx 89,89 \text{ VA}$.
$I_1 = \frac{S_1}{U} = \frac{89,89 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \approx 0,3908 \text{ A}$. Er is een duidelijke inconsistentie tussen de gegeven gegevens en de oplossing voor de stroom. We gaan verder met de gegeven oplossingen.
* **Stroomsterkte $I$:** 0,1684 A [48](#page=48).
* **Capaciteit $C$:** Om de arbeidsfactor te verbeteren naar $\cos \phi_2 = 0,95$, moet het reactief vermogen gecompenseerd worden.
* Initiële fasehoek $\phi_1 = \arccos(0,445) \approx 63,6^\circ$.
* Nieuwe fasehoek $\phi_2 = \arccos(0,95) \approx 18,19^\circ$.
* Het schijnbare vermogen $S_1$ bij de juiste berekening is $S_1 = \frac{P}{\cos \phi_1} = \frac{40}{0,445} \approx 89,89 \text{ VA}$.
* Reactief vermogen $Q_1 = S_1 \sin(\phi_1) = 89,89 \text{ VA} \times \sin(63,6^\circ) \approx 80,37 \text{ var}$.
* Om de arbeidsfactor te verbeteren naar 0,95, is het gewenste totale reactieve vermogen $Q_2 = P \tan(\phi_2) = 40 \text{ W} \times \tan(18,19^\circ) \approx 13,13 \text{ var}$.
* Het benodigde compensatievermogen van de condensator is $Q_C = Q_1 - Q_2 = 80,37 \text{ var} - 13,13 \text{ var} = 67,24 \text{ var}$. De oplossing geeft $Q_C = 67,35 \text{ var}$ [48](#page=48).
* De capaciteit $C = \frac{Q_C}{U^2 \omega} = \frac{Q_C}{U^2 (2 \pi f)}$.
* $C = \frac{67,35 \text{ var}}{(230 \text{ V})^2 \times (2 \pi \times 50 \text{ Hz})} = \frac{67,35}{52900 \times 314,16} \approx 4,05 \times 10^{-6} \text{ F} = 4,05 \mu\text{F}$. De oplossing geeft $3,432 \mu\text{F}$ [48](#page=48).
Er is een aanzienlijke discrepantie tussen de berekeningen en de gegeven oplossingen. Dit kan komen door het gebruik van effectieve waarden in plaats van amplitudes, of afrondingsverschillen in de berekeningen.
Laten we de berekening van de capaciteit uitvoeren met de gegeven oplossing voor $Q_c = 67,35$ var.
* $C = \frac{Q_c}{2 \pi f U_{eff}^2} = \frac{67.35 \text{ var}}{2 \pi \times 50 \text{ Hz} \times (230 \text{ V})^2} = \frac{67.35}{100 \pi \times 52900} \approx \frac{67.35}{1661977} \approx 4,05 \times 10^{-6} \text{ F} = 4,05 \mu\text{F}$.
Als we aannemen dat de stroom 0,1684 A is, $U=230$ V, en $P=40$ W, dan is $S = 230 \times 0,1684 \approx 38,73$ VA. Met $\cos \phi_1 = 0,445$ dan $P = S \cos \phi_1 \implies 40 = 38,73 \times 0,445 \approx 17.2$ W. Er is een fundamentele inconsistentie in de gegevens van Oefening 21.
We zullen de berekeningen herhalen met de resultaten zoals gegeven in de oplossingen, aangenomen dat deze correct zijn.
* $I = 0,1684 \text{ A}$ [48](#page=48).
* $Q_C = 67,35 \text{ var}$ [48](#page=48).
* $C = 3,432 \mu\text{F}$ [48](#page=48).
#### 7.2.4 Gemengde schakelingen en vermogensdriehoeken
Complexe elektrische installaties bevatten vaak een combinatie van resistieve, inductieve en capacitieve componenten. Om het totale vermogen en de bijbehorende factoren te bepalen, wordt de vermogensdriehoek gebruikt.
**Oefening 25 (pag. 48):** Een inductiemotor (nutting vermogen 2,4 kW, spanning 250 V, 50 Hz, rendement 75%, arbeidsfactor 0,80) is parallel geschakeld met een verlichtingsinstallatie (2,8 kW, arbeidsfactor 1). Bereken totaal nuttig vermogen, totaal reactief vermogen, totaal schijnbaar vermogen, totale stroom en resulterende arbeidsfactor.
* **Motor:**
* Nuttig vermogen $P_{motor,nuttig} = 2,4 \text{ kW}$.
* Rendement $\eta = 0,75$.
* Tot verbruikend vermogen (actief) $P_{motor,verbruik} = \frac{P_{motor,nuttig}}{\eta} = \frac{2,4 \text{ kW}}{0,75} = 3,2 \text{ kW}$.
* Arbeidsfactor $\cos \phi_{motor} = 0,80$.
* Reactief vermogen motor $Q_{motor} = P_{motor,verbruik} \tan(\arccos(0,80)) = 3,2 \text{ kW} \times \tan(36,87^\circ) = 3,2 \text{ kW} \times 0,75 = 2,4 \text{ kvar}$.
* Schijnbaar vermogen motor $S_{motor} = \sqrt{P_{motor,verbruik}^2 + Q_{motor}^2} = \sqrt{(3,2 \text{ kW})^2 + (2,4 \text{ kvar})^2} = \sqrt{10,24 + 5,76} = \sqrt{16} = 4 \text{ kVA}$.
* Stroom motor $I_{motor} = \frac{S_{motor}}{U} = \frac{4000 \text{ VA}}{250 \text{ V}} = 16 \text{ A}$.
* **Verlichtingsinstallatie:**
* Actief vermogen $P_{licht} = 2,8 \text{ kW}$.
* Arbeidsfactor $\cos \phi_{licht} = 1$.
* Reactief vermogen $Q_{licht} = 0 \text{ kvar}$.
* Schijnbaar vermogen $S_{licht} = P_{licht} = 2,8 \text{ kW}$.
* Stroom verlichting $I_{licht} = \frac{S_{licht}}{U} = \frac{2800 \text{ VA}}{250 \text{ V}} = 11,2 \text{ A}$.
* **Totaal:**
* Totaal nuttig vermogen $P_{total,nuttig} = P_{motor,nuttig} + P_{licht} = 2,4 \text{ kW} + 2,8 \text{ kW} = 5,2 \text{ kW}$. (Er is een discrepantie met de oplossing van 6 kW; dit komt omdat de 2,8 kW van de verlichting ook nuttig vermogen is). De oplossing gebruikt $P_{total} = 6 kW$, wat verkregen wordt als $P_{motor,verbruik} + P_{licht} = 3.2 + 2.8 = 6 kW$. Dus de vraag bedoelt hier het totale actieve verbruik vermogen.
* Totaal actief vermogen $P_{total} = 3,2 \text{ kW} + 2,8 \text{ kW} = 6 \text{ kW}$ [48](#page=48).
* Totaal reactief vermogen $Q_{total} = Q_{motor} + Q_{licht} = 2,4 \text{ kvar} + 0 \text{ kvar} = 2,4 \text{ kvar}$ [48](#page=48).
* Totaal schijnbaar vermogen $S_{total} = \sqrt{P_{total}^2 + Q_{total}^2} = \sqrt{(6 \text{ kW})^2 + (2,4 \text{ kvar})^2} = \sqrt{36 + 5,76} = \sqrt{41,76} \approx 6,462 \text{ kVA}$ [48](#page=48).
* Intensiteit totale stroom $I_{total} = \frac{S_{total}}{U} = \frac{6462 \text{ VA}}{250 \text{ V}} \approx 25,85 \text{ A}$ [48](#page=48).
* Resulterende arbeidsfactor $\cos \phi_{total} = \frac{P_{total}}{S_{total}} = \frac{6 \text{ kW}}{6,462 \text{ kVA}} \approx 0,9285$ [48](#page=48).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Grootheid | Een meetbare eigenschap van een fysisch fenomeen, materie of straling. Voorbeelden zijn spanning, stroom en weerstand. |
| Symbool | Een afkorting of teken dat een elektrische grootheid representeert, zoals U voor spanning of I voor stroom. |
| Eenheid | De gestandaardiseerde maat waarin een grootheid wordt uitgedrukt, zoals Volt (V) voor spanning of Ampère (A) voor stroom. |
| Voorvoegsel (prefix) | Een term die aan een eenheid wordt toegevoegd om een veelvoud of deel daarvan aan te geven, zoals kilo (k) voor 1000 of milli (m) voor 0,001. |
| Spanning (U) | Het potentiaalverschil tussen twee punten in een elektrisch circuit, gemeten in Volt (V). |
| Stroom (I) | De snelheid waarmee elektrische lading door een geleider vloeit, gemeten in Ampère (A). |
| Weerstand (R) | De mate waarin een materiaal de doorgang van elektrische stroom belemmert, gemeten in Ohm (Ω). |
| Vermogen (P) | De snelheid waarmee elektrische energie wordt verbruikt of geleverd, gemeten in Watt (W). |
| Energie (W of E) | De capaciteit om arbeid te verrichten, in elektrische circuits gemeten in Joule (J) of kilowattuur (kWh). |
| Serie schakeling | Componenten die achter elkaar zijn geschakeld, zodat dezelfde stroom erdoorheen vloeit. De totale weerstand is de som van de individuele weerstanden. |
| Parallel schakeling | Componenten die naast elkaar zijn geschakeld, zodat de stroom zich splitst. De spanning over elk component is gelijk. |
| Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektrotechniek die de relatie tussen spanning (U), stroom (I) en weerstand (R) beschrijft: $U = I \times R$. |
| Gemengde schakeling | Een combinatie van serie- en parallel geschakelde componenten die vereenvoudigd kan worden tot een vervangingsweerstand. |
| Gelijkstroom (DC) | Elektrische stroom die constant in één richting vloeit. |
| Wisselstroom (AC) | Elektrische stroom die periodiek van richting verandert. |
| Frequentie (f) | Het aantal perioden van een wisselstroom of -spanning per seconde, gemeten in Hertz (Hz). |
| Periode (T) | De tijdsduur van één volledige cyclus van een wisselstroom of -spanning, gemeten in seconden (s). |
| Amplitude (Î of Û) | De maximale waarde van een sinusvormige wisselspanning of -stroom. |
| Effectieve waarde (I_eff of U_eff) | De waarde van een wisselspanning of -stroom die gelijk is aan de spanning of stroom van een gelijkstroom die hetzelfde vermogen zou ontwikkelen in een weerstand. Voor een sinusvormige golf is dit $U_{eff} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$. |
| Faseverschuiving ($\phi$) | Het tijdsverschil tussen de spanning en de stroom in een AC-circuit, uitgedrukt in graden of radialen. |
| Actief vermogen (P) | Het deel van het schijnbaar vermogen dat daadwerkelijk wordt omgezet in nuttige arbeid (bv. warmte of mechanische energie), gemeten in Watt (W). |
| Reactief vermogen (Q) | Het vermogen dat heen en weer wordt uitgewisseld tussen de bron en de reactieve componenten (spoelen en condensatoren), gemeten in VAR (Volt-Ampère Reactief). |
| Schijnbaar vermogen (S) | Het product van de effectieve spanning en de effectieve stroom in een AC-circuit, gemeten in Volt-Ampère (VA). |
| Arbeidsfactor (cos($\phi$)) | De verhouding tussen het actief vermogen en het schijnbaar vermogen in een AC-circuit. Het geeft aan hoe efficiënt de elektrische energie wordt gebruikt. |
| Driefasesysteem | Een systeem met drie afzonderlijke wisselstromen of -spanningen die 120 graden in fase verschoven zijn ten opzichte van elkaar. |
| Sterschakeling | Een type driefasenschakeling waarbij de ene kant van elke fasecomponent wordt verbonden aan een lijndraad en de andere kant aan een gemeenschappelijk neutraalpunt. |
| Driehoeksschakeling | Een type driefasenschakeling waarbij de componenten in een gesloten lus worden geschakeld, met de lijndraden aangesloten op de knooppunten. |
| Fasespanning (Uf) | De spanning tussen een lijndraad en de nulleider in een driefasesysteem. |
| Lijnspanning (UL) | De spanning tussen twee lijndraden in een driefasesysteem. |
| Fasesstroom (If) | De stroom die door een component in een fase van een driefasesysteem vloeit. |
| Lijnstroom (IL) | De stroom die door een lijndraad in een driefasesysteem vloeit. |
| Spoel (inductie) | Een elektrische component die energie opslaat in een magnetisch veld. De weerstand tegen wisselstroom wordt inductieve reactantie genoemd. |
| Condensator (capaciteit) | Een elektrische component die energie opslaat in een elektrisch veld. De weerstand tegen wisselstroom wordt capacitieve reactantie genoemd. |
| Zelfinductiecoëfficiënt (L) | Een maat voor de eigenschap van een spoel om een tegen-EMK te genereren als reactie op een verandering in stroom, gemeten in Henry (H). |
| Capaciteit (C) | Een maat voor het vermogen van een condensator om elektrische lading op te slaan, gemeten in Farad (F). |
| Inductieve reactantie ($X_L$) | De weerstand van een spoel tegen wisselstroom, gelijk aan $X_L = 2\pi f L$, gemeten in Ohm ($\Omega$). |
| Capacitieve reactantie ($X_C$) | De weerstand van een condensator tegen wisselstroom, gelijk aan $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$, gemeten in Ohm ($\Omega$). |
| Impedantie (Z) | De totale weerstand tegen wisselstroom in een circuit, rekening houdend met weerstand, inductieve en capacitieve reactantie. $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$. |
| Motor | Een apparaat dat elektrische energie omzet in mechanische energie. |
| Synchrone motor | Een AC-motor waarvan de rotor draait met dezelfde snelheid als het magnetische veld van de stator. |
| Asynchrone motor | Een AC-motor waarvan de rotor langzamer draait dan het magnetische veld van de stator (slip). |
| Slip | Het verschil in snelheid tussen het magnetische veld van de stator en de rotor van een asynchrone motor, meestal uitgedrukt als een percentage. |
| Draaiveld | Een roterend magnetisch veld dat wordt opgewekt door een driefasenstroom in de stator van een elektromotor. |
| Transformatie verhouding (k) | De verhouding van het aantal windingen tussen de primaire en secundaire spoel van een transformator. $k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2} = \frac{I_2}{I_1}$. |
| Ideale transformator | Een theoretische transformator zonder verliezen (geen weerstand in de spoelen, geen magnetische fluxverliezen). |
| Elektromotorische spanning (EMK of E) | De spanning die door een bron wordt opgewekt, ook wel de spanning zonder belasting genoemd. |
| Klemspanning (U) | De spanning gemeten over de terminals van een bron of component wanneer er stroom doorheen vloeit. |
| Inwendig spanningsverlies | Het spanningsverlies binnen een spanningsbron als gevolg van de interne weerstand wanneer er stroom vloeit. |
| Kortsluitstroom (Ik) | De maximale stroom die kan vloeien wanneer de terminals van een bron kortgesloten worden. |
| Joules effect | Het effect waarbij elektrische energie wordt omgezet in warmte wanneer stroom door een weerstand vloeit. |
| Macht (P) | De snelheid waarmee energie wordt verbruikt of geproduceerd ($P = U \times I$ of $P = I^2 \times R$). |
| Energie (W) | De totale hoeveelheid arbeid verricht of warmte geproduceerd over een bepaalde tijdsduur ($W = P \times t$). |
| Rendement ($\eta$) | De verhouding van het nuttige vermogen of de nuttige energie tot het totaal opgenomen vermogen of de totale energie, vaak uitgedrukt als een percentage. |
| Fase | De positie van een punt in een sinusgolf ten opzichte van de nuldoorgang. |
| Cirkelfrequentie ($\omega$) | De hoekfrequentie van een sinusvormige grootheid, gerelateerd aan de frequentie door $\omega = 2\pi f$. |
Cover
6) UITGEWERKT Elektrotechniek1_UitWerkingOefeningen_PPT.pdf
Summary
# Berekeningen met de wet van Pouillet en Ohm
Dit onderwerp richt zich op de toepassing van de wet van Pouillet en de wet van Ohm voor het berekenen van weerstand, spanning en stroom in elektrische circuits, met inbegrip van materiaal eigenschappen [2](#page=2).
### 1.1 De wet van Pouillet
De wet van Pouillet beschrijft de weerstand van een geleider als functie van zijn eigenschappen en afmetingen. De formule voor de weerstand $R$ van een geleider is [2](#page=2):
$$R = \rho \frac{l}{A}$$
waarbij:
* $R$ de weerstand is in ohm ($\Omega$) [2](#page=2).
* $\rho$ de soortelijke weerstand van het materiaal is, uitgedrukt in ohm-meter ($\Omega \cdot m$) [2](#page=2).
* $l$ de lengte van de geleider is in meters ($m$) [2](#page=2).
* $A$ de dwarsdoorsnede van de geleider is in vierkante meters ($m^2$) [2](#page=2).
#### 1.1.1 Materiële eigenschappen
Verschillende materialen hebben verschillende soortenelijke weerstanden ($\rho$). Zo is de soortelijke weerstand van aluminium (Al) $2,70 \times 10^{-8} \Omega \cdot m$ en die van ijzer (Fe) $10,5 \times 10^{-8} \Omega \cdot m$ [2](#page=2).
#### 1.1.2 Toepassing in oefeningen
Bij oefeningen wordt vaak gevraagd om de weerstand ($R$) te berekenen, rekening houdend met de lengte ($l$), dwarsdoorsnede ($A$) en de soortelijke weerstand ($\rho$) van het materiaal. Het is belangrijk op te merken dat de gegeven lengte in sommige contexten de totale lengte voor heen en terug kan zijn [2](#page=2).
### 1.2 De wet van Ohm
De wet van Ohm relateert spanning ($U$), stroom ($I$) en weerstand ($R$) in een elektrisch circuit. De formule is [2](#page=2):
$$U = I \cdot R$$
waarbij:
* $U$ de spanning is in volt ($V$) [2](#page=2).
* $I$ de stroom is in ampère ($A$) [2](#page=2).
* $R$ de weerstand is in ohm ($\Omega$) [2](#page=2).
#### 1.2.1 Integratie van beide wetten
Oefeningen kunnen vereisen dat zowel de wet van Pouillet als de wet van Ohm worden toegepast. Eerst kan de weerstand van een geleider worden berekend met de wet van Pouillet, waarna deze waarde kan worden gebruikt in de wet van Ohm om de spanning of stroom te bepalen, of omgekeerd [2](#page=2).
#### 1.2.2 Voorbeelden van parameters in tabellen
In tabellen kunnen de volgende parameters voorkomen:
* Weerstand ($R$) in milli-ohm ($m\Omega$) of ohm ($\Omega$) [2](#page=2).
* Soortelijke weerstand ($\rho$) in $\Omega \cdot m$ [2](#page=2).
* Lengte ($l$) in meters ($m$) [2](#page=2).
* Dwarsdoorsnede ($A$) in vierkante millimeters ($mm^2$) [2](#page=2).
* Spanning ($U$) in volt ($V$) [2](#page=2).
* Stroom ($I$) in milliampère ($mA$) [2](#page=2).
* Rendement ($\eta$) in procenten ($\%$) [2](#page=2).
> **Tip:** Let goed op de eenheden. De dwarsdoorsnede ($A$) kan in $mm^2$ gegeven zijn, terwijl de formule van Pouillet $m^2$ vereist. Houd ook rekening met de omzetting van milliampère ($mA$) naar ampère ($A$) indien nodig voor berekeningen.
> **Voorbeeld:** Als de lengte $l = 10$ m, de dwarsdoorsnede $A = 1,5 \, mm^2$ en het materiaal aluminium ($\rho = 2,70 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$) is, dan is de weerstand $R = (2,70 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m) \times \frac{10 \, m}{1,5 \times 10^{-6} \, m^2} = 0,18 \, \Omega$. Als er een spanning van $U = 5 \, V$ over deze geleider staat, is de stroom $I = \frac{U}{R} = \frac{5 \, V}{0,18 \, \Omega} \approx 27,78 \, A$. Let op de conversie van $mm^2$ naar $m^2$ ($1.5 \, mm^2 = 1.5 \times 10^{-6} \, m^2$) [2](#page=2).
---
# Serieschakelingen in elektrische netwerken
Dit gedeelte behandelt oefeningen met betrekking tot serieschakelingen, waarbij de berekening van de totale weerstand, stroom en spanningen over individuele componenten centraal staat [7](#page=7).
### 2.1 Basisprincipes van serieschakelingen
In een serieschakeling zijn componenten achtereenvolgens geschakeld, waardoor er slechts één stroompad is. De totale weerstand van een serieschakeling is de som van de individuele weerstanden. De stroom die door elke component in de serieschakeling loopt, is gelijk. De totale spanning over de serieschakeling verdeelt zich over de individuele componenten, waarbij de spanning over elke component evenredig is met zijn weerstand [7](#page=7).
#### 2.1.1 Berekening van totale weerstand
De totale weerstand ($R_{ss}$) in een serieschakeling wordt berekend door de weerstanden van alle componenten op te tellen [7](#page=7).
Voor een schakeling met $n$ weerstanden geldt:
$$R_{ss} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$$
#### 2.1.2 Berekening van stroom
De totale stroom ($I$) die door een serieschakeling loopt, is gelijk aan de totale aangelegde spanning ($U$) gedeeld door de totale weerstand ($R_{ss}$) [7](#page=7).
$$I = \frac{U}{R_{ss}}$$
Omdat er slechts één stroompad is, is de stroom door elke individuele weerstand gelijk aan de totale stroom.
#### 2.1.3 Berekening van deelspanningen
De spanning over elke individuele weerstand ($U_i$) in een serieschakeling kan worden berekend met de wet van Ohm: de stroom door de weerstand vermenigvuldigd met de weerstandswaarde van die component [7](#page=7).
$$U_i = I \times R_i$$
De som van de deelspanningen over alle componenten in de serieschakeling is gelijk aan de totale aangelegde spanning [7](#page=7).
$$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n$$
### 2.2 Oefeningen en voorbeelden
De volgende oefeningen illustreren de berekeningen in serieschakelingen.
#### 2.2.1 Oefening 1: Basisberekeningen
Gegeven een serieschakeling met een spanning van 1,5V [7](#page=7).
* **Bepaal $R_{ss}$:** De waarde van de totale weerstand moet worden bepaald [7](#page=7).
* **Bepaal $I$:** Bereken de grootte van de stroom die door de schakeling loopt [7](#page=7).
* **Bepaal de deelspanning over $R_3$:** Bereken de spanning over de derde weerstand in de schakeling [7](#page=7).
#### 2.2.2 Oefening 2: Invullen van tabelwaarden
De volgende tabel bevat gegevens voor verschillende serieschakelingen, waarbij enkele waarden ontbreken [11](#page=11).
| U [V | R1 [Ω | R2 [Ω | R3 [Ω | I [A | U1 [V | U2 [V | U3 [V |
| :---- | :----- | :----- | :----- | :---- | :----- | :----- | :----- |
| 1,5 | 0,5 | | | | | | |
| 20 | | 5,5 | 7,8 | 9,6 | | | |
| 230 | 5 | 10 | | | | | |
| 100 | | 7,5 | 11 | 0,457 | | | |
| 1 000 | 100 | 100 | 200 | 2,5 | | | |
**Voorbeeld van een berekening voor de eerste rij:**
Gegeven: $U = 1,5V$ en $R_1 = 0,5\Omega$. Om de resterende waarden te bepalen, zijn aanvullende weerstandswaarden nodig die niet in deze enkele rij gespecificeerd zijn. Dit illustreert dat er minimaal twee weerstanden in serie nodig zijn om $R_{ss}$ te kunnen berekenen uit $R_1$ en $R_2$ (of meer componenten). Vervolgens kunnen $R_{ss}$, $I$, $U_1$, $U_2$ etc. berekend worden [11](#page=11).
**Voorbeeld van een berekening voor de laatste rij:**
Gegeven: $U = 1000V$, $R_1 = 100\Omega$, $R_2 = 100\Omega$, $R_3 = 200\Omega$, $I = 2,5A$ [11](#page=11).
1. **Bereken $R_{ss}$:**
$R_{ss} = R_1 + R_2 + R_3 = 100\Omega + 100\Omega + 200\Omega = 400\Omega$
Controle met stroom en spanning: $R_{ss} = \frac{U}{I} = \frac{1000V}{2,5A} = 400\Omega$. De waarden zijn consistent [11](#page=11).
2. **Bereken $U_1, U_2, U_3$:**
$U_1 = I \times R_1 = 2,5A \times 100\Omega = 250V$
$U_2 = I \times R_2 = 2,5A \times 100\Omega = 250V$
$U_3 = I \times R_3 = 2,5A \times 200\Omega = 500V$
3. **Controle totale spanning:**
$U = U_1 + U_2 + U_3 = 250V + 250V + 500V = 1000V$. Dit komt overeen met de aangelegde spanning [11](#page=11).
> **Tip:** Bij het oplossen van serieschakelingsoefeningen, begin altijd met het berekenen van de totale weerstand ($R_{ss}$) als alle individuele weerstanden bekend zijn. Gebruik vervolgens de totale spanning ($U$) en $R_{ss}$ om de totale stroom ($I$) te bepalen. Daarna kunt u de deelspanningen over elk component berekenen. Controleer uw antwoorden door de som van de deelspanningen te vergelijken met de totale spanning.
---
# Parallelschakelingen in elektrische netwerken
Dit onderwerp behandelt oefeningen met betrekking tot parallelschakelingen, inclusief de berekening van totale stroom, deelstromen en weerstanden.
### 15.1 Inleiding tot parallelschakelingen
Een parallelschakeling is een configuratie in een elektrisch netwerk waarbij componenten (zoals weerstanden) zodanig worden verbonden dat de stroom door elk component kan worden verdeeld. Dit staat in contrast met een serieschakeling, waar de stroom door alle componenten gelijk is. In een parallelschakeling is de spanning over elk parallel geschakeld component gelijk [15](#page=15).
### 15.2 Berekeningen in parallelschakelingen
De kern van de oefeningen in dit onderwerp draait om het berekenen van essentiële elektrische grootheden binnen een parallelschakeling. De belangrijkste grootheden zijn de totale stroom ($I_{totaal}$), de deelstromen door elke tak ($I_{R1}$, $I_{R2}$, $I_{R3}$, etc.) en de totale weerstand ($R_{totaal}$) van de schakeling.
#### 15.2.1 Totale stroom en deelstromen
De totale stroom die een parallelschakeling binnenkomt, is gelijk aan de som van de deelstromen die door elke parallel geschakelde tak vloeien. Dit principe staat bekend als de eerste wet van Kirchhoff.
Mathematisch wordt dit uitgedrukt als:
$$I_{totaal} = I_{R1} + I_{R2} + I_{R3} + \dots$$ [15](#page=15).
Voor elke individuele tak geldt, volgens de wet van Ohm, dat de stroom gelijk is aan de spanning gedeeld door de weerstand in die tak:
$$I_{Rx} = \frac{U}{R_x}$$ [15](#page=15).
Hierin is:
* $I_{Rx}$ de stroom door weerstand $R_x$.
* $U$ de spanning over de parallelschakeling (die overal gelijk is).
* $R_x$ de weerstand van de desbetreffende tak.
#### 15.2.2 Totale weerstand in parallelschakelingen
De totale weerstand van een parallelschakeling is altijd lager dan de kleinste individuele weerstand in de schakeling. Dit komt doordat er meerdere paden voor de stroom beschikbaar zijn, waardoor de "gemakkelijkste" weg voor de stroom wordt gecreëerd.
De inverse van de totale weerstand is gelijk aan de som van de inverses van de individuele weerstanden:
$$\frac{1}{R_{totaal}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$$ [15](#page=15).
Om de totale weerstand te vinden, berekent men eerst de som van de inverses en neemt vervolgens de inverse van dat resultaat:
$$R_{totaal} = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots \right)^{-1}$$
Voor een parallelschakeling met slechts twee weerstanden ($R_1$ en $R_2$), kan de formule vereenvoudigd worden tot het product gedeeld door de som:
$$R_{totaal} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$
#### 15.2.3 Voorbeeldopgaven
De oefeningen op pagina 15 bevatten tabellen met gegeven waarden en vragen om ontbrekende waarden te bepalen voor parallelschakelingen.
> **Voorbeeld:**
> Als een parallelschakeling bestaat uit weerstanden $R_1 = 5 \, \Omega$, $R_2 = 10 \, \Omega$ en $R_3 = 25 \, \Omega$, en de spanning over de schakeling is $U = 230 \, \text{V}$, dan kunnen de deelstromen en de totale stroom als volgt worden berekend:
>
> **Stap 1: Bereken de deelstromen.**
> $I_{R1} = \frac{U}{R_1} = \frac{230 \, \text{V}}{5 \, \Omega} = 46 \, \text{A}$ [15](#page=15).
> $I_{R2} = \frac{U}{R_2} = \frac{230 \, \text{V}}{10 \, \Omega} = 23 \, \text{A}$ [15](#page=15).
> $I_{R3} = \frac{U}{R_3} = \frac{230 \, \text{V}}{25 \, \Omega} = 9.2 \, \text{A}$ [15](#page=15).
>
> **Stap 2: Bereken de totale stroom.**
> $I_{totaal} = I_{R1} + I_{R2} + I_{R3} = 46 \, \text{A} + 23 \, \text{A} + 9.2 \, \text{A} = 78.2 \, \text{A}$ [15](#page=15).
>
> **Stap 3: Bereken de totale weerstand (optioneel, maar nuttig voor controle).**
> $\frac{1}{R_{totaal}} = \frac{1}{5 \, \Omega} + \frac{1}{10 \, \Omega} + \frac{1}{25 \, \Omega} = 0.2 + 0.1 + 0.04 = 0.34 \, \Omega^{-1}$ [15](#page=15).
> $R_{totaal} = \frac{1}{0.34 \, \Omega^{-1}} \approx 2.94 \, \Omega$ [15](#page=15).
>
> Ter controle kan de totale stroom ook worden berekend met de totale weerstand:
> $I_{totaal} = \frac{U}{R_{totaal}} = \frac{230 \, \text{V}}{2.94 \, \Omega} \approx 78.2 \, \text{A}$ [15](#page=15).
> **Tip:** Bij het oplossen van oefeningen met tabellen, vul eerst de direct berekenbare waarden in met behulp van de gegeven informatie en de wet van Ohm. Gebruik vervolgens de wet van Kirchhoff voor stromen om de totale stroom te vinden, of bereken de totale weerstand en leid daaruit de totale stroom af. Controleer altijd uw antwoorden door verschillende methoden te gebruiken [15](#page=15).
---
# Gemengde elektrische netwerken
Dit gedeelte behandelt complexe oefeningen waarbij zowel serie- als parallelschakelingen gecombineerd worden, met nadruk op het berekenen van stromen en spanningen over alle componenten [18](#page=18) [25](#page=25).
### 4.1 Concepten en toepassingen
Gemengde elektrische netwerken zijn configuraties waarbij componenten op zodanige wijze verbonden zijn dat er zowel serieschakelingen als parallelschakelingen binnen hetzelfde circuit aanwezig zijn. De analyse van deze netwerken vereist een systematische aanpak om de verschillende secties van het circuit correct te identificeren en de wetten van Kirchhoff en Ohm toe te passen [18](#page=18) [25](#page=25).
### 4.2 Doelstellingen bij analyse
Bij het analyseren van gemengde netwerken is het primaire doel om inzicht te krijgen in het gedrag van het circuit onder specifieke omstandigheden. Dit omvat doorgaans de volgende berekeningen [18](#page=18) [25](#page=25):
* **Stromen door elke component:** Het bepalen van de specifieke hoeveelheid elektrische stroom die door elk individueel element in het netwerk vloeit [18](#page=18) [25](#page=25).
* **Spanningen over elke component:** Het berekenen van het potentiaalverschil over elk component, wat inzicht geeft in de energieverdeling binnen het circuit [18](#page=18) [25](#page=25).
* **Schema's tekenen en aanduiden:** Het visueel representeren van het circuit, waarbij de stromen (I) en spanningen (U) op de juiste componenten worden aangegeven om de analyse te verduidelijken [18](#page=18) [25](#page=25).
### 4.3 Oefeningen
Het document bevat een reeks oefeningen die specifiek gericht zijn op het toepassen van deze analysevaardigheden op gemengde netwerken. Deze oefeningen zijn ingedeeld in verschillende nummers (Oefening 1 tot en met Oefening 6) en dienen als praktijk voor het berekenen van stromen en spanningen in gecombineerde serie- en parallelschakelingen [18](#page=18) [25](#page=25).
> **Tip:** Begin bij het oplossen van gemengde netwerken met het identificeren van de meest eenvoudige delen van het circuit (pure series of pure parallelschakelingen) en vereenvoudig deze stapsgewijs om tot een beheersbaarder circuit te komen. Teken tussentijdse schema's om uw voortgang bij te houden.
> **Voorbeeld:** Bij het analyseren van een gemengd netwerk, identificeer eerst eventuele parallelschakelingen binnen een tak. Bereken de equivalente weerstand van deze parallelschakeling en vervang deze door één enkele equivalente weerstand in het schema. Vervolgens kunt u de serieschakelingen in de resterende takken analyseren. Herhaal dit proces totdat het gehele netwerk is vereenvoudigd tot een enkele equivalente weerstand. Daarna kunt u terugrekenen om stromen en spanningen over individuele componenten te bepalen.
---
# Elektrisch vermogen, arbeid en energie
Dit onderwerp behandelt de berekening van elektrisch vermogen, arbeid en energie binnen verschillende elektrische circuits, toegepast op alledaagse apparaten [32](#page=32).
### 5.1 Basisprincipes en formules
Elektrisch vermogen ($P$) is de hoeveelheid energie die per tijdseenheid wordt omgezet of getransporteerd. Het wordt berekend met de formule $P = U \cdot I$, waarbij $U$ de spanning in volt (V) is en $I$ de stroomsterkte in ampère (A) [32](#page=32).
De arbeid of energie ($E$) die door een elektrisch apparaat wordt verbruikt of geleverd, kan worden berekend door het vermogen te vermenigvuldigen met de tijd ($t$) waarin het vermogen wordt geleverd: $E = P \cdot t$. De energie wordt meestal uitgedrukt in joule (J) of kilowattuur (kWh) [39](#page=39) [43](#page=43).
Met behulp van de wet van Ohm ($U = I \cdot R$, waarbij $R$ de weerstand in ohm (Ω) is) kunnen de formules voor vermogen worden uitgebreid:
* $P = U \cdot I = (I \cdot R) \cdot I = I^2 \cdot R$ [36](#page=36).
* $P = U \cdot I = U \cdot \frac{U}{R} = \frac{U^2}{R}$ [39](#page=39).
### 5.2 Toepassingen en voorbeelden
#### 5.2.1 Gloeilampen
Een gloeilamp van 5 Watt is ontworpen om op 12 Volt te werken. Als deze wordt aangesloten op een niet-regelbare spanningsbron van 30 Volt, is een voorschakelweerstand nodig om de stroom te beperken en de lamp te beschermen [32](#page=32).
Om de benodigde voorschakelweerstand te berekenen, bepalen we eerst de normale stroom door de lamp: $I_{lamp} = \frac{P_{lamp}}{U_{lamp}} = \frac{5 \, \text{W}}{12 \, \text{V}} = 0,42 \, \text{A}$ [32](#page=32).
De totale spanning die over de seriegeschakelde lamp en weerstand komt te staan is 30 V. De spanning over de lamp mag maximaal 12 V zijn. Dus, de spanning over de voorschakelweerstand is $U_{voorschakel} = U_{bron} - U_{lamp} = 30 \, \text{V} - 12 \, \text{V} = 18 \, \text{V}$.
De benodigde voorschakelweerstand is dan $R_{voorschakel} = \frac{U_{voorschakel}}{I_{lamp}} = \frac{18 \, \text{V}}{0,42 \, \text{A}} \approx 42,86 \, \Omega$. De gegeven antwoord (43.2 Ω) impliceert dat de stroomsterkte voor die weerstand een iets andere berekening volgt, mogelijk door afronding of een licht afwijkende interpretatie van de "ontworpen op" specificatie [32](#page=32).
#### 5.2.2 Strijkijzers en verwarmingselementen
Voor een elektrisch strijkijzer van 1000 W bij een spanning van 220 V kan de stroomsterkte worden berekend met $I = \frac{P}{U} = \frac{1000 \, \text{W}}{220 \, \text{V}} \approx 4,55 \, \text{A}$ [36](#page=36).
De ohmse weerstand van het verwarmingselement wordt dan berekend met $R = \frac{U}{I} = \frac{220 \, \text{V}}{4,55 \, \text{A}} \approx 48,35 \, \Omega$ [36](#page=36).
#### 5.2.3 Elektrische radiatoren
Een elektrische verwarmingsradiator van 2 kW, aangesloten op 240 V, verbruikt gedurende 3 uur en 20 minuten (wat 3,33 uur is) energie [39](#page=39).
De intensiteit van de stroom is $I = \frac{P}{U} = \frac{2000 \, \text{W}}{240 \, \text{V}} \approx 8,3333 \, \text{A}$ [39](#page=39).
De weerstand van de radiator is $R = \frac{U^2}{P} = \frac{(240 \, \text{V})^2}{2000 \, \text{W}} = \frac{57600 \, \text{V}^2}{2000 \, \text{W}} = 28,80 \, \Omega$ [39](#page=39).
De verbruikte energie in kilowattuur is $E_{kWh} = \frac{P_{kW} \cdot t_{h}}{1} = \frac{2 \, \text{kW} \cdot 3,33 \, \text{h}}{1} \approx 6,66 \, \text{kWh}$ [39](#page=39).
De kostprijs op basis van 0,53 euro per kilowattuur is dan $6,66 \, \text{kWh} \cdot 0,53 \, \text{euro/kWh} \approx 3,53 \, \text{euro}$ [39](#page=39).
#### 5.2.4 Circuits met meerdere componenten
##### 5.2.4.1 Parallelle weerstanden
Drie weerstanden van elk 90 Ω zijn parallel geschakeld aan een bronspanning van 27 V [32](#page=32).
De deelstromen door elke weerstand zijn gelijk: $I_{90 \Omega} = \frac{U_{bron}}{R_{weerstand}} = \frac{27 \, \text{V}}{90 \, \Omega} = 0,3 \, \text{A}$ [32](#page=32).
De totale stroom is de som van de deelstromen: $I_{tot} = 3 \times I_{90 \Omega} = 3 \times 0,3 \, \text{A} = 0,9 \, \text{A}$ [32](#page=32).
De vervangingsweerstand ($R_v$) voor parallelle weerstanden is $R_v = \frac{R}{n} = \frac{90 \, \Omega}{3} = 30 \, \Omega$ [32](#page=32).
Het totale vermogen ($P_{tot}$) is $P_{tot} = U_{bron} \cdot I_{tot} = 27 \, \text{V} \cdot 0,9 \, \text{A} = 24,3 \, \text{W}$ [32](#page=32).
Drie weerstanden zijn parallel geschakeld met $R_1 = 8 \, \text{M}\Omega$. In $R_2$ wordt een vermogen van 36 mW ontwikkeld en in $R_3$ vloeit een stroom van 50 µA. De bronspanning is 12 Vdc [39](#page=39).
De stroom door $R_1$ is $I_1 = \frac{U_{bron}}{R_1} = \frac{12 \, \text{V}}{8 \times 10^6 \, \Omega} = 1,5 \times 10^{-6} \, \text{A} = 1,5 \, \mu\text{A}$ [39](#page=39).
De weerstand $R_2$ wordt berekend met $P_2 = \frac{U_{bron}^2}{R_2}$, dus $R_2 = \frac{U_{bron}^2}{P_2} = \frac{(12 \, \text{V})^2}{0,036 \, \text{W}} = \frac{144 \, \text{V}^2}{0,036 \, \text{W}} = 4000 \, \Omega = 4 \, \text{k}\Omega$ [39](#page=39).
De stroom door $R_2$ is $I_2 = \frac{P_2}{U_{bron}} = \frac{0,036 \, \text{W}}{12 \, \text{V}} = 0,003 \, \text{A} = 3 \, \text{mA}$ [39](#page=39).
De weerstand $R_3$ is $R_3 = \frac{U_{bron}}{I_3} = \frac{12 \, \text{V}}{50 \times 10^{-6} \, \text{A}} = 240000 \, \Omega = 240 \, \text{k}\Omega$ [39](#page=39).
De totale stroom is $I_{tot} = I_1 + I_2 + I_3 = 1,5 \, \mu\text{A} + 3 \, \text{mA} + 50 \, \mu\text{A} = 3,0515 \, \text{mA}$ [39](#page=39).
Het totale vermogen is $P_{tot} = U_{bron} \cdot I_{tot} = 12 \, \text{V} \cdot 3,0515 \times 10^{-3} \, \text{A} \approx 0,0366 \, \text{W}$ (afgerond 0.037 W, de berekening met de som van vermogens kan licht afwijken door afronding) [39](#page=39).
De totale weerstand is $R_{tot} = \frac{U_{bron}}{I_{tot}} = \frac{12 \, \text{V}}{3,0515 \times 10^{-3} \, \text{A}} \approx 3932,5 \, \Omega$ [39](#page=39).
##### 5.2.4.2 Serieschakeling
Een gloeilamp en een voorschakelweerstand van 10 Ω zijn in serie geschakeld over een potentiaalverschil van 240 V. De klemspanning over de voorschakelweerstand is 40 V [36](#page=36).
De stroom door de weerstand (en dus ook door de lamp) is $I = \frac{U_{weerstand}}{R_{weerstand}} = \frac{40 \, \text{V}}{10 \, \Omega} = 4 \, \text{A}$ [36](#page=36).
De spanning over de gloeilamp is $U_{lamp} = U_{totaal} - U_{weerstand} = 240 \, \text{V} - 40 \, \text{V} = 200 \, \text{V}$.
Het vermogen opgenomen door de gloeilamp is $P_{lamp} = U_{lamp} \cdot I = 200 \, \text{V} \cdot 4 \, \text{A} = 800 \, \text{W}$ [36](#page=36).
De weerstand van de gloeidraad is $R_{lamp} = \frac{U_{lamp}}{I} = \frac{200 \, \text{V}}{4 \, \text{A}} = 50 \, \Omega$ [36](#page=36).
##### 5.2.4.3 Complexer circuit met interne weerstand
Een elektrische oven met een weerstand van 10 Ω wordt gevoed door een generator met een constante klemspanning van 212 V. De interne weerstand van de generator is 0,4 Ω en de weerstand van de twee energiegeleiders samen is 0,6 Ω [43](#page=43).
De totale externe weerstand is $R_{ext} = R_{oven} + R_{geleiders} = 10 \, \Omega + 0,6 \, \Omega = 10,6 \, \Omega$.
De totale weerstand in het circuit is $R_{totaal} = R_{int} + R_{ext} = 0,4 \, \Omega + 10,6 \, \Omega = 11 \, \Omega$.
De intensiteit van de stroom is $I = \frac{U_{generator\_klem}}{R_{ext}} = \frac{212 \, \text{V}}{10,6 \, \Omega} = 20 \, \text{A}$. Dit lijkt niet correct volgens de standaard definities. Als 212 V de klemspanning van de generator is, zou dit de spanning zijn waarover de externe circuitcomponenten zijn aangesloten. Dan zou de stroom berekend worden als $I = \frac{U_{klem}}{R_{oven} + R_{geleiders}} = \frac{212 \, \text{V}}{10 \, \Omega + 0,6 \, \Omega} = \frac{212 \, \text{V}}{10,6 \, \Omega} = 20 \, \text{A}$ [43](#page=43).
De spanning over de klemmen van de verwarmingsweerstand (de oven) is $U_{oven} = I \cdot R_{oven} = 20 \, \text{A} \cdot 10 \, \Omega = 200 \, \text{V}$ [43](#page=43).
De elektromotorische spanning ($E$) van de generator is de klemspanning plus de spanningsval over de interne weerstand: $E = U_{klem} + I \cdot R_{int} = 212 \, \text{V} + 20 \, \text{A} \cdot 0,4 \, \Omega = 212 \, \text{V} + 8 \, \text{V} = 220 \, \text{V}$ [43](#page=43).
Het nuttig elektrisch vermogen is het vermogen dat door de oven wordt opgenomen: $P_n = U_{oven} \cdot I = 200 \, \text{V} \cdot 20 \, \text{A} = 4000 \, \text{W} = 4 \, \text{kW}$ [43](#page=43).
De nuttige elektrische energie in 3 uur is $E_n = P_n \cdot t = 4 \, \text{kW} \cdot 3 \, \text{h} = 12 \, \text{kWh}$ [43](#page=43).
#### 5.2.5 Berekening van energie
Over de klemmen van een verbruiker wordt een potentiaalverschil van 24 V gemeten. Een stroom van 2,8 A vloeit gedurende 45 minuten (wat 2700 seconden is) [43](#page=43).
De ontwikkelde energie wordt berekend als $E = U \cdot I \cdot t = 24 \, \text{V} \cdot 2,8 \, \text{A} \cdot 2700 \, \text{s} = 181440 \, \text{J}$ [43](#page=43).
> **Tip:** Controleer altijd de eenheden van de gegeven waarden (bijvoorbeeld milliampère in plaats van ampère, of minuten in plaats van seconden) voordat u berekeningen uitvoert. Dit voorkomt fouten in de eindresultaten [39](#page=39) [43](#page=43).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Wet van Ohm | De wet van Ohm stelt dat de elektrische stroom door een geleider recht evenredig is met de spanning over de geleider en omgekeerd evenredig is met de weerstand van de geleider. Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als $U = I \cdot R$. |
| Wet van Pouillet | De wet van Pouillet beschrijft de weerstand van een homogene geleider als recht evenredig met zijn lengte en soortelijke weerstand, en omgekeerd evenredig met zijn dwarsdoorsnede. De formule luidt $R = \rho \cdot \frac{l}{A}$. |
| Serieschakeling | Een serieschakeling is een configuratie waarbij componenten achter elkaar zijn geschakeld, zodat de stroom door elk component dezelfde waarde heeft. De totale weerstand is de som van de individuele weerstanden. |
| Parallelschakeling | Een parallelschakeling is een configuratie waarbij componenten naast elkaar zijn geschakeld, zodat de spanning over elk component dezelfde waarde heeft. De som van de deelstromen door de componenten is gelijk aan de totale stroom. |
| Weerstand ($R$) | Weerstand is de eigenschap van een materiaal om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken. Het wordt gemeten in ohm (Ω). |
| Spanning ($U$) | Spanning, ook wel potentiaalverschil genoemd, is de drijvende kracht achter de elektrische stroom. Het wordt gemeten in volt (V). |
| Stroom ($I$) | Stroom is de beweging van elektrische ladingen. Het wordt gemeten in ampère (A). |
| Elektrisch vermogen ($P$) | Elektrisch vermogen is de snelheid waarmee elektrische energie wordt omgezet of overgedragen. Het wordt berekend met de formule $P = U \cdot I$. |
| Elektrische arbeid/energie ($W$) | Elektrische arbeid of energie is de totale hoeveelheid elektrische energie die is verbruikt of geproduceerd gedurende een bepaalde tijd. Het wordt berekend met de formule $W = P \cdot t$. |
| Soortelijke weerstand ($\rho$) | De soortelijke weerstand is een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal de elektrische stroom geleidt. Het wordt gemeten in ohm-meter (Ω.m). |
Cover
7_Drone Technology 2 - Externe communicatie(1).pdf
Summary
# Basisbegrippen van draadloze communicatie
Dit document behandelt de fundamentele concepten van draadloze communicatie, inclusief frequenties, antennes, signaalvoortplanting, modulatie en multiplexing [4](#page=4).
## 1. Frequenties voor communicatie
Draadloze communicatie maakt gebruik van elektromagnetische golven die zich voortplanten door de ether. De frequentie van deze golven bepaalt hun eigenschappen en toepassingen [6](#page=6).
### 1.1 Frequentie en golflengte
De relatie tussen frequentie ($f$) en golflengte ($\lambda$) wordt gegeven door de formule:
$\lambda = \frac{c}{f}$
waarbij $c$ de lichtsnelheid is (ongeveer $3 \times 10^8$ m/s). Lagere frequenties hebben langere golflengtes en hogere frequenties hebben kortere golflengtes [10](#page=10) [6](#page=6).
**Frequentiebanden:**
* VLF (Very Low Frequency): $300 \text{ Hz}$ - $3 \text{ kHz}$ [6](#page=6).
* LF (Low Frequency): $30 \text{ kHz}$ - $300 \text{ kHz}$ [6](#page=6).
* MF (Medium Frequency): $300 \text{ kHz}$ - $3 \text{ MHz}$ [6](#page=6).
* HF (High Frequency): $3 \text{ MHz}$ - $30 \text{ MHz}$ [6](#page=6).
* VHF (Very High Frequency): $30 \text{ MHz}$ - $300 \text{ MHz}$ [6](#page=6).
* UHF (Ultra High Frequency): $300 \text{ MHz}$ - $3 \text{ GHz}$ [6](#page=6).
* SHF (Super High Frequency): $3 \text{ GHz}$ - $30 \text{ GHz}$ [6](#page=6).
* EHF (Extra High Frequency): $30 \text{ GHz}$ - $300 \text{ GHz}$ [6](#page=6).
### 1.2 Regulering van frequenties
Frequentiebanden zijn strikt gereguleerd om interferentie te voorkomen en efficiënt gebruik te garanderen. Wereldwijd beheer ligt bij de ITU-R (International Telecommunication Union Radiocommunication Sector), in België bij het BIPT en in de VS bij de FCC. Spectrum is schaars en daarom kostbaar, wat blijkt uit veilingen voor 3G, 4G en 5G licenties [7](#page=7).
### 1.3 Licentievrije frequentiebanden (ISM)
Bepaalde frequentiebanden zijn licentievrij, bekend als ISM (Industrial, Scientific, Medical) banden. Hoewel er geen vergunning nodig is, gelden er strikte regels voor transmissievermogen en duty cycle. Voorbeelden zijn [8](#page=8):
* $13.56 \text{ MHz}$: HF-RFID [8](#page=8).
* $27 \text{ MHz}$: afstandsbedieningen [8](#page=8).
* $433 \text{ MHz}$: draadloze deurbellen, sleutels [8](#page=8).
* $868 \text{ MHz}$ (Europa) / $915 \text{ MHz}$ (VS): draadloze domotica [8](#page=8).
* $2.4 \text{ GHz}$: Wi-Fi, ZigBee, Bluetooth [8](#page=8).
* $5.7 \text{ GHz}$: Wi-Fi (U-NII) [8](#page=8).
* $61 \text{ GHz}$ [8](#page=8).
### 1.4 Invloed van frequentie op bereik en doordringing
* **Lage Frequenties (Sub-GHz, bijv. $868 \text{ MHz}$):** Langere golflengte, dringt makkelijker door obstakels (muren, gebouwen) en buigt beter om obstakels heen (diffractie). Resultaat: groot bereik en goede indoor-dekking. Toepassingen: LoRa, lagere banden van 4G, Deep Indoor IoT [10](#page=10).
* **Hoge Frequenties (GHz-banden, bijv. $5 \text{ GHz}$):** Kortere golflengte, gedraagt zich meer als een lichtstraal. Wordt makkelijker geabsorbeerd door obstakels en kent hogere vrije-ruimteverzwakking. Resultaat: kort bereik, maar maakt brede kanalen mogelijk voor hoge dataoverdracht. Toepassingen: 5G, Wi-Fi voor streaming [10](#page=10).
### 1.5 Invloed van vermogen op bereik en energie
* **Hoog Vermogen (bijv. 4G/5G zendmast):** Signaal kan grote afstand overbruggen (groot Link Budget). Toepassing: cellulaire netwerken, om grote geografische gebieden te bedienen [10](#page=10).
* **Laag Vermogen (bijv. LoRa op $25 \text{ mW}$, Bluetooth):** Signaal verzwakt snel, beperkt bereik. Toepassing: energiezuinige IoT-apparaten waar batterijduur cruciaal is, of zeer korte afstanden (Bluetooth headsets) [10](#page=10).
### 1.6 Voorbeelden van frequentietoepassingen
* **LF:** Onderzeeërs, sommige radiostations [12](#page=12).
* **MF en HF:** AM (shortwave) radiostations, reflecteren tegen de ionosfeer [12](#page=12).
* **VHF:** Analog en digitaal televisie, FM radio ($87.5 – 108 \text{ MHz}$), DAB+ [12](#page=12).
* **GSM:** Gebruikt frequenties rond $890-915 \text{ MHz}$ (uplink) en $935-960 \text{ MHz}$ (downlink), en ook rond $1710-1785 \text{ MHz}$ (uplink) en $1805-1880 \text{ MHz}$ (downlink) [7](#page=7).
## 2. Antennes
Antennes zijn cruciaal voor het stralen en ontvangen van elektromagnetische golven [16](#page=16).
### 2.1 Isotrope straler
Een isotrope straler is een theoretische antenne die gelijkmatig in alle richtingen straalt. Echte antennes hebben echter richtingsafhankelijkheid [16](#page=16).
### 2.2 Stralingspatroon
Het stralingspatroon beschrijft hoe een antenne de energie verdeelt in de ruimte [16](#page=16).
### 2.3 Echte antennes
Werkelijke antennes, zoals dipolen, hebben specifieke vormen die gerelateerd zijn aan de golflengte ($\lambda$). Een $\lambda/4$ antenne wordt vaak op auto-daken geplaatst, terwijl een $\lambda/2$ antenne als Hertzian dipool wordt beschouwd [17](#page=17).
### 2.4 Gerichte en gesectoriseerde antennes
* **Gerichte antennes:** Zenden energie uit in een specifieke richting. Worden gebruikt voor microgolfverbindingen of basisstations voor mobiele telefoons [18](#page=18).
* **Gesectoriseerde antennes:** Verdelen het stralingsgebied in sectoren (bv. 3 of 6 sectoren) om een groter gebied te bestrijken vanuit één basisstation [18](#page=18).
### 2.5 Antenneversterking (Gain)
De versterking (gain) van een antenne geeft aan hoe efficiënt deze energie straalt of ontvangt in een bepaalde richting. De gain van een isotrope antenne is 1 (0 dBi). Een half-golflengte dipool heeft een maximale gain van ongeveer 1.64 (2.1 dBi). Hogere directiviteit leidt tot een smallere bundel [19](#page=19).
Transmit power is vaak gelimiteerd door de Equivalent Isotropically Radiated Power (EIRP = $P_t \times G_t$), waarbij $P_t$ het zendvermogen is en $G_t$ de antenneversterking. Een hogere gain betekent dus vaak dat een lager zendvermogen is toegestaan [19](#page=19).
## 3. Signaalvoortplanting
Signaalvoortplanting beschrijft hoe elektromagnetische golven zich verplaatsen van zender naar ontvanger, beïnvloed door de omgeving [21](#page=21).
### 3.1 Voortplanting in de vrije ruimte
Voor hogere frequenties (> $3 \text{ MHz}$) gedraagt voortplanting zich grotendeels als in de vrije ruimte, maar met invloeden van de omgeving [21](#page=21).
### 3.2 Penetratieverliezen
Binnenshuis moeten signalen door muren, ramen en plafonds dringen. De verliezen zijn afhankelijk van het materiaal en de frequentie [22](#page=22).
* **Glas:** Relatief transparant, met zwakke frequentie-afhankelijke verliezen [22](#page=22).
* **Energiezuinig glas:** Metalen coating veroorzaakt aanzienlijke verliezen (tot 40 dB) [22](#page=22).
* **Beton en baksteen:** Verliezen nemen snel toe met de frequentie [22](#page=22).
### 3.3 Reflecties: multipath propagatie
Signalen kunnen meerdere paden nemen door reflecties, wat leidt tot multipath propagatie. Dit kan bestaan uit [23](#page=23):
* Een directe component (LOS: Line of Sight).
* Meerdere gereflecteerde componenten (NLOS: Non-Line of Sight).
Dit maakt ontvangst mogelijk zonder directe LOS [23](#page=23).
#### 3.3.1 Interferentie door multipath
Het verschil in padlengte tussen directe en gereflecteerde signalen kan leiden tot constructieve of destructieve interferentie, wat variaties in signaalsterkte veroorzaakt (small scale fading) [23](#page=23).
* **Frequentie-afhankelijk:** Kan gemitigeerd worden door frequentie-hoppen [23](#page=23).
* **Positie-afhankelijk:** Kan gemitigeerd worden door antenna diversity [23](#page=23).
### 3.4 Tijdverspreiding en Inter-Symbol Interference (ISI)
Multipath propagatie zorgt ervoor dat het signaal verspreid wordt over tijd (delay spread). Dit leidt tot [25](#page=25):
* **Inter-Symbol Interference (ISI):** Een symbool interfereert met de volgende symbolen. Om dit te voorkomen, wordt een guard interval (GI) tussen symbolen geplaatst [25](#page=25).
* **Kanaalkenmerken:** De vervorming van het signaal hangt af van de fasen en amplitudes van de multipath componenten. Dit kan gecorrigeerd worden met behulp van channel state information (CSI) via training sequences en equalizers [25](#page=25).
> **Tip:** Een site survey is cruciaal om de lokale propagatie-eigenschappen te begrijpen, aangezien deze tijd- en frequentieafhankelijk zijn [24](#page=24).
## 4. Modulatie
(Dit onderwerp wordt niet expliciet behandeld in de opgegeven pagina's, maar is een fundamenteel concept in draadloze communicatie.)
## 5. Multiplexing
Multiplexing is het proces waarbij meerdere signalen of kanalen tegelijkertijd gebruikmaken van hetzelfde netwerkmedium. In draadloze communicatie maken alle signalen gebruik van de ether. Multiplexing gebeurt in vier dimensies [38](#page=38):
* **Ruimte (s):** Space Division Multiplexing (SDM) [38](#page=38).
* **Tijd (t):** Time Division Multiplexing (TDM) [38](#page=38).
* **Frequentie (f):** Frequency Division Multiplexing (FDM) [38](#page=38).
* **Code (c):** Code Division Multiplexing (CDM) [38](#page=38).
### 5.1 Ruimte Verdeling Multiplexing (SDM) - Cell Structure
Bij SDM wordt het gehele dekkingsgebied opgedeeld in kleinere gebieden genaamd "cellen". Elke cel wordt bediend door een basisstation. Mobiele stations communiceren via het dichtstbijzijnde basisstation [41](#page=41).
**Voordelen:**
* Hogere capaciteit en meer gebruikers [41](#page=41).
* Minder transmissievermogen nodig [41](#page=41).
* Robuuster en gedecentraliseerd [41](#page=41).
**Nadelen:**
* Complexe infrastructuur (vast netwerk, locatie databases) [41](#page=41).
* Handover is noodzakelijk bij het wisselen van cel [41](#page=41).
* Interferentie met naburige cellen [41](#page=41).
Celgroottes variëren van honderden meters in steden tot wel 35 km op het platteland (bijv. GSM) [41](#page=41).
### 5.2 Frequentie Verdeling Multiplexing (FDM)
Bij FDM wordt het totale beschikbare spectrum opgedeeld in kleinere frequentiebanden. Elk kanaal krijgt een specifieke band voor de gehele duur [42](#page=42).
**Voordelen:**
* Geen dynamische coördinatie nodig [42](#page=42).
* Werkt ook voor analoge signalen [42](#page=42).
**Nadelen:**
* Verspilling van bandbreedte bij ongelijke verkeersbelasting [42](#page=42).
* Onflexibel [42](#page=42).
* Vereist guard spaces om interferentie tussen aangrenzende kanalen (adjacent channel interference) te voorkomen [42](#page=42).
### 5.3 Tijd Verdeling Multiplexing (TDM)
Bij TDM krijgt elk kanaal het volledige spectrum voor een specifieke tijdsduur (tijdslot) [43](#page=43).
**Voordelen:**
* Slechts één drager tegelijk in het medium [43](#page=43).
* Hoge doorvoer, zelfs met veel gebruikers [43](#page=43).
* Flexibel [43](#page=43).
**Nadelen:**
* Precieze synchronisatie is noodzakelijk [43](#page=43).
* Vereist guard intervals om interferentie tussen kanalen die dezelfde frequentie delen (co-channel interference) te voorkomen [43](#page=43).
### 5.4 Tijd- en Frequentie Multiplexing
Dit is een combinatie van FDM en TDM. Een kanaal krijgt een specifieke frequentieband voor een bepaalde tijd. GSM maakt hier gebruik van, mede dankzij frequency hopping [44](#page=44).
**Voordelen:**
* Betere bescherming tegen frequentie-selectieve interferentie [44](#page=44).
* Mogelijk betere bescherming tegen afluisteren [44](#page=44).
**Nadelen:**
* Vereist precieze coördinatie [44](#page=44).
### 5.5 Code Verdeling Multiplexing (CDM)
Bij CDM heeft elk kanaal een unieke code. Alle kanalen gebruiken tegelijkertijd hetzelfde spectrum [45](#page=45).
**Voordelen:**
* Bandbreedte-efficiënt [45](#page=45).
* Goede bescherming tegen interferentie en afluisteren [45](#page=45).
* Geen coördinatie en synchronisatie nodig tussen zenders [45](#page=45).
**Nadelen:**
* Vereist geavanceerd power control [45](#page=45).
* Complexere signaalregeneratie [45](#page=45).
* Synchronisatie tussen zender en ontvanger is nodig [45](#page=45).
CDM is geïmplementeerd met behulp van spread spectrum technologie, waarbij (quasi-)orthogonaliteit van de codes zorgt voor scheiding [45](#page=45).
### 5.6 Duplex Operatie: FDD/TDD
Duplex operatie regelt de communicatie in beide richtingen (uplink en downlink) [46](#page=46).
* **Frequency Division Duplex (FDD):** Uplink en downlink gebruiken gescheiden frequentiebanden. Dit maakt gelijktijdige up- en downlink-transmissie mogelijk (full duplex), maar maakt RF-ontwerp complexer. GSM gebruikt FDD met gescheiden, "gepaarde" spectrum voor uplink en downlink, met een duplexafstand van bijvoorbeeld 45 MHz bij 900 MHz [46](#page=46).
* **Time Division Duplex (TDD):** Uplink en downlink delen dezelfde frequentieband, maar worden verzonden in verschillende tijdslots [46](#page=46).
---
# Verschillende draadloze communicatietechnologieën
Dit hoofdstuk biedt een overzicht van diverse draadloze communicatietechnologieën, met aandacht voor hun frequentiebanden, datarates, bereik, energieverbruik, architecturen en toepassingen, met een focus op hun relevantie in de robotica.
### 2.1 Overzicht van draadloze technologieën
Draadloze communicatietechnologieën maken het mogelijk om informatie uit te wisselen zonder fysieke kabels, wat essentieel is voor de flexibiliteit en mobiliteit van systemen, inclusief robots. Belangrijke factoren die deze technologieën onderscheiden, zijn hun gebruikte frequentiebanden, de maximale datasnelheid die ze kunnen ondersteunen, hun operationele bereik, het energieverbruik, en de netwerkarchitectuur die ze hanteren [94](#page=94).
#### 2.1.1 Frequentiebanden en hun impact
De keuze van de frequentieband heeft een directe invloed op zowel het bereik als de doordringingscapaciteit van het signaal [10](#page=10).
* **Lage Frequentie (Sub-GHz, bijv. 868 MHz voor LoRa)**: Lange golflengtes kunnen gemakkelijker door obstakels zoals muren en gebouwen dringen en buigen beter om obstakels heen door diffractie. Dit resulteert in een groter bereik en betere indoor-dekking [10](#page=10).
* **Hoge Frequentie (GHz-banden, bijv. 5 GHz voor Wi-Fi, 2.4 GHz voor Bluetooth)**: Kortere golflengtes gedragen zich meer als lichtstralen, worden gemakkelijker geabsorbeerd door obstakels en hebben een hogere vrije-ruimte verzwakking. Hoewel dit leidt tot een korter bereik, maken deze banden bredere kanalen mogelijk voor zeer hoge dataoverdrachtssnelheden [10](#page=10).
WLAN en WPAN maken gebruik van licentievrije banden zoals de ISM (Industrial, Scientific, and Medical) en U-NII banden: 868/915 MHz, 2.4 GHz, en 5 GHz. Meer recent wordt ook de 6 GHz band voor Wi-Fi onderzocht. Mobiele netwerken maken gebruik van gelicentieerde banden, waarbij lagere GHz-frequenties (<10 GHz) vaak de voorkeur hebben vanwege de kleinere antennes en betrouwbare verbindingen over middellange afstanden [13](#page=13) [14](#page=14).
#### 2.1.2 Zendvermogen en bereik
Het zendvermogen bepaalt direct hoe ver een signaal kan reiken voordat het te zwak wordt om te worden ontvangen (een groot "Link Budget") [10](#page=10).
* **Hoog Vermogen (bijv. 4G/5G zendmast)**: Signalen kunnen grote afstanden overbruggen. Dit wordt gebruikt in cellulaire netwerken om grote geografische gebieden te bestrijken [10](#page=10).
* **Laag Vermogen (bijv. LoRa, Bluetooth)**: Signalen sterven snel af, wat resulteert in een beperkt bereik. Dit is ideaal voor energiezuinige IoT-apparaten waar batterijduur cruciaal is of voor zeer korte afstanden [10](#page=10).
Tabel 11 geeft een overzicht van het maximale zendvermogen en het typische bereik van verschillende technologieën [11](#page=11).
#### 2.1.3 Datarates en hun implicaties
De datasnelheid bepaalt de hoeveelheid data die per tijdseenheid kan worden verzonden. Hogere datarates zijn essentieel voor toepassingen die veel data vereisen, zoals videostreaming of het overdragen van grote datasets.
* **Hoge Data Rates**: Vereisen brede bandbreedte en worden mogelijk gemaakt door technologieën zoals Wi-Fi (tot >1 Gbps voor Wi-Fi 6/7) en mobiele netwerken (tot 10 Gbps+ voor 5G) [64](#page=64) [82](#page=82).
* **Lage Data Rates**: Kenmerkend voor technologieën zoals LoRa (0.3–50 kbps) en Zigbee (tot 250 kbps) wat ze geschikt maakt voor telemetrie en sensornetwerken waar energiezuinigheid belangrijker is dan snelheid [78](#page=78) [90](#page=90) [91](#page=91).
#### 2.1.4 Energieverbruik
Energieverbruik is een kritieke factor, met name voor batterijgevoede apparaten en IoT-toepassingen.
* **Laag Energieverbruik**: Technologieën als Bluetooth Low Energy (BLE), Zigbee en LoRa zijn geoptimaliseerd voor minimaal energieverbruik, waardoor apparaten jarenlang op een enkele batterij kunnen werken [59](#page=59) [76](#page=76) [91](#page=91).
* **Hoog Energieverbruik**: Wi-Fi en mobiele netwerken vereisen doorgaans meer energie en zijn vaak afhankelijk van een constante stroombron [64](#page=64) [86](#page=86).
#### 2.1.5 Netwerkarchitecturen
Verschillende netwerkarchitecturen bieden verschillende voordelen op het gebied van schaalbaarheid, betrouwbaarheid en bereik.
* **Piconet/Mesh (Bluetooth, Zigbee, LoRa)**: In een piconet is er een master en maximaal zeven slave-apparaten. Zigbee en LoRa maken vaak gebruik van een mesh-architectuur waarbij apparaten als routers fungeren om het bereik te vergroten en een zelfherstellend netwerk te creëren [57](#page=57) [77](#page=77) [91](#page=91).
* **Infrastructuur/Ad hoc (Wi-Fi)**: Wi-Fi kan werken in een infrastructuurmodus (met een Access Point) of in een ad-hoc modus (direct tussen apparaten) [64](#page=64).
* **Cellulair (4G/5G)**: Gebaseerd op cellen met zendmasten die grote geografische gebieden bestrijken [82](#page=82).
### 2.2 Specifieke draadloze technologieën
#### 2.2.1 Bluetooth
Bluetooth is een draadloze standaard (IEEE 802.15.1) voor datacommunicatie over korte afstanden in de 2.4 GHz ISM-band. Het doel is het creëren van Personal Area Networks (PANs) ter vervanging van kabels [55](#page=55).
* **Frequentieband**: 2.4 GHz ISM-band [55](#page=55).
* **Data Rate**: Classic Bluetooth tot 3 Mbps, Bluetooth Low Energy (BLE) typisch 1-2 Mbps [59](#page=59).
* **Bereik**: Typisch 10-100 meter [60](#page=60).
* **Energieverbruik**: Classic Bluetooth is hoger, BLE is zeer laag [59](#page=59).
* **Architectuur**: Piconet (Master/Slave) en mesh-mogelijkheden met nieuwere standaarden [57](#page=57).
* **Toepassingen in Robotica**: Gebruikt voor besturing, IoT-integratie, en indoor asset tracking met behulp van BLE beacons en RSSI-metingen voor lokalisatie [61](#page=61) [62](#page=62).
**Tip:** Bluetooth Low Energy (BLE) is geoptimaliseerd voor energiezuinigheid en is daarom zeer geschikt voor sensoren en wearables die op batterijen werken [59](#page=59).
#### 2.2.2 Wi-Fi
Wi-Fi (IEEE 802.11 standaarden) biedt hoge datasnelheden en wordt gebruikt voor internettoegang en data-intensieve toepassingen [64](#page=64).
* **Frequentiebanden**: 2.4 GHz, 5 GHz en recentelijk 6 GHz (Wi-Fi 6E/7) [14](#page=14) [64](#page=64).
* **Data Rate**: Variërend van tientallen Mbps (oudere standaarden) tot meer dan 1 Gbps (Wi-Fi 6/7), theoretisch tot 46 Gbps voor Wi-Fi 7 [64](#page=64) [66](#page=66).
* **Bereik**: Typisch 30-100 meter, afhankelijk van de frequentieband en antenne-configuratie [64](#page=64).
* **Energieverbruik**: Over het algemeen hoog, met een significante impact op de batterijduur [64](#page=64).
* **Architectuur**: Infrastructuur, ad hoc, en mesh-netwerken [69](#page=69).
* **Toepassingen in Robotica**: Teleoperatie, real-time video, cloud-robotics, overdracht van grote datasets (LiDAR, point clouds), en remote control [64](#page=64) [73](#page=73) [74](#page=74).
**Tip:** Voor toepassingen die lage latentie en hoge bandbreedte vereisen, zoals live videostreams of realtime besturing, is het gebruik van de 5 GHz of 6 GHz band aan te raden vanwege minder interferentie en bredere kanalen [70](#page=70).
#### 2.2.3 Zigbee
Zigbee (IEEE 802.15.4) is ontworpen voor lage bandbreedte, laag stroomverbruik en IoT-toepassingen, met een focus op betrouwbaarheid en schaalbaarheid [76](#page=76).
* **Frequentieband**: Werkt voornamelijk op de 2.4 GHz ISM-band, maar ook op 868/915 MHz (in Europa 868 MHz) [14](#page=14) [76](#page=76).
* **Data Rate**: Zeer laag, tot 250 Kbps [78](#page=78).
* **Bereik**: Tot 10-100 meter of meer door het mesh-netwerk [77](#page=77) [78](#page=78).
* **Energieverbruik**: Uiterst laag, ideaal voor batterijgevoede apparaten die jarenlang meegaan [78](#page=78).
* **Architectuur**: Mesh-netwerk met Coördinatoren, Routers en Eindtoestellen (ZEDs) [77](#page=77).
* **Toepassingen in Robotica**: Interne sensornetwerken voor het monitoren van componenten, swarm-robotica coördinatie, en als routers in een vlootbeheer-netwerk [79](#page=79).
**Tip:** Het mesh-netwerk van Zigbee maakt het extreem betrouwbaar en schaalbaar, waardoor het geschikt is voor omgevingen met veel apparaten [77](#page=77).
#### 2.2.4 LoRa
LoRa (Long Range) is een propriëtaire modulatietechniek die bekend staat om zijn zeer grote bereik en extreem lage energieverbruik, vaak gebruikt in combinatie met het LoRaWAN-protocol [91](#page=91).
* **Frequentieband**: Niet-gelicentieerde ISM-banden, zoals 868 MHz in Europa [14](#page=14) [91](#page=91).
* **Data Rate**: Zeer laag, 0.3–50 kbps, ideaal voor kleine, sporadische datapakketten (max 50 bytes per bericht) [90](#page=90) [91](#page=91).
* **Bereik**: Zeer groot, 2-15 km in landelijke gebieden, 2-5 km in stedelijke gebieden [90](#page=90) [91](#page=91).
* **Energieverbruik**: Extreem laag, met een batterijlevensduur tot 5-10 jaar [91](#page=91).
* **Architectuur**: Kan werken in een mesh- of ster-topologie [94](#page=94).
* **Toepassingen in Robotica**: Remote monitoring, landbouwrobots, sensornetwerken, statische sensoren voor omgevingsparameters, en niet-kritische asset tracking (geen real-time besturing) [90](#page=90) [92](#page=92).
**Tip:** Vanwege het extreem lage energieverbruik en het grote bereik is LoRa een uitstekende keuze voor het monitoren van omgevingsfactoren in industriële gebieden waar robots opereren, mits de datavereisten laag zijn [91](#page=91) [92](#page=92).
#### 2.2.5 Mobiele netwerken (4G/5G)
Mobiele netwerken (zoals 4G LTE en 5G) bieden hoge datasnelheden en een groot bereik, maar vereisen gelicentieerde frequentiebanden en abonnementen [82](#page=82).
* **Frequentieband**: Gelicentieerde banden (700 MHz – 3.5 GHz, mmWave voor 5G) [82](#page=82).
* **Data Rate**: LTE: 100 Mbps tot 1 Gbps theoretisch. 5G: 10–20 Gbps, met latentie <1 ms [82](#page=82) [83](#page=83).
* **Bereik**: Kilometers, afhankelijk van de celgrootte [82](#page=82).
* **Energieverbruik**: Hoog, vanwege de behoefte aan hoge datasnelheden en krachtige zenders [86](#page=86).
* **Architectuur**: Cellulaire netwerken [82](#page=82).
* **Toepassingen in Robotica**: Autonoom rijden, drone-communicatie, remote surgery robots (dankzij de ultra-lage latentie van 5G), real-time besturing van autonome voertuigen, en cloud robotics [82](#page=82) [88](#page=88).
**Tip:** 5G's URLLC (Ultra-Reliable Low-Latency Communications) is cruciaal voor real-time besturing van robots en autonome systemen vanwege de extreem lage latentie (~1 ms) en hoge betrouwbaarheid [85](#page=85).
### 2.3 Modulatietechnieken
Modulatie is het proces waarbij digitale informatie wordt overgebracht door de eigenschappen (amplitude, fase of frequentie) van een draaggolf te veranderen [26](#page=26).
* **Digitale Modulatie**: Data symbolen, die uit $n$ bits bestaan, bepalen de amplitude en/of fase van de draaggolf, wat leidt tot discrete combinaties op een constellatiediagram [27](#page=27).
* **BPSK (Binary Phase Shift Keying)**: Gebruikt twee fasen om één bit te representeren [29](#page=29).
* **QPSK (Quadrature Phase Shift Keying)**: Gebruikt vier fasen om twee bits per symbool te coderen [30](#page=30).
* **QAM (Quadrature Amplitude Modulation)**: Combineert amplitudeverandering met faseverschuiving om meer bits per symbool te coderen (bijv. 16-QAM, 64-QAM). Hogere orde QAM vereist een betere signaal-ruisverhouding (SNR) voor dezelfde Bit Error Rate (BER), maar biedt een hogere datasnelheid voor een gegeven bandbreedte [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34).
* **FSK (Frequency Shift Keying)**: Digitale informatie wordt overgebracht via discrete frequentieveranderingen van de draaggolf. GFSK (Gaussian Frequency Shift Keying) gebruikt een Gaussian filter om frequentieovergangen te verzachten, wat enige interferentie kan veroorzaken [35](#page=35).
* **Gebruik in Draadloze Netwerken**: Veel netwerken gebruiken BPSK, QPSK, 16-QAM, etc. Bluetooth gebruikt GFSK, GSM gebruikt GMSK. Geavanceerde netwerken passen de modulatie dynamisch aan de kanaalomstandigheden aan [36](#page=36).
* **Hierarchische Modulatie**: Maakt het mogelijk om datastromen met verschillende prioriteiten op één signaal te coderen. Hoge prioriteitsdata wordt ingebed in een lagere prioriteitsdatastroom, waarbij bij slechte ontvangst alleen de lagere prioriteitscomponent (bijv. QPSK) wordt gedecodeerd [37](#page=37).
### 2.4 Overzichtstabel
| Technologie | Frequentieband | Data Rate | Bereik | Energie | Architectuur | Robotica Toepassing |
| :---------------- | :------------------ | :-------------- | :---------------- | :-------- | :------------------- | :---------------------------------------------------- |
| **Bluetooth** | 2.4 GHz | 1–2 Mbps (BLE) | 10–100 m | Laag | Piconet/Mesh | Besturing, IoT, Lokalisatie |
| **Wi-Fi** | 2.4/5 GHz (+6 GHz) | tot Gbps | 50–100 m | Hoog | Infra/Ad hoc | Video, Cloud Robotics, Grote Datasets, Remote Control |
| **Zigbee** | 2.4 GHz (868/915 MHz)| 250 kbps | 10–100 m+ | Zeer laag | Mesh | Swarm, Sensoren, Vlootbeheer |
| **4G/5G** | Licenties | 100 Mbps–Gbps | kilometers | Hoog | Cellulair | Outdoor Robots, Autonoom Rijden, Real-time AI |
| **LoRa** | 868 MHz | kbps | 2–15 km | Zeer laag | Mesh/Star | Telemetrie, Omgevingsmonitoring |
---
# Modulatie- en multiplexingtechnieken
Dit onderwerp behandelt de manieren waarop informatie wordt verzonden via draadloze signalen door middel van modulatie en hoe meerdere gebruikers of datastromen dezelfde bandbreedte kunnen delen met behulp van multiplexingtechnieken.
### 3.1 Modulatie
Modulatie is het proces waarbij de amplitude en/of fase van een draaggolf worden aangepast op basis van de te verzenden informatie. Digitale informatie wordt verzonden door een draaggolf te moduleren, waarbij datastromen worden gecombineerd tot datastromen om de efficiëntie te verhogen. Data symbolen kunnen $M = 2^n$ verschillende waarden aannemen, wat resulteert in $M$ discrete amplitude-fase combinaties. De bit rate ($f_b$) is gerelateerd aan de symbool rate ($f_{sym}$) via $f_{sym} = f_b / n$, waarbij $n$ het aantal bits per symbool is [26](#page=26) [27](#page=27).
#### 3.1.1 I/Q modulatie
I/Q modulatie maakt gebruik van een in-fase (I) en een quadrature (Q) component van een complex basisband signaal om de amplitude en fase van de draaggolf te bepalen (#page=26, 28) [26](#page=26) [28](#page=28).
#### 3.1.2 Binaire faseverschuivingsmodulatie (BPSK)
Bij BPSK zijn er twee mogelijke waarden voor de datastromen, wat leidt tot twee mogelijke fasecombinaties op de constellatiediagram [29](#page=29).
#### 3.1.3 Quadrature Phase Shift Keying (QPSK)
QPSK groepeert twee bits in één symbool, waardoor er vier mogelijke symbolen zijn. Dit resulteert in vier fasewaarden met één amplitude. QPSK kan worden gezien als BPSK op twee orthogonale dragers [30](#page=30) [31](#page=31).
#### 3.1.4 Quadrature Amplitude Modulatie (QAM)
16-QAM groepeert vier bits in één symbool, resulterend in zestien mogelijke waarden. De bandbreedte is de helft van die van QPSK voor dezelfde bit rate. Hogere orde QAM-varianten zoals 64-QAM, 256-QAM, en 1024-QAM zijn ook gedefinieerd, waarbij de bandbreedte afneemt met hogere orde, maar de signaal-ruisverhouding (SNR) voor een bepaalde bit error rate (BER) moet verbeteren (#page=33, 34). Gray-codering wordt vaak toegepast in constellatiediagrammen om de bit error rate te minimaliseren [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34).
> **Tip:** Hogere orde modulaties bieden een hogere datasnelheid binnen een bepaalde bandbreedte, maar vereisen een sterkere signaalkwaliteit (hoge SNR) en geavanceerdere foutcorrectietechnieken.
#### 3.1.5 Frequentieverschuivingsmodulatie (FSK)
Bij FSK wordt digitale informatie overgebracht via discrete frequentieveranderingen van het draagfrequent signaal. Abrupte frequentieveranderingen vereisen een grote transmissiebandbreedte, daarom wordt filtering toegepast om de frequentietransities vloeiender te maken. Gaussian Frequency Shift Keying (GFSK) is een veelgebruikte variant die enige interferentie tussen gedemoduleerde datastromen veroorzaakt [35](#page=35).
#### 3.1.6 Modulatie in draadloze netwerken
Moderne draadloze netwerken gebruiken vaak BPSK, QPSK, en 16-QAM. Bluetooth maakt gebruik van GFSK, terwijl GSM GMSK (een geoptimaliseerde GFSK) gebruikt. Geavanceerdere netwerken passen de modulatie dynamisch aan op basis van kanaalomstandigheden en de coderingssnelheid. OFDM-systemen passen modulatie toe op individuele subdragers [36](#page=36).
#### 3.1.7 Hiërarchische modulatie
Hiërarchische modulatie, zoals gebruikt in DVB-T, staat toe dat meerdere datastromen met verschillende prioriteit op een enkele draaggolf worden gemoduleerd. Een hoog-prioriteitsdatastroom wordt ingebed in een laag-prioriteitsdatastroom. In 64-QAM kunnen de twee meest significante bits van de 6 bits per QAM-symbool bijvoorbeeld een QPSK-signaal vormen, terwijl de overige 4 bits de laag-prioriteitsdata dragen [37](#page=37).
### 3.2 Multiplexing
Multiplexing stelt meerdere signalen of kanalen in staat om dezelfde netwerkbandbreedte te delen, wat essentieel is in draadloze communicatie. Dit kan worden gerealiseerd in vier dimensies: ruimte (SDM), tijd (TDM), frequentie (FDM), en code (CDM). Het doel is om een gedeeld medium efficiënt te gebruiken, waarbij "guard spaces" nodig zijn om interferentie te minimaliseren [38](#page=38).
#### 3.2.1 Frequentieplanning
Frequentieplanning omvat vaste frequentietoewijzing, waarbij specifieke frequenties worden toegewezen aan cellen, en dynamische frequentietoewijzing, waarbij frequenties worden gekozen op basis van het gebruik in naburige cellen en interferentiemetingen. Frequentiehergebruik is cruciaal en wordt toegepast met een bepaalde afstand tussen basisstations, vaak gemodelleerd met 7 frequenties in een 3- of 7-cel cluster (#page=39, 40). De celgrootte varieert van honderden meters in stedelijke gebieden tot tientallen kilometers op het platteland (#page=40, 41) [39](#page=39) [40](#page=40) [41](#page=41).
#### 3.2.2 Ruimteverdeling multiplexen (SDM)
SDM wordt geïmplementeerd via celstructuren, waarbij elke basiszender een bepaald transmissiegebied (cel) dekt. Dit verhoogt de capaciteit, vermindert het benodigde zendvermogen en biedt decentralisatie, maar vereist een complexe infrastructuur en mobiele handovers [41](#page=41).
#### 3.2.3 Frequentieverdelingsmultiplexen (FDM)
Bij FDM wordt het totale spectrum opgedeeld in kleinere frequentiebanden, waarbij elk kanaal voor de gehele duur een eigen frequentieband krijgt. Voordelen zijn het ontbreken van dynamische coördinatie en bruikbaarheid voor analoge signalen, maar het kan leiden tot bandbreedteverspilling bij ongelijke verkeersverdeling en is inflexibel [42](#page=42).
#### 3.2.4 Tijdverdelingsmultiplexen (TDM)
TDM kent elk kanaal het gehele spectrum toe voor een specifieke tijdsperiode (timeslot). Voordelen zijn dat slechts één drager tegelijkertijd actief is en de throughput hoog blijft, zelfs met veel gebruikers. Nadelen zijn de noodzaak van precieze synchronisatie en de behoefte aan guard intervals om co-channel interferentie te voorkomen [43](#page=43).
#### 3.2.5 Tijd- en frequentieverdelingsmultiplex
Deze techniek combineert FDM en TDM, waarbij een kanaal een specifieke frequentieband krijgt voor een bepaalde tijdsduur. GSM gebruikt dit principe, met voordelen zoals bescherming tegen selectieve frequentie-interferentie en betere beveiliging tegen afluisteren (bij frequentie-hopping) [44](#page=44).
#### 3.2.6 Codemultiplexen (CDM)
CDM kent elk kanaal een unieke code toe, waarbij alle kanalen tegelijkertijd hetzelfde spectrum gebruiken. Dit is bandbreedte-efficiënt, biedt bescherming tegen interferentie en afluisteren, maar vereist geavanceerde technieken zoals power control en synchronisatie tussen zender en ontvanger. CDM wordt geïmplementeerd met behulp van spread spectrum technologie, waarbij de (quasi-)orthogonaliteit van de codes zorgt voor scheiding [45](#page=45).
#### 3.2.7 Duplexoperatie (FDD/TDD)
Duplexoperatie regelt hoe uplink- en downlink-transmissies middelen delen. Frequentieverdelingsduplex (FDD) gebruikt gescheiden frequentiebanden voor uplink en downlink, wat simultane transmissie mogelijk maakt maar het RF-ontwerp bemoeilijkt. Tijdverdelingsduplex (TDD) gebruikt dezelfde frequentieband voor beide richtingen, maar wisselt ze af in de tijd. GSM maakt bijvoorbeeld gebruik van FDD met een specifieke duplexafstand tussen uplink- en downlink-banden [46](#page=46).
---
# Toepassingen en keuzecriteria in robotica
Dit onderwerp onderzoekt diverse draadloze technologieën en hun specifieke toepassingen in robotica, variërend van basisbesturing tot geavanceerde cloud-connectiviteit en autonoom rijden, en presenteert de criteria voor de selectie van geschikte technologieën voor mobiele robots.
### 4.1 Draadloze technologieën en hun functionaliteit in robotica
Draadloze communicatie is essentieel voor moderne robotica, waarbij verschillende functionaliteiten mogelijk worden gemaakt, zoals telemetrie voor het monitoren van de positie en status van robots, besturing op afstand of semi-autonoom, en samenwerking binnen robotzwermen. Verder faciliteert het cloud- en edge computing, wat cruciaal is voor offloading van kunstmatige intelligentie en rekenintensieve taken [3](#page=3).
#### 4.1.1 Telemetrie en sensordata
Telemetrie omvat het verzamelen en verzenden van gegevens zoals positie, batterijstatus en sensordata van robots. Technologieën zoals LoRaWAN zijn hier uitermate geschikt voor vanwege hun lange bereik en lage energieverbruik, zelfs met strikte duty cycle limieten. Bluetooth Low Energy (BLE) wordt ook gebruikt voor het uitlezen van sensoren, zoals de uitlezing van een Battery Management System (BMS) [11](#page=11) [3](#page=3) [61](#page=61).
#### 4.1.2 Besturing en semi-autonome operaties
Remote of semi-autonome besturing vereist betrouwbare communicatie met acceptabele latentie. Wi-Fi, met zijn hoge datasnelheden, is geschikt voor real-time besturing en complex missiebeheer, waarbij lage latentie essentieel is voor onmiddellijke reacties op commando's. Voor robots die constant bewegen en moeten overschakelen tussen access points (APs), bieden oplossingen zoals 802.11r snelle hand-offs, en 802.11k/v helpt bij de keuze van AP's om vertraging te minimaliseren [70](#page=70) [74](#page=74).
#### 4.1.3 Samenwerking in robot-swarms
Voor de coördinatie van meerdere robots, zoals in een fabriekshal, kan Zigbee worden ingezet om een robuust mesh-netwerk op te zetten voor het doorgeven van coördinatiecommando's en statusupdates, waarbij de robots zelf als routers fungeren [79](#page=79).
#### 4.1.4 Cloud- en edge computing connectiviteit
Directe internetconnectiviteit via draadloze technologieën stelt robots in staat om cloudgebaseerde diensten te gebruiken voor taken zoals objectherkenning via cloud computing. Wi-Fi biedt hiervoor een snelle verbinding met het internet. 4G en 5G netwerken bieden daarnaast de bandbreedte en lage latentie die nodig zijn voor cloud robotics, waarbij zware berekeningen extern kunnen worden uitgevoerd [74](#page=74) [88](#page=88).
#### 4.1.5 Autonoom rijden en geavanceerde robotica
Voor toepassingen zoals autonoom rijden zijn voortdurende hoge-resolutie sensing en betrouwbare communicatie cruciaal. 4G en 5G technologieën zijn hier uitermate geschikt voor vanwege hun hoge datasnelheden en potentieel zeer lage latentie, wat ook relevant is voor bijvoorbeeld remote surgery robots [82](#page=82) [88](#page=88).
### 4.2 Specifieke draadloze technologieën en hun robottoepassingen
Verschillende draadloze technologieën bieden unieke voordelen voor specifieke robottoepassingen, elk met eigen kenmerken qua frequentie, data rate, bereik en energieverbruik.
#### 4.2.1 Bluetooth Low Energy (BLE)
BLE wordt ingezet voor kort bereik communicatie en is bijzonder energiezuinig. Een prominente toepassing is lokalisatie en navigatie binnenshuis, waar BLE beacons signalen uitzenden. Robots scannen deze signalen en gebruiken de Received Signal Strength Indicator (RSSI) om hun positie te schatten via triangulatie. De beacons zelf kunnen op knoopcelbatterijen functioneren met een lange levensduur [11](#page=11) [62](#page=62).
#### 4.2.2 Wi-Fi (802.11 a/b/g/n/ac/ax)
Wi-Fi opereert op de 2.4 GHz en 5 GHz banden, met nieuwere standaarden die ook de 6 GHz band ondersteunen. Het biedt hoge datasnelheden, variërend van tot 54 Mbps (b/g) tot meer dan 1 Gbps (n/ac/ax). Het typische bereik ligt tussen 30–100 meter maar dit kan variëren met de band en antenne. Wi-Fi is geschikt voor robottoepassingen zoals teleoperatie, real-time videostreams, en cloud-robotics. Specifieke toepassingen zijn onder andere [11](#page=11) [64](#page=64):
* **HD-videostreaming en real-time observatie:** Hoge datasnelheden maken het mogelijk om real-time HD of 3D video te streamen voor nauwkeurige besturing [73](#page=73).
* **Overdracht van grote datasets:** Na missies kunnen robots grote hoeveelheden data, zoals LiDAR-scans of sensorfusie-informatie, snel uploaden via Wi-Fi [73](#page=73).
* **Real-time remote control en complex mission control:** Lage latentie zorgt voor onmiddellijke reacties op commando's en het ontvangen van complexe instructies [74](#page=74).
* **Directe internetconnectiviteit:** Biedt een snelle verbinding met het internet en de cloud voor AI-verwerkingscapaciteit [74](#page=74).
#### 4.2.3 Zigbee
Zigbee werkt op de 2.4 GHz band en biedt een data rate van 250 kbps met een bereik van 10–100 meter of meer. Het is zeer energiezuinig en maakt mesh-netwerken mogelijk. Toepassingen in robotica omvatten interne sensornetwerken voor het monitoren van temperatuur of batterijstatus van subcomponenten, en voor het opzetten van mesh-netwerken voor vlootbeheer en het doorsluizen van eenvoudige coördinatiecommando's en statusupdates [79](#page=79) [94](#page=94).
#### 4.2.4 4G (LTE) & 5G
Deze technologieën maken gebruik van gelicentieerde frequentiebanden en bieden hoge datasnelheden, variërend van 100 Mbps theoretisch voor LTE tot 10–20 Gbps voor 5G, met latentie van minder dan 1 ms voor 5G. Het bereik is in kilometers, afhankelijk van de celdekking [82](#page=82).
* **Toepassingen in Robotica:**
* **Real-time Besturing:** Essentieel voor samenwerkende robots of robots die snelle bewegingen maken [88](#page=88).
* **Cloud Robotics:** Maakt externe zware berekeningen mogelijk, wat leidt tot goedkopere en lichtere robots [88](#page=88).
* **Voortdurende Hoge-Resolutie Sensing:** Cruciaal voor autonoom rijden en omgevingsherkenning [88](#page=88).
* **Autonomous driving, drone-communicatie, en remote surgery robots (met 5G's ultra-lage latentie)** [82](#page=82).
#### 4.2.5 LoRa en NB-IoT
LoRa opereert op de 868 MHz ISM-band met een bereik van 2–15 km en een data rate van 0.3–50 kbps. Het is zeer energiezuinig en geschikt voor telemetrietoepassingen. NB-IoT, gebaseerd op LTE, biedt data rates van 26–250 kbps en heeft een sterk indoor bereik. Robottoepassingen omvatten remote monitoring, landbouwrobots en sensornetwerken. Ze zijn ook nuttig voor statische sensoren die omgevingsparameters monitoren en voor niet-kritische asset tracking, hoewel niet geschikt voor real-time besturing [90](#page=90) [92](#page=92) [94](#page=94).
### 4.3 Overzicht van draadloze technologieën
Een overzicht van veelgebruikte technologieën in robotica toont hun specificaties en toepassingen:
| Technologie | Frequentie | Data Rate | Bereik | Energie | Architectuur | Robottoepassing |
| :---------- | :--------- | :-------- | :----- | :------ | :----------- | :-------------- |
| Bluetooth | 2.4 GHz | 1–2 Mbps | 10–100 m | Laag | Piconet/Mesh | Besturing, IoT |
| Wi-Fi | 2.4/5 GHz | tot Gbps | 50–100 m | Hoog | Infra/Ad hoc | Video, Cloud |
| Zigbee | 2.4 GHz | 250 kbps | 10–100 m+ | Zeer laag | Mesh | Swarm, sensoren |
| 4G/5G | Licenties | 100 Mbps–Gbps | km’s | Hoog | Cellulair | Outdoor robots |
| LoRa | 868 MHz | kbps | 2–15 km | Zeer laag | Mesh/Star | Telemetrie |
### 4.4 Keuzecriteria voor mobiele robots
Bij de selectie van een draadloze technologie voor mobiele robots spelen diverse criteria een cruciale rol:
* **Bereik:** De afstand die de robot moet kunnen overbruggen voor communicatie.
* **Latency:** De vertraging in de communicatie, die kritisch is voor real-time besturing versus eenvoudige logging.
* **Energieverbruik:** Cruciaal voor de batterijduur van de mobiele robot.
* **Complexiteit:** De vereiste hardware en software stack voor implementatie.
* **Kostprijs:** De kosten van modules en eventuele abonnementen voor mobiele netwerken.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Telemetrie | Het op afstand verzamelen en verzenden van meetgegevens, zoals positie, batterijstatus of sensordata van een apparaat of systeem. |
| Besturing | Het proces van het aansturen van een apparaat of systeem, hetzij op afstand, hetzij semi-autonoom, via een communicatieverbinding. |
| Robot-swarms | Een groep autonome robots die samenwerken om een gemeenschappelijk doel te bereiken, waarbij communicatie tussen de robots essentieel is. |
| Cloud computing | Het leveren van computerbronnen (zoals rekenkracht, opslag en software) via het internet, waardoor apparaten toegang krijgen tot krachtige verwerking buiten hun eigen hardware. |
| Edge computing | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen dichtbij de bron van de data, in plaats van deze naar een centrale cloudserver te sturen, wat de latentie vermindert. |
| Betrouwbaarheid | De mate waarin een draadloze verbinding of systeem consistent en zonder fouten presteert onder gespecificeerde omstandigheden. |
| Latency | De vertraging tussen het moment dat een commando wordt verzonden en het moment dat de reactie plaatsvindt, cruciaal voor real-time toepassingen. |
| Energieverbruik | De hoeveelheid elektrische energie die een apparaat of technologie nodig heeft om te functioneren, bepalend voor de batterijduur. |
| Frequentieband | Een specifiek bereik van elektromagnetische frequenties dat is toegewezen of gebruikt voor een bepaald type communicatie of toepassing. |
| Golflengte | De ruimtelijke periode van een golf, gerelateerd aan de frequentie en de snelheid van de golf; langere golflengtes kunnen obstakels beter doordringen. |
| Frequenties voor communicatie | Specifieke banden binnen het elektromagnetische spectrum die gebruikt worden voor het verzenden en ontvangen van draadloze signalen. |
| Antennes | Apparaten die elektromagnetische golven stralen of ontvangen, essentieel voor draadloze communicatie, met verschillende vormen en richtingskarakteristieken. |
| Signaalvoortplanting | Het gedrag van radiogolven wanneer ze zich door de ruimte bewegen, beïnvloed door factoren zoals obstakels, reflecties en atmosferische omstandigheden. |
| Modulatie | Het proces waarbij informatie wordt gecodeerd op een draaggolfsignaal door het aanpassen van eigenschappen zoals amplitude, frequentie of fase. |
| Multiplexing | Technieken die het mogelijk maken om meerdere signalen of datastromen over een gemeenschappelijk transmissiekanaal te verzenden, vaak door het kanaal in tijd, frequentie of ruimte te verdelen. |
| Licentievrije frequentiebanden | Banden van radiofrequenties die zonder specifieke vergunning mogen worden gebruikt, mits de gebruiksregels worden nageleefd (bv. ISM-banden). |
| ISM-band | Industrieel, Wetenschappelijk en Medisch band; een set van licentievrije radiofrequentiebanden die wereldwijd voor deze doeleinden worden gebruikt. |
| U-NII | Unlicensed National Information Infrastructure; een reeks licentievrije frequentiebanden, voornamelijk in de VS, die gebruikt worden voor draadloze netwerken zoals Wi-Fi. |
| Transmissievermogen | De kracht van het signaal dat door een zender wordt uitgezonden, wat de afstand van de communicatie beïnvloedt. |
| Duty cycle | Het percentage van de tijd dat een apparaat actief zendt of een signaal genereert, vaak beperkt in licentievrije banden om interferentie te minimaliseren. |
| Licentievrij | Apparaten of technologieën die mogen worden gebruikt zonder de noodzaak van een specifieke licentie van een regelgevende instantie, mits regels worden nageleefd. |
| EIRP | Equivalent Isotropically Radiated Power; het totale vermogen dat wordt uitgestraald door een antenne in een bepaalde richting, rekening houdend met het zendvermogen en de antenneversterking. |
| Pt | Transmit power; het werkelijke vermogen dat door de zender wordt uitgezonden. |
| Gt | Transmitter antenna gain; de versterking van de zendantenne in een specifieke richting. |
| Isotrope straler | Een theoretische antenne die elektromagnetische energie gelijkmatig in alle richtingen uitstraalt; gebruikt als referentie. |
| Stralingspatroon | Een grafische weergave die de richting en intensiteit van de straling van een antenne in de ruimte beschrijft. |
| Dipoolantenne | Een veelvoorkomend type antenne dat bestaat uit twee geleidende elementen, waarvan de lengte vaak gerelateerd is aan de golflengte van het signaal. |
| Directed antenna | Een antenne die de neiging heeft om de energie in een specifieke richting te concentreren, wat resulteert in een groter bereik in die richting. |
| Sectorized antenna | Een antenne die is ontworpen om een specifiek sectoreel gebied te bestrijken, vaak gebruikt in mobiele basisstations om dekking te bieden. |
| Antenna gain | Een maat voor hoe goed een antenne de energie in een bepaalde richting focust of ontvangt, vergeleken met een isotrope straler. |
| Multi-element antenne-arrays | Groeperingen van twee of meer antennes die samenwerken om de signaalkwaliteit, richting of versterking te verbeteren. |
| Antennediversiteit | Technieken die gebruik maken van meerdere antennes om de betrouwbaarheid van draadloze communicatie te verbeteren door het effect van fading en interferentie te verminderen. |
| Geschakelde diversiteit | Een diversiteitstechniek waarbij de ontvanger automatisch schakelt tussen de antennes die het beste signaal bieden. |
| Diversiteitscombinatie | Een techniek waarbij de signalen van meerdere antennes worden gecombineerd om een sterker en stabieler signaal te creëren. |
| MIMO | Multiple-Input Multiple-Output; een technologie die meerdere zend- en ontvangstantennes gebruikt om de datarate en betrouwbaarheid van draadloze verbindingen te verhogen. |
| Beamforming | Een signaalverwerkingsmethode die gebruikt wordt door antennes om de richting van de uitgezonden of ontvangen signalen te sturen, wat de signaalsterkte en het bereik verbetert. |
| Signaalvoortplanting | Het gedrag van radiogolven wanneer ze zich door de omgeving verplaatsen, beïnvloed door obstakels, reflecties, diffractie en absorptie. |
| Vrije ruimte propagatie | Signaalvoortplanting in een omgeving zonder obstakels, waarbij het signaal alleen wordt verzwakt door de afstand. |
| Penetratieverliezen | De verzwakking van een signaal wanneer het door materialen zoals muren, ramen of plafonds gaat. |
| Multi-path propagatie | Fenomeen waarbij een signaal meerdere paden aflegt naar de ontvanger door reflectie en diffractie, wat kan leiden tot interferentie. |
| LOS | Line-of-Sight; een directe zichtlijn tussen de zender en ontvanger, wat resulteert in het sterkste signaal. |
| NLOS | Non-Line-of-Sight; communicatie waarbij er geen directe zichtlijn is tussen de zender en ontvanger, vaak mogelijk door reflecties en diffractie. |
| Small scale fading | Snelle variaties in de signaalsterkte op korte afstanden, veroorzaakt door multi-path propagatie. |
| Frequency hopping | Een techniek waarbij de frequentie van het signaal snel en willekeurig verandert om interferentie te vermijden en beveiliging te verhogen. |
| Antenna diversity | Het gebruik van meerdere antennes om de ontvangst te verbeteren door de effecten van fading en multi-path propagatie te mitigeren. |
| Delay spread | De spreiding van een signaal in de tijd als gevolg van multi-path propagatie, waarbij verschillende signaalcomponenten op verschillende tijdstippen arriveren. |
| Inter Symbol Interference (ISI) | Interferentie tussen opeenvolgende symbolen in een datastroom, veroorzaakt door delay spread, wat de detectie van de symbolen bemoeilijkt. |
| Guard interval (GI) | Een korte periode van stilte of nuldata tussen opeenvolgende symbolen in een transmissie, bedoeld om ISI te voorkomen. |
| Channel state information (CSI) | Informatie over de eigenschappen van het transmissiekanaal, gebruikt om de ontvangst te optimaliseren en vervormingen te corrigeren. |
| Equalizer | Een elektronisch circuit of algoritme dat wordt gebruikt om de vervorming van een signaal veroorzaakt door het transmissiekanaal te corrigeren. |
| Modulatie | Het proces waarbij digitale of analoge informatie wordt gecodeerd op een radiogolf (draaggolf) voor transmissie. |
| Carrier | Een hoogfrequent signaal dat wordt gebruikt om informatie te coderen en te verzenden. |
| Amplitude | De maximale sterkte of intensiteit van een golf. |
| Phase | Het stadium van een golf op een bepaald punt in de tijd of ruimte, uitgedrukt als een hoek. |
| In-phase component (I) | Een deel van een gemoduleerd signaal dat in fase is met een referentiesignaal. |
| Quadrature component (Q) | Een deel van een gemoduleerd signaal dat 90 graden uit fase is met een referentiesignaal. |
| Complex baseband | Een representatie van een signaal die de amplitude en fase van de draaggolf combineert in een complex getal. |
| Complex envelope | De complexe representatie van een signaal die de snelle variaties van de draaggolf weglaat en alleen de informatie-inhoud toont. |
| Digital modulation | Het proces waarbij digitale data wordt gecodeerd op een analoge draaggolf. |
| Data symbol | Een combinatie van bits die wordt gecodeerd in een enkele modulatie-eenheid. |
| Bit rate | Het aantal bits dat per seconde wordt verzonden. |
| Symbol rate (baud rate) | Het aantal dat Symbolen dat per seconde wordt verzonden; een symbool kan meerdere bits representeren. |
| M | Het aantal mogelijke waarden of toestanden dat een datateken of symbool kan aannemen. |
| BPSK | Binary Phase Shift Keying; een digitale modulatietechniek die twee fasen gebruikt om binaire data te representeren (0 of 1). |
| Constellation diagram | Een grafische weergave die de mogelijke combinaties van amplitude en fase van een gemoduleerd signaal toont. |
| QPSK | Quadrature Phase Shift Keying; een digitale modulatietechniek die vier fasen gebruikt om twee bits per symbool te coderen. |
| BW | Bandwidth; de breedte van het frequentiebereik dat door een signaal wordt bezet. |
| Synchronous detection | Een demodulatiemethode waarbij een lokale oscillator op de ontvanger in fase wordt gehouden met de draaggolf van het ontvangen signaal. |
| 16-QAM | 16-Quadrature Amplitude Modulation; een digitale modulatietechniek die 16 verschillende combinaties van amplitude en fase gebruikt om 4 bits per symbool te coderen. |
| Gray-coding | Een coderingsschema dat wordt gebruikt in digitale modulatie waarbij opeenvolgende symbolen slechts één bit verschillen, wat de kans op bitfouten vermindert. |
| Hogere orde QAM | Quadrature Amplitude Modulatie technieken met meer dan 16 combinaties, zoals 64-QAM of 256-QAM, die meer bits per symbool kunnen coderen. |
| Bit Error Rate (BER) | De fractie van ontvangen bits die foutief zijn gedecodeerd. |
| SNR | Signal-to-Noise Ratio; de verhouding tussen de sterkte van het signaal en de sterkte van de ruis, wat de kwaliteit van de communicatie bepaalt. |
| Error correction techniques | Methodes die worden toegepast om bitfouten in een gedemoduleerd signaal te detecteren en te corrigeren. |
| Coding rate | De verhouding tussen het aantal informatied bits en het totale aantal verzonden bits (inclusief foutcorrectiecodes). |
| FSK | Frequency Shift Keying; een digitale modulatietechniek waarbij de data wordt gecodeerd door de frequentie van de draaggolf te veranderen. |
| GFSK | Gaussian Frequency Shift Keying; een variant van FSK waarbij de frequentie-overgangen worden gefilterd met een Gaussisch filter om bandbreedte te besparen. |
| GMSK | Gaussian Minimum Shift Keying; een geoptimaliseerde vorm van GFSK die wordt gebruikt in GSM en andere mobiele netwerken. |
| OFDM | Orthogonal Frequency Division Multiplexing; een multicarrier modulatietechniek waarbij het signaal wordt verdeeld over een groot aantal nauw op elkaar afgestemde subcarriers, wat efficiëntie en robuustheid tegen multipath biedt. |
| DVB-T | Digital Video Broadcasting - Terrestrial; een standaard voor digitale televisie-uitzendingen, die gebruik maakt van OFDM. |
| Hierarchical Modulation | Een modulatietechniek waarbij de datastroom wordt onderverdeeld in lagen met verschillende prioriteiten, zodat de laagste prioriteit ook bij slechtere signaalomstandigheden kan worden ontvangen. |
| Multi-carrier system | Een communicatiesysteem dat gebruik maakt van meerdere dragers om data te verzenden, zoals OFDM. |
| Multiplexing | Technieken om meerdere signalen of datastromen over een gemeenschappelijk transmissiekanaal te sturen. |
| Ruimte (SDM) | Space Division Multiplexing; een methode waarbij verschillende signalen gelijktijdig via verschillende ruimtelijke paden of antennes worden verzonden. |
| Tijd (TDM) | Time Division Multiplexing; een methode waarbij het kanaal wordt verdeeld in tijdsloten, en elk tijdslot aan een ander signaal wordt toegewezen. |
| Frequentie (FDM) | Frequency Division Multiplexing; een methode waarbij het beschikbare frequentiespectrum wordt verdeeld in kleinere banden, die elk aan een ander signaal worden toegewezen. |
| Code (CDM) | Code Division Multiplexing; een methode waarbij verschillende signalen gelijktijdig hetzelfde frequentiespectrum gebruiken, maar gescheiden worden door unieke codes. |
| Guard spaces | Extra ruimte (in tijd, frequentie of code) tussen signalen om interferentie te voorkomen. |
| Frequentieplanning | Het proces van het toewijzen van specifieke frequenties aan verschillende zenders of cellen om interferentie te minimaliseren en spectrumgebruik te optimaliseren. |
| Vaste frequentie-toewijzing | Een methode waarbij bepaalde frequenties permanent aan een specifieke cel of gebied worden toegewezen. |
| Dynamische frequentie-toewijzing | Een methode waarbij de toewijzing van frequenties wordt aangepast op basis van de actuele netwerkbelasting en interferentie. |
| Frequentiehergebruik | Het principe waarbij dezelfde frequenties in verschillende, voldoende gescheiden cellen worden hergebruikt om de totale capaciteit van het netwerk te vergroten. |
| Cel | Het dekkingsgebied van een mobiele basiszender. |
| Sectorantennes | Antennes die ontworpen zijn om signalen in specifieke sectoren (delen) van een cel uit te zenden en te ontvangen. |
| FDM | Frequency Division Multiplexing; zie "Multiplexing". |
| TDM | Time Division Multiplexing; zie "Multiplexing". |
| CDM | Code Division Multiplexing; zie "Multiplexing". |
| SDM | Space Division Multiplexing; zie "Multiplexing". |
| Duplex operatie | Een methode om zowel verzenden als ontvangen van data toe te staan via een communicatiekanaal. |
| FDD | Frequency Division Duplex; een duplexmethode waarbij aparte frequentiebanden worden gebruikt voor uplink (naar de basiszender) en downlink (van de basiszender). |
| TDD | Time Division Duplex; een duplexmethode waarbij dezelfde frequentieband wordt gebruikt voor zowel uplink als downlink, maar in verschillende tijdslots. |
| Uplink | De communicatierichting van het mobiele apparaat naar de basiszender. |
| Downlink | De communicatierichting van de basiszender naar het mobiele apparaat. |
| Paired spectrum | Frequentiebanden die specifiek zijn toegewezen voor zowel uplink- als downlinkcommunicatie. |
| Bluetooth | Een draadloze technologie voor gegevensoverdracht over korte afstanden, gebruikt voor het verbinden van apparaten zoals telefoons, luidsprekers en computers. |
| Wifi | Een draadloze netwerktechnologie (IEEE 802.11-standaard) die apparaten verbindt met het internet en met elkaar via radiofrequenties, voornamelijk in de 2.4 GHz en 5 GHz banden. |
| Zigbee | Een draadloze standaard (IEEE 802.15.4) voor het creëren van energiezuinige, schaalbare netwerken met een lage datasnelheid, voornamelijk gebruikt in IoT en domotica. |
| LoRa | Een gepatenteerde radiomodulatietechniek die langeafstandscommunicatie met een zeer laag energieverbruik mogelijk maakt, gebruikt in IoT-toepassingen. |
| Mobiele netwerken | Communicatienetwerken die mobiele apparaten ondersteunen, zoals 4G en 5G, gebaseerd op cellulaire architectuur. |
| RF | Radio Frequency; het spectrum van elektromagnetische golven met frequenties tussen ongeveer 3 kHz en 300 GHz, gebruikt voor draadloze communicatie. |
| SRD | Short Range Device; apparaten die communiceren via radiofrequenties over korte afstanden, vaak in licentievrije banden. |
| ISM-band | Zie "ISM-band". |
| IoT | Internet of Things; het netwerk van fysieke objecten (apparaten, voertuigen, etc.) die zijn ingebed met sensoren, software en andere technologieën om gegevens te verzamelen en uit te wisselen. |
| Smart Metering | Het gebruik van slimme meters die op afstand gegevens verzamelen over energieverbruik en deze via een netwerk doorsturen. |
| Home Security | Draadloze systemen voor beveiliging thuis, zoals alarmen, sensoren en camera's. |
| Wi-Fi (802.11 b/g/n) | Verschillende versies van de Wi-Fi standaard die werken in de 2.4 GHz band, met variërende snelheden en functies. |
| Bluetooth | Zie "Bluetooth". |
| Zigbee | Zie "Zigbee". |
| Bereik | De maximale afstand waarover een draadloze verbinding kan worden gelegd. |
| Datasnelheid | De hoeveelheid data die per tijdseenheid kan worden verzonden, meestal uitgedrukt in bits per seconde (bps). |
| Duty Cycle | Zie "Duty cycle". |
| Drukte | De mate waarin een frequentieband of netwerk wordt gebruikt door andere apparaten, wat kan leiden tot interferentie. |
| Interferentie | Ongewenste signalen die de kwaliteit of de ontvangst van een gewenst signaal beïnvloeden. |
| RF-verbinding | Een draadloze verbinding die gebruik maakt van radiofrequenties. |
| USB-nano-ontvanger | Een kleine USB-dongel die wordt gebruikt om een draadloze verbinding tot stand te brengen tussen een apparaat en een ontvanger, zoals een controller. |
| RF-protocol | Een specifiek protocol dat wordt gebruikt voor communicatie via radiofrequenties. |
| Industriële afstandsbediening | Draadloze besturingssystemen gebruikt in industriële omgevingen voor machines en apparatuur. |
| Bluetooth | Zie "Bluetooth". |
| PANs | Personal Area Networks; een computernetwerk dat wordt gebruikt voor communicatie tussen apparaten rondom een persoon. |
| Piconet | Een klein draadloos netwerk dat bestaat uit twee of meer gekoppelde Bluetooth-apparaten, waarbij één apparaat als master fungeert. |
| Harald \"Blåtand\" | Harald "Bluetooth", een Deense Vikingkoning die de Deense stammen verenigde, waarnaar de Bluetooth-technologie is vernoemd vanwege zijn doel om communicatieprotocollen te verenigen. |
| Jaap Haartsen | Een van de ontwikkelaars van het Bluetooth-concept bij Ericsson. |
| Sven Mattisson | Een van de ontwikkelaars van het Bluetooth-concept bij Ericsson. |
| Bluetooth SIG | Special Interest Group; een organisatie die de ontwikkeling, standaardisatie en promotie van Bluetooth-technologie beheert. |
| IEEE 802.15.1 | De internationale standaard die de werking van Bluetooth definieert. |
| FHSS | Frequency Hopping Spread Spectrum; een techniek waarbij het signaal frequentiesprongen maakt om interferentie te verminderen en beveiliging te verhogen. |
| Master (Bluetooth) | Het hoofdapparaat in een piconet dat de communicatie regelt. |
| Slaves (Bluetooth) | Apparaten die zijn verbonden met een master in een piconet. |
| Bluetooth Classic | De traditionele versies van Bluetooth (v1.0 tot v3.0+HS), gericht op hogere datasnelheden en hogere energieverbruik. |
| Bluetooth Low Energy (BLE) | Een energiezuinige variant van Bluetooth (vanaf v4.0), geoptimaliseerd voor korte berichten en apparaten op batterijen. |
| Bluetooth 5.0 | Een versie van Bluetooth die verbeteringen biedt op het gebied van snelheid, bereik en broadcast-mogelijkheden. |
| Bluetooth LE Audio | Een functie in Bluetooth 5.2 die verbeterde audiokwaliteit en de mogelijkheid van audio delen introduceert. |
| LC3-codec | Een audio-codec (Low Complexity Communication Codec) die gebruikt wordt in Bluetooth LE Audio voor efficiënte en hoogwaardige audio-overdracht. |
| Auracast | Een functie in Bluetooth LE Audio die draadloos delen van audio naar meerdere ontvangers mogelijk maakt. |
| Knoopcelbatterij | Een kleine, platte batterij die vaak wordt gebruikt in kleine elektronische apparaten zoals wearables en sensoren. |
| Asset tracking | Het volgen van de locatie van waardevolle items of apparatuur binnen een faciliteit. |
| Triangulatie | Een methode om de positie van een punt te bepalen door de afstanden tot drie bekende punten te meten. |
| Wi-Fi (802.11 a/b/g/n/ac/ax) | Verschillende standaarden van de Wi-Fi technologie, die opereren op 2.4 GHz, 5 GHz en 6 GHz frequentiebanden met oplopende snelheden en verbeterde efficiëntie. |
| DSSS/CCK | Direct Sequence Spread Spectrum/Complementary Code Keying; modulatietechnieken gebruikt in oudere Wi-Fi standaarden. |
| OFDM | Zie "OFDM". |
| MIMO | Zie "MIMO". |
| VHT | Very High Throughput; een aanduiding voor Wi-Fi standaarden die zeer hoge datasnelheden ondersteunen. |
| MU-MIMO | Multi-User Multiple-Input Multiple-Output; een technologie die het mogelijk maakt voor een access point om tegelijkertijd met meerdere gebruikers te communiceren. |
| OFDMA | Orthogonal Frequency Division Multiple Access; een technologie die het draadloze kanaal opdeelt in kleinere resource-eenheden voor efficiënter gebruik door meerdere apparaten, vooral in drukke omgevingen. |
| BSS-coloring | Een techniek in Wi-Fi 6 om interferentie tussen naburige Wi-Fi netwerken te verminderen door elke toegangsunit een "kleur" toe te wijzen. |
| Target Wake Time (TWT) | Een functie in Wi-Fi 6 die apparaten in staat stelt om hun actieve zendtijd te plannen, wat energie bespaart. |
| Wi-Fi 6E | Een uitbreiding van Wi-Fi 6 die de 6 GHz frequentieband toevoegt, wat meer bandbreedte en minder interferentie biedt. |
| Wi-Fi 7 (802.11be) | De volgende generatie Wi-Fi standaard, gericht op Extremely High Throughput (EHT) met bredere kanalen en verbeterde prestaties. |
| EHT | Extremely High Throughput; een aanduiding voor de zeer hoge datasnelheden die door Wi-Fi 7 worden beoogd. |
| MLO | Multi-Link Operation; een functie in Wi-Fi 7 die het mogelijk maakt voor apparaten om tegelijkertijd verbinding te maken met meerdere frequentiebanden of kanalen voor hogere snelheid en betrouwbaarheid. |
| Channel bonding | Het combineren van meerdere aangrenzende kanalen om een breder kanaal te creëren, wat resulteert in hogere datasnelheden. |
| BSS/ESS | Basic Service Set (één access point en clients) / Extended Service Set (meerdere access points met dezelfde SSID); architecturen van Wi-Fi netwerken. |
| Roaming | Het naadloos overschakelen van een mobiel apparaat tussen verschillende access points binnen hetzelfde netwerk. |
| DFS | Dynamic Frequency Selection; een mechanisme dat Wi-Fi apparaten verplicht om te detecteren en te vermijden van frequenties die worden gebruikt door radar, om interferentie te voorkomen. |
| AFC | Automatic Frequency Control; een mechanisme dat kan worden gebruikt om de gebruikte frequentie van een draadloze zender automatisch aan te passen. |
| Infrastructure mode | Een Wi-Fi netwerkarchitectuur waarbij apparaten verbinding maken met een centraal access point. |
| Ad hoc mode | Een Wi-Fi netwerkarchitectuur waarbij apparaten direct met elkaar communiceren zonder een centraal access point. |
| Mesh network | Een netwerkarchitectuur waarbij apparaten direct met elkaar verbonden zijn en data kunnen doorgeven via meerdere routes, wat zorgt voor redundantie en een groter bereik. |
| Repeater / Extender / Bridge / WDS | Apparaten die worden gebruikt om het bereik van een draadloos netwerk te vergroten. |
| Handoff | Het proces waarbij een mobiel apparaat de verbinding met één access point verbreekt en onmiddellijk verbinding maakt met een ander, zonder onderbreking van de dienst. |
| 802.11r | Een Wi-Fi standaard die snelle handovers tussen access points mogelijk maakt. |
| 802.11k/v | Wi-Fi standaarden die het access point helpen bij het beheren van clients en het optimaliseren van roaming. |
| Zigbee (IEEE 802.15.4) | Een draadloze standaard ontworpen voor lage bandbreedte, laag stroomverbruik en IoT-toepassingen, vaak met een mesh-architectuur. |
| Coördinator (ZC) | Het centrale apparaat dat een Zigbee-netwerk creëert en beheert. |
| Router (ZR) | Een Zigbee-apparaat dat op een vaste stroombron is aangesloten en fungeert als signaalversterker en doorgangspunt in het mesh-netwerk. |
| Eindtoestel (ZED) | Een Zigbee-apparaat op batterijen dat communiceert met een router of coördinator en meestal in slaapstand gaat om energie te besparen. |
| Zelfherstellend netwerk | Een netwerk dat automatisch nieuwe routes kan vinden als een node uitvalt. |
| Wifi vs Zigbee | Een vergelijking tussen Wi-Fi en Zigbee, waarbij Wi-Fi gericht is op hoge snelheid en internettoegang, en Zigbee op lage energieverbruik en betrouwbaarheid voor IoT. |
| Datasnelheid | Zie "Datasnelheid". |
| Energieverbruik | Zie "Energieverbruik". |
| Schaalbaarheid | Het vermogen van een netwerk om een groeiend aantal gebruikers of apparaten te ondersteunen. |
| Mobiele netwerken | Zie "Mobiele netwerken". |
| 1G | Eerste generatie mobiele netwerken, voornamelijk analoog voor spraak. |
| 2G GSM | Tweede generatie mobiele netwerken, digitaal voor spraak en SMS. |
| 2.5G GPRS | Een verbetering van 2G die pakketgeschakelde dataverkeer introduceerde. |
| 2.75G EDGE | Een verdere verbetering van GPRS met hogere datasnelheden. |
| 3G UMTS | Derde generatie mobiele netwerken, gericht op multimedia en internettoegang. |
| 3.5G HSPA | Een verbetering van 3G die hogere download- en uploadsnelheden bood. |
| 4G LTE | Vierde generatie mobiele netwerken (Long-Term Evolution), gebaseerd op IP en met hoge datasnelheden. |
| 5G | Vijfde generatie mobiele netwerken, met ultra-lage latentie, massive IoT-ondersteuning en Gbps+ snelheden. |
| 6G | Toekomstige generatie mobiele netwerken, die communicatie en sensing integreert. |
| Gelicenseerde banden | Frequentiebanden die exclusief zijn toegewezen aan specifieke operators en waarvoor licenties nodig zijn. |
| mmWave | Millimeter Wave; een deel van het radiospectrum met zeer hoge frequenties (typisch 24-100 GHz) dat brede bandbreedtes biedt voor 5G. |
| Cellulaire netwerken | Netwerken die zijn opgebouwd uit cellen, waarbij elke cel wordt bediend door een basiszender; de architectuur van mobiele netwerken. |
| Autonomous driving | Zelfrijdende voertuigen die geen menselijke tussenkomst nodig hebben om te navigeren. |
| Drone-communicatie | Draadloze communicatie met drones voor besturing, telemetrie en data-overdracht. |
| Remote surgery | Chirurgie uitgevoerd op afstand met behulp van robots en geavanceerde communicatietechnologieën. |
| Latentie | Zie "Latency". |
| Ultra-Low Latency | Zeer lage latentie, essentieel voor real-time besturing en interactie. |
| Massive IoT | Ondersteuning voor een extreem groot aantal verbonden apparaten in het Internet of Things. |
| eMBB | Enhanced Mobile Broadband; een 5G-service gericht op zeer hoge doorvoersnelheden voor consumenten. |
| mMTC | Massive Machine Type Communication; een 5G-service die een zeer groot aantal IoT-apparaten ondersteunt. |
| URLLC | Ultra-Reliable Low-Latency Communications; een 5G-service die hoge betrouwbaarheid en extreem lage latentie biedt, essentieel voor kritieke toepassingen. |
| SIM-kaart | Subscriber Identity Module; een kaart die identificatie-informatie bevat voor een abonnee van een mobiel netwerk. |
| M2M-platform | Machine-to-Machine platform; een softwareplatform dat het beheer en de communicatie van IoT-apparaten faciliteert. |
| LPWAN | Low-Power Wide-Area Network; een type draadloos netwerk dat is ontworpen voor apparaten met een laag energieverbruik die over grote afstanden communiceren. |
| LoRaWAN | LoRa Wide Area Network; een netwerkprotocol dat bovenop LoRa-technologie werkt om LPWAN-netwerken te creëren. |
| RTK | Real-Time Kinematic; een techniek die GNSS-data verbetert om zeer nauwkeurige positiebepaling in real-time te bieden. |
| LTE-M | LTE Cat-M1; een 4G-gebaseerde technologie voor IoT-apparaten, gericht op lager verbruik en betere binnendekking dan standaard LTE. |
| NB-IoT | Narrowband-IoT; een LPWAN-technologie die is gebaseerd op LTE en geoptimaliseerd is voor laag-energieverbruik en goede penetratie. |
| AGV | Automatic Guided Vehicle; een robot die autonoom navigeert en taken uitvoert in een industriële omgeving. |
| Collision avoidance | Systemen en technologieën die botsingen tussen voertuigen of robots voorkomen. |
| Noodstop | Een veiligheidsfunctie die een machine of systeem onmiddellijk stopt in geval van gevaar. |
| mmWave | Zie "mmWave". |
| Infrastructuur | De fysieke en organisatorische middelen die nodig zijn voor de werking van een netwerk of systeem. |
| Dekking | Het geografische gebied waar een draadloos signaal beschikbaar is. |
| LoRa | Zie "LoRa". |
| NB-IoT | Zie "NB-IoT". |
| 868 MHz ISM-band | Een licentievrije ISM-frequentieband die voornamelijk in Europa wordt gebruikt voor toepassingen zoals LoRa. |
| Data rate | Zie "Data rate". |
| Energiezuinige telemetrie | Het op afstand verzamelen van meetgegevens met een minimaal energieverbruik. |
| Landelijke gebieden | Gebieden buiten de steden, met lagere bevolkingsdichtheid en minder gebouwen. |
| Stedelijke gebieden | Gebieden met een hoge bevolkingsdichtheid en veel gebouwen. |
| Sporadische datapakketten | Kleine hoeveelheden data die met onregelmatige tussenpozen worden verzonden. |
| Node | Een individueel apparaat of punt in een netwerk. |
| Gateway | Een apparaat dat verschillende netwerken met elkaar verbindt. |
| Statische sensoren | Sensoren die op een vaste locatie zijn geïnstalleerd om omgevingsparameters te monitoren. |
| Niet-kritische Asset Tracking | Het volgen van de locatie van objecten die geen real-time nauwkeurigheid vereisen. |
| AGV's (Automatic Guided Vehicles) | Zie "AGV". |
| Overzicht | Een samenvatting van de belangrijkste kenmerken van verschillende technologieën. |
| Technologie | Een algemene term voor een bepaald type draadloze communicatie of netwerk. |
| Band | Frequentieband; zie "Frequentieband". |
| Data Rate | Zie "Data rate". |
| Bereik | Zie "Bereik". |
| Energie | Energieverbruik; zie "Energieverbruik". |
| Architectuur | De structuur en organisatie van een netwerk of systeem. |
| Robottoepassing | Specifieke taken of functies waarvoor een technologie in robotica wordt gebruikt. |
| Keuzecriteria | Factoren die worden overwogen bij het selecteren van de meest geschikte technologie voor een specifieke toepassing. |
| Toepassing | Het specifieke gebruik of doel van een technologie. |
| Latency | Zie "Latency". |
| Energieverbruik | Zie "Energieverbruik". |
| Complexiteit | De mate van ingewikkeldheid van de hardware- of softwarestack van een technologie. |
| Kostprijs | De totale kosten van een technologie, inclusief hardware, software en operationele kosten. |
Cover
7) UITGEWERKT Elektrotechniek1_UitWerkingOefeningenHerfstKerst_full.pdf
Summary
# Wisselspanning en wisselstroom oefeningen
Deze sectie bevat diverse oefeningen met betrekking tot berekeningen van stromen, spanningen en weerstanden in verschillende wisselspannings- en wisselstroomcircuits.
### 1.1 Oefening 1: Serieschakeling van weerstanden
Deze oefening behandelt een serieschakeling van twee zuiver ohmse weerstanden, $R_1$ en $R_2$, waarop een sinusvormige spanning $U$ met een frequentie van 50 Hz wordt aangelegd. De totale effectieve stroom door de kring is $I=2$ A, en de effectieve spanning over de eerste weerstand is $U_1=20$ V. De weerstand van de tweede weerstand is $R_2=20$ Ω [2](#page=2).
**Te berekenen:**
* De waarde van weerstand $R_1$ [2](#page=2).
* De effectieve spanning $U_2$ over de tweede weerstand [2](#page=2).
* De effectieve aangelegde spanning $U$ [2](#page=2).
* Het schema met aanduiding van spanningen en stromen [2](#page=2).
**Antwoord:**
* $R_1 = 10$ Ω [2](#page=2).
* $U_2 = 40$ V [2](#page=2).
* $U = 60$ V [2](#page=2).
### 1.2 Oefening 2: Gemengde schakeling
Deze oefening vereist het berekenen van verschillende parameters in een meer complexe schakeling [2](#page=2).
**Te berekenen:**
* De effectieve waarde van de aangelegde spanning $U$ [2](#page=2).
* De effectieve waarde van de totaalstroom $I$ [2](#page=2).
* De effectieve waarden van drie andere deelstromen [2](#page=2).
* De equivalente weerstand van de schakeling [2](#page=2).
**Antwoord:**
* $U = 220$ V [2](#page=2).
* $I = 4$ A [2](#page=2).
* $I_1 = 1$ A [2](#page=2).
* $I_3 = 1$ A [2](#page=2).
* $I_4 = I = 4$ A [2](#page=2).
* $R_{eq} = 55$ Ω [2](#page=2).
### 1.3 Oefening 3: Netwerk met wisselende weerstand
Deze oefening vraagt naar de berekening van de stroom $I$ door een weerstand $R$ in een netwerk, waarbij de waarde van $R$ varieert [5](#page=5).
**Te berekenen:**
* De stroom $I$ door weerstand $R$ voor de volgende waarden van $R$: 5, 10, 50, 100, 500 en 1000 Ω [5](#page=5).
### 1.4 Oefening 4: Vermogensberekeningen in een netwerk
Deze oefening concentreert zich op het berekenen van vermogens in een elektrisch netwerk. Een ampèremeter geeft een stroom aan van 0,25 A [5](#page=5).
**Te berekenen:**
* De klemspanning van de ideale bron [5](#page=5).
* Het opgenomen vermogen door weerstand $R_2$ [5](#page=5).
* Het opgenomen vermogen door weerstand $R_5$ [5](#page=5).
* Het totale geleverde vermogen [5](#page=5).
* Duidelijke gevolgde stappen en vervangschema's, voorzien van spanning- en stroompijltjes [5](#page=5).
* Correcte eenheden bij alle antwoorden [5](#page=5).
**Antwoord:**
* Totale weerstand $R_{tot} = 8.82$ Ω [5](#page=5).
* Totale stroom $I_{tot} = I_{R1} = 1.19$ A [5](#page=5).
* Stroom door $R_2$, $I_{R2} = 0.25$ A [5](#page=5).
* Stroom door $R_5$, $I_{R5} = 0.94$ A [5](#page=5).
* Bronspanning $E = 10.47$ V [5](#page=5).
* Vermogen door $R_2$, $P_2 = 1.75$ W [5](#page=5).
* Vermogen door $R_5$, $P_5 = 5.3$ W [5](#page=5).
* Totaal vermogen $P_{tot} = 12.5$ W [5](#page=5).
### 1.5 Oefening 5: Serieschakeling met deelspanningen en vermogens
Deze oefening betreft een serieschakeling van vier weerstanden met gegeven waarden: $R_1 = 3$ Ω, $R_2 = 2$ Ω, $R_3 = 6$ Ω, en $R_4 = 4$ Ω. Er wordt 80 vac gemeten over de weerstanden $R_2$ en $R_3$ samen [8](#page=8).
**Te berekenen:**
* Het schema van de schakeling [8](#page=8).
* De bronspanning $U_{bron}$ [8](#page=8).
* De onbekende stromen [8](#page=8).
* De deelspanningen over elke weerstand [8](#page=8).
* Het gedissipeerd vermogen in elke weerstand [8](#page=8).
* Het totaal gedissipeerd vermogen [8](#page=8).
**Antwoord:**
* $U_{bron} = 150$ V [8](#page=8).
### 1.6 Oefening 6: Berekening van onbekende parameters
Deze oefening vraagt naar de berekening van diverse onbekende parameters in een circuit, waaronder stromen, spanningen en vermogens [8](#page=8).
**Te berekenen:**
* De onbekende stromen $I_1, I_2, I_3, I_4, I_6$ [8](#page=8).
* De weerstanden $R_3$ en $R_5$ [8](#page=8).
* De series weerstand $R_{sp}$ [8](#page=8).
* De deelspanningen $U_{ab}, U_{bc}, U_{cd}$ [8](#page=8).
* De vermogens $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ [8](#page=8).
* Het totaal vermogen $P$ [8](#page=8).
**Antwoord:**
* $I_1 = 2.56$ A [8](#page=8).
* $I_2 = 3.84$ A [8](#page=8).
* $I_3 = 6.40$ A [8](#page=8).
* $I_4 = 2.40$ A [8](#page=8).
* $I_6 = 2$ A [8](#page=8).
* $R_3 = 12.60$ Ω [8](#page=8).
* $R_5 = 12$ Ω [8](#page=8).
* $R_{sp} = 18.75$ Ω [8](#page=8).
* $U_{ab} = 15.36$ V [8](#page=8).
* $U_{bc} = 80.64$ V [8](#page=8).
* $U_{cd} = 24.00$ V [8](#page=8).
* $P_1 = 39.3216$ W [8](#page=8).
* $P_2 = 58.9824$ W [8](#page=8).
* $P_3 = 516.096$ W [8](#page=8).
* $P_4 = 57.60$ W [8](#page=8).
* $P_5 = 48$ W [8](#page=8).
* $P_6 = 48$ W [8](#page=8).
* $P = 768$ W [8](#page=8).
---
# Toepassingen van schakelaars en schema's
Deze sectie behandelt verschillende toepassingen van schakelaars in verlichtingssystemen, inclusief het tekenen van bijbehorende schema's, met specifieke aandacht voor ééndraadschema's en situatieplannen [11](#page=11).
### 2.1 Schakelaars en hun toepassingen
#### 2.1.1 Eén plaats bediening
In een zorgcentrum kan het licht in de badkamer vanaf één plaats bediend worden. Dit is de meest eenvoudige toepassing, waarbij een enkele schakelaar volstaat [11](#page=11).
##### 2.1.1.1 Schema voor één plaats bediening
Voor een bediening vanaf één plaats wordt een standaard enkelpolige schakelaar gebruikt. Het schema hiervoor toont een lijn die van de stroombron naar de lamp gaat, onderbroken door een schakelaar [11](#page=11).
#### 2.1.2 Meerdere plaatsen bediening
Toepassingen waarbij licht vanaf meerdere plaatsen bediend moet worden, vereisen complexere schakelingen.
##### 2.1.2.1 Vier plaatsen bediening met schakelaars
In een ziekenhuisgang kan het licht vanaf vier verschillende plaatsen bediend worden met behulp van schakelaars. Dit scenario vereist een combinatie van wisselschakelaars en kruisschakelaars [11](#page=11).
> **Tip:** Voor bediening vanaf twee plaatsen gebruikt men twee wisselschakelaars. Voor elke extra bedieningsplaats wordt een kruisschakelaar toegevoegd.
##### 2.1.2.2 Vier plaatsen bediening met drukknoppen
In een ziekenhuisgang kan het licht ook vanaf vier verschillende plaatsen bediend worden met drukknoppen. Dit type bediening impliceert een zogenaamde teleruptorschakeling, die vaak gebruikt wordt in grotere gebouwen en gangen om de bediening vanaf vele punten mogelijk te maken [11](#page=11).
> **Tip:** Drukknoppen voor teleruptorschakelingen werken met korte pulsen. Een druk op de knop verandert de status van het licht (aan naar uit, of uit naar aan), ongeacht de status van andere drukknoppen in hetzelfde circuit.
### 2.2 Schema's
Het correct tekenen van schema's is essentieel voor het begrijpen en installeren van elektrische schakelingen.
#### 2.2.1 Ééndraadschema
Een ééndraadschema is een vereenvoudigde weergave van een elektrische installatie. Het toont de verbindingen tussen de componenten met zo min mogelijk lijnen, waarbij de fase- en nuldraad vaak niet expliciet getekend worden, maar wel de functies van de draden worden aangeduid. Dit type schema is nuttig voor het snelle overzicht van de installatie [11](#page=11).
#### 2.2.2 Situatieplan
Een situatieplan geeft de fysieke lay-out van de installatie weer in de werkelijke omgeving. Het toont de locatie van schakelaars, lampen en andere elektrische componenten zoals ze in een ruimte zijn geplaatst. Dit plan is cruciaal voor de installateur om de componenten correct te positioneren en aan te sluiten [11](#page=11).
##### 2.2.2.1 Oefening: Ééndraadschema en situatieplan
Als oefening kan men een ééndraadschema en een situatieplan maken van een lokaal waarin momenteel les wordt gegeven. Dit helpt bij het toepassen van de geleerde concepten in een concrete situatie [11](#page=11).
---
# Wet van Kirchhoff oefeningen
Deze sectie behandelt de toepassing van de Wetten van Kirchhoff voor het analyseren van elektrische circuits, inclusief voorbeelden en oefeningen met het berekenen van stromen en spanningen, en het gebruik van matrices.
### 3.1 Toepassing van de Wetten van Kirchhoff
De Wetten van Kirchhoff bieden een systematische methode om stromen en spanningen te berekenen in complexe elektrische circuits die niet eenvoudigweg met de wet van Ohm kunnen worden opgelost. Deze wetten zijn gebaseerd op het behoud van lading en energie in een circuit [15](#page=15).
### 3.2 Voorbeelden van oefeningen
#### 3.2.1 Oefening met berekening van stromen
Een typische oefening betreft het berekenen van de stromen door verschillende takken van een circuit. Door de wetten van Kirchhoff toe te passen, kunnen de onbekende stromen systematisch worden bepaald.
**Voorbeeld:**
Gegeven een circuit, waarbij de stromen $I_1$, $I_2$ en $I_3$ berekend moeten worden [22](#page=22).
**Oplossing (voorbeeld):**
De berekende stromen kunnen de volgende waarden hebben:
* $I_1 = 529$ mA [22](#page=22).
* $I_2 = 509$ mA [22](#page=22).
* $I_3 = -19$ mA [22](#page=22).
Een ander voorbeeld illustreert de berekening van stromen $I_1$, $I_2$ en $I_3$ in een ander circuitconfiguratie [26](#page=26).
**Oplossing (voorbeeld):**
* $I_1 = 20,13$ A [26](#page=26).
* $I_2 = -6,269$ A [26](#page=26).
* $I_3 = 13,861$ A [26](#page=26).
> **Tip:** Een negatieve stroomwaarde geeft aan dat de werkelijke stroomrichting tegengesteld is aan de aangenomen richting in het schema.
#### 3.2.2 Oefeningen met matrices
Voor complexere circuits kan het gebruik van matrices een efficiënte methode zijn om de Wetten van Kirchhoff toe te passen en de circuitvergelijkingen op te lossen. Dit is met name handig bij het analyseren van circuits met meerdere lussen en knooppunten [29](#page=29) [34](#page=34).
> **Tip:** Vergeet bij het opstellen van de vergelijkingen voor matrixoplossingen niet de interne weerstanden ($R_i$) van de componenten mee te nemen [29](#page=29).
De toepassing van matrices vereist het opstellen van een stelsel lineaire vergelijkingen op basis van de wet van stroom (KCL) en de wet van spanning (KVL). Dit stelsel kan vervolgens worden opgelost met behulp van matrixalgebra, bijvoorbeeld met behulp van de inverse matrix of Gauss-eliminatie.
**Voorbeelden van circuitdiagrammen voor matrixanalyse:**
Er worden diverse circuitdiagrammen gepresenteerd als oefening voor het toepassen van Kirchhoff's wetten met matrices. Deze oefeningen helpen bij het ontwikkelen van de vaardigheid om de juiste vergelijkingen op te stellen en de matrixoperaties correct uit te voeren [29](#page=29) [34](#page=34).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Wisselspanning | Een elektrische spanning waarvan de polariteit periodiek omkeert. De effectieve waarde van de wisselspanning is een maat voor de "grootte" van de spanning. |
| Wisselstroom | Een elektrische stroom waarvan de richting periodiek omkeert. De effectieve waarde van de wisselstroom is een maat voor de "grootte" van de stroom. |
| Weerstand | Een passief elektronisch component dat de doorgang van elektrische stroom bemoeilijkt. De weerstand wordt uitgedrukt in Ohm ($\Omega$). |
| Serieschakeling | Een schakeling waarbij componenten achtereenvolgens zijn verbonden, zodat de stroom door elk component dezelfde waarde heeft. |
| Parallelschakeling | Een schakeling waarbij componenten parallel aan elkaar zijn verbonden, zodat de spanning over elk component dezelfde waarde heeft. |
| Effectieve waarde | De waarde van een wisselgrootheid (spanning of stroom) die dezelfde warmteontwikkeling zou veroorzaken als een gelijkwaardige gelijkstroom of gelijkspanning. |
| Frequentie | Het aantal perioden van een wisselgrootheid per seconde, uitgedrukt in Hertz (Hz). |
| Kirchhoff's spanningswet | Stelt dat de som van de spanningen over de componenten in een gesloten circuit gelijk is aan de bronspanning. $\sum U_i = U_{bron}$. |
| Kirchhoff's stroomwet | Stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenstromen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. $\sum I_{in} = \sum I_{uit}$. |
| Weerstandsvermogen | Het vermogen dat door een weerstand wordt gedissipeerd, meestal als warmte. Het wordt berekend met de formule $P = I^2 R$ of $P = U^2 / R$. |
| Sinusoïdale spanning | Een spanning die varieert volgens een sinusvormige functie, karakteristiek voor wisselspanningen. |
Cover
8) Proefexamen.pdf
Summary
# PROEFEXAMEN
Deze sectie behandelt de berekening van de totale equivalente weerstand, de stroom door specifieke weerstanden en het vermogen van weerstanden in een gemengde elektrische schakeling, evenals de relatie tussen spanning en stroom [2](#page=2).
### 1.1 Berekening van de totale equivalente weerstand
Het bepalen van de totale equivalente weerstand ($R\_{eq}$) van een gemengde schakeling vereist het stapsgewijs vereenvoudigen van de schakeling. Dit houdt in dat serieschakelingen worden samengevoegd tot één weerstand en parallelschakelingen worden samengevoegd tot één weerstand, totdat de gehele schakeling is gereduceerd tot een enkele equivalente weerstand [2](#page=2).
#### 1.1.1 Vereenvoudigingsstappen
Bij het analyseren van gemengde schakelingen is het cruciaal om de vereenvoudigingsstappen duidelijk aan te geven en telkens de tussenliggende schema's te tekenen [2](#page=2).
#### 1.1.2 Formules voor vereenvoudiging
* **Serieschakeling:** De equivalente weerstand ($R\_s$) van weerstanden in serie is de som van de individuele weerstanden: $$R\_s = R\_1 + R\_2 + \\dots + R\_n$$ [2](#page=2).
* **Parallelschakeling:** De equivalente weerstand ($R\_p$) van weerstanden in parallel kan worden berekend met de volgende formule: $$\\frac{1}{R\_p} = \\frac{1}{R\_1} + \\frac{1}{R\_2} + \\dots + \\frac{1}{R\_n}$$ Voor twee weerstanden in parallel kan dit ook vereenvoudigd worden tot: $$R\_p = \\frac{R\_1 \\times R\_2}{R\_1 + R\_2}$$ [2](#page=2).
### 1.2 Berekening van stroom door specifieke weerstanden
Nadat de totale equivalente weerstand is berekend, kan de totale stroom die door de schakeling vloeit, worden bepaald met de wet van Ohm. Vervolgens kan door middel van spanningsdelers of stroomdelers de stroom door specifieke weerstanden worden berekend [2](#page=2).
#### 1.2.1 De wet van Ohm
De wet van Ohm stelt dat de stroom ($I$) die door een geleider vloeit, recht evenredig is met de spanning ($V$) over de geleider en omgekeerd evenredig is met de weerstand ($R$) van de geleider: $$I = \\frac{V}{R}$$ [2](#page=2).
### 1.3 Berekening van het vermogen van weerstanden
Het vermogen ($P$) dat door een weerstand wordt verbruikt, kan op verschillende manieren worden berekend, afhankelijk van de bekende waarden (spanning, stroom, weerstand) [2](#page=2).
#### 1.3.1 Vermogenformules
* Vermogen in termen van spanning en stroom: $$P = V \\times I$$ [2](#page=2).
* Vermogen in termen van stroom en weerstand (afgeleid uit de wet van Ohm, $V=I \\times R$): $$P = I^2 \\times R$$ [2](#page=2).
* Vermogen in termen van spanning en weerstand (afgeleid uit de wet van Ohm, $I=\\frac{V}{R}$): $$P = \\frac{V^2}{R}$$ [2](#page=2).
### 1.4 Relatie tussen spanning en stroom
De relatie tussen spanning en stroom in een elektrische schakeling wordt primair beschreven door de wet van Ohm [2](#page=2).
#### 1.4.1 Toepassing van de wet van Ohm op de relatie spanning-stroom
Als de weerstand constant blijft, is de stroom recht evenredig met de aangelegde spanning. Dit betekent dat een toename van de spanning leidt tot een toename van de stroom, en een afname van de spanning leidt tot een afname van de stroom [2](#page=2).
> **Voorbeeld:** Als de spanning vergroot van 100V naar 150V, dan vergroot de stroom. Dit kan worden aangetoond met de wet van Ohm ($I = \\frac{V}{R}$). Als de weerstand $R$ constant blijft, en de spanning $V$ toeneemt, dan zal $I$ ook toenemen.
> **Tip:** Bij het oplossen van gemengde schakelingen, werk altijd van het kleinste, meest vereenvoudigbare deel van de schakeling naar buiten toe. Dit minimaliseert de kans op fouten.
* * *
# Analyse van AC-netwerken en energiekosten
Dit gedeelte behandelt de analyse van een eenvoudig AC-netwerk bestaande uit een weerstand die is aangesloten op een wisselspanningsbron, inclusief de berekening van energiekosten [5](#page=5).
### 2.1 Analyse van het AC-netwerk
#### 2.1.1 Componenten en bron
Het netwerk bestaat uit een AC-bron en een weerstand, R1, verbonden via een koperen geleider [5](#page=5).
#### 2.1.2 Bepalen van de weerstandswaarde
De weerstandswaarde van R1 kan worden afgelezen uit de bijlage, die hier niet is opgenomen, maar die essentieel is voor de berekeningen [5](#page=5).
#### 2.1.3 Bepalen van de periode van de wisselspanningsbron
De periode van de wisselspanningsbron is een fundamentele eigenschap die nodig is voor verdere analyses, zoals het berekenen van de frequentie of het faseren van signalen [5](#page=5).
#### 2.1.4 Berekenen van de totale stroom
De totale stroom doorheen het netwerk kan worden berekend met behulp van de Wet van Ohm. Aangezien het een puur resistief circuit betreft, is de stroom direct evenredig met de aangelegde spanning en omgekeerd evenredig met de weerstandswaarde.
De Wet van Ohm wordt uitgedrukt als: $$I = \\frac{V}{R}$$ Waarbij:
* $I$ de stroom is in Ampère (A) [5](#page=5).
* $V$ de spanning is in Volt (V) [5](#page=5).
* $R$ de weerstand is in Ohm ($\\Omega$) [5](#page=5).
Om de totale stroom te berekenen, zijn de effectieve (RMS) waarden van spanning en weerstand nodig, of de momentane waarden indien deze bekend zijn.
### 2.2 Berekening van energiekosten
#### 2.2.1 Energieverbruik
Het energieverbruik van een weerstand in een AC-netwerk wordt berekend op basis van het vermogen en de tijdsduur dat de weerstand is ingeschakeld. Het vermogen dat door een weerstand wordt gedissipeerd, wordt gegeven door [5](#page=5): $$P = V \\cdot I$$ Of, door de Wet van Ohm te substitueren: $$P = R \\cdot I^2$$ en $$P = \\frac{V^2}{R}$$ Waarbij $P$ het vermogen is in Watt (W) [5](#page=5).
Het totale energieverbruik ($E$) in kilowattuur (kWh) wordt berekend door het vermogen in kilowatt (kW) te vermenigvuldigen met de tijdsduur in uren (h): $$E = P\_{\\text{kW}} \\cdot t\_{\\text{h}}$$ Waarbij:
* $E$ de energie is in kilowattuur (kWh) [5](#page=5).
* $P\_{\\text{kW}}$ het vermogen is in kilowatt (kW). Dit is het vermogen in Watt gedeeld door 1000 [5](#page=5).
* $t\_{\\text{h}}$ de tijdsduur is in uren (h) [5](#page=5).
#### 2.2.2 Berekening van de elektriciteitskosten
De kosten van elektriciteitsverbruik worden bepaald door het totale energieverbruik te vermenigvuldigen met de prijs per kilowattuur die door de energieleverancier wordt gehanteerd [5](#page=5).
De formule voor de totale kosten is: $$ \\text{Kosten} = E \\cdot \\text{Prijs per kWh} $$ Waarbij de prijs per kWh wordt gegeven in euro's of een andere valuta [5](#page=5).
> **Tip:** Zorg ervoor dat alle eenheden consistent zijn voordat u de berekeningen uitvoert. Vermogen moet in kW worden uitgedrukt en de tijd in uren om het energieverbruik in kWh te verkrijgen.
#### 2.2.3 Voorbeeld van een kostenberekening
Stel dat een weerstand van 100 ohm is aangesloten op een AC-bron van 230 volt gedurende 45 minuten, en de energieleverancier rekent 0,3 euro per kWh.
1. **Bereken het vermogen:** Gebruik de formule $P = \\frac{V^2}{R}$. $P = \\frac{(230 \\text{ V})^2}{100 \\Omega} = \\frac{52900}{100} \\text{ W} = 529 \\text{ W}$.
2. **Converteer vermogen naar kilowatt:**$P\_{\\text{kW}} = \\frac{529 \\text{ W}}{1000} = 0,529 \\text{ kW}$.
3. **Converteer tijdsduur naar uren:**$t\_{\\text{h}} = \\frac{45 \\text{ minuten}}{60 \\text{ minuten/uur}} = 0,75 \\text{ uur}$.
4. **Bereken het energieverbruik:**$E = P\_{\\text{kW}} \\cdot t\_{\\text{h}} = 0,529 \\text{ kW} \\cdot 0,75 \\text{ uur} = 0,39675 \\text{ kWh}$.
5. **Bereken de totale kosten:** Kosten = $0,39675 \\text{ kWh} \\cdot 0,3 \\text{ euro/kWh} = 0,119025$ euro.
De kosten bedragen dus ongeveer 0,119 euro [5](#page=5).
* * *
# Meetinstrumenten en basis elektrotechnische concepten
Dit onderwerp behandelt de werking van een elektriciteitsmeter, de te meten grootheden, de berekeningsformule, en definieert de RMS-waarde en de ogenblikkelijke waarde van een sinusvormige spanning [7](#page=7).
### 3.1 De elektriciteitsmeter
Een elektriciteitsmeter meet de hoeveelheid verbruikte elektriciteit die thuis wordt afgenomen [7](#page=7).
#### 3.1.1 Te meten grootheden en berekening
Om het verbruik thuis te meten en te berekenen, zijn er drie zaken die de meter meet [7](#page=7):
1. **Spanning (V)**: Dit is de elektrische potentiaalverschil over de aangesloten apparatuur. De eenheid voor spanning is Volt (V) [7](#page=7).
2. **Stroom (A)**: Dit is de hoeveelheid elektrische lading die per tijdseenheid door een geleider vloeit. De eenheid voor stroom is Ampère (A) [7](#page=7).
3. **Tijd (s)**: Dit is de duur gedurende welke de spanning en stroom aanwezig zijn. De eenheid voor tijd is seconde (s) [7](#page=7).
De elektriciteitsmeter berekent het verbruik (energie) met de volgende vergelijking [7](#page=7):
$$ Energie = Spanning \\times Stroom \\times Tijd $$
In symbolen wordt dit vaak weergegeven als:
$$ E = V \\times I \\times t $$
waarbij:
* $E$ de energie voorstelt (gemeten in Joules, hoewel de elektriciteitsmeter het verbruik vaak in kilowattuur weergeeft) [7](#page=7).
* $V$ de spanning voorstelt [7](#page=7).
* $I$ de stroom voorstelt [7](#page=7).
* $t$ de tijd voorstelt [7](#page=7).
#### 3.1.2 Verbruikseenheid
De uiteindelijke grootheid die de meter meet en registreert als verbruik, is energie, vaak uitgedrukt in kilowattuur (kWh). Eén kilowattuur staat gelijk aan het verbruik van 1 kilowatt gedurende 1 uur [7](#page=7).
### 3.2 Begrippen bij sinusvormige spanning
#### 3.2.1 RMS-waarde van een sinusvormige spanning
De RMS-waarde (Root Mean Square) van een sinusvormige spanning is de effectieve waarde van die spanning. Deze waarde is gelijk aan de gelijkspanning die dezelfde hoeveelheid vermogen zou ontwikkelen in een weerstand. Voor een sinusvormige spanning geldt de relatie [7](#page=7):
$$ V\_{RMS} = \\frac{V\_{ piek}}{\\sqrt{2}} $$
waarbij $V\_{ piek}$ de maximale waarde (piekwaarde) van de spanning is [7](#page=7).
> **Tip:** De RMS-waarde wordt veel gebruikt omdat het de waarde is die de meeste elektrische apparaten effectief "zien" en waarop hun vermogensberekeningen gebaseerd zijn. De spanning op het stopcontact in huis is een RMS-waarde (bv. 230V).
#### 3.2.2 De ogenblikkelijke waarde van een sinusvormige spanning
De ogenblikkelijke waarde van een sinusvormige spanning is de waarde van de spanning op een specifiek, willekeurig moment in de tijd. Deze waarde varieert continu volgens een sinusvormige functie. De formule voor de ogenblikkelijke waarde ($v(t)$) van een sinusvormige spanning is [7](#page=7):
$$ v(t) = V\_{ piek} \\cdot \\sin(\\omega t + \\phi) $$
waarbij:
* $v(t)$ de ogenblikkelijke spanning op tijdstip $t$ is [7](#page=7).
* $V\_{ piek}$ de piekwaarde van de spanning is [7](#page=7).
* $\\omega$ de hoekfrequentie is (gelijk aan $2\\pi f$, met $f$ de frequentie) [7](#page=7).
* $t$ de tijd is [7](#page=7).
* $\\phi$ de fasehoek is [7](#page=7).
> **Tip:** Verwar de ogenblikkelijke waarde niet met de RMS-waarde of de piekwaarde. De ogenblikkelijke waarde geeft de waarde op één exact moment weer, terwijl de RMS-waarde een gemiddelde effectieve waarde over een periode aangeeft en de piekwaarde de maximale amplitude aanduidt.
* * *
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
* Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
* Let op formules en belangrijke definities
* Oefen met de voorbeelden in elke sectie
* Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Equivalent weerstand | De weerstandswaarde van een enkele weerstand die dezelfde totale stroom zou trekken uit een spanningsbron als de oorspronkelijke complexe schakeling. Dit vereenvoudigt de analyse van het netwerk. |
| Stroom | De hoeveelheid elektrische lading die per tijdseenheid door een geleider vloeit. De eenheid van stroom is Ampère (A). |
| Vermogen | De snelheid waarmee energie wordt overgedragen of verbruikt. In elektrische circuits wordt vermogen berekend met de formule $P = V \times I$ of $P = I^2 \times R$. De eenheid is Watt (W). |
| Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektrotechniek die het verband legt tussen spanning ($V$), stroom ($I$) en weerstand ($R$) in een elektrisch circuit. De formule is $V = I \times R$. |
| Periode (T) | De tijd die een volledige cyclus van een periodiek signaal, zoals een wisselspanning, in beslag neemt. De eenheid is seconde (s). |
| Wisselspanning (AC) | Een elektrische spanning die periodiek van polariteit verandert, in tegenstelling tot gelijkspanning (DC) die constant van polariteit is. |
| Energieverbruik | De totale hoeveelheid elektrische energie die door een apparaat of installatie gedurende een bepaalde periode wordt verbruikt. De eenheid is kilowattuur (kWh). |
| Meter | Een meetinstrument dat de hoeveelheid verbruikte elektrische energie registreert. Deze wordt meestal uitgedrukt in kilowattuur (kWh). |
| RMS-waarde (Root Mean Square) | De effectieve waarde van een wisselspanning of wisselstroom. Het is de gelijkwaardige DC-waarde die hetzelfde vermogen in een weerstand zou leveren. Voor een sinusvormige spanning is de RMS-waarde gelijk aan de maximale waarde gedeeld door $\sqrt{2}$ ($V_{rms} = V_{max} / \sqrt{2}$). |
| Ogenblikkelijke waarde | De waarde van een sinusvormige spanning of stroom op een specifiek tijdstip. Deze waarde verandert voortdurend gedurende de cyclus van het signaal. |
Cover
BEEE-UNIT 4(1).pdf
Summary
# Measurement instruments
Measurement instruments are crucial for quantifying electrical quantities, with various types designed for specific applications and measurement needs [1](#page=1).
### 1.1 Basic principles and classification of instruments
Instruments are broadly classified based on their operating principles and the type of quantities they measure. Moving coil (MC) instruments are primarily used for direct current (DC) measurements, while moving iron (MI) instruments can measure both DC and alternating current (AC) quantities [14](#page=14).
### 1.2 Moving coil instruments
Moving coil (MC) instruments are primarily used for measuring DC quantities only [14](#page=14).
### 1.3 Moving iron instruments
Moving iron (MI) instruments are versatile and can be used for measuring both DC and AC quantities [14](#page=14).
### 1.4 Digital multimeter (DMM)
A Digital Multimeter (DMM) is a versatile electronic measuring instrument that combines several measurement functions in one unit [15](#page=15).
#### 1.4.1 Display
DMMs feature an illuminated display screen for clear visualization of readings. Most DMMs have a four-digit display, where the first digit can typically be '0' or '1', along with a +/- indication. Additional indicators for AC/DC and other settings may also be present [19](#page=19).
#### 1.4.2 Connection ports
DMMs have three or four connection ports on the front, though only two are needed at any given time for measurements [19](#page=19).
* **Common:** This port is used for all measurements and is where the negative (black) probe is connected [19](#page=19).
* **VΩmA Port:** This port is used for most measurements, and the positive (red) probe is connected here [19](#page=19).
* **10A Port:** This port is specifically used for measuring large currents within circuits [19](#page=19).
#### 1.4.3 Measurements using Digital Multimeter
* **AC Voltage Mode:** The applied input AC voltage is first passed through a calibrated, compensated attenuator. This is followed by a full-wave rectifier and a ripple reduction filter. The resulting DC is then fed to an Analog-to-Digital Converter (ADC) and finally to the display system [20](#page=20).
* **Current Measurement:**
* **DC Current Mode:** The voltage drop across an internal calibrated shunt resistor is directly measured by the ADC [20](#page=20).
* **AC Current Mode:** After an AC to DC conversion, the voltage drop across an internal calibrated shunt resistor is measured by the ADC [20](#page=20).
* **Resistance Mode:** In resistance measurement, the DMM operates by measuring the voltage across an external resistor. This voltage results from a calibrated internal current source flowing through the connected resistor [20](#page=20).
#### 1.4.4 Special Functions
In addition to AC/DC voltage, AC/DC current, and resistance measurements, most DMMs offer several special functions [20](#page=20).
### 1.5 Digital storage oscilloscope (DSO)
A Digital Storage Oscilloscope (DSO) is an instrument that stores and displays digital waveforms or digital copies of waveforms. It allows for the storage of signals in a digital format within its memory, enabling the application of digital signal processing techniques to these signals [23](#page=23).
> **Tip:** The maximum frequency a DSO can measure is dependent on its sampling rate and the nature of its converter [23](#page=23).
DSO traces are bright, highly defined, and appear on the display within seconds [23](#page=23).
#### 1.5.1 Block Diagram of Digital Storage Oscilloscope
The block diagram of a DSO includes an amplifier, digitizer, memory, analyzer circuitry, waveform reconstruction components, vertical and horizontal plates, a Cathode Ray Tube (CRT), horizontal amplifier, timebase circuitry, trigger, and clock [23](#page=23).
The DSO first digitizes the analog input signal. If the signal is weak, it is amplified. The digitizer converts the signal into a digital format, which is then stored in memory. An analyzer circuit processes this digital signal. Subsequently, the waveform is reconstructed (converting the digital signal back to analog) and applied to the vertical plates of the CRT [25](#page=25).
The CRT has vertical and horizontal inputs, corresponding to the 'Y' and 'X' axes, respectively. The timebase circuit is triggered by the trigger and clock signals, generating a ramp signal. This ramp signal is amplified by the horizontal amplifier and then applied to the horizontal plates. The CRT screen then displays the waveform of the input signal against time [25](#page=25).
> **Tip:** Digitization occurs by sampling the input waveform at periodic intervals. The sampling rate should adhere to the sampling theorem, meaning it must be greater than twice the highest frequency present in the input signal to avoid aliasing [25](#page=25).
#### 1.5.2 DSO Operation Modes
The DSO operates in three primary modes: roll mode, store mode, and hold or save mode [26](#page=26).
* **Roll Mode:** In this mode, very fast-varying signals are displayed on the screen as they evolve [26](#page=26).
* **Store Mode:** Signals are stored in the DSO's memory for later analysis [26](#page=26).
* **Hold or Save Mode:** A portion of the signal is held for a period and then stored in memory [26](#page=26).
#### 1.5.3 Waveform Reconstruction
Waveform reconstruction in a DSO can be performed using two main methods: linear interpolation and sinusoidal interpolation [26](#page=26).
* **Linear Interpolation:** This method connects data points with straight lines [26](#page=26).
* **Sinusoidal Interpolation:** This method joins data points using a sine wave [26](#page=26).
#### 1.5.4 Factors affecting maximum measurable frequency
The maximum frequency of a signal that a DSO can measure is determined by two key factors: the sampling rate and the nature of the converter [27](#page=27).
* **Sampling Rate:** For accurate analysis, the sampling rate must be at least twice the highest frequency of the input signal, as per the sampling theorem. A high sampling rate indicates a fast analog-to-digital conversion rate [27](#page=27).
* **Converter:** The converter's performance, particularly its resolution, can decrease as the sampling rate increases. This limitation, along with the sampling rate, defines the bandwidth and resolution of the oscilloscope. Using a shift register can help overcome some limitations of ADC converters by sampling and storing the input signal, which is then slowly read out and stored digitally. This method can reduce converter costs and operate at speeds up to 100 megasamples per second [27](#page=27).
#### 1.5.5 Applications of DSO
DSOs have a wide range of applications, including [27](#page=27):
* Checking faulty components in circuits [27](#page=27).
* Use in the medical field [27](#page=27).
* Measuring capacitance, inductance, time intervals between signals, frequency, and time periods [27](#page=27).
* Observing the voltage-current (V-I) characteristics of transistors and diodes [27](#page=27).
* Analyzing TV waveforms [27](#page=27).
* Use in video and audio recording equipment [27](#page=27).
* Assisting in designing electronic circuits [27](#page=27).
* Application in research fields [27](#page=27).
* Displaying 3D figures or multiple waveforms for comparison purposes [27](#page=27).
* General-purpose use as an oscilloscope [27](#page=27).
#### 1.5.6 Advantages of DSO
* Portable [28](#page=28).
* Possess high bandwidth [28](#page=28).
* Simple user interface [28](#page=28).
* High speed of operation [28](#page=28).
#### 1.5.7 Disadvantages of DSO
* Complex in design and operation [28](#page=28).
* High cost of purchase [28](#page=28).
---
# Transducers and their classifications
This section summarizes the fundamental principles and classifications of transducers, detailing their essential characteristics and operational requirements.
### 2.1 Introduction to transducers
A transducer is a device that converts energy from one form to another. This energy conversion can involve electrical, mechanical, chemical, optical, or thermal forms. An electrical transducer is specifically one where either the input or output energy is electrical, with the output being more common [29](#page=29).
### 2.2 Classification of transducers
Transducers are broadly classified into two main categories: active and passive [29](#page=29).
#### 2.2.1 Active transducers
Active transducers, also known as self-generating types, produce their own voltage or current as an output signal. The energy required for this output is derived directly from the physical phenomenon being measured [29](#page=29).
#### 2.2.2 Passive transducers
Passive transducers, also referred to as externally powered transducers, require an external power source to derive the energy necessary for their operation and energy conversion [29](#page=29).
> **Tip:** Understanding the distinction between active and passive transducers is crucial for selecting the appropriate device for a given measurement application. Active transducers are simpler in that they do not need an external power supply, but passive transducers can offer greater flexibility and control.
#### 2.2.3 Comparison between active and passive transducers
The comparison between active and passive transducers is presented in Table. While the table content is not detailed here, it typically highlights differences in power requirements, complexity, output signal characteristics, and typical applications [30](#page=30).
#### 2.2.4 Examples of active and passive transducers
Examples of both active and passive transducers are provided in Table. Specific examples are not listed in the provided document content but would typically include devices like thermocouples (active) and LVDTs (passive) [31](#page=31).
### 2.3 Basic requirements of a transducer
For a transducer to function effectively and provide reliable measurements, it must meet several essential requirements [32](#page=32):
* **(i) Linearity:** The relationship between the transducer's input and output characteristics should be linear. This means that a change in input should result in a proportional change in output [32](#page=32).
* **(ii) Ruggedness:** Transducers should be robust enough to withstand overloads and should incorporate measures for overload protection. This ensures durability in demanding environments [32](#page=32).
* **(iii) Repeatability:** When the same input signal is applied at different times under identical environmental conditions, the transducer should produce the same output signal. This ensures consistent measurements over time [32](#page=32).
* **(iv) High stability and reliability:** The transducer's output should not be significantly affected by variations in temperature, vibration, or other environmental factors. This ensures minimal errors in measurements and dependable performance [32](#page=32).
* **(v) Good dynamic response:** In applications where the input signal varies over time (dynamic in nature), such as in industrial, aerospace, or biological systems, the transducer must respond to these changes as quickly as possible [33](#page=33).
* **(vi) Convenient instrumentation:** The transducer should generate a sufficiently strong analog output signal with a high signal-to-noise ratio. This allows for direct measurement or measurement after suitable amplification [33](#page=33).
* **(vii) Good mechanical characteristics:** Under operating conditions, transducers are subjected to various mechanical stresses. External forces should not cause any deformation that would compromise the transducer's performance [33](#page=33).
> **Tip:** When evaluating a transducer, consider how well it meets these requirements for your specific application. For instance, a high-speed application will necessitate a transducer with a good dynamic response.
### 2.4 Types of active and passive transducers
A discussion on the specific types of active and passive transducers is also covered, with a reference to page 34. The document lists various types of transducers in Unit 4, including capacitive and inductive transducers, Linear Variable Differential Transformer (LVDT), thermistors, thermocouples, piezoelectric transducers, photoelectric transducers, Hall effect transducers, Light Dependent Resistor (LDR), photodiodes, phototransistors, photovoltaic cells (solar cells), optocouplers, liquid crystal displays, proximity sensors, IR sensors, and pressure sensors. Many of these would fall under either active or passive classifications [1](#page=1) [34](#page=34).
---
# Specific transducer types and applications
This section details various types of transducers, including their construction, working principles, and diverse applications [1](#page=1).
### 3.1 Displacement transducers
A displacement transducer is an electromechanical device used to convert mechanical motion or vibrations into a variable electrical signal [35](#page=35).
#### 3.1.1 Capacitive transducers
Capacitive transducers operate by changing capacitance. They are used for measuring displacement, liquid level, and humidity [35](#page=35).
#### 3.1.2 Inductive transducers
Inductive transducers function by altering inductance.
##### 3.1.2.1 Variable inductance
These transducers work on the principle of varying inductance in response to mechanical movement.
##### 3.1.2.2 Linear Variable Differential Transformer (LVDT)
An LVDT is a type of inductive transducer used for precise displacement measurements [35](#page=35).
* **Construction:** It consists of a primary coil and two secondary coils, typically arranged symmetrically around the primary, and a movable magnetic core [35](#page=35).
* **Working Principle:** When an AC voltage is applied to the primary coil, it induces voltages in the secondary coils. The core's position dictates the relative voltage coupling between the primary and secondary coils. By comparing the voltages in the secondary coils, the displacement of the core can be accurately determined. The output voltage is proportional to the displacement of the core [35](#page=35).
* **Advantages:**
* High measurement range: from 1.25 mm to 250 mm [41](#page=41).
* Low hysteresis [41](#page=41).
* Simple, lightweight, and easy to maintain [41](#page=41).
* Low power consumption [41](#page=41).
* **Disadvantages:**
* Sensitive to stray magnetic fields, though shielding is possible [41](#page=41).
* Temperature affects performance [41](#page=41).
* **Applications:**
* Measuring displacements ranging from fractions of a millimeter to a few centimeters [41](#page=41).
* Used as a secondary transducer for measuring force, weight, and pressure [41](#page=41).
### 3.2 Thermoelectric transducers
Thermoelectric transducers convert temperature into an electrical signal or an electrical signal into temperature. The primary types are thermistors and thermocouples [42](#page=42).
#### 3.2.1 Thermistor
A thermistor is a type of resistor whose electrical resistance significantly varies with changes in temperature. They are passive, accurate, cheap, and robust temperature measurement devices [43](#page=43).
* **Construction:** Thermistors are made from metal oxides like Nickel, Manganese, Cobalt, Copper, and Uranium. They come in various shapes and sizes, including disk, bead, and rod types. The bead type is the smallest, with a diameter as low as 0.15 mm, and is often encapsulated in a glass probe for measuring liquid temperatures. Disk and rod types are used when greater power dissipation is required [44](#page=44).
* **Working Principle:** Thermistors operate on the principle of resistance change due to temperature variation. Ambient temperature changes cause self-heating of the thermistor's element, altering its resistance value [45](#page=45).
* **Types:**
* **NTC (Negative Temperature Coefficient) Thermistor:** The resistance of an NTC thermistor decreases as temperature increases, in a non-linear manner [45](#page=45).
* **PTC (Positive Temperature Coefficient) Thermistor:** The resistance of a PTC thermistor increases as temperature increases, also in a non-linear manner. PTC thermistors exhibit a small resistance change until a switching point (TR) is reached [45](#page=45).
* **Advantages:**
* Inexpensive [47](#page=47).
* More sensitive than other sensors [47](#page=47).
* Fast response [47](#page=47).
* Small in size [47](#page=47).
* **Disadvantages:**
* Limited temperature range [47](#page=47).
* Non-linear resistance-to-temperature correlation [47](#page=47).
* Self-heating can cause inaccurate measurements [47](#page=47).
* Fragile [47](#page=47).
* **Applications:**
* **NTC Thermistor:** Digital thermostats, thermometers, battery pack temperature monitors, in-rush current limiting devices [47](#page=47).
* **PTC Thermistor:** Over-current protection, in-rush current protection [47](#page=47).
#### 3.2.2 Thermocouple
A thermocouple, also known as a thermoelectric thermometer, consists of two wires of different metals joined at each end. One junction is placed at the temperature to be measured, and the other is kept at a constant lower temperature. The temperature difference creates an electromotive force (EMF), known as the Seebeck effect, which is approximately proportional to the temperature difference between the two junctions [48](#page=48).
* **Materials:** Any two different metals or metal alloys exhibit the thermoelectric effect. Commonly used pairs include antimony and bismuth, copper and iron, or copper and constantan. Platinum, with or without rhodium, is used for high-temperature thermocouples [49](#page=49).
* **Types:** Thermocouple types are named based on the metals used (e.g., Type E, J, N, B) [49](#page=49).
* **Type K:** (Nickel-aluminum and nickel-chromium wires) is the most common due to its wide temperature range (approximately -200 to 1,260 °C) and low cost [49](#page=49).
* **Applications:**
* Monitoring temperature in steel and iron industries (Type B, S, R, and K in electric arc furnaces) [50](#page=50).
* Measuring incident radiation intensity (thermopile radiation sensor) [50](#page=50).
* Temperature sensors in thermostats for offices, showrooms, and homes [50](#page=50).
* Detecting pilot flames in gas appliances like water heaters [50](#page=50).
* Monitoring temperature during thermal stability testing of switchgear equipment [50](#page=50).
* Measuring and monitoring temperature at different stages in chemical production plants and petroleum refineries [50](#page=50).
### 3.3 Piezoelectric transducer
A piezoelectric transducer uses the piezoelectric effect to measure changes in acceleration, pressure, strain, or force by converting this mechanical energy into an electrical charge. When mechanical stress is applied to a piezoelectric material, it generates a voltage proportional to the applied force or pressure [51](#page=51).
* **Construction:** Typically made from quartz crystals (silicon and oxygen in a crystalline structure, SiO2) or other piezoelectric materials. Piezoelectric crystals are electrically neutral, with balanced charges, though the atoms may not be symmetrically arranged [52](#page=52).
* **Working Principle:** The unique property of piezoelectric crystals is generating electrical polarity when mechanical stress is applied along a specific plane [52](#page=52).
* **Compressive Stress:** Positive charges are induced on one side and negative charges on the opposite side. The crystal becomes thinner and longer [52](#page=52).
* **Tensile Stress:** Charges are induced in the reverse direction compared to compressive stress. The crystal becomes shorter and fatter [52](#page=52).
* No charges are induced when the crystal is unstressed [52](#page=52).
* **Applications:**
* Automobiles (proximity and level sensors) [54](#page=54).
* Medical diagnostics, infertility treatments, ultrasonic imaging [54](#page=54).
* Residential products: motion and object identifiers, home security alarms, pest deterrents [54](#page=54).
* Electronic instruments: games, toys, remote controls [54](#page=54).
* Electric toothbrushes, inkjet printers, buzzers [54](#page=54).
* Used for measuring plate roughness, in accelerometers, and as vibration detectors, as they cannot measure static variations [54](#page=54).
* Seismographs to evaluate rocket vibrations [54](#page=54).
* Strain gauges to estimate vibrations from applied force and stress [54](#page=54).
* Research on blast waves and high-speed shockwaves [54](#page=54).
* Automotive industry to evaluate detonations in engines [54](#page=54).
* Automobile seat belts to lock in reaction to rapid deceleration [54](#page=54).
* Microphones (sound pressure to electrical signal) [55](#page=55).
* Electric lighters (pressure produces a spark) [55](#page=55).
* Automatic doors (electrical effect generated when a person approaches) [55](#page=55).
### 3.4 Hall effect transducer
The Hall effect transducer is used for measuring magnetic fields by converting them into an EMF. It converts a magnetic field into an electrical quantity that can be easily measured [56](#page=56).
* **Principle of Operation:** If a current-carrying strip of a conductor is placed in a transverse magnetic field, an EMF develops across the edges of the conductor. The magnitude of this developed voltage is dependent on the flux density, a property known as the Hall effect [56](#page=56).
* **Construction:** Consists of a Hall effect element, typically made of metal or semiconductor materials, with current supplied through two leads and output obtained from two other leads. When no magnetic field is applied, the output leads are at the same potential. When a magnetic field is applied, an output voltage develops across the output leads, directly proportional to the strength of the magnetic field [56](#page=56) [57](#page=57).
* **Sensitivity:** The Hall effect EMF is very small in conductors, making it difficult to measure. Semiconductors like germanium produce a larger EMF, which is easily measured [58](#page=58).
* **Applications:**
* **Magnetic to Electric Transducer:** Converts magnetic flux into an electrical transducer. The voltage developed is directly proportional to magnetic field density. Requires small space and gives continuous signals but is highly temperature-sensitive, requiring calibration [58](#page=58).
* **Measurement of Displacement:** Measures the displacement of a structural element by detecting changes in magnetic field strength as a ferromagnetic structure with a permanent magnet moves relative to the Hall effect transducer [58](#page=58).
* **Measurement of Current:** Measures current without physical connection to the conductor circuit. The magnetic field strength is proportional to the applied current, and this field induces the EMF across the strips [59](#page=59).
* **Measurement of Power:** Measures the power of a conductor. The magnetic field generated by the current induces a voltage across the strip, and the output voltage of a multiplier is proportional to the power [59](#page=59).
### 3.5 Photoelectric transducer
A photoelectric transducer converts light energy into electrical energy, typically designed with semiconductor materials. It utilizes a photosensitive element that ejects electrons when exposed to light. The electron discharge changes the properties of the photosensitive element, stimulating current flow within the device, the magnitude of which can be equivalent to the absorbed light [60](#page=60).
* **Working Principle:** Light absorption boosts electrons in the semiconductor material, causing them to move. This electron mobility can result in three effects [60](#page=60):
1. Change in material resistance [60](#page=60).
2. Change in semiconductor output current [60](#page=60).
3. Change in semiconductor output voltage [60](#page=60).
* **Classification:**
* Photoemissive Cell [61](#page=61).
* Photodiode [61](#page=61).
* Phototransistor [61](#page=61).
* Photo-voltaic cell [61](#page=61).
* Photoconductive Cell [61](#page=61).
* **Working Principle (detailed):**
* **Photoemissive:** Radiation falling on a cathode causes electron emission [61](#page=61).
* **Photovoltaic (PV):** Generates a voltage relative to the intensity of radiation (IR, UV, X-rays, gamma rays, visible light) [61](#page=61).
* **Photoconductive:** The material's resistance changes when illuminated [61](#page=61).
* **Applications:**
* Biomedical applications: pickups of pulse, pneumograph respiration, measuring blood pulsatile volume changes, recording body movements [62](#page=62).
---
# Opto-electronic devices and sensors
Opto-electronic devices and sensors are crucial components that interface light with electronic systems, enabling a wide range of applications from simple light detection to complex information display and control.
## 4 Opto-electronic devices and sensors
Opto-electronic devices are electronic components that interact with light, either by converting electrical energy into light or by converting light energy into electrical signals. These devices are essential for sensing environmental conditions, displaying information, and facilitating communication [63](#page=63).
### 4.1 Light-dependent resistor (LDR)
A Light-Dependent Resistor (LDR), also known as a photo-resistor, photocell, or photoconductive cell, is an electronic component whose resistance changes significantly with the intensity of incident light [64](#page=64).
#### 4.1.1 Working principle
LDRs are made from semiconductor materials with high resistance in darkness because there are very few free electrons available to conduct electricity. When light falls on the semiconductor, photons are absorbed, transferring energy to electrons. This energy allows some electrons to break free from the crystal lattice, becoming available for electrical conduction. As the light intensity increases, more electrons are liberated, leading to a progressive decrease in the LDR's resistance [65](#page=65).
#### 4.1.2 Characteristics
* **Dark Resistance:** In complete darkness, an LDR exhibits very high resistance, potentially as high as $10^{12}$ $\Omega$ [66](#page=66).
* **Light Resistance:** When exposed to bright light, the resistance drops drastically, often to a few hundred ohms (#page=64, 66) [64](#page=64) [66](#page=66).
* **Sensitivity:** The current flow increases proportionally as the light intensity increases when a constant voltage is applied [66](#page=66).
#### 4.1.3 Structure
Structurally, an LDR has a light-sensitive semiconductor region, often deposited on a semi-insulating substrate and lightly doped. An interdigital pattern of metallization is frequently used on the active area to maximize the surface exposed to light. The two metallized areas serve as the resistor's contacts [67](#page=67).
#### 4.1.4 Types of LDRs
* **Intrinsic LDRs:** These use undoped semiconductor materials like silicon or germanium. Photons excite electrons from the valence band to the conduction band, allowing them to conduct [68](#page=68).
* **Extrinsic LDRs:** These are made from doped semiconductors. Impurities create a new energy band above the valence band, reducing the energy required for electrons to transfer to the conduction band due to a smaller energy gap [68](#page=68).
#### 4.1.5 Applications
LDRs are widely used as low-cost, simple light sensors in applications such as:
* Detecting the presence or absence of light (e.g., camera light meters) [69](#page=69).
* Street lighting control systems [69](#page=69).
* Alarm clocks [69](#page=69).
* Burglar alarm circuits [69](#page=69).
* Light intensity meters [69](#page=69).
* Counting packages on conveyor belts in SCADA systems [69](#page=69).
### 4.2 Photodiodes
Photodiodes are a class of diodes that convert light energy into electrical energy, functioning as the inverse of Light-Emitting Diodes (LEDs). They are also referred to as photo-detectors, light detectors, or photo-sensors [70](#page=70).
#### 4.2.1 Working principle
A photodiode is a P-N junction diode designed to operate under reverse bias. When photons with energy greater than the semiconductor's band-gap energy ($E_g$) strike the depletion region, electron-hole pairs are generated. The electric field within the junction separates these pairs, directing electrons towards the n-side and holes towards the p-side. This separation creates an electromotive force (EMF). When an external load is connected, a current flows, with its magnitude directly proportional to the incident light intensity [71](#page=71).
#### 4.2.2 Applications
The linear response of photodiodes to light makes them suitable for numerous applications:
* Electric isolation when used with optocouplers [72](#page=72).
* Safety electronics like fire and smoke detectors [72](#page=72).
* Medical applications, including sample analyzers, CT detectors, and blood gas monitors [72](#page=72).
* Solar cell panels [72](#page=72).
* Logic and detection circuits [72](#page=72).
* Character recognition circuits [72](#page=72).
* Precise measurement of light intensity in science and industry [72](#page=72).
* Lighting regulation and optical communication due to their speed and complexity compared to standard PN junction diodes [72](#page=72).
### 4.3 Phototransistors
A phototransistor is an electronic switching and current amplification component that utilizes light exposure to operate. When light strikes the base region, a reverse current proportional to luminance flows [73](#page=73).
#### 4.3.1 Working principle
Phototransistors are essentially bipolar transistors with their base region exposed to illumination. Instead of an electrical current, photons from incident light activate the transistor. The collector-base junction is highly sensitive to light, and the base current generated by incident photons is amplified by the transistor's gain, resulting in current gains from hundreds to several thousand (#page=73, 75). They are typically more sensitive than photodiodes and have lower noise [73](#page=73) [75](#page=75).
#### 4.3.2 Construction
A phototransistor is a bipolar transistor where the base region is exposed to light. They can be of NPN or PNP types and generally operate in a common-emitter configuration, often without an explicit base connection. Modern phototransistors use materials like gallium arsenide for high efficiency [74](#page=74).
#### 4.3.3 Applications
Phototransistors are used in:
* Punch-card readers [76](#page=76).
* Security systems [76](#page=76).
* Encoders for speed and direction measurement [76](#page=76).
* IR detectors and photoelectric controls [76](#page=76).
* Computer logic circuitry [76](#page=76).
* Relays [76](#page=76).
* Lighting control [76](#page=76).
* Level indication and counting systems [76](#page=76).
### 4.4 Photovoltaic cells (Solar cells)
A photovoltaic (PV) cell is an energy harvesting technology that converts solar energy into electricity through the photovoltaic effect [78](#page=78).
#### 4.4.1 Layers of a PV cell
A PV cell comprises several layers:
* **Semiconductor Layer:** This is the most crucial layer, typically made of two distinct doped layers (p-type and n-type), where the photovoltaic effect occurs [78](#page=78).
* **Conducting Material Layers:** These layers collect the generated electricity. The front layer uses conductors sparingly to avoid blocking sunlight, while the back layer can be fully covered [78](#page=78).
* **Anti-reflection Coating:** Applied to the illuminated side, this layer reduces reflection losses, allowing more solar radiation to reach the semiconductor [79](#page=79).
#### 4.4.2 Photovoltaic effect
The photovoltaic effect is the process of generating voltage or electric current in a PV cell when exposed to sunlight. Solar cells are composed of p-type and n-type semiconductors joined to create a p-n junction. This junction forms an electric field. When photons with suitable wavelengths strike the cell, their energy is transferred to electrons, promoting them to the conduction band. The motion of these free electrons creates an electric current [81](#page=81).
#### 4.4.3 Solar cell efficiency
PV cell efficiency is limited by several factors:
* **Band-gap Energy:** Photons with energy less than the semiconductor's band-gap energy are absorbed as thermal energy and not converted to electricity.
* **Excess Energy:** Any photon energy above the band-gap energy is converted to heat, not electricity.
* **Electron Collection:** Not all generated electrons reach the metal contacts to contribute to the current [82](#page=82).
The theoretical efficiency for silicon PV cells is about 33%. Efficiency can be improved by increasing semiconductor purity, using more efficient materials (e.g., Gallium Arsenide), adding more p-n junctions, or concentrating solar energy. PV cells degrade over time, with a median degradation rate of 0.5% per year due to factors like UV exposure and weather cycles [82](#page=82) [83](#page=83).
#### 4.4.4 Types of PV Cells
PV cells are manufactured using various materials and methods, including:
* **Silicon (Si):** Most common for commercial cells. Can be monocrystalline or polycrystalline [83](#page=83).
* **Gallium Arsenide (GaAs)** [83](#page=83).
* **Cadmium Telluride (CdTe)** [83](#page=83).
* **Copper Indium Gallium Selenide (CIGS)** [83](#page=83).
Cells can be constructed as brittle crystalline structures or flexible thin-film cells [83](#page=83).
### 4.5 Optocouplers
An optocoupler, also known as an opto-isolator or photocoupler, is a semiconductor device that transfers electrical signals between two isolated circuits using light, preventing high voltages from affecting the receiving circuit [84](#page=84).
#### 4.5.1 Working principle
An optocoupler consists of an LED that emits infrared light and a photosensitive device that detects this light. The input circuit uses the incoming signal to turn on the LED. The infrared light from the LED then activates the photosensor in the output circuit. When the current to the LED is interrupted, the light beam is cut off, and the photosensor stops conducting (#page=84, 85) [84](#page=84) [85](#page=85).
#### 4.5.2 Types of Optocouplers
Optocouplers are categorized by their photosensitive device:
* **Photo-transistor:** Used in DC circuits. Can be PNP or NPN [85](#page=85).
* **Photo-Darlington:** A two-transistor pair offering high gain, used in DC circuits [85](#page=85).
* **Photo-SCR:** Used to control AC circuits [85](#page=85).
* **Photo-TRIAC:** Used to control AC circuits [85](#page=85).
#### 4.5.3 Benefits and drawbacks
**Benefits:**
* Remove electrical noise from signals [86](#page=86).
* Isolate low-voltage devices from high-voltage circuits, protecting against voltage surges [86](#page=86).
* Allow small digital signals to control larger AC voltages [86](#page=86).
* Easy interfacing with logic circuits [87](#page=87).
* Provide circuit protection [87](#page=87).
* Allow wideband signal transmission [87](#page=87).
* Small size and lightweight [87](#page=87).
**Drawbacks:**
* Slow operational speed [87](#page=87).
* Possibility of signal coupling for very high power signals [87](#page=87).
#### 4.5.4 Applications
Optocouplers are used in:
* High-power inverters [87](#page=87).
* High-power choppers [87](#page=87).
* AC to DC converters [87](#page=87).
### 4.6 Liquid crystal display (LCD)
A Liquid Crystal Display (LCD) is a flat-panel display that uses the light-modulating properties of liquid crystals combined with polarizers to produce images. LCDs do not emit light directly but use a backlight or reflector [88](#page=88).
#### 4.6.1 Construction and working principle
LCDs rely on polarized light and the ability of liquid crystals to twist or untwist when an electrical current is applied (#page=89, 90) [89](#page=89) [90](#page=90).
1. Two polarized glass pieces are used. One has a polarizing film, and the other, without it, is treated to create microscopic grooves aligned with the polarization.
2. A layer of liquid crystal material is applied between the glass pieces.
3. The microscopic grooves align the first layer of liquid crystal molecules with the filter's orientation.
4. When light enters, its polarization is rotated by the liquid crystal molecules as it travels through. The degree of rotation depends on the alignment of the molecules.
5. If an electrical current is applied to the liquid crystal, the molecules untwist, altering the light's polarization.
6. The second polarizing filter is oriented at a right angle to the first. If the light's polarization matches the second filter's orientation, it passes through, creating a bright pixel. If the polarization is perpendicular, the light is blocked, creating a dark pixel (#page=90, 91) [90](#page=90) [91](#page=91).
A mirror at the back reflects light that passes through, making the display visible.
#### 4.6.2 Advantages and disadvantages
**Advantages:**
* Consume less power than CRT and LED displays [91](#page=91).
* Low cost [91](#page=91).
* Provide excellent contrast [91](#page=91).
* Thinner and lighter than CRT and LED displays [91](#page=91).
**Disadvantages:**
* Require additional light sources (backlight) [92](#page=92).
* Limited operating temperature range [92](#page=92).
* Low reliability [92](#page=92).
* Very low speed [92](#page=92).
* Need an AC drive [92](#page=92).
#### 4.6.3 Applications
LCDs are used in a vast array of devices:
* Televisions, computer monitors, instrument panels, and aircraft cockpit displays [92](#page=92).
* Portable consumer devices like digital cameras, watches, calculators, and mobile phones [92](#page=92).
* Consumer electronics such as DVD players and video game devices [92](#page=92).
* LCD projectors [92](#page=92).
### 4.7 Proximity sensor
A proximity sensor is a device capable of detecting the presence of nearby objects without physical contact [93](#page=93).
#### 4.7.1 Operating principles
Proximity sensors typically emit an electromagnetic field or radiation (like infrared) and detect changes in the field or return signal [93](#page=93).
* **Inductive Proximity Sensors:** Detect magnetic loss due to eddy currents generated on a conductive surface by an external magnetic field. Changes in impedance due to these eddy currents are detected. The sensing object and sensor form a transformer-like relationship where impedance changes due to eddy-current losses are key [94](#page=94).
* **Capacitive Proximity Sensors:** Detect changes in capacitance between the sensing object and the sensor. The capacitance varies with the size and distance of the object. These sensors are sensitive to objects with different dielectric constants, including plastics, resins, and water, in addition to metals [95](#page=95).
* **Magnetic Proximity Sensors:** Operate via a magnet that actuates a reed switch. When the reed switch is turned on by the magnet, the sensor is activated [95](#page=95).
#### 4.7.2 Applications
Proximity sensors are used in:
* Parking sensors on car bumpers [96](#page=96).
* Ground proximity warning systems in aviation [96](#page=96).
* Vibration measurement of rotating shafts [96](#page=96).
* Top Dead Centre (TDC) and camshaft sensors in engines [96](#page=96).
* Sheet break sensing in paper machines [96](#page=96).
* Roller coasters and conveyor systems [96](#page=96).
* Touchscreens that detect proximity to the face [96](#page=96).
* Automatic faucets [96](#page=96).
### 4.8 IR sensor
An IR sensor is an electronic device that emits light to sense objects in its surroundings and measures infrared radiation [97](#page=97).
#### 4.8.1 Types of IR sensors
* **Active IR Sensors:** Emit and detect infrared radiation. They consist of an LED and a receiver. When an object is near, the infrared light reflects off it and is detected by the receiver. They act as proximity sensors and are used in obstacle detection systems [97](#page=97).
* **Passive Infrared (PIR) Sensors:** Only detect infrared radiation emitted by objects; they do not emit their own. PIR sensors typically include pyroelectric material strips, an infrared filter, a Fresnel lens, and a housing unit [97](#page=97).
### 4.9 Pressure sensor
A pressure sensor is a transducer that senses pressure and converts it into a proportional electrical signal [100](#page=100).
#### 4.9.1 Working principle
Pressure sensors often utilize piezoresistive technology. The piezoresistive element changes its electrical resistance in proportion to the strain (pressure) experienced. A metal foil strain gauge, a transducer whose electrical resistance varies with applied force, is typically used. Strain gauges are electrical conductors bonded in a zigzag pattern onto a metal body (flexure). When stretched or compressed, the conductors change resistance, which is then measured. The strain gauges are often arranged in a Wheatstone Bridge configuration for amplification and signal conditioning, converting the low-strength signal into a usable output (#page=101, 102) [100](#page=100) .
#### 4.9.2 Types of pressure sensors
Pressure sensors are classified based on what they measure relative to:
* **Absolute pressure sensor:** Measures pressure relative to a perfect vacuum .
* **Gauge pressure sensor:** Measures pressure relative to atmospheric pressure .
* **Vacuum pressure sensor:** Measures pressures below atmospheric pressure, or absolute pressure relative to a vacuum .
* **Differential pressure sensor:** Measures the difference between two pressures .
* **Sealed pressure sensor:** Measures pressure relative to a fixed reference pressure, not ambient atmospheric pressure .
#### 4.9.3 Applications
Pressure sensors have diverse applications:
* **Automotive:** Monitoring brake system pressure for safety .
* **Medical:** Hyperbaric therapy, blood pressure monitoring (including implantable in-vivo sensors) .
* **Building Automation:** Refrigeration systems (e.g., ammonia leak detection) .
* **Consumer Products:** Vacuum cleaners (detecting floor type, filter needs) .
* **Industrial:** Measuring liquid levels in tanks, process control .
### 4.10 Biosensors
Biosensors are analytical devices that combine a biological detecting element with a transducer system. They are known for their selectivity and sensitivity and are used in environmental monitoring, agriculture, and food industries .
#### 4.10.1 Main components and working principle
A biosensor typically includes three segments:
1. **Sensor:** A responsive biological component (e.g., enzyme, cell) .
2. **Transducer:** A detector that converts the signal from the analyte's interaction with the biological element into an accessible form .
3. **Associated Electronics:** Signal conditioning circuits (amplifiers), a display unit, and a processor .
The biological material is usually immobilized near the transducer. When an analyte interacts with the biological element, it triggers an electronic reaction that the transducer converts into an electrical signal. This signal is often low and may have a high baseline, requiring signal conditioning (e.g., subtracting a baseline signal from a reference transducer) (#page=107, 108) .
#### 4.10.2 Types of Biosensors
Biosensors can be classified by their biological component or transduction method, including:
* Electrochemical (Amperometric, Potentiometric, Impedimetric, Voltammetric) .
* Physical (Piezoelectric, Thermometric) .
* Optical .
* Wearable, Enzyme, DNA, Immunosensors, Magnetic, Resonant, Thermal Detection Biosensors .
#### 4.10.3 Applications
Biosensors are used in:
* **Healthcare:** Disease screening, insulin treatment, clinical diagnosis .
* **Industrial:** Process monitoring, quality control, pharmaceuticals .
* **Environmental:** Pollution control, environmental monitoring .
* **Other:** Military, agriculture, drug development, crime detection .
### 4.11 Sensors for smart buildings
Sensors in smart buildings provide efficient, comfortable, and humanized environments by automating facilities and optimizing resource usage .
#### 4.11.1 Popular sensors used in smart buildings
* **Passive Infrared (PIR) Sensors:** Detect infrared radiation emitted or reflected from objects, often used to monitor workspace usage .
* **Temperature & Humidity Sensors:** Measure ambient temperature and relative humidity, commonly used together to regulate the environment based on user requirements and set thresholds .
* **Indoor Air Quality (IAQ) Room Sensors:** Monitor pollutants and environmental factors like temperature, humidity, particulate matter, TVOCs, CO2, etc., in real-time, forming a key part of air purification systems .
* **Water Leak Sensors:** Detect liquid leaks from drain or HVAC systems, providing an alarm when a leak is identified .
* **Thermal Imaging:** Thermal imaging cameras identify heating/cooling leak points, monitor high-voltage systems, and check occupant temperatures. Advancements are making them more cost-effective for strategic placement .
* **Ambient Lighting Sensors:** Used with smart lighting systems to optimize the use of daylight, reducing energy costs by intelligently managing artificial lighting levels .
* **Door/Cabinet Open/Closed Detection:** Sensors installed at critical access points monitor open/closed activities in real-time for security and resource management .
#### 4.11.2 Benefits of smart building sensors
* Save building energy .
* Improve building sustainability .
* Reduce maintenance costs through real-time monitoring .
* Optimize space utilization .
* Enhance safety, comfort, and security of occupants .
---
## Common mistakes to avoid
- Review all topics thoroughly before exams
- Pay attention to formulas and key definitions
- Practice with examples provided in each section
- Don't memorize without understanding the underlying concepts
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Moving Coil Instrument | An electrical measuring instrument that uses a coil suspended in a magnetic field. The interaction between the magnetic field and the current flowing through the coil generates a torque, causing a pointer to move across a calibrated scale to indicate the measured value. It is primarily used for DC measurements. |
| Moving Iron Instrument | An electrical measuring instrument that operates on the principle of magnetic attraction or repulsion between iron pieces and a magnetic field generated by a current-carrying coil. These instruments can measure both AC and DC quantities and are generally more robust than moving coil instruments. |
| Digital Multimeter (DMM) | A versatile electronic measuring instrument that combines several measurement functions in one unit, such as voltage, current, and resistance. It displays readings on a digital screen, offering higher precision and ease of use compared to analog meters. |
| Digital Storage Oscilloscope (DSO) | An instrument that digitizes an incoming analog signal, stores it in digital memory, and allows for subsequent analysis and display of the waveform. It enables detailed examination of signal characteristics, including transient events, with high accuracy. |
| Transducer | A device that converts energy from one form to another. In the context of measurement, it typically converts a physical quantity (like temperature, pressure, or displacement) into an electrical signal or vice versa. |
| Active Transducer | A transducer that generates its own output signal without requiring an external power source for the conversion process. The energy for the output signal is derived from the physical phenomenon being measured. |
| Passive Transducer | A transducer that requires an external power source to operate and convert energy. Its output signal is dependent on variations in its own parameters (e.g., resistance, capacitance) modulated by the input physical quantity. |
| Linearity (Transducer Requirement) | A desirable characteristic of a transducer where its output is directly proportional to its input over the entire operating range. A linear transducer provides predictable and easily interpretable measurements. |
| Ruggedness (Transducer Requirement) | The ability of a transducer to withstand mechanical and environmental stresses, including overloads and vibrations, without permanent damage or significant degradation in performance. |
| Repeatability (Transducer Requirement) | The capability of a transducer to produce the same output signal when the same input signal is applied multiple times under identical environmental conditions. It indicates the consistency of the measurement. |
| Linear Variable Differential Transformer (LVDT) | An inductive displacement transducer that converts linear motion or displacement into a corresponding electrical signal. It consists of a primary winding and two secondary windings, with a movable core that alters the magnetic coupling between them to produce a variable output voltage. |
| Thermistor | A type of resistor whose electrical resistance is highly dependent on temperature. Thermistors are used as temperature sensors due to their sensitivity to small temperature changes. They can have a negative temperature coefficient (NTC), where resistance decreases with increasing temperature, or a positive temperature coefficient (PTC), where resistance increases with temperature. |
| Thermocouple | A temperature-measuring device consisting of two dissimilar metals joined at two junctions. A temperature difference between the junctions generates an electromotive force (EMF) due to the Seebeck effect, which is proportional to the temperature difference. |
| Piezoelectric Transducer | A transducer that utilizes the piezoelectric effect, where certain crystalline materials generate an electric charge in response to applied mechanical stress (pressure, force, vibration). Conversely, they deform when an electric field is applied. |
| Photoelectric Transducer | A transducer that converts light energy into electrical energy. This conversion typically occurs through the photoelectric effect in semiconductor materials. |
| Hall Effect Transducer | A transducer that operates based on the Hall effect. When a current-carrying conductor is placed in a transverse magnetic field, a voltage (Hall voltage) is generated across the conductor, perpendicular to both the current and the magnetic field. This voltage is proportional to the magnetic field strength. |
| Light Dependent Resistor (LDR) | A photoresistor whose resistance decreases significantly when light falls upon its surface. LDRs are made from semiconductor materials and are commonly used as light sensors in various electronic circuits. |
| Photodiode | A semiconductor device that converts light energy into an electrical current. It is essentially a PN-junction diode designed to be operated in reverse bias, where incident photons generate electron-hole pairs that create a photocurrent proportional to the light intensity. |
| Phototransistor | A transistor in which the base region is exposed to light. Incident photons on the base-collector junction generate electron-hole pairs, causing a current to flow that is amplified by the transistor action. It is more sensitive than a photodiode and can provide current gain. |
| Photovoltaic Cell (Solar Cell) | A device that directly converts solar energy into electricity through the photovoltaic effect. It uses semiconductor materials, typically p-type and n-type layers, to create a p-n junction that generates a voltage and current when exposed to sunlight. |
| Optocoupler | A semiconductor device that transfers electrical signals between two isolated circuits using light. It typically consists of an LED emitter and a photosensitive detector (like a phototransistor) enclosed together, providing electrical isolation and protection against high voltages. |
| Liquid Crystal Display (LCD) | A flat-panel display technology that uses the light-modulating properties of liquid crystals combined with polarizers. LCDs do not emit light directly but use a backlight or reflector to produce images. |
| Proximity Sensor | A sensor that detects the presence of nearby objects without physical contact. It typically emits an electromagnetic field or a beam of radiation and senses changes in the field or reflected signal. |
| IR Sensor | An electronic device that detects infrared radiation. Active IR sensors emit and detect infrared radiation, often used as proximity sensors, while passive IR sensors only detect ambient infrared radiation, commonly used for motion detection. |
| Pressure Sensor | A transducer that senses pressure and converts it into an electrical signal. It typically consists of a pressure-sensitive element and electronic components that process the signal to represent the applied pressure. |
| Biosensor | An analytical device that combines a biological detecting element (like an enzyme or antibody) with a transducer. It converts a biological reaction into a measurable electrical or optical signal, offering high selectivity and sensitivity for analyte detection. |
| Smart Building Sensors | Sensors integrated into buildings to provide automated facilities, enhance comfort, efficiency, and safety. Examples include PIR sensors, temperature and humidity sensors, air quality sensors, water leak sensors, and door/cabinet sensors. |
| Seebeck Effect | The phenomenon where a temperature difference between two dissimilar conductors or semiconductors creates a voltage difference. This is the principle behind thermocouple operation. |
| Eddy Currents | Electrical currents induced in a conductor by a changing magnetic field. They are responsible for magnetic losses and are utilized in inductive proximity sensors. |
| Capacitance | The ability of a system to store electrical charge. Changes in capacitance are detected by capacitive proximity sensors. |
| Photoconductive Cell | A type of photoelectric transducer where the material's electrical resistance changes when exposed to light. This is also known as a Light Dependent Resistor (LDR). |
| Photoemissive Cell | A device that emits electrons when light falls on its surface. This is the basis for photomultiplier tubes and some types of photodetectors. |
| Photoelectric Effect | The emission of electrons from a material when light shines on it. This is the fundamental principle behind many photoelectric transducers. |
| Band-gap Energy | The minimum energy required to excite an electron from the valence band to the conduction band in a semiconductor material. This concept is crucial for understanding solar cell efficiency. |
| Wheatstone Bridge | An electrical circuit used to measure an unknown resistance by balancing two legs of a bridge circuit, one leg of which includes the unknown component. It is commonly used with strain gauges in pressure sensors. |
| Analytical Device | A device used for analysis, which in the context of biosensors, refers to a system that identifies and quantifies specific substances (analytes). |
| Analyte | A specific substance being detected or measured by an analytical device, such as a biosensor. |
| Immobilized Biological Material | Biological components (like enzymes or antibodies) that are attached to a solid support or surface, often within a biosensor, to maintain their activity and facilitate repeated use. |
| Noise Filtering | The process of removing unwanted signals (noise) from a measurement signal to improve its clarity and accuracy. This is important in signal conditioning for sensors. |
| Signal Conditioning | The process of preparing a raw sensor signal for further processing or display. This can include amplification, filtering, linearization, and conversion to a digital format. |
Cover
Cel1_sessie4_2025.pdf
Summary
# Wisselspanning en de effectieve waarde
Wisselspanning beschrijft het verloop van de spanning in de tijd, waarbij de polariteit periodiek omkeert. De spanning geleverd door industriële wisselstroomgeneratoren heeft een sinusoïdaal verloop. Dit verloop kan worden voorgesteld door de projectie op de verticale middellijn van een eenparig roterende vector (fazor) met een grootte gelijk aan de amplitude van de spanningsvariatie ($V_0$) [1](#page=1).
Een wisselspanning is een periodiek fenomeen met een periode ($T$). De frequentie ($\nu$) is het aantal cycli dat per seconde wordt doorlopen, en wordt berekend als $\nu = \frac{1}{T}$. De hoekfrequentie ($\omega$) is gerelateerd aan de frequentie door $\omega = 2\pi\nu$ en vertegenwoordigt de hoeksnelheid van de fazor. De eenheid van frequentie is hertz (Hz), en de frequentie van het lichtnet is 50 Hz [1](#page=1).
Het wisselspanningsverloop wordt wiskundig beschreven door de functie:
$$V(t) = V_0 \sin(\omega t + \varphi)$$
Hierin is $\varphi$ de faseconstante, die de waarde van de fasehoek aangeeft op tijdstip $t=0$ [1](#page=1).
### 1.1 De effectieve waarde van de wisselspanning
De effectieve waarde van een wisselspanning ($V_{\text{eff}}$) is gedefinieerd als de waarde van een gelijkspanning die in een weerstand gemiddeld per tijdseenheid dezelfde hoeveelheid warmte ontwikkelt als de beschouwde wisselspanning [1](#page=1).
Beschouw een stroomkring met een wisselspanning $V_\epsilon$ en een ohmse weerstand $R$. Volgens de kringtheorie van Kirchhoff geldt $V_\epsilon - iR = 0$. Als de wisselspanning wordt gegeven door $V_\epsilon(t) = V_0 \sin(\omega t + \varphi)$, dan is de stroom $i(t)$ [1](#page=1) [2](#page=2):
$$i(t) = \frac{V_0}{R} \sin(\omega t + \varphi) = I_0 \sin(\omega t + \varphi)$$
Hieruit volgt dat stroom en spanning in fase zijn en dat het stroomverloop wordt beschreven door een eenparige rotatie van een fazor met grootte $I_0 = \frac{V_0}{R}$ [2](#page=2).
Het ogenblikkelijke vermogen ($P$) dat in de weerstand $R$ wordt opgewekt door het Joule-effect is:
$$P(t) = i^2 R = R I_0^2 \sin^2(\omega t + \varphi)$$
Het gemiddelde vermogen over één periode van de wisselstroom wordt berekend als:
$$P_{\text{gem}} = \frac{1}{T} \int_0^T R i^2 dt = \frac{R I_0^2}{T} \int_0^T \sin^2(\omega t + \varphi) dt$$
Omdat $\int_0^T \sin^2(\omega t + \varphi) dt = \frac{T}{2}$ en $\int_0^T \cos^2(\omega t + \varphi) dt = \frac{T}{2}$, waarbij $\sin^2(\omega t + \varphi) + \cos^2(\omega t + \varphi) = 1$ geldt [2](#page=2):
$$P_{\text{gem}} = \frac{R I_0^2}{T} \cdot \frac{T}{2} = \frac{R I_0^2}{2}$$
Omdat $I_0 = \frac{V_0}{R}$, kunnen we dit herschrijven in termen van de amplitude van de spanning:
$$P_{\text{gem}} = \frac{R}{2} \left(\frac{V_0}{R}\right)^2 = \frac{R V_0^2}{2R^2} = \frac{V_0^2}{2R}$$
De gelijkspanning die hetzelfde vermogen in weerstand $R$ opwekt, wordt gegeven door $P = \frac{V_{\text{eff}}^2}{R}$. Door deze twee uitdrukkingen voor het gemiddelde vermogen gelijk te stellen, vinden we de relatie voor de effectieve waarde [3](#page=3):
$$P_{\text{gem}} = \frac{V_0^2}{2R} = \frac{V_{\text{eff}}^2}{R}$$
$$V_{\text{eff}}^2 = \frac{V_0^2}{2}$$
$$V_{\text{eff}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$$
De effectieve waarde van de lichtnetspanning bedraagt 220 volt [3](#page=3).
> **Tip:** De effectieve waarde is de meest gebruikte waarde voor wisselspanningen en wisselstromen in de praktijk, omdat deze direct vergelijkbaar is met gelijkspanningen en gelijkstromen wat betreft het geleverde vermogen.
### 1.2 De impedantie van een wisselstroomketen
Wanneer een keten die weerstanden, spoelen of condensatoren bevat wordt aangesloten op een wisselspanning $V_\epsilon = V_0 \sin(\omega t)$, zullen de stromen en spanningsverschillen over de componenten van deze keten ook wisselend zijn met dezelfde hoekfrequentie $\omega$ als de bron. De stroom in de keten kan algemeen worden voorgesteld door de functie $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$, waarbij de grootte van $I_0$ en de faseverschuiving $\phi$ afhankelijk zijn van de componenten in de kring [3](#page=3).
#### 1.2.1 Keten met alleen een weerstand R
Als de keten uitsluitend een weerstand $R$ bevat, dan geldt $V_\epsilon = V_0 \sin(\omega t)$ en de stroom $i = \frac{V_0}{R} \sin(\omega t) = I_0 \sin(\omega t)$. In dit geval zijn de wisselspanning en de wisselstroom in fase [3](#page=3).
#### 1.2.2 Keten met alleen een condensator C
Als de keten uitsluitend een condensator met capaciteit $C$ bevat, levert de kringtheorie van Kirchhoff $V_\epsilon - \frac{q}{C} = 0$, waarbij $q$ de lading op de condensator is. Als $V_\epsilon = V_0 \sin(\omega t)$, dan is de lading $q(t) = C V_0 \sin(\omega t)$ [3](#page=3).
---
# Impedantie van wisselstroomketens
Deze sectie onderzoekt de impedantie van wisselstroomketens die weerstanden en condensatoren bevatten, en analyseert de relatie tussen stroom en spanning in verschillende configuraties [3](#page=3).
### 2.1 Basisprincipes van wisselstroomketens
Wanneer een keten met weerstanden en/of condensatoren wordt aangesloten op een wisselspanning bron met de vorm $V_\varepsilon = V_0 \sin(\omega t)$, zullen de stromen en potentiële verschillen in de keten wisselend zijn met dezelfde hoekfrequentie $\omega$. De algemene vorm van de stroom in de keten is $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$, waarbij de amplitude $I_0$ en de fasehoek $\phi$ afhangen van de componenten in de kring [3](#page=3).
### 2.2 Specifieke ketenconfiguraties
#### 2.2.1 Keten met uitsluitend een weerstand (R)
In een keten die enkel een weerstand $R$ bevat, zijn de aangelegde wisselspanning $V_\varepsilon = V_0 \sin(\omega t)$ en de resulterende stroom $i = \frac{V_0}{R} \sin(\omega t) = I_0 \sin(\omega t)$ in fase. Dit betekent dat de fasehoek $\phi$ gelijk is aan 0 graden [3](#page=3) [5](#page=5).
#### 2.2.2 Keten met uitsluitend een condensator (C)
Wanneer de keten slechts een condensator $C$ bevat, wordt de aangelegde spanning gerelateerd aan de lading op de condensator ($q$) via de wet van Kirchhoff: $V_\varepsilon - \frac{q}{C} = 0$. Door $V_\varepsilon = V_0 \sin(\omega t)$ te substitueren en de lading af te leiden naar de tijd om de stroom te verkrijgen, vinden we [3](#page=3):
$q = C V_0 \sin(\omega t)$ [3](#page=3).
$i = \frac{dq}{dt} = \omega C V_0 \cos(\omega t)$ [4](#page=4).
Dit kan worden herschreven als:
$i = \omega C V_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ [4](#page=4).
$i = I_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ [4](#page=4).
Hieruit volgt dat de stroom $i$ door de condensator $\frac{\pi}{2}$ radialen (of 90 graden) voorloopt op de wisselspanning $V_\varepsilon$. De amplitude van de stroom wordt gegeven door $I_0 = \omega C V_0 = \frac{V_0}{\frac{1}{\omega C}}$. De term $\frac{1}{\omega C}$ wordt de "capacitieve reactantie" genoemd. De stroom kan worden beschreven door een fazor met een grootte van $\omega C V_0$ en een fasehoek van $\frac{\pi}{2}$ [4](#page=4).
#### 2.2.3 Parallelle schakeling van R en C
Voor een kring met een parallelschakeling van een weerstand $R$ en een condensator $C$, aangesloten op een wisselspanningsbron $V_\varepsilon = V_0 \sin(\omega t)$, beschrijft de totale stroom $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$. Door het junctietheorema van Kirchhoff voor de fazoren toe te passen ($\bar{I} = \bar{I}_R + \bar{I}_C$), en rekening houdend met de amplitudes en faseverschillen van de stromen door de weerstand ($I_R = \frac{V_0}{R}$) en de condensator ($I_C = \omega C V_0$), kunnen $I_0$ en $\phi$ bepaald worden [4](#page=4).
Uit een fazordiagram blijkt dat de totale stroomamplitude $I_0$ voldoet aan:
$I_0^2 = \left(\frac{V_0}{R}\right)^2 + (\omega C V_0)^2$ [5](#page=5).
$I_0 = V_0 \sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C)^2}$ [5](#page=5).
Het faseverschil $\phi$ tussen de totale stroom $i$ en de spanning $V_\varepsilon$ wordt gegeven door:
$\tan \phi = \frac{\omega C}{\frac{1}{R}} = \omega R C$ [5](#page=5).
### 2.3 Impedantie (Z)
De impedantie $Z$ van een wisselstroomkring is per definitie de verhouding tussen de amplitude van de aangelegde wisselspanning ($V_0$) en de amplitude van de resulterende wisselstroom ($I_0$) [5](#page=5).
| Kring | Impedantie Z | Fasehoek $\phi$ |
| :---------------- | :------------------------------------------------ | :-------------- |
| Enkel R | $R$ | 0 |
| Enkel C | $\frac{1}{\omega C}$ | $+\frac{\pi}{2}$ |
| Parallel R en C | $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C)^2}}$ | $\tan\phi = \omega R C$ |
> **Tip:** De impedantie is de wisselstroomanalogon van weerstand, maar houdt ook rekening met de faseverschuivingen die door reactieve componenten (zoals condensatoren) worden geïntroduceerd.
> **Tip:** Voor circuits met zowel weerstanden als condensatoren, is de impedantie een complexe grootheid. In deze samenvatting worden echter de grootte en de fasehoek apart beschouwd voor specifieke configuraties.
### 2.4 Stroomdoorgang door het lichaam bij wisselspanning
De impedantie van het menselijk lichaam is van belang voor toepassingen in de fysiotherapie en bij accidentele elektrocutie. De huid is de primaire factor die de impedantie beïnvloedt, vooral bij frequenties tot circa 10 kilohertz. De huidimpedantie zelf heeft zowel een resistieve als een capacitieve reactantie component, waarbij de laatste geassocieerd wordt met vetweefsel. Voor berekeningen kan het lichaam gemodelleerd worden als een elektrische schakeling met parallel geschakelde weerstanden en condensatoren [5](#page=5).
---
# Stroomdoorgang door het menselijk lichaam
Stroomdoorgang door het menselijk lichaam, met name door wisselstroom, is van cruciaal belang binnen de fysiotherapie en potentieel gevaarlijk bij accidentele elektrocutie [5](#page=5).
### 3.1 De rol van lichaamsimpedantie
De grootte van de stroom die door het lichaam vloeit, wordt bepaald door de impedantie tussen de twee contactpunten op het lichaam wanneer er een elektrische spanning wordt aangelegd. Tot ongeveer 10 kHz speelt de huidimpedantie hierbij de grootste rol [5](#page=5).
#### 3.1.1 Impedantie van de huid
De huidimpedantie bestaat uit een weerstandscomponent en een capacitieve reactantiecomponent. De capacitieve component is gerelateerd aan het vetweefsel [5](#page=5).
##### 3.1.1.1 Factoren die de huidimpedantie beïnvloeden
* **Toestand van de huid:** Bij een droge huid vormt de stratum corneum van de epidermis de belangrijkste laag met een zeer hoge weerstand, waardoor de impedantie grotendeels door de capacitieve reactantie wordt bepaald [6](#page=6).
* **Frequentie:** Voor toepassingen in electrotherapie neemt de impedantie af met toenemende frequentie [6](#page=6).
* **Vochtigheid:** Transpireren verlaagt de weerstand van de huid, omdat zweet water en geleidende ionen bevat. Bij een vochtige huid is de weerstand dominant tot 1 kHz, waarna de impedantie constant blijft bij lagere frequenties [6](#page=6).
* **Kunstmatige verlaging:** De huidimpedantie kan kunstmatig verlaagd worden door ontvetten, schuren en het aanbrengen van geleidende pasta's, wat de impedantie met een factor 10-50 kan verlagen [6](#page=6).
#### 3.1.2 Elektrisch model van het menselijk lichaam
Voor berekeningen van stroomdoorgang kan het lichaam worden voorgesteld als een elektrisch schema met tweemaal een parallelle schakeling van weerstand en capaciteit (die de huid representeren) verbonden door een kleine weerstand (die het lichaam zelf representeert) ] [5](#page=5) [6](#page=6).
### 3.2 Gevaren van elektrocutie
Accidentele stroomdoorgang door het lichaam (elektrocutie) kan leiden tot drie hoofdoorzaken [6](#page=6):
#### 3.2.1 Huidverbranding
Huidverbranding wordt veroorzaakt door de joule warmte die wordt opgewekt in de weerstand van de huid, volgens de formule:
$$ P = \frac{V_0^2}{R} $$ [6](#page=6).
Bij elektrocutie door het lichtnet is deze verbranding meestal lokaal, terwijl bij blikseminslag de verbranding over een groter oppervlak verspreid kan zijn [6](#page=6).
#### 3.2.2 Verstoring van de hartfunctie
De stroomdichtheid door het hartweefsel is bepalend voor de verstoring van de hartfunctie. Wanneer de stroom door het lichaam vloeit, kan dit leiden tot kamerfibrilleren, een ongecoördineerde contractie van de hartspier waarbij de pompfunctie wegvalt. Dit kan, zelfs na uitschakelen van de stroom, aanhouden en leiden tot hersenschade door zuurstoftekort [7](#page=7).
##### 3.2.2.1 Kamerfibrilleren en defibrillatie
Kamerfibrilleren kan alleen worden gestopt door elektrische defibrillatie: een gecontroleerde stroomstoot die de hartspiervezels gelijktijdig in de refractaire toestand brengt, zodat de sinusknoop de controle weer kan overnemen. Een defibrillator genereert deze stroomstoot middels een condensatorontlading met hoogspanning, verlengd door een spoel [7](#page=7).
#### 3.2.3 Het "cannot-let-go-current" verschijnsel
Bij stroomdoorgang door de handen, boven een bepaalde stroomsterkte, wordt het onmogelijk om de geleider los te laten. Dit fenomeen, het "cannot-let-go-current", is afhankelijk van de frequentie. De frequentie van 50 Hz (het lichtnet) blijkt ongunstig te zijn voor dit fenomeen. Om de stroomdoorgang te stoppen, moet deze zo snel mogelijk onderbroken worden [7](#page=7).
> **Tip:** Stromen door het lichaam groter dan 20 mA worden als gevaarlijk beschouwd [8](#page=8).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Wisselspanning | Een elektrische spanning waarvan de polariteit en grootte periodiek veranderen, meestal in een sinusoïdale vorm. |
| Sinusoïdaal | Een verloop dat beschreven kan worden door een sinusfunctie, kenmerkend voor de grafische weergave van wisselspanning en wisselstroom. |
| Fazor | Een denkbeeldige roterende vector die wordt gebruikt om de grootte en fase van periodieke grootheden zoals spanning en stroom in wisselstroomcircuits weer te geven. |
| Amplitude | De maximale waarde (piekwaarde) van een periodieke functie, zoals de maximale spanning of stroom in een wisselstroomcircuit. |
| Periode (T) | De tijdsduur waarover één volledige cyclus van een periodiek verschijnsel plaatsvindt. |
| Frequentie () | Het aantal periodieke cycli dat per seconde wordt doorlopen, uitgedrukt in Hertz (Hz). |
| Angulaire frequentie () | De hoeksnelheid van de fazor, gerelateerd aan de frequentie door de formule = 2. |
| Faseconstante () | De waarde van de fasehoek op tijdstip t=0, die de initiële positie van de sinusoïdale golfvorm bepaalt. |
| Effectieve waarde | De waarde van een gelijkspanning of gelijkstroom die in een weerstand gemiddeld per tijdseenheid hetzelfde vermogen ontwikkelt als de beschouwde wisselspanning of wisselstroom. |
| Ohmse weerstand (R) | Een component in een elektrisch circuit die elektrische energie omzet in warmte, waarbij de weerstandswaarde constant is ongeacht de spanning of stroom. |
| Kirchhoff's kringtheorema | Een wet die stelt dat de som van de spanningsvallen over alle weerstanden in een gesloten kring gelijk is aan de totale opgewekte elektromotorische kracht (EMK). |
| Ogenblikkelijk vermogen (P) | Het vermogen op een specifiek moment in de tijd, berekend als het product van de momentane stroom en spanning, of als i²R in een weerstand. |
| Gemiddeld vermogen | Het gemiddelde vermogen over één volledige periode van een wisselstroomcircuit, vaak aangeduid als Pgem. |
| Capaciteit (C) | De eigenschap van een component (condensator) om elektrische lading op te slaan, uitgedrukt in Farad (F). |
| Capacitieve reactantie ($X_C$) | De weerstand die een condensator biedt aan de doorgang van wisselstroom, gedefinieerd als $X_C = 1 / (\omega C)$. |
| Impedantie (Z) | De totale complexe weerstand in een wisselstroomcircuit, die zowel weerstand (R) als reactantie (reactieve weerstand van spoelen en condensatoren) omvat. |
| Faseverschuiving () | Het verschil in fasehoek tussen de spanning en de stroom in een wisselstroomcircuit, veroorzaakt door de aanwezigheid van reactieve componenten. |
| Huidimpedantie | De elektrische weerstand van de huid, die een belangrijke factor is in de stroomdoorgang door het lichaam bij blootstelling aan elektriciteit. |
| Camerafibrilleren | Een gevaarlijke verstoring van het hartritme waarbij de hartkamers ongecoördineerd samentrekken, wat leidt tot een ineffectieve pompfunctie. |
| Cannot-let-go-current | De minimale stroomsterkte waarbij een persoon de hand niet meer kan loslaten van de elektrische geleider, vanwege spiercontracties veroorzaakt door de stroom. |
| Joule-effect | Het principe waarbij elektrische energie wordt omgezet in warmte wanneer stroom door een weerstand loopt. |
| Transpireren | Het proces van zweetproductie, wat de elektrische geleidbaarheid van de huid kan verhogen door de aanwezigheid van water en ionen. |
| Stratum corneum | De buitenste laag van de epidermis (opperhuid), die een hoge weerstand vormt en een belangrijke rol speelt in de huidimpedantie. |
Cover
Cursus Elektriciteit AC_2025_2026.pdf
Summary
# Basisbegrippen van wisselspanning en -stroom
Dit onderwerp introduceert de fundamentele concepten van wisselspanning en wisselstroom, inclusief hun tijdsverloop, periode, frequentie, gemiddelde en effectieve waarden.
### 1.1 Wisselstroom
Een wisselstroom is een elektrische stroom waarvan de richting van de stroomzin niet constant is, maar afwisselend verandert. Om de actuele stroomzin op een bepaald moment duidelijk te maken, wordt een referentiezin gedefinieerd. Als de werkelijke stroom in de richting van de referentiepijl vloeit, wordt de stroomwaarde als positief beschouwd; anders, als de stroom tegengesteld stroomt, wordt de waarde negatief [12](#page=12).
Het tijdsverloop van een wisselstroom wordt weergegeven in een grafiek die de stroomsterkte en polariteit over tijd toont. De snijpunten met de tijdas worden nulpunten genoemd, momenten waarop de stroomwaarde nul is. Delen van de grafiek boven de tijdas duiden op een positieve stroomzin (in de richting van de referentiepijl), terwijl delen eronder een negatieve stroomzin (tegengesteld aan de referentiepijl) aangeven [12](#page=12).
Verschillende standaardvormen van wisselstromen bestaan, zoals blokgolven, driehoekgolven, zaagtandgolven en sinusgolven, die herkenbare patronen in hun tijdsverloop vertonen. Wanneer er geen herhalend patroon is, spreekt men van een willekeurig veranderlijke stroom [13](#page=13).
#### 1.1.1 Ogenblikkelijke waarde van de stroom i(t)
De waarde van een wisselstroom op een specifiek moment wordt de ogenblikkelijke waarde genoemd en wordt aangeduid met $i(t)$ of kortweg $i$. Kleine letters in de notatie duiden op een veranderlijke waarde, terwijl hoofdletters duiden op een constante waarde [14](#page=14).
> **Voorbeeld:**
> In een grafiek worden specifieke ogenblikkelijke spanningswaarden weergegeven, bijvoorbeeld op tijdstippen $t=1\text{s}$ met $u = +3\text{V}$, op $t=2.5\text{s}$ met $u(2.5) = 0\text{V}$, en op $t=2.5\text{s}$ met $u(2.5) = -6\text{V}$ [15](#page=15) [1](#page=1).
### 1.2 Wisselspanning
Wisselspanningen zijn spanningen die wisselstromen opwekken, waarbij de polariteit van de klemmen afwisselend omkeert. Net als bij wisselstroom is de definitie van een referentiepolariteit (spanningspijl) essentieel om de werkelijke polariteit op elk moment te kunnen specificeren. Een positieve spanning wordt geregistreerd wanneer de werkelijke polariteit overeenkomt met de referentiezin, en een negatieve waarde wanneer deze tegengesteld is [13](#page=13).
Het tijdsverloop van een wisselspanning toont de grootte en polariteit van de spanning over tijd. Delen van de grafiek boven de tijdas duiden op een positieve spanning, terwijl delen eronder een negatieve spanning aangeven. De interpretatie van het tijdsverloop is enkel eenduidig wanneer een spanningspijl is gedefinieerd [14](#page=14).
> **Tip:**
> Een handige manier om een spanningsverloop voor te stellen, is door de klem waar de referentiepijl vertrekt als massa (0V) te beschouwen. De evolutie van de potentiaal van de andere klem wordt dan weergegeven door het tijdsverloop [14](#page=14).
#### 1.2.1 Ogenblikkelijke waarde van de spanning u(t)
De waarde van een wisselspanning op een specifiek moment wordt de ogenblikkelijke waarde genoemd en wordt aangeduid met $u(t)$ of kortweg $u$. Kleine letters in de notatie duiden op een veranderlijke waarde [14](#page=14).
### 1.3 Periode T[s
Een spanning of stroom wordt als periodiek beschouwd als er een herkenbaar patroon in het tijdsverloop steeds terugkomt. Het kleinste herhalende segment wordt een periode genoemd. De tijd die nodig is om één periode te doorlopen, is de periodetijd, aangeduid met $T$ en gemeten in seconden [15](#page=15).
> **Voorbeeld:**
> In een grafiek van een wisselspanning is de periodetijd $T = 4.5\text{s}$ af te leiden uit het herhalende patroon [15](#page=15).
Wanneer er geen herhalend patroon is, spreekt men van een willekeurig verlopende of aperiodieke wisselspanning of -stroom [16](#page=16).
### 1.4 Frequentie f[Hz
De frequentie ($f$) van een wisselspanning of -stroom is het aantal perioden dat binnen één seconde plaatsvindt en wordt uitgedrukt in Hertz (Hz = 1/s). De relatie tussen frequentie en periodetijd is [16](#page=16):
$$f = \frac{1}{T}$$ [16](#page=16).
> **Voorbeeld:**
> Als een periode $T = 10\text{ms}$ (of $0.01\text{s}$) duurt, dan is de frequentie $f = \frac{1}{0.01\text{s}} = 100\text{Hz}$. Dit betekent dat er 100 perioden van 10ms in één seconde plaatsvinden [16](#page=16).
Praktische frequenties variëren, zoals 50 Hz of 60 Hz voor het wisselspanningsnet, 16 2/3 Hz en 25 Hz voor spoorwegen, 20 Hz tot 20 kHz voor geluidsweergave, en 100 kHz tot 10 GHz voor hoogfrequenttechniek [16](#page=16).
### 1.5 Gemiddelde stroom I$_g$[A
De gemiddelde waarde van een wisselstroom ($I_g$) vertegenwoordigt de netto lading die per periode wordt verplaatst. Als evenveel lading in beide richtingen stroomt, is de gemiddelde waarde nul, wat duidt op geen netto verplaatsing van lading [16](#page=16).
> **Voorbeeld:**
> Bij een symmetrische zaagtandspanning stroomt in één periode evenveel lading heen ($Q+$) als terug ($Q-$), waardoor de gemiddelde stroom $I_g = 0$ is [16](#page=16).
Bij een niet-symmetrische wisselstroom is er een netto ladingsverplaatsing per periode. De gemiddelde stroom is dan de netto lading ($Q_g$) gedeeld door de periode ($T$) [17](#page=17).
$$I_g = \frac{Q_g}{T} = \frac{Q_+ - Q_-}{T}$$ [17](#page=17).
De intrinsieke betekenis van de gemiddelde stroomwaarde is de waarde van een constante gelijkstroom die in dezelfde tijd evenveel netto lading zou verplaatsen als de wisselstroom. Grafisch kan de gemiddelde waarde bepaald worden door een horizontale lijn te zoeken die de oppervlakte boven de lijn gelijk maakt aan de oppervlakte eronder binnen één periode [17](#page=17) [18](#page=18).
### 1.6 Gemiddelde spanning U$_g$[V
De gemiddelde waarde van een wisselspanning ($U_g$) heeft minder een directe, inzichtelijke betekenis dan de gemiddelde stroom en wordt meer als een wiskundig begrip beschouwd. De berekeningsmethode is echter analoog aan die voor de gemiddelde stroom [18](#page=18).
### 1.7 Stroom- en spanningssoorten
Spanningen en stromen kunnen worden ingedeeld op basis van hun tijdsverloop [18](#page=18):
* **Zuivere gelijkstroom en -spanning:** Constant in waarde en polariteit. De ogenblikkelijke waarde is gelijk aan de gemiddelde waarde ($i(t) = I = I_g$, $u(t) = U = U_g$) [18](#page=18).
* **Veranderlijke gelijkstroom of -spanning:** De waarde verandert, maar de polariteit blijft constant. De gemiddelde waarde kan positief of negatief zijn [18](#page=18).
* **Zuivere wisselstroom of -spanning:** De polariteit verandert en de gemiddelde waarde is nul ($I_g = 0$, $U_g = 0$). De oppervlakten boven en onder de tijdas zijn per periode gelijk [19](#page=19).
* **Onzuivere wisselstroom of -spanning:** De polariteit verandert en de gemiddelde waarde is niet nul. De gemiddelde waarde kan positief of negatief zijn [19](#page=19).
Deze stroomsoorten worden vaak veroorzaakt door overeenkomstige spanningssoorten [19](#page=19).
### 1.8 Topwaarde U$_t$[V, top-top waarde U$_{tt}$[V en amplitude U$_m$[V
De maximale waarde of topwaarde van een veranderlijke stroom of spanning is de uiterste waarde die bereikt wordt. Deze worden aangeduid als $U_{t+}$ en $U_{t-}$ (of $I_{t+}$ en $I_{t-}$) voor de positieve en negatieve maximale waarden. Het verschil tussen de maximale en minimale waarde is de top-top waarde, $U_{tt}$ of $U_{pp}$ [19](#page=19).
Bij een zuivere wisselspanning of -stroom zijn de maximale waarden in positieve en negatieve zin gelijk. In dit geval spreekt men van amplitude ($U_m$ en $I_m$) [20](#page=20).
### 1.9 De effectieve waarden U[V en I[A
De effectieve waarden van een wisselspanning of -stroom ($U$ en $I$) vertegenwoordigen de waarde van een constante gelijkspanning of -stroom die in dezelfde weerstand hetzelfde gemiddelde vermogen ontwikkelt. Deze waarden zijn essentieel voor het gebruik van eenvoudige vermogensformules zoals $P = U \cdot I = \frac{U^2}{R} = I^2 \cdot R$. Topwaarden of gemiddelde waarden zijn hiervoor niet geschikt [20](#page=20).
Effectieve waarden zijn in technische zin de belangrijkste parameters, vooral bij energiedistributie, en zijn de waarden waarmee men in de praktijk werkt, bijvoorbeeld 230V wisselspanning. Gewone volt- en ampèremeters geven voor sinusvormige wisselspanningen de effectieve waarde aan. Effectieve waarden worden ook wel RMS-waarden (Root Mean Square) genoemd en worden genoteerd als $U$, $I$, $U_{eff}$, $I_{eff}$, $U_{RMS}$ of $I_{RMS}$ [21](#page=21).
---
# Sinusoïdale spanning en stroom
Dit hoofdstuk behandelt de specifieke eigenschappen, de vectoriële voorstelling en de berekening van ogenblikkelijke waarden voor sinusvormige wisselspanningen en -stromen [22](#page=22).
### 2.1 Periode, frequentie, alternantie, amplitude en top-topwaarde
Zuivere sinusvormige wisselspanningen en -stromen zijn de meest voorkomende en fundamentele in de elektrotechniek. De definities van periode, frequentie en alternantie, zoals besproken in hoofdstuk 1, gelden ook hier [22](#page=22).
* **Alternantie:** Het positieve deel van een periode wordt de positieve alternantie genoemd, en het negatieve deel de negatieve alternantie. Beide duren even lang, namelijk een halve periode [22](#page=22).
* **Amplitude ($U_m$, $I_m$):** Bij sinusvormige grootheden spreekt men van amplitude in plaats van topwaarde. Dit is altijd een positief getal [22](#page=22).
* **Topwaarden:** Vanwege de symmetrie gelden de volgende relaties voor de topwaarden:
* $U_{t+} = +U_m$ en $U_{t-} = -U_m$ [22](#page=22).
* $I_{t+} = +I_m$ en $I_{t-} = -I_m$ [22](#page=22).
* **Top-topwaarde ($U_{tt}$, $I_{tt}$):** De top-topwaarde is het verschil tussen de positieve en negatieve topwaarde:
* $U_{tt} = 2 \cdot U_m$ [22](#page=22).
* $I_{tt} = 2 \cdot I_m$ [22](#page=22).
> **Tip:** De isolatie van apparatuur en leidingen moet berekend worden op basis van de topwaarden ($U_{t+}$ en $U_{t-}$), aangezien dit de maximale spanning is die ze te verduren krijgen [24](#page=24).
#### Voorbeeld
Een apparaat is aangesloten op een wisselspanning van 230V/50Hz [24](#page=24).
* De amplitude van de spanning is $U_m = \sqrt{2} \cdot U = \sqrt{2} \cdot 230\text{V} \approx 325\text{V}$ [24](#page=24).
* De positieve en negatieve topwaarden zijn dus $U_{t+} = +325\text{V}$ en $U_{t-} = -325\text{V}$ [24](#page=24).
* De periode is $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50\text{Hz}} = 0.02\text{s} = 20\text{ms}$ [24](#page=24).
* De top-topwaarde is $U_{tt} = 2 \cdot U_m = 2 \cdot 325\text{V} = 650\text{V}$ [24](#page=24).
* De gemiddelde waarde over een halve periode is $U_g = \frac{2}{\pi} \cdot U_m = \frac{2}{\pi} \cdot 325\text{V} \approx 206.9\text{V}$ [24](#page=24).
### 2.2 Effectieve waarde $U$ van een zuivere sinus
De effectieve waarde (RMS-waarde) van een spanning of stroom is de meest belangrijke parameter, omdat hiermee het vermogen in een weerstand berekend kan worden. Standaard volt- en ampèremeters geven voor sinusvormige wisselspanningen en -stromen steeds de effectieve waarde weer [23](#page=23).
Het verband tussen de effectieve waarde ($U$ of $I$) en de amplitude ($U_m$ of $I_m$) van een sinusvormige spanning of stroom is:
$$ U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot U_m $$ [23](#page=23).
$$ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot I_m $$ [23](#page=23).
Dit betekent dat de amplitude gelijk is aan:
$$ U_m = \sqrt{2} \cdot U \approx 1.41 \cdot U $$ [23](#page=23).
$$ I_m = \sqrt{2} \cdot I \approx 1.41 \cdot I $$ [23](#page=23).
#### Voorbeeld
Een stroom heeft een amplitude van 100A [24](#page=24).
* De gemiddelde waarde over een halve periode is $I_g = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0.636 \cdot 100\text{A} = 63.6\text{A}$ [24](#page=24).
* De effectieve waarde is $I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{100\text{A}}{\sqrt{2}} \approx 70.7\text{A}$ [24](#page=24).
### 2.3 Gemiddelde waarde $U_g$ van een zuivere sinus
De strikt wiskundige gemiddelde waarde van een zuiver sinusoïdale spanning of stroom over een volledige periode is nul, omdat de oppervlakte van de positieve en negatieve alternantie gelijk zijn. Om deze reden wordt de gemiddelde waarde meestal berekend over een halve periode [23](#page=23).
De formule voor de gemiddelde waarde over een halve periode is:
$$ U_g = \frac{2}{\pi} \cdot U_m \approx 0.636 \cdot U_m $$ [23](#page=23).
$$ I_g = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0.636 \cdot I_m $$ [23](#page=23).
### 2.4 Herhaling: hoeken in graden en radialen
In de wetenschap wordt de stand van een straal in een cirkel gemeten als een hoek $\alpha$ ten opzichte van de positieve horizontale as. Deze hoek wordt meestal uitgedrukt in graden of radialen, waarbij radialen de voorkeur genieten in de wetenschap [25](#page=25).
De omrekeningsformules zijn:
* Van radialen naar graden:
$$ \alpha \text{ graden} = \alpha \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx \alpha \cdot 57.296^\circ $$ [25](#page=25).
* Van graden naar radialen:
$$ \alpha \text{ radialen} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180} \approx \alpha \cdot 0.0175 \text{ rad} $$ [25](#page=25).
### 2.5 Vectoriële voorstelling
Het tijdsverloop van een sinusvormige wisselspanning of -stroom kan gevisualiseerd worden met een vector (pijl) die met constante snelheid tegen klokwijzerzin draait. De lengte van de vector is gelijk aan de amplitude ($U_m$ of $I_m$), waardoor de pijlpunt een cirkel beschrijft met die straal. De snelheid waarmee de vector draait, correspondeert met de frequentie van de spanning [25](#page=25).
* De vector draait in één periodetijd ($T$) een hoek van $360^\circ$ of $2\pi$ radialen [26](#page=26).
* De hoeksnelheid ($\omega$) van een draaiende beweging wordt gegeven door $\omega = 2\pi f$ [rad/s [26](#page=26).
* Na een tijd $t$ heeft de vector een hoekstand $\phi_t = \phi_0 + \omega \cdot t$ (in radialen) aangenomen. Meestal wordt de beginhoek $\phi_0 = 0$ rad gekozen [26](#page=26).
* Het moment $t$ kan ook aangeduid worden door de fasehoek $\phi_t$, gemeten in elektrische graden [26](#page=26).
De constructie van de sinusvorm verloopt als volgt: de doorlopen hoek wordt uitgezet op de horizontale as, en de verticale component van de draaiende vector geeft de ogenblikkelijke waarde weer op de verticale as [26](#page=26).
#### Voorbeeld
Een spanning heeft een periode $T = 0.01\text{s}$ [26](#page=26).
* De frequentie is $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.01\text{s}} = 100\text{Hz}$ [26](#page=26).
* De hoeksnelheid is $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 100 = 628.3\text{ rad/s}$ [26](#page=26).
* Als $\phi_0 = 0^\circ$, dan is na $t = 2\text{ms}$ de hoekstand $\phi_t = \omega \cdot t = 628\text{ rad/s} \cdot 0.002\text{s} = 1.255\text{ rad}$, wat overeenkomt met $72^\circ$ [26](#page=26).
### 2.6 Belang van de vectoriële voorstelling
Het kennen van de frequentie ($f$), amplitude ($U_m$ of $I_m$) en initiële fasehoek ($\phi_0$) is voldoende om de ogenblikkelijke waarde van een sinusoïdale wisselspanning of -stroom op elk moment te berekenen en de sinus te reconstrueren [27](#page=27).
Een vereenvoudiging is dat een sinusoïdale wisselspanning of -stroom voorgesteld kan worden door een stilstaande vector onder de hoek die overeenkomt met de initiële fase ($\phi_0$), met een lengte gelijk aan de amplitude. De frequentie wordt erbij genoteerd [27](#page=27).
#### Gebruik van de effectieve waarde voor de grootte van de vector
Omdat de effectieve waarde in de elektrotechniek belangrijker is, wordt de lengte van de vector vaak gekozen om overeen te komen met de effectieve waarde in plaats van de amplitude. Het verband blijft $U_m = \sqrt{2} \cdot U$ en $I_m = \sqrt{2} \cdot I$ [27](#page=27).
#### Voorbeeld
Een spanning met amplitude $U_m = 500\text{V}$ en frequentie $f = 25\text{Hz}$, met een initiële fase $\phi_0 = 0^\circ$ [27](#page=27).
* Effectieve waarde: $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} = \frac{500\text{V}}{\sqrt{2}} \approx 353.5\text{V}$ [27](#page=27).
* Periode: $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{25\text{Hz}} = 0.04\text{s} = 40\text{ms}$ [27](#page=27).
* Hoeksnelheid: $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 25\text{Hz} = 157.08\text{ rad/s}$ [27](#page=27).
> **Opmerking:**
> 1. De netspanning in Europa heeft standaard een frequentie van 50Hz. Indien geen twijfel mogelijk is, wordt de frequentie soms weggelaten en verondersteld als 50Hz [28](#page=28).
> 2. Als $\phi_0 = 0^\circ$, start de sinus met een positieve alternantie vanuit de oorsprong [28](#page=28).
### 2.7 Berekenen van de ogenblikkelijke waarde $u_t$
Gegeven de amplitude ($U_m$), frequentie ($f$) en initiële fasehoek ($\phi_0$), kan de ogenblikkelijke waarde van de spanning op elk moment berekend worden [27](#page=27).
De fasehoek $\phi_t$ op een willekeurig moment $t$ wordt berekend met de formule (gebruik makend van radialen):
$$ \phi_t = \phi_0 + \omega \cdot t = \phi_0 + 2\pi \cdot f \cdot t $$ [29](#page=29).
**Let op:** Als $\phi_0$ in graden is gegeven, moet deze eerst naar radialen worden omgezet. Het resultaat $\phi_t$ is ook in radialen [29](#page=29).
De ogenblikkelijke waarde $u_t$ is de grootte van de verticale component van de vector met fasehoek $\phi_t$:
$$ u_t = U_m \cdot \sin(\phi_t) = U_m \cdot \sin(\phi_0 + 2\pi \cdot f \cdot t) $$ [29](#page=29).
> **Opmerking:** Bij berekeningen is het cruciaal om aandacht te besteden aan of hoeken in graden of radialen zijn gegeven, vooral bij het gebruik van een rekenmachine [29](#page=29).
#### Oefening
Het tijdsverloop van een spanning is gegeven met $T = 1\text{s}$, $U_m = 10\text{V}$ en $\phi_0 = 0^\circ$ [29](#page=29).
* Frequentie: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1\text{s}} = 1\text{Hz}$ [29](#page=29).
* Wiskundige uitdrukking: $u = U_m \cdot \sin(\phi_0 + 2\pi f \cdot t) = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot t)$ [29](#page=29).
Ogenblikkelijke waarden op specifieke tijdstippen:
* $u_1$ op $t = 0.15\text{s}$: $u_1 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.15) \approx 8.09\text{V}$ [29](#page=29).
* $u_2$ op $t = 0.25\text{s}$: $u_2 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.25) = 10.0\text{V}$ [29](#page=29).
* $u_3$ op $t = 0.50\text{s}$: $u_3 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.50) = 0.00\text{V}$ [29](#page=29).
* $u_4$ op $t = 0.90\text{s}$: $u_4 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.90) \approx -5.88\text{V}$ [29](#page=29).
### 2.8 Oefeningen
(Verwijzing naar de oefeningen in het document.) [30](#page=30).
---
# Enkelvoudige AC-kringen en impedantie
Dit hoofdstuk introduceert de concepten van impedantie en faseverschuivingen in enkelvoudige AC-kringen, met een focus op de gedragingen van ideale weerstanden, condensatoren en spoelen.
### 3.1 Wisselstroom en impedantie
Wanneer een sinusoïdale wisselspanning op een verbruiker wordt aangesloten, zal er een sinusoïdale wisselstroom met dezelfde frequentie in de kring stromen. De tegenstand die de verbruiker aan deze stroom biedt, wordt aangeduid met de term impedantie, genoteerd als $Z$, en heeft als eenheid de Ohm. De impedantie wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de effectieve waarden van spanning ($U$) en stroom ($I$) [31](#page=31):
$$Z = \frac{U}{I} [\Omega]$$ [31](#page=31).
> **Voorbeeld:** Een TL-lamp opgenomen op 230V met een stroom van 2A heeft een impedantie van $Z = \frac{230V}{2A} = 115\Omega$ [31](#page=31).
Het grafische symbool voor impedantie is hetzelfde als dat van een weerstand. Bij het tekenen van kringschema's wordt de conventie gevolgd dat bij bronnen de spanning- en stroomreferentiepijlen in dezelfde zin staan, en bij belastingen in tegengestelde zin [31](#page=31).
### 3.2 Faseverschuiving
Naast de grootte van de impedantie is de faseverschuiving ($\phi$) tussen spanning en stroom cruciaal voor een volledige beschrijving van het gedrag van een AC-kring. Een faseverschuiving treedt op wanneer spanning en stroom niet synchroon verlopen. Dit kan grafisch worden weergegeven in een tijdsdiagram (verschoven toppen en nulpunten) of een vectordiagram (hoek tussen spannings- en stroomvector). De faseverschuiving wordt meestal uitgedrukt in elektrische graden [32](#page=32).
Om de relatieve aard van "voor- en na-ijlen" te vermijden, wordt de stroomvector als referentie genomen. Een draaiing tegen de klok in (CCW) ten opzichte van de stroomvector naar de spanningsvector is een positieve hoekverdraaiing ($\phi > 0^\circ$), terwijl een draaiing met de klok mee (CW) een negatieve hoekverdraaiing is ($\phi < 0^\circ$) [33](#page=33).
### 3.3 Volledige bepaling van de impedantie
De volledige impedantie ($Z^\rightarrow$) omvat zowel de grootte ($Z$) als de faseverschuiving ($\phi$). Deze wordt genoteerd als $Z^\rightarrow = Z \angle \phi^\circ$ [33](#page=33).
> **Voorbeeld:** De impedantie van de TL-lamp wordt volledig beschreven als $Z^\rightarrow = 115\Omega \angle +45^\circ$ [33](#page=33).
De notatie $Z$ verwijst enkel naar de getalwaarde in Ohm, terwijl $Z^\rightarrow$ de volledige informatie inclusief de faseverschuiving bevat [33](#page=33).
### 3.4 De drie ideale componenten
In de elektrotechniek worden drie ideale componenten bestudeerd: de zuivere weerstand, de zuivere condensator en de zuivere spoel. Hoewel deze in de praktijk niet perfect bestaan, is hun studie essentieel [33](#page=33).
#### 3.4.1 De zuivere of ideale weerstand
Componenten zoals verwarmingsweerstanden en gloeilampen benaderen het gedrag van een ideale weerstand. Bij een zuivere weerstand is de impedantie gelijk aan de weerstandswaarde ($Z = R$) en verloopt de stroom volledig synchroon met de spanning, wat betekent dat de faseverschuiving nul is ($\phi = 0^\circ$). De impedantie is onafhankelijk van de frequentie [34](#page=34).
De wet van Ohm is geldig voor zowel effectieve als ogenblikkelijke waarden bij een ideale weerstand [34](#page=34):
$$R = \frac{U}{I} [\Omega \quad \text{en} \quad R = \frac{u_R}{i_R}$$ [34](#page=34).
De volledige impedantie van een ideale weerstand wordt genoteerd als:
$$Z_R = R \angle 0^\circ$$ [41](#page=41).
#### 3.4.2 De zuivere of ideale condensator
Condensatoren slaan elektrische lading op en geven deze snel weer af. De belangrijkste eigenschap is de capaciteit ($C$), uitgedrukt in Farad (F), hoewel praktijkwaarden vaak in microFarad ($\mu F$) liggen [35](#page=35).
De impedantie ($Z_C$) van een ideale condensator, ook wel capacitieve reactantie ($X_C$) genoemd, is frequentieafhankelijk en wordt gegeven door:
$$Z_C = X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} [\Omega]$$ [36](#page=36).
Hierin is $\omega$ de hoekfrequentie, gelijk aan $2\pi f$.
> **Voorbeeld:** Bij een frequentie van 50 Hz en een condensator van 1 $\mu F$, is de impedantie $Z_C = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \cdot 1 \cdot 10^{-6}} \approx 3183\Omega$. Bij 100 Hz halveert de impedantie [36](#page=36).
Een hogere frequentie resulteert in een lagere impedantie en dus een grotere stroom, en vice versa [36](#page=36).
Bij een ideale condensator loopt de stroom 90° vooruit op de spanning ($\phi = -90^\circ$). Dit komt door het continue laden en ontladen van de condensatorplaten. Het is belangrijk om condensatoren altijd te ontladen voor het werken aan apparatuur, aangezien ze gevaarlijke spanningen kunnen bevatten [37](#page=37).
De volledige impedantie van een ideale condensator wordt genoteerd als:
$$Z_C^\rightarrow = X_C = \frac{1}{2\pi f C} \angle -90^\circ$$ [41](#page=41).
#### 3.4.3 De zuivere of ideale spoel
Spoelen wekken een magnetisch veld op wanneer er stroom doorheen loopt, wat essentieel is voor componenten zoals motoren en transformatoren. Energie wordt opgeslagen in dit magnetisch veld. De belangrijkste eigenschap is de zelfinductiecoëfficiënt ($L$), uitgedrukt in Henry (H), hoewel praktijkwaarden vaak in microHenry ($\mu H$) tot milliHenry ($mH$) liggen [38](#page=38).
De impedantie ($Z_L$) van een ideale spoel, ook wel inductieve reactantie ($X_L$) genoemd, is frequentieafhankelijk en wordt gegeven door:
$$Z_L = X_L = \omega L = 2\pi f L [\Omega]$$ [39](#page=39).
> **Voorbeeld:** Voor een spoel van 1 H bij 50 Hz is de impedantie $Z_L = 2\pi \cdot 50 \cdot 1 \approx 314,2\Omega$. Bij 100 Hz verdubbelt de impedantie [39](#page=39).
Een hogere frequentie resulteert in een hogere impedantie en dus een kleinere stroom, en vice versa [39](#page=39).
Bij een ideale spoel loopt de stroom 90° achter op de spanning ($\phi = +90^\circ$). Dit is het gevolg van het magnetiserend effect van de stroom [40](#page=40).
De volledige impedantie van een ideale spoel wordt genoteerd als:
$$Z_L = X_L = 2\pi f L \angle +90^\circ$$ [41](#page=41).
### 3.5 Willekeurige verbruiker
In de praktijk vertonen belastingen een gedrag dat varieert tussen zuiver ohms, inductief en capacitief. De faseverschuiving ($\phi$) bij een werkelijke belasting ligt meestal tussen -90° en +90° [42](#page=42).
* **Inductief gedrag:** Indien de faseverschuiving positief is ($\phi > 0^\circ$), gedraagt de verbruiker zich inductief. De spanning ijlt voor op de stroom. Een zuivere inductantie resulteert in een faseverschuiving van +90° [42](#page=42).
* **Capacitief gedrag:** Indien de faseverschuiving negatief is ($\phi < 0^\circ$), gedraagt de verbruiker zich capacitief. De spanning ijlt na op de stroom. Een zuivere capaciteit resulteert in een faseverschuiving van -90° [42](#page=42).
Meeste praktische belastingen vertonen een overwegend ohme of inductieve karakteristiek, met faseverschuivingen tussen 0° en 60°. Elektronische apparaten die de netspanning gelijkrichten, vertonen vaak capacitief gedrag [43](#page=43).
### 3.6 Samenvatting ideale componenten
| Component | Impedantie | Faseverschuiving ($\phi$) | Notatie Volledige Impedantie |
| :-------------- | :---------------------------------------- | :------------------------ | :--------------------------- |
| Weerstand ($R$) | $Z = R$ | $0^\circ$ | $Z_R = R \angle 0^\circ$ |
| Condensator ($C$) | $Z_C = X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ | $-90^\circ$ | $Z_C = X_C \angle -90^\circ$ |
| Spoel ($L$) | $Z_L = X_L = 2\pi f L$ | $+90^\circ$ | $Z_L = X_L \angle +90^\circ$ |
Een sinusoïdale spanning veroorzaakt een sinusoïdale stroom van dezelfde frequentie. De sterkte van de stroom hangt af van de grootte van de impedantie. De faseverschuiving is essentieel voor een volledige kennis van de impedantie. Het teken van de faseverschuiving wordt bepaald door de draairichting van de stroomvector naar de spanningsvector: CW is negatief, CCW is positief. De impedantie van een weerstand is frequentie-onafhankelijk, terwijl de reactantie van spoelen en condensatoren wel frequentieafhankelijk is [41](#page=41).
---
# Wisselstroomvermogens
Dit hoofdstuk introduceert en analyseert de verschillende soorten vermogens in wisselstroomcircuits: actief, reactief en schijnbaar, inclusief de relatie tussen deze vermogens middels de vermogendriehoek en de invloed van de faseverschuiving.
### 4.1 Ogenblikkelijk vermogen
Het ogenblikkelijk vermogen $p$ in een wisselstroomcircuit op een bepaald tijdstip is het product van de ogenblikkelijke spanning $u$ en de ogenblikkelijke stroom $i$. Omdat deze waarden voortdurend veranderen, fluctueert ook het ogenblikkelijk vermogen [45](#page=45).
$$ p = u \ast i \quad [\text{W}] $$
#### 4.1.1 Vermogenverloop bij een ideale weerstand ($\phi = 0^\circ$)
Bij een ideale weerstand zijn spanning en stroom in fase. Het ogenblikkelijk vermogen $p_R$ is het product van de ogenblikkelijke spanning en stroom. De grafische weergave toont aan dat het vermogen steeds positief is, met pulsen die de dubbele frequentie hebben van de spanning en stroom [46](#page=46).
* Het vermogen is nul wanneer spanning en stroom nul zijn [46](#page=46).
* Het maximale vermogen treedt op wanneer de spanning en stroom maxima bereiken [46](#page=46).
* De frequentie van het vermogensverloop is tweemaal de frequentie van spanning en stroom [46](#page=46).
#### 4.1.2 Actief of gemiddeld vermogen $P$
Het actief vermogen $P$, ook wel gemiddeld vermogen genoemd, is het constante vermogen dat per periode dezelfde hoeveelheid energie overbrengt. Dit is het vermogen dat doorgaans wordt bedoeld wanneer gesproken wordt over vermogen in wisselstroomcircuits. Voor een ideale weerstand wordt het actief vermogen berekend als de helft van het maximale ogenblikkelijke vermogen, of het product van de effectieve waarden van spanning en stroom [46](#page=46) [47](#page=47).
$$ P_R = \frac{P_{R_m}}{2} = \frac{U_{R_m} \ast I_{R_m}}{2} = U_R \ast I_R \quad [\text{W}] $$
$$ P_R = \frac{U_R^2}{R} = I_R^2 \ast R \quad [\text{W}] $$
**Voorbeeld:** Een gloeilamp op netspanning ontvangt pulsvormig vermogen, maar door de nagloeitijd wordt dit uitgevlakt tot een continu lichtvermogen. Bij traditionele TL-lampen is het lichtvermogen echter niet continu en bestaat uit snelle "flitsen" die als continu worden waargenomen, wat echter problemen kan geven bij bepaalde apparatuur [47](#page=47).
#### 4.1.3 Vermogenverloop bij een ideale condensator ($\phi = -90^\circ$)
Bij een ideale condensator ijlt de spanning $90^\circ$ na op de stroom. Het ogenblikkelijk vermogen $p_C$ wisselt tussen positief en negatief. Positief vermogen duidt op het laden van de condensator, terwijl negatief vermogen duidt op het ontladen en terugleveren van energie aan de bron. Wiskundig gezien heeft het vermogensverloop een dubbele frequentie (#page=48, [48](#page=48) [49](#page=49).
Het gemiddelde vermogen $P_C$ van een ideale condensator is nul, omdat de opgeslagen energie volledig wordt teruggegeven aan de bron tijdens de volgende halve periode [49](#page=49).
$$ P_C = 0 \, \text{W} $$
#### 4.1.4 Vermogenverloop bij een ideale spoel ($\phi = +90^\circ$)
Bij een ideale spoel ijlt de spanning $90^\circ$ voor op de stroom. Net als bij de condensator wisselt het ogenblikkelijk vermogen $p_L$ tussen positief en negatief. Positief vermogen duidt op het opbouwen van een magnetisch veld in de spoel, terwijl negatief vermogen duidt op het afbouwen van het magnetisch veld en het teruggeven van opgeslagen energie aan de bron. Het vermogensverloop heeft een dubbele frequentie (#page=50, [50](#page=50) [51](#page=51).
Het gemiddelde vermogen $P_L$ van een ideale spoel is nul, omdat de opgeslagen energie volledig wordt teruggegeven aan de bron tijdens de volgende halve periode [51](#page=51).
$$ P_L = 0 \, \text{W} $$
#### 4.1.5 Vermogenverloop bij een willekeurige belasting $Z$ ($-90^\circ \le \phi \le +90^\circ$)
Bij een willekeurige belasting met een faseverschuiving $\phi$ tussen $-90^\circ$ en $+90^\circ$, is er zowel positief als negatief ogenblikkelijk vermogen $p_Z$. Het vermogensverloop is nog steeds sinusoïdaal met een dubbele frequentie (#page=52,. Een deel van de energie wordt verbruikt en een deel wordt tijdelijk opgeslagen (in een condensator of spoel) en vervolgens teruggegeven aan de bron [52](#page=52) [53](#page=53).
Het gemiddelde vermogen $P_Z$ is bij een willekeurige belasting niet nul. Het wordt berekend met de formule:
$$ P_Z = U_Z \ast I_Z \ast \cos(\phi) \quad [\text{W}] $$
Hierbij is $\cos(\phi)$ de arbeidsfactor (AF) en geeft aan hoe efficiënt de spanning en stroom worden gebruikt om actief vermogen over te brengen [53](#page=53).
* Ideale weerstand: $\phi = 0^\circ$, $\cos(\phi) = 1 \implies P_R = U_R \ast I_R$ [53](#page=53).
* Ideale condensator: $\phi = -90^\circ$, $\cos(\phi) = 0 \implies P_C = 0 \, \text{W}$ [53](#page=53).
* Ideale spoel: $\phi = +90^\circ$, $\cos(\phi) = 0 \implies P_L = 0 \, \text{W}$ [53](#page=53).
### 4.2 Schijnbaar $S$ [VA en reactief vermogen $Q$ [VAR
Naast het actief vermogen $P$ worden in wisselstroomcircuits ook het schijnbaar vermogen $S$ en het reactief vermogen $Q$ gedefinieerd. Deze zijn essentieel voor het berekenen van elektrische installaties en het bepalen van verbruikstarieven.
#### 4.2.1 Reactief vermogen $Q$
Het reactief vermogen $Q$ vertegenwoordigt de hoeveelheid energie die tijdelijk in de belasting wordt opgeslagen en later weer aan de bron wordt afgegeven. Het is de gemiddelde waarde van dit heen-en-weer pendelende vermogen. De eenheid is Volt-Ampère-Reactief (VAR) [54](#page=54).
$$ Q_Z = U_Z \ast I_Z \ast \sin(\phi) \quad [\text{VAR}] $$
#### 4.2.2 Schijnbaar vermogen $S$
Het schijnbaar vermogen $S$ is het totaal gemiddeld vermogen dat de bron aan de belasting moet leveren, inclusief het actief en het heen-en-weer pendelende reactieve vermogen. Dit vermogen bepaalt de stroomsterkte door de bedrading en componenten van het distributiesysteem. De eenheid is Volt-Ampère (VA) [54](#page=54).
$$ S_Z = U_Z \ast I_Z \quad [\text{VA}] $$
#### 4.2.3 Verband tussen $S$, $P$ en $Q$
De drie vermogens $S$, $P$ en $Q$ staan in een onderlinge relatie die beschreven wordt door de volgende formule:
$$ S_Z^2 = P_Z^2 + Q_Z^2 $$
Dit verband kan visueel worden voorgesteld met de vermogendriehoek (#page=54, [54](#page=54) [60](#page=60).
### 4.3 Vermogen van ideale componenten
#### 4.3.1 De ideale weerstand ($\phi = 0$)
Voor een ideale weerstand is er geen reactief vermogen ($Q_R = 0$), omdat er geen energie wordt teruggestuurd naar de bron. Het schijnbaar vermogen is gelijk aan het actief vermogen [55](#page=55).
$$ P_R = U_R \ast I_R \quad [\text{W}] $$
$$ Q_R = 0 \quad [\text{VAR}] $$
$$ S_R = U_R \ast I_R \quad [\text{VA}] $$
#### 4.3.2 De ideale condensator ($\phi = -90^\circ$)
Bij een ideale condensator is er geen actief vermogen ($P_C = 0$), omdat alle energie wordt teruggegeven aan de bron. Het reactief vermogen is negatief en gelijk in grootte aan het schijnbaar vermogen [55](#page=55).
$$ P_C = 0 \quad [\text{W}] $$
$$ Q_C = U_C \ast I_C \ast \sin(-90^\circ) = -U_C \ast I_C \quad [\text{VAR}] $$
$$ S_C = U_C \ast I_C \quad [\text{VA}] $$
Ook geldt:
$$ Q_C = -\frac{U_C^2}{X_C} = -I_C^2 \ast X_C $$
#### 4.3.3 De ideale spoel ($\phi = +90^\circ$)
Bij een ideale spoel is er geen actief vermogen ($P_L = 0$), omdat alle energie wordt teruggegeven aan de bron. Het reactief vermogen is positief en gelijk in grootte aan het schijnbaar vermogen [55](#page=55).
$$ P_L = 0 \quad [\text{W}] $$
$$ Q_L = U_L \ast I_L \ast \sin(90^\circ) = +U_L \ast I_L \quad [\text{VAR}] $$
$$ S_L = U_L \ast I_L \quad [\text{VA}] $$
Ook geldt:
$$ Q_L = \frac{U_L^2}{X_L} = I_L^2 \ast X_L $$
**Opmerking:** Het reactieve vermogen van een spoel is positief, terwijl dat van een condensator negatief is. Dit onderscheidt inductief van capacitief reactief vermogen [56](#page=56).
### 4.4 De stroomdriehoek en de vermogendriehoek
Bij niet-ideale belastingen kan de stroomvector $I_Z$ worden ontbonden in een actief stroomdeel $I_P$ (in fase met de spanning) en een reactief stroomdeel $I_Q$ ($90^\circ$ verschoven ten opzichte van de spanning). Deze vormen de stroomdriehoek [59](#page=59).
* $I_P = I_Z \ast \cos(\phi)$
* $I_Q = I_Z \ast \sin(\phi)$
* $I_Z^2 = I_P^2 + I_Q^2$
Door deze stroomcomponenten te vermenigvuldigen met de spanning, verkrijgen we de corresponderende vermogens:
* $P_Z = U \ast I_P = U \ast I_Z \ast \cos(\phi)$
* $Q_Z = U \ast I_Q = U \ast I_Z \ast \sin(\phi)$
* $S_Z = U \ast I_Z$
Deze drie vermogens vormen de vermogendriehoek, waaruit de relaties $P_Z = S_Z \ast \cos(\phi)$, $Q_Z = S_Z \ast \sin(\phi)$ en $S_Z^2 = P_Z^2 + Q_Z^2$ kunnen worden afgeleid [60](#page=60).
**Opmerkingen:**
* Voor inductieve belastingen wijzen de stroom- en vermogendriehoeken naar beneden; voor capacitieve belastingen wijzen ze naar boven [60](#page=60).
* Capacitief reactief vermogen ($Q_C$) is negatief, inductief reactief vermogen ($Q_L$) is positief [60](#page=60).
### 4.5 Optellen van vermogens bij meerdere parallelle verbruikers
Wanneer er meerdere verbruikers parallel zijn aangesloten, mogen de individuele actieve vermogens $P$ en reactieve vermogens $Q$ worden opgeteld om het totale vermogen te vinden. Hierbij moeten de juiste tekens voor $Q$ worden gehanteerd. De schijnbare vermogens $S$ mogen niet zomaar worden opgeteld, maar kunnen berekend worden uit de totale $P$ en $Q$ [61](#page=61).
$$ P_{\text{bron}} = P_1 + P_2 + P_3 + \dots $$
$$ Q_{\text{bron}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + \dots $$
$$ S_{\text{bron}} = \sqrt{P_{\text{bron}}^2 + Q_{\text{bron}}^2} = U_{\text{bron}} \ast I_{\text{bron}} $$
### 4.6 Verbruikte energie
Energieverbruik wordt berekend als vermogen maal tijd. In huishoudens wordt meestal enkel het actief verbruikte energie gemeten (kWh), terwijl in bedrijfsomgevingen ook het opgenomen reactieve energie (kVARh) wordt geregistreerd [62](#page=62).
* Actief verbruikte energie: $W_P = P \ast t$ [62](#page=62).
* Reactief verbruikte energie: $W_Q = Q \ast t$ [62](#page=62).
---
# Parallel- en seriekringen
Dit onderwerp behandelt de analyse van parallel- en seriekringen met weerstanden, spoelen en condensatoren, inclusief resonantie en de invloed van frequentie.
### 5.1 Inleiding
Dit hoofdstuk behandelt het gedrag van parallelkringen opgebouwd uit ideale weerstanden, condensatoren en spoelen. Het doel is om voor elke schakeling een equivalente impedantie ($Z$) te bepalen en wiskundige verbanden op te stellen om het gedrag van de kring te voorspellen [63](#page=63).
### 5.2 Weerstanden in parallel
Wanneer weerstanden parallel worden geschakeld aan een wisselspanningsbron ($U$), zijn de stromen door de individuele weerstanden ($I_1$, $I_2$, $I_3$) in fase met de spanning. De totale stroom ($I_t$) is de vectoriële som van de deelstromen. Omdat de fasen gelijk zijn, is de grootte de algebraïsche som [63](#page=63):
$I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3}$ [63](#page=63).
De equivalente weerstand ($R_v$) gedraagt zich zodanig dat deze dezelfde totale stroom levert als de parallelgroep [63](#page=63):
$\frac{1}{R_v} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ [63](#page=63).
### 5.3 Spoelen in parallel
Bij drie ideale spoelen parallel geschakeld, lopen de stromen ($I_1$, $I_2$, $I_3$) 90° na op de spanning. De totale stroom is opnieuw de algebraïsche som van de deelstromen [64](#page=64):
$I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{X_{L1}} + \frac{U}{X_{L2}} + \frac{U}{X_{L3}}$ [64](#page=64).
De equivalente spoel heeft een vervangingsreactantie ($X_{Lv}$) die voldoet aan:
$\frac{1}{X_{Lv}} = \frac{1}{X_{L1}} + \frac{1}{X_{L2}} + \frac{1}{X_{L3}}$ [64](#page=64).
Omdat $X_L = \omega L = 2\pi fL$, geldt voor de equivalente zelfinductie ($L_v$):
$\frac{1}{L_v} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$ [64](#page=64).
### 5.4 Condensatoren in parallel
Bij drie ideale condensatoren parallel, lopen de stromen ($I_1$, $I_2$, $I_3$) 90° vooruit op de spanning. De totale stroom is de algebraïsche som van de deelstromen [65](#page=65):
$I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{X_{C1}} + \frac{U}{X_{C2}} + \frac{U}{X_{C3}}$ [65](#page=65).
De equivalente condensator heeft een vervangingsreactantie ($X_{Cv}$) die voldoet aan:
$\frac{1}{X_{Cv}} = \frac{1}{X_{C1}} + \frac{1}{X_{C2}} + \frac{1}{X_{C3}}$ [65](#page=65).
Omdat $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}$, geldt voor de equivalente capaciteit ($C_v$):
$C_v = C_1 + C_2 + C_3$ [65](#page=65).
### 5.5 Weerstand en spoel in parallel
Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$) en een spoel ($L$), zijn de stromen $I_R$ en $I_L$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met de spanning $U$, terwijl $I_L$ 90° na-ijlt op $U$. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som van $I_R$ en $I_L$ [66](#page=66):
$I = \sqrt{I_R^2 + I_L^2}$ [66](#page=66).
* **Stroomdriehoek**: Toont de relatie tussen $I$, $I_R$ en $I_L$.
* $\sin(\phi) = \frac{I_L}{I}$
* $\cos(\phi) = \frac{I_R}{I}$
* $\tan(\phi) = \frac{I_L}{I_R}$ [66](#page=66).
* **Admittantiedriehoek**: Verkregen door de stroomdriehoek te delen door de spanning $U$. De admittantie ($Y$) is de omgekeerde van de impedantie ($Z$), met eenheid Siemens (S).
* $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L})^2}$ [67](#page=67).
* $\sin(\phi) = \frac{Z}{X_L}$, $\cos(\phi) = \frac{Z}{R}$, $\tan(\phi) = \frac{R}{X_L}$ [67](#page=67).
* Vectoriële optelling van admittanties: $\vec{Y} = \vec{G} + \vec{B}_L$, waar $G = \frac{1}{R}$ en $B_L = \frac{1}{X_L}$ [67](#page=67).
* **Vermogendriehoek**: Verkregen door de stroomdriehoek te vermenigvuldigen met de spanning $U$.
* Schijnbaar vermogen $S = U \cdot I$ [67](#page=67).
* Actief vermogen $P = U \cdot I_R = U \cdot I \cdot \cos(\phi)$ [67](#page=67).
* Reactief vermogen $Q = U \cdot I_L = U \cdot I \cdot \sin(\phi)$ [67](#page=67).
* $S^2 = P^2 + Q^2$ [67](#page=67).
* Vectoriële optelling van vermogens: $\vec{S} = \vec{P} + \vec{Q}$ [68](#page=68).
* **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie neemt $X_L$ toe, $I_L$ daalt, terwijl $I_R$ gelijk blijft. De totale stroom neemt af en de kring gedraagt zich ohmser [68](#page=68).
### 5.6 Weerstand en condensator in parallel
Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$) en een condensator ($C$), zijn de stromen $I_R$ en $I_C$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met de spanning $U$, terwijl $I_C$ 90° vooruitloopt op $U$. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som van $I_R$ en $I_C$ [69](#page=69):
$I = \sqrt{I_R^2 + I_C^2}$ [69](#page=69).
* **Stroomdriehoek**: Toont de relatie tussen $I$, $I_R$ en $I_C$. De fasehoek $\phi$ is negatief voor capacitieve belasting.
* $\sin(-\phi) = \frac{I_C}{I}$
* $\cos(-\phi) = \frac{I_R}{I}$
* $\tan(-\phi) = \frac{I_C}{I_R}$ [69](#page=69).
* **Admittantiedriehoek**: De admittanties zijn $G = \frac{1}{R}$ en $B_C = \frac{1}{X_C}$.
* $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_C})^2}$ [70](#page=70).
* $\sin(-\phi) = \frac{Z}{X_C}$, $\cos(-\phi) = \frac{Z}{R}$, $\tan(-\phi) = \frac{R}{X_C}$ [70](#page=70).
* Vectoriële optelling van admittanties: $\vec{Y} = \vec{G} + \vec{B}_C$ [70](#page=70).
* **Vermogendriehoek**: Identiek aan de spoel-weerstand combinatie, maar $Q$ is nu negatief voor capacitieve belasting [70](#page=70).
* **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie daalt $X_C$, $I_C$ stijgt, terwijl $I_R$ gelijk blijft. De totale stroom neemt toe en de kring gedraagt zich capacitiever [71](#page=71).
### 5.7 Weerstand, spoel en condensator in parallel
Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$), spoel ($L$) en condensator ($C$), zijn de stromen $I_R$, $I_L$ en $I_C$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met $U$, $I_L$ na-ijlt 90°, en $I_C$ vooruitloopt 90°. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som [72](#page=72):
$I = \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2}$ [73](#page=73).
* **5.7.1 $I_C < I_L$: Inductief gedrag**
* De totale blindstroom ($I_Q$) is inductief, $I_Q = I_L - I_C$ [72](#page=72).
* De totale stroom ($I$) volgt de inductieve aard van de blindstroom [72](#page=72).
* **5.7.2 $I_C = I_L$: Ohms gedrag (resonantie)**
* De blindstroom is nul, $I_L = I_C$.
* De totale stroom is gelijk aan de weerstandsstroom: $I = I_R = \frac{U}{R}$ [74](#page=74).
* De faseverschuiving $\phi$ is 0°.
* **Stroomopslingering**: De stromen door de spoel en condensator kunnen veel groter zijn dan de totale stroom, omdat ze reactief vermogen uitwisselen [74](#page=74).
* **5.7.3 $I_C > I_L$: Capacitief gedrag**
* De totale blindstroom ($I_Q$) is capacitief, $I_Q = I_C - I_L$ [75](#page=75).
* De totale stroom ($I$) volgt de capacitieve aard van de blindstroom [75](#page=75).
* **Admittantiedriehoek**:
* Voor $I_C < I_L$: $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}$ [73](#page=73).
* Voor $I_C > I_L$: $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L})^2}$ [75](#page=75).
* **5.7.4 Resonantie- of eigenfrequentie**:
* Resonantie treedt op wanneer $X_C = X_L$.
* De resonantiefrequentie ($f_0$) wordt gegeven door:
$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ [76](#page=76).
* Bij $f < f_0$ is het gedrag inductief [76](#page=76).
* Bij $f > f_0$ is het gedrag capacitief [76](#page=76).
* Bij $f = f_0$ is het gedrag zuiver ohms [76](#page=76).
* Bij resonantie is de totale impedantie maximaal en de totale stroom minimaal [77](#page=77).
### 6. Seriekringen
In seriekringen is de stroom door alle componenten gelijk. De analyse start vanuit de stroom om de deelspanningen te bepalen en vervolgens de totale spanning [81](#page=81).
### 6.1 Weerstanden in serie
Drie weerstanden in serie zorgen ervoor dat de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) in fase zijn met de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, die hier gelijk is aan de algebraïsche som [81](#page=81):
$U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot R_1 + I \cdot R_2 + I \cdot R_3$ [81](#page=81).
De equivalente weerstand ($R_v$) is de som van de individuele weerstanden:
$R_v = R_1 + R_2 + R_3$ [81](#page=81).
### 6.2 Spoelen in serie
Bij drie ideale spoelen in serie lopen de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) 90° vooruit op de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, wat neerkomt op de algebraïsche som [82](#page=82):
$U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot X_{L1} + I \cdot X_{L2} + I \cdot X_{L3}$ [82](#page=82).
De equivalente spoel heeft een vervangingsreactantie ($X_{Lv}$) die de som is van de individuele reactanties:
$X_{Lv} = X_{L1} + X_{L2} + X_{L3}$ [82](#page=82).
De equivalente zelfinductie ($L_v$) is eveneens de som:
$L_v = L_1 + L_2 + L_3$ [82](#page=82).
### 6.3 Condensatoren in serie
Bij drie ideale condensatoren in serie lopen de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) 90° na op de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, gelijk aan de algebraïsche som [83](#page=83):
$U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot X_{C1} + I \cdot X_{C2} + I \cdot X_{C3}$ [83](#page=83).
De equivalente reactantie ($X_{Cv}$) wordt bepaald door:
$\frac{1}{X_{Cv}} = \frac{1}{X_{C1}} + \frac{1}{X_{C2}} + \frac{1}{X_{C3}}$ [83](#page=83).
Voor de equivalente capaciteit ($C_v$) geldt:
$\frac{1}{C_v} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ [83](#page=83).
### 6.4 Weerstand en spoel in serie
Bij een seriekring met een weerstand ($R$) en een spoel ($L$), is de spanning over de weerstand ($U_R$) in fase met de stroom ($I$), terwijl de spanning over de spoel ($U_L$) 90° vooruitloopt op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van $U_R$ en $U_L$ [84](#page=84):
$U = \sqrt{U_R^2 + U_L^2}$ [85](#page=85).
* **Spanningsdriehoek**: Toont de relatie tussen $U$, $U_R$ en $U_L$.
* $\sin(\phi) = \frac{U_L}{U}$
* $\cos(\phi) = \frac{U_R}{U}$
* $\tan(\phi) = \frac{U_L}{U_R}$ [85](#page=85).
* **Impedantiedriehoek**: Verkregen door de spanningsdriehoek te delen door de stroom $I$. De impedantie ($Z$) is de omgekeerde van de admittantie, met eenheid Ohm ($\Omega$).
* $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ [85](#page=85).
* $\sin(\phi) = \frac{X_L}{Z}$, $\cos(\phi) = \frac{R}{Z}$, $\tan(\phi) = \frac{X_L}{R}$ [85](#page=85).
* Vectoriële optelling van impedanties: $\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X}_L$ [85](#page=85).
* **Vermogendriehoek**: Verkregen door de spanningsdriehoek te vermenigvuldigen met de stroom $I$.
* $P = U_R \cdot I = U \cdot I \cdot \cos(\phi)$ [85](#page=85).
* $Q = U_L \cdot I = U \cdot I \cdot \sin(\phi)$ [85](#page=85).
* $S = U \cdot I$ [85](#page=85).
* **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie neemt $X_L$ toe, $U_L$ neemt toe, en de totale impedantie stijgt. De kring wordt meer inductief [86](#page=86).
### 6.5 Weerstand en condensator in serie
In een seriekring met een weerstand ($R$) en een condensator ($C$), is de spanning over de weerstand ($U_R$) in fase met de stroom ($I$), terwijl de spanning over de condensator ($U_C$) 90° na-ijlt op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van $U_R$ en $U_C$ [87](#page=87):
$U = \sqrt{U_R^2 + U_C^2}$ [87](#page=87).
* **Spanningsdriehoek**: De fasehoek $\phi$ is negatief voor capacitieve belasting.
* $\sin(-\phi) = \frac{U_C}{U}$
* $\cos(-\phi) = \frac{U_R}{U}$
* $\tan(-\phi) = \frac{U_C}{U_R}$ [87](#page=87).
* **Impedantiedriehoek**:
* $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ [88](#page=88).
* $\sin(\phi) = \frac{X_C}{Z}$, $\cos(\phi) = \frac{R}{Z}$, $\tan(\phi) = \frac{X_C}{R}$ [88](#page=88).
* Vectoriële optelling van impedanties: $\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X}_C$ [88](#page=88).
* **Vermogendriehoek**: Identiek aan de spoel-weerstand combinatie, maar $Q$ is negatief voor capacitieve belasting [88](#page=88).
* **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie daalt $X_C$, $U_C$ daalt, en de totale impedantie daalt. De kring wordt minder capacitief [89](#page=89).
### 6.6 Weerstand, spoel en condensator in serie
Bij een seriekring met een weerstand ($R$), spoel ($L$) en condensator ($C$), zijn de spanningen over de componenten gedesynchronsieerd. $U_R$ is in fase met $I$, $U_L$ vooruitloopt 90° op $I$, en $U_C$ na-ijlt 90° op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som [89](#page=89):
$U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}$ [90](#page=90).
* **6.6.1 $U_C < U_L$: Inductief gedrag**
* De totale reactieve spanningscomponent ($U_Q$) is inductief, $U_Q = U_L - U_C$ [90](#page=90).
* De totale spanning ($U$) volgt de inductieve aard van de reactieve component [90](#page=90).
* **6.6.2 $U_C = U_L$: Ohms gedrag (resonantie)**
* De reactieve spanningscomponent is nul, $U_L = U_C$.
* De totale spanning is gelijk aan de weerstandspanning: $U = U_R = I \cdot R$ [91](#page=91).
* De faseverschuiving $\phi$ is 0°.
* De impedantie is minimaal en gelijk aan $R$: $Z = R$ [91](#page=91).
* **Spanningsopslingering**: De spanningen over de spoel en condensator kunnen veel groter zijn dan de bronspanning, omdat ze reactief vermogen uitwisselen. De kwaliteitsfactor ($Q$) geeft de mate van overspanning aan: $Q = \frac{U_L}{U_R}$ of $Q = \frac{U_C}{U_R}$ bij resonantie [92](#page=92).
* **6.6.3 $U_C > U_L$: Capacitief gedrag**
* De totale reactieve spanningscomponent ($U_Q$) is capacitief, $U_Q = U_C - U_L$ [93](#page=93).
* De totale spanning ($U$) volgt de capacitieve aard van de reactieve component [93](#page=93).
* **Impedantiedriehoek**:
* Voor $U_C < U_L$: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ [91](#page=91).
* Voor $U_C > U_L$: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ [93](#page=93).
* **6.6.4 Resonantie- of eigenfrequentie**:
* Resonantie treedt op wanneer $X_C = X_L$. Dit is dezelfde resonantiefrequentie als bij een parallelschakeling [94](#page=94).
* De resonantiefrequentie ($f_0$) wordt gegeven door:
$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ [94](#page=94).
* Bij $f < f_0$ is het gedrag capacitief [94](#page=94).
* Bij $f > f_0$ is het gedrag inductief [94](#page=94).
* Bij $f = f_0$ is het gedrag zuiver ohms [94](#page=94).
* Bij resonantie is de totale impedantie minimaal en de totale stroom maximaal [95](#page=95).
---
# Verbeteren van de arbeidsfactor
Dit hoofdstuk behandelt de methoden en berekeningen voor het verbeteren van de arbeidsfactor (AF) van inductieve belastingen door middel van compensatiecondensatoren.
### 6.1 Invloed van de cos(φ) op de stroomsterkte en arbeidsfactor
Het primaire doel van een distributiesysteem is het overbrengen van actief vermogen ($P$). Dit brengt een bepaalde stroomsterkte met zich mee door distributiecomponenten zoals kabels en transformatoren, wat leidt tot spannings- en warmteverliezen ($P_d = I^2 \cdot R_d$ en $U_d = I \cdot R_d$). Het is daarom voordelig om de stroomsterkte zo laag mogelijk te houden [100](#page=100).
De faseverschuiving ($φ$) tussen spanning en stroom, uitgedrukt als de cosinus van deze hoek ($cos(φ)$), is een cruciale factor hierin. Een vast schijnbaar vermogen ($S$) bij een gegeven spanning ($U$) resulteert in een constante stroomsterkte ($I = S/U$). Echter, een lagere $cos(φ)$ betekent dat een groter deel van deze stroom wordt gebruikt voor het slingeren van reactief vermogen ($Q$), waardoor het nuttig overgebracht actief vermogen ($P = S \cdot cos(φ)$) daalt. Dit vermindert de efficiëntie waarmee actief vermogen wordt geleverd [100](#page=100).
Industriële systemen hebben vaak te maken met beperkingen, zoals de maximale stroomsterkte die een kabel mag voeren. Een hogere $cos(φ)$ maakt het mogelijk om met dezelfde installatie meer actief vermogen over te dragen, wat leidt tot een efficiënter gebruik van de componenten [100](#page=100) .
#### 6.1.1 De arbeidsfactor (AF)
De arbeidsfactor (AF) is gedefinieerd als de verhouding van actief vermogen ($P$) tot schijnbaar vermogen ($S$):
$AF = \frac{P}{S} = cos(φ)$ .
De AF ligt altijd tussen 0 en 1 .
* Een zuiver ohmse belasting resulteert in de hoogste efficiëntie ($AF = 1$) .
* Een zuiver inductieve of capacitieve belasting resulteert in de laagste efficiëntie ($AF = 0$) .
**Opmerkingen:**
1. Bij monofasige installaties is de AF numeriek gelijk aan $cos(φ)$ .
2. Industriële klanten zijn vaak verplicht een minimale AF van 0,8 te handhaven om boetes te voorkomen .
### 6.2 Verbeteren van de AF
De meeste industriële belastingen zijn inductief van aard. De arbeidsfactor hiervan kan worden verbeterd door compensatiecondensatoren parallel aan de belasting te plaatsen. Deze condensatoren leveren een capacitief reactief vermogen dat tegengesteld is aan het inductieve reactieve vermogen van de belasting, waardoor de totale faseverschuiving afneemt en de $cos(φ)$ toeneemt .
#### 6.2.1 Situatie zonder compensatie
Wanneer een verbruiker ($Z$) zonder compensatie is aangesloten, zijn de bronstroom ($I_1$), het schijnbaar vermogen ($S_1$), het actief vermogen ($P_1$), het reactief vermogen ($Q_1$) en de faseverschuiving ($φ_1$) identiek aan die van de verbruiker .
$I_1 = I_Z$ .
$S_1 = S_Z$ .
$P_1 = P_Z$ .
$Q_1 = Q_Z$ .
Faseverschuiving $φ_1$ .
#### 6.2.2 Situatie met compensatie
Wanneer een compensatiecondensator ($C$) parallel aan de verbruiker wordt geplaatst, blijft de verbruiker dezelfde stroom ($I_Z$) en vermogens ($S_Z, P_Z, Q_Z$) opnemen, aangezien deze op dezelfde spanning blijft. Echter, de bron moet nu ook de stroom ($I_C$) en het reactief vermogen ($Q_C$) van de condensator leveren .
De totale bronstroom ($I_2$) is de vectoriële som van de stroom door de verbruiker ($I_Z$) en de stroom door de condensator ($I_C$):
$\vec{I_2} = \vec{I_Z} + \vec{I_C}$ .
De extra stroom $I_C$ is 90° voorijlend op de spanning. Door de vectoriële optelling wordt de totale bronstroom $I_2$ kleiner dan $I_1$, en de faseverschuiving ($φ_2$) wordt kleiner dan $φ_1$ .
Het principe hierachter is dat de condensator een reactief vermogen ($Q_C$) opneemt dat tegengesteld is aan het reactieve vermogen van de inductieve belasting ($Q_Z$). Hierdoor slingert er minder reactief vermogen tussen de bron en de belasting, wat de distributiecomponenten ontlast .
### 6.3 Bepalen van de benodigde capaciteit
Het doel is om een bepaalde verbetering van de arbeidsfactor te realiseren. Hoewel volledige compensatie ($φ_2 = 0$, $AF = 1$) theoretisch mogelijk is, wordt in de praktijk vaak gecompenseerd tot een AF van 0,9 ($φ_2 = 25,84°$) om praktische redenen .
De methode omvat:
1. Bepalen van het bestaande actief vermogen ($P_1$) en de bestaande AF ($AF_1$), vaak door meting .
2. Kiezen van een gewenste AF ($AF_2$) .
3. Berekenen van het benodigde reactieve vermogen ($Q_C$) en de daaruit voortvloeiende capaciteit ($C$) .
#### 6.3.1 Voorbeeld: Vermogens zonder compensatie
Een inductieve verbruiker op 230V/50Hz neemt een stroom van $I_1 = 2A$ op, met een gemeten vermogen van $P_1 = 276W$.
* Schijnbaar vermogen: $S_1 = U \cdot I_1 = 230V \cdot 2A = 460VA$ .
* Arbeidsfactor: $cos(φ_1) = P_1 / S_1 = 276W / 460VA = 0,6$ .
* Faseverschuiving: $φ_1 = \arccos(0,6) = 53,13°$ .
* Reactief vermogen: $Q_1 = P_1 \cdot \tan(φ_1) = 276W \cdot \tan(53,13°) \approx 276W \cdot 1,3333 \approx 368VAR$ .
#### 6.3.2 Voorbeeld: Vermogens met compensatie
Doel: verbeteren van AF tot 0,9.
* Nieuwe faseverschuiving: $φ_2 = \arccos(0,9) = 25,84°$ .
* Actief vermogen blijft gelijk: $P_2 = P_1 = 276W$, aangezien de condensator geen actief vermogen opneemt .
* Nieuw reactief vermogen: $Q_2 = P_2 \cdot \tan(φ_2) = 276W \cdot \tan(25,84°) \approx 276W \cdot 0,484 \approx 133,7VAR$ .
* Nieuw schijnbaar vermogen: $S_2 = P_2 / cos(φ_2) = 276W / 0,9 \approx 306,7VA$ .
Het benodigde reactieve vermogen van de condensator ($Q_C$) wordt berekend als het verschil tussen het oorspronkelijke en het gewenste reactieve vermogen:
$Q_C = Q_2 - Q_1 = 133,7VAR - 368VAR = -234,3VAR$ .
#### 6.3.3 Voorbeeld: De capaciteit
Het reactief vermogen van een condensator wordt gegeven door:
$Q_C = -U^2 \cdot 2\pi f C$ .
Hieruit volgt de benodigde capaciteit ($C$):
$C = \frac{-Q_C}{U^2 \cdot 2\pi f} = \frac{234,3VAR}{230V^2 \cdot 2\pi \cdot 50Hz} \approx 1,41 \times 10^{-5} F = 14,1 \mu F$ .
#### 6.3.4 Voorbeeld: Bronstroom zonder en met compensatie
* Bronstroom zonder compensatie: $I_1 = 2A$ .
* Bronstroom met compensatie: $I_2 = S_2 / U = 306,7VA / 230V \approx 1,338A$ .
De actief componenten van de stroom ($I \cdot cos(φ)$) blijven gelijk, terwijl de reactieve componenten ($I \cdot sin(φ)$) en de totale stroom afnemen .
#### 6.3.5 Conclusie van het voorbeeld
De compensatiecondensator ontlast de distributiecomponenten met $I_1 - I_2 = 2A - 1,338A = 0,662A$ stroom. Dit vermindert de Joule-verliezen en creëert ruimte om meer actief vermogen te transporteren zonder de werking van de verbruiker te beïnvloeden .
### 6.4 Algemene formule
Een algemene formule voor het berekenen van de benodigde capaciteit is:
$C = \frac{P_Z \cdot (\tan(φ_1) - \tan(φ_2))}{U^2 \cdot 2\pi f}$ .
**Opmerkingen:**
1. Volledige compensatie ($φ_2 = 0°$) is mogelijk en resulteert in de laagst mogelijke bronstroom voor die verbruiker, maar vereist een grotere capaciteit .
2. Overcompensatie (capaciteit groter dan nodig voor volledige compensatie) leidt tot een capacitief gedrag van de keten en een stijgende bronstroom .
### 6.5 Oefeningen
Hieronder volgen enkele oefeningen om de principes van arbeidsfactorverbetering te oefenen:
1. Een inductief toestel neemt 6kVA op bij 110V/50Hz met een $cos(φ) = 0,8$. Bereken de capaciteit voor volledige compensatie ($cos(φ) = 1$) .
2. Voor een fluorescentielamp van 40W op 220V/50Hz wordt 4,5µF geadviseerd voor een $cos(φ) = 0,95$. Bepaal het reactief vermogen van de capaciteit en het schijnbaar vermogen en de $cos(φ)$ van de ongecompenseerde lamp .
3. Een wisselstroommotor van 20kW (rendement 85%) op 220V/50Hz heeft een $cos(φ) = 0,75$. Bereken de benodigde capaciteit voor volledige compensatie .
4. Een verbruiker neemt 80kW op bij een arbeidsfactor van 0,55 op 1000V/400Hz. Bereken de capaciteit om de AF te verbeteren tot 0,9 .
5. Een TL-lamp van 65W neemt 591mA op bij 230V/50Hz. Bereken de benodigde capaciteit en de bronstroom na compensatie voor:
* a) $cos(φ) = 1$ .
* b) $cos(φ) = 0,8$ .
6. Een oude monofasige motor op 230V/50Hz. DC-metingen aan de hoofdspoel op 10VDC gaven 5A, AC-metingen op 10VAC gaven 2A.
* a. Bereken de stroom, $cos(φ)$ en het actieve vermogen van de spoel .
* b. Bereken de benodigde capaciteit voor volledige compensatie .
7. Een klassieke TL-verlichting met een gasontladingslamp in serie met een ballast (spoel) en een lamp die als ohmse weerstand kan worden voorgesteld na ontsteking.
* a. Bereken de stroom en de faseverschuiving uit het equivalent schema ($L=700mH, R_L=12\Omega, U=230V/50Hz, R_{lamp}=38\Omega$) .
* b. Bereken de benodigde capaciteit en de nieuwe bronstroom bij volledige compensatie .
* c. Bereken de benodigde capaciteit en de nieuwe bronstroom bij compensatie tot een AF = 0,9 .
---
# Driefasige netten en belastingen
Driefasige netten vormen de ruggengraat van industriële energievoorziening, waarbij ze superieure efficiëntie en de mogelijkheid tot het aandrijven van krachtige motoren bieden ten opzichte van monofasige systemen .
### 7.1. Opbouw van een driefasig net
Een driefasig netwerk wordt gegenereerd door drie afzonderlijke monofasige bronnen, die doorgaans deel uitmaken van een transformator of generator. Deze bronnen produceren sinusvormige wisselspanningen die elk een fase vertegenwoordigen: aangeduid als de U-, V-, en W-fase. De spanningen in deze spoelen zijn identiek in grootte en frequentie (typisch 50 Hz in Europa) maar zijn 120° in tijd verschoven ten opzichte van elkaar, wat resulteert in een driefasig systeem .
#### 7.1.1. Schakelmogelijkheden van de bronnen
De drie spoelen van de bron kunnen op twee fundamentele manieren met elkaar worden verbonden:
* **Ster (Y) schakeling:** Hierbij worden de ene klem van elke spoel (bijvoorbeeld U2, V2, W2) met elkaar verbonden om een "sterpunt" te vormen .
* **Driehoek (D of Δ) schakeling:** Hierbij worden de spoelen aan de uiteinden met elkaar verbonden in een gesloten circuit .
#### 7.1.2. Het vierdraadsnet (sterschakeling)
Bij een sterschakeling van de bron worden de spoelen zodanig verbonden dat er een neutraalpunt ontstaat. Dit resulteert in een vierdraadsnetwerk met drie lijndraden (L1, L2, L3) en een nulleider (N). De lijndraden dragen de spanningen L1 (bruin), L2 (zwart), en L3 (grijs), terwijl de nulleider blauw is. In industriële omgevingen kunnen de lijndraden ook allemaal zwart zijn en worden ze onderscheiden door nummering .
##### 7.1.2.1. Spanningen in een vierdraadsnet
In een vierdraadsnet zijn twee soorten spanningen beschikbaar:
* **Fasespanningen (Uf):** Dit zijn de spanningen opgewekt door de individuele spoelen van de bron. Ze zijn meetbaar tussen een lijndraad en de nulleider (bijv. UL1-N). De drie fasespanningen (Uf1, Uf2, Uf3) zijn gelijk in grootte en 120° van elkaar verschoven .
$$ U_f = U_{f1} = U_{f2} = U_{f3} $$
* **Lijnspanningen (UL):** Dit zijn de spanningen aanwezig tussen elk paar lijndraden (bijv. UL12, UL23, UL31). De lijnspanningen zijn ook gelijk in grootte en 120° van elkaar verschoven, maar zijn hoger dan de fasespanningen .
Het verband tussen de lijnspanning en de fasespanning in een stersysteem is:
$$ U_L = \sqrt{3} \times U_f $$ .
In België komen courant de volgende fase- en lijnspanningen voor:
* Oudere netten: 130/230V .
* Geharmoniseerde netten: 230/400V .
* Industriële omgevingen: 400/690V .
#### 7.1.3. Spanningsaanduiding op installaties
De kenmerkende spanning van een driefasig net wordt doorgaans aangeduid met de lijnspanning UL. Een aanduiding zoals "3x400V+N" betekent een lijnspanning van 400V en de aanwezigheid van een nulleider, wat impliceert dat ook de fasespanning van 230V beschikbaar is. Een alternatieve aanduiding kan "3N400V" zijn .
| Aanduiding | Lijnspanning UL | Fasespanning Uf | Alternatieve aanduiding |
| :--------- | :-------------- | :-------------- | :------------------------ |
| 3x230V+N | 230V | 130V | 3N230V |
| 3x400V+N | 400V | 230V | 3N400V |
| 3x690V+N | 690V | 400V | 3N690V |
In het labo is een vierdraadsnet van 3x400V+N aanwezig .
#### 7.1.4. Het driedraadsnet (driehoekschakeling)
Bij een driehoekschakeling van de bron worden de drie spoelen aan hun uiteinden met elkaar verbonden, wat resulteert in een driedraadsnetwerk zonder nulleider. Dit type net wordt in distributienetten vermeden vanwege belangrijke nadelen. De spanningsaanduiding is bijvoorbeeld "3x230V", wat aangeeft dat de lijnspanning 230V is en er geen nulleider aanwezig is .
### 7.2. Driefasige belastingen
Een driefasige belasting bestaat uit drie monofasige belastingen (impedanties Z1, Z2, Z3), die elk een fase van de belasting vormen. Deze fasen moeten ook in ster of driehoek geschakeld worden voor aansluiting op een driefasig net .
#### 7.2.1. Aansluitingen van belastingen
Er zijn drie mogelijke manieren om belastingen aan te sluiten:
* **Driedraadsaansluiting:** De belasting wordt aangesloten zonder gebruik te maken van de nulleider N. Dit kan zowel in ster (Y) als in driehoek (D) .
* **Vierdraadsaansluiting:** Dit is enkel mogelijk op een vierdraadsnet met de belasting in ster geschakeld. De nulleider N van het net wordt verbonden met het sterpunt van de belasting .
#### 7.2.2. Gelijkmatige en ongelijkmatige belasting
Een belangrijk onderscheid bij driefasige belastingen is:
* **Gelijkmatige (symmetrische) belasting:** De drie afzonderlijke belastingen zijn identiek, zowel in grootte (ohm) als in faseverschuiving tussen spanning en stroom. Driefasige motoren en industriële ovens vormen typisch een gelijkmatige belasting .
$$ Z_1 = Z_2 = Z_3 $$
* **Ongelijkmatige (asymmetrische) belasting:** De drie afzonderlijke belastingen zijn niet identiek, bijvoorbeeld lampen van verschillend vermogen of belastingen met verschillende faseverschuivingen .
#### 7.2.3. Voorbeelden van belastingaansluitingen
* **Net met UL = 230V, belasting in driehoek:** Elke fase van de belasting wordt aangesloten op een lijnspanning UL van 230V. Dit is geschikt voor een driefasige oven die op 230V werkt. De nulleider N wordt niet gebruikt .
* **Net met UL = 400V, ongelijkmatige belasting in ster met N:** De belasting wordt vierdraads in ster aangesloten. Elke fase van de belasting krijgt de fasespanning van het net (Uf net = 230V). Dit vereist een 3x400V+N net .
* **Net met UL = 400V, gelijkmatige belasting in ster:** Als de belasting gelijkmatig is, loopt er geen stroom door de nulleider. De nulleider hoeft niet aangesloten te worden, en het sterpunt van de belasting wordt een virtueel nulpunt. Aansluiting kan driedraads op 3x400V of 3x400V+N (N niet aangesloten) .
> **Tip:** Driefasige elektrische motoren zijn bij uitstek gelijkmatige belastingen. Ze worden daarom vaak driedraads aangesloten, ook al is een nulleider beschikbaar. Het aansluiten van de nulleider kan echter zorgen voor stabielere fasespanningen aan de belasting .
#### 7.2.4. Omschakelbare en niet-omschakelbare belastingen
* **Omschakelbare belasting:** De zes klemmen van de drie deel-impedanties zijn beschikbaar, waardoor de schakeling (Y of Δ) zelf gekozen kan worden. Deze belastingen hebben vaak een dubbele spanningsaanduiding, bijvoorbeeld 230/400V. Een driefasige motor is een typisch voorbeeld .
* **Niet-omschakelbare belasting:** De fabrikant heeft de schakeling al bepaald, en er wordt slechts één spanning opgegeven. Als er vier klemmen beschikbaar zijn (L1, L2, L3, N), is de belasting in ster geschakeld en wordt deze meestal vierdraads aangesloten. Bij slechts drie klemmen kan de belasting in ster of driehoek geschakeld zijn .
### 7.3. Berekeningen op driefasige netten en belastingen
De berekeningen in driefasige netten maken gebruik van de bestaande elektrische wetmatigheden, waarbij rekening wordt gehouden met de vectoriële aard van spanningen en stromen .
#### 7.3.1. Stromen
* **Lijnstromen (IL1, IL2, IL3):** Stromen in de lijndraden L1, L2, L3 .
* **Nulstroom of terugvoerstroom (IN):** Stroom in de nulleider N .
* **Fasestromen (If1, If2, If3):** Stromen in de drie fasen van de belasting .
#### 7.3.2. Belasting in driehoek
* **Spanningen:** De fasespanning van de belasting is gelijk aan de lijnspanning van het net ($U_{f_{\text{belasting}}} = U_L$). Als er een nulleider aanwezig is, zal de stroom hierin nul zijn ($I_N = 0$) .
* **Stromen:** De verbanden tussen lijn- en fasestromen worden gegeven door de knoopwet van Kirchhoff, vectorieel uitgeschreven:
$$ I_{L1} = I_{f1} - I_{f3} $$
$$ I_{L2} = I_{f2} - I_{f1} $$
$$ I_{L3} = I_{f3} - I_{f2} $$
Voor een gelijkmatige belasting geldt:
$$ I_L = \sqrt{3} \cdot I_f $$ .
#### 7.3.3. Belasting in ster met N aangesloten
* **Spanningen:** De fasespanning van de belasting is gelijk aan de fasespanning van het net ($U_{f_{\text{belasting}}} = U_{f_{\text{net}}}$), en de fasespanning van het net is de lijnspanning van het net gedeeld door $\sqrt{3}$ ($U_{f_{\text{net}}} = \frac{U_{L_{\text{net}}}}{\sqrt{3}}$) .
* **Stromen:** De fasestromen zijn identiek aan de overeenkomstige lijnstromen ($I_{f1} = I_{L1}$, etc.). De nulstroom is de vectoriële som van de lijnstromen :
$$ I_N = I_{L1} + I_{L2} + I_{L3} $$ .
#### 7.3.4. Belasting in ster zonder N aangesloten
Dit is enkel van toepassing bij gelijkmatige belastingen. De nulleiderstroom ($I_N$) is nul, waardoor de nulleider weggelaten kan worden zonder de fasestromen en fasespanningen van de belasting te beïnvloeden. Het sterpunt van de belasting wordt een virtueel nulpunt .
#### 7.3.5. Nulleiderbreuk bij sterschakeling
Indien bij een ongelijkmatige belasting de nulleider wordt onderbroken, zal de vectoriële som van de lijnstromen nul moeten zijn. Dit leidt tot veranderingen in de spanningen over de fasen van de belasting, waarbij de impedanties met hogere waarden lagere spanningen en die met lagere waarden hogere spanningen zullen ervaren. Dit kan leiden tot schade aan de verbruiker en wordt een "nulpuntverschuiving" genoemd .
### 7.4. Meerdere belastingen aansluiten op driefasige installaties
Op driefasige installaties worden zowel monofasige als driefasige belastingen aangesloten .
#### 7.4.1. Vierdraadsnet 3x400V+N
* **Monofasige verbruikers:** Hebben meestal een werkspanning van 230V en worden aangesloten tussen een lijndraad en de nulleider .
* **Driefasige verbruikers:** Moeten geschikt zijn voor een lijnspanning van 400V en worden aangesloten op de drie lijndraden .
**Verdelen van monofasige belastingen:** Om een zo gelijkmatig mogelijke belasting te creëren, worden monofasige verbruikers verdeeld over de verschillende lijndraden, wat de nulleiderstroom minimaliseert .
**Nulleiderbreuk:** Bij een nulleiderbreuk in een vierdraadsnet kunnen de fasespanningen van de belastingen sterk variëren, wat kan leiden tot overspanning en defecten aan de apparatuur .
#### 7.4.2. Driedraadsnet
Beschikbare driedraadsnetten hebben meestal een lijnspanning van 230V. Monofasige verbruikers worden aangesloten tussen twee lijndraden, en driefasige verbruikers moeten geschikt zijn voor 230V lijnspanning. Het is aangewezen om monofasige belastingen zo gelijkmatig mogelijk te verdelen .
---
# Driefasige vermogens en arbeidsfactor
Dit hoofdstuk analyseert de berekening van vermogens in driefasige systemen, de vereenvoudigingen bij symmetrische belastingen en de methoden voor het verbeteren van de arbeidsfactor.
## 8. Driefasige vermogens en arbeidsfactor
### 8.1 Inleiding tot driefasige vermogens
Het berekenen van driefasige vermogens is cruciaal voor het ontwerpen van distributiesystemen en installaties, zoals het bepalen van de benodigde kabelsecties. Tevens is het essentieel voor facturering, herstelling en onderhoud dat deze vermogens gemeten kunnen worden .
### 8.2 Vermogensberekening in driefasige systemen
Een driefasig systeem kan worden beschouwd als drie afzonderlijke monofasige systemen. De totale vermogens zijn de som van de vermogens van deze afzonderlijke fasen. De formules voor het berekenen van de schijnbare, actieve en reactieve vermogens per fase zijn :
* Schijnbare vermogen per fase ($S$):
$S = U_f \cdot I_f$ .
* Actief vermogen per fase ($P$):
$P = U_f \cdot I_f \cdot \cos(\phi)$ .
* Reactief vermogen per fase ($Q$):
$Q = U_f \cdot I_f \cdot \sin(\phi)$ .
De totale vermogens worden verkregen door deze waarden per fase op te tellen:
* Totaal schijnbaar vermogen ($S_{tot}$):
$S_{tot} = S_1 + S_2 + S_3$ .
* Totaal actief vermogen ($P_{tot}$):
$P_{tot} = P_1 + P_2 + P_3$ .
* Totaal reactief vermogen ($Q_{tot}$):
$Q_{tot} = Q_1 + Q_2 + Q_3$ .
Hierbij geldt dat de fasespanningen ($U_f$) gelijk zijn ($U_{f1} = U_{f2} = U_{f3} = U_f$), maar de stromen ($I_f$) en faseverschuivingen ($\phi$) kunnen verschillen .
### 8.3 Vereenvoudigingen voor symmetrische belastingen
Bij een symmetrische belasting worden alle drie de fasen identiek belast, wat betekent dat de stromen ($I_f$), faseverschuivingen ($\phi$) en vermogens gelijk zijn voor elke fase. Hierdoor kunnen de totale vermogens worden berekend door het vermogen van één fase te vermenigvuldigen met drie :
* $S_{tot} = 3 \cdot S_1 = 3 \cdot S_2 = 3 \cdot S_3$ .
* $P_{tot} = 3 \cdot P_1 = 3 \cdot P_2 = 3 \cdot P_3$ .
* $Q_{tot} = 3 \cdot Q_1 = 3 \cdot Q_2 = 3 \cdot Q_3$ .
#### 8.3.1 Vereenvoudiging voor sterschakeling
Voor een sterschakeling geldt de relatie $U_f = U_L / \sqrt{3}$ en $I_L = I_f$. Door dit in de algemene vermogensformules in te vullen, verkrijgen we voor symmetrische belastingen:
* $S_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L$ .
* $P_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos(\phi)$ .
* $Q_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin(\phi)$ .
#### 8.3.2 Vereenvoudiging voor driehoekschakeling
Voor een driehoekschakeling met symmetrische belasting geldt $U_f = U_L$ en $I_f = I_L / \sqrt{3}$. Net als bij de sterschakeling leiden deze relaties tot dezelfde vereenvoudigde formules voor de totale vermogens:
* $S_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L$ .
* $P_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos(\phi)$ .
* $Q_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin(\phi)$ .
**Betekenis:** Voor een gelijkmatige belasting kunnen de driefasige vermogens berekend worden met dezelfde formules, gebruikmakend van de lijngrootheden ($U_L$ en $I_L$), ongeacht of de belasting in ster of driehoek is geschakeld .
**Belangrijke opmerking:** De relatie $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ die geldt voor monofasige netten, is strikt theoretisch niet geldig voor asymmetrische driefasige belastingen ($S_{tot} \neq \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}$). In de praktijk wordt deze formule echter wel gebruikt voor het bepalen van een benadering van het totale schijnbare vermogen van een installatie, waarbij de fout kleiner wordt naarmate de belasting meer gelijkmatig is .
### 8.4 Bepalen van de arbeidsfactor (AF)
De arbeidsfactor (AF) geeft de efficiëntie van het gebruik van het elektriciteitsnet aan en wordt gedefinieerd als:
$AF = \frac{P}{S}$ .
Voor monofasige netten is de arbeidsfactor gelijk aan $\cos(\phi)$. Bij driefasige netten, met potentieel drie verschillende faseverschuivingen, is men in de praktijk geïnteresseerd in een globale beoordeling van de efficiëntie van de totale installatie. Daarom wordt voor driefasige netten de arbeidsfactor berekend als de verhouding van het totale actieve vermogen tot het totale schijnbare vermogen :
$AF = \frac{P_{tot}}{S_{tot}}$ .
Alleen bij symmetrische belastingen is deze waarde gelijk aan de cosinus van de faseverschuiving ($\cos(\phi)$) .
### 8.5 Verbeteren van de arbeidsfactor
Het verbeteren van de arbeidsfactor gebeurt op dezelfde manier als bij monofasige netten, voornamelijk door het toevoegen van compensatiecondensatoren, omdat de meeste verbruikers inductief van aard zijn. Deze condensatoren worden parallel aan de belasting of installatie geschakeld, zowel in ster- als in driehoekschakeling .
* De benodigde capaciteit voor compensatie hangt af van de schakeling .
* De totale benodigde capaciteit is drie keer lager bij een driehoekschakeling vergeleken met een sterschakeling .
* Hoewel de werkspanning hoger is bij een driehoekschakeling (wat duurdere condensatoren vereist), is de kostprijs vaak lager door de kleinere benodigde capaciteit voor dezelfde compensatie .
* Daarom wordt in de praktijk de driehoekschakeling van compensatiecondensatoren het meest toegepast .
### 8.6 Oefeningen
Oefeningen gerelateerd aan het berekenen van vermogens, stromen, en arbeidsfactoren voor zowel symmetrische als asymmetrische belastingen, en in zowel ster- als driehoekschakelingen, worden behandeld om de theoretische concepten toe te passen .
### 8.7 Meten van vermogens
Voor het meten van schijnbare, actieve en reactieve vermogens bestaan gespecialiseerde apparaten. De complexiteit van de meetopstelling hangt af van het type net (vier- of d raads) en de aard van de belasting (symmetrisch of asymmetrisch) .
#### 8.7.1 Meten van actief vermogen ($P$)
Er zijn verschillende gevallen te onderscheiden voor het meten van actief vermogen:
* **Met nulleider en asymmetrische belasting:** Omdat de fasen ongelijk belast zijn, moeten de drie vermogens afzonderlijk worden gemeten met drie wattmeters. De formules zijn :
$P_1 = U_f \cdot I_{L1} \cdot \cos(\phi_1)$
$P_2 = U_f \cdot I_{L2} \cdot \cos(\phi_2)$
$P_3 = U_f \cdot I_{L3} \cdot \cos(\phi_3)$
$P_{tot} = P_1 + P_2 + P_3$ .
* **Met nulleider en symmetrische belasting:** Omdat de fasen identiek belast zijn, volstaat een meting in één fase, waarbij het totale vermogen drie keer het gemeten vermogen is:
$P_{tot} = 3 \cdot P_1$ .
* **Zonder nulleider en symmetrische belasting:** Een specifieke driefasige wattmeter voor symmetrische belastingen kan gebruikt worden. Deze meter meet het vermogen in één fase, wat direct het totale vermogen aangeeft, ook zonder nulleider .
**Foute schakeling:** Het lijkt mogelijk om de lijnspanning te gebruiken en de meetwaarde met $\sqrt{3}$ te vermenigvuldigen voor symmetrische belastingen, maar dit is een foute redenering .
---
# Monofasige transformatoren
Dit hoofdstuk behandelt de opbouw, werking, nullast- en kortsluitproeven, nominale waarden en speciale uitvoeringen van monofasige transformatoren .
### 9.1 Inleiding
Een transformator is een statisch toestel dat elektrische wisselstroomenergie omzet van een bepaalde spannings- en stroomwaarde naar een andere spanning- en stroomwaarde, met behoud van frequentie. Ze worden gebruikt voor zowel kleine vermogens (bv. voedingen van elektronische apparatuur) als voor middelgrote en grote vermogens (bv. energietransport) .
### 9.2 Opbouw en schemasymbool
De basisopbouw van een transformator bestaat uit een magnetische kern, meestal vervaardigd uit gelamineerde ijzerblikplaten, waarop twee elektrische wikkelingen zijn aangebracht: de primaire en de secundaire wikkeling. De wikkeling waaraan de energie wordt toegevoerd, is de primaire met spanningsbron $U_1$ en $N_1$ windingen. De wikkeling waaruit de energie wordt afgenomen, is de secundaire met de opgewekte spanning $U_2$ en $N_2$ windingen, waarop een belasting kan worden aangesloten. Het grafische symbool varieert tussen bedradingsschema's en ééndraadschema's .
### 9.3 Principewerking
De werking berust op elektromagnetische inductie. Een wisselspanning $U_1$ aan de primaire wikkeling veroorzaakt een wisselstroom $I_1$, die een wisselende magnetische flux $\phi$ in de kern opwekt. Deze flux induceert een wisselspanning $U_2$ in de secundaire wikkeling. Als een belasting wordt aangesloten, vloeit er een secundaire stroom $I_2$. Alle grootheden (spanningen, stromen, flux) wisselen sinusvormig en vereisen vectoriële analyse .
* **Belangrijk:** Een transformator werkt uitsluitend met wisselspanning (AC), niet met gelijkspanning (DC). Bij DC ontstaat er geen wisselende flux, waardoor geen spanning wordt opgewekt in de secundaire, en er kunnen te hoge stromen ontstaan in de primaire .
### 9.4 Gedrag bij nullast
Bij nullast is de secundaire wikkeling onbelast ($I_2=0$). De transformator gedraagt zich dan als een spoel met grote zelfinductie. De primaire stroom $I_1$ wordt de nullaststroom $I_0$ genoemd, die klein is en nagenoeg 90° na-ijlt op de primaire spanning $U_1$, mede door de draadweerstand en kernverliezen .
De wikkelverhouding wordt gedefinieerd als $N_1/N_2$. De transformatieverhouding $k$ is $U_1/U_2$. Bij nullast zijn deze verhoudingen vrijwel gelijk :
$$ k = \frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} $$
Als spanningsverliezen worden verwaarloosd, geldt:
$$ U_2 = \frac{U_1}{k} $$
Afhankelijk van de waarde van $k$, onderscheiden we:
* $k > 1$ ($N_1 > N_2 \implies U_1 > U_2$): Spanningsverlagende transformator .
* $k < 1$ ($N_1 < N_2 \implies U_1 < U_2$): Spanningsverhogende transformator .
* $k = 1$ ($N_1 = N_2 \implies U_1 = U_2$): Scheidingstransformator .
De geïnduceerde EMK per winding is gelijk voor primaire en secundaire. Omkering van aansluitingen op een wikkeling resulteert in een faseverschuiving van 180°, aangeduid met stippen op schema's .
### 9.5 Gedrag bij belasting
Bij belasting met impedantie $Z$ ontstaat een secundaire stroom $I_2$, waarvan de faseverschuiving ten opzichte van $U_2$ afhangt van de aard van $Z$ .
$$ I_2 = \frac{U_2}{Z} $$
Naarmate $I_2$ toeneemt, neemt ook $I_1$ toe. Bij voldoende belasting, waarbij de nullaststroom $I_0$ verwaarloosbaar is ten opzichte van $I_1$, geldt de volgende stroomtransformatieverhouding:
$$ \frac{I_2}{I_1} = k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2} $$
Dit betekent dat als de spanning aan de secundaire met een factor $k$ lager is, de stroom daar $k$ keer hoger is vergeleken met de primaire .
Bij voldoende belasting geldt voor de schijnbare vermogens dat $S_1 = S_2$:
$$ S_1 = U_1 \cdot I_1 = U_2 \cdot I_2 = S_2 $$
Het geleverde schijnbaar vermogen aan de belasting $S_2$ wordt dus door het net als $S_1$ geleverd. In de praktijk is $S_1$ iets hoger dan $S_2$ door magnetisering van de kern en energieverliezen .
De faseverschuiving $\phi_1$ aan de primaire is bij voldoende belasting nagenoeg gelijk aan $\phi_2$ aan de secundaire .
### 9.6 Spanningsverliezen
Spanningsverliezen treden op door:
1. **Draadweerstanden ($R_1, R_2$):** De primaire stroom $I_1$ veroorzaakt een spanningsval $I_1 \cdot R_1$, waardoor de geïnduceerde EMK $E_1$ lager is dan $U_1$. Bij nullast zijn deze verliezen verwaarloosbaar .
2. **Lekflux:** Een deel van het magnetische veld ontsnapt aan de kern, wat leidt tot extra spanningsverliezen .
### 9.7 Nominale waarden
* **Nominale spanningen ($U_{1n}, U_{2n}$):** $U_{1n}$ is de spanning waarvoor de transformator ontworpen is (vaak 230V). $U_{2n}$ is de spanning die de transformator bij vollast aan de klemmen levert, ondanks spanningsverliezen. De spanning bij nullast is hoger dan $U_{2n}$ .
* **Nominaal schijnbaar vermogen ($S_n$):** Dit is het maximale vermogen dat continu kan worden overgedragen. Het wordt beperkt door de maximale toegestane stromen ($I_{1n}, I_{2n}$) in de wikkelingen om oververhitting door Jouleverliezen te voorkomen. De nominale stromen kunnen berekend worden uit $S_n$ :
$$ S_n = S_{1n} = U_{1n} \cdot I_{1n} = U_{2n} \cdot I_{2n} = S_{2n} $$
waarbij $k = U_{1n}/U_{2n} = I_{2n}/I_{1n}$ .
**Voorbeeld:**
Een transformator met $U_{1n} = 230$V, $U_{2n} = 50$V, en $S_n = 2300$VA heeft:
* Transformatieverhouding: $k = 230 \text{V} / 50 \text{V} = 4.6$ .
* Nominale primaire stroom: $I_{1n} = S_n / U_{1n} = 2300 \text{VA} / 230 \text{V} = 10 \text{A}$ .
* Nominale secundaire stroom: $I_{2n} = S_n / U_{2n} = 2300 \text{VA} / 50 \text{V} = 46 \text{A}$ .
### 9.8 Oefeningen
* Een transformator met $3$kVA, $400$V/$230$V. Bereken $k$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ .
* Een transformator met $2$MVA, $24$kV/$3.2$kV. Bereken $k$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ .
* Een transformator met $k=25$, $U_{1n} = 6000$V, $I_{1n} = 1$A. Bereken $U_{2n}$, $S_n$, $I_{2n}$ .
* Een transformator met $10$kVA, $U_{2n} = 400$V, $k=5$. Bereken $U_{1n}$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ .
### 9.9 De nullastproef
De nullastproef dient om het gedrag van de transformator bij geen belasting te bepalen. De primaire wordt aangesloten op $U_{1n}$ en de secundaire is open. De gemeten transformatieverhouding $k = U_1/U_2$ is hierbij nagenoeg gelijk aan de wikkelverhouding $N_1/N_2$ .
Het gemeten vermogen $P_0$ bij nullast zijn voornamelijk de ijzerverliezen ($P_{Fe}$), veroorzaakt door magnetische hysteresis en wervelstromen in de kern, omdat de nullaststroom $I_0$ en de draadweerstand $R_1$ klein zijn. De faseverschuiving $\phi_0$ tussen $U_1$ en $I_0$ is bijna 90° .
$$ \cos\phi_0 = \frac{P_0}{U_1 \cdot I_0} $$
Het nullastvermogen kan worden opgesplitst in een actief vermogen $P_0$ (door de actieve stroomcomponent $I_v$) en een reactief vermogen $Q_0$ (door de magnetiserende stroomcomponent $I_m$):
$$ P_0 = U_1 \cdot I_v = U_1 \cdot I_0 \cdot \cos\phi_0 $$
$$ Q_0 = U_1 \cdot I_m = U_1 \cdot I_0 \cdot \sin\phi_0 $$
Het elektrisch model van de transformator bij nullast bestaat uit een weerstand $R_v$ (voor $P_0$) en een spoel met inductie $X_m$ (voor $Q_0$) :
$$ P_0 = \frac{U_1^2}{R_v} \implies R_v = \frac{U_1}{I_v} = \frac{U_1^2}{P_0} $$
$$ Q_0 = \frac{U_1^2}{X_m} \implies X_m = \frac{U_1}{I_m} = \frac{U_1^2}{Q_0} $$
### 9.10 De kortsluitproef
Bij de kortsluitproef wordt de secundaire wikkeling kortgesloten en wordt de primaire aangesloten op een sterk verlaagde spanning, de kortsluitspanning $U_k$. Deze spanning wordt zo geregeld dat de nominale stromen $I_{1n}$ en $I_{2n}$ vloeien. De kortsluitspanning is typisch slechts 6% tot 8% van de nominale primaire spanning .
$$ U_k (\%) = \frac{U_k}{U_{1n}} \cdot 100\% $$
De Wattmeter meet de koperverliezen ($P_{cu}$) bij nominale stromen, omdat de ijzerverliezen bij de lage kortsluitspanning verwaarloosbaar zijn:
$$ P_{cu, nom} = I_{1n}^2 \cdot R_1 + I_{2n}^2 \cdot R_2 $$
### 9.11 Serie schakelen
Serie schakelen van secundaire wikkelingen met verschillende nominale waarden kan leiden tot andere secundaire spanningen (bv. som of verschil). De maximale leverbare stroom wordt beperkt door de wikkeling met de dunste draad .
Trafo's met meerdere secundaire aftakkingen kunnen worden gezien als een serieschakeling van deelspoelen, waardoor diverse spanningen verkrijgbaar zijn. Een middenaftakking (center tap) biedt spanningen ten opzichte van deze aftakking .
### 9.12 Diverse uitvoeringen en speciale transformatoren
#### 9.12.1 De spaartrafo of autotrafo
Een autotransformator heeft één enkele wikkeling met een aftakking, wat kosten en gewicht bespaart. Er is echter geen galvanische scheiding tussen primair en secundair circuit, wat een veiligheidsrisico kan vormen .
* **Spanningsverlagende uitvoering:** Werkt als een spanningsdeler.
$$ U_2 = \frac{N_2}{N_1} \cdot U_1 $$
waarbij $N_1$ het totale aantal windingen is en $N_2$ het aantal windingen van de aftakking .
* **Spanningsverhogende uitvoering:** Een extra spoel wordt in serie geschakeld met de primaire.
$$ U_2 = \frac{N_1 + N_2}{N_1} \cdot U_1 $$
waarbij $N_1$ de primaire winding is en $N_2$ de extra spoel .
* **Regeltrafo (variac):** Heeft een verschuifbaar contact om de secundaire spanning traploos te regelen .
#### 9.12.2 Meettransformatoren
Meettransformatoren worden gebruikt om hoge spanningen en stromen veilig te meten, door ze te reduceren tot standaardwaarden voor meetinstrumenten. Ze hebben een nauwkeurig bepaalde transformatieverhouding (geclassificeerd, bv. klasse 0,1%) .
* **Spanningsmeettrafo (VMT):** Gaat hoge primaire spanningen (bv. $72.5$ kV) terugbrengen naar gestandaardiseerde secundaire spanningen (100V of 110V) .
* **Stroommeettrafo (SMT):** De primaire wikkeling wordt doorlopen door de te meten stroom. De transformatieverhouding $k$ is zo gekozen dat de secundaire stroom bij nominale primaire stroom een standaardwaarde (5A of 1A) heeft. Bijvoorbeeld, een aanduiding van 1000A/5A betekent dat de maximale primaire stroom 1000A is en de secundaire stroom 200 maal lager is .
* **Belangrijk:** De secundaire van een stroommeettrafo mag NOOIT open onderbroken worden als er een primaire stroom vloeit. Dit kan leiden tot kernverzadiging, oververhitting, en gevaarlijke hoge secundaire spanningen. Kortsluiten van de secundaire is wel toegestaan en zelfs aanbevolen .
* **Stroomtang:** Een magnetische keten die geopend kan worden om over een geleider te plaatsen zonder deze los te maken. Handig voor snelle metingen, maar meestal minder nauwkeurig door luchtspleten. Stroomtangen voor DC werken op basis van het Hall-effect, niet transformatie .
---
# Driefasige transformatoren
Dit hoofdstuk behandelt de opbouw, schakelingen, transformatieverhoudingen en speciale typen driefasige transformatoren, inclusief het klokgetal .
### 10.1 Opbouw en schakelingen
Een driefasige transformator is principieel opgebouwd uit een kern met drie benen, elk voorzien van zowel een primaire als een secundaire wikkeling. De zes wikkelingen hebben twaalf aansluitklemmen, gemarkeerd volgens het schema :
| Been | Primair | Secundair |
|------|----------|-----------|
| U | 1U1/1U2 | 2U1/2U2 |
| V | 1V1/1V2 | 2V1/2V2 |
| W | 1W1/1W2 | 2W1/2W2 |
Zowel de primaire als de secundaire spoelen moeten voor driefasig gebruik in ster (Y) of in driehoek (D) geschakeld worden. De primaire schakeling gedraagt zich als een driefasige belasting voor het net, en de secundaire schakeling als een driefasige bron. Er zijn vier hoofdschakelingen, gecodeerd met hoofdletters voor de primaire en kleine letters voor de secundaire schakeling :
* **Yy:** Ster - Ster .
* **Yd:** Ster - Driehoek .
* **Dy:** Driehoek - Ster .
* **Dd:** Driehoek - Driehoek .
Vaak worden deze schakelingen tijdens de fabricage bedraad, waardoor niet alle zes klemmen beschikbaar zijn. Indien het sterpunt van een sterschakeling beschikbaar is, wordt dit aangegeven met een extra letter "n" in de code, zoals YNyn (beide sterpunten beschikbaar) of Yyn (enkel secundair sterpunt beschikbaar) .
### 10.2 Transformatieverhouding
De transformatie van fasespanningen en fasestromen per been volgt de formule van de monofasige transformator, met een constante k-factor voor alle drie de benen .
$$ \frac{U_{fp}}{U_{fs}} = \frac{I_{fs}}{I_{fp}} = \frac{N_p}{N_s} = k $$ .
In driefasige systemen wordt echter doorgaans gewerkt met lijnspanningen ($U_L$). De transformatie van lijnspanningen ($U_{Lp}/U_{Ls}$) hangt af van de gekozen ster- of driehoekschakeling aan de primaire en secundaire zijde. Het berekenen van de juiste spanning- en stroomtransformatie is hierdoor complexer dan bij monofasige transformatoren .
### 10.3 Speciale typen transformatoren
#### 10.3.1 De zigzagtrafo
De zigzagtrafo is een speciale uitvoering die gebruikt wordt om een ongelijkmatige belasting aan de secundaire kant gelijkmatiger te verdelen naar de primaire kant. Elk been van de secundaire wikkeling bestaat uit twee identieke spoelen, wat resulteert in negen secundaire wikkelingen en achttien aansluitklemmen. De secundaire zijde wordt altijd in ster geschakeld, waarbij elke secundaire fase een serieschakeling is van twee secundaire spoelen van verschillende benen. Deze schakeling wordt aangeduid met de codering 'Yz', waarbij 'z' staat voor de zigzagschakeling .
### 10.4 Het klokgetal
De faseverschuiving tussen de primaire en secundaire lijnspanningen kan, afhankelijk van de schakeling, verschillen. Om dit overzichtelijk weer te geven, worden schakelingen ingedeeld in schakelgroepen, die elk een specifieke faseverschuiving veroorzaken. De grootte van deze faseverschuiving wordt weergegeven door het klokgetal, dat wordt verkregen door de schakelcode (bv. Dy5). Het klokgetal vermenigvuldigd met 30 graden geeft de faseverschuiving in graden, waarbij dit aangeeft hoeveel de secundaire lijnspanning na-ijlt op de primaire lijnspanning. Bijvoorbeeld, een Dy5 trafo heeft een faseverschuiving van $5 \times 30° = 150°$. De naam 'klokgetal' komt van de analogie met de uren op een klok, waarbij elk uur overeenkomt met 30 graden .
> **Tip:** Een extra faseverschuiving van 180° kan worden verkregen door bij bepaalde schakelingen (bv. Dy) de klemmen aan de primaire zijde om te wisselen (bv. van Dy5 naar Dy11) .
### 10.5 Praktische overwegingen
* Bij het aansluiten van transformatoren, worden de primaire lijnen L1, L2, L3 aangesloten op 1U, 1V, 1W, en de secundaire lijnen L1, L2, L3 op 2U, 2V, 2W, respectievelijk .
* Distributietransformatoren zijn vaak voorzien van aftakkingen waarmee het aantal windingen aan één zijde kan worden aangepast. Dit maakt het mogelijk de secundaire spanning te regelen met een bereik van ongeveer +10% tot -10%, om spanningsfluctuaties door wisselende belasting te compenseren. Bij hoogspanningstransformatoren gebeurt deze spanningsregeling meestal aan de hoogspanningszijde om kosten te besparen .
* In berekeningen worden transformatorverliezen vaak verwaarloosd en wordt een voldoende belasting verondersteld, wat kan leiden tot lichte afwijkingen ten opzichte van werkelijke waarden .
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Wisselstroom | Een elektrische stroom waarvan de richting en/of grootte periodiek verandert. |
| Wisselspanning | Een elektrische spanning waarvan de polariteit en/of grootte periodiek verandert. |
| Periode (T) | De tijd die nodig is om één volledige cyclus van een periodieke wisselstroom of -spanning te doorlopen. |
| Frequentie (f) | Het aantal perioden dat per seconde voorkomt, uitgedrukt in Hertz (Hz). |
| Ogenblikkelijke waarde | De waarde van een wisselstroom of -spanning op een specifiek moment in de tijd. |
| Effectieve waarde (RMS) | De waarde van een gelijkstroom of -spanning die in een weerstand hetzelfde gemiddelde vermogen ontwikkelt als de wisselstroom of -spanning. |
| Amplitude (Um, Im) | De maximale waarde die een sinusvormige wisselspanning of -stroom bereikt. |
| Faseverschuiving (φ) | Het verschil in fase tussen een wisselspanning en een wisselstroom in een AC-circuit. |
| Impedantie (Z) | De totale weerstand die een AC-circuit biedt aan de stroom, bestaande uit resistieve en reactieve componenten. |
| Weerstand (R) | De component in een elektrisch circuit die zich verzet tegen de doorstroming van elektrische stroom en energie omzet in warmte. |
| Reactantie (X) | De weerstand die spoelen (inductieve reactantie, XL) en condensatoren (capacitieve reactantie, XC) bieden aan wisselstromen, die frequentieafhankelijk is. |
| Capacitantie (XC) | De weerstand van een condensator tegen de doorstroming van wisselstroom, uitgedrukt in ohm en omgekeerd evenredig met de frequentie en capaciteit. |
| Inductantie (XL) | De weerstand van een spoel tegen de doorstroming van wisselstroom, uitgedrukt in ohm en recht evenredig met de frequentie en zelfinductiecoëfficiënt. |
| Actief vermogen (P) | Het deel van het vermogen in een AC-circuit dat wordt omgezet in warmte of nuttige arbeid, uitgedrukt in Watt (W). |
| Reactief vermogen (Q) | Het vermogen dat heen en weer pendelt tussen de bron en de componenten met zelfinductie of capaciteit, uitgedrukt in Volt-Ampère Reactief (VAR). |
| Schijnbaar vermogen (S) | Het totale vermogen dat de bron levert aan een AC-circuit, de vectoriële som van actief en reactief vermogen, uitgedrukt in Volt-Ampère (VA). |
| Arbeidsfactor (AF of cos φ) | De verhouding tussen actief vermogen en schijnbaar vermogen, die aangeeft hoe efficiënt de elektrische energie wordt gebruikt. |
| Stroomsom (I) | De vectoriële som van alle deelstromen in een knooppunt of parallelcircuit. |
| Spanningssom (U) | De vectoriële som van alle deelspanningen in een kring of serieschakeling. |
| Admittantie (Y) | Het omgekeerde van impedantie, die de geleidbaarheid van een circuit aangeeft, uitgedrukt in Siemens (S). |
| Vectoriële voorstelling | Een grafische weergave van wisselspanningen en -stromen als vectoren, waarbij de lengte de amplitude of effectieve waarde en de hoek de fase aangeeft. |
| Sterschakeling (Y) | Een manier om drie wisselstroomspoelen aan te sluiten, waarbij de uiteinden van de spoelen met elkaar worden verbonden om een sterpunt te vormen. |
| Driehoekschakeling (D of Δ) | Een manier om drie wisselstroomspoelen aan te sluiten, waarbij ze in een gesloten lus worden verbonden. |
| Nulleider (N) | De retourgeleider in een vierdraads AC-systeem, die het circuit sluit voor belastingen aangesloten tussen een lijndraad en de nulleider. |
| Lijnspanning (UL) | De spanning tussen twee lijndraden in een driefasensysteem. |
| Fasespanning (Uf) | De spanning tussen een lijndraad en de nulleider (of het sterpunt) in een driefasensysteem. |
| Resonantie | Een fenomeen waarbij de reactantie van een spoel gelijk is aan de reactantie van een condensator, wat resulteert in een minimale impedantie (serie) of maximale impedantie (parallel) en een faseverschuiving van nul. |
| Transformator | Een elektrisch apparaat dat wisselspanning omzet naar een andere spanning door middel van elektromagnetische inductie. |
| Primaire wikkeling | De wikkeling van een transformator die is aangesloten op de voedingsbron. |
| Secundaire wikkeling | De wikkeling van een transformator waaruit de omgezette energie wordt onttrokken. |
| Transformatieverhouding (k) | De verhouding tussen de spanningen of het aantal windingen van de primaire en secundaire wikkelingen van een transformator. |
| Nullaststroom (I0) | De kleine stroom die door een transformator loopt wanneer deze niet belast is aan de secundaire zijde, voornamelijk benodigd voor magnetisering. |
| IJzerverliezen (PFe) | De energie die verloren gaat als warmte in de kern van een transformator als gevolg van hysterese en wervelstromen. |
| Koperverliezen (Pcu) | De energie die verloren gaat als warmte in de wikkelingen van een transformator als gevolg van de weerstand van de geleiders. |
| Spaartrafo (Autotrafo) | Een transformator met slechts één wikkeling die zowel als primaire als secundaire dient, wat leidt tot een kostendaling maar geen galvanische scheiding. |
| Meettransformator | Een transformator ontworpen voor het veilig en nauwkeurig meten van hoge spanningen of stromen door deze naar lagere, meetbare waarden te transformeren. |
| Klokgetal | Een aanduiding voor de faseverschuiving tussen de primaire en secundaire lijnspanningen van een driefasige transformator, gerelateerd aan de schakelgroep. |
Cover
EITF45 övning 1 (FL2) Kodning och störningar och digital kommunikation uppgifter.pdf
Summary
# Pulse code modulation and signal encoding
This topic covers the fundamental principles of Pulse Code Modulation (PCM) for analog-to-digital conversion and explores various digital signal encoding techniques used in communication systems [2](#page=2).
### 1.1 Pulse Code Modulation (PCM)
Pulse Code Modulation (PCM) is a method used in telephony systems for analog-to-digital (A/D) conversion of voice signals. It involves three primary stages: sampling, quantization, and encoding [2](#page=2).
#### 1.1.1 Sampling
Sampling is the process of taking discrete measurements of an analog signal at regular intervals. According to the Nyquist-Shannon sampling theorem, to accurately reconstruct a signal, the sampling rate must be at least twice the highest frequency component of the signal. For example, if a signal has a maximum frequency of 10 kHz, the sampling rate must be at least 20 kHz [2](#page=2).
#### 1.1.2 Quantization
Quantization is the process of approximating the sampled analog values to a finite number of discrete levels. This process introduces quantization error, which is the difference between the actual sampled value and its quantized representation [2](#page=2).
* **Reducing quantization error:** To minimize quantization error, the number of quantization levels can be increased. This typically involves using more bits per sample [2](#page=2).
> **Tip:** Increasing the number of bits per sample leads to a finer resolution in representing the analog signal, thus reducing the quantization error. However, it also directly increases the bit rate of the encoded signal.
* **Impact on bit rate:** Using more bits per sample directly increases the bit rate of the PCM-encoded signal. If a signal is to be encoded with 7 bits, and the sampling rate is $f_s$, the bit rate $R$ is given by $R = n \times f_s$, where $n$ is the number of bits per sample. For instance, a signal with a maximum frequency of 10 kHz, sampled at 20 kHz and encoded with 7 bits per sample, would have a bit rate of $7 \times 20 \text{ kHz} = 140 \text{ kbps}$ [2](#page=2).
#### 1.1.3 Encoding
Encoding is the final step where the quantized samples are converted into a binary digital format.
* **PCM encoding example:** To encode an audio signal with a frequency range of 0-10 kHz using 6-bit data segments, the signal must first be sampled at a rate of at least 20 kHz. Each sample is then quantized to one of $2^6 = 64$ levels. The resulting bit rate would be $6 \text{ bits/sample} \times 20 \text{ ksamples/sec} = 120 \text{ kbps}$. This is the minimum bit rate required to reconstruct the signal accurately [2](#page=2) [3](#page=3).
* **Increasing frequency band:** To increase the frequency band of a PCM-encoded signal, the sampling rate must be increased in accordance with the Nyquist theorem. This, in turn, will increase the bit rate of the encoded signal [2](#page=2).
### 1.2 Signal Encoding Techniques
Signal encoding techniques, also known as line coding, are used to represent digital data as electrical signals for transmission over a communication channel. These methods vary in their complexity, efficiency, and susceptibility to noise [3](#page=3).
#### 1.2.1 Non-Return-to-Zero (NRZ)
Non-Return-to-Zero (NRZ) is a simple encoding scheme where the signal level remains constant for the duration of a bit. There are two main types:
* **NRZ-L (Level):** A logic '1' is represented by one voltage level, and a logic '0' by another.
* **NRZ-I (Invert):** A transition in the signal indicates a logic '1', while no transition indicates a logic '0'.
* **Encoding 10 zeros with NRZ:** If a sequence of ten zeros is to be encoded using NRZ, and assuming NRZ-L where '0' is represented by a low voltage and '1' by a high voltage, the signal would remain at the low voltage for the entire duration of the ten bits [3](#page=3).
#### 1.2.2 Manchester Coding
Manchester coding is a self-clocking encoding scheme where each bit period has a transition in the middle. A transition from low to high in the middle of the bit interval can represent a '0', and a transition from high to low can represent a '1' (or vice versa, depending on the convention). The presence of a transition in every bit period helps the receiver synchronize with the transmitter's clock.
* **Encoding 10 zeros with Manchester:** For a sequence of ten zeros using Manchester coding, assuming a low-to-high transition represents '0', there would be a low-to-high transition in the middle of each bit period for all ten bits [3](#page=3).
* **Decoding Manchester coded signals:** To decode a Manchester coded signal, one observes the transitions. A transition from low to high in the middle of a bit interval typically signifies a '0', while a transition from high to low signifies a '1'. The receiver synchronizes to these mid-bit transitions to determine the bit value [3](#page=3).
### 1.3 Bit Rate and Bit Duration
The bit rate is the number of bits transmitted per second, usually measured in bits per second (bps), kilobits per second (kbps), or megabits per second (Mbps). The bit duration is the time it takes to transmit a single bit. They are inversely related:
* **Bit Rate (R):** Measured in bits per second (bps).
* **Bit Duration ($T_b$):** Measured in seconds (s).
$$ R = \frac{1}{T_b} $$
$$ T_b = \frac{1}{R} $$
* **Calculating Bit Rate:**
* If a bit lasts for 1 millisecond ($1 \times 10^{-3}$ s), the bit rate is $R = \frac{1}{1 \times 10^{-3} \text{ s}} = 1000 \text{ bps} = 1 \text{ kbps}$ [2](#page=2).
* If a bit lasts for 2 microseconds ($2 \times 10^{-6}$ s), the bit rate is $R = \frac{1}{2 \times 10^{-6} \text{ s}} = 500,000 \text{ bps} = 500 \text{ kbps}$ or $0.5 \text{ Mbps}$ [2](#page=2).
* **Calculating Bit Duration:**
* For a bit rate of 100 kbps ($100 \times 10^3$ bps), the bit duration is $T_b = \frac{1}{100 \times 10^3 \text{ bps}} = 10 \times 10^{-6} \text{ s} = 10 \text{ microseconds}$ [2](#page=2).
* For a bit rate of 2 Mbps ($2 \times 10^6$ bps), the bit duration is $T_b = \frac{1}{2 \times 10^6 \text{ bps}} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ s} = 0.5 \text{ microseconds}$ [2](#page=2).
### 1.4 Impact of Noise and Errors
Noise and disturbances on a communication channel can corrupt the transmitted bits, leading to bit errors. The probability of a bit error is often denoted by $p$.
* **Bit errors in a packet:** If a packet has $N$ bits and the bit error probability is $p$, the probability that a packet of $N$ bits does not arrive correctly due to bit errors can be approximated. For a packet of 1024 bits with a bit error probability of 0.005, the probability that at least one bit is in error is $1 - (1-p)^N = 1 - (1 - 0.005)^{1024}$. This value is very close to $1 - e^{-Np} = 1 - e^{-(1024 \times 0.005)} = 1 - e^{-5.12} \approx 0.994$. Therefore, it is highly probable that the packet will not arrive correctly [2](#page=2).
* **Noise impact on different bit rates:** Noise can affect bit streams differently depending on the bit rate. At higher bit rates, the bit duration is shorter, meaning that a burst of noise lasting a certain duration will corrupt fewer bits compared to a lower bit rate signal with a longer bit duration [2](#page=2) [3](#page=3).
* **Example:** If a link experiences a strong disturbance for two milliseconds ($2 \times 10^{-3}$ s):
* At 10 kbps ($10 \times 10^3$ bps), the bit duration is $1/10^4 = 10^{-4}$ s. In 2 ms, $2 \times 10^{-3} \text{ s} / 10^{-4} \text{ s/bit} = 20$ bits can be affected [3](#page=3).
* At 100 kbps ($100 \times 10^3$ bps), the bit duration is $1/10^5 = 10^{-5}$ s. In 2 ms, $2 \times 10^{-3} \text{ s} / 10^{-5} \text{ s/bit} = 200$ bits can be affected [3](#page=3).
* At 1 Mbps ($1 \times 10^6$ bps), the bit duration is $1/10^6 = 10^{-6}$ s. In 2 ms, $2 \times 10^{-3} \text{ s} / 10^{-6} \text{ s/bit} = 2000$ bits can be affected [3](#page=3).
> **Tip:** While higher bit rates are susceptible to corrupting more bits during a sustained noise event, the shorter bit duration means that individual bits are less likely to be affected by very short noise pulses compared to lower bit rate signals.
### 1.5 Amplitude Shift Keying (ASK)
Amplitude Shift Keying (ASK) is a form of amplitude modulation where digital information is transmitted through the amplitude variations of a carrier signal. In ASK, discrete amplitude levels correspond to specific data symbols. For example, in a simple binary ASK system, one amplitude level represents a digital '1' and another amplitude level (often zero or a lower amplitude) represents a digital '0' [3](#page=3).
---
# Digital communication errors and bit rates
Digital communication errors introduce uncertainty into data transmission, impacting bit integrity, while bit rates define the speed of data transfer; understanding these concepts is crucial for reliable digital systems.
## 2 Digital communication errors and bit rates
This section explores the fundamental concepts of digital communication errors, their relationship with noise, and the calculation of bit rates based on bit duration and vice versa. It also addresses how to quantify potential bit errors during interference.
### 2.1 Impact of noise on bit streams
Noise, an undesirable disturbance in a communication channel, can corrupt digital data streams, leading to bit errors. When noise interferes with a signal, it can alter the intended values of bits, causing a '0' to be received as a '1' or vice versa. The susceptibility of a bit stream to noise is not uniform; bit streams transmitted at different bit rates can be affected differently. Higher bit rates mean that each bit is represented by a shorter duration signal pulse. Consequently, a shorter pulse is more vulnerable to corruption by noise within that brief interval compared to a longer pulse representing a bit at a lower bit rate. This means that for a given level of noise, a higher bit rate can potentially lead to a greater number of bit errors [2](#page=2).
### 2.2 Bit rates and bit durations
The bit rate, often denoted as $R$, quantifies the speed at which data is transmitted, typically measured in bits per second (bps). Conversely, the bit duration, often denoted as $T_b$, represents the time interval each individual bit occupies in the data stream. These two parameters are inversely related: a higher bit rate implies a shorter bit duration, and a lower bit rate implies a longer bit duration [2](#page=2).
The fundamental relationship between bit rate and bit duration can be expressed by the following equations:
* **Calculating bit rate from bit duration:**
If the duration of a single bit ($T_b$) is known, the bit rate ($R$) can be calculated as:
$$R = \frac{1}{T_b}$$
* **Calculating bit duration from bit rate:**
If the bit rate ($R$) is known, the duration of a single bit ($T_b$) can be calculated as:
$$T_b = \frac{1}{R}$$
**Example:**
* If a signal has a bit duration of 1 millisecond, its bit rate is calculated as:
$T_b = 1 \text{ ms} = 1 \times 10^{-3} \text{ s}$
$R = \frac{1}{1 \times 10^{-3} \text{ s}} = 1000 \text{ bps} = 1 \text{ kbps}$ [2](#page=2).
* If a signal has a bit duration of 2 microseconds, its bit rate is calculated as:
$T_b = 2 \text{ µs} = 2 \times 10^{-6} \text{ s}$
$R = \frac{1}{2 \times 10^{-6} \text{ s}} = 500,000 \text{ bps} = 500 \text{ kbps}$ [2](#page=2).
**Example:**
* If a signal has a bit rate of 100 kilobits per second (kbps):
$R = 100 \text{ kbps} = 100 \times 10^3 \text{ bps}$
$T_b = \frac{1}{100 \times 10^3 \text{ bps}} = 10 \times 10^{-6} \text{ s} = 10 \text{ µs}$ [2](#page=2).
* If a signal has a bit rate of 2 megabits per second (Mbps):
$R = 2 \text{ Mbps} = 2 \times 10^6 \text{ bps}$
$T_b = \frac{1}{2 \times 10^6 \text{ bps}} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ s} = 0.5 \text{ µs}$ [2](#page=2).
### 2.3 Quantifying bit errors during interference
When a data transmission experiences a significant interference over a specific duration, it can lead to a certain number of bits being corrupted. To determine the number of potentially erroneous bits, one needs to know the duration of the interference and the bit rate of the data stream. The total number of bits affected is the product of the interference duration and the bit rate [3](#page=3).
The formula to calculate the number of potentially erroneous bits ($N_{erroneous}$) is:
$$N_{erroneous} = \text{Interference Duration} \times \text{Bit Rate}$$
**Example:**
Suppose a data transfer receives a strong interference for two milliseconds.
* If the bit rate is 10 kilobits per second (kbps):
Interference Duration $= 2 \text{ ms} = 2 \times 10^{-3} \text{ s}$
Bit Rate $= 10 \text{ kbps} = 10 \times 10^3 \text{ bps}$
$N_{erroneous} = (2 \times 10^{-3} \text{ s}) \times (10 \times 10^3 \text{ bps}) = 20 \text{ bits}$ [3](#page=3).
* If the bit rate is 100 kilobits per second (kbps):
Interference Duration $= 2 \text{ ms} = 2 \times 10^{-3} \text{ s}$
Bit Rate $= 100 \text{ kbps} = 100 \times 10^3 \text{ bps}$
$N_{erroneous} = (2 \times 10^{-3} \text{ s}) \times (100 \times 10^3 \text{ bps}) = 200 \text{ bits}$ [3](#page=3).
* If the bit rate is 1 megabit per second (Mbps):
Interference Duration $= 2 \text{ ms} = 2 \times 10^{-3} \text{ s}$
Bit Rate $= 1 \text{ Mbps} = 1 \times 10^6 \text{ bps}$
$N_{erroneous} = (2 \times 10^{-3} \text{ s}) \times (1 \times 10^6 \text{ bps}) = 2000 \text{ bits}$ [3](#page=3).
> **Tip:** Notice how a higher bit rate leads to a significantly larger number of potentially erroneous bits within the same interference duration, highlighting the critical impact of noise on high-speed digital communications.
---
# Amplitude shift keying modulation
Amplitude shift keying (ASK) is a form of amplitude modulation utilized in digital communication systems [3](#page=3).
### 3.1 Concept of ASK
ASK is a method where the amplitude of a carrier signal is varied to represent digital data. Each digital symbol (e.g., a 0 or a 1) is represented by a specific amplitude level of the carrier wave [3](#page=3).
### 3.2 Representation of Digital Data
In a typical binary ASK system, two amplitude levels are used to represent the two binary digits:
* **One amplitude level** (often a non-zero value) represents a digital '1'.
* **Another amplitude level** (often zero amplitude, meaning no signal) represents a digital '0'.
This variation in amplitude directly encodes the binary information onto the carrier signal. The carrier frequency and phase remain constant throughout the transmission.
> **Tip:** The key characteristic of ASK is that the data is modulated by changing the *amplitude* of the carrier signal, while frequency and phase remain unchanged.
---
## Common mistakes to avoid
- Review all topics thoroughly before exams
- Pay attention to formulas and key definitions
- Practice with examples provided in each section
- Don't memorize without understanding the underlying concepts
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Pulse Code Modulation (PCM) | A method used in digital communication systems to digitally represent analog signals. It involves three main steps: sampling, quantization, and encoding, to convert an analog waveform into a sequence of binary digits. |
| Sampling | The process of taking discrete measurements of an analog signal at regular intervals. This converts a continuous-time signal into a discrete-time signal, forming the first step in Pulse Code Modulation. |
| Quantization | The process of approximating the sampled analog values to a finite set of discrete levels. This step introduces quantization error, which is the difference between the actual sampled value and its quantized representation. |
| Encoding | The process of converting the quantized samples into a binary digital format, typically a bitstream, for transmission or storage. This is the final stage of Pulse Code Modulation. |
| Quantization error | The difference between the original analog signal value and its quantized digital representation. Reducing quantization error can be achieved by increasing the number of quantization levels, which in turn increases the bit rate. |
| Bit rate | The number of bits that are transmitted or processed per unit of time, usually measured in bits per second (bps). Increasing the frequency band or the number of bits per sample generally increases the bit rate. |
| Frequency band | The range of frequencies occupied by a signal. Increasing the frequency band of a signal that is to be digitized implies that more information needs to be represented, often leading to higher sampling rates and thus higher bit rates. |
| Bit error probability | The likelihood that a single bit transmitted over a communication channel will be flipped from its original value (0 to 1 or 1 to 0) due to noise or other disturbances. |
| Bitstream | A sequence of bits representing digital data. The integrity of a bitstream can be compromised by bit errors. |
| Interference | Unwanted disturbances that corrupt a signal during transmission. This can manifest as noise or transient errors that affect multiple bits. |
| Bit duration | The amount of time a single bit occupies during transmission. It is inversely related to the bit rate; a shorter bit duration means a higher bit rate. |
| NRZ (Non-Return-to-Zero) | A simple line coding technique where a binary 0 is represented by one voltage level and a binary 1 by another voltage level, without returning to zero voltage between bits. |
| Manchester coding | A line coding scheme where each bit is represented by a transition in the middle of the bit period. For example, a 0 might be a low-to-high transition and a 1 a high-to-low transition, ensuring a transition in every bit period. |
| Amplitude Modulation (AM) | A modulation technique where the amplitude of a carrier signal is varied in proportion to the message signal's instantaneous amplitude. In digital contexts, this is often referred to as Amplitude Shift Keying (ASK). |
| Amplitude Shift Keying (ASK) | A type of amplitude modulation used in digital communication where the amplitude of a carrier signal is switched between different predefined levels to represent binary digits. |
| Noise | Random fluctuations or unwanted disturbances that are superimposed on a signal. Noise can corrupt digital data, leading to bit errors. |
Cover
Elektriciteit_gelijkstroom_theorie_basis_3.pdf
Summary
# Regelbare weerstanden en spanningsdeling
Dit deel van het document behandelt regelbare weerstanden, zoals schuifweerstanden en potentiometers, en hun toepassing in spanningsdelerschakelingen, zowel onbelast als belast.
### 1.1 Regelbare weerstanden
Weerstanden waarvan de weerstandswaarde kan worden aangepast, worden regelbare weerstanden of regelweerstanden genoemd. Door deze in serie te schakelen in een elektrische kring, is het mogelijk om de stroomsterkte en bijgevolg de spanningsverdeling te regelen [2](#page=2).
#### 1.1.1 Schuifweerstanden
Een schuifweerstand heeft typisch drie aansluitklemmen. De klemmen A en B vormen het begin- en eindpunt van de weerstand. Door de schuiver, ook wel loper genoemd (aangeduid met C), te bewegen, kan de weerstandswaarde continu worden aangepast tussen A en C, of tussen B en C [2](#page=2).
#### 1.1.2 Potentiometer
Een potentiometer is een type regelbare weerstand waarbij de loper roterend is uitgevoerd. Net als bij een schuifweerstand, wordt hierbij de weerstandswaarde continu geregeld door de positie van de loper aan te passen [3](#page=3).
### 1.2 Spanningsdeling: onbelast
Een potentiometer kan worden gebruikt om een spanningsdeler te vormen. Hierbij worden alle drie de aansluitklemmen van de schuifweerstand gebruikt. Het doel is om een uitgangsspanning te verkrijgen die een fractie is van de ingangsspanning, waarbij deze uitgangsspanning regelbaar is afhankelijk van de positie van de loper [4](#page=4).
#### 1.2.1 Principe van de onbelaste spanningsdeler
De totale weerstand, aangeduid als $R$ (tussen klemmen A en B), wordt aangesloten op een ingangsspanning $U_{in}$. De loper, C, verdeelt de totale weerstand $R$ in twee deelweerstanden, $R_1$ en $R_2$. Aangezien dezelfde stroom $I$ door beide deelweerstanden vloeit, vormen $R_1$ en $R_2$ samen een spanningsdeler [5](#page=5).
Volgens de wet van Ohm is de uitgangsspanning $U_{uit}$ gelijk aan het product van de deelweerstand $R_2$ en de stroom $I$ [5](#page=5):
$U_{uit} = R_2 \cdot I$ [5](#page=5).
De stroom $I$ die door de gehele weerstand loopt, wordt bepaald door de totale ingangsspanning $U_{in}$ gedeeld door de totale weerstand $R_1 + R_2$ [5](#page=5):
$I = \frac{U_{in}}{R_1 + R_2}$ [5](#page=5).
Door deze twee formules te combineren, verkrijgen we de formule voor de uitgangsspanning in een onbelaste spanningsdeler:
$U_{uit} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot U_{in}$ [5](#page=5) [6](#page=6).
#### 1.2.2 Gedrag en lineariteit van de onbelaste spanningsdeler
De uitgangsspanning is regelbaar: wanneer de loper van B naar A beweegt, stijgt de spanning, en bij een beweging van A naar B zal de spanning dalen [6](#page=6).
> **Tip:** De formule laat zien dat de uitgangsspanning $U_{uit}$ lineair varieert met de deelweerstand $R_2$, zolang de potentiometer niet belast wordt [6](#page=6).
### 1.3 Spanningsdeling: belast
Wanneer de potentiometer aan de uitgang belast wordt, moet bij het berekenen van de uitgangsspanning rekening worden gehouden met de waarde van deze belasting, aangeduid als $R_3$ [7](#page=7).
#### 1.3.1 Formules voor de belaste spanningsdeler
De belasting $R_3$ wordt parallel geschakeld met de deelweerstand $R_2$. De effectieve weerstand van dit parallelle deel is $\frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$. De totale weerstand in de kring wordt dan $R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$. De stroom $I$ die door de totale weerstand loopt, is [7](#page=7):
$I = \frac{U_{in}}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}$ [7](#page=7).
De uitgangsspanning $U_{uit}$ is dan de stroom $I$ vermenigvuldigd met de parallelweerstand:
$U_{uit} = I \cdot \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$ [7](#page=7).
Door de formules samen te voegen, verkrijgen we de volledige uitdrukking voor de uitgangsspanning bij een belaste potentiometer:
$U_{uit} = \frac{\frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}} \cdot U_{in}$ [7](#page=7) [8](#page=8).
Dit kan ook geschreven worden als:
$U_{uit} = U_{in} \cdot \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1(R_2 + R_3) + R_2 \cdot R_3}$ [8](#page=8).
#### 1.3.2 Invloed van de belasting
Bij belasting is de uitgangsspanning $U_{uit}$ lager dan in het onbelaste geval [8](#page=8).
> **Tip:** Om ervoor te zorgen dat de uitgangsspanning slechts minimaal verandert door de belasting, moet de belastingsweerstand $R_3$ significant groter zijn dan de deelweerstand $R_2$ (d.w.z. $R_3 >> R_2$) [8](#page=8).
> **Opmerking:** Het is belangrijker om de logica achter deze formules te begrijpen dan ze puur uit het hoofd te leren. De onderdelen van de formule representeren specifieke elektrische configuraties (serie, parallel) en de wet van Ohm [8](#page=8).
---
# De brug van Wheatstone
De brug van Wheatstone is een elektrische schakeling die voornamelijk wordt gebruikt voor het nauwkeurig meten van weerstandswaarden, door middel van het principe van evenwicht [9](#page=9).
### 2.1 Componenten en basisprincipes
De brug van Wheatstone bestaat uit vier weerstanden die zodanig zijn geschakeld dat ze een gesloten keten vormen. Tussen twee punten van deze keten is een galvanometer aangesloten, en tussen de andere twee punten is een gelijkspanningsbron verbonden [12](#page=12) [9](#page=9).
#### 2.1.1 De galvanometer
Een galvanometer is een zeer gevoelige ampèremeter, ontworpen om extreem kleine stromen te detecteren, soms tot wel $10^{-9}$ A. De primaire functie is het vaststellen of er stroom vloeit, zonder noodzakelijkerwijs de exacte grootte ervan te hoeven meten. In de context van de Wheatstonebrug meet deze of er stroom loopt tussen de punten C en D [12](#page=12).
#### 2.1.2 De nulmethode
De nulmethode houdt in dat men de schakeling aanpast totdat er geen stroom meer door de galvanometer loopt. Op dit punt is de brug in evenwicht, ook wel een gebalanceerde brug genoemd. Dit evenwicht wordt bereikt door een specifieke weerstand, de referentieweerstand, nauwkeurig regelbaar te maken [10](#page=10) [11](#page=11).
### 2.2 Het principe van evenwicht
De brug van Wheatstone wordt als "in evenwicht" beschouwd wanneer de stroom door de galvanometer, aangeduid als $I_5$, gelijk is aan nul. Dit impliceert dat er geen potentiaalverschil bestaat tussen de punten C en D [13](#page=13).
Wanneer de brug in evenwicht is ($I_5 = 0$), gelden de volgende relaties:
* $I_1 = I_3$ [13](#page=13).
* $I_2 = I_4$ [13](#page=13).
* Het potentiaalverschil tussen A en C is gelijk aan het potentiaalverschil tussen A en D ($U_{AC} = U_{AD}$) [13](#page=13).
* Het potentiaalverschil tussen C en B is gelijk aan het potentiaalverschil tussen D en B ($U_{CB} = U_{DB}$) [13](#page=13).
Dit leidt tot de volgende vergelijkingen:
* $I_1 \cdot R_1 = I_2 \cdot R_2$ [13](#page=13).
* $I_3 \cdot R_x = I_4 \cdot R_n$ [13](#page=13).
Door de eerste twee vergelijkingen te combineren, kan de evenwichtsconditie worden uitgedrukt als een verhouding van weerstanden:
$$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4} $$
of equivalent [13](#page=13) [14](#page=14):
$$ \frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4} $$
> **Tip:** De relatie $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ is cruciaal voor het berekenen van onbekende weerstanden in een gebalanceerde Wheatstonebrug. Zorg ervoor dat je deze formule goed onthoudt.
### 2.3 Berekening van de onbekende weerstand
Als drie van de vier weerstanden bekend zijn en de brug in evenwicht is, kan de waarde van de onbekende weerstand eenvoudig worden berekend. Met de eerder afgeleide evenwichtsconditie, herschreven voor de onbekende weerstand $R_x$ [11](#page=11):
$$ R_x = R_n \cdot \frac{R_1}{R_2} $$
Hierbij is $R_1$, $R_2$ en $R_n$ de bekende weerstanden, en $R_x$ de te bepalen onbekende weerstand. De weerstand $R_n$ wordt ook wel de normaalweerstand of referentieweerstand genoemd en is nauwkeurig regelbaar om het evenwicht te bewerkstelligen [11](#page=11) [14](#page=14).
> **Example:** Stel dat we een Wheatstonebrug hebben met $R_1 = 100\ \text{ohm}$, $R_2 = 200\ \text{ohm}$, en $R_n = 300\ \text{ohm}$. Om de brug in evenwicht te brengen met een onbekende weerstand $R_x$, stellen we $R_n$ in op $300\ \text{ohm}$ zodat de galvanometer nul aangeeft. De waarde van de onbekende weerstand wordt dan:
> $$ R_x = R_n \cdot \frac{R_1}{R_2} = 300\ \text{ohm} \cdot \frac{100\ \text{ohm}}{200\ \text{ohm}} = 300\ \text{ohm} \cdot 0.5 = 150\ \text{ohm} $$
> [11](#page=11) [14](#page=14).
---
# Oefeningen met weerstandstoepassingen
Dit hoofdstuk biedt een reeks oefeningen die de toepassing van weerstanden, potentiometers en de brug van Wheatstone demonstreren, variërend van weerstandsberekeningen tot het analyseren van belaste schakelingen.
### 3.1 Oefeningen met potentiometers
Deze sectie behandelt diverse problemen waarbij een spanningsbron is aangesloten op een potentiometer, met variërende instellingen van de loper om specifieke spanningen of weerstandswaarden te bepalen.
#### 3.1.1 Oefening 1: Spanning verdelen met potentiometer
Een D.C. spanningsbron van 24V wordt aangesloten op een potentiometer van 10k Ω (tussen de klemmen A en B). De loper wordt zodanig ingesteld dat er tussen W en B 3,5V wordt gemeten. We moeten de weerstandswaarde $R_{WB}$ bepalen [15](#page=15).
De potentiometer gedraagt zich als een serieschakeling van twee weerstanden, $R_{AW}$ en $R_{WB}$, waarbij de totale weerstand $R_{AB} = 10k \Omega$. De spanning wordt verdeeld over deze twee weerstanden volgens de spanningsdelerformule [15](#page=15).
De spanning over $R_{WB}$ is:
$$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$
We weten $U_{AB} = 24V$ en $U_{WB} = 3,5V$. De totale weerstand $R_{AB} = 10k \Omega$ [15](#page=15).
Om $R_{WB}$ te vinden, herschikken we de formule:
$$ R_{WB} = R_{AB} \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$
$$ R_{WB} = 10k \Omega \times \frac{3,5V}{24V} $$
$$ R_{WB} \approx 1,458 k \Omega $$
De weerstandswaarde $R_{WB}$ bedraagt dus ongeveer 1,458 k Ω [15](#page=15).
#### 3.1.2 Oefening 2: Potentiometer met ingestelde weerstandswaarde
Een D.C. spanningsbron van 30V wordt aangesloten op dezelfde potentiometer van 10k Ω. De loper wordt zodanig ingesteld dat $R_{AW} = 7,5k \Omega$. We moeten de spanning meten tussen W en B ($U_{WB}$) [15](#page=15).
De totale weerstand van de potentiometer is $R_{AB} = 10k \Omega$. Als $R_{AW} = 7,5k \Omega$, dan is de resterende weerstand $R_{WB} = R_{AB} - R_{AW} = 10k \Omega - 7,5k \Omega = 2,5k \Omega$ [15](#page=15).
Met de spanningsdelerformule kunnen we $U_{WB}$ berekenen:
$$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$
$$ U_{WB} = 30V \times \frac{2,5k \Omega}{10k \Omega} $$
$$ U_{WB} = 30V \times 0,25 $$
$$ U_{WB} = 7,5V $$
De gemeten spanning tussen W en B zal 7,5V zijn [15](#page=15).
#### 3.1.3 Oefening 3: Gewenste spanning instellen met potentiometer
In een schakeling met een ingangsspanning $U = 100V$ en een weerstand $R_{AW} = 15k \Omega$ willen we een uitgangsspanning $U_{WB} = 20V$ bekomen. We moeten de weerstandswaarde van $R_{WB}$ bepalen [16](#page=16).
De spanningsdelerformule luidt:
$$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$
Hierbij is $U_{AB} = U = 100V$. De totale weerstand $R_{AB} = R_{AW} + R_{WB}$ [16](#page=16).
We kunnen de formule herschikken om $R_{WB}$ te vinden:
$$ R_{WB} = R_{AB} \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$
$$ R_{WB} = (R_{AW} + R_{WB}) \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$
Vul de bekende waarden in:
$$ R_{WB} = (15k \Omega + R_{WB}) \times \frac{20V}{100V} $$
$$ R_{WB} = (15k \Omega + R_{WB}) \times 0,2 $$
$$ R_{WB} = 3k \Omega + 0,2 R_{WB} $$
Breng de termen met $R_{WB}$ naar één kant:
$$ R_{WB} - 0,2 R_{WB} = 3k \Omega $$
$$ 0,8 R_{WB} = 3k \Omega $$
$$ R_{WB} = \frac{3k \Omega}{0,8} $$
$$ R_{WB} = 3,750 k \Omega $$
De benodigde weerstandswaarde voor $R_{WB}$ is 3,750 k Ω [16](#page=16).
### 3.2 Oefeningen met belaste schakelingen
Deze sectie onderzoekt de impact van een belasting op de uitgangsspanning van een spanningsdeler, waarbij de oorspronkelijke onbelaste spanning wordt vergeleken met de gespannen spanning onder belasting.
#### 3.2.1 Oefening 4: Onbelaste uitgangsspanning berekenen
De ingangsspanning $V_{in}$ van een spanningsdeler bedraagt 45V. De weerstanden zijn $R_1 = 200 \Omega$ en $R_2 = 500 \Omega$. We moeten de onbelaste uitgangsspanning $V_{out}$ bepalen [17](#page=17).
De uitgangsspanning wordt gemeten over $R_2$. Met de spanningsdelerformule:
$$ V_{out} = V_{in} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} $$
$$ V_{out} = 45V \times \frac{500 \Omega}{200 \Omega + 500 \Omega} $$
$$ V_{out} = 45V \times \frac{500 \Omega}{700 \Omega} $$
$$ V_{out} = 45V \times \frac{5}{7} $$
$$ V_{out} \approx 32,14 V $$
De onbelaste uitgangsspanning is ongeveer 32,14 V [17](#page=17).
#### 3.2.2 Oefening 5: Uitgangsspanning onder belasting berekenen
De ingangsspanning $V_{in}$ is opnieuw 45V, met $R_1 = 200 \Omega$ en $R_2 = 500 \Omega$. Echter, nu wordt een belasting $R_L$ van 100 Ω aan de uitgang geplaatst. We moeten de spanning over de belasting $R_L$ bepalen [18](#page=18).
Wanneer er een belasting wordt geplaatst, staat $R_L$ parallel aan $R_2$. De totale weerstand van dit parallelle gedeelte ($R_{2 || L}$) kan berekend worden met:
$$ R_{2 || L} = \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} $$
$$ R_{2 || L} = \frac{500 \Omega \times 100 \Omega}{500 \Omega + 100 \Omega} $$
$$ R_{2 || L} = \frac{50000 \Omega^2}{600 \Omega} $$
$$ R_{2 || L} = \frac{500}{6} \Omega = \frac{250}{3} \Omega \approx 83,33 \Omega $$
Nu kunnen we de uitgangsspanning (die nu over $R_{2 || L}$ staat) berekenen met de spanningsdelerformule, waarbij we de effectieve parallelle weerstand gebruiken:
$$ V_{out\_belasted} = V_{in} \times \frac{R_{2 || L}}{R_1 + R_{2 || L}} $$
$$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{\frac{250}{3} \Omega}{200 \Omega + \frac{250}{3} \Omega} $$
Om de breuk in de teller en noemer te vereenvoudigen:
$$ R_1 + R_{2 || L} = 200 + \frac{250}{3} = \frac{600}{3} + \frac{250}{3} = \frac{850}{3} \Omega $$
$$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{\frac{250}{3} \Omega}{\frac{850}{3} \Omega} $$
$$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{250}{850} $$
$$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{25}{85} $$
$$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{5}{17} $$
$$ V_{out\_belasted} \approx 13,235 V $$
De spanning over $R_L$ zal ongeveer 13,23 V bedragen [18](#page=18).
> **Tip:** De belasting $R_L$ vermindert de uitgangsspanning aanzienlijk omdat het de effectieve weerstand in het onderste deel van de spanningsdeler verlaagt.
### 3.3 Oefeningen met de brug van Wheatstone
Dit gedeelte introduceert een oefening met de brug van Wheatstone, een veelgebruikte schakeling voor het meten van weerstanden.
#### 3.3.1 Oefening 6: Evenwicht van de brug van Wheatstone
De oefening stelt de vraag of een gegeven brug van Wheatstone in evenwicht is. De spanningsbron heeft een waarde van 1,5V. De afbeelding van de brug is niet beschikbaar in de tekst, maar de algemene methode om evenwicht te bepalen is cruciaal [19](#page=19).
Een brug van Wheatstone is in evenwicht wanneer de spanning over de diagonale galvanometer (of voltmeter) nul is. Dit gebeurt als de verhouding van de weerstanden aan de ene kant gelijk is aan de verhouding van de weerstanden aan de andere kant, met betrekking tot de twee benen van de brug [19](#page=19).
Stel dat de brug vier weerstanden heeft: $R_A$, $R_B$, $R_C$, en $R_D$, en een spanningsbron $U$ aangesloten over de punten waar $R_A$ en $R_C$ samenkomen, en waar $R_B$ en $R_D$ samenkomen. De meter meet de spanning tussen de knooppunten van $R_A$/$R_B$ en $R_C$/$R_D$.
De brug is in evenwicht indien:
$$ \frac{R_A}{R_B} = \frac{R_C}{R_D} $$
of, equivalent, als:
$$ R_A \times R_D = R_B \times R_C $$
Om te bepalen of de brug in evenwicht is, zouden we de waarden van de vier weerstanden moeten kennen en deze relaties moeten controleren. Als de relatie niet geldt, is de brug niet in evenwicht, wat betekent dat er een spanning over de meter zal staan. De aanwezigheid van een niet-nul spanning over de meetinstrument (in dit geval 1,5V) is een indicatie dat de brug niet in evenwicht is. Echter, de specifieke waarden van de weerstanden zijn nodig om het definitieve antwoord te geven [19](#page=19).
> **Hoe merk je het op?** Als de brug in evenwicht is, is de spanning over het meetinstrument nul, wat betekent dat er geen stroom doorheen loopt. Als de brug niet in evenwicht is, zal er een meetbare spanning over het instrument staan [19](#page=19).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Gelijkstroom theorie | De fundamentele principes die de gedragingen van elektrische stromen beschrijven die slechts in één richting vloeien, zoals die in batterijen en gelijkrichters. |
| Regelbare weerstand | Een elektrische component waarvan de weerstandswaarde kan worden aangepast, vaak gebruikt om stroomsterkte of spanningsniveaus te regelen. |
| Schuifweerstand | Een type regelbare weerstand waarbij een schuifcontact over een weerstandselement beweegt om de weerstandswaarde te variëren. |
| Potentiometer | Een regelbare weerstand met drie aansluitingen, waarbij de middelste aansluiting (loper) een deel van de totale weerstandswaarde selecteert, wat resulteert in een variabele spanning. |
| Spanningsdeling | Het principe waarbij een spanning wordt verdeeld over meerdere weerstanden in serie, zodat de spanning over elk weerstandselement een fractie is van de totale ingangsspanning. |
| Spanningsdeler | Een configuratie van weerstanden in serie die wordt gebruikt om een uitgangsspanning te creëren die lager is dan de ingangsspanning, vaak regelbaar met een loper. |
| Belasting | De weerstand die is aangesloten op de uitgang van een schakeling, zoals een spanningsdeler, die de stroom beïnvloedt en daardoor de uitgangsspanning kan verlagen. |
| Brug van Wheatstone | Een elektronische schakeling die wordt gebruikt om een onbekende weerstand te meten door deze in balans te brengen met bekende weerstanden. |
| Galvanometer | Een uiterst gevoelige ampèremeter die wordt gebruikt om zeer kleine elektrische stromen te detecteren, vaak gebruikt om aan te geven of er stroom vloeit of niet. |
| Nulmethode | Een meettechniek waarbij een parameter wordt aangepast totdat een indicator (zoals een galvanometer) nul aangeeft, wat duidt op een evenwichtstoestand. |
| Gebalanceerde brug | De toestand van een brugschakeling, zoals de brug van Wheatstone, waarbij er geen stroom vloeit door het meetinstrument (bv. galvanometer), wat resulteert in een potentiaalverschil van nul tussen de twee middenpunten. |
| Weerstandsverandering | Een variatie in de waarde van een weerstand, die kan worden veroorzaakt door factoren zoals temperatuur, rek of als onderdeel van een meetopstelling. |
| Gelijkspanningsbron | Een bron die een constante elektrische spanning levert met een constante polariteit, zoals een batterij. |
| Deelstroom | Een deel van de totale stroom die door een schakeling loopt, die ontstaat wanneer de hoofd stroom zich splitst over parallelle paden. |
| Potentiaalverschil | Het verschil in elektrische potentiele energie tussen twee punten in een elektrisch veld, wat de drijvende kracht is voor de stroom. |
| Weerstandswaarde | De mate van tegenwerking die een materiaal biedt aan de doorgang van elektrische stroom, uitgedrukt in ohm ($\Omega$). |
| Referentieweerstand | Een nauwkeurig bekende weerstand die wordt gebruikt als basis voor het meten van andere weerstanden of om een schakeling in evenwicht te brengen. |
Cover
Elektriciteit_gelijkstroom_theorie_uitbreiding_4.pdf
Summary
# Uitbreiding van het meetbereik van een ampèremeter met een shuntweerstand
Dit onderwerp behandelt de methode om het meetbereik van een ampèremeter te vergroten door middel van een parallel geschakelde shuntweerstand.
### 1.1 De shuntweerstand
#### 1.1.1 Definitie en functie
Een shuntweerstand is een weerstand die parallel wordt geschakeld met een elektrisch instrument. Het doel van een shunt is om een deel van de stroom doelbewust af te leiden, waardoor een grotere totale stroom gemeten kan worden dan het oorspronkelijke meetbereik van het instrument toelaat. Het Engelse woord "shunt" betekent aftakking of zijspoor [2](#page=2) [4](#page=4).
#### 1.1.2 De ampèremeter en het meetbereik
Een ampèremeter is een instrument dat wordt gebruikt om stroomsterktes te meten. Ampèremeters worden in serie geschakeld in een stroomkring. Het meetbereik van een ampèremeter definieert de maximale stroomsterkte die het instrument veilig en nauwkeurig kan meten [3](#page=3).
Wanneer de te meten stroom groter is dan het oorspronkelijke meetbereik van de ampèremeter, wordt een shuntweerstand parallel aan de ampèremeter geplaatst om het meetbereik te vergroten. Een deel van de stroom wordt dan door de shunt afgeleid [4](#page=4).
### 1.2 Rekenkundige voorbeelden en berekeningen
#### 1.2.1 Basisberekening met een eenvoudige shunt
Om het meetbereik van een ampèremeter uit te breiden, kan men de spanningsval over de ampèremeter en de shunt gelijkstellen.
**Voorbeeld:**
Een ampèremeter heeft een inwendige weerstand ($R_m$) van 5 Ohm en een meetbereik ($I_m$) van 2 milliampère. Het meetbereik moet worden uitgebreid tot 10 milliampère ($I$). Welke weerstandswaarde moet de shunt ($R_s$) hebben?
De spanningsval over de ampèremeter is gelijk aan de spanningsval over de shunt:
$U_s = U_m$
De spanningsval over de ampèremeter wordt berekend als:
$U_m = I_m \cdot R_m$
$U_m = 2 \, \text{mA} \cdot 5 \, \Omega = 10 \, \text{mV}$ [5](#page=5).
De stroom die door de shunt moet vloeien ($I_s$) is het verschil tussen de totale gewenste stroom en de maximale stroom die de ampèremeter kan meten:
$I_s = I - I_m$
$I_s = 10 \, \text{mA} - 2 \, \text{mA} = 8 \, \text{mA}$ [5](#page=5).
De weerstandswaarde van de shunt wordt vervolgens berekend met de wet van Ohm:
$R_s = \frac{U_s}{I_s}$
$R_s = \frac{10 \, \text{mV}}{8 \, \text{mA}} = 1.25 \, \Omega$ [5](#page=5).
**Interpretatie van het resultaat:**
Als de totale te meten stroom 10 mA is, zal 2 mA door de ampèremeter vloeien en 8 mA door de shunt. Als de te meten stroom slechts 5 mA is, vloeit er 1 mA door de ampèremeter en 4 mA door de shunt [6](#page=6).
#### 1.2.2 De constante verhouding (n)
Bij een ingesteld meetbereik is de verhouding tussen de totale te meten stroom en de stroom door het meetinstrument constant. Deze verhouding wordt aangeduid met $n$ [6](#page=6).
De formule voor $n$ is:
$n = \frac{I}{I_m}$ [6](#page=6).
Hierin is:
* $I$: de maximale te meten stroom (nieuwe meetbereik) [6](#page=6).
* $I_m$: het oorspronkelijke meetbereik van het meetinstrument [6](#page=6).
Ook geldt dat de verhouding van de totale stroom tot de stroom door de shunt gelijk is aan de verhouding van de stroom door het meetinstrument tot de stroom door de shunt, mits deze verhoudingen consistent zijn met de stroomverdeling.
De relatie tussen de stroom door de shunt ($I_s$) en de stroom door de ampèremeter ($I_m$) kan als volgt worden uitgedrukt:
$I_s = I - I_m$ [7](#page=7).
Met behulp van de constante verhouding $n = \frac{I}{I_m}$ kunnen we $I$ vervangen door $n \cdot I_m$:
$I_s = (n \cdot I_m) - I_m = (n - 1) \cdot I_m$ [7](#page=7).
Omdat de spanningsval over de shunt ($U_s$) gelijk is aan de spanningsval over de ampèremeter ($U_m$), geldt:
$I_s \cdot R_s = I_m \cdot R_m$ [7](#page=7).
Door $I_s = (n - 1) \cdot I_m$ te substitueren, krijgen we:
$(n - 1) \cdot I_m \cdot R_s = I_m \cdot R_m$
Hieruit volgt de formule voor de shuntweerstand:
$R_s = \frac{R_m}{n - 1}$ [7](#page=7).
In het vorige voorbeeld was $n = \frac{10 \, \text{mA}}{2 \, \text{mA}} = 5$. Met deze formule wordt de shuntweerstand:
$R_s = \frac{5 \, \Omega}{5 - 1} = \frac{5 \, \Omega}{4} = 1.25 \, \Omega$, wat overeenkomt met de eerdere berekening [7](#page=7).
#### 1.2.3 Oefening uitbreiding meetbereik
**Oefening:**
Een mA-meter met een inwendige weerstand van 50 Ohm en een stroommeetbereik van 2 mA is voorzien van een shunt, zodat het nieuwe meetbereik 10 mA is geworden. Bereken deze shunt en bepaal de aanduiding op de 2 mA-schaal op het moment dat de te meten stroom 6 mA bedraagt.
**Oplossing:**
* Inwendige weerstand ampèremeter: $R_m = 50 \, \Omega$ [22](#page=22).
* Oorspronkelijk meetbereik ampèremeter: $I_m = 2 \, \text{mA}$ [22](#page=22).
* Nieuw meetbereik: $I = 10 \, \text{mA}$ [22](#page=22).
Bereken de verhouding $n$:
$n = \frac{I}{I_m} = \frac{10 \, \text{mA}}{2 \, \text{mA}} = 5$
Bereken de shuntweerstand ($R_s$):
$R_s = \frac{R_m}{n - 1} = \frac{50 \, \Omega}{5 - 1} = \frac{50 \, \Omega}{4} = 12.5 \, \Omega$ [22](#page=22).
Nu moet de aanduiding op de 2 mA-schaal worden bepaald wanneer de te meten stroom 6 mA bedraagt. De ampèremeter zelf zal een deel van deze stroom meten, terwijl de rest door de shunt vloeit. De verhouding $n$ blijft constant voor het ingestelde meetbereik van 10 mA.
De stroom die door de ampèremeter zal vloeien ($I_{m,werkelijk}$) wanneer de totale stroom 6 mA is, wordt berekend met de verhouding van het nieuwe meetbereik tot het oorspronkelijke:
$\frac{I}{I_{m,werkelijk}} = n$
$I_{m,werkelijk} = \frac{I}{n} = \frac{6 \, \text{mA}}{5} = 1.2 \, \text{mA}$
De aanduiding op de 2 mA-schaal komt dus overeen met 1.2 mA wanneer de totale stroom 6 mA is [22](#page=22).
> **Tip:** Begrijp dat de factor $n$ de uitbreidingsfactor van het meetbereik is. Een hogere $n$ betekent dat de shunt een groter deel van de stroom afleidt en dus een lagere weerstandswaarde heeft (omdat $R_s$ omgekeerd evenredig is met $n-1$).
### 1.3 De ampèremeter met universele shunt
#### 1.3.1 Concept van een universele shunt
Om een ampèremeter met verschillende meetbereiken te realiseren, wordt vaak gebruik gemaakt van een universele shunt. Een universele shunt is opgebouwd uit meerdere weerstanden die in serie worden geschakeld, waarbij de keuze van de serieschakeling bepaalt welk meetbereik actief is [8](#page=8).
#### 1.3.2 Berekening van weerstandswaarden voor een universele shunt
Stel dat een ampèremeter met een inwendige weerstand $R_m = 20 \, \Omega$ en een basismeetbereik van 5 mA is uitgerust met een universele shunt om meetbereiken van 10 mA, 20 mA en 50 mA te realiseren. De universele shunt bestaat uit drie weerstanden $R_1, R_2, R_3$ in serie, die telkens worden ingeschakeld [10](#page=10) [11](#page=11) [8](#page=8) [9](#page=9).
We stellen een stelsel van vergelijkingen op om de waarden van $R_1, R_2, R_3$ te bepalen. De formule $R_s = \frac{R_m}{n - 1}$ is hierbij cruciaal.
**Scenario 1: Meetbereik van 10 mA**
* Totale stroom $I = 10 \, \text{mA}$ [9](#page=9).
* Basis meetbereik $I_m = 5 \, \text{mA}$ [9](#page=9).
* $n = \frac{10 \, \text{mA}}{5 \, \text{mA}} = 2$ [9](#page=9).
* De shuntweerstand is de volledige serie van $R_1 + R_2 + R_3$.
* $R_s = R_1 + R_2 + R_3 = \frac{R_m}{n - 1} = \frac{20 \, \Omega}{2 - 1} = 20 \, \Omega$ [9](#page=9).
* Vergelijking 1: $R_1 + R_2 + R_3 = 20 \, \Omega$
**Scenario 2: Meetbereik van 20 mA**
* Totale stroom $I = 20 \, \text{mA}$ [9](#page=9).
* Basis meetbereik $I_m = 5 \, \text{mA}$ [9](#page=9).
* $n = \frac{20 \, \text{mA}}{5 \, \text{mA}} = 4$ [9](#page=9).
* De shuntweerstand bestaat nu uit $R_1 + R_2$.
* $R_s = R_1 + R_2 = \frac{R_m}{n - 1} = \frac{20 \, \Omega}{4 - 1} = \frac{20 \, \Omega}{3} \approx 6.67 \, \Omega$ [9](#page=9).
* Vergelijking 2: $R_1 + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$
**Scenario 3: Meetbereik van 50 mA**
* Totale stroom $I = 50 \, \text{mA}$ [10](#page=10).
* Basis meetbereik $I_m = 5 \, \text{mA}$ [10](#page=10).
* $n = \frac{50 \, \text{mA}}{5 \, \text{mA}} = 10$ [10](#page=10).
* De shuntweerstand bestaat nu uit $R_1$.
* $R_s = R_1 = \frac{R_m}{n - 1} = \frac{20 \, \Omega}{10 - 1} = \frac{20 \, \Omega}{9} \approx 2.22 \, \Omega$ [10](#page=10).
* Vergelijking 3: $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega$
Nu lossen we het stelsel van vergelijkingen op:
1. $R_1 + R_2 + R_3 = 20 \, \Omega$
2. $R_1 + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$
3. $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega$
Vanaf vergelijking 3 hebben we de waarde van $R_1$:
$R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega \approx 2.22 \, \Omega$
Substitueer $R_1$ in vergelijking 2:
$\frac{20}{9} \, \Omega + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$
$R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega - \frac{20}{9} \, \Omega = \frac{60}{9} \, \Omega - \frac{20}{9} \, \Omega = \frac{40}{9} \, \Omega \approx 4.44 \, \Omega$
Substitueer $R_1$ en $R_2$ in vergelijking 1:
$\frac{20}{9} \, \Omega + \frac{40}{9} \, \Omega + R_3 = 20 \, \Omega$
$\frac{60}{9} \, \Omega + R_3 = 20 \, \Omega$
$R_3 = 20 \, \Omega - \frac{60}{9} \, \Omega = \frac{180}{9} \, \Omega - \frac{60}{9} \, \Omega = \frac{120}{9} \, \Omega = \frac{40}{3} \, \Omega \approx 13.33 \, \Omega$
**Correctie op de berekening in het document (pagina 11):**
De berekening op pagina 11 voor het oplossen van het stelsel komt niet volledig overeen met de vergelijkingen zoals opgesteld in de voorgaande pagina's. Laten we de berekening opnieuw doen op basis van de vergelijkingen uit pagina 9 en 10.
Gegeven vergelijkingen:
1. $R_1 + R_2 + R_3 = 20 \, \Omega$ [9](#page=9).
2. $R_1 + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$ (dit is de correcte waarde voor $R_s$ bij $n=4$) [9](#page=9).
3. $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega$ [10](#page=10).
Uit vergelijking volgt direct [3](#page=3):
$R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega \approx 2.22 \, \Omega$ (De waarde 4 Ohm op pagina 11 lijkt een foutieve uitkomst te zijn van de berekening op die pagina zelf.) [11](#page=11).
Vervang $R_1$ in vergelijking [2](#page=2):
$\frac{20}{9} \, \Omega + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$
$R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega - \frac{20}{9} \, \Omega = \frac{60}{9} \, \Omega - \frac{20}{9} \, \Omega = \frac{40}{9} \, \Omega \approx 4.44 \, \Omega$ (De waarde 5.98 Ohm op pagina 11 lijkt een foutieve uitkomst te zijn.) [11](#page=11).
Vervang $R_1$ en $R_2$ in vergelijking [1](#page=1):
$\frac{20}{9} \, \Omega + \frac{40}{9} \, \Omega + R_3 = 20 \, \Omega$
$\frac{60}{9} \, \Omega + R_3 = 20 \, \Omega$
$R_3 = 20 \, \Omega - \frac{60}{9} \, \Omega = \frac{180}{9} \, \Omega - \frac{60}{9} \, \Omega = \frac{120}{9} \, \Omega = \frac{40}{3} \, \Omega \approx 13.33 \, \Omega$ (De waarde 10.02 Ohm op pagina 11 lijkt een foutieve uitkomst te zijn.) [11](#page=11).
**Correcte weerstandswaarden:**
* $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega \approx 2.22 \, \Omega$
* $R_2 = \frac{40}{9} \, \Omega \approx 4.44 \, \Omega$
* $R_3 = \frac{40}{3} \, \Omega \approx 13.33 \, \Omega$
> **Tip:** Bij het berekenen van de weerstandswaarden voor een universele shunt is het essentieel om zorgvuldig de juiste combinatie van weerstanden te identificeren die de effectieve shuntweerstand vormen voor elk meetbereik. De formule $R_s = \frac{R_m}{n - 1}$ blijft de basis voor elke berekening.
> **Example:** Een universele shunt is opgebouwd om een ampèremeter te gebruiken voor metingen van 1 mA, 10 mA en 100 mA. Als de inwendige weerstand van de ampèremeter $R_m = 50 \, \Omega$ is, dan kunnen de benodigde shuntweerstanden worden berekend door de $n$-waarden voor elk bereik te bepalen ($n_1 = \frac{1}{0.1} = 10$, $n_2 = \frac{10}{0.1} = 100$, $n_3 = \frac{100}{0.1} = 1000$). Vervolgens worden de totale shuntweerstanden voor elk bereik berekend, en daaruit de individuele weerstandswaarden in de schakeling bepaald.
---
# Uitbreiding van het meetbereik van een voltmeter met een voorschakelweerstand
Dit gedeelte behandelt de methode om het meetbereik van een voltmeter te vergroten door middel van een voorschakelweerstand en verkent het concept van een universele voorschakelweerstand met rekenvoorbeelden [12](#page=12) [13](#page=13).
### 2.1 De rol van de voorschakelweerstand
Een voorschakelweerstand wordt gebruikt om een deel van de totale spanning in een elektrische schakeling op te vangen, waardoor de spanning over andere componenten beperkt wordt. Dit principe wordt toegepast om het meetbereik van een voltmeter uit te breiden wanneer een spanning gemeten moet worden die hoger is dan wat het instrument standaard aankan [12](#page=12) [13](#page=13).
### 2.2 Het principe van meetbereikuitbreiding
Een voltmeter is een instrument dat parallel over de te meten spanning wordt geschakeld om potentiaalverschillen te meten. Het meetbereik van een voltmeter is de maximale spanning die het instrument nauwkeurig kan meten. Om een groter spanningsbereik te kunnen meten, wordt een voorschakelweerstand in serie met de voltmeter geschakeld. Hierdoor valt een deel van de te meten spanning over deze voorschakelweerstand [13](#page=13) [14](#page=14).
### 2.3 Rekenkundige voorbeelden en formules
#### 2.3.1 Eenvoudig meetbereik uitbreiden
Stel dat een voltmeter een inwendige weerstand heeft van $R_m = 10 \, k\Omega$ en een meetbereik van $U_m = 10 \, V$. Indien het meetbereik uitgebreid moet worden tot $U = 100 \, V$, kan de benodigde waarde van de voorschakelweerstand $R_v$ berekend worden [15](#page=15).
Het spanningsverlies over de voorschakelweerstand bedraagt:
$U_v = U - U_m = 100 \, V - 10 \, V = 90 \, V$ [15](#page=15).
De stroom door de voorschakelweerstand is gelijk aan de stroom door de voltmeter ($I_v = I_m$). Met behulp van de wet van Ohm ($U = I \cdot R$) kan de voorschakelweerstand berekend worden [15](#page=15):
$I_v = \frac{U_v}{R_v}$ en $I_m = \frac{U_m}{R_m}$ [15](#page=15).
Aangezien $I_v = I_m$:
$\frac{U_v}{R_v} = \frac{U_m}{R_m}$ [15](#page=15).
Dus:
$R_v = \frac{U_v \cdot R_m}{U_m} = \frac{90 \, V \cdot 10 \, k\Omega}{10 \, V} = 90 \, k\Omega$ [15](#page=15).
#### 2.3.2 Constante spanningsverhouding en de factor $n$
Voor een bepaald meetbereik geldt dat de verhouding tussen de maximaal te meten spanning ($U$) en het oorspronkelijke meetbereik van de voltmeter ($U_m$) constant is. Deze verhouding wordt aangeduid met $n$ [16](#page=16):
$n = \frac{U}{U_m}$ [16](#page=16).
Hierin is:
* $U$: maximaal te meten spanning (nieuw meetbereik) [16](#page=16).
* $U_m$: oorspronkelijk meetbereik van het meetinstrument [16](#page=16).
Het is ook mogelijk om de relatie tussen de voorschakelweerstand en de inwendige weerstand van de voltmeter uit te drukken met behulp van de factor $n$. Het spanningsverlies over de voorschakelweerstand kan ook geschreven worden als [17](#page=17):
$U_v = U - U_m = (n \cdot U_m) - U_m = (n-1) \cdot U_m$ [17](#page=17).
Omdat $U_v = I_v \cdot R_v$ en $U_m = I_m \cdot R_m$, en $I_v = I_m$:
$R_v \cdot I_v = (n-1) \cdot R_m \cdot I_m$ [17](#page=17).
Wanneer $I_v = I_m$, volgt hieruit:
$R_v = (n-1) \cdot R_m$ [17](#page=17).
In het voorgaande voorbeeld was $n = \frac{100 \, V}{10 \, V} = 10$. Het toepassen van de formule geeft dan $R_v = (10-1) \cdot 10 \, k\Omega = 9 \cdot 10 \, k\Omega = 90 \, k\Omega$, wat overeenkomt met de eerdere berekening [17](#page=17).
> **Tip:** De factor $n$ is een handige manier om snel de benodigde vergroting van het meetbereik te bepalen. Het geeft aan hoe vaak het oorspronkelijke meetbereik vergroot wordt.
### 2.4 Voltmeter met universele shunt
Een universele voorschakelweerstand is een meer geavanceerde configuratie die is samengesteld uit meerdere weerstanden in serie. Deze opstelling maakt het mogelijk om verschillende meetbereiken in te stellen met één instrument. Het aantal weerstanden in serie is gelijk aan het aantal verschillende meetbereiken dat het instrument kan bieden [18](#page=18).
#### 2.4.1 Rekenvoorbeeld voor een universele voorschakelweerstand
Gegeven:
* Inwendige weerstand van de voltmeter: $R_m = 750 \, \Omega$ [18](#page=18).
* Maximale stroom door de voltmeter: $I_m = 40 \, \mu A$ [18](#page=18).
Eerst wordt de spanning bepaald die overeenkomt met het maximale meetbereik van de voltmeter zelf:
$U_m = R_m \cdot I_m = 750 \, \Omega \cdot 40 \, \mu A = 30 \, mV$ [19](#page=19).
De universele voorschakelweerstand bestaat uit weerstanden $R_1$, $R_2$, en $R_3$ in serie. Het opstellen van een stelsel van vergelijkingen met deze weerstanden als onbekenden is noodzakelijk om hun waarden te bepalen [18](#page=18) [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21).
**1. Meetbereik van 100 mV:**
* De factor $n$ voor dit bereik is $n = \frac{U}{U_m} = \frac{100 \, mV}{30 \, mV} = 3,333$ [19](#page=19).
* De totale voorschakelweerstand ($R_v$) voor dit bereik is $R_v = (n-1) \cdot R_m = (3,333 - 1) \cdot 750 \, \Omega = 2,333 \cdot 750 \, \Omega \approx 1750 \, \Omega$ [19](#page=19).
* Deze totale voorschakelweerstand bestaat uit $R_1$, dus $R_1 = 1750 \, \Omega$ [19](#page=19).
**2. Meetbereik van 0,5 V (of 500 mV):**
* De factor $n$ voor dit bereik is $n = \frac{U}{U_m} = \frac{500 \, mV}{30 \, mV} = 16,67$ [19](#page=19).
* De totale voorschakelweerstand ($R_v$) voor dit bereik is $R_v = (n-1) \cdot R_m = (16,67 - 1) \cdot 750 \, \Omega = 15,67 \cdot 750 \, \Omega \approx 11752,5 \, \Omega$ [19](#page=19).
* Deze totale voorschakelweerstand bestaat uit $R_1 + R_2$ [19](#page=19).
* Dus, $R_2 = (R_1 + R_2) - R_1 = 11752,5 \, \Omega - 1750 \, \Omega = 10002,5 \, \Omega \approx 10 \, k\Omega$ [19](#page=19).
**3. Meetbereik van 1 V (of 1000 mV):**
* De factor $n$ voor dit bereik is $n = \frac{U}{U_m} = \frac{1000 \, mV}{30 \, mV} = 33,33$ [20](#page=20).
* De totale voorschakelweerstand ($R_v$) voor dit bereik is $R_v = (n-1) \cdot R_m = (33,33 - 1) \cdot 750 \, \Omega = 32,33 \cdot 750 \, \Omega \approx 24250 \, \Omega$ [20](#page=20).
* Deze totale voorschakelweerstand bestaat uit $R_1 + R_2 + R_3$ [20](#page=20).
* Dus, $R_3 = (R_1 + R_2 + R_3) - (R_1 + R_2) = 24250 \, \Omega - 11752,5 \, \Omega = 12497,5 \, \Omega \approx 12,5 \, k\Omega$ [20](#page=20).
**4. Meetbereik van 30 mV:**
* Dit is het oorspronkelijke meetbereik van de voltmeter zelf, waarvoor geen extra voorschakelweerstand nodig is ($R_v = 0$). De spanning van 30 mV wordt volledig over de voltmeter gemeten [21](#page=21).
> **Tip:** Bij het berekenen van de individuele weerstandswaarden in een universele voorschakelweerstand, is het cruciaal om stapsgewijs te werk te gaan, beginnend bij het kleinste extra meetbereik. Werk altijd van de kleinste naar de grootste weerstand om fouten te voorkomen.
> **Example:** Een universele voltmeter kan bijvoorbeeld de volgende meetbereiken aanbieden: 30 mV, 100 mV, 500 mV, en 1 V. Om dit te realiseren, wordt de inwendige weerstand van de voltmeter gecombineerd met een reeks voorschakelweerstanden die op intelligente wijze worden geschakeld om de gewenste meetbereiken te creëren [18](#page=18) [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21).
---
# Praktische aspecten van spanningsbronnen
Dit onderwerp behandelt de eigenschappen van ideale en niet-ideale spanningsbronnen, inclusief de elektromotorische kracht, interne weerstand en spanningsverliezen, evenals configuraties voor serie- en parallelschakeling.
### 3.1 Elektromotorische kracht (emk)
De elektromotorische kracht (emk), ook wel bronspanning of open klemspanning genoemd, is de "kracht" die het potentiaalverschil in een batterij in stand houdt. Dit concept werd voor het eerst geïntroduceerd door Volta bij het ontwerp van de eerste chemische batterij in 1795, die hij zag als een "onzichtbare mechanische kracht" die elektrische stroom deed vloeien. Emk kan worden opgewekt via verschillende principes, waaronder het fotovoltaïsche effect (zonnecel), elektrochemie (galvanisch element) en elektromagnetische inductie [23](#page=23).
### 3.2 Spanningsverliezen in stroombronnen
Een niet-ideale spanningsbron bezit een inwendige weerstand ($R_{\text{in}}$). Deze inwendige weerstand veroorzaakt een spanningsverlies binnenin de bron zelf ($U_v$). De gemeten klemspanning ($U$) over de bron is daarom altijd lager dan de emk ($E$). De relatie wordt beschreven door [24](#page=24):
$U = E - (I \cdot R_{\text{in}})$ [24](#page=24).
Voor een volledig gesloten keten geldt de wet van Ohm:
$E = U + U_v = I \cdot R + I \cdot R_{\text{in}} = I \cdot (R + R_{\text{in}})$ [24](#page=24).
De stroom die vloeit, wordt gegeven door:
$I = \frac{E}{R + R_{\text{in}}}$ [24](#page=24).
#### 3.2.1 Nullast
Bij nullast, wanneer de bron geen stroom levert ($I=0$), is de klemspanning gelijk aan de emk ($U=E$) [25](#page=25).
#### 3.2.2 Kortsluiting
Bij kortsluiting worden de klemmen van de bron verbonden met een geleider met een zeer lage weerstand, wat in theorie resulteert in een kortsluitstroom ($I_{\text{kort}}$). De klemspanning is hierbij 0V ($U=0$ V). De kortsluitstroom wordt gegeven door [25](#page=25):
$I_{\text{kort}} = \frac{E}{R_{\text{in}}}$ [25](#page=25).
Aangezien de inwendige weerstand ($R_{\text{in}}$) doorgaans klein is, kan de kortsluitstroom zeer groot worden, wat schadelijk kan zijn voor de bron [25](#page=25).
### 3.3 Serie schakelen van spanningsbronnen
Bij serieschakeling wordt de negatieve klem van het ene element verbonden met de positieve klem van het volgende element. Deze methode wordt vaak toegepast met identieke elementen, hoewel dit niet strikt noodzakelijk is [26](#page=26).
Indien $n$ het aantal in serie geschakelde elementen is en $E$ de emk per element, dan is de totale emk van de batterij:
$E_{\text{totaal}} = n \cdot E$ [26](#page=26).
Als $R_{\text{in}}$ de inwendige weerstand per element is, dan is de totale inwendige weerstand van de batterij:
$R_{\text{in, totaal}} = n \cdot R_{\text{in}}$ [26](#page=26).
Wanneer de batterij wordt aangesloten op een belastingsweerstand $R$, is de stroom:
$I = \frac{n \cdot E}{R + n \cdot R_{\text{in}}}$ [27](#page=27).
> **Tip:** Bij serieschakeling worden de spanningen van de afzonderlijke bronnen opgeteld, evenals hun inwendige weerstanden.
### 3.4 Parallel schakelen van spanningsbronnen
Bij parallelschakeling worden alle positieve klemmen met elkaar verbonden en alle negatieve klemmen met elkaar verbonden. Cruciaal is dat de elementen hier identiek moeten zijn, met dezelfde inwendige weerstand en vooral dezelfde emk. De emk van de batterij is in dit geval gelijk aan de emk van één enkel element [28](#page=28):
$E = E_1 = E_2 = E_3 = \dots$ [28](#page=28).
Alle inwendige weerstanden staan parallel, dus de totale inwendige weerstand van de batterij is:
$R_{\text{in, totaal}} = \frac{R_{\text{in}}}{n}$ [29](#page=29).
waarbij $n$ het aantal parallel geschakelde elementen is.
De stroom door de belasting ($R$) wordt gegeven door:
$I = \frac{E}{R + \frac{R_{\text{in}}}{n}}$ [29](#page=29).
De stroomsterkte per element is dan:
$I_{\text{element}} = \frac{I}{n}$ [29](#page=29).
> **Tip:** Bij parallelschakeling van identieke bronnen blijft de spanning gelijk, terwijl de totale stroomcapaciteit toeneemt en de totale inwendige weerstand afneemt.
### 3.5 Combinatie van serie- en parallelschakeling
Het is mogelijk om spanningsbronnen zowel in serie als in parallel te schakelen, wat leidt tot complexere configuraties. Bij het berekenen van de totale inwendige vervangingsweerstand moet men de principes van zowel serie- als parallelschakeling toepassen op de verschillende groepen van bronnen [30](#page=30).
### 3.6 Aandachtspunten bij schakelen van bronnen
#### 3.6.1 Batterijen in serie
Het in serie plaatsen van batterijen met verschillende spanningen is theoretisch mogelijk, maar kan leiden tot problemen met capaciteitsverschillen, met name bij het laden en ontladen. Het is belangrijk dat alle batterijen in serie dezelfde capaciteit (in Ampère-uur, Ah) hebben. De batterij met de laagste capaciteit bepaalt de totale effectieve capaciteit en zal als eerste leeg zijn. Tevens dient men rekening te houden met het feit dat de spanning van een batterij afneemt naarmate deze ontlaadt [31](#page=31).
#### 3.6.2 Batterijen in parallel
Het parallel plaatsen van batterijen met verschillende spanningen is niet toegestaan en kan leiden tot gevaarlijke situaties, zoals interne stromen tussen de batterijen, overladen van zwakkere batterijen, en in extreme gevallen beschadiging, brand of explosie. Net als bij serieschakeling, is het cruciaal dat batterijen in parallel dezelfde spanning en ook dezelfde capaciteit hebben. Zoniet, zullen de spanningen niet gelijk blijven tijdens het ontladen of laden [32](#page=32).
### 3.7 Oefeningen
Hieronder volgen enkele oefeningen ter consolidatie van de stof [33](#page=33) [34](#page=34).
1. Bereken voor elke kolom de ontbrekende waarden voor een niet-ideale spanningsbron [33](#page=33).
* Oplossingen: 115 V; 10 A; 0,4 Ω; 4,5 V; 213 V; 5 A [33](#page=33).
2. Gegeven een spanningsbron met een open klemspanning van 10 V en een inwendige weerstand van 0,5 Ω. Bereken voor de volgende belastingsweerstanden (10 Ω, 100 Ω, 500 Ω, 1 kΩ) de stroom en de klemspanning [33](#page=33).
* Oplossingen:
* 10 Ω: 0,952 A; 9,52 V [33](#page=33).
* 100 Ω: 0,0995 A; 9,95 V [33](#page=33).
* 500 Ω: 0,0199 A; 9,99 V [33](#page=33).
* 1 kΩ: 0,00999 A; 9,99 V [33](#page=33).
3. Een batterij bestaat uit zes in serie geschakelde elementen, elk met een open klemspanning van 1,5 V en een inwendige weerstand van 1 Ω. De belasting bedraagt 16 Ω. Bereken de stroomsterkte en de klemspanning van de batterij [33](#page=33).
* Oplossingen: 0,409 A; 6,54 V [33](#page=33).
4. Hoeveel elementen, met elk een emk van 1,5 V en een inwendige weerstand van 0,5 Ω, moeten in parallel geschakeld worden om in een belastingsweerstand van 0,7 Ω een stroom van 2 A te verkrijgen [34](#page=34)?
* Oplossing: 10 [34](#page=34).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Shunt weerstand | Een weerstand die parallel aan een meetinstrument, zoals een ampèremeter, wordt geschakeld om een deel van de stroom af te leiden en zo het meetbereik te vergroten. |
| Ampèremeter | Een elektrisch instrument dat gebruikt wordt om de sterkte van elektrische stroom te meten. Een ampèremeter wordt altijd in serie in de stroomkring geschakeld. |
| Meetbereik (Ampèremeter) | De maximale stroomsterkte die met een specifieke ampèremeter gemeten kan worden zonder het instrument te beschadigen. |
| Spanningsval | Het potentiaalverschil dat optreedt over een component in een elektrische schakeling wanneer er stroom doorheen loopt, volgens de wet van Ohm. |
| Universele shunt | Een combinatie van weerstanden die zo geschakeld zijn dat een ampèremeter met deze universele shunt verschillende meetbereiken kan aannemen door selectie van de weerstanden. |
| Voltmeter | Een elektrisch meetinstrument dat dient voor het meten van elektrische spanningen of potentiaalverschillen. Een voltmeter wordt parallel over de te meten spanning aangesloten. |
| Meetbereik (Voltmeter) | De maximale spanning die met een specifieke voltmeter gemeten kan worden zonder het instrument te beschadigen. |
| Voorschakelweerstand | Een weerstand die in serie wordt geschakeld met een meetinstrument, zoals een voltmeter, om het meetbereik uit te breiden door een deel van de spanning op te vangen. |
| Elektromotorische kracht (EMK) | De spanning die door een elektrische bron wordt opgewekt; het is de bronspanning of open klemspanning van bijvoorbeeld een batterij. |
| Inwendige weerstand | De weerstand die een elektrische bron (zoals een batterij) zelf bezit, wat leidt tot een spanningsverlies binnenin de bron wanneer er stroom loopt. |
| Klemspanning | De spanning die gemeten kan worden over de externe klemmen van een elektrische bron wanneer deze een stroom levert aan een belasting. |
| Nullast | De situatie waarbij een elektrische bron geen stroom levert; in dit geval is de klemspanning gelijk aan de elektromotorische kracht van de bron. |
| Kortsluiting | Een verbinding met zeer lage weerstand tussen twee punten met een potentiaalverschil, wat resulteert in een zeer grote stroomsterkte die de bron kan beschadigen. |
| Serie schakeling | Een configuratie van componenten waarbij ze achtereenvolgens zijn aangesloten, zodat dezelfde stroom door elk component vloeit. |
| Parallel schakeling | Een configuratie van componenten waarbij ze op dezelfde twee knooppunten zijn aangesloten, zodat de spanning over elk component gelijk is. |
Cover
Elektriciteit_gelijkstroom_theorie_uitbreiding_5.pdf
Summary
# Wetten van Kirchhoff en hun toepassing
De wetten van Kirchhoff bieden een systematische methode voor de analyse van elektrische netwerken, met name wanneer deze complexer worden dan eenvoudige gemengde schakelingen. Deze twee fundamentele wetten, de stroomwet en de spanningswet, maken het mogelijk om onbekende stromen en spanningen in een netwerk te bepalen [2](#page=2).
### 1.1 De eerste wet van Kirchhoff: stroomwet
De stroomwet van Kirchhoff, ook wel de knooppuntwet genoemd, stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenstromen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Alternatief kan men stellen dat de algebraïsche som van alle stromen in een knooppunt nul is. Conventioneel worden stromen die een knooppunt benaderen als positief beschouwd, terwijl stromen die het knooppunt verlaten negatief worden genomen, of vice versa [3](#page=3).
Wiskundig kan dit worden uitgedrukt als:
$I_1 + I_2 + I_4 = I_3 + I_5$ [3](#page=3).
Of, als de algebraïsche som nul is, met toevloeiende stromen positief en wegvloeiende stromen negatief:
$I_1 + I_2 - I_3 + I_4 - I_5 = 0$ [3](#page=3).
### 1.2 De tweede wet van Kirchhoff: spanningswet
De spanningswet van Kirchhoff, ook wel de maaswet genoemd, stelt dat in elke gesloten lus (maas) van een elektrisch netwerk, de som van de spanningen van de bronnen gelijk is aan de som van de spanningsvallen over de weerstanden. Een andere formulering is dat de algebraïsche som van alle spanningen rond een gesloten lus nul is [4](#page=4).
Om deze wet toe te passen, wordt een specifieke werkwijze gevolgd:
1. De spanningsreferenties van de bronnen worden correct aangeduid, van de minpool naar de pluspool [5](#page=5).
2. Bij elke weerstand wordt een willekeurige stroomzin gekozen [5](#page=5).
3. In de maas wordt een positieve omgangszin gekozen, die willekeurig bepaald wordt (met de klok mee of tegen de klok in). De wijzerzin wordt hierbij als positief beschouwd [5](#page=5).
4. Spanningsbronnen worden als positief beschouwd als hun polariteit overeenkomt met de positieve omgangszin. Stromen door weerstanden worden als positief beschouwd als hun zin overeenkomt met de positieve omgangszin [5](#page=5).
De wiskundige uitdrukking voor de spanningswet, rekening houdend met de gekozen zin, is:
$E_1 + E_2 - E_3 = R_1 \cdot I_1 - R_4 \cdot I_4 - R_2 \cdot I_2 + R_3 \cdot I_3$ [4](#page=4) [5](#page=5).
Hierbij vertegenwoordigen $E$ de spanningen van de bronnen en $R \cdot I$ de spanningsvallen over de weerstanden, waarbij de tekens afhangen van de gekozen stromen- en omgangszinnen [4](#page=4) [5](#page=5).
### 1.3 Toepassing en analyse van netwerken
Om alle stromen of spanningen in een netwerk te bepalen met behulp van de wetten van Kirchhoff, is het aantal onafhankelijke vergelijkingen gelijk aan het aantal onbekende stromen. In de praktijk past men eerst zoveel mogelijk de stroomwet toe op knooppunten om onafhankelijke vergelijkingen te verkrijgen. Vervolgens wordt de spanningswet gebruikt voor de resterende onbekenden om het systeem van vergelijkingen te completeren [6](#page=6).
Het oplossen van dit systeem van $n$ vergelijkingen met $n$ onbekenden levert de gewenste waarden op [6](#page=6).
> **Tip:** Als bij de berekening een negatieve stroomwaarde wordt verkregen, betekent dit dat de oorspronkelijk gekozen stroomzin voor die tak omgekeerd moest worden [6](#page=6).
### 1.4 Kirchhoff voorbeeld 1
Gegeven een netwerk met de volgende componenten:
* $E_1 = 16$V [7](#page=7).
* $E_2 = 12$V [7](#page=7).
* $R_1 = 1.8 \Omega$ [7](#page=7).
* $R_2 = 4 \Omega$ [7](#page=7).
* $R_3 = 0.65 \Omega$ [7](#page=7).
Het doel is om de stromen door iedere weerstand te berekenen [7](#page=7).
#### 1.4.1 Oplossing via stroom- en spanningswet
Na het voorbereidende werk, waarbij stroom- en omgangszinnen worden aangeduid, worden de wetten van Kirchhoff toegepast [8](#page=8).
**Stroomwet in punt A en B:**
In punt A geldt: $I_2 = I_1 + I_3$ [1](#page=1) [8](#page=8).
In punt B geldt: $I_1 + I_3 = I_2$ [8](#page=8).
Dit toont aan dat de vergelijkingen afhankelijk zijn en slechts één bruikbare stroomwetvergelijking resulteert [8](#page=8).
**Spanningswet voor de kringen:**
Voor de eerste kring: $E_1 = R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2$ [2](#page=2) [8](#page=8).
Voor de tweede kring: $-E_2 = -R_2 \cdot I_2 - R_3 \cdot I_3$ [3](#page=3) [8](#page=8).
Dit resulteert in een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden:
1. $I_1 - I_2 + I_3 = 0$ [8](#page=8) [9](#page=9).
2. $1.8 \cdot I_1 + 4 \cdot I_2 = 16$ [8](#page=8) [9](#page=9).
3. $-4 \cdot I_2 - 0.65 \cdot I_3 = -12$ [8](#page=8) [9](#page=9).
Het oplossen van dit stelsel, bijvoorbeeld met behulp van matrices of substitutie, leidt tot de waarden van de stromen [9](#page=9).
#### 1.4.2 Oplossingsmogelijkheid 1 (Matrixmethode)
Het stelsel kan in matrixvorm worden gezet en opgelost. Door rijoperaties op de matrix toe te passen, kunnen de onbekende stromen bepaald worden. Een voorbeeld van de stappen om de matrix te vereenvoudigen [11](#page=11):
De initiële matrix kan er als volgt uitzien (voor de vergelijkingen $1.8 I_1 + 4 I_2 + 0 I_3 = 16$, $0 I_1 - 4 I_2 - 0.65 I_3 = -12$, $I_1 - I_2 + I_3 = 0$):
$$
\begin{pmatrix}
1.8 & 4 & 0 \\
0 & -4 & -0.65 \\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2 \\
I_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
16 \\
-12 \\
0
\end{pmatrix}
$$
Door rijoperaties kan de matrix worden gereduceerd tot een trapvorm, wat leidt tot:
$1.89 \cdot I_3 = 0.96 \implies I_3 = 0.51$ A [11](#page=11).
Vervolgens kan $I_2$ berekend worden: $-4 I_2 - 0.65 \cdot 0.51 = -12 \implies -4 I_2 - 0.33 = -12 \implies I_2 = 2.92$ A [11](#page=11).
Ten slotte wordt $I_1$ berekend: $I_1 - 2.92 + 0.51 = 0 \implies I_1 = 2.41$ A [11](#page=11).
#### 1.4.3 Oplossingsmogelijkheid 2 (Substitutie)
Een alternatieve methode is het oplossen door substitutie. Hierbij worden vergelijkingen herrangschikt om variabelen uit te drukken in termen van andere variabelen [12](#page=12).
Vanaf $I_1 - I_2 + I_3 = 0$ en $1.8 I_1 + 4 I_2 = 16$, kunnen we uitdrukkingen afleiden [12](#page=12).
Uit $1.8 I_1 + 4 I_2 = 16$ volgt $4 I_2 = 16 - 1.8 I_1$, dus $I_2 = 4 - 0.45 I_1$ [12](#page=12) [2](#page=2).
Gebruikmakend van de derde vergelijking: $-4 I_2 - 0.65 I_3 = -12$ [12](#page=12).
Door substitutie van $I_3 = I_2 - I_1$ en de uitdrukking voor $I_2$, kan $I_1$ berekend worden [12](#page=12).
Na substitutie en vereenvoudiging: $2.74525 I_1 = 6.6 \implies I_1 = 2.40$ A [12](#page=12).
Vervolgens: $I_2 = 4 - 0.45 \cdot 2.40 = 2.92$ A [12](#page=12).
En ten slotte: $I_3 = I_2 - I_1 = 2.92 - 2.40 = 0.52$ A [12](#page=12).
### 1.5 Kirchhoff voorbeeld 2
Gegeven een netwerk met:
* $E_1 = 30$V [13](#page=13).
* $E_2 = 20$V [13](#page=13).
* $E_3 = 6$V [13](#page=13).
* $R_1 = 21 \Omega$ [13](#page=13).
* $R_2 = 1 \Omega$ [13](#page=13).
* $R_3 = 3 \Omega$ [13](#page=13).
Het doel is om de stroom door iedere weerstand te berekenen [13](#page=13).
> **Tip:** Voor dit voorbeeld wordt geadviseerd om de positieve omgangszin telkens in wijzerzin te kiezen. De stroomzin door $R_1$ en $R_3$ wordt van links naar rechts gekozen, en de stroomzin door $R_2$ van rechts naar links [13](#page=13).
De drie onafhankelijke vergelijkingen die uit de wetten van Kirchhoff voortkomen zijn [14](#page=14):
1. $E_1 + E_2 = R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2$ [14](#page=14).
2. $-E_2 - E_3 = -I_2 \cdot R_2 - I_3 \cdot R_3$ [14](#page=14).
3. $I_1 + I_3 = I_2$ [14](#page=14).
De resultaten van de berekeningen, eventueel geverifieerd met software zoals Multisim, kunnen de stromen door elke weerstand verschaffen [15](#page=15).
---
# Superpositie methode voor het berekenen van netwerken
De superpositiemethode is een techniek om elektrische netwerken met meerdere bronnen te analyseren door elke bron afzonderlijk te beschouwen en de resultaten achteraf algebraïsch op te tellen [16](#page=16).
### 2.1 Principe van de superpositiemethode
Wanneer een elektrisch netwerk meer dan één spannings- of stroombron bevat, kan de superpositie methode worden toegepast. Het kernprincipe is dat de bijdrage van elke bron aan de totale stroom of spanning in een bepaald deel van het netwerk afzonderlijk wordt berekend. Hierbij wordt telkens slechts één bron actief beschouwd, terwijl alle andere bronnen worden geneutraliseerd en vervangen door hun interne weerstand [16](#page=16).
#### 2.1.1 Het neutraliseren van bronnen
* **Spanningsbronnen:** Een actieve spanningsbron wordt vervangen door een kortgesloten kring (0 Ohm weerstand) wanneer deze buiten beschouwing wordt gelaten [17](#page=17).
* **Stroombronnen:** Een actieve stroombron wordt vervangen door een open kring (oneindige weerstand) wanneer deze buiten beschouwing wordt gelaten [22](#page=22).
* **Interne weerstanden:** Indien de bronnen interne weerstanden hebben, worden deze behouden en meegenomen in de berekeningen van de betreffende deelcircuits [16](#page=16).
#### 2.1.2 Stappenplan voor de superpositie methode
1. **Selecteer een bron:** Kies één bron die actief zal zijn in het netwerk.
2. **Neutraliseer andere bronnen:** Vervang alle andere spanningsbronnen door kortgesloten kringen en alle andere stroombronnen door open kringen. Houd rekening met eventuele interne weerstanden van de bronnen [17](#page=17).
3. **Bereken deelresultaten:** Analyseer het resulterende netwerk (met slechts één actieve bron) en bereken de gewenste stromen of spanningen.
4. **Herhaal voor elke bron:** Herhaal stap 1 t/m 3 voor elke andere bron in het oorspronkelijke netwerk.
5. **Tel deelresultaten op:** Tel algebraïsch (rekening houdend met de richting) alle berekende deelstromen of -spanningen op om de totale stromen of spanningen in het oorspronkelijke netwerk te verkrijgen [16](#page=16).
> **Tip:** Het correct bepalen van de richting van de deelstromen is cruciaal voor een accurate algebraïsche optelling aan het einde.
### 2.2 Voorbeeld van de superpositie methode
Gegeven een netwerk met de volgende componenten:
* $E_1 = 16\text{V}$
* $E_2 = 12\text{V}$
* $R_1 = 2\Omega$
* $R_2 = 0,8\Omega$
* $R = 4\Omega$
Gevraagd is de stroom door elke weerstand te berekenen met behulp van de superpositiemethode [17](#page=17).
#### 2.2.1 Deelberekening met bron $E_1$ actief
Wanneer $E_1$ actief is, wordt $E_2$ kortgesloten. De weerstand $R_2$ staat parallel aan $R$, en deze combinatie staat in serie met $R_1$ [17](#page=17).
* De totale weerstand van de parallelle tak ($R_{2R}$):
$$R_{2R} = \frac{R_2 \cdot R}{R_2 + R} = \frac{0,8\Omega \cdot 4\Omega}{0,8\Omega + 4\Omega} = \frac{3,2}{4,8}\Omega = 0,67\Omega$$ [18](#page=18).
* De totale weerstand van het netwerk ($R_{v\text{totaal}}$):
$$R_{v\text{totaal}} = R_1 + R_{2R} = 2\Omega + 0,67\Omega = 2,67\Omega$$ [18](#page=18).
* De stroom geleverd door $E_1$ ($I'_1$):
$$I'_1 = \frac{E_1}{R_{v\text{totaal}}} = \frac{16\text{V}}{2,67\Omega} = 6,00\text{A}$$ [18](#page=18).
* De spanning over de parallelle tak ($U_{R2R}$):
$$U_{R2R} = R_{2R} \cdot I'_1 = 0,67\Omega \cdot 6,00\text{A} = 4,02\text{V}$$ [18](#page=18).
* De stroom door weerstand $R$ ($I'_R$):
$$I'_R = \frac{U_{R2R}}{R} = \frac{4,02\text{V}}{4\Omega} = 1\text{A}$$ [18](#page=18).
* De stroom door weerstand $R_2$ ($I'_2$):
$$I'_2 = \frac{U_{R2R}}{R_2} = \frac{4,02\text{V}}{0,8\Omega} = 5,03\text{A}$$ [18](#page=18).
#### 2.2.2 Deelberekening met bron $E_2$ actief
Wanneer $E_2$ actief is, wordt $E_1$ kortgesloten. De weerstand $R_1$ staat parallel aan $R$, en deze combinatie staat in serie met $R_2$ [19](#page=19).
* De totale weerstand van de parallelle tak ($R_{1R}$):
$$R_{1R} = \frac{R_1 \cdot R}{R_1 + R} = \frac{2\Omega \cdot 4\Omega}{2\Omega + 4\Omega} = \frac{8}{6}\Omega = 1,33\Omega$$ [19](#page=19).
* De totale weerstand van het netwerk ($R_{v\text{totaal}}$):
$$R_{v\text{totaal}} = R_2 + R_{1R} = 0,8\Omega + 1,33\Omega = 2,13\Omega$$ [19](#page=19).
* De stroom geleverd door $E_2$ ($I''_2$):
$$I''_2 = \frac{E_2}{R_{v\text{totaal}}} = \frac{12\text{V}}{2,13\Omega} = 5,63\text{A}$$ [19](#page=19).
* De spanning over de parallelle tak ($U_{R1R}$):
$$U_{R1R} = R_{1R} \cdot I''_2 = 1,33\Omega \cdot 5,63\text{A} = 7,49\text{V}$$ [19](#page=19).
* De stroom door weerstand $R$ ($I''_R$):
$$I''_R = \frac{U_{R1R}}{R} = \frac{7,49\text{V}}{4\Omega} = 1,87\text{A}$$ [19](#page=19).
* De stroom door weerstand $R_1$ ($I''_1$):
$$I''_1 = \frac{U_{R1R}}{R_1} = \frac{7,49\text{V}}{2\Omega} = 3,75\text{A}$$ [19](#page=19).
#### 2.2.3 Totale stromen
Deelstromen worden algebraïsch opgeteld om de totale stromen te verkrijgen. De richting van de deelstromen vanuit de bronnen moet hierbij correct worden toegepast [16](#page=16).
* Totale stroom door $R_1$ ($I_1$):
$I_1 = I'_1 + I''_1 = 6,00\text{A} + 3,75\text{A} = 9,75\text{A}$ (De richtingen in het voorbeeld document wijken af van de som. Volgens het document is de stroom 2.25A, wat impliceert dat een van de deelstromen tegengesteld is gericht. De berekening hier is een directe optelling van de berekende deelstromen.) [20](#page=20).
Correctie op basis van het document: $I_1 = 6,00\text{A} - 3,75\text{A} = 2,25\text{A}$ (aannemende dat de deelstroom $I''_1$ een tegengestelde richting heeft t.o.v. $I'_1$ in het referentiepunt) [20](#page=20).
* Totale stroom door $R_2$ ($I_2$):
$I_2 = I'_2 + I''_2 = 5,03\text{A} - 5,63\text{A} = -0,60\text{A}$ (De deelstroom $I''_2$ is groter en gericht in tegenovergestelde richting) [20](#page=20).
Correctie op basis van het document: $I_2 = 5,03\text{A} - 5,63\text{A} = -0,60\text{A}$ (aannemende dat de deelstroom $I''_2$ een tegengestelde richting heeft t.o.v. $I'_2$ in het referentiepunt) [20](#page=20).
Het document geeft aan dat de totale stroom 0,6A is, wat impliceert dat de richting van $I_2$ tegengesteld is aan de som van $I'_2$ en $I''_2$, of dat de richting van $I''_2$ in het document tegengesteld is aan de richting van $I'_2$. Volgens de berekeningen is de meest waarschijnlijke interpretatie:
$I_2 = 5,03\text{A} \text{ (richting 1)} + (-5,63\text{A}) \text{ (richting 2)} = -0,60\text{A}$. De totale stroom is dan 0,60A in de tegengestelde richting van de eerste deelstroom [20](#page=20).
* Totale stroom door $R$ ($I$):
$I = I'_R + I''_R = 1\text{A} + 1,87\text{A} = 2,87\text{A}$ [20](#page=20).
> **Tip:** Let goed op de aangenomen stromingsrichtingen. Als een berekende totale stroom negatief uitvalt, betekent dit dat de werkelijke stroom in de tegenovergestelde richting vloeit dan aanvankelijk aangenomen.
### 2.3 Extra oefeningen
#### 2.3.1 Opgave 1
Gegeven:
* $E_1 = 25\text{V}$
* $E_2 = 50\text{V}$
* $R_1 = 20\Omega$
* $R_2 = 40\Omega$
* $R_3 = 20\Omega$
* $R_4 = 20\Omega$
* $R = 50\Omega$
Gevraagd: Bereken de stroom door iedere weerstand [21](#page=21).
Oplossing: 0,8 A; 0,23 A; 1,53 A; 0,97 A; 0,57 A [21](#page=21).
#### 2.3.2 Opgave 2
Gegeven:
* $I = 2\text{A}$ (stroombron)
* $E = 4\text{V}$
* $R_1 = 2\Omega$
* $R_2 = 0,5\Omega$
* $R_3 = 10\Omega$
Gevraagd: Bereken de stroom door iedere weerstand [22](#page=22).
Oplossing: 2 A; 1,52 A; 0,48 A [22](#page=22).
---
# Ster-driehoek transformatie
De ster-driehoek transformatie is een techniek om complexe elektrische schakelingen te vereenvoudigen door configuraties van drie weerstanden, die ofwel een ster- of een driehoekvorming creëren, om te zetten naar een equivalente configuratie, zodat de schakeling verder gereduceerd kan worden tot eenvoudige serie- en parallelschakelingen. Dit is essentieel wanneer directe vereenvoudiging via serieschakelingen en parallelschakelingen niet mogelijk is [23](#page=23) [24](#page=24).
### 3.1 Het nut van de ster-driehoek transformatie
Bij het analyseren van elektrische netwerken is het doel vaak het vinden van de vervangingsweerstand van de gehele schakeling. In gemengde schakelingen worden eerst serieschakelingen opgelost en vervolgens parallelschakelingen. Echter, er zijn situaties waarin deze aanpak vastloopt, met name wanneer er groepen weerstanden voorkomen die in een ster- of driehoekconfiguratie zijn geschakeld. De ster-driehoek transformatie biedt hier een oplossing door een dergelijke configuratie om te zetten naar een equivalente vorm, waardoor de schakeling herleidbaar wordt tot enkel serie- en parallelschakelingen [23](#page=23) [24](#page=24).
### 3.2 Omzetting van driehoek naar ster
Om een driehoekschakeling bestaande uit weerstanden $R_{ab}$, $R_{ac}$, en $R_{bc}$ te vervangen door een equivalente sterschakeling met weerstanden $R_a$, $R_b$, en $R_c$ tussen dezelfde knooppunten (a, b, c), worden de volgende formules gebruikt. De formules zelf hoeven niet van buiten geleerd te worden, maar zijn te vinden op het formuleblad [25](#page=25) [26](#page=26).
De equivalente weerstanden van de sterschakeling worden berekend als:
$$R_a = \frac{R_{ab} \cdot R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$
$$R_b = \frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$
$$R_c = \frac{R_{ac} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$
**Voorbeeld 1: Driehoek naar ster** [28](#page=28).
Gegeven een driehoekschakeling met weerstanden:
* $R_1 = 5 \Omega$
* $R_2 = 10 \Omega$
* $R_3 = 20 \Omega$
Hierbij is $R_1$ de weerstand tussen de knooppunten a en b ($R_{ab}$), $R_2$ tussen a en c ($R_{ac}$), en $R_3$ tussen b en c ($R_{bc}$). Echter, de notatie in het voorbeeld ($R_1, R_2, R_3$) wordt geïnterpreteerd als de drie weerstanden in de driehoek. We relateren deze aan de algemene formules: $R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_2$, $R_{bc} = R_3$ [28](#page=28).
* $R_a = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{5 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28).
* $R_b = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{5 \Omega \cdot 10 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28).
* $R_c = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28).
Hierbij wordt de notatie voor de weerstanden in het voorbeeld waarschijnlijk geïnterpreteerd als volgt: $R_{ab}=R_3$, $R_{ac}=R_2$, $R_{bc}=R_1$. Laten we dit corrigeren met de correcte koppeling van de gegeven waarden aan de algemene formule, uitgaande van de typische vertex-notatie: $R_{ab} = R_1$, $R_{bc} = R_2$, $R_{ca} = R_3$.
Correcte berekening met de verstrekte waarden ($R_1 = 5 \Omega$, $R_2 = 10 \Omega$, $R_3 = 20 \Omega$) en de logische toewijzing aan de zijden van de driehoek:
* Aanname: $R_{ab} = 5 \Omega$, $R_{bc} = 10 \Omega$, $R_{ca} = 20 \Omega$.
* $R_a = \frac{R_{ab} \cdot R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{5 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28).
* $R_b = \frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{5 \Omega \cdot 10 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28).
* $R_c = \frac{R_{bc} \cdot R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28).
Dit komt overeen met de uitkomst in het document, wat suggereert dat $R_1$, $R_2$, en $R_3$ in het voorbeeld respectievelijk $R_{ab}$, $R_{bc}$, en $R_{ac}$ (of een permutatie daarvan) vertegenwoordigen in de berekening van de sterpunten. De verstrekte berekeningen impliceren dat de weerstanden in het document gekoppeld zijn als:
$R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_3$, $R_{bc} = R_2$.
Hierbij:
* $R_a$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'a' (dus tegengesteld aan de $R_{bc}$ weerstand) [25](#page=25).
* $R_b$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'b' (dus tegengesteld aan de $R_{ac}$ weerstand) [25](#page=25).
* $R_c$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'c' (dus tegengesteld aan de $R_{ab}$ weerstand) [25](#page=25).
Om de berekeningen in het document te repliceren:
* $R_a$ (verbonden aan knooppunt a) = $\frac{R_{ab} \cdot R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$
* $R_b$ (verbonden aan knooppunt b) = $\frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$
* $R_c$ (verbonden aan knooppunt c) = $\frac{R_{ac} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$
Met $R_1=5 \Omega, R_2=10 \Omega, R_3=20 \Omega$. De berekening in het document lijkt de weerstanden te hebben toegewezen als: $R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_3$, $R_{bc} = R_2$. Dan:
* $R_a = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{5 \cdot 20}{5 + 20 + 10} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28).
* $R_b = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{5 \cdot 10}{5 + 20 + 10} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28).
* $R_c = \frac{R_3 \cdot R_2}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{20 \cdot 10}{5 + 20 + 10} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28).
### 3.3 Omzetting van ster naar driehoek
Om een sterschakeling met weerstanden $R_a$, $R_b$, en $R_c$ te vervangen door een equivalente driehoekschakeling met weerstanden $R_{ab}$, $R_{bc}$, en $R_{ca}$ tussen dezelfde knooppunten (a, b, c), worden de volgende formules toegepast. Deze formules hoeven niet van buiten geleerd te worden [27](#page=27).
De equivalente weerstanden van de driehoekschakeling worden berekend als:
$$R_{ab} = R_a + R_b + \frac{R_a \cdot R_b}{R_c}$$
$$R_{bc} = R_b + R_c + \frac{R_b \cdot R_c}{R_a}$$
$$R_{ca} = R_c + R_a + \frac{R_c \cdot R_a}{R_b}$$
> **Tip:** Let op de notatie in de formules. $R_{ab}$ is de weerstand tussen knooppunt a en b. De sterweerstanden die de andere twee knooppunten (c in dit geval) verbinden, delen de som van de twee direct aan $R_{ab}$ verbonden sterweerstanden.
**Voorbeeld 2: Ster naar driehoek** [29](#page=29).
Gegeven een sterschakeling met weerstanden:
* $R_1 = 25 \Omega$
* $R_2 = 15 \Omega$
* $R_3 = 40 \Omega$
Hierbij zijn $R_1$, $R_2$, en $R_3$ de weerstanden van de ster. We koppelen deze aan de algemene notatie: $R_a = R_1$, $R_b = R_2$, $R_c = R_3$.
* $R_{ab} = R_a + R_b + \frac{R_a \cdot R_b}{R_c} = 25 \Omega + 15 \Omega + \frac{25 \Omega \cdot 15 \Omega}{40 \Omega} = 40 + \frac{375}{40} = 40 + 9.375 = 49.375 \Omega$ [29](#page=29).
* $R_{bc} = R_b + R_c + \frac{R_b \cdot R_c}{R_a} = 15 \Omega + 40 \Omega + \frac{15 \Omega \cdot 40 \Omega}{25 \Omega} = 55 + \frac{600}{25} = 55 + 24 = 79 \Omega$ [29](#page=29).
* $R_{ca} = R_c + R_a + \frac{R_c \cdot R_a}{R_b} = 40 \Omega + 25 \Omega + \frac{40 \Omega \cdot 25 \Omega}{15 \Omega} = 65 + \frac{1000}{15} = 65 + 66.666... \approx 131.67 \Omega$ [29](#page=29).
De berekeningen in het document wijzen op een andere toewijzing van $R_1, R_2, R_3$ aan $R_a, R_b, R_c$. De formule in het document is:
$R_{ab} = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_1 \cdot R_3}{R_3}$
Dit is een alternatieve (en correcte) formulering voor de omzetting van ster naar driehoek, namelijk:
$R_{ab} = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_c}$
En analoog voor $R_{bc}$ en $R_{ca}$.
Laten we de berekeningen in het document volgen met $R_1=25 \Omega, R_2=15 \Omega, R_3=40 \Omega$.
De teller is $R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_1 \cdot R_3 = 25 \cdot 15 + 15 \cdot 40 + 25 \cdot 40 = 375 + 600 + 1000 = 1975$.
* $R_{ab} = \frac{1975}{R_3} = \frac{1975}{40} = 49.375 \Omega$ [29](#page=29).
* $R_{bc} = \frac{1975}{R_2} = \frac{1975}{15} = 131.666... \Omega$ [29](#page=29).
* $R_{ac} = \frac{1975}{R_1} = \frac{1975}{25} = 79 \Omega$ [29](#page=29).
De berekeningen in het document zijn dus correct, mits de toewijzing $R_a = R_1$, $R_b = R_2$, $R_c = R_3$ is, en de formules voor de driehoekweerstanden worden berekend met de som van de twee gerelateerde sterweerstanden gedeeld door de derde sterweerstand.
### 3.4 Complexe voorbeelden met ster-driehoek transformatie
**Oefening 3: Gemengde schakeling met driehoek** [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32).
Gegeven een schakeling met een bron van 100 volt diverse weerstanden, waarbij een driehoekschakeling aanwezig is. Het doel is de totale stroom $I$ te berekenen die door de bron wordt geleverd [30](#page=30) [32](#page=32).
**Oplossing met stappen:**
1. **Identificeer een vereenvoudigbare parallelle schakeling binnen de driehoek:** De twee middelste weerstanden (15 $\Omega$ en 5 $\Omega$) staan parallel geschakeld. Deze worden vervangen door één vervangingsweerstand $R_v$ [31](#page=31).
$$R_v = \frac{15 \Omega \cdot 5 \Omega}{15 \Omega + 5 \Omega} = \frac{75}{20} = 3.75 \Omega$$ [31](#page=31).
2. **Transformeer de driehoek naar een ster:** Nu kan de driehoek tussen de knooppunten A, B, C worden vervangen door een ster. De weerstanden in de oorspronkelijke driehoek zijn 10 $\Omega$, 20 $\Omega$, en $R_v = 3.75 \Omega$. Laten we aannemen dat de weerstanden in de driehoek $R_{AB}=10 \Omega$, $R_{AC}=20 \Omega$, en $R_{BC}=3.75 \Omega$ zijn.
De sterweerstanden $R_a$ (bij knooppunt A), $R_b$ (bij knooppunt B), en $R_c$ (bij knooppunt C) worden berekend met de formules uit sectie 3.2.
* $R_a = \frac{R_{AB} \cdot R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{200}{33.75} \approx 5.93 \Omega$ [31](#page=31).
* $R_b = \frac{R_{AB} \cdot R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{10 \Omega \cdot 3.75 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{37.5}{33.75} \approx 1.11 \Omega$ [31](#page=31).
* $R_c = \frac{R_{AC} \cdot R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{20 \Omega \cdot 3.75 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{75}{33.75} \approx 2.22 \Omega$ [31](#page=31).
3. **Vereenvoudig de resterende schakeling:** Na de transformatie staan er weerstanden in serie en parallel.
* De weerstand van 10 $\Omega$ staat nu in serie met de sterweerstand $R_b$ (1.11 $\Omega$). Deze gecombineerde weerstand noemen we $R_1$.
$R_1 = 1.11 \Omega + 10 \Omega = 11.11 \Omega$ [32](#page=32).
* De weerstand van 30 $\Omega$ staat nu in serie met de sterweerstand $R_c$ (2.22 $\Omega$). Deze gecombineerde weerstand noemen we $R_2$.
$R_2 = 2.22 \Omega + 30 \Omega = 32.22 \Omega$ [32](#page=32).
4. **Bereken de parallelle weerstand:** $R_1$ en $R_2$ staan parallel ten opzichte van elkaar. Deze worden samengevoegd tot $R_3$.
$$R_3 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{11.11 \Omega \cdot 32.22 \Omega}{11.11 \Omega + 32.22 \Omega} = \frac{357.8542}{43.33} \approx 8.26 \Omega$$ [32](#page=32).
5. **Bereken de totale vervangingsweerstand:** $R_3$ staat in serie met de sterweerstand $R_a$ (5.93 $\Omega$). Dit geeft de totale vervangingsweerstand $R_{totaal}$.
$R_{totaal} = R_a + R_3 = 5.93 \Omega + 8.26 \Omega = 14.19 \Omega$ [32](#page=32).
6. **Bereken de totale stroom:** Met de totale vervangingsweerstand en de bronspanning kan de totale stroom $I$ worden berekend.
$I = \frac{V_{bron}}{R_{totaal}} = \frac{100 \text{ volt}}{14.19 \Omega} \approx 7.05 \text{ A}$ [32](#page=32).
---
# Maasstroommethode voor netwerkanalyse
De maasstroommethode is een techniek die wordt gebruikt om de stromen in elektrische netwerken te bepalen door de spanningswet van Kirchhoff toe te passen op de mazen van het netwerk [33](#page=33).
### 4.1 Introductie tot de Maasstroommethode
De kern van de maasstroommethode ligt in het identificeren van gesloten kringen, mazen genoemd, binnen een elektrisch netwerk, zonder daarbij knooppunten te doorkruisen. Elk netwerk met $N$ onafhankelijke mazen zal resulteren in $N$ maasstromen, die willekeurig gekozen worden qua richting. Deze methode wordt toegepast door de tweede wet van Kirchhoff, ook wel de spanningswet genoemd, op elke maas toe te passen. Dit resulteert in een stelsel van $N$ vergelijkingen met $N$ onbekenden, wat de basis vormt voor het oplossen van de netwerkstromen. De werkelijke stroom door een specifieke weerstand wordt vervolgens berekend als de algebraïsche som van de maasstromen die door die weerstand vloeien [33](#page=33).
### 4.2 Toepassing van de Maasstroommethode
Om de maasstroommethode correct toe te passen, worden de volgende stappen gevolgd [35](#page=35):
1. **Spanningswet van Kirchhoff:** De som van alle spanningen binnen een gesloten maas is gelijk aan nul [35](#page=35).
2. **Bronspanningen aanduiden:** De polariteit van de spanningsbronnen moet correct worden aangegeven, van de negatieve naar de positieve pool [35](#page=35).
3. **Maasstromen kiezen:** Een willekeurige stroomzin wordt gekozen voor elke maasstroom ($I_1, I_2,..., I_N$). Deze zin kan willekeurig zijn, bijvoorbeeld met de klok mee of tegen de klok in [33](#page=33) [35](#page=35).
4. **Omgangszin kiezen:** Een positieve omgangszin wordt gekozen voor elke maas. Deze keuze is ook willekeurig (wijzerzin of tegenwijzerzin) [35](#page=35).
5. **Spanningen en stromen positief definiëren:** Spanningsreferenties van bronnen worden als positief beschouwd als ze dezelfde zin hebben als de gekozen positieve omgangszin. Stromen door weerstanden worden eveneens als positief beschouwd als ze dezelfde zin hebben als de positieve omgangszin [35](#page=35).
De methode is voltooid wanneer de spanningen over alle weerstanden in het netwerk worden bepaald door een maasstroom [33](#page=33).
#### 4.2.1 Voorbeeld van de Maasstroommethode
**Gegeven:**
Een elektrisch netwerk met de volgende componenten en waarden [34](#page=34):
* $E_1 = 50$V
* $E_2 = 40$V
* $R_1 = 6 \Omega$
* $R_2 = 18 \Omega$
* $R_3 = 5 \Omega$
* $R_4 = 4 \Omega$
* $R_5 = 4 \Omega$
**Gevraagd:**
Bepaal de stroom door elke weerstand met behulp van de maasstroommethode [34](#page=34).
**Oplossing:**
We passen de tweede wet van Kirchhoff toe op de drie mazen in het netwerk, waarbij we maasstromen $I_1$, $I_2$ en $I_3$ introduceren [33](#page=33).
**Vergelijkingen opstellen:**
1. **Maas 1:**
Door de toepassing van de spanningswet van Kirchhoff op de eerste maas, waarbij we een bepaalde omgangszin kiezen, krijgen we de volgende vergelijking:
$E_1 = I_1 \cdot R_3 + I_1 \cdot R_1 - I_2 \cdot R_3$ [36](#page=36).
$50 = I_1 \cdot (5 \Omega + 6 \Omega) - I_2 \cdot 5 \Omega$ [36](#page=36).
$50 = 11 I_1 - 5 I_2$ [37](#page=37).
2. **Maas 2:**
Voor de tweede maas, rekening houdend met de stromen door de gemeenschappelijke weerstanden, geldt:
$-E_2 = I_2 \cdot R_5 + I_2 \cdot R_3 + I_2 \cdot R_2 - I_1 \cdot R_3 - I_3 \cdot R_5$ [36](#page=36).
$-40 = I_2 \cdot (4 \Omega + 5 \Omega + 18 \Omega) - I_1 \cdot 5 \Omega - I_3 \cdot 4 \Omega$ [36](#page=36).
$-40 = 27 I_2 - 5 I_1 - 4 I_3$ [37](#page=37).
3. **Maas 3:**
Voor de derde maas, met een specifieke omgangszin:
$E_2 = I_3 \cdot R_4 + I_3 \cdot R_5 - I_2 \cdot R_5$ [36](#page=36).
$40 = I_3 \cdot (4 \Omega + 4 \Omega) - I_2 \cdot 4 \Omega$ [36](#page=36).
$40 = 8 I_3 - 4 I_2$ [37](#page=37).
**Oplossen van het stelsel:**
We herschrijven de vergelijkingen om ze gemakkelijker op te lossen.
Uit vergelijking 1:
$50 = 11 I_1 - 5 I_2 \implies 50 + 5 I_2 = 11 I_1 \implies I_1 = \frac{50 + 5 I_2}{11} \approx 4,55 + 0,45 I_2$ [37](#page=37).
Uit vergelijking 3:
$40 = 8 I_3 - 4 I_2 \implies 40 + 4 I_2 = 8 I_3 \implies I_3 = \frac{40 + 4 I_2}{8} = 5 + 0,5 I_2$ [37](#page=37).
Nu substitueren we de uitdrukkingen voor $I_1$ en $I_3$ in vergelijking 2:
$-40 = 27 I_2 - 5 I_1 - 4 I_3$ [37](#page=37).
$-40 = 27 I_2 - 5 (4,55 + 0,45 I_2) - 4 (5 + 0,5 I_2)$ [37](#page=37).
$-40 = 27 I_2 - 22,75 - 2,25 I_2 - 20 - 2 I_2$ [37](#page=37).
$-40 = (27 - 2,25 - 2) I_2 - 22,75 - 20$ [37](#page=37).
$-40 = 22,75 I_2 - 42,75$ [37](#page=37).
$42,75 - 40 = 22,75 I_2$ [37](#page=37).
$2,75 = 22,75 I_2$ [37](#page=37).
$I_2 = \frac{2,75}{22,75} \approx 0,12$ A [37](#page=37).
Nu we $I_2$ kennen, kunnen we $I_1$ en $I_3$ berekenen:
$I_1 = 4,55 + 0,45 I_2 = 4,55 + 0,45 \cdot 0,12 = 4,55 + 0,054 \approx 4,6$ A [37](#page=37).
$I_3 = 5 + 0,5 I_2 = 5 + 0,5 \cdot 0,12 = 5 + 0,06 = 5,06$ A [37](#page=37).
**Resultaten:**
De berekende maasstromen zijn:
* $I_1 = 4,6$ A [37](#page=37).
* $I_2 = 0,12$ A [37](#page=37).
* $I_3 = 5,06$ A [37](#page=37).
**Berekening van de werkelijke stromen door de weerstanden:**
* **$R_1$:** De stroom door $R_1$ is gelijk aan $I_1$ [38](#page=38).
$I_{R1} = I_1 = 4,6$ A [38](#page=38).
* **$R_2$:** De stroom door $R_2$ is gelijk aan $I_2$ [38](#page=38).
$I_{R2} = I_2 = 0,12$ A [38](#page=38).
* **$R_3$:** De stroom door $R_3$ is de algebraïsche som van $I_1$ en $I_2$ (afhankelijk van de gekozen zin). In dit geval is de stroom $I_1 - I_2$.
$I_{R3} = I_1 - I_2 = 4,6$ A $- 0,12$ A $= 4,48$ A [38](#page=38).
* **$R_4$:** De stroom door $R_4$ is gelijk aan $I_3$ [38](#page=38).
$I_{R4} = I_3 = 5,06$ A [38](#page=38).
* **$R_5$:** De stroom door $R_5$ is de algebraïsche som van $I_3$ en $I_2$. In dit geval is de stroom $I_3 - I_2$.
$I_{R5} = I_3 - I_2 = 5,06$ A $- 0,12$ A $= 4,49$ A [38](#page=38).
> **Tip:** Controleer bij het toepassen van de spanningswet van Kirchhoff altijd zorgvuldig de zin van de stromen en spanningen ten opzichte van de gekozen omgangszin in de maas. Een kleine fout hierin kan leiden tot incorrecte resultaten.
> **Example:** De maasstroommethode is bijzonder nuttig voor complexe netwerken met meerdere lussen waar het toepassen van de stroomwet van Kirchhoff op knooppunten snel onoverzichtelijk kan worden. Door het aantal onbekenden te koppelen aan het aantal mazen, reduceert deze methode de complexiteit van de berekening aanzienlijk.
---
# Theorema van Thévenin en Norton
Deze sectie behandelt de methoden om complexe elektrische netwerken te vereenvoudigen tot equivalente schakelingen met behulp van de theorema's van Thévenin en Norton [39](#page=39).
### 5.15 Theorema van Thévenin
Het theorema van Thévenin stelt dat elk lineair elektrisch netwerk, bekeken tussen twee punten, vervangen kan worden door een eenvoudigere equivalente schakeling. Deze vervangschakeling, het Thévenin-equivalent, bestaat uit een spanningsbron en een weerstand in serie [39](#page=39) [40](#page=40).
#### 5.15.1 Het Thévenin-equivalent
Het Thévenin-equivalent wordt gekarakteriseerd door twee parameters:
* **Thévenin-spanning ($U_{Th}$)**: Het potentiaalverschil tussen de open klemmen van het oorspronkelijke netwerk [40](#page=40).
* **Thévenin-weerstand ($R_{Th}$)**: De weerstand die gemeten zou worden tussen de open klemmen na het uitschakelen van alle interne bronnen [40](#page=40).
#### 5.15.2 Methode van Thévenin
Om het Thévenin-equivalent te bepalen, worden de volgende stappen gevolgd:
1. **Bepalen van de Thévenin-spanning ($U_{Th}$)**:
* Identificeer de twee klemmen (bijvoorbeeld 'a' en 'b') waartussen het netwerk geanalyseerd wordt [41](#page=41).
* Verwijder de belasting (indien aanwezig) tussen deze klemmen, waardoor de klemmen open komen te staan [41](#page=41).
* Bereken het potentiaalverschil tussen deze open klemmen. Als er spanningsbronnen aanwezig zijn, kan dit vaak gedaan worden met behulp van wetten zoals de wet van Ohm of Kirchhoff's wetten. Als de klemmen open staan, vloeit er geen stroom door de takken die direct aan de klemmen zijn verbonden [42](#page=42).
* Voorbeeld: Als een spanningsbron $E$ in serie staat met weerstanden $R_1$ en $R_3$, en de klemmen 'a' en 'b' staan parallel over $R_3$, dan is de stroom $I = \frac{E}{R_1 + R_3}$ en de Thévenin-spanning is $U_{Th} = U_{ab} = I \cdot R_3 = \frac{E}{R_1 + R_3} \cdot R_3$ [42](#page=42).
2. **Bepalen van de Thévenin-weerstand ($R_{Th}$)**:
* Schakel alle spanningsbronnen in het oorspronkelijke netwerk kort (vervang ze door een draad) en alle stroombronnen open (verwijder ze) [43](#page=43).
* Bereken de equivalente weerstand die gezien wordt vanuit de open klemmen 'a' en 'b'. Dit is de weerstand die een ohmmeter zou meten [43](#page=43).
* Voorbeeld: Als $R_1$ en $R_3$ parallel staan, en dit parallele netwerk staat dan in serie met $R_2$, dan is de Thévenin-weerstand $R_{Th} = (\frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3}) + R_2$ [43](#page=43).
3. **Het Thévenin-equivalent opstellen**:
* Het equivalente circuit bestaat uit de berekende Thévenin-spanning $U_{Th}$ in serie met de berekende Thévenin-weerstand $R_{Th}$ [44](#page=44).
* Dit equivalente netwerk gedraagt zich qua stroom en spanning op de klemmen 'a' en 'b' identiek aan het oorspronkelijke, complexere netwerk [44](#page=44).
> **Tip:** Het opstellen van het Thévenin-equivalent kan zeer tijdbesparend zijn wanneer de stroom of spanning over verschillende belastingen berekend moet worden, omdat de $U_{Th}$ en $R_{Th}$ constant blijven en enkel de belasting $R_L$ verandert.
#### 5.15.3 Voorbeeld van Thévenin
Beschouw een netwerk met een spanningsbron $E$ van 20 volt, $R_1 = 200 \Omega$, $R_3 = 800 \Omega$ in serie, en $R_2 = 240 \Omega$ parallel aan $R_3$. De klemmen 'a' en 'b' bevinden zich aan weerszijden van $R_3$. We willen dit netwerk vervangen door een Thévenin-equivalent [42](#page=42) [43](#page=43).
1. **$U_{Th}$**: Klemmen 'a' en 'b' open. Geen stroom door $R_2$. De totale stroom is $I = \frac{E}{R_1 + R_3} = \frac{20V}{200\Omega + 800\Omega} = \frac{20}{1000}A = 0,02A$. De spanning over $R_3$ is $U_{Th} = U_{ab} = I \cdot R_3 = 0,02A \cdot 800\Omega = 16V$ [42](#page=42).
2. **$R_{Th}$**: Spanningsbron $E$ kortgesloten. $R_1$ en $R_3$ staan parallel. Hun vervangingsweerstand is $R_{1||3} = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} = \frac{200\Omega \cdot 800\Omega}{200\Omega + 800\Omega} = \frac{160000}{1000}\Omega = 160\Omega$. Deze staat in serie met $R_2$. Dus $R_{Th} = R_{1||3} + R_2 = 160\Omega + 240\Omega = 400\Omega$ [43](#page=43).
3. **Thévenin-equivalent**: Een spanningsbron van $16V$ in serie met een weerstand van $400\Omega$.
### 5.17 Theorema van Norton
Net als Thévenin laat het theorema van Norton toe om elk lineair elektrisch netwerk te vervangen door een equivalent netwerk. Dit Norton-equivalent bestaat uit een ideale stroombron en een inwendige weerstand parallel geschakeld [45](#page=45).
#### 5.17.1 Het Norton-equivalent
Het Norton-equivalent wordt bepaald door:
* **Nortonstroom ($I_N$)**: De waarde van de stroom die door de stroombron wordt geleverd. Dit is gelijk aan de kortsluitstroom tussen de twee analysenpunten [45](#page=45) [46](#page=46).
* **Nortonweerstand ($R_N$)**: De inwendige weerstand van de stroombron die parallel staat met de stroombron [45](#page=45).
#### 5.17.2 Methode van Norton
De stappen om het Norton-equivalent te bepalen zijn vergelijkbaar met die van Thévenin:
1. **Bepalen van de Nortonstroom ($I_N$)**:
* Identificeer de twee klemmen (bijvoorbeeld 'a' en 'b') [46](#page=46).
* Kortsluit de klemmen 'a' en 'b' [46](#page=46).
* Bereken de stroom die door deze kortsluiting vloeit. Dit is de Nortonstroom $I_N$ [46](#page=46).
* Voorbeeld: Voor een netwerk met bron $E$, en weerstanden $R_1$, $R_2$, $R_3$, waarbij de kortsluiting tussen 'a' en 'b' parallel staat aan $R_3$. Eerst wordt de totale stroom $I_{totaal} = \frac{E}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}$ berekend. Vervolgens wordt de stroom door de kortsluiting (parallel aan $R_3$) berekend met de stroomdelerregel, waarbij $R_2$ de weerstand is die de stroom verdeelt met de kortsluiting (effectief $0 \Omega$ weerstand). De stroom door de kortsluiting is dan $I_N = I_{totaal} \cdot \frac{R_3}{R_3 + R_2}$ [46](#page=46).
2. **Bepalen van de Nortonweerstand ($R_N$)**:
* Schakel alle bronnen uit (spanningsbronnen kortsluiten, stroombronnen openlaten) [47](#page=47).
* Bereken de equivalente weerstand gezien vanuit de klemmen 'a' en 'b' [47](#page=47).
* Belangrijk: De Nortonweerstand $R_N$ is identiek gelijk aan de Thévenin-weerstand $R_{Th}$. Dezelfde methode voor het berekenen van $R_{Th}$ kan hier gebruikt worden [47](#page=47).
3. **Het Norton-equivalent opstellen**:
* Het equivalente circuit bestaat uit de berekende Nortonstroom $I_N$ parallel geschakeld met de berekende Nortonweerstand $R_N$ [48](#page=48).
* Als een belasting $R_L$ wordt aangesloten tussen de klemmen 'a' en 'b', kan de stroom door $R_L$ berekend worden met de stroomdelerregel: $I = I_N \cdot \frac{R_N}{R_N + R_L}$ [48](#page=48).
#### 5.17.3 Relatie tussen Thévenin en Norton
Er bestaat een directe relatie tussen het Thévenin-equivalent en het Norton-equivalent:
* De Thévenin-weerstand is gelijk aan de Nortonweerstand: $R_{Th} = R_N$ [47](#page=47).
* De Thévenin-spanning is gerelateerd aan de Nortonstroom via de Thévenin-weerstand: $U_{Th} = I_N \cdot R_{Th}$ (of $I_N = \frac{U_{Th}}{R_{Th}}$) [48](#page=48).
> **Tip:** Als je één van de equivalenten hebt berekend, kun je het andere equivalent direct afleiden door deze relaties te gebruiken. Dit bespaart rekenwerk.
#### 5.17.4 Voorbeeld van Norton
Beschouw een netwerk met een spanningsbron $E$ van 60 volt, $R_1 = 50 k\Omega$, $R_3 = 20 k\Omega$, en $R_2 = 20 k\Omega$. De klemmen 'a' en 'b' bevinden zich aan weerszijden van $R_3$. We willen dit netwerk vervangen door een Norton-equivalent.
1. **$I_N$**: Kortsluiting tussen 'a' en 'b'. De weerstand $R_2$ en de kortsluiting staan parallel aan $R_3$. We moeten de stroom door de kortsluiting berekenen. De totale weerstand in het netwerk is $R_{totaal} = R_1 + \frac{R_2 \cdot 0}{R_2 + 0} = R_1 = 50 k\Omega$. De totale stroom uit de bron is $I_{totaal} = \frac{E}{R_1} = \frac{60V}{50 k\Omega} = 1,2 mA$. Met de stroomdelerregel, de stroom door de kortsluiting (die een weerstand van $0\Omega$ heeft) is $I_N = I_{totaal} \cdot \frac{R_3}{R_3 + R_2}$ indien de kortsluiting parallel staat aan $R_3$. Echter, in het specifieke voorbeeld wordt de formule $I_N = \frac{E}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}} \cdot \frac{R_3}{R_3+R_2}$ gebruikt, wat impliceert dat de kortsluiting parallel staat aan $R_3$. Dit leidt tot $I_N = \frac{60V}{50 k\Omega + \frac{20 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{20 k\Omega + 20 k\Omega}} \cdot \frac{20 k\Omega}{20 k\Omega + 20 k\Omega} = \frac{60V}{50 k\Omega + 10 k\Omega} \cdot \frac{20 k\Omega}{40 k\Omega} = \frac{60V}{60 k\Omega} \cdot 0,5 = 1 mA \cdot 0,5 = 0,5 mA$ [46](#page=46).
2. **$R_N$**: Bron $E$ kortsluiten. $R_1$ en $R_2$ staan parallel. Dit parallele netwerk staat in serie met $R_3$. $R_N = R_3 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 20 k\Omega + \frac{50 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{50 k\Omega + 20 k\Omega} = 20 k\Omega + \frac{1000}{70} k\Omega \approx 20 k\Omega + 14,29 k\Omega = 34,29 k\Omega$ [47](#page=47).
3. **Norton-equivalent**: Een stroombron van $0,5 mA$ parallel geschakeld met een weerstand van $34,29 k\Omega$.
### 5.19 Oefeningen
Deze sectie bevat diverse oefeningen die betrekking hebben op het toepassen van de theorema's van Thévenin en Norton, evenals andere methoden voor netwerkanalyse, zoals superpositie en de maasstroommethode. Specifieke voorbeelden zijn het berekenen van stromen met de methode van Thévenin [49](#page=49) [50](#page=50) [51](#page=51) [52](#page=52) [53](#page=53).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Knooppunt | Een punt in een elektrisch netwerk waar twee of meer geleiders samenkomen. Dit is een essentieel concept bij de toepassing van de wetten van Kirchhoff. |
| Stroomwet van Kirchhoff (Eerste wet) | Stelt dat de som van de elektrische stromen die een knooppunt binnenkomen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Dit principe is gebaseerd op het behoud van lading. |
| Spanningswet van Kirchhoff (Tweede wet) | Stelt dat de som van de spanningsverschillen over alle componenten in een gesloten kring gelijk is aan de som van de spanningen van de bronnen in die kring. Dit principe is gebaseerd op het behoud van energie. |
| Maas | Een gesloten pad of kring in een elektrisch netwerk dat geen andere gesloten paden of knooppunten bevat. De maasstroommethode analyseert het netwerk door stromen toe te kennen aan elke maas. |
| Maasstroom | Een hypothetische stroom die door een maas in een elektrisch netwerk vloeit. De werkelijke stroom door een component is de algebraïsche som van de maasstromen die erdoorheen lopen. |
| Superpositie methode | Een analysemethode voor lineaire elektrische netwerken met meerdere bronnen. Hierbij wordt elke bron afzonderlijk beschouwd om de bijdrage aan de totale stroom of spanning te bepalen, waarna deze bijdragen algebraïsch worden opgeteld. |
| Ster-driehoek transformatie | Een techniek om bepaalde configuraties van weerstanden in een elektrisch netwerk te vereenvoudigen. Een sterschakeling (Y) kan worden omgezet in een driehoekschakeling (Δ), en vice versa, om het netwerk te reduceren tot serie- en parallelschakelingen. |
| Vervangweerstand | De totale weerstand van een complex netwerk die gelijk is aan de weerstand van een enkele weerstand die dezelfde stroom zou laten lopen bij dezelfde aangelegde spanning. Dit is essentieel voor het vereenvoudigen van schakelingen. |
| Thévenin-equivalent | Een methode om een lineair tweepoortnetwerk te vervangen door een equivalente schakeling die bestaat uit een enkele spanningsbron ($V_{Th}$) en een in serie geschakelde weerstand ($R_{Th}$). Dit vereenvoudigt de analyse van complexe netwerken. |
| Thévenin-spanning ($V_{Th}$) | De open-klemspanning gemeten over de twee punten van het netwerk dat wordt vervangen door het Thévenin-equivalent. Het is het spanningsverschil wanneer er geen externe belasting is aangesloten. |
| Thévenin-weerstand ($R_{Th}$) | De equivalente weerstand van het netwerk gemeten tussen de twee punten, nadat alle interne spanningsbronnen kortgesloten en stroombronnen opengelaten zijn. |
| Norton-equivalent | Een methode om een lineair tweepoortnetwerk te vervangen door een equivalente schakeling die bestaat uit een enkele stroombron ($I_N$) en een parallel geschakelde weerstand ($R_N$). De Nortonstroom ($I_N$) is gelijk aan de kortsluitstroom van de twee punten. |
| Nortonstroom ($I_N$) | De stroom die vloeit wanneer de twee klemmen van het netwerk worden kortgesloten. Dit is de stroomwaarde van de Nortonstroombron in het Norton-equivalent. |
| Nortonweerstand ($R_N$) | De equivalente weerstand van het netwerk gemeten tussen de twee punten, nadat alle interne spanningsbronnen kortgesloten en stroombronnen opengelaten zijn. Deze is identiek aan de Thévenin-weerstand ($R_{Th}$). |
Cover
Elektriciteit_wisselstroom_theorie_basis_10.pdf
Summary
# Complexe notatie voor wisselstroomberekeningen
## 1.1 Waarom de complexe notatie?
Wisselstroomgrootheden kunnen als vectoren of fasoren worden voorgesteld, wat vectoriële verrekening mogelijk maakt. Hoewel deze vectoriële voorstelling duidelijk is, kan deze omslachtig zijn vanwege de noodzaak tot grafische representatie. De complexe notatie biedt een efficiëntere methode voor snellere berekeningen, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van wisselstroomgrootheden [2](#page=2).
## 1.2 Het complexe vlak
Een vector, zoals een fasor die een elektrische grootheid zoals spanning ($U$) of stroom ($I$) voorstelt, kan worden weergegeven in een vlak. Dit vlak kent twee assen [3](#page=3):
* De X-as wordt de reële as genoemd [3](#page=3).
* De Y-as wordt de imaginaire as of de j-as genoemd [3](#page=3).
Een vector in dit vlak bestaat uit een reëel deel ($x$) en een imaginair deel ($y$). Om het reële en imaginaire deel te onderscheiden, wordt de $j$-operator ingevoerd. Een complex getal wordt in cartesiaanse vorm geschreven als [3](#page=3):
$$ \vec{A} = x + j \cdot y $$ [3](#page=3).
## 1.3 Kenmerken van de j-operator
De $j$-operator staat voor een draaiing van 90 graden in de positieve zin (tegenwijzerzin). Elke draaiing van 90 graden tegenwijzerzin betekent vermenigvuldiging met $j$, terwijl elke draaiing van 90 graden wijzerzin betekent delen door $j$ of vermenigvuldigen met $1/j$. De belangrijkste kenmerken van de $j$-operator zijn [4](#page=4):
* $j^2 = -1$ [4](#page=4).
* $j^3 = -j$ [4](#page=4).
* $j^4 = 1$ [4](#page=4).
* $j^5 = j$ [4](#page=4).
## 1.4 Complexe voorstelling van vectoren
Complexe getallen kunnen op verschillende manieren worden geschreven:
### 1.4.1 Cartesiaanse schrijfwijze (rechthoekige vorm)
Een complex getal wordt aangeduid met een hoofdletter met een streepje erboven, bijvoorbeeld $\vec{A}$. In het cartesiaanse assenstelsel bestaat het complexe getal uit een reëel getal $a$ en een imaginair getal $b$ [5](#page=5):
$$ \vec{A} = a + j \cdot b $$
* De **modulus** ($A$) is de grootte van de vector in absolute waarde:
$$ A = \sqrt{a^2 + b^2} $$ [5](#page=5).
* Het **argument** ($\alpha$) is de hoek die de vector maakt met de positieve reële as. De tangens van de hoek $\alpha$ is de verhouding van het imaginaire en het reële deel, rekening houdend met de tekens van beide grootheden [5](#page=5):
$$ \tan \alpha = \frac{b}{a} $$ [5](#page=5).
> **Voorbeeld:** Vector $\vec{A}_1 = 5 + j \cdot 3$. De modulus is $A = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34} \approx 5.83$. Het argument is $\alpha = \arctan(3/5) \approx 30.96^\circ$ [6](#page=6).
### 1.4.2 Polaire schrijfwijze (poolcoördinaten)
In een poolcoördinatenstelsel wordt een punt bepaald door een afstand (modulus) en een hoek (argument). De complexe notatie is [7](#page=7):
$$ \vec{A} = A \angle \alpha $$
* Een positieve hoek wordt gemeten vanaf de positieve reële as in tegenwijzerzin [7](#page=7).
* Een negatieve hoek wordt gemeten vanaf de positieve reële as in wijzerzin [7](#page=7).
### 1.4.3 Trigoniometrische schrijfwijze
Wanneer de componenten $a$ en $b$ worden uitgedrukt als functie van de poolcoördinaten $A$ en $\alpha$, kan een complex getal geschreven worden als:
$$ \vec{A} = A \cdot \cos \alpha + j \cdot A \sin \alpha = A (\cos \alpha + j \sin \alpha) $$ [8](#page=8).
Hierbij is $A \cdot \cos \alpha$ het reële deel en $j \cdot A \sin \alpha$ het imaginaire deel [8](#page=8).
## 1.5 Bewerkingen met complexe getallen
### 1.5.1 Het toegevoegde van een complex getal
Het toegevoegde van een complex getal wordt gebruikt om de noemer van een breuk reëel te maken door teller en noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegde van de noemer [9](#page=9).
* In cartesiaanse vorm: Als $\vec{A} = a + j \cdot b$, dan is het toegevoegde $\overline{\vec{A}} = a - j \cdot b$. Het product van een complex getal met zijn toegevoegde is een reëel getal [9](#page=9):
$$ (a + j \cdot b) \cdot (a - j \cdot b) = a^2 + b^2 $$ [9](#page=9).
* In polaire vorm: Als $\vec{A} = A \angle \alpha$, dan is het toegevoegde $\overline{\vec{A}} = A \angle -\alpha$ [9](#page=9).
* In trigoniometrische vorm: Als $\vec{A} = A (\cos \alpha + j \sin \alpha)$, dan is het toegevoegde $\overline{\vec{A}} = A (\cos \alpha - j \sin \alpha)$ [9](#page=9).
### 1.5.2 Som en verschil van complexe getallen
Voor optellingen en aftrekkingen van complexe getallen is het het best om de cartesiaanse vorm te gebruiken [10](#page=10).
* **Optellen:** Tel de reële delen bij elkaar op en de imaginaire delen bij elkaar op [10](#page=10).
> **Voorbeeld:** $\vec{A}_1 = 4 + j \cdot 3$ en $\vec{A}_2 = 3 + j \cdot 6$.
> $\vec{A}_{totaal} = (4 + j \cdot 3) + (3 + j \cdot 6) = (4 + 3) + j \cdot (3 + 6) = 7 + j \cdot 9$.
> Modulus: $A_{totaal} = \sqrt{7^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} \approx 11.40$.
> Argument: $\tan \alpha = \frac{9}{7} \approx 1.286 \implies \alpha \approx 52.13^\circ$.
> Dus $\vec{A}_{totaal} = 11.40 \angle 52.13^\circ$ [10](#page=10).
* **Aftrekken:** Trek de reële delen van elkaar af en de imaginaire delen van elkaar af [11](#page=11).
> **Voorbeeld:** $\vec{A}_1 = 4 + j \cdot 3$ en $\vec{A}_2 = 3 + j \cdot 6$.
> $\vec{A}_{totaal} = (4 + j \cdot 3) - (3 + j \cdot 6) = (4 - 3) + j \cdot (3 - 6) = 1 - j \cdot 3$.
> Modulus: $A_{totaal} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16$.
> Argument: $\tan \alpha = \frac{-3}{1} = -3 \implies \alpha \approx -71.57^\circ$.
> Dus $\vec{A}_{totaal} = 3.16 \angle -71.57^\circ$ [11](#page=11).
### 1.5.3 Product en quotiënt van complexe getallen
Voor vermenigvuldigingen en delingen van complexe getallen is het het best om de polaire vorm te gebruiken [12](#page=12).
* **Vermenigvuldiging:** De modulus van het resultaat is het product van de modulussen, en het argument van het resultaat is de som van de argumenten [12](#page=12).
> **Voorbeeld:** $\vec{A}_1 = 6 \angle 30^\circ$ en $\vec{A}_2 = 9 \angle 60^\circ$.
> $\vec{A}_{totaal} = (6 \cdot 9) \angle (30^\circ + 60^\circ) = 54 \angle 90^\circ$.
> Reëel deel: $54 \cdot \cos 90^\circ = 0$.
> Imaginair deel: $j \cdot 54 \cdot \sin 90^\circ = j \cdot 54$.
> Dus $\vec{A}_{totaal} = j \cdot 54$ [13](#page=13).
* **Deling:** De modulus van het resultaat is het quotiënt van de modulussen, en het argument van het resultaat is het verschil van de argumenten [12](#page=12).
> **Voorbeeld:** $\vec{A}_1 = 6 \angle 30^\circ$ en $\vec{A}_2 = 9 \angle 60^\circ$.
> $\vec{A}_{totaal} = (6 / 9) \angle (30^\circ - 60^\circ) = 0.67 \angle -30^\circ$.
> Reëel deel: $0.67 \cdot \cos (-30^\circ) \approx 0.58$.
> Imaginair deel: $j \cdot 0.67 \cdot \sin (-30^\circ) \approx -j \cdot 0.335$.
> Dus $\vec{A}_{totaal} \approx 0.58 - j \cdot 0.335$ [13](#page=13).
Het is mogelijk om product en quotiënt te berekenen in cartesiaanse vorm, maar dit is wiskundig complexer [13](#page=13).
## 1.6 Oefeningen en toepassingen
Het omzetten tussen cartesiaanse en polaire vorm is een belangrijke vaardigheid. Complexe getallen worden ook gebruikt om de resultante van meerdere spanningen te bepalen, waarbij de faseverschuivingen in acht worden genomen [14](#page=14) [15](#page=15).
> **Tip:** Voor sommen en verschillen is de cartesiaanse vorm het meest handig. Voor producten en quotiënten is de polaire vorm aan te raden [10](#page=10) [12](#page=12).
> **Voorbeeld van omzetting:**
> Om $5.39 \angle 21.8^\circ$ om te zetten naar cartesiaanse vorm:
> Reëel deel: $5.39 \cdot \cos(21.8^\circ) \approx 5.00$
> Imaginair deel: $j \cdot 5.39 \cdot \sin(21.8^\circ) \approx j \cdot 2.00$
> Dus, $5.39 \angle 21.8^\circ \approx 5 + j \cdot 2$ [14](#page=14).
---
# Historische context van wisselstroom versus gelijkstroom
Deze sectie behandelt de historische concurrentie tussen gelijkstroom (DC) en wisselstroom (AC) tijdens de 'War of the Currents', met de focus op Thomas Edison en George Westinghouse met Nikola Tesla, en de redenen achter de uiteindelijke dominantie van wisselstroom.
### 2.1 De 'War of the Currents'
De periode tussen 1880 en 1890 werd gekenmerkt door de 'War of the Currents'. Deze strijd ging tussen twee dominante figuren en hun respectievelijke elektriciteitssystemen: Thomas Edison met zijn gelijkstroom (DC) en George Westinghouse, die gesteund werd door Nikola Tesla, met zijn wisselstroom (AC) [16](#page=16).
#### 2.1.1 Thomas Edison en het gelijkstroomsysteem
Thomas Edison (1847–1931) was instrumenteel in de ontwikkeling en commercialisatie van de gloeilamp. Zijn elektriciteitsnetwerk was gebaseerd op gelijkstroom, een keuze die hij volhield [17](#page=17).
**Redenen voor Edison's keuze voor gelijkstroom:**
* **Commercialisatie:** Het was een logische keuze voor de commercialisatie van zijn gehele systeem, inclusief ontwikkeling, distributie en verlichting op 110 volt [17](#page=17).
* **Gebrek aan noodzaak voor AC:** Er was destijds geen duidelijke noodzaak voor wisselstroom; verlichting kon perfect via gelijkstroom worden gerealiseerd [17](#page=17).
* **Eerste elektromotoren:** De eerste elektromotoren waren gelijkstroommotoren [17](#page=17).
* **Opslag in batterijen:** Gelijkstroom kon gemakkelijk worden opgeslagen in batterijen, die ook als DC-bron konden dienen en back-up boden bij stroomonderbrekingen [17](#page=17).
* **Parallelle opstelling generatoren:** Gelijkstroomgeneratoren (dynamo's) konden eenvoudig parallel worden geschakeld om aan een hogere vraag te voldoen [17](#page=17).
* **Wetenschappelijk bewijs en manipulatie:** Er was wetenschappelijk bewijs dat wisselstroom op hetzelfde voltage gevaarlijker was dan gelijkstroom. Edison misbruikte dit om zijn eigen DC-net te promoten [17](#page=17).
* **Gepatenteerde meter:** Edison had een eigen gepatenteerde energiemeter die uitsluitend met gelijkstroom werkte [17](#page=17).
**DC-opwekking en distributie door Edison:**
* **Opwekking:** Gelijkstroom werd opgewekt met behulp van een gelijkstroomgenerator of dynamo [18](#page=18).
* **Distributienet:** Het Pearl Street Station in Manhattan, operationeel sinds september 1882, was een belangrijk demonstratieproject van Edison's concept. Dit station, eigendom van de Edison Illuminating Company en geleid door Edison zelf, had als doel aan te tonen dat zijn systeem werkte voor commerciële en particuliere afnemers. Elke dynamo leverde 100 kilowatt (kW) met een constante spanning van 110 volt (V). Bij de start had het station 85 klanten en 400 lampen; na een jaar waren dit 513 klanten en 10.000 lampen [19](#page=19).
**Public Relations en veiligheid:**
Edison's concurrenten bouwden bovengrondse AC-netwerken, wat soms tot dodelijke ongevallen leidde. Edison maakte handig gebruik van deze incidenten om zijn eigen DC-systeem te promoten en creëerde een publieke perceptie dat AC extreem gevaarlijk was, in tegenstelling tot zijn veiligere, ondergrondse DC-net [20](#page=20).
### 2.2 George Westinghouse, Nikola Tesla en het wisslstroomsysteem
George Westinghouse, met de cruciale bijdrage van Nikola Tesla, ontwikkelde en promootte het wisselstroomsysteem [16](#page=16).
**AC-opwekking en standaardisatie:**
* **Niagara Falls:** De Niagara Falls waterkrachtcentrale, gebouwd in 1895, was een gezamenlijk project van George Westinghouse en Nikola Tesla, en maakte gebruik van Tesla's AC-generatoren [21](#page=21).
* **Frequentiekeuzes:** Eind 19e eeuw varieerden toegepaste frequenties tussen 16 Hz en 133 Hz [21](#page=21).
* **Standaardisatie op 60 Hz:** De Westinghouse Electric Company besloot in 1890 te standaardiseren op 60 Hz. Deze frequentie was gunstig vanwege [21](#page=21):
* De recent uitgevonden AC-motor van Tesla [21](#page=21).
* Een aanvaardbare frequentie voor vlambooglampen, met beperkte flikkering [21](#page=21).
* Het was een compromis dat rekening hield met technische haalbaarheid (zoals toerentallen) en economische rendabiliteit (het beperken van flikkering en energieverliezen) [21](#page=21).
* **Europese standaard:** In Europa werd 50 Hz gestandaardiseerd [21](#page=21).
### 2.3 Waarom wisselstroom de overhand kreeg
Uiteindelijk behaalde wisselstroom de overhand boven gelijkstroom om verschillende belangrijke redenen:
* **Uitvinding van de transformator:** De uitvinding van de transformator in 1883 was cruciaal. Hiermee kon wisselspanning efficiënt worden getransformeerd naar hogere spanningen voor transport over lange afstanden, wat resulteerde in aanzienlijk minder verliezen [22](#page=22).
* **Praktisch bruikbare AC-motor:** Nikola Tesla's uitvinding van een praktisch bruikbare AC-motor in 1888 was een sleutelcomponent [22](#page=22).
* **Beperkingen van DC-technologie:** Eind 19e en begin 20e eeuw ontbrak het aan de vermogenselektronica die nodig was om DC-spanningen te verhogen. Dit in tegenstelling tot de huidige stand van de techniek [22](#page=22).
> **Tip:** Het vermogen om spanningen met wisselstroom te transformeren was de meest doorslaggevende factor voor de dominantie van AC, omdat dit efficiënt transport over grote afstanden mogelijk maakte, iets wat met DC niet haalbaar was zonder enorme verliezen [22](#page=22).
> **Voorbeeld:** Stel dat energie geleverd moet worden over 100 kilometer. Met gelijkstroom bij lage spanning zouden de verliezen enorm zijn. Met wisselstroom kon de spanning met behulp van een transformator worden verhoogd naar bijvoorbeeld 100.000 V voor transport, en vervolgens weer worden verlaagd met transformatoren dichtbij de eindgebruiker tot een veilige 110 V of 230 V [22](#page=22).
---
# Voor- en nadelen van wisselstroom en de huidige status van gelijkstroomnetten
Dit gedeelte belicht de voordelen en nadelen van wisselstroom (AC) voor opwekking, distributie en verbruik, en verkent de hedendaagse toepassingen en voordelen van gelijkstroomnetten (HVDC).
### 3.1 Voordelen van wisselstroom
#### 3.1.1 Opwekking
Wisselstroomgeneratoren (AC-generatoren) hebben voordelen ten opzichte van gelijkstroomgeneratoren (DC-generatoren of dynamo's). Een DC-generator vereist een extra commutator en koolstofborstels om de stroom gelijk te richten, wat slijtagegevoelig is en de maximaal op te wekken spanning beperkt door vonkvorming. AC-generatoren gebruiken daarentegen sleepringen, wat zowel in ontwerp als in onderhoud voordeliger is [23](#page=23).
#### 3.1.2 Distributie
Een cruciaal voordeel van wisselspanning (AC) voor distributie is de eenvoud waarmee deze kan worden geschakeld. Gelijkstromen (DC) veroorzaken langdurigere vonken bij schakelaars en relais, wat speciale maatregelen vereist. Bovendien kunnen wisselspanningen eenvoudig worden opgewaardeerd naar zeer hoge spanningen, zoals 70kV, 220kV of 380kV, met behulp van transformatoren, en vervolgens weer worden getransformeerd naar lagere spanningen voor verbruikers. Transformatoren zijn wisselstroommachines die weinig onderhoud vergen. Het opwaarts transformeren naar hoge spanningen maakt het mogelijk de stroom te beperken, wat de vermogensverliezen in de leidingen minimaliseert. Deze verliezen worden beschreven door de formule $P = U \cdot I = \frac{U^2}{R} = I^2 \cdot R$. Hoewel moderne vermogenselektronica ook hoge gelijkspanningen kan bereiken met vergelijkbare voordelen, was dit in de historische context van de 19e eeuw niet beschikbaar [24](#page=24).
#### 3.1.3 Verbruikers
Motoren die op wisselstroom werken, bieden doorgaans voordelen op het gebied van werking, minder onderhoud en bedrijfszekerheid. De efficiënte en eenvoudig ontworpen AC-motor van Tesla was een belangrijke doorbraak voor wisselstroom [25](#page=25).
### 3.2 Nadelen van wisselstroom
Een belangrijk nadeel van wisselstroom is dat de isolatie van de leidingen bestand moet zijn tegen de piekwaarde (amplitude) van de spanning. Bovendien vereisen veel eindverbruikers, zoals DC-motoren en elektronische apparaten, dat de wisselspanning eerst wordt gelijkgericht met behulp van een gelijkrichter [25](#page=25).
### 3.3 Verschillende netfrequenties
Wereldwijd bestaan er twee veelvoorkomende netfrequenties: 60 Hz in Noord- en Centraal-Amerika en delen van Japan, en 50 Hz in de rest van de wereld. De effectieve spanning varieert ook, met 110/127V in Noord- en Centraal-Amerika, vergeleken met 220V/240V elders [26](#page=26).
Verschillende netfrequenties hebben implicaties voor:
* **Rendement van generatoren:** Een 50 Hz frequentie vereist dat een eenvoudige synchrone wisselstroomgenerator met één poolpaar op 3000 toeren per minuut draait, terwijl 60 Hz overeenkomt met 3600 toeren per minuut. Verschillende toerentallen bij de omzetting van mechanische naar elektrische energie kunnen leiden tot variaties in rendement [26](#page=26).
* **Omvang van transformatoren:** De gekozen netfrequentie beïnvloedt de grootte van transformatoren [26](#page=26).
* **Leidingverliezen:** Capacitieve en inductieve verliezen tijdens het transport van elektriciteit zijn frequentie-afhankelijk [26](#page=26).
### 3.4 Gelijkstroomnetten (DC-netten)
Met de vooruitgang in vermogenselektronica is de situatie ten opzichte van de 19e eeuw veranderd, waardoor AC efficiënt naar DC en vice versa kan worden omgezet. Voor energietransport kan een hoge DC-spanning voordeliger zijn dan AC, met name omdat het skineffect bij AC (waarbij de stroomdichtheid aan de buitenkant van een geleider groter is, zij het beperkt bij lage frequenties) wordt vermeden. Het nadeel van DC-netten is echter dat het verhogen of verlagen van de spanning moeilijker en duurder is, omdat een gelijkrichter en een wisselrichter (invertor) nodig zijn [27](#page=27).
#### 3.4.1 Technische uitdagingen en voordelen
De technische uitdagingen liggen in het ontwerpen van gelijkrichters en wisselrichters die zeer hoge spanningen aankunnen. Hoewel dit tegenwoordig mogelijk is, blijft het kostbaar. Deze hoge investeringskosten kunnen echter worden terugverdiend bij grote afstanden en hoog te transporteren vermogens, zoals enkele duizenden megawatt (MW) [28](#page=28).
Voor dezelfde leidingverliezen is bij een DC-net minder koper of aluminium nodig, wat pas bij langere afstanden rendabel wordt. Lange lijnen (> 500 km) en onderzeese verbindingen maken tegenwoordig standaard gebruik van HVDC (High Voltage Direct Current) [28](#page=28).
### 3.5 Toepassingen van gelijkstroomnetten
DC-netten bieden mogelijkheden voor het koppelen van twee AC-netten. Dit is met name nuttig voor het verbinden van netten met verschillende frequenties, zoals in Japan waar zowel 50 Hz als 60 Hz netten bestaan die met elkaar gekoppeld kunnen worden. Ook kunnen twee AC-netten van 50 Hz die niet noodzakelijk gesynchroniseerd zijn, via een DC-net worden verbonden. Een concreet voorbeeld van zo'n toepassing is de BritNed kabel, die Groot-Brittannië met het Europese vasteland verbindt [29](#page=29).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Complexe notatie | Een wiskundige methode om wisselstroomgrootheden voor te stellen als complexe getallen, bestaande uit een reëel en een imaginair deel, wat berekeningen vereenvoudigt. |
| Fasor | Een vector die een sinusvormige grootheid, zoals spanning of stroom, voorstelt in een complex vlak, met een bepaalde lengte (modulus) en hoek (argument). |
| Complex vlak | Een tweedimensionaal vlak waarin complexe getallen worden weergegeven, met de horizontale as als de reële as en de verticale as als de imaginaire (j-) as. |
| J-operator | Een wiskundige operator die een rotatie van 90 graden in de positieve (tegenwijzerzin) richting voorstelt in het complexe vlak; `j² = -1`. |
| Cartesiaanse schrijfwijze | De weergave van een complex getal in de vorm `a + jb`, waarbij `a` het reële deel is en `b` het imaginaire deel, analoog aan coördinaten in een Cartesisch assenstelsel. |
| Modulus | De absolute waarde of lengte van een vector of complex getal, die de grootte van de voorstelde wisselstroomgrootheid aangeeft. Wordt berekend met de stelling van Pythagoras: `$A = \sqrt{a^2 + b^2}$`. |
| Argument | De hoek die een vector of complex getal maakt met de positieve reële as in het complexe vlak, meestal uitgedrukt in graden of radialen. Wordt berekend met de arctangens van de verhouding van het imaginaire deel tot het reële deel: `$\alpha = \text{arctg}(b/a)$`. |
| Polaire schrijfwijze | De weergave van een complex getal door middel van zijn modulus (afstand tot de oorsprong) en zijn argument (hoek ten opzichte van de positieve reële as, vaak genoteerd als `A ∟ α`). |
| Trigoniometrische schrijfwijze | De weergave van een complex getal in de vorm `A(cos α + j sin α)`, waarbij `A` de modulus is en `α` het argument, waarbij de reële en imaginaire componenten expliciet worden uitgedrukt. |
| Toegevoegde van een complex getal | Een complex getal met hetzelfde reële deel, maar een tegengesteld imaginair deel. Het wordt genoteerd met een streepje erboven of een sterretje. Voor `a + jb` is het toegevoegde `a - jb`. |
| Wisselstroom (AC) | Elektrische stroom die periodiek van richting en grootte verandert, meestal in een sinusvormige golf. |
| Gelijkstroom (DC) | Elektrische stroom die continu in één richting vloeit, met een constante spanning. |
| Transformator | Een elektrisch apparaat dat wisselspanning omzet naar een hogere of lagere wisselspanning, essentieel voor efficiënt transport van wisselstroom over lange afstanden. |
| Frequentie | Het aantal volledige cycli van een wisselstroomgolf dat per seconde plaatsvindt, gemeten in Hertz (Hz). |
| Commutator (Koommutator) | Een onderdeel van een gelijkstroomgenerator dat de richting van de stroom in de spoelen omkeert om een constante gelijkstroom te produceren aan de uitgang. |
| Sleepring | Een onderdeel van een wisselstroomgenerator dat continue elektrische verbindingen mogelijk maakt met de roterende spoelen, zonder de stroomrichting om te keren. |
| Skineffect | Een verschijnsel waarbij wisselstroom de neiging heeft om zich te concentreren aan het oppervlak (huid) van een geleider, waardoor de effectieve weerstand toeneemt met hogere frequenties. |
| HVDC (High Voltage Direct Current) | Een systeem voor het transport van elektriciteit met zeer hoge gelijkspanning, dat efficiënt is voor lange afstanden en onderzeese verbindingen vanwege lagere verliezen in vergelijking met AC bij vergelijkbare spanningen. |
| Wisselrichter (Inverter) | Een elektronisch apparaat dat gelijkstroom (DC) omzet naar wisselstroom (AC). |
| Gelijkrichter | Een elektronisch apparaat dat wisselstroom (AC) omzet naar gelijkstroom (DC). |
Cover
Elektriciteit_wisselstroom_theorie_basis_8.pdf
Summary
# Inleidende begrippen over elektrische stromen en spanningen
Dit onderwerp introduceert de fundamentele soorten elektrische stromen, namelijk gelijkstroom en wisselstroom, en hun eigenschappen [2](#page=2) [3](#page=3) [4](#page=4) [5](#page=5).
### 1.1 Soorten elektrische stromen en spanningen
#### 1.1.1 Gelijkstroom (DC - Direct Current)
Gelijkstroom wordt gekenmerkt doordat de zin van de stroom in de tijd constant blijft, typisch van de positieve naar de negatieve pool. Hoewel de zin constant is, kan de waarde van de gelijkstroom variëren. Er worden verschillende soorten gelijkstromen onderscheiden [2](#page=2) [3](#page=3):
* **Constante gelijkstroom**: De waarde van de stroom blijft onveranderd in de tijd. De stroomsterkte is op elk moment gelijk [2](#page=2).
* **Veranderlijke gelijkstroom**: De zin van de stroom blijft gelijk, maar de stroomsterkte verandert voortdurend. Een voorbeeld hiervan is de stroom die door een microfoon wordt opgewekt [2](#page=2) [3](#page=3).
* **Periodieke gelijkstroom of pulserende stroomsterkte**: De waarden van de stroomsterkte herhalen zich op identieke wijze over vaste tijdsintervallen [3](#page=3).
#### 1.1.2 Wisselende stroom (AC - Alternating Current)
Een wisselende stroom verandert voortdurend van zowel zin als waarde in functie van de tijd. Deze stroom vertoont geen specifieke wetmatigheid of periodieke herhaling [4](#page=4).
#### 1.1.3 Wisselstroom (AC - Alternating Current)
Een wisselstroom is specifiek een stroom die periodiek van zin en waarde verandert. Een belangrijk kenmerk van wisselstroom is dat de gemiddelde waarde over één volledige periode gelijk is aan nul. Dit geldt in het bijzonder voor industriële wisselstroom [5](#page=5).
---
# Benamingen en berekeningen in wisselstroom
Dit gedeelte van de studiehandleiding vat de belangrijkste termen en berekeningen met betrekking tot wisselstroom samen, inclusief de periode, frequentie, cirkelfrequentie, ogenblikkelijke waarde, amplitude, gemiddelde waarde en effectieve waarde.
## 2. Benamingen en berekeningen in wisselstroom
Wisselstroom (AC) kenmerkt zich door periodieke variaties in zowel grootte als richting. Om deze variaties te beschrijven en te analyseren, worden diverse specifieke termen en formules gehanteerd.
### 2.1 Periode (T)
De periode is de tijdsduur die nodig is voor één volledige cyclus van de wisselstroom of wisselspanning. Het is de tijd die verstrijkt tussen twee opeenvolgende momenten waarop de waarde van de wisselgrootheid dezelfde is en in dezelfde zin varieert [8](#page=8).
* **Voorstelling en eenheid:** `T` (seconden, s) [8](#page=8).
* **Voorbeeld:** De periodeduur van de netspanning in veel landen is `T = 1/50` s, wat neerkomt op 0,02 seconden [8](#page=8).
* **Relatie tot hoek:** Eén periode komt overeen met een hoek van 360 graden of `2\pi` radialen [8](#page=8).
### 2.2 Frequentie (f)
De frequentie is het aantal perioden dat per seconde doorlopen wordt [9](#page=9).
* **Voorstelling en eenheid:** `f` (Hertz, Hz) [9](#page=9).
* **Voorbeeld:** De netspanning heeft een frequentie van 50 Hz. Draadloze communicatie tussen thermostaten en ontvangers maakt gebruik van een frequentiebereik van 868 MHz [9](#page=9).
### 2.3 Verband tussen periode en frequentie
Er is een omgekeerd evenredig verband tussen de periode en de frequentie [10](#page=10):
$$f = \frac{1}{T}$$ Hz [10](#page=10).
$$T = \frac{1}{f}$$ s [10](#page=10).
### 2.4 De cirkelfrequentie of hoeksnelheid (ω)
De cirkelfrequentie, ook wel hoeksnelheid genoemd, geeft aan hoeveel radialen er per seconde worden doorlopen [11](#page=11).
* **Voorstelling:** `\omega` (Griekse letter Omega) [11](#page=11).
* **Formule:**
$$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$ [11](#page=11).
* **Relatie met frequentie:** Dit leidt tot de formule `\omega = 2 \pi f`. Hieruit volgt ook weer `T = \frac{1}{f}` [11](#page=11).
* **Opmerking:** De hoeksnelheid kan ook in graden worden uitgedrukt, maar dit vereist een correcte omrekening [11](#page=11).
### 2.5 De ogenblikkelijke waarde (u, i)
De ogenbliklijke waarde is de waarde van de spanning of stroom op een specifiek tijdstip [12](#page=12).
* **Voorstelling:** `e`, `u` (spanning) of `i` (stroom) [12](#page=12).
* **Formule:** Voor een sinusvormige wisselgrootheid geldt:
$$ u = U_m \cdot \sin(\omega \cdot t) $$ [12](#page=12).
$$ i = I_m \cdot \sin(\omega \cdot t) $$ [12](#page=12).
Hierin is `U_m` de maximale waarde van de spanning en `I_m` de maximale waarde van de stroom. De formule drukt de waarde uit als functie van de tijd `t`.
### 2.6 De maximumwaarde, topwaarde of amplitude (U_m, I_m)
De amplitude is de hoogste waarde die de spanning of stroom bereikt gedurende één periode [13](#page=13).
* **Voorstelling:** `U_m` of `\hat{U}` voor spanning, `I_m` of `\hat{I}` voor stroom [13](#page=13).
### 2.7 De gemiddelde waarde
De gemiddelde waarde van een wisselende stroom of spanning kan op verschillende manieren worden gedefinieerd en berekend.
* **Gemiddelde waarde van een willekeurige wisselende stroom over één periode:** Deze waarde kan worden berekend met behulp van integralen. Het gearceerde oppervlak onder de curve vertegenwoordigt de verplaatste lading `Q`. Door deze oppervlakte te integreren over de betreffende tijdsperiode, kan een gemiddelde stroomwaarde (`I_{av}` of `I_{gem}`) worden bepaald. Het doel is om een gelijkstroom te vinden die over dezelfde tijdsperiode dezelfde lading verplaatst [14](#page=14).
> **Tip:** De gemiddelde waarde is conceptueel de gelijkstroom die gedurende een bepaalde tijd dezelfde totale hoeveelheid lading verplaatst als de wisselstroom in diezelfde tijd.
* **Gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom over een volledige periode (T):** De gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom of wisselspanning over een volledige periode is altijd nul. Dit komt doordat de positieve en negatieve delen van de sinus elkaar precies opheffen [15](#page=15).
* **Gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom over een halve periode (T/2):** In de praktijk wordt de gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom of -spanning vaak berekend over een halve periode [16](#page=16).
* **Voorstelling:** `I_{av}` of `I_{gem}` (stroom), `U_{av}` of `U_{gem}` (spanning) [16](#page=16).
* **Formule:**
$$ I_{av} = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0,6366 \cdot I_m $$ [16](#page=16).
$$ U_{av} = \frac{2}{\pi} \cdot U_m \approx 0,6366 \cdot U_m $$ [16](#page=16).
### 2.8 De effectieve waarde of middelbare waarde (I_eff, U_eff)
De effectieve waarde (ook wel RMS-waarde genoemd) van een sinusvormige stroom is de waarde van een gelijkstroom die gedurende dezelfde periode en in dezelfde weerstand dezelfde hoeveelheid warmte zou ontwikkelen. RMS staat voor "Root Mean Square" [17](#page=17).
* **Voorstelling:** `I_{eff}` of `U_{eff}` (stroom en spanning), `I_{RMS}` of `U_{RMS}` [17](#page=17).
* **Formule:**
$$ I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} $$ [17](#page=17).
$$ U_{eff} = \frac{U_m}{\sqrt{2}} $$ [17](#page=17).
* **Toepassing:** Multimeters tonen de effectieve waarde wanneer ze in de AC-stand staan [17](#page=17).
### 2.9 Topfactor en vormfactor van sinusoïdale spanningen en stromen
Deze factoren worden gebruikt om de vorm van een wisselspannings- of stroomgolf te karakteriseren ten opzichte van een sinusvorm.
#### 2.9.1 Topfactor (k_top)
De topfactor is de verhouding tussen de maximale waarde (amplitude) en de effectieve waarde van een sinusvormige spanning of stroom [18](#page=18).
* **Voorstelling:** `k_top` [18](#page=18).
* **Formule:**
$$ k_{top} = \frac{U_m}{U_{eff}} = \frac{I_m}{I_{eff}} $$ [18](#page=18).
Voor een sinusvormige golf geldt:
$$ k_{top} = \frac{U_m}{U_m / \sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41 $$ [18](#page=18).
#### 2.9.2 Vormfactor (k_vorm)
De vormfactor is de verhouding tussen de effectieve waarde en de gemiddelde waarde van een sinusvormige spanning of stroom [19](#page=19).
* **Voorstelling:** `k_vorm` [19](#page=19).
* **Formule:**
$$ k_{vorm} = \frac{U_{eff}}{U_{av}} = \frac{I_{eff}}{I_{av}} $$ [19](#page=19).
Voor een sinusvormige golf geldt:
$$ k_{vorm} = \frac{I_m / \sqrt{2}}{(2/\pi) \cdot I_m} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1,11 $$ [19](#page=19).
### 2.10 Oefeningen
Hieronder staan enkele oefeningen die helpen bij het toepassen van de geleerde concepten [20](#page=20).
1. Een wisselstroom heeft als wiskundige uitdrukking van de momentele waarde: $i = 12 \, \text{A} \cdot \sin(314 \cdot t)$ rad. Bepaal de frequentie, de momentele waarde na een tijd van 0,01 s en de gemiddelde stroom over een halve periode [20](#page=20).
* **Oplossing:** 50 Hz; 0,02 A; 7,64 A [20](#page=20).
2. Een ohmse weerstand van 20 Ω is aangesloten op een sinusoïdale spanning waarvan de amplitude 65 V bedraagt. Bereken de erin verplaatste hoeveelheid elektriciteit Q in een tijdsinterval van 6 minuten [20](#page=20).
* **Oplossing:** 828 C [20](#page=20).
3. Bepaal de effectieve waarde van de sinusoïdale stroom met als wiskundige uitdrukking voor de momentele waarde: $i = 15 \, \text{A} \cdot \sin(628 \cdot t)$ rad [20](#page=20).
* **Oplossing:** 10,61 A [20](#page=20).
4. Een sinusoïdale stroom met een maximumwaarde van 9 A vloeit in een ohmse weerstand van 120 Ω gedurende een tijd van 30 minuten. Bereken de ontwikkelde hoeveelheid warmte-energie (maximum en effectief) in joules [20](#page=20).
* **Oplossing:** 17,496 MJ; 8,737 MJ [20](#page=20).
5. Een sinusoïdale spanning heeft als uitdrukking: $u = 340 \, \text{V} \cdot \sin(377 \cdot t)$ rad. Bepaal de frequentie, de amplitude, de effectieve waarde van deze spanning en de gemiddelde spanning over een halve periode [20](#page=20).
* **Oplossing:** 60 Hz; 340 V; 240,42 V; 216,45 V [20](#page=20).
6. Een wisselstroom voltmeter duidt een spanning aan van 120 V. Bereken de momentele waarde van de spanning 6 milliseconden nadat de spanning nul was. De frequentie is 50 Hz [20](#page=20).
* **Oplossing:** 161,40 V [20](#page=20).
---
# Faseverschuivingen en vectordiagrammen in wisselstroom
Dit onderwerp introduceert het concept van faseverschuivingen tussen wisselstroomgrootheden, de representatie hiervan met vectordiagrammen, en de begrippen voorijlen en naijlen, samen met oefeningen om deze concepten toe te passen.
### 3.1 Vectordiagram
* Traditionele grafische weergaven van sinusvormige grootheden worden onoverzichtelijk bij een groot aantal lijnen [21](#page=21).
* De vectoriële voorstelling, waarbij wisselstroomgrootheden worden voorgesteld door draaiende vectoren (fazoren) in een vectordiagram, is ontwikkeld om dit probleem op te lossen [21](#page=21).
* In plaats van de maximumwaarde wordt voor de lengte van de vectoren in een vectordiagram de effectieve waarde gebruikt. De rotatiesnelheid is constant $\omega$ [21](#page=21).
### 3.2 In fase
* Twee wisselstroomgrootheden zijn in fase als ze op dezelfde momenten de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen [22](#page=22).
* Ze hebben uiteraard ook dezelfde frequentie [22](#page=22).
### 3.3 Faseverschuiving of faseverschil
* Wanneer twee wisselstroomgrootheden, ondanks dezelfde frequentie, niet gelijktijdig de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen, is er sprake van een faseverschil of faseverschuiving [23](#page=23).
* Dit faseverschil wordt aangeduid met de Griekse letter $\phi$ [23](#page=23).
* De hoek kan worden uitgedrukt in radialen of graden, of in tijd als de frequentie bekend is [23](#page=23).
#### 3.3.1 Conventies voor fasehoeken
* De fasehoek wordt standaard genomen tussen 0° en 180°. Formeel: $0^\circ \le |\phi| \le 180^\circ$ [24](#page=24).
* De positieve X-as dient als referentie [24](#page=24).
* Een positieve hoek betekent een rotatie tegen de klok in ten opzichte van de referentie [24](#page=24).
* Een negatieve hoek betekent een rotatie met de klok mee ten opzichte van de referentie [24](#page=24).
#### 3.3.2 Omrekenen van fasehoeken
* Het is mogelijk om fasehoeken om te rekenen naar equivalenten binnen het bereik van -180° tot +180°.
* Een faseverschuiving van +270° is equivalent aan -90° [25](#page=25).
* Een faseverschuiving van -225° is equivalent aan +135° [25](#page=25).
### 3.4 Voorijlen en naijlen
* **Voorijlen:** Als de stroom zijn positieve maximum eerder bereikt dan de spanning, dan zegt men dat de stroom voorijlt op de spanning, of dat de spanning nàijlt op de stroom [26](#page=26).
* Wiskundige uitdrukking:
* $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$
* $i = I_m \cdot \sin(\omega t + \phi)$
met $\phi > 0$ [26](#page=26).
* **Naijlen:** Als de stroom zijn positieve maximum later bereikt dan de spanning, dan zegt men dat de stroom nàijlt op de spanning, of dat de spanning voorijlt op de stroom [26](#page=26).
* Wiskundige uitdrukking:
* $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$
* $i = I_m \cdot \sin(\omega t - \phi)$
met $\phi > 0$ [26](#page=26).
#### 3.4.1 Speciale faseverschuivingen
* Indien $\phi = 0^\circ$, zijn de grootheden in fase [27](#page=27).
* Indien $\phi = 90^\circ$, zijn de grootheden in kwadratuur [27](#page=27).
* Indien $\phi = 180^\circ$, zijn de grootheden in tegenfase of oppositie [27](#page=27).
#### 3.4.2 Vectoriële samenstelling en cosinusregel
* Bij een vectoriële samenstelling van vectoren kan de resulterende vector grafisch met een bepaalde schaal worden bepaald. De wiskundige berekening met de cosinusregel is nauwkeuriger [28](#page=28).
* De cosinusregel voor de resulterende stroomsterkte $I$ van twee stromen $I_1$ en $I_2$ met een fasehoek $\phi$ tussen hen is:
$$I = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 + 2 I_1 I_2 \cos(\phi)}$$
[28](#page=28).
* Aangezien $\cos(\alpha) = -\cos(\phi)$ wanneer $\alpha$ de hoek is tussen de vectoren in een diagram waar de fasehoek $\phi$ wordt gebruikt in de formules, wordt de formule vaak geschreven als:
$$I = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 - 2 I_1 I_2 \cos(\phi)}$$
[28](#page=28).
* **Tip:** Let goed op het teken in de cosinusregel, afhankelijk van hoe de fasehoek wordt gedefinieerd in relatie tot de vectoriële sommatie. Vaak wordt de cosinusregel voor het optellen van vectoren gebruikt, waarbij de cosinus van de hoek *tussen* de vectoren wordt ingevuld. Als de formules voor spanning en stroom respectievelijk $U_m \sin(\omega t)$ en $I_m \sin(\omega t - \phi)$ zijn, dan is de fasehoek *tussen* de spanning en stroom $\phi$. Voor de vectoriële som is de hoek dan $180^\circ - \phi$ of $\phi$ afhankelijk van de specifieke opstelling. De formule hier gegeven met $-\cos(\phi)$ impliceert dat $\phi$ de fasehoek is tussen de twee grootheden zelf, en dat de cosinusregel voor vectoroptelling wordt toegepast op een diagram waarbij de hoek anders georiënteerd is. Het is cruciaal om de context van de cosinusregel die je gebruikt te begrijpen.
* Om een vector af te trekken, telt men de vector met een tegengesteld teken op [28](#page=28).
* Voor de samenstelling van meer dan twee vectoren wordt de cosinusregel herhaaldelijk toegepast. Grafisch worden alle vectoren getekend met hun juiste richting, zin en grootte, waarbij het beginpunt van de ene vector samenvalt met het eindpunt van de voorgaande [28](#page=28).
* **Tip:** De cosinusregel en sinusregel voor vectoriële samenstelling worden vaak verstrekt op het examen. Zorg dat je weet hoe je ze correct toepast [29](#page=29).
### 3.5 Oefeningen
1. Een wisselstroom ijlt $T/6$ seconden voor op een wisselspanning. Bereken het faseverschil in seconden, graden en radialen als de frequentie 50Hz is.
* Oplossing: 3,3 ms; 60°; 1,047 rad [30](#page=30).
2. Een stroomsterkte met een effectieve waarde van 20A ijlt 45° na op een spanning met een effectieve waarde van 100V. Geef de wiskundige uitdrukking van de stroomsterkte en de spanning. Bereken de waarde van de stroom bij $t=5s$ als $f=50Hz$.
* Oplossing: $i = I_m \cdot \sin(\omega t - 45^\circ)$; $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$; -20 A [30](#page=30).
3. Een stroomsterkte met een amplitude van 25A ijlt 40° na op een spanning met een amplitude van 150V. Bereken de momentane waarde van de stroomsterkte op het ogenblik dat de spanning haar amplitude bereikt.
* Oplossing: 19,15 A [30](#page=30).
4. Een sinusoïdale stroom met een amplitude van 16A ijlt 60° na op een sinusoïdale spanning met een amplitude van 310V. Bereken de momentane waarde van de stroom en van de spanning op het tijdstip dat op $T/12$ rechts voorbij de nuldoorgang van de spanning ligt.
* Oplossing: -8 A; 155 V [30](#page=30).
5. Een sinusoïdale stroom, met een effectieve waarde van 12,5A, ijlt na op een sinusïdale spanning. Op het tijdstip waarop de momentane waarde van de spanning positief maximaal is, bereikt de stroom een ogenblikkelijke waarde van 10A. Bereken de faseverschuiving.
* Oplossing: 55,55° [30](#page=30).
6. Twee wisselspanningen van 30V en 50V staan in serie en zijn onderling 30° verschoven. Bereken de waarde van de resulterende spanning.
* Oplossing: 77,45 V [30](#page=30).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Gelijkstroom | Een elektrische stroom waarbij de richting constant blijft in de tijd. De waarde kan wel variëren. |
| Constante gelijkstroom | Een gelijkstroom waarvan de waarde onveranderlijk is over de tijd; deze blijft op elk moment even groot. |
| Veranderlijke gelijkstroom | Een gelijkstroom die weliswaar dezelfde richting behoudt, maar waarvan de stroomsterkte voortdurend verandert. |
| Periodieke gelijkstroom | Een wisselende gelijkstroom waarvan het verloop van de stroomsterkte zich op vaste tijdsintervallen op identieke wijze herhaalt. |
| Wisselende stroom | Een elektrische stroom die voortdurend zowel van richting als van waarde verandert in de tijd, zonder duidelijke wetmatigheid of periodieke herhaling. |
| Wisselstroom | Een elektrische stroom die periodiek van richting en waarde verandert. De gemiddelde waarde over één periode is nul. |
| Sinusvormige wisselspanning | Een wisselspanning waarvan de waarde in de tijd een sinusvormig verloop volgt, beschreven door de functie $u = U_m \cdot \sin(\omega \cdot t)$. |
| Periode (T) | De tijdsduur tussen twee opeenvolgende momenten waarop een wisselstroom of wisselspanning dezelfde waarde aanneemt in dezelfde richting. De eenheid is seconde (s). |
| Frequentie (f) | Het aantal perioden dat per seconde doorlopen wordt. De eenheid is Hertz (Hz). |
| Cirkelfrequentie (ω) | Ook wel hoeksnelheid genoemd, dit is het aantal radialen dat per seconde wordt doorlopen. Het verband met de frequentie is $\omega = 2\pi f$. |
| Ogenblikkelijke waarde | De waarde van een wisselspanning of -stroom op een specifiek moment in de tijd. Wordt aangeduid met kleine letters zoals $u$ of $i$. |
| Maximumwaarde (amplitude) | De hoogste waarde die een wisselspanning of -stroom bereikt binnen één periode. Wordt aangeduid met grote letters met een index m, zoals $U_m$ of $I_m$. |
| Gemiddelde waarde | De gemiddelde waarde van een wisselstroom of -spanning over een bepaalde tijdsperiode, berekend met integralen. Voor een sinusvormige wisselstroom over een volledige periode is deze 0. |
| Effectieve waarde (RMS) | De waarde van een gelijkstroom die dezelfde hoeveelheid warmte ontwikkelt als een wisselstroom in dezelfde weerstand gedurende dezelfde periode. Wordt ook wel middelbare waarde of RMS-waarde genoemd (Root Mean Square). |
| Topfactor | De verhouding tussen de maximumwaarde (amplitude) en de effectieve waarde van een sinusoïdale spanning of stroom. Voor een sinusvorm is dit $\sqrt{2} \approx 1,41$. |
| Vormfactor | De verhouding tussen de effectieve waarde en de gemiddelde waarde van een sinusoïdale spanning of stroom. Voor een sinusvorm is dit ongeveer 1,11. |
| Vectordiagram (fazoren) | Een grafische methode om sinusoïdale wisselstroomgrootheden voor te stellen met behulp van draaiende vectoren (fazoren), waarbij de lengte van de vector meestal de effectieve waarde voorstelt. |
| In fase | Twee wisselstroomgrootheden zijn in fase als ze op hetzelfde moment de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen en dezelfde frequentie hebben. |
| Faseverschuiving (ϕ) | Het verschil in fase tussen twee wisselstroomgrootheden met dezelfde frequentie, die niet gelijktijdig hun nul- en topwaarden doorlopen. Wordt uitgedrukt in graden of radialen. |
| Voorijlen | Situatie waarbij de stroom een positief maximum eerder bereikt dan de spanning; de stroom 'loopt voor' op de spanning. |
| Naijlen | Situatie waarbij de stroom een positief maximum later bereikt dan de spanning; de stroom 'loopt achter' op de spanning. |
Cover
Elektriciteit_wisselstroom_theorie_uitbreiding_11.pdf
Summary
# Samengestelde wisselstroomketens in serieschakeling
Dit deel behandelt de analyse van wisselstroomketens met weerstanden, spoelen en condensatoren in serieschakeling, inclusief berekeningen van stroomsterkte, impedantie, spanningsvallen en faseverschuivingen [10](#page=10) [2](#page=2) [6](#page=6).
### 1.1 Keten met R en L in serie
Een niet-ideale spoel kan beschouwd worden als een ideale spoel met zelfinductie $L$ in serie met een ohmse weerstand $R$. Bij aansluiting op een sinusvormige spanning $U$ ontstaat een sinusvormige wisselstroom $I$ die de spanning met een hoek $\phi$ zal naijlen, wat duidt op een inductieve keten [2](#page=2).
#### 1.1.1 Spanningsvallen
De stroom $I$ veroorzaakt de volgende spanningsvallen:
* **Ohmse spanningsval** over de weerstand $R$: $U_R$, welke in fase is met de stroom $I$ [2](#page=2).
$U_R = I \cdot R$ [2](#page=2).
* **Inductieve spanningsval** over de spoel $L$: $U_L$, welke 90° voorijlend is op de stroom $I$ [2](#page=2).
$U_L = I \cdot X_L = I \cdot \omega \cdot L$ [2](#page=2).
#### 1.1.2 Vectordiagram en berekening van stroomsterkte
Bij de analyse van serieschakelingen wordt het vectordiagram opgesteld met de stroom $I$ als referentiegrootheid, aangezien deze voor alle componenten gelijk is. De totale spanning $U$ wordt gevonden met behulp van de stelling van Pythagoras toegepast op de spanningsdriehoek [3](#page=3):
$U^2 = U_R^2 + U_L^2$ [4](#page=4).
Na substitutie van de spanningsvallen:
$U^2 = (I \cdot R)^2 + (I \cdot X_L)^2 = I^2 \cdot (R^2 + X_L^2)$ [4](#page=4).
Hieruit kan de stroomsterkte $I$ worden afgeleid:
$I = \frac{U}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ [4](#page=4).
#### 1.1.3 Impedantie en impedantiedriehoek
De impedantie $Z$ van de keten is de totale weerstand tegen de wisselstroom en wordt gedefinieerd als:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ [4](#page=4) [5](#page=5).
Door de spanningsdriehoek te delen door de stroom $I$, ontstaat de impedantiedriehoek. Hierin gelden de volgende relaties [5](#page=5):
* $Z^2 = R^2 + X_L^2$ [5](#page=5).
* $\sin \phi = \frac{U_L}{U} = \frac{X_L}{Z}$ [5](#page=5).
* $\cos \phi = \frac{U_R}{U} = \frac{R}{Z}$ [5](#page=5).
* $\tan \phi = \frac{U_L}{U_R} = \frac{X_L}{R}$ [5](#page=5).
> **Tip:** De hoek $\phi$ geeft de faseverschuiving tussen de spanning $U$ en de stroom $I$ aan. Een positieve hoek duidt op een inductieve keten waarbij de stroom naijlt op de spanning.
### 1.2 Keten met R en C in serie
Wanneer een condensator $C$ in serie staat met een weerstand $R$ en wordt aangesloten op een sinusvormige spanning $U$, ontstaat een wisselstroom $I$ die de spanning met een hoek $\phi$ zal voorijlen. Dit kenmerkt een capacitieve keten [6](#page=6).
#### 1.2.1 Spanningsvallen
De spanningsvallen zijn:
* **Ohmse spanningsval** over de weerstand $R$: $U_R$, in fase met de stroom $I$ [6](#page=6).
$U_R = I \cdot R$ [6](#page=6).
* **Capacitieve spanningsval** over de condensator $C$: $U_C$, welke 90° naijlend is op de stroom $I$ [6](#page=6).
$U_C = I \cdot X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}$ [6](#page=6).
#### 1.2.2 Vectordiagram en berekening van stroomsterkte
Net als bij de R-L keten, is de stroom $I$ de referentiegrootheid in het vectordiagram. De totale spanning $U$ wordt berekend met de stelling van Pythagoras [7](#page=7):
$U^2 = U_R^2 + U_C^2$ [8](#page=8).
Hieruit volgt de formule voor de stroomsterkte $I$:
$I = \frac{U}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ [8](#page=8).
#### 1.2.3 Impedantie en impedantiedriehoek
De impedantie $Z$ voor een R-C serieschakeling is:
$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ [8](#page=8) [9](#page=9).
De impedantiedriehoek leidt tot de volgende relaties:
* $Z^2 = R^2 + X_C^2$ [9](#page=9).
* $\sin \phi = \frac{U_C}{U} = \frac{X_C}{Z}$ [9](#page=9).
* $\cos \phi = \frac{U_R}{U} = \frac{R}{Z}$ [9](#page=9).
* $\tan \phi = \frac{U_C}{U_R} = \frac{X_C}{R}$ [9](#page=9).
> **Tip:** In een capacitieve keten zal de stroom $I$ de spanning $U$ voorijlen. De faseverschuiving $\phi$ zal, door de aanwezigheid van de weerstand $R$, altijd kleiner zijn dan 90°.
### 1.3 Keten met R, L en C in serie
In een serieschakeling met een weerstand $R$, een spoel $L$ en een condensator $C$, wordt de totale spanning $U$ verdeeld over deze componenten. De stroom $I$ is gelijk voor alle componenten [10](#page=10).
#### 1.3.1 Spanningsvallen
De spanningsvallen zijn:
* $U_R = I \cdot R$ (in fase met $I$) [10](#page=10).
* $U_L = I \cdot X_L = I \cdot \omega \cdot L$ (90° voorijlend op $I$) [10](#page=10).
* $U_C = I \cdot X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}$ (90° naijlend op $I$) [10](#page=10).
#### 1.3.2 Vectordiagram en berekening van stroomsterkte
Het vectordiagram toont dat de inductieve spanning $U_L$ en de capacitieve spanning $U_C$ tegengesteld gericht zijn. De totale spanning $U$ wordt berekend met de stelling van Pythagoras, rekening houdend met het verschil tussen $U_L$ en $U_C$ [11](#page=11):
$U^2 = U_R^2 + (U_L - U_C)^2$ [12](#page=12).
Na substitutie en vereenvoudiging, wordt de stroomsterkte $I$ als volgt berekend:
$I = \frac{U}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ [12](#page=12).
#### 1.3.3 Impedantie en impedantiedriehoek
De impedantie $Z$ van een RLC-serieschakeling is:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ [12](#page=12) [13](#page=13).
De impedantiedriehoek geeft de volgende relaties:
* $Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$ [13](#page=13).
* $\sin \phi = \frac{U_L - U_C}{U} = \frac{X_L - X_C}{Z}$ [13](#page=13).
* $\cos \phi = \frac{U_R}{U} = \frac{R}{Z}$ [13](#page=13).
* $\tan \phi = \frac{U_L - U_C}{U_R} = \frac{X_L - X_C}{R}$ [13](#page=13).
#### 1.3.4 Gedrag van de keten
Het gedrag van de keten hangt af van het verschil tussen de inductieve en capacitieve reactantie ($X_L$ en $X_C$):
* Als $X_L > X_C$: $\tan \phi > 0$, de keten is inductief, en de stroom $I$ **naijlt** op de spanning $U$ [13](#page=13).
* Als $X_L < X_C$: $\tan \phi < 0$, de keten is capacitief, en de stroom $I$ **voorijlt** op de spanning $U$ [13](#page=13).
* Als $X_L = X_C$: $\tan \phi = 0$, de keten is ohms, de stroom $I$ is **in fase** met de spanning $U$. Dit fenomeen wordt **serieresonantie** genoemd [13](#page=13).
### 1.4 Serieresonantie
Serieresonantie treedt op wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie [14](#page=14):
$X_L = X_C$ [14](#page=14).
#### 1.4.1 Resonantiefrequentie
De resonantiefrequentie $\omega_0$ (in radialen per seconde) en $f_0$ (in Hertz) worden als volgt berekend:
$\omega_0 \cdot L = \frac{1}{\omega_0 \cdot C}$ [14](#page=14).
$\omega_0^2 = \frac{1}{L \cdot C}$ [14](#page=14).
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ [14](#page=14).
$\omega_0 = 2 \cdot \pi \cdot f_0$ [14](#page=14).
$f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$ [14](#page=14).
#### 1.4.2 Kenmerken bij resonantie
Bij resonantie geldt:
* De impedantie $Z$ is minimaal en gelijk aan de ohmse weerstand $R$: $Z = R$ [14](#page=14).
* De stroomsterkte $I$ bereikt een maximumwaarde: $I_{max} = \frac{U}{R}$ [14](#page=14).
* De RLC-keten gedraagt zich als een selectiefilter; het laat stromen met de resonantiefrequentie $f_0$ door, terwijl andere frequenties worden gedempt. De selectiviteit wordt groter naarmate de kromme rond de resonantiefrequentie steiler verloopt, wat bereikt wordt met een kleinere serieweerstand $R$ [15](#page=15).
* Bij resonantie staat de aangelegde spanning over de weerstand $R$. De spanningen over de spoel en de condensator heffen elkaar op, maar hun individuele absolute waarden kunnen hoger zijn dan de bronspanning (overspanning). Dit effect wordt groter naarmate $R$ kleiner is [15](#page=15).
### 1.5 Oefeningen
Oefeningen met betrekking tot R-L, R-C, en R-L-C serieschakelingen, inclusief berekeningen van impedantie, stroomsterkte, spanningsvallen, faseverschuivingen en resonantiefrequenties [16](#page=16).
* **Voorbeeld 1**: Een spoel met $R=60 \Omega$, $L=254,6 \, \text{mH}$, aangelegde spanning $U=120 \, \text{V}$ en frequentie $f=50 \, \text{Hz}$. Bereken $Z$, $I$, $U_R$, $U_L$ en $\phi$ [16](#page=16).
* **Voorbeeld 2**: Een spoel met $R=80 \Omega$, $L=0,2 \, \text{H}$, $U=150 \, \text{V}$ en $f=120 \, \text{Hz}$. Bereken $I$, $Z$ en $\phi$ [16](#page=16).
* **Voorbeeld 3**: Een condensator met $C=31,96 \, \mu\text{F}$, $R=164 \, \Omega$, $U=110 \, \text{V}$ en $f=60 \, \text{Hz}$. Bereken $Z$, $I$, $U_R$, $U_C$ en $\phi$ [16](#page=16).
* **Voorbeeld 4**: Een condensator met $C=2 \, \mu\text{F}$, $R=1300 \, \Omega$, $U=220 \, \text{V}$ en $f=50 \, \text{Hz}$. Bereken $I$, $Z$ en $\phi$ [16](#page=16).
* **Voorbeeld 5**: Een condensator met $C=1 \, \mu\text{F}$, $R=5 \, \text{k}\Omega$, $U=130 \, \text{V}$ en $I=20 \, \text{mA}$. Bereken de frequentie $f$ [16](#page=16).
* **Voorbeeld 6**: Een spoel met $L=0,14 \, \text{H}$, condensator met $C=8 \, \mu\text{F}$, $R=10 \, \Omega$, $U=220 \, \text{V}$ en $f=50 \, \text{Hz}$. Bereken $Z$, $I$, $\phi$, $U_R$, $U_L$, $U_C$ en de resonantiefrequentie $f_0$ [16](#page=16).
---
# Samengestelde wisselstroomketens in parallelschakeling
Dit deel behandelt de analyse van samengestelde wisselstroomketens waarin weerstanden, spoelen en condensatoren parallel geschakeld zijn, met focus op stromen, impedantie en faseverschuivingen.
## 2 Samengestelde wisselstroomketens – parallelschakeling
In parallelschakelingen is de aangelegde spanning $U$ over elke component gelijk. De totale stroom $I$ is de vectoriële som van de individuele takstromen [17](#page=17).
### 2.1 Keten met R en L in parallel
In een parallelschakeling van een weerstand ($R$) en een spoel ($L$) is de spanning $U$ over beide componenten gelijk. De stroom door de weerstand, $I_R$, is in fase met de spanning $U$. De stroom door de spoel, $I_L$, loopt 90 graden achter op de spanning $U$ [17](#page=17).
De formules voor de takstromen zijn:
* Stroom door weerstand: $I_R = \frac{U}{R}$ [17](#page=17).
* Stroom door spoel: $I_L = \frac{U}{X_L}$ waarbij $X_L = \omega L$ de inductieve reactantie is [17](#page=17).
De totale stroom $I$ wordt berekend met de stroomdriehoek, gebaseerd op de gemeenschappelijke spanning $U$. De relatie tussen de stromen is [18](#page=18):
$$I^2 = I_R^2 + I_L^2$$ [19](#page=19).
Door de formules voor $I_R$ en $I_L$ te substitueren, verkrijgen we de totale stroom $I$:
$$I = U \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{X_L^2}}$$ [19](#page=19).
De impedantie $Z$ van de keten kan vervolgens worden afgeleid:
$$Z = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{X_L^2}}}$$ [19](#page=19).
> **Tip:** Bij parallelschakelingen is het vectordiagram opgesteld vanuit de gemeenschappelijke spanning $U$. De verkregen driehoek van stromen wordt de stroomdriehoek genoemd. Een RL-parallelketen vertoont een inductief gedrag, wat betekent dat de totale stroom $I$ achterloopt op de bronspanning $U$ [18](#page=18).
De admittantiedriehoek wordt verkregen door de zijden van de stroomdriehoek te delen door de spanning $U$. De admittantie $Y$ is het omgekeerde van de impedantie $Z$, en de susceptantie $B_L$ is gerelateerd aan de inductieve reactantie:
* $Y_R = \frac{1}{R}$ (conductantie) [20](#page=20).
* $Y_L = \frac{1}{X_L}$ (inductieve susceptantie) [20](#page=20).
De faseverschuivingshoek $\phi$ kan worden berekend met:
$$\tan \phi = \frac{I_L}{I_R} = \frac{1/R}{1/X_L} = \frac{X_L}{R}$$ [20](#page=20).
### 2.2 Keten met R en C in parallel
Bij een parallelschakeling van een weerstand ($R$) en een condensator ($C$) is de spanning $U$ over beide componenten gelijk. De stroom door de weerstand, $I_R$, is in fase met de spanning $U$. De stroom door de condensator, $I_C$, loopt 90 graden voor op de spanning $U$ [21](#page=21).
De formules voor de takstromen zijn:
* Stroom door weerstand: $I_R = \frac{U}{R}$ [21](#page=21).
* Stroom door condensator: $I_C = \frac{U}{X_C}$ waarbij $X_C = \frac{1}{\omega C}$ de capacitieve reactantie is [21](#page=21).
De totale stroom $I$ wordt berekend met de stroomdriehoek. De relatie tussen de stromen is [22](#page=22):
$$I^2 = I_R^2 + I_C^2$$ [23](#page=23).
De totale stroom $I$ wordt dan:
$$I = U \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{X_C^2}}$$ [23](#page=23).
De impedantie $Z$ van de keten is:
$$Z = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{X_C^2}}}$$ [23](#page=23).
> **Tip:** Een RC-parallelketen vertoont een capacitief gedrag, wat betekent dat de totale stroom $I$ voorloopt op de bronspanning $U$ [22](#page=22).
De admittantiedriehoek wordt gevormd door de stromen te delen door $U$. De capacitieve susceptantie is:
* $Y_C = \frac{1}{X_C}$ (capacitieve susceptantie) [24](#page=24).
De faseverschuivingshoek $\phi$ wordt berekend met:
$$\tan \phi = \frac{I_C}{I_R} = \frac{1/R}{1/X_C} = \frac{X_C}{R}$$ [24](#page=24).
### 2.3 Keten met R, L en C in parallel
In een parallelschakeling van een weerstand ($R$), spoel ($L$) en condensator ($C$) is de spanning $U$ over alle componenten gelijk. De stromen door de individuele componenten zijn [25](#page=25):
* Stroom door weerstand: $I_R = \frac{U}{R}$ [25](#page=25).
* Stroom door spoel: $I_L = \frac{U}{X_L}$ [25](#page=25).
* Stroom door condensator: $I_C = \frac{U}{X_C}$ [25](#page=25).
De totale stroom $I$ is de vectoriële som van deze stromen, weergegeven in de stroomdriehoek. Aangezien $I_L$ en $I_C$ tegengesteld zijn, is de relatie [26](#page=26):
$$I^2 = I_R^2 + (I_L - I_C)^2$$ [27](#page=27).
De impedantie $Z$ van de keten kan worden afgeleid uit de admittantiedriehoek, verkregen door de stromen te delen door $U$:
$$(\frac{1}{Z})^2 = (\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2$$ [28](#page=28).
$$Z = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}}$$ [28](#page=28).
De faseverschuivingshoek $\phi$ wordt bepaald door:
$$\tan \phi = \frac{I_L - I_C}{I_R} = \frac{\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C}}{\frac{1}{R}}$$ [28](#page=28).
#### 2.3.1 Soorten belastingen
De aard van de belasting in een RLC-parallelketen hangt af van de relatieve groottes van de inductieve en capacitieve susceptanties ($B_L = \frac{1}{X_L}$ en $B_C = \frac{1}{X_C}$):
* Als $B_L < B_C$ (of $I_L < I_C$), is de keten **capacitief** [29](#page=29).
* Als $B_L > B_C$ (of $I_L > I_C$), is de keten **inductief** [29](#page=29).
* Als $B_L = B_C$ (of $I_L = I_C$), is de keten **zuiver ohms**. Dit is het geval van parallelresonantie [29](#page=29).
#### 2.3.2 Parallelresonantie
Parallelresonantie treedt op wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie ($X_L = X_C$). Bij resonantie is de totale impedantie $Z$ maximaal en gelijk aan de weerstand $R$, waardoor de totale stroom $I$ minimaal wordt en in fase is met de spanning $U$ [29](#page=29) [30](#page=30).
De resonantiefrequentie $f_0$ wordt berekend met de formule:
$$X_L = X_C$$ [30](#page=30).
$$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$$ [30](#page=30).
$$\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$$ [30](#page=30).
$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ [30](#page=30).
Aangezien $\omega_0 = 2 \pi f_0$, is de resonantiefrequentie:
$$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$ [30](#page=30).
> **Vergelijking met serieresonantie:** De formule voor de resonantiefrequentie is identiek aan die voor serieresonantie. Echter, bij serieresonantie wordt de impedantie minimaal en de stroom maximaal, terwijl bij parallelresonantie de impedantie maximaal is en de stroom minimaal [30](#page=30).
### 2.4 Oefeningen
Enkele voorbeelden van berekeningen voor parallelschakelingen met R, L en C:
1. Een parallelkring met $R = 100 \text{ Ω}$ en $L = 0,6 \text{ H}$, aangesloten op $120 \text{ V}$ bij $50 \text{ Hz}$ [31](#page=31).
2. Een parallelschakeling van $C = 6 \text{ µF}$ en $R = 80 \text{ Ω}$, met een spanning van $220 \text{ V}$ bij $50 \text{ Hz}$ [31](#page=31).
3. Een parallelkring met $R = 200 \text{ Ω}$, $L = 0,405 \text{ H}$, $C = 25 \text{ µF}$ onder een spanning van $240 \text{ V}$ met variabele frequentie. Berekening van de resonantiefrequentie en de stromen bij verschillende frequenties [31](#page=31).
4. Een parallelschakeling van $L = 80 \text{ mH}$, $R = 12 \text{ Ω}$ en $C = 200 \text{ µF}$, aangesloten op $200 \text{ V}$ bij $120 \text{ Hz}$ [31](#page=31).
---
# Resonantie in wisselstroomketens
Resonantie in wisselstroomketens treedt op wanneer de inductieve en capacitieve reactanties elkaar opheffen, wat leidt tot specifieke gedragingen van de impedantie en stroomsterkte in zowel series als parallel geschakelde RLC-ketens [13](#page=13) [29](#page=29).
### 3.1 Serieresonantie
#### 3.1.1 De impedantiedriehoek in een RLC-serieschakeling
In een RLC-serieschakeling kan de impedantie worden gevisualiseerd met de impedantiedriehoek. Door de zijden van de spanningsdriehoek te delen door de stroom, verkrijgen we de impedantiedriehoek. De relaties tussen impedantie, weerstand, reactanties en fasehoek ($\phi$) zijn als volgt [13](#page=13):
* Impedantie ($Z$): $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ [13](#page=13).
* Fasehoek ($\phi$): $\sin \phi = \frac{X_L - X_C}{Z}$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ [13](#page=13).
Afhankelijk van de verhouding tussen de inductieve reactantie ($X_L$) en de capacitieve reactantie ($X_C$), kan de keten inductief, capacitief of ohms gedragen [13](#page=13):
* Inductief: $X_L > X_C$. De fasehoek $\phi$ is positief en de stroom ijlt na op de spanning [13](#page=13).
* Capacitief: $X_L < X_C$. De fasehoek $\phi$ is negatief en de stroom ijlt voor op de spanning [13](#page=13).
* Ohms: $X_L = X_C$. De fasehoek $\phi$ is nul, de stroom is in fase met de spanning, en de keten is in resonantie. Dit specifieke geval wordt serieresonantie genoemd [13](#page=13).
#### 3.1.2 De resonantiefrequentie en gevolgen bij serieresonantie
Serieresonantie treedt op wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie [14](#page=14):
$$X_L = X_C$$
Dit leidt tot de volgende formules voor de hoekfrequentie ($\omega_0$) en de frequentie ($f_0$) bij resonantie:
$$ \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} $$
$$ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} $$
$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$
Aangezien $\omega_0 = 2 \pi f_0$, wordt de resonantiefrequentie:
$$ f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} $$
Bij resonantie wordt de impedantie van de keten minimaal en gelijk aan de ohmse weerstand ($Z = R$). Hierdoor bereikt de stroomsterkte een maximumwaarde, beperkt door alleen de weerstand $R$ [14](#page=14):
$$ I_{max} = \frac{U}{R} $$
Een RLC-keten in serieresonantie fungeert als een selectiefunctie die een specifieke frequentie ($f_0$) doorlaat terwijl andere frequenties significant worden gedempt door een hogere weerstand. Hoe steiler de stroom-frequentiecurve verloopt rond $f_0$, hoe groter de selectiviteit van de keten. In het ideale geval zou de keten slechts één frequentie doorlaten. De kleinste serieweerstand resulteert in de grootste selectiviteit [15](#page=15).
> **Tip:** Bij serieresonantie staat de volledige aangelegde spanning over de ohmse weerstand. Echter, de spanningen over de spoel en de condensator, die in tegenfase zijn, heffen elkaar niet op maar kunnen afzonderlijk hoger zijn dan de bronspanning. Dit fenomeen wordt overspanning genoemd en neemt toe naarmate de ohmse weerstand kleiner wordt [15](#page=15).
### 3.2 Parallelresonantie
#### 3.2.1 Gedrag van een RLC-parallelschakeling
In een parallel geschakelde RLC-keten kan de keten inductief, capacitief of ohms gedragen, afhankelijk van de verhouding tussen de inductieve ($X_L$) en capacitieve ($X_C$) reactanties [29](#page=29):
* Inductief: $X_L < X_C$ [29](#page=29).
* Capacitief: $X_L > X_C$ [29](#page=29).
* Zuiver ohms: $X_L = X_C$. De keten gedraagt zich als zuiver ohms en de stroom is in fase met de toegepaste spanning. Dit is parallelresonantie [29](#page=29).
#### 3.2.2 De resonantiefrequentie en gevolgen bij parallelresonantie
Parallelresonantie treedt op onder dezelfde voorwaarde als serieresonantie, namelijk wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie [30](#page=30):
$$X_L = X_C$$
Dit leidt tot dezelfde formules voor de hoekfrequentie ($\omega_0$) en de frequentie ($f_0$) bij resonantie:
$$ \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} $$
$$ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} $$
$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$
En dus voor de resonantiefrequentie:
$$ f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} $$
#### 3.2.3 Vergelijking tussen serie- en parallelresonantie
De formule voor het berekenen van de resonantiefrequentie is identiek voor zowel serieresonantie als parallelresonantie. Het cruciale verschil ligt in het gedrag van de impedantie en de stroomsterkte bij de resonantiefrequentie $f_0$ [30](#page=30):
* **Serieresonantie**: De impedantie ($Z$) wordt minimaal, waardoor de stroomsterkte een maximum bereikt [30](#page=30).
* **Parallelresonantie**: De impedantie ($Z$) wordt maximaal, waardoor de stroomsterkte een minimum bereikt [30](#page=30).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Wisselstroom | Een elektrische stroom waarvan de richting en grootte periodiek verandert, meestal in een sinusvormige manier. |
| Spoel (Inductor) | Een elektronisch component dat energie opslaat in een magnetisch veld wanneer er een elektrische stroom doorheen loopt. Het wordt gekarakteriseerd door zijn zelfinductiecoëfficiënt L. |
| Zelfinductie (L) | Het vermogen van een elektrische geleider om een elektromotorische kracht (spanning) te induceren als reactie op een verandering in de elektrische stroom die erdoorheen loopt. |
| Ohmse weerstand (R) | De weerstand van een materiaal tegen de doorgang van elektrische stroom, waarbij energie wordt omgezet in warmte. |
| Condensator (Capacitor) | Een elektronisch component dat elektrische energie opslaat in een elektrisch veld. Het wordt gekarakteriseerd door zijn capaciteit C. |
| Capaciteit (C) | Het vermogen van een geleider of systeem om elektrische lading op te slaan, gerelateerd aan de spanning die nodig is om die lading op te bouwen. |
| Capacitieve reactantie (X_C) | De weerstand die een condensator biedt tegen de doorgang van wisselstroom. Deze is omgekeerd evenredig met de frequentie en de capaciteit. |
| Inductieve reactantie (X_L) | De weerstand die een spoel biedt tegen de doorgang van wisselstroom. Deze is recht evenredig met de frequentie en de zelfinductie. |
| Impedantie (Z) | De totale effectieve weerstand van een wisselstroomketen, bestaande uit ohmse weerstand, inductieve reactantie en capacitieve reactantie. |
| Faseverschuiving (ϕ) | Het tijdsverschil tussen de golfvormen van spanning en stroom in een wisselstroomketen, uitgedrukt in graden of radialen. |
| Vectordiagram | Een grafische weergave die de spanningen en stromen in een wisselstroomketen en hun relatieve faseposities toont. |
| Spanningdriehoek | Een driehoek die de relaties tussen de totale spanning en de spanningsvallen over de componenten in een serieschakeling weergeeft. |
| Stromendriehoek | Een driehoek die de relaties tussen de totale stroom en de stromen door de componenten in een parallelschakeling weergeeft. |
| Impedantiedriehoek | Een driehoek die de relaties tussen de impedantie en de componenten van de impedantie (weerstand en reactanties) in een wisselstroomketen weergeeft. |
| Admittantiedriehoek | Een driehoek die de relaties tussen de admittantie en de componenten van de admittantie (conductantie en susceptantie) in een wisselstroomketen weergeeft. |
| Resonantie | Een fenomeen dat optreedt in wisselstroomketens wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie, wat leidt tot specifieke gedragingen zoals minimale of maximale impedantie en stroom. |
| Resonantiefrequentie (f₀) | De specifieke frequentie waarbij resonantie optreedt in een wisselstroomketen met een spoel en een condensator. |
| Serieresonantie | Resonantie die optreedt in een serieschakeling van een spoel en een condensator, resulterend in minimale impedantie en maximale stroom. |
| Parallelresonantie | Resonantie die optreedt in een parallelschakeling van een spoel en een condensator, resulterend in maximale impedantie en minimale stroom. |
Cover
Elektrotechniek1 (1) (1).pdf
Summary
# Basisprincipes van elektriciteit
Dit hoofdstuk introduceert het SI-stelsel, essentiële eenheden en prefixen, en de fundamentele elektrische concepten van stroom, spanning en weerstand.
## 1. Het SI-stelsel en eenheden
Het SI-stelsel (Système International d'Unités) is een internationaal gestandaardiseerd metrisch systeem dat zorgt voor uniformiteit in de weergave van grootheden en eenheden. Dit bevordert de internationale uitwisseling van gegevens en is de wettelijke standaard in de EU [4](#page=4).
### 1.1 Basiseenheden van het SI-stelsel
Er zijn zeven onderling onafhankelijke basiseenheden in het SI-stelsel [4](#page=4):
* **Lengte:** Meter (m)
* **Massa:** Kilogram (kg)
* **Tijd:** Seconde (s)
* **Elektrische stroom:** Ampère (A)
* **Absolute temperatuur:** Kelvin (K)
* **Hoeveelheid stof:** Mol (mol)
* **Lichtsterkte:** Candela (cd)
### 1.2 SI-prefixen (vermenigvuldigingsfactoren)
Prefixen kunnen aan SI-eenheden worden toegevoegd om veelvouden of delen ervan aan te geven. Deze prefixen variëren van $10^{24}$ (yotta) tot $10^{-24}$ (yocto) [5](#page=5).
| Prefix | Symbool | Naam | Decimaal |
| :----- | :------ | :--------------- | :------------------------------------------ |
| Y | yotta | quadriljoen | $1.000.000.000.000.000.000.000.000$ |
| Z | zetta | triljard | $1.000.000.000.000.000.000.000$ |
| E | exa | triljoen | $1.000.000.000.000.000.000$ |
| P | peta | biljard | $1.000.000.000.000.000$ |
| T | tera | biljoen | $1.000.000.000.000$ |
| G | giga | miljard | $1.000.000.000$ |
| M | mega | miljoen | $1.000.000$ |
| k | kilo | duizend | $1.000$ |
| h | hecto | honderd | $100$ |
| da | deca | tien | $10$ |
| d | deci | een tiende | $0,1$ |
| c | centi | een honderdste | $0,01$ |
| m | milli | een duizendste | $0,001$ |
| µ | micro | een miljoenste | $0,000.001$ |
| n | nano | een miljardste | $0,000.000.001$ |
| p | pico | een biljoenste | $0,000.000.000.001$ |
| f | femto | een biljardste | $0,000.000.000.000.001$ |
| a | atto | een triljoenste | $0,000.000.000.000.000.001$ |
| z | zepto | een triljardste | $0,000.000.000.000.000.000.001$ |
| y | yocto | een quadriljoenste | $0,000.000.000.000.000.000.000.001$ |
> **Voorbeeld:** 1 km (kilometer) = 1000 m (meter) [5](#page=5).
#### 1.2.1 Oefeningen met SI-prefixen
Deze oefeningen vereisen de omzetting van getallen naar de meest passende SI-prefix met eenheid [6](#page=6).
* $10000$ g = $10$ kg [6](#page=6).
* $0,05$ m = $5$ cm [6](#page=6).
* $230$ K = $230$ K (geen prefix nodig voor deze waarde) [6](#page=6).
* $3000$ cd = $3$ kilo cd [6](#page=6).
* $60$ s = $1$ min [6](#page=6).
* $6.000.000$ A = $6$ MA (Mega-ampère) [6](#page=6).
## 2. Elektrische stroom
Elektrische stroom is de vrije beweging van elektronen die optreedt wanneer ze zich buiten de atoomkern bevinden [7](#page=7).
### 2.1 Wat is stroom?
Stroom wordt gedefinieerd als de hoeveelheid elektrische lading die per tijdseenheid door een bepaald punt of oppervlak stroomt [8](#page=8).
* **Conventionele stroomzin:** Van positief (+) naar negatief (-) [7](#page=7).
* **Elektronenstroomzin:** Van negatief (-) naar positief (+) [7](#page=7).
De wiskundige formule voor stroom is:
$$ I = \frac{Q}{t} $$
Waarbij:
* $I$ = stroom [A of Ampère [8](#page=8).
* $Q$ = elektrische lading [C of Coulomb [8](#page=8).
* $t$ = tijd [s of seconden [8](#page=8).
Deze formule kan worden vergeleken met het debiet van water, waarbij de hoeveelheid water die per tijdseenheid passeert, analoog is aan de elektrische lading die per tijdseenheid stroomt [8](#page=8).
Energie kan aan elektronen worden toegevoegd via bijvoorbeeld een batterij, stopcontact of zonnepaneelinstallatie (PV) [8](#page=8).
### 2.2 Effecten van stroom
Elektrische stroom kan diverse effecten veroorzaken:
* **Thermisch effect:** Wordt gebruikt in elektrische verwarming [9](#page=9).
* **Chemisch effect:** Zoals elektrolyse, bijvoorbeeld voor galvaniseren [9](#page=9).
* **Magnetisch effect:** Gebruikt bij afvalscheiding [9](#page=9).
* **Mechanisch effect:** Via magnetisme in elektromotoren [9](#page=9).
* **Visueel (licht) effect:** Zoals in TL-lampen (fluorescentielampen) [9](#page=9).
* **Fysiologisch effect:** Kan leiden tot elektrocutie [9](#page=9).
## 3. Elektrische spanning
Elektrische spanning, ook wel potentiaalverschil genoemd, is het potentiaalverschil tussen twee punten. Een elektrische bron, zoals een batterij, heeft een negatieve klem met een lager potentiaal dan de positieve klem. Spanning wordt uitgedrukt in Volt [V en heeft als symbool $U$ [10](#page=10).
Een analogie voor spanning is de hoogte waarop water zich bevindt; hoe hoger het water, hoe groter het potentiaalverschil en dus de potentiële energie die het kan afgeven [10](#page=10).
### 3.1 Soorten spanningsbronnen
Er zijn verschillende typen spanningsbronnen:
* **Gelijkspanningsbron:** Levert een constante spanning in één richting (symbool en voorbeeld aanwezig in de documentatie) [11](#page=11).
* **Regelbare gelijkspanningsbron:** Staat toe de gelijkspanning aan te passen (symbool en voorbeeld aanwezig in de documentatie) [11](#page=11).
* **Wisselspanningsbron:** Levert een spanning die periodiek van richting en grootte verandert (symbool en voorbeeld aanwezig in de documentatie) [11](#page=11).
### 3.2 Ontstaan van elektrische energie/spanning
Elektrische spanning kan op diverse manieren ontstaan:
* Piëzo-elektrisch effect [12](#page=12).
* Thermo-elektriciteit (temperatuurverschil) [12](#page=12).
* Foto-elektrisch effect (licht) [12](#page=12).
* Galvanische elektriciteit (chemische reacties) [12](#page=12).
* Omzetting van mechanische/magnetische energie naar elektrische energie [12](#page=12).
## 4. Elektrische weerstand
Elektrische weerstand is de mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom belemmert. De eenheid van weerstand is Ohm ($\Omega$). Het symbool voor weerstand is $R$ [13](#page=13).
### 4.1 Geleiding
Het omgekeerde van weerstand is geleiding ($G$), uitgedrukt in Siemens (S) [13](#page=13):
$$ G = \frac{1}{R} $$
> **Tip:** Het symbool $\Omega$ staat voor de Griekse hoofdletter Omega. De eenheid S staat voor Siemens [13](#page=13).
### 4.2 Oefeningen met weerstanden
Oefeningen omvatten het berekenen van weerstandswaarden op basis van kleurencodes op weerstanden, inclusief toleranties [14](#page=14) [15](#page=15).
> **Voorbeeld van weerstandsberekening:** Een weerstand met 4 banden van $500 \Omega$ met $5\%$ tolerantie [14](#page=14).
### 4.3 Weerstand van een geleider (Wet van Pouillet)
De weerstand van een geleider hangt af van het materiaal, de lengte en de doorsnede. Dit wordt beschreven door de wet van Pouillet [16](#page=16):
$$ R = \rho \frac{l}{A} $$
Waarbij:
* $R$ = weerstand van het materiaal/de geleider [$\Omega$] [16](#page=16).
* $\rho$ (rho) = de soortelijke weerstand [$\Omega$.m [16](#page=16).
* $l$ = de totale lengte van de geleider [m [16](#page=16).
* $A$ = de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de geleider [m² [16](#page=16).
> **Tip:** De Griekse kleine letter $\rho$ staat voor soortelijke weerstand [16](#page=16).
#### 4.3.1 Oefening met de wet van Pouillet
Bereken de weerstand van een kabel met de volgende gegevens: $\rho = 1,72 \times 10^{-8} \Omega.m$, lengte $l = 10$ m (5m heen en 5m terug) en een oppervlakte $A = 1,5$ mm² [16](#page=16) [17](#page=17).
Eerst converteren we de oppervlakte naar vierkante meters:
$1,5$ mm² = $1,5 \times 10^{-6}$ m² [17](#page=17).
De berekening van de weerstand is:
$$ R = (1,72 \times 10^{-8} \Omega.m) \frac{10 \text{ m}}{1,5 \times 10^{-6} \text{ m}^2} \approx 0,115 \Omega $$
Dit komt overeen met $115$ m$\Omega$ [17](#page=17).
> **Tip:** De "2" in de lengte ($l$) kan betekenen dat de kabel heen en terug wordt gebruikt [17](#page=17).
## 5. Samenvatting basisgrootheden en de Wet van Ohm
De Wet van Ohm legt het verband tussen spanning ($U$), stroom ($I$) en weerstand ($R$) [18](#page=18).
| Grootheid | Symbool | Eenheid | Symbool |
| :------------- | :------ | :------ | :------ |
| Spanning | $U$ | Volt | V |
| Stroom | $I$ | Ampère | A |
| Weerstand | $R$ | Ohm | $\Omega$ |
De Wet van Ohm kan als volgt worden uitgedrukt:
$$ I = \frac{U}{R} $$
of
$$ U = I \times R $$
of
$$ R = \frac{U}{I} $$
#### 5.1 Oefening met de Wet van Ohm
Bereken de stroom ($I$) in een kring met een spanning ($U$) van $5$ V en een totale weerstand ($R$) van $5 \Omega$ plus de weerstand van de geleider ($0,115 \Omega$) [18](#page=18):
$$ I = \frac{5 \text{ V}}{5 \Omega + 0,115 \Omega} = \frac{5 \text{ V}}{5,115 \Omega} \approx 0,978 \text{ A} $$
Dit komt neer op $978$ mA [18](#page=18).
---
# Elektrisch vermogen, energie en rendement
Dit onderwerp behandelt de fundamentele concepten van elektrisch vermogen, de berekening van elektrische energie en het begrip rendement, met praktische toepassingen en voorbeelden.
### 2.1 Elektrisch vermogen
Elektrisch vermogen ($P$) is de hoeveelheid energie die per tijdseenheid door een elektrisch apparaat wordt verbruikt of geleverd. Het kan worden ontwikkeld in een verbruiker, zoals een elektrische motor, of geleverd door een bron, zoals een DC-bron [19](#page=19) [60](#page=60).
* **Grootheid:** $P$
* **Eenheid:** Watt (W) [19](#page=19) [60](#page=60).
* **Formules:**
* $P = U \cdot I$ [19](#page=19) [61](#page=61).
* $P = I^2 \cdot R$ [19](#page=19).
* $P = \frac{U^2}{R}$ [19](#page=19).
Een typisch kenplaatje op een motor bevat informatie over het elektrische vermogen dat het apparaat nodig heeft om correct te functioneren [60](#page=60).
Het vermogen kan ook uitgedrukt worden in Joules per seconde (J/s), wat equivalent is aan Watt. $1$ paardekracht (PK) is gelijk aan $736$ W [60](#page=60) [61](#page=61).
> **Tip:** Houd er rekening mee dat het vermogen van een apparaat vaak een vast gegeven is voor correct gebruik [60](#page=60).
### 2.2 Elektrische energie
Elektrische energie ($W$ of $E$) is de hoeveelheid elektrische arbeid die wordt verricht wanneer elektrische energie wordt omgezet in een andere vorm van energie, wat resulteert in arbeid [20](#page=20) [61](#page=61).
* **Grootheid:** $W$ of $E$
* **Eenheid:** Joule (J) [20](#page=20) [61](#page=61).
* **Formules:**
* $W = U \cdot I \cdot t = P \cdot t$ [20](#page=20) [61](#page=61).
* Met de wet van Ohm: $W = I^2 \cdot R \cdot t$ [20](#page=20).
* Met de wet van Ohm: $W = \frac{U^2}{R} \cdot t$ [20](#page=20).
Elektrische arbeid houdt dus rekening met het vermogen van een installatie gedurende een bepaalde tijd [20](#page=20).
#### 2.2.1 Energie in kilowattuur
Elektrische energie kan ook worden uitgedrukt in kilowattuur (kWh) [62](#page=62).
* **Formule:** $E = P \cdot t$
* $E$: Energie in kilowattuur (kWh)
* $P$: Elektrisch vermogen in kilowatt (kW)
* $t$: Tijd in uren (h)
Een samenvatting van de energie-eenheden:
| Eenheid | Vermogen ($P$) | Energie ($E$) | Tijd ($t$) |
| :---------- | :------------- | :------------ | :--------- |
| Systeem SI | Watt (W) of J/s | Joule (J) | seconde (s) |
| Praktisch | Kilowatt (kW) | Kilowattuur (kWh) | uur (h) |
#### 2.2.2 Energie en zwaartekracht
De hoeveelheid energie die nodig is om de zwaartekracht te overwinnen, wordt berekend met de volgende vergelijking [63](#page=63):
* $E = m \cdot g \cdot h$
* $E$: Zwaarte-energie in Joule (J)
* $m$: Massa in kilogram (kg)
* $g$: Gravitatieconstante ($9,81 \, \text{m/s}^2$)
* $h$: Hoogte in meter (m)
Het vermogen kan dan worden berekend door de energie te delen door de benodigde tijd [63](#page=63).
> **Example:** Bereken het gemiddelde vermogen dat Wout van Aert trapte tijdens een klim, gegeven zijn gewicht, het gewicht van de fiets, en de klimgegevens. Dit vereist de berekening van de zwaarte-energie en de tijd die nodig was voor de klim, om vervolgens het vermogen te bepalen ($P = E/t$). Houd er rekening mee dat in dergelijke berekeningen rolweerstand, aerodynamica en andere verliezen vaak buiten beschouwing worden gelaten [64](#page=64).
### 2.3 Rendement
Rendement ($\eta^*$) is een vergelijking van het nuttige vermogen ten opzichte van het totaal toegevoerde vermogen, of de nuttige energie ten opzichte van de totaal toegevoerde energie [21](#page=21).
* **Grootheid:** $\eta^*$ (Griekse kleine letter Eta)
* **Eenheid:** Dimensieloos [21](#page=21).
* **Formule:** $\eta = \frac{P_{\text{nuttig}}}{P_{\text{toegevoegd}}} = \frac{W_{\text{nuttig}}}{W_{\text{toegevoegd}}}$ [21](#page=21).
* **Procentueel:** $\eta \times 100\%$
#### 2.3.1 Verlies van energie en rendement
Veel apparaten, zoals gloeilampen, hebben een zeer slecht rendement omdat een groot deel van de toegevoerde energie wordt omgezet in warmte in plaats van nuttig licht. Dit heeft geleid tot verboden op het gebruik van gloeilampen en halogeenlampen [22](#page=22) [23](#page=23).
### 2.4 Oefeningen en toepassingen
De documentatie bevat diverse oefeningen die de toepassing van formules voor vermogen, energie en rendement illustreren.
* **Wet van Pouillet en Ohm:** Oefeningen omvatten het berekenen van de kabelweerstand en het toepassen van de wet van Ohm [24](#page=24).
* **Vermogen en arbeid/energie:**
* Berekening van de stroomsterkte door een strijkijzer van 1000 W bij 220 V, en de weerstand van het verwarmingselement [66](#page=66).
* Bepaling van de stroom, opgenomen vermogen en weerstand van een gloeilamp in serie met een voorschakelweerstand [66](#page=66).
* Berekening van de intensiteit van de stroom, weerstand, en kostprijs van een elektrische verwarmingsradiator [67](#page=67).
* Analyse van drie parallel geschakelde weerstanden met verschillende vermogens en stromen om totale weerstand, stromen en vermogen te bepalen [67](#page=67).
* Berekening van de ontwikkelde energie in een verbruiker bij een gegeven spanning, stroom en tijd [68](#page=68).
* Berekening van stroomsterkte, spanning, elektromotorische spanning, nuttig vermogen en nuttige energie voor een elektrische oven, rekening houdend met interne generatorweerstand en energiegeleiderweerstand [68](#page=68).
> **Tip:** Voor het oplossen van circuits met meerdere componenten, is het nuttig om de stroom door elke component, de spanning over elke component, en de schema's te tekenen en te labelen met $U$ en $I$ [65](#page=65).
#### 2.4.1 Voorbeelden uit de oefeningen
**Oefening 1:** Een gloeilamp van 5 W, ontworpen voor 12 V, moet worden aangesloten op een 30 V bron. Bereken de benodigde voorschakelweerstand en de stroom door de lamp [65](#page=65).
* Eerst berekenen we de weerstand van de lamp met $P = U^2/R$.
* Vervolgens berekenen we de benodigde stroom door de lamp bij zijn nominale vermogen en spanning.
* Met de wet van Ohm kunnen we de totale weerstand in het circuit bepalen om die stroom te realiseren bij 30 V.
* De voorschakelweerstand is dan het verschil tussen de totale berekende weerstand en de weerstand van de lamp.
**Oefening 6:** Een elektrische verwarmingsradiator van 2 kW is 3 uur en 20 minuten aangesloten op 240 V. Bereken de stroomsterkte en de weerstand. Bepaal ook de kostprijs op basis van 0,53 euro/kWh [67](#page=67).
* Tijd omrekenen naar uren: 3 uur + 20/60 uur = 3,33 uur.
* Stroomsterkte berekenen met $P = U \cdot I$.
* Weerstand berekenen met $P = U^2/R$ of $U = I \cdot R$.
* Energieverbruik in kWh berekenen: $E = P_{\text{kW}} \cdot t_{\text{h}}$.
* Kostprijs berekenen: Energieverbruik (kWh) $\times$ prijs per kWh.
---
# Netwerk analyse met Kirchoff's wetten
Kirchhoff's wetten vormen de basis voor het analyseren van elektrische netwerken door stromen en spanningen te relateren aan de componenten van het netwerk, wat essentieel is voor het oplossen van complexe circuits .
### 3.1 Elektrische bronnen: spanning en stroom
Voordat we dieper ingaan op de wetten van Kirchhoff, is het belangrijk het onderscheid te kennen tussen een spanningsbron en een stroombron.
* **Spanningsbron:** Levert een nagenoeg constante spanning. De geleverde stroom varieert afhankelijk van de belasting, volgens de wet van Ohm. Voorbeelden zijn een batterij van 6V of een stopcontact van 230V .
* **Stroombron:** Levert een nagenoeg constante stroom. De geleverde spanning varieert afhankelijk van de belasting, volgens de wet van Ohm .
### 3.2 De eerste wet van Kirchhoff: stroomwet
De eerste wet van Kirchhoff, ook wel de stroomwet genoemd, stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenstromen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Dit kan ook geformuleerd worden als dat de algebraïsche som van de stromen in een vertakkingspunt gelijk is aan nul, waarbij toekomende stromen positief en weglopende stromen negatief worden gerekend .
Mathematisch kan dit worden uitgedrukt als:
$$ \sum I_{in} = \sum I_{uit} $$
of
$$ \sum I = 0 $$ .
### 3.3 De tweede wet van Kirchhoff: spanningswet
De tweede wet van Kirchhoff, ook wel de spanningswet genoemd, stelt dat de som van de potentiaalverschillen (spanningen) over de verschillende elementen in een gesloten kring (lus) gelijk is aan nul. In een gesloten elektrische kring is de algebraïsche som van de elektromotorische spanningen gelijk aan de algebraïsche som van de producten van de stroomsterkten en de bijbehorende weerstand .
Dit kan worden geformuleerd als:
$$ \sum E = \sum I \cdot R $$ .
of algemener, de som van alle potentiaalverschillen in een gesloten lus is nul:
$$ \sum E + \sum U = 0 $$ .
Bij het toepassen van de spanningswet in een lus is het cruciaal om de richting van de stroom en de omloopzin consistent te hanteren:
* **Stroomrichting over een weerstand volgens de omloopzin:** De potentiaalverandering is $-IR$ .
* **Stroomrichting over een weerstand tegen de omloopzin:** De potentiaalverandering is $+IR$ .
* **Potentiaalverschil over een spanningsbron van min naar plus (volgens de omloopzin):** De potentiaalverandering is $+U$ .
* **Potentiaalverschil over een spanningsbron van plus naar min (volgens de omloopzin):** De potentiaalverandering is $-U$ .
### 3.4 Combinatie van de wetten van Kirchhoff
De eerste en tweede wet van Kirchhoff laten toe om onbekende stromen en spanningen in elektrische netwerken te bepalen. Een systematische aanpak is essentieel voor het correct opstellen en oplossen van de vergelijkingen .
#### 3.4.1 Werkwijze voor netwerkanalyse
1. **Knooppunten identificeren:** Duid alle knooppunten in het netwerk aan .
2. **Stromen benoemen en richting aangeven:** Benoem alle stromen en geef voor elke tak de richting van de stroom weer met een pijltje. Kies een willekeurige richting als deze niet voorspelbaar is; een negatief resultaat zal dan aangeven dat de werkelijke stroom in de tegenovergestelde richting vloeit .
3. **Vergelijkingen opstellen:** Stel een aantal onafhankelijke vergelijkingen op gelijk aan het aantal onbekenden (stromen).
* **Eerste wet (KCL):** Pas de stroomwet toe in elk knooppunt. Het aantal onafhankelijke KCL-vergelijkingen is gelijk aan het aantal knooppunten min één ($n-1$). De tekens van de stromen worden bepaald door de gekozen richtingen .
* **Tweede wet (KVL):** Pas de spanningswet toe in elke onafhankelijke lus. Het aantal onafhankelijke KVL-vergelijkingen is gelijk aan het aantal takken minus het aantal knooppunten min één ($T - (K-1)$). Kies in elke lus een omloopzin en bepaal de potentiaalverschillen over de elementen zoals beschreven in sectie 3.3 .
4. **Stelsel oplossen:** Los het verkregen stelsel van lineaire vergelijkingen op om de onbekende stromen te vinden .
#### 3.4.2 Voorbeelden van vergelijking opstelling
> **Voorbeeld 1:** .
> Netwerk met 2 knopen (A, B) en 3 takken.
> * KCL in knoop A: $-I_1 - I_2 + I_3 = 0$ .
> * KVL in Lus 1: $-1 k\Omega \cdot I_1 + 10V - 4 k\Omega \cdot I_1 + 5 k\Omega \cdot I_2 + 5V = 0$ .
> * KVL in Lus 2: $-5V - 5 k\Omega \cdot I_2 - 3.5 k\Omega \cdot I_3 = 0$ .
> **Voorbeeld 2:** .
> De principes van het opstellen van vergelijkingen blijven gelijk, ook voor complexere netwerken .
> **Tip:** Vergeet bij het opstellen van de vergelijkingen de interne weerstanden ($R_i$) van spanningsbronnen niet, indien deze gespecificeerd zijn .
### 3.5 Oplossen van de vergelijkingen
Zodra de vergelijkingen zijn opgesteld, kunnen deze worden opgelost met diverse methoden, zoals substitutie, eliminatie, matrixvermenigvuldiging of het gebruik van de rij-gereduceerde trapvorm (RREF).
#### 3.5.1 Oplossing via substitutie
Deze methode is met name geschikt voor kleinere netwerken waarbij een van de vergelijkingen eenvoudig kan worden herschreven om een variabele uit te drukken in termen van andere, waarna deze substitutie in de overige vergelijkingen wordt uitgevoerd .
#### 3.5.2 Oplossing met matrices
Voor grotere netwerken biedt het werken met matrices een efficiëntere en systematische aanpak. Het stelsel van lineaire vergelijkingen kan worden weergegeven in de vorm $A = B \cdot I$, waarbij $I$ de kolommatrix van de stromen is, $B$ de matrix van de weerstanden en overige coëfficiënten, en $A$ de kolommatrix van de bronspanningen .
Om de stromen $I$ te vinden, wordt de inverse van matrix $B$ ($B^{-1}$) berekend en vermenigvuldigd met matrix $A$:
$$ I = B^{-1} \cdot A $$ .
Dit proces kan worden uitgevoerd met grafische rekenmachines zoals de Texas Instruments (TI) Inspire en TI-84 Plus .
#### 3.5.3 Oplossing met rij-gereduceerde trapvorm (RREF)
Een andere krachtige matrixmethode is het gebruik van de rij-gereduceerde trapvorm (Row Reduced Echelon Form - RREF). Hierbij wordt een augmented matrix gecreëerd met evenveel rijen als onbekenden en één kolom meer dan het aantal onbekenden (de kolom met de constante termen van de vergelijkingen) .
De RREF van deze augmented matrix, vaak berekend met behulp van grafische rekenmachines, levert direct de waarden van de onbekende stromen op in de laatste kolom .
> **Werkwijze voor RREF op rekenmachine (algemeen):**
> 1. Definieer de augmented matrix die de coëfficiënten van het stelsel vergelijkingen bevat .
> 2. Voer de matrix in de rekenmachine in.
> 3. Gebruik de RREF-functie van de rekenmachine.
> 4. De laatste kolom van de resulterende matrix geeft de waarden van de stromen $I_1, I_2, I_3, \dots$ .
### 3.6 Oefeningen met matrices
Diverse oefeningen illustreren de toepassing van matrixmethoden voor het oplossen van netwerken met Kirchhoff's wetten .
> **Voorbeeld Oefening 1:** .
> Bereken de stromen. Oplossing: $I_1 = 529$ mA, $I_2 = 509$ mA, $I_3 = -19$ mA.
>
> **Voorbeeld Oefening 2:** .
> Bereken de stromen $I_1$, $I_2$ en $I_3$. Oplossing: $I_1 = 20.13$ A, $I_2 = -6.269$ A, $I_3 = 13.861$ A.
---
# Wisselspanning en wisselstroom
Dit onderwerp verdiept zich in de aard van wisselspanning en wisselstroom, waarbij essentiële concepten, circuitanalyse met diverse componenten en de bijbehorende berekeningen worden uiteengezet.
## 4.1 Basisconcepten van wisselspanning en wisselstroom
Een gelijkstroom (DC - Direct Current) heeft een constante stroomrichting en is het gevolg van gelijkspanning, zoals deze door batterijen of DC-bronnen wordt geleverd. Een wisselstroom (AC - Alternating Current) daarentegen, is een stroom die voortdurend verandert van waarde en van zin op een willekeurige manier. Wisselstroom is het gevolg van wisselspanning en wordt gegenereerd door bijvoorbeeld stopcontacten of generatoren [69](#page=69) [70](#page=70).
### 4.1.1 Periode en frequentie
Periode ($T$) en frequentie ($f$) zijn belangrijke begrippen die voornamelijk bij periodieke of repetitieve AC-signalen worden toegepast. De frequentie is het aantal cycli per seconde en wordt uitgedrukt in Hertz (Hz), terwijl de periode de tijd is voor één volledige cyclus, uitgedrukt in seconden (s). De relatie tussen deze twee is [72](#page=72):
$$f = \frac{1}{T}$$
Opdracht: Bereken de frequentie van de netspanning met een periode van 20 ms [72](#page=72).
### 4.1.2 Gemiddelde waarde
De gemiddelde waarde van een willekeurig veranderlijke stroom in een bepaald tijdsinterval is het rekenkundig gemiddelde van de momentane waarden in dat interval. Een wisselstroom of -spanning is periodiek en heeft een gemiddelde waarde van nul over één periode, wat impliceert dat de positieve en negatieve gebieden onder de curve gelijk zijn [73](#page=73).
> **Tip:** De grafische weergave van een wisselspanning met een gemiddelde waarde van nul toont symmetrie rond de tijdas, waarbij de oppervlaktes boven en onder de as gelijk zijn [73](#page=73).
### 4.1.3 De ogenblikkelijke waarde van een sinusoïdale spanning
Een sinusoïdale spanning is een wisselspanning waarvan de momentane waarde wordt beschreven door een constante waarde (de amplitude) vermenigvuldigd met een sinusfunctie. De algemene formule is [74](#page=74):
$$u(t) = \hat{U} \sin(\omega t)$$
Waarbij:
* $\hat{U}$ de amplitude (maximale waarde) in volt [V is [74](#page=74).
* $\omega$ de cirkelfrequentie is, gerelateerd aan de frequentie ($f$) door $\omega = 2\pi f$ [74](#page=74).
* $\pi$ ongeveer 3,141592 is [74](#page=74).
**Voorbeeld:** Bereken de spanning $u$ op verschillende tijdstippen (5 ms, 10 ms, 15 ms, 20 ms) voor een sinusoïdale spanning met een amplitude $\hat{U} = 325$ V en een frequentie $f = 50$ Hz. Zorg ervoor dat de rekenmachine is ingesteld op radialen [75](#page=75).
### 4.1.4 De effectieve (RMS) waarde
De effectieve waarde van een sinusoïdale stroom, ook wel de Root Mean Square (RMS) waarde genoemd, is de waarde die een constante gelijkstroom zou moeten hebben om in dezelfde weerstand en tijdsruimte dezelfde hoeveelheid warmte te ontwikkelen. Voor een sinusvormig signaal geldt de volgende relatie tussen de effectieve waarde ($U_{\text{eff}}$) en de amplitude ($\hat{U}$) [76](#page=76):
$$U_{\text{eff}} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$$
Wanneer er in de praktijk over een AC-spanning of -stroom wordt gesproken, wordt doorgaans de effectieve waarde bedoeld, tenzij anders aangegeven [76](#page=76).
## 4.2 Schema's en afspraken bij AC-circuits
### 4.2.1 AC-schema opstellen
Bij het opstellen van AC-schema's worden geen plus- en minpolen getekend zoals bij DC-bronnen, omdat de positieve en negatieve polen continu wisselen. De overige tekenregels blijven geldig. Berekeningen voor serieschakelingen en parallelschakelingen blijven gelijk aan die van DC-circuits [77](#page=77).
### 4.2.2 Afspraken bij oefeningen op AC
De standaardafspraken bij het uitvoeren van oefeningen met AC zijn:
* Alle opgegeven spannings- en stroomwaarden zijn effectieve waarden, tenzij anders gespecificeerd [78](#page=78).
* Het AC-signaal is altijd sinusvormig, tenzij anders aangegeven [78](#page=78).
### 4.2.3 Voorbeelden van oefeningen
Verschillende oefeningen illustreren de toepassing van deze concepten in serieschakelingen van weerstanden, waarbij stromen, spanningen en weerstandswaarden worden berekend [79-81](#page=79-81). Er worden ook complexere netwerken met meerdere componenten geanalyseerd (#page=80, 81) [80](#page=80) [81](#page=81).
## 4.3 Elektromagnetisme en inductie
### 4.3.1 Magnetisme opgewekt in een geleider
Een stroomvoerende geleider wekt een magnetisch veld ($\vec{B}$) op rond de geleider. De sterkte van dit magnetisme is afhankelijk van de stroomsterkte ($I$). De richting van het magneetveld kan bepaald worden met de kurkentrekkerregel of de rechterhandregel [82](#page=82).
> **Tip:** In schema's wordt een punt vaak gebruikt om aan te geven dat de stroom uit het blad komt, en een kruis om aan te geven dat de stroom in het blad gaat [82](#page=82).
### 4.3.2 Induceren van een spanning in een geleider
Er wordt een spanning opgewekt in een geleider wanneer een magneet met een bepaalde snelheid langs de geleider beweegt. Dit fenomeen staat bekend als elektromagnetische inductie. De geïnduceerde spanning ($e$) kan worden berekend met de formule [83](#page=83):
$$e = B \cdot l \cdot v$$
Waarbij:
* $e$ de opgewekte/geïnduceerde spanning in volt [V is [83](#page=83).
* $B$ de magnetische fluxdichtheid in Tesla [T is [83](#page=83).
* $l$ de lengte van de geleider is [83](#page=83).
* $v$ de snelheid is waarmee de magneet en de geleider elkaar kruisen [83](#page=83).
### 4.3.3 Induceren van een sinusoïdale spanning in een geleider
Wanneer geleiders roteren tussen magneten, wordt een sinusvormige spanning verkregen. Dit is een van de redenen waarom AC wordt gebruikt voor het elektriciteitsnet. Voor een sinusvorm geldt de formule [84](#page=84):
$$e(t) = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\omega t)$$
De rechterhandregel kan gebruikt worden om de stroomrichting te bepalen [84](#page=84).
### 4.3.4 Opwekkingsvormen van elektriciteit
Om de geleiders in een magnetisch veld te laten roteren en spanning op te wekken, is een aandrijfbron nodig. Voorbeelden hiervan zijn windturbines, waterkrachtcentrales, kerncentrales en dynamo's [85](#page=85).
## 4.4 Componenten in AC-circuits
### 4.4.1 Faseverschuiving
Het is mogelijk dat op tijdstip $t=0$ zowel de spanning als de stroom, of slechts één van beide, niet gelijk zijn aan nul. In dat geval zeggen we dat de grootheden niet in fase zijn en een faseverschil hebben. Het faseverschil wordt uitgedrukt als een hoek ($\phi$), die typisch tussen -90° en +90° ligt .
### 4.4.2 Weerstand (R)
Een elektrische weerstand is de mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom verhindert en wordt uitgedrukt in Ohm [$\Omega$. De waarde van een weerstand is constant. Een weerstand gedraagt zich gelijk in AC en DC circuits en veroorzaakt geen faseverschil; spanning en stroom verlopen simultaan .
### 4.4.3 Spoel (L)
Een spoel is een geleidende draad die rond een vorm is gewikkeld, met als symbool $L$ en eenheid Henry [H. Bij DC gedraagt een spoel zich als een gewone geleider met een kleine weerstand (te berekenen met de wet van Pouillet). Bij AC gedraagt een spoel zich anders .
* **Gedrag bij AC:** Bij aansluiting op een AC-bron zal de stroom na-ijlen op de spanning. Bij een perfecte spoel (zonder Ohmse weerstand) is het faseverschil $\phi = 90^\circ$. Bij een realistische spoel (met serieweerstand) ligt $\phi$ tussen $0^\circ$ en $90^\circ$. Een ezelsbruggetje is LUI: Spoel ($L$), spanning ($U$) eerst, stroom ($I$) als tweede .
### 4.4.4 Condensator (C)
Een condensator bestaat uit twee geleiders (platen) met een groot oppervlak die elektrische lading kunnen opslaan. De grootheid is $C$ en de eenheid is Farad [F. De condensatorwaarde wordt standaard uitgedrukt in picofarad ($10^{-12}$). Bij DC gedraagt een condensator zich als een open kring (open schakelaar) die één keer oplaadt bij de eerste aansluiting. Bij AC gedraagt een condensator zich anders .
* **Gedrag bij AC:** Bij aansluiting op een AC-bron zal de stroom voor-ijlen op de spanning. Bij een perfecte condensator (zonder Ohmse weerstand) is het faseverschil $\phi = -90^\circ$. Bij een realistische condensator (met parallelle weerstand) ligt $\phi$ tussen $0^\circ$ en $-90^\circ$. Een ezelsbruggetje is CIU: Condensator ($C$), stroom ($I$) eerst, spanning ($U$) als tweede .
### 4.4.5 Samenvatting elektrische componenten
| Grootheid | Weerstand (R) | Spoel (L) | Condensator (C) |
| :------------------ | :---------------- | :---------------------------- | :----------------------------- |
| Eenheid | Ohm [$\Omega$] | Henry [H | Farad [F |
| Symbool | R | L | C |
| Visualisatie | (zie document) | (zie document) | (zie document) |
| Gedrag DC | Weerstand | Weerstand, lage R | Open schakelaar |
| Faseverschuiving bij AC? | Nee | Ja, stroom ijlt na op spanning | Ja, spanning ijlt na op stroom |
| Faseverschuiving in graden [°] | $0^\circ$ | $0^\circ$ tot $90^\circ$ | $0^\circ$ tot $-90^\circ$ |
## 4.5 Complex rekenen met AC: Reactantie en impedantie
### 4.5.1 Reactantie
Omdat condensatoren en spoelen bij AC niet alleen een zuivere Ohmse weerstand hebben, moet rekening worden gehouden met een imaginair deel: de reactantie .
* **Spoel:** XL, gemeten in $\Omega$.
* **Condensator:** XC, gemeten in $\Omega$.
### 4.5.2 Impedantie (Z)
De totale weerstand van een spoel of condensator, de impedantie ($Z$), kan worden berekend met de stelling van Pythagoras. De impedantie omvat zowel het reële deel (de Ohmse weerstand $R$) als het imaginaire deel (de reactantie $X$) (#page=183, 184). Voor een weerstand is er geen reactantie, dus de impedantie is gelijk aan de weerstand. Bij AC-netwerken met spoelen en condensatoren moet altijd met de impedantie worden gerekend .
$$Z = R + jX$$
(waarbij $j$ het imaginaire getal is, $\sqrt{-1}$).
### 4.5.3 Fasor diagram
Een fasordiagram geeft voor een component de sinusvormige functie weer, met de amplitude, hoekfrequentie ($\omega$) en fase ($\phi$). Een fasor is opgebouwd uit een reëel deel, een imaginair deel en de totale impedantie .
#### 4.5.3.1 Fasor weerstand
Bij een weerstand is de faseverschuiving tussen spanning en stroom $0^\circ$. De impedantie $Z$ is hierbij gelijk aan de Ohmse weerstand $R$, aangezien er geen imaginair deel is .
#### 4.5.3.2 Fasor spoel
De faseverschuiving tussen spanning en stroom bij een spoel ligt tussen $0^\circ$ en $+90^\circ$, waarbij de spanning voor-ijlt op de stroom ($U$ ijlt voor op $I$). De impedantie $Z$ is afhankelijk van $R$ en de inductieve reactantie $X_L$ :
$$X_L = 2\pi f L = \omega L$$
$$Z = R + jX_L$$
#### 4.5.3.3 Fasor condensator
De faseverschuiving tussen spanning en stroom bij een condensator ligt tussen $0^\circ$ en $-90^\circ$, waarbij de stroom voor-ijlt op de spanning ($I$ ijlt voor op $U$). De impedantie $Z$ is afhankelijk van $R$ en de capacitieve reactantie $X_C$ :
$$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{\omega C}$$
$$Z = R - jX_C$$
### 4.5.4 Faseverschuiving en goniometrische relaties
De faseverschuiving ($\phi$) tussen spanning en stroom kan worden bepaald met behulp van goniometrische functies, gebaseerd op de impedantie driehoek:
* $\sin(\phi) = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde (X)}}{\text{schuine zijde (Z)}}$
* $\cos(\phi) = \frac{\text{aanliggende rechthoekszijde (R)}}{\text{schuine zijde (Z)}}$
* $\tan(\phi) = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde (X)}}{\text{aanliggende rechthoekszijde (R)}}$
## 4.6 Vermogens bij AC
### 4.6.1 Arbeidsfactor (cos $\phi$)
De cosinus van de faseverschuiving ($\cos \phi$) wordt vaak de "arbeidsfactor" genoemd (#page=190, 191). Het geeft het reële aandeel van het vermogen weer ten opzichte van het totale vermogen. Bij een zuiver resistieve belasting is $\phi = 0^\circ$, dus $\cos \phi = 1$, en het actieve vermogen ($P$) is gelijk aan $U \cdot I$ .
### 4.6.2 Vermogenssoorten bij AC
Bij inductieve of capacitieve belastingen is de faseverschuiving niet nul, en moet rekening worden gehouden met $\cos \phi$:
* **Actief vermogen (P):** Het werkelijk geleverde vermogen, gemeten in Watt [W. $P = U \cdot I \cdot \cos \phi$ .
* **Reactief vermogen (Q):** Het vermogen dat nodig is voor het creëren van magnetische of elektrische velden, gemeten in Volt-Ampère reactief [VAr. $Q = U \cdot I \cdot \sin \phi$ .
* **Schijnbaar vermogen (S):** Het product van de effectieve spanning en stroom, gemeten in Volt-Ampère [VA. $S = U \cdot I$ .
De relatie tussen deze vermogens kan worden weergegeven in de vermogensdriehoek. $\cos \phi = \frac{P}{S}$ .
### 4.6.3 Belang van de arbeidsfactor
Distributiemaatschappijen leggen beperkingen op voor de minimale arbeidsfactor omdat, zelfs als het schijnbare vermogen ($S$) wordt opgewekt, slechts een deel daarvan (het actieve vermogen $P$) daadwerkelijk wordt gebruikt en betaald. Een lage arbeidsfactor betekent een inefficiënt gebruik van de energieoverdrachtcapaciteit .
### 4.6.4 Oefeningen
Diverse oefeningen behandelen de berekening van stroom, impedantie, faseverschuiving en vermogens ($P$, $Q$, $S$) voor circuits met spoelen, condensatoren en weerstanden (#page=189, 194) .
---
# Normen, richtlijnen en CE-markering
Dit onderdeel verklaart de rol van Europese richtlijnen en normen, en het belang van de CE-markering voor productconformiteit en handel binnen de EU [86](#page=86).
### 5.1 Europese richtlijnen
Een Europese richtlijn is een bindend besluit van de Europese Unie dat regels bevat voor lidstaten. Lidstaten zijn verplicht om de richtlijn uit te voeren, maar mogen zelf beslissen op welke manier ze de uitvoering aanpakken en de inhoud in hun eigen wetgeving implementeren. Dit kan bijvoorbeeld via een Koninklijk Besluit in België. Europese richtlijnen zijn gratis te raadplegen via eur-lex.europa.eu [86](#page=86) [88](#page=88).
### 5.2 Normen
Een norm is geen wet en dus niet verplicht. Normen bieden praktische en technische invulling over hoe aan een richtlijn kan worden voldaan. Een geharmoniseerde norm is een Europese norm die aangeeft hoe aan een richtlijn kan worden voldaan en is enkel geldig binnen Europa. Hoewel het gebruik van een geharmoniseerde norm niet verplicht is, biedt het wel maximale juridische dekking. (Belgische) normen zijn tegen betaling verkrijgbaar via nbn.be [87](#page=87).
#### 5.2.1 Organisaties die normen opstellen
Verschillende organisaties stellen normen op:
* **Comité Européen de Normalisation (CEN)**: Opgericht in 1961 door nationale standaardiseringscomités in de Europese Economische Gemeenschap en de Europese Vrijhandelsassociatie. De normen van het CEN staan bekend als Europese normen (EN) [89](#page=89).
* **International Organization for Standardization (ISO)**: Een internationale organisatie die normen vastlegt. Het is een samenwerkingsverband van nationale standaardisatieorganisaties in 156 landen wereldwijd [89](#page=89).
* **International Electrotechnical Commission (IEC)**: Gevestigd in Genève, Zwitserland, ontwikkelt algemene internationale normen voor de veiligheid van elektrische componenten en apparatuur wereldwijd [90](#page=90).
* **Bureau voor Normalisatie (NBN)**: In België heeft het Belgisch Instituut voor Normalisatie (BIN) in 2003 plaatsgemaakt voor het NBN [90](#page=90).
#### 5.2.2 Zelf normen opzoeken als VIVES-student
Als VIVES-student kunnen normen worden opgezocht via de Limo-database van de bibliotheek:
1. Surf naar https://limo.libis.be/index.html#/VIVES [91](#page=91).
2. Klik op ‘VIVES’ [91](#page=91).
3. Meld je aan [91](#page=91).
4. Klik op ‘Databanken’ [91](#page=91).
5. Typ ‘NBN’ in het zoekvenster en druk op Enter [91](#page=91).
6. Klik op ‘MyNBN Normendatabank – Leeszaal’ [91](#page=91).
7. Klik opnieuw op ‘MyNBN Normendatabank: leeszaal’ [91](#page=91).
8. Kies ‘Associatie KU Leuven’ [91](#page=91).
9. Nu kunnen normen worden opgezocht [91](#page=91).
**Voorbeeldopdracht 1**: Zoek een norm die iets weergeeft over 'implantaten' en zoek de kostprijs ervan op [92](#page=92).
**Voorbeeldopdracht 2**: Zoek de norm NBN EN ISO 9999 op en beantwoord de volgende vragen [92](#page=92):
1. Welk onderwerp behandelt deze norm?
2. Van welk jaar dateert deze norm?
3. Hoeveel uitgaven zijn er al geweest van deze norm?
4. Probeer deze op te slaan. Lukt het?
**Voorbeeldopdracht 3**: Open de norm NBN EN ISO 9999 en beantwoord [93](#page=93):
1. Wat willen de codes/getallen in deze norm zeggen?
2. Zoek een code die de 'assistieve producten voor sporters' behandelt.
### 5.3 CE-markering
#### 5.3.1 Definitie en doel
De CE-markering, te vinden op veel producten, geeft aan dat het product voldoet aan de daarvoor geldende regels binnen de Europese Economische Ruimte. CE staat voor Conformité Européenne. Het doel van de CE-markering is het mogelijk maken van vrije handel binnen de EU en het garanderen van de veiligheid van producten [94](#page=94).
#### 5.3.2 Verantwoordelijkheid van de fabrikant
De fabrikant van een toestel brengt zelf de CE-markering aan en verklaart hiermee dat het toestel conform is aan alle relevante EU-richtlijnen. Als er een ongeluk gebeurt met het toestel, wordt gekeken of aan de eisen is voldaan. Indien niet, is de fabrikant verantwoordelijk; indien wel, is de gebruiker (die een fout maakte) verantwoordelijk. De fabrikant draagt de volle verantwoordelijkheid voor de verklaring die hij aflegt [95](#page=95).
#### 5.3.3 Aangemelde instantie (Notified Body)
Omdat CE-markering een belangrijk onderdeel is binnen het ontwerp van een zorg- of sporttechnologisch toestel, en het soms specialistisch werk is om te weten of een machine conform de machinerichtlijn is opgebouwd, kan een 'notified body' of aangemelde instantie worden ingeschakeld. Een notified body is een door de overheid aangewezen keurings- of testinstituut dat producten test. Bij sommige machines, zoals medische apparatuur, is het inschakelen van een notified body verplicht. Vinçotte is een voorbeeld van een notified body in België [96](#page=96).
#### 5.3.4 Procedure om een CE-markering te bemachtigen
De stappen om een CE-markering te verkrijgen zijn:
1. Onderzoek aan welke EU-eisen uw product moet voldoen [97](#page=97).
2. Controleer of uw product aan de specifieke eisen voldoet [97](#page=97).
3. Ga na of uw product getest moet worden door een aangemelde instantie [97](#page=97).
4. Test uw product [97](#page=97).
5. Stel het technisch dossier samen [97](#page=97).
6. Breng de CE-markering aan en stel een verklaring van overeenstemming op [97](#page=97).
Alle informatie over CE-markering is te vinden op europa.eu [97](#page=97).
#### 5.3.5 Wijzigingen aan een product met CE-markering
Bij aanpassingen aan een sporttechnologisch toestel kan de CE-markering vervallen. Een fundamentele wijziging vereist specifieke acties. Bij een wijziging moet worden nagegaan wat de consequenties zijn voor de conformiteit en wie er verantwoordelijk is na de wijziging [98](#page=98).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| SI-stelsel | Het internationale stelsel van eenheden, een metrisch systeem dat uniformiteit biedt voor het weergeven van grootheden en eenheden, wat internationale gegevensuitwisseling vergemakkelijkt. |
| Grootheid | Een meetbare eigenschap van een fenomeen, materie of straal; de zeven onafhankelijke basiseenheden van het SI-stelsel omvatten lengte, massa, tijd, elektrische stroom, absolute temperatuur, hoeveelheid stof en lichtsterkte. |
| Eenheid | Een gestandaardiseerde maat waarmee grootheden worden vergeleken; de SI-basiseenheden hebben specifieke namen en symbolen. |
| Prefix | Een symbool dat vóór een eenheid wordt geplaatst om aan te geven dat het om veelvouden of delen van die eenheid gaat, zoals kilo (k) voor duizend of milli (m) voor een duizendste. |
| Elektrische stroom | De beweging van vrije elektronen die zich door een materiaal kunnen verplaatsen, wat leidt tot een elektrische lading die zich verplaatst; wordt gemeten in ampère (A). |
| Elektrische lading | Een fundamentele eigenschap van materie die elektrische verschijnselen veroorzaakt; gemeten in Coulomb (C). |
| Coulomb | De SI-eenheid van elektrische lading, gelijk aan de lading die wordt getransporteerd door een stroom van één ampère gedurende één seconde. |
| Elektrische spanning | Het potentiaalverschil tussen twee punten in een elektrisch circuit, dat de kracht levert om elektrische ladingen te laten bewegen; gemeten in Volt (V). |
| Volt | De SI-eenheid van elektrische spanning, gelijk aan het potentiaalverschil dat een elektrische stroom van één ampère genereert in een weerstand van één ohm. |
| Elektrische weerstand | De mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom belemmert; gemeten in Ohm (Ω). |
| Ohm | De SI-eenheid van elektrische weerstand, gelijk aan de weerstand die een potentiaalverschil van één volt overbrugt wanneer een stroom van één ampère erdoorheen vloeit. |
| Geleiding | Het omgekeerde van weerstand, wat aangeeft hoe gemakkelijk elektriciteit door een materiaal kan vloeien; gemeten in Siemens (S). |
| Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektrotechniek die de relatie tussen spanning (U), stroom (I) en weerstand (R) beschrijft: $U = I \cdot R$. |
| Elektrisch vermogen | De snelheid waarmee elektrische energie wordt verbruikt of geleverd; gemeten in Watt (W). |
| Watt | De SI-eenheid van vermogen, gelijk aan één joule per seconde. |
| Elektrische energie | De totale hoeveelheid arbeid die door elektrische stroom wordt geleverd of verbruikt; gemeten in Joules (J) of kilowattuur (kWh). |
| Joules | De SI-eenheid van energie, gelijk aan de hoeveelheid arbeid verricht wanneer een kracht van één Newton een object verplaatst over een afstand van één meter. |
| Rendement | De verhouding tussen het nuttige vermogen dat wordt geleverd of verbruikt en het totale toegevoerde vermogen, uitgedrukt als een percentage. |
| Serieschakeling | Een schakeling waarbij componenten na elkaar zijn verbonden, zodat de stroom door elk component hetzelfde is. |
| Parallelschakeling | Een schakeling waarbij componenten naast elkaar zijn verbonden, zodat de spanning over elk component hetzelfde is en de totale stroom wordt verdeeld. |
| Gemengd netwerk | Een elektrisch netwerk dat zowel serieschakelingen als parallelschakelingen van componenten bevat. |
| Niet-ideale spanningsbron | Een spanningsbron die, in tegenstelling tot een ideale bron, een interne weerstand heeft die leidt tot een spanningsval wanneer er stroom vloeit. |
| Multimeter | Een elektronisch meetinstrument dat verschillende elektrische grootheden kan meten, zoals spanning, stroom en weerstand. |
| Continuïteitstester | Een functie van een multimeter die aangeeft of er een elektrische verbinding bestaat tussen twee punten. |
| Doorgangstester | Zie Continuïteitstester. |
| Wisselspanning (AC) | Elektrische spanning die periodiek van richting en grootte verandert, meestal in een sinusvorm. |
| Wisselstroom (AC) | Elektrische stroom die periodiek van richting en grootte verandert, meestal in een sinusvorm. |
| Gelijkspanning (DC) | Elektrische spanning die een constante stroomrichting heeft. |
| Gelijkstroom (DC) | Elektrische stroom die een constante stroomrichting heeft. |
| Periode | De tijd die nodig is voor één volledige cyclus van een periodiek signaal, zoals een wisselspanning of -stroom. |
| Frequentie | Het aantal perioden dat per seconde optreedt in een periodiek signaal; gemeten in Hertz (Hz). |
| Gemiddelde waarde | Het rekenkundig gemiddelde van de momentele waarden van een periodiek signaal over één periode. |
| Sinusoïdale spanning | Een wisselspanning waarvan de momentele waarde kan worden beschreven door een sinusfunctie van de tijd. |
| Amplitude | De maximale waarde van een sinusvormige spanning of stroom. |
| Cirkelfrequentie | De hoekfrequentie van een sinusvormige grootheid, gerelateerd aan de frequentie door de formule $\omega = 2\pi f$. |
| Effectieve (RMS) waarde | De waarde van een gelijkstroom of -spanning die dezelfde warmteontwikkeling zou veroorzaken als de betreffende wisselstroom of -spanning in dezelfde weerstand. |
| RMS (Root Mean Square) | Een wiskundige bewerking om de effectieve waarde van een wisselstroom of -spanning te berekenen. |
| Faseverschuiving | Het verschil in tijd of positie tussen twee periodieke signalen die dezelfde frequentie hebben. |
| Spoel (inductie) | Een elektrische component bestaande uit een geleidende draad gewikkeld rond een kern, die magnetische velden kan opslaan en zich verzet tegen veranderingen in stroom. |
| Henry | De SI-eenheid van inductie, de eigenschap van een spoel om een spanning te genereren als reactie op een veranderende stroom. |
| Condensator | Een elektrisch component dat elektrische lading opslaat in een elektrisch veld, bestaande uit twee geleidende platen gescheiden door een diëlektricum. |
| Farad | De SI-eenheid van capaciteit, de eigenschap van een condensator om elektrische lading op te slaan. |
| Reactantie | De oppositie die een spoel of condensator biedt aan de doorstroming van wisselstroom; gemeten in Ohm. |
| Impedantie | De totale weerstand tegen wisselstroom in een circuit, rekening houdend met zowel ohmse weerstand als reactantie; gemeten in Ohm. |
| Fasor | Een vectorrepresentatie die de amplitude en fase van een sinusvormig signaal weergeeft. |
| Fasor diagram | Een grafische weergave van fasoren, die de relaties tussen spanningen en stromen in een AC-circuit toont. |
| Arbeidsfactor (cos φ) | De verhouding tussen het actieve vermogen en het schijnbare vermogen in een AC-circuit; geeft aan hoeveel van het geleverde vermogen daadwerkelijk nuttig werk verricht. |
| Actief vermogen (P) | Het vermogen dat daadwerkelijk wordt omgezet in nuttig werk, zoals warmte of licht. |
| Reactief vermogen (Q) | Het vermogen dat wordt opgeslagen en weer vrijgegeven door spoelen en condensatoren in een AC-circuit. |
| Schijnbaar vermogen (S) | Het product van de effectieve spanning en stroom in een AC-circuit, de totale geleverde kracht. |
| Wetten van Kirchoff | Twee fundamentele wetten die de stroom en spanningen in elektrische netwerken beschrijven: de stroomwet (KCL) en de spanningswet (KVL). |
| Stroomwet van Kirchoff (KCL) | De som van de stromen die een knooppunt binnenkomen is gelijk aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. |
| Spanningswet van Kirchoff (KVL) | De som van de potentiële stijgingen in een gesloten lus is gelijk aan de som van de potentiële dalingen. |
| Thévenin | Een theorema dat een complex lineair elektrisch netwerk kan vereenvoudigen tot een equivalente schakeling met één spanningsbron en één serieweerstand. |
| Norton | Een theorema dat een complex lineair elektrisch netwerk kan vereenvoudigen tot een equivalente schakeling met één stroombron en één parallelle weerstand. |
| Superpositie | Een methode om complexe netwerken te analyseren door de bijdrage van elke individuele bron afzonderlijk te berekenen en deze vervolgens op te tellen. |
| Significante cijfers | Cijfers die de nauwkeurigheid van een meting of berekening aangeven. |
| Afronden | Het proces van het vereenvoudigen van een getal door decimalen te verwijderen, waarbij het getal het dichtst bij de oorspronkelijke waarde blijft. |
| Wetenschappelijke notatie | Een manier om zeer grote of zeer kleine getallen weer te geven met behulp van machten van tien, wat compactheid en duidelijkheid bevordert. |
| CE-markering | Een productmarkering die aangeeft dat een product voldoet aan de geldende Europese richtlijnen en normen op het gebied van veiligheid, gezondheid en milieu. |
| Richtlijn | Een bindend besluit van de Europese Unie dat regels bevat voor lidstaten, die verplicht zijn de richtlijn uit te voeren op hun eigen manier. |
| Norm | Een document dat technische specificaties of richtlijnen bevat voor hoe aan een richtlijn kan worden voldaan; kan verplicht of vrijwillig zijn. |
| Geharmoniseerde norm | Een Europese norm die de methode aangeeft om aan een EU-richtlijn te voldoen. |
| Aangemelde instantie (Notified Body) | Een door de overheid aangewezen keurings- of testinstituut dat producten test om te bepalen of ze voldoen aan de EU-vereisten. |
Cover
embedded systems 1 Samenvatting.pdf
Summary
# Basiselementen van elektronica en elektrische circuits
Dit onderdeel behandelt de fundamentele bouwstenen van elektronica, vanaf de microscopische structuur van atomen en moleculen tot macroscopische concepten zoals lading, stroom, spanning, vermogen en weerstand, inclusief de analyse van circuits met behulp van de wetten van Ohm en Kirchhoff [1](#page=1).
### 1.1 Atoom, molecuul en elektrische lading
* **Atoom:** De kleinste eenheid van een chemisch element die de eigenschappen van dat element behoudt. Het bestaat uit een kern (protonen en neutronen) en elektronen in banen daaromheen [1](#page=1).
* **Molecuul:** Een groep van twee of meer atomen gebonden door chemische bindingen [1](#page=1).
* **Elektrische lading:** Een fundamentele eigenschap van materie die krachten tussen geladen deeltjes veroorzaakt. Protonen zijn positief geladen, elektronen negatief. Neutrale objecten hebben een gelijke hoeveelheid positieve en negatieve lading [1](#page=1).
### 1.2 Elektrische stroom
Elektrische stroom is de beweging van elektrische ladingen, meestal veroorzaakt door elektronen in geleiders [1](#page=1).
* **Definitie:** Stroomsterkte ($I$) is de hoeveelheid lading die per tijdseenheid door een dwarsdoorsnede van een geleider vloeit [1](#page=1).
* **Eenheid:** Ampère (A) ] [1](#page=1).
* $1 \, \text{A} = 1 \, \frac{\text{Coulomb}}{\text{seconde}}$ [1](#page=1).
* **Tip:** Denk aan stroom als water dat door een pijp stroomt; de stroomsterkte is de hoeveelheid water per seconde [1](#page=1).
### 1.3 Elektrische spanning
Elektrische spanning, ook wel potentiaalverschil genoemd, is de "drang" van ladingen om van een hoger potentiaal naar een lager potentiaal te bewegen om neutraliteit te bereiken [2](#page=2).
* **Definitie:** Spanning ($U$ of $V$) is het verschil in elektrisch potentiaal tussen twee punten [2](#page=2).
* **Eenheid:** Volt (V) ] [2](#page=2).
* $1 \, \text{V} = 1 \, \frac{\text{Joule}}{\text{Coulomb}}$ [2](#page=2).
* **Tip:** Vergelijk spanning met de hoogte van een waterreservoir; een hoger reservoir heeft meer potentiële energie [2](#page=2).
### 1.4 Vermogen
Elektrisch vermogen is de snelheid waarmee elektrische energie wordt verbruikt of geleverd [2](#page=2).
* **Definitie:** Vermogen ($P$) is het product van spanning en stroomsterkte [2](#page=2).
* **Formule:** $P = U \times I$ [2](#page=2).
* **Eenheid:** Watt (W) ] [2](#page=2).
* $1 \, \text{W} = 1 \, \frac{\text{Joule}}{\text{seconde}}$ [2](#page=2).
* **Arbeid (Energie):** Vaak uitgedrukt in Joule (J) of kilowattuur (kWh) [2](#page=2).
### 1.5 Weerstand
Weerstand ($R$) is de eigenschap van een materiaal om de doorstroming van elektrische stroom te belemmeren [2](#page=2).
* **Definitie:** Weerstand ($R$) is de verhouding tussen spanning ($U$) en stroomsterkte ($I$) [2](#page=2).
* **Formule (Wet van Ohm):**
* $R = \frac{U}{I}$ [2](#page=2).
* $U = I \times R$ [2](#page=2).
* $I = \frac{U}{R}$ [2](#page=2).
* **Eenheid:** Ohm ($\Omega$) [2](#page=2).
#### 1.5.1 Factoren die weerstand beïnvloeden
De weerstand van een geleider wordt beïnvloed door:
* **Lengte ($L$):** Hoe langer de geleider, hoe hoger de weerstand [2](#page=2).
* **Doorsnede-oppervlakte ($A$):** Hoe groter de doorsnede, hoe lager de weerstand [2](#page=2).
* **Soortelijke weerstand ($\rho$):** Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed het materiaal stroom geleidt [2](#page=2).
#### 1.5.2 Wet van Pouillet
De wet van Pouillet relateert de weerstand van een draad aan zijn fysische eigenschappen [2](#page=2):
$$R = \rho \frac{L}{A}$$
Waar:
* $R$ = weerstand in Ohm ($\Omega$) [3](#page=3).
* $\rho$ = soortelijke weerstand in Ohm-meter ($\Omega \cdot \text{m}$) [3](#page=3).
* $L$ = lengte in meters (m) [3](#page=3).
* $A$ = doorsnede-oppervlakte in vierkante meters ($\text{m}^2$) [3](#page=3).
**Voorbeeld:** Een aluminium kabel van 45 meter lang met een dwarsdoorsnede van 25 $\text{mm}^2$ (wat neerkomt op $25 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$) en een soortelijke weerstand van aluminium van ongeveer $2,8 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}$ heeft een weerstand van ongeveer [3](#page=3):
$$R = (2,8 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}) \times \frac{45 \, \text{m}}{25 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \approx 0,0504 \, \Omega$$ [3](#page=3).
> **Tip:** Zorg ervoor dat alle eenheden consistent zijn, met name voor lengte en oppervlakte, voordat je de Wet van Pouillet toepast. Vaak moeten $\text{mm}^2$ omgezet worden naar $\text{m}^2$ door te vermenigvuldigen met $10^{-6}$ [9](#page=9).
### 1.6 Weerstanden in serie en parallel
#### 1.6.1 Weerstanden in serie
Bij seriegeschakelde weerstanden zijn ze achter elkaar geplaatst. De stroom is overal gelijk, en de totale weerstand is de som van de individuele weerstanden [3](#page=3).
* **Formule:** $R_{\text{totaal}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$ of algemeen $\sum_{i=1}^{n} R_i$ [10](#page=10) [3](#page=3).
* **Voorbeeld:** Drie in serie geschakelde weerstanden van 5 $\Omega$, 10 $\Omega$ en 15 $\Omega$ met een stroom van 2 A.
* Totale weerstand: $R_{\text{totaal}} = 5 \, \Omega + 10 \, \Omega + 15 \, \Omega = 30 \, \Omega$ [4](#page=4).
* Spanning over de bron: $U_{\text{bron}} = I \times R_{\text{totaal}} = 2 \, \text{A} \times 30 \, \Omega = 60 \, \text{V}$. Een voltmeter aangesloten over de bron zou 60 V aangeven [4](#page=4).
#### 1.6.2 Weerstanden in parallel
Bij parallelgeschakelde weerstanden zijn ze naast elkaar geplaatst. De spanning over elke weerstand is gelijk, en de stroom splitst zich op [3](#page=3).
* **Formule:** Het omgekeerde van de totale weerstand is gelijk aan de som van de omgekeerden van de individuele weerstanden [3](#page=3):
$$\frac{1}{R_{\text{totaal}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$$ of algemeen $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i}$ [10](#page=10) [3](#page=3).
* **Voor twee weerstanden:** Een vereenvoudigde formule is:
$$R_{\text{totaal}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$ [10](#page=10).
* **Voorbeeld:** Drie weerstanden van 2,0 $\Omega$, 4,0 $\Omega$ en 8,0 $\Omega$ parallel geschakeld op 8,0 V.
* Vervangingsweerstand:
$$\frac{1}{R_{\text{totaal}}} = \frac{1}{2,0 \, \Omega} + \frac{1}{4,0 \, \Omega} + \frac{1}{8,0 \, \Omega} = 0,5 \, \text{S} + 0,25 \, \text{S} + 0,125 \, \text{S} = 0,875 \, \text{S}$$ (S staat voor Siemens, de eenheid van geleidbaarheid) [10](#page=10) [3](#page=3).
$$R_{\text{totaal}} \approx \frac{1}{0,875 \, \text{S}} \approx 1,14 \, \Omega$$ [10](#page=10) [3](#page=3).
* Totale stroomsterkte: $I_{\text{totaal}} = \frac{U}{R_{\text{totaal}}} \approx \frac{8,0 \, \text{V}}{1,14 \, \Omega} \approx 7,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3).
* Stroomsterkte door elke weerstand:
* $I_1 = \frac{8,0 \, \text{V}}{2,0 \, \Omega} = 4,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3).
* $I_2 = \frac{8,0 \, \text{V}}{4,0 \, \Omega} = 2,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3).
* $I_3 = \frac{8,0 \, \text{V}}{8,0 \, \Omega} = 1,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3).
* Controle: $4,0 \, \text{A} + 2,0 \, \text{A} + 1,0 \, \text{A} = 7,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3).
* Totale vermogen: $P_{\text{totaal}} = U \times I_{\text{totaal}} = 8,0 \, \text{V} \times 7,0 \, \text{A} = 56 \, \text{W}$ [10](#page=10) [3](#page=3).
> **Tip:** Voor een parallelschakeling geldt altijd dat de vervangingsweerstand kleiner is dan de kleinste individuele weerstand [10](#page=10).
### 1.7 Wetten van Kirchhoff
De wetten van Kirchhoff zijn fundamentele regels voor het analyseren van elektrische circuits [4](#page=4).
#### 1.7.1 Eerste wet van Kirchhoff (Stromenwet of Knopenwet)
De som van alle stromen die een knooppunt (waar meerdere draden samenkomen) binnenkomen, is gelijk aan de som van alle stromen die het knooppunt verlaten. Dit is gebaseerd op het behoud van lading [4](#page=4).
* **Formule:** $\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{uit}}$ ] of $\sum I_{\text{knooppunt}} = 0$ [13](#page=13) [4](#page=4).
* **Voorbeeld:** Als 4,0 A en 2,0 A een knooppunt binnenkomen, en 1,0 A verlaat het, dan moet $4,0 \, \text{A} + 2,0 \, \text{A} - 1,0 \, \text{A} = 5,0 \, \text{A}$ het knooppunt verlaten [4](#page=4).
* **Tip:** Beschouw stromen die een knooppunt binnenkomen als positief en stromen die het verlaten als negatief (of andersom, mits consequent) [13](#page=13).
#### 1.7.2 Tweede wet van Kirchhoff (Spanningswet of Maschenwet)
De som van alle spanningsvallen in een gesloten kring (maas) is gelijk aan de som van de bronspanningen in die kring. Dit is gebaseerd op het behoud van energie [4](#page=4).
* **Formule:** $\sum U_{\text{bronnen}} = \sum U_{\text{vallen}}$ ] of $\sum U_{\text{maas}} = 0$ [13](#page=13) [4](#page=4).
* **Voorbeeld:** In een gesloten kring met één spanningsbron en drie weerstanden in serie, is de som van de spanningen over de weerstanden gelijk aan de bronspanning [4](#page=4).
* **Tip:** Loop een lus met de klok mee (of tegen de klok in) en ken een teken toe aan elke spanning: positief voor een spanningsbron in de richting van de lus, negatief voor een spanningsval over een weerstand in de richting van de lus [13](#page=13).
### 1.8 Oefeningen
#### 1.8.1 Oefening 1 (Serie schakeling)
Drie in serie geschakelde weerstanden van 5 $\Omega$, 10 $\Omega$ en 15 $\Omega$ worden doorlopen met een stroomsterkte van 2 A. Welke waarde duidt een voltmeter, over de bron geschakeld, aan [14](#page=14) [4](#page=4)?
* **Berekening:**
* Totale weerstand: $R_{\text{totaal}} = 5 \, \Omega + 10 \, \Omega + 15 \, \Omega = 30 \, \Omega$ [14](#page=14) [4](#page=4).
* Spanning van de bron: $U_{\text{bron}} = I \times R_{\text{totaal}} = 2 \, \text{A} \times 30 \, \Omega = 60 \, \text{V}$ [14](#page=14) [4](#page=4).
* **Antwoord:** De V-meter duidt 60 V aan [4](#page=4).
#### 1.8.2 Oefening 2 (Serieschakeling met spoel)
Een weerstand van 5 $\Omega$ is in serie geschakeld met een spoeltje van koperdraad dat 57 m draad van 0,3 $\text{mm}^2$ doorsnede bevat. De schakeling is aangesloten op een accumulator van 12 V. Bereken de stroomsterkte die de keten opneemt. (Soortelijke weerstand koper $\rho \approx 1,7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}$; doorsnede $A = 0,3 \, \text{mm}^2$) [14](#page=14) [5](#page=5).
* **Berekening:**
* Omrekening doorsnede: $A = 0,3 \, \text{mm}^2 = 0,3 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$ [5](#page=5).
* Weerstand van de spoel: $R_{\text{spoel}} = \rho \frac{L}{A} = (1,7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}) \times \frac{57 \, \text{m}}{0,3 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \approx 3,23 \, \Omega$. (Correctie op pagina 14: $\approx 3.192 \, \Omega$) [14](#page=14) [5](#page=5).
* Totale weerstand: $R_{\text{totaal}} = R_{\text{weerstand}} + R_{\text{spoel}} = 5 \, \Omega + 3,23 \, \Omega = 8,23 \, \Omega$. (Correctie op pagina 14: $8.192 \, \Omega$) [14](#page=14) [5](#page=5).
* Stroomsterkte: $I = \frac{U}{R_{\text{totaal}}} \approx \frac{12 \, \text{V}}{8,23 \, \Omega} \approx 1,46 \, \text{A}$. (Correctie op pagina 14: $\approx 1.465 \, \text{A}$) [14](#page=14) [5](#page=5).
#### 1.8.3 Oefening 3 (Parallel schakeling)
Drie weerstanden, respectievelijk 2,0 $\Omega$, 4,0 $\Omega$ en 8,0 $\Omega$, zijn parallel geschakeld op een spanning van 8,0 V. Bereken de vervangingsweerstand, de totale stroomsterkte en de stroomsterkte door elke weerstand. Welk vermogen wordt er in totaal ontwikkeld [15](#page=15) [5](#page=5)?
* **Berekening:**
* Vervangingsweerstand: $\frac{1}{R_{\text{totaal}}} = \frac{1}{2,0 \, \Omega} + \frac{1}{4,0 \, \Omega} + \frac{1}{8,0 \, \Omega} = 0,5 \, \text{S} + 0,25 \, \text{S} + 0,125 \, \text{S} = 0,875 \, \text{S}$ [15](#page=15) [5](#page=5).
* $R_{\text{totaal}} \approx \frac{1}{0,875 \, \text{S}} \approx 1,14 \, \Omega$ [15](#page=15) [5](#page=5).
* Totale stroomsterkte: $I_{\text{totaal}} = \frac{U}{R_{\text{totaal}}} \approx \frac{8,0 \, \text{V}}{1,14 \, \Omega} \approx 7,0 \, \text{A}$ [15](#page=15) [5](#page=5).
* Stroomsterkte door elke weerstand:
* $I_1 = \frac{8,0 \, \text{V}}{2,0 \, \Omega} = 4,0 \, \text{A}$ [15](#page=15) [5](#page=5).
* $I_2 = \frac{8,0 \, \text{V}}{4,0 \, \Omega} = 2,0 \, \text{A}$ [15](#page=15) [5](#page=5).
* $I_3 = \frac{8,0 \, \text{V}}{8,0 \, \Omega} = 1,0 \, \text{A}$ [15](#page=15) [5](#page=5).
* Totaal vermogen: $P_{\text{totaal}} = U \times I_{\text{totaal}} = 8,0 \, \text{V} \times 7,0 \, \text{A} = 56 \, \text{W}$ [15](#page=15) [5](#page=5).
#### 1.8.4 Oefening 4 (Complexe schakeling)
Deze oefeningen (pagina's 5-8, 11-16) bevatten complexe schakelingen waarvoor een schematische weergave essentieel is voor een correcte oplossing. Vaak zijn er inconsistenties tussen de gegeven waarden en de berekende waarden op basis van de opgegeven componenten, wat duidt op mogelijke fouten in de bron of de noodzaak van een precies schema. De principes van serieschakelingen, parallelschakelingen, de Wet van Ohm en de wetten van Kirchhoff worden toegepast om de vervangingsweerstand, deelstromen en deelspanningen te berekenen [11](#page=11) [15](#page=15) [16](#page=16) [6](#page=6) [8](#page=8).
> **Tip:** Bij complexe schakelingen is het nuttig om de schakeling op te splitsen in eenvoudigere series en parallelle delen en deze stapsgewijs te vereenvoudigen. Teken altijd een schematische weergave van de schakeling [8](#page=8).
---
# Magnetisme en elektromagnetisme
Dit onderdeel verkent de fundamentele principes van magnetisme, inclusief natuurlijke en kunstmatige magneten, en hun relatie met elektronica, met een focus op magnetische velden, de Lorentzkracht en elektromagnetische inductie [18](#page=18).
### 2.1 Magnetisme: basisconcepten
Magnetisme is een fundamenteel natuurkundig verschijnsel dat voortkomt uit bewegende elektrische ladingen en resulteert in de vorming van magnetische velden. Deze velden oefenen krachten uit op andere magnetische materialen en bewegende ladingen [18](#page=18).
#### 2.1.1 Vormen van magneten
Magneten kunnen worden onderverdeeld in twee hoofdtypen:
* **Natuurlijke magneten:** Materialen die van nature magnetische eigenschappen vertonen, zoals magnetiet [18](#page=18).
* **Kunstmatige magneten:** Gemaakt door materialen magnetisch te maken via blootstelling aan een extern magnetisch veld. Deze zijn verder onder te verdelen in [18](#page=18):
* **Permanente magneten:** Behouden hun magnetisme langdurig na verwijdering van het externe veld [18](#page=18).
* **Niet-permanente magneten (elektromagneten):** Magnetisch alleen wanneer er een elektrische stroom doorheen loopt; hun sterkte is afhankelijk van de stroomsterkte [18](#page=18).
### 2.2 Elektromagnetisme
Elektromagnetisme bestudeert de relatie tussen elektriciteit en magnetisme en is cruciaal voor het begrijpen van veel elektronische componenten [18](#page=18).
#### 2.2.1 Magnetische velden rond geleiders
Een elektrische stroom door een geleider genereert een magnetisch veld eromheen. De richting van dit veld kan bepaald worden met de rechterhandregel [18](#page=18).
* **Rechte geleider:** Genereert een cirkelvormig magnetisch veld [18](#page=18).
* **Spoelen (windingen/solenoïdes):** Meerdere windingen van draad versterken het magnetische veld aanzienlijk door de combinatieve effecten van individuele windingen [19](#page=19).
* **Spoel met kern:** Het plaatsen van een magnetisch geleidend materiaal, zoals ijzer, in de kern versterkt het magnetische veld verder, wat essentieel is voor elektromagneten [19](#page=19).
#### 2.2.2 De Lorentzkracht
De Lorentzkracht is de kracht uitgeoefend op een geladen deeltje dat beweegt in een magnetisch veld. Het is een fundamenteel concept voor de werking van elektromotoren [19](#page=19).
De kracht is evenredig met de lading ($q$), snelheid ($v$) en de sterkte van het magnetisch veld ($B$). De formule luidt [19](#page=19) [21](#page=21):
$$ \vec{F}_L = q (\vec{v} \times \vec{B}) $$ [21](#page=21).
Hierin staat $\times$ voor het uitwendig product (kruisproduct) [21](#page=21).
* **Richting:** De richting van de Lorentzkracht wordt bepaald door de rechterhandregel. Voor een positieve lading ($q > 0$) wijst de kracht in de richting van $\vec{v} \times \vec{B}$. Voor een negatieve lading ($q < 0$) is de richting tegengesteld [19](#page=19) [22](#page=22).
* **Gevolgen:** De Lorentzkracht staat altijd loodrecht op de bewegingsrichting en verricht geen arbeid, waardoor de kinetische energie en snelheid van het deeltje constant blijven. Wel kan de richting van de beweging veranderen, wat resulteert in circulaire of helicale banen [22](#page=22).
* **Toepassingen:** Elektrische motoren, lineaire motoren, massaspectrometers en deeltjesversnellers [22](#page=22).
> **Tip:** Begrijp de rechterhandregel goed, want deze is essentieel voor het bepalen van de richting van krachten in elektromagnetische systemen [22](#page=22).
#### 2.2.3 Elektromagnetische inductie
Inductie, of elektromagnetische inductie, is het verschijnsel waarbij een veranderend magnetisch veld een elektrische spanning induceert in een geleider. Dit is het omgekeerde principe van elektromagnetisme en is cruciaal voor generatoren en transformatoren [19](#page=19) [22](#page=22).
* **Beweging en fluxverandering:** Inductie treedt op wanneer een geleider beweegt in een magnetisch veld, of wanneer een magnetisch veld verandert rond een stilstaande geleider. Dit gebeurt wanneer de magnetische flux ($\Phi_B$) door een lus van een geleider verandert. Magnetische flux meet de hoeveelheid magnetisch veld die door een oppervlak gaat [19](#page=19) [22](#page=22) [24](#page=24).
* **De wet van Faraday:** De geïnduceerde spanning ($V_{inductie}$) is evenredig met de snelheid van de fluxverandering. Volgens de wet van Faraday [19](#page=19) [24](#page=24):
$$ V_{inductie} = -\frac{d\Phi_B}{dt} $$ [20](#page=20) [23](#page=23) [24](#page=24).
De geïnduceerde spanning ($V_{inductie}$) wordt uitgedrukt in volt, de magnetische flux ($\Phi_B$) in weber (Wb), en de tijd ($t$) in seconden. Het minteken geeft de richting van de geïnduceerde stroom aan volgens de wet van Lenz, die stelt dat de geïnduceerde stroom de oorzaak van de fluxverandering tegenwerkt [23](#page=23) [24](#page=24).
* **Gemiddelde geïnduceerde spanning:** Voor een fluxverandering over een tijdsduur $\Delta t$:
$$ V_{inductie} \approx -\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t} $$ [24](#page=24).
* **Spoel met N windingen:** De totale geïnduceerde spanning in een spoel met $N$ windingen is:
$$ V_{inductie} = -N \frac{d\Phi_B}{dt} $$ [24](#page=24).
* **Inductie door beweging:** Een geleider die beweegt met snelheid $v$ loodrecht door een uniform magnetisch veld $B$, met een lengte $L$ in het veld, induceert een spanning van:
$$ V_{inductie} = BLv $$ [25](#page=25).
* **Toepassingen:** Generatoren (zetten mechanische om in elektrische energie) transformatoren (verhogen of verlagen van wisselspanningen) en diverse sensoren (zoals nabijheidssensoren en snelheidsmeters) [19](#page=19) [23](#page=23).
> **Tip:** Denk bij de wet van Lenz aan een 'tegengestelde reactie'. Als de magnetische flux toeneemt, probeert de geïnduceerde stroom deze toename te verminderen door een magnetisch veld te creëren dat tegengesteld is aan het externe veld [25](#page=25).
### 2.3 Oefeningen en toepassingen
De principes van magnetisme en elektromagnetisme vinden brede toepassing in de praktijk [20](#page=20).
#### 2.3.1 Oefening 1: Bewegingsrichting
Een typische quizvraag test het begrip van de bewegingsrichting van een geleider in een magnetisch veld, die bepaald wordt door de Lorentzkracht en de rechterhandregel. Mogelijke antwoorden zijn "Achter" en "Voor" [20](#page=20) [27](#page=27).
#### 2.3.2 Oefening 2: Transformatoren
Vragen over de spanning en stroom na een transformator, gegeven de primaire spanning en de weerstand aan de secundaire kant, vereisen kennis van transformatorverhoudingen en de wet van Ohm ($V=IR$) [20](#page=20) [27](#page=27).
Voor een transformator met $N_p$ windingen in de primaire spoel en $N_s$ windingen in de secundaire spoel, geldt de relatie tussen spanningen ($V_p, V_s$) en windingen:
$$ \frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} $$ [20](#page=20) [23](#page=23) [25](#page=25).
De stroomverhouding is omgekeerd evenredig:
$$ \frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p} = \frac{V_s}{V_p} $$ [27](#page=27).
In een ideale transformator blijft het vermogen ($P=V \times I$) behouden. Als de spanning stijgt, daalt de stroom, en omgekeerd [26](#page=26):
$$ V_s I_s = V_p I_p $$ [26](#page=26).
Mogelijke antwoorden voor spanning en stroom kunnen zijn: 230V – 2,3A, 115V – 0,15A, 460V – 0,46A [20](#page=20) [27](#page=27).
> **Tip:** De verhouding tussen het aantal windingen van de primaire spoel ($N_p$) en de secundaire spoel ($N_s$) is gelijk aan de verhouding van de spanningen: $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$. De stroomverhouding is omgekeerd evenredig met de spanningsverhouding: $\frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p} = \frac{V_s}{V_p}$. De wet van Ohm ($V=IR$) kan worden gebruikt om de stroom te berekenen die door de secundaire weerstand loopt [27](#page=27).
#### 2.3.3 Oefening 3: Toepassingsprincipe
Deze oefening test het herkennen van het onderliggende principe van een specifieke toepassing, met keuzes zoals "Vermogen", "Inductie" of "Lurentzkracht". Veel toepassingen, zoals motoren en generatoren, maken gebruik van inductie of de Lorentzkracht [20](#page=20) [27](#page=27) [28](#page=28).
> **Tip:** Het identificeren van het onderliggende principe van een toepassing, waarbij de keuze tussen inductie en de Lorentzkracht cruciaal is afhankelijk van de context, is hierbij belangrijk [28](#page=28).
---
# Elektronische componenten en hun toepassingen
Hier is een gedetailleerde studiehandleiding over elektronische componenten en hun toepassingen, gebaseerd op de verstrekte documentatie.
## 3 Elektronische componenten en hun toepassingen
Dit hoofdstuk introduceert fundamentele elektronische componenten, hun eigenschappen en toepassingen, variërend van passieve componenten zoals weerstanden en condensatoren tot actieve componenten zoals diodes en transistors [30](#page=30).
### 3.1 Passieve componenten
#### 3.1.1 Weerstanden
Weerstanden zijn componenten die de doorstroming van elektrische stroom beperken. De belangrijkste eigenschap is de weerstandswaarde, gemeten in ohm ($\Omega$) [30](#page=30).
##### Weerstandskleurcodes
De waarde van een weerstand wordt vaak aangegeven met een reeks gekleurde banden. Deze banden vertegenwoordigen cijfers, vermenigvuldigingsfactoren en toleranties [30](#page=30).
* **Tolerantie:** Geeft de maximale afwijking van de nominale weerstandswaarde aan [30](#page=30).
> **Tip:** Het leren en toepassen van de weerstandskleurcode is een essentiële vaardigheid voor iedereen die met elektronica werkt [30](#page=30).
##### Voorbeelden van kleurcodes en waarden
* Grijs, Rood, Rood, Goud: 8,2 k$\Omega$ met een tolerantie van 5% [30](#page=30).
* Geel, Paars, Rood (4 banden): 470 $\Omega$ met een tolerantie van 2% [35](#page=35).
* Geel, Paars, Zwart, Zilver, Rood (5 banden): 1,8 M$\Omega$ met een tolerantie van 2% [35](#page=35).
#### 3.1.2 Lichtafhankelijke weerstand (LDR)
Een LDR, ook wel fotoweerstand genoemd, is een component waarvan de weerstandswaarde afhankelijk is van de hoeveelheid invallend licht. Meer licht betekent een lagere weerstand [30](#page=30).
> **Tip:** LDR's worden gebruikt in schakelingen die reageren op lichtintensiteit, zoals automatische straatverlichting of lichtsensoren [30](#page=30).
##### Oefening met LDR
* Bij 10 Lumen (1 Ftc) is de weerstand van de LDR ongeveer 10 k$\Omega$, wat resulteert in een spanning van 2,5V over de LDR in een typische spanningsdelerconfiguratie [31](#page=31) [36](#page=36).
* Bij 1000 Lumen (100 Ftc) is de weerstand van de LDR ongeveer 0,6 k$\Omega$, met een spanning van 0,28V over de LDR [31](#page=31) [36](#page=36).
#### 3.1.3 Thermistor
Een thermistor is een weerstand waarvan de weerstandswaarde sterk temperatuurafhankelijk is [31](#page=31).
* **PTC (Positive Temperature Coefficient):** De weerstand neemt toe met toenemende temperatuur [31](#page=31) [36](#page=36).
* **NTC (Negative Temperature Coefficient):** De weerstand neemt af met toenemende temperatuur [31](#page=31) [36](#page=36).
##### Oefening met thermistor
Beschouw een circuit met een 15V voedingsbron, een stroommeter (interne weerstand 3 $\Omega$) en een instelbare weerstand van 17 $\Omega$. Een thermistor heeft een nominale waarde van 4 k$\Omega$ bij een bepaalde temperatuur.
* Bij 77°F (25°C) is de thermistor weerstand 4 k$\Omega$. De totale weerstand is $17\Omega + 3\Omega + 4000\Omega = 4020\Omega$. De gemeten stroom is $\frac{15V}{4020\Omega} \approx 3,73$ mA [31](#page=31) [36](#page=36).
* Bij 150°F (65,5°C) is de thermistor weerstand 950 $\Omega$. De totale weerstand is $17\Omega + 3\Omega + 950\Omega = 970\Omega$. De gemeten stroom is $\frac{15V}{970\Omega} \approx 15,46$ mA [31](#page=31) [36](#page=36).
#### 3.1.4 Potentiometer
Een potentiometer is een variabele weerstand die werkt als een spanningsdeler. Het heeft drie aansluitingen: twee eindpunten van een weerstandselement en een beweegbaar contact (wiper) [31](#page=31) [37](#page=37).
##### Toepassingen van potentiometers
* **Draaiknoppen:** Vaak gebruikt in audioapparatuur (mengpanelen, autoradio's), meestal logaritmisch afgesteld [32](#page=32) [41](#page=41).
* **Schuifknoppen (faders):** Gebruikt in mengpanelen voor volumeregeling, doorgaans lineair [32](#page=32) [41](#page=41).
* **Positiebepaling:** Meten van bijvoorbeeld de gaspedaalpositie in een auto, waarbij de uitvoerspanning lineair correleert met de positie [32](#page=32) [41](#page=41).
#### 3.1.5 Condensator
Een condensator is een passief elektronisch component dat elektrische energie opslaat in een elektrisch veld, bestaande uit twee geleidende platen gescheiden door een diëlektricum. De capaciteit, gemeten in Farad (F), bepaalt de hoeveelheid opgeslagen lading bij een bepaalde spanning [32](#page=32).
##### Toepassingen van condensatoren
Condensatoren worden veel gebruikt in filtercircuits [32](#page=32) [41](#page=41):
* **RC low-pass filter:** Laat lage frequenties door en verzwakt hoge frequenties [32](#page=32) [41](#page=41).
* **CR high-pass filter:** Laat hoge frequenties door en verzwakt lage frequenties [32](#page=32) [41](#page=41).
* **Band-pass filter:** Laat een specifiek frequentiebereik door [32](#page=32) [41](#page=41).
> **Tip:** Condensatoren worden ook gebruikt voor energieopslag (zoals in cameraflitsers) en timing in elektronische circuits [32](#page=32).
### 3.2 Halfgeleiders
Halfgeleiders zijn materialen met een elektrische geleidbaarheid tussen die van geleiders en isolatoren. Hun geleidbaarheid kan gemanipuleerd worden door doping [32](#page=32) [44](#page=44).
* **N-type halfgeleider:** Gemaakt door te dopen met atomen met vijf valentie-elektronen, wat resulteert in een overschot aan vrije elektronen als ladingsdragers. Elektronen zijn de meerderheidsladingsdragers, gaten de minderheidsladingsdragers [32](#page=32) [44](#page=44) [45](#page=45).
* **P-type halfgeleider:** Gemaakt door te dopen met atomen met drie valentie-elektronen, wat "gaten" creëert die als positieve ladingsdragers fungeren. Gaten zijn de meerderheidsladingsdragers, elektronen de minderheidsladingsdragers [32](#page=32) [44](#page=44) [45](#page=45).
### 3.3 Actieve componenten
#### 3.3.1 Diode
Een diode is een halfgeleidercomponent die elektrische stroom voornamelijk in één richting toelaat. Het bestaat uit een PN-overgang [33](#page=33) [41](#page=41) [45](#page=45).
* **Anode:** De P-zijde van de diode [33](#page=33).
* **Kathode:** De N-zijde van de diode [33](#page=33).
De diode geleidt stroom in doorlaatrichting (positieve spanning op anode t.o.v. kathode) en blokkeert stroom in sperrichting (negatieve spanning op anode t.o.v. kathode) [33](#page=33) [45](#page=45).
##### Toepassingen van diodes
Diodes worden gebruikt in diverse schakelingen [33](#page=33) [41](#page=41) [45](#page=45):
* **Enkelzijdige gelijkrichter:** Converteert wisselspanning naar pulserende gelijkspanning [33](#page=33) [41](#page=41) [42](#page=42).
* **Enkelzijdige gelijkrichter met afvlakking:** Gebruikt een condensator om de pulserende gelijkspanning gladder te maken [33](#page=33) [41](#page=41) [42](#page=42).
* **Dubbelzijdige gelijkrichter:** Converteert beide helften van de wisselspanning naar positieve pulsen [33](#page=33) [41](#page=41).
* **Bruggelijkrichter met afvlakking:** Een configuratie van vier diodes die AC omzet naar een stabielere gelijkspanning [33](#page=33) [41](#page=41) [42](#page=42).
#### 3.3.2 LED (Light Emitting Diode)
Een LED is een type diode dat licht uitzendt wanneer er stroom in doorlaatrichting doorheen loopt. De kleur van het licht hangt af van het gebruikte halfgeleidermateriaal [33](#page=33) [37](#page=37) [42](#page=42).
> **Tip:** Bij het aansluiten van een LED is een voorschakelweerstand cruciaal om de stroom te beperken en doorbranden te voorkomen [33](#page=33) [37](#page=37).
##### Oefening met LED
Bereken de voedingsspanning voor een blauwe LED met een drempelspanning van 3,3V en een gewenste stroom van 25 mA, met een voorschakelweerstand van 1 k$\Omega$ [33](#page=33) [37](#page=37) [42](#page=42).
* Spanning over de weerstand ($V_R$): $I \times R = 0,025 A \times 1000 \Omega = 2,5V$ [37](#page=37) [42](#page=42).
* Voedingsspanning ($V_{voeding}$): $V_{LED\_drempel} + V_R = 3,3V + 2,5V = 5,8V$ [37](#page=37) [42](#page=42).
* Kleurcode van de 1 k$\Omega$ weerstand (met 5% tolerantie): Bruin Zwart Rood (x100), Goud ($\pm$5%) [1](#page=1) [34](#page=34) [37](#page=37).
#### 3.3.3 Transistor
Een transistor is een halfgeleidercomponent die gebruikt wordt om elektronische signalen te versterken of te schakelen. Het heeft meestal drie aansluitingen: basis (B), collector (C) en emitter (E). De werking kan worden begrepen als twee diodes die rug-aan-rug zijn geschakeld [34](#page=34) [37](#page=37) [43](#page=43) [46](#page=46).
* **Bipolaire Junction Transistor (BJT):** Bestaat uit twee PN-overgangen. Er zijn NPN en PNP types [46](#page=46).
* **NPN:** P-laag tussen twee N-lagen. Gestuurd door positieve spanning/stroom op de basis t.o.v. de emitter [46](#page=46).
* **PNP:** N-laag tussen twee P-lagen. Gestuurd door negatieve spanning/stroom op de basis t.o.v. de emitter [46](#page=46).
* De relatie tussen collectorstroom ($I_C$) en basisstroom ($I_B$) wordt bepaald door de versterkingsfactor ($\beta$ of $h_{FE}$): $I_C = \beta \times I_B$ [47](#page=47).
* De totale emitterstroom ($I_E$) is de som van de collector- en basisstromen: $I_E = I_C + I_B$ [47](#page=47).
* Voor siliciumtransistors wordt vaak aangenomen dat de basis-emitterspanning ($U_{BE}$) ongeveer 0,7V is in de actieve regio [47](#page=47).
* **Veldeffecttransistor (FET):** Gebruikt een elektrisch veld om de geleidbaarheid van een kanaal te regelen. Types zijn JFETs en MOSFETs. MOSFETs zijn wijdverbreid; aansluitingen zijn Gate (G), Drain (D) en Source (S) [47](#page=47).
##### Oefeningen met transistors
Er zijn diverse oefeningen gegeven met transistors, waarbij verschillende parameters zoals weerstanden, spanningen, stromen en versterkingsfactoren worden berekend. Deze oefeningen illustreren de berekening van basisstromen, collectorstromen, emitterstromen en spanningen op diverse knooppunten, afhankelijk van de configuratie (bijvoorbeeld spanningsdeler, emittervolger). Het is cruciaal om eerst de werkingsmodus van de transistor (onderbroken, verzadigd, actief) te bepalen [34](#page=34) [38](#page=38) [42](#page=42) [43](#page=43) [47](#page=47).
### 3.4 Overige sensoren en componenten
Naast de fundamentele componenten worden ook andere relevante componenten kort besproken [35](#page=35) [44](#page=44):
* **IR Sensor:** Detecteert infraroodstraling [35](#page=35).
* **PIR Sensor:** Passieve infraroodsensor, gebruikt voor bewegingsdetectie [35](#page=35).
* **Ultrasoon:** Componenten die ultrasone geluidsgolven gebruiken voor detectie of meting (bv. afstandssensoren) [35](#page=35).
* **Digitale temperatuursensor:** Meet temperatuur en geeft deze digitaal door [35](#page=35).
* **ADC (Analog-to-Digital Converter):** Converteert analoge signalen naar digitale waarden [35](#page=35) [44](#page=44).
* **DAC (Digital-to-Analog Converter):** Converteert digitale waarden naar analoge signalen [35](#page=35) [44](#page=44).
* **Stepper Motor:** Een elektromotor die in discrete stappen roteert, nauwkeurig controleerbaar voor positionering [35](#page=35) [44](#page=44).
---
# Dataflow en protocollen in embedded systemen
Dit onderwerp behandelt de kernconcepten van dataflow binnen embedded systemen, inclusief API's, JSON en verschillende technologieën voor data-uitwisseling, evenals protocollen zoals seriële (UART, I²C, SPI, CAN) en parallelle protocollen, en de techniek van Pulsbreedtemodulatie (PWM).
### 4.1 Dataflow in embedded systemen
Dataflow in embedded systemen verwijst naar de manier waarop data wordt verplaatst, verwerkt en uitgewisseld tussen verschillende componenten, sensoren, actuatoren en externe systemen. Een efficiënte dataflow is cruciaal voor de functionaliteit en prestaties van embedded systemen [50](#page=50).
#### 4.1.1 Basiscomponenten van dataflow
##### 4.1.1.1 API (Application Programming Interface)
Een API is een set regels en protocollen die definieert hoe verschillende softwarecomponenten met elkaar kunnen communiceren. In de context van dataflow in embedded systemen maakt een API het mogelijk voor een embedded device om data op te vragen van een externe dienst of om data naar een externe dienst te sturen [50](#page=50).
> **Voorbeeld:** Een embedded systeem dat temperatuurgegevens verzamelt, kan een API gebruiken om deze gegevens naar een cloudplatform te sturen voor analyse en visualisatie. Een voorbeeld URL voor data-uitwisseling via een webgebaseerde API is `https://catfact.ninja/fact` [50](#page=50).
##### 4.1.1.2 JSON (JavaScript Object Notation)
JSON is een lichtgewicht data-uitwisselingsformaat dat gemakkelijk te lezen en te schrijven is voor mensen, en gemakkelijk te parsen en te genereren voor machines. Het wordt veel gebruikt voor het verzenden van data tussen een server en een webapplicatie, maar ook in embedded systemen voor communicatie. JSON gebruikt een structuur van sleutel-waardeparen [50](#page=50).
> **Voorbeeld:**
> ```json
> {
> "temperatuur": 25.5,
> "eenheid": "Celsius",
> "tijdstempel": "2023-10-27T10:00:00Z"
> }
> ```
> [50](#page=50).
##### 4.1.1.3 MQTT (Message Queuing Telemetry Transport)
MQTT is een lichtgewicht berichtenprotokol dat is ontworpen voor apparaten met beperkte bronnen en onbetrouwbare netwerken. Het is zeer geschikt voor machine-to-machine (M2M) en Internet of Things (IoT) communicatie. MQTT werkt op basis van een publish/subscribe model [51](#page=51).
##### 4.1.1.4 Node-RED
Node-RED is een op flow-based programmering gebaseerde tool die is ontworpen om eenvoudig verschillende hardwareapparaten, API's en online services met elkaar te verbinden. Het biedt een browsergebaseerde editor waarmee je visueel flows kunt bouwen door nodes te verbinden [51](#page=51).
##### 4.1.1.5 Node.js
Node.js is een JavaScript runtime-omgeving die het mogelijk maakt om JavaScript-code buiten de browser uit te voeren. Het is populair voor het bouwen van schaalbare netwerkapplicaties, inclusief server-side logica voor dataflow en API-integratie [51](#page=51).
#### 4.1.2 Technologieën voor data-uitwisseling en visualisatie
Verschillende technologieën kunnen worden ingezet voor het verzamelen, opslaan en visualiseren van data die via dataflow in embedded systemen wordt verkregen [51](#page=51).
* **Grafana & Prometheus:** Grafana is een open-source analyse- en visualisatieplatform. Prometheus is een open-source monitoring- en alertingtool die vaak samen met Grafana wordt gebruikt. Prometheus verzamelt metrische gegevens, en Grafana visualiseert deze in dashboards [51](#page=51) [53](#page=53).
* **InfluxDB:** Dit is een open-source time-series database, geoptimaliseerd voor het opslaan en opvragen van tijdgebonden data [51](#page=51) [54](#page=54).
* **Adafruit IO / Arduino Cloud:** Dit zijn cloudplatforms ontworpen voor het verbinden van hardware met het internet, die API's voor data-uitwisseling en dashboards voor visualisatie bieden [51](#page=51) [54](#page=54).
* **Thingspeak:** Een IoT-analyseplatform voor het verzamelen, visualiseren en analyseren van data van IoT-apparaten, met integratie voor Matlab [51](#page=51) [54](#page=54).
* **Thingsboard:** Een geavanceerd open-source IoT platform voor dataverzameling, -verwerking, -visualisatie en -beheer van IoT-apparaten, met uitgebreide API-functionaliteit [51](#page=51) [54](#page=54).
#### 4.1.3 Besluitvorming en overwegingen bij dataflow architectuur
Bij het ontwerpen van een dataflow-architectuur voor embedded systemen is het belangrijk om verschillende factoren in overweging te nemen. Een goed plan van eisen is essentieel [52](#page=52) [55](#page=55) [56](#page=56).
Belangrijke overwegingen zijn:
* **Beveiliging:** Hoe wordt de data beschermd tegen ongeautoriseerde toegang, manipulatie en verlies [52](#page=52) [57](#page=57)?
* **API-integratie:** Welke API's zijn nodig en hoe worden deze geïmplementeerd [52](#page=52) [55](#page=55)?
* **Visualisatie:** Welke informatie moet worden getoond en aan wie [52](#page=52) [57](#page=57)?
* **Datahoeveelheid (Datavolume):** Hoeveel data wordt er gegenereerd en hoe wordt deze efficiënt verwerkt? Dit heeft een significante impact op de keuze van technologieën en schaalbaarheid [52](#page=52) [57](#page=57).
* **Tijdsensitiviteit:** Hoe belangrijk is de real-time verwerking van data? Tijdsgevoelige data vereist minimale vertraging [52](#page=52) [57](#page=57).
* **Plan van eisen:** Dit document specificeert de functionele en niet-functionele vereisten, zoals doel, data bronnen/bestemmingen, prestaties, schaalbaarheid, beveiliging, visualisatie, en budgettaire/resourcebeperkingen [57](#page=57) [58](#page=58).
> **Tip:** Het kiezen van de juiste combinatie van technologieën hangt sterk af van de specifieke toepassing en de vereisten van het embedded systeem. Zonder een helder plan van eisen is het ontwerpen van een effectieve dataflow architectuur een gok [51](#page=51) [58](#page=58).
> **Voorbeeld:** Voor een systeem dat temperatuurdata van sensoren verzamelt en visualiseert, kan het plan van eisen specificeren dat de data elke minuut moet worden bijgewerkt (tijdsgevoeligheid), dat de data versleuteld moet worden verzonden (beveiliging), en dat de data in een Grafana dashboard getoond moet worden (visualisatie) [58](#page=58).
### 4.2 Protocollen in embedded systemen
Protocollen zijn fundamentele regels en afspraken die worden gebruikt om de communicatie tussen verschillende componenten, apparaten of systemen te standaardiseren. Ze zijn essentieel voor betrouwbare en efficiënte gegevensoverdracht [61](#page=61).
#### 4.2.1 Classificatie van protocollen
Protocollen kunnen op verschillende manieren worden geclassificeerd [61](#page=61).
* **Serieel versus parallelle protocollen:**
* **Seriële protocollen:** Data wordt bit voor bit over één datalijn verzonden, wat minder draden vereist. Voorbeelden: UART, I²C, SPI [61](#page=61).
* **Parallelle protocollen:** Data wordt tegelijkertijd over meerdere datalijnen verzonden, wat hogere datasnelheden mogelijk maakt maar meer draden en gevoeliger is voor timingproblemen [61](#page=61).
* **Synchrone versus asynchrone protocollen:**
* **Synchrone protocollen:** Gebruiken een gemeenschappelijk kloksignaal voor precieze timing en hoge datasnelheden. Voorbeelden: SPI, I²C (deels) [61](#page=61).
* **Asynchrone protocollen:** Hebben geen gedeelde klok. Data wordt in pakketten met start- en stopbits verzonden. Voorbeeld: UART [61](#page=61).
* **Simplex versus duplex protocollen:**
* **Simplex:** Communicatie in slechts één richting [62](#page=62).
* **Half-duplex:** Communicatie in beide richtingen, maar niet tegelijkertijd [62](#page=62).
* **Full-duplex:** Communicatie in beide richtingen tegelijkertijd [62](#page=62).
* **Bus versus no-bus protocollen:**
* **Bus protocollen:** Meerdere apparaten delen dezelfde communicatiebus. Voorbeelden: I²C, CAN [62](#page=62).
* **No-bus protocollen:** Communicatie vindt punt-tot-punt plaats [62](#page=62).
#### 4.2.2 Veelvoorkomende protocollen in embedded systemen
##### 4.2.2.1 UART (Universal Asynchronous Receiver Transmitter)
UART is een veelgebruikt asynchroon serieel communicatieprotocol. Het verzendt data bit voor bit, met start-, data-, optionele pariteits- en stopbits. Er is geen externe klok nodig. Bekende standaarden zijn RS-232 en RS-485 [62](#page=62) [64](#page=64).
> **Tip:** Asynchrone protocollen zoals UART vereisen dat de zender en ontvanger vooraf zijn ingesteld op dezelfde baudrate [64](#page=64).
##### 4.2.2.2 I²C (Inter Integrated Circuit)
I²C is een synchroon, multi-master, multi-slave serieel communicatieprotocol voor communicatie op printplaten of over korte afstanden. Het vereist slechts twee lijnen: SDA (Serial Data) en SCL (Serial Clock). Apparaten worden geïdentificeerd door een uniek adres [62](#page=62).
##### 4.2.2.3 SPI (Serial Peripheral Interface)
SPI is een synchroon, full-duplex, serieel communicatieprotocol, ontworpen voor korteafstandscommunicatie tussen microcontrollers en randapparatuur. Het maakt gebruik van vier lijnen: MOSI, MISO, SCLK en SS. De master genereert de klok en regelt de communicatie [63](#page=63) [64](#page=64).
> **Tip:** SPI is een synchroon protocol waarbij de kloklijn (SCK) de timing bepaalt, wat het over het algemeen sneller maakt dan asynchrone protocollen zoals UART [65](#page=65).
##### 4.2.2.4 CAN (Controller Area Network)
CAN is een robuust serieel communicatieprotocol, oorspronkelijk ontworpen voor automotive toepassingen, maar ook veel gebruikt in industriële automatisering. Het is een multi-master busprotocol dat bekend staat om zijn fouttolerantie en efficiënte berichtprioritering. Het is ontworpen voor omgevingen met veel elektromagnetische storingen [63](#page=63) [65](#page=65).
#### 4.2.3 Pulsbreedtemodulatie (PWM)
PWM is geen communicatieprotocol in de strikte zin, maar een techniek om met een digitaal signaal analoge waarden te simuleren. Het wordt veel gebruikt voor het aansturen van actuatoren zoals motoren en servos, en voor het regelen van de helderheid van displays [63](#page=63) [65](#page=65).
##### 4.2.3.1 Basisprincipes van PWM
PWM is een digitale techniek om een analoog resultaat te verkrijgen door een signaal snel in- en uit te schakelen. De **duty cycle** (verhouding tussen aan-tijd en totale periode) bepaalt de gemiddelde waarde [68](#page=68).
* **Periode ($T$):** De totale duur van één cyclus [68](#page=68).
* **Pulsbreedte ($t_{on}$):** De duur dat het signaal hoog is binnen één periode [68](#page=68).
* **Duty Cycle ($D$):** De verhouding tussen de pulsbreedte en de periode: $D = \frac{t_{on}}{T}$ [68](#page=68).
De gemiddelde spanning ($V_{avg}$) die aan een belasting wordt geleverd, is direct evenredig met de duty cycle en de maximale spanning ($V_{max}$): $V_{avg} = D \times V_{max}$ [68](#page=68).
##### 4.2.3.2 Genereren van een PWM-signaal
PWM-signalen worden doorgaans gegenereerd met microcontrollers of speciale PWM-controllers door timers en vergelijkingsregisters te gebruiken [68](#page=68).
> **Tip:** De **frequentie** van het PWM-signaal ($f = 1/T$) is belangrijk voor vloeiende controle, maar hogere frequenties kunnen leiden tot hogere schakelverliezen [69](#page=69).
##### 4.2.3.3 Toepassingen van PWM
* **Regeling van motoren:** Snelheidsregeling van DC-motoren door de gemiddelde spanning aan te passen via de duty cycle [69](#page=69).
> **Example:** Bij een duty cycle van 50% ontvangt de motor gemiddeld de helft van de voedingsspanning, waardoor hij op ongeveer de helft van zijn maximale snelheid draait [69](#page=69).
* **Dimmen van LED's:** Regelen van helderheid door de tijd dat de LED brandt te variëren [69](#page=69).
* **Stroomvoorziening en energieconversie:** Efficiënte regeling van uitgangsspanning in bijvoorbeeld DC-DC converters [69](#page=69).
* **Servo-aansturing (specifiek de SG90 servo):** Servo-motoren gebruiken PWM om hun positie te bepalen. Hier is het niet de duty cycle zelf die de controleert, maar de **absolute pulsbreedte** binnen een vaste periode [69](#page=69) [70](#page=70).
* Een typische SG90 servo werkt met een periodetijd ($T$) van ongeveer 20 ms, wat overeenkomt met een frequentie van 50 Hz [70](#page=70).
* De neutrale positie (90 graden) wordt bereikt met een pulsbreedte ($t_{on}$) van ongeveer 1.5 ms [70](#page=70).
* De minimale hoek (0 graden) wordt bereikt met een pulsbreedte van ongeveer 1 ms [70](#page=70).
* De maximale hoek (180 graden) wordt bereikt met een pulsbreedte van ongeveer 2 ms [70](#page=70).
> **Example:** Om een SG90 servo naar 45 graden te sturen, zou een pulsbreedte nodig zijn die tussen 1 ms en 1.5 ms ligt, afhankelijk van de specifieke servo en kalibratie. Een pulsbreedte van 1.25 ms zou de servo naar een positie tussen 0 en 90 graden sturen [70](#page=70).
> **Tip:** Het nauwkeurig genereren van deze specifieke pulsbreedtes is cruciaal voor correcte servo-aansturing [70](#page=70).
### 4.3 Controller Area Network (CAN) protocol
CAN is een berichtgebaseerd, robuust serieel communicatieprotocol, ontworpen om elektronische besturingseenheden (ECU's) met elkaar te verbinden zonder een host-computer [65](#page=65) [66](#page=66).
#### 4.3.1 Kernconcepten van CAN
* **Berichtgebaseerd:** Data wordt gerouteerd op basis van de inhoud (de Identifier) van het bericht, niet de locatie van de ontvanger [66](#page=66).
* **Multi-master:** Elke node op het netwerk kan zelfstandig berichten verzenden zodra de bus vrij is [65](#page=65) [66](#page=66).
* **Busstructuur:** Gebruikt een differentiële busstructuur (CAN High, CAN Low) voor ruisonderdrukking en lange communicatieafstanden [66](#page=66).
* **Prioriteit en arbitratie:** Heeft een mechanisme voor conflictbeslechting (arbitratie) gebaseerd op de prioriteit van de berichten (lagere ID = hogere prioriteit) [66](#page=66).
* **Robuustheid:** Ontworpen voor omgevingen met veel elektromagnetische storingen [65](#page=65) [66](#page=66).
#### 4.3.2 CAN-berichtenstructuur
Een CAN-bericht bestaat uit diverse velden, waaronder: Start of Frame (SOF), Arbitration Field (met Identifier - ID), Control Field (DLC), Data Field, CRC Field (foutdetectie), ACK Field (acknowledgement) en End of Frame (EOF) [66](#page=66).
#### 4.3.3 Arbitratieproces
Het arbitratieproces vindt plaats op basis van het Arbitration Field (ID) wanneer meerdere nodes tegelijkertijd willen zenden. Dit is een Carrier Sense Multiple Access with Collision Detection and Arbitration (CSMA/CD+A) proces. Nodes met een lagere Identifier winnen de arbitratie [66](#page=66) [67](#page=67).
> **Tip:** Het arbitratieproces is een sleutelkenmerk van CAN dat zorgt voor efficiënte en betrouwbare datacommunicatie, zelfs onder zware belasting [67](#page=67).
#### 4.3.4 Foutdetectie en -afhandeling
CAN is ontworpen om fouten vroegtijdig te detecteren en te rapporteren met mechanismen zoals CRC, Bit Monitoring, en een Acknowledge Slot. Bij detectie van een fout wordt een 'Error Frame' verzonden [67](#page=67).
#### 4.3.5 CAN-standaarden en varianten
* Standard CAN (CAN 2.0A): 11-bit identifiers [67](#page=67).
* Extended CAN (CAN 2.0B): 29-bit identifiers [67](#page=67).
* CAN FD (Flexible Data-Rate): Hogere datasnelheden en grotere databulks [67](#page=67).
#### 4.3.6 Toepassingen van CAN
Automotive, Industriële Automatisering, Medische Apparatuur, Ruimtevaart [68](#page=68).
#### 4.3.7 Vergelijking met andere protocollen
CAN onderscheidt zich van SPI en I²C door zijn broadcast-architectuur, robuuste foutafhandeling en gedistribueerde arbitratie, wat het zeer geschikt maakt voor systemen waar betrouwbaarheid essentieel is. SPI is doorgaans sneller voor punt-naar-punt, terwijl I²C geschikt is voor kortafstand, laag-snelheid communicatie [68](#page=68).
---
# Microcontrollers, microprocessors en aanverwante concepten
Dit gedeelte introduceert en vergelijkt verschillende soorten embedded devices, met een focus op microcontrollers en microprocessors, en hun respectievelijke functies, besturingssystemen, en aanverwante concepten zoals GPIO-pinnen, logic levels, spanningsniveaus en de rol van pull-up/pull-down weerstanden.
## 5. Microcontrollers, microprocessors en aanverwante concepten
### 5.1 Inleiding tot embedded devices
Embedded devices zijn computersystemen die zijn ontworpen voor specifieke taken binnen een groter mechanisch of elektronisch systeem. Binnen deze categorie onderscheiden we hoofdzakelijk microcontrollers en microprocessors, die verschillende mogelijkheden en toepassingen bieden [72](#page=72).
### 5.2 Microcontrollers
Een microcontroller is een compacte computer op een enkele chip die is ontworpen om specifieke, beperkte taken uit te voeren [72](#page=72).
#### 5.2.1 Functies en programmering
Microcontrollers hebben doorgaans een beperkt aantal functies en worden vaak aangestuurd via firmware, wat betekent dat de software direct in de hardware is ingebouwd en niet zomaar gewijzigd kan worden. Ze worden doorgaans geprogrammeerd in lagere-niveau talen zoals C/C++ [72](#page=72).
#### 5.2.2 Voorbeelden van microcontrollers
* **Arduino:** Een populaire microcontroller-familie die vaak wordt gebruikt door hobbyisten en in educatieve projecten. De programmering gebeurt meestal via de Arduino IDE [72](#page=72).
* **Micro:Bit:** Een kleine, programmeerbare microcontroller speciaal ontworpen voor educatieve doeleinden. Het kan worden geprogrammeerd met behulp van een webgebaseerde editor in talen zoals MicroPython, JavaScript en Python [72](#page=72).
* **Raspberry Pi Pico (WH):** Deze microcontroller is gebaseerd op de RP2040 chip en biedt een krachtig platform voor diverse projecten [72](#page=72).
### 5.3 Microprocessors
Een microprocessor is het centrale verwerkingsonderdeel van een computer, ontworpen om een breed scala aan taken uit te voeren en te functioneren als de 'hersenen' van een systeem [72](#page=72).
#### 5.3.1 Functies en besturingssystemen
In tegenstelling tot microcontrollers, die beperkt zijn in hun functionaliteit, kunnen microprocessors vrijwel alle functies van een computer uitvoeren. Ze zijn flexibeler en kunnen complexere berekeningen en operaties verwerken. Architecturen zoals RISC (Reduced Instruction Set Computing), CISC (Complex Instruction Set Computing) en ARM zijn typische microprocessor-architecturen. Microprocessors draaien doorgaans een volledig besturingssysteem (Full OS), zoals Linux, waardoor ze zeer veelzijdig zijn [73](#page=73).
#### 5.3.2 Voorbeelden van microprocessors
* **Raspberry Pi:** Een populaire reeks single-board computers die gebruikmaken van microprocessors. Ze zijn ontworpen om te draaien met een volledig besturingssysteem en worden vaak geprogrammeerd in talen zoals Python [73](#page=73).
### 5.4 Vergelijking: Microcontrollers vs. Microprocessors
| Kenmerk | Microcontroller | Microprocessor |
| :----------------- | :---------------------------------------------- | :------------------------------------------------- |
| Functie | Specifieke, beperkte taken | Breed scala aan taken, algemene berekeningen |
| Complexiteit | Eenvoudiger, minder componenten | Complexer, meer componenten |
| Besturingssysteem | Geen of eenvoudig RTOS (Real-Time Operating System) | Volledig besturingssysteem (bv. Linux) |
| Programmering | Firmware, C/C++, directe hardware-interactie | Hogere-niveau talen, applicatieontwikkeling |
| Krachtverbruik | Over het algemeen lager | Over het algemeen hoger |
| Kosten | Over het algemeen lager | Over het algemeen hoger |
| Voorbeelden | Arduino, Micro:Bit, Raspberry Pi Pico | Raspberry Pi |
### 5.5 Voeding en stroomvoorziening
De stroomvoorziening voor embedded devices varieert, maar algemene methoden omvatten adapters, USB en batterijen [74](#page=74) [76](#page=76).
#### 5.5.1 Adapter en USB voor grotere borden
Raspberry Pi en Arduino (grote borden) worden doorgaans gevoed via een adapter. USB is ook een veelgebruikte methode voor energievoorziening, vooral voor apparaten die ook data-uitwisseling via USB ondersteunen [74](#page=74) [76](#page=76).
#### 5.5.2 USB voor kleinere borden en microcontrollers
Arduino (kleine bordjes), Micro:Bit en Raspberry Pi Pico kunnen via USB (5V) worden gevoed. Dit garandeert een gestandaardiseerde en eenvoudige manier van aansluiten, vaak met een voedingsspanning van 5V [74](#page=74) [76](#page=76).
#### 5.5.3 Batterijvoeding
Alle apparaten kunnen op de een of andere manier worden gevoed met een batterij. Dit is met name nuttig voor draagbare of autonome embedded systemen [74](#page=74) [76](#page=76).
> **Tip:** Bij het gebruik van batterijen is het cruciaal om op de juiste voedingsspanning te letten om schade aan het apparaat te voorkomen. Controleer altijd de specificaties van je embedded device om de correcte voedingsspanning voor batterijvoeding te bepalen [74](#page=74) [76](#page=76).
### 5.6 GPIO (General Purpose Input/Output) Pins
GPIO-pinnen zijn essentiële connectoren op deze boards waarmee de microcontroller of microprocessor kan interageren met de buitenwereld. Ze kunnen worden geconfigureerd als input of output om signalen te lezen of te sturen [76](#page=76) [78](#page=78).
* **Micro:Bit:** Heeft specifieke GPIO-pinnen die gedetailleerd worden beschreven op de micro:bit hardware-pagina's [76](#page=76).
* **Raspberry Pi:** Maakt gebruik van een standaard GPIO-header voor verbindingen [76](#page=76).
* **Arduino:** Biedt een reeks digitale en analoge GPIO-pinnen [76](#page=76).
GPIO-pinnen zijn de multifunctionele connectoren op microcontrollers die gebruikt kunnen worden om signalen te verzenden of te ontvangen. Ze bieden een directe interface tussen de microcontroller en de buitenwereld, waardoor de microcontroller kan interageren met sensoren, actuatoren en andere elektronische componenten [78](#page=78).
### 5.7 Logic Levels: TTL vs. CMOS en Spanningsniveaus
Het begrijpen van logic levels is cruciaal bij het verbinden van verschillende elektronische componenten. Logische niveaus definiëren de spanningsbereiken die corresponderen met de digitale waarden 'hoog' (logische 1) en 'laag' (logische 0). Twee veelvoorkomende standaarden zijn TTL en CMOS [74](#page=74) [79](#page=79).
#### 5.7.1 TTL (Transistor-Transistor Logic)
TTL-logica werkt traditioneel met een voedingsspanning van 5V [74](#page=74) [79](#page=79).
* **Logische 'laag':** Een spanning tussen 0V en ongeveer 0,8V [74](#page=74) [79](#page=79).
* **Logische 'hoog':** Een spanning tussen ongeveer 2,0V en 5V [74](#page=74) [79](#page=79).
TTL-circuits hebben doorgaans een hogere stroomconsumptie in vergelijking met CMOS [79](#page=79).
#### 5.7.2 CMOS (Complementary Metal-Oxide-Semiconductor)
CMOS-technologie is energiezuiniger dan TTL en wordt tegenwoordig veel vaker gebruikt. CMOS-logica kan werken met verschillende voedingsspanningen, waaronder 3.3V of 5V. De specifieke spanningsbereiken variëren, maar over het algemeen geldt [74](#page=74) [79](#page=79):
* **5V CMOS:**
* Logische 'hoog': typisch > 3.5V [74](#page=74).
* Logische 'laag': typisch < 1.5V [74](#page=74).
* **3.3V CMOS:**
* Logische 'hoog': typisch > 2.0V [74](#page=74).
* Logische 'laag': typisch < 1.0V [74](#page=74).
Laag (logische 0): Een spanning dicht bij 0V [79](#page=79).
Hoog (logische 1): Een spanning dicht bij de voedingsspanning [79](#page=79).
> **Tip:** Het is belangrijk om de logic levels van de te verbinden apparaten te controleren om compatibiliteit te waarborgen. Een verkeerde spanning kan leiden tot onbetrouwbare metingen of zelfs schade aan de componenten [74](#page=74).
#### 5.7.3 Verschillen tussen 5V en 3.3V systemen
Het belangrijkste verschil tussen 5V en 3.3V systemen is de maximale spanningsniveau die wordt gebruikt voor logische 'hoog' [79](#page=79).
* **5V systemen:** Gebruiken een logische 'hoog' tot 5V. Dit biedt een grotere ruimmarge en kan beter compatibel zijn met oudere componenten. Echter, ze verbruiken over het algemeen meer stroom [79](#page=79).
* **3.3V systemen:** Gebruiken een logische 'hoog' tot 3.3V. Deze systemen zijn energiezuiniger en worden steeds vaker toegepast, met name in mobiele en batterijgevoede apparaten [79](#page=79).
Het mengen van componenten die ontworpen zijn voor verschillende logische spanningsniveaus kan leiden tot problemen. Een 5V-uitgang die een 3.3V-ingang aanstuurt, kan de 3.3V-component beschadigen als de 5V te hoog is voor de specifieke component. Omgekeerd kan een 3.3V-uitgang mogelijk niet hoog genoeg zijn om een 5V-ingang correct als 'hoog' te detecteren [79](#page=79).
> **Tip:** Raadpleeg altijd de datasheets van de componenten om de exacte spanningsvereisten en toleranties te kennen wanneer je systemen met verschillende logische niveaus combineert [80](#page=80).
### 5.8 Logic Level Shifting
Wanneer apparaten met verschillende logic levels met elkaar worden verbonden, is een logic level shifter nodig. Dit proces zorgt ervoor dat de signalen van het ene niveau worden omgezet naar het niveau dat compatibel is met het andere apparaat [75](#page=75) [80](#page=80).
#### 5.8.1 5V naar 3.3V niveauverschuiving
Om een signaal van een 5V-systeem naar een 3.3V-systeem te sturen, moet de 5V-spanning worden "verlaagd" naar een niveau dat de 3.3V-ingang correct als hoog herkent. Dit kan worden bereikt met [80](#page=80):
* **Weerstandsdelers:** Twee weerstanden kunnen een spanningsdeler vormen om de spanning te reduceren. De verhouding van de weerstanden bepaalt de uitgangsspanning. De formule voor de uitgangsspanning ($V_{uit}$) van een spanningsdeler is [80](#page=80):
$$V_{uit} = V_{in} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$
Waarbij $V_{in}$ de ingangsspanning is, $R_1$ de weerstand tussen de uitgang en de massa is, en $R_2$ de weerstand tussen de ingang en de uitgang is [80](#page=80).
* **Logische niveauverschuiver IC's:** Gespecialiseerde geïntegreerde schakelingen bieden een robuuste en betrouwbare oplossing voor niveauverschuiving [80](#page=80).
#### 5.8.2 3.3V naar 5V niveauverschuiving
Om een signaal van een 3.3V-systeem naar een 5V-systeem te sturen, moet de 3.3V-spanning worden "verhoogd" naar een niveau dat de 5V-ingang correct als hoog herkent. Dit is vaak iets complexer omdat een 3.3V-signaal mogelijk niet hoog genoeg is om een 5V-ingang te triggeren. Methoden omvatten [80](#page=80):
* **Transistor-gebaseerde schakelingen:** Een NPN of N-kanaal MOSFET transistor kan worden gebruikt met een pull-up weerstand naar de 5V-voeding [80](#page=80).
* **Specifieke niveauverschuiver IC's:** Er zijn IC's die speciaal ontworpen zijn voor 3.3V naar 5V conversie [80](#page=80).
> **Example:** Stel dat je een Micro:Bit (3.3V) een relais wilt laten aansturen dat een 5V-signaal verwacht. Je kunt dan een 3.3V naar 5V niveauverschuiver gebruiken om ervoor te zorgen dat de Micro:Bit het relais correct kan activeren [80](#page=80).
### 5.9 Actief Hoog / Laag en Pull-up / Pull-down Weerstanden
De manier waarop digitale ingangen worden geïnterpreteerd en hoe zwevende ingangen worden voorkomen, wordt bepaald door de concepten van actief hoog/laag en de toepassing van pull-up en pull-down weerstanden [77](#page=77) [78](#page=78).
#### 5.9.1 Actief Hoog en Actief Laag
Een digitaal signaal kan op twee manieren 'actief' zijn [75](#page=75) [81](#page=81):
* **Actief hoog:** Het signaal wordt als 'actief' of 'waar' beschouwd wanneer de spanning logisch hoog is (bijvoorbeeld 5V of 3.3V) [75](#page=75) [81](#page=81).
* **Actief laag:** Het signaal wordt als 'actief' of 'waar' beschouwd wanneer de spanning logisch laag is (bijvoorbeeld 0V) [75](#page=75) [81](#page=81).
Dit concept is belangrijk bij het ontwerpen van circuits en het interpreteren van datasheets, vooral bij besturing van actuatoren zoals relais of LED's [81](#page=81).
> **Example:** Een LED die 'actief hoog' is, zal aangaan wanneer er een hoge spanning op wordt gezet. Een knop die 'actief laag' is, kan een microcontroller activeren wanneer de knop wordt ingedrukt en de pin naar massa wordt getrokken [81](#page=81).
#### 5.9.2 Pull-up en Pull-down Weerstanden
GPIO-pinnen hebben de neiging om 'zwevend' te zijn wanneer ze niet actief worden aangestuurd of wanneer ze niet zijn aangesloten op een signaalbron. Dit betekent dat de spanningswaarde van de pin ongedefinieerd is, wat kan leiden tot onvoorspelbaar gedrag. Pull-up en pull-down weerstanden worden gebruikt om dit probleem op te lossen [75](#page=75) [77](#page=77) [81](#page=81).
##### 5.9.2.1 Pull-up weerstanden
Een pull-up weerstand verbindt de GPIO-pin via een weerstand met de positieve voedingsspanning (Vcc) [75](#page=75) [81](#page=81).
* Wanneer de pin niet wordt aangestuurd, wordt de pin door de pull-up weerstand naar de hoge logische staat getrokken [81](#page=81).
* Wanneer een extern apparaat (zoals een knop) de pin naar massa (ground) trekt, wordt de pin laag, wat de actieve status kan aangeven. Dit wordt vaak gebruikt bij 'actief lage' schakelingen [81](#page=81).
De weerstandswaarde moet groot genoeg zijn om de stroom die door de pin wordt opgenomen te minimaliseren, maar klein genoeg om de pin effectief naar de hoge spanning te trekken. Typische waarden liggen tussen 1 k$\Omega$ en 100 k$\Omega$. Bij een 3.3V systeem met een maximale stroom van 20 $\mu$A kan een weerstand van bijvoorbeeld 100 k$\Omega$ worden gebruikt [81](#page=81):
$$R_{pull-up} = \frac{V_{cc}}{I_{max}} = \frac{3.3V}{20\mu A} = 165k\Omega$$
Een standaardwaarde van 100 k$\Omega$ is dan ruim voldoende [81](#page=81).
##### 5.9.2.2 Pull-down weerstanden
Een pull-down weerstand verbindt de GPIO-pin via een weerstand met de massa (ground) [75](#page=75) [81](#page=81).
* Wanneer de pin niet wordt aangestuurd, wordt de pin door de pull-down weerstand naar de lage logische staat getrokken [81](#page=81).
* Wanneer een extern apparaat de pin naar de positieve voedingsspanning trekt, wordt de pin hoog, wat de actieve status kan aangeven. Dit wordt vaak gebruikt bij 'actief hoge' schakelingen [81](#page=81).
Net als bij pull-up weerstanden, is de weerstandswaarde cruciaal. Voor een 3.3V systeem en een maximale stroom van 20 $\mu$A:
$$R_{pull-down} = \frac{V_{cc}}{I_{max}} = \frac{3.3V}{20\mu A} = 165k\Omega$$
Ook hier is een standaardwaarde van 100 k$\Omega$ geschikt [82](#page=82).
##### 5.9.2.3 Interne pull-up/pull-down weerstanden
Veel microcontrollers, waaronder die op de Micro:Bit, hebben ingebouwde (interne) pull-up en pull-down weerstanden die via software geconfigureerd kunnen worden. Dit elimineert de noodzaak voor externe componenten en vereenvoudigt het circuitontwerp [82](#page=82).
> **Tip:** Gebruik interne pull-up/pull-down weerstanden waar mogelijk om componenten en bedrading te besparen. Controleer de microcontroller datasheet om te zien of deze functionaliteit beschikbaar is en hoe deze te configureren is [82](#page=82).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Atoom | De kleinste eenheid van een chemisch element die nog de eigenschappen van dat element bezit, bestaande uit een kern (protonen en neutronen) en elektronen. |
| Molecuul | Een groep van twee of meer atomen die door chemische bindingen bij elkaar worden gehouden. |
| Elektrische lading | Een fundamentele eigenschap van materie die bepaalt hoe deeltjes met elkaar interageren via elektrische krachten; protonen zijn positief geladen, elektronen negatief. |
| Elektrische stroom | De beweging van elektrische ladingen, meestal elektronen in geleiders, gemeten in Ampère (A). |
| Spanning (potentiaalverschil) | Het verschil in elektrisch potentiaal tussen twee punten, dat de 'drang' van ladingen om zich te verplaatsen aandrijft, gemeten in Volt (V). |
| Vermogen | De snelheid waarmee elektrische energie wordt verbruikt of geleverd, berekend als het product van spanning en stroomsterkte, gemeten in Watt (W). |
| Weerstand | De eigenschap van een materiaal om de doorstroming van elektrische stroom te belemmeren, gemeten in Ohm ( ). |
| Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektriciteit die de relatie tussen spanning ( ), stroomsterkte ( ) en weerstand ( ) beschrijft: . |
| Wetten van Kirchhoff | Fundamentele wetten voor circuitanalyse: de stromenwet (som van stromen in een knooppunt is nul) en de spanningswet (som van spanningen in een gesloten kring is nul). |
| Magnetisme | Een natuurlijk fenomeen veroorzaakt door bewegende elektrische ladingen, leidend tot magnetische velden en krachten. |
| Elektromagnetisme | Het vakgebied dat de relatie tussen elektriciteit en magnetisme bestudeert, cruciaal voor veel elektronische componenten. |
| Lorentzkracht | De kracht die wordt uitgeoefend op een geladen deeltje dat beweegt in een magnetisch veld, essentieel voor de werking van elektromotoren. |
| Elektromagnetische inductie | Het fenomeen waarbij een veranderend magnetisch veld een elektrische spanning induceert in een geleider, zoals in generatoren en transformatoren. |
| Weerstandskleurcode | Een systeem van gekleurde banden op weerstanden die de waarde, tolerantie en soms de temperatuurcoëfficiënt aangeven. |
| Lichtafhankelijke weerstand (LDR) | Een component waarvan de weerstandswaarde verandert met de hoeveelheid invallend licht; hoe meer licht, hoe lager de weerstand. |
| Thermistor | Een weerstand waarvan de weerstandswaarde sterk afhankelijk is van de temperatuur; er zijn PTC (weerstand neemt toe met temperatuur) en NTC (weerstand neemt af met temperatuur) typen. |
| Potentiometer | Een variabele weerstand met drie aansluitingen die werkt als een spanningsdeler, gebruikt voor instelbare waarden zoals volume. |
| Condensator | Een passief elektronisch component dat elektrische energie opslaat in een elektrisch veld, bestaande uit twee geleidende platen gescheiden door een diëlektricum. |
| Halfgeleider | Een materiaal met een elektrische geleidbaarheid tussen die van een geleider en een isolator, waarvan de eigenschappen kunnen worden gemanipuleerd door doping. |
| N-type halfgeleider | Een halfgeleider gedoteerd met atomen die vijf valentie-elektronen hebben, wat resulteert in een overschot aan vrije elektronen als ladingsdragers. |
| P-type halfgeleider | Een halfgeleider gedoteerd met atomen die drie valentie-elektronen hebben, wat resulteert in "gaten" (afwezigheid van een elektron) als positieve ladingsdragers. |
| Diode | Een halfgeleidercomponent die elektrische stroom voornamelijk in één richting toelaat, gevormd door een PN-overgang. |
| LED (Light Emitting Diode) | Een type diode dat licht uitzendt wanneer er stroom in doorlaatrichting doorheen loopt, waarbij de kleur afhangt van het gebruikte halfgeleidermateriaal. |
| Transistor | Een halfgeleidercomponent gebruikt voor het versterken of schakelen van elektronische signalen, meestal met drie aansluitingen (basis, collector, emitter). |
| API (Application Programming Interface) | Een set regels en protocollen die definieert hoe verschillende softwarecomponenten met elkaar kunnen communiceren. |
| JSON (JavaScript Object Notation) | Een lichtgewicht data-uitwisselingsformaat dat gemakkelijk te lezen en te schrijven is voor mensen, en gemakkelijk te parsen en te genereren voor machines, gebruikt in sleutel-waardeparen. |
| MQTT (Message Queuing Telemetry Transport) | Een lichtgewicht berichtenprotokol ontworpen voor apparaten met beperkte bronnen en onbetrouwbare netwerken, veel gebruikt in IoT-communicatie via een publish/subscribe model. |
| Node-RED | Een op flow-gebaseerde programmering gebaseerde tool die hardwareapparaten, API's en online services met elkaar verbindt via een visuele editor. |
| Node.js | Een JavaScript runtime-omgeving die het mogelijk maakt om JavaScript-code buiten de browser uit te voeren, populair voor netwerkapplicaties en server-side logica. |
| Prometheus | Een open-source systeem voor monitoring en alerting dat metriekgegevens verzamelt en opslaat, vaak gebruikt in combinatie met Grafana. |
| Grafana | Een populair open-source analyse- en visualisatieplatform dat data uit verschillende bronnen, zoals Prometheus, visualiseert in dashboards. |
| InfluxDB | Een open-source time-series database (TSDB) geoptimaliseerd voor het opslaan en opvragen van tijdgebonden data, essentieel voor het monitoren van sensoren. |
| CAN (Controller Area Network) | Een robuust serieel communicatieprotocol, oorspronkelijk ontworpen voor automotive toepassingen, dat bekend staat om zijn fouttolerantie en efficiënte berichtprioritering. |
| PWM (Pulse Width Modulation) | Een techniek die wordt gebruikt om een analoog resultaat te verkrijgen door snel in- en uitschakelen van een digitaal signaal, waardoor de gemiddelde spanning of het vermogen wordt geregeld. |
| Microcontroller | Een compacte computer op een enkele chip, ontworpen voor specifieke, beperkte taken, vaak met ingebouwde firmware en geprogrammeerd in lagere-niveau talen. |
| Microprocessor | Het centrale verwerkingsonderdeel van een computer, ontworpen om een breed scala aan taken uit te voeren, flexibeler dan microcontrollers en draait doorgaans een volledig besturingssysteem. |
| GPIO (General Purpose Input/Output) | Multifunctionele connectoren op microcontrollers/microprocessors die interactie met de buitenwereld mogelijk maken door te fungeren als input of output. |
| TTL (Transistor-Transistor Logic) | Een oudere logica-technologie die werkt met een voedingsspanning van ongeveer 5V, met specifieke spanningsbereiken voor logische 'hoog' en 'laag'. |
| CMOS (Complementary Metal-Oxide-Semiconductor) | Een modernere, energiezuinigere logica-technologie die op verschillende spanningsniveaus kan werken (bv. 3,3V of 5V), met een hogere efficiëntie dan TTL. |
| Logic Level Shifting | Het proces van het omzetten van signalen van het ene logische spanningsniveau naar het andere om compatibiliteit te waarborgen tussen verschillende apparaten. |
| Actief Hoog | Een digitaal signaal dat als 'actief' of 'waar' wordt beschouwd wanneer het een hoge logische waarde heeft (bijvoorbeeld 5V of 3,3V). |
| Actief Laag | Een digitaal signaal dat als 'actief' of 'waar' wordt beschouwd wanneer het een lage logische waarde heeft (bijvoorbeeld 0V). |
| Pull-up weerstand | Een weerstand die een input pin verbindt met de positieve voedingsspanning, waardoor de pin standaard naar een logische 'hoog' wordt getrokken om zweven te voorkomen. |
| Pull-down weerstand | Een weerstand die een input pin verbindt met massa (ground), waardoor de pin standaard naar een logische 'laag' wordt getrokken om zweven te voorkomen. |
| Protocollen | Fundamentele regels en afspraken die worden gebruikt om de communicatie tussen verschillende componenten, apparaten of systemen te standaardiseren en te waarborgen. |
| Seriële protocollen | Protocollen waarbij data bit voor bit over één datalijn wordt verzonden, wat minder draden vereist. Voorbeelden zijn UART, I²C en SPI. |
| Parallelle protocollen | Protocollen waarbij data tegelijkertijd over meerdere datalijnen wordt verzonden, wat hogere datasnelheden mogelijk maakt maar meer bedrading vereist. |
| Synchrone protocollen | Protocollen die zenden en ontvangen data met behulp van een gemeenschappelijke kloksignaal voor precieze timing. |
| Asynchrone protocollen | Protocollen waarbij zenden en ontvangen apparaten geen gedeelde klok hebben; data wordt verzonden in pakketten met start- en stopbits. |
| UART (Universal Asynchronous Receiver Transmitter) | Een veelgebruikt serieel, asynchroon communicatieprotocol voor bit-voor-bit dataoverdracht, vaak gebruikt voor langere afstanden of ruisgevoelige omgevingen. |
| I²C (Inter Integrated Circuit) | Een synchroon, multi-master, multi-slave serieel communicatieprotocol voor korte afstanden met slechts twee lijnen: SDA en SCL. |
| SPI (Serial Peripheral Interface) | Een synchroon, full-duplex, serieel communicatieprotocol voor korte afstanden, gebruikmakend van vier lijnen (MOSI, MISO, SCLK, SS) voor snelle master-slave communicatie. |
Cover
Energieomzetting samenvattingen (automatisch hersteld).pdf
Summary
# Energieomzetting en elektrisch vermogen
Dit onderwerp behandelt de fundamentele verschillen tussen energie en vermogen, de berekening van elektrisch vermogen en arbeid, het joule-effect, het rendement van elektrische apparaten en faseverschuivingen bij wisselstroom [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3) [4](#page=4).
### 1.1 Onderscheid tussen energie en vermogen
Elektrische arbeid die een toestel levert, is gelijk aan de energie die wordt omgezet in een andere energievorm, oftewel de verbruikte elektrische energie. Dit is de energie waarvoor de elektriciteitsleverancier betaald wordt [1](#page=1).
* **Energie (W)** wordt gemeten in joule (J) [1](#page=1).
De formule voor elektrische arbeid (energie) is:
$$W = U \cdot I \cdot t$$
Waarbij:
* $W$ = energie in joule (J)
* $U$ = spanning in volt (V)
* $I$ = stroomsterkte in ampère (A)
* $t$ = tijd in seconde (s) [1](#page=1).
* **Vermogen (P)** is de verbruikte elektrische energie per tijdseenheid. Dit is de waarde die op het typeplaatje van een toestel staat [1](#page=1).
De formule voor elektrisch vermogen is:
$$P = U \cdot I$$
Waarbij:
* $P$ = vermogen in watt (W)
* $U$ = spanning in volt (V)
* $I$ = stroomsterkte in ampère (A) [1](#page=1).
Vermogen kan direct worden gemeten met een wattmeter (AC of DC), of indirect met een voltmeter en een ampèremeter (enkel DC) [1](#page=1).
Een belangrijke formule verbindt vermogen met de wet van Ohm:
$$P = I^2 \cdot R$$
$$P = \frac{U^2}{R}$$
Het nominaal vermogen wordt enkel geleverd bij de nominale spanning [1](#page=1).
> **Voorbeeld:** Een verwarmingstoestel van 230V levert in 1 uur een elektrische arbeid van 4,14 megajoule (MJ). Om de stroomsterkte te berekenen, gebruiken we de formule $W = U \cdot I \cdot t$. Hierbij is $t$ omgerekend naar seconden (1 uur = 3600 seconden). De verbruikte energie in een gezin wordt uitgedrukt in kilowattuur (kWh) [1](#page=1).
### 1.2 Het joule-effect en beveiliging van weerstanden
Het joule-effect is het verschijnsel waarbij elektrische energie wordt omgezet in warmte. Deze warmteafgifte aan de omgeving wordt dissipatie genoemd en is evenredig met het kwadraat van de stroom. Om energieverlies te beperken, wordt elektrisch transport onder hoogspanning en met lage stroom uitgevoerd [2](#page=2).
* **Dissipatievermogen:** Wanneer stroom door een weerstand vloeit, wordt elektrische energie omgezet in warmte (joule-effect: $P = I^2 \cdot R$). De weerstand moet deze warmte kunnen afgeven aan de omgeving. Als de warmteafgifte (dissipatie) onvoldoende is, zal de temperatuur stijgen en de weerstand beschadigen. Fabrikanten specificeren daarom het dissipatievermogen [2](#page=2).
> **Voorbeeld:** Bereken de maximale stroom die een ¼-watt-weerstand van 1 kilohm (kΩ) kan verdragen. Met de formule $P = I^2 \cdot R$, kunnen we afleiden dat $I_{max} = \sqrt{\frac{P_0}{R}}$, waarbij $P_0$ het nominale vermogen is. In dit geval is $I_{max} = \sqrt{\frac{0,25 \text{ W}}{1000 \text{ } \Omega}} \approx 0,0158 \text{ A}$ [2](#page=2).
### 1.3 Rendement van een elektrisch toestel
Het rendement van een energieomvormer geeft aan hoeveel van de ingaande energie nuttig wordt omgezet in de gewenste uitgaande energie [3](#page=3).
### 1.4 Faseverschuiving bij wisselstroom
Bij wisselstroom (AC) kan er een faseverschuiving optreden tussen de wisselspanning en de wisselstroom. Dit kan visueel worden voorgesteld zonder de sinusgolven expliciet te tekenen, bijvoorbeeld via vectordiagrammen [3](#page=3).
### 1.5 Vectordiagrammen voor inductieve verbruikers
Een werkelijke spoel op wisselstroom fungeert als een inductieve verbruiker. De relaties tussen spanning, stroom en weerstand (spoelweerstand en reactantie) kunnen worden weergegeven in een vectordiagram [3](#page=3).
* **Serieschakeling:** In een serieschakeling van spoelweerstand en inductieve reactantie geldt een bepaalde spanningsdeling [3](#page=3).
* **Vermogendriehoek:** De vermogendriehoek illustreert de relatie tussen actief vermogen (P), reactief vermogen (Q) en schijnbaar vermogen (S) [3](#page=3) [4](#page=4).
### 1.6 Meetapparatuur voor wisselstroomvermogens
* **Wattmeter:** Meet het *actief vermogen* (P) in watt (W). Dit is de per tijdseenheid omgezette energie die ook daadwerkelijk betaald wordt, vergelijkbaar met de meting van een kWh-meter [4](#page=4).
* **Schijnbaar vermogen (S):** Wordt berekend als het product van de uitlezingen van de voltmeter en de ampèremeter, en wordt gemeten in voltampère (VA) [4](#page=4).
* **Reactief vermogen (Q):** Kan niet direct met de genoemde opstellingen worden gemeten en wordt daarom ook wel *blindvermogen* genoemd, gemeten in voltampère reactief (VAR) [4](#page=4).
### 1.7 Boetes voor een lage arbeidsfactor
De *arbeidsfactor* (cos φ) is de verhouding tussen het actief vermogen (P) en het schijnbaar vermogen (S), en geeft aan welk percentage van het schijnbaar vermogen daadwerkelijk wordt verbruikt. Een lage arbeidsfactor betekent dat een groot deel van het schijnbaar vermogen blindvermogen is. Netbeheerders eisen een minimale arbeidsfactor van 0,8. Installaties met een arbeidsfactor lager dan dit minimum kunnen een boete krijgen [4](#page=4) [5](#page=5).
> **Voorbeeld:** Verbruiker B krijgt een boete omdat de arbeidsfactor 0,4 is, terwijl de minimale eis 0,8 bedraagt [5](#page=5).
### 1.8 Verbeteren van de arbeidsfactor
De arbeidsfactor kan worden verbeterd door een geschikte condensator parallel te schakelen met een inductieve installatie. Dit helpt om het blindvermogen te compenseren en de verhouding tussen actief en schijnbaar vermogen te optimaliseren [5](#page=5).
---
# Halfgeleiderschakelaars en energieomzetters
Dit deel introduceert de fundamentele principes van vermogenscontrole met elektronische schakelaars, de mechanismen van pulsmodulatie en de diversiteit aan bestuurbare halfgeleiderschakelaars, evenals de concepten van energieomzetters en het vermogen-frequentiedomein [6](#page=6).
### 2.1 Filosofie van de vermogencontrole
Vermogenelektronica is het vakgebied dat zich bezighoudt met het controleren van elektrisch vermogen middels elektronische technieken. De kern van deze controle ligt in het efficiënt schakelen van elektrische energie [6](#page=6).
### 2.2 Controle van elektrische energie met behulp van schakelaars
Pulsmodulatie is een sleuteltechniek voor het beheersen van vermogen, waarbij informatie wordt overgedragen door eigenschappen van een reeks pulsen te variëren. Een klassiek voorbeeld is de temperatuursturing in een oven. Traditionele methoden met serieweerstanden leiden tot energieverlies en oneigenlijk gebruik van de bron. Het gebruik van een schakelaar biedt een efficiëntere oplossing [6](#page=6).
De **werkverhouding** (duty ratio) is hierbij een cruciale parameter die bepaalt hoeveel tijd de schakelaar aanstaat ten opzichte van de totale schakelcyclus [6](#page=6).
### 2.3 Bestuurbare halfgeleiderschakelaars
Halfgeleiderschakelaars worden geclassificeerd op basis van hun bestuurbaarheid [6](#page=6).
* **Diodes** zijn niet bestuurbaar [6](#page=6).
* **Thyristors** zijn enkel aan-bestuurbaar, wat betekent dat ze éénmaal geactiveerd niet meer uitgezet kunnen worden via de stuuringang alleen. GTO's (Gate Turn-Off thyristors), MCT's (MOS Controlled Thyristors) en IGCT's (Integrated Gate-Commutated Thyristors) zijn specifieke typen thyristoren [6](#page=6).
* **Transistors** zijn aan/uit-bestuurbaar, wat betekent dat ze zowel geactiveerd als gedeactiveerd kunnen worden via de stuuringang [6](#page=6).
### 2.4 Eigenschappen van schakelaars
De prestaties van halfgeleiderschakelaars worden gekarakteriseerd door hun statische en dynamische eigenschappen [7](#page=7).
* **Statische eigenschappen:**
* $I_{nominaal}$ is de nominale stroom die vloeit wanneer de schakelaar gesloten is [7](#page=7).
* $U_{nominaal}$ is de nominale spanning die over het open contact staat wanneer de schakelaar open is [7](#page=7).
* **Dynamische eigenschappen:**
* $T_{on}$ is de tijd die nodig is om de stroom tot zijn maximale waarde te laten stijgen, typisch bepaald door de bronspanning gedeeld door de serieweerstand ($U/R_{serie}$) [7](#page=7).
* $T_{off}$ is de tijd die nodig is voor het herstel van de halfgeleider, zodat deze weer een blokkeerspanning kan weerstaan [7](#page=7).
### 2.5 Commutatie
Commutatie is het proces waarbij de stroom door een schakelaar wordt onderbroken en de stroom eventueel wordt overgenomen door een andere schakelaar. Er zijn drie hoofdtypes commutatie [7](#page=7):
* **Natuurlijke commutatie** (ook wel netcommutatie genoemd) treedt op in AC-systemen wanneer de spanning nul doorgangen passeert of door andere netparameters wordt geïnduceerd [7](#page=7).
* **Kunstmatige commutatie** maakt gebruik van externe circuits om de commutatie te forceren, vaak in DC-systemen [7](#page=7).
* **Belastingscommutatie** vindt plaats wanneer de belasting zelf helpt bij het onderbreken van de stroom [7](#page=7).
### 2.6 Energieomzetters
Energieomzetters transformeren elektrische energie van de ene vorm naar de andere, vaak met de mogelijkheid tot regeling [8](#page=8).
* **Mutator** (gestuurde gelijkrichter of DC-controller): Zet een AC-net om naar een regelbare DC-spanning [8](#page=8).
* **Wisselspanningsinsteller** (AC-controller): Regelt AC-spanning uit een AC-net, waarbij de frequentie onveranderd blijft [8](#page=8).
* **Hakker** (chopper): Converteert een constante DC-spanning naar een regelbare DC-spanning [8](#page=8).
* **Invertor** (inverter): Zet een constante DC-spanning om naar een regelbare AC-spanning [8](#page=8).
### 2.7 Vermogen-frequentiedomein
In de context van vermogenselektronica wordt met "groot" vermogen doorgaans verwezen naar situaties waarbij de volgende parameters worden overschreden [8](#page=8):
* Spanning: $> 2000$V [8](#page=8).
* Stroom: $> 1000$A [8](#page=8).
* Frequentie: $> 1$kHz [8](#page=8).
* Vermogen: $> 1$MW [8](#page=8).
---
# Vermogendioden
Dit gedeelte introduceert de basisprincipes van halfgeleiders en diodes, inclusief hunwerking, karakteristieken, en de specifieke parameters van vermogendioden.
### 3.1 Halfgeleiders
Geleiders laten elektrische stroom toe, zoals aluminium en koper. Isolatoren blokkeren de stroom, bijvoorbeeld glas en rubber. Halfgeleiders, zoals silicium, germanium en galliumnitride, bevinden zich tussen deze twee extremen. Bij normale temperaturen gedragen halfgeleiders zich als isolatoren, maar kunnen geleidend worden door toevoeging van energie zoals warmte, licht of een elektrisch veld. Hun geleidbaarheid is sterk temperatuurafhankelijk: bij stijgende temperatuur daalt de weerstand [9](#page=9).
Om halfgeleiders te gebruiken, worden ze gezuiverd en vervolgens verontreinigd met andere atomen door middel van "doperen". Doperen met donoratomen leidt tot een N-type halfgeleider (bijvoorbeeld N-Si), terwijl doperen met acceptoratomen resulteert in een P-type halfgeleider (bijvoorbeeld P-Si). Fosfor, arseen en antimoon zijn donoratomen, terwijl borium, indium, gallium en aluminium acceptoratomen zijn [9](#page=9).
Wanneer een P-type siliciumschijfje in contact komt met een N-type siliciumschijfje, ontstaat er een "PN-junctie", wat de grens tussen de twee typen halfgeleiders markeert [9](#page=9).
### 3.2 De werking van een diode (PN-junctie)
Een diode is fundamenteel een PN-junctie. De elektrode die verbonden is met de P-laag wordt de anode genoemd, en de elektrode verbonden met de N-laag is de kathode [10](#page=10).
De diode laat stroom door in één richting (voorwaartse polarisatie) zodra de aangelegde spanning de drempelspanning ($U_T$) overschrijdt. Voor gewone diodes ligt deze drempelspanning tussen 0,6V en 0,7V, terwijl deze voor vermogendioden hoger is, tussen 0,9V en 1V. Bij voorwaartse polarisatie wordt een DC-bron zodanig aangesloten dat stroom van anode naar kathode vloeit. Deze voorwaartse stroom kan aanzienlijk worden en moet binnen bepaalde maximumwaarden blijven om vernietiging van de diode te voorkomen [10](#page=10).
In de tegenovergestelde richting (inverse polarisatie) gedraagt de diode zich als een spertor. De inverse stroom blijft zeer klein en is voornamelijk temperatuurafhankelijk, minder afhankelijk van de aangelegde inverse spanning. Echter, als de inverse spanning te hoog wordt, treedt "doorslag" op, wat leidt tot vernietiging van de kristalstructuur. Deze unidirectionele geleidingseigenschap is essentieel voor toepassingen zoals gelijkrichterschakelingen [10](#page=10).
### 3.3 I-U karakteristiek van een junctiediode
De I-U karakteristiek toont de relatie tussen de stroom ($I$) door de diode en de spanning ($U$) eroverheen [11](#page=11).
**Invloed van de temperatuur:**
De temperatuur heeft een significante invloed op de diodekarakteristiek. Zowel in doorlaat- als in sperrichting neemt de stroom toe naarmate de temperatuur stijgt. Dit resulteert in een verschuiving van de diodekarakteristiek naar de stroomas toe bij hogere temperaturen [11](#page=11).
**Werkpunt van de diode:**
Het werkpunt van een diode in een schakeling is het snijpunt van de diodekarakteristiek met de statische belastingslijn. De vergelijking van de belastingslijn kan worden afgeleid uit de serieschakeling van de diode met een weerstand ($R$) en een spanningsbron ($U_B$). Door de deelspanningen op te tellen, verkrijgen we de vergelijking: $U_B = R \cdot I_F + U_F$. Voor een specifieke schakeling met $U_B = 1,6$ volt en $R = 270$ Ohm, wordt de vergelijking $1,6\text{V} = 270\Omega \cdot I_F + U_F$. Om de belastingslijn te tekenen, kunnen twee punten worden berekend [11](#page=11):
* Als $I_F = 0$: $1,6\text{V} = 270\Omega \cdot 0 + U_F \implies U_F = 1,6\text{V}$. Dit is het snijpunt met de horizontale as (spanning-as) [11](#page=11).
* Als $U_F = 0$: $1,6\text{V} = 270\Omega \cdot I_F + 0 \implies I_F = \frac{1,6\text{V}}{270\Omega} \approx 6\text{mA}$. Dit is het snijpunt met de verticale as (stroom-as) [11](#page=11).
Het snijpunt van deze rechte belastingslijn met de diodekarakteristiek definieert het statische werkpunt ($P$) van de diode in die schakeling [11](#page=11).
### 3.4 Vermogendissipatie van de diode
De stroom die door een diode vloeit, veroorzaakt warmteontwikkeling door het joule-effect. Om te voorkomen dat de temperatuur onacceptabel hoog wordt, moet de diode deze warmte kunnen afstaan of "dissiperen". Het gedissipeerde vermogen ($P_{diss}$) van de diode is het product van de voorwaartse diodestroom ($I_F$) en de voorwaartse spanning ($U_F$). De formule hiervoor is [12](#page=12):
$$ P_{diss} = I_F \cdot U_F $$
De maximale vermogendissipatie die een specifiek diodetype kan weerstaan, staat vermeld in het gegevensblad (datasheet) van de fabrikant. De vorm, het uiterlijk en de grootte van een diode worden voornamelijk bepaald door zijn maximale dissipatievermogen. Grotere dioden en dikkere aansluitdraden zijn nodig voor vermogendioden die hoge stromen moeten verwerken, omdat deze leiden tot grotere warmteontwikkeling [12](#page=12).
### 3.5 Grenswaarden (ratings)
Vermogendioden worden gekenmerkt door diverse grenswaarden, die kritieke limieten aangeven om beschadiging te voorkomen. Deze grenswaarden worden vaak aangeduid met specifieke afkortingen [13](#page=13).
#### 3.5.1 Maximumwaarden van de inverse spanning (aangeduid met de voetletter R)
* $U_{RWM}$ (Reverse Working Maximum): Dit is de maximaal toegelaten amplitude van de periodieke inverse spanning [13](#page=13).
* $U_{RRM}$ (Reverse Repetitive Maximum): Dit is de maximaal toegelaten herhalende inverse piekspanning [13](#page=13).
* $U_{RS M}$ (Reverse Surge Maximum): Dit is de maximaal toegelaten éénmalige inverse piekstroom [13](#page=13).
#### 3.5.2 Maximumwaarden van de voorwaartse stroom (aangeduid met de voetletter F)
* $I_{FM}$ (Forward Maximum): Dit is de maximaal toegelaten voorwaartse gelijkstroom [13](#page=13).
* $I_{F(\text{RMS})}$ (Forward Root Mean Square): Dit is de maximaal toegelaten herhalende voorwaartse effectieve stroom [13](#page=13).
* $I_{FM}$ (Forward Average): Dit is de maximaal toegelaten gemiddelde doorlaatstroom voor een gegeven gelijkrichter [13](#page=13).
* $I_{FRM}$ (Forward Repetitive Maximum): Dit is de maximaal toegelaten herhalende voorwaartse piekstroom [13](#page=13).
* $I_{FSM}$ (Forward Surge Maximum): Dit is de maximaal toegelaten éénmalige voorwaartse piekstroom [13](#page=13).
---
# Transistoren als schakelaar
Dit onderwerp behandelt de bipolaire junctietransistor (BJT) als schakelaar, inclusief de werkpunten, grenswaarden en de bescherming die nodig is bij inductieve belastingen met vrijloopdiodes en snubbernetwerken.
### 4.1 Bipolaire junctietransistor (BJT)
Een bipolaire junctietransistor (BJT) bestaat uit drie siliciumlagen, die NPN of PNP kunnen zijn, en heeft drie aansluitdraden: emittor, basis en collector. De "echte" diode van de transistor bevindt zich tussen de basis en de emittor. Een BJT wordt als stroomgestuurd beschouwd omdat de collectorstroom wordt ingesteld door de basisstroom, ondanks dat de ingangsweerstand klein is [14](#page=14).
#### 4.1.1 BJT als schakelaar
Bij een gemeenschappelijke emittorschakeling (GES) van een NPN-transistor geldt de wet van Kirchhoff: $I_E = I_B + I_C$. De stroomversterking, aangeduid als $h_{FE}$, is gedefinieerd als $h_{FE} = I_C / I_B$. Omdat $h_{FE}$ sterk temperatuurafhankelijk is, worden berekeningen meestal uitgevoerd met de minimale waarde ($h_{FEmin}$) [15](#page=15).
De collectordissipatie ($P$) wordt gegeven door $P = U_{CE} \cdot I_C$. Het werkgebied van de transistor moet zo gekozen worden dat het onder de hyperbool van $P_{max}$ ligt, de maximaal toelaatbare dissipatie bij de gegeven temperatuur. Koeling kan de toegelaten $P_{max}$ vergroten [15](#page=15) [16](#page=16).
De vergelijking van de belastingslijn in de uitgangskring is $U_{CE} = U_{V} - I_C \cdot R_C$ [16](#page=16).
* Het **kortsluitpunt** wordt bereikt wanneer $U_{CE} = 0V$, wat leidt tot $I_C = U_V / R_C$. In dit punt is de transistor in verzadiging (saturatie) zolang $U_{CE} > 0.7V$. De collectordissipatie is hier 0W [16](#page=16) [17](#page=17).
* Het **nullastpunt** wordt bereikt wanneer $I_C = 0A$, wat resulteert in $U_{CE} = U_V$. In dit punt is de transistor gesperd (cut-off) als $I_B = 0mA$. De collectordissipatie is hier eveneens 0W [16](#page=16) [17](#page=17).
De ideale transistor dissipeert geen vermogen als hij als schakelaar wordt gebruikt [17](#page=17).
> **Tip:** De ideale schakelkarakteristiek toont een nul dissipatie in zowel het nullastpunt als het kortsluitpunt.
#### 4.1.2 Exacte coördinaten van de werkpunten
In de praktijk is de dissipatie in het sperpunt niet nul, maar wel klein. Evenzo is de dissipatie in het saturatiepunt niet nul. Wanneer de transistor als schakelaar wordt gebruikt, verschuift het werkpunt over de belastingslijn van het saturatiepunt naar het sperpunt (uitschakelen) of omgekeerd (inschakelen). Het is cruciaal dat de transistor niet in het gebied ertussen "blijft hangen", wat snelle schakeltijden (ton en toff) vereist [18](#page=18).
#### 4.1.3 Vergelijking transistor met ideale schakelaar
Een gesperde transistor heeft een lekstroom ($I_{CE}$) van ongeveer 50nA. Een verzadigde transistor heeft een $U_{CE}$ van ongeveer 0.2V [19](#page=19).
#### 4.1.4 Grenswaarden (ratings) van een BJT
De constructeur specificeert de grenswaarden (ratings) van een BJT in het datablad. Het veilige werkgebied (Safe Operating Area - SOAR) kan worden aangeduid op de uitgangskarakteristieken van de BJT [19](#page=19).
#### 4.1.5 Inductieve belasting met vrijloopdiode
Bij het uitschakelen van een spoelstroom treedt er volgens de wet van Lenz een spanningspiek op. Deze spanningspiek kan bovenop de collector te staan komen en de transistor vernietigen. Daarom is bescherming met een blusdiode (vrijloopdiode) noodzakelijk [20](#page=20).
#### 4.1.6 Snubbernetwerk
Een snubbernetwerk is nodig om de blusdiode correct te laten functioneren. De blusdiode geleidt pas als haar anodespanning boven een bepaalde drempel komt (bv. 48V), waardoor de transistor al beschadigd kan zijn. Om de inductief belaste transistor tijdens het afschakelen te beschermen, waar $U_{CE}$ stijgt en $I_C$ hoog blijft door de ontlading van de spoel, kan een RCD-snubber worden toegepast om een deel van de energie weg te leiden [21](#page=21).
Tijdens het afschakelen laadt de condensator op zodra $U_{CE}$ een bepaalde waarde bereikt, waardoor de energie van de spoel in de condensator terechtkomt. Pas als de condensatorspanning de voedingsspanning bereikt (bv. 48V), komt de vrijloopdiode in geleiding. De condensator ontlaadt vervolgens bij het terug inschakelen [21](#page=21).
---
# Vermogen-MOSFET en IGBT
De veldeffecttransistor (FET) is een type transistor waarbij de stroom wordt geregeld door een elektrisch veld, dat op zijn beurt wordt bepaald door de ingangsspanning. In tegenstelling tot bipolaire transistors, nemen FET's vrijwel geen ingangsstroom op, wat resulteert in een zeer hoge ingangsweerstand en spanningsgestuurde werking [22](#page=22).
### 5.1 De veldeffecttransistor (FET)
#### 5.1.1 Werkingsprincipe
De FET werkt op basis van een elektrisch veld dat de geleidbaarheid van een halfgeleiderkanaal beïnvloedt. Door de ingangsspanning te variëren, wordt dit veld aangepast, wat leidt tot een verandering in de hoeveelheid stroom die door het kanaal kan vloeien. Dit maakt de FET een spanningsgestuurde component, met een significant voordeel ten opzichte van stroomgestuurde bipolaire transistors vanwege de extreem hoge ingangsweerstand [22](#page=22).
#### 5.1.2 Soorten veldeffecttransistoren
Er zijn verschillende typen FET's, waaronder:
* **JFET**: Junction Field Effect Transistor [22](#page=22).
* **MOSFET**: Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor, gekenmerkt door een geïsoleerde poort [22](#page=22).
#### 5.1.3 Gevoeligheid voor elektrostatische ontlading (ESD)
MOSFET's zijn extreem gevoelig voor elektrostatische ontlading (ESD) en kunnen hierdoor vernietigd worden. Om schade te voorkomen, wordt er bij de fabricage een elektrische verbinding tussen de aansluitingen (drain, gate, source) aangebracht via het verpakkingsmateriaal. Deze bescherming mag pas verwijderd worden nadat de nodige voorzorgsmaatregelen zijn getroffen [22](#page=22).
#### 5.1.4 Voorzorgsmaatregelen bij hantering van MOSFET's
Om de gevoeligheid voor ESD te minimaliseren, moeten de volgende voorzorgsmaatregelen worden genomen bij de hantering van MOSFET's:
* Werk bij voorkeur in een ruimte met een relatieve luchtvochtigheid van ongeveer 70% [22](#page=22).
* Draag geen synthetische kleding en schoenen met dikke rubberen zolen [22](#page=22).
* De operator dient via een polsband, verbonden met aarde via een weerstand, geaard te zijn [22](#page=22).
* Een antistatische tafelmat, die eveneens met aarde is verbonden via een weerstand, dient te worden gebruikt [22](#page=22).
* Minimaliseer de manipulatie van de componenten zoveel mogelijk [22](#page=22).
* Gebruik geïoniseerde perslucht voor reiniging in plaats van een stofdoek [22](#page=22).
* Test deze componenten nooit met een ohmmeter [22](#page=22).
* Verwijder alle niet-geleidende voorwerpen uit de directe werkomgeving [22](#page=22).
* Vervoer MOS-componenten altijd in een beschermende, antistatische verpakking [22](#page=22).
### 5.2 MOS-veldeffecttransistor (MOSFET)
MOSFET's worden verder onderverdeeld in vier hoofdgroepen [23](#page=23).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Elektrische arbeid | De energie die een toestel levert of verbruikt, omgezet in een andere energievorm. Dit is wat de elektriciteitsleverancier aanrekent en wordt uitgedrukt in Joules (J). |
| Elektrisch vermogen | De verbruikte elektrische energie per tijdseenheid, aangegeven op het kernplaatje van een toestel. De eenheid is Watt (W). |
| Joule-effect | Het verschijnsel waarbij elektrische energie wordt omgezet in warmte, wat leidt tot dissipatie van energie. Dit is evenredig met het kwadraat van de stroom ($P=I^2R$). |
| Dissipatievermogen | De warmte die een component (zoals een weerstand of diode) kan afgeven aan de omgeving zonder beschadigd te raken. |
| Rendement | De verhouding tussen nuttig geleverde vermogen en opgenomen vermogen bij een energieomvormer, uitgedrukt als een percentage. |
| Faseverschuiving | Het tijdsverschil tussen een wisselspanning en een wisselstroom in een circuit, wat van invloed is op het geleverde vermogen. |
| Vectordiagram | Een grafische weergave die de relatie tussen spanningen en stromen in een AC-circuit visualiseert, met name bij inductieve of capacitieve belastingen. |
| Actief vermogen (P) | De energie die per tijdseenheid daadwerkelijk wordt omgezet in warmte of arbeid. De eenheid is Watt (W). |
| Schijnbaar vermogen (S) | Het product van de effectieve spanning en stroom in een AC-circuit, ongeacht de faseverschuiving. De eenheid is Volt-Ampère (VA). |
| Reactief vermogen (Q) | Het vermogen dat nodig is om magnetische velden op te wekken (bij spoelen) of elektrische velden op te bouwen (bij condensatoren). De eenheid is VAR (Volt-Ampère Reactive). |
| Arbeidsfactor | De verhouding tussen actief vermogen en schijnbaar vermogen ($cos(\phi)$). Een lage arbeidsfactor kan leiden tot boetes. |
| Pulsmodulatie | Een techniek om informatie over te dragen door eigenschappen van pulsen (zoals duur of amplitude) te variëren, gebruikt voor vermogencontrole. |
| Halfgeleider | Materiaal (zoals silicium) waarvan de geleidbaarheid kan worden aangepast door toevoeging van energie, waardoor het als geleider of isolator kan functioneren. |
| PN-junctie | De overgang tussen een P-type en N-type halfgeleidermateriaal, de basis van componenten zoals diodes en transistoren. |
| Diode | Een elektronisch component met een PN-junctie die stroom voornamelijk in één richting toelaat. |
| Voorwaartse polarisatie | Een spanning die wordt aangelegd over een diode om stroom in de geleidende richting toe te laten. |
| Inverse polarisatie | Een spanning die wordt aangelegd over een diode om de stroom te blokkeren (sperren). |
| Drempelspanning (U_T) | De minimale spanning die over een diode moet worden aangelegd voordat er een significante stroom begint te vloeien. |
| Doorslag | Het optreden van een zeer hoge stroom door een halfgeleidercomponent wanneer de aangelegde spanning een kritische grens overschrijdt, wat tot vernietiging kan leiden. |
| Werkpunt | Het specifieke punt op de karakteristieklijn van een component waar het operationeel is, bepaald door de aangelegde spanning en de belasting. |
| Bipolaire junctietransistor (BJT) | Een transistor die bestaat uit drie lagen halfgeleidermateriaal (NPN of PNP) en wordt bestuurd door een basisstroom. |
| Stroomversterking (hFE) | De verhouding tussen de collectorstroom en de basisstroom in een BJT, die aangeeft hoeveel de basisstroom wordt versterkt. |
| Gesatureerde transistor | Een transistor die volledig geleidt, waarbij de collector-emitterspanning (UCE) minimaal is. |
| Gesperde transistor | Een transistor die de stroom volledig blokkeert (cut-off), waarbij de collector-emitterspanning (UCE) maximaal is en de collectorstroom (IC) minimaal. |
| Vrijloopdiode | Een diode die parallel aan een inductieve belasting wordt geschakeld om spanningspieken te voorkomen wanneer de stroom door de spoel wordt onderbroken. |
| Snubbernetwerk | Een circuit (vaak bestaande uit een weerstand, condensator en diode) dat wordt gebruikt om spanningspieken en overbelastingen te dempen en de levensduur van schakelcomponenten te verlengen. |
| MOSFET (Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor) | Een type transistor dat wordt bestuurd door een elektrisch veld dat wordt gegenereerd door de spanning op de gate-elektrode, met een zeer hoge ingangsweerstand. |
| Elektrostatische ontlading (ESD) | Het plotselinge vrijkomen van elektrische lading van een object dat statisch geladen is, wat gevoelige elektronische componenten zoals MOSFETs kan beschadigen. |
Cover
formularium6SP (1).pdf
Summary
# Eigenschappen van transformaties
Dit gedeelte bespreekt de eigenschappen van transformaties, zoals de Fourierreeks (FR), Fourier Transformatie (FT), en Laplace/z-transformatie, toegepast op zowel continue als discrete tijdsystemen, met aandacht voor periodieke en niet-periodieke signalen [ ](#page=1) [1](#page=1).
### 1.1 Periodieke signalen en transformaties
#### 1.1.1 Continue tijd periodieke signalen (Fourierreeks - DFR)
Voor continue periodieke signalen met fundamentele frequentie $\omega_0 = \frac{2\pi}{p}$, waar $p$ de periode is, worden de eigenschappen van de Discrete Fourierreeks (DFR) uitgedrukt in termen van de transformatiecoëfficiënten $X(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Tijdsverschuiving:** Een verschuiving van het signaal $x(t)$ met $\tau$ tijdseenheden correspondeert met een faseverschuiving in het frequentiedomein:
$x(t - \tau) \longleftrightarrow e^{-ik\omega_0\tau} X(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Frequentieverschuiving (modulatie):** Vermenigvuldiging van het signaal $x(t)$ met een exponentiële functie $e^{im\omega_0t}$ resulteert in een verschuiving van de frequentiespectrumcoëfficiënten:
$e^{im\omega_0t} x(t) \longleftrightarrow X(k - m)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Convolutie in tijd vs. vermenigvuldiging in frequentie:** Convolutie van twee continue periodieke signalen in het tijdsdomein wordt een vermenigvuldiging van hun DFR-coëfficiënten in het frequentiedomein, geschaald met $\frac{1}{p}$:
$\frac{1}{p} \int_{p} x(\tau)y(t - \tau) d\tau \longleftrightarrow X(k)Y(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Vermenigvuldiging in tijd vs. convolutie in frequentie:** Vermenigvuldiging van twee continue periodieke signalen in het tijdsdomein resulteert in een convolutie van hun DFR-coëfficiënten in het frequentiedomein:
$x(t)y(t) \longleftrightarrow (X \ast Y)(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Parseval's stelling:** De energie in het tijdsdomein is gelijk aan de energie in het frequentiedomein:
$\frac{1}{p} \int_{p} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |X(k)|^2$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
#### 1.1.2 Discrete tijd periodieke signalen (DFR)
Voor discrete periodieke signalen met periode $p$, worden de eigenschappen van de Discrete Fourierreeks (DFR) uitgedrukt in termen van de transformatiecoëfficiënten $X(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Tijdsverschuiving:** Een verschuiving van het discrete signaal $x(n)$ met $m$ tijdseenheden correspondeert met een faseverschuiving in het frequentiedomein:
$x(n - m) \longleftrightarrow e^{-ik\omega_0m} X(k)$ [ ](#page=1). Hierbij is $\omega_0$ de fundamentele discrete hoekfrequentie die overeenkomt met de periode $p$ [1](#page=1).
* **Frequentieverschuiving (modulatie):** Vermenigvuldiging van het signaal $x(n)$ met een exponentiële functie $e^{im\omega_0n}$ resulteert in een verschuiving van de frequentiespectrumcoëfficiënten:
$e^{im\omega_0n} x(n) \longleftrightarrow X(k - m)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Convolutie in tijd vs. vermenigvuldiging in frequentie:** Convolutie van twee discrete periodieke signalen in het tijdsdomein wordt een vermenigvuldiging van hun DFR-coëfficiënten in het frequentiedomein:
$\sum_{\ell \in p} x(\ell)y(n - \ell) \longleftrightarrow X(k)Y(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Vermenigvuldiging in tijd vs. convolutie in frequentie:** Vermenigvuldiging van twee discrete periodieke signalen in het tijdsdomein resulteert in een convolutie van hun DFR-coëfficiënten in het frequentiedomein:
$x(n)y(n) \longleftrightarrow \sum_{\ell \in p} X(\ell)Y(k - \ell)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Parseval's stelling:** De energie in het tijdsdomein is gelijk aan de energie in het frequentiedomein:
$\frac{1}{p} \sum_{n \in p} |x(n)|^2 = \sum_{k \in p} |X(k)|^2$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
### 1.2 Niet-periodieke signalen en transformaties
#### 1.2.1 Continue tijd niet-periodieke signalen (DTFT, Laplace)
Voor niet-periodieke signalen in continue tijd worden de Discrete Time Fourier Transform (DTFT) en de Laplace transformatie gebruikt [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Fourier Transformatie (DTFT):**
* **Verschuiving in tijd:** $x(t - \tau) \longleftrightarrow e^{-i\omega\tau} X(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Tijdschaalverandering:** $x(at) \longleftrightarrow \frac{1}{|a|}X(\frac{\omega}{a})$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Differentiatie:** De $p$-de afgeleide van een signaal correspondeert met vermenigvuldiging van de transformatie met $(i\omega)^p$:
$x^{(p)}(t) \longleftrightarrow (i\omega)^p X(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Convolutie in tijd vs. vermenigvuldiging in frequentie:**
$x \ast y \longleftrightarrow XY$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Parseval's stelling:**
$\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |X(\omega)|^2 d\omega$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Laplace Transformatie:**
* **Afgeleide:** De eerste afgeleide van $x(t)$ transformeert naar $sX(s)$ min een term gerelateerd aan de beginwaarde:
$\dot{x}(t) \longleftrightarrow sX(s) - qx(0^-)$ [ ](#page=1). Hierbij is $q=1$ voor eenzijdige transformaties en $q=0$ voor tweezijdige transformaties [1](#page=1).
* **Vermenigvuldiging met $t^n$ (informeel):** Hoewel de specifieke eigenschap niet volledig uitgeschreven is, wordt $nx(n)$ getransformeerd naar $-z \frac{d}{dz}X(z)$ in het discrete geval, wat analogieën suggereert voor continue tijd.
#### 1.2.2 Discrete tijd niet-periodieke signalen (DTFT, z-transformatie)
Voor niet-periodieke signalen in discrete tijd worden de Discrete Time Fourier Transform (DTFT) en de z-transformatie gebruikt [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Fourier Transformatie (DTFT):**
* **Verschuiving in tijd:** $x(n - m) \longleftrightarrow e^{-i\omega m} X(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Frequentieverschuiving (modulatie):** $e^{i\tau n}x(n) \longleftrightarrow X(\omega - \tau)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Parseval's stelling (discrete energie):**
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |X(\omega)|^2 d\omega$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **z-transformatie:**
* **Tijdsverschuiving naar rechts:** Een vertraging van het signaal met één tijdseenheid wordt weergegeven door:
$x(n-1) \longleftrightarrow qx(-1) + z^{-1}X(z)$ [ ](#page=1). Hierbij is $q=1$ voor eenzijdige transformaties en $q=0$ voor tweezijdige transformaties [1](#page=1).
* **Vermenigvuldiging met $n$:**
$nx(n) \longleftrightarrow -z \frac{d}{dz}X(z)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
### 1.3 Standaardvoorbeelden
Hieronder volgen enkele standaardvoorbeelden van transformaties [ ](#page=1) [1](#page=1).
#### 1.3.1 Continue tijd niet-periodieke signalen
* **Impulsfunctie:** Een constante 1 transformeert naar een Dirac-deltafunctie geschaald met $2\pi$:
$1 \longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Rechthoekpuls (vensterfunctie):** De vensterfunctie $B_1(t) = H(1 - |t|)$ transformeert naar $2$ sinc($\omega$):
$B_1(t) = H(1 - |t|) \longleftrightarrow 2 \text{sinc}(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
Algemener, voor $B_a(t) = H(a - |t|)$:
$\text{sinc } at \longleftrightarrow \frac{\pi}{a} B_a(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* **Machtsfuncties met exponentiële demping:**
* Voor $\Re(s) > \Re(a)$:
$\frac{t^{n-1}e^{at}H(t)}{(n-1)!} \longleftrightarrow \frac{1}{(s-a)^n}$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* Voor $\Re(s) < \Re(a)$:
$\frac{-t^{n-1}e^{at}H(-t)}{(n-1)!} \longleftrightarrow \frac{1}{(s-a)^n}$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
#### 1.3.2 Discrete tijd niet-periodieke signalen
* **Gegeneraliseerde binomiale coëfficiënten:**
* Voor $|z| > |a|$:
$\binom{n+m}{m} a^n H(n) \longleftrightarrow \frac{1}{(1 - az^{-1})^{m+1}}$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
* Voor $|z| < |a|$:
$\binom{-n-1}{m} a^n H(-n-m-1) \longleftrightarrow \frac{(-1)^{m+1}}{(1 - az^{-1})^{m+1}}$ [ ](#page=1) [1](#page=1).
---
# Canonieke vormen voor discrete tijdssystemen
Canonieke vormen voor discrete tijdssystemen bieden gestandaardiseerde representaties van waarneembaarheid en regelbaarheid met behulp van systeemmatrices [2](#page=2).
### 2.1 Algemene Vorm en Transferfunctie
Een algemeen lineair tijdinvariant (LTI) discreet systeem kan worden beschreven door de volgende differentievergelijking:
$a_0y + a_1 D y + \dots + a_{N-1} D^{N-1} y + a_N D^N y = b_0u + b_1 D u + \dots + b_{N-1} D^{N-1} u + b_N D^N u$ [2](#page=2).
Hierin staat $D$ voor de voorwaartse operator, waarbij $D^k x(t) = x(t+k)$. De bijbehorende transferfunctie $H(z)$ wordt gegeven door [2](#page=2):
$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \dots + b_N z^{-N}}{a_0 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \dots + a_N z^{-N}}$ [2](#page=2).
### 2.2 Waarneembare canonieke vorm
De waarneembare canonieke vorm wordt verkregen door de coëfficiënt $a_0$ gelijk te stellen aan 1. In deze vorm wordt de toestand $x$ gerepresenteerd door een vector, en de dynamiek van het systeem wordt beschreven door de volgende toestandsvergelijkingen [2](#page=2):
$$ D x = A x + B u $$
$$ y = C x + D u $$ [2](#page=2).
Voor de waarneembare canonieke vorm zijn de matrices $A$, $B$, $C$ en $D$ als volgt gedefinieerd:
$A = \begin{bmatrix} 0 & \dots & \dots & \dots & 0 & -a_N \\ 1 & 0 & \dots & \dots & 0 & -a_{N-1} \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & -a_{N-2} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & -a_2 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1 & -a_1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2).
$B = \begin{bmatrix} b_N - a_N b_0 \\ b_{N-1} - a_{N-1} b_0 \\ b_{N-2} - a_{N-2} b_0 \\ \vdots \\ b_2 - a_2 b_0 \\ b_1 - a_1 b_0 \end{bmatrix}$ [2](#page=2).
$C = \begin{bmatrix} 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2).
$D = b_0$ [2](#page=2).
> **Tip:** De naam "waarneembare" canonieke vorm suggereert dat de toestanden direct gerelateerd zijn aan waarneembare uitgangen of dat de waarneembaarheid van het systeem eenvoudig te analyseren is in deze vorm.
### 2.3 Regelbare canonieke vorm
De regelbare canonieke vorm, eveneens met $a_0 = 1$, wordt gekenmerkt door een andere structuur van de systeemmatrices:
$$ D x = A x + B u $$
$$ y = C x + D u $$ [2](#page=2).
Voor de regelbare canonieke vorm zijn de matrices als volgt gedefinieerd:
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\ -a_N & -a_{N-1} & \dots & \dots & -a_2 & -a_1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2).
$B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2).
$C = \begin{bmatrix} b_N - b_0 a_N & b_{N-1} - b_0 a_{N-1} & \dots & b_1 - b_0 a_1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2).
$D = b_0$ [2](#page=2).
> **Tip:** De naam "regelbare" canonieke vorm impliceert dat de regelbaarheid van het systeem eenvoudig te controleren is en dat de structuur van de matrix $B$ dit proces faciliteert. De controle-input $u$ heeft een directe invloed op de laatste toestandstoename.
---
# Canonieke vormen voor continue tijdssystemen
Dit onderwerp behandelt de waarneembare en regelbare canonieke vormen voor continue tijdsystemen, uitgedrukt met behulp van systeemmatrices [3](#page=3).
### 3.1 Algemene introductie
Continue tijdsystemen kunnen worden beschreven met behulp van differentiaalvergelijkingen van de vorm:
$$a_0y + a_1\frac{dy}{dt} + \cdots + a_{N-1}\frac{d^{N-1}y}{dt^{N-1}} + a_N\frac{d^Ny}{dt^N} = b_0u + b_1\frac{du}{dt} + \cdots + b_{N-1}\frac{d^{N-1}u}{dt^{N-1}} + b_N\frac{d^Nu}{dt^N}$$ [3](#page=3).
De overdrachtsfunctie $H(s)$ van zo'n systeem is gedefinieerd als:
$$H(s) = \frac{b_0 + b_1s + b_2s^2 + \cdots + b_Ns^N}{a_0 + a_1s + a_2s^2 + \cdots + a_Ns^N}$$ [3](#page=3).
### 3.2 Waarneembare canonieke vorm
De waarneembare canonieke vorm is een specifieke toestandsruimte representatie waarbij de systeemmatrices worden afgeleid uit de coëfficiënten van de overdrachtsfunctie. Hierbij wordt aangenomen dat $a_N = 1$ [3](#page=3).
De systeemmatrices voor de waarneembare canonieke vorm zijn:
**Toestandsvergelijking:**
$$ \dot{x} = A x + B u $$
waarbij
$$ A = \begin{bmatrix}
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & -a_{N-2} \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & -a_{N-1}
\end{bmatrix} $$ [3](#page=3).
$$ B = \begin{bmatrix}
b_0 - a_0b_N \\
b_1 - a_1b_N \\
b_2 - a_2b_N \\
\vdots \\
b_{N-2} - a_{N-2}b_N \\
b_{N-1} - a_{N-1}b_N
\end{bmatrix} $$ [3](#page=3).
**Uitgangsvergelijking:**
$$ y = C x + D u $$
waarbij
$$ C = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ [3](#page=3).
$$ D = b_N $$ [3](#page=3).
> **Tip:** In de waarneembare canonieke vorm is het eenvoudig om de output $y$ direct te relateren aan de input $u$ en de geschiedenis van de input, wat de intuïtie voor de invloed van de input op de output vergemakkelijkt.
### 3.3 Regelbare canonieke vorm
De regelbare canonieke vorm is een andere standaard toestandsruimte representatie. Ook hier wordt aangenomen dat $a_N = 1$ [3](#page=3).
De systeemmatrices voor de regelbare canonieke vorm zijn:
**Toestandsvergelijking:**
$$ \dot{x} = A x + B u $$
waarbij
$$ A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \\
-a_0 & -a_1 & \cdots & \cdots & \cdots & -a_{N-1}
\end{bmatrix} $$ [3](#page=3).
$$ B = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} $$ [3](#page=3).
**Uitgangsvergelijking:**
$$ y = C x + D u $$
waarbij
$$ C = \begin{bmatrix} b_0 - b_N a_0 & b_1 - b_N a_1 & \cdots & b_{N-1} - b_N a_{N-1} \end{bmatrix} $$ [3](#page=3).
$$ D = b_N $$ [3](#page=3).
> **Tip:** De regelbare canonieke vorm is nuttig voor het ontwerpen van controllers, omdat de laatste rij van matrix A direct de coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking bevat, wat belangrijk is voor het plaatsen van de polen van het systeem.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Transforme van Fourier | De discrete Fourier-transformatie (DFT) relateert een eindige sequentie van signaalwaarden aan de discrete frequentiecomponenten ervan. De continue Fourier-transformatie (FT) transformeert een tijddomeinsignaal naar het frequentiedomein, en de inverse transformatie reconstrueert het oorspronkelijke signaal. |
| Laplace-transformatie | Een wiskundige transformatie die een functie van tijd naar een functie van complexe frequentie verplaatst, veel gebruikt in de analyse van dynamische systemen. De z-transformatie is het discrete equivalent daarvan. |
| Periodiek signaal | Een signaal dat zich herhaalt na een vaste tijdsperiode. In de context van discrete tijd wordt dit de periode $p$ genoemd. |
| Niet-periodiek signaal | Een signaal dat zich niet herhaalt over een vaste periode. Dit type signaal wordt vaak geanalyseerd met behulp van de Fourier-transformatie in continue tijd en de Discrete Tijd Fourier Transformatie (DTFT) in discrete tijd. |
| Convolutie | Een wiskundige bewerking die twee functies combineert om een derde functie te produceren die de mate waarin de vorm van de ene functie wordt gewijzigd door de andere uitdrukt. In het tijddomein vertegenwoordigt het de respons van een lineair tijdinvariant systeem op een inputsignaal. |
| Parseval"s theorema | Een belangrijke relatie die de energie van een signaal in het tijddomein gelijkstelt aan de energie van het signaal in het frequentiedomein, wat de behoud van energie in de transformatie aantoont. |
| Canonieke vorm | Een gestandaardiseerde representatie van een lineair systeem, vaak uitgedrukt in toestandsruimte. Voorbeelden zijn de waarneembare en regelbare canonieke vormen, die nuttig zijn voor systeemidentificatie en controleontwerp. |
| Toestandsruimte | Een wiskundige methode voor het modelleren van fysieke systemen met een set van inputvariabelen, outputvariabelen en toestandsvariabelen. Het wordt vaak gebruikt om dynamische systemen te analyseren. |
| Waarneembaarheid | Een eigenschap van een systeem die aangeeft of de interne toestanden van het systeem kunnen worden bepaald uit de metingen van de outputs. |
| Regelbaarheid | Een eigenschap van een systeem die aangeeft of de interne toestanden van het systeem kunnen worden gestuurd naar een gewenste waarde door middel van de inputs. |
Cover
H4 fysica
Summary
# Basisbegrippen van wisselstroom en impedantie
Dit onderwerp introduceert de fundamentele concepten van wisselspanning, weerstand en capaciteit in elektrische circuits, en verklaart hoe deze elementen de impedantie en faseverschillen tussen spanning en stroom beïnvloeden [2](#page=2) [3](#page=3) [4](#page=4) [5](#page=5) [6](#page=6).
### 1.1 Wisselspanning
Wisselspanning wordt gedefinieerd door de formule:
$𝑉(𝑡) = 𝑉0 \sin(\omega𝑡 + \varphi)$ [2](#page=2).
Waarbij:
* $V(t)$ de momentane spanning is op tijdstip $t$ [2](#page=2).
* $V0$ de amplitude of maximale spanning is [2](#page=2).
* $\omega$ de hoekfrequentie is, gerelateerd aan de frequentie $f$ door $\omega = 2\pi f$ [2](#page=2).
* $t$ de tijd is [2](#page=2).
* $\varphi$ de fasehoek is, die het beginpunt van de golfvorm aangeeft [2](#page=2).
### 1.2 Impedantie
Impedantie ($Z$) is de algemene weerstand tegen wisselstroom in een circuit, rekening houdend met zowel weerstand als reactieve effecten van condensatoren en spoelen. Het is een complexe grootheid, maar in dit stadium wordt deze vaak gesimplificeerd weergegeven als de verhouding tussen de amplitudes van spanning en stroom, wat een reële waarde oplevert voor zuiver resistieve of capacitieve circuits [3](#page=3) [4](#page=4).
#### 1.2.1 Circuit met weerstand (R)
In een circuit dat alleen een weerstand $R$ bevat, is de relatie tussen de aangelegde spanning $V_\epsilon$ en de stroom $i$ gegeven door de wet van Ohm [3](#page=3).
De spanning kan worden uitgedrukt als:
$V_\epsilon(t) = V0 \sin(\omega t + \varphi)$ [3](#page=3).
De bijbehorende stroom is dan:
$i(t) = \frac{V0}{R} \sin(\omega t + \varphi) = I0 \sin(\omega t + \varphi)$ [3](#page=3).
Waarbij $I0 = \frac{V0}{R}$ de maximale stroom is [3](#page=3).
Bij een pure weerstand zijn de stroom en de spanning steeds in fase. De impedantie van een zuiver resistief circuit is gelijk aan de weerstand zelf [3](#page=3):
$Z = \frac{V0}{I0} = R$ [3](#page=3).
> **Tip:** Bij een weerstand is er geen faseverschil tussen spanning en stroom. Dit betekent dat ze op hetzelfde moment hun maximale waarden bereiken, nul worden en hun minimale waarden bereiken.
#### 1.2.2 Circuit met capaciteit (C)
In een circuit met alleen een condensator $C$, is de relatie tussen de spanning over de condensator ($V_C$) en de lading ($q$) op de condensator gegeven door $V_C = \frac{q}{C}$. Als de aangelegde spanning $V_\epsilon(t) = V0 \sin(\omega t + \varphi)$, dan wordt de lading op de condensator uitgedrukt als [4](#page=4):
$q(t) = C V0 \sin(\omega t + \varphi)$ [4](#page=4).
De stroom door de condensator wordt verkregen door de lading naar tijd te differentiëren:
$i(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} (C V0 \sin(\omega t + \varphi))$ [4](#page=4).
$i(t) = \omega C V0 \cos(\omega t + \varphi)$ [4](#page=4).
Om de faseverhouding met de spanning duidelijk te maken, kunnen we de cosinus herschrijven met behulp van de identiteit $\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$:
$i(t) = \omega C V0 \sin(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$ [4](#page=4).
De maximale stroom $I0$ is dan $\omega C V0$. De impedantie van een puur capacitief circuit is [4](#page=4):
$Z = \frac{V0}{I0} = \frac{V0}{\omega C V0} = \frac{1}{\omega C}$ [4](#page=4).
Bij een condensator loopt de stroom $\frac{\pi}{2}$ (90 graden) in fase vóór op de wisselspanning [4](#page=4).
> **Tip:** De impedantie van een condensator is omgekeerd evenredig met de frequentie ($\omega$). Bij hoge frequenties is de capacitieve impedantie laag, waardoor de condensator meer stroom doorlaat. Bij lage frequenties is de impedantie hoog.
#### 1.2.3 Parallelschakeling van R en C
Wanneer een weerstand $R$ en een condensator $C$ parallel worden geschakeld, is de totale stroom ($i$) de som van de stromen door de weerstand ($i_R$) en de condensator ($i_C$). Omdat deze componenten parallel staan, is de spanning over beide componenten dezelfde als de aangelegde wisselspanning [5](#page=5).
De stroom door de weerstand is $i_R(t) = \frac{V0}{R} \sin(\omega t + \varphi)$ [5](#page=5).
De stroom door de condensator is $i_C(t) = \omega C V0 \sin(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$ [5](#page=5).
De amplitudes van deze stromen zijn $I_{0R} = \frac{V0}{R}$ en $I_{0C} = \omega C V0$. Aangezien deze stromen 90 graden uit fase zijn, kan de totale maximale stroom $I0$ worden berekend met de stelling van Pythagoras [5](#page=5):
$I0^2 = I_{0R}^2 + I_{0C}^2$ [5](#page=5).
$I0^2 = \left(\frac{V0}{R}\right)^2 + (\omega C V0)^2$ [5](#page=5).
$I0 = V0 \sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C)^2}$ [5](#page=5).
De impedantie van deze parallelschakeling wordt dan:
$Z = \frac{V0}{I0} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C)^2}}$ [6](#page=6).
De fasehoek $\phi$ tussen de totale spanning en de totale stroom kan worden berekend met:
$\tan \phi = \omega R C$ [6](#page=6).
### 1.3 Samenvatting van impedantie en fasehoek
| Kring | Impedantie $Z$ | Fasehoek $\phi$ |
| :---------------------- | :--------------------------------------- | :-------------- |
| Enkel R | $R$ | $0$ |
| Enkel C | $\frac{1}{\omega C}$ | $+\frac{\pi}{2}$ |
| Parallel R en C | $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C)^2}}$ | $\arctan(\omega RC)$ | [6](#page=6).
---
# Factoren die de biologische effecten van stroomdoorgang door het lichaam beïnvloeden
De biologische effecten van wisselstroomdoorgang door het menselijk lichaam worden bepaald door een complex samenspel van verschillende factoren, waaronder de grootte van de stroom, de impedantie van de huid, de specifieke stroomweg door het lichaam, de frequentie van de stroom en de duur van de blootstelling [10](#page=10) [7](#page=7) [8](#page=8) [9](#page=9).
### 2.1 Grootte van de stroom en huidimpedantie
De grootte van de stroom die door het lichaam loopt, is een primaire determinant van de ernst van de biologische effecten. Deze grootte wordt echter sterk gemodereerd door de impedantie van de huid [10](#page=10) [7](#page=7) [8](#page=8) [9](#page=9).
#### 2.1.1 Huidimpedantie
De weerstand die de huid biedt aan de elektrische stroom wordt de huidimpedantie genoemd. Deze impedantie is niet constant en varieert aanzienlijk afhankelijk van diverse omstandigheden [7](#page=7):
* **Huidvochtigheid:** Een droge huid heeft een aanzienlijk hogere weerstand dan een natte of vochtige huid. Dit betekent dat dezelfde stroomsterkte een groter gevaar vormt bij contact met een natte huid [7](#page=7).
* **Contactoppervlak:** Een groter contactoppervlak tussen de stroombron en de huid leidt over het algemeen tot een lagere impedantie.
* **Huidconditie:** Huidschade, zoals snijwonden of schaafwonden, verlaagt de impedantie aanzienlijk, waardoor de stroom gemakkelijker kan doordringen.
* **Druk:** De druk waarmee contact wordt gemaakt, kan ook invloed hebben op de impedantie.
### 2.2 Stroomweg door het lichaam
De specifieke route die de stroom door het lichaam neemt, is cruciaal voor de beoordeling van het risico. Bepaalde doorgangen kunnen leiden tot gevaarlijkere situaties dan andere, met name wanneer vitale organen worden gepasseerd [8](#page=8).
* **Linkerhand naar rechterhand:** Deze stroomweg passeert het hart, wat een significant risico op hartritmestoornissen of zelfs hartstilstand met zich meebrengt [8](#page=8).
* **Hand naar voeten:** Deze route kan ook gevaarlijk zijn, afhankelijk van de specifieke doorgang en de betrokken organen.
> **Tip:** Het is essentieel om te beseffen dat stroompaden die het hart of de hersenen kruisen, het grootste risico op ernstige gevolgen met zich meebrengen.
### 2.3 Frequentie van de stroom
De frequentie van de wisselstroom speelt een belangrijke rol bij de biologische effecten. Een van de meest bekende effecten gerelateerd aan frequentie is het zogenaamde "cannot-let-go" effect [10](#page=10) [9](#page=9).
* **Cannot-let-go effect:** Bij bepaalde frequenties kan de stroom ervoor zorgen dat de spieren van de hand en arm onvrijwillig samentrekken. Dit maakt het voor het slachtoffer extreem moeilijk, zo niet onmogelijk, om de stroombron los te laten, wat de blootstellingstijd verlengt en de situatie verergert. Dit effect is met name problematisch bij industriële frequenties (zoals 50 Hz of 60 Hz) [9](#page=9).
### 2.4 Tijd van blootstelling
De duur van de blootstelling aan de stroom is direct gerelateerd aan de totale hoeveelheid elektrische energie die het lichaam absorbeert. Een langere blootstelling, zelfs aan relatief lage stroomsterktes, kan leiden tot ernstige weefselschade, verbrandingen en andere complicaties [10](#page=10).
> **Tip:** De combinatie van de hierboven genoemde factoren – stroomsterkte, huidimpedantie, stroomweg, frequentie en blootstellingstijd – bepaalt de uiteindelijke ernst van de elektrische schok. Een grondige analyse van al deze elementen is noodzakelijk voor een correcte risicobeoordeling.
---
# Biologische effecten van wisselstroom
Dit onderwerp behandelt de directe biologische gevolgen van elektrische stroom die door het menselijk lichaam loopt.
### 3.1 Algemene effecten van stroomdoorgang door het lichaam
Elektrische stroom die door het lichaam gaat, kan diverse directe biologische gevolgen hebben. Deze effecten zijn afhankelijk van factoren zoals de stroomsterkte, de duur van de blootstelling, het stroompad door het lichaam en de frequentie van de wisselstroom. De meest significante en gevaarlijke effecten zijn onder meer verbranding, kamerfibrilleren en het zogenaamde "cannot-let-go" fenomeen [11](#page=11).
### 3.2 Specifieke biologische effecten
#### 3.2.1 Verbranding
Elektrische stroom kan weefsels direct verwarmen door de elektrische weerstand. Dit kan leiden tot verbranding, zowel aan de oppervlakte (contactpunten) als intern langs het stroompad. De ernst van de verbranding varieert van lichte huidschade tot diepe weefselnecrose, afhankelijk van de stroomkenmerken [11](#page=11).
#### 3.2.2 Kamerfibrilleren
Een van de meest levensbedreigende effecten van elektrische stroom is het veroorzaken van kamerfibrilleren van het hart. Dit is een chaotische en ineffectieve samentrekking van de hartkamers, wat resulteert in een drastische daling van de bloeddruk en het stoppen van de bloedsomloop. Zelfs relatief lage stroomsterktes, met name bij een specifieke frequentie (ongeveer 50-60 Hz) en een pad dat het hart kruist, kunnen dit effect veroorzaken [11](#page=11).
#### 3.2.3 Het "cannot-let-go" effect
Dit fenomeen treedt op wanneer een persoon die vastgehouden wordt door een stroomvoerend object, door spiercontracties niet in staat is om los te laten. De wisselstroom kan de zenuwen en spieren stimuleren tot continue samentrekking, waardoor de persoon krampachtig vastgeklemd blijft aan de bron van de elektrische schok. Dit verlengt de duur van de blootstelling en vergroot de kans op ernstigere letsels, waaronder brandwonden en hartritmestoornissen [11](#page=11).
> **Tip:** Het "cannot-let-go" effect benadrukt het belang van snelle interventie en het veilig uitschakelen van de stroombron wanneer iemand onder stroom staat. Zorg ervoor dat hulpverleners eerst hun eigen veiligheid waarborgen.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Wisselspanning | Een elektrische spanning die periodiek van richting verandert, vaak beschreven door een sinusvormige functie zoals $V(t) = V_0 \sin(\omega t + \phi)$. |
| Impedantie | Een maat voor de totale weerstand tegen de stroom van wisselstroom in een circuit, die zowel weerstand als reactantie (capacitieve en inductieve) omvat. Het wordt uitgedrukt als een complex getal $Z$. |
| Weerstand (R) | Een component in een elektrisch circuit die energie omzet in warmte en de stroom tegenwerkt, waarbij de spanning en stroom in fase blijven. |
| Capaciteit (C) | Een elektrische component die in staat is elektrische energie op te slaan in een elektrisch veld. Bij een condensator loopt de stroom de spanning met $\pi/2$ (of 90 graden) vooruit. |
| Fasehoek ($\phi$) | Het verschil in fase tussen een wisselspanning en een wisselstroom in een circuit, wat aangeeft hoe ver de twee golven ten opzichte van elkaar verschoven zijn. |
| Stroomdoorgang lichaam | Het pad dat elektrische stroom volgt wanneer het door het menselijk lichaam vloeit, wat kan leiden tot diverse biologische effecten afhankelijk van het traject. |
| Huidimpedantie | De elektrische weerstand van de huid, die sterk kan variëren afhankelijk van factoren zoals vochtigheid en de staat van de huid. |
| Cannot-let-go effect | Een fenomeen waarbij de spieren van een persoon onwillekeurig samentrekken als reactie op elektrische stroom, waardoor het moeilijk wordt om de bron van de stroom los te laten. |
| Kamerfibrilleren | Een gevaarlijke aandoening van het hart waarbij de kamers chaotisch en ineffectief trillen, vaak veroorzaakt door elektrische schokken die de normale hartslag verstoren. |
Cover
les_6_VC_2025.pdf
Summary
# Elektriciteit: gevaren en begrippen
Dit onderwerp bespreekt de fundamentele concepten van elektriciteit en de gevaren die eraan verbonden zijn, waaronder elektrocutie en brandgevaar.
## 1. Elektriciteit: gevaren en begrippen
### 1.1 Inleiding tot elektrische gevaren
Het werken met elektriciteit kan veilig zijn mits gevaren correct worden geïdentificeerd en beheerst. Gebrek aan training, ervaring of het niet herkennen van potentiële gevaren kan leiden tot elektrische schokken of zelfs de dood [8](#page=8).
### 1.2 Fundamentele begrippen van elektriciteit
De basisbegrippen van elektriciteit omvatten:
* **Stroomsterkte:** Gemeten in Ampère (A) [10](#page=10).
* **Spanning:** Gemeten in Volt (V) [10](#page=10).
* **Weerstand:** Gemeten in Ohm ($\Omega$) [10](#page=10).
* **Vermogen:** Gemeten in Watt (W) [10](#page=10).
### 1.3 Termen gerelateerd aan elektrische installaties
* **Kortsluiting:** Een direct contact tussen twee onder spanning staande geleiders. Bij een kortsluiting is er sprake van een grote stroom, vonken en opwarming van de leiding [12](#page=12) [36](#page=36).
* **Aardingsinstallatie:** Een systeem van aardverbindingen en beveiligingsgeleiders dat foutstromen veilig naar de aarde afleidt. In huishoudens is aarding essentieel. Slechte of ontbrekende aardverbindingen zijn een oorzaak van ongevallen [12](#page=12) [26](#page=26).
* **Rechtstreekse aanraking:** Het direct aanraken van normaal stroomvoerende geleiders door personen [12](#page=12).
* **Onrechtstreekse aanraking:** Het aanraken van delen van elektrisch materiaal die normaal gesproken niet onder spanning staan, maar dit door een isolatiefout wel zijn geworden [12](#page=12).
### 1.4 Gevaren geassocieerd met elektriciteit
De gevaren van elektriciteit zijn divers en omvatten:
* Elektrocutie [13](#page=13).
* Verwondingen door vonken en vlambogen [13](#page=13).
* Letsel door elektrische schokken en de reacties hierop [13](#page=13).
* Brand- en explosiegevaar [13](#page=13).
### 1.5 Elektrocutie en de invloed op het menselijk lichaam
Elektrocutie treedt op wanneer stroom door het lichaam gaat. De ernst van de gevolgen hangt af van de grootte van de stroomdoorlating. Dit wordt beïnvloed door [15](#page=15):
* **Spanning:** Een hogere spanning leidt tot een hogere stroomsterkte ($U \uparrow \rightarrow I \uparrow$) [15](#page=15).
* **Weerstand:** Een lagere weerstand leidt tot een hogere stroomsterkte ($R \downarrow \rightarrow I \uparrow$) [15](#page=15).
* De duur van de stroomdoorgang is eveneens van invloed op de ernst van de inwerking op het lichaam [15](#page=15).
De invloed van stroom op het menselijk lichaam kan worden onderverdeeld in verschillende niveaus:
* **Vanaf 0,5 mA:** Zwakke gewaarwording, prikkelend gevoel, valgevaar [17](#page=17).
* **Vanaf 10 mA:** Pijnlijke spierkrampen in hand en arm, verstijving van spieren waardoor men zichzelf niet meer kan losmaken. Dit wordt beschouwd als de grensstroomsterkte of 'let-go' grens [17](#page=17).
* **Vanaf 30 mA:** Spiercontracties breiden zich uit naar de borstspieren, wat leidt tot ademhalingsmoeilijkheden, ademhalingsverlamming en mogelijk verstikking met dodelijke afloop. Dit is de grens die best niet overschreden kan worden [15](#page=15) [17](#page=17).
* **Vanaf 75 mA:** Onomkeerbare hartfibrillatie, wat levensgevaarlijk is. Alleen een defibrillator kan dan nog hulp bieden [17](#page=17).
* **1A of meer:** Hartstilstand en ernstige brandwonden, zowel inwendig als aan de huid [17](#page=17).
De mate van gevaar van stroom door het lichaam wordt bepaald door verschillende factoren [19](#page=19).
### 1.6 Thermische effecten van elektriciteit
Warmteontwikkeling in een weerstand ($R$) wordt beschreven door de formule:
$$E = R \cdot I^2 \cdot t$$
waarbij $E$ de ontwikkelde thermische energie (in Joule), $I$ de stroomsterkte en $t$ de tijd is [24](#page=24).
* Een verdubbeling van de stroomsterkte leidt tot een verviervoudiging van de thermische energie [24](#page=24).
* De ontwikkelde thermische energie is de oorzaak bij rechtstreekse aanraking van een actieve geleider op hoogspanning [24](#page=24).
* Voorbeeld: De gedurende 0,5 seconde in het menselijk lichaam ontwikkelde thermische energie bij een stroom van 10 A is $E = 1000 \cdot ^2 \cdot 0,5 \text{ s} = 50000 \text{ W} \cdot \text{s}$ (Joule) [10](#page=10) [24](#page=24).
* Bij zeer grote stromen (hoogspanning) kan een drukgolf ontstaan die personen omverwerpt [24](#page=24).
### 1.7 Wisselstroom versus Gelijkstroom
* **Wisselstroom (AC):** Stroom die voortdurend wisselt van positieve naar negatieve polariteit. Netspanning geleverd door de maatschappij is wisselstroom [25](#page=25).
* **Gelijkstroom (DC):** Constante stroom. Batterijen leveren gelijkstroom [25](#page=25).
Wisselstroom wordt als gevaarlijker beschouwd dan gelijkstroom. Wisselstroom onder 50 Volt wordt als ongevaarlijk beschouwd in droge omstandigheden, terwijl gelijkstroom onder 120 Volt als ongevaarlijk geldt [25](#page=25).
### 1.8 Oorzaken van ongevallen met elektriciteit
Ongevallen met elektriciteit kunnen worden veroorzaakt door:
* Directe of indirecte aanraking van onder spanning staande delen [26](#page=26).
* Onveilige elektrische installaties [26](#page=26).
* Defecten in toestellen of installaties, inclusief beschadigde isolatie [26](#page=26).
* Onoordeelkundig gebruik van elektrische installaties en materialen [26](#page=26).
* Onoplettendheid of onwetendheid van de gebruiker [26](#page=26).
* Slecht onderhoud of gebrekkige herstellingen [26](#page=26).
* Slechte of ontbrekende aardverbindingen [26](#page=26).
### 1.9 Vlamboog
Een vlamboog ontstaat wanneer de spanningsverschil tussen twee onder spanning staande objecten zo groot wordt, dat de lucht (die normaal isoleert) overbrugd wordt door een stroom. Dit gebeurt wanneer de afstand tussen de objecten te klein is, waardoor stroom overspringt en een continue boog of vonken veroorzaakt [35](#page=35).
### 1.10 Brand en explosiegevaar door elektriciteit
Naast elektrocutie kan elektriciteit ook leiden tot brand en explosies. Dit kan gebeuren door kortsluitingen die leiden tot overmatige opwarming of door de ontlading van statische elektriciteit [36](#page=36) [47](#page=47).
### 1.11 Statische elektriciteit
Statische elektriciteit ontstaat door het opbouwen van elektrische spanning buiten de normale elektrische systemen. Dit kan voorkomen bij het aanraken van een autodeur, verfspuiten, het roeren van vloeistoffen, het lossen van poeders, opstijgende gasbellen, drijfriemen en dergelijke activiteiten [44](#page=44) [45](#page=45).
* **Mechanisme:** Het wrijven van niet-geleidende materialen over elkaar creëert een ladingsverschil dat niet direct wegvloeit [47](#page=47).
* **Gevaren:** De ontlading van statische elektriciteit via een persoon kan leiden tot een schrikreactie en mogelijk vallen. De ontlading kan ook vonkoverslag veroorzaken, wat kan leiden tot explosies in een brandbare omgeving. Bovendien kan statische elektriciteit de werking van elektronische apparatuur ontregelen [47](#page=47).
> **Tip:** Het is cruciaal om de basisprincipes van elektriciteit en de potentiële gevaren te begrijpen, vooral in professionele omgevingen waar men met elektrische installaties werkt. Zorg altijd voor de juiste training en volg veiligheidsprocedures.
---
# Veiligheidsmaatregelen en wetgeving rond elektrische installaties
Hier is een gedetailleerde studiegids over veiligheidsmaatregelen en wetgeving rond elektrische installaties, gebaseerd op de verstrekte documentatie.
## 2. Veiligheidsmaatregelen en wetgeving rond elektrische installaties
Dit deel behandelt preventieve maatregelen ter bescherming tegen elektrische gevaren en de relevante Belgische wetgeving (AREI en Codex Welzijn).
### 2.1 Gevaren en preventiemaatregelen bij werken met elektriciteit
Werken met elektriciteit brengt significante risico's met zich mee, waaronder elektrocutie. Ongevallen kunnen worden veroorzaakt door directe of indirecte aanraking van onder spanning staande delen, onveilige installaties, defecten in toestellen, ondeskundig gebruik, onoplettendheid, slecht onderhoud, of ontbrekende aardverbindingen [26](#page=26) [6](#page=6).
#### 2.1.1 Bescherming tegen directe aanraking
Om personen te beschermen tegen de gevolgen van directe aanraking met onder spanning staande delen, worden diverse veiligheidsmaatregelen toegepast. Deze maatregelen zijn gericht op het voorkomen van zowel rechtstreekse als onrechtstreekse aanraking met elektrische stroom [31](#page=31) [37](#page=37).
* **Aardlekbeveiliging (differentieelschakelaar):** Dit toestel detecteert aardlekken en biedt bescherming tegen zowel directe als indirecte aanraking [37](#page=37).
* **Isolatie:** Onder spanning staande delen worden omgeven met niet-geleidend materiaal om contact te voorkomen [37](#page=37).
* **Fysieke afscherming:** Het aanbrengen van fysieke barrières rondom elektrische componenten.
* **Gebruik van zeer lage spanningen (VBV):** Het toepassen van spanningen, zoals 12V, die in alle omstandigheden als veilig worden beschouwd [37](#page=37).
#### 2.1.2 Aarding
Aarding is een cruciale veiligheidsmaatregel die de verbinding van uitwendige delen van elektrische apparaten met de aarde realiseert. Indien een apparaat defect raakt en delen onder spanning komen te staan, zorgt de aarding ervoor dat de stroom via de weg van de minste weerstand naar de aarde loopt, waardoor het gevaar bij aanraking wordt verminderd. Aarding is verplicht in specifieke situaties, zoals voor steigers, in de buurt van elektrische kabels, bij het gebruik van elektrisch materiaal zoals boormachines, en voor werkplaatscontainers [38](#page=38) [40](#page=40).
#### 2.1.3 Stroomonderbrekingstoestellen
Stroomonderbrekingstoestellen spelen een sleutelrol in de beveiliging van elektrische installaties en personen [41](#page=41).
* **Verliesstroomschakelaar / Differentieelschakelaar:** Beveiligt tegen verliesstromen, wat duidt op een lek naar aarde [41](#page=41).
* **Zekering / Automaat:** Beschermt de installatie tegen overbelasting [41](#page=41).
#### 2.1.4 Maatregelen tegen statische elektriciteit
Statische elektriciteit kan eveneens risico's met zich meebrengen. Preventieve maatregelen omvatten het gebruik van antistatische schoenen en kleding, het aarden van pijpleidingen, tanks en apparatuur, het beperken van de stroomsnelheid, het beperken van de valhoogte van producten in tanks, en het aanleggen van equipotentiaalverbindingen bij het overtappen van vloeistoffen en de assemblage van elektronische toestellen [46](#page=46).
### 2.2 Wetgeving rond elektrische installaties
De wetgeving betreffende elektrische installaties heeft tot doel ongevallen en schade aan personen en gebouwen te vermijden. De regelgeving werd oorspronkelijk beheerd door de FOD Economie, met het Algemeen Reglement op de Elektrische Installaties (A.R.E.I.) dat sinds 1981 van kracht was. De huidige wetgeving is vastgelegd in het Koninklijk Besluit van 8 september 2019, dat Boek 1 van de nieuwe reglementering vormt en sinds 1 juni 2020 van toepassing is [50](#page=50) [52](#page=52).
#### 2.2.1 Evolutie van de wetgeving
* **K.B. 10/03/1981 (Oude AREI):** Was van toepassing op elektrische installaties en belangrijke wijzigingen of uitbreidingen waarvan de uitvoering ter plaatse nog niet was aangevangen vóór 1 oktober 1981 [51](#page=51).
* **Technische controlebezoeken:**
* Laagspanningsinstallaties vóór elke verzwaringsaanpassing van de aansluiting op het openbaar verdeelnet, voor oude installaties die nog geen gelijkvormigheidsonderzoek hebben ondergaan volgens art. 270, K.B. 01.07.1992 [51](#page=51).
* Bij verkoop van eigendom, K.B. 25.06.2008 [51](#page=51).
* **Nieuwe AREI (KB 8/9/2019):**
* **Boek 1:** Installaties op laagspanning (Wisselspanning $\leq$ 1000V, Gelijkspanning $\leq$ 1500V) en zeer lage spanning [52](#page=52).
* **Boek 2:** Installaties op hoogspanning (Wisselspanning $>$ 1000V, Gelijkspanning $>$ 1500V) [52](#page=52).
* **Boek 3:** Installaties voor transmissie en distributie van elektrische energie [52](#page=52).
#### 2.2.2 Controles van installaties volgens Boek 1 van de AREI
Boek 1 van de AREI behandelt de controles van installaties [55](#page=55).
* **Gelijkvormigheidscontrole voor ingebruikname:** Hoofdstuk 6.4.1 specificeert de controle die dient te gebeuren alvorens een installatie in gebruik te nemen [55](#page=55).
* **Controlebezoeken:** Hoofdstuk 6.5 beschrijft de controlebezoeken, met specifieke periodiciteiten [55](#page=55).
* **Huishoudelijke installaties (HHI):** 25 jaar [55](#page=55) [59](#page=59).
* **Verplaatsbare, mobiele, tijdelijke installaties:** Jaarlijks [55](#page=55) [59](#page=59).
* **Andere installaties (niet-huishoudelijk - NHHI):** 5 jaar [55](#page=55) [59](#page=59).
##### 2.2.2.1 Definitie van Huishoudelijke Installatie (HHI)
Een huishoudelijke installatie (HHI) betreft de elektrische installatie van een verbruiker die elektriciteit zowel afneemt als produceert (bv. zonnepanelen). Een technisch lokaal in de afgebakende zone (AD) behoort NIET tot de huishoudelijke installaties. Privé-ruimtes die voor handel, medische praktijken of kantoren worden gebruikt, ook al bevinden ze zich in een gebouw met wooneenheden, worden beschouwd als niet-huishoudelijke installaties (NHHI) [56](#page=56) [57](#page=57) [58](#page=58).
##### 2.2.2.2 Gevolgen voor de keuring
De geldigheidsduur van een conform verslag varieert:
* HHI: 25 jaar [59](#page=59).
* NHHI: 5 jaar [59](#page=59).
* Tijdelijk/mobiel/explosiegevaar: 1 jaar [59](#page=59).
**Voorbeelden:**
* **Kapperszaak:**
* HHI (wooneenheid): 25 jaar [60](#page=60).
* NHHI (werkeenheid-kapperssalon): 5 jaar [60](#page=60).
> **Tip:** Tracht, indien er één centraal verdeelbord is, kringen in het verdeelbord gescheiden te houden [60](#page=60).
* **Appartementsblok met wooneenheden, gemeenschappelijke delen en handelspanden:**
* Appartementen: 25 jaar [61](#page=61).
* Gemeenschappelijke delen: 5 jaar [61](#page=61).
* Technische lokalen: 5 jaar [61](#page=61).
* Handelspanden: 5 jaar [61](#page=61).
#### 2.3 Codex Welzijn op het werk
De Codex Welzijn op het werk is van toepassing wanneer er personeel of werknemers aanwezig zijn in een gebouw, ongeacht of dit een privé- of afgebakende zone betreft. Een installatie met een werkplek voor werknemers wordt beschouwd als een niet-huishoudelijke installatie (NHHI) [62](#page=62).
##### 2.3.1 Toepassingsgebied en definities
De Codex Welzijn op het werk is van toepassing op elektrische installaties bestemd voor het gebruik van elektrische energie binnen gebouwen of installaties van een werkgever [63](#page=63).
* **Inrichting:** Een gebruikte definitie in de context van de wetgeving [63](#page=63).
* **Oude elektrische installatie:** Een installatie waarvan de uitvoering ter plaatse is aangevangen vóór 1 oktober 1981 voor bepaalde inrichtingen, of vóór 1 januari 1983 voor andere installaties [63](#page=63).
* Voor de technische begrippen en uitdrukkingen worden dezelfde definities gehanteerd als in het AREI [64](#page=64).
##### 2.3.2 Risicoanalyse en algemene preventiemaatregelen
De werkgever is verplicht een risicoanalyse uit te voeren. Minimaal volgende risico's moeten worden opgespoord en geëvalueerd [63](#page=63) [64](#page=64):
1. Risico's op elektrische schokken door directe aanraking.
2. Risico's op elektrische schokken door indirecte aanraking.
3. Risico's door ontladingen en lichtbogen.
4. Risico's door potentiaalspreiding.
5. Risico's door ophoping van energie (bv. in condensatoren).
6. Risico's door overspanningen (fouten tussen actieve delen op verschillende spanningen, schakelen, atmosferische ontladingen).
7. Risico's op oververhitting, brandwonden, brand en ontploffing door elektrische uitrusting.
8. Risico's door overstromen.
9. Risico's door spanningsdaling en wederopkomen van spanning.
10. Risico's inherent aan het gebruik van elektrische energie en werkzaamheden aan installaties.
11. Niet-elektrische risico's door fouten of slecht functioneren van elektrische componenten (bv. stuurorganen).
De werkgever moet, op basis van de risicoanalyse, alle nodige preventiemaatregelen treffen om werknemers te beschermen [65](#page=65).
##### 2.3.3 Minimale voorschriften voor de uitvoering van de elektrische installatie
De uitvoering van elke elektrische installatie moet voldoen aan de bepalingen van het AREI. Oude elektrische installaties mogen voldoen aan de voorwaarden vermeld in bijlage III.2-1 van de Codex, tenzij de installatie niet onder het toepassingsgebied van het AREI valt [65](#page=65).
##### 2.3.4 Werkzaamheden aan elektrische installaties en controles
Werkzaamheden aan elektrische installaties vallen onder Hoofdstuk IV van de Codex Welzijn. De werkgever is verantwoordelijk voor controles van de elektrische installaties [65](#page=65) [66](#page=66).
* **Gelijkvormigheidsonderzoek:** Elke elektrische installatie moet het voorwerp uitmaken van een gelijkvormigheidsonderzoek door een erkend organisme [66](#page=66).
* **Eerste controle (voor oude installaties):** Oude elektrische installaties moeten een eerste controle ondergaan uiterlijk op 1 januari 2014, die de overeenstemming met bijlage III.2-1 vaststelt [66](#page=66).
* **Periodieke controle:** Elektrische installaties moeten periodiek gecontroleerd worden door een erkend organisme om de overeenstemming met de bepalingen van hoofdstuk III van de Codex te waarborgen. De frequentie van deze periodieke controles is dezelfde als bepaald in het AREI [66](#page=66) [69](#page=69).
#### 2.3.5 Werkgever en installaties van vóór 1981
Voor werkgevers met personeel en installaties die dateren van vóór 1981, zijn de volgende spildata van belang:
* **1 januari 2014:** Laatste datum voor een eerste controle (EDTC) [67](#page=67).
* **31 december 2014:** Werkgever moet risicoanalyse en preventiemaatregelen uitwerken [67](#page=67).
* **31 december 2016:** Oude elektrische installatie moet voldoen aan minimale voorschriften (eventuele verlenging met 2 jaar mogelijk) [67](#page=67).
Dit vereist aanpassingen aan de installaties, waarvoor bewijs wordt geleverd door een attest van keuring en een elektrisch dossier [67](#page=67).
#### 2.3.6 Hoogspanningsinstallaties
Voor hoogspanningsinstallaties (Boek 2) geldt er een jaarlijkse controleplicht bij de eigenaar of gebruiker, wat resulteert in een jaarlijks keuringsverslag. De periodiciteiten en controlebezoeken volgens Boek 1 van de AREI beginnen pas na een conformiteitscontrole (indienststellingscontrole) [68](#page=68) [76](#page=76).
Indien een controleverslag aantoont dat de installatie niet voldoet, is de werkgever verplicht deze in overeenstemming te brengen. Indien de installatie in dienst gehouden wordt, moeten noodzakelijke maatregelen ter bevordering van de veiligheid van werknemers getroffen worden. Dit is van toepassing bij een VME (Vereniging van Mede-Eigenaars) met personeel in dienst (bv. conciërge) [69](#page=69).
---
# Veiligheidssignalisatie op de werkvloer
Veiligheidssignalisatie op de werkvloer is essentieel om gevaren te signaleren en informatie te verstrekken over veiligheidsmaatregelen, PBM's, evacuatiewegen en de locatie van EHBO- en brandbestrijdingsmiddelen [78](#page=78).
### 3.1 Categorieën van veiligheidssignalisatieborden
Veiligheidssignalisatie omvat verschillende soorten borden, elk met een specifieke vorm, kleur en betekenis [79](#page=79).
#### 3.1.1 Verbodstekens
Verbodstekens geven aan wat strikt verboden is op de werkplek. Ze zijn herkenbaar aan hun ronde vorm, witte achtergrond, rode rand en rode schuine streep, met een zwart symbool dat het verbod aanduidt [80](#page=80).
**Voorbeelden van verbodstekens:**
* Vuur, open vlam en roken verboden [81](#page=81).
* Heftrucks verboden [81](#page=81).
* Aanraken verboden [81](#page=81).
* Verboden met water te blussen [81](#page=81).
* Verboden de lift te gebruiken bij brand [82](#page=82).
* Eten en drinken verboden [82](#page=82).
* Roken verboden [82](#page=82).
* Werken met ontstekingsbronnen verboden [82](#page=82).
#### 3.1.2 Gebodstekens
Gebodstekens geven aan welke handelingen verplicht zijn om de veiligheid te waarborgen. Deze borden zijn rond, hebben een blauwe achtergrond en een wit symbool [83](#page=83).
**Voorbeelden van gebodstekens:**
* Aarding verplicht [84](#page=84).
* Veiligheidsschoenen verplicht [84](#page=84).
* Gelaatsbescherming verplicht [84](#page=84).
* Oogbescherming verplicht [85](#page=85).
* Gehoorbescherming verplicht [85](#page=85).
* Verplichte doorgang voetgangers [85](#page=85).
#### 3.1.3 Waarschuwingstekens
Waarschuwingstekens informeren over mogelijke gevaren op de werkplek. Ze zijn driehoekig met een gele achtergrond, een zwarte rand en een zwart symbool [86](#page=86).
**Voorbeelden van waarschuwingstekens:**
* Laserstraal [87](#page=87).
* Glad oppervlak [87](#page=87).
* Gevaarlijke elektrische spanning [87](#page=87).
* Hangende last [87](#page=87).
* Ontvlambare stoffen [88](#page=88).
* Vallende voorwerpen [88](#page=88).
* Zone explosieve atmosfeer [88](#page=88).
#### 3.1.4 Veiligheidsvoorzieningen
Borden voor veiligheidsvoorzieningen geven de locatie aan van hulp- en veiligheidsapparatuur. Deze borden zijn rechthoekig of vierkant, met een groene achtergrond en een wit symbool [89](#page=89).
**Voorbeelden van signalisatie voor veiligheidsvoorzieningen:**
* Telefoon voor noodgevallen [90](#page=90).
* Oogdouche [90](#page=90).
* Veiligheidsdouche [90](#page=90).
* Verzamelplaats bij evacuatie [90](#page=90).
* Nooduitgang links [91](#page=91).
* Eerste hulp [91](#page=91).
* Medische noodtas [91](#page=91).
#### 3.1.5 Brandbestrijding
Borden voor brandbestrijding duiden de locatie van blusmiddelen en brandalarmapparatuur aan. Ze zijn rechthoekig of vierkant, met een rode achtergrond en een wit symbool [92](#page=92).
**Voorbeelden van signalisatie voor brandbestrijding:**
* Brandmelder [93](#page=93).
* Mobiele brandblusser [93](#page=93).
* Telefoon voor brandalarm [93](#page=93).
* Brandslang [93](#page=93).
### 3.2 Markeringen voor gevaarlijke situaties
Naast borden worden ook markeringen gebruikt om aandacht te vestigen op gevaarlijke situaties waar geen fysieke afscherming is. Dit kan gebeuren met linten (rood/wit of zwart/geel), kettingen of paaltjes om zones af te bakenen. Dit is bijvoorbeeld relevant bij stellingen, uitgravingen of de plaats van een ongeval [94](#page=94).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Graduaat werforganisatie | Een onderwijsprogramma gericht op het verkrijgen van een getuigschrift of diploma met betrekking tot de organisatie en leiding van bouwwerven. |
| Veiligheidscoördinatie | Het proces van het plannen, organiseren en controleren van veiligheidsmaatregelen op een werf om ongevallen en gezondheidsschade te voorkomen. |
| Risico-analyse | Een systematische evaluatie om potentiële gevaren te identificeren, de waarschijnlijkheid van een ongeval in te schatten en de mogelijke gevolgen te bepalen, om zo preventieve maatregelen te kunnen treffen. |
| Veiligheidssignalisatie | Visuele signalen, zoals borden, die informatie geven over gevaren, geboden, verboden, veiligheidsmaatregelen, evacuatieplannen en de locatie van eerstehulp- en brandbestrijdingsmiddelen. |
| Elektrocutie | Een levensbedreigende toestand veroorzaakt door de doorgang van elektrische stroom door het menselijk lichaam. |
| Stroomsterkte | De hoeveelheid elektrische lading die per tijdseenheid door een geleider stroomt, uitgedrukt in Ampère (A). |
| Spanning | Het elektrische potentiaalverschil tussen twee punten, dat de kracht levert die nodig is om de elektrische lading te laten bewegen, uitgedrukt in Volt (V). |
| Weerstand | De mate waarin een materiaal de doorgang van elektrische stroom tegenwerkt, uitgedrukt in Ohm (Ω). |
| Vermogen | De snelheid waarmee elektrische energie wordt verbruikt of geleverd, uitgedrukt in Watt (W). |
| Kortsluiting | Een ongewenste verbinding tussen twee punten met een groot potentiaalverschil in een elektrisch circuit, wat leidt tot een zeer hoge stroomsterkte. |
| Aardingsinstallatie | Een systeem van verbindingen dat elektrische apparatuur met de aarde verbindt, om zo foutstromen veilig af te voeren en bescherming te bieden tegen elektrische schokken. |
| Rechtstreekse aanraking | Het direct in contact komen met normaal onder spanning staande geleiders. |
| Onrechtstreekse aanraking | Het in contact komen met metalen delen van elektrisch materiaal die normaal niet onder spanning staan, maar die door een isolatiefout wel onder spanning zijn komen te staan. |
| Vlamboog | Een continue elektrische ontlading die optreedt in de lucht tussen twee geleiders met een groot potentiaalverschil, vergezeld van vonken en intense hitte. |
| Wisselstroom (AC) | Een elektrische stroom waarvan de richting en grootte periodiek veranderen, typisch geleverd door het elektriciteitsnet. |
| Gelijkstroom (DC) | Een elektrische stroom die continu in één richting vloeit, zoals geleverd door batterijen. |
| Aardlekbeveiliging | Een beveiligingsmechanisme, zoals een differentieelschakelaar, dat onregelmatige stroomafvoer naar aarde detecteert en de stroomtoevoer onderbreekt om elektrocutie te voorkomen. |
| Isolatie | Materiaal dat wordt gebruikt om elektrische geleiders te omgeven om de doorgang van elektriciteit te voorkomen en bescherming te bieden tegen aanraking. |
| Fysieke afscherming | Het gebruik van fysieke barrières om toegang tot gevaarlijke elektrische componenten te voorkomen. |
| Stroomonderbrekingstoestellen | Apparaten die de elektrische stroom kunnen onderbreken, zoals zekeringen, automaten en verliesstroomschakelaars. |
| Verliesstroomschakelaar (differentieelschakelaar) | Een beveiliging die detecteert wanneer er een stroomverlies is (aardlek) en de stroomtoevoer onderbreekt. |
| Zekering / automaat | Beveiligingstoestellen die de elektrische stroom onderbreken bij overbelasting of kortsluiting om schade aan de installatie en brand te voorkomen. |
| Statische elektriciteit | Een elektrische lading die zich opbouwt op de oppervlakte van een isolerend materiaal door wrijving of scheiding van materialen, wat kan leiden tot ontladingen. |
| Equipotentiaalverbinding | Een elektrische verbinding tussen verschillende geleidende delen om ervoor te zorgen dat ze zich op hetzelfde elektrische potentiaal bevinden, ter voorkoming van potentiaalverschillen. |
| AREI (Algemeen Reglement op Elektrische Installaties) | Een Belgisch reglement dat de voorschriften bevat voor de installatie en het gebruik van elektrische installaties om veiligheid te garanderen. |
| Codex Welzijn op het Werk | Een Belgische wetgeving die de regels en vereisten vastlegt met betrekking tot de veiligheid en gezondheid van werknemers op de werkplek, inclusief elektrische installaties. |
| Gelijkvormigheidsonderzoek | Een controle uitgevoerd door een erkend organisme om te verifiëren of een elektrische installatie voldoet aan de geldende normen en voorschriften. |
| Periodieke controle | Regelmatige inspecties van elektrische installaties om te garanderen dat ze nog steeds veilig en in overeenstemming met de wetgeving functioneren. |
| Huishoudelijke installatie (HHI) | Elektrische installaties die gebruikt worden in woningen voor verbruik en productie van energie. |
| Niet-huishoudelijke installatie (NHHI) | Elektrische installaties die gebruikt worden in niet-residentiële gebouwen of specifieke delen van gebouwen, zoals werkplaatsen, kantoren of commerciële ruimtes. |
| Verbodsborden | Veiligheidssignalisatieborden die aangeven wat verboden is op een bepaalde locatie, gekenmerkt door een rode cirkel met een diagonale streep en een zwart symbool. |
| Gebodsborden | Veiligheidssignalisatieborden die aangeven welke acties verplicht zijn, gekenmerkt door een blauwe cirkel met een wit symbool. |
| Waarschuwingsborden | Veiligheidssignalisatieborden die waarschuwen voor potentiële gevaren, gekenmerkt door een gele driehoek met een zwarte rand en een zwart symbool. |
| Veiligheidsvoorzieningsborden | Veiligheidssignalisatieborden die wijzen op de locatie van veiligheidsvoorzieningen zoals noodtelefoons, EHBO-kasten of brandblussers, gekenmerkt door een groene rechthoek of vierkant met een wit symbool. |
| Brandbestrijdingsborden | Veiligheidssignalisatieborden die informatie geven over brandbestrijdingsmiddelen en -procedures, gekenmerkt door een rode rechthoek of vierkant met een wit symbool. |
| Bliksemafleider | Een systeem dat is ontworpen om blikseminslagen veilig naar de aarde te leiden, ter bescherming van gebouwen. |
| Hoogspanningsinstallatie | Een elektrische installatie die werkt met een spanning van meer dan 1000V voor wisselstroom of 1500V voor gelijkstroom. |
Cover
Les-Composants-TTL-2.pdf
Summary
# Introduction aux circuits TTL
Les circuits TTL (Transistor-Transistor Logic) sont une technologie fondamentale dans l'histoire de l'électronique numérique, caractérisée par l'utilisation de transistors bipolaires pour implémenter des fonctions logiques [3](#page=3).
### 1.1 Définition et principes
Les circuits TTL constituent une famille de circuits intégrés numériques qui utilisent des transistors bipolaires pour réaliser des opérations logiques de base [3](#page=3).
### 1.2 Importance historique
Les circuits TTL ont joué un rôle crucial dans le développement de l'électronique numérique, étant reconnus pour leur vitesse de fonctionnement et leur fiabilité. Leur introduction a marqué une étape significative dans la miniaturisation et la performance des systèmes électroniques [3](#page=3).
### 1.3 Applications générales
Historiquement, les circuits TTL ont trouvé des applications dans une large gamme d'appareils électroniques. Parmi les exemples notables, on peut citer :
* Les calculatrices [3](#page=3).
* Les microprocesseurs [3](#page=3).
* Les appareils de mesure [3](#page=3).
---
# Structure et principes de fonctionnement de la logique TTL
Ce chapitre détaille les composants fondamentaux et les principes de fonctionnement des circuits intégrés de la logique Transistor-Transistor Logic (TTL), notamment la définition des niveaux logiques et la structure interne d'une porte logique.
### 2.1 Composants principaux des circuits TTL
Les circuits TTL reposent sur l'utilisation de composants électroniques discrets pour réaliser leurs fonctions logiques. Les éléments fondamentaux incluent [5](#page=5):
* **Transistors bipolaires NPN:** Ils constituent la base de la commutation et de l'amplification dans les circuits TTL [5](#page=5) [6](#page=6).
* **Résistances:** Elles sont essentielles pour polariser correctement les transistors et pour définir les niveaux de tension qui représentent les états logiques haut et bas [5](#page=5) [6](#page=6).
* **Diodes:** Elles peuvent être utilisées dans certaines configurations, notamment pour la détection des niveaux d'entrée [5](#page=5).
### 2.2 Principes de fonctionnement de la logique TTL
La logique TTL est une technologie de circuit intégré qui utilise des transistors bipolaires à jonction (BJT) comme éléments actifs pour implémenter les fonctions logiques [6](#page=6).
#### 2.2.1 Définition des niveaux logiques
Les états logiques sont définis par des plages de tension spécifiques. La logique TTL fonctionne typiquement avec une alimentation de 5 volts [7](#page=7).
* **Niveau bas (LOW):** Représenté par une tension comprise entre 0 V et approximativement 0,8 V [7](#page=7).
* **Niveau haut (HIGH):** Représenté par une tension comprise entre 2,4 V et 5 V [7](#page=7).
> **Tip :** Comprendre ces seuils de tension est crucial pour l'analyse et la conception de circuits utilisant la logique TTL, car toute tension se situant en dehors de ces plages peut être ambiguë ou interprétée de manière erronée par le circuit.
#### 2.2.2 Structure interne d'une porte logique TTL : exemple de la porte NAND
La structure interne d'une porte logique TTL est conçue pour assurer l'inversion et la combinaison des signaux d'entrée. Prenons l'exemple d'une porte logique NAND TTL :
* **Transistor d'entrée:** Les entrées de la porte sont connectées à la base d'un transistor à émetteur multiple. Ce transistor, souvent configuré pour agir comme une combinaison de diodes, est responsable de la détection de tout niveau bas sur l'une des entrées [8](#page=8).
* **Amplification et inversion:** Un transistor subséquent dans la chaîne de signal amplifie le signal d'entrée et effectue une inversion logique nécessaire à la fonction de la porte [8](#page=8).
* **Sortie et saturation:** L'étage de sortie est généralement constitué d'un réseau de transistors, souvent appelé "totem-pole". Cet étage est capable de fournir un courant suffisant pour piloter efficacement des charges externes tout en garantissant une vitesse de commutation rapide entre les états haut et bas [8](#page=8).
> **Example :** Dans une porte NAND TTL, si toutes les entrées sont à l'état haut (HIGH), le transistor d'entrée sera bloqué. Cela permettra aux transistors de l'étage de sortie de conduire, produisant une sortie à l'état bas (LOW). Si au moins une entrée est à l'état bas (LOW), le transistor d'entrée conduira, ce qui forcera les transistors de l'étage de sortie à bloquer le courant, résultant en une sortie à l'état haut (HIGH).
---
# Familles, caractéristiques et comparaison des circuits TTL
Ce sujet présente les différentes séries de circuits intégrés logiques Transistor-Transistor Logic (TTL), leurs paramètres clés, ainsi qu'une comparaison avec la technologie CMOS [9](#page=9).
### 3.1 Historique et évolution des circuits TTL
Les circuits TTL ont été introduits par Texas Instruments dans les années 1960. Les premières séries, comme la 7400, étaient des portes logiques de base. Au fil du temps, des évolutions successives ont été développées pour améliorer la vitesse et réduire la consommation d'énergie. Ces évolutions ont donné naissance à différentes séries, notamment le Standard TTL (74xx), le Low-Power TTL (74Lxx) et le Low-Power Schottky TTL (74LSxx) [4](#page=4).
### 3.2 Les différentes familles TTL et leurs caractéristiques
Plusieurs séries de TTL existent, chacune avec des caractéristiques distinctes. Les principales séries incluent [9](#page=9):
* Standard TTL (74xx) [9](#page=9).
* Schottky TTL (74Sxx) [9](#page=9).
* Low-Power Schottky (74LSxx) [9](#page=9).
* Advanced Low-Power Schottky (74ALSxx) [9](#page=9).
Les paramètres clés pour ces familles sont :
* **Tension d'alimentation:** Typiquement de 5 volts [9](#page=9).
* **Temps de propagation:** Généralement de quelques nanosecondes [9](#page=9).
* **Consommation de courant:** Variable selon la série, les séries LSxx consommant moins que les séries standard [9](#page=9).
### 3.3 Avantages et inconvénients des circuits TTL
Les circuits TTL présentent plusieurs avantages [10](#page=10):
* **Vitesse rapide:** Ils offrent une vitesse de fonctionnement élevée [10](#page=10).
* **Fiabilité éprouvée:** Leur technologie est reconnue pour sa fiabilité [10](#page=10).
* **Large disponibilité sur le marché:** Ils sont facilement trouvables [10](#page=10).
Cependant, ils ont aussi des inconvénients [10](#page=10):
* **Consommation énergétique élevée:** Comparativement à la technologie CMOS, leur consommation est plus importante [10](#page=10).
* **Sensibilité au bruit:** Certaines séries peuvent être sensibles au bruit [10](#page=10).
### 3.4 Comparaison entre TTL et CMOS
La comparaison entre les technologies TTL et CMOS met en évidence des différences notables sur plusieurs aspects [12](#page=12):
* **Consommation d’énergie :**
* **CMOS:** Généralement plus économe en énergie, ce qui le rend idéal pour les applications alimentées par batterie [12](#page=12).
* **TTL:** Consomme plus d'énergie que le CMOS [10](#page=10) [12](#page=12).
* **Vitesse de fonctionnement :**
* **TTL:** Offre des délais de propagation plus courts, le rendant plus adapté aux applications nécessitant une haute fréquence de commutation [12](#page=12).
* **CMOS:** Peut avoir des délais de propagation plus longs dans certaines configurations par rapport au TTL rapide [12](#page=12).
* **Immunité au bruit :**
* **CMOS:** Possède une meilleure immunité au bruit grâce à sa conception complémentaire, ce qui est préférable dans des environnements avec des interférences électromagnétiques [12](#page=12).
* **TTL:** Moins immunisé au bruit dans certaines de ses séries [10](#page=10).
> **Tip:** Lors du choix entre TTL et CMOS, évaluez attentivement les priorités de votre application: consommation d'énergie, vitesse requise, et robustesse face au bruit environnemental [12](#page=12).
---
# Applications des circuits TTL
Les circuits TTL (Transistor-Transistor Logic) trouvent de nombreuses applications dans divers domaines de l'électronique numérique, notamment en logique combinatoire et séquentielle, ainsi que dans les systèmes embarqués [11](#page=11).
### 4.1 Domaines d'application
Les circuits TTL sont largement utilisés dans l'électronique numérique générale, des systèmes simples aux plus complexes. Leur robustesse et leur disponibilité en ont fait un choix populaire pendant de nombreuses années [11](#page=11).
#### 4.1.1 Logique combinatoire et séquentielle
Les circuits TTL sont la base de nombreuses implémentations de fonctions logiques combinatoires (portes ET, OU, NON, etc.) et séquentielles (bascules, registres, compteurs). Ils permettent de construire des circuits qui traitent des informations en fonction de leurs entrées actuelles (combinatoire) ou qui mémorisent des états précédents (séquentielle) [11](#page=11).
#### 4.1.2 Systèmes embarqués
Dans le domaine des systèmes embarqués, les circuits TTL jouent un rôle dans la réalisation de microcontrôleurs et de circuits de commande. Ils peuvent être utilisés pour interfacer des capteurs, piloter des actionneurs, ou gérer des tâches de contrôle spécifiques au sein d'un système plus vaste [11](#page=11).
> **Tip:** Bien que d'autres technologies comme CMOS soient plus répandues aujourd'hui pour de nouvelles conceptions, la compréhension des applications des circuits TTL est fondamentale pour appréhender l'évolution de l'électronique numérique et pour travailler avec des systèmes existants [11](#page=11).
#### 4.1.3 Exemples concrets
Les applications incluent, sans s'y limiter, la conception de :
* Microcontrôleurs [11](#page=11).
* Circuits de commande [11](#page=11).
* Affichages numériques
* Systèmes d'acquisition de données
* Périphériques informatiques anciens
> **Example:** Un exemple typique d'application séquentielle utilisant des TTL serait la construction d'un compteur décimal simple où chaque étape du comptage (0 à 9) est mémorisée et affichée, permettant ainsi de compter des événements discrets [11](#page=11).
---
## Erreurs courantes à éviter
- Révisez tous les sujets en profondeur avant les examens
- Portez attention aux formules et définitions clés
- Pratiquez avec les exemples fournis dans chaque section
- Ne mémorisez pas sans comprendre les concepts sous-jacents
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Transistor-Transistor Logic (TTL) | Une famille de circuits intégrés numériques qui utilisent des transistors bipolaires pour implémenter des fonctions logiques. Ils ont été parmi les premières technologies largement adoptées pour l'électronique numérique. |
| Transistor bipolaire | Un composant électronique à trois couches de matériau semi-conducteur dopé, utilisé comme amplificateur ou commutateur. Il possède deux jonctions entre trois couches. |
| NPN | Un type de transistor bipolaire où la couche centrale est de type P et les deux couches externes sont de type N. Le courant circule de l'émetteur vers le collecteur lorsque la base est positive par rapport à l'émetteur. |
| Résistance | Un composant électronique passif qui s'oppose au passage du courant électrique. Elle est utilisée dans les circuits TTL pour polariser les transistors et établir des niveaux de tension. |
| Diode | Un composant électronique qui permet au courant de circuler dans une seule direction. Dans les circuits TTL, elles peuvent être utilisées pour certaines fonctions de protection ou de détection. |
| Porte logique NAND | Une porte logique qui produit une sortie FAUX (0) seulement si toutes ses entrées sont VRAIES (1). Si au moins une entrée est FAUSSE, la sortie est VRAIE. |
| Niveau logique bas (LOW) | Dans la technologie TTL, cela représente généralement une plage de tension comprise entre 0V et environ 0,8V, indiquant un état logique "0". |
| Niveau logique haut (HIGH) | Dans la technologie TTL, cela représente généralement une plage de tension comprise entre 2,4V et 5V, indiquant un état logique "1". |
| Temps de propagation | Le délai entre le moment où une entrée d'un circuit logique change d'état et le moment où la sortie reflète ce changement. Dans le TTL, il est généralement de quelques nanosecondes. |
| Consommation de courant | La quantité d'énergie électrique qu'un circuit consomme lorsqu'il est en fonctionnement. Le TTL peut avoir une consommation plus élevée que d'autres technologies comme le CMOS. |
| CMOS (Complementary Metal-Oxide-Semiconductor) | Une technologie de fabrication de circuits intégrés largement utilisée pour les microprocesseurs et autres puces numériques. Elle est connue pour sa faible consommation d'énergie. |
| Immunité au bruit | La capacité d'un circuit électronique à fonctionner correctement en présence de signaux indésirables ou de perturbations électriques. Le CMOS a généralement une meilleure immunité au bruit que le TTL. |
Cover
SGDMat_08_G.pdf
Summary
# Magnetisch gedrag van materialen
Dit onderwerp verkent de fundamentele principes achter hoe materialen reageren op magnetische velden, van de basiselementen van magnetische velden en flux tot de verschillende categoriseringen van magnetisch gedrag.
### 1.1 Elektromagnetisme: De oorsprong van magnetische velden
Magnetische velden worden gegenereerd door bewegende ladingen. Dit kan zowel een elektrische stroom in een geleidende draad zijn als de beweging van een elektron binnen een atoom [11](#page=11).
* **Magnetische veldsterkte ($H$)**: Dit is een maat voor de intensiteit van een magnetisch veld en wordt uitgedrukt in Ampère per meter (A/m). Voor een lange, rechte geleider met stroom $I$ op afstand $r$ geldt [11](#page=11):
$$H = \frac{I}{2\pi r}$$ [11](#page=11).
* **Magnetische fluxdichtheid ($B$)**: Ook wel magnetische inductie genoemd, dit vertegenwoordigt het magnetische veld dat door een medium wordt opgewekt door een magnetische veldsterkte. De eenheid is Weber per vierkante meter (Wb/m²) of Tesla (T) [11](#page=11).
* **Magnetische permeabiliteit ($\mu$)**: Dit is een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal magnetische flux geleidt. De relatie tussen magnetische fluxdichtheid en magnetische veldsterkte wordt gegeven door [12](#page=12):
$$B = \mu H$$ [11](#page=11).
### 1.2 Magnetisme in spoelen en materialen
In een spoel, met name met een kern van een bepaald materiaal, kan de magnetische flux aanzienlijk wijzigen [12](#page=12).
* **Magnetische permeabiliteit van de vrije ruimte ($\mu_0$)**: Dit is een fundamentele constante die de permeabiliteit van vacuüm beschrijft en is gelijk aan $4\pi \times 10^{-7}$ T m/A [12](#page=12).
* **Magnetische fluxdichtheid in een spoel**: Voor een spoel met $N$ windingen, lengte $L$ en stroom $I$, is de fluxdichtheid in vacuüm:
$$B_0 = \mu_0 H = \mu_0 \frac{NI}{L}$$ [12](#page=12).
Wanneer de spoel een materiaal met permeabiliteit $\mu$ als kern heeft, wordt de fluxdichtheid:
$$B = \mu H = \mu \frac{NI}{L}$$ [12](#page=12).
### 1.3 Eigenschappen van materialen in een magnetisch veld
Materialen kunnen de magnetische flux in de spoel veranderen. Dit wordt gekenmerkt door verschillende parameters [14](#page=14):
* **Relatieve magnetische permeabiliteit ($\mu_r$)**: Dit is de verhouding tussen de permeabiliteit van het materiaal en die van vacuüm:
$$B = \mu H = \mu_r \mu_0 H$$ [14](#page=14).
Hierbij is $\mu_r$ een dimensieloze grootheid.
* **Magnetisatie ($M$)**: Dit is de magnetische dipoolmoment per volume-eenheid van het materiaal. Het kan ook worden uitgedrukt als [14](#page=14):
$$B = B_0 + \mu_0 M$$ [14](#page=14).
waarbij $B_0$ de fluxdichtheid in vacuüm is.
* **Magnetische susceptibiliteit ($\chi_m$)**: Dit is een dimensieloze maat voor de mate waarin een materiaal gemagnetiseerd kan worden in reactie op een extern magnetisch veld. Het verband is [14](#page=14):
$$M = \frac{B}{\mu_0} - H = (\mu_r - 1) H = \chi_m H$$ [14](#page=14).
### 1.4 Categorieën van magnetisme
Materialen worden geclassificeerd op basis van hun magnetische gedrag, voornamelijk bepaald door de magnetische susceptibiliteit en het al dan niet aanwezig zijn van een permanent magnetisch moment op atomaire schaal [15](#page=15) [17](#page=17).
#### 1.4.1 Diamagnetisme
* **Kenmerken**: Diamagnetische materialen hebben geen permanent magnetisch moment op atoomniveau. Wanneer ze aan een extern magnetisch veld worden blootgesteld, wordt de beweging van de elektronen verstoord, wat een geïnduceerd magnetisch moment opwekt dat *tegengesteld* is aan het aangelegde veld [17](#page=17) [18](#page=18).
* **Effect**: Dit effect is over het algemeen zwak [18](#page=18).
* **Parameters**:
* $\mu_r$ is iets kleiner dan 1 [18](#page=18).
* $M$ is licht negatief [18](#page=18).
* $\chi_m$ is typisch van de orde $-10^{-5}$ [18](#page=18).
* **Voorbeelden**: Helium, diamant, plexiglas (PMMA), koper [15](#page=15).
#### 1.4.2 Paramagnetisme
* **Kenmerken**: Bij paramagnetische materialen hebben de atomen wel een permanent magnetisch moment. In afwezigheid van een extern veld zijn deze momenten willekeurig georiënteerd. Onder invloed van een extern magnetisch veld richten de magnetische dipolen zich *in de richting* van het veld, waardoor het veld wordt versterkt [17](#page=17) [19](#page=19).
* **Effect**: Dit effect is ook relatief zwak [19](#page=19).
* **Parameters**:
* $\mu_r$ is iets groter dan 1 [19](#page=19).
* $M$ is licht positief [19](#page=19).
* $\chi_m$ varieert typisch van $10^{-5}$ tot $10^{-2}$ [19](#page=19).
* **Voorbeelden**: Lucht, aluminium [15](#page=15).
* **Gezamenlijk**: Diamagnetische en paramagnetische materialen worden doorgaans als niet-magnetisch beschouwd omdat hun permeabiliteit slechts beperkt wordt gewijzigd, en de magnetisatie verdwijnt zodra het externe veld wordt verwijderd [20](#page=20).
#### 1.4.3 Ferromagnetisme
* **Kenmerken**: Ferromagnetische materialen hebben grote magnetische momenten per atoom. Belangrijker nog, de atomen beïnvloeden elkaar sterk, waardoor de dipooloriëntatie van naburige atomen wordt beïnvloed. Dit leidt tot de vorming van magnetische "Weiss-domeinen" waarin de dipolen grotendeels parallel aan elkaar zijn georiënteerd. Dit gedrag is sterk afhankelijk van de ordening en kristalstructuur [17](#page=17) [21](#page=21).
* **Materialen**: Komt voornamelijk voor bij metalen zoals nikkel (Ni), kobalt (Co), en alfa-ijzer ($\alpha$-Fe), evenals legeringen zoals neodymium-ijzer-boor (NdFeB) [21](#page=21).
* **Magnetisatie**: Ferromagnetische materialen kunnen zeer hoge magnetisaties bereiken [22](#page=22).
#### 1.4.4 Magnetische hysteresis
Ferromagnetische materialen vertonen magnetische hysteresis, wat betekent dat hun magnetische toestand afhangt van hun magnetische geschiedenis [23](#page=23).
* **Verzadigingsmagnetisatie ($B_{sat}$)**: De maximale fluxdichtheid die een materiaal kan bereiken [23](#page=23).
* **Remanente magnetisatie**: Een permanente magnetisatie die achterblijft in het materiaal, zelfs wanneer het externe veld $H$ nul is [23](#page=23).
* **Coërcitief veld**: Een tegenwerkend magnetisch veld dat nodig is om de magnetisatie in het materiaal te verwijderen [23](#page=23).
#### 1.4.5 Zachte en harde magneten
Op basis van hysteresisgedrag worden materialen ingedeeld als:
* **Zachte magneten**: Hebben een lage coërcitiviteit en worden gemakkelijk gemagnetiseerd en gedemagnetiseerd. Toepassingen zijn transformatoren, elektromotoren en luidsprekers [24](#page=24).
* **Harde magneten**: Hebben een hoge coërcitiviteit en behouden hun magnetisme. Ze worden gebruikt in permanente magneten en magnetische opslagmedia [24](#page=24).
#### 1.4.6 Antiferromagnetisme en Ferrimagnetisme
* **Kenmerken**: Naast diamagnetisme, paramagnetisme en ferromagnetisme zijn er ook antiferromagnetische en ferrimagnetische materialen. Deze zijn vaak keramisch en bevatten verschillende elementen met verschillende magnetische dipolen. Bij ferrimagnetisme, zoals bij magnetiet ($Fe_3O_4$), richten de dipolen zich deels parallel en deels antiparallel, resulterend in een netto magnetisatie. Antiferromagnetisme daarentegen heeft perfect tegengesteld gerichte dipolen die elkaar volledig opheffen [15](#page=15) [26](#page=26).
### 1.5 Curie Temperatuur
* **Definitie**: De Curie temperatuur ($T_C$) is de temperatuur boven welke ferromagnetische, ferrimagnetische en antiferromagnetische materialen hun specifieke magnetische gedrag verliezen en zich gaan gedragen als paramagnetische materialen. De magnetische susceptibiliteit van ferromagnetische materialen neemt significant af boven de Curie temperatuur [15](#page=15) [28](#page=28).
> **Tip**: Begrijp het verschil tussen de magnetische veldsterkte ($H$) en de magnetische fluxdichtheid ($B$). $H$ wordt veroorzaakt door ladingen, terwijl $B$ de effectieve magnetische inductie is in een bepaald medium, sterk beïnvloed door de materiaaleigenschappen.
> **Tip**: De relatieve magnetische permeabiliteit ($\mu_r$) en de magnetische susceptibiliteit ($\chi_m$) zijn cruciale parameters om het magnetische gedrag van een materiaal te kwantificeren. Onthoud de relatie hiertussen: $\mu_r = \chi_m + 1$.
> **Voorbeeld**: Een kern van ijzer in een spoel met een magnetische veldsterkte $H$ zal een veel hogere magnetische fluxdichtheid $B$ produceren dan wanneer de spoel in vacuüm zou zijn, dankzij de hoge $\mu_r$ van ijzer [27](#page=27).
> **Oefening (zoals op pagina 16)**:
> Een stroom van 15,0 A gaat door een spoel van metaaldraad die 0,250 m lang is en 400 windingen heeft.
> (a) Wat is de grootte van de magnetische veldsterkte H?
> Voor een spoel (solenoïde) geldt de formule $H = \frac{NI}{L}$.
> $H = \frac{400 \times 15.0 \text{ A}}{0.250 \text{ m}} = 24000 \text{ A/m}$
> (b) Bereken de magnetisch flux B als de spoel in een vacuüm zit. De magnetische permeabiliteit van de vrije ruimte is $4\pi \times 10^{-7}$ T m/A.
> $B = \mu_0 H$
> $B = (4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (24000 \text{ A/m})$
> $B \approx 3.016 \times 10^{-2} \text{ T}$
> (De berekening op p. 16 is niet volledig aanwezig, dit is een uitwerking gebaseerd op de formules.) [16](#page=16).
---
# Diëlektrisch gedrag van materialen
Dit deel behandelt de reactie van materialen op een elektrisch veld, inclusief de mechanismen van polarisatie, hun frequentieafhankelijkheid en specifieke diëlektrische verschijnselen zoals piëzo-elektriciteit, pyro-elektriciteit en ferro-elektriciteit [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32).
### 2.1 Het principe van een diëlektricum
Een diëlektricum kan worden gezien als een isolator tussen twee geleidende platen, vergelijkbaar met een condensator. In de vrije ruimte is de permittiviteit $\varepsilon_0$, met een waarde van $8.85 \times 10^{-12}$ F/m. De verhouding tussen de permittiviteit van een materiaal en de permittiviteit van de vrije ruimte wordt de diëlektrische constante $\varepsilon_r$ genoemd. De capaciteit ($C$) van een condensator is gerelateerd aan deze waarden door de formule $C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{t}$, waarbij $A$ de oppervlakte van de platen is en $t$ de afstand tussen de platen. De spanning ($V$) over de platen is gelijk aan $Q/C$, en het elektrische veld ($E$) tussen de platen is $V/t$ [31](#page=31).
### 2.2 Polarisatie in materialen
Polarisatie verwijst naar de opbouw van ladingen binnen een materiaal als reactie op een extern elektrisch veld, wat leidt tot een verschuiving van lading binnen het rooster zonder dat er sprake is van geleiding. Er zijn verschillende polarisatiemechanismen te onderscheiden [32](#page=32):
* **Elektronenpolarisatie:** Hierbij wordt de elektronenwolk rond een atoom of molecuul vervormd [32](#page=32).
* **Ionische polarisatie:** Dit treedt op wanneer ionen binnen een kristalrooster verschuiven ten opzichte van elkaar [32](#page=32).
* **Dipoolpolarisatie:** Dit mechanisme is van toepassing op materialen met polaire moleculen, waarbij deze moleculen zich heroriënteren in de richting van het elektrische veld [32](#page=32).
* **Ruimteladingspolarisatie:** Dit is de verplaatsing van ladingen over grotere afstanden binnen het materiaal, bijvoorbeeld bij grensvlakken of defecten [32](#page=32).
> **Tip:** Hoewel er ladingsopbouw plaatsvindt, is er bij polarisatie geen sprake van netto elektrische geleiding door het materiaal [32](#page=32).
### 2.3 Gedrag onder wisselend elektrisch veld
Wanneer een materiaal wordt blootgesteld aan een wisselend elektrisch veld, treedt er een vertraging op in de polarisatiereactie van het materiaal. Dit fenomeen staat bekend als 'na-ijlen' of hysterese. Deze vertraging kan leiden tot energieverliezen, die worden gekwantificeerd door de dissipatiefactor $D$ en de verliesfactor $L$ [33](#page=33):
$D = \tan \delta$ [33](#page=33).
$L = \varepsilon_r \tan \delta$ [33](#page=33).
Hierin is $\delta$ de fasehoek tussen het aangelegde veld en de polarisatiereactie [33](#page=33).
### 2.4 Frequentieafhankelijkheid van polarisatie
De mate van polarisatie in een materiaal is sterk afhankelijk van de frequentie van het aangelegde elektrische veld. Over het algemeen neemt de polarisatie stapsgewijs af naarmate de frequentie toeneemt. In de overgangsgebieden tussen verschillende polarisatiemechanismen treedt er een faseverschuiving op en worden er energieverliezen gegenereerd. Deze verliezen kunnen leiden tot inwendige warmteontwikkeling in het materiaal [34](#page=34).
#### 2.4.1 Tabel van diëlektrische eigenschappen
De volgende tabel geeft een overzicht van de diëlektrische eigenschappen van verschillende materialen [35](#page=35):
| Materiaal | Diëlektrische constante ($\varepsilon_r$) | Diëlektrische sterkte (MV/m) | Dissipatiefactor ($\tan \delta$) | Verliesfactor ($\varepsilon_r \tan \delta$) |
| :--------------- | :-------------------------------------- | :--------------------------- | :------------------------------- | :--------------------------------------- |
| Lucht | 1.0006 | 3 | 0 | 0 |
| Water | 77 | 0.05 | 3.85 | - |
| Mica | 5-9 | 40-80 | 0.0001-0.0007 | 0.003 |
| Glas | 5.5-6 | 12-14 | 0.0144-0.0207 | 0.1 |
| TiO$_2$ | 10-40 | 2-12 | 0.001-0.01 | 0.15 |
| PF | 4-6 | 12-15 | 0.005-0.01 | 0.038 |
| PA | 6.6 | 6.8-9.6 | 20-35 | 0.089-0.235 |
| HDPE | 2.2-2.4 | 18-20 | 0.0004-0.0006 | 0.001 |
| PTFE | 2-2.2 | 18-20 | 0.0002 | 0.0004 |
#### 2.4.2 Toepassingen van diëlektrisch gedrag
Het diëlektrisch gedrag van materialen vindt diverse toepassingen [36](#page=36):
* **Condensatoren:** Materialen met een hoge diëlektrische constante worden gebruikt in condensatoren voor energieopslag en het stabiliseren van stroomkringen. Ze kunnen ook dienen om lage frequenties te blokkeren [36](#page=36).
* **Sensoren en actuatoren:** Deze toepassingen maken gebruik van specifieke diëlektrische effecten om mechanische beweging om te zetten in elektrische signalen, of vice versa [37](#page=37) [38](#page=38).
* **Inkjet printers:** In inkjet printers worden vaak materialen met specifieke diëlektrische eigenschappen gebruikt om de nauwkeurige plaatsing van inktdruppels te realiseren [37](#page=37).
* **Geheugentoepassingen:** Sommige diëlektrische materialen zijn cruciaal voor de werking van bijvoorbeeld RAM-geheugen [39](#page=39).
### 2.5 Specifieke diëlektrische verschijnselen
#### 2.5.1 Piëzo-elektrische materialen
Piëzo-elektrische materialen bezitten inwendige elektrische dipolen. Wanneer deze materialen mechanisch worden vervormd, verschuiven deze dipolen, wat resulteert in een ladingsherverdeling en een elektrische spanning. Dit principe wordt gebruikt in sensoren, actuatoren en inkjet printers [37](#page=37).
#### 2.5.2 Pyro-elektrische materialen
Pyro-elektrische materialen hebben ook inwendige elektrische dipolen. Wanneer de temperatuur van deze materialen verandert (opwarmen of afkoelen), verplaatsen de dipolen zich, wat leidt tot een verandering in de elektrische spanning. Dit effect wordt benut in temperatuursensoren [38](#page=38).
#### 2.5.3 Ferro-elektrische materialen
Bij ferro-elektrische materialen kunnen de elektrische dipolen in het rooster zich aligneren in specifieke gebieden, genaamd domeinen. Een bekend voorbeeld van een ferro-elektrisch materiaal is lood zirconaat titanaat (PZT), dat wordt toegepast in onder andere RAM-geheugen en supercondensatoren [39](#page=39).
> **Tip:** Ferro-elektriciteit is vergelijkbaar met ferromagnetisme; beide vertonen een spontane magnetisatie/polarisatie die kan worden omgekeerd door een extern veld [39](#page=39).
---
# Optische eigenschappen van materialen
Dit onderwerp onderzoekt de interactie van licht met materialen, inclusief breking en reflectie, en hoe materiaaleigenschappen zoals brekingsindex en oppervlakteafwerking het optische gedrag bepalen.
### 3.1 Licht en zijn eigenschappen
Licht wordt beschouwd als fotonen met energie $E = \frac{hc}{\lambda}$ waarbij $c$ de lichtsnelheid in vacuüm is, $h$ de constante van Planck en $\lambda$ de golflengte. De snelheid van licht in een vast materiaal wordt gegeven door $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}$ waar $\varepsilon_r$ de relatieve diëlektrische constante en $\mu_r$ de relatieve magnetische susceptibiliteit zijn. Voor veel materialen, vooral bij zichtbare frequenties, is $\mu_r \approx 1$, waardoor de snelheid vereenvoudigd wordt tot $v \approx \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}$ [41](#page=41).
### 3.2 Kleurmeting
Een colorimeter kan worden gebruikt om kleuren te kwantificeren met behulp van een LAB-kleurruimte. Hierbij staat $L$ voor helderheid, $a^*$ voor de rood-groene as (positief voor rood) en $b^*$ voor de geel-blauwe as (positief voor blauw) [42](#page=42).
### 3.3 Breking
Breking treedt op wanneer licht overgaat van het ene medium naar het andere met een verschillende brekingsindex. Hierbij verandert de hoek van het doordringende licht. De wet van Snellius beschrijft dit fenomeen: $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$ waarbij $n_1$ en $n_2$ de brekingsindices zijn van het eerste en tweede medium, en $\theta_1$ en $\theta_2$ de invalshoek en brekingshoek respectievelijk. De brekingsindex $n$ is gedefinieerd als de verhouding tussen de lichtsnelheid in vacuüm en de snelheid in het materiaal: $n = \frac{c}{v}$ [43](#page=43).
### 3.4 Reflectie
Reflectie van licht is onderworpen aan de wet van de terugkaatsing, waarbij de invalshoek gelijk is aan de reflectiehoek. De reflectiviteit ($R$) hangt af van de brekingsindices van de twee media en wordt gegeven door de volgende formule [44](#page=44):
$$R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2$$
[44](#page=44).
Daarnaast wordt de reflectie mede bepaald door de oppervlakteruwheid van het materiaal [44](#page=44).
### 3.5 Oppervlakteafwerking
De oppervlakteruwheid van een materiaal speelt een cruciale rol in hoe licht ermee interageert. Verschillende oppervlaktebehandelingen, zoals zandstralen of polijsten, kunnen het optische gedrag significant beïnvloeden. Een glad oppervlak zal doorgaans spiegelende reflectie vertonen, terwijl een ruw oppervlak diffuse reflectie veroorzaakt [45](#page=45).
### 3.6 Lichtinteractie met metalen
Wanneer licht op metalen valt, exciteren de fotonen de elektronen in het metaal, wat leidt tot absorptie. Deze geëxciteerde elektronen vallen vervolgens terug naar hun oorspronkelijke energieniveau, waarbij ze het licht reflecteren. De indringdiepte van licht in metalen is relatief klein, typisch rond de 0.1 micrometer [46](#page=46).
### 3.7 Licht in amorfe en kristallijne stoffen
De manier waarop licht zich voortplant en interageert met materialen verschilt tussen amorfe en kristallijne structuren. Kristallijne materialen hebben een geordende atomaire structuur die kan leiden tot specifieke optische eigenschappen zoals dubbele breking, terwijl amorfe materialen een willekeurige structuur hebben [47](#page=47).
### 3.8 Oefening
**Oefening:** Bereken de snelheid van licht in diamant met een diëlektrische constante van 5,5 bij frequenties binnen het zichtbaar licht bereik en een magnetische susceptibiliteit van -2,17 x 10$^{-5}$ [48](#page=48).
De snelheid van licht in een materiaal is $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}$. Gegeven $\varepsilon_r = 5,5$ en $\mu_r = 1 - \chi_m = 1 - (-2,17 \times 10^{-5}) \approx 1$ [41](#page=41).
Dus, $v \approx \frac{c}{\sqrt{5,5 \times 1}} \approx \frac{c}{\sqrt{5,5}}$ [48](#page=48).
Met $c \approx 3 \times 10^8$ m/s, is de snelheid $v \approx \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{5,5}} \approx 1,28 \times 10^8$ m/s [48](#page=48).
### 3.9 Reflectievraag
**Vraag:** Waarom mag je een vork niet in de magnetron doen, maar een glazen kom wel [49](#page=49)?
**Antwoord:** Metalen, zoals een vork, reflecteren magnetronstraling. Deze reflectie kan leiden tot vonkvorming en schade aan de magnetron. Glas daarentegen is transparant voor magnetronstraling en absorbeert slechts een klein deel ervan, waardoor het veilig is om te gebruiken [49](#page=49).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Magnetische veldsterkte (H) | Een vectorgrootheid die de sterkte en richting van een magnetisch veld beschrijft, uitgedrukt in Ampère per meter (A/m). Het vertegenwoordigt het vermogen van een magnetisch veld om magnetisatie in een materiaal te induceren. |
| Magnetische flux (B) | Ook wel magnetische inductie genoemd, deze vectorgrootheid beschrijft de dichtheid van magnetische veldlijnen die door een bepaald oppervlak gaan, uitgedrukt in Weber per vierkante meter (Wb/m²) of Tesla (T). |
| Magnetische permeabiliteit (µ) | Een maat voor het vermogen van een materiaal om een extern magnetisch veld te ondersteunen en de magnetische fluxdichtheid te beïnvloeden. Het wordt uitgedrukt in eenheden van permeabiliteit (bijv. T·m/A). De magnetische permeabiliteit van de vrije ruimte is µ₀. |
| Magnetische susceptibiliteit (χm) | Een dimensieloze grootheid die aangeeft hoe sterk een materiaal gemagnetiseerd wordt in reactie op een extern magnetisch veld. Een positieve susceptibiliteit duidt op paramagnetisme of ferromagnetisme, een negatieve op diamagnetisme. |
| Diamagnetisme | Een vorm van magnetisme die optreedt in alle materialen, waarbij het materiaal een zwak magnetisch veld genereert dat tegengesteld is aan het aangelegde externe veld. Dit resulteert in een lichte afstoting van magneten. |
| Paramagnetisme | Een vorm van magnetisme waarbij materialen een zwak magnetisch veld worden aangetrokken door een extern magnetisch veld. Dit wordt veroorzaakt door ongepaarde elektronen die bijdragen aan een netto magnetisch moment in de atomen. |
| Ferromagnetisme | Een sterke vorm van magnetisme die optreedt in materialen zoals ijzer, nikkel en kobalt, waarbij de magnetische dipolen van de atomen spontaan parallel aan elkaar uitlijnen, zelfs zonder extern veld, wat resulteert in permanente magneten. |
| Diëlektrische constante (εr) | Een dimensieloze factor die aangeeft hoeveel een materiaal de capaciteit van een condensator verhoogt vergeleken met een vacuüm. Het is gerelateerd aan de permittiviteit van het materiaal. |
| Polarisatie | Het proces waarbij positieve en negatieve ladingen binnen een materiaal enigszins van elkaar gescheiden worden als reactie op een aangelegd elektrisch veld, wat resulteert in een netto dipoolmoment. |
| Piëzo-elektrisch materiaal | Een materiaal dat een elektrische lading genereert wanneer het mechanisch wordt vervormd, en omgekeerd, vervormt wanneer er een elektrisch veld op wordt aangelegd. |
| Pyro-elektrisch materiaal | Een materiaal dat een elektrische polarisatie genereert als reactie op een temperatuurverandering. Dit resulteert in een oppervlaktelading die gemeten kan worden. |
| Ferro-elektrisch materiaal | Materialen die een spontane elektrische polarisatie vertonen die omkeerbaar is door een extern elektrisch veld, vergelijkbaar met ferromagnetische materialen met hun magnetische polarisatie. |
| Brekingsindex (n) | Een dimensieloze grootheid die beschrijft hoe snel licht door een medium beweegt ten opzichte van de lichtsnelheid in vacuüm. Het bepaalt ook de mate van breking (verandering van richting) van licht bij het passeren van de grens tussen twee media. |
| Reflectiviteit (R) | De verhouding van de hoeveelheid gereflecteerd licht tot de hoeveelheid invallend licht op een oppervlak. Het is afhankelijk van de optische eigenschappen van het materiaal en de invalshoek van het licht. |
Cover
Signalen_en_Systemen_Ch2_notities.pdf
Summary
# Introductie tot lineaire tijds-invariante systemen
Dit gedeelte introduceert systemen als wiskundige modellen die de relatie tussen input en output weergeven, met een specifieke focus op lineaire tijds-invariante (LTI) systemen en hun kerncomponenten.
### 1.1 Het concept van een systeem
Een systeem kan worden beschouwd als een wiskundig model dat het verband tussen de ingang (input) en de uitgang (output) van een fysisch proces weergeeft. De transformatie van de ingang $x(t)$ naar de uitgang $y(t)$ wordt aangeduid met de operator $T$, zodat $y(t) = Tx(t)$ [3](#page=3).
#### 1.1.1 Terminologie voor systeemcomponenten
De volgende termen worden gebruikt om de verschillende delen van een systeem te beschrijven:
* **Ingang:** Ook bekend als input, excitatie [3](#page=3).
* **Uitgang:** Ook bekend als output, antwoord, responsie [3](#page=3).
### 1.2 Lineaire tijds-invariante (LTI) systemen
Een lineair tijds-invariant (LTI) systeem is een type systeem dat voldoet aan de eigenschappen van lineariteit en tijdsínvariantie [6](#page=6).
#### 1.2.1 Lineaire systemen
Een systeem is lineair als het voldoet aan het superpositieprincipe, wat inhoudt dat de respons op een som van ingangen gelijk is aan de som van de responsen op elke afzonderlijke ingang. Wiskundig gezien, als $y_1(t) = Tx_1(t)$ en $y_2(t) = Tx_2(t)$, dan geldt voor een lineair systeem dat $T(a x_1(t) + b x_2(t)) = a y_1(t) + b y_2(t)$ voor willekeurige constanten $a$ en $b$ [3](#page=3).
#### 1.2.2 Tijds-invariante systemen
Een systeem is tijds-invariant als een tijdsverschuiving van de ingang resulteert in een dezelfde tijdsverschuiving van de uitgang. Als $y(t) = Tx(t)$, dan geldt voor een tijds-invariant systeem dat $T(x(t-\tau)) = y(t-\tau)$ voor elke tijdsverschuiving $\tau$ [3](#page=3).
> **Tip:** In de context van LTI systemen betekent de eis van tijdsínvariantie dat de systeemkarakteristieken niet veranderen in de tijd.
### 1.3 Beschrijving van LTI systemen door differentiaalvergelijkingen
LTI systemen kunnen vaak worden gemodelleerd met behulp van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten [13](#page=13) [5](#page=5).
#### 1.3.1 Algemene N-de-orde lineaire differentiaalvergelijking
Een algemene N-de-orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten beschrijft de relatie tussen de ingang $x(t)$ en de uitgang $y(t)$ van een LTI systeem als volgt [13](#page=13):
$$a_N \frac{d^N y(t)}{dt^N} + a_{N-1} \frac{d^{N-1} y(t)}{dt^{N-1}} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_M \frac{d^M x(t)}{dt^M} + b_{M-1} \frac{d^{M-1} x(t)}{dt^{M-1}} + \dots + b_1 \frac{dx(t)}{dt} + b_0 x(t)$$
Hierbij zijn $a_i$ en $b_j$ constante coëfficiënten [13](#page=13).
#### 1.3.2 Oplossingen van differentiaalvergelijkingen
De algemene oplossing $y(t)$ van zo'n differentiaalvergelijking bestaat uit de som van de homogene oplossing $y_h(t)$ en de particuliere oplossing $y_p(t)$ [13](#page=13):
$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$
* **Homogene oplossing ($y_h(t)$):** Dit deel beschrijft het transient gedrag van het systeem en wordt bepaald door de eigen frequenties van het systeem, afhankelijk van de karakteristieke vergelijking. De oplossing wordt bepaald door de N randvoorwaarden [13](#page=13).
* **Particuliere oplossing ($y_p(t)$):** Dit deel beschrijft het regimegedrag van het systeem en is afhankelijk van de ingangssignaal $x(t)$ [13](#page=13).
> **Voorbeeld:** Het opladen van een condensator kan worden gemodelleerd door een eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking [13](#page=13) [6](#page=6).
### 1.4 Impulsrespons van een LTI systeem
De respons van een continu-tijd LTI systeem op een Dirac-deltafunctie $\delta(t)$ als ingang wordt de impulsrespons, aangeduid met $h(t)$, genoemd. De impulsrespons kenmerkt volledig het LTI systeem [16](#page=16).
Als de ingang $x(t) = \delta(t)$, dan is de uitgang $y(t) = h(t)$ [16](#page=16).
$$x(t) = \delta(t) \quad \xrightarrow{T} \quad y(t) = h(t)$$
### 1.5 Eigenschappen van LTI systemen
De impulsrespons $h(t)$ (of de systeemrespons $s(t)$) van een LTI systeem kan worden gebruikt om belangrijke eigenschappen van het systeem te bepalen, zoals geheugen of geheugenloosheid, causaliteit en stabiliteit. Deze eigenschappen worden verder uitgediept in sectie 2.3 van het document [35](#page=35).
> **Voorbeeld:** De impulsrespons $h(t)$ wordt gegeven door de transformatie van de Dirac-impuls $\delta(t)$ [16](#page=16).
>
> $$h(t) = T\delta(t)$$
---
# Systemen beschreven door differentiaalvergelijkingen
Dit gedeelte behandelt de modellering van Lineaire Tijdsinvariante (LTI) systemen aan de hand van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten, inclusief diverse praktische voorbeelden.
### 2.1 Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten
LTI-systemen kunnen algemeen beschreven worden door een $N$-de-orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. Deze vergelijkingen relateren de afgeleiden van de respons aan de afgeleiden van de excitatie (input) van het systeem [4](#page=4).
De algemene vorm van zo'n differentiaalvergelijking is:
$$a_N \frac{d^N y(t)}{dt^N} + a_{N-1} \frac{d^{N-1} y(t)}{dt^{N-1}} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_M \frac{d^M x(t)}{dt^M} + b_{M-1} \frac{d^{M-1} x(t)}{dt^{M-1}} + \dots + b_1 \frac{dx(t)}{dt} + b_0 x(t)$$
waarbij $y(t)$ de respons (output) is, $x(t)$ de excitatie (input) is, en $a_i$ en $b_j$ constante coëfficiënten zijn .
#### 2.1.1 Oplossing van differentiaalvergelijkingen
De algemene oplossing van een dergelijke differentiaalvergelijking wordt gevormd door de som van de homogene oplossing $y_h(t)$ en de particuliere oplossing $y_p(t)$. Dit geldt onder bepaalde randvoorwaarden .
* **Homogene oplossing ($y_h(t)$):** Beschrijft het gedrag van het systeem zonder externe input (wanneer de rechterkant van de vergelijking nul is). Dit deel wordt ook wel het 'transientgedrag' of 'overgangsgedrag' genoemd .
* **Particuliere oplossing ($y_p(t)$):** Beschrijft het gedrag van het systeem als reactie op de specifieke input $x(t)$. Dit deel wordt ook wel het 'regimegedrag' genoemd .
#### 2.1.2 Componenten van de totale respons
De totale respons $y(t)$ van een LTI-systeem kan, afhankelijk van de discipline, op verschillende manieren worden ontleed :
1. **Overgangsgedrag tgv de start/wijziging van de excitatie:** Dit is het dynamische gedrag dat optreedt wanneer de input $x(t)$ wordt gestart of gewijzigd .
2. **Overgangsgedrag tgv beginvoorwaarden die niet nul zijn:** Dit is het gedrag dat voortkomt uit de initiële toestand van het systeem op $t=0$. Dit wordt ook wel de 'nulinvoerrespons' ($y_{zi}(t)$) genoemd .
3. **Regimegedrag:** Het gedrag van het systeem op lange termijn, wanneer de invloed van de initiële condities en dynamische opstart is uitgedoofd. Dit wordt ook wel de 'nultoestandrespons' ($y_{zs}(t)$) genoemd, welke deels het overgangsgedrag tgv de start/wijziging van de excitatie omvat .
> **Tip:** Het is belangrijk om de verschillende terminologieën (wiskunde, technisch, systeemtheorie) te herkennen, aangezien ze naar dezelfde fysieke verschijnselen verwijzen .
### 2.2 Voorbeelden van LTI-systemen gemodelleerd door differentiaalvergelijkingen
#### 2.2.1 Voorbeeld 1: Opladen van een condensator
Het opladen van een condensator is een klassiek voorbeeld van een LTI-systeem dat beschreven kan worden door een eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking.
De relatie tussen de ingangsspanning $x(t)$ (bijvoorbeeld de spanning van een bron) en de uitgangsspanning $y(t)$ over de condensator kan gemodelleerd worden als:
$$\frac{dy(t)}{dt} + \frac{1}{RC} y(t) = \frac{1}{RC} x(t)$$
Hierin is $R$ de weerstand en $C$ de capaciteit [14](#page=14) [15](#page=15).
> **Voorbeeld:** Als de input $x(t)$ een constante spanning is, zal de spanning over de condensator $y(t)$ exponentieel toenemen naar deze constante waarde .
#### 2.2.2 Voorbeeld 2: Vullen van een emmer
Het vullen van een emmer illustreert hoe een systeem met een volumeverandering gemodelleerd kan worden. De oppervlakte $A$ van de emmer is constant .
De relatie tussen het ingaande debiet $q(t)$ (input) en de waterhoogte $h(t)$ (output) kan als volgt worden weergegeven:
Het volume van het water in de emmer op tijd $t$ is $V(t) = A \cdot h(t)$ .
De verandering van het volume over tijd is $\frac{dV(t)}{dt} = A \frac{dh(t)}{dt}$ .
Het ingaande debiet is $q(t)$, dus $\frac{dV(t)}{dt} = q(t)$.
Hieruit volgt de differentiaalvergelijking:
$$A \frac{dh(t)}{dt} = q(t)$$
of herschreven met $y(t) = h(t)$ en $x(t) = q(t)$:
$$\frac{dy(t)}{dt} = \frac{1}{A} x(t)$$
Dit is een eerste-orde integratie-systeem .
> **Tip:** Dit kan vergeleken worden met de wet van Newton ($F=m \cdot a$), waarbij het debiet analoog is aan kracht en de hoogte aan positie/versnelling .
#### 2.2.3 Voorbeeld 3: Vullen van een emmer met een gat
Wanneer een emmer een gat heeft waardoor water wegvloeit, wordt het systeem complexer door de feedback (uitgaande debiet). Het uitgaande debiet is afhankelijk van de waterhoogte.
De verandering van het watervolume in de emmer wordt bepaald door het netto debiet:
$$\frac{dV(t)}{dt} = \text{debiet in} - \text{debiet uit}$$
Met $V(t) = A \cdot h(t)$, wordt dit:
$$A \frac{dh(t)}{dt} = q_{in}(t) - q_{uit}(h(t))$$
Als het uitgaande debiet, $q_{uit}$, evenredig is met de hoogte $h(t)$ (een vereenvoudiging, $q_{uit} \propto h(t)$), dan wordt de vergelijking:
$$A \frac{dh(t)}{dt} = q_{in}(t) - k \cdot h(t)$$
of met $y(t) = h(t)$ en $x(t) = q_{in}(t)$:
$$\frac{dy(t)}{dt} + \frac{k}{A} y(t) = \frac{1}{A} x(t)$$
Dit is opnieuw een eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking .
> **Analogie:**
> * De emmer werkt als een integrator (volume verandert met debiet).
> * Het gat in de emmer fungeert als een natuurlijk feedbackmechanisme, wat leidt tot een stabiliserend effect .
#### 2.2.4 Voorbeeld 4: Algemeen LTI-systeem met tweede-orde differentiaalvergelijking
Een continu-tijd LTI-systeem kan ook beschreven worden door een hogere-orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten.
Beschouw de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking:
$$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 2 \frac{dy(t)}{dt} + 3 y(t) = x(t)$$
Hierbij is $x(t)$ de input en $y(t)$ de output. Dit type vergelijking vindt men bijvoorbeeld bij mechanische systemen met massa, demping en veerconstanten, of elektrische circuits met spoelen, weerstanden en condensatoren .
---
# Respons en convolutie-integraal van continue-tijd LTI-systemen
Dit hoofdstuk introduceert de respons van continue-tijd Lineaire Tijdsinvariante (LTI) systemen en demonstreert hoe deze respons kan worden berekend met behulp van de convolutie-integraal, gebaseerd op de systeemimpulsresponsie en de input.
### 3.1 Definitie van impulsresponsie
De impulsresponsie, aangeduid met $h(t)$, is de uitgang van een LTI-systeem wanneer de input de Dirac-deltafunctie $\delta(t)$ is. Het fungeert als een fundamentele karakteristiek van het systeem, aangezien het, in combinatie met de input, de uitgang van het systeem volledig bepaalt [16](#page=16) [36](#page=36).
### 3.2 Representatie van een signaal als een gewogen som van impulsen
Elk continue-tijd signaal $x(t)$ kan worden voorgesteld als een oneindige gewogen som van Dirac-deltafuncties, waarbij de gewichten worden bepaald door de waarde van het signaal op dat specifieke tijdstip. Deze representatie vormt de basis voor de lineaire systeemtheorie. Mathematisch wordt dit uitgedrukt als [17](#page=17):
$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) d\tau$$ [17](#page=17).
### 3.3 De convolutie-integraal
Door gebruik te maken van de lineaire en tijdsinvariante eigenschappen van het systeem, kan de uitgang $y(t)$ van een LTI-systeem worden berekend door de input $x(t)$ te convolueren met de impulsresponsie $h(t)$. Dit proces wordt beschreven door de convolutie-integraal:
$$y(t) = T\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$ [17](#page=17) [18](#page=18).
Deze integraal wordt vaak gesymboliseerd als:
$$y(t) = x(t) \ast h(t)$$ [18](#page=18).
Het superpositieprincipe is hierbij cruciaal: de responsie op meerdere ingangssignalen tegelijk is de som van de individuele responsies [18](#page=18).
#### 3.3.1 Grafische interpretatie van de convolutie-integraal
De grafische interpretatie van de convolutie-integraal omvat de volgende stappen [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23):
1. Spiegel de impulsresponsie $h(\tau)$ om $h(-\tau)$ te verkrijgen.
2. Verschuif de gespiegelde responsie met $t$ om $h(t - \tau)$ te krijgen.
3. Vermenigvuldig de input $x(\tau)$ met de verschoven en gespiegelde responsie $h(t - \tau)$.
4. Integreer het product over alle waarden van $\tau$.
Deze stappen worden toegepast voor verschillende waarden van $t$ om de uitgang $y(t)$ te bepalen.
> **Tip:** Het visualiseren van de verschuiving en overlap van de signalen tijdens de convolutie is essentieel voor een goed begrip.
#### 3.3.2 Voorbeelden van convolutie-integraal berekening
**Voorbeeld 1:** Het berekenen van de convolutie van twee blokpulsen [24](#page=24) [25](#page=25) [26](#page=26).
Gegeven $x(t) = u(t)$ en $h(t) = u(t)$. De uitgang $y(t)$ wordt berekend via de convolutie-integraal.
De stapresponsie $s(t)$ is de uitgang van een LTI-systeem wanneer de input de eenheidsstapfunctie $u(t)$ is [34](#page=34).
$$s(t) = T\{u(t)\} = u(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) h(t - \tau) d\tau$$ [34](#page=34).
Dit kan ook worden geschreven als:
$$s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\lambda) d\lambda$$ [34](#page=34).
**Voorbeeld 2:** Schetsen van de output voor een specifieke input en impulsresponsie [27](#page=27) [28](#page=28) [29](#page=29).
Gegeven $x(t)$ en $h(t) = e^{-t}u(t)$. De convolutie $y(t) = x(t) \ast h(t)$ moet geschetst worden.
### 3.4 Eigenschappen van de convolutie-integraal
De convolutie-integraal bezit diverse belangrijke eigenschappen die de berekening en analyse van LTI-systemen vereenvoudigen [28](#page=28) [29](#page=29) [30](#page=30) [31](#page=31):
* **Commutatief:** De volgorde van convolutie heeft geen invloed op het resultaat.
$$y(t) = x(t) \ast h(t) = h(t) \ast x(t)$$ [29](#page=29) [30](#page=30).
* **Associatief:** De convolutie van meerdere systemen (of hun impulsresponsen) kan in elke volgorde worden uitgevoerd. Dit is nuttig voor het analyseren van cascaderingen van LTI-systemen.
$$x(t) \ast h_1(t) \ast h_2(t) = x(t) \ast (h_1(t) \ast h_2(t))$$ [30](#page=30) [31](#page=31).
De dubbele convolutie kan worden uitgedrukt als:
$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \int_{-\infty}^{\infty} h_1(\sigma - \tau) h_2(t - \sigma) d\sigma d\tau$$ [31](#page=31).
* **Distributief:** Convolutie verdeelt over optelling.
$$x(t) \ast (h_1(t) + h_2(t)) = x(t) \ast h_1(t) + x(t) \ast h_2(t)$$ [31](#page=31).
### 3.5 Periodieke convolutie
Wanneer zowel de input $x_1(t)$ als de responsie $x_2(t)$ periodiek zijn met periode $T_0$, divergeert de standaard convolutie-integraal. In dergelijke gevallen wordt de periodieke convolutie gedefinieerd om de uitgang te bepalen [32](#page=32).
### 3.6 Stapresponsie
De stapresponsie $s(t)$ is de uitgang van een LTI-systeem wanneer de input de eenheidsstapfunctie $u(t)$ is. Het is de nultoestandrespons op de eenheidsstapfunctie. De stapresponsie kan worden berekend met behulp van de convolutie-integraal [34](#page=34):
$$s(t) = T\{u(t)\} = u(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) h(t - \tau) d\tau$$ [34](#page=34).
Met behulp van de eigenschappen van de eenheidsstapfunctie kan dit ook worden geschreven als:
$$s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\lambda) d\lambda$$ [34](#page=34).
Verder geldt dat de afgeleide van de stapresponsie gelijk is aan de impulsresponsie:
$$h(t) = \frac{ds(t)}{dt}$$ [34](#page=34).
---
# Eigenschappen van continue-tijd LTI-systemen
Dit gedeelte behandelt de fundamentele eigenschappen van lineaire tijdsinvariante (LTI) systemen in continue tijd: geheugenloosheid, causaliteit en stabiliteit, en hoe deze gerelateerd zijn aan de impulsresponsie en stapresponsie van het systeem [35](#page=35).
### 4.1 Geheugenloosheid
Een systeem wordt als geheugenloos beschouwd als de uitgang op elk moment uitsluitend afhankelijk is van de ingang op datzelfde moment. Voor een LTI-systeem kan deze relatie worden uitgedrukt als [36](#page=36):
$y(t) = K \cdot x(t)$ [36](#page=36).
waarbij $K$ een constante is. De bijbehorende impulsresponsie van een dergelijk systeem is [36](#page=36):
$h(t) = K \cdot \delta(t)$ [36](#page=36).
Hieruit volgt dat een LTI-systeem geheugen heeft als de impulsresponsie $h(t_0) \neq 0$ voor een $t_0 \neq 0$ [36](#page=36).
> **Tip:** Een geheugenloos systeem reageert direct op de huidige ingangssignaal zonder invloed van eerdere of toekomstige ingangswaarden.
### 4.2 Causaliteit
Een systeem is causaal indien de uitgang $y(t_0)$ op tijdstip $t_0$ alleen afhankelijk is van de ingang voor tijdstippen $t \leq t_0$. Voor een causaal LTI-systeem geldt dat de impulsresponsie nul is voor alle negatieve tijden [36](#page=36):
$h(t) = 0 \quad \forall t < 0$ [36](#page=36).
De uitgang van een causaal LTI-systeem kan dan worden uitgedrukt met behulp van de convolutie-integraal, waarbij de integratiegrenzen worden aangepast om causaliteit te waarborgen:
$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t - \tau) d\tau = \int_{0}^{t} h(\tau) x(t - \tau) d\tau$ [36](#page=36).
of, door gebruik te maken van de commutativiteit van convolutie:
$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau = \int_{0}^{t} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$ [36](#page=36).
#### 4.2.1 Causale en anticausale signalen
Een signaal $x(t)$ is causaal indien het nul is voor alle negatieve tijden:
$x(t) = 0 \quad \forall t < 0$ [37](#page=37).
Een signaal $x(t)$ is anticausaal indien het nul is voor alle positieve tijden:
$x(t) = 0 \quad \forall t > 0$ [37](#page=37).
Wanneer zowel het systeem als het ingangssignaal causaal zijn, vereenvoudigt de convolutie-integraal tot:
$y(t) = \int_{0}^{t} h(\tau) x(t - \tau) d\tau$ [37](#page=37).
of
$y(t) = \int_{0}^{t} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$ [37](#page=37).
> **Tip:** Causaliteit is een fysiek realistische eigenschap van systemen, omdat het impliceert dat een systeem niet kan reageren op gebeurtenissen in de toekomst.
### 4.3 Stabiliteit
Een systeem wordt als stabiel beschouwd indien een begrensde input resulteert in een begrensde output (Bounded Input – Bounded Output, BIBO). Voor een LTI-systeem is dit equivalent aan de eis dat de impulsresponsie absoluut integreerbaar is over het gehele tijdsdomein [37](#page=37):
$\int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)| d\tau < \infty$ [37](#page=37).
> **Tip:** Stabiliteit is cruciaal voor de betrouwbaarheid van een systeem. Een instabiel systeem kan onvoorspelbaar en potentieel gevaarlijk gedrag vertonen, zelfs bij kleine ingangssignalen.
---
# Eigenfuncties van continue-tijd LTI-systemen
Complexe exponentiële signalen vormen de basis voor de Laplace- en Fouriertransformaties en fungeren als eigenfuncties van continue-tijd LTI-systemen [38](#page=38).
### 5.1 Complexe exponentiële signalen als eigenfuncties
Een essentieel concept in de analyse van continue-tijd LTI-systemen is het gebruik van eigenfuncties. Deze functies, wanneer toegepast op een lineair tijdinvariant (LTI) systeem, resulteren in een geschaalde versie van de oorspronkelijke functie, waarbij de schaalfactor de eigenwaarde is [38](#page=38).
#### 5.1.1 De definitie van eigenfuncties en eigenwaarden
Voor een continu-tijd LTI-systeem $T$ geldt dat een signaal $x(t)$ een eigenfunctie is als de output van het systeem, $y(t) = T\{x(t)\}$, simpelweg een geschaalde versie van de input is:
$y(t) = T\{x(t)\} = \lambda x(t)$ [38](#page=38).
De functie $x(t)$ wordt de **eigenfunctie** genoemd, en de bijbehorende constante $\lambda$ is de **eigenwaarde** [38](#page=38).
#### 5.1.2 Complexe exponentiële signalen
Het signaal $x(t) = e^{st}$, waarbij $s$ een complexe variabele is, is een fundamentele eigenfunctie voor continue-tijd LTI-systemen. Dit signaal wordt algemeen uitgedrukt als [38](#page=38):
$x(t) = e^{st}$ [38](#page=38).
De algemene uitdrukking voor een complex exponentieel signaal wordt gegeven door:
$e^{at}$ [38](#page=38).
> **Tip:** De keuze van complexe exponentiële signalen als eigenfuncties is cruciaal omdat ze een wiskundig handzame basis vormen voor signalen die uitgebreid worden geanalyseerd met behulp van transformaties zoals de Laplace- en Fouriertransformatie.
#### 5.1.3 Rol in Laplace- en Fouriertransformaties
De eigenschap van complexe exponentiële signalen om als eigenfuncties van LTI-systemen te dienen, maakt ze tot de basis voor de Laplace- en Fouriertransformaties. Deze transformaties stellen ons in staat om signalen en systeemresponsen in het frequentiedomein te analyseren, wat vaak leidt tot vereenvoudigde berekeningen [38](#page=38).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Systeem | Een mathematisch model van een fysisch proces dat het verband tussen input en output weergeeft. Het transformeert een inputsignaal naar een outputsignaal. |
| Lineair Tijdsinvariant Systeem (LTI) | Een systeem waarvan de responsie op een som van ingangssignalen gelijk is aan de som van de responsies op de individuele ingangssignalen (lineariteit), en waarvan de tijdseigenschappen niet veranderen over de tijd (tijdsinvariantie). |
| Differentiaalvergelijking | Een vergelijking die een relatie beschrijft tussen een functie en haar afgeleiden. In de context van systeemtheorie worden deze gebruikt om de dynamiek van systemen te modelleren. |
| Excitatie | Het ingangssignaal dat aan een systeem wordt toegevoerd om een responsie te genereren. Dit wordt ook wel input of excitatie genoemd. |
| Respons | Het outputsignaal van een systeem als reactie op een inputsignaal. Dit wordt ook wel antwoord, responsie of output genoemd. |
| Impulsrespons | De respons van een LTI-systeem wanneer het wordt geëxciteerd door een Dirac-impuls. De impulsrespons $h(t)$ karakteriseert volledig het systeem. |
| Convolutie-integraal | Een wiskundige bewerking die wordt gebruikt om de output van een LTI-systeem te berekenen als reactie op een willekeurige input. De formule is $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$. |
| Geheugenloos systeem | Een systeem waarvan de uitgang op een bepaald tijdstip alleen afhangt van de input op datzelfde tijdstip. De impulsresponsie van een geheugenloos systeem is een constante maal de Dirac-deltafunctie. |
| Causaal systeem | Een systeem waarvan de output $y(t)$ op tijdstip $t$ alleen afhangt van de input op tijdstippen $t$ of eerder. Voor LTI-systemen geldt dat $h(t)=0$ voor $t < 0$. |
| Stabiel systeem (BIBO) | Een systeem is stabiel als een begrensde input resulteert in een begrensde output. Voor LTI-systemen is dit equivalent aan het absoluut integreerbaar zijn van de impulsresponsie: $\int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)| d\tau < \infty$. |
| Eigenfunctie | Een functie die, wanneer toegepast op een lineaire operator, een veelvoud van zichzelf oplevert. Voor continue-tijd LTI-systemen zijn complexe exponentiële signalen, $x(t) = e^{st}$, eigenfuncties. |
| Eigenwaarde | De factor waarmee een eigenfunctie wordt vermenigvuldigd nadat deze door een lineaire operator is gegaan. Voor een LTI-systeem en een complexe exponentiële input $e^{st}$ is de eigenwaarde de waarde van de impulsresponsie op de frequentie $s$, $h(s)$. |
| Regimegedrag | Het langetermijngedrag van de respons van een systeem, nadat eventuele transiënte effecten zijn uitgedoofd. Dit gedrag wordt bepaald door de input en de eigenschappen van het systeem. |
| Transiëntgedrag | Het gedrag van de respons van een systeem in de periode direct na de aanvang van een input of wijziging daarvan, alvorens het regimegedrag te bereiken. Dit kan veroorzaakt worden door de start van een excitatie of door niet-nul beginvoorwaarden. |
| Nulinvoerrespons | Het deel van de respons van een systeem dat wordt veroorzaakt door de beginvoorwaarden, wanneer de input nul is. |
| Nultoestandrespons | Het deel van de respons van een systeem dat wordt veroorzaakt door de input, wanneer de beginvoorwaarden nul zijn. |
Cover
Signalen_en_Systemen_Ch3_lesdocument_1-23.pdf
Summary
# Introductie tot LTI-systemen en het basisidee van transformatie
Dit gedeelte introduceert systemen, met name lineaire tijdsinvariante (LTI) systemen, en hoe deze werken met excitatie en respons, waarbij het belang van de impulsrespons en het transformeren van signalen wordt benadrukt [16](#page=16) [5](#page=5).
### 1.1 Systemen en hun eigenschappen
Een systeem wordt gedefinieerd als een mathematisch model van een fysisch proces dat het verband tussen in- en uitgang weergeeft. Dit betekent dat een systeem een ingangssignaal $x(t)$ transformeert naar een uitgangssignaal $y(t)$, wat wordt weergegeven als $y(t) = T\{x(t)\}$ [5](#page=5).
Een systeem wordt beschouwd als **lineair** indien het voldoet aan de volgende twee principes [5](#page=5):
* **Additiviteit (Superpositieprincipe):** Als een systeem input $x_1(t)$ produceert output $y_1(t)$ en input $x_2(t)$ produceert output $y_2(t)$, dan produceert de input $x_1(t) + x_2(t)$ de output $y_1(t) + y_2(t)$.
* **Homogeniteit:** Als een systeem input $x(t)$ produceert output $y(t)$, dan produceert de input $a \cdot x(t)$ de output $a \cdot y(t)$ voor elke constante $a$.
Een systeem is **tijdinvariant** als een tijdsverschuiving van het ingangssignaal resulteert in dezelfde tijdsverschuiving van het uitgangssignaal. Met andere woorden, als $T\{x(t)\} = y(t)$, dan geldt $T\{x(t - t_0)\} = y(t - t_0)$ voor elke tijdsverschuiving $t_0$ [5](#page=5).
Een systeem dat zowel lineair als tijdinvariant is, wordt een **LTI-systeem** genoemd. De werking van een LTI-systeem kan worden gekenmerkt door zijn reactie op de impuls, ook wel de **impulsrespons** genoemd [6](#page=6) [7](#page=7).
### 1.2 De impulsrespons van LTI-systemen
De impulsrespons, aangeduid met $h(t)$, is de uitgang van een LTI-systeem wanneer de ingang de Dirac-deltafunctie $\delta(t)$ is. Mathematisch wordt dit uitgedrukt als $h(t) = T\{\delta(t)\}$ [7](#page=7).
Het verband tussen de ingang $x(t)$ en de uitgang $y(t)$ van een LTI-systeem kan worden beschreven door de convolutie-integraal:
$$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$
Hierbij representeert $*$ de convolutie-operator. De convolutie van een ingangssignaal met de impulsrespons van het systeem geeft de uitgang van het systeem weer [7](#page=7).
> **Tip:** Begrijpen van de impulsrespons is cruciaal omdat deze de intrinsieke eigenschappen van het LTI-systeem volledig karakteriseert.
### 1.3 Complexe exponentiëlen als eigenfuncties van LTI-systemen
Een fundamenteel inzicht in LTI-systemen is dat complexe exponentiële functies van de vorm $x(t) = A \cdot e^{st}$ eigenfuncties zijn van deze systemen. Hierbij is $s$ een complexe variabele ($s = \sigma + j\omega$) en $A$ is een constante [10](#page=10) [11](#page=11) [9](#page=9).
Wanneer een complexe exponentiële functie als ingangssignaal aan een LTI-systeem wordt aangeboden, is de uitgang ook een complexe exponentiële functie van dezelfde vorm, maar vermenigvuldigd met een constante factor die afhangt van $s$ en de impulsrespons van het systeem. Dit wordt uitgedrukt als $y(t) = A \cdot e^{st} \cdot \lambda$, waarbij $\lambda$ de eigenwaarde is [10](#page=10).
De eigenwaarde $\lambda$ wordt bepaald door de Laplace-getransformeerde van de impulsrespons, $H(s)$, geëvalueerd op de waarde van $s$:
$$\lambda = H(s) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-st} dt$$
Dit betekent dat voor een ingang $x(t) = A \cdot e^{st}$, de uitgang $y(t) = A \cdot e^{st} \cdot H(s)$ is [10](#page=10).
### 1.4 De transformatie van het tijdsdomein naar het s-domein
Het basisidee om complexe exponentiëlen te gebruiken leidt tot het transformeren van signalen van het tijdsdomein naar het s-domein (ook wel het complexe frequentiedomein genoemd). Dit wordt mogelijk gemaakt doordat elk willekeurig signaal $x(t)$ kan worden voorgesteld als een (oneindige) som van complexe exponentiëlen van de vorm $A(s)e^{st}$, waarbij $s$ een complexe variabele is en $\omega$ varieert van $-\infty$ tot $+\infty$ [12](#page=12) [13](#page=13) [14](#page=14) [16](#page=16).
Formeel kan een signaal $x(t)$ worden geschreven als:
$$x(t) \approx \sum A(s) e^{st}$$
Als we een dergelijk signaal als ingang aan een LTI-systeem geven, wordt de uitgang:
$$y(t) = T\{x(t)\} \approx \sum T\{A(s)e^{st}\}$$
Omdat $e^{st}$ een eigenfunctie is, geldt:
$$y(t) \approx \sum A(s) H(s) e^{st}$$
Deze transformatie biedt aanzienlijke voordelen [16](#page=16):
* **Vereenvoudiging van bewerkingen:** Complexe bewerkingen in het tijdsdomein, zoals convolutie, differentiatie en integratie, worden omgezet in eenvoudigere algebraïsche bewerkingen in het s-domein [16](#page=16).
* **Oplossen van differentiaalvergelijkingen:** Moeilijke complexe differentiaalvergelijkingen die de systemen beschrijven, worden omgezet in algebraïsche vergelijkingen in het s-domein, wat hun oplossing aanzienlijk vereenvoudigt [16](#page=16).
> **Voorbeeld:** Convolutie in het tijdsdomein ($y(t) = x(t) * h(t)$) wordt in het s-domein een simpel product van de getransformeerde signalen ($Y(s) = X(s) \cdot H(s)$) [15](#page=15).
De transformatie van het tijdsdomein naar het s-domein maakt het analyseren en ontwerpen van LTI-systemen veel efficiënter [16](#page=16).
---
# De Laplace-transformatie en de inverse transformatie
De Laplace-transformatie is een krachtig wiskundig hulpmiddel dat continue-tijd signalen omzet van het tijdsdomein naar het s-domein, en de inverse transformatie maakt het mogelijk om terug te keren naar het tijdsdomein [17](#page=17) [20](#page=20).
### 3.2.1 De Laplace-transformatie
De Laplace-transformatie is gedefinieerd als een lineaire operator die een continu-tijd signaal $x(t)$ transformeert naar een functie $X(s)$ in het s-domein. Dit betekent dat we overgaan van een functie van tijd ($t$) naar een functie van een complexe variabele ($s$) [17](#page=17).
#### 3.2.1.1 Wiskundige definitie
De Laplace-transformatie van een signaal $x(t)$ wordt wiskundig uitgedrukt als een oneigenlijke integraal:
$$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$ [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19).
Hierin is $s$ een complexe variabele, die geschreven kan worden als $s = \sigma + j\omega$, waarbij $\sigma$ het reële deel en $\omega$ het imaginaire deel van $s$ voorstelt [17](#page=17).
#### 3.2.1.2 Het s-domein
De complexe variabele $s$ kan worden voorgesteld als een punt in een complex vlak. In dit vlak stelt de horizontale as (abscis) de reële waarde van $s$ ($\sigma$) voor, en de verticale as (ordinaat) de imaginaire waarde van $s$ ($j\omega$) [18](#page=18).
> **Tip:** Het begrijpen van het complexe s-vlak is cruciaal voor het analyseren van systemen met Laplace-transformaties, omdat de convergentie van de integraal afhangt van de locatie van $s$.
### 3.2.2 De inverse Laplace-transformatie
De inverse Laplace-transformatie is eveneens een lineaire operator die een functie $X(s)$ in het s-domein terug transformeert naar het oorspronkelijke tijdsdomein signaal $x(t)$ [20](#page=20).
#### 3.2.2.1 Wiskundige definitie
De inverse Laplace-transformatie wordt gedefinieerd met behulp van een integraal in het complexe vlak:
$$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma_0 - j\infty}^{\sigma_0 + j\infty} X(s) e^{st} ds$$ [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23).
Hierbij is $\sigma_0$ de reële waarde die bepaalt over welke lijn in het complexe vlak er geïntegreerd wordt. De integratie vindt plaats langs een verticale lijn in het complexe s-vlak [21](#page=21).
#### 3.2.2.2 Interpretatie van de inverse transformatie
$x(t)$ kan worden opgevat als een oneindige som van complex exponentiële termen met een vaste $\sigma$ en een variabele $\omega$. Het gewicht van elke complexe exponentiële term is gerelateerd aan $X(s)$ [22](#page=22).
> **Tip:** Twee complex geconjugeerde punten in het s-vlak vertegenwoordigen samen een sinusvormige component met een exponentieel veranderende amplitude. Hoe dichter deze punten bij de $j\omega$-as liggen, hoe langzamer de amplitude van het signaal verandert [23](#page=23).
> **Voorbeeld:** De transformatie maakt het mogelijk om differentiaalvergelijkingen in het tijdsdomein om te zetten naar algebraïsche vergelijkingen in het s-domein, wat de analyse en oplossing van lineaire tijdsinvariante systemen aanzienlijk vereenvoudigt [17](#page=17).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Systeem | Een wiskundig model dat het verband tussen de input en output van een fysisch proces beschrijft, waarbij het systeem de input transformeert naar de output. |
| Lineair Tijdsinvariant (LTI) systeem | Een systeem dat voldoet aan de principes van additiviteit, homogeniteit (lineariteit) en tijdsinvariantie, wat betekent dat de respons van het systeem niet verandert als het ingangssignaal wordt verschoven in de tijd. |
| Impulsrespons | Het antwoord van een LTI-systeem op een Dirac-delta-functie als input. De impulsrespons, vaak aangeduid met $h(t)$, bepaalt volledig het gedrag van het systeem en maakt het mogelijk de output voor elke willekeurige input te berekenen via convolutie. |
| Convolutie | Een wiskundige bewerking die de output van een LTI-systeem definieert als reactie op een inputsignaal. Het wordt uitgedrukt als een integraal die het ingangssignaal en de impulsrespons van het systeem combineert: $y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t - \tau)d\tau$. |
| Complexe exponentiële | Een signaal van de vorm $A \cdot e^{st}$, waarbij $s$ een complexe variabele is ($s = \sigma + j\omega$). Deze signalen zijn eigenschappen van LTI-systemen, wat betekent dat als de input een complexe exponentiële is, de output ook een complexe exponentiële is, maar met een geschaalde amplitude. |
| Eigenfunctie | Een functie die, wanneer toegepast als input op een lineaire operator, een output oplevert die een veelvoud is van de oorspronkelijke functie. Voor LTI-systemen zijn complexe exponentiële signalen eigenfuncties. |
| Eigenwaarde | De factor waarmee een eigenfunctie wordt vermenigvuldigd wanneer deze wordt toegepast op een lineaire operator. Voor LTI-systemen is de eigenwaarde, aangeduid met $\lambda$ of $H(s)$, gelijk aan de Laplace-transformatie van de impulsrespons $h(t)$. |
| s-domein | Het domein waar een signaal wordt voorgesteld na transformatie van het tijdsdomein met behulp van de Laplace-transformatie. In dit domein worden operaties zoals convolutie omgezet in algebraïsche vermenigvuldigingen. |
| Laplace-transformatie | Een integrale transformatie die een functie van de tijd $x(t)$ omzet naar een functie van een complexe variabele $s$, $X(s)$. De definitie is $X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}dt$. |
| Complexe variabele s | Een complexe getal van de vorm $s = \sigma + j\omega$, waar $\sigma$ het reële deel is (gerelateerd aan de demping of groei van een signaal) en $\omega$ het imaginaire deel is (gerelateerd aan de frequentie van het signaal). |
| Inverse Laplace-transformatie | Een integrale transformatie die een functie van de complexe variabele $s$, $X(s)$, terug omzet naar een functie van de tijd, $x(t)$. De definitie is $x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma_0 - j\infty}^{\sigma_0 + j\infty} X(s)e^{st}ds$. |
Cover
Signalen_en_Systemen_Ch3_lesdocument_67-115.pdf
Summary
# De inverse Laplace-transformatie
De inverse Laplace-transformatie stelt ons in staat om signalen vanuit het s-domein terug te reconstrueren naar het tijdsdomein [1](#page=1) [2](#page=2).
### 1.1 Methoden voor inverse transformatie
Er worden drie primaire methoden besproken voor het uitvoeren van de inverse Laplace-transformatie [1](#page=1).
#### 1.1.1 De integrale formule
Een fundamentele methode is het evalueren van een lijnintegraal in het complexe s-vlak. Gegeven een functie $X(s)$ met een Region of Convergence (ROC) $\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2$, kan het oorspronkelijke signaal $x(t)$ worden gereconstrueerd met de formule [1](#page=1):
$$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma_0 - j\infty}^{\sigma_0 + j\infty} X(s) e^{st} ds$$
waarbij $\sigma_0$ een waarde is zodanig dat $\sigma_1 < \sigma_0 < \sigma_2$ [1](#page=1).
#### 1.1.2 Gebruik van tabellen van Laplace-transformatie-paren
Een praktischere benadering is het benutten van reeds bekende Laplace-transformatie-paren. Als $X(s)$ kan worden uitgedrukt als een som van functies waarvan de Laplace-transformatie bekend is, kan de inverse transformatie ook via lineariteit worden toegepast [1](#page=1).
$$X(s) = X_1(s) + \dots + X_n(s)$$
waarbij de inverse transformatie dan is:
$$x(t) = x_1(t) + \dots + x_n(t)$$
#### 1.1.3 De methode van partieelbreuken
Wanneer $X(s)$ een rationale functie is, kan deze worden opgesplitst in partieelbreuken om de inverse transformatie te vergemaklijken. Deze methode kent twee hoofdgevallen: eigenlijke breuken en oneigenlijke breuken [2](#page=2) [8](#page=8).
##### 1.1.3.1 Eigenlijke of echte breuken
Bij een eigenlijke breuk is de graad van de teller kleiner dan de graad van de noemer [2](#page=2).
* **Enkelvoudige polen:** Als alle polen van $X(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$ enkelvoudig zijn, kan $X(s)$ worden geschreven als een som van termen van de vorm $\frac{c_k}{s - p_k}$. De coëfficiënten $c_k$ kunnen worden bepaald met de "methode van de onbekende coëfficiënten" of met de volgende formule [2](#page=2):
$$c_k = (s - p_k)X(s) \Big|_{s=p_k}$$ [2](#page=2) [3](#page=3).
**Voorbeeld:**
> Gegeven is $X(s) = \frac{2s + 4}{s^2 + 4s + 3}$ met $Re(s) > -1$ [2](#page=2) [3](#page=3).
> We kunnen dit herschrijven als:
> $$X(s) = \frac{2s + 4}{(s + 1)(s + 3)}$$ [3](#page=3).
> De partieelbreukopslag is:
> $$X(s) = \frac{c_1}{s + 1} + \frac{c_2}{s + 3}$$ [3](#page=3) [4](#page=4).
> Door de coëfficiënten te berekenen, vinden we:
> $$X(s) = \frac{1}{s + 1} + \frac{1}{s + 3}$$ [4](#page=4).
> De inverse transformatie is dan:
> $$x(t) = e^{-t} + e^{-3t}$$ voor $t \ge 0$ [4](#page=4).
* **Meervoudige polen:** Als $X(s)$ meervoudige polen bevat, worden er extra termen van de vorm $\frac{\lambda_i}{(s - p_i)^k}$ toegevoegd aan de partieelbreukopslag, tot aan de orde $r$ van de meervoudige pool. De algemene vorm voor een meervoudige pool $p_i$ van orde $r$ is [4](#page=4) [5](#page=5):
$$\frac{\lambda_1}{s - p_i} + \frac{\lambda_2}{(s - p_i)^2} + \dots + \frac{\lambda_r}{(s - p_i)^r}$$ [5](#page=5).
De coëfficiënten $\lambda_{r-k}$ kunnen worden bepaald met de "methode van de onbekende coëfficiënten" of via de volgende algemene formule voor $\lambda_{r-k}$:
$$\lambda_{r-k} = \frac{1}{k!} \frac{d^k}{ds^k} \left[ (s - p_i)^r X(s) \right \Big|_{s=p_i}$$ [5](#page=5).
**Voorbeeld:**
> Gegeven is $X(s) = \frac{s^2 + 2s + 5}{(s + 3)(s + 5)^2}$ met $Re(s) > -3$ [5](#page=5) [6](#page=6) [7](#page=7).
> De partieelbreukopslag is:
> $$X(s) = \frac{C_1}{s + 3} + \frac{\lambda_1}{s + 5} + \frac{\lambda_2}{(s + 5)^2}$$ [6](#page=6) [7](#page=7).
> Na berekening van de coëfficiënten vinden we:
> $$X(s) = \frac{2}{s + 3} - \frac{1}{s + 5} - \frac{10}{(s + 5)^2}$$ [7](#page=7).
> De inverse transformatie is dan:
> $$x(t) = 2e^{-3t} - e^{-5t} - 10te^{-5t}$$ voor $t \ge 0$ [7](#page=7).
##### 1.1.3.2 Oneigenlijke of onechte breuken
Als de graad van de teller ($m$) groter of gelijk is aan de graad van de noemer ($n$) in $X(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$, is de breuk oneigenlijk. In dit geval wordt $X(s)$ eerst gesplitst in een polynoom deel $Q(s)$ en een eigenlijke breuk $\frac{R(s)}{D(s)}$ door middel van polynoomdeling [8](#page=8).
$$X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = Q(s) + \frac{R(s)}{D(s)}$$
waarbij $Q(s)$ een polynoom is met graad $m-n$, en $\frac{R(s)}{D(s)}$ een eigenlijke breuk is met graad van $R(s)$ kleiner dan graad van $D(s)$ [8](#page=8).
**Voorbeeld:**
> Gegeven is $X(s) = \frac{s^3 + 2s^2 + 6s}{s(s+3)}$ met $Re(s) > 0$ [8](#page=8) [9](#page=9).
> Na polynoomdeling verkrijgen we:
> $$X(s) = s - 1 + \frac{3s + 6}{s(s+3)}$$ [9](#page=9).
> Het deel $\frac{3s + 6}{s(s+3)}$ is een eigenlijke breuk en kan verder worden opgesplitst in partieelbreuken. De inverse transformatie van $s-1$ is $\delta'(t) - \delta(t)$ (met de Dirac-delta functie en zijn afgeleide).
> **Tip:** Bij het toepassen van de methode van partieelbreuken is het cruciaal om de aard van de polen (enkelvoudig of meervoudig) correct te identificeren om de juiste vorm van de partieelbreukopslag te hanteren [4](#page=4) [5](#page=5).
---
# De systeemfunctie en karakterisatie van LTI-systemen
Dit deel introduceert de systeemfunctie (ook wel transferfunctie genoemd) en hoe deze gebruikt kan worden om lineaire tijdsinvariante (LTI) systemen te karakteriseren, inclusief de relatie met causaliteit en stabiliteit [10](#page=10).
### 2.1 De systeemfunctie
De systeemfunctie, ook wel transferfunctie of overdrachtsfunctie genoemd, is een concept dat de relatie tussen de input en output van een LTI-systeem beschrijft. In het tijdsdomein wordt deze relatie weergegeven door convolutie: $y(t) = x(t) * h(t)$, waarbij $h(t)$ de impulsrespons van het systeem is [10](#page=10).
In het s-domein (Laplace-transformatie) wordt deze relatie een eenvoudige vermenigvuldiging: $Y(s) = X(s) H(s)$, waarbij $H(s)$ de systeemfunctie is. Dit leidt tot de definitie van de systeemfunctie als de verhouding van de Laplace-getransformeerde output tot de Laplace-getransformeerde input, onder de aanname dat de initiële condities nul zijn [10](#page=10):
$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$ [10](#page=10) [13](#page=13).
De systeemfunctie $H(s)$ is een rationale functie die uitgedrukt kan worden als een breuk van polynomen in $s$:
$$H(s) = \frac{b_M s^M + b_{M-1} s^{M-1} + \dots + b_1 s + b_0}{a_N s^N + a_{N-1} s^{N-1} + \dots + a_1 s + a_0}$$ [13](#page=13).
Deze functie heeft $M$ nullen (de waarden van $s$ waarvoor $H(s) = 0$) en $N$ polen (de waarden van $s$ waarvoor $H(s)$ oneindig wordt). Het convergentiegebied (ROC - Region of Convergence) van $H(s)$ moet afgeleid worden uit extra systeemvereisten zoals causaliteit [13](#page=13).
> **Tip:** De systeemfunctie $H(s)$ biedt een krachtige manier om de eigenschappen van LTI-systemen te analyseren in het s-domein, wat vaak eenvoudiger is dan in het tijdsdomein.
### 2.2 Karakterisatie van LTI-systemen met de systeemfunctie
De systeemfunctie $H(s)$ kan gebruikt worden om belangrijke eigenschappen van LTI-systemen te bepalen, zoals causaliteit en stabiliteit [10](#page=10) [11](#page=11).
#### 2.2.1 Causaliteit
Een systeem is causaal als de output $y(t_0)$ op een bepaald tijdstip alleen afhangt van de input voor tijden $t \le t_0$. Voor een causaal LTI-systeem geldt dat de impulsrespons $h(t) = 0$ voor alle $t < 0$. De bijbehorende ROC van de systeemfunctie $H(s)$ moet van de vorm $\text{Re}(s) > \sigma_{\max}$ zijn [11](#page=11).
#### 2.2.2 Stabiliteit
Een systeem is stabiel (BIBO - Bounded Input, Bounded Output) als een eindige input resulteert in een eindige output. Dit is equivalent aan het vereiste dat de impulsresponsie van het systeem absoluut integreerbaar is [11](#page=11):
$$ \int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)| d\tau < \infty $$ [11](#page=11).
Voor de stabiliteit van een LTI-systeem moet het convergentiegebied (ROC) van de systeemfunctie $H(s)$ de imaginaire as (jω-as) bevatten [11](#page=11).
#### 2.2.3 Causaliteit en Stabiliteit tezamen
Een systeem dat zowel stabiel als causaal is, heeft een ROC van de vorm $\text{Re}(s) > \sigma_{\max}$, waarbij $\sigma_{\max} < 0$. Dit betekent dat alle polen van de systeemfunctie in het linkerhalfvlak liggen [12](#page=12).
### 2.3 Systeemfunctie van LTI-systemen beschreven door lineaire DV-vergelijkingen met constante coëfficiënten
Dynamische LTI-systemen in continue tijd worden vaak beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. De algemene vorm van zo'n vergelijking is:
$$ a_N \frac{d^N y(t)}{dt^N} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_M \frac{d^M x(t)}{dt^M} + \dots + b_1 \frac{dx(t)}{dt} + b_0 x(t) $$ [12](#page=12) [13](#page=13).
Hierin representeren de termen aan de linkerkant de respons en haar afgeleiden, en de termen aan de rechterkant de excitatie en haar afgeleiden. Door de Laplace-transformatie toe te passen op deze vergelijking (met nul initiële condities), kan de systeemfunctie $H(s)$ worden afgeleid als de verhouding van de getransformeerde output aan de getransformeerde input [12](#page=12) [13](#page=13):
$$H(s) = \frac{b_M s^M + \dots + b_1 s + b_0}{a_N s^N + \dots + a_1 s + a_0}$$ [12](#page=12) [13](#page=13).
> **Voorbeeld:** Beschouw het causale LTI-systeem gedefinieerd door de differentiaalvergelijking:
> $ \frac{dy(t)}{dt} + 4y(t) = 2x(t) $ [14](#page=14).
>
> 1. **Systeemfunctie:** Door de Laplace-transformatie toe te passen, krijgen we $sY(s) + 4Y(s) = 2X(s)$. Dus, $H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{2}{s+4}$. Het ROC voor dit causale systeem is $\text{Re}(s) > -4$ [14](#page=14).
> 2. **Impulsrespons:** De inverse Laplace-transformatie van $H(s)$ geeft de impulsresponsie: $h(t) = 2e^{-4t}u(t)$ [14](#page=14).
> 3. **Stapantwoord:** De input is $x(t) = u(t)$, dus $X(s) = \frac{1}{s}$. De output in het s-domein is $Y(s) = H(s)X(s) = \frac{2}{s+4} \cdot \frac{1}{s}$. Door partiële breuksplitsing kan de inverse Laplace-transformatie worden gevonden om het stapantwoord te verkrijgen.
### 2.4 Interconnectie van systemen
De systeemfunctie maakt het ook mogelijk om de totale systeemfunctie van gecombineerde systemen te bepalen [15](#page=15) [16](#page=16).
#### 2.4.1 Gecascadeerde systemen
Bij systemen die in serie geschakeld zijn (gecasadeerd), is de totale systeemfunctie het product van de individuele systeemfuncties:
$$H_{\text{totaal}}(s) = H_1(s) H_2(s) \dots H_n(s)$$ [15](#page=15).
#### 2.4.2 Parallelle systemen
Bij systemen die parallel geschakeld zijn, wordt de totale systeemfunctie verkregen door de individuele systeemfuncties op te tellen:
$$H_{\text{totaal}}(s) = H_1(s) + H_2(s) + \dots + H_n(s)$$ [15](#page=15).
#### 2.4.3 Systeem met feedback
Voor een systeem met feedback, zoals weergegeven in figuur met een controller $C(s)$, een systeem $H(s)$ en een sensor $\beta(s)$, kan de systeemfunctie worden afgeleid. Als de forward path systeemfunctie $F(s)$ en de feedback path systeemfunctie $B(s)$ worden gedefinieerd, dan is de systeemfunctie van het totale feedback systeem [16](#page=16):
$$H_{\text{feedback}}(s) = \frac{F(s)}{1 + F(s)B(s)}$$ [16](#page=16).
> **Tip:** Bij feedback systemen is het belangrijk om de verschillende paden correct te identificeren om de algemene systeemfunctie nauwkeurig te kunnen berekenen.
---
# De unilaterale Laplace-transformatie
Deze sectie introduceert de unilaterale Laplace-transformatie, legt de definitie en basiseigenschappen uit, benadrukt de verschillen met de bilaterale transformatie, en past deze toe op het analyseren van elektrische circuits.
### 3.1 Definitie
De unilaterale (of eenzijdige) Laplace-transformatie van een functie $x(t)$ wordt gedefinieerd als:
$$X_u(s) = \mathcal{L}_u\{x(t)\} = \int_{0^{-}}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$
[ ](#page=17) [17](#page=17).
In tegenstelling tot de bilaterale Laplace-transformatie, die integreert van $-\infty$ tot $\infty$:
$$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$
[ ](#page=17) [17](#page=17).
De unilaterale transformatie heeft een integratieondergrens van $0^{-}$, wat essentieel is om de Dirac-deltafunctie $\delta(t)$ en haar afgeleiden toe te laten. Ze negeert $x(t)$ voor alle $t < 0$ [17](#page=17).
Als $x(t)$ een rechtshandig signaal is, gedefinieerd als $x(t)u(t)$ (waarbij $u(t)$ de Heaviside step-functie is), dan is de unilaterale Laplace-transformatie gelijk aan de bilaterale. Wanneer $x(t)$ echter niet gelijk is aan $x(t)u(t)$, zullen de twee transformaties verschillen. Voor rechtshandige functies is het convergentiegebied (ROC) van de unilaterale transformatie Re(s) > $\sigma_{max}$ [17](#page=17).
### 3.2 Basiseigenschappen
De meeste eigenschappen en Laplace-paren van de unilaterale transformatie zijn dezelfde als die voor rechtshandige functies. De cruciale verschillen treden op bij de differentiatie en integratie in het tijdsdomein [18](#page=18).
#### 3.2.1 Differentiatie in het tijdsdomein
Bij differentiatie in het tijdsdomein introduceert de unilaterale Laplace-transformatie een extra term die gerelateerd is aan de beginwaarde van de functie op $t=0^{-}$ [18](#page=18).
| Functie in t-domein | Bilaterale Laplace-transformatie | Unilaterale Laplace-transformatie |
| :------------------ | :------------------------------- | :-------------------------------- |
| $x(t)$ | $X(s)$ | $X_u(s)$ |
| $\frac{dx(t)}{dt}$ | $sX(s)$ | $sX_u(s) - x(0^{-})$ |
[ ](#page=18) [18](#page=18).
#### 3.2.2 Integratie in het tijdsdomein
Bij integratie introduceert de unilaterale transformatie een term die gerelateerd is aan de integraal van de functie vanaf $0^{-}$ tot $t$, gedeeld door $s$ [18](#page=18).
| Functie in t-domein | Bilaterale Laplace-transformatie | Unilaterale Laplace-transformatie |
| :------------------------------- | :------------------------------- | :-------------------------------- |
| $x(t)$ | $X(s)$ | $X_u(s)$ |
| $\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$ | $\frac{1}{s}X(s)$ | $\frac{1}{s}X_u(s) - \frac{1}{s}\int_{-\infty}^{0^{-}} x(\tau) d\tau$ |
| $\int_{0^{-}}^{t} x(\tau) d\tau$ | | $\frac{1}{s}X_u(s)$ |
[ ](#page=18) [18](#page=18).
**Voorbeeld:**
Beschouw de spanning over een condensator $v_c(t)$ in een RC-circuit met een ingangsspanning $v_s(t)$ [19](#page=19).
De differentiaalvergelijking is:
$$ \frac{dv_c}{dt} + \frac{1}{RC}v_c(t) = \frac{1}{RC}v_s(t) $$
[ ](#page=19) [19](#page=19).
Wanneer de ingangsspanning op $t=0$ wordt ingeschakeld en constant is gelijk aan $V_{in}$, en de condensator initieel is opgeladen tot $V_0$ Volt:
De Laplace-getransformeerde vergelijking wordt:
$$ sV_{c,u}(s) - v_c(0^{-}) + \frac{1}{RC}V_{c,u}(s) = \frac{1}{RC}V_{in} $$
[ ](#page=21) [21](#page=21).
Met $v_c(0^{-}) = V_0$ en $v_s(t) = V_{in}u(t)$, wordt de uitkomst in het s-domein:
$$ V_{c,u}(s) = \frac{V_0}{s + \frac{1}{RC}} + \frac{V_{in}}{RC \cdot s(s + \frac{1}{RC})} $$
[ ](#page=20) [20](#page=20).
Na partiële breuksplitsing en inverse transformatie, verkrijgen we $v_c(t)$:
$$ v_c(t) = V_{in}u(t) + (V_0 - V_{in})e^{-\frac{1}{RC}t}u(t) $$
[ ](#page=20) [20](#page=20).
> **Tip:** Let op de notatie $v_c(0^{-})$ die de waarde net voor $t=0$ aangeeft, essentieel voor de unilaterale transformatie.
### 3.3 Systeemfunctie
Voor een lineair tijdinvariant (LTI) systeem, wordt de relatie tussen de uitgang $Y(s)$ en ingang $X(s)$ in het s-domein gegeven door de systeemfunctie $H(s)$:
$$ Y_u(s) = X_u(s) \cdot H(s) $$
[ ](#page=21) [21](#page=21).
De systeemfunctie, ook wel transferfunctie of overdrachtsfunctie genoemd, is gedefinieerd als de verhouding van de uitgangstransformatie tot de ingangstransformatie:
$$ H(s) = \frac{Y_u(s)}{X_u(s)} $$
[ ](#page=21) [21](#page=21).
> **Opm.:** Bij de unilaterale Laplace-transformatie wordt $H(s)$ gedefinieerd wanneer alle beginvoorwaarden gelijk zijn aan nul [21](#page=21).
### 3.4 Laplace circuitequivalent
De unilaterale Laplace-transformatie maakt het mogelijk om elektrische circuits te analyseren door de differentiaalvergelijkingen te vervangen door algebraïsche vergelijkingen in het s-domein. Dit resulteert in een "Laplace circuitequivalent", waarbij bronnen en componenten worden getransformeerd naar hun s-domein equivalenten [22](#page=22).
#### 3.4.1 Transformatie van signaalbronnen
* **Spanningsbron:** Een spanningsbron $v(t)$ in het t-domein wordt een spanningsbron $V(s)$ in het s-domein [22](#page=22).
* **Stroombron:** Een stroombron $i(t)$ in het t-domein wordt een stroombron $I(s)$ in het s-domein [22](#page=22).
#### 3.4.2 Transformatie van componenten
* **Weerstand:** Een weerstand $R$ heeft dezelfde waarde $R$ in zowel het t-domein als het s-domein, met de relatie $V(s) = R \cdot I(s)$ [23](#page=23).
* **Spoel:** Een spoel met inductie $L$ wordt in het s-domein een impedantie van $sL$. De spanningsrelatie is $V(s) = sL \cdot I(s) - L i(0^{-})$. Hierbij is $i(0^{-})$ de beginstroom door de spoel, wat de 'beginvoorwaarde' vertegenwoordigt [23](#page=23).
* **Condensator:** Een condensator met capaciteit $C$ wordt in het s-domein een impedantie van $\frac{1}{sC}$. De spanningsrelatie is $V(s) = \frac{1}{sC} \cdot I(s) + \frac{v(0^{-})}{s}$. Hierbij is $v(0^{-})$ de beginspanning over de condensator, wat de 'beginvoorwaarde' vertegenwoordigt [24](#page=24).
#### 3.4.3 Wetten in het s-domein
De Wetten van Kirchhoff gelden ook in het s-domein:
* **Spanningswet van Kirchhoff:** De som van de spanningen over een gesloten lus is nul: $\sum V_n(s) = 0$ [24](#page=24).
* **Stroomwet van Kirchhoff:** De som van de stromen die een knooppunt binnenkomen is gelijk aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten: $\sum I_{in}(s) = \sum I_{uit}(s)$ [24](#page=24).
Door deze transformaties kan een elektrisch circuit worden geanalyseerd door simpelweg de analoge circuitcomponenten in het s-domein te gebruiken, vergelijkbaar met hoe weerstanden, spanningsbronnen en stroombronnen worden behandeld. Dit maakt de analyse van complexe circuits, met name met betrekking tot de respons op initiële condities, aanzienlijk vereenvoudigd [22](#page=22).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Inverse Laplace-transformatie | De inverse Laplace-transformatie is een lineaire operator die een functie van het s-domein terug transformeert naar het tijdsdomein. Het stelt ons in staat om een signaal $x(t)$ te reconstrueren uit zijn Laplace-getransformeerde vorm $X(s)$. |
| S-vlak | Het complexe vlak waarin de Laplace-transformatie van een signaal wordt weergegeven, met de reële as ($\sigma$) en de imaginaire as ($j\omega$). Lijnintegralen in dit vlak worden gebruikt voor de inversie. |
| Region of Convergence (ROC) | Het gebied in het s-vlak waarvoor de Laplace-transformatie van een signaal convergeert. De ROC is essentieel voor het bepalen van de uniciteit van de inverse transformatie en voor het karakteriseren van systeem eigenschappen. |
| Partieelbreuksplitsing | Een wiskundige techniek om een rationale functie te ontbinden in een som van eenvoudigere breuken. Dit wordt vaak gebruikt bij de inverse Laplace-transformatie om complexe uitdrukkingen te vereenvoudigen. |
| Pool | Een waarde van $s$ waarvoor de noemer van een rationale functie gelijk is aan nul, waardoor de functie naar oneindig gaat. Polenniveaus (enkelvoudig, meervoudig) bepalen de vorm van de termen in de partieelbreuksplitsing. |
| Systeemfunctie (Transferfunctie) | De verhouding van de Laplace-transformatie van de output $Y(s)$ tot de Laplace-transformatie van de input $X(s)$ van een lineair tijdinvariant (LTI) systeem, aangenomen dat alle beginvoorwaarden nul zijn. Het karakteriseert de dynamische eigenschappen van het systeem. |
| Causaliteit | Een systeem is causaal als de output op een bepaald tijdstip alleen afhangt van de input op dat tijdstip of op eerdere tijdstippen. Voor LTI-systemen correleert dit met de ROC van de systeemfunctie. |
| Stabiliteit (BIBO) | Een systeem is BIBO-stabiel (Bounded Input – Bounded Output) als een begrensde input altijd resulteert in een begrensde output. Voor LTI-systemen betekent dit dat de ROC van de systeemfunctie de j$\omega$-as moet bevatten. |
| Impulsresponsie | De output van een systeem wanneer de input een Dirac-deltafunctie ($\delta(t)$) is. De Laplace-transformatie van de impulsresponsie is gelijk aan de systeemfunctie $H(s)$. |
| Unilaterale Laplace-transformatie | Een variant van de Laplace-transformatie waarbij de integratie begint bij $t=0$. Deze transformatie is vooral nuttig voor het analyseren van systemen met beginvoorwaarden en voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen. |
| Beginvoorwaarde | De waarde van een signaal of zijn afgeleiden op $t=0$. Bij de unilaterale Laplace-transformatie worden beginvoorwaarden expliciet meegenomen in de analyse van differentiaalvergelijkingen. |
| Laplace circuitequivalent | Een methode om elektrische circuits in het s-domein te analyseren door componenten en bronnen te vervangen door hun Laplace-equivalente impedanties of transformaties, waardoor circuitanalyse vergelijkbaar wordt met analyse in het tijdsdomein. |
| Impedantie | In het s-domein is impedantie de verhouding van de Laplace-transformatie van de spanning over een component tot de Laplace-transformatie van de stroom erdoorheen. Voor weerstanden, spoelen en condensatoren zijn dit $R$, $sL$ en $1/(sC)$ respectievelijk. |
Cover
syllabus-sysi-6stp.pdf
Summary
# Inleiding tot signalen en systemen
Hier is een gedetailleerd studieonderdeel over de inleiding tot signalen en systemen, gebaseerd op de verstrekte documentatie:
## 1. Inleiding tot signalen en systemen
Dit hoofdstuk introduceert de kernbegrippen van signalen en systemen door ze te beschouwen als functies, met nadruk op hun brede toepassingsgebieden en de wiskundige aanpak voor analyse [8](#page=8).
### 1.1 Algemeen toepassingsgebied van signalen en systemen
Signalen kunnen worden gezien als dragers van informatie, terwijl systemen signalen transformeren. De veelzijdigheid van deze concepten wordt geïllustreerd aan de hand van voorbeelden uit diverse disciplines, zoals mechanische structuren, scheikunde, economie, beeld- en geluidsanalyse, elektriciteit en informatica. Om deze verscheidenheid te bestuderen, wordt gebruik gemaakt van wiskundige analyse en lineaire algebra, waarbij het begrip functie centraal staat [8](#page=8) [9](#page=9).
### 1.2 Signalen als functies
Een signaal wordt gedefinieerd als een functie, waarbij het domein (definitiegebied) en het codomein (waardengebied) cruciaal zijn [9](#page=9).
#### 1.2.1 Voorbeelden van signalen en hun categorisering
* **Continue-tijdsignalen vs. discrete-tijdsignalen:**
* Een continu-tijdsignaal is gedefinieerd op een continue verzameling van de tijd, bijvoorbeeld een deelverzameling van $\mathbb{R}$ [9](#page=9).
* Een discrete-tijdsignaal is gedefinieerd op een discrete verzameling van de tijd, bijvoorbeeld een deelverzameling van $\mathbb{Z}$ [14](#page=14) [9](#page=9).
* **Analoge signalen vs. digitale signalen:**
* Een analoog signaal heeft een continu codomein (een deelverzameling van $\mathbb{R}$) [9](#page=9).
* Een digitaal signaal heeft zowel een discreet domein als een discreet codomein [10](#page=10).
#### 1.2.2 Specifieke voorbeelden van signalen
* **GELUID:** Een continu-tijdsignaal met een continu codomein dat luchtdrukwaarden representeert [9](#page=9).
* **Sampling:** Het proces waarbij een continu-tijdsignaal wordt benaderd door waarden op discrete tijdstippen te evalueren, resulterend in een discrete-tijdsignaal. De samplefrequentie (aantal samples per seconde) en de sampleperiode (tijdsduur tussen samples) zijn hierbij gerelateerd [10](#page=10).
* **Kwantiseren:** Het proces waarbij de waarden van een signaal worden beperkt tot een eindig aantal discrete waarden, wat leidt tot een digitaal signaal. Dit wordt ook wel "truncation" of afronding naar beneden genoemd [10](#page=10).
* **TOON:** Een bijzonder signaal dat een zuivere sinusgolf voorstelt: $T O O N(t):= P \sin(2\pi 440t)$ [11](#page=11).
* De parameters hierin zijn:
* $P$: Amplitude, bijvoorbeeld in hPa [11](#page=11).
* $440$: Frequentie in Hertz (Hz), wat staat voor cycli per seconde [11](#page=11).
* $\omega = 2\pi 440$: Hoekfrequentie of pulsatie in radialen per seconde [11](#page=11).
* Periodieke signalen zoals TOON hebben een periode (de duur van één cyclus) die gelijk is aan $1/\text{frequentie}$ [11](#page=11).
* Complexe exponentiëlen van de vorm $t \mapsto e^{i\omega t}$ worden gepromoot als elementaire deeltjes voor een gestroomlijndere theorie [11](#page=11).
* **BEELD:** Signalen met een 2-dimensionaal domein.
* **BEELD A4:** Een signaal met domein $ \times $ en een codomein dat grijswaarden in $[0, B_{\max}]$ representeert [12](#page=12) .
* **KLEUR BEELD:** Een signaal met een 3-dimensionaal codomein $(r, g, b)$ dat de intensiteiten van rood, groen en blauw voorstelt [12](#page=12).
* **COMPUTER BEELD:** Een digitaal beeld met een discreet domein (pixels) en een discreet codomein (bv. 256 grijswaarden met 8 bits) [12](#page=12).
* Sampling in beeldverwerking gebeurt zowel in de verticale als horizontale dimensie, wat resulteert in pixels [12](#page=12).
* **Signalen ad libitum:** Diverse andere voorbeelden, waaronder datasequenties waarbij het domein een ordening heeft maar niet per se de tijd representeert [12](#page=12) [13](#page=13).
### 1.3 Definitie van signalen
Een signaal $f: X \rightarrow Y$ wordt gekarakteriseerd door zijn domein $X$, codomein $Y$, en zijn voorschrift. De manieren om het voorschrift aan te duiden zijn [13](#page=13):
1. **Declaratie:** Een wiskundige uitdrukking voor $f(x)$, nuttig voor analyse [13](#page=13).
2. **Procedure:** Gebruikt voor synthese en systeem beschrijvingen, vaak in programmeercode [13](#page=13).
3. **De graf van een signaal:** De verzameling van alle paren $(x, y)$ waarbij $y=f(x)$. Een grafische voorstelling is een plot. Een graf met een eindig domein is een lijst of tabel [13](#page=13).
4. **Compositie of samenstelling:** Het combineren van functies, $f_2 \circ f_1: X \rightarrow Y'$, gedefinieerd als $(f_2 \circ f_1)(x) = f_2(f_1(x))$, indien $Y \subseteq X'$ [13](#page=13).
5. **Fysisch modelleren:** Het signaal wordt bepaald door een fysisch model, bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking [13](#page=13).
### 1.4 Signaalruimten
Een signaal $x$ is abstract gedefinieerd als een functie $x: \text{Dom} \rightarrow \text{CoDom}$ [14](#page=14).
* **Domein (Dom):** Kan $\mathbb{Z}$ (discrete tijd) of $\mathbb{R}$ (continue tijd) zijn [14](#page=14).
* **Codomein (CoDom):** In deze cursus is dit $\mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$, maar kan algemener een meerdimensionale vectorruimte zijn [14](#page=14).
De **signaalruimte** genoteerd als $[\text{Dom} \rightarrow \text{CoDom}]$, is de verzameling van alle functies $x: \text{Dom} \rightarrow \text{CoDom}$ met specifieke eigenschappen [14](#page=14).
* Signaalruimten zijn gesloten onder optelling en scalaire vermenigvuldiging, en vormen zelf een (reële of complexe) vectorruimte [14](#page=14).
* $(x + y)(t):= x(t) + y(t)$ [14](#page=14).
* $(ax)(t):= ax(t)$ [14](#page=14).
* **Complexe getallen:** $c = a + bi$, met $a = \text{Re } c$ (reëel deel) en $b = \text{Im } c$ (imaginair deel) [15](#page=15).
* Complex toegevoegde: $\bar{c} = a - bi$ [15](#page=15).
* Modulus: $|c| = \sqrt{a^2 + b^2}$, waarbij $|c|^2 = c\bar{c}$ [15](#page=15).
* Polair coördinaten: $c = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$, met $r = |c|$ en $\theta = \arg(c)$ [15](#page=15).
### 1.5 Energiesignalen en vermogensignalen
* **Energiesignaal:** Een signaal met een begrensde energie.
* Continue tijd: $\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt < +\infty$ [15](#page=15).
* Discrete tijd: $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2 < +\infty$ [15](#page=15).
* **Vermogensignaal:** Een signaal met een begrensd gemiddeld vermogen, ook al kan de totale energie onbegrensd zijn.
* Continue tijd: $\lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} |x(t)|^2 dt < +\infty$ [15](#page=15).
* Discrete tijd: $\lim_{N \to +\infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{+N} |x(n)|^2 < +\infty$ [15](#page=15).
#### 1.5.1 Correlatiefuncties
De correlatiefunctie meet de gelijkenis tussen twee signalen als functie van hun tijdsverschil.
* **Kruiscorrelatiefunctie:**
* Continue tijd, energiesignalen: $\mathcal{R}_{x,y}(\tau):= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t+\tau)y(t) dt$ [16](#page=16).
* Continue tijd, vermogensignalen: $\mathcal{R}_{x,y}(\tau):= \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} x(t+\tau)y(t) dt$ [16](#page=16).
* Discrete tijd, energiesignalen: $\mathcal{R}_{x,y}(n):= \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x(m+n)y(m)$ [16](#page=16).
* Discrete tijd, vermogensignalen: $\mathcal{R}_{x,y}(n):= \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{m=-N}^{+N} x(m+n)y(m)$ [16](#page=16).
* **Autocorrelatiefunctie:** De kruiscorrelatie van een signaal met zichzelf, $\mathcal{R}_{x,x}(\tau)$ of $R_x(\tau)$ [16](#page=16).
* Een grote autocorrelatiewaarde duidt op kleine afwijkingen tussen signaalwaarden die $t$ uit elkaar liggen [17](#page=17).
* Eigenschappen voor reëelwaardige signalen:
* Even: $R_x(t) = R_x(-t)$ [17](#page=17).
* Heeft een maximum op $t=0$: $|R_x(t)| \le R_x $ [17](#page=17).
### 1.6 Systemen als functies
Systemen transformeren ingangssignalen naar uitgangssignalen en worden daarom zelf beschouwd als functies waarvan het domein en codomein signaalruimten zijn. Een systeem $S$ wordt gedefinieerd als $S: [\text{Dom} \rightarrow \text{CoDom}] \rightarrow [\text{Dom}_0 \rightarrow \text{CoDom}_0]$, waarbij $u$ het ingangssignaal is en $y$ het uitgangssignaal: $y = S(u)$ [17](#page=17).
#### 1.6.1 Voorbeelden van systemen
* **Opslaan:** Muziek opslaan op CD [17](#page=17).
* **Transmissie:** Geluid overbrengen via het internet [17](#page=17).
* **Equalizer:** Aanpassen van frequentiecomponenten van een geluidssignaal [17](#page=17).
* **Filter:** Verwijderen van ruis uit een signaal [17](#page=17).
* **Regelaar:** Servo voor autosturing, thermostaten, cruise control [17](#page=17).
#### 1.6.2 Basisoperaties op signalen en systemen
* **Verschuivingsoperator:** $D_\tau w(t):= w(t-\tau)$. Voor $\tau>0$ wordt dit een delay-operator genoemd [18](#page=18).
* **Tijdschalingsoperator:** $TS_a w(t):= w(at)$. $TS_{-1}$ staat voor tijdsomkering ($\tilde{w}(t) = w(-t)$) [18](#page=18).
#### 1.6.3 Belangrijke systeemtypen
* **Geheugenloos systeem:** De uitgang op een bepaald moment hangt uitsluitend af van de ingang op datzelfde moment (en eventueel de tijd $t$) [18](#page=18) [19](#page=19).
* $S(u)(t):= f(u(t))$ [18](#page=18).
* **Smoother:** Een systeem dat de ingang uitmiddelt over een bepaald tijdsvenster, wat resulteert in een "gladder" signaal [19](#page=19).
* $S(u)(t):= \frac{1}{M} \int_{t-M}^{t} u(\tau) d\tau$ [19](#page=19).
* **Convolutie:** Een fundamenteel systeem in de analyse van signalen en systemen.
* $(u \ast h)(t):= \int_{-\infty}^{+\infty} u(\tau)h(t-\tau) d\tau$ [20](#page=20).
* De convolutie van twee signalen $u$ en $h$ definieert de uitgang $y$ van een systeem gekarakteriseerd door $h$ [20](#page=20).
* Relatie met kruiscorrelatie: $\mathcal{R}_{v,w} = v \ast (TS_{-1}w)$ [20](#page=20).
### 1.7 Differentie- en differentiaalvergelijkingen als systemen
Differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen worden veel gebruikt als systeemmodellen. Eén ingang kan leiden tot oneindig veel uitgangen (bv. bij lineaire differentiaalvergelijkingen) tenzij extra informatie zoals beginvoorwaarden of causaliteit wordt opgelegd. Digitale signaalverwerking (DSP) is een belangrijk gebied dat zich bezighoudt met systemen die discrete-tijdsignalen verwerken [20](#page=20) [21](#page=21).
### 1.8 Systemen beschreven door blokdiagrammen
Blokdiagrammen bieden een grafische voorstelling van systemen [21](#page=21).
* **Cascade:** De opeenvolging van systemen, wat overeenkomt met de compositie van functies [21](#page=21).
* $S = S_2 \circ S_1$ [21](#page=21).
* **Combinatie van systemen:** Systemen kunnen worden gecombineerd met behulp van sommatie en andere operaties [21](#page=21).
* **Terugkoppeling (feedback):** De uitgang van een systeem wordt (deels) teruggekoppeld naar de ingang, wat leidt tot impliciete definies van systemen. De oplossing van deze vergelijkingen kan complex zijn en vereist soms specifieke methoden om een unieke uitgang te bepalen [21](#page=21) [22](#page=22).
---
# Fourier-reeksen en transformaties
Hier is een gedetailleerd studieoverzicht over Fourier-reeksen en transformaties, gebaseerd op de verstrekte documentatie:
## 2. Fourier-reeksen en transformaties
Dit deel van de syllabus behandelt de ontwikkeling van periodieke en aperiodieke signalen met behulp van Fourier-reeksen en Fourier-transformaties, waarbij de nadruk ligt op orthogonaliteit, de stelling van de beste benadering, en de eigenschappen van deze transformaties voor systeem analyse [23](#page=23).
### 2.1 Orthogonale functies
#### 2.1.1 Inwendig product en norm
Het concept van het **inwendig product** is fundamenteel voor de studie van Fourier-reeksen. Het maakt de introductie mogelijk van afgeleide begrippen zoals 'norm' en 'afstand', en met name 'orthogonaliteit'. Een inwendig product op een vectorruimte X over $\mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ is een afbeelding $\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ die voldoet aan de volgende eigenschappen voor $x, y, z \in X$ en $c \in \mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ [23](#page=23):
* $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ (symmetrie) [23](#page=23).
* $\langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle$ (distributiviteit) [23](#page=23).
* $\langle c x, y \rangle = c \langle x, y \rangle$ (homogeniteit) [23](#page=23).
* $\langle x, x \rangle \ge 0$, met $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0$ (niet-negativiteit) [23](#page=23).
Klassieke voorbeelden van inwendige producten zijn:
* Voor $x, y \in \mathbb{C}^n$: $\langle x, y \rangle:= x^\text{H} y$ (waarbij $x^\text{H}$ de geconjugeerde getransponeerde is) [24](#page=24).
* Voor $x, y \in [ \mathbb{Z} \to \mathbb{C} ]$: $\langle x, y \rangle:= \sum_{n \in \mathbb{Z}} x(n) \overline{y(n)}$ [24](#page=24).
* Voor $f, g \in [ [a, b) \to \mathbb{C} ]$: $\langle f, g \rangle:= \int_a^b f(t) \overline{g(t)} dt$ [24](#page=24).
* Voor periodieke functies met periode $p$: $\langle f, g \rangle:= \frac{1}{p} \int_{[p]} f(t) \overline{g(t)} dt$ [27](#page=27).
Het inwendig product definieert een **norm** voor een vector: $k x k:= \sqrt{\langle x, x \rangle}$. De Cauchy-Schwarz ongelijkheid stelt dat $ | \langle x, y \rangle |^2 \le \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle $ voor alle $x, y \in X$, met gelijkheid indien $x$ en $y$ lineair afhankelijk zijn. De norm voldoet aan de volgende eigenschappen [24](#page=24):
* $k x k = 0 \iff x = 0$ [24](#page=24).
* $k c x k = |c| k x k$ [24](#page=24).
* $k x + y k \le k x k + k y k$ (driehoeksongelijkheid) [24](#page=24).
Voor signaalruimtes zijn de normen vaak van het type $k f k:= \left(\int |f(t)|^2 dt\right)^{1/2}$ of $k x k:= \left(\sum |x(n)|^2\right)^{1/2}$. Ruimtes van functies met een eindige $L^2$-norm, dus waarvoor $k f k < +\infty$, vormen een vectorruimte [24](#page=24) [25](#page=25).
#### 2.1.2 Orthonormaliteit
Twee vectoren $x$ en $y$ zijn **orthogonaal** als hun inwendig product nul is: $\langle x, y \rangle = 0$. Een set van vectoren $S = \{\phi_0, \phi_1, \phi_2, \dots \}$ wordt een **orthogonaal stel** genoemd als $\langle \phi_n, \phi_m \rangle = 0$ voor $n \ne m$. Als bovendien $k \phi_n k = 1$ voor alle $n$, dan is $S$ een **orthonormaal stel** [25](#page=25).
### 2.2 Stelling van de beste benadering
Gegeven een signaal $f$ en een orthonormaal stel $\{\phi_i\}$, is de beste benadering van $f$ door een lineaire combinatie van de eerste $n+1$ basissignalen, $t_n = \sum_{k=0}^n b_{nk}\phi_k$, die de afstand $k f - t_n k$ minimaliseert, verkregen wanneer de coëfficiënten $b_{nk}$ gelijk zijn aan de Fourier-coëfficiënten: $c_k = \langle f, \phi_k \rangle$ [26](#page=26).
De geoptimaliseerde som is $s_n := \sum_{k=0}^n c_k \phi_k$. De fout wordt gegeven door:
$$ k f - t_n k^2 = k f k^2 - \sum_{k=0}^n |c_k|^2 + \sum_{k=0}^n |b_{nk} - c_k|^2 $$ [26](#page=26).
Om de fout te minimaliseren, kiest men $b_{nk} = c_k$. De minimale fout is dan:
$$ k f - s_n k^2 = k f k^2 - \sum_{k=0}^n |c_k|^2 $$ [26](#page=26) [29](#page=29).
> **Tip:** Geometrisch correspondeert de beste benadering met de orthogonale projectie van het signaal $f$ op de deelruimte opgespannen door de basissignalen $\{\phi_0, \dots, \phi_n\}$ [29](#page=29).
### 2.3 Fourier-reeks van periodieke continue-tijdsignalen
Een periodiek signaal $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ met periode $p > 0$ voldoet aan $f(t) = f(t+p)$ voor alle $t \in \mathbb{R}$. Een signaal met eindig domein $[a, b)$ kan periodiek worden uitgebreid naar $\mathbb{R}$ [30](#page=30).
De basis voor continue-tijd Fourier-reeksen (CTFR) is de reeks van complexe exponentiëlen $\{\phi_n(t) = e^{in\omega_0 t} \mid n \in \mathbb{Z}\}$, waarbij $\omega_0 = \frac{2\pi}{p}$. Dit stel is orthonormaal met het inwendig product $\langle f, g \rangle:= \frac{1}{p} \int_{[p]} f(t) \overline{g(t)} dt$ [27](#page=27) [28](#page=28).
Een periodiek signaal $f$ kan worden ontwikkeld in een Fourier-reeks:
$$ f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega_0 t}, \quad t \in \mathbb{R} $$ [28](#page=28).
met de Fourier-coëfficiënten $c_n$:
$$ c_n = \langle f, \phi_n \rangle = \frac{1}{p} \int_{[p]} f(t) e^{-in\omega_0 t} dt, \quad n \in \mathbb{Z} $$ [28](#page=28).
#### 2.3.1 Convergentie
* **Convergentie in norm:** De partiële sommen $s_N(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{in\omega_0 t}$ convergeren in norm naar $f(t)$ als $N \to \infty$: $\lim_{N \to \infty} k f - s_N k_2 = 0$. Dit is equivalent aan de gelijkheid van Parseval [28](#page=28) [32](#page=32):
$$ \frac{1}{p} \int_{[p]} |f(t)|^2 dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 $$ [29](#page=29) [39](#page=39).
* **Puntsgewijze convergentie:** Voor periodieke signalen die voldoen aan de Dirichlet-voorwaarden (absolute integreerbaarheid, eindig aantal extrema per periode, en stuksgewijze continuïteit) convergeert de reeks puntsgewijze naar $\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ [32](#page=32).
* **Uniforme convergentie:** Treedt enkel op onder strengere voorwaarden (bv. $f$ continu en stuksgewijze glad). Het **Gibbs-verschijnsel** illustreert het gebrek aan uniforme convergentie nabij discontinuïteiten, met een overshoot van circa 9% van de sprong [32](#page=32) [33](#page=33).
#### 2.3.2 Eigenschappen van de Fourier-reeks
Voor periodieke signalen $x(t) \sim X(k)$ en $y(t) \sim Y(k)$ met dezelfde periode $p$:
* **Lineariteit:** $a x(t) + b y(t) \sim a X(k) + b Y(k)$ [37](#page=37).
* **Verschuiving in tijd:** $x(t - \tau) \sim X(k) e^{-ik \frac{2\pi}{p} \tau}$ [37](#page=37).
* **Modulatie:** $e^{iM \frac{2\pi}{p} t} x(t) \sim X(k-M)$ voor $M \in \mathbb{Z}$ [37](#page=37).
* **Complex toegevoegde:** $\overline{x(t)} \sim \overline{X(-k)}$. Voor reële signalen geldt: $x(t) \in \mathbb{R} \implies X(k) = \overline{X(-k)}$ (even amplitude, oneven fase) [37](#page=37).
* **Tijdomkering:** $x(-t) \sim X(-k)$ [38](#page=38).
### 2.4 Fourier-reeks van periodieke discrete-tijdsignalen (DFR)
Een discreet-tijdsignaal $x: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ is periodiek met periode $p \in \mathbb{N}$ als $x(n) = x(n+p)$ voor alle $n \in \mathbb{Z}$. De fundamentele periode bestaat altijd [34](#page=34).
De basis voor DFR zijn de discrete complexe exponentiëlen $\{\phi_k(n) = e^{ik\omega_0 n} \mid k = 0, \dots, p-1\}$, waarbij $\omega_0 = \frac{2\pi}{p}$. Dit stel vormt een orthonormaal stel met het inwendig product $\langle f, g \rangle:= \frac{1}{p} \sum_{n=0}^{p-1} f(n) \overline{g(n)}$ [35](#page=35).
Een periodiek signaal $x$ met periode $p$ kan worden ontwikkeld in een discrete-tijd Fourier-reeks (DFR):
$$ x(n) = \sum_{k=0}^{p-1} c_k e^{ik\omega_0 n}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ [36](#page=36).
met de Fourier-coëfficiënten $c_k$:
$$ c_k = \langle x, \phi_k \rangle = \frac{1}{p} \sum_{n=0}^{p-1} x(n) e^{-ik\omega_0 n}, \quad k = 0, \dots, p-1 $$ [36](#page=36).
#### 2.4.1 Representatie als matrix
De DFR kan worden uitgedrukt met behulp van matrices. Laten $x = [x \dots, x(p-1)]^\text{T}$ het signaalvector zijn en $X = [X \dots, X(p-1)]^\text{T}$ de vector van Fourier-coëfficiënten. Dan geldt :
$$ X = \frac{1}{p} F x $$ [40](#page=40).
en de inverse transformatie (reconstructie):
$$ x = F X $$ [40](#page=40).
waarbij $F$ de $p \times p$ DFT-matrix is met elementen $F_{kn} = e^{-ik\omega_0 n} = e^{-i \frac{2\pi}{p} kn}$. De matrix $F$ is symmetrisch en $F F^\text{H} = pI$, waardoor $\frac{1}{\sqrt{p}}F$ een unitaire matrix is [40](#page=40).
#### 2.4.2 Eigenschappen van DFR
Analoge eigenschappen als voor de continue Fourier-reeks gelden, met discrete tijdvariabelen en sommaties in plaats van integralen [38](#page=38).
* **Periodieke convolutie:** $z(n) = \frac{1}{p} \sum_{\ell=0}^{p-1} x(\ell)y(n-\ell) \implies Z(k) = X(k)Y(k)$ [39](#page=39).
* **Vermenigvuldiging:** $z(n) = x(n)y(n) \implies Z(k) = \sum_{\ell=0}^{p-1} X(\ell)Y(k-\ell)$ [39](#page=39).
* **Gelijkheid van Parseval:** $\frac{1}{p} \sum_{n=0}^{p-1} |x(n)|^2 = \sum_{k=0}^{p-1} |X(k)|^2$ [39](#page=39).
### 2.5 Fourier-transformaties voor aperiodieke signalen
Fourier-transformaties breiden het concept van Fourier-reeksen uit naar aperiodieke signalen [77](#page=77).
#### 2.5.1 Continue-tijd Fourier-transformatie (FT)
Voor een aperiodiek signaal $x \in L^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ wordt de Fourier-transformatie $X(\omega)$ gedefinieerd als:
$$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t} dt, \quad \omega \in \mathbb{R} $$ [80](#page=80).
De inverse Fourier-transformatie (iFT) wordt gegeven door:
$$ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{i\omega t} d\omega, \quad t \in \mathbb{R} $$ [80](#page=80).
> **Tip:** De FT zet een signaal om van het tijdsdomein naar het frequentiedomein (pulsatie $\omega$). De iFT doet het omgekeerde [82](#page=82).
#### 2.5.2 Discrete-tijd Fourier-transformatie (DTFT)
Voor een aperiodiek discreet-tijdsignaal $x \in [ \mathbb{Z} \to \mathbb{C} ]$ wordt de DTFT $X(\omega)$ gedefinieerd als:
$$ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-i\omega n}, \quad \omega \in \mathbb{R} $$ [78](#page=78).
De DTFT is altijd periodiek met periode $2\pi$. De inverse DTFT (invDTFT) is:
$$ x(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} X(\omega) e^{i\omega n} d\omega, \quad n \in \mathbb{Z} $$ [79](#page=79).
#### 2.5.3 Verband tussen Fourier-reeksen en -transformaties
* **Periodiek CT-signaal $\to$ FT:** De FT van een periodiek CT-signaal is een Dirac-kamverdeling op de frequentie-as, waarbij de Dirac-impulsen gelokaliseerd zijn op de harmonischen $k\omega_0$ en hun sterkte bepaald wordt door de FR-coëfficiënten $c_k$:
$$ X_{FT}(\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \delta(\omega - k\omega_0) $$ [93](#page=93).
* **Periodiek DT-signaal $\to$ DTFT:** De DTFT van een periodiek DT-signaal is een periodieke versie van gesamplede DFR-coëfficiënten, gemodificeerd door Dirac-delta's op de frequentie-as. Binnen één periode $[0, 2\pi)$ geldt:
$$ X_{DTFT}(\omega) = \frac{2\pi}{p} \sum_{k=0}^{p-1} X_{DFT}(k) \delta(\omega - k\omega_0), \quad \omega \in [0, 2\pi) $$ [94](#page=94).
### 2.6 Eigenschappen van Fourier-transformaties
Veel eigenschappen van de Fourier-reeks hebben een analoog voor de Fourier-transformatie.
#### 2.6.1 FT Eigenschappen
Voor $x, y \in L^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ met $X=FT(x)$ en $Y=FT(y)$:
* **Lineariteit:** $a x(t) + b y(t) \sim a X(\omega) + b Y(\omega)$ [82](#page=82).
* **Verschuiving in tijd:** $x(t - \tau) \sim e^{-i\omega\tau} X(\omega)$ [82](#page=82).
* **Modulatie:** $e^{ia t} x(t) \sim X(\omega - a)$ [82](#page=82).
* **Complex toegevoegde:** $\overline{x(t)} \sim \overline{X(-\omega)}$ [82](#page=82).
* **Tijdschaalverandering:** $x(at) \sim \frac{1}{|a|} X(\frac{\omega}{a})$ [83](#page=83).
* **Afgeleide:** $\frac{d^p}{dt^p} x(t) \sim (i\omega)^p X(\omega)$ [83](#page=83).
* **Hermitische symmetrie:**
* $x(t) \in \mathbb{R} \implies X(-\omega) = \overline{X(\omega)}$ [83](#page=83).
* $x(t) \in \mathbb{R}$ en even $\implies X(\omega) \in \mathbb{R}$ en even [83](#page=83).
* $x(t) \in \mathbb{R}$ en oneven $\implies X(\omega)$ imaginair en oneven [83](#page=83).
* **Convolutie:** $x(t) * y(t) \sim X(\omega) Y(\omega)$ [83](#page=83).
* **Vermenigvuldiging in tijddomein:** $x(t)y(t) \sim \frac{1}{2\pi} (X * Y)(\omega)$ [85](#page=85).
* **Plancherel / Parseval:** $\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\overline{y(t)} dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\overline{Y(\omega)} d\omega$. Voor energie: $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega$ [83](#page=83).
#### 2.6.2 DTFT Eigenschappen
Analogen van de FT-eigenschappen gelden voor de DTFT, met discrete tijdvariabelen en de $2\pi$-periodiciteit van de DTFT in acht genomen. Bijvoorbeeld, de convolutie-eigenschap wordt [82](#page=82) [83](#page=83):
$$ x(n) * y(n) \sim X(\omega) Y(\omega) $$ [83](#page=83).
En de identiteit van Parseval:
$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x(n)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |X(\omega)|^2 d\omega $$ [83](#page=83).
### 2.7 Dualiteit
Het principe van dualiteit stelt dat, voor bepaalde transformaties (zoals FT en DFT), het verband tussen een signaal en zijn getransformeerde symmetrisch is.
* **FT-dualiteit:** Als $x(t) \sim X(\omega)$, dan geldt ook $X(\omega) \sim 2\pi \tilde{x}(t)$, waarbij $\tilde{x}(t) = x(-t)$. Dit leidt tot paren als [84](#page=84):
$$ \frac{1}{2\pi} \tilde{X} \sim x \sim X \sim 2\pi \tilde{x} $$ [84](#page=84).
* **DFT-dualiteit:** Als $x(n) \sim X(k)$ (met $p$-periodieke signalen), dan geldt ook $X(k) \sim p \tilde{x}(n)$ [85](#page=85).
> **Tip:** Dualiteit is een krachtig hulpmiddel om nieuwe eigenschappen af te leiden uit reeds bekende eigenschappen.
### 2.8 Sommatieformule van Poisson
De sommatieformule van Poisson legt een verband tussen de FT van een signaal en de FR-coëfficiënten van zijn periodieke uitbreiding:
$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t + np) = \frac{1}{p} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{2\pi k}{p}\right) e^{i k \frac{2\pi}{p} t} $$ [86](#page=86).
### 2.9 Energiespectrum en vermogenspectrum
* **Energiespectrum:** Voor signalen met eindige energie wordt de energie verdeeld over de frequenties. De spectrale energiedichtheid is $|X(f)|^2$. Voor een LTI-systeem geldt $|Y(f)|^2 = |H(f)|^2 |X(f)|^2$ [88](#page=88).
* **Vermogenspectrum:** Voor signalen met eindig gemiddeld vermogen (bv. periodieke signalen) wordt het vermogenspectrum $S_x(f)$ gedefinieerd zodanig dat het totale vermogen de integraal van het spectrum is. Het vermogenspectrum is de FT van de autocorrelatiefunctie: $R_x(\tau) \leftrightarrow S_x(f)$. Voor een LTI-systeem geldt $S_y(f) = |H(f)|^2 S_x(f)$ [89](#page=89).
### 2.10 Onzekerheidsbeginsel van Heisenberg
Voor signalen met eindige energie geldt dat de tijdsduur waarin het signaal significant is en de bandbreedte waarin het spectrum significant is, niet tegelijkertijd willekeurig klein gemaakt kunnen worden. De varianties $\sigma_t^2$ en $\sigma_\omega^2$ voldoen aan:
$$ \sigma_t^2 \sigma_\omega^2 \ge \frac{1}{4} $$ [90](#page=90).
### 2.11 Voorbeelden van Fourier-transformaties
#### 2.11.1 FT van elementaire signalen
* $x(t) = \text{rect}(t/T) \sim T \cdot \text{sinc}(\omega T/2)$ [81](#page=81).
* $x(t) = e^{iat} \sim 2\pi \delta(\omega - a)$ [87](#page=87).
* $x(t) = \cos(at) \sim \pi (\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a))$ [93](#page=93).
#### 2.11.2 DFT/DFR van elementaire signalen
Voorbeelden met sinussen en cosinussen in discrete tijd worden besproken in de documentatie [41](#page=41).
#### 2.11.3 Verbanden tussen FR en FT
De documentatie onderzoekt de relatie tussen de Fourier-reeks van een signaal en de Fourier-transformatie van zijn triviale en periodieke uitbreidingen. Dit illustreert hoe de discrete frequenties van de FR corresponderen met gesamplede waarden van de continue FT [92](#page=92) [93](#page=93) [94](#page=94).
---
# Lineaire tijdinvariante (LTI) systemen en hun analyse
Hier is de studiehandleiding voor "Lineaire tijdinvariante (LTI) systemen en hun analyse":
# 3. Lineaire tijdinvariante (LTI) systemen en hun analyse
Dit gedeelte behandelt de analyse van lineaire en tijdinvariante systemen, inclusief hun impulsantwoord, frequentieantwoord, overdrachtsfunctie, en de relatie met differentievergelijkingen en toestandsmodellen.
## 3.1 Fundamentele concepten en definities
### 3.1.1 Systeemdefinitie
Een systeem S is een afbeelding van een ingangsruimte naar een uitgangsruimte. Voor discrete-tijdsystemen geldt $S: [Z \to \mathbb{C}] \to [Z \to \mathbb{C}]$ en voor continue-tijdsystemen $S: [\mathbb{R} \to \mathbb{C}] \to [\mathbb{R} \to \mathbb{C}]$. De uitgang $y$ wordt uniek bepaald door de ingang $u$ via $y = S(u)$ [42](#page=42).
### 3.1.2 Tijdinvariantie
Een systeem $S$ is tijdinvariant (of stationair/translatie-invariant) als een tijdsvertraging van de ingang leidt tot dezelfde tijdsvertraging van de uitgang. Dit kan worden uitgedrukt met de verschuivingsoperator $D_\tau$ (voor continue tijd) of $D_k$ (voor discrete tijd) [43](#page=43).
* **Continue tijd:** $S$ is tijdinvariant $\iff S \circ D_\tau = D_\tau \circ S$ voor alle $\tau \in \mathbb{R}$. Dit betekent $S(u(t-\tau)) = y(t-\tau)$ als $y(t) = S(u(t))$ [43](#page=43).
* **Discrete tijd:** $S$ is tijdinvariant $\iff S \circ D_k = D_k \circ S$ voor alle $k \in \mathbb{Z}$. Dit betekent $S(u(n-k)) = y(n-k)$ als $y(n) = S(u(n))$ [43](#page=43).
### 3.1.3 Lineariteit
Een systeem $S$ is lineair als het voldoet aan de superpositie-eigenschap: voor willekeurige ingangen $x, y$ en scalairen $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ geldt $S(\alpha x + \beta y) = \alpha S(x) + \beta S(y)$ [43](#page=43).
### 3.1.4 Lineair TijdInvariante (LTI) Systemen
Systemen die zowel lineair als tijdinvariant zijn, worden LTI-systemen genoemd.
## 3.2 Impulsantwoord en convolutie
LTI-systemen kunnen volledig gekarakteriseerd worden door hun impulsantwoord.
### 3.2.1 Impulsantwoord
Het impulsantwoord $h$ van een LTI-systeem $S$ is de uitgang van het systeem wanneer de ingang de Dirac-impuls (voor continue tijd) of de Kronecker-delta (voor discrete tijd) is [45](#page=45).
* **Discrete tijd:** Het impulsantwoord $h$ is het signaal $h = S(\delta)$, waar $\delta(n) = 1$ als $n=0$ en $\delta(n) = 0$ anders [44](#page=44).
* **Continue tijd:** Het impulsantwoord $h$ is de distributie $h = S(\delta)$, waar $\delta$ de Dirac-distributie is [50](#page=50).
### 3.2.2 Convolutie
De relatie tussen de ingang $u$, de uitgang $y$ en het impulsantwoord $h$ van een LTI-systeem wordt gegeven door de convolutie-operator.
* **Discrete tijd:** $(x * y)(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) y(n-k)$. Voor een LTI-systeem geldt $y(n) = (h * u)(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) u(n-k)$. De convolutie is commutatief ($h * u = u * h$) en lineair. De Dirac-impuls $\delta$ is het eenheidselement voor convolutie: $h * \delta = h$ [44](#page=44) [45](#page=45).
* **Continue tijd:** $(x * y)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) y(t-\tau) d\tau$. Voor een LTI-systeem geldt $y(t) = (h * u)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) u(t-\tau) d\tau$. Ook hier is de convolutie commutatief en lineair. De Dirac-distributie $\delta$ is het eenheidselement: $h * \delta = h$ [53](#page=53) [54](#page=54).
## 3.3 Frequentieantwoord
Het frequentieantwoord beschrijft hoe een LTI-systeem reageert op sinusoïdale ingangen.
### 3.3.1 Definities
* **Discrete tijd:** Voor een ingang $u(n) = e^{j\omega n}$, is de uitgang $y(n) = H_f(\omega) e^{j\omega n}$, waarbij $H_f(\omega) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h(m) e^{-j\omega m}$ het frequentieantwoord is, op voorwaarde dat de reeks absoluut convergeert. Complexe exponentiëlen zijn eigensignalen van LTI-systemen [59](#page=59) [60](#page=60).
* **Continue tijd:** Voor een ingang $u(t) = e^{j\omega t}$, is de uitgang $y(t) = H_f(\omega) e^{j\omega t}$, waarbij $H_f(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau$ het frequentieantwoord is, op voorwaarde dat de integraal absoluut convergeert. Ook hier zijn complexe exponentiëlen eigensignalen [62](#page=62) [63](#page=63).
### 3.3.2 Relatie met Fourier-transformatie
Het frequentieantwoord is de Fourier-transformatie van het impulsantwoord [60](#page=60) [63](#page=63):
* **Discrete tijd:** $H_f(\omega) = \text{DTFT}\{h(n)\}(\omega)$ [60](#page=60).
* **Continue tijd:** $H_f(\omega) = \text{CTFT}\{h(t)\}(\omega)$ [63](#page=63).
### 3.3.3 Periodieke signalen
Voor periodieke ingangen kan het spectrum van de uitgang worden verkregen door het spectrum van de ingang te vermenigvuldigen met het frequentieantwoord op de overeenkomstige frequentiecomponenten. LTI-systemen filteren frequenties, wat verklaart waarom ze "filters" worden genoemd [64](#page=64) [65](#page=65).
## 3.4 Overdrachtsfunctie (Transferfunctie)
De overdrachtsfunctie is de Laplace-getransformeerde (continue tijd) of z-getransformeerde (discrete tijd) van het impulsantwoord.
### 3.4.1 Definities
* **Discrete tijd:** $H(z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h(m) z^{-m}$, voor $z \in \mathbb{C}$ waar de reeks convergeert. Complexe signalen $u(n) = z^n$ zijn ook eigensignalen, met uitgang $y(n) = H(z)z^n$ [61](#page=61).
* **Continue tijd:** $H(s) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-s\tau} d\tau$, voor $s \in \mathbb{C}$ waar de integraal convergeert. Complexe signalen $u(t) = e^{st}$ zijn ook eigensignalen, met uitgang $y(t) = H(s)e^{st}$ [63](#page=63) [64](#page=64).
### 3.4.2 Relatie met Laplace/z-transformatie
De overdrachtsfunctie is de Laplace-getransformeerde (continue tijd) of z-getransformeerde (discrete tijd) van het impulsantwoord .
* **Discrete tijd:** $H(z) = Z\{h(n)\}(z)$ .
* **Continue tijd:** $H(s) = L\{h(t)\}(s)$ .
### 3.4.3 Verschil met Frequentieantwoord
Voor continue tijd geldt $H(i\omega) = H_f(\omega)$ als $H(s)$ op de imaginaire as bestaat. Voor discrete tijd geldt $H(e^{j\omega}) = H_f(\omega)$ als $H(z)$ op de eenheidscirkel bestaat .
## 3.5 Toestandsmodel
Een toestandsmodel biedt een alternatieve, meer gedetailleerde beschrijving van systemen, die niet alleen de relatie tussen ingang en uitgang beschrijft, maar ook de interne toestand van het systeem.
### 3.5.1 Discrete-tijd toestandsmodel
Een toestandsmodel is een 6-tuple $(X_{WGB}, U_{WGB}, Y_{WGB}, \text{Update}, n_0, x_0)$, waarbij de $\text{Update}$-functie de volgende toestand $x(n+1)$ en de huidige uitgang $y(n)$ bepaalt op basis van de huidige toestand $x(n)$, de ingang $u(n)$ en de tijdstap $n$ :
$(x(n+1), y(n)) = \text{Update}(x(n), u(n), n)$, $n \ge n_0$.
Voor LTI-systemen wordt dit:
$x(n+1) = Ax(n) + Bu(n)$
$y(n) = Cx(n) + Du(n)$, $n \ge 0$ .
Hierin zijn $A, B, C, D$ matrices die het systeem beschrijven.
### 3.5.2 Continue-tijd toestandsmodel
Voor continue tijd geldt:
$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$
$y(t) = Cx(t) + Du(t)$, $t \in \mathbb{R}$ .
De matrixexponentiële $e^{At}$ speelt hierbij een cruciale rol in de oplossing.
### 3.5.3 Algemene oplossing
* **Discrete tijd:** $x(n) = A^n x + \sum_{m=0}^{n-1} A^{n-1-m} B u(m)$ .
* **Continue tijd:** $x(t) = e^{At} x + \int_0^t e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau$ .
### 3.5.4 Stabiliteit in toestandsmodel
Asymptotische stabiliteit voor het toestandsmodel (ingang nul) is equivalent aan het feit dat alle eigenwaarden van matrix $A$ een negatief reëel deel hebben. Voor BIBO-stabiliteit geldt dat de som van de absolute waarden van de elementen van het impulsantwoord moet convergeren (discrete tijd) of dat de integraal van de absolute waarden van het impulsantwoord moet convergeren (continue tijd) [57](#page=57).
## 3.6 Differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen als systemen
Lineaire hogere-orde differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen kunnen gemodelleerd worden als LTI-systemen.
### 3.6.1 Frequentieantwoord en Overdrachtsfunctie
Voor differentievergelijkingen wordt het frequentieantwoord gegeven door $H(\omega) = \frac{b_0 + b_1e^{-j\omega} + \dots + b_M e^{-j\omega M}}{a_0 + a_1e^{-j\omega} + \dots + a_N e^{-j\omega N}}$. De overdrachtsfunctie is $H(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1} + \dots + b_M z^{-M}}{a_0 + a_1z^{-1} + \dots + a_N z^{-N}}$ [68](#page=68) [70](#page=70).
Voor differentiaalvergelijkingen worden deze respectievelijk $H(\omega) = \frac{b_0 + b_1(j\omega) + \dots + b_M (j\omega)^M}{a_0 + a_1(j\omega) + \dots + a_N (j\omega)^N}$ en $H(s) = \frac{b_0 + b_1s + \dots + b_M s^M}{a_0 + a_1s + \dots + a_N s^N}$ [71](#page=71) [72](#page=72).
### 3.6.2 Pol en Nullen
De polen van de overdrachtsfunctie bepalen de stabiliteit van het systeem. De nullen en polen van de overdrachtsfunctie karakteriseren het systeemgedrag [70](#page=70) [72](#page=72).
### 3.6.3 FIR- en IIR-filters
* **FIR (Finite Impulse Response) filters:** Hebben een impulsantwoord dat op een eindig aantal tijdstippen niet nul is. Ze zijn altijd stabiel [72](#page=72).
* **IIR (Infinite Impulse Response) filters:** Hebben een impulsantwoord dat op oneindig veel tijdstippen niet nul is. Ze kunnen instabiel zijn [73](#page=73).
## 3.7 Distributietheorie
Distributies, zoals de Dirac-delta, zijn veralgemeende functies die nodig zijn om de eigenschappen van LTI-systemen in continue tijd rigoureus te beschrijven, met name rondom impulsen [46](#page=46).
* **Dirac-delta distributie $\delta(t)$:** Een veralgemeende functie met de eigenschap $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau) \psi(\tau) d\tau = \psi $ voor elke testfunctie $\psi$ [50](#page=50).
* **Afgeleiden en integralen van distributies:** Distributietheorie maakt het mogelijk om afgeleiden en integralen van niet-differentiëerbare functies (zoals de Heaviside-functie) te definiëren. Zo is de afgeleide van de Heaviside-functie gelijk aan de Dirac-delta distributie: $DH = \delta$ [52](#page=52).
## 3.8 Belangrijke Eigenschappen en Toepassingen
### 3.8.1 Causaliteit
Een systeem is causaal als de uitgang op tijdstip $t$ alleen afhangt van ingangswaarden op tijdstippen $\tau \le t$. Voor LTI-systemen impliceert dit dat het impulsantwoord nul is voor negatieve tijd [58](#page=58).
### 3.8.2 Stabiliteit (BIBO)
Een systeem is BIBO-stabiel (Bounded Input, Bounded Output) als elke begrensde ingang een begrensde uitgang oplevert [57](#page=57).
* **Discrete tijd:** Equivalent aan $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| < \infty$ [58](#page=58).
* **Continue tijd:** Equivalent aan $\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty$ [58](#page=58).
### 3.8.3 Cascade en Terugkoppeling
* **Cascade:** Het frequentieantwoord (of de overdrachtsfunctie) van systemen in cascade vermenigvuldigt zich: $H_{cascade}(\omega) = H_1(\omega) H_2(\omega)$. De volgorde maakt niet uit [66](#page=66).
* **Terugkoppeling:** Voor een teruggekoppeld systeem met overdrachtsfuncties $H_1$ (direct pad) en $H_2$ (feedback pad), is de gesloten-lus overdrachtsfunctie $H(s) = \frac{H_1(s)}{1 - H_1(s)H_2(s)}$ [67](#page=67).
## 3.9 z- en Laplace-transformatie
De z-transformatie (discrete tijd) en Laplace-transformatie (continue tijd) zijn krachtige hulpmiddelen voor de analyse van LTI-systemen.
### 3.9.1 Definities en Eigenschappen
De transformaties zetten convoluties in het tijddomein om in vermenigvuldigingen in het transformatiedomein (z- of s-domein). Belangrijke eigenschappen zijn lineariteit, tijdverschuiving, schaling, en differentiatie/integratie .
### 3.9.2 Relatie met Systeemeigenschappen
* **Causaliteit:** Karakteriseert zich door het convergentiegebied (GAC) van de transformatie. Voor continue tijd is het GAC een rechterhalfvlak, en voor discrete tijd een gebied buiten een cirkel .
* **Stabiliteit:** De ligging van de polen van de overdrachtsfunctie ten opzichte van de eenheidscirkel (discrete tijd) of de imaginaire as (continue tijd) bepaalt de stabiliteit .
* **Frequentieantwoord:** De overdrachtsfunctie geëvalueerd op de eenheidscirkel ($z=e^{j\omega}$) of op de imaginaire as ($s=j\omega$) geeft het frequentieantwoord .
### 3.9.3 Oplossen van Differentievergelijkingen met Beginvoorwaarden
De eenzijdige z-transformatie en Laplace-transformatie zijn essentieel voor het oplossen van beginwaardeproblemen voor differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen, waarbij de transformatie de differentievergelijkingen omzet in algebraïsche vergelijkingen .
---
# Sampling en reconstructie van signalen
Sampling en reconstructie van signalen is een cruciaal proces in signaalverwerking, waarbij continue tijdsignalen worden omgezet naar discrete tijdsignalen en vice versa.
## 4. Sampling en reconstructie van signalen
### 4.1 Sampling van continue-tijdsignalen
Sampling transformeert continue-tijdsignalen naar discrete-tijdsignalen door het signaal te evalueren op uniform gespreide tijdstippen.
* **Sampler**: Een systeem dat continue-tijdsignalen omzet in discrete-tijdsignalen.
* Definitie: `SamplerTs: [R!C.
* `Ts`: Het sample-interval (bemonsteringsinterval of sample-periode), uitgedrukt in seconden per sample [96](#page=96).
* `fs`: De sample-frequentie (bemonsteringsfrequentie), gedefinieerd als `fs:= 1/Ts`, uitgedrukt in samples per seconde [96](#page=96).
* `ωs`: De sample-pulsatie, gedefinieerd als `ωs:= 2πfs = 2π/Ts`, uitgedrukt in rad/s [96](#page=96).
#### 4.1.1 Aliasing
Een belangrijk gevolg van sampling is dat het gesamplede signaal minder informatie bevat dan het oorspronkelijke continue signaal. Verschillende continue signalen kunnen leiden tot hetzelfde discrete signaal na sampling.
* **Aliassen**: Signalen die niet te onderscheiden zijn na sampling.
* Voor een signaal `x(t):= ei2πf t` en een sample-periode `Ts`, leiden alle signalen `xN (t):= ei2π(f +N f s)t` met `N ∈ Z` tot hetzelfde gesamplede signaal `y(n):= ei2πf T s n` [96](#page=96).
> **Tip:** In het frequentiedomein resulteert sampling in de replicatie van het oorspronkelijke signaal spectrum, verschoven over veelvouden van de sample-frequentie `fs` [96](#page=96).
### 4.2 Reconstructie: een wiskundig model
Reconstructie is het proces van het herstellen van een continu-tijdsignaal uit een discreet-tijdsignaal. Dit is vaak een benadering, tenzij specifieke voorwaarden vervuld zijn.
* **Reconstructiemethoden**:
* **Zero-order-hold (ZOH)**: Een methode waarbij elke sample wordt aangehouden gedurende het sample-interval. Het gereconstrueerde signaal heeft discontinuïteiten [97](#page=97) [99](#page=99).
* Impulsantwoord: `hu(t):= 1` voor `0 ≤ t < Ts`, `0` elders [98](#page=98).
* **First-order-hold (lineaire interpolatie)**: Een methode die de samples verbindt met rechte lijnen. Dit introduceert 'hoeken' in het gereconstrueerde signaal [97](#page=97) [99](#page=99).
* Impulsantwoord: `h^(t):= 1 - |t|/Ts` voor `Ts ≤ t ≤ Ts`, `0` elders [98](#page=98).
* **Wiskundig model voor reconstructie**:
* Het reconstructieproces wordt gemodelleerd als een cascade van een impulsgenerator en een LTI-systeem [97](#page=97).
* **Impulsgenerator**: Zet het discrete signaal `y` om in een reeks Dirac-impulsen `w`.
* `w:= +∞∑k=−∞ y(k) DkTs δ` [98](#page=98).
* Het gereconstrueerde signaal `ˆx` wordt verkregen door convolutie van `w` met het impulsantwoord `h` van het LTI-systeem: `ˆx = h * w` [98](#page=98).
* `ˆx(t) = +∞∑k=−∞ y(k)h(t - kTs)` [98](#page=98).
### 4.3 De sampling-stelling van Shannon–Nyquist
Deze stelling legt de voorwaarden vast waaronder een continu-tijdsignaal perfect kan worden gereconstrueerd uit zijn discrete samples.
#### 4.3.1 De stelling van Shannon–Nyquist
* Het spectrum `W(ω)` van het gesamplede signaal `w` (na de impulsgenerator) is gerelateerd aan het spectrum `X(ω)` van het oorspronkelijke signaal `x` door:
* `W(ω) = (1/Ts) * +∞∑k=−∞ X(ω - kωs)` [100](#page=100).
* Dit betekent dat `W(ω)` een oneindige som is van verschoven versies van `X(ω)`, geschaald met `1/Ts`.
* **Bandbegrensd signaal**: Een signaal `x` waarvan het spectrum `X(ω) = 0` voor `|ω| > ωM`. `ωM` is de hoogste frequentiecomponent [100](#page=100).
* **Voorwaarde voor perfecte reconstructie**: Om overlap tussen de verschoven spectra van `X(ω)` te voorkomen, moet de sample-pulsatie `ωs` voldoen aan:
* `ωs > 2ωM`. Dit staat bekend als de Nyquist-rate. De Nyquist-frequentie is `fs_N = ωM/π = 2fM` .
* **Formulering van de stelling**: Als een signaal `x` bandbegrensd is tot `ωM` en de sample-pulsatie `ωs > 2ωM`, dan zijn de spectra van het gesamplede signaal en het oorspronkelijke signaal gelijk voor frequenties binnen de bandbreedte van het oorspronkelijke signaal (op een factor `Ts` na):
* `Ts * W |[−ωM, ωM]| = X` .
> **Tip:** De voorwaarde `ωs > 2ωM` is cruciaal. Als deze niet voldaan is, treedt aliasing op en kan het oorspronkelijke signaal niet meer perfect gereconstrueerd worden.
#### 4.3.2 Ideale interpolatie
Onder de voorwaarde van de sampling-stelling kan het oorspronkelijke signaal `x` perfect gereconstrueerd worden uit zijn samples.
* **Ideaal reconstructiesysteem**: Een LTI-systeem met een frequentieantwoord `H(ω)` dat de verschoven spectra van `X(ω)` selecteert en de rest verwerpt.
* Een geschikt frequentieantwoord is een blokfilter:
* `Hωc(ω):= 1` voor `|ω| ≤ ωc`, `0` elders, met `ωM < ωc < ωs - ωM` .
* Een goede keuze is `ωc = ωs / 2` .
* Het gereconstrueerde signaal `ˆx` wordt verkregen door `ˆX = Ts * Hωc * W`. Onder de juiste omstandigheden geldt `ˆX = X`.
* **Impulsantwoord van de ideale reconstructor**: Het impulsantwoord `h(t)` corresponderend met `Ts * Hωc(ω)` is de sinc-functie:
* `h(t) = Ts * (sin(ωc * t) / (π * t)) = (2ωc / ωs) * sinc(ωc * t)` .
* De functie `sinc(θ)` is gedefinieerd als `sin(θ)/θ` voor `θ ≠ 0` en `1` voor `θ = 0` .
* **Sinc-interpolatie**: Het oorspronkelijke signaal `x(t)` kan worden uitgedrukt als een som van de samples vermenigvuldigd met de sinc-functie:
* `x(t) = +∞∑k=−∞ x(kTs) * h(t - kTs)` .
* `x(t) = +∞∑k=−∞ x(kTs) * (2ωc / ωs) * sinc(ωc * (t - kTs))` .
* Dit drukt uit hoe het signaal bepaald wordt door zijn samples via ideale interpolatie.
#### 4.3.3 Heuristische kijk op de sampling-stelling
De voorwaarde `fs > 2fM` (of `ωs > 2ωM`) kan intuïtief verklaard worden door te kijken naar aliasing van de hoogste frequentiecomponent in het signaal.
* Als het signaal `x(t) = ei2πfM t` de hoogste frequentie `fM` bevat, dan geeft sampling met frequentie `fs` het signaal `y(n) = ei2πfM T s n`.
* Andere signalen `xN (t) = ei2π(fM +N f s)t` geven ook dit `y(n)`.
* Om aliasing te voorkomen, moeten de frequenties van deze aliassen buiten de bandbreedte van het oorspronkelijke signaal vallen.
* Als `fs > 2fM`, dan is `fM - fs < fM`. De alias met `N=-1` (`fM - fs`) bevindt zich dan buiten de bandbreedte `[−fM, fM]` van het oorspronkelijke signaal. Alle andere aliassen vallen dan ook buiten deze bandbreedte .
### 4.4 Alternatief bewijs van de sampling-stelling en ideale interpolatie
Een alternatieve manier om de sampling-stelling te bewijzen maakt gebruik van de Poisson-sommatieformule en de eigenschappen van Fourier-transformaties.
* De Poisson-sommatieformule voor een signaal `X(ω)` luidt:
* `+∞∑k=−∞ X(ω + kωs) = (1/Ts) * +∞∑k=−∞ x(kT s)e−ikTsω` .
* Door beide zijden te vermenigvuldigen met het frequentieantwoord `Hωc(ω)` van een ideaal laagdoorlaatfilter en vervolgens de inverse Fourier-transformatie te nemen, kan de reconstructieformule van de sinc-interpolatie worden afgeleid .
* `x(t) = +∞∑k=−∞ x(kT s) * (2ωc / ωs) * sinc(ωc * (t - kTs))` .
---
# De z- en Laplace-transformaties
Deze sectie introduceert en analyseert de z-transformatie voor discrete-tijdsignalen en de Laplace-transformatie voor continue-tijdsignalen, inclusief hun eigenschappen, convergentiegebieden, inverse transformaties, en hun toepassing in LTI-systemen, waarbij stabiliteit en causaliteit worden behandeld.
### 5.1 De z-transformatie
De z-transformatie is een wiskundige transformatie die een discreet tijdsignaal omzet in een functie in het complexe domein (het z-domein). Het stelt ons in staat om differentievergelijkingen en discrete LTI-systemen te analyseren met behulp van algebraïsche methoden .
#### 5.1.1 Definitie
Voor een discreet signaal $x[n]$, gedefinieerd voor $n \in \mathbb{Z}$, wordt de z-getransformeerde $X(z)$ gedefinieerd als:
$$X(z) = Z\{x[n]\}(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$ .
Het is ook gebruikelijk om de z-transformatie te definiëren met $z^n$ in plaats van $z^{-n}$, wat leidt tot:
$$H(z):= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]z^m$$ .
Deze laatste definitie wordt vaak gebruikt voor de overdrachtsfunctie van een LTI-systeem .
#### 5.1.2 Belangrijke voorbeelden
| Signaal $x[n]$ | z-getransformeerde $X(z)$ | Gebied van absolute convergentie (GAC) |
| :---------------------- | :---------------------------------------------------------- | :------------------------------------- |
| $a^n H[n]$ | $\frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$ | $|z| > |a|$ |
| $a^n H[-n-1]$ | $\frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$ | $|z| < |a|$ |
| $a^n H[n]$ | $\frac{1}{1-az}$ (niet de standaard def.) | $|z| < |a|$ |
| $\cos(\omega_0 n) H[n]$ | $\frac{z(z-\cos \omega_0)}{z^2 - 2z\cos \omega_0 + 1}$ | $|z| > 1$ |
| $\delta[n-m]$ | $z^{-m}$ | $z \neq 0$ voor $m>0$, $\mathbb{C}$ voor $m \le 0$ |
| $n a^n H[n]$ | $\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} = \frac{az}{(z-a)^2}$ | $|z| > |a|$ |
#### 5.1.3 Convergentiegebied (GAC)
Het convergentiegebied (GAC) van de z-transformatie is het verzameling van complexe getallen $z$ waarvoor de reeks ${\sum}_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]z^{-n}|$ convergeert .
* **Circulaire symmetrie:** Het GAC is symmetrisch ten opzichte van cirkels gecentreerd op de oorsprong .
* **Eindige drager:** Als $x[n]$ slechts op een eindig aantal waarden van $n$ ongelijk nul is, is het GAC het gehele complexe vlak, mogelijk met uitzondering van $z=0$ of $z=\infty$ .
* **Rechts signaal:** Als $x[n]=0$ voor $nn_2$, dan is het GAC binnen een cirkel met een bepaalde straal. Anticausale signalen zijn hiervan een speciaal geval .
* **Tweezijdig signaal:** Het GAC is een ring (of een schijf) .
* **Rationale z-getransformeerde:** Het GAC is een ring, begrensd door polen .
#### 5.1.4 Eigenschappen
| Operatie in tijdsdomein | Transformatie in z-domein | GAC |
| :---------------------- | :-------------------------------------------- | :-------------------------------------- |
| Lineariteit: $ax_1[n + bx_2[n]$ | $aX_1(z) + bX_2(z)$ | $GAC_1 \cap GAC_2$ |
| Tijdverschuiving: $x[n-m]$ | $z^{-m}X(z)$ | GAC, mogelijk aangepast (bv. 0 of 1 uitgesloten) |
| Schaling in z-domein: $a^n x[n]$ | $X(az)$ | $|a|GAC$ |
| Tijdomkering: $x[-n]$ | $X(z^{-1})$ | $\{z^{-1} : z \in GAC\}$ |
| Convolutie: $(x_1 * x_2)[n]$ | $X_1(z)X_2(z)$ | $GAC_1 \cap GAC_2$ |
| Differentiatie: $x[n]-x[n-1]$ | $(1-z^{-1})X(z)$ | $GAC(X) \setminus \{z=0\}$ |
| Accumulatie: $\sum_{k=0}^{n} x[k]$ | $\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$ | $GAC(X) \setminus \{|z|=1\}$ |
| $n x[n]$ | $-z \frac{dX(z)}{dz}$ | $GAC$ |
#### 5.1.5 Inverse z-transformatie
De inverse z-transformatie reconstrueert het tijdsignaal $x[n]$ uit zijn z-getransformeerde $X(z)$ .
* **Contourintegratie:** De inverse kan worden berekend met een lijnintegraal in het GAC:
$$x[n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C X(z)z^{n-1} dz$$ .
waarbij $C$ een gesloten kromme in het GAC rond de oorsprong is.
* **Methode van de tabel:** Voor rationale z-getransformeerden kan de inverse worden bepaald door de functie te ontbinden in partiële breuken en gebruik te maken van een tabel met bekende transformaties .
> **Tip:** Bij het toepassen van de methode van de tabel voor rationale functies in de vorm $X(z) = \frac{b(\xi)}{a(\xi)}$ met $\xi=z^{-1}$, kan het handig zijn om eerst te herschrijven naar een vorm met $\xi=z$ en de partiële breukontwikkeling toe te passen op die vorm, alvorens terug te transformeren met de juiste tabelvermelding .
#### 5.1.6 z-transformatie en LTI-systemen
Voor LTI-systemen, beschreven door de convolutie $y[n = (h * u)[n]$, geldt in het z-domein $Y(z) = H(z)U(z)$, waarbij $H(z)$ de overdrachtsfunctie is .
* **Causaliteit:** Een systeem is causaal als en slechts als $H(z)$ zijn GAC een rechterhalfvlak is dat $\infty$ bevat. Voor rationale $H(z)$, is het GAC buiten de verste pool van de oorsprong, en de graad van de teller is kleiner dan of gelijk aan de graad van de noemer .
* **Stabiliteit (BIBO):** Een systeem is BIBO-stabiel als en slechts als het GAC van $H(z)$ de eenheidscirkel omvat. Voor causale LTI-systemen met een rationale overdrachtsfunctie, liggen de polen van $H(z)$ binnen de eenheidscirkel .
#### 5.1.7 Eenzijdige z-transformatie
De eenzijdige z-transformatie wordt gedefinieerd voor causale signalen ($x[n]=0$ voor $n<0$) en wordt gegeven door:
$$^{1Z}\{x[n]\}(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n}$$ .
Het GAC is hier altijd een gebied buiten een cirkel .
#### 5.1.8 Differentievergelijkingen met beginvoorwaarden
De eenzijdige z-transformatie maakt het elegant oplossen van differentievergelijkingen met beginvoorwaarden mogelijk. Door de differentievergelijking te transformeren en gebruik te maken van de tijdverschuivingseigenschap, kan de uitgang $Y(z)$ worden uitgedrukt in termen van de ingang $U(z)$ en de beginvoorwaarden .
### 5.2 De Laplace-transformatie
De Laplace-transformatie is de continue-tijd analogon van de z-transformatie. Het zet een continu tijdsignaal om in een functie in het complexe domein (het s-domein) .
#### 5.2.1 Definitie
Voor een continu signaal $x(t)$, gedefinieerd voor $t \in \mathbb{R}$, wordt de Laplace-getransformeerde $X(s)$ gedefinieerd als:
$$X(s) = L\{x(t)\}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$$ .
Vaak wordt de definitie beperkt tot $t \ge 0$ voor causale systemen:
$$X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$$ .
#### 5.2.2 Belangrijke voorbeelden
| Signaal $x(t)$ | Laplace-getransformeerde $X(s)$ | Gebied van absolute convergentie (GAC) |
| :---------------------- | :------------------------------ | :------------------------------------- |
| $e^{at}H(t)$ | $\frac{1}{s+a}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(a)$ |
| $H(t)$ | $\frac{1}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\cos(\omega_0 t)H(t)$ | $\frac{s}{s^2 + \omega_0^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\sin(\omega_0 t)H(t)$ | $\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\delta(t-T)$ | $e^{-sT}$ | $\mathbb{C}$ |
| $\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{at}H(t)$ | $\frac{1}{(s+a)^n}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(a)$ |
#### 5.2.3 Convergentiegebied (GAC)
Het GAC van de Laplace-transformatie is het verzameling van complexe getallen $s$ waarvoor de integraal $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)e^{-st}| dt$ convergeert .
* **Verticale symmetrie:** Het GAC is symmetrisch ten opzichte van verticale lijnen in het complexe vlak .
* **Rechts signaal:** Als $x(t)=0$ voor $tt_2$, dan is het GAC een linkerhalfvlak dat een bepaalde verticale lijn bevat of links daarvan ligt .
* **Rationale L-getransformeerde:** Het GAC is een verticale strook, begrensd door polen of zich uitstrekkend naar $\pm \infty$. Voor een rechts signaal met een rationale L-getransformeerde is het GAC rechts van de meest rechtse pool .
#### 5.2.4 Eigenschappen
| Operatie in tijdsdomein | Transformatie in s-domein | GAC |
| :---------------------- | :-------------------------------- | :-------------------------------- |
| Lineariteit: $ax_1(t) + bx_2(t)$ | $aX_1(s) + bX_2(s)$ | $GAC_1 \cap GAC_2$ |
| Tijdverschuiving: $x(t-t_0)$ | $e^{-st_0}X(s)$ | GAC |
| Verschuiving in s-domein: $e^{s_0 t}x(t)$ | $X(s-s_0)$ | $GAC + \text{Re}(s_0)$ |
| Tijdschaal: $x(at)$ | $\frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a})$ | $a \cdot GAC$ |
| Convolutie: $(x_1 * x_2)(t)$ | $X_1(s)X_2(s)$ | $GAC_1 \cap GAC_2$ |
| Differentiatie: $\frac{dx(t)}{dt}$ | $sX(s)$ | GAC(X) |
| $t x(t)$ | $-\frac{dX(s)}{ds}$ | GAC |
| Integratie: $\int_{-\infty}^{t} x(\tau)d\tau$ | $\frac{1}{s}X(s)$ | $GAC(X) \setminus \{\text{Re}(s)=0\}$ |
#### 5.2.5 Inverse Laplace-transformatie
De inverse Laplace-transformatie reconstrueert het tijdsignaal $x(t)$ uit zijn Laplace-getransformeerde $X(s)$ .
* **Contourintegratie:** De inverse kan worden berekend met een lijnintegraal in het GAC:
$$x(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} X(s)e^{st} ds$$ .
waarbij $\sigma$ het reële deel van $s$ is binnen het GAC.
* **Methode van de tabel:** Net als bij de z-transformatie, kan voor rationale Laplace-getransformeerden de inverse worden bepaald door partiële breuken en een tabel met bekende transformaties .
> **Tip:** Het belang van het GAC is cruciaal bij het bepalen van de juiste inverse transformatie, aangezien dezelfde rationale functie verschillende tijdsignalen kan representeren afhankelijk van het GAC .
#### 5.2.6 Laplace-transformatie en LTI-systemen
Voor LTI-systemen beschreven door $y(t) = (h * u)(t)$, geldt in het Laplace-domein $Y(s) = H(s)U(s)$, waarbij $H(s)$ de overdrachtsfunctie is .
* **Causaliteit:** Een systeem is causaal als het GAC van $H(s)$ een rechterhalfvlak is. Voor rationale $H(s)$, is het GAC rechts van de polen .
* **Stabiliteit (BIBO):** Een systeem is BIBO-stabiel als het GAC van $H(s)$ de imaginaire as bevat. Voor causale LTI-systemen met een rationale overdrachtsfunctie, liggen de polen van $H(s)$ links van de imaginaire as .
#### 5.2.7 Eenzijdige Laplace-transformatie
De eenzijdige Laplace-transformatie wordt gedefinieerd voor signalen die nul zijn voor $t<0$, en wordt gegeven door:
$$^1L\{x(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$$ .
Het GAC is hier altijd een rechterhalfvlak. Deze transformatie is essentieel voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden .
#### 5.2.8 Differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden
De eenzijdige Laplace-transformatie biedt een krachtige methode om differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden op te lossen. De transformatie van de differentiaalvergelijking resulteert in een algebraïsche vergelijking in het s-domein, waarin de beginvoorwaarden expliciet worden meegenomen. De uiteindelijke oplossing wordt verkregen door een inverse Laplace-transformatie .
#### 5.2.9 Toestandsmodel
Het toestandsmodel voor LTI-systemen kan ook worden geanalyseerd met behulp van de Laplace-transformatie, wat leidt tot een algebraïsche oplossing voor de toestandsvectoren en de uitgang. Dit omvat het bepalen van de overdrachtsfunctie vanuit de systeemmatrices A, B, C, en D .
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Signaal | Een functie die informatie voorstelt, vaak afhankelijk van tijd of een andere continue of discrete variabele. |
| Systeem | Een entiteit die signalen transformeert; het kan worden voorgesteld als een functie die een ingangssignaal omzet in een uitgangssignaal. |
| Domein | Het bereik van waarden waarover een functie of signaal gedefinieerd is. |
| Codomein | Het bereik van mogelijke uitkomsten of waarden die een functie kan aannemen. |
| Continue-tijdsignaal | Een signaal waarvan het domein een continu interval van reële getallen is. |
| Discrete-tijdsignaal | Een signaal waarvan het domein een discrete verzameling van getallen is, vaak gehele getallen die stappen of tijdstippen voorstellen. |
| Lineair systeem | Een systeem dat voldoet aan de eigenschappen van homogeniteit en additiviteit: S(αu1 + βu2) = αS(u1) + βS(u2). |
| Tijdinvariant systeem | Een systeem waarvan het gedrag niet verandert over de tijd. Dit betekent dat als een ingangssignaal wordt vertraagd, de uitgang hetzelfde vertraagde signaal is. |
| Impulsantwoord | De uitgang van een LTI systeem wanneer de ingang de eenheidsimpuls (Dirac-delta of Kronecker-delta) is. Het bepaalt volledig het gedrag van een LTI systeem. |
| Convolutie | Een wiskundige operatie die de interactie tussen twee functies beschrijft, vaak gebruikt om de uitgang van een LTI systeem te berekenen als gevolg van de ingang en het impulsantwoord. |
| Fourier-reeks (FR) | Een representatie van een periodiek signaal als een som van complexe exponentiëlen van verschillende frequenties. |
| Fourier-transformatie (FT) | Een transformatie die een signaal in het tijddomein omzet naar een representatie in het frequentiedomein, gebruikt voor aperiodieke signalen. |
| z-transformatie | Een discrete-tijd analyse-instrument dat discrete-tijdsignalen omzet naar een complexe frequentievariabele 'z', analoog aan de Laplace-transformatie voor continue tijd. |
| Laplace-transformatie | Een continue-tijd analyse-instrument dat signalen omzet naar de complexe frequentievariabele 's', essentieel voor het analyseren van differentiaalvergelijkingen en LTI systemen. |
| Frequentieantwoord | De reactie van een LTI systeem op een sinusoïdale ingang van een specifieke frequentie. Het wordt verkregen door de overdrachtsfunctie te evalueren op de imaginaire as ($s = i\omega$) of op de eenheidscirkel ($z = e^{i\omega}$). |
| Overdrachtsfunctie (Transferfunctie) | Een rationele functie in $z$ (voor discrete tijd) of $s$ (voor continue tijd) die het gedrag van een LTI systeem karakteriseert, vaak verkregen door de Laplace- of z-getransformeerde van het impulsantwoord te nemen. |
| BIBO-stabiliteit | Een systeem is BIBO-stabiel (Bounded Input Bounded Output) als elke begrensde ingang resulteert in een begrensde uitgang. Voor LTI systemen is dit equivalent aan de absolute convergentie van het impulsantwoord. |
| Causaliteit | Een systeem is causaal als de uitgang op een bepaald moment alleen afhangt van de ingang op het huidige moment of in het verleden, en niet van toekomstige ingangen. |
| Toestandsmodel | Een wiskundig model dat het gedrag van een systeem beschrijft aan de hand van zijn interne toestand, ingang en uitgang, met een update-functie die de volgende toestand en uitgang bepaalt op basis van de huidige toestand, ingang en tijd. |
| Matrixvoorstelling | Een lineair toestandsmodel kan worden voorgesteld door matrices A, B, C, en D die de dynamica van het systeem beschrijven. |
| GAC (Gebied van Absolute Convergentie) | Het gebied in het complexe vlak waarvoor de z- of Laplace-transformatie van een signaal absoluut convergeert. |
| Dirac-impuls ($\delta(t)$) | Een veralgemeend signaal dat nul is voor alle $t \neq 0$ en oneindig 'sterk' is op $t=0$, met een geïntegreerde waarde van 1. Het is het neutrale element voor convolutie. |
| Heaviside-functie (H(t)) | Een functie die nul is voor $t<0$ en één is voor $t \ge 0$. De afgeleide van de Heaviside-functie is de Dirac-impuls. |
| FIR-filter | Een Finite Impulse Response filter; een LTI systeem met een impulsantwoord dat slechts voor een eindig aantal tijdstappen niet nul is. |
| IIR-filter | Een Infinite Impulse Response filter; een LTI systeem met een impulsantwoord dat voor een oneindig aantal tijdstappen niet nul is, vaak gerealiseerd met recursieve differentievergelijkingen. |
Cover
Technische inzichten.docx
Summary
# Energieomzettingen en duurzame energiebronnen
Dit onderwerp behandelt de verschillende manieren waarop energie wordt omgezet en de rol van duurzame energiebronnen zoals wind, zon en waterkracht, inclusief de uitdagingen en milieu-impacts.
## 1. Energieomzettingen en duurzame energiebronnen
### 1.1 Energieomzettingen
Energie is het vermogen om arbeid te verrichten. Wanneer arbeid wordt verricht, wordt energie van de ene vorm in de andere omgezet. Energie kan niet zomaar ontstaan of verdwijnen; het wordt slechts omgezet van de ene vorm naar de andere. Bij deze omzettingen gaat echter altijd een deel van de energie verloren, doordat deze wordt omgezet in een voor ons onbruikbare vorm, zoals wrijvingswarmte.
Elk apparaat heeft een energiebron nodig om te functioneren. Deze energie kan afkomstig zijn van spierkracht, wind- en waterkracht, zonlicht, elektriciteit en de verbranding van (fossiele) brandstoffen. Uiteindelijk is bijna alle energie op aarde afkomstig van de zon. Apparaten dienen als hulpmiddelen om een bepaalde energievorm om te zetten in een andere, door ons gewenste energievorm, zoals beweging, warmte of licht.
#### 1.1.1 Omzetting naar warmte
Warmte is essentieel voor het verwarmen van gebouwen, het bereiden van voedsel, en hygiënedoeleinden.
* **Omzetten van elektrische energie in warmte:** Apparaten zoals strijkijzers, waterkokers, broodroosters en föhns zetten elektrische energie om in warmte via een verwarmingselement.
* **Omzetten van chemische energie in warmte:** Brandstoffen zoals hout, aardgas, kaarsvet, benzine en diesel bevatten chemische energie. Bij verbranding komt warmte vrij. Een centrale verwarming verbrandt bijvoorbeeld aardgas in de ketel om water te verwarmen.
* **Omzetten van bewegingsenergie in warmte:** Wrijving tussen bewegende onderdelen in machines zet bewegingsenergie om in warmte en geluidsenergie. Dit is vaak een onbruikbare vorm van energie.
#### 1.1.2 Omzetting naar licht
Kunstlicht is nodig voor verlichting wanneer de zon niet schijnt, en voor toepassingen zoals verkeerslichten, autolampen, computermonitors en zaklampen. Laserlicht wordt gebruikt voor datacommunicatie en productidentificatie.
* **Omzetten van elektrische energie in licht:** Gloeilampen verhitten een gloeidraad tot deze licht geeft. TL-buizen laten een gas of damp oplichten door middel van elektriciteit. Zaklampen gebruiken batterijen als energiebron.
* **Omzetten van chemische energie in licht:** Hout, kaarsvet, olie en gas bevatten chemische energie die bij verbranding wordt omgezet in licht en warmte.
* **Omzetten van bewegingsenergie in licht:** De bewegingsenergie van een fietswiel drijft een dynamo aan, die de bewegingsenergie omzet in elektrische energie. Deze elektrische energie wordt vervolgens in het fietslampje omgezet in lichtenergie.
#### 1.1.3 Omzetting naar beweging
Vervoermiddelen zoals fietsen, auto's en vliegtuigen, evenals apparaten zoals stofzuigers, scheerapparaten en mixers, zetten energie om in beweging.
* **Omzetten van elektrische energie in beweging:** Elektromotoren zetten elektrische energie om in bewegingsenergie. In een scheerapparaat drijven ze de mesjes aan, en in een mixer de gardes. De werking berust op de interactie tussen een elektrische draadspoel en een magneet.
* **Omzetten van chemische energie in beweging:** Verbrandingsmotoren in auto's, brommers en vliegtuigen zetten chemische energie uit brandstoffen (benzine, diesel, lpg) om in beweging. Fietsen en boodschappenkarren gebruiken indirect ook chemische energie, via de spierkracht van de gebruiker.
* **Omzetten van bewegingsenergie in beweging:** De bewegingsenergie van wind en water kan worden gebruikt om waterraderen of windmolenwieken te laten draaien. Deze rotatie wordt via tandwielen overgebracht om machines aan te drijven, zoals graanmolens of waterpompen. Tegenwoordig wordt deze bewegingsenergie vooral gebruikt om elektriciteit op te wekken in windmolens en waterkrachtcentrales.
#### 1.1.4 Omzetting naar geluid
Geluid kan worden voortgebracht door verschillende energieomzettingen:
* **Elektrische energie naar geluid:** Een elektrisch signaal wordt door een luidspreker omgezet in beweging van een membraan, wat geluidsgolven veroorzaakt.
* **Chemische energie naar geluid:** Minder direct, maar de verbranding die energie levert voor een apparaat dat geluid produceert, kan worden gezien als een indirecte omzetting.
* **Bewegingsenergie naar geluid:** De beweging van een snaar op een muziekinstrument of de trilling van een membraan in een luidspreker produceert geluid.
### 1.2 Duurzame energiebronnen
Het gebruik van fossiele brandstoffen is niet duurzaam, aangezien deze beperkt voorradig zijn en bij verbranding schadelijke gassen uitstoten die bijdragen aan het broeikaseffect en klimaatverandering. Duurzame energiebronnen bieden een alternatief.
* **Windenergie:** Moderne windmolens zetten windkracht om in elektriciteit. De windkracht op de rotorbladen drijft een turbine aan, die op zijn beurt een generator in beweging zet.
* **Zonne-energie:** Zonnepanelen, ook wel fotovoltaïsche panelen genoemd, wekken elektriciteit op uit zonlicht via een fotovoltaïsche reactie in siliciumlagen. Ze leveren ook op bewolkte dagen elektriciteit.
* **Waterkracht:** De bewegingsenergie van stromend water wordt gebruikt in waterkrachtcentrales om turbines aan te drijven, die elektriciteit opwekken.
#### 1.2.1 Uitdagingen en milieu-impacts van duurzame energie
Hoewel duurzame energiebronnen milieuvriendelijker zijn dan fossiele brandstoffen, zijn er ook uitdagingen en aandachtspunten:
* **Biomassa:** De verbranding van biomassa (organisch materiaal) werd lange tijd als een duurzaam alternatief gezien. Recent onderzoek suggereert echter dat de verbranding van hout meer koolstofdioxide kan uitstoten dan de verbranding van gas of kolen. Ook de logistiek van biomassa, waarbij materialen over grote afstanden worden getransporteerd, kan milieu-impact hebben.
* **Kernenergie:** Kernenergie produceert geen koolstofdioxide, maar genereert radioactief afval dat duizenden jaren gevaarlijk blijft en waarvoor nog geen definitieve oplossing is gevonden.
* **Energiebesparing:** Bewuster en zuiniger omgaan met energiegebruik is cruciaal voor het verminderen van de milieu-impact. Dit draagt bij aan het oplossen van milieuproblemen zoals klimaatverandering.
* **Efficiëntie van apparaten:** Het minimaliseren van energieverlies door wrijving in machines verhoogt de efficiëntie. Dit kan worden bereikt door technieken als het gebruik van kogellagers en smering.
> **Tip:** Energiebesparing draagt bij aan het oplossen van milieuproblemen zoals klimaatverandering door de vraag naar energie te verminderen, wat leidt tot minder uitstoot van broeikasgassen.
#### 1.2.2 De rol van de zon als primaire energiebron
Bijna alle energie op aarde is uiteindelijk afkomstig van de zon:
* **Directe energie:** De zon levert direct energie in de vorm van warmte en licht.
* **Indirecte energie:**
* **Wind- en waterkracht:** De zon verwarmt de aarde, wat leidt tot luchtstromingen (wind) en de watercyclus (regen, rivieren).
* **Fossiele brandstoffen en biomassa:** Steenkool, aardgas en olie zijn ontstaan uit gefossiliseerde organismen die zonlicht hebben vastgelegd in chemische energie. Biomassa, zoals planten, legt ook zonlicht vast tijdens fotosynthese.
* **Voedsel:** Mensen en dieren halen energie uit voedsel, dat oorspronkelijk door planten is geproduceerd met behulp van zonlicht.
> **Voorbeeld:** De energie die een automobilist verbruikt om te fietsen is uiteindelijk afkomstig van het voedsel dat de automobilist heeft gegeten. Dit voedsel bevat chemische energie die planten hebben opgeslagen met behulp van zonlicht. De fiets zelf gebruikt de bewegingsenergie van de fietser, die wordt geleverd door de verbranding van voedsel in het lichaam.
---
# Bewegings- en overbrengingsprincipes
Zeker, hier is een gedetailleerde studiehandleiding over "Bewegings- en overbrengingsprincipes" gebaseerd op de verstrekte documentinhoud, conform uw specificaties.
## 6.4 Bewegings- en overbrengingsprincipes
In een apparaat brengt een overbrenging een beweging over van het ene onderdeel op het andere, waarbij de aard van de beweging kan veranderen van rechtlijnig naar ronddraaiend of omgekeerd.
### 6.4.1 Overbrengingen
Een overbrenging zet een beweging om in een andere beweging. De trollenval illustreert hoe een initiële beweging, veroorzaakt door de trol die over een draadje struikelt, via diverse onderdelen wordt overgebracht om uiteindelijk een emmer te doen kantelen. Bij alle apparaten met bewegende onderdelen is een energiebron nodig om deze aan te drijven en de bewegingsenergie naar de juiste plek over te brengen. Dit proces is efficiënt als de overbrengingen soepel verlopen, met minimaal energieverlies. Hefbomen, katrollen en tandwielen zijn veelgebruikte onderdelen voor bewegingsoverbrenging. Er worden twee hoofdtypen bewegingen onderscheiden: ronddraaiende beweging (rotatie), zoals bij een fietswiel, en rechtlijnige beweging (translatie), zoals bij een vallende emmer of een slagboom.
### 6.4.2 Van een rechtlijnige naar een rechtlijnige beweging
#### Hefbomen
Hefbomen zijn lange staven of stangen die rond een draai- of steunpunt kunnen draaien. Ze maken het mogelijk om met relatief geringe inspanning een zware last op te tillen of een weerstand te overwinnen. Voorbeelden zijn scharen, wips en tangen. Hefbomen worden ingedeeld in drie typen, afhankelijk van de positie van het draaipunt ten opzichte van de krachtuitoefening en de weerstand:
* **Primaire hefbomen:** Het draaipunt bevindt zich tussen de kracht en de weerstand. Voorbeelden zijn de wip en de tang.
* **Secundaire hefbomen:** De weerstand bevindt zich tussen het draaipunt en de krachtuitoefening. Voorbeelden zijn de kruiwagen en de notenkraker.
* **Tertiaire hefbomen:** De krachtuitoefening bevindt zich tussen het draaipunt en de weerstand. Voorbeelden zijn de hengel en de pincet.
Hefbomen worden niet alleen gebruikt om krachten te vergroten, maar ook om een grotere afstand te overbruggen of nauwkeurige handelingen uit te voeren.
> **Tip:** Denk bij de classificatie van hefbomen aan de volgorde van draaipunt, kracht en weerstand.
#### Hydraulische en pneumatische systemen
Deze systemen maken gebruik van samengeperste lucht (pneumatisch) of vloeistof (hydraulisch) in cilinders met zuigers om beweging te genereren. Ze functioneren vergelijkbaar met hefbomen door met relatief geringe inspanning een grote kracht te leveren of weerstand te overwinnen. Voorbeelden zijn verstelbare stoelen, krikken, hijskranen en graafmachines. In graafmachines zorgen hydraulische cilinders voor de beweging van de graafschop, de graafarm en stabilisatie.
> **Voorbeeld:** Een kappersstoel die omhoog beweegt door samengeperste lucht die een zuiger wegduwt.
#### Katrollen
Een katrol verandert de richting waarin een kracht wordt uitgeoefend, waardoor het mogelijk wordt om ergens aan te trekken in plaats van te duwen, vaak naar beneden toe. Hierdoor kan het eigen lichaamsgewicht effectiever worden ingezet. Enkelvoudige katrollen veranderen enkel de richting, terwijl meervoudige katrollen (takels) de benodigde inspanning aanzienlijk verminderen. De benodigde inspanning neemt ongeveer evenredig af met het aantal katrollen in een takel.
> **Voorbeeld:** Het hijsen van goederen met een haak boven een grachtenpand met behulp van een touw en een katrol.
### 6.4.3 Van een ronddraaiende naar een ronddraaiende beweging
#### Tandwielen
Tandwielen worden gebruikt om draaiende bewegingen over te brengen tussen verschillende onderdelen. Ze komen voor in bijvoorbeeld watermolens, waar de beweging van een waterrad via tandwielen wordt doorgegeven aan maalstenen.
* **Directe overbrenging:** Tandwielen grijpen direct in elkaar. De draairichting van het volgwiel is tegengesteld aan die van het aandrijfwiel.
> **Voorbeeld:** De tandwielen in een blikopener.
* **Indirecte overbrenging:** De overbrenging vindt plaats via een ketting, riem of snaar. Bij een kettingoverbrenging draaien het aandrijfwiel en het volgwiel in dezelfde richting.
> **Voorbeeld:** De tandwielen en ketting op een fiets.
Tandwielen kunnen ook de draaisnelheid aanpassen. Een kleiner tandwiel dat wordt aangedreven door een groter tandwiel zal sneller draaien, en vice versa. Dit mechanisme wordt gebruikt in fietsversnellingen.
> **Tip:** Bij directe overbrenging van tandwielen is de draairichting tegengesteld; bij indirecte overbrenging met een ketting is deze gelijk.
### 6.4.4 Van een ronddraaiende naar een rechtlijnige beweging
Dit type overbrenging wordt toegepast wanneer een draaiende beweging moet worden omgezet in een rechtlijnige beweging.
> **Voorbeeld:** Het omhoog draaien van het raampje van een auto of de staaf in een lijmstift.
Een specifiek voorbeeld is de kurkentrekker met 'armpjes'. De draaiende beweging van de hendels, via een rondsel (een klein tandwiel), wordt overgebracht op een tandheugel (een getande staaf). Dit resulteert in een rechtlijnige beweging van de tandheugel die de kurk uit de fles trekt.
### 6.4.5 Van een rechtlijnige naar een ronddraaiende beweging
Dit principe werkt omgekeerd aan het vorige, waarbij een rechtlijnige beweging wordt omgezet in een ronddraaiende beweging.
> **Voorbeeld:** Bij een slingerklok zorgt het naar beneden zakken van een gewicht (rechtlijnige beweging) ervoor dat een windas ronddraait, wat op zijn beurt de wijzers laat bewegen.
> **Doe-Opdracht:** Onderzoek de werking van een fietsbel. Identificeer hierin het aandrijfwiel, de volgwielen, mogelijke veranderingen in draairichting, de aanwezige overbrengingen, de eventuele aanwezigheid van een tandheugel en hoe het belgeluid ontstaat. Dit kan inzicht geven in diverse overbrengingsprincipes.
---
# Informatie- en communicatietechnologie
Dit studieonderdeel behandelt de fundamentele aspecten van informatie- en communicatietechnologie (ICT), inclusief de werking van computers, digitale gegevensrepresentatie, telecommunicatieprincipes en de rol van essentiële componenten zoals transistors en elektromagnetische straling.
## 3. Informatie- en communicatietechnologie
### 3.1 De computer en digitale signalen
De computer, een apparaat dat tegenwoordig onmisbaar is in veel huishoudens, is genoemd naar het Engelse werkwoord 'to compute', wat 'rekenen' betekent. Hoewel computers veel meer kunnen dan alleen wiskundige problemen oplossen, is de kern van hun werking gebaseerd op getallenreeksen, met name nullen en enen. Dit digitale principe maakt het mogelijk om informatie foutloos op te slaan, te verwerken en te verzenden, zonder het verlies van kwaliteit dat bij analoge signalen optreedt.
#### 3.1.1 Bits en bytes
De kleinste eenheid van digitale informatie is een **bit** (b), wat staat voor 'binary digit'. Een bit kan twee waarden aannemen: 0 (uit) of 1 (aan). Om alle mogelijke tekens, zoals cijfers, letters en leestekens, weer te geven, worden bits gecombineerd in grotere eenheden.
* Een **byte** (B) bestaat uit 8 bits. Door 8 bits te combineren, ontstaan er $2^8 = 256$ verschillende combinaties. Elke unieke byte-combinatie kan één specifiek teken representeren.
#### 3.1.2 Transistors en chips
Transistors spelen een cruciale rol in de werking van computers en andere elektronische apparaten. Ze kunnen fungeren als signaalversterkers en, belangrijker nog voor digitale systemen, als schakelaars. Een transistor kan 'aan' of 'uit' staan, wat direct overeenkomt met de 1 en 0 in de computertaal. Miljoenen van deze minuscule transistors zijn geïntegreerd op **chips**, kleine schijfjes silicium die slechts enkele millimeters groot zijn. Op één vierkante millimeter kunnen wel 25 miljoen transistors passen.
> **Tip:** De digitalisering van analoge signalen (zoals geluid en beeld) naar reeksen van bits en bytes heeft als groot voordeel dat de opslag, verwerking en verzending in principe zonder fouten kan plaatsvinden, waardoor 'ruis' wordt voorkomen.
### 3.2 Telecommunicatie en signalen
Telecommunicatie maakt het mogelijk om informatie over grote afstanden te versturen. Beeld en geluid worden hierbij omgezet in signalen. Deze signalen kunnen verschillende vormen aannemen:
* **Elektrische signalen:** Stroomstootjes die door elektriciteitskabels reizen.
* **Optische signalen:** Lichtflitsjes die door glasvezelkabels worden verzonden.
* **Elektromagnetische straling:** Golven die zich door de ether voortplanten, met name gebruikt voor draadloze communicatie.
#### 3.2.1 Historische ontwikkeling
* **Telegraaf:** De telegraaf, uitgevonden door Samuel Morse, was een revolutionaire ontwikkeling in de 19e eeuw. Door het combineren van elektriciteit en magnetisme kon Morse een magneet op afstand laten bewegen, waardoor stroomstootjes door draden werden verzonden. Deze stroomstootjes werden aan het ontvangende uiteinde omgezet in punten en streepjes, volgens het **morsealfabet**, waarmee berichten konden worden verzonden. Het woord 'telegraaf' betekent letterlijk 'op afstand schrijven'.
* **Telefoon:** Voortbouwend op het principe van de telegraaf, maakte de telefoon het mogelijk om spraak over grote afstanden te versturen. In de microfoon zetten geluidstrillingen een membraan in beweging, wat resulteert in een elektrisch signaal. In de luidspreker van de ontvangende telefoon wordt dit elektrische signaal weer omgezet in geluid.
#### 3.2.2 Draadloze communicatie en elektromagnetische straling
Een van de belangrijkste doorbraken voor mobiele communicatie was de ontdekking van **elektromagnetische straling**. Deze straling ontstaat door snelle afwisseling van elektriciteit en magnetisme. Door deze stralingsgolven aan of uit te zetten, kan informatie razendsnel worden verzonden, met de snelheid van het licht (ongeveer 300.000 km/s). Mobiele telefoons gebruiken deze straling om via zendmasten, schotels en satellieten draadloos te communiceren.
* **Radiogolven:** Een vorm van elektromagnetische straling die niet hoorbaar is, maar wel met de lichtsnelheid reist. Om radiogolven te kunnen beluisteren, moet het signaal in een ontvanger worden omgezet naar elektrische signalen, versterkt en vervolgens door een luidspreker hoorbaar gemaakt. De **transistor** was een cruciale uitvinding voor de radio-ontwikkeling, waardoor radio's kleiner en energiezuiniger werden (de transistorradio).
#### 3.2.3 Moderne telecommunicatie
* **Televisie:** Vroeger werden televisiesignalen analoog via radiogolven de ether in gestuurd. Tegenwoordig gebeurt dit digitaal via glasvezelkabels, satellieten of de ether. Een **decoder** zet deze digitale signalen om in beeld en geluid.
* **Internet:** Het internet, een wereldwijd netwerk van computers, maakt wereldwijde communicatie mogelijk. Verbinding kan via kabel of draadloos. De signalen worden door een **modem** vertaald tussen telefoon- of kabelnetwerk en computertaal.
### 3.3 Embedded systems
Computers zijn niet alleen zelfstandige apparaten, maar worden ook steeds vaker ingebouwd in andere apparaten, de zogenaamde **embedded systems** (ingebedde systemen). Deze systemen geven apparaten een vorm van 'intelligent gedrag'. Voorbeelden hiervan zijn pinautomaten, moderne auto's, huishoudelijke apparaten zoals vaatwasmachines, en robots. De snelle ontwikkeling op dit gebied wordt gedreven door de dalende productiekosten en de miniaturisering van chips, wat leidt tot een toenemende rekenkracht en dataverwerkingscapaciteit in deze ingebouwde computers.
> **Tip:** De toenemende populariteit van 'embedded systems' wordt gezien als een belangrijke innovatiegolf, na de opkomst van het internet en mobiele telefoons.
#### 3.3.1 Componenten van embedded systems
Embedded systems bestaan doorgaans uit vier hoofddelen:
1. **Sensoren:** Deze fungeren als kunstmatige zintuigen die de omgeving waarnemen en informatie doorgeven als elektrische signalen. Voorbeelden zijn druksensoren of lichtsensoren in een robot.
2. **Communicatiegedeelte:** Verzorgt de overdracht van signalen van de sensoren naar de processor.
3. **Informatieverwerkend gedeelte:** Dit omvat de processor en de software die de ontvangen informatie verwerkt en commando's genereert.
4. **Actuator:** Een mechanisme dat de commando's van de processor uitvoert, wat leidt tot een actie.
#### 3.3.2 Automatische systemen
Binnen embedded systems kunnen we verschillende soorten automatische systemen onderscheiden:
* **Meetsysteem:** Meet een bepaalde grootheid (bijvoorbeeld temperatuur) en geeft deze weer als een meetwaarde.
* Schema: Invoer (sensor) -> Verwerking -> Uitvoer (meetwaarde).
* **Stuursysteem:** Zet een specifieke actie in gang op een bepaald moment, gebaseerd op input.
* Schema: Invoer (sensor) -> Verwerking -> Uitvoer (actie).
* **Regelsysteem:** Zorgt ervoor dat een bepaalde grootheid constant blijft of dicht bij een gewenste waarde blijft, vaak met behulp van feedback.
* Schema: Invoer (sensor) -> Verwerking -> Uitvoer (actie met feedback).
Deze systemen zijn essentieel voor het functioneren van veel geautomatiseerde apparaten, waardoor ze zelfstandig op hun omgeving kunnen reageren zonder directe menselijke tussenkomst.
---
# Constructies: materialen, verbindingen en vormen
Hieronder volgt een gedetailleerde studiehandleiding over constructies, met focus op materialen, verbindingen en vormen.
## 4 Constructies: materialen, verbindingen en vormen
De stevigheid en stabiliteit van constructies worden bepaald door de keuze van materialen, de manier waarop onderdelen verbonden zijn, en de toegepaste vormen zoals driehoeken en bogen.
### 4.1 Stevigheid en stabiliteit
Een constructie is een geheel waarbij verschillende onderdelen één geheel vormen. De functie van een constructie is bepalend voor de keuze van materialen, verbindingen en vormen. Constructies worden blootgesteld aan interne krachten (het eigen gewicht) en externe krachten (zoals wind). Stevigheid en stabiliteit zijn cruciaal voor constructies om deze krachten te weerstaan. Men kan vaste constructies onderscheiden (zoals elektriciteitsmasten en zitbanken) en beweegbare constructies (zoals ophaalbruggen en draaimolens).
### 4.2 Materialen
Materiaal is de stof waarvan een voorwerp gemaakt is. Materialen kunnen natuurlijk (hout, steen, leer) of kunstmatig (plastic, glas, beton) zijn. Natuurlijke materialen vereisen vaak bewerking tot bruikbare halffabricaten, zoals houten planken uit boomstammen. Kunstmatige materialen worden verkregen uit grondstoffen, zoals plastic uit aardolie.
De keuze van een materiaal hangt af van de functie van het product en de daaraan gestelde eisen. Een theedoek vereist soepel, wateropnemend en wasbaar materiaal zoals katoen. Een fluitketel moet warmte goed geleiden (staal), terwijl het handvat warmte-isolerend moet zijn (kunststof of hout). Glas is geschikt voor wijnglazen vanwege waterdichtheid, smaakneutraliteit en doorzichtigheid.
Voor constructies zijn materialen met stijfheid en weerstand tegen krachten belangrijk. Echter, andere eisen zoals lichtgewicht en opvouwbaarheid (bijvoorbeeld voor tentdoek) kunnen leiden tot de keuze van materialen die sterk zijn tegen trekkrachten maar niet noodzakelijk stijf.
Verbetering van materiaaleigenschappen kan door:
* **Combineren van materialen:** Bijvoorbeeld het toevoegen van staaldraad aan beton (gewapend beton) voor extra stevigheid, of het mengen van katoen met polyester voor kreukherstel.
* **Mengen van materialen (legeringen):** Staal (ijzer met koolstof) is sterker en slijtvaster dan ijzer. Roestvrij staal (met chroom en nikkel) is bestand tegen roest.
> **Tip:** Analyseer bij producten de relatie tussen het gekozen materiaal, de oorspronkelijke grondstof en de eigenschappen die dit materiaal geschikt maken voor de specifieke functie.
### 4.3 Verbindingen
Verbindingen zorgen ervoor dat losse onderdelen één geheel vormen en bepalen de eigenschappen van een constructie (star of beweeglijk). Er zijn verschillende soorten verbindingen:
* **Materiaaverbindingen:** Los materiaal wordt gebruikt om onderdelen te bevestigen (lijmen, solderen, metselen). Deze verbindingen zijn meestal permanent, star en niet uit elkaar te halen zonder schade. Ze dragen bij aan een stevige constructie.
* **Vormverbindingen:** De vorm van twee onderdelen creëert de verbinding (legpuzzel, schroefdraad, Lego-stenen). Deze zijn vaak los-vast en star, waardoor ze een stevige constructie vormen. In kindermateriaal worden vaker los-vaste verbindingen gebruikt voor herbruikbaarheid en recycling.
* **Voorwerpverbindingen:** Een apart voorwerp verbindt onderdelen (nieten, veters, schroeven, spijkers). Deze kunnen permanent (spijkers) of los-vast zijn (schroeven, klittenband, ritsen).
Bewegende onderdelen vereisen beweeglijke verbindingen, zoals een draaias voor een wiel of een scharnier van een deur.
> **Tip:** Maak een overzicht van verschillende voorwerpen en analyseer welk type verbinding er gebruikt wordt en waarom. Denk na over de voor- en nadelen van permanente versus los-vaste verbindingen in relatie tot het gebruik en de recyclebaarheid van het product.
### 4.4 Vormen
De vorm van een constructie is cruciaal voor de stevigheid en stabiliteit.
* **Driehoeken:**
* Driehoeken zijn uiterst vormvast en sterk.
* Bij het uitoefenen van druk- of trekkrachten op een hoek, ontstaan er drukkrachten in de aanliggende zijden en trekkrachten in de tegenoverliggende zijde. Deze krachten heffen elkaar op, waardoor de vorm behouden blijft.
* Driehoeken worden veel toegepast in dragende constructies zoals elektriciteitsmasten en bruggen.
* **Vierhoeken:**
* Vierhoeken zijn van nature beweeglijk.
* Deze beweeglijkheid wordt soms benut (bv. ophaalbruggen).
* Wanneer beweeglijkheid ongewenst is (bv. steigers, boekenkasten), kan de vierhoek gestabiliseerd worden door een diagonaal of kruis toe te voegen. Hierdoor ontstaan er driehoeken binnen de vierhoek, wat de stevigheid verhoogt.
* **Bogen:**
* Bogen zijn uitstekend in staat drukkrachten op te vangen en verdelen krachten gelijkmatig.
* Boogbruggen en koepeltenten maken gebruik van deze eigenschap om doorzakken te voorkomen.
* Een boogvorm is veel steviger dan een plat vlak, zoals gedemonstreerd kan worden met een vel papier tussen twee boeken.
* **Piramides:**
* Piramidale vormen, met een brede basis en een smalle top, bieden grote stevigheid en stabiliteit.
* Oude Egyptische piramides en moderne constructies zoals elektriciteitsmasten maken gebruik van deze vormprincipes.
* **Profielen:**
* Profielen (zoals een L-profiel, vierhoeksprofiel, buisprofiel) zijn vormen die worden toegepast om materialen steviger te maken met minder materiaal.
* Ze zijn lichter en goedkoper dan massieve elementen.
* Een holle buis is net zo stevig als een massieve stang, omdat de grootste trek- en drukkrachten aan de buitenkant optreden. Materiaal kan weggelaten worden in het midden waar de krachten gering zijn.
> **Tip:** Experimenteer met het bouwen van verschillende vormen (driehoeken, vierhoeken) met materialen zoals karton en splitpennen om de inherente stabiliteit van elke vorm zelf te ervaren.
>
> **Voorbeeld:** Een driehoekig frame van rietjes is veel stabieler dan een vierkant frame, omdat het niet gemakkelijk kan vervormen onder druk. Dit principe is essentieel voor het ontwerpen van stevige structuren zoals torens en bruggen.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Energie | Het vermogen om arbeid te verrichten, waarbij energie van de ene vorm in de andere wordt omgezet. |
| Arbeid | Een verplaatsing die plaatsvindt onder invloed van een kracht, waarbij energie wordt overgedragen of omgezet. |
| Energieomzetting | Het proces waarbij energie van de ene energievorm wordt getransformeerd naar een andere energievorm, zoals van chemische energie naar warmte. |
| Duurzame energiebronnen | Energiebronnen die hernieuwbaar zijn en waarvan de exploïtatie een minimale impact heeft op het milieu, zoals zonne-energie, windenergie en waterkracht. |
| Broeikas-effect | Het fenomeen waarbij bepaalde gassen in de atmosfeer zonnewarmte vasthouden, wat leidt tot een stijging van de gemiddelde temperatuur op aarde en klimaatverandering. |
| Biomassa | Organisch materiaal van plantaardige of dierlijke oorsprong dat gebruikt kan worden als energiebron, zoals hout, mest en GFT-afval. |
| Kernenergie | Energie die vrijkomt bij kernsplijting of kernfusie, met voordelen zoals geen CO2-uitstoot, maar ook nadelen zoals radioactief afval. |
| Wrijving | Een weerstandskracht die optreedt wanneer twee oppervlakken langs elkaar bewegen, waarbij bewegingsenergie wordt omgezet in warmte en geluid. |
| Kogellager | Een mechanisch onderdeel dat wrijving vermindert tussen bewegende delen door middel van rollende elementen, wat de efficiëntie verhoogt. |
| Smering | Het aanbrengen van een smeermiddel zoals olie of vet tussen bewegende onderdelen om wrijving te verminderen en slijtage tegen te gaan. |
| Bewegingsenergie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn beweging. |
| Potentiële energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn positie of toestand, zoals zwaartekrachtspotentieel of elastische potentiële energie. |
| Rechtlijnige beweging | Een beweging waarbij een voorwerp zich langs een rechte lijn verplaatst, ook wel translatie genoemd. |
| Ronddraaiende beweging | Een beweging waarbij een voorwerp rond een as of middelpunt draait, ook wel rotatie genoemd. |
| Hefboom | Een starre stang die draait om een vast steunpunt en gebruikt wordt om met een relatief kleine kracht een grote weerstand te overwinnen of om een beweging te versterken. |
| Katrol | Een wiel met een groef waarin een touw loopt, gebruikt om de richting van een kracht te veranderen of om met minder inspanning een last op te tillen. |
| Tandwiel | Een wiel met tanden die in elkaar grijpen om een draaiende beweging over te brengen en eventueel de draairichting of -snelheid te veranderen. |
| Transistor | Een halfgeleidercomponent die gebruikt wordt om elektrische signalen te versterken of als schakelaar in elektronische circuits, essentieel voor computers en moderne elektronica. |
| Informatie- en communicatietechnologie | Het vakgebied dat zich bezighoudt met het verzenden, ontvangen, opslaan en verwerken van informatie met behulp van technologie. |
| Digitaal signaal | Een signaal dat wordt weergegeven als een reeks discrete waarden, meestal enen en nullen, in tegenstelling tot analoge signalen die continu variëren. |
| Bit | De kleinste eenheid van digitale informatie, die slechts twee waarden kan aannemen: 0 (uit) of 1 (aan). |
| Byte | Een groep van acht bits, die gebruikt kan worden om een enkel teken, cijfer of symbool weer te geven. |
| Elektromagnetische straling | Energie die zich voortplant in de vorm van golven, zoals radiogolven, licht en röntgenstraling, ontstaan door de interactie van elektrische en magnetische velden. |
| Embedded system | Een computer die ingebouwd is in een apparaat om specifieke functies uit te voeren en geautomatiseerd gedrag te vertonen, zoals in een smartphone of auto. |
| Sensor | Een apparaat dat een fysische grootheid meet (bijvoorbeeld temperatuur, licht, druk) en dit omzet in een elektrisch signaal dat verder verwerkt kan worden. |
| Constructie | Een samengesteld geheel van onderdelen die samen een functionele structuur vormen, zoals een huis, brug of meubel. |
| Materiaal | De stof waarvan een voorwerp gemaakt is, zoals hout, metaal, plastic of textiel, gekozen op basis van zijn eigenschappen en de functie van het product. |
| Verbinding | De manier waarop de verschillende onderdelen van een constructie aan elkaar worden bevestigd, zoals lijmen, schroeven, lassen of vormen. |
| Vorm | De geometrische configuratie van onderdelen binnen een constructie, zoals driehoeken, bogen of profielen, die cruciaal is voor stevigheid en stabiliteit. |
| Staal | Een legering van ijzer en koolstof, bekend om zijn sterkte en veelzijdigheid, gebruikt in constructies, gereedschappen en voertuigen. |
| Gewapend beton | Beton versterkt met staaldraad of -vezels, wat de treksterkte en algemene stevigheid aanzienlijk verhoogt voor grotere constructies. |
| Profielen | Structurele vormen (bijvoorbeeld L-profiel, buisprofiel) die worden gebruikt in constructies om materiaal te besparen en de stevigheid te vergroten, vaak door de krachten efficiënt te verdelen. |