Hoofdstuk 2 CSA-model en didactische materialen (1).pdf

# Het CSA-model voor wiskundeonderwijs Het CSA-model beschrijft een driedelige opbouw voor het aanbrengen van nieuwe wiskundige begrippen, gericht op de overgang tussen de concrete, schematische en abstracte fasen, met de nadruk op het belang van materialen [4](#page=4). ### 1.1 Inleiding tot het CSA-model Bij het introduceren van een nieuw wiskundig begrip wordt een consistente opbouw gehanteerd die bestaat uit drie fasen: de concrete, de schematische en de abstracte fase, samengevat als het CSA-model [4](#page=4). Er gelden twee fundamentele regels bij het doorlopen van deze fasen: * Elke fase moet een voorbereiding zijn op de volgende, waarbij opdrachten specifiek worden gekozen om de overgang naar de volgende fase te ondersteunen [4](#page=4). * Bij moeilijkheden of fouten in een bepaalde fase moet er teruggeschakeld worden naar het niveau waarop de leerling de oplossing wel kan vinden. Leerlingen moeten na verloop van tijd de vaardigheid ontwikkelen om zelf terug te gaan naar een lager niveau bij uitdagingen [4](#page=4). ### 1.2 De concrete fase In de concrete fase voeren leerlingen zelf handelingen uit met behulp van materiaal. Dit materiaal kan afkomstig zijn uit de leefwereld van de leerlingen, zoals auto's of blokjes, of bestaan uit gestructureerde materialen zoals MAB-materiaal [4](#page=4). Aanvankelijk worden de materiële handelingen zeer gedetailleerd uitgevoerd, waarbij alle deelhandelingen achter elkaar plaatsvinden. Door te manipuleren met het materiaal vinden leerlingen vaak zelf manieren om de opdracht sneller of korter uit te voeren, of uiteindelijk zelfs zonder het materiaal. Indien een leerling niet uit zichzelf begint te verkorten, kan de leerkracht stimuleren of een verkorte werkwijze voorstellen [4](#page=4) [5](#page=5). > **Voorbeelden van de concrete fase:** > * "Je krijgt per bank acht kastanjes. Verdeel de kastanjes zodat jij en je buur er evenveel hebben." [5](#page=5). > * Leerlingen vullen een fles van twee liter met een beker van vijfentwintig centiliter [5](#page=5). **Aandachtspunten bij de concrete fase:** * Het is belangrijk om met diverse soorten materialen te werken, niet alleen met één type. Eerst wordt er vaak gewerkt met materialen uit de leefwereld van de leerlingen voor herkenbaarheid en motivatie, daarna met meer gestructureerde materialen [5](#page=5). * Het gelijktijdig verwoorden van de handeling is essentieel; de leerling zegt wat hij doet terwijl hij het doet. Dit helpt de leerkracht de denkwijze te volgen en is cruciaal voor de leerling om los te komen van het materiaal en over te gaan naar de volgende fase [5](#page=5). * Gebrekkig inzicht in een begrip op latere momenten is vaak te herleiden tot deze fase, waarbij de materiële handeling weliswaar werd uitgevoerd, maar er te snel werd overgestapt naar de volgende fase [5](#page=5). * De materiële handeling mag niet als doel op zich worden overbeklemtoond; het is de handeling zelf die essentieel is, niet zozeer het resultaat. Een leermiddel is pas waardevol als het de overgang naar mentaal rekenen ondersteunt [5](#page=5). * Jonge leerlingen kunnen geneigd zijn met het materiaal te spelen. Het kan zinvol zijn om hen eerst de tijd te geven het materiaal te verkennen voordat een opdracht wordt gegeven [5](#page=5). * Werkbladen horen niet thuis in deze fase; de focus ligt op het manipuleren van tastbare materialen. Het noteren van tussenresultaten is wel mogelijk [5](#page=5). * Het laatste stadium van deze fase, dat overgaat naar het volgende niveau, is het perceptief handelen, waarbij een leerling een deel van het materiaal legt en de rest "erbij denkt" of "wegdenkt" [5](#page=5). ### 1.3 De schematische fase In de schematische fase wordt het handelen met concreet materiaal, dat in de vorige fase steeds meer verkort werd, weggelaten. Deze fase is een cruciale tussenfase tussen de materiële en de mentale handeling [6](#page=6). Leerlingen voeren in deze fase geen handelingen meer uit met concreet materiaal, maar verwoorden wat ze doen, ondersteund door schematische voorstellingen. Schematische voorstellingen zijn doorgaans tweedimensionale representaties zoals foto's, tekeningen of schema's [6](#page=6). Net als in de concrete fase zullen leerlingen ook hier verkortingen doorvoeren. Eerst worden alle stappen luidop gezegd, later worden ze stil (voor zichzelf) gezegd, waarbij steeds meer tussenstappen worden weggelaten. De tussenstappen worden verinnerlijkt en komen los van de aanschouwelijke steun, en handelingen worden steeds meer geautomatiseerd. Werkbladen en schema's kunnen in deze fase worden ingezet [6](#page=6). > **Voorbeelden van de schematische fase:** > * "Verdeel de vissen zodat Suske en Wiske er elk evenveel krijgen." [6](#page=6). > * "Hassan raapt 's morgens acht eitjes bij de kippen van oma. Namiddag gebruikt oma drie eitjes om een taart te bakken. Hoeveel eitjes zijn er nog over?" [7](#page=7). > * Illustraties met figuren die koekjes bakken [7](#page=7). **Aandachtspunten bij de schematische fase:** * Bij de minste aarzeling of mislukking moet de leerkracht terugvallen op het concrete materiaal. Het materiaal dient zichtbaar aanwezig te zijn, zodat leerlingen het zelf kunnen gebruiken indien nodig [7](#page=7). * Deze fase mag niet te snel worden verkort; leerlingen zullen dit uit zichzelf doen wanneer ze er klaar voor zijn. Enkel bij langdurige moeilijkheden kan voorzichtig geprobeerd worden deze fase te verkorten [7](#page=7). * De schematische fase is van groot belang als verbindingsweg tussen de concrete handeling en het gewenste eindgedrag (mentale handeling). Het is echter geen doel op zich en de tijd en aandacht die eraan besteed wordt, hangt af van de klas en de leerlingen [7](#page=7). ### 1.4 De abstracte fase In de abstracte fase zijn de oorspronkelijke, materiële handelingen zodanig verkort en verinnerlijkt dat het oplossen van een probleem een denkactiviteit wordt, waarbij inzicht en geheugen een belangrijke rol spelen. Het oplossen van een probleem wordt hierdoor een 'mentale' handeling [8](#page=8). > **Voorbeelden van de abstracte fase:** > * $3 + 2 = \dots$ [8](#page=8). > * Het dubbel van vier is.. [8](#page=8). > * Reken uit en vereenvoudig: $\frac{5}{12} + \frac{4}{8} = \dots$ [8](#page=8). > * Vul aan: $350 \text{ cl} + 120 \text{ ml} = \dots \text{ dl}$ [8](#page=8). > * Hoeveel is twee komma vijf procent van tweeduizend [8](#page=8)? **Aandachtspunten bij de abstracte fase:** * Hoewel deze fase steunt op het geheugen, mag ze niet worden gezien als "indrillen". Ingedrilde bewerkingen (bv. vijf maal vijf is vijfentwintig) bieden geen inzicht en leiden ertoe dat de bewerking niet kan worden opgelost als deze vergeten wordt [8](#page=8). * Splitsingen, bewerkingen en oefeningen moeten in deze fase in de meest diverse vormen worden aangeboden. Het doel is om de leerstof flexibel te kunnen gebruiken in verschillende situaties [8](#page=8). * Er mag niet te snel worden vooruitgegaan; leerlingen moeten voldoende tijd krijgen om hun pas verworven kennis in te oefenen [8](#page=8). --- # Didactische materialen in wiskundeonderwijs Didactische materialen vormen een essentieel onderdeel van het wiskundeonderwijs en ondersteunen de leerlingen in verschillende fasen van het leerproces, van concreet handelen tot abstract denken. Het gebruik van deze materialen is nauw verbonden met het Concrete-Schematisch-Abstract (CSA)-model [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17). ### 2.1 Fasen van het CSA-model en didactische materialen Het CSA-model beschrijft de ontwikkeling van wiskundig inzicht via drie fasen: de concrete, de schematische en de abstracte fase. In elke fase spelen specifieke soorten didactische materialen een rol. #### 2.1.1 Concrete fase In de concrete fase ligt de nadruk op het handelen met voorwerpen om wiskundige concepten te ervaren. ##### 2.1.1.1 Concrete materialen uit de leefwereld Dit zijn alledaagse voorwerpen die leerlingen kennen en kunnen gebruiken om wiskundige ervaringen op te doen. Ze zijn niet specifiek ontworpen voor onderwijsdoeleinden [15](#page=15). * **Voorbeelden:** poppen, autootjes, knikkers, Legoblokjes, stoelen, potloden, flesjes, appels [15](#page=15). * **Zelfs leerlingen:** kunnen als concreet materiaal fungeren, bijvoorbeeld door zich te ordenen op grootte of aantallen [15](#page=15). * **Belang:** Ondanks dat leerkrachten het soms als tijdrovend ervaren, is het werken met deze materialen een rijke en noodzakelijke bron voor het leggen van verbanden met de leefwereld van de leerlingen [15](#page=15). ##### 2.1.1.2 Concrete gestructureerde materialen Deze materialen zijn specifiek ontwikkeld om mee te leren rekenen en bevatten een vooropgestelde structuur die het leren structureren van hoeveelheden en getallen ondersteunt [16](#page=16). * **Voorbeelden:** MAB-materiaal, breukstokken, rekenrek (abacus), lus-abacus [16](#page=16). #### 2.1.2 Schematische fase In deze fase worden abstractere representaties gebruikt, meestal in een tweedimensionaal vlak. * **Materialen:** Afbeeldingen, tekeningen en schema's op bord, schoolbank of papier [16](#page=16). * **Voorbeelden uit leefwereld:** Tekeningen van objecten uit de leefwereld, zoals een tekening van appels waarvan de helft rood gekleurd moet worden [17](#page=17). * **Schematische vorm van gestructureerde materialen:** * Magnetisch MAB-materiaal voor aan het bord [17](#page=17). * Kaartjes met getalbeelden [17](#page=17). * Tekeningen van breuken, bijvoorbeeld in taartvorm [17](#page=17). #### 2.1.3 Abstracte fase In de abstracte fase worden wiskundige concepten zonder directe materiële of visuele ondersteuning behandeld. * **Materialen:** Oefeningen in werkboekjes of werkblaadjes komen hier het meest voor [17](#page=17). * **Spelletjes:** Sommige spelletjes bieden ook abstracte oefeningen [17](#page=17). ### 2.2 Twee voorbeelden van gestructureerde materialen #### 2.2.1 Het MAB-materiaal MAB staat voor Multibase Arithmetic Blocks en is ontworpen om het tiendelig talstelsel te visualiseren [19](#page=19). * **Opbouw:** Bestaat uit blokjes voor eenheden, staafjes voor tientallen, plakken voor honderdtallen en een grote kubus voor duizendtallen [19](#page=19). * **Inzicht in grotere getallen:** De materialen hebben inkepingen die tonen hoe eenheden, tientallen en honderdtallen zijn opgebouwd, wat helpt bij het voorstellen van grotere getallen [19](#page=19). * **Wiskundige handelingen met MAB-materiaal:** * **Getallen leggen:** Alle getallen van 1 tot en met 1999 kunnen gelegd worden [19](#page=19). * **Hoeveelheden vergelijken:** Leerlingen kunnen hoeveelheden naast elkaar leggen en vergelijken, waarbij het inzicht in de waarde van de materialen essentieel is (bv. 18 kan meer materiaal vereisen dan 21, maar 21 is groter) [19](#page=19). * **Bewerkingen uitvoeren:** * Optellen: door blokjes bij te leggen [20](#page=20). * Aftrekken: door blokjes weg te nemen [20](#page=20). * Vermenigvuldigen: door een hoeveelheid meerdere keren te leggen [20](#page=20). * Delen: door een hoeveelheid te verdelen over hoopjes [20](#page=20). * **Inwisselen:** Tijdens bewerkingen is inwisselen cruciaal voor het begrijpen van het tientallig stelsel: * 10 eenheden worden ingewisseld voor 1 tiental [20](#page=20). * 1 honderdtal wordt omgewisseld in 10 tientallen bij aftrekken [20](#page=20). * 10 honderdtallen worden ingewisseld voor 1 duizendtal bij vermenigvuldigen [20](#page=20). * Een honderdtal wordt ingewisseld voor 10 tientallen bij delen [20](#page=20). * **Toepassing in fasen:** * Concrete fase: Handelen met het fysieke MAB-materiaal [20](#page=20). * Schematische fase: Gebruik van magnetisch MAB-materiaal [20](#page=20). * Abstracte fase: Vormen van een mentaal beeld van de getallen en handelingen [20](#page=20). #### 2.2.2 De kwadratische getalbeelden van Lay Deze getalbeelden zijn een basis voor het werken met kleine hoeveelheden en ondersteunen het aanbrengen, verinnerlijken en automatiseren van splitsen, optellen en aftrekken tot 10 [20](#page=20). * **Kenmerken:** * **Opbouw:** Elk getalbeeld bouwt voort op het vorige door de toevoeging van één bolletje volgens een vast patroon [20](#page=20). * **Flexibiliteit:** De vaste structuur maakt flexibel splitsen en combineren mogelijk, wat niet het geval is bij bijvoorbeeld dobbelsteenbeelden [20](#page=20). * **Kwadratische vorm:** Gekenmerkt door een kleine spatie tussen blokken van vier bolletjes, omdat de hoeveelheid vier makkelijk herkenbaar is [21](#page=21). * **Totaalstructuur van 10:** Alle getalbeelden zijn opgenomen in het kwadraatbeeld van 10, wat de aanvulling tot 10 direct zichtbaar maakt en essentieel is voor rekenen met overschrijding [21](#page=21). * **Dubbele rij ordening:** De ordening in een dubbele rij komt veel voor in het dagelijks leven (bv. klassenrijen, eierverpakkingen) [21](#page=21). * **Toepassing in fasen:** * Concrete fase: Gebruik van eierdozen van tien of inlegborden [21](#page=21). * Schematische fase: Gebruik van kleurplaten [21](#page=21). * Overgang naar abstracte fase: 'Flitskaarten' waarop getalbeelden kort getoond worden om het mentale beeld te versterken [22](#page=22). > **Tip:** De getalstructuur van 10 is belangrijk omdat deze de basis vormt voor ons tientallig stelsel en het rekenen met overschrijding vergemakkelijkt door de directe zichtbaarheid van de aanvulling tot 10. Bijvoorbeeld, om 7 + 5 te berekenen, kan de 7 gezien worden als 3 + 4. De 3 wordt dan gebruikt om de 7 aan te vullen tot 10, en het overgebleven deel wordt opgeteld, wat resulteert in 10 + 4 = 14. Dit wordt efficiënter met getalbeelden die de splitsing van 7 en 10 direct zichtbaar maken [4](#page=4). > **Voorbeeld:** Het kwadraatbeeld van 10 toont direct dat 7 bestaat uit 5 bolletjes en 2 bolletjes, of uit 3 bolletjes en 4 bolletjes. Dit helpt bij het splitsen en aanvullen, zoals bij de som 8 + 6. Met het getalbeeld van 8 is direct zichtbaar dat er nog 2 nodig zijn om tot 10 te komen. De 6 kan dan gesplitst worden in 2 en 4. De 2 wordt bij de 8 gevoegd om 10 te maken, en de resterende 4 wordt erbij opgeteld, wat resulteert in 10 + 4 = 14 [22](#page=22). --- # Leerdoelen en vakdidactiek Dit hoofdstuk focust op de leerdoelen met betrekking tot vakdidactiek, met specifieke aandacht voor het CSA-model en didactische materialen [3](#page=3). ### 3.1 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek De leerdoelen met betrekking tot vakdidactiek omvatten het begrijpen en toepassen van pedagogische en didactische principes in de context van het wiskundeonderwijs [3](#page=3). #### 3.1.1 Het CSA-model Het CSA-model is een didactisch raamwerk dat helpt bij het structureren van de aanbreng van nieuwe wiskundige begrippen [3](#page=3). ##### 3.1.1.1 Fasen van het CSA-model Het CSA-model bestaat uit verschillende fasen die sequentieel worden doorlopen om de leerervaring te optimaliseren [3](#page=3). * **C - Concretiseren:** Deze fase richt zich op het verbinden van het nieuwe wiskundige begrip met concrete, tastbare materialen en situaties. Het doel is om de abstracte concepten te verankeren in de belevingswereld van de leerling [3](#page=3). * **S - Schematiseren:** Na de concrete fase wordt het begrip geschematiseerd. Dit houdt in dat de essentie van het begrip wordt weergegeven in een meer abstracte vorm, zoals tekeningen, diagrammen of symbolen. Hierbij wordt de link gelegd tussen de concrete handelingen en de wiskundige representatie [3](#page=3). * **A - Abstractiseren:** De laatste fase is het abstractiseren, waarbij het begrip volledig in symbolische, wiskundige taal wordt gehanteerd. De leerling kan nu het concept zelfstandig en flexibel toepassen in diverse wiskundige contexten [3](#page=3). ##### 3.1.1.2 Belang van de CSA-fasen Het belang van de verschillende fasen van het CSA-model ligt in het faciliteren van een dieper en duurzamer begrip van wiskundige concepten [3](#page=3). * Het **concretiseren** maakt de wiskunde toegankelijk en betekenisvol door aansluiting te zoeken bij de leefwereld van de leerling [3](#page=3). * Het **schematiseren** helpt bij het ontwikkelen van het vermogen om verbanden te leggen en de structuur van wiskundige problemen te herkennen [3](#page=3). * Het **abstractiseren** stelt leerlingen in staat om wiskundige kennis flexibel en efficiënt toe te passen en te generaliseren [3](#page=3). ##### 3.1.1.3 Toepassing van het CSA-model Het aanbrengen van een nieuw wiskundig begrip moet worden opgebouwd volgens de verschillende fasen van het CSA-model. Dit betekent dat elke nieuwe leerstof eerst wordt voorgesteld met concrete materialen, vervolgens wordt verwerkt met schematische representaties en tot slot wordt geabstraheerd naar symbolische wiskunde [3](#page=3). > **Tip:** Het zorgvuldig doorlopen van elke fase van het CSA-model is cruciaal voor het voorkomen van misconcepties en het bevorderen van een robuust wiskundig begrip bij leerlingen. #### 3.1.2 Didactische materialen Naast een effectief didactisch model is de keuze en het gebruik van geschikte didactische materialen essentieel voor een geslaagde wiskundeles [3](#page=3). ##### 3.1.2.1 Soorten didactische materialen Er bestaan diverse soorten didactische materialen die ingezet kunnen worden in het wiskundeonderwijs, variërend van tastbare voorwerpen tot digitale hulpmiddelen [3](#page=3). ##### 3.1.2.2 Voor- en nadelen van didactische materialen Elk type didactisch materiaal heeft specifieke voor- en nadelen die in acht genomen moeten worden bij de lesvoorbereiding [3](#page=3). * **Voordelen** kunnen onder meer zijn: het verhogen van de betrokkenheid van leerlingen, het visualiseren van abstracte concepten, het bevorderen van actief leren en het differentiëren van instructie [3](#page=3). * **Nadelen** kunnen zijn: de kosten van aanschaf, de voorbereidingstijd, de mogelijkheid tot afleiding, en de noodzaak van gedegen vakkennis bij de leerkracht om het materiaal effectief te kunnen gebruiken [3](#page=3). > **Voorbeeld:** Een set blokjes (concretisering) kan helpen bij het introduceren van breuken. Het nadeel kan zijn dat niet elke leerling direct de stap kan maken naar de abstracte notatie ($\frac{1}{2}$). Het schematiseren (bijvoorbeeld met een cirkeldiagram) kan hierbij een brugfunctie vervullen [3](#page=3). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | CSA-model | Een didactisch model voor het aanbrengen van wiskundige begrippen, bestaande uit drie fasen: de concrete fase, de schematische fase en de abstracte fase. Dit model begeleidt leerlingen van tastbaar handelen naar mentaal begrip. | | Concrete fase | De eerste fase binnen het CSA-model, waarin leerlingen wiskundige handelingen uitvoeren met tastbaar materiaal. Dit materiaal kan afkomstig zijn uit de leefwereld van de leerling of speciaal ontworpen gestructureerd materiaal zijn. | | Schematische fase | De tussenfase in het CSA-model die de overgang vormt tussen het concrete handelen en het abstracte denken. In deze fase worden handelingen ondersteund door tweedimensionale voorstellingen zoals tekeningen, schema's en foto's. | | Abstracte fase | De laatste fase van het CSA-model, waarin wiskundige begrippen en bewerkingen volledig mentaal worden uitgevoerd. Leerlingen vertrouwen hierbij op hun inzicht, geheugen en verworven kennis, zonder directe materiële of schematische ondersteuning. | | Didactische materialen | Hulpmiddelen die ingezet worden in het onderwijs om leerlingen te helpen wiskundige concepten te begrijpen en te beheersen. Deze kunnen variëren van alledaagse voorwerpen tot specifiek ontworpen leermiddelen. | | Concrete materialen uit de leefwereld | Voorwerpen uit de directe omgeving van de leerling die gebruikt kunnen worden om wiskundige ervaringen op te doen en wiskundige handelingen uit te voeren, zonder dat deze specifiek voor educatieve doeleinden zijn ontworpen. | | Gestructureerde materialen | Leermiddelen die speciaal zijn ontwikkeld om wiskundige structuren en concepten te visualiseren en te faciliteren. Deze materialen bevatten een vooropgestelde structuur die leerlingen helpt bij het leren structureren van hoeveelheden en getallen. | | MAB-materiaal | (Multibase Arithmetic Blocks) Gestructureerd materiaal dat bestaat uit blokken van verschillende afmetingen die eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen visualiseren. Het helpt leerlingen inzicht te krijgen in het tiendelige talstelsel en wiskundige bewerkingen. | | Kwadratische getalbeelden van Lay | Visuele representaties van getallen, vaak opgebouwd uit bolletjes, die de structuur van getallen en de relaties tussen getallen tot 10 visualiseren. Ze zijn ontworpen om het splitsen, optellen en aftrekken te ondersteunen. | | Perceptief handelen | Het stadium binnen de concrete fase waarbij een leerling een deel van het materiaal nog fysiek legt, maar de rest van de hoeveelheid mentaal 'erbij denkt' of 'wegdenkt'. Dit is een voorbereiding op het loskomen van het fysieke materiaal. |