samenvatting wiskunde .docx

# Wiskunde in de kleuterklas: concepten en aanpak Dit document biedt een gedetailleerde uiteenzetting over wiskunde in de kleuterklas, gericht op de concepten en didactische aanpak van wiskundige onderwerpen zoals ordenen, seriëren, en spiegelen/symmetrie, met specifieke aandacht voor de ontwikkelingslijnen per leeftijd. ## 1. Wiskunde in de kleuterklas: concepten en aanpak Wiskunde is een integraal onderdeel van het dagelijks leven van kleuters en de kleuterklas speelt een cruciale rol bij het leggen van een wiskundige basis voor verdere ontwikkeling en functioneren in de wereld. Wiskunde in de kleuterklas kan worden aangeboden als specifieke wiskunde-activiteiten, geïntegreerd in andere activiteiten, of door in te spelen op spontaan spel. Wiskunde omvat niet alleen de aanleren van specifieke onderwerpen, maar ook logisch redeneren, problemen oplossen, vragen stellen, reflecteren en zelf ontdekken. ### 1.1 Ordenen: sorteren en classificeren Ordenen omvat verzamelen (voorwerpen samenbrengen tot een geheel) en het creëren van klassen (verzamelingen met gemeenschappelijke eigenschappen). * **Sorteren** is het groeperen van voorwerpen volgens gemeenschappelijke eigenschappen, waarbij gelijkenissen worden herkend. * **Classificeren** gaat verder door het creëren van hiërarchische ordeningssystemen, waarbij subklassen ontstaan door het doorsorteren. Dit vereist inzicht in **klasse-inclusie**, de deel-geheelverhouding. Kleuters leren dit door het herkennen van termen als 'alle', 'sommige', 'niet alle'. #### 1.1.1 Ontwikkelingslijnen bij sorteren en classificeren * **2,5-jarigen:** Nog niet in staat tot sorteren. Focus ligt op het herkennen en benoemen van basisbegrippen en eigenschappen (kleuren, groot/klein, dik/dun). Dit gebeurt door actieve exploratie en verwoording door de leerkracht. * **3-jarigen:** Kunnen sorteren met 3D-materiaal. Belangrijk is het beschrijven en vergelijken van eigenschappen. Sorteren gebeurt meestal op één waarneembare eigenschap (bv. kleur, soort). Verschillen tussen voorwerpen moeten duidelijk zijn. * **4- en 5-jarigen:** Kunnen met 2D-materiaal werken. Ze benoemen en vergelijken meerdere eigenschappen tegelijk. 4-jarigen kunnen sorteren met twee eigenschappen, 5-jarigen met drie of vier. 5-jarigen kunnen ook sorteren op niet-eigenschappen en krijgen aanzetten tot classificeren (klasse-inclusie). Oudste kleuters kunnen zelf ordeningen bedenken en verantwoorden, en zelfs mentaal sorteren. #### 1.1.2 Didactiek en activiteiten voor ordenen * **Materialen:** * **Klassieke logiblokken:** Gestructureerd materiaal met zuivere eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte). Kan abstract zijn. * **Logifiguren:** Zelfgemaakt of gekocht materiaal met herkenbare figuren, gebaseerd op de structuur van logiblokken maar betekenisvoller. * **Andere materialen:** Poppenhoek, losse materialen (loose parts) die spontaan sorteren en seriëren uitlokken. * **Keuze van eigenschappen:** Moeten zuiver, realistisch en variërend in moeilijkheidsgraad zijn. * **Opbouw van een wiskunde-activiteit (BA WI) rond sorteren:** * **Oriëntering:** Materiaal aanbrengen en de bedoeling van de activiteit (een probleem oplossen) duidelijk maken op een speelse, betekenisvolle manier. * **Kern:** Focus op eigenschappen, gelijkenissen en verschillen. Dit omvat: * Spelen en ontdekken van eigenschappen. * Begrijpen en herkennen/verwoorden van eigenschappen. * Sorteren naar één eigenschap (met visuele hulpmiddelen voor jongere kinderen). * Sorteren naar meerdere eigenschappen (met symboolkaartjes voor oudere kinderen). * Sorteren op niet-eigenschappen (voor 5-jarigen). * **Afronding:** Opruimen en ervaringen verwoorden. * **Gebruik van bestaande spellen:** Ontwikkelingsmaterialen en gezelschapsspelen kunnen worden ingezet, waarbij de leerkracht de didactische doelen begeleidt. * **Ordenen in hoeken:** Structuur aanbrengen met dozen, bakken en symbolen (foto's, pictogrammen) helpt kinderen bij het spelen en opruimen. ### 1.2 Seriëren: rangschikken Seriëren is een vorm van ordenen gebaseerd op onderlinge verschillen tussen voorwerpen. Het vereist het zien van deze verschillen en het begrijpen van **transitiviteit** (als A kleiner is dan B en B kleiner dan C, dan is A kleiner dan C). #### 1.2.1 Ontwikkelingslijnen bij seriëren * **2,5-jarigen:** Beginnen met sensomotorisch rangschikken (bv. potjes stappelen). * **3-jarigen:** Beperkt seriëren met 3D-voorwerpen. Nadruk op benoemen, beschrijven en vergelijken van eigenschappen, en het herkennen van relatieve begrippen (groter/kleiner). Seriëren met 3 voorwerpen op een rijtje met duidelijke visuele verschillen. * **4- en 5-jarigen:** Kunnen met 3D en 2D materiaal werken. Seriëren wordt uitgebreider, ook als de visuele verschillen kleiner worden. 5-jarigen kunnen met meer voorwerpen seriëren en natuurlijke maten gebruiken. Oudste kleuters kunnen hun seriaties verantwoorden en zelf bedachte rijtjes maken. Mentaal seriëren is mogelijk voor de oudste kleuters. #### 1.2.2 Didactiek en activiteiten voor seriëren * **Opbouw van een wiskunde-activiteit (BA WI) rond seriëren:** * **Oriëntering:** Materiaal aanbrengen, bedoeling uitleggen, probleemstelling formuleren. * **Kern:** Focus op eigenschappen, gelijkenissen en verschillen. Dit omvat: * Spelen en ontdekken van eigenschappen. * Begrijpen en herkennen/verwoorden van (verschillen in) eigenschappen. * Sorteren op soort. * Seriëren per soort op toenemende of afnemende eigenschap, met opbouwende moeilijkheidsgraad. * **Afronding:** Opruimen en ervaringen verwoorden. * **Variatie:** Mogelijk om eerst uitgebreid te sorteren en daarna met de kleinere groepen te seriëren. ### 1.3 Spiegelen en symmetrie Dit concept betreft het herkennen van spiegelbeelden en symmetrische figuren. * **Spiegelen in de ruimte:** Een ruimtefiguur voor een spiegel plaatsen resulteert in een spiegelbeeld dat van plaats en richting verandert ten opzichte van het origineel, maar vorm, grootte en afstand tot de spiegel behoudt. * **Spiegelen in het vlak:** Een vlakke figuur voor een spiegel plaatsen resulteert in een spiegelbeeld dat in hetzelfde vlak ligt, met behoud van vorm, grootte en afstand. * **Spiegelas:** Een rechte waarop een vlakke figuur gevouwen kan worden zodat de twee helften elkaar overlappen. Punten die elkaars spiegelbeeld zijn, liggen op gelijke afstand van de spiegelas en de verbindingslijn staat loodrecht op de as. * **Symmetrie bij vlakke figuren:** Een symmetrische figuur heeft een symmetrie-as die het in twee spiegelbeeldhelften verdeelt. * **Symmetrie bij ruimtefiguren:** Symmetrische ruimtefiguren hebben één of meerdere symmetrie-vlakken. #### 1.3.1 Spiegelen en symmetrie in de kleuterklas Deze concepten kunnen op alle leeftijden worden aangeboden door middel van diverse activiteiten. ### 1.4 Algemene didactiek wiskunde in de kleuterklas De didactiek biedt houvast om wiskunde in de kleuterklas aan te pakken, waarbij rekening wordt gehouden met de specifieke groeilijnen, de klasgroep en de leerkracht. De focus ligt op maximale ontwikkelingskansen voor elk kind. #### 1.4.1 Didactische aandachtspunten * **Doelen:** Wat wil ik bereiken met deze wiskunde-activiteit? * **Zinvol, betekenisvol werken (Aanbod):** Hoe bied ik de wiskunde aan? Realistische context, spel, experimenteren. * **Soorten activiteiten (Klasmanagement):** Organisatie (ruimte, groepering) en inhoud. * **Materialen (Aanbod):** Welke materialen zijn nodig? Hoe kunnen kleuters ermee handelen? (3D voor jongste, 2D, papier/apps, mentaal voor oudere kleuters). * **Opbouw (Didactische aanpak):** Duidelijke oriëntatie, stapsgewijze opbouw in de kern met gradatie (stijgende moeilijkheidsgraad). * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten met meerdere oplossingen en oplossingsmethoden, die op verschillende niveaus kunnen worden aangepakt. * **Wiskundetaal (Didactische aanpak):** * **Visualiseren:** Ondersteunt verwoorden. * **Verwoorden:** Om denken te volgen, wiskundetaal te leren, spreekkansen te vergroten. * **Reflecteren:** Op antwoorden, oplossingen en redeneringen. * **Vragen/opdrachten/begeleiding (KO) en antwoorden/oplossingen (kls) verwoorden én visualiseren.** * **Stimuleren en belonen (Didactische aanpak):** Stimuleren van nadenken, tijd geven, feedback, waarderen van moeite en ideeën. * **Differentiëren (Didactische aanpak):** Rekening houden met individuele verschillen door aanpassing van de activiteit (gradatie, materialen, opdrachten, begeleiding). * **Leren met en van elkaar:** Samen zoeken naar oplossingen, redeneringen delen, reflecteren. Deze aandachtspunten dragen bij aan een "mathematical mindset" of "growth mindset" bij kleuters, waarbij wiskunde als leuk en leerzaam wordt ervaren, zelfs bij fouten. ### 1.5 Overzicht wiskunde-onderwerpen in de kleuterklas | Wiskunde-onderwerp | Kleuters leren… | | :----------------- | :------------------------------------------------------------------------------- | | **Ordenen** | Kennen van eigenschappen, vergelijken van eigenschappen, sorteren, rangschikken. | | **Ruimte (meetkunde)** | Vormen, ruimtelijke oriëntatie, ruimtelijke relaties, spiegelen/symmetrie. | | **Getallen** | Vergelijken van hoeveelheden, tellen, uitvoeren van bewerkingen, voorstellen van getallen. | | **Meten** | Kennen van lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht; vergelijken en meten van deze grootheden. | | **Tijd** | Tijdsvolgorde, tijdsduur, tijdstippen/tijdsmomenten/tijdskader. | --- # Ordenen: sorteren en classificeren Dit onderdeel behandelt de wiskundige concepten van sorteren en classificeren, zoals die relevant zijn voor kleuters, inclusief het herkennen van gelijkenissen en verschillen, het vormen van klassen en de ontwikkeling van klasse-inclusie. ### 2.1 Wat is sorteren en classificeren? * **Verzamelen:** Het bijeenbrengen van allerlei voorwerpen die samen één geheel vormen. * **Klasse:** Een verzameling van dingen die gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen hebben. * **Sorteren:** Het maken van klassen binnen een verzameling voorwerpen door ze te groeperen op basis van gemeenschappelijke eigenschappen. Dit houdt in dat men gelijkenissen tussen voorwerpen ziet. * **Classificeren:** Het ontstaan van verschillende klassen door middel van doorsorteren. Dit veronderstelt het creëren van hiërarchische ordeningssystemen of verzamelingen van deelverzamelingen. ### 2.2 Klasse-inclusie en deel-geheelverhouding * **Klasse-inclusie:** Het inzicht in de verhouding tussen een deel en het geheel. Het houdt in dat men tegelijkertijd een deel en het geheel in gedachten kan nemen. Kleuters ontwikkelen dit inzicht door het correct gebruiken van termen als "alle", "niet alle", "sommige", "enkele", "er zijn meer", en "er zijn minder". * Het niet correct kunnen gebruiken van deze termen duidt op een nog onvolledig inzicht in de deel-geheelverhouding, waarbij men niet aan zowel het deel als het geheel tegelijkertijd kan denken. ### 2.3 Ordeningssystemen in de leefwereld De directe leefwereld van kleuters zit vol met geordende systemen, zoals huizen, supermarkten, bibliotheken en de kleuterklas zelf. Ordeningen zijn voor kleuters aanvankelijk nog niet of slechts gedeeltelijk gekend en moeten geleidelijk worden aangeleerd, beginnend in hun directe omgeving en vervolgens uitgebreid naar ruimere contexten. Door activiteiten aan te bieden die gericht zijn op sorteren en classificeren met concrete materialen, leren kleuters de ordeningssystemen in hun leefwereld beter kennen en kunnen ze zelf systemen construeren. Uiteindelijk leren ze classificeren op een concreet niveau en later ook op een meer mentaal niveau (denkniveau, verbaal niveau, zonder materiaal). ### 2.4 Ontwikkelingsdoelen bij sorteren en classificeren In de kleuterklas wordt gewerkt aan de volgende inzichten met betrekking tot ordenen: * Gelijkenissen en verschillen tussen dingen opmerken. * Bij een aantal dingen een gemeenschappelijke eigenschap opmerken. * Sorteren in groepjes volgens een gemeenschappelijke eigenschap. * Dingen op verschillende manieren indelen. * Gevormde groepjes verder sorteren. * Aanzetten doen rond inclusie-inzicht. * Onderzoeken wat niet tot een klasse behoort (bv. de niet-blauwe parels). * Onderzoeken wat tot twee (of meer) klassen behoort (bv. de parels die blauw en rond zijn). * Onderzoeken wat wel tot de ene klasse en niet tot de andere klasse behoort (bv. de parels die blauw en niet-rond zijn). * Een omvattende klasse bepalen (bv. de parels die blauw of geel zijn, of de parels die blauw of rond zijn, wat moeilijker is voor kleuters). ### 2.5 Wat is seriëren? * **Seriëren:** Het rangschikken van voorwerpen op basis van onderlinge verschillen. Dit houdt in dat men verschillen tussen eigenschappen van voorwerpen ziet en deze rangschikt. * **Transitieve redenering:** Bij volwassenen is de wet van transitiviteit (als A kleiner is dan B en B kleiner is dan C, dan is A ook kleiner dan C) een verworven inzicht. Oudere kleuters kunnen dit wel met visuele ondersteuning, maar zonder dit houvast wordt het moeilijker. * Net als bij sorteren is het doel dat kleuters seriaties in hun leefwereld herkennen en zelf leren construeren door middel van serieeractiviteiten. Dit bevordert transitief redeneren, aanvankelijk op concreet niveau met visuele verschillen, wat later leidt tot seriëren op mentaal niveau (zonder materiaal of met minder zichtbare verschillen). ### 2.6 Groeilijn voor sorteren De groeilijn voor sorteren geeft aan wat een kleuter op een bepaalde leeftijd kan en vormt de leidraad voor activiteiten. * **2,5-jarigen:** Nog niet in staat om te sorteren. Ze focussen op het vormen van de eerste eigenschappen die de basis leggen voor sorteren en classificeren. * **Basisbegrippen:** Rood, blauw, groen, geel, zwart, wit (kleuren); groot, klein, dik, dun, lang, kort; zwaar, licht; warm, koud; hard, zacht; vol, leeg; snel, traag. Deze begrippen worden verworven door actieve exploratie en door de kleuterleidster die ervaringen en handelingen verwoordt. * **Moeilijke eigenschappen:** Vormen, moeilijkere kleuren, materiaal, functie zijn nog niet haalbaar. * **3-jarigen:** In staat om te sorteren met 3D-materiaal. * **Voorbereiding:** Belangrijk is dat ze voldoende kansen krijgen om eigenschappen van dingen te beschrijven en te benoemen. Het benoemen van meer dan één eigenschap tegelijk is nog moeilijk. Ze kunnen eigenschappen van voorwerpen vergelijken, met de nadruk op gelijkenissen. * **Activiteiten:** Werken met eenvoudige, direct waarneembare eigenschappen. Sorteren volgens één eigenschap (soorten of gelijkaardige voorwerpen op één eigenschap). Visuele hulpmiddelen kunnen helpen bij het wisselen van eigenschappen. Verschillen tussen voorwerpen moeten duidelijk zijn. Ze kunnen nog geen ordeningen bedenken, maar stellen wel vragen waarom dingen samenhoren. * **4- en 5-jarigen:** Kunnen werken met 2D-materiaal. * **Eigenschappen:** Beschrijven, benoemen en vergelijken van eigenschappen. Accent op het benoemen van meerdere eigenschappen tegelijk. * **Activiteiten:** Werken met direct waarneembare, en soms moeilijkere, eigenschappen. Aanzetten tot sorteren op mentaal niveau. * 4-jarigen: Sorteren met 2 eigenschappen. * 5-jarigen: Sorteren met 3 of 4 eigenschappen. Kunnen aanzetten doen tot classificeren met aandacht voor relaties tussen deelklassen (klasse-inclusie), wat nog steeds moeilijk blijft. Kunnen sorteren op niet-eigenschappen (wat er niet in de klasse behoort). * **Zelfstandigheid:** Oudste kleuters kunnen zelf ordeningen bedenken en verantwoorden. Ze kunnen nadenken over verschillende manieren om voorwerpen te ordenen (mentaal handelen). Ze kunnen het begrip "of" leren gebruiken en het verschil tussen "en" en "of" ervaren. Ze kunnen op mentaal niveau sorteren via taal, zonder materiaal. ### 2.7 Groeilijn voor seriëren * **2,5-jarigen:** Beginnen met seriëren op sensomotorisch niveau (bv. potjes stappelen, inlegpuzzels). * **3-jarigen:** Beperkt seriëren met 3D-voorwerpen. * **Focus:** Eigenschappen benoemen, beschrijven en vergelijken. Aandacht voor duidelijke verschillen, ook bij identieke voorwerpen met één ander kenmerk. Ontdekken van relatieve begrippen zoals groot en klein. * **Activiteiten:** Seriëren met 3 voorwerpen op een rijtje met toenemende of afnemende eigenschappen, eerst door de kleuterleidster, daarna zelfstandig. Vereist duidelijke, visuele verschillen. * **4- en 5-jarigen:** Kunnen werken met 3D- en eventueel 2D-materiaal. * **Activiteiten:** * 4-jarigen: Kunnen vergelijken en rijtjes bouwen met enkele voorwerpen bij duidelijke visuele verschillen. Moeilijker wordt het met minder duidelijke verschillen of een groter aantal voorwerpen. Seriëren op eigenschappen waar verschillen niet duidelijk zijn, is lastig door gebrek aan transitief inzicht. * 5-jarigen: Kunnen met 3 voorwerpen seriëren, met meer voorwerpen hulp van de kleuterleidster nodig. Kunnen natuurlijke maten gebruiken (bv. schoenen, potloden). Kunnen verklaren waarom een rij voorwerpen juist of fout ligt. Kunnen zelf rijtjes bedenken op basis van zelfgekozen eigenschappen en deze verantwoorden. Kunnen op mentaal niveau vergelijkingen maken in gesprekken over interessegebieden. Ruimtebegrippen en rangtelwoorden komen aan bod. ### 2.8 Didactiek en activiteiten bij ordenen * **Doel van ordenen:** Activiteiten moeten gericht zijn op specifieke doelen die voortkomen uit de groeilijnen. * **Didactiek:** De manier waarop kleuterwiskunde wordt aangeboden, is afhankelijk van de kleuters, de klasgroep en de leerkracht. Belangrijke voorwaarden zijn het beheersen van de groeilijn en het creëren van maximale ontwikkelingskansen voor elke kleuter. #### 2.8.1 Materialen voor ordenen * **Klassieke logiblokken:** Gestructureerd ontwikkelingsmateriaal met zuivere eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte). Kan abstract zijn en te weinig betekenis hebben voor kleuters. * **Logifiguren:** Zelfgemaakt of aangekocht materiaal (bv. ijsjes, beertjes) dat gebaseerd is op de structuur van logiblokken maar minder abstract is door herkenbare figuren uit de leefwereld. * 3-jarigen: 3D-materiaal (bv. 24 figuren). * 4- en 5-jarigen: 2D-materiaal (bv. 36 figuren). * **Andere materialen:** Materialen met meerdere eigenschappen, vaak zonder zuivere eigenschappen of duidelijke structuur (bv. poppenhoekmateriaal, losse materialen). Deze bieden ook kansen voor seriëren. #### 2.8.2 Kiezen van eigenschappen * Zuivere eigenschappen * Realistisch * Variëren in moeilijkheidsgraad #### 2.8.3 Opbouw van een BA WI ordenen Een activiteit (Ba WE = Begeleide Activiteit Wiskunde) rond ordenen kan zich richten op sorteren/classificeren, seriëren, of een combinatie van beide. **Sorteren:** 1. **Oriëntering:** Materiaal aanbrengen en de bedoeling uitleggen op een speelse manier, gericht op een probleem dat in de activiteit wordt opgelost. 2. **Kern:** * **Spelen en ontdekken:** Kleuters spelen vrij met het materiaal om eigenschappen, gelijkenissen en verschillen te ontdekken. Vragen stellen als: "Zijn alle beren hetzelfde?" * **Begrijpen van eigenschappen:** Controleren of kleuters de eigenschappen begrijpen wanneer ze benoemd worden (bv. "Wie een rode auto heeft, steekt hem in de lucht"). * **Herkennen en verwoorden van eigenschappen:** Kleuters laten zelf de eigenschappen herkennen en benoemen (bv. "Ik ben rood, ik ben groot"). Dit is cruciaal bij nieuw materiaal of onbekende eigenschappen. * **Sorteren naar één eigenschap:** Op een speelse manier sorteren naar één eigenschap. Gebruik van visuele hulpmiddelen voor jongere kleuters. * **Sorteren naar meerdere eigenschappen:** Met oudere kleuters sorteren aan de hand van symboolkaartjes (één eigenschap per kaartje) of verbale instructies. * **Niet-eigenschappen:** 5-jarigen kunnen sorteren op niet-eigenschappen (bv. "Leg de niet-rode bij elkaar"). 3. **Afronding:** Materiaal opruimen en ervaringen verwoorden. **Seriëren:** 1. **Oriëntering:** Materiaal aanbrengen en de bedoeling uitleggen, vaak met een op te lossen probleem. 2. **Kern:** * **Spelen en ontdekken:** Ontdekken van eigenschappen, gelijkenissen en verschillen. * **Begrijpen en herkennen/verwoorden van verschillen:** Controleren of kleuters de verschillen herkennen en benoemen (bv. "Kun je een potlood nemen dat langer is dan dit potlood?"). * **Sorteren op soort:** Materialen eerst op soort leggen. * **Seriëren per soort op toenemende of afnemende eigenschap:** Verschillende spelletjes met oplopende moeilijkheidsgraad, aangepast aan de leeftijd. 3. **Afronding:** Opruimen en ervaringen verwoorden. **Combinatie van sorteren en seriëren:** Het is mogelijk om eerst uitgebreider te sorteren en daarna met de gevormde groepen te seriëren. #### 2.8.4 BA ordenen gebaseerd op een bestaand spelletje Activiteiten kunnen worden opgebouwd rond bestaande spellen (ontwikkelingsmaterialen, gezelschapsspelen) die gericht zijn op ordenen. * **Oriëntering:** Materiaal van het spel voorstellen en het doel uitleggen (het spel spelen, maar ook de onderliggende wiskundige doelen). * **Kern:** * **Materialen verkennen:** Eigenschappen, gelijkenissen en verschillen ontdekken. * **Ondersteunen van speldoelen:** Oefenen met sorteren en/of seriëren. * **Spelen van het spel:** Het spel stap voor stap opbouwen, inclusief varianten. * **Afronding:** Opruimen, waarderen en ervaringen verwoorden. #### 2.8.5 BA ordenen opgebouwd uit losse spelletjes Meerdere korte spelletjes kunnen klassikaal als tussendoortje worden aangeboden. #### 2.8.6 Ordenen in hoeken Structuur aanbrengen in hoeken met kastjes, rekjes, dozen met symbolen (foto's, pictogrammen) en plattegronden helpt bij het organiseren, opruimen en het ontwikkelen van een gevoel voor orde. Tijdens het spelen en opruimen in de hoeken kunnen kleuters worden gestimuleerd om pictogrammen te gebruiken. ### 2.9 Algemene didactiek wiskunde De didactische aandachtspunten geven houvast bij het voorbereiden en realiseren van wiskundeactiviteiten, met als doel de maximale wiskundige ontwikkeling van elk kind te bevorderen. * **Doelen:** Wat wil ik bereiken met deze activiteit? * **Zinvol, betekenisvol werken:** Via realistische contexten, spel of experimenteren met materialen. * **Soorten activiteiten:** Organisatie, ruimte, groeperingsvorm. * **Materialen:** Welke materialen zijn nodig en wat kunnen kleuters ermee doen (3D, 2D, mentaal handelen). * **Opbouw:** Hoe wordt de activiteit opgebouwd, met gradatie in moeilijkheidsgraad. * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten met meerdere oplossingen en niveaus, die probleemoplossend en onderzoekend werken stimuleren. * **Wiskundetaal:** * **Visualiseren:** Met materialen, tekeningen, symbolen. * **Verwoorden:** Gebruik van wiskundebegrippen, kleuters hun denken laten verwoorden en visualiseren. * **Vragen/opdrachten/begeleiding en antwoorden/oplossingen:** Stimuleren van nadenken, voldoende tijd geven, feedback, waarderen van moeite en ideeën. * **Differentiëren:** Activiteiten aanpassen aan het niveau van de kleuters door middel van gradatie, materialen, opdrachten, vragen en begeleiding. * **Leren met en van elkaar:** Samen oplossingen zoeken, redeneringen en oplossingen delen, reflecteren op oplossingsmethodes. Het doel is het creëren van een positieve mindset voor wiskunde, waarbij ieder kind kan leren en problemen als leuk ervaart, zelfs als het fout gaat. ### 2.10 Spiegelen en symmetrie Dit concept, hoewel niet primair sorteren of classificeren, is nauw verwant aan het herkennen van patronen en gelijkenissen. * **Spiegelen in de ruimte:** Vorm, grootte en afstanden tot de spiegel blijven behouden. Het spiegelbeeld staat achter de spiegel en in de tegenovergestelde richting. * **Spiegelen in het vlak:** Het spiegelbeeld ligt in hetzelfde vlak. Vorm, grootte en afstanden blijven behouden. Het spiegelbeeld staat in de tegenovergestelde richting. * **Spiegelas:** Een rechte waarop een spiegeling wordt uitgevoerd. Punten die elkaars spiegelbeeld zijn, liggen op een rechte die loodrecht op de spiegelas staat en er even ver van verwijderd is. * **Symmetrie bij vlakke figuren:** Een symmetrische figuur heeft een symmetrie-as die het in twee helften verdeelt die elkaars spiegelbeeld zijn. * **Symmetrie bij ruimtefiguren:** Symmetrische ruimtefiguren hebben één of meerdere symmetrievlakken die het figuur in twee helften verdelen die elkaars spiegelbeeld zijn. * **Spiegelen en symmetrie in de kleuterklas:** Dit kan op alle leeftijden worden aangeboden. --- # Ordenen: seriëren en de groeilijnen Dit onderwerp behandelt het proces van seriëren (rangschikken) bij kleuters, inclusief de bijbehorende groeilijnen per leeftijdscategorie (2,5-jarigen, 3-jarigen, 4-5-jarigen) en de didactische aanpak. ## 3.1 Ordenen, sorteren en classificeren ### 3.1.1 Wat is sorteren en classificeren? * **Verzamelen:** Het bijeenbrengen van voorwerpen tot één geheel. * **Klasse:** Een verzameling voorwerpen met gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen. * **Sorteren:** Het maken van klassen door voorwerpen te groeperen op basis van gemeenschappelijke eigenschappen; het zien van gelijkenissen. Dit kan op twee manieren: * **Classificeren:** De verschillende klassen ontstaan door doorsorteren, wat leidt tot een systeem van deelverzamelingen. * **Ordeningssystemen:** Het inzicht in de ordening binnen de klassen en de relaties tussen de deelklassen. * **Klasse-inclusie (deel-geheelverhouding):** Het inzicht in de verhouding van een deel tot het geheel, waarbij deel en geheel gelijktijdig in gedachten genomen kunnen worden. Het correct gebruiken van termen als 'alle', 'sommige', 'enkele' is hierbij cruciaal. Onze leefwereld zit vol met geordende systemen (huis, supermarkt, bibliotheek). Kleuters moeten deze systemen nog leren kennen en gebruiken, beginnend in hun directe omgeving. Door het aanbieden van concrete activiteiten rond sorteren en classificeren, leren kleuters deze systemen beter kennen en zelf construeren, eerst op concreet niveau en later ook mentaal. In de kleuterklas werken we rond de volgende inzichten: * Gelijkenissen en verschillen tussen dingen opmerken. * Een gemeenschappelijke eigenschap bij een aantal dingen opmerken. * Sorteren in groepjes volgens een gemeenschappelijke eigenschap. * Dingen op verschillende manieren indelen. * Gevormde groepjes verder sorteren. * Aanzetten tot inzicht in klasse-inclusie. * Onderzoeken wat niet tot een klasse behoort (uitsluiting). * Onderzoeken wat tot twee of meer klassen behoort (intersectie). * Onderzoeken wat tot de ene klasse behoort en niet tot de andere (complement). * Een omvattende klasse bepalen (unïe). ### 3.1.2 Wat is seriëren? * **Seriëren:** Een vorm van ordenen gebaseerd op onderlinge verschillen; het rangschikken van voorwerpen volgens een bepaalde eigenschap. Dit vereist het zien van verschillen. * **Transitiviteit:** Het principe dat als A kleiner is dan B, en B kleiner is dan C, dan is A ook kleiner dan C. Volwassenen passen dit intuïtief toe, terwijl oudere kleuters dit wel kunnen met visueel houvast, maar dit moeilijker wordt zonder. Het doel is dat kleuters seriaties in hun leefwereld leren herkennen en zelf leren construeren, door serieeractiviteiten te organiseren die het transitief redeneren opbouwen. Aanvankelijk gebeurt dit op concreet niveau, gebaseerd op visuele verschillen, om later over te kunnen gaan naar een mentaal niveau (zonder materiaal). ## 3.2 Groeilijnen voor ordenen ### 3.2.1 Groeilijn voor sorteren De groeilijn voor sorteren geeft aan wat een kleuter op een bepaalde leeftijd kan en vormt de leidraad voor activiteiten en het inspelen op spontaan spel. #### 3.2.1.1 2,5-jarigen * Kleuters van deze leeftijd zijn nog niet in staat om te sorteren. Ze zijn bezig met het vormen van de eerste eigenschappen, die de basis leggen voor sorteren en classificeren. * Focus ligt op basisbegrippen zoals kleuren (rood, blauw, groen, geel, zwart, wit), groot/klein, dik/dun, lang/kort, zwaar/licht, warm/koud, hard/zacht, vol/leeg, snel/traag. Dit gebeurt door actieve wereldverkenning en het benoemen van ervaringen door de leerkracht. * Begrippen als vormen, moeilijkere kleuren, materiaal en functie zijn nog niet haalbaar. * Kinderen leren ook veel eigenschappen indirect, door het zien van voorbeelden. #### 3.2.1.2 3-jarigen * Kleuters van deze leeftijd zijn in staat om te sorteren met 3D-materiaal. * Voorbereiding op sorteren: kansen bieden om eigenschappen te beschrijven en benoemen. Meer dan één eigenschap benoemen is nog moeilijk. * Accent ligt op gelijkenissen en overeenkomsten. * Er wordt gesorteerd op één, direct waarneembare eigenschap. Sorteren op soort is het makkelijkst. * Visuele hulpmiddelen kunnen helpen bij het verwijzen naar eigenschappen. Wisselen van eigenschappen is lastig. * Verschillen tussen voorwerpen moeten duidelijk zijn. * Kleuters kunnen nog niet zelf ordeningen bedenken, maar stellen wel vragen. Duidelijke instructies zijn nodig. #### 3.2.1.3 4- en 5-jarigen * Ze kunnen met 2D-materiaal werken. * Belangrijk is het beschrijven, benoemen en vergelijken van eigenschappen, inclusief meerdere eigenschappen tegelijk. * Er wordt gewerkt met direct waarneembare eigenschappen, en bij 4-5-jarigen ook met indirect waarneembare eigenschappen, wat aanzet tot mentaal sorteren. * **4-jarigen:** Kunnen sorteren met 2 eigenschappen. Sorteren op niet-eigenschappen is nog moeilijk. * **5-jarigen:** Kunnen sorteren met 3 tot 4 eigenschappen. Ze kunnen aanzetten doen tot classificeren met aandacht voor relaties tussen deelklassen (klasse-inclusie), hoewel dit moeilijk blijft. Ze kunnen ook sorteren op niet-eigenschappen. * Oudere kleuters kunnen zelf ordeningen bedenken en verantwoorden. Ze kunnen mentaal handelen, waarbij ze nadenken over verschillende indelingsmanieren voordat ze met materiaal aan de slag gaan. * Ze kunnen het begrip 'of' leren gebruiken (exclusief en inclusief). * De oudste kleuters kunnen op mentaal niveau via taal (zonder materiaal) sorteren, bijvoorbeeld met raadsels. ### 3.2.2 Groeilijn voor seriëren #### 3.2.2.1 2,5-jarigen * Nog niet in staat tot seriëren, maar wel beginnende tekenen zichtbaar: potjes stappelen van groot naar klein, inlegpuzzels maken, voorwerpen van groot naar klein ordenen op sensomotorisch niveau. Het kind zoekt/voelt tot de voorwerpen passen. #### 3.2.2.2 3-jarigen * Beperkt seriëren, voornamelijk met 3D-voorwerpen. * Belangrijk: eigenschappen van voorwerpen benoemen, beschrijven en vergelijken. * Aandacht voor verschillende verschillen tussen ogenschijnlijk identieke voorwerpen. * Ontdekken van relatieve begrippen als groot/klein (afhankelijk van vergelijkingsobject). Begrippen 'grootste' en 'kleinste' komen aan bod. * Seriëren start met 3 voorwerpen op een rij, met afnemende of toenemende eigenschappen. De leerkracht modelleert eerst, daarna gaat het kind zelf proberen. * Dit gebeurt enkel met duidelijke, visuele verschillen. #### 3.2.2.3 4- en 5-jarigen * Kunnen met 3D- en eventueel 2D-materiaal werken. * Eigenschappen benoemen, beschrijven en vergelijken blijft belangrijk. * **4-jarigen:** Kunnen vergelijken en rijtjes bouwen met enkele voorwerpen bij duidelijke visuele verschillen. Moeilijkheid neemt toe als verschillen subtieler worden (bv. lichtrood naar donkerrood) of het aantal voorwerpen groter wordt. Ze kunnen de vergelijkingen nog niet coördineren voor een oplossing (niet transitief redeneren). * **5-jarigen:** Kunnen met 3 voorwerpen seriëren; met meer voorwerpen is hulp van de leerkracht nodig. Ze kunnen gebruik maken van natuurlijke maatstaven (schoenen, potloden, gewichten), wat nog begeleiding vereist. * Oudere kleuters kunnen verklaren waarom een rij voorwerpen juist of fout ligt. Ze kunnen zelf rijtjes bedenken op basis van zelfgekozen eigenschappen en deze verantwoorden. * Mentaal seriëren (zonder materiaal) is mogelijk bij de oudsten, met name in gesprekken over onderwerpen waar ze interesse in hebben. * Ruimtebegrippen en rangtelwoorden komen aan bod bij seriëren. ## 3.3 Didactiek en activiteiten rond ordenen ### 3.3.1 Doel van ordenen en didactische principes Bij het plannen van wiskundeactiviteiten start je vanuit de groeilijnen. Didactiek gaat over hoe je met deze groeilijnen aan de slag gaat in de klas. Er is geen pasklaar antwoord, omdat dit afhangt van de kleuters, de klasgroep en de leerkracht. Belangrijk is het beheersen van de groeilijn en het bieden van maximale ontwikkelingskansen voor elke kleuter. De didactische aandachtspunten voor het ontwerpen en realiseren van wiskundeactiviteiten zijn: * **Doelen:** Bepalen welke wiskundige doelen centraal staan. * **Zinvol aanbod:** Werken via realistische contexten, spel, experimenteren met materialen. * **Soorten activiteiten:** Kiezen van de organisatie (ruimte, groeperingsvorm) en het soort activiteit. * **Materialen:** Kiezen van passende materialen (3D voor jongste kleuters, 2D voor oudere, later ook mentaal handelen). * **Opbouw:** Duidelijk maken van de bedoeling, opbouwen van de kern met gradatie (stijgende moeilijkheidsgraad). * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten die meerdere oplossingen en oplossingswegen toelaten, op verschillende niveaus. Stimuleren van probleemoplossend en onderzoekend denken. * **Wiskundetaal:** Visualiseren (tonen met materialen, gebaren, symbolen) en verwoorden (begrippen benoemen, leren van wiskundetaal, denken van kleuters volgen). Stimuleren van gebruik van wiskundebegrippen en reflectie. * **Stimuleren en belonen:** Kleuters stimuleren om na te denken, oplossingen te zoeken en te delen. Waarderen van moeite en ideeën, fouten maken mag. Feedback geven over de juistheid. * **Differentiëren:** Rekening houden met cognitieve verschillen door de activiteit aan te passen (makkelijker/moeilijker maken) via gradatie, materialen, opdrachten, vragen en begeleiding. * **Leren met en van elkaar:** Kleuters stimuleren om samen oplossingen te zoeken, redeneringen en oplossingen te delen en te reflecteren. Dit alles draagt bij aan een positieve wiskundige mindset. ### 3.3.2 Materialen om te werken rond ordenen * **Klassieke logiblokken:** Gestructureerd ontwikkelingsmateriaal met zuivere eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte). Kan abstract zijn en te weinig betekenis hebben. * **Logifiguren (zelfgemaakt of gekocht):** Materialen met betekenis (ijsjes, beertjes), gebaseerd op de structuur van logiblokken maar minder abstract en herkenbaar in de leefwereld. * 3-jarigen: 3D-materiaal (bv. 24 stuks). * 4- en 5-jarigen: 2D-materiaal (bv. 36 stuks). * **Andere materialen:** Poppenhoek, bestek, servies, losse materialen (loose parts) die spontaan sorteren en seriëren uitlokken. Belangrijk is dat er meerdere eigenschappen aanwezig zijn, die niet altijd zuiver of gestructureerd zijn. ### 3.3.3 Keuze van eigenschappen * **Zuivere eigenschappen:** Eigenschappen waarover geen discussie kan ontstaan. * **Realistisch:** Eigenschappen die aansluiten bij de leefwereld van de kleuters. * **Variëren in moeilijkheidsgraad:** Zorgen voor een uitdaging die past bij de leeftijd en ontwikkeling. ### 3.3.4 Opbouw van een BA (Begeleide Activiteit) rond ordenen #### 3.3.4.1 Sorteren 1. **Oriëntering:** * Materiaal aanbrengen en de bedoeling uitleggen op een speelse manier. * Bedoeling: een probleem dat in de activiteit wordt opgelost, de activiteit zinvol maken. 2. **Kern:** * **Spelen en ontdekken van eigenschappen, gelijkenissen en verschillen:** Vrij spel met materiaal, stellen van vragen (bv. "Zijn alle beren hetzelfde?"). * **Bespreken van ontdekte eigenschappen:** Leerkracht benoemt eigenschappen indien nodig. Bij jongere kleuters materiaal in stukjes laten ontdekken. * **Begrijpen van de eigenschappen:** Nagaan of elk kind de eigenschappen begrijpt als de leerkracht ze benoemt. * **Herkennen en verwoorden van de eigenschappen:** Kleuters zelf eigenschappen laten herkennen en verwoorden (bv. "Ik ben rood, ik ben groot"). Dit is cruciaal bij nieuw materiaal of onbekende eigenschappen. * **Sorteren naar 1 eigenschap:** Speelse manier van sorteren, met visuele hulpmiddelen voor jongere kleuters. * **Sorteren naar meerdere eigenschappen:** Met oudere kleuters, eventueel met symboolkaartjes. Deze kaartjes kunnen ook een taalondersteuning zijn. Sorteren aan de hand van verbale instructie is ook mogelijk. * **Niet-eigenschappen:** 5-jarigen kunnen ook sorteren op wat er *niet* bij hoort. 3. **Afronding:** * Materiaal op een speelse manier opruimen. * Ervaringen met de activiteiten verwoorden. #### 3.3.4.2 Seriëren 1. **Oriëntering:** * Materiaal aanbrengen en bedoeling uitleggen. Het doel is het spel te spelen en een probleem op te lossen. 2. **Kern:** * **Focussen op eigenschappen, gelijkenissen en verschillen:** Vrij spelen, vragen stellen, bespreken van ontdekte eigenschappen. * **Begrijpen en herkennen/verwoorden van (verschillen in) eigenschappen:** Controleren of kinderen verschillen herkennen en begrippen begrijpen. Opdrachten zoals "Neem een potlood dat langer is dan dit" of "Welk potlood is het langst?". * **Sorteren op soort:** Eerst materialen op soort leggen. * **Seriëren per soort op toenemende of afnemende eigenschap:** Verschillende spelletjes met oplopende moeilijkheidsgraad, aangepast aan leeftijd. 3. **Afronding:** * Materiaal opruimen en ervaringen verwoorden. #### 3.3.4.3 Ordenen in hoeken * Structuur aanbrengen in hoeken met kastjes, bakken en symbolen (foto's, pictogrammen) geeft duidelijkheid, houdt de hoek ordelijk en vergemakkelijkt opruimen. * Plattegronden of foto's van de hoek kunnen houvast bieden. * Tijdens begeleid spelmomenten kunnen pictogrammen gebruikt worden. ### 3.3.5 Opbouw van een BA gebaseerd op een bestaand spelletje * **Ontwikkelingsmaterialen/speelleermiddelen:** Gericht op vaardigheden, vaak met opdrachtkaarten, differentiëren mogelijk. * **Gezelschapsspelen:** Gericht op gezellig samen zijn, met nevendoelen op ontwikkeling. Verwoorden stimuleren, differentiëren mogelijk. Kunnen als zelfstandige activiteit aangeboden worden na begeleiding. De opbouw van een BA rond een gezelschapsspel: 1. **Oriëntering:** Materiaal en spel introduceren, doel uitleggen. 2. **Kern:** Stap voor stap het spel opbouwen. Verkennen van materialen, werken rond de doelen die nodig zijn om het spel vlot te spelen (eigenschappen, vergelijken, sorteren/seriëren). Het spelen van het spel, eventueel met varianten. 3. **Afronding:** Opruimen, waarderen, ervaringen verwoorden. ### 3.3.6 Algemene didactiek wiskunde De didactische aandachtspunten bieden houvast bij het werken met wiskunde in de kleuterklas, met als doel de wiskundige ontwikkeling van elk kind maximaal te stimuleren. De leerkracht moet zelf overtuigd zijn van het belang van wiskunde en wiskundeangst overwinnen. De aandachtspunten zijn niet los van elkaar te zien en kunnen variëren in nadruk per activiteit. --- # Didactiek en materialen voor wiskunde in de kleuterklas Hier is een gedetailleerde samenvatting voor het onderwerp "Didactiek en materialen voor wiskunde in de kleuterklas", opgesteld als een examenklare studiegids. ## 4. Didactiek en materialen voor wiskunde in de kleuterklas Dit deel behandelt de didactische benaderingen, de opbouw van wiskundeactiviteiten en de rol van diverse materialen bij het onderwijzen van wiskunde aan kleuters. ### 4.1 Wiskunde in de kleuterklas: context en belang Wiskunde is een integraal onderdeel van het dagelijks leven, zowel voor volwassenen als voor kleuters. Het begrijpen en toepassen van wiskundige concepten helpt kinderen om de wereld beter te begrijpen, erin te functioneren en legt een essentiële basis voor de overgang naar het lager onderwijs en voor levenslang leren. Wiskunde kan op verschillende manieren worden aangeboden: * **Wiskunde-activiteit:** Door activiteiten waarbij wiskundige doelen centraal staan. * **Wiskunde geïntegreerd in…:** Door kansen te zien en te benutten in andere bestaande activiteiten (individueel, in kleine of grote groepen). * **Inspelen op spontaan spel:** Door aan te sluiten bij het natuurlijke spelgedrag van kleuters. Wiskunde is meer dan enkel het behandelen van specifieke onderwerpen; het omvat ook logisch redeneren, problemen oplossen, vragen stellen, reflecteren en zelf ontdekken. ### 4.2 Wiskunde-onderwerpen in de kleuterklas De kleuterklas houdt zich bezig met vijf kernonderwerpen binnen wiskunde: #### 4.2.1 Ordenen Ordenen omvat sorteren, classificeren en seriëren. ##### 4.2.1.1 Sorteren en classificeren * **Verzamelen:** Het bijeenbrengen van voorwerpen tot één geheel. * **Klasse:** Een verzameling voorwerpen met gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen. * **Sorteren:** Het creëren van klassen door voorwerpen te groeperen op basis van gemeenschappelijke eigenschappen; het zien van gelijkenissen. * **Classificeren:** Het ontstaan van verschillende klassen door middel van doorsorteren, wat leidt tot het vormen van deelverzamelingen en ordeningssystemen. * **Klasse-inclusie (deel-geheelverhouding):** Het inzicht in de relatie tussen deelklassen en de relatie van een deel tot het geheel. Dit omvat het gelijktijdig kunnen bedenken van zowel het deel als het geheel. Kleuters die termen als "sommige", "alle", "niet alle" nog niet correct gebruiken, hebben nog geen volledig inzicht in deze verhouding. De leefwereld van kleuters is rijk aan geordende systemen (huis, supermarkt, bibliotheek). Door activiteiten aan te bieden rond sorteren en classificeren met concrete materialen, leren kleuters deze systemen kennen, gebruiken en zelf construeren. Dit kan op concreet niveau beginnen en later uitbreiden naar een meer mentaal (denk-, verbaal) niveau. **Inzichten rond sorteren en classificeren:** * Gelijkenissen en verschillen tussen dingen opmerken. * Een gemeenschappelijke eigenschap bij een aantal dingen opmerken. * Sorteren in groepjes volgens een gemeenschappelijke eigenschap. * Dingen op verschillende manieren indelen. * Gevormde groepjes verder sorteren. * Aanzetten tot inclusie-inzicht. * Onderzoeken wat wel/niet tot een klasse behoort (bv. niet-blauwe parels, blauwe en ronde parels, blauwe en niet-ronde parels). * Een omvattende klasse bepalen (bv. blauwe of gele parels). ##### 4.2.1.2 Seriëren * **Seriëren:** Het rangschikken van voorwerpen op basis van onderlinge verschillen. Dit vereist het zien van verschillen in eigenschappen. * **Transitiviteit:** Het logisch gevolg trekken bij het ordenen. Indien A kleiner is dan B en B kleiner dan C, dan is A kleiner dan C. Kleuters hebben hier vaak visueel houvast voor nodig. Net als bij sorteren is het de bedoeling dat kleuters seriaties in hun leefwereld herkennen en zelf leren construeren. Dit gebeurt door het aanbieden van seriaties en het organiseren van serieeractiviteiten, met als doel het transitief redeneren op te bouwen. Aanvankelijk wordt er geserieerd op concreet niveau, gebaseerd op visuele verschillen, om later op mentaal niveau (zonder materiaal, op verbaal niveau) te kunnen seriëren. #### 4.2.2 Groeilijnen voor sorteren en seriëren **2,5-jarigen:** Nog niet in staat tot sorteren of seriëren, maar leggen de basis door eigenschappen te vormen. Focus op basisbegrippen (kleuren, groot/klein, dik/dun, etc.) door actieve exploratie en verwoording door de leerkracht. **3-jarigen:** In staat tot sorteren met 3D-materiaal. Belangrijk om eigenschappen te benoemen, te beschrijven en te vergelijken, met accent op gelijkenissen. Sorteren gebeurt op één waarneembare eigenschap. Visuele hulpmiddelen kunnen ondersteunen. Bij seriëren wordt beperkt geserreerd met 3D-voorwerpen, met focus op het benoemen en vergelijken van eigenschappen. **4- en 5-jarigen:** Kunnen werken met 2D-materiaal. Accent op het benoemen en vergelijken van meerdere eigenschappen tegelijk. 4-jarigen kunnen sorteren op 1 tot 2 eigenschappen; 5-jarigen op 3 tot 4 eigenschappen. 5-jarigen kunnen ook aanzetten doen tot classificeren (klasse-inclusie) en sorteren op niet-eigenschappen. Oudste kleuters kunnen zelf ordeningen bedenken en verantwoorden, en ook mentaal sorteren. Bij seriëren kunnen 4-jarigen rijtjes bouwen met duidelijke visuele verschillen. 5-jarigen kunnen met meer voorwerpen helpen en gebruik maken van natuurlijke maten. Oudste kleuters kunnen verantwoorden waarom een rij juist of fout ligt en zelf rijtjes bedenken. ### 4.3 Didactiek: De manier waarop wiskunde wordt aangeboden #### 4.3.1 Algemene didactische aandachtspunten Om wiskunde effectief aan te bieden in de kleuterklas, is het cruciaal om te vertrekken vanuit de groeilijnen en didactische aandachtspunten. Er is geen pasklaar antwoord, de aanpak is afhankelijk van de kleuters, de klasgroep, de leerkracht en de context. **Kernprincipes:** * **Doelen:** Werken met duidelijke, gerichte wiskundige doelen. * **Zinvol en betekenisvol aanbod:** Wiskunde aanbieden via realistische contexten, spel, experimenteren en het spelen met materialen. * **Activiteitentypen en organisatie:** Verschillende soorten activiteiten en organisaties (ruimte, groeperingsvorm) kiezen. * **Materialen:** Kiezen van geschikte materialen waarmee kleuters kunnen handelen (3D voor jongste, 2D voor oudere, en op papier/apps of mentaal voor de oudsten). * **Opbouw (didactische aanpak):** Duidelijke oriëntering, een geleidelijke opbouw in de kern met gradatie (stijgende moeilijkheidsgraad) en een afronding. * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten die meerdere oplossingen en/of methodes toelaten, en op verschillende denkniveaus opgelost kunnen worden. Dit stimuleert probleemoplossend en onderzoekend gedrag. * **Wiskundetaal:** Gebruik maken van visualisatie (met materialen, tekeningen, gebaren, symbolen) en verwoording om het denken van kleuters te ondersteunen en te volgen. * **Vragen, opdrachten en begeleiding:** Open vragen en opdrachten stimuleren denkprocessen en bieden meer spreekkansen. * **Stimuleren en belonen:** Nadruk leggen op de moeite en de ideeën, fouten maken mag. Feedback geven op de juistheid is belangrijk. * **Differentiëren:** Rekening houden met individuele cognitieve verschillen door de activiteit aan te passen (makkelijker/moeilijker maken via gradatie, materialen, opdrachten, vragen, begeleiding). * **Leren met en van elkaar:** Kleuters stimuleren om samen oplossingen te zoeken, redeneringen te delen en te reflecteren op verschillende methodes. Het is essentieel om een **mathematical mindset** te bevorderen: geloven dat iedereen wiskunde kan leren en dat het aangaan van wiskundige uitdagingen leuk is, zelfs als het soms fout gaat. #### 4.3.2 Opbouw van een Begeleide Activiteit (BA) Wiskunde **BA rond sorteren/classificeren:** * **Oriëntatie:** Materiaal en bedoeling (een probleem dat opgelost moet worden) op een speelse manier aanbrengen. * **Kern:** * **Spelen en ontdekken:** Vrij spelen met materiaal om eigenschappen, gelijkenissen en verschillen te ontdekken. Vragen stellen als: "Zijn alle beren hetzelfde?". * **Begrip van eigenschappen:** Controleren of kleuters de eigenschappen begrijpen als de leerkracht ze benoemt (bv. "Wie een rode auto heeft, steekt hem in de lucht."). * **Herkennen en verwoorden van eigenschappen:** Kleuters zelf de eigenschappen laten herkennen en verwoorden (bv. "Ik ben rood, ik ben groot."). * **Sorteren naar één eigenschap:** Speelse activiteiten met sorteren op één eigenschap, eventueel met visuele hulpmiddelen. * **Sorteren naar meerdere eigenschappen:** Met oudere kleuters sorteren op meerdere eigenschappen, eventueel met symboolkaartjes. * **Sorteren op niet-eigenschappen:** Voor 5-jarigen (bv. "Leg de niet-rode bij elkaar."). * **Afronding:** Materiaal opruimen en ervaringen verwoorden. **BA rond seriëren:** * **Oriëntatie:** Materiaal en bedoeling (een probleem dat opgelost moet worden) op een speelse manier aanbrengen. * **Kern:** * **Spelen en ontdekken:** Eigenschappen, gelijkenissen en verschillen ontdekken door vrij spel. * **Begrip en herkenning van verschillen:** Controleren of kleuters de verschillen herkennen en begrippen begrijpen (bv. "Welk potlood is het langst?"). * **Sorteren op soort:** Eerst de materialen sorteren op soort. * **Seriëren op toenemende of afnemende eigenschap:** Speelse activiteiten met seriëren, aangepast aan de leeftijd en met stijgende moeilijkheidsgraad. * **Afronding:** Materiaal opruimen en ervaringen verwoorden. **BA gebaseerd op een bestaand spel:** * **Oriëntatie:** Materiaal van het spel aanbrengen en het doel uitleggen (het spel spelen). * **Kern:** * **Voorbereiding op het spel:** Verkennen van de materialen en werken rond de doelen die nodig zijn om het spel vlot te spelen (eigenschappen ontdekken, sorteren/seriëren). * **Spelen van het spel:** Het spel uitleggen, eventueel in stappen, met varianten. * **Afronding:** Opruimen, waarderen en ervaringen met het spel verwoorden. **BA opgebouwd uit losse spelletjes:** * Vaak klassikaal te spelen als tussendoortje. #### 4.3.3 Ordenen in hoeken Structuur aanbrengen in hoeken door middel van kastjes, rekjes, dozen met symbolen (foto's, afbeeldingen, pictogrammen) van de inhoud. Dit helpt kleuters bij het sorteren en opruimen. Plattegronden of foto's van de hoek kunnen houvast bieden. ### 4.4 Materialen voor wiskunde in de kleuterklas De materialen moeten meerdere eigenschappen bevatten en idealiter zuivere eigenschappen hebben met duidelijke verschillen. * **Klassieke logiblokken:** Logisch gestructureerd ontwikkelingsmateriaal met 4 eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte) en variaties. Ze bevatten 48 blokken ($3 \times 4 \times 2 \times 2 = 48$). Hoewel abstract, kunnen ze ook voor andere doeleinden gebruikt worden. * **Logifiguren:** Zelfgemaakte of gekochte materialen met betekenis (bv. ijsjes, beertjes). Ze zijn gebaseerd op de structuur van logiblokken maar zijn minder abstract en meer betekenisvol. * 3-jarigen: 3D-materiaal (bv. 24 stuks). * 4-5-jarigen: 2D-materiaal (bv. 36 stuks, $3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36$). * **Andere materialen:** Materialen die niet noodzakelijk gestructureerd zijn maar wel meerdere eigenschappen hebben en kansen bieden voor sorteren en seriëren (bv. speelgoed uit de poppenhoek). * **Losse materialen (Loose Parts):** Materialen zonder een vastomlijnd doel die spontaan sorteren en seriëren uitlokken. **Keuze van eigenschappen voor materialen:** * Zuivere eigenschappen. * Realistisch en herkenbaar. * Variëren in moeilijkheidsgraad. **Voorontwerp van materialen:** * Tekenen/schetsen. * Beschrijving van de eigenschappen en varianten. * Boomdiagram om het aantal te maken figuren te bepalen. ### 4.5 Spiegelen en symmetrie * **Spiegelen in de ruimte:** Vorm, grootte en afstanden tot de spiegel blijven behouden. Het spiegelbeeld verandert van plaats ten opzichte van de spiegel en staat in tegengestelde richting. * **Spiegelen in het vlak:** Het spiegelbeeld ligt in hetzelfde vlak. Vorm, grootte en afstanden tot de spiegel blijven behouden. Het spiegelbeeld verandert van plaats en staat in tegengestelde richting. * **Spiegelas:** Een rechte waarop een spiegeling plaatsvindt; wanneer gevouwen langs de as, vallen de figuren samen. Punten die elkaars spiegelbeeld zijn, liggen op een rechte die loodrecht op de spiegelas staat en op gelijke afstand daarvan. * **Symmetrie bij vlakke figuren:** Een figuur met een symmetrie-as die het in twee spiegelbeelden helften verdeelt. * **Symmetrie bij ruimtefiguren:** Hebben één of meerdere symmetrie-vlakken die het figuur in twee spiegelbeelden helften verdelen. Spiegelen en symmetrie kunnen op alle leeftijden in de kleuterklas aangeboden worden. ### 4.6 Samenvatting wiskunde-onderwerpen voor kleuters | Wiskunde-onderwerp | Wat kleuters leren… | | :----------------------- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | **Ordenen** | Kennen van eigenschappen, vergelijken van eigenschappen, sorteren op eigenschappen, rangschikken op eigenschappen. | | **Ruimte (meetkunde)** | Vormen, ruimtelijke oriëntatie (waar ben ik?), ruimtelijke relaties (waar is de ander?), spiegelen/symmetrie. | | **Getallen** | Vergelijken van hoeveelheden, tellen, uitvoeren van bewerkingen, voorstellen van getallen. | | **Meten** | Kennen van lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht; vergelijken op basis hiervan; meten van deze grootheden. | | **Tijd** | Tijdsvolgorde, tijdsduur, tijdstippen/tijdsmomenten/tijdskader. | --- # Ruimte en symmetrie in de kleuterklas Dit onderwerp verkent de concepten van spiegelen en symmetrie in de ruimte en in het vlak, en de toepassing ervan in de kleuterklas, inclusief didactische aandachtspunten voor wiskunde. ### 5.1 Spiegelen en symmetrie #### 5.1.1 Spiegelen in de ruimte Wanneer een driedimensionaal (ruimte)figuur voor een spiegel geplaatst wordt die loodrecht op het tafelvlak staat, zijn de volgende observaties te maken: * De vorm, grootte en afstanden tot de spiegel blijven behouden. * Het spiegelbeeld bevindt zich achter de spiegel. * Er is een verandering van plaats ten opzichte van de spiegel. * Het spiegelbeeld staat in de tegenovergestelde richting van het ruimtelijke figuur zelf. #### 5.1.2 Spiegelen in het vlak Bij het spiegelen van een tweedimensionale (vlakke) figuur, met de spiegel loodrecht op het vlak waarin de figuur ligt, gelden de volgende waarnemingen: * Het spiegelbeeld ligt ook in het vlak van het vlakke figuur. * Vorm, grootte en afstand tot de spiegel blijven behouden. * Het spiegelbeeld bevindt zich achter de spiegel, met een verandering van plaats ten opzichte van de spiegel. * Het spiegelbeeld ligt in de tegenovergestelde richting. De **spiegelas** is een specifieke spiegeling van een rechte lijn. Wanneer men langs deze as vouwt, vallen de twee helften van het figuur perfect samen. Punten die elkaars spiegelbeeld zijn, liggen op een rechte die loodrecht op de spiegelas staat en op gelijke afstand van de as. Bij figuren die gespiegeld worden, kan men zien dat de richting verandert ten opzichte van de spiegelas. #### 5.1.3 Symmetrie bij vlakke figuren Een **symmetrische figuur** in het vlak bezit een symmetrie-as. Dit is een rechte lijn die het figuur in twee helften verdeelt die elkaars spiegelbeeld zijn. Symmetrische figuren kunnen zodanig verschoven en gedraaid worden dat ze volledig samenvallen met hun spiegelbeeld. **Asymmetrische figuren** daarentegen kunnen nooit samenvallen met hun spiegelbeeld, ongeacht verschuivingen of draaiingen. #### 5.1.4 Symmetrie bij ruimtefiguren **Symmetrische ruimtefiguren** beschikken over één of meerdere symmetrievlakken. Een symmetrievlak deelt het figuur in twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn. Net als bij vlakke figuren, kunnen symmetrische ruimtefiguren na verplaatsing volledig samenvallen met hun spiegelbeeld. **Asymmetrische ruimtefiguren** kunnen dit niet. ### 5.2 Spiegelen en symmetrie in de kleuterklas Concepten rond spiegelen en symmetrie kunnen bij alle leeftijden in de kleuterklas worden aangereikt. In de context van wiskunde in de kleuterklas, dragen deze onderwerpen bij aan het leren over: * Vormen. * Ruimtelijke oriëntatie (hoe sta ik, waar ben ik: op, onder, naast). * Ruimtelijke relaties (hoe staat iemand anders, waar zijn zij: op, onder, naast). > **Tip:** Bij het werken met symmetrie en spiegelen is het essentieel om concrete materialen te gebruiken die de kinderen kunnen manipuleren en ervaren. Denk aan het vouwen van papier, het gebruik van spiegels, of het natekenen van figuren. > **Voorbeeld:** Een activiteit kan bestaan uit het laten spiegelen van handelingen (bijvoorbeeld een hand opsteken en de kinderen laten spiegelen), het nabootsen van patronen met blokken achter een denkbeeldige spiegel, of het herkennen van symmetrische vormen in natuurlijke objecten en in de klas. ### 5.3 Didactische aandachtspunten voor ordenen en ruimte in de kleuterklas De algemene didactische aandachtspunten voor het aanbieden van wiskunde in de kleuterklas zijn ook van toepassing op de onderwerpen spiegelen en symmetrie. Deze aandachtspunten bieden houvast bij het voorbereiden en realiseren van activiteiten met als doel maximale ontwikkelingskansen voor elk kind. * **Doelen:** Formuleren welke wiskundige doelen rond spiegelen en symmetrie nagestreefd worden. * **Zinvol en betekenisvol aanbod:** De concepten aanbieden in een realistische context, via spel, experimenteren en manipulatie van materialen. * **Soorten activiteiten en klasmanagement:** Bepalen welke soorten activiteiten (individueel, in kleine groepen, klassikaal) en waar deze plaatsvinden, rekening houdend met de beschikbare ruimte. * **Materialen:** Kiezen van geschikte materialen (bv. spiegels, legoblokken, vouwblaadjes, natuurlijke materialen) die passen bij de leeftijd en het ontwikkelingsniveau van de kleuters. Voor jongere kleuters is 3D materiaal, en voor oudere kleuters kan dit uitbreiden naar 2D materiaal of zelfs mentaal handelen. * **Opbouw (Didactische aanpak):** De activiteit stapsgewijs opbouwen met een duidelijke oriëntatie, een kern met eventueel gradatie (stijgende moeilijkheidsgraad), en een afronding. * **Open, creatieve wiskunde-opdrachten:** Opdrachten aanbieden die meerdere oplossingen toelaten en op verschillende niveoms kunnen worden aangepakt, om het denkproces te stimuleren. * **Wiskundetaal:** Zowel visualiseren (tonen met materialen, gebaren) als verwoorden (begrippen benoemen, redeneringen laten formuleren) van wiskundige concepten. Dit is cruciaal voor taalverwerving en het volgen van het denkproces van de kinderen. * **Vragen, opdrachten, begeleiding en antwoorden:** De leerkracht stelt open vragen, geeft stimulansen en tijd, en moedigt kinderen aan om hun oplossingen en redeneringen te tonen en te reflecteren, met nadruk op de moeite en ideeën, en niet enkel op het correcte antwoord. * **Differentiëren:** Rekening houden met de cognitieve verschillen tussen kleuters door de activiteit, opdrachten, materialen of begeleiding aan te passen. * **Leren met en van elkaar:** Kinderen stimuleren om samen te werken, oplossingen en redeneringen te delen en te bespreken. Deze didactische aandachtspunten dragen bij aan het ontwikkelen van een positieve wiskundige mindset bij kleuters, waarbij ze geloven in hun eigen kunnen en plezier beleven aan wiskundige uitdagingen. ### 5.4 Wiskunde-onderwerpen in de kleuterklas: een overzicht Het document schetst een breder beeld van wiskunde in de kleuterklas, waarbij ordenen en ruimte (meetkunde) slechts twee van de vele gebieden zijn. | Wiskunde-onderwerp | Kleuters leren… | |---|---| | Ordenen | Kennen van eigenschappen – vergelijken van eigenschappen, sorteren op eigenschappen, rangschikken op eigenschappen. | | Ruimte (meetkunde) | Vormen, ruimtelijke oriëntatie (hoe sta ik, waar ben ik), ruimtelijke relaties (hoe staat iemand anders, waar zijn zij), spiegelen/symmetrie. | | Getallen | Vergelijken van hoeveelheden, tellen, uitvoeren van bewerkingen, voorstellen van getallen. | | Meten | Kennen van lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht; vergelijken op 'meten van'. | | Tijd | Tijdsvolgorde, tijdsduur, tijdstippen/tijdsmomenten/tijdskader. | --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Wiskunde | Een breed vakgebied dat zich bezighoudt met getallen, hoeveelheden, ruimte, structuur, verandering en relaties, en dat essentieel is voor het begrijpen en functioneren in de wereld. | | Kleuterklas | Een onderwijsomgeving voor jonge kinderen, doorgaans van 2,5 tot 6 jaar, gericht op spelend leren en de vroege ontwikkeling. | | Activiteit | Een georganiseerde gebeurtenis of taak, vaak in de context van het onderwijs, die ontworpen is om leerlingen bepaalde vaardigheden of kennis bij te brengen. | | Ordenen | Het proces van het structureren of rangschikken van objecten of concepten op basis van bepaalde criteria, zoals eigenschappen of relaties. | | Sorteren | Een vorm van ordenen waarbij objecten worden gegroepeerd op basis van gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen, waardoor verschillende klassen worden gevormd. | | Classificeren | Het proces van het indelen van objecten in groepen of categorieën op basis van hun eigenschappen; dit kan verdergaan dan eenvoudig sorteren door het herkennen van hiërarchische relaties tussen de groepen. | | Klasse | Een verzameling objecten die gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen delen, gevormd tijdens het proces van sorteren of classificeren. | | Gemeenschappelijke kenmerken/eigenschappen | De gedeelde kwaliteiten of attributen van objecten die hen in staat stellen tot een bepaalde klasse te behoren. | | Klasse-inclusie | Het inzicht dat een klasse (bijvoorbeeld de klasse van rode objecten) tegelijkertijd deel kan uitmaken van een grotere, omvattende klasse (bijvoorbeeld de klasse van alle objecten), en het vermogen om zowel het deel als het geheel gelijktijdig te overzien. | | Seriëren | Een vorm van ordenen waarbij objecten worden gerangschikt op basis van onderlinge verschillen in een specifieke eigenschap, zoals grootte, lengte of kleurintensiteit, wat leidt tot een opeenvolgende reeks. | | Transitieve wet | Een principe in logisch redeneren waarbij, als een relatie geldt tussen A en B, en tussen B en C, deze relatie ook geldt tussen A en C (bijvoorbeeld: als A kleiner is dan B en B kleiner is dan C, dan is A kleiner dan C). | | Groeilijn | Een ontwikkelingsschema dat aangeeft welke vaardigheden of concepten een kind op verschillende leeftijden kan verwachten te ontwikkelen of te beheersen, dient als leidraad voor onderwijsactiviteiten. | | Didactiek | De wetenschap en kunst van het onderwijzen; de methoden en principes die worden toegepast om kennis en vaardigheden effectief over te dragen. | | Logiblokken | Een gestructureerd educatief materiaal dat wordt gebruikt voor het leren sorteren en logisch denken, meestal met blokken die verschillende combinaties van eigenschappen (kleur, vorm, grootte, dikte) hebben. | | Logifiguren | Zelfgemaakte of gekochte materialen die de structuur van logiblokken volgen, maar met herkenbare, betekenisvolle figuren uit de leefwereld van kinderen, zoals ijsjes of beertjes. | | Losse materialen (loose parts) | Materiaal zonder een vastomlijnd doel, dat spontaan sorteren en seriëren uitlokt en de creativiteit en probleemoplossende vaardigheden van kinderen stimuleert. | | Zuivere eigenschappen | Eigenschappen van materialen die duidelijk en ondubbelzinnig zijn, waardoor er geen discussie kan ontstaan over de classificatie van een object op basis van die eigenschap. | | Boomdiagram | Een hiërarchische grafische weergave die de structuur van een systeem of probleem toont, vaak gebruikt om de relaties tussen verschillende eigenschappen en varianten te visualiseren bij het ontwerpen van materialen. | | Oriëntering | De fase in een lesvoorbereiding waarin het materiaal wordt geïntroduceerd, de bedoeling van de activiteit wordt uitgelegd en de kleuters worden betrokken bij het oplossen van een probleem. | | Kern | Het centrale deel van een lesactiviteit waar de leerlingen actief bezig zijn met het materiaal, eigenschappen ontdekken, begrijpen, herkennen en toepassen. | | Afronding | Het afsluitende deel van een lesactiviteit, waarbij materiaal wordt opgeruimd, ervaringen worden verwoord en geleerde concepten worden gereflecteerd. | | Open opdrachten | Opgaven of problemen die meerdere oplossingen of benaderingen toestaan, waardoor de creativiteit en het probleemoplossend vermogen van kleuters worden gestimuleerd. | | Wiskundetaal | De specifieke woordenschat, symbolen en uitdrukkingen die worden gebruikt om wiskundige concepten te communiceren, inclusief het visualiseren en verwoorden van wiskundige ideeën. | | Differentiëren | Het aanpassen van onderwijsactiviteiten om tegemoet te komen aan de individuele behoeften, niveaus en leerstijlen van leerlingen. | | Spiegellen | Een geometrische transformatie die een punt of figuur omzet in een spiegelbeeld ten opzichte van een spiegel of spiegelas. | | Symmetrie | Een eigenschap van een figuur of object waarbij het symmetrisch is ten opzichte van een punt, lijn of vlak, wat betekent dat het zichzelf bedekt na een reflectie, rotatie of translatie. | | Symmetrie-as | Een lijn in het vlak waarlangs een figuur gespiegeld kan worden zodat de twee helften elkaar perfect bedekken. | | Symmetrie-vlak | Een vlak in de ruimte waarlangs een driedimensionaal object gespiegeld kan worden zodat de twee helften elkaar perfect bedekken. | | Ruimtefiguur | Een driedimensionaal geometrisch object, zoals een kubus, bol of cilinder. | | Vlakke figuur | Een tweedimensionaal geometrisch object, zoals een cirkel, vierkant of driehoek. | | Wiskunde-onderwerpen | Specifieke gebieden binnen de wiskunde die centraal staan in het kleuteronderwijs, zoals ordenen, ruimte, getallen, meten en tijd. | | Meten | Het proces van het bepalen van de omvang, lengte, inhoud, gewicht of duur van een object of gebeurtenis met behulp van gestandaardiseerde of niet-gestandaardiseerde eenheden. | | Tijd | Een fundamenteel concept dat de opeenvolging van gebeurtenissen, de duur en de tijdstippen beschrijft; in het kleuteronderwijs gaat het om tijdsvolgorde, tijdsduur en het begrijpen van tijdsmomenten. |