Wiskunde 1 Cijferen.pptx

# Introductie tot cijferen en didactische principes Dit gedeelte introduceert de fundamentele concepten van cijferen in het lager onderwijs, met de nadruk op het belang van concreet materiaal en didactische principes voor een effectieve leerervaring. ### 1.1 Het belang van cijferen in de lagere school Cijferen is een essentiële vaardigheid die in de lagere school wordt aangeleerd. Leerlingen worden aangemoedigd om te oefenen op ruitjespapier, bij voorkeur met grote ruitjes, om zo de basis te leggen voor netheid en structuur. Het oefenen op wit papier benadrukt het belang van het nauwkeurig onder elkaar plaatsen van getallen. ### 1.2 Concreet materiaal: legschema en schrijfschema De introductie van cijferen vereist het gebruik van concreet materiaal om abstracte concepten te visualiseren. #### 1.2.1 Het legschema Het legschema dient als de fysieke ruimte waar leerlingen met concreet materiaal (zoals MAB-materiaal: Munten, A-blokken, B-blokken) de cijferopdrachten uitvoeren. Dit helpt hen om de bewerkingen te begrijpen door ze daadwerkelijk te "leggen". #### 1.2.2 Het schrijfschema Het schrijfschema is de representatie van het legschema op papier, meestal in de vorm van een plaatswaardeschema. Hier noteren de leerlingen de getallen en de stappen van de bewerking, wat de overgang van concreet naar abstract ondersteunt. Het netjes noteren in dit schema is cruciaal. ### 1.3 Didactische principes Een effectieve aanpak van cijferen steunt op een aantal kernprincipes. #### 1.3.1 De rol van verwoording Een goede verwoording tijdens het werken met materiaal is essentieel. Door hardop te verwoorden wat ze doen, internaliseren leerlingen de stappen en de betekenis van de bewerking. Dit maakt de stap naar het werken zonder materiaal uiteindelijk mogelijk. > **Tip:** De mondelinge verwoording helpt leerlingen om de koppeling te maken tussen hun concrete handelingen en de abstracte cijfernotatie. #### 1.3.2 Beginsituatie voor cijferen Voordat leerlingen kunnen starten met cijferen, is een solide beginsituatie vereist. Dit omvat: * **Algemene beginsituatie:** * Goed inzicht in de vier basisbewerkingen: weten wanneer optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen aan de orde is. * Hoofdrekenen: optellingen en aftrekkingen met brug kunnen uitvoeren. * Parate kennis van de maal- en deeltafels. * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem: inwisselen en omgaan met nullen. * Het vermogen om een schatting te maken van de uitkomst. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend optellen en aftrekken (zonder inwisselen):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, zonder inwisselen. * De waarde van een cijfer in een getal kunnen verwoorden. * Getallen kunnen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Optellen en aftrekken tot 20 zonder brug kunnen uitvoeren. * Een passende schatting kunnen maken. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend optellen en aftrekken (met inwisselen):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, inclusief inwisselen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Optellen en aftrekken tot 20 met brug kunnen uitvoeren. * Een passende schatting kunnen maken. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend vermenigvuldigen (E x natuurlijk getal):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, met inwisselen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen beheersen. * Een passende schatting kunnen maken. * Alle maaltafels paraat kennen. * Splitsen en verdelen bij hoofdrekenen kunnen toepassen. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend delen (HTE : E, verdelingsdeling):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, met inwisselen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Een passende schatting kunnen maken. * Delen kunnen verwoorden als verdelingsdeling (verdelen in gelijke delen). * Alle maal- en deeltafels paraat kennen. * Cijferend aftrekken met inwisselen kunnen uitvoeren. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend delen (HTE : E, verhoudingsdeling):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, met inwisselen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Een passende schatting kunnen maken. * Delen kunnen verwoorden als verhoudingsdeling (hoeveel keer gaat ... in ...?). * Alle maal- en deeltafels paraat kennen. * Cijferend aftrekken met inwisselen kunnen uitvoeren. #### 1.3.3 Nadeel van het werken met legschema's Hoewel nuttig, heeft het werken met legschema's ook nadelen: * **Bij optellen:** Beide termen worden gematerialiseerd, maar na het samenvoegen zijn de oorspronkelijke termen niet meer zichtbaar. * **Bij aftrekken:** Enkel het aftrektal wordt gematerialiseerd. De aftrekker wordt weggenomen en onderaan gelegd, waardoor deze zichtbaar blijft. Het verschil is ook zichtbaar. Echter, het aftrektal is na de bewerking niet meer zichtbaar. #### 1.3.4 Oplossingsgericht denken bij problemen Bij het oplossen van problemen is het belangrijk om oplossingsgericht te denken. Een voorbeeld is het vermijden van problemen met een "rond" aftrektal door de oefening om te bouwen tot een aftrekking zonder brug met behulp van de aftrekkingshalter. #### 1.3.5 Cijferen: vermenigvuldigen (type E x natuurlijk getal) Bij dit type vermenigvuldiging worden alle deelproducten eerst gelegd met materiaal, waarna ze verkort genoteerd kunnen worden. Bij het noteren is het belangrijk om het getal met het meeste aantal cijfers bovenaan te plaatsen om de overzichtelijkheid te bewaren. > **Voorbeeld:** Bij de oefening 248 x 3 is het efficiënter om 248 bovenaan te plaatsen in het schrijfschema. #### 1.3.6 Cijferen: delen (type HTE : E) Delen kan worden onderwezen als verdelingsdeling (verdelen in gelijke delen) of als verhoudingsdeling (hoeveel keer gaat ... in ...?). Een "opgaande deling" is een deling waarbij de rest 0 is. > **Tip:** Zorg voor fijne inoefening van de basisvaardigheden om de overgang naar complexere cijferopdrachten te vergemakkelijken. --- # Cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen Dit onderdeel behandelt de didactiek van het cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen, inclusief de beginsituatie en methoden met MAB-materiaal. ## 2. Cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen Cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen vormt een fundamenteel onderdeel van de rekenvaardigheid. De didactische aanpak richt zich op het geleidelijk aanleren van deze bewerkingen, waarbij de overgang van concreet materiaal naar abstracte notatie centraal staat. ### 2.1 Materialen en schema's Voor het aanleren van cijferen zonder inwisselen zijn specifieke materialen en schema's essentieel: * **MAB-materiaal (Materiaal voor Abstracte Behandeling):** Dit materiaal, zoals blokjes (eenheden), staafjes (tientallen) en platen (honderdtallen), stelt leerlingen in staat om getallen concreet weer te geven en bewerkingen uit te voeren. * **Legschema:** Hierin wordt het MAB-materiaal gemanipuleerd om de berekening uit te voeren. * **Schrijfschema:** Dit is een plaatswaardeschema (vaak op ruitjespapier) waarin de abstracte notatie van de cijferoefening plaatsvindt. Het gebruik van ruitjespapier, bij voorkeur met grote ruiten, helpt bij het netjes onder elkaar plaatsen van cijfers. Het oefenen op wit papier benadrukt de noodzaak van een nauwkeurige positionering. > **Tip:** Een goede verwoording van de handelingen die met het materiaal worden uitgevoerd, is cruciaal om de overgang naar het abstracte cijferen soepeler te laten verlopen. ### 2.2 Beginsituatie Voordat gestart kan worden met het aanleren van cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen, dient de leerling aan bepaalde voorwaarden te voldoen: * **Algemene beginsituatie:** * Goed inzicht in de basisbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen). * Vaardigheid in het hoofdrekenen, inclusief optellingen en aftrekkingen 'met brug'. * Parate kennis van de maal- en deeltafels. * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem, inclusief het kunnen inwisselen en omgaan met nullen. * Vaardigheid in het schatten van uitkomsten. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen:** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, specifiek zonder inwisselen, en daarbij de waarde van elk cijfer in een getal kunnen verwoorden. * Getallen kunnen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Optellen en aftrekken tot 20 zonder brug kunnen uitvoeren als hoofdrekenoefening. * Een passende schatting kunnen maken van de uitkomst. ### 2.3 Didactische aanpak met MAB-materiaal Het proces van cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen wordt bij voorkeur aangeleerd met behulp van MAB-materiaal en de bijbehorende schema's. #### 2.3.1 Cijferend optellen zonder inwisselen **Voorbeeld:** $253 + 26$ 1. **Leggen:** Het getal 253 wordt gelegd met MAB-materiaal in het legschema (2 platen, 5 staafjes, 3 blokjes). Het getal 26 wordt ook gelegd (2 staafjes, 6 blokjes). 2. **Samenvoegen:** De materialen van beide getallen worden samengevoegd, eerst de eenheden, dan de tientallen. * 3 eenheden + 6 eenheden = 9 eenheden. * 5 tientallen + 2 tientallen = 7 tientallen. * 2 honderdtallen (van 253) blijven behouden. 3. **Noteren (in het schrijfschema):** De uitkomst wordt in het schrijfschema genoteerd: ``` 2 5 3 + 2 6 ------- 2 7 9 ``` De som van 253 en 26 is 279. > **Tip:** Leerlingen moeten luidop verwoorden wat ze doen tijdens het manipuleren van het materiaal en het noteren in het schrijfschema. #### 2.3.2 Cijferend aftrekken zonder inwisselen **Voorbeeld:** $357 - 26$ 1. **Leggen:** Het getal 357 (aftrektal) wordt gelegd met MAB-materiaal (3 platen, 5 staafjes, 7 blokjes). Het getal 26 (aftrekker) wordt apart gelegd (2 staafjes, 6 blokjes) of er wordt een apart deel van het materiaal weggenomen. 2. **Wegnemen:** Van het gelegde aftrektal wordt het aantal eenheden en tientallen van de aftrekker weggenomen. * 7 eenheden - 6 eenheden = 1 eenheid. * 5 tientallen - 2 tientallen = 3 tientallen. * 3 honderdtallen (van 357) blijven behouden. 3. **Noteren (in het schrijfschema):** De uitkomst wordt in het schrijfschema genoteerd: ``` 3 5 7 - 2 6 ------- 3 3 1 ``` Het verschil van 357 en 26 is 331. > **Tip:** Een nadeel bij het werken met legschema's voor optellen is dat na het samenvoegen de oorspronkelijke termen niet meer zichtbaar zijn. Bij aftrekken is het aftrektal na de bewerking ook niet meer zichtbaar, terwijl de aftrekker en het verschil wel zichtbaar blijven. ### 2.4 Oefenen en consolideren Na het aanbrengen met concreet materiaal, wordt de focus geleidelijk verlegd naar het schrijfschema. Een goede verwoording blijft essentieel om de koppeling tussen handeling en notatie te verstevigen. Fijne inoefening met een gevarieerd aanbod aan oefeningen is noodzakelijk voor consolidatie. Het gebruik van wit papier stimuleert leerlingen om nauwkeurig te werken en het nut van het plaatswaardesysteem te begrijpen. --- # Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen Dit gedeelte van de studiegids behandelt de leerlijn van cijferend optellen en aftrekken, met specifieke aandacht voor het proces van inwisselen, waarbij het MAB-materiaal, het schrijfschema en schatten centraal staan. ## 3.1 De rol van materiaal en schema's Het werken met cijferen wordt ondersteund door concreet materiaal, zoals MAB-materiaal (materiaal voor eenheden, tientallen, honderdtallen, etc.), dat wordt gebruikt in een legschema. De notatie van de handelingen gebeurt vervolgens in een schrijfschema, dat vaak op ruitjespapier (bij voorkeur met grote ruitjes) wordt uitgevoerd om netheid te bevorderen. Later kan ook op wit papier geoefend worden om het nut van nauwkeurig schrijven te benadrukken. Een goede verwoording van de handelingen met materiaal is cruciaal om het gebruik van het materiaal uiteindelijk te kunnen loslaten. ### 3.1.1 Nadeel van legschema's Het werken met legschema's kent enkele nadelen: * **Bij optellen:** Beide termen worden gematerialiseerd, maar na het samenvoegen en het bepalen van de som, zijn de oorspronkelijke termen niet meer zichtbaar. * **Bij aftrekken:** Enkel het aftrektal wordt gematerialiseerd. De aftrekker wordt weggenomen en zichtbaar onderaan gelegd, evenals het verschil. Het aftrektal is na de bewerking niet meer zichtbaar. ## 3.2 Beginsituatie voor cijferend optellen en aftrekken met inwisselen Om te starten met cijferend optellen en aftrekken waarbij inwisselen nodig is, moeten leerlingen aan een aantal voorwaarden voldoen: * **Algemeen:** * Goed inzicht in de vier basisbewerkingen: weten wanneer op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen of te delen. * Hoofdrekenen: optellingen en aftrekkingen met "brug" uitvoeren. * Parate kennis van de maal- en deeltafels. * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem: leerlingen moeten kunnen inwisselen en overweg kunnen met nullen. * Schatten: een passende schatting kunnen maken van de uitkomst. * **Specifiek voor cijferend optellen en aftrekken met inwisselen:** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of zetten op de abacus, inclusief het proces van inwisselen. Ze moeten de waarde van elk cijfer in een getal kunnen verwoorden. * Getallen kunnen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Optellen en aftrekken tot 20 met "brug" kunnen uitvoeren als hoofdrekenoefening. * Een passende schatting kunnen uitvoeren van de uitkomst. ## 3.3 Cijferend optellen met inwisselen Bij het cijferend optellen met inwisselen wordt MAB-materiaal gebruikt in een legschema, en worden de stappen genoteerd in een schrijfschema. Er wordt luidop verwoord wat er gebeurt tijdens het proces. ### 3.3.1 Voorbeeld: 761 + 169 * **Schatten:** Een schatting kan gemaakt worden door de getallen af te ronden, bijvoorbeeld: $750 + 150 = 900$. * **Cijferen (met MAB-materiaal en schrijfschema):** 1. Leg de getallen 761 (7H, 6T, 1E) en 169 (1H, 6T, 9E) in het legschema. 2. Begin met de eenheden: $1 + 9 = 10$. Dit zijn 10 eenheden, wat gelijk is aan 1 tiental en 0 eenheden. Wissel de 10 eenheden in voor 1 tiental. Noteer 0 bij de eenheden en 1 in het inwisselvak bij de tientallen in het schrijfschema. 3. Tel de tientallen op, inclusief het ingewisselde tiental: $1$ (inwissel) $+ 6 + 6 = 13$. Dit zijn 13 tientallen, wat gelijk is aan 1 honderdtal en 3 tientallen. Wissel de 10 tientallen in voor 1 honderdtal. Noteer 3 bij de tientallen en 1 in het inwisselvak bij de honderdtallen. 4. Tel de honderdtallen op, inclusief het ingewisselde honderdtal: $1$ (inwissel) $+ 7 + 1 = 9$. Noteer 9 bij de honderdtallen. * **Antwoord:** De som van 761 en 169 is 930. * **Schrijfschema:** ``` 1 1 7 6 1 + 1 6 9 ------- 9 3 0 ``` > **Tip:** Bij de eerste aanbreng van cijferend optellen met inwisselen, kan het nuttig zijn om kort te bespreken dat een tweecijferig getal niet in één kolom van het plaatswaardeschema mag staan. Nadien schrijft men direct 0 in de kolom van de eenheden en 1 in het inwisselvak van de tientallen. ## 3.4 Cijferend aftrekken met inwisselen Ook bij cijferend aftrekken met inwisselen wordt gebruik gemaakt van MAB-materiaal in een legschema en een schrijfschema. ### 3.4.1 Voorbeeld: 512 - 245 * **Schatten:** Een schatting kan gemaakt worden door de getallen af te ronden, bijvoorbeeld: $500 - 230 = 270$. * **Cijferen (met MAB-materiaal en schrijfschema):** 1. Leg het getal 512 (5H, 1T, 2E) in het legschema. Het getal 245 (de aftrekker) wordt later weggenomen. 2. Begin met de eenheden: Je wilt 5 eenheden wegnemen uit 2 eenheden. Dit kan niet. Wissel daarom 1 tiental in voor 10 eenheden. Het getal wordt dan 5H, 0T, 12E. 3. Neem 5 eenheden weg van de 12 eenheden. Je houdt 7 eenheden over. Noteer 7 bij de eenheden. 4. Ga naar de tientallen: Je wilt 4 tientallen wegnemen uit 0 tientallen. Dit kan niet. Wissel daarom 1 honderdtal in voor 10 tientallen. Het getal wordt dan 4H, 10T, 12E. 5. Neem 4 tientallen weg van de 10 tientallen. Je houdt 6 tientallen over. Noteer 6 bij de tientallen. 6. Ga naar de honderdtallen: Neem 2 honderdtallen weg van de 4 honderdtallen. Je houdt 2 honderdtallen over. Noteer 2 bij de honderdtallen. * **Antwoord:** Het verschil van 512 en 245 is 267. * **Schrijfschema:** ``` 4 10 12 5 1 2 - 2 4 5 --------- 2 6 7 ``` > **Tip:** Bij problemen met 'rond' aftrektal, kan het ombouwen naar een aftrekking zonder brug met een aftrekkingshalter een oplossingsgerichte aanpak zijn. ## 3.5 Beginsituatie voor andere bewerkingen met inwisselen (ter context) Hoewel de focus ligt op optellen en aftrekken, wordt kort de beginsituatie voor vermenigvuldigen en delen met inwisselen aangestipt om het bredere plaatje te schetsen. De vereisten zijn vergelijkbaar: * **Vermenigvuldigen (bijv. E x natuurlijk getal):** * Getallen leggen met MAB-materiaal (inclusief inwisselen). * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen. * Een passende schatting uitvoeren. * Alle maaltafels paraat kennen. * Splitsen en verdelen bij hoofdrekenen beheersen. * De volgorde van het plaatsen van het getal met het meeste aantal cijfers bovenaan kan een punt van overweging zijn bij oefeningen. * **Delen (bijv. HTE : E, verdelings- en verhoudingsdeling):** * Getallen leggen met MAB-materiaal (inclusief inwisselen). * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Een passende schatting uitvoeren. * Deling kunnen verwoorden als verdelingsdeling (verdelen in gelijke delen) of verhoudingsdeling (hoeveel keer gaat ... in ...?). * Alle maal- en deeltafels paraat kennen. * Cijferend aftrekken met inwisselen. * Een deling waarbij de rest 0 is, wordt een opgaande deling genoemd. --- # Cijferend vermenigvuldigen Dit deel behandelt de methodes voor cijferend vermenigvuldigen van een éénhandgetal met een natuurlijk getal, met aandacht voor zowel het leggen van alle deelproducten als voor verkort noteren. ### 4.1 Vermenigvuldigen van een éénhandgetal met een natuurlijk getal Vermenigvuldigen kan worden aangeleerd door het gebruik van concreet materiaal, zoals MAB-materiaal, in combinatie met een legschema en een schrijfschema. Een goede verwoording van de handelingen is essentieel om het gebruik van materiaal te kunnen afbouwen. #### 4.1.1 Alle deelproducten leggen Bij deze methode worden alle deelproducten uitgerekend en vervolgens opgeteld. Dit sluit aan bij de betekenis van vermenigvuldigen als herhaald optellen en legt de nadruk op het concept van deelproducten. **Beginsituatie:** * Getallen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, inclusief inwisselen. * Waarde van een cijfer in een getal kunnen verwoorden. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen beheersen. * Een passende schatting kunnen uitvoeren. * Alle maaltafels paraat kennen. * Splitsen en verdelen bij hoofdrekenen beheersen. **Voorbeeld:** $7 \times 130$ 1. **Schatten:** $7 \times 100 = 700$. 2. **Leggen met materiaal:** Leg zeven keer het getal 130. Dit kan worden opgedeeld in zeven keer 100, zeven keer 30, en zeven keer 0. * $7 \times 100 = 700$ * $7 \times 30 = 210$ * $7 \times 0 = 0$ 3. **Noteren (alle deelproducten):** ``` 130 x 7 ----- 0 (7 x 0) 210 (7 x 30) 700 (7 x 100) ----- 910 ``` 4. **Antwoord:** De som van de deelproducten is $700 + 210 + 0 = 910$. De uitkomst van $7 \times 130$ is 910. > **Tip:** Het is nuttig om de leerlingen eerst te laten werken met het materiaal en dit te koppelen aan de geschreven weergave. Daarna kan het gebruik van materiaal worden afgebouwd, terwijl het schrijfschema behouden blijft. #### 4.1.2 Verkort noteren Deze methode is efficiënter doordat de deelproducten direct bij de juiste positie worden opgeteld en eventuele overdrachten (wissels) meteen worden verwerkt. **Beginsituatie:** * Dezelfde beginsituatie als bij "Alle deelproducten leggen". * Specifiek: Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen beheersen is cruciaal. **Voorbeeld:** $2 \times 489$ 1. **Schatten:** $2 \times 500 = 1000$. 2. **Leggen met materiaal (optioneel, ter illustratie):** * Twee keer het getal 489 leggen. * $2 \times 9$ eenheden = 18 eenheden. Dit is 1 tien en 8 eenheden. Wissel de tien. * $2 \times 8$ tientallen = 16 tientallen. Tel hier de gewisselde tien bij op: $16 + 1 = 17$ tientallen. Dit is 1 honderd en 7 tientallen. Wissel de honderd. * $2 \times 4$ honderdtallen = 8 honderdtallen. Tel hier de gewisselde honderd bij op: $8 + 1 = 9$ honderdtallen. 3. **Noteren (verkort):** ``` 489 x 2 ----- 1 (wissel van T naar H) 1 (wissel van E naar T) --- 918 ``` * $2 \times 9 = 18$. Schrijf 8 op bij de eenheden en onthoud 1 tien (noteer deze klein boven de tientallen). * $2 \times 8 = 16$. Tel de onthouden tien erbij op: $16 + 1 = 17$. Schrijf 7 op bij de tientallen en onthoud 1 honderd (noteer deze klein boven de honderdtallen). * $2 \times 4 = 8$. Tel de onthouden honderd erbij op: $8 + 1 = 9$. Schrijf 9 op bij de honderdtallen. 4. **Antwoord:** De uitkomst van $2 \times 489$ is 918. > **Tip:** Benadruk het belang van het netjes noteren van de wissels om verwarring te voorkomen. De volgorde van vermenigvuldigen (van rechts naar links) is hierbij cruciaal. #### 4.1.3 Plaatsing van de getallen Bij vermenigvuldigingen met grotere getallen wordt het getal met het meeste aantal cijfers meestal bovenaan geplaatst. Dit maakt het rekenwerk met materiaal en het noteren overzichtelijker. **Voorbeeld:** $3 \times 248$ versus $248 \times 3$ Bij $248 \times 3$ wordt het getal met meer cijfers (248) bovenaan geplaatst, wat de handelingen en het noteren vergemakkelijkt in vergelijking met $3 \times 248$. Dit principe geldt ook bij het werken met MAB-materiaal. --- # Cijferend delen Dit gedeelte behandelt de didactiek van cijferend delen, met een focus op twee types: verdelingsdeling en verhoudingsdeling, waarbij gebruik wordt gemaakt van het MAB-materiaal en een schrijfschema. ### 5.1 Inleiding tot cijferend delen Cijferend delen is een methode om delingen uit te voeren die te complex zijn voor hoofdrekenen. Het proces vereist inzicht in basisbewerkingen, schatten, en de beheersing van het plaatswaardesysteem. Het werken met concreet materiaal, zoals MAB-materiaal, in combinatie met een legschema en schrijfschema, is essentieel voor de initiële aanbreng. Een goede verwoording van de handelingen met het materiaal is cruciaal om uiteindelijk over te kunnen stappen naar het abstracte cijferen. #### 5.1.1 Beginsituatie voor cijferend delen Voordat leerlingen starten met cijferend delen, dienen ze over de volgende vaardigheden te beschikken: * **Algemeen:** * Goed inzicht in de basisbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen). * Hoofdrekenen met optellingen en aftrekkingen, inclusief die met brug. * Parate kennis van de maal- en deeltafels. * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem (inwisselen en omgaan met nullen). * Het kunnen uitvoeren van een passende schatting. * **Specifiek voor cijferend delen (verdelingsdeling en verhoudingsdeling):** * Getallen leggen met MAB-materiaal of zetten op de abacus, inclusief inwisselen, en de waarde van elk cijfer kunnen benoemen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Een passende schatting kunnen uitvoeren. * Deling kunnen verwoorden als verdelingsdeling ("Verdelen in gelijke delen"). * Deling kunnen verwoorden als verhoudingsdeling ("Hoeveel keer gaat ... in ...?"). * Cijferend aftrekken met inwisselen beheersen. #### 5.1.2 Werken met concreet materiaal en schrijfschema Bij de aanbreng van cijferend delen wordt gewerkt met MAB-materiaal (materiaal voor automatiseren, basisschool). Dit materiaal wordt in een **legschema** geplaatst om de bewerking te visualiseren. De notatie van de bewerking en de tussenresultaten gebeurt in een **schrijfschema**, meestal op ruitjespapier. Het is belangrijk leerlingen te laten oefenen op wit papier om het nut van netjes onder elkaar schrijven te benadrukken. Het proces omvat doorgaans de volgende stappen: 1. **Schatten:** Een ruwe schatting maken van het antwoord om de uitkomst te controleren. 2. **Leggen met MAB-materiaal:** Het deeltal visualiseren met MAB-materiaal. 3. **Verdelen/Groeperen:** Het deeltal verdelen in gelijke groepen (verdelingsdeling) of bepalen hoeveel keer de deler in het deeltal past (verhoudingsdeling). 4. **Noteren in het schrijfschema:** De stappen van het cijferen nauwkeurig noteren. 5. **Verwoorden:** Luidop benoemen wat er gebeurt tijdens het leggen en noteren. ##### 5.1.2.1 Nadeel van het werken met legschema's Een nadeel bij het werken met legschema's is dat bij optellen en aftrekken, de oorspronkelijke termen na de bewerking niet meer zichtbaar zijn. Bij aftrekken is enkel het aftrektal gematerialiseerd, en de aftrekker wordt weggenomen. Dit kan leiden tot verwarring als de oorspronkelijke getallen opnieuw nodig zijn. ### 5.2 Cijferend delen: Verdelingsdeling (HTE : E) Bij verdelingsdeling wordt het deeltal (bv. HTE - honderdtallen, tientallen, eenheden) verdeeld in een aantal gelijke groepen, gelijk aan de deler (E - eenheden). #### 5.2.1 Voorbeeld: 435 : 3 (Verdelingsdeling) **1. Schatting:** ongeveer $450 : 3 = 150$ **2. Leggen met MAB-materiaal:** Leg 4 honderdtallen, 3 tientallen en 5 eenheden. **3. Verdelen:** Verdeel de 4 honderdtallen. Je kunt 3 honderdtallen verdelen, wat 1 honderdtal per groep geeft. Er blijft 1 honderdtal over. Wissel dit honderdtal in voor 10 tientallen. Je hebt nu $3 + 10 = 13$ tientallen. Verdeel de 13 tientallen. Je kunt 12 tientallen verdelen, wat 4 tientallen per groep geeft. Er blijft 1 tiental over. Wissel dit tiental in voor 10 eenheden. Je hebt nu $5 + 10 = 15$ eenheden. Verdeel de 15 eenheden. Dit geeft 5 eenheden per groep. **4. Noteren in het schrijfschema:** $$ \begin{array}{r|c@{}c@{}c} \multicolumn{2}{r}{1} & 4 & 5 \\ \cline{2-4} 3 & 4 & 3 & 5 \\ \multicolumn{2}{r}{3} \downarrow \\ \cline{2-2} \multicolumn{2}{r}{1} & 3 \\ \multicolumn{2}{r}{1} & 2 \downarrow \\ \cline{3-3} \multicolumn{2}{r}{} & 1 & 5 \\ \multicolumn{2}{r}{} & 1 & 5 \\ \cline{4-4} \multicolumn{2}{r}{} & & 0 \\ \end{array} $$ **Uitleg van het schrijfschema:** * De deler (3) staat links. * Het deeltal (435) staat rechts. * De grootste eenheid (H) wordt als eerste verdeeld. * 4 honderdtallen gedeeld door 3 geeft 1 honderdtal per groep. Dit noteer je boven de H. * $1 \times 3 = 3$ honderdtallen. Dit trek je af van de 4 honderdtallen: $4 - 3 = 1$ honderdtal over. * Dit resterende honderdtal wordt ingewisseld voor 10 tientallen. Dit komt bovenop de bestaande 3 tientallen, dus $3 + 10 = 13$ tientallen. * 13 tientallen gedeeld door 3 geeft 4 tientallen per groep. Dit noteer je boven de T. * $4 \times 3 = 12$ tientallen. Dit trek je af van de 13 tientallen: $13 - 12 = 1$ tiental over. * Dit resterende tiental wordt ingewisseld voor 10 eenheden. Dit komt bovenop de bestaande 5 eenheden, dus $5 + 10 = 15$ eenheden. * 15 eenheden gedeeld door 3 geeft 5 eenheden per groep. Dit noteer je boven de E. * $5 \times 3 = 15$ eenheden. Dit trek je af van de 15 eenheden: $15 - 15 = 0$. * De uitkomst is $145$. De deling is opgaand omdat de rest 0 is. > **Tip:** Een deling waarbij de rest 0 is, wordt een **opgaande deling** genoemd. ### 5.3 Cijferend delen: Verhoudingsdeling (HTE : E) Bij verhoudingsdeling wordt bepaald hoe vaak de deler (E) in het deeltal (HTE) past. #### 5.3.1 Voorbeeld: 622 : 3 (Verhoudingsdeling) **1. Schatting:** ongeveer $600 : 3 = 200$ **2. Leggen met MAB-materiaal:** Leg 6 honderdtallen, 2 tientallen en 2 eenheden. **3. Bepalen hoe vaak de deler past:** Hoe vaak past 3 in 6 honderdtallen? 2 keer. Dus 2 honderdtallen per groep. Hoe vaak past 3 in de resterende 2 tientallen? 0 keer. Hoe vaak past 3 in de resterende 22 eenheden? 7 keer, met een rest van 1. **4. Noteren in het schrijfschema:** $$ \begin{array}{r|c@{}c@{}c} \multicolumn{2}{r}{2} & 0 & 7 \\ \cline{2-4} 3 & 6 & 2 & 2 \\ \multicolumn{2}{r}{6} \downarrow \\ \cline{2-2} \multicolumn{2}{r}{} & 2 & \\ \multicolumn{2}{r}{} & 0 & \downarrow \\ \cline{3-3} \multicolumn{2}{r}{} & 2 & 2 \\ \multicolumn{2}{r}{} & 2 & 1 \\ \cline{4-4} \multicolumn{2}{r}{} & & 1 \\ \end{array} $$ **Uitleg van het schrijfschema:** * De deler (3) staat links. * Het deeltal (622) staat rechts. * Bepaal hoe vaak de deler (3) in het eerste cijfer van het deeltal (6) past. Dat is 2 keer ($2 \times 3 = 6$). Dit noteer je boven de 6. * Trek $2 \times 3 = 6$ af van 6: $6 - 6 = 0$. * Laat het volgende cijfer van het deeltal (2) zakken. Je hebt nu 2 tientallen. * Bepaal hoe vaak de deler (3) in 2 past. Dat is 0 keer. Dit noteer je boven de 2. * $0 \times 3 = 0$. Trek dit af van 2: $2 - 0 = 2$. * Laat het volgende cijfer van het deeltal (2) zakken. Je hebt nu 22 eenheden. * Bepaal hoe vaak de deler (3) in 22 past. Dat is 7 keer ($7 \times 3 = 21$). Dit noteer je boven de 2. * Trek $7 \times 3 = 21$ af van 22: $22 - 21 = 1$. * De uitkomst is $207$ met een rest van $1$. > **Tip:** Bij verhoudingsdeling is het belangrijk om te vragen: "Hoeveel keer gaat de deler in dit deel van het deeltal?". #### 5.3.2 Waarom het getal met het meeste aantal cijfers bovenaan plaatsen? Bij vermenigvuldigingen zoals $3 \times 248$ versus $248 \times 3$, is het efficiënter om het getal met het meeste aantal cijfers (in dit geval 248) bovenaan te plaatsen. Dit komt omdat de vermenigvuldiging dan uitgesplitst wordt in minder deelvermenigvuldigingen. Bij $248 \times 3$ vermenigvuldig je elk cijfer van 248 met 3. Bij $3 \times 248$ zou je de 3 theoretisch moeten vermenigvuldigen met de honderdtallen, tientallen en eenheden van 248, wat conceptueel minder direct is in het cijferend proces, hoewel het resultaat hetzelfde is. In het schrijfschema leidt het plaatsen van het getal met meer cijfers bovenaan tot een meer gestructureerde en overzichtelijkere uitwerking. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Cijferen | Het proces van het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) met getallen, waarbij men de getallen onder elkaar schrijft volgens een vaststaand schema om het rekenproces te structureren en te vereenvoudigen. | | Legschema | Een visueel hulpmiddel, vaak een rooster of een gebied op tafel, waar concreet materiaal wordt geplaatst om wiskundige bewerkingen te demonstreren en te begrijpen. Het dient om de abstracte getallen te materialiseren. | | Schrijfschema | Een rasterpapier, meestal met ruitjes, dat wordt gebruikt om cijferoefeningen netjes onder elkaar te noteren. Dit schema helpt bij het correct positioneren van getallen en cijfers volgens hun plaatswaarde tijdens het rekenen. | | MAB-materiaal | Materialen zoals blokjes, staafjes en platen die verschillende plaatswaardes representeren (eenheden, tientallen, honderdtallen). Dit materiaal wordt gebruikt om wiskundige concepten tastbaar te maken, vooral bij het aanleren van cijferen. | | Plaatswaardesysteem | Het systeem waarbij de waarde van een cijfer in een getal wordt bepaald door zijn positie. Elk cijfer heeft een specifieke waarde afhankelijk van of het op de positie van de eenheden, tientallen, honderdtallen, etc. staat. | | Inwisselen | Het proces waarbij een tiental wordt omgezet in tien eenheden, een honderdtal in tien tientallen, enzovoort. Dit concept is cruciaal voor cijferend rekenen wanneer een bewerking niet direct kan worden uitgevoerd met de aanwezige eenheden of tientallen. | | Schatten | Het benaderen van de uitkomst van een berekening door de getallen af te ronden naar eenvoudigere getallen. Dit helpt om een idee te krijgen van de orde van grootte van het antwoord en om de juistheid van de berekende uitkomst te controleren. | | Basisbewerkingen | De vier fundamentele rekenkundige operaties: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Een goed begrip hiervan is essentieel voor het kunnen toepassen van cijfertechnieken. | | Brug (optellen/aftrekken) | Een term die verwijst naar het inwisselen van tientallen of honderdtallen bij optellen of aftrekken, wat nodig is wanneer de cijfers in een kolom onvoldoende zijn om de bewerking direct uit te voeren. | | Delingsdeling | Een type deling waarbij het totale aantal objecten ( Dividend ) wordt verdeeld in een bepaald aantal gelijke groepen (deler), en men zoekt naar het aantal objecten per groep ( quotient ). | | Verhoudingsdeling | Een type deling waarbij men zoekt naar het aantal keer dat een bepaalde hoeveelheid (deler) in een grotere hoeveelheid (Dividend ) past. Het antwoord is het aantal keren dat de deler in het dividend kan worden opgenomen. | | Opgaande deling | Een deling waarbij de rest nul is. Dit betekent dat het dividend exact deelbaar is door de deler, zonder enig overblijvend deel. |