Signalen_en_Systemen_Ch2_notities.pdf

# Introductie tot lineaire tijds-invariante systemen Dit gedeelte introduceert systemen als wiskundige modellen die de relatie tussen input en output weergeven, met een specifieke focus op lineaire tijds-invariante (LTI) systemen en hun kerncomponenten. ### 1.1 Het concept van een systeem Een systeem kan worden beschouwd als een wiskundig model dat het verband tussen de ingang (input) en de uitgang (output) van een fysisch proces weergeeft. De transformatie van de ingang $x(t)$ naar de uitgang $y(t)$ wordt aangeduid met de operator $T$, zodat $y(t) = Tx(t)$ [3](#page=3). #### 1.1.1 Terminologie voor systeemcomponenten De volgende termen worden gebruikt om de verschillende delen van een systeem te beschrijven: * **Ingang:** Ook bekend als input, excitatie [3](#page=3). * **Uitgang:** Ook bekend als output, antwoord, responsie [3](#page=3). ### 1.2 Lineaire tijds-invariante (LTI) systemen Een lineair tijds-invariant (LTI) systeem is een type systeem dat voldoet aan de eigenschappen van lineariteit en tijdsínvariantie [6](#page=6). #### 1.2.1 Lineaire systemen Een systeem is lineair als het voldoet aan het superpositieprincipe, wat inhoudt dat de respons op een som van ingangen gelijk is aan de som van de responsen op elke afzonderlijke ingang. Wiskundig gezien, als $y_1(t) = Tx_1(t)$ en $y_2(t) = Tx_2(t)$, dan geldt voor een lineair systeem dat $T(a x_1(t) + b x_2(t)) = a y_1(t) + b y_2(t)$ voor willekeurige constanten $a$ en $b$ [3](#page=3). #### 1.2.2 Tijds-invariante systemen Een systeem is tijds-invariant als een tijdsverschuiving van de ingang resulteert in een dezelfde tijdsverschuiving van de uitgang. Als $y(t) = Tx(t)$, dan geldt voor een tijds-invariant systeem dat $T(x(t-\tau)) = y(t-\tau)$ voor elke tijdsverschuiving $\tau$ [3](#page=3). > **Tip:** In de context van LTI systemen betekent de eis van tijdsínvariantie dat de systeemkarakteristieken niet veranderen in de tijd. ### 1.3 Beschrijving van LTI systemen door differentiaalvergelijkingen LTI systemen kunnen vaak worden gemodelleerd met behulp van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten [13](#page=13) [5](#page=5). #### 1.3.1 Algemene N-de-orde lineaire differentiaalvergelijking Een algemene N-de-orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten beschrijft de relatie tussen de ingang $x(t)$ en de uitgang $y(t)$ van een LTI systeem als volgt [13](#page=13): $$a_N \frac{d^N y(t)}{dt^N} + a_{N-1} \frac{d^{N-1} y(t)}{dt^{N-1}} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_M \frac{d^M x(t)}{dt^M} + b_{M-1} \frac{d^{M-1} x(t)}{dt^{M-1}} + \dots + b_1 \frac{dx(t)}{dt} + b_0 x(t)$$ Hierbij zijn $a_i$ en $b_j$ constante coëfficiënten [13](#page=13). #### 1.3.2 Oplossingen van differentiaalvergelijkingen De algemene oplossing $y(t)$ van zo'n differentiaalvergelijking bestaat uit de som van de homogene oplossing $y_h(t)$ en de particuliere oplossing $y_p(t)$ [13](#page=13): $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$ * **Homogene oplossing ($y_h(t)$):** Dit deel beschrijft het transient gedrag van het systeem en wordt bepaald door de eigen frequenties van het systeem, afhankelijk van de karakteristieke vergelijking. De oplossing wordt bepaald door de N randvoorwaarden [13](#page=13). * **Particuliere oplossing ($y_p(t)$):** Dit deel beschrijft het regimegedrag van het systeem en is afhankelijk van de ingangssignaal $x(t)$ [13](#page=13). > **Voorbeeld:** Het opladen van een condensator kan worden gemodelleerd door een eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking [13](#page=13) [6](#page=6). ### 1.4 Impulsrespons van een LTI systeem De respons van een continu-tijd LTI systeem op een Dirac-deltafunctie $\delta(t)$ als ingang wordt de impulsrespons, aangeduid met $h(t)$, genoemd. De impulsrespons kenmerkt volledig het LTI systeem [16](#page=16). Als de ingang $x(t) = \delta(t)$, dan is de uitgang $y(t) = h(t)$ [16](#page=16). $$x(t) = \delta(t) \quad \xrightarrow{T} \quad y(t) = h(t)$$ ### 1.5 Eigenschappen van LTI systemen De impulsrespons $h(t)$ (of de systeemrespons $s(t)$) van een LTI systeem kan worden gebruikt om belangrijke eigenschappen van het systeem te bepalen, zoals geheugen of geheugenloosheid, causaliteit en stabiliteit. Deze eigenschappen worden verder uitgediept in sectie 2.3 van het document [35](#page=35). > **Voorbeeld:** De impulsrespons $h(t)$ wordt gegeven door de transformatie van de Dirac-impuls $\delta(t)$ [16](#page=16). > > $$h(t) = T\delta(t)$$ --- # Systemen beschreven door differentiaalvergelijkingen Dit gedeelte behandelt de modellering van Lineaire Tijdsinvariante (LTI) systemen aan de hand van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten, inclusief diverse praktische voorbeelden. ### 2.1 Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten LTI-systemen kunnen algemeen beschreven worden door een $N$-de-orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. Deze vergelijkingen relateren de afgeleiden van de respons aan de afgeleiden van de excitatie (input) van het systeem [4](#page=4). De algemene vorm van zo'n differentiaalvergelijking is: $$a_N \frac{d^N y(t)}{dt^N} + a_{N-1} \frac{d^{N-1} y(t)}{dt^{N-1}} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_M \frac{d^M x(t)}{dt^M} + b_{M-1} \frac{d^{M-1} x(t)}{dt^{M-1}} + \dots + b_1 \frac{dx(t)}{dt} + b_0 x(t)$$ waarbij $y(t)$ de respons (output) is, $x(t)$ de excitatie (input) is, en $a_i$ en $b_j$ constante coëfficiënten zijn . #### 2.1.1 Oplossing van differentiaalvergelijkingen De algemene oplossing van een dergelijke differentiaalvergelijking wordt gevormd door de som van de homogene oplossing $y_h(t)$ en de particuliere oplossing $y_p(t)$. Dit geldt onder bepaalde randvoorwaarden . * **Homogene oplossing ($y_h(t)$):** Beschrijft het gedrag van het systeem zonder externe input (wanneer de rechterkant van de vergelijking nul is). Dit deel wordt ook wel het 'transientgedrag' of 'overgangsgedrag' genoemd . * **Particuliere oplossing ($y_p(t)$):** Beschrijft het gedrag van het systeem als reactie op de specifieke input $x(t)$. Dit deel wordt ook wel het 'regimegedrag' genoemd . #### 2.1.2 Componenten van de totale respons De totale respons $y(t)$ van een LTI-systeem kan, afhankelijk van de discipline, op verschillende manieren worden ontleed : 1. **Overgangsgedrag tgv de start/wijziging van de excitatie:** Dit is het dynamische gedrag dat optreedt wanneer de input $x(t)$ wordt gestart of gewijzigd . 2. **Overgangsgedrag tgv beginvoorwaarden die niet nul zijn:** Dit is het gedrag dat voortkomt uit de initiële toestand van het systeem op $t=0$. Dit wordt ook wel de 'nulinvoerrespons' ($y_{zi}(t)$) genoemd . 3. **Regimegedrag:** Het gedrag van het systeem op lange termijn, wanneer de invloed van de initiële condities en dynamische opstart is uitgedoofd. Dit wordt ook wel de 'nultoestandrespons' ($y_{zs}(t)$) genoemd, welke deels het overgangsgedrag tgv de start/wijziging van de excitatie omvat . > **Tip:** Het is belangrijk om de verschillende terminologieën (wiskunde, technisch, systeemtheorie) te herkennen, aangezien ze naar dezelfde fysieke verschijnselen verwijzen . ### 2.2 Voorbeelden van LTI-systemen gemodelleerd door differentiaalvergelijkingen #### 2.2.1 Voorbeeld 1: Opladen van een condensator Het opladen van een condensator is een klassiek voorbeeld van een LTI-systeem dat beschreven kan worden door een eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking. De relatie tussen de ingangsspanning $x(t)$ (bijvoorbeeld de spanning van een bron) en de uitgangsspanning $y(t)$ over de condensator kan gemodelleerd worden als: $$\frac{dy(t)}{dt} + \frac{1}{RC} y(t) = \frac{1}{RC} x(t)$$ Hierin is $R$ de weerstand en $C$ de capaciteit [14](#page=14) [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Als de input $x(t)$ een constante spanning is, zal de spanning over de condensator $y(t)$ exponentieel toenemen naar deze constante waarde . #### 2.2.2 Voorbeeld 2: Vullen van een emmer Het vullen van een emmer illustreert hoe een systeem met een volumeverandering gemodelleerd kan worden. De oppervlakte $A$ van de emmer is constant . De relatie tussen het ingaande debiet $q(t)$ (input) en de waterhoogte $h(t)$ (output) kan als volgt worden weergegeven: Het volume van het water in de emmer op tijd $t$ is $V(t) = A \cdot h(t)$ . De verandering van het volume over tijd is $\frac{dV(t)}{dt} = A \frac{dh(t)}{dt}$ . Het ingaande debiet is $q(t)$, dus $\frac{dV(t)}{dt} = q(t)$. Hieruit volgt de differentiaalvergelijking: $$A \frac{dh(t)}{dt} = q(t)$$ of herschreven met $y(t) = h(t)$ en $x(t) = q(t)$: $$\frac{dy(t)}{dt} = \frac{1}{A} x(t)$$ Dit is een eerste-orde integratie-systeem . > **Tip:** Dit kan vergeleken worden met de wet van Newton ($F=m \cdot a$), waarbij het debiet analoog is aan kracht en de hoogte aan positie/versnelling . #### 2.2.3 Voorbeeld 3: Vullen van een emmer met een gat Wanneer een emmer een gat heeft waardoor water wegvloeit, wordt het systeem complexer door de feedback (uitgaande debiet). Het uitgaande debiet is afhankelijk van de waterhoogte. De verandering van het watervolume in de emmer wordt bepaald door het netto debiet: $$\frac{dV(t)}{dt} = \text{debiet in} - \text{debiet uit}$$ Met $V(t) = A \cdot h(t)$, wordt dit: $$A \frac{dh(t)}{dt} = q_{in}(t) - q_{uit}(h(t))$$ Als het uitgaande debiet, $q_{uit}$, evenredig is met de hoogte $h(t)$ (een vereenvoudiging, $q_{uit} \propto h(t)$), dan wordt de vergelijking: $$A \frac{dh(t)}{dt} = q_{in}(t) - k \cdot h(t)$$ of met $y(t) = h(t)$ en $x(t) = q_{in}(t)$: $$\frac{dy(t)}{dt} + \frac{k}{A} y(t) = \frac{1}{A} x(t)$$ Dit is opnieuw een eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking . > **Analogie:** > * De emmer werkt als een integrator (volume verandert met debiet). > * Het gat in de emmer fungeert als een natuurlijk feedbackmechanisme, wat leidt tot een stabiliserend effect . #### 2.2.4 Voorbeeld 4: Algemeen LTI-systeem met tweede-orde differentiaalvergelijking Een continu-tijd LTI-systeem kan ook beschreven worden door een hogere-orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. Beschouw de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking: $$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 2 \frac{dy(t)}{dt} + 3 y(t) = x(t)$$ Hierbij is $x(t)$ de input en $y(t)$ de output. Dit type vergelijking vindt men bijvoorbeeld bij mechanische systemen met massa, demping en veerconstanten, of elektrische circuits met spoelen, weerstanden en condensatoren . --- # Respons en convolutie-integraal van continue-tijd LTI-systemen Dit hoofdstuk introduceert de respons van continue-tijd Lineaire Tijdsinvariante (LTI) systemen en demonstreert hoe deze respons kan worden berekend met behulp van de convolutie-integraal, gebaseerd op de systeemimpulsresponsie en de input. ### 3.1 Definitie van impulsresponsie De impulsresponsie, aangeduid met $h(t)$, is de uitgang van een LTI-systeem wanneer de input de Dirac-deltafunctie $\delta(t)$ is. Het fungeert als een fundamentele karakteristiek van het systeem, aangezien het, in combinatie met de input, de uitgang van het systeem volledig bepaalt [16](#page=16) [36](#page=36). ### 3.2 Representatie van een signaal als een gewogen som van impulsen Elk continue-tijd signaal $x(t)$ kan worden voorgesteld als een oneindige gewogen som van Dirac-deltafuncties, waarbij de gewichten worden bepaald door de waarde van het signaal op dat specifieke tijdstip. Deze representatie vormt de basis voor de lineaire systeemtheorie. Mathematisch wordt dit uitgedrukt als [17](#page=17): $$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) d\tau$$ [17](#page=17). ### 3.3 De convolutie-integraal Door gebruik te maken van de lineaire en tijdsinvariante eigenschappen van het systeem, kan de uitgang $y(t)$ van een LTI-systeem worden berekend door de input $x(t)$ te convolueren met de impulsresponsie $h(t)$. Dit proces wordt beschreven door de convolutie-integraal: $$y(t) = T\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$ [17](#page=17) [18](#page=18). Deze integraal wordt vaak gesymboliseerd als: $$y(t) = x(t) \ast h(t)$$ [18](#page=18). Het superpositieprincipe is hierbij cruciaal: de responsie op meerdere ingangssignalen tegelijk is de som van de individuele responsies [18](#page=18). #### 3.3.1 Grafische interpretatie van de convolutie-integraal De grafische interpretatie van de convolutie-integraal omvat de volgende stappen [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23): 1. Spiegel de impulsresponsie $h(\tau)$ om $h(-\tau)$ te verkrijgen. 2. Verschuif de gespiegelde responsie met $t$ om $h(t - \tau)$ te krijgen. 3. Vermenigvuldig de input $x(\tau)$ met de verschoven en gespiegelde responsie $h(t - \tau)$. 4. Integreer het product over alle waarden van $\tau$. Deze stappen worden toegepast voor verschillende waarden van $t$ om de uitgang $y(t)$ te bepalen. > **Tip:** Het visualiseren van de verschuiving en overlap van de signalen tijdens de convolutie is essentieel voor een goed begrip. #### 3.3.2 Voorbeelden van convolutie-integraal berekening **Voorbeeld 1:** Het berekenen van de convolutie van twee blokpulsen [24](#page=24) [25](#page=25) [26](#page=26). Gegeven $x(t) = u(t)$ en $h(t) = u(t)$. De uitgang $y(t)$ wordt berekend via de convolutie-integraal. De stapresponsie $s(t)$ is de uitgang van een LTI-systeem wanneer de input de eenheidsstapfunctie $u(t)$ is [34](#page=34). $$s(t) = T\{u(t)\} = u(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) h(t - \tau) d\tau$$ [34](#page=34). Dit kan ook worden geschreven als: $$s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\lambda) d\lambda$$ [34](#page=34). **Voorbeeld 2:** Schetsen van de output voor een specifieke input en impulsresponsie [27](#page=27) [28](#page=28) [29](#page=29). Gegeven $x(t)$ en $h(t) = e^{-t}u(t)$. De convolutie $y(t) = x(t) \ast h(t)$ moet geschetst worden. ### 3.4 Eigenschappen van de convolutie-integraal De convolutie-integraal bezit diverse belangrijke eigenschappen die de berekening en analyse van LTI-systemen vereenvoudigen [28](#page=28) [29](#page=29) [30](#page=30) [31](#page=31): * **Commutatief:** De volgorde van convolutie heeft geen invloed op het resultaat. $$y(t) = x(t) \ast h(t) = h(t) \ast x(t)$$ [29](#page=29) [30](#page=30). * **Associatief:** De convolutie van meerdere systemen (of hun impulsresponsen) kan in elke volgorde worden uitgevoerd. Dit is nuttig voor het analyseren van cascaderingen van LTI-systemen. $$x(t) \ast h_1(t) \ast h_2(t) = x(t) \ast (h_1(t) \ast h_2(t))$$ [30](#page=30) [31](#page=31). De dubbele convolutie kan worden uitgedrukt als: $$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \int_{-\infty}^{\infty} h_1(\sigma - \tau) h_2(t - \sigma) d\sigma d\tau$$ [31](#page=31). * **Distributief:** Convolutie verdeelt over optelling. $$x(t) \ast (h_1(t) + h_2(t)) = x(t) \ast h_1(t) + x(t) \ast h_2(t)$$ [31](#page=31). ### 3.5 Periodieke convolutie Wanneer zowel de input $x_1(t)$ als de responsie $x_2(t)$ periodiek zijn met periode $T_0$, divergeert de standaard convolutie-integraal. In dergelijke gevallen wordt de periodieke convolutie gedefinieerd om de uitgang te bepalen [32](#page=32). ### 3.6 Stapresponsie De stapresponsie $s(t)$ is de uitgang van een LTI-systeem wanneer de input de eenheidsstapfunctie $u(t)$ is. Het is de nultoestandrespons op de eenheidsstapfunctie. De stapresponsie kan worden berekend met behulp van de convolutie-integraal [34](#page=34): $$s(t) = T\{u(t)\} = u(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) h(t - \tau) d\tau$$ [34](#page=34). Met behulp van de eigenschappen van de eenheidsstapfunctie kan dit ook worden geschreven als: $$s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\lambda) d\lambda$$ [34](#page=34). Verder geldt dat de afgeleide van de stapresponsie gelijk is aan de impulsresponsie: $$h(t) = \frac{ds(t)}{dt}$$ [34](#page=34). --- # Eigenschappen van continue-tijd LTI-systemen Dit gedeelte behandelt de fundamentele eigenschappen van lineaire tijdsinvariante (LTI) systemen in continue tijd: geheugenloosheid, causaliteit en stabiliteit, en hoe deze gerelateerd zijn aan de impulsresponsie en stapresponsie van het systeem [35](#page=35). ### 4.1 Geheugenloosheid Een systeem wordt als geheugenloos beschouwd als de uitgang op elk moment uitsluitend afhankelijk is van de ingang op datzelfde moment. Voor een LTI-systeem kan deze relatie worden uitgedrukt als [36](#page=36): $y(t) = K \cdot x(t)$ [36](#page=36). waarbij $K$ een constante is. De bijbehorende impulsresponsie van een dergelijk systeem is [36](#page=36): $h(t) = K \cdot \delta(t)$ [36](#page=36). Hieruit volgt dat een LTI-systeem geheugen heeft als de impulsresponsie $h(t_0) \neq 0$ voor een $t_0 \neq 0$ [36](#page=36). > **Tip:** Een geheugenloos systeem reageert direct op de huidige ingangssignaal zonder invloed van eerdere of toekomstige ingangswaarden. ### 4.2 Causaliteit Een systeem is causaal indien de uitgang $y(t_0)$ op tijdstip $t_0$ alleen afhankelijk is van de ingang voor tijdstippen $t \leq t_0$. Voor een causaal LTI-systeem geldt dat de impulsresponsie nul is voor alle negatieve tijden [36](#page=36): $h(t) = 0 \quad \forall t < 0$ [36](#page=36). De uitgang van een causaal LTI-systeem kan dan worden uitgedrukt met behulp van de convolutie-integraal, waarbij de integratiegrenzen worden aangepast om causaliteit te waarborgen: $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t - \tau) d\tau = \int_{0}^{t} h(\tau) x(t - \tau) d\tau$ [36](#page=36). of, door gebruik te maken van de commutativiteit van convolutie: $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau = \int_{0}^{t} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$ [36](#page=36). #### 4.2.1 Causale en anticausale signalen Een signaal $x(t)$ is causaal indien het nul is voor alle negatieve tijden: $x(t) = 0 \quad \forall t < 0$ [37](#page=37). Een signaal $x(t)$ is anticausaal indien het nul is voor alle positieve tijden: $x(t) = 0 \quad \forall t > 0$ [37](#page=37). Wanneer zowel het systeem als het ingangssignaal causaal zijn, vereenvoudigt de convolutie-integraal tot: $y(t) = \int_{0}^{t} h(\tau) x(t - \tau) d\tau$ [37](#page=37). of $y(t) = \int_{0}^{t} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$ [37](#page=37). > **Tip:** Causaliteit is een fysiek realistische eigenschap van systemen, omdat het impliceert dat een systeem niet kan reageren op gebeurtenissen in de toekomst. ### 4.3 Stabiliteit Een systeem wordt als stabiel beschouwd indien een begrensde input resulteert in een begrensde output (Bounded Input – Bounded Output, BIBO). Voor een LTI-systeem is dit equivalent aan de eis dat de impulsresponsie absoluut integreerbaar is over het gehele tijdsdomein [37](#page=37): $\int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)| d\tau < \infty$ [37](#page=37). > **Tip:** Stabiliteit is cruciaal voor de betrouwbaarheid van een systeem. Een instabiel systeem kan onvoorspelbaar en potentieel gevaarlijk gedrag vertonen, zelfs bij kleine ingangssignalen. --- # Eigenfuncties van continue-tijd LTI-systemen Complexe exponentiële signalen vormen de basis voor de Laplace- en Fouriertransformaties en fungeren als eigenfuncties van continue-tijd LTI-systemen [38](#page=38). ### 5.1 Complexe exponentiële signalen als eigenfuncties Een essentieel concept in de analyse van continue-tijd LTI-systemen is het gebruik van eigenfuncties. Deze functies, wanneer toegepast op een lineair tijdinvariant (LTI) systeem, resulteren in een geschaalde versie van de oorspronkelijke functie, waarbij de schaalfactor de eigenwaarde is [38](#page=38). #### 5.1.1 De definitie van eigenfuncties en eigenwaarden Voor een continu-tijd LTI-systeem $T$ geldt dat een signaal $x(t)$ een eigenfunctie is als de output van het systeem, $y(t) = T\{x(t)\}$, simpelweg een geschaalde versie van de input is: $y(t) = T\{x(t)\} = \lambda x(t)$ [38](#page=38). De functie $x(t)$ wordt de **eigenfunctie** genoemd, en de bijbehorende constante $\lambda$ is de **eigenwaarde** [38](#page=38). #### 5.1.2 Complexe exponentiële signalen Het signaal $x(t) = e^{st}$, waarbij $s$ een complexe variabele is, is een fundamentele eigenfunctie voor continue-tijd LTI-systemen. Dit signaal wordt algemeen uitgedrukt als [38](#page=38): $x(t) = e^{st}$ [38](#page=38). De algemene uitdrukking voor een complex exponentieel signaal wordt gegeven door: $e^{at}$ [38](#page=38). > **Tip:** De keuze van complexe exponentiële signalen als eigenfuncties is cruciaal omdat ze een wiskundig handzame basis vormen voor signalen die uitgebreid worden geanalyseerd met behulp van transformaties zoals de Laplace- en Fouriertransformatie. #### 5.1.3 Rol in Laplace- en Fouriertransformaties De eigenschap van complexe exponentiële signalen om als eigenfuncties van LTI-systemen te dienen, maakt ze tot de basis voor de Laplace- en Fouriertransformaties. Deze transformaties stellen ons in staat om signalen en systeemresponsen in het frequentiedomein te analyseren, wat vaak leidt tot vereenvoudigde berekeningen [38](#page=38). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Systeem | Een mathematisch model van een fysisch proces dat het verband tussen input en output weergeeft. Het transformeert een inputsignaal naar een outputsignaal. | | Lineair Tijdsinvariant Systeem (LTI) | Een systeem waarvan de responsie op een som van ingangssignalen gelijk is aan de som van de responsies op de individuele ingangssignalen (lineariteit), en waarvan de tijdseigenschappen niet veranderen over de tijd (tijdsinvariantie). | | Differentiaalvergelijking | Een vergelijking die een relatie beschrijft tussen een functie en haar afgeleiden. In de context van systeemtheorie worden deze gebruikt om de dynamiek van systemen te modelleren. | | Excitatie | Het ingangssignaal dat aan een systeem wordt toegevoerd om een responsie te genereren. Dit wordt ook wel input of excitatie genoemd. | | Respons | Het outputsignaal van een systeem als reactie op een inputsignaal. Dit wordt ook wel antwoord, responsie of output genoemd. | | Impulsrespons | De respons van een LTI-systeem wanneer het wordt geëxciteerd door een Dirac-impuls. De impulsrespons $h(t)$ karakteriseert volledig het systeem. | | Convolutie-integraal | Een wiskundige bewerking die wordt gebruikt om de output van een LTI-systeem te berekenen als reactie op een willekeurige input. De formule is $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$. | | Geheugenloos systeem | Een systeem waarvan de uitgang op een bepaald tijdstip alleen afhangt van de input op datzelfde tijdstip. De impulsresponsie van een geheugenloos systeem is een constante maal de Dirac-deltafunctie. | | Causaal systeem | Een systeem waarvan de output $y(t)$ op tijdstip $t$ alleen afhangt van de input op tijdstippen $t$ of eerder. Voor LTI-systemen geldt dat $h(t)=0$ voor $t < 0$. | | Stabiel systeem (BIBO) | Een systeem is stabiel als een begrensde input resulteert in een begrensde output. Voor LTI-systemen is dit equivalent aan het absoluut integreerbaar zijn van de impulsresponsie: $\int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)| d\tau < \infty$. | | Eigenfunctie | Een functie die, wanneer toegepast op een lineaire operator, een veelvoud van zichzelf oplevert. Voor continue-tijd LTI-systemen zijn complexe exponentiële signalen, $x(t) = e^{st}$, eigenfuncties. | | Eigenwaarde | De factor waarmee een eigenfunctie wordt vermenigvuldigd nadat deze door een lineaire operator is gegaan. Voor een LTI-systeem en een complexe exponentiële input $e^{st}$ is de eigenwaarde de waarde van de impulsresponsie op de frequentie $s$, $h(s)$. | | Regimegedrag | Het langetermijngedrag van de respons van een systeem, nadat eventuele transiënte effecten zijn uitgedoofd. Dit gedrag wordt bepaald door de input en de eigenschappen van het systeem. | | Transiëntgedrag | Het gedrag van de respons van een systeem in de periode direct na de aanvang van een input of wijziging daarvan, alvorens het regimegedrag te bereiken. Dit kan veroorzaakt worden door de start van een excitatie of door niet-nul beginvoorwaarden. | | Nulinvoerrespons | Het deel van de respons van een systeem dat wordt veroorzaakt door de beginvoorwaarden, wanneer de input nul is. | | Nultoestandrespons | Het deel van de respons van een systeem dat wordt veroorzaakt door de input, wanneer de beginvoorwaarden nul zijn. |