H1.2_Hydrodynamica_-_oefeningen.pdf

# Toepassingen van de wet van Bernoulli en continuïteitsvergelijking Dit onderwerp behandelt de praktische toepassing van de wet van Bernoulli en de continuïteitsvergelijking voor het analyseren van vloeistofstromen, met name bij het berekenen van drukverschillen, snelheden en debieten in situaties waar de buisdiameter en/of de hoogte varieert [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.1 De continuïteitsvergelijking De continuïteitsvergelijking, ook wel massabehoud genoemd voor onsamendrukbare vloeistoffen, stelt dat het massadebiet constant blijft door een gesloten systeem. Voor onsamendrukbare vloeistoffen kan dit worden uitgedrukt als [9](#page=9): $A_1 v_1 = A_2 v_2$ [9](#page=9). Waarbij: * $A$ staat voor de dwarsdoorsnede-oppervlakte van de buis [9](#page=9). * $v$ staat voor de gemiddelde stroomsnelheid van de vloeistof [9](#page=9). Deze vergelijking impliceert dat waar de oppervlakte van de buis afneemt, de stroomsnelheid moet toenemen, en vice versa [9](#page=9). #### 1.1.1 Berekening van diameters en snelheden De continuïteitsvergelijking kan worden gebruikt om de vereiste diameter van toevoerbuizen te bepalen, gegeven het volume dat ververst moet worden en de beschikbare tijd, rekening houdend met de snelheid van de luchtstroom. Ook kan het worden ingezet om de snelheid te berekenen wanneer de diameters van verschillende secties van een leiding bekend zijn en het debiet constant is [1](#page=1) [7](#page=7) [8](#page=8). **Voorbeeld:** In een ventilatiesysteem moet een lokaal van een bepaald volume in een gegeven tijd ververst worden. Als de lucht met een bepaalde snelheid in de toevoerbuizen stroomt, kan de benodigde diameter van deze buizen berekend worden met behulp van het volume, de tijd en de continuïteitsvergelijking [1](#page=1). ### 1.2 De wet van Bernoulli De wet van Bernoulli beschrijft het behoud van energie in een stromende vloeistof. Voor een ideale, onsamendrukbare en niet-viskeuze vloeistof stelt de wet dat de som van de druk, de kinetische energie per volume-eenheid en de potentiële energie per volume-eenheid constant is langs een stroomlijn [10](#page=10) [14](#page=14) [7](#page=7) [9](#page=9): $$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$$ [14](#page=14) [7](#page=7). Waarbij: * $p$ is de statische druk [7](#page=7). * $\rho$ is de dichtheid van de vloeistof [7](#page=7). * $v$ is de stroomsnelheid van de vloeistof [7](#page=7). * $g$ is de versnelling van de zwaartekracht (ongeveer 9,81 m/s²) [7](#page=7). * $h$ is de hoogte boven een referentiepunt [7](#page=7). De wet van Bernoulli kan worden toegepast op twee verschillende punten (1 en 2) in een stromingssysteem: $$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$$ [14](#page=14) [7](#page=7). Als de hoogteverschillen verwaarloosbaar zijn ($h_1 \approx h_2$), vereenvoudigt de vergelijking tot: $$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$ [14](#page=14) [8](#page=8). Als de snelheidsverschillen klein zijn, kan de kinetische energie term worden verwaarloosd, en blijft de hydrostatische drukoverdruk over. #### 1.2.1 Toepassingen in drukverschillen en snelheden De wet van Bernoulli is cruciaal voor het berekenen van drukverschillen die ontstaan door veranderingen in snelheid of hoogte. Dit is relevant bij het analyseren van vloeistofstromen in vernauwingen, zoals in een Venturi-buis, of bij het bepalen van de snelheid van uitstromende vloeistof uit een vat [10](#page=10) [2](#page=2) [4](#page=4) [8](#page=8) [9](#page=9). **Venturi-effect:** In een vernauwde sectie van een buis neemt de snelheid van de vloeistof toe volgens de continuïteitsvergelijking. Volgens de wet van Bernoulli leidt deze snelheidsverhoging tot een drukverlaging in de vernauwde sectie ten opzichte van de bredere sectie. Het gemeten drukverschil kan direct gebruikt worden om de stroomsnelheid te berekenen [4](#page=4) [8](#page=8). **Uitstromende vloeistof uit een vat (Torricelli's wet):** Voor een opening aan de onderkant van een vat kan, door de wet van Bernoulli toe te passen tussen het oppervlak van de vloeistof en de opening (en de hoogteverschillen mee te nemen), de uitstroomsnelheid worden afgeleid. Als de vloeistof aan de bovenkant vrij aan de atmosfeer is blootgesteld en de opening ook, en de oppervlakte van het vat veel groter is dan de opening, kan de snelheid van het oppervlak dat daalt verwaarloosd worden. De uitstroomsnelheid is dan $v = \sqrt{2g\Delta h}$, wat bekend staat als Torricelli's wet [10](#page=10) [2](#page=2) [9](#page=9). **Liftkracht van een vliegtuigvleugel:** De wet van Bernoulli verklaart ook hoe een vliegtuigvleugel lift genereert. De vorm van de vleugel zorgt ervoor dat de lucht boven de vleugel een langere weg aflegt dan de lucht onder de vleugel, waardoor de luchtsnelheid boven de vleugel hoger is. Dit resulteert in een lagere druk boven de vleugel vergeleken met de druk onder de vleugel, wat een netto opwaartse kracht (lift) veroorzaakt [14](#page=14) [3](#page=3) [9](#page=9). #### 1.2.2 Berekeningen met hoogteverschillen Wanneer er hoogteverschillen optreden, moet de potentiële energieterm ($\rho g h$) worden meegenomen in de berekeningen. Dit is essentieel bij het analyseren van stromingen in verwarmingssystemen met hoogteverschillen, of bij het bepalen van de stroom uit een vat dat zich op een bepaalde hoogte bevindt [10](#page=10) [3](#page=3) [7](#page=7) [9](#page=9). **Voorbeeld:** Water circuleert in een verwarmingssysteem. In de kelder is de druk en snelheid bekend. Om de druk op de tweede verdieping te berekenen, waar de buisdiameter kleiner is en de hoogte significant hoger ligt, worden zowel de continuïteitsvergelijking als de volledige wet van Bernoulli toegepast [3](#page=3) [7](#page=7). ### 1.3 Praktische Oefeningen en Voorbeelden De volgende oefeningen illustreren de toepassing van deze principes: * **Ventilatiesysteem:** Bereken de diameter van de toevoerbuizen van een ventilatiesysteem, gegeven het te verversen volume, de tijd en de luchtsnelheid [1](#page=1). * **Wijnvat:** Bepaal de snelheid waarmee wijn uit een vat stroomt door een opening, rekening houdend met de hoogte van de vloeistof en de diameter van de opening. Hierbij wordt vaak gebruik gemaakt van Torricelli's wet, een speciale toepassing van Bernoulli [2](#page=2). * **Centrale verwarming:** Bereken de stroomsnelheid en de druk in een leiding op een hogere verdieping, gegeven de initiële snelheid en druk in de kelder en de verandering in buisdiameter en hoogte [3](#page=3) [7](#page=7). * **Olie in vernauwde buis:** Bepaal de stroomsnelheid van olie in een buis met variërende diameter, gebaseerd op het gemeten drukverschil tussen de brede en smalle secties [4](#page=4) [8](#page=8). * **Watertank met afvoerbuis:** Bereken het debiet waarmee water uit een tank stroomt via een afvoerbuis die onder een hoek naar beneden loopt, waarbij zowel de continuïteitsvergelijking als de wet van Bernoulli worden gebruikt [10](#page=10) [5](#page=5) [9](#page=9). * **Horizontale buis met olie:** Bereken het drukverschil dat nodig is om een bepaald debiet olie door een horizontale buis te laten stromen, rekening houdend met de viscositeit (hoewel in veel van deze oefeningen de viscositeit verwaarloosd mag worden, speelt deze een rol in de meer geavanceerde berekeningen van Hagen-Poiseuille ). De oefeningen 6, 7 en 8 tonen aan dat voor een gegeven debiet en buisparameters een specifiek drukverschil vereist is. Oefening 7 en 8 tonen dit aan voor specifieke viscositeitswaarden, terwijl oefening 6 hier een drukverschil vereist voor een gegeven debiet en buis [2](#page=2) [6](#page=6) [8](#page=8). * **Vliegtuigvleugel:** Bepaal de liftkracht van een vliegtuigvleugel door het drukverschil tussen de boven- en onderkant te berekenen, gebaseerd op de verschillende luchtsnelheden [14](#page=14) [9](#page=9). * **Vernauwing door kalkaanslag:** Kwantificeer de vermindering van het volumedebiet door een vernauwing in een buis als gevolg van kalkaanslag, door het effect op de effectieve diameter te berekenen [10](#page=10) [4](#page=4). > **Tip:** Bij het oplossen van problemen met de wet van Bernoulli en de continuïteitsvergelijking, is het cruciaal om systematisch te werk te gaan. Identificeer eerst de bekende en onbekende variabelen en bepaal welke vergelijking (continuïteit of Bernoulli) het meest geschikt is voor de specifieke situatie. Vergeet niet de eenheden consistent te houden en correcte conversies uit te voeren. Voor situaties met aanzienlijke hoogteverschillen, gebruik de volledige vorm van de wet van Bernoulli. > **Tip:** Wanneer viscositeit wordt verwaarloosd, worden de stromingen beschouwd als ideaal. Dit vereenvoudigt de berekeningen aanzienlijk. In de praktijk zal er echter altijd enige weerstand zijn door viscositeit, wat kan leiden tot drukverliezen en lagere debieten dan voorspeld door ideale modellen [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8). --- # Effect van viscositeit op vloeistofstroming Deze sectie behandelt hoe de viscositeit van een vloeistof invloed heeft op drukverschillen en debieten in stromingsproblemen, met een specifieke focus op de wet van Poiseuille [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [2](#page=2). ### 2.1 Principes van viskeuze stroming Viscositeit is een maat voor de weerstand van een vloeistof tegen stroming. Bij het berekenen van drukverschillen of debieten speelt de viscositeit een cruciale rol, vooral in situaties waar wrijvingsverliezen significant zijn, zoals in buizen. De wet van Poiseuille beschrijft de relatie tussen debiet, drukverschil, viscositeit, lengte en radius van een cilndrische buis voor laminaire stroming [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [2](#page=2). ### 2.2 De wet van Poiseuille De wet van Poiseuille, ook wel bekend als de wet van Hagen-Poiseuille, beschrijft het debiet ($Q$) van een viskeuze vloeistof door een cilindrische buis onder constante drukverschil ($\Delta p$) in een situatie van laminaire stroming [11](#page=11) [13](#page=13). De formule luidt als volgt: $$Q = \frac{\pi r^4 \Delta p}{8 \eta l}$$ [11](#page=11) [13](#page=13). Waar: * $Q$ staat voor het volumestroom, gemeten in kubieke meters per seconde ($m^3/s$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). * $r$ is de straal van de buis, gemeten in meters ($m$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). * $\Delta p$ is het drukverschil tussen de uiteinden van de buis, gemeten in Pascals ($Pa$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). * $\eta$ (eta) is de dynamische viscositeit van de vloeistof, gemeten in Pascal-seconden ($Pa \cdot s$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). * $l$ is de lengte van de buis, gemeten in meters ($m$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). #### 2.2.1 Toepassingen en berekeningen met de wet van Poiseuille De wet van Poiseuille kan worden herschreven om het benodigde drukverschil ($\Delta p$) te berekenen voor een bepaald debiet ($Q$): $$\Delta p = \frac{8 \eta l Q}{\pi r^4}$$ [11](#page=11) [12](#page=12). De straal ($r$) kan worden afgeleid uit de diameter ($d$) met $r = d/2$ [11](#page=11) [13](#page=13). **Voorbeelden:** > **Voorbeeld 1:** Men wil dat er door een horizontale buis een debiet van 2,50 liter per seconde ($l/s$) stroomt. De buis heeft een lengte van 4,85 meter ($m$) en een binnendiameter van 5,08 centimeter ($cm$). De olie heeft een viscositeit van 0,764 millipascal-seconden ($mPa \cdot s$) en een dichtheid van 0,882 kg/l. Welk drukverschil moet er zijn tussen de beide uiteinden van de buis? > > Eerst zetten we het debiet om naar $m^3/s$: $Q = 2,50 \, l/s = 0,00250 \, m^3/s$. > De straal van de buis is $r = 5,08 \, cm / 2 = 2,54 \, cm = 0,0254 \, m$. > De viscositeit is $\eta = 0,764 \, mPa \cdot s = 0,764 \times 10^{-3} \, Pa \cdot s$. > Nu passen we de formule voor USD\Delta p aan: > $$\Delta p = \frac{8 \times (0,764 \times 10^{-3} \, Pa \cdot s) \times 4,85 \, m \times 0,00250 \, m^3/s}{\pi \times (0,0254 \, m)^4}$$ > $$\Delta p \approx 56,67354 \, Pa$$ [11](#page=11). > Het antwoord is dus ongeveer 56,7 $Pa$ [11](#page=11). > **Voorbeeld 2:** Door een dun buisje met een diameter van 1,8 millimeter ($mm$) loopt motorolie met een viscositeit van 200 millipascal-seconden ($mPa \cdot s$) bij een temperatuur van 35°C. Het buisje is 6,5 centimeter ($cm$) lang. Welk drukverschil is nodig om een debiet van 8,4 milliliter per minuut ($ml/min$) in stand te houden? > > We zetten de eenheden om: > Diameter $d = 1,8 \, mm$, dus straal $r = 0,9 \, mm = 0,0009 \, m$. > Viscositeit $\eta = 200 \, mPa \cdot s = 0,200 \, Pa \cdot s$. > Lengte $l = 6,5 \, cm = 0,065 \, m$. > Debiet $Q = 8,4 \, ml/min = \frac{8,4 \times 10^{-3} \, l}{60 \, s} = \frac{8,4 \times 10^{-6} \, m^3}{60 \, s} \approx 1,4 \times 10^{-7} \, m^3/s$. > Nu berekenen we het drukverschil: > $$\Delta p = \frac{8 \times (0,200 \, Pa \cdot s) \times 0,065 \, m \times (1,4 \times 10^{-7} \, m^3/s)}{\pi \times (0,0009 \, m)^4}$$ > $$\Delta p \approx 7,06385 \, Pa$$ [12](#page=12). > Het benodigde drukverschil is ongeveer 7,06 $Pa$ [12](#page=12). > **Voorbeeld 3:** Door een horizontale buis met een diameter van 3,50 centimeter ($cm$) en een lengte van 28,0 meter ($m$) stroomt petroleum. Het drukverschil tussen de twee uiteinden van de buis bedraagt 2,50 kilopascal ($kPa$). Bepaal hoeveel liter petroleum er per seconde door deze buis vloeit en de snelheid waarmee de petroleum in deze buis stroomt. Petroleum heeft een viscositeit van 0,650 millipascal-seconden ($mPa \cdot s$) en een dichtheid van 0,792 kg/l. > > Eerst zetten we de eenheden om: > Diameter $d = 3,50 \, cm$, dus straal $r = 1,75 \, cm = 0,0175 \, m$. > Drukverschil $\Delta p = 2,50 \, kPa = 2500 \, Pa$. > Viscositeit $\eta = 0,650 \, mPa \cdot s = 0,650 \times 10^{-3} \, Pa \cdot s$. > Lengte $l = 28,0 \, m$. > > a) Berekening van het debiet ($Q$): > $$Q = \frac{\pi \times (0,0175 \, m)^4 \times 2500 \, Pa}{8 \times (0,650 \times 10^{-3} \, Pa \cdot s) \times 28,0 \, m}$$ > $$Q \approx 0,00505918666 \, m^3/s$$ [13](#page=13). > Om dit in liters per seconde uit te drukken: $Q \approx 0,00505918666 \times 1000 \, l/s = 5,05918666 \, l/s$. > Afgerond is dit 5,06 $l/s$ [13](#page=13). > > b) Berekening van de snelheid ($v$): > Het debiet is ook gelijk aan de oppervlakte ($A$) maal de snelheid ($v$): $Q = A \cdot v$. > De oppervlakte van de buis is $A = \pi r^2 = \pi \times (0,0175 \, m)^2$. > Nu kunnen we de snelheid berekenen: > $$v = \frac{Q}{A} = \frac{0,00505918666 \, m^3/s}{\pi \times (0,0175 \, m)^2}$$ > $$v \approx 5,258 \, m/s$$ [13](#page=13). > Afgerond is dit 5,26 $m/s$ [13](#page=13). ### 2.3 Overige stromingsprincipes (zonder viscositeit) In sommige gevallen, wanneer de viscositeit verwaarloosbaar is, kunnen andere principes worden toegepast. De wet van Bernoulli is hier een voorbeeld van, die energiebehoud beschrijft voor ideale vloeistoffen [2](#page=2). #### 2.3.1 Wet van Torricelli De wet van Torricelli, een speciaal geval van de wet van Bernoulli, beschrijft de uitstroomsnelheid van een vloeistof uit een opening in een vat. Deze wet is geldig wanneer wrijvingsverliezen door viscositeit en turbulentie worden verwaarloosd [6](#page=6). De formule is: $$v = \sqrt{2gh}$$ [6](#page=6). Waar: * $v$ is de uitstroomsnelheid van de vloeistof. * $g$ is de valversnelling (ongeveer $9,81 \, m/s^2$). * $h$ is de hoogte van het vloeistofoppervlak boven de uitstroomopening. > **Voorbeeld:** Men beschouwt een watertank met een hoogte van 3,9 meter en een diameter van 5,8 meter. De tank is gevuld tot een hoogte van 2,4 meter. Onderaan bevindt zich een afvoerbuis. De hoogte tussen het vloeistofoppervlak en de uitstroomopening wordt gegeven. > Als $h = 32,5 \, cm = 0,325 \, m$, dan is de uitstroomsnelheid: > $$v = \sqrt{2 \times 9,81 \, m/s^2 \times 0,325 \, m}$$ > $$v \approx 2,52517 \, m/s$$ [6](#page=6). > Afgerond is dit 2,53 $m/s$ [6](#page=6). > **Tip:** Bij het toepassen van de wet van Torricelli is het cruciaal om de juiste hoogte ($h$) te gebruiken, namelijk de verticale afstand tussen het vrije vloeistofoppervlak en het niveau van de uitstroomopening [6](#page=6). #### 2.3.2 Verwaarlozing van viscositeit in voorbeelden Er zijn voorbeelden waarbij de viscositeit bewust wordt verwaarloosd om de berekeningen te vereenvoudigen, zoals bij het bepalen van de snelheid van olie in een vernauwde buis. Ook bij het bepalen van het debiet uit een watertank, wanneer de viscositeit wordt genegeerd, wordt de wet van Torricelli of de algemene principes van energiebehoud toegepast. Echter, bij langere buizen of specifieke vloeistoffen met hogere viscositeit, wordt de invloed van viscositeit significant en is de wet van Poiseuille noodzakelijk [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [2](#page=2). --- # Invloed van wandafzettingen op vloeistofdebiet Deze sectie analyseert de impact van vernauwingen in buizen, veroorzaakt door afzettingen zoals vuil of kalk, op het volumedebiet, waarbij de wet van Poiseuille centraal staat [15](#page=15) [4](#page=4). ### 3.1 De wet van Poiseuille en debiet De wet van Poiseuille beschrijft het verband tussen het volumedebiet ($Q$) van een viskeuze vloeistof die door een cilindrische buis stroomt, en verschillende parameters van de vloeistof en de buis. De formule luidt [15](#page=15): $$Q = \frac{\pi r^4 \Delta p}{8\eta l}$$ Waarbij: * $Q$ het volumedebiet is [15](#page=15). * $r$ de straal van de buis is [15](#page=15). * $\Delta p$ het drukverschil over de lengte van de buis is [15](#page=15). * $\eta$ de dynamische viscositeit van de vloeistof is [15](#page=15). * $l$ de lengte van de buis is [15](#page=15). > **Tip:** Deze formule toont aan dat het debiet recht evenredig is met de vierde macht van de straal ($r^4$) en het drukverschil ($\Delta p$), en omgekeerd evenredig met de viscositeit ($\eta$) en de lengte ($l$) van de buis. Een kleine verandering in de straal heeft dus een significant effect op het debiet [15](#page=15). ### 3.2 Vernauwingen door wandafzettingen Wanneer vuil of kalk zich aan de binnenkant van een buis hecht, vermindert de effectieve straal van de buis, wat leidt tot een afname van het volumedebiet [15](#page=15) [4](#page=4). #### 3.2.1 Berekening van de procentuele vermindering van het debiet Wanneer een buis vernauwd raakt, verandert de effectieve straal van de oorspronkelijke straal $r_1$ naar een nieuwe, kleinere straal $r_2$. Als we ervan uitgaan dat het drukverschil en de viscositeit constant blijven, kunnen we de verhouding van de debieten voor en na de vernauwing berekenen [15](#page=15). Voor het oorspronkelijke debiet $Q_1$ geldt: $$Q_1 = \frac{\pi r_1^4 \Delta p}{8\eta l}$$ Voor het debiet $Q_2$ na vernauwing geldt: $$Q_2 = \frac{\pi r_2^4 \Delta p}{8\eta l}$$ De verhouding van de debieten is dan: $$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{\frac{\pi r_2^4 \Delta p}{8\eta l}}{\frac{\pi r_1^4 \Delta p}{8\eta l}} = \frac{r_2^4}{r_1^4} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^4$$ De procentuele vermindering van het debiet kan vervolgens berekend worden als $100\% - (\frac{Q_2}{Q_1} \times 100\%)$ [15](#page=15). #### 3.2.2 Voorbeeld 1: Verkalking van een buis Een buis heeft een diameter van 2,00 cm (straal $r_1 = 1,00$ cm). Er vormt zich een laagje kalk van 1,00 mm dik aan de binnenwand. Dit betekent dat de nieuwe straal $r_2$ kleiner wordt. De oorspronkelijke straal is 1,00 cm = 10,00 mm. De nieuwe straal is $10,00 \text{ mm} - 1,00 \text{ mm} = 9,00 \text{ mm}$ [15](#page=15). De verhouding van de debieten is: $$\frac{Q_2}{Q_1} = \left(\frac{9,00 \text{ mm}}{10,00 \text{ mm}}\right)^4 = (0,9)^4 = 0,6561$$ Dus, $Q_2 = 0,6561 \times Q_1$. Dit betekent dat het nieuwe debiet 65,61% is van het oorspronkelijke debiet [15](#page=15). De procentuele vermindering is: $100\% - 65,61\% = 34,39\%$ [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Het volumedebiet vermindert dus met ongeveer 34,4 % ten gevolge van de verkalking [15](#page=15). #### 3.2.3 Berekening van het debiet met een plaatselijke vernauwing In situaties waar een vernauwing slechts over een deel van de lengte van de buis optreedt, wordt de totale weerstand in de buis de som van de weerstanden van het niet-vernieuwde deel en het vernauwde deel. Het drukverschil over de gehele buis ($\Delta p$) blijft gelijk, maar het wordt verdeeld over de verschillende secties [16](#page=16) [17](#page=17). Het totale drukverschil $\Delta p$ kan worden uitgedrukt als de som van de drukverschillen over het niet-afgezette deel ($\Delta p_{na}$) en het afgezette deel ($\Delta p_a$) [16](#page=16) [17](#page=17). $$\Delta p = \Delta p_{na} + \Delta p_a$$ Met de wet van Poiseuille kunnen deze drukverschillen worden uitgedrukt in termen van het debiet $Q$ en de respectievelijke lengtes en stralen. We gebruiken $Q_1$ voor het oorspronkelijke debiet met straal $r_1$ over de totale lengte $l$, en $Q_2$ voor het nieuwe debiet met een deel van de lengte $l_{na}$ met straal $r_{na}$ en een deel $l_a$ met straal $r_a$. Aangezien het debiet overal gelijk moet zijn, geldt $Q_2$ voor zowel het niet-afgezette als het afgezette deel [17](#page=17). $$\Delta p = \frac{8\eta l_{na} Q_2}{\pi r_{na}^4} + \frac{8\eta l_a Q_2}{\pi r_a^4}$$ Het oorspronkelijke drukverschil was: $$\Delta p = \frac{8\eta l Q_1}{\pi r_1^4}$$ Door deze twee uitdrukkingen voor $\Delta p$ gelijk te stellen, kunnen we $Q_2$ bepalen [17](#page=17): $$\frac{8\eta l_{na} Q_2}{\pi r_{na}^4} + \frac{8\eta l_a Q_2}{\pi r_a^4} = \frac{8\eta l Q_1}{\pi r_1^4}$$ Vereenvoudigd door de constante termen te verwijderen: $$\frac{l_{na} Q_2}{r_{na}^4} + \frac{l_a Q_2}{r_a^4} = \frac{l Q_1}{r_1^4}$$ Hierin geldt dat de straal van de niet-afgezette buis gelijk is aan de oorspronkelijke straal van de buis ($r_{na} = r_1$), en de straal van het afgezette deel is $r_a$. De totale lengte $l = l_{na} + l_a$ [17](#page=17). Het debiet $Q_2$ kan worden herschreven als: $$Q_2 \left( \frac{l_{na}}{r_{na}^4} + \frac{l_a}{r_a^4} \right) = \frac{l Q_1}{r_1^4}$$ $$Q_2 = \frac{\frac{l}{r_1^4}}{\frac{l_{na}}{r_{na}^4} + \frac{l_a}{r_a^4}} Q_1$$ #### 3.2.4 Voorbeeld 2: Vernauwing door vuil in een buis Een buis heeft een totale lengte van 21 m en een diameter van 3,20 cm (oorspronkelijke straal $r_1 = 1,60$ cm). Het oorspronkelijke debiet is 38,7 liter per minuut. Er is een plaatselijke vernauwing over een lengte van 71,4 cm ($l_a = 0,714$ m) door vuil met een dikte van 1,40 mm [16](#page=16). De straal van de vernauwde sectie ($r_a$) is de oorspronkelijke straal min de dikte van het vuil: $r_a = 1,60 \text{ cm} - 0,140 \text{ cm} = 1,46$ cm [17](#page=17). De lengte van het niet-afgezette deel is de totale lengte minus de lengte van de vernauwing: $l_{na} = 21 \text{ m} - 0,714 \text{ m} = 20,286$ m [17](#page=17). Nu kunnen we $Q_2$ berekenen met de formule: $$Q_2 = \frac{\frac{l}{r_1^4}}{\frac{l_{na}}{r_{na}^4} + \frac{l_a}{r_a^4}} Q_1$$ Invullen van de waarden: $$Q_2 = \frac{\frac{21 \text{ m}}{(1,60 \text{ cm})^4}}{\frac{20,286 \text{ m}}{(1,60 \text{ cm})^4} + \frac{0,714 \text{ m}}{(1,46 \text{ cm})^4}} \times 38,7 \frac{\text{ liter}}{\text{ min}}$$ $$Q_2 = 34,326945 \frac{\text{ liter}}{\text{ min}}$$ > **Voorbeeld:** Het debiet na de vernauwing is ongeveer 34,3 liter per minuut [17](#page=17). --- # Berekening van aerodynamische krachten Dit onderdeel behandelt de berekening van de liftkracht op een vliegtuigvleugel door middel van de wet van Bernoulli, waarbij rekening wordt gehouden met de verschillende luchtsnelheden boven en onder de vleugel. ### 4.1 Toepassing van de wet van Bernoulli op vliegtuigvleugels De wet van Bernoulli is een fundamenteel principe in de vloeistofdynamica dat de relatie beschrijft tussen druk, dichtheid en snelheid van een stromende vloeistof of gas. Bij de berekening van aerodynamische krachten, met name de liftkracht op een vliegtuigvleugel, wordt deze wet gebruikt om het drukverschil te bepalen dat ontstaat door de verschillende snelheden van de lucht die langs de boven- en onderkant van de vleugel stroomt [14](#page=14). #### 4.1.1 Bernoulli's vergelijking Bernoulli's vergelijking, toegepast op horizontale stroming waar het hoogteverschil verwaarloosbaar is, stelt dat de som van de statische druk en de dynamische druk constant is. De algemene vorm van Bernoulli's vergelijking is [14](#page=14): $$p + \rho g h + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constante}$$ Voor de context van een vliegtuigvleugel, waar het hoogteverschil tussen de boven- en onderkant verwaarloosbaar is ($h_1 \approx h_2$), kan de vergelijking worden vereenvoudigd tot: $$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$ Hierin staat: * $p$ voor de statische druk [14](#page=14). * $\rho$ voor de dichtheid van het fluïdum (lucht in dit geval) [14](#page=14). * $g$ voor de versnelling van de zwaartekracht (indien relevant, maar hier verwaarloosbaar) [14](#page=14). * $h$ voor de hoogte [14](#page=14). * $v$ voor de snelheid van het fluïdum [14](#page=14). * De indices 1 en 2 verwijzen respectievelijk naar de onderkant en de bovenkant van de vleugel, of omgekeerd, afhankelijk van de conventie die wordt gevolgd voor de snelheden. #### 4.1.2 Berekening van het drukverschil Het drukverschil ($\Delta p$) tussen de boven- en onderkant van de vleugel is cruciaal voor het genereren van lift. Dit verschil ontstaat doordat de luchtstroom aan de bovenkant van de vleugel, die een langere afstand moet afleggen (vanwege de welving van de vleugel), een hogere snelheid heeft dan de luchtstroom aan de onderkant [14](#page=14) [3](#page=3). Het drukverschil kan worden berekend met de volgende formule, afgeleid van Bernoulli's vergelijking en rekening houdend met de verwaarlozing van het hoogteverschil ($\Delta h \approx 0$): $$\Delta p = p_{\text{onderkant}} - p_{\text{bovenkant}}$$ $$p_{\text{onderkant}} + \rho g h_{\text{onderkant}} + \frac{1}{2}\rho v_{\text{onderkant}}^2 = p_{\text{bovenkant}} + \rho g h_{\text{bovenkant}} + \frac{1}{2}\rho v_{\text{bovenkant}}^2$$ Omdat $\Delta h = h_{\text{bovenkant}} - h_{\text{onderkant}} \approx 0$: $$\Delta p = p_{\text{onderkant}} - p_{\text{bovenkant}} = \frac{1}{2}\rho (v_{\text{bovenkant}}^2 - v_{\text{onderkant}}^2)$$ Hierbij wordt aangenomen dat $v_{\text{bovenkant}} > v_{\text{onderkant}}$, wat resulteert in een lagere druk aan de bovenkant ($p_{\text{bovenkant}}$) en dus een netto opwaartse kracht [14](#page=14). > **Tip:** Converteer altijd eerst alle snelheden naar standaardeenheden (meter per seconde, m/s) voordat u de berekeningen uitvoert. De conversie van km/u naar m/s is door te delen door 3,6 [14](#page=14). #### 4.1.3 Berekening van de liftkracht De totale liftkracht ($F$) die het vliegtuig omhoog duwt, is het product van het berekende drukverschil en het totale oppervlak ($A$) van de vleugels [14](#page=14). $$F = \Delta p \cdot A$$ **Voorbeeld berekening van liftkracht voor een Boeing 767:** Gegeven: * Kruissnelheid: 850 km/u (vloeiend onder de vleugel, $v_1$) [14](#page=14) [3](#page=3). * Snelheid boven de vleugel: 890 km/u ($v_2$) [14](#page=14) [3](#page=3). * Massa van het vliegtuig: 156.000 kg [14](#page=14) [3](#page=3). * Vleugeloppervlak ($A$): 283,3 m² [14](#page=14) [3](#page=3). * Dichtheid van lucht op 11.000 m hoogte ($\rho$): 0,40 kg/m³ [14](#page=14) [3](#page=3). Stappen: 1. **Converteer snelheden naar m/s:** * $v_1 = 850 \text{ km/u} = \frac{850 \times 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 236,111 \text{ m/s}$ [14](#page=14). * $v_2 = 890 \text{ km/u} = \frac{890 \times 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 247,222 \text{ m/s}$ [14](#page=14). 2. **Bereken het drukverschil ($\Delta p$)**: $$\Delta p = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2)$$ $$\Delta p = \frac{1}{2} \times 0,40 \text{ kg/m}^3 \times [(247,222 \text{ m/s})^2 - (236,111 \text{ m/s})^2]$$ $$\Delta p = 0,20 \text{ kg/m}^3 \times [61118,32 \text{ m}^2/\text{s}^2 - 55749,73 \text{ m}^2/\text{s}^2]$$ $$\Delta p = 0,20 \text{ kg/m}^3 \times 5368,59 \text{ m}^2/\text{s}^2$$ $$\Delta p = 1073,718 \text{ Pa}$$ (Er kan een lichte afrondingsverschil zijn met de bron, 1074,074 Pa wordt ook genoemd) [14](#page=14). 3. **Bereken de liftkracht ($F$)**: $$F = \Delta p \cdot A$$ $$F = 1074,074 \text{ Pa} \times 283,3 \text{ m}^2$$ $$F = 304.285 \text{ N}$$ [14](#page=14) [3](#page=3). Het vliegtuig ondervindt dus een maximale opwaartse kracht van ongeveer 304.285 Newton. Dit is de kracht waarmee het vliegtuig omhoog wordt geduwd. Merk op dat deze kracht voldoende moet zijn om de zwaartekracht op het vliegtuig tegen te gaan om in de lucht te blijven of te stijgen [14](#page=14) [3](#page=3). > **Opmerking:** In de praktijk zijn de aerodynamische krachten op een vleugel complexer en worden ze beïnvloed door factoren zoals de aanvalshoek, de vorm van het vleugelprofiel en de Mach-getal. Dit model biedt een vereenvoudigde, maar fundamentele, benadering met behulp van Bernoulli's principe. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Ventilatiedebiet | Het volume lucht dat per tijdseenheid door een ventilatiesysteem wordt verplaatst, essentieel voor het bepalen van de luchtsnelheid in toevoerbuizen. | | Wet van Torricelli | Deze wet beschrijft de uitstroomsnelheid van een vloeistof uit een opening in een vat, gelijk aan de snelheid die een object zou verkrijgen bij vrije val van de hoogte van het vloeistofniveau tot de opening. De formule is $v = \sqrt{2gh}$, waarbij $g$ de valversnelling is en $h$ de hoogte. | | Bernoulli | Een principe dat stelt dat voor een ideale vloeistof in horizontale stroming, de som van de statische druk, de dynamische druk en de hydrostatische druk constant is. De formule is $p + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$. | | Continuïteitsvergelijking | Dit principe stelt dat voor een incompresibele vloeistof, het product van de dwarsdoorsnede van de buis en de stroomsnelheid constant is over de gehele lengte van de buis. De formule is $A_1v_1 = A_2v_2$. | | Drukverschil | Het verschil in druk tussen twee punten in een vloeistof of gas, wat de drijvende kracht is achter de stroming. | | Viscositeit | Een maat voor de weerstand van een vloeistof of gas tegen stroming. Een hogere viscositeit betekent een grotere interne wrijving en dus langzamere stroming. | | Wet van Poiseuille | Beschrijft de volumestroom van een viskeuze vloeistof door een cilindrische buis onder invloed van een drukverschil. De formule is $Q = \frac{\pi r^4 \Delta p}{8 \eta l}$, waarbij $r$ de straal is, $\eta$ de viscositeit, $l$ de lengte van de buis en $\Delta p$ het drukverschil. | | Debiet | De hoeveelheid vloeistof of gas die per tijdseenheid door een bepaald punt stroomt, uitgedrukt in volume per tijdseenheid (bijv. $m^3/s$, $l/min$). | | Vernauwing | Een sectie in een buis waar de diameter kleiner is dan in het omringende gedeelte, wat leidt tot een hogere snelheid en een lagere druk volgens de continuïteitsvergelijking en de wet van Bernoulli. | | Verkaalking | De afzetting van kalk of andere mineralen aan de binnenwand van een buis, wat de effectieve diameter van de buis verkleint en de weerstand tegen stroming verhoogt, waardoor het debiet afneemt. | | Aerodynamische liftkracht | De kracht die omhoog werkt op een vliegtuigvleugel, veroorzaakt door het drukverschil tussen de boven- en onderkant van de vleugel, dat op zijn beurt wordt gegenereerd door de verschillende luchtsnelheden. |