fysica deel 1 H1,2,3.pdf

# Kinematica: de beschrijving van beweging Kinematica is de tak van de mechanica die de beweging van objecten beschrijft zonder de oorzaken ervan (zoals krachten) te analyseren. Beweging is altijd relatief en wordt beschreven ten opzichte van een referentiepunt of -systeem [1](#page=1). ### 1.1 Vectoren Vectoren zijn fundamentele wiskundige concepten in de kinematica omdat ze grootheden met zowel grootte als richting en zin vertegenwoordigen [2](#page=2). #### 1.1.1 Scalairen en vectoren * **Scalaire grootheden:** Deze worden volledig beschreven door een getal en een eenheid, zonder richting. Voorbeelden zijn temperatuur, massa en tijd [28](#page=28) [2](#page=2). * **Vector grootheden:** Deze worden gekenmerkt door richting, zin en grootte. Ze worden vaak voorgesteld door een pijl. Voorbeelden zijn verplaatsing, snelheid en versnelling [28](#page=28) [2](#page=2). #### 1.1.2 Notatie en voorstelling van vectoren * **Notatie:** Vectoren worden aangeduid met een letter met een pijl erboven (bv. $\\vec{AB}$) of een schuingedrukte letter (bv. $\\vec{r}$). De grootte of absolute waarde wordt genoteerd als $|\\vec{AB}|$, $AB$, $|\\vec{r}|$, of $r$ [2](#page=2). * **Voorstelling:** Een vector wordt grafisch voorgesteld door een pijl, waarbij de lengte de grootte voorstelt, de richting de oriëntatie in de ruimte en de punt de zin aangeeft [2](#page=2). #### 1.1.3 Plaatsbepaling Om de positie van een object te bepalen, wordt een oorsprong $O$ en een coördinatenstelsel (bv. een orthogonaal rechtshandig stelsel in 3D) gekozen [3](#page=3). * **Locatie via coördinaten:** Een punt $P$ kan worden gelokaliseerd met zijn coördinaten $(x, y)$ in 2D of $(x, y, z)$ in 3D [3](#page=3). * **Locatie via plaatsvector:** Een punt kan ook worden beschreven door zijn plaatsvector $\\vec{r}$, die vanuit de oorsprong $O$ naar het punt wijst. De componenten van de plaatsvector komen overeen met de coördinaten van het punt [3](#page=3). * **Plaatsverandering (verplaatsingsvector):** De verandering in positie van een object, bijvoorbeeld van punt $A$ naar punt $B$, wordt beschreven door de verplaatsingsvector $\\vec{AB}$. Deze vector is onafhankelijk van de afgelegde baan [3](#page=3). * **Baan:** De baan is de opeenvolging van punten die een lichaam tijdens zijn beweging doorloopt. De verplaatsing valt niet noodzakelijk samen met de baan [3](#page=3). #### 1.1.4 Ontbinden van vectoren in componenten Een vector kan worden ontbonden in componenten, wat de projecties van de vector op de assen van een coördinatenstelsel zijn [4](#page=4). * **2D-ontbinding:** Een vector $\\vec{a}$ kan worden ontbonden in componenten $\\vec{a}\_x$ en $\\vec{a}\_y$ langs de x- en y-as [4](#page=4). * $a\_x = a \\cos \\phi$ * $a\_y = a \\sin \\phi$ * $a^2 = a\_x^2 + a\_y^2$ * $\\tan \\phi = \\frac{a\_y}{a\_x}$ Met $a$ de grootte van de vector en $\\phi$ de hoek met de x-as [4](#page=4). * **Eenheidsvectoren:** Eenheidsvectoren ($\\hat{i}$ voor de x-richting, $\\hat{j}$ voor de y-richting, $\\hat{k}$ voor de z-richting) hebben een grootte van 1 en geven de richting aan. Een vector kan worden geschreven als een som van zijn componenten vermenigvuldigd met de eenheidsvectoren: $\\vec{a} = a\_x \\hat{i} + a\_y \\hat{j}$ [4](#page=4). * **3D-ontbinding:** In drie dimensies worden componenten langs de x-, y- en z-as bepaald: $\\vec{a} = a\_x \\hat{i} + a\_y \\hat{j} + a\_z \\hat{k}$ [4](#page=4). #### 1.1.5 De som en het verschil van vectoren * **Grafische methode:** * **Som:** Om twee vectoren grafisch op te tellen ($\\vec{a} + \\vec{b}$), wordt het beginpunt van de tweede vector aangesloten aan het eindpunt van de eerste vector. De resulterende vector loopt van het beginpunt van de eerste naar het eindpunt van de tweede. $\\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a}$ (commutativiteit) [5](#page=5). * **Verschil:** Het verschil $\\vec{a} - \\vec{b}$ wordt berekend door $\\vec{b}$ om te keren en dan op te tellen: $\\vec{a} - \\vec{b} = \\vec{a} + (-\\vec{b})$ [5](#page=5). * **Algebraïsche methode:** Vectoren worden opgeteld door hun corresponderende componenten op te tellen: * Als $\\vec{c} = \\vec{a} + \\vec{b}$, dan geldt: * $c\_x = a\_x + b\_x$ * $c\_y = a\_y + b\_y$ * De grootte van de resulterende vector is $c = \\sqrt{c\_x^2 + c\_y^2}$ [5](#page=5). #### 1.1.6 Producten met vectoren * **Product van een scalair met een vector:** Het product van een scalair $k$ met een vector $\\vec{a}$ ($k\\vec{a}$) resulteert in een vector met dezelfde richting maar met een grootte die met $k$ wordt vermenigvuldigd. Als $k$ negatief is, draait de zin om [6](#page=6). * **Scalair product (inproduct):** Het scalaire product van twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ geeft een scalair resultaat. * $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = ab \\cos \\phi$, waarbij $a$ en $b$ de groottes van de vectoren zijn en $\\phi$ de kleinste hoek tussen hen [6](#page=6). * Het scalaire product is maximaal als de vectoren evenwijdig zijn ($\\cos 0^\\circ = 1$). * Het scalaire product is nul als de vectoren loodrecht op elkaar staan ($\\cos 90^\\circ = 0$) [6](#page=6). * Eigenschappen: commutatief ($\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\vec{b} \\cdot \\vec{a}$), associatief met scalaire vermenigvuldiging ($k\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = k(\\vec{a} \\cdot \\vec{b})$), en distributief ($\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c}$) [6](#page=6). * **Vectorproduct (kruisproduct):** Het vectorproduct van twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ resulteert in een nieuwe vector $\\vec{c}$. * De grootte is $c = ab \\sin \\phi$, waarbij $\\phi$ de kleinste hoek tussen $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ is [7](#page=7). * De richting staat loodrecht op het vlak bepaald door $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$. De zin wordt bepaald door de rechterhandregel (kurkentrekkerregel) [7](#page=7). * Het kruisproduct is nul als de vectoren evenwijdig zijn ($\\sin 0^\\circ = 0$) [7](#page=7). * Het kruisproduct is maximaal als de vectoren loodrecht op elkaar staan ($\\sin 90^\\circ = 1$). * Eigenschappen: niet commutatief ($\\vec{a} \\times \\vec{b} = -\\vec{b} \\times \\vec{a}$), distributief ($\\vec{a} \\times (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\times \\vec{b} + \\vec{a} \\times \\vec{c}$) [7](#page=7). ### 1.2 Snelheid en versnelling #### 1.2.1 Snelheid Snelheid beschrijft hoe snel en in welke richting de positie van een object verandert [8](#page=8). * **Gemiddelde snelheid:** De gemiddelde snelheid over een tijdsinterval $\\Delta t$ is de verplaatsing $\\Delta \\vec{r}$ gedeeld door de tijdsduur $\\Delta t$ [8](#page=8). $$ \\vec{v}\_{gem} = \\frac{\\Delta \\vec{r}}{\\Delta t} $$ * **Ogenblikkelijke snelheid:** De ogenblikkelijke snelheid is de snelheid op een specifiek tijdstip. Het is de limiet van de gemiddelde snelheid als de tijdsinterval naar nul gaat [8](#page=8). $$ \\vec{v} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\vec{r}}{\\Delta t} = \\frac{d\\vec{r}}{dt} $$ * De ogenblikkelijke snelheid is een vector die altijd raakt aan de baan van het object. De eenheid is meter per seconde (m/s) [8](#page=8). #### 1.2.2 Versnelling Versnelling beschrijft de mate waarin de snelheid van een object verandert in de tijd [9](#page=9). * **Gemiddelde versnelling:** De gemiddelde versnelling over een tijdsinterval $\\Delta t$ is de verandering in snelheid $\\Delta \\vec{v}$ gedeeld door de tijdsduur $\\Delta t$ [9](#page=9). $$ \\vec{a}\_{gem} = \\frac{\\Delta \\vec{v}}{\\Delta t} $$ * **Ogenblikkelijke versnelling:** De ogenblikkelijke versnelling is de limiet van de gemiddelde versnelling als de tijdsinterval naar nul gaat [10](#page=10). $$ \\vec{a} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\vec{v}}{\\Delta t} = \\frac{d\\vec{v}}{dt} $$ * De versnelling is de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd. De eenheid is meter per seconde kwadraat (m/s²). De richting van de versnelling is rakend aan de hodograaf (de baan van het snelheidsvectorpunt) [10](#page=10). ### 1.3 Toepassingen: soorten beweging #### 1.3.1 Eenparige, rechtlijnige beweging (ERB) Bij een ERB is de snelheid constant ($\\vec{v} = \\text{constant}$) en de versnelling is nul ($\\vec{a} = 0$) [11](#page=11). * **Vergelijking:** $x = x\_0 + vt$ * $x$: positie op tijdstip $t$ [11](#page=11). * $x\_0$: beginpositie op $t=0$ [11](#page=11). * $v$: constante snelheid [11](#page=11). * $t$: tijd [11](#page=11). #### 1.3.2 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EURB) Bij een EURB is de versnelling constant ($\\vec{a} = \\text{constant}$) [11](#page=11). * **Kinematische vergelijkingen voor constante versnelling:** * $v = v\_0 + at$ * $x = x\_0 + v\_0t + \\frac{1}{2}at^2$ * $v^2 = v\_0^2 + 2a(x - x\_0)$ * $v\_0$: beginsnelheid op $t=0$ [12](#page=12). * $x\_0$: beginpositie op $t=0$ [12](#page=12). * $a$: constante versnelling [12](#page=12). * $v$: snelheid op tijdstip $t$ [12](#page=12). * $x$: positie op tijdstip $t$ [12](#page=12). > **Tip:** De formule $v^2 = v\_0^2 + 2a(x - x\_0)$ is handig wanneer de tijd $t$ niet bekend is of niet van belang is [12](#page=12). * **Voorbeeld: Vrije val:** Een vrije val is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging (verticaal) waarbij de versnelling de zwaartekrachtsversnelling $g \\approx 9.81 , m/s^2$ is, altijd naar beneden gericht [14](#page=14). * Met de y-as naar boven gericht: $a\_y = -g$. * Beginvoorwaarden: $y\_0 = h$, $v\_0 = 0$. * Vergelijkingen: * $v\_y = -gt$ * $y = h - \\frac{1}{2}gt^2$ * Tijd om de grond te bereiken ($y=0$): $t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}$ [14](#page=14). * Snelheid bij grondcontact: $v = \\sqrt{2gh}$ [14](#page=14). * **Voorbeeld: Verticale worp:** Een worp met een beginsnelheid omhoog. * De beweging is een EURB met $a\_y = -g$. * Beginvoorwaarden: $y\_0 = 0$. * Vergelijkingen: * $v\_y = v\_0 - gt$ * $y = v\_0t - \\frac{1}{2}gt^2$ * Op het hoogste punt is de verticale snelheid $v\_y = 0$. De tijd om dit punt te bereiken is $t\_{top} = \\frac{v\_0}{g}$ [16](#page=16). #### 1.3.3 Beweging met constante versnelling in een vlak Wanneer de bewegingsrichting niet gelijk is aan die van de versnelling, is een vectorbenadering in 2D noodzakelijk. De beweging kan worden opgesplitst in componenten langs de x- en y-as [16](#page=16). * Als de versnelling $\\vec{a}$ constant is, dan zijn de componenten $a\_x$ en $a\_y$ ook constant [17](#page=17). * **Kinematische vergelijkingen per component:** * $v\_x = v\_{0x} + a\_x t$ * $x = x\_0 + v\_{0x}t + \\frac{1}{2}a\_x t^2$ * $v\_y = v\_{0y} + a\_y t$ * $y = y\_0 + v\_{0y}t + \\frac{1}{2}a\_y t^2$ * **Projectielbaan (kogelbaan):** Dit is een beweging van een voorwerp geprojecteerd in een willekeurige richting, waarbij de zwaartekracht de enige constante versnelling (verticaal neerwaarts, $a\_y = -g$) uitoefent en luchtweerstand wordt verwaarloosd [18](#page=18). * Beginvoorwaarden op $t=0$: $\\vec{r}\_0 = x\_0 \\hat{i} + y\_0 \\hat{j}$, $\\vec{v}\_0 = v{0x} \\hat{i} + v{0y} \\hat{j}$, met $v\_{0x} = v\_0 \\cos \\theta\_0$ en $v\_{0y} = v\_0 \\sin \\theta\_0$ [19](#page=19). * Versnelling: $\\vec{a} = -g\\hat{j}$ (met de y-as naar boven gericht) [18](#page=18). * **Snelheid op tijdstip $t$:** * $v\_x = v\_{0x}$ (constante horizontale snelheid) [19](#page=19). * $v\_y = v\_{0y} - gt$ [19](#page=19). * **Baabvergelijking ($y$ als functie van $x$):** $y = (\\tan \\theta\_0) x - \\frac{g}{2 v\_0^2 \\cos^2 \\theta\_0} x^2$. Dit beschrijft een parabool [19](#page=19). * **Hoogste punt:** Bereikt wanneer $v\_y = 0$. De tijd is $t\_{top} = \\frac{v\_0 \\sin \\theta\_0}{g}$. De hoogte is $y\_{top} = \\frac{v\_0^2 \\sin^2 \\theta\_0}{2g}$ [20](#page=20). * **Reikwijdte (draagwijdte):** De horizontale afstand afgelegd tot het object de grond raakt ($y=0$). De reikwijdte $R$ is maximaal bij een worp- of uittraphoek van $45^\\circ$ [21](#page=21). * $R = \\frac{v\_0^2 \\sin(2\\theta\_0)}{g}$ [21](#page=21). #### 1.3.4 Eenparige cirkelvormige beweging Een punt dat met constante omloopsnelheid een cirkelbaan beschrijft, voert een eenparige cirkelvormige beweging uit [22](#page=22). * **Hoeksnelheid:** Beschrijft hoe snel de hoekpositie verandert. * Gemiddelde hoeksnelheid: $\\langle \\omega \\rangle = \\frac{\\Delta \\theta}{\\Delta t}$ [22](#page=22). * Ogenblikkelijke hoeksnelheid: $\\omega = \\frac{d\\theta}{dt}$. Eenheid: rad/s [22](#page=22). * Bij een eenparige cirkelvormige beweging is $\\omega$ constant. De hoek is $\\theta = \\omega t + \\theta\_0$ [22](#page=22). * **Afgelegde weg langs de cirkelbaan:** $s = r\\theta$, waarbij $\\theta$ in radialen is [23](#page=23). * **Lineaire snelheid ($v$):** De grootte van de snelheid langs de cirkelbaan. $v = \\omega r$ [23](#page=23). * **Frequentie ($f$):** Aantal omwentelingen per seconde. Eenheid: Hertz (Hz). $f = \\frac{\\omega}{2\\pi}$ [23](#page=23). * **Periode ($T$):** De tijd voor één volledige omwenteling. $T = \\frac{1}{f} = \\frac{2\\pi}{\\omega}$ [23](#page=23). * **Versnelling:** Bij een eenparige cirkelvormige beweging is de grootte van de snelheid constant, maar de richting verandert voortdurend. Dit impliceert een versnelling. * **Centripetale versnelling ($a\_c$):** Gericht naar het middelpunt van de cirkel. De grootte is $a\_c = \\frac{v^2}{r} = \\omega^2 r$ [24](#page=24) [25](#page=25). #### 1.3.5 Rotatiebeweging van een star lichaam om een vaste as Een star lichaam behoudt zijn vorm; de afstand tussen elk puntpaar is constant. Elk punt van het lichaam beschrijft een cirkelbaan rond de rotatie-as [25](#page=25). * **Hoeksnelheid ($\\omega$):** Is voor alle punten van het star lichaam gelijk [25](#page=25). * **Lineaire snelheid ($v$) van een punt P:** $v = \\omega r$, waarbij $r$ de afstand van het punt tot de rotatie-as is [26](#page=26). * **Versnelling van een punt P:** Een punt op een roterend star lichaam kan twee soorten versnelling hebben: * **Tangentiële versnelling ($a\_t$):** Verandert de grootte van de lineaire snelheid. $a\_t = \\frac{dv}{dt} = r \\frac{d\\omega}{dt} = r\\alpha$, waarbij $\\alpha$ de hoekversnelling is [26](#page=26). * **Centripetale (radiale) versnelling ($a\_c$):** Verandert de richting van de lineaire snelheid. $a\_c = \\frac{v^2}{r} = \\omega^2 r$ [26](#page=26). * De totale versnelling is de vectoriële som van deze twee componenten: $\\vec{a} = \\vec{a}\_t + \\vec{a}\_c$. Als de hoeksnelheid constant is ($\\alpha=0$), is er alleen centripetale versnelling [26](#page=26). * * * # Dynamica: de studie van krachten en beweging Dynamica bestudeert het verband tussen krachten en beweging [30](#page=30). ## 2\. Dynamica: de studie van krachten en beweging Dynamica onderzoekt de relatie tussen de krachten die op een voorwerp inwerken en de daaruit voortvloeiende beweging. Het omvat de wetten van Newton, verschillende soorten krachten en hun toepassingen [30](#page=30). ### 2.1 Basisbegrippen * **Kracht**: Een grootheid die de vorm of de snelheid van een voorwerp kan veranderen [30](#page=30). * **Massa**: Een eigenschap van materie, die recht evenredig is met de hoeveelheid materie en maatgevend is voor de traagheid van een voorwerp [30](#page=30). * **Onderscheid massa en gewicht**: Massa is een intrinsieke eigenschap van een voorwerp, uitgedrukt in kilogram. Gewicht is een kracht (de aantrekkingskracht van bijvoorbeeld de aarde op een voorwerp), uitgedrukt in Newton [30](#page=30). ### 2.2 Meten van krachten Krachten worden niet rechtstreeks vastgesteld, maar bepaald door de vervorming die ze veroorzaken op een niet-bewegende massa. Een dynamometer, een geijkte spiraalveer, wordt hiervoor gebruikt, gebaseerd op de wet van Hooke: $F = k \\Delta s$. Hierbij is $k$ de veerconstante en $\\Delta s$ de uittrekking van de spiraalveer [31](#page=31). ### 2.3 De wetten van Newton De bewegingswetten van Newton zijn enkel geldig in inertiële referentiestelsels, dit zijn assenstelsels die zich in rust bevinden of een eenparig rechtlijnige beweging uitvoeren [33](#page=33). #### 2.3.1 De eerste wet van Newton: de traagheidswet Elk lichaam blijft in zijn rusttoestand of in de toestand van een eenparige rechtlijnige beweging, tenzij het verplicht wordt deze toestand te verlaten door een uitwendige oorzaak, de totale kracht (de som van alle krachten die op het lichaam werken) . Als de totale kracht nul is ($\\Sigma F = 0$), dan is de versnelling ook nul ($\\Sigma F = ma = 0 \\Rightarrow a = 0$) . Een voorwerp in beweging wil in beweging blijven, een voorwerp in rust wil in rust blijven. Krachten zorgen voor vervormingen of veranderingen in beweging (versnellingen) \] [31](#page=31). #### 2.3.2 De tweede wet van Newton: verband tussen kracht en versnelling De verhouding tussen een kracht en de daardoor veroorzaakte versnelling is constant voor een bepaald lichaam en is gelijk aan de massa van dat lichaam. Massa is een scalaire grootheid die aangeeft hoe een lichaam zich verzet tegen veranderingen in zijn bewegingstoestand. De tweede wet van Newton wordt wiskundig uitgedrukt als [33](#page=33): $$ \\Sigma \\vec{F} = m\\vec{a} $$ waarbij $\\Sigma \\vec{F}$ de som van alle krachten is die op het lichaam inwerken, $m$ de massa is en $\\vec{a}$ de versnelling. De krachten zijn vectorgrootheden, en de richting van de versnelling is gelijk aan de richting van de nettokracht. De eenheid van kracht is Newton (N), wat gelijk is aan kg m/s² [33](#page=33). #### 2.3.3 De derde wet van Newton: actie en reactie Wanneer lichaam A een kracht uitoefent op lichaam B, oefent B ook een kracht uit op A. Deze actie-reactie krachtparen zijn even groot, werken langs dezelfde rechte lijn, maar in tegengestelde zin. Formeel: $\\vec{F}\_{AB} = -\\vec{F}{BA}$ . Belangrijk is dat actie- en reactiekrachten op verschillende lichamen aangrijpen [33](#page=33). > **Voorbeeld**: Een raketmotor drukt gassen verticaal omlaag uit. De gassen oefenen een gelijke, tegengestelde kracht verticaal omhoog uit op de raket, waardoor deze opstijgt [34](#page=34). ### 2.4 Enkele belangrijke krachten #### 2.4.1 Zwaartekracht De aarde oefent op elk lichaam een aantrekkingskracht uit, de zwaartekracht ($G$), die wordt gegeven door $G = mg$ . Hierin is $g$ de gravitatieversnelling, ongeveer $9.81 , \\text{m/s}^2$ . De universele gravitatiekracht tussen twee massa's $m\_1$ en $m\_2$ op afstand $r$ is $F = G \\frac{m\_1 m\_2}{r^2}$, met $G = 6.673 \\times 10^{-11} , \\text{N m}^2/\\text{kg}^2$ . De waarde van $g$ is afhankelijk van de hoogte boven de zeespiegel [34](#page=34). > **Belangrijk**: Gewicht is een kracht (vector), terwijl massa een maat voor traagheid is (scalair) \] [34](#page=34). #### 2.4.2 De normaalkracht en de trekkracht * **Normaalkracht ($F\_N$)**: Wordt veroorzaakt door contact met een steunvlak en werkt loodrecht op dit vlak. De grootte van de normaalkracht kan gelijk zijn aan, groter of kleiner zijn dan de zwaartekracht, afhankelijk van andere krachten die werken [35](#page=35). * **Trekkracht ($T$)**: Ontstaat wanneer een lichaam hangt aan een touw of kabel, en werkt langs de richting van het touw [35](#page=35). #### 2.4.3 Wrijvingskrachten Wrijvingskrachten treden op tussen contactoppervlakken en hun richting is tegengesteld aan de relatieve bewegingsrichting. Ze zijn evenwijdig aan het contactoppervlak [36](#page=36). * **Statische wrijvingskracht ($f\_s$)**: De wrijvingskracht die voorkomt dat een stilstaand voorwerp in beweging komt. Er is een maximale statische wrijvingskracht ($f\_{s,max}$) die overwonnen moet worden om beweging te initiëren. De richting is tegengesteld aan de aangelegde kracht [36](#page=36). * **Kinetische wrijvingskracht ($f\_k$)**: De wrijvingskracht die optreedt wanneer een voorwerp in beweging is. Deze is meestal kleiner dan de maximale statische wrijvingskracht [36](#page=36) [37](#page=37). Empirisch geldt dat wrijvingskrachten onafhankelijk zijn van de grootte van het contactoppervlak en evenredig zijn met de normaalkracht. Dit wordt uitgedrukt met wrijvingscoëfficiënten [36](#page=36): * Statische wrijving: $f\_{s,max} = \\mu\_s N$ \] [37](#page=37). * Kinetische wrijving: $f\_k = \\mu\_k N$ \] [37](#page=37). Meestal is $\\mu\_s > \\mu\_k$ \] [37](#page=37). > **Voorbeeld**: Tabel met wrijvingscoëfficiënten voor diverse materiaalcombinaties [37](#page=37). ### 2.5 Pseudokrachten Pseudokrachten (of fictieve krachten) worden geïntroduceerd om de wetten van Newton te kunnen blijven toepassen in niet-inertiële referentiestelsels. Een voorbeeld hiervan is de centrifugaalkracht, die een fictieve kracht is die de centripetale kracht compenseert in een roterend referentiestelsel [37](#page=37). > **Opm.** In deze cursus worden fictieve krachten vermeden [37](#page=37). ### 2.6 Toepassingen #### 2.6.1 Algemene werkwijze om oefeningen te maken 1. Identificeer het te onderzoeken lichaam [38](#page=38). 2. Bepaal alle krachten die door de omgeving op het lichaam worden uitgeoefend [38](#page=38). 3. Kies een geschikt assenstelsel [38](#page=38). 4. Teken een krachtendiagram van het lichaam en alle erop werkende krachten [38](#page=38). 5. Pas de wetten van Newton toe in vector- en componentenvorm [38](#page=38). #### 2.6.2 Voorbeeld: Een voertuig in een vlakke bocht Bij het nemen van een vlakke bocht beschrijft een auto een eenparig cirkelvormige beweging. De zijdelingse statische wrijvingskracht tussen de banden en het wegdek zorgt voor de benodigde centripetale kracht. De maximale snelheid om de bocht te kunnen nemen zonder uit te vliegen, wordt bepaald door de wrijvingskracht: $f\_{s,max} = \\mu\_s N = \\mu\_s mg$. De centripetale kracht is $F\_c = \\frac{mv\_{max}^2}{r}$. Door deze gelijk te stellen, vindt men $v\_{max} = \\sqrt{\\mu\_s gr}$ \] [39](#page=39) [40](#page=40). #### 2.6.3 Voorbeeld van de dynamica van het hellend vlak Een skiër glijdt een helling af. De krachten die op de skiër werken zijn de zwaartekracht ($G$), de normaalkracht ($N$) en de kinetische wrijvingskracht ($f\_k$) . Door de tweede wet van Newton ($ \\Sigma \\vec{F} = m\\vec{a} $) te ontbinden langs de helling en loodrecht erop, kan de versnelling langs de helling berekend worden: $a\_x = g(\\mu\_k \\cos\\theta - \\sin\\theta)$ . Aangezien de versnelling constant is, kan de eindsnelheid bepaald worden met de bewegingsvergelijking $v^2 = v\_0^2 + 2a\_x (x-x\_0)$ \] [41](#page=41) [42](#page=42). * * * # Arbeid en energie Dit deel verkent de concepten van arbeid en energie, inclusief de stelling van arbeid en energie, kinetische en potentiële energie, en de wetten van behoud van mechanische en totale energie met diverse toepassingen [43](#page=43). ### 3.1 Het begrip arbeid Mechanische arbeid $W$ wordt verricht wanneer een kracht $F$ op een lichaam inwerkt en dit lichaam over een afstand verplaatst [43](#page=43). * Als de kracht en de verplaatsing $d$ dezelfde richting en zin hebben, wordt de arbeid berekend als: $W = Fd$ [43](#page=43). * Als de richting van de kracht niet samenvalt met de verplaatsing, wordt alleen de component van de kracht in de richting van de verplaatsing meegenomen: $W = Fd \\cos(\\theta)$ [43](#page=43). waarbij $\\theta$ de hoek is tussen de krachtvector en de verplaatsingsvector [44](#page=44). * **Positieve arbeid:** Als $0^\\circ \\le \\theta < 90^\\circ$, verricht de kracht positieve arbeid [44](#page=44). * **Nul arbeid:** Als $\\theta = 90^\\circ$, is de verrichte arbeid nul [44](#page=44). * **Negatieve arbeid:** Als $90^\\circ < \\theta \\le 180^\\circ$, verricht de kracht negatieve arbeid [44](#page=44). De eenheid van arbeid is de Joule (J), waarbij $1 , \\text{J} = 1 , \\text{N} \\times 1 , \\text{m}$. Het fysieke begrip arbeid verschilt van de geleverde inspanning [44](#page=44). #### 3.1.1 Arbeid verricht door een veranderlijke kracht ##### 3.1.1.1 Veranderlijke kracht met vaste richting Voor een eendimensionale rechtlijnige beweging waarbij de kracht $F(x)$ verandert in grootte en gericht is volgens de bewegingsrichting, wordt de totale arbeid verricht bij een verplaatsing van $x\_1$ naar $x\_2$ berekend als de integraal van de kracht over de verplaatsing: $$W\_{12} = \\int\_{x\_1}^{x\_2} F(x) , dx$$ [46](#page=46). Deze arbeid komt overeen met de oppervlakte onder de kracht-verplaatsingscurve tussen de grenzen $x\_1$ en $x\_2$ [46](#page=46). * **Voorbeeld:** Arbeid verricht om een veer uit te rekken. Volgens de Wet van Hooke is de kracht $F = kx$, waarbij $k$ de veerstijfheid is. De arbeid om de veer uit te rekken van $x=0$ naar $x=l$ is: $$W = \\int\_{0}^{l} kx , dx = \\frac{1}{2} kl^2$$ [47](#page=47). ##### 3.1.1.2 Veranderlijke kracht - Algemeen In meerdimensionale gevallen, waar de kracht $F$ in grootte en richting kan veranderen tijdens een verplaatsing van punt $a$ naar punt $b$, wordt de arbeid berekend met het scalair product van de krachtvector en de infinitesimale verplaatsingsvector $d\\vec{r}$: $$W\_{ab} = \\int\_{a}^{b} \\vec{F} \\cdot d\\vec{r}$$ [48](#page=48). In Cartesische coördinaten wordt dit: $$W = \\int\_{x\_a}^{x\_b} F\_x , dx + \\int\_{y\_a}^{y\_b} F\_y , dy + \\int\_{z\_a}^{z\_b} F\_z , dz$$ [48](#page=48). ### 3.2 Stelling van arbeid en energie De stelling van arbeid en energie stelt dat de totale arbeid die op een lichaam wordt verricht door de resultante van de krachten die op het lichaam werken, gelijk is aan de verandering in de kinetische energie van het lichaam [49](#page=49). * De kinetische energie ($K$) van een lichaam met massa $m$ en snelheid $v$ is gedefinieerd als: $$K = \\frac{1}{2} mv^2$$ [48](#page=48) [49](#page=49). * De stelling luidt: $$W = \\Delta K = K\_{\\text{eind}} - K\_{\\text{begin}}$$ [49](#page=49). Dit geldt ook wanneer de kracht verandert in grootte en richting [49](#page=49). * **Voorbeeld:** Bij een schuine worp met beginsnelheid $v\_0$ is de arbeid verricht door de zwaartekracht nul, omdat de zwaartekracht loodrecht staat op de horizontale component van de verplaatsing. Volgens de stelling is $\\Delta K = 0$, wat impliceert dat de eindsnelheid gelijk is aan de beginsnelheid qua grootte [50](#page=50). ### 3.3 Arbeidstempo of vermogen Vermogen ($P$) is het tempo waarmee arbeid wordt verricht [50](#page=50). * Het gemiddeld vermogen is: $$\\langle P \\rangle = \\frac{W}{\\Delta t}$$ [50](#page=50). * Het ogenblikkelijk vermogen op een bepaald tijdstip is: $$P = \\frac{dW}{dt}$$ [50](#page=50). Bij constant vermogen is $W = Pt$. De eenheid van vermogen is Watt (W), waarbij $1 , \\text{W} = 1 , \\text{J/s}$. Een praktische eenheid is paardekracht (PK) [50](#page=50). ### 3.5 Potentiële energie van een systeem #### 3.5.1 Conservatieve en niet-conservatieve krachten * **Conservatieve krachten:** Krachten waarbij de verrichte arbeid tussen twee punten onafhankelijk is van de gevolgde weg en de arbeid verricht bij een gesloten cyclus nul is. Voorbeelden zijn de zwaartekracht, veerkracht en de coulombkracht [52](#page=52). * **Niet-conservatieve krachten:** Krachten waarbij de verrichte arbeid wel afhankelijk is van de gevolgde weg en de arbeid bij een gesloten cyclus niet nul is. Voorbeelden zijn wrijvingskracht en luchtweerstand [52](#page=52). #### 3.5.2 Het begrip potentiële energie Potentiële energie ($U$) is de "arbeid in voorraad" van een systeem. Het kan alleen gedefinieerd worden voor systemen met conservatieve krachten [53](#page=53) [54](#page=54). * **Potentiële energie in het zwaartekrachtveld:** Voor een massa $m$ op hoogte $h$, met de potentiële energie op aardoppervlak ($h=0$) gelijk aan nul, is de potentiële energie: $$U = mgh$$ [53](#page=53). De verandering in potentiële energie is $\\Delta U = U\_B - U\_A = -W\_{AB}$, waarbij $W\_{AB}$ de arbeid is verricht door de zwaartekracht van A naar B [53](#page=53). * **Potentiële energie bij eendimensionale systemen:** De verandering in potentiële energie is: $$\\Delta U = U(x) - U(x\_0) = - \\int\_{x\_0}^{x} F(x') , dx'$$ [53](#page=53). Hierbij is $F(x)$ de conservatieve kracht en $x\_0$ een referentiepunt waar de potentiële energie $U\_0$ wordt gedefinieerd [53](#page=53). * **Potentiële energie bij meerdimensionale systemen:**$$\\Delta U = - \\int\_{r\_A}^{r\_B} \\vec{F}(\\vec{r}') \\cdot d\\vec{r}'$$ [54](#page=54). Potentiële energie is een toestandsfunctie die hoort bij een systeem, niet bij een enkel voorwerp [54](#page=54). ### 3.6 Wet van behoud van mechanische energie Deze wet geldt **enkel** voor systemen waarin alleen conservatieve krachten werkzaam zijn [54](#page=54). * De mechanische energie ($E$) van een systeem is de som van de kinetische energie ($K$) en de potentiële energie ($U$): $$E = K + U$$ [55](#page=55). * **Wet van behoud van mechanische energie:** In een systeem waar alleen conservatieve krachten werkzaam zijn, blijft de totale mechanische energie constant gedurende de beweging [55](#page=55). $$E\_A = E\_B \\quad \\text{of} \\quad K\_A + U\_A = K\_B + U\_B$$ [54](#page=54) [55](#page=55). * **Voorbeeld:** Een vallende steen zet potentiële energie om in kinetische energie. Een kind op een slee op een wrijvingsloze helling [56](#page=56) [57](#page=57). #### 3.6.1 Toepassing: de ideale veer Voor een lichaam met massa $m$ onder invloed van een ideale veer op een wrijvingsloos horizontaal oppervlak, is de kracht gegeven door de Wet van Hooke: $F\_x = -kx$ [57](#page=57). * De potentiële energie van het veersysteem bij een elongatie $x$ is: $$U(x) = \\frac{1}{2} kx^2$$ [57](#page=57). Hierbij wordt de potentiële energie bij een ongespannen veer ($x=0$) als nul gedefinieerd [57](#page=57). * Tijdens de beweging van de veer wisselen potentiële en kinetische energie elkaar af, maar de totale mechanische energie blijft constant. De maximale kinetische energie wordt bereikt wanneer de potentiële energie minimaal is, en omgekeerd [58](#page=58). $$\\frac{1}{2} mv\_{\\text{max}}^2 = \\frac{1}{2} kx\_{\\text{max}}^2$$ [58](#page=58). * **Slingerbeweging:** Voor kleine uitwijkhoeken is de tangentiële component van de zwaartekracht $F \\approx -mg\\theta$ de terugroepende kracht, analoog aan de veerkracht. De snelheid in de rusttoestand is dan $v = \\sqrt{2gh}$ [59](#page=59). ### 3.8 Wet van behoud van totale energie Wanneer niet-conservatieve krachten (zoals wrijving) ook werkzaam zijn, treedt energieverlies op in de mechanische energie [59](#page=59). * De stelling van arbeid en energie, uitgebreid met niet-conservatieve krachten, luidt: $$W\_{\\text{conservatief}} + W\_{\\text{niet-conservatief}} = \\Delta K$$ [59](#page=59). Of, uitgedrukt in energieën: $$\\Delta E\_{\\text{mechanisch}} = W\_{\\text{niet-conservatief}}$$ [59](#page=59). * **Principe van het behoud van de totale energie:** Energie kan worden omgezet van de ene vorm naar de andere, maar kan niet worden vernietigd of gecreëerd. De verloren mechanische energie wordt omgezet in andere vormen, zoals inwendige energie (warmte) [59](#page=59) [60](#page=60). $$\\Delta E\_{\\text{mechanisch}} + \\Delta U\_{\\text{inwendig}} = 0$$ [60](#page=60). * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kinematica | De tak van de mechanica die de beweging van voorwerpen bestudeert zonder rekening te houden met de oorzaken van die beweging, zoals krachten. Het beschrijft hoe dingen bewegen. | | Vectoren | Wiskundige entiteiten die zowel een grootte (lengte) als een richting en zin hebben. Ze worden vaak gebruikt om grootheden zoals verplaatsing, snelheid en kracht weer te geven. | | Scalaire | Een grootheid die alleen een grootte heeft en geen richting of zin. Voorbeelden zijn temperatuur, massa en afstand. | | Snelheid | De mate waarin de positie van een voorwerp verandert in de tijd. Het is een vectorgrootheid, met zowel grootte als richting en zin. | | Versnelling | De mate waarin de snelheid van een voorwerp verandert in de tijd. Het is een vectorgrootheid, met zowel grootte als richting en zin. | | Referentiesysteem | Een coördinatensysteem met een oorsprong en assen, gebruikt om de positie, snelheid en versnelling van een voorwerp te beschrijven. | | Plaatsvector | Een vector die de positie van een punt in de ruimte aangeeft ten opzichte van een gekozen oorsprong. | | Componenten van een vector | De projecties van een vector op de assen van een coördinatenstelsel. Deze componenten geven de bijdrage van de vector in elke richting weer. | | Scalair product | Een operatie tussen twee vectoren die resulteert in een scalair. Het wordt berekend als het product van de groottes van de vectoren en de cosinus van de hoek ertussen ($a \cdot b = ab\cos\phi$). | | Vectorproduct | Een operatie tussen twee vectoren die resulteert in een nieuwe vector die loodrecht staat op het vlak van de oorspronkelijke vectoren. De grootte is $ab\sin\phi$. | | Inertie | De weerstand van een voorwerp tegen verandering in zijn bewegingstoestand. Massa is een maat voor inertie. | | Kracht | Een interactie die, indien niet gecompenseerd, de bewegingstoestand of vorm van een voorwerp kan veranderen. Het is een vectorgrootheid. | | Massa | Een fundamentele eigenschap van materie die de inertie van een voorwerp bepaalt en de hoeveelheid materie in het voorwerp aangeeft. | | Gewicht | De kracht die de zwaartekracht uitoefent op een voorwerp. Het is een vectorgrootheid en is afhankelijk van de massa en de lokale zwaartekrachtsversnelling. | | Traagheidswet (Eerste wet van Newton) | Stelt dat een voorwerp in rust in rust blijft en een voorwerp in een eenparige rechtlijnige beweging die beweging voortzet, tenzij er een netto uitwendige kracht op inwerkt. | | Tweede wet van Newton | Stelt dat de netto kracht die op een voorwerp werkt, gelijk is aan het product van de massa van het voorwerp en zijn versnelling ($\vec{F} = m\vec{a}$). | | Derde wet van Newton (Actie-reactie) | Stelt dat voor elke actie er een gelijke en tegengestelde reactie is. Krachten komen altijd in paren voor die op verschillende lichamen aangrijpen. | | Zwaartekracht | De aantrekkingskracht tussen twee voorwerpen met massa. Op aarde is dit de kracht die de aarde op een voorwerp uitoefent, vaak aangeduid als $\vec{G} = m\vec{g}$. | | Normaalkracht | De kracht die een oppervlak uitoefent op een voorwerp dat erop rust, loodrecht op het oppervlak. | | Trekkracht (Spankracht) | De kracht die door een touw, kabel of ketting wordt overgebracht wanneer deze wordt gespannen. | | Wrijvingskracht | Een kracht die de relatieve beweging tussen twee contactoppervlakken tegenwerkt. Er zijn statische (voorkomt beweging) en kinetische (verzet zich tegen beweging) wrijvingskrachten. | | Centripetale versnelling | De versnelling die nodig is om een voorwerp in een cirkelvormige baan te houden, gericht naar het centrum van de cirkel. De grootte is $a_c = v^2/r$. | | Centripetale kracht | De netto kracht die nodig is om een voorwerp in een cirkelvormige baan te houden. Het is de oorzaak van de centripetale versnelling ($\vec{F}_c = m\vec{a}_c$). | | Arbeid | De mechanische arbeid verricht door een kracht wanneer deze een verplaatsing veroorzaakt. Het is een scalair product van de kracht en de verplaatsing ($W = \vec{F} \cdot \vec{d}$). | | Kinetische energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn beweging. Het wordt gegeven door de formule $K = \frac{1}{2}mv^2$. | | Potentiële energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn positie in een krachtveld, zoals een zwaartekrachtveld of een elastisch veld. | | Stelling van arbeid en energie | Stelt dat de netto arbeid verricht op een voorwerp gelijk is aan de verandering in zijn kinetische energie ($W_{netto} = \Delta K$). | | Vermogen | Het tempo waarmee arbeid wordt verricht of energie wordt overgedragen. Het is de arbeid gedeeld door de tijd ($P = W/\Delta t$). | | Conservatieve kracht | Een kracht waarbij de arbeid verricht tussen twee punten onafhankelijk is van het gevolgde pad. De arbeid verricht door een conservatieve kracht over een gesloten pad is nul. | | Niet-conservatieve kracht | Een kracht waarbij de arbeid verricht tussen twee punten afhankelijk is van het gevolgde pad. Voorbeelden zijn wrijvingskracht en luchtweerstand. | | Wet van behoud van mechanische energie | Stelt dat de totale mechanische energie (som van kinetische en potentiële energie) van een systeem constant blijft als alleen conservatieve krachten arbeid verrichten. ($E = K + U = \text{constant}$). | | Wet van behoud van totale energie | Een fundamenteel principe dat stelt dat energie niet kan worden gecreëerd of vernietigd, maar alleen kan worden omgezet van de ene vorm in de andere. | | Eenparige rechtlijnige beweging (ERB) | Een beweging met constante snelheid langs een rechte lijn; de versnelling is nul. | | Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EURB) | Een beweging langs een rechte lijn met constante versnelling. | | Eenparige cirkelvormige beweging | Een beweging langs een cirkelbaan met constante snelheid. De snelheidsvector verandert voortdurend van richting, wat resulteert in een constante centripetale versnelling. | | Projectielbeweging | De beweging van een voorwerp dat wordt geworpen of geschoten en vervolgens alleen onder invloed van de zwaartekracht beweegt (luchtweerstand verwaarloosd). | | Veerconstante (k) | Een maat voor de stijfheid van een veer. Hoe hoger de constante, hoe stijver de veer. | | Wet van Hooke | Beschrijft de relatie tussen de kracht die nodig is om een veer uit te rekken of samen te drukken en de uitrekking of samendrukking. De kracht is evenredig met de verplaatsing vanuit de rustpositie ($F = -kx$). |