Wiskunde 1 Didactische krachtlijnen.pptx

# De aard van wiskunde en effectief wiskundeonderwijs Dit onderwerp verkent de definitie van wiskunde vanuit een constructivistisch perspectief, benadrukt de rol van vragen stellen en reflectie, en schetst de principes van goed wiskundeonderwijs gericht op zelfstandige kennisopbouw door leerlingen. ### 1.1 Wat is wiskunde? Wiskunde wordt niet primair gezien als het memoriseren van formules en structuren, maar als een zinvolle menselijke activiteit die draait om het stellen van vragen, het ontleden van problemen, het zien van verbanden en het verhelderen van situaties. Een cruciaal aspect is reflectie op het eigen geestelijke activiteit. Wiskunde is dus meer dan het maken van sommetjes; het is observeren en bevragen waarom iets zo is. ### 1.2 Principes van goed wiskundeonderwijs Goed wiskundeonderwijs creëert een onderwijsleersituatie waarin leerlingen gestimuleerd worden om zelf hun wiskundige kennis op te bouwen. Dit gebeurt door hen te begeleiden bij het ontdekken van deze kennis, uitgaande van hun intuïtieve begrippen en informele strategieën. De kennis wordt vervolgens ingeoefend in betekenisvolle probleemsituaties. Het onderwijs is niet het louter overdragen van kant-en-klare begrippen en regels, maar het faciliteren van een constructief leerproces. #### 1.2.1 Betekenisvolle situaties Het plaatsen van wiskunde in betekenisvolle situaties is essentieel. Dit betekent dat leerlingen het nut en de relevantie van wiskunde leren ontdekken, zowel praktisch als maatschappelijk. Het betrekt de leefwereld van de leerlingen, wat de motivatie verhoogt. > **Tip:** Problemen leren analyseren houdt in dat levensechte situaties vertaald worden naar wiskundige problemen. ##### 1.2.1.1 Verwiskundigen Verwiskundigen is het proces waarbij verbanden worden gelegd tussen het leergebied wiskunde en de realiteit. Hierbij kan informatie verloren gaan: * **Verarming:** Niet-essentiële informatie uit de realiteit wordt weggelaten om zich te kunnen focussen op de wiskundige kern. Bijvoorbeeld, de kleur of kromming van een banaan is irrelevant voor het bepalen van het aantal bananen in een tros. * **Verlies van essentiële informatie:** Soms kan er ook essentiële informatie verloren gaan bij het verwiskundigen. Een voorbeeld hiervan is wanneer leerlingen bij het berekenen van het aantal benodigde bussen, de rest (0,2 bus) letterlijk interpreteren en 3,2 bussen bestellen, zonder rekening te houden met de realiteit dat je geen halve bussen kunt bestellen. > **Voorbeeld:** Het berekenen van het aantal bussen voor 96 personen als op een bus maximaal 30 personen passen, leidt tot $96 \div 30 = 3,2$. De leerlingen moeten dan redeneren dat er 4 bussen nodig zijn. ##### 1.2.1.2 Aandachtspunten bij betekenisvolle situaties * Betrek de leefwereld van leerlingen. * Leer leerlingen problemen te analyseren en levensechte situaties te vertalen naar wiskundeproblemen. * Stimuleer het ontdekken van praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde. * Bevorder het verwerven van inzicht in wiskundige begrippen. ### 1.3 Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model Dit model beschrijft de fasen die leerlingen doorlopen bij het leren van nieuwe wiskundige concepten. #### 1.3.1 Concrete fase In deze fase worden nieuwe leerinhouden aangebracht met behulp van aanschouwelijke voorstellingen om inzicht te creëren. Dit kan met tastbare voorwerpen die gemanipuleerd worden. * **Materiaal bestaat uit natura:** Gebruik van alledaagse voorwerpen (bloemen, stenen). * **Materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid:** Gebruik van bijvoorbeeld fiches of blokjes om aantallen voor te stellen. * **Materiaal is gestructureerd rekenmateriaal:** Speciaal ontworpen materiaal zoals MAB-materiaal (materiaal met eenheden, tientallen, honderdtallen, etc.). > **Aandachtspunt:** Niet alle materialen die je kunt vastnemen, zijn concrete materialen. Een kaartje met de letter 'H' om honderd voor te stellen, is bijvoorbeeld een abstracte voorstelling. #### 1.3.2 Schematische fase Hierbij wordt de werkelijkheid voorgesteld met behulp van tekeningen, schema's en stappenplannen, zonder het gebruik van concreet materiaal. Dit helpt bij het verduidelijken van redeneringen. De opbouw binnen de keuze van afbeeldingen kan variëren van een directe afbeelding van de werkelijkheid tot afbeeldingen van gestructureerd rekenmateriaal. Een getallenlijn of tabellen kunnen hierbij ondersteunend zijn. > **Aandachtspunt:** Een tekening die enkel als illustratie dient, is geen schematische ondersteuning. #### 1.3.3 Abstracte fase In deze fase wordt er gewerkt zonder concreet materiaal of schematische voorstellingen, waarbij symbolen, tekens en getallen centraal staan. Consistente verwoordingen fungeren hierbij als verbindend element. > **Tip:** Het triple code model van Dehaene suggereert dat de concrete, schematische en abstracte fases gelijktijdig kunnen worden doorlopen voor dezelfde oefening, in plaats van sequentieel te wachten tot de ene fase volledig beheerst is. #### 1.3.4 Aandachtspunten bij het CSA-model * De leerkracht moet nagaan op welk niveau leerlingen functioneren en waar eventuele moeilijkheden optreden. * Differentiatie en remediëring zijn cruciaal. * Er is een constante wisselwerking tussen de verschillende niveaus. * Een abacus is een gematerialiseerde abstracte voorstelling die inzicht in het positiesysteem vereist. ### 1.4 Handelingsniveaus van Galperin Deze theorie, ontwikkeld door de Russische psycholoog Galperin, beschrijft vier niveaus in het proces van internalisatie van handelingen bij kinderen. Het doel is te voorkomen dat leerlingen vast blijven hangen aan materiële voorstellingen. De opbouw zit in het proces van transformatie van externe, materiële handelingen naar interne, mentale handelingen. ### 1.5 Inzichtelijke aanpak Een inzichtelijke aanpak vermijdt 'trucjes' en zorgt ervoor dat de betekenis van begrippen en alle deelhandelingen duidelijk zijn. Leerlingen begrijpen wat ze doen. Bijvoorbeeld, wanneer het geheugen faalt bij een vermenigvuldiging, kan de leerling terugvallen op rekenstrategieën. Het aanbrengen van nieuwe vaardigheden gebeurt door voorkennis aan te spreken en de leerstof te kaderen. Herhaling en visuele voorstellingen bevorderen transfer. De opbouw van lessen volgt het CSA-model en de handelingsniveaus, met correcte verwoordingen en vakterminologie. ### 1.6 Belang van correct wiskundig verwoorden Het correct verwoorden is een fundamentele brug tussen het manipuleren met materiaal en het werken zonder materiaal. Het gebruik van de juiste vaktaal en terminologie is essentieel. Leerlingen moeten van 'spreektaal' overschakelen naar 'vaktaal'. Het is belangrijk om te controleren of leerlingen de juiste invulling geven aan wiskundige termen en om de vakterminologie consequent te hanteren. ### 1.7 Automatiseren en memoriseren Automatiseren betekent dat bepaalde procedures 'paraat' gekend zijn, zoals optellingen en aftrekkingen tot 20, of maal- en deeltafels. Leerlingen steunen hierbij op onderliggende, inzichtelijke berekeningen. Veel oefenen, variatie aanbieden en geleidelijk het tempo opdrijven, leiden tot automatisatie. Het is hierbij belangrijk om ondersteuning te bieden met materiaal, schema's, het verwoorden van denkstappen en het noteren van tussenstappen. ### 1.8 Inductief werken Inductief werken houdt in dat men van het bijzondere naar het algemene redeneert. Dit begint met het vertrekken van goed gekozen concrete voorbeelden. Deze voorbeelden worden onderzocht en geanalyseerd, waardoor leerlingen patronen en wetmatigheden ontdekken en formuleren. Op basis hiervan wordt een algemeen begrip, regel of principe omschreven. In deze fase worden uitzonderingen nog niet behandeld. > **Voorbeeld:** Leerlingen onderzoeken getallen die eindigen op nul en vijf. Door te oefenen met delen door vijf, ontdekken ze dat al deze getallen eindigen op nul of vijf. --- # Het concreet-schematisch-abstract (CSA) model en handelingsniveaus Dit gedeelte behandelt de fasen van het CSA-model voor het aanleren van wiskundige concepten, van tastbare voorwerpen tot abstracte symbolen, en de vier handelingsniveaus volgens Galperin ter verdieping van begrip en het voorkomen van koppeling aan materiële voorstellingen. ### 2.1 Het concreet-schematisch-abstract (CSA) model Het CSA-model is een didactische benadering die leraren helpt bij het aanbrengen van nieuwe wiskundige concepten en vaardigheden. Het model doorloopt drie fasen: concreet, schematisch en abstract. #### 2.1.1 De concrete fase In de concrete fase wordt gebruikgemaakt van tastbare voorwerpen om nieuwe leerinhouden te introduceren en inzicht te verwerven. Dit materiaal kan op verschillende manieren worden ingezet: 1. **Materiaal bestaat uit natura:** Hierbij wordt gebruikgemaakt van alledaagse, natuurlijke voorwerpen. 2. **Materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid:** Het materiaal representeert iets anders, bijvoorbeeld blokjes die appels voorstellen. 3. **Materiaal is gestructureerd rekenmateriaal:** Speciaal ontworpen materiaal, zoals MAB-materiaal (Mille, Eenheden, Tienheden, Honderdtallen), wordt gebruikt. > **Tip:** Het is belangrijk te differentiëren, omdat niet alle voorwerpen die men kan vastnemen ook werkelijk concrete materialen zijn. Een kaartje met de letter 'H' voor honderd is bijvoorbeeld al een abstracte voorstelling. #### 2.1.2 De schematische fase De schematische fase bouwt voort op de concrete fase en maakt gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen. Dit helpt bij het verduidelijken van redeneringen zonder het gebruik van concreet materiaal. De opbouw binnen de keuze van afbeeldingen kan variëren: * Afbeelding van de werkelijkheid (bv. een foto van appels). * Afbeeldingen in de plaats van de werkelijkheid (bv. een tekening van appels). * Afbeeldingen van gestructureerd rekenmateriaal (bv. een tekening van MAB-materiaal). * Getallenlijn of getallenas. * Tabellen en/of schema's. * Positietabellen. > **Opmerking:** Een tekening die louter dient ter illustratie of 'opfleuring' van de tekst, is geen schematische ondersteuning in de zin van het CSA-model. #### 2.1.3 De abstracte fase In de abstracte fase wordt er gewerkt zonder concreet materiaal of schematische voorstellingen. De leerlingen maken gebruik van symbolen, tekens en getallen om wiskundige problemen op te lossen. Het triple code model (van Stanislas Dehaene) stelt voor om tijdens hetzelfde leermoment de oefening zowel concreet, schematisch als abstract aan te bieden. Dit voorkomt dat leerlingen te lang blijven hangen in een bepaalde fase. Consequente verwoording dient hierbij als verbindende factor. > **Voorbeeld:** Bij het aanleren van het getal vijf kan men beginnen met vijf tastbare voorwerpen (concreet), daarna dit voorstellen met een tekening (schematisch), om uiteindelijk te werken met het cijfer 5 (abstract). #### 2.1.4 Aandachtspunten bij het CSA-model * **Differentiatie en Remediation:** De leerkracht moet nagaan op welk niveau elke leerling werkt en waar eventuele moeilijkheden optreden binnen het CSA-model. Dit is cruciaal voor effectieve differentiatie en remediëring. * **Wisselwerking tussen niveaus:** Er is een constante wisselwerking tussen de verschillende niveaus. Zo kan een abacus gezien worden als een gematerialiseerde abstracte voorstelling, waarbij inzicht in het plaatsingssysteem nodig is om de kralen correct te interpreteren. * **Verwoording:** Correcte wiskundige verwoording is essentieel om de verschillende niveaus te verbinden en begrip te versterken. ### 2.2 Handelingsniveaus van Galperin De handelingstheorie van de Russische psycholoog Galperin biedt een methode om het wiskundig begrip van kinderen te verdiepen en te voorkomen dat zij vast blijven hangen aan materiële voorstellingen. Dit proces wordt ook wel *interiorisatie* genoemd. Galperin beschrijft vier handelingsniveaus: #### 2.2.1 Niveau 1: De algemene handeling als materieel object Kinderen voeren de handeling uit met tastbaar materiaal. De handeling is nog volledig extern en zichtbaar. > **Voorbeeld:** Het maken van een boeket met 8 bloemen en daarna 5 bloemen toevoegen om de som $8 + 5$ uit te voeren, waarbij de bloemen fysiek worden gemanipuleerd. #### 2.2.2 Niveau 2: De handeling als gesproken externe handeling De handeling wordt nu uitgesproken, nog steeds extern, maar in de vorm van verbale instructies of het verwoorden van de stappen. Dit niveau is cruciaal voor het verbinden van de materiële handeling met de abstracte betekenis. > **Voorbeeld:** Bij de som $8 + 5$ zegt het kind hardop: "Ik heb acht bloemen, en ik tel er vijf bij. Dat zijn negen, tien, elf, twaalf, dertien bloemen in totaal." #### 2.2.3 Niveau 3: De handeling als gesproken innerlijke handeling De gesproken handeling wordt van buiten naar binnen verplaatst. Het kind spreekt de handeling in gedachten uit, zonder de materie nog fysiek te manipuleren. > **Voorbeeld:** Het kind denkt: "Oké, acht en vijf erbij. Ik weet dat acht plus twee tien is, en dan nog drie erbij is dertien." #### 2.2.4 Niveau 4: De handeling als gegeneraliseerde innerlijke handeling De handeling wordt een geautomatiseerd, innerlijk proces. Het kind kan de handeling toepassen op verschillende situaties, met minder bewuste inspanning. Dit is het stadium van ware abstractie en automatisering. > **Voorbeeld:** Bij het zien van de som $8 + 5$ kan het kind direct het antwoord 13 geven, gebaseerd op reeds geautomatiseerde wiskundige kennis. Door deze vier niveaus te doorlopen, wordt ervoor gezorgd dat leerlingen niet alleen materiële objecten manipuleren, maar ook de onderliggende wiskundige concepten begrijpen en kunnen generaliseren. ### 2.3 Toepassingen van CSA en handelingsniveaus Beide modellen, het CSA-model en de handelingsniveaus van Galperin, zijn nauw met elkaar verbonden en bieden een raamwerk voor een inzichtelijke wiskundeles. Ze worden toegepast bij diverse leerstofonderdelen, zoals: * Splitsen van getallen. * Breuken (bv. ¾ van 12). * Optellingen en aftrekkingen (bv. $8 + 7$). * Probleemoplossing waarbij het omgaan met breuken in een realistische context centraal staat. Een inzichtelijke lesopbouw combineert het CSA-model met de handelingsniveaus, aangevuld met correcte wiskundige verwoordingen en vakterminologie. Dit bevordert transfer van kennis en zorgt voor diepgaand begrip. --- # Belang van inzicht, verwoording en automatisering in wiskundeonderwijs Dit thema benadrukt de fundamentele rol van het ontwikkelen van wiskundig inzicht, het correct verwoorden van wiskundige gedachten en het automatiseren van procedures om efficiënt wiskundeonderwijs te realiseren. ### 3.1 Wiskunde als zinvolle menselijke activiteit Wiskunde wordt niet primair gezien als een verzameling van formules en structuren die efficiënt overgedragen moeten worden, maar als een zinvolle menselijke activiteit die gepaard gaat met vragen stellen, problemen ontleden, verbanden zien en reflecteren over het eigen denken. Goed wiskundeonderwijs creëert een leeromgeving waarin leerlingen actief hun wiskundige kennis opbouwen en inoefenen in betekenisvolle situaties, uitgaande van hun intuïtieve begrippen en informele strategieën. ### 3.2 Concreet – schematisch – abstract (CSA-model) Het CSA-model beschrijft de progressieve ontwikkeling van wiskundig begrip, van tastbare ervaringen naar abstracte representaties. #### 3.2.1 Concrete fase Deze fase introduceert nieuwe leerinhouden met behulp van aanschouwelijke voorstellingen en tastbare voorwerpen. Het materiaal kan variëren van natuurlijke objecten tot speciaal ontworpen rekenmateriaal. Het handelen met dit materiaal helpt leerlingen om inzicht te krijgen. * **Materiaal uit de natuur:** Verschillende natuurlijke materialen kunnen gebruikt worden. * **Materiaal ter vervanging van de werkelijkheid:** Objecten die een deel van de werkelijkheid representeren. * **Gestructureerd rekenmateriaal:** Speciaal ontworpen materiaal, zoals MAB-materiaal. #### 3.2.2 Schematische fase In deze fase worden de begrippen voorgesteld met behulp van tekeningen, schema's en stappenplannen. Leerlingen verduidelijken hun redeneringen met visuele ondersteuning, zonder direct met concreet materiaal te werken. De opbouw binnen de keuze van afbeeldingen kan variëren van een realistische afbeelding tot afbeeldingen van gestructureerd rekenmateriaal, zoals een getallenlijn, tabellen of positietabellen. > **Tip:** Een tekening die louter ter illustratie dient, wordt niet beschouwd als een schematische ondersteuning. #### 3.2.3 Abstracte fase Hier werken leerlingen zonder concreet materiaal of schematische voorstellingen. Ze maken gebruik van symbolen, tekens en getallen. De consequentie in de verwoording van denkstappen fungeert als een verbindende factor tussen de verschillende fasen. > **Tip:** Het Triple Code Model, dat voorstelt om een oefening steeds concreet, schematisch en abstract aan bod te laten komen tijdens hetzelfde aanleermoment, kan hierbij ondersteunend werken. #### 3.2.4 Aandachtspunten bij het CSA-model De leerkracht dient te observeren op welk niveau elke leerling werkt en waar eventuele moeilijkheden zich voordoen, om zo te kunnen differentiëren en remediëren. Materialen die men kan vastnemen zijn niet altijd concreet; een kaartje met 'H' voor honderd is bijvoorbeeld een abstracte voorstelling. Een abacus is een gematerialiseerde abstracte voorstelling waarbij inzicht in het positionaliteitssysteem essentieel is. Er is een voortdurende wisselwerking tussen de verschillende niveaus. ### 3.3 Handelingsniveaus van Galperin De handelingsniveaus van Galperin, een theorie van de Russische psycholoog, beschrijven een proces van interiorisatie waarbij kinderen handelen met materiaal of tekeningen om een begrip te verwerven. Om te voorkomen dat leerlingen blijven vastzitten aan materiële voorstellingen, is er een opbouw voorzien in vier handelingsniveaus. ### 3.4 Inzichtelijke aanpak Een inzichtelijke aanpak in het wiskundeonderwijs betekent dat de betekenis van begrippen en alle deelhandelingen duidelijk zijn voor de leerling. Het gaat erom te begrijpen *wat* men doet, in plaats van enkel 'trucjes' toe te passen. * **Ondersteuning bij rekenstrategieën:** Wanneer het geheugen faalt, kan men terugvallen op inzichtelijke rekenstrategieën. * **Aanbrengen van nieuwe vaardigheden:** Dit gebeurt door aan te sluiten bij voorkennis en de nieuwe stof te kaderen. * **Transfer bevorderen:** Herhaling en visuele voorstellingen helpen bij het bevorderen van transfer. * **Integrale lesopbouw:** Een inzichtelijke lesopbouw combineert het CSA-model, de handelingsniveaus, correcte verwoordingen en vakterminologie. ### 3.5 Belang van correct wiskundig verwoorden Het correct verwoorden van wiskundige gedachten is cruciaal en vormt de brug tussen het manipuleren met materiaal en het werken zonder materiaal. * **Gebruik van correcte vaktaal/vakterminologie:** Dit impliceert de overschakeling van spreektaal naar vaktaal. Het is belangrijk om te controleren of leerlingen de juiste betekenis toekennen aan wiskundige termen. * **Consequent gebruiken van vakterminologie:** Het systematisch en uniform hanteren van wiskundige termen in de les is essentieel voor het begrip en de ontwikkeling van een wiskundige taal. ### 3.6 Automatiseren en memoriseren Automatiseren betekent dat bepaalde procedures 'paraat' zijn, zoals optellingen en aftrekkingen tot 20, of de maal- en deeltafels. Leerlingen steunen hierbij op onderliggende, inzichtelijke berekeningen. * **Ondersteuning bij automatisering:** Gebruik maken van materiaal, schema's, het verwoorden van denkstappen en het noteren van tussenstappen zijn nuttige methoden. * **Veel oefening en variatie:** Het aanbieden van veel oefeningen met voldoende variatie en het geleidelijk opdrijven van het tempo leidt tot automatisatie. ### 3.7 Inductief werken Inductief werken betekent van het bijzondere naar het algemene gaan. * **Vertrekken van concrete voorbeelden:** De keuze van de voorbeelden is hierbij zeer belangrijk. * **Analyseren van voorbeelden:** Door voorbeelden te onderzoeken en te analyseren, ontdekken leerlingen patronen en wetmatigheden, wat leidt tot het formuleren van een algemeen begrip, regel of principe. * **Uitsluiting van uitzonderingen:** In deze fase worden uitzonderingen nog niet behandeld om de focus op het algemene principe te behouden. --- # Inductief werken in wiskunde Inductief werken in de wiskunde is een methode waarbij men van specifieke voorbeelden naar een algemeen principe of regel werkt. ### 7.1 Het proces van inductief werken Het inductieve proces bestaat uit de volgende stappen: 1. **Vertrekken van concrete voorbeelden:** Het begint met het presenteren van specifieke, concrete gevallen of problemen. De keuze van deze voorbeelden is cruciaal voor het succes van het inductieve proces. 2. **Voorbeelden onderzoeken en analyseren:** Leerlingen onderzoeken en analyseren deze voorbeelden grondig. Het doel is om patronen, verbanden en wetmatigheden te ontdekken die in de voorbeelden aanwezig zijn. 3. **Ontdekken en formuleren van patronen en wetmatigheden:** Op basis van de analyse worden de geïdentificeerde patronen en wetmatigheden expliciet geformuleerd. 4. **Omschrijven van een algemeen begrip, regel of principe:** De ontdekte patronen worden samengevat in een algemeen geldende definitie, regel of principe. In deze fase worden nog geen uitzonderingen op de regel behandeld. > **Tip:** Het is belangrijk dat de leerkracht zorgvuldig voorbeelden selecteert die duidelijk de te ontdekken regel illustreren, zonder direct uitzonderingen te introduceren die het leerproces kunnen compliceren. ### 7.2 Voorbeeld van inductief werken Een illustratief voorbeeld van inductief werken is het bestuderen van getallen die eindigen op nul of vijf. * **Concrete voorbeelden:** Men neemt een reeks getallen die eindigen op nul of vijf, bijvoorbeeld 10, 15, 20, 25, 30, 35, etc. * **Onderzoek en analyse:** Leerlingen onderzoeken deze getallen, bijvoorbeeld door te kijken naar hun deelbaarheid door vijf. Ze kunnen dit doen door te splitsen of te verdelen. * **Patronen ontdekken:** Leerlingen ontdekken dat alle getallen in deze reeks deelbaar zijn door vijf. Ze zien ook dat deze getallen altijd eindigen op een nul of een vijf. * **Algemene regel:** De algemene regel die hieruit voortvloeit is: "Een getal is deelbaar door vijf als het eindigt op een nul of een vijf." --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Betekenisvolle situaties | Situaties in het wiskundeonderwijs die aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen en waarin het nut van wiskunde wordt ontdekt, wat leidt tot meer inzicht in wiskundige begrippen. | | Verwiskundigen | Het proces waarbij een situatie uit de realiteit wordt vertaald naar een wiskundig probleem, waarbij verbanden worden gelegd tussen het leergebied wiskunde en de werkelijkheid. | | Concreet-schematisch-abstract (CSA) model | Een didactisch model dat de ontwikkeling van wiskundig begrip beschrijft in drie fasen: de concrete fase met tastbare voorwerpen, de schematische fase met tekeningen en schema's, en de abstracte fase met symbolen en getallen. | | Handelingsniveaus van Galperin | Vier niveaus van handelen volgens de Russische psycholoog Galperin, die kinderen doorlopen bij het verwerven van een begrip door middel van materiaal of tekeningen, om te voorkomen dat ze blijven hangen aan materiële voorstellingen. | | Inzichtelijke aanpak | Een onderwijsaanpak in wiskunde waarbij de betekenis van begrippen en alle deelhandelingen duidelijk zijn, zodat leerlingen begrijpen wat ze doen en kunnen terugvallen op rekenstrategieën indien nodig. | | Automatiseren | Het proces waarbij wiskundige vaardigheden zo geoefend worden dat ze 'paraat' zijn, zoals het kennen van optellingen en aftrekkingen tot 20, of maal- en deeltafels, door veel oefening en variatie aan te bieden. | | Memoriseren | Het van buiten leren van wiskundige feiten of procedures, wat een onderdeel kan zijn van automatisering maar waarbij inzichtelijke onderbouwing cruciaal blijft. | | Inductief werken | Een onderwijsmethode in wiskunde die vertrekt van concrete, specifieke voorbeelden om patronen, wetmatigheden en uiteindelijk algemene regels of principes te ontdekken en te formuleren. | | Vakterminologie | De specifieke taal en technische termen die binnen het vakgebied wiskunde worden gebruikt, essentieel voor correcte communicatie en begrip van wiskundige concepten. | | Triple code model | Een model, mede gebaseerd op werk van Stanislas Dehaene, dat stelt dat een oefening idealiter de concrete, schematische en abstracte fasen (CSA) aan bod laat komen tijdens hetzelfde aanleermoment, zonder te wachten tot een fase volledig beheerst is. | | Abacus | Een rekenhulpmiddel met kralen op stangen, dat als een gematerialiseerde abstracte voorstelling kan dienen en inzicht in het positiesysteem vereist om de waarde van de kralen correct te interpreteren. |