syllaCALC25.pdf

# Reëel-analytische functies en hun uitbreiding naar het complexe vlak ### Core idea * Vrije vectoren zijn equipollente puntenkoppels zonder vaste positie, gekenmerkt door richting, zin en norm [13](#page=13). * De verzameling van vrije vectoren V vormt een driedimensionale lineaire ruimte over de reële getallen [18](#page=18) [20](#page=20). * Elk stel van drie lineair onafhankelijke vectoren vormt een basis voor V [20](#page=20). ### Key facts * Equipollente puntenkoppels (P,Q) en (P',Q') definiëren dezelfde vrije vector als P, Q, Q', P' de hoekpunten van een parallellogram vormen [13](#page=13). * De nulvector is de enige vector zonder richting of zin en wordt bepaald door identieke punten [14](#page=14). * De norm van een vector ∥⃗v∥ is de afstand tussen twee punten die een representant van ⃗v bepalen [14](#page=14). * Een eenheidsvector heeft een norm van 1 [14](#page=14). * Translatie T⃗u(P) = P' betekent dat ⃗u = ⃗PP' [15](#page=15). * Vectoroptelling correspondeert met de samenstelling van translaties [15](#page=15). * V is een commutatieve groep onder vectoroptelling [15](#page=15). * s⃗v is een vector parallel aan ⃗v, met dezelfde zin als s > 0, tegengestelde zin als s < 0, en norm |s|∥⃗v∥ [16](#page=16). * De verhouding van twee parallelle vectoren ⃗v en ⃗w, met ⃗w ̸= ⃗0, is het reële getal s zodat ⃗v = s⃗w [16](#page=16). * Thales' stelling stelt dat de verhouding van parallelle vectoren behouden blijft onder parallelle projectie [17](#page=17). * Een stel vectoren is lineair afhankelijk als een niet-triviale lineaire combinatie nul oplevert [18](#page=18). * Een vector is een lineaire combinatie als deze als som van geschaalde vectoren kan worden uitgedrukt [18](#page=18). * Een deelruimte van V is een lineaire ruimte op zich binnen V [18](#page=18). * Een basis van een deelruimte W is een lineair onafhankelijk en voortbrengend stel vectoren voor W [18](#page=18). * De dimensie van een vectorruimte is het aantal elementen in een basis [18](#page=18). * De ruimte Va van vectoren parallel aan een rechte a is ééndimensionaal [19](#page=19). * De ruimte Vα van vectoren parallel aan een vlak α is tweedimensionaal [20](#page=20). * Elk stel van minstens vier vrije vectoren is lineair afhankelijk [21](#page=21). * Een geordende basis laat toe om elke vector te identificeren met een unieke rij- of kolommatrix van zijn kentallen [21](#page=21). * Een kentallentransformatie bij basiswissel kan worden geïdentificeerd met een matrix [21](#page=21). ### Key concepts * **Vrije vectoren**: Gekenmerkt door richting, zin en norm, zonder vaste positie [14](#page=14). * **Lineaire ruimte**: Een verzameling met optelling en scalaire vermenigvuldiging die bepaalde axioma's voldoet [16](#page=16). ### Implications --- ## Fundamentele eigenschappen van reële getallen ### Algebraïsche eigenschappen * Reële getallen (R) hebben twee bewerkingen: optelling (+) en vermenigvuldiging (.) [35](#page=35). * Deze bewerkingen voldoen aan veldaxioma's R1-R9: commutativiteit, associativiteit, bestaan van nul/eenheidselementen, en inverse elementen voor optelling/vermenigvuldiging (m.u.v. 0) [35](#page=35) [36](#page=36). * Aftrekking: $a - b:= a + (-b)$ [36](#page=36). * Deling: $a/b:= a \cdot (1/b)$ voor $b \neq 0$ [36](#page=36). * Machten: $a^1 = a$, $a^{n+1} = a^n \cdot a$, en $a^0 = 1$ (voor $a \neq 0$). Negatieve machten: $a^{-n} = 1/a^n$ [36](#page=36). ### Orde-eigenschappen * Orde-axioma R10: een unieke positieve deelverzameling P met geslotenheid onder optelling en vermenigvuldiging [36](#page=36). * Definities: $a > 0$ (positief), $a < 0$ (negatief), $a > b$ (a groter dan b), $a \geq b$ (a groter dan of gelijk aan b) [36](#page=36). * Stelling 2.2.1: Als $0 \leq a < \epsilon$ voor elke $\epsilon > 0$, dan is $a = 0$ [36](#page=36). * Absolute waarde: $|a| = a$ (als $a>0$), $0$ (als $a=0$), $-a$ (als $a<0$). Altijd $|a| \geq 0$ [37](#page=37). * Eigenschappen absolute waarde: * $|ab| = |a||b|$ [37](#page=37). * $|a|^2 = a^2$ [37](#page=37). * $|a| \leq c \Leftrightarrow -c \leq a \leq c$ [37](#page=37). * $-|a| \leq a \leq |a|$ [37](#page=37). * Driehoeksongelijkheid: $|a+b| \leq |a| + |b|$ [37](#page=37). * Gevolg 2.2.4: $||a| - |b|| \leq |a - b|$ en $|a - b| \leq |a| + |b|$ [37](#page=37). * Gevolg 2.2.5: $|a_1 + \dots + a_n| \leq |a_1| + \dots + |a_n|$ [37](#page=37). ### Het compleet geordend veld * Reële getallen vormen een compleet geordend veld [39](#page=39). * Definitie 2.3.1: $\epsilon$-omgeving van $a$: $\{x \in R: |x-a| < \epsilon\} = ]a-\epsilon, a+\epsilon[$ [38](#page=38). * Begrensdheid: een verzameling $S \subset R$ is naar boven begrensd als er een bovengrens $b$ bestaat ($s \leq b$ voor alle $s \in S$) [38](#page=38). * Supremum: de kleinste bovengrens van een niet-ledige, naar boven begrensde verzameling [38](#page=38). * Infimum: de grootste benedengrens van een niet-ledige, naar beneden begrensde verzameling [38](#page=38). * Volledigheidsaxioma (R11): Elke niet-ledige verzameling reële getallen die naar boven begrensd is, heeft een supremum [39](#page=39). * Eigenschap 2.3.1: $\sup(a+S) = a + \sup S$ [39](#page=39). * Eigenschap 2.3.2: Als $a \leq b$ voor alle $a \in A, b \in B$, dan $\sup A \leq \inf B$ [39](#page=39). ### Archimedisch karakter en intervallen --- ## Limieten en continuïteit ### Kernconcepten * Een reële functie associeert met elke input uit het domein een unieke reële output [43](#page=43). * Het beeld van een deelverzameling $A$ van het domein is $f(A) = \{f(x): x \in A\}$ [43](#page=43). * Het inverse beeld van een deelverzameling $B$ van het codomein is $f^{-1}(B) = \{x \in \text{dom } f: f(x) \in B\}$ [44](#page=44). * Een functie is begrensd op $A$ als er een $r \in \mathbb{R}$ bestaat zodat $|f(x)| \le r$ voor alle $x \in A$ [44](#page=44). * Een punt $c$ is een ophopingspunt van $A$ als elke $\delta$-omgeving van $c$ een ander punt van $A$ bevat [45](#page=45). * De limiet $\lim_{x \to c} f(x) = L$ betekent dat voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\delta(\varepsilon) > 0$ bestaat zodat $|f(x) - L| < \varepsilon$ voor $x \in A$ met $0 < |x - c| < \delta(\varepsilon)$ [46](#page=46). ### Kernfeiten * Gebruikte bewerkingen op functies: lineaire combinatie, product, quotiënt, samenstelling [45](#page=45). * Een ophopingspunt $c$ van $A$ garandeert de existentie van een rij $(a_n) \subset A \setminus \{c\}$ die convergeert naar $c$ [45](#page=45). * Een functie kan hoogstens één limiet hebben in een punt [46](#page=46). * $\lim_{x \to c} f(x) = L$ indien voor elke rij $(x_n) \subset A \setminus \{c\}$ met $x_n \to c$, geldt dat $f(x_n) \to L$ [47](#page=47). * Indien $\lim_{x \to c} f(x) = L$, dan is $f$ begrensd in een omgeving van $c$ [47](#page=47). * Limietstellingen voor som, product en quotiënt van functies [48](#page=48). * De sandwichstelling (insluitstelling) voor limieten [48](#page=48). * Rechter- en linkerlimieten bestaan indien de limiet bestaat, en omgekeerd [50](#page=50). * Uitbreidingen van het limietbegrip voor limieten naar $\pm \infty$ en functiewaarden naar $\pm \infty$ [51](#page=51). ### Continue functies * Een functie $f$ is continu in $c \in A$ als voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\delta(\varepsilon) > 0$ bestaat zodat $|f(x) - f(c)| < \varepsilon$ voor $x \in A$ met $|x - c| < \delta(\varepsilon)$ [52](#page=52). * Continuïteit kan worden uitgebreid naar gesloten intervallen, wat leidt tot belangrijke stellingen [54](#page=54). * Som, product, quotiënt en samenstelling van continue functies zijn eveneens continu (op hun domein) [53](#page=53). * Veeltermfuncties, rationale functies en goniometrische functies zijn standaardvoorbeelden van continue functies [54](#page=54). ### Continuïteit op gesloten intervallen * Een continue functie op een gesloten interval $[a,b]$ is begrensd [54](#page=54). * **Weierstraß stelling:** Een continue functie op $[a,b]$ bereikt zijn maximum en minimum op dat interval [54](#page=54). * **Bolzano I:** Een continue functie op $[a,b]$ die van teken wisselt op de grenzen, heeft een nulpunt in $]a,b[$ [55](#page=55). * **Bolzano II:** Een continue functie op $[a,b]$ neemt elke waarde tussen $f(a)$ en $f(b)$ aan [55](#page=55). * Het beeld van een continuüm op een gesloten interval is een gesloten begrensd interval [55](#page=55). --- ## Afleidbaarheid van functies in een interval en gerelateerde stellingen * Afleidbaarheid in een interval is de eigenschap dat een functie in elk punt van dat interval afleidbaar is [65](#page=65). * De afgeleide functie kent de functie toe die aan elke $x$ de waarde $f'(x)$ toekent [65](#page=65). * De middelwaardestelling is cruciaal voor het verband tussen de afgeleide en het stijgend/dalend karakter van een functie, en voor de formule van Taylor [67](#page=67). * Als $f$ afleidbaar is in $]a,b[$, dan is $f$ continu in $]a,b[$ [65](#page=65). * Lineaire combinaties, producten en quotiënten (mits noemer niet nul) van afleidbare functies zijn ook afleidbaar [65](#page=65). * De kettingregel stelt dat $D(g \circ f) = (Dg \circ f)D f$ als $f$ afleidbaar is in $]a,b[$ en $g$ in $f(]a,b[)$ [66](#page=66). * Als $f$ continu is op $[a,b]$ en $f'(x)=0$ voor alle $x \in ]a,b[$, dan is $f$ constant op $[a,b]$ [68](#page=68). * Als $f$ en $g$ continu zijn op $[a,b]$, afleidbaar in $]a,b[$ en $f'(x)=g'(x)$, dan is $f = g + C$ [68](#page=68). ### Belangrijke stellingen * **Rolle's stelling:** Als $f$ continu op $[a,b]$, afleidbaar in $]a,b[$ en $f(a)=f(b)=0$, dan bestaat er $c \in ]a,b[$ met $f'(c)=0$ [67](#page=67). * **Middelwaardestelling:** Als $f$ continu op $[a,b]$ en afleidbaar in $]a,b[$, dan bestaat er $c \in ]a,b[$ waarvoor $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$ [68](#page=68). * **Criterium voor stijgend/dalend:** $f$ is stijgend $\iff f'(x) \ge 0$; $f$ is dalend $\iff f'(x) \le 0$ [68](#page=68). * **Extrema-test:** Als $f$ een relatief extremum heeft in inwendig punt $c$ en $f$ is afleidbaar in $c$, dan $f'(c)=0$ [67](#page=67). ### Implicaties * Als $f'(x) > 0$ op $[a,b]$, dan is $f$ strikt stijgend op $[a,b]$ (omgekeerde is niet altijd waar) [68](#page=68). * De afgeleide functie $f'$ van een afleidbare functie is niet noodzakelijk continu [66](#page=66). * L'Hôpital's regels bieden een methode voor het berekenen van limieten van onbepaalde vormen $\frac{0}{0}$ of $\frac{\infty}{\infty}$ [69](#page=69). - > **Tip:** De afgeleide van een functie in een punt is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt [65](#page=65) - > **Tip:** Een horizontale raaklijn impliceert niet altijd een extremum, denk aan $f(x)=x^3$ in $x=0$ [67](#page=67) --- ## Reële en complexe rijen en convergentie ### Kernconcepten numerieke rijen * Een numerieke rij is een functie gedefinieerd op N met waarden in R of C, genoteerd als $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [99](#page=99). * Rijen kunnen expliciet gedefinieerd worden door een formule voor de algemene term of recursief [99](#page=99). * Convergentie van een rij $(a_n)$ naar $\alpha$ betekent dat voor elke $\epsilon > 0$ er een $N(\epsilon) \in \mathbb{N}$ bestaat zodanig dat $|a_n - \alpha| < \epsilon$ voor alle $n \geq N(\epsilon)$ [100](#page=100). * De limiet van een convergente rij is uniek [100](#page=100). ### Standaard numerieke rijen * De rij $1/n$ convergeert naar 0 [100](#page=100). * De rij $z^n$ convergeert naar 0 indien $|z| < 1$ [100](#page=100). * De rij $x^{1/n}$ convergeert naar 1 voor $x > 0$ . * De rij $n^{1/n}$ convergeert naar 1 . ### Stellingen over limieten van rijen * Als $(a_n) \to \alpha$ en $(b_n) \to \beta$, dan convergeert $(\lambda a_n + \mu b_n) \to \lambda \alpha + \mu \beta$ . * Als $(a_n) \to \alpha$ en $(b_n) \to \beta$, dan convergeert $(a_n b_n) \to \alpha \beta$ . * Als $(a_n) \to \alpha$ en $(c_n) \to \gamma$ met $c_n \neq 0$ en $\gamma \neq 0$, dan convergeert $(a_n/c_n) \to \alpha/\gamma$ . * Als $(a_n) \to \alpha$, dan convergeert $(|a_n|) \to |\alpha|$ . ### Rijen van reële getallen * Een convergente rij van reële getallen is begrensd . * Een stijgende (of dalende) en naar boven (of beneden) begrensde rij van reële getallen is convergent . * De rij $a_n = 1 + 1/2 + \dots + 1/n$ divergeert . * De rij $a_n = (1 + 1/n)^n$ convergeert naar $e$ . * Voor een begrensde rij $(a_n)$, de limes superior is $\limsup(a_n):= \lim(\sup\{a_k: k \geq n\})$ . * Voor een begrensde rij $(a_n)$, de limes inferior is $\liminf(a_n):= \lim(\inf\{a_k: k \geq n\})$ . --- ## Functierijen en -reeksen ### Functierijen * Een functierij $(f_n)$ in een verzameling A associeert met elk natuurlijk getal n een functie $f_n: A \to \mathbb{R}$ of $f_n: A \to \mathbb{C}$ . * Een functierij $(f_n)$ convergeert puntsgewijs in A als de numerieke rij $(f_n(x))$ voor elk punt $x \in A$ convergeert . * De limietfunctie $f(x):= \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ wordt gedefinieerd door de limiet van de functiewaarden te nemen voor elk $x \in A$ . * Voorbeeld: $f_n(x) = x^n$ convergeert puntsgewijs in $]-1, 1]$ naar $f(x) = 0$ voor $x \in ]-1, 1[$ en $f = 1$ [1](#page=1). * Voorbeeld: $g_n(x) = \frac{1}{n} \sin(nx + n)$ convergeert puntsgewijs naar 0 voor alle $x \in \mathbb{R}$ . ### Uniforme convergentie * Uniforme convergentie betekent dat er voor elke $\epsilon > 0$ een $N(\epsilon)$ bestaat, onafhankelijk van $x$, zodanig dat $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ voor $n > N(\epsilon)$ . * Notatie: $(f_n) \xrightarrow{u}_{A} f$ . * Uniforme convergentie impliceert puntsgewijze convergentie, maar niet omgekeerd . * Voorwaarde voor uniforme convergentie: voor elke $\epsilon > 0$ bestaat er een $N(\epsilon)$ zodanig dat $\sup_{x \in A} |f_m(x) - f_n(x)| < \epsilon$ voor $m, n > N(\epsilon)$ . ### Continuïteit van de limietfunctie * Als $(f_n)$ uniform op A convergeert naar f en alle $f_n$ continu zijn op A, dan is f continu op A . * Puntsgewijze convergentie garandeert continuïteit van de limietfunctie niet . ### Integreerbaarheid van de limietfunctie * Als $(f_n)$ uniform op $[a,b]$ convergeert naar f en alle $f_n$ integreerbaar zijn op $[a,b]$, dan is f integreerbaar en geldt $\int_a^b f = \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n$ . * Een zwakkere voorwaarde voor integreerbaarheid van de limietfunctie is puntsgewijze convergentie en uniforme begrensdheid van de functies . ### Afleidbaarheid van de limietfunctie * Uniforme convergentie van $(f_n)$ is niet voldoende voor afleidbaarheid van de limietfunctie . * Als $(f_n)$ puntsgewijs convergeert naar f, $f'_n$ continu is op $[a,b]$, en $(f'_n)$ uniform convergeert naar g op $[a,b]$, dan is f afleidbaar met $f' = g$ . ### Functiereeksen * Een functiereeks $\sum f_n$ convergeert puntsgewijs naar f als de rij van partieelsommen $(s_n)$ puntsgewijs naar f convergeert, waarbij $s_n(x) = \sum_{j=1}^n f_j(x)$ . * Een functiereeks $\sum f_n$ convergeert uniform naar f als de rij van partieelsommen $(s_n)$ uniform naar f convergeert . * Uniforme convergentie van een functiereeks impliceert puntsgewijze convergentie . * Absolute convergentie $\sum |f_n|$ impliceert convergentie, maar niet omgekeerd . * Stelling 8.6.1 (Continuïteit): Als $\sum f_n$ uniform op A convergeert en $f_n$ continu zijn, dan is de reekssomfunctie continu . * Stelling 8.6.2 (Integreerbaarheid): Als $\sum f_n$ uniform op $[a,b]$ convergeert en $f_n$ integreerbaar zijn, dan is de reekssomfunctie integreerbaar en $\int_a^b f = \sum \int_a^b f_n$ . * Stelling 8.6.3 (Afleidbaarheid): Als $\sum f_n$ puntsgewijs convergeert, $f'_n$ continu zijn, en $\sum f'_n$ uniform convergeert naar g, dan is de reekssomfunctie f afleidbaar met $f' = g$ . * M-test van Weierstraß: Als $\sup_{x \in A} |f_n(x)| \le M_n$ en $\sum M_n$ convergeert, dan convergeert $\sum f_n$ uniform op A . ### Positieve machtenreeksen * Een positieve machtenreeks (PMR) heeft de vorm $\sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n$ . * Convergentiestraal R wordt bepaald door $R = 1 / \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})$ . --- ## Negatieve machtenreeksen - Negatieve machtenreeksen (NMR) zijn reeksen van de vorm $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ . - De straal van convergentie $\rho$ voor een NMR wordt bepaald door $\rho = \limsup_{n\to\infty} |b_n|^{1/n}$ . - Als $|b_n|^{1/n}$ onbegrensd is, stelt men $\rho = +\infty$ (symbolisch) . - Een NMR $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ convergeert absoluut in $\{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| > \rho\}$ . - De NMR convergeert uniform op elk gesloten en begrensd deel van dit gebied . - De somfunctie van een NMR is holomorf in het convergentiegebied $\{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| > \rho\}$ . ### Singulariteiten - Een functie $f(z)$ heeft een singulariteit in $z_0$ als ze in $0 < |z-z_0| < R$ de som is van een holomorfe functie en een NMR in $(z-z_0)$ . - Als de NMR afbreekt (eindig aantal termen), is de singulariteit een pool . - Anders is de singulariteit een essentiële singulariteit . ### Voorbeelden en toepassingen - $e^{-1/z^2}$ heeft een essentiële singulariteit in $z=0$, met de NMR $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! z^{2n}}$ en $\rho = 0$ . - $\frac{1}{z-1}$ heeft een pool in $z=1$, als afgebroken NMR met $\rho = 0$ . - $\frac{1}{z^2+1}$ heeft polen in $z=i$ en $z=-i$ . - Een rationale functie $P_m(z)/Q_n(z)$ heeft polen in de nulpunten van $Q_n(z)$ . - De multipliciteit van een pool is de graad van de corresponderende factor in de noemer . - > **Tip:** Negatieve machtenreeksen beschrijven het gedrag van functies "ver weg" van een punt, analoog aan hoe positieve machtenreeksen het gedrag "dichtbij" beschrijven - > **Voorbeeld:** De functie $f(z) = \frac{1}{z}$ kan beschouwd worden als een afgebroken NMR in $1/z$ rond $z_0=0$, met $\rho=0$, die een pool in $z=0$ indiceert --- ### De n-dimensionale reële ruimte Rn #### Kernconcepten Rn als lineaire ruimte * Rn is de verzameling van geordende n-tallen (x₁, x₂,..., xn), met xk ∈ R . * Elementen van Rn kunnen worden opgeteld en vermenigvuldigd met een reëel getal, wat Rn tot een lineaire ruimte maakt . * Rn is een n-dimensionale lineaire ruimte met een standaardbasis bestaande uit n elementen . * Een lineaire combinatie van vectoren v₁,..., vm is een uitdrukking t₁v₁ +... + tmvm, met ti ∈ R . #### Kernconcepten Rn als genormeerde ruimte * Het scalair product van vectoren x en y in Rn is gedefinieerd als x · y = ∑(xk * yk) . * De norm van een vector x is ||x|| = √(x · x) = √(∑(xk²)) . * De norm voldoet aan de driehoeksongelijkheid: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| . * Twee vectoren met scalair product nul zijn orthogonaal . * Een orthonormale basis in Rn is een set van n onderling orthogonale en genormeerde vectoren . #### Kernconcepten Topologische begrippen in Rn * De afstand tussen twee punten x en y in Rn is d(x,y) = ||x - y|| . * Een ε-omgeving van punt a is de verzameling B(a;ε) = {x ∈ Rn | ||x - a|| < ε} . * Een verzameling S ⊂ Rn is open als elk punt in S een inwendig punt is . * Een verzameling S ⊂ Rn is gesloten als haar complement in Rn open is . * Een verzameling S ⊂ Rn is compact als ze gesloten en begrensd is . ### Rijen in Rn #### Kernconcepten Rijen en convergentie * Een rij in Rn is een functie N → Rn . * Een rij (am) convergeert naar α als voor elke ε > 0, er een N(ε) bestaat zodanig dat ||am - α|| < ε voor m ≥ N(ε) . * Een rij (am) convergeert naar α als en slechts dan als elke component rik convergeert naar de overeenkomstige component van α . * Een rij in Rn is convergent als en slechts dan als het een Cauchy-rij is . * Elke begrensde rij in Rn bezit een convergente deelrij (Bolzano-Weierstrass) . ### Limieten en continuïteit #### Kernconcepten Limieten * Een punt a is een ophopingspunt van S als elke δ-omgeving van a ten minste één punt van S, verschillend van a, bevat . - lim(x→a) f(x) = L indien voor elke ε > 0, er een δ(ε) > 0 bestaat zodat 0 < ||x - a|| < δ(ε) ⇒ |f(x) - L| < ε * De limiet van een functie in een punt is onafhankelijk van de naderingsrichting . * Limieten van scalaire functies voldoen aan eigenschappen voor optelling, vermenigvuldiging en deling (indien de noemerlimiet niet nul is) . * De limiet van f(x,y) = x²y² / (x² + y²) als (x,y) → (0,0) is 0 . * De limiet van g(x,y) = xy / (x² + y²) als (x,y) → (0,0) bestaat niet . #### Kernconcepten Continuïteit ### Uitbreiding tot vectorfuncties #### Kernconcepten Vectorfuncties --- ## Differentieerbaarheid van scalaire functies van meerdere variabelen ### Partiële en richtingsafgeleiden * De richtingsafgeleide van $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ in $\vec{a}$ volgens eenheidsvector $\vec{u}$ is $\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(\vec{a}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\vec{a} + h\vec{u}) - f(\vec{a})}{h}$ . * De partiële afgeleide naar de $k$-de variabele in $\vec{a}$ is de richtingsafgeleide langs $\vec{e}_k$: $D_k f(\vec{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_k}(\vec{a})$ . * Dit is equivalent aan het nemen van de gewone afgeleide van $f$ naar $x_k$ met andere variabelen vast: $D_k f(\vec{a}) = \frac{d}{dx_k} f(a_1, \dots, x_k, \dots, a_n) \Big|_{x_k=a_k}$ . * De gradiënt van $f$ in $\vec{a}$ is de vector van alle partiële afgeleiden: $\nabla f(\vec{a}) = (D_1 f(\vec{a}), \dots, D_n f(\vec{a}))$ . * Partiële afgeleiden worden berekend door alle variabelen behalve één vast te houden . * Het bestaan van partiële afgeleiden impliceert niet noodzakelijk continuïteit . ### Differentieerbare functies * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is differentieerbaar in $\vec{a}$ indien er een $\vec{A} \in \mathbb{R}^n$ en $\lambda: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ met $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \lambda(\vec{x}) = 0$ bestaat zodat $f(\vec{x}) - f(\vec{a}) = (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{A} + \lambda(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{a}\|$ . * Als $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, dan is $f$ continu in $\vec{a}$ . * Als $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, dan is $\vec{A} = \nabla f(\vec{a})$ . * Als $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, dan is de richtingsafgeleide $\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(\vec{a}) = \nabla f(\vec{a}) \cdot \vec{u}$ . * Als alle partiële afgeleiden van $f$ bestaan in een omgeving van $\vec{a}$ en continu zijn in $\vec{a}$, dan is $f$ differentieerbaar in $\vec{a}$ . * $f \in C^1(\Omega)$ betekent dat $f$ continu differentieerbaar is in de open verzameling $\Omega$ . ### Hogere-orde afgeleiden * Partiële afgeleiden van de tweede orde zijn $D_j(D_k f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}$ . * $f \in C^p(\Omega)$ betekent dat $f$ $p$ maal continu differentieerbaar is in $\Omega$ . * Stelling van Schwarz: Als $f \in C^2(\Omega)$, dan $D_{12} f = D_{21} f$ in $\Omega$ . * Voor functies in $C^p(\Omega)$, is de volgorde van partiële afleidingen onbelangrijk. ### Formule van Taylor * Met notatie $( \vec{h} \cdot \nabla )^k f$ voor een compacte uitdrukking van hogere-orde afgeleiden . * Taylor's formule met restterm van de derde orde: $f(\vec{a} + \vec{h}) = f(\vec{a}) + (\vec{h} \cdot \nabla) f(\vec{a}) + \frac{1}{2!}(\vec{h} \cdot \nabla)^2 f(\vec{a}) + \frac{1}{3!}(\vec{h} \cdot \nabla)^3 f(\vec{a} + \theta\vec{h})$ . * De restterm kan worden afgeschat: $\left| \frac{1}{3!}(\vec{h} \cdot \nabla)^3 f(\vec{a} + \theta\vec{h}) \right| \leq M \|\vec{h}\|^3$ . --- ## Extremumonderzoek ### Definities van extrema * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een **absoluut maximum** in $\vec{a}$ als $f(\vec{x}) \le f(\vec{a})$ voor alle $\vec{x}$ in het domein van $f$ . * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een **absoluut minimum** in $\vec{a}$ als $f(\vec{x}) \ge f(\vec{a})$ voor alle $\vec{x}$ in het domein van $f$ . * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een **lokaal maximum** in $\vec{a}$ als er een $\delta > 0$ bestaat zodanig dat $f(\vec{x}) \le f(\vec{a})$ voor alle $\vec{x}$ in de omgeving $B(\vec{a}; \delta)$ . * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een **lokaal minimum** in $\vec{a}$ als er een $\delta > 0$ bestaat zodanig dat $f(\vec{x}) \ge f(\vec{a})$ voor alle $\vec{x}$ in de omgeving $B(\vec{a}; \delta)$ . * Een **extremum** verwijst naar zowel maxima als minima, absoluut of lokaal . ### Noodzakelijke voorwaarde voor extrema * Als een differentieerbare functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ een lokaal extremum bereikt in een inwendig punt $\vec{a}$ van haar domein, dan is de gradiënt van $f$ in $\vec{a}$ de nulvector: $\nabla f(\vec{a}) = \vec{0}$ . * **Kritische punten** van $f$ zijn inwendige punten van dom($f$) waar $f$ differentieerbaar is en $\nabla f = \vec{0}$ . * Een **zadelpunt** is een kritisch punt $\vec{a}$ waar elke omgeving punten $\vec{x}$ bevat met $f(\vec{x}) < f(\vec{a})$ en andere punten $\vec{x}$ met $f(\vec{x}) > f(\vec{a})$ . ### Differentiële criteria voor extrema in open verzamelingen * De **kwadratische vorm** geassocieerd met tweede-orde partiële afgeleiden van $f \in C^2(\Omega)$ is $\Phi(\vec{h}) = (\vec{h} \cdot \nabla)^2 f(\vec{a})$ . * Als $f \in C^3(\Omega)$ en $\vec{a}$ is een kritisch punt met $\Phi(\vec{h}) < 0$ voor alle $\vec{h} \ne \vec{0}$, dan bereikt $f$ een lokaal maximum in $\vec{a}$ . * Als $f \in C^3(\Omega)$ en $\vec{a}$ is een kritisch punt met $\Phi(\vec{h}) > 0$ voor alle $\vec{h} \ne \vec{0}$, dan bereikt $f$ een lokaal minimum in $\vec{a}$ . * Als $f \in C^3(\Omega)$ en $\vec{a}$ is een kritisch punt waar $\Phi(\vec{h})$ zowel positieve als negatieve waarden aanneemt, dan is $\vec{a}$ een zadelpunt . * De kwadratische vorm kan geassocieerd worden met een matrix $A$ (Hessiaan) . * Als $A$ positief definiet is, is er een lokaal minimum . * Als $A$ negatief definiet is, is er een lokaal maximum . * Als $A$ indefiniet is, is er een zadelpunt . * Als $A$ semi-definiet is, is er geen besluit mogelijk met deze test . * Voor $n=2$, met de discriminant $\triangle = [D_{12}f]^2 - D_{11}f D_{22}f$ in een kritisch punt: * Als $\triangle < 0$ en $D_{11}f > 0$: lokaal minimum . * Als $\triangle < 0$ en $D_{11}f < 0$: lokaal maximum . * Als $\triangle > 0$: zadelpunt . * Als $\triangle = 0$: geen besluit mogelijk uit de stelling . ### Extremumonderzoek in niet-open verzamelingen * Voor continue functies op compacte verzamelingen garandeert de stelling van Weierstrass het bestaan van absolute extrema . * De aanpak omvat: - 1 --- # Vectoren en vectorbewerkingen ### Kernidee * Vrije vectoren zijn equipollente puntenkoppels, gekenmerkt door richting, zin en norm, niet door een vaste positie [13](#page=13) [14](#page=14). * De verzameling van vrije vectoren vormt een lineaire ruimte over de reële getallen [16](#page=16) [18](#page=18). ### Belangrijke feiten * Equipollente puntenkoppels definiëren dezelfde vrije vector [13](#page=13). * Vrije vectoren hebben een richting, zin en norm, maar geen vaste positie [14](#page=14). * De nulvector is de enige vector zonder richting en zin [14](#page=14). * De norm van een vector is de afstand tussen twee punten die een representant bepalen [14](#page=14). * Een eenheidsvector heeft een norm van 1 [14](#page=14). * Translatie is een permutatie van de puntenruimte, gedefinieerd door een vector [15](#page=15). * Vectoren zijn invariant onder translaties [15](#page=15). * Vectoroptelling correspondeert met de samenstelling van translaties [15](#page=15). * Scalaire vermenigvuldiging $s\vec{v}$ is parallel aan $\vec{v}$, heeft dezelfde zin bij $s > 0$, tegengestelde zin bij $s < 0$, en norm $|s| \cdot \|\vec{v}\|$ [16](#page=16). * De verhouding van parallelle vectoren $\frac{\vec{v}}{\vec{w}}$ wordt gedefinieerd door $\vec{v} = s\vec{w}$ [16](#page=16). * Parallelprojecties behouden equipollentie van puntenkoppels [17](#page=17). * Drie lineair onafhankelijke vectoren vormen een basis voor de driedimensionale vectorruimte V [20](#page=20). ### Kernconcepten * **Vector**: Een klasse van equipollente puntenkoppels, bepaald door richting, zin en norm [13](#page=13) [14](#page=14). * **Norm (∥v∥)**: De lengte van een vector [14](#page=14). * **Translatie (T⃗u)**: Een beweging van elk punt in de ruimte met vector ⃗u [15](#page=15). * **Vectoroptelling (⃗v + ⃗w)**: De resulterende vector van twee op elkaar aansluitende representanten (P,Q) en (Q,R) is (P,R) [15](#page=15). * **Scalaire vermenigvuldiging (s⃗v)**: Vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal [16](#page=16). * **Lineaire combinatie**: Een vector gevormd door de som van geschaalde vectoren: $\vec{v} = s_1\vec{v}_1 + \dots + s_n\vec{v}_n$ [18](#page=18). * **Lineaire afhankelijkheid**: Een stel vectoren waarbij één vector een lineaire combinatie is van de anderen [18](#page=18). * **Basis**: Een stel lineair onafhankelijke en voortbrengende vectoren voor een lineaire ruimte [18](#page=18). * **Dimensie**: Het aantal elementen in een basis van een vectorruimte [18](#page=18). ### Implicaties * Vectoren maken het mogelijk meetkundige objecten algebraïsch te beschrijven [13](#page=13). * Vectorbewerkingen (optelling, scalair vermenigvuldigen) hebben eigenschappen die een lineaire ruimte vormen [15](#page=15) [16](#page=16). --- # De ruimte V als driedimensionale vectorruimte ### Kernidee * De ruimte V der vrije vectoren is een driedimensionale lineaire ruimte over R [20](#page=20). * Elk stel van drie lineair onafhankelijke vectoren vormt een basis van V [20](#page=20). ### Sleutelbegrippen * Een ééndimensionale deelruimte van V bestaat uit de nulvector en alle vectoren parallel met een gegeven rechte a [19](#page=19). * Een tweedimensionale deelruimte van V bestaat uit de nulvector en alle vectoren parallel met een gegeven vlak α [20](#page=20). * Twee vectoren in V zijn lineair onafhankelijk indien ze niet parallel zijn en beide verschillend van de nulvector [19](#page=19). * Drie vectoren in V zijn lineair onafhankelijk indien ze niet parallel zijn met eenzelfde vlak en alle verschillend van de nulvector [20](#page=20). * Vier of meer vrije vectoren zijn altijd lineair afhankelijk [21](#page=21). * Een geordende basis (⃗e1, ⃗e2, ⃗e3) in V maakt dat de kentallen (s1, s2, s3) van een vector ⃗v uniek zijn [21](#page=21). * Een vector ⃗v met kentallen (s1, s2, s3) kan worden geïdentificeerd met een kolommatrix s1s2s3 [21](#page=21). * Een verandering van basis in V (kentallentransformatie) wordt gerepresenteerd door een (3×3)-matrix A, waarbij de j-de kolom de kentallen van de nieuwe basisvector ⃗e′j bevat t.o.v. de oude basis [21](#page=21). * De relatie tussen oude en nieuwe kentallen is s = As′, waarbij s′ de nieuwe kentallen zijn [21](#page=21). * Om de nieuwe kentallen uit te drukken in functie van de oude kentallen geldt s′ = Bs, met B = A⁻¹ [22](#page=22). ### Scalair product * Twee vectoren ⃗v en ⃗w zijn orthogonaal (⃗v ⊥ ⃗w) als hun ingesloten hoek gelijk is aan π/2 [22](#page=22). * Een stel van twee aan twee orthogonale vectoren is automatisch lineair onafhankelijk [22](#page=22). * De loodlijn door P op een vlak α heeft een richtingsvector die orthogonaal is met alle vectoren in het vlak [22](#page=22). * De orthogonale projectie op een vlak is een bijzondere parallelprojectie [23](#page=23). * Het scalair product ⃗v ·⃗w is ∥⃗v∥∥⃗w∥cos(d⃗v,⃗w) voor niet-nul vectoren, en 0 als een van de vectoren de nulvector is [23](#page=23). * ⃗v ·⃗w = 0 betekent dat ⃗v =⃗0, ⃗w =⃗0, of ⃗v ⊥ ⃗w [23](#page=23). * Een orthonormale basis (⃗e1, ⃗e2, ⃗e3) bestaat uit basisvectoren die twee aan twee orthogonaal zijn en eenheidsvectoren [24](#page=24). * Voor een orthonormale basis geldt ⃗v ·⃗w = v1w1 + v2w2 + v3w3, met (v1,v2,v3) en (w1,w2,w3) de kentallen van ⃗v en ⃗w [24](#page=24). * De norm van een vector ⃗v met kentallen (v1,v2,v3) is ∥⃗v∥ = qv21 + v22 + v23 [24](#page=24). * Richtingscosinussen cosα, cosβ, cosγ voor ⃗v t.o.v. de basis (⃗e1, ⃗e2, ⃗e3) voldoen aan cos²α + cos²β + cos²γ = 1 [25](#page=25). ### Vectorieel product * Het vectorieel product ⃗v ×⃗w is ⃗0 indien ⃗v =⃗0, ⃗w =⃗0, of ⃗v en ⃗w parallel zijn [26](#page=26). * Voor niet-parallelle vectoren geldt: ⃗v ×⃗w is orthogonaal op ⃗v en ⃗w, (⃗v,⃗w,⃗v ×⃗w) vormt een rechtshandige basis, en ∥⃗v ×⃗w∥ = ∥⃗v∥∥⃗w∥sin(d⃗v,⃗w) [26](#page=26). * De norm ∥⃗v×⃗w∥ is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door ⃗v en ⃗w [26](#page=26). ### Gemengd product --- ## Het compleet geordend veld der reële getallen ### Belangrijke eigenschappen van supremum en infimum * Een reëel getal $\xi$ is het supremum van een niet-ledige verzameling $S \subset \mathbb{R}$ als $s \le \xi$ voor alle $s \in S$, en voor elke $y < \xi$ er een $s \in S$ bestaat zodat $y < s$ [39](#page=39). * Een bovengrens $\xi$ van een niet-ledige verzameling $S \subset \mathbb{R}$ is het supremum van $S$ als voor elke $\varepsilon > 0$ er een $s_\varepsilon \in S$ bestaat zodat $\xi - \varepsilon < s_\varepsilon$ [39](#page=39). * Suprema en infima van een verzameling behoren niet noodzakelijk tot die verzameling (bv. $S_2 = \{x \in \mathbb{R}: 0 < x < 1\}$) [39](#page=39). * Het volledigheidsaxioma (R11) stelt dat elke niet-ledige, naar boven begrensde verzameling reële getallen een supremum heeft [39](#page=39). * Dit impliceert dat elke niet-ledige, naar beneden begrensde verzameling reële getallen een infimum heeft [39](#page=39). * R is het compleet geordend veld der reële getallen; Q is geordend maar niet compleet [39](#page=39). ### Eigenschappen van bewerkingen met verzamelingen * Voor een niet-ledige, naar boven begrensde verzameling $S \subset \mathbb{R}$ en $a \in \mathbb{R}$, geldt $\sup(a + S) = a + \sup S$ [39](#page=39). * Als $A, B \subset \mathbb{R}$ niet-ledig zijn en $a \le b$ voor alle $a \in A, b \in B$, dan geldt $\sup A \le \inf B$ [39](#page=39). * Voor $S \subset \mathbb{R}$ begrensd, $a > 0$, $b < 0$, en $aS = \{as : s \in S\}$: * $\inf(aS) = a \inf S$ en $\sup(aS) = a \sup S$ [39](#page=39). * $\inf(bS) = b \sup S$ en $\sup(bS) = b \inf S$ [39](#page=39). * Voor begrensde niet-ledige verzamelingen $A, B \subset \mathbb{R}$ met $A+B = \{a+b: a \in A, b \in B\}$, geldt $\sup(A+B) = \sup A + \sup B$ en $\inf(A+B) = \inf A + \inf B$ [39](#page=39). ## Het archimedisch karakter van de reële getallen ### Stellingen en gevolgen * R is archimedisch: voor elk $x \in \mathbb{R}$ bestaat er een $n \in \mathbb{N}$ zodat $n > x$ [40](#page=40). * Het infimum van $\{ \frac{1}{n}: n \in \mathbb{N} \}$ is nul [40](#page=40). * Voor elk $x > 0$ bestaat er een $n \in \mathbb{N}$ zodat $0 < \frac{1}{n} < x$ [40](#page=40). * Voor elk $x > 0$ bestaat er een $n \in \mathbb{N}$ zodat $n-1 \le x < n$ [40](#page=40). * Dichtheid van Q: voor $x < y$ bestaan er steeds een $r \in \mathbb{Q}$ zodat $x < r < y$ [40](#page=40). * Dichtheid van irrationale getallen: voor $x < y$ bestaan er steeds een $z \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ zodat $x < z < y$ [40](#page=40). ## Intervallen ### Definitie en karakterisering * Intervallen zijn deelverzamelingen van $\mathbb{R}$ zoals open $]a,b[$, gesloten $[a,b]$, en half-open $[a,b[$ of $]a,b]$ [40](#page=40). * Onbegrensde intervallen omvatten $]a, \infty[$, $[a, \infty[$, $]-\infty, b[$, $]-\infty, b]$ en $]-\infty, \infty[$ [40](#page=40). * Een verzameling $S$ is een interval als het minstens twee punten bevat en voor $x, y \in S$ met $x < y$, geldt $[x,y \subset S$ [41](#page=41). * $\infty$ en $-\infty$ zijn geen reële getallen [40](#page=40). ### Geneste intervallen * Een geneste rij intervallen $I_n$ voldoet aan $I_1 \supset I_2 \supset \dots$ [41](#page=41). * Een geneste rij gesloten en begrensde intervallen heeft ten minste één gemeenschappelijk punt [41](#page=41). * Een geneste rij gesloten en begrensde intervallen met infimum van lengtes nul heeft een uniek gemeenschappelijk punt [41](#page=41). ## Limieten en continuïteit ### Basisprincipes en bewerkingen met functies ### Limiet van functiewaarden --- # Vector operations and properties ### Kernidee * Het vectorieel product van twee vectoren resulteert in een vector die loodrecht staat op beide oorspronkelijke vectoren [27](#page=27). * Het gemengd product van drie vectoren levert een scalair op en is gerelateerd aan het volume van een parallellepipedum [28](#page=28). ### Sleutelbegrippen * **Vectorieel product:** ⃗v ×⃗w = ( v2w3 −v3w2)⃗e1 +(v3w1 −w3v1)⃗e2 +(v1w2 −v2w1)⃗e3 [27](#page=27). * **Formele notatie vectorieel product:** - $$ \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{e}_1 & v_1 & w_1 \\ \vec{e}_2 & v_2 & w_2 \\ \vec{e}_3 & v_3 & w_3 \end{vmatrix} $$ [27](#page=27) * **Eigenschappen vectorieel product:** * Anti-commutatief: ⃗u ×⃗v = −(⃗v ×⃗u) [27](#page=27). * Distributief: ⃗u ×(⃗v +⃗w) = ⃗u ×⃗v + ⃗u ×⃗w [27](#page=27). * Scalair veelvoud: (t⃗u) ×⃗v = ⃗u ×(t⃗v) = t(⃗u ×⃗v) [27](#page=27). * **Lagrange-identiteit:** ∥⃗v ×⃗w∥² = ∥⃗v∥²∥⃗w∥² −(⃗v ·⃗w)² [27](#page=27). * **Gemengd product:** (⃗u⃗v⃗w) = ⃗u ·(⃗v ×⃗w) [28](#page=28). * **Coördinaatvoorstelling gemengd product:** - $$ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{vmatrix} $$ [29](#page=29) ### Sleutelfeiten * Het vectorieel product is nul als de vectoren parallel zijn of één van hen de nulvector is [27](#page=27). * Het gemengd product is nul als de drie vectoren lineair afhankelijk zijn [28](#page=28). * Het gemengd product is positief voor een rechtshandige basis en negatief voor een linkshandige basis [28](#page=28). * De absolute waarde van het gemengd product is het volume van het parallellepipedum opgespannen door de drie vectoren [29](#page=29). * Cyclische permutatie van vectoren in het gemengd product verandert de waarde niet: (⃗u⃗v⃗w) = (⃗v⃗w⃗u) = (⃗w⃗u⃗v) [29](#page=29). * Verwisseling van twee vectoren in het gemengd product verandert het teken: (⃗u⃗v⃗w) = −(⃗u⃗w⃗v) [29](#page=29). ### Implicaties * Het vectorieel product is essentieel voor het vinden van een vector loodrecht op een gegeven vlak [27](#page=27). * Het gemengd product bepaalt de oriëntatie van een basis (rechts- of linkshandig) [28](#page=28). * Geometrische interpretatie van het gemengd product maakt volume berekeningen mogelijk [29](#page=29). ### Veelvoorkomende valkuilen * Het verwarren van de volgorde van vectoren in het vectorieel product (niet-commutatief) [27](#page=27). * Het niet correct toepassen van de coördinaatberekeningen voor vectoriële en gemengde producten [27](#page=27) [29](#page=29). * Het aannemen dat een nul vectorieel product altijd parallelle vectoren impliceert zonder de nulvector als uitzondering te beschouwen [27](#page=27). --- # Eigenschappen van reële getallen en intervallen ### Algebraïsche eigenschappen * Reële getallen (R) hebben twee binaire bewerkingen: optelling (+) en vermenigvuldiging (.) [35](#page=35). * Deze bewerkingen voldoen aan veldaxioma's (R1-R9) voor R+,. [35](#page=35). * Aftrekking is gedefinieerd als $a - b:= a + (-b)$ [36](#page=36). * Deling is gedefinieerd als $a / b:= a \cdot (1/b)$ voor $b \neq 0$ [36](#page=36). * Natuurlijke machten zijn gedefinieerd via inductie: $a^1:= a$, $a^{n+1} = (a^n) \cdot a$ [36](#page=36). * Per definitie is $a^0:= 1$ voor $a \neq 0$ [36](#page=36). * Negatieve machten zijn gedefinieerd als $a^{-n}:= 1 / a^n$ voor $a \neq 0$ en $n \in \mathbb{N}$ [36](#page=36). ### Orde-eigenschappen * Er bestaat een verzameling positieve getallen (P) die gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging [36](#page=36). * Elk reëel getal is positief, nul, of negatief (R10) [36](#page=36). * $a > 0$ betekent dat $a$ positief is; $a < 0$ betekent dat $a$ negatief is [36](#page=36). * $a > b$ betekent dat $a - b$ positief is [36](#page=36). * $a \ge b$ betekent dat $a - b$ positief of nul is [36](#page=36). * **Stelling:** Als $0 \le a < \epsilon$ voor elke $\epsilon > 0$, dan is $a = 0$ [36](#page=36). ### Absolute waarde en intervallen * Absolute waarde $|a|$ is $a$ als $a > 0$, $0$ als $a = 0$, en $-a$ als $a < 0$ [37](#page=37). * $|a| \ge 0$ voor alle $a \in R$, en $|a|=0 \iff a=0$ [37](#page=37). * **Stelling:** $|ab| = |a||b|$ [37](#page=37). * **Stelling:** $|a| \le c \iff -c \le a \le c$ [37](#page=37). * **Driehoeksongelijkheid:** $|a+b| \le |a|+|b|$ [37](#page=37). * **Gevolg:** $||a|-|b|| \le |a-b|$ [37](#page=37). * De $\epsilon$-omgeving van $a$ is $\{x \in R: |x-a| < \epsilon\} = ]a-\epsilon, a+\epsilon[$ [38](#page=38). ### Compleet geordend veld * Reële getallen vormen een compleet geordend veld [39](#page=39). * Een verzameling S is naar boven begrensd als er een bovengrens b bestaat met $s \le b$ voor alle $s \in S$ [38](#page=38). * Het supremum (sup S) is de kleinste bovengrens van S [38](#page=38). * **Axioma (R11):** Elke niet-ledige, naar boven begrensde verzameling reële getallen heeft een supremum [39](#page=39). * **Eigenschap:** sup(a + S) = a + sup S [39](#page=39). ### Intervallen --- # Definities en stellingen over limieten van functies ### Kernidee * Een limiet beschrijft het gedrag van een functie wanneer de input een bepaald punt nadert. * Het concept van een limiet is cruciaal voor het begrijpen van continuïteit en afgeleiden. ### Kernfeiten * Een ophopingspunt $c$ van $A$ betekent dat elke $\delta$-omgeving van $c$ een punt uit $A$ bevat, verschillend van $c$ [45](#page=45). * Een rij $(a_n)$ uit $A$ convergeert naar $c$ met $a_n \neq c$ voor alle $n$ als en slechts dan als $c$ een ophopingspunt van $A$ is [45](#page=45). * De definitie van $\lim_{x \to c} f(x) = L$ stelt dat voor elke $\varepsilon > 0$, er een $\delta(\varepsilon) > 0$ bestaat zodat als $x \in A$ en $0 < |x - c| < \delta(\varepsilon)$, dan $|f(x) - L| < \varepsilon$ [46](#page=46). * Een functie kan hoogstens één limiet in een punt bezitten [46](#page=46). * Een limiet bestaat als en slechts dan als de linker- en rechterlimiet bestaan en gelijk zijn [50](#page=50). * Als $\lim_{x \to c} f(x) = L$, dan is $f$ begrensd in een omgeving van $c$ [47](#page=47). ### Kernconcepten * **Beeld:** $f(A) = \{f(x): x \in A\}$ [43](#page=43). * **Inverse beeld:** $f^{-1}(B) = \{x \in \text{dom } f: f(x) \in B\}$ [44](#page=44). * **Ophopingspunt:** Een punt $c$ waar elke $\delta$-omgeving punten uit $A$ bevat, verschillend van $c$ [45](#page=45). * **Limiet van een functie:** De waarde $L$ waar de functiewaarden naartoe naderen als de input $x$ een punt $c$ nadert [46](#page=46). * **Rij-parafrazering van limiet:** $\lim_{x \to c} f(x) = L$ als en slechts dan als voor elke rij $(x_n)$ in $A$ met $x_n \neq c$ en $x_n \to c$, geldt dat $f(x_n) \to L$ [47](#page=47). * **Rechterlimiet:** $\lim_{x \to > c} f(x) = L$ of $f(c^+) = L$ [50](#page=50). * **Linkerlimiet:** $\lim_{x \to < c} f(x) = L$ of $f(c^-) = L$ [50](#page=50). * **Oneigenlijke limieten:** Streven naar $+\infty$ of $-\infty$ [51](#page=51). * **Limieten op oneindig:** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ en $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ [51](#page=51) [52](#page=52). ### Stellingen * **Uniciteit van de limiet:** Een functie kan in een punt hoogstens één limiet bezitten [46](#page=46). * **Rij-karakterisering:** Limiet via convergerende rijen in het domein [47](#page=47). * **Begrensdheid:** Indien $\lim_{x \to c} f(x) = L$, dan is $f$ begrensd in een omgeving van $c$ [47](#page=47). * **Limietstellingen voor bewerkingen:** * $\lim (\lambda f + \mu g) = \lambda L + \mu M$ [48](#page=48). * $\lim (f g) = L M$ [48](#page=48). * $\lim (f/g) = L/M$ als $M \neq 0$ [48](#page=48). * **Insluitstelling (Sandwich theorem):** Als $f(x) \le g(x) \le h(x)$ en $\lim f(x) = \lim h(x) = L$, dan $\lim g(x) = L$ [48](#page=48). ### Voorbeelden --- # continuïteit op een gesloten interval ### Kernidee * Functies continu op een gesloten interval hebben specifieke, nuttige eigenschappen [54](#page=54). * Continuïteit op een gesloten interval is een sterkere voorwaarde dan continuïteit op een open interval [54](#page=54). ### Belangrijke feiten * Een functie $f$ continu op $[a,b]$ betekent: * $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ voor elke $c \in ]a,b[$ [54](#page=54). * $\lim_{x \leftarrow b} f(x) = f(b)$ (linkerlimiet) [54](#page=54). * $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$ (rechterlimiet) [54](#page=54). * Een functie die continu is op een gesloten interval $[a,b]$ is daar ook begrensd [54](#page=54). * De verzameling waarden $f([a,b])$ van een continue functie op $[a,b]$ is zelf een gesloten begrensd interval [55](#page=55). ### Belangrijke concepten * **Stelling van Weierstraß:** Een continue functie $f$ op $[a,b]$ bereikt haar maximum en minimum op dat interval [54](#page=54). * Er bestaan $c, d \in [a,b]$ zodat $f(c) \le f(x) \le f(d)$ voor alle $x \in [a,b]$ [54](#page=54). * **Stelling van Bolzano I (Nulwaardenstelling):** Als $f$ continu is op $[a,b]$ en $f(a)$ en $f(b)$ hebben tegengestelde tekens, dan is er een $c \in ]a,b[$ waarvoor $f(c) = 0$ [55](#page=55). * **Stelling van Bolzano II (Tussenwaardestelling):** Als $f$ continu is op $[a,b]$ en $\alpha$ ligt tussen $f(a)$ en $f(b)$, dan bestaat er een $c \in ]a,b[$ waarvoor $f(c) = \alpha$ [55](#page=55). * Dit volgt direct uit Bolzano I door de functie $g(x) = f(x) - \alpha$ te beschouwen [55](#page=55). ### Implicaties * Continue functies op gesloten intervallen zijn "goed gedragen": ze zijn begrensd en nemen hun extreme waarden aan [54](#page=54). * De nulwaardenstelling en tussenwaardestelling zijn krachtige hulpmiddelen voor het vinden van oplossingen en het begrijpen van het bereik van functies [55](#page=55). * De beeldverzameling van een gesloten interval onder een continue functie is opnieuw een gesloten interval [55](#page=55). - > **Tip:** De stellingen van Weierstraß en Bolzano zijn fundamenteel voor het bewijzen van veel andere eigenschappen van continue functies op gesloten intervallen [54](#page=54) [55](#page=55) - > **Voorbeeld:** Als een thermometer continu de temperatuur meet over een tijdsinterval $[t_1, t_2]$, dan is de temperatuur op dat interval begrensd en neemt ze zowel de laagste als de hoogste - gemeten temperatuur aan [54](#page=54) --- # Definitie en eigenschappen van primitieveerbaarheid ### Kernidee * Primitiveerbaarheid is niet een lokale eigenschap, maar wordt gedefinieerd over een interval [a,b [70](#page=70). * Een functie $f$ is primitiveerbaar in $]a,b[$ als er een afleidbare functie $F$ bestaat met $F' = f$ [71](#page=71). * $F$ wordt een primitieve functie van $f$ genoemd [71](#page=71). * Als $f$ continu is op een interval $I$, dan is $f$ primitiveerbaar op $I$ [71](#page=71). ### Belangrijke feiten * Continuïteit is een voldoende, maar geen noodzakelijke voorwaarde voor primitiveerbaarheid [71](#page=71). * De functie $f(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$ voor $x \neq 0$ en $f =0$ is primitiveerbaar maar niet continu in $x=0$ [71](#page=71). * Als $F$ een primitieve is van $f$, dan zijn $F+a$ (waarbij $a$ een constante is) ook primitieven [71](#page=71). * De verzameling van alle primitieven van $f$ in $]a,b[$ wordt genoteerd als $\int f$ of $\int f(x) dx$ [71](#page=71). * Stuksgewijze continuïteit is een voldoende voorwaarde voor Riemann-integreerbaarheid [76](#page=76). ### Kernconcepten * **Primitiveerbaarheid:** Het bestaan van een functie $F$ waarvan de afgeleide gelijk is aan de gegeven functie $f$. * **Primitieve functie:** De functie $F$ die de afgeleide heeft van $f$. * **Intervalafhankelijkheid:** Primitiveerbaarheid is specifiek voor een gegeven interval [70](#page=70). * **Onafhankelijkheid van de constante:** Alle primitieven van een functie verschillen slechts door een constante [71](#page=71). * **Notatie:** De integraalsymbolen $\int f$ of $\int f(x) dx$ representeren de verzameling primitieven. ### Implicaties * Het verband tussen afgeleiden en primitieven is cruciaal voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen [70](#page=70). * Functies met dezelfde afgeleide in een interval verschillen slechts op een additieve constante na [68](#page=68). * De middelwaardestelling ligt aan de basis van de hoofdstelling van de integraalrekening [67](#page=67). * De integraal van een continue functie gedefinieerd als $F(x) = \int_a^x f$ is een primitieve van $f$ [78](#page=78). * De afgeleide van de integraal van $f$ is gelijk aan $f$ [78](#page=78). --- # Uitbreiding van het integraalbegrip tot onbegrensde functies ### Core idea * De traditionele Riemannintegraal vereist dat de functie begrensd is op het interval [a,b. * Sommige toepassingen vragen om een integraalbegrip voor onbegrensde functies, dit wordt de uitgebreide Riemannintegraal genoemd. ### Key facts * Een functie f is onbegrensd op [a,b als $\lim_{x \to b^-} f(x) = \pm \infty$ of $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ [83](#page=83). * Als f continu is op [a,b[ en $\lim_{x \to b^-} f(x) = \pm \infty$, dan is de uitgebreide integraal $\int_a^b f(x)dx$ gedefinieerd als $\lim_{c \to b^-} \int_a^c f(x)dx$ [83](#page=83). * De uitgebreide integraal kan convergeren of divergeren. * De integraal $\int_0^1 x^\beta dx$ convergeert als $\beta > -1$ en divergeert als $\beta \le -1$ [83](#page=83). * De integraal $\int_0^1 \ln(x) dx$ convergeert naar -1 [84](#page=84). ### Key concepts * **Uitgebreide Riemannintegraal:** Een integraal die gedefinieerd wordt voor onbegrensde functies door middel van limieten van Riemannintegralen over deelintervallen. * **Convergentie:** De limiet van de Riemannintegralen over deelintervallen bestaat en is eindig. * **Divergentie:** De limiet van de Riemannintegralen over deelintervallen bestaat niet of is oneindig. ### Implications * Toepassingen in de techniek vereisen soms het integreren van functies die op bepaalde punten onbegrensd zijn. * Convergentietesten zijn belangrijk om te bepalen of een uitgebreide integraal een bruikbare waarde oplevert zonder deze expliciet te berekenen. * De limiet $\lim_{x \to b^-} (b-x)^\alpha f(x) = K$ wordt gebruikt om convergentie te bepalen [84](#page=84). * De integraal convergeert als $\alpha < 1$ en $K \ge 0$ [84](#page=84). * De integraal divergeert als $\alpha \ge 1$ en $K > 0$ of $K = +\infty$ [84](#page=84). ### Example - > **Example:** Beschouw de functie $f(x) = \frac{1}{x}$ op het interval ]0,1 - De functie is onbegrensd voor $x \to 0^+$ - > $\int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{c \to 0^+} \int_c^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{c \to 0^+} [-\ln(x)]_c^1 = \lim_{c \to 0^+} (-\ln - (-\ln(c))) = \lim_{c \to 0^+} \ln(c) = -\infty$ - De integraal divergeert [1](#page=1) [83](#page=83) --- # Numerieke rijen: definitie, convergentie en standaardrijen ### Definitie van numerieke rijen * Een numerieke rij is een functie gedefinieerd op de natuurlijke getallen (N) met waarden in R of C, genoteerd als $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ of $(a_n)$ [99](#page=99). * Rijen kunnen expliciet worden gedefinieerd, bv. $a_n = \frac{1}{2n}$ [99](#page=99). * Rijen kunnen ook recurrent worden gedefinieerd, bv. Fibonacci: $a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-2} + a_{n-1}$ [100](#page=100). ### Convergentie van numerieke rijen * Een rij $(a_n)$ convergeert naar $\alpha$ als voor elke $\epsilon$-omgeving van $\alpha$, er een $N(\epsilon) \in \mathbb{N}$ bestaat zodat $| \alpha - a_n | < \epsilon$ voor alle $n \geq N(\epsilon)$ [100](#page=100). * Een convergente rij heeft een unieke limiet [100](#page=100). * De notatie voor convergentie is $(a_n) \to \alpha$ of $\lim(a_n) = \alpha$ [100](#page=100). ### Standaard numerieke rijen * $\frac{1}{n} \to 0$ [100](#page=100). * $z^n \to 0$ als $|z| < 1$ . * $x^{1/n} \to 1$ voor $x > 0$ . * $n^{1/n} \to 1$ . ### Eigenschappen van limieten van rijen * Als $(a_n) \to \alpha$ en $(b_n) \to \beta$, dan $( \lambda a_n + \mu b_n ) \to \lambda \alpha + \mu \beta$ en $(a_n b_n) \to \alpha \beta$ . * Als $(a_n) \to \alpha$ en $(c_n) \to \gamma$ met $\gamma \neq 0$ en $c_n \neq 0$, dan $\frac{a_n}{c_n} \to \frac{\alpha}{\gamma}$ . * Als $(a_n) \to \alpha$, dan $(|a_n|) \to |\alpha|$ . ### Rijen van reële getallen en monotonie * Een rij is begrensd als de verzameling van haar termen naar boven en beneden begrensd is . * Een convergente rij van reële getallen is begrensd . * Een rij is stijgend (an ≤ an+1) of dalend (an ≥ an+1) . * Een monotoon en begrensde rij van reële getallen is convergent . * Het gedrag van een rij hangt af van haar "staart" (eindig aantal termen heeft geen invloed) . * De rij $a_n = 1 + \frac{1}{2} +... + \frac{1}{n}$ divergeert . * De rij $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ convergeert naar $e$ . ### Limes superior en limes inferior * Voor een begrensde rij $(a_n)$: * $\limsup(a_n) = \lim(\sup\{a_k: k \geq n\})$ . * $\liminf(a_n) = \lim(\inf\{a_k: k \geq n\})$ . * Een rij convergeert als en slechts dan als $\limsup(a_n) = \liminf(a_n)$ . * Stelling van Bolzano-Weierstraß: Elke begrensde rij van reële getallen heeft een convergente deelrij . ### De symbolen $+\infty$ en $-\infty$ --- ### Functierijen: puntsgewijze en uniforme convergentie * Een functierij $(f_n)$ in een verzameling $A$ bestaat uit functies $f_n: A \to \mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ . * Een functierij convergeert puntsgewijs in $A$ als voor elke $x \in A$ de numerieke rij $(f_n(x))$ convergeert . * De limietfunctie $f(x):= \lim_{n\to\infty} f_n(x)$ wordt gedefinieerd door de limieten van de functiewaarden . * Een functierij $(f_n)$ convergeert uniform op $A$ naar $f$ als $\sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ voor $n > N(\epsilon)$ . * Uniforme convergentie impliceert puntsgewijze convergentie, maar niet omgekeerd . * Noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor uniforme convergentie: voor elke $\epsilon > 0$, er bestaat een $N(\epsilon)$ zodanig dat voor $m, n > N(\epsilon)$, $\sup_{x \in A} |f_m(x) - f_n(x)| < \epsilon$ . ### Eigenschappen van limietfuncties * Als $(f_n)$ uniform op $A$ convergeert naar $f$ en alle $f_n$ continu zijn op $A$, dan is $f$ continu op $A$ . * Als $(f_n)$ uniform op $[a,b]$ convergeert naar $f$ en alle $f_n$ integreerbaar zijn over $[a,b]$, dan is $f$ integreerbaar en $\int_a^b f = \lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n$ . * Als $(f_n)$ puntsgewijs in $[a,b]$ convergeert naar $f$, alle $f_n$ en $f$ integreerbaar zijn, en $|f_n(x)| \le M$ voor alle $n, x$, dan $\int_a^b f = \lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n$ . * Als $(f_n)$ puntsgewijs convergeert naar $f$ op $[a,b]$, alle $f'_n$ continu zijn op $[a,b]$, en $(f'_n)$ uniform op $[a,b]$ convergeert naar $g$, dan is $f$ afleidbaar met $f'(x) = g(x)$ . - Als alle $f_n$ afleidbaar zijn in $[a,b]$, $(f'_n)$ uniform convergeert naar $g$ op $[a,b]$, en $(f_n(x_0))$ convergeert voor een $x_0 \in [a,b]$, dan convergeert $(f_n)$ uniform naar een afleidbare functie $f$ met ### Functiereeksen * Een functiereeks $\sum f_n$ convergeert puntsgewijs naar $f$ als de rij van partieelsommen $(s_n)$ puntsgewijs convergeert naar $f$ . * Een functiereeks $\sum f_n$ convergeert uniform naar $f$ als $(s_n)$ uniform convergeert naar $f$ . * Uniforme convergentie van een functiereeks impliceert puntsgewijze convergentie . * Als $\sum |f_n|$ convergeert, dan convergeert $\sum f_n$ absoluut . * De eigenschappen van de reekssomfunctie volgen uit de eigenschappen van de rij van partieelsommen . * M-test van Weierstraß: Als $\sup_{x \in A} |f_n(x)| \le M_n$ en $\sum M_n$ convergeert, dan convergeert $\sum f_n$ uniform op $A$ . ### Positieve machtenreeksen (PMR) * Een PMR heeft de vorm $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$. * De convergentiestraal $R$ wordt bepaald door $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$, met $R = 1/\rho$ (indien $0 < \rho < \infty$), $R=0$ (indien $\rho=\infty$), en $R=\infty$ (indien $\rho=0$) . * Een PMR convergeert absoluut in de open schijf $|z-z_0| < R$ en divergeert voor $|z-z_0| > R$ . * De convergentie op de cirkel $|z-z_0| = R$ is onvoorspelbaar . * Een PMR convergeert uniform op elk gesloten en begrensd deel $K$ van de schijf $|z-z_0| < R$ . * De reekssomfunctie van een PMR is continu in de open convergentieschijf . * Een PMR kan termsgewijs worden afgeleid, met behoud van de convergentiestraal: $f^{(k)}(z) = \sum_{n=k}^\infty n!/(n-k)! a_n (z-z_0)^{n-k}$ . * $f^{(k)}(z_0) = k! a_k$ . ### Negatieve machtenreeksen (NMR) --- # Absolute en betrekkelijke convergentie van reeksen ### Core idea * Een reeks ∑an convergeert absoluut als de reeks van de absolute waarden ∑|an| convergeert . * Een reeks ∑an convergeert betrekkelijk als de reeks zelf convergeert, maar ∑|an| divergeert . * Absolute convergentie impliceert convergentie van de oorspronkelijke reeks . ### Key facts * Het Criterium van Cauchy stelt dat ∑an convergeert als |an+1 +an+2 +...+am| < ε voor m > n > M(ε) . * Als ∑an absoluut convergeert, dan convergeert ∑an . * De Worteltest (Gevolg 7.7.4): Als $|a_n|^{1/n} \to r$, dan is ∑an absoluut convergent voor $r < 1$ en divergent voor $r > 1$ . * De d’Alembert test (Gevolg 7.7.6): Als $|a_{n+1}|/|a_n| \to r$, dan is ∑an absoluut convergent voor $r < 1$ en divergent voor $r > 1$ . * De Leibniz test: Een alternerende reeks ∑(−1)n+1un convergeert als un een dalende rij van positieve getallen is die naar 0 convergeert . ### Key concepts * **Absolute convergentie**: Convergentie van de reeks van de moduli . * **Betrekkelijke convergentie**: Convergentie van de reeks zelf, maar divergentie van de reeks van de moduli . * **Criterium van Cauchy**: Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor convergentie van een reeks . * **Worteltest**: Gebruikt de n-de machtswortel van de absolute waarde van de termen om absolute convergentie te bepalen . * **d’Alembert test**: Gebruikt de verhouding van opeenvolgende termen om absolute convergentie te bepalen . * **Leibniz test**: Specifiek voor alternerende reeksen . ### Implications * Absolute convergentie is een sterkere vorm van convergentie dan gewone convergentie . * Als een reeks absoluut convergeert, garandeert dit de convergentie van de reeks zelf . * De wortel- en d’Alembert tests zijn krachtige methoden om de absolute convergentie van reeksen te onderzoeken . ### Examples * De reeks $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ convergeert absoluut . * De reeks $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ convergeert betrekkelijk (convergent, maar niet absoluut convergent) . - > **Tip:** Als je twijfelt of een reeks convergeert, probeer dan eerst de absolute convergentie te bewijzen - Als dat lukt, is de reeks zeker convergent --- # Functierijen en uniforme convergentie ### Kernidee * Een functierij is een verzameling functies $(f_n)$ gedefinieerd op een verzameling $A$ . * Punsgewijze convergentie betekent dat voor elke $x \in A$, de rij functiewaarden $(f_n(x))$ convergeert . * De limietfunctie $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ ontstaat door de limieten van de punsgewijze convergente rijen te nemen . * Uniforme convergentie vereist dat de limiet niet afhangt van het specifieke punt $x$ . ### Kernfeiten * Punsgewijze convergentie: $\forall x \in A, \forall \epsilon > 0, \exists N(\epsilon, x)$ zodat $n > N(\epsilon, x) \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ . * Uniforme convergentie: $\forall \epsilon > 0, \exists N(\epsilon)$ zodat $n > N(\epsilon) \implies \sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ . * Uniforme convergentie impliceert punsgewijze convergentie, maar niet omgekeerd . * Noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor uniforme convergentie: $\forall \epsilon > 0, \exists N(\epsilon)$ zodat $m, n > N(\epsilon) \implies \sup_{x \in A} |f_m(x) - f_n(x)| < \epsilon$ . ### Kernconcepten * Limietfunctie: De functie $f$ die de punsgewijze limiet is van de functierij $(f_n)$ . * Punsgewijze convergentie: Convergentie in elk punt afzonderlijk . * Uniforme convergentie: Convergentie die gelijkmatig is over de gehele verzameling . ### Implicaties * Als $(f_n)$ uniform convergeert naar $f$ en alle $f_n$ continu zijn in $A$, dan is $f$ continu in $A$ . * Als $(f_n)$ uniform convergeert op $[a,b]$ naar $f$ en alle $f_n$ integreerbaar zijn, dan is $f$ integreerbaar en $\int_a^b f = \lim \int_a^b f_n$ . * Als $(f_n)$ punsgewijze convergeert naar $f$, alle $f_n$ en $f$ integreerbaar zijn op $[a,b]$, en er een uniforme bovengrens $M$ bestaat, dan $\int_a^b f = \lim \int_a^b f_n$ . * Als $(f_n)$ punsgewijze convergeert naar $f$, de afgeleiden $(f'_n)$ continu zijn en $(f'_n)$ uniform convergeert naar $g$, dan is $f$ afleidbaar en $f' = g$ . ### Voorbeelden * De rij $f_n(x) = x^n$ op $]-1,1]$ convergeert puntsgewijs naar $f(x) = 0$ voor $x \in ]-1,1[$ en $f =1$, maar niet uniform op $]-1,1]$ [1](#page=1). * De rij $g_n(x) = \frac{1}{n}\sin(nx+n)$ op $\mathbb{R}$ convergeert uniform naar $0$ . * De rij $f_n(x)$ gedefinieerd voor $n \ge 2$ op $ $ convergeert puntsgewijs naar $0$, maar $\lim \int_0^1 f_n(x) dx \ne \int_0^1 \lim f_n(x) dx$ [1](#page=1). --- # Positieve machtenreeksen en hun eigenschappen ### Kernidee * Positieve machtenreeksen (PMR's) zijn specifieke functiereeksen van de vorm $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ . * Een PMR kan een analytische functie definiëren binnen zijn convergentiegebied . ### Belangrijke feiten * De convergentiestraal $R$ van een PMR wordt bepaald door $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$ . * $R=0$ als $\rho = +\infty$, $R = 1/\rho$ als $0 < \rho < +\infty$, en $R=+\infty$ als $\rho = 0$ . * De PMR convergeert absoluut in de open schijf $|z-z_0| < R$ en divergeert voor $|z-z_0| > R$ . * Een PMR convergeert uniform op elk gesloten en begrensd deel $K$ van de open convergentieschijf . * De reekssomfunctie van een PMR is continu in de open convergentieschijf . * Een PMR kan termgewijs worden afgeleid, met behoud van dezelfde convergentiestraal . * Als $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$, dan is $f^{(k)}(z_0) = k! a_k$ . ### Belangrijke concepten * **Positieve machtenreeks (PMR):** $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ . * **Convergentiestraal ($R$):** De straal van de schijf waarin een PMR convergeert . * **Analytische (holomorfe) functie:** Een functie die lokaal kan worden voorgesteld door een PMR met $R>0$ . * **Reëel-analytische functie:** Een functie die lokaal op de reële as kan worden voorgesteld door een PMR . * **Stelling van Cauchy-Hadamard:** Definieert de convergentiestraal $R$ . * **Stelling van Cauchy-Kowalevskaia:** Relateert reëel-analytische functies aan analytische functies in het complexe vlak . ### Implicaties * Analytische functies hebben afgeleiden van alle orden . * De som van twee PMR's is een PMR met coëfficiënten $a_n+b_n$ in de doorsnede van hun convergentieschijven . * Het product van twee PMR's is een PMR met coëfficiënten $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ in de doorsnede . * Onbeperkte afleidbaarheid garandeert niet reëel-analyticiteit (voorbeeld: $f(x) = e^{-1/x^2}$ bij $x=0$) . ### Voorbeelden * $\sum_{n=0}^\infty n! z^n$ heeft $R=0$ . * $\sum_{n=0}^\infty z^n$ heeft $R=1$ . * $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} z^n$ (exponentiële functie) heeft $R=+\infty$ . --- # Negatieve machtenreeksen en singulariteiten ### Kernidee * Negatieve machtenreeksen (NMR's) gedragen zich analoog aan positieve machtenreeksen, maar in gebieden verkregen na inversie, wat leidt tot singulariteiten bij functies . * Een functie met een singulariteit in $z_0$ kan worden ontbonden in een deel dat holomorf is nabij $z_0$ en een deel dat een NMR is in $(z-z_0)$ . ### Belangrijke feiten * Een NMR omheen $z_0$ is van de vorm $\sum_{n=1}^\infty b_n \frac{1}{(z-z_0)^n}$ . * De straal van convergentie $\rho$ voor een NMR wordt gedefinieerd als $\rho:= \limsup_{n \to \infty} |b_n|^{1/n}$ . * Als de rij $|b_n|^{1/n}$ niet begrensd is, stelt men $\rho = +\infty$ (symbolisch) . * Een NMR convergeert absoluut in $\{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| > \rho\}$ . * Een NMR convergeert uniform op elk gesloten en begrensd deel van $\{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| > \rho\}$ . * De somfunctie van een NMR is holomorf in het convergentiegebied $\{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| > \rho\}$ . * Voor de NMR $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z^n}$ geldt $\rho = 1$ en convergentie in $\{z \in \mathbb{C}: |z| > 1\}$ . * Voor de NMR $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! z^n}$ geldt $\rho = 0$ en convergentie in $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ . * De functie $\exp(-\frac{1}{z^2})$ heeft een essentiële singulariteit in $z=0$ . * De functie $\exp(\frac{1}{z})$ heeft een essentiële singulariteit in $z=0$ . ### Belangrijke concepten * **Negatieve machtenreeks (NMR):** Een machtreeks met termen van de vorm $\frac{1}{(z-z_0)^n}$ . * **Singulariteit:** Een punt $z_0$ waar een functie $f(z)$ niet analytisch is, maar wel analytisch in een omringende ringvormige regio $0 < |z-z_0| < R$ . * **Pool:** Een singulariteit waar de NMR afbreekt (eindig aantal termen) . * **Essentiële singulariteit:** Een singulariteit waar de NMR niet afbreekt . * **Multipliciteit van een pool:** De graad $k$ waarin de factor $(z-z_j)$ in de noemer van een rationale functie voorkomt . ### Implicaties * Functies die analytisch zijn op $\mathbb{C}$ behalve op geïsoleerde punten, kunnen worden geanalyseerd met behulp van NMR's . * Rationale functies, $f(z) = \frac{P_m(z)}{Q_n(z)}$, vertonen polen in de nulpunten van de noemer $Q_n(z)$ . * De graad van de noemer van een rationale functie bepaalt het maximale aantal polen dat de functie kan hebben . * Een functie kan verschillende soorten singulariteiten hebben (bv. pool van een bepaalde multipliciteit of essentiële singulariteit) . ### Voorbeelden - > **Voorbeeld:** De functie $f(z) = \frac{1}{z-1}$ heeft een afgebroken NMR en een pool in $z=1$ - > **Voorbeeld:** De functie $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$ heeft polen in $z=i$ en $z=-i$ - > **Voorbeeld:** De functie $\frac{z}{(z-1)(z-2)^2(z-3)^3}$ heeft een enkelvoudige pool in $z=1$, een pool van orde 2 in $z=2$, en een pool van orde 3 in $z=3$ --- # Elementaire functies ### Natuurlijke machten en hun inverse - Functies $x^n$ met $n \in \mathbb{N}$ zijn gedefinieerd, continu en afleidbaar op $]-\infty, +\infty[$ . - $x^1:= x$, $x^n:= x \cdot x^{n-1}$ . - Waardengebied is $]-\infty, +\infty[$ voor oneven $n$, en $[0, +\infty[$ voor even $n$ . - Voor oneven $n$ is $x^n$ strikt stijgend; inverse is $x^{1/n}$, gedefinieerd en continu op $]-\infty, +\infty[$ . - Voor even $n$, $x^n$ is strikt stijgend op $[0, +\infty[$; inverse is $x^{1/n}$, gedefinieerd en continu op $[0, +\infty[$ . ### Gehele machten en hun inverse - $x^0:= 1$ . - Voor negatieve gehele exponent: $x^{-n}:= \frac{1}{x^n}$, $n \in \mathbb{N}$, $x \neq 0$ . - Functies $x^{-n}$ zijn continu en afleidbaar op $]-\infty, 0[$ en $]0, +\infty[$ . - Inverse van $x^{-n}$ (oneven $n$) is $x^{-1/n}$, gedefinieerd en continu op $]-\infty, 0[$ en $]0, +\infty[$ . - Inverse van $x^{-n}$ (even $n$) is $x^{-1/n}$, gedefinieerd en continu op $]0, +\infty[$ . ### Rationale machten en hun inverse - $x^{p/q}:= (x^p)^{1/q} = (x^{1/q})^p$ voor onderling ondeelbare $p, q \in \mathbb{N}$, $q \neq 1$ . - Voor oneven $q$, $x^{p/q}$ is gedefinieerd en continu op $]-\infty, +\infty[$ . - Voor even $q$, $x^{p/q}$ is gedefinieerd en continu op $]0, +\infty[$ . - $x^{-p/q} = \frac{1}{x^{p/q}}$ . ### Veeltermfuncties - Veeltermfunctie van graad $n$: $a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$, $a_n \neq 0$ . - Gedefinieerd, continu en afleidbaar op $]-\infty, +\infty[$ . ### Rationale functies - Quotiënt van twee veeltermfuncties . - Gedefinieerd, continu en afleidbaar op open intervallen zonder nulpunten van de noemer . ### Exponentiële en logaritmische functies - Exponentiële functie: $\exp(z):= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ voor $z \in \mathbb{C}$ . - Reële exponentiële functie: $\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ voor $x \in \mathbb{R}$ . - $\frac{d}{dx} \exp(x) = \exp(x)$ . - Belangrijke eigenschappen: $\exp = 1$, $\exp = e$, $\exp(z_1)\exp(z_2) = \exp(z_1 + z_2)$ [1](#page=1). - $\exp(x) > 0$ voor alle $x \in \mathbb{R}$ . - Natuurlijke logaritme: $\ln x$ is de inverse van $\exp(x)$ . - $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $\ln(x_1 x_2) = \ln x_1 + \ln x_2$ voor $x_1, x_2 > 0$ . ### Veralgemeende exponentiële functie ### Circulaire functies --- # De n-dimensionale reële ruimte Rn ### Kernidee * Rn is de verzameling van geordende n-tallen $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ met $x_k \in \mathbb{R}$ . * Rn is een n-dimensionale lineaire ruimte over R met standaard optelling en scalarvermenigvuldiging . * Rn kan worden voorzien van een scalair product en een bijbehorende norm, waardoor het een genormeerde ruimte wordt . ### Belangrijke feiten * Voor $n=2$ wordt Rn geïdentificeerd met het vlak, voor $n=3$ met de 3-dimensionale affiene ruimte . * De standaardbasis van Rn bestaat uit de vectoren $\vec{e}_1=(1,0,\ldots,0), \vec{e}_2=(0,1,\ldots,0), \ldots, \vec{e}_n=(0,\ldots,0,1)$ . * Een element $\vec{x} \in R^n$ met norm gelijk aan 1 wordt een genormeerd element genoemd . * Twee elementen $\vec{x}, \vec{y} \in R^n$ zijn orthogonaal als hun scalair product nul is . * Een basis bestaande uit onderling orthogonale en genormeerde vectoren is een orthonormale basis . * Open verzamelingen in Rn kunnen worden geïdentificeerd met epsilon-omgevingen . ### Kernconcepten * **Lineaire combinatie**: $\vec{v} = t_1\vec{v}_1 + \ldots + t_m\vec{v}_m$, met $t_i \in \mathbb{R}$ . * **Lineaire afhankelijkheid**: Bestaan van $t_i$, niet alle nul, zodat $t_1\vec{v}_1 + \ldots + t_m\vec{v}_m = \vec{0}$ . * **Scalair product**: $\vec{x} \cdot \vec{y} = \sum_{k=1}^{n} x_k y_k$ . * **Norm**: $\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} x_k^2}$ . * **Epsilon-omgeving**: $B(\vec{a};\varepsilon) = \{\vec{x} \in R^n \mid \|\vec{x} - \vec{a}\| < \varepsilon\}$ . * **Open verzameling**: Een deelverzameling waarbij elk punt een inwendig punt is . * **Gesloten verzameling**: Een deelverzameling waarvan het complement open is . * **Compacte verzameling**: Een verzameling die zowel gesloten als begrensd is . ### Implicaties * Rn met de gedefinieerde bewerkingen vormt een lineaire ruimte, een belangrijke structuur in de lineaire algebra . * De norm in Rn maakt het mogelijk de afstand tussen punten te meten en diverse geometrische concepten te introduceren . * Topologische begrippen zoals omgevingen, open en gesloten verzamelingen zijn cruciaal voor de analyse van functies van meerdere variabelen . * Het begrip compactheid is essentieel voor stellingen over continuïteit en extremumwaarden van functies . ### Veelvoorkomende valkuilen * Voor $n > 3$ is de meetkundige interpretatie van elementen van Rn minder direct dan voor $n=2,3$ . * Een open verzameling in $R^{n-1}$ verliest haar open karakter indien beschouwd als deelverzameling van $R^n$ . --- # Rijen in Rn: convergentie, Cauchy-rijen en de stelling van Bolzano-Weierstrass ### Kernconcepten * Een rij in Rn is een functie $N \to R^n$, waarbij aan elk natuurlijk getal $m$ een punt $\vec{a}_m \in R^n$ wordt toegewezen . * Convergentie van een rij $(\vec{a}_m)$ naar $\vec{\alpha}$ betekent dat voor elke $\varepsilon > 0$ een $N(\varepsilon)$ bestaat, zodanig dat voor alle $m \geq N(\varepsilon)$ geldt $\|\vec{a}_m - \vec{\alpha}\| < \varepsilon$ . * Een rij $(\vec{a}_m)$ in $R^n$ convergeert naar $\vec{\alpha} \in R^n$ dan en slechts dan als voor elke component $k=1, \dots, n$, de rij van componenten $(a_{mk})$ convergeert naar $\alpha_k$ . * Een Cauchy-rij $(\vec{a}_m)$ in $R^n$ voldoet aan de voorwaarde dat voor elke $\varepsilon > 0$ een $N$ bestaat, zodanig dat voor alle $p > N$ en $q > N$ geldt $\|\vec{a}_p - \vec{a}_q\| < \varepsilon$ . ### Kernfeiten * De limiet van een convergente rij in $R^n$ is uniek . * Elke deelrij van een convergente rij convergeert naar dezelfde limiet . * Een convergente rij in $R^n$ is begrensd . * Als $(\vec{a}_m) \to \vec{\alpha}$ en $(\vec{b}_m) \to \vec{\beta}$, dan convergeren lineaire combinaties: $(\lambda \vec{a}_m + \mu \vec{b}_m) \to \lambda \vec{\alpha} + \mu \vec{\beta}$ . * Als $(\vec{a}_m) \to \vec{\alpha}$ en $(\vec{b}_m) \to \vec{\beta}$, dan convergeert het inwendig product: $(\vec{a}_m \cdot \vec{b}_m) \to \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ . * Als $(\vec{a}_m)$ convergeert naar $\vec{\alpha}$, dan convergeert de rij van normen $(\|\vec{a}_m\|)$ naar $\|\vec{\alpha}\|$ . * Een rij in $R^n$ is convergent als en slechts dan als ze een Cauchy-rij is . ### Stelling van Bolzano-Weierstrass * Elke begrensde rij in $R^n$ bezit een convergente deelrij . * Het bewijs maakt gebruik van inductie op de dimensies door Cauchy-rijen van componenten te construeren . ### Implicaties * De convergentie van een rij in $R^n$ kan worden herleid tot de convergentie van de afzonderlijke componentrijen . * Het Cauchy-criterium biedt een methode om convergentie te testen zonder de limiet expliciet te kennen . * De stelling van Bolzano-Weierstrass is cruciaal voor het bewijzen van de compactheid van verzamelingen in $R^n$ . - > **Tip:** Concentreer je op het verbinden van de convergentie van rijen in $R^n$ met de convergentie van rijen in $R$ via de componenten - Dit vereenvoudigt veel problemen --- # Differentieerbaarheid van scalaire functies van meerdere variabelen ### Partiële en richtingsafgeleiden * De richtingsafgeleide van $f$ in $\vec{a}$ volgens de richting $\vec{u}$ is de limiet: - $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(\vec{a} + h\vec{u}) - f(\vec{a})}{h} $$ - indien deze bestaat * De partiële afgeleide naar de $k$-de variabele in $\vec{a}$ is de richtingsafgeleide volgens $\vec{e}_k$: - $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(\vec{a} + h\vec{e}_k) - f(\vec{a})}{h} $$ - Dit kan ook genoteerd worden als $D_k f(\vec{a})$ of $\frac{\partial f}{\partial x_k}(\vec{a})$ * De partiële afgeleide naar de $k$-de variabele is gelijk aan de afgeleide van de functie verkregen door enkel de $k$-de variabele te laten variëren . * De gradiënt van $f$ in $\vec{a}$, genoteerd als $\text{grad } f(\vec{a})$ of $\nabla f(\vec{a})$, is de vector van alle partiële afgeleiden in $\vec{a}$: - $$ \nabla f(\vec{a}) = (D_1 f(\vec{a}), \dots, D_n f(\vec{a})) $$ - * Voor $f(x,y) = \sin(xy^2)$, zijn de partiële afgeleiden $D_1 f(x,y) = y^2 \cos(xy^2)$ en $D_2 f(x,y) = 2xy \cos(xy^2)$ . * De functie $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ voor $(x,y) \neq (0,0)$ en $f(0,0) = 0$ heeft partiële afgeleiden in $(0,0)$ die beide gelijk zijn aan 0, ondanks niet continu te zijn . ### Differentieerbare functies * Een functie $f$ is differentieerbaar in $\vec{a}$ als er een vector $\vec{A}$ en een functie $\lambda(\vec{x})$ met $\lim_{\vec{x}\to\vec{a}} \lambda(\vec{x}) = 0$ bestaat, zodanig dat: - $$ f(\vec{x}) - f(\vec{a}) = (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{A} + \lambda(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{a}\| $$ * Als $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, dan is $f$ continu in $\vec{a}$ . * Als $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, dan is $\vec{A} = \nabla f(\vec{a})$ . * De richtingsafgeleide in $\vec{a}$ volgens $\vec{u}$ is $\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(\vec{a}) = \nabla f(\vec{a}) \cdot \vec{u}$ . * Als alle partiële afgeleiden van $f$ in een omgeving van $\vec{a}$ bestaan en continu zijn in $\vec{a}$, dan is $f$ differentieerbaar in $\vec{a}$ . * Een functie $f$ is continu differentieerbaar in een open verzameling $\Omega$ (genoteerd $f \in C^1(\Omega)$) als alle partiële afgeleiden continu zijn in $\Omega$ . ### Hogere-orde afgeleiden * Partiële afgeleiden van de tweede orde noteren we als $D_{jk}^2 f$ of $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}$ . * Als alle partiële afgeleiden van $p$-de orde continu zijn in $\Omega$, dan is $f$ $p$ maal continu differentieerbaar in $\Omega$, genoteerd $f \in C^p(\Omega)$ . * Voor functies met continue partiële afgeleiden van de tweede orde, geldt de stelling van Schwarz: $D_{12} f = D_{21} f$ . * Voor $f(x,y) = \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$ voor $(x,y) \neq (0,0)$ en $f(0,0)=0$, zijn de gemengde afgeleiden in $(0,0)$ verschillend: $D_{12} f(0,0) = -1$ en $D_{21} f(0,0) = 1$ . ### Uitbreiding tot vectorfuncties * De partiële afgeleide van een vectorfunctie $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ naar de $k$-de variabele is $\vec{D}_k \vec{f}(\vec{a}) = \sum_{i=1}^m D_k f_i(\vec{a})\vec{e}_i$ . --- ## Taylorreeks met restterm van de derde orde ### Kernidee * De formule van Taylor voor scalaire functies van meerdere variabelen kan uitgebreid worden met een restterm van de derde orde . * Deze restterm maakt een meer precieze benadering van de functie mogelijk . ### Sleutelbegrippen - **Taylorformule met derde orde restterm:**Voor een functie $f$ met continue derde partiële afgeleiden, kan de functie lokaal benaderd worden door zijn waarde, de lineaire term, de kwadratische term en de - **Restterm van de derde orde:** Deze term bevat de derde orde partiële afgeleiden van de functie geëvalueerd op een punt tussen $(0,0)$ en $(x,y)$, vermenigvuldigd met termen die afhangen van * **Benadering van de functie:** Als de restterm verwaarloosbaar is, wordt $f(x,y)$ benaderd door een tweedegraads veelterm in $(x,y)$ . ### Sleutelformules * De algemene vorm van de Taylorformule met een restterm van de derde orde, voor een functie $f(x,y)$ rond het punt $(0,0)$, is: - $f (x,y) =f (0,0)+x\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)+ y\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) +\frac{1}{2}\left(x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0)+ 2xy \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)+ y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0)\right) + R_3$ * Waarbij de restterm $R_3$ kan worden uitgedrukt met een Lagrange-vorm: - $\exists \theta \in]0,1[: R_3 = \frac{1}{6}\left(x^3 \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(\theta x,\theta y)+ 3x^2y \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}(\theta x,\theta y)+ 3xy^2 \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}(\theta x,\theta y)+ y^3 \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}(\theta x,\theta y)\right)$ * Een algemenere notatie voor de restterm met de operator $(\vec{h} \cdot \nabla)$ is: - $R_3 = \frac{1}{3 - }(\vec{h} \cdot \nabla)^3 f (\vec{a} + \theta\vec{h})$ ### Belangrijkste feiten * De stelling die de afschatting van de restterm behandelt, lijkt op het eendimensionale geval . * Als $f \in C^3(\Omega)$ en $B(\vec{a};r) \subset \Omega$, dan bestaat er een $M > 0$ zodat de restterm begrensd is . * De afschatting van de restterm is: $\frac{1}{3!}|(\vec{h} \cdot \nabla)^3 f (\vec{a} + \theta\vec{h})| \le M\|\vec{h}\|^3$, voor alle $\vec{h}$ met $\|\vec{h}\| \le r$ . * De termen in de restterm zijn van de vorm $h_i h_j h_k D_{ijk} f(\vec{a} + \theta\vec{h})$ . * De derde orde partiële afgeleiden van $f$ zijn begrensd op de compacte verzameling $B(\vec{a};r)$ door een constante $M'$ . * Voor elke component $h_i$ geldt $|h_i| \le \|\vec{h}\|$ . * Elke term in de restterm wordt begrensd door $M'\|\vec{h}\|^3$ . * Er zijn in totaal $n^3$ termen in de uitdrukking van $(\vec{h} \cdot \nabla)^3 f$ . * De constante $M$ kan worden gesteld op $M = \frac{1}{3!}n^3M'$ . ### Implicaties * De formule van Taylor met restterm van de derde orde biedt een nauwkeurigere lokale benadering dan de tweede orde Taylorbenadering . * De afschatting van de restterm is cruciaal voor het bepalen van de convergentie en foutenmarge van Taylorbenaderingen in hogere dimensies . * Het begrijpen van deze afschatting is fundamenteel voor geavanceerde numerieke methoden en analyse in meerdere variabelen . --- # Extremumonderzoek voor functies van meerdere variabelen ### Core idea * Extremumonderzoek bij functies van meerdere variabelen omvat zowel directe uitbreidingen van ééndimensionale gevallen als extremen met nevenvoorwaarden. * Dit hoofdstuk behandelt het 'gewoon' extremumonderzoek, waarbij de focus ligt op interne punten van het definitiegebied. * Voor differentieerbare functies is de gradiënt die nul is een noodzakelijke voorwaarde voor een lokaal extremum. ### Key facts * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een absoluut maximum in $\vec{a}$ als $\forall \vec{x} \in \text{dom}(f): f(\vec{x}) \leq f(\vec{a})$ . * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een absoluut minimum in $\vec{a}$ als $\forall \vec{x} \in \text{dom}(f): f(\vec{x}) \geq f(\vec{a})$ . * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een lokaal maximum in $\vec{a}$ als $\exists \delta > 0: \forall \vec{x} \in \text{dom}(f) \cap B(\vec{a}; \delta) \Rightarrow f(\vec{x}) \leq f(\vec{a})$ . * Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een lokaal minimum in $\vec{a}$ als $\exists \delta > 0: \forall \vec{x} \in \text{dom}(f) \cap B(\vec{a}; \delta) \Rightarrow f(\vec{x}) \geq f(\vec{a})$ . * Als $f$ differentieerbaar is in een inwendig punt $\vec{a}$ en een lokaal extremum bereikt, dan is $\nabla f(\vec{a}) = \vec{0}$ . * Kritische punten zijn inwendige punten van dom($f$) waar $f$ differentieerbaar is en $\nabla f = \vec{0}$ . * Een zadelpunt is een kritisch punt waarbij elke omgeving punten bevat waar $f(\vec{x}) < f(\vec{a})$ en punten waar $f(\vec{x}) > f(\vec{a})$ . ### Key concepts * De kwadratische vorm geassocieerd met de tweede-orde partiële afgeleiden is $\Phi(\vec{h}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n h_i h_j D_{ij} f(\vec{a})$ . * De analyse van de kwadratische vorm $\Phi(\vec{h})$ bepaalt het type extremum of zadelpunt: * $\Phi(\vec{h}) < 0$ voor alle $\vec{h} \implies$ lokaal maximum . * $\Phi(\vec{h}) > 0$ voor alle $\vec{h} \implies$ lokaal minimum . * $\Phi(\vec{h})$ neemt zowel positieve als negatieve waarden aan $\implies$ zadelpunt . * De kwadratische vorm kan worden gerepresenteerd door een matrix $A$ (Hessiaan), waarbij de definitie van $A$ (positief/negatief definiet, indefiniet) de aard van het extremum bepaalt . * Voor $n=2$, kan de discriminant $\Delta = [D_{12} f]^2 - D_{11} f D_{22} f$ het type extremum helpen bepalen . ### Implications * De noodzakelijke voorwaarde $\nabla f(\vec{a}) = \vec{0}$ betekent dat het raakvlak evenwijdig met het XY-vlak is bij kritische punten . * Als de kwadratische vorm $\Phi(\vec{h})$ overal positief of negatief is, kan uit het teken conclusies worden getrokken . * Als $\Phi(\vec{h})$ nul wordt in een bepaalde richting, is de Taylor-ontwikkeling van hogere orde nodig voor een conclusie . * Positief/negatief definietheid van de Hessiaanmatrix $A$ is direct gekoppeld aan het optreden van lokale minima/maxima . ### Common pitfalls * Niet elk kritisch punt is een extremum; het kan ook een zadelpunt zijn . * De test met de kwadratische vorm of de Hessiaan is niet sluitend als deze semi-definiet is of nul wordt . * Functies die niet differentieerbaar zijn in een punt kunnen daar wel een extremum hebben (bv. voorbeeld 13.3) . --- # Integratie in het vlak en in de ruimte ### Kernideeën * De Riemann-integraal wordt uitgebreid naar functies van meer veranderlijken in R2 (dubbelintegralen) en R3 (drievoudige integralen) . * Integralen over gesloten intervallen in R2 en R3 worden gedefinieerd via riemannsommen . * Integreerbaarheid van functies in R2 en R3 wordt vastgesteld door de limiet van riemannsommen . ### Sleutelconcepten * **Partitie van een interval:** Een opsplitsing van een gesloten interval in R2 of R3 in kleinere deelintervallen . * In R2: `Ii j = [xi−1,xi × [yj−1,yj]` . * In R3: `Ii jk = [xi−1,xi × [yj−1,yj × [zk−1,zk]` . * **Norm van een partitie:** De maximale diameter van de deelintervallen . * **Gelabelde partitie:** Een partitie met in elk deelinterval een geselecteerd punt . * **Riemannsom:** De som van functiewaarden op geselecteerde punten, vermenigvuldigd met het volume (oppervlakte in R2) van het corresponderende deelinterval . * R2: $S(f, P\vec{C}) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(\vec{c}_{ij}) A_{ij}$ . * R3: $S(f, P\vec{C}) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{p} f(\vec{c}_{ijk}) V_{ijk}$ . * **Integreerbaarheid:** Het bestaan van een limiet L voor de riemannsommen wanneer de norm van de partitie naar nul nadert . * **Riemannintegraal:** Het getal L dat de limiet van de riemannsommen voorstelt . * R2: $\iint_I f(x,y) dxdy$ of $\int_I f(\vec{x}) dA$ . * R3: $\iiint_I f(x,y,z) dxdydz$ of $\int_I f(\vec{x}) dV$ . ### Belangrijke Stellingen * **Stelling 14.1.1:** Als f integreerbaar is over I, dan is f begrensd over I . * **Stelling 14.1.2:** Als f continu is in I, dan is f integreerbaar over I . * **Stelling 14.1.3:** f is integreerbaar over een interval I in R2 als f begrensd is en continu op I\K, waar K een eindige unie van projecteerbare krommen is . * **Stelling 14.1.4:** f is integreerbaar over een interval I in R3 als f begrensd is en continu op I\S, waar S een eindige unie van projecteerbare oppervlakken is . * **Stelling 14.1.5:** Eigenschappen van integreerbare functies: |f|, λf + µg, fg, en f/g (als g ≠ 0) zijn ook integreerbaar . * **Stelling 14.1.6:** Integralen over deelintervallen kunnen worden opgeteld . * $\int_I f(\vec{x}) \, dA = \sum_{k=1}^{n} \int_{I_k} f(\vec{x}) \, dA$ . * **Stelling 14.1.7 (Middelwaardestelling):** Voor een continue functie f in een gesloten interval I bestaat er een punt $\vec{c} \in I$ zodanig dat $\int_I f(\vec{x}) \, dA = f(\vec{c}) A_I$ (voor R2) . * **Stelling 14.1.8:** Opeenvolgende integraties voor dubbelintegralen (Fubini's stelling) . * $\iint_I f(x,y) dxdy = \int_{a_1}^{b_1} dx \int_{a_2}^{b_2} f(x,y) dy$ . ### Toepassingen en Voorbeelden --- ## Integratie over algemenere gebieden en coördinatentransformaties ### Kernconcepten - **Integratie over gebieden G:** De integraal van een functie $f$ over een gebied $G$ wordt gedefinieerd door een hulpfunctie $f^*$ die gelijk is aan $f$ op $G$ en nul elders * **Oppervlakte en volume:** De oppervlakte $A_G$ van een gebied $G$ is de integraal van 1 over $G$, en het volume $V_G$ is evenzo de integraal van 1 over $G$ . * **Projecteerbare gebieden:** Gebieden die gedefinieerd kunnen worden door grenzen die afhangen van één variabele, zoals $G = \{(x,y): a \le x \le b, \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}$ . * **Jacobiaanse determinant:** De determinant van de partiële afgeleiden van een transformatie, die de lokale schaalfactor van oppervlakte- of volume-elementen aangeeft . ### Belangrijke feiten en formules * **Stelling over deelgebieden:** De integraal over een gebied is de som van de integralen over de deelgebieden waaruit het gebied is opgebouwd . * **Middelwaardestelling voor integralen:** Voor een continue functie $f$ over een gebied $G$ bestaat er een punt $\vec{c} \in G$ zodanig dat $\int_G f(\vec{x})dA = f(\vec{c}) A_G$ . * **X-projecteerbaar gebied (R2):** $G = \{(x,y): a \le x \le b, \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}$. De integraal is $\int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)dy$ . * **Y-projecteerbaar gebied (R2):** $G = \{(x,y): c \le y \le d, \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)\}$. De integraal is $\int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)dx$ . * **XY-projecteerbaar gebied (R3):** $G = \{(x,y,z): (x,y) \in G_{xy}, \varphi_1(x,y) \le z \le \varphi_2(x,y)\}$. De integraal is $\iint_{G_{xy}} dxdy \int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)} f(x,y,z)dz$ . * **Projectie op YZ-vlak (R3):** $G = \{(x,y,z): a \le x \le b, (y,z) \in G_x\}$. De integraal is $\int_a^b dx \iint_{G_x} f(x,y,z)dydz$ . * **Volume als functie van doorsnede-oppervlakte:** $V_G = \int_a^b A(x)dx$, waarbij $A(x)$ de oppervlakte van de doorsnede op $x$ is . * **Substitutieformule (R2):** $\iint_G f(x,y)dxdy = \iint_{G'} f(\varphi(u,v),\psi(u,v)) \left|\frac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(u,v)}\right| dudv$ . * **Substitutieformule (R3):** $\iiint_G f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{G'} f(\varphi(u,v,w),\psi(u,v,w),\chi(u,v,w)) \left|\frac{\partial(\varphi,\psi,\chi)}{\partial(u,v,w)}\right| dudvdw$ . * **Poolcoördinaten (R2):** $x = r \cos\theta, y = r \sin\theta$. Jacobiaanse determinant: $r$ . * **Cilindercoördinaten (R3):** $x = r \cos\varphi, y = r \sin\varphi, z = z$. Jacobiaanse determinant: $r$ . * **Sferische coördinaten (R3):** $x = r \sin\theta\cos\varphi, y = r \sin\theta\sin\varphi, z = r \cos\theta$. Jacobiaanse determinant: $r^2 \sin\theta$ . ### Voorbeelden * **Oppervlakte van een ellips:** Door transformatie naar een eenheidsschijf met Jacobiaan $ab$, wordt de oppervlakte $\pi ab$ . * **Volume van een ellipsodie:** Door transformatie naar een eenheidsbol, met Jacobiaan $abc$, wordt het volume $\frac{4}{3}\pi abc$ . * **Traagheidsmoment van een ring:** Berekend met poolcoördinaten, $I_0 = k \iint_G (x^2+y^2)dxdy = k \frac{\pi}{2}(b^4-a^4)$ . * **Volume van een bol in cilindercoördinaten:** Gegeven een bol met straal $R$, het traagheidsmoment om het XY-vlak $I_{xy} = k \iiint_G z^2 dxdydz = k \frac{4\pi}{15}R^5$ . * **Volume van een bol in sferische coördinaten:** $V_G = \frac{4}{3}\pi R^3$ . * **Volume van een gebied boven kegel en binnen bol:** Berekend met sferische coördinaten leidt tot een volume van $\pi a^3$ voor een specifiek gedefinieerd gebied . ### Massamiddelpunt * **Definitie:** Het gewogen gemiddelde van plaatsvectoren, met massa als gewicht . * **Continue verdeling:** $\vec{x}_M = \frac{\iiint_G \vec{x}\rho(\vec{x})dV}{\iiint_G \rho(\vec{x})dV}$ . * **Homogeen gebied:** Als $\rho(\vec{x})$ constant is, reduceert dit tot het zwaartepunt . --- # extremumonderzoek in open verzamelingen ### Core idea * Extremumonderzoek in open verzamelingen analyseert lokale extrema van functies in open domeinen. * Dit is een uitbreiding van het onderzoek in gesloten verzamelingen. ### Key facts * Tweede-orde afgeleiden worden gebruikt om de aard van kritische punten te bepalen. * De kwadratische vorm $\Phi(\vec{h})$ beschrijft de tweede-orde benadering van de functie rond een kritisch punt. * De matrix $A$ van tweede-orde partiële afgeleiden is cruciaal voor het bepalen van het type extremum. * Eigenwaarden van matrix $A$ bepalen of $A$ positief definiet, negatief definiet, semi-definiet of indefiniet is. * Voor $n=2$ kan het criterium herleid worden tot de discriminant $\Delta$ van de kwadratische vorm. * Als $\Delta < 0$, is er een lokaal extremum (minimum indien $D_{11}f > 0$, maximum indien $D_{11}f < 0$). * Als $\Delta > 0$, is er een zadelpunt. * Als $\Delta = 0$, is er geen algemeen besluit mogelijk met deze test. ### Key concepts * **Kritisch punt:** Een punt $\vec{a}$ waarvoor de gradiënt van $f$ nul is: $\nabla f(\vec{a}) = \vec{0}$. * **Kwadratische vorm $\Phi(\vec{h})$:** Benadering van $\Delta f = f(\vec{a}+\vec{h}) - f(\vec{a})$ met termen van tweede orde: $\Phi(\vec{h}) = \vec{h}^T A \vec{h}$. * **Matrix $A$ (Hessiaan):** Matrix van tweede-orde partiële afgeleiden: $A_{ij} = D_{ij}f(\vec{a})$. * **Positief definiet:** Alle eigenwaarden zijn positief. $\Phi(\vec{h}) > 0$ voor $\vec{h} \neq \vec{0}$. Lokaal minimum. * **Negatief definiet:** Alle eigenwaarden zijn negatief. $\Phi(\vec{h}) < 0$ voor $\vec{h} \neq \vec{0}$. Lokaal maximum. * **Indefiniet:** Eigenwaarden hebben zowel positieve als negatieve tekens. Zadelpunt. * **Semi-definiet:** Eigenwaarden zijn positief of nul (positief semi-definiet), of negatief of nul (negatief semi-definiet). Geen conclusie mogelijk. * **Discriminant $\Delta$ (voor $n=2$):** $\Delta = (D_{12}f)^2 - D_{11}f D_{22}f$. ### Implications * De aard van de kritische punten (lokaal minimum, maximum, zadelpunt) kan worden bepaald door het gedrag van de kwadratische vorm. * Als de tweede-orde test geen uitsluitsel geeft ($\Delta = 0$), kunnen hogere-orde afgeleiden of andere methoden nodig zijn. * De analyse van de definitie van de matrix $A$ door middel van eigenwaarden is een algemene methode. * Voor $n=2$ biedt de discriminant een snelle manier om de aard van een kritisch punt te classificeren. ### Examples * Voor $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$: * $(0,0)$ is een zadelpunt ($\Delta > 0$). * $(1,1)$ is een lokaal minimum ($\Delta < 0$, $D_{11}f > 0$). --- # extremumonderzoek in niet-open verzamelingen ### Core idea - Extremumonderzoek in niet-open verzamelingen richt zich meestal op het vinden van absolute extrema. - Het onderzoek wordt opgesplitst in het inwendige, de randpunten, en de vergelijking van alle gevonden punten. ### Key facts - Voor continue functies op compacte verzamelingen garandeert de stelling van Weierstrass het bestaan van absolute extrema. - Randpunten moeten worden onderzocht voor zover ze tot de verzameling behoren. - Niet-open is niet altijd synoniem met gesloten; niet alle randpunten hoeven beschouwd te worden. - De analyse van de rand kan opgedeeld worden in segmenten en hoekpunten. ### Key concepts - **Inwendige punten:** Lokale extrema worden eerst bepaald in het inwendige van de verzameling. - **Randpunten:** De functie wordt geanalyseerd op de grenzen van de verzameling. - **Hoekpunten:** Specifieke aandacht gaat uit naar de hoekpunten van de verzameling. - **Absolute extrema:** Na vergelijking van alle in aanmerking komende punten, worden het absolute minimum en/of maximum geïdentificeerd. ### Implications - De methode garandeert het vinden van absolute extrema op compacte verzamelingen door een systematische aanpak. - Het correct identificeren van de rand en de relevante punten is cruciaal voor de juistheid van het resultaat. - Functies die langs parabolen nul worden, kunnen een zadelpunt hebben in het inwendige, ondanks lokale minima van een afgeleide functie. ### Examples - > **Example:** For $f(x,y) = x^2 + y^2 - xy + x + y$ in $S = \{ (x,y) \mid x \le 0, y \le 0, x+y \ge -3 \}$, the interior critical point is $(-1,-1)$ with $f(-1,-1) = -1$ - On the boundary $y=0, -3 < x < 0$, $\phi(x) = x^2+x$ has a minimum at $x = -1/2$, yielding $f(-1/2, 0) = -1/4$ - Similar analysis on other boundary segments and at the vertices $(0,0), (-3,0), (0,-3)$ completes the search for absolute extrema - > **Example:** For $f(x,y) = xy - \sqrt{1-x^2-y^2}$ in the disk $x^2+y^2 \le 1$, the interior point $(0,0)$ gives $f(0,0)=-1$, but the Hessian determinant is zero - On the boundary $r=1$, analysis in polar coordinates shows local minima at $\theta = 3\pi/4, 7\pi/4$ (value $-1/2$) and local maxima at $\theta = \pi/4, 5\pi/4$ (value $1/2$) - The absolute maximum is $1/2$ and the absolute minimum is $-1$ at $(0,0)$ --- # Definitie en eigenschappen van Riemann-integralen in R2 en R3 ### Kernconcepten * Riemann-integralen breiden het concept van integratie uit naar functies van meer variabelen, met name in R2 (dubbele integralen) en R3 (drievoudige integralen) . * Deze integralen hebben diverse meetkundige en fysische toepassingen, zoals het bepalen van oppervlaktes en volumes . ### Definities * Een **partitie** P van een interval $I \subset R^2$ (een rechthoek $[a_1, b_1 \times [a_2, b_2]$) is een verzameling van deelintervallen $I_{ij} = [x_{i-1}, x_i \times [y_{j-1}, y_j]$ . * Een **partitie** P van een interval $I \subset R^3$ (een doos $[a_1, b_1 \times [a_2, b_2 \times [a_3, b_3]$) is een verzameling van deelintervallen $I_{ijk} = [x_{i-1}, x_i \times [y_{j-1}, y_j \times [z_{k-1}, z_k]$ . * De **norm** van een partitie P, $\|P\|$, is de maximale diameter van de deelintervallen . * Een **gelabelde partitie** $P_{\vec{C}}$ selecteert een punt $\vec{c}_{ij}$ (in R2) of $\vec{c}_{ijk}$ (in R3) in elk deelinterval (#page=208,page=209) . * Een **riemannsom** S(f, $P_{\vec{C}}$) is de som van functiewaarden in de geselecteerde punten vermenigvuldigd met het volume/oppervlakte van het corresponderende deelinterval . ### Definitie van Riemann-integrabiliteit - Een functie f op R2 of R3 is **riemannintegreerbaar** over een interval I als er een getal L bestaat, zodanig dat de absolute waarde van het verschil tussen een riemannsom * Dit getal L wordt de **riemannintegraal** van f over I genoemd . * Notaties: * R2: $\int_I f(\vec{x}) dA$ of $\iint_I f(x,y) dxdy$ . * R3: $\int_I f(\vec{x}) dV$ of $\iiint_I f(x,y,z) dxdydz$ . ### Eigenschappen en Stellingen * Als f integreerbaar is over I, dan is f **begrensd** over I . * Als f **continu** is op I, dan is f integreerbaar over I . * Voor integralen in R2 en R3, kan continuïteit over een gebied met een eindig aantal projecteerbare krommen (R2) of oppervlakken (R3) ook leiden tot integrabiliteit . * Integralen veranderen niet als functiewaarden langs projecteerbare krommen/oppervlakken worden gewijzigd . * Eigenschappen: * Als f en g integreerbaar zijn, dan zijn $|f|$, $\lambda f + \mu g$, en $fg$ ook integreerbaar . * Als g(x) $\neq$ 0, dan is f/g ook integreerbaar . * Restricties van f tot deelintervallen zijn ook integreerbaar . * **Lineariteit** en **integratie van ongelijkheden** gelden . * Een integraal kan worden opgesplitst over disjuncte deelintervallen: $\int_I f dA = \sum \int_{I_k} f dA$ . * **Middelwaardestelling**: Als f continu is op een gesloten interval I, bestaat er een punt $\vec{c} \in I$ zodanig dat $\int_I f dA = f(\vec{c}) \cdot A_I$ (R2) of $\int_I f dV = f(\vec{c}) \cdot V_I$ (R3) . ### Voorbeeld van een integraal over een interval * Voor een constante functie $f(\vec{x}) = \lambda$ op interval I, geldt: $\int_I f dV = \lambda \cdot V_I$. Hier is $V_I$ het volume van I . --- # Berekening van dubbele en drievoudige integralen middels opeenvolgende integraties ### Kernidee * Dubbele en drievoudige integralen kunnen worden berekend als opeenvolgende enkelvoudige integralen . * De volgorde van integratie kan worden omgedraaid onder bepaalde voorwaarden . ### Belangrijke feiten * Voor een functie $f(x,y)$ integreerbaar over $I = [a_1,b_1 \times [a_2,b_2]$, geldt: $\iint_I f(x,y) \, dxdy = \int_{a_1}^{b_1} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(x,y) \, dy \right) \, dx$ . * De binnenste integraal wordt beschouwd met de buitenste variabele als parameter . * De omgekeerde integratievolgorde is ook geldig: $\iint_I f(x,y) \, dxdy = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(x,y) \, dx \right) \, dy$ . * Voor drievoudige integralen geldt een analoge stelling met meerdere volgordes van integratie . * Er zijn twaalf mogelijke schikkingen voor de integratievariabelen $x, y, z$ in $R^3$ . * Voor gebieden $G$ die $X$-projecteerbaar zijn ($a \le x \le b, \phi_1(x) \le y \le \phi_2(x)$), geldt: $\iint_G f(x,y) \, dxdy = \int_a^b \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y) \, dy \right) \, dx$ . ### Belangrijke concepten * **Heuristische afleiding:** De berekening is gebaseerd op de limiet van Riemannsommen . * **Stelling 14.1.8:** Garandeert de gelijkheid van dubbele integralen en opeenvolgende enkelvoudige integralen onder de juiste voorwaarden . * **Stelling 14.1.9:** Vergelijkbaar met Stelling 14.1.8, maar dan voor drievoudige integralen . * **Stelling 14.2.3:** Generaliseert de opeenvolgende integratie voor $X$-projecteerbare gebieden in $R^2$ . * **XY-projecteerbaar gebied:** Een gebied $G$ in $R^3$ waarvoor $G = \{(x,y,z) | (x,y) \in G_{xy}, \phi_1(x,y) \le z \le \phi_2(x,y)\}$ . * **Stelling 14.2.4:** Stelt de berekening van een integraal over een $XY$-projecteerbaar gebied mogelijk middels opeenvolgende integraties . * **Stelling 14.2.5:** Beschrijft de berekening van een integraal over een gebied dat projecteerbaar is op het $YZ$-vlak . ### Implicaties * De keuze van de integratievolgorde kan de berekening aanzienlijk vereenvoudigen . * Eenvoudige gebieden en functies maken de berekening middels opeenvolgende integraties direct toepasbaar . * Gebieden die niet eenvoudig te beschrijven zijn, kunnen soms opgesplitst moeten worden om de methode toe te passen . * De methode is essentieel voor het bepalen van volumes en oppervlaktes van complexe gebieden . - > **Tip:** Controleer altijd of de functie en het integratiegebied voldoen aan de voorwaarden van de stellingen alvorens de methode toe te passen - > **Voorbeeld:** Voor $f(x,y) = x \exp(xy)$ over $I = [0,a \times [0,b]$, is integratie eerst naar $y$ eenvoudiger --- # Omkeren van integratievolgorde ### Core idea * Het omkeren van de integratievolgorde kan een ingewikkelde meervoudige integraal vereenvoudigen . * Dit is nuttig wanneer de integratiegrenzen bij de oorspronkelijke volgorde moeilijk te hanteren zijn . ### Key facts * Oefening 14.5(a) vraagt het omkeren van de volgorde van $\int_0^1 \int_x^{2-x} f(x,y) dy dx$ . * Oefening 14.5(b) vraagt het omkeren van de volgorde van $\int_0^2 \int_y^{y^2/2} f(x,y) dx dy$ . * Oefening 14.14(a) vraagt het omkeren van de volgorde van $\int_0^1 \int_{3y}^3 e^{x^2} dx dy$ . * Oefening 14.14(b) vraagt het omkeren van de volgorde van $\int_0^1 \int_{x^2}^x \frac{x}{y\sqrt{y-x^2}} dy dx$ . * Oefening 14.15(a) vraagt het omkeren van de volgorde van $\int_{a/2}^a \int_0^{\sqrt{2ax-x^2}} f(x,y) dy dx$ . * Oefening 14.15(b) vraagt het omkeren van de volgorde van $\int_0^1 \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y) dx dy$ . ### Key concepts * Het omkeren van de integratievolgorde vereist een correcte visualisatie van het integratiegebied . * De grenzen van de integraal moeten worden aangepast aan de nieuwe volgorde, gebaseerd op de schets van het gebied . * Bij het omkeren van de volgorde van $dy dx$ naar $dx dy$, worden de grenzen voor $x$ de buitenste grenzen en die voor $y$ de binnenste . ### Implications * Correct omkeren kan leiden tot integraaluitdrukkingen die veel eenvoudiger te evalueren zijn, vooral met specifieke functies zoals $e^{x^2}$ . * Het begrijpen van de geometrie van het integratiegebied is cruciaal voor het succesvol toepassen van deze techniek . ### Common pitfalls * Fouten maken bij het schetsen van het integratiegebied, wat leidt tot incorrecte nieuwe integratiegrenzen . * Onjuist toepassen van de transformatie van de variabelen en hun grenzen . --- # Berekening van volumes van lichamen met behulp van coördinaten ### Kernidee * Volumes van lichamen kunnen berekend worden met behulp van meervoudige integralen . * De keuze van coördinatensysteem (Cartesiaans, cilindrisch, sferisch) is cruciaal voor de efficiëntie van de berekening . ### Belangrijke concepten * **Cartesiaanse coördinaten:** Geschikt voor rechthoekige gebieden en lichamen. Volumes worden berekend met integralen van de vorm $\iiint_V dV$, waar $dV = dx dy dz$ . * **Cilindercoördinaten:** Nuttig voor lichamen met rotatiesymmetrie rond de z-as. Transformatie: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, $z = z$. Volume-element: $dV = r dr d\theta dz$ . * **Sferische coördinaten:** Ideaal voor lichamen met sferische symmetrie. Transformatie: $x = \rho \sin \phi \cos \theta$, $y = \rho \sin \phi \sin \theta$, $z = \rho \cos \phi$. Volume-element: $dV = \rho^2 \sin \phi d\rho d\phi d\theta$. [Niet expliciet in de tekst, maar een standaard concept bij dit onderwerp. * Projectie op vlakken: Het lichaam kan geprojecteerd worden op het XY-, YZ- of XZ-vlak om de integratiegrenzen te bepalen . ### Sleutelfeiten * Integralen kunnen worden omgekeerd door de integratievolgorde te wijzigen om berekeningen te vereenvoudigen . * De grenzen van de integratie worden bepaald door de vergelijkingen van de omringende oppervlakken . * Bij het omzetten naar cilindrische of sferische coördinaten, moeten de vergelijkingen van de oppervlakken en het volume-element correct worden getransformeerd . * De oorsprong kan al dan niet worden bevat in het te integreren lichaam . * Volume kan verdeeld worden in gelijke delen . ### Voorbeelden * Bereken het volume van een lichaam begrensd door een cilinder, een vlak en een paraboloïde in cartesiaanse en cilindrische coördinaten . * Bepaal het volume van het lichaam ingesloten door een sfeer en een kegel met behulp van cartesiaanse en cilindrische coördinaten . * Bereken het volume van een lichaam boven het XY-vlak, onder een kegel en binnen een cilinder . * Bepaal het volume van een lichaam ingesloten tussen twee cilinders, of tussen een bol en een vlak . ### Tips * **Tip:** Visualiseer het lichaam in de ruimte om de integratiegrenzen correct op te stellen. * **Tip:** Kies het coördinatensysteem dat de symmetrie van het lichaam het beste benut. * **Tip:** Oefen met het omzetten van vergelijkingen van de ene coördinatenstelsel naar de andere. --- # Oefeningen betreffende differentieerbaarheid en limieten ### Natuurlijke machten en hun inverse * Functies $x^n$ voor $n \in \mathbb{N}$ zijn gedefinieerd, continu en afleidbaar op $]-\infty, +\infty[$ . * $x^1 = x$, $x^n = x \cdot x^{n-1}$ voor $n \in \mathbb{N}$ . * Het waardengebied is $]-\infty, +\infty[$ voor oneven $n$, en $[0, +\infty[$ voor even $n$ . * Voor oneven $n$ is $x^n$ strikt stijgend; de inverse $x^{1/n}$ is gedefinieerd op $]-\infty, +\infty[$ . * Voor even $n$ is $x^n$ strikt stijgend op $[0, +\infty[$; de inverse $x^{1/n}$ is gedefinieerd op $[0, +\infty[$ . ### Gehele machten en hun inverse * $x^0 = 1$ . * Voor negatieve gehele exponenten: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ voor $n \in \mathbb{N}$, $x \neq 0$ . * Functies $x^{-n}$ zijn continu en afleidbaar op $]-\infty, 0[$ en $]0, +\infty[$ . * Voor oneven $n$ is $x^{-n}$ strikt dalend; de inverse $x^{-1/n}$ is gedefinieerd op $]-\infty, 0[$ en $]0, +\infty[$ . * Voor even $n$ is $x^{-n}$ strikt dalend op $]0, +\infty[$; de inverse $x^{-1/n}$ is gedefinieerd op $]0, +\infty[$ . ### Rationale machten en hun inverse * Voor onderling ondeelbare natuurlijke getallen $p, q$ ($q \neq 1$): $x^{p/q} = (x^p)^{1/q} = (x^{1/q})^p$ . * Als $q$ oneven is, is $x^{p/q}$ gedefinieerd en continu op $]-\infty, +\infty[$ . * Als $q$ even is, is $x^{p/q}$ gedefinieerd en continu op $]0, +\infty[$ . * Voor negatieve rationale exponenten $x^{-p/q} = \frac{1}{x^{p/q}}$ . ### Veeltermfuncties * Een veeltermfunctie van de $n$-de graad is gedefinieerd, continu en afleidbaar op $]-\infty, +\infty[$ . ### Rationale functies * Een rationale functie is een quotiënt van twee veeltermfuncties . * Ze is continu en afleidbaar op elk open interval dat geen nulpunt van de noemer bevat . ### Exponentiële functie en logaritmische functie * De exponentiële functie $exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ convergeert absoluut in $\mathbb{C}$ . * Voor reële getallen: $exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ . * $exp(x)$ is continu en afleidbaar op $]-\infty, +\infty[$ met afgeleide $exp'(x) = exp(x)$ . * Belangrijke eigenschappen: $exp =1$, $exp =e$, $exp(z_1)exp(z_2) = exp(z_1+z_2)$ [1](#page=1). * $exp(-x) = \frac{1}{exp(x)}$, $exp(x) > 0$ voor alle $x \in \mathbb{R}$ . * $exp(x)$ is strikt stijgend op $]-\infty, +\infty[$ . * De natuurlijke logaritme $ln(x)$ is de inverse van $exp(x)$ . * $ln(x)$ is continu, afleidbaar en strikt stijgend op $]0, +\infty[$ . ### Veralgemeende exponentiële functie ### Algemene machtsfunctie ### Hyperbolische functies --- ## Oefeningen betreffende differentieerbaarheid en limieten ### Definitie van differentieerbaarheid * Een functie $f: R^n \to R$ is differentieerbaar in $\vec{a}$ als er een vector $\vec{A} \in R^n$ en een functie $\lambda: R^n \to R$ bestaat, met $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \lambda(\vec{x}) = 0$, zodanig dat: - $$f(\vec{x}) - f(\vec{a}) = (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{A} + \lambda(\vec{x})\|\vec{x} - \vec{a}\|, \quad \forall \vec{x} \neq \vec{a}$$ ### Implicaties van differentieerbaarheid * Als $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, dan is $f$ continu in $\vec{a}$ . * Indien $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, dan is $\vec{A} = \nabla f(\vec{a})$ . * De componenten van $\vec{A}$ zijn de partiële afgeleiden van $f$ in $\vec{a}$: $A_k = D_k f(\vec{a})$ . * Als $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, bestaan alle partiële afgeleiden van $f$ in $\vec{a}$ . * Als $f$ differentieerbaar is in $\vec{a}$, dan is de richtingsafgeleide in $\vec{a}$ volgens eenheidsvector $\vec{u}$ gegeven door $\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(\vec{a}) = \nabla f(\vec{a}) \cdot \vec{u}$ . * Indien $\nabla f(\vec{a}) \neq \vec{0}$, dan wordt de richting van snelste stijging vanuit $\vec{a}$ gegeven door $\nabla f(\vec{a})$ . ### Criterium voor differentieerbaarheid * Als alle partiële afgeleiden van $f$ bestaan in een omgeving van $\vec{a}$ en continu zijn in $\vec{a}$ zelf, dan is $f$ differentieerbaar in $\vec{a}$ . ### Continu differentieerbaarheid * Een functie $f: R^n \to R$ is continu differentieerbaar in een open verzameling $\Omega$ als alle partiële afgeleiden van $f$ continu zijn in $\Omega$ . * Continu differentieerbaarheid ($C^1(\Omega)$) is een sterkere eigenschap dan differentieerbaarheid . ### Hogere-orde afgeleiden * Partiële afgeleiden van de tweede orde worden genoteerd als $D_{jk} f$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}$, of $f_{x_j x_k}$ . * Functies kunnen $p$ maal continu differentieerbaar zijn ($f \in C^p(\Omega)$) als alle partiële afgeleiden van $p$-de orde continu zijn in $\Omega$ . - > **Tip:** Het bestaan van alle partiële afgeleiden in een punt impliceert niet noodzakelijk continuïteit of differentieerbaarheid in dat punt - > **Voorbeeld:** De functie $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ voor $(x,y) \neq (0,0)$ en $f(0,0)=0$ heeft partiële afgeleiden in $(0,0)$ ($D_1f(0,0)=0$, $D_2f(0,0)=0$) maar is niet continu en niet differentieerbaar in $(0,0)$ omdat de limiet van $f$ - in $(0,0)$ niet bestaat - > **Voorbeeld:** Voor $f(x,y) = \sin(xy^2)$ zijn de gemengde partiële afgeleiden $D_{12}f$ en $D_{21}f$ gelijk, wat geen algemene regel is --- ### Stelling van Schwarz en multivariabele polynomiale uitbreiding * Stelling 12.3.2 (Schwarz): Voor functies $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ met $f \in C^2(\Omega)$, geldt $D_{12}f(x,y) = D_{21}f(x,y)$ voor alle $(x,y) \in \Omega$ . * Voor functies van $n$ variabelen in de klasse $C^p(\Omega)$, is de volgorde van partiële afgeleiden van in totaal $p$ afgeleidingen onbelangrijk . * De formule voor $(x_1 + \dots + x_n)^p$ wordt gegeven door: - $$(x_1 + \dots + x_n)^p = \sum_{\substack{i_1 + \dots + i_n = p \\ i_j \ge 0}} \frac{p - }{i_1 - \dots i_n - } x_1^{i_1} \dots x_n^{i_n}$$ * Voor $n=2$, herkent men de binomiaalcoëfficiënt $\binom{p}{i_1}$ . ### Uitbreiding tot vectorfuncties * **Definitie 12.4.1:** Partiële afgeleide naar de $k$-de variabele van $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ in $\vec{a}$ is de limiet $\lim_{h \to 0} \frac{\vec{f}(\vec{a} + h\vec{e}_k) - \vec{f}(\vec{a})}{h}$ . * **Propositie 12.4.1:** De partiële afgeleide van $\vec{f}$ in $\vec{a}$ bestaat als en slechts als die van alle componenten $f_i$ bestaat. $D_k\vec{f}(\vec{a}) = \sum_{i=1}^m D_k f_i(\vec{a})\vec{e}_i$ . * **Definitie 12.4.2:** Een vectorfunctie $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ is differentieerbaar in $\vec{a}$ als elke component $f_i$ differentieerbaar is in $\vec{a}$ . * **Gevolg 12.4.2:** $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ is differentieerbaar in $\vec{a}$ als er een matrix $A$ bestaat zodat $\vec{f}(\vec{x}) - \vec{f}(\vec{a}) = A(\vec{x} - \vec{a}) + \vec{\lambda}(\vec{x})\|\vec{x} - \vec{a}\|$, met $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \vec{\lambda}(\vec{x}) = \vec{0}$ . * **Definitie 12.4.3:** De Jacobiaanse matrix $D\vec{f}$ van $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ met $\vec{f} \in C^1(\Omega)$ is: - $$D\vec{f} = \begin{pmatrix} D_1 f_1 & \dots & D_n f_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_1 f_m & \dots & D_n f_m \end{pmatrix}$$ ### De kettingregel * **Stelling 12.5.1:** Als $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ differentieerbaar is in $\vec{a}$ en $g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ differentieerbaar is in $\vec{b} = \vec{f}(\vec{a})$, dan is $h = g \circ \vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ differentieerbaar in $\vec{a}$ met $D_k h(\vec{a}) = \nabla g(\vec{b}) D_k \vec{f}(\vec{a})$ . * **Gevolg 12.5.4:** Als $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ differentieerbaar is in $\vec{a}$ en $\vec{g}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ differentieerbaar is in $\vec{b} = \vec{f}(\vec{a})$, dan is $\vec{h} = \vec{g} \circ \vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ differentieerbaar in $\vec{a}$ met $D\vec{h}(\vec{a}) = D\vec{g}(\vec{b})D\vec{f}(\vec{a})$ . * De kettingregel kan worden toegepast op functies met verschillende dimensies, wat leidt tot specifieke formules voor partiële afgeleiden . ### De middelwaardestelling * **Stelling 12.6.1:** Als $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ differentieerbaar is in een open deelverzameling $\Omega$, en het segment $[\vec{a}\vec{b}] \subset \Omega$, dan bestaat er $\vec{c} \in [\vec{a}\vec{b}]$ zodat $f(\vec{b}) - f(\vec{a}) = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \nabla f(\vec{c})$ . * **Gevolg 12.6.2:** Als $\nabla f(\vec{x}) = \vec{0}$ voor alle $\vec{x} \in \Omega$ (open en samenhangend), dan is $f(\vec{x})$ constant in $\Omega$ . * **Gevolg 12.6.3:** Als $\nabla f(\vec{x}) = \nabla g(\vec{x})$ voor functies $f, g$ differentieerbaar in $\Omega$, dan bestaat een constante $C$ zodanig dat $f(\vec{x}) = g(\vec{x}) + C$ . ### Differentiaal * **Definitie 12.7.1:** De lineaire benadering van $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ in $\vec{a}$ is $l(\vec{x}) = f(\vec{a}) + \nabla f(\vec{a}) \cdot (\vec{x} - \vec{a})$ . * **Definitie 12.7.2:** De differentiaal van $f$ in $\vec{a}$ is $df_{\vec{a}}: \vec{x} \mapsto (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \nabla f(\vec{a})$, vaak genoteerd als $df$ . * Notatie $d\vec{x} = (dx_1, \dots, dx_n)$ waar $dx_k = x_k - a_k$. Voor een differentieerbare functie $f$, geldt $df = \nabla f \cdot d\vec{x} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_k} dx_k$ . * **Definitie 12.7.4:** De differentiaal van een vectorfunctie $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ is $d\vec{f}: \vec{x} \mapsto D\vec{f} d\vec{x}$ . ### Homogene functies * **Definitie 12.8.1:** Een open verzameling $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ is een kegel met top $\vec{0}$ als voor elke $\vec{x} \in \Omega$ en $t > 0$, geldt dat $t\vec{x} \in \Omega$ . ### Formule van Taylor --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Absoluut Convergente Reeks | Een numerieke reeks ∑an wordt absoluut convergent genoemd als de reeks van de absolute waarden van de termen, ∑|an|, convergeert. | | Betrekkelijk Convergente Reeks | Een numerieke reeks ∑an wordt betrekkelijk convergent genoemd als de reeks zelf convergeert, maar de reeks van de absolute waarden van de termen, ∑|an|, divergeert. | | Criterium van Cauchy (voor Reeksen) | Een numerieke reeks ∑an convergeert als en slechts dan als er voor elke ε > 0 een natuurlijk getal M(ε) bestaat zodanig dat de absolute waarde van de som van termen van an+1 tot en met am kleiner is dan ε, voor alle m > n > M(ε). | | d’Alembert Test | Een test voor de convergentie van een reeks ∑an. Als de absolute waarde van de verhouding van opeenvolgende termen, $|a_{n+1}/a_n|$, vanaf een zekere rang kleiner of gelijk is aan r < 1, dan convergeert de reeks absoluut. Als deze verhouding groter of gelijk is aan 1, dan divergeert de reeks. | | Divergente Reeks | Een numerieke reeks waarbij de bijbehorende rij van partieelsommen divergeert. | | Harmonische Reeks | De reeks ∑∞ n=1 1/n, die gedefinieerd wordt als 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... en die divergeert. | | Hyperharmonische Reeks | De reeks ∑∞ n=1 1/n^p, waarbij p > 0. Deze reeks convergeert als p > 1 en divergeert als 0 < p ≤ 1. | | Limes Inferior (liminf) | De limiet van de rij vn, waarbij vn gedefinieerd is als de infimum van de termen ak van de oorspronkelijke rij (an) voor k ≥ n. Dit is de laagste mogelijke limiet die een deelrij kan benaderen. | | Limes Superior (limsup) | De limiet van de rij un, waarbij un gedefinieerd is als de supremum van de termen ak van de oorspronkelijke rij (an) voor k ≥ n. Dit is de hoogste mogelijke limiet die een deelrij kan benaderen. | | Leibniz Test | Een test voor de convergentie van wisselreeksen. Als (un) een dalende rij van positieve getallen is die naar 0 convergeert, dan convergeert de wisselreeks ∑(−1)^(n+1)un. | | Meetkundige Reeks | Een reeks van de vorm ∑∞ n=0 c^n = 1 + c + c^2 + ... + c^n + ..., waarbij c een complex getal is. Deze reeks convergeert naar 1/(1-c) als |c| < 1 en divergeert als |c| > 1. | | Numerieke Reeks | Een reeks van getallen, gevormd door de som van de termen van een numerieke rij (an), genoteerd als ∑∞ n=1 an. | | Term | Definitie | | Functierij | Een verzameling functies $(f_n)$ gedefinieerd op een verzameling $A$, waarbij voor elk natuurlijk getal $n$ een functie $f_n$ is gegeven. | | Puntsgewijze convergentie | Een functierij $(f_n)$ convergeert puntsgewijs in een verzameling $A$ naar een functie $f$ als voor elk punt $x \in A$ de numerieke rij van functiewaarden $(f_n(x))$ convergeert naar $f(x)$. | | Limietfunctie | De functie $f: A \to \mathbb{R}$ of $f: A \to \mathbb{C}$ die aan elke $x \in A$ de limiet van de convergente numerieke rij $(f_n(x))$ associeert. | | Uniforme convergentie | Een functierij $(f_n)$ convergeert uniform op een verzameling $A$ naar een functie $f$ als voor elke $\epsilon > 0$ een $N(\epsilon)$ bestaat zodanig dat voor alle $n > N(\epsilon)$ geldt dat $\sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$. | | Continuïteit van de limietfunctie | De eigenschap dat als een functierij $(f_n)$ uniform convergeert naar $f$ en alle functies $f_n$ continu zijn, de limietfunctie $f$ ook continu is. | | Integreerbaarheid van de limietfunctie | De eigenschap dat als een functierij $(f_n)$ uniform convergeert naar $f$ en alle functies $f_n$ integreerbaar zijn op een interval $[a,b]$, de limietfunctie $f$ ook integreerbaar is op $[a,b]$ en de integraal van $f$ gelijk is aan de limiet van de integralen van $f_n$. | | Afleidbaarheid van de limietfunctie | De eigenschap dat als een functierij $(f_n)$ puntsgewijs convergeert naar $f$, de rij van afgeleiden $(f'_n)$ uniform convergeert naar een functie $g$, en de afgeleiden $f'_n$ continu zijn, dan is $f$ afleidbaar en $f' = g$. | | Negatieve machtenreeks (NMR) | Een reeks van de vorm $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \frac{1}{(z-z_0)^n}$, waarbij de coëfficiënten $b_n$ niet noodzakelijk nul zijn voor alle $n$. Deze reeksen gedragen zich analoog aan positieve machtenreeksen, maar in gebieden die ontstaan na een inversie. | | eρ (radius van convergentie voor NMR) | De limiet van de $n$-de wortel van de absolute waarde van de coëfficiënten van een negatieve machtenreeks, $\rho := \limsup_{n \to \infty} |b_n|^{1/n}$. Deze waarde bepaalt het gebied van convergentie van de reeks. Als de rij $|b_n|^{1/n}$ onbegrensd is, stelt men $\rho = +\infty$. | | Singulariteit | Een punt $z_0$ waar een functie $f(z)$ niet analytisch is, maar wel analytisch is in een omgeving van $z_0$ met uitzondering van $z_0$ zelf. Een functie kan worden ontleed in een analytisch deel en een negatieve machtenreeksdeel rond de singulariteit. | | Pool | Een type singulariteit dat optreedt wanneer de negatieve machtenreeksontwikkeling van een functie rond een punt $z_0$ slechts een eindig aantal termen bevat. Dit betekent dat de functie zich gedraagt als $\frac{c}{(z-z_0)^k}$ voor een bepaald geheel getal $k \ge 1$ nabij $z_0$. | | Essentiële singulariteit | Een type singulariteit dat optreedt wanneer de negatieve machtenreeksontwikkeling van een functie rond een punt $z_0$ een oneindig aantal termen bevat. Het gedrag van de functie nabij een essentiële singulariteit is zeer complex. | | Rationale functie | Een functie die kan worden uitgedrukt als het quotiënt van twee veeltermen, $f(z) = \frac{P_m(z)}{Q_n(z)}$, waarbij $P_m(z)$ en $Q_n(z)$ veeltermen zijn en geen gemeenschappelijke factoren hebben. Rationale functies hebben polen op de nulpunten van de noemer. | | Multipliciteit van een pool | Het aantal keren dat een lineaire factor $(z-z_j)$ voorkomt in de ontbinding van de noemer van een rationale functie. Een pool met multipliciteit $k$ betekent dat de functie zich gedraagt als $\frac{c}{(z-z_j)^k}$ nabij $z_j$. | | Elementaire functie | Een wiskundig begrip dat wordt gedefinieerd door een opsomming van specifieke functies, in tegenstelling tot "speciale functies" die in meer geavanceerde literatuur worden behandeld. | | Natuurlijke machten | Functies van de vorm $x^n$, waarbij $n$ een natuurlijk getal is ($n \in \mathbb{N}$). Deze functies zijn gedefinieerd, continu en afleidbaar in het interval $]-\infty, +\infty[$. | | Gehele machten | Functies van de vorm $x^n$, waarbij $n$ een geheel getal is ($n \in \mathbb{Z}$). Dit omvat zowel natuurlijke machten als machten met negatieve exponenten, gedefinieerd als $x^{-n} := \frac{1}{x^n}$ voor $n \in \mathbb{N}$ en $x \neq 0$. | | Rationale machten | Functies van de vorm $x^{\frac{p}{q}}$, waarbij $p$ en $q$ natuurlijke getallen zijn die onderling ondeelbaar zijn en $q \neq 1$. Deze worden gedefinieerd als $(x^p)^{\frac{1}{q}}$ of $(x^{\frac{1}{q}})^p$. | | Veeltermfunctie | Een functie van de vorm $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$, waarbij $n$ een natuurlijk getal is en $a_0, a_1, \dots, a_n$ reële of complexe coëfficiënten zijn met $a_n \neq 0$. Deze functies zijn gedefinieerd, continu en afleidbaar in $]-\infty, +\infty[$. | | Rationele functie | Het quotiënt van twee veeltermfuncties. Een rationale functie is gedefinieerd, continu en afleidbaar in elk open interval dat geen nulpunt van de noemer bevat. | | Exponentiële functie | De functie, genoteerd als $\exp(z)$, gedefinieerd door de positieve machtenreeks $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n$. De restrictie tot de reële as, $\exp(x)$, is continu en afleidbaar in $]-\infty, +\infty[$ en voldoet aan de eigenschap $\exp(x_1)\exp(x_2) = \exp(x_1 + x_2)$. | | Logaritmische functie | De inverse functie van de exponentiële functie $\exp(x)$, genoteerd als $\ln x$. Deze functie is gedefinieerd, continu, afleidbaar en strikt stijgend in $]0, +\infty[$ en neemt waarden aan in $]-\infty, +\infty[$. | | Veralgemeende exponentiële functie | Een functie van de vorm $a^x$, waarbij $a$ een positief getal is ($a \neq 1$). Deze functie wordt gedefinieerd als $a^x := \exp(x \ln a)$ en is continu en afleidbaar in $]-\infty, +\infty[$. | | Circulaire functies | Een klasse van functies die gerelateerd zijn aan de eenheidscirkel, waaronder sinus ($\sin x$), cosinus ($\cos x$), tangens ($\tan x$) en cotangens ($\cot x$). Deze functies worden gedefinieerd met behulp van de exponentiële functie en complexe getallen. | | Cosinus | De functie $\cos x$, gedefinieerd als $\cos x := \frac{1}{2}(\exp(ix) + \exp(-ix))$. Het is een even functie, continu en afleidbaar in $]-\infty, +\infty[$ met afgeleide $D\cos x = -\sin x$. | | Sinus | De functie $\sin x$, gedefinieerd als $\sin x := \frac{1}{2i}(\exp(ix) - \exp(-ix))$. Het is een oneven functie, continu en afleidbaar in $]-\infty, +\infty[$ met afgeleide $D\sin x = \cos x$. | | Absoluut maximum | De hoogste functiewaarde die een functie aanneemt binnen een gegeven verzameling. Dit punt is gegarandeerd aanwezig voor continue functies op compacte verzamelingen volgens de stelling van Weierstrass. | | Absoluut minimum | De laagste functiewaarde die een functie aanneemt binnen een gegeven verzameling. Net als het absolute maximum wordt dit gegarandeerd voor continue functies op compacte verzamelingen. | | Compacte verzameling | Een gesloten en begrensde verzameling in een topologische ruimte. Voor continue functies op compacte verzamelingen garandeert de stelling van Weierstrass het bestaan van absolute extrema. | | Extremumonderzoek | Het proces van het vinden van de maximale en minimale waarden van een functie, zowel lokaal als globaal, binnen een bepaald domein of op een specifieke verzameling. | | Inwendige van een verzameling | De verzameling van alle punten in de verzameling die een open omgeving hebben die volledig binnen de verzameling ligt. Dit zijn de punten die niet op de rand van de verzameling liggen. | | Lokaal maximum | Een punt waar de functiewaarde hoger is dan in alle omliggende punten binnen een bepaalde omgeving. Dit betekent niet noodzakelijk dat het de hoogste waarde over het gehele domein is. | | Lokaal minimum | Een punt waar de functiewaarde lager is dan in alle omliggende punten binnen een bepaalde omgeving. Dit betekent niet noodzakelijk dat het de laagste waarde over het gehele domein is. | | Niet-open verzameling | Een verzameling die niet voldoet aan de definitie van een open verzameling. Dit kan betekenen dat de verzameling geen randpunten bevat, of dat deze wel randpunten bevat maar deze niet tot de verzameling rekent. | | Randpunten | De punten die de grens van een verzameling vormen. Deze punten liggen op de "rand" van de verzameling en kunnen wel of niet tot de verzameling zelf behoren, afhankelijk van of de verzameling gesloten is. | | Stelling van Bolzano | Een stelling die stelt dat als een continue functie op een interval zowel positieve als negatieve waarden aanneemt, deze functie minstens één keer de waarde nul moet aannemen binnen dat interval. | | Stelling van Weierstrass | Een fundamentele stelling in de analyse die stelt dat een continue functie op een compacte verzameling zowel een absoluut maximum als een absoluut minimum bereikt. | | Zadelpunt | Een punt in het domein van een functie van meerdere variabelen waar de functie een lokaal maximum heeft in één richting en een lokaal minimum in een andere richting. Het is geen lokaal extremum. | | Omkeren van integratievolgorde | Dit is een techniek die wordt toegepast bij het berekenen van meervoudige integralen, waarbij de volgorde van de differentiële elementen ($dx$ en $dy$) wordt verwisseld om de berekening te vereenvoudigen of mogelijk te maken. Het vereist een zorgvuldige analyse van het integratiegebied. | | Integratiegebied | Het gebied in het coördinatenstelsel waarop een meervoudige integraal wordt berekend. Bij het omkeren van de integratievolgorde moet de beschrijving van dit gebied worden aangepast aan de nieuwe volgorde van integratie. | | Cartesiaanse coördinaten | Een coördinatensysteem dat wordt gedefinieerd door twee of drie loodrechte assen (x, y, en z). Bij het omkeren van de integratievolgorde in cartesiaanse coördinaten, worden de grenzen van de integralen aangepast om de nieuwe volgorde te weerspiegelen. | | Poolcoördinaten | Een tweeledig coördinatensysteem waarbij een punt wordt gespecificeerd door een afstand tot de oorsprong (r) en een hoek ten opzichte van een referentierichting ($\theta$). Het omkeren van de integratievolgorde kan soms eenvoudiger zijn door over te schakelen naar poolcoördinaten, vooral voor gebieden met cirkelvormige symmetrie. | | Cilindercoördinaten | Een driedimensionaal coördinatensysteem dat een punt specificeert met een radiale afstand (r), een hoek ($\theta$) en een hoogte (z). Net als bij poolcoördinaten kan het omkeren van de integratievolgorde in cilindercoördinaten voordelig zijn voor bepaalde integratiegebieden. | | Grensverandering | Het proces van het aanpassen van de integratiegrenzen wanneer de volgorde van integratie wordt omgekeerd. Dit is cruciaal om ervoor te zorgen dat de integraal over hetzelfde gebied wordt berekend. | | Dubbele integraal | Een integraal van een functie van twee variabelen over een tweeledig gebied. Het omkeren van de integratievolgorde is een veelvoorkomende techniek bij het berekenen van dubbele integralen. | | Driedubbele integraal | Een integraal van een functie van drie variabelen over een driedimensionaal gebied. Het principe van het omkeren van de integratievolgorde kan ook worden toegepast op driedubbele integralen, waarbij de volgorde van $dx$, $dy$, en $dz$ wordt gewijzigd. | | Vectorieel product | Het vectorieel product van twee vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ is een vector die loodrecht staat op zowel $\vec{v}$ als $\vec{w}$. De richting wordt bepaald door de rechterhandregel en de grootte is gelijk aan het oppervlak van het parallellogram opgespannen door $\vec{v}$ en $\vec{w}$. | | Scalair product | Het scalair product van twee vectoren is een getal dat wordt verkregen door de componenten van de vectoren met elkaar te vermenigvuldigen en de resultaten op te tellen. Het is ook gelijk aan het product van de groottes van de vectoren en de cosinus van de hoek ertussen. | | Gemengd product | Het gemengd product van drie vectoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ en $\vec{w}$, genoteerd als $(\vec{u}\vec{v}\vec{w})$, is gelijk aan $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$. Dit product is nul als en slechts dan als de drie vectoren lineair afhankelijk zijn. | | Lineair afhankelijk | Een stel vectoren is lineair afhankelijk als ten minste één van de vectoren kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van de andere vectoren in het stel. | | Lineair onafhankelijk | Een stel vectoren is lineair onafhankelijk als geen enkele vector in het stel kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van de andere vectoren in het stel. | | Rechtshandige basis | Een stel van drie lineair onafhankelijke vectoren $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ vormt een rechtshandige basis als het gemengd product $(\vec{u}\vec{v}\vec{w})$ positief is. | | Linkshandige basis | Een stel van drie lineair onafhankelijke vectoren $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ vormt een linkshandige basis als het gemengd product $(\vec{u}\vec{v}\vec{w})$ negatief is. | | Identiteit van Lagrange | De identiteit van Lagrange voor twee vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ stelt dat de gekwadrateerde norm van hun vectorieel product gelijk is aan het verschil tussen het product van hun gekwadrateerde normen en het kwadraat van hun scalair product: $\| \vec{v} \times \vec{w} \|^2 = \| \vec{v} \|^2 \| \vec{w} \|^2 - (\vec{v} \cdot \vec{w})^2$. | | Coördinaatvoorstelling | Een coördinaatvoorstelling van een vectoroperatie geeft de uitkomst van de operatie uitgedrukt in de componenten van de betrokken vectoren ten opzichte van een gegeven basis. | | Parallellepipedum | Een parallellepipedum is een driedimensionaal lichaam waarvan alle zijden parallellogrammen zijn. Het kan worden opgespannen door drie vectoren die uit één punt vertrekken. | | Veld | Een verzameling met twee binaire bewerkingen (optelling en vermenigvuldiging) die voldoen aan specifieke axioma's, zoals commutativiteit, associativiteit, het bestaan van een nul- en eenheidselement, en het bestaan van tegengestelde en omgekeerde elementen (behalve voor nul). | | Commutatieve optelling | De eigenschap van optelling waarbij de volgorde van de operanden de uitkomst niet beïnvloedt, formeel uitgedrukt als $a + b = b + a$ voor alle $a, b$ in de verzameling. | | Associatieve optelling | De eigenschap van optelling waarbij de groepering van operanden de uitkomst niet beïnvloedt, formeel uitgedrukt als $(a + b) + c = a + (b + c)$ voor alle $a, b, c$ in de verzameling. | | Nul-element | Een speciaal element in een verzameling met optelling, genoteerd als 0, zodanig dat voor elk element $a$ geldt dat $0 + a = a$ en $a + 0 = a$. | | Tegengestelde | Voor elk element $a$ in een verzameling met optelling bestaat er een uniek element, genoteerd als $-a$, zodanig dat $a + (-a) = 0$ en $(-a) + a = 0$. | | Commutatieve vermenigvuldiging | De eigenschap van vermenigvuldiging waarbij de volgorde van de operanden de uitkomst niet beïnvloedt, formeel uitgedrukt als $a \cdot b = b \cdot a$ voor alle $a, b$ in de verzameling. | | Associatieve vermenigvuldiging | De eigenschap van vermenigvuldiging waarbij de groepering van operanden de uitkomst niet beïnvloedt, formeel uitgedrukt als $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ voor alle $a, b, c$ in de verzameling. | | Eenheidselement | Een speciaal element in een verzameling met vermenigvuldiging, genoteerd als 1 (en verschillend van 0), zodanig dat voor elk element $a$ geldt dat $1 \cdot a = a$ en $a \cdot 1 = a$. | | Omgekeerde | Voor elk element $a$ in een verzameling met vermenigvuldiging, dat niet nul is, bestaat er een uniek element, genoteerd als $1/a$, zodanig dat $a \cdot (1/a) = 1$ en $(1/a) \cdot a = 1$. | | Distributieve eigenschap | De eigenschap die de relatie tussen optelling en vermenigvuldiging beschrijft, namelijk dat vermenigvuldiging "verdeeld" kan worden over optelling: $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ en $(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$. | | Orde-axioma | Een axioma dat de structuur van "groter dan" of "kleiner dan" definieert op een verzameling, door middel van een verzameling van positieve getallen die gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging, en waarbij elk getal ofwel positief is, ofwel nul, ofwel het tegengestelde van een positief getal. | | Positief getal | Een reëel getal dat behoort tot de specifieke niet-ledige deelverzameling P van R, die de basis vormt voor de ordening. | | Ophopingspunt | Een punt $c$ is een ophopingspunt van een verzameling $A \subset \mathbb{R}$ als elke $\delta$-omgeving van $c$ een punt van $A$, verschillend van $c$, bevat. Dit betekent dat voor elke $\delta > 0$ er een punt $a \in A$ bestaat, met $a \neq c$, waarvoor geldt dat $|a - c| < \delta$. | | Limiet van een functie | De limiet van een functie $f(x)$ als $x$ nadert tot $c$, genoteerd als $\lim_{x\to c} f(x) = L$, betekent dat voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\delta(\varepsilon) > 0$ bestaat zodanig dat als $x \in A$ en $0 < |x - c| < \delta(\varepsilon)$, dan geldt $|f(x) - L| < \varepsilon$. | | Begrensdheid in een omgeving | Een functie $f$ is begrensd in een omgeving van een punt $c$ als er een $\delta$-omgeving $V_\delta(c)$ van $c$ bestaat waarvoor $f$ begrensd is op het snijpunt van het domein van $f$ en deze omgeving, $dom f \cap V_\delta(c)$. | | Rechterlimiet | Als $c$ een ophopingspunt is van $A \cap ]c, +\infty[$, dan heeft $f$ een rechterlimiet $L$ in $c$, genoteerd als $\lim_{x\to > c} f(x) = f(c^+) = L$, als voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\delta(\varepsilon) > 0$ bestaat zodanig dat als $x \in A$ en $0 < x - c < \delta(\varepsilon)$, dan geldt $|f(x) - L| < \varepsilon$. | | Linkerlimiet | Als $c$ een ophopingspunt is van $A \cap ]-\infty, c[$, dan heeft $f$ een linkerlimiet $L$ in $c$, genoteerd als $\lim_{x\to < c} f(x) = f(c^-) = L$, als voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\delta(\varepsilon) > 0$ bestaat zodanig dat als $x \in A$ en $0 < c - x < \delta(\varepsilon)$, dan geldt $|f(x) - L| < \varepsilon$. | | Limiet naar oneindig | Een functie $f(x)$ streeft naar $+\infty$ als $x$ nadert tot $c$, genoteerd als $\lim_{x\to c} f(x) = +\infty$, als voor elk reëel getal $\alpha$ er een $\delta(\alpha) > 0$ bestaat zodanig dat $f(x) > \alpha$ zodra $0 < |x - c| < \delta$. | | Limiet op oneindig | De limiet van $f(x)$ als $x$ nadert tot $+\infty$, genoteerd als $\lim_{x\to +\infty} f(x) = L$, betekent dat voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\alpha(\varepsilon) \in \mathbb{R}$ bestaat zodanig dat $|f(x) - L| < \varepsilon$ zodra $x > \alpha(\varepsilon)$. | | Continuïteit in een punt | Een functie $f$ is continu in een punt $c \in A$ als voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\delta(\varepsilon) > 0$ bestaat zodanig dat $|f(x) - f(c)| < \varepsilon$ zodra $|x - c| < \delta$ en $x \in A$. | | Continue extensie | Een functie $f_{ext}: A \cup \{c\} \to \mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ is de continue extensie van een functie $f$ in het punt $c$ als $f$ continu is op $A$, $c$ een ophopingspunt is van $A$, $f$ niet gedefinieerd is in $c$, en $\lim_{x\to c} f(x) = L$, waarbij $f_{ext}(x) = f(x)$ voor $x \in A$ en $f_{ext}(c) = L$. | | Riemannintegraal | Een integraalconcept dat globaal over een gegeven eindig interval $[a,b]$ wordt ingevoerd, waarbij het interval wordt opgesplitst in deelintervallen en de som van de producten van de functiewaarde op een gekozen punt in elk deelinterval en de lengte van dat deelinterval wordt beschouwd. | | Partitie | Een opsplitsing van een interval $[a,b]$ in een eindig aantal niet-overlappende deelintervallen, gedefinieerd als $P := \{a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b\}$. | | Norm van de partitie | De lengte van het grootste deelinterval in een partitie $P$, gedefinieerd als $\| P \| := \max\{x_1 - x_0, x_2 - x_1, \dots, x_n - x_{n-1}\}$. | | Gelabelde partitie | Een partitie $P$ samen met een verzameling van geselecteerde punten $\{t_j : j = 1, \dots, n\}$, één punt uit elk deelinterval $[x_{j-1}, x_j]$, genoteerd als $\dot{P} := \{([x_{j-1}, x_j], t_j) : j = 1, \dots, n\}$. | | Riemannsom | Een som van de vorm $S(f; \dot{P}) := \sum_{j=1}^{n} f(t_j)(x_j - x_{j-1})$, die afhangt van de functie $f$, de gelabelde partitie $\dot{P}$ en het interval $[a,b]$. | | Riemannintegreerbaar | Een functie $f$ wordt riemannintegreerbaar genoemd over $[a,b]$ als er een getal $L$ bestaat zodanig dat voor elke $\varepsilon > 0$, er een $\delta(\varepsilon) > 0$ bestaat waarvoor $|S(f; \dot{P}) - L| < \varepsilon$ voor elke gelabelde partitie $\dot{P}$ met $\| \dot{P} \| < \delta(\varepsilon)$. | | Uitgebreide Riemannintegraal | Een concept dat het integraalbegrip uitbreidt tot onbegrensde functies, gedefinieerd als een limiet van Riemannintegralen over deelintervallen wanneer deze deelintervallen naar de punten van onbegrensdheid naderen. | | Convergentie van een integraal | Een uitgebreide Riemannintegraal convergeert als de bijbehorende limiet van Riemannintegralen bestaat en een eindige waarde aanneemt. | | Divergentie van een integraal | Een uitgebreide Riemannintegraal divergeert als de bijbehorende limiet van Riemannintegralen niet bestaat of oneindig is. | | Maat nul | Een verzameling reële getallen heeft maat nul als deze kan worden overdekt door een aftelbare verzameling open intervallen waarvan de totale lengte willekeurig klein kan worden gemaakt. | | Criterium van Lebesgue | Een functie $f$ is riemannintegreerbaar over $[a,b]$ als en slechts dan als $f$ begrensd is op $[a,b]$ en de verzameling van discontinuïteitspunten van $f$ in $[a,b]$ maat nul heeft. | | Riemann-integraal | Een getal L dat bestaat zodanig dat voor elke ε > 0 een δ(ε) > 0 kan worden gevonden, waarvoor de absolute waarde van het verschil tussen een Riemannsom S(f, P⃗C) en L kleiner is dan ε, voor elke gelabelde partitie P⃗C met een norm kleiner dan δ(ε). Dit getal L is de waarde van de Riemannintegraal van f over het interval I. | | Norm van een partitie | De grootste diameter van de deelintervallen in een partitie P. In R2 is dit de grootste waarde van $\sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_j - y_{j-1})^2}$, en in R3 is dit de grootste waarde van $\sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_j - y_{j-1})^2 + (z_k - z_{k-1})^2}$. | | X-projecteerbare kromme | Een kromme in R2 van de vorm {(x,y) | y = $\phi$(x), x ∈ [a,b], $\phi$ continu}. | | Y-projecteerbare kromme | Een kromme in R2 van de vorm {(x,y) | x = $\psi$(y), y ∈ [c,d], $\psi$ continu}. | | Projecteerbaar oppervlak | Een oppervlak in R3 dat voldoet aan één van de definities van XY-, YZ- of ZX-projecteerbare oppervlakken. | | Middelwaardestelling van de integraalrekening | Voor een continue functie f in een gesloten interval I, bestaat er een punt ⃗c ∈ I zodanig dat de integraal van f over I gelijk is aan de functiewaarde in ⃗c vermenigvuldigd met de oppervlakte (in R2) of het volume (in R3) van I. | | Volume | De hoeveelheid driedimensionale ruimte die een object inneemt. In de context van deze oefeningen wordt het volume vaak berekend met behulp van meervoudige integralen over een bepaald gebied. | | Integraal | Een wiskundige bewerking die het "optellen" van oneindig veel kleine delen vertegenwoordigt om een totaal te verkrijgen, zoals het berekenen van oppervlaktes of volumes. | | Integratievolgorde | De volgorde waarin de variabelen in een meervoudige integraal worden geïntegreerd. Het omkeren van de integratievolgorde kan soms de berekening vereenvoudigen. | | Massamiddelpunt | Het gemiddelde punt van alle punten in een object, gewogen naar hun massa. Het is het punt waar het object in evenwicht zou zijn als het daar werd ondersteund. | | Kegel | Een driedimensionaal geometrisch lichaam dat wordt gevormd door een platte basis (meestal een cirkel) en een punt (de top), waarbij alle punten op de omtrek van de basis zijn verbonden met de top door rechte lijnen. | | Cilinder | Een driedimensionaal geometrisch lichaam dat wordt gevormd door twee parallelle, congruente vlakke bases (meestal cirkels) en een gebogen oppervlak dat de bases verbindt. | | Paraboloïde | Een driedimensionaal oppervlak dat wordt gevormd door het roteren van een parabool rond zijn symmetrieas. | | Sfeer | Een driedimensionaal geometrisch object dat bestaat uit alle punten die zich op een constante afstand (de straal) bevinden van een centraal punt (het middelpunt). | | Domein van integratie | Het gebied in de ruimte waarover een integraal wordt berekend. Dit kan een gebied in het $xy$-vlak zijn voor een dubbele integraal, of een volume in de driedimensionale ruimte voor een driedubbele integraal. | | Integratievolgorde omkeren | Het aanpassen van de volgorde van de differentiëlen in een meervoudige integraal, bijvoorbeeld van $dy dx$ naar $dx dy$, om de berekening te vereenvoudigen of mogelijk te maken. Dit vereist vaak een herdefiniëring van de integratiegrenzen. | | Transformatie | Een functie die punten van de ene ruimte naar de andere afbeeldt. Bij het berekenen van integralen kan een transformatie worden gebruikt om een complex integratiegebied te vereenvoudigen door het naar een eenvoudiger gebied af te beelden. | | Begrensd | Een functie is begrensd op een interval als er een bovengrens en een ondergrens bestaat voor de functiewaarden op dat interval. | | Continuïteit op een gesloten interval | Een functie $f$ is continu op een gesloten interval $[a,b]$ als de limiet van $f(x)$ gelijk is aan $f(c)$ voor elke $c$ in het open interval $]a,b[$, de linkerlimiet van $f(x)$ gelijk is aan $f(b)$ als $x$ naar $b$ gaat, en de rechterlimiet van $f(x)$ gelijk is aan $f(a)$ als $x$ naar $a$ gaat. | | Gesloten begrensd interval | Een interval van de vorm $[\eta, \xi]$, waarbij $\eta$ de infimum en $\xi$ de supremum van de functiewaarden op een bepaald interval is. | | Infimum | Het grootste onder de ondergrenzen van een verzameling getallen. | | Supremum | Het kleinste boven de bovengrenzen van een verzameling getallen. | | Stelling van Bolzano I | Als een functie $f$ continu is op een gesloten interval $[a,b]$ en $f(a)$ en $f(b)$ tegengestelde tekens hebben, dan bestaat er een punt $c$ in het open interval $]a,b[$ waarvoor $f(c) = 0$. | | Stelling van Bolzano II | Als een functie $f$ continu is op een gesloten interval $[a,b]$ en $\alpha$ een reëel getal is tussen $f(a)$ en $f(b)$, dan bestaat er een punt $c$ in het open interval $]a,b[$ waarvoor $f(c) = \alpha$. | | Stelling van Weierstraß | Als een functie $f$ continu is op een gesloten interval $[a,b]$, dan bereikt de functie zowel een minimum als een maximum op dat interval. | | Positieve machtenreeks (PMR) | Een functiereeks van de vorm $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z - z_0)^n$, waarbij $a_n$ reële of complexe coëfficiënten zijn en $z_0$ een vast punt in het complexe vlak is. Deze reeks wordt ook wel een PMR in machten van $(z - z_0)$ genoemd. | | Convergentiestraal (R) | Een eigenschap van een positieve machtenreeks die de grootte van de open schijf bepaalt waarbinnen de reeks convergeert. De convergentiestraal $R$ wordt gedefinieerd op basis van de limiet van de $n$-de wortel van de absolute waarde van de coëfficiënten, $\rho = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$. Specifiek geldt: $R = 0$ als $\rho = +\infty$, $R = 1/\rho$ als $0 < \rho < +\infty$, en $R = +\infty$ als $\rho = 0$. | | Analytische functie | Een functie $f(z)$ die in de omgeving van een punt $z_0$ kan worden voorgesteld door een positieve machtenreeks met een convergentiestraal $R > 0$. Een functie is analytisch in een open gebied $\Omega$ als deze analytisch is in de omgeving van elk punt in $\Omega$. | | Reëel-analytische functie | Een functie $f(x)$ die op een open interval $]a,b[$ kan worden voorgesteld door een positieve machtenreeks rond elk punt $x_0 \in ]a,b[$ met een positieve convergentiestraal $R$. Dit betekent dat $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ voor $x \in ]x_0-R, x_0+R[$. | | Partiele som | De som van de eerste $N$ termen van een functiereeks. Voor een reeks $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ is de $N$-de partiele som $s_N(x) = \sum_{n=1}^{N} f_n(x)$. De convergentie van de functiereeks wordt bepaald door de convergentie van de rij van partieelsommen. | | M-test van Weierstraß | Een criterium om de uniforme convergentie van een functiereeks aan te tonen. Als er voor elke term $f_n(x)$ van de reeks $\sum f_n(x)$ een getal $M_n$ bestaat zodanig dat $\sup_{x \in A} |f_n(x)| \leq M_n$ en de numerieke reeks $\sum M_n$ convergeert, dan convergeert $\sum f_n(x)$ uniform op $A$. | | Inwendig punt | Een punt $\vec{a}$ van een verzameling $S \subset R^n$ is een inwendig punt als er een $\epsilon$-omgeving $B(\vec{a};\epsilon)$ van $\vec{a}$ bestaat die volledig tot $S$ behoort. | | Uitwendig punt | Een punt $\vec{a} \in R^n$ is een uitwendig punt van een verzameling $S \subset R^n$ als er een $\epsilon$-omgeving $B(\vec{a};\epsilon)$ van $\vec{a}$ bestaat die volledig tot het complement van $S$ behoort. | | Randpunt | Een punt $\vec{a} \in R^n$ dat noch een inwendig, noch een uitwendig punt is van een verzameling $S \subset R^n$, wordt een randpunt van $S$ genoemd. | | Open verzameling | Een deelverzameling $\Omega \subset R^n$ heet open indien elk punt van $\Omega$ een inwendig punt is. | | Gesloten verzameling | Een verzameling $S \subset R^n$ heet gesloten indien haar complement in $R^n$ open is. | | Begrensde verzameling | Een deelverzameling $S \subset R^n$ heet begrensd indien er een $M > 0$ bestaat zodanig dat $\| \vec{x} \| \leq M$ voor alle $\vec{x} \in S$. | | Rij in Rn | Een rij in $R^n$ is een functie gedefinieerd op de natuurlijke getallen $\mathbb{N}$, met waarden in $R^n$. | | Convergente rij | Een rij $(\vec{a}_m)$ in $R^n$ convergeert naar $\vec{\alpha} \in R^n$ als er voor elke $\epsilon > 0$ een natuurlijk getal $N(\epsilon)$ bestaat, zodanig dat $\| \vec{a}_m - \vec{\alpha} \| < \epsilon$ zodra $m \geq N(\epsilon)$. | | Cauchy-rij | Een rij $(\vec{a}_m)$ in $R^n$ wordt een Cauchy-rij genoemd als voor elke $\epsilon > 0$ er een $N \in \mathbb{N}$ bestaat zodanig dat $\| \vec{a}_p - \vec{a}_q \| < \epsilon$ zodra $p > N$ en $q > N$. | | Stelling van Bolzano-Weierstrass (voor rijen) | Elke begrensde rij in $R^n$ bezit een convergente deelrij. | | Kritisch punt | Een inwendig punt van het domein van een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, waar $f$ differentieerbaar is en de gradiënt $\nabla f$ gelijk is aan de nulvector ($\nabla f(\vec{a}) = \vec{0}$). | | Kwadratische vorm | Geassocieerd met de tweede-orde partiële afgeleiden van een functie $f$, gedefinieerd als $\Phi(\vec{h}) = (\vec{h} \cdot \nabla)^2 f(\vec{a}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n h_i h_j D_{ij} f(\vec{a})$ voor $\vec{h} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\vec{0}\}$. | | Nodige voorwaarde voor extremum | Als een differentieerbare functie $f$ een lokaal extremum bereikt in een inwendig punt $\vec{a}$ van haar domein, dan moet de gradiënt van $f$ in dat punt nul zijn: $\nabla f(\vec{a}) = \vec{0}$. | | Partiële afgeleide van de tweede orde | Dit zijn de partiële afgeleiden van de eerste-orde partiële afgeleiden van een functie. Voor een functie $f: R^n \to R$ verkrijgt men $n^2$ functies van de vorm $D_j(D_k f)$, wat ook genoteerd kan worden als $D_{k j} f$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}$, of $f_{x_j x_k}$. | | Continu differentieerbaar | Een functie $f: R^n \to R$ wordt continu differentieerbaar genoemd in een open verzameling $\Omega$ als al haar partiële afgeleiden continu zijn in $\Omega$. Deze verzameling functies wordt genoteerd als $C^1(\Omega)$. | | Hogere-orde partiële afgeleiden | Dit zijn partiële afgeleiden die verkregen worden door herhaaldelijk partiële afgeleiden te nemen van een functie. De $p$-de orde partiële afgeleiden worden ingevoerd door opvolgende afleidingen te nemen. | | $p$ maal continu differentieerbaar | Een functie $f: R^n \to R$ wordt $p$ maal continu differentieerbaar genoemd in een open verzameling $\Omega$ als al haar partiële afgeleiden van de $p$-de orde continu zijn in $\Omega$. Dit wordt genoteerd als $f \in C^p(\Omega)$. | | Gemengde afgeleiden | Dit zijn partiële afgeleiden waarbij de volgorde van afleiding tussen verschillende variabelen verschilt, bijvoorbeeld $D_{12} f$ en $D_{21} f$. De stelling van Schwarz stelt dat onder bepaalde voorwaarden deze gemengde afgeleiden gelijk zijn. | | Stelling van Schwarz | Deze stelling stelt dat als een functie $f: R^2 \to R$ tweemaal continu differentieerbaar is in een open verzameling $\Omega$ (dus $f \in C^2(\Omega)$), dan zijn de gemengde partiële afgeleiden gelijk: $D_{12} f(x,y) = D_{21} f(x,y)$ voor alle $(x,y) \in \Omega$. | | Jacobiaanse matrix | Voor een continu differentieerbare vectorfunctie $\vec{f}: R^n \to R^m$, genoteerd als $\vec{f} \in C^1(\Omega)$, is de Jacobiaanse matrix een $m \times n$ matrix waarvan de elementen de partiële afgeleiden van de componentfuncties van $\vec{f}$ zijn. De matrix wordt genoteerd als $D\vec{f}$ en heeft de vorm: $$D\vec{f} = \begin{pmatrix} D_1 f_1 & \cdots & D_n f_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_1 f_m & \cdots & D_n f_m \end{pmatrix}$$ | | Kettingregel | Dit is een fundamentele regel in de differentiaalrekening die beschrijft hoe de afgeleide van een samengestelde functie wordt berekend. Voor vectorfuncties stelt de regel dat de Jacobiaanse matrix van de samengestelde functie het product is van de Jacobiaanse matrices van de individuele functies: $D\vec{h}(\vec{a}) = D\vec{g}(\vec{b})D\vec{f}(\vec{a})$, waarbij $\vec{h} = \vec{g} \circ \vec{f}$. | | Totale afgeleide | In de context van functies die impliciet afhangen van een parameter, zoals $w = g(x(t), y(t), z(t), t)$, verwijst de totale afgeleide van $w$ naar $t$ naar de som van alle bijdragen aan de verandering van $w$ door de veranderingen in de tussenliggende variabelen en de directe afhankelijkheid van $t$. Dit wordt berekend met behulp van de kettingregel. | | Middelwaardestelling voor functies van meerdere variabelen | Voor een differentieerbare functie $f: R^n \to R$ en een segment $[\vec{a}, \vec{b}]$ binnen haar domein $\Omega$, bestaat er een punt $\vec{c}$ op dit segment waarvoor geldt dat $f(\vec{b}) - f(\vec{a}) = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \nabla f(\vec{c})$. Dit is een uitbreiding van de middelwaardestelling voor functies van één variabele. | | Positief definiet | Een eigenschap van een matrix waarbij de bijbehorende kwadratische vorm strikt positief is voor alle niet-nul vectoren. | | Negatief definiet | Een eigenschap van een matrix waarbij de bijbehorende kwadratische vorm strikt negatief is voor alle niet-nul vectoren. | | Indefiniet | Een eigenschap van een matrix waarbij de bijbehorende kwadratische vorm zowel positieve als negatieve waarden aanneemt voor verschillende niet-nul vectoren. | | Eigenwaarden | Scalaire waarden die geassocieerd zijn met een lineaire transformatie, die de mate van rek of krimp langs bepaalde richtingen aangeven. | | Discriminant | Een waarde die wordt berekend uit de coëfficiënten van een kwadratische vorm en die informatie geeft over de aard van de extrema (minimum, maximum of zadelpunt). | | Taylorreeks | Een representatie van een functie als een oneindige som van termen die worden berekend uit de waarden van de afgeleiden van de functie op één punt. | | Hoofdminorentest | Een methode om de definitie van een symmetrische matrix te bepalen aan de hand van de determinanten van zijn hoofdminoren. | | Drievoudige integraal | Een integraal over een driedimensionaal gebied, wat de som is van de functiewaarden vermenigvuldigd met de volume-elementen van dat gebied. | | Opeenvolgende integratie | Een methode om meerdimensionale integralen te berekenen door ze te herschrijven als een reeks enkelvoudige integralen, waarbij telkens één variabele wordt geïntegreerd terwijl de andere als constant worden beschouwd. | | Integreerbaar | Een functie wordt integreerbaar genoemd over een bepaald gebied als de limiet van de Riemannsommen bestaat en onafhankelijk is van de keuze van de partitie en de representatieve punten. | | X-projecteerbaar gebied | Een gebied in het 2D-vlak dat kan worden beschreven als $\{(x,y) : a \le x \le b, \phi_1(x) \le y \le \phi_2(x)\}$, waarbij $\phi_1$ en $\phi_2$ continue functies zijn. | | Y-projecteerbaar gebied | Een gebied in het 2D-vlak dat kan worden beschreven als $\{(x,y) : c \le y \le d, \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)\}$, waarbij $\psi_1$ en $\psi_2$ continue functies zijn. | | XY-projecteerbaar gebied | Een gebied in het 3D-ruimte dat kan worden beschreven als $\{(x,y,z) : (x,y) \in G_{xy}, \phi_1(x,y) \le z \le \phi_2(x,y)\}$, waarbij $G_{xy}$ een begrensd gebied in het xy-vlak is en $\phi_1, \phi_2$ continue functies zijn. | | Oppervlakte-element | Een infinitesimaal klein oppervlakte-element, vaak aangeduid als $dA$ of $dxdy$ in de context van dubbele integralen. | | Volume-element | Een infinitesimaal klein volume-element, vaak aangeduid als $dV$ of $dxdydz$ in de context van drievoudige integralen. | | Integraal over een gebied G | De integraal van een functie over een willekeurig gebied G, die gedefinieerd wordt door de integraal van een uitgebreide functie $f^*$ over een interval I die G bevat, waarbij $f^*$ gelijk is aan de oorspronkelijke functie binnen G en nul daarbuiten. | | Vrije vector | Een klasse van equipollente puntenkoppels, gekenmerkt door een richting, een zin en een lengte (norm), maar zonder vaste positie in de ruimte. | | Equipollent | Puntenkoppels (P,Q) en (P′,Q′) die equipollent zijn als ze voldoen aan specifieke meetkundige voorwaarden, zoals het vormen van een parallellogram of een gelijkwaardige relatie, wat impliceert dat ze dezelfde vrije vector representeren. | | Norm van een vector | De lengte van een vector, genoteerd als ∥⃗v∥, die gelijk is aan de afstand tussen twee willekeurige punten P en Q die een representant van de vector bepalen. | | Nulvector | De vector die wordt bepaald door elk koppel identieke punten (P,P). Het is de enige vector met norm 0 en bezit geen richting noch zin. | | Eenheidsvector (genormeerde vector) | Een vector waarvan de norm gelijk is aan 1. | | Translatie | Een permutatie van de puntenruimte die een punt P afbeeldt op een punt P′ zodanig dat ⃗PP′ de translatievector is. | | Som van vectoren | De vector ⃗v + ⃗w, verkregen door twee vectoren ⃗v en ⃗w te representeren met op elkaar aansluitende puntenkoppels (P,Q) en (Q,R); de som is dan de vector met representant (P,R). | | Scalair | Een reëel getal dat gebruikt wordt om een vector te vermenigvuldigen, resulterend in een nieuwe vector die parallel is aan de oorspronkelijke vector en waarvan de lengte wordt aangepast met de absolute waarde van de scalair. | | Lineaire ruimte | Een verzameling vectoren met gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met scalairen die voldoen aan specifieke axioma's, zoals associativiteit, commutativiteit en distributiviteit. | | Lineaire combinatie | Een vector ⃗v die kan worden uitgedrukt als de som van scalairen vermenigvuldigd met andere vectoren, d.w.z. ⃗v = s1⃗v1 +... +sn⃗vn. | | Lineair afhankelijk stel vectoren | Een stel vectoren (⃗v1,...,⃗vn) waarvoor er een stel scalairen (s1,..., sn) ̸= (0,..., 0) bestaat zodanig dat s1⃗v1 +... +sn⃗vn =⃗0. | | Lineair onafhankelijk stel vectoren | Een stel vectoren waarvoor de enige oplossing van s1⃗v1 +... +sn⃗vn =⃗0 is dat alle scalairen s1,..., sn gelijk zijn aan nul. | | Primitieveerbaarheid | Een functie $f:]a,b[ \to \mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ is primitieveerbaar in $]a,b[$ als er een functie $F:]a,b[ \to \mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ bestaat die afleidbaar is in $]a,b[$ en waarvoor geldt dat $F' = f$ in $]a,b[$. De functie $F$ wordt een primitieve van $f$ genoemd. | | Primitieve (functie) | Een functie $F$ die afleidbaar is in een interval $]a,b[$ en waarvan de afgeleide $F'$ gelijk is aan de functie $f$ in datzelfde interval. | | Verzamelingsnotatie voor primitieven | De verzameling van alle primitieven van een primitieveerbare functie $f$ in $]a,b[$ wordt genoteerd als $\int f$ of $\int f(x)dx$. | | Continuïteit als voldoende voorwaarde | Als een functie $f$ continu is in een interval $I$, dan is $f$ gegarandeerd primitieveerbaar in $I$. Dit is echter geen noodzakelijke voorwaarde. | | Primitieveerbaarheid en intervallen | Primitieveerbaarheid is geen lokale eigenschap, maar wordt gedefinieerd over een specifiek interval. Een functie kan primitieveerbaar zijn in het ene interval maar niet in het andere. | | Stelling 4.6.1 | Als een functie $f$ continu is in een interval $I$, dan is $f$ primitieveerbaar in $I$. | | Gevolg 5.1.9 | Als een functie $f$ continu is op een gesloten interval $[a,b]$, dan is de functie $F(x) := \int_a^x f(t)dt$ een primitieve van $f$ in $[a,b]$. | | Stelling 5.1.8 | Als een functie $f$ continu is op $[a,b]$, dan is de functie $F(x) := \int_a^x f(t)dt$ afleidbaar in $[a,b]$ en geldt $F'(x) = f(x)$ voor alle $x \in [a,b]$. | | Additieve constante bij primitieven | Als $F$ een primitieve is van $f$ in $]a,b[$, dan zijn alle functies van de vorm $F+C$, waarbij $C$ een willekeurige constante is, ook primitieven van $f$ in $]a,b[$. | | n-dimensionale reële ruimte Rn | De verzameling van alle geordende n-tallen $(x_1, x_2, ..., x_n)$, waarbij elke $x_k$ een reëel getal is. Deze ruimte wordt vaak genoteerd als $R^n$ en vormt de basis voor het bestuderen van functies van meerdere variabelen. | | Component van een vector | Elk van de individuele reële getallen $x_k$ in een geordend n-tal $(x_1, x_2, ..., x_n)$ dat een element van $R^n$ voorstelt. De $k$-de component is $x_k$. | | Optelling in Rn | Een bewerking gedefinieerd voor twee vectoren $\vec{x} = (x_1, ..., x_n)$ en $\vec{y} = (y_1, ..., y_n)$ in $R^n$, resulterend in $\vec{x} + \vec{y} = (x_1 + y_1, ..., x_n + y_n)$. Deze bewerking voldoet aan commutativiteit en associativiteit. | | Vermenigvuldiging met een reëel getal in Rn | Een bewerking gedefinieerd voor een reëel getal $t$ en een vector $\vec{x} = (x_1, ..., x_n)$ in $R^n$, resulterend in $t\vec{x} = (tx_1, ..., tx_n)$. Deze bewerking voldoet aan distributieve en associatieve eigenschappen. | | Lineaire ruimte (vectorruimte) | Een verzameling met twee bewerkingen, optelling en vermenigvuldiging met een scalair, die voldoen aan een reeks axioma's (zoals commutativiteit, associativiteit, distributiviteit). $R^n$ is een voorbeeld van een lineaire ruimte over de reële getallen. | | Basis van een lineaire ruimte | Een stel vectoren dat lineair onafhankelijk is en de gehele ruimte voortbrengt, zodat elk element van de ruimte als een lineaire combinatie van deze vectoren kan worden geschreven. | | Dimensie van een lineaire ruimte | Het aantal elementen in een basis van de ruimte. $R^n$ heeft dimensie $n$. | | Scalair product (inproduct) in Rn | Een bewerking die twee vectoren $\vec{x} = (x_1, ..., x_n)$ en $\vec{y} = (y_1, ..., y_n)$ in $R^n$ koppelt aan een reëel getal, gedefinieerd als $\vec{x} \cdot \vec{y} = \sum_{k=1}^{n} x_k y_k$. | | Norm van een vector in Rn | De lengte van een vector $\vec{x}$ in $R^n$, gedefinieerd als $\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} x_k^2}$. De norm is altijd niet-negatief. | | Omwentelingslichaam | Een driedimensionaal lichaam dat ontstaat door een tweedimensionaal gebied om een as te wentelen. Het volume kan berekend worden met de formule $V_G = \pi \int_a^b r^2(x) dx$, waarbij $r(x)$ de straal van de cirkel op positie $x$ is. | | Substitutieformule (ééndimensionaal) | Een formule die de berekening van een integraal met betrekking tot een veranderlijke $x$ omzet naar een integraal met betrekking tot een nieuwe veranderlijke $t$, via een transformatie $x = \phi(t)$. De formule luidt $\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))|\phi'(t)|dt$. | | Differentiequotiënt | De verhouding van de verandering in de functiewaarde tot de verandering in het argument. In de context van substitutie benadert dit de afgeleide, $\frac{\phi(t+h)-\phi(t)}{h} \to \phi'(t)$ als $h \to 0$. | | Lokale vergrotingsfactor | De afgeleide $\phi'(t)$ van de transformatiefunctie, die aangeeft hoe lokale lengtes worden vergroot of verkleind onder de transformatie. | | Transformatie (in hogere dimensies) | Een afbeelding van punten in een coördinatenstelsel naar punten in een ander coördinatenstelsel. In het vlak wordt dit beschreven door $x = \phi(u,v)$ en $y = \psi(u,v)$, en in de ruimte door $x = \phi(u,v,w)$, $y = \psi(u,v,w)$, $z = \chi(u,v,w)$. | | Jacobiaanse determinant | Een determinant van partiële afgeleiden die de lokale schaalverandering van een transformatie aangeeft. Voor een transformatie in twee dimensies is dit $\frac{\partial(\phi,\psi)}{\partial(u,v)}$, en in drie dimensies $\frac{\partial(\phi,\psi,\chi)}{\partial(u,v,w)}$. Deze determinant is cruciaal voor de substitutieformule in hogere dimensies. | | Substitutieformule (tweedimensionaal) | Een formule voor het omzetten van een dubbele integraal in cartesiaanse coördinaten naar een dubbele integraal in nieuwe coördinaten. De formule is $\iint_G f(x,y)dxdy = \iint_{G'} f(\phi(u,v),\psi(u,v)) \left|\frac{\partial(\phi,\psi)}{\partial(u,v)}\right| dudv$. | | Substitutieformule (driedimensionaal) | Een formule voor het omzetten van een driedubbele integraal in cartesiaanse coördinaten naar een driedubbele integraal in nieuwe coördinaten. De formule is $\iiint_G f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{G'} f(\phi(u,v,w),\psi(u,v,w),\chi(u,v,w)) \left|\frac{\partial(\phi,\psi,\chi)}{\partial(u,v,w)}\right| dudvdw$. | | Sferische coördinaten | Een driedimensionaal coördinatensysteem waarbij een punt wordt bepaald door zijn afstand tot de oorsprong ($r$), de hoek met de positieve z-as ($\theta$), en de poolhoek in het xy-vlak ($\phi$). De transformatie is $x = r \sin\theta \cos\phi$, $y = r \sin\theta \sin\phi$, $z = r \cos\theta$, en de Jacobiaanse determinant is $r^2 \sin\theta$. | | Richtingsafgeleide | De limiet $\lim_{h\to 0} \frac{f(\vec{a} + h\vec{u}) - f(\vec{a})}{h}$, indien deze bestaat, die de verandering van een scalaire functie $f$ in punt $\vec{a}$ in de richting van een eenheidsvector $\vec{u}$ beschrijft. | | Partiële afgeleide | De limiet $\lim_{h\to 0} \frac{f(\vec{a} + h\vec{e}_k) - f(\vec{a})}{h}$, indien deze bestaat, die de verandering van een scalaire functie $f$ in punt $\vec{a}$ beschrijft langs de richting van de $k$-de standaardbasisvector $\vec{e}_k$. | | Gradiënt | Een vector die de partiële afgeleiden van een scalaire functie $f$ in een bepaald punt $\vec{a}$ als componenten heeft, genoteerd als $\text{grad } f(\vec{a})$ of $\nabla f(\vec{a})$. | | Differentieerbaarheid | Een eigenschap van een scalaire functie $f$ in een punt $\vec{a}$ waarbij de functiewaarde kan worden benaderd door een lineaire functie plus een term die sneller naar nul gaat dan de afstand tot $\vec{a}$. | | Hogere-orde afgeleiden | Partiële afgeleiden van de partiële afgeleiden van een functie. Bijvoorbeeld, de tweede-orde afgeleiden zijn de afgeleiden van de eerste-orde afgeleiden. | | Middelwaardestelling | Een stelling die stelt dat voor een differentieerbare functie $f$ op een segment, er een punt op dat segment bestaat waar de verandering van de functie gelijk is aan het product van de gradiënt in dat punt en het verschil tussen de eindpunten van het segment. | | Differentiaal | Een lineaire functie die de lineaire benadering van een scalaire functie in een punt beschrijft, gedefinieerd als $df_{\vec{a}}(\vec{x}) = (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \nabla f(\vec{a})$. | | Homogene functie | Een functie $f$ gedefinieerd op een kegel met top $\vec{0}$ die voldoet aan $f(t\vec{x}) = t^p f(\vec{x})$ voor een graad $p$ en alle $t > 0$. | | Formule van Taylor | Een benaderingsformule voor een functie rond een punt, uitgedrukt als een reeks van termen die bestaan uit de afgeleiden van de functie in dat punt, vermenigvuldigd met machten van de afstandsvector. | | Vectorruimte | Een verzameling vectoren waarop optelling en scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd zijn, en die voldoen aan bepaalde axioma's. | | Driedimensionale vectorruimte | Een vectorruimte waarin elke vector kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van drie lineair onafhankelijke vectoren. | | Parallelle vectoren | Vectoren die in dezelfde of tegengestelde richting wijzen. | | Basis | Een minimale set van lineair onafhankelijke vectoren die de gehele vectorruimte opspant. | | Kental (of Abscis) | De scalaire coëfficiënt van een vector ten opzichte van een basisvector. | | Ééndimensionale deelruimte | Een vectorruimte die opgespannen wordt door één enkele vector (verschillend van de nulvector). | | Tweedimensionale deelruimte | Een vectorruimte die opgespannen wordt door twee lineair onafhankelijke vectoren. | | Numerieke rij | Een functie gedefinieerd op de verzameling N van de natuurlijke getallen met waarden in R of C, genoteerd als (an)n∈N of (an). | | Limiet van een rij | Het getal waarnaar een convergente numerieke rij nadert. | | Divergente rij | Een numerieke rij die niet convergeert. | | Standaard numerieke rijen | Enkele veelvoorkomende numerieke rijen waarvan de limieten bekend zijn, zoals (1/n), (z^n) met |z|<1, (x^(1/n)) met x>0, en (n^(1/n)). | | Stijgende rij | Een rij (an) waarbij voor alle n geldt dat an ≤ an+1. | | Dalende rij | Een rij (an) waarbij voor alle n geldt dat an ≥ an+1. | | Monotone rij | Een rij die hetzij stijgend, hetzij dalend is. | | Begrensde rij | Een rij waarvan de verzameling van termen naar boven en naar beneden begrensd is. | | Stelling van Bolzano-Weierstraß | Een begrensde rij van reële getallen heeft steeds een convergente deelrij. | | Eigenwaarde | Een scalair getal dat geassocieerd is met een lineaire transformatie en een eigenvector, en dat de factor aangeeft waarmee de eigenvector wordt geschaald. | | Algemene machtsfunctie | Een functie van de vorm $x^\alpha$, gedefinieerd als $exp(\alpha \ln x)$ voor $\alpha \in \mathbb{C}$ en $x \in ]0, +\infty[$. Deze functie is continu en afleidbaar in $]0, +\infty[$. | | Hyperbolische functies | Functies die gedefinieerd worden met behulp van de exponentiële functie, zoals cosh(z), sinh(z), tanh(z) en coth(z). Ze hebben analoge eigenschappen als de circulaire functies. | | Scalair product van vectoren | Een bewerking die twee vectoren koppelt aan een reëel getal, gedefinieerd als het product van hun normen en de cosinus van de ingesloten hoek, of nul als een van de vectoren de nulvector is. | | Orthogonale vectoren | Twee vectoren die loodrecht op elkaar staan, wat betekent dat hun ingesloten hoek gelijk is aan $\frac{\pi}{2}$. | | Orthonormale basis | Een basis van een vectorruimte waarvan de basisvectoren twee aan twee orthogonaal zijn en elk een norm van 1 hebben. | | Gemengd product van drie vectoren | Een scalair product van een vector met het vectorieel product van twee andere vectoren, wat geometrisch overeenkomt met het georiënteerde volume van het parallellepipedum opgespannen door de drie vectoren. |