SGDMat_07_G.pdf

# Beschrijving van kristalroosters Dit hoofdstuk introduceert de fundamentele concepten van kristallijne materialen, inclusief de opbouw van kristalroosters met eenheidscellen en Bravais roosters, en de identificatie van veelvoorkomende structuren in metalen [1](#page=1). ## 1.1 Ordening in een kristal Kristallijne materialen worden gekenmerkt door een regelmatige, periodieke rangschikking van atomen, ionen of moleculen in de driedimensionale ruimte. Deze geordende structuur kan worden beschreven met behulp van de concepten roosterpunten, eenheidscellen en Bravais roosters [2](#page=2) [5](#page=5). ### 1.1.1 Roosterpunten Een roosterpunt representeert de locatie van de bouwsteen (atoom, ion of molecuul) in het kristalrooster. In het geval van bijvoorbeeld keukenzout (NaCl) is de bouwsteen een NaCl-eenheid, en een roosterpunt kan zich in het centrum van een Na$^+$ ion bevinden [6](#page=6). ### 1.1.2 Eenheidscel De eenheidscel is de kleinst mogelijke repetitieve eenheid die, door herhaling in drie dimensies, het gehele kristalrooster kan genereren. Het is de basiseenheid die de symmetrie en structuur van het kristal vastlegt [7](#page=7) [8](#page=8). ### 1.1.3 Beschrijving van een eenheidscel Een eenheidscel wordt gedefinieerd door: * De vorm ervan (bv. kubisch, tetragonaal, orthorombisch) [8](#page=8). * De lengtematen van de zijden, aangeduid als $a$, $b$, en $c$ [8](#page=8). * De hoeken tussen deze zijden, aangeduid als $\alpha$, $\beta$, en $\gamma$ [8](#page=8). ### 1.1.4 Beschrijving van de eenheidscel (plaatsing roosterpunten) De manier waarop roosterpunten in de eenheidscel zijn geplaatst, bepaalt het type cel [9](#page=9): * **Eenvoudig (primitief):** Roosterpunten bevinden zich alleen op de hoekpunten van de cel [9](#page=9). * **Ruimtegecenterd (body-centered, BCC):** Roosterpunten bevinden zich op de hoekpunten én in het midden van het volume van de cel [9](#page=9). * **Vlakkengecenterd (face-centered, FCC):** Roosterpunten bevinden zich op de hoekpunten én in het midden van de zijvlakken van de cel [9](#page=9). * **Basisgecenterd (base-centered):** Roosterpunten bevinden zich op de hoekpunten én in het midden van de basisvlakken (twee tegenoverliggende vlakken) [9](#page=9). ### 1.1.5 Bravais roosters Er zijn 14 unieke combinaties van eenheidscellen en roosterpunten, bekend als de Bravais roosters. Deze classificatie is gebaseerd op de kristallografische symmetrie en beschrijft alle mogelijke puntroosters in drie dimensies [10](#page=10). ## 1.2 Veel voorkomende kristalroosters in metalen Metalen kristalliseren vaak in specifieke, compacte structuren waarbij de atomen als bouwsteen fungeren. Een roosterpunt correspondeert hierbij met een atoom. De meest voorkomende structuren in metalen zijn de Body-Centered Cubic (BCC), Face-Centered Cubic (FCC) en Hexagonal Close-Packed (HCP) structuren, die verder besproken zullen worden in de daaropvolgende paragrafen [11](#page=11). --- # Veelvoorkomende kristalstructuren en hun eigenschappen Dit deel van de studiehandleiding behandelt specifieke kristalstructuren in metalen, namelijk kubisch vlakkengecenterd (kvg-fcc), kubisch ruimtegecenterd (krg-bcc) en hexagonaal dichtgepakt (hdp-hcp), en vergelijkt hun kenmerken zoals vervormbaarheid, hardheid en smelttemperatuur [12](#page=12). ### 2.1 Kubisch vlakkengecenterd (kvg – fcc) De kubisch vlakkengecenterde (kvg) structuur, ook bekend als face-centered cubic (fcc), is een veelvoorkomende kristalstructuur in metalen. Deze structuur kenmerkt zich door atomen op de hoekpunten van een kubus en in het midden van elk vlak [13](#page=13) [14](#page=14). **Eigenschappen van kvg-fcc metalen:** * **Vervormbaarheid:** Relatief makkelijk vervormbaar [13](#page=13). * **Sterkte:** Redelijk sterk [13](#page=13). * **Smelttemperatuur:** Lagere smelttemperatuur in vergelijking met andere structuren [13](#page=13). * **Voorbeelden:** Koper (Cu), nikkel (Ni), aluminium (Al), goud (Au), zilver (Ag), platina (Pt), lood (Pb) en gamma-ijzer (γ-Fe) [13](#page=13). ### 2.2 Kubisch ruimtegecenterd (krg – bcc) De kubisch ruimtegecenterde (krg) structuur, ook wel bekend als body-centered cubic (bcc), is een andere belangrijke kristalstructuur in metalen. Bij deze structuur bevinden zich atomen op de hoekpunten van een kubus en één atoom in het midden van de kubus [15](#page=15) [16](#page=16). **Eigenschappen van krg-bcc metalen:** * **Vervormbaarheid:** Moeilijk vervormbaar [15](#page=15). * **Hardheid:** Hoge hardheid, slijtvastheid, taaiheid en sterkte [15](#page=15). * **Smelttemperatuur:** Hoge smelttemperatuur [15](#page=15). * **Voorbeelden:** Alfa-ijzer (α-Fe), chroom (Cr), molybdeen (Mo), tantaal (Ta) en wolfraam (W) [15](#page=15). ### 2.3 Hexagonaal dichtgepakt (hdp - hcp) De hexagonaal dichtgepakte (hdp) structuur, of hexagonal-close packed (hcp), vertegenwoordigt een andere dichtste bolstapeling van atomen. Deze structuur wordt gekenmerkt door een hexagonale basiseenheid [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19). **Eigenschappen van hdp-hcp metalen:** * **Slijtvastheid:** Hoge slijtvastheid [17](#page=17). * **Sterkte:** Hoge sterkte [17](#page=17). * **Smelttemperatuur:** Hoge smelttemperatuur [17](#page=17). * **Voorbeelden:** Zink (Zn), kobalt (Co), cadmium (Cd) en titanium (Ti) [17](#page=17). > **Tip:** Het type kristalstructuur (fcc, bcc, hcp) heeft een directe invloed op de mechanische eigenschappen van een metaal, zoals de vervormbaarheid en hardheid. Dit is cruciaal voor materiaalkeuze in technische toepassingen. --- # Miller indices, anisotropie en vullingsgraad Dit gedeelte behandelt hoe Miller indices worden gebruikt om richtingen en vlakken in kristalroosters aan te duiden, het concept van anisotropie en de invloed van kristaloriëntatie hierop, en de berekening van de vullingsgraad voor verschillende roosters. ### 3.1 Miller indices voor richtingen Miller indices worden gebruikt om specifieke richtingen binnen een kristalrooster te specificeren. Om de Miller indices voor een richting te bepalen, volgt men een stappenplan [21](#page=21): 1. **Verplaats de oorsprong** van het coördinatensysteem naar een punt op de richting die men wil beschrijven, bij voorkeur een hoekpunt van de eenheidscel [21](#page=21). 2. **Bepaal de coördinaten** van het punt waar de richting de eindige coördinaatassen (EHC) snijdt. 3. **Schaal de coördinaten** zodanig dat ze de kleinst mogelijke gehele getallen worden. Dit wordt gedaan door de coördinaten te vermenigvuldigen met de kleinste gemene veelvoud van de noemers [21](#page=21). 4. De resulterende gehele getallen zijn de Miller indices voor de richting, geschreven als $[hkl]$ [21](#page=21). Een familie van equivalente richtingen wordt aangegeven met accolades, bijvoorbeeld $<100>$ vertegenwoordigt de familie van richtingen $ $, $ $, $ $, $[-100]$, $[0-10]$, en $[00-1]$ [001](#page=001) [010](#page=010) [21](#page=21). ### 3.2 Anisotropie in kristalroosters Anisotropie is het verschijnsel waarbij materiaaleigenschappen afhankelijk zijn van de richting. In kristalstructuren kan dit zich uiten in variërende atoomafstanden, bindingssterktes of andere fysische eigenschappen in verschillende richtingen [22](#page=22). #### 3.2.1 Voorbeelden van anisotropie in kubusvormige vlakgecentreerde (kvg) roosters In kvg-roosters zijn de $<110>$-richtingen de dichtstgestapelde richtingen. Dit betekent dat de atoomdichtheid en de afstand tussen atomen langs deze richtingen significant zijn vergeleken met andere richtingen, zoals $ $ of $ $. De eigenschappen van het materiaal kunnen dus sterk verschillen afhankelijk van de oriëntatie [001](#page=001) [22](#page=22). * **Dichtstgestapelde richtingen:** $<110>$ [22](#page=22). * **Niet-dichtstgestapelde richtingen:** $ $, $ $ [001](#page=001) [22](#page=22). #### 3.2.2 Miller indices voor vlakken Miller indices worden ook gebruikt om vlakken binnen een kristalrooster te specificeren. Het bepalen van de Miller indices voor een vlak gebeurt als volgt [23](#page=23): 1. **Bepaal de snijpunten** van het vlak met de kristallografische assen. Indien een vlak parallel is aan een as, is het snijpunt oneindig ($\infty$) [23](#page=23). 2. **Neem het inverse** van deze snijpunten [23](#page=23). 3. **Schaal de inversen** zodanig dat ze de kleinst mogelijke gehele getallen worden [23](#page=23). 4. De resulterende gehele getallen zijn de Miller indices voor het vlak, geschreven als $(hkl)$ [23](#page=23). Een familie van equivalente vlakken wordt aangegeven met accolades, bijvoorbeeld $\{100\}$ vertegenwoordigt de familie van vlakken $ $, $ $, $ $, $(-100)$, $(0-10)$, en $(00-1)$ [001](#page=001) [010](#page=010) [23](#page=23). #### 3.2.3 Voorbeelden van anisotropie in vlakken van kvg-roosters Net als bij richtingen vertonen ook vlakken in kvg-roosters anisotropie. De $\{111\}$-vlakken in kvg-roosters zijn dichtstgestapeld. De manier waarop de atomen in deze vlakken zijn gerangschikt, verschilt van de rangschikking in andere vlakken, wat leidt tot verschillende eigenschappen [25](#page=25). ### 3.3 Vullingsgraad De vullingsgraad van een kristalrooster is de fractie van het volume van de eenheidscel die wordt ingenomen door atomen. Het is een maat voor hoe compact de atomen in een kristalstructuur zijn gepakt [27](#page=27). #### 3.3.1 Vullingsgraad van een kubusvormig rooster (krg) Voor een krg-rooster (lichaamgecentreerd kubisch) worden de atomen het dichtst gepakt langs de $<111>$-richtingen, wat overeenkomt met de ruimtediagonaal van de kubus [27](#page=27). Om de vullingsgraad van een krg-rooster te berekenen, beschouwen we het -vlak. De atomen raken elkaar in de $ $-richting. De relatie tussen de atoomstraal ($R$) en de roosterparameter ($a$) voor een krg-rooster is [27](#page=27): $$a\sqrt{3} = 4R$$ [27](#page=27). Hieruit volgt dat $R = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ [27](#page=27). De vullingsgraad kan worden berekend door het volume van de atomen in de eenheidscel te delen door het totale volume van de eenheidscel: $$V_{\text{eenheidscel}} = a^3$$ [27](#page=27). Er zijn 2 atomen per eenheidscel in een krg-rooster (1 centraal atoom, en 8 hoekatomen die elk voor 1/8 deel bijdragen). $$V_{\text{atomen}} = 2 \times \frac{4}{3}\pi R^3$$ [27](#page=27). Substitutie van $R$: $$V_{\text{atomen}} = 2 \times \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 3\sqrt{3}}{64} = \frac{8\pi a^3 3\sqrt{3}}{192} = \frac{\pi a^3 3\sqrt{3}}{24}$$ [27](#page=27). De vullingsgraad is dan: $$\text{Vullingsgraad} = \frac{V_{\text{atomen}}}{V_{\text{eenheidscel}}} = \frac{\frac{\pi a^3 3\sqrt{3}}{24}}{a^3} = \frac{\pi 3\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi \sqrt{3}}{8} \approx 0,68$$ [27](#page=27). Dit komt overeen met een vullingsgraad van ongeveer 68%. #### 3.3.2 Vullingsgraad van een hexagonaal dichtstgepakt (hdp) rooster In een hdp-rooster is de vullingsgraad 74%. Dit is de maximale vullingsgraad die mogelijk is voor een pakking van identieke bollen [28](#page=28). * **Roosterparameter relatie:** De zijde van de zeshoekige basis ($a_0$) is gelijk aan $2R$, en de hoogte ($c_0$) is gerelateerd aan $a_0$ door $c_0 = 1,633 a_0$ [28](#page=28). * **Vullingsgraad:** 74% [28](#page=28). > **Tip:** Begrijp dat de dichtstgestapelde richtingen en vlakken in een rooster direct verband houden met de anisotropie van het materiaal. De vullingsgraad geeft aan hoe efficiënt de ruimte binnen het rooster wordt benut door de atomen. --- # Allotrope materialen Allotrope materialen zijn elementen die in vaste toestand verschillende kristallijne structuren kunnen aannemen. Dit fenomeen, allotropie genoemd, is cruciaal voor het begrijpen van materiaaleigenschappen en toepassingen [31](#page=31). ### 4.1 Concept van allotropie Allotropie treedt op wanneer een element, ondanks een identieke chemische samenstelling, een andere opbouw in de vaste toestand vertoont. Dit resulteert in verschillende allotrope vormen van hetzelfde element, die elk unieke fysische en chemische eigenschappen kunnen hebben [31](#page=31). ### 4.2 Allotrope vormen van ijzer IJzer is een klassiek voorbeeld van een element met verschillende allotrope vormen, afhankelijk van de temperatuur. Deze vormen worden aangeduid met Griekse letters en hebben verschillende kristallijne structuren [32](#page=32): * **Tot 912°C**: IJzer bestaat als $\alpha$-ijzer, dat een kubisch ruimtelijk gecentreerd (krg) rooster heeft [32](#page=32). * **Tussen 912°C en 1394°C**: IJzer transformeert naar $\gamma$-ijzer, dat een kubisch vlakken gecentreerd (kvg) rooster heeft [32](#page=32). * **Tussen 1394°C en 1538°C**: IJzer neemt de vorm aan van $\delta$-ijzer, wederom met een kubisch ruimtelijk gecentreerd (krg) rooster [32](#page=32). Deze transformaties zijn van significant belang bij de verwerking en warmtebehandeling van ijzerlegeringen, zoals staal. ### 4.3 Allotrope vormen van koolstof Koolstof is een ander element dat een breed scala aan allotrope vormen kent, met elk distinctieve structuren en eigenschappen . Enkele belangrijke allotrope vormen van koolstof zijn [33](#page=33) [34](#page=34): * **Diamant**: Bekend om zijn extreme hardheid en hoge isolatie-eigenschappen, kenmerkt diamant zich door een tetraëdrisch roosterstructuur waarbij elk koolstofatoom covalent gebonden is aan vier andere koolstofatomen [33](#page=33). * **Grafiet**: Dit is een meer gangbare vorm van koolstof die zacht en geleidend is. Grafiet bestaat uit lagen van zeshoekige koolstofatomen die relatief zwak aan elkaar gebonden zijn, wat de lamellaire structuur verklaart [33](#page=33). * **Koolstofvezels**: Deze vezels worden geproduceerd door gecontroleerde carbonisatie en hebben een geordende structuur van koolstofatomen, wat resulteert in een hoge sterkte en stijfheid [34](#page=34). * **Fullerenen, nanobuisjes en grafeen**: Dit zijn recentere ontdekkingen die bestaan uit gesloten structuren van koolstofatomen in verschillende configuraties, zoals bollen (fullerenen), cilinders (nanobuisjes) en enkele lagen van grafiet (grafeen) . Deze materialen hebben unieke elektronische en mechanische eigenschappen [34](#page=34). ### 4.4 Polykristallijne materialen en anisotropie Veel materialen in vaste toestand zijn polykristallijn, wat betekent dat ze bestaan uit vele kleine kristallen (korrels) met dezelfde kristalstructuur maar verschillende oriëntaties [29](#page=29). * **Isotroop gedrag**: Wanneer de oriëntatie van deze korrels willekeurig is, vertoont het materiaal isotroop gedrag, wat betekent dat de eigenschappen in alle richtingen gelijk zijn [29](#page=29). * **Anisotroop gedrag**: Als de korrels geen willekeurige oriëntatie hebben en er sprake is van een voorkeursrichting ("textuur"), dan vertoont het materiaal anisotroop gedrag, waarbij de eigenschappen in verschillende richtingen variëren. Dit kan ontstaan door bewerkingen zoals het walsen van plaatmetaal [29](#page=29). > **Tip:** Het begrijpen van de kristalstructuur en oriëntatie van materialen is essentieel voor het ontwerpen van producten met specifieke prestaties, met name in de halfgeleiderindustrie en bij de productie van snijgereedschappen. Kleine variaties kunnen significante invloed hebben op de functionaliteit [35](#page=35). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Roosterpunt | Een specifieke locatie in een kristalrooster waar een bouwsteen (atoom, ion of molecuul) zich bevindt en die het herhalende patroon van het rooster bepaalt. | | Eenheidscel | De kleinste geometrische eenheid die, wanneer herhaald in drie dimensies, het gehele kristalrooster opbouwt. De afmetingen en hoeken van de eenheidscel definiëren de structuur van het rooster. | | Bravais rooster | Een van de 14 mogelijke driedimensionale roosterindelingen waarbij alle roosterpunten identiek zijn qua omgeving. Deze roosters worden geclassificeerd op basis van hun symmetrie en eenheidscelparameters. | | Vullingsgraad | Het percentage van het totale volume van een eenheidscel dat wordt ingenomen door atomen, uitgedrukt als een fractie of percentage. Dit geeft een indicatie van hoe dicht de atomen in een kristal zijn opgestapeld. | | Miller indices | Een notatiesysteem dat wordt gebruikt om richtingen en vlakken in een kristalrooster aan te duiden. Voor richtingen worden ze genoteerd als [uvw] en voor vlakken als (hkl), waarbij u, v, w en h, k, l gehele getallen zijn. | | Anisotropie | De eigenschap van een materiaal waarbij zijn fysische of mechanische eigenschappen afhankelijk zijn van de richting. Dit is vaak gerelateerd aan de kristallijne structuur en oriëntatie van de atomen. | | Polykristallijn materiaal | Een materiaal dat is opgebouwd uit vele kleine kristallen (ook wel korrels genoemd) die elk een eigen kristallijne oriëntatie hebben. De eigenschappen van het materiaal zijn een gemiddelde van die van de individuele korrels. | | Allotropie | Het verschijnsel waarbij een element in vaste toestand in meer dan één kristallijne structuur kan voorkomen. Deze verschillende structuren worden allotrope vormen genoemd en hebben vaak verschillende eigenschappen. | | Kubisch vlakkengecenterd (kvg) | Een kristalstructuur met atomen op de hoekpunten en in het midden van elk vlak van de kubische eenheidscel. Deze structuur kenmerkt metalen die relatief goed vervormbaar zijn. | | Kubisch ruimtegecenterd (krg) | Een kristalstructuur met atomen op de hoekpunten en één atoom in het midden van de kubische eenheidscel. Deze structuur kenmerkt metalen die vaak hard, slijtvast en sterk zijn. | | Hexagonaal dichtgepakt (hdp) | Een kristallijne structuur met een hexagonale symmetrie, waarbij de atomen een dichtste stapeling vormen. Deze structuur komt veel voor in metalen en kenmerkt zich door hoge hardheid en slijtvastheid. |