Cel1_sessie4_2025.pdf

# Wisselspanning en de effectieve waarde Wisselspanning beschrijft het verloop van de spanning in de tijd, waarbij de polariteit periodiek omkeert. De spanning geleverd door industriële wisselstroomgeneratoren heeft een sinusoïdaal verloop. Dit verloop kan worden voorgesteld door de projectie op de verticale middellijn van een eenparig roterende vector (fazor) met een grootte gelijk aan de amplitude van de spanningsvariatie ($V_0$) [1](#page=1). Een wisselspanning is een periodiek fenomeen met een periode ($T$). De frequentie ($\nu$) is het aantal cycli dat per seconde wordt doorlopen, en wordt berekend als $\nu = \frac{1}{T}$. De hoekfrequentie ($\omega$) is gerelateerd aan de frequentie door $\omega = 2\pi\nu$ en vertegenwoordigt de hoeksnelheid van de fazor. De eenheid van frequentie is hertz (Hz), en de frequentie van het lichtnet is 50 Hz [1](#page=1). Het wisselspanningsverloop wordt wiskundig beschreven door de functie: $$V(t) = V_0 \sin(\omega t + \varphi)$$ Hierin is $\varphi$ de faseconstante, die de waarde van de fasehoek aangeeft op tijdstip $t=0$ [1](#page=1). ### 1.1 De effectieve waarde van de wisselspanning De effectieve waarde van een wisselspanning ($V_{\text{eff}}$) is gedefinieerd als de waarde van een gelijkspanning die in een weerstand gemiddeld per tijdseenheid dezelfde hoeveelheid warmte ontwikkelt als de beschouwde wisselspanning [1](#page=1). Beschouw een stroomkring met een wisselspanning $V_\epsilon$ en een ohmse weerstand $R$. Volgens de kringtheorie van Kirchhoff geldt $V_\epsilon - iR = 0$. Als de wisselspanning wordt gegeven door $V_\epsilon(t) = V_0 \sin(\omega t + \varphi)$, dan is de stroom $i(t)$ [1](#page=1) [2](#page=2): $$i(t) = \frac{V_0}{R} \sin(\omega t + \varphi) = I_0 \sin(\omega t + \varphi)$$ Hieruit volgt dat stroom en spanning in fase zijn en dat het stroomverloop wordt beschreven door een eenparige rotatie van een fazor met grootte $I_0 = \frac{V_0}{R}$ [2](#page=2). Het ogenblikkelijke vermogen ($P$) dat in de weerstand $R$ wordt opgewekt door het Joule-effect is: $$P(t) = i^2 R = R I_0^2 \sin^2(\omega t + \varphi)$$ Het gemiddelde vermogen over één periode van de wisselstroom wordt berekend als: $$P_{\text{gem}} = \frac{1}{T} \int_0^T R i^2 dt = \frac{R I_0^2}{T} \int_0^T \sin^2(\omega t + \varphi) dt$$ Omdat $\int_0^T \sin^2(\omega t + \varphi) dt = \frac{T}{2}$ en $\int_0^T \cos^2(\omega t + \varphi) dt = \frac{T}{2}$, waarbij $\sin^2(\omega t + \varphi) + \cos^2(\omega t + \varphi) = 1$ geldt [2](#page=2): $$P_{\text{gem}} = \frac{R I_0^2}{T} \cdot \frac{T}{2} = \frac{R I_0^2}{2}$$ Omdat $I_0 = \frac{V_0}{R}$, kunnen we dit herschrijven in termen van de amplitude van de spanning: $$P_{\text{gem}} = \frac{R}{2} \left(\frac{V_0}{R}\right)^2 = \frac{R V_0^2}{2R^2} = \frac{V_0^2}{2R}$$ De gelijkspanning die hetzelfde vermogen in weerstand $R$ opwekt, wordt gegeven door $P = \frac{V_{\text{eff}}^2}{R}$. Door deze twee uitdrukkingen voor het gemiddelde vermogen gelijk te stellen, vinden we de relatie voor de effectieve waarde [3](#page=3): $$P_{\text{gem}} = \frac{V_0^2}{2R} = \frac{V_{\text{eff}}^2}{R}$$ $$V_{\text{eff}}^2 = \frac{V_0^2}{2}$$ $$V_{\text{eff}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$$ De effectieve waarde van de lichtnetspanning bedraagt 220 volt [3](#page=3). > **Tip:** De effectieve waarde is de meest gebruikte waarde voor wisselspanningen en wisselstromen in de praktijk, omdat deze direct vergelijkbaar is met gelijkspanningen en gelijkstromen wat betreft het geleverde vermogen. ### 1.2 De impedantie van een wisselstroomketen Wanneer een keten die weerstanden, spoelen of condensatoren bevat wordt aangesloten op een wisselspanning $V_\epsilon = V_0 \sin(\omega t)$, zullen de stromen en spanningsverschillen over de componenten van deze keten ook wisselend zijn met dezelfde hoekfrequentie $\omega$ als de bron. De stroom in de keten kan algemeen worden voorgesteld door de functie $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$, waarbij de grootte van $I_0$ en de faseverschuiving $\phi$ afhankelijk zijn van de componenten in de kring [3](#page=3). #### 1.2.1 Keten met alleen een weerstand R Als de keten uitsluitend een weerstand $R$ bevat, dan geldt $V_\epsilon = V_0 \sin(\omega t)$ en de stroom $i = \frac{V_0}{R} \sin(\omega t) = I_0 \sin(\omega t)$. In dit geval zijn de wisselspanning en de wisselstroom in fase [3](#page=3). #### 1.2.2 Keten met alleen een condensator C Als de keten uitsluitend een condensator met capaciteit $C$ bevat, levert de kringtheorie van Kirchhoff $V_\epsilon - \frac{q}{C} = 0$, waarbij $q$ de lading op de condensator is. Als $V_\epsilon = V_0 \sin(\omega t)$, dan is de lading $q(t) = C V_0 \sin(\omega t)$ [3](#page=3). --- # Impedantie van wisselstroomketens Deze sectie onderzoekt de impedantie van wisselstroomketens die weerstanden en condensatoren bevatten, en analyseert de relatie tussen stroom en spanning in verschillende configuraties [3](#page=3). ### 2.1 Basisprincipes van wisselstroomketens Wanneer een keten met weerstanden en/of condensatoren wordt aangesloten op een wisselspanning bron met de vorm $V_\varepsilon = V_0 \sin(\omega t)$, zullen de stromen en potentiële verschillen in de keten wisselend zijn met dezelfde hoekfrequentie $\omega$. De algemene vorm van de stroom in de keten is $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$, waarbij de amplitude $I_0$ en de fasehoek $\phi$ afhangen van de componenten in de kring [3](#page=3). ### 2.2 Specifieke ketenconfiguraties #### 2.2.1 Keten met uitsluitend een weerstand (R) In een keten die enkel een weerstand $R$ bevat, zijn de aangelegde wisselspanning $V_\varepsilon = V_0 \sin(\omega t)$ en de resulterende stroom $i = \frac{V_0}{R} \sin(\omega t) = I_0 \sin(\omega t)$ in fase. Dit betekent dat de fasehoek $\phi$ gelijk is aan 0 graden [3](#page=3) [5](#page=5). #### 2.2.2 Keten met uitsluitend een condensator (C) Wanneer de keten slechts een condensator $C$ bevat, wordt de aangelegde spanning gerelateerd aan de lading op de condensator ($q$) via de wet van Kirchhoff: $V_\varepsilon - \frac{q}{C} = 0$. Door $V_\varepsilon = V_0 \sin(\omega t)$ te substitueren en de lading af te leiden naar de tijd om de stroom te verkrijgen, vinden we [3](#page=3): $q = C V_0 \sin(\omega t)$ [3](#page=3). $i = \frac{dq}{dt} = \omega C V_0 \cos(\omega t)$ [4](#page=4). Dit kan worden herschreven als: $i = \omega C V_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ [4](#page=4). $i = I_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ [4](#page=4). Hieruit volgt dat de stroom $i$ door de condensator $\frac{\pi}{2}$ radialen (of 90 graden) voorloopt op de wisselspanning $V_\varepsilon$. De amplitude van de stroom wordt gegeven door $I_0 = \omega C V_0 = \frac{V_0}{\frac{1}{\omega C}}$. De term $\frac{1}{\omega C}$ wordt de "capacitieve reactantie" genoemd. De stroom kan worden beschreven door een fazor met een grootte van $\omega C V_0$ en een fasehoek van $\frac{\pi}{2}$ [4](#page=4). #### 2.2.3 Parallelle schakeling van R en C Voor een kring met een parallelschakeling van een weerstand $R$ en een condensator $C$, aangesloten op een wisselspanningsbron $V_\varepsilon = V_0 \sin(\omega t)$, beschrijft de totale stroom $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$. Door het junctietheorema van Kirchhoff voor de fazoren toe te passen ($\bar{I} = \bar{I}_R + \bar{I}_C$), en rekening houdend met de amplitudes en faseverschillen van de stromen door de weerstand ($I_R = \frac{V_0}{R}$) en de condensator ($I_C = \omega C V_0$), kunnen $I_0$ en $\phi$ bepaald worden [4](#page=4). Uit een fazordiagram blijkt dat de totale stroomamplitude $I_0$ voldoet aan: $I_0^2 = \left(\frac{V_0}{R}\right)^2 + (\omega C V_0)^2$ [5](#page=5). $I_0 = V_0 \sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C)^2}$ [5](#page=5). Het faseverschil $\phi$ tussen de totale stroom $i$ en de spanning $V_\varepsilon$ wordt gegeven door: $\tan \phi = \frac{\omega C}{\frac{1}{R}} = \omega R C$ [5](#page=5). ### 2.3 Impedantie (Z) De impedantie $Z$ van een wisselstroomkring is per definitie de verhouding tussen de amplitude van de aangelegde wisselspanning ($V_0$) en de amplitude van de resulterende wisselstroom ($I_0$) [5](#page=5). | Kring | Impedantie Z | Fasehoek $\phi$ | | :---------------- | :------------------------------------------------ | :-------------- | | Enkel R | $R$ | 0 | | Enkel C | $\frac{1}{\omega C}$ | $+\frac{\pi}{2}$ | | Parallel R en C | $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C)^2}}$ | $\tan\phi = \omega R C$ | > **Tip:** De impedantie is de wisselstroomanalogon van weerstand, maar houdt ook rekening met de faseverschuivingen die door reactieve componenten (zoals condensatoren) worden geïntroduceerd. > **Tip:** Voor circuits met zowel weerstanden als condensatoren, is de impedantie een complexe grootheid. In deze samenvatting worden echter de grootte en de fasehoek apart beschouwd voor specifieke configuraties. ### 2.4 Stroomdoorgang door het lichaam bij wisselspanning De impedantie van het menselijk lichaam is van belang voor toepassingen in de fysiotherapie en bij accidentele elektrocutie. De huid is de primaire factor die de impedantie beïnvloedt, vooral bij frequenties tot circa 10 kilohertz. De huidimpedantie zelf heeft zowel een resistieve als een capacitieve reactantie component, waarbij de laatste geassocieerd wordt met vetweefsel. Voor berekeningen kan het lichaam gemodelleerd worden als een elektrische schakeling met parallel geschakelde weerstanden en condensatoren [5](#page=5). --- # Stroomdoorgang door het menselijk lichaam Stroomdoorgang door het menselijk lichaam, met name door wisselstroom, is van cruciaal belang binnen de fysiotherapie en potentieel gevaarlijk bij accidentele elektrocutie [5](#page=5). ### 3.1 De rol van lichaamsimpedantie De grootte van de stroom die door het lichaam vloeit, wordt bepaald door de impedantie tussen de twee contactpunten op het lichaam wanneer er een elektrische spanning wordt aangelegd. Tot ongeveer 10 kHz speelt de huidimpedantie hierbij de grootste rol [5](#page=5). #### 3.1.1 Impedantie van de huid De huidimpedantie bestaat uit een weerstandscomponent en een capacitieve reactantiecomponent. De capacitieve component is gerelateerd aan het vetweefsel [5](#page=5). ##### 3.1.1.1 Factoren die de huidimpedantie beïnvloeden * **Toestand van de huid:** Bij een droge huid vormt de stratum corneum van de epidermis de belangrijkste laag met een zeer hoge weerstand, waardoor de impedantie grotendeels door de capacitieve reactantie wordt bepaald [6](#page=6). * **Frequentie:** Voor toepassingen in electrotherapie neemt de impedantie af met toenemende frequentie [6](#page=6). * **Vochtigheid:** Transpireren verlaagt de weerstand van de huid, omdat zweet water en geleidende ionen bevat. Bij een vochtige huid is de weerstand dominant tot 1 kHz, waarna de impedantie constant blijft bij lagere frequenties [6](#page=6). * **Kunstmatige verlaging:** De huidimpedantie kan kunstmatig verlaagd worden door ontvetten, schuren en het aanbrengen van geleidende pasta's, wat de impedantie met een factor 10-50 kan verlagen [6](#page=6). #### 3.1.2 Elektrisch model van het menselijk lichaam Voor berekeningen van stroomdoorgang kan het lichaam worden voorgesteld als een elektrisch schema met tweemaal een parallelle schakeling van weerstand en capaciteit (die de huid representeren) verbonden door een kleine weerstand (die het lichaam zelf representeert) ] [5](#page=5) [6](#page=6). ### 3.2 Gevaren van elektrocutie Accidentele stroomdoorgang door het lichaam (elektrocutie) kan leiden tot drie hoofdoorzaken [6](#page=6): #### 3.2.1 Huidverbranding Huidverbranding wordt veroorzaakt door de joule warmte die wordt opgewekt in de weerstand van de huid, volgens de formule: $$ P = \frac{V_0^2}{R} $$ [6](#page=6). Bij elektrocutie door het lichtnet is deze verbranding meestal lokaal, terwijl bij blikseminslag de verbranding over een groter oppervlak verspreid kan zijn [6](#page=6). #### 3.2.2 Verstoring van de hartfunctie De stroomdichtheid door het hartweefsel is bepalend voor de verstoring van de hartfunctie. Wanneer de stroom door het lichaam vloeit, kan dit leiden tot kamerfibrilleren, een ongecoördineerde contractie van de hartspier waarbij de pompfunctie wegvalt. Dit kan, zelfs na uitschakelen van de stroom, aanhouden en leiden tot hersenschade door zuurstoftekort [7](#page=7). ##### 3.2.2.1 Kamerfibrilleren en defibrillatie Kamerfibrilleren kan alleen worden gestopt door elektrische defibrillatie: een gecontroleerde stroomstoot die de hartspiervezels gelijktijdig in de refractaire toestand brengt, zodat de sinusknoop de controle weer kan overnemen. Een defibrillator genereert deze stroomstoot middels een condensatorontlading met hoogspanning, verlengd door een spoel [7](#page=7). #### 3.2.3 Het "cannot-let-go-current" verschijnsel Bij stroomdoorgang door de handen, boven een bepaalde stroomsterkte, wordt het onmogelijk om de geleider los te laten. Dit fenomeen, het "cannot-let-go-current", is afhankelijk van de frequentie. De frequentie van 50 Hz (het lichtnet) blijkt ongunstig te zijn voor dit fenomeen. Om de stroomdoorgang te stoppen, moet deze zo snel mogelijk onderbroken worden [7](#page=7). > **Tip:** Stromen door het lichaam groter dan 20 mA worden als gevaarlijk beschouwd [8](#page=8). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Wisselspanning | Een elektrische spanning waarvan de polariteit en grootte periodiek veranderen, meestal in een sinusoïdale vorm. | | Sinusoïdaal | Een verloop dat beschreven kan worden door een sinusfunctie, kenmerkend voor de grafische weergave van wisselspanning en wisselstroom. | | Fazor | Een denkbeeldige roterende vector die wordt gebruikt om de grootte en fase van periodieke grootheden zoals spanning en stroom in wisselstroomcircuits weer te geven. | | Amplitude | De maximale waarde (piekwaarde) van een periodieke functie, zoals de maximale spanning of stroom in een wisselstroomcircuit. | | Periode (T) | De tijdsduur waarover één volledige cyclus van een periodiek verschijnsel plaatsvindt. | | Frequentie () | Het aantal periodieke cycli dat per seconde wordt doorlopen, uitgedrukt in Hertz (Hz). | | Angulaire frequentie () | De hoeksnelheid van de fazor, gerelateerd aan de frequentie door de formule  = 2. | | Faseconstante () | De waarde van de fasehoek op tijdstip t=0, die de initiële positie van de sinusoïdale golfvorm bepaalt. | | Effectieve waarde | De waarde van een gelijkspanning of gelijkstroom die in een weerstand gemiddeld per tijdseenheid hetzelfde vermogen ontwikkelt als de beschouwde wisselspanning of wisselstroom. | | Ohmse weerstand (R) | Een component in een elektrisch circuit die elektrische energie omzet in warmte, waarbij de weerstandswaarde constant is ongeacht de spanning of stroom. | | Kirchhoff's kringtheorema | Een wet die stelt dat de som van de spanningsvallen over alle weerstanden in een gesloten kring gelijk is aan de totale opgewekte elektromotorische kracht (EMK). | | Ogenblikkelijk vermogen (P) | Het vermogen op een specifiek moment in de tijd, berekend als het product van de momentane stroom en spanning, of als i²R in een weerstand. | | Gemiddeld vermogen | Het gemiddelde vermogen over één volledige periode van een wisselstroomcircuit, vaak aangeduid als Pgem. | | Capaciteit (C) | De eigenschap van een component (condensator) om elektrische lading op te slaan, uitgedrukt in Farad (F). | | Capacitieve reactantie ($X_C$) | De weerstand die een condensator biedt aan de doorgang van wisselstroom, gedefinieerd als $X_C = 1 / (\omega C)$. | | Impedantie (Z) | De totale complexe weerstand in een wisselstroomcircuit, die zowel weerstand (R) als reactantie (reactieve weerstand van spoelen en condensatoren) omvat. | | Faseverschuiving () | Het verschil in fasehoek tussen de spanning en de stroom in een wisselstroomcircuit, veroorzaakt door de aanwezigheid van reactieve componenten. | | Huidimpedantie | De elektrische weerstand van de huid, die een belangrijke factor is in de stroomdoorgang door het lichaam bij blootstelling aan elektriciteit. | | Camerafibrilleren | Een gevaarlijke verstoring van het hartritme waarbij de hartkamers ongecoördineerd samentrekken, wat leidt tot een ineffectieve pompfunctie. | | Cannot-let-go-current | De minimale stroomsterkte waarbij een persoon de hand niet meer kan loslaten van de elektrische geleider, vanwege spiercontracties veroorzaakt door de stroom. | | Joule-effect | Het principe waarbij elektrische energie wordt omgezet in warmte wanneer stroom door een weerstand loopt. | | Transpireren | Het proces van zweetproductie, wat de elektrische geleidbaarheid van de huid kan verhogen door de aanwezigheid van water en ionen. | | Stratum corneum | De buitenste laag van de epidermis (opperhuid), die een hoge weerstand vormt en een belangrijke rol speelt in de huidimpedantie. |