Student - Hoorcollege 3 - Kansverdelingen en kansberekeningen (1).pptx

# Inleiding tot statistiek en kansrekenen Dit deel behandelt de basisprincipes van statistiek, het belang van steekproeven, en de rol van kansberekeningen bij het trekken van conclusies uit gegevens, inclusief het concept van significantie en het potentiële misbruik van statistiek. ## 1. Inleiding tot statistiek en kansrekenen ### 1.1 Het belang van steekproeven en kansrekening Statistiek is essentieel voor het nemen van onderbouwde beslissingen op basis van verzamelde gegevens. Omdat het onderzoeken van de gehele populatie vaak onhaalbaar is, worden **steekproeven** gebruikt. Hierdoor ontstaat echter onzekerheid over de conclusies. **Kansberekeningen** zijn cruciaal om de mate van deze onzekerheid te kwantificeren, door te bepalen hoe waarschijnlijk het is om bepaalde data te observeren. Op basis hiervan kan vervolgens besloten worden of een waargenomen verband of verschil **significant** is. ### 1.2 Kernbegrippen in kansrekening * **Kans:** De waarschijnlijkheid om een bepaalde gebeurtenis te observeren, uitgedrukt als een getal tussen 0 en 1. Bijvoorbeeld, de kans op het gooien van een '3' met één dobbelsteen is $P(3) = \frac{1}{6}$. * **Uitkomst:** Een enkelvoudig resultaat van een gebeurtenis (bv. "een 3" bij een dobbelsteenworp). * **Uitkomstenruimte:** De verzameling van alle mogelijke enkelvoudige uitkomsten (bv. voor een dobbelsteen: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$). ### 1.3 Kansverdeling Een **kansverdeling** is een overzicht van alle mogelijke waarden van een variabele en hun bijbehorende kansen. Dit is analoog aan een frequentieverdeling in statistiek 1, maar dan voor theoretische waarden in plaats van geobserveerde waarden. > **Tip:** Een kansverdeling beschrijft de theoretische waarschijnlijkheid van verschillende uitkomsten, terwijl een frequentieverdeling de geobserveerde frequentie van uitkomsten weergeeft in een steekproef. ### 1.4 De steekproevenverdeling van het gemiddelde Dit is een bijzondere kansverdeling die ontstaat wanneer men uit een populatie een oneindig aantal steekproeven trekt. Voor elke steekproef berekent men een steekproefstatistiek, zoals het gemiddelde. De **steekproevenverdeling van het gemiddelde** toont alle mogelijke waarden van deze steekproefgemiddelden en hun bijbehorende kansen. Dit stelt ons in staat om de waarschijnlijkheid van een bepaald steekproefgemiddelde te evalueren. * **Verwachte waarde van de steekproevenverdeling ($E(\bar{x})$):** Dit is het gemiddelde van alle mogelijke steekproefgemiddelden en is een zuivere schatter van het populatiegemiddelde ($\mu$). Een schatter is zuiver als er geen systematische afwijkingen zijn wanneer men het gemiddelde van alle mogelijke steekproeven beschouwt om de populatiegrootheid te schatten. * **Standaardfout van het gemiddelde (Standard Error of the Mean - SEM):** Dit is de standaardafwijking van de steekproefgemiddelden. Het geeft weer hoe accuraat de schatting van de verwachte waarde is. De standaardfout wordt kleiner naarmate de steekproefgrootte toeneemt. * Indien de populatie standaardafwijking ($\sigma$) gekend is: $$SE = \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ waarbij $n$ de steekproefgrootte is. * Indien $\sigma$ niet gekend is, kan deze geschat worden met de steekproefstandaardafwijking ($s$) wanneer de steekproef groot is ($n > 100$): $$SE = s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$$ > **Voorbeeld:** Een kleinere steekproef zal een grotere standaardfout hebben dan een grotere steekproef, wat betekent dat de schatting van het populatiegemiddelde minder nauwkeurig is met kleinere steekproeven. ### 1.5 Vorm van de steekproevenverdeling: Het Centrale Limiettheorema Het **Centrale Limiettheorema** (CLT) stelt dat, ongeacht de oorspronkelijke verdeling van de populatie, de steekproevenverdeling van het gemiddelde de normale verdeling zal benaderen naarmate de steekproefgrootte toeneemt. * **Als de populatie normaal verdeeld is:** Dan is de steekproevenverdeling van het gemiddelde ook normaal verdeeld, met een verwachte waarde $\mu$ en een standaardafwijking $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. * **Als de populatie niet normaal verdeeld is:** Maar de steekproeven zijn groot genoeg (typisch $n \geq 30$), dan zal de steekproevenverdeling van het gemiddelde bij benadering normaal verdeeld zijn, met een verwachte waarde $\mu$ en een standaardafwijking $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. * **Indien $\sigma$ niet gekend is:** Deze mag vervangen worden door de steekproefstandaardafwijking ($s$) als $n > 100$. ### 1.6 De normale verdeling De **normale verdeling** (ook wel Gauss-curve of klokcurve genoemd) is een symmetrische en klokvormige kansverdeling die veel voorkomt in de gedragswetenschappen. * **Karakteristieken:** * De totale oppervlakte onder de curve is gelijk aan 1. * De kans op een waarde in een bepaald gebied is gelijk aan de oppervlakte onder de curve boven dat gebied. * De verdeling wordt volledig bepaald door twee parameters: * Het **gemiddelde** ($\mu$): bepaalt de locatie van het midden van de verdeling. * De **standaardafwijking** ($\sigma$): bepaalt de spreiding van de scores (een kleine $\sigma$ resulteert in een smalle, hoge curve; een grote $\sigma$ in een brede, lage curve). De formule voor de normale verdeling is: $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$ Hierbij is $x$ de waarde van de variabele, $\mu$ het gemiddelde, $\sigma$ de standaardafwijking, $\pi \approx 3.14159$ en $e \approx 2.71828$. > **Tip:** De normale verdeling is symmetrisch rond het gemiddelde. De oppervlaktes onder de curve voor specifieke intervallen rond het gemiddelde zijn gestandaardiseerd: ongeveer 68% valt binnen $\mu \pm 1\sigma$, 95% binnen $\mu \pm 2\sigma$, en 99.7% binnen $\mu \pm 3\sigma$. ### 1.7 De standaardnormale verdeling (Z-verdeling) De **standaardnormale verdeling** is een speciaal type normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een standaardafwijking van 1 ($\mu = 0$, $\sigma = 1$). * **Doel:** Het is praktisch onmogelijk om tabellen te maken voor elke mogelijke normale verdeling. Daarom worden normale verdelingen getransformeerd naar de standaardnormale verdeling om kansen te kunnen aflezen uit één enkele tabel. * **Standaardiseren (Z-scores berekenen):** Dit proces transformeert een waarde ($x$) uit een normale verdeling naar een Z-score, die aangeeft hoeveel standaardafwijkingen de waarde van het gemiddelde afligt. $$Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ Waar: * $x$: de geobserveerde score * $\mu$: het populatiegemiddelde * $\sigma$: de populatiestandaardafwijking > **Voorbeeld:** Als een IQ-score normaal verdeeld is met $\mu = 100$ en $\sigma = 15$, dan heeft een score van 112 een Z-score van: > $$Z = \frac{112 - 100}{15} = \frac{12}{15} = 0.8$$ > Dit betekent dat een IQ van 112 0.8 standaardafwijkingen boven het gemiddelde ligt. ### 1.8 Toepassingen van de standaardnormale verdeling De standaardnormale verdeling wordt gebruikt om kansen te berekenen voor verschillende scenario's: * **Kans op een score groter dan of gelijk aan een bepaalde waarde:** $P(Z \geq z)$ * **Kans op een score kleiner dan of gelijk aan een bepaalde waarde:** $P(Z \leq z)$ * **Kans op een score tussen twee waarden:** $P(z_1 \leq Z \leq z_2) = P(Z \leq z_2) - P(Z \leq z_1)$ Deze kansen kunnen worden afgelezen uit een Z-tabel, die de cumulatieve kansen weergeeft (d.w.z. de oppervlakte onder de curve van $-\infty$ tot een bepaalde Z-score). Vanwege de symmetrie van de normale verdeling geldt onder andere: $P(Z \geq z) = 1 - P(Z \leq z)$ en $P(Z \leq -z) = P(Z \geq z)$. ### 1.9 Omgekeerde berekeningen: het vinden van een score op basis van een kans Men kan ook de Z-score en vervolgens de oorspronkelijke score bepalen die hoort bij een gegeven kans. Dit is nuttig om te bepalen welke score nodig is om tot een bepaald percentiel te behoren. > **Voorbeeld:** Welke IQ-score (met $\mu = 100$, $\sigma = 15$) behoort bij de top 5%? We zoeken een score $x$ waarvoor $P(X \geq x) = 0.05$. Dit komt overeen met $P(Z \geq z) = 0.05$, wat betekent dat $P(Z \leq z) = 0.95$. Uit de Z-tabel vinden we dat $z \approx 1.65$. > Vervolgens berekenen we de score $x$: > $$Z = \frac{x - \mu}{\sigma} \implies x = (\text{Z-score} \times \sigma) + \mu$$ > $$x = (1.65 \times 15) + 100 = 24.75 + 100 = 124.75$$ > Een score van ongeveer 125 is nodig om bij de top 5% te behoren. ### 1.10 Toepassing op steekproevenverdelingen De technieken voor de normale verdeling kunnen ook worden toegepast op de steekproevenverdeling van het gemiddelde, mits aan de voorwaarden van het Centrale Limiettheorema is voldaan. In plaats van de populatie-standaardafwijking $\sigma$ gebruiken we de standaardfout van het gemiddelde ($SE$). > **Voorbeeld:** Stel een normaal verdeelde populatie met $\mu = 100$ en $\sigma = 15$. We trekken een steekproef van $n = 40$. Het steekproefgemiddelde is $\bar{x} = 102$. De standaardfout is $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{40}} \approx 2.37$. > De vraag is: hoe groot is de kans op een steekproefgemiddelde van 102 of hoger? > Eerst berekenen we de Z-score voor het steekproefgemiddelde: > $$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{SE} = \frac{102 - 100}{2.37} \approx \frac{2}{2.37} \approx 0.84$$ > Vervolgens zoeken we de kans $P(Z \geq 0.84)$ op in de standaardnormale verdelingstabel, wat ongeveer 0.2005 is. ### 1.11 Mogelijke misinterpretatie en misbruik van statistiek Het correct toepassen van statistische methoden is cruciaal. Misbruik kan optreden wanneer statistische technieken verkeerd worden geïnterpreteerd, onjuist worden toegepast, of wanneer resultaten selectief worden gepresenteerd om een gewenste conclusie te ondersteunen. Dit ondermijnt de waarde van wetenschappelijk onderzoek. --- # Kansverdelingen en hun elementen Dit onderwerp introduceert de basisconcepten van kansrekening en kansverdelingen als theoretisch equivalent van frequentieverdelingen, inclusief de begrippen verwachtingswaarde en variantie. ### 2.1 Kans, uitkomsten en uitkomstenruimtes * **Kans:** De waarschijnlijkheid dat een bepaalde gebeurtenis zich voordoet, uitgedrukt als een getal tussen 0 en 1. * Voorbeeld: De kans om een "3" te gooien met een enkele dobbelsteen is $P(3) = \frac{1}{6}$. * **Uitkomst:** Een enkelvoudig resultaat van een experiment of observatie. * Voorbeeld: "Een 3" bij het gooien met een dobbelsteen. * **Uitkomstenruimte:** De verzameling van alle mogelijke enkelvoudige uitkomsten van een experiment. * Voorbeeld: De uitkomstenruimte bij het gooien van een dobbelsteen is $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. ### 2.2 Kansverdelingen Een kansverdeling is een overzicht dat de mogelijke waarden van een variabele koppelt aan hun respectievelijke kansen. Het is het theoretische equivalent van een frequentieverdeling. * **Analogie met frequentieverdeling:** * Frequentieverdeling: Beschrijft geobserveerde waarden in een steekproef. * Kansverdeling: Beschrijft theoretische waarden en hun kansen. * **Elementen van een kansverdeling:** * De uitkomstenruimte (alle mogelijke waarden). * De kansen geassocieerd met elke uitkomst. #### 2.2.1 Verwachtingswaarde De verwachtingswaarde ($E$) is het theoretische gemiddelde van een kansverdeling. Het vertegenwoordigt de gemiddelde waarde die men zou verwachten als het experiment oneindig vaak herhaald zou worden. * **Formule:** $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i)$$ Waarbij $x_i$ de mogelijke uitkomsten zijn en $P(x_i)$ hun respectievelijke kansen. * **Voorbeeld (dobbelsteen):** Voor een enkele dobbelsteen: $$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$$ #### 2.2.2 Variantie De variantie ($\sigma^2$) meet de spreiding van de waarden rond de verwachtingswaarde in een kansverdeling. Een hogere variantie duidt op een grotere spreiding. * **Formule:** $$\sigma^2 = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(x_i)$$ * **Voorbeeld (dobbelsteen):** Berekening van de variantie voor een enkele dobbelsteen (vereist kennis van de verwachtingswaarde $E(X) = 3.5$): $$\sigma^2 = (1-3.5)^2 \frac{1}{6} + (2-3.5)^2 \frac{1}{6} + (3-3.5)^2 \frac{1}{6} + (4-3.5)^2 \frac{1}{6} + (5-3.5)^2 \frac{1}{6} + (6-3.5)^2 \frac{1}{6}$$ $$\sigma^2 = (-2.5)^2 \frac{1}{6} + (-1.5)^2 \frac{1}{6} + (-0.5)^2 \frac{1}{6} + (0.5)^2 \frac{1}{6} + (1.5)^2 \frac{1}{6} + (2.5)^2 \frac{1}{6}$$ $$\sigma^2 = (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) \frac{1}{6} = \frac{17.5}{6} \approx 2.917$$ **Tip:** Hoewel de formules voor verwachtingswaarde en variantie belangrijk zijn om te begrijpen, hoeft men de berekening ervan voor specifieke verdelingen niet altijd uit het hoofd te kennen voor het examen. Het concept is cruciaal. ### 2.3 De Steekproevenverdeling van het Gemiddelde Een bijzondere kansverdeling is de steekproevenverdeling van het gemiddelde. Deze beschrijft de verdeling van alle mogelijke steekproefgemiddelden die men zou verkrijgen als men oneindig veel steekproeven van dezelfde grootte uit een populatie zou trekken. * **Concept:** 1. Trek herhaaldelijk steekproeven uit een populatie. 2. Bereken het gemiddelde van elke steekproef. 3. Stel een verdeling op van al deze steekproefgemiddelden. Dit is de steekproevenverdeling van het gemiddelde. * **Belang:** Deze verdeling stelt ons in staat om de waarschijnlijkheid van het observeren van een bepaald steekproefgemiddelde te bepalen, wat essentieel is voor inferentiële statistiek. * **Vergelijking:** * **Frequentieverdeling van de steekproef:** Toont de verdeling van individuele scores in één specifieke steekproef. * **Steekproevenverdeling van het gemiddelde:** Toont de verdeling van de gemiddelden van vele steekproeven. Deze verdeling bevat doorgaans minder extreme waarden dan de populatieverdeling. #### 2.3.1 Verwachtingswaarde en Zuivere Schatter De verwachtingswaarde van de steekproevenverdeling van het gemiddelde is gelijk aan het populatiegemiddelde ($\mu$). Het steekproefgemiddelde ($\bar{x}$) is hiermee een **zuivere schatter** van het populatiegemiddelde. * **Zuivere schatter:** Een schatter waarvan het gemiddelde over alle mogelijke steekproeven gelijk is aan de te schatten populatieparameter. Er is geen systematische afwijking. #### 2.3.2 Standaardfout van het Gemiddelde De standaardfout van het gemiddelde ($SE$ of $\sigma_{\bar{x}}$) is de standaarddeviatie van de steekproevenverdeling van het gemiddelde. Het meet de nauwkeurigheid waarmee het steekproefgemiddelde het populatiegemiddelde benadert. * **Formule (als populatievariantie $\sigma^2$ bekend is):** $$SE = \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Waarbij $\sigma$ de standaarddeviatie van de populatie is en $n$ de steekproefgrootte. * **Formule (als populatiestandaarddeviatie $\sigma$ onbekend is en $n > 100$):** Men kan $\sigma$ vervangen door de steekproefstandaarddeviatie ($s$). $$SE \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$ * **Belangrijk:** Een grotere steekproefgrootte ($n$) leidt tot een kleinere standaardfout, wat betekent dat de schatting van het populatiegemiddelde nauwkeuriger wordt. #### 2.3.3 Vorm van de Steekproevenverdeling: Het Centrale Limietstelling Het Centrale Limietstelling (Central Limit Theorem - CLT) is cruciaal voor het begrijpen van de vorm van de steekproevenverdeling. * **Stelling:** Ongeacht de vorm van de populatieverdeling, zal de steekproevenverdeling van het gemiddelde bij voldoende grote steekproeven (typisch $n \ge 30$) bij benadering normaal verdeeld zijn. * **Gevolgen:** 1. Als de populatie normaal verdeeld is, is de steekproevenverdeling van het gemiddelde ook normaal verdeeld (ongeacht de steekproefgrootte $n$), met verwachtingswaarde $\mu$ en standaardafwijking $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. 2. Als de populatie niet normaal verdeeld is, maar de steekproefgrootte groot genoeg is ($n \ge 30$), zal de steekproevenverdeling van het gemiddelde bij benadering normaal verdeeld zijn met verwachtingswaarde $\mu$ en standaardafwijking $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. * **Indien $\sigma$ onbekend is:** Als $\sigma$ niet gekend is en $n > 100$, mag $\sigma$ vervangen worden door de steekproefstandaarddeviatie $s$. ### 2.4 De Normale Verdeling De normale verdeling is een fundamentele continue kansverdeling die vaak voorkomt in de natuur en gedragswetenschappen. * **Kenmerken:** * Klokvormig en symmetrisch. * Wordt bepaald door twee parameters: het gemiddelde ($\mu$) en de standaarddeviatie ($\sigma$). * $\mu$ (verwachtingswaarde): Bepaalt de locatie van het centrum van de verdeling. * $\sigma$ (standaarddeviatie): Bepaalt de spreiding; een kleinere $\sigma$ geeft een smallere, hogere curve, een grotere $\sigma$ geeft een bredere, lagere curve. * De totale oppervlakte onder de curve is gelijk aan 1. * De kans op het observeren van een waarde in een bepaald interval is gelijk aan de oppervlakte onder de curve binnen dat interval. * **Formule van de kansdichtheidsfunctie:** $$f(X) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{X-\mu}{\sigma})^2}$$ (De specifieke formule hoeft niet gememoriseerd te worden, maar de parameters $\mu$ en $\sigma$ zijn essentieel.) * **Empirische regel (68-95-99.7 regel):** * Ongeveer 68% van de waarden ligt binnen 1 standaarddeviatie van het gemiddelde ($\mu \pm \sigma$). * Ongeveer 95% van de waarden ligt binnen 2 standaarddeviaties van het gemiddelde ($\mu \pm 2\sigma$). * Ongeveer 99.7% van de waarden ligt binnen 3 standaarddeviaties van het gemiddelde ($\mu \pm 3\sigma$). * **Voorbeeld (IQ):** Als IQ normaal verdeeld is met $\mu = 100$ en $\sigma = 15$: * Ongeveer 68% van de mensen heeft een IQ tussen $100 - 15 = 85$ en $100 + 15 = 115$. * Ongeveer 95% van de mensen heeft een IQ tussen $100 - 2 \times 15 = 70$ en $100 + 2 \times 15 = 130$. #### 2.4.1 Standaardnormale Verdeling De standaardnormale verdeling is een speciaal geval van de normale verdeling met $\mu = 0$ en $\sigma = 1$. Deze verdeling wordt gebruikt om kansen af te leiden voor elke normale verdeling. * **Standaardiseren (Z-scores):** Om de kansen voor een willekeurige normale verdeling te kunnen aflezen uit één enkele tabel (die van de standaardnormale verdeling), worden de waarden van die verdeling getransformeerd naar Z-scores. * **Formule voor Z-score:** $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Waarbij $X$ een specifieke waarde is, $\mu$ het populatiegemiddelde, en $\sigma$ de populatiestandaarddeviatie. * **Toepassing:** Door een observatie $X$ om te zetten naar een Z-score, kunnen we de kans op deze Z-score (of een interval van Z-scores) opzoeken in de standaardnormale tabel. * **Voorbeeld (IQ > 112):** Gegeven: IQ is normaal verdeeld met $\mu = 100$ en $\sigma = 15$. Bereken de kans op een IQ groter dan of gelijk aan 112. 1. Bereken de Z-score: $$Z = \frac{112 - 100}{15} = \frac{12}{15} = 0.80$$ 2. Zoek de kans op $Z \ge 0.80$ in de standaardnormale tabel. De tabel geeft meestal de kans op $P(Z \le z)$. * $P(Z \le 0.80) \approx 0.7881$ (uit tabel) * $P(Z \ge 0.80) = 1 - P(Z \le 0.80) = 1 - 0.7881 = 0.2119$ * **Meer varianten:** De techniek van het standaardiseren en het gebruiken van de Z-tabel kan worden toegepast voor het berekenen van kansen voor intervallen (bv. tussen twee waarden) of voor het omgekeerde probleem: het vinden van een score op basis van een gegeven kans. ### 2.5 Conclusie Kansen en kansverdelingen zijn fundamentele instrumenten in de statistiek om onzekerheid te kwantificeren en conclusies te trekken over populaties op basis van steekproefgegevens. De normale verdeling en de steekproevenverdeling van het gemiddelde, met hun eigenschappen en transformaties (Z-scores), vormen de basis voor veel inferentiële statistische technieken zoals hypothesetoetsing en betrouwbaarheidsintervallen. --- # De steekproevenverdeling van het gemiddelde Dit deel verklaart het concept van de steekproevenverdeling van het gemiddelde, hoe deze gevormd wordt door herhaaldelijk steekproeven te trekken, en waarom het steekproefgemiddelde een zuivere schatter is van het populatiegemiddelde. Het introduceert ook de standaardfout van het gemiddelde. ### 3.1 Het concept van de steekproevenverdeling De steekproevenverdeling van het gemiddelde is een specifieke kansverdeling die ontstaat wanneer men uit een populatie een oneindig aantal steekproeven trekt. Elke steekproef heeft een bijbehorend steekproefgemiddelde. Door al deze mogelijke steekproefgemiddelden te verzamelen en de frequentie (of kans) waarmee elk gemiddelde voorkomt, te bepalen, ontstaat de steekproevenverdeling van het gemiddelde. Deze verdeling toont dus de verdeling van alle mogelijke steekproefgemiddelden en de kans op het observeren van elk van deze gemiddelden. **Vergelijking met frequentieverdeling:** De steekproevenverdeling is analoog aan een frequentieverdeling. Het verschil is dat een frequentieverdeling de geobserveerde waarden uit één steekproef weergeeft, terwijl een steekproevenverdeling de theoretische waarden (alle mogelijke steekproefgemiddelden) en hun bijbehorende kansen weergeeft. **Visualisatie:** Stel dat we uit een populatie van studenten informatie verzamelen over slaapgedrag en hieruit steekproeven trekken van een bepaalde grootte ($N=100$). Voor elke steekproef berekenen we het gemiddelde aantal uren slaap. Omdat de steekproeven verschillen, zullen de berekende gemiddelden ook variëren. Deze verschillende steekproefgemiddelden worden samengebracht in de steekproevenverdeling van het gemiddelde. > **Tip:** De steekproevenverdeling stelt ons in staat om de waarschijnlijkheid te bepalen van het vinden van een specifiek steekproefgemiddelde, gegeven de kenmerken van de populatie. ### 3.2 De verwachte waarde van de steekproevenverdeling De verwachte waarde van de steekproevenverdeling van het gemiddelde is gelijk aan het populatiegemiddelde ($\mu$). Dit betekent dat, gemiddeld genomen over alle mogelijke steekproeven, het gemiddelde van de steekproeven gelijk zal zijn aan het werkelijke gemiddelde van de populatie. #### 3.2.1 Het steekproefgemiddelde als zuivere schatter Het steekproefgemiddelde ($\bar{x}$) is een **zuivere schatter** van het populatiegemiddelde ($\mu$). Dit houdt in dat er geen systematische afwijkingen zijn wanneer men het gemiddelde van alle mogelijke steekproefgemiddelden gebruikt om het populatiegemiddelde te schatten. Hoewel een enkel steekproefgemiddelde niet exact gelijk zal zijn aan het populatiegemiddelde, zal het gemiddelde van een groot aantal steekproefgemiddelden wel heel dicht bij het populatiegemiddelde liggen. > **Tip:** Zuiverheid van een schatter is een belangrijk concept. Het garandeert dat er geen systematische vertekening optreedt bij het schatten van een populatieparameter. ### 3.3 De standaardfout van het gemiddelde De standaarddeviatie van de steekproevenverdeling van het gemiddelde wordt de **standaardfout van het gemiddelde** (Standard Error of the Mean, SEM) genoemd. Deze maat geeft aan hoe accuraat onze schatting is. Een lage standaardfout betekent dat de meeste steekproefgemiddelden dicht bij het populatiegemiddelde liggen, wat duidt op een accurate schatting. Een hoge standaardfout impliceert daarentegen een grotere spreiding van steekproefgemiddelden en dus een minder accurate schatting. De standaardfout van het gemiddelde kan op twee manieren worden berekend of geschat: 1. **Indien de populatie standaarddeviatie ($\sigma$) bekend is:** $$ SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ Hierin is $\sigma$ de standaarddeviatie van de populatie en $n$ de steekproefgrootte. 2. **Indien de populatie standaarddeviatie ($\sigma$) niet bekend is:** Indien de populatie standaarddeviatie onbekend is, kan deze worden geschat met de standaarddeviatie van de steekproef ($s$). Dit is een goede benadering wanneer de steekproefgrootte groot is ($n > 100$). De formule wordt dan: $$ SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}} $$ In gevallen waar $n \le 100$ en $\sigma$ onbekend is, zal later een andere verdeling (de t-verdeling) worden geïntroduceerd. **Belangrijk inzicht:** Hoe groter de steekproef ($n$), hoe kleiner de standaardfout van het gemiddelde. Dit betekent dat grotere steekproeven leiden tot nauwkeurigere schattingen van het populatiegemiddelde. > **Voorbeeld:** Stel de gemiddelde lengte van alle 20-jarige mannen is 180 cm met een populatie standaardafwijking van 10 cm. > * Bij een steekproef van $n = 300$: $SE(\bar{x}) = \frac{10}{\sqrt{300}} \approx 0.58$ cm. > * Bij een steekproef van $n = 700$: $SE(\bar{x}) = \frac{10}{\sqrt{700}} \approx 0.38$ cm. > Zoals te zien is, is de standaardfout kleiner bij de grotere steekproef. ### 3.4 De vorm van de steekproevenverdeling De vorm van de steekproevenverdeling van het gemiddelde is cruciaal voor het maken van statistische inferenties. Het **Centrale Limiet Theorema** (Central Limit Theorem, CLT) is hierbij fundamenteel. **Het Centrale Limiet Theorema stelt het volgende:** * **Als de populatie waaruit men steekproeven trekt normaal verdeeld is:** Dan is de steekproevenverdeling van het gemiddelde ook normaal verdeeld, met een verwachte waarde $\mu$ en een standaardafwijking $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. * **Als de populatie waaruit men steekproeven trekt niet normaal verdeeld is, maar de steekproeven groot genoeg zijn (typisch $n \geq 30$):** Dan zal de steekproevenverdeling van het gemiddelde bij benadering normaal verdeeld zijn, met een verwachte waarde $\mu$ en een standaardafwijking $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. > **Let op:** Wat te doen als $n < 30$ en de populatie niet normaal verdeeld is, wordt later in de cursus behandeld. * **Indien $\sigma$ niet gekend is en $n > 100$:** Dan mag $\sigma$ vervangen worden door de standaarddeviatie van de steekproef ($s$) om de standaardfout te schatten, wat resulteert in $\sigma_{\bar{x}} \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$. #### 3.4.1 Het belang van de normale verdeling De normale verdeling is een veelgebruikt model in de gedragswetenschappen omdat veel kenmerken van mensen (zoals intelligentie, lengte, reactietijd) in de populatie als normaal verdeeld worden beschouwd. De normale verdeling is symmetrisch en klokvormig. De kans op het observeren van een waarde binnen een bepaald interval is gelijk aan de oppervlakte onder de curve in dat interval. De totale oppervlakte onder de curve is altijd 1. De formule voor de normale verdeling is: $$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2} $$ waarin: * $\mu$ (mu) staat voor de verwachte waarde (het gemiddelde) van de verdeling. * $\sigma$ (sigma) staat voor de standaardafwijking, die de spreiding van de scores bepaalt. Twee belangrijke parameters, $\mu$ en $\sigma$, bepalen de exacte vorm en positie van een normale verdeling. #### 3.4.2 De standaardnormale verdeling Om kansen te kunnen berekenen en af te lezen uit tabellen, wordt elke normale verdeling getransformeerd naar de **standaardnormale verdeling**. Dit is een specifieke normale verdeling met een gemiddelde ($\mu$) van 0 en een standaardafwijking ($\sigma$) van 1. De transformatie naar de standaardnormale verdeling gebeurt door het berekenen van **z-scores**: $$ z = \frac{x - \mu}{\sigma} $$ waarin: * $x$ de specifieke waarde is waarvan we de kans willen weten. * $\mu$ het populatiegemiddelde is. * $\sigma$ de populatie standaardafwijking is. Eenmaal de z-score berekend is, kunnen de bijbehorende kansen worden afgelezen uit de tabel van de standaardnormale verdeling. > **Tip:** De standaardnormale verdeling wordt gebruikt om de berekening van kansen te standaardiseren. Door elke normale verdeling te transformeren naar een standaardnormale verdeling, volstaat één tabel om kansen voor alle normale verdelingen te bepalen. **Toepassing van z-scores voor kansberekening:** 1. **Bereken de z-score:** Transformeer de relevante waarde ($x$) naar een z-score met de formule $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ (of $z = \frac{\bar{x} - \mu}{SE(\bar{x})}$ voor steekproefgemiddelden). 2. **Bepaal de gewenste kans:** Noteer wat je zoekt in termen van P(z ≥ ...), P(z ≤ ...), of P(... ≤ z ≤ ...). 3. **Raadpleeg de tabel:** Zoek de berekende z-score op in de tabel van de standaardnormale verdeling om de corresponderende kans af te lezen. 4. **Pas indien nodig aan:** Gebruik symmetrie of optelling/aftrekking van kansen om de gevraagde kans te bekomen. **Voorbeeld (steekproevenverdeling):** Gegeven is een normaal verdeelde populatie met $\mu = 100$ en $\sigma = 15$. We trekken een steekproef van $n = 40$. Het steekproefgemiddelde is $\bar{x} = 102$. Wat is de kans op een steekproefgemiddelde van 102 of hoger? * **Bereken de standaardfout van het gemiddelde:** $$ SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{40}} \approx 2.37 $$ * **Bereken de z-score voor het steekproefgemiddelde:** $$ z = \frac{\bar{x} - \mu}{SE(\bar{x})} = \frac{102 - 100}{2.37} \approx 0.84 $$ * **Bepaal de kans:** We zoeken $P(z \geq 0.84)$. * **Raadpleeg de tabel:** De tabel voor de standaardnormale verdeling geeft $P(z \leq 0.84) \approx 0.7995$. * **Pas aan:** $P(z \geq 0.84) = 1 - P(z \leq 0.84) = 1 - 0.7995 = 0.2005$. Dus de kans op een steekproefgemiddelde van 102 of hoger is ongeveer 0.2005. --- # De normale en standaardnormale verdeling Hier is de samenvatting voor het onderwerp "De normale en standaardnormale verdeling". ## 4. De normale en standaardnormale verdeling Dit deel van de cursus behandelt de eigenschappen van de normale verdeling, de rol van de parameters mu ($\mu$) en sigma ($\sigma$), en hoe de standaardnormale verdeling en z-scores worden gebruikt voor kansberekeningen. ### 4.1 Het belang van kansen in statistiek Kansen zijn cruciaal in statistiek omdat ze ons helpen de mate van onzekerheid te kwantificeren wanneer we conclusies trekken over een populatie op basis van steekproefgegevens. Dit is essentieel voor methoden zoals hypothesetoetsing en het berekenen van betrouwbaarheidsintervallen. Kansberekeningen worden toegepast *voor* de dataverzameling, in tegenstelling tot frequentieverdelingen die gebaseerd zijn op geobserveerde data. ### 4.2 Kansverdelingen Een kansverdeling geeft een overzicht van alle mogelijke waarden van een variabele en de bijbehorende kansen dat deze waarden optreden. Dit is analoog aan een frequentieverdeling, maar dan met theoretische in plaats van geobserveerde waarden. #### 4.2.1 De steekproevenverdeling van het gemiddelde Een speciaal type kansverdeling is de steekproevenverdeling van het gemiddelde. Deze ontstaat door uit een populatie oneindig veel steekproeven te trekken en voor elke steekproef het gemiddelde te berekenen. De steekproevenverdeling toont dan de verdeling van al deze mogelijke steekproefgemiddelden met hun respectievelijke kansen. * **Verwachte waarde van de steekproevenverdeling:** Het gemiddelde van de steekproevenverdeling is gelijk aan het populatiegemiddelde ($\mu$). Het steekproefgemiddelde ($\bar{x}$) is een zuivere schatter van het populatiegemiddelde, wat betekent dat er geen systematische afwijkingen zijn bij het gemiddelde van alle mogelijke steekproefgemiddelden. $$E(\bar{x}) = \mu$$ * **Standaardfout van het gemiddelde:** Dit is de standaarddeviatie van de steekproevenverdeling en geeft de spreiding van de steekproefgemiddelden rond het populatiegemiddelde weer. Het kwantificeert hoe accuraat onze schatting van het populatiegemiddelde is. De standaardfout ($\sigma_{\bar{x}}$) kan worden berekend als: $$ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ waarbij $\sigma$ de populatiestandaardafwijking is en $n$ de steekproefgrootte. Indien de populatiestandaardafwijking ($\sigma$) onbekend is, kan deze geschat worden met de steekproefstandaardafwijking ($s$) als de steekproefgrootte ($n$) groot is (meestal $n > 100$): $$ s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} $$ Een belangrijke observatie is dat hoe groter de steekproef ($n$), hoe kleiner de standaardfout. #### 4.2.2 Vorm van de steekproevenverdeling (Centrale Limietstelling) Het **Centrale Limietstelling** (Central Limit Theorem) stelt het volgende: 1. Als de populatie waaruit de steekproeven worden getrokken normaal verdeeld is, dan is de steekproevenverdeling van het gemiddelde ook normaal verdeeld, met een verwachte waarde $\mu$ en een standaardafwijking $\sigma_{\bar{x}}$. 2. Als de populatie niet normaal verdeeld is, maar de steekproeven zijn groot genoeg ($n \geq 30$), dan zal de steekproevenverdeling van het gemiddelde bij benadering normaal verdeeld zijn, met een verwachte waarde $\mu$ en een standaardafwijking $\sigma_{\bar{x}}$. De vorm van de steekproevenverdeling wordt dus vaak benaderd door de normale verdeling, zelfs als de oorspronkelijke populatie dat niet is. > **Tip:** De Centrale Limietstelling is een fundamenteel principe dat de basis vormt voor veel statistische inferentie, omdat het de analyse van steekproefgemiddelden mogelijk maakt met behulp van de eigenschappen van de normale verdeling. ### 4.3 De normale verdeling De normale verdeling is een theoretische kansverdeling die veel voorkomt in de gedragswetenschappen. Kenmerken die normaal verdeeld zijn, worden gekenmerkt door een klokvormige en symmetrische curve. * **Eigenschappen:** * De totale oppervlakte onder de curve is altijd gelijk aan 1 (wat de totale kans vertegenwoordigt). * De kans op het observeren van een waarde binnen een bepaald interval is gelijk aan de oppervlakte onder de curve tussen die grenzen. * De verdeling wordt volledig bepaald door twee parameters: * **Gemiddelde ($\mu$ - mu):** Dit bepaalt de locatie van het midden van de verdeling. * **Standaardafwijking ($\sigma$ - sigma):** Dit bepaalt de spreiding of breedte van de verdeling. Een kleinere $\sigma$ resulteert in een smallere en hogere curve, terwijl een grotere $\sigma$ leidt tot een bredere en lagere curve. * **Formule van de normale verdeling:** $$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $$ Hierin is: * $f(x)$ de hoogte van de curve op punt $x$. * $\pi$ de wiskundige constante pi ($\approx 3.14159$). * $e$ de basis van de natuurlijke logaritme ($\approx 2.71828$). * $\mu$ het gemiddelde van de verdeling. * $\sigma$ de standaardafwijking van de verdeling. * **Regels van de normale verdeling (empirische regel):** * Ongeveer 68% van de data ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde ($\mu \pm \sigma$). * Ongeveer 95% van de data ligt binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde ($\mu \pm 2\sigma$). * Ongeveer 99.7% van de data ligt binnen drie standaardafwijkingen van het gemiddelde ($\mu \pm 3\sigma$). > **Voorbeeld:** IQ-scores zijn normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15. Ongeveer 68% van de mensen heeft een IQ tussen $100 - 15 = 85$ en $100 + 15 = 115$. Ongeveer 95% heeft een IQ tussen $100 - 2 \times 15 = 70$ en $100 + 2 \times 15 = 130$. ### 4.4 De standaardnormale verdeling De standaardnormale verdeling is een specifiek type normale verdeling met een gemiddelde van $\mu = 0$ en een standaardafwijking van $\sigma = 1$. * **Waarom de standaardnormale verdeling?** Het berekenen van oppervlaktes (en dus kansen) onder de curve van een willekeurige normale verdeling is computationeel complex. Om dit te vereenvoudigen, worden alle normaal verdeelde variabelen getransformeerd naar de standaardnormale verdeling, waarvoor een tabel (de z-tabel) bestaat die de oppervlaktes onder de curve gemakkelijk afleesbaar maakt. * **Transformatie naar Z-scores:** Elke waarde ($x$) uit een normale verdeling kan worden omgezet naar een z-score met de volgende formule: $$ z = \frac{x - \mu}{\sigma} $$ waarbij: * $z$ de z-score is. * $x$ de oorspronkelijke waarde is. * $\mu$ het gemiddelde van de oorspronkelijke verdeling is. * $\sigma$ de standaardafwijking van de oorspronkelijke verdeling is. De z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen een bepaalde waarde verwijderd is van het gemiddelde. Een positieve z-score betekent dat de waarde boven het gemiddelde ligt, een negatieve z-score dat deze eronder ligt. > **Tip:** De z-transformatie behoudt de vorm van de verdeling, maar centreert deze rond 0 met een standaardafwijking van 1. #### 4.4.1 Kansen berekenen met de standaardnormale verdeling Met de z-score kunnen we de kans op specifieke uitkomsten berekenen door de corresponderende waarde in de standaardnormale verdelingstabel op te zoeken. * **Stappenplan voor kansberekeningen:** 1. **Identificeer de parameters:** Bepaal het gemiddelde ($\mu$) en de standaardafwijking ($\sigma$) van de betreffende normale verdeling (of de standaardfout ($\sigma_{\bar{x}}$) voor steekproefgemiddelden). 2. **Bereken de z-score(s):** Transformeer de waarde(n) van interesse ($x$) naar z-scores met de formule $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$. 3. **Zoek de kans op in de z-tabel:** Bepaal wat je precies zoekt (bv. $P(Z \geq x)$, $P(Z \leq x)$, $P(a \leq Z \leq b)$). Gebruik de symmetrie van de standaardnormale verdeling indien nodig ($P(Z \leq -a) = P(Z \geq a)$). 4. **Pas optellingen/aftrekkingen toe:** Gebruik de gevonden kansen en de logica van de vraag om de uiteindelijke kans te berekenen. > **Voorbeeld:** Een variabele is normaal verdeeld met $\mu = 70$ en $\sigma = 12$. Hoeveel procent van de mensen scoort hoger dan 58? > 1. $\mu = 70$, $\sigma = 12$. We zoeken $P(X \geq 58)$. > 2. Bereken de z-score: $z = \frac{58 - 70}{12} = \frac{-12}{12} = -1$. > 3. We zoeken $P(Z \geq -1)$. Uit de z-tabel vinden we $P(Z \leq -1) \approx 0.1587$. Vanwege de symmetrie is $P(Z \geq -1) = P(Z \leq 1) \approx 0.8413$. > 4. Dus, ongeveer 84.13% van de mensen scoort hoger dan 58. #### 4.4.2 Omgekeerde berekeningen (score zoeken op basis van kans) Het is ook mogelijk omgekeerd te werken: een score zoeken die overeenkomt met een bepaalde kans. > **Voorbeeld:** Een normaal verdeelde test heeft een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15. Welke score moet men hebben om bij de top 5% te behoren? > 1. We zoeken een score $x$ waarvoor $P(X \geq x) = 0.05$. Dit betekent dat $P(Z \geq z) = 0.05$. > 2. In de z-tabel zoeken we naar de z-score die overeenkomt met een cumulatieve kans van $1 - 0.05 = 0.95$. Deze z-score is ongeveer 1.65. > 3. Nu gebruiken we de z-score formule om $x$ te vinden: $1.65 = \frac{x - 100}{15}$. > 4. Oplossen voor $x$: $x = (1.65 \times 15) + 100 = 24.75 + 100 = 124.75$. > 5. Men moet dus een score van ongeveer 125 hebben om bij de top 5% te behoren. #### 4.4.3 Toepassing op steekproevenverdelingen Dezelfde techniek van z-score berekening en het gebruik van de standaardnormale verdelingstabel kan worden toegepast op steekproefgemiddelden, mits aan de voorwaarden van het Centrale Limietstelling is voldaan. De te gebruiken parameters zijn dan het populatiegemiddelde ($\mu$) en de standaardfout van het gemiddelde ($\sigma_{\bar{x}}$). > **Voorbeeld:** Een populatie is normaal verdeeld met $\mu = 100$ en $\sigma = 15$. We trekken een steekproef van $n = 40$. Wat is de kans op een steekproefgemiddelde van 102 of hoger? > 1. Populatieparameters: $\mu = 100$, $\sigma = 15$. Steekproefgrootte: $n = 40$. We zoeken $P(\bar{x} \geq 102)$. > 2. Bereken de standaardfout: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{40}} \approx \frac{15}{6.32} \approx 2.37$. > 3. Bereken de z-score voor het steekproefgemiddelde: $z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{102 - 100}{2.37} = \frac{2}{2.37} \approx 0.84$. > 4. Zoek de kans: $P(Z \geq 0.84)$. Uit de tabel is $P(Z \leq 0.84) \approx 0.7995$. Dus $P(Z \geq 0.84) = 1 - 0.7995 = 0.2005$. > 5. De kans op een steekproefgemiddelde van 102 of hoger is ongeveer 0.2005 of 20.05%. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Populatie | De volledige groep individuen of elementen waarover een uitspraak gedaan wil worden in een onderzoek. Het is de theoretische gehele verzameling data. | | Steekproef | Een subset van de populatie die wordt onderzocht om conclusies te kunnen trekken over de gehele populatie. Een representatieve steekproef is cruciaal voor de validiteit van de onderzoeksresultaten. | | Significante verband/verschil | Een statistisch significant verband of verschil betekent dat het waargenomen effect waarschijnlijk niet aan toeval te wijten is. Het duidt op een onderbouwd besluit over de relatie tussen variabelen. | | Kans | De waarschijnlijkheid dat een specifieke gebeurtenis zal plaatsvinden, uitgedrukt als een getal tussen 0 (onmogelijk) en 1 (zeker). Kansberekeningen zijn essentieel voor het inschatten van onzekerheid. | | Puntschatting | Een enkelvoudige waarde die wordt gebruikt om een populatieparameter te schatten, bijvoorbeeld het gemiddelde van een steekproef dat als schatting dient voor het populatiegemiddelde. | | Betrouwbaarheidsinterval | Een interval van waarden rondom een puntschatting, waarbinnen de werkelijke populatieparameter met een bepaalde mate van betrouwbaarheid zal liggen. | | Uitkomst | Een enkelvoudig, specifiek resultaat van een experiment of waarneming, bijvoorbeeld het gooien van een specifieke getal op een dobbelsteen. | | Uitkomstenruimte | De verzameling van alle mogelijke enkelvoudige uitkomsten die kunnen optreden bij een experiment of waarneming. Voor een dobbelsteen is dit de set {1, 2, 3, 4, 5, 6}. | | Kansverdeling | Een overzicht dat de mogelijke waarden van een variabele koppelt aan de kans dat deze waarden optreden. Het is een theoretische weergave van de kansen op verschillende uitkomsten. | | Verwachte waarde | Het gemiddelde van een kansverdeling, wat overeenkomt met de theoretische gemiddelde uitkomst als een experiment oneindig vaak zou worden herhaald. Het wordt vaak aangeduid met E(X) of $\mu$. | | Steekproevenverdeling van het gemiddelde | Een kansverdeling van alle mogelijke steekproefgemiddelden die verkregen kunnen worden uit herhaalde steekproeven uit dezelfde populatie. | | Zuivere schatter | Een schatter waarvan de verwachte waarde gelijk is aan de te schatten populatieparameter. Het steekproefgemiddelde is bijvoorbeeld een zuivere schatter van het populatiegemiddelde. | | Standaardfout van het gemiddelde | De standaardafwijking van de steekproevenverdeling van het gemiddelde. Het geeft aan hoe nauwkeurig het steekproefgemiddelde het populatiegemiddelde schat. | | Centrale Limiet Theorema | Een fundamenteel stelling in de statistiek die stelt dat, ongeacht de vorm van de populatieverdeling, de steekproevenverdeling van het gemiddelde bij voldoende grote steekproefgroottes (vaak N >= 30) bij benadering normaal verdeeld zal zijn. | | Normale verdeling | Een continue kansverdeling die symmetrisch is rondom haar gemiddelde en klokvormig. Het wordt gekenmerkt door twee parameters: het gemiddelde ($\mu$) en de standaardafwijking ($\sigma$). | | Standaardnormale verdeling | Een speciaal geval van de normale verdeling met een gemiddelde ($\mu$) van 0 en een standaardafwijking ($\sigma$) van 1. Het wordt gebruikt als referentie voor kansberekeningen. | | Z-score | Een gestandaardiseerde score die aangeeft hoeveel standaardafwijkingen een bepaald datapunt verwijderd is van het gemiddelde van de verdeling. Het wordt berekend als $z = (x - \mu) / \sigma$. | | Intervalestimatie | Het proces waarbij een interval wordt berekend dat waarschijnlijk de populatieparameter bevat, met een bepaalde mate van betrouwbaarheid. |