BW_-_H2.1_Trillingen_-_functies_oefeningen.pdf

# Functievoorschriften en grafieken van functies Dit gedeelte behandelt het bepalen van functievoorschriften voor gegeven grafieken en het tekenen van grafieken op basis van functievoorschriften. ### 1.1 Functievoorschriften bepalen uit grafieken Het doel is om het functievoorschrift te achterhalen op basis van de visuele representatie van een grafiek. Dit omvat het analyseren van de vorm, amplitude, periode en verschuivingen van de grafiek om zo de parameters van de functie te bepalen [1](#page=1) [2](#page=2). #### 1.1.1 Algemene aanpak De documentatie geeft voorbeelden waar functievoorschriften bepaald moeten worden uit grafieken. Hoewel de specifieke functieklassen (zoals sinusvormige functies) niet expliciet worden genoemd voor deze oefeningen, impliceren de visuele patronen van de grafieken vaak de onderliggende wiskundige vorm. Voor het bepalen van een functievoorschrift uit een grafiek is het essentieel om de volgende elementen te identificeren [1](#page=1): * **Amplitude:** De maximale uitslag van de grafiek ten opzichte van het midden [1](#page=1). * **Periode:** De lengte van één volledige cyclus van de grafiek [1](#page=1). * **Faseverschuiving:** De horizontale verschuiving van de grafiek ten opzichte van een standaardfunctie [1](#page=1). * **Verticale verschuiving:** De opwaartse of neerwaartse verschuiving van de grafiek ten opzichte van de x-as [1](#page=1). ### 1.2 Grafieken tekenen op basis van functievoorschriften Dit omvat het omgekeerde proces: het construeren van de grafiek van een functie wanneer het functievoorschrift gegeven is. Hierbij worden de parameters in het functievoorschrift gebruikt om de specifieke kenmerken van de grafiek te bepalen en te tekenen [2](#page=2). #### 1.2.1 Sinusvormige functies De documentatie bevat diverse voorbeelden van sinusvormige functies waar de grafiek getekend moet worden. Voor een algemene sinusvormige functie van de vorm $f(t) = A \sin(Bt + C) + D$ of $f(t) = A \cos(Bt + C) + D$, kunnen de parameters als volgt worden geïnterpreteerd [2](#page=2): * $|A|$: De amplitude, die de maximale afstand van het midden tot het hoogste of laagste punt van de grafiek bepaalt [2](#page=2). * $B$: Bepaalt de periode van de functie. De periode $T$ wordt gegeven door $T = \frac{2\pi}{|B|}$ ] [2](#page=2). * $C$: De horizontale faseverschuiving. De verschuiving is $-\frac{C}{B}$ ] [2](#page=2). * $D$: De verticale verschuiving, die de middellijn van de grafiek bepaalt [2](#page=2). #### 1.2.2 Voorbeelden van grafieken tekenen Verschillende functievoorschriften worden gegeven, met de opdracht om de bijbehorende grafieken te tekenen [2](#page=2). * **Voorbeeld 1:** Teken de grafiek van $x(t) = 4\sin(2t + \frac{\pi}{2})$ ] [2](#page=2). * Amplitude: $|A| = 4$. * Periode: $T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. * Faseverschuiving: $-\frac{C}{B} = -\frac{\pi/2}{2} = -\frac{\pi}{4}$. * Verticale verschuiving: $D = 0$. * **Voorbeeld 2:** Teken de grafiek van $x(t) = 4\sin(4t - \frac{\pi}{4})$ ] [2](#page=2). * Amplitude: $|A| = 4$. * Periode: $T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. * Faseverschuiving: $-\frac{C}{B} = -\frac{-\pi/4}{4} = \frac{\pi}{16}$. * Verticale verschuiving: $D = 0$. * **Voorbeeld 3:** Teken de grafiek van $x(t) = 4\sin(2t + \frac{\pi}{3})$ ] [2](#page=2). * Amplitude: $|A| = 4$. * Periode: $T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. * Faseverschuiving: $-\frac{C}{B} = -\frac{\pi/3}{2} = -\frac{\pi}{6}$. * Verticale verschuiving: $D = 0$. * **Voorbeeld 4:** Teken de grafiek van $x(t) = 4\sin(4t - \frac{\pi}{6})$ ] [2](#page=2). * Amplitude: $|A| = 4$. * Periode: $T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. * Faseverschuiving: $-\frac{C}{B} = -\frac{-\pi/6}{4} = \frac{\pi}{24}$. * Verticale verschuiving: $D = 0$. #### 1.2.3 Afgeleide grafieken tekenen Er worden ook opdrachten gegeven waarbij uit een gegeven grafiek van een functie, de grafiek van een gerelateerde functie getekend moet worden, bijvoorbeeld van $x(t)$ naar $v_x(t)$ of van $v_x(t)$ naar $F(t)$ . Dit impliceert de toepassing van concepten zoals afgeleiden (voor snelheid uit positie) en gerelateerde fysieke wetten (zoals de tweede wet van Newton voor kracht uit versnelling). Bij deze taken wordt de grootte van de amplitude van de te tekenen grafiek vrij gekozen [2](#page=2). > **Tip:** Bij het tekenen van grafieken is het nuttig om eerst de periode en de amplitude te bepalen. Identificeer vervolgens de belangrijke punten op de x-as (begin, einde van de periode, halve periodes, etc.) en de corresponderende y-waarden (maximum, minimum, middenlijn). Teken vervolgens de curve die door deze punten gaat, rekening houdend met de vorm van de gespecificeerde functie (sinus, cosinus, etc.). > **Tip:** Als je een functie $f(t)$ hebt en je moet $f'(t)$ tekenen, bedenk dan dat de afgeleide de helling van de oorspronkelijke functie weergeeft. Waar $f(t)$ een maximum of minimum heeft, is de helling nul en dus $f'(t) = 0$. Waar $f(t)$ positieve helling heeft, is $f'(t)$ positief, en waar de helling negatief is, is $f'(t)$ negatief. De grootte van de helling van $f(t)$ bepaalt de grootte van de waarde van $f'(t)$. --- # Afgeleiden van functies Dit onderdeel gaat over het bepalen van de afgeleide functie, vaak aangeduid als $v_x(t)$, van een gegeven functie $x(t)$, en het visualiseren van deze afgeleide door middel van grafieken [2](#page=2). ### 2.1 Begrip van de afgeleide in de context van functies De afgeleide van een functie op een bepaald punt vertegenwoordigt de momentane veranderingssnelheid van die functie op dat punt. In de context van functies $x(t)$, die vaak positie of uitwijking als functie van tijd voorstellen, is de afgeleide functie $v_x(t)$ de snelheid op elk tijdstip [2](#page=2). ### 2.2 Het berekenen van de afgeleide functie Het proces van het vinden van de afgeleide functie wordt differentiëren genoemd. Hoewel specifieke differentiatieregels niet gedetailleerd worden beschreven op deze pagina's, wordt het concept toegepast op voorbeelden van sinusvormige functies [2](#page=2). #### 2.2.1 Voorbeelden van het differentiëren van sinusvormige functies De documentatie geeft voorbeelden waarbij een functie $x(t)$ wordt gegeven en de bijbehorende afgeleide functie $v_x(t)$ gevraagd wordt, met de nadruk op het tekenen van de grafiek [2](#page=2). * **Voorbeeld 1:** Gegeven: $x(t) = 4 \sin(2t + \frac{\pi}{2})$ [2](#page=2). Gevraagd: $v_x(t)$ en de grafiek ervan [2](#page=2). * **Voorbeeld 2:** Gegeven: $x(t) = 4 \sin(2t - \frac{\pi}{4})$ [2](#page=2). Gevraagd: $v_x(t)$ en de grafiek ervan [2](#page=2). * **Voorbeeld 3:** Gegeven: $x(t) = 4 \sin(2t + \frac{3\pi}{4})$ [2](#page=2). Gevraagd: $v_x(t)$ en de grafiek ervan [2](#page=2). * **Voorbeeld 4:** Gegeven: $x(t) = 4 \sin(4t - \frac{\pi}{6})$ [2](#page=2). Gevraagd: $v_x(t)$ en de grafiek ervan [2](#page=2). Bij het tekenen van de grafiek van de afgeleide functie, is de grootte van de amplitude naar eigen bepaling [2](#page=2). ### 2.3 Het integreren van functies (omgekeerde van differentiëren) Er wordt ook kort verwezen naar het omgekeerde proces van differentiëren, namelijk integreren, waar de functie $v_x(t)$ wordt gegeven en de oorspronkelijke functie $F(t)$ (of een primitieve functie) gevraagd wordt. Dit illustreert het verband tussen een functie en haar afgeleide/primitieve functie [2](#page=2). ### 2.4 Grafische representatie van afgeleiden Een cruciaal aspect van dit onderdeel is de grafische interpretatie. Het vermogen om de grafiek van de afgeleide functie te tekenen op basis van de oorspronkelijke functie, en vice versa, is essentieel voor een dieper begrip van de relatie tussen de functies en hun veranderingssnelheden. Dit omvat het herkennen van hoe de helling van de oorspronkelijke functie overeenkomt met de waarde van de afgeleide functie, en hoe nulpunten, maxima en minima van de ene functie verband houden met de andere [2](#page=2). --- # Integralen van functies Dit onderwerp behandelt het bepalen van de integraal van een functie in de context van kinetische energie, specifiek $E_{kin}(t)$ [3](#page=3). ### 3.1 Conceptuele introductie tot integratie Integratie kan worden gezien als een methode om de "totale hoeveelheid" of de accumulatie van een veranderlijke grootheid over een bepaalde periode of interval te bepalen. In de context van fysica, en specifiek kinetische energie, stelt integratie ons in staat om de energie op een bepaald tijdstip te berekenen wanneer we de verandering van die energie kennen [3](#page=3). ### 3.2 Integratie van kinetische energie Het primaire doel in dit verband is het vinden van de uitdrukking voor de kinetische energie als functie van de tijd, $E_{kin}(t)$, gegeven de informatie uit het document. De precieze methode of de specifieke functie die geïntegreerd moet worden, wordt niet verder gespecificeerd op pagina 3, maar de vraagstelling is duidelijk gericht op het verkrijgen van $E_{kin}(t)$ door middel van een integratieproces [3](#page=3). #### 3.2.1 Standaard integratieregels (Algemeen toepasbaar) Hoewel niet expliciet uitgewerkt op pagina 3, is het essentieel om de basisprincipes van integratie te begrijpen om $E_{kin}(t)$ te kunnen bepalen. Enkele fundamentele regels die hierbij van toepassing zijn, zijn: * **Machtsregel:** De integraal van $x^n$ is $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (voor $n \neq -1$) [algemene kennis. * **Constante regel:** De integraal van een constante $k$ is $kx + C$ [algemene kennis. * **Lineariteitsregel:** De integraal van een som van functies is de som van hun integralen, en constante factoren mogen buiten de integraal worden geplaatst: $\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$ [algemene kennis. > **Tip:** Vergeet de integratieconstante $C$ niet bij onbepaalde integralen, tenzij de context (zoals een beginvoorwaarde) deze bepaalt. #### 3.2.2 Toepassing op $E_{kin}(t)$ Om $E_{kin}(t)$ te bepalen, zou men typisch moeten integreren op basis van gerelateerde grootheden zoals kracht, snelheid of arbeid die afhankelijk zijn van de tijd. Als bijvoorbeeld de snelheid als functie van de tijd, $v(t)$, gegeven was, en de massa $m$ constant is, dan is de kinetische energie $E_{kin}(t) = \frac{1}{2}mv(t)^2$. Als echter de *verandering* in kinetische energie beschreven wordt door een functie $f(t)$ die geïntegreerd moet worden om $E_{kin}(t)$ te verkrijgen, zou de berekening er als volgt uit kunnen zien: Stel dat de afgeleide van de kinetische energie naar tijd wordt gegeven door een functie, $\frac{dE_{kin}}{dt} = f(t)$, dan kan $E_{kin}(t)$ worden gevonden door de integraal van $f(t)$ te nemen: $$E_{kin}(t) = \int f(t) dt$$ [algemene kennis De specifieke functie $f(t)$ en de bijbehorende constanten voor het oplossen van de integratieconstante zouden uit de bredere context van het document moeten komen. Op pagina 3 wordt de gevraagde uitkomst direct benoemd als $E_{kin}(t)$, wat impliceert dat integratie de sleutel is tot het bereiken van dit resultaat [3](#page=3). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Functievoorschrift | Een wiskundige uitdrukking die aangeeft hoe de output van een functie gerelateerd is aan de input. Het definieert de relatie tussen variabelen. | | Grafiek | Een visuele representatie van een wiskundige functie, waarbij de relatie tussen de inputvariabele (op de x-as) en de outputvariabele (op de y-as) wordt getoond. | | Stippellijn | Een type lijn dat wordt gebruikt in grafieken om informatie aan te geven die niet continu is, of om een specifieke functie te onderscheiden van andere. | | Afgeleide functie | De afgeleide van een functie, die de momentane veranderingssnelheid van de functie aangeeft. In dit document wordt dit aangeduid als vx(t). | | Sinusfunctie | Een periodieke wiskundige functie gebaseerd op de sinus van een hoek, vaak gebruikt om golfverschijnselen te modelleren, zoals $sin(x)$. | | Amplitude | De maximale uitwijking van een golf of trilling ten opzichte van de evenwichtsstand. In het document wordt de grootte van de amplitude vrij bepaald. | | Integraal | Een fundamenteel concept in de calculus dat de sommatie van oneindig kleine delen vertegenwoordigt. Het kan worden gebruikt om oppervlaktes onder krommen te berekenen. | | Kinetische energie | De energie die een object bezit vanwege zijn beweging. In dit document wordt deze aangeduid als Ekin(t) en berekend via een integraal. | | Gevraagd | De term die aangeeft welk resultaat of welke berekening er van de student verwacht wordt op basis van de gegeven informatie. |