Slides4_PG_Bouwstenen.pdf

# Productietechnologie Dit onderwerp introduceert de kernconcepten van productietechnologie, waaronder definities van productiemogelijkheden, productiefuncties en isoquanten, en verkent hun eigenschappen zoals monotoniciteit en convexiteit. ### 1.1 Definities van productiemogelijkheden en gerelateerde concepten #### 1.1.1 Productieplannen en de productiemogelijkheden verzameling Een productieplan wordt gerepresenteerd als een drietal $y = (L, K, y)$, waarbij $L$ de hoeveelheid arbeid, $K$ de hoeveelheid kapitaal en $y$ de geproduceerde output voorstelt. De productiemogelijkheden verzameling, aangeduid met $Y$, bevat alle productieplannen die technologisch haalbaar zijn. In deze cursus wordt de technologie doorgaans als gegeven verondersteld. De verzameling $Y$ bevindt zich in de driedimensionale positieve ruimte $R^3_+$ [6](#page=6). > **Tip:** Visualiseer productieplannen als punten in een driedimensionaal assenstelsel met $L$, $K$ en $y$ als assen [7](#page=7). #### 1.1.2 De verzameling van vereiste inputs De verzameling van vereiste inputs $V(y)$ omvat alle combinaties van arbeid $(L)$ en kapitaal $(K)$ waarmee een outputniveau van $y$ eenheden geproduceerd kan worden. Formeel wordt dit uitgedrukt als [8](#page=8): $V(y) = \{ (L, K) \in R^2_+: (L, K, y) \in Y \}$ [8](#page=8). #### 1.1.3 De isoquant Een isoquant, genoteerd als $Q(y)$, definieert de exacte inputcombinaties van arbeid $(L)$ en kapitaal $(K)$ waarmee precies $y$ eenheden output geproduceerd kunnen worden. Dit betekent dat deze inputcombinaties zich in $V(y)$ bevinden, maar niet in $V(y')$ voor elk outputniveau $y'$ groter dan $y$ [8](#page=8). > **Voorbeeld:** Een isoquant kan de verschillende manieren weergeven waarop een bedrijf een bepaald aantal stoelen kan produceren met variërende hoeveelheden arbeid en kapitaal [8](#page=8). #### 1.1.4 De productiefunctie De productiefunctie $f(L, K)$ beschrijft de maximaal haalbare output die met een gegeven inputcombinatie van arbeid $(L)$ en kapitaal $(K)$ kan worden gerealiseerd. Formeel is dit [9](#page=9): $f(L, K) = \{y \in R_+: y \text{ is de maximale productie waarvoor } (L, K, y) \in Y\}$ [9](#page=9). #### 1.1.5 De korte termijn productiefunctie Op de korte termijn wordt de hoeveelheid kapitaal vast verondersteld, $K = \bar{K}$. De korte termijn productiefunctie, gegeven $\bar{K}$, wordt dan gedefinieerd als: $f_{\bar{K}}(L) = \{y \in R_+: y = f(L, \bar{K})\}$ [9](#page=9). ### 1.2 Eigenschappen van productietechnologie #### 1.2.1 Monotoniciteit Monotoniciteit van de productietechnologie impliceert dat een toename van inputs leidt tot een toename van de output (inputs $\uparrow \Rightarrow$ output $\uparrow$) [10](#page=10). * **Axioma: Monotoniciteit van de verzameling van vereiste inputs:** Als een inputcombinatie $(L, K)$ vereist is om $y$ te produceren, en een andere combinatie $(L', K')$ is groter of gelijk aan $(L, K)$ in beide inputs (d.w.z. $L' \ge L$ en $K' \ge K$), dan is $(L', K')$ ook vereist voor het produceren van $y$. Formeel: $(L, K) \in V(y)$ en $(L', K') \ge (L, K) \Rightarrow (L', K') \in V(y)$ [10](#page=10). * **Axioma: Monotoniciteit van de productiemogelijkheden verzameling:** Als een productieplan $(L, K, y)$ haalbaar is, en er is een plan $(L', K', y')$ met $L' \ge L$, $K' \ge K$ en $y' \le y$, dan is ook $(L', K', y')$ haalbaar. Formeel: $(L, K, y) \in Y$, $L' \ge L$, $K' \ge K$ en $y' \le y \Rightarrow (L', K', y') \in Y$ [10](#page=10). > **Visualisatie:** Monotoniciteit van $V(y)$ betekent dat de verzameling van vereiste inputs zich "uitbreidt" naar rechtsboven naarmate de vereiste output toeneemt. Voor de productiemogelijkheden verzameling $Y$ betekent monotoniciteit dat als een plan haalbaar is, alle plannen die meer inputs gebruiken en minder output produceren ook haalbaar zijn [11](#page=11). #### 1.2.2 Convexiteit Convexiteit van de technologie is een courante veronderstelling en de motivatie hiervoor ligt in de deelbaarheid van de technologie. Als een outputniveau $y$ geproduceerd kan worden met inputcombinatie $(L, K)$ én met inputcombinatie $(L', K')$, dan kan $y$ ook geproduceerd worden met een fractie $t$ van het proces met inputs $(L, K)$ en een fractie $(1-t)$ van het proces met inputs $(L', K')$ [12](#page=12). * **Axioma: Convexiteit van de verzameling van vereiste inputs:** De verzameling $V(y)$ is convex als voor elke twee inputcombinaties $(L, K)$ en $(L', K')$ in $V(y)$, en voor elke $t$ tussen 0 en 1 ($0 \le t \le 1$), de gewogen combinatie $(tL + (1-t)L', tK + (1-t)K')$ ook in $V(y)$ ligt. Formeel: voor alle $t, 0 \le t \le 1$ en alle $(L, K), (L', K') \in V(y)$, geldt $(tL + (1-t)L', tK + (1-t)K') \in V(y)$ [13](#page=13). * **Axioma: Strikte convexiteit van de verzameling van vereiste inputs:** $V(y)$ is strikt convex als voor elke $t$ strikt tussen 0 en 1 ($0 < t < 1$) en voor elke twee verschillende inputcombinaties $(L, K)$ en $(L', K')$ in $V(y)$, de gewogen combinatie $(tL + (1-t)L', tK + (1-t)K')$ strikt in $V(y')$ ligt voor een outputniveau $y' > y$ [13](#page=13). * **Axioma: Convexiteit van de productiemogelijkheden verzameling:** De verzameling $Y$ is convex als voor elke twee productieplannen $(L, K, y)$ en $(L', K', y')$ in $Y$, en voor elke $t$ tussen 0 en 1 ($0 \le t \le 1$), het gewogen gemiddelde van deze plannen ook in $Y$ ligt: $(tL + (1-t)L', tK + (1-t)K', ty + (1-t)y')$. Formeel: voor alle $t, 0 \le t \le 1$ en alle $(L, K, y), (L', K', y') \in Y$, geldt $(tL + (1-t)L', tK + (1-t)K', ty + (1-t)y') \in Y$ [15](#page=15). > **Visualisatie:** Convexiteit van $V(y)$ wordt grafisch weergegeven door een kromming naar binnen van de isoquanten. Als de isoquanten strikt naar binnen gebogen zijn, spreekt men van strikte convexiteit. Convexiteit van $Y$ in driedimensionale ruimte betekent dat als twee plannen in $Y$ liggen, de rechte lijn die deze plannen verbindt, ook volledig binnen $Y$ ligt [14](#page=14) [16](#page=16). #### 1.2.3 Relatie tussen convexiteit van $Y$ en $V(y)$ Convexiteit van de productiemogelijkheden verzameling $Y$ impliceert convexiteit van de verzameling van vereiste inputs $V(y)$. Echter, het omgekeerde is niet noodzakelijk waar: convexiteit van $V(y)$ impliceert niet altijd convexiteit van $Y$. In de meeste economische modellen volstaat het echter om convexiteit van $V(y)$ te veronderstellen [17](#page=17). ### 1.3 Monotone productietechnologieën en hun implicaties Voor monotone productietechnologieën gelden de volgende relaties [18](#page=18): * De productiefunctie $f(L, K)$ is niet-dalend in de inputs: als de inputs toenemen of gelijk blijven, neemt de output ook toe of blijft deze gelijk. Formeel: $(L', K') \ge (L, K) \Rightarrow f(L', K') \ge f(L, K)$ [18](#page=18). * De productiemogelijkheden verzameling $Y$ ligt "onder" de productiefunctie: $Y = \{ (L, K, y) \in R^3_+: y \le f(L, K) \}$. Dit betekent dat alle combinaties van inputs die minder produceren dan de maximale haalbare output, ook haalbaar zijn [18](#page=18). * De verzameling van vereiste inputs $V(y)$ ligt op en boven de isoquant $Q(y)$ [18](#page=18). --- # Productiecoëfficiënten en schaalopbrengsten Dit deel van de studiehandleiding behandelt de concepten van gemiddelde en marginale productiviteit van productiefactoren, de wet van toe- en afnemende meerproductie, en de verschillende soorten schaalopbrengsten. ### 2.1 Gemiddelde en marginale productiviteit #### 2.1.1 Gemiddelde productiviteit De gemiddelde productiviteit van een productiefactor meet de output per eenheid van die productiefactor, terwijl de input van de andere productiefactor constant wordt gehouden [27](#page=27). Formeel, voor een productiefunctie $y = f(L, K)$: * Gemiddelde arbeidsproductiviteit ($GPL$): $GPL = \frac{f(L, \bar{K})}{L}$ [27](#page=27). * Gemiddelde kapitaalproductiviteit ($GPK$): $GPK = \frac{f(\bar{L}, K)}{K}$ [27](#page=27). Grafisch kan de gemiddelde arbeidsproductiviteit worden weergegeven als de helling van de voerstraal (een lijn vanuit de oorsprong naar een punt op de productiefunctie). Deze helling neemt toe tot een maximum en neemt daarna af [28](#page=28). #### 2.1.2 Marginale productiviteit De marginale productiviteit van een productiefactor meet de bijkomende output die wordt gegenereerd door een extra eenheid van die productiefactor in te zetten, terwijl de input van de andere productiefactor constant blijft [29](#page=29). Formeel, voor een productiefunctie $y = f(L, K)$: * Marginale arbeidsproductiviteit ($MPL$): $MPL = \frac{\partial f(L, \bar{K})}{\partial L}$ [29](#page=29). * Marginale kapitaalproductiviteit ($MPK$): $MPK = \frac{\partial f(\bar{L}, K)}{\partial K}$ [29](#page=29). Grafisch wordt de marginale arbeidsproductiviteit weergegeven door de helling van de raaklijn aan de productiefunctie. De MPL neemt aanvankelijk toe, bereikt een maximum, en neemt daarna af [30](#page=30). #### 2.1.3 Relatie tussen gemiddelde en marginale productiviteit De marginale productiviteit curve snijdt de gemiddelde productiviteit curve altijd in het maximum van de gemiddelde curve [31](#page=31). * Als de marginale waarde groter is dan het gemiddelde, zal het gemiddelde stijgen [31](#page=31). * Als de marginale waarde kleiner is dan het gemiddelde, zal het gemiddelde dalen [31](#page=31). Dit is wiskundig te bewijzen door de eerste-orde voorwaarde voor een maximum van de gemiddelde productiviteit te nemen: $\frac{\partial GPL}{\partial L} = 0$, wat leidt tot $MPL = GPL$. Dit geldt analoog voor kapitaal ($MPK = GPK$) [32](#page=32). > **Tip:** Onthoud dat de MPL de helling van de productiefunctie is, terwijl de GPL de helling van de voerstraal is. Het punt waar MPL = GPL is het punt waar de gemiddelde productiviteit maximaal is. #### 2.1.4 Factorelasticiteit De factorelasticiteit van de productie meet de procentuele verandering in de output als gevolg van een procentuele verandering in de inzet van een specifieke productiefactor, terwijl de andere factor constant blijft [33](#page=33). * Arbeidselasticiteit van de productie ($\varepsilon_y^L$): $\varepsilon_y^L = \frac{\partial f(L, K)}{\partial L} \frac{L}{y} = \frac{MPL}{GPL}$ [33](#page=33). * Kapitaalselasticiteit van de productie ($\varepsilon_y^K$): $\varepsilon_y^K = \frac{\partial f(L, K)}{\partial K} \frac{K}{y} = \frac{MPK}{GPK}$ [33](#page=33). Grafisch op de figuur van gemiddelde en marginale arbeidsproductiviteit [34](#page=34): * $\varepsilon_y^L > 1 \Leftrightarrow MPL > GPL \Leftrightarrow L < L_A$ (toenemende arbeidselasticiteit) * $\varepsilon_y^L = 1 \Leftrightarrow MPL = GPL \Leftrightarrow L = L_A$ (maximum GPL) * $\varepsilon_y^L < 1 \Leftrightarrow MPL < GPL \Leftrightarrow L > L_A$ (afnemende arbeidselasticiteit) De totale procentuele verandering in de productie ($dy/y$) bij kleine veranderingen in de inzet van arbeid ($dL/L$) en kapitaal ($dK/K$) is: $$ \frac{dy}{y} = \varepsilon_y^L \frac{dL}{L} + \varepsilon_y^K \frac{dK}{K} $$ [35](#page=35) [36](#page=36). **Voorbeeld: Cobb-Douglas productiefunctie** Voor $f(L, K) = aL^\alpha K^\beta$: * $GPL = aL^{\alpha-1}K^\beta$ * $MPL = a\alpha L^{\alpha-1}K^\beta$ * $\varepsilon_y^L = \frac{MPL}{GPL} = \frac{a\alpha L^{\alpha-1}K^\beta}{aL^{\alpha-1}K^\beta} = \alpha$ [37](#page=37) [38](#page=38). * $\varepsilon_y^K = \frac{MPK}{GPK} = \beta$ [37](#page=37) [38](#page=38). Dus, $ \frac{dy}{y} = \alpha \frac{dL}{L} + \beta \frac{dK}{K} $ [38](#page=38). ### 2.2 Wet van toe- en afnemende meerproductie De wet van toe- en afnemende meerproductie (of grensproduct) stelt dat, bij constante inzet van andere productiefactoren, de marginale productiviteit van een productiefactor aanvankelijk kan toenemen, maar uiteindelijk zal afnemen naarmate er meer van die factor wordt ingezet [39](#page=39). * Als $L$ laag is, is de tweede afgeleide naar $L$ positief: $\frac{\partial^2 f(L, K)}{\partial L^2} > 0$ (toenemende meerproductie). * Als $L$ hoog is, is de tweede afgeleide naar $L$ negatief: $\frac{\partial^2 f(L, K)}{\partial L^2} < 0$ (afnemende meerproductie). * Hetzelfde geldt voor kapitaal ($K$) [39](#page=39). Een winstmaximerende onderneming bevindt zich altijd op een punt van de productiefunctie waar de tweede afgeleide van de productiefunctie met betrekking tot elke productiefactor negatief is (of nul). Dit betekent dat de onderneming werkt in het gebied van afnemende marginale productiviteit voor zowel arbeid als kapitaal [40](#page=40) [41](#page=41) [42](#page=42). $$ \frac{\partial^2 f(L, K)}{\partial L^2} \le 0 \quad \text{en} \quad \frac{\partial^2 f(L, K)}{\partial K^2} \le 0 $$ [41](#page=41). **Voorbeeld: Cobb-Douglas en afnemende meerproductie** Voor $f(L, K) = aL^\alpha K^\beta$ met $0 < \alpha < 1$ en $0 < \beta < 1$: * $\frac{\partial^2 f(L, K)}{\partial L^2} = a\alpha(\alpha-1)L^{\alpha-2}K^\beta$. Omdat $\alpha < 1$, is $(\alpha-1) < 0$, dus de tweede afgeleide is negatief. Dit bevestigt de afnemende meerproductie [44](#page=44). > **Belangrijk:** De assumptie van monotone technologie sluit gevallen uit waarin de marginale productiviteit van een factor negatief wordt [39](#page=39). ### 2.3 Schaalopbrengsten Schaalopbrengsten analyseren het effect op de output wanneer alle productiefactoren proportioneel worden verhoogd met dezelfde factor ($\lambda$) [45](#page=45). #### 2.3.1 Soorten schaalopbrengsten * **Constante schaalopbrengsten (CSO):** Als de output met precies dezelfde factor toeneemt als de inzet van de productiefactoren. $f(\lambda L, \lambda K) = \lambda f(L, K)$ [45](#page=45). * **Toenemende schaalopbrengsten (TSO):** Als de output meer dan evenredig toeneemt met de inzet van de productiefactoren. $f(\lambda L, \lambda K) > \lambda f(L, K)$ voor $\lambda > 1$ [45](#page=45). * **Afnemende schaalopbrengsten (ASO):** Als de output minder dan evenredig toeneemt met de inzet van de productiefactoren. $f(\lambda L, \lambda K) < \lambda f(L, K)$ voor $\lambda > 1$ [45](#page=45). Grafisch kan dit worden geïllustreerd door een lijn vanuit de oorsprong door een punt $(L_A, K_A)$ op de productiemogelijkhedencurve te trekken. Naarmate $\lambda$ toeneemt (dus verder op deze lijn), wordt gekeken wat er gebeurt met de output $y$ [46](#page=46). **Voorbeeld: Cobb-Douglas en schaalopbrengsten** Voor $f(L, K) = aL^\alpha K^\beta$: $f(\lambda L, \lambda K) = a(\lambda L)^\alpha (\lambda K)^\beta = a \lambda^{\alpha+\beta} L^\alpha K^\beta = \lambda^{\alpha+\beta} f(L, K)$ [47](#page=47). De schaalopbrengsten hangen af van de som van de exponenten ($\alpha + \beta$): * ASO: $\alpha + \beta < 1$ [47](#page=47). * CSO: $\alpha + \beta = 1$ [47](#page=47). * TSO: $\alpha + \beta > 1$ [47](#page=47). #### 2.3.2 Schaalelasticiteit Bij productiefuncties die geen constante schaalopbrengsten hebben, kan het type schaalopbrengsten afhangen van het startpunt $(L_A, K_A)$. De schaalelasticiteit ($\varepsilon_S$) is een lokale maatstaf die aangeeft hoe de output verandert bij een kleine proportionele verhoging van alle productiefactoren [50](#page=50) [51](#page=51). De schaalelasticiteit in een punt $(L_A, K_A)$ wordt gedefinieerd als: $$ \varepsilon_S(L_A, K_A) = \frac{\partial y(\lambda, L_A, K_A)}{\partial \lambda} \frac{\lambda}{y(\lambda, L_A, K_A)} \Big|_{\lambda=1} $$ [51](#page=51). Hierbij is $y(\lambda, L_A, K_A) = f(\lambda L_A, \lambda K_A)$. * $\varepsilon_S < 1 \implies$ Lokaal ASO * $\varepsilon_S = 1 \implies$ Lokaal CSO * $\varepsilon_S > 1 \implies$ Lokaal TSO Grafisch wordt de schaalelasticiteit bepaald door de helling van de raaklijn aan de functie $y(\lambda, L_A, K_A)$ in $\lambda=1$, gedeeld door de waarde van de functie in $\lambda=1$ [53](#page=53). **Relatie met factorelasticiteiten:** De schaalelasticiteit is gelijk aan de som van de factorelasticiteiten voor arbeid en kapitaal: $$ \varepsilon_S(L_A, K_A) = \varepsilon_y^L + \varepsilon_y^K $$ [55](#page=55) [56](#page=56). **Voorbeeld: Variabele schaalelasticiteit** Beschouw de productiefunctie $y = 3L^4 + 7K^3$ [57](#page=57). Voor deze functie geldt: $$ \varepsilon_S(L_A, K_A) = \frac{12 L_A^4 + 21 K_A^3}{3 L_A^4 + 7 K_A^3} $$ [58](#page=58). Deze schaalelasticiteit hangt af van het punt $(L_A, K_A)$: * In (1, 1): $\varepsilon_S = \frac{12+21}{3+7} = \frac{33}{10} = 3.3$ (lokaal TSO) [59](#page=59). * In (1, 2): $\varepsilon_S = \frac{12 + 21 \cdot 8}{3 + 7 \cdot 8} = \frac{180}{59} \approx 3.05$ (lokaal TSO) [59](#page=59). * In (2, 1): $\varepsilon_S = \frac{12 \cdot 16 + 21}{3 \cdot 16 + 7} = \frac{213}{55} \approx 3.87$ (lokaal TSO) [59](#page=59). Dit illustreert hoe de schaalopbrengsten lokaal kunnen variëren, in tegenstelling tot de Cobb-Douglas technologie waar de schaalopbrengsten globaal constant zijn bepaald door $\alpha + \beta$ [50](#page=50) [54](#page=54). --- # Isoquanten, substitutie en technologieën Dit gedeelte behandelt de concepten van isoquanten en hun interpretatie, de substitutieverhouding, de substitutie-elasticiteit, en specifieke productietechnologieën zoals Cobb-Douglas, Leontief, lineaire en samengestelde technologieën. ### 3.1 Isoquanten Een isoquant representeert de verzameling van inputcombinaties waarmee een specifieke outputhoeveelheid geproduceerd kan worden [60](#page=60). #### 3.1.1 Definitie en interpretatie De productiefunctie op lange termijn wordt gegeven door $y = f(L, K)$. De isoquant kan impliciet gedefinieerd worden als een functie die aangeeft hoe één inputvariabele moet veranderen als de andere inputvariabele verandert, terwijl de productie constant blijft op een bepaald niveau $\bar{y}$ [60](#page=60). * $K_{\bar{y}}(L)$: Deze functie geeft aan hoe de kapitaalsinput ($K$) moet veranderen als de arbeidsinput ($L$) verandert, om een productieniveau $\bar{y}$ constant te houden (#page=60, 61) [60](#page=60) [61](#page=61). * $L_{\bar{y}}(K)$: Deze functie geeft aan hoe de arbeidsinput ($L$) moet veranderen als de kapitaalsinput ($K$) verandert, om een productieniveau $\bar{y}$ constant te houden (#page=60, 61) [60](#page=60) [61](#page=61). Voor de korte termijn productiefunctie, $y = f_{\bar{K}}(L)$, wordt de isoquant voor de korte termijn gedefinieerd als $L_{\bar{y},\bar{K}}$: het aantal eenheden van input $L$ dat nodig is om $\bar{y}$ eenheden output te produceren, gegeven een constante kapitaalsinput $\bar{K}$ [60](#page=60). #### 3.1.2 Expliciete formulering Indien de productiefunctie bekend is, kan de isoquant expliciet worden geformuleerd. Voor de Cobb-Douglas productiefunctie $y = aL^\alpha K^\beta$ gelden de volgende expliciete isoquanten [62](#page=62): $$ K_{\bar{y}}(L) = \left(\frac{\bar{y}}{a}\right)^{1/\beta} L^{-\alpha/\beta} $$ $$ L_{\bar{y}}(K) = \left(\frac{\bar{y}}{a}\right)^{1/\alpha} K^{-\beta/\alpha} $$ De afgeleiden van deze functies geven de helling van de isoquant weer: $$ \frac{\partial K_{\bar{y}}(L)}{\partial L} = -\frac{\alpha}{\beta} \left(\frac{\bar{y}}{a}\right)^{1/\beta} L^{-\alpha/\beta - 1} < 0 $$ $$ \frac{\partial L_{\bar{y}}(K)}{\partial K} = -\frac{\beta}{\alpha} \left(\frac{\bar{y}}{a}\right)^{1/\alpha} K^{-\beta/\alpha - 1} < 0 $$ Dit impliceert dat isoquanten een negatieve helling hebben [62](#page=62). > **Tip:** Isoquanten hebben vergelijkbare eigenschappen als indifferentiecurven, zoals het feit dat ze een negatieve helling hebben (mits de productiefunctie niet dalend is in de inputs) en, indien de verzameling van vereiste inputs convex is, dat de isoquanten zelf convex zijn [75](#page=75). ### 3.2 Substitutieverhouding en marginale substitutieverhouding #### 3.2.1 Substitutieverhouding De substitutieverhouding meet hoeveel van de ene input (bijvoorbeeld kapitaal) opgeofferd moet worden om de productie constant te houden wanneer de andere input (bijvoorbeeld arbeid) met een eindige hoeveelheid verandert [63](#page=63). Voor een beweging van punt A = $(L_A, K_A)$ naar punt B = $(L_B, K_B)$ op een isoquant, wordt de substitutieverhouding gedefinieerd als: $$ SV_{L,K}(L_A, K_A, \Delta L) = -\frac{\Delta K}{\Delta L} = \frac{K_A - K_B}{L_B - L_A} $$ Hierbij is $\Delta L = L_B - L_A > 0$ en $\Delta K = K_B - K_A < 0$ (#page=63, 64) [63](#page=63) [64](#page=64). #### 3.2.2 Marginale substitutieverhouding (MSV) De marginale substitutieverhouding is de limiet van de substitutieverhouding wanneer de verandering in arbeid, $\Delta L$, naar nul gaat. Dit is gelijk aan de absolute waarde van de helling van de isoquant op een bepaald punt [65](#page=65) [66](#page=66). $$ MSV_{L,K}(L_A, K_A) = \lim_{\Delta L \to 0} SV_{L,K}(L_A, K_A, \Delta L) = -\frac{\partial K_{\bar{y}}(L)}{\partial L}\Big|_{L=L_A} $$ Via het impliciete functietheorema kan de MSV ook worden uitgedrukt in termen van de marginale productiviteiten van de inputs: $$ MSV_{L,K}(L_A, K_A) = \frac{MPL}{MPK} $$ waarbij $MPL = \frac{\partial f(L,K)}{\partial L}$ de marginale productiviteit van arbeid is en $MPK = \frac{\partial f(L,K)}{\partial K}$ de marginale productiviteit van kapitaal is (#page=67, 68) [67](#page=67) [68](#page=68). > **Tip:** De MSV geeft de optimale ruilverhouding tussen twee inputs weer voor een gegeven productieniveau. Het is de hoeveelheid van input K die een producent bereid is op te geven voor één extra eenheid van input L, terwijl de output gelijk blijft [65](#page=65). ### 3.3 Substitutie-elasticiteit De substitutie-elasticiteit kwantificeert hoe gemakkelijk een input kan worden vervangen door een andere, en wordt bepaald door de kromming van de isoquant (#page=69, 74) [69](#page=69) [74](#page=74). #### 3.3.1 Discrete substitutie-elasticiteit De discrete substitutie-elasticiteit meet de procentuele verandering in de verhouding $K/L$ als gevolg van een procentuele verandering in de marginale substitutieverhouding langs de isoquant [71](#page=71). $$ e_{K/L}^{MSV_{L,K}}(L_A, K_A, \Delta MSV_{L,K}) = \frac{\Delta^*(K/L)}{(K_A/L_A)} \frac{MSV_{L,K}(L_A,K_A)}{\Delta MSV_{L,K}} $$ Hierbij is $\Delta^*(K/L)$ de corresponderende procentuele verandering in de inputverhouding $K/L$ en $\Delta MSV_{L,K}$ de verandering in de marginale substitutieverhouding (#page=71, 72). Een hogere substitutie-elasticiteit impliceert dat de inputs gemakkelijker uitwisselbaar zijn [71](#page=71) [72](#page=72). #### 3.3.2 Substitutie-elasticiteit in een punt De substitutie-elasticiteit in een punt is de limiet van de discrete substitutie-elasticiteit als de verandering in de marginale substitutieverhouding naar nul gaat [73](#page=73). $$ \varepsilon_{K/L}^{MSV_{L,K}}(L_A, K_A) = \lim_{\Delta MSV_{L,K} \to 0} e_{K/L}^{MSV_{L,K}}(L_A, K_A, \Delta MSV_{L,K}) = \frac{d^*\ln(K/L)}{d\ln MSV_{L,K}(L_A, K_A)} $$ Een hogere kromming van de isoquant (dichter bij een rechte hoek) impliceert een lagere substitutie-elasticiteit, terwijl een meer lineaire isoquant een hogere substitutie-elasticiteit impliceert [74](#page=74). ### 3.4 Homogene en homothetische technologieën #### 3.4.1 Homogene productiefuncties Een productiefunctie $f(L, K)$ is homogeen van graad $l$ als voor alle inputs $(L, K)$ en elke $\lambda > 0$: $$ f(\lambda L, \lambda K) = \lambda^l f(L, K) $$ Functies die homogeen zijn van graad 1 hebben constante schaalopbrengsten (CSO) [76](#page=76). #### 3.4.2 Homothetische functies Een functie $f(L, K)$ is homothetisch als deze geschreven kan worden als $f(L, K) = g(h(L, K))$, waarbij $h(\cdot)$ een homogene functie van graad 1 is en $g(\cdot)$ een strikt stijgende functie [76](#page=76). Een belangrijke eigenschap van homothetische technologieën is dat de marginale substitutieverhouding constant is langs stralen die vanuit de oorsprong vertrekken: $$ MSV_{L,K}(L_A, K_A) = MSV_{L,K}(kL_A, kK_A) $$ Dit betekent dat de vorm van de isoquanten langs deze stralen hetzelfde is. Elke functie die homogeen is van graad 1 is ook homothetisch [76](#page=76) [77](#page=77). ### 3.5 Specifieke technologieën #### 3.5.1 Leontief technologie De Leontief technologie, ook bekend als de technologie met vaste inputverhoudingen, wordt gedefinieerd door: $$ f(L, K) = \min\{aL, bK\} $$ met $a, b > 0$. Deze technologie is niet overal differentieerbaar, wat betekent dat het impliciete functietheorema niet direct kan worden toegepast om de helling van de isoquant te vinden. De isoquanten van de Leontief technologie zijn L-vormig, met het "hoekpunt" op de lijn $aL = bK$. De substitutieverhouding is nul rechts van het hoekpunt en oneindig links ervan [79](#page=79) [81](#page=81) [85](#page=85). De Leontief technologie is homogeen van graad 1 en heeft constante schaalopbrengsten. De substitutie-elasticiteit voor de Leontief technologie is nul [86](#page=86) [87](#page=87). > **Voorbeeld:** Voor de productiefunctie $f(L, K) = 0.5 \cdot \min\{L, K\}$, produceert de combinatie (6,2) een output van $y = 0.5 \cdot \min\{6,2\} = 1$. De combinaties (8,2) en (2,2) produceren ook output $y=1$ [82](#page=82). #### 3.5.2 Lineaire technologie De lineaire productietechnologie wordt gekenmerkt door: $$ f(L, K) = aL + bK $$ met $a, b > 0$. De isoquanten zijn rechte lijnen. De marginale substitutieverhouding is constant langs de gehele isoquant en gelijk aan $a/b$ [88](#page=88) [91](#page=91). De lineaire technologie is homogeen van graad 1 en heeft constante schaalopbrengsten. De substitutie-elasticiteit voor een lineaire technologie is oneindig, omdat inputs perfect substitueerbaar zijn [92](#page=92). > **Voorbeeld:** Voor de productiefunctie $f(L, K) = aL + bK$, de isoquant door het punt $(L_A, K_A)$ is gegeven door $K_{\bar{y}_A}(L) = \frac{\bar{y}_A}{b} - \frac{a}{b} L$, waarbij $\bar{y}_A = aL_A + bK_A$ [90](#page=90). #### 3.5.3 Cobb-Douglas technologie De Cobb-Douglas technologie is een veelgebruikte vorm die soepele substitutie tussen inputs mogelijk maakt. De algemene vorm is $f(L, K) = aL^\alpha K^\beta$. Deze technologie is homogeen van graad $\alpha + \beta$. Als $\alpha + \beta = 1$, heeft de technologie constante schaalopbrengsten [62](#page=62). #### 3.5.4 Samengestelde technologieën Een onderneming kan ook beschikken over meerdere technologieën, die kunnen worden gecombineerd. Als een onderneming twee Leontief technologieën combineert, $f(L, K) = \max\{\min\{a_1L, b_1K\}, \min\{a_2L, b_2K\}\}$, dan is de resulterende isoquant de "buitenste" enveloppe van de individuele isoquanten (#page=97, 99, 100) [100](#page=100) [97](#page=97) [99](#page=99). Als de onderneming verschillende deeltechnologieën perfect kan combineren, wordt de efficiënte productiemogelijkheid bepaald door de convex hull van de individuele isoquanten . ### 3.6 Technische coëfficiënten Technische coëfficiënten beschrijven de relatie tussen input en output [93](#page=93). #### 3.6.1 Gemiddelde technische coëfficiënt De gemiddelde technische coëfficiënt (GTC) meet de benodigde hoeveelheid van een input per eenheid output, gegeven de andere input [93](#page=93). * $GTCL = L / f(L, \bar{K})$ * $GTCK = K / f(\bar{L}, K)$ #### 3.6.2 Marginale technische coëfficiënt De marginale technische coëfficiënt (MTC) meet de extra hoeveelheid van een input die nodig is voor één extra eenheid productie, gegeven de andere input [94](#page=94). * $MTCL = (\partial f(L, \bar{K}) / \partial L)^{-1} = 1/MPL$ * $MTCK = (\partial f(\bar{L}, K) / \partial K)^{-1} = 1/MPK$ Er bestaat een verband tussen de gemiddelde en marginale technische coëfficiënten en de marginale productiviteiten: $GTC = 1/GP$ en $MTC = 1/MP$ [95](#page=95). > **Opmerking:** Als de gemiddelde technische coëfficiënten constant zijn, zoals $GTCK = a$ en $GTCL = b$, dan is de technologie van het Leontief-type, met constante kapitaalsintensiteit $K/L = a/b$ [96](#page=96). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Productiemogelijkheden verzameling | De verzameling van alle productieplannen (combinaties van inputs en outputs) die technologisch haalbaar zijn voor een producent. | | Vereiste inputs | De verzameling van inputcombinaties (arbeid en kapitaal) die nodig zijn om een specifieke hoeveelheid output te produceren. | | Isoquant | Een curve die alle combinaties van inputs weergeeft waarmee precies een bepaalde hoeveelheid output geproduceerd kan worden. | | Productiefunctie | Een functie die de hoogst mogelijke output weergeeft die met een bepaalde inputcombinatie geproduceerd kan worden. | | Monotoniciteit (van de technologie) | Het axioma dat stelt dat een toename in inputs leidt tot een toename of gelijkblijvende output. | | Convexiteit (van de technologie) | Het axioma dat impliceert dat het gemiddelde van twee productiemogelijkheden ook haalbaar is, wat duidt op deelbaarheid en efficiëntie van productieprocessen. | | Gemiddelde productiviteit (GPL, GPK) | De output die per eenheid van een specifieke productiefactor wordt gerealiseerd, gegeven de andere inputs. | | Marginale productiviteit (MPL, MPK) | De extra output die wordt gegenereerd door de inzet van één extra eenheid van een specifieke productiefactor, terwijl de andere inputs constant blijven. | | Factorelasticiteit (εyL, εyK) | De procentuele verandering in output als gevolg van een procentuele verandering in de inzet van een productiefactor. | | Wet van toe- en afnemende meerproductie | Het principe dat stelt dat, naarmate een variabele input wordt verhoogd, de marginale productiviteit ervan uiteindelijk zal afnemen. | | Schaalopbrengsten | De verandering in output wanneer alle productiefactoren in gelijke mate worden verhoogd (constante, toenemende of afnemende schaalopbrengsten). | | Substitutieverhouding (SVL,K) | De verhouding waarmee de ene input (bv. kapitaal) moet veranderen om de andere input (bv. arbeid) te compenseren bij een constante output. | | Marginale substitutieverhouding (MSVL,K) | De limiet van de substitutieverhouding wanneer de verandering in inputs infinitesimaal klein wordt; gelijk aan de negatieve helling van de isoquant. | | Substitutie-elasticiteit (εK/L) | Een maatstaf die aangeeft hoe gemakkelijk de ene productiefactor door de andere kan worden vervangen, uitgedrukt als een procentuele verandering in de inputverhouding ten opzichte van een procentuele verandering in de marginale substitutieverhouding. | | Homogene productiefunctie | Een productiefunctie waarbij het opschalen van alle inputs met een factor λ, de output opschaalt met λ tot de macht l (de graad van homogeniteit). | | Homothetische functie | Een functie die kan worden uitgedrukt als een strikt stijgende functie van een andere functie die homogeen is van graad 1. | | Leontief technologie | Een productietechnologie met perfect complementaire inputs, waarbij de output wordt bepaald door de input die het meest beperkend is (min-functie). | | Lineaire technologie | Een productietechnologie met perfect substitueerbare inputs, waarbij de output een lineaire combinatie is van de inputs. | | Technische coëfficiënt | Een maatstaf die de relatie tussen de inzet van een productiefactor en de productieomvang weergeeft, onderscheiden in gemiddelde en marginale varianten. |