2. Cursus - interestberekening - 2526.pdf

# Basisprincipes van interestberekening Dit onderwerp introduceert de fundamentele concepten van kapitaal, interest en interestvoet, en verklaart de factoren die de grootte van de interestvergoeding beïnvloeden [1](#page=1). ### 1.1 Kapitaal, interest en interestvoet #### 1.1.1 Definities en concepten * **Kapitaal (C)**: Het oorspronkelijk belegde of uitgeleende geldbedrag [1](#page=1). * **Interest (I)**: De vergoeding die de kredietverlener ontvangt voor het ter beschikking stellen van kapitaal aan een ontlener. Het is het verschil tussen het terugbetaalde bedrag en het oorspronkelijk ontleende kapitaal [1](#page=1). * **Interestvoet (i)**: Een relatieve grootheid die gebruikt wordt om kosten of opbrengsten te vergelijken. Het is de interestvergoeding per kapitaaleenheid en per beleggingsperiode. Het wordt berekend als de verhouding tussen de opbrengst van een kapitaal over een bepaalde periode en het kapitaal zelf [1](#page=1). #### 1.1.2 Factoren die de interestvergoeding beïnvloeden De grootte van de interestvergoeding (𝐼) hangt af van de volgende factoren: * **De grootte van het uitgeleende kapitaal (C)**: De interest wordt doorgaans als evenredig verondersteld met de grootte van het kapitaal. Een groter uitgeleend kapitaal resulteert in een grotere vergoeding [1](#page=1). * **De rentevoet of interestvoet (i)**: Dit is de relatieve maatstaf van de interestvergoeding per kapitaaleenheid en per periode [1](#page=1). * **De beleggingsduur of het aantal beleggingsperioden (n)**: De totale interest neemt toe naarmate de tijd dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld langer is [2](#page=2). * Een beleggingsperiode kan variëren (jaar, semester, trimester, maand, etc.) [2](#page=2). * Een trimester (kwartaal) is 3 maanden en komt 4 keer per jaar voor. Een semester is 6 maanden en komt 2 keer per jaar voor [2](#page=2). * Financiële operaties refereren doorgaans aan een periode van 1 jaar [2](#page=2). * **De wijze van interestberekening**: Er worden twee hoofdvormen onderscheiden: * **Enkelvoudige interestberekening**: De ontvangen interest wordt niet herbelegd en genereert zelf geen nieuwe rente [2](#page=2). * **Samengestelde interestberekening**: De ontvangen interest wordt aan het einde van elke periode herbelegd en genereert mee rente [2](#page=2). #### 1.1.3 Voorbeeld van basisbegrippen Stel dat u 1.000 euro belegt en na één jaar 1.100 euro ontvangt. * Het belegde kapitaal is 1.000 euro [1](#page=1). * De ontvangen interest is 1.100 euro - 1.000 euro = 100 euro [1](#page=1). * De jaarlijkse interestvoet is 100 euro / 1.000 euro = 10% [1](#page=1). ### 1.2 Tijdswaarde van het geld Het concept van de tijdswaarde van geld stelt dat het tijdstip waarop men over een geldbedrag kan beschikken, de waarde ervan bepaalt. Geld dat men in de toekomst ontvangt, is minder waard dan hetzelfde bedrag dat men vandaag ontvangt [2](#page=2). #### 1.2.1 Redenen voor de tijdswaarde De tijdswaarde van geld is gebaseerd op twee hoofdoorzaken, zelfs zonder inflatie: * **Inflatie**: De koopkracht van geld neemt af door inflatie, wat betekent dat men in de toekomst met hetzelfde bedrag minder goederen of diensten kan kopen. Beleggers eisen compensatie voor dit koopkrachtverlies [2](#page=2). * **Reële interest**: * **Compensatie voor uitgestelde consumptie**: Beleggers willen vergoed worden omdat ze hun kapitaal niet direct kunnen gebruiken voor consumptie [3](#page=3). * **Compensatie voor gemiste kansen**: Beleggers willen vergoed worden voor het rendement dat ze zouden kunnen behalen met alternatieve investeringen (derving van rendement) [3](#page=3). #### 1.2.2 Negatieve interestvoeten Hoewel de meeste rationele beleggers een positieve interestvoet eisen, komen in sommige landen langdurig negatieve interestvoeten voor [3](#page=3). ### 1.3 Actuele waarde en slotwaarde Vanwege de tijdswaarde van geld komt een bedrag in de toekomst overeen met een ander bedrag vandaag, en omgekeerd. Dit leidt tot twee fundamentele berekeningsvragen: 1. **Berekenen van de slotwaarde (C_n)**: Hoeveel ontvangt een persoon na *n* perioden als hij vandaag een kapitaal *C* belegt tegen een interestvoet *i*? * Grafische weergave: $C \rightarrow C_n =?$ over perioden $0, 1, 2, \dots, n$ [3](#page=3). 2. **Berekenen van de actuele waarde (C)**: Hoeveel moet iemand op dit moment beleggen tegen een interestvoet *i* om na *n* perioden een bedrag $C_n$ te bekomen? * Grafische weergave: $C =? \rightarrow C_n$ over perioden $0, 1, 2, \dots, n$ [3](#page=3). --- # Enkelvoudige interestberekening Dit onderdeel behandelt de berekening van de slotwaarde en actuele waarde bij enkelvoudige interest, met praktische toepassingen in financiële producten zoals zichtrekeningen, termijnrekeningen en spaardeposito's [4](#page=4). ### 2.1 Berekening van de slotwaarde van een kapitaal Bij enkelvoudige interestberekening wordt ervan uitgegaan dat de periodiek verworven interestbedragen niet rentegevend worden herbelegd. Dit betekent dat er alleen interest wordt berekend op het oorspronkelijke belegde kapitaal. De periodiek verworven interest is constant [5](#page=5): $I = C \cdot i$ [5](#page=5). Hierin is: * $C$ het oorspronkelijke kapitaal [4](#page=4). * $i$ de periodieke interestvoet [4](#page=4). * $n$ het aantal perioden [5](#page=5). De slotwaarde ($C_n$) van een kapitaal ($C$) na $n$ perioden tegen een enkelvoudige interestvoet ($i$) wordt berekend met de volgende formule: $C_n = C + C \cdot i \cdot n$ $C_n = C \cdot (1 + i \cdot n)$ [5](#page=5). > **Voorbeeld:** Als iemand vandaag 1.000 dollars belegt aan een interestvoet van 2% per periode met enkelvoudige interest, ontvangt die persoon na 3 perioden een slotwaarde van: > $C_3 = 1.000 \cdot (1 + 0,02 \cdot 3) = 1.000 \cdot (1 + 0,06) = 1.060$ dollars [4](#page=4) [5](#page=5). ### 2.2 Berekening van de actuele waarde van een kapitaal De actuele waarde (of contante waarde) van een bedrag is de waarde daarvan op het huidige moment. Dit is nodig omdat geldbedragen op verschillende tijdstippen niet direct vergelijkbaar zijn vanwege de tijdswaarde van geld. Het omzetten van toekomstige geldbedragen naar hun huidige waarde wordt 'actualiseren' genoemd [4](#page=4). Om de actuele waarde ($C$) te berekenen, wordt de formule voor de slotwaarde ($C_n = C \cdot (1 + i \cdot n)$) omgezet. De formule voor de actuele waarde is: $C = \frac{C_n}{1 + i \cdot n}$ [5](#page=5). > **Voorbeeld:** Om na 3 perioden een bedrag van 1.060 dollars te bekomen aan een interestvoet van 2% per periode met enkelvoudige interest, moet men vandaag beleggen: > $C = \frac{1.060}{1 + 0,02 \cdot 3} = \frac{1.060}{1 + 0,06} = \frac{1.060}{1,06} = 1.000$ dollars [5](#page=5). ### 2.3 Praktijkvoorbeelden van enkelvoudige interestberekening Enkelvoudige interestberekening wordt voornamelijk toegepast op financiële instrumenten met korte looptijden, doorgaans korter dan één jaar. Voorbeelden hiervan zijn zichtrekeningen, termijnrekeningen en spaardeposito's [6](#page=6). #### 2.3.1 Zichtrekeningen Een zichtrekening is een bankproduct waarbij stortingen en opnames worden verwerkt, en het saldo aan het einde opeisbaar is. Hoewel zichtrekeningen momenteel vaak geen of een zeer lage creditrente bieden, worden zowel credit- als debetrentes (bij rood staan) doorgaans berekend met enkelvoudige interest. Er worden twee vormen onderscheiden: rekening-courant (voor bedrijven, renteberekening per kwartaal) en persoonlijke zichtrekeningen (voor particulieren, renteberekening jaarlijks) [6](#page=6). #### 2.3.2 Termijnrekeningen Op een termijnrekening wordt geld voor een vooraf vastgestelde periode gedeponeerd, gedurende welke het niet kan worden opgenomen. De looptijd was vroeger typisch korter dan een jaar, maar nu ook langer. Bij opening wordt de rentevoet vastgelegd voor de gehele beleggingsduur. Termijnrekeningen zijn onderworpen aan 30% roerende voorheffing op de rente [8](#page=8). > **Voorbeeld:** Bij een termijnrekening waar 10.000 dollars is belegd aan 4% jaarlijkse rente, bedraagt de interest na 3 maanden, na aftrek van 30% roerende voorheffing: > $I = 10.000 \cdot 0,04 \cdot (1 - 0,30) \cdot \frac{3}{12} = 10.000 \cdot 0,028 \cdot 0,25 = 70$ dollars [10](#page=10). #### 2.3.3 Spaardeposito’s Spaardeposito’s zijn spaargelden die zonder een vaste termijn kunnen worden opgevraagd, zij het binnen bepaalde limieten. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen gereglementeerde en hoogrentende spaardeposito’s [9](#page=9). * **Gereglementeerde spaardeposito’s:** Dit is de belangrijkste categorie. De spaarder is vrijgesteld van roerende voorheffing op de eerste schijf aan interesten, mits aan voorwaarden wordt voldaan (bv. euro-uitgedrukt). De vergoeding bestaat uit een basisrente (gekoppeld aan ECB-rente) en een getrouwheidspremie (optioneel, voor deposito’s die minstens 12 maanden blijven staan) [9](#page=9). * **Hoogrentende spaardeposito’s:** Hierop is geen fiscale vrijstelling van toepassing; 30% roerende voorheffing wordt ingehouden op alle interesten. De bruto-interestvergoeding is doorgaans hoger dan bij gereglementeerde deposito’s, maar hun belang is gedaald [9](#page=9). > **Voorbeeld:** Plaatsing van 10.000 dollars op een gereglementeerd spaarboekje aan een jaarlijkse interest van 4%. De interest na 3 maanden bedraagt: > $I = 10.000 \cdot 0,04 \cdot \frac{3}{12} = 100$ dollars. Aangezien dit bedrag onder de vrijgestelde schijf van 980 dollars valt (in 2020-2023), is er geen roerende voorheffing verschuldigd [10](#page=10). #### 2.3.4 Berekening van de looptijd De looptijd ($n$) kan berekend worden wanneer de slotwaarde, het oorspronkelijke kapitaal en de interestvoet bekend zijn. > **Voorbeeld:** Hoeveel weken moet een kapitaal van 5.500 dollars op een gereglementeerd spaarboekje staan om tegen een jaarlijkse interest van 5% een slotwaarde van 5.750 dollars te bereiken? > Eerst wordt het interestbedrag berekend: $I = 5.750 - 5.500 = 250$ dollars. > Vervolgens wordt de looptijd in jaren berekend: > $n = \frac{C_n - C}{C \cdot i} = \frac{5.750 - 5.500}{5.500 \cdot 0,05} = \frac{250}{275} \approx 0,91$ jaar. > Omgezet naar weken: $0,91 \cdot 52 \approx 47,3$ weken [11](#page=11). --- # Samengestelde interestberekening Dit deel behandelt de berekening van toekomstige en huidige waarden met samengestelde interest, inclusief praktische toepassingen en vergelijkingen met enkelvoudige interest. ### 3.1. Berekening van de slotwaarde van een kapitaal Bij samengestelde interest worden de voortgebrachte interesten onmiddellijk herbelegd en genereren ze zelf ook interest. Dit staat bekend als "rente op rente". Dit staat in contrast met enkelvoudige interest, waarbij interesten jaarlijks worden uitgekeerd en geen verdere rente opbrengen [12](#page=12). De slotwaarde van een kapitaal $C$ belegd gedurende $n$ periodes tegen een jaarlijkse rentevoet $i$ wordt berekend met de volgende formule: $$C_n = C \cdot (1+i)^n \quad (2.3)$$ Hierbij is $C_n$ de slotwaarde, $C$ het startkapitaal, $i$ de rentevoet per periode, en $n$ het aantal periodes [12](#page=12). De totale interest $I$ die tijdens de beleggingsduur wordt voortgebracht, kan worden berekend als het verschil tussen de slotwaarde en het oorspronkelijke kapitaal: $$I = C_n - C = C \cdot ((1+i)^n - 1) \quad $$ [12](#page=12). > **Voorbeeld:** Hoeveel bedraagt na 2 jaar de slotwaarde van een startkapitaal van 2.500 dollars dat een jaarlijkse interest van 4% ontvangt bij samengestelde interest? > > Met de formule: > $C_2 = 2.500 \cdot (1 + 0,04)^2 = 2.500 \cdot (1,04)^2 = 2.704$ dollars [12](#page=12). ### 3.2. Berekening van de actuele waarde van een kapitaal De actuele waarde (of contante waarde) is het bedrag dat vandaag belegd moet worden om een bepaald toekomstig kapitaal te bereiken, rekening houdend met samengestelde interest. Deze waarde kan worden afgeleid uit de formule voor de slotwaarde [13](#page=13). De formule voor de actuele waarde $C$ van een toekomstig kapitaal $C_n$ is: $$C = \frac{C_n}{(1+i)^n} \quad (2.4)$$ Hierbij is $C$ de actuele waarde, $C_n$ de toekomstige waarde, $i$ de rentevoet per periode, en $n$ het aantal periodes [13](#page=13). > **Voorbeeld:** Een vader wil over 2 jaar 1.000 dollars aan zijn zoon geven. Hoeveel moet hij vandaag beleggen tegen een jaarlijkse interestvoet van 5% om dit doel te bereiken? > > Met de formule voor de actuele waarde: > $C = \frac{1.000}{(1+0,05)^2} = \frac{1.000}{(1,05)^2} \approx 907,03$ dollars [13](#page=13). ### 3.3. Praktijkvoorbeelden van samengestelde interestberekening Samengestelde interestberekeningen zijn van toepassing op financiële instrumenten met een looptijd langer dan één jaar, zoals kasbons en kapitalisatiebons [14](#page=14). #### 3.3.1. Kasbons en kapitalisatiebons Kasbons en kapitalisatiebons (ook wel groeibons genoemd) zijn schuldinstrumenten met een vaste looptijd en rentevoet, uitgegeven door kredietinstellingen. De nominale waarde wordt op de vervaldag terugbetaald. Historisch gezien waren kasbons vaak aan toonder, wat hun verhandelbaarheid bevorderde, maar tegenwoordig worden ze meestal op naam uitgegeven of op een effectenrekening gehouden [14](#page=14). De interesten op deze instrumenten zijn onderworpen aan 30% roerende voorheffing. De bank stort deze voorheffing door aan de fiscus, waardoor de belegger de netto-intrest ontvangt [14](#page=14). Het verschil tussen kasbons en kapitalisatiebons ligt in het moment van de betaling van de roerende voorheffing [14](#page=14). * **Kasbons:** De jaarlijkse rente kon vroeger worden geïnd via coupons die aan de kasbon waren gehecht. Roerende voorheffing werd tussentijds betaald [14](#page=14). * **Kapitalisatiebons:** De jaarlijkse rente werd bij de hoofdsom gevoegd en rendeerde mee. Roerende voorheffing werd pas op het einde van de looptijd betaald [14](#page=14). > **Tip:** Kasbons en kapitalisatiebons onderscheiden zich van staatsbons en verzekeringsbons. Staatsbons worden door de Staat uitgegeven, en verzekeringsbons combineren een levensverzekering met een belegging. Verzekeringsbons met een looptijd van minder dan 8 jaar kunnen, onder bepaalde voorwaarden met betrekking tot een overlijdensdekking, vrijgesteld zijn van roerende voorheffing [15](#page=15). > **Voorbeeld A (Spaarekening):** Stel, 10.000 dollars wordt belegd op een gereglementeerd spaarboekje met een jaarlijkse rente van 4%. Hoeveel bedraagt de interest na 2 jaar? > > Er geldt een fiscale vrijstelling voor de eerste schijf interesten. We passen samengestelde interest toe [15](#page=15): > Slotkapitaal: $C_2 = 10.000 \cdot (1 + 0,04)^2 = 10.816$ dollars [15](#page=15). > Interest: $I = 10.816 - 10.000 = 816$ dollars [15](#page=15). > > > **Voorbeeld B (Kasbon):** Stel, 10.000 dollars wordt belegd in een kasbon met een jaarlijkse rente van 4%, met 30% roerende voorheffing die bij elke rentebetaling wordt ingehouden. Hoeveel bedraagt de interest na 2 jaar? > > > > De effectieve netto rentevoet na belastingen is $0,04 \cdot (1 - 0,3) = 0,028$ of 2,8%. De tussentijdse coupons kunnen herbelegd worden aan deze netto rentevoet [16](#page=16). > > > > Slotkapitaal: $C_2 = 10.000 \cdot (1 + 0,028)^2 = 10.567,84$ dollars [16](#page=16). > > Netto-interest: $I = 10.567,84 - 10.000 = 567,84$ dollars [16](#page=16). > > Het verlies aan interest door onmiddellijke inhouding van de roerende voorheffing bedraagt $816 - 567,84 = 248,16$ dollars vergeleken met een bruto-rente van 4% zonder belastingen [16](#page=16). > > > **Voorbeeld C (Kapitalisatiebon):** Stel, 10.000 dollars wordt belegd in een kapitalisatiebon met een jaarlijkse rente van 4%. Hoeveel bedraagt de interest na 2 jaar? > > > > Bij een kapitalisatiebon wordt de roerende voorheffing pas op het einde van de looptijd ingehouden. De tussentijdse coupons worden herbelegd aan de bruto rentevoet van 4% [16](#page=16) [17](#page=17). > > > > Bruto slotkapitaal: $C_2 = 10.000 \cdot (1 + 0,04)^2 = 10.816$ dollars [17](#page=17). > > Bruto-interest: $I_{bruto} = 10.816 - 10.000 = 816$ dollars [17](#page=17). > > Netto-interest na 30% roerende voorheffing: $I_{netto} = 816 \cdot (1 - 0,3) = 571,20$ dollars [17](#page=17). > > Bij late inhouding van de roerende voorheffing bedraagt het verlies aan interest $816 - 571,20 = 244,80$ dollars, wat minder is dan bij een kasbon met jaarlijkse voorheffing [17](#page=17). ### 3.4. Vergelijking van de slotwaarde bij enkelvoudige en samengestelde interestberekening Bij enkelvoudige interest is de slotwaarde van een kapitaaleenheid na $n$ perioden $C_{n,enkel} = 1 + i \cdot n$. Bij samengestelde interest is dit $C_{n,samengesteld} = (1+i)^n$ [17](#page=17). Wanneer de beleggingsduur toeneemt, groeit de slotwaarde bij samengestelde interest sneller dan bij enkelvoudige interest, dankzij het effect van rente-op-rente. | Beleggingsduur | $C_{n,samengesteld} = (1+i)^n$ (met i=10%) | $C_{n,enkel} = 1+i \cdot n$ (met i=10%) | |----------------|-------------------------------------------|-----------------------------------------| | 0 maand | 1,0 | 1,0 | | 2 maand | 1,016011868 | 1,0166667 | | 6 maand | 1,048808848 | 1,05 | | 1 jaar | 1,10 | 1,10 | | 2 jaar | 1,21 | 1,20 | | 5 jaar | 1,61051 | 1,50 | | 100 jaar | 13.780,61234 | 11 | Deze tabel illustreert duidelijk dat samengestelde interest aanzienlijk hogere rendementen oplevert op lange termijn [17](#page=17). --- # Meer dan één kapitalisatie of interestbetaling per jaar Dit onderwerp verkent de berekening van effectieve jaarlijkse interestvoeten, slotwaarden en actuele waarden wanneer interesten vaker dan eens per jaar worden gekapitaliseerd, en analyseert de impact hiervan op de uiteindelijke waarde van een investering [18](#page=18). ### 4.1 Berekening van de effectieve jaarlijkse interestvoet In de praktijk worden interesten vaak meerdere malen per jaar bij het kapitaal gevoegd (gekapitaliseerd) en vervolgens opnieuw belegd onder dezelfde voorwaarden. De rentevoet kan hierbij worden uitgedrukt ten opzichte van een deel van een jaar of ten opzichte van een volledig jaar [18](#page=18). #### 4.1.1 Het concept van effectieve jaarlijkse rentevoet Wanneer interesten meermaals per jaar worden gekapitaliseerd, is de effectieve jaarlijkse rentevoet ($i$) hoger dan de schijnbare of nominale jaarlijkse rentevoet ($i(m)$) die wordt vermeld. Dit komt doordat de tussentijdse rente-op-rente-effecten worden meegenomen [19](#page=19). De relatie tussen de effectieve jaarlijkse interestvoet ($i$) en de effectieve rentevoet per periode ($i(m)/m$) voor $m$ kapitalisaties per jaar wordt gegeven door de volgende formule: $$1 + i = \left(1 + \frac{i(m)}{m}\right)^m$$ [19](#page=19). Waar: * $m$: het aantal kapitalisaties per jaar [19](#page=19). * $i$: de effectieve jaarlijkse rentevoet, rekening houdend met tussentijdse kapitalisaties [19](#page=19). * $i(m)/m$: de effectieve rentevoet per periode [19](#page=19). * $i(m)$: de schijnbare of nominale jaarlijkse rentevoet, zonder incalculering van tussentijdse kapitalisaties [19](#page=19). Met deze formule kan, indien twee van de drie waarden ($i$, $i(m)$, $m$) bekend zijn, de derde worden berekend. Dit principe impliceert dat er een equivalentie bestaat tussen verschillende combinaties van effectieve rentevoeten en kapitalisatiefrequenties [19](#page=19). > **Tip:** Begrijpen van het verschil tussen de schijnbare (nominale) rentevoet en de effectieve jaarlijkse rentevoet is cruciaal bij het evalueren van beleggingen met frequente kapitalisaties. **Voorbeeld:** Een klant stort 25.000 dollars op een termijnrekening bij bank A. De nominale jaarlijkse interestvoet is 7%. Bereken de effectieve jaarlijkse interestvoet als de interesten driemaandelijks worden betaald [20](#page=20). Hier is $i(m) = 0.07$ en $m = 4$ (driemaandelijks). $$i = \left(1 + \frac{0.07}{4}\right)^4 - 1 = (1 + 0.0175)^4 - 1 = (1.0175)^4 - 1 \approx 0.07195$$ De effectieve jaarlijkse interestvoet is dus ongeveer 7,19% [20](#page=20). ### 4.2 Berekening van slotwaarden en actuele waarden met meerdere kapitalisaties per jaar Wanneer de interesten $m$ keer per jaar worden gekapitaliseerd, kan de slotwaarde van een kapitaal $C$ na $n$ jaar worden berekend met de volgende aangepaste formule: $$C_n = C \left(1 + \frac{i(m)}{m}\right)^{m \cdot n}$$ [20](#page=20). Deze formule is een uitbreiding van de algemene slotwaardevergelijking en integreert de factor van frequente kapitalisaties [20](#page=20). De actuele waarde ($C$) kan uit deze formule worden afgeleid door deze te herschikken: $$C = \frac{C_n}{\left(1 + \frac{i(m)}{m}\right)^{m \cdot n}}$$ [20](#page=20). **Voorbeeld:** Bereken de slotwaarde van 100 dollars belegd gedurende 2 jaar aan een schijnbare jaarlijkse rentevoet van 6%, betaalbaar per trimester [21](#page=21). Hier is $C = 100$ dollars, $n = 2$ jaar, $i(m) = 0.06$, en $m = 4$ (trimester). $$C_n = 100 \cdot \left(1 + \frac{0.06}{4}\right)^{4 \cdot 2}$$ $$C_n = 100 \cdot (1 + 0.015)^8$$ $$C_n = 100 \cdot (1.015)^8 \approx 100 \cdot 1.12649 \approx 112.65 \text{ dollars}$$ De slotwaarde is ongeveer 112.65 dollars [21](#page=21). ### 4.3 Invloed van het aantal kapitalisaties op de slotwaarde Een toename van het aantal kapitalisaties per jaar ($m$), bij een gelijkblijvend kapitaal, rentevoet en beleggingsduur, resulteert in een hogere slotwaarde ($C_n$). Dit komt doordat de verworven interesten sneller worden gekapitaliseerd, wat leidt tot meer "interest op interest" en een stijging van de effectieve jaarlijkse rentevoet [22](#page=22). **Voorbeeld:** Een belegging van 1.000 dollars voor 10 jaar aan een schijnbare jaarlijkse interestvoet van 10% wordt geanalyseerd met verschillende kapitalisatiefrequenties [21](#page=21) [22](#page=22). * **Jaarlijks:** $C_{10} = 1000 \cdot (1 + 0.10)^{10} \approx 2593.74$ dollars [21](#page=21). * **Semestrieel (m=2):** $C_{10} = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0.10}{2}\right)^{2 \cdot 10} = 1000 \cdot (1.05)^{20} \approx 2653.30$ dollars [21](#page=21). * **Trimestrieel (m=4):** $C_{10} = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0.10}{4}\right)^{4 \cdot 10} = 1000 \cdot (1.025)^{40} \approx 2685.06$ dollars [21](#page=21). * **Maandelijks (m=12):** $C_{10} = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{12 \cdot 10} \approx 2707.04$ dollars [22](#page=22). * **Wekelijks (m=52):** $C_{10} = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0.10}{52}\right)^{52 \cdot 10} \approx 2715.67$ dollars [22](#page=22). * **Dagelijks (m=365):** $C_{10} = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0.10}{365}\right)^{365 \cdot 10} \approx 2717.91$ dollars [22](#page=22). Dit illustreert duidelijk hoe een hogere kapitalisatiefrequentie de slotwaarde verhoogt [21](#page=21) [22](#page=22). **Voorbeeld:** Een financieel directeur moet kiezen tussen twee termijnrekeningen met een schijnbare jaarlijkse rentevoet van 4%. Alternatief A is een termijnrekening op 2 maanden, en Alternatief B op 6 maanden. Welke is het meest voordelig [22](#page=22) [23](#page=23)? * **Alternatief A (2 maanden):** Er zijn 12/2 = 6 kapitalisaties per jaar ($m=6$) [23](#page=23). $$1 + i = \left(1 + \frac{0.04}{6}\right)^6$$ $$i = \left(1 + \frac{0.04}{6}\right)^6 - 1 \approx 0.04070$$ De effectieve jaarlijkse rentevoet is 4,07% [23](#page=23). * **Alternatief B (6 maanden):** Er zijn 12/6 = 2 kapitalisaties per jaar ($m=2$) [23](#page=23). $$1 + i = \left(1 + \frac{0.04}{2}\right)^2$$ $$i = \left(1 + \frac{0.04}{2}\right)^2 - 1 = (1.02)^2 - 1 = 0.0404$$ De effectieve jaarlijkse rentevoet is 4,04% [23](#page=23). Alternatief A (termijnrekening op 2 maanden) levert de hoogste effectieve jaarlijkse rentevoet op omdat het aantal tussentijdse interestkapitalisaties hoger is. De voorkeur gaat dus uit naar alternatief A [23](#page=23). --- # Diverse andere toepassingen van interestberekening Dit gedeelte behandelt diverse toepassingen van interestberekening, waaronder de waardebepaling van obligaties en nulcouponobligaties, de berekening van aandelenrendement, de omzetting van groepen kapitalen naar een enkel bedrag, en de analyse van investeringsprojecten via de netto actuele waarde (NAW) [23](#page=23). ### 5.1 Berekening van obligatiekoersen #### 5.1.1 Definitie van een obligatie Een obligatie is een financieel instrument dat een schuldvordering vertegenwoordigt. De houder van een obligatie heeft recht op periodieke rentebetalingen, de zogenaamde coupons. Op de vervaldag wordt naast de laatste coupon ook de nominale waarde (hoofdsom) terugbetaald. Obligaties kunnen worden uitgegeven door zowel ondernemingen als overheden [23](#page=23). **Kenmerken van obligaties:** * **Looptijd:** Obligaties hebben meestal een vaste looptijd [24](#page=24). * **Couponrente:** Over het algemeen geldt dat hoe langer de looptijd, hoe hoger de aangeboden couponrente [24](#page=24). * **Eeuwigdurende obligaties (perpetuals):** Dit zijn leningen zonder vaste vervaldag, maar met het recht voor de uitgever om het bedrag op bepaalde momenten terug te betalen [24](#page=24). * **Nulcouponobligaties:** Bij dit type obligatie worden alle interesten in één keer uitbetaald op de eindvervaldag; de uitbetaling op de eindvervaldag is hoger dan de aankoopprijs [24](#page=24). * **Uitgifteprijs en notering:** De prijs die voor een obligatie wordt betaald, kan verschillen van de nominale waarde. Bij uitgifte (primaire markt) spreekt men van de uitgifteprijs. Op de secundaire markt wordt de prijs bepaald door vraag en aanbod. Een notering boven de 100% betekent 'boven pari', terwijl een notering onder de 100% 'beneden pari' is [24](#page=24). #### 5.1.2 Koersberekening van een obligatie De theoretische prijs van een obligatie wordt berekend door alle toekomstige kasstromen (coupons en hoofdsom) te actualiseren naar het huidige tijdstip, met als actualisatievoet het geëiste rendement (marktintrestvoet) [24](#page=24). **Algemene formule voor de theoretische prijs van een obligatie:** $$P = \frac{C_1}{(1+i)^1} + \frac{C_2}{(1+i)^2} + \frac{C_3}{(1+i)^3} + \dots + \frac{C_n + B}{(1+i)^n} \quad (2.8)$$ Waarbij: * $C_t$: de coupon op tijdstip $t$ [26](#page=26). * $B$: de hoofdsom of nominale waarde [26](#page=26). * $i$: het geëiste rendement, gelijk aan de marktrente [26](#page=26). * $n$: de resterende looptijd van de obligatie [26](#page=26). > **Voorbeeld 1:** Bereken de theoretische prijs van een obligatie met een looptijd van 3 jaar, nominale waarde 1.000 dollars, een geëist rendement van 6% en een jaarlijkse coupon van 120 dollars. > De berekening is: $P = \frac{120}{(1+0.06)^1} + \frac{120}{(1+0.06)^2} + \frac{120 + 1000}{(1+0.06)^3} = 1.160,38$ dollars [24](#page=24). > **Voorbeeld 2:** Bereken de theoretische prijs van een obligatie met een looptijd van 3 jaar, nominale waarde 1.000 dollars, een geëist rendement van 6% en variabele jaarlijkse coupons: 120 dollars (jaar 1), 150 dollars (jaar 2), en 160 dollars (jaar 3). > De berekening is: $P = \frac{120}{(1+0.06)^1} + \frac{150}{(1+0.06)^2} + \frac{160 + 1000}{(1+0.06)^3} = 1.220,67$ dollars [25](#page=25). #### 5.1.3 Koersberekening van een nulcouponobligatie Een nulcouponobligatie betaalt geen tussentijdse coupons. De enige betaling is de hoofdsom op de vervaldag. Het rendement wordt gerealiseerd door het verschil tussen de aankoop- en verkoopprijs [26](#page=26). **Formule voor de waardebepaling van een nulcouponobligatie:** $$P = \frac{B}{(1+i)^n} \quad (2.9)$$ Waarbij: * $B$: de hoofdsom of nominale waarde [26](#page=26). * $i$: het geëiste rendement of de marktrente [26](#page=26). * $n$: de resterende looptijd van de obligatie [26](#page=26). > **Voorbeeld:** Bepaal de prijs van een nulcouponobligatie met een nominale waarde van 1.000 dollars, een resterende looptijd van 5 jaar en een markrente van 7%. > De berekening is: $P = \frac{1000}{(1+0.07)^5} = 712,99$ dollars [26](#page=26). ### 5.2 Aandelen en aandelenrendement #### 5.2.1 Definitie van aandelen Een aandeel maakt de houder mede-eigenaar van een onderneming. De waarde van een aandeel schommelt dagelijks onder invloed van diverse factoren, waaronder de financiële resultaten van het bedrijf, economische vooruitzichten, strategische beslissingen, meningen van analisten, bedrijfscommunicatie, geruchten en externe gebeurtenissen. Als aandeelhouder heeft men stemrecht, waarvan het belang afhangt van het bezeten aandelenpercentage [27](#page=27). #### 5.2.2 Aandelenrendement Het aandelenrendement meet wat een belegging in aandelen heeft opgebracht over een bepaalde periode. Het bestaat uit twee componenten: dividendrendement en kapitaalwinst [27](#page=27) [28](#page=28). **Formule voor het gerealiseerde rendement op een aandeel:** $$Rendement = \frac{Div_{t+1} + P_{t+1} - P_t}{P_t}$$ Dit kan worden opgesplitst in: $$\frac{Div_{t+1}}{P_t} + \frac{P_{t+1} - P_t}{P_t} = \text{Dividendrendement} + \text{Kapitaalwinst}$$ Waarbij: * $Div_{t+1}$: het uitgekeerde dividend op tijdstip $t+1$ [28](#page=28). * $P_t$: de aankoopprijs van het aandeel op tijdstip $t$ [28](#page=28). * $P_{t+1}$: de verkoopprijs van het aandeel op tijdstip $t+1$ [28](#page=28). > **Voorbeeld:** Je koopt een aandeel op $t=0$ voor 60 dollars. Op $t=1$, na dividendbetaling, verkoop je het aandeel voor 64 dollars. Je hebt een dividend van 5 dollars ontvangen. Bereken het totale rendement. > * Kapitaalwinst: $(64-60)/60 = 6,67\%$ [28](#page=28). > * Dividendrendement: $5/60 = 8,33\%$ [28](#page=28). > * Totaal rendement: $6,67\% + 8,33\% = 15\%$ [28](#page=28). ### 5.3 Groepen van kapitalen Dit onderdeel behandelt de omzetting van een reeks betalingen op verschillende tijdstippen naar een enkele betaling op een specifiek tijdstip, zonder dat dit leidt tot renteverlies voor een van de partijen [28](#page=28). > **Voorbeeld 1:** Schulden van 200 dollars (begin 2021), 300 dollars (begin 2025) en 1.500 dollars (begin 2027) moeten marktconform worden herschikt naar een éénmalige betaling aan het begin van 2024. De jaarlijkse interestvoet bedraagt 7%. > Door de actuele waarden van de schulden gelijk te stellen aan de actuele waarde van de toekomstige betaling B op begin 2020: > $\frac{200}{1.07^1} + \frac{300}{1.07^5} + \frac{1500}{1.07^7} = \frac{B}{1.07^4}$ > $B = \left(\frac{200}{1.07} + \frac{300}{1.07^5} + \frac{1500}{1.07^7}\right) \times 1.07^4 = 1.749,83$ dollars [29](#page=29). > **Voorbeeld 2:** Een lening van 4% heeft de volgende terugbetalingen: 5.000 dollars op 01/01/2015, 5.000 dollars op 01/01/2016, 5.000 dollars op 01/01/2017 en 5.000 dollars op 01/07/2018. Tom wil deze integraal terugbetalen met een éénmalige storting van 19.000 dollars. Binnen hoeveel dagen kan dit zonder renteverlies? > De waarde van de kapitalen op 01/01/2015 is: > $V_{1/1/'15} = 5000 + \frac{5000}{1.04^1} + \frac{5000}{1.04^2} + \frac{5000}{1.04^{3.5}} = 18.789,14$ dollars [30](#page=30). > De vergelijking om de termijn $n$ te vinden is: > $18.789,14 \times 1.04^n = 19.000$ > Met logaritmen kan $n$ worden opgelost: $n = \frac{\ln(19.000 / 18.789,14)}{\ln(1.04)} = 0,2845419$ jaar, wat neerkomt op ongeveer 3 maanden en 12,44 dagen. In de praktijk zou dit meestal worden afgerond naar 12 dagen [30](#page=30). ### 5.4 Berekening van de netto actuele waarde (NAW) van een investering De Netto Actuele Waarde (NAW, ook bekend als NPV of Net Present Value) is een cruciaal criterium voor investeringsbeslissingen. Het vertegenwoordigt de som van de geactualiseerde toekomstige kasstromen minus de initiële investeringsuitgave [31](#page=31). **Formule voor de NAW:** $$NAW = \frac{C_1}{(1+i)^1} + \frac{C_2}{(1+i)^2} + \frac{C_3}{(1+i)^3} + \dots + \frac{C_n}{(1+i)^n} - I_0 \quad (2.10)$$ Waarbij: * $C_t$: de netto kasinkomsten in jaar $t$ [31](#page=31). * $I_0$: de initiële investeringsuitgave [31](#page=31). * $i$: de interestvoet (actualisatievoet) [31](#page=31). * $n$: de duur van het project [31](#page=31). **Beslissingsregel:** * Indien de NAW positief is, wordt het project aanvaard [31](#page=31). * Indien de NAW negatief is, wordt het project verworpen [31](#page=31). De NAW wordt ook gebruikt om verschillende projecten onderling te vergelijken; het project met de hoogste NAW krijgt de voorkeur [31](#page=31). > **Voorbeeld:** Een bedrijf overweegt de aankoop van een machine met verwachte netto kasinkomsten van 50.000 dollars eind jaar 1 en 60.000 dollars eind jaar 2. De jaarlijkse interestvoet is 8%. Hoeveel mag de machine maximaal kosten? > De NAW moet groter zijn dan nul: > $NAW = \frac{50000}{1.08} + \frac{60000}{1.08^2} - I_0 = 97.736,63 - I_0$ [32](#page=32). > Om de aankoop te verantwoorden, moet gelden: $97.736,63 - I_0 > 0$, dus $I_0 < 97.736,63$ dollars. De machine mag dus maximaal 97.736,63 dollars kosten [32](#page=32). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kapitaal | Het oorspronkelijke bedrag dat wordt belegd of uitgeleend. Dit is de basis waarop interest wordt berekend. | | Interest | De vergoeding die wordt ontvangen voor het uitlenen van kapitaal of betaald voor het lenen van kapitaal. Het vertegenwoordigt de kosten of opbrengsten van geld over tijd. | | Interestvoet (i) | Een relatieve grootheid die de interestvergoeding per kapitaaleenheid en per beleggingsperiode aangeeft. Het wordt uitgedrukt als een percentage en bepaalt de rente op het kapitaal. | | Beleggingsduur (n) | De tijdsperiode gedurende welke een kapitaal belegd is of uitgeleend blijft. Dit kan variëren van korte periodes tot vele jaren. | | Enkelvoudige interestberekening | Een methode waarbij de interest enkel wordt berekend op het oorspronkelijke kapitaal. De verdiende interest wordt niet herbelegd en genereert dus geen verdere interest. | | Samengestelde interestberekening | Een methode waarbij de verdiende interest aan het einde van elke periode wordt herbelegd bij het oorspronkelijke kapitaal. Hierdoor genereert de interest zelf ook weer interest (rente op rente). | | Tijdswaarde van het geld | Het principe dat geld dat men vandaag ontvangt, meer waard is dan hetzelfde bedrag dat men in de toekomst ontvangt. Dit komt door inflatie, consumptie en gemiste investeringsmogelijkheden. | | Slotwaarde (Cn) | De totale waarde van een belegging op een bepaald tijdstip in de toekomst, inclusief het oorspronkelijke kapitaal en de opgebouwde interesten. | | Actuele waarde (C) | De waarde van een toekomstig geldbedrag op het huidige tijdstip. Het is het bedrag dat men vandaag moet beleggen om een bepaald toekomstig bedrag te bereiken. | | Actualiseren | Het proces van het berekenen van de actuele waarde van toekomstige geldbedragen door ze terug te rekenen naar het huidige tijdstip met behulp van de marktinterestvoet. | | Zichtrekening | Een bankrekening waarbij geld direct opvraagbaar is. Zichtrekeningen kunnen creditrente opleveren op een positief saldo of debetrente aanrekenen op een negatief saldo. | | Termijnrekening | Een spaarrekening waarbij geld voor een vooraf bepaalde periode wordt vastgezet. De rentevoet wordt bij aanvang vastgelegd voor de gehele looptijd. | | Spaardeposito | Een spaargeld dat zonder een bepaalde termijn wordt geplaatst en meestal direct opvraagbaar is, binnen bepaalde limieten. | | Roerende voorheffing | Een belasting die wordt ingehouden op inkomsten zoals rente en dividenden. Het percentage kan variëren afhankelijk van het type investering en de geldende wetgeving. | | Kasbon | Een financieel instrument van schuldvordering met een middellange looptijd en een vaste rentevoet. De rente kan jaarlijks worden geïnd of gekapitaliseerd. | | Kapitalisatiebon | Een financieel instrument van schuldvordering met een middellange looptijd, waarbij de jaarlijkse rente bij de hoofdsom wordt gevoegd en mee rendert. De roerende voorheffing wordt pas op het einde van de looptijd ingehouden. | | Obligatie | Een effect dat een schuldvordering vertegenwoordigt, uitgegeven door bedrijven of overheden. De houder heeft recht op periodieke rente (coupons) en terugbetaling van de nominale waarde op de vervaldag. | | Zero-coupon obligatie | Een obligatie die geen tussentijdse coupons uitbetaalt. De belegger realiseert het rendement volledig uit het verschil tussen de aankoop- en verkoopprijs op de vervaldag. | | Aandeel | Een effect dat mede-eigendom in een bedrijf vertegenwoordigt. De waarde van een aandeel kan schommelen door diverse factoren en kan dividend opleveren. | | Aandelenrendement | De totale opbrengst van een aandelenbelegging over een bepaalde periode, bestaande uit dividendrendement en kapitaalwinst. | | Netto Actuele Waarde (NAW) | De som van de actuele waarden van toekomstige kasstromen van een investeringsproject, verminderd met de initiële investeringsuitgave. Een positieve NAW geeft aan dat het project winstgevend is. |