Elektriciteit_gelijkstroom_theorie_basis_3.pdf

# Regelbare weerstanden en spanningsdeling Dit deel van het document behandelt regelbare weerstanden, zoals schuifweerstanden en potentiometers, en hun toepassing in spanningsdelerschakelingen, zowel onbelast als belast. ### 1.1 Regelbare weerstanden Weerstanden waarvan de weerstandswaarde kan worden aangepast, worden regelbare weerstanden of regelweerstanden genoemd. Door deze in serie te schakelen in een elektrische kring, is het mogelijk om de stroomsterkte en bijgevolg de spanningsverdeling te regelen [2](#page=2). #### 1.1.1 Schuifweerstanden Een schuifweerstand heeft typisch drie aansluitklemmen. De klemmen A en B vormen het begin- en eindpunt van de weerstand. Door de schuiver, ook wel loper genoemd (aangeduid met C), te bewegen, kan de weerstandswaarde continu worden aangepast tussen A en C, of tussen B en C [2](#page=2). #### 1.1.2 Potentiometer Een potentiometer is een type regelbare weerstand waarbij de loper roterend is uitgevoerd. Net als bij een schuifweerstand, wordt hierbij de weerstandswaarde continu geregeld door de positie van de loper aan te passen [3](#page=3). ### 1.2 Spanningsdeling: onbelast Een potentiometer kan worden gebruikt om een spanningsdeler te vormen. Hierbij worden alle drie de aansluitklemmen van de schuifweerstand gebruikt. Het doel is om een uitgangsspanning te verkrijgen die een fractie is van de ingangsspanning, waarbij deze uitgangsspanning regelbaar is afhankelijk van de positie van de loper [4](#page=4). #### 1.2.1 Principe van de onbelaste spanningsdeler De totale weerstand, aangeduid als $R$ (tussen klemmen A en B), wordt aangesloten op een ingangsspanning $U_{in}$. De loper, C, verdeelt de totale weerstand $R$ in twee deelweerstanden, $R_1$ en $R_2$. Aangezien dezelfde stroom $I$ door beide deelweerstanden vloeit, vormen $R_1$ en $R_2$ samen een spanningsdeler [5](#page=5). Volgens de wet van Ohm is de uitgangsspanning $U_{uit}$ gelijk aan het product van de deelweerstand $R_2$ en de stroom $I$ [5](#page=5): $U_{uit} = R_2 \cdot I$ [5](#page=5). De stroom $I$ die door de gehele weerstand loopt, wordt bepaald door de totale ingangsspanning $U_{in}$ gedeeld door de totale weerstand $R_1 + R_2$ [5](#page=5): $I = \frac{U_{in}}{R_1 + R_2}$ [5](#page=5). Door deze twee formules te combineren, verkrijgen we de formule voor de uitgangsspanning in een onbelaste spanningsdeler: $U_{uit} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot U_{in}$ [5](#page=5) [6](#page=6). #### 1.2.2 Gedrag en lineariteit van de onbelaste spanningsdeler De uitgangsspanning is regelbaar: wanneer de loper van B naar A beweegt, stijgt de spanning, en bij een beweging van A naar B zal de spanning dalen [6](#page=6). > **Tip:** De formule laat zien dat de uitgangsspanning $U_{uit}$ lineair varieert met de deelweerstand $R_2$, zolang de potentiometer niet belast wordt [6](#page=6). ### 1.3 Spanningsdeling: belast Wanneer de potentiometer aan de uitgang belast wordt, moet bij het berekenen van de uitgangsspanning rekening worden gehouden met de waarde van deze belasting, aangeduid als $R_3$ [7](#page=7). #### 1.3.1 Formules voor de belaste spanningsdeler De belasting $R_3$ wordt parallel geschakeld met de deelweerstand $R_2$. De effectieve weerstand van dit parallelle deel is $\frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$. De totale weerstand in de kring wordt dan $R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$. De stroom $I$ die door de totale weerstand loopt, is [7](#page=7): $I = \frac{U_{in}}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}$ [7](#page=7). De uitgangsspanning $U_{uit}$ is dan de stroom $I$ vermenigvuldigd met de parallelweerstand: $U_{uit} = I \cdot \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$ [7](#page=7). Door de formules samen te voegen, verkrijgen we de volledige uitdrukking voor de uitgangsspanning bij een belaste potentiometer: $U_{uit} = \frac{\frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}} \cdot U_{in}$ [7](#page=7) [8](#page=8). Dit kan ook geschreven worden als: $U_{uit} = U_{in} \cdot \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1(R_2 + R_3) + R_2 \cdot R_3}$ [8](#page=8). #### 1.3.2 Invloed van de belasting Bij belasting is de uitgangsspanning $U_{uit}$ lager dan in het onbelaste geval [8](#page=8). > **Tip:** Om ervoor te zorgen dat de uitgangsspanning slechts minimaal verandert door de belasting, moet de belastingsweerstand $R_3$ significant groter zijn dan de deelweerstand $R_2$ (d.w.z. $R_3 >> R_2$) [8](#page=8). > **Opmerking:** Het is belangrijker om de logica achter deze formules te begrijpen dan ze puur uit het hoofd te leren. De onderdelen van de formule representeren specifieke elektrische configuraties (serie, parallel) en de wet van Ohm [8](#page=8). --- # De brug van Wheatstone De brug van Wheatstone is een elektrische schakeling die voornamelijk wordt gebruikt voor het nauwkeurig meten van weerstandswaarden, door middel van het principe van evenwicht [9](#page=9). ### 2.1 Componenten en basisprincipes De brug van Wheatstone bestaat uit vier weerstanden die zodanig zijn geschakeld dat ze een gesloten keten vormen. Tussen twee punten van deze keten is een galvanometer aangesloten, en tussen de andere twee punten is een gelijkspanningsbron verbonden [12](#page=12) [9](#page=9). #### 2.1.1 De galvanometer Een galvanometer is een zeer gevoelige ampèremeter, ontworpen om extreem kleine stromen te detecteren, soms tot wel $10^{-9}$ A. De primaire functie is het vaststellen of er stroom vloeit, zonder noodzakelijkerwijs de exacte grootte ervan te hoeven meten. In de context van de Wheatstonebrug meet deze of er stroom loopt tussen de punten C en D [12](#page=12). #### 2.1.2 De nulmethode De nulmethode houdt in dat men de schakeling aanpast totdat er geen stroom meer door de galvanometer loopt. Op dit punt is de brug in evenwicht, ook wel een gebalanceerde brug genoemd. Dit evenwicht wordt bereikt door een specifieke weerstand, de referentieweerstand, nauwkeurig regelbaar te maken [10](#page=10) [11](#page=11). ### 2.2 Het principe van evenwicht De brug van Wheatstone wordt als "in evenwicht" beschouwd wanneer de stroom door de galvanometer, aangeduid als $I_5$, gelijk is aan nul. Dit impliceert dat er geen potentiaalverschil bestaat tussen de punten C en D [13](#page=13). Wanneer de brug in evenwicht is ($I_5 = 0$), gelden de volgende relaties: * $I_1 = I_3$ [13](#page=13). * $I_2 = I_4$ [13](#page=13). * Het potentiaalverschil tussen A en C is gelijk aan het potentiaalverschil tussen A en D ($U_{AC} = U_{AD}$) [13](#page=13). * Het potentiaalverschil tussen C en B is gelijk aan het potentiaalverschil tussen D en B ($U_{CB} = U_{DB}$) [13](#page=13). Dit leidt tot de volgende vergelijkingen: * $I_1 \cdot R_1 = I_2 \cdot R_2$ [13](#page=13). * $I_3 \cdot R_x = I_4 \cdot R_n$ [13](#page=13). Door de eerste twee vergelijkingen te combineren, kan de evenwichtsconditie worden uitgedrukt als een verhouding van weerstanden: $$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4} $$ of equivalent [13](#page=13) [14](#page=14): $$ \frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4} $$ > **Tip:** De relatie $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ is cruciaal voor het berekenen van onbekende weerstanden in een gebalanceerde Wheatstonebrug. Zorg ervoor dat je deze formule goed onthoudt. ### 2.3 Berekening van de onbekende weerstand Als drie van de vier weerstanden bekend zijn en de brug in evenwicht is, kan de waarde van de onbekende weerstand eenvoudig worden berekend. Met de eerder afgeleide evenwichtsconditie, herschreven voor de onbekende weerstand $R_x$ [11](#page=11): $$ R_x = R_n \cdot \frac{R_1}{R_2} $$ Hierbij is $R_1$, $R_2$ en $R_n$ de bekende weerstanden, en $R_x$ de te bepalen onbekende weerstand. De weerstand $R_n$ wordt ook wel de normaalweerstand of referentieweerstand genoemd en is nauwkeurig regelbaar om het evenwicht te bewerkstelligen [11](#page=11) [14](#page=14). > **Example:** Stel dat we een Wheatstonebrug hebben met $R_1 = 100\ \text{ohm}$, $R_2 = 200\ \text{ohm}$, en $R_n = 300\ \text{ohm}$. Om de brug in evenwicht te brengen met een onbekende weerstand $R_x$, stellen we $R_n$ in op $300\ \text{ohm}$ zodat de galvanometer nul aangeeft. De waarde van de onbekende weerstand wordt dan: > $$ R_x = R_n \cdot \frac{R_1}{R_2} = 300\ \text{ohm} \cdot \frac{100\ \text{ohm}}{200\ \text{ohm}} = 300\ \text{ohm} \cdot 0.5 = 150\ \text{ohm} $$ > [11](#page=11) [14](#page=14). --- # Oefeningen met weerstandstoepassingen Dit hoofdstuk biedt een reeks oefeningen die de toepassing van weerstanden, potentiometers en de brug van Wheatstone demonstreren, variërend van weerstandsberekeningen tot het analyseren van belaste schakelingen. ### 3.1 Oefeningen met potentiometers Deze sectie behandelt diverse problemen waarbij een spanningsbron is aangesloten op een potentiometer, met variërende instellingen van de loper om specifieke spanningen of weerstandswaarden te bepalen. #### 3.1.1 Oefening 1: Spanning verdelen met potentiometer Een D.C. spanningsbron van 24V wordt aangesloten op een potentiometer van 10k Ω (tussen de klemmen A en B). De loper wordt zodanig ingesteld dat er tussen W en B 3,5V wordt gemeten. We moeten de weerstandswaarde $R_{WB}$ bepalen [15](#page=15). De potentiometer gedraagt zich als een serieschakeling van twee weerstanden, $R_{AW}$ en $R_{WB}$, waarbij de totale weerstand $R_{AB} = 10k \Omega$. De spanning wordt verdeeld over deze twee weerstanden volgens de spanningsdelerformule [15](#page=15). De spanning over $R_{WB}$ is: $$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$ We weten $U_{AB} = 24V$ en $U_{WB} = 3,5V$. De totale weerstand $R_{AB} = 10k \Omega$ [15](#page=15). Om $R_{WB}$ te vinden, herschikken we de formule: $$ R_{WB} = R_{AB} \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$ $$ R_{WB} = 10k \Omega \times \frac{3,5V}{24V} $$ $$ R_{WB} \approx 1,458 k \Omega $$ De weerstandswaarde $R_{WB}$ bedraagt dus ongeveer 1,458 k Ω [15](#page=15). #### 3.1.2 Oefening 2: Potentiometer met ingestelde weerstandswaarde Een D.C. spanningsbron van 30V wordt aangesloten op dezelfde potentiometer van 10k Ω. De loper wordt zodanig ingesteld dat $R_{AW} = 7,5k \Omega$. We moeten de spanning meten tussen W en B ($U_{WB}$) [15](#page=15). De totale weerstand van de potentiometer is $R_{AB} = 10k \Omega$. Als $R_{AW} = 7,5k \Omega$, dan is de resterende weerstand $R_{WB} = R_{AB} - R_{AW} = 10k \Omega - 7,5k \Omega = 2,5k \Omega$ [15](#page=15). Met de spanningsdelerformule kunnen we $U_{WB}$ berekenen: $$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$ $$ U_{WB} = 30V \times \frac{2,5k \Omega}{10k \Omega} $$ $$ U_{WB} = 30V \times 0,25 $$ $$ U_{WB} = 7,5V $$ De gemeten spanning tussen W en B zal 7,5V zijn [15](#page=15). #### 3.1.3 Oefening 3: Gewenste spanning instellen met potentiometer In een schakeling met een ingangsspanning $U = 100V$ en een weerstand $R_{AW} = 15k \Omega$ willen we een uitgangsspanning $U_{WB} = 20V$ bekomen. We moeten de weerstandswaarde van $R_{WB}$ bepalen [16](#page=16). De spanningsdelerformule luidt: $$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$ Hierbij is $U_{AB} = U = 100V$. De totale weerstand $R_{AB} = R_{AW} + R_{WB}$ [16](#page=16). We kunnen de formule herschikken om $R_{WB}$ te vinden: $$ R_{WB} = R_{AB} \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$ $$ R_{WB} = (R_{AW} + R_{WB}) \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$ Vul de bekende waarden in: $$ R_{WB} = (15k \Omega + R_{WB}) \times \frac{20V}{100V} $$ $$ R_{WB} = (15k \Omega + R_{WB}) \times 0,2 $$ $$ R_{WB} = 3k \Omega + 0,2 R_{WB} $$ Breng de termen met $R_{WB}$ naar één kant: $$ R_{WB} - 0,2 R_{WB} = 3k \Omega $$ $$ 0,8 R_{WB} = 3k \Omega $$ $$ R_{WB} = \frac{3k \Omega}{0,8} $$ $$ R_{WB} = 3,750 k \Omega $$ De benodigde weerstandswaarde voor $R_{WB}$ is 3,750 k Ω [16](#page=16). ### 3.2 Oefeningen met belaste schakelingen Deze sectie onderzoekt de impact van een belasting op de uitgangsspanning van een spanningsdeler, waarbij de oorspronkelijke onbelaste spanning wordt vergeleken met de gespannen spanning onder belasting. #### 3.2.1 Oefening 4: Onbelaste uitgangsspanning berekenen De ingangsspanning $V_{in}$ van een spanningsdeler bedraagt 45V. De weerstanden zijn $R_1 = 200 \Omega$ en $R_2 = 500 \Omega$. We moeten de onbelaste uitgangsspanning $V_{out}$ bepalen [17](#page=17). De uitgangsspanning wordt gemeten over $R_2$. Met de spanningsdelerformule: $$ V_{out} = V_{in} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} $$ $$ V_{out} = 45V \times \frac{500 \Omega}{200 \Omega + 500 \Omega} $$ $$ V_{out} = 45V \times \frac{500 \Omega}{700 \Omega} $$ $$ V_{out} = 45V \times \frac{5}{7} $$ $$ V_{out} \approx 32,14 V $$ De onbelaste uitgangsspanning is ongeveer 32,14 V [17](#page=17). #### 3.2.2 Oefening 5: Uitgangsspanning onder belasting berekenen De ingangsspanning $V_{in}$ is opnieuw 45V, met $R_1 = 200 \Omega$ en $R_2 = 500 \Omega$. Echter, nu wordt een belasting $R_L$ van 100 Ω aan de uitgang geplaatst. We moeten de spanning over de belasting $R_L$ bepalen [18](#page=18). Wanneer er een belasting wordt geplaatst, staat $R_L$ parallel aan $R_2$. De totale weerstand van dit parallelle gedeelte ($R_{2 || L}$) kan berekend worden met: $$ R_{2 || L} = \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} $$ $$ R_{2 || L} = \frac{500 \Omega \times 100 \Omega}{500 \Omega + 100 \Omega} $$ $$ R_{2 || L} = \frac{50000 \Omega^2}{600 \Omega} $$ $$ R_{2 || L} = \frac{500}{6} \Omega = \frac{250}{3} \Omega \approx 83,33 \Omega $$ Nu kunnen we de uitgangsspanning (die nu over $R_{2 || L}$ staat) berekenen met de spanningsdelerformule, waarbij we de effectieve parallelle weerstand gebruiken: $$ V_{out\_belasted} = V_{in} \times \frac{R_{2 || L}}{R_1 + R_{2 || L}} $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{\frac{250}{3} \Omega}{200 \Omega + \frac{250}{3} \Omega} $$ Om de breuk in de teller en noemer te vereenvoudigen: $$ R_1 + R_{2 || L} = 200 + \frac{250}{3} = \frac{600}{3} + \frac{250}{3} = \frac{850}{3} \Omega $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{\frac{250}{3} \Omega}{\frac{850}{3} \Omega} $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{250}{850} $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{25}{85} $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{5}{17} $$ $$ V_{out\_belasted} \approx 13,235 V $$ De spanning over $R_L$ zal ongeveer 13,23 V bedragen [18](#page=18). > **Tip:** De belasting $R_L$ vermindert de uitgangsspanning aanzienlijk omdat het de effectieve weerstand in het onderste deel van de spanningsdeler verlaagt. ### 3.3 Oefeningen met de brug van Wheatstone Dit gedeelte introduceert een oefening met de brug van Wheatstone, een veelgebruikte schakeling voor het meten van weerstanden. #### 3.3.1 Oefening 6: Evenwicht van de brug van Wheatstone De oefening stelt de vraag of een gegeven brug van Wheatstone in evenwicht is. De spanningsbron heeft een waarde van 1,5V. De afbeelding van de brug is niet beschikbaar in de tekst, maar de algemene methode om evenwicht te bepalen is cruciaal [19](#page=19). Een brug van Wheatstone is in evenwicht wanneer de spanning over de diagonale galvanometer (of voltmeter) nul is. Dit gebeurt als de verhouding van de weerstanden aan de ene kant gelijk is aan de verhouding van de weerstanden aan de andere kant, met betrekking tot de twee benen van de brug [19](#page=19). Stel dat de brug vier weerstanden heeft: $R_A$, $R_B$, $R_C$, en $R_D$, en een spanningsbron $U$ aangesloten over de punten waar $R_A$ en $R_C$ samenkomen, en waar $R_B$ en $R_D$ samenkomen. De meter meet de spanning tussen de knooppunten van $R_A$/$R_B$ en $R_C$/$R_D$. De brug is in evenwicht indien: $$ \frac{R_A}{R_B} = \frac{R_C}{R_D} $$ of, equivalent, als: $$ R_A \times R_D = R_B \times R_C $$ Om te bepalen of de brug in evenwicht is, zouden we de waarden van de vier weerstanden moeten kennen en deze relaties moeten controleren. Als de relatie niet geldt, is de brug niet in evenwicht, wat betekent dat er een spanning over de meter zal staan. De aanwezigheid van een niet-nul spanning over de meetinstrument (in dit geval 1,5V) is een indicatie dat de brug niet in evenwicht is. Echter, de specifieke waarden van de weerstanden zijn nodig om het definitieve antwoord te geven [19](#page=19). > **Hoe merk je het op?** Als de brug in evenwicht is, is de spanning over het meetinstrument nul, wat betekent dat er geen stroom doorheen loopt. Als de brug niet in evenwicht is, zal er een meetbare spanning over het instrument staan [19](#page=19). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Gelijkstroom theorie | De fundamentele principes die de gedragingen van elektrische stromen beschrijven die slechts in één richting vloeien, zoals die in batterijen en gelijkrichters. | | Regelbare weerstand | Een elektrische component waarvan de weerstandswaarde kan worden aangepast, vaak gebruikt om stroomsterkte of spanningsniveaus te regelen. | | Schuifweerstand | Een type regelbare weerstand waarbij een schuifcontact over een weerstandselement beweegt om de weerstandswaarde te variëren. | | Potentiometer | Een regelbare weerstand met drie aansluitingen, waarbij de middelste aansluiting (loper) een deel van de totale weerstandswaarde selecteert, wat resulteert in een variabele spanning. | | Spanningsdeling | Het principe waarbij een spanning wordt verdeeld over meerdere weerstanden in serie, zodat de spanning over elk weerstandselement een fractie is van de totale ingangsspanning. | | Spanningsdeler | Een configuratie van weerstanden in serie die wordt gebruikt om een uitgangsspanning te creëren die lager is dan de ingangsspanning, vaak regelbaar met een loper. | | Belasting | De weerstand die is aangesloten op de uitgang van een schakeling, zoals een spanningsdeler, die de stroom beïnvloedt en daardoor de uitgangsspanning kan verlagen. | | Brug van Wheatstone | Een elektronische schakeling die wordt gebruikt om een onbekende weerstand te meten door deze in balans te brengen met bekende weerstanden. | | Galvanometer | Een uiterst gevoelige ampèremeter die wordt gebruikt om zeer kleine elektrische stromen te detecteren, vaak gebruikt om aan te geven of er stroom vloeit of niet. | | Nulmethode | Een meettechniek waarbij een parameter wordt aangepast totdat een indicator (zoals een galvanometer) nul aangeeft, wat duidt op een evenwichtstoestand. | | Gebalanceerde brug | De toestand van een brugschakeling, zoals de brug van Wheatstone, waarbij er geen stroom vloeit door het meetinstrument (bv. galvanometer), wat resulteert in een potentiaalverschil van nul tussen de twee middenpunten. | | Weerstandsverandering | Een variatie in de waarde van een weerstand, die kan worden veroorzaakt door factoren zoals temperatuur, rek of als onderdeel van een meetopstelling. | | Gelijkspanningsbron | Een bron die een constante elektrische spanning levert met een constante polariteit, zoals een batterij. | | Deelstroom | Een deel van de totale stroom die door een schakeling loopt, die ontstaat wanneer de hoofd stroom zich splitst over parallelle paden. | | Potentiaalverschil | Het verschil in elektrische potentiele energie tussen twee punten in een elektrisch veld, wat de drijvende kracht is voor de stroom. | | Weerstandswaarde | De mate van tegenwerking die een materiaal biedt aan de doorgang van elektrische stroom, uitgedrukt in ohm ($\Omega$). | | Referentieweerstand | Een nauwkeurig bekende weerstand die wordt gebruikt als basis voor het meten van andere weerstanden of om een schakeling in evenwicht te brengen. |