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Summary
# Derivadas sucesivas y polinomio de Taylor
Este tema explora cómo las derivadas de orden superior proporcionan información sobre el comportamiento local y global de una función, permitiendo su aproximación mediante polinomios de Taylor [1](#page=1).
### 1.1 Derivadas sucesivas
Las derivadas sucesivas de una función son el resultado de aplicar el proceso de derivación de forma reiterada. Si una función $f$ es derivable en un conjunto $D$, su derivada primera, $f'$, puede ser a su vez derivable en un subconjunto $C \subseteq D$, dando lugar a la derivada segunda, $f''$. Este proceso puede continuar indefinidamente, generando la derivada tercera $f'''$, la cuarta $f^{ }$, y así sucesivamente. Todas estas derivadas reciben el nombre de derivadas sucesivas o de orden superior [2](#page=2) [4](#page=4).
#### 1.1.1 Notación para derivadas sucesivas
Además de la notación con apóstrofes ($f', f'', f'''$), las derivadas de orden superior se pueden denotar utilizando números romanos para órdenes bajos (por ejemplo, $f^{(iv)}$ para la cuarta derivada) o, más comúnmente, utilizando un superíndice entre paréntesis para indicar el orden de la derivada ($f^{(n)}(x)$ para la $n$-ésima derivada) [2](#page=2).
#### 1.1.2 Ejemplos de cálculo de derivadas sucesivas
**Ejemplo 3.1:** Calculando las derivadas sucesivas de $f(x) = 3x^3$:
* $f'(x) = 9x^2$
* $f''(x) = 18x$
* $f'''(x) = 18$
* $f^{ }(x) = 0$ [4](#page=4).
* $f^{ }(x) = 0$ [5](#page=5).
Para cualquier $n \geq 4$, $f^{(n)}(x) = 0$ [3](#page=3).
**Ejemplo 3.2:** Calculando las derivadas primera a tercera de $f(x) = xe^{x^2}$:
* $f'(x) = e^{x^2} + 2x^2e^{x^2}$
* $f''(x) = 2xe^{x^2} + 4xe^{x^2} + 4x^3e^{x^2} = 6xe^{x^2} + 4x^3e^{x^2}$
* $f'''(x) = 6e^{x^2} + 12x^2e^{x^2} + 12x^2e^{x^2} + 8x^4e^{x^2} = 6e^{x^2} + 24x^2e^{x^2} + 8x^4e^{x^2}$ [3](#page=3).
**Ejemplo 3.3:** Calculando las derivadas sucesivas de $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ x^3 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ con $x > 0$ en la definición original.
La función es continua en $x=0$. Para $x \neq 0$, $f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 0 \\ 3x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$.
Se verifica que $f' = 0$. Así, $f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ 3x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$ [3](#page=3) [4](#page=4).
Para la derivada segunda, para $x \neq 0$, $f''(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x < 0 \\ 6x & \text{si } x > 0 \end{cases}$.
Las derivadas laterales de $f'$ en $x=0$ no coinciden ($f''(0^-) = 2$ y $f''(0^+) = 0$). Por lo tanto, la derivada segunda de $f$ no está definida en $x = 0$ [4](#page=4).
> **Tip:** Es importante notar que la existencia de derivadas sucesivas puede estar limitada en ciertos puntos, como se ilustra en el Ejemplo 3.3, donde la segunda derivada no existe en $x=0$ debido a un cambio abrupto en la pendiente de la primera derivada.
#### 1.1.3 Conjuntos de funciones
Los conjuntos de funciones continuas en un intervalo $(a, b)$, denotado por $C(a, b)$, y aquellos con derivadas de orden $k$ continuas, denotados por $C^k(a, b)$, forman espacios vectoriales importantes en matemáticas [4](#page=4).
### 1.2 El Teorema de Taylor
El Teorema de Taylor permite aproximar funciones, especialmente aquellas que son difíciles de evaluar directamente (como las funciones trigonométricas o exponenciales), utilizando polinomios. Los polinomios son ventajosos porque su evaluación es computacionalmente sencilla, requiriendo solo sumas y multiplicaciones [5](#page=5).
#### 1.2.1 Polinomios centrados en $x_0$
Un polinomio está centrado en $x_0$ si está expresado en potencias de $(x - x_0)$. Cualquier polinomio puede ser reescrito en esta forma sustituyendo $x$ por $(x - x_0) + x_0$ [5](#page=5).
**Ejemplo 3.4:** Escribir $p(x) = x^2 + x + 2$ en potencias de $(x-2)$:
Sustituyendo $x = (x-2) + 2$:
$p(x) = ((x-2)+2)^2 + ((x-2)+2) + 2$
$p(x) = (x-2)^2 + 4(x-2) + 4 + (x-2) + 2 + 2$
$p(x) = (x-2)^2 + 5(x-2) + 8$ [5](#page=5).
#### 1.2.2 Relación entre derivadas de un polinomio y su expresión centrada
Un polinomio $p(x)$ de orden $n$ puede ser expresado de forma única en potencias de $(x-x_0)$ como:
$$p(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{p^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$$
donde $p^{ }(x_0) = p(x_0)$ [6](#page=6).
**Ejemplo 3.5:** Si $p$ es un polinomio de orden 3 tal que $p =1$, $p' =0$, $p'' =6$, y $p''' =-6$, su expresión es :
$p(x) = p + p' x + \frac{p'' }{2!}x^2 + \frac{p''' }{3!}x^3$ .
$p(x) = 1 + x + \frac{6}{2}x^2 + \frac{-6}{6}x^3$ .
$p(x) = 1 + 3x^2 - x^3$ [6](#page=6).
#### 1.2.3 Definición del polinomio de Taylor
Si conocemos los valores de las $n$ primeras derivadas de una función $f$ en un punto $x_0$, podemos construir un polinomio $P_n(x)$ de orden menor o igual que $n$ tal que $P_n^{(i)}(x_0) = f^{(i)}(x_0)$ para $0 \leq i \leq n$. Este polinomio, único, es el polinomio de Taylor de $f$ centrado en $x_0$ de orden $n$:
$$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$$ [6](#page=6).
El polinomio de Taylor centrado en el origen ($x_0=0$) se conoce a menudo como polinomio de Maclaurin [6](#page=6).
**Ejemplo 3.6:** Polinomio de Taylor de $f(x) = e^x$ centrado en el origen de orden 5.
Dado que $f^{(n)}(x) = e^x$ para todo $n$, y $f^{(n)} = 1$ para todo $n$ :
$P_5(x) = 1 + 1x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120}$ [7](#page=7).
El polinomio de Taylor de $e^x$ centrado en el origen de orden $n$ es:
$$P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{x^i}{i!}$$ [7](#page=7).
**Ejemplo 3.7:** Polinomio de Taylor de $g(x) = \sin x$ centrado en el origen de orden 5.
Evaluando las derivadas en $x=0$: $g =0$, $g' =1$, $g'' =0$, $g''' =-1$, $g^{ } =0$, $g^{ } =1$ [4](#page=4) [5](#page=5).
$P_5(x) = 0 + 1x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ [7](#page=7).
Para $g(x) = \sin x$, las derivadas en $0$ son $0$ si $n$ es par, y $(-1)^k$ si $n=2k+1$. Los polinomios de Taylor de órdenes $2n+1$ y $2n+2$ son:
$$P_{2n+1}(x) = P_{2n+2}(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ [7](#page=7).
**Ejemplo 3.8:** Polinomio de Taylor de $f(x) = \sin x$ centrado en $\pi/4$ de orden 3.
$f(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $f'(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $f''(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $f'''(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$P_3(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{4}(x-\frac{\pi}{4})^2 - \frac{\sqrt{2}}{12}(x-\frac{\pi}{4})^3$ [8](#page=8).
#### 1.2.4 Aproximación de polinomios de Taylor mediante manipulación
En algunos casos, el polinomio de Taylor de una función compuesta puede obtenerse sustituyendo la variable en el polinomio de Taylor de otra función [8](#page=8).
**Ejemplo 3.9:** Polinomio de Taylor de $f(x) = e^{x^2}$ centrado en el origen de orden 7.
Sustituyendo $x$ por $x^2$ en el polinomio de Taylor de $e^x$:
$e^{x^2} = 1 + (x^2) + \frac{(x^2)^2}{2!} + \frac{(x^2)^3}{3!} + \dots$
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6} + \dots$
El polinomio de Taylor de orden 7 es $P_7(x) = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6}$ [8](#page=8).
#### 1.2.5 El resto de Lagrange
El Teorema de Taylor también proporciona una forma de estimar el error cometido al aproximar una función $f(x)$ por su polinomio de Taylor $P_n(x)$ en un punto $x$. El error, conocido como el resto de Lagrange $R_n(x)$, es:
$$R_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$
para algún $c$ entre $x_0$ y $x$ [9](#page=9).
**Ejemplo 3.10:** Calcular $\sin(\frac{1}{2})$ con un error absoluto menor que $0.001$.
Se utiliza el polinomio de Taylor de $\sin x$ centrado en $0$. Las derivadas superiores de $\sin x$ son $\sin x, \cos x, -\sin x, -\cos x$, cuyos valores absolutos oscilan entre $0$ y $1$. El error es $|R_n(\frac{1}{2})| \leq \frac{1}{(n+1)!}(\frac{1}{2})^{n+1}$ [9](#page=9).
Se busca el menor $n$ tal que $|R_n(\frac{1}{2})| < 0.001$.
* Para $n=0$, $|R_0(\frac{1}{2})| \leq 0.5$.
* Para $n=1$, $|R_1(\frac{1}{2})| \leq 0.125$.
* Para $n=2$, $|R_2(\frac{1}{2})| \leq 0.020$.
* Para $n=3$, $|R_3(\frac{1}{2})| \leq 0.0026$.
* Para $n=4$, $|R_4(\frac{1}{2})| \leq 0.00026$.
Por lo tanto, $n=4$ es suficiente. El valor aproximado es $P_4(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{(1/2)^3}{3!} + \frac{(1/2)^5}{5!} = 0.5 - \frac{1/8}{6} + \frac{1/32}{120} = 0.5 - 0.0104166 + 0.0000416 \approx 0.489625$. (El documento muestra $p_4(1/2) = 0.5 - 0.020833 = 0.479166$, lo cual parece ser un cálculo intermedio de $p_3(1/2)$ sin el término de $x^5$, y la aproximación final en el texto podría tener un error tipográfico o ser un cálculo diferente).
La aproximación con $P_4(x)$ centrada en el origen de orden 4 es $\frac{1}{2} - \frac{(1/2)^3}{3!} + \frac{(1/2)^5}{5!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{48} + \frac{1}{3840} \approx 0.5 - 0.020833 + 0.00026 = 0.479427$ [10](#page=10) [9](#page=9).
#### 1.2.6 Propiedad del polinomio de Taylor para polinomios
Si $f(x)$ es un polinomio, su polinomio de Taylor centrado en $x_0$ de orden $n$ coincide con los monomios de $f(x)$ de orden menor o igual que $n$, siempre que esté centrado en el origen. Por ejemplo, el polinomio de Taylor de $f(x) = x^5 + 3x^4 - x^2 + 1$ de orden 3 centrado en el origen es $P_3(x) = -x^2 + 1$ [10](#page=10).
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# Aplicaciones a series y sucesiones de funciones
Claro, aquí tienes el resumen detallado sobre "Aplicaciones a series y sucesiones de funciones", estructurado según tus indicaciones y listo para un examen.
## 2. Aplicaciones a series y sucesiones de funciones
Esta sección explora cómo la derivación se comporta al tomar el límite de sucesiones y series funcionales, así como la derivación de series de potencias [11](#page=11).
### 2.1 Derivación de sucesiones de funciones
La convergencia uniforme de una sucesión de funciones preserva la continuidad de sus elementos en la función límite. Para la derivabilidad, se establece una proposición que relaciona la convergencia uniforme de las derivadas con la derivabilidad de la función límite [11](#page=11).
#### 2.1.1 Proposición sobre convergencia uniforme y derivabilidad
Dada una sucesión de funciones $\{f_n\}$ definidas en un intervalo acotado $(a, b)$, se deben cumplir las siguientes condiciones para asegurar la derivabilidad de la función límite $f$:
1. Las funciones $f_n$ son derivables en $(a, b)$ [12](#page=12).
2. La sucesión de derivadas $\{f'_n\}$ converge uniformemente en $(a, b)$ [12](#page=12).
3. Existe algún $x_0 \in (a, b)$ tal que la sucesión numérica $\{f_n(x_0)\}$ es convergente [12](#page=12).
Si estas condiciones se cumplen, entonces $\{f_n\}$ converge uniformemente a una función límite $f$ en $(a, b)$, la cual es derivable en $(a, b)$ y satisface:
$$f'(x) = \lim_{n\to\infty} f'_n(x), \quad \forall x \in (a, b)$$ [12](#page=12).
> **Tip:** Es crucial notar que la convergencia uniforme de $\{f'_n\}$ es una condición *suficiente* para la derivabilidad de la función límite, pero no es una condición *necesaria* [12](#page=12).
#### 2.1.2 Ejemplo de convergencia uniforme y derivabilidad
Consideremos la sucesión de funciones $f_n(x) = \frac{1}{1 + n^2x^2}$ para $x \in (-1,1)$ [12](#page=12).
La convergencia puntual a $f(x) = 0$ se verifica calculando $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$ [12](#page=12).
Para la convergencia uniforme, se analiza el supremo de $|f_n(x) - f(x)|$ en $(-1,1)$, que resulta ser $\frac{1}{2n}$ para $n \ge 1$. Dado que $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} = 0$, la sucesión converge uniformemente a $f(x) = 0$ en $(-1,1)$ [13](#page=13).
Sin embargo, al derivar $f_n(x)$, se obtiene $f'_n(x) = \frac{-2n^2x}{(1+n^2x^2)^2}$ [13](#page=13).
El límite de estas derivadas es:
$$ \lim_{n\to\infty} f'_n(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x = 0 \\ 0, & \text{si } x \ne 0 \end{cases} $$ [13](#page=13).
Observamos que $f'(x)$ (la derivada de la función límite $f(x)=0$) es $0$ para todo $x$. Por lo tanto, $f'(x) \ne \lim_{n\to\infty} f'_n(x)$ cuando $x \ne 0$. Esto confirma que la sucesión de derivadas $\{f'_n\}$ no converge uniformemente en $(-1,1)$ [13](#page=13).
#### 2.1.3 Derivación de series de funciones
La propiedad de transmisión de la derivabilidad mediante convergencia uniforme se extiende a las series de funciones. Si $\sum_{n=1}^\infty f_n$ es una serie de funciones derivables en $(a, b)$, con derivadas finitas, y si para un $x_0 \in (a, b)$ la serie numérica $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)$ converge, y la serie de las derivadas $\sum_{n=1}^\infty f'_n$ converge uniformemente en $(a, b)$, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converge uniformemente a una función derivable $F$ en $(a, b)$, cumpliéndose:
$$F'(x) = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x), \quad \forall x \in (a, b)$$ [13](#page=13).
### 2.2 Derivación de series de potencias
En el caso particular de las series de potencias, el intercambio entre derivación y el paso al límite está garantizado si la serie es convergente.
#### 2.2.1 Proposición sobre derivación de series de potencias
Si una función $f(x)$ se representa por una serie de potencias $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ para todo $x \in (-c, c)$, entonces $f$ es derivable en $(-c, c)$ y su derivada es $f'(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (n x^{n-1})$ para todo $x \in (-c, c)$ [14](#page=14).
#### 2.2.2 Teorema de derivación término a término para series de potencias
Aplicando reiteradamente el resultado anterior, se obtiene que una serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ define una función infinitamente derivable en su intervalo de convergencia. Las derivadas de esta función pueden obtenerse derivando término a término:
$$ \frac{d^p}{dx^p} \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{d^p}{dx^p} (a_n x^n) = \sum_{n=p}^\infty a_n n(n-1)\cdots(n-p+1) x^{n-p} $$ [14](#page=14).
#### 2.2.3 Ejemplo de derivación de series de potencias
Para calcular la derivada de la serie de potencias $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ (que converge en $\mathbb{R}$), se deriva término a término:
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \right) $$
$$ = 1 - \frac{3x^2}{3!} + \frac{5x^4}{5!} - \frac{7x^6}{7!} + \dots $$
$$ = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $$ [14](#page=14).
Esta serie resultante corresponde a la función $\cos(x)$ [14](#page=14).
### 2.3 Funciones analíticas
Una familia especialmente importante de series de potencias son las series de Taylor, definidas como:
$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $$
donde $f$ es una función con derivadas de todos los órdenes en $x_0$. Estas series representan a $f$ si, en un intervalo que contiene a $x_0$, se cumple [15](#page=15):
$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $$ [16](#page=16).
Las funciones que poseen esta propiedad se denominan funciones analíticas. Las funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones analíticas [16](#page=16).
#### 2.3.1 Serie de Taylor de $e^{2x}$
Para calcular la serie de Taylor de $f(x) = e^{2x}$ en $x_0 = 0$, se determina que $f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$, por lo que $f^{(n)} = 2^n$ [15](#page=15).
La serie de Taylor es:
$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!} x^n $$ [15](#page=15).
Utilizando el criterio del cociente para el radio de convergencia:
$$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{2^{n+1}x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n x^n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{2x}{n+1}\right| = 0 $$ [15](#page=15).
Como el límite es $0$ para todo $x$, el radio de convergencia es infinito [15](#page=15).
#### 2.3.2 Serie de Taylor de $\cos x$
Para $f(x) = \cos x$ en $x_0 = 0$, las derivadas de orden impar en $0$ son nulas, y las de orden par valen alternativamente $-1$ y $1$ [15](#page=15).
La serie de Taylor correspondiente es:
$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots $$ [15](#page=15).
#### 2.3.3 Relación entre series de potencias y series de Taylor
En su intervalo de convergencia, una serie de potencias define una función analítica y es la serie de Taylor de dicha suma. Para demostrar esto, se puede derivar la serie de potencias $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + \dots$ término a término. Al hacerlo, se comprueba que $f^{(n)} = n!a_n$, lo que implica $a_n = \frac{f^{(n)} }{n!}$, confirmando que la serie de potencias es la serie de Taylor de su suma [16](#page=16).
#### 2.3.4 Ejemplo de desarrollo en serie de potencias
Para desarrollar $x^2 \cos(x^3)$ en serie de potencias de $x$:
Se parte de la serie de $\cos x$:
$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots $$ [16](#page=16).
Sustituyendo $x$ por $x^3$:
$$ \cos(x^3) = 1 - \frac{(x^3)^2}{2!} + \frac{(x^3)^4}{4!} - \frac{(x^3)^6}{6!} + \dots = 1 - \frac{x^6}{2!} + \frac{x^{12}}{4!} - \frac{x^{18}}{6!} + \dots $$ [16](#page=16).
Finalmente, multiplicando por $x^2$:
$$ x^2 \cos(x^3) = x^2 \left(1 - \frac{x^6}{2!} + \frac{x^{12}}{4!} - \frac{x^{18}}{6!} + \dots \right) = x^2 - \frac{x^8}{2!} + \frac{x^{14}}{4!} - \frac{x^{20}}{6!} + \dots $$ [16](#page=16).
Este desarrollo es válido para todo $x$ [16](#page=16).
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# Interpolación polinómica
La interpolación polinómica es un método para encontrar un polinomio que pase exactamente por un conjunto dado de puntos, útil cuando la función subyacente es desconocida o se desea una representación más simple [18](#page=18).
### 3.1 Motivación para la interpolación polinómica
En diversas situaciones, se dispone de datos experimentales o mediciones en puntos discretos, pero no se conoce la función analítica que los describe. Por ejemplo, se pueden tener registros de temperatura en distintos momentos o concentraciones de sustancias en instantes específicos. Para poder realizar operaciones como derivación, integración o evaluar la función en otros puntos, es necesario construir una representación funcional. Si bien una poligonal que une los puntos puede ser una aproximación, se busca una curva suave, fácil de construir y evaluar, lo que lleva al uso de polinomios [18](#page=18).
### 3.2 El problema de la interpolación polinómica
Dado un conjunto de $n+1$ puntos $(x_k, f_k)$, para $k = 0, 1, \dots, n$, donde $x_k$ son los nodos y $f_k$ son los valores de una función desconocida $f(x)$ en esos nodos, el objetivo es encontrar un polinomio $P_n(x)$ de grado a lo sumo $n$ tal que $P_n(x_k) = f_k$ para todo $k$ [18](#page=18).
Este polinomio, llamado polinomio de interpolación o interpolador, se expresa generalmente como:
$$ P_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n $$
Las condiciones de interpolación se traducen en un sistema de $n+1$ ecuaciones lineales con $n+1$ incógnitas (los coeficientes $a_i$) [19](#page=19):
$$
\begin{aligned}
a_0 + a_1x_0 + a_2x_0^2 + \dots + a_nx_0^n &= f_0 \\
a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2 + \dots + a_nx_1^n &= f_1 \\
&\vdots \\
a_0 + a_1x_n + a_2x_n^2 + \dots + a_nx_n^n &= f_n
\end{aligned}
$$
Este sistema se puede resolver utilizando métodos de álgebra lineal. Es importante destacar que el polinomio de interpolación es único para un conjunto dado de nodos distintos [19](#page=19).
> **Tip:** Antes de aplicar un método de interpolación, es recomendable graficar los datos para anticipar el comportamiento del polinomio. También es crucial verificar el resultado obtenido, ya que los cálculos de interpolación involucran diversas operaciones y son propensos a errores [18](#page=18).
#### 3.2.1 Métodos de interpolación
Si bien resolver el sistema lineal es una opción, puede ser computacionalmente costoso para una gran cantidad de datos. Por ello, se estudian métodos alternativos para construir el polinomio de interpolación de manera más eficiente [19](#page=19).
##### 3.2.1.1 Método de diferencias divididas de Newton
Este es uno de los métodos más populares y ventajosos. Se basa en la construcción recursiva de diferencias divididas [19](#page=19).
**Definición de diferencias divididas:**
* **Orden 0:**
$$ f[x_k = f_k $$
* **Orden 1:**
$$ f[x_k, x_{k+1}] = \frac{f[x_{k+1}] - f[x_k]}{x_{k+1} - x_k} = \frac{f_{k+1} - f_k}{x_{k+1} - x_k} $$
* **Orden $m$ (recursiva):**
$$ f[x_k, x_{k+1}, \dots, x_{k+m}] = \frac{f[x_{k+1}, \dots, x_{k+m}] - f[x_k, \dots, x_{k+m-1}]}{x_{k+m} - x_k} $$
Geométricamente, las diferencias divididas de orden $m$ son una aproximación de la $m$-ésima derivada de la función $f(x)$ [21](#page=21).
La forma más eficiente de calcular estas diferencias es mediante una **tabla de diferencias divididas**:
| $x_k$ | $f[x_k]$ (Orden 0) | $f[x_k, x_{k+1}]$ (Orden 1) | $f[x_k, \dots, x_{k+2}]$ (Orden 2) | $f[x_k, \dots, x_{k+3}]$ (Orden 3) |
| :---: | :----------------: | :-------------------------: | :--------------------------------: | :---------------------------------: |
| $x_0$ | $f_0$ | | | |
| | | $f[x_0, x_1]$ | | |
| $x_1$ | $f_1$ | | $f[x_0, x_1, x_2]$ | |
| | | $f[x_1, x_2]$ | | $f[x_0, x_1, x_2, x_3]$ |
| $x_2$ | $f_2$ | | $f[x_1, x_2, x_3]$ | |
| | | $f[x_2, x_3]$ | | |
| $x_3$ | $f_3$ | | | |
El polinomio de interpolación de Newton se construye utilizando las diferencias divididas de la diagonal superior de la tabla:
$$ P_n(x) = f[x_0 + f[x_0, x_1](x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x-x_0)(x-x_1) + \dots + f[x_0, x_1, \dots, x_n](x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{n-1}) $$
> **Tip:** Una ventaja significativa del método de Newton es que, al añadir un nuevo punto $(x_{n+1}, f_{n+1})$, el polinomio de interpolación de grado $n+1$ se obtiene a partir del polinomio de grado $n$ ($P_{n+1}(x) = P_n(x) + f[x_0, \dots, x_{n+1}](x-x_0)\dots(x-x_n)$) sin tener que recalcular todo desde cero [22](#page=22).
##### 3.2.1.2 Ejemplo de cálculo de diferencias divididas y polinomio de Newton
Consideremos los siguientes datos de temperatura en grados centígrados:
| $k$ | $x_k$ (hora) | $f_k$ (Temperatura) |
| :--: | :-----------: | :------------------: |
| 0 | 0 | 15 |
| 1 | 1 | 18 |
| 2 | 2 | 20 |
| 3 | 4 | 23 |
Construcción de la tabla de diferencias divididas:
| $x_k$ | $f[x_k]$ | $f[x_k, x_{k+1}]$ | $f[x_k, \dots, x_{k+2}]$ | $f[x_k, \dots, x_{k+3}]$ |
| :---: | :-------: | :---------------: | :--------------------: | :--------------------: |
| 0 | 15 | | | |
| | | $\frac{18-15}{1-0} = 3$ | | |
| 1 | 18 | | $\frac{2-3}{2-0} = -\frac{1}{2}$ | |
| | | $\frac{20-18}{2-1} = 2$ | | $\frac{3/2 - 2}{4-0} = -\frac{1}{8}$ |
| 2 | 20 | | $\frac{3-2}{4-1} = \frac{1}{3}$ | |
| | | $\frac{23-20}{4-2} = \frac{3}{2}$ | | |
| 4 | 23 | | | |
El polinomio de interpolación de grado 3 es:
$$ P_3(x) = f[x_0 + f[x_0, x_1](x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x-x_0)(x-x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) $$
Sustituyendo los valores de la tabla:
$$ P_3(x) = 15 + 3(x-0) + (-\frac{1}{2})(x-0)(x-1) + (-\frac{1}{8})(x-0)(x-1)(x-2) $$
$$ P_3(x) = 15 + 3x - \frac{1}{2}x(x-1) - \frac{1}{8}x(x-1)(x-2) $$
Expandiendo y simplificando:
$$ P_3(x) = 15 + 3x - \frac{1}{2}(x^2 - x) - \frac{1}{8}(x^3 - 3x^2 + 2x) $$
$$ P_3(x) = 15 + 3x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^3 + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{4}x $$
Agrupando términos:
$$ P_3(x) = -\frac{1}{8}x^3 + (-\frac{1}{2} + \frac{3}{8})x^2 + (3 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4})x + 15 $$
$$ P_3(x) = -\frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + \frac{13}{4}x + 15 $$
Este es el polinomio que interpola los cuatro puntos dados [22](#page=22).
---
# Optimización: Extremos relativos y absolutos
Este tema se centra en los conceptos de extremos relativos y absolutos de una función, puntos críticos y las condiciones para su cálculo, aplicados al campo de la optimización [23](#page=23).
### 4.1 Introducción y motivación
La optimización es una rama de las matemáticas dedicada a la toma de decisiones para minimizar costos y maximizar beneficios. Es fundamental para el desarrollo académico y profesional, y se abordará nuevamente al estudiar funciones de varias variables. Este tema proporcionará una base sólida en conceptos como extremos relativos y absolutos para funciones de una variable, puntos críticos y las condiciones suficientes para calcular extremos de funciones derivables [23](#page=23).
### 4.2 Extremos absolutos
Los extremos absolutos de una función continua definida sobre un intervalo cerrado corresponden a sus valores máximo y mínimo en dicho intervalo [23](#page=23).
#### 4.2.1 Definiciones
* **Mínimo absoluto:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ tiene un mínimo absoluto en $c$ si $f(c) \leq f(x)$ para todo $x \in D$ [24](#page=24).
* **Máximo absoluto:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ tiene un máximo absoluto en $c$ si $f(c) \geq f(x)$ para todo $x \in D$ [24](#page=24).
* **Extremo absoluto:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ tiene un extremo absoluto en $c$ si alcanza un máximo o un mínimo absoluto en $c$ [24](#page=24).
#### 4.2.2 Puntos críticos
Un punto $c \in (a, b)$ es un punto crítico de una función continua $f: [a, b \to \mathbb{R}$ si $f'(c) = 0$ o si $f$ no es derivable en $c$ [24](#page=24).
#### 4.2.3 Proposición de localización de extremos absolutos
Los extremos absolutos de una función continua $f: [a, b \to \mathbb{R}$ se alcanzan en los extremos del intervalo o en los puntos críticos de $f$. La continuidad de la función es una hipótesis crucial para esta proposición [24](#page=24).
> **Tip:** Es común confundir el punto donde se alcanza un extremo con el valor del extremo mismo. Por ejemplo, si $f = -3$ es el mínimo y $f = 10$ es el máximo, el mínimo se alcanza en $x=1$ y el máximo en $x=2$, no al revés [1](#page=1) [25](#page=25) [2](#page=2).
#### 4.2.4 Ejemplos de cálculo de extremos absolutos
**Ejemplo 3.19:** Estudiar los extremos absolutos de $f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 6x + 2$ en el intervalo $ $ [24](#page=24) [2](#page=2).
1. **Continuidad:** $f(x)$ es continua por ser un polinomio.
2. **Puntos críticos:** Se calcula la derivada: $f'(x) = 12x^2 - 6x - 6$. Se iguala a cero: $12x^2 - 6x - 6 = 0 \implies 2x^2 - x - 1 = 0$. Las soluciones son $x = 1$ y $x = -1/2$. El punto $x = -1/2$ no pertenece al intervalo $(0, 2)$, por lo que solo se considera $x=1$ [24](#page=24).
3. **Evaluación:** Se comparan los valores de la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos:
* $f = 2$ .
* $f = 4 ^3 - 3 ^2 - 6 + 2 = -3$ [1](#page=1).
* $f = 4 ^3 - 3 ^2 - 6 + 2 = 32 - 12 - 12 + 2 = 10$ [2](#page=2).
4. **Conclusión:** El valor mínimo absoluto es $-3$, alcanzado en $x=1$. El valor máximo absoluto es $10$, alcanzado en $x=2$ [25](#page=25).
**Ejemplo 3.20:** Estudiar los extremos absolutos de $f(x) = |\sin x|$ en $[0, 2\pi]$ [25](#page=25).
1. **Definición por partes:**
$f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \in [0, \pi \\ -\sin x, & x \in (\pi, 2\pi \end{cases}$
2. **Puntos críticos:** La derivada es:
$f'(x) = \begin{cases} \cos x, & x \in [0, \pi) \\ -\cos x, & x \in (\pi, 2\pi \end{cases}$
Los puntos críticos son $x = \pi/2$ (donde $f$ no es derivable) y $x = \pi/2, x = 3\pi/2$ (donde la derivada se anula) [25](#page=25).
3. **Evaluación:** Se comparan los valores en $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$:
* $f = |\sin 0| = 0$ .
* $f(\pi/2) = |\sin(\pi/2)| = 1$
* $f(\pi) = |\sin \pi| = 0$
* $f(3\pi/2) = |\sin(3\pi/2)| = |-1| = 1$
* $f(2\pi) = |\sin(2\pi)| = 0$
4. **Conclusión:** El valor máximo absoluto es $1$, alcanzado en $x = \pi/2$ y $x = 3\pi/2$. El valor mínimo absoluto es $0$, alcanzado en $x = 0$, $x = \pi$, y $x = 2\pi$ [26](#page=26).
#### 4.2.5 Extremos absolutos en intervalos no cerrados
Para intervalos abiertos o infinitos, no se pueden evaluar los extremos del intervalo directamente. En su lugar, se consideran los límites de la función cuando la variable tiende a los extremos del intervalo. Sin embargo, no se puede garantizar a priori que la función alcance sus valores máximos y mínimos [26](#page=26).
**Ejemplo 3.21:** Estudiar los extremos absolutos de $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ en $(0, \infty)$ [26](#page=26).
1. **Derivada:** $f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ [26](#page=26).
2. **Punto crítico:** La derivada se anula cuando $1-x^2 = 0$, lo que da $x=1$ (ya que estamos en $(0, \infty)$) [27](#page=27).
3. **Límites:** Se calculan los límites en los extremos del intervalo:
* $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x^2+1} = 0$ [27](#page=27).
* $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2+1} = 0$ (usando L'Hôpital o dividiendo por $x^2$) [27](#page=27).
4. **Evaluación:** $f = \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2}$ [1](#page=1) [27](#page=27).
5. **Conclusión:** La función alcanza un máximo absoluto de $1/2$ en $x=1$. No existe un punto donde se alcance el mínimo absoluto, ya que los valores se acercan a $0$ pero nunca lo alcanzan en el intervalo abierto [27](#page=27).
### 4.3 Extremos relativos
Los extremos relativos (o locales) son puntos donde la función alcanza un valor máximo o mínimo en un intervalo cercano. Son útiles para identificar oportunidades de beneficio al comprar bajo y vender alto [28](#page=28).
#### 4.3.1 Definiciones
* **Mínimo relativo:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ alcanza un mínimo relativo en $c$ si existe un intervalo $I \subseteq D$ tal que $f(c) \leq f(x)$ para todo $x \in I$ [28](#page=28).
* **Máximo relativo:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ alcanza un máximo relativo en $c$ si existe un intervalo $I \subseteq D$ tal que $f(c) \geq f(x)$ para todo $x \in I$ [28](#page=28).
* **Extremo relativo:** Una función $f: D \to \mathbb{R}$ alcanza un extremo relativo en $c$ si alcanza un mínimo o máximo relativo en $c$ [28](#page=28).
#### 4.3.2 Proposiciones para identificar extremos relativos
* Si una función $f$ es decreciente en $(c-\epsilon, c)$ y creciente en $(c, c+\epsilon)$, entonces $f$ alcanza un mínimo relativo en $c$ [29](#page=29).
* Si una función $f$ es creciente en $(c-\epsilon, c)$ y decreciente en $(c, c+\epsilon)$, entonces $f$ alcanza un máximo relativo en $c$ [29](#page=29).
> **Tip:** La continuidad es esencial para estas proposiciones [29](#page=29).
#### 4.3.3 Localización de extremos relativos
* Los extremos relativos de una función continua $f: [a, b \to \mathbb{R}$ se alcanzan en los extremos del intervalo o en los puntos críticos [29](#page=29).
* Los extremos relativos de una función continua $f: (a,b) \to \mathbb{R}$ se alcanzan, si existen, en los puntos críticos [29](#page=29).
#### 4.3.4 Puntos de silla
Un punto $c$ es un punto de silla para $f$ si es un punto crítico de $f$ pero $f$ no alcanza un extremo relativo en $c$ [29](#page=29).
#### 4.3.5 Criterios de clasificación de extremos relativos
**Proposición 3.7 (Criterio de la Segunda Derivada):** Sea $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ dos veces derivable y $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$ [29](#page=29).
* Si $f''(c) > 0$, entonces $f$ alcanza un mínimo relativo en $c$ [29](#page=29).
* Si $f''(c) < 0$, entonces $f$ alcanza un máximo relativo en $c$ [29](#page=29).
**Proposición 3.8 (Criterio de las Derivadas Superiores):** Si el orden de la primera derivada que no se anula en un punto crítico $c$ es par, entonces $f$ alcanza un máximo si la derivada es negativa y un mínimo si es positiva. Si el orden es impar, entonces $f$ tiene un punto de silla en $c$ [30](#page=30).
**Ejemplo 3.24:** Estudiar los extremos relativos de $f(x) = x^4 - 2x^3$ [30](#page=30).
1. **Puntos críticos:** $f'(x) = 4x^3 - 6x^2$. Igualando a cero: $x^2(4x - 6) = 0 \implies x = 0, x = 3/2$ [30](#page=30).
2. **Segunda derivada:** $f''(x) = 12x^2 - 12x$.
* $f'' = 0$. No se puede usar el criterio de la segunda derivada .
* $f''(3/2) = 12(3/2)^2 - 12(3/2) = 12(9/4) - 18 = 27 - 18 = 9 > 0$. Por lo tanto, $f$ tiene un mínimo relativo en $x=3/2$ [30](#page=30).
3. **Análisis de $x=0$:** Se calculan derivadas superiores:
* $f'''(x) = 24x - 12 \implies f''' = -12 \neq 0$ .
Dado que la primera derivada no nula ($f'''$) es de orden impar, $x=0$ es un punto de silla [30](#page=30).
#### 4.3.6 Ejemplos de optimización
**Ejemplo 3.25:** Construir un recinto rectangular cerrado con 100 metros de tela metálica para maximizar el área [30](#page=30).
* Sea $x$ la longitud de un lado. El otro lado mide $\frac{100-2x}{2} = 50-x$ [31](#page=31).
* El área es $A(x) = x(50-x) = 50x - x^2$, con $x \in $ [31](#page=31) .
* Derivada: $A'(x) = 50 - 2x$. El punto crítico es $x=25$ [31](#page=31).
* Segunda derivada: $A''(x) = -2 < 0$. Por lo tanto, hay un máximo relativo en $x=25$.
* Evaluación en los extremos: $A = 0$, $A = 0$ .
* **Conclusión:** El máximo absoluto es $A = 25(50-25) = 625$. El recinto debe ser un cuadrado de $25$ metros por lado [25](#page=25) [31](#page=31).
**Ejemplo 3.26:** Construir a lo sumo dos recintos (uno circular y uno cuadrado) con 100 metros de tela metálica para maximizar el área total [31](#page=31).
* Sea $x$ el lado del cuadrado. Se usan $4x$ metros de tela. Quedan $100-4x$ metros para el círculo [31](#page=31).
* Radio del círculo: $r = \frac{100-4x}{2\pi} = \frac{50-2x}{\pi}$ [32](#page=32).
* Área del círculo: $A_{circulo} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{50-2x}{\pi}\right)^2 = \frac{(50-2x)^2}{\pi}$ [32](#page=32).
* Área total: $A(x) = x^2 + \frac{(50-2x)^2}{\pi}$, con $x \in $ [25](#page=25) [32](#page=32).
* Derivada: $A'(x) = 2x - \frac{4(50-2x)}{\pi}$. Igualando a cero: $2\pi x - 200 + 8x = 0 \implies (2\pi+8)x = 200 \implies x = \frac{100}{\pi+4}$ [32](#page=32).
* Segunda derivada: $A''(x) = 2 + \frac{8}{\pi} > 0$. Esto indica un mínimo relativo en el punto crítico.
* Evaluación en los extremos:
* $A = 0^2 + \frac{(50-0)^2}{\pi} = \frac{2500}{\pi} \approx 795.77$ [32](#page=32).
* $A = 25^2 + \frac{(50-50)^2}{\pi} = 625$ [25](#page=25) [32](#page=32).
* **Conclusión:** El máximo absoluto se alcanza en $x=0$, lo que significa que se debe dedicar toda la tela metálica para construir el recinto circular, obteniendo un área máxima de $\frac{2500}{\pi}$ [32](#page=32).
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# Concavidad y convexidad
El estudio de la concavidad y convexidad de una función, junto con otros aspectos gráficos como asíntotas, monotonía, extremos y puntos críticos, permite dibujar gráficos aproximados e interpretar las características de las funciones. Este tema se centra en definir la convexidad y concavidad, su interpretación geométrica y las condiciones suficientes para determinarlas a partir de las derivadas de orden superior [33](#page=33).
### 5.1 Definiciones de concavidad y convexidad
Una función $f: D \to \mathbb{R}$ es **convexa** en un intervalo $I \subseteq D$ si satisface la siguiente desigualdad para todo $x, y \in I$ y $t \in $ [1](#page=1) [33](#page=33):
$$f((1-t)x + ty) \le (1-t)f(x) + tf(y)$$
Geométricamente, esto significa que la gráfica de la función entre dos puntos $x$ e $y$ se encuentra por debajo del segmento de recta que une los puntos $(x, f(x))$ y $(y, f(y))$. Intuitivamente, una función convexa tiene forma de "U" en el intervalo dado [33](#page=33).
Una función $f: D \to \mathbb{R}$ es **cóncava** en un intervalo $I \subseteq D$ si $-f$ es convexa en $I$. Gráficamente, la gráfica de la función entre dos puntos se encuentra por encima del segmento de recta que une esos puntos. Intuitivamente, una función cóncava tiene forma de "n" [33](#page=33).
> **Tip:** Es importante notar que una función puede no ser cóncava ni convexa en un intervalo particular.
#### 5.1.1 Ejemplos de concavidad y convexidad
* Las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \ln x$ son ejemplos clásicos. $f(x) = x^2$ es convexa, mientras que $g(x) = \ln x$ es cóncava [33](#page=33).
* La función $f(x) = x^3$ no es ni convexa ni cóncava en el intervalo $[-1, 1]$, ya que no satisface la desigualdad en ningún sentido para todos los $t \in $ [1](#page=1) [34](#page=34).
### 5.2 Relación con las derivadas
La relación entre la concavidad/convexidad y las derivadas de una función proporciona herramientas prácticas para su análisis.
#### 5.2.1 Primera derivada
Una función $f$ derivable en un intervalo $I$ es convexa si y solo si su primera derivada, $f'$, es creciente en $I$. De manera análoga, $f$ es cóncava en $I$ si y solo si $f'$ es decreciente en $I$ [34](#page=34).
#### 5.2.2 Segunda derivada
Utilizando las condiciones de crecimiento y decrecimiento de la primera derivada, podemos establecer condiciones suficientes basadas en la segunda derivada:
* Si $f''(x) \ge 0$ en un intervalo $I$, entonces $f$ es convexa en $I$ [34](#page=34).
* Si $f''(x) \le 0$ en un intervalo $I$, entonces $f$ es cóncava en $I$ [34](#page=34).
> **Tip:** Estas condiciones de la segunda derivada son las más utilizadas para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función.
### 5.3 Puntos de inflexión
Los puntos de inflexión son aquellos puntos donde una función cambia su concavidad, pasando de ser cóncava a convexa o viceversa [35](#page=35).
#### 5.3.1 Definición y condiciones
Un punto $c$ es un punto de inflexión para una función $f$ si existe un $\epsilon > 0$ tal que $f$ es convexa en $(c-\epsilon, c)$ y cóncava en $(c, c+\epsilon)$, o viceversa [35](#page=35).
Si una función $f$ es dos veces derivable en $I$ y $c \in I$ es un punto de inflexión, entonces se debe cumplir que $f''(c) = 0$. Sin embargo, $f''(c) = 0$ es una condición necesaria pero no siempre suficiente para que $c$ sea un punto de inflexión [35](#page=35).
Una condición más completa para identificar puntos de inflexión, si la función admite derivada segunda:
* Si $f''(c) = 0$ y la primera derivada de orden superior a dos que no se anula en $c$ es de orden impar, entonces $f$ tiene un punto de inflexión en $c$. Si esta derivada impar es positiva, la función pasa de cóncava a convexa; si es negativa, pasa de convexa a cóncava [35](#page=35).
#### 5.3.2 Ejemplos de puntos de inflexión
* **Para $f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 10x + 1$**:
* Calculamos las derivadas: $f'(x) = 4x^3 - 3x^2 - 6x + 10$ y $f''(x) = 12x^2 - 6x - 6$ [35](#page=35).
* Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar candidatos: $12x^2 - 6x - 6 = 0$, que simplifica a $2x^2 - x - 1 = 0$. Las raíces son $x = -1/2$ y $x = 1$ [35](#page=35).
* Analizando los intervalos $(-\infty, -1/2)$, $(-1/2, 1)$ y $(1, \infty)$ con valores de prueba para $f''(x)$, encontramos que $f''(x) > 0$ en $(-\infty, -1/2)$ (convexa), $f''(x) < 0$ en $(-1/2, 1)$ (cóncava), y $f''(x) > 0$ en $(1, \infty)$ (convexa) [35](#page=35).
* Los puntos de inflexión son $x = -1/2$ y $x = 1$ [35](#page=35).
* **Para $f(x) = \tan x$ en $(-2, 2)$**:
* $f'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ y $f''(x) = \frac{2 \sin x}{\cos^3 x}$ [36](#page=36).
* Los puntos donde $f''(x) = 0$ son aquellos donde $\sin x = 0$, lo que ocurre en $x = 0$ dentro del intervalo dado [36](#page=36).
* Al evaluar la tercera derivada en $x=0$, $f''' = 2$, que es una derivada impar y positiva. Por lo tanto, $x=0$ es un punto de inflexión donde la función pasa de cóncava a convexa [36](#page=36).
* **Para $g(x) = -x^5$**:
* $g'(x) = -5x^4$, $g''(x) = -20x^3$. El candidato a punto de inflexión es $x=0$ [36](#page=36).
* Continuando con las derivadas: $g'''(x) = -60x^2$, $g^{ }(x) = -120x$, $g^{ }(x) = -120$. La primera derivada que no se anula en $x=0$ es $g^{ } = -120$, que es de orden impar y negativa [37](#page=37) [4](#page=4) [5](#page=5).
* Esto indica que $x=0$ es un punto de inflexión donde la función $g$ pasa de convexa a cóncava [37](#page=37).
### 5.4 Aplicaciones en la representación gráfica
Conocer el dominio, continuidad, asíntotas, intervalos de crecimiento/decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad/convexidad y puntos de inflexión es fundamental para realizar representaciones gráficas aproximadas de funciones [37](#page=37).
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## Errores comunes a evitar
- Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes
- Preste atención a las fórmulas y definiciones clave
- Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección
- No memorice sin entender los conceptos subyacentes
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Derivadas Sucesivas | Son las derivadas de orden superior de una función. Si una función $f$ es derivable en un conjunto $D$, su derivada primera es $f'$. Si $f'$ es derivable en un subconjunto $C \subset D$, su derivada se denota como $f''$ y se llama derivada segunda, y así sucesivamente para órdenes mayores. |
| Polinomio de Taylor | Un polinomio que aproxima una función $f$ en un punto $x_0$ utilizando los valores de las derivadas de $f$ en $x_0$. La fórmula general para el polinomio de Taylor de orden $n$ centrado en $x_0$ es $P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} (x-x_0)^i$. |
| Polinomio de Mac Laurin | Un caso particular del polinomio de Taylor centrado en el origen, es decir, con $x_0 = 0$. Su fórmula es $P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(0)}{i!} x^i$. |
| Resto de Lagrange | El término que representa el error cometido al aproximar una función $f(x)$ por su polinomio de Taylor $P_n(x)$ de orden $n$. Se expresa como $R_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$ para cierto $c$ entre $x_0$ y $x$. |
| Convergencia Uniforme | Un tipo de convergencia de sucesiones de funciones donde la diferencia máxima entre las funciones de la sucesión y la función límite es uniformemente pequeña en todo el dominio. Es una condición importante para la transmisión de la derivabilidad. |
| Serie de Potencias | Una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$, donde $a_n$ son coeficientes y $x_0$ es el centro de la serie. Estas series definen funciones analíticas en su intervalo de convergencia. |
| Funciones Analíticas | Funciones que pueden ser representadas localmente por una serie de potencias convergente. Las funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones analíticas. |
| Interpolación Polinómica | El proceso de encontrar un polinomio que pasa exactamente por un conjunto dado de puntos $(x_k, f_k)$. El polinomio resultante se denomina polinomio interpolador. |
| Nodos | Los valores $x_k$ de la variable independiente para los cuales se conocen los valores correspondientes de la función $f_k$. |
| Diferencias Divididas | Una técnica para calcular coeficientes de polinomios de interpolación. Las diferencias divididas de orden $m$ aproximan la derivada de orden $m$ de la función. |
| Punto Crítico | Un punto $c$ en el dominio de una función $f$ donde la derivada $f'(c) = 0$ o donde $f$ no es derivable. Los extremos (máximos y mínimos) de una función continua en un intervalo cerrado ocurren en los extremos del intervalo o en los puntos críticos. |
| Extremo Absoluto | El valor máximo o mínimo que una función alcanza en todo su dominio o en un intervalo específico. |
| Extremo Relativo (o Local) | Un valor que una función alcanza en un punto si este valor es el máximo o mínimo en un intervalo cercano alrededor de ese punto. |
| Punto de Silla | Un punto crítico de una función donde la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo. |
| Función Convexa | Una función $f$ en un intervalo $I$ tal que para cualesquiera $x, y \in I$ y $t \in [0,1]$, se cumple $f((1-t)x + ty) \le (1-t)f(x) + tf(y)$. Geométricamente, su gráfica tiene forma de "U". |
| Función Cóncava | Una función $f$ en un intervalo $I$ tal que $-f$ es convexa en $I$. Geométricamente, su gráfica tiene forma de "n". |
| Punto de Inflexión | Un punto en la gráfica de una función donde la concavidad cambia de convexa a cóncava, o viceversa. |