WisIIA-HC01.pdf

# Bepaalde integraal: definitie en eigenschappen Hier is een samenvatting van het onderwerp "Bepaalde integraal: definitie en eigenschappen" voor uw studiehandleiding. ## 1. Bepaalde integraal: definitie en eigenschappen Dit onderwerp introduceert de definitie van de bepaalde integraal, hoe deze grafisch geïnterpreteerd kan worden als oppervlakte onder een curve, en de fundamentele eigenschappen die ten grondslag liggen aan het werken met integralen, evenals methoden voor het berekenen van oppervlaktes. ### 1.1 Definitie van de bepaalde integraal De bepaalde integraal van een functie $f$ over een interval $[a, b]$ is gedefinieerd als het verschil tussen de waarden van een primitieve functie $F$ van $f$ geëvalueerd op de bovengrens en de ondergrens van het interval. Cruciaal hierbij is dat men de integratieconstante kan weglaten bij het vinden van de primitieve functie $F$ [3](#page=3) [4](#page=4). De notatie is als volgt: $$ \int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $$ waarbij $F$ een primitieve functie is van $f$ op het interval $[a, b]$ [3](#page=3). **Voorbeeld:** Bereken de bepaalde integraal van $f(x) = 2x + 1$ van 0 tot 1. Een primitieve functie is $F(x) = x^2 + x$. $$ \int_0^1 (2x + 1) \, dx = [x^2 + x]_0^1 = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2 $$ ### 1.2 Grafische interpretatie als oppervlakte De bepaalde integraal heeft een belangrijke grafische interpretatie: het vertegenwoordigt de netto oppervlakte ingesloten door de grafiek van de functie $f(x)$, de x-as, en de verticale lijnen $x=a$ en $x=b$ [5](#page=5) [8](#page=8). * **Als $f(x) \ge 0$ op $[a, b]$**: De oppervlakte $S$ is direct gelijk aan de bepaalde integraal: $$ S = \int_a^b f(x) \, dx $$ * **Als $f(x) \le 0$ op $[a, b]$**: De oppervlakte $S$ is de negatieve waarde van de bepaalde integraal, omdat de integraal zelf een negatieve waarde zal hebben: $$ S = -\int_a^b f(x) \, dx $$ **Opmerking over netto oppervlakte:** De integraal berekent de netto oppervlakte. Gebieden onder de x-as worden als negatief geteld, terwijl gebieden boven de x-as als positief worden geteld [7](#page=7). **Voorbeeld van netto oppervlakte:** De integraal $\int_{-2}^{2} x^3 \, dx$ is gelijk aan 0, omdat de positieve en negatieve oppervlaktes elkaar opheffen, ook al is de totale oppervlakte groter dan 0 [7](#page=7). ### 1.3 Belangrijkste eigenschappen van de bepaalde integraal De bepaalde integraal bezit verschillende fundamentele eigenschappen die het rekenen ermee vereenvoudigen: 1. **Omkeren van grenzen:** $$ \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx $$ Het omwisselen van de integratiegrenzen resulteert in een tegengestelde waarde van de integraal [9](#page=9). 2. **Integraal over een punt:** $$ \int_a^a f(x) \, dx = 0 $$ De integraal over een interval met dezelfde begin- en eindpunt is altijd nul [9](#page=9). 3. **Additiviteit over intervallen (Chasles' regel):** $$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx $$ Een integraal over een groter interval kan worden opgesplitst in de som van integralen over subintervallen, waarbij $c$ een punt is dat tussen $a$ en $b$ ligt [9](#page=9). 4. **Lineariteit - Homogeniteit:** $$ \int_a^b \alpha f(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx $$ Een constante factor $\alpha$ mag buiten de integraal worden gehaald, waar $\alpha \in \mathbb{R}$ [9](#page=9). 5. **Lineariteit - Additiviteit:** $$ \int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx $$ De integraal van een som van functies is gelijk aan de som van de integralen van die functies [9](#page=9). ### 1.4 Berekenen van oppervlaktes begrensd door functies en de x-as Het berekenen van de oppervlakte van een vlakdeel begrensd door de grafiek van een functie en de x-as vereist aandacht voor de tekens van de functie. **Oefening:** Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van $y = 2x + 1$, de x-as, de y-as en de rechte $x = 1$. Dit betekent het berekenen van $\int_0^1 (2x + 1) \, dx$. De functie is positief op dit interval [5](#page=5) [6](#page=6). $$ \int_0^1 (2x + 1) \, dx = [x^2 + x]_0^1 = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2 $$ De oppervlakte is 2 [5](#page=5) [6](#page=6). ### 1.5 Berekenen van oppervlaktes tussen twee grafieken De oppervlakte tussen twee grafieken, $f(x)$ en $g(x)$, over een interval $[a, b]$ kan worden berekend door de integraal te nemen van het verschil tussen de bovenste en de onderste functie. Dit vereist het bepalen van de snijpunten om de juiste intervallen te identificeren. * **Met één snijpunt (of als grenzen gegeven zijn):** Als $g(x) \ge f(x)$ op het interval $[a, c]$ en $f(x) \ge g(x)$ op $[c, b]$: $$ \text{OPP} = \int_a^c (g(x) - f(x)) \, dx + \int_c^b (f(x) - g(x)) \, dx $$ * **Met meerdere snijpunten:** Als er meerdere snijpunten zijn, zoals $c$, $d$, etc., wordt de oppervlakte berekend door de integralen van de absolute verschillen over de intervallen tussen de snijpunten op te tellen: $$ \text{OPP} = \int_a^c (f(x) - g(x)) \, dx + \int_c^d (g(x) - f(x)) \, dx + \dots $$ **Voorbeeld:** Bereken de oppervlakte tussen de grafieken van $f(x)=x$ en $g(x)=x^3$ van $x=0$ tot $x=2$. De snijpunten zijn $x=0$, $x=1$ en $x=-1$. Over het interval $ $ zijn de relevante snijpunten $x=0$ en $x=1$ [2](#page=2). Op $ $ is $x \ge x^3$, dus $f(x)-g(x) = x-x^3$ [1](#page=1). Op $ $ is $x^3 \ge x$, dus $g(x)-f(x) = x^3-x$ [1](#page=1) [2](#page=2). $$ \text{Opp.} = \int_0^1 (x - x^3) \, dx + \int_1^2 (x^3 - x) \, dx $$ $$ \text{Opp.} = \left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^1 + \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\right]_1^2 $$ $$ \text{Opp.} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) - + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) $$ [4](#page=4). $$ \text{Opp.} = \frac{1}{4} + (4 - 2) - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$ ### 1.6 Definitie via som van Riemann De bepaalde integraal kan ook formeel worden gedefinieerd als de limiet van een som van de oppervlaktes van rechthoeken, bekend als de Riemann-som. Dit is de basis van hoe integralen worden benaderd en hoe ze wiskundig worden gedefinieerd [14](#page=14). Als een interval $[a, b]$ wordt opgedeeld in $n$ gelijke subintervallen met breedte $\Delta x = \frac{b-a}{n}$, en $f(x_i)$ is de hoogte van de $i$-de rechthoek (waarbij $x_i$ een punt in het $i$-de subinterval is), dan is de oppervlakte $S$ de limiet van de som van deze rechthoekoppervlaktes als het aantal rechthoeken naar oneindig gaat: $$ S = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx $$ > **Tip:** Onthoud dat de definitie van de bepaalde integraal een krachtig wiskundig concept is dat zowel het concept van oppervlakte onder een curve formaliseert als de basis vormt voor het oplossen van veel problemen in de wiskunde, natuurkunde en economie. > **Tip:** Bij het berekenen van oppervlaktes is het cruciaal om te bepalen welk deel van de grafiek boven en welk deel onder de x-as ligt, of welk van de twee functies de bovengrens vormt. Dit bepaalt de volgorde van aftrekking in de integraal. --- # Economische toepassingen van integralen Integralen worden in de economie gebruikt om belangrijke concepten zoals consumenten- en producentensurplus, en de Gini-coëfficiënt te berekenen, die respectievelijk de voordelen voor consumenten en producenten en de mate van economische ongelijkheid meten [14](#page=14) [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19) [20](#page=20). ### 2.1 Consumenten- en producentensurplus Consumenten- en producentensurplus zijn grafische weergaven van het economische voordeel dat consumenten en producenten behalen door deel te nemen aan een markt. Deze surpluswaarden kunnen berekend worden met behulp van bepaalde integralen [15](#page=15). #### 2.1.1 Consumentensurplus (CS) Het consumentensurplus (CS) meet het verschil tussen de totale hoeveelheid die consumenten bereid zijn te betalen voor een goed of dienst en de totale hoeveelheid die ze daadwerkelijk betalen. Wiskundig wordt dit uitgedrukt als de integraal van de vraagfunctie $D(q)$ minus de evenwichtsprijs $p^{\ast}$ over het interval van 0 tot de evenwichtshoeveelheid $q^{\ast}$ [15](#page=15). De formule voor consumentensurplus is: $$CS = \int_{q^{\ast}}^{0} (D(q) - p^{\ast}) dq$$ Dit kan verder worden uitgewerkt tot: $$CS = \int_{q^{\ast}}^{0} D(q) dq - p^{\ast}q^{\ast}$$ > **Tip:** Het consumentensurplus wordt voorgesteld door de oppervlakte onder de vraagcurve en boven de horizontale lijn van de evenwichtsprijs, tot aan de evenwichtshoeveelheid [16](#page=16). #### 2.1.2 Producentensurplus (PS) Het producentensurplus (PS) meet het verschil tussen de totale hoeveelheid die producenten ontvangen voor een goed of dienst en de totale hoeveelheid die ze bereid zouden zijn te accepteren (hun minimale aanvaardbare prijs). Dit wordt berekend als de integraal van de evenwichtsprijs $p^{\ast}$ minus de aanbodfunctie $S(q)$ over het interval van 0 tot de evenwichtshoeveelheid $q^{\ast}$ [15](#page=15). De formule voor producentensurplus is: $$PS = \int_{q^{\ast}}^{0} (p^{\ast} - S(q)) dq$$ Dit kan verder worden uitgewerkt tot: $$PS = p^{\ast}q^{\ast} - \int_{q^{\ast}}^{0} S(q) dq$$ > **Tip:** Het producentensurplus wordt voorgesteld door de oppervlakte boven de aanbodcurve en onder de horizontale lijn van de evenwichtsprijs, tot aan de evenwichtshoeveelheid [16](#page=16). #### 2.1.3 Oefening consumenten- en producentensurplus Om de berekening van consumenten- en producentensurplus te illustreren, wordt een oefening voorgesteld met specifieke vraag- en aanbodsfuncties. Bij deze functies moet worden aangetoond dat het consumentensurplus gelijk is aan 18 en het producentensurplus gelijk is aan 27. De uitwerking omvat het bepalen van het snijpunt van de vraag- en aanbodcurves (evenwichtsprijs en -hoeveelheid) en vervolgens het toepassen van de integralen voor CS en PS [16](#page=16) [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19). > **Voorbeeld:** Stel de vraagfunctie is $D(q) = 30 - 2q$ en de aanbodfunctie is $S(q) = 10 + q$. Het snijpunt wordt gevonden door $D(q) = S(q)$, wat leidt tot $30 - 2q = 10 + q$, dus $20 = 3q$ en $q^{\ast} = 20/3$. De evenwichtsprijs is $p^{\ast} = 10 + 20/3 = 50/3$. Vervolgens worden deze waarden ingevuld in de formules voor CS en PS om de numerieke waarden te berekenen [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19). ### 2.2 Gini-coëfficiënt De Gini-coëfficiënt is een veelgebruikte maatstaf voor economische ongelijkheid binnen een populatie. Het meet de mate waarin de inkomens of vermogens in een land onevenredig verdeeld zijn. De Gini-coëfficiënt is gerelateerd aan de Lorenzcurve, die de cumulatieve verdeling van inkomen toont [20](#page=20). De Gini-coëfficiënt wordt berekend met behulp van een integraal van de Lorenzcurve $L(x)$ over het interval van 0 tot 1. De formule luidt [20](#page=20): $$Gini = 2 \left( \frac{1}{2} - \int_{1}^{0} L(x) dx \right)$$ Een vereenvoudigde vorm van deze formule is: $$Gini = 1 - 2 \int_{1}^{0} L(x) dx$$ > **Tip:** De Gini-coëfficiënt varieert van 0 tot 1. Een waarde van 0 vertegenwoordigt perfecte gelijkheid (iedereen heeft hetzelfde inkomen), terwijl een waarde van 1 perfecte ongelijkheid vertegenwoordigt (één persoon heeft al het inkomen). Een hogere Gini-coëfficiënt duidt dus op meer inkomensongelijkheid [20](#page=20). --- # Oneigenlijke integralen Dit onderwerp behandelt integralen waarbij de grenzen oneindig zijn of de integrand discontinuïteiten vertoont. ### 3.1 Concept van oneigenlijke integralen Oneigenlijke integralen zijn een uitbreiding van de bepaalde integraal die omgaat met situaties waarin de standaarddefinities van integratiegrenzen of continuïteit niet van toepassing zijn. Dit concept is essentieel in verschillende wiskundige en statistische toepassingen [21](#page=21). ### 3.2 Toepassing in de statistiek In de statistiek worden oneigenlijke integralen gebruikt om kansen te berekenen voor continue stochasten met een kansdichtheidsfunctie $p(x)$ [22](#page=22). - De kans dat een stochast $X$ zich bevindt tussen $a$ en $b$ wordt gegeven door: $P(a < X < b) = \int_b^a p(x) dx$ [22](#page=22). - De kans dat $X$ groter is dan 0 wordt berekend als: $P(X > 0) = \int_0^{+\infty} p(x) dx$ [22](#page=22). - De totale kans over het gehele domein, van min oneindig tot plus oneindig, moet gelijk zijn aan 1: $P(-\infty < X < +\infty) = 1 = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) dx$ [22](#page=22). ### 3.3 Oneigenlijke integralen van Type I Dit type betreft integralen met oneindige integratiegrenzen [23](#page=23). #### 3.3.1 Definities - **Integratie tot plus oneindig:** $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t\to+\infty} \int_{a}^{t} f(x) dx$, waarbij $a \in \mathbb{R}$ [23](#page=23). - **Integratie vanaf min oneindig:** $\int_{b}^{-\infty} f(x) dx = \lim_{t\to-\infty} \int_{b}^{t} f(x) dx$, waarbij $b \in \mathbb{R}$ [23](#page=23). - **Integratie over een interval van min tot plus oneindig:** $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t\to-\infty} \int_{c}^{t} f(x) dx + \lim_{s\to+\infty} \int_{c}^{s} f(x) dx$, waarbij $c \in \mathbb{R}$. Het punt $c$ is een willekeurig reëel getal dat dient als tussenpunt [23](#page=23). #### 3.3.2 Convergentie en divergentie Een oneigenlijke integraal van Type I wordt **convergent** genoemd als de limiet bestaat en een eindige waarde heeft. Als de limiet oneindig is of niet bestaat, wordt de integraal **divergent** genoemd. > **Tip:** Voor de definitie van $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ is het cruciaal dat beide limieten afzonderlijk convergeren. Als één van de twee limieten divergeert, divergeert de gehele integraal. #### 3.3.3 Voorbeeld Beschouw de integraal $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$, met $a \in \mathbb{R}$ [24](#page=24). 1. Pas de definitie toe: $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t\to+\infty} \int_{a}^{t} \frac{1}{x^2} dx$ [24](#page=24). 2. Bereken de bepaalde integraal: $\int_{a}^{t} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_a^t = -\frac{1}{t} - \left(-\frac{1}{a}\right) = \frac{1}{a} - \frac{1}{t}$ [24](#page=24). 3. Bereken de limiet: $\lim_{t\to+\infty} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{t}\right) = \frac{1}{a} - 0 = \frac{1}{a}$ [24](#page=24). Aangezien $\frac{1}{a}$ een eindige waarde is voor elke $a \in \mathbb{R}$ is de integraal **convergent** [24](#page=24). ### 3.4 Oneigenlijke integralen van Type II Dit type betreft integralen waarbij de integrand discontinuïteiten vertoont binnen het integratieinterval [25](#page=25). #### 3.4.1 Definities - **Discontinuïteit aan de ondergrens ($a$):** Als $f$ discontinu is in $a$ en continu op $]a, b]$, dan: $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{t\searrow a} \int_{t}^{b} f(x) dx$ [25](#page=25). - **Discontinuïteit aan de bovengrens ($b$):** Als $f$ discontinu is in $b$ en continu op $[a, b[$, dan: $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{t\nearrow b} \int_{a}^{t} f(x) dx$ [25](#page=25). - **Discontinuïteit in het inwendige van het interval ($c \in ]a, b[$):** Als $f$ discontinu is in $c$ en continu op $[a, b \setminus \{c\}$, dan: $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{t\nearrow c} \int_{a}^{t} f(x) dx + \lim_{t\searrow c} \int_{t}^{b} f(x) dx$ [25](#page=25). > **Opmerking:** Als de integrand discontinu is op meerdere punten binnen $[a, b]$, wordt het interval opgesplitst in deelintervallen die elk één discontinuïteit bevatten, waarna de bovenstaande definities per deelinterval worden toegepast [25](#page=25). #### 3.4.2 Convergentie en divergentie Net als bij Type I, wordt een oneigenlijke integraal van Type II **convergent** genoemd als de resulterende limieten bestaan en eindig zijn. Indien een limiet oneindig is of niet bestaat, is de integraal **divergent**. #### 3.4.3 Voorbeeld Beschouw de integraal $\int_{2}^{4} \frac{1}{(x-2)^{3/2}} dx$. Hier is de integrand discontinu in $x=2$, de ondergrens [26](#page=26). 1. Pas de definitie toe voor discontinuïteit aan de ondergrens: $\int_{2}^{4} \frac{1}{(x-2)^{3/2}} dx = \lim_{t\searrow 2} \int_{t}^{4} \frac{1}{(x-2)^{3/2}} dx$ [26](#page=26). 2. Bereken de bepaalde integraal: $\int_{t}^{4} (x-2)^{-3/2} dx = \left[ \frac{(x-2)^{-1/2}}{-1/2} \right]_t^4 = \left[ -2(x-2)^{-1/2} \right]_t^4$ [26](#page=26). Dit is gelijk aan: $-2(4-2)^{-1/2} - (-2(t-2)^{-1/2}) = -2 ^{-1/2} + 2(t-2)^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{t-2}}$ [26](#page=26) [2](#page=2). 3. Bereken de limiet: $\lim_{t\searrow 2} \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{t-2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{2}} + \lim_{t\searrow 2} \frac{2}{\sqrt{t-2}}$ [26](#page=26). De limiet $\lim_{t\searrow 2} \frac{2}{\sqrt{t-2}}$ gaat naar $+\infty$ [26](#page=26). Aangezien het resultaat $+\infty$ is, is de integraal **divergent** [26](#page=26). ### 3.5 Oefening Gegeven de integraal $I = \int_0^1 \ln x dx$ [27](#page=27). 1. **Waarom is $I$ een oneigenlijke integraal?** De functie $\ln x$ is discontinu in $x=0$, wat de ondergrens van de integratie is. Hierdoor is het een oneigenlijke integraal van Type II [27](#page=27). 2. **Is $I$ convergent of divergent?** Om dit te bepalen, passen we de definitie voor discontinuïteit aan de ondergrens toe: $I = \lim_{t\searrow 0} \int_t^1 \ln x dx$ [27](#page=27). We berekenen eerst de bepaalde integraal $\int \ln x dx$. Dit kan via partiële integratie met $u = \ln x$ en $dv = dx$. Dan is $du = \frac{1}{x} dx$ en $v = x$. $\int \ln x dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x$ [28](#page=28). Nu berekenen we de bepaalde integraal: $\int_t^1 \ln x dx = [x \ln x - x]_t^1 = (1 \ln 1 - 1) - (t \ln t - t) = (0 - 1) - (t \ln t - t) = -1 - t \ln t + t$ [28](#page=28). Vervolgens nemen we de limiet: $I = \lim_{t\searrow 0} (-1 - t \ln t + t)$ [28](#page=28). We moeten de limiet $\lim_{t\searrow 0} t \ln t$ evalueren. Dit is een onbepaalde vorm $0 \cdot (-\infty)$. We kunnen dit herschrijven als $\lim_{t\searrow 0} \frac{\ln t}{1/t}$ en L'Hôpital's regel toepassen: $\lim_{t\searrow 0} \frac{1/t}{-1/t^2} = \lim_{t\searrow 0} (-t) = 0$ [28](#page=28). Dus, de limiet voor de integraal wordt: $I = -1 - 0 + 0 = -1$ [28](#page=28). Aangezien de limiet een eindige waarde heeft (-1), is de integraal $I$ **convergent** [28](#page=28). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Bepaalde integraal | De bepaalde integraal van een functie $f(x)$ van $a$ tot $b$, genoteerd als $\int_a^b f(x) dx$, vertegenwoordigt de netto oppervlakte tussen de grafiek van de functie en de x-as over het interval $[a, b]$. Deze wordt berekend als het verschil tussen de primitieve functie geëvalueerd op de bovengrens en de ondergrens. | | Primitieve functie | Een primitieve functie $F(x)$ van een functie $f(x)$ is een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan $f(x)$. Dit betekent $F'(x) = f(x)$. Bij het berekenen van bepaalde integralen wordt een primitieve functie gebruikt. | | Oppervlakte | De oppervlakte van een vlakdeel begrensd door de grafiek van een positieve functie $f(x)$ en de x-as over een interval $[a, b]$ kan worden berekend met de bepaalde integraal $\int_a^b f(x) dx$. Als de functie negatief is, wordt de oppervlakte berekend met $-\int_a^b f(x) dx$. | | Integratieconstante | De integratieconstante, meestal aangeduid met $C$, is een term die wordt toegevoegd aan een primitieve functie. Bij het berekenen van bepaalde integralen valt deze constante weg, omdat deze op beide grenzen van de evaluatie wordt afgetrokken. | | Consumentensurplus (CS) | Consumentensurplus is de economische maatstaf voor het voordeel dat consumenten behalen door een goed of dienst te kopen tegen een prijs die lager is dan wat ze bereid waren te betalen. Het wordt berekend als de integraal van de vraagfunctie min de evenwichtsprijs over het relevante prijsbereik. | | Producentensurplus (PS) | Producentensurplus is de economische maatstaf voor het voordeel dat producenten behalen door een goed of dienst te verkopen tegen een prijs die hoger is dan de minimumprijs waarvoor ze bereid waren te verkopen. Het wordt berekend als de integraal van de evenwichtsprijs min de aanbodfunctie over het relevante prijsbereik. | | Gini-coëfficiënt | De Gini-coëfficiënt is een statistische maat voor inkomens- of vermogensongelijkheid binnen een populatie. Een waarde van 0 vertegenwoordigt perfecte gelijkheid, terwijl een waarde van 1 perfecte ongelijkheid vertegenwoordigt. Het is gerelateerd aan de Lorenzcurve. | | Oneigenlijke integraal | Een oneigenlijke integraal is een integraal waarbij ten minste één van de grenzen van de integratie oneindig is, of waarbij de integrand een discontinuïteit heeft binnen het integratieinterval. Deze worden berekend met behulp van limieten. | | Convergentie | Een oneigenlijke integraal convergeert als de bijbehorende limiet van de integraal een eindige waarde heeft. Dit betekent dat de oppervlakte onder de curve welgedefinieerd en berekenbaar is. | | Divergentie | Een oneigenlijke integraal divergeert als de bijbehorende limiet van de integraal oneindig is of niet bestaat. Dit betekent dat de oppervlakte onder de curve oneindig groot is of niet kan worden bepaald. | | Kansdichtheidsfunctie (PDF) | Een kansdichtheidsfunctie $p(x)$ beschrijft de relatieve waarschijnlijkheid van een continue willekeurige variabele die een bepaalde waarde aanneemt. De integraal van de PDF over een bepaald interval geeft de kans dat de variabele binnen dat interval valt. |