Signalen_en_Systemen_Ch3_lesdocument_24-66.pdf

# De Laplace-transformatie: definities en convergentie Dit onderwerp introduceert de basisdefinities van de Laplace-transformatie en de inverse Laplace-transformatie, met de nadruk op het convergentiegebied van de getransformeerde functie. ### 1.1 Definities van de Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een wiskundige transformatie die een functie van de tijdsdomeinvariabele $t$ omzet naar een functie van de complex-frequentiedomeinvariabele $s$. Dit proces is vooral nuttig voor het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen en systeemanalyses [1](#page=1). #### 1.1.1 De Laplace-transformatie De definitie van de Laplace-transformatie van een functie $x(t)$ wordt gegeven door de integraal: $$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$ [1](#page=1). Hierin is $X(s)$ de Laplace-getransformeerde van $x(t)$, en $s$ is een complexe variabele, meestal geschreven als $s = \sigma + j\omega$, waar $\sigma$ het reële deel is en $\omega$ het imaginaire deel [2](#page=2). #### 1.1.2 De inverse Laplace-transformatie De inverse Laplace-transformatie stelt ons in staat om terug te keren van het $s$-domein naar het tijdsdomein. Deze wordt gedefinieerd door de volgende integraal: $$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s) e^{st} ds$$ [1](#page=1). Hierin moet $\sigma$ zo gekozen worden dat de integraal convergeert. Dit impliceert dat $\sigma$ binnen het convergentiegebied van $X(s)$ moet liggen [1](#page=1). #### 1.1.3 Laplace-paar Een "Laplace-paar" verwijst naar de relatie tussen een tijdsdomeinfunctie $x(t)$ en zijn corresponderende Laplace-getransformeerde $X(s)$ [1](#page=1). ### 1.2 Convergentiegebied (Region of Convergence - ROC) Het convergentiegebied (ROC) is cruciaal voor de unieke definitie van de Laplace-transformatie en zijn inverse [2](#page=2). #### 1.2.1 Definitie van het convergentiegebied Het convergentiegebied is het gebied in het complexe $s$-vlak (het $\sigma j\omega$-vlak) waarin alle waarden van $s$ liggen waarvoor de Laplace-transformatie integraal convergeert [2](#page=2). #### 1.2.2 Voorbeelden van convergentiegebieden * **Voor een rechtshandig signaal:** Beschouw het signaal $x_1(t) = e^{-at}u(t)$, waarbij $u(t)$ de eenheidsstapfunctie is en $a$ een reële constante is. De Laplace-transformatie hiervan is [2](#page=2): $$X_1(s) = \frac{1}{s+a}$$ Het convergentiegebied voor dit signaal is $Re(s) > -a$. Dit betekent dat de transformatie alleen convergeert voor waarden van $s$ waarvan het reële deel groter is dan $-a$. Visueel is dit het gebied rechts van de verticale lijn $Re(s) = -a$ in het $s$-vlak [2](#page=2) [3](#page=3). * **Voor een linkshandig signaal:** Beschouw het signaal $x_2(t) = -e^{-at}u(-t)$, waarbij $u(-t)$ de eenheidsstapfunctie is die nul is voor $t>0$. De Laplace-transformatie hiervan is: $$X_2(s) = \frac{1}{s+a}$$ Het convergentiegebied voor dit signaal is $Re(s) < -a$. Dit betekent dat de transformatie alleen convergeert voor waarden van $s$ waarvan het reële deel kleiner is dan $-a$. Visueel is dit het gebied links van de verticale lijn $Re(s) = -a$ in het $s$-vlak [3](#page=3). > **Tip:** Het teken (minteken) voor $e^{-at}$ bij het linkshandige signaal is essentieel om ervoor te zorgen dat de integralen convergeren en de transformatie gedefinieerd is [3](#page=3). #### 1.2.3 Belang van het convergentiegebied Het convergentiegebied is niet alleen een voorwaarde voor de convergentie van de integraal, maar het bevat ook belangrijke informatie over de causaliteit van het signaal en de stabiliteit van het corresponderende systeem. Voor linkshandige signalen ligt het ROC aan de linkerkant van een verticale lijn, terwijl het voor rechtshandige signalen aan de rechterkant ligt [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22). ### 1.3 Polen en nullen van $X(s)$ Rational functies in $s$ kunnen worden geanalyseerd aan de hand van hun polen en nullen [18](#page=18). #### 1.3.1 Definitie van polen en nullen De Laplace-getransformeerde $X(s)$ wordt vaak uitgedrukt als een rationale functie van $s$: $$X(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \dots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_0}$$ [18](#page=18). Hierin zijn $a_i$ en $b_i$ reële constanten [18](#page=18). * **Nulpunten ($Z_k$):** Dit zijn de waarden van $s$ waarvoor de teller van $X(s)$ gelijk is aan nul. Bij deze waarden is $X(s) = 0$ [18](#page=18). * **Polen ($P_k$):** Dit zijn de waarden van $s$ waarvoor de noemer van $X(s)$ gelijk is aan nul. Bij deze waarden wordt $X(s)$ oneindig (de functie divergeert) [18](#page=18). #### 1.3.2 Visuele representatie in het $s$-vlak Polen en nullen, samen met het convergentiegebied, kunnen compact visueel worden weergegeven in het $s$-vlak (het $\sigma j\omega$-vlak). Nullen worden meestal aangegeven met een 'o' en polen met een 'x' [19](#page=19). > **Voorbeeld:** Beschouw $X(s) = \frac{2s+4}{s^2+4s+3}$ met $Re(s) > -1$ [19](#page=19). > De nullen worden gevonden door de teller gelijk te stellen aan nul: $2s+4=0 \implies s = -2$. > De polen worden gevonden door de noemer gelijk te stellen aan nul: $s^2+4s+3=0 \implies (s+1)(s+3)=0 \implies s = -1, s = -3$. > Het convergentiegebied is $Re(s) > -1$. De nul ligt op $s=-2$. De polen liggen op $s=-1$ en $s=-3$. Aangezien het ROC $Re(s) > -1$ is, ligt de pool op $s=-1$ op de grens van het ROC, en de pool op $s=-3$ ligt buiten het ROC. Dit wijst op een rechtshandig signaal [19](#page=19). > **Voorbeeld 2:** Beschouw $X(s) = \frac{2}{(s+2)(s+1)(s+3)}$ met $Re(s) > -1$ [20](#page=20). > De nul ligt bij $s=0$ (impliciet in de teller). De polen bevinden zich op $s=-1$, $s=-2$, en $s=-3$. Het ROC is $Re(s) > -1$. De polen op $s=-1$ en $s=-2$ liggen binnen of op de grens van het ROC, terwijl de pool op $s=-3$ buiten het ROC ligt [20](#page=20) [21](#page=21). #### 1.3.3 Eigenschappen van het convergentiegebied gerelateerd aan polen en nullen * **Eigenschap 1:** Het convergentiegebied van een Laplace-transformatie bevat nooit polen van $X(s)$. Dit komt doordat de transformatie bij polen divergeert [20](#page=20). * **Eigenschap 2:** Als $x(t)$ een signaal is met een eindige duur, dan is het convergentiegebied het volledige $s$-vlak, met mogelijke uitzondering van $s=0$ of $s=\infty$ [20](#page=20) [21](#page=21). * **Eigenschap 3:** Als $x(t)$ een rechtshandig signaal is (d.w.z. $x(t) = 0$ voor $t \sigma_{max}$, waarbij $\sigma_{max}$ het maximale reële deel van de polen van $X(s)$ is [20](#page=20) [21](#page=21). * **Eigenschap 4:** Als $x(t)$ een linkshandig signaal is (d.w.z. $x(t) = 0$ voor $t>T$ voor enige $T$), dan is het convergentiegebied van de vorm $Re(s) < \sigma_{min}$, waarbij $\sigma_{min}$ het minimale reële deel van de polen van $X(s)$ is [20](#page=20) [22](#page=22). > **Samenvatting:** Het bestuderen van de polen en nullen van $X(s)$ in combinatie met het convergentiegebied biedt diepgaand inzicht in de eigenschappen van het oorspronkelijke tijdsdomeinsignaal $x(t)$ en de stabiliteit van het systeem dat het signaal representeert. --- # Laplace-transformaties van veelvoorkomende signalen Dit gedeelte beschrijft de berekening van de Laplace-transformaties voor standaard signalen zoals de eenheidsimpuls en de eenheidsstap [4](#page=4). ### 3.3.1 Eenheidsimpulsfunctie $\delta(t)$ De eenheidsimpulsfunctie, ook wel de Dirac-deltafunctie genoemd, is een gegeneraliseerde functie die overal nul is behalve op $t=0$, waar de waarde oneindig is, maar de integraal ervan over alle tijden is één. De Laplace-transformatie van de eenheidsimpulsfunctie $\delta(t)$ wordt als volgt berekend [4](#page=4): $$ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-st} dt $$ Vanwege de eigenschappen van de Dirac-deltafunctie is de integraal gelijk aan de waarde van de functie $e^{-st}$ geëvalueerd op $t=0$: $$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^{-s \cdot 0} = e^0 = 1 $$ Dus, de Laplace-transformatie van de eenheidsimpulsfunctie is: $$ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1 $$ > **Tip:** De Dirac-deltafunctie is cruciaal in signaalverwerking en systeemtheorie omdat het helpt bij het analyseren van de respons van een systeem op een zeer korte input. ### 3.3.2 Eenheidsstapfunctie $u(t)$ De eenheidsstapfunctie, ook wel de Heaviside-stapfunctie genoemd, wordt gedefinieerd als: $u(t) = \begin{cases} 0 & \text{voor } t < 0 \\ 1 & \text{voor } t \ge 0 \end{cases}$ De Laplace-transformatie van de eenheidsstapfunctie $u(t)$ wordt berekend met de definitie van de Laplace-transformatie: $$ \mathcal{L}\{u(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st} dt $$ Aangezien $u(t)$ nul is voor $t < 0$, wordt de integraal gedefinieerd vanaf $0$ tot $\infty$: $$ \mathcal{L}\{u(t)\} = \int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt $$ Om deze integraal op te lossen, integreren we $e^{-st}$ met betrekking tot $t$: $$ \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{0}^{\infty} $$ Voor de convergentie van de Laplace-transformatie is het noodzakelijk dat de reële component van $s$ groter is dan nul, oftewel $\text{Re}(s) > 0$. Onder deze voorwaarde geldt dat $\lim_{t \to \infty} e^{-st} = 0$. $$ \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{0}^{\infty} = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{e^{-st}}{-s} \right) - \left( \frac{e^{-s \cdot 0}}{-s} \right) = 0 - \left( \frac{e^0}{-s} \right) = 0 - \left( \frac{1}{-s} \right) = \frac{1}{s} $$ Dus, de Laplace-transformatie van de eenheidsstapfunctie is: $$ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \quad \text{voor } \text{Re}(s) > 0 $$ > **Tip:** De voorwaarde $\text{Re}(s) > 0$ is essentieel voor de convergentie van de integraal. Zonder deze voorwaarde is de integraal niet gedefinieerd. > **Voorbeeld:** Als we de Laplace-transformatie van $5u(t)$ willen vinden, kunnen we de lineariteitseigenschap van de Laplace-transformatie gebruiken: $\mathcal{L}\{c f(t)\} = c \mathcal{L}\{f(t)\}$. Dus, $\mathcal{L}\{5u(t)\} = 5 \mathcal{L}\{u(t)\} = 5 \cdot \frac{1}{s} = \frac{5}{s}$. Dit geldt voor $\text{Re}(s) > 0$ [4](#page=4). --- # Eigenschappen van de Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een krachtig wiskundig instrument met diverse eigenschappen die het mogelijk maken om bewerkingen in het tijdsdomein te vereenvoudigen naar algebraïsche bewerkingen in het s-domein. ### 3.1 Lineariteit De lineariteitseigenschap stelt dat een lineaire combinatie van signalen in het tijdsdomein overeenkomt met dezelfde lineaire combinatie van hun Laplace-transformaties in het s-domein [5](#page=5). Stel dat we twee signalen hebben, $x_1(t)$ met Laplace-transformatie $X_1(s)$ en een bijbehorende convergentieregio $R_1$, en $x_2(t)$ met transformatie $X_2(s)$ en convergentieregio $R_2$. Dan geldt voor een lineaire combinatie $a_1x_1(t) + a_2x_2(t)$ [5](#page=5): $$ \mathcal{L}\{a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\} = a_1X_1(s) + a_2X_2(s) $$ De convergentieregio van de resulterende transformatie is de doorsnede van de individuele convergentieregio's: $R_1 \cap R_2$ [5](#page=5). ### 3.2 Verschuiving in het tijdsdomein Deze eigenschap beschrijft hoe een tijdsvertraging van een signaal zijn Laplace-transformatie beïnvloedt [6](#page=6). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van $x(t-t_0)$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\{x(t-t_0)\} = e^{-st_0}X(s) $$ De convergentieregio blijft $R$. De interpretatie is dat het vertragen van een tijdssignaal overeenkomt met het vermenigvuldigen van zijn Laplace-transformatie met $e^{-st_0}$ [6](#page=6). ### 3.3 Verschuiving in het s-domein Een verschuiving in het s-domein van een Laplace-transformatie correspondeert met een vermenigvuldiging in het tijdsdomein [7](#page=7). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van $e^{s_0t}x(t)$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\{e^{s_0t}x(t)\} = X(s-s_0) $$ De convergentieregio wordt verschoven met $s_0$, dus $R + \text{Re}(s_0)$. Dit betekent dat een verschuiving in het s-domein met $s_0$ equivalent is aan het vermenigvuldigen in het tijdsdomein met $e^{s_0t}$ [7](#page=7). ### 3.4 Tijdschaling De tijdschaaleigenschap relateert het schalen van de tijdsas van een signaal aan de transformatie in het s-domein [8](#page=8). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van $x(at)$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\{x(at)\} = \frac{1}{|a|}X\left(\frac{s}{a}\right) $$ De convergentieregio wordt geschaald met $a$, dus $aR$. De interpretatie is dat het schalen van de tijdsvariabele (compressie of decompressie) leidt tot de inverse schaling van de s-variabele en een amplitudeschaling in het s-domein [8](#page=8). ### 3.5 Convolutie De convolutie-eigenschap is van fundamenteel belang in signaalverwerking en systeemtheorie, omdat het de relatie legt tussen convolutie in het tijdsdomein en vermenigvuldiging in het s-domein [9](#page=9). Als $x_1(t)$ getransformeerd wordt naar $X_1(s)$ met convergentieregio $R_1$, en $x_2(t)$ naar $X_2(s)$ met convergentieregio $R_2$, dan geldt voor hun convolutie $x_1(t) * x_2(t)$: $$ \mathcal{L}\{x_1(t) * x_2(t)\} = X_1(s) \cdot X_2(s) $$ De convergentieregio van het product is een subset van de doorsnede van $R_1$ en $R_2$, aangeduid als $R_1 \cap R_2$. Dit impliceert dat de convolutie van twee tijdsignalen equivalent is aan het vermenigvuldigen van hun Laplace-transformaties in het s-domein [9](#page=9). ### 3.6 Differentiëren in het tijdsdomein Het differentiëren van een signaal in het tijdsdomein heeft een directe analogie in het s-domein [10](#page=10). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van de afgeleide $\frac{dx(t)}{dt}$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\left\{\frac{dx(t)}{dt}\right\} = sX(s) $$ De convergentieregio van $sX(s)$ is een subset van de oorspronkelijke convergentieregio $R$. De interpretatie is dat het afleiden van een tijdssignaal overeenkomt met het vermenigvuldigen van zijn Laplace-transformatie met $s$ [10](#page=10). ### 3.7 Differentiëren in het s-domein Differentiëren in het s-domein correspondeert met vermenigvuldiging met $-t$ in het tijdsdomein [11](#page=11). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan geldt: $$ \mathcal{L}\{-tx(t)\} = \frac{dX(s)}{ds} $$ De convergentieregio van de afgeleide $\frac{dX(s)}{ds}$ is gelijk aan $R$. Dit betekent dat afleiden in het s-domein overeenkomt met het vermenigvuldigen van het corresponderende tijdsignaal met $-t$ [11](#page=11). ### 3.8 Integratie in het t-domein Integratie van een signaal in het tijdsdomein is gerelateerd aan het delen van de Laplace-transformatie door $s$ [12](#page=12). Als de Laplace-transformatie van $x(t)$ gelijk is aan $X(s)$ met convergentieregio $R$, dan is de transformatie van de integraal $\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$ gelijk aan: $$ \mathcal{L}\left\{\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau\right\} = \frac{1}{s}X(s) $$ De convergentieregio van $\frac{1}{s}X(s)$ is de doorsnede van $R$ en het halfvlak $\text{Re}(s) > 0$. De interpretatie is dat het integreren van een tijdssignaal overeenkomt met het delen van zijn Laplace-transformatie door $s$ [12](#page=12). ### 3.9 Toepassingen van de eigenschappen De eigenschappen van de Laplace-transformatie maken het mogelijk om de transformaties van diverse signalen af te leiden, zelfs zonder directe toepassing van de definitie-integraal [13](#page=13). **Voorbeelden van afleidingen:** * **Impulsfunctie $\delta(t)$:** De transformatie van de Dirac-deltafunctie is 1, met een convergentieregio die het hele s-vlak beslaat [14](#page=14). * **Rampfunctie $t u(t)$:** Door gebruik te maken van de eigenschap voor integratie of door de transformatie van $u(t)$ te differentiëren in het s-domein, kan de transformatie van $t u(t)$ worden afgeleid als $\frac{1}{s^2}$ [14](#page=14). * **Exponentiële functie $e^{-at}u(t)$:** Met de s-domein verschuivingseigenschap, uitgaande van de transformatie van $u(t)$ als $\frac{1}{s}$, wordt de transformatie $e^{-at}u(t)$ gelijk aan $\frac{1}{s+a}$ [15](#page=15). * **Getrapte exponentiële functie $t e^{-at}u(t)$:** Deze kan worden verkregen door de transformatie van $e^{-at}u(t)$ te differentiëren in het s-domein [15](#page=15). * **Gecosinusoidaliseerde functie $\cos(\omega_0t)u(t)$:** Deze kan worden afgeleid met behulp van de definitie of door eigenschappen toe te passen op complexe exponentiële functies [16](#page=16). * **Gedempte cosinusfunctie $e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)$:** Verkregen door de s-domein verschuivingseigenschap toe te passen op de transformatie van $\cos(\omega_0t)u(t)$ [16](#page=16). Deze voorbeelden illustreren hoe de eigenschappen, in combinatie met de bekende transformatie van de eenheidsstapfunctie $u(t)$, een breed scala aan signaaltransformaties efficiënt kunnen berekenen (#page=13,14,15,16) [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15) [16](#page=16). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Laplace-transformatie | Een integraaltransformatie die een functie van de tijd, $x(t)$, omzet naar een functie van de complexe frequentie, $X(s)$. Dit wordt gedefinieerd door de integraal $X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$. | | Inverse Laplace-transformatie | De transformatie die een functie van de complexe frequentie, $X(s)$, terug omzet naar de oorspronkelijke functie van de tijd, $x(t)$. Dit wordt gedefinieerd door de complexe integraal $x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} X(s) e^{st} ds$. | | Convergentiegebied (ROC) | Het gebied in het s-vlak waarin de Laplace-transformatie van een signaal convergeert. Dit gebied is cruciaal voor de unieke bepaling van de inverse Laplace-transformatie. | | Eenheidsimpulsfunctie ($\delta(t)$) | Een gegeneraliseerde functie die nul is voor alle $t \neq 0$ en waarvan de integraal over de gehele tijdsas gelijk is aan 1. Het is de afgeleide van de eenheidsstapfunctie. | | Eenheidsstapfunctie ($u(t)$) | Een functie die nul is voor $t < 0$ en één is voor $t \geq 0$. Het vertegenwoordigt een plotselinge toename van nul naar één op tijdstip $t=0$. | | Lineairiteit | Een eigenschap van transformaties waarbij de transformatie van een lineaire combinatie van functies gelijk is aan de lineaire combinatie van de transformaties van die functies. Voor de Laplace-transformatie geldt: $\mathcal{L}\{a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\} = a_1X_1(s) + a_2X_2(s)$. | | Verschuiving in tijdsdomein | De eigenschap die stelt dat het vertragen van een signaal met $t_0$ seconden in het tijdsdomein ($x(t-t_0)u(t-t_0)$) overeenkomt met het vermenigvuldigen van de Laplace-transformatie met $e^{-st_0}$ in het s-domein. | | Verschuiving in s-domein | De eigenschap die aangeeft dat het vermenigvuldigen van een signaal in het tijdsdomein met $e^{s_0t}$ ($e^{s_0t}x(t)$) overeenkomt met het verschuiven van de Laplace-transformatie met $s_0$ in het s-domein ($X(s-s_0)$). | | Tijdschaling | Deze eigenschap beschrijft hoe het schalen van de tijdsvariabele in $x(at)$ de Laplace-transformatie beïnvloedt. Het resulteert in een schaling van de s-variabele en een inversie van de schaalingsfactor ($ \frac{1}{|a|} X(\frac{s}{a}) $). | | Convolutie | De bewerking die de interactie tussen twee signalen beschrijft. De convolutie van twee signalen in het tijdsdomein is equivalent aan de vermenigvuldiging van hun Laplace-transformaties in het s-domein. | | Polen van X(s) | De waarden van $s$ waarvoor de noemer van de rationale functie $X(s)$ nul is, wat resulteert in een oneindige waarde voor $X(s)$. Deze bepalen mede de dynamische eigenschappen van een systeem. | | Nullen van X(s) | De waarden van $s$ waarvoor de teller van de rationale functie $X(s)$ nul is, wat resulteert in een nulwaarde voor $X(s)$. |